Mehanika I_3_redukcija.pdf

Mehanika I Moment sile i redukcija sila

Katarina Pisačić, 2018

Uvod – operacije s vektorima 1. Zbrajanje vektora

 F1

 F2 2. Oduzimanje vektora

    F1 − F2 = F1 + ( − F2 )

 FR

   F= F1 + F2 R Pravilo paralelograma ili trokuta sila

3. Rezultanta vektora sila - analitički

    FR = F1 + F2 + F3     FRx = F1 x + F2 x + F3 x

    FRy = F1 y + F2 y + F3 y     FRz = F1z + F2 z + F3 z FR =

FRx 2 + FRy 2 + FRz 2

Grafičke metode: verižni poligon ili pravilo o zbrajanju vektora

4. Množenje vektora Množenje vektora skalarom

    n( F1 + F2 ) = n ⋅ F1 + n ⋅ F2

Skalarni produkt vektora

    a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos(α ) = a ⋅ b ⋅ cos(α )

Vektorski produkt

  Površina a × b = a ⋅ b ⋅ sin(α ) parelelograma   c b Predznak (smjer novog

vektora) – pravilo desne ruke

 i   a ×= b ax bx

 a 

j ay by

   a  b ⇒ a ×b = 0   a ⊥ b ⇒ a ×b = a ⋅b

k    a= ( a y bz − a z by )i + ( a z bx − a x bz ) j + ( a x by − a y bx )k z bz

Moment sile    M O= r × F    M O = r ⋅ F ⋅ sin(α )

 MO  O r

Smjer momenta se određuje pravilom desne ruke

α

b

 i    MO = r × F = x Fx

 j y Fy

    r = xi + yj + zk

 F

    F = Fx i + Fy j + Fz k

 k    z = ( y ⋅ Fz − z ⋅ Fy )i + ( z ⋅ Fx − x ⋅ Fz ) j + ( x ⋅ Fy − y ⋅ Fx )k Fz

    M O = M Ox i + M Oy j + M Oz k

sin(α ) ⋅ r M O= F ⋅ b

= b U ravnini:

Smjer momenta se određuje pravilom desne ruke

Spreg sila i redukcija

1. Paralelni pomak sila - dodajemo moment (spreg sila).  F

 F

B  −F

B M

A

 F

A

 F

 F

 F

A

=

B

 M

Isto ili ekvivalentno stanje. Sila se smije klizati po pravcu i ostaje nepromijenjena. Kod paralelnog pomaka sila dodajemo moment - spreg sila. Spreg sila čine dvije paralelne sile, istog iznosa, suprotnog smjera.

2. Momentno pravilo – Varignonov teorem

 F1

 FR ≠ 0

 F2

 r

 FR

n      M O =r × FR =∑ (ri × Fi ) i =1

O  F3

Statički moment rezultante sustava obzirom na točku O jednak je zbroju momenata svih sila sustava obzirom na istu točku.

3. Redukcija općeg sustava sila u prostoru Redukcija sile F koja djeluje na tijelo s hvatištem npr. u točki A , obzirom na npr. točku B znači njen paralelan pomak u točku B.

 F

 F

A

 −F

B

=

 F

A  B r

 M

Kada je zadan sustav od n sila u prostoru redukcijom obzirom na točku B slijedi:     - n sila kojih je rezutanta FR = F1 + F2 + ... + Fn - n spregova sila koji zbrojeni daju GLAVNI MOMENT n        M B = ∑ M iB = M 1 + M 2 + ... + M n = r1 × F1 + r2 × F2 + ... + ri × Fi i =1

3. Redukcija paralelnog sustava sila z

Rezultana iznosi:  = FRx ∑ = Fxi 0 n

A2

 F1

 F2

A1

 Fi

Ai

i =1 n

 = FRy ∑ = Fyi 0

An

i =1

 Fn

 = FRz ∑ = Fzi n

=i 1 =i 1

O

y

x

 ∑ Fi n

  FR = FRz k

Kada je zadan sustav od n sila paralelnih sila u prostoru, moment svake sile slijedi:

   i j k       M i = r × F = xi yi zi = ( yi ⋅ Fz − zi ⋅ Fy )i + ( zi ⋅ Fx − xi ⋅ Fz ) j + ( xi ⋅ Fy − yi ⋅ Fx )k Fx Fy Fz     M = y= yi Fi ix i Fz M i = yi Fz i − xi Fz j + 0k M iy = − xi Fz = − xi Fi

4. Redukcija konkurentnog sustava sila Komponente sila

z

Fxi= Fi ⋅ cos αi Fyi= Fi ⋅ cos β i

 F1

A

 F2

Fzi= Fi ⋅ cos γ i

γ

 FRx = ∑ Fxi n

β  Fi

O

i =1 n

α

 FRy = ∑ Fyi

y

i =1

 Fn

 FRz = ∑ Fzi n

x  MO = 0

 = MA

i =1

Redukcija oko čvora O

  ∑ (ri × Fi ) n

i =1

Redukcija oko neke točke A

FR =

FRx 2 + FRy 2 + FRz 2

Pitanja?