Mecanica De Fluidos

FLUJO POTENCIAL

FLUJO POTENCIAL El flujo potencial representa a los flujos sin viscosidad Es posible estudiarlos teóricamente Proporciona las condiciones de frontera a utilizarse en la solución de la capa límite.

Objetivo Superponer varios flujos potenciales simples para construir un flujo.

CONCIDERACIONES BÁSICAS

- Flujo bidimensional, permanente, incompresible e irrotacional. - Condiciones de contorno para flujo no viscoso. - Conservación de masa - Física y matemáticas necesarias para la mecánica de fluidos

FISICA Y MATEMATICAS NECESARIAS PARA LA MECANICA DE FLUIDOS

DERIVADAS PARCIALES

F ( x, y)= 2yx + 2 x cos(3 y) ∂F = 2 xy 2+ cos(3 y ) ∂x ∂F = ??? ∂y REGLA DE LA CADENA

F =F (A B , ) A(x , y ) B (x , y ) ∂F ∂ F∂ A∂ ∂F B = + ∂x ∂ A∂ x ∂ ∂ B x ∂F = ??? ∂y

VECTORES Considere el movimiento de una partícula. Denotando como r el vector posición (desplazamiento) de la partícula, y los vectores i, j, y k denotan a los vectores unitarrios en la dirección X, Y y Z, respectivamente. Luego

r = xi + yj + zk El vector velocidad V del movimiento de un punto es dado por:

V = ui + vj + wk donde por definición Y

u=

dx dy dz , v= , w= dt dt dt

r

X

Por lo tanto:

V=

Z

dr dx dy dz = i+ j+ k dt dt dt dt

OPERADOR NABLA Es un operador diferencial representado por el símbolo V (nabla).

Este operador puede aplicarse a campo escalares Ф o a campos vectoriales Gradiente Divergencia Rotacional Laplaciano

Líneas de Corriente Es un lugar geométrico de los puntos tangentes al vector velocidad de las partículas de fluido en instante t . Ecuación de la línea de corriente en forma vectorial

∂x ∂y = u v

CAPA LÍMITE Prandtl 1904: Explica la resistencia de los cuerpos currentilineos, placas planas paralelas al flujo y similares en flujo de pequeña viscosidad Los efectos friccionantes del flujo se confinan a la capa limite y quizá a una estela detrás de un cuerpo pero fuera de la capa limite la viscosidad del fluido no tiene efecto el fluido es sin fricción e irrotacional

Flujo alrededor de una esfera

a) Flujo inviscido V=0 en A y C Punto de estancamiento En A y C V=0 Punto de estancamiento En A y C la presión es máximo En B la velocidad es máximo y la presión es mínimo b) Flujo existente Capa límite Región separada

FUNCIÓN CORRIENTE Se basa en el principio de la continuidad y las propiedades de la línea de corriente.

El flujo entre las lineas de corriente puede ser cuantificado por:

∂ψ = −vdx +udy ........(1 )

Si : ψ =ψ ( x, y ) la derivada toral es :

∂ψ ∂ψ dψ = dx + dy .....(2) ∂x ∂y Comparando ambas expresiones se tiene :

u=

∂ψ ∂y

v =−

∂ψ .......(3) ∂x

La ecuación de Vorticidad:

ξ=

∂v ∂u − ∂x ∂y

expresados en términos de ψ :

ξ =−

∂2ψ ∂x

2

−

∂2ψ ∂y 2

Para flujos irrotacionales z =0

∂2ψ ∂x 2

+

∂2ψ ∂y 2

= ∇2ψ = 0

Ecuación de Laplace

POTENCIAL DE VELOCIDAD Es una función φ(x,y) cuya derivada negativa con respecto a la distancia en cualquier dirección proporciona la velocidad en dicha dirección. Solo los campos irrotacionales pueden ser representado por una función potencial Es perpendicular a la función de corriente

φ =φ( x, y )

V = (u , v )

De la definición:

u =−

∂φ dx

v =-

∂φ ∂y

La función escalar φse llama Potencial de Velocidad

V = −grad φ = − ∇φ

Si el flujo es considerado incompresible y estable, introduciendoφ en la ecuación de continuidad.

∂u ∂v + =0 dx ∂y Se obtiene: 2

∇ φ=

∂2φ ∂x

2

+

∂2φ ∂y

2

=0

La ecuación de Laplace.

RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN DE LA CORRIENTE Y EL POTENCIAL DE VELOCIDAD

u= v=

∂φ ∂ψ = dx ∂y ∂φ ∂ψ =− ∂y ∂x

Ecuación de Cauchy-Riemann

RELACIÓN ENTRE LAS LÍNEAS DE CORRIENTES Y LAS LÍNEAS EQUIPOTENCIALES

Las líneas ψson constantes forman una familia de líneas de corrientes, ahora se vera que las líneas de φ son constantes o líneas equipotenciales constituyendo otra familia de líneas ortogonales a la líneas de corrientes, las dos familias de curvas constituyen una malla ortogonal conocida como red de flujo.

Línea de corrientes cte:

∂ψ = 0 =  dy   dx 

∂ψ ∂ψ dx + dy = vdx −udy ∂x ∂y

 v  =  u ψ=c

COORDENADAS POLARES Es un sistema de coordenadas bidimensionales en el cual cada punto (posición) en el plano esta determinado por una ángulo y una distancia

(1) (2)

Las componentes radial y tangencial de la velocidad en coordenadas polares.

∂φ  ∂φ  ∂x =      ∂r  ∂x  ∂r

  ∂φ  ∂y    +  ∂y     ∂r

  ......(3) 

De (1) y (2) en (3):

 ∂φ  ∂φ  ∂φ  sen θ =  cos θ +      ∂r ∂ y  ∂x    Sustituyendo las derivadas parciales del Potencial de Velocidad por las componentes de la velocidad.

∂φ = −(Vx cos θ +Vy sen θ ) ∂r

Vx y Vy componentes de la velocidad en la dirección radial

Componentes radiales de velocidad:

Vr = −

∂φ ∂r

Vθ = −

∂φ r∂θ

En función de la función corriente:

Vr = −

∂ψ r∂θ

Vθ =

∂ψ ∂r

Relaciones polares en función de corrientes y en potencial de velocidad

∂φ ∂ψ = ∂r r∂θ ∂φ ∂ψ =− r∂θ ∂r

FLUJOS BÁSICOS

Flujo rectilíneo Un Flujo Uniforme es aquel que tiene magnitud constante. (V0) en una misma dirección.

y

φ = k1 φ = k 2 φ = k 3

ψ = c1 V 0

ψ = c2 ψ = c3

ψ = c4

x

En el campo de Flujo: u=V v=0 La función corriente se obtiene:

ψ=

∫

Vdy +

∫

(0) dx = Uy + C

Para ψ = 0 la línea de corriente coincide con el eje x Función de corriente

ψ = Vy

Potencial de velocidad

φ = Vx

y

V

r

ψ >0

θ

ψ =0

x

En coordenadas polares donde: y = rsenθ ψ = Vrsenθ

Fuente y sumidero Fuente y sumidero son dos conceptos matemáticos. Son dos puntos singulares en medio del fluido, en el cual la materia (sale) o es extraída (Sumidero)

El componente radial y tangencial de la velocidad.

∂φ q Vr = = ∂r 2πr ∂φ Vθ = − =0 r∂θ

r = módulo del vector posición q = Caudal (Intensidad) a través de cualquier banda A través de todos los círculos de radio r pasara el mismo régimen de flujo q.

Fuente : Función de corriente q= caudal por unidad de profundidad θ = arc tang. (y/x)

qθ ψ = 2π

Potencial de velocidad q φ= ln r 2π

q 2π

= fuerza de la fuente

Sumidero : Función de corriente

qθ ψ =− 2π

θ = arc tang. (y/x) q= caudal por unidad de profundidad

Potencial de velocidad φ=−

q ln r 2π

q 2π

= fuerza de la fuente

Vórtice libre o irrotacional El vórtice libre esta descrito por líneas de corriente circulares concéntricas y con distribuciones de velocidades tal que el campo de flujo es irrotacional. Se obtiene un vórtice bidimensional si se toma la función de corriente de la fuente como función potencial Las componentes radiales de velocidad en todas partes es igual a 0.

r

La circulación es la magnitud del vórtice

La Ciculación Γ Γ = ( 2πr ) Vt

Función de corriente Vt =

Γ ∂ψ =− , 2 rπ ∂r

 Γ  ψ = − dr +  2 rπ 

∫

Γ ln r , 2π Γ ψ =+ ln r 2π

ψ =−

Vr = 0

∫ ( 0)dθ + c

Γ = Fuerza del Votice Vórtice dextrògiro

Función potencial

φ=

Γ θ 2π

• La circulación a lo largo de cualquier curva cerrada coincidente con cualquier línea de corriente se calcula:

Función Corriente

Potencial de Velocidad

Γ ψ =− ln r 2π Γ φ= θ 2π

SUPERPOSICIÓN DE FLUJOS

Fuente en un Flujo Rectilíneo La superposición de una fuente y un flujo rectilíneo

Xs

V

s

Función Corriente

Potencial de Velocidad

qθ ψ = Vrsenθ + 2π Γ φ= θ 2π

La distancia entre el punto de estancamiento ‘s’ y el origen es ‘x’

v xs = 2πq Contorno de Cuerpo

Donde q es la intensidad de la fuente Y v la velocidad del flujo

Vr senθ + qθ

2π

=q

2

Componente de Velocidad Vr y Vt Vr =

∂ψ 1 ∂  qθ  q = Vr senθ +  = V cos θ + r∂θ r ∂θ  2π  2θr

Vt = −

∂ψ ∂  qθ  = − Vr senθ +  = −Vsenθ ∂r ∂r  2π 

FUENTE Y SUMIDERO DE IGUAL FUERZA El campo de flujo producido por una fuente y un sumidero de igual fuerza, el régimen de flujo total pasa de uno a otro y se caracteriza por una familia de líneas de corrientes originadas en la fuente y que terminan en el sumidero.

La Función Corriente del campo de flujo es ψt =

qθ1 qθ 2 q (θ1 − θ 2 ) = − qα − = 2π 2π 2π 2π

donde α = θ 2 − θ1

La Función de Corriente en coordenadas cartesianas

ψ=

q  y y  − arctan  arctan  2π  x+a x−a

FUENTE Y SUMIDERO DE IGUAL FUERZA EN UN FLUJO RECTILINEO De la combinación de un fujo rectilíneo con una fuente y un sumidero de igual fuerza resulta el ovalo de Rankine.

r1

V

r2

θ1

f

b 2

θ2

s

Función de Corriente ψ = Vy +

q  y y  − arctan  arctan .........(1) 2π  x+a x−a

El contorno del cuerpo l q = a 1+ 2 aπV

b\2 se obtiene para x=0; y=b\2 y ψ=0 en (1)

Función de Corriente ψt =

(

)

q θ f − θ s + Vr senθ ........( 3) 2π

Potencial de Velocidad φt =

(

)

q ln r f − ln rs + Vr senθ 2π

Doblete Un doblete se define como el resultado de la suma de la fuente y un sumidero de igual intensidad cuando Se aproximan uno al otro. Como : α

θ1

θ2

a

a

AB = r2 senα = 2asenθ

a→0

α →0 senα → α r2 → r2 → r θ1 → θ 2 → θ

Función de Corriente

Sea

2qa=m

q ψ =− 2π

 2asenθ    r  

fuerza del doblete

msenθ ψy =− 2πr

DOBLETE EN FLUJO RECTILINEO Cuando se combina el doblete con el flujo rectilíneo resulta un caso limite del ovalo de Rankine.

V

S

S

Función de Corriente

ψ = Vr senθ −

msenθ 2 rπ

En contorno ψ = 0

R= m

2πV

R = cte.

donde m = 2πVR 2 ,  R2   senθ ψ = V  r + r  

fuerza del doblete

Componente Radial de la Velocidad:

∂ψ R2 vr = = V (1 − 2 ) cos θ r∂θ r Componente tangencial de la Velocidad:

∂ψ R2 vt = − = −V (1 − 2 ) senθ ∂r r Potencial de Velocidad:

Función de Corriente:

 cos θ  φ = vr cos θ + q   r 

 senθ  ψ = vr senθ + q   r 

EL DOBLETE EN EL FLUJO RECTILINEO CON CIRCULACIÓN

Se puede construir otro campo de flujo útil por superposición de: Vórtice libre, un doblete y un flujo rectilíneo uniforme. Obteniéndose la Función de corriente:

R2 Γ ψ = V (r − ) senθ + cos θ r 2π

Las Componentes de Velocidad

∂ψ R2 vr = − = V (1 − 2 ) cos θ r∂θ r

∂ψ R2 Γ vt = = −V (1 − 2 ) senθ − ∂r 2 rπ r

En el contorno del cuerpo r=R

vr=0 vt = −2Vsenθ −

En el punto de estancamiento:

vt = 0 θ = −α senα =

Γ 2πR

Γ 4πVR

Fx, Fy = Fuerzas ejercidas por el fluido sobre el circulo.

Para el valor ams grande de ' d' es π , se confundieron los dos puntos 2 de estancamiento senα = 1.

Γ > 1, el punto de estancamiento 4πVR se encontrara en algun lugar debajo del cìrculo y sobre su eje vertical. Para

R R

1=

Γ 4πVR

Γ >1 4πVR

Conociendo u y v la función corriente es:

ψ =

∫

∂ψ dx + ∂x

∫

∂ψ dy + C ∂y

La ecuación de continuidad:

∂u ∂v + = 0 ......(4) ∂x ∂y Sustituyendo el (3):

∂ ∂ψ ∂ ∂ψ ( )= ( ) ∂x ∂y ∂y ∂x

o

∂2ψ ∂2ψ = ∂x∂y ∂y∂x

ψ