Meca Suelos Tema 8

UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA Escola Tècnica Superior d’Enginyers de Camins, Canals i Ports

Mecànica del Sòl Tema 8

Acoblament flux– deformació Consolidació

Tema 8: Índex • Introducció: acoblament dels problemes de flux i mecànic • Teoria unidimensional de la consolidació – equació de Terzaghi • Grau de consolidació • Consolidació deguda a l’alteració del règim hidràulic • Consolidació amb flux radial • Càrrega variable en el temps

8.1

Introducció: acoblament dels problemes de flux i mecànic

Introducció • Hem vist que per analitzar problemes de sòls en trencament: – si és a curt termini → treballem en totals perquè no sabem calcular pw

– si és a llarg termini → treballem en efectives perquè pw la sabem calcular: o és la hidrostàtica, o la que s’obté de les condicions de flux – en els dos casos no varia amb el temps

– per això no ens hem preocupat directament de pw al fer l’anàlisi en trencament

Equacions fins ara: (a) Equacions d’equilibri en totals:  ij x j

en efectives:  ij

pw  bi  x j xi

 bi b  (0,0,  nat )

(b) Equacions de compatibilitat (c) Llei constitutiva del material (d) Condicions de contorn

pressió d’aigua: hidrostàtica flux

Pressió d’aigua • Si volem saber què passa amb la pressió d’aigua, ens cal afegir alguna equació més • Caldria afegir les equacions de continuïtat (conservació) de la massa i també la llei de Darcy, vistes al F tema 2: n  div   F q   0 – Conservació:

t q   K grad  h 

– Darcy:

• Suposem sòl saturat; h = alt. piezomètrica

Equacions: • • • •

Equilibri Compatibilitat Llei constitutiva Condicions de contorn

+

• •

Continuïtat de la massa d’aigua Llei de Darcy

 Estudiem en detall les equacions (e) i (f), combinant-les, però suposant ara que n no és constant (a diferència del Tema 2)

Continuïtat + Darcy • En general, l’equació de conservació de la massa, si només hi hagués una fase, seria:   div   v   0 1  14 2 43 t

 6 4 44 7 4 4 48   v grad   div v  0 t d    div v  0 dt

Equació de conservació de la massa en forma espacial, on v és la velocitat absoluta (agafant un volum de control fix a l’espai)

Continuïtat + Darcy • Però en el sòl, en realitat hi ha dues fases • És fàcil comprovar que

  fluid n  sòlid  1  n 

• Encara que ρfluid i ρsòlid siguin constants (aigua i partícules sòlides indeformables), la porositat n no ho és (sòl deformable) • Es més fàcil escriure l’equació de conservació per a cada una de les fases

•

Continuïtat + Darcy   fluid n  Aigua:  div  fluid nv fluid   0

t   sòlid  1-n    div  sòlid  1  n  v sòlid   0 • Sòlid: t • On: – vfluid = vsòlid + vrel – vrel és la velocitat relativa del fluid respecte a les partícules sòlides → q

Continuïtat + Darcy • Eliminant ρfluid i ρsòlid perquè no varien ni en l’espai ni en el temps: n n  div  nv fluid   0   div  n  v sòlid  v rel    0 t t   1- n   div   1  n  v sòlid   0 t

• Sumant les dues equacions, resulta: div  nv rel   div v sòlid  0

Continuïtat + Darcy • D’altra banda: v sòlid

usòlid  t

vsòlid: velocitat absoluta del sòlid (derivada espacial) usòlid: vector desplaçament de les partícules sòlides

• Per tant: div v sòlid

  vol  usòlid   div     div usòlid    t  t  t intercanvi de derivades

definició de deformació volumètrica i criteri de signes de Mecànica del

Continuïtat + Darcy • Per tant resulta:  vol div  nv rel   0 t

• La llei de Darcy ens dona la relació entre nvrel i l’altura piezomètrica: nv rel  K grad  h  ; era el cabal unitari q que varem veure en el Tema 2, però ara considerem també el moviment de les

pw h z w altura piezomètrica o potencial

Continuïtat + Darcy • Finalment:  vol div  K grad  h     t

(e) + (f)

• que és una forma general de la equació de la continuïtat, considerant també el moviment de l’esquelet sòlid, que és més rigoròs  vol 2 • Si K = ct. → K  h   t • i si no hi ha deformació, recuperem l’equació del flux ∇2h = 0 (tema 2)

Resum d’equacions (1) •

Equilibri: ho posem en efectives, perquè ara sí que intentem conèixer la pressió d’aigua:  ij

pw  bi  x j xi

•

•

Compatibilitat: en general no s’imposa “a priori”, però cal comprovar-ho. En alguns casos es compleix de forma automàtica. Llei constitutiva: escrita de forma vectorial per comoditat: dσ  D dε

Resum d’equacions (2) •

•

Condicions de contorn: inclouen també les condicions inicials, donat que el temps també intervé en les equacions.

Continuïtat (c) Llei de Darcy



pw    vol div  K grad  z     w   t   

•

Havíem vist que (a), (b) i (c) representen 6 EDP amb 6 funcions incògnita σx, σz, τxz, εx, εz, εxz

•

Ara tenim una equació de més, i una incògnita de més: la pressió d’aigua

Acoblament • Aquestes equacions representen un acoblament entre un problema mecànic (tensió – deformació) i un problema hidràulic (de flux): – Problema mecànic (a) + (c):  ij x j

 bi 

pw xi

amb dσ  D dε

(1)

– Problema hidràulic (e) + (f): 

pw    vol div  K grad  z     w   t   

(2)

Acoblament • Les equacions (1) i (2) estan acoblades: en general no és possible resoldre-les per separat • Però si εvol no varia en el temps, la equació (2) torna a ser la clàssica (tema 2) del flux i en aquest cas es pot resoldre independentment de (1) • Això passa, per exemple, a llarg termini, quan el problema no depèn del temps (∂εvol/∂t = 0)

Acoblament • Resulta per tant que, a llarg termini (el que hem anomenat condicions drenades), les equacions (1) i (2) estan desacoblades:  ij

p  bi  w x j xi

(1)



pw   div  K grad  z    0 w     

(2)

• L’equació (2) es pot resoldre directament per tal d’obtenir pw, i després substituir en (1) treballant en efectives Això és el que hem fet fins ara...

Acoblament • Però en qualsevol altra circumstància cal resoldre (1) i (2) simultàniament. • Si el model constitutiu (c) és complicat (plasticitat, Cam-clay, ...) no és possible en general una solució analítica i cal recórrer a mètodes numèrics (p.e. elements finits) • En alguns casos molt senzills hi ha solucions analítiques

8.2

Teoria de la consolidació unidimensional (Terzaghi & Fröhlich, 1936)

Consolidació unidimensional • Suposem que el problema és en una dimensió i que el sòl és un material elàstic només hi ha deformació vertical la deformació lateral és nul·la

• És el cas de l’edòmetre: càrrega molt extensa

 z  x

z

Δσ

NF

▼

z

H

Consolidació unidimensional • La relació entre  z i  z és la que s’ha vist per l’assaig edomètric • Com que suposem que el sòl es comporta com un material elàstic, no cal escriure la relació en forma incremental:

 z  1    1  2  z    z Em E  1  

Consolidació unidimensional • En aquest cas també: εvol = εz • Si K és constant, la equació (2) resulta:   2h    1    1  2  K 2     z  pw   z t  E  1    pw • on: h  z   ; w

pw  pw,hidrostàtica  u

la pressió hidrostàtica és constant en el temps lineal amb la profunditat, z

excés de pressió sobre la hidrostàtica

Consolidació unidimensional • Al derivar, la component hidrostàtica de la pressió desapareix de les equacions:  2  pw,hidrostàtica  z

2



  pw,hidrostàtica  t

• I per tant (2) queda: K  2u 1     z  u 2  w z Em t

0

Consolidació unidimensional • Si la càrrega exterior és constant en el temps, σz = ct.:  z K  2u 1 u 0   2 t  w z Em t KEm  2u u  2  w z t • Que és l’equació de la consolidació unidimensional atribuïda a Terzaghi. La teoria general és de Biot (1941)

Consolidació unidimensional • Nomenclatura:

KEm – coeficient de consolidació: cv  w – es pot obtenir a partir d’assaigs amb l’edòmetre – combina:  permeabilitat (flux): K  deformabilitat: Em

– cv de les argiles: entre 10-2 cm2/s i 10-4 cm2/s

Referències originals •

•

• •

•

Terzaghi, K. v. (1923) Die Berechnung der Durchlässigkeitsziffer des Tones aus dem Verlauf der hydrodynamischen Spannungserscheinungen. Akad. Wiss. Wien. Math-naturw. Klasse 132, No. 3/4, 125-128. Terzaghi, K. v. (1924) Die Theorie der hydrodynamischen Spannungserscheinungen und ihr erdbautechnisches Anwendungsgebiet. Proceedings of the International Congress for Applied Mechanics, 288-294. Delft. Terzaghi, K. v. (1925) Erdbaumechanik auf bodenphysikalischer Grundlage. Leipzig and Vienna: Deuticke. (Principles of soil mechanics) Terzaghi, K. v. & Fröhlich, O.K. (1936) Theorie der Setzung von Tonschichten: eine Einführung in die Analytische Tonmechanik, Leipzig: Deuticke. (Theory of the settlement of clay layers: an introduction to the analytical mechanics of clay) Biot, M.A. (1941) General Theory of Three-Dimensional Consolidation. J. Appl. Physics, 12, 155-164

Consolidació unidimensional • L’equació

 2u u cv 2  z t

• és una EDP parabòlica que té solució analítica • Arribem a una forma adimensional de l’equació fent uns canvis de variable: u z t W Z T  H  •

Δσ = càrrega exterior; H = potència de l’estrat;

τ = temps a definir

Consolidació unidimensional • Substituint aquestes expressions en l’equació diferencial:  2u   2W  2 ; 2 2 z H Z

u  W  t  T

• Per tant:   2W  W cv 2  2 H Z  T

Consolidació unidimensional • Si definim ara

H2  cv

• queda finalment

 2W W  2 Z T • on

T t

cv H2

T = temps adimensional del problema t = temps real, físic

Condicions de contorn Δσ

NF

z = 0; Z = 0

▼

H

z z = H; Z = 1  0 z pw pwhidrostàtica u   H z H z  w w w z  H q 0 K

   p hidrostàtica  1 u   H z w    z z   w   w z 

   w z  1 u 1 u   H z   z   w   w z  w z 1 4 44 2 4 4 43

z  0  u  0  Z  0 W  0 u W zH  0  Z 1 0 z Z Condició inicial : t  0  u    T  0  W  1 Per tant hem de resoldre :  2W W  2 Z T amb les condicions : Z  0  W  0; Z  1 

0

 u 0 0 z z

T  0 W 1

W 0 Z

Solució • Mitjançant separació de variables arribem a la solució:   2n  1    2n  1   4 W (Z ,T )   exp   T  sin  Z 4 n 0 (2n  1)   1 4 44 224 4 43 1 4 4 42 4 4 43 



2

2

f (T )

f (Z )

Isòcrones   4 W (Z ,T )   exp   (2 n  1)  n 0  

2

 2n  1

2

4



  2n  1   Z 2 

T  sin   

Δσ

Z=0 T1 Z T3

excés de pressió sobre la hidrostàtica

T = 0+ → W = 1

T2

isòcrones

T4

T=∞→W=0 Z=1 W=0

W=1

•Procés de dissipació de les pressions d’aigua al llarg del temps •Recordar que u = Δσ·W és l’excés de pressió sobre la hidrostàtica

Isòcrones 1 Z

T

W

Isòcrones en termes de les variables “físiques” (z, u, t)

Δσ

z=0 t1 t=

pressió hidrostàtica z=H

0 0 u= u= ∞ → 0- → t=

z

 wH

t = 0+ → u = Δσ

t2 isòcrones

t3 t4



C0

Símil hidràulic de Terzaghi

∆σ/γω

P

t=0 ∆σ't/γω ∆ut/γω

t

P = ∆u ⇒ ∆σ ′ = ∆σ − ∆u = 0 S

Ct

P

P = ∆σ t′ + ∆ut S ∆ut < ∆u = ∆σ ⇒ ∆σ t′ > 0 ∆σ =

∆σ =

∆σ' /γω

P C∞

∆σ =

t=∞

∆ut =∞

P = ∆σ t′=∞ + ∆ut =∞ S = 0 ⇒ ∆σ t′=∞ = ∆σ

Drenatge als dos costats Δσ z = 0; Z = 0

z

NF

isòcrones

▼

2H

z = 2H; Z = 2

•

Si hi ha drenatge pels dos costats, és equivalent a tenir un estrat de potència meitat, drenant només per un costat: el pla mig de l’estrat es comporta com si fos impermeable. • Es fan servir les mateixes fórmules, però la potència de l’estrat es designa com 2H

8.3

Grau de consolidació

Grau de consolidació en un punt • Es defineix el grau de consolidació en un punt com:

  z, t  U P ( z, t )    z,   • on:

e av   av   z,        1  e0 1  e0 1  e0 E555F E55555 F al final del període

av   z, t      z , t  1  e0

a t   

av = coeficient de compressibilitat (Tema 4)

Grau de consolidació en un punt u

u

Δσ'

   z , t    u  z , t  U P  z, t       u  z, t   1  F E555 W ( Z ,T )

z

Δσ

U P  Z ,T   1  W  Z ,T 

Grau de consolidació d’un estrat • Es defineix el grau de consolidació d’un estrat com:

st U (t )  s • on:

s  

H

st  

H

0

0

assentament en superfície a un temps t assentament final en superfície

av   z ,   dz   H 1  e0 av H   z , t  dz     z , t  dz   1  e0 0

av H     u  z , t   dz  0 1  e0

Grau de consolidació d’un estrat 0

0

1 W

W

1-W

àrea ≡ U(T) : grau de consolidació de l’estrat a l’instant T H u  z, t  st U  t   1  dz 0 s 

1

1

U  T   1   W  Z , T  dZ 0

Z

•

Si l’estrat drena pels dos costats i te una potència 2H, llavors el grau de consolidació és:

1 2 U  T   1   W  Z , T  dZ 2 0

Grau de consolidació d’un estrat 1

U (T )  1   W ( Z , T )dZ 0

T  0 U  0 T    U  1 (100% de consolidació) Fent la integral resulta : 

 8 1 U (T )  1  2  exp   2  n0  2n  1  

2

 2n  1 4

2

T 



Grau de consolidació d’un estrat • Assentament en un temps t:

st  U (T ) s

cv T t 2 H

• U(T) està tabulat: – T = 0.100 → U = 0.356 (35.6%) – T = 0.500 → U = 0.764 (76.4%) – T = 1.129 → U = 0.950 (95%) la consolidació està pràcticament acabada

Grau de consolidació d’un estrat • Es pot demostrat que U(T) es pot aproximar de la següent manera:

T  0.2 :

 2  8 U (T )  1  2 exp   T    4 

T  0.2 :

2 T U (T )  

paràbol a

U 100%

0%

T

primer terme de la sèrie

Exemple NF

▼

10 m

argila cv = 10-3 cm2/s

Estrat de 10 m d’argila ¿Quan es tarda en arribar al 95% de consolidació?

H2 10002 cm 2 U  0.95  T  1.129  t  T  1.129 3 2  1.13 109 s : 36 anys cv 10 cm s Si la capa inferior és permeable i l’estrat drena pels dos costats, 2H = 10 m

H2 5002 cm 2 t T  1.129 3 2 : 9 anys cv 10 cm s Tarda bastant: els assentaments per consolidació poden durar molts anys

8.4

Consolidació deguda a l’alteració del règim hidràulic

Exemples • L’equació diferencial és la mateixa, només canvien les condicions de contorn • Veurem dos exemples: – Exemple 1: disminució de l’altura piezomètrica en el contacte inferior de l’estrat – Exemple 2: aixecament del nivell freàtic

• Generalització a canvis de pressió en els contactes superior i inferior de l’estrat

Exemple 1 NF

pou

▼

pw inicial (γwz)

sorra

argila

t→∞ isòcron es

sorra

pw final

disminució de pw

A la sorra els canvis de pressió d’aigua són ràpids; a l’argila són lents A l’argila es va dissipant la pressió i es produeixen assentaments: Δpw < 0 → Δσ' = Δσ – Δpw > 0 → Δe < 0 → assentament e Δσ'

Exemple 2 augment de pw

NFfin

▼ sorra

▼ pw final

argila

sorra

NFini

isòcron t→∞ es

pw inicial (γwz)

A la sorra els canvis de pressió d’aigua són ràpids; a l’argila són lents A l’argila va augmentant la pressió i es produeixen inflaments: Δpw > 0 → Δσ' = Δσ – Δpw < 0 → Δe > 0 → inflament

suposem que en aquest punt es manté l’altura piezomètrica inicial

e Δσ'

Cas general – increment lineal ∆pw1 p'w1

2H

pw1

condicions estacionàries

Equació diferencial: condicions inicials

 2 pw pw cv  2 z t Condicions de contorn:

z

p'w2

pw2

z  0  pw  pw 2 z  2 H  pw  pw1

∆pw2

Condicions inicials:

Condicions estacionàries:

t 0 

t  

p  pw1 pw  pw1  w 2  2H  z  2H

pw  pw1 

pw 2  pw1  2H  z  2H

Cas general – increment lineal • Fent el canvi de variable u = pw – pw,estacionària queda:  2u u cv 2  z t z  0  u  0; z  2 H  u  0 t  0  ui  pw,ini  pw,est

pw 2  pw1  pw1   2H  z  2H

• Passant a forma adimensional amb z c u p  pw 2 Z ; T  t v2 ; W ; u0  w1 H H u0 2

Cas general – increment lineal  2W W  2 Z t

• Queda:

Z  0  W  0; Z  2 W  0 2  Z (  1) pw1 T  0 W  ;  1  pw 2

• I la solució és: 1    1 W  Z ,T    1  n 1 

n 1

 n 2 2T  4 n Z sin exp    n 2 4  

Cas general – increment lineal • Si calculem el grau de consolidació d’un estrat amb aquesta funció W(Z,T), obtenim:

st U (t )   s

 

2H

0 2H

0

 tdz   dz

    total  pw     total  pw,ini   t   t   ini 1 4 2 4 3 1 44 2 4 43  t

  ini

 pw,ini  pw   pw,ini  pw,fin   u { u  pw ,fin

   pw,ini  pw,fin

Cas general – increment lineal • Per tant:

U (t )  1 

 p 2H

0



2H

0

w ,ini

udz  pw,fin  dz

  1

0

pw1

p  pw 2 Àrea : 2 H  w1  2 H u0 2 pw 2

udz

2 H u0

1 2 U (T )  1   W ( Z , T )dZ 2 0

2H

2H

Cas general – increment lineal • Introduint el valor de W(Z,T) que hem obtingut, resulta un grau de consolidació U(T) igual al que s’obté per el cas d’una sobrecàrrega uniforme Δσ • Per tant: qualsevol problema amb un increment lineal de pressió intersticial dóna el mateix resultat U(T) • Hi ha taules per increments de pressió intersticial no lineals

Relacions U-T

h 2H

u0

u0

u0

Cas I

u0

u0

Relacions U-T h 2H

h 2H

u0

u2

h

u0

u0

u3

u0 = u2 sin π h 4H

u0 = u3 sin π h 2H

Cas II

Cas III

u4

u0 = uHh 4

de

h=0

u0 = u (2HH − h)

de

h=H

4

h=H

a a

Cas IV

h = 2H

Taula de valors de T per varis valors de U U

Cas I T

Cas II T

Cas III T

Cas IV T

0.05

0.0017

0.0021

0.0208

0.0247

0.10

0.0077

0.0114

0.0427

0.0500

0.15

0.0177

0.0238

0.0659

0.0750

0.20

0.0314

0.0403

0.0904

0.102

0.25

0.0491

0.0608

0.117

0.128

0.30

0.0707

0.0845

0.145

0.157

0.35

0.0962

0.112

0.175

0.188

0.40

0.126

0.143

0.207

0.221

0.45

0.159

0.177

0.242

0.257

0.50

0.196

0.215

0.281

0.294

0.55

0.238

0.257

0.324

0.336

0.60

0.286

0.304

0.371

0.384

0.65

0.342

0.358

0.425

0.438

0.70

0.403

0.421

0.488

0.501

0.75

0.477

0.494

0.562

0.575

0.80

0.567

0.586

0.652

0.665

0.85

0.684

0.700

0.769

0.782

0.90

0.848

0.862

0.933

0.946

0.95

1.129

1.163

1.214

1.227

1.00

Infinit en tots els casos

Taula de valors de U per varis valors de T T

Cas I U

Cas II U

Cas III U

Cas IV U

T

Cas I U

Cas II U

Cas III U

Cas IV U

0.004

0.0735

0.0649

0.0098

0.0085

0.175

0.4718

0.4473

0.3507

0.3306

0.008

0.1038

0.0862

0.0195

0.0162

0.200

0.5041

0.4809

0.3895

0.3704

0.012

0.1248

0.1049

0.0292

0.0241

0.250

0.5622

0.5417

0.4603

0.4432

0.020

0.1598

0.1367

0.0481

0.0400

0.300

0.6132

0.5950

0.5230

0.5078

0.028

0.1889

0.1638

0.0667

0.0560

0.350

0.6582

0.6421

0.5783

0.5649

0.036

0.2141

0.1876

0.0850

0.0720

0.40

0.6973

0.6836

0.6273

0.6154

0.048

0.2464

0.2196

0.1117

0.0950

0.50

0.7640

0.7528

0.7088

0.6994

0.060

0.2764

0.2481

0.1376

0.1198

0.60

0.8156

0.8069

0.7725

0.7652

0.072

0.3028

0.2743

0.1628

0.1436

0.70

0.8559

0.8491

0.8222

0.8165

0.083

0.3233

0.2967

0.1852

0.1646

0.80

0.8874

0.8821

0.8611

0.8566

0.100

0.3562

0.3288

0.2187

0.1976

0.90

0.9119

0.9079

0.8915

0.8880

0.125

0.3989

0.3719

0.2654

0.2442

1.00

0.9313

0.9280

0.9152

0.9125

0.150

0.4370

0.4112

0.3093

0.2886

2.00

0.9942

—

—

—

∞

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

8.5

Consolidació amb flux radial

Introducció • Els estrats d’argila son “lents” en consolidar • La tècnica de la precàrrega permet millorar el terreny • Problema: tots els processos de càrrega i descàrrega son lents • Per què?  Es tracta d’un problema controlat per la distància que ha de recórrer l’aigua fins a l’exterior per tal de dissipar les pressions:

Introducció • El temps depèn bàsicament de la distància: U 95%

0%

T

cv H 2 w T t 2  t T  t  t H  H K Em

1.129

• Per disminuir aquesta distància introduïm drens verticals: Flux vertical i radial (poc flux vertical) Deformació vertical → assentament vertical

Consolidació radial • Equació de la consolidació en coordenades cilíndriques:

 2u 1 u 1  2u  2u u   2  2  2 2 r r r 1 r 442 4 43 z t 0,simetria part radial

  2u 1 u  u cvr  2   ;  r r  t  r

K r Em cvr  w

 1   u   u cvr   r   t  r r  r  

K r : permeabilitat radial

Consolidació radial • Es pot comprovar que

U rz  1   1  U r   1  U z  • Amb – flux radial + vertical – només deformació vertical

• La deformació vertical (assentament) es calcula com:

st  U rz s • La part vertical és la solució clàssica ja vista:

U z  U z  Tz  ;

cvz Tz  t 2 ; H

K z Em cvz  w

Consolidació radial re

rw rs

• Disposició dels drens re

– rw : radi del dren – rs : radi de la zona alterada, de permeabilitat Ks – re : radi de la zona d’influència del dren, de permeabilitat Kr

Consolidació radial • Grau de consolidació radial Ur:

U r  1  exp   2Tr m  cvr Tr  t 2 re

n2 3n 2  1 K r  s  1 n 2  1 m  2 ln n    2 2 n 1 4n Ks n re n ; rw

rs s rw

8.6

Càrrega variable en el temps

Càrrega variable en el temps 

c T0  t0  v2  variable d'integració H u és dimensional (t/m2 )

    T0   0

T0

 4  1 n Z 2 2 u  Z ,T   sin exp   n  T 4     n1,3,5,... n 2 



T

0

  n 2 2T0  d exp  dT0   0   4  dT0  