Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR

Generalit i Orice substan care curge se nume te fluid. În aceast categorie se încadreaz atât lichidele cât i gazele. Deoarece cu gazele se produc de obicei transform ri termice, studiul gazelor se face pe larg la termodinamic . Ca urmare, se face referire în continuare în mod preponderent la lichide. În cadrul acestui curs se vor studia fluidele omogene i izotrope. Un fluid este omogen dac densitatea sa are aceea i valoare în orice punct din volumul ocupat de fluid. Un fluid este izotrop dac î i p streaz acelea i propriet i dup orice direc ie care str bate mediul fluid. Mecanica fluidelor se mai nume te i mecanica mediilor continue, deoarece un fluid umple complet spa iul în care este pus. Studiul fluidelor se face la nivel macroscopic, în sensul c o particul fluid con ine un num r considerabil de molecule. Particula fluid reprezint o por iune de fluid de form oarecare i dimensiuni arbitrar de mici, dar care p streaz propriet ile de mediu continuu ale fluidului. De obicei forma particulei este paralelipipedic , fiind adecvat efectu rii unor demonstra ii viitoare. Se deosebesc urm toarele modele de fluid: fluid u or (practic f r greutate): aerul, gazele; fluid greu (lichidele, eventual gazele foarte dense); fluid ideal – nu are proprietatea de vâscozitate; fluid real – fluid vâscos (modelul Newton); fluid incompresibil (modelul Pascal).

For ele care ac ioneaz asupra fluidelor sunt de urm toarele tipuri: for e masice exterioare ce ac ioneaz asupra întregii mase de fluid i sunt datorate unui câmp de for e exterioare; de exemplu: câmpul gravita ional, câmpuri electrice sau magnetice (dac fluidul are particule ionizate – aplica ie la generatoarele magnetohidro-dinamice); for e masice interioare – sunt de tipul ac iune-reac iune, se exercit între dou particule învecinate din fluid i se anihileaz reciproc; for e de presiune exterioare – se exercit pe suprafa a exterioar a fluidului i sunt, în general, for e de compresiune. Sunt de tipul for elor de leg tur din mecanica clasic . for e de presiune interioare – se exercit de o parte i de cealalt a unei suprafe e oarecare ce str bate fluidul (sunt orientate dup aceea i direc ie i de sensuri opuse i deci se anihileaz reciproc). Condi ia de echilibru a unui volum de fluid este:

Fm

Fp 0,

condi ie ce se men ine i în cazul în cazul în care fluidul se deplaseaz cu vitez constant (mi carea uniform ). Ecua ia de mi care pentru fluidul ideal este:

Fm

Fp m a ,

valabil în cazul unei mi c ri uniform variate. Corespunde principiului al doilea al mecanicii. Presiunea într-un punct din mediul fluid este o m rime scalar . Cu alte cuvinte, din orice direc ie ne apropiem de punctul respectiv, vom reg si în locul respectiv aceea i valoare a presiunii.

Propriet ile generale ale fluidelor 1.Densitatea Pentru un fluid neomogen, densitatea este limita raportului dintre masa de fluid din jurul punctului considerat i volumul de fluid corespunz tor atunci când acest volum tinde c tre 0, adic : lim v

0

m v

dm dv

Pentru un lichid omogen: m v

kg m3

Inversul densit ii este volumul specific: 1

v

utilizat de obicei în procesele termodinamice ale aburului. Densitatea unui fluid variaz cu temperatura dup formula: 0

1

t

unde:

t

densitatea la 0 C densitatea la temperatura coeficientul de dilatare în volum al fluidului.

Daca cre te volumul V cre te, m=ct.

0

sau,urmând un alt ra ionament,daca scade.

cre te

Densitatea lichidelor este, practic, constant la varia ia de presiune. Cu alte cuvinte, lichidele pot fi considerate incompresibile. Densitatea gazelor este foarte variabil la modificarea presiunii i deci gazele sunt foarte compresibile.

Pentru calculele la care este suficient o precizie de dou zecimale, se poate considera c valoarea densit ii apei în intervalul de temperaturi uzual 0-20 C este:

1000

H 2O

kg m3

2.Greutatea specific Pentru un fluid neomogen, greutatea specific este limita raportului dintre greutatea de fluid din jurul punctului considerat i volumul corespunz tor, atunci când volumul tinde c tre 0. lim v

0

G v

dG dv

Pentru un fluid omogen:

G v Considerând

N , unde m3 m g v

reprezint greutatea unit ii de volum. i

m v

Considerând g = 9,81 m/s2 , rezult

9810

H 2O

3.Compresibilitatea izoterm

v Este caracterizat de formula: v

g.

rezult

p

N . m3

Dac se produce o cre tere de presiune în exteriorul volumului de fluid considerat, p>0 atunci se constat o mic orare a volumului de fluid, V<0, i invers, dac p<0 V>0. Formula anterioar arat c varia ia relativ a volumului de fluid este direct propor ional cu varia ia de presiune, prin intermediul coeficientului de compresibilitate izoterm . La o cre tere a presiunii din jurul fluidului de exemplu, loc o comprimare rapid a acestuia, fapt ce se realizeaz la o temperatur constant i de aceea compresibilitatea este izoterm . Se poate deduce expresia coeficientului : 1 v v p Pentru un volum infinitezimal se scrie expresia coeficientului func ie de diferen ialele volumului i presiunii: 1 dv v dp Coeficientul de elasticitate al fluidului este dat de: 1

dp dv Se exprim sub alt form , pentru a demonstra c în cazul transmiterii de unde în interiorul unui lichid, acesta nu mai poate fi considerat incompresibil, lucru ce se face în mod uzual. Pentru a demonstra acest lucru se porne te de la considerentul c masa de fluid luat în discu ie este constant . m ct dV Vd 0 dV Vd dm 0 d V 0 dp V d dV d Viteza sunetului într-un mediu fluid este: c

dp d

v

1 d dp

Rezult c pentru fenomenul de transmitere de unde sonore în lichid, acesta nu mai poate fi considerat incompresibil.

Se demonstreaz prin reducere la absurd: Dac

ct

d dp

0

, ceea ce este practic imposibil.

c

Se deduce deci c pentru fenomenul transmiterii de unde sonore într-un lichid, acesta trebuie considerat compresibil. În aceast situa ie viteza sunetului ce se transmite prin lichid va avea o valoare finit . Se define te num rul lui Mach: Ma

v , c

unde: v - viteza fluidului sau a corpului care evolueaz în mediul fluid, c - viteza sunetului în mediul respectiv

Se ob ine: Ma 1 v c - pentru curgerea subsonic - pentru curgerea supersonic Ma 1 v c , deci de exemplu, corpul se deplaseaz prin mediul fluid cu o vitez mai mare decât viteza sunetului.

4.Dilatarea termic Varia ia relativ a volumului de fluid este direct propor ional varia ia de temperatur : V V0

T

t

cu

,

unde V0 reprezint volumul ini ial de fluid. Se observ , de exemplu, c la o cre tere a temperaturii, are loc o cre tere a volumului de fluid considerat. Rela ia se poate prelucra sub forma: V1 V0 V0

t

T

;

V1

V0 1

tt

T

unde Vf reprezint volumul final de fluid. 5.Adeziunea la suprafe e solide Se constat experimental c un strat de fluid din imediata apropiere a unei suprafe e solide r mâne în repaus împreun cu suprafa a, eventual execut acela i tip de mi care o dat cu suprafa a. Se spune c stratul de fluid ader la suprafa a solid . Grosimea acestui strat de fluid este 1100 dintr-un milimetru.

Se observ din figura precedent c straturile de fluid superioare stratului aderent încep s se mi te, viteza acestora crescând treptat, pe m sura dep rt rii de corpul solid.

6.Vâscozitatea Se deosebesc vâscozitatea cinematic N s m2

;

kg m s

m2 s

i vâscozitatea dinamic

.

M rimea vâscozit ii semnific intensitatea frec rii ce se produce la curgerea fluidului. Odata cu sc derea temperaturii, vâscozitatea lichidelor cre te, iar a gazelor scade. Între cele dou vâscozit i exist rela ia: Se disting dou tipuri de fluide : -fluide ideale (f r vâscozitate). Nu exist frec ri i nici pierderi de energie în cazul curgerii acestora. -fluide reale (au proprietatea de vâscozitate). Cu ajutorul vâscozit ii se pot determina eforturile tangentiale, fortele de frecare i pierderile de energie. Calculul efortului tangen ial Formula efortului tangen ial a fost dedus cu ajutorul experien ei lui Newton. În cadrul experien ei se consider dou pl ci plane, solide: cea de jos în repaus iar cea de sus în mi care rectilinie uniform , conform figurii:

Placa superioar ce se g se te în mi care rectilinie i uniform cu viteza U antreneaz în mi care uniform cu aceea i vitez primul strat de fluid, datorit propriet ii de adeziune. Acesta, prin intermediul eforturilor tangen iale , antreneaz succesiv la rândul lui urm toarele straturi, a c ror vitez descre te îns liniar , pe m sura apropierii de placa de baz fix . Stratul inferior de fluid ader la placa fix i r mâne deci în repaus. S-a constatat c efortul tangen ial este o func ie de varia ia de viteze dintre straturi estimat cu ajutorul derivatei i este propor ional cu vâscozitatea dinamic a fluidului, : du dy

u y

Aproximarea diferen ialelor cu ajutorul diferen elor se face în cazul în care distan a h se poate considera suficient de mic . La contactul dintre dou straturi învecinate, efortul se poate exprima cu: du dy

În cazul experien ei, considerând h mic, rezult : U , h

unde U este viteza p r ii mobile. Se poate determina în continuare for a de frecare ce apare la curgerea fluiduluicu rela ia:

Ff

A

A fiind suprafa a unei pl ci aflat în contact cu fluidul. 7.Conductibilitatea termic Este proprietatea fluidului de a transmite c ldur . Intereseaz de obicei determinarea temperaturii unui anumit strat din interiorul unui mediu fluid prin care se transmite c ldur . Transmiterea de c ldur poate fi caracterizat de fluxul termic q a c rui sens, de la placa mai cald spre placa mai rece este precizat în figura urm toare:

Pentru determinarea temperaturii , corespunz toare unui strat situat la distan a y de placa de baz , ce are temperatura cea mai mic , ’ , se face asem narea triunghiurilor dreptunghice din figur : Se ob ine: | ||

|

y h

y

Fluxul termic de la placa superioar la cea inferioar este dat de formula lui Fourier :

q

kq

h

.

Semnul minus arat c fluxul termic se transmite în sens invers axei Oy. kq reprezint coeficientul de conductibilitate termic . 8.Difuzia masic Difuzia masic este proprietatea unui fluid de a se r spândi în interiorul uni alt fluid, proces datorat agitatiei termice moleculare Se pune problema determin rii concentra iei fluidului F1 ce difuzeaz într-o anumit zon ocupat de fluidul F2. În cazul unui vas umplut par ial cu alcool de exemplu, deasupra c ruia se g se te aer, se poate determina concentra ia alcoolului difuzat în aer, la o anumit distan de suprafa a liber a alcoolului. În vecin tatea suprafe ei libere a alcoolului din vas vaporii de alcool au o concentra ie de satura ie, ce reprezint de fapt concentra ia maxim a vaporilor de alcool. La distan a maxim de suprafa a liber a lichidului concentra ia are valoarea minim C .

Se dore te determinarea concentra iei vaporilor de alcool în aer într-un strat oarecare, orizontal, figurat pe desen cu linie întrerupt .

F când asem narea triunghiurilor dreptunghice din figur , rezult : C C CS C

Fluxul masic

m

h y h

C Cy

este dat de legea lui Fick: m

km

C h

i se produce în sensul pozitiv al axei Oy, adic din zona cu concentra ie de alcool mai mare spre zona cu concentra ie minim . km reprezint coeficientul de difuzie masic .

Propriet ile fizice specifice lichidelor 1.Tensiunea superficial Se constat experimental c suprafa a liber a unui fluid se g se te întro stare de tensiune asem n toare cu a unei membrane elastice întinse. For a care se exercit pe unitatea de l ime la suprafa a exterioar a fluidului este coeficientul de tensiune superficial . Ca urmare a ac iunii tensiunii superficiale, la suprafa a liber r mâne un num r minim de particule, cât sunt absolut necesare pentru a forma aceast suprafa . Din acest motiv, volume mici de lichid iau forma sferic , (eventual elipsoidal ), tiut fiind faptul c sfera este corpul geometric cu volum maxim la suprafa exterioar minim . (O pic tur de ap aflat în c dere, pic turi de ap pe fundul unui vas cu ulei) O suprafa exterioar a unui volum mic de lichid corespunde unei energii superficiale minime:

W

A

Se poate deduce diferen a de presiune dintre zona interioar a fluidului i cea exterioar cu ajutorul formulei lui Laplace:

p1

1 R1

p2

1 – pentru elipsoidul din figur . R2

Dac R1 R2 R elipsoidul devine sfer p1

p2

2 R

i se ob ine:

2.Capilaritatea Eeste o consecin a propriet ilor de adeziune i tensiune superficial . Se constat c lichidele cu densitate mic urc în tuburile capilare ce au diametrul interior de ordinul zecimilor de milimetri, cu o cot h fa de suprafa a liber a lichidului, conform figurii a.

figura a

figura b

Lichidele cu densitate mare coboar în tuburile capilare cu o cot h, conform figurii b. Citirea în l imilor coloanei de lichid denivelate, h, se face plecând de la planul suprafe ei libere a lichidului pân la planul orizontal tangent la suprafa a liber a lichidului din tub. Pentru determinarea cotei h se egaleaz rezultanta for elor de tensiune superficial calculat pe circumferin a suprafe ei libere, cu greutatea volumului de lichid ce a urcat în tubul din figura a: 2

2

r

r

cos

m g

cos

formula lui Jourin : h

v g

r2 h g 2

cos r g

3.Absob ia gazelor Fenomenul de absorb ie a gazelor într-un lichid se produce odat cu cre terea presiunii sau sc derea temperaturii. Apa, în condi ii normale de presiune i temperatur , con ine 2% aer. 4.Degajarea gazelor i cavita ia Degajarea gazelor se produce odat cu sc derea presiunii sau cre terea temperaturii din jurul mediului lichid. (de exemplu fierberea apei) Cavita ia este fenomenul ce se produce la sc derea presiunii pân la nivelul presiunii de vaporizare al lichidului. În aceste condi ii, se formeaz cavit i în interiorul lichidului aflat în curgere, care sunt umplute cu gaze con inute anterior în lichid, cavit i ce se reabsorb cu cre terea ulterioar a presiunii. Fenomenul este înso it de procese mecanice (presiuni foarte mari), chimice (se dagaj oxigen activ), termice (temperaturi locale de mii de grade), electrice (fulgere în miniatur ), ce conduc împreun la distrugerea materialului metalic. Distrugerea palelor rotoarelor de pomp cuplate la motoare asincrone conduce la asimetrii în masa acestora, ce conduc la b t i în lag re i obligativitatea opririi instala iei i înlocuirea rotorului, cu costuri ridicate pentru pies i manoper . În mod similar se poate produce distrugerea palelor rotoarelor de turbin , în special la turbinele de abur, la ie irea din ultima treapt , cea de joas presiune, turbine cuplate la generatoare sincrone, cu pagube similare. Pentru evitarea fenomenului de cavita ie, se asigur de regul în amonte de zona periclitat , o presiune suficient de mare, pentru a nu sc dea presiunea în zona critic pân la valoarea presiunii de vaporizare.

Statica fluidelor Se consider c asupra fluidului în repaus ac ioneaz for ele masice exterioare i for ele exterioare de presiune. Pentru o mas infinitezimal de fluid în repaus, ecua ia vectorial de echilibru este : d Fm + d Fp = 0 Ecua iile de repaus ale fluidelor Se consider o particul infinitezimal , paralelipipedic , de dimensiuni dx, dz i dy i se figureaz toate for ele exterioare ce ac ioneaz asupra particulei:

Particula este de dimensiuni infinitezimale deoarece în acest mod se poate considera c presiunea p din origine se reg se te cu aceea i valoare pe toate cele trei fe e ce con in originea. În acest mod se poate aplica formula cea mai simpl de calcul a for ei, ca produsul dintre presiune i suprafa a aferent .

Pe fe ele opuse presiunea sufer modific ri (de exemplu, pe direc ia Ox p dx ). x

avem varia ia de presiune

For a masic infinitezimal este dat de: d Fm

f m dm

unde f m este for a masic unitar (pentru care masa m = 1):

f m X i Y j Zk X, Y i Z sunt componentele for ei masice unitare (masa este considerat egal cu unitatea i atunci fm devine o for ) dup cele trei direc ii asociate cu versorii i,j i k. Diferen iala masei fluidului din particul este dat de: dm dV dxdydz Se ob ine for a masic infinitezimal , respectiv componentele ei dup cele trei axe:

d Fm

Xi

Yj

Zk

dxdydz

dF mx

X

dxdydz

dF my

Y

dxdydz

dF mz

Z

dxdydz

Componenta for ei de presiune dup axa OX se deduce f când bilan ul for elor orientate dup axa respectiv din figur : dFpx

pdydz

p dx dydz x

p

p dxdydz x

Componentele dup axele OY i OZ se deduc în mod analog. Se scrie ecua ia vectorial ini ial dup cele trei direc ii f când înlocuirile componentelor de for i rezult : Ecua iile de repaus :

Ox : X

dxdydz

Oy : Y

dxdydz

Oz :

dxdydz

Z

p dxdydz x p dxdydz y

0

X

1 p x

0

0

Y

1 p y

0

p dxdydz z

0

Z

1 p z

0

1 p x 1 p y 1 p z

X

i

Y

j

Z

k

Prin înmul irea ecua iilor cu versorii axelor i adunarea celor trei ecua ii membru cu membru rezult : 1 p p p i j k Xi Y j X k x y z i utilizând gradientul presiunii se ob ine în final ecua ia vectorial a fluidului: 1 gradp f m Aceasta semnific echilibrul în spa iul tridimensional al for elor unitare de presiune cu for ele masice unitare ce ac ioneaz asupra fluidului din particula considerat ini ial. Utilizând propriet ile de omogenitate i izotropie ale mediului fluid, se deduce faptul c ecua iile anterioare deduse pentru o particul de fluid sunt de fapt valabile pentru întregul fluid aflat în repaus.

Rela ia fundamental a staticii fluidelor Se porne te de la ecua ia vectorial de echilibru dedus anterior: 1

gradp f m

Pentru a putea integra ecua ia vectorial este necesar s se exprime for ele masice unitare tot cu ajutorul unui gradient: fm

gradU

unde U poten ialul for elor masice unitare. Se ob ine prin înlocuire în ecua ia vectorial : 1

gradp gradU

0

1

gradp

gradU dr

0

Se calculeaz ca exemplu: p i x

gradp dr

p j y

p k dxi dy j dzk z

p dx x

p dy y

p dz dp z

gradp dr dp

i se ob ine: 1

dp dU 0 - rela ia fundamental a staticii sub form diferen ial

iar prin integrare se ob ine: dp

U ct - rela ia fundamental a staticii sub form integral .

Se deduc în continuare diversele forme ale rela iei fundamentale a staticii. 1.Rela ia fundamental a staticii pentru fluide incompresibile

Pentru fluidele incompresibile p

U ct

= ct. i efectuând integrala rezult : p

U

ct

2.Transformarea izoterm a gazelor

Rela ia fundamental în cazul repausului izoterm al fluidelor u oare se deduce în condi ia T ct pentru care pV ct i considerând c masa de gaz nu se schimb în cursul transform rii, m ct , se ob ine: p m p ct ct Ecua ia de transformare a st rii gazului fa de starea ini ial , a c rui parametri termodinamici sunt nota i cu indicele 0, este: p

p0 0

p

p0

p0

dp

0

d

0

p0 d

p0

U ct

0

ln

U ct

0

i în final: p0

ln

U ct

0

3.Transformarea adiabatic a gazelor

pV k

ct

k

p

m

k

p

ct

K

p0

k

k 0

p0 k 0

p0 K 0

p

ct , m ct dp k 1

k 2

k

d

k k 1

d

k

p0 k 0

k

ct k 1

d

U ct U ct

K 1

U ct

4.Transformarea politrop a gazelor pV n ct , cu n exponentul politropic. Se ob ine în mod analog: p0 n n 1 U ct n n 1 0

Calculul poten ialului for elor masice unitare fm

gradU

gradU

f

gradU dr

m

f m dr

dU X i Y j Z k dx i dy j dz k Xdx Ydy i se ob ine expresia poten ialului for elor masice unitare: U

( Xdx Ydy

Zdz

Zdz )

Consecin ele rela iei fundamentale ale repausului fluidelor 1.Suprafe ele echipoten iale U ct sunt i suprafe e izobare : p

U ct

ct

2.Suprafe ele echipoten iale U ct sunt i suprafe e izodense: ct 3.Suprafe ele echipoten iale sunt i suprafe e izoterme: T ct 4.Dou suprafe e echipoten iale nu se intersecteaz . Prin reducere la absurd, în cazul în care suprafe ele s-ar intersecta, se deduce c în zona intersec iei am avea dou presiuni, ceea ce este imposibil . Deci suprafe ele echipoten iale nu se intersecteaz . 5.For a masic unitar este orientat perpendicular pe suprafa a echipoten ial în sensul cre terii presiunii i scaderii poten ialului. 6.Dou lichide nemiscibile au suprafa a de separa ie echipoten ial . - pentru primul lichid ob inem: dp 1U dU 0 U ct 2 1 dU 0 dp - pentru al doilea lichid: 2U 7.Într-un fluid în repaus, în care for ele masice sunt neglijabile în raport cu cele de presiune, se consider c presiunea r mâne constant în întreg volumul de fluid considerat. f

m

0 , din f m

gradU

gradU 0

p

p ct U ct U ct principiul lui Pascal

Aplica ii ale principiului lui Pascal 1.Presa hidraulic

Deoarece for ele de presiune sunt foarte mari fa de for ele masice se poate considera c presiunea p ct în toat masa de lichid. Atunci se ob ine:

F2 F1 S F2 F1 2 S 2 S1 S1 Se aplic conservarea momentului for elor fa de articula ia 0: Fa b

F1 b

F1 F

a b b

F2

F

a b S2 b S1

F

2.Amplificatorul hidraulic de presiune

Se consider c for a transmis prin bara rigid , orizontal , ce leag pistoanele din cei doi cilindri de diametre interioare diferite este constant : S p2 p1 1 p1 p2 S 2 p1 S1 F ct S2 S-a ob inut astfel o presiune mult mai mare p2 fa de presiunea p1.

Repausul fluidelor în câmpul gravita ional

p

U ct

fm X i Y j Z k gk U = ( Xdx Ydy Zdz ) = - gdz = gz + ct S-a considerat c X = Y = 0 deoarece nu exist atrac ie pe orizontal în câmpul gravita ional.

p

U ct

p

gz ct

U gz ct Deoarece g

p

z ct sau

p

z ct

Interpretarea energetic a rela iei fundamentale:

p

z ct

p z ct g

g

p mg z mg ct g m V

p g

Vg z mg ct

pV mgz ct Suma dintre energia de presiune si cea poten ial r mâne constant . Principiul vaselor comunicante:

p z ct p pat ct

z ct

Se constat deci c în cazul în care pe suprafe ele libere ale lichidului din cele dou vase comunicante ac ioneaz aceea i presiune, lichidul se ridic la acela i nivel în fiecare vas.

Calculul presiunii în interiorul unui lichid în repaus :

p z ct pM z N pN zN pM pN zN zM pM pat h pM pat gh

pN

h

Reparti ia de presiuni pe pere ii solizi ai unui rezervor Deoarece presiunea cre te liniar cu adâncimea conform ultimei rela ii, se ob ine o reparti ie triunghiular de presiuni cu unghiul la vârf dat de:

tg

h h

Reparti ia de presiuni pentru trei lichide nemiscibile (ce nu se amestec ) se ob ine inând cont c lichidul cu greutate specific mai mare se las la fundul vasului iar cel cu greutate specific mai mic se ridic la suprafa .

Unghiul la vârf cre te cu adâncimea, deci odat cu cre terea greut ii specifice a lichidului respectiv. Presiunea la baza rezervorului se ob ine ca sum a presiunilor data de cele trei coloane de lichid suprapuse (suma segmentelor de la baz din dreapta desenului).

Repausul relativ al fluidelor în câmpul gravita ional Un fluid se g se te în repaus relativ, dac se afl în repaus fa de un sistem de referin mobil, aflat în mi care uniform variat fa de un alt sistem de referin fix. Exemple: - lichidul dintr-un camion aflat în mi care uniform accelerat . - lichidul dintr-un vas aflat în mi care circular uniform . Pentru a analiza situa ia ne putem situa pe sistemul de referin fix (p mânt) pentru care se aplic principiul al II-lea al dinamicii (lichidul se mi c o dat cu vehiculul respectiv) sau ne situ m pe observatorul mobil unde apare for a de iner ie si pentru care:

F 0 : Fm Fp

Fi 0

Fi

ma

Fm Fp ma

Consider m c observatorul se g se te pe sistemul mobil, deci se ia în considerare for a de iner ie, pentru care ecua ia vectorial de echilibru este : 1 gradp f m fi Se ob ine în mod analog cu repaosul absolut rela ia fundamental a repausului relativ:

p

UT ct

unde UT este poten ialul total al for elor masice unitare i al for elor unitare de iner ie i este dat de:

UT U U i Pentru a efectua calculele într-o situa ie practic concret se determin ini ial expresia poten ialului total i apoi prin înlocuirea acestuia în rela ia fundamental a repaosului relativ se poate ob ine reparti ia de presiuni pe pere ii solizi cu care fluidul se afl în contact, respectiv zona solicitat la presiune maxim , deci cea care poate ceda prima la solicit ri.

Analiza mi c rii de transla ie a unui rezervor umplut par ial cu lichid

Problema se rezolv în dou etape: 1.Determinarea ecua iei suprafe ei libere: Se porne te de la rela ia fundamental a repaosului relativ: p

UT

ct

i se determin expresia poten ialului total cunoscând componentele for ei masice unitare i ale for ei unitare de iner ie: UT

(X

fm

X i )dx

X

0

Y

0

Z

Y

fi g

Yi dy

Z

Xi

a

Yi

0

Zi

0

gz

ct

Z i dz

Prin înlocuire rezult : UT

( adx

gdz )

ax

Deoarece pe suprafa a liber a lichidului presiunea este constant egal cu cea atmosferic : p

p at

i

ct

se deduce prin înlocuire în rela ia fundamental a repaosului relativ c : UT

ct

Cu alte cuvinte, suprafa a liber poten ial total constant.

a lichidului este o suprafa

de

Se deduce ca urmare ecua ia suprafe ei libere a lichidului utilizând faptul c punctul A se g se te pe aceast suprafa : ax

Pentru A

gz

a

C

b , h0 2

b 2

ax

gh0 gz

C a

b 2

gh0

z

a x g

ab 2g

h0

Aceasta este de fapt ecua ia unei drepte cu pant negativ corespunde suprafe ei libere a lichidului din desenul prezentat anterior.

ce

2.Reparti ia de presiuni în interiorul lichidului i pe pere ii solizi Prin înlocuirea formei finale a poten ialului total în formula presiunii se ob ine: p

ax

gz

C2

Punând din nou condi ia ca punctual A s se g seasc pe suprafa a liber , la presiunea atmosferic , se ob ine: p at

ab 2

gh0

C2

p

p at

ab 2

gh0

ax

gz

adic presiunea în interiorul lichidului i pe pere ii solizi interiori este o func ie liniar de dou variabile spa iale, p p x, z . Punând condi iile necesare pentru fiecare parte a suprafe ei solide cu care lichidul vine în contact, se ob ine în final reparti ia de presiuni pe pere ii rezervorului:

Se observ c zonele cele mai solicitate sunt cele corespunz toare muchiilor ce trec prin origine i extremitatea jos dreapta. Se vor lua m surile adecvate pentru a spori rezisten a rezervorului în zonele respective.

Ac iunea fluidelor în repaus asupra suprafe elor solide Prin analogie cu mecanica clasic se poate considera c ac iunea fluidului poate fi caracterizat de o for rezultant i un moment rezultant ce formeaz împreun un torsor. Se consider ini ial for a cu care ac ioneaz fluidul asupra unui element de suprafa infinitezimal: d Fp p ndS deci pe acea suprafa infinitezimal pe care presiunea p se poate considera constant . For a total pe întreaga suprafa este atunci:

Fp

p ndS S

iar momentul corespunz tor tuturor for elor de presiune este: M

r

p ndS

M

S

n r pdS S

1.Ac tiunea fluidelor în repaus asupra suprafe elor plane

Pe o suprafa plan , normala n are aceea i orientare constant : Fp

n pdS S

iar momentul tuturor for elor devine: M n

r pdS S

Pentru determinarea vectorului de pozi ie corespunz tor punctului de aplica ie al rezultantei rC , C centrul de presiune se aplic :

Teorema lui Varignon: Momentul rezultantei este egal cu suma momentelor tuturor for elor ce ac ioneaz asupra fluidului considerat. M rC

M rC Fp

n pdS

n rC pdS

S

S

Se egaleaz cele dou expresii ale momentului i r pdS rC

S

pdS S

1.1.Ac iunea fluidelor u oare în repaus asupra suprafe elor plane

În cazul fluidelor u oare se poate considera c presiunea în întreg mediu fluid este constant i ca urmare i presiunea poate ie i în fa a integralei: Fp n pdS Fp np S Fp pS p ct S

For a cu care ac ioneaz un fluid u or asupra unei suprafe e solide plane este deci egal cu produsul dintre presiunea fluidului u or i aria suprafe ei solide pe care ac ioneaz acesta. Pentru determinarea vectorului de pozi ie al centrului de presiune, punctul de aplica ie al for ei rezultante: r pdS -din

rC

S

pdS

rdS

p rdS rC

i cu p ct

S

S

p dS S

rC

rG

rC

S

dS

rG S S

S

C G

Centrul de presiune coincide deci cu centrul de greutate al suprafe ei pe care ac ioneaz fluidul u or. Deoarece s-au dedus atât modulul for ei de presiune cât i punctul de aplica ie al acesteia, problema se consider rezolvat .

1.2.Ac iunea fluidelor grele în repaus asupra suprafe elor plane

Deoarece pat ac ioneaz totodat sub suprafa a solid , se ia în considerare numai efectul presiunii date de lichid (suprapresiunea).

pabs pat Fp

h , suprapresiunea este p

n hdS

n

S

y sin

dS

Fp

h n sin

S

ydS S

ydS -este momentul static al suprafe ei S fa de axa Ox. S

ydS YG S S

n sin

Fp

ydS S

Fp

n sin YG S

Fp

n hG S

Modulul for ei de presiune este deci Fp = hGS , unde: hG este distan a de la planul suprafe ei libere a lichidului pân la centrul de greutate al suprafe ei udate de lichid (sau adâncimea centrului de greutate al suprafe ei udate). S este aria suprefe ei udate de lichid. r hdS rC

S

r y sin

dS

S

S

hdS S

Se determin presiune C .

r y dS

y sin S

dS

y dS

ry dS rC

S

YG S

S

separat coordonatele carteziene ale centrului de

xydS

Ixy YG S YG S unde Ixy este momentul de iner ie centrifugal al suprafe ei S fa sistemul de axe. y 2 dS XG

S

YG

de

S

YG S unde Ix este momentul de iner ie centrifugal al suprafe ei S fa de axa Ox. Pentru a putea exprima momentul de inertie cu formule cunoscute, se trece de la sistemul de axe xOy la sistemul x'Gy' aplicând teoremele lui Steiner. Ixy X G YG S Ix' y' Ix YG2 S Ix' Ix' y' XC XG YG S Ix' YC YG YG S

sunt coordonatele centrului de presiune C , unde se aplic for a rezultant Fp .

Aplica ie: Ac iunea apei asupra dreptunghiulare a unei stavile.

suprafe ei

solide

plane

verticale

i

For a de presiune se poate calcula cu ajutorul presiunii medii cu care lichidul ac ioneaz asupra stavilei:

h2b h 0 Fp pm S bh , Fp 2 2 Coordonata vertical a centrului de presiune se determin cu ajutorul diagramei triunghiulare de suprapresiuni din desenul anterior ce are rezultanta situat la dou treimi din adâncime fa de suprafa a liber a lichidului i evident la o treime de baz : 2h YC 3 Metoda a II-a: Se aplic formule deduse în curs i rezult : Fp

XC

hG S , Fp

0 ,

h2b 2

YC YG

Ix' YG S

h 2

bh3 12 h h 2h h 2 6 3 bh 2

2.Ac iunea fluidelor în repaus asupra suprafe elor curbe deschise 2.1.Ac iunea fluidelor u oare în repaus asupra suprafe elor curbe deschise

Deoarece curbura unei suprafe e poate sa fie oarecare în spa iu, este de preferat s se determine separat componentele dupa cele 3 axe ale for ei de presiune i s se determine ulterior rezultanta . Componentele for ei elementare sunt: dFpx dFp i

p n idS

n i 1 1 cos dFpx pdS cos dFpx

pSyOz Rezult for ele:

Fpx

pdSyOz S yOz

Fpy

pdSxOz SxOz

Fpz

pdSxOy SxOy

Vectorii de pozi ie se calculeaz în mod similar cu cazul suprafe ei plane, cu precizarea c integralele se efectueaz pe proiec iile suprafe ei curbe deschise în cele 3 plane de coordonate x, y i z.

p ct Fpx

pdSyOz S yOz

Fpx

pSyOz

Fpy

pSxOz

Fpz

pSxOy

S yOz este de exemplu aria proiec iei suprafe ei curbe udate în planul

yOz. 2.2.Ac iunea fluidelor grele în repaus asupra suprafe elor curbe deschise

În mod similar cu procedeul aplicat în cazul ac iunii lichidelor asupra suprafe elor plane se deduc expresiile componentelor de for dup cele trei direc ii ale sistemului triortogonal:

Fx

ZG S yOz

Fy

ZG SxOz

Fz

V

,

rC

rG

unde ZG este adâncimea centrului de greutate a suprafe ei curbe udate în planul yOz iar V estevolumul cuprins între suprafa a curb udat i proiec ia ei în planul suprafe ei libere a lichidului (planul xoy). Componentele orizontale de for ac ioneaz în proiec iile centrului de greutate al suprafe ei udate în planele verticale. Componenta vertical de for orientat dup axa Oz ac ioneaz în centrul de greutate al volumului de lichid V.

3.Ac iunea fluidelor în repaus asupra suprafe elor curbe închise 3.1.Ac iunea fluidelor u oare în repaus asupra suprafe elor curbe închise

Rezultanta for elor de presiune dat de fluidul u or este nul . (exemplu: o minge aflat pe o suprafata plan în interiorul unui gaz se men ine în repaus). Aceasta este totu i o aproxima ie inginereasc deoarece pe vertical asupra mingii ac ioneaz o for vertical extrem de mic , datorit faptului c mingea dislocuie te un anumit volum de gaz. 3.2.Ac iunea fluidelor grele în repaus asupra suprafe elor curbe închise

Principiul lui Arhimede

For ele ce ac ioneaz asupra corpului sferic cufundat în lichid sunt: Fz1 V1 Fz2 V2 V V1 iar rezultanta lor este: Fz Fz1 Fz2 V Fz V din care rezult principiul lui Arhimede: “Un corp cufundat într-un lichid este împins de jos în sus cu o for egal cu greutatea volumului de lichid dislocuit.” Se poate face demonstra ia matematic i în urm torul mod, plecând de la formula general a for ei de presiune: Fp

npdS S

p

pat

z

Fp

gradp dV V

gradp Fp

p i x k dV

S

p j y Fp

p k z

k

k dV

Fp

kV

S

i deci modulul for ei de presiune ce ac ioneaz asupra corpului cufundat în lichid este: Fp V Semnul minus semnific faptul c for a ac ioneaz în sens invers axei verticale, deci are tendin a de a scoate corpul din lichid.

Cinematica fluidelor Se ocup cu studiul mi c rii fluidelor f r a ine seama de for ele i transform rile energetice care apar. Se inten ioneaz determinarea i ale accelera iei vectoriale precum i componentelor vitezei vectoriale traiectoriile parcurse de particulele fluide. Mi carea se caracterizeaz sintetic prin spectrul hidrodinamic sau aerodinamic. Se consider c m rimile sunt func ii continue i derivabile în timp i spa iu i se aplic elemente de teoria câmpului. Formulele sunt valabile atât pentru fluidele ideale cât i pentru fluidele reale. Metode de studiu în cinematic 1.Metoda Lagrange În metoda Lagrange se urm re te fiecare particul pe traseul str b tut de aceasta, iar mi carea întregului fluid este caracterizat prin ansamblul traiectoriilor parcurse de particulele fluide. Pentru o particul , traiectoria este caracterizat de: X X X 0 , Y0 , Z0 , t Y Y X 0 , Y0 , Z0 , t , în care X 0 , Y0 si Z 0 sunt coordonatele ini iale Z Z X 0 , Y0 , Z 0 , t ale particulei la momentul t0 iar t este variabila temporal . Consider m c fluidul este format din N particule deci un ansamblu de N ecua ii de acest tip caracterizeaz mi carea fluidului. Din ecua iile traiectoriilor se deduc componentele vitezei vectoriale u, v, w Componentele de vitez dup cele trei direc ii ale sistemului de axe triortogonal sunt: u

X , v t

Y , w t

Z t

Componentele accelera iei vectoriale a a ax , a y , az sunt:

ax ay az

2

u t v t w t

X

t2 2 Y t2 2 Z t2

2.Metoda Euler În cadrul acestei metode se determin componentele de vitez în puncte fixe din spa iu în care se pot plasa aparate de m sur . u, v, w sunt func ii de 4 variabile, trei spa iale i una temporal :

u u X , Y , Z, t v v X , Y, Z, t w w X , Y.Z , t Din componentele de vitez se deduc traiectoriile din urm toarele ecua ii: dX dY dZ u , v , w dt dt dt Componentele accelera iei se deduc derivând componentele de vitez : du dv dw ax a a , y , z dt dt dt Pentru a efectua derivatele totale ale componentelor de vitez de calculeaz mai întâi diferen ialele acestora: u u u u dY dZ dX du dt Z X Y t du u u dX u dY u dZ ax dt t X dt Y dt Z dt ax ay az

du dt dv dt dw dt

u u u u u v w t t t dt v v v v u v w t t t t w w w w u v w t t t t

Calculul accelera iei vectoriale Se înmul esc componentele a x , a y , a z cu versorii i, j, k i se adun : a ax i a y j a z k u i t w

u i t

u i Z a a

t t

u i t

u

v j Z

w k Z

u

v

X dX X dt

Y

u i X

w

v j X

w k X

v

u i Y

v j Y

w k Y

Z

dY Y dt

dZ Z dt

d dt

X , Y, Z, t

Primul termen din accelera ia vectorial ,

, apare în cazul unei t mi c ri nepermanente i reprezint varia ia vitezei vectoriale în timp în anumite puncte fixe din spa iu iar urm torii 3 termeni reprezint varia ia vitezei vectoriale la deplasarea în spa iu. Primul termen reprezint accelera ia instantanee, iar ultimii 3 reprezint accelera ia convectiv . Accelera ia ob inut anterior corespunde unei mi c ri nepermanente i neuniforme. d 0 Dac mi carea este permanent , atunci dt Dac mi carea este uniform , atunci derivatele par iale în raport cu una sau mai multe variabile spa iale sunt nule. Mi carea cea mai simpl , permanent i uniform corespunde la a=0. No iuni generale de cinematic Curentul de fluid reprezint o mas de fluid aflat în mi care. Linia de curent reprezint înf ur toarea vectorilor vitez care se g sesc la un moment dat cu originea pe curba respectiv . Altfel spus, linia de curent este curba la care vectorii vitez corespunz tori particulelor fluide sunt tangen i la curb în punctele în care se g sesc particulele respective.

Ecua ia liniilor de curent Considerând c vectorul de viteza vectorului de pozi ie se ob in :

este paralel cu diferen iala

|| dr u, v, w dr dX, dY, dZ dX dY dZ - ecua iile linilor de curent. u v w

Doua linii de curent nu se intersecteaz niciodat . Daca s-ar intersecta, în punctul respectiv particula fluid ar avea dou viteze, fiecare vitez tangent la linia de curent corespunz toare, ceea ce este fals. Liniile de curent umplu complet spa iul în care evolueaz fluidul. Traiectoria reprezint drumul parcurs de particula fluid în mi care. Ecua iile traiectoriei se deduc plecând de la: dr dt dr r, t dt În mi carea permanent traiectoria coincide cu linia de curent. Sec iunea vie reprezint sec iunea str b tut de particulele de fluid în mi care, perpendicular pe liniile de curent corespunz toare.

A

R2

A bh

Perimetrul udat reprezint lungimea conturului solid cu care fluidul se g se te în contact în cadrul sec iunii vii.

P 2R

P b 2h

Raza hidraulic este raportul dintre sec iunea vie i perimetrul udat.

Rh

A R2 R P 2R 2

Rh

bh 2h b

Debitul volumic Q suprafa curb deschis .

reprezint fluxul vectorului vitez

Q

ndS

Q

n S

n

printr-o

dS , unde

n cos

n

Dac viteza este constant în orice punct al suprafe ei S , atunci:

Q

n

S

Q

S

În cazul unui circuit deschis debitul volumic se poate determina ca raportul dintre volumul de lichid scurs i timpul corespunz tor.

V Q t

m3 s

,

l s

Qm

m kg t s

QG

G N t s

debitul masic debitul de greutate

Circula ia vitezei de-a lungul unei curbe deschise AB este: B

B

ds A

t

ds

A

Vârtejul este dat de:

i 1 rot 2

1 2 X u

j

k

Y v

Z w

În leg tur cu vârtejul se poate enun a teorema lui Helmholtz: Fluxul vectorului vârtej printr-o suprafa curb închis este constant.

ndS ct S

dS

ct

pentru o suprafa foarte mic

Un vârtej nu se poate închide în interiorul fluidului. Daca s-ar închide în interiorul fluidului dS 0 , ceea ce este practic imposibil. Un vârtej se închide pe o suprafa solid cu care se învecineaz un fluid sau se închide în el însu i (vârtejuri toroidale). Din punct de vedere practic este bine ca în situa ia în care te prinde un vârtej dintr-un râu, s încerci s ie i cât mai repede din el. În caz contrar vârtejul te învârte te din ce în ce mai repede i te trage la o adâncime din ce în ce mai mare. În cazul tornadelor produse în atmosfer viteza maxim a vârtejului apare din p cate tocmai la nivelul solului, deoarece pe sol se închide vârtejul respectiv i din aceast cauz tocmai la acest nivel for a distrug toare este maxim .

Cinematica fluidelor Ecua ia de continuitate Ecua ia de continuitate reprezint principiul conserv rii cantit ii de fluid aflat în curgere. Prin cantitate se poate în elege volum, mas , greutate. Ecua ia de continuitate se ob ine f când un bilan al maselor. Diferen a dintre masa de fluid intrat i cea ie it dintr-un volum de fluid este egal cu varia ia de mas din interior datorat varia iei de densitate în timp. Ecua ia de continuitate în cazul tridimensional:

Aceast particul , de dimensiuni dx,dy i dz este infinitezimal , astfel încât si v pot fi considerate constante în raport cu dy de exemplu. Se face bilan ul maselor: Varia ia de mas dup direc ia axei Ox este: dm x

u

dxdydt

u u

x

dx dydzdt

Se deduc:

u

dm x

x v

dm y

y w

dm z

z

dxdydzdt dxdydzdt dxdydzdt

Se deduce varia ia total de mas : dm dmx

dm y

dmz

u

v

x

y

w

z

dxdydzdt

Masa ini ial din particul este: dmi dxdydz iar masa final : dm f

dt dxdydz t Se deduce a doua expresie a varia iei de mas : dm dmf

dmi

t

dt dxdydz

dxdydz

dm

dxdydzdt t Prin egalarea celor dou forme ale varia iei de mas ob ine ecua ia de continuitate sub forma:

t t

u

v

w

x

y

z

div

0

i simplificare se

sau:

0

În cazul unei mi c ri permanente

t

div

Pentru un fluid incompresibil

0 0

ct

div

0

sau:

u v w 0 x y z ce reprezint forma extins a ecua iei ce con ine varia iile de vitez . Aceste rezultat se extinde la nivelul întregului volum de fluid, având în vedere propriet ile de omogenitate i de izotropie ale fluidului. Ecua ia de continuitate în cazul tubului de curent:

Diferen a dintre masa intrat 1 1

ndS1

2

S1

2

i cea ie it în tub este:

ndS2 dt

V dS1

V dS2 dt

1 n1

S2

2 n2

S1

S2

Se determin ini ial varia ia de mas din interiorul particulei de fluid. În interior avem masa ini ial din volumul V: mi

dV , V

iar masa final este: mf

dt dV t V Diferen a dintre masa final mf

mi

dV V

V

t

i cea ini ial este:

dt dV V

t

dV dt

F când bilan ul maselor, cu alte cuvinte egalând cele dou forme ale varia iei de mas , rezult :

V

t

i prin simplificare rezult :

dV dt

V dS1

V dS2 dt

1 n1 S1

2 n2 S2

V

t

dV

V dS1

V dS2

1 n1

2 n2

S1

S2

Dac mi carea este permanent : Qm 0 1Vn1 dS1 2Vn 2 dS 2 t S1 S2 Dac fluidul este incompresibil: Qv Vn1 dS1 Vn 2 dS 2 ct ct 1 2 S1

ct

S2

Ecua ia de continuitate pentru tubul de curent elementar

Diferen a dintre masa intrat

Masa ini ial mi Sds

i cea ie it este: VS VS VSdt VS ds dt dsdt s s i cea final din tubul respectiv sunt:

S dt ds m t Din bilan ul maselor, rezult : S VS S dsdt dsdt t s t mf

S dt ds t

S

VS 0 s

Dac tubul este nedeformabil: VS S 0 S 0 t t s Dac mi carea este permanent :

t

0

-forma general

VS 0 t Qm 1V1S1

VS ct

V S 2 ct

2 2

Dac fluidul este incompresibil: Q V1S1 V2 S 2 ct

ct

Aceast form final a ecua iei de continuitate reprezint o formul foarte des utilizat de ingineri la calculul debitului volumic Q, în special în situa ia când fluidul circul printr-un circuit închis. Se poate face observa ia c , de exemplu, când sec iunea de curgere se mic oreaz , viteza fluidului trebuie s creasc astfel încât s se transporte acela i debit.

Dinamica fluidelor Se ocup cu studiul mi c rii fluidelor, inând cont de for ele i transform rile energetice care apar. Se analizeaz ini ial mi carea fluidelor ideale la care exist frec ri i pierderi de energie. Deducerea ecua iei de mi care a fluidelor ideale Se consider un volum oarecare de fluid aflat în mi care uniform variat . Se figureaz toate for ele ce apar asupra unui volum delimitat de fluid, de dimensiuni infinitezimale i se aplic principiul al II-lea al dinamicii.

Ecua ia vectorial de mi care (principiul al II-lea) este: d Fm

d Fp

dm a

În mod analog cu calculul efectuat la deducerea ecua iilor staticii fluidelor se determin expresiile for ei masice elementare i ale for ei elementare de presiune i apoi ale componentelor lor.

d Fm

f m dm

fm

dFmx dFmy

X dxdydz Y dxdydz

dFmz

Z dxdydz

dFpx

pdydz

dm

dV

p

dV

X i Y j Z k dxdydz

p dx dydz x

p dxdydz x

dxdydz

Din calculul efectuat la cinematic se utilizeaz expresiei componentei de accelera ie dup axa Ox: du ax dt F când înlocuirile în ecua ia vectorial de mi care se ob ine ecua ia corespunz toare axei Ox: p du X dxdydz dxdydz dxdydz x dt du p X prin împ r ire la : dt x du 1 p X dt x dv 1 p Y dt y dw 1 p Z dt z

- ecua ia corespunz toare axei Ox - ecua ia corespunz toare axei Oy - ecua ia corespunz toare axei Oz

Primul termen reprezint for a unitar instantanee de iner ie, al doilea for a unitar de presiune, iar membrul drept for a masic unitar . Aplicând formulele de la cinematic pentru derivatele totale ale componentelor de vitez rezult sistemul de ecua ii de mi care sub form extins :

u u u u 1 p u v w X t x y z x v v v v 1 p u v w Y t x y z y w w w w 1 p u v w Z t x y z z

Sistemul are 4 necunoscute: u, v, w i t se completeaz sistemul cu ecua ia de continuitate. u v w 0 t x y z Dac i densitatea este o necunoscut , atunci se completeaz sistemul p, T cu ecua ia de stare a gazelor: 5 ecua ii cu 5 necunoscute. formule Sistemul se rezolv exact în cazuri particulare de mi care analitice. În general, sistemul se rezolv cu metode numerice, alegând o re ea în care se precizeaz valorile ini iale i/sau la limit . Valorile ini iale u0 , v0 , w0 si p0 se precizeaz în cazul unei mi c ri nepermanente. O condi ie la limit pentru fluidele ideale este c viteza tangen ial a fluidului la suprafa a solid este diferit de zero, datorit absen ei frec rilor. Componenta normal a vitezei la suprafa a solid este îns nul . Ecua ia vectorial se ob ine înmul ind fiecare ecua ie cu versorul corespunz tor axei respective i adunând membru cu membru se ob ine: du dv dw i j k dt dt dt d dt

1

gradp f m

1

p i x

p j y

p k z

Xi Y j Zk

ecua ia vectorial de mi care.

Dinamica fluidelor Rela ia lui Bernoulli Aceast rela ie se ob ine efectuând integrarea ecua iilor de mi care a fluidelor ideale pe o linie de curent. Se porne te de la sistemul de ecua ii de mi care ala fluidelor ideale: u u u u 1 p u v w X t x y z x v v v v 1 p u v w Y t x y z y w w w w 1 p u v w Z t x y z z

Se pun urm toarele trei condi ii: 1.Mi carea este permanent : u t

v t

w 0 t

2.Mi carea se efectueaz pe o linie de curent: dx u

dy v

dz w

3.Pentru a exprima membrul drept al fiec rei ecua ii sub forma unei derivate, în scopul integr rii sistemului de ecua ii, se pune condi ia ca for ele masice s derive dintr-un poten ial.

fm fm

gradU

Xi Y j

gradU Zk

U i x

U j y

U k z

X Y Z

u u u 1 p v w x y z x v v v 1 p u v w x y z y w w w 1 p u v w x y z z

U x U y U z

u

U x U y U z

Prin înmul irea ecua iilor cu dx,dz i dy se ob ine sistemul: 1 p u u u U dx v dx w dx dx dx x y z x x v v v 1 p U u dy v dy w dy dy dy x y z y y w w w 1 p U u dz v dz w dz dz dz x y z z z Prin prelucrarea celei de-a doua condi ii se ob ine sistemul: u

u dy v dx u dz w dz v dz w dy

i prin înlocuire în prima ecua ie: u u

u u u dx u dy u dz x y z u dx x

u dy y

u dz z

1 p dx x 1 p dx x

U dx x U dx x

Se înlocuie te expresia din parantez cu diferen iala componentei vitezei vectoriale dup axa Ox, u. Se procedeaz în mod analog cu celelalte ecua ii i rezult în final sistemul:

1 p dx x 1 p v dv dy y 1 p w dw dz z

U dx x U dy y U dz z

u du

Prin adunarea celor trei ecua ii membru cu membru se ob ine: u du v dv w dw u2 d 2

1

p dx x

p dy y

p dz z

u 2 v 2 w2 d 2

1 2u du u du 2

U dx x 1

dp

U dy y

U dz z

du

Se înlocuie te expresia din parantez func ie de modulul vitezei vectoriale (vezi figura, în care viteza vectorial reprezint de fapt diagonala paralelipipedului dreptunghic i deci valoarea ei se ob ine cu formula corespunz toare de la geometria în spa iu). Ca urmare se ob ine rela ia în diferen iale care ulterior se integreaz :

u, v, w 2

d

v 2

1

dp dU 0

ct - pentru fluide incompresibile - pentru fluide care se afl în câmp gravita ional v2 2

1 v2 2g

dp gz ct p z ct g

v2 2

p

gz ct

- rela ia lui Bernoulli

v2 1 2 g

U

gz ,

g

p1 1 gz ct g g

Între punctele (1) i(2) situate pe o linie de curent, se ob ine: g

,

v12 2g

p1

z1

v22 2g

p21

z2

Interpretare energetic

i reprezentarea grafic a rela iei: v2 p z ct 2g Prin înmul ire cu produsul mg se ob ine rela ia energetic : p v2 mv2 mg Vg mgz ct pV mgz ct 2g g 2 Concluzie: suma dintre energia cinetic , energia de presiune i energia poten ial a fluidului r mâne constant (pentru un fluid ideal). -linia energetic -linia piezometric -linia de curent

În cazul fluidelor u oare, energia poten ial este neglijabil , deci termenul ce con ine cota z nu se mai ia în considerare. v2 2g

p g v12 2

v2 2

ct p1

v22 2

p

ct

p2

Aceasta reprezint deci rela ia lui Bernoulli pentru fluide u oare cum sunt aerul sau diverse gaze.

Teorema impulsului i teorema momentului cinetic Impulsul unui corp cu masa m i viteza vectorial v este m v , iar momentul cinetic corespunz tor este r m v . Impulsul total al unui sistem de corpuri este: H mv iar momentul cinetic total: K

r mv

Teorema impulsului se scrie sub forma: dH d Fe ; mv dt dt

Fe

Derivata în raport cu timpul a impulsului total este egal cu suma for elor exterioare care ac ioneaz asupra sistemului de corpuri. Teorema momentului cinetic se scrie sub forma: dK dt

Me ;

d dt

r mv

Me

Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic total este egal cu suma momentelor for elor exterioare care ac ioneaz asupra sistemului de corpuri. Pentru a ob ine expresiile acestor teoreme în cazul curgerii fluidelor se procedeaz în mod analog pentru un volum de fluid format din particule de mas elementar dm. Impulsul unei particule fluide este dm v . ct - pentru impulsul este: dV v

vdV

Momentul cinetic al unei particule fluide este: r dm v r v dV Prin analogie cu formulele din mecanica clasic prezentate anterior i valabile pentru sisteme de corpuri solide se deduc formulele valabile pentru fluide.

Impulsul total al întregului volum de fluid este: V

vdV

Teorema impulsului devine: d vdV Fe dt V Teorema momentului cinetic devine: d r vdV Me dt V Pentru a efectua integralele de volum se va considera curgerea unui fluid cu densitatea constant i se va apela la no iunea de tub de curent elementar pentru care i viteza iese în fa a integralei deoarece în cazul tubului de curent elementar devine o m rime constant în orice punct din sec iunea transversal pe direc ia de curgere. Teorema impulsului i teorema momentului cinetic pentru tubul de curent elementar

Q v2 v1

Fp1 Fp2 Fg Fe

Varia ia for elor de impuls este egal cu suma for elor exterioare ce ac ioneaz asupra volumului de fluid V. v2 i v1 - reprezint viteza de ie ire, respectiv intrare în volumul V de fluid de control. Fp1 i Fp2 - for ele cu care fluidul îndep rtat ac ioneaz asupra fluidului din volumul V. Fg - for a de greutate a fluidului considerat.

Fe - for a cu care pere ii solizi ac ioneaz asupra fluidului din volumul V. Se poate face înlocuirea: Fe R (R este for a cu care fluidul ac ioneaz asupra pere ilor) Teorema momentului cinetic se ob ine prin înmul irea cu vectorul de pozi ie corespunz tor a fiec rui termen din teorema impulsului: Q r2 v2 r1 v1 rp1 Fp1 rp2 Fp2 rg Fg re Fe Din teorema impulsului se deduce modulul for ei Fe sau a lui R` i din teorema momentului cinetic se determin vectorul de pozi ie re . Cunoscând modulul for ei i punctul s u de aplica ie, problema se consider rezolvat . EXEMPLE PRACTICE: Ac iunea apei asupra unui cot de conduct Se consider un cot de conduct de unghi situat în plan orizontal prin care trece debitul de ap Q, la presiunea constant p (fluid ideal).

- greutatea Fg se neglijeaz (este perpendicular pe tabl )

Dac sensul vectorilor coincide cu sensul axelor, atunci vectorii î i men in acela i semn în teorema impulsului. „Se proiecteaz ” teorema impulsului pe axe i rezult :

Q v2 cos

v1

Q v2 sin

Fp1 Fp2 cos Fp2 sin

Rx :Ox

Ry

:Oy

Deoarece cotul este în plan orizontal i are sec iunea transversal Q ct ; dac z ct v2 v1 v p=ct constant , atunci V S v=ct p1 p2 p Q v S ; Fp p S Rx

Qv 1 cos

Fp 1 cos

Qv Fp 1 cos

v 2 S pS 1 cos

0 Ry Qvsin Fp sin v 2 S pS sin 0 For a de impuls cu care apa ac ioneaz asupra cotului de conduct este: R

Rx2 Ry2

În cazul unor valori mari ale parametrilor de curgere, debit i presiune, aceast for poate atinge valori foarte mari, de ordinul tonelor for i ca urmare trebuie luate m suri practice pentru stabilitatea instala iei, de exemplu ancorarea corespunz toare a cotului de conduct . Influen a formai suprafe ei corpurilor fa de recep ionarea for ei de impuls For a de impuls ini ial a curentului de ap este:

F

Qv

1.For ta de impuls recep ionat este maxim (aproape dubl ) în cazul cupei de turbin Pelton, când avem interesul de a capta cât mai mult energie: Q v 2 v1 R R Rx

Situa ia ideal ar corespunde cazului

Q v1 v 2 Q Qv 2 v cos 2 Qv1 cos

0 , cos

1

Rx

2 Qv

2.For a de impuls recep ionat este constant în cazul pl cii plane verticale:

Q v2 v1 R Rx Qv 0 Qv

Suprafa a plan capteaz doar for a de impuls ini ial a unui jetului.

3.For a de impuls recep ionat este minim în cazul corpurilor cu forma frontal ascu it (vârful avioanelor de vân toare, al avionului supersonic Concorde, al vapoarelor, al ma inilor de curse):

Rx

Q v cos 2 Qv 1 cos 0 cos 1 Qv 2

Rx

0

Dinamica fluidelor reale Fluidele reale au proprietatea de vîscozitate, care produce frec ri i pierderi de energie. Experien a lui Reynolds În cadrul acestei experien e, se vizualizeaz modul în care curge un anumit fluid i în final se clasific curgerea fluidelor în urm toarele regimuri de curgere: laminar, tranzitoriu, turbulent. Instala ia cuprinde:

(1)- rezervor de nivel constant (men ine adâncimea apei constant , astfel încât viteza cu care intr apa în tubul de sticl este aproximativ 2gh i se ob ine în final un debit i un regim de curgere constant. (2)- dispozitiv de alimentare cu orificii multiple (3)- dispozitiv de preaplin. (evacueaz surplusul de debit) (4)- vas cu colorant (5)- tub injector (permite accesul coloran ilor în tubul de sticl ) (6)- tub de sticl pentru vizualizarea curgerii (7)- robinet pentru reglarea debitului (8)- mensur gradat pentru colectarea volumului de ap scurs din tubul de sticl într-un anumit timp. Se procedeaz dup cum urmeaz .

Se deschide robinetul (6) i se introduce colorant prin acul injector. La viteze i debite mici, colorantul are aspectul din prima figur i corespunde unui regim laminar. Particulele de fluid au o singur component de vitez Fluidul curge în straturi, nu exist schimburi de particule i de impuls între straturile de fluid. Se deschide în continuare robinetul (6) pân se observ oscila ii aleatorii ale firului de colorant ca în a doua figur ce corespunde unui regim tranzitoriu. Apar pulsa ii de vitez dup alte direc ii decât direc ia curgerii ce determin schimb de particule i impuls între straturi. La o deschidere i mai pronun at a robinetului (6) se ob in debite de curgere mari i colorantul are aspectul din figura a treia-. În cadrul acestui regim turbulent, pulsa iile de vitez aleatorii au valori mari, schimbul de impuls este accentuat i regimul corespunde unor pierderi energetice mari. Acest regim se întâlne te de obicei în cazul transportului fluidelor în conducte deoarece sunt solicitate de regul debite mari de fluid . În cazul experien ei, s-a constatat c viteza medie de curgere prin tubul de sticl , diametrul interior al tubului, precum i vâscozitatea cinematic a lichidului influen eaz evolu ia colorantului. S-a dedus num rul Reynolds:

Re

v D

Pentru prima figur : Re 2300 Pentru a doua figur : Re 2300 Pentru a treia figur : Re 2300 sute de mii În cadrul fiec rui regim de curgere se m soar volumul de ap scurs într-un anumit timp i rezult debitul volumic: v Q debit t Q Q 4Q 4Q D v Re Q v S 2 2 S D D sec tiune D2 4 4Q Re D ce reprezint a doua form a num rului Reynolds. Regimurile de curgere difer din punct de vedere optic, cinematic i energetic. - din punct de vedere cinematic (regimul turbulent)

v v v'

Pulsa iile de vitez sunt variabile în timp, alternând valuri pozitive sau negative fa de valoarea vitezei medii, ca în figura precedent .

- din punct de vedere energetic :pierderea de energie se poate estima cu ajutorul pantei hidraulice; Figura din stânga corespunde regimului laminar, cu pierderi de energie mai mici, ce corespund unei denivel ri mai mici între tuburile piezometrice. Figura din dreapta corespunde regimului turbulent, cu pierderi de energie mai mari, ce corespund unei denivel ri mai mari între tuburile piezometrice. La fel, pantele hidraulice au valori similare:

hl ht J t tg Jl l l Ultima inegalitate se datoreaz efectelor de turbulen care conduc la pierderi suplimentare de energie fa de regimul laminar. Jl

Ecua iile de mi care ale fluidelor reale Spre deosebire de fluidul ideal, se consider c fluidul are proprietatea de vâscozitate i calculul urm tor se efectueaz pentru întregul volumul de fluid aflat în mi care. Consider m c observatorul se situeaz pe sistemul de referin mobil pentru care se ia în considerare i for a de iner ie, pentru care ecua ia vectorial este: Fm Fi Fp F 0 unde F este for a datorat eforturilor tangen iale ce apar la curgerea unui fluid real. Se observ c dac se înlocuie te for a de iner ie în func ie de masa fluidului aflat în mi care i de accelera ia acestuia i produsul respectiv se trece în membrul drept, se ob ine principiul al doilea al dinamicii. Se determin în continuare expresiile for elor masice, de iner ie, de presiune i de viscozitate ce ac ioneaz asupra întregului fluid:

d Fm

f m dm

Fm

f m dV

f m dV V

d Fi

dv dV dt

adm

Fp

n pdS

V

dv dV dt

gradpdV

S

F

Fi

V

t dV S

Pentru a exprima i for a total de viscozitate sub forma unei integrale de volum, se determin ini ial,separat, componentele for ei de vâscozitate dup cele 3 direc ii: Fx

x

dS

du dn

x

S

du dS dn

Fx S

Fx

du dS dn S

n gradu dS S

divgradudV V

u dV V

u dV S

Fy

v dV V

Fz

w dV V

Prin înmul irea ecua iilor cu versorii celor trei axe i adunarea rela iilor membru cu membru se ob ine expresia for ei de viscozitate: F

Fxi Fy j Fz k

ui

vj

wk dV

dV

V

V

Introducând cele patru for e în ecua ia de mi care, rezult : fm V

dv dt

gradp

dV 0

fm V

dv dt

1

gradp

dV

0

dv 1 gradp f m dt ce reprezint ecua ia vectorial de mi care a fluidului. du 1 p X dt x dv 1 p Y dt y dw 1 p Z dt z

u v

Sistemul de ecua ii de mi care

w

Ultimul termen din fiecare ecua ie reprezint for a unitar de viscozitate Din acest sistem rezult rela ia lui Bernoulli pentru un fluid real: v12 p1 v22 p2 z1 z2 h 2g 2g ce se calculeaz în mod similar cu cazul curgerii fluidului ideal. Integrarea exact a sistemului de ecua ii la curgerea unui fluid între dou pl ci plane i orizontale

Se consider mi carea permanent i prin explicitarea celor trei laplaciani din sistemul precedent se ob ine sistemul extins: 2 2 2 u u u 1 p u u u u v w X x y z x x2 y2 z2 v v v u v w x y z

1 p y

Y

2

v

x

2

2

v

2

y

2

z2

v

2 2 2 w w w 1 p w w w u v w Z x y z z x2 y2 z2 pentru care au disp rut derivatele în raport cu timpul din membrul stâng.. Observând mi carea pl cilor, se constat c lichidul se deplaseaz dup direc ia axei Ox , deci: u 0 v w 0 u v w u 0 0 Din ecua ia de continuitate x se ob ine: y z x Deoarece la deplasarea în direc ia axei Oy particulele situate identic au u aceea i component u a vitezei rezult c : y 0 La deplasarea particulei dup direc ia axei Oz, u se modific de la u1 2

u

0. z2 Deoarece curgerea are loc în câmpul gravita ional : x y 0 i z se ob ine sistemul simplificat : 2 1 p u x x2 1 p 0 y 1 p g z

pe placa solid superioar la u2 pe placa solid inferioar

Din ultima ecua ie, prin integrare, se ob ine reparti ia de presiuni: p gz ct formula pentru presiune

g

,

Considerând situa ia cea mai simpl , 2

p 0 ,din prima ecua ie x

u

0 z2 Prin integrare în raport cu z se ob ine: u C1 u C1 z C2 z Se aplic condi iile la limit i se înlocuiesc în expresia componentei de vitez dup direc ia axei Ox, u:

z 0 ; u U2 z h ; u U1

U 2 C2 U1 C1h C2

C1

U1

U2 h

i se ob ine în final distribu ia de viteze în interiorul fluidului în mi care: U1 U 2 z U 2 - formula pentru vitez h Cu ajutorul celor dou formule se poate caracteriza comportarea fluidului în mi care în orice punct din domeniul de curgere aflat între cele dou pl ci solide. u

Mi carea laminar a fluidelor reale Se prezint aspecte legate de calculul vitezei i al debitului de fluid.

În figura din stânga se prezint distribu ia de viteze a fluidului dintr-o conduct circular dreapt în cazul mi c rii fluidului ideal. Nu exist frec ri i ca urmare distribu ia de viteze este constant . În figura din dreapta se prezint distribu ia de viteze a fluidului dintr-o conduct circular dreapt în cazul mi c rii laminare a fluidului real. Particulele de fluid curg în straturi paralele cu axa conductei. Distribu ia de viteze este parabolic , având un maxim în axul conductei. Scriind condi ia referitoare la for ele ce ac ioneaz asupra unui fluid în mi care (for e de presiune Fp si for e de frecare Ff ) se deduce valoarea vitezei din axul conductei umax : p1 p 2 2 u max r0 4 l în care p1 p2 este diferen a de presiune între punctul 1 situat în amonte i punctul 2 situat în aval iar este vâscozitatea dinamic ce produce frec rile. umax scade. Dac creste p1 p2 2 u r Pentru o raz r oarecare viteza stratului de fluid este: 4 l Se observ c varia ia de vitez pe vertical depinde numai de raz si nu depinde de tipul de fluid. u max p1 p 2 2 v r0 Viteza medie în sec iunea transversal este: 2 8 l

valoare ce se utilizeaz în rela ia lui Bernoulli. Calculul efortului tangen ial se efectueaz pornind de la formula lui Newton: p p2 p1 p2 du 2 1 r r dr 4 l 2l Când raza curent r devine egal cu raza interioar a conductei r0 frec rile devin maxime la contactul cu suprafa a solid i ca urmare:

p1 max

p2 2l

r0

Pentru calculul debitului corespunz tor unei mi c ri permanente se folose te ecua ia de continuitate: p1 p 2 2 Q vS r0 r02 8 l i efectuând simplific rile necesare se ob ine formula final a debitului volumic: p1 p 2 4 Q r0 8 l În cazul unei curgeri cu suprafa liber se ob ine o distribu ie parabolic cu un maxim al vitezei pe suprafa a liber , deoarece frecarea cu stratul de aer superior frâneaz cel mai pu in lichidul.

Teoria stratului limit Stratul limit este stratul de fluid din imediata vecin tate a unui corp solid în care se manifest foarte intens efectul eforturilor tangen iale i în care se produce o varia ie accentuat a vitezei fluidului. 1-zona curentului exterior 2-zona stratului limit Grosimea stratului limit este dat de distan a m surat la suprafa a exterioar a corpului solid, perpendicular pe acesta, pân la care viteza difer cu 1% fa de viteza curentului exterior. Evolu ia distribu iei de viteze în stratul limit produs de o suprafa deasupra unei pl ci plane se produce ca în figura:

Desprinderea stratului limit cilindru circular drept orizontal).

i formarea vârtejurilor (cazul unui figura b

figura a

Figura a corespunde curgerii fluidului ideal. Fluidul care vine ini ial cu o energie cinetic spre punctul A, pe m sura apropierii de acest punct î i transform energia cinetic în energie de presiune. Apoi fluidul alunec f r frec ri pe conturul solid pân în B, unde are din nou o energie cinetic maxim i energie de presiune nul . Lucrurile se petrec în continuare simetric iar la dep rtarea de corp energia de presiune se transform din nou în energie cinetic . Fluidul evolueaz f r frec ri pe contur astfel încât energia î i men ine valoarea maxim ini ial . Figura b corespunde curgerii fluidului real. Energia cinetic se transform în energie de presiune c tre punctul A; se deplaseaz fluidul cu frec ri pân în B, în care viteza scade i apoi c tre D, astfel încât în D nu mai are vitez suficient pentru a urma conturul solid al corpului. Fluidul întâlne te o zon de presiune ridicat i ca urmare se produce desprinderea fluidului de corpul solid. Ca urmare particula fluid este împins c tre curentul de fluid exterior. Acesta reintroduce particula fluid în stratul limit i se formeaz astfel un vârtej care evolueaz c tre aval, formându-se a a numitele dâre hidrodinamice sau aerodinamice (care se mai numesc i dâre turbionare). În mod practic, pentru a ob ine corpuri cu coeficien i de rezisten la înaintare mici, se determin experimental reparti ia de presiuni pe suprafa a exterioar a corpului, se calculeaz integrala presiunii pe întreaga suprafa i se determin în final coeficientul de rezisten la înaintare. Se modeleaz suprafa a exterioar , experimental sau prin simulare numeric cu calculatorul, pân la ob inerea coeficientului de rezisten la înaintare minim. Condi ia de desprindere a stratului limit

Conform figurii anterioare, desprinderea se produce în punctul D, pentru care distribu ia de viteze devine tangent la axa vertical Oy, perpendicular pe suprafa a solid a corpului. Acest lucru se poate exprima matematic sub forma: u |D = 0 y

Mi c rile efluente ale fluidelor Se produc în cazul curgerii unui fluid dintr-un anumit recipient printrun dispozitiv, într-un alt spa iu ocupat de un alt fluid. Se deosebesc: curgeri prin orificii, prin ajutaje, prin injectoare i peste deversoare. Ajutajele sunt dispozitive care se monteaz în zona de evacuare a fluidelor pentru cre terea debitului. Injectoarele realizeaz jeturi de fluid cu energie cinetic mare. Deversoarele evacueaz fluidul prin partea superioar a unei incinte. Problemele care se pun la curgerea prin orificii sunt de obicei determinarea vitezei i al debitului evacuat. Se va calcula separat, în final, considerând mi carea nepermanent , timpul de golire unui rezervor. 1.Curgrea fluidelor prin orficii mici, în pere i sub iri, sub sarcin constant .

Se aplic rela ia lui Bernoulli între punctele (1) i (2) pentru un fluid real. Se consider c fluidul este real i deci apar pierderi de energie. Se calculeaz pierderile locale de sarcin hidraulic la ie irea prin orificiu în func ie de coeficientul de pierdere local de sarcin cu formula: v 22 he 2g Prin înlocuire în rela ia lui Bernoulli se ob ine: v12 2g

p1

v22 2g

z1

p2

z2

he

z1 h S1 este mare

p1

v2 în care

v22 h 2g

patm

1

p1

v22 2g patm

v12 v22 2g

1 h 2g

1 este

Q S1 este mic

v1

Q ct v1S1

v2

0

p1

2g

p atm p1

h patm

h

coeficientul de vitez .

- pentru fluidul ideal

1

- pentru rezervor deschis p1

v2

p1

2g

v2

patm

h

2 gh

patm p1 patm v 2 2 - în cazul unui gaz h 0 g Debitul volumic se ob ine utilizând ecua ia de continuitate: A Q v2 S2 v2 Ac v2 A c A Ac numit coeficientul de strangulare al sec iunii. Se face nota ia: A v2

2g

p1

patm

Se face nota ia Q

, coeficientul de debit al orificiului i rezult :

A

2g

p1

patm

h

Cu cât presiunea gazului din rezervor situat deasupra lichidului p1 este mai mare, eventual adâncimea lichidului din rezervor h este mai mare, cu atât se evacueaz din rezervor un debit mai mare de lichid. În func ie de modul de prelucrare al orificiului, coeficientul de debit se poate m ri i ca urmare debitul evacuat cre te. 2.Curgerea fluidelor prin orificii mari, în pere i sub iri, sub sarcin constant Deoarece viteza unui strat de fluid oarecare orizontal evacuat prin orificiul mare este func ie de variabila z, se calculeaz ini ial debitul infinitezimal evacuat i apoi debitul total prin integrare, dup cum urmeaz :

dS b z dz dQ v dS dQ

Q

H2 H1

2gz b z dz

H2 H1

2gz b z dz

2gz b z dz

- pentru un orificiu dreptunghiular:

bz

B ct

i integrala se poate calcula:

Q

B 2g

H2 H1

1 2

z dz

Q

2 B 2g H 2 3

H1

3 2

Calculul timpului de golire al unui rezervor (în mi care nepermanent ) Fiind un caz de mi care nepermanent , m rimile se schimb în timp. Se egaleaz volumul infinitezimal scurs din rezervor în intervalul de timp dt cu volumul ce dispare din rezervor prin coborârea suprafe ei libere cu dz:

dV Qdt

A z dz

A0 2 gz dt A z dz 1 Az dz dt A0 2g z T o

1

dt

A0 2g

o

Az

H

z

dz

T

- pentru un rezervor cilindric :

4 D2 2 2g d 0 4

1

T 1

T

2 D g d0

H 0

Az

1

H

A0 2g D2 4

ct

0

Az z A0

dz d 02 4

1 2

z dz

2

H

Deci timpul total de golire a rezervorului cilindric, plin ini ial pân la în l imea H, este:

T

1 0

D d0

2

2H g

Mi carea turbulent a fluidelor reale Se deosebe te optic, cinematic i energetic de celelalte tipuri de mi care Din punct de vedere cinematic, apar pulsa iile turbulente care sunt componente de vitez dup alte direc ii fa de direc ia principal a curgerii. Ele determin transferul de particule i de impuls între straturile de fluid. Componentele de vitez i presiune se scriu sub forma: u u u' v v v' w w w' p p p' Se demonstreaz c valoarea medie a unei pulsa ii este nul într-o perioad T. Se utilizeaz formula de medie i rezult : t T t0 T , 1 0 1 u u dt u udt u u u 0 u' u u ; T t0 T t0 Din punct de vedre energetic, pierderile de energie sunt mai mari în regimul turbulent deoarece apar efecte suplimentare datorit turbulen elor. Calculul efortului tangen ial turbulent i al efortului tangen ial total

Masa transferat din stratul cu vitez mai mare u A în cel cu vitez mai mic u B produce accelerarea acestuia ca urmare a unui transfer de impuls. Masa transferat este: m V S v' dt

Varia ia de impuls a stratului mai lent este m u A uB m u' Su' v' dt For a care accelereaz stratul mai lent este: Su' v' F Su' v' dt F u'v' iar efortul tangen ial turbulent corespunz tor: t S O exprimare mai adecvat a efortului tangen ial turbulent, luând în considerare un interval mare de timp, este: u'v' t în care semnificativ este media produsului pulsa iilor de vitez . Semnul minus apare deoarece cele dou pulsa ii de vitez au semne contrare, iar efortul trebuie s fie pozitiv. Luând în considerare efortul tangen ial dat de legea lui Newton ce du apare în orice tip de mi care : dy , se deduce efortul total: du u'v' tot tot t dy Cu cât regimul turbulent e mai avansat, cu atât u’ i v’ iau valori mai mari i rezult pierderi de energie mai mari. Ecua iile de mi care ale fluidelor în regim turbulent Ecua iile se ob in completând sistemul de ecua ii de mi care a fluidelor reale în regim laminar cu termeni func ii de pulsa iile turbulente: du 1 p X dt x dv 1 p Y dt y dw 1 p Z dt z

u A u' , v' , w' v B u' , v' , w' w C u' , v' , w'

Se completeaz sistemul cu ecua ia de continuitate sub forma general i cu formule de natur statistic pentru pulsa iile u’,v’,w’: u v w 0 t x y z Sistemul are apte necunoscute, u, v, w, p precum i pulsa iile u’,v’,w’, dar con ine i apte ecua ii i deci se poate rezolva. Ultimii termeni din fiecare ecua ie, A, B, i C reprezint for ele unitare turbulente. Distribu ia de viteze într-o conduct circular dreapt în regim turbulent este de forma unei parabole turtite la vârf:

Zona de curgere turbulent are o form aplatizat deoarece straturile cu vitez mare situate spre axul conductei tind s le accelereze pe cele mai lente, situate spre zona laminar i invers.

Pierderile de sarcin hidraulic Reprezint pierderi de energie ale fluidului produse pe traseul de curgere i sunt datorate frec rilor vâscoase, efectelor de turbulen precum i diverselor elemente hidraulice intercalate pe traseul de curgere. Se deosebesc pierderi liniare sau distribuite produse pe o anumit lungime de traseu de curgere, i pierderi locale care se datoreaz diverselor elemente hidraulice ce formeaz circuitul (robine i, vane, coturi, etc.) Formulele pierderilor de sarcin sunt semiempirice. Ecua iile de mi care ale fluidelor nu con in influen a suprafe elor solide cu care fluidul intr în contact. Acele neuniformit i ale suprafe elor solide produc efecte ce sunt luate în considerare prin intermediul unor coeficien i; ace tia sunt determina i experimental i dau caracterul semiempiric al formulelor respective. Formula general a pierderilor de sarcin hidraulic este: v2 hr r 2g - pentru pierderi liniare: L r D - pentru pierderi locale: r

l

Ca urmare, pierderile liniare în cazul unei conducte circulare drepte de lungime L i diametru interior D devine: L v2 hd D 2g Cu aceasta se poate determina: p ghd c derea de presiune pe o conduct de lungime L. Pierderile locale devin: v2 hl l 2g

Pierderea de presiune total pentru un circuit cu m elemente hidraulice este: m vi2 L v2 pt g l D 2g i 1 2g Pierderile de sarcin se pot exprima i în func ie de debitul de fluid Q. Utilizând ecua ia de continuitate: Q Q 4Q v S D2 D2 4 pierderea distribuit devine: L 1 4Q 8 LQ2 hd 2 D 2g D 4 g D5 L 2 hd 0.0826 , iar depinde de num rul Reynolds , eventual 5 Q D de rugozitatea conductei.

64 Re

pentru regim laminar

In cadrul regimului turbulent neted stratul laminar acoper complet asperit ile. Este ca si cum peretele 0.3164 este neted. 0.25 Re

Coeficientul pierderilor distribuite este dat de o expresie de forma: Re,

unde

D

D este rugozitatea relativa.

i al Influen a asperit ilor în regim turbulent conduce la cre terea lui pierderilor distribuite hd i implicit a pierderilor de presiune. Pierderea local în func ie de debit se exprim cu: v2 1 16Q 2 Q2 hl li l sau hl 0.0826 l 4 2g 2g 2 D 4 D în care coeficientul de pierdere local l se poate lua din fi a produsului sau din cataloage. APLICA IE Calculul în l imii de aspira ie a unei pompe centrifuge

- în l imea de aspira ie a pompei centrifuge pv presiunea de vaporizare a apei Se cunosc: Q, D, L, S, C, V Se pune condi ia p1>pv i se determin în l imea de aspira ie maxima HA,max. HA

Mi carea permanent în conducte sub presiune Conductele sunt sisteme hidraulice ce asigur transportul sub presiune al fluidului între dou puncte cu sarcini energetice diferite. Se deosebesc: 1.Conducte scurte la care pierderile de sarcin hidraulic sunt date de suma dintre pierderile distribuite i cele locale de pe parcurs. 2.Conducte lungi la care pierderile de sarcin hidraulic sunt date doar de pierderile distribuite, corectate prin adaos cu un procent de pân la 5% dac au mai multe elemente hidraulice montate pe traseu. Exemple: magistralele de petrol i gaze, conductele de alimentare cu ap ale localit ilor. Problemele care se pun la calculul conductelor sunt: 1.determinarea diametrului interior – problem de dimensionare - când se cunosc pierderile de sarcin hidraulic , natura pere ilor conductei, lungimea ei, precum i debitul necesar la consumator. 2.determinarea debitului - problem de alimentare - când se cunosc celelalte m rimi. 3.determinarea pierderii de sarcin – problem energetic – când se cunosc celelalte m rimi. Calculul conductelor scurte: În cazul mi c rii permanente pierderea de sarcin total este: htot

hdistribuit

hei i

htot htot

sau

Q2 l 2 0.0826 Q 0.0826 4 D5 D i 2 Q l 0.0826 4 m li D i D

li

,

1.determinarea diametrului (D) - se dau diverse valori diametrului interior al conductei i rezult valorile pierderii de sarcin cu care se traseaz graficul urm tor:

- pentru pierderea de sarcin din cazul concret considerat se alege în final din grafic Ds tan dard Di

2.determinarea debitului (Q) Pentru o curgere în regim laminar valoarea coeficientului pierderii de sarcin liniar sau distribuit este: 64 v D Re i rezult valoarea num rului Reynolds Re 0 - se alege valoarea lui Q la itera ia 0, Q i rezult : Q 4Q v0 D 64 0 0 0 v Re Q1 , 2 S Re D adic debitul la itera ia 1, i se urmeaz acela i procedeu pân când diferen a dintre dou valori succesive ale debitului volumic Q este mai mic în modul decât o valoare aleas în func ie de precizia dorit : Qn

Qn

1

Q Qn ,

adic se alege ca debit final debitul de la itera ia n. 3.determinarea pierderilor de sarcin total : Cu ajutorul lui Q

v

Re

htot

APLICA IE Conducta tip sifon:

Se aplic rela ia lui Bernoulli între A i B: v A2 p A v B2 p B zA z B htot 2g 2g Parametrii hidrodinamici sunt da i de: Q p A p B p atm v A SA , Deoarece S A este mare

vA este mic

v A2 2g este neglijabil.

z A htot H htot Se înlocuie te pierderea de sarcin total cu suma dintre pierderea liniar i cele locale i rezult : v2 v2 l v2 v2 H i c e 2g D 2g 2g 2g v2 l H i c e 2g D de unde se deduce expresia vitezei de curgere pe traseu: 2gH v l i c e D i deci debitul sifonat din rezervorul A în rezervorul B este: D2 Q v Q v S 4

Calculul conductelor lungi Analogia electro-hidraulic Calculul efectuat cu ajutorul unor m rimi electrice i hidraulice prezint o anumit similaritate. - circuitul serie electric

I

ct

U

Q ct

circuitul serie hidraulic

Ui

hd i

i

- circuitul paralel electric

I

Ii i

U

Q

circuitul paralel hidraulic

ct

hd

hd i

Qi i

ct

Conducte lungi montate în serie:

Aplicând rela ia lui Bernoulli între punctele A i B se ob ine: v 2A 2g

pA

zA

vB2 2g

pB

zB

hdi i

Termenii cinetici sunt neglijabili pe suprafa a liber a rezervoarelor, presiunile în A i B sunt egale cu presiunea atmosferic , din suma pierderilor de sarcin din membrul drept r mân doar pierderile distribuite i efectuând reducerile necesare rezult : H hd adic energia poten ial a lichidului din rezervorul A fa de rezervorul B se consum pe pierderile distribuite produse pe re eaua de conducte în serie.

Explicitând pierderile pe fiecare tronson se ob ine: l n v n2 l1 v12 l 2 v 22 H 2 n 1 D1 2 g D2 2 g Dn 2 g H este dat i atunci se poate ob ine în final debitul de fluid : li Q H 0.0826 Q2 vi Q i Si Di5 i Conducte lungi montate în paralel:

Se aplic rela ia lui Bernoulli între A i B: v A2 2g - în A i B Q ct D ct H hd

pA

zA

pB

zB

hd

v A vB ct

S ct H 0.0826 i

v B2 2g

li 5 i

D

Qi5

Qi

Debitul total prin conducta din afara ramifica iei este : Q

n i 1

Qi

Ma ini hidraulice Se deosebesc: 1.Ma ini generatoare la care energia mecanic la arbore este transformat în energie hidraulic (exemple: pompe sau ventilatoare antrenate de motoare asincrone). 2.Ma ini motoare la care energia hidraulic se transform în energie electric (exemple: turbine de ap , abur i de gaze conectate la generatoare sincrone). 3.Transformatoare hidraulice ce transform energia mecanic în energie hidraulic i apoi din nou în energie mecanic (exemplu: transmisiile hidraulice). Ma inile hidraulice se mai clasific în: - turboma ini la care exist o circula ie continu de fluid între aspira ie i refulare (ventilatoare i pompe axiale, diagonale, centrifugale, suflante) i care dau debite mari dar realizeaz diferen e de presiune între refulare i aspira ie mici. - ma ini volumice: - pompe cu piston, cu ro i din ate, cu pistona e, cu palete culisante; acestea realizeaz diferen e de presiune mari, dar dau debite mici. Parametrii energetici ce caracterizeaz func ionarea unei ma ini sunt în cazul ma inii generatoare ( de exemplu o pomp sau un ventilator ): m3 l , (1 m3 = 103 litri ) 1.debitul volumic Q , s sau s 2. sarcina pompei: H p

v r2 2g

pr

3. puterea util : Pu

zr

v a2 2g

gQH p , [ W ] sau [ kW ] 4. puterea consumat : Pc , [ W ] sau [ kW ] Pu 5. randamentul pompei: P , [%] , <1 c

pa

za

,[m]