Medidas Experiment Ales Y Sus Errores

Curso de pre-inicio Física 2005/6 Grupo 1 Física para estudiantes de Biología Lecció n 3 Medidas experimentales y sus errores Objetivos • •

Conocimientos sobre los errores en las medidas tomadas en el laboratorio Tablas de datos y representación gráfica

Medidas experimentales y sus errores Cualquier medida que hagamos en el laboratorio tendrá asociada un error, ya que nunca seremos capaces de medir con precisión infinita. Cuando medimos un valor en el laboratorio debemos expresarlo siempre acompañado por su ERROR ABSOLUTO, que normalmente expresamos como ∆x, donde x es el valor que hemos medido. Este error absoluto nos da la diferencia entre el valor obtenido en la medida y el verdadero valor de la cantidad que estamos midiendo. Como el valor real no es posible conocerlo, desde un punto de vista práctico se toma como error absoluto el error del instrumento con el que hemos tomado la medida experimental. El error absoluto dependerá por tanto de la precisión del método experimental utilizado. Por ejemplo, si medimos la longitud de una mesa utilizando una regla cuya precisión es de centímetros, claramente sólo podré saber el valor de la longitud de esta mesa con esta precisión. Es decir, si obtengo que mide 1,24m el error absoluto será de 1cm por encima o por debajo de esa medida. El valor de la medida será x = 1,24m, el error absoluto será ∆x = 0,01 m, y por tanto diré que el valor de la medida es:

 1,24±0,01  m Recuerda siempre indicar las unidades de la medida. El error absoluto de una medida siempre tendrá las mismas unidades que la medida que hemos tomado. Es decir, si hemos medido la longitud de esta mesa en metros con un determinado error, expresaríamos tanto el valor de la medida como su error absoluto en metros. Un valor que nos mide la precisión con la que se ha tomado una medida es lo que conocemos como ERROR RELATIVO. El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor de la medida y se expresa normalmente en porcentajes. Daros cuenta de que se trata de un número adimensional, ya que es el cociente entre dos números con 1

las mismas unidades. El error relativo nos permite comparar la calidad de diferentes medidas, como veremos a continuación con algunos ejemplos. El error relativo de la medida anterior de la mesa será: ε= ε=

Δx x

0,01 =8 x10−3 1,24

Normalmente se expresa en porcentaje, por tanto el error relativo de esta medida es de un 0,8 %. MEDIDAS DIRECTAS: si estamos realizando una medida, por ejemplo, medimos la longitud de una mesa utilizando una regla, existe un error asociado al instrumento que utilizamos para tomar esta medida. El error absoluto de la medida no puede ser menor que el error del aparato que utilizamos para medir y que es el valor más pequeño que se puede medir con ese aparato, es decir, la precisión del aparato. El error de la medida sin embargo puede ser mayor que el error del instrumento de medida utilizado ya que puede haber otros errores como son los errores sistemáticos o los errores accidentales. Los errores sistemáticos pueden ser por ejemplo debidos a una mala calibración del aparato de medida que utilizamos. Si cuando repetimos una medida varias veces obtenemos valores diferentes entonces lo que tenemos son errores accidentales. MEDIDAS INDIRECTAS: Muchas veces estamos interesados en el valor de magnitudes que no podemos medir directamente en el laboratorio, sino que utilizamos valores medidos en el laboratorio y relaciones conocidas para obtener ese valor que queremos calcular. Por ejemplo, si queremos saber el valor de la densidad de un objeto podemos obtener su masa y su volumen y la densidad la obtendremos simplemente como el cociente entre estos dos valores: D = M/V Los valores de la masa y del diámetro del cuerpo si los hemos calculado directamente en el laboratorio tendrán asociados sus propios errores absolutos que serán la precisión en la medida, pero los valores de la densidad y del volumen los tendremos que calcular indirectamente. Estos valores, aunque están calculados indirectamente también tendrán asociados errores. No vamos a entrar hoy en como calcular el error de estas medidas indirectas ya que esto será uno de los temas que veréis en la clase de física del primer año, pero sí que vamos a

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hacer una serie de ejercicios para que aprendáis a expresar correctamente los valores de medidas tomadas en el laboratorio y sus errores. EXPRESIÓN DE MEDIDAS EN EL LABORATORIO Y SUS ERRORES Si x es el valor de una medida que hemos tomado en el laboratorio o que hemos calculado indirectamente a partir de medidas del laboratorio y ∆x es el error absoluto de esta medida la forma de expresar el valor final de la medida es la siguiente:

 x± Δx  unidadescorrespondientes El error absoluto se expresa con una ÚNICA cifra significativa ya que lo que nos interesa es sólo el orden de magnitud de ese error. El valor de la medida que hemos tomado debe tener tantas cifras significativas como corresponda al error absoluto de la medida. Es decir, la última cifra significativa de la medida debe tener el mismo orden de magnitud que la cifra significativa del error absoluto. Normalmente lo que se hace para truncar el valor en esta última cifra significativa es redondear al alza si el número siguiente es mayor o igual que 5. Recordad siempre que tenéis que escribir las unidades de la medida que acabáis de tomar, de otro modo no sabríamos que es lo que esta medida significa porque no sabemos con que comparar. Vamos a hacer una serie de ejemplos para que se entienda mejor como expresamos las medidas y sus errores. Por ejemplo, imaginad que nos dicen que la medida de longitud que hemos tomado es de 9,3827 mm con un error absoluto de 0,32 mm, la expresión correcta de esta medida será:

 9,4±0,3  mm Si en cambio la medida hubiese sido: 9,3287 mm con el mismo error absoluto la expresión correcta sería:

 9,3±0,3  mm Muchas veces utilizamos valores que nos dan en los libros pero de los que no nos dicen su error absoluto. Cuando esto ocurre tenemos que asumir que la última cifra significativa del número que nos están dando es la que expresa el error en la medida. Es decir, si nos dicen que la medida es 159,86 el error que debemos asumir para esta medida es de 0,01.

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Ejercicios 1. El primer ejercicio que tenéis que resolver es expresar las siguientes cantidades de forma correcta y calcular su error relativo: (a) (145,294 +- 0,18) kg (b) (980986 +- 1394) km/h (c) (9,16 +- 0,008) m (d) (27,28x10-5 +- 0,3x10-4) Ω (e) (0,000678 +- 0,000043) m (f) (984 +- 22) mg 2. ¿Cuál de las siguientes medidas crees que no puede ser correcta? (a) (98,32 +- 0,41)m (b) (0,0063+-0,0081) kg (c ) (87,21+-0,05) m/s

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Tablas de datos y gráficas En el laboratorio normalmente tomaremos medidas de datos experimentales que escribiremos en forma de tabla. Muchas veces nos interesa conocer un valor que no aparece en esa tabla de medidas, debemos entonces hacer una interpolación para obtener el valor. Podemos utilizar en estos casos una interpolación lineal para calcular el valor que necesitamos. Suponed que conocemos el valor de la función en x1 y en x2 y tiene de valores y1 y y2 respectivamente. Y queremos calcular el valor de la función en un punto intermedio entre x1 y x2 , lo que tendremos que hacer es, primero asumir que entre estos dos puntos podemos aproximar la función a una recta. Si esto es así entonces podemos suponer lo siguiente: y 1 =a+mx1 y 2 =a+mx 2 Pero no conocemos el valor de las dos constantes a y m, aunque podemos obtener estos valores despejando de las ecuaciones anteriores: y −y m= 2 1 x 2 −x 1 Y podemos obtener el valor de a que sera: a=y 1−x 1

y 2− y 1 x 2−x 1

Por tanto la ecuación de la recta para cualquier valor de x entre x1 y x2 será: y=y 1

y 2− y 1  x−x 1  x 2− x 1

Ejercicio: Por ejemplo, imaginad que hemos tomado las medidas de la tabla que presentamos a continuación: Elongación (mm) Fuerza (N) 5 1,1 10 2,3 15 2,9 20 4,2 25 5,1 30 5,9 35 6,2 40 6,4 45 6,6

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Calculad el valor de la Fuerza para una elongación de 12 mm. Representación gráfica Muchas veces la representación gráfica de los valores obtenidos en el laboratorio resulta muy útil, ya que nos permite ver de forma más clara cuál es la relación que existe entre esas dos variables. Si la dependencia es lineal es posible, utilizando una representación gráfica obtener el valor de la pendiente de la recta. Además la representación gráfica nos permite ver cuando una relación se cumple o cuando se desvía de una determinada relación conocida. Por ejemplo, representa los valores de la tabla del ejercicio anterior gráficamente e identifica para qué valores la relación entre la fuerza y el desplazamiento es lineal y cuando no. Recuerda que cuando representamos unas valores en el eje x representamos los valores independientes, o los valores elegidos por el experimental y en el eje y los valores obtenidos en el experimento después de fijar el valor de x. Ejercicio: Vamos ahora a representar otros datos, en este caso medidas de posiciones de un objeto a distintos valores del tiempo que aparecen la la tabla siguiente. ¿Sigue una relación lineal?. Representa ahora la posición frente al tiempo elevado al cuadrado. ¿Qué relación cumple ahora?. ¿Puedes obtener una ecuación general para la posición en función del tiempo a partir de esta representación gráfica?. Posición(x) 0 1 4 9 16 25

Tiempo(s) 0 1 2 3 4 5

Tiempo2 (s2)

Existen situaciones más complicadas en las que la dependencia es del tipo: Y = AxB En este caso si queremos que al representar se obtenga una línea recta lo que podemos hacer es tomar logaritmos de esta ecuación. Al tomar logaritmos tendremos: log y = log (a xB) Y si recordáis esto es equivalente a: log y = log a + b log x 6

Si ahora representamos no el valor de y frente al valor de x, que en muchos casos no vamos a poder hacer en un papel normal, sino que representamos log(y) frente a log(x) esto sí que nos dará una línea recta de manera que la pendiente de esta recta es precisamente el valor de B. Ejercicio: Indica que datos debemos representar en el eje de las abcisas y en el de las ordenadas para obtener una relación lineal para cada una de las ecuaciones siguientes y cual será el valor de la pendiente de esa recta. Las variables en estas ecuaciones son x e y, A y B son constantes. (1) (2) (3) (4) (4)

y=Ax 2 y=Ax 2 +B y=A  x y=Ax6 y=A exp −Bx 

Bibliografía Laboratori de Física Aplicada, Isabel Abril, Universitat d'Alacant Lecciones de Física Experimental, Antonio Hayas Barrú, Universidad de Jaén

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