Meca Suelos Tema 2

UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA Escola Tècnica Superior d’Enginyers de Camins, Canals i Ports

Mecànica del Sòl Tema 2

L’aigua en el sòl

Tema 2: Índex • • • • • • • • • •

Introducció: tensió total i tensió efectiva Conceptes bàsics Formulació de la llei de conservació de la massa Equació del moviment: llei de Darcy Equació diferencial del flux Forces de filtració sobre la matriu sòlida Mètodes per resoldre problemes de flux Piezòmetres Filtres i preses de terra Flux en sòl no saturat

2.1

Introducció: Tensions totals i tensions efectives

Tensions totals i efectives • Ens referim a sòls saturats • En un sòl saturat hi ha dues fases (sòlid, aigua) que es poden interpretar com dos medis continus superposats → hipòtesis de la mecànica de medis continus

• Tensions: – total, σ, que actua externament com si només fos una fase (p.e. σvert) – pressió d’aigua, pw

Tensions totals i efectives = sòl saturat

+ esquelet sòlid

medi ¿continu?

aigua

Tensions totals i efectives

pw pressió d’aigua

σ

tensió total

és la tensió que actua com si fos només una fase

Tensions totals i efectives • Definim tensió efectiva com:

σ' = σ – pw • En termes tensorials:

σ'ij = σij – pwδij • Nota: l’aigua no resisteix tensions de tall

Criteri de signes • En Mecànica del Sòl es fa servir un criteri de signes oposat al que es fa servir en la Mecànica de Medis Continus:

+

–

compressions són positives

traccions són negatives

Principi de les tensions efectives • Karl von Terzaghi va formular en els anys 30 del segle XX el següent principi, basat en fets experimentals:  les deformacions del sòl depenen exclusivament dels canvis que experimenten les tensions efectives  suposant que les partícules sòlides son indeformables i l’aigua és incompressible

Interpretació física de les tensions efectives σ : tensions totals aplicades externament

σ

σ : tensions que actuen a través dels contactes entre partícules, sobre una àrea total Am (en groc)

pw

pw : pressió d’aigua, que actua sobre una àrea total Aw (en blau)

At : àrea total

σ At

At = Am + Aw

Interpretació física de les tensions efectives Per equilibri de forces:

 At   Am  pw Aw  ( R  A) Am Aw ( R  A)      pw   At At At Pot haver-hi dos casos: b) Sòl en formació → no hi ha contacte entre partícules, Am = 0, Aw = At

( R  A)   pw  At



( R  A)   At

Interpretació física de les tensions efectives b) Hi ha contacte entre partícules, les forces electrostàtiques son petites (R – A ≈ 0):

Am Aw      pw  At At  Am Am       pw  1   At At  

 (: 10 MPa) ? pw (: 1MPa)

Am Am Am      pw     pw   ;      ;   At At At • Les tensions efectives es poden interpretar com les tensions de contacte entre partícules sòlides

Comentaris • En el sòl existeixen tres camps de tensions:  tensions totals σij  tensions efectives σ'ij  pressió d’aigua pwδij

• En forma tensorial, σ'ij = σij – pwδij  descomposant σij = pδij + sij – p = pressió mitja = (σ11+ σ22+ σ33)/3 – sij = tensor desviador de tensions

 σ'ij = (p – pw)δij + sij  L’aigua no afecta al tensor desviador

Exemple 1 aixecament del nivell d’aigua H0 A

h

γ

H1 A

H

 A0   sat h  H 0  w

 1A   sat h  H 0  w

 A0   A0  pw

 A1   1A  pw

γ

  sat h  H 0  w   h  H 0   w 1 44 2 4 43 1 4 2 4 3

  sat h  H1  w   h  H1   w 1 44 2 4 43 1 4 2 43

   sat   w  h    h

   sat   w  h    h

 A0

 0A

pw

 A   A1   A0  0

 no hi ha deformació

pw

Exemple 2 rebaixar el nivell freàtic h0 h A

h1

γ

A

 A0   sat h

 1A   sat h

 A0   A0  pw

 A1   1A  pw

γ

  sat h   h  h0   w { 1 4 2 43

  sat h   h  h1   w { 14 2 43

   sat   w  h  h0  w    h  h0  w

   sat   w  h  h1  w    h  h1  w

 A0

 A0

pw

 A   A1   A0   w h  0

pw

 hi ha deformació

Exemple 3 augment ràpid (“no drenat”) de la pressió exterior p0

p0

 0  p0 pw0  p0  0  0

∆p

 1  p0  p pw1  p0  p ∆σ' = 0

 1  0

deixem sortir l’aigua (“drenatge”) ∆p p0

 2  p0  p pw 2  0 ∆σ' ≠ 0

 1  p0  p

2.2

Conceptes bàsics

Altura piezomètrica • L’altura piezomètrica és una mesura de l’energia de l’aigua per unitat de pes • Es representa amb els símbols h o φ • Es dóna en unitats de longitud • Per avaluar l’altura piezomètrica, l’eix vertical (z) ha d’anar cap amunt: ↑ • Fem servir la fórmula de Bernouilli de hidràulica:

!!

Altura piezomètrica pw v2 h  {z   {w 2g energia { potencial terme de pressió

energia cinètica



pw h= z+ w

menyspreable en el sòl, no es considera

• L’altura z té un origen arbitrari (però sempre ha d’anar amunt !! ↑ ) • No confondre nivell freàtic i nivell piezomètric:  nivell freàtic: posició de la làmina lliure d’aigua (pw = 0)  nivell piezomètric: mesura de l’energia

Altura piezomètrica nivell piezomètric nivell freàtic

argila

impe

rmea b

aqüífer confinat

le

aqüífer lliure

Distribució de tensions en sòl horitzontal •

σV dz

σH

 nat dz 1

    V 1   nat dz 1    V  V dz 1 z    V dz   nat dz z

z

σH σV σV + dz z

Equilibri de forces verticals:

•

Integrant amb la profunditat: z

 V    nat ( z )dz 0

► El pes específic varia amb la profunditat, però és constant per trams – la integral anterior es redueix a un sumatori, amb pesos específics constants en cada estrat d’un mateix material ► σ' = σ – pw  pw veurem com es calcula en aquest tema; σ ho veurem en temes posteriors, en aquest punt veiem com es fa en un cas particular (sòl horitzontal i molt extens)

Distribució de tensions en sòl horitzontal • z0

NF

z

▼

 ( z )   ( z )  pw ( z ) z

z

0

z0

   nat ( z )dz    w dz

pw   w ( z  z0 ) •

i les tensions horitzontals, σH, σ'H ?

Si hi ha aigua, podem calcular les tensions verticals efectives:

Si l’estrat és homogeni (γnat és constant) i el nivell freàtic és a la superfície (z0 = 0):

 ( z )   ( z )  pw ( z )   nat z   w z  { z

pes del sòl submergit

Tensions horitzontals • Molts dels sòls s’han format per sedimentació de materials, capa a capa, donant lloc a superfícies horitzontals molt extenses. • A mesura que el material es va dipositant, les tensions totals (tant verticals com horitzontals) augmenten (degut al pes) • També es produeixen deformacions verticals però, per simetria, les deformacions horitzontals son nul·les • Si hi ha aigua, també sabem que σ'H = σH – pw i σ'V = σV – pw

Tensions horitzontals • En aquestes condicions  terreny horitzontal  aigua en repòs  deformació lateral nul·la

σV σH ∆σ'H ↔∆σ'V lineal

• existeix una relació lineal entre els increments de tensió horitzontal i vertical • Definim el coeficient d’empenta al repòs, K0:

σ H K0 = σV

• en condicions de deformació lateral nul·la

Tensions horitzontals σ'H rega descàr ga

re càr

σ'V

• sòl normalment consolidat: K0 ~ 0.5 ↔ 0.7 • sòl sobreconsolidat: K0 > 1

• Diem que un sòl està normalment consolidat (NC) quan les tensions actuals son les màximes històriques • Diem que un sòl està sobreconsolidat (SC) quan les tensions actuals son inferiors a les màximes històriques

Tensions horitzontals • Quan es produeix un cicle de càrrega i descàrrega (per exemple, quan una gelera que ha provocat unes tensions verticals grans es retira), les tensions verticals disminueixen durant la descàrrega. • Però les tensions horitzontals no disminueixen tant, queden “congelades”. Per això, en sòls SC, K0 pot arribar a tenir valors molt grans.

Càlcul de les tensions •

Avaluar la tensió vertical total i la pressió d’aigua: σV, pw

•

Calcular la tensió efectiva vertical: σ'V = σV – pw

•

Calcular la tensió efectiva horitzontal: σ'H = K0σ'V

•

Calcular la tensió total horitzontal: σH = σ'H + pw

Exemple A 3m

 nat  20 kN/m3 K 0  0.5

5m

 nat  22 kN/m3 K 0  0.7

B C

▼

2m

 w  10 kN/m D

4m

NF

 nat  19 kN/m3 K 0  0.6

E

3

Exemple Punt

z

σV

pw

σ'V

K0

A B C↑ C↓ D↑ D↓ E

0 2 3 3 8 8 12

0 40 60 60 170 170 246

0 0 10 10 60 60 100

0 40 50 50 110 110 146

0.5 0.5 0.5 0.7 0.7 0.6 0.6

(1)

(2) = Σγnatz

(3)=γw(z-z0)

(4)=(2)-(3)

(5)

operacions

σ'H

σH

0 0 20 20 25 35 35 45 77 137 66 126 87.6 187.6 (6)=(5)x(4)

(7)=(6)+(3)

Exemple 0 2 3

40

NF

40

60

10

20 25

50

35

8

170

60

110

45

77 66

12

z

246

σV

100

pw

146

σ'V (tensions en kPa)

▼

20 35

137 126

87.6

σ'H

187.6

σH

2.3

Formulació de la llei de conservació de la massa

Flux d’aigua – cabal unitari • Ap = àrea de porus • At = àrea total *

v w* Ap

vw At

• vw = velocitat real de l’aigua • vw = velocitat de l’aigua assimilada a medi continu • Q = cabal total real d’aigua que circula * • Q = vw·Ap

Flux d’aigua – cabal unitari • Definim cabal unitari:

v w* Ap

Q q  vw   At

vw At

• Definim porositat superficial:

nsup 



Ap At

q  n vw*

; n

vw Ap At

Flux d’aigua – cabal unitari • q te dimensions de velocitat • q s’anomena “velocitat de Darcy”, o “velocitat de descàrrega” • q és, en realitat, una magnitud vectorial: q • Normalment es treballa amb aquesta velocitat fictícia en lloc de la velocitat real

Equació de conservació de la massa d’aigua en sòl saturat • Si considerem un volum fix de sòl, la variació de la massa d’aigua que hi ha en aquest volum, per unitat de temps, ha de ser igual a la diferència entre el que surt i el que entra • Massa d’aigua en un element diferencial: dM w   w n{ dV { volum densitat

q

d'aigua

dS

• Massa d’aigua total: M w    w ndV V

V S

Equació de conservació de la massa d’aigua en sòl saturat • Balanç de la massa total d’aigua que travessa la superfície S del volum agafat:



S

r uur  wq dS

• Aquest balanç ha de ser igual a la variació en el temps de la massa d’aigua total:  t V

q

r uur  w ndV     wq dS

dS

S

V S

Equació de conservació de la massa d’aigua en sòl saturat • Explicació del signe “menys” a la igualtat anterior: ►donat que q s’ha definit positiu cap enfora (es a dir, si l’aigua surt de l’element), si el signe del balanç és positiu vol dir que surt més aigua de la que entra, i que hi ha una disminució neta d’aigua dins del volum; per tant la variació de la massa d’aigua per unitat de temps en aquest cas és negativa q

r uur   w ndV  0 ►  wq dS  0   S t V

dS V S

Equació de conservació de la massa d’aigua en sòl saturat r uur   w ndV     wq dS  V S t

 {

teorema de la divergència



r    V  t  w n     wq   dV  0

V

r    wq  dV

V

r     w n      wq   0 t equació de continuïtat de la massa d’aigua en sòl saturat     nota :    , ,   x y z  

q dS V S

Equació de conservació de la massa d’aigua en sòl saturat • Casos particulars de l’equació de continuïtat r    w n      wq   0 t

– si l’aigua és incompressible, ρw = constant:

r n   q  0 t – si el sòl és indeformable pel flux d’aigua, n = constant: r  q  0 – si el flux és unidimensional, q = (qx,0,0): r dqx  q  0   0  qx  ct. dx

2.4

Equació del moviment: Llei de Darcy

La llei de Darcy • Henri Darcy (1803-1858), enginyer francès, va viure i treballar a Dijon en la millora del subministrament d’aigua potable. • En el decurs d’aquest treball va establir el que ara coneixem com “la llei de Darcy”, que va aparèixer en la seva publicació – Henry Darcy, 1856. Détermination des lois d'écoulement de l'eau à travers le sable. Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon, Paris, Victor Dalmont, pp.590–594

• http://biosystems.okstate.edu/darcy

La llei de Darcy • La pèrdua d’energia de l’aigua es deu sobretot a la fricció entre l’aigua i les partícules

▼

mostra

– Energia en el punt A: hA = H1

A

H1

– Energia en el punt B: hB = H2

L

S B

▼ Q

nivell de referència

H2

• Regim estacionari, passa aigua constantment, H1 i H2 es mantenen constants durant l’assaig • Es mesura el cabal Q a la sortida de la mostra

La llei de Darcy

A

• Darcy va fer els seus experiments amb diferents tipus de sòls, variant els paràmetres S, L, H1(=hA) i H2(=hB)

B

• Va observar que el cabal mesurat Q era directament proporcional a

▼

mostra

H1

L

S

▼ Q

H2

– la diferència hA – hB – la secció S de la mostra

• i inversament proporcional a nivell de referència

– la longitud L de la mostra

La llei de Darcy • Per tant:

▼

hA  hB Q S L

mostra

• A la constant de proporcionalitat li diem K: és la permeabilitat:

A

H1

L

S B

▼ Q

nivell de referència

H2

hA  hB QK S L • K te dimensions de velocitat

llei de Darcy

La llei de Darcy r Q hA  hB h q K  K  S L L uuu r uuuuuur   K h   K gradh

▼

mostra A

H1

L

S B

▼ Q

nivell de referència

H2

• el vector de flux (que indica la direcció del moviment de l’aigua) te la mateixa direcció i sentit oposat que el vector gradient d’altures piezomètriques: si hA > hB, – el flux va de A → B – gradh va de B → A

La llei de Darcy • L’expressió de la llei de Darcy q = -K ∇h és vàlida només si el sòl és – homogeni (les propietats no depenen de la posició del punt on es mesuren) – isòtrop (les propietats no depenen de la direcció segons la que es mesuren)

• En aquest cas, K és una constant escalar • Si el sòl és heterogeni i anisòtrop, la permeabilitat es generalitza a un tensor de permeabilitat

La llei de Darcy q  K h  qx   K11   q y     K 21  qz   K 31

K12 K 22 K 32

 h x   h y    K 33   h z 

K13  K 23 

tensor de permeabilitats

K ij  K ji  K  K T sòl heterogeni : K ij  K ij ( x, y, z ) sòl homogeni : K ij  constant

La llei de Darcy • En l’espai de direccions principals de permeabilitat:

• En sòls sedimentaris estratificats Kx = Ky > Kz

 Kx K   0  0

0 Ky 0

0 0  K z 

Kx = Ky Kz

Factors que influeixen en K • Índex de porus (e): K ~ log (e) • Granulometria, tamany de les partícules (relacionat amb e) • Rugositat de les partícules • Estructura del sòl (en argiles): floculada, dispersa • Propietats del fluid: viscositat, pes específic • Grau de saturació: Sr↓  K↓

Factors que influeixen en K • Model teòric de Kozemy-Karman, a base de canonades suposant règim laminar: 3 r r Q  fluid uuu e 2 q   C d s   h A 1 e 

tamany promig de les partícules

viscositat del fluid

3  fluid e 2 K  C d s   1 4 2 143e {

depèn del sòl depèn del permeabilitat específica fluid

Limitacions de la llei de Darcy • Hem suposat: – moviment lent, laminar, no turbulent – l’energia cinètica és negligible

• Si el moviment és ràpid (p.e. en esculleres): – la relació q ↔ grad h ja no és lineal – tenim: aq2q+ bq = –Kgrad h no lineal lineal

-grad h

Limitacions de la llei de Darcy • En sòls molt fins (argiles), el moviment de l’aigua està afectat per la superfície de l’argila ( capa doble) – per gradients petits, l’aigua no es mou – hi ha un gradient llindar I0 • q = -K(grad h – I0) si grad h > I0 • q = 0 si grad h < I0

q

-grad h I0

Valors típics de K Tipus de sòl

Permeabilitat K

Graves netes

1 ↔ 10 cm/s

Sorres

1 ↔ 10-3 cm/s

Llims

10-3 ↔ 10-6 cm/s

Argiles

10-6 ↔ 10-10 cm/s

Valors típics de K • Les argiles son “impermeables” – però el concepte de “impermeabilitat” és relatiu  un llim es impermeable en front d’una grava...

• K és difícil de mesurar, te molta variabilitat – hi ha mesures indirectes: K = f(e) – o correlacions: K (cm/s) ≈ 100 (D10 en cm)2 • D10: el 10% en pes te un tamany inferior a D10

Mesura de la permeabilitat • Assaigs de camp: bombeig, injecció, etc. per sorres gruixudes i graves Q

∆H A

∆L

H QK A L

• Permeàmetre de càrrega fixa • Permeàmetre de càrrega variable

Permeàmetre de càrrega fixa • És l’aparell que va fer servir Darcy

▼

Q H K S L

H1

H  H1  H 2  constant S

L

K

▼ Q

nivell de referència

H2

Q L  S h

• Assaig lent: acceptable només per K gran: graves, sorres gruixudes amb K = 1↔10-2 cm/s

Permeàmetre de càrrega variable a

A Q  q Q  K h  L h a dh  K  A dt L

dh

dh A K    dt h a L

h A

h qK L

a dh  q A dt ;

assaig més ràpid acceptable fins a llims amb K = 10-1 a 10-4 cm/s

L h

h2

ln h h

1

K

t

A K 2 h A K    t  ln 1    t2  t1  a L t1 h2 a L a L ln  h1 h2  A  t2  t1 

2.5

Equació diferencial del flux

Equació del flux • Disposem de les equacions – de continuïtat (conservació de la massa) r    w n      wq   0 t

– de Darcy u(equació del moviment) uu r r q  K h

• Combinant-les resulta uuu r    w n       wK h  0 t





equació del flux en la seva forma més general

Equació del flux • Si suposem el sòl indeformable (degut al flux) i l’aigua incompressible, n i ρw son constants:

uuu r   K h  0





• I si els eixos de referència son els de les direccions 0  Kx 0 principals de permeabilitat,   K 0  0

Ky 0

0 K z 

  h    h   h   K x   K y   K z   0 x  x  y  y  z  z 

equació del flux en un sòl heterogeni i anisòtrop

Equació del flux • Si el sòl és homogeni però anisòtrop, Kx, Ky i Kz sòn constants però diferents:

2h 2h 2h Kx 2  K y 2  Kz 2  0 x y z equació del flux en un sòl homogeni i anisòtrop

Equació del flux • Si el sòl és homogeni però anisòtrop, Kx, Ky i Kz sòn constants però diferents:

2h 2h 2h Kx 2  K y 2  Kz 2  0 x y z equació del flux en un sòl homogeni i anisòtrop

• Finalment, si el sòl és isòtrop, Kx = Ky = Kz = K, constant:

2h  2h  2h 2    0   h0 2 2 2 x y z equació del flux en un sòl homogeni i isòtrop (equació de Laplace)

Condicions de contorn • Sobre la frontera del domini on volem resoldre l’equació diferencial del flux, podem prescriure (per zones): – o bé l’altura piezomètrica h – o bé el cabal unitari q – o bé una combinació d’ambdós

• Veurem dos exemples – 1D – 2D

Condicions de contorn • 1D  excavació gran: B z A

hA  z A 

pwA pwA  w w

p hB  z B  wB  z B w

d 2h 1D   0  h  Az  B 2 dz hA  Az A  B  A 0  B  B hB  Az B  B  Az B  hA  A 

h

hB  hA z  hA zB

hB  hA zB

Condicions de contorn • 2D  presa de terres: B H1 domini

z

superfície lliure, pw = 0 superfície de “rezume” pw =0 C D H2

superfície impermeable

A

hA B  z  hDE  z 

E

pw  H  z  w  H  z 1 1 w w

pw  H  z  w  H  z 2 2 w w

• Altura piezomètrica especificada: – AB: h = H1 – BC: h = z – CD: h = z – DE: h = H2

• Cabal especificat: – AE: qz = 0

Condicions de contorn • Cabal especificat: qn  f ( x, y, z )  q n   uuu r   qn   q  K h  

 nx  h h h     K x ,  K y ,  K z   ny  x y z   nz 

en l’exemple de la presa de terres:

h h Sobre AE, n  (0, 0,1)  qz  0   K z 0 0 z z

 condicions sobre cabal especificat impliquen condicions sobre de les derivades de h

Condicions de contorn • Condicions mixtes: afecten tant a l’altura piezomètrica h com a les seves derivades: h A( x, y, x) h( x, y, z )  B ( x, y, z )   ( x, y , z ) n

• on A(x,y,z), B(x,y,z) i λ(x,y,z) són funcions conegudes

Exemple amb sòl heterogeni NF

▼ H1 H2

Sorra

K1

Llim

hC  zC 

K2

Grava

H1 H2

NF

▼ C B

z

pwC  H1  H 2  s  0  H1  H 2  s w

• hA > hC  flux de A a C

excavem: s

H1  H 2   w  pwA hA  z A   0  H1  H 2 w w

A

K1 K2

• però hB no la coneixem ja que com que hi ha flux, la pressió a B no és la hidrostàtica i per tant:

hB  z B 

phidrostàtica wB

w

Exemple amb sòl heterogeni NF

▼ H1

Sorra

K1

H2

Llim

K2

– ① Sorra – ② Llim

• Tenim quatre condicions de contorn:

Grava excavem: s H1 H2

B z

NF

▼ C

A

• Treballem amb dos dominis:

K1 K2

 z  z B  h  hB h1  az  b    z  zC  h  hC  z  z A  h  hA h2  cz  d    z  z B  h  hB

• Tenim cinc incògnites: a, b, c, d i hB

Exemple amb sòl heterogeni NF

▼ H1

Sorra

K1

H2

Llim

K2

Grava excavem: s H1 H2

▼ C B

z

NF

A

K1 K2

• Ens falta una equació: la de continuïtat de cabals en el punt B: h h q1   K1h1   K1 C B H1  s h h q2   K 2h2   K 2 B A H2 hC  hB hB  hA q1  q2  K1  K2 H1  s H2

Exemple amb sòl heterogeni NF

▼ H1

Sorra

K1

H2

Llim

K2

K 2 = K1  hC ; hB

Grava excavem: s H1 H2

NF

▼ C B

z

• Si l’estrat de llim és molt més impermeable que el de sorra:

A

K1 K2

 la pèrdua de càrrega important es produeix entre AiB

2.6

Forces de filtració sobre la matriu sòlida

Introducció • L’aigua en moviment fa força sobre les partícules del sòl • Són forces de massa: per unitat de volum (del mateix tipus que el pes) • Les tensions totals no varien (el pes del sòl i de l’aigua es manté • Podem plantejar l’equilibri en tensions totals

Equacions d’equilibri   z  z dz z

 nat

x z

 ij

j 1

x j

 ij , j  bi  

 xz 

 xz dz z  x

x 

 xz

3

z x Igual en les altres direccions

x

dx

 bi

b  (0, 0,  nat )   x  xy  xz   0  y z  x   xy  y  yz   0  y z  x    yz  z xz     nat  0  y z  x Equilibri en tensions totals

Equacions d’equilibri z 

 nat

x z

 z dz z

 ij   ij  pw ij

 xz 

 xz dz z  x

x 

 xz z x

Igual en les altres direccions

x

dx

  x  xy  xz pw    0  y z x  x   xy  y  yz pw    0  y z y  x    yz  z pw xz      nat  0  y z z  x Equilibri en tensions efectives

Equacions d’equilibri pw h z  pw   h  z   w w pw h  w x x

pw h  w y y

  x  xy  xz h   w 0  y z x  x   xy  y  yz h   w 0  y z y  x    yz  z  h  xz   w   1  nat  0  y z  x  z 

pw  h   w   1 z  z 

Forces de filtració Podem escriure, en efectives : 

 ij x j

 bi

h x   h  En aquest cas :  by   w y   h  h   b       1       z nat w w  z  z    bx   w

uuu r r b   w h 123

ur  i z {

forces de forces degudes filtració al pes submergit

Forces de filtració uuu r r b   w h 123

ur  i z {

forces de forces degudes filtració al pes submergit

uuu r ( w h )

• Les forces de filtració tenen sentit contrari al del gradient. Si el sòl és isòtrop, q te la mateixa direcció i sentit contrari al del gradient. Per tant, les forces de filtració tenen la mateixa direcció i sentit que el flux • Les forces degudes al pes submergit sempre tenen direcció vertical i sentit cap avall

Gradient crític zona on les forces de filtració poden ser importants

z

H

• Suposem que a la zona marcada, per simetria, no existeixen tensions tangencials i hi ha tan sols flux vertical (1D)  h = h(z)

Gradient crític • Equilibri (1-D): d z dh   w   dz

• Definim z

H

{dz

negatiu

dh I  0 dz

• Per tant d z   wI    dz

Gradient crític • Integrant l’E.D.:  z    w I     z  C

z

H

• Condicions de contorn: z  H   z  0  C     w I    H

• Per tant  z       w I   H  z 

Gradient crític  z I = 0  Aigua en equilibri, sense flux:  z     H  z  

• Si I és gran, pot passar que σ z = 0 :

I = Icrit

σ z = 0

    w I1     wI2

I = I1 > 0

H z

I = I2 > I 1 > 0

    w I  0  I  I crit

  w

gradient crític

Atenció: tot això és vàlid només en la zona on es pugui suposar flux 1D !!!

Gradient crític • Definició de gradient crític: – És aquell gradient hidràulic que fa que les tensions verticals efectives s’anul·lin

• En l’exemple presentat:  I   z  0 w



I crit

  w

• Habitualment, el pes específic submergit és de l’ordre de 10 kN/m3. Per tant: I crit

  1 w

Liqüefacció • Quan σ'z = 0 es perd el contacte entre les partícules: aquest fenomen es coneix com liqüefacció (també sifonament) • De fet, quan I ≈ 0.5 ja pot començar a haver-hi perill: el sòl es fa esponjós  sorres movedisses • Sol passar amb sorres fines o llims, però no amb graves ni argiles

Liqüefacció • Graves: – La permeabilitat K és molt alta i caldrien cabals molt grans que no es solen donar

• Argiles: – Hi ha un efecte beneficiós de la cohesió que no hem tingut en compte – La permeabilitat K és molt petita i tarda molt de temps en haver-hi flux estacionari – tampoc hem tingut en compte el temps

Liqüefacció • Forma d’evitar-ho: posant un pes damunt la zona perillosa

• La E.D. és la mateixa:  z    w I     z  C

• Condicions de contorn: z  H   z   0

σ0

 C   0    w I    H

• Per tant z

H

 z       w I   H  z    0

Liqüefacció σ0

 z I = 0  Aigua en equilibri, sense flux:

I > Icrit, i no passa res ja que σ'z > 0

 z     H  z    0



    w I1

    wI2

I = I1 > 0

H z

I = Icrit

I = I2 > I 1 > 0

σ z = σ 0

Atenció: tot això és vàlid només en la zona on es pugui suposar flux 1D !!!

2.7

Mètodes per resoldre problemes de flux

Mètodes • En un sòl homogeni i isòtrop, l’equació diferencial del flux és  2  0  condicions de contorn

• Per resoldre-la, tenim diversos mètodes: – – – – –

analítics numèrics analògics gràfics escala reduïda

Mètodes • Mètodes analítics – 1D: simple si K = constant – 2D:  separació de variables  variable complexa  càlcul variacional  mètode dels fragments (aproximat)

• Mètodes numèrics – diferències finites – elements finits

Mètodes • Mètodes analítics – l’equació de Laplace també apareix en electricitat:  permeabilitat ↔ conductivitat  altura piezomètrica ↔ potencial (voltatge)

• Mètodes gràfics • Models d’escala reduïda – problemes per reduir el tamany de les partícules

Mètode analític 1D • Simplificació útil: hipòtesis de Dupuit • Considerem el cas de la figura: – aqüífer lliure, h = h(x,z) – L >> H1 – H2 – es pot aproximar h = h(x,z) ≈ h(x)  Dupuit superfície ll iure

H1

z

Q x

h ≈ h(x) L

K Q

H2

superfície ll iure

H1

z

Q

h ≈ h(x)

x

K Q

L

• Encara que h ≈ h(x), no podem aplicar directament l’equació de Laplace ja que Dupuit és una aproximació • Procediment: 

dh  Q  ct.  q h    K h dx   2 1 dh 

Q  K 2

dx

2Q h  xC K 2

condicions de contorn : x  0  h  H1 x  L  h  H2 2Q H  0  C  C  H12 K 2 1

2 2 K H  H   2 Q 1 2 H 22   L  H12  Q  K 2L

h  H12   H12  H 22 

x L

H2

Mètode analític 1D • En el cas d’un aqüífer confinat, el flux es 1D estricte i per tant podem fer servir l’equació de Laplace directament: d 2h h  h( x)   h  2  0  h  Ax  B dx 2

H1  A 0  B  B  H1

H 2  A L  H1  A  

H1  H 2 L

h  H1   H1  H 2 

altura piezomètrica

H1 z

Q

h = h(x)

x L

Q

K

H2

x L

Mètode gràfic – preliminars • Suposem: – Flux bidimensional – Sòl homogeni i isòtrop – K constant

1. Equipotencials:  q    K  x  u u u r r x  q   K    definim   K  potencial de velocitats   q y    K  y  r q és perpendicular a les línies   x, y   constant (equipotencials) 

Mètode gràfic – preliminars 1. Línies de corrent

r r r r  q  0  w q    w r r r q  w ( x, y )  w  (0,0, w3 ) r r r i j k  w3 w3  r    w   , ,0  x y z  y x  0 0 w3 definim   x, y    w3   x, y   constant  línies de corrent r     q  , ,0  y x 

Mètode gràfic – preliminars 1. El flux és tangent a les línies de corrent r  r  r q i j y x uu r r r ds  dx i  dy j sobre una línia de corrent

r q

Fem el producte vectorial :

uu r ds

r i

uu r r ds  q  dx   y

r j dy  x

  constant

r k

r     r 0  dx  dy k  d k y  x  0

uu r r Sobre una línia de corrent   constant  d   0  ds Pq 

Mètode gràfic – preliminars 1. Les línies de corrent (Ψ=ct.) són perpendiculars a les equipotencials (Φ=ct.) Si ho són, també ho seran els gradients de  i de  : uuur uuur                 , ,     x y   x y  {x {x {y {y qy

  qx q y  qx q y  0 uuur uuur     

 qx

 qx

 qy

Mètode gràfic – preliminars 1. Donades dues línies de corrent, el cabal que circula entre elles és constant QCB C y

QAC x

En el triangle ABC : Q  QAC  QCB B Ψ=Ψ B Q

A

QAC

Ψ=ΨA

QCB ΨA i ΨB són constants

C    qx dy    dy    d    A   C A A A y B B B    q y dx    dx    d    C   B C C C x C

C

 Q    A  C    C   B    A   B 

Mètode gràfic •

Considerem un tub de corrent com el de la figura, entès com un cas pla (2D) • El cabal que circula pel tub, per unitat de longitud perpendicular al pla del dibuix és:  Qtub  {A  {K  {I  a 1K  b area permeabilitat gradient  a a  K    K  total  b ns b n a Qtotal  nt Qtub  K  t  total ns b ns  nombre de salts (equipotencials) nt  nombre de tubs de corrent

Φ=φ1

Q

Φ=φ2 Ψ=ΨB

a

tub de corrent b

Ψ=ΨA

total  diferència de potencial entre l'entrada i la sortida del tub

0  ns a Si  1  Qtotal  nt K  b ns

Mètode gràfic • La fórmula anterior només és vàlida si tots els tubs tenen la mateixa equipotencial d’entrada i de sortida • Si no és així, cal calcular el cabal de cada tub independentment, i sumar-los:

Qtotal

 0  ns    K   ns  i i 1  nt

Mètode gràfic – exemple h1 h2

K

H z

Objectiu: – Calcular el cabal total filtrat – Calcular les pressions a qualsevol punt del domini

Mètode gràfic – exemple h1 h2

K

H z

Procediment: – Dibuixar una xarxa de corrent ortogonal: línies de corrent perpendiculars a les equipotencials i cel·les quadrades

Mètode gràfic – exemple 1: Línies de corrent 2: Equipotencials

h1

h2

φ0

K

H z

φ1

φ2

φ3

φ4

φ5

φ6

φ7

φ8

Mètode gràfic – exemple • Xarxa de corrent ortogonal – dibuixar primer les línies de corrent (poques!) – dibuixar després les equipotencials, perpendiculars a les línies de corrent, de manera que les cel·les curvilínies que surten siguin el més quadrades possible – rectificar per tal d’ajustar

• La xarxa és la mateixa independentment de les altures d’aigua als embassaments

Mètode gràfic – exemple 1. CABAL FILTRAT 1. PRESSIÓ D’AIGUA

h1

h2

φ0

K

H

A z zA φ1

φ2

φ3

φ4

φ5

φ6

φ7

φ8

Mètode gràfic – exemple h1

CABAL FILTRAT

h2

φ0

K

En el tub de corrent:

0  H  h1 8  H  h2 total  0  8  h1  h2 ns  8 nt  5

H z

φ1

φ8

φ2

φ3

φ4

φ5

φ6

φ7

total 5 Q  nt K   K  h1  h2  ns 8

Mètode gràfic – exemple h1

PRESSIO D’AIGUA

h2

φ0

K

φ8

En el punt A:

pwA   w   A  z A 

 A  0  nA 

H A

z

φ1

φ2

φ3

p wA

φ5

φ6

φ7

nA 

11 h1  h2 2 8 5h1  11h2  11 h1  h2   H  h1   z A    w   H  z A    2 8 16  

 A  H  h1     w  

φ4

11 2 0  8 h1  h2    8 8

0  H  h1

zA

Mètode gràfic – exemple • Exercici: trobar la condició que han de complir h1 i h2 per tal que no es produeixi liqüefacció h1

h2

φ0

A

K

H z

zA

φ1

φ2

φ3

φ4

φ5

φ6

φ7

φ8

Els llocs on es pot produir liqüefacció per gradient crític són els mes propers a la pantalla i a la superfície, a la sortida de la xarxa de flux. Escollim un punt d’aquesta zona on tinguem informació, per exemple el punt A de la figura

Mètode gràfic – exemple h1

h2

φ0

A

K

H z

zA

φ1

φ2

φ3

φ4

φ5

φ6

φ7

φ8

Sigui z A  H  z A  A   A  pwA

 A   nat z A   w h2 pwA   w   A  z A 

 A  0  7 7  H  h1   h1  h2  8 h1  7 h2 H 8

h  7 h2    h  7 h2  pwA   w  H  1   H  z A     w  1  zA  8 8    

Mètode gràfic – exemple h1

 A   nat z A   w h2 1 4 4 2 4 43

h2

φ0

A

K

φ8

 h  7 h2    w  1  zA  8 4 4 43 1 4 44 2 pwA

H z

   z A   w

zA

φ1

A

φ2

φ3

φ4

φ5

φ6

φ7

  A  0  h1  h2  8 z A w

h1  h2 8

Mètode gràfic • El cabal Q calculat amb aquest mètode és poc sensible al dibuix de la xarxa, ja que els errors tendeixen a compensar-se • El càlcul de les pressions d’aigua i per tant del gradient crític és més sensible i depèn més de la qualitat de la xarxa dibuixada

Sòl anisòtrop i homogeni 2h 2h • L’equació diferencial és K x 2  K y 2  0 x y • Per tant no es pot fer servir el mètode gràfic directament • Però fent un canvi de variable:

xt  • tenim:

Ky Kx

x

;

h h xt h   x xt x xt 2h K y 2h  2 x K x xt2

yt  y Ky Kx

Sòl anisòtrop i homogeni • Substituint en l’equació diferencial:

 K y 2h  2h 2h 2h Kx   Ky 2  0   2 0 2  2 yt xt yt  K x xt  • que és l’equació de Laplace en l’espai (xt,yt) • En aquest espai podem utilitzar el mètode gràfic: – dibuixar la geometria completa original (domini, elements geològics, discontinuïtats, etc.) en l’espai transformat – en aquest espai, aplicar el mètode gràfic – desfer el canvi

Sòl anisòtrop i homogeni y

Suposem K x  9 K y xt 

Ky 9K y

x

yt

x 3

yt  y

Ky Kx x

• Fem el canvi de variable • Dibuixem la xarxa de corrent en la geometria deformada • Desfem del canvi  es perd l’ortogonalitat

xt

Permeabilitat equivalent • Per calcular el cabal filtrat hem de veure quina és la permeabilitat equivalent a utilitzar si volem ver servir les fórmules anteriors • Considerem dos casos: – flux horitzontal – flux vertical

Permeabilitat equivalent y

b

a

yt

Qx h1

h2

at

Kx

at  a

Qxt h1

x

h2

h h Qxt  K e  1 2 at bt

h h Qx  K x  1 2 a b Qx  Qxt

bt

bt  b

at a a  K x   Ke   Ke  b bt Ky b Kx

Ky Kx 

K e  K x K y

Ke ? xt

Permeabilitat equivalent y

a

yt Qy

b

at

h2

Qyt

bt h1

Ky

h1 Ke ?

x

h h Qyt  K e  1 2 at bt

h h Qy  K y  1 2 a b Qy  Qyt

at  a

h2

Ky

bt  b

Kx Ky

a Kx at a  K y   Ke   Ke  b bt b



K e  K x K y

xt

Permeabilitat equivalent • Per tant, per calcular el cabal filtrat en la xarxa de flux dibuixada a l’espai transformat farem servir aquesta permeabilitat equivalent: K e  K x K y Qtub

at total  Ke   bt ns

Sòl heterogeni (estratificat) Continuïtat : Q1  Q2 h h Q1  AB 1q1  AB K1  B D BD h h Q2  CD 1q2  CD K 2  A C AC D'altra banda :

α1 Q1 B D

K1 K2

A α2

C

Q2

AB CD Q1  Q2  K1  K2 ; BD AC tan  2 

hA  hB    hA  hC  hB  hD hC  hD  AB 1 CD 1  ;  BD tan 1 AC tan  2 K2 tan 1 K1

Sòl heterogeni (estratificat)

K1

sorra

K1

argila

K2

argila

K2

sorra

K1 ? K 2

2  0

K1 = K 2

 2  2

Sòl heterogeni (estratificat) h  Q  a1 K1   b1 

a1 Q



b1

h  Q  a2 K 2  b2 

K1 K2

Resulta : a1 a2 K1  K 2 b1 b2

a2 b2

Q

Si

a1 1 b1

continuïtat en un tub de corrent



a2 K1  b2 K 2

Per tant cal canviar el tamany de les cel·les per poder treballar amb el mètode gràfic

2.8

Piezòmetres

Introducció • Un piezòmetre és un dispositiu per a mesurar la pressió d’aigua en el terreny cambra (tub) de recollida d’aigua – permet mesurar el nivell

element porós (continuïtat de l’aigua)

• Piezòmetre ideal: – mesura pressions positives (sòl saturat) i negatives (sòl no saturat) amb un marge d’error acceptable – resposta ràpida al canvi de les condicions ambientals – estable durant molt de temps – ha de causar la mínima interferència possible amb el sòl

Introducció • La pressió de l’aigua a l’interior de l’instrument és diferent de la pressió al terreny – per tant hi haurà un flux d’aigua cap al piezòmetre a fi de retrobar l’equilibri hidràulic • Per tal d’aconseguir aquest equilibri fa falta un cert interval de temps – temps de retard – que depèn essencialment de: – permeabilitat del terreny – forma del piezòmetre i material de què està fet

• El funcionament és semblant a un permeàmetre de càrrega variable

Permeàmetre de càrrega variable a

A Q  q Q  K h  L h a dh  K  A dt L

dh

dh A K    dt h a L

h A

h qK L

a dh  q A dt ;

L h

h2

ln h h

1

K

t

A K 2 h A K    t  ln 1    t2  t1  a L t1 h2 a L a L ln  h1 h2  A  t2  t1 

Piezòmetres En un piezòmetre tenim que

a H = H0-y H0

dy

t = t+dt t=t

Q  |F |K E H |3 m m F m m s

s

y

factor de forma – s’obté d’assaigs + teoria t = t0 Q

a dy  Q dt  F K  H 0  y  dt dy F K  dt H0  y a  ln  H 0  y 

y y 0

t

F K  t a t0

Piezòmetres  ln  H 0  y 

a H = H0-y H0

dy

t = t+dt t=t

y t = t0 Q

t

y y 0

F K  t a t0 H 0  y F K   t0  t  H0 a

Resulta :

ln

Temps bàsic :

T

H 0 a a  F K H 0 F K

és el temps que es tarda en omplir el volum total amb el cabal inicial

Si t0  0  ln

H t H    e t T H0 T H0

y  1  e t T H0

t T 

y  63% H0

t  2.3T 

y  90% H0

Factors de forma (1) K D

impermeable

impermeable

K D cavitat esfèrica

cavitat semi-esfèrica

F = 2πD

F = πD

Factors de forma (2)

K imp.

imp. D

K

D

fons pla sobre interfície

fons pla en terreny homogeni

F = 2D

F = 2.75D

Factors de forma (3)

Kv imp.

L

L

Kv

K

imp. D

K

sòl (Kv) en el fons de l’entubació fons pla sobre interfície 2D F= 8 L K 1+ π D Kv

D

sòl (Kv) en el fons de l’entubació fons pla en terreny homogeni 2.75D F= 11 L K 1+ π D Kv

Factors de forma (4)

K imp. L

imp. D

K

perforació continuada a partir de la interfície 2πL F= 2  2L 2L    ln  + 1+    D    D

L

D

perforació continuada a partir de la interfície – terreny uniforme 2πL F= 2  L L   ln  + 1+     D    D

Factors de forma (5)

impermeable

impermeable 2R

L

K

penetració total en l’estrat permeable (R2 = radi d’influència)

F=

2πL ln  R 2 R 

Tipus de piezòmetres • • • •

Tub piezomètric Piezòmetre tipus Casagrande Piezòmetre hidràulic de circuit tancat Cèl·lules piezomètriques – pneumàtiques – de corda vibrant – amb extensòmetres

Tub piezomètric (1) tap de protecció

morter

tub material granular tram perforat tap

• El tub piezomètric (∅ = 25 a 50 mm) és apropiat per mesurar el nivell freàtic en terrenys de permeabilitat elevada (K > 10-6 m/s) • Es un tipus molt comú degut a la seva simplicitat i baix cost • Temps de retard elevat, no apte per mesurar variacions ràpides del nivell

Tub piezomètric (2) tap de protecció

tub de plàstic

material granular

segellat de bentonita

element poròs

filtre de sorra

• Cal tenir cura en terrenys estratificats caracteritzats per diferents altures piezomètriques, per tal que les lectures no perdin el seu significat (aqüífers connectats) • El tram o element poròs de lectura ha d’estar aïllat de la resta dels aqüífers amb un segellat de bentonita

Piezòmetre Casagrande tub doble de PVC (∅15 mm) Replè amb terra

Segellat Sorra neta Segellat Drenatge (sorra rentada ∅ 1-4 mm) Piezòmetre Casagrande

(mesures en cm)

• Mesura de la pressió intersticial del terreny • Consta d’un element poròs (L ≈ 300 mm, ∅ ≈ 38 mm) connectat amb la superfície per dos tubs (anada i retorn) • El captador està rodejat de sorra neta, i confinat per damunt i per sota amb un tap de bentonita • L’aire que pugui haver-hi en el circuit s’elimina immediatament a través del tub d’anada

Piezòmetres

Tub obert i Casagrande

Piezòmetre hidràulic • Consta d’un element porós connectat a una estació de lectura remota per mitjà de dos tubs flexibles (∅ ≈ 3 mm) pels quals circula aigua sens aire. La pressió a la punta del piezòmetre es mesura amb un transductor • Avantatges: – fiable en períodes llargs de temps – possibilitat de fer lectures a distància – es pot usar en terrenys parcialment saturats

• La instal·lació s’ha de fer amb cura per evitar problemes de cavitació en el circuit

Cèl·lules piezomètriques • Si la permeabilitat del terreny és baixa, o si es desitja mantenir un temps de resposta acceptable (de l’ordre d’hores), és necessari fer servir cèl·lules piezomètriques que permeten col·locar transductors de pressions directament en el punt de mesura. • Poden ser: – pneumàtics – de corda vibrant – amb extensòmetres

Piezòmetre pneumàtic (1) compressor

indicador del flux d’aire

tubs de plàstic

aire comprimit diafragma aigua

filtre

• A l’interior del captador hi ha un diafragma que es deforma degut a la pressió externa de l’aigua en el terreny • La pressió es pot determinar aplicant sobre la cara contraria del diafragma una pressió igual i contraria a través d’un gas • Lectura directa de la pressió que equilibra la membrana • Simple i estable • Temps de retard petit

Piezòmetre pneumàtic (2)

Instal·lació típica i esquema de funcionament d’un piezòmetre pneumàtic

Piezòmetre de corda vibrant (1)

•

Consisteix en un diafragma metàl·lic que es deforma degut a la pressió externa. La mesura d’aquesta deformació es fa amb un extensòmetre de corda vibrant, i es tramet a un indicador de freqüència situat a la superfície mitjançant un cable elèctric • Llarga vida útil i alta sensibilitat a les condicions ambientals • A tenir en compte: possible corrosió dels elements metàl·lics, i dany als cables elèctric degut a grans moviments del terreny

Piezòmetre de corda vibrant (2)

Piezòmetre amb extensòmetres

•

Es mesura la deformació del diafragma mitjançant un extensòmetre elèctric per variació de la resistència

Piezòmetre multi-nivell

Piezòmetre multi-nivell

Aplicacions preses de formigó

murs

bombeig preses de terra

esquema típic d’instal·lació

Temps de retard • Hipòtesis bàsiques: – K és constant, sòl isòtrop – No hi ha pèrdues de càrrega en el piezòmetre – El sòl és indeformable

• El factor de temps (temps bàsic, T = a/FK) és un paràmetre fonamental: – Si K és petita (argiles), T és alt – El temps de retard, a la pràctica, pot variar des de minuts, fins a dies o mesos

Temps de retard (igualació del 90%) Tipus de sòl →

Sorra

Llim

Permeabilitat (cm/s) →

10-1

10-2

10-3

Entubació de ∅5 cm Sòl en entubació: L = 3∅ = 15 cm

6m

1h

10 h 4.2 d

Entubació de ∅5 cm Fons pla Entubació de ∅5 cm Taladre extès: L = 3∅ = 15 cm Entubació de ∅5 cm Taladre extès: L = 12∅ = 60 cm Piezòmetre: 10 mm amb punta porosa, L = 45 cm – ∅ = 38 mm Piezòmetre: 10 mm amb punta porosa i filtre de sorra, L = 108 cm – ∅ = 15 mm Manòmetre1 de mercuri 1.5 mm tub únic, punta porosa, L = 62 mm – ∅ = 32 mm Manòmetre1 de mercuri 1.5 mm tub únic, punta porosa, L = 45 cm – ∅ = 58 mm

0.6 m 6 m

1h

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

10-9

10-10

10 h 4.2 d

1.5 m 15 m 2.5 h 25 h 6m

Argila

10 d

1h

10 h 4.2 d 42 d

3m

30 m

5h

50 h

12 m

2h

20 h 8.3 d 83 d

2m

20 m 3.3 h 33 h

14 d

6m

42 d

21 d

1h

10 h

Reduir a la meitat per a manòmetres de mercuri, tub en U (1.5 mm) o manòmetres Bourdon 12 cm || m: minuts, h: hores, d: dies 1

Temps de retard

m

c∅

=

m 50

argila homogènia

10

sorra fina llimosa, llims argila estratificada

1 hora 10 hores 1 dia dies 1 mes a t lul rica · ca l n t è ub t a c mé t e it d zo cu e tub m r e i i p 00 ac md 3 c i l mb àu b 2,5 a r t d hi am ca n a it t de u n c r a i r ag ac s c Ca uli à r hid r no o Ge

i

o

sorra

tub

z pie

tr mè

(hores)

2.9

Filtres i preses de terra

Filtres – Introducció Presa de terra i escullera de Schofield, Utah, USA (1926)

• Es va trencar per erosió del material més fi a través de l’escullera aigües avall • Va servir per entendre el paper dels filtres entre materials fins i més gruixuts

Presa de terra i escullera de Nantahala, North Carolina, USA (1942)

Presa de terra i escullera de Bear Creek, USA (1953)

Filtres • Requisits fonamentals: – Impedir l’erosió – Tenir una permeabilitat suficientment alta Partícules esfèriques: Si Da  6.5 Db , la partícula petita passarà

Filtres

Criteris basats en corbes granulomètriques 85

% que passa

sòl

filtre 15 D85f

D85s

D15f

D15s

Criteris basats en corbes granulomètriques • Son totalment empírics (Terzaghi) • Treure prèviament les partícules de tamany > 2 cm • A efectes de l’erosió:

D15,filtre D85,sòl

• A efectes de la permeabilitat:

 4a 5 4a 5 

2

[Com que K : D15 , assegurem que Kfiltre > 20-25 Ksòl ]

• Regla addicional (USCE):

D50,filtre D50,sòl

D15,filtre D15,sòl

 25

 20

Filtres per a la protecció de nuclis de preses de terra Sherard and Dunnigan, 1989

Concentrate d leak flowing in dam impervious core toward filter

Impervious dam core

Very high gradient develops here after seal forms on surface ab (Path Y)

"Critical" downstrea m filter a b

Seal forms when surface (ab) plugs Filter face

Fuga concentrada a través d’una fissura oberta en el nucli

Assaig per a un “filtre sense erosió” (NEF)

Assaig per a sols del grup 1: argiles i llims fins

Condicions existents immediatament després de començar l’assaig

Condicions existents abans d’assolir l’estat d’equilibri

Condicions finals en un assaig “positiu”

Condicions finals en un assaig “negatiu”

Argiles i llims fins (grup 1) d85: sòl fi a protegir D15b: D15 crític del filtre Si:

D15,filtre ≤ D15b ⇒ correcte D15,filtre > D15b ⇒ erosió

Llims i argiles amb sorra (grup 2)

D15b = 0.7 – 1.5 mm

Sorres amb llims i argiles (grup 3)

D15b per als sòls assajats TIPUS DE SÒL

GRUP 1: ARGILES i LLIMS FINS

GRUP 2: ARGILES i LLIMS SORRENCS

GRUP 3: SORRES AMB LLIMS i ARGILES AMB POCS FINS

GRUP 4: SORRES AMB LLIMS i ARGILES

CONTING UT DE FINS (% < #200)

D15b A PARTIR D’ASSAIGS

85–100

D15b = 7d85 a 12d85 (≈ 9d85)

40–80

D15b = 0.7 a 1.5 mm

0–15

15–40

D15b = 7d85 a 10d85

Intermedi entre grup 2 i grup 3 en funció del contingut de fins

Sòls dispersius • Alguns sòls naturals de gra fi son altament erosionables (dispersius) • Solen tenir un percentatge alt de sals de sodi dissoltes en l’aigua intersticial • Les partícules d’argila d’aquests sòls passen amb facilitat a l’aigua sense necessitat de que aquesta es mogui amb certa velocitat • Sòls fins d’aquest tipus solen trobar-se en climes àrids

Sòls dispersius – identificació • “Pinhole test”: aigua destil·lada 1 mm

• Si l’aigua s’embruta i el forat s’erosiona, es tracta d’un sòl dispersiu • Si l’aigua surt clara, es tracta d’un sòl no dispersiu

Sòls dispersius – identificació • Contingut en sals: erosionables no erosionables

[recordar “capa doble”:

1 K d   v  n0  val Na+ = 1 val Ca++ = 2 ]

0.5

Sòls dispersius – identificació • L'addició de calç – Ca(OH)2 (del 2 al 4% en pes) inhibeix la dispersibilitat • Els contactes de masses (per exemple en nuclis de preses) d’argila dispersiva amb zones on s’hi mou aigua (per exemple els fonaments) han de quedar protegits per gruixos d’argila tractada no dispersiva

Preses homogènies drenatge de peu

drenatge de xemeneia i peu

• Poden ser totalment homogènies si H < 6-7 m • Altures baixes o mitjanes • Es convenient que tinguin un sistema intern de drenatge per: – reduir la pressió d’aigua al talús aigües avall (estabilitat) – evitar escorrenties incontrolades aigües avall – evitar erosió remuntant (tubificació)

Preses homogènies Kh = Kv

Kh = 4Kv

Kh = 9Kv

L’anisotropia en la permeabilitat redueix l’eficàcia del drenatge de peu

Preses homogènies • Els drenatges de xemeneia sempre son eficaços • En qualsevol cas, sempre cal assegurar que el drenatge pot evacuar tota l’aigua filtrada

Preses homogènies Anisotropia: construcció de la xarxa de corrent

a) Kfonament = Kpresa

b) Kfonament = 30Kpresa

Preses homogènies

Vega Dam

Sherburne Lakes Dam, Montana, USA, 1916

Preses de nucli prim d’argila

• Convenient si els materials granulars son més abundants que els materials fins • Els materials granulars son més estables i menys delicats de col·locar que els fins (que necessiten compactar-se amb humitat controlada)

Preses de nucli prim d’argila • Pendents naturals de graves i escullera: 1

1 1.7

Grava arrodonida

1 1.2

Grava angulosa

1

Graves anguloses o pedraplens compactats en capes relativament primes

• El gruix del nucli impermeable està determinat per: – risc d’erosionabilitat a partir de fissures (assentaments diferencials) – filtració màxima acceptable – problemes constructius

Preses de nucli prim d’argila • Gruixos del nucli sancionats per la pràctica: e ≈ 0.3 a 0.5 H → satisfactori e ≈ 0.15 a 0.2 H → satisfactori per a materials fins

e

H

e < 0.1 H → poc usat

• Dos dissenys:

cap aigües amunt

en ys

pe nd en t

t en nd pe

m

m

m es

es m

ys n e

nt e nd e p

central

pe nd en t

Preses de nucli prim d’argila

Yale Dam, Washington, USA (1952)

Success Dam, California, USA (1960)

Preses de nucli prim d’argila

Gepatsch Dam, Austria (1963)

Preses de nucli ample d’argila nucli escullera

nucli

escullera

drenatge

• Millora la seguretat de cara a l’erosió interna • Hi ha un contacte més extens entre el nucli i el fonament (gradients petits en general) • Calen grans volums de materials fins

Preses de nucli ample d’argila

Ice House Dam, California, USA

Presa de San Lorenzo, Perú

Preses de nucli ample d’argila

Presa Presidente Alemán, México

Saturació de l’escullera

A través de l’estrat de suport

Saturació de l’escullera Efecte del contrast de permeabilitat entre el nucli i el talús aigües avall

Saturació de l’escullera Efecte del contrast de permeabilitat entre el nucli i el talús aigües avall

Saturació de l’escullera Efecte del contrast de permeabilitat entre el nucli i el talús aigües avall, i de l’anisotropia de la permeabilitat

Saturació de l’escullera Efecte del contrast de permeabilitat entre el nucli i el talús aigües avall, i de l’anisotropia de la permeabilitat

Buidat ràpid de l’embassament • •

Es la pitjor condició d’estabilitat que pot afectar al talús d’aigües amunt Pressions de porus teòriques en el talús d'aigües amunt d’una presa de terra homogènia després d’un buidat ràpid (Terzaghi): (a) embassament plé; (b) després del buidat)

pw>0

σ

=

0

pw>0

Buidat ràpid de l’embassament •

Influència de la permeabilitat de l’estrat inferior en les presions de porus teòriques (Cedergren): (a) permeabilitat de l’estrat igual a la de la presa; (b) permeabilitat de l’estrat 20 vegades més gran que la de la presa

Buidat ràpid de l’embassament •

Solució: drenatge de xemeneia proper a la superfície del talús aigües amunt, de manera que el flux després del buidat sigui principalment vertical

Preses de terra: aspectes del projecte • Etapes del disseny – exploració (localització, materials disponibles) – tanteig de diferents dissenys previs – estimació de costos i seguretat dels dissenys previs – escollir una combinació raonable

Preses de terra: aspectes del projecte • Disponibilitat de materials – molta argila → presa homogènia o de nucli central ample – molta sorra / grava → nucli prim – escullera abundant → grans talussos, presa d’escullera amb pantalla impermeable – materials diversos → presa zonificada – materials erràtics (“todo uno”) → utilitzar en zones “protegides” amb drenatges / filtres

Preses de terra: aspectes del projecte • Fonaments: en principi es poden construir sobre qualsevol terreny. Però cal tenir en compte – assentaments diferencials – control de filtracions en terrenys permeables – liqüefacció de sorres – contacte presa / roca especialment si aquesta està fracturada

Preses de terra: aspectes del projecte • Clima – si plou molt és més difícil la compactació – si hi ha gelades, les argiles no es poden compactar (però sí es poden estendre graves o escullera) – en regions àrides es controla millor la humitat de compactació

Preses de terra: aspectes del projecte • Forma de la vall – en valls estretes és més difícil treballar; en aquest cas les preses d’escullera tenen un bon comportament – atenció amb els assentaments diferencials

seccions crítiques

2.10

Flux en sòl no saturat

Introducció • Origen: – sòls naturals, per damunt del nivell freàtic, climes àrids, ... – sòls “artificials”  compactats meniscs

tensió superficial

• Aire en els porus més grans • Aigua en els porus més petits

Tensió superficial • La tensió superficial apareix quan hi ha una interfase (superfície de contacte) entre dues substàncies diferents. • Aquesta superfície (menisc) actua com una membrana: σ σ

σ: tensió superficial [σ] = F/L

Tensió superficial • Per al contacte aigua/aire: – σ ≈ 0.0742 N/m a 20ºC – σ ≈ 0.0675 N/m a 60ºC

• σ depèn de la temperatura, la pressió de l’aire, etc. • La tensió superficial representa la quantitat de treball que cal subministrar al sistema per ampliar en una unitat la superfície de interfase

Tensió superficial • La forma del menisc depèn dels materials que el formen: θ>90º θ<90º

el líquid mulla

el líquid no mulla

θ1 θ2

sobre un pla inclinat

• i també de la història (direcció del flux):

l’aigua baixa

l’aigua puja

Tensió superficial • Com que hi ha una membrana, hi haurà discontinuïtat de pressions: σ paire

σ paigua

• Definim pressió capil·lar (també anomenada succió) com: pc = paire – paigua (> 0 en general)

Tensió superficial • Per equilibri (o minimitzant l’energia) s’arriba a:  1 1  2 pc  pa  pw        R  R1 R2 



on R 

2 1 1  R1 R2

• on R1 i R2 son els radis de curvatura del menisc

Tensió superficial • Per a un tub capil·lar: r R  cos 

2 pc  cos  r

σ

R

θ

• La pressió capil·lar depèn de: – θ : depèn de si l’aigua “puja” o “baixa”  història, flux – σ : propi de la interfase aigua/aire – r : tamany del capil·lar

r

menisc ≈ circular

Ascensió capil·lar

Ascensió capil·lar

pw ? hc pw = 0

2 1 co s   2  r   r hc  w 4243 1 4 2 43 força resultant de la tensió superficial

pes de la columna d'aigua dins del capil·lar



• En submergir un tub capil·lar dins d’un recipient amb aigua, el nivell d’aigua puja dins del capil·lar (hc) • Si suposem que el pes de la columna d’aigua dins del capil·lar esta aguantat per la tensió superficial, tenim: 2 cos  hc   w r

altura d’ascensió capil·lar

Ascensió capil·lar

pw ? hc pw = 0

• Un cop assolida l’altura hc, l’aigua està en equilibri: l’altura piezomètrica és constant! • En realitat, la pressió d’aigua dins el tub capil·lar és negativa

L’aigua per damunt el N.F. z

el sòl actua com si hi hagués tubs capil·lars, encara que irregulars NF

pw = 0

• Per damunt del nivell freàtic apareix una pressió pc (pressió capil·lar ≡ succió) y una altura d’ascensió capil·lar – pc  pressió capil·lar – s  succió

L’aigua per damunt el N.F. • Recordem que per a un tub capil·lar 2 pc  cos  r

• En el sòl, – σ no varia molt – θ depèn del moviment de l’aigua (puja/baixa) – r depèn del tipus de sòl, de la quantitat d’aigua que hi ha i de la història

L’aigua per damunt el N.F. • En general, al disminuir el grau de saturació (Sr) els radis dels meniscs són menors:

r

r

L’aigua per damunt el N.F. • Per a un sòl donat, pc = f(Sr); o també, pc = f(w) • Aquestes relacions s’obtenen experimentalment: pc = pa – pw assecant el sòl p.e., si en un sòl inicialment saturat el nivell freàtic va baixant

histèresis

CORBA DE RETENCIÓ

mullant el sòl p.e., si un sòl inicialment sec es va mullant

Sr 100%

L’aigua per damunt el N.F. • L’efecte de histèresis és degut al terme “cos θ” i a la geometria: – per a una mateixa succió s, el grau de saturació, Sr, és més gran quan el sòl es va assecant:

direcció del flux

l’aigua queda retinguda aquí si el sòl està inicialment saturat i es va assecant l’aigua arriba fins a aquest nivell si el sòl està inicialment sec i es va mullant

direcció del flux

L’aigua per damunt el N.F. • En el sòl la forma i el tamany dels tubs capil·lars és irregular  granulometria • Si els porus són petits i els radis dels meniscs són petits, es produeixen succions elevades • Si les succions són altes, hi ha unes forces addicionals entre partícules de sòl que donen una resistència aparent més gran al sòl

L’aigua per damunt el N.F. sòl sec: no hi ha succió forces degudes a la succió en groc, forces d'origen mecànic sòl saturat: no hi ha succió resultant de les forces de succió: increment de la força de contacte entre partícules i augment aparent de la resistència

L’aigua per damunt el N.F. • En sòls no saturats, els meniscs produeixen un augment de les tensions efectives i per tant un augment aparent de la resistència      pw   pc  pa  pw        pc si pa  0  pc   pw 

2 pc   R

• si Sr disminueix, disminueix el radi R* i per tant augmenta la succió pc i la tensió efectiva σ'

L’aigua per damunt el N.F. • Exemples: – sorra de platja: al costat de la línia d’aigua, la sorra és més dura que lluny de l’aigua (sorra seca) o que sota l’aigua (sorra saturada)  és amb aquesta sorra parcialment saturada que es poden fer castells!!

– en sorres parcialment saturades es poden aconseguir talussos gairebé verticals – però si es mullen o s’assequen, els talussos es destrueixen

L’aigua per damunt el N.F. z B A pw

NF

en aquesta zona la pressió d’aigua és negativa: pw = -pc < 0

  z

pw p  pc  pa  pw    z  c w w

•

l’aigua es mou dels punts amb més energia (φ) al punts amb menys energia • si hi ha equilibri, s’haurà de complir que φA = φB : Punt A: pc  pa  pw  0 ; z  0   A  0   pcB  Punt B:  B  z B   w 

 A   B  zB 

pcB w

• per tant, en equilibri a cada altura li correspon una succió: z = f(pc)

L’aigua per damunt el N.F. • Com que pc = pc(Sr)  z = f(Sr) z

zB Sr SrB

100%

L’aigua per damunt el N.F. • A la pràctica aquestes corbes son del tipus: z

zona “saturada” per damunt del nivell freàtic

l’altura d’ascensió capil·lar queda molt ben definida si el tamany dels porus és uniforme

hc : altura d’ascensió capil·lar 100%

Sr

L’aigua per damunt el N.F. • hc depèn del sòl: Tipus de sòl gruixuda Sorra mitjana fina Llim Argila

hc 2 a 5 cm 15 a 30 cm 40 a 70 cm 70 a 150 cm >4m

C • hi ha correlacions: hc  D10 e

C  0.1cm2 a 0.5 cm2 14 2 43 14 2 43 mal graduat

ben graduat

L’aigua per damunt el N.F.

z

• Les corbes pc ↔ Sr i z ↔ Sr són equivalents (suposada la continuïtat de l’aigua – no val per gotes “soltes”) • Igual que passava amb la corba de retenció (pc ↔ Sr), la corba z ↔ Sr depèn de la història: z

queda una mica d’aigua

queda sòl sec

Sr 100%

sòl inicialment sec, amb el nivell freàtic pujant (“mullem”)

Sr 100%

sòl inicialment saturat, amb el nivell freàtic baixant (“assequem”)

Succió pc • Definim potencial capil·lar com w – es mesura en unitats de longitud; en sòls fins pot ser molt alt

• Sovint es fa servir la unitat de mesura pF: pc pF  log  {w

en cm

pc pF  5   105 cm  1000 m  pc  10 MPa w freqüent en climes mediterranis

Mesura de la succió aire a pressió pa > patm

pa = patm mostra de sòl

mostra de sòl

pedra porosa saturada

pedra porosa d’alt valor d’entrada d’aire (ha d’impedir que passi l’aire)

pw negativa

•

buit

buit

No es poden aplicar buits elevats, més grans de 1 atm, perquè entraria aire a la mostra • pc < 1 atm = 1 MPa ≈ 1000 cm  1 < pF < 3

•

pa gran

•

pc = pa – pw

•

es pot arribar fins a pF ≈ 7

Flux d’aigua en sòl no saturat • Recordem l'equació de continuïtat: r    w n      wq   0 t • Per a sòls no saturats, hem d’escriure: r    w nSr      wq   0 t • on nSr = Vw/VT = c, θ, … és el contingut volumètric d’humitat

Flux d’aigua en sòl no saturat • Casos particulars: – si l’aigua és incompressible, ρw = constant:   nS r  r   q  0 t

– si el sòl és indeformable, n = constant: r S r n   q  0 t

Flux d’aigua en sòl no saturat • Ens cal ara una equació equivalent a la llei de Darcy. Podem fer servir la mateixa llei però tenint en compte que K = K(Sr) K

• Aleshores:

Ksat

uuur q   K ( S r ) 

Ksec

• Per tant:

uuur Sr n     K ( S r )    0 t

Sr 0

1

Flux d’aigua en sòl no saturat • Ens ha de quedar tot en funció de l’altura piezomètrica, φ : Sr  Sr  pc    pc   Sr  Sr  z      z   pc   w  z     w 

uuur Sr  z    n     K  S r  z       0 t





Es tracta d’una ED no lineal, difícil de resoldre  mètodes numèrics

Tensions efectives en sòl no saturat • En sòls no saturats no es compleix el principi de tensions efectives de Terzaghi • Considerem el cas d’un estrat parcialment saturat, en el qual es produeix un aixecament del nivell freàtic • Una anàlisi de l’evolució de les tensions efectives mostra que, d’acord amb el principi de Terzaghi, el sòl s’infla (i.e., la superfície es mou cap amunt):

Tensions efectives en sòl no saturat aixecament del nivell freàtic h0 A

h1 h

γ

A

 A0   sat h

 1A   sat h

 A0   A0  pw

 A1   1A  pw

γ

  sat h   h  h0   w { 1 4 2 43

  sat h   h  h1   w { 14 2 43

   sat   w  h  h0  w    h  h0  w

   sat   w  h  h1  w    h  h1  w

 A0

pw

 A0

pw

 A   A1   A0   w  h1  h0   0  inflament

Tensions efectives en sòl no saturat • Tanmateix, en realitat, quan això passa (p.e. després de períodes de pluja intensa), s’observa que el sòl col·lapsa (i.e., la superfície del terreny es mou cap avall) • Això passa perquè en saturar-se el sòl perd les forces addicionals de succió que li donaven una resistència aparent més gran, ocasionant el col·lapse

Exemples: fronts de saturació z

infiltració d’aigua de pluja

front de saturació (saturat)

A  zA  B  zB 

A B

sec

pc

suposem que en el front de saturació la succió és constant:

y

hc·γw

Sr

front que avança

pwA 0 w pwB p  y  c w w

Velocitat de l'aigua: v 

100%

Darcy: q   K Sr 1  K

q dy   n dt

 A  B K y

p  dy K    1 c  dt n  y  w 

ED que dona y(t)

pc  w p   K  1 c  y y  w  

y

K , n, pc ,  w  constants

Exemples: fronts de saturació ascens per capil·laritat del front de saturació front que avança

z

sec

B A

front de saturació (saturat)

pc

suposem que en el front de saturació la succió és constant:

NF hc·γw

saturat

A  zA  B  zB 

pwA 0 w pwB p  z c w w

Velocitat de l'aigua: v 

Sr 100%

Darcy: q   K Sr 1  K

q dz   n dt

 A  B K z

 dz K  pc    1 dt n  z  w 

ED que dona z(t)

z  z

pc w



 pc  1  z  w 

K

K , n, pc ,  w  constants