Meca Suelos Tema 5

UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA Escola Tècnica Superior d’Enginyers de Camins, Canals i Ports

Mecànica del Sòl Tema 5

Comportament mecànic del sòl

Tema 5: Índex • Resum del comportament de les argiles en un assaig triaxial convencional • El model Cam-clay: formulació teòrica • El model Cam-clay: prediccions • Estat crític • Resum i exemples • Sorres • Resistència: el criteri de Mohr-Coulomb • Resistència no drenada

5.1

Resum del comportament de les argiles en un assaig triaxial convencional

Resum del comportament de les argiles en un assaig triaxial convencional Fase I: Càrrega isòtropa (CD i CU) En estat “verge” o “noval”, el comportament és elastoplàstic:

Durant la descàrrega o recàrrega, el comportament és elàstic:

e ∆e   ≈ ln p ′ →  = −λ∆ ln p ′ v ∆v  de  dp ′  = −λd (ln p ′) = −λ dv  p′

e ∆e   ≈ ln p ′ →  = −κ∆ ln p ′ v ∆v  de  dp ′  = −κd (ln p ′) = −κ dv  p′

v = 1+ e

v = 1+ e

Resum del comportament de les argiles en un assaig triaxial convencional Fase II: Càrrega desviadora (assaig CD) q

• Els estats últims, a volum constant, representen una relació lineal entre q i p’

M

La recta passa per l’origen:

q  Mp amb M constant

p’

Resum del comportament de les argiles en un assaig triaxial convencional Fase II: Càrrega desviadora (assaig CD) • Deformacions volumètriques durant el desviador (dilatància):  En una primera fase (elàstica), el sòl sempre experimenta una

contracció volumètrica  En una fase posterior (elasto-plàstica):

∆v molt SC

 Si el sòl es NC o poc SC (OCR ≈ 1 a 4), es produeix una contracció volumètrica

ε1

 Si el sòl es SC (OCR > 4), es produeix una expansió volumètrica NC o poc SC

Resum del comportament de les argiles en un assaig triaxial convencional Fase II: Càrrega desviadora (assaig CD) q

• Els estats tensionals en el moment d’iniciar-se la fluència, determinen una envolvent còncava a l’espai (q, p’)

p’

Resum del comportament de les argiles en un assaig triaxial convencional Fase II: Càrrega desviadora (assaig CD) v

• Els índex de porus finals, a volum constant, es situen sobre una recta única, paral·lela a la recta de compressió noval:

v     ln p

re

ct a

de

co

m

re

ct a

pr e

d’

ss

es

ta

ts

cr

ió

no

va l

íti c

s

ln p’

Resum del comportament de les argiles en un assaig triaxial convencional Fase II: Càrrega desviadora (assaig CD) 1. Les equacions

 q  Mp   v     ln p defineixen una “corba d’estats crítics” dins l’espai (p’, q, v)

Resum del comportament de les argiles en un assaig triaxial convencional Fase II: Càrrega desviadora (assaig CU) • Els estats últims en tensions efectives, a volum constant, es situen sobre la mateixa recta en el pla (p’, q) determinada en assaigs CD:

q

M

q  Mp amb M constant

p’

Resum del comportament de les argiles en un assaig triaxial convencional Fase II: Càrrega desviadora (assaig CU) • Pressions intersticials durant el desviador:  En una primera fase (elàstica), es generen pressions

d’aigua positives  En una fase posterior (elasto-plàstica):

pw

NC o poc SC

 Si el sòl es NC o poc SC (OCR ≈ 1 a 4), es generen pressions d’aigua positives

ε1

 Si el sòl es SC (OCR > 4), es generen pressions d’aigua negatives molt SC

Resum del comportament de les argiles en un assaig triaxial convencional Fase II: Càrrega desviadora (assaig CU) • Els índex de porus finals i les pressions efectives finals, es situen també sobre una recta d’estats crítics única:

v     ln p

v re

ct a

de

co

m

re

ct a

pr e

d’

ss

es

ta

ts

cr

ió

no

va l

íti c

s

ln p’

Resum del comportament de les argiles en un assaig triaxial convencional Assaig drenat amb trajectòries  3 1  KC  ct. q

Una d’aquestes trajectòries correspon a l’assaig edomètric:

 H  0  KC  K 0 Recordar: p’

 3 K0   1

en condicions de deformació lateral nul·la

Assaig drenat amb trajectòries q s

t st a

ia Lín

t crí

ics

K0

Les relacions de compressió volumètrica (noval) són del tipus:

d’e

p, p’ v

 3 1  KC  ct.

ia Lín

Línia de consolidació noval isòtropa

 dv   dp p i, per tant, són paral·leles a la línia de consolidació noval isòtropa, i a la línia d’estats crítics

s d’e tats ics

crít

Les superfícies de fluència creixen homotèticament en acumular-se les deformacions plàstiques K0

ln p’

5.2

El model Cam-clay: formulació teòrica

Introducció: què sabem fins ara? Quina forma té?

• Existeix una superfície de fluència • A l’interior de la superfície de Com s’avaluen? fluència, només hi ha deformacions elàstiques • Si l’estat tensional es troba sobre la magnitud i direcció tenen? Com es superfície deQuina fluència, es produeixen relacionen amb la superfície de fluència? també deformacions plàstiques • La superfície de fluència no es manté Com canvia, i de quines variables depèn? fixa durant el procés de càrrega

Consideracions prèvies • El model que anem a construir és un model senzill i poc “refinat” → no reprodueix TOTS els aspectes del comportament del sòl • La superfície de fluència conserva la forma, només canvia de tamany • Els canvis de tamany de la superfície de fluència depenen només de la deformació volumètrica acumulada: VOLUMETRIC HARDENING MODEL • La posició, forma i tamany de la superfície de fluència depenen de la

Consideracions prèvies • Ens fonamentem en l’experiència de l’assaig triaxial convencional, fent servir les variables en el pla de Cambridge: 1 p′ = (σ 1′ + 2σ 3′ ), 3

ε p = ε1 + 2ε 3 ,

q = σ 1′ − σ 3′

2 ε q = (ε1 − ε 3 ) 3

• Model bo per reproduir assaigs de laboratori, no tan bo per reproduir el comportament “real” (in situ)

Deformacions volumètriques: a) elàstiques • Suposem un comportament isòtrop i elàstic a l’interior de la superfície de fluència, i que les deformacions volumètriques i de tall estan desacoblades e

δε p  1 K ′ 0  δp ′  e =   δq ′ ′ δε 0 1 3 G    q 

• K' = mòdul volumètric i G' = mòdul de tall • Ambdós expressats en termes de tensions efectives • No són constants

Deformacions volumètriques: a) elàstiques • K' no és constant: K' = K'(p') • Per tant:

3(1 − 2ν ′) G′ = K ′ = G ′( p ′) 2(1 + ν ′) 3K ′ − 2G ′ ν′ = = ν ′( p ′) 2G ′ + 6 K ′ • Però: quant val K'(p')?

Deformacions volumètriques: a) elàstiques q yl

D

B A

C v

p'

iso-ncl ncl

url B

A

D

C p'

Tots els punts interiors a una corba (superfície) de fluència (yl), incloent, en el límit, els corresponents a la mateixa corba (superfície), estan representats sobre una mateixa corba de càrrega descàrrega (url)

v

Recordem, en el edòmetre:

vλ

Aquí és molt semblant:

ncl 1

v  v   ln p v  v  ln p

λ

vκ

 e  e0  Cc log 0

elasto-plàstic (ncl) elàstic (url)

url

La relació entre (κ,λ) i (Cs,Cc) és:

κ

Cc = λ ln 10;

p' = 1

1

Cs = κ ln 10

ln p'

δp ′ Canvi de volum elàstic: δv = −κ p′ e

δv e κ = δp′ Deformació volumètrica elàstica: δε = − ′ v vp 1 vp ′ e δp ′ ⇒ K ′ = = K ′( p ′) Per tant: δε p = K′ κ e p

Deformacions volumètriques: b) plàstiques q L yl 2

K

yl 1

A

B

M

p'

v iso-ncl

ncl

K

url 1

Δv

A

url 2

M L

B p'

Assaigs triaxials amb argiles de Winnipeg [Graham et al, 1983]

yl 2

v  ve  v p

2

yl 1

v

ve   (ln p2  ln p1)   ln

1≡3

I, en el límit:  ve    p

p

1 ∆v

∆v

p

3

∆ve

v p  v0p

2

v0p  v0 v0e v0   (ln p02   ln p01  )

p'

v

′ p2′ p01

p1′

′ p02

v0e   (ln p02   ln p01  ) v p  (   )(ln p02   ln p01  ) p  (   )ln 02 p01 

λ 

∆v

p2 p1

v p



ve

p1′



v0p ∆v en el límit:  v p  (   )  p0  0 p

κ

0

∆v p2′

′ p01

e 0

 pp

escala logarítmica (ln)

′ p02

p

p     p  v 0   v v p0

 p  p    p     0 v p v p0 Deformació volumètrica total

Deformacions volumètriques: exemple R

q

yl 2

S

PQ

P

yl 1

Q

δε ep = κ

δp ′ ; δε pp = 0 vp′

δε pp = (λ − κ ) ′ p01

v

′ p02

p'

PS

δε ep = κ

δp′ vp′

δp0′ vp0′

(δp′ < 0)

δε p = δε ep + δε pp = 0 url 1 url 2

Q

δε ep = 0

P

PR

S R p'

(δp′ = 0)

δε pp = (λ − κ )

(δp0′ > 0)

δp0′ vp0′

Deformacions de tall: a) elàstiques q   3G e q

3(1  2 )  G  K ( p)  3(1  2 ) (1  e) p 2(1   )    G  2(1  )  (1  e) p  K ( p)    2(1   )    q 9(1  2 ) (1  e) p e q

Deformacions de tall: b) plàstiques • •

Si coneixem la relació  qp  pp , llavors  qp quedaria determinada, ja que  pp és coneguda El vector de deformacions plàstiques ( pp , qp ) es pot mesurar en assaigs triaxials quan es creua la superfície de fluència

f ( p, q, p0 )  0

g ( p, q, )  0

Deformacions de tall: b) plàstiques

Sorra densa d’Ottawa (Poorooshasb et al., 1966, 1967)

ARGILA: plasticitat associada SORRA: plasticitat no associada Argila de Winnipeg (Graham et al., 1983)

Formulació del model (Camclay) • Càlcul de les deformacions en règim elàstic • Superfície de fluència • Potencial plàstic • Llei d’enduriment • Matriu de rigidesa elasto-plàstica

Formulació del model (Camclay) • Càlcul de les deformacions en règim elàstic

  p   v p q e  q  3G e p

G' = constant;

κ = constant

Formulació del model (Camclay) • Superfície de fluència La superfície de fluència és una el·lipse en el pla (p', q), que té per equació:

( p  p0 2) 2 q2  1 2 2 ( p0 2) ( M p0 2) q 2  M 2 ( pp0  p2 )

f ( p, q, p0 )  q  M p( p0  p)  0 2

2

Formulació del model (Camclay) • Superfície de fluència q

 qp

( p  p0 2) 2 q2  1 2 2   ( p0 2) ( M p0 2)

M

yl

Mp0 2 p0 2

p' p0

 pp

v v

N

iso-ncl

iso-ncl url

url

λ κ

ln p

p' p'=1

Formulació del model (Camclay) • Superfície de fluència Fent el canvi de variable η = q/p' l’equació de la superfície de fluència es converteix en:

(p',q)

p M2  2 p0 M   2

η

 f 2 M 2   2   p0 M   2 2    p M     

Les derivades de la funció de fluència necessàries per a formular el model són:

 f 2  2   p M  0  2 2   q M       f p  2  p0  p0 

Formulació del model (Camclay) • Potencial plàstic Cam-clay és un model de plasticitat associada; per tant:

g  f  q  M p( p0  p)  0 2

2

Com a conseqüència de la llei de la fluència:



g     p   g   qp   q  p p

 g  p    ij    ij  

 pp si   M  p  0  q

  pp  0



 pp g p M 2   2   p  q g q 2

Formulació del model (Camclay) • Llei d’enduriment Com que

I per tant:

    p0   v p0

v   p0   p0  

p0 vp0  p  p   

Aquestes equacions defineixen el canvi del tamany de la superfície de fluència ( p0 ) en funció de les deformacions plàstiques acumulades

p p

p0 0 p  q

p p

Només depèn de la deformació volumètrica plàstica

Formulació del model (Camclay) • Matriu de rigidesa elasto-plàstica

 d   d  • • •

p p p q



 M 2  2

     2 2   vp ( M   )  

2

2



 dp   4 2    dq  2 2  M  

Aquesta relació només té sentit quan estem en règim elasto-plàstic La matriu de rigidesa és simètrica ja que f = g El determinant de la matriu de rigidesa és 0 ja que les deformacions volumètrica i de tall plàstiques estan relacionades, com hem vist:

 pp M 2   2  p  q 2

Com ho sabem?

Deformacions produïdes per una trajectòria de tensions • • • •

Deduir  ij en funció de  ij e p Sabem que ε  ε  ε Calculem les deformacions elàstiques Comprovem si en aplicar un increment de tensions estem en règim elàstic o elasto-plàstic: Calcular

σ

σ

new

old

 σ

f 0  

 df  0 

f 0 f 0

i avaluar

f σ

new



i

f df  dσ σ

p Règim elàstic: d   0  ε  0

 

 df  0 

p Règim elàstoplàstic: d   0  ε  0

Impossible

Deformacions produïdes per una trajectòria de tensions q

B A p

p0 A

p0 B  p0 A 

 p0B

ELASTO-PLÀSTIC

Deformacions produïdes per una trajectòria de tensions q

B A p

 p0B

p0 B  p0 A 

ELÀSTIC

p0 A

5.3

El model Cam-clay: prediccions

Assaig triaxial drenat convencional (CD) • Deformació de tall plàstica  M 2  2

 d  p p p q

      2 2  d    vp( M   )  

2

2



  dp 4   dq    M 2   2  2

 dq  3dp

2 ( M   )  12 d   (   ) dq 4 4 3vp( M   ) 2

p q

Si   M 

d  qp dq

2



2

Assaig triaxial drenat convencional (CD) • Deformació volumètrica plàstica

d  pp

(M  )  p d q 2 Si   M 

2

d  pp d

p q

0

2



dv 0 d q

Llei d’enduriment q

 qp

M

r d p

r d p

  M  d  pp  0  dp0  0

M

d  0 p p

r d p

d  pp  0

La superfície de fluència “s’infla” M

  M  d  pp  0  dp0  0

d  pp  0 p  p0 2

  d  dp0 vp0 p p

p0

p p

La superfície de fluència “es desinfla”

  M  d  pp  0  dp0  0 La superfície de fluència es manté constant

Argiles normalment consolidades: assaig CD q

p’

Argiles normalment consolidades: assaig CD

Argiles lleugerament sobreconsolidades: assaig CD q

p’

Argiles lleugerament sobreconsolidades: assaig CD

Argiles molt sobreconsolidades: assaig CD q

p’

Argiles molt sobreconsolidades: assaig CD

Assaig triaxial no drenat convencional (CU) • Equació de la trajectòria de tensions efectives

 p   ep   pp  0 ASSAIG NO DRENAT

  p   v p     p0 p  p  v p0 e p



 p0  p   (   ) p p0  p

i

 p0

tenen signe diferent

Combinant aquesta relació amb la funció de fluència, obtenim l’equació diferencial de la trajectòria de tensions no drenada:

dp    2   d 2 2 p v M 

Assaig triaxial no drenat convencional (CU) Integrant, obtenim l’equació de la trajectòria de tensions efectives: q

 M 2  2   pini  2  p  M 2  ini 

u



TT T

q

TTE uini

qini



ini p

  

pini 

p, p

pini

p

    1  

  0.2    0.8 

Aquesta equació només té sentit quan s’estan produint deformacions volumètriques plàstiques

Assaig triaxial no drenat convencional (CU) p Si η → M ⇒ δε p = 0 ⇒ δp0′ = 0 ⇒ δp′ = 0

que indica el final de la trajectòria:

Si la trajectòria comença a la zona elàstica,

δε pp = 0 ⇒ δε ep = 0 ⇒ δp′ = 0

TTE

La trajectòria no drenada en tensions efectives no depèn de la trajectòria en totals: és única. A diferents trajectòries en totals els corresponen diferents pressions intersticials generades

TTT

Assaig triaxial no drenat convencional (CU) • Pressió intersticial: paràmetre “a” q

 p Definim: a   q

u u

 p( 0)

u

p

TTT

TTE

 u   p   p   p  a q

q

u

a) Zona elàstica:

 p  0 p, p

 p  0  a  0   u   p

b) Sòl deformant-se plàsticament:

a

2 (   )  ( M 2   2 )  2 2 (   )

Argiles normalment consolidades: assaig CU q

TTE TTT

p’

Argiles normalment consolidades: assaig CU

Argiles lleugerament sobreconsolidades: assaig CU q

TTE

TTT

p’

Argiles lleugerament sobreconsolidades: assaig CU

Argiles molt sobreconsolidades: assaig CU q

TTE

TTT

p’

Argiles molt sobreconsolidades: assaig CU

5.4

Estat crític

Estat crític • Definim estat crític com aquella combinació de tensions per a la qual la deformació de tall plàstica progressa de manera indefinida sense canvis en la tensió efectiva mitja, la tensió de tall, o el volum:

p  0;  q

q  0;  q

qcs  cs  M Això passa quan pcs

v 0  q Sempre que s’estiguin produint deformacions plàstiques

Estat crític • Sòls normalment consolidats o lleugerament sobreconsolidats – La primera fluència es produeix per η<M – Hardening: les superfícies de fluència s’expandeixen

• Sòl molt sobreconsolidat – La primera fluència es produeix per η>M – Softening: les superfícies de fluència es contrauen

 • Línia d’estats crítics al pla (p’,q): qcs  Mpcs

q

B

Trajectòries de tensions efectives

yl B

l cs

C

Q

yl C

P

yl Q yl R

p

TIPUS DE SÒL

A

NC

SC

CD

AB

PQ

CU

AC

PR

Q url

P

iso-ncl

R

csl

C

TIPUS D’ASSAIG

v

R

A

B p

Volum específic en estat crític v

N iso

v

-n c



l

nc

l



v vcs v v0

cs

Estat crític (csl):

p0 p

vcs     ln pcs

Cas general (ncl):



v  N  (   ) ln    ln p

l

(   ) ln 

url

p0 M 2   2   p 2



ln p

1

pcs 

ln p

ln  p0 2

p 

p0

p0 

M 2  2 v  N  (   ) ln   ln p 2 1 4 4 44 2 4 4 4 43 v

el·lipse

Volum específic en estat crític M 2  2 v  N  (   ) ln 2 Si η és constant, aleshores vλ també és constant: les línies de compressió són paral·leles en el pla (v,p')

Línia d’estat crític a l’espai (p',q,v)  csl q

p

 csl

p v iso-ncl csl

p

5.5

Resum i exemples

NC

SC

Resposta qualitativa de les argiles Punt A: sobre la línia ncl, indica que el sòl està normalment consolidat Punt B: sobre la línia url, indica que el sòl està sobreconsolidat La trajectòria drenada pels sòls NC i SC és la mateixa a l’espai (p',q), però diferent a l’espai (p',v) La trajectòria no drenada pels sòls NC és cap a l’esquerra (el punt A està a la dreta de la csl). Pels sòls SC és cap a la dreta (el punt B està a l’esquerra de la csl)

pA  pB

Tendències

ASSAIG DRENAT (CD)

ASSAIG NO DRENAT (CU)

Exemple ASSAIGS TRIAXIALS AMB ARGILA DE WEALD (Bishop i Henkel, 1957)

NC

SC

Exemple – sòl NC

2

1 ASSAIG DRENAT (CD)

ASSAIG NO DRENAT (CU)

Exemple – sòl SC

4

3 ASSAIG DRENAT (CD)

ASSAIG NO DRENAT (CU)

Exemple – resultats a l’espai (p',q,v)

TIPUS D’ASSAIG

TIPUS DE SÒL

NC

SC

CD

AD

KN

CU

EH

PS

5.6

Sorres

És possible una teoria d’“estat crític” per sorres? ASSAIGS AMB SORRA DE CHATTAHOOCHEE RIVER (Vesic i Clough, 1968)

Assaigs triaxials a p' constant

És possible una teoria d’“estat crític” per sorres? • No existeix una corba “iso-ncl” única per a sorres: depèn de l’estat inicial de la sorra (densa, solta) • No és possible explorar el pla (p',v) a partir d’assaigs de compressió de la mateixa manera que es pot fer amb les argiles • La sorra “te memòria” del seu estat inicial, encara que hagi estat molt comprimida

5.7

Resistència: el criteri de MohrCoulomb

El criteri de Mohr-Coulomb • L’expressió “resistència de sòls” evoca el criteri de trencament de Mohr-Coulomb • Mohr-Coulomb tracta de les condicions de tensió sobre plans potencials de trencament





• El trencament és produeix quan  assoleix un cert valor crític:

El criteri de Mohr-Coulomb 

 cr    c    tan   

c



 c





El trencament es produeix quan la tensió tangencial,  , sobrepassa la resistència al tall,  cr ,que té: ►una component d’origen friccional,   tan  , que depèn de la tensió normal efectiva,  , sobre el pla, i d’un angle de fricció   ►una component, c , independent de  . Aquest terme es coneix pel nom de “cohesió”, però també es pot interpretar de maneres més generals no associades al concepte clàssic de cohesió

Mohr-Coulomb expressat en funció de les tensions principals    c    tan  

 1   3 2

c

 c tan  



 3

 1

 1   3 2

 1   3   1   3 c    sin    2 2 tan    



Mohr-Coulomb expressat en funció de les tensions principals

2c    1   3    1   3  sin    tan     

 1  1  sin     3  1  sin    2c cos   1  sin   cos    1   3  2c  1  sin   1  sin   14 2 43 14 2 43 Kp

Kp

 1  K p 3  2c K p 1  sin     2  Kp   tan    1  sin    4 2

(1)

Coeficient d’empenta passiu (► teoria de murs)

Mohr-Coulomb expressat en funció de les tensions principals

2c    1   3    1   3  sin    tan     

 3  1  sin     1  1  sin    2c cos  

 3   1

1  sin   cos     2c 1  sin   1  sin   14 2 43 14 2 43 Ka

Ka

 3  K a 1  2c K a 1  sin     2  Ka   tan    1  sin    4 2

(2)

Coeficient d’empenta actiu (► teoria de murs)

Mohr-Coulomb expressat en funció de les tensions principals

 1  K p 3  2c K p  3  K a 1  2c K a

  1   2   3 

• La condició general de trencament no depèn de la tensió principal intermèdia  2 • Tanmateix,  2 afecta a la tensió mitja • Per tant, els estats de compressió triaxial i d’extensió triaxial no seran iguals:

Mohr-Coulomb expressat en funció de les tensions principals F F  1   C  vert  3   C  vert A A

 2   3   C

 1   2   C

   hor   vert

   hor   vert

Compressió triaxial

Extensió triaxial

  1,  3 ,  3 

  1,  1,  3 

Mohr-Coulomb expressat en funció de les variables de Cambridge p'-q Compressió ►

Extensió ►

  1,  3 ,  3 

  1,  1,  3 

 1  2 3 p  3 q   1   3  

  

 



 

2 1   3 p  3 q   1   3

p' és diferent, q és la mateixa

Mohr-Coulomb expressat en funció de les variables de Cambridge p'-q COMPRESSIÓ TRIAXIAL

   2 3  p  1  3  q   1   3  Substituint a



2q     p   1 3       p  q  3 3

 1  1  sin     3  1  sin    2c cos  

q

c p  tan  

6sin    3  sin  

Mohr-Coulomb expressat en funció de les variables de Cambridge p'-q EXTENSIÓ TRIAXIAL

q    2 1   3    p   1 p   3 3        p  2q q   1   3   3 3 Substituint a

 1  1  sin     3  1  sin    2c cos  

q

c p  tan  

6sin    3  sin  

Mohr-Coulomb expressat en funció de les variables de Cambridge p'-q

q

q p 

c tan  



6sin   3  sin  

6sin   3  sin  

IÓ

S ES

R P OM

C

6sin   3  sin  

SIÓ

N E T EX

q 6c cos   3  sin   c tan  

6c cos   3  sin  

p 

c tan  



6sin   3  sin  

p

Comparació M-C / Estat Crític • Suposem que la recta de M-C i la recta d’estat crític representen el mateix fenomen • En realitat, són coses diferents: – M-C: situació de trencament “discret”, concentrat sobre un pla – Estat Crític: situació de trencament “difús”, distribuït en tot el volum considerat

• Tanmateix, fem la comparació per tal de veure la relació entre {c' , φ' } i el paràmetre M de Cam-clay

Comparació M-C / Estat Crític

 - σ -ε

Mohr-Coulomb

Estat Crític

Comparació M-C / Estat Crític Compressió

q p 

c tan  



Extensió

6sin   3  sin  

q 6sin    M p 3  sin  

q p 

c  0

c tan  



6sin   3  sin  

q 6sin     M p 3  sin  

• Diferents φ' , o diferents M (compressió / extensió)? – Sembla ser que el que realment és únic és φ', per a un sòl determinat – M canvia de compressió a extensió (M – M*)

• Per a estats diferents al triaxial (compressió o extensió) M tindrà un altre valor, en funció de la relació entre les tensions principals

Generalització a estats no “triaxials” • Les relacions anteriors son per estats amb simetria axial, tipus assaig triaxial convencional – σ1 ≥ σ2 = σ3 (compressió) – σ1 = σ2 ≥ σ3 (extensió)

• Per altres estats que no siguin aquests, és una mica més complicat i cal treballar a l’espai 3-D de tensions principals

Generalització a estats no “triaxials” • •

•

•

A   a   b   c   a   1,  b   c   3 F   a   b   c   a   b   1,  c   3

•

Per simplificar, suposem c' = 0 Cada un dels sis plans que delimiten la piràmide te per equació σ'm = Kpσ'n on m, n poden ser a, b, ó c. La secció ABCDEF de la piràmide, perpendicular a la recta hidrostàtica, representa un hexàgon irregular (O'A ≠ O'F) El punt A representa un estat de compressió triaxial El punt F representa un estat d’extensió triaxial

Generalització a estats no “triaxials” Pla octaèdric

 a

OA  6

A

F

OF  6

O'

 b von Mises

•

•

C D

Kp  2

  oct  O

Compressiótriaxial

  oct  O

Extensiótriaxial

K p 1 2K p  1

OA  OF

B

E

K p 1

 c

• •

Si treballem amb σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 només fem servir una part de l’espai de tensions Només ens cal 1/6 del pla octaèdric, p.e. AO'F A,C,E representen estats de compressió triaxial B,D,F representen estats d’extensió triaxial

Cas particular: estats “triaxials” A

q

p'

A

q M

6sin   3  sin  

p'

O O'

COMPRESSIÓ TRIAXIAL El pla (p',q) és el pla OO'A

Cas particular: estats “triaxials” q

p' F

F

q

M* 

6sin   3  sin  

p'

O O'

EXTENSIÓ TRIAXIAL El pla (p',q) és el pla OO'F

Cas particular: estats “triaxials” Sovint, si treballem en assaigs triaxials, fem servir i aleshores q pot ser negatiu. Però

   hor  q   vert

  2 hor   3 sempre és igual: p    vert

q 6sin   3  sin   3M sin    6 M M

M*  

6sin   3  sin  

3M * sin    6M*

p'

Cas particular: estats “triaxials” Per tant l’el·lipse del Cam-clay en realitat és:

q

Però ATENCIÓ!:

M

Els plans són diferents

p' M*

5.8

Resistència no drenada

Resistència no drenada q

 qcs , pcs ,v 

p'

csl

v

v = constant

• A l’espai (q,p',v) existeix una corba (csl) a la que tendeixen les trajectòries de tensions efectives en aplicar una força de tall (desviador) • Si tallem per un pla v = ct., la intersecció d’aquest pla amb la corba csl és un  ,v  únic punt  qcs , pcs

Resistència no drenada

q

l

cs

E

B Resistència al tall sense drenatge

O

D

v

A

C

2Cu

p

N

• l nc o-

is

B

v  ct.

A

•

D≡E cs l 1

C

p

Suposem mostres amb diferentes històries de preconsolidació, sotmeses a processos de tall no drenat amb el mateix volum v (o mateix e, o mateixa w) Considerem dos casos: – normalment consolidat – sobreconsolidat

Resistència no drenada • Assaigs no drenats (CU) – NC: trajectòria O→A→B – SC: trajectòria O→A→C→D→E→B

• En els dos casos, v = ct – anem a parar al mateix punt B a l’espai {p',q,v}, sobre la corba csl • En aquest moment, q → qF → qcs → 2Cu • Per definició, Cu és la resistència al tall sense drenatge • Però atenció: Cu ≠ ct., ¡depèn del v inicial!

Criteri de Mohr-Coulomb en tensions totals 

tensions totals

Cu   1   3   2  

 1   3   2  

F

 , 

F

-Cu tensions efectives

2Cu  qF    1   3  F    1   3  F  qF qF qF   1   3   Cu    2 2  2 

F

 1   3   2  

 Refectives  Rtotals F

   Cu ► Qualsevol cercle de Mohr en totals és tangent a la recta    0

Criteri de Mohr-Coulomb en tensions totals • Les trajectòries en tensions efectives son difícils de conèixer • Podem treballar en tensions totals, ja que qTOTALS = qEFECTIVES i s’arriba a trencament quan q = 2Cu • Cu = radi del cercle de Mohr en efectives (i en totals), tangent a la recta de resistència • Qualsevol cercle de Mohr en totals és tangent a la recta τ = Cu, φ = 0

Criteri de Mohr-Coulomb en tensions totals • Per tant es “com si” la resistència NO DRENADA fos:

c = ±Cu

Criteri de trencament en totals, condicions no drenades

φ=0 • i d’aquesta manera, al treballar en tensions totals, ens podem oblidar del que passi amb la pressió d’aigua

Criteri de Mohr-Coulomb en tensions totals • Comentaris: – Sobre el concepte φ = 0: això no vol dir que l’angle de fricció sigui zero – només ens diu que, en totals, la condició de trencament és la de tangència del cercle de Mohr (en totals) amb una recta horitzontal (φ = 0) d’equació τ = ±Cu – Cu no és un vertader paràmetre, ja que no és constant: depèn del volum específic (v) inicial, i per tant de les tensions existents. Els paràmetres reals de resistència del sòl són: ▫ c', φ' → Mohr-Coulomb ▫ M, λ, κ, N, G' → Cam-clay ▫ etc.

Relació Cu amb Cam-clay Recordem que les equacions de la corba d’estat crític eren: qcs  Mpcs

vcs     ln pcs combinant-les:

M  v  Cu  exp   2    donat que vcs = v = ct. durant la fase no drenada

Relació Cu amb Cam-clay • Hem vist que Cu depèn de v i dels paràmetres del sòl • Alternativa: en lloc de fer Cu = f(v), posarlo en funció de p' • Recordem:  v  v   ln p  ncl:  v  v   ln p  url: v    • Nota: iso-ncl → v  N cls →

Relació Cu amb Cam-clay • Per tant: – es pot posar v en funció de p' – tenir en compte si hi ha cicles de càrrega/descàrrega/recàrrega (NC/SC, OCR)

• I s’arriba a la següent relació: Cu M  OCR   p 2  2  amb



  

i



OCR 

p0 p

Relació Cu amb Cam-clay • Sòl normalment consolidat (OCR=1)  M    2 p  2 

– OCR=1 → CuNC  

– Valors típics:    5    0.8  CuNC  0.3Mp

• Sòl sobreconsolidat (OCR>1) SC 0.8 – OCR>1 → Cu  0.3M (OCR) p

Atenció : p0 OCR  p

– Valors típics:     30o  M  1.20  Cu  0.36(OCR)0.8 p 6sin   M  3  sin       20o  M  0.77  Cu  0.23(OCR)0.8 p

Resistència no drenada • El punt clau és que  0.23 Cu   a  (OCR)0.8 p  0.36 

• És a dir, que Cu és proporcional a p' i que, com a conseqüència, Cu creix de manera lineal amb el confinament (i per tant amb la profunditat)

Resistència no drenada Cu dessecació / sòl no saturat més resistència aparent llei lineal



En general També

z Cu També(sòlNC) :  0.11  0.0037IP  v

M  OCR  Cu  p   2  2  Cu p 0.8   OCR   Cu p  NC

Cu  f  M , , OCR  p tipus de sòl

història de càrregues

Resistència no drenada qL

qL  pL sin    c cos   final



TTE

Cu

1    1 2A 

f

pla de Lambe !!

Per argila normalment consolidada: K0 ≈ 0.5

f  K0 

Af ≈ 0.5

φ' ≈ 30º

 Cu  0.25 10 p'L ,pL

c cos     10  K 0   1  K 0  Af  sin   Cu  1   2 Af  1 sin    10 : tensióverticalefectivainicial

Af : paràmetreAd'Skemptonentrencament

Classificació de les argiles (Terzaghi)

Cu Kp/cm2

Tipus

< 0.25 0.25 a 0.5 a 0.5 1.0 molt tova

tova

mitja

1.0 a 2.0

2.0 a 4.0

> 4.0

rígida

molt rígida

molt dura

Determinació de Cu • Assaig de compressió simple – Es tracta d’un assaig ràpid, per tant en condicions NO DRENADES qu

 1  qu  2   3  0

 Cu



qu

qu Cu  2

resistència a la compressió simple

Determinació de Cu σV = 0

Δσ < 0

σH = 0

u0 < 0 q

M-C

assaigs UU

compressió simple

TT T

2Cu

TTT

pw

TT T

σH

TT T

σV

TTE

Si fem assaigs UU (compressió simple, o bé d’altres confinats) arribem a la mateixa recta horitzontal

u0

[ pla de Cambridge ]

p,p'

Resistències de pic, a volum constant i residual • Els valors màxims de q formen una envoltant que, fent servir el model Cam-clay, és: q envoltant

p',p

Resistències de pic, a volum constant i residual • Però cal precisar algunes coses: per exemple, si acceptem que el sòl no aguanta traccions, llavors en un assaig triaxial convencional el cas límit σ3 = 0 dóna una trajectòria: q



Si

TTT: q = 3p

1   3 q   3  3  0 p   1  2 3  3

3 1

p',p

• Per assaig de compressió triaxial, no pot haverhi trajectòries a l’esquerra, ja que hi hauria traccions

Resistències de pic, a volum constant i residual • I en el cas d’un assaig d’extensió triaxial el cas límit σ3 = 0 dóna una trajectòria: q



Si

TTT: q = 3p

1   3 q 3    3  0 p  2 1   3  3 2

3 2

p',p

• Per assaig d’extensió triaxial, no pot haver-hi trajectòries a l’esquerra, ja que hi hauria traccions

Resistències de pic, a volum constant i residual • Aleshores, l’envoltant per a un triaxial convencional de compressió seria: off

q cut-

M

3

1

sembla com si hi hagués una cohesió aparent

envoltant p',p p'0

p'0

per diferents p'0

Resistències de pic, a volum constant i residual • A la pràctica és una mica més complicat: – A la zona de l’esquerra, l’elipse no sol donar bons resultats – Molts sòls reals tenen cohesió donat que estan cimentats, i tenen una llei de trencament com aquesta:



 caparent



Resistències de pic, a volum constant i residual • Els paràmetres de Mohr-Coulomb depenen de la situació, i es defineix:   c    tan    , pic • Paràmetres de pic, cpic   0, cv • Paràmetres a “volum constant”, ccv – ben representat per Cam-clay – a volum constant, les partícules ja estan remoldejades

  0, res • Paràmetres residuals, cres – és la resistència a grans deformacions, amb les   cv partícules orientades  res

Resistències de pic, a volum constant i residual 

  pic  cpic assaig de tall directe condicions drenades

 res



c  0

 assaig de tall anular

Anàlisis drenada y no drenada en Mecànica del Sòl • En Geotècnia, els problemes s’haurien de resoldre sempre en tensions efectives • Per fer-ho, necessitem conèixer les tensions totals (funció de les càrregues aplicades) i de les pressions intersticials (funció del flux d’aigua i del propi procés de càrrega) • En funció de les condicions de drenatge, això es més o menys complicat

Situació drenada • Per exemple, a llarg termini: uf = u0 • La pressió d’aigua és la estacionaria – o be la hidrostàtica – o be, si es mou, la que surti de l’equació del flux

• En aquest cas és fàcil treballar en efectives: – σtot: en funció de las càrregues aplicades, es poden usar les fórmules elàstiques que sovint no depenen de les constants elàstiques (equilibri) – u: hidrostàtica o equació del flux

Situació no drenada • Per exemple, a curt termini: u ≠ u0 • Càrrega ràpida – volem saber què passa just després de l’instant d’aplicació de la càrrega – baixa permeabilitat del sòl

• En aquest cas hem de calcular Δu: – Δu = f(Δσ1, Δσ3) – Δu = f(Δσoct, Δτoct) – Δu = f(Δp, Δq)

→ u = u0 + Δu

Situació no drenada • Per a calcular Δu tenim vàries fórmules: – Skempton: u  B   3  A   1   3   – Henkel:

u  B   oct  a oct 

– Cam-clay: u  p  aq

a

2 (   )  ( M 2   2 )  2 2 (   )

Situació no drenada • Malgrat tot, no és fàcil calcular Δu • Per exemple: – la fórmula de Skempton només val pel triaxial, i el paràmetre A varia bastant – la predicció de Cam-clay falla també a vegades –…

• Llavors, ¿es pot treballar en totals fent servir Cu?

Panoràmica de les anàlisis possibles Tipus de situació (controlada per la velocitat d’aplicació de la càrrega respecte a la permeabilitat del+ sòl)

A curt termini: t = 0 amb relació a t = 0- (abans d’aplicar càrregues a t = 0)

Anàlisis en efectives

Anàlisis en totals

►

►

►

No aplicable

►

No aplicable

Temps intermedi

A llarg termini t→∞



Anàlisis en efectives – a curt termini • Determinar Δσ' = Δσ – Δpw • Δσ es calcula amb les fórmules d’elasticitat en funció de les càrregues, amb Eu i νu = 0.5 (mòduls no drenats) • Δpw = Δu = f(Δσoct, Δτoct), amb les fórmules disponibles (Skempton, Henkel, Cam-clay) → difícil !! • Resistència: es comprova con c', φ' • Deformació: avaluem amb E', ν' PERÒ AIXÒ ÉS DIFÍCIL

◄

Anàlisis en totals – a curt termini • No s’hauria de fer, però existeix una possibilitat per tal d’evitar calcular Δu • Δσ es calcula amb les fórmules d'elasticitat en funció de las càrregues, amb Eu i νu = 0.5 (mòduls no drenats) • Resistència: es comprova amb Cu (φ = 0) en totals – Atenció! Cu pot ser difícil d’estimar (depèn de l’estat inicial) → assaigs CU, UU (no tall directe) amb w constant

• Deformació: avaluem amb Eu i νu

◄

AIXÒ ÉS UN COMPROMIS PER A FACILITAR EL

Anàlisis en efectives – t intermedi • Fem servir la teoria de la consolidació (tema 8) • Solucions analítiques únicament en casos simples (material elàstic, cas unidimensional, …)

◄

Anàlisis en efectives – a llarg termini • Determinar Δσ' = Δσ – Δpw • Δσ es calcula amb les fórmules d'elasticitat en funció de las càrregues, amb = E', ν' (mòduls drenats) • Δpw = 0, i es manté la pw inicial (hidrostàtica o flux estacionari) • Resistència: es comprova amb c', φ' • Deformació: avaluem amb E', ν' ◄

Exemple: anàlisi d’una excavació t = 0– : el factor de seguretat → ∞ donat que no hi ha  aplicada t = 0+ : excavació – descàrrega (es treu l’aigua a l’excavació) aplicar σH igual i de sentit contrari a les tensions horitzontal existents

FS anàlisi no drenada

en excavar, apliquem un esforç de tall al terreny:  aplicada  0

 resistent FS   aplicada

 resistent  c     u  tan   < 0 !!

t → ∞ : les pressions intersticials tornen a augmentar, es recuperen

anàlisi drenada

t 0

∞

 resistent  aplicada

disminueix no canvia

Exemple: anàlisi d’un terraplé t = 0– : el factor de seguretat → ∞ donat que no hi ha  aplicada t = 0+ : apliquem una càrrega i es generen unes pressions intersticials Δu en fer-ho, apliquem un esforç de tall al terreny:  aplicada  0

 resistent  c     u  tan  

 resistent FS   aplicada

FS

> 0 !!

t → ∞ : les pressions intersticials es dissipen completament

anàlisi no drenada anàlisi drenada

t 0

∞

 resistent  aplicada

augmenta no canvia