Mehanika I_11_momenti_tromosti.pdf

Mehanika I Geometrijske karakteristike ravnih površina momenti površina

Katarina Pisačić, 2018

1. Statički moment površine (moment površine prvog reda) y

Statički moment površine:

A

S x = ∫ ydA A

dA

S y = ∫ x dA A

x

Jednica:

y

O Koordinate mogu pozitivne i negativne Sx i Sy mogu biti: – manji od nule – jednaki nuli – veći od nule

x

 m ⋅ m 2  =  m3 

Iz težišta:

Sx 1 ys = ∫ ydA = ⇒ S x = ys ⋅ A AA A Sy 1 xs = ∫ xdA = ⇒ S y = xs ⋅ A AA A Težište ima koordinate: ( xS , y S ) Ako su osi oko kojih se računa moment u težištu tada je:

= Sx

y dA ∫= s

A

0 = Sy

x dA ∫= s

A

0

2. Aksijalni moment tromosti ili inercije (moment površine drugog reda reda) A

dA

y dA

y

A

d O

I x = ∫ d 2 dA A

I x = ∫ y 2 dA A

d

x

x

x

- Aksijalni moment tromosti ili moment tromosti obzirom na jednuos Ix i Iy mogu biti: – jednaki nuli – veći od nule I = x 2 dA y

∫

A

Jednica:

 m 2 ⋅ m 2  =  m 4 

3. Polarni moment tromosti (moment tromosti obzirom na pol O) A

y dA

r

y

x

x

O

Ix y   I

I p =∫ r 2dA =∫ ( x 2 + y 2 )dA =∫ x 2dA + ∫ y 2dA A

I= Ix + Iy p

A

A

A

Jednica:

 m 2 ⋅ m 2  =  m 4 

3. Centrifugalni ili devijacijski moment tromosti (moment tromosti obzirom na dvije okomite osi) A

y

y dA

II kvadrant

−⋅+

I kvadrant

+⋅+

y

I= xy

x

x

O

A

Jednica:

 m ⋅ m  =  m  2

IV kvadrant

+⋅−

- Aksijalni moment tromosti ili moment tromosti obzirom na dvije okomite osi

∫ ( x ⋅ y )dA 2

III kvadrant −⋅−

4

Ixy može biti: – jednak nuli - ako postoji os simetrije – veći od nule, – manji od nule

x

Osnovni teoremi o momentima inercije

• 1. Pravilo o zbrajanju momenata inercije Ako je ravna ploha sastavljena od više dijelova, onda je njezin moment inercije, s obzirom na os x koja leži u ravnini plohe jednak zbroju momenata inercije pojedinih dijelova obzirom na istu os.

II

I x = I xI + I xII + I xIII

III

x I

• 2. Pravilo o paralelnom pomicanju dijelova presjeka Moment inercije presjeka obzirom na bilo koju os neće se promijeniti ako cio presjek ili neke njegove dijelove pomaknemo po pravcu paralelnom s tom osi.

1 = Ix (b1h13 − b2h2 3 ) 12

• 3. Steinerovo pravilo za aksijalni moment tromosti

Moment inercije presjeka obzirom na os x’, koja je paralelna s osi kroz težište presjeka jednak je momentu inercije tog presjeka s obzirom na težišnu os plus umnožak površine presjeka i kvadrata udaljenosti os x’ od težišne osi A

I x' = dA

e

= I x'

yS

y

2 y = ∫ dA

2 ( a) y + ∫ s dA

A

A

2 2 + ⋅ + ( y 2 y a a )dA s ∫ s A

S

x

a x'

2 2 d 2 d I x' = y A + a y A + a ∫A s ∫A s ∫A dA      I xs

S xs =0

I x ' = I xs + a 2 ⋅ A

Steinerov dodatak

Osim momenata inercije u praksi se često koristi moment otpora presjeka (modul presjeka), koji je opisan relacijom: e – najveća udaljenost konture presjeka od osi kroz njegovo težište A dA

e yS

y

S

x

a x'

Ix Wx = e

• 4. Steinerovo pravilo za centrifugalni moment tromosti

Centrifugalni moment inercije presjeka obzirom na dvije međusobno okomite osi, koje se paralelne s osima kroz težište presjeka jednak je centrifugalnom momentu inercije tog presjeka s obzirom na težišne os plus umnožak površine presjeka i razmaka između oba para paralelnih osi. I x ' y ' = ∫ x ' y 'dA y A y'

dA

x

b

S

y

x '= b + x

y '= a + y

I x ' y ' =∫ ( x + b)( y + a )dA

x

a O

A

x'

A

I x ' =⋅ ∫A x ydA + b∫A ydA + a ∫A xdA + a ⋅ b∫A dA         I xy

= S xs 0= S ys 0

I x ' y ' = I xy + a ⋅ b ⋅ A

Steinerov dodatak

Primjer – pravokutni presjek y

y'

= I x'

A

2 2 y A + a ⋅A d ∫ s A

x dx

dA

I x' = I x + a2 ⋅ A

dy

S

dA = dx ⋅ dy

y

x = Ix O

2 y dy ∫ ∫ dx ⋅= h /2

Ix =

∫

− h /2

x'

y2 ⋅ x

b /2

dy =

− b /2

h /2 b /2

∫ ∫

y 2dx ⋅ dy

− h /2 − b /2 h /2

b 2 b ( ( ))dy y − − ∫ 2 2 − h /2

h 3 h 3 ( ) (− ) 3 h /2 y 2 2 − 2 ) ⋅ = ⋅ = ⋅ Ix = b y dy b b ( ∫ 3 − h /2 3 3 − h /2 h /2

h3 h3 − h3 h3 8 8 I x =⋅ b ( − b ( + ) ) =⋅ 3 3 24 24 h3 I x= b ⋅ 12

b3 I y= h ⋅ 12

h 2 h3 h2 bh 3 3bh 3 4bh 3 I x' = I x + ( ) ⋅ A = b ⋅ + h ⋅ b = + = 2 12 4 12 12 12 bh 3 I x' = 3

hb3 I y' = 3

Mohrova kružnica tromosti - drugi momenti površine kod rotacije koordinatnog sustava Iy = Iz = I yz =

I y + Iz 2 I y + Iz 2 I y − Iz 2

+

−

I y − Iz 2 I y − Iz 2

⋅ cos 2ϕ − I yz sin 2ϕ ⋅ cos 2ϕ + I yz sin 2ϕ

⋅ sin 2ϕ + I yz cos 2ϕ

Prva invarijanta za momente tromosti - zbroj aksijalnih momenata tromosti za dvije međusobno okomite osi uvijek je konstantan!

I y + I z = I y + I z = I1 + I 2

Rotacijom osi za 360° moguće je iscrtati Mohrovu kružnicu tromosti. Uvršatavanjem prethodnih izraza dobiva se izraz:

I y + Iz

(I y −

2

= I ) + ( 2

2 yz

I y − Iz

) 2 + I yz 2

2

koji predstavlja jednadžbu kružnice:

( x − p )2 + ( y − q)2 = r2 gdje su p i q koordinate središta kružnice S:

p=

I y + Iz 2

,

q= = 0, r

(

I y − Iz 2

) 2 + I yz 2 .

Upute za crtanje Mohrove kružnice tromosti: 1. Nacrtamo koordinatni sustav u kojem na osi apscisa nanosimo osne momente tromosti, a na osi ordinata devijacijske momente tromosti. 2. U tom koordinatnom sustavu ucrtamo točke A(Iy,Iyz) i B(Iz,-Iyz) . 3. Kroz točke A i B povlačimo kružnicu kojoj se središte nalazi na osi apscisa. 4. Kružnica siječe os apscisa u točkama C i D. Apscise tih točaka su glavni momenti tromosti I1 i I2 . 5. Kroz točku A povlačimo paralelu s osi y, a kroz točku B paralelu s osi z. Sjecište tih paralela P nalazi se na kružnici i naziva se pol Mohrove kružnice tromosti. 6. Spojnica pola P i točke C definira os na koju se odnosi glavni moment tromosti I1. Spojnica pola P s točkom D definira drugu glavnu os tromosti. 7. Želimo li naći momente tromosti oko neke zarotirane osi, povlačimo iz pola P paralelu sa rotiranom osi. Ta paralela siječe kružnicu u točki E. Apscisa točke E predstavlja aksijalni moment tromosti u smjeru osi y u rotiranom koordinatnom sustavu, a ordinata točke E predstavlja centrifugalni moment tromosti u rotiranom sustavu.

Iz Mohrove kružnice mogu se odrediti glavni momenti tromosti: I y + Iz I y + Iz 2 I1 = + ( ) + I yz2 2 2

I1 > I 2

I y + Iz I y + Iz 2 ) + I yz2 I2 = − ( 2 2

Polarni moment tromosti iznosi: I= I y + Iz p

Kut rotacije glavnih osi mjeri se od one osi oko koje je veći moment tromosti, iznosi: tan 2ϕ 0 =

−2 I yz I y − Iz