Mecanica Dos Solidos Iii-unb.pdf

http://www.unb.br/ft/enc/pagdisc/mecsol3/aulas/crirup/crirup2.htm

MECÂNICA DOS SÓLIDOS III CRITÉRIOS DE RUPTURA

Introdução

Comportamento mecânico dos materiais

Estado plano de tensões

Estado tridimensional de tensões

Critérios de ruptura (pontual)

Estado uniaxial de tensões

Estado plano de tensões

Critérios mais comuns Materiais Dúcteis

Materiais Frágeis

Máxima tensão de cisalhamento (Tresca)

Máxima tensão de tração (Rankine)

Máxima energia de distorção (von Mises)

Critério de Mohr

Materiais dúcteis

Máxima tensão de cisalhamento (TRESCA)

Máxima energia de distorção (von MISES)

Comparação entre TRESCA e von MISES

Materiais frágeis

Máxima tensão de tração (RANKINE)

Critério de Mohr

Estado tridimensional de tensão

Materiais dúcteis

Tensão hidrostática

Superfície de escoamento

Máxima tensão de cisalhamento (TRESCA)

Máxima energia de distorção (von MISES)

Comparação entre TRESCA e von MISES

Colapso plástico na torção Seções circulares (cheias ou vazadas) Material

Deformações

Tensões

Diagrama tensão-deformação de cisalhamento para material elastoplástico

Distribuição de tensões em uma seção

Momento de torção máximo

Tensões residuais

Comportamento no descarregamento

Tensões residuais

Análise limite

Estruturas compostas

Escoamento (ruptura) local

Deformação limite (global)

Colapso plástico na flexão Seções retangulares Material

Deformações

Tensões

Diagrama tensão-deformação para material elastoplástico

Distribuição de tensões em uma seção

Momento de flexão máximo

Tensões residuais

Comportamento no descarregamento

Tensões residuais

Rótula plástica Flexão simples

Análise limite Viga isostática

Viga hiperestática

Estrutura reticulada

Revisão

Análise estrutural

Modelo estrutural

Idealização do modelo

Modelo para Mecânica dos Sólidos

Estudo dos esforços

Análise das tensões e dimensionamento

Torsão

Definição

Esforços solicitantes

Estudo das deformações

Estudo das tensões

Estudo das tensõs em um ponto

Flexão

Definição

Esforços solicitantes

Estudo das deformações e tensões

Estudo das tensõs em um ponto

Exercícios

Critérios de Ruptura (Tresca e von Mises) (Baseado no exercício 6.84 do Livro Resistência dos Materiais, Beer & Johnston, 3a. edição) Um eixo cilíndrico é feito de uma classe de aço com resistência ao escoamento na tração de 250 MPa. Determinar a intensidade do torque T para que o início do escoamento ocorra quando P = 200 kN, utilizando os critérios de Tresca e de von Mises. Considerar o diâmetro do cilindro igual a 36 mm.

Resposta

Critérios de Ruptura (Rankine e Mohr) (Baseado no exercício 6.94 do Livro Resistência dos Materiais, Beer & Johnston, 3a. edição) Uma barra de alumínio fundido é feita de uma liga em que SUT = 70 MPa e SUC = 140 MPa. Sobre a barra atuam um torque T e uma força axial P = 50 kN como indicado na figura do problema anterior. Usando o critério de Mohr, determinar a intensidade do Torque T para que ocorra ruptura do cilindro. Considerar o diâmetro do cilindro igual a 38 mm. Resposta

Plastificação na torção (Baseado nos exercícios 3.76, 3.79 e 3.96 do Livro Resistência dos Materiais, Beer & Johnston, 3a. edição) O Eixo maciço da figura abaixo é de um aço doce o qual se considera elastoplástico com G = 77 GPa e Te = 145 MPa. Determinar a intensidade do torque T para que a zona plástica tenha: (a) 6,35 mm de profundidade; (b) 19 mm de profundidade. Em ambos os casos determinar a máxima tensão residual de cisalhamento e a tensão residual na superfície do eixo. Considerar D = 75 mm e L = 1,2 m.

Plastificação na flexão (Baseado no exercício 4.72 do Livro Resistência dos Materiais, Beer & Johnston, 3a. edição) A barra prismática da figura abaixo é feita de um aço que é considerado ser elastoplástico, com E = 200 GPa e Se = 250 MPa. Determinar a espessura do núcleo elástico para um momento fletor de 150 N.m e as tensões residuais que surgem após a remoção do mesmo. Considerar b = 15 mm e h = 20 mm.

INSTABILIDADE Introdução Exemplos de instabilidade Tipos de equilíbrio Carga crítica Linha elástica (flexão)

Introdução

Motivação

Exemplos de instabilidade

Tipos de equilíbrio

Modelo simplificado - Carga crítica

Instabilidade de colunas - Equação da linha elástica

Problema de Euler

Coluna com extremidades articuladas

Linha elástica da coluna após a flambagem

Condiçõess de contorno:

Carga crítica - Tensão crítica

Colunas com condições de contorno diversas (comprimento efetivo de flambagem)

Desenvolvimentos empíricos

Tensão crítica empírica x analítica

Fórmulas empíricas

Problema de Euler para colunas com carregamento excêntrico :

Coluna com extremidades articuladas

Linha elástica da coluna

Condições de contorno

Flexa máxima - Carga crítica

Tensão normal máxima - Tensão normal P/A

Carga P/A x Índice de esbeltez

Desenvolvimentos empíricos para colunas com carregamento excêntrico

Tensão normal máxima em coluna com carregamento excêntrico (desprezando-se o efeito de segunda ordem)

Fómulas empíricas

Método da tensão admissível

Método da interação

No caso de flexão assimétrica

Métodos energéticos para obtenção da carga crítica

Energia Potencial Total

Princípio da estacionariedade da energia potencial

Modelo simplificado - Carga crítica

Carga crítica de colunas

Deslocamento da carga axial

Energia de deformação na flexão

Energia Potencial da flambagem da coluna

Colunas de Euler

Solução aproximada - Rayleigh-Ritz

Melhor aproximação

Colunas sujeitas a carregamento qualquer

Revisão

Colunas com carregamento centrado

Colunas com carregamento excêntrico

Métodos de energia

Exercícios

Exercício 1 Colunas com carregamento centrado (Modelo simplificado) (Baseado no exercício 11.4 do Livro Resistência dos Materiais, Beer & Johnston, 3a. edição) Duas barras rígidas AC e BC são conectadas por um pino C, sendo que na conexão B há uma mola de torção de constante k. Determinar a carga crítica para o sistema (a) pelo método direto e (b) pelo método da energia potencial total.

Resposta :

Método direto

Método da energia potencial total

Exercício 2 Colunas com carregamento centrado (Euler) (Baseado no exercício 14.17 do Livro Introdução à Mecânica dos Sólidos, Popov) Uma carga axial admissível (com respeito à flambagem) para uma coluna articulada nas extremidades, de 3m de comprimento, de certo material elástico linear, é igual a 2000kgf. Cinco colunas diferentes, feitas do mesmo material e com a mesma seção transversal, têm as condições de suporte mostradas na figura abaixo. Usando a capacidade da coluna de 3m como critério, quais são as cargas admissíveis para as cinco colunas mostradas?

Resposta

Exercício 3 Colunas com carregamento centrado (Euler) (Baseado nos exercícios 11.34 do Livro Resistência dos Materiais, Beer & Johnston, 3a. edição) Sabendo-se que um coeficiente de segurança de 2,6 é desejado, determinar a maior carga P que pode ser aplicada na estrutura mostrada. Considerar somente a flambagem no plano da estrutura. As barras são cilíndricas e compostas do mesmo material cujo módulo de elasticidade vale E = 200GPa.

Resposta

Exercício 4 Colunas com carregamento centrado (Empírico) (Baseado no exercício 11.75 do Livro Resistência dos Materiais, Beer & Johnston, 3a. edição) Um tubo de aço cuja seção transversal é indicada na figura abaixo é usado como uma coluna. Sabendo-se que Y = 250 MPa e E = 200 GPa, determinar a carga crítica (centrada e sem considerar coeficientes de segurança), se o comprimento efetivo da coluna é de (a) 6 m; (b) 4 m. (Utilizar a fórmula da parábola)

Resposta

Exercício 5 Colunas com carregamento centrado (Empírico) (Baseado no exercício 11.97 do Livro Resistência dos Materiais, Beer & Johnston, 3a. edição) A barra AB é livre em sua extremidade A e engastada em sua base B. Determinar a carga centrada admissível P, quando a liga de alumínio usada é: (a) 6061-T6; (b) 2014T6. (Utilizar a fórmula da reta apresentada no livro)

Resposta

Exercício 6 Colunas com carregamento excêntrico (Analítico) (Baseado no exercício 11.52 do Livro Resistência dos Materiais, Beer & Johnston, 3a. edição) Uma carga axial de intensidade P = 15 kN é aplicada em um ponto D, que está a 4 mm do eixo geométrico da barra de alumínio BC de seção quadrada. Usando E = 70 GPa, determinar (a) a deflexão horizontal da extremidade C; (b) a máxima tensão na barra.

Resposta

Exercício 7 Colunas com carregamento excêntrico (Empírico) (Baseado nos exercícios 11.126 e 11.127 do Livro Resistência dos Materiais, Beer & Johnston, 3a. edição) Uma carga excêntrica é aplicada em um ponto a 30 mm do eixo geométrico de uma barra de 56 mm de diâmetro. A barra é feita da liga de alumínio 6061-T6, para a qual a tensão admissível na flexão é de 150 MPa. Determinar a carga admissível P utilizando: a) método da tensão admissível; (b) método da interação.

Resposta

Exercício 8 Método da Energia Potencial Total (Aproximado) Considere a coluna simplesmente engastada de rigidez EI sujeita à ação de um carregamento distribuído constante e centrado. Determinar o valor da carga crítica utilizando o método de Rayleigh-Ritz. Considerar que a forma da flambagem é dada por um polinômio de 3o grau.

Resposta

TORÇÃO Introdução

Motivação

Exemplos de torção

Estudo de barras (eixos)

Notação do momento torsor

Modelagem (estrutura e solicitações)

Análise de um modelo

Tensões em um ponto

Estado uniaxial de tensões

Estado plano de tensões

Estado tridimensional de tensões

Deformações em um ponto

Relações constitutivas do material

Referências bibliográficas Beer, Johnston , "Resistência dos Materiais", capítulos 1 e 2 Timoshenko, Gere , "Mecânica dos Sólidos", capítulos 1 e 2

Torsão de eixos cilíndricos

Geometria e sistema de coordenadas

Elemento infinitesimal

Ângulo de torção

Distribuição de tensões

Estudo global das deformações

Comportamento global das deformações

Rotação em uma seção qualquer

Estudo das deformações locais

Tensões em um ponto

Solicitação externa x tensão em um ponto

Solicitação x deformação

Referências bibliográficas Beer, Johnston , "Resistência dos Materiais", capítulo 3, itens 3.1 a 3.5 Timoshenko, Gere , "Mecânica dos Sólidos", capítulo 3, itens 3.1 e 3.2

Torsão de eixos cilíndricos vazados

Torsão de eixos cilíndricos com seção variável

Torsão de eixos cilíndricos escalonados

Referêcias bibliográficas Beer, Johnston , "Resistência dos Materiais", capítulo 3, itens 3.1 a 3.5 Timoshenko, Gere , "Mecânica dos Sólidos", capítulo 3, itens 3.1 e 3.2

Diagramas de momento torsor e rotação relativa

Elemento básico de referência Cilindro constante

M O M E N T O T O R S O R

R O T A Ç Ã O R E L A T I V A

Cilindro variável

Torsão de eixos cilíndricos estaticamente determinados

Torsão de eixos cilíndricos estaticamente indeterminados

Torsão distribuída Elemento básico de referência

Torsão distribuída Exemplo de cilindro estaticamente determinado

Referências bibliográficas Beer, Johnston , "Resistência dos Materiais", capítulo 3, itens 3.1 a 3.6 Timoshenko, Gere , "Mecânica dos Sólidos", capítulo 3, itens 3.1 e 3.2

Energia de deformação na torsão

Tensões e deformações em um ponto

Rotação relativa e deformação angular

Energia de deformação específica / Energia complementar

Energia de deformação de um cilindro de referência

Referências bibliográficas Beer, Johnston , "Resistência dos Materiais", capítulo 3, itens 10.1 a 10.3 e 10.5 Timoshenko, Gere , "Mecânica dos Sólidos", capítulo 3, item 3.3

Torsão de barras não circulares

Seção vazada, contorno fechado e paredes finas

Fluxo cisalhante

Solicitação x Fluxo/Tensão cisalhante

Rotação relativa

Referências bibliográficas Beer, Johnston , "Resistência dos Materiais", capítulo 3, itens 3.12 a 3.13 Timoshenko, Gere , "Mecânica dos Sólidos", capítulo 3, item 3.4

Torsão de barras não circulares

Eixos de parede fina com contorno aberto

Eixo de seção retangular

Distribuição de tensões

Influência da forma

Elemento de referência em eixos de parede aberta

Análise de eixos de parede aberta

Referências bibliográficas Beer, Johnston , "Resistência dos Materiais", capítulo 3, itens 3.12 a 3.13 Timoshenko, Gere , "Mecânica dos Sólidos", capítulo 3, item 3.4

Exercícios

Exercícios recomendados do Livro Resistência dos Materiais, Beer & Johnston, 3a. edição 3.1 a 3.57 , 3.108 a 3.131 e 10.45 a 10.49 (observem que muitos dos exercícios são praticamente idênticos, variando apenas alguns parâmetros)

Exercícios recomendados do Livro Mecânica dos Sólidos, Timoshenko & Gere 3.1-1 a 3.1-6, 3.1-9 a 3.2-2, 3.2-4 a 3.3-4 a 3.4-6 (observem que este livro não considera eixos de parede aberta. Procurem esta parte no livro do Beer& Johnston e também verifiquem o exercício 6 nesta home page)

Exercício 1 Tensões na torsão (Baseado no exercício 3.1 do Livro Resistência dos Materiais, Beer & Johnston, 3a. edição) O cilindro de alumínio da figura abaixo encontra-se sujeito a um torque T = 4,5 kN.m. Determinar a máxima tensão de cisalhamento que irá ocorrer. Considerar D = 75 mm e L = 1,2 m.

Resposta

Exercício 2 Tensões e deformações na torsão (Baseado no exerc兤io 5.4 do Livro Introdução à Mecânica dos Sólidos, Popov) No cilindro da figura abaixo são aplicados vários torques conforme indicado. O cilindro possui diâmetro externo igual a 50 mm, sendo que o trecho CE possui um furo circular de diâmetro igual a 25 mm. Sabendo-se que o cilindro é feito de um material com módulo de elasticidade tranversal G = 85 GPa determinar: a) máxima tensão de cisalhamento ; b) ângulo de torsão, em graus, entre as duas extremidades.

Resposta :

Exercício 3 Eixos hiperestáticos (Baseado no exercício 3.2-4 do Livro Mecânica dos Sólidos, Timoshenko & Gere) Uma barra ABC engastada em ambas as extremidades é sujeita a um torque T na seção B (v. figura abaixo). A barra é circular com diâmetros d1, de A a B, e diâmetro externo d2, diâmetro interno d1 de B a C. Deduzir uma expressão para a razão a/L, de maneira que os torques relativos em A e C sejam numericamente iguais.

Exercício 4 Parede fina com contorno fechado (Baseado nos exercícios 3.4-4 e 3.4-5 do Livro Mecânica dos Sólidos, Timoshenko & Gere) Seja um tubo de paredes finas cuja seção transversal é uma elipse vazada como indicado na figura abaixo. O tubo possui material com um módulo de Elasticidade G arbitrário e encontra-se sujeito a um torque T em suas extremidades. Determinar: a) tensão de cisalhamento ; b) ângulo de rotação por unidade de comprimento ; c) a variação da tensão de cisalhamento  com relação ao parâmetro  = a/b, se a área da seção transversal se mantiver constante e d) a variação da constante de torsão J com respeito a .

Exercício 5 Parede fina com contorno fechado (Baseado no exercício 3.4-6 do Livro Mecânica dos Sólidos, Timoshenko & Gere) Um tubo cônico de seção tranversal circular de parede fina é sujeito a um torque T em suas extremidades como indica a figura abaixo. O tubo tem espessura de parede constante t e comprimento L. Os diâmetros médios das seções tranversais nas extremidades A e B s縊 da e db, respectivamente. Deduzir uma fórmula para o ângulo de torsão  do tubo.

Exercício 6 Parede fina com contorno aberto (Baseado no exercício 5.27 do Livro Introdução à Mecânica dos Sólidos, Popov) Um eixo agitador, atuando como um membro sujeito à torção, é constituido de 8 barras retangulares de comprimento igual a 50 cm e largura de 10 cm, conforme representado na figura abaixo. Considerando-se que o material das barras possui módulo de elasticidade transversal G = 77 MPa e que a máxima tensão de cisalhamento não pode exceder tadm = 80 MPa, determinar o valor do maior momento torsor T que pode ser aplicado ao eixo.

Exercício 7 Energia de deformação na torsão (Baseado no exercício 10.45 do Livro Resistência dos Materiais, Beer & Johnston, 3a. ediçao) O eixo escalonado da figura abaixo está submetido aos torques de 0,9 kN.m aplicados nas extremidades A e D. O material de cada um dos eixos é o mesmo, possuindo módulo de elasticidade tranversal G = 77 GPa. Determinar a energia de deformação do eixo

Exercício 8 Diagramas de momento torsor A estrutura da figura abaixo encontra-se no plano horizontal xy. Na barra AB atua um torque distribuído t (constante) e nos pontos D e F atuam cargas concentradas P atuando perpendicularmente (direção -z) ao plano da estrutura. A barra AB possui comprimento 2.L e as barras BC, CD, CE e EF possuem o mesmo comprimento L. Obter o diagrama de momentos torsores.

Referências bibliográficas Beer, Johnston , "Resistência dos Materiais", capítulo 3, itens 3.1 a 3.6 , 3.12 a 3.13 , 10.1 a 10.3 e 10.5 Timoshenko, Gere , "Mecânica dos Sólidos", capítulo 3, itens 3.1 a 3.4