Meca Ener Civil 2009
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- Words: 979
- Pages: 4
sEssroN 2009
BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES cénie Mécanique Option A : Productique Mécanique Option F : Microtechniques Génie Energétique
MATHEMATIOUES
Durée : 4 heures
Coefficient:4
L'usage des calculatrices est âutorisé pour cettè épreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie loute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. ll est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Dès que le sujet vous esl remis assurez-vous qu'il est complet, que toutes les pages sont imprimées. Le formulaire officiel de rnathématiques est disiribué en même temps que le sujet'
Du papier millimétré est mis à la disposition du candlidat.
9MA.I1M E1
1t4
EXERCICE
1
: (6 points)
Pour la consiruction d'une piscine privée, un architecte a imaginé la forme de la figure 1 (vue de dessus de la piscine), oit (O;i,l) est un repère orthonormal d'unité gfaphique 1 cm. Le périmètre de cette piscine est constitué de deux demi-cercles : ÂÈ de centre O ei de rayon 3, et dù de centre O' et de rayon 4, reliés par deux courbes € etç'. L'axe des abscisses est un axe de syrnétrie de la fioure. La courbe € reliantles -points A et D est la courbe représentative d'une fonction f déflnie pour tout réel x de l'intervalle l0:8 L
D
e
o-,
iou
o
o'
B
9:'
c fiqure
1
1') a) En remaquânt que Ia courbe g passe par le poini A d'abscisse 0, ie point D d'abscisse B, et qu'en ces points elle admet une tangenie horizontale, déterminer les valeurs de l(0), f(S), f'(o) et f'(B). b) On suppose qu'il existe quatre nombres réels a, b, c et d tels que pour tout réel x de l'intervalle [o;e], f(x)= ax" + ox2 +cx+d. Déterminer l'expression de
f'(x) en fonction de a, b, c, d eI x.
c) Déduire des questions précédentes que c = 0
., : svsleme '
d)
1512 a 1
eid=
3 etque les réels
aet b vérifient le
+64 b =1
1192a+16b=0
Résoudre Ie système précédent.
9MAI1ME1
2t4
2')Parlasuite.onadmeLquepou.routréel r de lintervalle [0:8]. fest strictement posilive sur [0;8].
ff.\t *25b
Le but de cette question est de déteminer laire de la plscine, en une représentation à léchelle 1/100 de la réalité.
m'?,
-:.etque l.r 64
sachant que Ia flgure 1 est
a) Expliquer une démarcfle qui permet dbblenir I'aire demandée. On rappelle que toute trace de recherche, même incomplète ou non ffuctueuse, pouffa être prise en compte.
b) Calculer, en
la valeur exacte de l'aire de la piscine réelle. Donner égalernent la valeur arrondie à 0.1 m2 de cetie aire. m'?,
3') La profondeuf d'eau de cette pisclne est constante, égale à 1,60 m. Calculer, en m', la valeur exacte du volume d'eau contenue dans cette piscine. Donnef également la valeur arrondie au de ce volJme.
mo
EXERCICE 2 (5 poinis)
Le plan complexe esi muni d'un repère odhonormal (O;Li,v) d'unité graphique 5 cm.
On considèfe ies points A et B d'affixes respectives za =1 comDlexe de module 1 et d arqùmerL
zB =
*t \!z
r Ù,
oar
i désigne le nombre
r' 2
Le but de cet exercice est de déterminer la valeur exacte de
1")
el
cosl. I g
a) Montref que les points A et B appartiennent au cercle
de centre O et de rayon 1.
b) Déterminer un argument de zB. c) Tracer le cercJe
(].
er p acer les po.nts A et B.
d) Soit I le n'ilie,r dJ segment lABl et z son alfixe. Placef I su. la figure et prouver que
^t;t; z+ lz 4= 4 + 4t' -,1z
2")
.
a) Calculer a dislanLe Ol. el proLver qJe
Ol-
\'t;. t ^"i 2
.
b) Démontrer que la droite (ol) est la bissecirice de l'angle
de
Iô.
En déduire un afgument
z,
c) Donner la forme trigonomélrique de zr .
3') Montrer à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes que
If
B2
9MAll luEl
t^
la valeur exacte de
r-
'J2+12
3/4
PROBLEME (9 points)
Le plan est muni d'un repère orthogonal (O;i,l) O'unitOs graphiques 2 cm sur I'axe des abscisses et 1 cm sur I'axe des ordonnées. On s'intéresse, dans ce problème, à la fonction fdéfinie sur l'intervalle
lo;+-l
par:
f\x1=l!! r *2. On note
g
sa courbe feprésentative dans le repère
lO;i,i).
Parliê A : étude d'une fonction auxiliaire. Soit 9la fonction définie suf l'intervalle
]O;+-[ par
g(x):1 k1x
1") Calculer g'(x) pour tout x appartenant à I'intervalle ]O;+*'[. la fonction g sur l'intervalle ]0;+.r'[ .
x2.
fn
déduire le sens de variation de
2") Calculef g(1) et en déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l'intervalle
Partie B : étude de la fonction
]0;+-[.
f
1") a) Déteminer la limite de Ia fonction f en 0. Inierpréter graphiquement cette limite.
b) Déterminer la limite de la fonction c) Justifier que la d roiie
I
d'équation y
d) Etudief la posit;on de la courbe
2")a)
fen + "r.
€
= x+2 est asymptote à la courbe g.
par rapport à la drcite
lvlontfer que pour tout x appailenant à linte.valle
9.
l0t -1,t111=4!. x'
b) Etablir le tableau de variation complet de la fonction fsur I'intervalle
3') a) Déterminer
les coordonnées du point A de la courbe
parallèle à l'asymptote
€
]o;+-[.
iel que la tangente en ce point soit
9.
b) Déterminer une équaiion de la droite
Z
tangente à la courbe
€
au point d'abscisse e.
On rappelle que e est le nombre réel iel que In e = 1.
4')a) Démontrer que l'équation f().)=0 admei une solution unique q dans l'intervalle ]0;1[. On appelle B le point de € d'abscisse o. b) Donner un encadrement d'amplitude 0,01 de q . 5") Danslefepère(O;l,lJ,OlacerlespointsAetBpuistracerlesdroitesO,Fetlacourbeg.
gMAI1ME1
4t4
BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES cénie Mécanique Option A : Productique Mécanique Option F : Microtechniques Génie Energétique
MATHEMATIOUES
Durée : 4 heures
Coefficient:4
L'usage des calculatrices est âutorisé pour cettè épreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie loute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. ll est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Dès que le sujet vous esl remis assurez-vous qu'il est complet, que toutes les pages sont imprimées. Le formulaire officiel de rnathématiques est disiribué en même temps que le sujet'
Du papier millimétré est mis à la disposition du candlidat.
9MA.I1M E1
1t4
EXERCICE
1
: (6 points)
Pour la consiruction d'une piscine privée, un architecte a imaginé la forme de la figure 1 (vue de dessus de la piscine), oit (O;i,l) est un repère orthonormal d'unité gfaphique 1 cm. Le périmètre de cette piscine est constitué de deux demi-cercles : ÂÈ de centre O ei de rayon 3, et dù de centre O' et de rayon 4, reliés par deux courbes € etç'. L'axe des abscisses est un axe de syrnétrie de la fioure. La courbe € reliantles -points A et D est la courbe représentative d'une fonction f déflnie pour tout réel x de l'intervalle l0:8 L
D
e
o-,
iou
o
o'
B
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c fiqure
1
1') a) En remaquânt que Ia courbe g passe par le poini A d'abscisse 0, ie point D d'abscisse B, et qu'en ces points elle admet une tangenie horizontale, déterminer les valeurs de l(0), f(S), f'(o) et f'(B). b) On suppose qu'il existe quatre nombres réels a, b, c et d tels que pour tout réel x de l'intervalle [o;e], f(x)= ax" + ox2 +cx+d. Déterminer l'expression de
f'(x) en fonction de a, b, c, d eI x.
c) Déduire des questions précédentes que c = 0
., : svsleme '
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1512 a 1
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3 etque les réels
aet b vérifient le
+64 b =1
1192a+16b=0
Résoudre Ie système précédent.
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2')Parlasuite.onadmeLquepou.routréel r de lintervalle [0:8]. fest strictement posilive sur [0;8].
ff.\t *25b
Le but de cette question est de déteminer laire de la plscine, en une représentation à léchelle 1/100 de la réalité.
m'?,
-:.etque l.r 64
sachant que Ia flgure 1 est
a) Expliquer une démarcfle qui permet dbblenir I'aire demandée. On rappelle que toute trace de recherche, même incomplète ou non ffuctueuse, pouffa être prise en compte.
b) Calculer, en
la valeur exacte de l'aire de la piscine réelle. Donner égalernent la valeur arrondie à 0.1 m2 de cetie aire. m'?,
3') La profondeuf d'eau de cette pisclne est constante, égale à 1,60 m. Calculer, en m', la valeur exacte du volume d'eau contenue dans cette piscine. Donnef également la valeur arrondie au de ce volJme.
mo
EXERCICE 2 (5 poinis)
Le plan complexe esi muni d'un repère odhonormal (O;Li,v) d'unité graphique 5 cm.
On considèfe ies points A et B d'affixes respectives za =1 comDlexe de module 1 et d arqùmerL
zB =
*t \!z
r Ù,
oar
i désigne le nombre
r' 2
Le but de cet exercice est de déterminer la valeur exacte de
1")
el
cosl. I g
a) Montref que les points A et B appartiennent au cercle
de centre O et de rayon 1.
b) Déterminer un argument de zB. c) Tracer le cercJe
(].
er p acer les po.nts A et B.
d) Soit I le n'ilie,r dJ segment lABl et z son alfixe. Placef I su. la figure et prouver que
^t;t; z+ lz 4= 4 + 4t' -,1z
2")
.
a) Calculer a dislanLe Ol. el proLver qJe
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\'t;. t ^"i 2
.
b) Démontrer que la droite (ol) est la bissecirice de l'angle
de
Iô.
En déduire un afgument
z,
c) Donner la forme trigonomélrique de zr .
3') Montrer à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes que
If
B2
9MAll luEl
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la valeur exacte de
r-
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3/4
PROBLEME (9 points)
Le plan est muni d'un repère orthogonal (O;i,l) O'unitOs graphiques 2 cm sur I'axe des abscisses et 1 cm sur I'axe des ordonnées. On s'intéresse, dans ce problème, à la fonction fdéfinie sur l'intervalle
lo;+-l
par:
f\x1=l!! r *2. On note
g
sa courbe feprésentative dans le repère
lO;i,i).
Parliê A : étude d'une fonction auxiliaire. Soit 9la fonction définie suf l'intervalle
]O;+-[ par
g(x):1 k1x
1") Calculer g'(x) pour tout x appartenant à I'intervalle ]O;+*'[. la fonction g sur l'intervalle ]0;+.r'[ .
x2.
fn
déduire le sens de variation de
2") Calculef g(1) et en déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l'intervalle
Partie B : étude de la fonction
]0;+-[.
f
1") a) Déteminer la limite de Ia fonction f en 0. Inierpréter graphiquement cette limite.
b) Déterminer la limite de la fonction c) Justifier que la d roiie
I
d'équation y
d) Etudief la posit;on de la courbe
2")a)
fen + "r.
€
= x+2 est asymptote à la courbe g.
par rapport à la drcite
lvlontfer que pour tout x appailenant à linte.valle
9.
l0t -1,t111=4!. x'
b) Etablir le tableau de variation complet de la fonction fsur I'intervalle
3') a) Déterminer
les coordonnées du point A de la courbe
parallèle à l'asymptote
€
]o;+-[.
iel que la tangente en ce point soit
9.
b) Déterminer une équaiion de la droite
Z
tangente à la courbe
€
au point d'abscisse e.
On rappelle que e est le nombre réel iel que In e = 1.
4')a) Démontrer que l'équation f().)=0 admei une solution unique q dans l'intervalle ]0;1[. On appelle B le point de € d'abscisse o. b) Donner un encadrement d'amplitude 0,01 de q . 5") Danslefepère(O;l,lJ,OlacerlespointsAetBpuistracerlesdroitesO,Fetlacourbeg.
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