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UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAS DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA DPTO. DISEÑO MECÁNICO Y AUTOMATIZACIÓN

MANUAL TEÓRICO PRÁCTICO PARA LA EVALUACIÓN CINEMÁTICA DE MECANISMOS A TRAVÉS DE MÉTODOS GRÁFICOS

ASIGNATURA: MECANISMOS

CÓDIGO: DA5M03

Prof.: Carlos Morales

Rev.: Dic. 2.006

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MANUAL DE MECANISMOS GENERAL PÁGINA: 1-G – 1 de 5

INTRODUCCIÓN Este manual tiene como objeto servir de referencia para la comprensión y aplicación de los métodos gráficos en el estudio y diseños de mecanismos. El manual está centrado en el estudio cinemático de mecanismos articulados que presentan movimientos coplanares; evaluando para ello sus movimientos, velocidades y aceleraciones. Así mismo se estudia la síntesis de levas y el diseño básico de engranes. El manual abarca las siguientes áreas de estudio: Movilidad

Definición Terminología Mecanismo de Cuatro Barras Grados de Libertad. GDL. Leyes de Grashof

Velocidad

Centros Instantáneos. CI Teoría de Kennedy Polígono de Velocidades

Índice de Méritos

Razón de Velocidades Angulares Teorema de Freudenstein Ventaja Mecánica Ángulo de transmisión

Aceleración

Polígono de Aceleración Diferencia de Aceleración Aceleración de Coriolis Polígono de Aceleraciones

Engranes

Tipos de Engranes Ley Fundamental del Engranaje Proporcionalidad Interferencia

Trenes de engranes

Trenes de Engranes Simples Trenes de Engranes Compuestos Trenes de Engranes Planetarios

Levas

Clasificación Curvas de Desplazamiento Síntesis de Perfiles de Levas

ASIGNATURA: MECANISMOS

CÓDIGO: DA5M03

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Rev.: Enero 2.006

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MANUAL DE MECANISMOS GENERAL PÁGINA: 1-G – 2 de 5

ÍNDICE GENERAL MECANISMOS M.1

Definición de Mecanismos ................................................................................ 2-M – 4

M.1.1

Movimiento ......................................................................................................... 2-M – 5

M.2

Terminología ...................................................................................................... 2-M – 6

M.3

Mecanismo de Cuatro Barras ............................................................................

2-M – 8

M.4

Mecanismos Equivalentes .................................................................................

2-M – 9

M.4.1

Mecanismo con Polea y Correa ......................................................................... 2-M – 9

M.4.2

Mecanismo con Contacto de Leva ..................................................................... 2-M – 9

M.4.3

Mecanismo con Resortes ..................................................................................

M.5

Grados de Libertad. GDL. .................................................................................. 2-M – 10

M.6

Leyes de Grashof ............................................................................................... 2-M – 12

M.6.1

Mecanismos Frontera ........................................................................................ 2-M – 12

2-M – 9

REFERENCIAS ................................................................................................. 2-M – 13 VELOCIDAD V.1

Definición ...........................................................................................................

3-V – 4

V.1.1

Perfil de Velocidad. P.V. ....................................................................................

3-V – 5

V.2

Centro Instantáneo de Velocidad. CI. ................................................................

3-V – 6

V.2.1

Teoría de Kennedy ............................................................................................

3-V – 7

V.2.2

Diagrama de Círculos ........................................................................................

3-V – 8

V.3

Análisis de Velocidad ......................................................................................... 3-V – 10

V.3.1

Razón de Velocidades Angulares ...................................................................... 3-V – 10

V.3.2

Perfil de velocidades .......................................................................................... 3-V – 11

V.3.3

Proyección Ortogonal ........................................................................................ 3-V – 11

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MANUAL DE MECANISMOS GENERAL PÁGINA: 1-G – 3 de 5

V.4

Velocidad por CI ................................................................................................. 3-V – 12

V.5

Polígono de Velocidades .................................................................................... 3-V – 16

V.5.1

Velocidad Relativa / Diferencia de Velocidad ..................................................... 3-V – 16

V.5.2

Velocidad Relativa / Velocidad Deslizante .......................................................... 3-V – 17

V.5.3

Polígono de Velocidades .................................................................................... 3-V – 18 REFERENCIAS ................................................................................................. 3-V – 20 ÍNDICE DE MÉRITOS

I. 1

Razón de Velocidades Angulares (RT) ..............................................................

4-I – 3

I. 2

Teorema de Freudenstein ..................................................................................

4-I – 3

I. 3

Ventaja Mecánica (İ) ..........................................................................................

4-I – 3

I. 4

Ángulo de Transmisión .......................................................................................

4-I – 4

REFERENCIAS ................................................................................................

4-I – 5

ACELERACIÓN A.1

Polígono de Aceleración .....................................................................................

5-A – 5

A.1.1

Aceleración Relativa / Diferencia de Aceleración ...............................................

5-A – 5

A.1.2

Aceleración Relativa / Aceleración de Coriolis ...................................................

5-A – 6

A.2

Polígono de Aceleraciones. Ejercicio ................................................................. 5-A – 12 REFERENCIAS

5-A – 13

ENGRANES E.1

Ruedas de fricción ..............................................................................................

6-E – 5

E.2

Tipos de Engranes .............................................................................................

6-E – 6

E.3

Estandarización ..................................................................................................

6-E – 8

E.4

Ley Fundamental del engranaje .........................................................................

6-E – 8

E.5

Terminología y definiciones [AGMA] {ISO} .........................................................

6-E – 9

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MANUAL DE MECANISMOS GENERAL PÁGINA: 1-G – 4 de 5

E.6

Ley Fundamental del engrane ........................................................................... 6-E – 13

E.6.1

Paso Diametral / Módulos .................................................................................

6-E – 14

E.7

Ángulo de Presión .............................................................................................

6-E – 14

E.8

Proporcionalidad ................................................................................................ 6-E – 14

E.8.1

Proporcionalidad ................................................................................................ 6-E – 15

E.9

Interferencia ....................................................................................................... 6-E – 17

E.9.1

Aumentar la distancia entre centros ..................................................................

E.9.2

Aumentar el paso diametral ............................................................................... 6-E – 20

E.9.3

Aumentar el diámetro del piñón ......................................................................... 6-E – 21

E.9.4

Aumentar el ángulo de presión ..........................................................................

E.9.5

Engranes no convencionales de addendum largo y corto ................................. 6-E – 22 REFERENCIAS ...............................................................................................

6-E – 19

6-E –22

6-E – 23

TRENES DE ENGRANES T.1

Trenes de engranes ..........................................................................................

7-T – 4

T.2

Trenes de Engranes Simples ............................................................................

7-T – 5

T.3

Trenes de Engranes Compuestos .....................................................................

7-T – 6

T.4

Trenes de Engranes Invertidos / Revertidos .....................................................

7-T – 7

T.5

Trenes de Engranes Planetarios / Epicíclicos ...................................................

7-T – 8

T.5.1

Caja de velocidades con Planetarios ................................................................

7-T – 9

T.5.2

Diferencial de transmisión .................................................................................

7-T – 10

T.5.3

Reductor de velocidad axial ..............................................................................

7-T – 11

REFERENCIAS ...............................................................................................

6-T – 12

LEVAS L.1

Clasificación ......................................................................................................

ASIGNATURA: MECANISMOS

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8-L – 5

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MANUAL DE MECANISMOS GENERAL PÁGINA: 1-G – 5 de 5

L.1.1

Clasificación de la leva según la geometría .......................................................

8-L – 5

L.1.2

Clasificación del seguidor según el tipo de contacto ..........................................

8-L – 6

L.1.3

Clasificación del seguidor según el tipo de movimiento .....................................

8-L – 6

L.2

Diseño de levas ..................................................................................................

8-L – 7

L.3

Diagrama de desplazamiento .............................................................................

8-L – 8

L.4

Curvas de desplazamiento .................................................................................

8-L – 8

L.4.1

Movimiento de Velocidad Constante ..................................................................

8-L – 9

L.4.2

Movimiento de Aceleración Constante / Parabólico ........................................... 8-L – 10

L.4.3

Movimiento armónico simple .............................................................................. 8-L – 11

L.4.4

Movimiento cicloidal ............................................................................................ 8-L – 12

L.5

Síntesis Gráfica de Perfiles de Levas ................................................................. 8-L – 13

L.5.1

Síntesis Gráfica de Perfiles de Levas de disco .................................................. 8-L – 14

L.5.2

Síntesis Gráfica de Perfiles de Levas de disco con seguidor radial ................... 8-L – 15

L.5.3

Síntesis Gráfica de Perfiles de Levas de disco con seguidor excéntrico de rodill 8-L – 20

L.5.4

Síntesis Gráfica de Perfiles de Levas de disco con seguidor pivotado de rodillo 8-L – 26 REFERENCIAS .................................................................................................. 8-L – 31 BIBLIOGRAFÍA

9-B – 1

EJERCICIOS M.E

MOVILIDAD .............................................................................................. 10-M.E – 1...13

V.E

VELOCIDAD ............................................................................................. 11-M.V – 1...16

A.E

ACELERACIÓN ........................................................................................ 12-M.A – 1...10

E.E

ENGRANES (Ley Fundamental) .............................................................. 13-M.E – 1...18

T.E

TRENES DE ENGRANES ........................................................................ 14-M.T – 1...14

L.E

LEVAS ...................................................................................................... 15-M.L – 1...19

ASIGNATURA: MECANISMOS

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MOVILIDAD

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MANUAL DE MECANISMOS MOVILIDAD PÁGINA: 2-M– 1 de 13

INTRODUCCIÓN La movilidad es la característica principal del estudio cinemático de los mecanismos. El enfoque gráfico de este manual limita el estudio cinemático a los movimientos planos o bidimensionales. Debido al enfoque cinemático, la hipótesis de la rigidez permite darle poca importancia a las formas reales de los elementos o barras; y por ende, no son considerados los efectos de las fuerzas sobre los cuerpos. Los términos y definiciones presentados en este capítulo servirán como bases para el estudio y comprensión de los diferentes aspectos con contempla el manual. Así mismo, el glosario de términos presentado busca familiarizar al lector con el vocablo utilizado en las bibliografías que servirán como apoyo para la profundización de los temas tratados. Se debe destacar que los mecanismos de cuatro barras representan la configuración más simple y más utilizada, por lo que su análisis es de gran valor en la cinemática.

ASIGNATURA: MECANISMOS

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MANUAL DE MECANISMOS MOVILIDAD PÁGINA: 2-M– 2 de 13

ÍNDICE MECANISMOS ............................................................................................................................................... 4 M.1 M.1.1

Definición de Mecanismos ..................................................................................................... 4 Movimiento .................................................................................................................... 5

M.2

Terminología ......................................................................................................................... 6

M.3

Mecanismo de Cuatro Barras ................................................................................................. 8

M.4

Mecanismos Equivalentes...................................................................................................... 9

M.4.1

Mecanismo con Polea y Correa ....................................................................................... 9

M.4.2

Mecanismo con Contacto de Leva ................................................................................... 9

M.4.3

Mecanismo con Resortes................................................................................................ 9

M.5

Grados de Libertad. GDL. .................................................................................................... 10

M.6

Leyes de Grashof ................................................................................................................ 12

M.6.1

Mecanismos Frontera ................................................................................................... 12

REFERENCIAS .......................................................................................................................................... 13

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MANUAL DE MECANISMOS MOVILIDAD PÁGINA: 2-M– 3 de 13

Lista de figuras Figura. M.1

Tipos de barras articuladas según el número de pares .............................................

6

Figura. M.2

Mecanismo de 4 barras .............................................................................................

8

Figura. M.3

Mecanismo manivela-biela-corredera ........................................................................

8

Figura. M.4

Mecanismo leva-seguidor ..........................................................................................

8

Figura. M.5

Mecanismo leva-seguidor ..........................................................................................

8

Figura. M.6

Mecanismo con polea y correa ..................................................................................

9

Figura. M.7

Mecanismo con contacto de leva ..............................................................................

9

Figura. M.8

Mecanismo con resortes ............................................................................................

9

Figura. M.9

Movimiento coplanal de una barra .............................................................................

10

Figura. M.10

Movimiento coplanal de dos barras ...........................................................................

11

Figura. M.11

Par cinemático de Revoluta .......................................................................................

11

Figura. M.12

Par cinemático de Traslación ....................................................................................

11

Figura. M.13

Par cinemático de contacto de Leva ..........................................................................

11

Figura. M.14

Mecanismo de Grashof ..............................................................................................

12

Figura. M.15

Mecanismo doble manivela .......................................................................................

12

Figura. M.16

Mecanismo manivela í balancín ...............................................................................

12

Figura. M.17

Mecanismo doble balancín ........................................................................................

12

Figura. M.18

Mecanismos frontera .................................................................................................

12

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MANUAL DE MECANISMOS MOVILIDAD PÁGINA: 2-M– 4 de 13

MECANISMOS M.1

Definición de Mecanismos

Se entiende como Mecanismos a los dispositivos mecánicos que tienen como propósito transferir movimientos y/o fuerzas desde una fuente hasta una salida. Los mecanismos están compuestos de cuerpos rígidos; ensamblados de tal manera que sus movimientos sean predecibles. Las Máquinas están compuestas de un mecanismo o conjunto de mecanismos, teniendo como objetivo primario la transmisión fuerzas significativas y potencias apreciables. En el diseño de las máquinas se pueden diferenciar tres ramas principales: La Estática, que estudia las fuerzas y momentos, separado de los movimientos. La Cinemática, que trata el estudio de los movimientos relativos, separado de las fuerzas. La Cinética, que contempla la acción de las fuerzas sobre los cuerpos en movimientos. La combinación de la cinemática y la cinética se conoce como Dinámica. Por lo antes expuesto, se puede definir como Mecanismos al área del Diseño de Máquinas que estudia el comportamiento cinemático de los mecanismos; en especial de barras articuladas, levas, engranes y trenes de engranajes. Un mecanismo consta de miembros individuales que pueden estar unidos entre sí de diferentes maneras. En la mayoría de los casos son partes de máquinas rígidas, que bajo la acción de fuerzas no sufren deformaciones perjudiciales. Los elementos individuales son denominados Barras o Eslabones, los cuales son considerados generalmente como cuerpos indeformables y sin masa. Las barras están acopladas entre sí a partir de Juntas o Pares que permiten transmitir movimientos de forma definida. Por ejemplo, juntas articuladas a partir de pasadores.

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M.1.1

MANUAL DE MECANISMOS MOVILIDAD PÁGINA: 2-M– 5 de 13

Movimiento

Los movimientos se pueden definir a partir de los tipos de desplazamientos que desarrollan los mecanismos, los cuales se pueden clasificar como:

Movimiento plano Traslación rectilínea Cuando el cambio de la posición de cada punto genera líneas rectas que son paralelas entre sí. Rotación / Revoluta Cuando todos los puntos de un cuerpo rígido tienen movimientos giratorios continuos a distancias constantes de un eje fijo. Oscilación Cuando todos los puntos de un cuerpo rígido tienen movimientos de vaivén a distancias constantes de un eje fijo. Curvilíneo. Cuando un cuerpo rígido tiene movimiento complejo producto de la combinación de movimientos de rotación y traslación.

Movimiento helicoidal Cuando un cuerpo se mueve de manera que cada punto gira alrededor de un eje fijo y al mismo tiempo tiene una traslación paralela al eje.

Movimiento esférico Cuando un cuerpo se mueve en el espacio de manera que cada punto se mueve alrededor de un punto fijo.

Movimiento espacial Cuando un cuerpo se mueve alrededor de tres ejes no paralelos y se traslada en direcciones independientes.

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M.2

MANUAL DE MECANISMOS MOVILIDAD PÁGINA: 2-M– 6 de 13

Terminología

A continuación se reseñan algunos términos que permiten establecer el lenguaje técnico empleado en el estudio de los mecanismos. Pares / Juntas / Nodos Se denominan Pares a las configuraciones geométricas por medio de las cuales se unen permanentemente los miembros de un mecanismo; de manera que los movimientos relativos entre ellos sean consistentes (ejp.: uniones articuladas). Barras / Eslabones El término Barras se refiere a cuerpos rígidos que tienen por lo menos dos o más pares (ver figura. M.1) í elementos de apareamiento í por medio de los cuales se pueden conectar a otros cuerpos; con la finalidad de transmitir movimientos o fuerzas. Binarias:

Cuando tienen dos pares cinemáticos

Ternarias:

Cuando tienen tres pares cinemáticos

Cuaternarias: Cuando tienen cuatro pares cinemáticos

Polinarias:

Cuando tienen más de cuatro pares cinemáticos Figura. M.1. Tipos de barras articuladas según el número de pares

A las barras también se le asignan denominaciones o nombres de acuerdo a sus características físicas y tipos de movimientos: Referencia / Tierra Barra respecto a la cual se observan los movimientos del mecanismo. Barra en la cual la velocidad absoluta es “cero”. También se puede denominar como Marco de referencia o barra fija. Manivela Una barra que efectúa revoluciones completas (revoluta completa) y está conectada al marco de referencia. Balancín Una barra que tiene rotación oscilatoria (vaivén) y esta conectada al marco de referencia. Acoplador / Biela Una barra que tiene movimiento complejo (rotación-traslación) y no está conectado al marco de referencia. ASIGNATURA: MECANISMOS

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MOVILIDAD PÁGINA: 2-M– 7 de 13

Corredera / Collarín Barra que desliza a través de una superficie determinada generando un movimiento consistente y un contacto permanente entre ambos cuerpos. Portador Barra que define el movimiento de una corredera que se desliza a través de ella generando un movimiento consistentes y un contacto permanente entre ambos cuerpos. Leva Dispositivo adecuado para trasformar un movimiento en otro. Las levas suelen ser curvas y giratorias; y trabaja en conjunto con un seguidor. La leva transforma un movimiento, usualmente giratorio en otro de translación o de oscilación. Seguidor Elemento mecánico que trabaja en conjunto con la leva. Tiene como objeto transformar el movimiento de la leva í generalmente de rotación í en uno de traslación o rotación (oscilación). Rueda de fricción Barra que rota sobre otra superficie sin presentar deslizamiento o movimientos relativos en su punto de contacto. Cadena cinemática Un ensamblaje de barras y pares, interconectados de modo que proporcionen un movimiento de salida controlado en respuesta a un movimiento de entrada. Mecanismo Una cadena cinemática en la cual se ha fijado o sujetado una barra al marco de referencia (barra fija o tierra), el cual puede estar en movimiento. Factor de Tamaño. Ks Factor que permite relacionar las dimensiones reales del mecanismo con dimensiones utilizadas para su representación en el papel. El KS al no ser una escala formal o normalizada no tiene que ser necesariamente adimensional.

K

S

Dis tan cia

Re al

Dis tan cia

Papel

Factor de Velocidad y de Aceleración. Kv - Ka Factor que permite relacionar las magnitudes de los vectores del mecanismo con dimensiones utilizadas para la representación en el papel. Ya que el KV y el KA no son factores de escalas (dimensionales), las unidades no tienen que ser necesariamente consistentes.

K

V

ASIGNATURA: MECANISMOS

Velocidad

Re al

Dis tan cia

Papel

;

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K

A

Aceleración

Re al

Dis tan cia

Papel

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M.3

MANUAL DE MECANISMOS MOVILIDAD PÁGINA: 2-M– 8 de 13

Mecanismo de Cuatro Barras

El estudio cinemático abarca muchas formas de mecanismos como las levas, engranes, bandas, cadenas, pistones, correderas o simplemente barras. Todas estas son de hecho variantes de una clase común de eslabonamientos que se componen de barras y juntas. El mecanismo de cuatro barras representa la configuración primaria de los mecanismos y de uso más difundido en las máquinas. Éste consta de cuatro barras y cuatro pares cinemáticos. Ver figura M.2. El mecanismo puede estar formado por manivelas, bielas y balancines. Una derivación del mecanismo de cuatro barras puede ser el uso de correderas, para lo cual se reemplaza el balancín por una superficie curva (ver figura M.3.a); y su respectivo acople, por una corredera. Así mismo se puede reemplazar la corredera curva – de radio finito – por Figura. M.2. Mecanismo de 4 barras una de radio infinito(ver figura M.3.b);. Este último es una representación simplificada de mecanismo manivela–biela–corredera.

Figura. M.3. Mecanismo manivela-biela-corredera

De la corredera mostrada en la figura M.3.a pueden derivarse otros tipos de mecanismos de uso común. La leva está representada por un mecanismo donde tanto la barra de la superficie curva como el seguidor pueden rotar respeto a la referencia. Ver figura M.4.

Figura. M.4. Mecanismo leva-seguidor

El comportamiento de la leva se puede representar también a partir de un portador – ver figura M.5 - el cual trabaja en conjunto con una corredera que puede deslizarse siguiendo la superficie del portador.

Figura. M.5. Mecanismo leva-seguidor

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M.4

MANUAL DE MECANISMOS MOVILIDAD PÁGINA: 2-M– 9 de 13

Mecanismos Equivalentes

Los mecanismos equivalentes son modelos que permiten evaluar la movilidad de mecanismos complejos, reemplazando la forma de éstos sin afectar su comportamiento en un instante dado.

M.4.1

Mecanismo Con polea y correa El mecanismo equivalente está formado por barras binarias que sustituyen las secciones tensas de la correa y una barra ternaria que reemplaza a la polea (un “par” corresponde al centro de rotación y los otros dos a pos puntos de tangencia de la correa). Ver figura M.6

Figura. M.6.

M.4.2

Mecanismo con Contacto de Leva En un contacto de leva se reemplazan dos barras (levas) por tres barras binarias. La dirección de la barra de acople que sustituye al contacto corresponde a la normal común del punto de contacto.

Figura. M.7.

M.4.3

Mecanismo con Resortes En este tipo de mecanismo se reemplazan los resortes por pares de barras binarias.

Figura. M.8.

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M.5

MANUAL DE MECANISMOS MOVILIDAD PÁGINA: 2-M– 10 de 13

Grados de Libertad. GDL.

Se entiende por grados de libertad al número de entradas independientes requeridas para definir la posición o movimiento de una barra o mecanismo. Como se puede observar en la figura M.9, para definir la posición de una barra aislada se requieren tres parámetros independientes o GDL. Si se desea cambiar la posición de la barra, es necesario modificar tres parámetros independientes. Las coordenadas evaluadas en la barra mostrada son el ángulo de inclinación ș y las coordenadas XA y YA.

. Figura. M.9. Movimiento coplanal de una barra.

Para determinar los GDL de un mecanismo se debe tomar en cuenta el número total de barras y juntas, así como el tipo de movimiento que hay entre ellos. Si se considera que están presentes “n” números de barras, y que cada barra tiene 3 GDL. El total de GDL es igual a: GDL = 3×n

(ec.m. 1.a)

Debido a que los mecanismos se definen como cadenas cinemáticas en la que existe por lo menos una barra inmóvil que representa al marco de referencia – y ésta no tiene movilidad (GDL=0) –, a la cantidad total de grados de libertad del conjunto de barras se le debe restar los tres grados de la referencia. GDL = 3×n – 3 De lo anterior se tiene: GDL = 3×(n-1)

ASIGNATURA: MECANISMOS

(ec.m. 1.b)

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MANUAL DE MECANISMOS MOVILIDAD PÁGINA: 2-M– 11 de 13

Como se observa en la figura M.10, cuando se unen permanentemente dos barras con una junta o par cinemático de un grado de libertad, sólo se requieren cuatro parámetros independientes para definir su posición en el espacio (ejp.: XA, YA, ș1 Y ș2).

Figura. M.10.Movimiento coplanal de dos barras

Las juntas que representan los pares cinemáticos con un grado de libertad se denominan pares de “Clase I” o “Tipo I” (P1). Entre los pares cinemáticos en los que un comportamiento está definido por un sólo tipo de movimiento se encuentran. Par cinemático de Revoluta: Cuando una barra sólo puede rotar respecto a la otra se dice que el “par” que representa a la unión es de “Clase I” o “Tipo I” (P1).

Figura. M.11.

Par cinemático de Deslizamiento: Cuando una barra se traslada o desliza respecto a la otra con una dirección definida se dice que el “par” que representa a la unión es de “Clase I” o “Tipo I”.

Figura. M.12.

Par cinemático de contacto de Leva: Cuando una barra puede tener dos movimientos independientes respeto de la otra barra se dice que el “par” que representa a la unión es de “Clase II” o “Tipo II” (P2). En este caso el movimiento entre las dos barras puede ser de rotación, traslación o con los dos movimientos combinados.

Figura. M.13.

Considerando lo antes expuesto, los grados de libertad (GDL) de un mecanismo se pueden determinar a partir de la siguiente ecuación: GDL = 3×(n–1) – 2×P1 –P2 : Ecuación de GRÜBLER

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(ec.m. 2)

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M.6

MANUAL DE MECANISMOS MOVILIDAD PÁGINA: 2-M– 12 de 13

Leyes de Grashof

Grashof desarrolló unos enunciados que permiten evaluar la movilidad de los mecanismos articulados de cuatro barras. 1ra Ley: La barra más corta (C) de un mecanismo de cuatro barras da vueltas completas respecto de todas las demás, si se verifica que la suma de la barra más larga (L) y de la más corta (C) es menor que la suma de las otras dos (B1 y B2). Ver figura M.14. Las barras que no están acopladas a la más corta sólo podrán oscilar unas respecto a las otras.

(ec.m. 3)

Figura. M.14.

2

da

Ley: Si un mecanismo de cuatro barras cumple con la 1ra Ley de Grashof, se tiene que:

Dejando fija la barra más corta, el mecanismo es de doble manivela

Dejando fija una barra contigua a la más corta, el mecanismo es de manivela í balancín

Figura. M.15.

Figura. M.16.

M.6.1

Dejando fija la barra opuesta a la más corta, el mecanismo es de doble balancín

Figura. M.17.

Mecanismos Frontera

En los mecanismos donde se cumple la igualdad (L+C = B1+B2) todas las combinaciones serán doblemanivela o manivela-balancín. En estos mecanismos se pueden presentar puntos de muertos cuando las barras quedan en posición colineal; lo cual puede provocar una inversión en el sentido de giro de la barra movida si no se cuenta de un medio para evitarlo. Un caso particular de los mecanismos frontera es donde dos barras dan vueltas completas respecto a las demás. En éstos dos barras deben ser las más cortas y, por tanto, deben ser iguales. Entre las configuraciones se destacan tres tipos: Cometa, Paralelogramo y Antiparalelogramo.

Figura. M.18.

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MANUAL DE MECANISMOS MOVILIDAD PÁGINA: 2-M– 13 de 13

REFERENCIAS Se debe destacar que aún cuando todos los libros de mecanismos son idóneos para abordar y profundizar el contenido de este capítulo, a continuación se reseñan algunas recomendaciones. Para complementar lo referente a la movilidad y a los mecanismos de cuatro barras se recomienda consultar el Shigley (4) y el Norton (3). Si el interés es profundizar lo referente a la fase de diseño de mecanismos se recomienda consultar el Erdman (2). Por otro lado, para el análisis matemático de los mecanismos el Mabie (5) es una buena opción. Para la revisión y complementación de términos, definiciones y conceptos los Apuntes de Torrealba (1) presentan en sus primeros cuatro capítulos tópicos que abarcan temas asociados con cantidades vectoriales, cinemática de los mecanismos, conceptos cinemáticos básicos, curvas de movimientos y movilidad.

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VELOCIDAD

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MANUAL DE MECANISMOS VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 1 de 20

INTRODUCCIÓN El estudio de las velocidades en los mecanismos articulados coplanares se puede abordar ya sea por métodos analíticos o por métodos gráficos. En este capítulo se desarrolla dos herramientas gráficas para determinar las velocidades: Los Centros Instantáneos (CI) y los Polígonos de Velocidades. Los Centros Instantáneos (CI) son una herramienta práctica y relativamente fácil de aplicar en mecanismos articulados. El teorema de Kennedy se utilizará como instrumento fundamental para ubicar todos los CI presentes en los mecanismos. Para la aplicación práctica se reseñaran diferentes métodos vectoriales para el análisis de velocidades, entre los que se destacan el perfil de velocidades y la proyección ortogonal. Por otro lado, los CI son la base para determinar alguno Índices de Méritos (eficiencia) de los mecanismos. La principal limitante de los CI es que no pueden utilizarse para mecanismos con dos grados de libertad, ni para determinar las aceleraciones que experimentan los mecanismos. A partir de los Polígonos de Velocidades se pueden avaluar tanto las velocidades absolutas como las relativas presentes en los pares cinemáticos de los mecanismos. Esta condición es fundamental para la evaluación gráfica de las aceleraciones. La secuencia de pasos empleados para resolver los polígonos de Velocidades suele indicar el camino (secuencia de pasos) a seguir para determinar aceleraciones a partir de polígonos.

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MANUAL DE MECANISMOS VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 2 de 20

ÍNDICE VELOCIDAD ................................................................................................................................................... 4 V.1

Definición ........................................................................................................................................... 4 V.1.1

V.2

V.3

Perfil de Velocidad. P.V. ....................................................................................................... 5

Centro Instantáneo. CI ...................................................................................................................... 6 V.2.1

Teoría de Kennedy................................................................................................................ 7

V.2.2

Diagrama de Círculos ........................................................................................................... 8

Análisis de Velocidad....................................................................................................................... 10 V.3.1

Razón de Velocidades Angulares....................................................................................... 10

V.3.2

Perfil de velocidades ........................................................................................................... 11

V.3.3

Proyección Ortogonal.......................................................................................................... 11

V.4

Velocidad por CI .............................................................................................................................. 12

V.5

Polígono de Velocidades ................................................................................................................. 16 V.5.1

Velocidad Relativa / Diferencia de Velocidad ..................................................................... 16

V.5.2

Velocidad Relativa / Velocidad Deslizante ......................................................................... 17

V.5.3

Polígono de Velocidades .................................................................................................... 18

REFERENCIAS ......................................................... ............................................................................... 20

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MANUAL DE MECANISMOS VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 3 de 20

Lista de figuras Figura. V.1

Velocidad angular y lineal ..........................................................................................

4

Figura. V.2

Velocidad Relativa ......................................................................................................

4

Figura. V.3

Perfil de Velocidades ..................................................................................................

5

Figura. V.4

Centro Instantáneo por observación ..........................................................................

6

Figura. V.5

Centro Instantáneo por inspección de vectores de velocidad ....................................

6

Figura. V.6

Centro Instantáneo. Línea de Kennedy ......................................................................

7

Figura. V.7

Centro Instantáneo por observación. Diagrama de Círculos .....................................

8

Figura. V.8

Centro Instantáneo por líneas de Kennedy. Diagrama de Círculos ...........................

9

Figura. V.9

Centro Instantáneo. Diagrama de Círculos ................................................................

9

Figura. V.10

CI. Razón de Velocidades angulares .........................................................................

10

Figura. V.11

CI. Perfil de Velocidades ............................................................................................

11

Figura. V.12

CI. Proyección Ortogonal ..........................................................................................

11

Figura. V.13

Perfil de Velocidades utilizando los CI 12, 16 y 26 ....................................................

12

Figura. V.14

Perfil de Velocidades utilizando los CI 12, 15 y 25 ....................................................

13

Figura. V.15

Proyección Ortogonal utilizando los CI 12, 16 y 26 ....................................................

14

Figura. V.16

Proyección Ortogonal utilizando los CI 12, 15 y 25 ....................................................

15

Figura. V.17

Velocidad Relativa / Diferencia de Velocidad .............................................................

16

Figura. V.18

Velocidad deslizante. Portador recto ..........................................................................

17

Figura. V.19

Velocidad deslizante. Portador curvo .........................................................................

17

Figura. V.20

Mecanismo de 6 barras................................................................................................

18

Figura. V.21

Polígono de velocidades en el punto A........................................................................

18

Figura. V.22

Perfil de velocidad de la barra 4 y polígono de velocidades en la barra 5...................

19

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MANUAL DE MECANISMOS VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 4 de 20

VELOCIDAD Entre los objetivos principales de los mecanismos se destacan la transmisión de movimientos y fuerzas. El estudio de velocidades nos sirve como base para determinar la energía cinética almacenada en un cuerpo en movimiento (MV2/2) y como primer paso para determinar fuerzas dinámicas presentes a partir de las aceleraciones.

V.1

Definición

La velocidad se define como la razón de cambio de la posición respecto del tiempo de un punto o partícula que pertenece a un cuerpo. Cuando una barra rota al rededor de un punto fijo, la razón del cambio del ángulo de denomina velocidad angular Ȧ; cuando el movimiento es de traslación, la razón del cambio de posición se denomina velocidad lineal V. Ver figura V.1.

Figura. V.1. Velocidad angular y lineal

Las velocidades, al igual que las aceleraciones y las fuerzas, se comportan como vectores y para definirlas hay que especificar su módulo, dirección y sentido. Este aspecto es la base para el estudio cinemático de los mecanismos y la herramienta utilizada para su análisis gráfico. Cuando la velocidad está referida a la tierra (sistema de referencia) se denomina velocidad absoluta; en cambio, cuando la velocidad está referida a un observador que pudiera estar en movimiento se denomina velocidad relativa. En la figura V.2 se puede observar las velocidades absolutas de los puntos “A” y “B” y la velocidad relativa existente entre los dos puntos.

VA = Velocidad absoluta del punto A observado desde la referencia VB = Velocidad absoluta del punto B observado desde la referencia VB/A= Velocidad relativa del punto B observado desde el punto A Figura. Relativa

V.2.

Velocidad

Por definición se tiene que:

VB

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V A  V B/A

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V.1.1

VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 5 de 20

Perfil de Velocidad. P.V.

Para una barra que se encuentra rotando con una velocidad angular Ȧ, la velocidad V en cualquier punto del cuerpo se puede determinar a partir de la siguiente ecuación.

VP

Zu R

(ec.v. 2)

Como la velocidad angular Ȧ es igual en toda la barra, el módulo de la velocidad es directamente proporcional al radio de rotación de la barra R (distancia medida desde el punto P hasta el centro de rotación). La Dirección del vector velocidad siempre es perpendicular al radio de rotación (tangente a la trayectoria) y su sentido corresponde al de la velocidad angular (Ver figura V.3). Las Magnitudes de los vectores de velocidad están representadas en la recta denominada Perfil de Velocidades (P.V.)

De lo anterior se tiene que:

Z

V1 R1

Vi Ÿ Ri

(ec.v. 3.a)

Vi

V1 u

Ri R1

(ec.v. 3.b)

Z

Figura. V.2. Perfil de Velocidades

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V.2

MANUAL DE MECANISMOS VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 6 de 20

Centro Instantáneo. CI.

Los Centros Instantáneos son puntos coincidentes de dos barras en movimiento en un instante dado, donde las partículas de ambas barras tendrán velocidades idénticas respecto a una referencia. Los CI son así mismo considerados puntos coincidentes de dos barras en torno a los cuales una de éstas tiene una rotación aparente en relación con la otra. Por sus características los CI son unos de los conceptos más interesentes de la cinemática, ya que permiten evaluar los movimientos instantáneos de dos cuerpos rígidos que forman parte de un mecanismo, aún cuando estos no están directamente relacionados. Como puede observarse en la figura V.4, resulta fácil reconocer que los puntos Q y R son CI, ya que en éstos las barras 2 y 4 rotan en torno a ellos, respectivamente. De manera similar se puede observar que los puntos A y B (que pertenecen a la barra 3) son CI en los cuales dos barras están unidas permanentemente y que la velocidad respecto a “tierra” de las dos barras son iguales.

Figura V.4. Centro Instantáneo por observación

Como los CI representan puntos coincidentes de dos barras, por convención se hace referencia a ellos indicando las barras que están asociadas. De acuerdo con la definición debe existir un CI 13 en el cual la barra 3 debe rotar respecto a la referencia o barra 1. En este CI, los vectores de velocidad de los puntos A y B deben ser perpendiculares a su radio de rotación. Como se ve en la figura V.5, el CI 13 se puede ubicar extendiendo dos líneas perpendiculares a los vectores hasta que se intercepten.

Figura V.5. Centro Instantáneo por inspección de vectores de velocidad

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V.2.1

MANUAL DE MECANISMOS VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 7 de 20

Teoría de Kennedy

El teorema de Kennedy establece que para tres barras independientes en movimiento plano general, los tres centros instantáneos que relacionan a las tres barras (ya sea que estén o no conectadas) se encuentran en una recta común. De acuerdo con el teorema, para las barras 1, 2 y 4 de la figura V.6, los CI 12, 14 y 24 se deben encontrar en una línea recta común. Como el CI 24 no presenta una ubicación definida, se debe establecer otra línea que cumpla con el teorema y que contenga el CI 24. En este caso la línea corresponde a los CI 23, 34 y 24.

Figura V.6. Centro Instantáneo de Velocidad. Línea de Kennedy

El CI 24 para el mecanismo mostrado en la figura representa un punto en el cual la velocidad absoluta de la barra 2 es igual a la velocidad absoluta de la barra 4. Está velocidad está representada por el vector V 24 . Para determinar el número de CI que están presentes en un mecanismo se puede emplear la siguiente ecuación, la cual sólo depende de la cantidad de barras que forman al mecanismo.

CIV

n u (n  1) 2

(ec.v. 4)

Como se muestra a continuación, el número de centros aumenta rápidamente con el número de barras:

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n Barras

CI

4

6

5

10

6

15

7

21

8

28

9

36

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V.2.2

MANUAL DE MECANISMOS VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 8 de 20

Diagrama de Círculos

Para facilitar y administrar la ubicación de los CI en mecanismos se puede emplear como herramienta el Diagrama de Círculos. Los números de las barras se representan con divisiones equidistantes ubicadas en la periferia del círculo y las cuerdas que unen los números representan a cada CI. Ver figura V.7. Cuando están presentes pares cinemáticos formados por correderas, el CI del par se encuentra en un punto “normal” a la superficie de contacto donde una barra rota respecto a la otra. Para correderas rectas el radio de curvatura del portador es infinito y su CI se encuentra perpendicular a la superficie (en el infinito). Para representar este tipo de CI, se traza una línea segmentada en dirección del CI (16 y 34). En el siguiente mecanismo de la figura V.7 de seis barras se representan los CI que pueden ser identificados por observación y se registran los CI encontrados en un Diagrama de Círculos.

Figura V.7. Centro Instantáneo por observación. Diagrama de Círculos

Los CI 12, 14, 23, 45 y 56 se encuentran en conexiones unidas por pernos o pares de rotación. Por otro lado, los CI 16 y 34 se encuentran en el infinito ya que la barra 3 se encuentra en traslación respecto a la barra 4; y la barra 6, respecto a la barra 1. Debido a que se conocen las direcciones de los puntos B y C que pertenecen a la barra 5, se puede determinar la ubicación del CI 15. De esta forma, se pueden localizar ocho CI por observación. Basado en el teorema de Kennedy, se puede decir que en cada CI existen líneas que relacionan a las dos barras que lo forman con una tercera barra. En el Diagrama de Círculos la línea de Kennedy se representa con la unión consecutiva y cerrada de tres cuerdas o “lazos”. Como se puede observar en el mecanismo, los lazos que forman las cuerdas 16–56 y 14–45 con la cuerda 15, permite ubicar al CI 15.

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MANUAL DE MECANISMOS VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 9 de 20

Empleando el Diagrama de Círculos y el teorema de Kennedy se puede encontrar el CI 13 de la figura V.8. Primero se traza una línea que pase por los CI 12 y 23; representados en el Diagrama con las cuerdas 1– 2–3. Seguidamente, se traza una línea paralela a la dirección del CI 34 que pase por el CI 14; con el objeto de representar las cuerdas 1–4–3. Se debe destacar que los CI con radio infinito se pueden representar con líneas paralelas a estos en cualquier posición. De manera análoga se localiza el CI 24 empleando las cuerdas 2–1–4 y 2–3–4.

Figura V.8. Centro Instantáneo por líneas de Kennedy. Diagrama de Círculos

Repitiendo el procedimiento descrito se pueden ubicar los CI restantes hasta completar los quince (15) del mecanismo. A continuación se puede observar la ubicación de los CI del mecanismo estudiado.

Figura V.9. Centro Instantáneo. Diagrama de Círculos

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V.3

VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 10 de 20

Análisis de Velocidad

El análisis gráfico es una herramienta que permite comprobar los resultados obtenidos a partir de algún programa diseñado para el estudio cinemático de los mecanismos. Aún cuando fue desarrollado para la resolución de problemas cuando se carecía de calculadoras programables, su estudio sigue siendo de gran importancia ya que permite comprender visualmente los principios fundamentales de la cinemática. Los problemas de velocidad se pueden evaluar principalmente a partir de dos métodos: Velocidad por Centros Instantáneos (CI) y a partir de Polígono de Velocidades. En los CI la evaluación se realiza a partir de proyecciones de las velocidades absolutas en cada barra. Las direcciones y sentidos de los vectores de velocidades absolutas están definidas por los centros de rotación de cada barra respecto al sistema de referencia o tierra; y su magnitud depende del radio de giro de cada punto perteneciente a una barra. Si se tiene un punto A de una barra n que rota respecto a la referencia (barra 1), la velocidad de un punto cualquiera B, perteneciente a la misma barra, se puede determinar a partir de los siguientes métodos:

V.3.1

Razón de Velocidades Angulares Este método se basa en la relación, por definición, existente entre la velocidad de un punto, el radio de rotación y la velocidad angular de la barra. Ver figura V.10.

VP

Zn u R P

(ec.v. 5)

Z

VA  A  1n

VB (ec.v. 6) B  1n

VB

VA u

B  1n A  1n

(ec.v. 7)

Figura V.10. CI. Razón de Velocidades angulares

Aún cuando esta herramienta no es del todo gráfica, es muy sencilla de aplicar y la base de los demás métodos gráficos.

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V.3.2

MANUAL DE MECANISMOS VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 11 de 20

Perfil de velocidades Se define como el lugar geométrico en donde se representan todas las magnitudes de los vectores de velocidad que pertenecen a una misma barra. En los perfiles de velocidades los vectores tienen la misma dirección y sentido. Ver figura V.11. Si consideramos que todos los puntos de una barra que se encuentren a la misma distancia del centro de rotación (radio de giro) tienen la misma magnitud y sentido; se puede determinar gráficamente la velocidad de un punto cualquiera B a partir de un punto conocido A.

Figura V.11. CI. Perfil de Velocidades

V.3.3

Proyección Ortogonal Este método consiste en utilizar la similitud de triángulos para determinar la velocidad de un punto cualquiera B a partir de un punto conocido A. Para ello se realiza una proyección ortogonal del vector de velocidad del punto A sobre su radio de rotación (Ver figura V.12). Posteriormente se traza en el extremo de la proyección una línea paralela a la unión de los dos puntos (A y B). Como los radio de rotación de los puntos son proporcionales a los segmentos de las velocidades proyectadas, la velocidad del punto B se determina devolviendo la proyección a la dirección del )& vector de velocidad requerido ( V B ).

Figura V.12. CI. Proyección Ortogonal

Los métodos antes descritos se pueden aplicar a cualquier par de barras de las cuales se conozca sus Centros Instantáneos y un punto común a ambas barras.

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V.4

MANUAL DE MECANISMOS VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 12 de 20

Velocidad por CI A continuación se presentan ejemplos donde se pueden observar y analizar las posibles secuencias a seguir para determinar la velocidad del punto B, que pertenece a las barras 5 y 6, a partir del punto A2 que pertenece a las barras 2 y 3. Los CI del las figuras 13, 14, 15 y 16 corresponden a los ubicados en la figura V.9. Para indicar la secuencia a seguir se muestra, para su distinción, una numeración encerrada en círculos. En este ejemplo se determina la velocidad del punto B utilizando el CI 26. Para determinar la velocidad del CI 26 se utiliza un perfil de velocidades de la barra 2 (P.V.2) que incluye los CI 12, 26 y A2’ (Pasos 1, 2, 3 y 4). En el paso final (5) se puede observar que el CI 26 pertenece a la barra 6 y que su velocidad es la igual – en módulo, dirección y sentido – a la del punto B, ya que la barra 6 se está trasladando respecto a la referencia.

Figura V.13. Perfil de Velocidades utilizando los CI 12, 16 y 26

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MANUAL DE MECANISMOS VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 13 de 20

En este ejemplo se determina la velocidad del punto B utilizando el CI 25. Para determinar la velocidad del CI 25 se utiliza un perfil de velocidades de la barra 2 (P.V.2) que incluye los CI 12, 25 y A2’ (Pasos 1, 2, 3, 4 y 5). A partir de la velocidad del CI 25 se procese a determinar la velocidad del punto B, desarrollando para ello un perfil de velocidades para la barra 5 (P.V.5) que incluye los CI 15, 25’ y B (Pasos 6, 7, 8 y 9). .

Figura V.14. Perfil de Velocidades utilizando los CI 12, 15 y 25

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MANUAL DE MECANISMOS VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 14 de 20

En este ejemplo se determina la velocidad del punto B utilizando método de proyección ortogonal y el CI 26. Para determinar la velocidad del CI 26 se utiliza el CI 12. (Pasos 1, 2, 3, 4, 5 y 6). En el paso final (6) se puede observar que el CI 26 pertenece a la barra 6 y que su velocidad es la misma – en módulo, dirección y sentido – del punto B, ya que la barra 6 se está trasladando respecto a la referencia.

Figura V.15. Proyección Ortogonal utilizando los CI 12, 16 y 26

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En este ejemplo se determina la velocidad del punto B utilizando el CI 25. La secuencia consiste en determinar la velocidad ortogonal del CI 25 utilizando el CI 12 (pasos 2, 3 y 4) y seguidamente utilizar este vector para determinar la proyección ortogonal del vector de velocidad del punto B utilizando el CI 15 (pasos 5, 6 y 7). Finalmente se determina la velocidad del punto B “devolviendo” la proyección del vector (pasos 8 y 9); para lo cual se debe prestar atención al sentido de giro de las barras 2 y 5.

Figura V.16. Proyección Ortogonal utilizando los CI 12, 15 y 25

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V.5

MANUAL DE MECANISMOS VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 16 de 20

Polígono de Velocidades

El método de Polígono de Velocidades es una herramienta que permite evaluar gráficamente las velocidades en un mecanismo, con el uso limitado de ecuaciones. Su aplicación requiere el conocimiento del comportamiento de las barras que componen al mecanismo y la comprensión de los movimientos relativos de las partículas en los mecanismos.

V.5.1

Velocidad Relativa / Diferencia de Velocidad

Hasta ahora se han evaluado el comportamiento de las barras visto por un observador desde la “tierra” o barra de referencia, por lo que las velocidades observadas son absolutas. La Diferencia de Velocidad se define como la velocidad se que observaría desde un punto que se encuentra en movimiento junto con la barra. Las barras son considerados cuerpos rígidos, por lo que la distancia que separa a las partículas (radio) es constante. En la figura V.17 La Velocidad Relativa (B respecto a A o B/A) se obtiene restando a la velocidad absoluta del punto observado (B) la velocidad absoluta del observador (A). Ya que la barra se considera rígida, todos los puntos observados desde la misma barra presentarían un movimiento de rotación y en consecuencia las velocidades relativas son perpendiculares al radio medido desde el punto observado (B) hasta el observador (A).

V relativa

VB/ A

VB  VA

Ÿ

VB

VA  VB/ A

(ec.v. 8)

Figura V.17. Velocidad Relativa / Diferencia de Velocidad

Se debe destacar que la velocidad angular Z de un cuerpo es única, es decir, se aplica a cualquier punto de una barra. Esta propiedad establece la ecuación fundamental para el estudio de los mecanismos empleando los Polígonos de Velocidad.

VA

VA

Zu R AQ

VB

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VB

Zu R BQ

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VB / A

VB / A

Z u R AB

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(ec.v. 9)

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V.5.2

MANUAL DE MECANISMOS VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 17 de 20

Velocidad Relativa / Velocidad Deslizante

La Velocidad Deslizante se inscribe en el análisis empleado para la Velocidad Relativa o Diferencia de Velocidad; es decir, es la velocidad de un punto respecto a otro. La Velocidad Deslizante es la velocidad a la cual un observador ubicado en una barra o portador percibiría el movimiento de una corredera que se desliza en su superficie. En estos casos los dos puntos no pertenecen a la misma barra, pero ambos ocupan el mismo lugar (puntos coincidentes) y tienen movimiento consistente (par cinemático). Ver figura V.18. Si bien la dirección de la Velocidad Deslizante se reconoce con facilidad como paralela al portador, su definición se puede ampliar al referirse a una dirección tangente a la superficie del portador. Al referirse a desplazamiento tangencial extiende la definición de Velocidad Deslizante a superficies curvas. Ver Figura V.19.

V Deslizante

V

s

V CORREDER / PORTADOR

V CORREDERA  V PORTADOR Ÿ V A 3

V A2  V

s

(ec.v. 10)

Figura V.18. Velocidad deslizante. Portador recto.

Figura V.19. Velocidad deslizante. Portador curvo

El término de Velocidad Relativa es ampliamente utilizado para referirse a la velocidad de un punto respecto a otro, indistintamente si se trata de una misma barra o dos puntos coincidentes de una junta de deslizamiento. Sin embargo, Velocidad Deslizante se suele reservar a la velocidad relativa de una corredera (radio variable) respecto al portador (radio fijo).

ASIGNATURA: MECANISMOS

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Prof.: Carlos Morales

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V.5.3

MANUAL DE MECANISMOS VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 18 de 20

Polígono de Velocidades

A continuación se presenta un ejemplo para mostrar la aplicación de los polígonos de velocidades en la resolución de un problema. Para ello se describe una secuencia (numeración encerrada en círculos de la figura V.21) para determinar la velocidad del punto B del mecanismo indicado en la figura, a partir de la velocidad conocida del punto A2.

Figura V.20 Mecanismo de 6 barras

a) En primer lugar se debe definir un polo para desarrollar los polígonos de velocidades. Una de las características principales de los polos de velocidad es que todos los vectores de las velocidades absolutas salen polo y los vectores de velocidad relativa salen y llegan a los extremos de las velocidades absolutas. b) Una vez ubicado el polo de velocidad (paso 1 de la figura V.21.a) se procede a dibujar el vector conocido, tomando en cuenta el valor del Kv del mecanismo seleccionado (paso 2 de la figura V.21.a). c) Para facilitar la resolución de problemas de velocidad se puede representar la suma vectorial de la velocidad relativa como dos sistemas de ecuaciones. Una ecuación representa las magnitudes o módulos de los vectores (M); y la otra ecuación, las direcciones (D). Paso 2 de la figura V.21.a.

VA4

=

VA2

+

VA4 / A2

?

=

M

+

?

a)

D

=

D

+

D

Figura V.21. Polígono de velocidades en el punto A

b)

d) El desarrollo de esta ecuación vectorial permite reconocer con facilidad cual información es desconocida. Si en el sistema sólo se tiene dos incógnitas, es posible resolver simultáneamente las ecuaciones a partir del polígono de velocidades y obtener las dos incógnitas. e) En el polígono de velocidades el sentido de las velocidades relativas lo indican las ecuaciones vectoriales planteadas (pasos 4 y 5 de la figura V.21.b). ASIGNATURA: MECANISMOS

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VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 19 de 20

f)

Cuando se requiere determinar la velocidad de un punto en una barra en la que se conoce su centro instantáneo respecto a la referencia, se puede emplear el perfil de velocidades o la razón de velocidades angulares. Pasos 6, 7 y 8 de la figura V.22.a. )& g) El vector obtenido del perfil de velocidades ( V C ) se representa en el polígono de velocidad. Ver figura V.22.b. h) Se obtiene la velocidad de B requerida, empleando las ecuaciones de velocidad relativa; pasos 9 y 10 de la figura V.22.c (similar a los pasos c, d y e).

a)

VB

=

VC

+

VB / C

?

=

M

+

?

D

=

D

+

D

c)

b)

Figura V.22 Perfil de velocidad de la barra 4 y polígono de velocidades en la barra 5

NOTAS: I. Se debe establecer la proporción entre la dimensión real y la distancia de papel (Ks).

Velocidad

Re al

Dis tan cia

Papel

Dis tan cia

Re al

Dis tan cia

Papel

Kv

II. Se debe establecer la relación entre el módulo de la velocidad y la distancia de papel (Kv). III. Cada polo tiene asociado un valor de Kv. IV. El desarrollo de los polígonos se basa en operaciones vectoriales.

ks

V. Las velocidades absolutas siempre parten de los polos. VI. Las velocidades relativas salen y llegan a los extremos de las velocidades absolutas. VII. La razón de velocidades angulares o perfil de velocidades se puede utilizar cuando el vector conocido y el requerido pertenecen a una barra y se conoce el centro de rotación al cual están referidos los vectores. VIII. La ecuación de velocidad (V=Zur) relaciona magnitudes reales, por lo que deben incorporarse los valores de Ks y Kv al trabajar con las representaciones de los mecanismos y los polígonos.

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Z>rad s@ Z>rpm@

V Re al

V

Papel

2Srad 1min 1rev 60s

Z u R Re al u Kv

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Z u R Papel u Ks

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MANUAL DE MECANISMOS VELOCIDAD PÁGINA: 3-V – 20 de 20

REFERENCIAS La revisión analítica de la derivación del vector de posición para obtener el vector de velocidad y la demostración de la ecuación de la velocidad relativa se puede realizar en la guía de Ojeda (6). Los centros Instantáneos (CI) y los perfiles de velocidades se pueden estudiar utilizando cualquiera de las bibliografías. El métodos de proyección ortogonal se puede encontrar en los apuntes de Torrealba (1) y en la guía de Ojeda (6). Los polígonos de velocidades son desarrollados por todas la bibliografías reseñadas en este trabajo, sin embargo en el Erdman (2) y el Mabie (5) en el desarrollo del tema se ajusta más al enfoque adoptado por el manual (suma vectorial como sistema de ecuaciones). El análisis de la velocidad deslizante se puede profundizar en el Norton (3); sin embargo, en éste no se restringe la definición a la relación corredera respecto al portador utilizada en el manual. El ejemplo utilizado para desarrollar los métodos de velocidad lo podemos encontrar en el Mabie (5) para aplicar los centros Instantáneos do Velocidad; y el en Erdman (2), para la aplicación de los polígonos de velocidades.

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ÍNDICES DE MÉRITOS

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MANUAL DE MECANISMOS ÍNDICE DE MÉRITOS

PÁGINA: 4-I – 1 de 5

INTRODUCCIÓN Para evaluar la eficiencia de un mecanismo dado es necesario obtener un parámetro que permita relacionar la entrada y salida del mecanismo. Los Índices de Méritos son parámetros que se pueden utilizar como referencia para valorar la efectividad de un mecanismo. Su idoneidad depende de los criterios de diseño prevalezcan en el proyecto. Los centros Instantáneos son la herramienta principal para la evaluación de los mecanismos. En este capítulo se describen brevemente tres índices de méritos: la relación de velocidades angulares, la ventaja mecánica y el teorema de Freudenstein.

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MANUAL DE MECANISMOS ÍNDICE DE MÉRITOS

PÁGINA: 4-I – 2 de 5

ÍNDICE ÍNDICE DE MÉRITOS .................................................................................................................................... 3 I. 1

Razón de Velocidades Angulares (RT)............................................................................................ 3

I. 2

Teorema de Freudenstein............................................................................................................... 3

I. 3

Ventaja Mecánica (İ)....................................................................................................................... 3

I. 4

Ángulo de Transmisión (J)............................................................................................................... 4

REFERENCIAS ........................................................................................................................................... 5

Lista de figuras Figura. I.1

Razón de velocidades angulares ....................................................................................... 3

Figura. I.2

Teorema de Freudenstein .................................................................................................. 3

Figura. I.3

Ángulo de Transmisión ...................................................................................................... 4

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MANUAL DE MECANISMOS ÍNDICE DE MÉRITOS

PÁGINA: 4-I – 3 de 5

ÍNDICE DE MÉRITOS I. 1 Razón de Velocidades Angulares (RT) La razón de velocidades angulares de dos cuerpos cualesquiera (2 y 4) en movimiento plano, en relación con un tercer cuerpo (1), es inversamente proporcional a los segmentos (14–24 y 12–24) en los que el centro instantáneo común (24) corta a la línea de los centros (12 y 14). Ver figura I.1.

RT

Ȧ2

Q  24

14  24

Ȧ4

Q  24

12  24

Figura. I.1. Razón de velocidades angulares

I. 2 Teorema de Freudenstein La razón de la velocidad angular en un mecanismo de cuatro barras alcanza un valor máximo cuando el eje de colineación es perpendicular al eslabón acoplador. El eje de colineación es la línea que une al CIR del acoplador (13) con el punto común de la barra de entrada y salida (CIR 24) . Ver figura I.2. I. 3 Ventaja Mecánica (İ) La ventaja mecánica es la relación que existe entre el momento de torsión de la barra de salida y el momento de torsión de la barra impulsora. T4 İ Figura. I.2. Teorema de Freudenstein T2 Si se considera que en un mecanismo las fuerzas de fricción en los acoples son despreciables, en comparación con el momento de torsión de entrada y salida, la potencia de entrada es igual a la de salida. Al representar la potencia como una relación entre el momento de torsión y la velocidad angular se tiene: Potenciaentrada

Potenciasalida

Ÿ

Pot 2

Pot 4

Ÿ

Z 2 u T2

Z 4 u T4

Combinando esta ecuación con la relación de velocidades se tiene: H

Z2 Z4

T4 T2

R 14 24 R 12 24

De está ecuación se obtiene que la ventaja mecánica se puede definir como la relación entre la fuerza en entrada y la de salida en un mecanismo.

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MANUAL DE MECANISMOS ÍNDICE DE MÉRITOS

PÁGINA: 4-I – 4 de 5

I. 4 Ángulo de Transmisión (J) El Ángulo de Transmisión se define como el ángulo medido entre el acoplador (biela) y el seguidor (barra de salida). Una regla de diseño común es que el ángulo de transmisión (ya sea J ó 180º–J) no debe ser menor de 45º ó 50º. . Ver figura I.3.b. Los valores extremos del ángulo de transmisión se alcanzan cuando la barra impulsora (entrada) está alineada con los ejes fijos del mecanismo. Ver figura I.3.a.

a)

b)

Figura. I.2. Ángulo de Transmisión

La ventaja mecánica puede evaluarse a partir de los ángulos que se forman entre las barras y el acoplador (E y J). T T

4 2

Z Z

2 4

R R

14  34

12  23

u sen(J ) u sen( E )

En la ecuación se observa que la relación de pares de torsión se incrementa en la medida que J tiende a 90º y E tiende a 0º. Se debe destacar que la relación “teóricamente” tiende a infinito cuando E es igual a 0º y 180º; y sucede dos veces por ciclo. Cuando el ángulo E tienda a 0º o 180º se dice que el mecanismo adopta una posición de volquete o punto muerto. Esta posición es ampliamente aprovechada en el diseño de mecanismos ya que la ventaja mecánica tiende a infinito. Considere ejemplos como: máquinas trituradoras de piedras o alicates de presión.

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MANUAL DE MECANISMOS ÍNDICE DE MÉRITOS

PÁGINA: 4-I – 5 de 5

REFERENCIAS Para profundizar más sobre los índices de méritos se recomienda el Erdman (2) como primera opción, ya que en éste se le da un enfoque más extenso y practico a la ventaja mecánica. Los apuntes de Torrealba (1), utilizan el concepto de ventaja mecánica para evaluar las ubicaciones favorables de los centros instantáneos en el diseño mecánico. Se debe destacar que sólo el Erdman (2) y Shigley (4) hacen referencia al teorema de Freudenstein, en adición a la relación de velocidades angulares y la ventaja. Por otro lado, el Mabie (5) únicamente hace mención de la relación de velocidades angulares, sin hacer referencia de éste como un parámetro para evaluar la efectividad de un mecanismo.

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ACELERACIÓN

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MANUAL DE MECANISMOS ACELERACIÓN PÁGINA: 5-A – 1 de 16

INTRODUCCIÓN

El estudio de las aceleraciones en los mecanismos articulados coplanares se puede abordar ya sea por métodos analíticos o por métodos gráficos. Este capítulo se determinará las aceleraciones para cualquier punto de un mecanismo haciendo uso del método gráfico de los Polígonos de Aceleración. Para su comprensión y desarrollo es necesario el conocimiento y dominio de los polígonos de velocidades. La complejidad de este tema se debe principalmente a la incorporación de nuevos conceptos, como la aceleración de Coriolis,

y la necesidad de trabajar con sistemas de ecuación

vectoriales más complejas que las utilizadas en los polígonos de velocidades. Este último aspecto se deriva del requerimiento de desglosar los vectores de aceleración en dos componentes para cada punto (normal y tangencial). A diferencia del análisis gráfico de velocidad, los centros instantáneos de aceleración no serán tratados en este manual por su poca incidencia en los estudios cinemáticos de los mecanismos.

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MANUAL DE MECANISMOS ACELERACIÓN PÁGINA: 5-A – 2 de 16

ÍNDICE ACELERACIÓN .............................................................................................................................................. 4 A.1

A.2

Polígono de Aceleración ................................................................................................................. 5 A.1.1

Aceleración Relativa / Diferencia de Aceleración ................................................................. 5

A.1.2

Aceleración Relativa / Aceleración de Coriolis ..................................................................... 6

Polígono de Aceleraciones. Ejercicio............................................................................................ 12

REFERENCIAS ......................................................................................................................................... 13

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MANUAL DE MECANISMOS ACELERACIÓN PÁGINA: 5-A – 3 de 16

Lista de figuras Figura. A.1

Aceleración normal y tangencial ................................................................................

4

Figura. A.2

Aceleración Relativa ...................................................................................................

5

Figura. A.3

Perfil de Aceleraciones ...............................................................................................

5

Figura. A.4

Aceleración de Coriolis ...............................................................................................

6

Figura. A.5

Dirección de la Aceleración de Coriolis. Corredera curva ...........................................

8

Figura. A.6

Polígono de aceleraciones. Corredera curva .............................................................

8

Figura. A.7

Dirección de la Aceleración de Coriolis. Corredera recta ............................................

10

Figura. A.8

Polígono de aceleraciones. Corredera recta ..............................................................

10

Figura. A.9

Mecanismo equivalente al portador curvo ..................................................................

11

Figura. A.10

Polígono de velocidades del mecanismos de 6 barras ...............................................

12

Figura. A.11

Polígono de aceleraciones en el punto A del mecanismos de 6 barras ......................

13

Figura. A.12

Perfil de aceleraciones en la barra 4 del mecanismos de 6 barras .............................

14

Figura. A.13

Polígono de aceleraciones de la barra 5 del mecanismos de 6 barras........................

14

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ACELERACIÓN PÁGINA: 5-A – 4 de 16

ACELERACIÓN En el estudio de los mecanismos la aceleración representa un parámetro básico para la evaluación de las fuerzas de inercia. Al igual que en la velocidad, la aceleración puede determinarse a partir de métodos analíticos y por métodos gráficos. Si bien los métodos gráficos tienen sus limitaciones, su estudio es de gran importancia para la comprensión cinemática de los mecanismos y sirve como herramienta para la verificación de resultados obtenidos a partir de ecuaciones. La aceleración se define como la razón de cambio de velocidad respecto del tiempo de un punto o partícula que pertenece a un cuerpo. La aceleración, como la velocidad, es una cantidad vectorial; y se define como la derivada de la velocidad respecto del tiempo. La aceleración angular se representa como D y la aceleración lineal como A, donde:

D

dZ dt

A

dV dt

(ec.a. 1)

A diferencia de la velocidad, la aceleración de una partícula que rota respecto a un punto tiene dos componentes; la aceleración normal o radial y la aceleración tangencial o transversal. Ver figura A.1.

n

A A

A

t

(ec.a. 2)

Figura. A.1. Aceleración normal y tangencial n

La aceleración normal A se presenta debido a la dirección cambiante del vector de velocidad cuando un punto rota. La dirección es siempre radial y su sentido va desde el punto que se encuentra en movimiento hacia el centro de rotación de referencia. La magnitud de la aceleración normal depende de la velocidad de la particula y del radio de rotación y viene dada por las siguientes ecuaciones: 2

A

n

Z uR 2

A

n

§V· ¨ ¸ uR ¨R¸ © ¹

V R

2

A

n

V

2

R

(ec.a. 3)

Un caso especial de la aceleración normal es cuando la barra se encuentra en traslación pura. Cuando un cuerpo se traslada el radio de rotación tiende a infinito y la aceleración normal es igual a cero (R=’ Ÿ An=0). t

La aceleración tangencial A se define como la razón del cambio de la aceleración angular. La dirección es tangencial a la trayectoria (90º de la An) y el sentido está dado por la aceleración angular. La magnitud de la aceleración tangencial depende de la aceleración angular y del radio de rotación y viene dada por la siguiente ecuación:

A

t

DuR

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(ec.a. 4)

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ACELERACIÓN PÁGINA: 5-A – 5 de 16

A.1 Polígono de Aceleración A diferencia de la velocidad, para la aceleración sólo se puede emplear el polígono de aceleraciones como método gráfico para resolver problemas. Para la aplicación del polígono de aceleraciones se requiere la comprensión del movimiento relativo entre dos partículas.

A.1.1 Aceleración Relativa / Diferencia de Aceleración Cuando la aceleración está referida a la tierra (sistema de referencia) se denomina aceleración absoluta. En cambio, cuando la aceleración esta referida a un observador que pudiera estar en movimiento se denomina aceleración relativa. La diferencia de aceleración está referida al movimiento relativo entre dos partículas que pertenecen a un cuerpo rígido (barra). Ver figura A.2. AA

= aceleración absoluta del punto A observado desde la referencia

AB

= aceleración absoluta del punto B observado desde la referencia

AB/A= aceleración relativa del punto B observado desde el punto A

Por definición se tiene que:

AB

A A  A B/A (ec.a. 5)

Figura. A.2. Aceleración Relativa

La ecuación de diferencia de aceleración se puede expresar de la siguiente forma n

t

AB  AB

n

0

t

n

t

AA  AA  AB/ A  AB/ A

(ec.a. 6)

Perfil de Aceleraciones (P.A.) Como las partículas que pertenecen a una barra tienen la misma velocidad y aceleración angular cuando éstas están rotando, las dos componentes de la aceleración (An y At) son directamente proporcionales al radio de rotación. Como se observa en la figura A.3, la dirección del vector de aceleración siempre mantiene la misma inclinación respecto al radio y su sentido corresponde al de la aceleración angular.

Figura. A.3. Perfil de Aceleraciones

Se define perfil de aceleraciones como el lugar geométrico donde se representan todas las magnitudes de los vectores de aceleración que pertenecen a una misma barra. En los perfiles de aceleración los vectores tienen la misma dirección y sentido. ASIGNATURA: MECANISMOS

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MANUAL DE MECANISMOS ACELERACIÓN PÁGINA: 5-A – 6 de 16

A.1.2 Aceleración Relativa / Aceleración de Coriolis Un caso especial es el movimiento relativo entre dos puntos coincidentes en barras distintas. En este caso se va a considerar el movimiento deslizante entre dos eslabones. La aceleración relativa está compuesta por tres vectores: La aceleración normal, la aceleración deslizante (equivalente a la tangencial) y la aceleración de Coriolis. Ver figura A.4.a.

a) Corredera curva

b) Corredera recta Figura. A.4. Aceleración de Coriolis

Aceleración normal: Esta aceleración no representa la componente usual de dos puntos en el mismo cuerpo. El módulo de la aceleración normal se puede calcular a partir de la siguiente ecuación

VS

An

2

(ec.a. 7)

R

Donde VS es el módulo de la velocidad deslizante (velocidad relativa entre dos puntos coincidentes) y R es el radio de curvatura instantáneo de la trayectoria de la corredera respecto al portador. Un caso particular es el mostrado en la figura A.4.b, donde el movimiento entre las dos superficies es lineal, es decir el portador se representa con una barra recta; en este caso R = f Î An = 0. La dirección y sentido de la aceleración normal de dos puntos coincidentes (deslizantes) va desde el punto en movimiento “C” hacia su centro relativo de rotación “X”. Aceleración Deslizante: Este componente representa la derivada de la velocidad deslizante y su dirección coincide con la de la velocidad deslizante (tangente a la superficie deslizante o perpendicular a la componente normal). La magnitud y sentido de la componente deslizante se obtiene de la resolución gráfica del polígono de aceleración. Aceleración de Coriolis: Esta aceleración se produce cuando un punto está girando y simultáneamente cambiando su radio de rotación respecto a un punto de referencia. El módulo de la aceleración de Coriolis se determina a partir de la siguiente ecuación:

A Coriolis

A

c

2 u ZPortador u V

S

(ec.a. 8)

Como se puede observar la aceleración se presenta cuando simultáneamente la partícula está rotando (ȦPortador) y está cambiando la distancia del centro de rotación VS. Si alguno de los dos componentes es igual a cero la aceleración de Coriolis desaparece (Ac = 0). La dirección y sentido de la aceleración de Coriolis se establece de acuerdo al siguiente enunciado: La aceleración de Coriolis está 90° de la velocidad deslizante en sentido de la velocidad angular del Portador. ASIGNATURA: MECANISMOS

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ACELERACIÓN PÁGINA: 5-A – 7 de 16

Polígono de Aceleraciones / Aceleración de Coriolis con Portador curvo En el mecanismo de cuatro barras que se muestra a continuación se aprecia como se puede desarrollar la ecuación y el polígono de aceleración cuando hay presente una corredera que genera un deslizamiento no lineal respecto al portador. El análisis considera como variables conocidas la velocidad y aceleración angular del portador. La ecuación tiene como premisa que el polígono de velocidades se ha desarrollado con antelación y se procede a determinar la aceleración angular de la corredera (componente de aceleración tangencial).

APortador  ACorredera / Portador

ACorredera

AP  AC / P

AC

(ec.a. 9)

Como el portador presenta una curvatura de radio conocido es necesario incorporar a la aceleración relativa la componente normal; en adición a las componentes deslizante y de Coriolis. n

t

n

AC  AC

t

s

n

c

AP  AP  AC / P  AC / P  AC / P

(ec.a. 10)

Para desarrollar la ecuación vectorial del polígono de aceleraciones se debe analizar separadamente los módulos y las direcciones como si se tratara de dos ecuaciones. Si el análisis arroja dos incógnitas, ya sean módulos o direcciones, la ecuación tiene resolución vectorial. Para el análisis suele ser conveniente expresar la aceleración angular en función de vectores de velocidad conocidos de las barras, en lugar de la velocidad angular.

n

V

M

D

+

AC VC

t

AC

AP

=

VP

2

CQ

CoQ

+

+

?

A CQ

n

=

=

2

PR

+

t

AP

+

D P u PR + +

PoR +

A PR

s

AC / P ?

+

+

A PX

+

 // V

s

+

n

AC / P VC / P PX

c

+

AC / P

+

2 u ZP u V C / P

2

S

PoX +

// PX

A V s

En el polígono de aceleración se desarrolla la suma vectorial de cada lado de la igualdad desde el polo, comenzando por los vectores conocidos (módulo y dirección) y dejando para el final de cada sumatoria los vectores desconocidos. Para la figura A.5, el lado derecho de la ecuación se inicia con el vector de aceleración normal del punto C y finaliza con la dirección de la componente tangencial del mismo punto. Para el lado derecho se inicio la suma vectorial con las componentes tangencial y normal del punto P, seguido de la componente normal y de Coriolis de la aceleración relativa y al final se indicó la dirección de la componente deslizante de la aceleración relativa (C/P). El sentido de la aceleración tangencia

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t

A P corresponde al sentido de la aceleración angular del portador.

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MANUAL DE MECANISMOS ACELERACIÓN PÁGINA: 5-A – 8 de 16

Como se observa en la figura A.5, el sentido de la aceleración de Coriolis se determina girando el vector de la velocidad deslizante 90º en sentido de la velocidad angular del Portador.

Figura. A.5. Dirección de la Aceleración de Coriolis. Corredera curva

El orden de la sumatoria de vectores en el polígono de aceleraciones de la figura A.6 se puede alterar en caso que se desee evitar la superposición de los vectores; sin embargo, lo más adecuado es mantener la secuencia indicada en la ecuación vectorial.

Figura. A.6. Polígono de aceleraciones. Corredera curva

Como se puede observar en el polígono de aceleración de la figura A.6, la solución al sistema de ecuaciones se obtiene cuando ambos lados sistema se igualan. La solución corresponde a la intercepción de la dirección de la aceleración deslizante (lado derecho de la igualdad) con la dirección de la aceleración tangencial de la corredera (lado izquierdo de la igualdad). Una vez identificados todos los vectores se pueden obtener gráficamente las magnitudes de las aceleraciones. A partir de la aceleración tangencial AtC se obtiene la aceleración angular DC.

t

DC

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AC CQ

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ACELERACIÓN PÁGINA: 5-A – 9 de 16

Polígono de Aceleraciones / Aceleración de Coriolis con Portador recto En el mecanismo de cuatro barras que se muestra a continuación se puede apreciar como se desarrolla la ecuación y el polígono de aceleración cuando el portador es recto (radio infinito). El análisis considera como variables conocidas la velocidad y aceleración angular del portador. La ecuación tiene como premisa que el polígono de velocidades se ha desarrollado con antelación (Velocidad Relativa V.3.2) y se procede a determinar el componente de aceleración tangencial de la corredera. Al ser recto el portador, el radio de curvatura de la trayectoria es infinito y la componente normal igual a cero. De lo anterior se obtiene como componentes de la aceleración relativa la aceleración deslizante y la aceleración de Coriolis.

A Portador  A Corredera / Portador

A Corredera

AP  AC / P

AC

0 n C

A A

t C

n P

t P

A A A

s C/P

A

n C/P

c

 AC / P

Para desarrollar la ecuación vectorial del polígono de aceleraciones se debe analizar separadamente los módulos y las direcciones como si se tratara de dos ecuaciones. Si el análisis arroja dos incógnitas, ya sean módulos o direcciones, la ecuación tiene resolución vectorial. Para el análisis suele ser conveniente expresar la aceleración angular en función de vectores de velocidad conocidos de las barras, en lugar de la velocidad angular.

V M D

n

AC VC

+

AC

t

=

AP

n

+

?

=

VP

+

A CQ

=

PoR

2

CQ CoQ

+

AP

t

+

AC / P

s

+

AC / P

+

D P u PR

+

?

+

2 u ZP u V C / P

+

A PR

+

// V

+

A PR

2

PR

s

c

S

En el polígono de aceleración se desarrolla la suma vectorial de cada lado de la igualdad desde el polo, comenzando por los vectores conocidos (módulo y dirección) y dejando para el final de cada sumatoria los vectores desconocidos. Para la figura A.6, el lado derecho de la ecuación se inicia con el vector de aceleración normal del punto C y finaliza con la dirección de la componente tangencial del mismo punto. Para el lado derecho se inició la suma vectorial con las componentes tangencial y normal del punto P, seguido de la aceleración de Coriolis y al final se indicó la dirección de la componente deslizante de la aceleración relativa. El sentido de la aceleración tangencia

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t

A P corresponde al sentido de la aceleración angular del portador.

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MANUAL DE MECANISMOS ACELERACIÓN PÁGINA: 5-A – 10 de 16

Como se observa en la figura A.7, el sentido de la aceleración de Coriolis se determina girando el vector de la velocidad deslizante 90º en sentido de la velocidad angular del Portador.

Figura. A.7. Dirección de la Aceleración de Coriolis. Corredera recta.

El orden de la sumatoria de vectores en el polígono de aceleraciones de la figura A.8 se puede alterar en caso que se desee evitar la superposición de los vectores; sin embargo, lo más adecuado es mantener la secuencia indicada en la ecuación vectorial.

Figura. A.8. Polígono de aceleraciones. Corredera recta

Como se puede observar en el polígono de aceleración, la solución al sistema de ecuaciones se obtiene cuando ambos lados de la igualdad se igualan. La solución corresponde a la intercepción de la dirección de la aceleración deslizante (lado derecho de la igualdad) con la dirección de la aceleración tangencial de la corredera (lado izquierdo de la igualdad). Del polígono se puede obtener gráficamente las magnitudes de las aceleraciones antes señaladas. A partir de la AtC se obtiene la DC.

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t

DC

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MANUAL DE MECANISMOS ACELERACIÓN PÁGINA: 5-A – 11 de 16

Mecanismo de cuatro barras equivalente al portador curvo. Para mecanismos donde están presentes correderas con centros de curvatura conocidas se pueden emplear mecanismos equivalentes que permiten estudiar el comportamiento cinemático. Como se puede ver en la figura A.9, estos mecanismos se obtienen reemplazando el portador y la corredera por dos barras binarias. El portador es sustituido por una barra que va desde su punto de pivote hasta el centro de curvatura de la superficie del portador. El par cinemático de deslizamiento se reemplaza por una barra binaria que va desde el acople de la corredera hasta el centro de curvatura del portador. En caso de que la curvatura sea variable se debe utilizar el centro instantáneo de velocidad de la corredera respecto al portador.

Figura. A.9. Mecanismo equivalente al portador curvo

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ACELERACIÓN PÁGINA: 5-A – 12 de 16

A.2 Polígono de Aceleraciones. Ejercicio. A continuación se presenta una secuencia para determinar la aceleración del punto B del mecanismo indicado en la figura A.10, a partir de la velocidad conocida del punto A2. El polígono de velocidad ya desarrollado se muestra en el lado derecho del mecanismo (Polígono de velocidades V.3.3). Se debe destacar que cuando no se hace referencia a la aceleración angular de la barra motriz – barra 2 – se infiere que la velocidad angular es constante y por ende la aceleración angular es igual a cero.

Figura. A.10. Polígono de velocidades del mecanismos de 6 barras

1. El primer paso consiste en determinar todas las aceleraciones normales y de Coriolis presentes en el mecanismo. La dirección y sentido de los componentes normales van desde el punto de estudio hacia el centro de rotación respectivo. Todos los módulos son conocidos si se ha completado con antelación los polígonos de velocidades, ya que estos están en función de la velocidad y del radio. 2. Para la barra 2 – barra motriz o de entrada – la aceleración tangencial es cero debido que la aceleración angular de la barra es igual a cero (velocidad angular constante). 3. Para determinar la aceleración del punto B se debe primero determinar la aceleración del punto A4 (portador) a partir de la aceleración conocida el punto A2 (corredera). La ecuación vectorial se debe desarrollar planteando la aceleración relativa en función de la deslizante: corredera respecto al portador. Al aplicar la ecuación de aceleración relativa en las correderas se debe prestar atención que ésta se corresponda con la velocidad deslizante de la figura A.9 (relación corredera/portador).

A A 4  A A2 / A4 Ÿ ( A A2 / A4 l V A2 / A4 )

A A2 n

t

A A2  A A2

0

n

t

0

s

n

0

c

A A4  A A4  A A2 / A4  A A2 / A4  A A2/ A4

4. Como el portador es recto, la magnitud de la aceleración relativa normal en la corredera es cero.

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ACELERACIÓN PÁGINA: 5-A – 13 de 16

5. Al desglosar la ecuación en módulo y dirección (dos ecuaciones) se puede observar que el sistema se puede resolver ya que sólo existen dos incógnitas; que corresponden a los módulos de la componente tangencial del punto A4 y de la aceleración deslizante A2/A4.

V

n

=

A A2

n

A A4

+

t

A A4

+

s

AC / P

+

c

AC / P S

M

V A2

2

AP

=

VA4

2 u Ȧ 4 u V A2/A4

2

AQ

+

?

+

?

+

§ V A4 2u¨ ¨ AQ ©

· ¸ u V SA2/A4 ¸ ¹

s

D

AoP

=

AoQ

+

A AQ

+

// V A2/A4 // AQ

+

A AQ

6. La solución vectorial se observa en la figura A.11, donde primero se representaron los vectores conocidos desde el “polo” (paso 1) y posteriormente se representaron las direcciones de los vectores desconocidos (paso 2). La intersección de las dos direcciones representas la solución del sistema; siendo los segmentos los módulos de los vectores de aceleración de la componente tangencial del punto A4 y de la aceleración deslizante A2/A4 (AS).

Figura. A.11. Polígono de aceleraciones en el punto A del mecanismos de 6 barras

7. Para determinar el vector de aceleración del punto A4 se procede sumar vectorialmente sus componentes normal y tangencial como se indica en el paso 3 de la figura A.109.

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ACELERACIÓN PÁGINA: 5-A – 14 de 16

8. El siguiente paso consiste en determinar la aceleración del punto C, para ello se desarrolla un perfil de aceleración (P.A.) en la barra 4 como se muestra en la figura A.12 (pasos 4, 5 y 6).

Figura. A.12. Perfil de aceleraciones en la barra 4 del mecanismos de 6 barras

9. Con la aceleración del punto C se procede a determinar la aceleración del punto B. Como se observa en la ecuación, se puede obtener vectorialmente la aceleración de B – junto con la componente tangencial de la aceleración relativa – a partir de la aceleración de C.

V M D

AB

=

AC

n

+

AB/ C

AB / C

+

?

+

A BC

2

=

—

+

VB / C

// Sup. =

—

+

BoC

?

t

+

BC

10. En la figura A.13 se observa la solución vectorial del sistema de ecuaciones planteado el cual da como resultado el módulo, la dirección y el sentido del vector de aceleración de B (pasos 7, 8 y 9).

Figura. A.13. Polígono de aceleraciones

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MANUAL DE MECANISMOS ACELERACIÓN PÁGINA: 5-A – 15 de 16

NOTAS: I. Se recomienda, en caso de no tener el valor de KA, determinar todas las aceleraciones normales y de Coriolis requeridas para resolver el problema. II. Se debe establecer la relación entre el módulo de la aceleración y la distancia de papel (KA) tomando en cuenta los valores de aceleración calculados. Cada polo de aceleración tiene asociado un valor de KA.

Ka

Aceleración Real Distancia Papel

III. Al aplicar la ecuación de aceleración relativa en las correderas se debe prestar atención que ésta se corresponda con la velocidad deslizante (relación corredera/portador). IV. Si la barra es recta, la magnitud de la aceleración normal en la corredera es cero. V. Todas las magnitudes, dirección y sentido de los vectores de aceleración normal y de Coriolis son conocidos. VI. Para facilitar el desarrollo de los polígonos de aceleración es importante desarrollar los sistemas de ecuaciones. Estos nos permiten verificar que se tiene suficiente información para resolver el sistema de ecuaciones (dos ecuaciones – M y D – y dos incógnitas “?”) VII. Las ecuaciones de las aceleraciones normales y de Coriolis se pueden desarrollar para ser calculadas a partir de los módulos de los vectores y no de las velocidades angulares. VIII. Se debe tener presente que las ecuaciones de aceleración están expresada en función de valores “reales”. Para la incorporación de magnitudes de “papel” de deben tomar en cuenta los factores KS, KV y KA. IX. Las aceleraciones de las partículas de una barra se pueden obtener empleando perfiles de aceleraciones cuando el centro de rotación es constante en el tiempo – rotación a partir de un par cinemático de rotación – y esté referido a la tierra u otra barra. X. Cuando dos puntos pertenecen a una misma barra y su centro de rotación no es constante se debe resolver a través del polígono de aceleraciones para diferencia de aceleraciones. XI. Cuando el portador es la barra de referencia (tierra) no hay Coriolis, ya que la velocidad angular del portador es cero (Ȧ1=0). XII. Se debe tener presente que los CIV no pueden ser empleados para resolver problemas de aceleraciones, ya que estos no representan a los Centros Instantáneos de Aceleración.

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MANUAL DE MECANISMOS ACELERACIÓN PÁGINA: 5-A – 16 de 16

REFERENCIAS La revisión analítica de la derivación del vector de velocidad para obtener los vectores de aceleración se puede realizar en la guía de Ojeda (6); sin embargo, en éste el análisis sólo contempla las correderas rectas. Se debe destacar que aún cuando todos los libros de mecanismos son idóneos para abordar y profundizar el contenido de este capítulo, a continuación se reseñan algunas recomendaciones. En los apuntes de Torrealba (1), en el Erdman (2) y en el Mabie (5) el desarrollo del tema se ajusta más al enfoque adoptado por el manual (suma vectorial como sistema de ecuaciones). El estudio de la aceleración de Coriolis tomando en correderas no rectas (curvas) sólo es abordado por los apuntes de Torrealba (1), el Shigley (4) y el Mabie (5), siendo este último el que hace referencia a los mecanismo de cuatro barras equivalente al portador curvo. Por otro lado, en el manual se adoptó el término deslizante – empleado en el Norton (3) – para referirnos al componente tangencial de la aceleración relativa entre puntos coincidentes.

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ENGRANES LEY FUNDAMENTAL

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MANUAL DE MECANISMOS ENGRANES PÁGINA: 6-E – 1 de 23

INTRODUCCIÓN Los engranes son los elementos o barras utilizados por excelencia para la transmisión de movimiento rotacional y momentos de torsión. El diseño de estos elementos se basa en el cumplimiento de la Ley Fundamental de los engranes. En este capítulo se estudia como aplicar la Ley fundamental en el diseño y evaluación de parejas de engranes cilíndricos. Los términos y definiciones presentados en este capítulo servirán como bases para el estudio tanto para los engranes como para los trenes de engranes. Así mismo, el glosario de términos presentado busca familiarizar al lector con los símbolos utilizados en las bibliografías que trabajan con el sistema americano (normas AGMA) o con el sistema internacional (normas ISO). Aún cuando la mayoría de las ecuaciones y parámetros de proporcionalidad corresponden a las normas americanas, en este capítulo se presentan parámetros de diseño que corresponden a las normas del sistema internacional; como por ejemplo las inglesas y alemanas. Debido que el cumplimiento de la ley fundamental es primordial para el estudio y diseño de los engranes, en este capítulo se muestran métodos disponibles para eliminar la interferencia (incumplimiento de la Ley fundamental).

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MANUAL DE MECANISMOS ENGRANES PÁGINA: 6-E – 2 de 23

ÍNDICE ENGRANES.................................................................................................................................................... 5 E.1

Ruedas de fricción ............................................................................................................................. 5

E.2

Tipos de Engranes............................................................................................................................. 6

E.3

Estandarización ................................................................................................................................. 8

E.4

Ley Fundamental del engranaje ........................................................................................................ 8

E.5

Terminología y definiciones [AGMA] {ISO}........................................................................................ 9

E.6

Ley Fundamental del engrane ......................................................................................................... 13 E.6.1

Paso Diametral / Módulos ..................................................................................................... 14

E.7

Ángulo de Presión............................................................................................................................ 14

E.8

Proporcionalidad .............................................................................................................................. 15 E.8.1

E.9

Proporcionalidad.................................................................................................................... 15

Interferencia ..................................................................................................................................... 17 E.9.1

Aumentar la distancia entre centros ...................................................................................... 19

E.9.2

Aumentar el paso diametral................................................................................................... 20

E.9.3

Aumentar el diámetro del piñón............................................................................................. 21

E.9.4

Aumentar el ángulo de presión.............................................................................................. 22

E.9.5

Engranes no convensionales de addendum largo y corto .................................................... 22

REFERENCIAS ......................................................................................................................................... 21

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MANUAL DE MECANISMOS ENGRANES PÁGINA: 6-E – 3 de 23

Lista de figuras Figura. E.1

Rueda de fricción ...................................................................................................

5

Figura. E.2

Transmisión con bandas ..........................................................................................

5

Figura. E.3

Engranes Cilíndricos ................................................................................................

6

Figura. E.4

Engranes Cónicos ...................................................................................................

7

Figura. E.5

Curva envolvente ......................................................................................................

8

Figura. E.6

Curvas envolventes conjugadas ..............................................................................

8

Figura. E.7

Terminología de los engranes. Identificación de los diámetros ................................

11

Figura. E.8

Terminología de los engranes. Identificación de los pasos ......................................

12

Figura. E.9

Contacto de engranes con interferencia ...................................................................

17

Figura. E.10

Socavado de engranes por interferencia ..................................................................

18

Figura. E.11

Aumento de distancia entre centros ........................................................................

19

Figura. E.12

Separación entre dientes .........................................................................................

19

Figura. E.13

Aumento del paso diametral ....................................................................................

20

Figura. E.14

Aumento del diámetro del piñón ..............................................................................

21

Figura. E.15

Aumento del ángulo de presión ...............................................................................

22

Figura. E.16

Addendum largo y corto ...........................................................................................

22

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MANUAL DE MECANISMOS ENGRANES PÁGINA: 6-E – 4 de 23

Lista de tablas Tabla. E.1

Ecuaciones de proporcionalidad ..............................................................................

13

Tabla. E.2

Pasos diametrales y módulos ..................................................................................

14

Tabla. E.3

Proporciones de los dientes de engranes rectos de involuta ..................................

15

Tabla. E.4

Módulos ..................................................................................................................

16

Tabla. E.5

Número mínimo de dientes para acoplamiento con cremallera ..............................

16

Tabla. E.6

Número mínimo de dientes del piñón ......................................................................

16

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MANUAL DE MECANISMOS ENGRANES PÁGINA: 6-E – 5 de 23

ENGRANES E.1 Ruedas de fricción El medio más simple de transmisión de movimiento giratorio es a través de ruedas de fricción. Las ruedas de fricción permiten trasmitir la potencia desde el eje motriz hasta otro eje. En la transmisión del movimiento se pueden obtener cambios en las velocidades angulares y en el sentido de giro de cada rueda; y como consecuencia, cambios en el par de torsión en cada eje. Por definición se tiene que la potencia es el producto del par de torción por la velocidad angular:

Pot

T uZ

Î

T1 u Z1

T2 u Z2

Î

T1 T2

Z2 Z1

(ec.e. 1)

Como se puede observar en la figura, en el punto de contacto “P” la velocidad de ambas ruedas es igual. Esta condición es fundamental para la definición de las ruedas de fricción, ya que la desigualdad en la velocidad implicaría un deslizamiento entre las dos superficies. Siendo la velocidad igual para ambas ruedas se tiene que

Vp

Z1 u r1 Z 2 u r2

Î

Z1 Z2

D2 D1

(ec.e. 2)

De donde se deduce que la relación entre las velocidades angulares es inversamente proporcional a la relación de diámetros. Estos diámetros “D” los denominaremos diámetros de pasos y el punto de contacto “P” punto de paso.

Figura. E.1. Rueda de fricción

La ruedas de fricción son funcionales en la medida que la fuerza transmitida no supere la fricción entre las dos superficies, por lo que su uso es limitado. La transmisión a partir de bandas es una variación de las ruedas de fricción en la cual la superficie de contacto se extiende por el perímetro de la rueda que está en contacto con la banda o correa. La diferencia básica al aplicar poleas de fricción radica en una mejoría en la capacidad de transmitir pares de torsión, flexibilidad en la distancia entre ejes y facilidad de instalación.

Figura. E.2. Transmisión con bandas

En sistemas donde la sincronización es necesaria, la incorporación de bandas dentadas puede resultar una solución viable, aún cuando su capacidad de transmisión de momentos de torsión es limitada.

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MANUAL DE MECANISMOS ENGRANES PÁGINA: 6-E – 6 de 23

E.2 Tipos de Engranes Para satisfacer la necesidad en la industria de transmitir fuerza elevadas con movimientos sincronizados a través de ejes se desarrollo la transmisión a partir engranes. Los engranes pueden ser de diferentes tipos y su selección depende de las condiciones de operación y de factores económicos. Entre los tipos de engranajes se pueden destacar los engranes cilíndricos (figura E.3) y cónicos (E.4):

Engranes Cilíndricos

a) Engrane cilíndrico recto

b) Engrane cilíndrico recto

c) Engrane cilíndrico helicoidal con ejes paralelos

d) Engrane cilíndrico helicoidal con ejes cruzados

e) Engrane cilíndrico helicoidal espina de pescado

f) Engrane cilíndrico recto con cremallera

g) Engrane sin fin o gusano

h) Engranes internos y externos Planetarios

Figura. E.3. Engranes Cilíndricos

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MANUAL DE MECANISMOS ENGRANES PÁGINA: 6-E – 7 de 23

Engranes cónicos

b) Engrane cónico recto a) Engrane cónico recto

d) Engrane cónico espirales

c) Engrane cónico espirales

e) Engrane cónico hipoidales

Figura. E.4. Engranes Cónicos

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E.3 Estandarización En vista de la gama de aplicaciones de los engranajes se hizo necesario la estandarización de su diseño. Esta estandarización se agrupa en dos normas: el SI (sistema internacional) y la SA (sistema americano o inglés). Siendo los principios básicos aplicables a ambos sistemas, y nuestra área geográfica ampliamente influencia por el sistema ingles, las unidades que se aplicarán en este manual será la del SA.

E.4 Ley Fundamental del engranaje El aspecto fundamental de la transmisión de movimiento a través de engranes es que la relación de velocidad angular entre los dos engranes debe ser constante. Para lograr este objetivo se debió desarrollar una superficie conjugada en los perfiles de los dientes de los engranes que permitiera satisfacer esta condición. La Cicloide y la involuta son las curvas más idóneas para tal fin, siendo la involuta la superficie más utilizada en la industria. La superficie involuta o envolvente se pude obtener desenrollando un trazador de un cilindro base. La curvatura trazada en la figura E.5 genera una superficie en donde la normal en cada punto de la curva es siempre tangente a cilindro base.

Figura. E.5. Curva envolvente

Si se diseña un dispositivo como el indicado en la figura E.6, constituido por dos cilindros unidos con una cuerda cruzada í similar a una transmisión con bandas cruzada í y se coloca un trazador en un punto de la cuerda, la curva que se obtiene sobre una lámina que gira junto con el cilindro corresponde a una involuta. Puesto que esta superficie se puede generar para ambos cilindros, la transmisión de movimiento entre los cilindros se puede reemplazar dos perfiles (dientes de engranes) generados con estas curvas de involuta.

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Figura. E.6. Curvas envolventes conjugadas

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MANUAL DE MECANISMOS ENGRANES PÁGINA: 6-E – 9 de 23

E.5 Terminología y definiciones [AGMA] {ISO} Piñón Engrane más pequeño de una pareja de engranes. Engranes externos Engranajes en los que los dientes se encuentran del lado externo; engranes convencionales. Engrane Internos/Anulares Engranajes en los que los dientes se encuentran del lado interno Cremallera Engrane don los radios son infinitos. Número de dientes [N] {z} Cantidad de dientes que posee un engrane Circunferencias de Paso o Primitiva [D] {d’} Círculos equivalentes a las ruedas de fricción con la misma razón de velocidad de la pareja de engranes. Circulo teórico a partir del cual se basan todos los cálculos. Línea de centros Línea que une los centros de los círculos de la pareja de engranes. Distancia entre centros [C] {a} Suma de los radios de paso de los engranes Punto de Paso [P] Punto de contacto de los círculos de paso localizado en la línea de centro. Circunferencia Base [Db] {db} Círculos a partir de los cuales se desarrollan las involutas de los engranes. Línea de Presión Línea tangencial a las circunferencias bases que interfecta a línea de centros en el punto de paso. Ángulo de Presión [Ø] {Į} Ángulo que se forma entre la línea de presión y la tangente común de las circunferencias de paso. Adendo / Addendum / Aumento / Cabeza [a] {ha} Distancia radial medida desde el borde exterior del diente del engrane hasta el círculo de paso.

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MANUAL DE MECANISMOS ENGRANES PÁGINA: 6-E – 10 de 23

Dedendo / Dedendum / Reducón / Raíz [b]{hf} Distancia radial medida desde el borde interior del diente hasta el círculo de paso. Altura / Profundidad de total [ht] {h} Suma del addendum y el dedendum Profundidad de trabajo [hk] Suma de los addendum. Claro Diferencia entre el dedendum y el addendum Circunferencia Addendum [Da] {da} Circunferencia exterior del engrane (circunferencia primitivo más el addendum). Circunferencia Dedendum [Dd] Circunferencia interior del engrane (circunferencia primitivo menos el dedendum). Paso Circular [PC] Distancia, en pulgadas, medida sobre el círculo de paso, que va desde un punto de la cara de un diente hasta un punto de una cara correspondiente adyacente. Paso Base [Pb] Distancia, en pulgadas, medida sobre el círculo base, que va desde un punto de la cara de un diente hasta un punto de una cara correspondiente del diente adyacente. Paso Diametral [Pd] Número de dientes del engrane por pulgada de diámetro de paso. Módulo [m] Es el recíproco del Paso Diametral y se expresa como la razón del diámetro de paso y el número de dientes, medidos en milímetros. Equivalente al paso sin embarbo represente al tamaño estándar el diente en el SI. Línea de acción [Z] {gĮ} Sección de la línea de presión contenida entre las circunferencias addendum de ambos engranes. Relación de Contacto [mP] {ȯa} Número medio de dientes que se encuentran simultáneamente en contacto entre dos engranes acoplados. Relación de Transmisión [RT] Relación entre la velocidad angular del engrane de motriz (piñón) y la velocidad angular del engrane movido (engrane o rueda).

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Terminología (AGMA)

Figura. E.7. Terminología de los engranes. Identificación de los diámetros.

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Terminología (AGMA)

Figura. E.8. Terminología de los engranes. Identificación de los pasos

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E.6 Ley Fundamental del engrane La Ley Fundamental de los engranes tiene como objeto garantizar que la relación de velocidades entre dos engranes acoplados sea constantes; es decir, que no se presenten fluctuaciones. La normal común de los perfiles de dientes entre dos puntos de contacto dentro del engranado debe pasar siempre por el Punto de Paso ubicado en la Línea de Centros. La relación de velocidades angulares es una constante definida por la relación de radios medidos desde el punto de paso. El diseño adecuado de engranes se basa en la aplicación de ecuaciones y estándares que rigen el dimensionamiento y selección para fabricación. Esto permite el emparejamiento y la intercambiabilidad entre engranes fabricados en serie. A continuación se listan las principales ecuaciones y seguidamente los principales parámetros de diseño. Tabla E. 1. Ecuaciones de proporcionalidad

Pd

PC u Pd

N D

m

S

Pb

D N

PC u cos I

2

Z

PC

Pb

N

D u cos I

Db

2

S uD

2

S u Db

mP

N

Z Pb

PC u

Db D

Z u Pd S u cos I

2

§ D · § D · § D  D2 · § Da1 · § Db1 · ¸  ¨ a2 ¸  ¨ b2 ¸  ¨ 1 ¸ ¨ ¨ ¸ u senI © 2 ¹ © 2 ¹ © 2 ¹ © 2 ¹ © 2 ¹

RT

Zmot . Zmov.

Z piñón Zrueda

Z1 Z2

Î

RT

D2 D1

N2 N1

Las ecuaciones presentadas en esta tabla se complementan con los parámetros y ecuaciones de proporcionalidad de las Normas AGMA y Europeas que se indican en las siguientes tablas.

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E.6.1 Paso Diametral / Módulos En las siguientes tablas se presenta una muestra, de acuerdo al SA y el SI, de los pasos diametrales y los módulos estandarizados que se emplean para el diseño y fabricación de engranes. Tabla E. 2. Pasos diametrales y módulos Paso diametral [plg-1] (AGMA) * Paso grueso 1¼ 1½ 1¾ 2 2½ 3 3½ 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18

Paso fino 20 22 24 26 28 30 32 36 40 42 48 50 64 72 80 96 120

Módulos métricos [mm] ** Norma Británica 1 1,25 1,5 2 2,5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25 32 40 50

Norma Alemana 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 3,35 3,5 3,75

4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 20 22

24 27 30 33 36 39 42 45 50 55 60 65 70 75

AGMA: American Gear Manufacturers Association (Asociación Americana de Fabricantes de Engranes) * Los valores están tomados del Mabie (5), tablas A 4.5 y A 4.6. ** Los valores están tomados del Norton (3), tabla 9-2.

E.7 Ángulo de Presión. Al igual que el paso diametral, el ángulo de presión se encuentra normalizado y su magnitud se encuentra limitado a los siguientes valores: 14½°, 20°, 22½° y 25°. El más utilizado en la actualidad es 20° ya que con éste se presenta menos socavación que con 14½°. En general se emplean 20° y 25° para engranes de paso grueso (1 í 19,99 Pd) y 20° para paso fino (Pd t 20°). Los ángulos de presión de 22½° y 25° son utilizados en la industria aeroespacial.

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E.8 Proporcionalidad Para la fabricación de engranajes normalizados existe una proporcionalidad entre las dimensiones y el paso diametral (o módulo), la cual depende del ángulo de presión y de la norma empleada. Los valores tabulados a continuación no tienen como objeto restringir la libertad del diseñador; su finalidad es permitir la intercambiabilidad y la disminución de los costos de los cortadores.

Proporcionalidad En las siguientes tablas se reseñan los parámetros principales de proporcionalidad de las normas AGMA y Europeas. Tabla E. 3. Proporciones de los dientes de engranes rectos de involuta Proporciones para engranes según normas AGMA Ø = 20° ó 25° (*)

Ø = 20° (*)

Ø = 14½° (**)

Ø = 20° (**)

Profundidad total Paso Grueso (1í19,99 Pd)

Profundidad total Paso Fino (Pd t 20°)

Profundidad total

Con escote

Addendum

1,000 Pd

1,000 Pd

1,000 Pd

0,800 Pd

Dedendum

1,250 Pd

1,200  0,002(min) Pd

1,157 Pd

1,000 Pd

Claro

0,250 Pd

0,200  0,002(min) Pd

0,157 Pd

0,200 Pd

Radio del filete

0,300 Pd

0,209 Pd

0,304 Pd

1,5708 Pd

1,5708 Pd

Espesor del diente

,

1,5708 Pd

,

1,5708 Pd

* Los valores están tomados del Erdman (2), tabla 7.1. ** Los valores están tomados del Mabie (5), tabla 4.1.

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Tabla E. 4. Módulos Proporciones para engranes según SI Norma británica

Norma Alemana

Ø = 20°

Ø = 20°

Addendum

1,000 u m

1,000 u m

Dedendum

1,250 u m

1,157 u m ó 1,167 u m

Los valores están tomados del Mabie (5), sección 4.6, pág. 171.

Tabla E. 5. Número mínimo de dientes para acoplamiento con cremallera Número mínimo de dientes del piñón para acoplamiento con cremallera Ø = 14½°

Ø = 20°

Ø = 20°

Ø = 25°

Profundidad total

Profundidad total

Con escote

Profundidad total

32

18

14

12

N

Los valores están tomados del Mabie (5), tabla 4.9.

Tabla E. 6. Número mínimo de dientes del piñón Número mínimo de dientes del piñón (Ø = 20° profundidad completa) Piñón

13

14

15

16

17

Engrane

16

26

45

101

1309

Los valores están tomados del Norton (3), tabla 9-5.

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E.9 Interferencia La interferencia ocurre cuando se encuentran en contacto dos superficies de dientes que no son conjugadas í no se cumple la Ley Fundamental de Engranes í y como consecuencia se puede producir entre los engranes fluctuaciones de velocidad, impactos, socavación e inclusive atascamiento. En el diseño adecuado de engranes debe considerar o cuidar los siguientes aspectos básicos: x

La relación entre diámetros debe satisfacer la relación de transmisión requerida.

x

El número de dientes que se determine a partir de ecuaciones debe ser entero (no redondeado).

x

El paso diametral o módulo debe estar normalizado.

x

El ángulo de presión debe estar normalizado. Si el diseño es nuevo la primera opción debe ser 20°.

x

Se debe descartar una posible interferencia.

x

La relación de contacto debe ser mayor a los parámetros recomendados (mP > 1,6).

En engranajes cilíndricos rectos externos la interferencia ocurre cuando la línea de acción se extiende fuera de los puntos de tangencia de la línea de presión con los círculos bases. Ver figura E.9.

Figura E.9. Contacto de engranes con interferencia

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Debido a la imposibilidad de extender la envolvente hacia el interior de círculo base (línea segmentada), en el área de interferencia (entre la línea de interferencia y la de rebaje) se produce la socavación del flanco. La opción de fabricar un rebaje en el flanco del diente, para evitar el contacto entre dos superficies no conjugadas, no suele ser conveniente ya que el mismo requerirá una disminución del espesor del diente y por ende disminución de su resistencia. Ver figura E.10.

Figura E.10. Socavado de engranes por interferencia

Existen diferentes formas de diseñar engranes evitando la interferencia. La selección del método más idóneo depende de la disponibilidad de herramientas de fabricación; es decir, la disponibilidad herramientas de corte normalizadas o la fabricación de específica de engranes. Entre los métodos que se emplean para eliminar las interferencias se destacan: x

Aumentar la distancia entre centros (aumento del ángulo de presión de operación)

x

Aumentar el paso diametral (disminuir el addedum)

x

Aumentar el diámetro del piñón

x

Aumentar el ángulo de presión

x

Fabricar engranes no estándar de addendum largo y corto

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E.9.1 Aumentar la distancia entre centros El incremento de la distancia entre centros tiene como objetivo aumentar el ángulo de presión de operación y con esto disminuir la interferencia. Esto se logra ya que los diámetros bases de cada engrane se mantiene invariables, al igual que las secciones de los dientes y los círculos addendum y dedendum. Al aumentar la distancia entre dientes se generan nuevos círculos primitivos para la pareja de engranes. Ver figura E.11.

Figura E.11. Aumento de distancia entre centros

La limitante de esta práctica es que se incremente la separación entre los dientes (e) y se disminuye la línea de acción. Ver figura E.12. La separación entre los ejes es tolerable con la limitante que no es posible una inversión del sentido de giro de los engranes ya que éste puede ocasionar impactos no deseados entre los dientes. Aún cuando la razón de contacto pueda ser inferior a los valores recomendados (mP > 1,6) su valor límites es de 1; es decir que la línea de acción sea igual al paso base.

Figura E.12. Separación entre dientes

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E.9.2 Aumentar el paso diametral En la fase de diseño y selección de engranes una de las opciones más viables para eliminar la interferencia consiste en la disminución del addendum o aumento del paso diametral. La disminución del addendum hasta la intercepción del círculo addendum con la línea de presión permite eliminar la interferencia sin modificar los diámetros de paso de los engranes o el ángulo de presión. Ver figura E.13.

Figura E.13. Aumento del paso diametral

Al disminuir el addendum para pasar de un diámetro Da a un diámetro menor Da’ se deben tomar en cuenta que el paso diametral debe estar normalizado (deseable por razones de costo) y que la cantidad de dientes que se deriven de los cálculos deben ser enteros y no aproximaciones. En el caso que se obtenga una fracción del producto del paso diametral por el diámetro primitivo se debe adoptar como base de diseño la cantidad de dientes inmediatamente superior o incrementar el paso diametral hasta que el producto del Pd y el D de cómo resultado un número de dientes enteros para ambos engranes. En diseños donde la relación de transmisión no requiere ser precisa, es viable ajustar el diámetro de paso a partir del número de dientes y el paso diametral.

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E.9.3 Aumentar el diámetro del piñón El cambio del diámetro del piñón se presenta como una opción para el diseño cuando se tiene como restricción la disponibilidad de engranes í piezas prefabricadas í o la cantidad de herramientas de cortes para la fabricación de los engranes. Como se puede observar en la figura E.14 en los casos donde existe interferencia la condición crítica se presenta en el punto de tangencia de la línea de presión con el círculo base del piñón. El incremento del diámetro de paso del piñón, manteniendo el ángulo de presión y el paso diametral, permite aumentar la longitud de la línea de presión eliminando la interferencia. Esta solución al ser aplicada sólo al piñón afecta la relación de transmisión entre los engranes. De no ser posible admitir esta variación es necesario considerar el cambio de diámetro de ambos engranes. Otro punto de atención es que los cambios implican aumento en la distancia entre ejes.

Figura E.14. Aumento del diámetro del piñón

Cuando se incrementa el diámetro de la rueda se debe verificar que el aumento del diámetro del círculo addendum no genere una nueva interferencia.

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E.9.4 Aumentar el ángulo de presión El incremento del ángulo de presión permite aumentar la longitud de la línea de presión sin modificar el paso diametral o los diámetros primitivos de los engranes. El efecto directo del ángulo de presión se aprecia en la disminución de los diámetros bases de los engranes. Ver figura E.15. La restricción de esta opción es que comercialmente sólo se utiliza 20° como ángulo de presión y con usos limitados 22½° y 25°. La selección de un ángulo de presión no normalizado se aplicaría en diseños cítricos que ameriten la fabricación específica de la herramienta de corte.

Figura E.15. Aumento del ángulo de presión

E.9.5 Engranes no convencionales de addendum largo y corto Una de las maneras más idóneas de eliminar la interferencia es la designación particular del addendum del piñón y del engrane (rueda); el resultado es un par de engranes donde los addendum son distintos (Ver figura E.16). El aumento del addendum del piñón debe ser proporcional a la disminución del addendum del engrane (rueda) y la altura total en ambos dientes debe se igual. De acuerdo con la AGMA esta variación deben ser de r25% ó r50%, para ser considerados estándares. Desde el punto de vista operacional esta opción es la mejor, ya que permite maximizar la relación de transmisión y mejorar el desempeño mecánico de los engranes.

Figura E.16. Addendum largo y corto

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REFERENCIAS El Shigley (4) es el más idóneo para profundizar en el estudio de los engranes, de la Ley Fundamental y los métodos disponibles para eliminar la interferencia. El Mabie (5) es de gran ayuda en la revisión de las diferentes normas, ecuaciones, parámetros y procesos de fabricación (tanto del sistema americano, como del sistema intencional) utilizados para la producción de engranes. El Norton (3) provee al lector de tablas de uso práctico para la fase de diseño y una excelente reseña de los diferentes tipos de engranes.

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TRENES DE ENGRANES

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MANUAL DE MECANISMOS TRENES DE ENGRANES PÁGINA: 7-T – 1 de 13

INTRODUCCIÓN Los trenes de engranes se dividen básicamente en dos tipos: simples y compuestos. Sin embargo, para el estudio de los trenes de engranes compuestos se estudiaran por separado los trenes de engranes revertidos y los planetarios. Los trenes revertidos se caracterizan por tener ejes paralelos y los trenes planetarios, a diferencia de los demás tipos, por tener dos grados de libertad. Para visualizar la versatilidad de los trenes de engranes planetarios se exponen tres casos emblemáticos de este tipo de tren: La caja automática, el diferencial del carro y un reductor de velocidad axial (destornillador eléctrico). En este manual se abordará el método de la fórmula para evaluar los trenes de engranes planetarios por su similitud con el enfoque dado a los otros trenes: Se debe destacar que existen otros métodos con los que se pueden estudiar los trenes planetarios; entre los que se destacan el método de los centros instantáneos y el método del tabulador.

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MANUAL DE MECANISMOS TRENES DE ENGRANES PÁGINA: 7-T – 2 de 13

ÍNDICE TRENES DE ENGRANES .............................................................................................................................. 4 T.1

Trenes de engranes........................................................................................................................... 4

T.2

Trenes de Engranes Simples: ........................................................................................................... 5

T.3

Trenes de Engranes Compuestos: .................................................................................................... 6

T.4

Trenes de Engranes Invertidos / Revertidos: .................................................................................... 7

T.5

Trenes de Engranes Planetarios / Epicíclicos: .................................................................................. 8 T.5.1

Caja de velocidades con Planetarios .................................................................................... 10

T.5.2

Diferencial de transmisión ..................................................................................................... 11

T.5.3

Reductor de velocidad axial .................................................................................................. 12

REFERENCIAS ......................................................................................................................................... 13

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MANUAL DE MECANISMOS TRENES DE ENGRANES PÁGINA: 7-T – 3 de 13

Lista de figuras Figura. T.1

Rueda de fricción .......................................................................................................... 4

Figura. T.2

Tren de Engrane Simple ............................................................................................... 5

Figura. T.3

Tren de Engranes Compuesto ...................................................................................... 6

Figura. T.4

Tren de Engrane Revertido ........................................................................................... 7

Figura. T.5

Planetario ...................................................................................................................... 8

Figura. T.6

Tren de Engrane Planetario .......................................................................................... 8

Figura. T.7

Tren de engranes con planetario

Figura. T.8

Tren de engranes de una caja automática ................................................................... 10

Figura. T.9

Diferencial de engranes cónicos ................................................................................... 11

Figura. T.10

Diferencial de engranes cónicos ................................................................................... 11

Figura. T.11

Reductor Planetario ...................................................................................................... 12

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MANUAL DE MECANISMOS TRENES DE ENGRANES PÁGINA: 7-T – 4 de 13

TRENES DE ENGRANES T.1

Trenes de engranes

Los trenes de engranes son mecanismo que tienen como objetivo primario la transmisión de movimiento rotacional a partir de la combinación de más de dos engranes. La relación entre la velocidad de giro (Ȧ) del eje de entrada “motriz” y la de salida “impulsado” se denomina relación de transmisión (RT).

RT =

Ȧentrada Ȧsalida

(ec. t.1)

Siendo la velocidad en el punto de paso P (VP) de la figura T.1 igual para ambos engranes, la relación de velocidades RT es inversamente proporcional a la relación de diámetros primitivos (D = 2uR) de los engranes.

Ȧentrada Ȧsalida

RT

Ȧ1 Ȧ2

VP VP

D2 D1

R1 R2

o

RT =

D2 D1

(ec. t.2)

Figura T.1. Ruedas de fricción

Ya que los pasos diametrales (Pd) son iguales en las parejas de engranes, se tiene que la relación de velocidades RT es inversamente proporcional a la relación de números de dientes de los engranes (N).

RT

D2 D1

N2 N1

Pd

N2 N1

Pd

o

RT =

Ȧ1 D 2 N 2 = = Ȧ2 D1 N1

(ec. t.3)

La ecuación t.3 no se puede aplicar directamente para engranes que no sean rectos, ya que la misma puede ser afectada por otros parámetros de diseño. En la mayoría de los casos los diseños de trenes de engranes están referidos a cajas reductoras; donde la velocidad de entrada es mayor que la de salida. La relación de transmisión para reductores es mayor que la unidad; RT > 1. Los motores de combustión o eléctricos representan la principal fuente de movimientos para los mecanismos y máquinas. Las velocidades de rotación suelen ser superiores a 1.800rpm. Las cajas reductoras son ampliamente utilizadas para reducir la velocidad de giro de los motores hasta las magnitudes requeridas. La transmisión del par de torsión siempre está asociado a la velocidad de giro. La potencia por definición es igual al producto de la velocidad angular (Ȧ) por el par de torsión (T); de manera que si se disminuye la velocidad se incrementa proporcionalmente el par de torsión.

Pot.=T×Ȧ

Ÿ

TEntrada ×ȦEntrada =TSalida n ×ȦSalida p

(ec. t.4)

Los trenes de engranes se pueden agrupar en tres tipos: x

Trenes de Engranes Simples

x

Trenes de Engranes Compuestos

x

Trenes de Engranes Planetarios

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T.2

MANUAL DE MECANISMOS TRENES DE ENGRANES PÁGINA: 7-T – 5 de 13

Trenes de Engranes Simples:

Los trenes de engranes simples, como el de la figura T.2, son aquellos donde la transmisión de movimiento entre dos engranes se realiza por contacto directo entre los dientes y sólo tienen un engrane por eje.

Figura T.2. Tren de Engrane Simple

La relación de transmisión en un tren de engranes se puede determinar como el producto de las relaciones de transmisión de los pares de engranes que lo forman.

RT =

Ȧentrada =– R T =R T1×R T2 ×R T3 Ȧsalida

(ec. t.5)

Donde:

RT =

Ȧentrada Ȧ1 Ȧ2 Ȧ3 Ȧ1 = × × = Ȧsalida Ȧ2 Ȧ3 Ȧ4 Ȧ4

o

RT =

Ȧentrada D 2 D3 D 4 D 4 = × × = Ȧsalida D1 D 2 D3 D1

(ec. t.5.a)

Como se puede observar en los trenes de engranes sencillos la relación de transmisión sólo depende de las características geométricas del engrane de entrada y de salida. Los engranes intermedios pueden tener como objeto invertir el sentido de giro del engrane de salida o modificar las distancia entre los ejes. Los engranes intermedios son denominados engranes “Locos”, ya que su presencia no incide en la relación de transmisión del tren de engranes sencillo. Una limitante de los trenes de engranes sencillos son las relaciones máximas que se pueden alcanzar. Ya que la relación de transmisión sólo depende de los diámetros del primer y último engrane, su magnitud está limitada por parámetros geométricos. Un criterio de diseño utilizado es que la relación de diámetros entre los engranes no debe ser mayor de 10; por lo que la relación de transmisión máxima recomendada en los trenes simples es de 10. Un caso especial de son los engranes “sin fin” en donde la relación de transmisión puede ser mayor de 100.

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T.3

MANUAL DE MECANISMOS TRENES DE ENGRANES PÁGINA: 7-T – 6 de 13

Trenes de Engranes Compuestos:

Los trenes de engranes compuestos son aquellos donde la transmisión se obtiene de la combinación en serie de parejas de engranes. Trenes de engrane en donde existen dos o más engranes en uno o más ejes. Ver figura T.3. La relación de transmisión en un tren de engranes compuesto se puede determinar como el producto de las relaciones de transmisión de los pares de engranes í en contacto í que lo forman.

RT =

Ȧentrada =– R T =R T1×R T2 ×R T3 (ec. t.6) Ȧsalida

Donde:

RT =

Ȧentrada Ȧ1 Ȧ3 Ȧ5 = × × Ȧsalida Ȧ2 Ȧ4 Ȧ6

(ec. t.7) Figura T.3. Tren de Engranes Compuesto

La relación de transmisión entre los engranes E2 y E3 no se considera ya que los dientes de éstos no están en contacto y la velocidad angular para ambos es la misma. Al reemplazar la relación de velocidades por la relación de números de dientes de cada engrane se tiene

RT =

Ȧentrada N 2 N 4 N 6 = × × Ȧsalida N1 N 3 N 5

(ec. t.8)

Como se puede observar para trenes de engranes la relación de transmisión es igual al producto de los números de dientes de los engranes impulsados entre producto de los números de dientes de los engranes motrices.

RT =

Producto de los Números de Dientes de los Impulsados – N IMPULSADOS o RT = Producto de los Números de Dientes de los Motrices – N MOTRICES

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(ec. t.9)

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T.4

MANUAL DE MECANISMOS TRENES DE ENGRANES PÁGINA: 7-T – 7 de 13

Trenes de Engranes Invertidos / Revertidos:

Los trenes de engrane invertidos o en reversión son aquellos donde el primer y el último engrane se encuentran alineados (ver figura T.4). Los trenes invertidos son de uso amplio en cajas reductoras y su configuración implica la coincidencia en el sentido de giro de los ejes de entrada y salida. Este tipo de tren de engranes se utiliza generalmente para transmisiones manuales de automóviles.

Figura T.4. Tren de Engrane Revertido

En trenes de engranes donde el paso diametral es el mismo para todos los engranes se cumple que la suma de los números de dientes de ambas parejas debe ser iguales; esta condición garantiza que la distancia entre los centros sea igual para ambas parejas de engranes.

R1 +R 2 =R 3 +R 4

o

D1 D 2 D3 D 4 + = + 2 2 2 2

o

N1 N2  Pd u 2 Pd u 2

N1 +N 2 =N 3 +N 4

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N3 N4  Pd u 2 Pd u 2 (ec. t.10)

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T.5

MANUAL DE MECANISMOS TRENES DE ENGRANES PÁGINA: 7-T – 8 de 13

Trenes de Engranes Planetarios / Epicíclicos:

Los trenes de engranes planetarios son aquellos donde existe por lo menos un engrane con movimiento planetario; es decir, que un engrane gire alrededor de su propio eje y que éste a su vez rote en torno a otro eje. En los planetarios es importante componentes básicos, ver figura T.5:

identificar

tres

Sol o engrane central: Son engranes que sólo pueden girar alrededor de su eje. Los soles pueden ser engranes externos o anulares (dientes internos) y pueden estar en movimiento o fijos. Planeta o satélite: Son engranes que giran alrededor de su eje y al rededor del eje del sol. Brazo o portador: Barra que rota alrededor del eje del sol y sirve como soporte de los planetarios.

Figura T.5. Planetario

La relación de transmisión en los trenes planetarios se determina í al igual que los trenes de engrane simples y compuestos (ec. t.6)í a partir de la relación del producto de los engranes impulsados y motrices.

RP =

–N –N

IMPULSADOS MOTRICES

La RP se debe multiplicar por -1, por cada engrane anular presente.

Para determinar la relación de transmisión a partir de las velocidades angulares se deben tomar en cuenta la velocidad de giro del primer sol (entrada), del último sol (salida) y del brazo, ver figura T.6. Un aspecto importante en el cálculo de la relación del planetario es el sentido de giro de cada componente. Para reflejar esta condición en la ecuación, se debe establecer una convención de signos; por ejemplo, positivo para sentido horario y negativo para el antihorario.

 ȦBrazo Ȧ R P = PimerSol Ȧ ÚltimoSol  ȦBrazo

Figura T.6. Tren de Engrane Planetario

(ec. t.11)

El primero y último engrane debe ser siempre un engrane central; ya sea sol (externo) o corona (anular). Nunca debe colocarse un satélite (planetario) o un brazo como primero o último engrane; aún cuando la velocidad de los engranes centrales sea igual a cero. Se puede observar en el planetario que si el brazo no se mueve, el tren de engranes corresponde a un tren compuesto en reversión.

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TRENES DE ENGRANES PÁGINA: 7-T – 9 de 13

Se pueden utilizar diferentes aspectos para identificar y evaluar a los planetarios ¥ Para establecer los engranes que pertenecen al tren planetario se deben identificar los que están relacionados directamente con el brazo. Cada tren planetario sólo puede tener un solo brazo.

Planetarios

¥ Se debe destacar que en los brazos sólo pueden estar “montados” los planetarios o satélites. Estos engranes pueden girar sobre su propio eje y alrededor de los ejes de los soles. ¥ Los soles que pertenecen al tren planetario tienen que estar en contacto directo (contacto de los dientes de los engranajes) con los planetarios que están montados sobre el brazo del tren.

Soles

Figura T.7. Tren de engranes con planetario

¥ Para determinar la relación de transmisión del tren en función del número de dientes se puede emplear el siguiente artificio: Se asume una velocidad del brazo igual a cero (ZBRAZO = 0) y se calcula la relación de transmisión como si fuese un tren compuesto; donde el primer sol representa la entrada y el último, la salida). ¥ Se debe tener cuidado que en diferenciar la relación de transmisión geométrica del TREN planetario, relacionada con los números de dientes, y la relación de velocidades angulares de la CAJA reductora o amplificadora.

RP =

RP =

–N –N

IMPULSADOS MOTRICES

=

ȦPimerSol  ȦBrazo ȦÚltimoSol  ȦBrazo

(ec. t.12)

ȦPimerSol  ȦBrazo Ȧ z R T = Entrada Ȧ ÚltimoSol  ȦBrazo ȦSalida

(ec. t.13)

NOTA: Cuando se calcula la relación total de una caja de engranes de deben multiplicar todas las relaciones de transmisiones parciales (RT i). Un error común es incluir en este cálculo la relación geométrica del planetario Rp. Aún cuando en un tren planetario se pueden tener dos entradas (primer sol y brazo) los diseños convencionales contemplan una solo entrada para una salida. ȦBrazo

ȦBrazo ȦPimerSol

ȦEntrada ȦEntrada

ȦEntrada

ȦPimerSol

0

Ȧ ÚltimoSol =ȦSalida ȦPimerSol =ȦEntrada

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Ȧ ÚltimoSol =ȦSalida

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ȦBrazo =ȦSalida

ȦÚltimoSol =0

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T.5.1

MANUAL DE MECANISMOS TRENES DE ENGRANES PÁGINA: 7-T – 10 de 13

Caja de velocidades con Planetarios

El desarrollo de las cajas automáticas, como el de la figura T.7, se basan en el empleo de los engranes planetarios ya que no requieren interrupción en la transmisión de fuerza y su configuración es compacta. Para ilustrar el funcionamiento de los planetarios en las cajas, a continuación se muestra la caja del Ford Modelo T. Ver figura T.7. x

La entrada í desde el motor í es el brazo 2.

x

El engrane central 6 forma parte del eje de salida que impulsa a las ruedas.

x

Las bandas B1 y B2 están fijas a la caja o marco de referencia.

x

El embrague C permite acoplar el eje de entrada con el de salida.

Retroceso (RT = 1: 4) Se fija el engrane 8 aplicando el freno de la banda B1. El embrague C no está accionado. Primera í Baja (RT = 1: 2.75) Se fija el engrane 7 aplicando el freno de la banda B2. El embrague C no está accionado. Segunda í Alta (RT = 1: 1) El embrague C acopla el eje de entrada con el de salida. Los frenos de las bandas B1 y B2 no están accionados.

Engrane

3

4

5

6

7

8

# dientes

27

33

24

27

21

30

Figura T.8. Tren de engranes de una caja automática

Ejemplo del cálculo de la relación de velocidades para el retroceso: El engrane 6 corresponde al “sol” de salida; el eje 2 representa al brazo de entrada; el engrane 8 corresponde al “sol” (donde Z8 o 0) y los engranes 3 y 5 son los planetarios. La relación de transmisión se calcula con los números de dientes correspondientes:

RP =

N 5 ×N 6 4 = N8 ×N 3 5

RT

ZSalida ZEntrada

o

RP =

Ȧ8  Ȧ2 Ȧ6  Ȧ 2

0  ȦEntrada ȦSalida  ȦEntrada

o

ZSalida ZEntrada

 R P  1 RP

-1 4

-1 4

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T.5.2

MANUAL DE MECANISMOS TRENES DE ENGRANES PÁGINA: 7-T – 11 de 13

Diferencial de transmisión

El diferencial es un dispositivo que tiene como finalidad compensar la diferencia de velocidad de rotación de las ruedas de un vehículo que está cruzando o girando. En esta condición la rueda que se encuentra en el radio mayor debe girar más rápido que la que se encuentra en el radio menor. El engrane 2 gira entorno al eje “y” impulsado por el motor (caja de velocidades) y éste a su vez hace girar al engrane 3 alrededor del eje “x”. Cuando está en una recta los engranes 4, 5 y 6 giran en conjunto con el engrane 3 entorno al eje “x”. Al cruzar el vehículo los ejes de los engranes 5 y 6 (ejes de las ruedas) deben girar con velocidades distintas. En este caso la diferencia entre las velocidades de los engranes 5 y 6 es absorbida por los engranes 4, ya que pueden rotar al rededor de su propio eje (“y”) mientras son movidos al rededor del eje “x” por el engrane 3.

El engrane 3 es el portador, los engranes 4 son satélites y los engranes 5 y 6 son los soles.

Figura T.9. Diferencial de engranes cónicos

Figura T.10. Diferencial de engranes cónicos

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T.5.3

MANUAL DE MECANISMOS TRENES DE ENGRANES PÁGINA: 7-T – 12 de 13

Reductor de velocidad axial

Para algunas herramientas los planetarios representan la solución más idónea por su configuración compacta y carente de esfuerzos radiales sobre los ejes. Un caso típico son los destornilladores eléctricos, donde la caja reductora está compuesta por dos planetarios en serie, ver figura T.10. En esta herramienta la carcasa o cuerpo forma el engrane central anular o corona el cual tiene 48 dientes. Los satélites o planetarios son engranes de 19 dientes. Los engranes centrales o soles de 6 dientes. En esta configuración el primer “sol” corresponde al engrane central; el último “sol” corresponde a la corona (donde Z o 0) y el brazo representa la salida.

Figura T.11. Reductor planetario

Cálculo de la relación de velocidades: La barra B es el brazo; el engrane S corresponde al “sol” de entrada; el engrane C corresponde a “sol” de Salida (donde Z o 0) y los engranes P son los planetarios. La relación de transmisión se calcula con los números de dientes:

RP

RP =

NP u NC NS u N P ȦS  ȦB ȦC  Ȧ B

(1) u 8

:

Se debe destacar que la presencia de un engrane anular la relación de transmisión se debe multiplicar por -1.

ȦEntrada  ȦSalida 0  ȦSalida

o

RT

ZSalida ZEntrada

-1  R P  1

1 9

Para el conjunto de planetarios se tiene que:

ZSalida Z Entrada

RT ( primera

etapa )

u RT ( segunda

etapa )

1 1 u 9 9

1 81

Para una velocidad en el motor (entrada) de 10.000 rpm, la velocidad de la punta del destornillador (salida) es de 123 rpm.

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MANUAL DE MECANISMOS TRENES DE ENGRANES PÁGINA: 7-T – 13 de 13

REFERENCIAS El Norton (3) representa una buena opción para el estudio de los trenes de engranes ya que presenta una clasificación acorde con los tipos descritos en este capitulo, y complementa la lectura con reseñas de las transmisiones y los diferenciales. El Shigley (4) es adecuado para iniciar el estudio de los trenes planetarios, sin embargo, para profundizar en su estudio se recomienda el Erdman (2). En el Erdman se pueden estudiar los planetarios a partir de los tres métodos (la fórmula, los centros instantáneos y el tabulador) y adicionalmente se puede complementar el estudio la síntesis de trenes planetarios.

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LEVAS

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MANUAL DE MECANISMOS LEVAS PÁGINA: 8-L – 1 de 31

INTRODUCCIÓN Para la síntesis de los perfiles de las levas se han desarrollado diversos métodos analíticos, sin embargo en este capítulo – al igual que en resto del manual – los métodos que se describen contemplan la aplicación de métodos gráficos. La ventaja de estos métodos es que permiten corroborar los resultados de un programa en su fase de diseño y son fáciles de desarrollar para diseños preliminares. Para el desarrollo de la síntesis se estudiará en primer lugar los tipos de movimientos o desplazamientos que se pueden obtener en el seguidor. Los tipos de movimientos descritos están limitados a la posibilidad de reproducirlos a través de métodos gráficos. Asimismo el capítulo se centrará en las levas de tipo disco que trabajen en conjunto con seguidores de traslación (radial y excéntrico) o de rotación (pivotado). Los procedimientos de síntesis se desarrollarán, en lo posible, de forma simplificada de manera que el lector pueda complementarlos a partir del análisis de cada fase del procedimiento presentado.

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MANUAL DE MECANISMOS LEVAS PÁGINA: 8-L – 2 de 31

ÍNDICE LEVAS ............................................................................................................................................................ 5 L.1

Clasificación ............................................................................................................................ 5 L.1.1

Clasificación de la leva según la geometría ............................................................................ 5

L.1.2

Clasificación del seguidor según el tipo de contacto............................................................... 6

L.1.3

Clasificación del seguidor según el tipo de movimiento.......................................................... 6

L.2

Diseño de levas ....................................................................................................................... 7

L.3

Diagrama de desplazamiento ................................................................................................... 8

L.4

Curvas de desplazamiento ....................................................................................................... 8

L.5

L.4.1

Movimiento de Velocidad Constante ....................................................................................... 9

L.4.2

Movimiento de Aceleración Constante / Parabólico.............................................................. 10

L.4.3

Movimiento armónico simple ................................................................................................. 11

L.4.4

Movimiento cicloidal............................................................................................................... 12

Síntesis Gráfica de Perfiles de Levas ...................................................................................... 13 L.5.1

Síntesis Gráfica de Perfiles de Levas de disco ..................................................................... 14

L.5.2

Síntesis Gráfica de Perfiles de Levas de disco con seguidor radial ..................................... 15

L.5.3

Síntesis Gráfica de Perfiles de Levas de disco con seguidor excéntrico de rodillo .............. 20

L.5.4

Síntesis Gráfica de Perfiles de Levas de disco con seguidor pivotado de rodillo................. 26

REFERENCIAS ......................................................................................................................................... 31

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MANUAL DE MECANISMOS LEVAS PÁGINA: 8-L – 3 de 31

Lista de figuras Figura. L.1

Árbol de Levas ...........................................................................................................

5

Figura. L.2

Clasificación de la leva según la geometría ...............................................................

5

Figura. L.3

Clasificación del seguidor según el tipo de contacto ..................................................

6

Figura. L.4

Clasificación del seguidor según el tipo de movimiento .............................................

6

Figura. L.5

Ciclo de combustión de un motor de cuatro tiempos .................................................

7

Figura. L.6

Diagrama de desplazamiento .....................................................................................

8

Figura. L.7

Velocidad Constante ..................................................................................................

9

Figura. L.8

Movimiento Parabólico ...............................................................................................

10

Figura. L.9

Perfil del Movimiento Parabólico ................................................................................

10

Figura. L.10

Movimiento Armónico .................................................................................................

11

Figura. L.11

Movimiento Cicloidal ..................................................................................................

12

Figura. L.12

Nomenclatura de las Levas ........................................................................................

13

Figura. L.13

Diagrama de desplazamiento. Velocidad constante ..................................................

15

Figura. L.14

Síntesis de Leva con seguidor radial. Representación del seguidor en su posición inicial .....................................................

Figura. L.15

Síntesis de Leva con seguidor radial. Representación del trazador en cada línea de acción.................................................

Figura. L.16

Figura. L.18

17

Síntesis de Leva con seguidor radial. Representación del seguidor en cada posición del trazador........................................

Figura. L.17

16

18

Síntesis de Leva con seguidor radial. Dibujar el perfil de la leva ............................................................................................

19

Diagrama de desplazamiento. Armónico simple ........................................................

20

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Figura. L.19

MANUAL DE MECANISMOS LEVAS PÁGINA: 8-L – 4 de 31

Síntesis de Leva con seguidor excéntrico. Representación del seguidor en su posición inicial .....................................................

Figura. L.20

Síntesis de Leva con seguidor excéntrico. Representación del trazador en cada línea de acción ................................................

Figura. L.21

22

Síntesis de Leva con seguidor excéntrico. Representación del seguidor en cada posición del trazador .......................................

Figura. L.22

21

23

Síntesis de Leva con seguidor excéntrico. Dibujar el perfil de la leva ............................................................................................

24

Figura. L.23

Seguidor excéntrico y seguidor radial ........................................................................

25

Figura. L.24

Diagrama de desplazamiento. Parabólico

26

Figura. L.25

Síntesis de Leva con seguidor pivotado Representación del seguidor en su posición inicial .....................................................

Figura. L.26

Síntesis de Leva con seguidor pivotado. Representación del trazador en cada línea de acción.................................................

Figura. L.27

28

Síntesis de Leva con seguidor pivotado. Representación del seguidor en cada posición del trazador........................................

Figura. L.28

27

29

Síntesis de Leva con seguidor pivotado. Dibujar el perfil de la leva ............................................................................................

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MANUAL DE MECANISMOS LEVAS PÁGINA: 8-L – 5 de 31

LEVAS Las levas son elementos mecánicos ampliamente utilizados en las maquinarias para transformar un movimiento en otro; (como rotación en traslación). Su versatilidad se debe a dos características primarias: pueden transformar el tipo de movimiento (rotación / traslación) y pueden ser diseñadas para realizar repetidamente movimientos específicos. En toda la industria se emplean ampliamente los mecanismos de levas como elementos de generadores de movimientos. El ejemplo más emblemático del uso de las levas son los motores de combustión interna, donde las válvulas de admisión y escapes son sincronizadas a partir del “árbol de levas” mostrado en la figura L.1, el cual sincroniza la apertura y cierre de las válvulas con el giro del cigüeñal del motor. Figura L.1. Árbol de l

L.1 Clasificación

Los mecanismos de levas se clasifican a partir de sus elementos primarios: la leva y el seguidor. La leva es el elemento motriz del mecanismo y su clasificación se deriva de su geometría (figura L.2). El seguidor es el elemento mecánico de salida y se clasifican de acuerdo al tipo de contacto con la leva (figura L.3) y al tipo de movimiento (figura L.4).

L.1.1 Clasificación de la leva según la geometría

a) Leva de disco o placa

b) Leva de cuña

c) Leva cilíndrica o tambor

d) Leva de cara

Figura L.2. Clasificación de la leva según la geometría

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L.1.2 Clasificación del seguidor según el tipo de contacto

a) Seguidor de cuchilla / cuña / punta de aguja

b) Seguidor de rodillo / carretilla

c) Seguidor plano

d) Seguidor Esférico / zapata curva / hongo

Figura L.3. Clasificación del seguidor según el tipo de contacto.

L.1.3 Clasificación del seguidor según el tipo de movimiento e

a) Seguidor de traslación

b) Seguidor de traslación excéntrico / compensación

c) Seguidor pivotado / oscilación

Figura L.4. Clasificación del seguidor según el tipo de movimiento

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L.2 Diseño de levas El diseño de las levas se realiza a partir de la síntesis del movimiento del seguidor, para lo cual se debe establecer el tipo de leva y de seguidor requerido, así como el tipo de contacto entre ambos elementos. Una vez establecido las características geométricas de la leva se debe definir las características de movimiento que tendrá el seguidor durante la secuencia de avance y retorno. Por ejemplo en la figura L.5 se muestra la secuencia de un motor de cuatro tiempos. En cada ciclo de combustión (admisión, compresión, expansión y escape) cada válvula í admisión y escape í debe permanecer cerrada durante las tres cuartas partes (¾) del ciclo y abrir y cerrar en una cuarta parte (¼). Para lograr esta condición la leva cuenta con una sección cilíndrica (radio constante) en 270º y un cambio en el radio en una sección de 90º. El diseño del perfil de la leva a partir del movimiento requerido en el seguidor, se denomina síntesis de la leva.

Figura L.5 Ciclo de combustión de un motor de cuatro tiempos

En la síntesis de los perfiles de levas se requiere definir los siguientes puntos: x

Características geométricas de la leva, del seguidor y del tipo de contacto

x

Tipo de movimiento de desplazamiento del seguidor (avance y retorno).

x

Posición del seguidor en cada fase del ciclo de la leva (síntesis del perfil de la leva).

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L.3 Diagrama de desplazamiento Por lo general el objetivo primario de las levas es producir una secuencia de movimientos en el seguidor a partir del movimiento de rotación del la leva. La secuencia de estos eventos a lo largo de un ciclo se muestra en un diagrama de desplazamiento como el de la figura L.6, en el cual la abscisa representa un ciclo de movimiento de entrada (una revolución en el caso de una leva de disco) el cual se dibuja a una escala conveniente. La ordenada represente el recorrido o carrera del seguidor. Los movimientos presentes en un ciclo de denominan: Avance o ascenso: en el movimiento el seguidor se aleja del centro de la leva. Retorno o descenso: en el movimiento el seguidor se aproxima al centro de la leva. Reposo o detención: el seguidor mantiene la distancia al centro de la leva. En la representación de un ciclo se debe tomar en cuenta la relación existente entre el tiempo trascurrido para cada movimiento y la posición de la leva correspondiente. Por ejemplo, sí una leva gira a razón de 2,0 rpm, se infiere que en cada segundo la leva girará 12°; es decir, 12 grados/s. En el siguiente diagrama se muestra un ciclo en el cual el seguidor permanece en reposo 12 s para luego ascender en 6 s, detenerse durante 6 s y finalmente retornar a su posición inicial en 6 s.

Figura L.6 Diagrama de desplazamiento

La selección del tipo de movimiento de ascenso o descenso depende del comportamiento del seguidor durante su desplazamiento. Entre los tipos de curvas de desplazamientos se encuentran:

L.4 Curvas de desplazamiento x x x x x x x

Velocidad constante Aceleración constante / Parabólica Movimiento armónico simple Movimiento cicloidal / aceleración senoidal Aceleración trapezoidal Aceleración trapezoidal modificada Poligonales

Para el diseño gráfico de las levas sólo se evaluarán en este manual los primeros cuatro tipos curvas movimientos, los cuales servirán como base para la síntesis de levas tipo disco.

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L.4.1 Movimiento de Velocidad Constante El movimiento de velocidad constante represente el comportamiento más simple del seguidor; en el cual, la curva de desplazamiento corresponde a una línea recta. La desventaja de este perfil son los picos de aceleración infinita presentes al inicio y al final del movimiento, los cuales producen grandes fuerzas inerciales, ver figura L.7.a. Esta condición limita el uso de este perfil para velocidades bajas. Para evitar los efectos de discontinuidad en la curva de aceleración se puede desarrollar una curva de velocidad constante modificada en la que cambios de velocidad se suavizan por medio de una curvatura de radio igual a la carrera del seguidor, ver figura L.7.b. Esta modificación no es muy atractiva ya que presentan sobreaceleraciones o “jerk” infinitos que ocasionan vibraciones, ruidos y desgastes.

b) Velocidad Constante Modificada

a) Velocidad Constante

Figura L.7 Velocidad Constante

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L.4.2 Movimiento de Aceleración Constante / Parabólico El movimiento parabólico se presenta como una alternativa para perfiles de levas que operen con velocidades moderadas, ya que en éste las magnitudes de las aceleraciones son finitas y constantes. Si bien ésta característica disminuye los esfuerzos inerciales, los picos infinitos en la sobreaceleración, derivados de los escalonamientos en la curva de aceleración producen vibraciones, ruidos y desgastes. Para determinar los valores “picos” de las gráficas es necesario conocer la velocidad angular de la leva “Z”, el ángulo de rotación de la leva “E” para cada movimiento y la magnitud de la carrera del seguidor. Para desarrollar el perfil parabólico se debe dividir el eje de las abscisas (tiempo) en 6 divisiones iguales como se puede ver en la figura L.8. Así mismo se debe dibujar una línea auxiliar arbitraria con divisiones consecutivas de segmentos impares, como se indica en la siguiente tabla: Divisiones de línea auxiliar: Abscisas

1

2

3

4

5

Ordenadas

1

3

5

5

3

6 1

Abscisas

1

2

3

4

5

6

7

8

Ordenadas

1

3

5

7

7

5

3

1

Abscisas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ordenadas

1

3

5

7

9

9

7

5

3

1

En la gráfica se puede observar un ejemplo en donde se ha utilizado seis divisiones.

Figura L 8 Movimiento Parabólico

Para proyectar los segmentos de la línea auxiliar en la ordenada del diagrama se une la última división con una línea al extremo de la ordenada y los puntos restantes con líneas paralelas a la primera. Las intersecciones con la ordenada se extienden horizontalmente hasta las abscisas correspondientes. Estas intersecciones son puntos sobre la curva parabólica.

Un método más simple para desarrollar el perfil de movimiento parabólico se puede deducir con facilidad de los diagramas que se presentan en la figura L.9.

Figura L.9 Perfil del Movimiento Parabólico

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L.4.3 Movimiento armónico simple El perfil del movimiento armónico simple se obtiene de un semicírculo el cual es dividido en su perímetro en partes iguales con la misma cantidad de segmento de la abscisa, ver figura L.10.a. Las prolongaciones horizontales de las divisiones del arco se interceptan en la vertical con las divisiones de las abscisas en los puntos que pertenecientes a la curva armónica. Aún cuando este perfil presentas puntos de sobreaceleraciones infinitos, son llamativos ya que: 1. Presentan menos cantidad de puntos de sobreaceleración infinitos (Jerk o f) que el movimiento parabólico. 2. Los valores máximos de velocidad son inferiores a los de movimiento parabólico 3. Son más fáciles de fabricar.

R

60º 30º

1)

R

30º 60º

2)

a)

b)

3)

Figura L.10 Movimiento Armónico

Para determinar los valores “picos” de las gráficas es necesario conocer la velocidad angular de la leva “Z”, el ángulo de rotación de la leva “E” para cada movimiento y la magnitud de la carrera del seguidor. En la figura L.10.b se muestra una secuencia para dividir gráficamente la semicircunferencia en seis partes iguales con la ayuda de un compás. “R” represente el radio de la semicircunferencia y la apertura del compás.

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L.4.4 Movimiento cicloidal La curva cicloidal representa uno de los movimientos más idóneos para el desarrollo de perfiles de levas. A pesar de presentar aceleraciones superiores a las obtenidas con los movimientos parabólicos y armónicos, la carencia de picos infinitos en la sobreaceleración hace que el perfil cicloidal sea el mejor de los expuestos para aplicaciones de altas velocidades. El desarrollo gráfico de la curva cicloidal se logra dibujando al inicio o final de la curva un círculo con radio igual L/2S, como se muestra en la figura L.11a. Posteriormente se divide el círculo en el mismo número de partes que divisiones sobre las abscisas y se proyectan horizontalmente las divisiones desde el perímetro hasta la una línea vertical que pasa por el centro del círculo. Posteriormente se traza una línea diagonal al gráfico í la cual corresponde a los puntos 0, 3 y 6 de la curva í y de dibujan líneas paralelas a ésta que partan de los puntos proyectados 12 y 4-5 del círculo. La intercepciones de las líneas con las verticales de las abscisas correspondientes representan puntos sobre la curva cicloidal. Ver figura L.11.b.

a)

Para determinar los valores “picos” de las gráficas es necesario conocer la velocidad angular de la leva “Z”, el ángulo de rotación de la leva “E” para cada movimiento y la magnitud de la carrera del seguidor.

b) Figura L.11 Movimiento Cicloidal

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L.5 Síntesis Gráfica de Perfiles de Levas La síntesis de perfiles de levas consiste en la reproducción de cada posición del seguidor, respecto al tiempo, en los ángulos de rotación correspondientes de la leva. Para el desarrollo de la síntesis se debe tener previamente definido las características geométricas de cada elemento del mecanismo (leva, seguidor y tipo de contacto) y el diagrama de desplazamiento del seguidor. En el desarrollo de la síntesis de levas se deben conocer las siguientes nomenclaturas: Punto de trazo o trazador: Este punto corresponde a la punta del seguidor de cuchilla; un punto de la superficie del seguidor plano; el centro del rodillo o el centro de la punta de esfera. Curva de paso: Lugar geométrico generado por el punto trazador a lo largo del desarrollo del perfil de la leva. Círculo primario: Círculo de menor diámetro que se puede representar con centro en el eje de rotación y tangente a la curva de paso. Círculo base: Círculo de menor diámetro que se puede representar con centro en el eje de rotación y tangente al perfil de la leva. Círculo de excentricidad: Círculo cuyo radio es igual a la magnitud de la excentricidad. Carrera: Desplazamiento del seguidor al completar un movimiento de avance o retorno. En los seguidores pivotados la carrera viene dada por la cuerda que se genera en la rotación del seguidor.

Figura L.12 Nomenclatura de las Levas

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L.5.1 Síntesis Gráfica de Perfiles de Levas de disco La síntesis de levas de disco consiste básicamente en representar al seguidor en cada una de las posiciones í ángulo de rotación í de la leva. Para sintetizar el perfil de la leva, es necesario invertir el mecanismo, de manera que la leva se mantenga estacionaria mientras que el seguidor gira en torno a ésta en sentido opuesto a la rotación de la leva. El procedimiento consiste en ejecutar los siguientes pasos: 1. Representar al seguidor en su posición inicial respecto al centro de rotación de la leva. 2. Identificar en el seguidor, de acuerdo al diagrama de desplazamiento, las diferentes posiciones de avance y retorno del trazador. a. Rotular el diagrama de desplazamiento representando en la ordenada la carrera del seguidor y en la abscisa los movimientos del seguidor para un ciclo. i. El origen del diagrama debe coincidir con la posición inicial del trazador y el valor máximo de la ordenada con la magnitud de la carrera. ii. Identificar en la abscisa las fases significas del movimiento de la leva con números correlativos (inicio y fin de los reposos y posiciones intermedios de los avances y retornos). iii.

Representar los reposos con segmentos cortos horizontales, indicando para el inicio y el final el correlativo correspondiente (tiempo o ángulo de rotación de la leva correspondiente).

iv. Dibujar la curva de desplazamiento del seguidor b. Proyectar en el seguidor las diferentes posiciones del trazador, de acuerdo con la curva de desplazamiento. i. Se puede identificar en un lado de las líneas de desplazamiento del trazador las posiciones correspondientes al avance del seguidor; y en el otro, las del retorno. 3. Dibujar, en sentido opuesto al movimiento de la leva, la línea de acción del seguidor para cada ángulo de rotación de la leva identificado en el diagrama de desplazamiento. 4. Marcar en cada línea de acción del seguidor las posiciones del trazador. 5. Representar el seguidor, de acuerdo al tipo de contacto, en la ubicación del trazador de cada posición. 6. Dibujar el perfil de la leva de manera tal que sea tangente a todos las superficies de contacto de los seguidores representados. El perfil de la leva debe ser tangente a las superficies de todos los seguidores; y por ende, todos los seguidores deben quedar fuera del perímetro de la leva.

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L.5.2 Síntesis Gráfica de Perfiles de Levas de disco con seguidor radial A continuación se presenta la síntesis para una leva tipo disco que gira a 2,5 rpm, con seguidor centrado de punta de aguja. El seguidor cambia su posición con velocidad constante de acuerdo con la siguiente secuencia: Leyenda: Fase

R

Posición

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tiempo [seg]

0

5

7

9

11

13

16

18

20

22

24

Ángulo [°]

0

75

105

135

165

195

240

270

300

330

360

Avance

R

Retorno

Como se explico en la sección L.4.1 (Movimiento de Velocidad Constante) la curva de desplazamiento se representa en la figura L.13 como una línea recta que va desde la posición inicial del movimiento (posición 1) hasta la final (posición 5). Este comportamiento se representa de manera similar para el descenso iniciando el movimiento en la posición 6 y completándolo en la posición10. Las intercepciones de las posiciones del seguidor (abscisas) con la curva de desplazamiento corresponden a las fases de avance y retorno del trazador (ordenada) para cada ángulo indicado en la leyenda.

Figura L.13 Diagrama de desplazamiento. Velocidad constante

La síntesis del perfil de la leva se desarrollará en cuatro fases. Para cada fases se enunciarán los pasos listados en el punto L.5.1 y el lector podrá observar y analizar en cada etapa del procedimiento a seguir hasta obtener el perfil de la leva..

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Pasos a seguir en la figura 14.1, de acuerdo al procedimiento L.5.1: 1. Representar al seguidor en su posición inicial. 2. Identificar en el seguidor las posiciones de avance y retorno del trazador.

Figura. L.14 Síntesis de Leva con seguidor radial. Representación del seguidor en su posición inicial.

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Pasos a seguir en la figura 14.2, de acuerdo al procedimiento L.5.1: 3. Dibujar, en sentido opuesto al movimiento de la leva, la línea de acción del seguidor. 4. Marcar en cada línea de acción del seguidor las posiciones del trazador.

Figura. L.15 Síntesis de Leva con seguidor radial. Representación del trazador en cada línea de acción.

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Pasos a seguir en la figura 14.3, de acuerdo al procedimiento L.5.1: 5. Representar al seguidor en la ubicación del trazador de cada posición.

Figura. L.16 Síntesis de Leva con seguidor radial. Representación del seguidor en cada posición del trazador.

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Pasos a seguir en la figura 14.4, de acuerdo al procedimiento L.5.1: 6. Dibujar el perfil de la leva de manera tal que pase por todos las superficies de contacto de los seguidores

Figura. L.17 Síntesis de Leva con seguidor radial. Dibujar el perfil de la leva.

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Síntesis Gráfica de Perfiles de Levas de disco con seguidor excéntrico de rodillo El siguiente procedimiento de síntesis corresponde a una leva tipo disco que trabaja con un seguidor de rodillo en traslación que presenta una excentricidad “e” respecto al centro de giro de la leva. Los seguidores de traslación excéntricos, denominados también de compensación, tienen como objeto disminuir el ángulo de presión que se forma entre la normal común de la leva y el seguidor y la línea de acción del seguidor. Debido que la mayor incidencia del ángulo de presión sobre el seguidor ocurre cuando el seguidor avanza í la leva empuja al seguidor í la excentricidad debe colocarse en dirección opuesta al sentido de rotación de la leva. La síntesis de la leva se desarrollará con un movimiento armónico simple en el seguidor; sin reposo tanto para el avance como para el retorno. Para la representación de los movimientos armónicos del seguidor se utilizarán 12 divisiones de 30° en la leva. Leyenda:

7

8

9

10

11

12

210

240

270

300

330

360

90

6

3

60

180

2

30

5

1

0

150

0

Ángulo [°]

4

Posición

Retorno

120

Avance

Fase

Para este caso la curva de desplazamiento se obtiene del procedimiento indicado en la sección L.4.3 (Movimiento Armónico). El avance del seguidor se inicia en la posición 0 para completarse la mitad del ciclo (posición 6). Para el retorno el comportamiento es simétrico, iniciando el movimiento en la posición 6 y completándolo en la posición12. Las intercepciones de las posiciones del seguidor (abscisas) con la curva de desplazamiento corresponden a las fases de avance y retorno del trazador (ordenada) para cada ángulo indicado en la leyenda. Ver figura L.15.

Figura. L.18 Diagrama de desplazamiento. Armónico simple

La síntesis del perfil de la leva se desarrollará en cuatro fases. Para cada fases se enunciarán los pasos listados en el punto L.5.1 y el lector podrá observar y analizar en cada etapa del procedimiento a seguir hasta obtener el perfil de la leva..

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Pasos a seguir en la figura 16.14, de acuerdo al procedimiento L.5.1: 1. Representar al seguidor en su posición inicial respecto al centro de rotación de la leva. 2. Identificar en el seguidor las posiciones de avance y retorno del trazador.

Figura. L.19 Síntesis de Leva con seguidor excéntrico. Representación del seguidor en su posición inicial.

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Pasos a seguir en la figura 16.2, de acuerdo al procedimiento L.5.1: 3. Dibujar, en sentido opuesto al movimiento de la leva, la línea de acción del seguidor. 4. Marcar en cada línea de acción del seguidor las posiciones del trazador de acuerdo al diagrama de desplazamiento.

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Pasos a seguir en la figura 16.3, de acuerdo al procedimiento L.5.1: 5. Representar al seguidor en la ubicación del trazador de cada posición.

Figura. L.21 Síntesis de Leva con seguidor excéntrico. Representación del seguidor en cada posición del trazador.

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Pasos a seguir en la figura 16.4, de acuerdo al procedimiento L.5.1: 6. Dibujar el perfil de la leva de manera sea tangente a todas las superficies de contacto de los seguidores

Figura. L.22 Síntesis de Leva con seguidor excéntrico. Dibujar el perfil de la leva.

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En el diseño de levas se debe tener presente que la excentricidad del seguidor se debe establecer previo a la síntesis del perfil. Cuando se tiene el perfil fabricado, no se debe modificar en la leva la posición del seguidor ya que el comportamiento de éste resultaría inapropiado y erróneo. A continuación se muestra la síntesis de una leva en línea con las mismas características físicas y de movimiento utilizado en el ejemplo anterior y se presenta una superposición de los perfiles (en línea y excéntrico).

6 5-7 4-8 3-9 2-10 1-11 0-12

Seguidor excéntrico Seguidor en línea

1

10 9

2

8

7

3

6

4 5

Figura. L.23 Seguidor excéntrico y seguidor radial

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L.5.3 Síntesis Gráfica de Perfiles de Levas de disco con seguidor pivotado de rodillo El siguiente procedimiento de síntesis corresponde a una leva tipo disco que trabaja con un seguidor de rodillo pivotado. Los seguidores de pivotados, denominados también de oscilación, permiten disminuir la fricción y los momentos que se producen en la guía del seguidor de traslación como consecuencia del empuje de la leva. Para este tipo de seguidor el sentido de giro de la leva no presenta restricciones como en el caso del seguidor excéntrico; sin embargo, el sentido de rotación de avance preferente en el seguidor es la opuesta a la rotación de la leva. La siguiente síntesis contempla una oscilación de 25° en el seguidor con movimiento parabólico, tanto para el avance como para el retorno, con períodos 90° en la leva, y un reposo de 180º en la posición inferior. Para la representación de los movimientos parabólicos del seguidor se iniciará el avance cuando la leva haya rotado 90º y el resto del reposo se colocará al final del ciclo. Para representar tanto el avance como el retorno se utilizaran 6 divisiones de 15°. Leyenda:

9

10

11

12

210

225

240

255

13

8 195

270

7

R

180

4 150

6

3 135

180

2 120

5

1

Ángulo [°]

Retorno

165

Posición

105

Avance

0

R

90

Fase

En este caso la curva de desplazamiento se obtiene del procedimiento indicado en la sección L.4.2 (Movimiento Parabólico). El avance del seguidor se inicia en la posición 1 y completa en la mitad del ciclo (posición 6). Para el retorno el comportamiento es simétrico, iniciando el movimiento en la posición 7 y completándolo en la posición 13. El seguidor permanecerá en reposo desde los 270º hasta los 90º, pasando por los 0º. Esta condición particular podría estar asociada al movimiento del seguidor respecto a la chaveta de la leva. En la síntesis de levas es optativo emplear dos dígitos para discriminar en final del avance y el inicio del retorno, aún cuando no hay reposo entre los dos movimiento (posiciones 6 y 7).

Figura. L.24 Diagrama de desplazamiento. Parabólico

En el diagrama de desplazamiento la ordenada corresponde al giro del seguidor, representado por la proyección en una cuerda del arco de movimiento del seguidor; y la abscisa corresponde a las posiciones o ángulo de rotación de la leva. Ver figura L.19.1.

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Pasos a seguir en la figura 19.1, de acuerdo al procedimiento L.5.1: 1. Representar al seguidor en su posición inicial respecto al centro de rotación de la leva. 2. Identificar en el seguidor las posiciones de avance y retorno del trazador. El movimiento del seguidor se representa en una cuerda y se proyecta sobre el arco del movimiento del trazador.

Figura. L.25 Síntesis de Leva con seguidor pivotado. Representación del seguidor en su posición inicial.

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Pasos a seguir en la figura 19.2, de acuerdo al procedimiento L.5.1: 3. Dibujar, en sentido opuesto al movimiento de la leva, la línea de acción del seguidor (arco del pivote). Se ubica el pivote en cada posición del seguidor (ángulo de rotación) y se dibuja el arco de movimiento del trazador. 4. Marcar en cada línea de acción del seguidor (arco) las posiciones del trazador de acuerdo al diagrama de desplazamiento.

Figura. L.26 Síntesis de Leva con seguidor pivotado. Representación del trazador en cada línea de acción.

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Pasos a seguir en la figura 19.3, de acuerdo al procedimiento L.5.1: 5. Representar al seguidor en la ubicación del trazador de cada posición.

Figura. L.27 Síntesis de Leva con seguidor pivotado. Representación del seguidor en cada posición del trazador.

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Pasos a seguir en la figura 19.4, de acuerdo al procedimiento L.5.1: 6. Dibujar el perfil de la leva de manera sea tangente a todas las superficies de contacto de los seguidores

Figura. L.28 Síntesis de Leva con seguidor pivotado. Dibujar el perfil de la leva.

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REFERENCIAS Para la síntesis de levas a partir de métodos gráficos se recomienda utilizar como literatura de apoyo los apuntes del Torrealba (1), el Erdman (2), Shigley (4) y el Mabie (5). En el Erdman (2) se indican las ecuaciones para determinar las magnitudes máximas para el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y la sobreaceleraciones (jerks o tirón) para cada movimiento. Se debe destacar que en las demás bibliografías las magnitudes de los valores antes citados son referenciales ya que no toman en cuenta la velocidad angular de la leva. En el caso del Mabie (5) no se hace referencia de la sobreaceleración para ningún tipo de movimiento del seguidor. Por otro lado el Norton (3), aún cuando no se describen métodos gráficos, presenta una buena descripción de los tipos de movimientos del seguidor y de criterios de diseño para los perfiles de levas.

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BIBLIOGRAFÍA

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MANUAL DE MECANISMOS BIBLIOGRAFÍAS PÁGINA: 9-B – 1 de 1

BIBLIOGRAFÍA La biografía de consulta utilizada como referencia para el desarrollo del manual se listan a continuación: 1.

PROF. TORREALBA J (1973). Apuntes de Mecanismos. Venezuela: Universidad de Carabobo.

2.

ERDMAN A. (1998). Diseño de Mecanismos, análisis y síntesis (3ª ed.) . México: Prentice Hall.

3.

NORTON R (2000). Diseño de máquinas. (2ª ed.) . México: McGraw Hill.

4.

SHIGLEY J. (2001). Teoría de máquinas y mecanismos. (2ª ed.). México: McGraw Hill.

5.

MABIE H. (2001). Mecanismos y dinámica de máquinas. (2ª ed.). México: NoriegaíLimusa.

6.

PROF. OJEDA D (2003). Guia de Mecanismos. Venezuela: Universidad de Carabobo.

Cada título tiene un aspecto que lo destaca de los demás, en algunos casos presentan aspecto de interés académico que no son abordados por todos los autores, por ejemplo: La aceleración de Coriolis en portadores curvos sólo es reseñado por Mabie y los centros instantáneos de aceleración sólo lo menciona el Shigley. Los parámetros de proporcionalidad para el diseño de engranes en el Sistema Internacional (Británicos y Alemanes) sólo lo muestra el Mabie y la cantidad mínima de dientes en piñones y ruedas sólo los tabula el Norton.

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