Mecanica Teoretica

Elemente de mecanica punctului material ¸si a solidului rigid Octavian 3 noiembrie 2002

Cuprins 1 Mecanic˘ a geometric˘ a 1.1 Modelul matematic al spa¸tiului fizic 1.1.1 Punctele spa¸tiului fizic . . . 1.1.2 Direc¸tiile spa¸tiului fizic . . . 1.2 Spa¸tiul vectorilor lega¸ti . . . . . . . 1.3 Geometria spa¸tiului fizic . . . . . . 1.4 Repere carteziene . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

7 . 8 . 8 . 9 . 10 . 11 . 13

2 Mecanica punctului material 2.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Traiectoria. Viteza. Accelera¸tia . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Geometria traiectoriei . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Triedrul lui Frenet. Formulele Frenet-Serret . . . . . . 2.1.4 Raza de curbur˘ a ¸si torsiunea ca func¸tii de timp . . . . 2.1.5 Forma traiectoriei în apropierea lui M . . . . . . . . . 2.1.6 Viteza ¸si accelera¸tia în triedrul lui Frenet . . . . . . . . 2.1.7 Mi¸scarea circular˘ a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.8 Mi¸scarea plan˘ a în coordonate polare (metoda transform˘ arii Pr˝ufer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.9 Mi¸scarea relativ˘ a a punctului material . . . . . . . . . 2.1.10 O formul˘ a matriceal˘ a în leg˘ atur˘ a cu vectorul ω . . . . . 2.1.11 O interpretare geometric˘ a a vectorului ω . . . . . . . . 2.1.12 M˘ asur˘ a ¸si integral˘ a în SF . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.13 Suprafe¸te în SF . Plan tangent la o suprafa¸ta˘. Curbe pe suprafe¸te. Triedrul lui Darboux. Formulele DarbouxRibaucour. Geodezice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.14 Formula Gauss-Ostrogradski. Prima formul˘ a a lui Green. Integrale de tip poten¸tial. Ecua¸tia lui Poisson . . . . . 2

17 17 18 19 26 30 31 34 35 37 38 46 48 50

57 71

CUPRINS 2.1.15 O formul˘ a asimptotic˘ a pentru f1 (M) . . . . . . . . . 2.1.16 Viteza areolar˘ a a punctului material . . . . . . . . . 2.1.17 Comentarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Statica ¸si dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Principiile dinamicii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Ecua¸tiile diferen¸tiale ale lui Newton . . . . . . . . . . 2.2.3 Repere iner¸tiale. Principiul relativit˘ a¸tii în meca- nica clasic˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Impulsul punctului material. Teorema impulsului . . 2.2.5 Momentul for¸tei. Momentul cinetic (orbital) al punctului material. Teorema momentului cinetic . . . . . 2.2.6 Lucrul mecanic. Puterea . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Energia cinetic˘ a a punctului material. Teorema energiei cinetice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.8 Legi de conservare (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.9 Legi de conservare (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.10 Legi de conservare (III) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.11 For¸te conservative. Energie poten¸tial˘ a. Conservarea energiei mecanice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.12 Suprafe¸tele echipoten¸tiale ¸si liniile de for¸ta˘ ale unui câmp conservativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.13 Câmpul gravita¸tional. Poten¸tialul gravita¸tional. Modelul punctiform al corpurilor cere¸sti . . . . . . . . . . 2.2.14 Mi¸scarea în câmp central . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.15 Legile lui J. Kepler. Problema lui Newton . . . . . . 2.2.16 Problema celor dou˘ a corpuri . . . . . . . . . . . . . . 2.2.17 Ecua¸tia lui J. Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.18 Limitele teoriei newtoniene a gravita¸tiei . . . . . . . 2.2.19 Teorema virialului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.20 Punct material liber. Punct material supus unor leg˘ aturi. Condi¸tii de echilibru. For¸te de frecare . . . . . . 2.2.21 Ecua¸tiile intrinseci ale lui L. Euler. Ecua¸tiile mi¸sc˘ arii în triedrul lui Darboux. Leg˘ atura cu teorema energiei cinetice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.22 Principiul echivalen¸tei. For¸te iner¸tiale . . . . . . . . . 2.2.23 Mi¸scarea în câmp gravita¸tional terestru, în vid. B˘ ataia ¸si s˘ ageata traiectoriei. Parabola de siguran¸ta˘ . . . . .

3 . . . . . .

88 90 92 95 97 101

. 104 . 107 . 108 . 111 . . . .

114 115 117 125

. 127 . 130 . . . . . . .

130 135 140 144 148 150 154

. 156

. 167 . 169 . 171

4

CUPRINS 2.2.24 Mi¸scarea pe un plan înclinat în câmp gravita¸tional terestru, în aer. Viteza limit˘ a a punctului material M . . 2.2.25 Solu¸tii convergente ale unei ecua¸tii diferen¸tiale ordinare de ordinul I. Convergen¸ta unor func¸tii p−absolut integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.26 Problema balisticii exterioare . . . . . . . . . . . . . . 2.2.27 Ecua¸tia diferen¸tial˘ a a mi¸sc˘ arii pe o curb˘ a fix˘ a ideal˘ a. Lucrul mecanic al for¸telor de leg˘ atur˘ a. . . . . . . . . . 2.2.28 Ecua¸tia diferen¸tial˘ a a pendulului gravita¸tional simplu (matematic). Formula perioadei mi¸sc˘ arii. Legile pendulului simplu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.29 Problema lui Wittenbauer ¸si ecua¸tia diferen¸tial˘ a a oscilatorului armonic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.30 Ecua¸tia diferen¸tial˘ a a pendulului gravita¸tional sferic . . 2.2.31 Stabilitatea echilibrului punctului material M . . . . .

174

178 183 191

192 198 200 203

3 Mecanica solidului rigid 206 3.1 Vectori ¸si tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 3.1.1 Vectori alunec˘ atori. Principiul suprim˘ arii for¸telor . . . 208 3.1.2 Momentul unui vector fa¸ta˘ de o ax˘ a. Momentul cinetic fa¸ta˘ de o ax˘ a al punctului material. Teorema momentului cinetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 3.1.3 Torsorul unui sistem de vectori. Sisteme de vectori echivalente. Invarian¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 3.1.4 Teorema lui P. Varignon. Cuplu de for¸te. Reducerea sistemelor de vectori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 3.1.5 Axa central˘ a a unui sistem de vectori. Reducerea canonic˘ a a unui sistem de vectori ¸si cazuri de degenerescen¸ta˘ ale ei. Centrul unui sistem de vectori paraleli. Centrul de greutate al unui corp material. Centrul de mas˘ a al unui sistem mecanic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 3.1.6 Tensorul de iner¸tie al unui sistem mecanic. Momente de iner¸tie. Formula lui Leibniz. Formula lui Lagrange. Formula Huygens-Steiner. Teorema Steiner-Lurie. Formula Euler-Cauchy pentru calculul momentului de iner¸tie fa¸ta˘ de o ax˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 3.1.7 Elipsoidul de iner¸tie al unui sistem mecanic. Axe principale de iner¸tie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

CUPRINS

5

3.2 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 3.2.1 Formula lui L. Euler. Transla¸tia ¸si rota¸tia solidului rigid. Teorema lui Rivals . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 3.2.2 Interpretarea cinematic˘ a a mi¸sc˘ arii solidului rigid. Invarian¸tii mi¸sc˘ arii. Teorema lui Chasles. Mi¸scarea pseudoelicoidal˘ a a solidului rigid. Teorema lui I. Mozzi . . . 249 3.2.3 Interpretarea geometric˘ a a mi¸sc˘ arii solidului rigid. Axoide. Contactul simplu a dou˘ a corpuri solide rigide . . 250 3.2.4 Mi¸scarea relativ˘ a a dou˘ a corpuri solide rigide supuse unui contact simplu. Teorema Aronhold-Kennedy . . . 254 3.2.5 Principiul independen¸tei mi¸sc˘ arilor. Compunerea transla¸tiilor ¸si rota¸tiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 3.2.6 Mi¸scarea plan˘ a (plan-paralel˘ a). Centrul instantaneu de rota¸tie (centrul vitezelor). Centroide. Mi¸scarea epicicloidal˘ a. Centrul geometric al accelera¸tiilor. Cercurile lui Bresse. Centrul (polul) accelera¸tiilor. Teorema celor trei centre instantanee de rota¸tie. Teorema asem˘ an˘ arii (Burmester-Mehmke) . . . . . . . . . . . . 258 3.3 Statica ¸si dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 3.3.1 Dinamica sistemului mecanic. Teorema impulsului. Teoremele centrului de mas˘ a. Teoremele lui V. Vâlcovici ¸si S. Koenig. Teorema momentului cinetic. Teorema energiei cinetice. Reprezentarea momentului cinetic ¸si a energiei cinetice cu ajutorul tensorului de iner¸tie. Formula momentului cinetic fa¸ta˘ de o ax˘ a. Sisteme conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 3.3.2 Teorema momentului cinetic fa¸ta˘ de o ax˘ a. O demonstra¸tie a formulei Huygens-Steiner cu ajutorul teoremei lui V. Vâlcovici (1929). Raza de gira¸tie . . . . . . . . . 288 3.3.3 Solidul rigid cu o ax˘ a fix˘ a. Ecua¸tia diferen¸tial˘ a a mi¸sc˘ arii. Echilibrarea solidului. Axe permanente ¸si axe spontane de rota¸tie (libere). Principiul iner¸tiei pentru corpul solid rigid. Pendulul fizic. Teoremele lui C. Huygens. Formula pendulului reversibil . . . . . . . . . . . . . . 291 3.3.4 Varia¸tia accelera¸tiei gravita¸tionale la suprafa¸ta P˘ amântului (devierea firului cu plumb). Devierea spre est în c˘ adere liber˘ a (efectul Coriolis). Legea lui Baer. Pendulul lui L. Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

6

CUPRINS 3.3.5

Solidul rigid cu punct fix. Unghiurile lui Euler. Parametrii Cayley-Klein. Matrice Pauli. Sistemul diferen¸tial al lui L. Euler. Mi¸scarea Euler-Poinsot. Conul polodic ¸si conul herpolodic. Precesia regulat˘ a. Conul de precesie. Interpretarea geometric˘ a a mi¸sc˘ arii (L. Poinsot). Polodia ¸si herpolodia. Ciclul lui Euler. Sistemul diferen¸tial al lui G. Darboux. Cazul LagrangePoisson. Giroscopul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

Capitolul 1 Mecanic˘ a geometric˘ a ”La început a fost mecanica. (Max von Laue, Mecanica, cf. [43], p. 25)”

Mecanica clasic˘ a (newtonian˘ a) are un caracter limitat, scos în eviden¸ta˘, printre altele, de trei din caracteristicile sale fundamentale: 1. Nu se face distinc¸tie între mas˘a ¸si materie. Astfel, un punct material reprezint˘ a un punct din spa¸tiul fizic c˘ aruia i se ata¸seaz˘ a un num˘ ar pozitiv, numit mas˘a (cf. [76], p. 3, 8). 2. Mecanica este determinist˘a (cunoscând pozi¸tia ¸si viteza unui punct material la un anumit moment, considerat ini¸tial, se pot determina pozi¸tia ¸si viteza punctului material la orice moment) (cf. [34], p. 213, [32], p. 19). Mecanicile avansate (care ¸tin seama de structura microscopic˘a a materiei) pierd, în general, aceast˘ a calitate. Astfel, este binecunoscut faptul c˘ a în mecanica cuantic˘a particulele atomice nu au simultan pozi¸tia ¸si viteza bine stabilite (cf. [32], p. 22). Asemenea teorii1 utilizeaz˘ a rela¸tii privind valorile medii ori probabilit˘at¸i ale m˘ arimilor specifice (cf. [56], p. 285, [34], p. 680). 3. Masa este independent˘a de vitez˘ a (cf. [54], p. 10) ¸si, în general, de timp. 1

Acad. O. Onicescu le atribuie titlul generic de mecanici aleatoare (Langevin, Doob, Kolmogorov, De Broglie, Schrödinger). F˘ ar˘ a a disemina excesiv, trebuie spus c˘ a în fizic˘ a (electrodinamic˘ a, mecanic˘ a ondulatorie), procedeul medierii este fundamental: medierea statistic˘ a a electronilor în teoria lui Lorentz asupra electrodinamicii microscopice, formula intensit˘ a¸tii de polarizare în cazul unui dielectric gazos, sec¸tiunea eficace diferen¸tial˘ a a difuziei luminii pe electronul sferic liber, ¸s. a. m. d. (cf. [55], p. 138, 152, 172). O abordare detaliat˘ a a unor asemenea chestiuni poate fi citit˘ a în [81].

7

˘ GEOMETRICA ˘ CAPITOLUL 1. MECANICA

8

Exist˘ a, de asemeni, o serie de fenomene fizice (de exemplu, cele legate de electromagnetism) care nu pot fi explicate prin intermediul mi¸sc˘arilor mecanice (cf. [32], p. 15).

1.1

Modelul matematic al spa¸tiului fizic

”Spa¸tiul nu reprezint˘ a o însu¸sire a vreunor lucruri în sine, nici pe acestea în raporturile lor reciproce, adic˘ a nici o determinare a lor care ar fi inerent˘ a obiectelor însele ¸si care ar subzista, chiar dac˘ a am face abstrac¸tie de toate condi¸tiile subiective ale existen¸tei. (Immanuel Kant, Expunerea transcedental˘a a conceptului de spa¸tiu, cf. [37], p. 77)”

Pentru a defini spa¸tiul fizic, notat SF , vom da un model al punctelor ¸si direc¸tiilor sale. Acesta va ¸tine seama de faptul c˘ a, în mecanica clasic˘ a, spa¸tiul este infinit (f˘ ar˘ a început sau sfâr¸sit), omogen (simetria la transla¸tii) ¸si izotrop (simetria la rota¸tii) (cf. [76], p. 7, [54], p. 8, [32], p. 53, 56). În particular, doi observatori trebuie s˘ a evalueze lungimea unui obiect în mod identic, m˘ arimea ob¸tinut˘ a coincizând la amândoi, independent de mi¸scarea instrumentelor de m˘ asur˘ a ori a obiectului (cf. [32], p. 47).

1.1.1

Punctele spa¸tiului fizic

S˘ a consider˘ am mul¸timea R3 = R × R × R numit˘ a ¸si spa¸tiu aritmetic. Elementele sale, notate A, B, C, ... se numesc punctele spa¸tiului fizic2 . Folosim scrierea A = (xA , yA , zA ). a de spa¸tiu metric. Mai precis, dac˘ aP = Pe R3 introducem o structur˘ (xP , yP , zP ) ¸si Q = (xQ , yQ , zQ ), atunci distan¸ta euclidian˘a dintre punctele spa¸tiului fizic este qX (xQ − xP )2 d(P, Q) = (cf. [57], p. 111). Spa¸tiul metric complet E3 = (R3 , d) d˘ a modelul punctelor spa¸tiului fizic. 2

Subliniem lipsa opera¸tiilor în spa¸tiul aritmetic.

1.1. MODELUL MATEMATIC AL SPATIULUI ¸ FIZIC

1.1.2

9

Direc¸tiile spa¸tiului fizic

Pe R3 × R3 introducem urm˘ atoarea rela¸tie de echivalen¸ta˘: (A, B)ρ(C, D) dac˘ a, prin defini¸tie, avem   xB − xA = xD − xC yB − yA = yD − yC  zB − zA = zD − zC .

−→ Elementul (A, B) se noteaz˘ a cu AB ¸si poart˘ a denumirea de segment orientat. A este originea segmentului orientat, iar B extremitatea sa. Dou˘ a segmente orientate apar¸tinând aceleia¸si clase de echivalen¸ta˘ se numesc echipolente (cf. [57], p. 113). Elementele mul¸timii V L = R3 ×R3 /ρ sunt numite vectori liberi sau direc¸tii ale spa¸tiului fizic. Ele se noteaz˘ a cu AB, CD, x, y, ... Pe mul¸timea V L introducem o structur˘ a de spa¸tiu liniar real. Aceasta este dat˘ a de opera¸tiile: 1) ” + ” : V L × V L → V L definit˘ a prin formula AB + BC = AC (regula lui Chasles); 2) ” · ” : R × V L → V L definit˘ a prin formula λ · AB = AC, unde

  xC − xA = λ · (xB − xA ) yC − yA = λ · (yB − yA )  zC − zA = λ · (zB − zA ).

Opera¸tiile +, · sunt bine definite, adic˘ a nu depind de alegerea reprezentan¸tilor claselor de echivalen¸ta˘. Vectorii x, y, unde y = λ · x, poart˘ a denumirea de vectori coliniari. Spa¸tiul T R3 = (V L, +, ·) se nume¸ste spa¸tiul vectorilor liberi sau spa¸tiul tangent la R3 . S˘ a consider˘ am punctele O = (0, 0, 0), I = (1, 0, 0), J = (0, 1, 0) ¸si K = not not not a o baz˘ a a lui (0, 0, 1) din E3 . Vectorii i = OI, j = OJ, k = OK formeaz˘ T R3 . Aceasta se nume¸ste baza canonic˘a a spa¸tiului vectorilor liberi. Ea d˘ a orientarea spa¸tiului (cf. [44], p. 488).

˘ GEOMETRICA ˘ CAPITOLUL 1. MECANICA

10

În particular, putem scrie AB = (xB − xA ) · i + (yB − yA ) · j + (zB − zA ) · k.

(1.1)

Spa¸tiul T R3 este organizat ca spa¸tiu liniar euclidian. Astfel, formula produsului s˘ au scalar este X not Φ(AB, AC) = (xB − xA ) · (xC − xA ) = AB · AC.

Cu ajutorul produsului scalar definim unghiul ϕ ∈ [0, π] f˘ acut de vectorii x, y. Formula sa este x·y not p = cos(x, y). cos ϕ = √ 2 2 x · y √ M˘ arimea |x| = x2 se nume¸ste lungimea (modulul, norma) vectorului x. Spa¸tiul T R3 este dotat cu o topologie de tip produs. Aceasta este introdus˘ a cu ajutorul filtrelor de vecin˘ at˘ a¸ti (cf. [38], p. 56, [64], p. 14, [39], p. 3 113). Mai precis, fie a0 ∈ T R . Atunci, exist˘ a ¸si sunt unici scalarii reali x0 , y0 , z0 astfel încât a0 = x0 i + y0 j + z0 k. Mul¸timea B(a0 , ε) = {xi + yj + zk | |x − x0 | , |y − y0 | , |z − z0 | < ε} este o vecin˘ atate a vectorului a0 . Sistemul fundamental de vecin˘ at˘ a¸ti al lui a0 este V = {B(a0 , ε) | ε > 0} (cf. [39], problema II.1.64, p. 144-145). Observ˘ am c˘ a lungimea vectorilor liberi define¸ste o norm˘a pe T R3 . Aceasta genereaz˘ a, la rândul ei, o topologie a lui T R3 care, dat fiind faptul c˘ a dimR T R3 < +∞, va coincide cu topologia de mai sus (cf. [53], p. 196). Se arat˘ a u¸sor c˘ a opera¸tiile cu vectori din T R3 sunt continue în raport cu topologiile produs (cf. [39], p. 181) ale lui T R3 × T R3 , respectiv R × T R3 . Astfel, T R3 este un spa¸tiu liniar topologic. Spa¸tiul liniar euclidian ¸si topologic T R3 modeleaz˘ a direc¸tiile spa¸tiului fizic. În final, observ˘ am c˘ a cele dou˘ a modele, cel al punctelor ¸si cel al direc¸tiilor, sunt interrela¸tionate, în sensul c˘ a q 2 d(P, Q) = P Q .

1.2

Spa¸tiul vectorilor lega¸ti

−→ Fie A un punct din E3 . Atunci, introducem mul¸timea V LA = {AB | B ∈ E3 }.

1.3. GEOMETRIA SPATIULUI ¸ FIZIC

11

Elementele mul¸timii V LA se mai numesc ¸si vectori lega¸ti în punctul A. −→ a de formula fA (AB) = AB, unde Aplica¸tia bijectiv˘ a fA : V LA → V L dat˘ B ∈ E3 , permite inducerea structurii liniare euclidiene ¸si topologice a lui T R3 pe V LA (cf. [57], p. 114). În particular, −→ −→ AB · AC = AB · AC, unde B, C ∈ E3 . Utiliz˘ am nota¸tia TA R3 = (V LA , +, ·) (cf. [57], p. 115). Trebuie precizat chiar de acum c˘ a diferitele m˘arimi fizice vectoriale (for¸ta, viteza, etc.) cu care opereaz˘ a mecanica teoretic˘ a sunt exprimate analitic prin tipuri diferite de vectori: liberi, lega¸ti, alunec˘atori (sau glisan¸ti − ce vor fi defini¸ti ulterior). De exemplu, for¸ta aplicat˘ a unui punct material se reprezint˘ a printr-un vector legat. În schimb, vectorul vitez˘a unghiular˘a al unui corp solid rigid aflat în mi¸scare de rota¸tie în jurul unei axe fixe este dat printr-un vector alunec˘ ator (cf. [34], p. 166). O alt˘ a m˘ arime vectorial˘ a, momentul unui cuplu de for¸te ce ac¸tioneaz˘ a asupra unui solid rigid, poate fi considerat˘ a vector liber (cf. [32], p. 149). Men¸tion˘ am c˘ a în lucrarea de fa¸ta˘ folosim doar baze ortonormate. De aceea, asupra caracteriz˘ arilor de tip tensorial ale m˘ arimilor vectoriale nu se va insista. Pentru detalii, vezi [76], p. 952-981 sau [66], p. 236-253.

1.3

Geometria spa¸tiului fizic

Modelul matematic al SF fiind deja prezentat, ne vom referi în continuare la o serie de elemente ale geometriei acestuia. Astfel, geometria spa¸tiului fizic este de tip euclidian (punctual) (cf. [44], p. 530). O mul¸time de puncte din E3 , notat˘ a D, constituie o dreapt˘a dac˘ a exist˘ a a A ∈ E3 ¸si vectorul τ cu proprietatea c˘ D = {M ∈ E3 : AM = λ · τ , λ ∈ R} (cf. [44], p. 503). În mod echivalent, −−→ → τ , λ ∈ R}, D = {M ∈ E3 : AM = λ · − → unde − τ ∈ TA R3 .

˘ GEOMETRICA ˘ CAPITOLUL 1. MECANICA

12

O mul¸time de puncte din E3 , notat˘ a P , constituie un plan dac˘ a exist˘ a A ∈ E3 ¸si vectorii necoliniari τ , ν cu proprietatea c˘ a P = {M ∈ E3 : AM = α · τ + β · ν, α, β ∈ R} (cf. [44], p. 503). În mod echivalent, −−→ → → P = {M ∈ E3 : AM = α · − τ +β·− ν , α, β ∈ R},

→ → unde − τ,− ν ∈ TA R3 . Spa¸tiile liniare Sp({τ }), Sp({τ , ν}) (adic˘ a, acoperirile liniare ale sistemelor de vectori {τ }, respectiv {τ , ν} dotate cu opera¸tiile induse de T R3 , cf. [67], p. 65, [75], p. 164) poart˘ a denumirea de spa¸tii directoare ale dreptei D, respectiv planului P (cf. [44], p. 500). Dou˘ a drepte (plane) sunt paralele dac˘ a nu au puncte comune (intersec¸tia lor este vid˘ a) ¸si spa¸tiile lor directoare coincid. O dreapt˘ a este paralel˘a cu un plan dac˘ a nu are puncte comune cu acesta ¸si spa¸tiul director al dreptei este un subspa¸tiu al spa¸tiului director al planului (cf. [49], p. 83). Fiind date dou˘ a drepte coplanare D1 , D2 ai c˘ aror vectori directori sunt τ , ν vom spune c˘ a, prin defini¸tie, unghiul f˘ acut de ele este ](τ , ν). O familie de puncte (Mp )p∈0,n este afin dependent˘a dac˘ a exist˘ a numerele n P a αp = 1 ¸si punctul M ∈ E3 (numit reale (αp )p∈0,n cu proprietatea c˘ p=0

baricentru) astfel încât

OM =

n P

p=0

αp · OM p

(∀) O ∈ M3 .

O familie de puncte din E3 care nu este afin dependent˘ a va fi considerat˘ a n not P afin independent˘a (cf. [44], p. 500). Folosim nota¸tia M = αp · Mp . p=0

O familie de puncte (Mp )p∈0,n este afin dependent˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a vectorii M0 M 1 ,..., M0 M n sunt liniar dependen¸ti (cf. [44], p. 501). Astfel, punctele A, B, C ∈ E3 sunt coliniare dac˘ a ¸si numai dac˘ a familia lor este afin dependent˘ a. Aplica¸tia F : E3 → E3 se nume¸ste afin˘a dac˘ a pentru orice A, B ∈ E3 ¸si α, β ∈ R, unde α + β = 1, are loc rela¸tia F (αA + βB) = α · F (A) + β · F (B).

1.4. REPERE CARTEZIENE

13

Introducem func¸tia T : T R3 → T R3 prin formula T (AB) = F (A)F (B), unde A, B ∈ E3 . Aceasta va fi, evident, liniar˘ a (cf. [44], p. 506). Aplica¸tia F : E3 → E3 se nume¸ste izometric˘a dac˘ a d(A, B) = d(F (A), F (B)), unde A, B ∈ E3 . Atunci, F este bijectiv˘ a, iar F −1 este izometric˘ a (cf. [69], p. 128). O aplica¸tie izometric˘ a este, în mod obligatoriu, ¸si afin˘ a. În acest caz, func¸tia T asociat˘ a ei devine o aplica¸tie ortogonal˘a (cf. [44], p. 533) sau un operator izometric în sensul utilizat în [67], p. 268. Dându-se o aplica¸tie izometric˘ a F , va exista o baz˘ a ortonormat˘ a a spa¸tiului T R3 în raport cu care matricea de reprezentare a operatorului T s˘ a se scrie sub forma   cos α − sin α 0  sin α cos α 0 , 0 0 ±1 unde α ∈ [0, 2π) (cf. [67], p. 95, 301)3 . Atunci când aplica¸tia F admite un punct fix (F (A) = A, unde A ∈ E3 ), iar matricea operatorului T este   cos α − sin α 0  sin α cos α 0  , 0 0 1

spunem c˘ a aplica¸tia F desemneaz˘ a o rota¸tie a SF de unghi α în jurul punctului A (cf. [67], p. 301, [75], p. 50, 53, [56], p. 23). Conform [56], teorema 2, p. 25, orice rota¸tie a SF în jurul punctului A este o rota¸tie în jurul unei axe ce trece prin A. A¸sa cum se poate observa din structura matricei de reprezentare a operatorului T , vectorul director al acestei axe este acel vector din baza ortonormat˘ a c˘ aruia îi corespunde ultima coloan˘ a a matricei. Rota¸tiile spa¸tiului fizic joac˘ a un rol fundamental în mecanica teoretic˘ a (cf., de exemplu, [56], p. 22-30).

1.4

Repere carteziene

Spa¸tiul fizic SF este studiat cu ajutorul reperelor carteziene, adic˘ a al − → − → 3 dubletelor R = (O, B ), unde O ∈ E3 iar B este o baz˘ a a lui TO R (cf. [57], 3

Matricea de reprezentare M a operatorului T verific˘ a rela¸tia formal˘ a ¡ ¢ ¢ ¡ T (e1 ) T (e2 ) T (e3 ) = e1 e2 e3 · M,

unde {e1 , e2 , e3 } este o baz˘ a a spa¸tiului T R3 .

˘ GEOMETRICA ˘ CAPITOLUL 1. MECANICA

14

p. 115). În cele ce urmeaz˘ a vom da o reprezentare grafic˘ a acestor repere. 3 a a lui T R . Consider˘ am c˘ a baza B A¸sadar, fie B = {e1 , e2 , e3 } o baz˘ este ortonormat˘a, adic˘ a ei · ej = δij , unde δ este simbolul lui Kronecker. − → → → → e 2, − e 3 } a spa¸tiului TO R3 se introduce conform rela¸tiilor Baza B = {− e 1, − − → e i ∈ ei , unde 1 6 i 6 3. Când B este baza canonic˘ a a lui T R3 , R se nume¸ste reper canonic al spa¸tiului fizic. Construim în E3 trei drepte perpendiculare D1 , D2 , D3 , concurente în −→ → e i, punctul O (vezi Figura 1.1). Dreapta Di = {B ∈ E3 | OB = λ · − i λ ∈ R} se noteaz˘ a cu Ox ¸si se nume¸ste ax˘a de coordonate a reperului R, −→ → → unde 1 6 i 6 3. Planul P ij = {B ∈ E3 | OB = α · − e i+β·− e j , α, β ∈ R} i j se noteaz˘ a cu Ox x ¸si se nume¸ste plan de coordonate al reperului R, unde i 6= j ¸si 1 6 i, j 6 3. La rândul s˘ au, reperul R se noteaz˘ a cu Ox1 x2 x3 ¸si se nume¸ste sistem (triedru) de axe de coordonate.

Figura 1.1 Fie M ∈ E3 . Coordonatele lui M în R sunt scalarii reali xu cu proprietatea c˘ a 3 −−→ P → xu · − e u. OM = u=1

De asemeni, OM =

3 P

u=1

xu · eu .

Au loc rela¸tiile urm˘ atoare: eu = αu1 · i + αu2 · j + αu3 · k,

u = 1, 2, 3,

unde numerele αu1 = cos(eu , i), αu2 = cos(eu , j), αu3 = cos(eu , k) se mai numesc ¸si cosinu¸sii directori ai vectorului eu în raport cu baza canonic˘ a a lui 3 T R (cf. [66], p. 121, [44], p. 532). Evident, det(αij ) 6= 0.

1.4. REPERE CARTEZIENE

15

Atunci, OM =

3 P

u=1 1

xu · eu

= (x α11 + x2 α21 + x3 α31 )i + (x1 α12 + x2 α22 + x3 α32 )j +(x1 α13 + x2 α23 + x3 α33 )k. În acest mod, punctul M este raportat la reperul R. Într-adev˘ ar, conform rela¸tiei (1.1) avem  1  x α11 + x2 α21 + x3 α31 = xM − xO x1 α12 + x2 α22 + x3 α32 = yM − yO (1.2)  1 2 3 x α13 + x α23 + x α33 = zM − zO .

Astfel, numerele xu sunt unic determinate pe baza elementelor xM − xO , yM −yO , zM −zO , αuv . Rela¸tiile (1.2) sunt rela¸tiile de raportare ale punctului M la reperul R. −−→ În acest reper, segmentul orientat OM va fi reprezentat de segmentul de dreapt˘ a OM dotat cu o s˘ ageat˘ a care îl indic˘a pe M. Deci, din punct de vedere grafic, prin segment orientat se în¸telege un segment de dreapt˘ a pe care s-a stabilit un sens de parcurs, ales aici de la O c˘ atre M. Punctul O −−→ este originea (punctul de aplica¸tie) al lui OM, iar M este extremitatea sa. −−→ Dreapta OM se nume¸ste dreapta-suport a segmentului orientat OM. −−→ Fie acum A ∈ E3 , cu A 6= O. Atunci, vectorul AM va fi reprezentat sub forma unui segment orientat în reperul R. Mai mult, ducând paralele prin A la axele de coordonate Oxi , ob¸tinem reprezentarea grafic˘ a a reperului − → R = (A, B ). Utilizarea segmentelor orientate în studiul SF poart˘ a denumirea de metoda grafic˘a. Un exemplu clar în aceast˘ a privin¸ta˘ este dat de regula paralelo−→ −→ −→ gramului: dac˘ a are loc rela¸tia OA + OB = OC, atunci punctele O, A, C ¸si respectiv B sunt vârfurile unui paralelogram. Num˘ arul xu = OM · eu reprezint˘ a proiec¸tia vectorului OM pe direc¸tia eu . În general, prin proiec¸tia vectorului a pe direc¸tia b vom în¸telege num˘ arul a·b not |a| cos(a, b) = b = ab . || S˘ a consider˘ am vectorul v = bb , unde b 6= 0. Acesta se nume¸ste versorul || sau vectorul-unitate al direc¸tiei b. Atunci, vectorul p = ab · v = a·b2 · b se |b| nume¸ste vectorul-proiec¸tie pe direc¸tia b al vectorului a.

˘ GEOMETRICA ˘ CAPITOLUL 1. MECANICA

16

Vectorul p admite urm˘ atoarea caracterizare specific˘ a analizei în spa¸tii cu produs scalar (prehilbertiene). Fie V subspa¸tiul liniar generat de vectorul b în T R3 . Atunci, pe baza teoremei Schmidt (cf. [44], p. 364), exist˘ a ¸si este unic vectorul p ∈ V (numit proiec¸tia ortogonal˘a a vectorului a pe V ) astfel încât |a − p| = inf |a − v| = dist (a, V ). v∈V

În cazul de fa¸ta˘, aceast˘ a proprietate poate fi justificat˘ a în mod direct. a g˘ asim num˘ arul real λ0 pentru care p = λ0 b, Astfel, cum V = Rb, ca s˘ calcul˘ am expresia de mai jos ¯ ¯2 ¡ ¢2 2 E(λ) = ¯a − λb¯ = a − λb = a2 + λ2 b − 2λ(a · b), λ ∈ R. Discriminantul trinomului de gradul al II-lea în λ este 2

∆λ = 4[(a · b)2 − a2 · b ] = −4(a × b)2 6 0, conform identit˘at¸ii lui Lagrange (cf. [34], p. 34). Minimul expresiei E(λ), care are loc pentru

este E(λ0 ) = −

a·b λ0 = ¯ ¯2 , ¯b¯

¯2 1 ¯ = ¯ ¯2 · ¯a × b¯ . ¯b¯ 4b

∆λ0 2

(1.3)

(1.4)

a·b 2 · b. |b| Aceste no¸tiuni se transpun cu u¸surin¸ta˘ în cazul vectorilor lega¸ti. De → → a ∈ a, unde A ∈ E3 , atunci vectorul-proiec¸tie exemplu, dac˘ a− a ∈ TA R3 , − − → − → → p ∈ p (cf. [34], p. 24). Din punct de pe direc¸tia b al lui a este p ∈ TA R3 , − − → vedere grafic, semnifica¸tia m˘ arimii p este imediat˘ a (vezi Figura 1.2).

A¸sadar, p =

Figura 1.2

Capitolul 2 Mecanica punctului material 2.1

Cinematica

Cinematica 1 , în cadrul c˘ areia se introduc no¸tiunile de traiectorie, vitez˘ a ¸si accelera¸tie ale unui punct material, se ocup˘ a cu studiul mi¸sc˘ arilor acestuia din punct de vedere geometric, f˘ ar˘ a a ¸tine seama de masa lui ¸si de for¸tele la care este supus (cf. [76], p. 5) . Se consider˘ a un reper canonic R al SF . Structura topologic˘ a a spa¸tiului liniar T R3 permite introducerea no¸tiunii de diferen¸tiabilitate. n Q Ia , unde Ia ⊂ R sunt intervale netriviale înzestrate Astfel, fie Ω = a=1

a de topologia uzual˘ a a lui R (cf. [39], p. 112, 133). cu topologia TIa indus˘ n Q Mul¸timea Ω, la rândul s˘ au, este înzestrat˘ a cu topologia produs TIa (cf. a=1

[39], p. 181). a sub forma Dac˘ a σ : Ω → T R3 este o aplica¸tie scris˘

σ(q1 , ..., qn ) = x(q1 , ..., qn )i + y(q1 , ..., qn )j + z(q1 , ..., qn )k, a σ ∈ C m (Ω, T R3 ) dac˘ a ¸si numai unde qa ∈ Ia , 1 6 a 6 n, vom putea spune c˘ m dac˘ a x, y, z ∈ C (Ω, R). Atunci când cel pu¸tin unul dintre intervalele Ia nu este deschis vom presupune c˘ a exist˘ a mul¸timea G, deschis˘ a în topologia n m 3 uzual˘ a a lui R , astfel încât Ω ⊂ G ¸si σ ∈ C (G, T R ), respectiv x, y, 1

kín¯esis, adic˘ a deplasare, mi¸scare, schimbare. Cf. [58], p. 149.

17

18

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

z ∈ C m (G, R). Aici, n ∈ N, m ∈ N ∪ {+∞}. Mai mult (m < +∞), ∂ mσ ∂ mx ∂ my ∂mz = h1 h2 i + h1 h2 j + h1 h2 k, ∂q1h1 q2h2 ...∂qnhn ∂q1 q2 ...∂qnhn ∂q1 q2 ...∂qnhn ∂q1 q2 ...∂qnhn unde 0 6 ha 6 m ¸si

n P

ha = m. În mod analog, putem vorbi de diferen¸tiabi-

a=1 3

litate relativ la TA R , unde A ∈ E3 .

2.1.1

Traiectoria. Viteza. Accelera¸tia

Fie M(t) ∈ E3 , unde t ∈ R. Dubletul (M(t), m), unde m > 0 este o constant˘ a numit˘ a mas˘a, poart˘ a denumirea de punct material (cf. [56], p. 16). Componentele punctului material (ca element al spa¸tiului aritmetic R3 ) M = (xM (t), yM (t), zM (t)) putând varia, punctul material trebuie privit ca fiind perpetuu în mi¸scare (mobil) (cf. [32], p. 18). Variabila considerat˘ a aici este timpul (cf. [34], p. 214, 220). Modelul matematic al timpului ca variabil˘ a real˘ a ¸tine seama de caracteristicile acestuia, admise de mecanica clasic˘ a: timpul este infinit (f˘ ar˘ a început sau sfâr¸sit), ireversibil (succesiunea evenimentelor nu poate fi modificat˘ a), absolut (independent de spa¸tiu) ¸si omogen (cf. [76], p. 8, [32], p. 42, 59, [54], p. 58). În particular, doi observatori evalueaz˘ a timpul în mod identic, ”durata” unui fenomen coincizând la amândoi (cf. [34], p. 179, [32], p. 191), independent de mi¸scarea instrumentelor de m˘ asur˘ a (cf. [32], p. 47). Scopul mecanicii punctului material este acela de a studia comportamentul acestuia (mi¸scare/repaus) fa¸ta˘ de diferite repere ale SF . Astfel, calculele specifice mecanicii teoretice nu au sens dac˘ a nu se precizeaz˘ a reperul (numit, de obicei, sistem de referin¸t˘a ) în raport cu care au fost efectuate (cf. [32], p. 17, [76], p. 2). Despre vectorul not

OM = x(t)i + y(t)j + z(t)k = r(t) se presupune, în general, c˘ a apar¸tine lui C ∞ (R, T R3 ); în acest sens, mecanica newtonian˘ a este neted˘a (cf. [32], p. 19). De¸si derivatele de ordin n ≥ 3 nu vor fi prezente în ecua¸tiile mecanicii teoretice, se pare c˘ a anumite m˘ arimi

2.1. CINEMATICA

19

fizice care caracterizeaz˘ a fenomene ce implic˘ a varia¸tia extrem de rapid˘ a în timp a modulului for¸telor (ciocniri, cutremure, etc.) pot fi exprimate cu ajutorul acestora (cf. [76], p. 292). Gradul de confort al unui autovehicul este precizat folosind derivatele de ordinul n = 3 (supraaccelera¸tia) (cf. [63], p. 144). Vectorul r(t) se nume¸ste raza vectoare a punctului material M. −−→ Vectorul OM este vectorul de pozi¸tie al punctului material M. Mul¸timea Γ = {M(t) : t ∈ R} (locul geometric al punctelor prin care trece mobilul) se nume¸ste traiectoria punctului material M. Asupra sa vom reveni în detaliu în subsec¸tiunea urm˘ atoare. Vectorul · · · · not r (t) =x (t)i+ y (t)j+ z (t)k = v(t) not

este vectorul-vitez˘a al punctului material M. Aici, ” · ” = dtd . Prin viteza −−→ punctului material M în¸telegem vectorul MN ∈ v(t). Atunci când nu este def pericol de confuzie, prin vitez˘ a vom în¸telege ¸si m˘ arimea v(t) = |v(t)|. Vectorul ·· ·· ·· ·· not r (t) =x (t)i+ y (t)j+ z (t)k = a(t) este vectorul-accelera¸tie al punctului material M. Prin accelera¸tia punctului −−→ material M în¸telegem vectorul MP ∈ a(t). Atunci când nu este pericol de def confuzie, prin accelera¸tie vom în¸telege ¸si m˘ arimea a(t) = |a(t)|. Încheiem aceast˘ a subsec¸tiune cu observa¸tia c˘ a no¸tiunile cinematice de mai sus se definesc în raport cu oricare dintre reperele din SF în mod analog. În plus, punctul material M poate fi în repaus fa¸ta˘ de un reper al SF (r(t) = constant) ¸si în mi¸scare fa¸ta˘ de altul (v(t) > 0). Este, de asemeni, subîn¸teles c˘ a orice dou˘ a repere ale SF se mi¸sc˘ a neted (C ∞ ) unul fa¸ta˘ de cel˘ alalt.

2.1.2

Geometria traiectoriei

”Existen¸ta lumii bazat˘ a pe eviden¸ta experien¸tei naturale nu mai poate fi pentru noi un fapt evident, ci doar un fenomen de valabilitate. (Edmund Husserl, Drumul c˘atre ego-ul transcedental, cf. [33], p. 48)”

Vom analiza în cele ce urmeaz˘ a o serie de chestiuni privitoare la mul¸timea Γ. În mod obi¸snuit, traiectoria punctului material este prezentat˘ a ca hodogra-

20

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

ful 2 razei vectoare a acestuia (cf. [32], p. 23, [2], p. 134-135). Aceasta pentru c˘ a, în principiu, traiectoria se stabile¸ste ca urmare a observa¸tiei (colect˘ arii 3 de date ”empirice”, experimentale , etc.). Un exemplu elocvent îl constituie mi¸scarea planetelor în jurul Soarelui, explicat˘ a de Kepler pornind de la tabelele de observa¸tii asupra planetei Marte apar¸tinând lui Tycho Brahe (cf. [34], p. 212). O situa¸tie total diferit˘ a apare îns˘ a atunci când, de exemplu, punctul material este obligat s˘ a se mi¸ste pe o elips˘ a dat˘a situat˘ a în planul vertical (cf. [34], p. 401-402). Într-o formulare echivalent˘ a, traiectoria punctului material M este locul geometric al pozi¸tiilor succesive pe care le ocup˘a punctul material în mi¸scarea sa fa¸t˘a de sistemul de referin¸t˘a (cf. [76], p. 282). Din acela¸si motiv (observa¸tia), traiectoria trebuie s˘ a satisfac˘ a anumite restric¸tii impuse de fenomenul fizic al mi¸sc˘ arii punctului material (cf. [76], p. 281). Traiectoria punctului material este, astfel, continu˘a (punctul material nu poate trece de la o pozi¸tie la alta f˘ ar˘ a a parcurge pozi¸tiile intermediare), univoc˘a în raport cu timpul (punctul material nu poate ocupa simultan mai multe pozi¸tii în spa¸tiu) ¸si permite introducerea no¸tiunilor de vitez˘a ¸si accelera¸tie (cf. [76], p. 281, [32], p. 19). Totu¸si, traiectoria punctului material trebuie privit˘ a ca o entitate geometric˘ a (mai degrab˘ a decât ca o curb˘ a parametrizat˘ a neted˘ a, cf. [44], p. 572), independent˘ a de parametrizarea aleas˘ a. Mai precis, traiectoria Γ ⊂ E3 este, în general, o curb˘ a neted˘ a orientat˘ a în sensul dat în [48], p. 13-23. A se vedea, de asemeni, prezent˘ arile f˘ acute în [44], Cap. IV, § 5 ¸si [45], Cap. V. S˘ a consider˘ am γ : I → E3 o aplica¸tie introdus˘ a prin formula OM = x(q)i + y(q)j + z(q)k = σ(q), unde M = γ(q), q ∈ I. Aplica¸tia γ define¸ste un drum neted (curb˘a parametrizat˘a neted˘a) (C ∞ ) în SF dac˘ a σ ∈ C ∞ (I, T R3 ). Drumul neted γ : I → E3 este numit regular când σ 0 (q) 6= 0 în I, respectiv biregular când σ 0 (q) × σ 00 (q) 6= 0 în I. a Dou˘ a drumuri netede γ : I → E3 , ζ : J → E3 sunt echivalente dac˘ ∞ exist˘ a difeomorfismul (C ) λ : I → J (numit schimbare de variabil˘a ) astfel 2

Fie w(t) ∈ T R3 , t ∈ I, unde I este un interval netrivial al lui R, ¸si A ∈ E3 . Locul → → geometric al extremit˘ a¸tii vectorului − w ∈ TA R3 , − w ∈ w(t), atunci când t variaz˘ a este hodograful vectorului w(t). 3 Pentru deosebirea dintre empeiria (cunoa¸sterea cazurilor individuale, cf. [58], p. 269, 299) ¸si experimentum crucis (experimente semnificative în concep¸tia lui I. Newton, cf. [12], p. 203) a se vedea excelentul tratat [12].

2.1. CINEMATICA

21

încât γ = ζ ◦ λ. Când λ0 (u) > 0, unde u ∈ I, drumurile γ, ζ devin pozitiv echivalente (cf. [48], p. 11, 22). Mul¸timea Γ ⊂ E3 reprezint˘ a o curb˘a (neted˘a) în SF dac˘ a pentru orice M ∈ Γ exist˘ a drumul neted regular γ : I → E3 (numit parametrizare local˘a ) având urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: 1) γ(I) este o vecin˘ atate a lui M deschis˘ a în raport cu topologia indus˘ a pe Γ de topologia metric˘ a a lui E3 ; 2) γ : (I, TI ) → (γ(I), Tγ(I) ) este homeomorfism (cf. [48], p. 13, [44], p. 584). Despre curba neted˘ a Γ spunem c˘ a este orientabil˘a în SF dac˘ a exist˘ a familia de parametriz˘ ari locale (γ a )a∈A , unde γ a :Ia → E3 , (numit˘ a familie orientat˘a ) astfel încât: S 1) Γ = γ a (Ia ); a∈A

2) dac˘ a Γab este o component˘ a conex˘ a a mul¸timii γ a (Ia )∩γ b (Ib ), a 6= b, în raport cu topologia indus˘ a de topologia metric˘ a a lui E3 , atunci drumurile γ a |Iab : Iab → E3

γ b |Iba : Iba → E3 ,

(2.1)

−1 unde Iab =γ −1 a (Γab ), Iba =γ b (Γab ), sunt pozitiv echivalente (cf. [57], p. 96, [44], p. 587, [48], p. 22). O parametrizare local˘ a γ : I → E3 a curbei orientabile Γ este compatibil˘a cu familia orientat˘ a (γa )a∈A dac˘ a pentru orice a ∈ A astfel încât γ(I)∩γ a (Ia ) 6= ∅ ¸si pentru orice component˘ a conex˘ a Γa a mul¸timii γ(I)∩γ a (Ia ), drumurile γ|I a : I a → E3 γ a |J a : J a → E3 ,

unde I a = γ −1 (Γa ), J a =γ −1 a (Γa ), sunt pozitiv echivalente (cf. [44], p. 587). În leg˘ atur˘ a cu defini¸tiile de mai sus, se cuvin f˘ acute urm˘ atoarele afirma¸tii de natur˘ a topologic˘ a: 1) (TΓ )γ a (Ia ) = Tγ a (Ia ) ; 2) mul¸timile γ −1 a (Γab ) sunt intervale în R; 3) mul¸timile Γab sunt deschise în spa¸tiul (Γ, TΓ ). a mul¸timea G ⊆ E3 deJustificarea afirma¸tiei 1). Cum γ a (Ia ) ∈ TΓ , exist˘ schis˘ a în raport cu topologia metric˘ a a acestuia astfel încât γ a (Ia ) = G ∩ Γ. a H ⊆ E3 deschis˘ a în raport cu topoloFie M ∈ (TΓ )γ a (Ia ) . Atunci, exist˘ gia metric˘ a a lui E3 astfel încât M = W ∩γ a (Ia ), unde W = H ∩ Γ, deci M = H∩γ a (Ia ), adic˘ a M ∈ Tγ a (Ia ) . Invers, dac˘ a M = H∩γ a (Ia ), atunci M ⊆γ a (Ia ) ¸si M = (H ∩ G) ∩ Γ, de unde M ∈ TΓ . În sfâr¸sit, cum M = M∩γ a (Ia ), avem c˘ a M ∈ (TΓ )γ a (Ia ) .

22

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Justificarea afirma¸tiei 2). Dat˘ a fiind suprarelativizarea 4 conexit˘ a¸tii (cf. [39], problema II.2.78, p. 174), mul¸timea Γab este conex˘ a în spa¸tiul (γa (Ia ), −1 Tγ a (Ia ) ). Atunci, cum aplica¸tia γ a : (γ a (Ia ), Tγ a (Ia ) ) → (Ia , TIa ) este continu˘ a, −1 mul¸tim- ea γ a (Γab ) va fi conex˘ a în spa¸tiul (Ia , TIa ). Tinând ¸ înc˘ a o dat˘ a seama de suprarelativizarea conexit˘ a¸tii, deducem c˘ a γ −1 (Γ ) este o mul¸ t ime ab a conex˘ a ¸si în spa¸tiul R dotat cu topologia uzual˘ a Te , adic˘ a un interval (cf. [39], problema II.2.73, p. 172). Justificarea afirma¸tiei 3). S˘ a ar˘ at˘ am c˘ a spa¸tiul (Γ, TΓ ) este local conex, adic˘ a fiecare punct M ∈ Γ admite un sistem fundamental de vecin˘ at˘ a¸ti format din mul¸timi conexe (cf. [39], p. 152). Dac˘ a M ∈ Γ, exist˘ a parametrizarea local˘ a γ : I → E3 astfel încât M ∈ γ(I). Fie V o vecin˘ atate a lui M în raport cu TΓ . Atunci, exist˘ a r > 0 astfel încât B(M, r) ∩ Γ ⊆ V , unde not B(M, r) = {N ∈ E3 : d(M, N) < r}. Evident, W = γ(I) ∩ B(M, r) = γ(I) ∩ (B(M, r) ∩ Γ) ∈ (TΓ )γ(I) ¸si M ∈ W . Aplica¸tia γ : I → γ(I) fiind cona γ −1 (W ) ∈ TI . Îns˘ a, dat fiind c˘ a submul¸timile tinu˘ a, cum W ∈ Tγ(I) , avem c˘ lui R deschise în raport cu topologia sa uzual˘ a se scriu ca reuniuni cel mult num˘ arabile de intervale deschise nevide, disjuncte dou˘ a câte dou˘ a (cf. [39], problema II.1.43, p. 133), deducem c˘ a γ −1 (W ) = I ∩ (

S

e∈E

Ie ) =

S

e∈E

(Ie ∩ I),

a eM ∈ E unde Ie sunt intervale deschise în R, nevide ¸si E ⊆ R. Exist˘ astfel încât M ∈ γ(IeM ∩ I). Mul¸timea IeM ∩ I ∈ TI este conex˘ a în raport cu topologia uzual˘ a a lui R, deci, pe baza suprarelativiz˘ arii conexit˘ a¸tii, ¸si în raport cu TI . Atunci, γ(IeM ∩ I) este conex˘ a în (γ(I), Tγ(I) ), deci ¸si în (Γ, TΓ ). Am folosit din nou suprarelativizarea conexit˘ a¸tii ¸si afirma¸tia 1). Pe de alt˘ a parte, deoarece γ este homeomorfism, avem c˘ a γ(IeM ∩ I) = γ(i(IeM ∩ I)) = i(γ(IeM ∩ I)) (cf. [39], p. 180), unde i desemneaz˘ a operatorul de interior (cf. [39], problema II.1.7, p. 120). Adic˘ a, γ(IeM ∩ I) ∈ Tγ(I) ¸si, cum γ(I) ∈ TΓ , ajungem la γ(IeM ∩ I) ∈ TΓ . Mul¸timea γ(IeM ∩ I) face parte din sistemul fundamental de vecin˘ at˘ a¸ti c˘ autat. 4

Adic˘ a, p˘ astrarea conexit˘ a¸tii în spa¸tii mai ”largi”. Detalii privind transmiterea principalelor propriet˘ a¸ti topologice la subspa¸tii (ereditate), produse (productivitate) respectiv câturi (divizibilitate) de spa¸tii topologice pot fi citite în [38], p. 133. Astfel, conexitatea nu este ereditar˘ a. De exemplu, mul¸timea numerelor reale, dotat˘ a cu topologia uzual˘ a este conex˘ a pe când mul¸timea numerelor ra¸tionale, cu topologia indus˘ a de topologia uzual˘ a, nu mai p˘ astreaz˘ a aceast˘ a proprietate (cf. [38], p. 54).

2.1. CINEMATICA

23

Spa¸tiul (Γ, TΓ ) fiind local conex, deoarece γa (Ia ) ∩ γb (Ib ) ∈ TΓ , avem c˘ a Γab ∈ TΓ . Aceasta pentru c˘ a un spa¸tiu (X, T ) este local conex dac˘a s¸i numai dac˘a componentele conexe ale mul¸timilor deschise sunt mul¸timi deschise (cf. [39], p. 152). Justificarea afirma¸tiilor 1), 2), 3) s-a încheiat. S˘ a consider˘ am curba neted˘ a orientabil˘ a conex˘ a Γ ¸si familiile orientate (γa )a∈A , (ζb )b∈B , unde γa : Ia → E3

ζb : Jb → E3 .

Fie a0 ∈ A, b0 ∈ B astfel încât γa0 (Ia0 )∩ζb0 (Jb0 ) 6= ∅ ¸si Γa0 b0 o component˘ a conex˘ a a mul¸timii γa0 (Ia0 ) ∩ ζb0 (Jb0 ). Au loc urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: 1) drumurile γa0 |Ia b : Ia0 b0 → E3 ¸si ζb0 |Ja b : Ja0 b0 → E3 , unde Ia0 b0 = 0 0 0 0 −1 γa0 (Γa0 b0 ), Ja0 b0 = ζb−1 (Γa0 b0 ), sunt echivalente; 0 2) (cf. [57], propozi¸tia 2, p. 98) dac˘ a drumurile de la 1) sunt pozitiv echivalente, atunci pentru orice a ∈ A, b ∈ B astfel încât γa (Ia ) ∩ ζb (Jb ) 6= ∅ ¸si pentru orice component˘ a conex˘ a Γab a mul¸timii γa (Ia ) ∩ ζb (Jb ), drumurile γa |Iab : Iab → E3

ζb |Jab : Jab → E3

(2.2)

sunt pozitiv echivalente. Demonstra¸tia p˘ar¸tii 1). Se poate ar˘ ata u¸sor c˘ a, dac˘ a f : (X, T ) → (Y, G) este continu˘ a ¸si M ⊆ X, atunci f |M : (M, TM ) → (f (M), Gf (M) ) este continu˘ a (cf. [39], problemele II.3.1, II.3.2, p. 187). Astfel, aplica¸tia λ = ζb−1 ◦ γa0 : Ia0 b0 → Ja0 b0 este homeomorfism. Urmând [44], propozi¸tia 4.25, 0 p. 585, s˘ a consider˘ am t0 ∈ Ia0 b0 ¸si u0 = λ(t0 ). Drumurile γa0 : Ia0 b0 → E3 , ζb0 : Ja0 b0 → E3 sunt date prin formulele ½ OM = x(q1 )i + y(q1 )j + z(q1 )k = σa0 (q1 ), M = γa0 (q1 ), q1 ∈ Ia0 b0 , OM = x1 (q2 )i + y1 (q2 )j + z1 (q2 )k = σb0 (q2 ), M = ζb0 (q2 ), q2 ∈ Ja0 b0 . (2.3) 5 0 a σb0 (u0 ) 6= 0. S˘ a presupunem c˘ a Dat˘ a fiind regularitatea lui ζb0 , avem c˘ 0 x1 (u0 ) 6= 0. Atunci, conform teoremei de inversiune local˘ a (cf. [64], p. 77), exist˘ a intervalele deschise U, V în R, unde u0 ∈ U, x1 (u0 ) ∈ V , astfel încât x1 |U : U → V s˘ a fie difeomorfism (C ∞ ). Mul¸timea U ∩ Ja0 b0 ∈ TJa0 b0 , de 5

Conform celor men¸tionate la pagina 17, în cazul unui drum neted ζ : J → E3 , dac˘ a intervalul J nu este deschis va exista un drum neted ζ ∗ : J ∗ → E3 astfel încât J ⊂ J ∗ , J ∗ ∈ Te ¸si ζ ∗ |J ∗ = ζ.

24

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL not

a M = γa0 (t) = unde W = λ−1 (U ∩ Ja0 b0 ) ∈ TIa0 b0 . Fie acum t ∈ W . Avem c˘ ζb0 (λ(t)), de unde OM = σa0 (t) = σb0 (λ(t)). Ajungem la x(t) = x1 (λ(t)) ¸si λ(t) = ϕ(x(t)), unde ϕ = (x1 |U )−1 , rela¸tie valabil˘ a pe intervalul W . Deci, ∞ λ ∈ C (W, Ja0 b0 ). Demonstra¸tia p˘ar¸tii 2). Construim mul¸timile Γ+ , Γ− în felul urm˘ ator. Fie M ∈ Γ ¸si a ∈ A, b ∈ B astfel încât M ∈ Γab . Dac˘ a drumurile (2.2) sunt pozitiv echivalente, atunci M ∈ Γ+ . Altfel, M ∈ Γ− . Conform ipotezei, Γa0 b0 ⊆ Γ+ , deci Γ+ 6= ∅. Presupunem prin absurd c˘ a Γ− 6= ∅. Evident, dac˘ a M ∈ Γab ¸si M ∈ Γ− , atunci Γab ⊆ Γ− . Deoarece Γ este local conex˘ a ¸si Γ+ = Γ \ Γ− , Γ− = Γ \ Γ+ , deducem c˘ a mul¸timile Γ+ , Γ− sunt simultan închise ¸si deschise în (Γ, TΓ ). Am folosit faptul c˘ a Γab ∈ TΓ , unde a ∈ A, b ∈ B. Ceea ce, conform [39], p. 151, este în contradic¸tie cu conexitatea lui Γ. Demonstra¸tia s-a încheiat. Vom reaminti faptul c˘ a no¸tiunile de conexitate ¸si local conexitate nu sunt echivalente (cf. [39], problema II.2.88, p. 177). Fie A mul¸timea tuturor familiilor orientate ale curbei netede orientabile conexe Γ. Definim o rela¸tie de echivalen¸t˘a pe A spunând c˘ a dou˘ a familii orientate (γa )a∈A , (ζb )b∈B sunt echivalente dac˘ a exist˘ a a0 ∈ A, b0 ∈ B astfel încât γa0 (Ia0 )∩ζb0 (Jb0 ) 6= ∅ ¸si Γa0 b0 o component˘ a conex˘ a a mul¸timii γa0 (Ia0 )∩ ζb0 (Jb0 ) cu proprietatea c˘ a drumurile γa0 |Ia

0 b0

: Ia0 b0 → E3

ζb0 |Ja

0 b0

: Ja0 b0 → E3

sunt pozitiv echivalente (cf. [57], p. 98). Despre dou˘ a familii orientate echivalente spunem c˘ a sunt la fel orientate. Conform celor demonstrate anterior, mul¸timea claselor de echivalen¸ta˘ ale acestei rela¸tii de echivalen¸ta˘ are doar dou˘ a elemente. De aceea, o curb˘ a neted˘ a orientabil˘ a conex˘ a Γ este considerat˘ a orientat˘a (cu orientarea dat˘ a de familia orientat˘ a) dac˘ a se precizeaz˘ a o familie orientat˘ a a sa. Exist˘ a doar dou˘ a asemenea orient˘ ari (cf. [57], p. 99). Exemplul tipic de curb˘ a neted˘ a orientat˘ a este dat de curba simpl˘ a. O curb˘ a neted˘ a Γ se nume¸ste simpl˘a dac˘ a exist˘ a parametrizarea γ : I → E3 (numit˘ a global˘a ) astfel încât γ(I) = Γ. Orientarea sa este dat˘ a de familia orientat˘ a {γ} (cf. [48], p. 23, [44], p. 587). S˘ a consider˘ am curba neted˘ a orientat˘ a Γ. Fie (γa )a∈A , unde γa : Ia → E3 , familia de parametriz˘ ari locale care d˘ a orientarea curbei ¸si M0 ∈ Γ. Exist˘ a a ∈ A astfel încât M0 ∈ γa (Ia ). Aplica¸tia γa : Ia → E3 este introdus˘ a prin

2.1. CINEMATICA

25

formula OM = xa (q)i + ya (q)j + za (q)k = σa (q), M = γa (q), q ∈ Ia . −−−→ not → → w , λ ∈ R}, unde − w ∈ TM0 R3 , Dreapta T0 = {N ∈ E3 : M0 N = λ− − → 0 w ∈ σa (q0 ), M0 = γa (q0 ), este tangenta la curba Γ în punctul M0 . Fie − → → τ M0 versorul vectorului − w . Acesta are s˘ageata îndreptat˘a în sensul cre¸sterii variabilei q (cf. [66], p. 261) s¸i este independent de parametrizarea adoptat˘a din familia orientat˘a (γa )a∈A . Într-adev˘ ar, fie b ∈ A, b 6= a, astfel încât M0 ∈ γa (Ia ) ∩ γb (Ib ). Not˘ am cu Γab componenta conex˘ a a mul¸timii γa (Ia ) ∩ γb (Ib ) care îl con¸tine pe M0 (cf. [39], p. 151). Fie λ schimbarea de variabil˘ a corespunz˘ atoare drumurilor (2.2). Atunci, conform (2.3), σa (q) = σb (λ(q)), → unde q ∈ Iab . Prin derivare, σa0 (q) = λ0 (q)σb0 (λ(q)) ¸si ob¸tinem c˘ a − wa = → → → → → λ0 (q0 )− w b , unde − w a ∈ σa0 (q0 ), − w b ∈ σb0 (λ(q0 )), − w a, − w b ∈ TM0 R3 . Cum → → λ0 (q0 ) > 0, versorii vectorilor − w a, − w b coincid.

Figura 2.1 Practic, în cazul unei curbe netede orientate Γ, putem spune c˘ a orientarea → face ca s˘ age¸tile versorilor − τ M s˘ a fie îndreptate în aceea¸si parte atunci când M parcurge curba (vezi Figura 2.1), deci c˘ a exist˘ a un sens de parcurs (mi¸scare) pe curb˘ a. În acest moment putem preciza modul în care traiectoria punctului material este privit˘ a, în general, în mecanica teoretic˘ a, ¸si anume ca o curb˘a neted˘a orientat˘a. De cele mai multe ori, mi¸scarea punctului material este investigat˘ a pe por¸tiuni ale traiectoriei sale care sunt curbe simple având parametrizarea global˘ a (numit˘ a cinematic˘a ) dat˘ a de formula σ = r(t). Variabila parametriz˘ arii cinematice este timpul. Puncte singulare apar, de exemplu, la mi¸scarea pe cicloid˘a (cf. [32], p. 38, [59], problema 1.5.5, p. 11, [76], p. 297, 312-313, [75], p. 98). Situa¸tii speciale se întâlnesc în cazul ciocnirilor, unde se impun diferite restric¸tii privind netezimea parametrilor cinematici (cf. [34],

26

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

p. 614-622). ”Neregularit˘ a¸ti” asem˘ an˘ atoare intervin ¸si în alte capitole ale mecanicii teoretice (vezi, de exemplu, [35], p. 80-94). Ele trebuie analizate separat (cf. [32], p. 19).

2.1.3

Triedrul lui Frenet. Formulele Frenet-Serret

Construim în continuare un reper cartezian special legat de punctul material M, ¸si anume triedrul lui Frenet. S˘ a consider˘ am c˘ a traiectoria Γ este o curb˘ a simpl˘ a a c˘ arei parametrizare cinematic˘ a (global˘ a) este biregular˘ a. 0 00 0 3 0 00 Rela¸tia σa (q) × σa (q) = (λ (q)) (σb (λ(q)) × σb (λ(q))), q ∈ Iab , unde σa , σb sunt formulele drumurilor (2.1) iar λ : Iab → Iba este schimbarea de variabil˘ a, ne asigur˘ a c˘ a orice alt˘ a parametrizare (local˘ a sau global˘ a) r˘ amâne biregular˘ a, deci c˘ a biregularitatea parametriz˘ arii cinematice este o proprietate a traiectoriei Γ (geometric˘ a). Aplic˘ am procedeul de ortonormare Gram-Schmidt (cf. [44], p. 367-369, [67], p. 255) sistemului de vectori {v, a}: 1) vectorii b1 = v, b2 = a − πV (a) sunt ortogonali, unde V , πV (a) reprezint˘ a subspa¸tiul liniar generat de vectorul v în T R3 , respectiv proiec¸tia ortogonal˘ a a vectorului a pe V ; atuiesc sistemul ortonormat c˘ autat. 2) versorii τ = b1 b1 , ν = b1 b2 alc˘ | 1| | 2| De asemeni, Sp({v, a}) = Sp({τ , ν}). ¯ ¯ p ¯b2 ¯ = E(λ0 ) = 1 · |v × a|. Au · v ¸ s i Conform (1.3), (1.4), πV (a) = v·a 2 v v loc formulele: τ=

1 v(t) v(t)

ν=

v(t) · a(t) v(t) v(t)], t ∈ I, [a(t) − |v(t) × a(t)| v 2 (t)

unde −∞ 6 α < β 6 +∞ ¸si I = (α, β). not Introducem un al treilea vector β = τ × ν. − → Atunci, reperul R = (M, B ), unde B = {τ , ν, β}, este triedrul lui Frenet al traiectoriei în punctul M. Se mai întâlnesc ¸si denumirile de triedrul axelor intrinseci ale traiectoriei în punctul M ori reperul natural al traiectoriei în punctul M (cf. [76], p. 66). Triedrul lui Frenet este invariant la parametriz˘ arile locale pozitiv echivalente. Mai precis, ν este invariant la parametriz˘ ari locale echivalente ale aceleia¸si vecin˘ at˘ a¸ti deschise conexe a punctului M, pe când τ , β devin ±τ , ±β, semnul coincizând cu cel al derivatei λ0 a schimb˘ arii de variabil˘ a (cf. [48], p. 21). De aceea, el este ata¸sat curbelor orientate.

2.1. CINEMATICA

27

Un fapt esen¸tial se cuvine reamintit: orice drum neted regular γ poate fi parametrizat natural (adic˘ a, |σ 0 (q)| = 1, unde q ∈ I) cu p˘ astrarea pozitiv echivalen¸tei (cf. [48], p. 12). Înlocuind parametrizarea cinematic˘ a a traiectoriei cu cea natural˘ a, versorii din B devin τ=

d2 r 1 ν = ¯ d2 r ¯ · 2 ¯ 2 ¯ ds ds

dr ds

β = τ × ν,

unde s reprezint˘ a variabila parametriz˘ arii naturale. Putem astfel introduce triedrul lui Frenet apelând doar la parametrizarea natural˘ a a traiectoriei. Aceasta este o practic˘ a uzual˘ a în lucr˘ arile de mecanic˘ a teoretic˘ a (cf. [76], p. 64-67, [63], p. 155-158, [14], p. 89-91, [2], p. 138-139, [54], p. 24, etc.). Pentru a avea la îndemân˘ a o expunere a triedrului lui Frenet adecvat˘ a nevoilor specifice ale mecanicii teoretice, urm˘ am calculul f˘ acut în [34], p. 79-82. Punctul material M, ca în Figura 2.2, se deplaseaz˘ a din pozi¸tia M0 c˘ atre pozi¸tia M1 . Sensul de parcurs pe traiectorie este, evident, cel al cre¸sterii variabilei t. Putem defini func¸tia (coordonata curbilinie) care calculeaz˘ a lungimea arcului de curb˘ a M0 M: Z tp Z P 0 ds = (2.4) (x (q))2 dq s(t) = M0 M(t)

t0

(cf. [53], Teorema 7.4.4, p. 337). Aceasta reprezint˘ a variabila parametriz˘ arii naturale a traiectoriei Γ pozitiv echivalent˘ a cu parametrizarea cinematic˘ a (cf. [48], p. 12). · Cum s (t) > 0 pentru t > t0 , coordonata curbilinie s este inversabil˘ a (local) ¸si avem 1 1 dt = ds = . ds v(t) dt Introducem vectorul dr dr dt 1 v(t) = · = ds dt ds v(t) = α(t)i + β(t)j + γ(t)k.

τ =

(2.5)

·

arii naturale) ¸si v(t) =s Se observ˘ a c˘ a |τ | = 1 (caracteristica parametriz˘ (t) · τ . A¸sadar, τ este versorul vectorului-vitez˘a, vectorul-vitez˘a este direc¸tia

28

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

→ tangentei la traiectorie (G. Roberval, 1635), iar viteza − v (t) este îndreptat˘a în sensul mi¸sc˘arii.

Figura 2.2 a În continuare, cum τ 2 = 1, derivând în raport cu s ob¸tinem c˘ τ·

dτ =0 ds

(2.6)

¸si · dτ dt 1 · dτ · = · = [α (t)i+ β (t)j+ γ (t)k]. ds dt ds v(t) Prin calcul direct ajungem la formula ÷! · ·· 1 ·· · 2 d x ·2 · · ·· · = 3 [x (y + z )− x (y y + z z)] α= dt v v

(2.7)

¸si analoagele ei. Vectorial, plecând de la ·

α=

·2 · ·· 1 ·· · 2 ·2 · · ·· · ·· y + z )− x (xx + y y + z z)], x x ( [ + v3

vom putea scrie c˘ a ·

τ=

1 2 [v · a − (a · v)v]. v3

(2.8)

·

a ¸si numai dac˘ a v × a 6= 0 Folosind (2.8), se arat˘ a imediat c˘ a τ 6= 0 dac˘ (condi¸tia de biregularitate a parametriz˘ arii cinematice a traiectoriei). Deci, dτ dτ 6= 0 ¸si, conform (2.6), ds ⊥ τ . ds Introducem scalarul R > 0 ¸si versorul ν plecând de la rela¸tia dτ 1 = · ν. ds R

(2.9)

2.1. CINEMATICA

29

Versorul ν define¸ste direc¸tia normalei principale la traiectorie în punctul M, iar m˘ arimea R reprezint˘ a raza de curbur˘a a traiectoriei în punctul M. → Planul determinat de M cu spa¸tiul director generat în TM R3 de vectorii − τ, − → ν este planul osculator al traiectoriei în punctul M. Versorul β, care define¸ste direc¸tia binormalei la traiectorie în punctul M, este introdus prin formula β = τ × ν. Tripletul (τ , ν, β), de sens direct (τ × ν = β, ν × β = τ , β × τ = ν)6 , alc˘ atuie¸ste o baz˘ a a lui T R3 , astfel c˘ a exist˘ a ¸si sunt unici scalarii reali A, B, C cu proprietatea c˘ a dβ = Aτ + Bν + Cβ. (2.10) ds (2.9)

2

d (β · τ ) = dβ · τ + β · ( R1 ν) = dβ · τ ¸si β = 1, Deoarece β · τ = 0, ds ds ds 2 dβ d (β ) = 2 · β · ds , deducem c˘ a A = C = 0. ds În cazul când B 6= 0, introducem scalarul real T plecând de la rela¸tia

dβ = −T · ν. ds

(2.11)

M˘ arimea T reprezint˘ a torsiunea traiectoriei în punctul M. Semnul lui T este luat astfel încât T s˘ a fie pozitiv pentru o rota¸tie7 pozitiv˘a (în sens → trigonometric) a reperului natural în jurul lui − τ (cf. [76], p. 65). Folosind faptul c˘ a β × τ = ν, avem c˘ a dν dβ dτ 1 = ×τ +β× = −T · ν × τ + · β × ν ds ds ds R 1 = − · τ + T · β. R

(2.12)

Rela¸tiile (2.9), (2.11) ¸si (2.12) se numesc formulele Frenet-Serret (cf. [44], p. 578). Cazul B = 0 este cel al curbelor plane (cf. [48], p. 27). Planul osculator al unei curbe plane este chiar planul curbei (cf. [48], p. 18), în timp ce torsiunea ”m˘ asoar˘ a” abaterea curbei (strâmbe) de la planul osculator (cf. [48], p. 27). 6 Faptul c˘ a baza B = {τ , ν, β} are aceea¸si orientare ca baza canonic˘ a a spa¸tiului T R3 este o consecin¸ta˘ a urm˘ atoarei observa¸tii. Fiind da¸ti vectorii c, d, unde c×d 6= 0, determinantul ¯ ¯2 schimb˘ arii bazei, de la {i, j, k} la {c, d, c × d}, este (c, d, c × d) = ¯c × d¯ > 0. 7 A se vedea interpretarea torsiunii cu ajutorul unghiului f˘ acut de vectorii β în dou˘ a pozi¸tii din apropierea punctului M (cf. [48], p. 27).

30

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Cercul de raz˘ a R al c˘ arui centru are, în raport cu triedrul lui Frenet, − → vectorul de pozi¸tie R · ν poart˘ a denumirea de cerc de curbur˘a (osculator) al traiectoriei în punctul M. Centrul s˘ au este centrul de curbur˘a al traiectoriei. Cercul de curbur˘ a are tangenta la traiectorie ca tangent˘ a în punctul M (vezi Figura 2.3) (cf. [32], p. 24, [44], p. 566, 581). De aceea, în anumite probleme de mecanic˘ a teoretic˘ a, se poate aproxima traiectoria (plan˘ a) cu un ”mic” arc al cercului de curbur˘ a, ”infinit” de aproape de M (cf., de exemplu, [32], problema 3.8, p. 70, [59], problemele 3.2.9, 3.2.11, p. 40-41).

Figura 2.3

2.1.4

Raza de curbur˘ a ¸si torsiunea ca func¸tii de timp

Au loc formulele ·

v3 R= |v × a|

(v, a, a) . T = |v × a|2

(2.13)

Într-adev˘ ar, din (2.8), (2.9) deducem c˘ a ¯ ¯ 1 a·v ¯ 1 1 ¯ = 2 ¯¯a − 2 v¯¯ = 3 |v × a| . R v v v

S˘ a justific˘ am cea de-a doua formul˘ a. Cum Sp({v, a}) = Sp({τ , ν}), unica direc¸tie perpendicular˘ a pe planul osculator este dat˘ a de v × a, deci β=

v×a |v × a|

(2.14)

(cf. [57], p. 148). Atunci, avem c˘ a ·

β=

·

|v × a| (v× a) − (v × a) · 2

|v × a|

d (|v dt

× a|)

.

2.1. CINEMATICA

31

· p (v×a)(v×a) 2 Cum × a|) = (v × a) = |v×a| , ¸tinând seama de formula dublului produs vectorial, putem scrie c˘ a

d (|v dt

d dt

·

·

·

(v × a) × [(v× a) × (v × a)] (v × a) × [((v× a) · a)v] β = = |v × a|3 |v × a|3 ·

·

(a, v, a) (v, a, a) 2 = 3 [(v × a) × v] = 3 [(v · a)v − v · a] |v × a| |v × a| ·

v·a v 2 · (v, a, a) = − v). 3 (a − v2 |v × a| Concluzia rezult˘ a imediat aplicând (2.11).

2.1.5

Forma traiectoriei în apropierea lui M

Triedrul lui Frenet permite ”vizualizarea” formei traiectoriei Γ în vecin˘ atatea unei pozi¸tii oarecare a punctului material M, pe baza formulelor FrenetSerret (cf. [57], p. 157-159, [44], p. 581-583). Fie t2 ∈ (t0 , t1 ) (vezi Figura 2.2) ¸si coordonata curbilinie Z tp P 0 (2.15) (x (q))2 dq, t ∈ [t0 , t1 ]. s(t) = t2

La fel ca anterior, s reprezint˘ a variabila unei parametriz˘ ari naturale a traiectoriei Γ pozitiv echivalent˘ a cu parametrizarea cinematic˘ a. Vom folosi triedrul lui Frenet al traiectoriei corespunz˘ ator pozi¸tiei M2 = M(t2 ). Conform (2.14), ecua¸tia planului osculator al traiectoriei Γ în M2 se scrie [r − r(t2 )] · [v(t2 ) × a(t2 )] = 0. S˘ a evalu˘ am expresia de mai jos E(t) = [r(t) − r(t2 )] · [v(t2 ) × a(t2 )], t ∈ [t0 , t1 ]. Astfel, dezvoltând func¸tia r(t) în jurul lui t = t2 , avem c˘ a 1 E(t) = [v(t2 ) × a(t2 )] · [(t − t2 )v(t2 ) + (t − t2 )2 a(t2 ) 2 · 1 3 3 + (t − t2 ) a (t2 ) + o((t − t2 ) )] 6

32

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL · 1 (v(t2 ), a(t2 ), a (t2 ))(t − t2 )3 + o((t − t2 )3 ) 6 1 = (t − t2 )3 (C + α(t − t2 )), 6

=

unde C = T (t2 ) · |v(t2 ) × a(t2 )|2 ¸si lim α(t − t2 ) = 0. t→t2

Când traiectoria Γ este spa¸tial˘a (strâmb˘ a) în M2 (adic˘ a, T (t2 ) 6= 0), exist˘ a ε > 0 suficient de mic astfel încât ½ E(t) < 0, t ∈ (t2 − ε, t2 ) T (t2 ) > 0, E(t) > 0, t ∈ (t2 , t2 + ε)

respectiv

½

E(t) > 0, t ∈ (t2 − ε, t2 ) T (t2 ) < 0. E(t) < 0, t ∈ (t2 , t2 + ε) ¯ ¯ ¯ ¯ Îns˘ a, pe de alt˘ a parte, E(t) = ¯M2 M(t)¯·|v(t2 ) × a(t2 )|·cos(β(t2 ), M2 M(t)). a c˘ a unghiul f˘ acut de Varia¸tia semnului expresiei E(t) în (t2 − ε, t2 + ε) arat˘ vectorii β(t2 ), M2 M(t) devine din ascu¸tit obtuz ¸si reciproc. Ceea ce înseamn˘ a c˘ a punctul material M traverseaz˘a planul osculator al traiectoriei Γ în M2 − → în sensul indicat de s˘ ageata versorului β M2 (T (t2 ) > 0), respectiv în sens invers acestuia (T (t2 ) < 0) (vezi Figura 2.4) (cf. [44], p. 564, [57], p. 159).

Figura 2.4 S˘ a revenim la (2.15). Exist˘ a ¸si sunt unice func¸tiile f , g, h ∈ C ∞ (J, R), unde J = s([t0 , t1 ]), astfel încât r(s) = r(0) + f (s)τ (0) + g(s)ν(0) + h(s)β(0), s ∈ J.

2.1. CINEMATICA

33

Evident, deriv˘ ari succesive, avem c˘ a: ¯ f (0) = g(0)0 = h(0) 0= 0. Prin ¯ dr ¯ dτ ¯ 1 0 τ (0) = ds s=0 , de unde f (0) = 1, g (0) = h (0) = 0; apoi, ds s=0 = R(0) ν(0), 1 ; în final, de unde f 00 (0) = h00 (0) = 0, g00 (0) = R(0) ¯ ¯ ¯ d2 τ ¯¯ dν R0 (s) 1 · − 2 · ν(s))¯¯ = ( ¯ 2 ds s=0 R(s) ds R (s) s=0 1 R0 (0) T (0) · τ (0) − 2 · ν(0) + · β(0), = − 2 R (0) R (0) R(0) 0

T (0) de unde f 000 (0) = − R21(0) , g 000 (0) = − RR2(0) , h000 (0) = R(0) . (0) Dezvoltând func¸tiile f , g, h în jurul lui s = 0, ob¸tinem formulele  f (s) = s − 6R12 (0) s3 + o(s3 )   R0 (0) 3 1 3 s2 − 6R g(s) = 2R(0) 2 (0) s + o(s )  T (0) 3  h(s) = 6R(0) s + o(s3 ).

Admi¸tând, în imediata vecin˘ atate a lui s = 0, aproxima¸tiile ”grosiere”: f (s) = s

unde8 c1 = lui Frenet:

1 , c2 2R(0)

=

g(s) = c1 s2 T (0) , 6R(0)

h(s) = c2 s3 ,

|s| ¿ 1,

putem proiecta traiectoria Γ pe planele triedrului

Figura 2.5 8

Deoarece raza de curbur˘ a este practic constant˘ a în vecin˘ atatea punctului M2 coeficientul µ ¶¯ R0 (0) 1 d 1 ¯¯ − 2 =− · 6R (0) 6 ds R ¯s=0 din dezvoltarea lui g este nul.

34

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

2.1.6

Viteza ¸si accelera¸tia în triedrul lui Frenet

Am ob¸tinut deja, folosind (2.5), rela¸tia ·

v(t) =s (t) · τ . Prin derivarea sa, avem c˘ a ·

··

·

a(t) = v=s (t) · τ + s (t)( ·

= v ·τ +

v2 · ν. R

dτ ds · ) ds dt

(2.16)

Atunci, proiec¸tiile vitezei s¸i accelera¸tiei punctului material M pe axele triedrului lui Frenet sunt ·

vτ = s ·

aτ = v

vν = 0 vβ = 0 1 aν = v2 aβ = 0. R

Rela¸tiile de mai sus, ca, de altfel, ¸si rela¸tia Sp({v, a}) = Sp({τ , ν}), arat˘ a − → c˘ a accelera¸tia a (t) a punctului material M se g˘ase¸ste întotdeauna în planul osculator al traiectoriei în punctul M. Rolul formulelor din aceast˘ a subsec¸tiune este, într-un anumit sens, opus celui al formulelor ob¸tinute în subsec¸tiunile anterioare. Dac˘ a pân˘ a acum, ¸tinând seama de cunoa¸sterea parametriz˘ arii cinematice σ = r(t), se calculau elemente privitoare la forma (geometria) traiectoriei, aici traiectoria este cunoscut˘ a (ceea ce permite construc¸tia triedrului lui Frenet cu ajutorul coordonatei curbilinii s), c˘ autându-se în schimb pozi¸tionarea elementelor cin− → − → ematice v , a , chestiune specific˘ a mecanicii teoretice. Putem scrie c˘ a → − → → a ν, a =− a τ +− · 2 → → a ν ∈ vR · ν. Cu alte cuvinte, accelera¸tia punctului material unde − a τ ∈v ·τ ¸si − → M se descompune într-o component˘a tangen¸tial˘a − a τ (tangent˘ a la traiectorie → în punctul M) ¸si o component˘a normal˘a − a ν (având direc¸tia normalei principale la traiectorie în punctul M). Componenta tangen¸tial˘ a se datoreaz˘ a varia¸tiei modulului vitezei punctului material M, iar componenta normal˘ a varia¸tiei direc¸tiei vitezei punctului material M.

2.1. CINEMATICA

2.1.7

35

Mi¸scarea circular˘ a

Punctul material M se deplaseaz˘ a pe cercul C(O, R0 ) situat în planul de coordonate Oxy al sistemului de referin¸ta˘ R (vezi Figura 2.6), g˘ asindu-se la momentul ini¸tial în pozi¸tia M0 . O asemenea mi¸scare, numit˘ a circular˘a, este realizat˘ a într-un singur sens. def Introducem m˘ arimea θ = θ(t) = ](Ox, OM). Unghiul θ va cre¸ste în permanen¸ta˘ (ceea ce d˘ a orientarea cercului) ¸si este m˘ asurat în radiani. Aici, M(0) = M0 ¸si θ(0) = 0. Atunci, s = R0 · θ ¸si r(t) = R0 (cos θ · i + sin θ · j) = R0 · ρ. Cum cos θ = R10 (r · i) ¸si func¸tia ” cos ” este inversabil˘ a pe intervalele ∞ [kπ, (k + 1)π], unde k ∈ Z, deducem c˘ a θ ∈ C (R, R). Avem c˘ a d(R0 · ρ) dρ dr = = = − sin θ · i + cos θ · j ds d(R0 · θ) dθ π π = cos(θ + ) · i + sin(θ + ) · j. 2 2 → → Astfel, considerând în TM R3 versorii − ρ ∈ ρ, − τ ∈ τ , observ˘ am c˘ a versorul − → − → π τ se ob¸tine din ρ prin rotire cu 2 în sens trigonometric (cf. [34], p. 153). Ceea ce arat˘ a c˘ a opera¸tia de derivare a unui vector legat mobil îns˘a constant în modul are un echivalent (geometric) în mi¸scarea de rota¸tie în jurul punctului s˘au de aplica¸tie (presupus fix) (cf. [32], p. 95-96). τ =

Figura 2.6 def

not

dρ De asemeni, dac˘ a ϕ = ](Oy, OM) ¸si consider˘ am versorul dϕ = η, − → − → − → 3 atunci, în TM R , versorul η , unde η ∈ η, se ob¸tine din ρ prin rotire cu

36

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

π 2

în sens invers trigonometric. În particular, reg˘ asim un rezultat men¸tionat anterior, ¸si anume c˘ a versorul legat ob¸tinut prin derivare are s˘ageata îndreptat˘a în sensul cre¸sterii variabilei de derivare. În continuare, cum dτ 1 dτ dτ = = · ds d(R0 · θ) R0 dθ 1 · [cos(θ + π) · i + sin(θ + π) · j] = R0 1 = − · ρ, R0 → → deducem c˘ a raza de curbur˘ a (constant˘ a) a cercului este R0 ¸si − ν = −− ρ, − → 3 unde ν ∈ TM R . Folosind formula vitezei, avem c˘ a ·

v =s=

· ds · · θ= R0 · θ . dθ

(2.17)

· not

a denumirea de vitez˘a unghiular˘a (instantanee sau M˘ arimea θ = ω poart˘ 9 momentan˘a) a punctului material M. Vectorul-accelera¸tie al punctului material M este dat de ·

a(t) =v ·τ +

v2 · · ν = R0 ω ·τ − R0 ω 2 · ρ, R0

conform (2.17), astfel c˘ a formulele proiec¸tiilor accelera¸tiei punctului material M pe axele triedrului lui Frenet sunt ·

aτ = R0 · ω

aν = R0 · ω 2

aβ = 0.

· not

M˘ arimea ω = ε se nume¸ste accelera¸tie unghiular˘a (instantanee, momentan˘a) a punctului material M. Mi¸scarea circular˘ a va fi considerat˘ a uniform˘a când ε (ca func¸tie de t) este identic nul˘ a ¸si uniform variat˘a când ε este o constant˘ a nenul˘ a (cf. [34], p. 154, [32], p. 33). 9

.

Se poate ar˘ ata c˘ a, mai general, în mi¸scarea plan˘ a are loc formula v = ±R θ, unde R este raza de curbur˘ a a traiectoriei iar θ unghiul f˘ acut de viteza punctului material cu o dreapt˘ a fix˘ a din planul mi¸sc˘ arii (cf. [32], problema 1.14, p. 39).

2.1. CINEMATICA

37

S˘ a proiect˘ am vectorul-vitez˘ a al punctului material M pe axele de coordonate:  · not    vi = vx = −R0 θ sin θ = −ω · y not

·

vj = vy = R0 θ cos θ = ω · x not vk = vz = 0. → → Introducem vectorii − ω, − ε ∈ TO R3 , numi¸ti vector-vitez˘a unghiular˘a, respectiv vector-accelera¸tie unghiular˘a ai punctului material M, cu ajutorul rela¸tiilor → → ω = ω · k, − ω ∈ω ε = ε · k, − ε ∈ ε.   

Atunci,

v = ω × r,

formul˘ a esen¸tial˘ a în cadrul mecanicii teoretice. În plus, conform [32], p. 33, avem aτ = ε × r aν = ω × v.

2.1.8

Mi¸scarea plan˘ a în coordonate polare (metoda transform˘ arii Pr˝ ufer)

Ca ¸si la subsec¸tiunea anterioar˘ a, s˘ a presupunem c˘ a punctul material M se mi¸sc˘ a în planul Oxy al reperului canonic R. Coordonatele sale pot fi exprimate prin formulele (transformarea Pr˝ufer) x = r(t) · cos θ(t)

y = r(t) · sin θ(t)

z = 0,

unde r, θ ∈ C ∞ (R, R) ¸si r(t) > 0. Introducem vectorii ρ = cos θ · i + sin θ · j ¸si ε = − sin θ · i + cos θ · j. La → → → fel ca în cazul mi¸sc˘ arii circulare, versorii − ρ,− ε ∈ TM R3 , unde − ε ∈ ε, sunt ortogonali (vezi Figura 2.7).

Figura 2.7

38

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL Au loc formulele  

·

·

v =r ·ρ + r θ ·ε

(2.18)

2

··  a = (r·· −r θ· ) · ρ + (2 r· θ· +r θ) · ε.

Într-adev˘ ar, avem c˘ a

v= ¸si

· d · (r(t) · ρ(t)) =r ·ρ + r· ρ dt

· π π ) · i + sin(θ + ) · j] =θ ·ε. 2 2 Pentru cea de-a doua formul˘ a (2.18), prin derivarea primeia în raport cu timpul t, ajungem la ·

·

ρ=θ ·[cos(θ +

··

·

·

··

··

·

·

a = r ·ρ+ r · ρ + rθ ·ε + r θ ·ε + r θ · ε ··

··

··

·

·

= r ·ρ + (2 rθ +r θ) · ε + r θ · ε ¸si, cum ·

·

·

ε=θ ·[cos(θ + π) · i + sin(θ + π) · j] = − θ ·ρ, demonstra¸tia se încheie.

2.1.9

Mi¸scarea relativ˘ a a punctului material

Mi¸scarea punctului material are loc întotdeauna în raport cu sistemul de referin¸ta˘. În func¸tie de alegerea acestuia, traiectoria punctului material este ”v˘ azut˘ a” (observat˘ a) ca o curb˘ a plan˘ a sau strâmb˘ a (spa¸tial˘ a), degenerat˘ a, etc. Mai mult chiar, o alegere nepotrivit˘ a a sistemului de referin¸ta˘ se poate reflecta prin perturbarea caracteristicilor modelului matematic al spa¸tiului ¸si timpului (cf. [41], p. 12). Asupra acestor chestiuni vom reveni ulterior. Pentru a studia mi¸sc˘ arile complexe (compuse) ale punctului material, în afara sistemului de referin¸ta˘ R, se introduc unul sau mai multe repere carteziene, notate R0 , R00 , etc. Subliniem faptul c˘ a reperele R, R0 nu trebuie privite ca ni¸ste ”schelete” (triedre) abstracte, ele fiind desemnate de obicei prin intermediul corpurilor sau sistemelor de corpuri întâlnite în via¸ta de zi cu zi (trei muchii adiacente ale unei c˘ ar˘ amizi paralelipipedice, ale unei camere,

2.1. CINEMATICA

39

¸s.a.m.d.). S˘ a zicem c˘ a o persoan˘ a se g˘ ase¸ste lâng˘ a ¸sofer într-un automobil care ruleaz˘ a pe ¸sosea. Persoana discut˘ a cu ¸soferul ¸si î¸si subliniaz˘ a ideile gesticulând cu mâna dreapt˘ a. Un stop aflat pe ¸sosea poate fi considerat drept sistemul de referin¸ta˘ R, în timp ce ma¸sina este reperul (mobil) R0 . Când mâna dreapt˘ a a persoanei st˘ a nemi¸scat˘ a, putem spune c˘ a are aceea¸si mi¸scare ca ¸si ma¸sina. Mi¸scarea mâinii drepte a persoanei poate fi studiat˘ a mai u¸sor dac˘ a sunt cunoscute mi¸scarea ma¸sinii fa¸ta˘ de stop ¸si mi¸scarea mâinii drepte fa¸ta˘ de persoane (¸sofer) sau obiecte (scaune, bordul ma¸sinii) aflate în repaus fa¸ta˘ de ma¸sin˘ a. Mi¸scarea punctului material fa¸ta˘ de sistemul de referin¸ta˘ R (considerat aprioric fix în mecanica teoretic˘ a) poart˘ a denumirea de mi¸scare absolut˘a. M˘ arimile cinematice ale mi¸sc˘ arii absolute se numesc absolute (vitez˘ a absolut˘ a, accelera¸tie absolut˘ a, etc.). La rândul s˘ au, mi¸scarea punctului material fa¸ta˘ de reperul cartezian R0 este relativ˘a, m˘ arimile sale cinematice fiind relative. Cunoa¸sterea modului cum se mi¸sc˘ a reperul (mobil) R0 fa¸ta˘ de sistemul de referin¸ta˘ R permite, prin interrela¸tionarea cu mi¸scarea relativ˘ a a punctului material, studiul mi¸sc˘ arii absolute a punctului material M (cf. [32], p. 196). La începutul acestui capitol, no¸tiunea de diferen¸tiabilitate (în acord cu structura topologic˘ a a SF ) a fost introdus˘ a cu ajutorul diferen¸tiabilit˘ a¸tii coordonatelor vectorului în sistemul de referin¸ta˘ R. Acum, fiind date R = − → − → (O, B ), unde B = {i, j, k}, ¸si R0 = (A, C ), unde C = {i1 , j 1 , k1 }, s˘ a consider˘ am aplica¸tia w : I → T R3 , de clas˘ a C ∞ , pe care o introducem prin intermediul formulelor w(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k = x1 (t)i1 + y1 (t)j 1 + z1 (t)k1 . Spunem c˘ a m˘ arimea vectorial˘ a ·

·

·

not

x1 (t)i1 + y 1 (t)j 1 + z 1 (t)k1 =

µ

∂w ∂t

(2.19)

¶

R0

(cf. [63], p. 242) reprezint˘ a derivata vectorului w(t) relativ˘a la R0 . Evident, · · · · m˘ arimea w (t) =x (t)i+ y (t)j+ z (t)k se nume¸ste derivat˘ a absolut˘a a a, derivata sa relativ˘a la sistemul de referin¸ta˘). vectorului w(t) (adic˘ Fie acum ρ versorul vectorului w(t). Cu ajutorul formulei dublului produs a vectorial, derivând rela¸tia w(t) =wρ ·ρ(t), avem c˘ ·

·

·

w = wρ · ρ + wρ · ρ

(2.20)

40

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL ·

= wρ · ρ + wρ · (ω × ρ) ·

= wρ · ρ + ω × (wρ · ρ) ·

= wρ · ρ + ω × w, ·

unde ω = ρ× ρ (cf. [32], p. 96). · Folosim ca analogie calculul din (2.20). Astfel, m˘ arimea wρ ·ρ joac˘ a ”rolul” derivatei relative, fiind o derivat˘ a a ”coordonatei” wρ , în timp ce m˘ arimea ω × w reprezint˘ a leg˘ atura dintre derivata absolut˘ a ¸si cea relativ˘ a, scris˘ a sub forma unui produs vectorial. O asemenea leg˘ atur˘ a va fi stabilit˘ a în · ¡ ¢ ∂w continuare între w, ∂t R0 . Formula (2.20), deja întâlnit˘ a în cazul particular al vectorului-accelera¸tie, arat˘ a c˘ a, în general, derivata absolut˘a a unui vector este oblic˘a fa¸t˘a de vector s¸i se descompune într-o component˘a longitudinal˘a (coliniar˘a cu vectorul), datorat˘a varia¸tiei modulului acestuia, s¸i o component˘a transversal˘a (perpendicular˘a pe vector), datorat˘a varia¸tiei direc¸tiei ρ(t) (cf. [32], p. 96). Vectorul ω din (2.20) nu este unic, ci doar perpendicular pe ρ. Într-adev˘ ar, pentru ·

·

orice h ∈ R putem scrie c˘ a ρ=ω h ×ρ, unde ω h = ρ× ρ +h · ρ. În schimb, exist˘ a ¸si este unic vectorul ω, de clas˘ a C ∞ (ca func¸tie de t), cu proprietatea c˘ a  ·     i· 1 = ω × i1 (2.21) j 1= ω × j1   ·   k1 = ω × k1. ·

·

S˘ a justific˘ am aser¸tiunea de mai sus. Conform (2.20), i1 ⊥ i1 , deci i1 ∈ Sp({j 1 , k1 }) ¸si exist˘ a rela¸tia ·

i1 = ω12 (t) · j 1 + ω13 (t) · k1 , ·

·

unde ω12 (t) =i1 ·j 1 , ω13 (t) =i1 ·k1 ¸si ω12 , ω13 ∈ C ∞ (I, R3 ). În mod analog, ajungem la formulele  ·     i1 = ω12 (t) · j 1 + ω13 (t) · k1 ·

j 1 = ω21 (t) · i1 + ω23 (t) · k1   ·   k 1 = ω31 (t) · i1 + ω32 (t) · j 1 .

(2.22)

2.1. CINEMATICA

41

Derivând rela¸tia i1 · j 1 = 0 în raport cu timpul t, avem ·

·

ω12 =i1 ·j 1 = − j 1 ·i1 = −ω21 ¸si analoagele sale. Putem scrie acum vectorul c˘ autat, ¸si anume ·

·

·

ω = (j 1 ·k1 )i1 + (k 1 ·i1 )j 1 + (i1 ·j 1 )k1 = p(t) · i1 + q(t) · j 1 + r(t) · k1 .

(2.23)

Într-adev˘ ar, dac˘ a ¸tinem seama de identitatea ω = (ω, j 1 , k1 ) · i1 + (i1 , ω, k1 ) · j 1 + (i1 , j 1 , ω) · k 1 , atunci, în acord cu (2.21), avem  ·     i1 ·j 1 = (i1 , j 1 , ω) = r(t) ·

j 1 ·k1 = (ω, j 1 , k1 ) = p(t)     · k1 ·i1 = (i1 , ω, k1 ) = q(t).

Rela¸tia (2.23) admite o formulare în spiritul celei a vectorului ω întrebuin¸tat˘ a în (2.20), ¸si anume ω= De asemeni, putem scrie c˘ a

· 1X (i1 × i). 2

¯ ¯ ¯ i1 j 1 k 1 ¯ ¯ ¯ ¯ j 1 k 1 i1 ¯ ω=¯ · ¯ · · ¯ ¯ ¯ k 1 i1 j ¯ 1

f˘ acând conven¸tia ca determinantul s˘ a fie dezvoltat dup˘ a prima linie iar produsele din minorii de ordinul al doilea s˘ a fie produse scalare. S˘ a presupunem, în continuare, c˘ a ar mai exista un vector ς care s˘ a verifice (2.21). Aceasta ar implica, în urma sc˘ aderii membru cu membru a rela¸tiilor omoloage,   (ω − ς) × i1 = 0 (ω − ς) × j 1 = 0  (ω − ς) × k1 = 0,

42

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

de unde deducem c˘ a ω = ς (singurul vector paralel cu o baz˘ a a lui T R3 fiind vectorul nul). Aser¸tiunea a fost probat˘ a. S˘ a revenim la vectorul w(t) dat de (2.19). Prin derivare în raport cu timpul t, avem formula ·

·

·

·

·

·

w = [x1 (t)i1 + y 1 (t)j 1 + z 1 (t)k1 ] + [x1 (t) i1 +y1 (t) j 1

(2.24)

·

+z1 (t) k1 ] µ ¶ ∂w = + ω × w. ∂t R0

· ¡ ¢ Se cuvine observat c˘ a ω= ∂ω . Este evident c˘ a derivata absolut˘ aa ∂t R0 vectorului w(t) coincide cu derivata sa relativ˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a ω ×w = 0 (cf. [76], p. 323). Rela¸tiile (2.21) sunt cunoscute sub numele de formulele lui Poisson (cf. [32], p. 96, [34], p. 169, [76], p. 323, [63], p. 175). Pe baza (2.24), vom stabili, în continuare, leg˘ aturi între m˘ arimile cinematice ale mi¸sc˘ arilor absolut˘ a ¸si relativ˘ a. Conform rela¸tiei lui Chasles,

(2.25)

OM = OA + AM.

Fie xA (t), yA (t), zA (t) ¸si x1 (t), y1 (t), z1 (t) coordonatele vectorului OA în R, respectiv vectorului AM în R0 . Prin derivarea (2.25) în raport cu timpul t, avem c˘ a ·

·

·

·

v(t) = xA (t)i+ y A (t)j+ z A (t)k+ AM

(2.26)

·

= vA (t)+ AM µ ¶ ∂AM + ω × AM. = vA (t) + ∂t R0 M˘ arimea v A (t) este³ vectorul-vitez˘ a al punctului A fa¸ta˘ de sistemul de ´ ∂AM referin¸ta˘ R. M˘ arimea ∂t reprezint˘ a vectorul-vitez˘a relativ˘a al punctu0 R

lui material M fa¸ta˘ de reperul R0 , ¸si aceasta deoarece AM ³ este´raza vectoare not 0 a punctului material M în reperul R . Folosim nota¸tia ∂AM = v rel (t). ∂t 0 ·

·

·

A¸sadar, v rel (t) =x1 (t)i1 + y 1 (t)j 1 + z 1 (t)k1 .

R

2.1. CINEMATICA

43

M˘ arimea vA (t) + ω × AM poart˘ a denumirea de vector-vitez˘a de transport. Observ˘ am c˘ a, dac˘ a punctul material M se g˘ ase¸ste în repaus relativ, atunci v(t) = v A (t) + ω × AM. Este cazul mâinii nemi¸scate a persoanei de lâng˘ a ¸sofer. Putem spune c˘ a toate persoanele, obiectele în repaus fa¸ta˘ de ma¸sin˘ a au vitezele absolute date de v(t) = v A (t) + ω × AM. Denumirea de vitez˘a de transport (antrenare) devine astfel sugestiv˘ a. În concluzie, v(t) = vtransp + vrel , ceea ce reprezint˘ a legea fundamental˘a de compunere a vitezelor în mecanica teoretic˘ a (cf. [34], p. 180, [32], p. 192, [76], p. 324). Vom deriva formula (2.24) în raport cu timpul t. Atunci, µµ ¶ ¶ ·· · · ∂w d + ω ×w + ω× w w = (2.27) dt ∂t R0 "Ã ¡ ¢ ! µ ¶ # · ∂ ∂w ∂w 0 ∂t R = + ω ×w +ω× ∂t ∂t R0 0 µ ¶R ¸ · ∂w + ω × (ω × w) + ω× ∂t R0 · µ ¶ ¸ µ 2 ¶ · ∂w ∂ w + + 2 ω × ω ×w + ω × (ω × w) = ∂t2 R0 ∂t R0 µ 2 ¶ · µ ¶ ¸ ∂ w ∂w = + ε × w + ω × (ω × w) . +2 ω× 2 ∂t R0 ∂t R0 Aplicând (2.27) relativ la (2.25), avem c˘ a ··

a(t) = aA (t)+ AM ¡ ¢ = aA (t) + arel (t) + 2 (ω × v rel ) + ε × AM + ω × ω × AM £ ¡ ¢¤ = aA (t) + ε × AM + ω × ω × AM + arel (t) + aCor (t) = atransp + arel + aCor . arimilor Semnifica¸tiile m˘ arimilor atransp , arel sunt analoage celor ale m˘ v transp , vrel . M˘ arimea aCor reprezint˘ a vectorul-accelera¸tie Coriolis (complementar˘a). Asupra sa vom reveni ulterior. Am ob¸tinut astfel legea fundamental˘a de compunere a accelera¸tiilor în mecanica teoretic˘ a (G. Coriolis, 1831) (cf. [32], p. 193, [34], p. 187, [76], p. 325).

44

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Un caz particular interesant are loc atunci când reperul R0 este chiar triedrul lui Frenet. Pe baza rela¸tiilor (2.9), (2.11), (2.12), avem c˘ a  · dτ · v    · τ = ds · s= R · ν = ω × τ ν= − Rv · τ + vT · β = ω × ν  ·   β= −T v · ν = ω × β,

unde ω = vT · τ + Rv · β (cf. [34], p. 174-175, [15], vol. I, p. 47, [59], problema 3.1.7, p. 35). În finalul acestei subsec¸tiuni, s˘ a consider˘ am c˘ a, în afara reperului (mobil) − → 0 R , mai exist˘ a ¸si un al doilea reper cartezian (mobil) R00 = (B, D ), unde B ∈ E3 ¸si D = {i2 , j 2 , k2 }. M˘ arimea ω din (2.21), care caracterizeaz˘ a într-o a cu ω21 în cazul anumit˘a m˘asur˘a mi¸scarea reperului R0 fa¸ta˘ de R, va fi notat˘ mi¸sc˘ arii reperului R00 fa¸ta˘ de R0 , cu ω 12 în cazul mi¸sc˘ arii reperului R0 fa¸ta˘ 00 0 de R , cu ω10 în cazul mi¸sc˘ arii reperului R fa¸ta˘ de R ¸si respectiv cu ω 20 în cazul mi¸sc˘ arii reperului R00 fa¸ta˘ de R. Atunci, conform legii fundamentale de compunere a vitezelor, ¶ µ ∂AB v B (t) = vA (t) + + ω 10 × AB (2.28) ∂t R0 = vA (t) + vrel,B + ω 10 × AB

¸si, respectiv vA (t) = v B (t) +

µ

∂BA ∂t

¶

R00

+ ω20 × BA

(2.29)

= v B (t) + vrel,A + ω20 × BA, a relativ˘ a al punctului B m˘ arimile v rel,B , vrel,A reprezentând vectorul-vitez˘ fa¸ta˘ de reperul R0 , respectiv vectorul-vitez˘ a relativ˘ a al punctului A fa¸ta˘ de reperul R00 . Prin sumarea membru cu membru a (2.28), (2.29), avem c˘ a 0 = v rel,A + vrel,B + (ω10 − ω 20 ) × AB,

(2.30)

rela¸tie la care vom apela ulterior (cf. [34], p. 188). Au loc formulele ω 12 = ω 10 − ω 20

ω 21 = ω20 − ω 10 .

(2.31)

2.1. CINEMATICA

45

S˘ a justific˘ am, în continuare, aceast˘ a afirma¸tie. Conform (2.21), (2.24), putem scrie  ·    ³ i1 = ´ ω 10 × i1     = ∂i1 + ω20 × i1 ∂t 00 R

·

      

³ i2 = ´ ω 20 × i2 ∂i2 = ∂t 0 + ω 10 × i2 , R ³ ´ ³ ´ de unde deducem c˘ a ∂i∂t1 00 = (ω 10 − ω 20 ) × i1 , ∂i∂t2

R0

R

= (ω20 − ω10 ) × i2 .

În mod analog, ajungem la formulele ³ ´  ³ ´ ∂i1 ∂i2  = (ω10 − ω 20 ) × i1 = (ω20 − ω 10 ) × i2  ∂t  00  ³ ´R ³ ∂t ´R0 ∂j 1 ∂j 2 = (ω 10 − ω 20 ) × j 1 = (ω 20 − ω 10 ) × j 2 ∂t ∂t 00  R ³ ´ ³ ´ R0   ∂k2  ∂k1 = (ω 10 − ω20 ) × k1 = (ω20 − ω 10 ) × k2 . ∂t ∂t 00 0 R

R

Dat˘ a fiind unicitatea vectorului ω din (2.21), juste¸tea afirma¸tiilor din (2.31) este probat˘ a. În particular, ω 12 + ω 21 = 0 (cf. [34], p. 187). Introducem m˘ arimile ¶ µ ∂ω12 not = ε12 ∂t R00

µ

∂ω 21 ∂t

¶

not

= ε21

·

not

ω 10 = ε10

·

not

ω20 = ε20 .

R0

Conform (2.24), (2.31), putem scrie ·

ω12 = ε12 + ω20 × ω 12 = ε12 + (ω21 + ω 10 ) × ω 12 = ε12 + ω10 × ω 12 ,

(2.32)

c˘ aci ω 21 × ω 12 = 0, respectiv ·

ω 21 = ε21 + ω 10 × ω 21 .

(2.33)

46

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Atunci, prin sumarea membru cu membru a rela¸tiilor (2.32), (2.33), ajungem la 0 = dtd (ω 12 + ω 21 ) = ε12 + ε21 + ω 10 × (ω12 + ω 21 ), de unde ε12 + ε21 = 0. În final, conform (2.31), (2.32), (2.33), putem scrie ½ ε10 = ε20 + ε12 + ω 20 × ω 12 ε20 = ε10 + ε21 + ω 10 × ω 21 (cf. [15], vol. I, p. 100, [63], p. 266).

2.1.10

O formul˘ a matriceal˘ a în leg˘ atur˘ a cu vectorul ω

∗ Vom nota cu (ωαβ )α,β , respectiv (ωαβ )α,β m˘ arimile corespunz˘ atoare vectorilor ω 10 , ω20 în (2.22). Astfel,  ·  ·   ∗ ∗      i·2 = ω12 · j 2 + ω13 · k2  i·1 = ω12 · j 1 + ω13 · k1 ∗ ∗ j 1 = ω21 · i1 + ω23 · k1 j 2 = ω21 · i2 + ω23 · k2     · ·     ∗ ∗ k1 = ω31 · i1 + ω32 · j 1 . k2 = ω31 · i2 + ω32 · j 2.

∗ ∗ ∗ (t) = −ωβα (t) ¸si ωαβ , ωαβ ∈ C ∞ (I, R). S ¸ tim deja c˘ a ωαβ (t) = −ωβα (t), ωαβ Introducem cosinu¸sii directori (αmn )m,n ai bazei D în raport cu baza C prin formulele   i2 = α11 i1 + α12 j 1 + α13 k1 j = α21 i1 + α22 j 1 + α23 k1  2 k2 = α31 i1 + α32 j 1 + α33 k1 . not

Evident, αmn ∈ C ∞ (I, R). Folosim nota¸tia (αmn )m,n = A(t). S˘ a consider˘ am matricele     ∗ ∗ 0 ω12 ω13 ω13 0 ω12 ∗ ∗   ω21 0 ω23   ω21 0 ω23 , ∗ ∗ ω31 ω32 0 ω31 ω32 0

notate [ω], respectiv [ω ∗ ] (cf. [15], vol. I, p. 2). Atunci, are loc rela¸tia ·

[ω ∗ ] = (A +A[ω])At .

2.1. CINEMATICA

47

Pentru demonstrarea sa vom utiliza formalismul matriceal. Astfel, putem scrie     i2 i1 ¢ ¡ ¢ ¡  j2  = A  j1  (2.34) i2 j 2 k2 = i1 j 1 k1 At , k2 k1 respectiv 

·





 i· 1  ¡ ¢   [ω] =  j  i1 j 1 k1  ·1  k1

·



 i· 2  ¡ ¢   [ω∗ ] =  j  i2 j 2 k2 .  ·2  k2

Evident, în aceast˘ a reprezentare a matricelor [ω], [ω ∗ ] produsele elementelor sunt produse scalare. Prin derivare în raport cu timpul t în (2.34), avem c˘ a 





·



i1  i· 1  ¡ ¢   [ω∗ ] = [A  j 1  + A  j ] i2 j 2 k2  ·1  k1 k1  ·    i1  i· 1  ¡ ¢ ·   = [A  j 1  + A  j ] i1 j 1 k1 At  ·1  k1 k1 ·

·

= (A I3 + A[ω])At .

a, m˘ arimile În particular, dac˘ a reperul R00 este în repaus fa¸ta˘ de R0 (adic˘ (αmn )m,n sunt constante), are loc rela¸tia [ω∗ ] = A[ω]At .

(2.35)

Conform (2.35), putem spune c˘ a vectorul ω admite o reprezentare tensorial˘a, dat˘ a de matricea [ω], ca tensor antisimetric de ordinul al II-lea (cf. [34], p. 46, 169, [32], p. 97, [15], vol. I, p. 18).

48

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

2.1.11

O interpretare geometric˘ a a vectorului ω

S˘ a presupunem c˘ a operatorul liniar T : T R3 → T R3 corespunde unei rota¸tii a spa¸tiului fizic F : E3 → E3 , de unghi α. Mai precis, vom considera c˘ a matricea de reprezentare a operatorului T în raport cu baza B a sistemului de referin¸ta˘ este   cos α − sin α 0  sin α cos α 0  . 0 0 1 not

Notând cu x, y, z, respectiv x1 , y1 , z1 coordonatele vectorilor u, T u = u1 în reperul canonic R, au loc rela¸tiile   x1 = x cos α − y sin α y1 = x sin α + y cos α (2.36)  z1 = z. Atunci, conform [56], p. 26, dac˘ a unghiul de rota¸tie α este foarte mic, adic˘ a sin α w α, cos α w 1, (2.36) devin   x1 = x − α · y y1 = y + α · x (2.37)  z1 = z. Vectorial, sistemul de formule (2.37) poate fi pus sub forma u1 = u + α × u, def

unde α = α · k. Sau, echivalent (cf. [41], p. 30, [54], p. 56) ∆u = u1 − u = (α − 0) × u = ∆α × u, ceea ce permite introducerea expresiei infinitezimale (diferen¸tiale) generale δu = δα × u

(2.38)

(cf. [56], p. 31). Utiliz˘ am nota¸tiile δu, δα în locul celor uzuale, respectiv du, dα pentru a scoate în eviden¸ta˘ faptul c˘ a aceste m˘ arimi nu sunt, în general, integrabile.

2.1. CINEMATICA

49

În schimb, dac˘ a func¸tiile α = α(t), u = u(α) sunt de clas˘ a C ∞ (prezum¸tie obi¸snuit˘ a în cadrul mecanicii teoretice), expresia diferen¸tial˘ a (2.38) devine o expresie exact˘a, adic˘ a du = dα × u, de unde

du dα = × u = ω × u. dt dt

Plecând de aici, putem spune c˘ a vectorul ω dat de (2.23) este vectorulvitez˘a unghiular˘a (instantanee sau momentan˘a) al mi¸sc˘ arii reperului R0 fa¸ta˘ de sistemul de referin¸ta˘ R (cf. [32], p. 96, [63], p. 183, [76], p. 303-304, [14], p. 72). Se mai întâlne¸ste ¸si denumirea de vector de rota¸tie (instantanee) (cf. [34], p. 169, [41], p. 30). La rândul s˘ au, vectorul ε devine vectorul-accelera¸tie unghiular˘a (instantanee) al mi¸sc˘ arii reperului R0 fa¸ta˘ de sistemul de referin¸ta˘ R. Nu vom insista în acest moment cu interpretarea mi¸sc˘ arii reperului R0 fa¸ta˘ de sistemul de referin¸ta˘ R. A devenit îns˘ a evident c˘ a aceasta este o mi¸scare complex˘ a care include printre ”ingredientele” sale o mi¸scare (instantanee) sem˘anând rota¸tiei (cf. [76], p. 309-310, 318-319). Totu¸si, o serie de preciz˘ ari privitoare la mi¸scarea instantanee a reperului R0 fa¸ta˘ de sistemul de referin¸ta˘ R pot fi f˘ acute. Astfel, mul¸timea   cos α − sin α 0 U = { sin α cos α 0  : α ∈ R}, 0 0 1

dotat˘ a cu opera¸tia intern˘ a a înmul¸tirii matricelor, constituie un grup abelian. În particular, compunerea (obi¸snuit˘ a) a dou˘ a aplica¸tii ortogonale Ti : T R3 → 3 T R , cu matricele de reprezentare în raport cu baza B a sistemului de referin¸ta˘   cos αi − sin αi 0 Tei =  sin αi cos αi 0  , i = 1, 2, 0 0 1 constituie o aplica¸tie ortogonal˘ a, având matricea de  cos(α1 + α2 ) − sin(α1 + α2 )  sin(α1 + α2 ) cos(α1 + α2 ) 0 0

reprezentare  0 0  1

50

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

(cf. [67], p. 141-142, [56], p. 23). De aceea, pe baza formulei Z t1 Z t1 Z α(t1 ) · dα = α dt = ω(t)dt, ∆α = α(t0 )

t0

t0

putem considera o rota¸tie a SF de unghi ∆α ca fiind compunerea unei succesiuni de rota¸tii instantanee, de unghi dα = ω(t)dt (cf. [54], p. 127). Se întâlnesc aici no¸tiunile de izometrie (deplasare, mi¸scare) finit˘a ¸si izometrie (deplasare, mi¸scare) elementar˘a (infinit de mic˘a, instantanee) ale SF , desemnând izometrii (aplica¸tii izometrice) ce au loc într-un interval finit de timp ∆t = t1 − t0 , respectiv într-un timp infinitezimal dt (cf. [63], p. 174, [41], p. 137-139, [56], p. 28, [54], p. 83, 110).

2.1.12

M˘ asur˘ a ¸si integral˘ a în SF

No¸tiunea de punct material (corp punctiform), fundamental˘ a în mecanica clasic˘ a, are o justificare (intuitiv˘ a) extrem de sugestiv˘ a. Aruncarea în gol a unei pietre de c˘ atre cineva aflat pe marginea unei pr˘ apastii, la munte, sau contemplarea pe timp de noapte a boltei cere¸sti sunt situa¸tii în care corpurile materiale (piatra, stelele) se comport˘ a ca s¸i cum nu ar avea dimensiuni (cf. [54], p. 8). Astfel, Isaac Newton în¸telegea prin ”corpus” punctul material, cu referire la corpurile cere¸sti (cf. [76], p. 9). Se contureaz˘ a ideea c˘ a exist˘ a probleme specifice mecanicii teoretice în care, într-o prim˘a aproxima¸tie (cf. [54], p. 8), corpurile materiale pot fi asimilate cu puncte geometrice dotate cu mas˘a. Un corp material poate fi considerat punctiform într-o anumit˘ a problem˘ a dar acest lucru nu mai este posibil într-o alt˘ a problem˘ a. De exemplu, globul terestru poate fi asimilat unui punct material în mi¸scarea sa de revolu¸tie în jurul Soarelui, dar nu ¸si în rota¸tia proprie diurn˘ a (în jurul axei polilor) (cf. [32], p. 18, [41], p. 7). În cele ce urmeaz˘ a vom introduce un aparat matematic (integrala Lebesgue) care ne permite s˘ a dovedim într-un mod satisf˘ ac˘ ator de ce, de exemplu, în teoria newtonian˘ a a gravita¸tiei planetele ¸si Soarele sunt considerate puncte materiale (cf. [34], p. 352, [32], p. 163, [54], p. 33). Un alt comentariu se cuvine f˘ acut aici. Mecanica teoretic˘a (clasic˘a) prive¸ste mi¸scarea corpurilor rigide ”macroscopice”, mi¸scare produs˘a cu viteze obi¸snuite pentru om s¸i mult inferioare vitezei luminii (cf. [76], p. 5). Aceasta presupune, în particular, c˘ a nu se va ¸tine seama de materia incandescent˘a (plasm˘ a, lav˘ a), considerând, de obicei, densitatea corpurilor ca fiind o aplica¸tie neted˘ a, radial simetric˘ a (cf. [76], p. 391).

2.1. CINEMATICA

51

Justificarea no¸tiunii de punct material se bazeaz˘ a, în esen¸ta˘, pe utilizarea integralelor de tip poten¸tial având forma Z f (B) ¯ dλ(B), ¯ I(A) = A ∈ E3 . ¯ ¯ Ω AB

Plecând de la teoria atrac¸tiei atrac¸tiei gravita¸tionale ¸si electromagnetism (cf., de exemplu, [68], p. 339) a luat fiin¸ta˘ teoria poten¸tialului, disciplin˘ a matematic˘ a de sine st˘ at˘ atoare. Pentru o expunere riguroas˘ a a se vedea [82], [7]. Introducem no¸tiunile ¸si rezultatele acestei subsec¸tiuni urmând prezent˘ arile f˘ acute în [80], [61], [68], [52]. O expunere elegant˘ a a teoriilor integr˘ arii (Henstock-Kurzweil, Lebesgue) poate fi citit˘ a în monografia profesorului C.P. Niculescu, ”Analiz˘a matematic˘a pe dreapta real˘a. O abordare contemporan˘a ”, Editura Universitaria, Craiova, 2002. S˘ a consider˘ am M 6= ∅ o mul¸time oarecare. Familia S de p˘ ar¸ti ale lui M poart˘ a denumirea de semiclan (semi-inel) dac˘ a sunt satisf˘ acute urm˘ atoarele condi¸tii: 1) ∅ ∈ S; 2) A ∩ B ∈ S pentru orice A, B ∈ S; 3) dac˘ a A, B ∈ S astfel încât B ⊆ A, atunci exist˘ a o familie cel mult num˘ arabil˘ a de mul¸timi (Cn )n>1 ⊆ S, disjuncte dou˘ a câte dou˘ a, care verific˘ a egalitatea S AÂB = Cn n>1

(cf. [80], p. 37). În mod evident, o algebr˘a de p˘ ar¸ti ale mul¸timii M în sensul dat în [61], p. 71-72, [52], p. 70, va fi ¸si semiclan. O func¸tie σ−aditiv˘ a µ : S → [0, +∞] pentru care µ(∅) = 0 se nume¸ste m˘asur˘a pe mul¸timea M. O m˘ asur˘ a µ este considerat˘ a σ−finit˘a dac˘ a pentru orice A ∈ S exist˘ aSo familie (An )n>1 de elemente ale lui S, unde µ(An ) < +∞, An (cf. [80], p. 86, [61], p. 77, [52], p. 71). astfel încât A ⊆ n>1

O func¸tie µ∗ : P(M) → [0, +∞] se nume¸ste m˘asur˘a exterioar˘a pe mul¸timea M dac˘ a sunt îndeplinite condi¸tiile urm˘ atoare: 1) µ∗ (∅) = 0; ∞ S P 2) µ∗ este σ−subaditiv˘a, adic˘ a µ∗ (E) 6 µ∗ (En ), unde E ⊆ En ¸si n=1

E, En ∈ P(M), n > 1 (cf. [80], p. 88, [61], p. 82, [52], p. 74).

n>1

52

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Fiind dat˘ a m˘ asura µ : S → [0, +∞] pe mul¸timea M, introducem aplica¸tia µ : P(M) → [0, +∞] în felul urm˘ ator: 1) dac˘ a exist˘ a o acoperire cel arabil˘ a a p˘ ar¸tii E a mul¸timii M S mult num˘ An , atunci cu elemente din S, adic˘ aE⊆ ∗

n>1

µ∗ (E) = inf{

∞ P

µ(An )},

n=1

unde infimumul este luat dup˘ a toate acoperirile posibile (de acest tip); ∗ 2) în caz contrar, µ (E) = +∞. a o m˘ asur˘ a exterioar˘ a pe mul¸timea M ¸si µ∗ (A) = Atunci, µ∗ reprezint˘ µ(A), unde A ∈ S (cf. [80], p. 89-90, [61], p. 84-85). M˘ asura exterioar˘ a µ∗ este considerat˘ a generat˘a de m˘ asura µ. Fiind dat˘ a m˘ asura exterioar˘ a µ∗ : P(M) → [0, +∞], o parte E a mul¸timii M se nume¸ste µ∗ −m˘asurabil˘a dac˘ a, prin defini¸tie, µ∗ (F ) = µ∗ (E ∩ F ) + µ∗ ((MÂE) ∩ F ) pentru orice F ∈ P(M). Familia A a tuturor p˘ ar¸tilor µ∗ −m˘ asurabile ale mul¸timii M alc˘ atuie¸ste o σ−algebr˘a (clan borelian) (cf. [80], p. 35-36, 91-93, [61], p. 88). În sfâr¸sit, dac˘ a µ : S → [0, +∞] este o m˘ asur˘ a pe mul¸timea M iar ∗ asura exterioar˘ a generat˘ a de µ pe mul¸timea M, µ : P(M) → [0, +∞] este m˘ ∗ atunci S ⊆ A, func¸tia µ |A constituie o m˘ asur˘ a pe mul¸timea M ¸si are loc proprietatea de mai jos µ∗ |A (A) = µ(A),

A∈S

a extinderea (cf. [80], p. 94-95, [61], p. 88, [52], p. 80). M˘ asura µ∗ |A reprezint˘ standard (Carathéodory) a m˘ asurii µ la o σ−algebr˘ a de p˘ ar¸ti ale mul¸timii M. Fiind date m˘ arimile −∞ 6 ai < bi 6 +∞, unde 1 6 i 6 3, mul¸timea ∆ = {M ∈ E3 : a1 6 x < b1 , a2 6 y < b2 , a3 6 z < b3 } not

= [a1 , b1 ; a2 , b2 ; a3 , b3 ),

unde x, y, z sunt coordonatele punctului M în reperul canonic R, poart˘ a denatuie¸sumirea de celul˘a (paralelipipedic˘a). Familia tuturor celulelor din E3 alc˘ te un semiclan S (cf. [80], p. 109-112). Func¸tia λ : S → [0, +∞], introdus˘ a în felul urm˘ ator: 3 Q 1) λ(∆) = (bi − ai ), când ∆ este m˘ arginit˘ a; i=1

2.1. CINEMATICA

53

2) λ(∆) = +∞, în caz contrar, este o m˘ asur˘ a σ−finit˘ a în E3 (cf. [80], p. 108-109, 112). Extinderea standard (Carathéodory) a m˘ asurii λ definite anterior se nume¸ste m˘asur˘a (Lebesgue) în SF . P˘ ar¸tile λ∗ −m˘ asurabile ale lui E3 sunt mul¸timi m˘asurabile (Lebesgue) (cf. [80], p. 115, [61], p. 98). Pentru simplificarea nota¸tiei, convenim ca în cele ce urmeaz˘ a s˘ a desemn˘ am prin λ atât m˘ asura definit˘ a pe semiclanul S al celulelor cât ¸si extinderea sa Carathéodory. Rezultatele men¸tionate anterior fac op¸tiunea noastr˘ a totalmente natural˘a. σ−algebra B generat˘a de familia p˘ ar¸tilor deschise (în raport cu topologia metric˘ a) ale lui E3 (adic˘ a, intersec¸tia tuturor σ−algebrelor de p˘ ar¸ti ale lui E3 care includ familia mul¸timilor deschise) poart˘ a denumirea de familia mul¸timilor boreliene, elementele sale fiind mul¸timi boreliene (Borel) (cf. [61], p. 74-75, [80], p. 57-58, [52], p. 71). Mul¸timile boreliene ale lui E3 sunt m˘ asurabile Lebesgue (cf. [80], p. 117-118, [61], p. 99). Se cuvine reamintit faptul c˘ a exist˘ a mul¸timi m˘ asurabile Lebesgue care nu sunt mul¸timi boreliene (cf. [61], p. 107-108). În particular, mul¸timile deschise ¸si mul¸timile închise sunt m˘ asurabile în SF . De asemeni, mul¸timile deschise în E3 pot fi reprezentate ca reuniuni cel mult num˘ arabile de celule, disjuncte dou˘ a câte dou˘ a, cu muchii finite (adic˘ a, |bi − ai | < +∞, unde 1 6 i 6 3) (cf. [80], p. 113, 116). O func¸tie f : E → R este m˘asurabil˘a (Lebesgue) atunci când, prin defini¸tie, pentru orice num˘ ar real a mul¸timile Lebesgue introduse mai jos {x ∈ E : f (x) > a} {x ∈ E : f (x) > a}

{x ∈ E : f (x) < a} {x ∈ E : f (x) 6 a}

sunt m˘ asurabile Lebesgue. Se poate ar˘ ata c˘ a este suficient ca unul dintre cele patru tipuri de mul¸timi Lebesgue date mai sus s˘ a fie format numai din mul¸timi m˘ asurabile, pentru ca func¸tia f s˘ a fie m˘ asurabil˘ a (cf. [80], p. 122123, [52], p. 88). Fiind dat˘ a func¸tia f : E → R m˘ arginit˘ a, unde λ(E) < +∞, putem introduce sumele Lebesgue-Darboux inferioar˘a ¸si superioar˘a în modul obi¸snuit not

S(τ, f ) =

p P

sup f (x) · λ(Ei )

i=1 x∈Ei

not

s(τ, f ) =

p P

inf f (x) · λ(Ei ),

i=1 x∈Ei

unde τ = {Ei : 1 6 i 6 p} constituie o parti¸tie a mul¸timii E cu mul¸timi m˘ asurabile, disjuncte dou˘ a câte dou˘ a.

54

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL Atunci, func¸tia f : E → R este integrabil˘a Lebesgue pe mul¸timea E dac˘ a Z not inf S(τ, f ) =sup s(τ, f ) = f (M)dλ(M). τ

τ

E

În particular, orice func¸tie m˘ arginit˘ a f m˘ asurabil˘ a pe mul¸timea E va fi integrabil˘ a Lebesgue pe mul¸timea E (cf. [80], p. 151-153, [52], p. 97-98). O mul¸time E ⊆ E3 se nume¸ste jordanian˘a (mul¸time Jordan) dac˘ a frontiera sa, notat˘ a F r(E), este m˘ asurabil˘ a Lebesgue ¸si λ(F r(E)) = 0 (cf. [68], p. 213). În mod evident, E = i(E)∪(F r(E)∩E). M˘ asura Lebesgue fiind complet˘a (adic˘ a, pentru orice F ⊆ E, unde E ∈ A ¸si λ(E) = 0, avem F ∈ A ¸si λ(F ) = 0) (cf. [80], p. 95, 116), deducem c˘ a orice mul¸time Jordan E este m˘asurabil˘a Lebesgue. Un exemplu ”natural” de mul¸time jordanian˘ a îl constituie mul¸timile deschise în E3 . Într-adev˘ ar, dac˘ aG⊆ a (în raport S E3 este o mul¸time deschis˘ cu topologia metric˘ a), atunci G ⊆ ∆n , unde (∆n )n>1 reprezint˘ a celule cu n>1

muchii finite, a câte dou˘ a. Conform [64], problema 1.3, p. 31, S disjuncte dou˘ F r(∆n ) ¸si, folosind σ−subaditivitatea m˘ asurii Lebesgue, putem F r(G) ⊆ n>1

scrie c˘ a

0 6 λ(F r(G)) 6

∞ P

λ(F r(∆n )) = 0.

n=1

Aceast˘ a proprietate a mul¸timilor jordaniene de a fi reuniunea dintre o mul¸time deschis˘ a (interiorul lor), uneori vid˘ a, ¸si ceva ”neglijabil” (de m˘ asur˘ a Lebesgue nul˘ a) d˘ a na¸stere unor complica¸tii spectaculoase în teoria ecua¸tiilor cu derivate par¸tiale (cf., de exemplu, [13], p. 171). În ceea ce prive¸ste ”aproximarea”, în general, a mul¸timilor m˘ asurabile cu mul¸timi boreliene (a¸sa cum mul¸timile deschise aproximeaz˘a mul¸timile Jordan), reamintim c˘ a, fiind dat˘ a mul¸timea m˘ asurabil˘ a E din E3 , exist˘ a o mul¸time H, de tip Fσ , ¸si o mul¸time K, de tip Gδ , astfel încât H ⊆ E ⊆ K, λ(H) = λ(K), λ(KÂH) = 0 (cf. [80], p. 119-120). Astfel, orice mul¸time m˘ asurabil˘ a este reuniunea dintre o mul¸time borelian˘ a ¸si ceva ”neglijabil”. O func¸tie continu˘ a ¸si m˘ arginit˘ a f , definit˘ a pe mul¸timea jordanian˘ a E, unde λ(E) < +∞, este integrabil˘ a Lebesgue (cf. [80], p. 125, [68], p. 215). Într-adev˘ ar, pentru orice a ∈ R exist˘ a mul¸timea Ga deschis˘ a în raport cu topologia metric˘ a a lui E3 astfel încât {x ∈ E : f (x) > a} = f −1 ((a, +∞)) = Ga ∩ E ∈ TE

2.1. CINEMATICA

55

(cf. [39], p. 179). Mul¸timea E fiind m˘ asurabil˘ a Lebesgue, mul¸timea {x ∈ E : f (x) > a} va fi, la rândul ei, m˘ asurabil˘ a Lebesgue, ceea ce arat˘ a c˘ a func¸tia f este m˘ asurabil˘ a pe mul¸timea E. M˘ arginirea func¸tiei f va implica integrabilitatea sa. S˘ a consider˘ am o celul˘ a cu muchii finite [a1 , b1 ; a2 , b2 ; a3 , b3 ) în E3 . Evident, aceasta este o mul¸time jordanian˘ a ¸si au loc egalit˘ a¸tile de mai jos (cf. [68], p. 213) Z dλ(A) λ(∆) = λ(∆) = ∆ ZZZ = dxdydz, ∆

ultima integral˘ a (tripl˘ a) desemnând integrala Riemann tridimensional˘a în conformitate cu [68], p. 202, 216-217. Aici, ∆ = {M ∈ E3 : a1 6 x 6 b1 , a2 6 y 6 b2 , a3 6 z 6 b3 }. Fiind dat˘ a o mul¸time deschis˘ a (în raport cu topologia metric˘ a) ¸si m˘ arginit˘ a G ⊂ E3 , putem deduce cu ajutorul sumelor Lebesgue-Darboux (cf. [80], p. 151), respectiv sumelor Darboux asociate integralei Riemann (cf. [80], p. 154-155, [62], p. 315-317) c˘ a ZZZ Z f (M)dλ(M) = f (x, y, z)dxdydz, G

∆

a. unde f : G → R este o func¸tie continu˘ Defini¸tia integralei Lebesgue poate fi extins˘ a în mod natural la func¸tiile finite aproape peste tot (a.p.t.) (adic˘ a, luând valori finite în toate punctele domeniului de defini¸tie cu excep¸tia unei p˘ ar¸ti ”neglijabile” a acestuia), ca ¸si la mul¸timile E m˘ asurabile având m˘ asura Lebesgue infinit˘ a (cf. [80], p. 180). Astfel, fiind dat˘ a func¸tia f : E → [0, +∞] m˘ asurabil˘ a ¸si finit˘ a a.p.t., m˘ arimea Z sup f (M)dλ(M), (2.39) e

e

unde e reprezint˘ asurabil˘ aR a lui E astfel încât λ(e) < +∞, va R a o parte m˘ fi notat˘ a cu E f (M)dλ(M). Dac˘ a E f (M)dλ(M) < +∞, atunci f este integrabil˘a Lebesgue pe mul¸timea E. Se cuvine observat faptul c˘ a aceast˘ a defini¸tie a integrabilit˘ a¸tii Lebesgue se bazeaz˘ a esen¸tial pe proprietatea m˘ asurii Lebesgue de a fi σ−finit˘ a. Întradev˘ ar, spa¸tiul (E3 , d) fiind separabil (cf. [39], p. 114, problema II.1.68, p.

56

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

145-146), orice parte m˘ asurabil˘ a a sa poate fi acoperit˘ a cu o familie cel mult num˘ arabil˘ a de bile deschise, având raza egal˘ a cu unitatea. Aceste bile, fiind mul¸timi m˘ arginite, au m˘ asura Lebesgue finit˘ a. Justificarea observa¸tiei s-a încheiat. În general, dac˘ a f : E → R este o func¸tie m˘ asurabil˘ a finit˘ a a.p.t., putem introduce mul¸timile Lebesgue de mai jos E+ = {M ∈ E : f (M) > 0}

E− = {M ∈ E : f (M) < 0}.

S˘ a presupunem c˘ a cel pu¸tin una dintre m˘ arimile Z Z |f (M)| dλ(M) |f (M)| dλ(M) E+

este finit˘ a. M˘ arimea Z

E+

E−

|f (M)| dλ(M) −

Z

E−

|f (M)| dλ(M)

R R a E f (M)dλ(M) ∈ R, func¸tiaR f este se noteaz˘ a cu E f (M)dλ(M) ¸si, dac˘ considerat˘ a ca integrabil˘a Lebesgue pe mul¸timea E. Prin conven¸tie, ∅ f (M) dλ(M) = 0 (cf. [80], p. 180, 182). Fiind dat˘ a func¸tia f : E → R+ m˘ asurabil˘ a finit˘ a a.p.t., unde E ⊆ E3 este o mul¸time m˘ asurabil˘ a Lebesgue nu neap˘ arat de m˘ asur˘ a finit˘ a, are loc egalitatea Z Z f (M)dλ(M) = lim f (M)dλ(M), (2.40) E

n→+∞

En

unde (En )n>1 S sunt p˘ ar¸ti m˘ asurabile de m˘ asur˘ a finit˘ a ale mul¸timii E, En ⊆ En+1 ¸si E = En (cf. [80], p. 209, [68], p. 277). Aceast˘ a formul˘ a va fi n>1

folosit˘ a în cele ce urmeaz˘ a pentru calculul integralei Lebesgue a func¸tiilor radial simetrice. Astfel, fie numerele reale 0 < r1 6 r2 < +∞ alese arbitrar ¸si mul¸timea Ωr1 ,r2 = {M ∈ E3 : r1 6 d(M, O) 6 r2 }.

atoarele condi¸tii: S˘ a consider˘ am func¸tia f : E3 → R+ îndeplinind urm˘ a, f este radial 1) f (M) este constant˘ a pe Ωr,r pentru orice r > 0 (adic˘ simetric˘a ); 2) f (M) este continu˘ a pe Ωr,R pentru orice 0 < r 6 R, unde R este arbitrar fixat.

2.1. CINEMATICA

57

3) f (0) poate fi ±∞. not Introducem nota¸tia f (M) = f (r), unde d(O, M) = r, pentru orice M ∈ E3 . Atunci, Zr2 Z f (M)dλ(M) = 4π f (r) · r2 dr, Ωr1 ,r2

r1

unde 0 < r1 6 r2 6 R (cf. [68], p. 280-281). De asemeni, utilizând (2.40), putem scrie c˘ a Z

B(O,R)

f (M)dλ(M) =lim

r&0

Z

Ωr,R

f (M)dλ(M) = 4π

ZR

f (r) · r2 dr.

(2.41)

0

Factorul r2 are o importan¸ta˘ deosebit˘ a atunci când se calculeaz˘ a asemenea integrale prin trecerea la coordonate sferice (cf. [76], p. 392). Procedeul descris anterior, de integrare Lebesgue a func¸tiilor m˘ asurabile finite a.p.t. pe mul¸timi m˘ asurabile, poart˘ a denumirea de integrare în SF . În final, men¸tion˘ am o proprietate a m˘ asurii în SF profund semnificativ˘ a pentru mecanica teoretic˘ a. Astfel, m˘asura Lebesgue λ în E3 este invariant˘a fa¸t˘a de aplica¸tiile izometrice. Mai precis, fiind date mul¸timea E ⊆ E3 m˘ asurabil˘ a ¸si aplica¸tia izometric˘ a F : E3 → E3 , mul¸timea F (E) va fi, la rândul s˘ au, m˘ asurabil˘ a Lebesgue ¸si λ(E) = λ(F (E)) (cf. [80], p. 120, [52], p. 114).

2.1.13

Suprafe¸te în SF . Plan tangent la o suprafa¸ta ˘. Curbe pe suprafe¸te. Triedrul lui Darboux. Formulele Darboux-Ribaucour. Geodezice

Introducerea mul¸timilor jordaniene în subsec¸tiunea anterioar˘ a poate conduce, în mod nejustificat, la concluzia c˘ a integrarea în SF nu ar ¸tine seama de frontiera corpurilor materiale. O atare concluzie este incorect˘ a. A¸sa cum vom vedea ulterior, formula Gauss-Ostrogradski (flux-divergen¸t˘a) (cf. [34], p. 108) face leg˘ atura între integrarea în SF ¸si integrarea pe suprafe¸te (frontiere). Integralele de suprafa¸ta˘ joac˘ a un rol fundamental în mecanica teoretic˘ a (vezi, ca s˘ a nu d˘ am decât un exemplu, expresiile coeficien¸tilor Coriolis ¸si Boussinesq în mecanica fluidelor, cf. [3], p. 316, 318). Pentru a trece în revist˘ a, în cele ce urmeaz˘ a, o serie de chestiuni de geometrie diferen¸tial˘ a a suprafe¸telor în SF , ne baz˘ am pe prezent˘ arile f˘ acute în [48], p. 36 ¸si urm˘ atoarele, [44], p. 589-651 ¸si [45], p. 178-192.

58

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Fie U ⊆ R2 o mul¸time deschis˘ a ¸si conex˘ a. S˘ a consider˘ am γ : U → E3 o aplica¸tie introdus˘ a prin formula OM = x(q1 , q2 )i + y(q 1 , q 2 )j + z(q 1 , q2 )k = σ(q1 , q2 ),

(2.42)

unde M = γ(q 1 , q 2 ), (q 1 , q 2 ) ∈ U. Aplica¸tia γ define¸ste o suprafa¸t˘a parametrizat˘a neted˘a ( C ∞ ) în SF dac˘ a σ ∈ C ∞ (U, T R3 ) ¸si ∂σ ∂σ 1 2 (q , q ) × 2 (q 1 , q 2 ) 6= 0 1 ∂q ∂q

(q1 , q2 ) ∈ U.

Dou˘ a suprafe¸te parametrizate netede γ : U → E3 , ζ : V → E3 sunt echivalente dac˘ a exist˘ a difeomorfismul (C ∞ ) λ : U → V (numit schimbare ¯ not ¯ ∂λ de variabile (parametri)) astfel încât γ = ζ ◦ λ. Când det (( ∂qij )i,j )¯ 1 2 = (q ,q )

D(λ1 ,λ2 ) 1 2 (q , q ) D(q1 ,q2 )

1

2

> 0, unde λ = (λ1 , λ2 ) ¸si (q , q ) ∈ U, suprafe¸tele parametrizate γ, ζ devin pozitiv echivalente (cf. [48], p. 36). a o suprafa¸t˘a (neted˘a) în SF dac˘ a pentru Mul¸timea S ⊂ E3 reprezint˘ orice M ∈ S exist˘ a suprafa¸ta parametrizat˘ a neted˘ a γ : U → E3 (numit˘ a parametrizare local˘a ) având urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: 1) γ(U) este o vecin˘ atate a lui M deschis˘ a în raport cu topologia indus˘ a pe S de topologia metric˘ a a lui E3 ; 2) γ : (U, TU ) → (γ(U), Tγ(U ) ) este homeomorfism (cf. [48], p. 37, [44], p. 590, [45], p. 178). O suprafa¸ta˘ neted˘ a S se nume¸ste simpl˘a dac˘ a exist˘ a parametrizarea γ : a global˘a ) astfel încât γ(U ) = S. U → E3 (numit˘ Despre suprafa¸ta neted˘ a S spunem c˘ a este orientabil˘a în SF dac˘ a exist˘ a familia de parametriz˘ ari locale (γa )a∈A , unde γa : Ua → E3 (numit˘ a familie orientat˘a ) astfel S încât: γa (Ua ); 1) S = a∈A

a conex˘ a a mul¸timii γa (Ua )∩γb (Ub ), a 6= b, în 2) dac˘ a Sab este o component˘ raport cu topologia indus˘ a de topologia metric˘ a a lui E3 , atunci suprafa¸tele parametrizate γa |Uab : Uab → E3

γb |Uba : Uba → E3 ,

unde Uab = γa−1 (Sab ), Uba = γb−1 (Sab ), sunt pozitiv echivalente (cf. [57], p. 96).

2.1. CINEMATICA

59

O parametrizare local˘ a γ : U → E3 a suprafa¸tei orientabile S este compatibil˘a cu familia orientat˘ a (γa )a∈A dac˘ a pentru orice a ∈ A astfel încât γ(U) ∩ γa (Ua ) 6= ∅ ¸si pentru orice component˘ a conex˘ a Sa a mul¸timii γ(S) ∩ γa (Sa ), suprafa¸tele parametrizate γ|U a : U a → E3

γa |V a : V a → E3 ,

unde U a = γ −1 (Sa ), V a = γa−1 (Sa ), sunt pozitiv echivalente (cf. [44], p. 587). În leg˘ atur˘ a cu defini¸tiile de mai sus, se cuvin f˘ acute urm˘ atoarele afirma¸tii de natur˘ a topologic˘ a: 1) spa¸tiile (R2 , Te ), (S, TS ) sunt local conexe (cf. [44], p. 590); 2) mul¸timile γ −1 (Sab ) sunt deschise ¸si conexe în spa¸tiul (R2 , Te ). Justificarea afirma¸tiei 1). Se ¸stie c˘ a o mul¸time G deschis˘a în (R2 , Te ) este conex˘a în acest spa¸tiu dac˘a s¸i numai dac˘a, pentru orice u, v ∈ G exist˘a o linie poligonal˘a situat˘a în G având capetele u, v (cf. [39], problema II.2.76, S 2 p. 173). Astfel, pentru orice u ∈ R ¸si ε > 0, B(u, ε) = [u, v] este v∈B(u,ε)

a o mul¸time conex˘ a. Într-adev˘ ar, pentru v1 , v2 ∈ B(u, ε), putem scrie c˘ [v1 , u] ∪ [u, v2 ] ⊂ B(u, ε). Un spa¸tiu topologic este local conex atunci când fiecare punct al s˘ au admite un sistem fundamental de vecin˘ at˘ a¸ti format doar din mul¸timi conexe. Ori, fiind dat u ∈ R2 , familia V(u) = {B(u, r) : r > 0} alc˘ atuie¸ste sistemul de vecin˘ at˘ a¸ti c˘ autat. În concluzie, spa¸tiul (R2 , Te ) este local conex. S˘ a construim acum un sistem fundamental de vecin˘ at˘ a¸ti conexe not pentru M ∈ S. Fie r > 0 ¸si mul¸timea γ(U )∩B(M, r) = W , unde γ : U → E3 reprezint˘ a o parametrizare local˘ a a suprafe¸tei S, astfel încât M ∈ γ(U). −1 Atunci, W ∈ Tγ(U ) , γ (W ) ∈ TU . Fie u0 ∈ γ −1 (W ) cu proprietatea c˘ a γ(u0 ) = M. Deoarece U ∈ Te , γ −1 (W ) ∈ Te ¸si exist˘ a r0 > 0 pentru care B(u0 , r0 ) ⊆ γ −1 (W ). De aici, la fel ca în demonstra¸tia f˘ acut˘ a în cazul curbelor netede, deducem c˘ a mul¸timea γ(B(u0 , r0 )) este deschis˘ a ¸si conex˘ a în (S, TS ). Ea face parte din sistemul fundamental de vecin˘ at˘ a¸ti c˘ autat. Justificarea afirma¸tiei 2). Cum spa¸tiul (S, TS ) este local conex, Sab ∈ TS . Concluzia rezult˘ a ¸tinând seama de faptul c˘ a γa este un homeomorfism. S˘ a consider˘ am suprafa¸ta neted˘ a orientabil˘ a conex˘ a S ¸si familiile orientate (γa )a∈A , (ζb )b∈B , unde γa : Ua → E3

ζb : Vb → E3 .

Definim o rela¸tie de echivalen¸t˘a pe mul¸timea A a tuturor familiilor orientate ale suprafe¸tei orientabile S spunând c˘ a familiile (γa )a∈A , (ζb )b∈B sunt

60

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

echivalente (la fel orientate) dac˘ a exist˘ a a0 ∈ A, b0 ∈ B astfel încât γa0 (Ua0 )∩ ζb0 (Vb0 ) 6= ∅ ¸si Sa0 b0 o component˘ a conex˘ a a mul¸timii γa0 (Ua0 ) ∩ ζb0 (Vb0 ) cu proprietatea c˘ a suprafa¸tele parametrizate γa0 |Ua

0 b0

: Ua0 b0 → E3

ζb0 |Va

0 b0

: Va0 b0 → E3 ,

unde Ua0 b0 = γa−1 (Sa0 b0 ), Va0 b0 = ζb−1 (Sa0 b0 ), sunt pozitiv echivalente (cf. [57], 0 0 p. 98). În mod analog celor prezentate în cazul curbelor netede, mul¸timea claselor de echivalen¸ta˘ ale acestei rela¸tii de echivalen¸ta˘ are doar dou˘ a elemente. De aceea, o suprafa¸ta˘ neted˘ a orientabil˘ a conex˘ a S este considerat˘ a orientat˘a (cu orientarea dat˘ a de familia orientat˘ a) dac˘ a se precizeaz˘ a o familie orientat˘ a a sa. Exist˘ a, a¸sadar, doar dou˘ a asemenea orient˘ ari (cf. [57], p. 99). Exemplul tipic de suprafa¸ta˘ neted˘ a orientat˘ a este cel al suprafa¸tei simple. Orientarea sa este dat˘ a de familia orientat˘ a {γ}, unde γ : U → E3 reprezint˘ a parametrizarea global˘ a a suprafe¸tei. Conform [48], p. 38, [44], p. 590, graficul unei func¸tii netede de dou˘ a variabile este o suprafa¸ta˘ simpl˘ a în SF . Mai precis, fie V 6= ∅ o mul¸time deschis˘ a, m˘ arginit˘ a ¸si conex˘ a în (R2 , Te ). S˘ a consider˘ am aplica¸tia γ : U → E3 introdus˘ a prin formula OM = q 1 i + q 2 j + ϕ(q1 , q2 )k = σ(q1 , q2 ),

(2.43)

unde U ⊂ V , M = γ(q1 , q2 ), (q1 , q2 ) ∈ U ¸si ϕ ∈ C ∞ (V, R). Mul¸timea U fiind compact˘ a în (R2 , Te ), cum func¸tia ϕ este continu˘ a pe U, mul¸timea not S = γ(U ) ⊂ E3 va avea m˘ asura (Lebesgue) nul˘ a în SF (cf. [68], p. 229). Atunci, urmând [68], p. 261, ∂σ 1 2 ∂σ 1 2 ∂ϕ ∂ϕ (q , q ) × (q , q ) = (− )i + (− )j + k ∂q 1 ∂q 2 ∂q 1 ∂q 2 6= 0, (q1 , q2 ) ∈ V.

(2.44)

Se verific˘ a imediat c˘ a aplica¸tia γ : U → γ(U) este homeomorfism. S˘ a consider˘ am suprafa¸ta neted˘ a orientat˘ a S. Fie (γa )a∈A , unde γa : Ua → E3 , familia de parametriz˘ ari locale care d˘ a orientarea suprafe¸tei ¸si M0 ∈ S. a Exist˘ a a ∈ A astfel încât M0 ∈ γa (Ua ). Aplica¸tia γa : Ua → E3 este introdus˘ prin formula OM = xa (q 1 , q 2 )i + ya (q 1 , q 2 )j + za (q1 , q2 )k = σa (q1 , q2 ), unde M = γa (q1 , q2 ), (q 1 , q 2 ) ∈ Ua .

2.1. CINEMATICA

61 not

a a (q 1 , q 2 ) × ∂σ (q1 , q 2 )] · M0 N = 0} = TM0 , unde Planul {N ∈ E3 : [ ∂σ ∂q 1 0 0 ∂q 2 0 0 M0 = γa (q01 , q02 ), este tangent în punctul M0 la suprafa¸ta S (cf. [48], p. 44→ 45, [44], p. 594). Asupra sa vom reveni ulterior. Fie − n M0 ∈ TM0 R3 versorul dat de rela¸tia ∂σa 1 2 a (q , q ) × ∂σ (q 1 , q2 ) ∂q1 0 0 ∂q2 0 0 − → ¯. (2.45) n M0 ∈ ¯¯ ∂σa 1 2 ¯ 1 2 a (q , q ) × (q , q ) ¯ ∂σ ¯ ∂q1 0 0 ∂q2 0 0

Figura 2.8 → Versorul − n M0 este independent de parametrizarea adoptat˘a din familia orientat˘a (γa )a∈A (cf. [48], p. 48). Într-adev˘ ar, fie b ∈ A, b 6= a, astfel încât M0 ∈ γa (Ua ) ∩ γb (Ub ). Not˘ am cu Sab componenta conex˘ a a mul¸timii γa (Ua ) ∩ γb (Ub ) care îl con¸tine pe M0 . Fie λ schimbarea de variabile corespunz˘ atoare, 1 2 adic˘ a γa = γb ◦ λ. La fel ca în cazul curbelor netede, avem σa (q , q ) = σb (λ1 (q 1 , q 2 ), λ2 (q1 , q 2 )) ¸si ∂σa 1 2 ∂σa D(λ1 , λ2 ) 1 2 ∂σb (q , q ) × 2 (q 1 , q 2 ) = (λ1 (q 1 , q 2 ), λ2 (q 1 , q 2 )) (q , q ) · 1 ∂q ∂q D(q1 , q2 ) ∂λ1 ∂σb × (λ1 (q 1 , q 2 ), λ2 (q 1 , q 2 )), ∂λ2 1 ,λ2 ) (q 1 , q 2 ) > 0 în Sab , justifiunde (q 1 , q 2 ) ∈ Sab (cf. [48], p. 36). Cum D(λ D(q1 ,q 2 ) carea afirma¸tiei de mai sus s-a încheiat. → n M0 poart˘ a denumirea Dreapta care trece prin M0 ¸si are versorul director − de normal˘a la suprafa¸ta S în punctul M0 (cf. [48], p. 45, [44], p. 594, [45], p. 181). Reamintim faptul c˘ a, în cazul curbelor netede orientate Γ, orientarea putea fi ”vizualizat˘ a” cu ajutorul s˘ age¸tilor versorilor tangen¸ti la curb˘ a, care erau îndreptate toate în acee¸si parte, inducând un sens de mi¸scare pe curba Γ.

62

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

O asemenea situa¸tie are loc ¸si aici, numai c˘ a îndreptarea s˘ age¸tilor versorilor − → a de la început. n M , unde M ∈ S, trebuie precizat˘ Astfel, vezi Figura 2.8, putem alege ca versor normal exterior versorul − → → n M dat de (2.45) pentru orice M ∈ S, respectiv versorul −− n M pentru orice M ∈ S (cf. [48], p. 48, [44], p. 603). S˘ age¸tile acestora vor indica un sens de parcurgere (traversare) a suprafe¸tei (de exemplu, dinspre interior c˘ atre exterior în cazul sferei). Fiind date suprafa¸ta neted˘ a S ¸si curba Γ spunem c˘ a Γ este situat˘a pe S dac˘ a Γ ⊂ S (cf. [48], p. 40, [44], p. 591-592). Necesitatea de a verifica invarian¸ta propriet˘ a¸tilor (geometrice) ale curbelor ¸si suprafe¸telor fa¸ta˘ de schimb˘ arile de variabile face dificil studiul acestora. De aceea, extrapolând no¸tiunile de baz˘ a ori de câte ori este nevoie, vom realiza anumite calcule (cu semnifica¸tie geometric˘ a) folosind în locul suprafe¸tei S ¸si al curbei Γ suprafa¸ta parametrizat˘ a γ : U → E3 ¸si drumul neted regular ζ : I → E3 , unde ζ(I) ⊂ γ(U ). Aceast˘ a preferin¸ta˘ poate fi justificat˘ a în felul urm˘ ator. Fie M0 ∈ γ(U) ¸si (q01 , q02 ) ∈ U astfel încât γ(q01 , q02 ) = M0 . Exist˘ a mul¸timea V ⊂ U deschis˘ a ¸si conex˘ a în (R2 , Te ) astfel încât M0 ∈ γ(V ) ¸si mul¸timea γ(V ) este o suprafa¸ta˘ simpl˘ a în SF având parametrizarea global˘ a γ|V : V → E3 (cf. [48], p. 40, [44], p. 591). Fie acum q0 ∈ I astfel încât ζ(q0 ) = M0 . Atunci, q01 = q1 (q0 ), q02 = q 2 (q0 ). Evident, γ(V ) ∈ Tγ(U ) , c˘ aci func¸tia γ este un homeomorfism, de unde ζ(I) ∩ γ(V ) ∈ Tζ(I) . Aplica¸tia ζ fiind continu˘ a, −1 ζ (ζ(I) ∩ γ(V )) ∈ TI . Ceea ce înseamn˘ a, în particular, c˘ a va exista intervalul J ⊆ I, unde J ∈ TI , pentru care q0 ∈ J ¸si ζ(J) ⊂ γ(V ). Mic¸sorând eventual acest interval, mul¸timea ζ(J) va fi o curb˘ a simpl˘ a în SF având parametrizarea global˘ a ζ|J : J → E3 (cf. [48], p. 14, [44], p. 585) situat˘ a pe suprafa¸ta simpl˘ a γ(V ). S˘ a consider˘ am, a¸sadar, suprafa¸ta parametrizat˘ a neted˘ a γ : U → E3 introdus˘ a prin formula (2.42). Fie, de asemeni, I ⊂ R un interval netrivial înzestrat cu topologia TI indus˘ a de topologia uzual˘ a a lui R ¸si func¸tiile qi : I → R, i ∞ 1 2 unde q ∈ C (I, R), astfel încât (q (q), q (q)) ∈ U pentru orice q ∈ I. Acest 1 2 lucru este posibil deoarece Te = TR × TR . S˘ a presupunem, în plus, c˘ a dq , dq dq dq nu se anuleaz˘ a simultan în I. Aplica¸tia ζ : I → E3 introdus˘ a prin formula not

OM = σ(q 1 (q), q2 (q)) = σ(q),

(2.46)

unde M = ζ(q), q ∈ I, va desemna un drum neted regular în SF . Într-

2.1. CINEMATICA

63

adev˘ ar, prin derivare, σ 0 (q) = Îns˘ a

∂σ (q 1 , q 2 ) ∂q 1

∂σ ∂σ dq 1 dq2 (q) 1 (q 1 , q2 ) + (q) 2 (q1 , q2 ), q ∈ I. dq ∂q dq ∂q

×

∂σ (q 1 , q 2 ) ∂q 2

(2.47)

6= 0 în U, ceea ce ne permite s˘ a deducem c˘ a 1

2

a ¸si numai dac˘ a dq (q), dq (q) = 0. Afirma¸tia anterioar˘ a a fost σ (q) = 0 dac˘ dq dq justificat˘ a. Pentru q0 ∈ I arbitrar fixat, exist˘ a, conform celor precizate înainte, un subinterval J, J ∈ TI , al lui I care îl con¸tine pe q0 ¸si pentru care ζ(J) constituie o curb˘ a simpl˘ a în SF . Putem astfel extrapola no¸tiunea de tangent˘ a în M0 la curba simpl˘ a ζ(J) spunând c˘ a dreapta ce trece prin M0 ¸si are vectorul director σ 0 (q0 ) este tangenta în M0 la drumul neted ζ : I → E3 . Din (2.47) ∂σ ∂σ 1 2 1 2 rezult˘ a c˘ a σ 0 (q) ∈ Sp({ ∂q 1 (q , q ), ∂q 2 (q , q )}). Rezultatul este valabil, în particular, pentru q = q0 . Acum, dându-se numerele reale a, b care nu sunt nule simultan, exist˘ a ε > 0 suficient de mic astfel încât (q01 + a · q, q02 + b · q) ∈ U pentru orice not q ∈ (−ε, ε) = I. Drumul regular ζa,b : I → E3 introdus prin formula 0

OM = σ(q01 + a · q, q02 + b · q) = σ(q),

(2.48)

unde M = ζa,b (q), q ∈ I, are direc¸tia tangentei în punctul M0 σ 0 (0) = a ·

∂σ 1 2 ∂σ (q0 , q0 ) + b · 2 (q01 , q02 ) 1 ∂q ∂q

(cf. [45], p. 181, [48], p. 44). În concluzie, mul¸timea direc¸tiilor tangentelor în punctul M0 la drumurile netede regulare situate pe suprafa¸ta parametrizat˘ a γ : U → E3 , înzestrat˘ a cu opera¸tiile cu vectori induse de opera¸tiile din T R3 , alc˘ atuie¸ste un spa¸tiu liniar 2−dimensional, notat TM0 S, a c˘ arui baz˘ a ∂σ ∂σ 1 2 1 2 { ∂q1 (q0 , q0 ), ∂q2 (q0 , q0 )} poart˘ a denumirea de baz˘ a natural˘a (cf. [44], p. 594). Astfel, devine clar c˘ a TM0 S reprezint˘ a spa¸tiul director al planului TM0 , deci c˘ a planul tangent în M0 la suprafa¸ta S este, prin defini¸tie, mul¸timea tuturor tangentelor în punctul M0 la curbe simple situate pe suprafa¸ta S (cf. [48], p. 44-45, [45], p. 180-181, [44], p. 593-594). Introducem matricea G(M0 , γ) dat˘ a prin formula ¶¯ µ ∂σ 2 ∂σ · ∂σ ¯¯ ( ∂q1 ) ∂q 1 ∂q 2 G(M0 , γ) = ∂σ ∂σ 2 ¯ · ∂σ ( ∂q 2) 1 2 ∂q 1 ∂q 2 (q0 ,q0 )

64

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL Folosim nota¸tiile (cf. [34], p. 85, [48], p. 74) (

∂σ 2 not ) = g11 ∂q 1

∂σ ∂σ not · = g12 ∂q1 ∂q2

(

∂σ 2 not ) = g22 . ∂q 2

Dac˘ a g11 (M) = 1, g12 (M) = g21 (M) = 0, unde M ∈ U, parametrizarea local˘ a γ : U → E3 se nume¸ste semigeodezic˘a (cf. [44], p. 642, [48], p. 85). Considerând η : V → E3 o suprafa¸ta˘ parametrizat˘ a echivalent˘ a cu γ : U → E3 ¸si λ : U → V schimbarea de variabile corespunz˘ atoare, are loc rela¸tia õ õ ¶ !¯¯ ¶ !¯¯t ∂λj ∂λ ¯ ¯ j G(M0 , γ) = · G(M0 , η) · . ¯ ¯ ∂qi i,j ¯ 1 2 ∂qi i,j ¯ 1 2 (q0 ,q0 )

(q0 ,q0 )

Justificarea acestei afirma¸tii rezult˘ a din faptul c˘ a γ = η◦λ ¸si putem aplica formalismul matriceal ¯ µ ∂σ ¶ ¡ ∂σ ∂σ ¢¯ ∂q1 · ∂q1 ∂q2 ¯¯ . G(M0 , γ) = ∂σ ∂q2

(q01 ,q02 )

Fiind da¸ti vectorii p, q ∈ TM0 S de coordonate p1 , p2 , respectiv q1 , q2 în baza natural˘ a, avem formula ¶ µ ¶ µ ¡ ¢ q1 g11 g12 p1 p2 · · (2.49) p·q = g21 g22 q2 = g11 p1 q1 + g12 (p1 q2 + p2 q1 ) + g22 p2 q2

(cf. [48], p. 56, [68], p. 363). De asemeni, pe baza identit˘ a¸tii lui Lagrange, deducem c˘ a ¯ ¯2 ¯ ∂σ 1 2 ¯ ∂σ 1 2 det G(M0 , γ) = ¯¯ 1 (q0 , q0 ) × 2 (q0 , q0 )¯¯ . ∂q ∂q

Fiind date suprafa¸ta simpl˘ a S introdus˘ a de (2.43) ¸si func¸tia continu˘ a arimea f : (S, TS ) → R, se nume¸ste integral˘a de suprafa¸t˘a m˘ ¯ ¯ Z ZZ ¯ ∂σ ¯¯ 1 2 not 1 2 1 2 ¯ ∂σ f (q , q , ϕ(q , q )) ¯ 1 × 2 ¯ dq dq = f (M)dσ(M) (2.50) ∂q ∂q S U

(cf. [68], p. 256, 259-260, [48], p. 94).

2.1. CINEMATICA

65

− → ∂σ ∂σ 1 2 1 2 a Reperul10 R = (M, B ), unde B = { ∂q 1 (q0 , q0 ), ∂q 2 (q0 , q0 ), n}, poart˘ denumirea de reper natural al suprafe¸tei S în punctul M0 (cf. [48], p. 73). → Aici, n este introdus cu ajutorul reprezentantului s˘ au, − n M0 ∈ n. În spiritul formulelor Frenet-Serret, folosind conven¸tia de sumare a in2 P not ak bk = ak bk , se stabilesc coordonatele derivatelor vectorilor dicelui ”mut” k=1

din B în raport cu B. 1) Formula lui Gauss:

∂2σ ∂σ = Γkij k + hij n; i j ∂q ∂q ∂q

(2.51)

2) Formula lui Weingarten: ∂n jk ∂σ = −h g , ij ∂q i ∂q k unde gij = gji , gij sunt elementele matricei G(M0 , γ)−1 , Γkij sunt simbolurile lui Christoffel (cf. [48], p. 74, [66], p. 266-267), adic˘ a 1 ∂gjl ∂gil ∂gij ), Γkij = g kl ( i + j − 2 ∂q ∂q ∂ql 2

σ ¸si hij = n · ∂q∂i ∂q j (cf. [48], p. 73-75, [44], p. 628-629, [57], p. 170-171, [68], p. 385-386). Fiind date suprafa¸ta simpl˘ a S cu parametrizarea global˘ a γ : U → E3 ¸si a pe suprafa¸ta curba simpl˘ a Γ cu parametrizarea global˘ a ζ : I → E3 situat˘ − → S, reperul R = (M0 , C ) dat de M0 ∈ Γ ¸si C = {τ , m, n}, unde11 m = n × τ , poart˘ a denumirea de triedrul lui Darboux al curbei Γ în punctul M0 (cf. [34], p. 89, [57], p. 176). Versorii m, n, fiind perpendiculari pe τ , se g˘asesc în spa¸tiul liniar director al planului normal al triedrului lui Frenet în punctul def M0 . Introducem unghiul θ = ](n, ν). Evident, θ ∈ C ∞ (R, R), θ = θ(t) ¸si are loc formula n = cos θ · ν + sin θ · β. (2.52) 10 Baza B nu este, în general, ortonormat˘ a. Totu¸si, în cazul unei parametriz˘ ari locale semigeodezice, reperul R va respecta cerin¸tele din defini¸tia reperului cartezian dac˘ a în∂σ 1 2 locuim, în baza B, direc¸tia ∂q (q , q ) cu versorul ei. 2 0 0 2 11 Tripletul C este de sens direct c˘ aci (τ , m, n) = |n × τ | > 0.

66

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL Apoi, m = n×τ ¡ ¢ = cos θ · (ν × τ ) + sin θ · β × τ

(2.53)

= sin θ · ν − cos θ · β.

, dm , dn prin coordonatele lor în baza C, ¸tinând Vom evalua m˘ arimile dτ ds ds ds seama de formulele Frenet-Serret (2.9), (2.11), (2.12) (cf. [34], p. 90, [48], p. 87-89). Astfel, dm dθ dθ dν dβ = cos θ · · ν + sin θ · + sin θ · · β − cos θ · ds ds ds ds ds ¢ dθ ¡ − cos θ · (−T · ν) + sin θ · = sin θ · β + cos θ · ν · ¶ ds µ 1 · − ·τ +T ·β R ¶ µ µ dθ dθ sin θ ·τ + · sin θ + T · sin θ · β + · cos θ = − R ds ds + T · cos θ) · ν.

În continuare,

dθ dθ dν dβ dn = − sin θ · · ν + cos θ · + cos θ · · β + sin θ · ds ds ds ds ds ¡ ¢ dθ = − sin θ · ν + cos θ · β · + sin θ · (−T · ν) + cos θ · ds ¶ µ 1 · − ·τ +T ·β R ¶ µ µ dθ dθ cos θ ·τ + · cos θ + T · cos θ · β + − · sin θ = − R ds ds − T · sin θ) · ν.

Pe baza rela¸tiilor (2.52), (2.53) putem scrie c˘ a ½ ν = cos θ · n + sin θ · m β = sin θ · n − cos θ · m.

(2.54)

Înlocuind aceste expresii în calculele anterioare, ob¸tinem c˘ a  dτ θ = sinR θ · m +¡ cos · n¢  ds R dm sin θ dθ = − R · τ +¡ ds + T¢ · n  dnds θ = − cos · τ − dθ + T · m. ds R ds

(2.55)

2.1. CINEMATICA

67

Rela¸tiile (2.55) se numesc formulele Darboux-Ribaucour (cf. [57], p. 176). a prin (2.42), Revenind la suprafa¸ta parametrizat˘ a γ : U → E3 introdus˘ spunem c˘ a drumul neted ζ : I → E3 dat de (2.46) este geodezic dac˘ a, prin defini¸tie, avem M = ζ(q) σ 00 (q) ⊥ TM S pentru orice q ∈ I. În particular, cum τ (M) = |σ 0 (q)|−1 · σ 0 (q), V = Rσ 0 (q), πV (σ 00 (q)) = 0, ob¸tinem c˘ a b2 = σ 00 (q), deci vectorii σ 00 (q), ν(M), n(M) vor fi coliniari. d 1 d 1 0 ( 2 |σ 0 (q)|2 ) = dq ( 2 σ (q)2 ) = σ 0 (q) · Rela¸tia σ 00 (q) ⊥ σ 0 (q) ne conduce la dq σ 00 (q) = 0, astfel c˘ a m˘arimea |σ 0 (q)| este constant˘a în I. a γ : U → E3 , Drumul neted η : J → E3 , situat pe suprafa¸ta parametrizat˘ echivalent cu ζ : I → E3 este geodezic dac˘ a ¸si numai dac˘ a schimbarea de 12 variabil˘ a λ : I → J corespunz˘ atoare este afin˘a , (cf. [48], p. 83, [44], p. 637). În particular, parametrizarea natural˘ a η : J → E3 pozitiv echivalent˘ aa drumului ζ : I → E3 este un drum geodezic (cf. [48], p. 83, [44], p. 637-638). Vom spune despre curba Γ situat˘ a pe suprafa¸ta neted˘ a S c˘ a reprezint˘ ao geodezic˘a (geometric˘ a) a suprafe¸tei dac˘ a pentru fiecare punct M ∈ Γ exist˘ a o parametrizare local˘ a ζ : I → E3 care este drum geodezic astfel încât M ∈ ζ(I) (cf. [44], p. 635). Derivând rela¸tia (2.47), avem σ 00 (q) =

dq j ∂ 2σ dqi d2 q i ∂σ (q) · (q) · i j (q 1 , q 2 ) + 2 (q) · i (q 1 , q 2 ), dq dq ∂q ∂q dq ∂q

de unde, conform formulei lui Gauss (2.51), i d2 q k dq j ∂σ k 1 2 dq + Γ (q , q ) · ) · k (q 1 , q 2 ) ij 2 dq dq dq ∂q i j dq dq · ·n +hij (q 1 , q 2 ) dq dq

σ 00 (q) = (

(cf. [48], p. 84). Deoarece σ 00 (q) este coliniar cu n(M), σ 00 (q) · 12

∂σ 1 (q (q), q 2 (q)) = 0, ∂qk

Adic˘ a, λ(q) = c1 q + c2 , unde q ∈ I ¸si c1 6= 0.

k = 1, 2,

(2.56)

68

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

astfel c˘ a drumul neted ζ : I → E3 introdus prin formula (2.46) este geodezic dac˘ a ¸si numai dac˘ a i 2 P dq j d2 qk k 1 2 dq · = 0, + Γ (q , q ) ij dq 2 dq dq i,j=1

k = 1, 2,

(2.57)

unde q ∈ I (cf. [48], p. 84, [44], p. 638). Rela¸tiile (2.57) poart˘ a denumirea de ecua¸tiile diferen¸tiale ale geodezicei. 1 2 Introducând m˘ arimile Q1 = q 1 , Q2 = q 2 , Q3 = dq , Q4 = dq , ecua¸tiile dq dq (2.57) pot fi rescrise sub forma  dQ1  = Q3  dq   dQ2  = Q4 dq q ∈ I, (2.58) dQ3  = f1 (Q1 , Q2 , Q3 , Q4 )  dq    dQ4 = f (Q1 , Q2 , Q3 , Q4 ), 2 dq

unde fk (Q1 , Q2 , Q3 , Q4 ) = −

2 P

i,j=1

Γkij (Q1 , Q2 )Qi+2 Qj+2 .

a C ∞ , problema Cauchy ata¸sat˘ a sisFunc¸tiile fk , k = 1, 2, fiind de clas˘ ∞ temului diferen¸tial (2.58) va admite solu¸tie unic˘ a, de clas˘ a C . Existen¸ta ¸si unicitatea solu¸tiei clasice (C 1 ) provin din teorema Picard-Lindelöf (cf. [31], 3 4 p. 8, [6], p. 35-38, [4], p. 124-125). Apoi, cum fk ∈ C ∞ , deci dQ , dQ ∈ C 1, dq dq deducem c˘ a Q3 , Q4 ∈ C 2 , de unde Q1 , Q2 ∈ C 3 , etc. Pentru M = ζ(q), s˘ a consider˘ am p(q) ∈ TM S dat de formula p(q) = p1 (q) ·

∂σ 1 2 ∂σ (q , q ) + p2 (q) · 2 (q1 , q2 ), q ∈ I, 1 ∂q ∂q

(2.59)

unde p1 , p2 ∈ C ∞ (I, R). Atunci, conform teoriei generale a dependen¸tei solu¸tiilor de datele Cauchy, exist˘ a ε > 0 astfel încât problema Cauchy  dQ1 dQ2  = Q3 = Q4  du du  3  dQ   = f1 (Q1 , Q2 , Q3 , Q4 ) du dQ4 = f2 (Q1 , Q2 , Q3 , Q4 ) du   1  Q (0) = q 1 (q) Q2 (0) = q 2 (q)    Q3 (0) = p (q) Q4 (0) = p2 (q) 1

s˘ a admit˘ a solu¸tia unic˘ a Qi = Qi (u, q), unde u ∈ (−ε, ε), q ∈ I, ¸si Qi ∈ ∞ C ((−ε, ε) × I, R), i = 1, 4 (cf. [31], p. 100-101, [6], p. 57-60, 102-105, [1], p. 259-264, [72], p. 341-352).

2.1. CINEMATICA

69

Pe baza celor de mai sus pot fi deduse dou˘ a rezultate fundamentale privind geodezicele. Mai întâi, pentru orice p ∈ TM0 S, exist˘ a un drum geodezic ζ : (−ε, ε) → E3 astfel încât ζ(0) = M0 ¸si σ 0 (0) = p (cf. [48], p. 85, [44], p. 639). Drumul geodezic ζ : (−ε, ε) → E3 este introdus, conform (2.46), prin formula (p(q) = p) OM = σ(Q1 (u, q0 ), Q2 (u, q0 )) = σ(u), unde M = ζ(u), u ∈ (−ε, ε). Apoi, pentru orice punct M situat pe suprafa¸ta S exist˘ a parametrizarea local˘ a semigeodezic˘ a η : V → E3 a suprafe¸tei S astfel încât M ∈ η(V ) (cf. [44], p. 643). S˘ a justific˘ am aceast˘ a afirma¸tie. Consider˘ am ζ : I → E3 dat de formula (2.46) un drum situat pe suprafa¸ta S. Conform (2.48), un asemenea drum exist˘ a întotdeauna. Introducem vectorul p(q) impunând ca ∂σ ∂σ p(q) ∈ Tζ(q) S, |p(q)| = 1, p(q) · σ 0 (q) = 0 ¸si bazele {p(q), σ 0 (q)}, { ∂q 1 , ∂q 2 } s˘ a fie la fel orientate, q ∈ I. În acest fel, p(q) este unic determinat, p1 , p2 ∈ C ∞ (I, R). Fie q0 ∈ I fixat arbitrar. Vectorii p(q0 ), σ 0 (q0 ) fiind liniar 1 independen¸ti, nu exist˘ a num˘ ar real α 6= 0 astfel încât p1 (q0 ) = α · dq (q0 ) ¸si dq p2 (q0 ) = α ·

dq 2 (q0 ). dq

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Ceea ce înseamn˘ a c˘ a ¯ ¯ p1 (q0 ) p2 (q0 ) ¯¯ D(Q1 , Q2 ) ¯¯ 2 6= 0. ¯= dq 1 (q0 ) dq (q0 ) ¯ D(u, q) ¯(0,q0 ) dq dq

Conform teoremei de inversiune local˘ a, exist˘ a 0 < h 6 ε ¸si intervalul deschis not J ⊆ I, q0 ∈ J, astfel încât aplica¸tia Φ : (−h, h) × J = V → Φ(V ) ⊂ U cu a fie un difeomorfism (C ∞ ). Not˘ am formula Φ(u, q) = (Q1 (u, q), Q2 (u, q)) s˘ 3 cu σ1 func¸tia σ ◦ Φ, σ1 : V → T R . Aplica¸tia η dat˘ a de η(u, q) = M, unde OM = σ1 (u, q), este parametrizarea local˘ a a suprafe¸tei S c˘ autat˘ a. Într-adev˘ ar, conform rezultatului anterior, pentru q ∈ J fixat, drumul neted ζ1 : (−h, h) → E3 introdus prin formula not

OM = σ1 (u, q) = σ2 (u), unde M = ζ1 (u), u ∈ (−h, h), este constant. De unde, ¯ ¯ ¯ ¯ ∂σ1 ¯ ¯ ¯ ∂u (u, q)¯ = =

¯ ¯ 1 geodezic. Atunci, |σ20 (u)| = ¯ ∂σ (u, q)¯ = ∂u ¯ ¯ ¯ ∂σ1 ¯ ¯ ¯ ¯ ∂u (0, q)¯ = |p(q)| 1.

70

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

∂ ∂σ1 1 S˘ a calcul˘ am, în cele ce urmeaz˘ a, expresia ∂u ( ∂u (u, q) · ∂σ (u, q)). Mai ∂q întâi, µ ¶ µ ¶ ∂σ1 ∂ ∂σ1 ∂σ1 ∂ ∂σ1 (u, q) · (u, q) = (u, q) · (u, q) ∂u ∂u ∂q ∂u ∂q ∂u ¶ µ ∂ 1 ∂σ1 2 ( (u, q) = ∂q 2 ∂u " ¯ ¯2 # ¯ ∂ 1 ¯¯ ∂σ1 (u, q)¯¯ = ¯ ∂q 2 ∂u

= 0.

Îns˘ a, conform (2.56), (2.57), ∂ 2 σ1 (u, q)kn(u, q), ∂u2 not

unde n(M) = n(u, q) ¸si M = η(u, q). De asemeni, ∂σ1 ∂Q1 ∂σ ∂σ ∂Q2 (u, q) = (u, q) · 1 (Q1 , Q2 ) + (u, q) · 2 (Q1 , Q2 ) ∂q ∂q ∂q ∂q ∂q ∈ TM η(V ). 2

∂ ∂σ1 1 1 (u, q) = ∂u ( ∂u (u, q) · ∂σ (u, q)) = 0, adic˘ a În concluzie, ∂∂uσ21 (u, q) · ∂σ ∂q ∂q ∂σ1 ∂σ1 func¸tia u 7−→ ∂u (u, q) · ∂q (u, q), u ∈ (−h, h), este constant˘ a (q =fixat). Atunci,

∂σ1 ∂σ1 ∂σ1 ∂σ1 (u, q) · (u, q) = (0, q) · (0, q) ∂u ∂q ∂u ∂q ¸ · ∂σ 1 2 ∂σ 1 2 3 4 = Q (0, q) · 1 (Q , Q ) + Q (0, q) · 2 (Q , Q ) ∂q ∂q ¸ · 1 2 ∂σ 1 2 ∂σ 1 2 dq dq (q) · 1 (Q , Q ) + (q) · 2 (Q , Q ) · dq ∂q dq ∂q 0 = p(q) · σ (q) = 0. Am ob¸tinut c˘ a g11 (u, q) = 1, g12 (u, q) = g21 (u, q) = 0, unde (u, q) ∈ V . Justificarea afirma¸tiei s-a încheiat 13 . 13

Prezen¸ta parametriz˘ arii locale semigeodezice constituie un corespondent matematic al faptului c˘ a universul curb (einsteinian) ¸si experien¸tele lui Galilei (lansarea unei bile de filde¸s pe o plac˘ a de marmur˘ a a¸sezat˘ a orizontal), care au condus la formularea principiului iner¸tiei, coexist˘ a (vezi [79], p. 158).

2.1. CINEMATICA

71

Fie γ : U → E3 o parametrizare local˘ a semigeodezic˘ a a suprafe¸tei S, ∈ U ¸si ζ : I → E3 un drum neted introdus prin formula

(q01 , q02 )

OM = σ(q01 + q, q02 ) = σ(q), a un drum unde M = ζ(q), q ∈ I. Atunci, drumul ζ : I → E3 reprezint˘ geodezic parametrizat natural pe suprafa¸ta S (cf. [48], p. 85, [44], p. 642). S˘ a consider˘ am α, β ∈ I, cu α < β ¸si M1 = ζ(α), M2 = ζ(β). Atunci, Zβ

|σ 0 (q)| dq = β − α.

α

Fiind dat drumul neted η : I → E3 situat pe suprafa¸ta S astfel încât η(I) ⊂ γ(U) ¸si η(α) = M1 , η(β) = M2 , avem, conform (2.46), rela¸tiile q 1 (α) = q01 + α, q2 (α) = q02 ¸si q 1 (β) = q01 + β, q 2 (α) = q02 . Atunci, pe baza formulei (2.49), putem scrie c˘ a Zβ α

Zβ · dq 2 dq 1 dq 1 g11 (q)( (q))2 + 2g12 (q) (q) · (q) |σ 0 (q)| dq = dq dq dq α

¸ 12 dq 2 2 (q)) dq + g22 (q)( dq Zβ ¯ 1 ¯ ¯ dq ¯ ¯ ¯ dq ≥ q 1 (β) − q 1 (α) = β − α > (q) ¯ dq ¯ α

(cf. [48], p. 86, [44], p. 642). A¸sadar, drumul geodezic este cel mai scurt drum situat pe suprafa¸ta S care leag˘ a între ele punctele M1 , M2 . Trebuie men¸tionat c˘ a nu orice dou˘ a puncte ale unei suprafe¸te pot fi legate între ele printr-o geodezic˘ a a suprafe¸tei. Un exemplu elocvent se g˘ ase¸ste în [57], p. 234-235.

2.1.14

Formula Gauss-Ostrogradski. Prima formul˘ aa lui Green. Integrale de tip poten¸tial. Ecua¸tia lui Poisson

Introducem, în cele ce urmeaz˘ a, mul¸timea jordanian˘ a G ⊂ E3 pe care o vom numi domeniu în SF . Astfel, fie U0 , V0 , W0 6= ∅ mul¸timi deschise,

72

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

m˘ arginite ¸si conexe în (R2 , Te ). Spunem c˘ a M ∈ G dac˘ a, prin defini¸tie, au loc inegalit˘ a¸tile ϕ1 (y, z) 6 x 6 ϕ2 (y, z), (y, z) ∈ U ψ1 (x, z) 6 y 6 ψ2 (x, z), (x, z) ∈ V η1 (x, y) 6 z 6 η2 (x, y), (x, y) ∈ W ,

(2.60)

unde U ⊂ U0 , V ⊂ V0 , W ⊂ W0 , ϕi ∈ C ∞ (U0 , R), ψi ∈ C ∞ (V0 , R), ηi ∈ C ∞ (W0 , R) ¸si i = 1, 2. Aici, x, y, z reprezint˘ a coordonatele punctului M în reperul canonic R. Cu alte cuvinte, o dreapt˘ a având una din direc¸tiile i, j, k sau va intersecta domeniul G dup˘ a un segment (eventual, degenerat într-un punct) sau nu îl va intersecta deloc (cf. [68], p. 309). Dac˘ a punctul M are coordonatele x0 , y0 , z0 în reperul canonic R, (y0 , z0 ) ∈ U , (x0 , z0 ) ∈ V , (x0 , y0 ) ∈ W ¸si inegalit˘ a¸tile (2.60) sunt stricte, atunci M ∈ i(G). Într-adev˘ ar, func¸tia ϕ1 fiind continu˘ a pe U0 , inegalitatea ϕ1 (y0 , z0 ) < x0 ne conduce la existen¸ta num˘ arului ε > 0 pentru care ϕ1 (y, z) < x, unde x ∈ [x0 − ε, x0 + ε], y ∈ [y0 − ε, y0 + ε], z ∈ [z0 − ε, z0 + ε]. Am folosit, implicit, faptul c˘ a Te (E3 ) = Te ((R, d)) × Te ((R2 , d)) = (Te ((R, d)))3 , unde d reprezint˘ a metrica (distan¸ta) euclidian˘ a corespunz˘ atoare (cf. [39], problema II.1.68, p. 145-146). În final, mic¸sorându-l eventual pe ε, ajungem la [x0 − ε, x0 + ε] × [y0 − ε, y0 + ε] × [z0 − ε, z0 + ε] ⊆ G. Mul¸timile de forma {M ∈ E3 : ϕ1 (y, z) 6 x 6 ϕ2 (y, z), (y, z) ∈ F r(U )} au m˘ asura Lebesgue nul˘ a. Pentru a explica aceasta, facem observa¸tia c˘ a 2 m˘ asura ¸si integrala Lebesgue pot fi introduse pe spa¸tiile R, R într-un mod absolut analog introducerii lor pe R3 . În particular, F r(U ) este neglijabil˘ a ¸ seama de m˘ arginirea func¸tiilor ϕ1 , ϕ2 pe F r(U), în (R2 , AR2 , λR2 ). Tinând deducem c˘ a mul¸timea de mai sus este o submul¸time a produsului cartezian dintre F r(U) ¸si un interval compact din R, notat [a, b]. Privind m˘ asura Lebesgue în SF ca o m˘ asur˘ a produs a m˘ asurilor Lebesgue în R ¸si R2 (cf. [68], p. 204-205), ob¸tinem c˘ a λ(F r(U ) × [a, b]) = λR2 (F r (U)) · λR ([a, b]) = 0 · (b − a) = 0, unde −∞ < a 6 b < +∞, ceea ce justific˘ a afirma¸tia f˘ acut˘ a.

2.1. CINEMATICA

73

De asemeni, mul¸timile de forma {M ∈ E3 : x = ϕ1 (y, z), (y, z) ∈ U} au m˘ asura Lebesgue nul˘ a. M˘ asura Lebesgue în SF fiind complet˘ a, putem spune c˘ a domeniul G este reuniunea dintre mul¸timea punctelor M, unde (y, z) ∈ U , (x, z) ∈ V , (x, y) ∈ W , pentru care inegalit˘ a¸tile (2.60) sunt stricte (notat˘ a 0 G ) ¸si ceva ”neglijabil”. Trebuie spus c˘ a mul¸timea G0 este chiar interiorul domeniului G. Justificarea acestei afirma¸tii se poate face în mai multe feluri, apelând la teoria m˘ asurii Lebesgue, teoria gradului topologic, etc. Astfel, cum orice mul¸time deschis˘ a în E3 con¸tine m˘ acar o celul˘ a cu muchii finite netrivial˘ a, deducem c˘ a mul¸timile neglijabile (Lebesgue) au interiorul vid. Conform (2.43), mul¸timile Ssup = {M ∈ E3 : z = η2 (x, y), Sinf = {M ∈ E3 : z = η1 (x, y),

(x, y) ∈ W } (x, y) ∈ W }

reprezint˘ a suprafe¸te simple în SF pe care, dat fiind faptul c˘ a direc¸tia k desemneaz˘ a verticala, le vom numi partea superioar˘a, respectiv inferioar˘a a frontierei lui G (cf. [68], p. 309). Pentru a nu trivializa defini¸tia mul¸timii G, vom presupune c˘ a mul¸timile {(y, z) ∈ U : x = ϕ1 (y, z) = ϕ2 (y, z), {(x, z) ∈ V : y = ψ1 (x, z) = ψ2 (x, z), {(x, y) ∈ W : z = η1 (x, y) = η2 (x, y),

M ∈ G} M ∈ G} M ∈ G}

sunt ”neglijabile” în R2 . O asemenea prezum¸tie are un suport intuitiv imea fie o curb˘ a (nu neap˘ arat diat; practic, cerem ca intersec¸tia S sup ∩ S inf s˘ neted˘ a). Atunci, frontiera mul¸timii jordaniene G va fi format˘ a din reuniunea suprafe¸telor simple Ssup , Sinf ¸si ceva ”neglijabil” în R2 . Ceea ce ne permite, apelând la (2.50), s˘ a introducem o integral˘ a pe F r(G) pentru m˘ arimi definite doar pe Ssup , Sinf . Suprafe¸tele Ssup , Sinf fiind simple, orientarea lor va fi dat˘ a, prin conven¸tie, de n(M) pentru M ∈ Ssup , respectiv −n(M) pentru M ∈ Sinf . Justificarea acestei op¸tiuni va fi f˘ acut˘ a ulterior. Not˘ am cu N(M) versorul normal exterior în ambele situa¸tii. Atunci, conform (2.44), avem rela¸tiile 1 N(M) · k = q , ∂η2 2 ∂η2 2 ( ∂x ) + ( ∂y ) + 1

M ∈ Ssup

74

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL 1 N(M) · k = − q , ∂η1 2 ∂η1 2 ( ∂x ) + ( ∂y ) + 1

M ∈ Sinf .

a pe S˘ a consider˘ am func¸tia f : E3 → R, unde f (M) = f (x, y, z), continu˘ ∂f ∂f ∂f 0 G astfel încât func¸tiile ∂x (M), ∂y (M), ∂z (M), continue pe mul¸timea G , s˘ a 0 fie prelungibile prin continuitate la G (cf. [78], p. 18). Egalitatea G = i(G) ne permite s˘ a vorbim de prelungirea prin continuitate a unei func¸tii de la G0 la G. Atunci, conform teoremelor generale de transformare a integralelor multiple în integrale iterate (vezi [68], p. 221, 233, [52], p. 105-108), putem scrie c˘ a ZZZ

∂f (x, y, z)dxdydz = ∂z

G

=

ZZ

ZWZ W

−

[

z=η Z2 (x,y)

∂f (x, y, z)dz]dxdy ∂z

z=η1 (x,y)

f (x, y, η2 (x, y))dxdy

ZZ

f (x, y, η1 (x, y))dxdy.

W

Apoi, conform (2.50), ZZ ZZ f (x, y, η2 (x, y))dxdy = f (x, y, η2 (x, y)) · (N(M) · k) W

W

s

∂η2 2 ∂η2 2 · ( ) +( ) + 1dxdy ∂x ∂y Z = f (M)(N(M) · k)dσ(M). Ssup

Analog, ZZ

f (x, y, η1 (x, y))dxdy = −

W

(cf. [68], p. 309-310).

Z

Sinf

f (M)(N(M) · k)dσ(M)

2.1. CINEMATICA

75

În concluzie, Z Z ∂f (M)dλ(M) = f (M)(N(M) · k)dσ(M). G ∂z F r(G) a ”Procedând” în acela¸si mod pe direc¸tiile i, j, ob¸tinem c˘ Z Z ∂f f (M)(N(M) · i)dσ(M), (M)dλ(M) = G ∂x F r(G)

(2.61)

(2.62)

respectiv Z

∂f (M)dλ(M) = G ∂y

Z

F r(G)

f (M)(N(M) · j)dσ(M).

(2.63)

Fiind dat˘ a func¸tia F : E3 → T R3 , unde F (M) = f1 (M)i + f2 (M)j + f3 (M)k, M ∈ E3 , dac˘ a func¸tiile fi : E3 → R îndeplinesc acelea¸si condi¸tii ca func¸tia f : E3 → R, atunci, pe baza rela¸tiilor (2.61) - (2.63), putem scrie c˘ a Z Z div F (M)dλ(M) = F (M) · N(M)dσ(M), (2.64) G

F r(G)

not

1 2 3 unde div F (M) = ∂f (M) + ∂f (M) + ∂f (M) reprezint˘ a divergen¸ta func¸tiei ∂x ∂y ∂z F (M) (cf. [76], p. 393, [34], p. 97). Rela¸tia (2.64) poart˘ a denumirea de formula Gauss-Ostrogradski (fluxdivergen¸ta ˘) (cf. [34], p. 108, [68], p. 307-308). Func¸tia F : E3 → T R3 , unde F (M) = F (x, y, z) (conform (1.2)), desemneaz˘ a un câmp de vectori în SF (cf. [34], p. 95).

Figura 2.9 Formulele (2.61) - (2.64) pot fi generalizate pentru reuniuni de domenii ale SF . Alegerea lui N 2 ca versor normal exterior (vezi Figura 2.9) atunci când S reprezint˘ a partea inferioar˘ a a frontierei lui G1 , respectiv a lui N 1 atunci

76

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

când S reprezint˘ a partea superioar˘ a a frontierei lui G2 face ca integralele pe suprafa¸ta S corespunz˘atoare s˘a se anuleze reciproc prin sumare în momentul când calcul˘ am o integral˘ a pe mul¸timea G1 ∪G2 (cf. [68], p. 310). Justificarea orient˘ arii suprafe¸telor Ssup , Sinf s-a încheiat. Utilizarea integralei (Lebesgue) în SF permite aplicarea formulelor (2.61) i i - (2.64) ¸si în situa¸tiile în care func¸tiile (continue) ∂f , ∂fi , ∂f sunt modificate ∂x ∂y ∂z pe o reuniune cel mult num˘ arabil˘ a de suprafe¸te simple interioare lui G. S˘ a consider˘ am func¸tia g : E3 → R continu˘ a pe G ¸si admi¸tând derivate par¸tiale de pân˘ a la ordinul al II-lea, continue pe mul¸timea G0 , care s˘ a poat˘ a fi prelungite prin continuitate pe G. Folosim nota¸tiile ∂g ∂g ∂g (M)i + (M)j + (M)k ∂x ∂y ∂z 2 2 ∂ g ∂ 2g not ∂ g (M) + (M) + (M) ∆g(M) = ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 not

∇g(M) =

ca s˘ a desemn˘ am m˘ arimile numite gradientul, respectiv laplacianul func¸tiei g(M) (cf. [34], p. 96, 101). Prin calcul direct se verific˘ a urm˘ atoarele identit˘ a¸ti div (∇g(M)) = ∆g(M) (2.65) div (g(M) · F (M)) = g(M) · div F (M) + ∇g(M) · F (M). Atunci, are loc egalitatea Z [f (M)∆g(M) + ∇f (M) · ∇g(M)]dλ(M) G Z = f (M)∇g(M) · N(M)dσ(M)

(2.66)

F r(G)

Rela¸tia (2.66) poart˘ a denumirea de prima formul˘ a a lui Green (cf. [29], p. 108). Ea provine din teorema flux-divergen¸ta˘ (2.64) aplicat˘ a pentru F (M) = f (M) · ∇g(M) ¸si ¸tinându-se seama de (2.65). Fie punctul M0 de coordonate x0 , y0 , z0 în reperul canonic R ¸si r > 0 a astfel încât B(M0 , r) ⊂ G0 . Aplicând formula (2.64), putem scrie c˘ Z Z div F (M)dλ(M) = div F (M)dλ(M) GÂB(M0 ,r) G Z − div F (M)dλ(M) B(M0 ,r)

2.1. CINEMATICA

77 =

Z

F r(G)

=

− Z

Z

F r(B(M0 ,r))

F r(G)

=

+ Z

F (M) · N(M)dσ(M)

Z

F (M) · n(M)dσ(M)

F (M) · N(M)dσ(M)

F r(B(M0 ,r))

F (M) · N(M)dσ(M)

F r(GÂB(M0 ,r))

F (M) · N(M)dσ(M),

unde n(M) = 1r · M0 M ¸si M ∈ F r (B (M0 , r)), conform [48], p. 47. Am ob¸tinut astfel teorema flux-divergen¸ta˘ pentru domeniile ”cu g˘ auri” (cf. [29], p. 118). Fie ρ : E3 → [0, +∞) o func¸tie continu˘ a pe G ale c˘ arei derivate de 0 ordinul I, continue pe mul¸timea G , pot fi prelungite prin continuitate la G. Introducem func¸tia fa : E3 → [0, +∞) prin formula Z ρ(A) ¯a dλ(A), ¯ M ∈ E3 , fa (M) = ¯ ¯ G AM unde 0 < a < 3. a în E3 . Astfel, conform (2.41), S˘ a ar˘ at˘ am c˘ a m˘ arimea fa (M) este finit˘ R R ¯ 1 ¯a dλ(A) = 4π δr 2−a dr = 4π · δ 3−a , unde δ > 0. Apoi, aplicând 3−a B(O,δ) ¯OA¯ 0 R 1 4π invarian¸ta la transla¸tii a m˘ asurii Lebesgue, avem B(P,δ) P A · a dλ(A) = 3−a | | a δ 3−a , P ∈ E3 . În sfâr¸sit, putem scrie c˘ Z Z Z ρ(A) ρ(A) ρ(A) ¯a dλ(A) = ¯a dλ(A) + ¯a dλ(A) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ G AM G∩B(M,δ) AM GÂB(M,δ) AM "Z 1 ¯a dλ(A) ¯ 6 sup ρ(B) · ¯ ¯ G∩B(M,δ) AM B∈G ¸ Z δ −a dλ(A) + GÂB(M,δ) · ¸ 4π −a 3 · δ + λ(G) · sup ρ(B) 6 δ · 3−a B∈G < +∞

78

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

(cf. [78], p. 28). Au loc urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: p 3 1) fa ∈ C (R , R), unde a + p < 3 (cf. [78], p. 28-31, [80], p. 211-212); 2) ∆f1 (M) = 0, M ∈ E3 ÂG

lim fa (M) = 0 |OM |→+∞

∆f1 (M) = −4π · ρ(M), M ∈ G0

(cf. [78], p. 28-31, [68], p. 340). Pentru justificarea afirma¸tiilor de mai sus vom urma expunerile f˘ acute în [78], p. 28-31, [68], p. 290-292, 294-297, [29], p. 113-119, [34], p. 382-386. Mai întâi, s˘ a stabilim continuitatea lui fa (M). Fie M ∈ E3 ÂG. Mul¸timea E3 ÂG fiind deschis˘ a în raport cu topologia metric˘ a a spa¸tiului E3 , va exista R > 0 astfel încât B(M, R) ⊂ E3 ÂG. Atunci, inf{d(N, P ) : N ∈ B(M, R), not P ∈ G} = d0 > 0 (cf. [39], problema II.1.64, p. 144-145). M˘ arginirea not mul¸timii G implic˘ a sup{d(N, P ¯):N ¯a ∈ B(M, ¯ ¯aR), P¯ ∈ G} ¯ =¯ D0 ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯¯MA¯a − ¯NA¯a ¯ = (¯MA¯2b + ¯MA¯b · ¯NA¯b + ¯NA¯2b ) ¯¯ ¯b ¯ ¯b ¯¯ ¯¯ ¯ ¯ · ¯ MA − NA¯ ¯

2.1. CINEMATICA

79 ¯ ¯ 6 6D02b · b · db−1 · ¯MN ¯ 0 µ 2a ¶ 13 ¯ ¯ D0 = 2a 3−a · ¯MN ¯ d0 ¯ ¯ = C(a) · ¯MN ¯ ,

unde N ∈ B(M, R). De aici,

|fa (M) − fa (N )| 6

¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯a − ¯ ¯a ¯¯ dλ(A) ρ(A) · ¯ ¯ ¯NA¯ ¯ ¯ ¯MA¯ G

Z

6 d−2a sup ρ(B) 0 B∈G Z ¯a ¯ ¯a ¯ ¯¯ · ¯¯MA¯ − ¯NA¯ ¯ dλ(A) G ¯ ¯ ¯ ¯ 6 d−2a 0 C(a)· sup ρ(B) · λ(G) · MN , B∈G

rela¸tie care dovede¸ste continuitatea aplica¸tiei fa (M) în punctul M (cf. [29], p. 114). Fie M ∈ G. S˘ a consider˘ am e rel="nofollow"> 0 fixat arbitrar ¸si δ = δ(e) > 0 astfel încât 8π GÂB(M, 2δ) 6= ∅, 3−a · (3δ)3−a · sup ρ(B) < 2e . Atunci, pentru N ∈ B(M, δ) B∈G

ob¸tinem c˘ a ¯ 1 ¯¯ ¯ dλ(A) ¯ − ¯N A¯a ¯¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − ¯¯ a a ¯ dλ(A) ¯ ¯ ¯ ¯ NA ¯ B(M,2δ) MA B∈G ¯ ¯ Z ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯a − ¯ ¯a ¯¯ dλ(A) + ρ(A) · ¯ ¯ ¯NA¯ ¯ ¯ ¯MA¯ GÂB(M,2δ) " Z 1 4π 3−a ¯a dλ(A) ¯ 6 sup ρ(B) · + · (2δ) ¯ ¯ 3−a B(M,2δ) NA B∈G ¯ ¯ ¤ ¯ ¯ , +d−2a 0 C(a) · λ(G) · MN

¯ ¯ 1 ¯ ¯ |fa (M) − fa (N)| 6 ρ(A) · ¯ ¯ ¯ ¯MA¯a G Z 6 sup ρ(B) · Z

unde d0 = inf{d(Q, P ) : Q ∈ B(M, δ), P ∈ GÂB(M, 2δ)} > δ, D0 = sup{d(Q, A) : Q ∈ B(M, δ), A ∈ GÂB(M, 2δ)} 6 sup{d(M, A) : A ∈

80

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

G} + δ. Îns˘ a B(M, 2δ) ⊂ B(N, 3δ). Într-adev˘ ar, pentru P ∈ B(M, 2δ) avem d(N, P ) 6 d(N, M) + d(M, P ) < 3δ, conform inegalit˘at¸ii triunghiului. Ceea ce ne conduce la Z Z 1 1 4π ¯a dλ(A) 6 ¯a dλ(A) = ¯ ¯ · (3δ)3−a . ¯ ¯ ¯ ¯ 3 − a NA N A B(M,2δ) B(N,3δ) În concluzie,

·

4π 4π · (2δ)3−a + · (3δ)3−a 3 − a 3 − a B∈G ¯ ¯¤ ¯ ¯ +d−2a C(a) · λ(G) · MN 0 ¯ ¯ e ¯ ¯ < + d−2a 0 C(a)· sup ρ(B) · λ(G) · MN . 2 B∈G

|fa (M) − fa (N)| 6 sup ρ(B) ·

e , 2

¯ ¯ ¯ ¯ Alegând η = η(e) ∈ (0, δ) astfel încât d−2a 0 C(a)· sup ρ(B) · λ(G) · MN < B∈G

ajungem la

|fa (M) − fa (N)| < e,

N ∈ B(M, η).

a. Continuitatea func¸tiei fa (M) a fost stabilit˘ Prin calcul direct ob¸tinem rela¸tiile ¯ ¯ 2 ¯ ¯AM ¯2 − (x0 − x)2 ¯ ¯ ∂ x − x ∂ ¯¯ 0 ¯ ( AM ¯) = ¯ (¯AM ¯) = , ¯ ¯ ¯AM ¯ ∂x0 ∂x20 ¯AM ¯3

(2.67)

a coordonatele punctelor A, M în unde x, y, z respectiv x0 , y0 , z0 reprezint˘ reperul canonic R. Atunci,  µ ¶  ∂ 1  = − a a+1 · cos(AM, i) a  ∂x0 AM | | |AM | µ ¶ (2.68)  ∂2 1 a 2   ∂x2 AM a = − a+2 [1 − (a + 2) · cos (AM, i)] | | 0 |AM |

(cf. [68], p. 294). De arile ¯ asemeni, sunt valabile ¯ µ estim˘ ¶a+1 ¯ ¯ cos(AM,i) cos(AN,i) ¯ ¯a+1 ¯ ¯ ¯¯¯ 1 ¯ ¯= ¯ cos(AM, i) − ¯AM ¯a+1 − AN ¯ a+1 a+1 ¯ |AM | |AM |·|AN | |AN | ¯

2.1. CINEMATICA µ

81

¶a+1 ¯ ¯a+1 ¯ ¯a+1 ¯¯ · ¯(¯AN ¯ − ¯AM ¯ ) · cos(AM, i) µ ¶a+1 ¯ ¯a+1 ¯¯ 1 ¯ ¯ +[cos(AM, i) − cos(AN, i)] · AM ¯ 6 AM · AN | || | ¯ ¯¯ ¯a+1 ¯ ¯a+1 ¯ ¯ ¯ ¯¯ 1 ¯ ¯ · ¯ AM ¯ − ¯AN ¯ ¯ + a+1 · cos(AM, i) − cos(AN, i) |AN | ¸¯si ¯ ¯ 1 ¯ 1 2 2 ¯ ¯ [1 − (a + 2) cos (AM, i)] − [1 − (a + 2) cos (AN, i)] a+2 a+2 ¯ |AM | ¯ AN | | (µ ¯ ¯ ¶a+2 ¯ ¯ ¯ ¯a+2 ¯ ¯a+2 ¯¯ ¯¯¯ 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + (a + 2) 6 ¯¯ 1 a+2 − AM − AN ¯ a+2 |AM |·|AN | |AM | |AN | ¯ ¾ ¯ 2 ¯ 1 2 ¯ ¯ . + a+2 · cos (AM, i) − cos (AN, i) |AN | Aici, ¯ ¯ ¯ ¯¯ 1 ¯cos(AM, i) − cos(AN, i)¯ 6 ||AN |·AM−|AM |·AN | = ¯¯AN ¯ (AN |AM ¯ ¯ ¯ ¯|AM |·|AN¯| ¯ ¯ ¯ ¯|·|AN¯| ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ +NM) − AM · AN = AM · AN ( AN − AM ¯)AN + ¯AN ¯ · NM ¯ ¯ ¯ ¯¯ | 1| | ¯| ¯ ¯ ¯¯ ¯ 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ 6 AM · AN − AM ¯¯ + AM · ¯NM ¯ 6 AM · ¯NM ¯ | | | | | | ¸s¯ i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯cos2 (AM, i) − cos2 (AN, i)¯ 6 2 ¯cos(AM, i) − cos(AN, i)¯ 6 4 ¯MN ¯. |AM | Folosind estim˘ arile anterioare se poate ar˘ ata c˘ a func¸tiile fa∗ , fa∗∗ : E3 → R introduse prin formulele à ! Z 1 ∂ ¯a dλ(A), ¯ fa∗ (M) = a + 1 < 3, ρ(A) ∂x0 ¯AM ¯ G ¯ · cos(AN, i)¯ =

1 |AM |·|AN |

respectiv

Z

∂2 fa∗∗ (M) = ρ(A) 2 ∂x0 G

Ã

1 ¯ ¯ ¯AM ¯a

!

dλ(A),

a+2<3

sunt continue. Fie M ∈ E3 ÂG ¸si N = N(h) ∈ B(M, R), unde B(M, R) ⊂ E3 ÂG, având coordonatele x0 + h, y0 , z0 în reperul canonic R. Atunci, Ã ! 1 ∂ 1 1 ¯ ¯ ¯ =¯ ¯ + ¯ · h + o(|h|), ¯AN ¯a ¯AM ¯a ∂x0 ¯AM ¯a

82

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

de unde rezult˘ a c˘ a fa (N) = fa (M) + fa∗ (M) · h + o(|h|) (cf. [68], p. 223). Un calcul asem˘ an˘ ator celui cu care se justific˘ a unicitatea diferen¸tialei unei func¸tii într-un anumit punct (cf. [53], p. 260-261) ne permite s˘ a afirm˘ am c˘ a ∂fa (M) = fa∗ (M), ∂x0

a + 1 < 3.

În mod analog, ∂ 2 fa (M) = fa∗∗ (M), ∂x20

a+2<3

(cf. [29], p. 114). Fie M ∈ G. Introducem func¸tia regularizant˘a he : [0, +∞) → [0, +∞) dat˘ a de formula (cf. [68], p. 296) ½ 1 , r>e r he (r) = 1 r2 · (3 − e2 ), 0 6 r 6 e, 2e unde e ∈ (0, 12 ) (vezi Figura 2.10).

Figura 2.10 6 he (r) 6 1r , 0 6 |h0e (r)| 6 Atunci, he ∈ C 1 ([0, +∞), R) ¸si sgn (e−r) e unde r > 0. Deducem c˘ a, pentru 0 < r < e, 0 < hye (r) 6 r−y + e−y , y ∈ R.

1 , r2

2.1. CINEMATICA

83

Aplica¸tia f e : E3 → [0, +∞) introdus˘ a prin formula Z ¯ ¯ f e (M) = hae (¯AM ¯)ρ(A)dλ(A), M ∈ E3 a + 1 < 3, G

se g˘ ase¸ste în C 1 (R3 , R). În plus, Z ¯ ¯ ∂f e ∂ (M) = ρ(A) (hae (¯AM ¯))dλ(A). ∂x0 ∂x0 G

Justificarea acestor afirma¸tii se bazeaz˘ a pe un calcul asem˘ an˘ ator celui f˘ acut anterior. În continuare, Z ¯¯ ¯−a ¯ ¯ ¯¯ ¯¯ e a ¯ ¯ |fa (M) − f (M)| 6 ρ(A) ¯ AM − he ( AM ¯)¯ dλ(A) G Z ¯¯ ¯−a ¯ ¯ ¯¯ ¯ = ρ(A) ¯¯AM ¯ − hae (¯AM ¯)¯ dλ(A) B(M,e) ·Z ¯ ¯ ¯AM ¯−a dλ(A) 6 sup ρ(B) · B(M,e) B∈G ¸ Z ¯ ¯ a ¯ he ( AM ¯)dλ(A) + B(M,e)

6 2· sup ρ(B) · B∈G

4π 3−a e 3−a

¯ ¯¢¯¯ ¯ ∂ ¡¯¯ ¸si, cum ¯ ∂x0 AM ¯ ¯ 6 1, ¯ ¯ ¯ Z e ¯ ∗ ¯ ¯ ∂ ¯ ¯−a ¯ ¯ ¯fa (M) − ∂f (M)¯ 6 ¯ ¯ ρ(A) ¯¯ (¯AM ¯ ) − a · ha−1 e ( AM ) ¯ ¯ ∂x0 ∂x 0 S(M,e) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂ (¯AM ¯)¯¯ dλ(A) ·h0e (¯AM ¯) · ∂x0 4π 6 sup ρ(B) · {a · e3−(a+1) 3 − (a + 1) B∈G Z ¯ ¯−1 +a · [(¯AM ¯ )a−1 + (e−1 )a−1 ] B(M,e)

¯−2 ¯ · ¯AM ¯ dλ(A)}

= 4πa ·

4−a · sup ρ(B) · e2−a . 2 − a B∈G

84

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL e

Estim˘ arile de mai sus arat˘ a c˘ a func¸tiile {f e : e ∈ (0, 12 )}, { ∂f : e ∈ (0, 12 )} ∂x0 converg uniform în G la fa , respectiv fa∗ atunci când e tinde la zero (cf. [29], ∂fa p. 115, 117, [68], p. 295). Aceasta implic˘ a existen¸ta în G a derivatei ∂x 0 dat˘ a de formula ∂fa = fa∗ ∂x0 (cf. [53], p. 283-284). Formula corespunz˘ atoare derivatei de ordinul al II lea se va stabili în mod analog. Justificarea afirma¸tiei 1) s-a încheiat. Prima jum˘ atate a afirma¸tiei 2) poate fi motivat˘ a u¸sor. Astfel, din calculele f˘ acute în prima parte reiese c˘ a func¸tia fa este indefinit derivabil˘ a pe mul¸ ¯ timea ¯−a a derivatele sale (par¸tiale) se ob¸tin prin derivarea m˘ arimii ¯AM ¯ E3 ÂG ¸si c˘ sub semnul integral. Putem, scrie c˘ a h 2 ¯ a¸sadar, ¯−1 ¯ ¯−1 ¯ ¯−1 i R ∂ ∂2 ¯ ∂2 ¯ ¯ ¯ ¯ ) dλ(A) ∆f1 (M) = G ρ(A) ∂x2 ( AM ) + ∂y2 ( AM ¯ ) + ∂z 2 ( AM 0 0 0 P 2 (2.68) R = G ρ(A) 1−3 cos (AM,i) dλ(A) = 0. 3 |AM | Apoi, 0 6 fa (M) 6sup ρ(B) · λ(G) · d−a si 0 , M ∈ E3 ÂG, unde d0 are aceea¸ B∈G

semnifica¸tie ca la început. Astfel, cum lim d0 = +∞ pentru R > 0 fixat, |OM |→+∞

rezult˘ a c˘ a

lim fa (M) = 0. |OM |→+∞ R ∂f1 Fie M ∈ G0 . Atunci, ∂x (M) = ρ(A) ∂x∂ 0 ( G 0

∂ ( 1 ) ∂x0 |AM |

∂ ( = − ∂x

1

|AM |

)

∂f1 (M) = ∂x0 =

=

1 )dλ(A). Folosind rela¸tia |AM | (cf. [68], p. 337) ¸si (2.40), putem scrie c˘ a ! Ã Z ∂ 1 ¯ dλ(A) ¯ lim ρ(A) e&0 GÂB(M,e) ∂x ¯AM ¯ ! Ã Z ∂ 1 ¯ dλ(A) lim ρ(A) · ¯ ¯AM ¯ e&0 GÂB(M,e) ∂x Z ∂ 1 ¯· ¯ (ρ(A))dλ(A) + ¯ ∂x ¯ G AM ! Ã Z 1 ∂ ¯ dλ(A) − ρ(A) · ¯ ¯AM ¯ G ∂x

2.1. CINEMATICA

85 +

Z

∂ 1 ¯· ¯ (ρ(A))dλ(A). ¯ ∂x ¯ G AM

Conform (2.62), (2.40), Z ∂f1 1 ¯ · (N (A) · i)dσ(A) (M) = − lim ρ(A) · ¯ ¯AM ¯ e&0 F r(GÂB(M,e)) ∂x0 Z ∂ 1 ¯· ¯ (ρ(A))dλ(A) + ¯ ¯ ∂x G AM Z 1 ¯ · (N(A) · i)dσ(A) = − ρ(A) · ¯ ¯AM ¯ F r(G) Z ∂ 1 ¯· ¯ (ρ(A))dλ(A). + ¯ ∂x ¯ G AM

Se cuvine f˘ acut˘ a urm˘ atoarea observa¸tie. De¸si, din ra¸tiunile mecanicii teoretice, am considerat c˘ a func¸tia ρ(A) ia doar valori nenegative, aceast˘ a proprietate a sa nu a influen¸tat în nici un fel calculele de pân˘ a acum. De aceea, cum inf{d(M, A) : A ∈ F r(G)} > 0, deducem c˘ a m˘arimea Z 1 ¯ dσ(A) [ρ(A)(N(A) · i)] · ¯ ¯ AM ¯ F r(G) este indefinit derivabil˘a iar derivatele sale (par¸tiale) se ob¸tin prin derivarea ¯−1 ¯ arimea m˘arimii ¯AM ¯ sub semnul integral. În ceea ce prive¸ste m˘ Z 1 ∂ρ ¯· ¯ (A)dλ(A), ¯ ¯ ∂x G AM ∂ρ (A) ∂x

fiind continu˘ a pe G, putem scrie c˘ a ÃZ Ã ! ! Z ∂ρ ∂ ∂ 1 ∂ρ 1 ¯· ¯ dλ(A). ¯ ¯ (A)dλ(A) = (A) · ¯ ∂x ¯ ∂x0 ∂x0 ¯AM ¯ G AM G ∂x

aplica¸tia

Am folosit afirma¸tia 1). A¸sadar, exist˘ a ¸si este continu˘ a func¸tia ∂ 2 f1 (M) = − ∂x20

Z

∂ [ρ(A)(N(A) · i)] · ∂x0 F r(G)

Ã

1 ¯ ¯ ¯AM ¯

!

dσ(A)

86

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL ! Ã ∂ρ 1 ∂ ¯ dλ(A) ¯ (A) · + ∂x0 ¯AM ¯ G ∂x ! Ã Z ∂ 1 ¯ dσ(A) ¯ = [ρ(A)(N(A) · i)] · ¯ ∂x AM ¯ F r(G) ! Ã Z ∂ ∂ρ 1 ¯ dλ(A). ¯ − (A) · ¯ ∂x AM ¯ G ∂x Z

Prin sumare,

∆f1 (M) =

X ∂ 2 f1 ∂x20

(M) "

! # Ã X ∂ 1 ¯ i dσ(A) ¯ = ρ(A) N(A) · ∂x ¯AM ¯ F r(G) ! # Ã ¸ "X Z ·X ∂ρ 1 ∂ ¯ i dλ(A) ¯ (A)i · − ∂x ∂x ¯AM ¯ G ! " Ã # Z 1 ¯ · N(A) dσ(A) ρ(A) ∇ ¯ = ¯AM ¯ F r(G) ! Ã Z 1 ¯ dλ(A). − ∇ρ(A) · ∇ ¯ ¯AM ¯ G Z

Cum M ∈ G0 , exist˘ a r > 0 astfel încât B(M, r) ⊂ G0 . Prima formul˘ a a lui Green (2.66), scris˘ a pentru domeniul ”cu g˘ auri” GÂB(M, r), unde ¯ ¯−1 ¯ ¯ f = ρ(A), g = AM , arat˘ a c˘ a ! Ã !# " Ã Z 1 1 ¯ + ∇ρ(A) · ∇ ¯ ¯ dλ(A) ρ(A)∆ ¯ ¯AM ¯ ¯AM ¯ GÂB(M,r) ! " Ã # Z 1 ¯ · N(A) dσ(A). = ρ(A) ∇ ¯ ¯AM ¯ F r(GÂB(M,r)) µ ¶ 1 Ca ¸si anterior, ∆ AM = 0 în GÂB(M, r), astfel c˘ a | | ! Ã Z 1 ¯ dλ(A) = 0. ρ(A)∆ ¯ ¯AM ¯ GÂB(M,r)

2.1. CINEMATICA

87

Apoi, ! # 1 ¯ · N(A) dσ(A) ρ(A) ∇ ¯ ¯AM ¯ F r(GÂB(M,r)) ! " Ã # Z 1 ¯ · N(A) dσ(A) ρ(A) ∇ ¯ = ¯AM ¯ F r(G) ! " Ã # Z 1 ¯ · N(A) dσ(A). ρ(A) ∇ ¯ + ¯AM ¯ F r(B(M,r)) Z

" Ã

Deoarece N(A) = −n(A) = − 1r · MA, se ajunge la à ! ¯ ¯ 1 1 ¯AM ¯) · N(A) = ¯ 1 ¯ = r−2 , ¯ · N(A) = − ¯ ∇ ¯ ∇( ¯ ¯AM ¯ ¯AM ¯2 ¯AM ¯2

unde A ∈ F r(B(M, r)). Atunci, cum ρ(A) = ρ(M) + o(1) când d(A, M) tinde la zero, deducem c˘ a ! " Ã # Z 1 ¯ · N(A) dσ(A) ρ(A) ∇ ¯ ¯AM ¯ F r(B(M,r)) Z r−2 dσ(A) = [ρ(M) + o(1)] · F r(B(M,r))

= 4π[ρ(M) + o(1)]

(cf. [68], p. 262). În concluzie, apelând la (2.40), putem scrie c˘ a ! Ã Z 1 ¯ dλ(A) ∇ρ(A) · ∇ ¯ ¯AM ¯ G ! Ã Z 1 ¯ · N(A)]dσ(A) = lim ρ(A)[∇ ¯ ¯AM ¯ r&0 F r(GÂB(M,r)) ! Ã Z 1 ¯ · N(A)]dσ(A) ρ(A) · [∇ ¯ = ¯AM ¯ F r(G) ! Ã Z 1 ¯ · N(A)]dσ(A) ρ(A)[∇ ¯ + lim ¯AM ¯ r&0 F r(B(M,r))

88

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL =

Z

F r(G)

ρ(A) · [∇

Ã

1 ¯ ¯ ¯AM ¯

!

· N(A)]dσ(A) + 4π · ρ(M).

Justificarea afirma¸tiei 2) s-a încheiat. Egalitatea ∆f1 (M) = −4π · ρ(M), unde M ∈ G0 , poart˘ a denumirea de ecua¸tia lui Poisson (1813) (cf. [68], p. 358, [34], p. 381).

2.1.15

O formul˘ a asimptotic˘ a pentru f1 (M)

Rezultatul con¸tinut în aceast˘ a subsec¸tiune apeleaz˘ a la teoria polinoamelor Legendre (1785). Conform [23], p. 255-257, polinomul Legendre de ordinul n, notat Pn (x), este unica solu¸tie a ecua¸tiei diferen¸tiale ordinare (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + n(n + 1)y = 0,

|x| < 1

care verific˘ a rela¸tia lim y(x) = 1. x→1

Polinoamele {Pn (x) : n > 0} admit urm˘ atoarea reprezentare, cunoscut˘ a sub numele de formula lui Rodrigues (1814) ¢n ¤ dn £¡ 1 P0 (x) = 1 · n x2 − 1 , n > 1 Pn (x) = n 2 · n! dx (cf. [67], p. 256-258, [78], p. 395-396). Are loc, de asemeni, egalitatea X 1 √ = Pn (x) · hn , 1 − 2xh + h2 n=0 ∞

|x| 6 1, |h| < 1,

convergen¸ta seriei din membrul drept fiind uniform˘ a ¸si absolut˘ a (cf. [23], propozi¸tia 3.3, p. 257-258, [78], p. 397-398, [72], p. 283-285, [66], p. 513514). Fie M ∈ E3 ÂG. Ridicând la p˘ atrat rela¸tia AM = OM − OA, avem ¯2 ¯ ¯2 ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯AM ¯ = ¯OM ¯ + ¯OA¯ − 2 ¯OM ¯ · ¯OA¯ cos(OM, OA). De aici rezult˘ a c˘ a

à ¯ ¯ !2 − 12 ¯ ¯ ¯ ¯OA¯ ¯ OA 1 1 ¯ = ¯ ¯ · 1 − 2 ¯ ¯ · cos(OM, OA) + ¯ ¯  ¯ ¯AM ¯ ¯OM ¯ ¯OM ¯ ¯OM ¯ à ¯ ¯ !n ∞ ¯OA¯ X 1 ¯· ¯ = ¯ Pn (cos θ) · ¯ , A ∈ G, ¯OM ¯ ¯OM ¯ n=0 

2.1. CINEMATICA

89

¯ ¯ ¯ ¯ unde θ = ](OM, OA), când sup ¯OA¯ < ¯OM ¯. A∈G

Prin integrare termen cu termen (datorit˘ a tipului de convergen¸ta˘ a seriei) ajungem la Z 1 ¯· f1 (M) = ¯ ρ(A)dλ(A) ¯OM ¯ G ! à Z ¯ ¯ 1 1 +¯ ρ(A) ¯OA¯ cos θdλ(A) + O ¯ ¯ · ¯ ¯OM ¯2 G ¯OM ¯3 Z 1 ¯· = ¯ ρ(A)dλ(A) ¯OM ¯ G ! ! à à Z 1 OM 1 ¯ dλ(A) + O ¯ +¯ ρ(A) OA · ¯ ¯ · ¯ ¯OM ¯ ¯OM ¯2 G ¯OM ¯3 · ¸ Z m m 1 ¯+ = ¯ OM · ρ(A)OAdλ(A) ¯OM ¯ ¯¯OM ¯¯3 m G ! à 1 +O ¯ ¯ . ¯OM ¯3

Invarian¸ta la izometrii (aplica¸tii izometrice) a m˘ asurii Lebesgue arat˘ a c˘ a m˘ arimea Z m= ρ(A)dλ(A) (2.69) G

este independent˘a de alegerea reperului R. Într-adev˘ ar, deoarece bazele din T R3 luate în considerare sunt ortonormate, matricea schimb˘ arii de baz˘ a va fi ortogonal˘ a, putând fi astfel ”privit˘ a” drept matricea de reprezentare a unui operator izometric (cf. [68], p. 268, [34], p. 39-41). A¸sadar, m˘ arimea m constituie, conform calculului tensorial, o m˘ arime scalar˘a în SF (cf. [66], p. 242). Fie N ∈ E3 dat de Z ρ(A)OAdλ(A). m · ON = G

Atunci, cum m · ON =

Z

G

ρ(A)(ON + NA)dλ(A)

90

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL = m · ON +

deducem c˘ a

Z

Z

ρ(A)NAdλ(A),

G

ρ(A)NAdλ(A) = 0.

G

Schimbând originea reperului R în punctul N, ob¸tinem à ! 1 m ¯ +O ¯ f1 (M) = ¯ ¯ ¯NM ¯ ¯NM ¯3

(2.70)

pentru orice punct M aflat suficient de departe de G. Formula (2.70) reprezint˘ a alura la distan¸te mari a poten¸tialului newtonian a multiplicativ˘ a) al unui corp (mediu) material f1 (M) (modulo o constant˘ ocupând în SF domeniul G. Aici, m˘ arimea m desemneaz˘ a masa corpului material iar func¸tia ρ(A) (numit˘ a densitate sau mas˘a specific˘a ) este stabilit˘ a prin considera¸tii de natur˘ a experimental˘ a (cf. [34], p. 378, 384-386, [76], p. 559-560, [56], p. 103-104). Punctul N constituie centrul de mas˘a al corpului material (cf. [56], p. 18, [34], p. 285, [76], p. 148). Este întâlnit˘ a ¸si denumirea de centru de iner¸tie (cf. [41], p. 29). Asupra acestor chestiuni vom reveni ulterior.

2.1.16

Viteza areolar˘ a a punctului material

Legea ariilor, care este valabil˘ a în cazul mi¸sc˘ arii punctului material M sub ac¸tiunea for¸telor centrale (cf. [54], p. 17, [56], p. 129-130, [34], p. 229-232), d˘ a na¸stere m˘ arimii numit˘ a vitez˘a areolar˘a a punctului material (cf. [32], p. 162, [41], p. 47, [76], p. 288, [63], p. 145-146, [14], p. 87-88, etc.). Mul¸timea segmentelor OM(t), t ∈ I, reprezint˘ a în SF o suprafa¸ta˘ conic˘a (adic˘ a, o suprafa¸ta˘ riglat˘a, desf˘as¸urabil˘a, ale c˘ arei generatoare OM trec prin originea O a sistemului de referin¸ta˘ R; cf. [48], p. 41). Considerând traiectoria Γ a punctului material M parametrizat˘ a natural cu ajutorul coordonatei curbilinii s introdus˘ a prin (2.4), suprafa¸ta conic˘ a va admite parametrizarea local˘ a dat˘ a de formula OP = k · r(s) = σ(k, s) (cf. [15], vol. I, p. 52-53, [48], p. 41).

2.1. CINEMATICA

91

Aria suprafe¸tei ”m˘ aturate” de segmentul OM atunci când punctul material M a parcurs un arc de curb˘ a de lungime s pe traiectoria Γ este, conform (2.50), ¯ ZZ ¯ ¯ ∂σ ¯ ∂σ ¯ ¯ dkdq, A(s) = (k, q) × (k, q) ¯ ∂k ¯ ∂q U(s)

unde U(s) = [0, 1] × [0, s]. Astfel, cum

∂σ dr ∂σ (k, s) × (k, s) = r(s) × k · ∂k ∂s ds ¸ · dr = k r(s) × , ds putem scrie c˘ a    s  1 ¯ Z Z ¯ ¯ ¯ dr A(s) =  kdk ·  ¯¯r(q) × ¯¯ dq  dq 0

0

¯ Zs ¯ 1 ¯¯ dr ¯¯ = r(q) × ¯ dq, 2 ¯ dq

s > 0.

0

Apoi, prin derivare în raport cu timpul t, ob¸tinem ¯ ¯ ¯ ¶¯ µ · dA · 1 ¯¯ dr ¯¯ · 1 ¯¯ dr · ¯¯ · s= ¯r × ¯ · s= ¯r × ·s ¯ A = ds 2 ds 2 ds 1 = |r × v| . 2 − → − → def Introducând vectorul Ω ∈ TO R3 , unde Ω ∈ Ω, Ω = 12 r × v, numit vitez˘a areolar˘a a punctului material M, are loc rela¸tia ¯ ¯− ¯ →¯ dA ¯Ω¯ = dt (cf. [32], p. 162, [34], p. 234). Vectorul Ω se nume¸ste vector-vitez˘a areolar˘a al punctului material M. S˘ a descompunem vectorii r, v dup˘ a dou˘ a direc¸tii ortogonale, dintre care una coliniar˘ a cu k. Astfel, dac˘ a r = (r · k)k + r⊥ = r0 k + r⊥

v = (v · k)k + v ⊥ = v0 k + v⊥ ,

92

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

deducem c˘ a 1 (r0 k × v ⊥ + r⊥ × v0 k + r⊥ × v⊥ ) · k 2 1 1 = (r⊥ × v⊥ ) · k = (r⊥ , v⊥ , k). 2 2

Ω·k =

Am folosit distributivitatea fa¸t˘a de adunarea vectorilor a produsului vectorial · · · (cf. [34], p. 29). Prin derivare în raport cu timpul t, avem r=r0 k+ r⊥ . ·

·

·

Cum r0 = dtd (r · k) =r ·k = v · k = v0 , se ajunge la r⊥ = v⊥ . Aplicând metoda transform˘ arii Pr˝ufer m˘ arimii r⊥ , ob¸tinem c˘ a 1 · Ω · k = r12 θ1 , 2

(2.71)

unde r⊥ = r1 (cos θ1 · i + sin θ1 · j), rela¸tie la care vom apela ulterior (cf. [76], p. 402).

2.1.17

Comentarii

În încheierea discu¸tiei privind elementele de cinematic˘ a a punctului material, s˘ a trecem în revist˘ a câteva chestiuni semnificative pentru mecanica teoretic˘ a a sa. 1) (cf. [32], p. 23) În general, mi¸scarea punctului material M se descompune (prin descompunerea vectorilor) în trei mi¸sc˘ ari rectilinii ale proiec¸tiilor acestuia pe trei axe ortogonale de coordonate (MacLaurin, 1742). În fiecare moment, viteza ¸si accelera¸tia punctului material M se compun (vectorial) din vitezele ¸si accelera¸tiile acestor proiec¸tii (H. Resal, 1862). 2) Presupunem c˘ a punctul material M se deplaseaz˘ a pe curba neted˘ a orientat˘ a Γ în intervalul de timp I. Atunci, pentru t0 ∈ I are loc formula r(t0 + ∆t) = r(t0 ) + ∆t · v(t0 ) + o(|∆t|). Când ∆t este suficient de mic (infinitezimal), putem scrie c˘ a r(t0 + ∆t) = r(t0 ) + ∆t · v(t0 ).

(2.72)

Ecua¸tia (2.72) apar¸tine tangentei în punctul M(t0 ) la traiectoria Γ. În concluzie, ”infinit” de aproape de M(t0 ), mi¸scarea punctului material M poate fi aproximat˘a cu o mi¸scare rectilinie (în linie dreapt˘a) uniform˘a desf˘as¸urat˘a pe tangenta în M(t0 ) la curba Γ (cf. [76], p. 285).

2.1. CINEMATICA

93

3) Fie A ∈ E3 considerat fix în raport cu sistemul de referin¸ta˘ R ¸si → − → v A (t) ∈ v. Not˘ am cu γ hodograful vectorului-vitez˘ a v A (t) ∈ TA R3 , unde − v al punctului material M (R. Hamilton, 1846) dat cu ajutorul vectorilor − → → v A (t), unde t ∈ I. Atunci, vectorul director − η N al tangentei în punctul N(t) la γ verific˘ a rela¸tia − → η N ∈ a(t),

t ∈ I.

Cu alte cuvinte, accelera¸tia punctului material M pe traiectoria Γ este → echipolent˘a cu viteza extremit˘at¸ii vectorului − v A pe hodograful γ (cf. [32], p. 23, [76], p. 285). 4) Supraaccelera¸tia punctului material M în mi¸scarea pe curba simpl˘a biregular˘a spa¸tial˘a Γ este nenul˘a. Mai precis, ·

··

a= (v −

·

v3 v2 · 3v v v3 − 2 R) · ν + T · β )·τ +( R2 R R R

(cf. [76], p. 292). 5) Presupunând c˘ a punctul material M se deplaseaz˘ a pe suprafa¸ta neted˘ a simpl˘ a S, putem stabili cu ajutorul formulelor Darboux-Ribaucour rela¸tiile de mai jos  ·    τ= ω × τ · m= ω×m    · n= ω × n,

θ θ + T ) · τ − v cos · m + v sin · n (cf. [34], p. 175-176). Aici, unde ω = v( dθ ds R R not dθ not sin θ not cos θ a torsiunea ¸si curbura m˘ arimile Tg = ds + T , Kg = R , Kn = R reprezint˘ geodezice, respectiv curbura normal˘a (cf. [48], p. 64-65, 88-89, [57], p. 177). 6) S˘ a consider˘ am suprafa¸ta neted˘ a S având parametrizarea local˘ a γ : U → E3 dat˘ a de (2.42). Introducem vectorul p ∈ TM(q1 ,q2 ) S prin formula

p(q 1 , q 2 ) = p1 (q1 , q 2 ) ·

∂σ 1 2 ∂σ 1 2 1 2 (q , q ) + p (q , q ) · (q , q ), 2 ∂q1 ∂q 2

unde p1 , p2 ∈ C ∞ (U, R), (q 1 , q 2 ) ∈ U. Atunci, prin liniarizare, urmând expunerea f˘ acut˘ a în [76], p. 962-964, putem scrie c˘ a ( ∂pi 1 2 j pi (q 1 + ∆q1 , q2 + ∆q 2 ) = pi (q 1 , q 2 ) + ∂q j (q , q ) · ∆q ∂σ ∂σ ∂2σ 1 2 j 1 2 (q1 + ∆q 1 , q 2 + ∆q2 ) = ∂q i (q , q ) + ∆q · ∂q i ∂q j (q , q ), ∂qi

94

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

unde i = 1, 2. Am utilizat conven¸tia de sumare a indicelui ”mut”. Neglijând termenii de ordinul al doilea în ∆q1 , ∆q 2 , ob¸tinem p(q 1 + ∆q1 , q2 + ∆q 2 ) = p(q1 , q2 ) + (pi ·

∂ 2σ ∂pi ∂σ + j · i ) · ∆q j . i j ∂q ∂q ∂q ∂q

În continuare, conform formulei lui Gauss (2.51), avem c˘ a ∂σ ∂pk ∂σ + p h · n) + · k ] · ∆q j i ij k j ∂q ∂q ∂q ∂p ∂σ k = (pi Γkij + j )∆qj · k + pi hij ∆q j · n. ∂q ∂q

∆p = [(pi Γkij ·

Cum ∆pk =

∂pk ∆q j , ∂q j

ajungem, trecând la m˘ arimi infinitezimale, la rela¸tia

δp = (pi Γkij δqj + δpk ) ·

∂σ 1 2 (q , q ) + pi hij δq j · n(q 1 , q 2 ). ∂q k

(2.73)

Fiind dat drumul neted ζ : I → E3 , situat pe suprafa¸ta S, introdus prin formula (2.46), egalitatea (2.56) arat˘ a c˘ a expresia diferen¸tial˘ a anterioar˘ a este exact˘a pentru p = σ 0 (q). S˘ a consider˘ am q0 < q1 în intervalul I ¸si problemele Cauchy ( j dpi + Γisj (q 1 (q), q 2 (q)) dq (q) · ps = 0, q ∈ I dq dq (Ck ) k pi (qk ) = ai ∈ R, unde i = 1, 2 ¸si k = 0, 1. Sistemul diferen¸tial fiind liniar, aceste probleme vor admite solu¸tie unic˘ a, de clas˘ a C ∞ , definit˘ a pe întreg intervalul I (cf. [6], p. 78-79). Introducem func¸tia F : TM(q0 ) S → TM(q1 ) S care asociaz˘ a vectorului a01 · ∂σ ∂σ 1 2 0 ∂σ 1 2 (q (q0 ), q (q0 )) + a2 · ∂q2 (q (q0 ), q (q0 )) vectorul p1 (q1 ) · ∂q1 (q1 (q1 ), q2 (q1 )) + ∂q1 ∂σ 1 2 a solu¸tia problep2 (q1 ) · ∂q 2 (q (q1 ), q (q1 )), unde {pi (q) : i = 1, 2} reprezint˘ mei Cauchy (C0 ) (cf. [57], p. 175). Folosind iar˘ a¸si liniaritatea ecua¸tiilor diferen¸tiale de mai sus, se arat˘ a u¸sor c˘ a aplica¸tia F este liniar˘ a ¸si injectiv˘ a. 1 Existen¸ta în q = q0 a solu¸tiei problemei Cauchy (C1 ) pentru orice ai ∈ R, unde i = 1, 2, implic˘ a surjectivitatea func¸tiei F . Astfel, F define¸ste un izomorfism liniar între spa¸tiile TM(q0 ) S s¸i TM(q1 ) S. Fiind dat˘ a o suprafa¸ta˘ neted˘ a S, calculul realizat anterior arat˘ a c˘ a, pentru orice curb˘ a simpl˘ a Γ situat˘ a pe S ¸si pentru orice dou˘ a puncte M1 , M2 ∈ Γ,

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

95

exist˘ a un izomorfism liniar între spa¸tiile TM1 S, TM2 S care p˘astreaz˘a valoarea produsului scalar (2.49) al vectorilor ¸si care nu depinde decât de curba Γ. Acesta se nume¸ste paralelism Levi-Cività (transport paralel) (cf. [57], p. 174, [76], p. 964). Curba Γ este considerat˘ a autoparalel˘a în sens Levi-Cività dac˘ a pentru orice M ∈ Γ exist˘ a o parametrizare local˘ a a sa care îl con¸tine pe M astfel încât vectorii tangen¸ti la por¸tiunea de curb˘ a dat˘ a de parametrizarea local˘ a respectiv˘ a s˘ a-¸si autocorespund˘ a în transportul paralel (cf. [57], p. 176, [76], p. 965). Conform ecua¸tiei (2.57), drumul neted ζ : I → E3 situat pe suprafa¸ta S este geodezic dac˘a s¸i numai dac˘a este autoparalel în sens Levi-Cività. Cu ajutorul rela¸tiei (2.73) se d˘ a o justificare intuitiv˘ a no¸tiunii de transport → → u ∈ u, poate fi transportat paralel. Astfel, în SF , vectorul − u ∈ TO R3 , unde − → → → → prin echipolen¸ta˘ în orice punct A: − u A ∈ TA R3 , − u A ∈ u. Vectorii − u, − uA − → fiind paraleli (geometric), δu = 0. Atunci, considerând vectorul p ∈ TM R3 , → → unde − p ∈ p ¸si p ∈ TM S, spunem c˘ a− p este transportat paralel de-a lungul drumului neted ζ : I → E3 din punctul M(q0 ) pân˘ a în punctul M(q1 ) dac˘ a vectorul-proiec¸tie pe planul TM(q) S al lui δp este nul pentru orice q ∈ [q0 , q1 ].

2.2

Statica ¸si dinamica

Considera¸tiile f˘ acute pân˘ a acum, neimplicând masa punctului material, s-au limitat la men¸tionarea anumitor aspecte de algebr˘ a liniar˘ a, geometrie diferen¸tial˘ a a curbelor ¸si suprafe¸telor, analiz˘ a real˘ a ¸si teoria integralei Lebesgue, etc. Nu trebuie îns˘ a tras˘ a concluzia, de aici, c˘ a mecanica teoretic˘ a ar reprezenta o în¸siruire de procedee matematice (cf. [34], p. 215-216), f˘ ar˘ a leg˘ atur˘ a cu via¸ta de zi cu zi. În schimb, mecanica teoretic˘ a urm˘ are¸ste ”reproducerea” în cadrul unui model matematic a fenomenelor de mi¸scare mecanic˘ a sau de echilibru ale corpurilor materiale, dând astfel posibilitatea descrierii ¸si prevederii unor asemenea fenomene (cf. [34], p. 211). Fire¸ste, aceste ”reproduceri” se realizeaz˘ a în mod aproximativ, simplificat, prin ”schematizarea” fenomenelor studiate (cf. [32], p. 11). Ca exemplu de model matematic (teoretic) am întâlnit deja punctul material (particula), no¸tiune prin care este desemnat un corp material ale c˘arui dimensiuni s¸i rota¸tii instantanee proprii sunt neglijabile în problema dat˘a (cf. [32], p. 18, [34], p. 220-221, [76], p. 3). De asemeni, prin punct material în¸telegem ¸si cea mai ”mic˘a” diviziune dintr-un corp material care are propriet˘at¸ile fizice ale acestuia (cf.

96

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

[63], p. 18), ceea ce este în acord cu caracterul de m˘arime aditiv˘a al masei corpurilor materiale (cf. [56], p. 15). Vezi (2.69). Rolul de baz˘ a în cele ce urmeaz˘ a îl joac˘ a no¸tiunea de for¸t˘a. Aceasta are la origine senza¸tia de efort care apare atunci când ridic˘am sau t¸inem o greutate, când tragem sau împingem un corp pe o suprafa¸t˘a (cf. [32], p. 43). Cum putem preciza direc¸tia ¸si sensul în care realiz˘ am acest efort, ca ¸si locul (punctul) în care ”ap˘ as˘ am” ori de care ”tragem”, este normal ca for¸ta s˘ a fie abstractizat˘a sub forma unui vector (cf. [32], p. 43, [34], p. 6, 221). Astfel, − → spunem c˘ a asupra punctului material M ac¸tioneaz˘a for¸ta F dac˘ a preciz˘ am − → 3 vectorul F ∈ TM R (cf. [34], p. 8). Utilizarea unui alt model matematic al corpurilor materiale va afecta, în general, defini¸tia for¸tei. În cazul corpurilor solide rigide, de exemplu, for¸tele sunt reprezentate prin vectori alunec˘ atori (cf. [34], p. 8). Statica ¸si dinamica constituie p˘ ar¸ti ale mecanicii teoretice (structurat˘ a, din punct de vedere metodologic ¸si istoric, în static˘ a, cinematic˘ a ¸si dinamic˘ a; cf. [76], p. 4, [34], p. 218) cu o evolu¸tie diferit˘ a. Statica s-a dezvoltat înc˘ a din 14 antichitate în leg˘ atur˘ a cu probleme specifice construc¸tiilor, care necesitau, mai ales, studiul echilibrului diferitelor corpuri materiale. Spre deosebire de static˘ a, dinamica este o ¸stiin¸ta˘ relativ ”tân˘ ar˘ a”, ale c˘ arei principii sunt formulate satisf˘ ac˘ ator abia în secolele XVII-XVIII (cf. [76], p. 109, [34], p. 211). D’Alembert consider˘ a pentru prima oar˘ a statica drept un caz particular al dinamicii (cf. [34], p. 211). În 1743, el formuleaz˘ a metoda cinetostatic˘a de rezolvare a problemelor de dinamic˘ a (cf. [34], p. 217, [76], p. 13, [63], p. 497-498). Statica studiaz˘ a transformarea sistemelor de for¸te aplicate corpurilor materiale în sisteme echivalente ¸si condi¸tiile de echilibru ale acestor corpuri sub ac¸tiunea sistemelor de for¸te date (cf. [34], p. 218, [76], p. 4, [63], p. 15). Dinamica 15 studiaz˘ a mi¸scarea corpurilor materiale bazându-se pe rezultatele cinematicii ¸si ¸tinând seama de for¸tele care ac¸tioneaz˘ a asupra lor, precum ¸si de masa lor (cf. [34], p. 219, [76], p. 5, [63], p. 15).

14

Cf. [12], p. 26, ”pentru filozofia antic˘ a, staticul, imobilitatea, ob¸tinuse un accent de întâietate fa¸ta˘ de tot ce este dinamic, mi¸sc˘ ator, în sensul c˘ a aceste categorii din urm˘ a sunt socotite ca derivate, ca atribute ale neexisten¸tei sau ale semiexisten¸tei.” Zenon eleatul ”demonstreaz˘ a” c˘ a mi¸sc˘ area este o contradic¸tie, o imposibilitate (vezi op. cit., p. 111). 15 dýnamis, adic˘ a putere (Platon), poten¸tialitate (Aristotel), cf.[58], p. 69.

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

2.2.1

97

Principiile dinamicii

Mecanica clasic˘ a este constituit˘ a pe baza a trei principii fundamentale, numite lex (legi), descrise de I. Newton în 1687 în lucrarea ”Principiile matematice ale filozofiei naturale” (cf. [32], p. 41, [34], p. 214, [63], p. 19). Principiul iner¸tiei (lex prima). Un punct material î¸si p˘astreaz˘a starea de repaus sau de mi¸scare rectilinie uniform˘a atâta timp cât nu intervine vreo for¸t˘a care s˘a-i modifice aceast˘a stare. Acest principiu a fost dat ini¸tial, într-o formulare asem˘ an˘ atoare, de Galilei (1632) (cf. [76], p. 12, [32], p. 41, [34], p. 213, [63], p. 15-16). El combate teoria aristotelian˘a conform c˘ areia un corp se opre¸ste atunci când for¸tele aplicate asupra lui î¸si înceteaz˘ a ac¸tiunea (cf. [63], p. 14). Principiul iner¸tiei nu poate fi verificat ”în practic˘ a” deoarece corpurile materiale nu pot fi sustrase complet ac¸tiunii altor corpuri materiale16 . Experien¸ta arat˘ a c˘ a un corp material se opune ac¸tiunilor exterioare menite s˘ a-i schimbe starea de repaus sau de mi¸scare rectilinie uniform˘ a descris˘ a de principiul iner¸tiei. Astfel, un automobil care se deplaseaz˘ a pe ¸sosea cu vitez˘ a mare (constant˘ a) are tendin¸ta de a derapa la viraje, adic˘ a de a-¸si men¸tine traiectoria dreapt˘ a (cf. [32], p. 42). Aceast˘ a opozi¸tie la schimbarea st˘ arii de mi¸scare/repaus reprezint˘ a iner¸tia corpurilor materiale. Într-o formulare mai cuprinz˘ atoare a principiului iner¸tiei, putem spune c˘ a particulele suficient de dep˘artate unele de altele (izolate între ele) se mi¸sc˘a unele fa¸t˘a de altele rectiliniu uniform 17 (cf. [32], p. 42). Principiul fundamental al dinamicii (lex secunda). Accelera¸tia unui punct material este propor¸tional˘a cu for¸ta motoare aplicat˘a s¸i este îndreptat˘a în direc¸tia dup˘a care ac¸tioneaz˘a for¸ta. Newton a introdus masa m a punctului material M pentru a exprima aceast˘ a propor¸tionalitate între for¸ta˘ ¸si accelera¸tie: − → → F =m·− a (2.74) (cf. [76], p. 9). Principiul ac¸tiunii ¸si reac¸tiunii (lex tertia). Oric˘arei ac¸tiuni îi corespunde întotdeauna o reac¸tiune egal˘a s¸i contrar˘a; sau, ac¸tiunile reciproce a dou˘a puncte materiale sunt întotdeauna egale s¸i îndreptate în sens contrar 16

O interesant˘ a analiz˘ a a acestei chestiuni poate fi citit˘ a în [12], p. 83. Un punct material, deplasându-se pe o hiperbol˘ a sub ac¸tiunea for¸tei newtoniene (2.76), se va mi¸sca rectiliniu uniform la infinit fa¸ta˘ de originea sistemului de referin¸ta˘ - focarul traiectoriei sale. Vezi [60], exerci¸tiul 8.2, p. 14. 17

98

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

(cf. [76], p. 10). Cu alte cuvinte, fiind date punctele materiale M1 , M2 aflate suficient de departe de alte puncte materiale pentru ca acestea s˘ a nu − → a asupra lui M2 cu for¸ta F 12 ∈ le influen¸teze mi¸scarea, dac˘ a M1 ac¸tioneaz˘ − → 3 a asupra lui M1 cu for¸ta F 21 ∈ TM1 R3 astfel TM2 R , atunci ¸si M2 ac¸tioneaz˘ încât vectorii F 12 , F 21 sunt coliniari cu M1 M 2 ¸si F 12 + F 21 = 0 (cf. [34], p. − → − → 223-224). F 12 este ac¸tiunea, respectiv F 21 este reac¸tiunea. Se cuvine subliniat faptul c˘ a avem de a face cu o interac¸tiune, for¸tele → − → − a-efect (cf. [32], p. F 12 , F 21 fiind aplicate simultan, ¸si nu cu un proces cauz˘ 46). Extensia d’Alembert a legii lui Newton (2.74) (cf. [73], p. 494) (ma − F )δr = 0 împreun˘ a cu folosirea sistematic˘ a a lucrului mecanic permit renun¸tarea la principiul ac¸tiunii ¸si reac¸tiunii (cf. [56], p. 86, 113) în anumite situa¸tii (de exemplu, în absen¸ta frec˘arii, cf. [76], p. 763, [41], p. 20). Nu vom urma aceast˘ a cale aici. − → Trebuie men¸tionat faptul c˘ a Newton nume¸ste reac¸tiunea F 21 cu care M2 se ”împotrive¸ste” ac¸tiunii lui M1 for¸t˘a de iner¸tie (cf. [32], p. 201). În comentariul f˘ acut de Newton principiului fundamental al dinamicii, comentariu denumit Corolarul I (cf. [76], p. 10, [63], p. 19), este precizat˘ a modalitatea de compunere a for¸telor care ac¸tioneaz˘ a asupra unui punct material, ¸si anume regula paralelogramului. Aceasta era cunoscut˘ a în static˘ a înc˘ a din antichitate (Heron), dar o formulare precis˘ a a sa a fost dat˘ a abia de Stevin (1586) (cf. [32], p. 43, [76], p. 12, 109, [34], p. 215). Principiul paralelogramului (independen¸tei ac¸tiunii for¸telor). Un punct material aflat sub ac¸tiunea simultan˘a a dou˘a for¸te descrie (pornind din repaus) diagonala unui paralelogram având ca laturi aceste for¸te, în acela¸si timp în care ar descrie separat fiecare latur˘a sub ac¸tiunea for¸tei corespunz˘atoare. Astfel, ! à X− X → − → F h =m· ah . h

h

Principiul condi¸tiilor ini¸tiale (enun¸tat de Galilei, cf. [34], p. 213, 224). Dac˘a dou˘a puncte materiale se g˘asesc suficient de departe de orice alte puncte materiale, for¸tele cu care ele interac¸tioneaz˘a sunt bine determinate la momentul t, în m˘arime, direc¸tie s¸i sens, dac˘a se cunosc la acel moment pozi¸tiile relative ale celor dou˘a puncte materiale s¸i vitezele lor relative. În

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

99

acest fel este comb˘ atut˘ a concep¸tia scolastic˘a potrivit c˘ areia mi¸scarea unui corp poate fi determinat˘ a doar prin cunoa¸sterea pozi¸tiei lui ini¸tiale (cf. [34], p. 213). În teoria sa, Newton consider˘ a masa drept m˘asur˘a a cantit˘at¸ii de materie con¸tinut˘ a în corpul material ¸si element caracteristic al existen¸tei acestuia (cf. [32], p. 43, [76], p. 8, [63], p. 13). A¸sa cum apare în (2.74), masa m a punctului material M reprezint˘ a o m˘asur˘a a iner¸tiei lui M, adic˘ a a gradului de opunere a punctului material la ac¸tiunile exterioare menite s˘ a-i schimbe starea de repaus sau de mi¸scare rectilinie uniform˘ a (cf. [34], p. 223). Întradev˘ ar, cu cât masa unui corp este mai mare, cu atât accelera¸tia corpului, produs˘ a de o for¸ta˘ dat˘ a, este mai mic˘ a. Practic, dac˘ a se afl˘ a la început în repaus, corpul este tot mai greu de urnit concomitent cu m˘ arirea masei lui. Ca m˘ asur˘ a a iner¸tiei corpurilor, masa m poart˘ a denumirea de mas˘a inert˘a (iner¸tial˘a), m = mi . În mecanicile avansate, spre deosebire de mecanica newtonian˘ a, masa corpurilor nu mai este independent˘ a de timp. Astfel, în mecanica relativist˘ a avem m0 m= q , m0 = mas˘ a de repaus, 2 1 − vc2 în mecanica invariantiv˘ a (O. Onicescu) m0 m= q 1−ε·

, v2 ω2

ε ∈ {±1} ,

unde ω poate fi considerat c (viteza luminii în vid), etc (cf. [32], p. 44, [56], p. 323). Când v ¿ c, adic˘ a vc w 0, ob¸tinem m w m0 . Deci masa m este constant˘a (cf. [32], p. 49). Viteza c este aproximativ 3 · 108 m/s, fapt descoperit de R˝omer în 1676 pe baza observa¸tiilor astronomice asupra unuia dintre sateli¸tii lui Jupiter (cf. [43], p. 52). O alt˘ a manifestare a materiei în mecanica clasic˘ a este dat˘ a de proprietatea corpurilor materiale de a atrage corpurile din jur, adic˘ a de a crea câmp gravita¸tional (cf. [63], p. 17, [32], p. 45-46, 173, [76], p. 508). Astfel, − → − → F =m· Γ,

(2.75)

− → unde Γ reprezint˘ a intensitatea câmpului gravita¸tional generat de corpul punctiform M. Legea atrac¸tiei universale, descoperit˘ a de Newton în 1687 (cf. [32], p. 163, 182, [54], p. 10) afirm˘ a c˘ a dou˘a corpuri punctiforme se

100

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

atrag între ele cu o for¸t˘a direct propor¸tional˘a cu produsul maselor lor (gravita¸tionale) s¸i invers propor¸tional˘a cu p˘atratul distan¸tei dintre ele. A¸sadar18 , m1 m2 M1 M 2 , (2.76) · r2 r unde γ = 6, 67 · 10−11 N · m2 /kg2 desemneaz˘ a constanta atrac¸tiei universale (H. Cavendish, 1798) (cf. [34], p. 358, [32], p. 163-165, [43], p. 45). Coeficientul de propor¸tionalitate m din (2.75) poart˘ a denumirea de mas˘a gravific˘a (grea, gravita¸tional˘a, sarcin˘a gravific˘a) (cf. [32], p. 46, [76], p. 508), m = mg . În mecanica newtonian˘ a se admite egalitatea masei iner¸tiale cu masa gravific˘ a. Experien¸ta f˘ acut˘ a de E˝otv˝os arat˘ a cu o precizie de 10−7 (cf. [54], p. 10) c˘ a cele dou˘ a mase sunt propor¸tionale, raportul lor nedepinzând de forma corpului ori de materialul din care acesta este confec¸tionat (natura sa) (cf. [32], p. 183). În concluzie, iner¸tia ¸si gravita¸tia (calitatea materiei de a crea câmp gravita¸tional) sunt propriet˘ a¸ti ale unei mase unice: mi ≡ 1. mg − → → Astfel, intensitatea Γ va c˘ ap˘ ata semnifica¸tia unei accelera¸tii, notate − g, F = −γ ·

numit˘ a accelera¸tie gravita¸tional˘a (cf. [32], p. 29, 173). În vid, experimentele arat˘ a c˘ a toate corpurile cad cu aceea¸si accelera¸tie g, independent˘ a de masa, → natura, dimensiunile ori forma lor (cf. [32], p. 29-30, 45). Vectorul − g are local direc¸tia vertical˘ a (perpendiculara pe podeaua camerei) ¸si sens descendent (cf. [34], p. 242). Utilizând modelul sferic al P˘ amântului, dreapta-suport − → a lui g trece prin centrul acestuia (cf. [32], p. 29, 183, 205). În realitate, ”verticala” locului, determinat˘ a cu ajutorul firului cu plumb, sufer˘ a o devia¸tie α (vezi Figura 2.11) ce se datoreaz˘ a mi¸sc˘ arii de rota¸tie a P˘ amântului în 0 jurul axei polilor ¸si care î¸si atinge valoarea maxim˘ a (αmax w 6 ) pe paralela λ = 45◦ (cf. [32], p. 205-206, [76], p. 148, 507-508, [34], p. 434-436). Accelera¸tia gravita¸tional˘ a g variaz˘ a cu latitudinea ¸si altitudinea. La ecuator, g = 9, 7805 m/s2 iar la paralela 45◦ g = 9, 80616 m/s2 (cf. [32], p. 30). O formul˘ a de calcul aproximativ˘ a, cu valabilitate la nivelul m˘ arii, este µ ¶ 1 g = g0 · 1 + · sin2 λ , 288 18

Conceptul lui Newton de ”ac¸tiune la distan¸ta˘” a for¸tei este de natur˘ a metafizic˘ a: ”¸Si nu încape vorb˘ a c˘ a acest concept închidea în sine reziduuri paradoxale de gândire magic˘ a”, cf. [12], p. 109.

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

101

unde λ define¸ste latitudinea locului, iar g0 desemneaz˘ a accelera¸tia gravita¸tional˘ a la ecuator (cf. [34], p. 436, [76], p. 508-509). Ea va fi stabilit˘ a ulterior.

Figura 2.11 Egalitatea masei gravifice cu masa iner¸tial˘ a permite determinarea masei unui corp prin cânt˘arire (cf. [32], p. 45, [54], p. 10). Greutatea unui corp reprezint˘ a for¸ta cu care acesta este atras de P˘ amânt, − → → G = m· − g . Static, greutatea se manifest˘ a prin for¸ta cu care corpul apas˘ a pe un plan orizontal sau întinde firul de suspensie. Dinamic, greutatea produce c˘ aderea corpului l˘ asat liber. A¸sa cum am spus deja, m˘ arimea sa G, determinat˘ a prin m˘ asur˘ atori fizice (greutate aparent˘a ), reflect˘ a mi¸scarea de rota¸tie a P˘ amântului în jurul axei polilor. Prin introducerea rela¸tiilor (2.74), (2.76) este comb˘ atut˘ a definitiv teoria aristotelian˘a a for¸tei tangent˘ a la traiectorie (cf. [76], p. 431).

2.2.2

Ecua¸tiile diferen¸tiale ale lui Newton

Rela¸tia (2.74) arat˘ a c˘ a un punct material M1 , ac¸tionând asupra altui → a acestuia din urm˘ a o anumit˘ a accelera¸tie − a 12 . punct material M2 , îi imprim˘ Cu alte cuvinte, interac¸tiunea corpurilor se produce prin inducerea de accelera¸tii, independent de natura fizic˘ a a respectivelor interac¸tiuni. Spunem c˘ a for¸ta, a¸sa cum apare ea în (2.74), d˘ a un model al interac¸tiunii corpurilor (cf. [32], p. 44). Rela¸tia (2.74) se mai nume¸ste ¸si defini¸tia dinamic˘a a for¸tei. Ceea ce nu putem preciza în rela¸tia (2.74) este natura for¸tei: gravita¸tional˘ a, electromagnetic˘ a, elastic˘ a, etc. Faptul c˘ a rela¸tia (2.74) caracterizeaz˘ a în egal˘ a m˘ asur˘ a toate for¸tele care intervin în via¸ta de zi cu zi, indiferent de specificul lor, arat˘ a c˘ a ea reprezint˘ a o lege a naturii (cf. [32], p. 44). Pe de alt˘ a parte îns˘ a, necunoa¸sterea naturii for¸tei se reflect˘ a prin aceea c˘ a nu

102

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

putem afirma nimic, de exemplu, despre traiectoria punctului material supus ei. Fie punctul material M, de mas˘ a m, caracterizat la momentul ini¸tial al mi¸sc˘ arii sale fa¸ta˘ de sistemul de referin¸ta˘ R de raza vectoare r0 ¸si de vectorul− → a asupra sa ac¸tioneaz˘ a for¸ta F , unde vitez˘ a v 0 . Presupunem c˘ F =−

k · r, rλ

λ, k > 0, λ 6= 2.

Atunci, conform (2.74), avem ··

m· r= − de unde

··

·

1 ·2 r 2

¶

r · r= − ¸si d dt

µ

µ

1 2 v 2

A¸sadar, d dt

¶

k · r, rλ

k 1 ³ ·´ · · r· r m rλ

k 1 d =− · λ · m r dt

µ

¶ 1 2 r . 2

¶ µ k 1 d 1 2 = − · λ· r m r dt 2 k ¡ 2 ¢− λ2 d ¡ 2 ¢ · r r · = − 2m µ dt ¶ 1 k d · · r2−λ . = m dt λ − 2

Integrând în raport cu timpul t, ob¸tinem c˘ a 1 2 1 2−λ 1 2−λ k 1 2 k v − · r v0 − · r = 2 m λ−2 2 m λ−2 0 = constant, t > t0 . Rela¸tia de mai sus, care leag˘a viteza punctului material M de distan¸ta dintre acesta ¸si originea reperului R, este extrem de particular˘ a. Dându-i lui λ valori din (0, 2) respectiv (2, +∞) ajungem la rezultate de natur˘a diferit˘ a. În acest mod a devenit evident, pe de o parte, c˘ a este nevoie de cunoa¸sterea formulei for¸tei în (2.74) pentru rezolvarea anumitor probleme de dinamic˘ a.

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

103

Pe de alt˘ a parte, rela¸tia (2.74) poate fi privit˘ a drept scrierea vectorial˘a a unui sistem de ecua¸tii diferen¸tiale. Într-adev˘ ar, ¸tinând cont de principiul condi¸tiilor ini¸tiale, are sens introducerea problemei Cauchy de mai jos  ·· ·   m· r= F (t, r, r), t > t0 r(t0 ) = r0 (2.77)  ·  r (t0 ) = v0 .

Proiectarea pe axele reperului canonic R a sistemului (2.77) ne conduce la ecua¸tiile diferen¸tiale ale lui Newton. Dup˘ a C. Truesdell, aceste ecua¸tii apar sub form˘ a explicit˘ a abia în 1749, la L. Euler (cf. [34], p. 216). În ”Principiile matematice ale filozofiei naturale” nu se g˘ asesc ecua¸tii diferen¸tiale sub form˘ a explicit˘ a. Ele sunt întâlnite în ”Metoda fluxiunilor ¸si a seriilor infinite” scris˘ a de I. Newton în jurul anului 1671 ¸si tip˘ arit˘ a în 1736. Termenul de ”ecua¸tie diferen¸tial˘ a” a fost introdus de G. Leibniz într-o scrisoare c˘ atre Newton din 1676 (cf. [72], p. 498 ¸si nota de subsol, p. 499). Sistemul diferen¸tial

cu datele Cauchy (

 ··   x= ·· y=   ·· z=

· · · 1 F (t, x, y, z, x, y , z) m x · · · 1 F (t, x, y, z, x, y , z) m y · · · 1 F (t, x, y, z, x, y , z) m z

x(t0 ) = x0 ·

x (t0 ) = v0x

(2.78)

y(t0 ) = y0 z(t0 ) = z0 · y (t0 ) = v0y z (t0 ) = v0z ·

va avea solu¸tie unic˘ a în C ∞ ([t0 , +∞), R) dac˘ a impunem ca func¸tiile Fx , Fy , ∞ Fz s˘ a fie de clas˘ a C în raport cu ansamblul variabilelor lor ¸si, simultan, · · · 19 lipschitziene în raport cu x, y, z, x, y , z. 19

Aceast˘ a cerin¸ta˘ este generic˘ a. În multe situa¸tii din via¸ta de zi cu zi o asemenea restric¸tie nu are loc ¸si este nevoie de tehnici speciale (de exemplu, utilizarea principiului iner¸tiei - V. Vâlcovici), cf. [76], p. 398-399. Teoreme de unicitate a solu¸tiei unei probleme Cauchy în absen¸ta ipotezei Lipschitz pot fi citite în [31], p. 35, - teorema van Kampen - sau în J. Bownds, A uniqueness theorem for non-lipschitzian systems of ordinary differential equations, Funkcialaj Ekvacioj 13(1970), p. 61-65.

104

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Existen¸ta în [t0 , +∞) a solu¸tiei problemei (2.77), respectiv în (−∞, +∞) atunci când timpul t nu apare sub form˘ a explicit˘ a în (2.77), este în acord cu caracterul perpetuu al mi¸sc˘ arii mecanice (cf. [56], p. 62). Împreun˘ a, existen¸ta ¸si unicitatea solu¸tiei problemei (2.77) asigur˘ a determinismul mecanicii newtoniene. Rezolvarea (integrarea) problemei ( 2.77) se realizeaz˘ a prin determinarea integralelor prime ·

·

·

fi (t, x, y, z, x, y , z) = Ci , astfel ca

D(f1 , ..., f6 ) ·

·

·

D(x, y, z, x, y , z)

i = 1, 6,

6= 0

(cf. [6], p. 170-171, [72], p. 356-357, [56], p. 62-63). Din punctul de vedere al teoriei generale a ecua¸tiilor diferen¸tiale ordinare, lucrurile sunt l˘ amurite. Totu¸si, nu orice integral˘ a a problemei (2.77) g˘ asit˘ a este mul¸tumitoare. Dat fiind c˘ a ecua¸tiile care intervin, plecând de la (2.77), în problemele de dinamic˘ a sunt, în general, complicate, se caut˘ a integrale prime care s˘ a poat˘ a fi interpretate din punct de vedere fizic. Astfel, sunt de interes acelea dintre integralele problemei (2.77) care, con¸tinând rela¸tii între coordonatele punctului material, componentele vitezei sale pe axele sistemului de referin¸ta˘ ¸si timp, traduc în limbaj matematic propriet˘ a¸ti mecanice ale mi¸sc˘ arii numite legi de conservare (cf. [34], p. 227, [56], p. 64).

2.2.3

Repere iner¸tiale. Principiul relativit˘ a¸tii în mecanica clasic˘ a

Principiul iner¸tiei, esen¸tial în mecanica newtonian˘ a, poate fi reg˘ asit prin integrarea succesiv˘ a a rela¸tiei (2.74): ··

m· r= 0, t > t0 .

(2.79)

Astfel, r = r0 + v0 · (t − t0 ),

ceea ce dovede¸ste caracterul rectiliniu al mi¸sc˘ arii punctului material (v0 6= 0) în absen¸ta oric˘ arei for¸te. Matematic, calculul anterior este suficient de simplu pentru a p˘ area neinteresant. În mecanic˘ a, îns˘ a, lucrurile nu se petrec la fel. S˘ a presupunem c˘ a

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

105

¸tinem în mâna dreapt˘ a o bil˘ a de fier. La un moment dat, prin desfacerea degetelor, l˘ as˘ am bila s˘a cad˘a. Ce s-a întâmplat, de fapt? Dac˘ a vom considera c˘ a degetele mâinii drepte alc˘ atuiesc sistemul de referin¸ta˘ R, atunci bila de fier este în repaus (fa¸ta˘ de reperul R) ¸si, f˘ acând abstrac¸tie de presiunea aerului, asupra sa nu ac¸tioneaz˘ a nici o for¸ta˘ exterioar˘ a. Conform principiului iner¸tiei, bila ar trebui s˘ a stea pe loc sau, în cel mai r˘ au caz (f˘ ar˘ a valabilitate, dar îng˘ aduit de dragul contradic¸tiei), s˘ a se mi¸ste rectiliniu uniform. În realitate, mi¸scarea sa, de¸si rectilinie, este accelerat˘ a, cu formula aproximativ˘ a (se neglijeaz˘ a rezisten¸ta aerului) 1 s = g(t − t0 )2 2 în baza legii de c˘adere liber˘a a corpurilor materiale (cf. [76], p. 294, [32], p. 27, [17], p. 68-69). Exist˘ a, a¸sadar, sisteme de referin¸ta˘ în care un punct material liber (adic˘ a, nesupus vreunei ac¸tiuni exterioare), aflat la un moment dat în repaus, începe s˘ a se mi¸ste cu de la sine putere (cf. [41], p. 12). Într-un asemenea sistem de referin¸ta˘ principiul iner¸tiei nu mai este valabil. Modelul matematic adoptat de mecanica clasic˘ a nu poate fi utilizat în situa¸tia descris˘ a mai sus. Astfel, bila de fier aflat˘ a la nivelul mâinii drepte cade dac˘ a este l˘ asat˘ a liber˘a. În schimb, aceea¸si bil˘ a, odat˘ a translatat˘a pân˘ a pe sol, va r˘ amâne în repaus (fa¸ta˘ de reperul R). Ceea ce dovede¸ste c˘ a spa¸tiul nu este omogen în cazul de fa¸ta˘. Analiza f˘ acut˘ a succint problemei cu bila de fier pare, la prima vedere, complet fals˘ a. Am neglijat în tot acest timp, în mod vizibil, prezen¸ta câmpului gravita¸tional al P˘ amântului. Putem comenta situa¸tia în dou˘ a moduri. Mai întâi, în cazul P˘ amântului, efectul gravita¸tiei este cunoscut, u¸sor depistabil în via¸ta de zi cu zi. Ce se întâmpl˘ a îns˘ a dac˘ a, alegând o alt˘ a zon˘ a a spa¸tiului fizic pentru experien¸tele noastre, ne vom afla în raza de ac¸tiune a unor câmpuri despre care nu ¸stim nimic ¸si care nu se dovedesc la fel de facil depistabile? Apoi, putem spune c˘ a, prin introducerea unui model matematic al SF , în particular cel având reperul canonic R dat de degetele mâinii drepte, alegem s˘ a axiomatiz˘ am, abstractiz˘ am, schematiz˘ am, etc. anumite fenomene fizice. Putem, în concluzie, asimila P˘ amântul în structura SF astfel încât el s˘ a nu ”se vad˘ a” de la nivelul degetelor. Înglobarea for¸tei gravita¸tionale în structura spa¸tiului este specific˘ a mecanicii relativiste a lui Einstein (cf. [76], p. 429, 432). R˘ amânând în cadrul mecanicii newtoniene, vom numi reper iner¸tial acel

106

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

sistem de referin¸ta˘ R în care modelul matematic al SF descris în primul capitol ¸si principiile mecanicii sunt aprioric valabile (cf. [34], p. 221, [32], p. 42, [54], p. 11). Nu exist˘ a, evident, reper cartezian care s˘ a poat˘ a fi privit ca un sistem de referin¸ta˘ riguros iner¸tial. În marea majoritate a problemelor de mecanic˘ a este ales ca sistem de referin¸ta˘ iner¸tial un triedru cu originea în centrul de mas˘a al sistemului solar (confundat aproape cu Soarele, cf. [76], p. 525) ¸si axele dirijate spre trei stele care ne apar fixe pe bolta cereasc˘ a (cf. [34], p. 429, [54], p. 11). Într-o prim˘ a aproxima¸tie, la problemele de zi cu zi, implicând corpuri de m˘ arime obi¸snuit˘ a ce se deplaseaz˘ a pe distan¸te mici, putem folosi un reper cartezian local, legat de P˘ amânt (aflat în repaus fa¸ta˘ de camer˘ a) (cf. [14], p. 7-8, [34], p. 433, [2], p. 4). A¸sa cum afirm˘ a profesorul C. Iacob, sensul mai profund al discu¸tiilor duse de Galilei împotriva adversarilor s˘ai, în leg˘atur˘a cu valabilitatea sistemului heliocentric al lui Copernic revine tocmai la discutarea problemei dac˘a un reper legat de centrul Soarelui s¸i cu axele de direc¸tii fixe poate fi socotit ca un reper iner¸tial sau dac˘a, din contr˘a, un reper cu originea în centrul P˘amântului s¸i cu axele de direc¸tii fixe ar avea aceast˘a proprietate (cf. [34], p. 429). O chestiune subsidiar˘ a celei a existen¸tei reperului iner¸tial se cuvine adus˘ a în discu¸tie. Am men¸tionat anterior faptul c˘ a, în mecanica newtonian˘ a, duratele evenimentelor ¸si lungimea obiectelor (distan¸tele) sunt independente de mi¸scarea instrumentelor de m˘ asur˘ a. Se poate pune, în mod logic, urm˘ atoarea întrebare. În ce fel afecteaz˘ a mi¸scarea unui reper cartezian, luat ca sistem de referin¸ta˘ într-o anumit˘ a problem˘ a de mecanic˘ a, principiile fundamentale pe care trebuie s˘ a le utiliz˘ am la rezolvarea problemei? În primul rând, conform [56], p. 84-85, ¸tinând seama de rela¸tiile de raportare (1.2), deducem invarian¸ta scrierii principiilor fundamentale ale mecanicii newtoniene atât cu vectori liberi cât ¸si cu vectori lega¸ti fa¸ta˘ de aplica¸tiile izometrice ale SF . Apoi, pe baza defini¸tiei dinamice a for¸tei, tragem concluzia c˘ a principiile fundamentale ale mecanicii newtoniene sunt invariante la mi¸scarea rectilinie uniform˘ a (ω = 0, vtransp = v0 ) a reperului cartezian R0 în care ele trebuie folosite fa¸ta˘ de un alt reper cartezian R, ”absolut” fix. Într-adev˘ ar, aplicând legea de compunere a accelera¸tiilor în mi¸scarea relativ˘ a, putem scrie c˘ a a = arel ,

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

107

de unde F = m · arel . Aceast˘ a invarian¸ta˘ a principiilor fundamentale ale mecanicii newtoniene poart˘ a denumirea de principiul relativit˘ a¸tii (Galilei, 1632; cf. [32], p. 50) în mecanica clasic˘ a. Profesorul O. Onicescu formuleaz˘ a principiul relativit˘ a¸tii astfel: informa¸tiile pe care ni le dau legile mecanicii despre pozi¸tia unui sistem material sunt insensibile la o transla¸tie rectilinie s¸i uniform˘a global˘a a universului care cuprinde în acela¸si timp obiectele s¸i reperul (cf. [56], p. 86). Cazul general (ω 6= 0) va fi dezvoltat ulterior. Rela¸tiile (vezi (2.25)) ½ AM = OM − r0 − v 0 · t0 t0 = t − t0 , care fac trecerea de la R la R0 , se numesc transform˘arile Galilei (cf. [32], p. 48, [34], p. 226, [76], p. 503). A¸sadar, principiile fundamentale ale mecanicii sunt invariante la transform˘arile Galilei iar reperele iner¸tiale (în ipoteza existen¸tei a m˘acar unuia) se mi¸sc˘a unul fa¸t˘a de cel˘alalt rectiliniu uniform (cf. [32], p. 49, 50).

2.2.4

Impulsul punctului material. Teorema impulsului

Din (2.74), ¸tinând seama de independen¸ta masei m fa¸ta˘ de timp, rezult˘ a c˘ a

d(m · v) dv = . dt dt → → Vectorul − p ∈ TM R3 , − p ∈ p, unde p = m · v, poart˘ a denumirea de impulsul punctului material M. O formulare echivalent˘ a a principiului fundamental al dinamicii este dat˘ a de rela¸tia F =m·a=m·

→ p − → d− F = . dt

(2.80)

Sub aceast˘ a form˘a (for¸ta aplicat˘ a unui corp punctiform reprezint˘ a varia¸tia impulsului acestuia pe unitatea de timp; cf. [56], p. 59), principiul fundamental al dinamicii poate fi folosit în mecanici avansate, de exemplu,

108

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

în mecanica relativist˘ a (cf. [32], p. 225), unde masa nu mai reprezint˘ a, în general, o m˘ arime constant˘ a (cf. [54], p. 10). No¸tiunea de impuls a fost introdus˘ a de Leonardo da Vinci ¸si Galilei sub numele de ”impetus” (cf. [76], p. 375). Newton folose¸ste denumirea de ”cantitate de mi¸scare” (cf. [34], p. 227, [54], p. 9). C˘ autând o m˘asur˘a a mi¸sc˘ arii mecanice, Descartes (1644) introduce m˘ arimea m · v (cf. [76], p. 384, [32], p. 59). Integrând (2.80), avem (ε > 0) tZ0 +ε

F dt = ∆p.

(2.81)

t0 −ε

M˘ arimea din membrul stâng al egalit˘ a¸tii anterioare, numit˘ a percu¸tie (per− → cusiune, impuls) a for¸tei F atunci când intervalul de timp ∆t pe care are loc integrarea este foarte ”mic” (cf. [32], p. 52, [76], p. 400, [54], p. 15), se noteaz˘ a cu H. Astfel, are loc teorema impulsului: impulsul (percu¸tia) for¸tei rezultante aplicate punctului material este egal cu varia¸tia impulsului acestuia (cf. [32], p. 53, [34], p. 616). În cazul punctului material liber, principiul iner¸tiei arat˘ a c˘ a p = constant.

(2.82)

(cf. [54], p. 9). Formula (2.81) se utilizeaz˘ a în teoria ciocnirilor, acolo unde apar restric¸tii de netezime a parametrilor cinematici (cf. [32], p. 53, [54], p. 15, [34], p. 616-617): H = lim

ε&0

tZ0 +ε

F dt

t0 −ε

= m · v(t0 + 0) − m · v(t0 − 0).

2.2.5

Momentul for¸tei. Momentul cinetic (orbital) al punctului material. Teorema momentului cinetic

Formula care d˘ a teorema momentului cinetic va fi ob¸tinut˘ a în dou˘ a etape. Mai întâi, pornind de la (2.74), putem scrie "Ã Ã ·! ·! µ ¶# dr · dr dr =m + ×r r × ma = m r × r× dt dt dt

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

109

·´ d ³ d = m· r× r = (r × mv) dt dt d = (r × p) dt

¸si d (r × p) = r × F . dt

(2.83)

Apoi, pentru A ∈ E3 ales arbitrar, avem, conform (2.25), r × p = OA × p + AM × p r × F = OA × F + AM × F . Pe baza formulei (2.83), prin derivarea în raport cu timpul t a primeia dintre egalit˘ a¸tile precedente, deducem c˘ a · ¢ d ¡ AM × p + vA × p + OA× p= OA × F + AM × F , dt

unde v A reprezint˘ a vectorul-vitez˘ a al punctului (mobil) A. Folosind (2.80), ajungem la ¢ d ¡ AM × p = AM × F − v A × p. dt

(2.84)

− → No¸tiunea de moment al for¸tei F pleac˘ a de la urm˘ atorul experiment u¸sor de imaginat. S˘ a consider˘ am, ca în Figura 2.12, un corp solid rigid (bar˘ a, roat˘ a, piatr˘ a, etc) care se poate roti liber în jurul unei axe verticale. Se pune problema m˘asur˘arii rota¸tiei acestui corp atunci când ac¸tion˘ am cu o anumit˘ a for¸ta˘ asupra sa (în punctul M).

Figura 2.12

110

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

− → − → a denuVectorul MO ∈ TO R3 , MO ∈ MO , unde MO = OM × F , poart˘ − → mirea de momentul for¸tei F (aplicat˘a în M) fa¸t˘a de polul O. Distan¸ta de la polul O la dreapta ∆ determinat˘ a de punctul M ¸si de vectorul (director) F ¯ ¯ − → se nume¸ste bra¸tul for¸tei F (cf. [32], p. 54). Evident, ¯MO ¯ = rF sin α = F b, unde b desemneaz˘ a bra¸tul for¸tei. Fie A ∈ ∆ ales arbitrar. Atunci, MO = (OA + AM) × F = OA × F ,

(2.85)

− → vectorii AM, F fiind coliniari. Cu alte cuvinte, aplicând for¸ta F în punctul A se ob¸tine acela¸si efect de rota¸tie ca în cazul aplic˘ arii for¸tei în punctul M, fenomen verificabil în mod direct. Calculul anterior dovede¸ste, pe de alt˘ a parte, necesitatea unor informa¸tii suplimentare (în afara m˘ arimii F ) atunci când ne referim la o for¸ta˘ aplicat˘ a asupra unui corp (mul¸time de puncte) (cf. [34], p. 26-27). La aceast˘ a chestiune vom reveni ulterior. − → No¸tiunea de moment al for¸tei F a fost dat˘ a riguros de P. Varignon. Sub denumirea de ”momento”, ea apare la Leonardo da Vinci (cf. [76], p. 12). În mod analog, putem defini momentul oric˘ arui vector legat. Astfel, mo− → − → mentul vectorului p fa¸ta˘ de polul O, notat L O , se nume¸ste moment cinetic (unghiular) al punctului material M fa¸t˘a de punctul O (cf. [54], p. 16). Se folose¸ste ¸si apelativul moment cinetic orbital (extern), fiind vorba de o m˘ arime care caracterizeaz˘ a mi¸scarea corpului punctiform pe traiectorie (orbit˘ a) (cf. [32], p. 55). Integrând (2.83), avem (ε > 0) not

KO =

tZ0 +ε

MO dt = ∆LO ,

(2.86)

t0 −ε

− → unde LO = r × p, L O ∈ LO . Astfel, are loc teorema momentului cinetic: impulsul momentului fa¸t˘a de polul O al for¸tei rezultante aplicate punctului material este egal cu varia¸tia momentului cinetic al acestuia fa¸t˘a de punctul O (cf. [32], p. 55). În cazul punctului material liber putem scrie (F , MO = 0) LO = constant. Ca ¸si anterior, atunci când apar restric¸tii de netezime a parametrilor

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

111

cinematici, sunt valabile egalit˘ a¸tile K O = lim

ε&0

tZ0 +ε

MO dt

t0 −ε

= r(t0 ) × p(t0 + 0) − r(t0 ) × p(t0 − 0) = ∆LO (cf. [34], p. 618). În cazul mi¸sc˘ arii plane, aplicând metoda transform˘ arii Pr˝ufer, ob¸tinem c˘ a · − → − → − → L O = mr2 θ · k = 2m Ω (2.87) (cf. [32], p. 126, [34], p. 233-234, [63], p. 300). În cazul mi¸sc˘ arii circulare uniforme (ε = 0) avem, conform (2.74), F = −mR0 ω 2 · ρ = −mω 2 r, ceea ce ne conduce la (MO = 0) LO = constant. Formula (2.84) reprezint˘ a o variant˘a a teoremei momentului cinetic dat˘ a fa¸ta˘ de un punct mobil: dLA = MA − v A × p dt (cf. [34], p. 229).

2.2.6

Lucrul mecanic. Puterea

În mod evident, for¸tele sunt responsabile pentru mi¸scarea corpurilor materiale (cf. [25], p. 7). O m˘asur˘a a efectului de mi¸scare mecanic˘ a pe care − → îl are aplicarea for¸tei F asupra punctului material M este dat˘ a de m˘ arimea infinitezimal˘ a F · dr, (2.88) − → numit˘ a lucru mecanic elementar al for¸tei F relativ la deplasarea elementar˘a → d− r (cf. [34], p. 235, [76], p. 376, [63], p. 292, [2], p. 213, etc) a punctului → material. Folosim nota¸tia d− r pentru a desemna deplasarea infinitezimal˘ aa − → punctului material în locul celei generale, δ r , cf. [56], p. 31, dat fiind c˘ ad

112

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

r, unde r = r(t), este o m˘ arime integrabil˘ a (în raport cu timpul t) (cf. [56], p. 55, 64, [76], p. 746). M˘ arimea (2.88), notat˘ a δW , este influen¸tat˘a numai de componenta tan− → gen¸tial˘a a for¸tei F (L. Euler, cf. [32], p. 56, [76], p. 377). Într-adev˘ ar, cum for¸ta se g˘ase¸ste în planul osculator al mi¸sc˘arii (vezi (2.74)), avem · F =Fτ ·τ +Fν ·ν. De asemeni, dr = v(t)dt =s τ dt, astfel c˘ a F · dr = Fτ vdt. Aceast˘ a observa¸tie st˘ a la baza principiului lucrului mecanic virtual din mecanica analitic˘ a (cf. [76], p. 758-761). Asupra sa vom reveni ulterior. Expresia δW = F (t, r, v)dr reprezint˘ a o cantitate diferen¸tial˘ a (infinitezimal˘ a) general˘ a, numit˘ a form˘a Pfaff (pfaffian) (cf. [76], p. 404), care nu este întotdeauna exact˘a (integrabil˘ a). S˘ a justific˘ am aceast˘ a afirma¸tie. Am spus deja c˘ a sistemul diferen¸tial (2.78) admite solu¸tie unic˘ a în [t0 , +∞), deci c˘ a exist˘ a m˘ arimile netede r = r(t), v = v(t). Astfel, la prima vedere, m˘ arimea δW = F (t, r, v)dr = F (t, r(t), v(t)) · v(t)dt este integrabil˘ a. Îns˘ a, pe de alt˘ a parte, chiar în cazul ”simplu” al mi¸sc˘ arii rectilinii sub − → ac¸tiunea for¸tei F , integrarea efectiv˘a a ecua¸tiei diferen¸tiale ··

x=

1 · · F (t, x, x) = f (t, x, x), t > t0 , m

nu se poate realiza. Ca s˘ a d˘ am un exemplu elocvent, ecua¸tia diferen¸tial˘ a liniar˘ a ¸si omogen˘ a de ordinul al II-lea ··

·

x +a(t) x +b(t)x = 0, t > t0 , este echivalent˘ a cu ecua¸tia Riccati ·

u +u2 + a(t)u + b(t) = 0, t > t0 , ·

conform [46], p. 30, pe baza schimb˘ arii de variabil˘ a x /x = u. Numai c˘ a solu¸tiile ecua¸tiilor Riccati nu pot fi, în general, exprimate prin cvadraturi de func¸tii elementare (cf. [72], p. 52). Fire¸ste, în cazul func¸tiilor a(t), b(t) analitice, exist˘ a posibilitatea ob¸tinerii unor solu¸tii aproximative prin metoda dezvolt˘ arii în serie de puteri. Cunoa¸sterea, de asemeni, a unei integrale

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

113

(solu¸tii) particulare, permite g˘ asirea solu¸tiilor (cf., de exemplu, [76], p. 857858). Cele spuse mai sus justific˘ a afirma¸tia privind neintegrabilitatea de facto a m˘ arimii F · dr. Pentru a scoate în eviden¸ta˘ gradul de generalitate al acesteia, am ”for¸tat” nota¸tiile, apelând la δW în locul lui dW cum ar fi fost corect d. p. d. v. matematic. În cazul când punctul material M se deplaseaz˘ a pe curba simpl˘ a Γ între − → a un câmp pozi¸tiile M(t0 ) ¸si M(t1 ) sub ac¸tiunea for¸tei F , unde F reprezint˘ de vectori în SF , lucrul mecanic total corespunz˘ ator deplas˘ arii este dat de integrala curbilinie

W=

M(t Z 1)

F · dr =

M(t0 )

Z

Fx dx + Fy dy + Fz dz

M(t0 )M(t1 )

− → (cf. [34], p. 236, [76], p. 378). O asemenea for¸ta˘ F se nume¸ste for¸t˘a de câmp (cf. [32], p. 65). Evident, integrala curbilinie de mai sus depinde de orientarea curbei (sensul de parcurs pe curb˘ a) (cf. [76], p. 379). În general, lucrul mecanic total va fi desemnat prin

W =

Zt1

F · v dt.

t0

M˘ arimea P (t) introdus˘ a de formula   t Z d P (t) =  F · v dq = F · v dt t0

− → se nume¸ste puterea dezvoltat˘a de for¸ta F la momentul t (cf. [32], p. 57, [63], p. 295). În mod analog, P =Fτ v. No¸tiunea de lucru mecanic (”travail”) este introdus˘ a în 1835 de Prony în − → leg˘ atur˘ a cu for¸ta de greutate G . Ulterior, G. Coriolis utilizeaz˘ a no¸tiunea de lucru mecanic ¸si în cazul altor for¸te (cf. [76], p. 557).

114

2.2.7

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Energia cinetic˘ a a punctului material. Teorema energiei cinetice

Pornind iar˘ a¸si de la (2.80), avem d (mv) · dr dt d = (mv) · v dt dt µ ¶ d 1 2 mv dt = dt 2 1 = d( mv2 ). 2

F · dr =

De unde, W =

¶ 1 2 mv . F · dr = ∆ 2

M(t Z 1)

M(t0 )

µ

(2.89)

M˘ arimea

1 Ec = mv 2 2 se nume¸ste energia cinetic˘a a punctului material M. Astfel, are loc teorema (varia¸tiei) energiei cinetice: lucrul mecanic efectuat de for¸ta rezultant˘a aplicat˘a punctului material între momentele t = t0 s¸i t = t1 este egal cu varia¸tia energiei cinetice a punctului material între aceste momente (cf. [32], p. 58, [34], p. 235, [76], p. 404). Formula (2.89) poate fi scris˘ a sub forma Ec (t0 ) + W = Ec (t1 ),

(2.90)

egalitate care exprim˘ a, în particular, faptul c˘ a energia cinetic˘a a corpului punctiform este egal˘a cu lucrul mecanic ”cheltuit” pentru a aduce particula din repaus pân˘a la viteza v sau cu lucrul mecanic necesar pentru a opri particula (cf. [32], p. 58-59). No¸tiunea de energie cinetic˘a a ap˘ arut ca urmare a încerc˘ arilor de a g˘ asi o m˘asur˘a (scalar˘a) a mi¸sc˘arii mecanice. Forma acestei m˘ asuri era ini¸tial mv (Descartes), apoi mv2 (”vis viva”, for¸ta˘ vie) ¸si ulterior 12 mv2 . Numele de ”for¸ta˘ vie” apare pentru prima oar˘ a în 1695, la Leibniz. Titulatura de ”energie cinetic˘ a” a fost introdus˘ a dup˘ a 1850 de Thomson, Rankine ¸si Umov.

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

115

Forma actual˘ a a energiei cinetice a fost dat˘ a de Rankine (cf. [76], p. 384, 556, [34], p. 235, [32], p. 59). Din (2.90) reiese c˘ a lucrul mecanic W poate fi pozitiv (lucru mecanic motor), negativ (lucru mecanic rezistent) sau nul.

2.2.8

Legi de conservare (I)

S˘ a consider˘ am dou˘ a puncte materiale, de mase m1 , m2 ¸si raze vectoare r1 , r2 , aflat suficient de departe de orice alte puncte materiale ca acestea s˘ a nu le influen¸teze, practic, mi¸scarea mecanic˘ a. Punctele materiale interac¸tioneaz˘ a − → − → prin intermediul for¸telor F 1 , F 2 , conform principiului ac¸tiunii ¸si reac¸tiunii, unde F 1 + F 2 = 0. Aplicând teorema impulsului fiec˘ aruia dintre punctele materiale, ob¸tinem Zt1

t0

F 1 dt = ∆(m1 v 1 )

Zt1

F 2 dt = ∆(m2 v2 ).

t0

a De unde, prin sumare, avem c˘ a ∆(m1 v1 + m2 v2 ) = 0, adic˘ m1 v 1 + m2 v2 = constant. Se produce, a¸sadar, un transfer de impuls de la un corp punctiform la cel˘alalt, realizat prin intermediul for¸tei, în procesul interac¸tiunii, cu p˘ astrarea constant˘ a a m˘ arimii totale p1 + p2 (cf. [32], p. 53). Cu alte cuvinte, teorema impulsului exprim˘ a o lege de conservare a mi¸sc˘arii mecanice. În continuare, s˘ a consider˘ am c˘ a are loc situa¸tia descris˘ a în Figura 2.13.

Figura 2.13

116

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Aici, O reprezint˘ a originea reperului iner¸tial R. Teorema momentului cinetic ne conduce la Zt1 Zt1 OM 1 × (F 1 + F 3 )dt = ∆L1 OM 2 × (F 2 + F 4 )dt = ∆L2 , t0

t0

de unde, prin sumare, avem c˘ a Zt1 ¡ ¢ ∆(L1 + L2 ) = OM 1 × F 1 + OM 2 × F 2 dt t0

=

Zt1

t0

=

Zt1

t0

=

Zt1

¡ £ ¢¤ OM 1 × F 1 + OM 2 × −F 1 dt ¡ ¢ OM 1 − OM 2 × F 1 dt M2 M 1 × F 1 dt = 0.

t0

În concluzie, L1 + L2 = constant. Deci, se produce un transfer de moment cinetic de la o particul˘a la cealalt˘a, prin intermediul for¸tei, în procesul interac¸tiunii, cu p˘ astrarea constant˘ a a m˘ arimii totale L1 + L2 (cf. [32], p. 56). Astfel, teorema momentului cinetic exprim˘ a o lege de conservare a mi¸sc˘arii mecanice. Existen¸ta m˘ arimii mecanice impuls ¸si a legii de conservare a impulsului este legat˘ a de proprietatea de omogenitate a spa¸tiului fizic. Existen¸ta m˘ arimii mecanice moment cinetic ¸si a legii de conservare a momentului cinetic ¸tine de proprietatea de izotropie a spa¸tiului fizic. În sfâr¸sit, m˘ arimea mecanic˘ a energie cinetic˘a ¸si legea de conservare a energiei cinetice sunt în leg˘ atur˘ a cu proprietatea de omogenitate a timpului (cf. [32], p. 53, 56, 59). Subsec¸tiunea urm˘ atoare are un caracter auxiliar, cititorul nefiind obligat s˘ ao parcurg˘ a la prima lectur˘ a. Rolul s˘ au este pur ilustrativ ¸si anume acela de a insista asupra leg˘aturii fundamentale dintre m˘ arimile mecanice definite pân˘ a acum ¸si modelul matematic al spa¸tiului ¸si timpului. Argumentele folosite în subsec¸tiunea urm˘ atoare apar¸tin mecanicii hamiltoniene, complet formalizat˘ a matematic.

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

2.2.9

117

Legi de conservare (II)

S˘ a consider˘ am punctul material M, presupus liber (adic˘ a, în absen¸ta ac¸tiunii vreunei for¸te, cf. [41], p. 12) fa¸ta˘ de reperul iner¸tial R. Plecând de ·

la (2.79), prin înmul¸tire cu r, ob¸tinem ¶ ¶ µ µ ·· · d 1 2 d 1 ·2 v r =m mr·r = m dt 2 dt 2 ¶ µ d 1 2 mv = 0. = dt 2

Prin integrare în raport cu timpul t ajungem la rela¸tia 1 2 mv = constant. 2

(2.91)

Semnifica¸tia energetic˘a a m˘ arimii din membrul stâng al (2.91) a fost deja stabilit˘ a. În sine, calculul de mai sus este simplu. S˘ a ne gândim doar ce ar însemna s˘ a utiliz˘ am, în locul produsului scalar euclidian, un produs scalar de tipul (2.49). Aceasta este numai una dintre complica¸tiile pe care modelul matematic al SF adoptat în capitolul întâi le evit˘ a. Fire¸ste, tot aici se g˘ ase¸ste baza anumitor limit˘ ari ale mecanicii newtoniene. În esen¸ta˘, principiul iner¸tiei a c˘ ap˘ atat formularea echivalent˘ a (2.91), care reprezint˘ a o lege de conservare, adic˘ a, o rela¸tie ce statuteaz˘ a constan¸ta unei m˘ arimi scalare caracterizând starea mecanic˘ a a punctului material. Dorim, în cele ce urmeaz˘ a, s˘ a scoatem în eviden¸ta˘ leg˘atura profund˘ a dintre modelul matematic al spa¸tiului ¸si timpului ¸si principiile mecanicii newtoniene (cf. [56], p. 56). Acestea fiind stabilite plecând de la o serie de experien¸te (cum ar fi, de exemplu, cea a lans˘ arii unei bile pe un plan orizontal perfect lucios, cf. [34], p. 444), este evident c˘ a locul experimentului intervine ”subtil” în formule. S˘ a consider˘ am o mul¸time finit˘ a alc˘ atuit˘ a din puncte materiale pe care o caracteriz˘ am din punct de vedere mecanic cu ajutorul m˘ arimilor q = (q1 , ..., qs ) ·

·

·

·

q = (q 1 , ..., qs ).

Cantit˘ a¸tile qi , q i , convenabil alese, se numesc coordonate, respectiv viteze generalizate. De exemplu, în cazul mi¸sc˘ arii plane a punctului material,

118

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL ·

·

m˘ arimile r, θ, r, θ (cf. [54], p. 72). Nu întotdeauna avem nevoie s˘ a uti· · · liz˘ am efectiv m˘ arimile x, y, z, x, y , z (cf. [73], p. 500-501). Atunci, pe baza expunerii f˘ acute în [41], p. 7-33, [54], p. 52-60, sistemul mecanic definit de mul¸timea de puncte materiale are starea mecanic˘a dat˘ a de func¸tia · L = L(t, q, q), (2.92) indiferent de complexitatea ei. M˘ arimea L poart˘ a denumirea de func¸tia lui J. Lagrange (lagrangian) a sistemului mecanic. Este întâlnit˘ a ¸si denumirea specializat˘ a de poten¸tial cinetic (cf. [76], p. 788, [73], p. 510). Între dou˘ a pozi¸tii, corespunzând momentelor t = t1 ¸si t = t2 , mi¸scarea sistemului mecanic este dat˘ a de ac¸tiunea general˘ a S=

Zt2

·

L(t, q, q)dt.

t1

Experien¸ta dezv˘ aluie c˘ a, în mod natural, corpurile sunt ”lene¸se”, adic˘ a au tendin¸ta s˘ a fac˘ a, în desf˘ a¸surarea ac¸tiunii, modific˘ ari cât mai mici cu putin¸t˘a st˘ arii lor mecanice. Condi¸tiile de minim care trebuie, a¸sadar, impuse varia¸tiilor m˘ arimilor ce definesc starea mecanic˘ a a corpurilor sunt stabilite într-un mod asem˘ an˘ ator determin˘ arii punctelor critice ale unei func¸tii. Astfel, ca s˘ a aib˘ a un corespondent în realitate, m˘ arimea L verific˘ a (plecând de la δS = 0) ecua¸tiile Euler-Lagrange date mai jos ! Ã d ∂L ∂L − = 0, i = 1, s. (2.93) · dt ∂ q ∂qi i

Modalitatea de a stabili rela¸tiile (2.93) este prezentat˘ a cu extrem˘ a elegan¸ta˘ în [29], p. 349 ¸si urm˘ atoarele, [71], [70], p. 205 ¸si urm˘ atoarele. S˘ a consider˘ am cazul particular al unui punct material liber. Teoretic, acesta poate ocupa orice pozi¸tie în SF ¸si poate avea orice vitez˘ a (constant˘ a). p · · · P · y x2 , ¸si q = (x, y , z) ≡ Atunci, q = (x, y, z) ≡ (r, xr , r , zr ), unde r = q · · · P ·2 x . M˘ (v, xv , yv , vz ), unde v = arimile x y z ρ= ·i+ ·j+ ·k r r r

·

·

·

y x z τ = ·i+ ·j+ ·k v v v

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

119

desemneaz˘ a versorii vectorilor r, v. Impunem ca lagrangianul L al punctului material liber s˘ a reflecte omogenitatea spa¸tiului ¸si timpului ¸si izotropia spa¸tiului. Adic˘ a, m˘ arimea L s˘ a nu depind˘ a explicit de t, de unde ∂L = 0, ∂t de pozi¸tia punctului material, de unde ∂L ∂L ∂L ∂L = ¡x¢ = ¡y¢ = ¡z ¢ = 0 ∂r ∂ r ∂ r ∂ r

¸si de versorul τ (acesta, legat într-un punct al SF , se poate roti), de unde

∂

∂L ³·´ = x v

∂L ∂L ³ · ´ = ³ · ´ = 0. ∂ vz ∂ yv

În concluzie, L = L(v) (cf. [41], p. 13). Pentru simplificarea calculului, consider˘ am L = L(v2 ). Ecua¸tiile (2.93) devin în acest caz d ³ 0 2 ·´ d ³ 0 2 ·´ d ³ 0 2 ·´ (2.94) L (v )· x = 0 L (v )· y = 0 L (v )· z = 0. dt dt dt

Înainte de a trece mai departe, se cuvine observat c˘ a formulele (2.93) r˘ amân nemodificate dac˘ a înlocuim lagrangianul L cu m˘ arimea ·

L∗ = L + C j · q j , unde C j , j = 1, s, sunt constante. Impunem ca lagrangianul L al punctului material s˘ a reflecte ¸si relativitatea Galilei. Aceasta înseamn˘ a, cu alte cuvinte, ca ecua¸tiile ce caracterizeaz˘ a mi¸scarea mecanic˘ a, ¸si anume (2.93) (cf. [41], p. 10), s˘ a nu fie influen¸tate de mi¸sc˘ arile rectilinii uniforme ale reperului R0 în care avem de rezolvat o problem˘ a oarecare de mecanic˘ a teoretic˘ a fa¸ta˘ de reperul R ”absolut” fix. Dându-se o varia¸tie infinitezimal˘ a a vectorului-vitez˘ a al punctului material v ∗ = v + δv = v + ε1 · i + ε2 · j + ε3 · k,

(2.95)

120

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

unde εi = o(1), i = 1, 3, putem scrie c˘ a 2

2

L(v∗ ) = L(v ∗ ) ¢ ¢ ¡ ¡ = L v 2 + 2v · δv + (δv)2 = L v 2 + 2v · δv = L(v 2 ) + L0 (v 2 ) · (2v · δv) . Am liniarizat expresia lui L, neglijând termenii infinitezimali de ordinul al doilea. Dac˘ a m˘ arimea L0 (v 2 ) ar fi constant˘ a, adic˘ a L0 (v 2 ) = C, atunci ·

L0 (v 2 ) · (2v · δv) = 2C · εj · q j . Astfel, privind egalitatea (2.95) ca o lege de compunere a vitezelor (mi¸sc˘ arii caracterizate de v i se adaug˘ a o mi¸scare rectilinie uniform˘ a infinitezimal˘ a (instantanee) δv, vezi comentariul 2) de la p. 92), deducem c˘ a lagrangianul L (”considerat” în R0 ) se modific˘ a în R dup˘ a formula ·

L∗ = L + 2C · εj · qj , p˘ astrând intacte ecua¸tiile de mi¸scare. În concluzie, pe baza rela¸tiei L0 (v 2 ) = C, deducem c˘ a func¸tiile L = Cv2 pot fi lagrangieni ai punctului material liber. În particular, m˘ arimea 1 L = mv2 2

(2.96)

este lagrangianul punctului material liber M. Formula sa t¸ine seama de propriet˘at¸ile de omogenitate s¸i izotropie ale spa¸tiului, de omogenitatea timpului, de invarian¸ta masei m fa¸t˘a de timp ori vitez˘a, ca s¸i de principiul relativit˘at¸ii. Aici, masa m a fost introdus˘ a în calitatea sa de caracteristic˘ aa 1 corpului punctiform. Coeficientul 2 joac˘ a un rol de ”calibrare” (cf. [41], p. 11, 16). Rela¸tiile (2.94), aplicate m˘ arimii (2.96), ne conduc la ·

·

·

x, y , z = constant, adic˘ a v = constant. Mi¸scarea punctului material liber poate fi, a¸sadar, doar → rectilinie, vectorul − v ∈ v fiind tangent la traiectorie.

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

121

În acest sens trebuie în¸teleas˘ a no¸tiunea de reper iner¸tial (galilean): adic˘ a, un sistem de referin¸ta˘ în care propriet˘ a¸tile spa¸tiului ¸si timpului concur˘a la valabilitatea principiilor fundamentale ale mecanicii (cf. [41], p. 12-13, [54], p. 11). S˘ a consider˘ am acum sistemul mecanic format din n puncte materiale, de mase mi ¸si raze vectoare ri , aflate suficient de departe de orice alte puncte materiale pentru ca acestea s˘ a nu le afecteze starea mecanic˘ a (de exemplu, prin inducerea unui câmp gravita¸tional). Pe baza unor considera¸tii asem˘ an˘ atoare celor precedente, introducem lagrangianul sistemului mecanic prin formula L=

n X mi v 2 i

i=1

(cf. [41], p. 17). M˘ arimea T =

n P

i=1

2

− V (r1 , r2 , ...)

mi vi2 2

(2.97)

poart˘ a denumirea de energie cinetic˘a

a sistemului mecanic, iar m˘ arimea V , care caracterizeaz˘ a interac¸tiunea celor n puncte materiale, se nume¸ste energie poten¸tial˘a a sistemului mecanic. În formula lagrangianului L se reflect˘ a dou˘ a propriet˘ a¸ti fundamentale ale mecanicii clasice: 1) Interac¸tiunea corpurilor punctiforme apar¸tinând unui sistem mecanic închis (neinfluen¸tat de exterior) este instantanee (fapt deja men¸tionat la principiul ac¸tiunii s¸i reac¸tiunii) (cf. [41], p. 17). 2) Orice mi¸scare mecanic˘ a în cadrul sistemului mecanic închis este reversibil˘a (cf. [41], p. 18). S˘ a d˘ am o justificare a reversibilit˘ a¸tii mi¸sc˘ arii mecanice independent˘ a de caracterizarea cu ajutorul func¸tiilor lui Lagrange a st˘ arii mecanice. Pentru aceasta, presupunem c˘ a în (2.77) avem F = F (r). Un asemenea formalism înglobeaz˘ a numeroase situa¸tii întâlnite în via¸ta de zi cu zi. Not˘ am solu¸tia problemei Cauchy (2.77) cu u, unde (r(t), v(t)) = u (t; t0 , (r0 , v0 )) , t ∈ R. Fie t1 < t0 ¸si u (t1 ; t0 , (r0 , v0 )) = (r1 , v1 ) . F˘ acând schimbarea de variabil˘ a t∗ = t0 + t1 − t, cum r(t) = r(t0 + t1 − (t0 + t1 − t)), au loc rela¸tiile ( · ∗ dr 1 −t ) =r (t) · d(t0 +t = −v(t) ∗ dt∗ dt d2 r = a(t). dt∗2

122

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL ··

Ecua¸tia diferen¸tial˘ a vectorial˘ a m· r= F (r) devine în urma acestei transform˘ ari d2 r m · ∗2 = F (r), t∗ < t0 . dt ∗ a mi¸scarea inversat˘ a a punctuSolu¸tia sa u (t ; t1 , (r0 , −v 0 )) caracterizeaz˘ lui material: u (t0 ; t1 , (r0 , −v0 )) = (r1 , −v1 ) (cf. [56], p. 61). Justificarea reversibilit˘ a¸tii mi¸sc˘ arii s-a încheiat. Astfel, la propriet˘ a¸tile deja men¸tionate ale timpului t, admise de mecanica clasic˘ a, se adaug˘ a cea de izotropie. Conform ei, timpul ”curge” la fel în a, ambele sensuri (cf. [41], p. 17, [54], p. 8). Legea t∗ = t0 + t1 − t fiind afin˘ ∗ m˘ arimea t are semnifica¸tia de timp (cf. [56], p. 56). Expresia (2.97) adoptat˘ a pentru lagrangianul L al sistemului mecanic face ca ecua¸tiile de mi¸scare (2.93) s˘ a nu se modifice în urma schimb˘ arii de variabil˘ a t 7−→ C − t, unde C ∈ R. De asemeni, formulele (2.93) devin ¶ µ d ∂L ∂L = , i = 1, n. (2.98) dt ∂v i ∂ri , unde u = u1 · i + u2 · j + u3 · k, desemneaz˘ a o derivat˘ a Aici, m˘ arimea ∂f ∂u eulerian˘a (gradient) a scalarului f : ∂f ∂f ∂f def ∂f = ·i+ 2 ·j+ 3 ·k 1 ∂u ∂u ∂u ∂u ¡ ¢ ¡ ¢ ∂ 1 ∂ 1 2 2 mv mv = = mv. (cf. [76], p. 870). Evident, ∂v 2 ∂v 2 Introducând (2.97) în (2.98), ob¸tinem c˘ a mi

∂V dvi =− dt ∂ri

(2.99)

sau, echivalent, mi · ai = F i , i = 1, n,

− → a for¸ta cu care sistemul ac¸tioneaz˘ a asupra unde m˘ arimea F i ∈ F i reprezint˘ celui de-al i−lea punct material din componen¸ta sa (cf. [41], p. 18). Ca ¸si în cazul punctului material liber caracterizat de legile de conservare a mi¸sc˘ arii mecanice (2.82), (2.91), vom ar˘ ata c˘ a au loc anumite legi de conservare a mi¸sc˘ arii sistemului mecanic.

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

123

Mai întâi, plecând de la (2.92), impunem ca lagrangianul L al sistemului mecanic închis s˘ a reflecte omogenitatea timpului, adic˘ a s˘ a nu depind˘ a explicit · de m˘ arimea t: L = L(q, q ). Atunci, Ã ! n dL X ∂L · ∂L ·· = · qi + · · qi . dt ∂q i ∂q i=1 i

Tinând ¸ seama de (2.93), avem c˘ a " Ã ! # n X · dL d ∂L ·· ∂L · qi + · · qi = · dt dt q ∂ ∂ qi i=1 i ! Ã n X d · ∂L qi · · , = dt ∂q i=1 i

de unde d dt M˘ arimea E=

à n X i=1

n X i=1

·

·

qi ·

qi ·

∂L ·

∂ qi

∂L ·

∂ qi

!

−L

= 0.

− L = constant

se nume¸ste energia mecanic˘a (total˘a) a sistemului mecanic închis (cf. [41], = 0 pentru expresia lagrangianului L p. 24, [54], p. 58). Evident, avem ∂L ∂t dat˘ a de (2.97), de unde, ¸tinând seama de (2.99), deducem în mod analog c˘ a E = 2T − L = T + V. Impunem acum ca lagrangianul L dat de (2.97) s˘ a reflecte omogenitatea spa¸tiului. Astfel, considerând varia¸tia infinitezimal˘ a a razelor vectoare ri : r∗i = ri + δri = ri + ε1 · i + ε2 · j + ε3 · k, unde εj = o(1), j = 1, 3, avem δL =

n X ∂L i=1

∂ri

· δri = ε ·

n X ∂L i=1

∂ri

.

124

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Aici, ε = ε1 · i + ε2 · j + ε3 · k. Formula a fost ob¸tinut˘ a prin liniarizarea expresiei lui L, neglijându-se termenii infinitezimali de ordinul al doilea. Deoarece ε este luat arbitrar, ob¸tinem ! Ã n n X ∂L (2.98) d X ∂L 0 = = ∂r dt ∂v i i i=1 ! i=1 Ã n d X mi vi . = dt i=1 M˘ arimea p=

n X

mi vi = constant

i=1

se nume¸ste impulsul total al sistemului mecanic închis (cf. [41], p. 26, [54], p. 59). Egalitatea 0 = =

n X ∂L i=1 n X

∂ri

=−

n X ∂V i=1

∂ri

Fi

i=1

arat˘ a c˘ a, în cazul sistemului mecanic alc˘ atuit din n = 2 puncte materiale, este valabil principiul ac¸tiunii s¸i reac¸tiunii: F 1 + F 2 = 0. În final, impunem ca lagrangianul L dat de (2.97) s˘ a reflecte izotropia spa¸tiului. Astfel, considerând rota¸tia infinitezimal˘ a (2.38), avem δri = δα × ri

δv i = δα × v i ,

r∗i = ri + δri

v ∗i = vi + δvi .

adic˘ a Din nou, prin liniarizarea expresiei lui L, ajungem la ¶ n µ X ∂L ∂L δL = · δri + · δv i ∂ri ∂vi i=1

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

125

¶ ¸ µ n · X d ∂L · δri + mi vi · δv i = dt ∂v i i=1 n ³ ´ X · = pi ·δri + pi · δv i , (2.98)

i=1

a impulsul celui de-al i−lea punct material al sisunde pi = mi vi reprezint˘ temului mecanic. Tinând ¸ seama de propriet˘ a¸tile produsului mixt, putem scrie c˘ a ³ · · · ´ pi ·δri = pi · (δα × ri ) = δα · ri × pi ·

pi · δvi = pi · (δα × v i ) = δα · (vi × pi ) .

Apoi, n ³ ´ X · ri × pi +vi × pi δL = δα · i=1

d = δα · dt

à n X i=1

!

ri × pi .

Deoarece δα este luat arbitrar, ob¸tinem ! Ã n d X 0= ri × pi . dt i=1 M˘ arimea L=

n X i=1

ri × pi = constant

poart˘ a denumirea de moment cinetic total al sistemului mecanic închis (cf. [41], p. 31, [54], p. 60).

2.2.10

Legi de conservare (III)

Plecând de la teoremele impulsului ¸si momentului cinetic, putem ob¸tine în situa¸tii particulare integrale ale sistemului diferen¸tial (2.78) cu semnifica¸tie d. p. d. v. mecanic, adic˘ a legi de conservare.

126

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

− → Astfel, dac˘ a for¸ta F (rezultant˘ a) aplicat˘ a punctului material M este ·

a, u= 0), avem perpendicular˘a pe direc¸tia fix˘a u (adic˘ d(mv) d · u = (mv · u) . dt dt Integrala v · u = constant arat˘ a c˘ a proiec¸tia vitezei punctului material pe o direc¸tie fix˘a este constant˘a (cf. [34], p. 228). De asemeni, într-o alt˘ a situa¸tie, s˘ a presupunem c˘ a dreapta-suport a for¸tei − → F trece prin originea O a reperului iner¸tial R. Conform (2.83), avem 0=F ·u=

MO =

dLO = 0, dt

a vectorul C este nenul, atunci C · r = 0, de unde r × v = C = constant. Dac˘ integrala prim˘ a fiind C 1 x + C 2 y + C 3 z = 0, unde C = C 1 ·i+C 2 ·j +C 3 ·k. Mi¸scarea punctului material M se desf˘as¸oar˘a, a¸sadar, într-un plan fix care trece prin O. Dac˘ a îns˘ a C = 0, vectorii r, v sunt coliniari. Atunci, v = λ(t)·r, unde λ(t) = |r|−2 (v · r). Tinând ¸ seama de netezimea parametrilor cinematici (r 6= 0), putem spune c˘ a λ este o func¸tie ∞ de clas˘ a C . Au loc urm˘ atoarele rela¸tii ·

·

·

·

r=r ·ρ + r· ρ

r = r(t) · ρ ·

·

ρ· ρ= 0.

Astfel, cum r ·ρ + r· ρ= λ(t)r · ρ, prin înmul¸tire cu ρ în ambii membri, ajungem la · r= λ(t)r, ·

respectiv ρ= 0. În concluzie, r(t) = r0 e

Rt

t0

λ(τ )dτ

· ρ0 = e

Rt

t0

λ(τ )dτ

· r0 ,

(2.100)

adic˘ a mi¸scarea punctului material se desf˘as¸oar˘a pe o dreapt˘a fix˘a trecând prin O20 . Aici, ρ0 = ρ(t0 ), r0 = r(t0 ). Integralele prime sunt date de (2.100) (cf. 20

O alt˘ a abordare a acestui caz, cf. [60], p. 2, se bazeaz˘ a pe formula . µ ¶ (u× u) × u d u u = |u| , = dt u u3

a vectorul ρ este constant. întâlnit˘ a deja la p. 31. Astfel, pentru u = r, deducem c˘

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

127

[34], p. 231-232).

2.2.11

For¸te conservative. Energie poten¸tial˘ a. Conservarea energiei mecanice

− → Lucrul mecanic efectuat de for¸ta de câmp F aplicat˘ a punctului material M este introdus cu ajutorul integralei curbilinii Z W = Fx dx + Fy dy + Fz dz. M0 M1

Se pune problema s˘ a g˘ asim condi¸tii pe care trebuie s˘ a le îndeplineasc˘ a func¸tiile Fx , Fy , Fz pentru ca integrala W s˘ a nu depind˘ a de traiectoria parcurs˘ a de punctul material M între pozi¸tiile M0 , M1 . Spre a în¸telege semnifica¸tia d. p. d. v. mecanic a unei asemenea chestiuni, vom folosi metoda planului înclinat (Galilei) (cf. [17], p. 68). Astfel, a ¢consider˘ am un plan înclinat perfect lucios al c˘ arui unghi de la baz˘ a ¡ s˘ π α ∈ 0, 2 poate fi f˘ acut s˘ a varieze. Experien¸ta dezv˘ aluie faptul c˘ a viteza cu care ajunge pe sol o bil˘ a lansat˘ a în jos pe planul înclinat, de la în˘ al¸timea h, f˘ ar˘ a vitez˘ a ini¸tial˘ a, este independent˘a de valorile lui α. Tinând ¸ seama de formula Galilei-Torricelli a vitezei în mi¸scarea rectilinie, ¸si anume v 2 = v02 + 2as (cf. [32], p. 27, [76], p. 294), unde a = g sin α, g˘ asim viteza bilei la baza planului înclinat p v = 2gh.

O atare independen¸t˘a de drumul parcurs a vitezei v a bilei este transmis˘ a, − → conform (2.90), lucrului mecanic W realizat de for¸ta de greutate G . În concluzie, problema formulat˘ a anterior î¸si g˘ ase¸ste un echivalent în via¸ta de zi cu zi. În mod natural, dac˘ a pfaffianul Fx dx + Fy dy + Fz dz ar fi exact, atunci W = U(M1 ) − U (M0 ), unde dU = Fx dx + Fy dy + Fz dz = ∇U (M) · dr. De¸si nu am precizat acest lucru, consider˘ am c˘ a tripletul (x, y, z) al coordonatelor punctului material M (în reperul iner¸tial R), asupra c˘ aruia

128

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

ac¸tioneaz˘ a câmpul de for¸te F , se g˘ ase¸ste într-o mul¸time deschis˘ a ¸si stelat˘a în 3 raport cu un punct al s˘ au din (R , Te ) (cf. [28], p. 277). Vom subîn¸telege în continuare c˘ a func¸tiile care intervin în discu¸tie sunt de clas˘ a C ∞ pe mul¸timea respectiv˘ a. Condi¸tia necesar˘a s¸i suficient˘a ca pfaffianul X(x, y, z)dx + Y (x, y, z)dy + Z(x, y, z)dz s˘ a fie o form˘a diferen¸tial˘a total˘a exact˘a este dat˘ a de rela¸tiile de mai jos (cf. [73], p. 425) ∂Y ∂X = ∂y ∂x

∂X ∂Z = ∂z ∂x

∂Y ∂Z = . ∂z ∂y

Justificarea lor se realizeaz˘ a la fel ca în cazul a dou˘ a variabile independente x, y (condi¸tia lui L. Euler), întâlnit în cursurile de ecua¸tii diferen¸tiale (cf. [47], p. 28). Pentru detalii, vezi [72], p. 104-106, 423, [28], p. 276-277. − → S˘ a presupunem c˘ a for¸ta de câmp F care ac¸tioneaz˘ a asupra punctului a prin material M între pozi¸tiile M0 = M(t0 ) ¸si M1 = M(t1 ) este introdus˘ formula F = ∇U. Atunci, rela¸tia (2.90) devine Ec (t0 ) + ∆U = Ec (t1 ) sau, echivalent, Ec (M0 ) − U (M0 ) = Ec (M1 ) − U (M1 ). M˘ arimea V (M) = −U (M) se nume¸ste energia poten¸tial˘a a punctului material M în câmpul (de for¸te) F (cf. [76], p. 385, [34], p. 239). Func¸tia U poart˘ a denumirea de poten¸tial (func¸tie de for¸t˘a) al câmpului F (cf. [34], p. 237, [76], p. 73). Datorit˘ a modalit˘ a¸tii de definire, energia poten¸tial˘ a este unic˘a pân˘ a la o constant˘ a aditiv˘ a (cf. [76], p. 385). Aceast˘ a proprietate a sa permite adoptarea formulei (generice) V (M) =

Z∞

F · dr,

M

M R0 F (M) = 0. Formal, V (M0 ) = − F · dr, ceea ce arat˘ a c˘ a lim ∞ |OM |→+∞ energia poten¸tial˘a a punctului material M în pozi¸tia M0 este lucrul mecanic,

unde

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

129

luat cu semn schimbat, efectuat de for¸tele câmpului F pentru a aduce punctul material de la infinit în pozi¸tia M0 (cf. [32], p. 60). Pozi¸tia ”de la infinit” desemneaz˘ a, în fapt, o zon˘a unde influen¸ta câmpului F nu se face sim¸tit˘ a − → (F (∞) = 0) (cf. [59], p. 86). For¸ta F introdus˘ a cu ajutorul formulei F = ∇U se nume¸ste conservativ˘a. La rândul s˘ au, F reprezint˘ a un câmp de for¸te conservative (cf. [34], p. 239, [76], p. 406). Putem enun¸ta acum teorema conserv˘ arii energiei mecanice: întrun câmp de for¸te conservative are loc, în timpul mi¸sc˘arii, o transformare reciproc˘a a energiilor cinetic˘a s¸i poten¸tial˘a ale particulei, suma acestora (energia mecanic˘a) r˘amânând constant˘a (cf. [32], p. 61). S˘ a presupunem, în final, c˘ a asupra punctului material aflat într-un câmp − → a for¸ta disipativ˘a (neconservativ˘ a) F ∗ . Atude for¸te conservative F ac¸tioneaz˘ nci, conform (2.89), putem scrie c˘ a

∆Ec

ZM1 ¡ ¢ = W= F + F ∗ · dr M0

ZM1 = −∆V + F ∗ · dr, M0

de unde ∆(Ec + V ) = W ∗ . Astfel, lucrul mecanic al for¸tei disipative aplicat˘a unui punct material M este egal cu varia¸tia energiei mecanice a acestuia (cf. [32], p. 61). Cazul cel − → mai des întâlnit în via¸ta de zi cu zi este cel al for¸telor rezistente F (for¸ta˘ de frecare, de rezisten¸ta˘ la înaintare într-un fluid, etc), având sens opus vitezei relative. Asemenea for¸te, producând un lucru mecanic rezistent, diminueaz˘ a energia mecanic˘ a a corpurilor materiale, transformând-o în c˘ aldur˘ a (cf. [76], p. 555-556, [56], p. 66-67). Numele de ”func¸tie de for¸ta˘” apare în scrierile lui R. Hamilton. ”Poten¸tialul”, al c˘ arui gradient d˘ a for¸ta de atrac¸tie (universal˘ a), a fost introdus de J. Lagrange (1777). Energia poten¸tial˘ a, definit˘ a prin schimbarea semnului lui U , este dat˘ a de H. Helmholtz (cf. [76], p. 557, [43], p. 45).

130

2.2.12

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Suprafe¸tele echipoten¸tiale ¸si liniile de for¸ta ˘ ale unui câmp conservativ

Mul¸timea punctelor M ∈ E3 care au proprietatea c˘ a U (x, y, z) = C, unde C ∈ R este arbitrar fixat, poat˘ a denumirea de suprafa¸t˘a echipoten¸tial˘a a câmpului de for¸te conservative F (cf. [76], p. 75-76, [32], p. 60). De¸si nu este dat˘ a ca o suprafa¸ta˘ parametrizat˘ a neted˘ a, condi¸tia ∇U(M) 6= 0 arat˘ a c˘ a, local, suprafa¸ta echipoten¸tial˘ a este o suprafa¸ta˘ simpl˘ a (cf. [48], p. 38-39). În concluzie, aceste mul¸timi reprezint˘ a suprafe¸te netede în SF (cf. [44], p. 590-591). Suprafe¸tele echipoten¸tiale se mai numesc ¸si suprafe¸te de nivel ale func¸tiei U (cf. [76], p. 405). Dac˘ a punctul material M se g˘ ase¸ste pe suprafa¸ta echipoten¸tial˘ a S, atunci − → − → s˘ ageata vectorului F ∈ TM R3 , F ∈ F , este îndreptat˘ a în sensul cre¸sterii m˘ arimii C, deci al descre¸sterii energiei poten¸tiale V (M) (cf. [32], p. 61, [76], p. 406). O curb˘ a neted˘ a Γ având proprietatea c˘ a în orice punct M ∈ Γ vectorul − → 3 F ∈ TM R este vectorul director al tangentei poart˘ a denumirea de linie de for¸t˘a a câmpului (de for¸te) F (cf. [32], p. 61). Din punct de vedere diferen¸tial, coordonatele în reperul iner¸tial R ale punctelor M care alc˘ atuiesc linia de for¸ta˘ Γ sunt date de rela¸tiile dx dy dz = = , Fx Fy Fz cu conven¸tia obi¸snuit˘ a: anularea numitorului implic˘ a automat constan¸ta coordonatei respective (pe o anumit˘ a mul¸time) (cf. [76], p. 71). − → Evident, lucrul mecanic efectuat de for¸ta de câmp F aplicat˘a asupra unui punct material M care se deplaseaz˘a pe suprafa¸ta echipoten¸tial˘a S a câmpului este nul.

2.2.13

Câmpul gravita¸tional. Poten¸tialul gravita¸tional. Modelul punctiform al corpurilor cere¸sti

Teoriile generale ale câmpului gravita¸tional (gravific) necesit˘ a cuno¸stin¸te importante de mecanic˘a relativist˘a, geometria variet˘at¸ilor diferen¸tiabile, etc. O lectur˘ a fundamental˘ a în domeniu este constituit˘ a din lucrarea [42]. Recomand˘ am excelentul tratat [79].

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

131

S˘ a consider˘ am c˘ a originea O a sistemului de referin¸ta˘ iner¸tial R ad˘ aposte¸ste masa m0 . Dat˘ a fiind imobilitatea aprioric˘ a a originii O, caracterul de m˘ asur˘ a a iner¸tiei atribuit maselor în mecaniva newtonian˘ a poate fi scos din cauz˘ a în discu¸tia de fa¸ta˘ în ceea ce prive¸ste masa m0 . A¸sadar, singura ”activitate” a masei m0 este crearea unui câmp gravita¸tional (gravific). Experien¸ta (”tubul” lui Newton, cf. [32], p. 29, independen¸ta perioadei pendulului de natura corpului utilizat, cf. [43], p. 42, etc) dezv˘ aluie faptul c˘ a în apropierea suprafe¸tei P˘amântului se comunic˘a corpurilor o accelera¸tie constant˘a, vertical˘a s¸i orientat˘a în jos (Galilei, Newton) (cf. [43], p. 42). Atunci, în conformitate cu (2.76), un punct material oarecare M, de mas˘ a m, va c˘ ap˘ ata pe direc¸tia vectorului s˘ au de pozi¸tie o m˘ arime de tip accelera¸tie, − → − → notat˘ a Γ , unde Γ ∈ TM R3 , cu s˘ ageata îndreptat˘ a c˘ atre originea O: Γ = −γ

m0 r · . r2 r

− → For¸ta F cu care masa m0 atrage punctul material M este greutatea acestuia (în câmpul masei m0 ): − → − → F =m· Γ. Pe baza rela¸tiilor (2.67), se verific˘ a imediat formula ³ mm ´ mm0 r 0 −γ 2 · = ∇ γ . r r r

Astfel, energia poten¸tial˘ a a particulei materiale M în câmpul gravita¸tional al originii O devine V (M) = −

ZM

∞

F · dr =

mm0 = −γ r

Zr

γ

mm0 dq q2

∞

(cf. [32], p. 174). S˘ a justific˘ am acest calcul. Plecând de la dr = rdρ + ρdr, unde ρ desemneaz˘ a versorul razei vectoare r, ¸si ¸tinând seama de faptul c˘ a m˘ arimile ρ ¸si dρ sunt ortogonale, ob¸tinem mm0 mm0 ρ · dr = −γ 2 dr 2 r r = F (r)dr

F · dr = −γ

132

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

(cf. [34], p. 238). Justificarea s-a încheiat. În concluzie, câmpul gravita¸tional al corpului punctiform (O, m0 ) este un câmp de for¸te conservative. Sistemul de ecua¸tii diferen¸tiale pus sub form˘a simetric˘a (cf. [72], p. 359365) dx dy dz = = mm0 mm0 0 −γ r3 x −γ r3 y −γ mm z r3 arat˘ a c˘ a suprafe¸tele echipoten¸tiale sunt sfere concentrice iar liniile de for¸t˘a sunt razele acestor sfere în cazul câmpului gravita¸tional punctiform (vezi Figura 2.14). M˘ arimea Vp (r) = m1 · V (M) poart˘ a denumirea de poten¸tialul câmpului gravita¸tional (punctiform). Evident, Γ = −∇Vp . Se cuvine subliniat faptul c˘ a, în baza principiului ac¸tiunii ¸si reac¸tiunii, între particulele (O, m0 ) ¸si (M, m) are loc o interac¸tiune (gravita¸tional˘a). Acest lucru apare pregnant în formula (2.76), simetric˘a în ceea ce prive¸ste m˘ arimile m1 , m2 . De aceea, în mod natural, energia poten¸tial˘ a V trebuie privit˘ a ca o energie de interac¸tiune, cu repartizare egal˘ a a ”contribu¸tiilor” celor dou˘ a puncte materiale: ³ m´ mm0 1 ³ m0 ´ 1 V = −γ = m −γ + m0 −γ . r 2 r 2 r Practic, putem spune c˘ a energia de interac¸tiune gravita¸tional˘a a dou˘a puncte materiale este egal˘a cu semisuma produselor dintre masa fiec˘aruia din punctele materiale s¸i poten¸tialul câmpului gravific generat de cel˘alalt punct material.

Figura 2.14 În cazul a n puncte materiale (Mi , mi ), luând în calcul toate interac¸tiunile

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

133

posibile, energia de interac¸tiune gravita¸tional˘ a devine · µ ¶ µ ¶¸ X 1 mj 1 mi V = + mj −γ , mi −γ 2 r 2 r ij ij 16i<j6n

unde rij = d(Mi , Mj ). Cu conven¸tia r1ii = 0, introducem o ordine în structura m˘ arimii V : " Ã n !# " Ã j !# n n X X X X 1 1 mj mi + mi mj −γ −γ V = 2 r 2 rij ij i=1 j=i j=1 i=1 " n µ ¶# ¶ n n n µ X 1X mk 1 XX mk = −γ = −γ mi . mi 2 i=1 rki 2 i=1 k=1 rki k=1

Aceast˘ a formul˘ a ne îng˘ aduie s˘ a facem trecerea de la mul¸timi discrete de puncte materiale la un corp material care ocup˘ a în SF domeniul G. Astfel, atribuind fiec˘ areia dintre particulele componente ale corpului material o mas˘ a ”specific˘ a”, de ”punct”, numit˘ a densitate (cf. [76], p. 559), ρ(A), unde A ∈ G, vom scrie c˘ a   Ã ! Z Z 1 ρ(B) ¯ dλ(B) dλ(A) V = −γ ¯ ρ(A)  ¯AB ¯ 2 G G Z 1 Vp (A)ρ(A)dλ(A). = 2 G

not

a denumirea de energie de leg˘atur˘a graviM˘ arimea −V = Eleg poart˘ ta¸tional˘a a componentelor (particulelor) unui sistem (corp, mediu) material ¸si reprezint˘ a lucrul mecanic necesar pentru a desface sistemul în componente, duse la infinit, respectiv energia cheltuit˘a la formarea sistemului material din particule libere aduse de la infinit. De exemplu, energia de leg˘ atur˘ a a unei molecule este energia necesar˘ a pentru a desface molecula în atomi, etc (cf. [32], p. 174-175). Energia de leg˘ atur˘ a gravita¸tional˘ a a unei sfere omogene cu −10 masa m = 1 kg ¸si raza R = 5 cm este Eleg = 8 · 10 J (c˘ aci J/kg = m2 /s2 , cf. [32], p. 175). Când raza sferei scade, energia de leg˘ atur˘ a gravita¸tional˘ a cre¸ste iar diferen¸ta rezultat˘ a se transform˘ a în c˘ aldur˘ a. Aceasta poate constitui o explica¸tie par¸tial˘ a (Kant21 , Laplace, Helmholtz) a incandescen¸tei 21

I. Kant este adeptul panmatematismului filosofic, cf. [12], p. 142 ¸si urm˘ atoarele. Spre deosebire de el, G. Hegel, tratând problema c˘aderii corpurilor, ”aspir˘ a spre o fizic˘ a mai empiric˘ a. Exact ca Aristotel în antichitate.” (op. cit., p. 178, nota de subsol)

134

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

stelelor, care ar fi formate teoretic din materie cosmic˘ a extrem de rarefiat˘ a (aflat˘ a ”la infinit”) prin contrac¸tie (legare) gravita¸tional˘ a. Fire¸ste, reac¸tiile nucleare care se produc m˘ aresc considerabil energia (cf. [32], p. 180). Presupunând c˘ a densitatea ρ(A) a corpului material, de mas˘ a m0 , care ocup˘ a în SF domeniul G îndepline¸ste condi¸tiile precizate în subsec¸tiunea dedicat˘ a integralelor de tip poten¸tial, a devenit clar c˘ a m˘ arimea   Z ρ(A) ¯ dλ(A) Γ = γ · ∇ ¯ ¯AM ¯ G

reprezint˘ a vectorul-accelera¸tie (gravita¸tional˘a) c˘ ap˘ atat de punctul material M ∈ E3 din partea câmpului gravific al corpului material. Alura la distan¸te mari a poten¸tialului newtonian −γ · f1 (M) arat˘ a c˘ a, într-o anumit˘ a m0 aproxima¸tie, acesta are formula Vp (M) = −γ OM , unde O desemneaz˘ a cen| | trul de mas˘ a al corpului material iar punctul M este exterior domeniului G. Ob¸tinem, a¸sadar, acelea¸si valori ale poten¸tialului gravita¸tional ca în cazul câmpului gravific punctiform. Ceea ce dovede¸ste în mod conving˘ ator c˘ a putem considera într-o serie de probleme ale mecanicii teoretice corpurile materiale drept particule localizate în centrul de mas˘a al corpurilor materiale s¸i având ca mas˘a chiar masa acestora. Sferoidul terestru ¸si, în general, corpurile cere¸sti reci (planete, sateli¸ti naturali), fiind corpuri de rota¸tie d. p. d. v. geometric, g˘ asesc un model potrivit în domeniul G definit în lucrarea de fa¸ta˘. Un calcul bazat pe (2.40) ¸si utilizarea coordonatelor sferice arat˘ a c˘ a, în cazul unei sfere de raz˘ a R omogen˘ a (ρ = constant˘ a) ori având omogenitate sferic˘ a (ρ este radial simetric˘ a), au loc formulele ( mm0 −γ ³ , r> r ´R 2 V (M) = 0 − 12 γ mm 3 − Rr 2 , r < R R

(cf. [59], p. 85). Pentru detalii, vezi [34], p. 378-381, [76], p. 388-394 ca ¸si elegantele rezolv˘ ari date problemelor din capitolul 5 al c˘ ar¸tii [59]. În particular, conform (2.41), energia de leg˘ atur˘ a gravita¸tional˘ a a sferei omogene este Eleg

γπm · = R

¶ ZR µ r2 3 − 2 ρr2 dr R 0

2.2. STATICA S¸I DINAMICA =

135

3 m2 γ 5 R

(cf. [32], p. 179).

2.2.14

Mi¸scarea în câmp central

− → O for¸ta˘ F , aplicat˘ a punctului material M, poart˘ a denumirea de for¸t˘a − → central˘a dac˘ a vectorul F este vector director al dreptei OM. În func¸tie de semnul m˘ arimii F ·r, for¸ta central˘ a se nume¸ste atractiv˘a (F ·r < 0), respectiv repulsiv˘a (F · r > 0) (cf. [76], p. 418, [63], p. 319). Un câmp de for¸te F − → este considerat central dac˘ a for¸tele F ∈ F sunt for¸te centrale. Aici, punctul O, aprioric fix, reprezint˘ a centrul câmpului de for¸te. Câmpul gravita¸tional p punctiform, Γ = − ∂V , constituie un exemplu elocvent de câmp central. ∂r Legea ariilor. Formula lui J. Binet Am v˘ azut anterior c˘ a mi¸scarea unui punct material M sub ac¸tiunea unei for¸te (rezultante) centrale este plan˘ a. Aceasta ne permite s˘ a utiliz˘ am metoda transform˘ arii Pr˝ ufer în planul mi¸sc˘ arii. Cu nota¸tiile cunoscute, F = F ρ. Proiectând rela¸tia (2.74) pe direc¸tiile ρ, ε, avem, conform (2.18),  µ ¶ ·2 ··    m r −r θ = F µ ¶ (2.101) ·· ··    m 2 rθ +r θ = 0. În mod evident, discu¸tia intereseaz˘ a atunci când O 6= M. A¸sadar, în·

mul¸tind cu r în ambii membri ai celei de-a doua rela¸tii (2.101), ob¸tinem r2 θ = constant. Formula (2.87) arat˘ a c˘ a momentul cinetic fa¸t˘a de centrul O al punctului material M se conserv˘a în mi¸scarea sa pe traiectorie. De asemeni, are loc legea ariilor: în mi¸scarea în câmp central, în jurul centrului O, a punctului material M, vectorul s˘au de pozi¸tie ”m˘atur˘a” suprafe¸te de arii egale în intervale de timp egale (cf. [63], p. 320, [41], p. 47). Folosim în continuare prezentarea f˘ acut˘ a în [34], p. 345-347, 354-357. Fie η unghiul vectorilor r0 , v 0 . Din nou, conform (2.18), avem · ¸ · · · v 0 · ρ = v0 cos η = ρ · r (t0 )ρ + r(t0 ) θ (t0 )ε =r (t0 )

136

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL ·

·

¸si v0 · ε = v0 sin η = r0 θ (t0 ). Atunci, m˘ arimea r2 θ are valoarea C = ·

r(t0 )[r(t0 ) θ (t0 )] = r0 v0 sin η în timpul mi¸sc˘ arii punctului material M. Prima dintre rela¸tiile (2.101) poate fi pus˘ a sub forma

C2 · · r, = F (t, r, θ, θ) r3 (cf. [76], p. 421). Am ¸tinut seama de expresia vectorilor r, v în coordonate polare (F = F (t, r, v)). Prin derivarea func¸tiei compuse r = r (θ (t)) în raport cu timpul t ob¸tinem µ ¶ dr · dr C d 1 · r = · θ= · = −C dθ dθ r2 dθ r µ ¶ µ µ ¶¶ · d d 1 d2 1 ·· r = −C = −C 2 ·θ dt dθ r dθ r µ ¶ 2 2 1 d C . = − 2 · 2 r dθ r · ¡ ¢2 ¡ ¢−1 Formulele elementare θ= C 1r , r = 1r ne conduc la expresia · µ ¶ ¸ µ µ ¶¶ mC 2 d2 1 1 1 d 1 − 2 + = F t, , θ, . r dθ2 r r r dθ r − → În cazul particular al for¸tei centrale F independent˘ a de timp, rela¸tia anterioar˘ a reprezint˘ a o ecua¸tie diferen¸tial˘ a ordinar˘ a, numit˘ a ecua¸tia (formula) lui J. Binet (cf. [32], p. 169, [76], p. 421). Ad˘ augând datele Cauchy ( ¡1¢ (θ0 ) = r10 r · ¡ 1 ¢0 η 1 (θ0 ) = − r(tC0 ) = − rv00v0cos = − r0 tan , r sin η η ··

m r −m

not

arii particulei în câmp unde22 θ(t0 ) = θ0 , ob¸tinem problema Cauchy a mi¸sc˘ central: ( ¡ 1 ¢00 1 ¡ 1 ¢−2 F + r = − mC 2 · r r ¡1¢ ¡ 1 ¢0 (2.102) 1 1 ) = (θ ) = − r0 tan . (θ 0 0 r r0 r η

Fire¸ste, în cazul câmpului gravita¸tional, m˘ arimea F are aspectul particmm0 a formularea (2.102) are menirea s˘ a ular dat de F = F (r) = −γ r2 . Îns˘ scoat˘ a în eviden¸ta˘ importan¸ta unui studiu calitativ al acestui gen de ecua¸tii diferen¸tiale ordinare. 22

Dac˘ aη=

π 2,

atunci

¡ 1 ¢0 r

(θ0 ) = 0.

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

137

Rezolvarea problemei Cauchy a mi¸sc˘ arii în câmpul gravita¸tional punctiform În câmp gravita¸tional punctiform, ecua¸tia lui J. Binet cap˘ at˘ a forma unei ecua¸tii diferen¸tiale liniare s¸i neomogene cu coeficien¸ti constan¸ti: µ ¶00 1 γm0 1 + = 2 . r r C

(2.103)

Termenul neomogen al ecua¸tiei diferen¸tiale fiind constant, integrarea ecua¸tiei se reduce la determinarea unei solu¸tii particulare constante a sa (cf. [24], 0 p. 400). În cazul nostru, este vorba chiar de γm (cf. [63], p. 323). Astfel, C2 solu¸tia problemei Cauchy (2.102) este dat˘ a de 1 γm0 = 2 + A cos θ + B sin θ, r C unde

 ´ ³  A = 1 − γm20 cos θ0 + 1 sin θ0 C r0 tan η ´ ³ r0  B = 1 − γm20 sin θ0 − 1 cos θ0 r0 C r0 tan η

(cf. [34], p. 355). S˘ a introducem m˘ arimile λ, ψ prin A = λ cos ψ, B = λ sin ψ. Atunci23 , γm0 1 = + λ cos (θ − ψ) r C2 µ 2 ¶−1 · ¸ C C2 √ 2 = 1+ A + B 2 cos (θ − ψ) , γm0 γm0 respectiv r= 23

p . 1 + e cos (θ − ψ)

(2.104)

Unghiul ψ se introduce atunci când cel pu¸tin una dintre m˘ arimile A, B este nenul˘ a. C2 , problema Cauchy ata¸ s at˘ a ecua¸ t iei (2.103) admite Observ˘ am c˘ a, dac˘ a η = π2 ¸si r0 = γm 0 solu¸tia unic˘ a r = r0 , adic˘ a A = B = 0. Mi¸scarea circular˘a uniform˘a este, a¸sadar, un caz particular de mi¸scare în câmp gravita¸tional punctiform (vezi [60], p. 9-10). Se poate ar˘ ata c˘ a exist˘ a o singur˘ a curb˘ a neted˘ a plan˘ a, nedegenerat˘ a (R 6= 0), pe care o particul˘ a se mi¸sc˘ a uniform astfel încât dreapta suport a accelera¸tiei sale s˘ a treac˘ a printr-un punct fix, ¸si anume cercul (cf. [32], problemele 1.23, 1.24, p. 40).

138

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Cum

¶2 1 γm0 1 A +B = − 2 + 2 r0 C r0 tan2 η ¶ µ γ 2 m20 2γm0 cos2 η 1 + + − 2 = r02 r02 sin2 η C4 C r0 µ ¶ 2C 2 1 γ 2 m20 1− = + C4 γm0 r0 (r0 sin η)2 µ ¶ 2 2 2 2 2C γ m0 v0 1− + = 2 4 C C γm0 r0 · µ ¶¸ 2 2 2 C γm0 γ m0 2 1 + 2 2 v0 − 2 , = C4 γ m0 r0 r ³ ´ 2 C2 0 ob¸tinem e = 1 + γ 2Cm2 v02 − 2 γm (cf. [63], p. 325). , p = γm r0 0 2

µ

2

0

·

a ca o ecua¸tie diferen¸tial˘a ordinar˘a cu variabilele Rela¸tia r2 θ= C, privit˘ separabile (cf. [47], p. 9-10), ne conduce la formula timpului: C(t − t0 ) =

Zθ

r2 (q)dq.

θ0

În general, C 6= 0, ceea ce dovede¸ste c˘ a punctul material M se mi¸sc˘a pe conica (2.104), cu înclinarea axei focale dat˘a de unghiul ψ (cf. [34], p. 352), ·

într-un singur sens ( θ= rC2 are semn constant) (cf. [41], p. 48, [76], p. 430). Aceasta ne va permite s˘ a consider˘ am, în cele ce urmeaz˘ a, c˘ a unghiul θ cre¸ste mereu. O abordare echivalent˘ a (teorema energiei mecanice) Câmpul de for¸te centrale F = − ∂V , unde V = V (r), fiind conservativ, ∂r energia mecanic˘ a (total˘ a) a punctului material r˘ amâne constant˘ a în timpul mi¸sc˘ arii: 1 E = mv 2 + V (r) = constant. 2 Aici, energia cinetic˘ a a punctului material M poate fi pus˘ a sub forma µ ¶2 · ·2 1 1 ·2 1 · m r ρ + r θ ε = m r + mr2 θ Ec (M) = 2 2 2

2.2. STATICA S¸I DINAMICA = ·2

139

1 · 2 mC 2 mr + 2 . 2 2r 2

Cum r = m2 [E − V (r)]− Cr2 , alegându-ne un semn pentru valoarea m˘ arimii · r, putem scrie, de exemplu, c˘ a r 2 L2 · r= [E − V (r)] − 2O 2 , m mr a modulul momentului cinetic al punctului material M fa¸ta˘ unde LO reprezint˘ de originea O (cf. [41], p. 48). Prin separarea variabilelor ajungem la dt = q

dr 2 m

[E − V (r)] −

L2O m2 r2

,

(2.105)

ceea ce ne permite estimarea t = t(r). De asemeni, tot prin separarea variabilelor, avem ¡ ¢ d LrO LO (2.105) dθ = dt = − q (2.106) ¡ LO ¢2 mr2 2m [E − V (r)] − r (cf. [32], p. 170), de unde, ¸tinând seama de formula elementar˘ a r = ¡ LO ¢ ¡ LO ¢−1 , ob¸tinem estimarea θ = θ r . Ceea ce încheie integrarea paraLO r metrilor mi¸sc˘ arii: θ = θ(r). ·2

Detalii privind ecua¸tiile diferen¸tiale de forma r = X(r) pot fi g˘ asite în [34], p. 325-327, [72], p. 182-187, etc. · Pozi¸tiile punctului material M în care r= 0 (adic˘ a, v⊥a, conform (2.18), (2.101)) poart˘ a denumirea de puncte de rebrusment (întoarcere) ale traiectoriei sale (cf. [41], p. 49, [76], p. 314). În cazul particular al mi¸sc˘ arii punctului material în câmp gravita¸tional punctiform, teorema energiei mecanice devine 1 2 mm0 γm0 ´ m³ 2 E = mv − γ = v −2 , (2.107) 2 r 2 r ´ ³ γm0 γm0 2 2 2 0 0 +2 γm = v −2 ¸ s i v = v − 2 . A¸sadar, constanta de unde v 2 −2 γm 0 0 r r0 r0 r care exprim˘ a raportul dintre dublul valorii energiei mecanice a punctului material s¸i masa acestuia intervine în formula excentricit˘at¸ii e a traiectoriei

140

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

punctului material: s

2E C 2 e = · 1+ = m γ 2 m20 r Ep = 1+2 , α

r

1+2

EL2O mα2 (2.108)

not

unde α = γmm0 (cf. [34], p. 356, [41], p. 53, [32], p. 171). Aici, p =

2.2.15

L2O . mα

Legile lui J. Kepler. Problema lui Newton

”Admira¸tia noastr˘ a pentru acest om sublim (n. n., J. Kepler) se împlete¸ste cu un alt sentiment de admira¸tie ¸si venera¸tie, care, îns˘ a, nu mai e legat de o fiin¸ta˘ uman˘ a, ci de misterioasa armonie a naturii în care ne-am n˘ ascut. Înc˘ a din antichitate, oamenii au imaginat curbe ale celor mai simple legi posibile: printre acestea, pe lâng˘ a linia dreapt˘ a ¸si cercul, elipsa ¸si hiperbola. Pe acestea din urm˘ a le reg˘ asim - cel pu¸tin cu o mare aproxima¸tie - în orbitele corpurilor cere¸sti. S-ar p˘ area c˘ a ra¸tiunea uman˘ a trebuie s˘ a construiasc˘ a mai întâi, independent, formele, înainte de a le putea dovedi existen¸ta în natur˘ a. Din minunata oper˘ a de-o via¸ta˘ a lui Kepler în¸telegem clar c˘ a experien¸ta simpl˘ a nu poate genera cunoa¸sterea, aceasta fiind produs˘ a doar prin compararea crea¸tiilor spiritului cu faptele observa¸tiei. (Albert Einstein, Johannes Kepler, [27], p. 57)”

Plecând de la observa¸tiile astronomice ale lui Tycho Brahe, astronomul cur¸tii imperiale din Praga (cf. [34], p. 212), asistentul ¸si apoi succesorul s˘ au, Johann Kepler, formuleaz˘ a cele trei legi care guverneaz˘ a mi¸sc˘ arile planetelor în jurul Soarelui (cf. [76], p. 430). Primele dou˘ a legi sunt enun¸tate în 1609, iar cea de-a treia în 1618 (cf. [34], p. 212). Legea întâi (traiectoria). Planetele, asimilate cu puncte materiale, se mi¸sc˘a în jurul Soarelui pe traiectorii eliptice, Soarele aflându-se într-unul din focarele elipsei. Legea a doua (aria). Vectorul de pozi¸tie, dus de la Soare la planet˘a, ”m˘atur˘a” arii egale în intervale de timp egale. Legea a treia (perioada de revolu¸tie). P˘atratul perioadei de revolu¸tie a planetei în jurul Soarelui este propor¸tional cu cubul semiaxei mari a traiectoriei, raportul de propor¸tionalitate fiind acela¸si pentru toate planetele. Prin problema lui Newton în¸telegem calculul pe baza c˘ aruia se justific˘ a, plecând de la (2.76), valabilitatea celor trei legi ale lui J. Kepler (cf. [34], p. 354).

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

141

Am ar˘ atat deja, rezolvând problema Cauchy a mi¸sc˘ arii în câmp gravita¸tional punctiform, c˘ a traiectoria particulei este o conic˘ a ¸si c˘ a are loc legea ariilor, adic˘ a cea de-a doua lege a lui Johann Kepler. Nu putem, fire¸ste, stabili doar pe baza considera¸tiilor anterioare care dintre corpurile cere¸sti se deplaseaz˘ a pe o elips˘ a ¸si care, de exemplu, pe o hiperbol˘ a. Totu¸si, informa¸tia astronomic˘ a indic˘ a faptul c˘ a traiectoria este aproximativ eliptic˘ a în cazul mi¸sc˘ arii planetelor în jurul astrului solar ca ¸si în cazul revolu¸tiei sateli¸tilor naturali ai acestora (cf. [34], p. 358). Traiectorii de tip hiperbolic au, se pare, anumite comete care traverseaz˘ a sistemul nostru solar (cf. [32], p. 173). Traiectoria particulei în câmp gravita¸tional punctiform devine elips˘ a atunci când e ∈ (0, 1). Parametrii (geometrici) ai elipsei sunt m˘ arimile a, b, c, unde r √ L2O EL2O c b2 p= = = e= 1+2 c = a2 − b2 . 2 αm a mα a Astfel, cum c2 b2 EL2O = 1 − = 1 + 2 , a2 a2 mα2 deducem c˘ a L2O b2 α a αm a = b2 = (E < 0), (2.109) =− EL2O 2E −2 2 a2 mα

respectiv

b=

LO √ ap = √ . −2mE

(2.110) ·

Conform (2.87), putem scrie LO = 2mΩ = 2m A, de unde, prin integrare în raport cu timpul t, avem T =

ZT 0

dt =

Zπab 0

2m 2mπab dA = = πα LO LO

r

m . −2E 3

În sfâr¸sit, 4π 2 T2 4π2 m= = = constant a3 α γm0

(2.111)

(cf. [32], p. 172, [34], p. 356-357). Cea de-a treia lege a lui Johann Kepler fiind probat˘ a, problema lui Newton s-a încheiat. Apelând la legea ariilor,

142

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

putem scrie c˘ a Ω = πab/T , de unde rezult˘ a o formul˘ a similar˘ a rela¸tiei (2.111), ¸si anume T2 p b2 /a = = π2 2 . (2.112) 3 2 2 2 a a b /T Ω S˘ a ar˘ at˘ am acum c˘ a formula (2.76) poate fi dedus˘ a pornind de la legile lui Kepler (cf. [8], problema 11.16, p. 322). Conform legii întâi, mi¸scarea planetei în jurul Soarelui este plan˘ a, ceea ce ne permite s˘ a utiliz˘ am coordonatele polare (metoda transform˘ arii Pr˝ufer). Mai precis, p r= (2.113) 1 + e cos (θ − ψ)

(vezi Figura 2.15). Cu nota¸tiile obi¸snuite, ¸tinând seama de (2.18), (2.83), (2.87) ¸si legea ariilor, avem d d ¡ ¢ Ωk = 0 r × F = (r × mv) = 2m dt dt deoarece m˘ arimile ρ × ε = k, respectiv Ω sunt constante în raport cu timpul − → t. Acest lucru dovede¸ste coliniaritatea vectorilor r, ¶ F . A¸sadar, for¸ta F µ ··

·2

este central˘ a. Putem scrie c˘ a F = F ρ = m r −r θ

ρ, pe baza rela¸tiilor

(2.101). S˘ a calcul˘ am, cu ajutorul formulei (2.113), m˘ arimile care intervin în scrierea vectorului F .

Figura 2.15 Astfel, derivând (2.113) în raport cu timpul t, ob¸tinem ·

ep sin (θ − ψ) θ ep sin (θ − ψ) 2Ω r= 2 = 2 · 2 . [1 + e cos (θ − ψ)] [1 + e cos (θ − ψ)] r ·

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

143

Îns˘ a [1 + e cos (θ − ψ)]2 = p2 /r2 , de unde ·

r=

2Ωe sin (θ − ψ) . p

(2.114)

Derivarea în raport cu timpul t a formulei (2.114) ne conduce la ··

r= În sfâr¸sit,

· 2Ωe 1 4Ω2 e cos (θ − ψ) θ= cos (θ − ψ) · 2 . p p r

·

¸ 4Ω2 e 4Ω2 F =m cos (θ − ψ) − r 4 . pr2 r

Dar, conform (2.113), cos (θ − ψ) = F =−

p−r , re

astfel c˘ a

4Ω2 m . pr2

De aici, ¸tinând seama de (2.112), deducem c˘ a F = −4π 2 ·

a3 m · . T 2 r2

(2.115)

M˘ arimea a3 /T 2 fiind constant˘ a, introducem coeficientul γ prin 4π 2 ·

a3 = γ · M, T2

(2.116)

unde M este masa (gravific˘ a) a Soarelui, presupus˘ a ca localizat˘ a în originea O a sistemului de referin¸ta˘. În concluzie, mM F = −γ 2 · ρ. r Justificarea prezen¸tei termenului M în (2.116) este urm˘ atoarea: în baza principiului ac¸tiunii ¸si reac¸tiunii, planeta atrage Soarele cu o for¸ta˘ egal˘ a în − → m˘ arime dar opus˘ a ca sens for¸tei F . În plus, c˘ aut˘ am o expresie a for¸tei generale de atrac¸tie gravita¸tional˘ a, ceea ce înseamn˘ a c˘ a for¸ta cu care planeta atrage Soarele trebuie s˘ a aib˘ a aceea¸si natur˘a cu for¸ta de atrac¸tie a Soarelui. Ori, o atare cerin¸ta˘ se realizeaz˘ a introducând masa M care s˘ a joace ”rolul” m˘ arimii m în (2.115) (cf. [34], p. 358). Justificarea s-a încheiat.

144

2.2.16

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Problema celor dou˘ a corpuri

Calculele anterioare s-au referit la mi¸scarea planetei în jurul astrului solar presupus (aprioric) fix. De asemeni, s-a considerat c˘ a influen¸ta gravita¸tional˘ a a Soarelui asupra planetei este atât de mare încât orice alt˘ a influen¸ta˘, de aceea¸si natur˘a (de exemplu, a Lunii asupra P˘ amântului, cf. [76], p. 675), se cuvine neglijat˘ a (cf. [59], p. 89). S˘ a relu˘ am discu¸tia dintr-o perspectiv˘ a mai larg˘ a. Mai precis, s˘ a consider˘ am sistemul mecanic închis a dou˘ a particule materiale M1 , M2 , de mase m1 , m2 ¸si raze vectoare r1 , r2 în sistemul de referin¸ta˘ iner¸tial R. Punctele materiale interac¸tioneaz˘ a gravita¸tional, astfel c˘ a m1 a1 = F

m2 a2 = −F ,

(2.117)

unde F = γ m1r2m2 · M1rM 2 , r = d(M1 , M2 ). Are loc legea de conservare a impulsului total: m1 v 1 + m2 v 2 = constant. Not˘ am cu G baricentrul dat de ponderile αi = mi /(m1 + m2 ) al celor dou˘ a puncte (geometrice) ale sistemului mecanic. Evident, (m1 + m2 ) · OG = m1 r1 + m2 r2 ¸si, prin derivare în raport cu timpul t, avem (m1 + m2 ) · vG = m1 v 1 + m2 v2 .

(2.118)

Conservarea impulsului total al sistemului mecanic arat˘ a c˘ a baricentrul G are, fa¸ta˘ de R, o mi¸scare rectilinie uniform˘ a cu viteza vG =

1 (p + p2 ) . m1 + m2 1

Introducem reperul R0 cu originea în baricentrul G ¸si axele de coordonate paralele cu axele de coordonate ale sistemului de referin¸ta˘ R. Mai precis, − → − → R = (O, B ) ¸si R0 = (G, B ). Conform relativit˘ a¸tii Galilei, reperul cartezian 0 R este iner¸tial. Plecând de la (2.117), putem scrie c˘ a m1 m2 · (a1 − a2 ) = m2 (m1 a1 ) − m1 (m2 a2 ) ¢ ¡ = m2 F − m1 −F = (m1 + m2 ) · F ,

2.2. STATICA S¸I DINAMICA respectiv

145

m1 m2 · a = F, m1 + m2

(2.119)

..

unde a =r. Cele dou˘ a puncte materiale au în reperul R0 razele vectoare r∗1 = −

m2 r m1 + m2

r∗2 =

m1 r m1 + m2

(2.120)

(cf. [41], p. 45, [32], p. 167). Astfel, egalitatea (2.119) poate fi pus˘ a sub forma: ··

m1 · r∗1 = F .

(2.121)

a Rela¸tia (2.121), stabilit˘ a în R, se p˘ astreaz˘ a în reperul R0 ¸si reprezint˘ legea de mi¸scare în câmpul de for¸te centrale F , de centru G, a unui punct m1 m32 material cu masa m1 ¸si raza vectoare r∗1 . Aici, F = −γ m1r2m2 = −γ (m1 +m 2 · 2) 1 ∗ = F (r1 ) (cf. [76], p. 520). r∗2 1

Figura 2.16 Formula lui J. Binet ne conduce la µ ¶ d2 1 1 γ m32 ν + = · = 2. ∗ ∗ 2 2 2 dθ r1 r1 C (m1 + m2 ) C Forma acestei ecua¸tii, identic˘ a aceleia întâlnite la mi¸scarea particulei în câmp gravita¸tional punctiform, permite s˘ a afirm˘ am c˘ a primele dou˘ a legi ale lui Kepler î¸si p˘ astreaz˘ a valabilitatea în reperul R0 . Cât despre cea de-a treia lege, conform (2.111), avem µ ¶2 T2 m1 4π 2 (m1 + m2 )2 4π 2 4π2 1 1+ = · · = = . (2.122) a3 ν γ m32 γ m2 m2

146

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Poate p˘ area ciudat c˘ a un punct ”gol” (f˘ ar˘ a mas˘a ), ¸si anume baricentrul 1 G, atrage particulele cu mas˘ a. Totu¸si, atunci când m1 ¿ m2 , adic˘ a m w 0, m2 rela¸tiile (2.120) ¸si (2.122) devin r∗1

= −r

r∗2

=0

T2 4π 2 1 · = . a3 γ m2

De exemplu, în cazul P˘ amântului, masa Soarelui m2 este de aproximativ amântului (cf. [34], p. 431), astfel 333.000 ori mai mare decât masa m1 a P˘ c˘ a reg˘ asim legile lui Johann Kepler în formularea dat˘ a lor anterior. Rela¸tiile (2.120), (2.118) arat˘ a c˘ a ½

m1 r∗1 = −m2 r∗2 m1 vrel,M1 = −m2 v rel,M2 .

a Aici, vitezele relative sunt calculate în R0 . Conform (2.107), putem scrie c˘ (vezi [60], exerci¸tiul 14.1, p. 28) Erel,M1

¶ µ γm32 (m1 + m2 )−2 2 vrel,M1 − 2 r1∗ # "µ ¶ µ ¶2 2 3 −2 γm (m + m ) m2 m m1 2 1 2 1 2 vrel,M −2 = 2 2 m1 m1 r2∗ m2 · Erel,M2 . = m1 m1 = 2

În mod asem˘ an˘ ator, p˘ astrând nota¸tiile subsec¸tiunii 2.2.14, deducem c˘ a  ηrel,M2 = ηrel,M1     ψrel,M2 = π + ψrel,M1   ³ ´2   m1  C = Crel,M1  rel,M 2  m2   m  prel,M2 = m12 prel,M1   ³ ´ ³ ´−2 ³ 2 ´ C2 C 1 = m m2 γm0 γm20 rel,M   rel,M1 2    erel,M2 = erel,M1   ³ ´−1   1  A(B)rel,M2 = − m A(B)rel,M1   m2  ´ ³  −1   1 λrel,M2 = m λrel,M1 . m2

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

147

În concluzie, mi¸sc˘ arile punctelor materiale ale sistemului mecanic se desf˘ a¸soar˘ a pe traiectorii asemenea (vezi Figura 2.17 a) în jurul baricentrului G (cf. [32], p. 167, [54], p. 38, [76], p. 518, 521). Cât despre mi¸scarea sistemului mecanic, trebuie precizat c˘ a, în general, cele dou˘ a particule materiale realizeaz˘ a o mi¸scare plan˘ a instantanee în jurul baricentrului G dar c˘ a planul mi¸sc˘ arii (instantanee) se deplaseaz˘ a rectiliniu uniform (cf. [56], p. 145).

Figura 2.17 a

Figura 2.17 b

Într-adev˘ ar, vectorii F , r fiind coliniari, deducem c˘ a 0=r× not

·· · m1 + m2 d F = r× r= (r× r). m1 m2 dt ·

a o m˘ arime constant˘a, ceea ce ne Astfel, vectorul α = r× r desemneaz˘ îng˘ aduie s˘ a afirm˘ am c˘ a vectorul r se g˘ ase¸ste în unicul hiperplan al spa¸tiului T R3 care este perpendicular pe α (cf. [56], p. 143). În particular, dreapta M1 M2 (de vector director r) r˘ amâne în permanen¸ta˘ paralel˘ a cu un plan având direc¸tia normal˘ a fix˘a (c˘ aci α · r = 0) (vezi Figura 2.17 b). Formula (2.122) arat˘ a c˘ a ce-a de-a treia lege a lui Kepler este susceptibil˘ a − → 0 00 de a fi aproximativ˘a. Mai precis, dac˘ a înlocuim reperul R cu R = (M2 , B ), rela¸tia (2.119) poate fi scris˘ a sub forma m1 arel = ··

Aici, r=

³

∂2r ∂t2

´

R00

m1 + m2 F = F ∗. m2 ·

(2.123) ··

c˘ aci ω = 0, de unde v rel =r, arel =r.

La fel ca anterior, vectorii F ∗ , r sunt coliniari. Aceasta ne conduce la o mi¸scare plan˘ a, f˘ acând posibil˘ a utilizarea transform˘ arii Pr˝ufer, deci rescrierea

148

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

rela¸tiei (2.123) sub forma unei ecua¸tii a lui J. Binet. Mai precis, d2 dθ2

µ ¶ µ ¶−2 1 F∗ 1 1 + = − · r r m1 C 2 r γ(m1 + m2 ) = C2

în planul M2 xy (am considerat α = αk, unde α > 0). Putem, a¸sadar, conform (2.111), aduce o corec¸tie celei de-a treia legi a lui J. Kepler: ¶−1 µ T2 4π2 m1 = · 1+ a3 γm2 m2 (cf. [34], p. 361). Cu alte cuvinte, constanta din enun¸tul legii a treia depinde de masa planetei.

2.2.17

Ecua¸tia lui J. Kepler

S˘ a revenim la problema mi¸sc˘ arii particulei în câmpul gravita¸tional punctiform al masei m0 localizat˘ a în originea sistemului de referin¸ta˘ iner¸tial R. Formulele (2.105), (2.106) realizeaz˘ a leg˘atura între coordonatele particulei materiale ¸si timp. Urmând expunerile f˘ acute în [41], p. 55-56, [76], p. 434-438, acesteia i se poate asigura o reprezentare parametric˘a extrem de convenabil˘ a. Mai întâi, se cuvine precizat faptul c˘ a axa focal˘ a a traiectoriei particulei materiale este imobil˘a fa¸ta˘ de axele sistemului de referin¸ta˘ R (vezi Figura 2.15). Ea este caracterizat˘ a, dup˘ a cum am v˘ azut anterior, de unghiul ψ. Este posibil, a¸sadar, pentru simplificarea calculelor, s˘ a alegem drept axa de coordonate Ox chiar axa focal˘ a a traiectoriei. Tinând ¸ seama de (2.104), putem scrie c˘ a rmin =

p = a(1 − e) 1+e

de unde a=

rmin + rmax 2

rmax =

e=

p = a(1 + e), 1−e

rmax − rmin rmax + rmin

(cf. [59], p. 89), formule extrem de utile în rezolvarea problemelor de mecanic˘ a teoretic˘ a.

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

149

Conform (2.105), avem dt = q

dr 2E m

+

2α r

L2O m2 r2

− r

(2.109), (2.110)

=

mrdr 1 ·q =√ −2Em α −r2 + −E r−

m rdr . ·p −2E −r2 + 2ar − ap

L2O −2Em

Îns˘ a p = a(1 − e2 ), astfel c˘ a r r m ma rdr rdr ·q ·q = dt = −2E α a2 e2 − (a − r)2 a2 e2 − (a − r)2

(cf. [41], p. 56, [76], p. 435). Facem schimbarea de variabil˘ a natural˘a a − r = ae cos u ¸si integr˘ am ecua¸tia diferen¸tial˘ a cu variabilele separate ob¸tinut˘ a: r Zu ma t=a · (1 − e cos q) dq. α 0

S-a considerat c˘ a la momentul ini¸tial (t0 = 0) particula material˘ a se g˘ asea în pozi¸tia dat˘ a de r = a(1 − e cos 0) = rmin , numit˘ a periheliul traiectoriei24 (pozi¸tia r = rmax reprezint˘ a afeliul traiectoriei) (cf. [76], p. 431, 435, [41], p. 54, 56). A¸sadar, r ma3 (2.111) T t= (u − e sin u) = (u − e sin u) , α 2π formul˘ a cunoscut˘ a sub numele de ecua¸tia lui J. Kepler (cf. [34], p. 364, [76], p. 436). Apoi, conform (2.104), putem scrie c˘ a x = r cos (θ − ψ) =

¢ ¤ p−r 1£ ¡ = a 1 − e2 − a (1 − e cos u) e e

= a (cos u − e) √ √ r2 − x2 = a 1 − e2 sin u. y = 24

În astronomie, aceast˘ a pozi¸tie se nume¸ste pericentru. Dac˘ a masa m0 reprezint˘ a Soarele sau P˘ amântul, vorbim de periheliu, respectiv perigeu. În cazul unui corp ceresc oarecare, pozi¸tia este periastrul traiectoriei, cf. [60], p. 6.

150

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

De asemeni, cum cos (θ − ψ) = θ−ψ tan = 2 =

s

r

a(cos u−e) r

=

1 − cos (θ − ψ) = 1 + cos (θ − ψ)

cos u−e , 1−e cos u

r

1+e · 1−e

avem r

1 − cos u 1 + cos u

1+e u · tan 1−e 2

(cf. [34], p. 364). Parametrul u admite urm˘ atoarea interpretare geometric˘a (cf. [76], p. 436). S˘ a not˘ am cu M1 , M2 (vezi Figura 2.18) piciorul perpendicularei coborât˘ a din pozi¸tia M a particulei materiale, în mi¸scare pe elips˘ a, pe axa focal˘ a Ox, respectiv intersec¸tia acestei perpendiculare cu cercul, situat în planul mi¸sc˘ arii, care are drept diametru axa mare a traiectoriei. De asemeni, fie O1 centrul cercului. Egalitatea O1 M1 = O1 O + OM1 = ae + x ne conduce la a cos ] (M2 O1 M1 ) = ae + a(cos u − e) = a cos u, de unde ] (M2 O1 M1 ) = u.

Figura 2.18

2.2.18

Limitele teoriei newtoniene a gravita¸tiei

În aceast˘ a subsec¸tiune urm˘ am prezentarea f˘ acut˘ a în [76], p. 428-429. Teorema conserv˘ arii energiei mecanice în cazul mi¸sc˘ arii particulei în câm 1 2 α p gravita¸tional punctiform, ¸si anume 2 mv − r = E, explic˘ a de ce traiectoriile hiperbolice ( E > 0) corespund unor puncte materiale care vin de la infinit cu vitez˘a ”ini¸tial˘a” nenul˘a (facem ca r s˘ a tind˘ a c˘ atre +∞) în timp ce traiectoriile parabolice ( E = 0) corespund unor particule care au la infinit viteza nul˘a (cf. [41], p. 55). S˘ a consider˘ am un punct material de mas˘ a m0 ¸si raz˘ a vectoare r în sistemul de referin¸ta˘ iner¸tial R care vine de la infinit cu vitez˘ a nenul˘ a (vezi Figura 2.19).

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

151

Figura 2.19 Impunând în (2.104) ca r = +∞, ob¸tinem ecua¸tia trigonometric˘ a a unghiurilor f˘ acute cu axa focal˘ a Ox de asimptotele traiectoriei: cos (θ − ψ) = −

1 e

(e > 1),

¡ ¢ de unde θ−ψ = ± π2 + arcsin 1e +2kπ, k ∈ Z. Diferen¸ta celor dou˘ a cantit˘ a¸ti ne conduce la unghiul ϕ al asimptotelor hiperbolei, drepte pe care am stabilit un sens de parcurs (orientare): 1 ϕ = 2 arcsin . e Dac˘ a η = π2 , cum e=

v # "µ µ ¶ u ¶ 2 2 2 u v v γm r r 0 0 0 0 = t1 + 1 + 2 2 v02 − 2 − 2 0 · sin2 η, γ m0 r0 γm0 γm0

s

ob¸tinem

C2

r0 v02 − 1. γm0 Atunci când valoarea lui e este suficient de mare, putem scrie c˘ a e=

ϕ = 2 arcsin

1 2 2γm0 w w . e e r0 v02

0 M˘ arimea ϕ = 2γm reprezint˘ a unghiul de deviere a traiectoriei unei parr0 v02 ticule rapide în câmpul gravita¸tional punctiform. Calculul anterior are urm˘ atoarea justificare practic˘ a. S˘ a presupunem c˘ a lumina este constituit˘ a din particule materiale, numite fotoni, având viteza

152

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

constant˘ a v0 = 3 · 108 m/s. O raz˘ a luminoas˘ a, provenind de la un astru îndep˘ artat, trece razant fa¸ta˘ de suprafa¸ta Soarelui ¸si sufer˘ a o deviere a traiectoriei 6 de unghi ϕ. Datele numerice sunt r0 = 696 · 10 m (raza Soarelui), η = π2 (vezi Figura 2.20), m0 = 2 · 1030 kg. Ob¸tinem ϕ = 000 , 87 (grade sexagesimale). Valoarea determinat˘ a prin observa¸tie astronomic˘ a, în timpul eclipsei totale de Soare, este ϕreal = 100 , 74 (cf. [76], p. 429, [42], p. 339, [79], p. 159).

Figura 2.20 O alt˘ a neconcordan¸ta˘ între m˘ asur˘ atorile fizice ¸si calculul f˘ acut în teoria newtonian˘ a a gravita¸tiei prive¸ste a¸sa-zisul imobilism al axei focale a traiectoriei planetelor în mi¸scarea lor circumsolar˘ a. Observa¸tia astronomic˘ a a ar˘ atat c˘ a pozi¸tiile periheliului planetelor variaz˘ a în timp. Astfel, în cazul planetei Mercur avem de a face cu o deplasare secular˘ a de 4300 , 5 (grade sexagesimale) (cf. [76], p. 432). S-a încercat corectarea teoriei clasice a gravita¸tiei prin introducerea unui termen aditiv în formula (2.76) sau luând în discu¸tie prezen¸ta unor planete fictive (înc˘ a nedescoperite). Rezultatele ob¸tinute nu au fost îns˘ a mul¸tumitoare. Abia teoria relativist˘ a a câmpului gravita¸tional [42], [79], ofer˘ a justific˘ ari fenomenelor descrise mai sus. O serie de detalii interesante privind varia¸tia pozi¸tiei periheliului planetelor pot fi citite în [41], p. 49-50, 59-60. În încheiere, s˘ a consider˘ am c˘ a asupra particulei materiale ac¸tioneaz˘ a un β α câmp de for¸te centrale (gravita¸tionale) având formula F (r) = − r2 + r3 , unde β > 0. Atunci, problema (2.102) devine ( ¡ 1 ¢00 0 + (1 + λ) 1r = γm r C2 ¡1¢ ¡ 1 ¢0 (2.124) 1 1 (θ0 ) = − r0 tan , (θ0 ) = r0 r r η not

unde λ =

β . mC 2

Convenim s˘ a lucr˘ am cu ordinul de aproximare β 2 w 0.

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

153

Rezolvarea ecua¸tiei diferen¸tiale din (2.124) presupune, conform [24], p. 399-400, stabilirea formulei solu¸tiei pentru ecua¸tia diferen¸tial˘ a liniar˘ a ¸si omogen˘ a µ ¶00 1 1 + (1 + λ) = 0, r r adic˘ a, în particular, determinarea solu¸tiilor ecua¸tiei algebrice z 2 + 1 + λ = 0. Astfel, folosind dezvoltarea limitat˘ a a func¸tiei radical în vecin˘ atatea lui 1, avem ¶ µ √ λ z1,2 = ±i 1 + λ w ±i 1 + . 2 Ob¸tinem, a¸sadar, solu¸tia problemei (2.124) sub forma µ ¶ µ ¶ γm0 λ λ 1 = 2 + A cos 1 + θ + B sin 1 + θ, r C (1 + λ) 2 2 unde i h  ¡ ¡ ¢ ¢ λ 1 λ 0  A = r1 − C 2γm cos 1 + + sin 1 + θ θ0 0 λ (1+λ) 2 2 (1+ 2 )r0 tan η i h 0 ¡ ¡ ¢ ¢ 1 λ  B = 1 − 2γm0 sin 1 + λ θ0 − cos 1 + θ0 . λ r0 C (1+λ) 2 2 (1+ 2 )r0 tan η Se ajunge la p £¡ λ λ ¢ ¤. r= 1 + eλ cos 1 + 2 (θ − ψ) Aici, s · ¸ 2 ¢ C (1 + λ) C 2 (1 + λ) 2 ¡ γm0 2 v0 1 + λ sin η − 2 . eλ = 1 + pλ = γm0 γ 2 m20 r0 ¢2 ¡ Am ¸tinut seama de ordinul de aproximare: 1 + λ2 w 1 + λ. Ca ¸si ·

anterior, θ> 0, deci unghiul θ cre¸ste în permanen¸ta˘.

Figura 2.21

154

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

S˘ a presupunem c˘ a la un moment dat planeta se g˘ ase¸ste la periheliul traiectoriei sale: r = rmin , θ = ψ. Mi¸scarea desf˘ a¸surându-se în sens trigonometric (vezi Figura 2.21), planeta ajunge la afeliu pentru prima oar˘ a dup˘ a ce vecπ torul s˘ au de pozi¸tie s-a rotit cu unghiul 1+λ/2 . Planeta revine la periheliul dat π a înc˘ a o rota¸tie a vectorului s˘ au de pozi¸tie cu unghiul 1+λ/2 . de r = rmin dup˘ Îns˘ a noua pozi¸tie a periheliului traiectoriei nu mai coincide cu pozi¸tia ini¸tial˘ a. Diferen¸ta de unghi produs˘ a este echivalent˘ a unei rotiri în sens invers trigonometric a dreptei ce une¸ste centrul O cu pozi¸tia ini¸tial˘ a a periheliului, de unghi µ ¶ π λ/2 λ λ ∆ψ = 2π − 2 · = 2π w 2π 1− 1 + λ/2 1 + λ/2 2 2 πβ πβ w , = 2 mC αp unde p reprezint˘ a parametrul traiectoriei ”neperturbate” (p = p0 ), cu ordinul de aproximare dat de β 2 w 0 (cf. [41], p. 60).

2.2.19

Teorema virialului

Aceast˘ a subsec¸tiune are un caracter auxiliar. Ea vine în continuarea calculelor de mecanic˘ a hamiltonian˘ a prezentate în subsec¸tiunea ”Legi de conservare (II)”. Cititorul nu este obligat s˘ a o parcurg˘ a la prima lectur˘ a.

Teorema virialului (Clausius) prive¸ste media temporal˘a a energiei cinetice a unui sistem mecanic închis. Ea are o semnifica¸tie excep¸tional˘ a în procesele de m˘ asurare fizic˘ a (cf. [56], p. 195-196). S˘ a consider˘ am, a¸sadar, sistemul mecanic închis a n puncte materiale, de mase mi ¸si raze vectoare ri în raport cu sistemul de referin¸ta˘ iner¸tial R (cf. [41], p. 178), a c˘ arui stare mecanic˘ a este caracterizat˘ a de lagrangianul (2.97). Spunem c˘ a energia poten¸tial˘ a V a sistemului mecanic este o func¸tie omogen˘a de ordinul k ∈ Z dac˘ a, prin defini¸tie, V (αr1 , αr2 , ...) = αk V (r1 , r2 , ...), unde α reprezint˘ a o constant˘ a real˘ a oarecare. Are loc urm˘ atoarea teorem˘ a a lui L. Euler: n X ∂V kV = · ri (2.125) ∂r i i=1 (cf. [41], p. 37).

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

155

Într-adev˘ ar, putem scrie c˘ a ¤ d £ k d V (αr1 , αr2 , ...) = α V (r1 , r2 , ...) dα dα = kαk−1 · V (r1 , r2 , ...) ¸si

¶ n n µ X d ∂V d (αri ) X 1 ∂V · ri . V (αr1 , αr2 , ...) = · = · dα ∂ (αri ) dα α ∂ri i=1 i=1

Egalând cele dou˘ a expresii ob¸tinem

n X ∂ kα · V (r1 , r2 , ...) = V (αr1 , αr2 , ...) · ri . ∂ri i=1 k

Justificarea rela¸tiei (2.125) se încheie dac˘ a alegem α = 1. Acest tip de formule se dovede¸ste esen¸tial, printre altele, în calcule legate de reducerea num˘arului de variabile. Cititorul poate consulta, de exemplu, lucrarea recent˘ a a cercet˘ atorilor canadieni A. Bóna ¸si M. Slawi´nski, Raypaths as parametric curves in anisotropic, nonuniform media: differential-geometry approach, ap˘ arut˘ a în Nonlinear Analysis, 51(2002), p. 983-994. În continuare, conform (2.97), avem ! Ã n n n n X X X · d X 2T = (mi v i ) · vi = pi · v i = pi · ri − ri · pi . dt i=1 i=1 i=1 i=1

Consider˘ am, în acord cu problemele vie¸tii de zi cu zi, c˘ a particulele sistemului mecanic r˘ amân ”permanent” într-o zon˘ a m˘arginit˘a a SF ¸si c˘ a exist˘ a o limitare superioar˘a a valorilor vitezelor acestora. Media temporal˘a a unei anumite m˘ arimi Θ(t) este dat˘ a de formula 1 Θ = lim t→+∞ t not

Zt

Θ(τ )dτ

t0

(cf. [41], p. 36). n P M˘ arimea pi · ri fiind m˘ arginit˘ a, media derivatei sale temporale este i=1

nul˘ a:

d dt

à n X i=1

pi · ri

!

1 = lim t→+∞ t

( n X i=1

)

[pi (t) · ri (t) − pi (t0 ) · ri (t0 )]

156

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL =

m˘ arginit = 0. infinit

Conform (2.99) ¸si (2.125), deducem c˘ a −

n X i=1

·

ri · pi =

n X i=1

ri ·

∂V = kV. ∂ri

În concluzie, 2T = kV . Îns˘ a E = E = T + V , de unde T =

k E k+2

V =

2 E. k+2

a teorema virialului. Formula T = k2 V reprezint˘ În cazul particular al interac¸tiunii gravita¸tionale (n = 2 ¸si una dintre particule este localizat˘ a în originea sistemului de referin¸ta˘), cum V (r) = m1 m2 a de grad k = −1, avem 2T = −V ¸si −γ r constituie o func¸tie omogen˘

ar, atunci când E = −T < 0. O atare situa¸tie corespunde realit˘at¸ii. Într-adev˘ energia mecanic˘ a este negativ˘ a (e < 1), mi¸scarea se produce într-o regiune m˘ arginit˘ a a SF (cf. [41], p. 37).

2.2.20

Punct material liber. Punct material supus unor leg˘ aturi. Condi¸tii de echilibru. For¸te de frecare

Mi¸scarea punctului material în câmp central (gravita¸tional) se datoreaz˘ a, dup˘ a cum am v˘ azut, ac¸tiunii la distan¸t˘a (r > 0) a unei for¸te de tip atractiv, f˘ ar˘ a ”atingerea” dintre particul˘ a ¸si corpul generator de câmp. Acest caz ”cosmic” de mi¸scare prezint˘ a o serie de avantaje pe care nu le reg˘ asim în via¸ta de zi cu zi. Astfel, în vid, corpul punctiform nu întâlne¸ste nici un obstacol, nu se ciocne¸ste de nimic. Dou˘ a exemple extrem de sugestive se cuvin aduse în discu¸tie. Primul este cel al unui creion legat cu sfoar˘ a de degetul ar˘ at˘ ator al mâinii drepte (varianta simplificat˘ a a juc˘ ariei yo-yo care apare în filmele americane, mânuit˘ a cu încântare de vreun pu¸sti de 5 − 6 ani). El se poate deplasa în orice direc¸tie, dar distan¸ta de la vârful s˘ au la degetul ar˘ at˘ ator al persoanei care realizeaz˘ a experimentul nu poate dep˘ a¸si valoarea dmax = l + (D − d), unde l reprezint˘ a lungimea sforii iar d (d < D2 ) distan¸ta de la cap˘ atul creionului la nodul f˘ acut de sfoar˘ a pe creion (”grosimea” creionului se neglijeaz˘ a) (vezi Figura 2.22).

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

157

Ceea ce arat˘ a c˘ a vârful V este supus unei restric¸tii dat˘a printr-o inegalitate, ¸si anume d(O, V ) 6 dmax sau, echivalent,

x2V (t) + yV2 (t) + zV2 (t) − d2max 6 0

(cf. [76], p. 123, [34], p. 387, [63], p. 328-329). Al doilea exemplu este furnizat de cartea ”Un veac de singur˘ atate”, apar¸tinând scriitorului sudamerican G. G. Márquez, aflat˘ a într-un raft de bibliotec˘ a, la etajul al doilea al Bibliotecii Jude¸tene din Craiova. Volumul respectiv poate fi scos din raft (deplasat orizontal) dar nu poate fi ridicat sau coborât (mi¸scat pe vertical˘a ) atâta timp cât se g˘ ase¸ste în raft. Cu alte cuvinte, litera ”U” din titlul c˘ ar¸tii este supus˘ a unei restric¸tii dat˘a printr-o egalitate, ¸si anume zU (t) = h, unde h reprezint˘ a în˘ al¸timea (constant˘ a) a raftului.

Figura 2.22 Exemplele anterioare arat˘ a c˘ a, în problemele vie¸tii de zi cu zi, asupra corpurilor ac¸tioneaz˘ a o serie de restric¸tii, numite leg˘aturi. În cazul unei particule, se întâlnesc denumirile de punct material liber ¸si punct material legat desemnând un corp punctiform care poate ocupa, în principiu, orice pozi¸tie în SF relativ la sistemul de referin¸ta˘ R, respectiv un corp punctiform obligat, de exemplu, s˘ a r˘ amân˘ a pe o suprafa¸ta˘, pe o curb˘ a sau într-un punct fix (cf. [76], p. 110). Astfel, leg˘aturile constituie restric¸tii de natur˘a geometric˘a s¸i/sau cinematic˘a ale posibilit˘at¸ilor de mi¸scare ale punctului material. Leg˘ aturile bilaterale se exprim˘ a prin egalit˘ a¸ti (ecua¸tii) de forma ³ ´ · · · y x, z ϕ t, x, y, z, = 0, ,

158

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

pe când leg˘ aturile unilaterale vor fi date cu ajutorul inegalit˘ a¸tilor ³ ´ · · · ϕ t, x, y, z, x, y , z 6 0.

În func¸tie de prezen¸ta explicit˘a, respectiv absen¸ta timpului t din formula leg˘ aturii, aceasta este reonom˘a (în prezen¸ta timpului t) sau scleronom˘a (în absen¸ta timpului t). Admitem în cele ce urmeaz˘ a c˘ a o leg˘atur˘a nu cedeaz˘a (punctul material nu poate fi ”smuls” leg˘aturii) s¸i nu se modific˘a sau distruge în timp. În plus, prezen¸ta explicit˘ a a timpului t în formula leg˘ aturii permite evolu¸tia acesteia dup˘a o lege dat˘a, independent de for¸tele care ac¸tioneaz˘ a asupra punctului material (cf. [76], p. 476-477, [34], p. 387-388, [63], p. 328). Un exemplu în aceast˘ a privin¸ta˘ este oferit de prezen¸ta unei pietricele în interiorul unei anvelope (aproximat˘ a, pentru simplitate, cu un tor 3−dimensional). Datorit˘ a existen¸tei unei sp˘ arturi de dimensiuni reduse, anvelopa se dezumfl˘ a în timpul mi¸sc˘ arii autovehiculului. Ceea ce înseamn˘ a c˘ a pietricica se g˘ ase¸ste într-un loc din ce în ce mai ”strâmt”, fenomen independent de for¸tele care ac¸tioneaz˘ a asupra sa. Nu insist˘ am în privin¸ta unor asemenea chestiuni, ele fiind tratate pe baza calculelor specifice mecanicii analitice (cf. [76], p. 482, 493). Oricum, a devenit clar c˘ a, atât în situa¸tia creionului legat de degetul ar˘ at˘ ator cât ¸si în cea a c˘ ar¸tii din raftul de bibliotec˘ a, leg˘ aturile constituie expresii matematice ale interac¸tiunii corpurilor, dar c˘ a efectele acestor interac¸tiuni sunt neglijabile în cazul unuia dintre cele dou˘ a corpuri implicate în proces. Astfel, tendin¸ta creionului de a ”trage”, la rândul s˘ au, de degetul ar˘ at˘ ator, respectiv a c˘ ar¸tii de a ap˘ asa raftul de bibliotec˘ a atunci când cineva încearc˘ a s˘ a o deplaseze vertical au consecin¸te practic nule asupra degetului ar˘ at˘ ator ori a raftului de bibliotec˘ a. Cu alte cuvinte, leg˘ aturile au un sens local, identificându-se degetul ar˘ at˘ ator ¸si raftul de bibliotec˘ a cu mediul înconjur˘ ator (cf. [32], p. 65). În particular, cele dou˘ a aspecte referitoare la punctul material liber, ¸si anume absen¸ta ac¸tiunii vreunei for¸te (venite din partea ”mediului” înconjur˘ ator) ¸si posibilitatea de a ocupa indiferent ce pozi¸tie în SF sub ac¸tiunea unor for¸te corespunz˘ atoare se pun de acord. Vom stabili în continuare, pe baza expunerii f˘ acut˘ a în [76], p. 112-124, ecua¸tiile care intervin în static˘ a, numite condi¸tii de echilibru ale punctului material. Urm˘ atorul experiment poate fi u¸sor imaginat. Pe un plan înclinat (vezi Figura 2.23) este a¸sezat˘ a o bucat˘ a de s˘ apun de cas˘ a (având form˘ a ◦ paralelipipedic˘ a) pe care o leg˘ am cu sfoar˘ a. Variind unghiul β (0 6 β 6 90 )

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

159

f˘ acut de sfoar˘ a cu suprafa¸ta planului, putem împiedica bucata de s˘ apun s˘ a alunece în jos pe planul înclinat. Evident, for¸ta întrebuin¸tat˘ a cu aceast˘ a − → − → − → ocazie ( F , F1 , F2 , etc) va depinde de unghiul β. Asupra buc˘ a¸tii de s˘ apun (privit˘ a ca un ”punct” material) ac¸tioneaz˘ a (în mod vizibil) dou˘ a for¸te:

Figura 2.23 − → − → F (transmis˘a prin intermediul sforii) ¸si greutatea G . Bucata de s˘ apun este, în plus, supus˘ a unei leg˘ aturi unilaterale, fiind obligat˘ a s˘ a se mi¸ste pe − → suprafa¸ta planului înclinat (leg˘ atura este unilateral˘ a c˘ aci, dac˘ a for¸ta F este suficient de mare, bucata de s˘ apun va p˘ ar˘ asi planul înclinat, fiind ridicat˘ a în aer). În mod evident, bucata de s˘ apun interac¸tioneaz˘a cu planul înclinat ”responsabil” de existen¸ta restric¸tiei de mi¸scare a sa; mai precis, bucata de s˘ apun apas˘a planul înclinat (ac¸tiune), acesta intervenind cu o for¸ta˘ necunos− → cut˘ a R (reac¸tiune) asupra buc˘ a¸tii de s˘ apun (cf. [32], p. 46). În concluzie, − → − → asupra buc˘ a¸tii de s˘ apun ac¸tioneaz˘ a trei for¸te: dou˘ a ”vizibile” F , G (for¸ta − → F exercitat˘ a prin intermediul sforii se mai nume¸ste ¸si activ˘a, cf. [32], p. 65, − → [14], p. 18) ¸si o a treia, R , venind din partea ”mediului”. Putem, în mod − → natural, face s˘ a dispar˘a planul înclinat punând în locul s˘ au for¸ta R . Condi¸tiile de echilibru ale buc˘ a¸tii de s˘ apun trebuie s˘ a asigure r˘ amânerea acesteia în repaus dup˘ a a¸sezarea pe planul înclinat. Pentru determinarea lor utiliz˘ am principiul paralelogramului (independen¸tei ac¸tiunii for¸telor) ¸si principiul iner¸tiei (cf. [76], p. 112). Asupra buc˘ a¸tii de s˘ apun ac¸tionând trei for¸te diferite, ele pot fi înlocuite cu una singur˘ a, rezultanta lor. Efectul ac¸tiunii acesteia asupra corpului material va îngloba efectele ac¸tiunii fiec˘ areia dintre cele trei for¸te. Cum bucata de s˘ apun trebuie s˘ a r˘ amân˘ a în repaus odat˘ a a¸sezat˘ a pe planul înclinat, starea sa mecanic˘a nu sufer˘a vreo modificare

160

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

(ini¸tial, s˘ apunul era ¸tinut cu mâna), ceea ce arat˘ a c˘ a, pe baza principiului iner¸tiei, are loc rela¸tia − → − → − → F + G + R = 0. (2.126) ”Sl˘ abind” pu¸tin sfoara, bucata de s˘ apun va începe s˘ a alunece în jos pe planul înclinat. Mi¸scarea sa este rectilinie. Aceasta ne permite s˘ a descompunem ecua¸tia (2.126) dup˘ a dou˘ a direc¸tii ortogonale: una paralel˘ a cu suprafa¸ta planului înclinat (direc¸tia mi¸sc˘ arii posibile a buc˘ a¸tii de s˘ apun) ¸si cealalt˘ a perpendicular˘ a pe planul înclinat (vezi Figura 2.24).

Figura 2.24 Putem da ¸si o alt˘ a justificare (par¸tial˘ a) a acestei descompuneri: rela¸tia − → − → − → − → − → − → (2.126) arat˘ a c˘ a R ∈ Sp({ F , G }). For¸tele R , F , G fiind, a¸sadar, − → coplanare, ele se vor g˘ asi în planul sec¸tiunii verticale ( G are direc¸tia verticalei descendente) având unghiul la baz˘ a α (cf. [76], p. 118) prin planul înclinat ce con¸tine punctul material. Descompunerea rela¸tiei (2.126) se poate face dup˘ a direc¸tiile oric˘ arei baze (ortonormate) a spa¸tiului director al sec¸tiunii. A¸sadar, condi¸tiile necesare ¸si suficiente (cf. [76], p. 113) ca bucata de s˘ apun s˘ a r˘ amân˘ a în echilibru pe planul înclinat sunt ½

Fk + T − Gk = F cos β + T − G sin α = 0 N + F⊥ − G⊥ = N + F sin β − G cos α = 0.

(2.127)

− → − → − → Aici, R = N + T iar semnul lui T depinde de tendin¸ta de mi¸scare a buc˘ a¸tii de s˘ apun (vezi Figura 2.25) (cf. [63], p. 39-40, [14], p. 23-24, [76], p. 128).

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

161

Figura 2.25 În general, dac˘ a asupra unui punct material liber ac¸tioneaz˘ a mai multe − → a a condi¸tiilor sale de echilibru este for¸te Fi , atunci forma vectorial˘ → − → X− Fi = 0, (2.128) F = i

− → − → unde F desemneaz˘ a rezultanta for¸telor Fi . Condi¸tiile de echilibru se ob¸tin proiectând (2.128) pe trei (dou˘ a) direc¸tii ortogonale alese convenabil (cf. [14], p. 18). Problemele staticii punctului material liber (cf. [63], p. 29, [14], p. 18) se refer˘ a, pe de o parte, la determinarea pozi¸tiei de echilibru a − → acestuia în reperul canonic R (for¸tele Fi fiind cunoscute) ¸si, pe de alt˘ a parte, − → la determinarea for¸telor Fi care trebuie aplicate punctului material pentru ca acesta s˘ a r˘ amân˘ a în echilibru într-o anumit˘ a pozi¸tie. În acest al doilea − → caz, asupra for¸telor Fi este necesar s˘a fie impuse condi¸tii suplimentare (în particular, β < 90◦ ; tr˘ agând de sfoar˘ a perpendicular pe suprafa¸ta planului înclinat nu putem opri alunecarea buc˘ a¸tii de s˘ apun ci, cel mult, desprinde bucata de s˘ apun de planul înclinat) (cf. [76], p. 113-114). − → For¸ta R poart˘ a denumirea de for¸t˘a de leg˘atur˘a (reac¸tiune) (cf. [32], p. 65, [63], p. 31, [14], p. 18, [76], p. 115, 480). Dac˘ a asupra componentelor − → − → sale N , T nu se impune nici o condi¸tie, problema echilibrului buc˘ a¸tii de s˘ apun este nedeterminat˘a (cf. [76], p. 115). A¸sa cum vom vedea ulterior, între m˘ arimile N ¸si T are loc rela¸tia |T | 6 µN, constanta µ fiind determinat˘ a experimental (cf. [14], p. 23). S˘ a consider˘ am punctul material M obligat s˘ a r˘ amân˘ a pe suprafa¸ta simpl˘ a γ : U → E3 . Leg˘ atura sa este bilateral˘ a, punctul material M neputând p˘ ar˘ asi suprafa¸ta. Mi¸scarea (posibil˘ a) a punctului material M sub ac¸tiunea unor for¸te oarecare având loc pe suprafa¸ta˘, pozi¸tia acestuia este caracterizat˘ a complet de parametrii (variabilele) suprafe¸tei, numi¸ti grade de libertate ale punctului material (cf. [76], p. 110, 117, 479-480, [41], p. 7, [2], p. 57).

162

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Micile varia¸tii (”sl˘ abirea” sforii în cazul buc˘ a¸tii de s˘ apun) ale pozi¸tiei punctului material M în jurul pozi¸tiei sale de echilibru se fac pe un arc ”infinit” de mic de curb˘ a situat pe suprafa¸ta γ : U → E3 . Ori, a¸sa cum precizam la comentariile f˘ acute în finalul sec¸tiunii precedente, o asemenea mi¸scare poate fi aproximat˘ a cu deplasarea punctului material pe tangenta la arcul de curb˘ a în pozi¸tia sa de echilibru. Ceea ce implic˘ a faptul c˘ a deplas˘ arile (posibile) ”infinit” de mici ale punctului material M se realizeaz˘ a, practic, în planul tangent la suprafa¸ta γ : U → E3 în pozi¸tia de echilibru a acestuia (cf. [76], p. 750). Apare astfel, în mod natural, ideea de a descompune for¸ta de leg˘ atur˘ a − → − → − → necunoscut˘ a R în dou˘ a componente N , T , una coliniar˘ a cu versorul normal exterior al suprafe¸tei γ : U → E3 în pozi¸tia de echilibru a punctului material − → − → ( N ) ¸si cealalt˘ a ( T ) situat˘ a în planul TM0 , unde M0 reprezint˘ a pozi¸tia de echilibru a punctului material M. În mod evident, ”rolul” componentei nor− → − → male N a reac¸tiunii R este de a împiedica punctul material s˘a p˘ar˘aseasc˘a − → leg˘atura (bilateral˘a). La rândul s˘ au, componenta tangen¸tial˘a T a reac¸tiunii − → R va împiedica punctul material s˘a se deplaseze pe leg˘atur˘a (cf. [76], p. − → 116, [14], p. 19, [63], p. 31-32). Componenta T poart˘ a denumirea de for¸t˘a de frecare (cf. [76], p. 116, 480, [14], p. 19, [2], p. 61). Ea se datoreaz˘ a ”asperit˘ a¸tilor” suprafe¸tei γ : U → E3 (cf. [14], p. 21). Leg˘ atura γ : U → E3 este ideal˘a (lucioas˘a, lucie) dac˘ a T = 0. Considera¸tiile anterioare î¸si p˘ astreaz˘ a valabilitatea atunci când punctul material este obligat s˘ a r˘ amân˘ a pe curba simpl˘ a γ : I → E3 . Singura deose− → bire const˘ a în faptul c˘ a, acum, componenta normal˘ a N a for¸tei de leg˘ atur˘ a − → R nu mai are o direc¸tie precizat˘a, ci se g˘ ase¸ste în planul normal la curba γ : I → E3 în pozi¸tia de echilibru M0 a punctului material M. Forma vectorial˘ a a condi¸tiilor de echilibru ale punctului material M supus unei leg˘ aturi lucii este − → F + λ · −→ nM0 = 0 − → (cf. [76], p. 117-118, [15], p. 60, vol. II), unde F desemneaz˘ a rezultanta for¸telor efectiv (”vizibil”) aplicate punctului material M, respectiv − → → + λ · −→ F + λ1 · − νM 2 βM0 = 0. 0 a În practic˘ a, este util˘ a referirea la curba γ : I → E3 ca intersec¸tie a dou˘ suprafe¸te (cf. [48], p. 15). Atunci, putem scrie c˘ a −−→ −−→ − → F + λ1 · (n1 )M0 + λ2 · (n2 )M0 = 0,

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

163

→, − → unde − n a versorii normali exteriori ai suprafe¸telor γi : Ui → E3 , 1 n2 reprezint˘ i = 1, 2 (cf. [76], p. 120-121, [14], p. 20, [34], p. 399, [25], p. 20). În ceea ce prive¸ste leg˘ aturile unilaterale (date cu ajutorul inegalit˘ a¸tilor), acestea constituie leg˘aturi ce pot fi p˘ar˘asite de punctul material M în anumite condi¸tii (situa¸tia creionului legat de degetul ar˘ at˘ ator al mâinii drepte atunci când sfoara nu este întins˘ a, respectiv a buc˘ a¸tii de s˘ apun ridicat˘ a de − → pe planul înclinat prin ac¸tiunea for¸tei F ) (cf. [76], p. 122). O problem˘ a de static˘ a a punctului material M supus unei leg˘ aturi unilaterale se trateaz˘ a în felul urm˘ ator: presupunem, mai întâi, c˘ a leg˘ atura este bilateral˘ a ¸si determin˘ am pozi¸tia (pozi¸tiile) de echilibru; apoi, pentru fiecare din aceste pozi¸tii, − → analiz˘ am sensul rezultantei F . Dac˘ a acesta nu asigur˘a leg˘atura (de exem− → − → − → plu, în cazul buc˘ a¸tii de s˘ apun, rezultanta F = F + G asigur˘a leg˘ atura, ap˘ asând asupra planului înclinat), atunci pozi¸tia de echilibru respectiv˘a trebuie eliminat˘a din solu¸tia problemei (cf. [76], p. 123, [34], p. 390). Legile lui C. Coulomb privind frecarea. Unghi de frecare. Conuri de frecare Ini¸tiem urm˘ atorul experiment, ¸tinând seama de expunerea f˘ acut˘ a în [32], p. 63-64. Pe o mas˘ a de lemn este a¸sezat˘ a o c˘ ar˘ amid˘ a (vezi Figura 2.26).

Figura 2.26 − → − → For¸ta de frecare T , notat˘ a aici cu Ff , poate fi pus˘ a în eviden¸ta˘ prin împingerea u¸soar˘a a c˘ ar˘ amizii pe direc¸tie orizontal˘ a; în absen¸ta frec˘arii, c˘ ar˘ amida − → ar trebui s˘ a se deplaseze pe direc¸tia for¸tei F . Ori, evident, acest lucru nu − → se petrece decât atunci când for¸ta F ajunge suficient de intens˘a (F este suficient de mare). Ceea ce arat˘ a c˘ a, la contactul c˘ ar˘ amizii cu masa de lemn, intervin anumite for¸te, datorate întrep˘atrunderii ”neregularit˘at¸ilor” microscopice ale celor dou˘ a suprafe¸te care se întâlnesc (ating). Identificând masa cu ”mediul” înconjur˘ ator, interac¸tiunea celor dou˘ a corpuri (c˘ ar˘ amid˘ a, mas˘ a)

164

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

ne va interesa doar din punctul de vedere al reac¸tiunii mediului, ¸si anume − → − → T . Faptul c˘ a, la un anumit moment, sub ac¸tiunea unei for¸te F suficient de intense, c˘ ar˘ amida se urne¸ste din loc, începând s˘ a alunece într-o direc¸tie oarecare, dovede¸ste c˘ a acele for¸te necunoscute care apar în proces nu pot fi oricât de intense, având o valoare maxim˘a (determinabil˘ a experimental). For¸ta necunoscut˘ a care ”re¸tine” c˘ ar˘ amida (identificat˘ a cu un ”punct” mate− → rial) în repaus pân˘ a când for¸ta activ˘ a F devine suficient de intens˘ a poart˘ a denumirea de for¸t˘a de frecare static˘a (aderen¸t˘a). Valoarea sa maxim˘ a este notat˘ a cu fs . Odat˘ a urnit˘ a, c˘ ar˘ amida poate fi f˘ acut˘ a s˘ a alunece în mod uni− → − → form (v = constant) sub ac¸tiunea unei for¸te active F = −Ff pu¸tin mai mic˘a decât for¸ta necesar˘ a pornirii din loc. În acest caz, faptul c˘ a, sub ac¸tiunea − → unei for¸te active F , mi¸scarea este uniform˘ a (a = 0) implic˘ a prezen¸ta unei for¸te necunoscute, datorat˘ a ”ruperii” continue a ”neregularit˘ a¸tilor” microscopice în procesul alunec˘ arii (cf. [32], p. 64, [76], p. 125). Aceast˘ a for¸ta˘, de m˘ arime fc , se nume¸ste for¸t˘a de frecare de alunecare (cinetic˘a) (cf. [76], p. 124, [63], p. 35). A¸sa cum am precizat anterior, fc < fs (cf. [63], p. 36). O serie de experimente au eviden¸tiat propriet˘ a¸tile m˘ arimilor fs , fc . Astfel, sunt valabile, cu un anumit grad de aproxima¸tie (cf. [34], p. 388), urm˘ atoarele legi ale frec˘ arii: 1) Valoarea maxim˘a a for¸tei de aderen¸t˘a, fs , nu depinde de aria de contact dintre corpuri, ci numai de natura materialelor din care acestea sunt constituite s¸i de starea (felul prelucr˘arii) suprafe¸telor de contact. M˘arimea for¸tei de frecare de alunecare, fc , îndepline¸ste acelea¸si condi¸tii ca s¸i fs , fiind, în plus, independent˘a de viteza relativ˘a a corpurilor. 2) M˘arimile fs , fc sunt direct propor¸tionale cu m˘arimea N a reac¸tiunii normale la suprafa¸ta de contact. arimile µs , µc reprezint˘ a Astfel, putem scrie c˘ a fs = µs N, fc = µc N. M˘ coeficientul de aderen¸t˘a, respectiv coeficientul de frecare de alunecare (cf. [32], p. 63, [63], p. 36, [76], p. 125-126). Legile frec˘arii, supranumit˘ a ¸si frecare uscat˘a (f˘ ar˘ a lubrifiere), cf. [63], p. 36, ori coulombian˘a, cf. [76], p. 778, au fost stabilite par¸tial de Leonardo da Vinci (cf. [76], p. 12), fiind redescoperite ulterior de G. Amontons (1699). C. Coulomb a subliniat deosebirea dintre frecarea static˘ a ¸si frecarea cinetic˘ a (cf. [32], p. 64). Legile frec˘ arii prezint˘ a o serie de inexactit˘ a¸ti, cea mai u¸sor de dovedit ap˘ arând în experimentul pl˘acilor de control din metrologie. Acestea sunt suprafe¸te extrem de fin polizate, puse în contact. Teoretic, for¸ta de frecare static˘ a ar trebui s˘ a fie foarte mic˘ a, dar, în realitate, ea cre¸ste extrem

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

165

de mult în intensitate, fenomen datorat interac¸tiunii (coeziunii) moleculelor situate pe suprafe¸tele de contact (cf. [76], p. 126). La rândul s˘ au, coeficientul de frecare de alunecare variaz˘ a cu viteza: el scade brusc la început (între 0 ¸si 10 km/h) dup˘ a care prezint˘ a o evolu¸tie lent˘ a (sc˘ adere) (cf. [63], p. 36). În acest mod poate fi explicat de ce un autovehicul frâneaz˘ a mai u¸sor dac˘ a ro¸tile sale nu sunt blocate complet, ci se rostogolesc ¸si alunec˘ a simultan (cu o vitez˘ a mai mic˘ a decât cea ini¸tial˘ a) (cf. [76], p. 126). În problemele privind echilibrul cu frecare al corpurilor materiale sau rostogolirea f˘ar˘a alunecare apare coeficientul µs , pe când în problemele de dinamic˘ a se folose¸ste coeficientul µc (cf. [32], p. 64, [76], p. 608-611). În tehnic˘ a intervin ¸si frecarea de rostogolire (cf. [32], p. 64, [63], p. 99-100, [76], p. 605-607, [2], p. 85-86), de pivotare (cf. [63], p. 102-103, [76], p. 617, [2], p. 87-89), hidrodinamic˘a (cf. [76], p. 778), etc. S˘ a revenim la ecua¸tiile (2.127). A¸sa cum se poate observa în Figura 2.25, − → este de a¸steptat ca m˘ arimea for¸tei active F s˘ a fie cuprins˘ a între o valoare inferioar˘a Fmin ¸si una superioar˘a Fmax ; într-adev˘ ar, în primul caz, bucata de s˘ apun are tendin¸ta s˘ a alunece în josul planului înclinat pe când în cel − → de-al doilea caz, sub ac¸tiunea for¸tei F , bucata de s˘ apun este gata s˘ a înceap˘ a not ascensiunea pe planul înclinat. Inegalitatea |T | 6 µN, unde µ = µs w µc (cf. [34], p. 389, [32], p. 64), ne conduce la Fmin = G

sin α + µ cos α sin α − µ cos α 6F 6G = Fmax cos β − µ sin β cos β + µ sin β

(cf. [14], p. 24). Cu alte cuvinte, în cazul echilibrului punctului material supus unei leg˘ aturi aspre (cu frecare), m˘ arimea F nu poate fi determinat˘ a precis, ci doar încadrat˘ a între anumite valori-limit˘a. Aceea¸si situa¸tie are loc în cazul c˘ ar˘ amizii a¸sezat˘ a pe o suprafa¸ta˘ orizontal˘ a (masa de lemn). Aici, − → intensitatea for¸tei active F nu poate dep˘ a¸si valoarea µN. Acest fenomen face util˘ a introducerea unor modalit˘ a¸ti geometrice de pozi¸tionare a for¸tei − → rezultante F , ¸si anume conurile de frecare. Introducem unghiul ϕ ∈ [0, π2 ), numit unghi de frecare (cf. [14], p. 21), prin formula tan ϕ = µ. Atunci, inegalitatea |T | 6 µN ne conduce la (vezi Figura 2.27) β 6 ϕ, unde β − → − → desemneaz˘ a unghiul f˘ acut de for¸tele R , N . Evident, leg˘ atura dat˘ a de masa de lemn fiind unilateral˘ a, pentru a men¸tine c˘ ar˘ amida în repaus este necesar − → ca for¸ta F s˘ a se afle în zona ha¸surat˘a (cf. [76], p. 129, [14], p. 21). Dac˘ a − → a ¸si în por¸tiunea leg˘ atura ar fi fost bilateral˘ a, rezultanta F putea fi situat˘ simetric˘a (fa¸ta˘ de suprafa¸ta mesei) a zonei ha¸surate (cf. [76], p. 130).

166

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Figura 2.27 În general, dac˘ a punctul material este supus unei leg˘ aturi bilaterale aspre, fiind obligat s˘ a r˘ amân˘ a pe suprafa¸ta simpl˘ a γ : U → E3 , putem construi conul cu dou˘ a pânze (vezi Figura 2.28) având unghiul la centru 2ϕ ¸si axa de simetrie (longitudinal˘ a) dat˘ a de normala la suprafa¸ta˘ în M0 . Punctul M0 desemneaz˘a o pozi¸tie de echilibru a punctului material M dac˘a rezultanta − → F se g˘ase¸ste în interiorul sau, la limit˘a, pe suprafa¸ta conului (cf. [76], p. 130, [34], p. 391, [63], p. 37). În cazul unei leg˘ aturi bilaterale desemnate de curba simpl˘ a γ : I → E3 , construim conul cu dou˘ a pânze (vezi Figura 2.29) având unghiul la centru π − 2ϕ ¸si axa de simetrie (longitudinal˘ a) dat˘ a de tangenta la curb˘ a în pozi¸tia M0 . Punctul M0 reprezint˘a o pozi¸tie de echilibru − → a punctului material M dac˘a rezultanta F se g˘ase¸ste în exteriorul sau, la limit˘a, pe suprafa¸ta conului (cf. [76], p. 131, [34], p. 398-399, [63], p. 38). Cele dou˘ a conuri poart˘ a denumirea de conuri de frecare (cf. [76], p. 131, [14], p. 21, [34], p. 391, [63], p. 37).

Figura 2.28

Figura 2.29

În sfâr¸sit, în cazul leg˘ aturilor aspre, atunci când sunt cunoscute for¸tele − → Fi efectiv aplicate punctului material M, este de a¸steptat s˘ a existe o infinitate de pozi¸tii de echilibru ale acestuia, grupate în arcuri de curb˘ a, respectiv ”regiuni” ale unei suprafe¸te (cf. [76], p. 127). Chestiunea delicat˘ a a aproxim˘ arii µs w µc îi face pe unii autori s˘ a prefere scoaterea din discu¸tie, la acest nivel, a cazului punctelor de echilibru limit˘a (determinate prin pozi¸tionarea

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

167

− → rezultantei F pe suprafa¸ta conurilor de frecare) (cf. [14], p. 21, [34], p. 391, 399, [26], p. 115). Axioma leg˘ aturilor. Sensul for¸tei de frecare Restric¸tia de mi¸scare impus˘ a buc˘ a¸tii de s˘ apun, din experimentul descris în subsec¸tiunea precedent˘ a, de c˘ atre planul înclinat se face ”sim¸tit˘ a” în calcul − → prin introducerea reac¸tiunii necunoscute R . Practic, odat˘ a luat˘ a în considerare aceast˘ a for¸ta˘, putem elimina planul înclinat din problem˘ a. Ob¸tinem astfel un principiu general, cunoscut sub denumirea de axioma leg˘ aturilor (axioma eliber˘arii, principiul for¸telor de leg˘atur˘a, etc.) (cf. [76], p. 115, 480, [63], p. 31, 329, [14], p. 19, 135): o leg˘atur˘a, prezent˘a în cadrul unei probleme de statica sau dinamica punctului material, poate fi înlocuit˘a cu o for¸t˘a necunoscut˘a, numit˘a for¸t˘a de leg˘atur˘a, în a¸sa fel încât, sub ac¸tiunea for¸telor efectiv aplicate s¸i a for¸tei de leg˘atur˘a, punctul material s˘a poat˘a fi considerat liber. În cazul unui corp material solid rigid, în afara for¸tei de leg˘ atur˘ a se va ¸tine seama ¸si de momentul acesteia (cf. [63], p. 31). A¸sadar, ecua¸tia general˘a a mi¸sc˘ arii punctului material M poate fi scris˘ a sub forma − → − → → m·− a = F + R, (2.129) − → unde F reprezint˘ a rezultanta for¸telor efectiv aplicate punctului material − → M iar R desemneaz˘ a rezultanta reac¸tiunilor (for¸telor de leg˘ atur˘ a) datorate leg˘ aturilor la care punctul material M este supus. − → For¸ta de frecare T având rolul de a se împotrivi deplas˘ arii punctului material M pe leg˘ atur˘ a, sensul s˘au va fi opus celui al vitezei relative a punctului material M fa¸t˘a de leg˘atur˘a (cf. [34], p. 389).

2.2.21

Ecua¸tiile intrinseci ale lui L. Euler. Ecua¸tiile mi¸sc˘ arii în triedrul lui Darboux. Leg˘ atura cu teorema energiei cinetice

A devenit clar, deja, c˘ a rezolvarea unei probleme oarecare de mecanic˘ a teoretic˘ a comport˘ a dou˘ a etape majore. Mai întâi, se stabile¸ste un anumit reper al SF pe axele c˘ aruia vor fi proiectate expresiile (vectoriale) ale legilor naturii care intervin în proces. Apoi, se determin˘a solu¸tia ecua¸tiei sau sistemului de ecua¸tii diferen¸tiale ob¸tinute în urma proiec¸tiei. În general, asemenea solu¸tii nu pot fi exprimate cu ajutorul func¸tiilor elementare, apelându-se

168

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

la dezvolt˘ ari în serie, reprezent˘ ari integrale pe baza unor nuclee specifice, etc. A se vedea, de exemplu, ecua¸tia balisticii exterioare, cf. [34], p. 338344, [76], p. 411-417, [63], p. 312-318 ori ecua¸tia pendulului sferic, cf. [34], p. 410-413, [76], p. 497-498, [41], p. 51. Utilizând forma particular˘ a a unor asemenea ecua¸tii diferen¸tiale ori anumite reprezent˘ari integrale ale m˘ arimilor fizice legate de procesul în cauz˘ a, putem face o serie de considera¸tii calitative asupra fenomenului respectiv f˘ ar˘ a a rezolva efectiv ecua¸tia ori sistemul diferen¸tial; cum ar fi, de exemplu, determinarea perioadei unei mi¸sc˘ ari repetabile (periodice), cf. [41], p. 41, stabilirea unghiului de deplasare al vectorului de pozi¸tie apar¸tinând unui punct de rebrusment pe traiectoria mi¸sc˘ arii în câmp central, cf. [41], p. 49, calcule à la problema lui Abel, cf. [34], p. 405-406, [41], p. 43-44, ¸s. a. m. d. Triedrul lui Frenet, respectiv cel al lui Darboux joac˘ a în acest context un rol fundamental. Astfel, în cazul mi¸sc˘ arii unui punct material M pe o leg˘ atur˘ a bilateral˘ a ideal˘ a dat˘ a de curba fix˘a Γ în raport cu sistemul de referin¸ta˘ iner¸tial R este util˘ a proiectarea ecua¸tiei generale (2.129) pe axele triedrului lui Frenet în pozi¸tia curent˘ a a mobilului. Traiectoria acestuia este cunoscut˘a, fiind dat˘ a chiar de curba Γ cu orientarea impus˘ a de sensul de mi¸scare al punctului material M (cf. [76], p. 483). Atunci, putem scrie c˘ a v2 m = Fν + Nν 0 = Fβ + Nβ . (2.130) R Formulele (2.130) poart˘ a denumirea de ecua¸tiile intrinseci de mi¸scare ale lui L. Euler (cf. [34], p. 240). Ele permit determinarea în mod direct a componentelor Nν , Nβ apar¸tinând for¸tei de leg˘ atur˘ a (cf. [15], p. 38). Dac˘ a corpul punctiform M este supus leg˘ aturii fixe bilaterale ideale dat˘ a de suprafa¸ta simpl˘ a S, proiectarea ecua¸tiei (2.129) pe axele triedrului lui Darboux ata¸sat traiectoriei particulei în pozi¸tia sa curent˘ a ne conduce la ·

m v= Fτ

v2 v2 cos θ = Fn + N m sin θ = Fm , (2.131) R R unde θ = ] (n, ν) (cf. [34], p. 394, [76], p. 494). Dat˘ a fiind modalitatea de introducere a triedrului lui Darboux, rela¸tiile (2.131) cap˘ at˘ a semnifica¸tia unor ecua¸tii intrinseci (cf. [48], p. 54, [76], p. 494). Un caz particular esen¸tial este acela în care, începând cu un moment − → oarecare t0 , rezultanta F a for¸telor efectiv aplicate mobilului M î¸si înceteaz˘ a ac¸tiunea. Atunci, cum Fτ = Fn = Fm = 0, deducem c˘ a ·

m v= Fτ

m

v = v0 = constant 6= 0

sin θ = 0,

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

169

de unde θ ∈ {0, π}. Evident, cum θ ∈ C ∞ ([t0 , t1 ], R), θ(t) este constant: θ(t) = 0 sau θ(t) = π, t ∈ [t0 , t1 ]. În concluzie, în intervalul de timp [t0 , t1 ] punctul material M se deplaseaz˘a uniform pe o geodezic˘a a leg˘aturii S (cf. [48], p. 88). · Prima dintre ecua¸tiile intrinseci (2.130), (2.131), ¸si anume m v=Fτ , constituie o reformulare a teoremei energiei cinetice (cf. [76], p. 484). Într·

·

adev˘ ar, plecând de la Fτ = F · τ = m v= m v ·τ , avem c˘ a µ ¶ ¡ ¢ dr ds = F + N · dr = F · dr F· ds µ ¶ · dr dv = m v· ds = m · dr ds dt µ µ 2¶ ¶ dv v d = m · v dt = m dt dt dt 2 µ 2¶ mv . = d 2

2.2.22

Principiul echivalen¸tei. For¸te iner¸tiale

În c˘ al˘ atoriile cu automobilul devenim con¸stien¸ti frecvent de efectele iner¸tiei corpurilor materiale. Mai precis, ori de câte ori ¸soferul frâneaz˘ a brusc, pasagerul aflat pe ”locul mortului” simte c˘ a este aruncat în parbriz. O alt˘ a situa¸tie din via¸ta de zi cu zi în care iner¸tia se face remarcat˘ a const˘ a în alunecarea oblic˘a a pic˘ aturilor de ploaie pe fereastra unui vagon de pasageri, în timpul mersului. Putem reproduce asemenea situa¸tii imaginându-ne urm˘ atorul experiment (vezi Figura 2.30): un c˘ arucior închis (f˘ ar˘ a geamuri) se − → deplaseaz˘ a rectiliniu uniform accelerat, cu accelera¸tia a .

Figura 2.30

Figura 2.31

170

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

O persoan˘ a aflat˘ a în interiorul c˘ aruciorului constat˘ a devierea firului de suspensie al unei bile de o¸tel, în timpul mi¸sc˘ arii, cu unghiul θ dat de tan θ = ag . Fa¸ta˘ de persoana din experiment, bila de o¸tel se g˘ ase¸ste în repaus (dup˘ a încheierea micilor oscila¸tii specifice, cf. [32], problema 3.6, p. 70, [59], problema 7.1.40, p. 111). Mai mult, persoana nu are posibilitatea s˘ a sesizeze mi¸scarea c˘ aruciorului fa¸ta˘ de sol. În concluzie, putem afirma c˘ a bila de o¸tel se comport˘ a ca ¸si cum, în afara P˘ amântului, ar mai exista o ”planet˘ a” în spatele peretelui c˘ aruciorului (vezi Figura 2.31), responsabil˘ a de existen¸ta unui câmp − → − → gravita¸tional suplimentar Γ2 = − a . Amatorii de filme science-fiction au putut remarca în secven¸tele când camera de luat vederi survoleaz˘ a ”sta¸tia spa¸tial˘ a” c˘ a aceasta, ”oprit˘ a” într-o zon˘ a ”pustie”, ”îndep˘ artat˘ a” a spa¸tiului cosmic, se rote¸ste în jurul unei axe imaginare. Accelera¸tia (centrifug˘ a) creat˘ a de o asemenea mi¸scare le permite astronau¸tilor s˘a umble pe pere¸ti (cf. [73], nota de subsol, p. 364). Iat˘ a, a¸sadar, o ilustrare elocvent˘ a a considera¸tiilor anterioare. Pe baza legii fundamentale de compunere a acelera¸tiilor în mecanica teoretic˘ a putem scrie c˘ a (ω = 0) 0 = arel = a − atransp − aCor = a − atransp , de unde a = atransp . Apoi, conform (2.129), avem − → − → → → a transp 0 = m·− a rel = F + R − m · − − → − → − → = F + R + m · (− a )

(2.132)

(cf. [34], p. 425, [31], p. 200). Formula anterioar˘ a arat˘ a c˘ a, în problemele privind comportamentul bilei de o¸tel relativ la sistemul de referin¸ta˘ dat de c˘ aruciorul în mi¸scare, for¸telor efectiv aplicate corpului punctiform (bila de o¸tel) ¸si for¸telor de leg˘ atur˘ a li se adaug˘ a o for¸ta˘ special˘ a, numit˘ a iner¸tial˘a. Ea nu trebuie confundat˘ a cu for¸ta de iner¸tie, neavând o existen¸t˘a real˘a, ci fiind un efect al mi¸sc˘arii (cf. [76], p. 503, [32], p. 202). Asupra for¸telor iner¸tiale vom reveni ulterior. În concluzie, persoana din c˘arucior nu poate distinge dac˘a se g˘ase¸ste întrun mediu aflat în mi¸scare accelerat˘a fa¸t˘a de un sistem de referin¸t˘a iner¸tial sau, dimpotriv˘a, se mi¸sc˘a iner¸tial (fa¸t˘a de stele) dar în prezen¸ta unui câmp − → gravita¸tional suplimentar Γ2 (cf. [32], p. 184). Are loc astfel principiul echivalen¸tei dintre for¸tele de gravita¸tie ¸si for¸tele iner¸tiale. Acest fapt este

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

171

în concordan¸ta˘ cu egalitatea dintre masa gravific˘ a ¸si masa inert˘ a. Se cuvine men¸tionat c˘ a echivalen¸ta dintre gravita¸tie ¸si iner¸tie are un caracter local (în zone limitate ale SF - interiorul automobilului - ¸si pe intervale mici de timp - perioada în care se produce frânarea - ). Reducerea formal˘ a prin formula (2.132) a unei probleme de dinamica punctului material la o problem˘ a de static˘ a constituie esen¸ta metodei cinetostatice (cf. [32], p. 202, [73], p. 469-471, [63], p. 489, 497-498).

2.2.23

Mi¸scarea în câmp gravita¸tional terestru, în vid. B˘ ataia ¸si s˘ ageata traiectoriei. Parabola de siguran¸ta ˘

Un corp punctiform de mas˘ a m este lansat din vecin˘atatea solului (cf. − → [34], p. 242), cu viteza v0 f˘ acând unghiul α ∈ (0, π2 ) cu planul orizontal (vezi Figura 2.32). Dorim s˘ a determin˘ am traiectoria sa neglijând rezisten¸ta aerului (mi¸scare în vid). O asemenea problem˘ a aproximeaz˘ a situa¸tia real˘a a unui proiectil expulzat dintr-o arm˘ a de foc (problema balisticii exterioare, cf. [34], p. 338; balistica interioar˘a desemneaz˘ a, generic, studiile privind explozibilii folosi¸ti la lansarea proiectilelor, cf. [76], p. 412) atunci când viteza acestuia este foarte mic˘ a (cf. [34], p. 244). În particular, nu se ¸tine seama de curbura P˘ amântului, raportând calculele la ”planul” orizontal (cf. [76], p. 409). În realitate, traiectoria proiectilului depinde sensibil de forma sa (cf. [63], p. 313, [32], p. 31), de viteza de lansare, etc. În plus, proiectilele au o mi¸scare de precesie în jurul centrului lor de mas˘ a (vezi Figura 2.33), datorat˘ a ac¸tiunii rezisten¸tei aerului (cf. [76], p. 663). Aceasta poate produce ”r˘ asturnarea” proiectilului în aer, fenomen corectat cu ajutorul ghinturilor din interiorul ¸tevii armei de foc (cf. [17], p. 127, [73], p. 403).

Figura 2.32

172

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Rela¸tia (2.74) ne conduce în acest caz la ··

r= g,

(2.133)

de unde, ¸tinând seama de (2.13), deducem c˘ a mi¸scarea punctului material este plan˘a. Justificarea acestui fapt poate fi realizat˘ a ¸si în mod direct (cf. [76], p. 407-408). Vom presupune, pentru simplitate, c˘ a pozi¸tia ini¸tial˘ aa mobilului M este originea O a planului de coordonate Oxy care coincide cu planul mi¸sc˘ arii (vertical). Proiectând ecua¸tia (2.133) pe axele de coordonate, avem   ·· ··   y = −g x= 0   y(0) = 0 x(0) = 0    x· (0) = v cos α  y· (0) = v0 sin α 0

¸si, prin integr˘ ari succesive, ajungem la

1 y = − gt2 + v0 t sin α, (2.134) 2 rela¸tii care constituie ecua¸tiile parametrice ale traiectoriei punctului material M (cf. [76], p. 408). Eliminând timpul t din (2.134), ob¸tinem ecua¸tia unei parabole cu axa de simetrie vertical˘ a (Galilei, cf. [76], p. 12, [73], p. 293), ¸si anume g y = − 2 x2 + x tan α (2.135) 2 2v0 cos α ¢ gx2 ¡ = x tan α − 2 1 + tan2 α . 2v0 x = v0 t cos α

·2

·2

Formula v2 =x + y permite determinarea vitezei corpului punctiform M numai în func¸tie de în˘ al¸time ¸si viteza ini¸tial˘ a: q q 2 2 v = (v0 cos α) + (v0 sin α − gt) = v02 − 2gy (2.136) (cf. [34], p. 243). Ea poate fi ob¸tinut˘ a, în mod echivalent, aplicând teorema energiei cinetice (cf. [76], p. 409, [34], p. 243, [25], p. 86) ¶ µ 1 2 mv = mg · dr = −mgj · dr d 2

¸si impunând ca energia poten¸tial˘a la nivelul solului ( y = 0) s˘a fie nul˘a (cf. [59], problema 2.5.12, p. 28).

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

173

Figura 2.33 Vârful traiectoriei este determinat pe baza calit˘ a¸tii sale de punct critic al graficului func¸tiei y = y(x) (cf. [32], p. 30), deci ¸tinând seama de y 0 (xmax ) = 0: 1 1 xmax = v02 sin 2α ymax = v02 sin2 α. 2g 2g Datorit˘ a simetriei parabolei, punctul material M va reveni pe sol în poznot not arimile b = 2xmax , h = ymax se numesc b˘ataia, respectiv i¸tia (2xmax , 0). M˘ s˘ageata traiectoriei balistice (cf. [76], p. 409, [32], p. 31). Timpul de urcare (mi¸scare pe parabol˘ a corespunzând lui 0 6 x 6 xmax ), egal cu timpul de coborâre, are formula xmax v0 tmax = = sin α. v0 cos α g Date fiind aplica¸tiile practice ale unor asemenea chestiuni, se pune problema determin˘ arii unghiului de înclinare α al ¸tevii armei de foc, numit ¸si unghi de tragere (cf. [34], p. 244), pentru care proiectilul va lovi o ¸tint˘ a aflat˘ a în pozi¸tia M0 dat˘ a. Introducând parametrul u = tan α în (2.135), ob¸tinem ecua¸tia algebric˘ a de gradul al II-lea ¶ µ gx2 2 gx2 · u − x · u + y + 2 = 0, 2v02 2v0

care arat˘ a c˘ a un proiectil nu poate atinge decât ¸tintele situate în regiunea (x, y) caracterizat˘ a prin inegalitatea µ ¶ gx2 gx2 2 ∆u = x − 4 2 y + 2 2v 2v0 µ 20 ¶ g 2 2g 2 v0 − y − 2 x > 0. = 2x v0 2g 2v0 Mai precis, pentru a fi lovit˘ a, o ¸tint˘ a trebuie s˘ a se g˘ aseasc˘ a dedesubtul parabolei sau, la limit˘ a, pe parabola de ecua¸tie y=−

g 2 v02 x + 2v02 2g

(2.137)

174

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

(cf. [76], p. 410). Aceasta poart˘ a denumirea de parabol˘a de siguran¸t˘a (pentru un anumit v0 ) a gurii de foc (cf. [25], p. 87, [34], p. 245, [32], p. 32). Curba (2.137) desemneaz˘ a înf˘as¸ur˘atoarea familiei de traiectorii ale unui proiectil lansat cu viteza ini¸tial˘ a v0 realizat˘ a prin varia¸tia unghiului de tragere α (cf. [63], p. 310). Astfel, conform [24], p. 262, formula (2.137) se ob¸tine prin eliminarea parametrului u între ecua¸tiile ½ f (x, y, u) = 0 ∂f (x, y, u) = 0, ∂u 2

unde f (x, y, u) = gx (1 + u2 ) − xu + y. Prin fiecare punct M0 al parabolei 2v02 de siguran¸ta˘ (2.137) trece câte o curb˘ a din familia (2.135), iar tangentele celor dou˘ a curbe în punctul M0 coincid (cf. [72], p. 148). Detalii interesante privind traiectoriile (2.135) pot fi citite în [34], p. 245-246. Vârful P al parabolei (2.135) este, în particular, singurul punct de rebrusment (v⊥g) al acesteia. Evident, aici viteza punctului material M are · valoare minim˘ a (v= 0) ¸si, ¸tinând seama de τ = i, ν = −j ¸si egalitatea (2.136), ob¸tinem formulele p v0 = g (R + 2h) v2 (P ) = R · g (cf. [32], problema 1.4, p. 37).

2.2.24

Mi¸scarea pe un plan înclinat în câmp gravita¸tional terestru, în aer. Viteza limit˘ a a punctului material M

Un punct material M, de mas˘ a m, având viteza ini¸tial˘ a v0 , coboar˘ a de la în˘ al¸timea h pe un plan înclinat cu unghiul de la baz˘ a α (vezi Figura 2.34). Coeficientul de frecare de alunecare este µ = tan ψ, unde 0 < ψ < α (cf. → [59], problemele 2.3.13, 2.3.15, p. 25), iar viteza − v0 este paralel˘ a cu planul înclinat. − → − → → În afara for¸tei de frecare Ff = −µN · − τ (M) ¸si a greut˘ a¸tii G , asupra particulei ac¸tioneaz˘ a rezisten¸ta aerului, sub forma unei for¸te noi, ¸si anume −−→ → τ (M) Frez = −mgϕ(v) · − (cf. [76], p. 411-412). Func¸tia ϕ(v) este, în general, necunoscut˘ a, fiind stabilit˘ a prin considera¸tii experimentale (gazodinamic˘ a). Vom admite, totu¸si,

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

175

c˘ a ϕ(v) > 0 ¸si ϕ(0) ∈ [0, 1), ¸tinând seama de faptul c˘ a un corp punctiform, f˘ ar˘ a vitez˘ a ini¸tial˘ a, cum ar fi, de exemplu, o bil˘ a de fier de mici dimensiuni ¸tinut˘ a în palm˘ a¯la nivelul umerilor, va c˘ adea pe vertical˘ a în jos, odat˘ a l˘ asat →¯¯ ¯¯−−→¯¯ ¯− ∞ 0 ”liber”. Adic˘ a, ¯ G ¯ > ¯Frez ¯. De asemeni, ϕ ∈ C ([0, +∞), R), ϕ (v) > 0 ¸si lim ϕ(v) = +∞ (cf. [34], p. 335). v→+∞

La fel ca în cazul mi¸sc˘ arii în vid, traiectoria este o curb˘a plan˘a. Mai precis, dac˘ a (2.129) se scrie sub forma ma = mg + N + C(t)τ = constant + C(t)τ ,

(2.138)

atunci, prin derivare în raport cu timpul t, avem · ½ ¸¾ · · 1 dτ ds a = · C (t)τ + C(t) m ds dt i v 1 h· C(t)ν + . = (t)τ C m R

Figura 2.34 ·

În particular, a∈ Sp({τ , ν}) ¸si, cum Sp({τ , ν}) = Sp({v, a}), deducem c˘ a ³ · ·´ (v × a) · a= v, a, a = 0.

De aici, pe baza (2.13), rezult˘ a c˘ a torsiunea T a traiectoriei este identic nul˘ a. Desigur, traiectoria particulei se va afla pe suprafa¸ta planului înclinat, nefiind, îns˘ a, în general, rectilinie (cf. [34], p. 395). Impunem, în vederea obiectivului final al acestei subsec¸tiuni, o condi¸tie suplimentar˘ a simplifica− → − → → toare: la momentul ini¸tial, vectorii − v , N s¸i G sunt coplanari. Atunci, traiectoria punctului material M va fi dreapta de intersec¸tie cu suprafa¸ta

176

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

planului înclinat a sec¸tiunii verticale prin planul înclinat corespunz˘ atoare unghiului diedru α. Rela¸tia (2.138) devine în acest caz ··

m r= mg + N − [N tan ψ + mgϕ(v)] · τ (M). Prin proiectarea ei pe axele de coordonate, avem c˘ a · ¸ ·· N ·· y = 0 = N − mg cos α. x= −g sin α − tan ψ − ϕ(v) mg Aici, coordonata curbilinie este dat˘ a de s(t) = l − x(t). Eliminând necunoscuta N între cele dou˘ a ecua¸tii, ob¸tinem · ¸ sin (α − ψ) ·· · − x=v= g − ϕ(v) . (2.139) cos ψ În mod evident, exist˘ a ¸si este unic˘ a m˘ arimea v∗ > 0 astfel încât ϕ(v∗ ) = sin(α−ψ) . Ecua¸tia diferen¸tial˘ a (2.139) se scrie sub forma cos ψ ·

v= g [ϕ(v ∗ ) − ϕ(v)] , t > t0 ,

(2.140)

unde v(t0 ) = v0 . La fel ca pân˘ a acum, solu¸tiile ecua¸tiei (2.140) se g˘ asec în ∞ C ([t0 , +∞), R) iar problema Cauchy ata¸sat˘ a ei admite solu¸tie unic˘ a. Fiind dat˘ a solu¸tia v(t) a ecua¸tiei diferen¸tiale (2.140), este valabil˘ a una ¸si numai una dintre afirma¸tiile urm˘ atoare: ∗ 1) Dac˘a v0 > v , atunci v(t) este descresc˘atoare s¸i lim v(t) = v∗ . t→+∞

2) Dac˘a v0 = v ∗ , atunci v(t) = v∗ pentru orice t > t0 . 3) Dac˘a v0 < v ∗ , atunci v(t) este cresc˘atoare s¸i lim v(t) = v ∗ . t→+∞

Vom justifica doar afirma¸tia 1). Afirma¸tia 3) va fi probat˘ a absolut identic cu prima afirma¸tie. În ceea ce prive¸ste afirma¸tia 2), justificarea acesteia se bazeaz˘ a pe unicitatea solu¸tiei problemei Cauchy ata¸sate ecua¸tiei (2.140). S˘ a presupunem c˘ a exist˘ a t1 > t0 astfel încât v(t1 ) = v ∗ . Atunci, func¸tia v = v(t), unde v0 = v(t0 ) > v∗ , trebuie s˘ a verifice problema Cauchy ·

v= g [ϕ(v∗ ) − ϕ(v)] , t > t0

v(t1 ) = v∗ .

Dar aceast˘ a problem˘ a admite solu¸tie unic˘ a, ¸si anume v(t) = v∗ , ceea ce contrazice ipoteza v(t0 ) 6= v∗ . A¸sadar, v(t) > v∗ pentru orice t ∈ [t0 , +∞).

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

177

Cum ϕ este cresc˘ atoare, deducem c˘ a ϕ(v∗ ) − ϕ(v(t)) < 0, de unde rezult˘ a · a cu m˘ arginirea sa inferioar˘ a c˘ a v< 0. Monotonia func¸tiei v = v(t) împreun˘ dovedesc existen¸ta limitei lim v(t) = v ∗∗ ∈ R,

t→+∞

unde v ∗∗ > v∗ . S˘ a presupunem c˘ a v ∗∗ > v∗ . Cum v(t) ∈ [v∗∗ , v0 ], putem separa variabilele în (2.140), astfel c˘ a dv = gdt ∗ ϕ(v ) − ϕ(v) ¸si, prin integrare, ajungem la Zv(t)

v0

dτ = ∗ ϕ(v ) − ϕ(τ )

Zv0

v(t)

dτ =g ϕ(τ ) − ϕ(v ∗ )

Zt

dq = g (t − t0 ) .

t0

a Îns˘ a, pentru τ ∈ [v(t), v0 ], putem scrie c˘ ϕ(τ ) − ϕ(v∗ ) > ϕ(v(t)) − ϕ(v∗ ), de unde 1 g (t − t0 ) 6 · ϕ(v(t)) − ϕ(v ∗ )

Zv0

v(t)

dτ =

v0 − v(t) , t > t0 . ϕ(v(t)) − ϕ(v∗ )

Trecând la limit˘ a dup˘ a t în ambii membri ai inegalit˘ a¸tii, ajungem la o contradic¸tie v0 − v ∗∗ +∞ = g · (+∞) 6 < +∞. ϕ(v ∗∗ ) − ϕ(v ∗ )

arimea v ∗ reprezint˘ a viteza limit˘a a punctului În concluzie, v ∗∗ = v ∗ . M˘ material (cf. [63], p. 318). Spunem c˘ a prezen¸ta rezisten¸tei aerului are un efect nivelator de viteze asupra mi¸sc˘ arii pe planul înclinat a particulei M, cu tendin¸ta de a o uniformiza (cf. [76], p. 414-415). Folosind ecua¸tia (2.140), putem calcula m˘arimile x, t în func¸tie de viteza v a punctului material. Astfel, prin integrarea ecua¸tiilor diferen¸tiale dx = −vdt

dt =

1 dv · ∗ g ϕ(v ) − ϕ(v)

178

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

ob¸tinem 1 t(v) = t0 + · g

Zv

v0

respectiv 1 x(v) = x0 − · g

Zv

v0

dq , − ϕ(q)

ϕ(v∗ )

qdq . − ϕ(q)

ϕ(v∗ )

Mi¸scarea este, a¸sadar, complet determinat˘ a. Cazul limit˘ a al mi¸sc˘ arii pe vertical˘ a (α = π2 , ψ = 0) ne conduce la acelea¸si rezultate. În particular, timpul de coborâre pe sol a mobilului M este mai mare decât cel de urcare. Detalii privind mi¸scarea pe vertical˘ a sub ac¸tiunea gravita¸tiei într-un mediu rezistent pot fi citite în [34], p. 335-337, [63], p. 313-315, [76], p. 413-415, etc.

2.2.25

Solu¸tii convergente ale unei ecua¸tii diferen¸tiale ordinare de ordinul I. Convergen¸ta unor func¸tii p−absolut integrabile

Aceast˘ a subsec¸tiune are un caracter auxiliar, cititorul nefiind obligat s˘ a o parcurg˘ a la prima lectur˘ a.

S˘ a analiz˘ am ecua¸tia (2.140) dintr-un alt punct de vedere. Mai precis, vom ar˘ ata c˘ a dac˘ a v(t) este o solu¸tie a ecua¸tiei (2.140) pentru care exist˘ a l ∈ R astfel încât lim v(t) = l, atunci l = v∗ . t→+∞

Aceste solu¸tii ale ecua¸tiei (2.140) se numesc convergente (cf. [5], p. 121). Ele au fost studiate intensiv în cadrul teoriei calitative a ecua¸tiilor diferen¸tiale ¸si provin din probleme specifice mecanicii teoretice, fizicii matematice, chimiei, ecologiei, etc. O abordare multidimensional˘ a a unor asemenea chestiuni, bazat˘ a pe metoda mul¸timilor ω−limit˘a, poate fi citit˘ a în [6], p. 150-156. În cele ce urmeaz˘ a, vom justifica afirma¸tia f˘ acut˘ a în deschidere sub forma dat˘ a în [5], p. 122. Astfel, s˘ a consider˘ am f : R → R o aplica¸tie continu˘ a ¸si ecua¸tia diferen¸tial˘ a · v= f (v), t > t0 . (2.141) Dac˘a v(t) reprezint˘a o solu¸tie convergent˘a a ecua¸tiei (2.141) s¸i lim

t→+∞

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

179

v(t) = l, atunci f (l) = 0. O demonstra¸tie a acestui fapt se g˘ ase¸ste în [18], p. 80, 235. În ce ne prive¸ste, vom urma o cale diferit˘ a. Începem prin a dovedi c˘ a (I. Barb˘ alat) o condi¸tie necesar˘a s¸i suficient˘a ca · lim v (t) = 0, unde v reprezint˘a o func¸tie continuu diferen¸tiabil˘a cu limit˘a t→+∞

·

finit˘a la +∞, definit˘a pe [t0 , +∞), este ca func¸tia v s˘a fie uniform continu˘a pe [t0 , +∞). Implica¸tia direct˘ a rezult˘ a din proprietatea general˘ a a func¸tiilor continue având limit˘ a finit˘ a la +∞ de a fi uniform continue în ”vecin˘ atatea” lui +∞. Reciproc, s˘ a presupunem c˘ a exist˘ a ¸sirul strict arginit superior ¯ · cresc˘ ¯ ator ¸si nem˘ ¯ ¯ (tn )n>1 , unde tn+1 − tn > 1, astfel încât ¯v (tn )¯ > ε0 > 0 pentru orice n > 1. ·

Deoarece v este uniform continu˘ a, exist˘ a η = η(ε0 ) > 0 cu proprietatea c˘ a ¯ ¯· · ¯ ε0 ¯ ¯v (t)− v (s)¯ < , 2 not

unde |t − s| < η, t, s > t0 . Introducem intervalele Vn = (tn − ε, tn + ε) impunând ca 0 < ε < min{ 12 , η}. Evident, Vn ∩ Vm = ∅ pentru n 6= m. Fie t ∈ Vn ¸si s = tn . Atunci, |t − s| < η, de unde ¯ ε ¯· ¯ ε ¯· · ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 ¯v (t)¯ > . ¯v (t)− v (tn )¯ < 2 2 Conform teoremei lui Lagrange, exist˘ a sn ∈ (tn − 2ε , tn + 2ε ) pentru care ε ε · v(tn + ) − v(tn − ) = ε· v (sn ), n > 1. 2 2

(2.142)

Trecând la limit˘ a dup˘ a n în ambii membri, ajungem la o contradic¸tie 0>ε·

ε0 > 0. 2

a S˘ a revenim la demonstra¸tia principal˘ a. Deoarece lim v(t) = l, exist˘ t→+∞

M > 0 astfel încât |v(t)| 6 M, t > t0 . În plus, func¸tia v este uniform continu˘ a. Cum restric¸tia func¸tiei f la intervalul [−M, M] este, la rândul ei, · a. uniform continu˘ a, deducem c˘ a f ◦ v, adic˘ a v, este uniform continu˘ În sfâr¸sit, µ ¶ · 0 = lim v (t) =lim f (v(t)) = f lim v(t) = f (l). t→+∞

t→+∞

t→+∞

180

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Justificarea afirma¸tiilor privind ecua¸tia (2.141) s-a încheiat. În cazul ecua¸tiei (2.140), f (v) = g[ϕ(v ∗ )−ϕ(v)] ¸si, dat˘ a fiind injectivitatea ∗ aplica¸tiei ϕ, deducem c˘ a f (l) = 0 va implica l = v . Fie func¸tia v : [0, +∞) → [0, +∞) definit˘ a prin  ½ · ¾ h ³ i ´2 ¸ 1  34 2 − 14 n exp (t − n) n + 2n − t − 1 , t ∈ n, n + 2n− 4 v(t) =  0, în rest, unde n > 17. Atunci, func¸tia v este continuu diferen¸tiabil˘ a pe [0, +∞) ¸si lim v(t) = 0. Totu¸si,

t→+∞

1 1 3 · lim v (n + n− 4 ) = 6= 0, n→+∞ 2 2 ceea ce dovede¸ste necesitatea unei ipoteze suplimentare (de exemplu, a condi¸tiei de uniform continuitate). Se cuvin f˘ acute câteva comentarii cu relevan¸ta˘ hermeneutic˘ a. Mai întâi, în cazul unei func¸tii continue ¸si nenegative g(t), integrabil˘ a ator ¸si pe [t0 , +∞), este relativ u¸sor de dovedit existen¸ta unui ¸sir strict cresc˘ nem˘ arginit superior (tn )n>1 de numere reale pentru care lim g(tn ) = 0. O n→+∞

asemenea proprietate intervine, de exemplu, în demonstra¸tia unor rezultate privind stabilitatea în sens Liapunov a solu¸tiilor sistemelor de ecua¸tii diferen¸tiale (cf. [6], p. 137). Se pune în mod natural problema ob¸tinerii unor condi¸tii necesare ¸si suficiente ca lim g(t) = 0. Ori, o asemenea condi¸tie t→+∞

rezult˘ a din calculele anterioare, ¸si anume uniform continuitatea func¸tiei g. Rt Ea se determin˘ a apelând la func¸tia convergent˘ a v(t) = g(s)ds, unde t > t0 . t0

O a doua problem˘ a se refer˘ a la cazul unei func¸tii continue g(t), definit˘ a pe [t0 , +∞), despre care ¸stim c˘ a verific˘ a rela¸tia lim g(tn ) = L ∈ R. Sunt n→+∞

cerute condi¸tii necesare ¸si suficiente ca lim g(t) = L. t→+∞

Profesorul C. Avramescu stabile¸ste în lucrarea Sur le comportement asymptotique des solutions des équations différentielles ordinaires, ap˘ arut˘ a în Analele Stiin¸ ¸ tifice ale Universit˘at¸ii ”Al. I. Cuza”, Ia¸si, XIV, 2(1968), p. 297311, urm˘ atorul rezultat elegant: Fie dat s¸irul (tn )n>1 tinzând la +∞ astfel încât 0 < tn < tn+1 , lim (tn+1 − tn ) = 0. Fie g(t) o func¸tie scalar˘a conn→+∞

tinu˘a pentru care lim g(tn ) = L. Atunci, pentru ca limita lim g(t) s˘a n→+∞

t→+∞

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

181

existe, este necesar s¸i suficient ca g(t) s˘a fie uniform continu˘a pe R+ (op. cit., § 8, p. 309). · Construc¸tia unui asemenea ¸sir (tn )n>1 în cazul func¸tiei v (t) nu poate fi realizat˘ a datorit˘ a condi¸tiei lim (tn+1 − tn ) = 0. Cum ¸sirul (sn )n>1 joac˘ a în n→+∞

acest context ”rolul” ¸sirului (tn )n>1 , restric¸tia anterioar˘ a, odat˘ a introdus˘ a în (2.142), ar necesita înlocuirea constantei pozitive ε cu o m˘ arime (depinzând · de n) care s˘ a tind˘ a spre zero pe m˘ asur˘ a ce n cre¸ste. Atunci, condi¸tia lim v n→+∞

a. (sn ) = 0 nu ar mai putea fi asigurat˘ a În concluzie, dac˘ a L = 0, cerin¸ta lim (tn+1 − tn ) = 0 poate fi înlocuit˘ n→+∞ Rt

cu aceea a convergen¸tei primitivei v(t) =

g(s)ds.

t0

Prima din cele dou˘ a probleme precedente poate fi transpus˘ a în cazul general al func¸tiilor p−absolut integrabile. Mai precis, fiind dat˘a func¸tia ∞ R g : [t0 , +∞) → R continu˘a astfel încât |g(t)|p dt < +∞, unde p > 0, t0

o condi¸tie necesar˘a s¸i suficient˘a ca lim g(t) = 0 este ca g(t) s˘a fie unit→+∞

form continu˘a. Justificarea acestei afirma¸tii se realizeaz˘ a în dou˘ a etape. Mai întâi, vom ar˘ ata c˘ a o condi¸tie necesar˘a s¸i suficient˘a (mai restrictiv˘ a) ca lim g(t) = 0 este ca g(t) s˘a fie m˘arginit˘a s¸i uniform continu˘a. Aceasta se

t→+∞

reduce la a proba c˘ a func¸tia |g(t)|p este uniform continu˘ a atunci când g(t) Rt este m˘ arginit˘ a ¸si uniform continu˘ a. Aici, v(t) = |g(s)|p ds. În cea de-a t0

doua etap˘ a vom stabili c˘ a orice func¸tie g : [t0 , +∞) → R uniform continu˘a ∞ R astfel încât |g(t)|p dt < +∞, unde p > 0, este m˘arginit˘a. t0

Vom dovedi prin induc¸tie matematic˘a valabilitatea inegalit˘ a¸tii de mai jos ¯ ¯ ¯|g(t2 )|n+α − |g(t1 )|n+α ¯ 6 Cn · [|g(t2 ) − g(t1 )|

(2.143)

1−α ¤

+|g(t2 ) − g(t1 )| α + |g(t2 ) − g(t1 )|

pentru orice t1 , t2 > t0 , unde Cn < +∞, n ∈ N, α ∈ [0, 1). Pasul ”k ⇒ k + 1” se bazeaz˘ a pe formulele (a = |g(t2 )|, b = |g(t1 )|)

an+1+α − bn+1+α = an+1 · aα − bn+1 · bα = (an+1 − bn+1 )(aα + bα ) −(ab)α (an+1−α − bn+1−α )

182 ¸si

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL ¯ n+1+α ¯ ¯ ¯ ¯a − bn+1+α ¯ 6 D1 · |a − b| + D2 · ¯an+β − bn+β ¯ ,

unde D1 = 2(n + 1)· sup |g(t)|n+α , D2 =sup |g(t)|2α , β = 1 − α. A¸sadar, t>t0

t>t0

¯ ¯ n+1+α ¯ ¯ ¯a − bn+1+α ¯ 6 (D1 + D2 + 1) (|a − b| + ¯an+β − bn+β ¯ ¯ ¯ + ¯an+α − bn+α ¯).

R˘ amâne de ar˘ atat c˘ a |as − bs | 6 |a − b|s pentru orice a, b > 0 ¸si s ∈ (0, 1). Pentru aceasta este nevoie de inegalitatea (x + y)s 6 xs + y s ,

x, y > 0, s ∈ (0, 1).

Într-adev˘ ar, presupunând c˘ a 0 < x 6 y, avem, conform inegalit˘ a¸tii lui Bernoulli, ¶s ¶ µ µ x x x s s s = y s + s 1−s 6y · 1+s (x + y) = y · 1 + y y y x 6 y s + s 1−s 6 y s + xs . x Atunci, as − bs 6 (b + |a − b|)s − bs 6 |a − b|s , etc. În concluzie, inegalitatea (2.143) are loc pentru n = [p], α = {p}, deci · a. Prima etap˘ a a demonstra¸tiei s-a încheiat. func¸tia v (t) este uniform continu˘ Func¸tia g : [1, +∞) → R, unde g(t) = t, t > 1, este uniform continu˘ a. În schimb, func¸tia [g(t)]n , unde n ∈ N∗ Â{1}, nu mai are o asemenea proprietate, dat fiind c˘ a d {[g(t)]n } = n· lim tn−1 = +∞. lim t→+∞ dt t→+∞ Acest fapt dovede¸ste necesitatea unei condi¸tii suplimentare pentru a ”p˘ asp tra” uniform continuitatea trecând de la g(t) la |g(t)| , unde p > 0, ¸si o asemenea condi¸tie este m˘arginirea func¸tiei g(t). S˘ a presupunem acum, în etapa a doua a demonstra¸tiei, c˘ a g(t) nu este m˘ arginit˘ a. Atunci, exist˘ a ¸sirul strict cresc˘ ator ¸si nem˘ arginit superior (tn )n>1 astfel încât |g(tn )| = n pentru orice n ≥ 1. Exist˘ a, de asemeni, ¸sirul strict cresc˘ ator ¸si nem˘ arginit superior (pn )n>1 astfel încât tn < pn , |g(pn )| = n2 , n |g(t)| ≥ 2 ¸si sgn g(t) = sgn g(tn ) pentru orice t ∈ [tn , pn ], n ≥ 1. Deoarece Z pn ³ n ´p (pn − tn ) ≤ |g(t)|p dt ≤ kgkpLp < +∞, 2 tn

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

183

avem lim (pn − tn ) = 0.

n→+∞

(2.144)

Deoarece g(t) este uniform continu˘ a, exist˘ a η > 0 cu proprietatea c˘ a |g(t) − g(s)| < 1,

unde |t − s| < η, t, s > t0 . Conform (2.144), exist˘ a num˘ arul natural N ≥ 2 pentru care pn − tn < η, adic˘ a |g(pn ) − g(tn )| < 1, unde n ≥ N. Ajungem la o contradic¸tie, c˘ aci n = |g(pn ) − g(tn )| < 1, n ≥ N. (2.145) 2 Facem observa¸tia c˘ a, pe baza (2.144), (2.145), o aplicare a teoremei lui Lagrange ne permite s˘ a înlocuim uniform continuitatea lui g(t) cu m˘arginirea func¸tiei g 0 (t) (presupus˘ a continu˘ a). O discu¸tie în acest sens poate fi citit˘ a în lucr˘ arile cercet˘ atorilor japonezi K. Kamo ¸si H. Usami, Classification of proper solutions of some Emden-Fowler equations, publicat˘ a în Hiroshima Mathematical Journal, 29(1999), p. 459-477 (aut. K. Kamo) ¸si Asymptotic forms of positive solutions of third-order Emden-Fowler equations, ap˘ arut˘ a în Journal of Mathematical Analysis and Applications, 271(2002), p. 297-312 (aut. K. Kamo ¸si H. Usami), respectiv în articolul lui O. Mustafa ¸si Y. Rogovchenko, Limit-point criteria for superlinear differential equations, publicat în Bulletin of The Belgian Mathematical Society Simon Stevin, 11(2004), p. 431-44. 1≤

2.2.26

Problema balisticii exterioare

Presupunem c˘ a ne g˘ asim în acelea¸si condi¸tii ca în cazul mi¸sc˘ arii curbilinii în vid sub ac¸tiunea câmpului gravita¸tional terestru. Dorim s˘ a studiem −−→ mi¸scarea corpului punctiform M t¸inând seama de rezisten¸ta aerului, Frez = → −mgϕ(v) · − τ (M) (vezi Figura 2.35). Atunci, (2.129) devine ma = mg − mgϕ(v)τ .

(2.146)

Fire¸ste, conform celor deduse pentru ecua¸tia (2.138), mi¸scarea punctului material M va avea loc în planul vertical care con¸tine viteza sa ini¸tial˘a (cf. [76], p. 412). La fel ca anterior, putem proiecta rela¸tia precedent˘ a pe cele dou˘ a axe de coordonate, Ox (orizontala) ¸si Oy (verticala locului) ··

x= −gϕ(v) cos θ

··

y = −g − gϕ(v) sin θ,

184

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL def

unde θ = ](τ , i).

Figura 2.35 Vom înlocui, în cele ce urmeaz˘ a, necunoscutele x, y cu m˘ arimile v, θ. Într-adev˘ ar, plecând de la formula v = v · τ , putem scrie c˘ a ·

x= v cos θ Astfel,

(

·

·

·

·

y = v sin θ.

v cos θ − v θ sin θ = −gϕ(v) cos θ ·

v sin θ + v θ cos θ = −g [1 + ϕ(v) sin θ] .

Privind formulele anterioare ca un sistem algebric având necunoscutele ·

·

v, v θ, ob¸tinem ·

·

v= −g [sin θ + ϕ(v)]

v θ= −g cos θ.

În sfâr¸sit, folosind teorema de derivare a func¸tiei compuse v = v(θ(t)), ajungem la ¸ · · v dv ϕ(v) = · = v tan θ + v(α) = v0 . (2.147) dθ cos θ θ ·

·

Înlocuirea m˘ arimilor x, y cu m˘ arimile v, v θ constituie esen¸ta metodei hodografice, aplicat˘ a cu mult succes în probleme de hidrodinamic˘ a (cf. [34], p. 338, [20], p. 344 ¸si urm˘ atoarele). Ecua¸tia (2.147) poart˘ a denumirea de ecua¸tia balisticii exterioare (hodografului) (cf. [34], p. 339). Traiectoria particulei M se nume¸ste curb˘a balistic˘a (cf. [32], p. 31). Determinarea m˘arimilor x, y, t în func¸tie de unghiul θ f˘acut de viteza punctului material cu orizontala se bazeaz˘ a pe rela¸tiile diferen¸tiale de mai

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

185

jos ·

x dx v2 v cos θ = · = g cos θ = − , dθ g − v θ

(2.148)

respectiv ·

y dy v2 dt v = · = − tan θ =− . (2.149) dθ g dθ g cos θ θ Dou˘ a formule utile în rezolvarea problemelor de mecanic˘ a teoretic˘ a sunt g d2 y =− 2 2 dx vx

R(M) =

v2 g cos θ

(cf. [32], problema 3.19, p. 73, [63], p. 317). Într-adev˘ ar, conform (2.148), (2.149), putem scrie c˘ a à ! dy d2 y d d dθ = (tan θ) = dx 2 dx dx dθ dx ·

θ − g cos θ 1 1 1 d v (tan θ) · · = · · = = · 2 2 dt cos θ x cos θ vx x 1 g g · = − = − 2. v cos θ vx vx

Pentru stabilirea celei de-a doua rela¸tii ¸tinem seama de (2.16), (2.146). Astfel, v2 aν = = a · ν = g · ν = g cos θ. R(M) Urmând expunerile f˘ acute în [34], p. 339-342, [76], p. 415-417, [25], p. 90-92, vom stabili o serie de propriet˘ a¸ti general-constitutive ale solu¸tiilor ecua¸tiei (2.147), respectiv curbei balistice. → Impunem, în mod natural, ca, atâta timp timp cât vectorul − v este situat deasupra paralelei dus˘ a prin pozi¸tia curent˘ a a mobilului M la orizontala Ox, → s˘ a consider˘ am θ > 0. În schimb, atunci când − v se va g˘ asi dedesubtul paralelei respective, avem θ < 0. Aceast˘ a presupunere este în acord cu formula ³ π π´ · g cos θ θ= − < 0, θ∈ − , , v 2 2

186

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

care arat˘ a c˘ a unghiul θ descre¸ste mereu pe traiectorie. În acest sens, problema Cauchy (2.147) trebuie în¸teleas˘ a ca o problem˘a a valorii finale. 1) În problema balisticii exterioare, viteza punctului material M este limitat˘a superior. Într-adev˘ ar, din (2.147) rezult˘ a c˘ a dv v = [sin θ + ϕ(v)] . dθ cos θ

(2.150)

Atunci când 0 6 θ < α (mobilul se g˘ ase¸ste pe por¸tiunea ascendent˘a a > 0. Apoi, traiectoriei), avem cos θ > cos α > 0. În plus, sin θ > 0, deci dv dθ ·

·

·

cum v= dv · θ,¡ob¸tinem a v6 0, de unde v(M) 6 v0 . dθ ¤ c˘ a posibil ca sin θ + ϕ(v) < 0 Când θ ∈ − π2 , 0 , avem cos θ > 0. Este îns˘ pentru o anumit˘ a valoare a¡ lui θ.¤ Dat˘ a fiind continuitatea func¸tiei ϕ, va π exista un subinterval al lui − 2 , 0 pe care sin θ + ϕ(v) < 0.

Atunci, −1 + ϕ(v) 6 sin θ + ϕ(v) < 0, de unde ϕ(v) < 1. Cum [1, +∞) ⊂ ϕ([0, +∞)), va exista m˘ arimea v∗ > 0 pentru care ϕ(v ∗ ) = 1. De asemeni, v(t) < v∗ pe subintervalul în cauz˘ a (func¸tia ϕ este strict cresc˘ atoare). 2) Solu¸tia (unic˘a)¡ a problemei Cauchy (2.147) este pozitiv˘a. Într-adev˘ ar, ¤ dac˘ a ar exista θ1 ∈ − π2 , α pentru care v(θ1 ) = 0, atunci, cum problema Cauchy i h ( ¡ ¢ ϕ(v) dv , θ ∈ − π2 , π2 = v tan θ + dθ cos θ v(θ1 ) = 0 are solu¸tia identic nul˘ a, ar rezulta c˘ a v (α) = 0, contradic¸tie. Acest rezultat poate fi îmbun˘ at˘ a¸tit considerabil. 3) În problema balisticii exterioare, viteza punctului material M este limitat˘a inferior de o m˘arime pozitiv˘a. Din nou, plecând de la (2.150), putem scrie c˘ a dv · cos θ − v sin θ = vϕ(v) dθ d (v cos θ) = dθ ¸si 1 d ϕ(v) · (v cos θ) = , v cos θ dθ cos θ

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

187

adic˘ a

ϕ(v) d [log(v cos θ)] = . (2.151) dθ cos θ Când θ ∈ [0, α], func¸tia v = v(θ) cre¸ste (func¸tia v = v(t) descre¸ste); deci, ¡ ¤ not v(θ) > v(0) = w0 > 0, conform 2). Ce¡se întâmpl˘ a îns˘ a pe − π2 , 0 ? ¤ Dac˘ a v(θ) > v∗ pentru orice θ ∈ − π2 , 0 , unde ϕ(v∗ ) = 1, atunci afirma¸t¡ia de ¤demonstrat ar fi justificat˘ a. Altfel, exist˘ a subintervalul [θ2 , θ1 ] al π ∗ lui − 2 , 0 pe care v(θ) < v . M˘ arindu-l pe θ1 , mai precis luând θ1∗ = sup {θ1 6 0 : v(θ) < v∗ , θ ∈ [θ2 , θ1 ]} ,

ob¸tinem intervalul [θ2 , θ1∗ ) pe care sau θ1∗ < 0

v(θ) < v∗

sau θ1∗ = 0 c˘ a

v(θ1∗ ) = v ∗ v(θ1∗ ) = w0 6 v ∗ .

v(θ) < v∗

În concluzie, v(θ) 6 v ∗ , unde θ ∈ [θ2 , θ1∗ ]. Atunci, conform (2.151), avem

d 1 [log(v cos θ)] 6 , θ ∈ [θ2 , θ1∗ ], dθ cos θ ceea ce se mai scrie ¸si · ¸ 1 − sin θ d log(v cos θ) + log 6 0, dθ cos θ respectiv d {log [v (1 − sin θ)]} 6 0. dθ Integrând aceast˘ a ultim˘ a inegalitate pe intervalul [θ2 , θ1∗ ], ajungem la log respectiv

De aici,

v (θ1∗ ) (1 − sin θ1∗ ) 6 0, v(θ) (1 − sin θ)

v (θ1∗ ) (1 − sin θ1∗ ) 6 1, v(θ) (1 − sin θ) v(θ) > v (θ1∗ )

θ ∈ [θ2 , θ1∗ ].

1 − sin θ1∗ . 1 − sin θ

188

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

¡ π ¤ −1 ∗ ∗ Îns˘ a θ, θ ∈ 1 ¡ π ¢ −1 1 − 2 , 0 , de unde 1 − sin θ1 > 1 ¸si (1 − sin θ) > [1 − sin − 2 ] = 2 . A¸sadar, 1 v(θ) > v(θ1∗ ) = 2

½

1 w, 2 0 1 ∗ v , 2

θ1∗ = 0 θ1∗ < 0.

4) În problema balisticii exterioare, traiectoria (curba balistic˘a) admite o asimptot˘a vertical˘a. Într-adev˘ ar, ¸tinând seama de (2.148), (2.149), putem scrie c˘ a dy dy dθ = dx = tan θ, dx dθ dy dx

de unde limπ θ&− 2 2

max{v02 , v∗ }·

Rα

= −∞. Apoi, cum limπ x(θ) = θ&− 2

Rα 2 1 · v (q)dq g − π2

6

1 g

·

dq < +∞ (cf. [76], p. 417), justificarea s-a încheiat. Asimp-

− π2

tota vertical˘ a este ”responsabil˘ a” de reducerea semnificativ˘a a b˘ at˘ aii gurii de foc, fiind unul dintre efectele principale ale rezisten¸tei aerului (cf. [34], p. 341). 5) În problema balisticii exterioare, exist˘a o disimetrie a ramurii descendente fa¸t˘a de ramura ascendent˘a a traiectoriei. S˘ a consider˘ am P1 , P2 dou˘ a puncte situate pe curba balistic˘ a la aceea¸si în˘ al¸time y0 . Tinând ¸ seama de (2.151), (2.148), avem c˘ a dvx = dx

d (v cos θ) dθ dx dθ

= −g ·

ϕ(v) < 0, v

ceea ce arat˘ a c˘ a m˘arimea vx descre¸ste mereu pe traiectorie (cf. [34], p. 341). Pe de alt˘ a parte, sunt valabile rela¸tiile h Zmax

d2 y dy = dx2

y0

=

x Zmax

x1 x Zmax x1

d2 y dy · dx dx2 dx d dx

½

¾ 1 1 0 2 2 [y (x)] dx = − [y 0 (x1 )] , 2 2

c˘ aci xmax reprezint˘ a un punct critic al func¸tiei y = y(x).

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

189

Figura 2.36 A¸sadar, 1 0 2 [y (x1 )] = g · 2

h Zmax

dy . vx2

h Zmax

dy , vx2

y0

În mod analog, 1 0 2 [y (x2 )] = g · 2

y0 0

0

ceea ce ne conduce la |y (x2 )| > y (x1 ), respectiv |tan θ2 | > tan θ1 sau, echivalent, |θ2 | > θ1 . 6) Viteza punctului material M în pozi¸tia P1 este mai mare decât cea în pozi¸tia P2 . Conform teoremei energiei cinetice, avem c˘ a ¶ µ ¡ ¢ 1 2 = G + Frez · dr mv d 2 = −mgdy − mgϕ(v) cos θdx − mgϕ(v) sin θdy = −mgdy − mgϕ(v)v cos2 θdt − mgϕ(v)v sin2 θdt = −mgdy − mgϕ(v)vdt. Prin integrare, ob¸tinem 1 2 1 mv (P2 ) − mv 2 (P1 ) = −mg · 2 2

Zy0

dy − mg ·

Zt2

ϕ(v)vdt < 0,

y0

= −mg ·

t1

ceea ce justific˘ a afirma¸tia anterioar˘ a.

Zt2

t1

ϕ(v)vdt

190

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

7) Dac˘a v = v(θ) este solu¸tia problemei Cauchy de mai jos (

dv dθ

i h ¡ ¤ ϕ(v) , θ ∈ − π2 , 0 = v tan θ + cos θ v(0) = w0 ,

(2.152)

iar limπ v(θ) = l ∈ R, atunci ϕ(l) = 1. Cu alte cuvinte, dac˘ a ecua¸tia θ&− 2

balisticii exterioare admite o solu¸tie de tip convergent, atunci limita acestei solu¸tii are o valoare predefinit˘a. S˘ a presupunem c˘ a, în¡ cazul¢solu¸tiei v a problemei am avea ϕ(l) > £ l 3l(2.152), ¤ π 1. Atunci, exist˘ a θ0 ∈ − 2 , 0 astfel ca v(θ) ∈ 2 , 2 , respectiv ϕ(v(θ)) ∈ ¡ ¤ 1+ϕ(l) 3ϕ(l) [ 2 , 2 ] pentru orice θ ∈ − π2 , θ0 . Integrând ecua¸tia (2.152) în raport cu θ, putem scrie c˘ a v(θ) = w0 −

Z0

θ0

¸ · ϕ (v (q)) dq − I (θ) , v (q) tan q + cos q

θR0 unde I (θ) = v (ξ) sin ξ+ϕ(v(ξ)) dξ. Dubla inegalitate cos ξ θ

l ϕ(l) − 1 · · 2 2

Zθ0

dξ 3l 3ϕ (l) 6 I (θ) 6 · · cos ξ 2 2

θ

Zθ0

dξ , cos ξ

θ

unde − π2 < θ 6 θ0 , ne conduce la limπ I (θ) = +∞, fapt care intr˘ a în θ&− 2

contradic¸tie cu m˘ arginirea vitezei v (θ). Un ra¸tionament asem˘ an˘ ator are loc atunci când ϕ (l) < 1. La fel ca în cazul mi¸sc˘ arii pe planul înclinat, se poate dovedi c˘ a viteza punctului material M aflat în mi¸scare curbilinie sub ac¸tiunea gravita¸tiei întrun mediu rezistent tinde c˘atre viteza limit˘a v∗ dat˘a de ϕ (v ∗ ) = 1 (cf. [34], p. 342). Pentru detalii privind dependen¸ta de vitez˘ a, în˘ al¸time ori forma proiectilului a func¸tiei ϕ (formula lui Siacci) ca ¸si transformarea ecua¸tiei (2.147) într-o ecua¸tie diferen¸tial˘ a de tip Bernoulli (cf. [4], p. 78-79, [47], p. 25, [24], p. 378, etc) a se vedea [63], p. 312-313, [34], p. 342-344.

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

2.2.27

191

Ecua¸tia diferen¸tial˘ a a mi¸sc˘ arii pe o curb˘ a fix˘ a ideal˘ a. Lucrul mecanic al for¸telor de leg˘ atur˘ a

S˘ a consider˘ am mi¸scarea punctului material M pe o leg˘ atur˘ a bilateral˘ a ideal˘ a dat˘ a de curba simpl˘ a Γ, având parametrizarea global˘ a γ : I → E3 , − → unde γ = γ(q), sub ac¸tiunea for¸tei F . Curba Γ este presupus˘ a fix˘ a în raport − → − → cu sistemul de referin¸ta˘ iner¸tial R iar F = F (q). Pe baza teoremei energiei cinetice, avem µ ¶ ¡ ¢ 1 2 d mv = F + N · dr = F · dr 2

− → deoarece for¸ta de leg˘ atur˘ a N se g˘ ase¸ste în planul normal al traiectoriei Γ în pozi¸tia curent˘ a a mobilului. Lucrul mecanic elementar al for¸tei de leg˘atur˘a, s¸i anume δWleg = N · dr, este întotdeauna nul, fapt valabil, evident, ¸si atunci când leg˘ atura bilateral˘ a ideal˘ a este dat˘ a de o suprafa¸ta˘ simpl˘ a. Aceast˘ a proprietate constituie, dup˘ a cum spuneam în subsec¸tiunea dedicat˘ a lucrului mecanic elementar, esen¸ta principiului lucrului mecanic virtual (deplas˘arilor virtuale) din mecanica analitic˘ a (cf. [63], p. 505, [14], p. 227). Au loc formulele X · 2 X µ dx · ¶2 · 2 X 2 2 x= v = · q =q · [x0 (q)] , dq respectiv F · dr = A¸sadar, d dt

½

X

Fx dx =

hX

i Fx (q) · x (q) dq. 0

¾ 2 · m X 0 2 · · [x (q)] · q = Q (q) · q , 2

de unde, prin integrare în raport cu timpul t, ob¸tinem

q(t) ½ h· i2 ¾ Z h · i2 m = Q (ξ) dξ. ϕ (q (t)) · q (t) − ϕ (q (t0 )) · q (t0 ) 2 q0

192

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL not

def

Aici, q (t0 ) = q0 , ϕ (q) =

P

[x0 (q)]2 . Mai departe,

h · i2 q (t) =

v02

+

2 m

·

q(t) R

Q (ξ) dξ

q0

,

ϕ (q (t))

not

unde v (t0 ) = v0 . Ecua¸tia diferen¸tial˘ a autonom˘ a v u u v2 + u 0 t · q= ±

2 m

·

Rq

Q (ξ) dξ

q0

ϕ (q)

, t > t0 ,

caracterizeaz˘ a mi¸scarea punctului material M (cf. [76], p. 482, [34], p. 400). Cititorul poate consulta ¸si prezentarea f˘ acut˘ a în [56], p. 95-96.

2.2.28

Ecua¸tia diferen¸tial˘ a a pendulului gravita¸tional simplu (matematic). Formula perioadei mi¸sc˘ arii. Legile pendulului simplu

Pendulul simplu este constituit dintr-un punct material M care se deplaseaz˘ a f˘ ar˘ a frecare pe o circumferin¸ta˘ situat˘ a în plan vertical (cf. [76], p. 484, [63], p. 331). Din punct de vedere practic, pendulul gravita¸tional simplu poate fi realizat apelând la o leg˘ atur˘ a bilateral˘a, ca în situa¸tia mi¸sc˘ arii unei bile metalice în interiorul unui jgheab cu sec¸tiune circular˘ a (cf. [34], p. 419); aici, rezultatele sunt influen¸tate de prezen¸ta frec˘arii (cf. [76], p. 491); putem utiliza, de asemeni, leg˘ atura unilateral˘a care intervine în cazul mi¸sc˘ arii oscilatorii a unui corp punctiform, suspendat de tavanul laboratorului printr-un fir inextensibil ¸si de mas˘ a neglijabil˘ a, în jurul punctului de suspensie, sub ac¸tiunea for¸tei de greutate (vezi Figura 2.37) (cf. [63], p. 332, [32], p. 67); folosind obiecte de dimensiuni ¸si mas˘ a reduse, ca ¸si un fir de suspensie scurt, efectele rota¸tiei terestre nu se vor face ”sim¸tite” (mi¸scarea în rozet˘a ) (cf. [32], p. 208-209, [34], p. 439).

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

193

Figura 2.37 În ceea ce prive¸ste firul de suspensie, vom admite (vezi Figura 2.38) c˘ a distan¸ta dintre punctele materiale (particule) ce îl alc˘atuiesc nu se modific˘a (inextensibilitate) pe parcursul experimentului. Mai precis, distan¸tele d, D dintre centrele sferelor tangente care simbolizeaz˘ a punctele materiale din constitu¸tia firului de suspensie, respectiv punctul material greu (adic˘ a, mm0 w 0, unde m0 reprezint˘ a masa firului, cf. [17], p. 75) suspendat r˘ amân constante indiferent de for¸tele care ac¸tioneaz˘ a asupra lor. Punctul material greu, fiind − → atras de P˘ amânt cu for¸ta gravita¸tional˘ a G , ac¸tioneaz˘ a asupra sferei tangente −→ lui, apar¸tinând firului de suspensie, cu o for¸ta˘ necunoscut˘ a, notat˘ a Tf ir ; la rândul s˘ au, sfera va reac¸tiona cu o for¸t˘a egal˘a în m˘arime s¸i de sens contrar −→ −→ pe care o vom nota tot Tf ir . For¸ta Tf ir , aplicat˘ a primei sfere a firului de suspensie, tinde s˘ a deplaseze aceast˘ a sfer˘ a. Atunci, dat fiind c˘ a distan¸ta d dintre prima ¸si cea de-a doua sfer˘ a apar¸tinând firului de suspensie trebuie s˘ a −→ r˘ amân˘ a nemodificat˘ a, putem spune c˘ a for¸ta Tf ir se transmite celei de-a doua sfere a firului de suspensie.

Figura 2.38 a

Figura 2.38 b

Figura 2.39

Modelul firului de suspensie are drept caracteristic˘a fundamental˘a faptul c˘ a aceast˘ a transmisie de for¸ta˘ se realizeaz˘ a integral (f˘ ar˘ a pierderi). În con−→ tinuare, prezen¸ta for¸tei Tf ir având punctul de aplica¸tie în centrul celei de-a

194

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

doua sfere a firului de suspensie (vezi Figura 2.39) poate fi considerat˘ a ca rezultat al ac¸tiunii primei sfere din constitu¸tia firului de suspensie; acest fapt implic˘ a, în baza principiului ac¸tiunii ¸si reac¸tiunii, prezen¸ta unei ”noi” for¸te −→ Tf ir (reac¸tiune) aplicat˘ a în centrul primei sfere. −→ a celei de-a doua sfere se va transmite celei deAcum, for¸ta Tf ir aplicat˘ −→ a” a treia sfere aflat˘ a în componen¸ta firului de suspensie, for¸ta Tf ir ”nou˘ aplicat˘ a sferei întâi va ”aluneca” pân˘ a în centrul celei de-a doua sfere a −→ firului de suspensie, devenind ”noua” for¸ta˘ Tf ir a celei de-a doua sfere, ¸s. a. −→ m. d. Practic, putem spune c˘ a for¸ta Tf ir alunec˘a (gliseaz˘a) instantaneu de-a lungul firului pân˘a în punctul se suspensie al acestuia. Pentru ilustrarea unui −→ asemenea fenomen, for¸ta Tf ir poart˘ a denumirea sugestiv˘ a de tensiune în fir ¸si este utilizat elementul grafic de mai jos.

Figura 2.40 În cele ce urmeaz˘ a vom stabili ecua¸tia diferen¸tial˘ a care caracterizeaz˘ a pendulul simplu (vezi Figura 2.41). La momentul ini¸tial t0 , punctul material M se g˘ ase¸ste în pozi¸tia M0 , f˘ ar˘ a vitez˘ a ini¸tial˘ a. Not˘ am cu θ unghiul f˘ acut de dreptele OM ¸si Oy (verticala locului). Aici, coordonata curbilinie s este dat˘ a de s = l (α − θ) . Putem scrie c˘ a

OM ¯ = sin θ · i − cos θ · j ρ = ¯ ¯OM ¯

= sin (π − θ) · i + cos (π − θ) · j,

respectiv

d (l · ρ) dρ dr = =− ds d [l (α − θ)] dθ dρ = = cos (π − θ) · i − sin (π − θ) · j d (π − θ) = − cos θ · i − sin θ · j.

τ =

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

195

→ De asemeni, versorul − τ are s˘ ageata îndreptat˘ a în sensul cre¸sterii variabilei de derivare, adic˘ a al sc˘ aderii unghiului θ. În sfâr¸sit, conform (2.9), avem 1 dτ 1 dτ 1 dτ ·ν = =− · = · , l ds l dθ l d (π − θ) de unde ν = − sin θ · i + cos θ · j = −ρ. → → Versorul − ν se ob¸tine din versorul − τ prin rotire cu π2 în sens invers trigonometric. ¡ ¢ În mod natural, vom presupune c˘ a θ ∈ − π2 , π2 astfel încât θ > 0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a x > 0.

Figura 2.41 Proiectând (2.129) pe axele triedrului lui Frenet al traiectoriei în pozi¸tia curent˘ a a punctului material M, ob¸tinem  ¡ ¢ · maτ = m v= T + G · τ    = G · τ = mg ¡ sin θ¢ (2.153) v2  = m = T + G · ν ma ν  l  = −T − mg cos θ. ·

·

¸ seama de formula v =s= −l θ, prima din rela¸tiile Aici, T = T · ρ. Tinând (2.153) ne conduce la ecua¸tia diferen¸tial˘a a pendulului matematic, ¸si anume ·· g θ + sin θ = 0 l

(2.154)

(cf. [32], p. 67). Unghiul θ sc˘ azând mereu pe traiectorie atunci când particula ·

·

atre M1 , avem θ< 0. Prin înmul¸tire cu θ în ambii M se deplaseaz˘ a de la M0 c˘

196

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

membri ai (2.154), deducem c˘ a ¶ µ d 1 ·2 g d θ − · (cos θ) = 0, t > t0 . dt 2 l dt Dac˘ a integr˘ am aceast˘ a rela¸tie în raport cu timpul t, avem · ¸2 · ¸2 · · g θ (t) − θ (t0 ) = 2 · [cos θ (t) − cos α] , l de unde v 2 = 2gl (cos θ − cos α)

(2.155)

·

(cf. [34], p. 416). Am folosit faptul c˘ a v0 = −l θ (t0 ) = 0. Ecua¸tia diferen¸tial˘ a a pendulului matematic poate fi stabilit˘ a ¸si într-un alt mod. Astfel, deoarece h ³ ³ π´ π´ i r = l · ρ = l cos θ − · i + sin θ − ·j , 2 2 ·

deducem, pe baza (2.87), c˘ a LO = ml2 θ ·k. Atunci, conform teoremei momentului cinetic, putem scrie c˘ a ··

£ ¡ ¢¤ ¡ ¢ dLO · k = r × G + T · k = r, G, k dt = −mgl sin θ

ml2 θ =

(cf. [32], p. 67, [63], p. 334-335). Pe de alt˘ a parte, formulele (2.154), (2.155) pot fi ob¸tinute direct, prin aplicarea teoremei energiei cinetice (cf. [34], p. 415). Recomand˘ am cititorului s˘ a consulte expunerea f˘ acut˘ a teoriei pendulului matematic în [63], p. 332 ¸si urm˘ atoarele, respectiv detaliile relative la tensiunea în fir T din [34], p. 419. Rela¸tia (2.155) arat˘ a c˘ a v(−α) = 0. Cu alte cuvinte, punctul material M se va opri în pozi¸tia M1 , simetric˘ a pozi¸tiei ini¸tiale M0 fa¸ta˘ de verticala Oy. Mi¸scarea se reia în sens invers, cu p˘ astrarea formulelor (2.154) ¸si (2.155) (cf. [76], p. 486). Astfel, perioada pendulului simplu (adic˘ a, durata necesar˘ a revenirii particulei M în pozi¸tia ini¸tial˘ a) reprezint˘ a dublul duratei mi¸sc˘ arii acesteia din pozi¸tia M0 pân˘ a în pozi¸tia M1 .

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

197

Conform (2.155), avem ·

−l θ= de unde

p 2gl (cos θ − cos α),

s µ ¶ 4g dθ 2 α 2 θ =− sin − sin . dt l 2 2

Separând variabilele ¸si integrând în ambii membri, ob¸tinem c˘ a s s Z−α Zα l dθ dθ T 1 l , = =− · q · q 2 4g 2 g sin2 α · (1 − u2 ) sin2 α − sin2 θ α

2

−α

2

2

a θ(u) = unde sin θ2 = u(θ) · sin α2 (cf. [34], p. 418). Schimbarea de variabil˘ α 2 arcsin(u · sin 2 ), u ∈ [−1, 1], ne conduce la s Z1 s Z1 l du l du · p · p =4 . T =2 g g (1 − u2 ) (1 − k2 u2 ) (1 − u2 ) (1 − k2 u2 ) −1

0

not

Aici, k = sin α2 . Pe baza formulei lui Abel (cf. [53], p. 285),

∞ X ¡ ¢− 1 1 1 3 5 2n − 1 2n 2n 1 − k2 u2 2 = 1 + · · · · ... · ·k ·u n! 2 2 2 2 n=1

= 1+

∞ X 1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1) n=1

De asemeni,

R1 0

2n √u du 1−u2

=

2 · 4 · 6 · ... · (2n)

1·3·5·...·(2n−1) 2·4·6·...·(2n)

· π2 , astfel c˘ a

k2n · u2n .

 1 Z ∞ X l  du 1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1) 2n √ T = 4 · k + 2 g 2 · 4 · 6 · ... · (2n) 1−u n=1 0  Z1 u2n √ · du 1 − u2 0 s ( ) ¸2 ∞ · X 1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1) l α · 1+ . · sin2n = 2π g 2 · 4 · 6 · ... · (2n) 2 n=1 s

198

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

Folosind ordinul de aproximare α4 w 0, putem scrie c˘ a α α α α3 α2 = − sin2 = , 2 2 12 2 4 ´ q ³ 2 de unde T = 2π gl · 1 + α16 (cf. [76], p. 487). Cu ordinul de aproximare sin

α2 w 0, ob¸tinem formula lui Galilei

T = 2π

s

l g

(2.156)

(cf. [34], p. 417). Ordinul de aproximare α2 w 0 este acceptat pentru unghiurile α < 6◦ (cf. [32], p. 68). Atunci, ecua¸tia (2.154) devine ·· g θ + θ = 0, t > t0 , l

(2.157)

p iar solu¸tiile sale pot fi scrise sub forma θ(t) = A cos(ωt + ϕ), unde ω = gl (cf. [76], p. 485). Evident, perioada lor principal˘ a este dat˘ a de (2.156). Forma solu¸tiilor ecua¸tiei (2.157) permite stabilirea legilor pendulului simplu (cf. [32], p. 68): 1) Legea substan¸tei. Perioada mi¸sc˘arii nu depinde de masa punctului material ori natura materialului din care acesta este alc˘atuit. 2) Legea izocronismului micilor oscila¸tii (Galilei, cf. [17], p. 75). Oscila¸tiile punctului material în jurul punctului de suspensie nu depind de amplitudinea lor unghiular˘a atunci când aceasta este mic˘a ( α < 6◦ ). 3) Legea perioadei. Perioada oscila¸tiilor este direct propor¸tional˘a cu r˘ad˘acina p˘atrat˘a din lungimea firului (pendulului) s¸i invers propor¸tional˘a cu r˘ad˘acina p˘atrat˘a din accelera¸tia gravita¸tional˘a.

2.2.29

Problema lui Wittenbauer ¸si ecua¸tia diferen¸tial˘ a a oscilatorului armonic

S˘ a presupunem c˘ a punctul material M se mi¸sc˘ a în planul Oxy al sistemului de referin¸ta˘ iner¸tial R respectând legea r = C1 · eC2 θ ,

C2 6 0 < C1 ,

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

199

astfel încât viteza sa unghiular˘ a ω s˘ a fie constant˘ a (vezi Figura 2.41). Not˘ am cu P proiec¸tia punctului M(x, y) pe axa Ox. Se pune problema de a determina ecua¸tia diferen¸tial˘a ³ · ·· ´ f x, x, x = 0 care caracterizeaz˘a mi¸scarea rectilinie a punctului P (Wittenbauer, cf. [8]).

Figura 2.41 c˘ a

Prin derivarea rela¸tiei x = C1 · eC2 θ cos θ în raport cu timpul t deducem ·

x= C1 eC2 θ ω · (C2 cos θ − sin θ) = ωx · (C2 − tan θ) . O nou˘ a derivare în raport cu timpul t ne conduce la £¡ ¢ ¤ ·· x = C1 eC2 θ ω 2 · C22 − 1 cos θ − 2C2 sin θ ¡ ¢ = ω2 x · C22 − 1 − 2C2 tan θ .

(2.158)

(2.159)

Conform (2.158), avem ··

"

x= ω 2 x · C22 − 1 − 2C2 de unde

Ã

·

x C2 − ωx

!#

,

¡ ¢ ·· · x −2C2 ω x +ω2 1 + C22 x = 0.

În cazul particular C2 = 0, ob¸tinem ecua¸tia oscilatorului armonic (liniar) ··

x +ω 2 x = 0 (cf. [32], p. 66, [34], p. 330). Ea caracterizeaz˘ a mi¸scarea (rectilinie) a punctului ”material” P sub ac¸tiunea unei for¸te de tip central, numit˘ a elastic˘a, − → −→ 2 ¸si anume F = −k · OP , unde k = mω (cf. [76], p. 452, [19], p. 12). Cazul

200

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL

C2 6= 0 corespunde oscilatorului cu amortizare (vâscoas˘a) (cf. [19], p. 22), −−→ − → în prezen¸ta for¸tei de rezisten¸ta˘ Frez = −m · λ2 v · i , unde λ2 = −2C2 ω ¸si − → − → i ∈ TP R3 , i ∈ i (cf. [34], p. 333). În general, ecua¸tia mi¸sc˘ arii punctului material M sub ac¸tiunea unei for¸te elastice (λ > 0) ··

m r= −λ · r, t > t0 , ne conduce la ¶ ¸ · µ ³ ·´ ³ ·· · ´ λ 2 1 2 d m v + r 0 = m r · r + λ r· r = dt 2 2 ¶ µ λ d Ec + r2 = dt 2 (cf. [76], p. 448). a prin integrare în raport cu timpul t, Formula Ec + λ2 r2 = C, ob¸tinut˘ arat˘ a c˘ a mi¸scarea punctului material M se desf˘ a¸soar˘ a într-o zon˘ a m˘arginit˘a (r2 6 2C < +∞) a SF . Mai precis, traiectoria (plan˘ a ) a punctului material λ − → − → M sub ac¸tiunea for¸tei elastice F = −λ · r constituie o elips˘a în SF (cf. [76], p. 445-446, [34], p. 332). Nu vom insista asupra unor asemenea chestiuni, pe care le consider˘ am ca f˘ acând parte, mai degrab˘ a, din deschiderea unui curs de teoria vibra¸tiilor mecanice ori a elasticit˘at¸ii (rezisten¸ta materialelor). Ecua¸tia (2.157) coincizând cu ecua¸tia oscilatorului armonic, proiec¸tia punctului material M pe tangenta la traiectorie în punctul s˘ au cel mai jos (ymin = −l) va executa o mi¸scare oscilatorie liniar˘a (cf. [76], p. 450, [34], p. 414). Aici, x = lθ.

2.2.30

Ecua¸tia diferen¸tial˘ a a pendulului gravita¸tional sferic

Revenim la problema corpului punctiform suspendat de un fir inextensibil s¸i lipsit de mas˘a, f˘ ar˘ a a mai impune îns˘ a ca viteza ini¸tial˘ a a mobilului s˘ a fie nul˘ a. Pentru valori mici ale acesteia, mi¸scarea se va desf˘ a¸sura în interiorul ¸si, la limit˘ a, pe suprafa¸ta semisferei S, de raz˘ a egal˘ a cu lungimea l a firului de suspensie ¸si având centrul în punctul de suspensie (vezi Figura 2.42). Not˘ am cu P (x, z) proiec¸tia punctului material M pe planul orizontal Oxz (tavanul laboratorului).

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

201

Figura 2.42 Vom face referire în cele ce urmeaz˘ a doar la situa¸tia când firul este întins. Acest fenomen se produce odat˘ a cu ”potolirea” mi¸sc˘ arii. Utilizând metoda transform˘ arii Pr˝ufer, introducem m˘ arimile r, θ date de x = r cos θ

z = r sin θ,

unde r ∈ [0, l], θ ∈ C ∞ (R, R). ·2 ·2 P 2 P · 2 ·2 2 2 2 2 2 x r x = r + y ¸si v = = +r θ + y (cf. [34], p. Atunci, l = 411). Aplic˘ am teorema energiei cinetice ¸si ¸tinem seama de faptul c˘ a lucrul mecanic elementar al for¸telor de leg˘ atur˘ a este nul. Astfel, µ ¶ 1 2 d mv = G · dr = −mgdy, 2 respectiv

¶ µ · d 1 2 mv = −mg y . dt 2 Prin integrare în raport cu timpul t, ajungem la ¸ · 2 1 2 2 v = mg (y0 − y) + mv0 = −2gy + h. m 2

(2.160)

Ca ¸si anterior, teorema momentului cinetic implic˘ a ¢ ¡ ¢ dLO d ¡ ·j = 2mΩ · j = OP , G, j = 0, dt dt ·

de unde, conform (2.71), avem c˘ a r2 θ= C. a Prin derivarea în raport cu timpul t a rela¸tiei l2 = r2 + y 2 , putem scrie c˘ ·

·

r· r +y· y = 0.

202

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL ·

·

·

y Introducând m˘ arimile r= − yr , θ=

−2gy + h =

Ã

·

yy − r ·2

!2

C , r2

r=

p l2 − y 2 în (2.160), ob¸tinem

¡ ¢ + l2 − y 2

µ

C r2

¶2

·2

+y

·2 y2· y C2 y = 2 + + l − y 2 l2 − y 2 µ ¶ ·2 1 2 y 2 l · +C . = 2 l − y2

Formula

p · l y = ± (−2gy + h) (l2 − y 2 ) − C 2

(2.161)

constituie ecua¸tia diferen¸tial˘a a pendulului gravita¸tional sferic (cf. [76], p. 497, [34], p. 412). Integrarea sa apeleaz˘ a la teoria func¸tiilor eliptice (cf. [76], p. 645, [34], p. 413). Separând variabilele în (2.161), putem determina parametrii mi¸sc˘ arii punctului material M dy dt = ±l · p P(y)

dθ =

dy C p dt = ±Cl · , 2 r (l2 − y 2 ) P(y)

unde P(y) = (−2gy + h) (l2 − y 2 ) − C 2 (cf. [34], p. 412). O abordare asem˘ an˘ atoare a problemei, bazat˘ a pe utilizarea coordonatelor sferice, poate fi citit˘ a în [41], p. 51. Dat˘ a fiind forma polinomului P(y), avem P(±l) = −C 2 < 0 ¸si lim y→+∞

P(y) = +∞. Deducem de aici c˘ a polinomul P(y) are m˘ acar o r˘ ad˘ acin˘ a y3 în intervalul (l, +∞). Dac˘ a celelalte dou˘ a r˘ ad˘ acini ale sale, notate y1 , y2 , se vor afla în (−l, l), adic˘ a |y1 y2 | < l2 , atunci, conform rela¸tiei lui Viète y1 y2 + y2 y3 + y3 y1 = −l2 , ob¸tinem (y1 + y2 ) y3 = −l2 − y1 y2 < 0. Din y1 +y2 < 0 rezult˘ a c˘ a m˘ acar una dintre r˘ ad˘ acini se g˘ ase¸ste în intervalul care ne intereseaz˘ a, ¸si anume (−l, 0). Dac˘ a, în plus, P(0) < 0 < P(y0 ), se poate demonstra c˘ a mi¸scarea pe semisfer˘ a a punctului material M are loc în segmentul delimitat de planele

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

203

y = y1 , y = y2 , unde −l < y1 < y0 < y2 < 0, ¸si c˘ a func¸tia y = y(t) admite perioada Zy2 du T = 2l · p . P(u) y1

De asemeni, proiec¸tia pe planul orizontal Oxz a unghiului f˘ acut de dreptele OM(t∗ ), OM(t∗ + T ), unde y(t∗ ) ∈ {y1 , y2 }, este determin˘ a un unghi obtuz (cf. [34], p. 413, [76], p. 497).

2.2.31

Stabilitatea echilibrului punctului material M

Experien¸ta arat˘ a c˘ a, în cazul pendulului gravita¸tional (simplu sau sferic), exist˘ a o unic˘ a pozi¸tie de echilibru, ¸si anume ymin = −l. De asemeni, corpul punctiform M, odat˘ a mi¸scat din aceast˘ a pozi¸tie, execut˘ a oscila¸tii în jurul punctului de suspensie r˘ amânând, atunci când ”perturbarea” sa este ”mic˘ a”, în apropierea pozi¸tiei de echilibru. Un asemenea fenomen poart˘ a denumirea de stabilitate a pozi¸tiei de echilibru (cf. [34], p. 421). Mai mult chiar, ¸tinând seama de (2.160), putem scrie c˘ a −l − y0 6 y(t) − y0 6

v02 , 2g v2

not

a c˘ a unde y(t0 ) = y0 (cf. [34], p. 413). Astfel, y(t) ∈ [−l, y0 + 2g0 ], ceea ce arat˘ pozi¸tia s¸i viteza ini¸tiale y0 , v0 ale mobilului M controleaz˘a pozi¸tiile ulterioare ale acestuia. Pozi¸tiei ymin = −l îi corespunde, în problema pendulului matematic, solu¸tia identic nul˘ a a ecua¸tiei (2.154). Fenomenul descris anterior, al stabilit˘ a¸tii pozi¸tiei, este reflectat, d. p. d. v. matematic, prin aceea c˘ a solu¸tia θ(t) = 0 a ecua¸tiei (2.154) este stabil˘a în sens Liapunov. O demonstra¸tie a acestui fapt poate fi citit˘ a în [6], p. 126. În general, fiind dat˘ a ecua¸tia diferen¸tial˘ a autonom˘ a ··

x +g(x) = 0, t > t0 ,

(2.162)

unde func¸tia g : R → R este continu˘ a, g(0) = 0 ¸si g(x)x > 0 pe un mic interval centrat în O, se poate ar˘ ata c˘ a pentru orice ε > 0 exist˘a δ(ε) > 0 astfel încât, fiind date m˘arimile x0 , v0 ∈ R, cu |x0 |, |v0 | < δ(ε), orice solu¸tie

204

CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL ·

x(t) a ecua¸tiei (2.162) care verific˘a datele Cauchy x(t0 ) = x0 , x (t0 ) = v0 va fi definit˘a pe [t0 , +∞) s¸i, în plus, ¯ ¯· ¯ ¯ |x(t)| , ¯x (t)¯ < ε, t > t0 .

Reg˘ asim, în particular, controlul m˘ arimii x(t) cu ajutorul cantit˘ a¸tilor x0 , v0 . Demonstra¸tia rezultatului precedent se bazeaz˘ a pe func¸tia lui Liapunov V(x, y), unde V : R2 → R, introdus˘ a prin formula 1 V(x, y) = y 2 + 2

Zx

g(u)du

0

(cf. [6], p. 143). Este evident c˘ a V(0, 0) = 0 ¸si V(x, y) > 0 pe o mic˘ a vecin˘ atate a lui (0, 0) a a func¸tiei lui Liapunov V(x, y) provine în (R2 , Te ). Caracteristica esen¸tial˘ din calculul urm˘ ator ´i d h ³ ∂V · ∂V ·· · = V x (t) , x (t) · x (t) + · · x (t) dt ∂x ∂x h i · ·· = x (t) g (x (t)) + x (t) = 0,

¸si anume

d dt

´i h ³ · x V x (t) , (t) 6 0.

În cazul particular al ecua¸tiei (2.154), avem ·

V(θ, θ) =

1 ·2 g θ + (1 − cos θ) . 2 l

Impunând ca l = 1 ¸si atribuind pozi¸tiei ymin = −l nivelul de energie ·

a energia mecanic˘a poten¸tial˘a nul˘a, observ˘ am c˘ a m˘ arimea V(θ, θ) desemneaz˘ (total˘a) a punctului material M (de mas˘ a m = 1) în mi¸scarea sa pe leg˘ atura unilateral˘ a ideal˘ a Γ (cf. [6], p. 142). Teoria stabilit˘ a¸tii ecua¸tiilor diferen¸tiale se datoreaz˘ a cercet˘ arilor întreprinse de H. Poincaré ¸si A. Liapunov, în mod independent. În timp ce studiile lui H. Poincaré au un caracter topologic (el introduce no¸tiunea de ciclu-limit˘a ), A. Liapunov se preocup˘ a de valabilitatea ¸si limitele problemei stabilit˘ a¸tii solu¸tiilor unui sistem diferen¸tial neliniar în prim˘a aproxima¸tie

2.2. STATICA S¸I DINAMICA

205

(liniarizare) (cf. [72], p. 527-528). Punctul de plecare îl constituie teza sa de doctorat, intitulat˘ a ”Problema general˘ a a stabilit˘ a¸tii mi¸sc˘ arii” (Harkov, 1892) (cf. [6], p. 123, [76], p. 806). Cititorul poate consulta în aceast˘ a privin¸ta˘ prezent˘ arile f˘ acute în [6], Cap. IV, [76], p. 806-809, 814-820, [4], etc. Câteva dintre lucr˘ arile fundamentale în domeniu sunt [10], [22], [30]. O serie de aplica¸tii practice ¸si detalii extrem de interesante se g˘ asesc în [9], [21], etc. S˘ a presupunem acum c˘ a asupra punctului material M, supus unei leg˘ aturi bilaterale ideale - constituit˘ a din suprafa¸ta simpl˘ a S a c˘ arei parametrizare global˘ a este dat˘ a de (2.42) -, ac¸tioneaz˘ a câmpul de for¸te conservative F = ∇U. Dac˘ a punctul material M r˘ amâne în echilibru, în acest câmp − → − → conservativ, în pozi¸tia M0 , deducem c˘ a for¸ta F ∈ TM0 R3 , F ∈ F , va fi ortogonal˘a vectorilor din TM0 S. Astfel, 0=F·

∂σ ∂σ ∂U = ∇U · i = i , i ∂q ∂q ∂q

i = 1, 2

(cf. [34], p. 420). Îns˘ a formulele anterioare reprezint˘ a condi¸tii necesare de extrem pentru func¸tia U(q 1 , q 2 ) (cf. [68], p. 97, [24], p. 251, etc.). Acest fapt este evident în cazul pendulului gravita¸tional, unde pozi¸tia de chilibru ymin = −l se caracterizeaz˘ a prin valoarea minim˘a a energiei poten¸tiale V = −U . Se poate ar˘ ata, privind m˘ arimea V ca o form˘a p˘atratic˘a pozitiv definit˘a în vecin˘ atatea echilibrului M0 (cf. [76], p. 794, [56], p. 174), c˘ a pozi¸tia de echilibru M0 a punctului material M în câmpul de for¸te conservative F este stabil˘a dac˘a M0 reprezint˘a un punct de minim izolat al energiei poten¸tiale V . Rezultatul în cauz˘ a poart˘ a denumirea de teorema Lagrange-Dirichlet (J. Lagrange (1788), G. Dirichlet (1846), cf. [32], p. 62) în mecanica teoretic˘ a (cf. [34], p. 421, [76], p. 794, [6], p. 143, [63], p. 551, etc.). Demonstra¸tia sa riguroas˘ a apar¸tine lui G. L. Dirichlet (cf. [76], p. 795-797). Un rezultat interesant, în ”spiritul” teoremei Lagrange-Dirichlet, prive¸ste sistemul diferen¸tial de tip conservativ ·

u +∇V = 0.

(2.163)

Aici, V = V (u1 , u2 , u3 ). Dac˘a (C1 , C2 , C3 ) reprezint˘a un minim izolat al m˘arimii V , atunci u(t) = C1 i + C2 j + C3 k constituie o solu¸tie asimptotic stabil˘a a sistemului (2.163) (cf. [6], teorema 9, p. 144-145).

Capitolul 3 Mecanica solidului rigid În subiectele dezb˘ atute anterior (teoria newtonian˘ a a gravita¸tiei, mi¸scarea proiectilelor pe curba balistic˘ a) am folosit, în locul unor corpuri materiale distincte prin form˘ a ¸si structur˘ a interioar˘ a, puncte geometrice. Natura problemelor studiate a f˘ acut posibil acest lucru. Analiza unor fenomene diferite, în schimb, cum ar fi cel al mi¸sc˘ arii titirezului (sfârlezei), cf. [32], p. 132-133, necesit˘ a introducerea altor modele matematice ale corpurilor materiale. Cel mai simplu dintre acestea, solidul rigid, înlocuie¸ste, într-o prim˘a aproxima¸tie (cf. [76], p. 133) a situa¸tiilor întâlnite în via¸ta de zi cu zi, corpul material cu un ansamblu discret de puncte materiale (cf. [54], p. 108, [41], p. 136). Modelul matematic al solidului rigid necesit˘ a, de asemeni, o actualizare a defini¸tiei for¸tei. Generic, un sistem mecanic reprezint˘ a o mul¸time de puncte materiale © ª S = (Mi , mi ) : i = 1, n ,

supuse unor leg˘ aturi reciproce (interac¸tiuni), care alc˘ atuiesc un ”întreg”, deformabil într-o m˘ asur˘ a mai mic˘ a sau mai mare (R. Boscovich, 1758) (cf. [32], p. 75, [63], p. 18, [54], p. 108, [76], p. 3, [14], p. 7). Practic, putem considera c˘ a un corp este sistemul mecanic al ”particulelor” sale. Legile care guverneaz˘ a mi¸scarea mecanic˘ a a oric˘ arui sistem de puncte materiale (mecanic) nu necesit˘ a axiome noi, ci se deduc din principiile mecanicii punctului material (cf. [32], p. 75). Solidul rigid este acel sistem mecanic S c˘ aruia i se ata¸seaz˘ a o proprietate esen¸tialmente geometric˘ a (cf. [76], p. 560), ¸si anume d [d (Mi , Mj )] = 0, t > t0 , dt 206

207 unde 1 6 i, j 6 n. Cu alte cuvinte, distan¸ta dintre dou˘a puncte oarecare ale solidului rigid S nu se modific˘a în timp, indiferent de m˘arimea for¸telor aplicate asupra corpului material ori a mi¸sc˘arii efectuate de acesta (cf. [34], p. 161, [63], p. 18, [32], p. 76). Nu exist˘ a, în realitate, corpuri perfect rigide. Totu¸si, obiectele confec¸tionate din materiale dure (metal, lemn, zid˘ arie, etc.) pot fi privite ca solide rigide, într-o prim˘ a aproxima¸tie, atunci când for¸tele care se exercit˘ a asupra lor nu dep˘ a¸sesc în intensitate (m˘ arime) anumite limite (cf. [34], p. 8). Pozi¸tia unui corp solid rigid S fa¸t˘a de reperul canonic R este caracterizat˘a de s¸ase parametri. Ace¸stia pot fi ale¸si în mai multe feluri (cf. [76], p. 168). Mai precis, s˘ a consider˘ am drept fixat un punct oarecare A al solidului S (în mod sugestiv, mi¸scarea general˘ a a solidului rigid poate fi asem˘ anat˘ a cu aceea a unei c˘ ar˘ amizi care ”se d˘ a peste cap”; aici, punctul A va fi ”fixat” cu cret˘ a într-unul din col¸turile c˘ ar˘ amizii). Pozi¸tia sa este dat˘ a cu ajutorul a trei parametri, coordonatele punctului în R. Orice alt punct al corpului material se va g˘ asi pe o sfer˘ a de raz˘ a constant˘ a în timp, centrat˘ a în A. Alegând, de exemplu, un punct B situat pe sfera de raz˘ a egal˘ a cu unitatea, putem caracteriza pozi¸tia acestuia cu numai doi parametri. Într-adev˘ ar, cu ajutorul paralelelor duse prin punctul A la axele reperului R ob¸tinem un sistem de coordonate care ne furnizeaz˘ a, prin intermediul coordonatelor sferice, pozi¸tia punctului B. Un al treilea punct C, situat la distan¸te neegale de A, B, va apar¸tine cercului comun sferelor centrate în A ¸si B de raze d(A, C), respectiv d(B, C). Pozi¸tia sa pe cercul fix se determin˘ a cu un parametru. A¸sadar, pentru a preciza (fixa) pozi¸tia unui corp solid rigid S la momentul t este suficient s˘a se precizeze pozi¸tiile pe care le ocup˘a în sistemul de referin¸t˘a R, la acel moment, trei puncte necoliniare ale acestuia (cf. [76], p. 167). Cunoa¸sterea pozi¸tiei punctelor A, B, C ale rigidului S (vezi Figura 3.1) permite introducerea unui reper (mobil) R0 solidar (rigid) legat de corpul solid (cf. [41], p. 136). Într-adev˘ ar, dac˘ a O1 reprezint˘ a centrul cercului pe care se g˘ ase¸ste punctul C, putem alege pe acest cerc un al patrulea punct, −−→ −−→ −−→ notat D, astfel ca versorii vectorilor O1 C, O1 B, O1 D s˘ a alc˘ atuiasc˘ a un sistem ortonormat, de sens direct. În acest fel, putem spune c˘ a studiul mi¸sc˘ arii solidului rigid S fa¸ta˘ de sistemul de referin¸ta˘ R este acela¸si cu studiul mi¸sc˘ arii unui reper R0 solidar legat de rigid fa¸ta˘ de reperul R. În formularea profesorului O. Onicescu, rigidul este un corp ale c˘arui mi¸sc˘ari sunt replica mi¸sc˘arilor euclidiene ale spa¸tiului care proced exact ca s¸i cum spa¸tiul întreg ar fi un rigid (cf. [56], p. 145). De asemeni, mi¸scarea unui sistem rigid se

208

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

extinde în mod firesc la întreg spa¸tiul s¸i se studiaz˘a f˘ar˘a a specifica sistemul particular considerat pentru a o defini (T. Levi-Cività) (cf. [56], p. 354). Formula vM = vO1 + ω × O1 M, pe care o vom stabili ulterior, arat˘ a c˘ a viteza punctelor M ale spa¸tiului ”rigid” cre¸ste indefinit cu distan¸ta dintre M ¸si dreapta determinat˘ a de O1 ¸si de vectorul director ω, ceea ce face inutilizabil un asemenea model al corpului material în mecanicile avansate (¸tinând seama de limitarea superioar˘ a a vitezei în Univers) (cf. [56], p. 354, [32], p. 94). Aici, ω constituie vectorul-vitez˘ a unghiular˘ a instantanee al mi¸sc˘ arii reperului R0 fa¸ta˘ de R iar vM , vO1 vitezele absolute ale punctelor M, O1 .

Figura 3.1

3.1 3.1.1

Vectori ¸si tensori Vectori alunec˘ atori. Principiul suprim˘ arii for¸telor

Trecerea de la corpurile punctiforme (puncte geometrice) la solide complexe (mul¸timi de puncte materiale) presupune luarea în discu¸tie a fenomenului de transmitere (propagare) a for¸tei. Exemple de asemenea propag˘ ari se întâlnesc la tot pasul în via¸ta de zi cu zi: ap˘asarea furculi¸tei asupra unei buc˘ a¸ti de brânz˘ a, ridicarea mânerului unui geamantan, ap˘asarea clan¸tei unei u¸si, împinsul pedalei de ambreiaj, etc. Aceste ”ap˘ as˘ ari pe buton” comunic˘ a presiunea exercitat˘ a de palm˘ a obiectelor cu care se afl˘ a în contact: felia de brânz˘ a, arcul broa¸stei, etc. Astfel, un model matematic al for¸tei care se exercit˘ a din partea mediului înconjur˘ ator asupra corpului solid rigid va trebui s˘ a ¸tin˘ a seama de conductibilitatea sa în ceea ce prive¸ste for¸ta. S˘ a consider˘ am sistemul de referin¸ta˘ R ¸si solidul rigid S. O dreapt˘ a ∆ ce trece prin dou˘ a puncte A, B ale corpului S are versorul director u. − → Presupunem c˘ a for¸ta F ∈ TA R3 ac¸tioneaz˘ a asupra lui S astfel ca F = Fu · u (adic˘ a, dreapta sa suport coincide cu ∆). Formula (2.85) arat˘ a c˘ ao

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

209

− → − → a cu F , produce acela¸si efect asupra solidului for¸ta˘ F1 ∈ TB R3 , echipolent˘ rigid S, ¸si anume MO = OA × F = OB × F (3.1) − → (cf. [34], p. 54, [63], p. 44). A¸sadar, momentul unei for¸te F fa¸t˘a de polul O r˘amâne neschimbat atunci când punctul de aplica¸tie al for¸tei se deplaseaz˘a pe direc¸tia F (cf. [76], p. 45). Cu alte cuvinte, no¸tiunea de moment al for¸tei fa¸ta˘ de polul O formalizeaz˘ a matematic fenomenul de propagare a acesteia. − → De aceea, prin defini¸tie, spunem c˘ a a exercita o for¸ta˘ F asupra corpului solid rigid S înseamn˘ a a introduce vectorul F ∈ T R3 ¸si axa (linia) sa de ac¸tiune ∆ (cf. [76], p. 24). Un asemenea vector se nume¸ste alunec˘ator sau glisant (P. Varignon, cf. [32], p. 145, [76], p. 25, [14], p. 24). De¸si nu am insistat anterior asupra acestui fapt, din punct de vedere ”tensorial”, vectorii liberi sunt caracteriza¸ti prin trei parametri (coordonatele lor în baza B a spa¸tiului T R3 ) iar vectorii lega¸ti prin s¸ase parametri (coordonatele vectorului liber care constituie clasa de echipolen¸ta˘ a vectorului legat ca ¸si coordonatele punctului s˘ au de aplica¸tie în R). Ceea ce este esen¸tial întro asemenea caracterizare a m˘ arimilor vectoriale este tocmai modalitatea de modificare (varia¸tie) a acestor parametri odat˘ a cu schimbarea reperului. În mod natural, ne punem problema preciz˘ arii acelor parametri care constituie expresia tensorial˘a a unui vector glisant. Ace¸sti parametri poart˘ a denumirea de coordonate pl˝uckeriene (Pl˝ucker) (cf. [34], p. 55, [76], p. 49). Dac˘ a OA = xi + yj + zk ¸si F = Xi + Y j + Zk, atunci coordonatele vectorului MO sunt date de m˘ arimile L = yZ − zY

M = zX − xZ

N = xY − yX

(cf. [34], p. 53, [76], p. 48). Conform (3.1), MO · F = (OB, F , F ) = 0, de unde LX + MY + NZ = 0. Cu alte cuvinte, doar cinci dintre numerele L, M, N, X, Y , Z sunt independente. Ele reprezint˘ a cei cinci parametri care caracterizeaz˘ a tensorial, în mod biunivoc, un vector alunec˘ ator (cf. [2], p. 7, [76], p. 48-49). au b sunt m˘ arimi Din punct de vedere practic, cum vectorul F ¸si bra¸tul s˘ cunoscute, exist˘ a doar dou˘ a posibilit˘ a ¸ t i de alegere a dreptei-suport ∆ (vezi ¯− ¯ ¯ → ¯ ¯¯ ¯¯ Figura 3.2). Aici, ¯MO ¯ = F · b.

210

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Figura 3.2 − → a dreapta ∆ deoarece Sensul vectorului MO este acela care desemneaz˘ −→ − → rota¸tia lui OA în jurul dreptei-suport a lui MO trebuie s˘ a se realizeze în sens direct trigonometric ¸si cu un unghi 6 180◦ (cf. [35], p. 49, [34], p. 27). S˘ a presupunem acum c˘ a asupra punctului material A, aflat în constitu¸tia − → − → corpului solid rigid S, ac¸tioneaz˘ a dou˘ a for¸te F1 , F2 coliniare, egale în m˘ arime dar de sens opus (vezi Figura 3.3). − → − → − → − → Evident, F1 + F2 = 0, ceea ce exprim˘ a faptul c˘ a prezen¸ta for¸telor F1 , F2 nu impieteaz˘ a cu nimic asupra st˘ arii mecanice curente a corpului S. F˘ acând s˘ a alunece, pe rând, cele dou˘ a for¸te pân˘ a în pozi¸tia particulei B din constitu¸tia rigidului, putem scrie 0

F1 + F2 = 0

0

F 2 + F 1 = 0.

Cu alte cuvinte, compresia (comprimarea) realizat˘ a asupra lui S de for¸tele →0 →0 − → − − → − F1 , F2 , respectiv extensia realizat˘ a de for¸tele F2 , F1 nu influen¸teaz˘ a în nici un fel solidul rigid. Spunem c˘ a aceste for¸te î¸si fac echilibru s¸i pot fi suprimate f˘ar˘a a schimba starea de repaus sau mi¸scare a corpului (cf. [34], p. 8, [76], p. 134, [63], p. 42, [14], p. 24, etc). Proprietatea în cauz˘ a este cunoscut˘ a sub denumirea de principiul suprim˘ arii for¸telor.

Figura 3.3

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

3.1.2

211

Momentul unui vector fa¸ta a. Momen˘ de o ax˘ tul cinetic fa¸ta a al punctului material. ˘ de o ax˘ Teorema momentului cinetic

− → Dup˘ a cum am v˘ azut anterior, m˘ arimea vectorial˘ a MO are o semnifica¸tie mecanic˘ a precis˘ a atât în cazul vectorilor lega¸ti cât ¸si alunec˘ atori. Definirea vectorului liber drept o clas˘ a de echivalen¸ta˘ (echipolen¸ta segmentelor orientate) face ca no¸tiunea de moment de pol O s˘ a nu îi poat˘ a fi ata¸sat˘ a (cf. [76], p. 45). Putem ob¸tine, în schimb, o serie de concluzii interesante dac˘ a interpret˘am anumite produse vectoriale ca ”momente”. − → S˘ a consider˘ am vectorul legat sau alunec˘ ator F cu dreapta-suport ∆ ¸si o alt˘ a dreapt˘ a ∆1 de versor (director) w. Atunci, pentru P1 , P2 ∈ ∆1 ¸si A ∈ ∆, avem ¡ ¢ MP2 = P2 A × F = P2 P 1 + P1 A × F = P2 P 1 × F + MP1 ,

respectiv

¡ ¢ MP2 · w = P2 P 1 , F , w + MP1 · w = MP1 · w.

Aici, P2 P 1 = k · w, k ∈ R. A¸sadar, proiec¸tia pe dreapta ∆1 a momentului − → unui vector F fa¸t˘a de un punct (pol) P al acesteia este independent˘a de pozi¸tia lui P pe dreapt˘a (cf. [76], p. 46, [34], p. 55). M˘ arimea MP · w, − → notat˘ a M∆1 , unde P ∈ ∆1 , se nume¸ste momentul vectorului F fa¸t˘a de axa ∆1 (cf. [63], p. 44, [35], p. 49). Momentul M∆1 admite urm˘ atoarea caracterizare. Fie Π planul perpendicular pe dreapta ∆1 care o intersecteaz˘ a în P (vezi Figura 3.4).

Figura 3.4 − → Dac˘ a proiect˘ am vectorul F pe planul Π, atunci vom putea scrie c˘ a F = F 1 + F 2 = F 0 + k1 · w

P A = P A0 + A0 A = P A0 + k2 · w,

212

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

unde k1,2 ∈ R, ¸si

£¡ ¢ ¡ ¢¤ M∆1 = w · P A0 + k2 · w × F 0 + k1 · w ¡ ¢ ¡ ¢ ¢ ¡ = w, P A0 , F 0 + w, P A0 , k1 w + w, k2 w, F 0 + (w, k2 w, k1 w) ¯ ¯− ³− ³− →0 ´ →0 ´ ¯ →0 ¯ = MP F · w = M∆1 F = ± ¯ F ¯ · d ¯ ¯− ¯ →¯ = ±d · ¯ F ¯ · sin α

− → (cf. [34], p. 55). Cu alte cuvinte, momentul vectorului F fa¸t˘a de axa ∆1 este egal cu momentul fa¸t˘a de aceea¸si ax˘a al vectorului-proiec¸tie al s˘au pe un plan perpendicular pe ∆1 (cf. [63], p. 46). ³− →0 ´ a proiec¸tia Egalitatea M∆1 = MP F · w = F⊥ · d, unde F⊥ reprezint˘ − → vectorului F pe direc¸tia A0 B 0 , scoate în eviden¸ta˘ faptul c˘ a efectul de rota¸tie − → al aplic˘ arii for¸tei F asupra unui corp solid rigid care se poate roti liber în jurul axei fixe verticale ∆1 este produs numai de componenta transversal˘a − → (pe ax˘ a) a lui F (cf. [32], p.¯ 54). ³ ´¯ ¯ ¯ ¯− ¯ →¯ − → ¯ ¯− ¯ →¯ ¯ La rândul lor, formulele ¯MO F ¯ = ¯ F ¯ · b, M∆1 = ±d · ¯ F ¯ · sin α arat˘ a c˘ a: − → 1) Momentul vectorului F fa¸t˘a de polul O este nul dac˘a s¸i numai dac˘a − → vectorul F este nul sau dreapta sa suport trece prin punctul O (cf. [35], p. 48, [34], p. 54). − → 2) Momentul vectorului F fa¸t˘a de axa ∆1 este nul dac˘a s¸i numai dac˘a − → vectorul F este nul sau dreapta sa suport este coplanar˘a cu dreapta ∆1 (cf. [76], p. 48, [34], p. 56). În particular, în cazul unui solid rigid cu ax˘ a de rota¸tie fix˘ a, o for¸ta˘ având linia de ac¸tiune paralel˘ a cu axa de rota¸tie ori concurent˘ a cu aceasta nu produce rota¸tie (cf. [32], p. 54). Calculele precedente pot fi aplicate ¸si unor m˘ arimi vectoriale diferite de for¸te. Astfel, ¸tinând seama de (2.87), (2.71), m˘ arimea not

·

LOz = Lz = mr12 θ1 reprezint˘ a momentul cinetic al punctului material fa¸t˘a de axa Oz, exprimat în coordonate polare (cf. [76], p. 402). Aici, planul Π este chiar Oxy.

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

213

În sfâr¸sit, teorema momentului cinetic fa¸ta˘ de axa Oz, aplicat˘ a punctului material M, este · Lz = Mz , not

unde MOz = Mz .

3.1.3

Torsorul unui sistem de vectori. Sisteme de vectori echivalente. Invarian¸ti

Opera¸tiile cu vectori glisan¸ti se definesc, în mod evident, prin extrapolarea opera¸tiilor corespunz˘ atoare cu vectori lega¸ti. Astfel, având vectorii − → − → alunec˘ atori F1 , F2 cu dreptele-suport concurente ∆1 , ∆2 (vezi Figura 3.5), − → putem construi suma lor, reprezentat˘ a de vectorul (alunec˘ ator) F , unde F = F 1 + F 2 , cu linia de ac¸tiune ∆ definit˘ a de punctul A comun dreptelor ∆1 , ∆2 ¸si de vectorul director F (cf. [76], p. 233). O formul˘ a elementar˘ a, util˘ a în cadrul problemelor de mecanic˘ a teoretic˘ a, este (vezi Figura 3.5) ¯− ¯ ¯ →¯2 ¯ →¯2 ¯− ¯ ¯ F1 ¯ − ¯ F2 ¯ cos α = ¯¯− →¯¯ →¯¯ ¯¯− ¯ F ¯ · ¯F 0 ¯ − → − → − → (cf. [35], p. 224). Aici, F 0 = F1 − F2 .

Figura 3.5 S˘ a consider˘ am, în cele ce urmeaz˘ a, un sistem de vectori lega¸ti sau alunec˘ a− → − → tori F1 , ..., Fn având dreptele-suport ∆1 , ..., ∆n ¸si punctele Ai ∈ ∆i , unde 1 6 i 6 n. Fixând punctul A ∈ E3 în raport cu reperul canonic R, intro− → − → ducem vectorii R A , MA ∈ TA R3 prin formulele RA =

n X i=1

− → F i , R A ∈ RA

MA =

n X i=1

− → AAi × F i , MA ∈ MA

214

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

(cf. [76], p. 55). − → − → Vectorii R A , MA poart˘ a denumirea de rezultant˘a general˘a sau vector − → rezultant, respectiv moment rezultant al sistemului de vectori { Fi : i = 1, n} (cf. [34], p. 57, [35], p. 50). Fixând un al doilea punct B ∈ E3 , au loc rela¸tiile RA = RB ,

(3.2)

respectiv MA

! Ã n n X X ¡ ¢ = AB + BAi × F i = AB × Fi i=1

+

n X i=1

(3.3)

i=1

³− →´ MB Fi

= MB + AB × RB (cf. [34], p. 59, [14], p. 31). − → Formula (3.2) arat˘ a c˘ a rezultanta general˘ a R A este ”transportat˘ a” în − → orice alt punct al SF într-un vector echipolent, ¸si anume R B . Aplica¸tia − → care asociaz˘ a fiec˘ arui punct A ∈ E3 vectorul R A ∈ RA define¸ste astfel un câmp vectorial uniform (cf. [35], p. 52). De aceea, convenim s˘ a spunem c˘ a rezultanta general˘a a unui sistem de vectori lega¸ti sau alunec˘atori poate fi privit˘a ca un vector liber s¸i constituie un invariant (m˘arime invariant˘a la schimbarea polului A) al sistemului (cf. [34], p. 57, 59). În ceea ce prive¸ste momentul rezultant, deducem c˘ a ¡ ¢ (3.2) MA · RA = MB · RA + AB, RB , RA = MB · RB ,

adic˘ a proiec¸tia momentului rezultant al unui sistem de vectori lega¸ti sau alunec˘atori pe direc¸tia vectorului rezultant este independent˘a de alegerea polului A, constituind un invariant al sistemului (cf. [32], p. 151). Dubletul ³− → − → ´ τA = R A , MA

− → se nume¸ste torsorul de pol A al sistemului de vectori { Fi : i = 1, n} (cf. [76], p. 56). El exprim˘ a efectul mecanic al aplic˘ arii sistemului de for¸te asupra corpului solid rigid S (cf. [63], p. 54). Dat˘ a fiind existen¸ta celui de-al

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

215

doilea invariant al sistemului de vectori, putem spune c˘ a aplica¸tia care aso− → ciaz˘ a fiec˘ arui punct A ∈ E3 vectorul MA ∈ MA define¸ste un câmp vectorial echiproiectiv (cf. [35], p. 52). Atunci când rezultanta general˘ a a unui sistem de vectori este nul˘ a, câmpul vectorial al momentului rezultant devine uniform. Putem considera, astfel, momentul rezultant ca un vector liber (transportabil prin echipolen¸ta˘ în orice punct al SF ) (cf. [34], p. 59, [35], p. 52-53). Se pune în mod natural problema simplific˘arii (reducerii) unui sistem de for¸te aplicate asupra corpului solid rigid, cu p˘ astrarea efectului mecanic al ac¸tiunii lor, ¸si aceasta pentru a putea clarifica ¸si rezolva diverse situa¸tii din via¸ta de zi cu zi, scopul final al mecanicii. Reducerea, prin opera¸tii specifice, a for¸telor care intervin în probleme practice va permite stabilirea cu u¸surin¸ta˘, în general, a efectului acestora asupra corpului material. Opera¸tiile elementare de echivalen¸t˘a cu ajutorul c˘ arora putem modifica un sistem de vectori f˘ ar˘ a a influen¸ta torsorul acestuia sunt: 1) glisarea unui vector pe dreapta sa suport; 2) suprimarea a doi vectori egali în m˘ arime dar de sens opus, având aceea¸si dreapt˘ a-suport; 3) compunerea mai multor vectori cu acela¸si punct de aplica¸tie A; 4) descompunerea unui vector cu punctul de aplica¸tie în A în mai mul¸ti vectori cu acela¸si punct de aplica¸tie (cf. [34], p. 60-61, [76], p. 52-54). Fiind date dou˘ a sisteme de vectori lega¸ti sau alunec˘ atori, notate S1 , S2 , spunem c˘ a, prin defini¸tie, ele sunt echivalente dac˘ a τA (S1 ) = τA (S2 ), unde A ∈ E3 . Rela¸tiile (3.2), (3.3) arat˘ a c˘ a o asemenea egalitate este independent˘a de alegerea polului A (cf. [35], p. 54). Se poate dovedi c˘ a sistemul de vectori S1 poate fi transformat pe baza opera¸tiilor elementare de echivalen¸t˘a în sistemul S2 dac˘a s¸i numai dac˘a cele dou˘a sisteme sunt echivalente (cf. [35], p. 54, 57-58, [34], p. 61, 64-65). În particular, un sistem având torsorul nul (RA = MA = 0) nu produce nici un efect mecanic asupra corpului solid rigid, putând fi eliminat sau ad˘ augat în problem˘ a în func¸tie de necesit˘ a¸ti (cf. [34], p. 64, [35], p. 57, [14], p. 29). Un sistem de vectori având torsorul nul este considerat echivalent cu zero (nul) (cf. [34], p. 64, [2], p. 22). Dat fiind scopul final al opera¸tiilor de echivalen¸ta˘, se întâlnesc ¸si denumirile de torsor de reducere (cf. [63], p. 55) pentru τA (S), respectiv punct (centru) de reducere (cf. [32], p. 150, [63], p. 54) pentru polul A.

216

3.1.4

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Teorema lui P. Varignon. Cuplu de for¸te. Reducerea sistemelor de vectori

În cazul în care

n T

i=1

MB =

∆i = {A}, au loc rela¸tiile n X i=1

BAi × F i =

= BA ×

à n X i=1

n X ¡ ¢ BA + AAi × F i

! i=1 n X¡ ¢ Fi + ki · F i × F i

i=1 ³− → ´ = BA × RA = MB R A ,

a c˘ a, întotdeauna, un sistem de vectori unde ki ∈ R, 1 6 i 6 n, ceea ce arat˘ cu liniile de ac¸tiune concurente poate fi redus la un singur vector, rezultanta lor (cf. [76], p. 140). Egalitatea o´ ³n− ³− → → ´ MB = MB R A , B ∈ E3 , Fi : i = 1, n

este cunoscut˘ a sub numele de teorema lui P. Varignon (1725) (cf. [32], p. 152, [34], p. 60, [14], p. 37). Un alt caz al acestei formule, privind sistemele de for¸te în plan, este discutat la p. 229. Considerând o dreapt˘ a oarecare ∆, introdus˘ a cu ajutorul punctului B ∈ E3 ¸si al versorului director u, putem scrie c˘ a n ³− ³− X ¡ ¢ → ´ → ´ M∆ R A = MB R A · u = BAi × F i · u i=1

=

n X i=1

³− →´ M∆ Fi .

Cu alte cuvinte, momentul în raport cu o ax˘a oarecare al rezultantei unui sistem de vectori cu dreptele-suport concurente este egal cu suma algebric˘a a momentelor for¸telor componente în raport cu aceea¸si ax˘a (cf. [14], p. 38). Sub aceast˘ a formulare, teorema lui P. Varignon se mai nume¸ste ¸si teorema momentelor (cf. [63], p. 48). Un caz particular important de sistem de vectori îl constituie cuplul de − → − → for¸te. Prin cuplu de for¸te în¸telegem perechea { F1 , F2 } alc˘ atuit˘ a din for¸te

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

217

egale în m˘ arime ¸si de sens opus care au liniile de ac¸tiune paralele (cf. [14], p. 27). Astfel, ¡ ¢ ¡ ¢ MA = AA1 × F 1 + AA2 × −F 1 = AA1 − AA2 × F 1 = A2 A1 × F 1 = MB .

Câmpul vectorial definit de momentul rezultant al unui cuplu de for¸te aplicate solidului rigid S fiind uniform, momentul rezultant al cuplului poate fi considerat drept vector liber (L. Poinsot, 1804) (cf. [32], p. 148-149, [34], p. 63). ³− ¯ ¯ →´ Egalitatea MA = MA2 F1 (vezi Figura 3.5) ne conduce la ¯MA ¯ = a bra¸tul cuplului (cf. [14], p. 27). r0 · F1 · sin α = F1 · b. Aici, b reprezint˘

Figura 3.5 M˘ arimea MA (vector liber) constituie momentul cuplului (cf. [35], p. 56, [32], p. 146). Se cuvin f˘ acute în acest moment câteva preciz˘ ari relative la leg˘ atura dintre no¸tiunea de moment al for¸tei fa¸ta˘ de un pol (ax˘ a) ¸si efectul de rota¸tie produs prin aplicarea for¸tei respective asupra corpului material, efect la care am f˘ acut referire anterior. Cum mecanica teoretic˘ a reproduce în cadrul unor modele matematice întâmpl˘ ari din via¸ta de zi cu zi, este natural ca introducerea unor no¸tiuni autocon¸tinute de tip matematic în discu¸tie s˘ a fie ilustrat˘a prin men¸tionarea unor fapte experimentale u¸sor de imaginat ori realizat efectiv. De aceea, aceste comentarii privind rota¸tia suferit˘ a de un corp cu ”ax˘ a fix˘ a” sub ac¸tiunea ”ap˘ as˘ arii” ori ” tragerii” noastre trebuie luate numai în sens ilustrativ. Încerca¸ti, de exemplu, s˘ a roti¸ti cu mâinile goale o elice de vapor! Am putea spune, pur intuitiv ¸si neriguros, c˘ a acolo unde exist˘ a un moment ar putea ap˘ area ¸si o rota¸tie. Dar o asemenea afirma¸tie are drept scop s˘ a ne ajute în a ne imagina fenomenul, nu în a realiza demonstrarea unor ”întâmpl˘ ari” mecanice precise.

218

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Revenind la chestiunea cuplului de for¸te, acesta seam˘ an˘ a cu o ”pocnitur˘ a din degete” (ansamblu de mi¸sc˘ ari opuse ale falangelor), deci ne-am a¸stepta s˘ a apar˘ ao rota¸tie (cf. [35], p. 75). S ¸ i, într-adev˘ ar, dac˘ a solidul rigid asupra c˘ aruia ac¸tioneaz˘ a − → − → cuplul { F1 , F2 } este în repaus, liber, constituit dintr-un material omogen ¸si având forma unei sfere S(O, R), atunci acesta va c˘ ap˘ ata o mi¸scare de rota¸tie când planul cuplului de for¸te con¸tine punctul O (vezi Figura 3.6) (cf. [76], p. 137, [63], p. a în punctul O pe planul 49). Rota¸tia se va realiza în jurul axei ∆ perpendicular˘ cuplului. Dar, trebuie ¸stiut c˘ a, în ciuda aparen¸telor, un cuplu de for¸te nu conduce în mod automat la o rota¸tie. În general, determinarea mi¸sc˘ arii unui solid rigid sub ac¸tiunea unui cuplu de for¸te depinde de condi¸tiile ini¸tiale, de geometria maselor, etc (cf. [76], observa¸tia de la p. 137). Privi¸ti un copil care î¸si arunc˘ a juc˘ ariile pe podea. Ac¸tiunea copilului se repet˘ a în mod aproximativ identic, dar ”rostogolirea” juc˘ ariei pe sol difer˘ a de la caz la caz, fapt ce pare a fi în leg˘ atur˘ a cu forma juc˘ ariei, greutatea ei, ¸s. a. m. d.

Figura 3.6

Figura 3.7

− → a consider˘ am un plan Π Revenind la sistemul de vectori { Fi : i = 1, n}, s˘ care nu con¸tine punctele Ai . Atunci, dreptele ∆i vor intersecta planul Π în cel mult n puncte. Putem, a¸sadar, fixa punctele O1 , O2 , O3 ∈ Π necoliniare astfel încât Ok ∈ / ∆i pentru orice k, i. Vectorii O1 Ai , O1 O2 , O1 O3 sunt necoplanari, ceea ce este echivalent cu ¡ ¢ ¡ ¢ O1 Ai , O1 O2 , O1 O3 = O1 Ai , O2 O1 , O3 O1 ¡ ¢ = O1 Ai , O2 O1 + O1 Ai , O3 O1 + O1 Ai ¡ ¢ = O1 Ai , O2 Ai , O3 Ai 6= 0. e→, − e→, introdu¸si prin formula Vectorii − e→, − 1i

2i

3i

− e→ αi ∈ Oα Ai ,

− 3 e→ αi ∈ TAi R , α = 1, 2, 3,

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

219

alc˘ atuiesc o baz˘ a (neortonormat˘ a) a spa¸tiului TAi R3 . În concluzie, exist˘ ao − → 3 descompunere unic˘a a vectorului Fi în TAi R pe direc¸tiile eαi (vezi Figura 3.7), ¸si anume → − → −→ − → − Fi = Fi0 + Fi00 + Fi000 , i = 1, n. − → − → −→ Prin glisarea vectorilor Fi0 , Fi00 , Fi000 pân˘ a în punctele O1 , O2 , O3 putem reduce sistemul ini¸tial la un sistem de trei vectori ) ( n n n X− →0 X − →00 X −→ Fi , Fi , Fi000 i=1

i=1

i=1

(cf. [34], p. 61-62, [35], p. 54-55). → − → − → − Sistemul {R1 , R2 , R3 } ob¸tinut poate fi redus în continuare.

Figura 3.8 Astfel, s˘ a not˘ am cu Π1,2 planele determinate de O1 ¸si de dreapta-suport − → − → a vectorului R2 , respectiv O1 ¸si dreapta-suport a vectorului R3 (vezi Figura 3.8). În cazul cel mai complicat, Π1 ∩ Π2 = ∆. Fixând un punct O0 ∈ ∆, − → O0 6= O1 , descompunem vectorul R2 dup˘ a direc¸tiile O1 O2 , O0 O2 ¸si facem s˘ a − →0 − →00 0 gliseze vectorii R2 , R2 pân˘ a în punctele O , O1 . În final, ajungem la sistemul de doi vectori n− → − → − → − →o → − R1 + R200 + R300 , R20 + R30 (cf. [34], p. 62-63, [35], p. 55-56). Urm˘ atorul procedeu este cunoscut sub denumirea de reducerea for¸tei aplicat˘ a unui corp solid rigid (cf. [63], p. 53, [14], p. 29). S˘ a consider˘ am vectorul − → F , legat sau alunec˘ ator, având linia de ac¸tiune ∆ (vezi Figura 3.9) ¸si A ∈ ∆.

220

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Într-un punct oarecare B al solidului rigid aplic˘ am sistemul nul de for¸te − → − → − → − → − → { F1 , F2 } dat de F 1 = −F 2 = F . Atunci, sistemele de vectori { F }, { F , F1 , − → − → − → F2 } sunt echivalente. Dubletul { F , F2 } constituie un cuplu de for¸te având momentul M. El poate fi înlocuit, p˘ astrându-se echivalen¸ta, cu orice alt →00 − →0 − − → a unui solid rigid S cuplu { F , F } de moment M. Astfel, for¸ta F aplicat˘ − → poate fi ”transportat˘ a” în for¸ta F1 a c˘ arei linie de ac¸tiune trece printr-un punct convenabil ales dac˘ a aducem în discu¸tie un cuplu de for¸te suplimentar → − → − (cf. [63], p. 53-54, [14], p. 29-30). Cuplul { F 0 , F 00 } se nume¸ste compensator − → (cf. [32], p. 147). Aici, M = AB × F 2 = −AB × F = BA × F = MB ( F ).

Figura 3.9

Figura 3.10 − → A¸sadar, pentru a deplasa for¸ta F din punctul A în punctul B nesituat pe dreapta sa suport trebuie introdus un cuplu compensator al c˘arui moment − → (rezultant) este echipolent cu momentul for¸tei F fa¸t˘a de polul B (cf. [32], p. 147).

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

221

− → − → − → a complet vectorul alunec˘ ator F (cf. Torsorul τB = ( F1 , M) caracterizeaz˘ [76], observa¸tia de la p. 50). ¯− ¯ ¯ →¯ − → − → ¯ →¯ ¯− ¯ Reducerea unui sistem de vectori { F1 , F2 }, unde ¯ F1 ¯ 6= ¯ F2 ¯, având liniile a pe cale grafic˘a, prin introducerea de ac¸tiune ∆1 , ∆2 paralele poate fi realizat˘ − → − → sistemului nul { f , − f }, într-un mod extrem de simplu (vezi Figura 3.10). Tinând ¸ seama de congruen¸ta triunghiurilor ha¸surate, avem − → ¯− ¯ |f | ¯ →¯ − → AD ¯ F2 ¯ b1 AD tan α tan α |F1 | DC ¯ ¯ = −→ = ¯− = DB = = . → ¯ f | | tan β tan β DB b2 DC ¯ F1 ¯ − → |F2 | ¯ ¯ ¯ ¯ →¯ ¯− ¯− ¯− ¯ ¯ →¯ ¯ →¯ ¯ →¯ ¯− A¸sadar, b1 · ¯ F1 ¯ = b2 · ¯ F2 ¯, de unde A1 E/A2 E = ¯ F2 ¯ / ¯ F1 ¯. Vectorial, putem scrie c˘ a A1 E · F 1 + A2 E · F 2 = 0. (3.4) − → − → Cu alte cuvinte, deplasând echipolent for¸ F2¯ pe dreapta A1 A2 pân˘a ¯ tele F1 ,¯− ¯− ¯ →¯ ¯ →¯ în punctul E, definit de rela¸tia A1 E · ¯ F1 ¯ = A2 E · ¯ F2 ¯ (interior sau exterior segmentului A1 A2 dup˘a cum for¸tele sunt la fel orientate sau invers orientate), − → − → vom ob¸tine prin sumarea vectorial˘a a acestora reducerea sistemului { F1 , F2 } (cf. [32], p. 148). Pozi¸tionarea punctului E în raport cu segmentul A1 A2 se deduce din (3.4) pe baza defini¸tiei produsului scalar. Tehnica anterioar˘ a este utilizat˘ a pentru reducerea sistemelor de cupluri de for¸te. Într-adev˘ ar, în cazul cuplurilor situate în plane paralele (având momentele coliniare), putem aduce vectorii într-un singur plan astfel încât noile cupluri s˘ a aib˘ a acela¸si bra¸t (cf. [32], p. 149, [63], p. 50-52). Opera¸tiile − → − → se realizeaz˘ a prin introducerea sistemului nul { f , − f }. − → − → 1) Deplasarea cuplului { F , − F } într-un plan paralel:

Figura 3.11

222

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

− → − → 2) Ob¸tinerea, în plan, a unui anumit bra¸t b al cuplului { F , − F }:

Figura 3.12 − → − → 3) Aducerea, în plan, a vectorilor cuplului { F , − F } pe dou˘ a drepte 0 0 paralele ∆1 , ∆2 date (cf. [63], p. 52):

Figura 3.13 − → − → − → − → În sfâr¸sit, s˘ a consider˘ am cuplurile { F1 , − F1 }, { F2 , − F2 } situate în planele Π1,2 . Aici, Π1 ∩ Π2 = d. Fix˘ am dou˘ a puncte A, B ∈ d ¸si construim perpendicularele ∆1,A , ∆1,B ∈ Π1 , respectiv ∆2,A , ∆2,B ∈ Π2 , în aceste puncte, pe dreapta d. Evident, planele determinate de dreptele ∆1,A , ∆2,A ¸si ∆1,B , ∆2,B sunt paralele (dreapta d reprezint˘ a perpendiculara lor comun˘ a). Aducând − → − → − → − → vectorii F1 , − F1 ¸si F2 , − F2 pe dreptele ∆1,A , ∆1,B , respectiv ∆2,A , ∆2,B − → − → − → − → ob¸tinem cuplul { F1 + F2 , − F1 − F2 }. Efectul mecanic al ac¸tiunii unei familii de cupluri de for¸te asupra corpului solid rigid S este, a¸sadar, cel al ac¸tiunii unui singur cuplu de for¸te, al c˘ arui moment este suma (vectorial˘ a) a momentelor cuplurilor de for¸te ini¸tiale (cf. [76], p. 142).

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

223

− → Discu¸tia precedent˘ a arat˘ a c˘ a, în cazul sistemului de vectori { Fi : i = − → 1, n}, putem realiza, aplicând reducerea for¸tei Fi , o transformare a sistemului de vectori ini¸tial într-un sistem alc˘ atuit dintr-o familie de vectori cu dreptelesuport concurente în punctul A, ales arbitrar, ¸si o familie de cupluri de for¸te (cf. [14], p. 30, [63], p. 54). Astfel, orice sistem de for¸te aplicate unui solid rigid se reduce la un sistem de vectori alc˘atuit din rezultanta for¸telor ini¸tiale (transportate prin echipolen¸t˘a) s¸i un cuplu al c˘arui moment rezultant fa¸t˘a de punctul de reducere A, ales arbitrar, este suma momentelor for¸telor ini¸tiale fa¸t˘a de polul A (cf. [34], p. 65, [35], p. 58).

3.1.5

Axa central˘ a a unui sistem de vectori. Reducerea canonic˘ a a unui sistem de vectori ¸si cazuri de degenerescen¸ta ˘ ale ei. Centrul unui sistem de vectori paraleli. Centrul de greutate al unui corp material. Centrul de mas˘ a al unui sistem mecanic

Dintre cele dou˘ a metode de reducere a unui sistem oarecare de for¸te ac¸tionând asupra corpului solid rigid S, aceea care transform˘ a sistemul într− → − → un vector R A ¸si un cuplu de moment rezultant MA posed˘ a avantajul de a putea fi realizat˘ a în orice punct de reducere A. Am v˘ azut c˘ a invarian¸tii RA , MA · RA reprezint˘ a elemente caracteristice ale ansamblului de for¸te aplicate solidului rigid, adic˘ a m˘ arimi neinfluen¸tate de alegerea polului A. Se pune în mod natural problema de a investiga, odat˘ a calcula¸ti invarian¸tii într-o pozi¸tie convenabil˘ a A, existen¸ta unui punct B al solidului rigid care, folosit drept − → punct de reducere a for¸telor, s˘ a ne conduc˘ a la un moment rezultant MB calculat numai cu ajutorul invarian¸tilor. Vrem, cu alte cuvinte, s˘ a g˘ asim un punct B în care torsorul τB (S) s˘ a poat˘ a fi privit drept un obiect matematic caracteristic sistemului S de for¸te. Având la dispozi¸tie un vector (RA ) ¸si un scalar (MA · RA ), determinarea − → altui vector (MB ) ne conduce la problema existen¸tei unui punct B pentru − → − → care vectorii R B , MB sunt coliniari. Presupunând problema rezolvat˘ a, s˘ a consider˘ am c˘ a B este un punct al solidului rigid pentru care RB × MB = 0. Atunci, pe baza (3.3), putem scrie

224

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

c˘ a

de unde

¡ ¢ 0 = RB × MA + RB × BA × RB ¡ ¢ 2 = RA × MA + RB · BA − BA · RB · RB ¡ ¢ 2 = RA × MA − RA · AB + AB · RA · RA , AB =

RA × MA 2

RA

+ λ · RA , λ ∈ R.

A¸sadar, punctul B se g˘ase¸ste pe o dreapt˘a (cf. [35], p. 60). Reciproc, avem ¡ ¢ RB × MB = RB × MA + RB × BA × RB ! à RA × MA = RA × MA − RA × × RA 2 RA £¡ ¢ ¤ −RA × λ · RA × RA = 0. În concluzie, locul geometric al punctelor B din SF pentru care m˘arimile → − → − R B , MB sunt coliniare este o dreapt˘a (cf. [34], p. 59). Ea se nume¸ste axa central˘a a sistemului de for¸te aplicate solidului rigid (cf. [32], p. 151, [14], p. 33). − → S˘ a descompunem momentul rezultant MA dup˘ a dou˘ a direc¸tii ortogonale, ⊥ ¸si anume MA = α · RA + RA . Înmul¸tind scalar în ambii membri cu RA , ob¸tinem RA · MA RA ⊥ MA = ¯ ¯ · ¯ ¯ + RA . ¯RA ¯ ¯RA ¯ Atunci,

và !2 u ¯ ¯2 ¯¯R · M ¯¯ ¯ ¯ u R · M A A ¯ ⊥¯ A A t ¯MA ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ + ¯RA ¯ > = constant. ¯RA ¯ ¯RA ¯

− → A¸sadar, dac˘a la momentul t asupra solidului rigid ac¸tioneaz˘a for¸tele { Fi : ¯ ¯− ¯→ ¯ i = 1, n}, m˘arimea ¯MA ¯ (ca func¸tie de A) î¸si va atinge minimul în punctele

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

225

⊥

axei centrale ∆ ( RB = 0). Reciproca este, de asemeni, adev˘ arat˘ a (cf. [76], p. 57). De aceea, torsorul de reducere τA (S) se mai nume¸ste ¸si minimal atunci când A ∈ ∆ (cf. [63], p. 57). Reducerea unui sistem de for¸te S având primul invariant nenul (RA 6= 0, condi¸tia de existen¸t˘a a axei centrale) se nume¸ste reducere canonic˘a atunci când centrul de reducere se g˘ ase¸ste pe axa ∆ (cf. [35], p. 58, [76], p. 136). Sunt valabile situa¸tiile de mai jos (cf. [34], p. 65-66). − → − → − → 1) R A · MA 6= 0. Sistemul de for¸te este echivalent cu vectorul R A aplicat pe axa central˘a ∆ s¸i cu un cuplu de moment MA , aflat într-un plan perpendicular pe axa ∆. Folosind ”ilustrarea” cuplului cu ajutorul rota¸tiei, putem spune c˘ a mi¸scarea (instantanee) poate fi imaginat˘a ca o în¸surubare în lungul axei centrale (mi¸scare elicoidal˘ a). Fire¸ste, în realitate, lucrurile nu se petrec a¸sa. Interpretat astfel, un asemenea sistem se mai nume¸ste ¸si dinam˘a sau torsor r˘asucitor (cf. [76], p. 137). − → − → − → 2) R A 6= 0, MA = 0. Sistemul este echivalent cu un vector unic R A glisant pe axa central˘a ∆. Este cazul sistemului format din doi vectori cu liniile de ac¸tiune paralele (dreapta DE reprezint˘ a axa central˘ a a acestuia). Aici, axa central˘ a poate fi determinat˘ a aplicând o variant˘ a a teoremei momentelor, vezi p. 229, privind sistemele de for¸te în plan (cf. [14], p. 37-38). De exemplu, pentru un sistem alc˘ atuit din for¸te paralele (vezi Figura 3.14), putem scrie c˘ a

Figura 3.14 −F1 · 0 + F2 · a − F3 · (a + b) − F4 · (a + b + c) + F5 · (a + b + c + d) = (−F1 + F2 − F3 − F4 + F5 ) · x, unde x desemneaz˘ a distan¸ta de la polul A la axa central˘ a ∆ (cf. [76], ◦ aplica¸tia 5 , p. 145).

226

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

− → − → 3) R A = 0, MA 6= 0. Sistemul este echivalent cu un cuplu de moment − → MA . Nu exist˘ a ax˘ a central˘ a ¸si momentul rezultant MA al cuplului poate fi legat în orice punct al solidului rigid. − → − → 4) R A , MA = 0. Sistemul este nul, putând fi eliminat din discu¸tie. − → S˘ a consider˘ am un sistem de vectori { Fi : i = 1, n} având liniile de ac¸tiune paralele (de direc¸tie u). Atunci, ! Ã n n n X X X RA = Fi = Fi · u = Fi · u i=1

i=1

i=1

¸si

n X

MA =

i=1

AAi × F i =

à n X i=1

Fi · AAi

Condi¸tia de existen¸ta˘ a axei centrale este dat˘ a de

!

n P

i=1

putem scrie c˘ a MA =

n P

i=1

Fi · AAi n P

j=1

Fj

×

"Ã n X

Fj

j=1

!

× u. Fi 6= 0. În acest caz,

#

· u = AG × RA .

Punctul G ∈ E3 este baricentrul de ponderi αp =

Fp n P Fj

al familiei

j=1

(Ap )p∈1,n ¸si se nume¸ste centrul sistemului de vectori paraleli (cf. [76], p. 143). Conform [34], p. 67, pe baza (3.3), ob¸tinem ¡ ¢ MG = MA + GA × RA = AG + GA × RA = 0. ¯− ¯ ¯→ ¯ Astfel, m˘ arimea ¯MA ¯ (ca func¸tie de A) î¸si atinge minimul în punctul G,

ceea ce arat˘ a c˘ a G ∈ ∆. Vectorul director al axei centrale fiind RA , deducem c˘ a axa central˘a a unui sistem de vectori paraleli ale c˘aror linii de ac¸tiune au direc¸tia u este dreapta ce trece prin centrul G al sistemului de vectori s¸i are ca vector director direc¸tia u. Centrul G reprezint˘ a un element intrinsec (caracteristic) al sistemului de for¸te (cf. [76], p. 144). Formula n P Fi · OAi i=1 OG = n P Fj j=1

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

227

− → arat˘ a independen¸ta lui G fa¸ta˘ de direc¸tia comun˘ a u a vectorilor Fi . Centrul G este invariant, ca baricentru, la schimbarea sistemului de referin¸ta˘ R. În plus, parti¸tionând sistemul S de vectori paraleli în subsistemele S1 , S2 ¸si notând cu ∆1 , ∆2 axele centrale ale celor dou˘ a subsisteme, se poate dovedi c˘ a axa central˘ a (trecând prin G) a sistemului S constituie axa central˘ a a P− → P− → sistemului de vectori { F , F } glisan¸ti pe axele ∆i (trecând prin Gi ). S1

S2

Evident, G va fi centrul noului sistem de vectori paraleli. Justificarea acestor afirma¸tii poate fi citit˘ a în [34], p. 68-69, [35], p. 63-64. În cazul unui corp de dimensiuni obi¸snuite, centrul sistemului de for¸te de greutate ale ”particulelor” din constitu¸tia corpului material poart˘ a denumirea de centru de greutate al corpului (cf. [32], p. 154). Cum câmpul gravita¸tional este doar local uniform (cf. [76], p. 148), nu vom putea vorbi, de exemplu, despre centrul de greutate al Oceanului Pacific! În sfâr¸sit, în cazul sistemului mecanic S, baricentrul G corespunz˘ ator n P ponderilor αi = mi /( mj ) se nume¸ste centru de mas˘a (cf. [32], p. 79). j=1

Astfel,

1 X → − mk · − rk , r→ · G = m k=1 n

(3.5)

− → a vectorii de pozi¸tie ai punctelor G, Mk , iar m = unde − r→ G , rk reprezint˘

not

constituie masa sistemului mecanic (cf. [56], p. 16). Formula

OG =

n P

i=1

n P

mj

j=1

mi g · OM i n P

mj g

j=1

arat˘ a c˘ a centrul de mas˘a s¸i centrul de greutate coincid pentru corpurile materiale de dimensiuni obi¸snuite (cf. [14], p. 56-57). Centrul de mas˘ a al unui sistem mecanic omogen (mi = m, 1 6 i 6 n) se bucur˘ a de o serie de propriet˘ a¸ti geometrice. Astfel, dac˘a sistemul mecanic admite un plan, o ax˘a sau un centru de simetrie, atunci centrul de mas˘a se va g˘asi în planul, pe axa, respectiv în centrul de simetrie al configura¸tiei punctelor materiale din sistem (cf. [76], p. 150, [14], p. 59). Vom justifica aceast˘ a afirma¸tie în cazul existen¸tei unui plan de simetrie. Formula (3.5) probeaz˘ a independen¸ta centrului de mas˘ a al sistemului S fa¸ta˘ de reperul

228

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

R. F˘ acând, eventual, o schimbare de reper, putem considera drept plan de simetrie al sistemului mecanic chiar planul de coordonate Oxy. Astfel, dac˘ a un punct material al sistemului S va avea coordonatele x, y, a, unde a > 0, va exista un punct material în cadrul sistemului S de coordonate x, y, −a. De unde deducem c˘ a X mM · z(M) = 0. M∈S

Pe de alt˘ a parte, ¸tinând seama de (3.5), avem z(G) = m−1 ·

P

M∈S

mM ·z(M).

În concluzie, z(G) = 0, adic˘ a G se g˘ ase¸ste în planul de coordonate Oxy. M˘ arimile mM · z(M) se numesc momente statice ale punctelor sistemului P mecanic fa¸ta˘ de planul Oxy (cf. [14], p. 59). Egalitatea m · z(G) = mM · M∈S

z(M) este cunoscut˘ a sub denumirea de teorema momentelor statice (cf. [76], p. 152, [63], p. 70-71). A se vedea ¸si [56], p. 17. Plecând de la (3.5), putem scrie c˘ a ! Ã n n n X X X m · OG = mk · OM k = mk · OG + mk · GM k . k=1

Rela¸tia

n P

k=1

k=1

k=1

mk · GM k = 0, întâlnit˘ a deja la calculul alurii la distan¸te mari

a poten¸tialului newtonian, constituie o caracterizare echivalent˘a a centrului de mas˘ a al unui sistem mecanic. În cazul corpurilor (mediilor) materiale, formula centrului de mas˘ a se bazeaz˘ a pe m˘ arimea numit˘ a densitate. Astfel, Z Z 1 · OG = ρ(M) · OM dλ(M) m= ρ(M) dλ(M), m D D unde D reprezint˘ a domeniul ocupat în SF de corpul material (cf. [76], p. 153-154, [63], p. 71-73, [56], p. 18-19). În încheierea acestei subsec¸tiuni, facem câteva comentarii privind sisteme− → le de for¸te în plan. Astfel, s˘ a consider˘ am sistemul de vectori { Fi : i = 1, n} ale c˘ aror linii de ac¸tiune se g˘ asesc într-un plan Π oarecare ¸si A ∈ Π. Dac˘ a − → R A 6= 0, sistemul de vectori va avea o ax˘ a central˘ a, situat˘ a în planul Π. Vectorii u, v alc˘ atuiesc o baz˘ a a spa¸tiului vectorial (director) al planului Π. Atunci, MA =

n P

i=1

AAi × F i =

n P

i=1

(αi · u + βi · v) × F i

3.1. VECTORI S¸I TENSORI = u×

µ

229

n P

i=1

¶

αi F i + v ×

µ

n P

βi F i

i=1

¶

= u × (α · u + β · v) + v × (γ · u + ε · v) = (β − γ) · u × v, − → ceea ce arat˘ a c˘ a vectorul MA este sau nul sau perpendicular pe planul Π. În → − → − a sistemul se reduce la un singur vector ambele situa¸tii, MA · R A = 0, adic˘ − → R A glisant în lungul axei centrale ∆ (cf. [32], p. 152). Într-adev˘ ar, cum − → ⊥ a axa central˘ a ∆ ¸si atunci, luând A ∈ ∆, avem RA = 0, de R A 6= 0, exist˘ unde MA = 0. Invarian¸ta momentului rezultant fa¸ta˘ de opera¸tiile elementare de echivalen¸ta˘ ne conduce la egalitatea (valabil˘ a pentru orice A ∈ Π) − → − → − → MA (S) = MA ( R B ),

B ∈ ∆,

care constituie teorema lui Varignon (cf. [76], p. 140). Teorema momentelor, vezi discu¸tia de la p. 216, se formuleaz˘ a asem˘ an˘ ator. Avem MA = AB × RB = AB × RA , de unde ¡ ¡ ¢ ¢ 2 RA × MA = RA × AB × RA = RA · AB − RA · AB · RA ,

respectiv

AB =

RA × MA 2

RA

+ λ · RA ,

λ ∈ R.

Am reg˘ asit ecua¸tia axei centrale. În aceste condi¸tii, putem spune c˘ a formula din teorema lui Varignon, ¸si anume r×RO = MO , reprezint˘ a ecua¸tia în reperul canonic R a axei centrale a unui sistem de for¸te în plan (cf. [76], p. 58, 140). Acest rezultat a fost deja utilizat în cazul sistemelor de for¸te paralele. Un al doilea comentariu prive¸ste reducerea pe cale grafic˘ a a sistemului − → de for¸te { Fi : i = 1, n} prin metoda poligonului funicular. Chiar dac˘ a, în practic˘ a, asemenea metode au fost înlocuite cu tehnici avansate, utilizând calculatorul, pentru studentul matematician ele r˘ amân relevante prin prisma leg˘ aturilor profunde cu geometria (de exemplu, cu geometria proiectiv˘a, cf. [76], p. 242). Recomand˘ am cititorului expunerile metodelor grafice f˘ acute în [76] ca ¸si reg˘ asirea pe baza considera¸tiilor de mecanica sistemelor de puncte materiale a unor teoreme din geometria sintetic˘a în [35], [51], Cap. IV (de

230

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

exemplu, teoremele lui Leonardo da Vinci (1508) ¸si Commandino (1565), cf. [35], p. 129, [51], p. 97-98, 139, teorema lui Fagnano (1750), cf. [35], p. 154, [51], p. 11, teorema lui Viviani (1660), cf. [35], p. 217, etc). − → − → − → − → Sistemul de for¸te în plan { F1 , F2 , F3 , F4 } este dat în Figura 3.15. Vom urma expunerile f˘ acute în [76], p. 234-236, [32], p. 153, [63], p. 64-65, [35], p. 215-217. Mai întâi, plecând de la regula paralelogramului, putem construi regula triunghiului (Figura 3.15 a) ¸si a poligonului for¸telor (Figura 3.15 b) (cf. [34], p. 12-14, [63], p. 24-25). Ele vor fi aplicate aici. Astfel, fixând un punct A în planul for¸telor în mod convenabil (Figura 3.15 c), transport˘ am prin − → − → echipolen¸ta˘ for¸ta F1 în A, apoi for¸ta F2 în B, etc. For¸ta care va închide linia − → poligonal˘ a ABCDE, notat˘ a R , constituie rezultanta general˘a a sistemului de for¸te în plan (metoda poligonului for¸telor). Fix˘ am, apoi, un punct O în − → planul for¸telor, nesituat pe dreapta-suport a rezultantei R , ¸si, folosind regula → − → − triunghiului, construim for¸tele f0 , f1 , etc. Aici, f 0 + f 1 = F 1 , (−f 1 ) + f 2 = F 2 , (−f 2 ) + f 3 = F 3 ¸si (−f 3 ) + f 4 = F 4 . Prin sumare, avem R = f 0 + f 4 . Alegând convenabil punctul F în planul for¸telor (Figura 3.15 d), ducem paralela F G la dreapta AO, apoi paralela GH la dreapta BO, etc.

Figura 3.15 − → − → − → Transport˘ am prin echipolen¸ta˘ în punctul G for¸tele f0 , f1 , unde f0 ∈

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

231

− → − → − → f 0 = AO, f1 ∈ f 1 = OB, în punctul H for¸tele − f1 , f2 , etc. Punctul O se nume¸ste pol, iar segmentele OA, OB, etc raze polare (cf. [76], p. 234). Sis→ − → − → − → − → − → − temul de for¸te ini¸tial este echivalent cu sistemul { f0 , f1 , − f1 , f2 , − f2 , f3 , → − → − → − → − → − → − arii for¸telor, vectorii f1 , − f1 , f2 , − f2 , − f3 , f4 }. Aplicând principiul suprim˘ − → − → − → − → f3 , − f3 vor disp˘ area din sistem. Facem s˘ a gliseze for¸tele f0 , f4 pân˘ a în punctul comun L al liniilor lor de ac¸tiune. În sfâr¸sit, prin compunerea aces− → tor dou˘ a for¸te, g˘ asim rezultanta sistemului ini¸tial, echipolent˘ a cu R . Linia poligonal˘ a F GHIJK poart˘ a denumirea de poligon funicular. Dac˘ a poligonul for¸telor r˘ amâne deschis (A 6= E), atunci sistemul ini¸tial este echivalent cu un singur vector, determinat cu ajutorul poligonului funic− → − → ular. Dac˘ a, în schimb, poligonul for¸telor este închis iar for¸tele f0 , f4 (de-a lungul razei polare AO) au sensuri opuse, atunci sistemul ini¸tial este echiva→ − → − amâne deschis. lent cu cuplul { f0 , f4 }. În acest caz, poligonul funicular r˘ → − → − Când for¸tele f0 , f4 au acela¸si sens de-a lungul razei polare, sistemul ini¸tial va fi echivalent cu zero (poligonul funicular este închis) (cf. [76], p. 236-237, [63], p. 65).

3.1.6

Tensorul de iner¸tie al unui sistem mecanic. Momente de iner¸tie. Formula lui Leibniz. Formula lui Lagrange. Formula Huygens-Steiner. Teorema Steiner-Lurie. Formula Euler-Cauchy pentru calculul momentului de iner¸tie fa¸ta a ˘ de o ax˘

Chestiunile care urmeaz˘ a necesit˘ a referirea la m˘ arimile numite tensori de ordinul al II-lea. Dat fiind caracterul restrâns al interven¸tiei directe a propriet˘ a¸tilor tensoriale specifice acestor m˘ arimi, ne vom limita la expunerea f˘ acut˘ a în [35], p. 46 ¸si urm˘ atoarele. Generalit˘ a¸ti privitoare la tensori pot fi citite în [66], Cap. VIII. O prezentare elegant˘ a a elementelor algebrei tensoriale apar¸tine profesorilor G. Gheorghiu ¸si V. Oproiu, în Geometria Diferen¸tial˘a, p. 11-21. Momentele de iner¸tie, pe care le introducem aici, sunt tratate pe larg în [76], Cap. XXV, [63], p. 354 ¸si urm˘ atoarele, etc. − → − → 0 00 S˘ a consider˘ am dou˘ a repere carteziene R = (B, C ), R = (C, D ) aflate în repaus fa¸ta˘ de sistemul de referin¸ta˘ R. Not˘ am cu A matricea cosinu¸silor directori αmn ai bazei D în raport cu baza C. Atunci, matricea A este ortogonal˘a (stochastic˘ a) ¸si are loc proprietatea At = A−1 (cf. [35], p. 42, [77], propozi¸tia III.3, p. 102-103).

232

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

− → O m˘ arime fizic˘ a sau geometric˘ a, notat˘ a cu X , se nume¸ste tensor de ordinul al II-lea dac˘ a poate fi descris˘ a (numeric) în raport cu un reper cartezian − → oarecare printr-o matrice din M3 (R). Spunem c˘ a tensorul X este reprezentat tensorial de matricea [X] = (Xij )i,j . Ca ¸si în cazul vectorilor, ceea ce confer˘ a un caracter tensorial m˘ arimii − → X este modul în care componentele matricei [X] se modific˘ a la schimbarea reperului cartezian. Mai precis, dintre toate m˘ arimile fizice ori geometrice exprimabile cu ajutorul matricelor numai cele supuse legii de transformare de mai jos [X ∗ ] = A · [X] · At

constituie tensori de ordinul al II-lea (cf. [35], p. 44). → → → → Fiind da¸ti vectorii − u, − v ∈ TB R3 , unde − u ∈ u, − v ∈ v, de coordonate − → 0 u1 , u2 , u3 , respectiv v1 , v2 , v3 în reperul R , m˘ arimea T , notat˘ a u ⊗ v ¸si introdus˘ a pe baza matricei (ui ·vj )i,j , constituie un tensor de ordinul al II-lea. Ea poart˘ a denumirea de produsul tensorial al vectorilor u, v. Într-adev˘ ar, ¸tinând seama de calculul formal, putem scrie c˘ a  ∗      u1 u1 v1 ¢ ¡ [T ∗ ] =  u∗2  · v1∗ v2∗ v3∗ = [A  u2 ] · [A  v2 ]t u∗3 u3 v3 = A · [T ] · At .

În schimb, o m˘ arime fizic˘ a sau geometric˘ a descris˘ a (numeric) în raport cu un reper cartezian oarecare printr-un num˘ ar real este numit˘ a scalar˘a dac˘ a num˘ arul în cauz˘ a nu se modific˘ a la schimbarea reperului (cf. [66], p. 254). Nu orice m˘ arime fizic˘ a ori geometric˘ a reprezentat˘ a printr-un num˘ ar real în raport cu un reper cartezian constituie un scalar. Exist˘ a pseudoscalari, densit˘at¸i, − → → → capacit˘at¸i scalare, etc (cf. [66], p. 254). În cazul vectorilor − a, b, − c ∈ − → − → − → 3 TB R , unde a ∈ a, b ∈ b, c ∈ c, de coordonate ai , bi , ci în reperul R0 , m˘ arimea (a, b, c), numit˘ a produs mixt, pe care o definim cu ajutorul num˘ arului ¯ ¯ ¯ a1 a2 a3 ¯ ¯ ¯ not M = ¯¯ b1 b2 b3 ¯¯ = (a, b, c) ¯ c1 c2 c3 ¯ (cf. [34], p. 31), va fi supus˘ a legii de transformare M ∗ = det A · M = M. Ea este, a¸sadar, scalar˘ a. Introducând în discu¸tie ¸si baze neortonormate (det A 6= 1), m˘ arimea (a, b, c) devine o densitate scalar˘a (cf. [66], p. 255).

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

233

La rândul s˘ au, produsul scalar este o m˘ arime scalar˘ a. Într-adev˘ ar, conform calculului formal, avem   b 1 ¡ ¢ a · b = a1 a2 a3 ·  b2  , b3

de unde ¡

a∗1 a∗2 a∗3

¢

     b1 b∗1 a1 ·  b∗2  = [A  a2 ]t · [A  b2 ] b∗3 a3 b3 

=

=

¡

¡

a1 a2

a1 a2

  b1 ¢ ¡ t ¢ a3 · A · A ·  b2  b3   b1 ¢ a3 ·  b2  . b3

− → M˘ arimea E , reprezentat˘ a în reperul cartezian R0 prin matricea   i1 ¢ ¡ [E] =  j 1  · i1 j 1 k 1 , k1

unde C = {i1 , j 1 , k1 }, constituie tensorul-unitate (Kronecker) (cf. [35], p. 44, [34], p. 44). − → − → M˘ arimea c( X ), numit˘ a contrac¸tia tensorului X (cf. [34], p. 50), este arul (urma matricei [X]) reprezentat˘ a în reperul R0 de num˘ not

tr ([X]) = X11 + X22 + X33 . Cum tr (A · [X] · A−1 ) = tr ([X]) (cf. [50], problema 29, 4), p. 95), − → deducem c˘ a c( X ) este un scalar. Modulul unui vector (liber) este o m˘arime scalar˘a. Într-adev˘ ar, are loc − → − → 2 rela¸tia c( X ) = |x| , unde X = x ⊗ x (cf. [35], p. 46). În mod evident, opera¸tiile cu tensori (adunarea, înmul¸tirea cu scalari) se definesc cu ajutorul opera¸tiilor matricelor de reprezentare (cf. [34], p. 45).

234

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Putem introduce acum m˘ arimea ! Ã n n X − → X − → 2 mk · rk · E − mk · rk ⊗ rk , IO (S) = k=1

k=1

not

a tensor de iner¸tie al sistemului mecanic unde OM k = rk , 1 6 k 6 n, numit˘ S în punctul O din SF (cf. [76], p. 586, [41], p. 141). Caracterul tensorial − → al m˘ arimii IO (S) rezult˘ a imediat din considera¸tiile anterioare. Operatorul urm˘a fiind liniar (cf. [50], problema 29, 1), 2), p. 95), putem scrie c˘ a ! Ã n n ³− ³− X → ´ →´ X c IO (S) = mk · r2k · c E − mk · c (rk ⊗ rk ) . k=1

k=1

n P − → Astfel, c( IO (S)) este reprezentat˘ a în reperul R0 de num˘ arul 2 · mk · r2k . k=1

Expresia

IO (S) =

n X k=1

mk · r2k

poart˘ a denumirea de moment de iner¸tie polar al sistemului mecanic S (cf. − → [76], p. 567) în polul O. În sfâr¸sit, c( IO (S)) = 2 · IO (S). n P mk · GM k = 0, ob¸tinem Cum k=1

IO (S) =

n X k=1

n X ¡ ¢2 2 2 mk · OG + GM k = m · OG + mk · GM k . k=1

2

Egalitatea IO (S) = IG (S) + m · OG constituie formula lui Leibniz. Conform ei, momentul de iner¸tie al sistemului mecanic S fa¸t˘a de punctul O este egal cu momentul s˘au de iner¸tie fa¸t˘a de centrul de mas˘a G plus momentul de iner¸tie fa¸t˘a de punctul O al punctului geometric G dotat cu masa total˘a a sistemului mecanic (cf. [35], p. 147, [76], observa¸tia de la p. 575, [51], p. 137). Aplicând formula lui Leibniz în punctele Mi , avem rela¸tiile 2

IMi (S) = IG (S) + m · Mi G ,

1 6 i 6 n,

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

235

de unde deducem c˘ a n n X X 2 mi · IMi (S) = m · IG (S) + m · mi · Mi G = 2m · IG (S), i=1

i=1

respectiv

à n ! n X 1 X 2 IG (S) = · mi mj · Mi M j 2m i=1 j=1

(3.6)

2 2 X Mi M j + Mj M i 1 mi mj · · = m 16i6j6n 2 X 1 2 = · mi mj · Mi M j . m 16i6j6n

Rela¸tia (3.6) reprezint˘ a teorema lui Lagrange (1783) (cf. [35], p. 148). Cu ajutorul s˘ au, ob¸tinem formula lui Lagrange, ¸si anume n X k=1

2

2

mk · OM k = m · OG +

X 1 2 · mi mj · Mi M j , m 16i6j6n

pe baza c˘ areia pot fi stabilite numeroase rela¸tii (metrice) în geometria sintetic˘a. De exemplu, fixând în vârfurile triunghiului ABC masele mA = mB = mC = 1, formula lui Lagrange ne conduce la egalitatea X ¢ 1¡ 2 a + b2 + c2 , MA2 = 3MG2 + 3 unde M este un punct oarecare din planul triunghiului (cf. [74], problema 571, p. 64, [35], p. 150). Un alt exemplu îl constituie teorema lui Stewart (cf. [51], p. 9): fiind dat punctul M pe latura BC a triunghiului ABC, între B ¸si C, are loc rela¸tia AM 2 · BC = AB 2 · MC + AC 2 · MB − BC · BM · CM. Presupunând c˘ a M este diferit de B ¸si C, plas˘ am în aceste puncte (geometrice) masele mB = CM, mc = BM. Atunci, cum mB · MB + mC · MC = 0, rezult˘ a c˘ a M este centrul de mas˘ a al sistemului mecanic S = {(B, mB ), (C, mC )} (cf. [35], p. 169). Pe baza formulei lui Leibniz, avem IA (S) = mB · AB 2 + mC · AC 2 = IM (S) + (mB + mC ) · AM 2 .

236

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

·mC Formula (3.6) ne conduce la IM (S) = mmBB+m · BC 2 . Înlocuind m˘ arimea C IM (S) în egalitatea anterioar˘ a, reg˘ asim rela¸tia din teorema lui Stewart. S˘ a consider˘ am acum dreapta ∆ care trece prin punctul O ¸si are versorul director u fix (vezi Figura 3.16). M˘ arimea

I∆ (S) =

n X k=1

mk · d2k ,

not

a momentul de iner¸tie al sistemului mecanic unde dk = d(Mk , ∆), desemneaz˘ fa¸ta˘ de axa ∆ (C. Huygens, 1673) (cf. [32], p. 109, [76], p. 12, 565). Not˘ am cu ∆G dreapta determinat˘ a de centrul de mas˘ a G al sistemului mecanic S ¸si de vectorul (director) u.

Figura 3.16 Evident, ∆ ¸si ∆G sunt paralele. Are loc rela¸tia Pk M k = Pk Qk + Qk M k , vectorii implica¸ti g˘ asindu-se în planul perpendicular pe direc¸tia u. Atunci, I∆ (S) = =

n X k=1 n X k=1

¡ ¢2 mk · Pk Qk + Qk M k 2

mk · d + 2 · v ·

n X k=1

mk · Qk M k + I∆G (S),

¯ ¯ unde Pk Qk = v ¸si ¯Pk Qk ¯ = d, 1 6 k 6 n. Îns˘ a Qk M k = Qk G + GM k , astfel c˘ a n X k=1

mk · Qk M k = =

n X

mk · (αk · u) +

k=1 Ã n X k=1

mk αk

!

· u.

n X k=1

mk · GM k

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

237

Deoarece u · v = 0, ob¸tinem egalitatea I∆ (S) = I∆G (S) + m · d2 , cunoscut˘ a ¸si sub numele de formula Huygens-Steiner (cf. [35], p. 174175). Conform ei, momentul de iner¸tie al sistemului mecanic S fa¸t˘a de dreapta ∆ este egal cu momentul de iner¸tie fa¸t˘a de o dreapt˘a paralel˘a cu ∆ trecând prin centrul de mas˘a G plus masa total˘a m a sistemului mecanic înmul¸tit˘a cu p˘atratul distan¸tei dintre cele dou˘a drepte (cf. [76], p. 574, [34], p. 270, [73], p. 373). Demonstra¸tia formulei Huygens-Steiner a fost dat˘ a de L. Euler în 1749 (cf. [32], p. 120). Pe baza formulei Huygens-Steiner stabilim c˘ a I∆ (S) − m · d2 (∆, ∆G ) = I∆0 (S) − m · d2 (∆0 , ∆G ), unde ∆0 este o dreapt˘ a oarecare paralel˘ a cu ∆ (cf. [34], p. 271, [76], p. 574). Aceast˘ a rela¸tie exprim˘ a varia¸tia în raport cu axa ∆ de direc¸tie fix˘ aa momentului de iner¸tie axial I∆ (S) al sistemului mecanic (cf. [76], p. 567). Momentul de iner¸tie al sistemului mecanic S fa¸ta˘ de axa ∆G , numit˘ a ax˘a central˘a, are urm˘ atoarea expresie X ¢2 ¡ 1 I∆G (S) = mi mj Mi M j × u · m 16i6j6n (cf. [35], p. 175). Pentru stabilirea acesteia, s˘ a consider˘ am mai întâi un punct P ales arbitrar pe axa ∆ (vezi Figura 3.16). Atunci, conform identit˘ a¸tii lui Lagrange (cf. [34], p. 34), avem ¯ ¯2 ¯ ¯2 ¯ ¯2 ¡ ¢2 d2k = ¯P M k ¯ − ¯P P k ¯ = ¯P M k ¯ − P M k · u (3.7) ¡ ¢ ¡ ¢ 2 2 2 = P M k · u2 − P M k · u = P M k × u .

Not˘ am cu ∆i dreapta de direc¸tie u care trece prin punctul Mi . Atunci, aplicând formula Huygens-Steiner, ob¸tinem rela¸tiile I∆i (S) = I∆G (S) + m · d2 (∆i , ∆G ),

1 6 i 6 n,

de unde deducem c˘ a n X i=1

mi · I∆i (S) = m · I∆G (S) + m · = 2m · I∆G (S)

n X i=1

mi · d2 (∆i , ∆G )

238

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

deoarece d(∆i , ∆G ) = d(Mi , ∆G ). La fel ca anterior, I∆G (S) =

X 1 · mi mj · d2 (∆i , ∆j ). m 16i6j6n

Îns˘ a, din (3.7) rezult˘ a c˘ a (∆ = ∆i , P = Mi ) ¡ ¢2 d2 (∆i , ∆j ) = Mi M j × u

(cf. [35], p. 176) ¸si demonstra¸tia se încheie. − → S˘ a revenim la tensorul de iner¸tie IO (S). Considerând c˘ a doi tensori de ordinul al II-lea sunt egali dac˘ a matricele lor de reprezentare în orice reper cartezian sunt egale ¸si ¸tinând seama de biliniaritatea evident˘ a a produsului tensorial a doi vectori, se poate stabili rela¸tia − → − → − → IO (S) = IG (S) + IO ({(G, m)}) ,

(3.8)

cunoscut˘ a sub numele de teorema J. Steiner-L. Lurie (cf. [35], p. 183). Într-adev˘ ar, conform formulei lui Leibniz, avem à n X k=1

mk ·

2 OM k

!

− → ·E =

à n X k=1

mk ·

2 GM k

!

´ − − → ³ → 2 · E + m · OG · E .

Apoi, cum OM k = OG+GM k , OM k ⊗OM k = OG⊗OG+OG⊗GM k + GM k ⊗ OG + GM k ⊗ GM k ¸si n X k=1 n X k=1

mk · OG ⊗ GM k = OG ⊗ mk · GM k ⊗ OG =

à n X k=1

à n X k=1

mk · GM k

mk · GM k

!

!

=0

⊗ OG = 0,

ob¸tinem n X k=1

mk · OM k ⊗ OM k = m · OG ⊗ OG +

n X k=1

mk · GM k ⊗ GM k ,

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

239

ceea ce încheie demonstra¸tia. În mod analog, tensorul central de iner¸tie − → IG (S) are urm˘ atoarea expresie remarcabil˘ a ! "Ã n n XX 1 − → − → 2 IG (S) = (3.9) · mi mj · Mi M j · E 2m i=1 j=1 # n X n X − mi mj · Mi M j ⊗ Mi M j i=1 j=1

(cf. [35], p. 184), de unde, dat fiind c˘ a Mi M j ⊗ Mi M j = Mj M i ⊗ Mj M i , avem ! # "Ã X X 1 → − → 2 − mi mj Mi M j E − mi mj Mi M j ⊗ Mi M j . IG (S) = m 1≤i≤j≤n 1≤i≤j≤n Aplicând contrac¸tia tensorial˘ a în (3.8), (3.9), reg˘ asim formula lui Leibniz, respectiv teorema lui Lagrange (cf. [35], observa¸tiile de la p. 184-185). Notând cu α, β, γ cosinu¸sii directori ai vectorului u în raport cu baza B a spa¸tiului T R3 , putem scrie c˘ a I∆ (S) =

n X k=1

=

n X k=1

mk ·

(3.7) d2k =

n X k=1

mk ·

2 OM k

2

·u −

n X k=1

mk (x2k + yk2 + zk2 )(α2 + β 2 + γ 2 ) − 2

2

2

¡ ¢2 mk · OM k · u

n X

mk (αxk + βyk + γzk )2

k=1

= I11 α + I22 β + I33 γ + 2I12 αβ + 2I13 αγ + 2I23 βγ, unde I11 =

n X

mk (yk2

+

zk2 )

I22 =

k=1

I12 = I21 = − I23 = I32 = −

n X

mk (x2k

+

zk2 )

I33 =

k=1

n X k=1 n X

mk xk yk

n X

mk (x2k + yk2 )

k=1

I13 = I31 = −

n X

mk xk zk

k=1

mk yk zk

k=1

(cf. [32], p. 112). Matricea (Iij )i,j constituie matricea de reprezentare a − → − → tensorului IO (S) în sistemul de referin¸ta˘ R = (O, B ) (cf. [76], p. 587).

240

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

M˘ arimile J1 =

n X

mk x2k

J2 =

k=1

n X

mk yk2

J3 =

k=1

n X

mk zk2 ,

k=1

care verific˘ a formulele I11 = J2 + J3 , I22 = J1 + J3 , I33 = J1 + J2 (cf. [76], rela¸tia d), p. 568) se numesc momente de iner¸tieP planare ale sistemului mecanic S. În mod evident, ele se scriu sub forma J = mM ·d2 (M, P), unde P desemneaz˘ a unul din planele de coordonate ale sistemului de referin¸ta˘ R. M˘ arimile I12 , I13 , I23 poart˘ a denumirea de momente de iner¸tie centrifugale (de devia¸tie, relative la dou˘a plane) (cf. [32], p. 112, [63], p. 355, [14], p. 166). Varia¸tia momentelor centrifugale este descris˘ a de o rela¸tie analoag˘ a formulei Huygens-Steiner. Astfel, momentul de iner¸tie centrifugal fa¸t˘a de un sistem de axe ortonormat al unui sistem mecanic S este egal cu momentul de iner¸tie centrifugal al acestuia fa¸t˘a de un sistem având axele de coordonate paralele cu primul s¸i originea în centrul de mas˘a G minus produsul dintre masa total˘a a sistemului mecanic s¸i coordonatele punctului G în sistemul ini¸tial (cf. [76], p. 575). Rela¸tia I∆ (S) = I11 α2 + I22 β 2 + I33 γ 2 + 2I12 αβ + 2I13 αγ + 2I23 βγ reprezint˘ a formula Euler-Cauchy (1827) pentru calculul momentului de iner¸tie axial (cf. [32], p. 116, [35], p. 186). Este u¸sor de observat c˘ a I11 = IOx (S)

I22 = IOy (S)

I33 = IOz (S).

Momentele de iner¸tie polare, axiale, planare ¸si centrifugale (fa¸ta˘ de dou˘ a plane) au un caracter geometric (scalar) (cf. [14], p. 166). Într-adev˘ ar, considerând un punct Q, o dreapt˘ a ∆ ¸si dou˘ a plane concurente Π1,2 aflate suficient de departe de sistemul mecanic S, putem scrie c˘ a IQ (S) =

n X

2

mk d (Mk , Q)

I∆ (S) =

k=1

IΠ1 (S) =

n X k=1

n X

mk d2 (Mk , ∆)

k=1

mk d2 (Mk , Π1 ) IΠ1 Π2 (S) = −

n X k=1

mk d(Mk , Π1 )d(Mk , Π2 )

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

241

pentru a desemna aceste momente. Ori, punctele, dreptele, planele ¸si distan¸tele sunt m˘ arimi geometrice (cf. [57], propozi¸tiile 2, 4, p. 109, propozi¸tia 10, p. 111), adic˘ a independente de alegerea reperului cartezian R0 . Se cuvine insistat îns˘ a asupra unei subtile diferen¸te. Axa ∆ fiind fixat˘ a, m˘ arimea I∆ (S) este scalar˘ a (cf. [76], p. 577), adic˘ a independent˘ a de modificarea coeficien¸tilor Iij din formula Euler-Cauchy. Cu alte cuvinte, alegând un − → nou reper cartezian R000 = (O, E ), unde E = {e1 , e2 , e3 }, ¸si reluând calculul formulei Euler-Cauchy, ob¸tinem 2

2

2

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ I∆ (S) = I11 α + I22 β + I33 γ + 2I12 α β + 2I13 α γ + 2I23 β γ . ∗ ∗ ∗ Aici, I11 , I22 , I33 sunt momentele de iner¸tie axiale ale sistemului mecanic S fa¸ta˘ de axele de coordonate ale reperului R000 . Afirma¸tia analoag˘ a este valabil˘ a ¸si pentru momentele de iner¸tie planare ¸si centrifugale. A¸sadar, apar în discu¸tie atât momentele de iner¸tie IQ , I∆ , IΠ1 , IΠ1 Π2 cât ¸si elementele Iij ale matricei de reprezentare [IO (S)], care sunt interpretate ca momente de iner¸tie.

3.1.7

Elipsoidul de iner¸tie al unui sistem mecanic. Axe principale de iner¸tie

Afirma¸tiile anterioare pot fi reluate într-un cadru mai general. Mai pre− → cis, fiind da¸ti un tensor simetric X ¸si un vector u, reprezenta¸ti în reperul cartezian R0 de matricea (simetric˘ a) [X], respectiv de coordonatele u1 , u2 , − → → 3 − u3 ale vectorului u ∈ TB R , u ∈ u, m˘ arimea C=

3 X

Xij ui uj

i,j=1

este scalar˘ a. Într-adev˘ ar, conform calculului formal, avem   u1 ¡ ¢ C = u1 u2 u3 · [X] ·  u2  , u3 de unde

C∗ =

¡

u∗1 u∗2 u∗3

¢

 u∗1 · [X ∗ ] ·  u∗2  u∗3 

242

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID t    u1 u 1 ¡ ¢ = A ·  u2  · A · [X] · At · A ·  u2  u3 u3   u1 ¡ t ¢ ¢ ¡ t ¢ ¡ u1 u2 u3 · A A · [X] · A A ·  u2  = u3 = C. 



Revenind la formula Euler-Cauchy, cum, în general, I∆ (S) > 0, are loc egalitatea µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 α α β γ β 1 = I11 √ + I22 √ + I33 √ + 2I12 √ · √ I∆ I∆ I∆ I∆ I∆ γ γ α β +2I13 √ · √ + 2I23 √ · √ . I∆ I∆ I∆ I∆ Cazul I∆ (S) = 0 poate surveni atunci când toate punctele sistemului mecanic S sunt coliniare (cf. [76], p. 580). Înf˘ a¸ti¸sarea special˘ a a rela¸tiei precedente ne d˘ a ”ideea” de a o interpreta din punctul de vedere al geometriei analitice. Astfel, considerând vectorul r = x · i + y · j + z · k, putem introduce Φ (r) = I11 x2 + I22 y 2 + I33 z 2 + 2I12 xy + 2I13 xz + 2I23 yz. Apelând la teoria formelor p˘ atratice în spa¸tii euclidiene (cf. [67], p. 303306), afirm˘ am c˘ a exist˘ a baza ortonormat˘ a E a spa¸tiului T R3 cu proprietatea c˘ a forma p˘ atratic˘ a Φ poate fi pus˘ a sub forma canonic˘a 2

2

2

Φ (r) = I1 x∗ + I2 y ∗ + I3 z ∗

− → în reperul R000 = (O, E ). Mai mult, m˘ arimile I1 , I2 , I3 sunt valorile proprii (reale) ale matricei [I] a coeficien¸tilor formei p˘ atratice Φ ¸si sunt independente de modificarea bazei E. Un alt rezultat al teoriei formelor p˘ atratice prive¸ste valorile sta¸tionare ale acestora pe sfera-unitate a spa¸tiului T R3 . Astfel, m˘ arimile inf Φ (r) sup Φ (r) |r|=1

|r|=1

sunt atinse pentru vectori proprii ai matricei [I] ¸si sunt egale cu cea mai mic˘ a, respectiv cea mai mare dintre valorile proprii I1 , I2 , I3 (cf. [67], p. 307-308).

3.1. VECTORI S¸I TENSORI

243

S˘ a consider˘ am acum locul geometric al punctelor M, de coordonate x, y, z în sistemul de referin¸ta˘ R, pentru care ¡ ¢ Φ OM = 1.

Aceast˘ a mul¸time nu este vid˘ a, c˘ aci putem alege x = √αI∆ , y = √βI∆ , arimea C ca ¸si existen¸ta unei forme canonice z = √γI∆ . Calculul relativ la m˘ a formei p˘ atratice Φ arat˘ a c˘ a mul¸timea punctelor M este descris˘ a de rela¸tia 2

2

2

I1 x∗ + I2 y ∗ + I3 z ∗ = 1 a formei p˘ atratice Φ se schimb˘ a, în reperul R000 . Fire¸ste, matricea asociat˘ odat˘ a cu modificarea bazei, în acela¸si fel cu matricea de iner¸tie [IO (S)] (cf. [67], p. 211). Observ˘ am c˘ a punctul M se g˘ ase¸ste pe o cvadric˘a cu centru (cf. [76], p. 579). ∗ ∗ ∗ , I2 = I22 , I3 = I33 ¸si punctele sistemului mecanic S nu Deoarece I1 = I11 sunt toate coliniare, deducem c˘ a I1 , I2 , I3 > 0 (cf. [14], p. 171), adic˘ a locul geometric al punctelor M constituie un elipsoid, numit elipsoid de iner¸tie (L. Poinsot, cf. [34], p. 449) relativ la punctul O. Dac˘ a punctele sistemului mecanic S ar fi coliniare, atunci cvadrica s-ar reduce la un cilindru având ca ax˘ a dreapta comun˘ a punctelor sistemului mecanic (cf. [76], nota de subsol, p. 580, [34], p. 449). Un asemenea sistem este numit rotativ (cf. [41], p. 143). Axele reperului cartezian R000 poart˘ a denumirea de axe principale de iner¸tie, planele sale de coordonate se numesc plane principale de iner¸tie, iar m˘ arimile I1 , I2 , I3 constituie momentele principale de iner¸tie (cf. [14], p. 171, [63], p. 359, [76], p. 580) în raport cu punctul O. Revenind la formula Euler-Cauchy, are loc rela¸tia 2

2

2

I∆ (S) = I1 α∗ + I2 β ∗ + I3 γ ∗

(3.10)

(cf. [76], p. 580, [32], p. 119, [63], p. 359). Rezultatul privind valorile sta¸tionare ale formei p˘ atratice Φ are o importan¸ta˘ deosebit˘ a în mecanica teoretic˘ a. Astfel, în cazul unui solid rigid S cu distribu¸tie spa¸tial˘a (punctele sistemului mecanic S nu sunt coplanare), fiind cunoscut˘a matricea de iner¸tie [I] în sistemul de referin¸t˘a R, momentul s˘au de iner¸tie în raport cu o ax˘a oarecare ∆ trecând prin originea O se va g˘asi mereu între cea mai mic˘a s¸i cea mai mare dintre valorile proprii ale matricei 2 2 2 [I]. Acest fapt este în concordan¸ta˘ cu (3.10), c˘ aci α∗ + β ∗ + γ ∗ = 1.

244

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Introducând nota¸tiile I1 = a12 , I2 = b12 , I3 = c12 , deducem c˘ a momentele principale de iner¸tie sunt invers propor¸tionale cu p˘atratul semiaxelor elipsoidului de iner¸tie s¸i c˘a momentelor de iner¸tie maxim respectiv minim le corespund axa mic˘a, respectiv axa mare a elipsoidului de iner¸tie (cf. [76], p. 581). S˘ a consider˘ am un sistem mecanic omogen S (mk = m, 1 6 k 6 n). O serie de propriet˘ a¸ti geometrice ale configura¸tiei punctelor acestuia ajut˘ a la stabilirea elipsoizilor de iner¸tie. Urm˘ atoarea observa¸tie se dovede¸ste esen¸tial˘ a. Astfel, dac˘ a matricea [I], calculat˘ a în sistemul de referin¸ta˘ R, are forma   I11 0 0 I22 I23  , [I] =  0 0 I32 I33 atunci ecua¸tia caracteristic˘ a det ([I] − λ · I3 ) = 0 ¯ ¯ I − λ I23 (I11 − λ) · ¯¯ 22 I32 I33 − λ

poate fi scris˘ a ca ¯ ¯ ¯ = 0, ¯

de unde deducem c˘ a axa Ox a reperului R este o ax˘a principal˘a de iner¸tie a elipsoidului de iner¸tie având centrul în O. C˘ autarea celorlalte dou˘ a axe principale de iner¸tie se reduce la planul Oyz, ceea ce constituie o predeterminare extrem de avantajoas˘ a a planului lor principal de iner¸tie. Dac˘ a planul Oyz constituie un plan de simetrie al configura¸tiei punctelor din sistemul mecanic S, atunci axa Ox va fi o ax˘ a principal˘ a de iner¸tie a elipsoidului centrat în O. Într-adev˘ ar, dac˘ a un punct al sistemului mecanic are coordonatele a, y, z, unde a > 0, va exista un alt punct de coordonate −a, y, z în cadrul sistemului mecanic. Atunci, X X − mM · x(M) · y(M) = 0 − mM · x(M) · z(M) = 0, M∈S

M∈S

adic˘ a I12 = I13 = 0. Acela¸si rezultat are loc atunci când pentru fiecare punct de coordonate x, a, b al sistemului mecanic S va exista un alt punct de coordonate x, −a, −b în configura¸tia sistemului, deci când sistemul mecanic are drept ax˘ a de simetrie dreapta Ox. În concluzie, dac˘a un sistem mecanic omogen admite un plan de simetrie, respectiv o ax˘a de simetrie, atunci mul¸timea în cauz˘a va fi un plan principal de iner¸tie, respectiv o ax˘a principal˘a de iner¸tie pentru elipsoizii de iner¸tie centra¸ti în punctele ei (cf. [76], p. 583, [34], p. 451, [41], p. 142).

3.2. CINEMATICA

245

S˘ a presupunem acum c˘ a axa Ox a sistemului de referin¸ta˘ R este ax˘ a principal˘ a de iner¸tie pentru elipsoidul centrat în originea O. Aici, I12 = I13 = 0. S˘ a consider˘ am, de asemeni, c˘ a elipsoidul de iner¸tie cu centrul în punctul O0 , de coordonate h, 0, 0, admite dreapta Ox ca ax˘ a principal˘ a de → 000 0 − iner¸tie. Atunci, în reperul R = (O , B ) avem 0 I12

= −

n X

mk x0k yk0

k=1

= I12 + h · respectiv

n X k=1

=−

n X k=1

mk (xk − h) yk

mk yk = I12 + h · my(G),

0 I13 = I13 + h · mz(G).

Am folosit teorema momentelor statice. Rela¸tiile y(G) = 0, z(G) = 0 arat˘ a c˘ a, în mod necesar, G ∈ Ox. Calculul anterior este valabil pentru orice num˘ ar h. Atunci, pentru ca o dreapt˘a s˘a fie ax˘a principal˘a de iner¸tie pentru elipsoizii de iner¸tie centra¸ti în dou˘a puncte ale sale, aceasta trebuie s˘a con¸tin˘a centrul de mas˘a G al sistemului mecanic. De asemeni, o dreapt˘a ce trece prin G s¸i este ax˘a principal˘a de iner¸tie a elipsoidului centrat într-un punct al s˘au (diferit de G) va fi ax˘a principal˘a de iner¸tie pentru elipsoizii centra¸ti în toate punctele ei (cf. [34], p. 451). Elipsoidul centrat în G poart˘ a denumirea de elipsoid central de iner¸tie al sistemului mecanic S. Axele ¸si planele sale principale de iner¸tie se numesc axe principale centrale de iner¸tie (libere), respectiv plane principale centrale de iner¸tie ale sistemului mecanic (cf. [14], p. 171, 174, [32], p. 120). Formula Huygens-Steiner arat˘ a c˘ a momentul axial de iner¸tie al sistemului mecanic S fa¸t˘a de axa mare a elipsoidului central de iner¸tie este cel mai mic cu putin¸t˘a (cf. [76], p. 581). Axele principale centrale de iner¸tie ale corpului solid rigid joac˘ a un rol important în dinamica acestuia (cf. [32], p. 130-131).

3.2 3.2.1

Cinematica Formula lui L. Euler. Transla¸tia ¸si rota¸tia solidului rigid. Teorema lui Rivals

Mi¸sc˘ arile corpurilor materiale întâlnite în via¸ta de zi cu zi sunt extrem de diferite iar descrierea lor implic˘ a dificult˘ a¸ti considerabile. Exist˘ a îns˘ a,

246

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

în cinematic˘ a, posibilitatea de a ”vizualiza” mi¸scarea spa¸tiului ”rigid” care aproximeaz˘ a corpul material. Astfel, o serie de teoreme din geometrie (Euler, Chasles, Mozzi) (cf. [34], p. 201, [69], p. 70, 161-162, [56], p. 27-28) arat˘ a c˘ a, atât în planul cât ¸si în spa¸tiul euclidian, trecerea de la o pozi¸tie S1 a unei figuri geometrice la pozi¸tia S2 a aceleia¸si figuri geometrice se poate realiza prin compunerea unor transla¸tii ¸si rota¸tii ale planului, respectiv spa¸tiului. Un asemenea proces constituie, a¸sadar, o reprezentare (imaginare) a ”mi¸sc˘ arii” figurii geometrice. Apare ca natural˘ a, în aceste condi¸tii, ideea de a reprezenta mi¸scarea unui solid rigid (echivalentul ”mecanic” al unei figuri geometrice) cu ajutorul rota¸tiilor ¸si transla¸tiilor instantanee (cf. [56], p. 26). Subliniem faptul c˘ a o reprezentare a mi¸sc˘ arii mecanice nu constituie descrierea acesteia, ci modul cum ne-am putea imagina mi¸scarea respectiv˘ a (cf. [76], p. 318). Pentru a eviden¸tia asem˘ an˘ arile dintre cazul ”static” al mi¸sc˘ arilor geometrice ¸si cel ”dinamic” al mi¸sc˘ arilor mecanice, s˘ a consider˘ am trei puncte necoliniare ale solidului rigid S. Atunci, cum ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¡ ¢ ¯M1 M 3 ¯2 = M1 M 2 + M2 M 3 2 = ¯M1 M 2 ¯2 + ¯M2 M 3 ¯2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¡ ¢ +2 ¯M1 M 2 ¯ · ¯M2 M 3 ¯ · cos M1 M 2 , M2 M 3 , deducem c˘ a mi¸scarea solidului rigid conserv˘a unghiul a dou˘a drepte coplanare din constitu¸tia sa. Mai general chiar, deoarece ¡ ¢ M1 M 2 · M3 M 4 = M1 M 2 · M3 M 2 + M2 M 4 = M1 M 2 · M2 M 4 − M1 M 2 · M2 M 3 ,

observ˘ am c˘ a unghiul a dou˘a drepte oarecare se conserv˘a în mi¸scarea solidului rigid (cf. [34], p. 163). Aceast˘ a proprietate este specific˘ a izometriilor planului ¸si spa¸tiului euclidian (cf. [69], teorema 4, p. 16, teorema 3, p. 129-130). Tinând ¸ seama de cele discutate în cadrul subsec¸tiunii privind mi¸scarea − → relativ˘ a a punctului material (aici, reperul R0 = (A, C ) este presupus solidar legat de corpul solid rigid), putem scrie c˘ a v B (t) = vA (t) + ω × AB,

(3.11)

unde B reprezint˘ a o particul˘ a oarecare din constitu¸tia corpului material. Am aplicat formula (2.26) în care ¶ µ ∂AB =0 ∂t R0

3.2. CINEMATICA

247

deoarece B se afl˘ a în repaus fa¸ta˘ de reperul mobil R0 . Egalitatea (3.11) desemneaz˘ a distribu¸tia vitezelor în corpul rigid (cf. [76], p. 301), ar˘ atând modul în care fiec˘ arei particule B din constitu¸tia acestuia i se atribuie (dis→ 3 − tribuie) viteza − v→ tinem astfel câmpul vectorial al B ∈ TB R , vB ∈ v B . Ob¸ vitezelor corpului solid rigid (cf. [63], p. 175). Rela¸tia (3.11) este cunoscut˘ a sub numele de formula lui L. Euler (cf. [32], p. 98, [76], p. 349). Se recomand˘ a cititorului eleganta prezentare f˘ acut˘ a acestor chestiuni în [14], p. 101-102. Cazul particular ω = 0 corespunde mi¸sc˘arii de transla¸tie a solidului rigid. Câmpul vitezelor este, la momentul t, uniform, iar traiectoriile tuturor particulelor solidului rigid sunt identice ca form˘ a. Cu alte cuvinte, o dreapt˘a solidar legat˘a de corpul material se va deplasa paralel cu ea-îns˘as¸i (cf. [63], p. 180). În aceste condi¸tii, putem considera c˘ a solidul rigid are o vitez˘a de transla¸tie, aceasta fiind un vector liber (cf. [32], p. 94, [63], p. 181) care, legat în pozi¸tia unei particule oarecare a solidului, ne d˘ a viteza ei. Dac˘ a dou˘ a din punctele solidului rigid, A ¸si B, r˘ amân în repaus în timpul mi¸sc˘ arii sale, atunci avem de a face cu o mi¸scare de rota¸tie (cf. [63], p. 182). Rela¸tia (3.11) arat˘ a c˘ a ω × AB = 0. Astfel, sau ω = 0 sau vectorii ω ¸si AB sunt coliniari. În cazul unei particule C, nesituate pe dreapta AB, egalitatea v C = ω × AC 6= 0 ne conduce, în particular, la ω 6= 0. Not˘ am cu P piciorul perpendicularei duse din punctul C pe dreapta AB. Atunci, cum ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ AB BA ¯BP ¯ = ¯¯BC · ¯ ¯AP ¯ = ¯AC · ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯¯ , ¯AB ¯ ¯ ¯BA¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ deducem c˘ a m˘ arimile ¯AP ¯, ¯BP ¯ sunt constante. Astfel, ¯ ¯ ¯ punctul P ¯se va g˘ asi la intersec¸tia sferelor centrate în A, B, de raze ¯AP ¯, respectiv ¯BP ¯, care sunt tangente. Deci, punctul P este fix (cf. [34], p. 164). Putem scrie c˘ a ¡ ¢ vC = ω × AC = ω × AP + P C = ω × P C (3.12) (cf. [32], p. 95). În concluzie, mi¸scarea particulei C se desf˘ a¸soar˘ a în planul Π perpendicular ¡ ¢2 2 2 2 pe dreapta AB în P . De asemeni, AC = AP + P C = AP + P C , de unde ¯ ¯ q¯ ¯ ¯ ¯ ¯P C ¯ = ¯AC ¯2 − ¯AP ¯2 = constant.

248

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Particula C execut˘a, a¸sadar, o mi¸scare circular˘a în planul Π ¸si reg˘ asim formula vitezei ca produs vectorial (cf. [76], p. 303). Independen¸ta formulei (3.12) de pozi¸tia lui P ne permite s˘ a introducem − → vectorul glisant ω (t) definit de dreapta AB (numit˘ a ax˘a de rota¸tie a solidului rigid S) ¸si de vectorul ω (cf. [63], p. 183-184). El constituie vectorulvitez˘a unghiular˘a al corpului material. Viteza particulei C se bucur˘ a de o reprezentare remarcabil˘ a, ¸si anume − → − → 3 − v→ C = MC ( ω ) ∈ TC R (cf. [34], p. 166). → Revenind la cazul general, s˘ a consider˘ am dreapta ∆(A, − ω ) care trece prin A ¸si are vectorul director ω(t). Ea va juca ”rolul” unei axe de rota¸tie ”instantanee” în interpretarea mi¸sc˘ arii corpului material solid rigid. Cum µ 2 ¶ ∂ AB = 0, ∂t2 R0 distribu¸tia accelera¸tiilor în solidul rigid este dat˘ a de ¡ ¢ aB (t) = aA (t) + ε × AB + ω × ω × AB

(cf. [76], p. 301). Notând cu P piciorul perpendicularei duse din punctul B → pe dreapta ∆(A, − ω ), deducem c˘ a ¡ ¢ ¡ ¢ ω × ω × AB = ω × ω × P B = −ω2 (t) · P B.

not

Aici, |ω| = ω. Rela¸tia aB (t) = aA (t) +ε ×AB −ω 2 (t) · P B este cunoscut˘ a sub numele de teorema lui Rivals (cf. [34], p. 178, [32], p. 102). M˘ arimile − → → → → a ε ∈ TB R3 , − a ε ∈aε ¸si − a ω ∈ TB R3 , − a ω ∈aω , unde aε = ε × AB

aω = −ω 2 · P B,

poart˘ a denumirea de accelera¸tie rotitoare, respectiv axipet˘a (cf. [32], p. 101, → [59], p. 33). Accelera¸tia axipet˘ a− a ω , de¸si are direc¸tia normalei principale în pozi¸tia curent˘ a a particulei la traiectoria circular˘ a ”instantanee” a acesteia, − → nu trebuie confundat˘ a cu accelera¸tia normal˘ a a ν (cf. [32], p. 102).

3.2. CINEMATICA

3.2.2

249

Interpretarea cinematic˘ a a mi¸sc˘ arii solidului rigid. Invarian¸tii mi¸sc˘ arii. Teorema lui Chasles. Mi¸scarea pseudoelicoidal˘ a a solidului rigid. Teorema lui I. Mozzi

Formula lui Euler privind distribu¸tia vitezelor în solidul rigid arat˘ a c˘ a − → viteza vB a unei particule B oarecare din constitu¸tia acestuia se compune din → 3 − dou˘ a ”ingrediente”: o vitez˘ a de ”transla¸tie” − v→ tinut˘ a A ∈ TB R , vA ∈ v A , ob¸ − → − → prin echipolen¸ta˘ dintr-un vector liber ¸si o vitez˘ a de ”rota¸tie” MB ( ω ), unde − → → ω este vectorul glisant definit de dreapta ∆(A, − ω ) ¸si de vectorul-vitez˘ a unghiular˘ a instantanee ω (cf. [34], p. 170, [32], p. 98). Reprezentarea unei componente a vitezei particulei ca moment ne d˘ a ”ideea” unei analogii cu problema reducerii sistemelor de vectori alunec˘ atori. Astfel, vectorul vA (liber) poate fi considerat ca momentul unui cuplu de ”viteze unghiulare” → − → − { ω 0 , − ω0 } (cf. [34], p. 182), de unde − →0 − →0 o´ − → ³n− − → v→ ω , ω . = M , − ω B B

Mi¸scarea general˘ a a solidului rigid, interpretat˘a pe baza câmpului vitezelor sale (cf. [76], p. 318), poate fi considerat˘ a ca provenind din trei rota¸tii → − → − → (instantanee) simultane având vectorii-vitez˘ a unghiular˘ a− ω , ω0 , − ω0 . → − → − → Invarian¸tii sitemului de vectori {− ω , ω 0 , − ω 0 }, numi¸ti invarian¸tii (absolu¸ti) ai mi¸sc˘arii, sunt RA = ω ¸si MA · RA = vA · ω (cf. [32], teoremele 1, 2, p. 99, [76], p. 318). Axa central˘ a a sistemului este AB =

ω × vA + λ · ω, λ ∈ R ω2

(cf. [34], p. 171). Sunt valabile urm˘ atoarele situa¸tii (analogia static˘a-cinematic˘a ) (cf. [34], p. 182-183, [76], p. 333, [63], p. 258). → 1) v A · ω 6= 0. Sistemul de vectori este echivalent cu vectorul − ω glisant pe axa central˘ a ∆ ¸si cu un cuplu de moment vA , aflat într-un plan perpendicular pe axa ∆. Mi¸scarea solidului rigid poate fi imaginat˘a în fiecare moment t ca fiind compus˘a dintr-o rota¸tie instantanee (infinitezimal˘a) în jurul unei axe variabile ∆(t) s¸i o transla¸tie instantanee (infinitezimal˘a) în lungul acestei axe. Interpretat˘ a astfel, mi¸scarea corpului material solid rigid se mai nume¸ste ¸si pseudoelicoidal˘a sau elicoidal˘a momentan˘a (instantanee)

250

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

sau rototransla¸tie (cf. [32], p. 100, [76], p. 319, [34], p. 170). Reprezentarea precedent˘ a a mi¸sc˘ arii generale ca pseudoelicoidal˘ a este cunoscut˘ a drept teorema lui Chasles (cf. [32], p. 100). Axa central˘ a ∆ poart˘ a denumirea de ax˘a instantanee a mi¸sc˘ arii (cf. [63], p. 238). În analogie cu existen¸ta torsorului minimal, axa instantanee a mi¸sc˘arii este locul geometric al punctelor solidului rigid cu viteza minim˘a în momentul considerat (I. Mozzi, 1766) (cf. [32], p. 100, [76], observa¸tia de la p. 319, [63], p. 238). 2) ω 6= 0, vA = 0. Sistemul de vectori este echivalent cu un vector unic − → ω glisant pe axa instantanee ∆. Astfel, la momentul t considerat, mi¸scarea poate fi imaginat˘ a ca o rota¸tie în jurul axei ∆. 3) ω = 0, v A 6= 0. Mi¸scarea se reprezint˘ a la momentul t, din punctul de ”vedere” al vitezelor, printr-o transla¸tie. 4) ω = 0, v A = 0. Corpul material solid rigid se g˘ ase¸ste în repaus la momentul considerat.

3.2.3

Interpretarea geometric˘ a a mi¸sc˘ arii solidului rigid. Axoide. Contactul simplu a dou˘ a corpuri solide rigide

Chestiunile care urmeaz˘ a pot fi justificate în mod intuitiv (neriguros) plecând de la descrierea unor situa¸tii ”ciudate” din via¸ta de zi cu zi. Astfel, un schior încep˘ ator care alunec˘a pe por¸tiunea de final (în apropierea cabanei) a pârtiei de schi de la Predeal se bazeaz˘ a frecvent pe în˘al¸timea cl˘ aparilor pentru a nu c˘ adea. Schiurile sale au ”prins” vitez˘ a ¸si el, ¸tinându-¸si corpul drept, ”supravie¸tuie¸ste” printr-o ”sprijinire” de partea din spate a cl˘ aparilor. Am putea spune c˘ a el se lipe¸ste de corpul în mi¸scare (ansamblul schiurilor). Un alt fenomen este tr˘ ait de cineva care traverseaz˘ a un pod mobil sau încearc˘ a ”s˘ a¸si fac˘ a echilibru”, stând în picioare, într-o barc˘ a aflat˘ a în deriv˘a pe lacul din parcul central al Craiovei. În acest caz, protagonistul întâmpl˘ arii caut˘ a s˘ a se pun˘ a ”în armonie” (echilibru) fa¸ta˘ de sol (p˘ amânt, marginea lacului), adic˘ a s˘ a se dezlipeasc˘a de mi¸sc˘ arile de balans ale podului ori b˘ arcii. Aceste fenomene ne conduc la ”ideea” din interpretarea geometric˘a a mi¸sc˘ arii solidului rigid. Este evident c˘ a, în general, axa instantanee ∆ î¸si schimb˘ a pozi¸tia la fiecare moment atât fa¸ta˘ de sistemul de referin¸ta˘ R cât ¸si fa¸ta˘ de reperul R0 = − → (A, C ) solidar legat de corpul rigid. Dac˘ a B ∈ ∆, atunci vB = λω, unde

3.2. CINEMATICA

251

λ ∈ R, ¸si, conform (3.11), putem scrie c˘ a λω = v A + ω × AB.

(3.13)

Prin proiectarea rela¸tiei (3.13) pe axele de coordonate ale reperului mobil R , respectiv fix R ¸si prin eliminarea parametrului λ din formulele acestor proiec¸tii g˘ asim ecua¸tiile scalare relative ¸si absolute ale axei instantanee ∆ (cf. [34], p. 171-172, [76], p. 318, [63], p. 238). Atunci când t variaz˘ a, dreptele ∆(t) genereaz˘ a în raport cu reperul mobil R0 , respectiv cu sistemul de referin¸ta˘ R câte o suprafa¸ta˘ riglat˘a. Prima dintre suprafe¸te se nume¸ste axoid˘a mobil˘a iar cea de-a doua axoid˘a fix˘a (cf. [63], p. 239, [14], p. 120). Legea fundamental˘ a de compunere a vitezelor, aplicat˘ a punctului B, ne conduce la 0

v(t) = vtransp + v rel = v A + ω × AB + v rel = λω + vrel .

(3.14)

Se cuvine f˘ acut urm˘ atorul comentariu. La un moment t fixat, dreapta ∆ are o anumit˘a pozi¸tie fa¸ta˘ de reperul mobil R0 . Aceasta se va schimba, desigur, la momentul de timp urm˘ator. Îns˘ a, la momentul t, dreapta ∆ nu se ”mi¸sc˘ a” fa¸ta˘ de R0 (timpul sta¸tioneaz˘a, este suspendat), ceea ce ne permite s˘ a folosim formula lui Euler (utilizabil˘ a doar pentru punctele care stau mereu 0 pe loc fa¸ta˘ de R ) în cazul punctului B. Aplicarea legii de compunere a vitezelor, în schimb, se realizeaz˘ a pentru un punct B fixat pe dreapta ∆, 0 deci mobil în raport cu R . Acest tip de ra¸tionament va fi reluat ulterior. Se întâlne¸ste formularea: ”punct mobil B a c˘ arui pozi¸tie la momentul t coincide cu pozi¸tia unei particule a solidului rigid”.

Figura 3.17 În mi¸scarea fa¸ta˘ de reperul cartezian R0 , punctul B se deplaseaz˘ a pe traiectoria (relativ˘ a) Γ0 . Direc¸tia tangentei la Γ0 în pozi¸tia curent˘ a a ”particulei” B este chiar vrel . De asemeni, ω este vector (director) al generatoarei

252

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

∆ a axoidei mobile S 0 . Astfel, vectorii vrel , ω constituie o baz˘ a a spa¸tiului 0 TB S . În mod analog, vectorii v B , ω vor reprezenta o baz˘ a a spa¸tiului director al planului tangent în pozi¸tia curent˘ a a ”particulei” B la axoida fix˘ a S. În concluzie, din (3.14) rezult˘ a c˘ a cele dou˘a suprafe¸te S s¸i S 0 admit în fiecare moment t un plan tangent comun (cf. [34], p. 183) (vezi Figura 3.17). Revenind la situa¸tiile descrise la începutul acestei subsec¸tiuni, în loc s˘ a 0 ”privim” mi¸scarea axei ∆ fa¸ta˘ de corp (reperul R ), am putea s˘ a ne imagin˘ am c˘ a lipim corpul solid rigid de dreapt˘ a (axa ∆). Astfel, deplasarea general˘a a solidului rigid poate fi considerat˘a ca o ”rostogolire” a axoidei mobile peste axoida fix˘a (mi¸scare de rota¸tie înf˘aptuit˘a în jurul axei ∆, cf. [76], p. 181) concomitent cu o ”alunecare” (transla¸tie) a axoidei mobile peste axoida fix˘a în lungul dreptei ∆ (L. Poinsot (1834), Poncelet) (cf. [32], p. 101, [34], p. 184, [76], p. 320, [15], p. 77). Dou˘ a elemente noi intervin în aceast˘ a interpretare. Mai întâi, axoidele joac˘ a ”rolul” frontierelor a dou˘ a ”corpuri” implicate într-o mi¸scare complex˘ a (rostogolire ¸si alunecare). Se pune astfel problema definirii contactului a dou˘ a corpuri solide rigide. Un al doilea element prive¸ste chiar mi¸sc˘ arile complexe ale solidului rigid. Ce înseamn˘ a, a¸sadar, c˘ a un corp material solid rigid este supus simultan mai multor mi¸sc˘ ari? Începem cu chestiunea contactului dintre corpurile materiale. Astfel, considerând dou˘ a solide rigide S1 , S2 care ocup˘ a în SF domeniile G1 , G2 m˘ arginite de suprafe¸tele F r(G1 ), F r(G2 ), vom spune c˘ a acestea realizeaz˘ a un contact simplu (teoretic) dac˘ a F r(G1 ) ¸si F r(G2 ) admit la fiecare moment t un acela¸si plan tangent TX (cf. [34], p. 184). Punctul (geometric) comun X este numit punct de contact (teoretic) (cf. [76], p. 179). Privit ca o ”particul˘ a” mobil˘ a, X(t) descrie câte o curb˘ a pe suprafe¸tele F r(G1 ), F r(G2 ) (cf. [2], p. 78, [15], p. 101). Astfel, vabs = vtransp + v rel , unde vabs , v rel constituie vitezele particulei de contact X(t) fa¸ta˘ de reperele R, R0 presupuse solidar legate de corpul S1 , respectiv S2 . Vectorul vtransp → → ne conduce la vectorul − v transp ∈ TX R3 , − v transp ∈ v transp , care desemneaz˘ a viteza unui punct M al solidului rigid S2 a c˘ arui pozi¸tie coincide la momentul t cu punctul de contact X(t). Aplicând formula lui Euler, avem v N = vM + ω × MN = vtransp + ω × MN pentru o particul˘ a N oarecare din constitu¸tia corpului S2 . Cu alte cuvinte, toate particulele acestui solid rigid primesc, la momentul t, ca ”ingredient” al

3.2. CINEMATICA

253

→ vitezelor lor, un vector echipolent cu − v transp . Are sens s˘ a afirm˘ am c˘ a vtransp define¸ste alunecarea (transla¸tia) corpului S2 pe corpul S1 . → → S˘ a consider˘ am vectorul glisant − ω situat pe dreapta-suport ∆(X, − ω ). Descompunându-i direc¸tia ω dup˘ a dou˘ a direc¸tii ortogonale, ω = ω ⊥ + ω k , → → atori − ω n, − ωτ astfel încât ω k ∈ TX F r(G1 ), putem introduce vectorii alunec˘ − → − → − → − → → − → ⊥ k ⊥ − cu ajutorul dreptelor-suport ∆(X, ω ), ∆(X, ω ): ω n = ω , ω τ = ω k . Pe baza formulei lui Euler vN = vtransp + ω × MN = vtransp + ω ⊥ × MN + ω k × MN,

→ → putem afirma c˘ a vectorii glisan¸ti − ω n, − ω τ definesc dou˘ a rota¸tii instantanee − → − → ⊥ ale solidului rigid S2 în jurul axelor ∆(X, ω ), ∆(X, ω k ). Aceste mi¸sc˘ ari desemneaz˘ a pivotarea, respectiv rostogolirea (instantanee) a corpului S2 pe → → corpul S1 (cf. [34], p. 185). Aici, − ω n, − ω τ reprezint˘ a vectorii-vitez˘a unghiular˘a de pivotare, respectiv rostogolire ai solidului S2 fa¸ta˘ de S1 (cf. [15], p. 106). O interpretare interesant˘ a a rela¸tiei (3.14) poate fi citit˘ a în [15], p. 79. 0 Astfel, în reperul R axoida mobil˘ a are parametrizarea dat˘ a de AB =

ω × vA + λ · ω = σm (t, λ) . ω2

Aici, q 1 = t, q 2 = λ, de unde ∂σm ∂σm × = ∂q1 ∂q 2

µ

∂AB ∂t

¶

R0

× ω = v rel × ω.

Apoi, în sistemul de referin¸ta˘ R, axoida fix˘ a are parametrizarea dat˘ a de OB = OA + AB = OA + de unde

ω × vA + λ · ω = σf (t, λ) , ω2

· ∂σf ∂σf × 2 =OB ×ω = v B × ω. ∂q 1 ∂q

În sfâr¸sit, conform (3.14), avem vB × ω = v rel × ω, egalitate care desemneaz˘ a direc¸tia normalei la planul tangent comun TB al axoidelor.

254

3.2.4

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Mi¸scarea relativ˘ a a dou˘ a corpuri solide rigide supuse unui contact simplu. Teorema AronholdKennedy

Corpurile rigide S1 , S2 se mi¸sc˘ a fa¸ta˘ de sistemul de referin¸ta˘ R p˘ astrând − → − → 0 00 punctul de contact X(t). Reperele carteziene R = (A, C ), R = (B, D ) sunt presupuse solidar legate de S1 , respectiv S2 . Vom impune în plus ca, la un anumit moment t∗ , pozi¸tiile particulelor A ¸si B în sistemul de referin¸ta˘ R s˘ a coincid˘ a cu X(t∗ ). Folosind nota¸tiile de la subsec¸tiunea dedicat˘ a mi¸sc˘ arii relative a punctului material, putem scrie c˘ a, la momentul t∗ , v rel,A (X) + vrel,B (X) = 0

ω12 + ω 21 = 0

¸si ⊥ ω⊥ 12 + ω 21 = 0

k

k

ω 12 + ω21 = 0.

Am folosit rela¸tia (2.30) pentru A = B = X(t∗ ). Formula vitezelor relative ale punctului de contact X(t) este ilustrat˘ a elocvent de urm˘ atoarea situa¸tie din via¸ta de zi cu zi. Doi c˘ al˘ atori, afla¸ti în trenuri de pasageri care se deplaseaz˘ a în direc¸tii opuse pe linii de cale ferat˘ a paralele, se privesc ¸si ”simt” c˘ a se dep˘ arteaz˘ a unul de cel˘ alalt cu viteze egale dar de sensuri opuse, indiferent de vitezele trenurilor. Acela¸si fenomen apare ¸si în mi¸sc˘ arile relative de pivotare, respectiv rostogolire, care se desf˘ a¸soar˘ a în oglind˘a (cf. [15], p. 100) una fa¸ta˘ de cealalt˘ a. Axele instantanee relative ∆12 , ∆21 au ecua¸tiile ω 12 × vrel,A + λ · ω 12 2 ω12 ω 21 × vrel,B BN = X(t∗ )N = + µ · ω 21 2 ω21 ω 12 × vrel,A = + (−µ) · ω12 . 2 ω12

AM = X(t∗ )M =

Deci, ∆12 = ∆21 . Este u¸sor de remarcat, în baza considera¸tiilor precedente privind dubla calitate a ”particulei” B care intervine în (3.13), (3.14), c˘ a rezultatele referitoare la momentul t∗ fixat au loc în orice moment t. A¸sadar, axele instantanee ale mi¸sc˘arilor pseudoelicoidale relative realizate de corpurile solide rigide S1 , S2 aflate în contact simplu coincid (cf. [15], p. 101, [34], p. 189). În practic˘ a, putem studia mi¸scarea corpurilor S1 , S2 raportându-ne în mod convenabil la unul dintre ele.

3.2. CINEMATICA

255

Introducem acum axele instantanee ∆10 (t), ∆21 (t) ¸si ∆20 (t). Punctele Cij situate pe aceste drepte sunt caracterizate prin ω 10 × vA ω 20 × vB , C10 ∈ ∆10 BC 20 = , C20 ∈ ∆20 2 2 ω10 ω20 ω 21 × vrel,B = , C21 ∈ ∆21 . 2 ω21

AC 10 = BC 21

Vom ar˘ ata c˘ a dreptele ∆10 (t∗ ), ∆21 (t∗ ) s¸i ∆20 (t∗ ) admit o perpendicular˘a comun˘a dac˘a ω 10 (t∗ ) × ω20 (t∗ ) 6= 0. Într-adev˘ ar, fie Y ∈ ∆10 (t∗ ) ¸si Z ∈ ∆20 (t∗ ). Impunem ca Y Z⊥∆10 (t∗ ), ∆20 (t∗ ), adic˘ a Y Z · ω 10 = 0

Y Z · ω 20 = 0.

Atunci, ³ ´ ∗ ∗ 0 = Y Z · ω10 = ω 10 · X(t )Z − X(t )Y ¡ ¢ = ω 10 · BZ − AY

= ω 10 · (BC 20 + λZ20 · ω 20 − AC 10 − λY10 · ω 10 ) 2 · λY10 = ω 10 · BC 20 + (ω 10 · ω 20 ) · λZ20 − ω10

¸si 2 0 = ω20 · λZ20 − ω20 · AC 10 − (ω20 · ω10 ) · λY10 .

Sistemul cramerian ½ 2 ω10 · λY10 − (ω 20 · ω 10 ) · λZ20 = BC 20 · ω 10 2 (ω 10 · ω 20 ) · λY10 − ω20 · λZ20 = −AC 10 · ω20 are solu¸tiile

 2  λY = (BC 20 ·ω10 )2·ω202+(AC 10 ·ω20 )2 ·(ω10 ·ω20 ) 10 ω10 ·ω20 −(ω 10 ·ω20 ) 2 + BC ·ω AC ·ω )·ω10 ( 20 10 )·(ω20 ·ω10 ) ( 10 20  λZ = 20 ω2 ·ω2 −(ω ·ω )2 20

10

20

10

(cf. [15], p. 102-103). Evident, 2 2 ω10 · ω20 − (ω 10 · ω 20 )2 = |ω 10 × ω20 |2 6= 0.

Fie acum V ∈ ∆10 (t∗ ), W ∈ ∆21 (t∗ ) pentru care V W ·ω 10 = V W ·ω21 = 0. În mod analog, ½ 2 ω10 · λV10 − (ω 21 · ω 10 ) · λW 21 = BC 21 · ω 10 2 (ω 10 · ω 21 ) · λV10 − ω21 · λW 21 = −AC 10 · ω 21 ,

256

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

de unde

 2  λV = (BC 21 ·ω10 )2·ω212+(AC 10 ·ω21 )2 ·(ω10 ·ω21 ) 10 ω10 ·ω21 −(ω 10 ·ω 21 ) 2 + BC ·ω ( 21 10 )·(ω21 ·ω10 )  λW = (AC 10 ·ω21 )·ω10 . 2 21 ω ·ω2 −(ω ·ω )2 21

10

21

10

a V = Y . Mai întâi, S˘ a dovedim c˘ a λV10 = λY10 , adic˘ (2.31)

2 2 ω10 · ω21 − (ω 10 · ω 21 )2 = |ω 10 × ω 21 |2 = |ω 10 × (ω 20 − ω 10 )|2 = |ω 10 × ω 20 |2 ,

ceea ce probeaz˘ a egalitatea numitorilor frac¸tiilor λV10 , λY10 . Apoi, ¡ ¢ 2 BC 21 · ω 10 · ω21 = (ω21 × v rel,B ) · ω 10 (2.31), (2.28)

= = = = = ¸si

= [(ω20 − ω 10 ) × (vB − v A )] · ω10 (ω20 − ω 10 , vB − v A , ω 10 ) (ω20 , v B − vA , ω10 ) − (ω 10 , v B − vA , ω10 ) (ω20 , v B − vA , ω10 ) (ω20 , v B , ω 10 ) − (ω20 , v A , ω 10 ) ¢ 2 ¡ BC 20 · ω10 · ω20 − (ω 20 , vA , ω10 )

¸ ω 10 × vA · (ω 20 − ω10 ) · (ω10 · ω21 ) 2 ω10 (ω 10 , vA , ω 20 ) · (ω 10 · ω 21 ) = 2 ω10 ¢ (2.31) (ω 10 , v A , ω 20 ) ¡ 2 = · ω10 · ω 20 − ω10 2 ω10 1 · (ω10 , v A , ω 20 ) · (ω 10 · ω 20 ) = 2 ω10 + (ω , v , ω ) ¡ 20 A ¢10 = AC 10 · ω 20 · (ω 10 · ω 20 ) + (ω 20 , vA , ω10 ) .

¢ ¡ AC 10 · ω 21 · (ω10 · ω21 ) =

·

Prin sumare membru cu membru a acestor rela¸tii se stabile¸ste egalitatea num˘ar˘atorilor frac¸tiilor λV10 , λY10 .

3.2. CINEMATICA

257

În concluzie, Y Z⊥∆10 (t∗ ), ∆20 (t∗ ) ¸si Y W ⊥∆10 (t∗ ), ∆21 (t∗ ). Considerând U ∈ ∆20 (t∗ ), H ∈ ∆21 (t∗ ) pentru care UH · ω 20 = UH · ω 21 = 0 se arat˘ a ∗ absolut analog c˘ a U = Z ¸si H = W (cf. [15], p. 104). Astfel, ZW ⊥∆20 (t ), ∆21 (t∗ ). Dac˘ a punctele Y , Z, W nu sunt coliniare, atunci dreptele ∆10 (t∗ ), ∆20 (t∗ ), ∆21 (t∗ ) vor fi toate perpendiculare pe planul triunghiului Y ZW , deci paralele. Vectorii lor directori fiind ω 10 , ω20 ¸si ω21 = ω 20 − ω10 , deducem c˘ a direc¸tiile ω10 (t∗ ), ω20 (t∗ ) sunt coliniare, adic˘ a ω 10 (t∗ ) × ω20 (t∗ ) = 0, ceea ce contrazice ipoteza. Dreapta d care trece prin punctele Y , Z, W este perpendiculara comun˘ a a axelor ∆10 (t∗ ), ∆21 (t∗ ) ¸si ∆20 (t∗ ). Acest rezultat constituie teorema Aronhold-Kennedy (cf. [15], p. 102). Desigur, dac˘ a într-o anumit˘ a problem˘ a de mecanic˘ a teoretic˘ a dou˘ a dintre axe au un punct comun, dreapta d poate degenera într-un punct.

3.2.5

Principiul independen¸tei mi¸sc˘ arilor. Compunerea transla¸tiilor ¸si rota¸tiilor

Ne vom referi acum la cel de-al doilea element de noutate prezent în interpret˘ arile cinematic˘ a ¸si geometric˘ a ale mi¸sc˘ arii generale a solidului rigid, ¸si anume existen¸ta mi¸sc˘ arilor simultane. S˘ a presupunem c˘ a solidul rigid S1 realizeaz˘ a o mi¸scare de rota¸tie absolut˘ a, caracterizat˘ a de vectorul-vitez˘ a unghiular˘ a− ω→ glisant pe axa fix˘ a ∆ , iar c˘ a 10 10 0 solidul rigid S2 se rote¸ste în raport cu reperul R în jurul unei axe fixe ∆21 relative, având vectorul-vitez˘ a unghiular˘ a− ω→ a corpuri materiale 21 . Cele dou˘ nu se afl˘ a neap˘ arat în contact, de¸si, de obicei, mi¸scarea se imprim˘a (transmite) prin contact. În discu¸tia de fa¸ta˘, corpurile sunt folosite în calitatea lor de spa¸tii (triedre) ”rigide”. Viteza unui punct material X solidar legat de corpul rigid S2 este (A ∈ ∆10 , B ∈ ∆21 ) vX = vtransp + v rel = ω 10 × AX + ω 21 × BX a deoarece v A = 0, vrel,B = 0. Atunci, putem scrie c˘ − → −→ − → −→ − → 3 − −→ −→ v→ X = MX (ω10 ) + MX (ω21 ) = MX ({ω10 , ω21 }) ∈ TX R (cf. [34], p. 181). Formula ob¸tinut˘ a arat˘ a c˘ a, interpretând viteza, punctul material X realizeaz˘a la momentul t dou˘a rota¸tii absolute (instantanee), simultane, de axe ∆10 , ∆21 . De asemeni, ordinea celor dou˘ a rota¸tii anterioare

258

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

poate fi inversat˘ a f˘ ar˘ a a impieta asupra mi¸sc˘ arii compuse (cf. [34], p. 182). În concluzie, mi¸sc˘arile efectuate simultan de un mobil sunt independente una de alta, fapt care constituie principiul independen¸tei mi¸sc˘ arilor (Galilei) (cf. [32], p. 196). −→ Existen¸ta sistemului de vectori alunec˘ atori {− ω→ 10 , ω21 } permite aplicarea analogiei static˘a-cinematic˘a. Astfel, dac˘ a axele ∆10 , ∆21 sunt concurente în → punctul D, atunci sistemul va fi echivalent cu vectorul − ω , unde ω = ω10 +ω 21 , glisant pe dreapta ∆ determinat˘ a de punctul D ¸si de vectorul (director) ω. Cu alte cuvinte, compunerea a dou˘ a rota¸tii finite sau infinitezimale cu axele concurente se realizeaz˘ a dup˘ a regula paralelogramului (G. Coriolis) (cf. [32], a), p. 196, [76], p. 329), fiind tot o rota¸tie. În schimb, când axele ∆10 , ∆21 sunt paralele, sistemul de vectori-vitez˘ a unghiular˘ a sau se reduce la un vector-vitez˘ a unghiular˘ a rezultant care gliseaz˘ a pe axa central˘ a a sistemului de vectori paraleli sau constituie un cuplu de vectori-vitez˘ a unghiular˘ a, ceea ce implic˘ a, interpretând viteza, o mi¸scare de transla¸tie (cf. [32], c), p. 196197, [76], p. 331). Dac˘ a axele ∆10 , ∆21 sunt necoplanare, rota¸tiile pot fi −→ compuse reducând sistemul {− ω→ 10 , ω21 } în mod convenabil prin introducerea de transla¸tii compensatoare (corespondentul cuplului compensator) (cf. [32], b), p. 196). Evident, aceea¸si discu¸tie are loc ¸si în cazul a mai mult de dou˘ a mi¸sc˘ ari de rota¸tie simultane. În particular, compunerea mai multor mi¸sc˘ ari de transla¸tie corespunde reducerii unui sistem de cupluri de vectori glisan¸ti, deci constituie o mi¸scare având distribu¸tia de viteze caracteristic˘ a transla¸tiei. S ¸ i aici se utilizeaz˘ a regula paralelogramului, a c˘ arei aplicare este simplificat˘ a de faptul c˘ a vectorii adu¸si în discu¸tie sunt liberi (cf. [32], p. 196).

3.2.6

Mi¸scarea plan˘ a (plan-paralel˘ a). Centrul instantaneu de rota¸tie (centrul vitezelor). Centroide. Mi¸scarea epicicloidal˘ a. Centrul geometric al accelera¸tiilor. Cercurile lui Bresse. Centrul (polul) accelera¸tiilor. Teorema celor trei centre instantanee de rota¸tie. Teorema asem˘ an˘ arii (BurmesterMehmke)

S˘ a presupunem acum c˘ a trei dintre punctele materiale din constitu¸tia solidului rigid S, ¸si anume M1 , M2 , M3 , necoliniare, r˘ amân pe tot parcursul mi¸sc˘ arii acestuia într-un plan fix, de exemplu, unul din planele de coordonate

3.2. CINEMATICA

259

ale sistemului de referin¸ta˘ R ([63], p. 190). Plecând de la considerente geometrice discutate anterior, putem spune c˘ a orice alt˘a particul˘a M a solidului rigid va evolua sau în planul (M1 M2 M3 ) sau într-un plan Π paralel cu acesta (mi¸scare plan-paralel˘a) (cf. [14], p. 108). Într-adev˘ ar, cum ¯ 1 1 ¯ d · S∆M1 M2 M3 = d · ¯M1 M 2 × M1 M 3 ¯ 3 6 ¢¯ 1 ¯¯¡ MM 1 , MM 2 , MM 3 ¯ = 6

V[MM1 M2 M3 ] =

(cf. [65], p. 72), unde d = dist (M, (M1 M2 M3 )), justificarea afirma¸tiei de mai sus se reduce la a dovedi c˘ a ¯ ¯ ¯¡ ¢¯ ¯M1 M 2 × M1 M 3 ¯ , ¯ MM 1 , MM 2 , MM 3 ¯ = constant. Conform identit˘ a¸tii lui Lagrange, avem

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¡ ¢ ¯M1 M 2 × M1 M 3 ¯2 = ¯M1 M 2 ¯2 · ¯M1 M 3 ¯2 − M1 M 2 · M1 M 3 2 = constant. De asemeni, ¯ ¡ £ ¡ ¢¯ ¢¤ ¯MM 1 × MM 2 × MM 3 ¯2 = MM 1 × MM 2 × MM 3 2 £¡ ¢ = MM 1 · MM 3 · MM 2 ¡ ¢ ¤2 − MM 1 · MM 2 · MM 3 ¯2 ¡ ¢2 ¯ = MM 1 · MM 3 · ¯MM 2 ¯ ¯2 ¡ ¢2 ¯ + MM 1 · MM 2 · ¯MM 3 ¯ ¡ ¢ ¡ ¢ −2 · MM 1 · MM 3 · MM 1 · MM 2 ¡ ¢ · MM 2 · MM 3 = constant. Aplicând din nou identitatea lui Lagrange, putem scrie c˘ a ¯ ¯2 ¯ ¯2 ¡ ¢¤2 £ MM 1 × MM 2 × MM 3 = ¯MM 1 ¯ · ¯MM 2 × MM 3 ¯ £ ¡ ¢¤2 − MM 1 · MM 2 × MM 3 = constant,

260

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

respectiv ¯ ¯2 ¯ ¯2 ¡ ¢2 MM 1 , MM 2 , MM 3 = ¯MM 1 ¯ · ¯MM 2 × MM 3 ¯ £ ¡ ¢¤2 − MM 1 × MM 2 × MM 3 = constant. Justificarea s-a încheiat. În particular, viteza s¸i accelera¸tia punctului material M r˘amân în planul Π pe tot parcursul mi¸sc˘arii solidului rigid (cf. [63], p. 190). Aceasta pentru c˘ a, în mod evident, traiectoria particulei M este o curb˘ a plan˘ a iar planul s˘ au osculator coincide cu planul Π (cf. [48], p. 27). Luând drept plan fix al mi¸sc˘ arii planul de coordonate Oxy (vezi Figura 3.18), 1 au loc rela¸tiile

Figura 3.18 OM = OP + P M = OP ± d · k

·

·

v P =OP =OM= v M .

Astfel, punctele situate pe o paralel˘a la axa Oz realizeaz˘a traiectorii identice, în plane paralele (cf. [76], p. 309). Putem reduce, a¸sadar, studiul mi¸sc˘ arii punctului material M la acela al proiec¸tiei sale P (mi¸scare plan˘a ) (cf. [63], p. 191, [32], p. 103). În tehnic˘ a, planul Π se mai nume¸ste ¸si plan mobil (cf. [63], p. 190). − → Reperul R0 = (A, C ) solidar legat de corpul rigid S este ales în a¸sa fel încât unul din planele sale de coordonate s˘ a coincid˘ a cu planul fix al mi¸sc˘ arii. Notând cu θ unghiul f˘ acut de vectorii i, i1 , ob¸tinem i1 = cos θ · i + sin θ · j 1

j 1 = − sin θ · i + cos θ · j

Semnul din prima formul˘ a depinde de semispa¸tiul ales.

3.2. CINEMATICA

261

(cf. [15], p. 85) ¸si ·

(cf. [34], p. 177).

·

i1 =θ ·j 1

·

·

j 1 = − θ ·i1 not ·

def

Introducând vectorul ω = ω · k, unde ω = θ, deducem c˘ a (k = k1 ) ·

i1 = ω × i1

·

j 1= ω × j 1

·

k1 = ω × k1 = 0.

Unicitatea reprezent˘arii (2.21) ne permite s˘ a afirm˘ am c˘ a ω este vectorul0 vitez˘ a unghiular˘ a instantanee al mi¸sc˘ arii reperului R fa¸ta˘ de sistemul de referin¸ta˘ R. În particular, axa instantanee ∆ r˘amâne pe tot parcursul mi¸sc˘arii paralel˘a cu Oz iar pozi¸tia solidului rigid S este caracterizat˘ a complet de trei parametri: xA , yA , θ (cf. [34], p. 176, [76], p. 309). Not˘ am cu I(t) punctul de intersec¸tie al axei instantanee ∆ cu planul fix Oxy (cf. [34], p. 199). Particula din constitu¸tia solidului S care are, la momentul t, pozi¸tia I(t) va avea vectorul-vitez˘ a coliniar cu ω. Pe de alt˘ a parte, particula în cauz˘ a se mi¸sc˘ a pe o curb˘ a situat˘ a în planul (M1 M2 M3 ), ceea ce implic˘ a faptul c˘ a vectorul s˘ au vitez˘ a se g˘ ase¸ste în spa¸tiul director al planului (M1 M2 M3 ), ortogonal pe ω. Astfel, viteza particulei este nul˘a la momentul t. Punctul I(t) poart˘ a denumirea de centru instantaneu de rota¸tie (cf. [34], p. 199, [76], p. 309). La rândul s˘ au, punctul de intersec¸tie al axei ∆(t) cu planul Π în care evolueaz˘ a particula M se nume¸ste centrul vitezelor (cf. [32], p. 103). Evident, viteza particulei corespunz˘ atoare este nul˘ a la momentul t. Aplicând formula lui Euler, avem v M = vI + ω × IP = ω × IP = ω × IM. Deci, în interpretare cinematic˘a, mi¸scarea solidului rigid poate fi imaginat˘a fie ca o transla¸tie (momentan˘a) (când ω = 0) fie ca o rota¸tie (momentan˘a) în jurul axei ∆ (Euler) (cf. [76], p. 309, [34], p. 199). Aceasta se nume¸ste ax˘a instantanee de rota¸tie (cf. [14], p. 108). În cazul rostogolirii f˘ ar˘ a alunecare a unui cilindru omogen pe planul orizontal, axa de rota¸tie ∆ este chiar generatoarea de contact cu planul a cilindrului (Descartes, 1638) (cf. [32], exemplul de la p. 100, [76], aplica¸tia 2◦ , p. 312). P˘ astrând analogia cu mi¸scarea geometric˘a, trebuie spus c˘ a trecerea din pozi¸tia A1 B1 a unui segment AB, situat în planul fix al mi¸sc˘ arii, în pozi¸tia a fie printr-o rota¸tie unic˘a în jurul A2 B2 din acela¸si plan poate fi realizat˘ punctului de intersec¸tie al mediatoarelor segmentelor A1 A2 , B1 B2 (numit ¸si centrul rota¸tiilor finite) fie printr-o transla¸tie unic˘a (cazul segmentelor A1 B1 , A2 B2 paralele) (cf. [63], p. 193, [34], p. 201).

262

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

În mi¸scarea sa fa¸ta˘ de sistemul de referin¸ta˘ R, centrul instantaneu de rota¸tie I(t) descrie o curb˘ a plan˘ a numit˘ a centroid˘a fix˘a sau baz˘a (cf. [76], p. 310, [34], p. 202, [14], p. 108). Curba realizat˘ a de I(t) în mi¸scarea sa fa¸ta˘ de reperul mobil R0 poart˘ a denumirea de centroid˘a mobil˘a (rulant˘a, rostogolitoare) (cf. [63], p. 194, [32], p. 104).

Figura 3.19 a, reNotând cu s(t), s1 (t) coordonatele curbilinii ale centrului I(t) pe baz˘ spectiv rulant˘ a, începând de la momentul ini¸tial t0 (vezi Figura 3.19), putem aplica legea fundamental˘ a de compunere a vitezelor v abs (I) = vtransp (I) + vrel (I) = v rel (I) deoarece ”particula” I, ca element al configura¸tiei punctelor materiale din componen¸ta solidului S, are la momentul t viteza de transport nul˘ a (cf. [34], p. 202, [76], p. 311). De unde, ·

·

s (t) · τ =s1 (t) · τ

s(t0 ) = s1 (t0 ) = 0

¸si, prin integrare în raport cu timpul t, ob¸tinem s(t) = s1 (t), t > t0 (cf. [14], p. 109). Am ¸tinut seama de faptul c˘ a axoidele, care sunt în acest caz suprafe¸te cilindrice având drept directoare centroidele (cf. [48], p. 41), admit planul tangent comun TI(t) . Egalitatea coordonatelor curbilinii ale centrului I(t) face posibil˘ a urm˘ atoarea interpretare geometric˘a a mi¸sc˘ arii plane: în fiecare moment t, mi¸scarea figurii plane (pl˘acii rigide) care con¸tine proiec¸tia P poate fi considerat˘a ca o rostogolire f˘ar˘a alunecare a rulantei (presupus˘a solidar legat˘a de plac˘a) peste baz˘a, punctul de contact al celor dou˘a curbe fiind centrul instantaneu de rota¸tie I(t) (cf. [32], p. 104).

3.2. CINEMATICA

263

Impunând ca λ = 0 în (3.13), ob¸tinem 0 = vA + ω × AB, formul˘ a care, proiectat˘ a pe axele triedrelor R, R0 , ne conduce la ecua¸tiile parametrice ale rostogolitoarei ξ=−

vA,y1 ω

η=

vA,x1 ω

ζ =0

(cf. [76], p. 309, [14], p. 108, [63], p. 195), respectiv ecua¸tiile parametrice ale bazei x = xA + ξ · cos θ − η · sin θ

y = yA + ξ · sin θ + η · cos θ

z=0

(cf. [76], p. 310, [63], p. 195). Am folosit rela¸tiile OB = OA + AB = rA + ξ · i1 + η · j 1 = rA + (ξ · cos θ − η · sin θ) · i + (ξ · sin θ + η · cos θ) · j. În interpretare geometric˘ a, mi¸scarea plan˘ a (plan-paralel˘ a) este, a¸sadar, rostogolirea f˘ar˘a alunecare a unei curbe peste o alt˘ a curb˘ a. De aceea, unii autori numesc aceast˘ a mi¸scare epicicloidal˘a (cf. [32], p. 104, [59], p. 36). Cicloida este, s. s., curba descris˘ a de un anumit punct al ro¸tii unui automobil atunci când acesta execut˘ a o mi¸scare rectilinie uniform˘ a, f˘ ar˘ a patinare (alunecare) (cf. [76], aplica¸tia 2◦ , p. 312, [63], aplica¸tia 1), p. 202-203, [59], problema 3.2.10, p. 41, [34], p. 204). La rândul s˘ au, epicicloida constituie curba realizat˘ a de un anumit punct al unui cerc care se rostogole¸ste f˘ ar˘ a alunecare peste un cerc fix (cf. [34], p. 205). Epicicloida reprezint˘ a un element esen¸tial al mecanicilor celeste apar¸tinând lui Ptolemeu ¸si Copernic (cf. [11], p. 17). O alt˘ a curb˘ a spectaculoas˘ a, hipocicloida, ob¸tinut˘ a prin evolu¸tia unui anumit punct al unui cerc care se rostogole¸ste f˘ ar˘ a alunecare într-un cerc fix, este întâlnit˘ a în problema lui Cardan (cf. [76], aplica¸tia 3◦ , p. 312-313, [63], p. 195, [59], problema 3.2.4, p. 38). Un exemplu uzual de hipocicloid˘ a îl ofer˘ a astroida (cf. [11], p. 56). Ne vom referi în continuare la distribu¸tia accelera¸tiilor în mi¸scarea plan˘ a. Urmând calculul f˘ acut în [59], problema 3.2.7, p. 39, 197, putem scrie c˘ a ¡ ¢ v P = ω × IP = ω × OP − OI ,

264

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

de unde ·

aP = vP = ε × IP + ω × (v P − vabs (I)) ¡ ¢ = ε × IP + ω × ω × IP − ω × vabs (I) ¡ ¢ = ε × IP + ω · IP · ω − ω 2 · IP − ω × vabs (I) = ε × IP − ω2 · IP − ω × v abs (I)

a viteza cu deoarece vectorii ω, IP sunt ortogonali. Aici, vabs (I) desemneaz˘ care centrul instantaneu I(t) se deplaseaz˘ a pe baz˘ a iar P reprezint˘ a un punct oarecare al pl˘ acii rigide. Punctul material P care, la momentul t∗ , are pozi¸tia → 3 − centrului instantaneu de rota¸tie, va avea accelera¸tia − a→ P ∈ TP R , aP ∈ aP , unde (I = P ) aP (t∗ ) = −ω × v abs (I (t∗ )) .

Deoarece direc¸tia vitezei centrului I pe baz˘ a este dat˘ a de vectorul director ∗ al tangentei comune a centroidelor la momentul t , vectorul aP (t) devine coliniar cu direc¸tia normalei comune a centroidelor la momentul t∗ (cf. [32], p. 136). Formula aP = ε × IP − ω2 · IP − ω × vabs (I) = aI + ε × IP − ω 2 · IP reprezint˘ a un caz particular al teoremei lui Rivals. Tinând ¸ seama de (2.16), are loc rela¸tia aP (t∗ ) = aP,τ (t∗ ) + aP,ν (t∗ ) = aP,τ (t∗ ), c˘ aci vP (t∗ ) = 0. Astfel, direc¸tia accelera¸tiei mobilului P va coincide, la momentul t = t∗ , cu direc¸tia tangentei la traiectoria acestuia (vezi Figura 3.20). Cum v P (t∗ ) = 0, pozi¸tia respectiv˘ a desemneaz˘ a un punct de rebrusment al traiectoriei particulei P .

Figura 3.20

3.2. CINEMATICA

265

Dou˘ a probleme pot fi puse în mod natural. Prima se refer˘ a la determinarea acelor puncte materiale P din constitu¸tia pl˘ acii rigide care au, la momentul t, viteza ¸si accelera¸tia perpendiculare. G˘ asindu-se, în momentul respectiv, într-un punct de rebrusment al traiectoriei lor (absolute), acestea vor constitui punctele de rebrusment ale pl˘ acii rigide (la momentul t). Cea de-a doua problem˘ a prive¸ste existen¸ta particulelor P care au, la momentul t, viteza ¸si accelera¸tia coliniare. Evident, cum v P (t∗ ) = 0, centrul instantaneu de rota¸tie ne procur˘ a asemenea puncte. Aflându-se, la momentul respectiv, într-un punct de inflexiune (cf. [48], p. 31) al traiectoriei lor (absolute), punctele respective desemneaz˘ a punctele de inflexiune ale pl˘ acii rigide (la momentul t). Introducem punctul G(t) (a nu se confunda cu centrul de mas˘a G al unui sistem mecanic, utilizat în dinamic˘a ), numit centrul geometric al accelera¸tiilor (cf. [59], p. 39), cu ajutorul formulei ω × vabs (I) . ω2 · [(ω · vabs (I)) · ω − ω2 · vabs (I)] = v abs (I), vectorii IG = −

Evident, ω × IG = − ω12 ω, v abs (I) fiind ortogonali. Atunci, conform calculelor din [59], problema 3.2.8, p. 40, 197-198, avem aP = ε × IP − ω2 · IP − ω × v abs (I) = ε × IP − ω2 · IP + ω 2 · IG. Impunând ca punctul P s˘ a fie punct de inflexiune al pl˘ acii rigide, adic˘ a aP kvP , ajungem la aP ⊥IP , c˘ aci vP = ω × IP . Atunci, ¡ ¢ 2 0 = aP · IP = −ω2 · IP + ω2 · IP · IG . 2

Egalitatea IP = IP · IG constituie reciproca teoremei catetei în triunghiul IP G. În concluzie, punctele de inflexiune ale pl˘ acii rigide se g˘ asesc pe cercul de diametru IG. Parcurgând în sens invers demonstra¸tia precedent˘ a, putem afirma c˘ a locul geometric al punctelor de inflexiune ale pl˘acii rigide la momentul t este cercul de diametru IG, numit cercul inflexiunilor pl˘acii rigide (cf. [76], observa¸tia 3◦ , p. 314). a Dac˘ a P este un punct de rebrusment al pl˘ acii, atunci aP kIP , astfel c˘ ¡ ¢ 0 = aP × IP = ε × IP × IP − (ω × vabs (I)) × IP ¡ ¢ = −IP × ε × IP + IP × (ω × v abs (I)) ¡ ¢ ¡ ¢ 2 = −IP · ε + ε · IP · IP + IP · vabs (I) · ω

266

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID ·

·

deoarece vectorii ω, IP sunt ortogonali. În plus, cum ε =ω=ω ·k = ε · k, deducem c˘ a ¸si vectorii ε, IP sunt ortogonali, deci ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯IP ¯ · ε = ε ¯IP ¯2 · k ¢ ¡ ¢ ¡ = IP · v abs (I) · ω = ω IP · v abs (I) · k. Din

³ ´ ¯ ¯2 ¯IP ¯ = IP · ω v abs (I) ε rezult˘ a c˘ a, pe baza reciprocei teoremei catetei, punctul P se g˘ ase¸ste pe cercul de diametru IT , unde ω IT = v abs (I). ε La fel ca anterior, locul geometric al punctelor de rebrusment ale pl˘acii rigide la momentul t este cercul de diametru IT , numit cercul de rebrusment al pl˘acii rigide (cf. [76], p. 314-315). În mod evident, cercul inflexiunilor ¸si cercul de rebrusment (întoarcerilor) sunt ortogonale. Ele sunt cunoscute ¸si sub denumirea de cercurile lui Bresse (cf. [26], p. 186). Cercurile lui Bresse au în comun centrul instantaneu I(t∗ ). Pentru aceasta am speculat faptul c˘ a vectorul nul v P (t∗ ) este simultan ¸si coliniar ¸si ortogonal cu vectorul aP (t∗ ). În mod logic, ne punem întrebarea dac˘ a o situa¸tie dual˘a se întâlne¸ste în cazul accelera¸tiei. Mai precis, exist˘ a puncte P în constitu¸tia pl˘ acii rigide care s˘ a aib˘ a la un anumit moment t accelera¸tia nul˘ a? Pe baza distribu¸tiei accelera¸tiilor în mi¸scarea general˘ a a solidului rigid deducem c˘ a ¡ ¢ 0 = aP = aA (t) + ε × AP + ω × ω × AP = aA (t) + ε × AP − ω 2 · AP .

a vectorial la stânga cu ε, ne Formula ω 2 · AP − ε × AP = aA , înmul¸tit˘ conduce la (ε · AP = 0) ¡ ¢ ω2 · ε × AP + ε2 · AP = ε × aA ,

de unde ¸si

¡ ¢ ω 2 · ω 2 · AP − aA + ε2 · AP = ε × aA AP =

ω 2 · aA + ε × aA ε2 + ω4

(3.15)

3.2. CINEMATICA

267

(cf. [32], p. 104, [14], p. 111, [63], p. 213). Cum vectorii aA ¸si ε × aA , respectiv ε ¸si aA sunt ortogonali, avem AP · aA = = = = = = respectiv

ω 2 · a2A 2 4 ¯ε +¯ω ¢ ¡ ¯AP ¯ · |aA | · cos ] AP , aA q ¡ ¢ 2 AP · |aA | · cos ] AP , aA q ¡ ¢ |aA | · ω 4 · a2A + (ε × aA )2 · cos ] AP , aA 2 4 ε +ω q ¡ ¢ |aA | 2 4 + ε2 ) · cos ] AP , a · |a | (ω A A ε2 + ω4 ¡ ¢ |aA |2 √ · cos AP , aA , ε2 + ω4

2 ¯ ¯ ¯AP × aA ¯ = |(ε × aA ) × aA | = |aA | · |ε| 2 4 2 4 ¯ ε¯ + ω ¡ ε +¢ω = ¯AP ¯ · |aA | · sin AP , aA q ¡ ¢ |aA | 2 4 + ε2 ) · sin AP , a = 2 · |a | (ω A A ε + ω4 ¡ ¢ |aA |2 · sin AP , aA . = √ 2 4 ε +ω

Rela¸tiile

¢ ¡ ω2 cos AP , aA = √ ε2 + ω 4

¢ ¡ |ε| sin AP , aA = √ ε2 + ω 4

arat˘ a c˘ a, la momentul t, unghiul f˘acut de accelera¸tia particulei A oarecare din constitu¸tia pl˘acii rigide cu dreapta AP , unde P reprezint˘a unicul punct al pl˘acii care are la momentul respectiv accelera¸tia nul˘a, este constant. Punctul P introdus de (3.15), notat cu W (t), poart˘ a denumirea de centrul (polul) accelera¸tiilor pl˘ acii rigide (cf. [32], p. 104, [14], p. 110, [63], p. 210). În cazul mi¸sc˘ arii uniforme (ε = 0), observ˘ am c˘ a aI ω × vabs (I) ω 2 · aI + ε × aI = 2 =− 2 4 ε +ω ω ω2 = IG,

IW =

268

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

adic˘ a W = G (cf. [59], p. 36). Se cuvine f˘ acut˘ a urm˘ atoarea observa¸tie privind m˘ arimea aI . De¸si am utilizat, pentru simplitate, nota¸tia aI ca s˘ a desemn˘ am vectorul aP (t∗ ), trebuie în¸teles faptul c˘ a I(t) este o ”particul˘ a” mobil˘ a ¸si c˘ a au loc rela¸tiile

v rel (I (t)) =

µ

∂AI ∂t

·

¶

vtransp (I (t)) = 0

R0

v abs (I (t)) = OI µ 2 ¶ ∂ AI arel (I (t)) = ∂t2 R0

atransp (I (t)) = −ω × v abs (I)

··

aabs (I (t)) = OI aCor (I (t)) = 2 · ω × v rel (I(t)) = −2 · atransp (I (t)) . a”, într-un mod esen¸tial, Astfel, formula aP (t∗ ) = −ω × v abs (I(t∗ )) ”leag˘ mi¸scarea particulei pl˘ acii rigide care coincide cu I(t) de mi¸sc˘ arile (absolut˘ a ¸si relativ˘ a) ale pozi¸tiei sale, adic˘ a I(t). Egalitatea aA = ω 2 · AW − ε × AW = ε × W A − ω2 · W A = aA,ε + aA,ω

(3.16)

exprim˘ a faptul c˘ a distribu¸tia accelera¸tiilor în placa rigid˘a care efectueaz˘a o mi¸scare în propriul s˘au plan este identic˘a cu cea întâlnit˘a în mi¸scarea circular˘a. Cu alte cuvinte, interpretând accelera¸tia, putem imagina mi¸scarea plan˘a ca o rota¸tie (momentan˘a) în jurul axei determinate de centrul accelera¸tiilor W s¸i de vectorul director ω (cf. [76], p. 314, [32], p. 105, [2], p. 177). Revenind la cercurile lui Bresse, este clar c˘ a polul W desemneaz˘ a cel de-al doilea punct comun al acestora (vezi Figurile 3.21, 3.22).

3.2. CINEMATICA

269

Figura 3.21

Not˘ am cu β unghiul f˘ acut de vectorii AW , aA . Atunci, tan β = ω|ε|2 (cf. [2], p. 177). Rela¸tia (3.16) arat˘ a c˘ a accelera¸tiile − a→ acii rigide se A ale punctelor pl˘ g˘asesc la momentul t de aceea¸si parte a ”razelor” W A, cu care fac unghiul β (cf. [76], p. 314). Cu conven¸tia ca β > 0 dac˘ a− a→ A este în dreapta segmentului W A, respectiv β < 0 dac˘ a− a→ este în stânga segmentului W A, ob¸tinem A tan β =

ε ω2

(cf. [14], p. 115, [63], p. 213). Cum, în general, I 6= W , caracterul de interpretare cinematic˘ a a mi¸sc˘ arii plane (rota¸tie momentan˘ a în jurul centrului I, respectiv rota¸tie momentan˘ a în jurul polului W ) al considera¸tiilor anterioare ¸si nu de descriere a acesteia este pus în eviden¸ta˘ într-un mod elocvent.

270

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Figura 3.22 Ne vom referi în continuare la mi¸scarea relativ˘a a dou˘ a pl˘ aci rigide supuse unui contact simplu în planul fix Oxy. P˘ astrând nota¸tiile de la subsec¸tiunea dedicat˘ a teoremei Aronhold-Kennedy, vom considera c˘ a reperele carteziene 0 00 R ,R solidar legate de pl˘ aci au unul din planele de coordonate în planul fix al mi¸sc˘ arii. Frontierele celor dou˘ a pl˘ aci rigide sunt curbele netede orientate Γ1 , Γ2 care admit punctul comun de tangen¸ta˘ X(t). În plus, la momentul t = t∗ , originile A, B ale reperelor R0 ,R00 vor coincide cu X(t∗ ). Este evident c˘ a putem ”gonfla” pl˘ acile rigide, transformându-le în domenii G1 , G2 ale SF care au drept frontiere dou˘ a suprafe¸te cilindrice tangente, de directoare Γ1 , Γ2 , cu generatoarele date de dreptele de direc¸tie k. Planul tangent comun celor dou˘ a suprafe¸te, ¸si anume TX(t) , va fi planul perpendicular pe planul mi¸sc˘ arii care îl intersecteaz˘ a pe acesta dup˘ a tangenta comun˘ a a curbelor Γ1 , Γ2 . Cum ω10 = ω10 · k, ω20 = ω20 · k, ω 21 = (ω20 − ω10 ) · k, adic˘ a ω 10 × ω 20 = 0, teorema Aronhold-Kennedy nu poate fi aplicat˘ a aici. Mi¸scarea pl˘ acilor rigide în contact are ca ”ingrediente” alunecarea, respectiv rostogolirea. Mi¸scarea de pivotare, fire¸ste, nu este definit˘ a în plan. Not˘ am cu I10 , I21 , I20 cele

3.2. CINEMATICA

271

trei centre de rota¸tie corespunz˘ atoare mi¸sc˘ arilor absolute ¸si relative. La fel ca în cazul general, centrele instantanee ale mi¸sc˘arilor epicicloidale relative realizate de pl˘acile rigide aflate în contact simplu coincid. Dac˘ a aplic˘ am legea fundamental˘ a de compunere a vitezelor, considerându-ne solidar lega¸ti de prima dintre pl˘ aci, putem scrie c˘ a vabs (X) = vtransp (X) + vrel (X) ¸si v transp (X(t∗ )) = vrel,B (X). ”Particula” de contact X(t) deplasându-se atât pe Γ1 cât ¸si pe Γ2 , vitezele sale absolut˘ a ¸si relativ˘ a vor avea ca direc¸tie chiar direc¸tia tangentei comune a acestor curbe în pozi¸tia curent˘ a de contact. Atunci, vrel,B (X) va fi coliniar cu direc¸tia respectiv˘ a. Îns˘ a v rel,B (X) = ω 21 × I21 B ¸si, cum I21 B⊥vrel,B (X), deducem c˘ a centrul instantaneu I21 se g˘ase¸ste pe normala (principal˘a) comun˘a în punctul curent de contact a frontierelor celor dou˘a pl˘aci rigide (cf. [34], p. 203). În particular, în cazul mi¸sc˘ arii rectilinii a unui automobil, centrul instantaneu de rota¸tie al uneia dintre ro¸tile acestuia se va g˘ asi, indiferent dac˘ a avem roat˘ a motoare sau roat˘ a tras˘a (pasiv˘ a), pe perpendiculara pe sol în punctul curent de contact cu drumul al ro¸tii (vezi Figura 3.23) (cf. [76], aplica¸tia 2◦ , p. 312, [63], aplica¸tia 1), p. 202-203).

Figura 3.23 Punctele materiale A, B evoluând în planul fix al mi¸sc˘ arii, punctele (geometrice) Cij introduse la demonstra¸tia teoremei Aronhold-Kennedy se vor g˘ asi, la rândul lor, în acest plan. Mai precis, Cij = Iij (t),

0 6 i, j 6 2.

272

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

În plus, cum vectorii ω 10 ¸si vA , ω 20 ¸si vB , ω21 ¸si v rel,B sunt ortogonali, deducem c˘ a vA = −ω10 × AC 10

vB = −ω 20 × BC 20

v rel,B = −ω21 × BC 21 .

De asemeni, conform (2.28), putem scrie c˘ a vB (t∗ ) = vrel,B + vtransp,B = vrel,B + vA + ω10 × AB = vrel,B + vA (t∗ ) , pozi¸tiile particulelor B ¸si A coincizând cu X(t∗ ) la momentul t = t∗ . În sfâr¸sit, avem vrel,B (t∗ ) = −ω21 × BC 21 = ω10 × AC 10 − ω 20 × BC 20 .

(3.17)

Cum A(t∗ ) = B(t∗ ), ¸tinând seama de (2.31), sunt valabile egalit˘ a¸tile −ω 21 × BC 21 = ω 10 × BC 21 − ω 20 × BC 21 (3.17)

= ω 10 × AC 10 − ω 20 × BC 20 ,

respectiv ¡ ¢ ω 20 × C21 C 20 = ω 20 × C21 B + BC 20

= ω 20 × BC 20 − ω 20 × BC 21 = ω 10 × AC 10 − ω 10 × BC 21 ¡ ¢ = ω 10 × AC 10 − AC 21 = ω 10 × C21 C 10 .

Evident, ¡ ¢ ¡ ¢ ω 10 , C21 C 10 , C21 C 10 = ω10 × C21 C 10 · C21 C 10 ¡ ¡ ¢ ¢ = ω 20 × C21 C 20 · C21 C 10 = ω 20 , C21 C 20 , C21 C 10 ¡ ¢ = C21 C 20 , C21 C 10 , ω 20 ¡ ¢ = C21 C 20 × C21 C 10 · ω 20 .

0 =

Presupunând c˘ a C21 C 20 × C21 C 10 6= 0, vectorii ω20 ¸si C21 C 20 × C21 C 10 vor fi coliniari. Fiind nenuli, produsul lor scalar nu poate fi egal cu zero. În concluzie, C21 C 20 × C21 C 10 = 0,

3.2. CINEMATICA

273

adic˘ a centrele instantanee de rota¸tie ale mi¸sc˘arilor epicicloidale absolute s¸i relative realizate de pl˘acile rigide supuse unui contact simplu sunt coliniare (cf. [15], p. 104-105). Rezultatul anterior este cunoscut sub denumirea de teorema celor trei centre instantanee de rota¸tie (cf. [76], p. 345). Recomand˘ am cititorului elegantele expuneri f˘ acute acestor chestiuni în [26], problema 3.4.3, p. 253-255, [63], p. 201-202. Teorema celor trei centre instantanee de rota¸tie se utilizeaz˘ a în cinematica mecanismelor. Egalitatea ω 20 × C21 C 20 = ω 10 × C21 C 10 ne conduce, prin înmul¸tire vectorial˘ a cu k la stânga în ambii membri, la C20 C 21 =

ω10 · C10 C 21 ω20

(cf. [63], p. 202). Câteva propriet˘ a¸ti cu vizibil˘ a relevan¸ta˘ geometric˘a ale câmpurilor de viteze ¸si accelera¸tii în mi¸scarea corpului material solid rigid se cuvin prezentate. 1) Dac˘a M1 , M2 , M3 sunt particule coliniare din constitu¸tia solidului rigid S iar A1 , A2 , A3 , respectiv B1 , B2 , B3 sunt extremit˘at¸ile vitezelor, respectiv accelera¸tiilor acestora, atunci punctele A1 , A2 , A3 , respectiv B1 , B2 , B3 sunt coliniare (cf. [15], p. 74). 2) Vitezele punctelor A, B din constitu¸tia solidului rigid S aflate pe o dreapt˘ a paralel˘ a cu axa instantanee a mi¸sc˘ arii sunt egale (cf. [15], p. 75). 3) În acelea¸si condi¸tii ca la 2), proiec¸tiile accelera¸tiilor punctelor A, B pe direc¸tia dreptei AB sunt egale (cf. [15], p. 80). 4) Dac˘a M1 , M2 , M3 sunt trei puncte necoliniare din constitu¸tia unei pl˘aci rigide care se mi¸sc˘a într-un plan fix iar A1 , A2 , A3 , respectiv B1 , B2 , B3 sunt extremit˘at¸ile vitezelor, respectiv accelera¸tiilor acestora, atunci triunghiurile M1 M2 M3 , A1 A2 A3 s¸i B1 B2 B3 sunt asemenea. Propriet˘ a¸tile 4), împreun˘ a cu cazul lor degenerat 1), poart˘ a numele de teorema asem˘ an˘ arii (Burmester-Mehmke) (cf. [63], p. 207, 216, [76], p. 351, [15], p. 75, [14], p. 114, 116, [2], p. 175-176, 179-180, etc.). Justificarea lor se bazeaz˘ a pe formulele OAi = = OB i = =

OM i + vMi OM i + vA + ω × AM i OM i + aMi ¡ ¢ OM i + aA + ε × AM i + ω × ω × AM i ,

274

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

unde 1 6 i 6 3, care ne conduc la Ai Aj = OAj − OAi = Mi M j + ω × Mi M j ¡ ¢ Bi B j = Mi M j + ε × Mi M j + ω × ω × Mi M j ¡ ¢ = 1 − ω2 · Mi M j + ε × Mi M j , i 6= j.

Vectorii Mi M j ¸si ω × Mi M j , Mi M j ¸si ε × Mi M j fiind ortogonali, avem q¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Mi M j ¯2 + ¯ω × Mi M j ¯2 ¯Ai Aj ¯ = √ ¯ ¯ = 1 + ω 2 · ¯Mi M j ¯ q ¯ ¯ ¯ ¯2 ¯ ¯2 ¯Bi B j ¯ = (1 − ω2 )2 · ¯Mi M j ¯ + ¯ε × Mi M j ¯ q ¯ ¯ = (1 − ω2 )2 + ε2 · ¯Mi M j ¯ ,

ceea ce dovede¸ste asem˘ anarea triunghiurilor M1 M2 M3 , A1 A2 A3 ¸si B1 B2 B3 . În schimb, dac˘ a M1 M 3 = λ · M1 M 2 , atunci A1 A3 = λ · A1 A2 ¸si B1 B 3 = λ · B1 B 2 . Justificarea s-a încheiat. Proprietatea 1) a fost utilizat˘ a în Figura 3.23. Generalizarea teoremei Burmester-Mehmke pentru m˘ arimi cinematice de ordin n > 3 a fost realizat˘ a cu ajutorul teoriei numerelor complexe de c˘ atre profesorul G. Theiller în 1930 (cf. [34], p. 200). → → → 5) Cunoscând vitezele − v1 , − v2 , − v3 , de direc¸tii necoplanare, a trei puncte ale solidului rigid S se poate determina axa instantanee a mi¸sc˘ arii pseudoelicoidale (vezi Figura 3.24) (cf. [59], problema 3.1.5, p. 34). Urm˘ am calculele din [59], p. 34, 193-194. Astfel, dac˘ a not˘ am cu A1 , A2 , − → A3 extremit˘ a¸tile vitezelor vi transportate prin echipolen¸ta˘ într-un punct Q a de vectorul ales convenabil, direc¸tia normal˘ a la planul (A1 A2 A3 ) va fi dat˘ N = (v1 − v3 ) × (v 2 − v 1 ) = v1 × v2 − v3 × v2 + v3 × v1 = v1 × v2 + v2 × v3 + v3 × v1 . Deoarece vi = v Mi = vM0 + ω × M0 M i , unde M0 este un punct de pe axa not instantanee, putem scrie c˘ a (M0 M i = ri ) v i × vj = v M0 × [ω × (rj − ri )] + [(ω × ri ) · rj ] · ω

3.2. CINEMATICA

275

= vM0 × [ω × (rj − ri )] + (ω, ri , rj ) · ω = vM0 × [ω × (rj − ri )] + (ri , rj , ω) · ω = vM0 × [ω × (rj − ri )] + [(ri × rj ) · ω] · ω,

1 6 i, j 6 3,

de unde N = [ω · (r1 × r2 + r2 × r3 + r3 × r1 )] · ω = λ · ω 6= 0.

Figura 3.24 → → → v2 , − v3 pe planul Π paralel cu (A1 A2 A3 ), avem Proiectând vitezele − v1 , − ¡ ¢ vi = v M0 + ω × M0 M i = v M0 + ω × M0 N i + Ni M i = v M0 + ω × M0 N i .

→ vi pe planul Vectorii vM0 ¸si ω fiind coliniari, vectorii-proiec¸tie ai vitezelor − Π vor avea direc¸tiile ω × M0 N i . Cum vectorii-vitez˘ a vi sunt necoplanari, a, de exemplu, (v1 − v M0 ) × vectorii vi − vM0 nu sunt to¸ti coliniari. Dac˘ (v 2 − vM0 ) 6= 0, atunci perpendicularele din N1 , N2 pe dreptele-suport ale vectorilor-proiec¸tie, duse în planul Π, se vor intersecta într-un punct M de pe axa instantanee ∆ (cf. [59], p. 194).

276

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

3.3

Statica ¸si dinamica

3.3.1

Dinamica sistemului mecanic. Teorema impulsului. Teoremele centrului de mas˘ a. Teoremele lui V. Vâlcovici ¸si S. Koenig. Teorema momentului cinetic. Teorema energiei cinetice. Reprezentarea momentului cinetic ¸si a energiei cinetice cu ajutorul tensorului de iner¸tie. Formula momentului cinetic fa¸ta a. Sisteme conservative ˘ de o ax˘

S˘ a consider˘ am sistemul mecanic S ale c˘ arui particule au, în raport cu − → sistemul de referin¸ta˘ iner¸tial R = (O, B ), razele vectoare not

OM k = rk ,

1 6 k 6 n.

Introducând un reper cartezian (mobil) cu axele de coordonate de direc¸tii − → fixe (cf. [32], p. 81), ¸si anume R0 = (A, B ), au loc rela¸tiile (ω = 0) rk = rA + r0k ∂r0

v k = v A + v 0k , ·

unde r0k = AM k , v0k = ( ∂tk )R0 =r0k . Dac˘ a punctul G din SF reprezint˘ a centrul de mas˘a al sistemului mecanic S, adic˘ a n 1 X rG = mk · rk · m k=1

n 1 X vG = mk · v k , · m k=1

not

m=

n X

mk

k=1

(cf. [32], p. 79-80), atunci putem scrie c˘ a n X k=1

respectiv

mk · r0k =

n X k=1

n X k=1

mk · rk − m · rA = m · (rG − rA ) ,

mk · v0k = m · (v G − vA )

(cf. [34], p. 289). Presupunem c˘ a ac¸tiunea mediului înconjur˘ ator asupra particulei Mk din − → − → constitu¸tia sistemului S este dat˘ a de for¸ta Fk ∈ TMk R3 , Fk ∈ F k , numit˘ a

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

277

extern˘a sau exterioar˘a (cf. [32], p. 77, [34], p. 247). Interac¸tiunea particulei Mk cu celelalte puncte materiale ale sistemului mecanic se realizeaz˘ a prin → −→ 3 − intermediul for¸tei Fkl ∈ TMk R , Fkl ∈ F kl , unde F kl + F lk = 0

F kk = 0.

(3.18)

−→ For¸ta Fkl se nume¸ste intern˘a sau interioar˘a (cf. [32], p. 75). − → − → For¸ta Fk ∈ TMk R3 , Fk ∈ F k , unde Fk =

n X l=1

F kl ,

desemneaz˘ a ac¸tiunea sistemului mecanic S asupra celei de-a k−a particule din componen¸ta sa. Un calcul simplu, RO = =

n X ¡ ¢ Fk + F k = k=1 n X

n X ¡ ¢ X F kl + F lk + Fi i=1

16k6l6n

Fi = F

i=1

¸si MO =

n X k=1

+

¡ ¢ rk × F k + F k =

n X i=1

=

X ¡ ¢ rk × F kl + rl × F lk

16k6l6n

ri × F i

n X £ ¢¤ X ¡ rk × F kl + rl × −F kl + ri × F i i=1

16k6l6n

= =

X

16k6l6n n X i=1

(rk − rl ) × F kl +

n X i=1

ri × F i

ri × F i

deoarece vectorii rk − rl = Ml M k ¸si F kl sunt coliniari (principiul ac¸tiunii ¸si reac¸tiunii), arat˘ a c˘ a for¸tele interne ale sistemului mecanic nu se reflect˘a asupra m˘arimilor RO (S), MO (S) (cf. [34], p. 250, 253).

278

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Dac˘ a, în plus, sistemul mecanic S este rigid, atunci rela¸tia ¶ µ ¶ µ ¯2 1 1 ¯¯ 2 Ml M k ¯ = d Ml M k 0 = d 2 2 = Ml M k · d Ml M k ne conduce la F kl · d rk + F lk · d rl = = = = = (cf. [34], p. 264). Aici, Fkl = Astfel,

F kl ·Mk M l 2

|Mk M l |

F kl · [d rk + d (−rl )] F kl · d Ml M k Fkl · Mk M l · d Ml M k −Fkl · Ml M k · d Ml M k 0 .

n X ¡ ¢ δW = F k + F k · drk = k=1

+

n X i=1

=

n X i=1

X ¡ ¢ F kl · drk + F lk · drl

16k6l6n

F i · dri

F i · dri = δWext .

Absen¸ta for¸telor interioare ale sistemului mecanic din formulele precedente este în concordan¸ta˘ cu faptul c˘ a modelul matematic al corpurilor materiale dat de solidul rigid face abstrac¸tie de structura intern˘a a acestora. În general, for¸tele interioare produc un lucru mecanic de deformare (cf. [32], p. 77). De exemplu, o copert˘ a din plastic, odat˘ a îndoit˘ a, nu î¸si recap˘ at˘ a forma ini¸tial˘ a dup˘ a încetarea ac¸tiunii exterioare, etc. Vom stabili în cele ce urmeaz˘ a leg˘aturi între m˘ arimile care caracterizeaz˘ a mi¸scarea mecanic˘a a solidului S (impuls, moment cinetic, energie cinetic˘ a, lucru mecanic elementar) în reperele R, R0 . Astfel, p =

n X k=1 0

mk · vk =

= p + m · vA,

n X k=1

mk · v 0k + m · vA

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

279

de unde, conform (2.80), prin derivare în raport cu timpul t, avem ·

p =

n X k=1 · 0

n X ¡ ¢ pk = Fk + F k = F ·

k=1

= p +m · aA = Egalitatea

µ

∂p0 ∂t

¶

R0

µ

∂p0 ∂t

¶

R0

+ m · aA .

= F + m · (−aA )

constituie teorema impulsului în reperul cartezian R0 . A¸sadar, derivata relativ˘a (local˘a) în raport cu timpul t a impulsului total p0 al sistemului mecanic S este egal˘a cu rezultanta for¸telor externe F plus o for¸t˘a iner¸tial˘a (efect al mi¸sc˘arii reperului R0 în raport cu un sistem de referin¸t˘a iner¸tial). Prin extrapolare, ne vom referi la m˘ arimi vectoriale date ca vectori liberi (p, F ) cu apelativul impuls, for¸t˘a rezultant˘a, etc. Destina¸tia final˘ a a calculelor de fa¸ta˘ îng˘ aduie o asemenea lips˘ a de rigurozitate în terminologie. Formula ! Ã n X d d p0 = mk · r0k = m · (rG − rA ) (3.19) dt k=1 dt ·

= m· AG= m · v0G implic˘ a m·

a0G

=m·

µ

∂v0G ∂t

¶

R0

= F + m · (−aA ) .

(3.20)

Rela¸tiile (3.19), (3.20) constituie teoremele centrului de mas˘ a. Ele confer˘ a, în particular, o justificare modelului punctiform al corpurilor materiale (cf. [34], p. 252, [76], p. 526). Sistemul mecanic S se comport˘ a, în concluzie, ca ¸si cum ar fi concentrat în centrul s˘ au de mas˘ a G (cf. [76], p. 525, [34], p. 298). Astfel, impulsul total al sistemului mecanic S legat în G ne d˘a impulsul particulei G a c˘arei mas˘a este egal˘a cu masa întregului sistem ¸si − → − → − → m · a0G = F + Fi ∈ TG R3 , − → − → unde F ∈ F , Fi ∈ m · (−aA ). Terminologia adoptat˘ a pentru m˘ arimile p0 , F poate fi motivat˘ a ¸si prin teoremele centrului de mas˘ a.

280

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Impunând ca A = O în (3.19), respectiv A = G în (3.20), ob¸tinem m·− v→ ∈ p m·− a→ ∈ F (3.21) G

G

(cf. [32], teoremele 1, 2, p. 80). În lipsa for¸telor exterioare (F k = 0), m·v G = constant, deci impulsul total al sistemului mecanic se conserv˘a. Fenomene ca reculul armelor de foc (izbitura în um˘ ar produs˘ a de patul pu¸stii în momentul tragerii) ori mi¸scarea sistemului nostru solar (observa¸tia astronomic˘ a indic˘ a faptul c˘ a centrul de mas˘ a al sistemului solar se mi¸sc˘ a rectiliniu uniform cu aproximativ 20 km/s c˘ atre un punct aflat în vecin˘ atatea stelei Vega, numit Apex) pot fi explicate în acest mod (cf. [34], p. 252, [76], p. 525, [63], p. 376-377, [73], p. 390, [2], aplica¸tia 1, p. 285-286). Momentul cinetic total, notat LO (S), al sistemului mecanic S verific˘ a egalit˘ a¸tile n n X X LO (S) = rk × pk = mk · (rA + r0k ) × (v A + v 0k ) k=1

k=1

= m · rA × v A + rA × +

n X k=1

à n X k=1

mk · v0k

!

+

à n X k=1

mk · r0k

!

× vA

mk · r0k × v 0k

= m · rA × vA + rA × m · (vG − vA ) + m · (rG − rA ) × vA 0

+LA (S)

0

= m · [rA + (rG − rA )] × v A + m · rA × (vG − vA ) + LA (S) 0

= m · rG × vA + m · rA × (vG − v A ) + LA (S).

Rela¸tia 0

LO (S) = m · rG × vA + m · rA × (v G − v A ) + LA (S)

(3.22)

constituie prima teorem˘ a a lui V. Vâlcovici (1915) (cf. [34], p. 289). De asemeni, n n X X 0 LA (S) = rk × pk = (rk − rA ) × pk k=1

k=1

= LO (S) − rA × p = LO (S) − rA × m · vG = LO (S) − m · rA × vG

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

281

¸si, din (3.22), deducem c˘ a 0

LA (S) = m · rG × vA − m · rA × v A + LA (S) = m · AG × v A +

(3.23)

0 LA (S)

(cf. [34], p. 289). Pentru A = G, (3.22) devine 0

LO (S) = m · rG × vG + LG (S),

(3.24)

adic˘ a momentul cinetic total (absolut) fa¸t˘a de punctul O al sistemului mecanic S este egal cu momentul cinetic al acestuia în mi¸scarea (relativ˘a) în jurul centrului de mas˘a G plus un vector liber care, odat˘a legat în O, ne d˘a momentul cinetic al particulei G a c˘arei mas˘a este egal˘a cu masa întregului sistem (cf. [76], p. 536, [63], p. 391). Acest rezultat constituie prima teorem˘ a a lui S. Koenig (cf. [34], p. 260, [14], p. 177, [2], p. 265). Conform (3.23), rezult˘ a c˘ a (A = G) 0

LG (S) = LG (S) 0

(cf. [76], p. 529-530, [34], p. 288). M˘ arimea LG (S) din (3.24) se mai nume¸ste ¸si moment cinetic propriu sau intern (de ”spin”) al sistemului mecanic S (cf. [32], p. 83). Energia cinetic˘a total˘a, notat˘ a Ec (S), a sistemului mecanic S are forma Ec (S) =

n X 1 k=1

2

mk · v 2k =

1 m · v2A + vA · = 2

n X 1

2

k=1 Ã n X k=1

2

mk · (vA + v 0k )

mk · v0k

!

+

n X 1 k=1

2

mk · v02 k

1 = m · v2A + vA · [m · (vG − vA )] + Ec0 (S) 2 1 = m · v2A + m · v A · (v G − vA ) + Ec0 (S). 2 Rela¸tia 1 Ec (S) = m · v 2A + m · v A · (vG − vA ) + Ec0 (S) 2

(3.25)

282

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

reprezint˘ a a doua teorem˘ a a lui V. Vâlcovici (1929) (cf. [34], p. 290). Pentru A = G, din (3.25) se ob¸tine 1 2 Ec (S) = m · vG + Ec0 (S), 2

(3.26)

adic˘ a energia cinetic˘a total˘a a sistemului mecanic S în sistemul de referin¸t˘a R este egal˘a cu energia cinetic˘a a centrului de mas˘a G înzestrat cu masa întregului sistem plus energia cinetic˘a relativ˘a (proprie sau intern˘a) a sistemului în mi¸scarea sa în jurul lui G (cf. [76], p. 544, [34], p. 268). Formula (3.26) desemneaz˘ a a doua teorem˘ a a lui S. Koenig (1751) (cf. [32], p. 84, [2], p. 270). Pe baza (2.84) putem scrie c˘ a n n X X £ 0 ¡ ¢ ¤ dLA d 0 = (rk × pk ) = rk × F k + F k − vA × pk dt dt k=1 ! k=1 Ã n n X X 0 = rk × F k + r0k × F k − v A × p k=1

k=1 ³n− o´ → = MA Fk : k = 1, n − v A × p

(cf. [34], p. 254). Atunci, conform (3.23), avem o´ ³n− → MA Fk : k = 1, n − vA × p = = = =

0

dLA dt 0 dLA dt 0 dLA dt 0 dLA dt

·

·

+ m· AG ×v A + m · AG× vA ·

+ m · (vG − vA ) × vA + m · AG× vA ·

+ m · vG × v A + m · AG× vA ·

+ m · AG× v A −v A × (m · vG ) 0

· dLA + m · AG× v A −v A × p = dt

(3.21)

¸si

0 ³n− o´ · dLA → + m · AG× v A = MA Fk : k = 1, n dt

(3.27)

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

283

(cf. [34], p. 299). Pentru A = G, din (3.27) deducem c˘ a teorema momentului 0 dLG cinetic, dt = MG , se aplic˘a în mi¸scarea relativ˘a a sistemului mecanic S în jurul lui G la fel ca în mi¸scarea absolut˘a a acestuia fa¸t˘a de un reper iner¸tial (ca s¸i cum G ar fi fix în R) (cf. [76], p. 537, [63], p. 392). Rela¸tia (3.27) constituie teorema momentului cinetic în reperul cartezian R0 (cf. [34], p. 299). În absen¸ta for¸telor exterioare (F k = 0), are loc conservarea momentului 0 a, în cinetic LG . Astfel pot fi explicate o serie de fenomene precum faptul c˘ urma s˘ ariturii de la trambulin˘ a, schiorul ajunge pe pârtie în pozi¸tia dorit˘ a ori mi¸sc˘ arile pe care le facem cu mâinile atunci când suntem în pericol de a c˘ adea, etc. (cf. [34], p. 261-262). La fel ca în dinamica punctului material, teorema momentului cinetic conduce la teorema ariilor (L. Euler, D. Bernoulli (1746), D’Arcy (1747), cf. [34], p. 257), în care sunt implicate vitezele areolare ale proiec¸tiilor pe un plan fix apar¸tinând tuturor particulelor sistemului mecanic. Vom considera, în continuare, c˘ a sistemul mecanic S este rigid iar punctul A face parte din constitu¸tia sa. Introducem un nou reper cartezian, R00 = − → (A, C ), solidar legat de corpul S ¸si not˘ am cu ω vectorul s˘ au vitez˘ a unghiular˘ a (momentan˘ a). Centrul de mas˘a G al solidului rigid S este solidar legat de acesta (cf. [34], p. 291). Într-adev˘ ar, pe baza formulei lui Euler a distribu¸tiei de viteze, putem scrie c˘ a vG

n n ¡ ¢ 1 X 1 X = mk · v k = mk · vQ + ω × QM k · · m k=1 m k=1 ! Ã n X mk = vQ + ω × · QM k m k=1

= vQ + ω × QG,

unde Q reprezint˘ a o particul˘ a oarecare a solidului rigid. Am ¸tinut seama de faptul c˘ a G constituie baricentrul mul¸timii {Mk : k = 1, n} din SF cu ponderile αk = mk · m−1 , adic˘ a XG =

n X k=1

αk · XM k ,

(∀) X ∈ E3 .

Îns˘ a vQ + ω × QG este chiar viteza de transport a ”particulei” G în raport

284

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

cu solidul S, deci, cu alte cuvinte, centrul G este în repaus fa¸ta˘ de corpul material solid rigid. Teorema impulsului (3.21) cap˘ at˘ a forma · ¤ d £ F = m · aG = m· vG = m · vA + ω × AG dt µ · ¶ · · = m · vA + ω ×AG + ω× AG h· · ¡ ¢i = m · v A + ω ×AG + ω × ω × AG

(cf. [34], p. 299, [76], p. 564). În ceea ce prive¸ste lucrul mecanic elementar, avem n X ¡ ¢ F k + F k · (drA + dr0k ) δW =

=

k=1 Ã n X

+

k=1 n X k=1

Fk

!

· drA +

à n X k=1

F k · dr0k

!

+

à n X k=1

Fk

!

· drA

F k · dr0k

0 0 = F · drA + δWext = F · vA dt + δWext

(cf. [34], p. 302). Îns˘ a, cum dr0k = v0k dt = (vk − v A )dt = (ω × r0k )dt, ob¸tinem 0 = δWext

n X k=1

F k · dr0k =

n X k=1

F k · (ω × r0k ) dt

n n X X ¡ ¢ ¡ 0 ¢ 0 = ω, rk , F k dt = rk , F k , ω dt k=1

k=1

n ³n− o´ X ¡ 0 ¢ → rk × F k · ωdt = MA Fk : k = 1, n · ωdt = k=1

= MA (S) · ωdt

¸si δW = F · v A dt + MA (S) · ωdt = RA (S) · vA dt + MA (S) · ωdt (cf. [34], p. 301, [32], p. 111, [76], p. 563, [63], p. 362-363). Am ¸tinut seama în formula anterioar˘ a de faptul c˘ a atât rezultanta for¸telor interioare cât ¸si momentul

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

285

rezultant al sistemului alc˘ atuit de aceste for¸te fa¸ta˘ de un pol, fix sau mobil, sunt nule. Practic, spunând c˘ a solidul rigid nu are structur˘a intern˘a vom subîn¸telege c˘ a m˘ arimile RA (S), MA (S) se refer˘ a numai la for¸tele care provin din mediul înconjur˘ator. Teorema energiei cinetice, aplicat˘ a punctelor materiale din constitu¸tia solidului rigid S, ne conduce la ¶ X µ n n X ¡ ¢ 1 2 mk · vk = dEc (S) = d F k + F k · drk = δWext 2 k=1 k=1 0 = F · v A dt + δWext µ ¶ 1 (3.25) 2 0 = d m · vA · v G − m · v A + Ec (S) 2 ·

·

·

= m· v A ·v G dt + m · vA · v G dt − m · v A · v A dt + dEc0 (S) ·

respectiv

= (m · aG ) · vA dt + m· vA · (vG − v A ) dt + dEc0 (S) · ¡ ¢ (3.21) = F · v A dt + m· v A · ω × AG dt + dEc0 (S), · ¡ ¢ 0 − m· v A · ω × AG dt, dEc0 (S) = δWext

(3.28)

formul˘ a care reprezint˘ a teorema energiei cinetice în reperul cartezian R0 (cf. [34], p. 302). Pentru A = G, din (3.28) rezult˘ a c˘ a teorema energiei 0 0 cinetice, dEc (S) = δWext , se aplic˘a în mi¸scarea relativ˘a a solidului rigid S în jurul centrului de mas˘a G la fel ca în mi¸scarea absolut˘a a acestuia (fa¸t˘a de R) (cf. [63], p. 396). 0 Revenind la momentul cinetic LA (S), au loc egalit˘ a¸tile 0 LA (S)

=

n X

r0k

k=1

= =

n X

×

p0k

=

n X k=1

r0k × [mk · (v k − vA )]

mk · r0k × (ω × r0k )

k=1 Ã n X k=1

mk ·

r02 k

!

·ω−

n X k=1 0

mk · (ω · r0k ) · r0k .

Dac˘ a ω = p1 · i1 + p2 · j 1 + p3 · k1 , atunci LA (S) = L01 · i1 + L02 · j 1 + L03 · k1 ,

286

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

unde L0i

=

3 X j=1

1 6 i 6 3,

Iij · pj ,

(3.29)

− → iar (Iij )i,j este matricea de reprezentare a tensorului de iner¸tie IA (S) în R00 (cf. [34], p. 292). Egalit˘ a¸tile (3.29) sunt scrise matriceal   0   L1 p1  L02  = [IA (S)] ·  p2  L03 p3

(cf. [34], p. 294, [76], p. 587, [32], p. 114, [41], p. 150). Cu ajutorul identit˘at¸ii lui Lagrange se realizeaz˘ a o reprezentare remarcabil˘ a a energiei cinetice relative, ¸si anume Ec0 (S)

=

n X 1 k=1

2

mk · (ω ×

1 = ·ω· 2 =

"Ã n X k=1

2 r0k )

=

mk · r02 k

n X 1

!k=1

2

i h 2 02 0 2 mk · ω · rk − (ω · rk )

·ω−

X

n X k=1

mk · (ω · r0k ) · r0k

#

1 1 0 Iij · pi · pj · LA (S) · ω = · 2 2 16i,j63

(cf. [34], p. 293, [32], p. 112, [76], p. 588, [63], p. 447, [14], p. 177). Dac˘ a − → not˘ am cu ∆(A, ω ) dreapta care trece prin punctul A ¸si are versorul director u = ωω , atunci, cum 2 2 2 I∆(A,−→ ω ) (S) = I11 · α + I22 · β + I33 · γ + 2I12 · αβ + 2I13 · αγ + 2I23 · βγ,

unde α =

p1 , ω

β=

p2 , ω

γ=

p3 , ω

deducem c˘ a

Ec0 (S) =

1 2 · I∆(A,−→ ω ) (S) · ω 2

(cf. [32], p. 109, [14], p. 180). 0 0 Formula Ec0 (S) = 12 · LA (S) · ω = 12 ω · (LA (S) · u) = 12 ω · L0∆(A,−→ ω ) (S) ne conduce la expresia momentului cinetic relativ al solidului S fa¸t˘a de axa → ∆(A, − ω) − → L0∆(A,−→ ω ) (S) = I∆(A, ω ) (S) · ω

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

287

(cf. [32], p. 116). Dac˘ a renun¸ta˘m la ipoteza de rigiditate impus˘ a sistemului mecanic S ¸si o înlocuim cu cea de conservativitate dat˘ a de ¯¢ ¡¯ F kl = Fkl · Mk M l = Fkl ¯Mk M l ¯ · Mk M l (cf. [34], p. 264-265, [32], p. 79), se deduce imediat c˘ a

F kl · drk + F lk · drl = F kl · d Ml M k ¶ ¶ µ µ ¯2 1 1 ¯¯ 2 ¯ = −Fkl · d · Mk M l = −Fkl · d · Mk M l 2 2 ¯ ¯ ¡¯ ¯¢ = −Fkl · ¯Mk M l ¯ · d ¯Mk M l ¯ µZ ¯¢ ¯ ¯ ¡¯ ¯¢ ¡¯ ≡ d Fkl ¯Mk M l ¯ · ¯Mk M l ¯ · d ¯Mk M l ¯

+const.) = dUkl . P Ukl va reprezenta energia poten¸tial˘a a M˘ arimea V = −U = − 16k6l6n

sistemului conservativ S. Teorema energiei cinetice (aplicat˘ a particulelor sistemului) implic˘ a dEc = δW = dU + δWext , respectiv d (Ec + V ) = δWext .

(3.30)

M˘ arimea Ec + V reprezint˘ a energia mecanic˘a (total˘a) a sistemului conservativ (cf. [34], p. 265, [32], p. 79). În particular, formula (3.30) arat˘ a c˘ a energia mecanic˘a a unui sistem conservativ izolat este constant˘a (se conserv˘a). Diferen¸tiala energiei cinetice a unui sistem mecanic S este, a¸sadar, egal˘ a cu lucrul mecanic elementar al for¸telor exterioare, δWext , plus lucrul mecanic n P F k · drk . Aceast˘ a afirma¸tie conelementar al for¸telor interne, δWint = k=1

stituie teorema energiei cinetice a unui sistem mecanic oarecare (D. Bernoulli) (cf. [34], p. 263, [32], p. 78). Pe baza principiului ac¸tiunii ¸si reac¸tiunii, aplicat particulelor din componen¸ta sistemului S, la fel ca în dinamica punctului material, se poate ar˘ ata c˘ a energia (mecanic˘a) pierdut˘a de sistem (adic˘a, ∆(Ec + V )) este egal˘a cu lucrul mecanic produs de acesta asupra mediului înconjur˘ator (cf. [34], p. 266).

288

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

În tehnic˘ a, un sistem mecanic S este caracterizat d. p. d. v. al lucrului mecanic de m˘ arimea numit˘ a randament (mecanic) (cf. [25], p. 83).

3.3.2

Teorema momentului cinetic fa¸ta a. O ˘ de o ax˘ demonstra¸tie a formulei Huygens-Steiner cu ajutorul teoremei lui V. Vâlcovici (1929). Raza de gira¸tie

→ S˘ a presupunem c˘ a solidul rigid S se rote¸ste în jurul unei axe fixe ∆(O, − ω ), ·

unde ω = ω · u =θ ·u. Atunci, din (3.27) rezult˘ a (A = O) ·

0

L O (S) = MO (S). Prin înmul¸tire scalar˘ a cu u în ambii membri, deducem c˘ a i i d h 0 d h 0 − → (S) = L (S) · u = MO (S) · u L dt ∆(O, ω ) dt O = M∆(O,−→ ω ) (S) ·

= I∆(O,−→ ω ) (S) · ω . → Ob¸tinem astfel teorema momentului cinetic fa¸ta ω) ˘ de axa ∆(O, − ··

→ I∆(O,−→ ω ) (S) · θ= M∆(O,− ω ) (S)

(3.31)

(cf. [34], p. 258, [76], p. 593, [32], p. 124), rela¸tie extrem de util˘ a în aplica¸tii ¸si care constituie analogul unghiular al legii fundamentale a lui Newton (2.74) (cf. [17], p. 123-124). Din (3.31) se deduce cu u¸surin¸ta˘ proprietatea momentului I∆(O,−→ asur˘ a a iner¸tiei la rota¸tie manifestat˘ a de ω ) (S) de a fi o m˘ corpurile solide rigide (cf. [34], p. 259, [73], p. 369). Ca ilustrare elocvent˘ aa principiului (3.31), un glob p˘ amântesc de uz didactic gol pe din˘ auntru se va roti mult mai ”repede” ¸si pe o perioad˘ a de timp mai mare, odat˘ a ce a fost mi¸scat, comparativ cu un glob de dimensiuni identice dar plin (cu moment de iner¸tie mai mare). O serie de probleme interesante (scaunul lui Jukovski, roata lui Prandtl, discul lui Picard, ma¸sina lui Atwood) referitoare la teorema momentului cinetic fa¸ta˘ de axa de rota¸tie (fix˘ a) pot fi citite în [32], p. 125-126, [34], p. 275-276, [76], p. 532-533, [17], p. 121, etc.

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

289

Figura 3.25 a

Figura 3.25 b Se ¸stie c˘ a formula Huygens-Steiner, aplicat˘ a sistemului mecanic S, ne conduce la egalitatea £ ¤ I∆ (S) = I∆0 (S) + m · d2 (∆, ∆G ) − d2 (∆0 , ∆G ) , (3.32)

→ → → ω ) ¸si ∆G = ∆(G, − ω ). Îns˘ a rela¸tia anteunde ∆ = ∆(O, − ω ), ∆0 = ∆(A, − rioar˘ a poate fi ob¸tinut˘ a ¸si în mod direct, din (3.25). Într-adev˘ ar, folosind nota¸tiile din Figura 3.25 (a, b, c), putem scrie c˘ a

Figura 3.25 c

290

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

vA = ω × OA = ω × MA vG = ω × NG vk = ω × Nk M k v0k = ω × Pk M k ¸si v0G = ω × P G ¡ ¢ ¡ ¢ = ω × NG − NP = ω × NG − MA = vG − vA, respectiv ¯ ¯2 v2A = |v A |2 = ω 2 · ¯MA¯ = ω2 · d2 (∆, ∆0 ) 2 2 0 v 2k = ω 2 · d2 (Mk , ∆) v02 k = ω · d (Mk , ∆ ) 2 2 0 v 02 G = ω · d (∆ , ∆G ) Atunci, Ec (S) =

n X 1 k=1

¸si Ec0 (S)

=

2

n X 1 k=1

2

mk ·

mk ·

v2k

v02 k

n 1 2 X 1 = ω · mk · d2 (Mk , ∆) = I∆ · ω2 2 2 k=1 n 1 2 X 1 = ω · mk · d2 (Mk , ∆0 ) = I∆0 · ω 2 . 2 2 k=1

2 M˘ arimea Rgir dat˘ a de I∆ = m · Rgir poart˘ a denumirea de raz˘a de gira¸tie sau de iner¸tie (cf. [32], p. 110, [63], p. 356, [73], p. 369). De asemeni, ¡ ¢ v A · (vG − vA ) = ω × MA · v0G ¡ ¢ ¡ ¢ = ω × MA · ω × P G = ω 2 · d (∆, ∆0 ) · d (∆G , ∆0 ) · cos ]V P U = ω 2 · d (∆, ∆0 ) · d (∆G , ∆0 ) · cos β.

Teorema lui Pitagora generalizat˘ a, aplicat˘ a în triunghiul GNP , ¸si anume GN 2 = GP 2 + P N 2 − 2GP · P N · cos α,

3.3. STATICA S¸I DINAMICA unde α = π − β, va implica d2 (∆, ∆G ) = d2 (∆0 , ∆G ) + d2 (∆, ∆0 ) +

291

2 · v A · (v G − vA ) . ω2

Formula (3.32) se ob¸tine prin înlocuirea m˘ arimilor corespunz˘ atoare în (3.25). Cazul A = G este tratat în [34], p. 269-270.

3.3.3

Solidul rigid cu o ax˘ a fix˘ a. Ecua¸tia diferen¸tial˘ a a mi¸sc˘ arii. Echilibrarea solidului. Axe permanente ¸si axe spontane de rota¸tie (libere). Principiul iner¸tiei pentru corpul solid rigid. Pendulul fizic. Teoremele lui C. Huygens. Formula pendulului reversibil

Vom stabili în continuare ecua¸tiile de mi¸scare ale unui corp material solid rigid care admite o ax˘ a fix˘ a. Asemenea situa¸tii se întâlnesc frecvent în via¸ta de zi cu zi, un exemplu elocvent fiind oferit de c˘ atre roata de biciclet˘ a, prins˘ a în dou˘a locuri de cadrul acesteia. P˘ astrând nota¸tiile penultimei subsec¸tiuni, alegem drept ax˘ a de rota¸tie (fix˘ a) dreapta Oz. În plus, A = O iar planul Ox00 y 00 al reperului cartezian R00 coincide cu Oxy (vezi Figura 3.26). Punctele de ”prindere” ale solidului S pe axa ∆ sunt O ¸si Q. Cu ajutorul reac¸tiunilor − → (for¸telor de leg˘atur˘a) Rk este calculat efectul pe care mi¸scarea corpului material îl are asupra axei (solidul ”apas˘ a” axa, conform principiului ac¸tiunii ¸si − → reac¸tiunii, cu for¸tele −Rk , cf. [34], p. 452). Aici, ω = ω(t) · k = ω(t) · k1 , ·

ω =θ (t). Teorema impulsului (vA = 0) h· ¡ ¢i m · ω ×OG + ω × ω × OG = F + R1 + R2 , ·

·

) 00 =ω (t) · k1 , se proiecteaz˘ a pe axele triedrului Ox00 y 00 z 00 unde ω= ( ∂ω ∂t R · (ω= ε):   −m · (ξ200 · ε + ξ100 · ω2 ) = Fx00 + R1,x00 + R2,x00 m · (ξ100 · ε − ξ200 · ω 2 ) = Fy00 + R1,y00 + R2,y00 (3.33)  0 = Fz00 + R1,z00 + R2,z00

a coordonatele (cf. [34], p. 453, [76], p. 594). M˘ arimile ξ100 , ξ200 , ξ300 reprezint˘ 00 centrului de mas˘ a G al solidului S (în R ).

292

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Figura 3.26 Teorema momentului cinetic (3.27), ¸si anume 0 ³n− ³n− dLO → − → − → − →o´ →o´ = MO F , R1 , R2 = MO F , R2 dt à 0 ! ∂LO 0 + ω × LO (S) = ∂t 00 R

ne conduce la (OQ = h · k1 )   I13 · ε − I23 · ω 2 = L − h · R2,y00 I23 · ε + I13 · ω2 = M + h · R2,x00  I33 · ε = N,

(3.34)

− → − → unde MO ({ F }) = L · i1 + M · j 1 + N · k1 . Fire¸ste, MO ({R1 }) = 0, linia de − → ac¸tiune a for¸tei R1 trecând prin O. Ecua¸tia diferen¸tial˘a care guverneaz˘ a mi¸scarea solidului S este ultima ecua¸tie din (3.34): µ ¶ ··

·

I33 · θ= N t, θ, θ , t > t0 .

Ea putea fi ob¸tinut˘ a ¸si în mod direct, prin aplicarea legii (3.31), observând c˘ a ³n− ³n− ³n− ³n− → − → − →o´ →o´ →o´ →o´ F , R1 , R2 = M∆ F + M∆ R1 + M∆ R2 M∆ ³n− o´ ³n → − →o´ = N + MO R1 · k + MQ R2 ·k = N.

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

293 ·

Odat˘ a cunoscut˘ a viteza unghiular˘ a ω =θ, m˘ arimile R2,x00 , R2,y00 ¸si R1,x00 , R1,y00 se determin˘ a din (3.34), respectiv (3.33). M˘ arimile R1,z00 , R2,z00 nu pot fi îns˘ a calculate. Acest fenomen este în concordan¸ta˘ cu principiul suprim˘arii − → − → − → − → − → for¸telor. Astfel, dac˘ a ad˘ aug˘ am la sistemul { F , R1 , R2 } un sistem nul {R3 , R4 }, − → − → − → − → unde R3 ∈ TO R3 , R3 ∈ f · k1 ¸si R4 ∈ TQ R3 , R4 ∈ −f · k1 , necunoscutele R1,z00 , R2,z00 vor fi înlocuite cu cantit˘ a¸tile R1,z00 + f , R2,z00 − f în (3.33), f˘ ar˘ a a influen¸ta mi¸scarea (cf. [76], p. 595, [34], p. 454), c˘ aci leg˘atura este indestructibil˘a. În tehnic˘ a, sistemul (nedeterminat) de ¸sase ecua¸tii cu ¸sapte necunoscute constituit din (3.33), (3.34) este denumit hiperstatic (cf. [14], p. 192). El devine rezolvabil (determinat, izostatic) dac˘ a folosim, de exemplu, în locul a dou˘ a articula¸tii sferice O ¸si Q o articula¸tie sferic˘ a O ¸si una cilindric˘a Q (cf. [63], p. 402, [14], p. 193). − → − → În cazul repausului (ω = ε = 0), reac¸tiunile R1 , R2 se numesc statice. Ele verific˘ a formulele  st st ½ 00 + R2,x00  0 = Fx00 + R1,x st 0 = L − h · R2,y 00 st st 0 = Fy00 + R1,y00 + R2,y00 (3.35) st 0 = M + h · R2,x00 .  st st 0 = Fz00 + R1,z + R 00 2,z 00 a, în general, o serie de termeni În timpul mi¸sc˘ arii, acestora2 li se adaug˘ nenuli (reac¸tiuni sau solicit˘ari suplimentare dinamice, cf. [76], p. 902): din st Ri,x = Ri,x 00 00 + ∆Ri,x00 din st Ri,z = Ri,z 00 00 + ∆Ri,z 00 ,

din st Ri,y 00 = Ri,y 00 + ∆Ri,y 00

i = 1, 2.

Din (3.33), (3.34), (3.35) ob¸tinem, prin sc˘ adere membru cu membru,   −m · (ξ200 · ε + ξ100 · ω 2 ) = ∆R1,x00 + ∆R2,x00 m · (ξ100 · ε − ξ200 · ω 2 ) = ∆R1,y00 + ∆R2,y00  0 = ∆R1,z00 + ∆R2,z00

¸si

½

I13 · ε − I23 · ω2 = −h · ∆R2,y00 I23 · ε + I13 · ω 2 = h · ∆R2,x00

(cf. [63], p. 403). Termenii suplimentari descri¸si anterior (ca valori numerice absolute) constituie ”r˘ aspunsul” trimis de solidul rigid agentului care st st st Acum, m˘ arimile Ri,x tiile 00 , Ri,y 00 , Ri,z 00 , unde 1 6 i 6 3, sunt definite chiar de rela¸ (3.35) (cf. [63], p. 402, [34], p. 454, rela¸tia (18.14)). 2

294

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

provoac˘ a mi¸scarea de rota¸tie (axa rotoare Oz), adic˘ a expresia unor for¸te de iner¸tie. În acela¸si timp, ei desemneaz˘ a un sistem de for¸te iner¸tiale - dat − → printr-o for¸ta˘ centrifug˘a Fi ¸si un cuplu de moment Mi (aici, torsorul for¸telor iner¸tiale este calculat fa¸ta˘ de polul G, cf. [76], p. 890, 903) -, care se reduce în mod obi¸snuit (cf. [32], p. 156-157, [76], § 3, p. 890-894). Insist˘ am pe faptul c˘ a asupra corpului material ”intervin” anumite efecte ale mi¸sc˘ arii sale neiner¸tiale, sub forma unor for¸te aparente, iner¸tiale. Acestea produc ”for¸tarea” punctelor de leg˘ atur˘ a O, Q, în articula¸tiile c˘ arora apar for¸te reale, de iner¸tie. Un exemplu simplu se cuvine adus în discu¸tie. Pe o platform˘ a orizontal˘ a (vezi Figura 3.27), perfect lucioas˘ a, este a¸sezat un corp punctiform legat de axul O al platformei printr-un fir ”con¸tinând” un dinamometru (resort gradat). Mi¸scarea circular˘ a uniform˘ a a platformei produce o anumit˘ a întindere (constant˘ a) a resortului. Odat˘ a produs˘ a aceast˘ a întindere, corpul punctiform se g˘ ase¸ste în repaus fa¸ta˘ de platform˘ a. În schimb, mi¸scarea circular˘ a a particulei este datorat˘ a ac¸tiunii − → → 3 − for¸tei centripete F ∈ TM R , F ∈ F , unde

F = m · aabs = −m · Rω 2 · ρ. Datorit˘ a iner¸tiei, corpul punctiform se împotrive¸ste agentului care tinde s˘ a-i schimbe starea mecanic˘ a, deci platformei. Cum leg˘atura particulei cu platforma se realizeaz˘ a prin intermediul firului, acesta va ”suporta” efectul iner¸tiei, fiind întins − → − → (tensionat) de for¸ta F 0 . For¸ta F 0 , unde 0

F = −F , gliseaz˘ a de-a lungul firului cu resort pân˘ a în punctul fix O.

Figura 3.27 Platforma, v˘ azut˘ a ca reper cartezian, este, evident, neiner¸tial˘a (putem spune c˘ a, în acest sens, mi¸scarea circular˘ a este o mi¸scare neiner¸tial˘a ). În raport cu plat− → forma, corpul punctiform se g˘ ase¸ste în repaus, de¸si de el ”trage” for¸ta F . Aceasta

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

295

înseamn˘ a c˘ a asupra sa trebuie s˘ a mai ac¸tioneze ¸si o alt˘ a for¸ta˘, necunoscut˘ a nou˘ a. Situa¸tia a fost întâlnit˘ a deja în subsec¸tiunea referitoare la principiul echivalen¸tei. For¸ta necunoscut˘ a, fictiv˘a, ”echilibreaz˘ a” ac¸tiunea (vizibil˘ a pe dinamometru) a − → − → → 3 − for¸tei centripete F . Ea se nume¸ste iner¸tial˘a : Fc ∈ TM R , Fc ∈ F c , unde

Fc = F

0

(cf. [32], p. 203). De aceea, în mod curent, efectul produs de rota¸tia axei fixe asupra diferitelor p˘ ar¸ti (piese) ale ansamblului particulelor solidului rigid este formalizat prin for¸te aparente, iner¸tiale, pe când ”r˘ aspunsul” acestor p˘ ar¸ti, transmis în punctele de prindere O, Q, se constituie într-un sistem de for¸te reale, ce trebuie − → am luate în calcul de proiectant ¸si care se numesc for¸te de iner¸tie ( F 0 ). Recomand˘ cititorului eleganta expunere a subiectului de fa¸ta˘ f˘ acut˘ a în [32], p. 200 ¸si urm˘ atoarele.

Echilibrarea total˘a (general˘a) a solidului rigid S are loc atunci când ∆Ri,x00 = 0

∆Ri,y00 = 0

∆Ri,z00 = 0,

i = 1, 2.

a G ∈ ∆, atunci torsorul for¸telor iner¸tiale se reduce Dac˘ a ξ100 = ξ200 = 0, adic˘ la cuplul de moment Mi (F i = 0, Mi 6= 0). Astfel, de¸si corpul material este echilibrat static (cf. [2], p. 281), prezen¸ta momentului iner¸tial va provoca ”for¸tarea” axei de rota¸tie ∆, corpul rigid având tendin¸ta natural˘a ca, în timpul mi¸sc˘ arii, s˘ a-¸si transforme rota¸tia într-o rota¸tie în jurul uneia dintre axele principale centrale de iner¸tie (cf. [76], p. 903). Pentru I13 = I23 = 0 (dreapta ∆ este ax˘ a principal˘ a de iner¸tie a elipsoidului de iner¸tie centrat în O) are loc echilibrarea dinamic˘a a solidului rigid S (cf. [63], p. 404). Echilibrarea unui corp material solid rigid se realizeaz˘ a fie prin îndep˘ artarea fie prin ad˘ augarea anumitor mase (cf. [76], p. 904-905, [73], p. 482). În mod evident, dac˘a axa de rota¸tie ∆ este o ax˘a principal˘a central˘a de iner¸tie, atunci solidul S va fi echilibrat total (cf. [34], p. 454, [32], p. 129). Suntem interesa¸ti acum de posibilitatea ca rota¸tia rigidului s˘ a se realizeze f˘ ar˘ a ca acesta s˘ a ”apese” leg˘ atura Q. Din (3.33), (3.34) rezult˘ a imediat c˘ a (R2,x00 = R2,y00 = 0) I13 = I23 = 0

L = M = 0.

Cu alte cuvinte, dac˘a i se imprim˘a corpului material solid rigid o rota¸tie ( ω(t0 ) 6= 0) în jurul uneia dintre axele principale de iner¸tie ale elipsoidului s˘au de iner¸tie centrat în ”punctul de sprijin” O iar momentul rezultant al

296

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

for¸telor exterioare este coliniar cu axa de rota¸tie, atunci corpul se va roti în jurul acestei axe, care r˘amâne fix˘a în spa¸tiu (cf. [76], p. 595, [34], p. 455). − → Un asemenea caz are loc atunci când linia de ac¸tiune a rezultantei F trece prin O. Dreapta ∆ se nume¸ste ax˘a permanent˘a de rota¸tie (cf. [63], p. 405). Ne punem, în mod logic, întrebarea: se poate ca, în timpul mi¸sc˘ arii, corpul material s˘ a nu ”apese” nici asupra leg˘ aturii O? R˘ aspunsul este afirmativ. Într-adev˘ ar, dac˘ a rigidul este ac¸tionat de un cuplu de for¸te (F = 0) având momentul MO coliniar cu axa de rota¸tie (deci, for¸tele se g˘ asesc într-un plan perpendicular pe aceasta) ¸si ξ100 = ξ200 = 0

I13 = I23 = 0,

atunci reac¸tiunile dispar Ri,x00 = Ri,y00 = 0

∆Ri,x00 = ∆Ri,y00 = 0

(cf. [76], p. 596). Axa de rota¸tie este fix˘a în spa¸tiu, dar rigidul S nu ac¸tioneaz˘a asupra ei. Un caz particular esen¸tial este cel dat de F = 0, MO = 0. Astfel, dac˘a unui corp material solid rigid liber i se imprim˘a o rota¸tie în jurul uneia dintre axele sale principale centrale de iner¸tie iar asupra sa nu mai ac¸tioneaz˘a nici o for¸t˘a (exterioar˘a), corpul î¸si va continua mi¸scarea de rota¸tie (devenit˘a uniform˘a) în jurul acelei axe, care r˘amâne fix˘a în spa¸tiu (cf. [34], p. 455). Dreapta ∆ poart˘ a denumirea de ax˘a spontan˘a de rota¸tie sau ax˘a liber˘a (cf. [32], p. 129). Putem formula în acest˘ a situa¸tie principiul iner¸tiei în mi¸scarea solidului rigid: dac˘a un corp material solid rigid este izolat (sistemul for¸telor externe este nul), atunci centrul s˘au de mas˘a G se afl˘a în repaus sau în mi¸scare rectilinie uniform˘a s¸i, simultan, rigidul se poate roti uniform la nesfâr¸sit în jurul unei axe principale centrale de iner¸tie (cf. [32], p. 131, [63], p. 405). Aceast˘ a rota¸tie se mai nume¸ste ¸si mi¸scare Euler-Poinsot (cf. [76], p. 686, [34], p. 508). Dac˘ a un corp material solid rigid se rote¸ste în jurul unei axe principale centrale de iner¸tie care corespunde unui moment principal de iner¸tie extremal (minim sau maxim) în timp ce centrul s˘ au de mas˘ a (iner¸tie) st˘ a pe loc (cazul creionului legat cu a¸ta˘ de un vârf sau al farfurioarei ovale, cf. [32], p. 130) ori se deplaseaz˘ a rectiliniu uniform (mi¸scarea obuzului dup˘ a A. Krâlov, cf. [76], p. 810-814), atunci mi¸scarea solidului rigid este stabil˘a (solu¸tiile corespunz˘ atoare ale ecua¸tiilor diferen¸tiale ce caracterizeaz˘ a mi¸scarea solidului rigid sunt stabile în sens Liapunov) (cf. [76], p. 640, 813, [34], p. 485).

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

297

Un caz particular esen¸tial de solid rigid cu o ax˘ a fix˘ a îl constituie pendulul fizic. Vom considera (în interiorul laboratorului) un sistem de referin¸ta˘ R având axa Ox pe direc¸tia vertical˘ a, în sens descendent (vezi Figura 3.28), în timp ce axa Oz (axa rota¸tiei) este paralel˘ a cu podeaua. Solidul rigid este omogen, alc˘ atuit simetric fa¸ta˘ de planul vertical Oxy (planul mobil Ox00 y 00 coincide cu Oxy). Astfel, centrul de mas˘ a G se va g˘ asi 00 în Oxy. Mai mult chiar, alegem dreapta OG ca ax˘ a Ox a reperului cartezian 00 00 R (ξ1 > 0). Planul Oxy se mai nume¸ste ¸si plan de oscila¸tie al pendulului fizic S. Simetria configura¸tiei particulelor lui S arat˘ a c˘ a axa rota¸tiei Oz este ax˘ a principal˘ a de iner¸tie a elipsoidului de iner¸tie centrat în O, deci I13 = I23 = 0 (cf. [34], p. 457). Teorema impulsului (3.33) devine   −m · ξ100 · ω 2 = mg · cos θ + R1,x00 + R2,x00 m · ξ100 · ε = −mg · sin θ + R1,y00 + R2,y00  0 = R1,z00 + R2,z00 . Teorema momentului cinetic (3.34) este dat˘ a de  0 = −h · R2,y00  0 = h · R2,x00  I33 · ε = −mg · ξ100 · sin θ,

c˘ aci L = M = 0. Ecua¸tia diferen¸tial˘ a care descrie mi¸scarea pendulului fizic este, a¸sadar, ··

θ+

mg · ξ100 · sin θ = 0 I33

(cf. [34], p. 456, [76], p. 596, [63], p. 406).

Figura 3.28

298

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

I33 Pendulul matematic introdus de (2.154), unde l = mξ a denumirea 00 , poart˘ 1 de pendul simplu sincron (de lungime l) cu pendulul fizic S (cf. [34], p. 457, [76], p. 597, [63], p. 406). În ceea ce prive¸ste reac¸tiunile, R2,x00 = R2,y00 = 0 ¸si   R 00 = mg · sin θ + m · ξ 00 · θ·· 1,y 1 2  R 00 = −mg · cos θ − m · ξ 00 · θ· . 1,x

1

La fel ca în (2.155), avem ·2

θ = θ12 +

2g · (cos θ − cos θ0 ) , l

·

unde θ(t0 ) = θ0 , θ (t0 ) = θ1 (datele Cauchy ata¸sate ecua¸tiei diferen¸tiale). Reac¸tiunile sunt în acest moment determinate (cf. [76], p. 600-601, [34], p. 457). Perioada mi¸sc˘ arii (în diverse grade de aproxima¸tie) se calculeaz˘ a cu formulele ob¸tinute pentru pendulul simplu, ¸tinând seama, fire¸ste, de sincronism (cf. [76], p. 597, [63], p. 406). Formula Huygens-Steiner se scrie în acest caz sub forma I33 = I∆G + m · ξ1002 . Împ˘ ar¸tind cu m · ξ100 , ob¸tinem l=

I∆G + ξ100 = ξ100 + l0 . m · ξ100

(3.36)

a x00 = l ¸si are vectorul Dreapta ∆0 care trece prin punctul O0 de abscis˘ director k (paralel˘ a, a¸sadar, cu ∆G ) poart˘ a denumirea de ax˘a de oscila¸tie a pendulului fizic S (axa fix˘ a ∆ constituie axa de suspensie a pendulului) (cf. [76], p. 597). Punctele O, O0 sunt centrul de suspensie, respectic centrul de oscila¸tie al acestuia (cf. [63], p. 406). Am stabilit, astfel, inegalitatea l > ξ100 . Din (3.36) rezult˘ a c˘ a l0 · ξ100 =

I∆G , m

(3.37)

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

299

ceea ce indic˘ a posibilitatea ca m˘arimile l0 , ξ100 s˘a-¸si schimbe rolurile. Mai precis, dac˘ a ∆0 ar fi axa de suspensie, atunci ∆ ar desemna axa de oscila¸tie (cf. [34], p. 458). Formula lui Galilei, ¸si anume s s l ξ100 + l0 T = 2π · = 2π · (3.38) g g arat˘ a c˘ a, în urma invers˘ arii ”rolurilor” acestor axe, nu se produce vreo modificare a perioadei mi¸sc˘ arii (cf. [32], p. 128). De aceea, axele de suspensie ¸si de oscila¸tie se mai numesc ¸si reciproce (cf. [34], p. 458). Acest fenomen poate fi abordat într-un cadru mai general. Dac˘ a ∆1 , ∆2 sunt dou˘ a (posibile) axe de suspensie paralele cu podeaua laboratorului (vezi Figura 3.29), atunci, ¸tinând seama de formula Huygens-Steiner, putem scrie c˘ a Li =

I∆G + li , m · li

a G al unde li este distan¸ta de la centrul de suspensie Oi la centrul de mas˘ solidului (”fosta” abscis˘ a ξ100 ), iar Li reprezint˘ a lungimea pendulului simplu sincron cu pendulul fizic suspendat în Oi , i = 1, 2.

Figura 3.29 Se vede imediat c˘ a Li · li − li2 =

I∆G , m

i = 1, 2,

de unde, prin sc˘ adere, avem L1 · l1 − L2 · l2 = l12 − l22 .

(3.39) not

Presupunând c˘ a lungimile Li ar fi egale, adic˘ a L1 = L2 = l, avem (l1 6= l2 ) l · (l1 − l2 ) = (l1 − l2 ) · (l1 + l2 ) ,

300

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

deci l = l1 + l2 .

(3.40)

Cu alte cuvinte, dac˘a dou˘a axe de suspensie paralele, coplanare cu centrul de mas˘a G al solidului rigid, conduc la lungimi egale ale pendulelor simple sincrone corespunz˘atoare, atunci valoarea comun˘a a acestor lungimi va coincide cu suma distan¸telor de la G la axe (cf. [76], p. 599). Formulele (3.37), (3.38) (reciprocitatea axelor), (3.40) desemneaz˘ a teoremele lui C. Huygens (cf. [34], p. 459). Conform (3.38), putem scrie c˘ a g= de unde

g L1 L2 = = 2 4π 2 T1 T22

4π 2 · Li , Ti2

i = 1, 2,

L1 l1 L2 l2 L1 l1 − L2 l2 = = . 2 2 l1 T1 l2 T2 l1 T12 − l2 T22

În sfâr¸sit, ¸tinând seama de (3.39), ob¸tinem

l12 − l22 g = 4π · l1 T12 − l2 T22 2

(cf. [34], p. 459). Aceast˘ a formul˘ a este utilizat˘ a în determinarea experimennot tal˘ a a m˘ arimii g. Când T1 , T2 iau valori apropiate, T1 w T2 = T , g˘ asim l1 + l2 , T2 adic˘ a formula pendulului reversibil (M. Prony, 1792, H. Kater, 1817) (cf. [76], p. 600, [34], p. 459, [32], p. 128). Alte pendule fizice sunt pendulul de torsiune (Weber-Gauss), pendulul lui E. Mach, pendulul profesorului R. Woinaroski (inelar), etc. (cf. [32], p. 127, [34], p. 460-464). g = 4π 2 ·

3.3.4

Varia¸tia accelera¸tiei gravita¸tionale la suprafa¸ta P˘ amântului (devierea firului cu plumb). Devierea spre est în c˘ adere liber˘ a (efectul Coriolis). Legea lui Baer. Pendulul lui L. Foucault

”Pot, prin urmare, s˘ a calculez ce se întâmpl˘ a în realitatea sensibil˘ a, de¸si instrumentul cu care calculez este inven¸tia mea. (Nae Ionescu, Realitate s¸i concept, [36], p. 74)”

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

301

Subsec¸tiunea de fa¸ta˘ este dedicat˘ a prezent˘ arii succinte a unor probe mecanice clasice privind rota¸tia P˘ amântului în jurul axei polilor.

Figura 3.30 P˘ amântul, imaginat ca un solid rigid sferic, omogen, se rote¸ste în jurul axei fixe S − N (vezi Figura 3.30) cu viteza unghiular˘a dat˘ a de rela¸tia

2π 86.164 (cf. [34], p. 433, [73], p. 329). Detalii de calcul privind m˘ arimea ω pot fi citite în [63], p. 346. Pendulul matematic din Figura 3.31 se afl˘ a în repaus. Formula (2.132), ¸si anume m · arel = F + R − m · atransp − m · aCor , ω=

unde3

atransp = ε × r + ω × (ω × r) £ ¡ ¢¤ = ω × (ω × r) = ω × ω × OP + P M ¡ ¢ = ω × ω × P M = −ω 2 · P M

(cf. [34], p. 427) ¸si aCor = 2 · ω × v rel = 0, arel = 0 (punctul material M este în repaus fa¸ta˘ de laborator, deci fa¸ta˘ de R00 ), ne conduce la 3

0 = G0 + T + m · ω2 · P M.

Se arat˘ a u¸sor c˘ a vectorul-vitez˘a unghiular˘a al mi¸sc˘ arii reperului R00 în raport cu sistemul de referin¸ta˘ R este chiar ω = ω · k.

302

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Figura 3.31 − → − → a) conFor¸ta G0 ∈ TM R3 , G0 ∈ G0 , constituie for¸ta de atrac¸tie (universal˘ stant˘ a (datorit˘ a sfericit˘ a¸tii ¸si omogenit˘ a¸tii terestre) manifestat˘ a în procesul − → interac¸tiunii gravita¸tionale P˘ amânt-corp punctiform. Vectorul Fc ∈ TM R3 , − → Fc ∈ F c , unde F c = m · (−atransp ) ,

desemneaz˘ a o for¸ta˘ iner¸tial˘a, numit˘ a centrifug˘a (cf. [34], p. 426, [41], p. 181). Ob¸tinem egalitatea ¡ ¢ T + G0 + F c = 0. (3.41) − → − → Vectorul G ∈ TM R3 , G ∈ G, unde G = G0 + F c = m · g, este greutatea (aparent˘a) a particulei M la suprafa¸ta P˘ amântului. Introducând, generic, m˘ arimea agrav prin G0 = m · agrav = −m · agrav · vers OM = −m · agrav · k1 , proiect˘ am rela¸tia (3.41) pe axele triedrului R00 : ½ −m · g · cos α = −m · agrav + m · ω 2 d · cos λ −m · g · sin α = −m · ω 2 d · sin λ. Când λ = α = 0 (la ecuator), prima dintre ecua¸tiile precedente devine µ ¶ ω2 R 2 g(0) = agrav − ω R = agrav 1 − . agrav

R 1 2 Se ¸stie c˘ a aωgrav w ( 17 ) = 288 g(0) = 289 · agrav . Apoi, 2

tan α =

1 289

(cf. [76], p. 509, [63], p. 349), deci

ω 2 d · sin λ ω 2 R · sin λ · cos λ ¡ ¢ = 1 agrav − ω 2 d · cos λ agrav · 1 − 289 · cos2 λ

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

303

sin λ · cos λ 1 1 · · sin λ · cos λ w 1 2 289 1 − 289 · cos λ 289 1 = · sin 2λ. 578 =

Indepeden¸ta m˘ arimii α (pentru λ fixat) de corpul material M, fapt u¸sor de stabilit experimental, justific˘ a echivalen¸ta dintre masa gravific˘ a ¸si cea iner¸tial˘ a în mecanica teoretic˘ a (cf. [32], p. 183). În plus, pentru sin 2λ = 1, ◦ adic˘ a λ = 45 , ob¸tinem devierea maxim˘a a verticalei locului (dat˘ a de firul cu plumb) fa¸ta˘ de raza P˘ amântului OA (cf. [34], p. 435, [32], p. 206). Ea este αmax w 60 (cf. [76], p. 508, [63], p. 349). Într-o exprimare spectaculoas˘ a a acestui fenomen, se poate spune c˘ a zgârie-norii sunt a¸seza¸ti strâmb pe funda¸tia lor! Au loc egalit˘ a¸tile ¢ ¡ · agrav − ω2 d · cos λ ¶ µ 1 2 · 1− · cos λ 289 µ ¶ 1 2 · cos λ agrav · 1 − 289 µ ¶ 1 288 2 + · sin λ agrav · 289 289 agrav · sin2 λ g(0) + 289 ¶ µ 1 2 · sin λ g(0) · 1 + 288

1 cos α agrav = cos α

g (λ) =

w = = =

(cf. [34], p. 436). O formul˘ a mai precis˘ a este µ ¶ 1 2 · cos λ , g(λ) = g0 · 1 − 191 unde g0 = 9, 832 m/s2 (la Pol) (cf. [32], p. 206). A se vedea ¸si [76], p. 509. S˘ a consider˘ am acum un alt punct material, notat tot cu M pentru simplitate, care cade liber de la în˘ al¸timea h (z 00 = h) pe sol. Din nou, m · arel = G0 + F c + m · (−aCor ) = G + m · (−aCor ) ,

304

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

−−→ arimea FCor ∈ TM R3 , F Cor = m·(−aCor ), unde ω = ω·(cos λ·j 1 +sin λ·k1 ). M˘ având denumirea de for¸t˘a Coriolis (iner¸tial˘a), afecteaz˘ a corpurile materiale treptat, odat˘ a cu cre¸sterea vitezei lor (fa¸ta˘ de sol) (cf. [34], p. 426, [41], p. 181). Pentru a u¸sura calculul, realiz˘ am aproximarea G = m · g w −m · g(0) · k1 (cf. [34], p. 436). Ecua¸tiile diferen¸tiale ale mi¸sc˘arii în reperul cartezian R00 devin, a¸sadar, µ· ¶  ·· · 00 00 00   m· x = −2m · ω · z · cos λ− y · sin λ   ·· · (3.42) 00 00 y = −2m · ω· x · sin λ m·    ·· ·  m· z 00 = −m · g(0) + 2m · ω· x00 · cos λ

(cf. [63], p. 351). Lor le ata¸sa˘m datele Cauchy ( x00 (0) = 0 y 00 (0) = 0 z 00 (0) = h ·

·

x00 (0) = 0

y 00 (0) = 0

·

z 00 (0) = 0.

(3.43)

Integrând ultimele dou˘ a ecua¸tii (3.42) în raport cu timpul t, ob¸tinem, pe baza (3.43),  ·  y 00 = −2ω · x00 · sin λ  z·00 = −g(0) · t + 2ω · x00 · cos λ. ·

·

a Prin înlocuirea m˘ arimilor y 00 , z 00 în (3.42) ajungem la ecua¸tia diferen¸tial˘ liniar˘ a cu perturbare afin˘ a ··

x00 +4ω2 · x00 = 2ω · g(0) · t · cos λ (cf. [34], p. 437). Solu¸tia sa este dat˘ a de x00 (t) =

1 · g(0) · cos λ · (2ωt − sin 2ωt) . 4ω 2

Atunci, ¡ 22 ¢ 1 · g(0) · sin 2λ · 2ω t − 1 + cos 2ωt 8ω2 1 1 z 00 (t) = h − · g(0) · t2 · sin2 λ − 2 · g(0) · cos2 λ (1 − cos 2ωt) . 2 4ω

y 00 (t) = −

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

305

F˘ acând aproxima¸tiile sin q w q − x00 (t) = ω · g(0) ·

t3 · cos λ 3

q3 , 6

cos q w 1 −

y 00 (t) = 0

q2 , 2

ob¸tinem

z 00 (t) = h −

1 · g(0) · t2 (3.44) 2

(cf. [34], p. 438, [76], p. 511, [63], p. 352). Timpul de c˘adere T al punctului material M este dat de rela¸tia (z 00 (T ) = 0) s 2h , T = g(0) deci 2 x00 (T ) = · ωh · 3

s

2h · cos λ. g(0)

Formulele (3.44) corespund ordinului de aproximare ω 2 w 0 (De SparreRudzki) (cf. [34], p. 438, [63], p. 352). Acest fenomen constituie devierea spre est a corpurilor materiale în c˘ adere liber˘ a pe sol (cf. [32], p. 208). Formula de calcul uzual˘ a este 3

x00 (T ) = 0, 022 · h 2 · cos λ (cf. [76], p. 511). O prezentare extrem de interesant˘ a a calculelor precedente se g˘ ase¸ste în [41], problema 1, p. 182-183. Mai departe, s˘ a studiem mi¸scarea unui corp punctiform M, de mas˘ a m, 00 00 care se deplaseaz˘ a f˘ar˘a frecare pe podeaua laboratorului (planul Ax y ). Atunci, m · arel = G + N + F Cor = [N − m · g (0)] · k1 + F Cor ¸si, cum z 00 = 0, ecua¸tiile de mi¸scare (3.42) cap˘ at˘ a forma  ·· · 00 00  m· x = 2m · ω· y · sin λ   ·· · m· y 00 = −2m · ω· x00 · sin λ   ·  0 = −m · g(0) + N + 2m · ω· x00 · cos λ,

− → − → a reac¸tiunea normal˘a a unde N ∈ TM R3 , N ∈ N = N · k1 , desemneaz˘ podelei.

306

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

De asemeni, µ

∂ ∂t

¶

R00

µ

1 m · v 2rel 2

¶

= m · arel · v rel ¡ ¢ = G + N · v rel = 0

(cf. [34], p. 443), c˘ aci vectorii vrel ¸si aCor , respectiv v rel ¸si k1 sunt ortogonali. 2 Astfel, vrel = v02 . În baza metodei hodografice, putem scrie c˘ a ·

·

vx00 =x00 = v0 · cos β

vy00 =y 00 = v0 · sin β,

unde β reprezint˘ a unghiul f˘ acut de vectorii v rel ¸si i1 , cu conven¸tia ca unghiul β s˘ a fie pozitiv dac˘ a dreapta-suport a vectorului − v→ tine printr-o rota¸tie rel se ob¸ − → în sens trigonometric (în planul Ax00 y 00 ) din dreapta-suport a vectorului i1 ∈ − → a¸tile TM R3 , i1 ∈ i1 , ¸si negativ în caz contrar. Atunci, au loc egalit˘ ··

·

x00 = −v0 · sin β· β ·

= 2ω· y 00 · sin λ = 2ω · v0 · sin β · sin λ, ·

deci β= −2ω · sin λ. Prin integrare în raport cu timpul t rezult˘ a c˘ a β = β0 − 2ω · t · sin λ, adic˘ a β descre¸ste în emisfera nordic˘a (deasupra planului ecuatorial Oxy), realizându-se o deviere spre dreapta a corpului material în timp ce, în emisfera sudic˘a, va exista o deviere spre stânga, corpul punctiform tinzând s˘a se apropie de ecuatorul p˘amântesc (cf. [76], p. 509). Fenomenul anterior constituie legea lui Baer (cf. [34], p. 443, [63], p. 351). Se explic˘ a în acest fel uzura ¸sinei drepte (respectiv stângi) la ¸sinele de cale ferat˘ a care ”merg” de la sud spre nord (respectiv de la nord c˘ atre sud), s˘ aparea malurilor drepte în râuri (legea lui Baer a fost descoperit˘ a în râurile siberiene), devierea alizeelor ¸si a curen¸tilor marini (cf. [76], p. 509, [32], p. 206-207, [63], p. 351). Ghe¸tarii desprin¸si din calotele polare c˘ al˘ atoresc spre sud (în emisfera nordic˘ a) ¸si se topesc, etc. Putem scrie, conform teoremei de derivare a func¸tiilor compuse, ·

x00 =

dx00 · ·β dβ

·

y 00 =

dy 00 · · β, dβ

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

307

de unde dx00 v0 =− · cos β dβ 2ω · sin λ

dy 00 v0 =− · sin β. dβ 2ω · sin λ

a Prin integrare în raport cu β (β0 = 0, x00 (β0 ) = y 00 (β0 ) = 0), deducem c˘ ¶2 i2 µ h v0 v0 2 00 00 [x (β)] + y (β) + = . 2ω · sin λ 2ω · |sin λ|

A¸sadar, mi¸scarea se desf˘as¸oar˘a pe un cerc (vezi Figura 3.32) (cf. [32], problema 10.6, p. 213). Îns˘ a raza acestuia este atât de mare încât traiectoria poate fi confundat˘a cu o dreapt˘a (tangenta în pozi¸tia ini¸tial˘ a la cerc) (cf. [34], p. 444).

Figura 3.32

Figura 3.33

O experien¸ta˘ fascinant˘ a a fost realizat˘ a în 1851 de c˘ atre L. Foucault, la Paris. Un pendul cu lungime extrem de mare ¸si mas˘ a apreciabil˘ a este −−→ f˘ acut s˘ a oscileze în jurul punctului s˘ au de suspensie. For¸ta Coriolis FCor = → −2m · − ω ×− v→ se face ”sim¸ t it˘ a ” datorit˘ a termenului m. Ea deviaz˘ a spre rel dreapta corpul punctiform M, iar acesta descrie o rozet˘ a (plecând din A −−−−→ cu vitez˘ a ini¸tial˘ a, cf. [32], p. 208) (vezi Figura 3.33). Notând cu FCor,z00 vectorul-proiec¸tie al for¸tei Coriolis pe planul Ax00 y 00 (practic, planul mi¸sc˘arii, datorit˘ a lungimii pendulului, cf. [41], problema 3, p. 183), avem rela¸tiile F Cor = −2m · (ω × v rel ) = −2m · ω sin λ · k1 × v rel − 2m · ω cos λ · j 1 × vrel = F Cor,z00 + F Cor,y00 . Se poate ar˘ ata c˘ a perioada mi¸sc˘ arii este Tz00 =

86.164 2π 2π = = ωz00 ω sin λ sin λ

308

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

(cf. [34], p. 442). Rota¸tia aparent˘ a, în timpul mi¸sc˘ arii, are sens invers trigonometric (opus sensului de rota¸tie al axelor planului Ax00 y 00 dat de ω z00 ) (cf. [76], p. 512, [34], p. 442). Experien¸te cu pendulul sferic au mai fost f˘ acute de Viviani la Floren¸ta (1661) ¸si de Bartholini (1833), nefiind îns˘ a cunoscute de Foucault (cf. [32], p. 209).

3.3.5

Solidul rigid cu punct fix. Unghiurile lui Euler. Parametrii Cayley-Klein. Matrice Pauli. Sistemul diferen¸tial al lui L. Euler. Mi¸scarea EulerPoinsot. Conul polodic ¸si conul herpolodic. Precesia regulat˘ a. Conul de precesie. Interpretarea geometric˘ a a mi¸sc˘ arii (L. Poinsot). Polodia ¸si herpolodia. Ciclul lui Euler. Sistemul diferen¸tial al lui G. Darboux. Cazul Lagrange-Poisson. Giroscopul

S˘ a presupunem c˘ a particula A din constitu¸tia solidului rigid S coincide, în timpul mi¸sc˘arii acestuia, cu originea O a sistemului de referin¸ta˘ (vezi Figura 3.34). Atunci, pozi¸tia solidului rigid S în sistemul de referin¸t˘a R poate fi caracterizat˘a cu ajutorul a trei parametri θ, ϕ, ψ, numi¸ti unghiurile lui Euler (cf. [34], p. 468, [63], p. 412, [54], p. 112, [15], p. 69-70). Astfel, unghiul diedru al planelor de coordonate Oxy ¸si Ox00 y 00 este unghiul de nuta¸tie θ. Dac˘ a not˘ am cu U, U 0 punctele de intersec¸tie ale cercurilor mari E, E1 , atunci unghiul f˘ acut de axa fix˘ a Ox cu dreapta U U 0 reprezint˘ a unghiul de precesie 0 a Ox00 constituie ψ. În sfâr¸sit, unghiul f˘ acut de dreapta UU cu axa mobil˘ unghiul de rota¸tie proprie ϕ. Deci, un punct oarecare al solidului rigid, situat, de exemplu, pe axa Ox la momentul ini¸tial t0 ¸si a c˘ arui pozi¸tie este dat˘ a, la momentul t, de un punct al axei Ox00 (defapt, punctul în cauz˘ a s-a aflat mereu pe axa Ox00 , dar, la momentul ini¸tial, axele s-au suprapus), poate fi reg˘ asit prin trei rota¸tii succesive în sens trigonometric (cf. [54], p. 112): 1) o rota¸tie în jurul axei Oz având matricea de reprezentare (în Oxyz)   cos ψ − sin ψ 0 0 ; Dψ =  sin ψ cos ψ 0 0 1

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

309

2) o rota¸tie în jurul axei Ox00 (devenit˘ a, acum, dreapta OU, care se mai nume¸ste ¸si linia nodurilor (nodal˘a), cf. [34], p. 465, [41], p. 155, [76], p. 628) având matricea de reprezentare (în triedrul dat de OU, OV ¸si Oz)   1 0 0 Dθ =  0 cos θ − sin θ  ; 0 sin θ cos θ

Figura 3.34 3) o rota¸tie în jurul axei Oz 00 având matricea de reprezentare (în triedrul dat de OU, OV 0 ¸si Oz 00 )   cos ϕ − sin ϕ 0 0  Dϕ =  sin ϕ cos ϕ 0 0 1

(cf. [54], p. 114-115). Matricea D =Dϕ ·Dθ ·Dψ define¸ste rota¸tia solidului rigid S în jurul punctului fix O. Aceasta va fi, evident, o rota¸tie în jurul unei axe ce trece prin O (cf. [76], p. 621-626, [25], p. 53-57). Detalii privind asemenea transform˘ ari pot fi citite în [16], [15], p. 66-69, etc. G˘ asirea unui set de parametri independen¸ti care s˘ a descrie pozi¸tia solidului rigid în sistemul de referin¸ta˘ constituie, în mod evident, o problem˘ a fundamental˘ a a mecanicii sale. Din acest motiv, ne vom referi succint ¸si la caracterizarea pozi¸tiei reperului cartezian R00 în raport cu R pe baza parametrilor Cayley-Klein (cf. [54], p. 116-120). S˘ a consider˘ am (vezi Figura 3.35) un punct M (extremitatea unui versor al axelor de coordonate apar¸tinând lui R00 ) situat pe sfera-unitate din E3 centrat˘ a în O. Atunci, proiec¸tia sa stereografic˘a pe planul Oxy este punctul P , unde

310

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Figura 3.35 OP = ξ · i + η · j. Folosind asem˘ anarea triunghiurilor, putem scrie c˘ a x y 1−z = = , ξ η 1 de unde ξ =

x , 1−z

η=

y . 1−z

Afixul ζ al punctului P verific˘ a rela¸tiile ζ =ξ+i·η =

1+z x−i·y

(cf. [34], p. 192). O rota¸tie de unghi ε a solidului rigid S în jurul axei Oz este dat˘ a de ecua¸tiile scalare  0  x = x · cos ε − y · sin ε y 0 = x · sin ε + y · cos ε  z 0 = z. Atunci, ζ 0 = ei·ε · ζ (cf. [54], p. 118, [34], p. 198) ¸si are loc egalitatea ε

ei· 2 · ζ δ·ζ +γ ζ = −i· ε = . β·ζ +α e 2 0

Matricea Qε =

µ

α β γ δ

¶

=

µ

ε

e−i· 2 0 ε 0 ei· 2

este asociat˘a transform˘ arii omografice (3.45).

(3.45) ¶

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

311

O rota¸tie de unghi ϑ a solidului rigid S în jurul axei Oy are ecua¸tiile scalare  0  x = x · cos ϑ + z · sin ϑ y0 = y  0 z = z · cos ϑ − x · sin ϑ. Astfel, matricea asociat˘ a transform˘ arii (3.45) este ¶ µ sin ϑ2 cos ϑ2 . Qϑ = − sin ϑ2 cos ϑ2

În sfâr¸sit, în cazul unei rota¸tii de unghi µ în jurul axei Ox a corpului material S, folosind ecua¸tiile scalare  x0 = x  y 0 = y · cos µ − z · sin µ  0 z = y · sin µ + z · cos µ,

deducem c˘ a

Qµ =

µ

cos µ2 i · sin µ2 i · sin µ2 cos µ2

¶

.

Componentele α, β, γ, δ din (3.45) reprezint˘ a parametrii Cayley-Klein (cf. [54], p. 119) ai rota¸tiei. Modalitatea de introducere a lor arat˘ a c˘ a ace¸stia sunt unici modulo o constant˘ a multiplicativ˘ a. Putem impune, suplimentar, ca det Q = α · δ − β · γ = 1. Astfel, doar trei din parametrii Cayley-Klein sunt independen¸ti. Matricele Qε , Qϑ , Qµ admit urm˘ atoarea caracterizare: ¶ µ ε ε −1 0 · sin Qε = I2 · cos + i · 0 1 2 2 ε ε = I2 · cos + i · σz · sin ; 2 2 ¶ µ ϑ ϑ 0 −i · sin Qϑ = I2 · cos + i · i 0 2 2 ϑ ϑ = I2 · cos + i · σy · sin ; 2 2¶ µ µ µ 0 1 Qµ = I2 · cos + i · · sin 1 0 2 2 µ µ = I2 · cos + i · σx · sin . 2 2

312

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Matricele σx , σy , −σz , numite matrice Pauli (cf. [54], p. 123), îndeplinesc condi¸tiile σx · σy = −i · σz σx2 = σy2 = σz2 = I2 . Astfel, folosind nota¸tia ∞ X 1 e = · An , n! n=0 A not

A0 = I2 , A ∈ M2 (C) ,

putem scrie c˘ a Qε = ei·ε·S1

Qϑ = ei·ϑ·S2

Qµ = ei·µ·S3 ,

unde

1 1 1 · σz S2 = · σy S3 = · σx 2 2 2 (cf. [54], p. 124). Orice rota¸tie (finit˘ a sau elementar˘ a) a solidului rigid S poate fi caracterizat˘ a cu ajutorul unei matrice de forma S1 =

Q = Qϑ · Qµ · Qε (cf. [54], p. 119), deci imaginat˘a ca o compunere de rota¸tii succesive în jurul axelor de coordonate (cf. [76], p. 627, [15], p. 68). Revenind la caracterizarea pozi¸tiei rigidului cu ajutorul unghiurilor lui Euler, au loc rela¸tiile (vezi Figura 3.36, a, b)  vers OU ¡= cos ψ¢ · i + sin ψ  ¡ · j π¢ π vers OV = cos ψ + 2 · i + sin ψ + 2 · j  = − sin ψ · i + cos ψ · j,

Figura 3.36

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

313

respectiv  

0

vers OV ¡ =π ¢cos θ · vers OV + ¡sin θ ·π k¢ k = cos θ + 2 · vers OV + sin θ + 2 · k  1 = − sin θ · vers OV + cos θ · k

(cf. [34], p. 468). De aici, avem (vezi Figura 3.36, c)  0  i = cos ϕ · vers OU + sin ϕ · vers OV  1    = (cos ϕ · cos ψ − sin ϕ · cos θ · sin ψ) · i     +(cos ϕ · sin ψ + sin ϕ · cos θ · cos ψ) · j     + sin ϕ · sin θ · k  j 1 = (− sin ϕ · cos ψ − cos ϕ · sin ψ · cos θ) · i    +(− sin ϕ · sin ψ + cos ϕ · cos ψ · cos θ) · j     + cos ϕ · sin θ · k     k1 = sin θ · sin ψ · i − sin θ · cos ψ · j    + cos θ · k. Conform (2.23), ob¸tinem  · · ·   p(t) = j ·k = ψ · sin θ · sin ϕ+ θ · cos ϕ  1 1  ·

·

·

q(t) =k1 ·i1 =ψ · sin θ · cos ϕ− θ · sin ϕ   · ·  ·  r(t) =i1 ·j 1 =ψ · cos θ+ ϕ

(3.46)

(3.47)

(cf. [34], p. 470, [41], p. 157, [76], p. 629). Rela¸tiile (3.47) se mai numesc ¸si ecua¸tiile cinematice ale lui L. Euler (cf. [25], p. 58, [73], p. 267). − → Ca ¸si în cazul solidului rigid cu o ax˘ a fix˘ a, not˘ am cu R reac¸tiunea introdus˘ a de articula¸tia (sferic˘ a) O (cf. [62], p. 412). Teorema impulsului h· ¡ ¢i m · ω ×OG + ω × ω × OG = F + R

ne conduce la ecua¸tiile scalare  · 00 00 · 00 00 00 00 2   m · [ξ3 · q −ξ2 · r +p · (p · ξ1 + q · ξ2 + r · ξ3 ) − ξ1 · ω ] = Fx00 + Rx00 · · m · [ξ100 · r −ξ300 · p +q · (p · ξ100 + q · ξ200 + r · ξ300 ) − ξ200 · ω2 ] = Fy00 + Ry00  · ·  m · [ξ200 · p −ξ100 · q +r · (p · ξ100 + q · ξ200 + r · ξ300 ) − ξ300 · ω2 ] = Fz00 + Rz00 .

314

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Teorema momentului cinetic, 0

! 0 ∂LO 0 + ω × LO ∂t R00 ³n− ³n− → − →o´ →o´ F,R = MO F , = MO

dLO = dt

Ã

se proiecteaz˘ a pe axele reperului R00 sub forma ecua¸tiilor scalare  · · ·  I11 · p +I12 · q +I13 · r +q · (I13 · p + I23 · q + I33 · r)     −r · (I12 · p + I22 · q + I23 · r) = L   · ·  · I12 · p +I22 · q +I23 · r −p · (I13 · p + I23 · q + I33 · r)  +r · (I11 · p + I12 · q + I13 · r) = M   · ·  ·   p +I23 · q +I33 · r +p · (I12 · p + I22 · q + I23 · r) I · 13   −q · (I11 · p + I12 · q + I13 · r) = N.

− → Acest ultim set de ecua¸tii nu con¸tine componentele reac¸tiunii R , deci reprezint˘ a sistemul de ecua¸tii diferen¸tiale care descrie mi¸scarea rigidului cu ·

·

·

punct fix (cf. [34], p. 471). Introducând m˘ arimile ϕ, θ, ψ din (3.47), ob¸tinem caracterizarea mi¸sc˘arii solidului rigid prin trei ecua¸tii diferen¸tiale ordinare de ordinul al II-lea cu necunoscutele ϕ, θ, ψ (cf. [34], p. 472). Dac˘ a reperul R00 are drept axe de coordonate chiar axele principale de iner¸tie ale elipsoidului de iner¸tie centrat în O (adic˘ a, Iij = 0, unde i 6= j), atunci sistemul diferen¸tial precedent devine sistemul diferen¸tial (dinamic) al lui L. Euler  ·   A· p +(C − B) · qr = L · B· q +(A − C) · rp = M   · C· r +(B − A) · pq = N

(3.48)

(cf. [34], p. 472, [76], p. 631, [41], p. 163, [73], p. 451, [63], p. 413), not not not unde I11 = A, I22 = B, I33 = C (nota¸tiile lui Euler) (cf. [34], p. 451). În anumite situa¸tii, acest sistem poate fi rezolvat direct, apelând la teoria func¸tiilor eliptice, deci f˘ ar˘ a a mai ¸tine cont de (3.47) (cf. [34], p. 473). Un caz particular al (3.48) apare în mi¸scarea Euler-Poinsot. Aceasta − → este mi¸scarea solidului rigid S asupra c˘ aruia ac¸tioneaz˘ a for¸ta rezultant˘ a F ∈

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

315

− → TO R3 , F ∈ F . Evident, L, M, N = 0, deci (3.48) devine  ·   A· p +(C − B) · qr = 0 · B· q +(A − C) · rp = 0   · C· r +(B − A) · pq = 0.

(3.49)

Înmul¸tind ecua¸tiile (3.49) cu p, q, r, respectiv Ap, Bq, Cr ¸si integrând apoi în raport cu timpul t suma ecua¸tiilor modificate, ob¸tinem ¡ ¢ ½ d 1 2 1 2 1 2 p + B · q + C · r A · =0 dt 2 2 2 (3.50) A · p2 + B · q2 + C · r2 = C1 = constant, respectiv

½

2 2 2¤ 1 1 (A · p) + (B · q) + (C · r) =0 2 2 2 A · p2 + B 2 · q 2 + C 2 · r2 = C2 = constant. d dt 2

£1

(3.51)

Constantele din integralele prime (3.50), (3.51) se determin˘ a din condi¸tiile ini¸tiale. Ele vor avea formulele C1 = H · µ2

C2 = H 2 · µ2

(cf. [76], p. 633), m˘ arimile H, µ (µ > 0) fiind, la rândul lor, calculate pe baza condi¸tiilor ini¸tiale. Se observ˘ a imediat c˘ a, dac˘ a not˘ am cu m1,2 cel mai mic, respectiv cel mai mare dintre momentele A, B, C, atunci ´ ³X A · p2 m1 · Hµ2 = m1 · X 6 A2 · p2 = H 2 µ2 ´ ³X 2 6 m2 · A · p = m2 · Hµ2 , adic˘ a

m1 6 H 6 m2 .

Tinând ¸ seama de reprezentarea energiei cinetice relative ca o form˘ a p˘ atratic˘ a de coeficien¸ti Iij , avem ¢ 1 0 1 ¡ Ec0 (S) = LO · ω = · A · p2 + B · q 2 + C · r2 2 2

(cf. [34], p. 472). A¸sadar,

C1 = 2 · Ec0 (S)

316

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

(cf. [76], p. 634, [63], p. 416). La rândul s˘ au, teorema momentului cinetic (3.27), 0 ³n− ³n− dLO → − →o´ →o´ F,R = MO F = 0, = MO dt 0 arat˘ a c˘ a momentul cinetic relativ LO este o direc¸tie fix˘a în SF , ¸si anume 0

LO = L = constant. Atunci, ¯ ¯2 X ¯ ¯2 ¯ 0 ¯ 02 2 2 2 2 2 2 ¯L¯ = L02 = L = A p + B q + C r C = ¯LO ¯ 2 i O ¯ ¯ (cf. [34], p. 472, [76], p. 634, [63], p. 416), deci ¯L¯ = H · µ ¸si 0

H · µ2 L (S) ¯ · ω = ωL0O (S) µ= = ¯¯ O 0 ¯ H ·µ ¯LO (S)¯

(cf. [34], p. 474). Se cuvin f˘ acute, acum, câteva comentarii privind cinematica solidului rigid cu punct fix. Astfel, axa instantanee ∆ a mi¸sc˘ arii sale generale trece prin punctul O. Cum punctele de pe ax˘ a au o vitez˘ a de transla¸tie (transport) → → coliniar˘ a cu − ω , unde − ω ∈ ω, iar aceast˘ a vitez˘ a este identic˘a în orice punct al dreptei ∆, deducem c˘ a v transla¸tie = v O = 0. Cu alte cuvinte, mi¸scarea general˘ a a rigidului cu punct fix poate fi imaginat˘ a, interpretând formula distribu¸tiei de viteze, ca o rota¸tie instantanee în jurul axei ∆, numit˘ a ax˘a de rota¸tie (momentan˘a) (cf. [76], p. 315). La rândul lor, axoidele vor fi suprafe¸te conice (conurile lui L. Poinsot) ce poart˘ a denumirea de con polodic în cazul axoidei mobile, respectiv con herpolodic în cazul axoidei fixe. Viteza de transla¸tie fiind nul˘ a, mi¸scarea general˘ a a solidului rigid cu punct fix (mi¸scarea sferic˘a ) se interpreteaz˘ a geometric ca o rostogolire f˘ar˘a alunecare a conului polodic peste conul herpolodic (cf. [32], p. 105). Ecua¸tiile scalare relative ¸si absolute ale axei de rota¸tie instantanee se ob¸tin prin eliminarea parametrului λ fie direct din ecua¸tia sa vectorial˘ a OM =

ω × vO + λ · ω = λ · ω, ω2

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

317

fie din (3.13) (A = 0, B = M) (cf. [63], p. 228). Astfel, ecua¸tiile scalare ale axei instantanee în reperul R00 sunt x00 y 00 z 00 = = p q r

(3.52)

(cf. [2], p. 181, [76], p. 629-630). Eliminând pe µ din (3.50), (3.51), avem A (A − H) · p2 + B (B − H) · q 2 + C (C − H) · r2 = 0,

(3.53)

de unde, conform (3.52), ajungem la ecua¸tia conului polodic: A (A − H) · x002 + B (B − H) · y 002 + C (C − H) · z 002 = 0.

(3.54)

Stabilind o ordine a m˘ arimilor A, B, C, cum ar fi, de exemplu, A > B > C, conul (3.54) este real doar dac˘ a H ∈ [A, C] (cf. [76], p. 635, [34], p. 474, [63], nota de subsol, p. 417). Atunci, sistemul (3.48) se reduce la  2 2 2 2  A·p +B·q +C ·r =H ·µ A2 · p2 + B 2 · q 2 + C 2 · r2 = H 2 · µ2 (3.55) ·  B· q + (A − C) · rp = 0

(cf. [76], p. 634). Primele dou˘ a ecua¸tii permit reprezentarea componentelor p, r ca func¸tii de q: p2 =

¢ B (B − C) ¡ 2 · f − q2 A (A − C)

unde (f , g > 0)

not

f2 =

H (H − C) 2 ·µ B (B − C)

r2 =

¢ B (A − B) ¡ 2 · g − q2 , C (A − C) not

g2 =

H (A − H) 2 ·µ B (A − B)

(cf. [34], p. 475, [76], p. 635). Prin sc˘ adere, g 2 − f 2 = µ2 ·

H (A − C) · (B − H) . B (B − C) (A − B)

(3.56)

318

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

În concluzie, q 2 6 min{f 2 , g2 }

sgn (g2 − f 2 ) = sgn (B − H) .

S˘ a presupunem c˘ a B > H > C. Cum g2 > f 2 , q 2 6 f 2 ¸si ¢ B (A − B) ¡ 2 · g − f2 C (A − C) H (B − H) = µ2 · > 0, C (B − C)

r2 >

deducem c˘ a r(t) nu î¸si schimb˘a semnul în timpul mi¸sc˘arii (proprietatea lui Darboux). Ultima ecua¸tie din (3.55) devine r dq (A − B) (B − C) p 2 =± · (f − q2 ) · (g 2 − q 2 ). dt AC

(3.57)

Semnul din fa¸ta radicalului se fixeaz˘a la momentul ini¸tial (cf. [34], p. not 476). Într-adev˘ ar, dac˘ a r0 = r(t0 ) > 0, atunci r(t) > 0 în orice moment t. Deci sgn rp = sgn p. Din ecua¸tia diferen¸tial˘ a (3.55) rezult˘ a c˘ a ·

sgn q = −sgn pr = −sgn p. Pentru p0 = p(t0 ) < 0, func¸tia q(t) va cre¸ste odat˘ a cu cre¸sterea lui t (adic˘ a, semnul este ”+”). Prin separarea variabilelor în (3.57) ob¸tinem s

t − t0 = ±

AC · (A − B) (B − C)

Zq(t)

q0

ds p , 2 2 (f − s ) · (g 2 − s2 )

unde q0 = q(t0 ). Reprezentarea lui p ca func¸tie de q (3.56) ne conduce la formula p2 +

B (B − C) 2 B (B − C) 2 ·q = · f = constant, A (A − C) A (A − C)

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

319

ceea ce arat˘ a c˘ a ”punctul” (p, q) se mi¸sc˘a pe o elips˘a (cf. [34], p. 475). În particular, func¸tia q = q(t) este periodic˘ a, având perioada (k > 0) s

T = 2

AC · (A − B) (B − C)

= 2k ·

s

Zf

−f

AC · (A − B) (B − C)

4 = · B−C

r

H −C AC · · A−H

ds p 2 2 (f − s ) · (g2 − s2 ) Z1

−1

Z1 0

2

dα p (1 − α2 ) · (1 − k2 · α2 )

dα p , (1 − α2 ) · (1 − k 2 · α2 )

unde k2 = fg2 (cf. [34], p. 476, [76], p. 635-636, [63], p. 418, [41], p. 168). A¸sadar, conform (3.56), func¸tiile p, q, r sunt periodice, având perioada comun˘a T . Odat˘ a determinate m˘ arimile p(t), q(t), r(t), ne întoarcem la sistemul (3.47). Mi¸scarea Euler-Poinsot fiind caracterizat˘ a prin conservarea momentului cinetic relativ, putem alege ca direc¸tie a axei (fixe) Oz vectorul L. Din (3.46) avem L L01 L02 L03 k = ¯ ¯= · i1 + · j1 + · k1 ¯L¯ H · µ H ·µ H ·µ A·p B·q C·r = · i1 + · j1 + · k1 H ·µ H ·µ H ·µ ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ = k · i1 · i1 + k · j 1 · j 1 + k · k1 · k1

(3.58)

= sin ϕ · sin θ · i1 + cos ϕ · sin θ · j 1 + cos θ · k1

(cf. [34], p. 469). Deci, sin ϕ · sin θ =

A·p H ·µ

sin θ · cos ϕ =

B·q H ·µ

cos θ =

C·r . H ·µ

Conform (3.47), putem scrie c˘ a · · ¡ ¢ ψ · sin θ = ψ · sin θ · sin2 ϕ + cos2 ϕ µ ¶ µ ¶ · · = p− θ · cos ϕ · sin ϕ + q+ θ · sin ϕ · cos ϕ

(3.59)

320

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID = p · sin ϕ + q · cos ϕ 1 A · p2 + B · q 2 = · . H ·µ sin θ

De asemeni, (sin ϕ · sin θ)2 + (sin θ · cos ϕ)2 = sin2 θ (3.60) ¡ ¢ 1 · A2 · p2 + B 2 · q 2 , = 2 H · µ2

de unde

A · p2 + B · q2 H · µ2 − C · r2 ψ= H · µ · 2 2 =H ·µ· 2 2 > 0. A · p + B 2 · q2 H · µ − C 2 · r2 ·

La fel, ·

·

ϕ = r− ψ · cos θ = r − C · r · =

H · µ2 · (H − C) · r. H 2 · µ2 − C 2 · r2

·

·

H · µ2 − C · r2 H 2 · µ2 − C 2 · r2

·

·

·

În particular, ψ (t + T ) =ψ (t), ϕ (t + T ) =ϕ (t) ¸si sgn ϕ (t) = sgn r(t) = sgn r0 = 1 (cf. [34], p. 477). Prin integrare în raport cu timpul t, avem ψ(t + T ) = ψ(t) + constant

ϕ(t + T ) = ϕ(t) + constant.

Din (3.59) reiese c˘ a func¸tia cos θ(t) este pozitiv˘a (consider˘ am r0 > 0) ¸si admite perioada T , adic˘ a (θ(t0 ) ∈ [0, π)) ³ π´ , θ(t + T ) = θ(t) sin θ(t + T ) = sin θ(t). θ(t) ∈ 0, 2 Astfel, func¸tiile sin ϕ(t), cos ϕ(t) admit perioada T , deci ϕ(t + T ) = ϕ(t) ± 2n · π,

(3.61)

unde n ∈ N∗ , ¸si, cum ϕ(t) este cresc˘atoare, rezult˘ a c˘ a ϕ(t + T ) = ϕ(t) + 2nπ. ·

De asemeni, ψ> 0, deci

ψ(t + T ) = ψ(t) + C3 ,

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

321

unde C3 > 0 (cf. [34], p. 477). A¸sadar, axa Oz 00 execut˘ a în jurul axei fixe Oz o mi¸scare de precesie ¸si o mi¸scare de nuta¸tie ¸si, în acela¸si timp, solidul rigid se rote¸ste în jurul axei Oz 00 . Conform (3.61), revenirii axei instantanee în pozi¸tia ini¸tial˘ a (în raport cu R00 !) îi corespunde m˘acar o rota¸tie complet˘ a · 00 a rigidului în jurul axei Oz . Cum sgn ϕ= sgn r0 , rota¸tia proprie a rigidului se realizeaz˘ a într-un singur sens pe parcursul mi¸sc˘ arii (cf. [34], p. 478). S˘ a analiz˘ am acum cazul H ∈ {A, B, C}. Astfel, dac˘ a H = C, cum A−H, B − H > 0, deducem c˘ a p(t) = q(t) = 0 ¸si, conform celei de-a treia ecua¸tii din (3.49), r(t) = r0 . Deci ω = r0 · k1 . Deoarece µ ¶ dω ∂ω · = + ω × ω =r0 ·k1 = 0, dt ∂t R00 deducem c˘ a axa de rota¸tie instantanee are o direc¸tie fix˘a în SF . Cum A · p20 + B · q02 + C · r02 = C · r02 = H · µ2 , A2 · p20 + B 2 · q02 + C 2 · r02 = C 2 · r02 = H 2 · µ2 C·r ¸si impunem ca r0 > 0, vom avea r0 = µ, respectiv cos θ = H·µ = 1. Dat˘ a fiind regularitatea func¸tiei θ = θ(t), din θ(t) ∈ {2kπ : k ∈ Z} rezult˘ a c˘ a, pe baza propriet˘at¸ii lui Darboux, θ(t) = constant = 2k0 π. A¸sadar, axa Oz 00 , care este chiar axa de rota¸tie (momentan˘a) a rigidului s¸i, în acela¸si timp, ax˘a principal˘a de iner¸tie a elipsoidului de iner¸tie centrat în O, va coincide cu axa fix˘a Oz. Solidul execut˘ a o rota¸tie uniform˘ a în jurul unei axe principale de iner¸tie, care r˘ amâne fix˘ a în SF chiar dac˘ a este fixat˘ a doar în punctul O. Subcazul H = A (p0 > 0) conduce la o rota¸tie uniform˘ a în jurul axei Ox00 , fix˘ a în SF (cf. [34], p. 479). În subcazul H = B (q0 > 0), de asemeni, se produce o rota¸tie uniform˘ a a solidului rigid S în jurul axei Oy 00 , care r˘ amâne fix˘ a în SF . Singura deosebire fa¸ta˘ de primele dou˘ a subcazuri const˘ a în aceea c˘ a mi¸scarea de rota¸tie este instabil˘a (cf. [34], p. 480, [41], problema 2, p. 172). S˘ a presupunem acum c˘ a A = B 6= C, H ∈ / {A, B, C}. Acest caz are loc, în particular, pentru solidul rigid omogen, cu axa de simetrie Oz 00 , care este corp de rota¸tie în jurul axei Oz 00 (cf. [34], p. 486, [76], proprietatea ε), p. 583). Avem ½ A · (p2 + q 2 ) + C · r2 = H · µ2 A2 · (p2 + q2 ) + C 2 · r2 = H 2 · µ2 ¸si, prin rezolvarea sistemului cramerian cu necunoscutele p2 +q2 , r2 , ob¸tinem p2 + q 2 =

H · µ2 · (C − H) A · (C − A)

r2 =

H · µ2 · (H − A) . C · (C − A)

322

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Regularitatea lui r(t) implic˘ a, în baza propriet˘ a¸tii lui Darboux, r(t) = r0 ,

t > t0 . not

Atunci, din (3.59) rezult˘ a c˘ a cos θ(t) = constant, deci θ(t) = θ(t0 ) = θ0 . Apoi, ·

ψ = H ·µ· =

H ·µ A

H · µ2 − C · r2 A · (p2 + q 2 ) = H · µ · H 2 · µ2 − C 2 · r2 A2 · (p2 + q2 )

· · C ·r · 0 ϕ = r− ψ · cos θ = r0 − ψ · H ·µ µ ¶ C = 1− · r0 . A

În sfâr¸sit, apelând iar˘ a¸si la (3.59), avem ½

p(t) = q (t) =

H·µ A H·µ A

· sin ϕ · sin θ = H·µ · sin θ0 · sin ϕ (t) A · sin θ · cos ϕ = H·µ · sin θ0 · cos ϕ (t) A

¸si, prin integrare în raport cu timpul t, g˘ asim formula ¶ µ C · r0 t + ϕ0 ϕ(t) = 1 − A (cf. [34], p. 487, [76], p. 670-671, [41], p. 163, [63], p. 430), corespunz˘ atoare unei rota¸tii proprii uniforme. Axa de rota¸tie instantanee ∆ are direc¸tia ω, unde ω = p(t) · i1 + q(t) · j 1 + r(t) · k1 (3.47) ·

= ψ ·(sin θ · sin ϕ · i1 + sin θ · cos ϕ · j 1 + cos θ · k1 ) ·

·

+ θ ·(cos ϕ · i1 − sin ϕ · j 1 )+ ϕ ·k1 . Pe Figura 3.36 c) se vede c˘ a vers OU = cos(2π − ϕ) · i1 + sin(2π − ϕ) · j 1 = cos ϕ · i1 − sin ϕ · j 1 .

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

323

Utilizând figurile 3.36 a), b), reg˘ asim formula (3.58), ¸si anume ´ ´ ³π ³π 0 − θ · vers OV + sin − θ · k1 k = cos 2 2 0 = sin θ · vers OV + cos θ · k 1 ´ ´ i h ³π ³π − ϕ · i1 + sin − ϕ · j1 = sin θ · cos 2 2 + cos θ · k1 = sin θ · sin ϕ · i1 + sin θ · cos ϕ · j 1 + cos θ · k1 (cf. [34], p. 469), de unde

Figura 3.37 ·

·

·

ω = ψ ·k+ θ ·vers OU + ϕ ·k1 = ω1 + ω2 + ω3

324

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

(cf. [34], p. 470, [76], p. 628, [63], p. 229-231). Aceast˘ a descompunere a vectorului-vitez˘ a unghiular˘ a instantanee este în acord cu imaginarea mi¸sc˘ arii solidului rigid cu punct fix ca o compunere a trei rota¸tii (în jurul axei fixe Oz - precesia, în jurul liniei nodurilor OU - nuta¸tia, în jurul axei mobile Oz 00 - rota¸tia proprie). Aici, ω = ω1 + ω 3 (mi¸scarea de nuta¸tie nu se produce). În concluzie, are loc o rota¸tie a axei mobile Oz 00 în jurul axei fixe Oz (vezi ·

Figurile 3.37, 3.38), viteza unghiular˘ a a planului Θ fiind dtd (ψ − π2 ) =ψ= · constant (cf. [34], p. 487), concomitent cu o rota¸tie proprie uniform˘ a (ϕ= a solidul rigid S constant) a corpului material în jurul axei Oz 00 . Spunem c˘ realizeaz˘ a o mi¸scare de precesie regulat˘a (uniform˘a) (cf. [76], p. 641, [41], p. 151) în care axa mobil˘ a Oz 00 descrie o suprafa¸ta˘ conic˘a în jurul axei Oz, numit˘ a con de precesie (cf. [76], p. 646, [63], p. 431, [14], p. 203).

Figura 3.38 Elipsoidul de iner¸tie centrat în punctul O al solidului rigid S are ecua¸tia A · x002 + B · y 002 + C · z 002 = 1.

(3.62)

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

325

Am ¸tinut cont de faptul c˘ a axele reperului R00 sunt chiar axele sale principale de iner¸tie. Cosinu¸sii directori ai versorului u al axei instantanee ∆ în raport cu baza C sunt α=

p(t) ω

β=

q(t) ω

γ=

r(t) . ω

Atunci, I∆ (S) = I11 · α2 + I22 · β 2 + I33 · γ 2 = ω12 · (A · p2 + B · q2 + C · r2 ). De aici rezult˘ a c˘ a, pe de o parte, µ ¶2 ¶2 ¶2 µ µ p q r √ √ √ A· +B· +C · = 1, ω · I∆ ω · I∆ ω · I∆ ceea ce înseamn˘ a c˘ a punctele M1,2 având raza vectoare ω 1 OM 1,2 = ± √ · I∆ ω constituie punctele de intersec¸tie ale axei instantanee ∆(t) cu elipsoidul (3.62). Pe de alt˘ a parte, I∆ (S) = ω12 · H · µ2 , deci OM 1,2 = ±

1 √ ·ω µ· H

(cf. [34], p. 481). Planul tangent la elipsoidul de iner¸tie (3.62) în M1 se ob¸tine prin dedublare (cf. [65], p. 171, [75], p. 69, [49], p. 146), adic˘ a are ecua¸tia A·

q(t) r(t) p(t) √ · x00 + B · √ · y 00 + C · √ · z 00 = 1. µ· H µ· H µ· H

Direc¸tia normal˘ a pe acest plan este p q r 1 n = A · √ · i1 + B · √ · j 1 + C · √ · k1 = √ · L, µ H µ H µ H µ H deci o direc¸tie fix˘a în SF . De asemeni, distan¸ta de la punctul O la planul tangent respectiv are formula √ µ· H 1 1 = pP =√ d= r ³ ´ 2 2 2 P A·p H A ·p √ µ· H

326

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

(cf. [65], p. 74, [75], p. 39, [49], p. 90). M˘ arimile n, d fiind constante, cum punctul O este fix, deducem c˘ a planul tangent la elipsoidul de iner¸tie al solidului rigid S într-unul din punctele de intersec¸tie ale acestuia cu axa instantanee de rota¸tie ∆ este fix (cf. [34], p. 481, [76], p. 637). Elipsoidul de iner¸tie fiind ”lipit” de corpul material, putem formula urm˘ atoarea interpretare geometric˘ a remarcabil˘ a (L. Poinsot, 1834) a mi¸sc˘ arii sale: solidul rigid cu punct fix se mi¸sc˘a în spa¸tiu astfel încât, în timpul mi¸sc˘arii, elipsoidul s˘au de iner¸tie centrat în punctul fix s˘a se rostogoleasc˘a s¸i s˘a pivoteze pe un plan fix Π, de direc¸tie normal˘a L, aflat la distan¸ta √1H de punctul fix a de transla¸tie, (vezi Figura 3.39). Punctul de ”contact” M1 neavând vitez˘ mi¸scarea se produce f˘ar˘a alunecare (cf. [76], p. 636-637, [34], p. 481, [63], p. 420). Deoarece axa instantanee ∆(t) se mi¸sc˘ a, în general, în raport cu solidul a curbe pe elipsoidul de iner¸tie (3.62). Acestea S, punctele M1,2 vor trasa dou˘ constituie intersec¸tia conului polodic cu elipsoidul de iner¸tie, fiind, a¸sadar, ramuri ale unei curbe algebrice de ordinul al IV-lea, numit˘ a polodie. În timpul mi¸sc˘ arii corpului material, elipsoidul de iner¸tie va descrie o curb˘ a în planul Π, ”urmând” traiectoria punctului M1 . Aceasta poart˘ a denumirea de herpolodie. Luând în discu¸tie ¸si planul tangent în M2 la elipsoidul de iner¸tie (3.62) (simetricul lui Π fa¸ta˘ de O), pe care elipsoidul traseaz˘ a o curb˘ a identic˘ a herpolodiei, putem spune c˘ a herpolodia (cu ambele ramuri) este intersec¸tia elipsoidului de iner¸tie al solidului S cu conul s˘au herpolodic (cf. [63], p. 420). Într-adev˘ ar, dac˘ a alegem ca direc¸tie a axei fixe Oz vectorul L, atunci planul Π este paralel cu planul de coordonate Oxy, deci traiectoria mobilului M1 nu este nimic altceva decât intersec¸tia planului Π cu o pânz˘ a a conului herpolodic. Detalii privind aceste curbe pot fi citite în [34], p. 482-487, [76], p. 637-639.

Figura 3.39

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

327

Rela¸tia A > B > C ne conduce la ¢ ¡ ¢ ¡ A · x002 + y 002 + z 002 > 1 > C · x002 + y 002 + z 002 ,

unde x00 , y 00 , z 00 sunt coordonatele punctului M1 în R00 . Astfel, cum inf d(O, M1 ) 6 d 6 sup d(O, M1 ), reg˘ asim inegalitatea A > H > C (cf. [34], p. 481, [76], p. 637). Încheiem discu¸tia privitoare la mi¸scarea Euler-Poinsot a solidului rigid referindu-ne la mi¸scarea P˘ amântului în jurul Soarelui. Astfel, dac˘ a P˘ amântul ar fi un elipsoid de rota¸tie omogen al c˘ arui centru de mas˘ a O se deplaseaz˘ a în jurul Soarelui pe elipsa stabilit˘ a de legile lui J. Kepler (aceast˘ a traiectorie poart˘ a numele de ecliptic˘a ) iar for¸tele exterioare (de atrac¸tie gravita¸tional˘ a) s-ar reduce la o for¸ta˘ rezultant˘ a a c˘ arei linie de ac¸tiune trece prin centrul O, atunci mi¸scarea P˘ amântului în jurul unui triedru de coordonate cu originea în O ¸si axele de direc¸tii fixe (îndreptate c˘ atre trei stele considerate ca fixe, cf. [34], p. 429) va fi o mi¸scare de precesie regulat˘a. Aici, θ0 = 23◦ , 270 , C > A, 1 1 − CA = 306 (cf. [76], p. 675). Cum q(t) = Q · cos (n · t + ϕ0 ) r(t) = r0 , ¡ ¢ unde P = H·µ · sin θ0 , Q = H·µ · cos θ0 , n = 1 − CA · r0 , ob¸tinem c˘ a axa A A 00 instantanee ∆(t) revine în pozi¸tia ini¸tial˘ a (fa¸ta˘ de reperul R , realizând o 2π descriere complet˘ a a conului polodic, cf. [76], p. 676) dup˘ a T = |n| momente. M˘ arimea T reprezint˘ a 305 zile medii solare. În astronomie, ea este cunoscut˘ a drept ciclul lui Euler (cf. [76], p. 671). Calculele care urmeaz˘ a privesc mi¸scarea solidului rigid S cu punct fix sub ac¸tiunea greut˘at¸ii sale. O asemenea situa¸tie a fost deja întâlnit˘ a la pendulul sferic. Astfel, ansamblul format din firul inextensibil ¸si lipsit de mas˘ a ¸si corpul punctiform se va comporta ca un solid rigid cu centrul de mas˘ a în pozi¸tia curent˘ a a punctului material suspendat. Tensiunea în fir are drept corespondent for¸ta de leg˘ atur˘ a (static˘ a ¸si dinamic˘ a), ”transmis˘ a” de punctul fix al rigidului, ¸si anume punctul de suspensie al pendulului. Am explicat anterior c˘ a firul func¸tioneaz˘ a în ipoteza rigidit˘at¸ii, asigurând un caracter − → de vector glisant tensiunii T . Vom presupune c˘ a axa fix˘ a Oz desemneaz˘ a verticala ascendent˘a a locului, adic˘ a G = m · g = −mg · k. Atunci, conform (3.58), avem ¡ ¢ G = −mg · γ · i1 + γ 0 · j 1 + γ 00 · k1 , p(t) = P · sin (n · t + ϕ0 )

328

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

unde γ = sin θ · sin ϕ, γ 0 = sin θ · cos ϕ, γ 00 = cos θ (cf. [34], p. 488), deci putem scrie c˘ a ³− →´ MO G = L · i1 + M · j 1 + N · k 1 ,

unde

L = mg · (ξ300 · γ 0 − ξ200 · γ 00 ) N = mg · (ξ200 · γ − ξ100 · γ 0 ) .

M = mg · (ξ100 · γ 00 − ξ300 · γ)

Ecua¸tiile diferen¸tiale ale mi¸sc˘ arii sunt date de (3.48), (3.47). Teorema en− → 0 ergiei cinetice (3.28) în reperul R = (O, B ) (coincide cu sistemul de referin¸ta˘ R) are formula · ¸ ¢ 1 ¡ 0 2 2 2 dEc (S) = d · A·p +B·q +C ·r 2 0 = G · d OG = δWext ¡ ¢ = −mg · k · d ξ10 · i + ξ20 · j + ξ30 · k ¡ ¢ = −mg · k · dξ1 · i + dξ2 · j + dξ3 · k = −mg · dξ3 . Am notat, sugestiv, cu ξi , ξi0 , ξi00 coordonatele centrului de mas˘ a G al solidului S în reperele R, R0 , R00 . Evident, ξi = ξi0 , unde 1 6 i 6 3. Cum ξ3 = OG · k = k · (ξ100 · i1 + ξ200 · j 1 + ξ300 · k1 ), avem ξ3 = γ · ξ100 + γ 0 · ξ200 + γ 00 · ξ300 (cf. [34], p. 489). Integrând în raport cu timpul t ecua¸tia ¸ · ¢ d 1 ¡ 2 2 2 00 0 00 00 00 · A · p + B · q + C · r + mg · (γ · ξ1 + γ · ξ2 + γ · ξ3 ) = 0, dt 2

ajungem la cea dintâi integral˘a prim˘a algebric˘ a în p, q, r, γ, γ 0 , γ 00 a problemei, ¸si anume A · p2 + B · q 2 + C · r2 + 2 · mg · (γ · ξ100 + γ 0 · ξ200 + γ 00 · ξ300 ) = h1 , unde h1 este o constant˘ a care depinde de condi¸tiile ini¸tiale.

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

329

Teorema momentului cinetic fa¸ta˘ de axa fix˘ a Oz ne conduce la ³n− d 0 → − →o´ G, R [Lz (S)] = Mz dt ³n− ³n− →o´ →o´ G + Mz R =0 = Mz

− → − → deoarece for¸tele G , R au liniile de ac¸tiune coplanare cu dreapta Oz. Prin integrare în raport cu timpul t ob¸tinem o a doua integral˘a prim˘a algebric˘ a 0 00 aci în p, q, r, γ, γ , γ , c˘ 0

L0z (S) = LO (S) · k = Ap · γ + Bq · γ 0 + Cr · γ 00 . Mai precis, A · p · γ + B · q · γ 0 + C · r · γ 00 = h2 ,

a depinzând de condi¸tiile ini¸tiale ale problemei, adic˘ a unde h2 este o constant˘ de ( θ(t0 ) = θ0 ϕ(t0 ) = ϕ0 ψ(t0 ) = ψ0 · · (3.63) · ψ (t0 ) = ψ1 θ (t0 ) = θ1 ϕ (t0 ) = ϕ1 (cf. [34], p. 472). O a treia integral˘ a prim˘ a algebric˘ a în p, q, r, γ, γ 0 , γ 00 este dat˘ a chiar de 0 00 forma particular˘ a a m˘ arimilor γ, γ , γ : γ 2 + γ 02 + γ 002 = 1 (cf. [76], p. 653). Problema determin˘ arii solu¸tiilor sistemului de ecua¸tii diferen¸tiale (3.48), (3.47) cu condi¸tiile ini¸tiale arbitrare (3.63) este complicat˘ a. Un caz particular al s˘ au îl constituie mi¸scarea Euler-Poinsot. Aici, ξ100 = ξ200 = ξ300 = 0, adic˘ a centrul de mas˘ a G coincide cu punctul fix O al solidului rigid. Un comentariu se cuvine f˘ acut în acest moment. Rezolvarea, în mod independent, a sistemului diferen¸tial al lui L. Euler (3.49) permite stabilirea direc¸tiei axei instantanee ∆(t) ω = p(t) · i1 + q(t) · j 1 + r(t) · k1

¸si ob¸tinerea anumitor informa¸tii privind mi¸scarea mecanic˘ a a rigidului. Totu¸si, în afara unor situa¸tii excep¸tionale, integrarea sistemului diferen¸tial (3.47) nu poate fi înf˘aptuit˘a. Într-adev˘ ar, un calcul simplu arat˘ a c˘ a au loc rela¸tiile  dγ 0 00  dt 0 = r(t) · γ − q(t) · γ dγ 00 (3.64) = p(t) · γ − r(t) · γ dt00  dγ 0 = q(t) · γ − p(t) · γ dt

330

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

(cf. [76], p. 652). Îns˘ a γ, γ 0 , γ 00 sunt coordonatele vectorului fix k în reperul mobil R00 , ceea ce permite scrierea vectorial˘ a a sistemului (3.64) sub forma µ ¶ ∂k = −ω(t) × k. ∂t R00 Justificarea formulelor (3.64) plecând de la scrierea lor vectorial˘ a se bazeaz˘ a pe (2.31). Cum ω este vectorul-vitez˘ a unghiular˘ a instantanee al reperului aR00 în mi¸scarea sa fa¸ta˘ de reperul R, avem ω 21 = ω. Atunci, vectorul vitez˘ 00 unghiular˘ a instantanee al reperului R în mi¸scarea fa¸ta˘ de reperul R va fi ω 12 = −ω. În sfâr¸sit, derivata ”absolut˘ a” a vectorului k (în R00 ) se scrie µ ¶ µ ¶ ∂k ∂k = + ω 12 × k ∂t R00 ∂t R dk + ω 12 × k dt = [−ω(t)] × k

=

(cf. [76], p. 650). Sistemul diferen¸tial (3.64) este cunoscut sub numele de sistemul diferen¸tial al lui G. Darboux (cf. [34], p. 498). S-a demonstrat c˘ a integrarea sa presupune rezolvarea unei ecua¸tii de tip Riccati, ceea ce nu este posibil atunci când nu ¸stim m˘ acar o solu¸tie particular˘ a (cf. [34], p. 190-194). În concluzie, putem afirma c˘ a integrarea ecua¸tiilor de mi¸scare în cazul Euler-Poinsot nu se realizeaz˘ a complet (cf. [76], p. 655). Reducerea la cvadraturi a rezolv˘arii sistemului diferen¸tial (3.48), (3.47) cu condi¸tiile ini¸tiale (3.63) are loc dac˘a, în afara celor trei integrale prime deja introduse, se mai cunoa¸ste o a patra integral˘a prim˘a algebric˘a în p, q, r, γ, γ 0 , γ 00 care s˘a nu con¸tin˘a timpul t în mod explicit. O justificare a acestui fapt, bazat˘ a pe forma simetric˘a a sistemelor diferen¸tiale ordinare ¸si pe teoria factorului integrant, poate fi citit˘ a în [76], p. 653-655. H. Poincaré a ar˘ atat c˘ a, în ipoteza existen¸tei celei de-a patra integrale prime algebrice în p, q, r, γ, γ 0 , γ 00 , vom avea, în mod necesar, sau ξ100 = ξ200 = ξ300 = 0 sau A = B. Astfel, dac˘ a A = B, ξ100 = ξ200 = 0, ξ300 6= 0 (cazul LagrangePoisson) ori A = B = 2C, ξ300 = 0 (cazul S. Kovalevskaia, 1888), ecua¸tiile de mi¸scare se integreaz˘ a complet. În 1908, E. Husson demonstreaz˘ a c˘ a aceste situa¸tii sunt singurele în care, în condi¸tii ini¸tiale arbitrare, exist˘ a o a patra integral˘ a prim˘ a algebric˘ a în p, q, r, γ, γ 0 , γ 00 (cf. [34], p. 499, [76], p.

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

331

656). Impunând restric¸tii condi¸tiilor ini¸tiale, s-au g˘ asit ¸si alte cazuri de integrabilitate complet˘ a: Hess, Goreacev-Ciaplâghin, Bobilev-Steklov, etc. (cf. [76], p. 656-658). Revenind la sistemul diferen¸tial al lui G. Darboux, a devenit clar de ce spuneam c˘ a, în cadrul cinematicii, vectorul-vitez˘ a unghiular˘ a instantanee ω(t) al mi¸sc˘ arii unui reper oarecare R0 fa¸ta˘ de sistemul de referin¸ta˘ R caracterizeaz˘ a într-o anumit˘a m˘asur˘a mi¸scarea în cauz˘ a. C˘ aci, pe baza sa putem realiza interpret˘ari ale mi¸sc˘ arii mecanice îns˘ a nu o descriere a acesteia, fapt echivalent cu rezolvarea unei ecua¸tii Riccati f˘ ar˘ a cunoa¸sterea vreunei solu¸tii particulare. S˘ a presupunem c˘ a ne g˘ asim în condi¸tiile cazului Lagrange-Poisson. Corpul material solid rigid este omogen, elipsoidul s˘ au de iner¸tie centrat în punctul fix O constituie o suprafa¸ta˘ de rota¸tie (A = B) iar centrul de mas˘ a G se g˘ ase¸ste pe axa principal˘ a de iner¸tie Oz 00 . Primele dou˘ a integrale prime ale mi¸sc˘ arii pot fi puse sub forma  2 (t)  p2 + q 2 = h1 −C·r − 2·mg · ξ300 · γ 00 A A h C p · γ + q · γ 0 = A2 − A · r(t) · γ 00  = β − b · r(t) · cos θ(t). ·

Cea de-a treia ecua¸tie diferen¸tial˘ a (3.49) devine r= 0, de unde r(t) = r0 ,

t > t0 .

(3.65)

Rela¸tia (3.65) constituie cea de-a patra integral˘a prim˘a algebric˘ a în p, q, 0 00 r, γ, γ , γ de care avem nevoie (cf. [34], p. 490). Astfel, ½ p2 + q 2 = α − a · cos θ (3.66) sin θ · (p · sin ϕ + q · cos ϕ) = β − b · r0 · cos θ. Aici, constantele α, β depind de condi¸tiile ini¸tiale iar constantele a, b > 0 a caracteristicile rigidului. (consider˘ am ξ300 > 0) reflect˘ Înlocuind expresiile m˘ arimilor p, q din (3.47) în (3.66), ob¸tinem c˘ a  2 ·2  · ψ · sin2 θ+ θ = α − a · cos θ (3.67)  ψ· · sin2 θ = β − b · r · cos θ. 0 Apoi,

2

(β − b · r0 · cos θ)

µ · ¶ 2 2 = ψ · sin θ · sin2 θ

332

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID µ ¶ ·2 = α − a · cos θ− θ · sin2 θ ·2

= (α − a · cos θ) · sin2 θ− θ · sin2 θ. Introducând variabila u = cos θ(t), formula precedent˘ a devine ·2

u

¡ ¢ = (α − a · u) · 1 − u2 − (β − br0 · u)2 = f (u)

(cf. [34], p. 491, [76], p. 643, [63], p. 423). Observ˘ am c˘ a f (±1) = −(β ± b · r0 )2 . În general, |β| 6= b · |r0 |, deci f (±1) < 0. În plus, lim f (u) = +∞, lim f (u) = −∞. La momentul u→+∞

u→−∞

a f (u0 ) > 0, polinomul f (u) va avea trei ini¸tial, u0 = cos θ0 . Admi¸tând c˘ r˘ ad˘ acini (reale): u1 ∈ (−1, u0 )

u2 ∈ (u0 , 1)

u3 ∈ (1, +∞)

(cf. [34], p. 492). Condi¸tia f (u0 ) > 0 nu este improbabil˘ a. Într-adev˘ ar, dac˘ a investig˘ am o situa¸tie din via¸ta de zi cu zi, este de a¸steptat ca mi¸scarea s˘ a se produc˘ a deja atunci când începem s˘ a-i stabilim datele. A¸sadar, ¡ ¢ (α − a · u0 ) · 1 − u20 − (β − br0 · u0 )2 ¡ ¢ = p2 (t0 ) + q 2 (t0 ) · sin2 θ (t0 ) − (p (t0 ) · sin ϕ (t0 ) + q (t0 ) · cos ϕ (t0 ))2 · sin2 θ (t0 ) .

Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz (cf. [50], problema 37, p. 17) ne conduce la p2 (t ) + q 2 (t0 ) ¢ ¡ ¢ ¡ 2 0 = p (t0 ) + q2 (t0 ) · sin2 ϕ (t0 ) + cos2 ϕ (t0 )

> (p (t0 ) · sin ϕ (t0 ) + q (t0 ) · cos ϕ (t0 ))2 .

Egalitatea are loc în inegalitatea precedent˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a q(t0 ) . cos ϕ(t0 )

p(t0 ) sin ϕ(t0 )

=

Ori, o asemenea condi¸tie este mult prea restrictiv˘ a pentru a ”nimeri” într-o problem˘ a obi¸snuit˘ a. Fie θ∗ , θ∗∗ ∈ (0, π) da¸ti de formulele cos θ∗ = u1 , cos θ∗∗ = u2 , θ∗∗ < θ∗ . · Ca ¸si pân˘ a acum, se poate ar˘ ata c˘ a solu¸tia u(t) a ecua¸tiei diferen¸tiale u=

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

333

p ± f (u) (semnul din fa¸ta radicalului este stabilit în func¸tie de cel al m˘ arimii · u (t0 ) = −θ1 · sin θ0 , cf. [76], p. 643) evolueaz˘a între valorile u1 , u2 în mod repetat (periodic), având perioada T =2·

Zu2

u1

dτ p f (τ )

(cf. [34], p. 492, [76], p. 644, [63], p. 423). Cum u(t + T ) = u(t), adic˘ a cos θ(t + T ) = cos θ(t), deducem c˘ a θ(t + T ) = ±θ(t) + 2k · π

± θ(t) ∈ (θ∗∗ + 2l · π, θ∗ + 2l · π) ,

unde k = k(t), l = l(t), k, l ∈ Z. Regularitatea func¸tiei θ(t) implic˘ a  θ(t + T ) = θ(t) + 2k0 π    θ(t + T ) = −θ(t) + 2k1 π t > t0 , θ(t) ∈ (θ∗∗ + 2l0 · π, θ∗ + 2l0 · π)    −θ(t) ∈ (θ∗∗ + 2l1 · π, θ∗ + 2l1 · π) ,

de unde, dat fiind c˘ a θ(t0 ) = θ0 ∈ (θ∗∗ , θ∗ ), ob¸tinem θ(t+T ) = θ(t) ∈ (θ∗∗ , θ∗ ) pentru orice t > t0 . Conform (3.67), (3.47), avem ·

ψ=

β − b · r0 · cos θ sin2 θ

·

·

ϕ= r0 − ψ · cos θ,

(3.68)

rela¸tii care ne conduc, în particular, la ·

·

ψ (t + T ) =ψ (t)

·

·

ϕ (t + T ) =ϕ (t)

(3.69)

(cf. [63], p. 423). p · Integrarea efectiv˘ a a ecua¸tiei diferen¸tiale autonome u= ± f (u) ¸si determinarea m˘ arimilor ψ, ϕ se realizeaz˘ a prin separarea variabilelor, apelând la teoria func¸tiilor eliptice (cf. [76], p. 645). Folosind regula de derivare a func¸tiei compuse ψ = ψ(u(t)), putem scrie c˘ a · β − br0 · u ψ dψ p , = · =± du (1 − u2 ) · f (u) u

334

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

ceea ce ne permite estimarea ψ = ψ(u). În Figura 3.40 poate fi observat comportamentul punctului de intersec¸tie (de coordonate u, ψ(u)) al axei mobile Oz 00 cu sfera-unitate fix˘ a. Notând cu u0 solu¸tia ecua¸tiei algebrice β − br0 · u = 0, sunt valabile urm˘ atoarele situa¸tii (cf. [41], problema 1, p. 158-160, [34], p. 493-494, [63], p. 425): 1) u0 ∈ / [u1 , u2 ]. Curba descris˘ a de punctul de intersec¸tie seam˘ an˘ a cu o sinusoid˘ a sferic˘ a (cf. [63], p. 425), fiind tangent˘ a cercurilor paralele u = ·

ui . Din (3.68) rezult˘ a c˘ a semnul func¸tiei ψ este constant, deci mi¸scarea se produce într-un singur sens (cf. [34], p. 494). 2) u0 ∈ (u1 , u2 ). Curba descris˘ a de punctul de intersec¸tie r˘ amâne tangent˘ a cercurilor paralele u = ui , dar formeaz˘ a ”bucle” datorit˘ a faptului c˘ a func¸tia ·

ψ î¸si schimb˘ a semnul în u = u0 . Integrând în raport cu timpul t rela¸tiile (3.69), ob¸tinem ψ(t + T ) = ψ(t)+ constant (cf. [34], p. 492), rela¸tie care justific˘ a fenomenul de deplasare al axei mobile în raport cu meridianul ini¸tial (pe sfera-unitate).

Figura 3.40

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

335

3) u0 = u2 . Curba descris˘ a de punctul de intersec¸tie devine semitangent˘ a meridianului curent ψ = constant în punctele de ”contact” cu cercul u = u2 . Asemenea puncte sunt puncte de rebrusment ale curbei. Spunem c˘ a, în acest ·

caz, curba are alur˘ a de tip cicloidal (cf. [63], p. 425). De asemeni, ψ> 0, deci mi¸scarea se realizeaz˘ a într-un singur sens. Poate fi demonstrat c˘ a u0 6= u1 întotdeauna (cf. [34], p. 494-495). Am comentat înainte faptul c˘ a egalitatea f (u0 ) = 0 nu se întâlne¸ste ”u¸sor”. Mai precis, s˘ a presupunem c˘ a polinomul f (u) admite în (−1, 1) o r˘ ad˘ acin˘ a dubl˘ a. O asemenea situa¸tie are o semnifica¸tie mecanic˘a deosebit˘ a, ∗ ∗∗ c˘ aci egalitatea θ = θ desemneaz˘ a lipsa mi¸sc˘ arii de nuta¸tie. Ori, cum f (u0 ) > 0, dac˘ a f (u0 ) > 0 ¸si u0 > u1 = u2 , atunci în (u0 , 1) ar exista o a patra r˘ ad˘ acin˘ a real˘ a a polinomului; pentru u0 < u1 = u2 , fenomenul similar apare în intervalul (−1, u0 ). În concluzie, în mod necesar, f (u0 ) = 0, deci u0 = u1 = u2 ¸si f (u) = a · (u − u0 )2 · (u − u3 ) = −a · (u − u0 )2 · (u3 − u) ·2

(cf. [76], p. 646). Formula u = f (u) > 0, unde u(t) ∈ [−1, 1], ne conduce ·

·

la u(t) = u0 , respectiv θ(t) = θ0 . Din (3.68) reiese c˘ a ψ=ϕ= constant, caz descris sub anterior sub numele de mi¸scare de precesie regulat˘a (cf. [34], p. 495, [76], p. 646). Impunând ca polinomul f (u) s˘ a admit˘ a o r˘ ad˘ acin˘ a dubl˘ a u0 = cos θ0 se ob¸tine o rela¸tie extrem de restrictiv˘ a privind condi¸tiile ini¸tiale (3.63), ¸si anume: C · ψ1 · ϕ1 + (C − A) · ψ1 · cos θ0 = mg · ξ300 (cf. [76], rela¸tia (28.57), p. 646). A¸sadar, precesia regulat˘a în cazul LagrangePoisson constituie o situa¸tie absolut particular˘a spre deosebire de precesia regulat˘a din mi¸scarea Euler-Poinsot, produs˘a atunci când elipsoidul de iner¸tie constituie o suprafa¸t˘a de rota¸tie. În ambele cazuri a fost modelat˘ a matematic precesia P˘ amântului în mi¸scarea sa circumsolar˘ a. Un calcul asem˘ an˘ ator (cf. [76], p. 671-675), bazat pe dezvoltarea în serie de puteri cu coeficien¸tii da¸ti de polinoamele Legendre pe care am prezentat-o în cadrul cinematicii ·

(cf. [76], p. 674), arat˘ a c˘ a P˘ amântul realizeaz˘ a o precesie (ψ) anual˘ a de 5000 (1600 datorit˘ a Soarelui, 3400 datorit˘ a Lunii), ceea ce înseamn˘ a o deplasare în sens invers trigonometric (retrograd) a axei nodale (a echinoc¸tiilor, cf. [76], p. 670, 673) pe ecliptic˘ a. Perioada mi¸sc˘ arii de precesie este de aproximativ 26.000 ani (cf. [76], p. 675, [32], p. 134). Tot datorit˘ a Lunii, mi¸scarea

336

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

P˘ amântului în jurul Soarelui cuprinde ¸si o nuta¸tie, cu perioada de aproximativ 19 ani (cf. [76], p. 675-681, [32], p. 134). R˘ amânând în ipotezele cazului Lagrange-Poisson, vom considera c˘ a solidului rigid i se imprim˘ a o rota¸tie rapid˘a în jurul axei Oz 00 distinct˘a de verticala ascendent˘ a Oz (0 < θ0 < π). Cu alte cuvinte, p(t0 ) = q(t0 ) = 0

r(t0 ) = r0 6= 0

iar |r0 | este extrem de mare (raportat la 1) (cf. [34], p. 495). Conform (3.66), ½ α − a · cos θ0 = α − a · u0 = 0 β − br0 · cos θ0 = β − br0 · u0 = 0, adic˘ a u0 = u0 . Atunci, ¡ ¢ f (u) = (α − a · u) · 1 − u2 − (β − br0 · u)2 ¡ ¢ = [a · (u0 − u)] · 1 − u2 − b2 r02 · (u0 − u)2 £ ¡ ¤ ¢ = (u0 − u) · a · 1 − u2 − b2 r02 · (u0 − u) .

Este clar c˘ a f (u0 ) = 0, deci u0 ∈ {u1 , u2 }. Cum u0 = u0 ¸si u0 6= u1 , concluzion˘ am c˘ a u0 = u2 . Ne g˘ asim în situa¸tia 3) (cf. [34], p. 496). Putem evalua diferen¸ta u0 − u1 ¸tinând seama de faptul c˘ a f (u1 ) = 0 ¸si u1 6= u0 . Astfel, ¡ ¢ a · 1 − u21 − b2 r02 · (u0 − u1 ) = 0. Cum

a · (1 − u21 ) a 6 =O 0 < u0 − u1 = 2 b2 r0 b2 r02

µ

1 r02

¶

a u(t) w u0 . Func¸tia ” cos ” este bijectiv˘ a ¸si ¸si u(t) ∈ [u1 , u0 ], deducem c˘ continu˘ a pe [0, π], deci θ(t) w θ0 . Calculul anterior arat˘ a c˘ a solidul rigid tinde s˘a-¸si p˘astreze înclinarea fa¸t˘a de axa fix˘a Oz, f˘ar˘a a ”ceda” atrac¸tiei gravita¸tionale. Mi¸scarea are caracter de stabilitate (cf. [34], p. 497). De asemeni, din (3.68) rezult˘ a c˘ a ·

ψ= ·

β − br0 · u u0 − u = b · · r0 . 1 − u2 1 − u2

M˘ arimile ψ ¸si r0 având acela¸si semn, deducem c˘ a rota¸tia axei mobile Oz 00 în jurul verticalei Oz se realizeaz˘a în chiar sensul rota¸tiei imprimate ini¸tial

3.3. STATICA S¸I DINAMICA

337

solidului rigid. În plus (u0 6= ±1), ¯ ¯ ¯·¯ u0 − u1 ¯ψ ¯ = b · u0 − u · |r0 | 6 b · · |r0 | ¯ ¯ 2 1−u 1 − max{u21 , u20 } µ ¶ b · |r0 | 1 a (1 − u21 ) = =O · , 1 − max{u21 , u20 } b2 · r02 |r0 | adic˘ a mi¸scarea de precesie este extrem de lent˘a. În sfâr¸sit, cum ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯·¯ ¯ (3.68) ¯¯ · ¯· ¯ϕ −r0 ¯ = ¯ψ · cos θ¯¯ 6 ¯¯ψ ¯¯ , ob¸tinem c˘ a

µ ¶ ¯ ¯ 1 ¯· ¯ ¯ϕ −r0 ¯ = O |r0 |

(cf. [34], p. 497). Solidul rigid se rote¸ste, a¸sadar, în jurul axei Oz 00 cu o vitez˘a unghiular˘a extrem de apropiat˘a vitezei unghiulare ini¸tiale. Continu˘ am calculul aproxima¸tiilor, observând c˘ a ·2

u

¡ ¢ = (α − a · u) · 1 − u2 − (β − br0 · u)2 ¡ ¢ 6 (α − a · u) · 1 − u2 6 α − a · u µ ¶ 1 = a · (u0 − u1 ) = O 2 , r0

¯·¯ ¯ ¯ de unde ¯u¯ = O( |r10 | ). Apoi, cum θ(t) = arccos u(t), avem ¯·¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯u¯ ¯·¯ ¯θ ¯ 6 p ¯ ¯ 1 − max{u21 , u20 }

În sfâr¸sit, din (3.47) reiese c˘ a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ · ¯ ¯·¯ |p(t)| , |q(t)| 6 ¯¯ψ ¯¯ + ¯¯θ¯¯

¯ ¯ µ ¶ ¯·¯ 1 ¯θ ¯ = O . ¯ ¯ |r0 |

|p(t)| , |q(t)| = O

µ

¶ 1 , |r0 |

r(t) = r0 + O

µ

¶ 1 . |r0 |

respectiv

¯ ¯¯ · ¯¯ ¯ ¯ ¯· |r(t) − r0 | 6 ¯ϕ −r0 ¯ + ¯¯ψ ¯¯

338

CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID

Astfel, la momentul t, momentul cinetic LO (S) ( R0 = R) este ”aproximativ” coliniar cu direc¸tia axei mobile Oz 00 . Solidul rigid se comport˘ a ca un giroscop (cf. [76], p. 660, [63], p. 426, [32], p. 131, [14], p. 199, etc.). Aplica¸tiile tehnice ale giroscopului sunt excep¸tionale (giroscopul tinde s˘ a-¸si p˘ astreze axa de rota¸tie fix˘a în SF ) (cf. [76], p. 661-669, [73], p. 443-448): stabilizarea antiruliu a vapoarelor, compasul giroscopic, orizontul artificial, ¸s. a. m. d. Giroscopul a fost inventat de L. Foucault în 1852 (cf. [32], p. 131). Detalii privind cel de-al doilea caz de integrare complet˘ a a ecua¸tiilor (3.48), (3.47) în condi¸tii ini¸tiale arbitrare (S. Kovalevskaia) pot fi citite în [76], p. 648 ¸si urm˘ atoarele, [34], p. 498-499, [25], p. 154-156, etc.

Bibliografie [1] V. Arnold, Ecua¸tii diferen¸tiale ordinare, Editura S¸ tiin¸tific˘a ¸si Enciclopedic˘a, Bucure¸sti, 1978

[2] I. A¸stefanei, D. Ilincioiu, Mecanica ¸si rezisten¸ta materialelor. Mecanica, teorie ¸si aplica¸tii, Reprografia Universit˘ a¸tii din Craiova, 1992

[3] I. A¸stefanei, O. Mustafa, Mecanica fluidelor ¸si ma¸sini hidraulice. Mecanica fluidelor reale, Reprografia Universit˘ a¸tii din Craiova, 1996

[4] C. Avramescu, Ecua¸tii diferen¸tiale ¸si integrale, Reprografia Universit˘a¸tii din Craiova, 1973

[5] C. Avramescu, Méthodes topologiques dans la théorie des équations différentielles, Reprografia Universit˘ a¸tii din Craiova, 1998

[6] V. Barbu, Ecua¸tii diferen¸tiale, Editura Junimea, Ia¸si, 1985 [7] V. Barbu, Probleme la limit˘a pentru ecua¸tii cu derivate par¸tiale, Editura Academiei, Bucure¸sti, 1993

[8] S. B˘alan, Probleme de mecanic˘a, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1977

[9] C. Belea, Automatic˘a neliniar˘a. Teorie, exemple ¸si aplica¸tii, Editura Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1983

[10] R. Bellman, Stability theory of differential equations, McGraw-Hill, Londra, 1953

[11] G. Berman, Cicloida, Editura Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1956 339

340

BIBLIOGRAFIE

[12] L. Blaga, Experimentul ¸si spiritul matematic, Editura Humanitas, Bucure¸sti, 1998

[13] H. Brézis, Analyse fonctionelle. Théorie et applications, Masson, Paris, 1992 [14] D. Boiangiu, E. Caragheorghe, M. Rade¸s, L. Gherm˘anescu Ionescu, E. Ha¸seganu Zamfirescu, S. Murgulescu, M. Savu, Mecanic˘ a ¸si rezisten¸ta materialelor, Editura Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1982

[15] D. Bolcu, S. Rizescu, Mecanic˘a, vol. I, II, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 2001

[16] M. Buculei, M. Marin, Elemente de mecanic˘a teoretic˘a. Teorie ¸si aplica¸tii, Editura Universitaria, Craiova, 1994

[17] I. Bunget, L. Burlacu, D. Ciobotaru, A. Costescu, V. Florescu, I. Munteanu, M. Rusu, S. Spânulescu, Compendiu de fizic˘ a, Editura S ¸ tiin¸tific˘ a ¸si Enciclopedic˘ a, Bucure¸sti, 1988

[18] D. Bu¸sneag, A. Dinc˘a, D. Ebânc˘a, C. Niculescu, M. Popescu, I. Vladimirescu, G. Vraciu, Concursul de matematic˘ a ”Gheorghe Ti¸ ¸ teica” 1979-1998, Editura Gil, Zal˘ au, 1999

[19] G. Buzdugan, L. Fetcu, M. Rade¸s, Vibra¸tii mecanice, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1979

[20] E. Carafoli, V. Constantinescu, Dinamica fluidelor compresibile, Editura Academiei, Bucure¸sti, 1984

[21] G. Cartianu, M. S˘avescu, I. Constantin, D. Stanomir, Semnale, circuite ¸si sisteme, Editura Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1980

[22] L. Cesari, Asymptotic behavior and stability problems in ordinary differential equations, Springer Verlag, Berlin, 1959

[23] A. Corduneanu, Ecua¸tii diferen¸tiale cu aplica¸tii în electrotehnic˘a, Editura Facla, Timi¸soara, 1981

[24] B. Démidovich (coord.), Recueil d’exercices et de problèmes d’analyse mathematique, Editura Mir, Moscova, 1972

BIBLIOGRAFIE

341

[25] D. Dr˘aghicescu, Curs de mecanic˘a teoretic˘a, Reprografia Universit˘a¸tii din Craiova, 1977

[26] D. Dr˘aghicescu, C. Pesc˘aru¸s, Mecanic˘a teoretic˘a. Culegere de probleme, Reprografia Universit˘ a¸tii din Craiova, 1985

[27] A. Einstein, Cum v˘ad eu lumea. O antologie, Editura Humanitas, Bucure¸sti, 1992

[28] P. Flondor, O. St˘an˘a¸sil˘a, Lec¸tii de analiz˘a matematic˘a, Editura All, Bucure¸sti, 1993

[29] A. Haimovici, Ecua¸tiile fizicii matematice ¸si elemente de calcul varia¸tional, Editura Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1966

[30] A. Halanay, Teoria calitativ˘a a ecua¸tiilor diferen¸tiale, Editura Academiei R.P.R., Bucure¸sti, 1963

[31] P. Hartman, Ordinary differential equations, John Wiley & Sons, New York, 1964

[32] A. Hristev, Mecanic˘a ¸si acustic˘a, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1984

[33] E. Husserl, Medita¸tii carteziene. O introducere în fenomenologie, Editura Humanitas, Bucure¸sti, 1994

[34] C. Iacob, Mecanic˘a teoretic˘a, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1980

[35] C. Iacob, Matematic˘a aplicat˘a ¸si mecanic˘a, Editura Academiei, Bucure¸sti, 1989

[36] N. Ionescu, Curs de logic˘a (1934 - 1935), Editura Humanitas, Bucure¸sti, 1993 [37] I. Kant, Critica ra¸tiunii pure, Editura IRI, Bucure¸sti, 1994 [38] J. Kelley, General topology, D. Van Nostrand Company, Limited, New York, 1955

[39] P. Kessler, Elemente de teoria mul¸timilor ¸si topologie general˘a. Culegere de exerci¸tii ¸si probleme, Editura Secolul XXI, Craiova, 1996

342

BIBLIOGRAFIE

[40] P. Korovkin, Inequalities, Little Mathematics Library, Editura Mir, Moscova, 1986

[41] L. Landau, E. Lifchitz, Mécanique, Editura Mir, Moscova, 1966 [42] L. Landau, E. Lifchitz, Teoria câmpului, Editura Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1963 [43] M. Laue, Istoria fizicii, Editura S¸ tiin¸tific˘a, Bucure¸sti, 1963 [44] C. Meghea, I. Meghea, Tratat de calcul diferen¸tial ¸si integral pentru înv˘ a¸ta˘mântul politehnic. Calcul diferen¸tial, Editura Tehnic˘ a, Bucure¸sti, 1997

[45] G. Marinescu, Matematici superioare, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1970

[46] G. Marinescu, Teoria ecua¸tiilor diferen¸tiale ¸si integrale, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1963

[47] G. Moro¸sanu, Ecua¸tii diferen¸tiale. Aplica¸tii, Editura Academiei, Bucure¸sti, 1989

[48] G. Mur˘arescu, Geometrie diferen¸tial˘a, Reprografia Universit˘a¸tii din Craiova, 1998

[49] G. Mur˘arescu, M. Popescu, Curs de geometrie, Reprografia Universit˘a¸tii din Craiova, 1976

[50] C. N˘ast˘asescu, C. Ni¸ta˘, M. Brandiburu, D. Joi¸ta, Exerci¸tii ¸si probleme de algebr˘ a pentru clasele IX-XII, Editura Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1983

[51] L. Nicolescu, V. Boskoff, Probleme practice de geometrie, Editura Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1990

[52] C. Niculescu, Analiz˘a matematic˘a ¸si teoria func¸tiilor, Reprografia Universit˘ a¸tii din Craiova, 1988

[53] C. Niculescu, Fundamentele analizei matematice. Analiza pe dreapta real˘a, Editura Academiei, Bucure¸sti, 1996

[54] V. Novacu, Bazele teoretice ale fizicii. Vol. I: Mecanica clasic˘a, Editura Tehnic˘ a, Bucure¸sti, 1990

BIBLIOGRAFIE

343

[55] V. Novacu, Bazele teoretice ale fizicii. Vol. II: Electrodinamica, Editura Tehnic˘ a, Bucure¸sti, 1993

[56] O. Onicescu, Mecanica, Editura Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1969 [57] D. Papuc, Geometrie diferen¸tial˘a, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1982

[58] F. Peters, Termenii filozofiei grece¸sti, Editura Humanitas, Bucure¸sti, 1993 [59] C. Pl˘avi¸tu, A. Hristev, L. Georgescu, D. Bor¸san, V. Dima, C. St˘anescu, L. Ionescu, R. Moldovan, Culegere de probleme de mecanic˘ a fizic˘ a ¸si acustic˘ a, Editura Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1981

[60] H. Pollard, Mathematical introduction to celestial mechanics, Prentice-Hall, New Jersey, 1966

[61] A. Precupanu, Analiz˘a matematic˘a. Func¸tii reale, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1976

[62] M. Predoi, Analiz˘a matematic˘a pentru ingineri. Teorie ¸si aplica¸tii, Editura Universitaria, Craiova, 1994

[63] M. R˘adoi, E. Deciu, Mecanica, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1981

[64] S. R˘adulescu, M. R˘adulescu, Teoreme ¸si probleme de analiz˘a matematic˘a, Editura Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1982

[65] M. Ro¸scule¸t, Algebr˘a liniar˘a, geometrie analitic˘a ¸si geometrie diferen¸tial˘a, Editura Tehnic˘ a, Bucure¸sti, 1987

[66] I. S¸ abac, Matematici speciale, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1981

[67] G. S¸ ilov, Analiz˘a matematic˘a. Spa¸tii finit dimensionale, Editura S¸ tiin¸tific˘a ¸si Enciclopedic˘ a, Bucure¸sti, 1983

[68] G. S¸ ilov, Analyse mathematique (fonctions de plusieurs variables réelles), Editura Mir, Moscova, 1974

[69] D. Smaranda, N. Soare, Transform˘ari geometrice, Editura Academiei, Bucure¸sti, 1988

344

BIBLIOGRAFIE

[70] V. Smirnov, Cours de mathématiques supérieures, vol. IV, Editura Mir, Moscova, 1975

[71] E. Soós, Elemente de calcul varia¸tional, p. 307-365, în C. Iacob (coord.), Matematici clasice ¸si moderne , vol. III, Editura Tehnic˘ a, Bucure¸sti, 1981

[72] V. Stepanov, Curs de ecua¸tii diferen¸tiale, Editura Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1955 [73] S. Targ, Theoretical mechanics. A short course, Editura Mir, Moscova, 1976 [74] G. Ti¸ ¸ teica, Culegere de probleme de geometrie, Editura Tehnic˘ a, Bucure¸sti, 1965

[75] C. Udri¸ste, Aplica¸tii de algebr˘a, geometrie ¸si ecua¸tii diferen¸tiale, Editura Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1993

[76] V. Vâlcovici, S. B˘alan, R. Voinea (red.), Mecanica teoretic˘a, Editura Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1963

[77] I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebr˘a liniar˘a ¸si geometrie analitic˘a. Teorie ¸si aplica¸tii, Editura Universitaria, Craiova, 1994

[78] V. Vladimirov, Ecua¸tiile fizicii matematice, Editura S¸ tiin¸tific˘a ¸si Enciclopedic˘ a, Bucure¸sti, 1980

[79] G. Vrânceanu, N. Mih˘aileanu, Introducere în teoria relativit˘a¸tii, Editura Tehnic˘ a, Bucure¸sti, 1978

[80] B. Vulikh, A brief course in the theory of functions of a real variable (An introduction to the theory of the integral), Editura Mir, Moscova, 1976

[81] B. Waerden, Group theory and quantum mechanics, Springer-Verlag, Berlin, 1974

[82] J. Wermer, Potential theory, Springer-Verlag, Berlin, 1981