Mc

  • June 2020
  • PDF

This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA


Overview

Download & View Mc as PDF for free.

More details

  • Words: 90,428
  • Pages: 332
\documentclass[bezier]{book} \usepackage[czech]{babel} \def\emline#1#2#3#4#5#6{% \put(#1,#2){\special{em:moveto}}% \put(#4,#5){\special{em:lineto}}} \begin{document} \author{Milan Kunz} \title{Maticov� kombinatorika a algebra} \maketitle \tableofcontents \listoffigures \listoftables \pagenumbering{arabic} \newpage \pagenumbering{Roman} \setcounter{page}{5} \chapter*{P�edmluva} Kdy� studujeme matematiku, zjist�me, �e m� mnoho odv�tv� a specializac�: algebru, geometrii, topologii, diferenci�ln� a integr�ln� po�et, kombinatoriku; r�zn� teorie: teorii ��sel, teorii grup, teorii mno�in, teorii graf�, teorii informace, teorii k�dov�n�, speci�ln� teorie rovnic, teorii oper�tor�, atd.. Zd� se, �e neexistuje ��dn� sjednocuj�c� koncept. Zn�me v�ak pouze jeden sv�t, ve kter�m �ijeme, pouze jednu fyziku, jednu chemii, jednu biologii. Tak� by m�la existovat pouze jedna matematika. Titul t�to knihy je "Maticov� kombinatorika a algebra". Kombinatorika je star� odv�tv� matematiky. Jej� z�klady se pova�uj� za element�rn�, pon�vad� jsou zalo�eny na dobr�ch p��kladech. Av�ak to m� sv� omezen�: Existuje p��li� mnoho identit je�t� jich v�ce zb�v� k objeven�. Mysl je jimi p�epln�na, jak Riordan pouk�zal\cite{1}, proto�e se ukazuje pouze nepo��dek v hojnosti. Klasick� kombinatorika zahrnovala mnoho odv�tv�, kter� se pozd�ji rozd�lila, av�ak kter� jsou podstatn� pro jej� pochopen�. Naleznete zde t�mata jak z teorie ��sel tak z teorie grup. Algebra je velmi abstraktn� v�da, vyjma sv� jedn� v�tve, line�rn� algebry. Studuj� se operace s vektory maticemi. A na t�chto pojmech je zalo�ena podstata knihy. Mysl�m si, �e jsem na�el cestu do podivuhodn�ho sv�ta kombinatoriky. Za�alo k d�vno, kdy� jsem n�hodn� objevil, �e dv� proslul� funkce entropie $H = -\sum p_j \log p_j$, jak ji definoval Boltzmann \cite{2} a Shannon \cite{3}, jsou dv� odli�n� funkce ze dvou polynomick�ch koeficient�, v protikladu k obecn� p�ijat�m n�zor�m principu negentropie. M�l jsem tenkr�t pocit jako kadet Biegler \cite{4}. Vzpome�te na jeho zoufal� v�k�ik: ``Jesusmarja, Herr Major, es stimmt nicht!''. Star�� d�stojn�ci klidn� naslouchali p�edn�ce o k�dov�n�, av�ak dan� p��klad ned�val smysl, proto�e m�li po ruce jin� svazek, ne� p�edpisovaly instrukce. Jm�no knihy bylo "S\"unde der V\"ater". Podobn� jako ve �vejkovi si mysl�m, �e kniha se m� ��st od sv�ho prv�ho svazku. Bylo t�m�� nemo�n� publikovat v�sledky, proto�e nesouhlasily s p�ijat�mi n�zory. M�j prv� pokus byl zam�tnut z d�vodu, �e m�j v�klad byl nesrozumiteln�.

Ve vzteku jsem napsal sv�j v�klad pro technick� �asopis pro ml�de�, kde byl p�ijat jako vhodn� �ten� pro jejich naivn� �ten��e \cite{5}. Doposud jsem nebyl schopn� publikovat sv�j v�sledek explicitn�. Odborn� referenti nep�ijali m� argumenty. Z mnoha d�vod�. Byl jsem nucen pokra�ovat ve sv�m v�zkumu, objevit nov� vztahy, kter� dok�zaly moji koncepci. Jsou to velmi element�rn� v�ci o matic�ch graf�, kter� nejsou vysv�tleny v u�ebnic�ch na jejich vhodn�m m�st�, co� znamen� na po��tku. Douf�m tedy, �e jsem usp�l. Pokud by tato kniha byla naps�na p�ed sto l�ty, mohla by zachr�nit jeden lidsk� �ivot, pokud by byla publikov�na pades�ti roky, mohla by zabr�nit myln� interpretaci teorie informace. Matematick� rovnice a identity jsou jako kousky skl�da�ky. Jsou uspo��d�ny tradi�n�m zp�sobem do specializac�, kter� jsou studov�ny odd�len�. Pokud matematikov� byli neschopni si uv�domit, �e ob� funkce entropie vypl�vaj� z identity, zn�m� paradoxn� jako Polya-Brillouinova statistika, kterou lze nal�zt ve v�eobecn� pou��van�ch u�ebnic�ch\cite{6}, pak n�jak� z�kladn� p�ek�ky jim zabr�nily interpretovat jejich abstraktn� definice spr�vn�. Kdy� jsem studoval probl�m entropie, v�d�l jsem, �e to byl kombinatorick� probl�m, pon�vad� s�m Boltzmann spojil funkci H s kombinatorickou identitou. Mimo to jsem ji koreloval intuitivn� maticemi, proto�e: "Ani jsem nev�d�l, co je matice a jak se n�sob�," jako Heisenberg \cite{7} p�ede mnou. Obvykl� v�klady matic mi ned�valy ��dn� smysl. M�j p��stup je element�rn�: �ada symbol� (slovo, text) \begin{itemize} \item ``v�klady matic mi ned�valy ��dn� smysl '' je pova�ov�na za �adu n�sledn�ch vektor� napsan�ch tu�n�mi p�smeny jako vektory \item ``{\bf v�klady matic mi ned�valy ��dn� smysl}''\\ vektory v �ad� jsou naps�ny s pou�it�m formalismu \item ${\bf j} = {\bf e}_j = (0, 0,...1_j,...0)$ \end{itemize} jako vektor sloupec ve form� matice. Nazval jsem matice maj�c� v ka�d� ��dce pr�v� jeden jednotkov� symbol "naivn�". Jin� vhodn� n�zvy, jako primitivn�, element�rn� u� byly obsazeny. Matice z�skan� permutacemi nal�zaj�c� skal�rn� sou�iny naivn� matice s jednotkov�mi vektory, se se�tou a v�sledky se zobraz� v tabulkov� form�. V�sledn� tabulky kombinatorick�ch funkc� maj� formu matice a lze na nich prov�d�t maticov� operace, jako je n�soben�, transpozice a inverze. Aplikace maticov� operace byla obvykl� v kombinatorice jako Kroneckerova funkce $\delta_{ij}$, kter� je implicitn� aplikac� inverzn� matice. Riordan uv�d� mnoho p��klad� jejich pou�it�. Av�ak maticov� technika se nepou��vala systematicky p�i odvozov�n� kombinatorick�ch identit a nespojovala se z�kladn�mi vlastnostmi vektorov�ch prostor�. Teprve nyn� se objevuj� podobn� studie. Rozd�ly sou�tu dvou naivn�ch matic jsou studov�ny v druh� ��sti knihy. Jsou zn�m� jako grafy. N�vrhy blok� by mohly tvo�it p��t� krok. Se vyu��v� v pokro�il� kombinatorice.

Bloky maj� maticovou formu a hledaj� se po�ty rozli�iteln�ch blok�. Hall \cite{8} zah�jil svou knihu kapitolami rekapituluj�c�mi klasickou kombinatoriku p�ed t�m ne� pojednal n�vrhy blok�, av�ak neu�inil ��dn� pokus pou��t sjednocenou maticovou techniku k tradi�n� kombinatorice a vysv�tlit kombinatorick� probl�my jako po��t�n� naivn�ch blok�. Kdy� jsem spojil kombinatorick� probl�my s vlastnostmi spo�etn�ch vektorov�ch prostor�, objevil jsem jinou cestu do u prostor. Mohu objasnit, alespo� to v���m, jak tento prostor je vystav�n. Jeho n�kter� z�kladn� vlastnostmi nejsou vysv�tleny v u�ebnic�ch. Bu� matematikov� je nepova�uj� d�le�it�, nebo jednodu�e je ignoruj�. Ov�em existuje mo�nost, �e je skr�vaj� jako hermetick� tajemstv� nevysv�tlen� nezasv�cen�m. V ka�d�m p��pad� Euklidovsk� prostor m� velmi podivuhodn� vlastnostmi. Tato kniha je element�rn�. Pouze v�jime�n� jsou uvedeny v�sledky vy��� matematik, potom bez d�kaz�. Nicm�n� si nemysl�m, �e je to snadn� kniha. Ukazuje, jak slo�it� sv�t je, �e v�echno je spojen� s v��m. Pokou��m se vysv�tlit n�kter� ��sti kombinatoriky a maticov� algebry nekonven�n�m zp�sobem. C�lem nen� matematick� p�esnost nebo praktick� aplikace, av�ak dosa�en� intuitivn�ho porozum�n� slo�itosti vektorov�ho prostoru. D�v�m p�ednost �pln� indukci p�ed vytvo�uj�c�mi funkcemi a hlavn�m c�lem knihy je uk�zat, �e sv�t nem� pouze t�i rozm�ry, ve kter�ch se m�eme pohybovat. Mus�m p�iznat, �e j� s�m m�m pot�e, kdy� se pokou��m si p�edstavit n�kter� element�rn� v�ci. N�kter� �e�en� jsem na�el pouze po velmi dlouh�ch obdob�ch p�emy�len�, jakoby spr�vn� zp�sob byl blokov�n neviditeln�mi p�ek�kami. D��ve ne� za�neme, ud�lejme pozn�mku o ��seln�ch syst�mech. Ka�d� zn� decim�ln�: $$0 = 10^{-\infty};\ 1 = 10^0;\ 10 = 10^1;\ 100 = 10^2\;.$$ N�kdo zn� bin�rn�: $$0 = 2^{-\infty};\ 1 = 1^1 = 2^0;\ 10 = 2^1; \ 11 = 3;\ 100 = 4 = 2^2\;.$$ Av�ak nikdo, jak se mi zd�, nestudoval jednotkovou ��selnou soustavu: $$1 =1^1;\ 11 = 2 = 1^2;\ 111 = 3 = 1^3.$$ Rozd�lem je, �e soustava startuje z prvn� mocniny 1, kter� je nerozli�iteln� od sv� nulov� mocniny $$1 = 1^{-1} = 1^0\;.$$ Logaritmus 1 s base logaritmus 1 je op�t 1, 3.

logaritmus 111 s bas� logaritmu 1 je

Matematick� operace v tomto syst�mu jsou jednoduch�: s��t�n� \begin{center} $111 + 11 = 11\ 111$ \end{center} ode��t�n�

\begin{center} $111 - 11 = 1$ \end{center} N�soben� a d�len� by se m�ly zapsat jako mocniny, nap��klad n�soben� $(111)^{11}$, av�ak lze uspo��dat do blok� \begin{center} \begin{tabbing} \= \qquad 11 $\times$ 111 = \= 111 \\ \= \> 111 = 111\,111 \end{tabbing} \end{center} a d�len� \begin{center} \begin{tabbing} \= \qquad 111\, 111 $\div$ 11 = 11 \= 11\ 11 \vline \ 1\\ \> \> 11 \= 11 \vline \ 1\\ \> \> \> 11 \vline \ 1 = 111 \end{tabbing} \end{center} Pou�ijeme tento soustava implicitn� bez jeho dal��ho zmi�ov�n�. Vyskytnou se n�jak� probl�my s notac�. Nen� dost p�smen k pou�it� speci�ln� pro ka�dou funkci. Proto pou�ijeme n�kter� p�smena pro rozd�ln� funkce bez varov�n�. Obr�zky, tabulky a rovnice jsou indexov�ny odd�len� v ka�d� kapitole. Jednou pot�� systematick�ho v�kladu je, �e nem�ete rozum�t v�emu najednou. Je nutn� zav�d�t koncepty postupn�. Nov� znalosti modifikuj� p�edchoz� definice. Proto n�kter� t�mata budou pojedn�ny opakovan�, kdy� bude mo�n� vyu��t nov� zav�d�n� techniky. Bu�te trp�liv�, pros�m, kdy� n�kter� v�c se zd� b�t vysv�tlov�na p��li� podrobn�. Pokud opravdu chcete porozum�t, �t�te knihu v�cekr�t. Je to v�ak dosti mechanick� p�eklad z angli�tiny, proveden� metodou "nahra�". Nenahrazen� z�staly mimo jin� chyby desetinn� te�ky pou��van� v americk� angli�tin�. Zm�nil jsem knihy Riordana \cite{9}, kter� byly d�le�it� pro kombinatoriku. Podobn� by se m�ly zm�nit knihy Hararyho pro grafy \cite{10,11} kniha Cvetkovi$\breve c$e, Dooba a Sachse \cite{12} pro vlastn� hodnoty matice sousedstv�. N�kter� ��sti t�to knihy jsou kompilov�ny z �asopiseck�ch �l�nk�. Chci vyj�d�it sv�j vd�k zejm�na �len�m Z�h�ebsk� skupiny za mnoh� reprinty. \pagenumbering{arabic} \chapter{Euklidovsk�, Hilbert�v a f�zov� prostor} \label{Euklidovsk�} \section{P�edb�n� pozn�mky} \label{Preliminary} Obecn� v���me, �e �ijeme v t��rozm�rn�m prostoru s t�emi mo�n�mi sm�ry pohybu a jejich protiklady: vp�ed a zp�t, vlevo a vpravo, nahoru a dol�. N�kdy se p�id�v� �as jako �tvrt� rozm�r se specifick�mi vlastnostmi. �as je nezbytn� pro pohyb. Nem�eme se pohybovat v �ase fyzik�ln�, pon�vad� je to proud, kter� v�echno un��, av�ak na�e mysl se m�e pohybovat v �ase bez jak�chkoliv pot��.

N� pojem prostoru je zalo�en� na form� na�ich knih: bod m� t�i koordin�ty odpov�daj�c� ��slu strany, ��dky a sloupce \footnote{ Tak� existuj� pol�rn� koordin�ty ud�vaj�c� polohy jako na kole, av�ak ty jsou mimo n� z�jem.}. T�i rozm�ry knihy se tvo�� danou konvenc� z �ady symbol�. P��li� dlouh� �ady jsou rozsek�ny do ��dek, p��li� dlouh� �ady ��dek jsou rozsek�ny do str�nek a p��padn� p��li� dlouh� sekvence stran jsou rozsek�ny do svazk� tvo��c�ch �tvrt� rozm�r. V�dy v�ak mus�me ur�it nejprve polohu symbolu v ��dku. Existuj� rozd�ln� formy knih, jako nap��klad svitky. �ady symbol� se mohou nat��et na bubny nebo se svinovat do klubek a p�i tom z�st�vaj� podstatn� nezm�n�n�. Podobn� body prostoru se mohou indexovat rozd�ln�mi zp�soby. Knihy existuj� bez jak�hokoliv pohybu, av�ak kdy� je �teme, pot�ebujeme �as pro p�enos jejich symbol� do na�eho mozku, abychom si zapamatovali podstatn� fakta a my�lenky, k p�eps�n� knihy do na�eho mozku. Sv�t je slovo, a to velmi dlouh� slovo, v ciz�m jazyku. Mus�me se u�it, jak mu porozum�t. Existuje jeden podstatn� rozd�l mezi knihou a na��m sv�tem. Sv�t se pohybuje. Jako kdyby se sama kniha neust�le p�episovala. N�kter� ��sti se n�m zdaj� b�t stabiln�, av�ak n�kde prob�haj� neust�le neviditeln� zm�ny. Sv�t je v okam�iku a kniha A a v p��t�m okam�iku b kniha B. V�echny mo�n� stavy sv�ta tvo�� knihovnu. Av�ak budeme analyzovat nejprve jednodu��� p��pad, nehybn� text. T�i rozm�ry prostoru nejsou ekvivalentn�. Pohyb vp�ed je snadn�, vzad ne�ikovn�, Pohyby vlevo nebo vpravo, jako krabi, nejsou norm�ln�, nahoru a dol� se m�eme pohybovat pouze v kr�tk�ch skoc�ch (dlouh� p�dy dol� kon�� nebezpe�n�). V knih�ch o�i mus� sk�kat na p��t� ��dky, strany se mus� obracet, nov� svazky otev�rat. Zvy�uj�c� se �sil� je pot�ebn� v ka�d�m nov�m kroku. Matematika abstrahuje tyto rozd�ly. T�i rozm�ry prostoru jsou pova�ovan� za ekvivalentn� a ortogon�ln�. N� sv�t se zd� b�t omezen t�mito t�emi rozm�ry. Nejsme schopni nal�zt �tvrt� geometrick� rozm�r, kter� by byl ortogon�ln� k prv�m t�em. To je zdrojem mnoha pot�� a nedorozum�n�. Matematikov� pokuste si se jim vyhnout skr�vaj�ce decentn� na�i neschopnost jako ostudu. Od starov�ku ortogonalita znamen�, �e mezi dv�ma p��mkami existuje prav� �hel R. Ve skute�nosti zde mus� b�t 4 R, pokud se k��� dv� p��mky $$\begin{array}{ccc} R &\vline & R \\ & \vline & \\ \hline & \vline & \\ R & \vline & R \end{array}$$ T�et� p��mka v rovin� mus� b�t bu� paraleln� k jedn� z nich, potom k��� jinou, nebo k��� ob�, potom tvo�� troj�heln�k, vyjma p��mky proch�zej�c� k��en�m prv�ch dvou p��mek. Nejd�le�it�j�� vlastnost� pravo�hl�ch troj�heln�k� je, �e �tverec nad jejich p�eponami jsou stejn� sou�t�m �tverc� obou ostatn�ch stran jako na obr. \ref{Pythagorean} \begin{figure} \caption{Pythagorova v�ta. $a^2\ +\ b^2\ = \ c^2$}

\label{Pythagorean} \linethickness{0.6 pt} \begin{picture}(150.00,130.00) \put(50.00,80.00){\line(0,1){30.00}} \put(50.00,110.00){\line(1,0){30.00}} \put(80.00,110.00){\line(0,-1){30.00}} \put(80.00,80.00){\line(-1,0){70.00}} \put(10.00,80.00){\line(0,-1){40.00}} \put(10.00,40.00){\line(1,0){40.00}} \put(50.00,40.00){\line(0,1){40.00}} \put(50.00,80.00){\line(1,0){30.00}} \put(80.00,80.00){\line(0,1){0.00}} \put(80.00,80.00){\line(-1,0){30.00}} \put(50.00,40.00){\line(3,4){30.00}} \put(80.00,80.00){\line(4,-3){40.00}} \put(120.00,50.00){\line(-3,-4){30.00}} \put(90.00,10.00){\line(-4,3){40.00}} \put(63.00,85.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(71.00,56.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} \put(43.00,60.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \end{picture} \end{figure} Nejmen�� pravo�hl� troj�heln�k, jeho� strany jsou cel� ��sla m� strany 3, 4, 5. Jejich �tverce jsou 9 + 16 = 25. Vztah mezi stranami pravo�hl�ch troj�heln�k� je zn�m jako {\em Pythagorova v�ta}. Znalost pravo�hl�ch troj�heln�k� byla jedn�m z prvn�ch matematick�ch �sp�ch� lidstva. Pyramidy maj� �tvercov� z�kladny. Jejich triangulace byla velmi p�esn� d�ky vyu�it� tento znalosti. Podobn� jako nejsme schopni nal�zt �tvrt� rozm�r, nejsme ani schopni rozhodnout, zda mno�ina ��sel neodpov�d� mno�in� ortogon�ln�ch p��mek, jejich� d�lky odpov�daj� dan�m ��sl�m. Kresleme postupn� pravo�hl� troj�heln�ky jako na obr.\ref{Consecutive} \begin{figure} \caption{Postupn� Pythagorovo s��t�n�. Nov� vektory se p�i��taj� jako ortogon�ln� k sou�tu p�edchoz�ch} \label{Consecutive} \linethickness{0.6 pt} \begin{picture}(90.00,90.00) %\vector(20.00,80.00)(70.00,80.00) \put(70.00,80.00){\vector(1,0){0.2}} \put(20.00,80.00){\line(1,0){50.00}} %\end %\vector(70.00,80.00)(70.00,50.00) \put(70.00,50.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(70.00,80.00){\line(0,-1){30.00}} %\end %\vector(70.00,50.00)(55.00,25.00) \put(55.00,25.00){\vector(-2,-3){0.2}} \multiput(70.00,50.00)(-0.12,-0.20){126}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\vector(55.00,25.00)(30.67,8.33) \put(30.67,8.33){\vector(-3,-2){0.2}} \multiput(55.00,25.00)(-0.18,-0.12){139}{\line(-1,0){0.18}} %\end \put(43.67,84.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(75.00,64.00){\makebox(0,0)[cc]{b}}

\put(68.33,34.33){\makebox(0,0)[cc]{c}} \put(48.00,12.67){\makebox(0,0)[cc]{d}} \put(63.67,73.00){\makebox(0,0)[cc]{R}} \put(60.67,48.67){\makebox(0,0)[cc]{R}} \put(45.67,25.67){\makebox(0,0)[cc]{R}} \put(20.00,80.00){\circle{0.00}} \put(20.00,80.00){\circle{0.00}} \put(20.00,80.00){\circle{2.75}} %\vector(20.00,80.00)(70.00,50.00) \put(70.00,50.00){\vector(3,-2){0.2}} \multiput(20.00,80.00)(0.20,-0.12){251}{\line(1,0){0.20}} %\end %\vector(20.00,80.00)(55.00,25.00) \put(55.00,25.00){\vector(2,-3){0.2}} \multiput(20.00,80.00)(0.12,-0.19){292}{\line(0,-1){0.19}} %\end %\vector(20.00,80.00)(30.67,8.33) \put(30.67,8.33){\vector(1,-4){0.2}} \multiput(20.00,80.00)(0.12,-0.81){89}{\line(0,-1){0.81}} %\end \end{picture} \end{figure} Ka�d� nov� p��mka je ortogon�ln� k pravo�heln�kov�mu sou�tu v�ech p�edch�zej�c�ch p��mek. Pokuste se vytvo�it t��rozm�rn� model tak, �e polo��me t�et� p��mku kolmo k rovin�, ve kter� le�� prv� dv� p��mky. Potom oto��me tuto p��mku do roviny ortogon�ln� k p�epon�, skl�daj�ce ji dol�, a� se dotkne roviny. T�m vznikne nad rovinou m�sto pro �tvrt� vektor, op�t ortogon�ln� k p�epon� prv�ch t�� vektor�. Dostaneme obecnou rovnici \begin{equation} L^2\ = \ \sum m^2_j \end{equation} \label{sou�tu} kde $m^2_j$ zastupuje $n$ rozd�ln�ch odv�sen a $L^2$ je �tverec d�lky v�ech $n$ odv�sen. M�eme oto�it postupn� ka�d� vektor roviny takov�m zp�sobem, �e tvo�� pravo�hl� troj�heln�k se sou�tem v�ech ostatn�ch $(n - 1)$ vektor�, av�ak nesm�me uva�ovat sou�asn� v�ce p��mek nebo� zjist�me, �e nejsou ortogon�ln�, jak jasn� vid�me na obr.\ref{Consecutive}, kde byla nakreslena s�rie pravo�hl�ch troj�heln�k�. Pokud bychom m�li k dispozici v�ce rozm�r�, mohli bychom rozlo�it takov� sou�ty do n ortogon�ln�ch sm�r�. Sou�et $n$ �tverc� s hodnotami stran (d�lkami) $m^2_j$ se m�e op�t rozlo�it do Pythagorova troj�heln�ku, jeho� �tverce stran a, b, c jsou postupn� \begin{equation} a^2 = n\overline{m} \end{equation} \begin{equation} b^2 = \sum m^2 - n\overline{m} \end{equation} \begin{equation}

c^2 = \sum m^2_j, \end{equation}\. \label{mean} $\overline{m}$ v \ref{mean} je zn�m� jako {\em aritmetick� pr�m�r}. Ve skute�nosti aritmetick� pr�m�r m�e b�t identick� s jedn�m z $n$ s��tanc�. Aritmetick� pr�m�r se po��t� obvykle nalezen�m sou�tu v�ech $m$ hodnot a jeho d�len�m $n$ \begin{equation} \overline{m} = \sum m_j/n. \end{equation} \label{bar} P��mkovou d�lkou strany je jej� odmocnina. Zde se odmocnina $n$ objevuje pon�kud p�ekvapiv�, av�ak je to d�lka diagon�ly $n$ rozm�rn� krychle. Podobn� t�et� stranu troj�heln�ku (1.3) se m�e normalizovat jej�m d�len�m s $n$. Potom dostaneme hodnotu $\sigma^2$ zn�mou jako {\em disperze} \begin{equation} \sigma^2 = 1/n\sum (m^2_j - n\overline{m}^2). \end{equation} \label{standard} Odmocnina disperze, kter� je srovnateln� s pr�m�rem, je zn�m� jako {\em standardn� odchylka} $\sigma$. Nap��klad vezm�te hodnoty 1, 2, 3, 4. Jejich pr�m�r je 2.5, sou�et �tverc� $30 = 1 + 4 + 9 + 16$. Disperze je $1/4(30 - 4 \times 6.25) = 1.25$. P�i po��t�n� pr�m�ru a standardn� odchylky nepot�ebujeme zn�t sm�ry obou odv�sen, proto�e jsou ur�eny automaticky sv�mi d�lkami, jako kdy� se troj�heln�k konstruuje ze zn�m�ch d�lek sv�ch t�� stran. Nakresl�me dv� kru�nice s pr�m�ry $a$ a $b$ na obou konc�ch strany $c$. Kde se kru�nice k���, le�� t�et� vrchol. Sm�r v�ech stran v mnohorozm�rn�m prostoru je pro n�s zcela abstraktn�. \section{Euklidovsk� prostor} \label{Euklidovsk�ho prostor} Prostor pravo�hl�ch troj�heln�k� a nikdy se k���c�ch rovnob�ek je zn�m� jako {\em Euklidovsk� prostor}. Jeho zobecn�n� do nekone�n� mnoha rozm�r� $n \rightarrow \infty$ pro sou�et \ref{pr�m�r} je zn�m� jako {\em Hilbert�v prostor}. Euklidovsk� prostor s $n$ rozm�ry v n�m tvo�� podprostor. Euklides zalo�il svoji geometrii n p�ti postul�tech: 1. Lze v�st p��mku z jak�hokoliv bodu k jin�mu. 2. Kone�nou p��mku lze nep�etr�it� prodlou�it. 3. Lze opsat kru�nici s jak�hokoliv st�edu s jak�mkoliv polom�rem. 4. V�echny prav� �hly se vz�jemn� rovnaj�. 5. Pokud p��mka prot�naj�c� dv� p��mky tvo�� vnit�n� �hly na stejn� stran� men��, ne� dva prav� �hly, pokud se prodlou�� do nekone�na, sb�haj� se na stran�, kde jsou �hly men�� ne� dva prav� �hly. P�t� postul�t je nadbyte�n�. Z toho plyne p��mo z aplikace prvn�ch �ty� postul�t� v n�sleduj�c� konstrukci. Vezmeme �tverec ABCD. V�echny jeho prav� �hly jsou podle 4. postul�tu prav�, v�echny jeho strany jsou p��mky. P�id�me k tomuto �tverci ABCD nov� �tverec CDEF a vyrovn�me strany AE a BF podle 2. postul�tu. Ke z�skan�mu obd�ln�ku ABEF

p�id�me nov� �tverec EFGH, op�t vyrovn�me strany AG a BH podle 2. postul�tu. Takov�m zp�sobem budeme pokra�ovat s p�id�v�n�m �tverc� do nekone�na, p��padn� na jin� krat�� stran� obd�ln�ka. Takov�m zp�sobem vytvo��me paraleln� p��mky spojen� hranami. Existuj� dv� mo�nosti, �e dlouh� strany nekone�n�ho obd�ln�ku se setkaj� nebo rozejdou. Bu� t�mito dlouh�mi stranami nejsou p��mky odpov�daj�c� po�adavk�m 2. postul�tu, nebo prav� �hly n�sledn�ch �tverc� nesplnily po�adavky 4. postul�tu. P�t� postul�t je d�sledek aplikace p�ede�l�ch postul�t� pro nekone�n� konstrukce. Probl�m ortogonality ztr�c� svou d�le�itost v Hilbertov� prostoru. Pokud m�te z�sob�rnu nekone�n� mnoha vektor�, m�ete vybrat jak�hokoliv dva jako prvn�, kter� budou vz�jemn� kolm�. M�ete b�t jisti, �e naleznete t�et�, kter� bude ortogon�ln� k prvn�m dv�ma. Tak m�ete pokra�ovat. Budete vy�erp�ni p�ed t�m, ne� budete schopni vy�erpat nekone�nou z�sob�rnu. Nebo m�ete b�t l�n� a pou��t alternativn� vektory s �hly v�t��mi a men��mi ne� ortogon�ln�. Chyby se budou ur�it� postupn� kompenzovat. Euklides zavedl axiomy do matematiky. Prostor a jeho prvky jsou definov�ny mno�inou proposic. Nev�hodou tohoto p��stupu je, �e nev�me a priori, jej� prvky tvo�� prostor. Pou�ijeme jin� p��stup a budeme generovat prvky postupn�. Setk�me se s prostory s mnoha rozm�ry, pozn�vaj�ce, �e nejsme sami v prostoru. V tomto zvl�tn�m prostoru �ij� jin� lid� a existuje v n�m mnoho v�ci. Ka�d� jednotlivost m� svou vlastn� polohu v prostoru. Pro v��et t�chto poloh pot�ebujeme pro ka�d� objekt jeho specifick� ��dky s vlastn�mi koordin�tami. V ka�d� ��dce mus� b�t tolik koordin�t, kolik m� prostor, v n�m� jednotlivosti existuj�, rozm�r�. Pokud by bylo $m$ jednotlivost� v $n$ rozm�rn�m prostoru, bylo by nutn� zn�t $mn$ koordin�t, v 3 rozm�rn�m prostoru pot�ebujeme pro $m$ jednotlivost� $3m$ koordin�t a v 1 rozm�rn�m prostoru st�le je�t� $m$ koordin�t k ur�en� poloh v�ech objekt�. Prostory s $m$ objekty jsou zn�m� ve fyzice jak f�zov� prostory\footnote {Po�et objekt� je zde dan� jako $n$. Aby se zamezilo z�m�n� s $n$ rozm�ry, pou�ijeme symbol $m$.}. F�zov� prostory maj� podivnou vlastnost, �e n�kter� z nich m�eme vn�mat p��mo. V�eobecn� zn�m�m p��kladem je teplota a rychlost v�tru v soustav� molekul vzduchu. Tyto pojmy, kter� v�ichni zn�me z vlastn� zku�enosti, odpov�daj� matematick�m pojm�m. Ka�d� molekula m� p�i teplot� okol� pr�m�rnou rychlost n�kolika set metr� za sekundu. N�razy nepatrn�ch molekul na st�ny n�doby vyvol�vaj� tlak. Chaotick� kolize molekul pohybuj�c�ch se v rozd�ln�ch sm�rech vedou k st�l�mu rozd�len� rychlost� ��stic. Tyto rychlosti se rozlo�� do dvou slo�ek. Jedna slo�ka je tvo�ena ��st� pohybu, kterou maj� spole�nou v�echny ��stice v dan�m objemu. Tuto slo�ku, matematicky aritmetick� pr�m�r, obvykle velkou pouze n�kolik metr� za sekundu, ve srovn�n� se shora zm�n�n�mi sty metry za sekundu u jednotliv�ch molekul, c�t�me, kdy� jsme uvnit� soustavy jako jej� sou��st, jako v�tr, co� je fyzik�ln� vlastnost syst�mu molekul. Jinou slo�kou je disperze z pr�m�rn� vektorov� rychlosti. Je zn�m� jako tepeln� pohyb molekul, teplota. Uk�eme, �e v�echny f�zov� prostory jsou {\em isomorfn�}. N�kter� jejich vlastnosti nez�vis� na rozm�rnosti $n$ prostoru, ve kter�m je ulo�en soustava $m$ entit, av�ak jsou uveden� pouze po�tem entit. F�zov� prostor je tedy realitou a nen� matematickou konstrukc�. Na ne�t�st� na�e zku�enost je omezena vlastnostech jeskyn� v n� �ijeme, jak Plato napsal. Je extr�mn� nesnadn� p�ekonat tento handicap a vid�t ide�ln� prostory za st�ny, kter�

vyvol�vaj�. St�ny vn�j��ho sv�ta, kter� na�e o�i prom�taj� na st�nu jeskyn�, ve kter� �ijeme (mozkovnu) jsou dvou rozm�rn� \footnote{ Angli�tina mi dovolila slovn� h���ku, pojem pro mozkovnu je scull cave.}. T�et� rozm�r rozli�ujeme �sil�m sval� o�� zaost�uj�c�ch na retinu. To se d�je automaticky. Vy��� rozm�ry rozli�ujeme �sil�m na�ich mozk� nebo jejich roz���en�, po��ta��. Bude dlouho trvat, ne� se p�izp�sob�me pojmu vy���ch rozm�r� stejn�m zp�sobem jako se n� zrak p�izp�sobil t�em rozm�r�m. Na�e vizu�ln� org�ny se vyv�jely po sta miliony rok�. Pojem mo�nosti neviditeln�ch prostor� se zrodil p�ed 2500 roky, studie jejich vlastnost� zapo�aly p�ed 250 roky a po��ta�e, kter� usnadnily jejich porozum�n� se objevily p�ed 50 roky. Chce to �as. \section{Jednotkov� vektory ${\bf e}_j$} \label{Jednotkov� vektory} Nyn� je �as zav�st pojem line�rn� translace. Pokud se mikro��stice pohybuje ve Wilsonov� komo�e (nebo letadlo v stratosf��e), zanech�v� za sebou stopu ionizovan�ch ��stic, na kter�ch se kondenzuj� molekuly. P�edstavte si, �e tak� abstraktn� bod, kdy� se pohybuje, zanech�v� takovou stopu. Naz�v�me ji {\em vektor} a kresl�me ji jako p��mku se �ipkou ve sm�ru pohybu $\longrightarrow$. K posunut� bodu mus�me pou��t tuto stopu spojuj�c� ob� polohy bodu, po��te�n� a kone�nou. Diskutovali jsme ortogonalitu a je z�ejm�, �e vektory mohou b�t ortogon�ln�. Av�ak definovali jsme ortogonalitu pouze mezi p��mkami a proto p�edpokl�dejme, �e vektory jsou p��mkov�. Ov�em pohyb v prostoru nemus� b�t omezen pouze na pohyb pod�l p��mky, av�ak pokou��me se udr�ovat n� prostor tak jednoduch�, jak je to mo�n�. M�eme p�edpokl�dat, �e prostory s k�ivkov�mi vektory jsou isomorfn� prostor�m s p��mkov�mi vektory. Nyn� zavedeme speci�ln� m�sto v $n$ rozm�rn�m prostoru, od kter�ho budeme m��it v�echny translace. Tento bod budeme naz�vat {\em st�ed soustavy koordin�t}. Potom definujeme $n$ bod� na kouli (kruhu) se st�edem ve st�edu soustavy koordin�t. P�ijmeme r�dius koule jako jednotkovou d�lku. M�eme si p�edstavit, �e body na kouli jsou p�enesen� st�edy soustavy koordin�t a budeme naz�vat ka�d� vektor spojuj�c� st�ed soustavy koordin�t s definovan�mi $n$ body na kouli {\em jednotkov� vektor} ${\bf e}_j$. Notac� jednotkov�ho vektoru ${\bf e}_j$ je ��dka v kulat�ch z�vork�ch s $n$ prvky. Ve fyzice symboly se �ipkami se pou��vaj� jako $\vec \j$. $(n - 1)$ prvk� vektoru ${\bf e}_j$ jsou nuly a je pouze jeden jednotkov� prvek na j-t�m m�st� \begin{equation} {\bf e}_j = (0_1, 0_2,\dots, 1_j, \dots, 0_n). \end{equation} \label{jednotkov�} Stejn� d�lky v�ech jednotkov�ch vektor� ${\bf e}_j$ v (\ref{jednotkov�}) nejsou podstatnou podm�nkou existence vektorov�ho prostoru. Mohli bychom definovat jednotkov� vektory ${\bf e}_j$ v (\ref{jednotkov�}) jako maj�c� rozd�ln� d�lky, prov�st v�echny operace jako s vektory maj�c�mi stejn� d�lky a teprve potom modifikovat v�sledky podle definovan�ch d�lek. Krychle, jej� strany nejsou rovn�, je pravo�hl� rovnob�n�k. Jej� objem se nap��klad m�e vypo��tat jako \begin{itemize} \item {strana $ = 4.4$ cm} \item {strana $b = 3.9$ cm} \item {strana $c = 0.4$ cm} \begin{itemize} \item {objem = $4.4 \times 3.9 \times 0.4 = 6.864$.} \end{itemize} \end{itemize}

Jinou mo�nost� je \begin{itemize} \item {strana $ = 2.2 \times$ vektor ${\bf a}$ = 2 cm} \item {strana $b = 1.3 \times$ vektor ${\bf b}$ = 3 cm} \item {strana $c = 0.4 \times$ vektor ${\bf c}$ = 1 cm} \begin{itemize} \item {objem $= 2.2 \times 1.3 \times 0.4 = 1.144$} \item {objem rovnob�n�ka = $2 \times 3 \times 1 = 6$} \item {celkov� objem $ 1.144 \times 6 = 6.864$}. \end{itemize} \end{itemize} Vektory, kter� za��naj� v jin�ch bodech prostoru jsou srovn�v�ny s t�mito vzorky vektor� ${\bf e}_j$ za��naj�c�mi ve st�edu. Jsou pova�ovan� za {\em identick�} s jednotkov�mi vektory ${\bf e}_j$, pokud jsou {\em koline�rn�}. Ov�em tyto vektory mohou b�t krat�� nebo del��, mohou m�t opa�n� sm�ry, av�ak takov� rozd�ly budou napraveny algebraick�mi prost�edky pozd�ji. N�kdy vektory nesouhlas� s jednotkov�mi vektory, av�ak s jejich line�rn�mi kombinacemi. P�edpokl�d�me, �e jednotkov� vektory ${\bf e}_j$ jsou ortogon�ln� podle definice. Podrob�me tyto jednotkov� vektory rozd�ln�m matematick�m operac�m. Nalezneme jejich sou�ty, rozd�ly a sou�iny, budeme se dokonce pokou�et je d�lit. Tyto operace se budou prov�d�t v algebraick� form�. Ne� budeme pokra�ovat, mus�me prozkoumat v�sledky vektorov� translace na n�jak�ch p��kladech, abychom interpretovali algebraick� v�sledky spr�vn�. Jak se mohou dva vektory se��tat? P�edpokl�dejme, �e st�ed ${\bf 0}$ byl nejprve p�enesen do bodu $a$ vektorem ${\bf e}_a$ potom do bodu s koordin�tami $ab$ translac� ${\bf e}_b$. Existuj� jin� mo�nosti jak dos�hnout stejn� bod. M�eme nejprve prov�st translaci $ {\bf e}_b$ potom translaci ${\bf e}_a$. V u�ebnic�ch algebry m�ete nal�zt, �e sumace je {\em komutativn�} operace. Toto slovo znamen�, �e v�sledek operace nen� z�visl� na po�ad� �len� v operaci. Je pravda, �e kone�n� poloha v prostoru neobsahuje informaci o zp�sobu, jak tato poloha byla dosa�ena. Av�ak zde existuje je�t� jin� mo�nost, jak se vektory mohou se��tat: Oba vektory a sou�asn� bod se posunuje p��mo ve sm�ru mezi ob�ma, jako p�i ta�en� auta dv�ma lany jako na obr.\ref{Vektorov� akce} \begin{figure} \caption{Vektorov� akce. Postupn� akce A a B a simult�nn� akce S dvou vektor� $ {\bf a}$ a ${\bf b}$ vedou k stejn� kone�n� poloze R} \label{Vektorov� akce} \linethickness{0.6 pt} \begin{picture}(150.00,100.00) %\vector(9.00,55.00)(9.00,85.00) \put(9.00,85.00){\vector(0,1){0.2}} \put(9.00,55.00){\line(0,1){30.00}} %\end %\vector(9.00,85.00)(39.00,85.00) \put(39.00,85.00){\vector(1,0){0.2}} \put(9.00,85.00){\line(1,0){30.00}} %\end %\vector(44.00,55.00)(74.00,55.00) \put(74.00,55.00){\vector(1,0){0.2}}

\put(44.00,55.00){\line(1,0){30.00}} %\end %\vector(74.00,55.00)(74.00,85.00) \put(74.00,85.00){\vector(0,1){0.2}} \put(74.00,55.00){\line(0,1){30.00}} %\end %\vector(89.00,55.00)(89.00,85.00) \put(89.00,85.00){\vector(0,1){0.2}} \put(89.00,55.00){\line(0,1){30.00}} %\end %\vector(89.00,55.00)(119.00,55.00) \put(119.00,55.00){\vector(1,0){0.2}} \put(89.00,55.00){\line(1,0){30.00}} %\end \put(9.00,55.00){\circle{4.00}} \put(44.00,55.00){\circle{4.00}} \put(89.00,55.00){\circle{4.00}} \put(44.00,10.00){\circle{4.00}} %\vector(44.00,10.00)(74.00,40.00) \put(74.00,40.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(44.00,10.00)(0.12,0.12){251}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(24.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(54.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(104.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{S}} \put(55.00,35.00){\makebox(0,0)[cc]{R}} \end{picture} \end{figure} \section{Matice} %\addcontentsline{kc}{section}{Matice} \label{Matice} Pot�ebujeme tedy t�i mo�nosti, jak ps�t sou�et dvou vektor�. Mus�me m�t mo�nost ps�t je jako postupn� p�sob�c� vektory nebo jako sou�asn� p�sob�c� vektory. Sou�asn� p�sob�c� jednotkov� vektory se mohou snadno zapsat jako sou�et dvou jednotkov�ch vektor� v jedn� ��dce. Pravidlo je jednoduch�, prvky se p�i��taj� na sv�ch m�stech: \begin{center} (1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0). \end{center} V t�to notaci m�me celkem $n$ sou�asn� p�sob�c�ch vektor� v ��dce. Tedy mus�me ps�t n�sledn� vektory v takov�m sou�tu jak sloupec ��dkov�ch vektor�. Dostaneme dva rozd�ln� sloupce pro na�e p��klady $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} (1, & 0, & 0) \\ (0, & 1, & 0) \end{array} \right) & \qquad & \left( \begin{array}{ccc} (0, & 1, & 0) \\

(1, & 0, & 0) \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Takov� sloupce $m$ vektor-��dk� maj�c� v ka�d� ��dce $n$ prvk� jsou zn�m� jako {\em matice}. ��dkov� z�vorky a ��rky jsou z matice vymaz�ny. V�imn�te si, �e v matici jsou prvky uspo��d�ny do sloupc� podobn� jak do ��dk�. Je tedy mo�n� pou��t konvenci, �e matice je tvo�ena $n$ n�sledn�mi $m$ rozm�rn�mi vektor-sloupci. Pon�vad� m�me zaveden� pro jednotliv� sloupce doln� index $j$ jdouc� od 1 k $n$, m�eme pou��t pro ��dky matice index $i$ jdouc� od 1 k $m$. Vzpome�te se, �e index $i$ je p��tomn� v textech implicitn�, jako p�irozen� po��dek n�sledn�ch symbol�. To nemus� b�t vyj�d�en� explicitn�. N�kdy je v�hodn� nechat oba indexy vych�zet od nuly. Potom jdou a� $(m -1)$ nebo a� $(n -1)$. Lze nal�zt jeden maticov� index napsan� jako doln� a druh� jako horn�. Av�ak je lep�� rezervovat horn� index pro mocniny. Kdy� po sob� n�sleduj� dva stejn� symboly, nap��klad ${\bf aa}$, p�ou se kr�tce jako ${\bf a}^2$. Kdy� to d�l�me, zpracov�v�me n�sledn� vektory jakoby se n�sobily. N�soben� je {\em nekomutativn�} operace. V�sledek z�vis� na po�ad� �len� v operaci. Nebudeme pou��vat jak�koliv symbol pro n�soben� vektor� nebo matic. M�me v na�ich p��kladech mal� kulat� z�vorky ve v�ech ��dc�ch matice uvnit� v�t��ch z�vorek pou��van�ch pro matice. Matice se tak� ohrani�uj� dvojit�mi svislicemi nebo jsou naps�n do r�me�ku. Budeme je ps�t n�kdy bez jak�chkoliv ohrani�en�, av�ak kdy� se dot�kaj�, odd�l�me je jednoduchou �arou. Je je�t� nutn� uva�ovat rozd�ln� matice s jednotkov�mi vektory: $$\begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right) & \qquad & \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right) & \qquad & \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{array}\;.$$ Matice s pr�zdn�mi ��dky jsou mo�n� nadbyte�n�, pon�vad� ��dn� akce neodpov�d� dan� ��dce, av�ak v�imn�te si, �e t�et� matice m�e b�t z�skan� z druh� oto�en�m prvk� okolo hlavn� diagon�ly, nebo z�m�nou ��dkov�ch $i$ a sloupcov�ch $j$ index�. Matice ${\bf M}$ jsou transponovan� matice ${\bf M}^{\rm T}$. Matice s dv�ma identick�mi jednotkov�mi vektory v n�sledn�ch ��dc�ch se mohou interpretovat jako dv� n�sledn� translace jdouc� stejn�m sm�rem. V�sledn� poloha v prostoru m�e b�t z�ejm� popsan� vektorem $(2, 0)$. Av�ak pokud se pokou��me interpretovat tento

vektor s jin�mi ��sly ne� 0 a 1, maje na v�dom� na�i konvenci, �e vektory v ��dce jsou simult�nn�, m�me pot�e s interpretaci t�chto prvk�. M�eme si p�edstavit, �e translace vy�aduje v�t�� s�lu, aby se provedla, a �e m� dvojitou intenzitu jak v hudb� forte. Abychom byli konsistentn�, nem�eme interpretovat jin� prvky matice, ne� 0 a 1 jednodu�e jako d�lky vektoru, pokud nezavedeme takov� vektory n�jak�mi algebraick�mi operacemi, kter� u�in� takov� multivektory dovolen�mi prvky v na�em prostoru. V kvantov� mechanice existuje princip exkluse formulovan� Paulim. Konstatuje, �e v syst�mu nemohou b�t dv� identick� ��stice. Z na�� zku�enosti v�me, �e v jednom m�st� nemohou b�t dv� v�ci sou�asn�. Budeme aplikovat takov� princip pro vektory. Omezme se nejprve na matice maj�c� pr�v� jeden jednotkov� vektor ${\bf e}_j$ nejen v ka�d� poloze, ale tak� v ka�d� ��dce. Pou�ijeme symbol ${\bf e}_j$ nejen pro geometrick� translace v prostoru, ale tak� pro rozd�ln� objekty, e.g. pro p�smeny t�to knihy. (P�i p�smena do ��dk�, tedy text je ��dka sloupc� a ka�d� p�smeno j mus� b�t nahrazeno odpov�daj�c�m jednotkov�m vektor-sloupcem ${\bf e}_j^{\rm T}$). Matice maj�c� jeden jednotkov� prvek v ka�d� ��dce se zdaj� p��li� "naivn�", aby byly studov�ny, av�ak uvid�me, �e maj� zcela zaj�mav� vlastnosti. Jednou u�ite�nou vlastnost� naivn�ch matic ${\bf N}$ je, �e se mohou interpretovat bu� jak �ady $m$ jednotkov�ch vektor� ${\bf e}_j$ jdouc� od st�edu soustavy koordin�t k n�jak�mu bodu v $n$ rozm�rn�m prostoru nebo jako poloha vektoru v $m$ rozm�rn�m prostoru. Abychom udr�eli na�i konvenci o n�slednosti a simult�nnosti translace vektor�, transponujeme naivn� matice ${\bf N}$ do ${\bf N}^{\rm T}$. P�eme ji jako ��dku jednotkov�ch vektor�-sloupc� ${\bf e}_j$. Jednotkov� symboly se budou objevovat v $j$-t� ��dce $n$ rozm�rn�ho sloupce m�sto v $j$-t�m sloupci $n$ rozm�rn� ��dky. Soustava index� jednotkov�ho prvku je v�hodnou zna�kou d�lky vektoru ${\bf e}_i$, kter� vych�z� ze st�edu koordin�t v $m$ rozm�rn�m prostoru. Neexistuje ��dn� prvek, kter� by mohl kolidovat s touto interpretac�. Av�ak vzd�lenosti od st�edu mohou b�t nuly. Tedy ��dkov�m index�m mus� b�t po��t�na od nuly, ode��taje jednotku z ka�d�ho p�vodn�ho indexu $i$. V takov� interpretaci matice ${\bf N}^{\rm T}$ odpov�d� {\em tv���m} (obr. \ref{Face}). \begin{figure} \caption{Tv�� v 8 rozm�rn�m prostoru. Konce jednotliv�ch vektor� jsou spojen� s jejich sousedy p��mkami} \label{Face} \linethickness{0.6 pt} \begin{picture}(120.00,100.00) %\vector(50.00,50.00)(10.00,50.00) \put(10.00,50.00){\vector(-1,0){0.2}} \put(50.00,50.00){\line(-1,0){40.00}} %\end \put(50.00,50.00){\circle{4.00}} %\vector(50.00,50.00)(90.00,50.00) \put(90.00,50.00){\vector(1,0){0.2}} \put(50.00,50.00){\line(1,0){40.00}} %\end %\vector(50.00,50.00)(50.00,90.00) \put(50.00,90.00){\vector(0,1){0.2}} \put(50.00,50.00){\line(0,1){40.00}} %\end %\vector(50.00,50.00)(90.00,90.00) \put(90.00,90.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(50.00,50.00)(0.12,0.12){334}{\line(0,1){0.12}} %\end %\vector(50.00,50.00)(10.00,90.00)

\put(10.00,90.00){\vector(-1,1){0.2}} \multiput(50.00,50.00)(-0.12,0.12){334}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(50.00,72.00){\circle{6.00}} \put(65.00,65.00){\circle{6.00}} \put(24.00,76.00){\circle{6.00}} \put(32.00,50.00){\circle{6.00}} \put(77.00,50.00){\circle{6.00}} %\emline(77.00,50.00)(65.00,65.00) \multiput(77.00,50.00)(-0.12,0.15){101}{\line(0,1){0.15}} %\end %\emline(65.00,65.00)(50.00,72.00) \multiput(65.00,65.00)(-0.25,0.12){59}{\line(-1,0){0.25}} %\end %\emline(50.00,72.00)(24.00,76.00) \multiput(50.00,72.00)(-0.76,0.12){34}{\line(-1,0){0.76}} %\end %\emline(24.00,76.00)(32.00,50.00) \multiput(24.00,76.00)(0.12,-0.39){67}{\line(0,-1){0.39}} %\end %\vector(50.00,50.00)(10.00,10.00) \put(10.00,10.00){\vector(-1,-1){0.2}} \multiput(50.00,50.00)(-0.12,-0.12){334}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(50.00,50.00)(50.00,10.00) \put(50.00,10.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(50.00,50.00){\line(0,-1){40.00}} %\end %\vector(50.00,50.00)(90.00,10.00) \put(90.00,10.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(50.00,50.00)(0.12,-0.12){334}{\line(0,-1){0.12}} %\end \put(17.00,17.00){\circle{6.00}} \put(17.00,17.00){\circle{6.00}} \put(81.00,19.00){\circle{6.00}} %\emline(32.00,50.00)(17.00,17.00) \multiput(32.00,50.00)(-0.12,-0.26){126}{\line(0,-1){0.26}} %\end %\emline(77.00,50.00)(81.00,19.00) \multiput(77.00,50.00)(0.12,-0.91){34}{\line(0,-1){0.91}} %\end \put(32.00,50.00){\circle{6.00}} \put(24.00,76.00){\circle{6.00}} \put(50.00,72.00){\circle{6.00}} \put(65.00,65.00){\circle{6.00}} \put(77.00,50.00){\circle{6.00}} \end{picture} \end{figure} Kdy� nakresl�me $m$ vektor� na pap�r, a indexujeme je postupn�, ozna�uj�ce d�lku ka�d�ho vektoru, a spoj�me zna�ky p��mkami, dostaneme obr�zek p�ipom�naj�c� tv��. Ka�d� tv�� p�edstavuje bod $m$ rozm�rn�ho prostoru a existuje tolik tv��� jako existuje bod� v tomto prostoru. Zn�te svou tv��? Je tvo�ena rozd�ln� v rozd�ln�ch prostorech. Kdy� se sezn�m�me se v�emi naivn�mi maticemi jejich spo��t�n�m, budeme studovat jejich sou�ty a rozd�ly, co� znamen� vlastnosti matic maj�c�ch v ka�d� ��dce sou�et nebo rozd�l dvou jednotkov�ch vektor�. D��ve ne� p�ejdeme k maticov�

aritmetice nau��me se, jak k pracovat maticemi.. Nejprve zavedeme maticov� sou�iny. \section{Skal�rn� sou�iny a kvadratick� formy} \label{Scalar} Kdy� m�me dva vektory ${\bf a}$, ${\bf b}$, m�eme nal�zt vz�jemn� projekce vektor� jako na obr. \ref{Skal�rn� sou�iny}.

obou

\begin{figure} \caption{Skal�rn� sou�iny. Oba vektory se vz�jemn� prom�taj�} \label{Skal�rn� sou�iny} \linethickness{0.6 pt} \begin{picture}(130.00,90.00) %\emline(10.00,35.00)(114.00,35.00) \put(10.00,35.00){\line(1,0){104.00}} %\end \put(60.00,35.00){\circle{4.00}} %\emline(100.00,65.00)(20.00,5.00) \multiput(100.00,65.00)(-0.16,-0.12){501}{\line(-1,0){0.16}} %\end \put(20.00,35.00){\circle{4.00}} %\emline(100.00,65.00)(109.00,72.00) \multiput(100.00,65.00)(0.15,0.12){59}{\line(1,0){0.15}} %\end %\emline(100.00,65.00)(100.00,35.00) \put(100.00,65.00){\line(0,-1){30.00}} %\end \put(100.00,65.00){\circle{4.00}} %\emline(99.00,38.00)(100.00,35.00) \multiput(99.00,38.00)(0.11,-0.33){9}{\line(0,-1){0.33}} %\end %\emline(100.00,35.00)(101.00,38.00) \multiput(100.00,35.00)(0.11,0.33){9}{\line(0,1){0.33}} %\end %\emline(20.00,35.00)(37.00,18.00) \multiput(20.00,35.00)(0.12,-0.12){142}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(37.00,18.00)(34.00,19.00) \multiput(37.00,18.00)(-0.33,0.11){9}{\line(-1,0){0.33}} %\end %\emline(37.00,18.00)(36.00,21.00) \multiput(37.00,18.00)(-0.11,0.33){9}{\line(0,1){0.33}} %\end \end{picture} \end{figure} Projekce jsou zn�m� jako {\em skal�rn� sou�iny}. Pokud oba vektory jsou ortogon�ln�, skal�rn� sou�in je ${\bf 0}$, pokud jsou koline�rn�, skal�rn� sou�in je po normalizaci 1. Nenormalizovan� skal�rn� sou�in vektoru se sebou sam�m je zn�m� jako {\em kvadratick� forma}. {\em Normalizace} znamen�, �e skal�rn� sou�in se srovn�v� s jednotkovou d�lkou prom�tnut�ho vektoru. Skal�rn� sou�in se zd� tedy b�t pr�v� kosinem �hlu mezi ob�ma vektory. Av�ak nen� tomu tak jednoduch�, jak se to zd� b�t. Slovo sou�in je spojen� s operac� {\em n�soben�}. Jak se n�sob� dva vektory? Vezm�te vektor sloupec ${\bf v}$ a n�sobte jej vektorem ��dkou ${\bf v}^{\rm T}$. Ka�d� prvek $j$ sloupce se n�sob� odpov�daj�c�m prvkem $i$ ��dky a sou�iny se

se��taj� do jednoho ��sla. Nap��klad: $(1, 1, 1) \times (3, 1, 0)^{\rm T}$ je naps�n ve form� $$\begin{array}{rrr|r} & & & 3 \\ & & & 1 \\ & & & 0 \\ \hline & & & \\ 1 & 1 & 1 & 4 \end{array}$$ V�sledek byl z�sk�n jako $1 \times 3 + 1 \times 1 + 1 \times 0 = 4$. Jinak n�soben�m odpov�daj�c�ch prvk� svisle $$\begin{tabular}{cr} (1, 1, 1) & $\times$ \\ (3, 1, 0) & \\ \hline & \\ (3, 1, 0) & = 4 \end{tabular}$$ Kdy� zam�n�me polohy ��dky a sloupce, dostaneme stejn� v�sledek $$\begin{array}{rrr|r} & & & 1 \\ & & & 1 \\ & & & 1 \\ \hline & & & \\ 3 & 1 & 0 & 4 \end{array}$$ $3 \times 1 + 1 \times 1 + 0 \times 1 = 4$. Kdy� se n�sob�, prvky jednoho vektoru se v�� prvky jin�ho vektoru. V�echny v�hy v prvn�m p��klad� byly 1. Mysl�m si, �e u� zn�te skal�rn� sou�iny vektoru sloupce s jednotkov�m vektorem-��dkou, pon�vad� se pou��vaj� pro nalezen� sou�t� v�ce ��sel napsan�ch do sloupc�. V druh�m p��klad� v�hy byly 3, 1 a 0. Jednotkov� prvky dostaly rozd�ln� v�hy. Nebo operace bylo jednodu�e $3 + 1 + 0 =4$. Pokud vektor se v�� s�m sebou, dostaneme jeho {\em kvadratickou formu} $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{rrr|r} & & & 1 \\ & & & 1 \\ & & & 1 \\ \hline & & & \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array} & {\rm a} & \begin{array}{rrr|r} & & & 3 \\ & & & 1 \\ & & & 0 \\ \hline

& & & \\ 3 & 1 & 0 & 10 \end{array} \end{array}$$ Zde m�me $1 \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times 1 = 3$ a $3 \times 3 + 1 \times 1 + 0 \times 0 = 10$. Odpov�daj�c� prvky obou vektor� se n�sob� a ze sou�in� se provede jejich sou�et. U� zn�te v�sledek prvn�ho p��kladu, pon�vad� je to jednodu�e sou�et $n$ jednotek (zde $n = 3$). Zd� se byly element�rn�, av�ak nen� tomu tak. P�ipome�te si, co bylo �e�eno o Hilbertov� prostoru a analyzujte skal�rn� sou�in {\em jednotkov�ho vektoru} ${\bf J}$ s jednotkov�m vektorem $\bf {J}^{\rm T}$. (Jednotkov� vektor ${\bf J}$ je vektor sloupec, jednotkov� vektor ${\bf J}^{\rm T} $ je vektor ��dka. V�echny jejich prvky jsou 1). Skal�rn� sou�in je jen sou�et prvk� vektoru, kvadratick� forma je �tverec jejich Euklidovsk�ho d�lky. Pokud mysl�te, �e m�me pracovat s odmocninami kvadratick�ch forem, p�edstavte si, �e jednotkov� vektor ${\bf J}$ p�edstavuje $n$ lid�. Kvadratick� forma jen po��t� tyto lidi. M�me ur�it jejich po�et jako $\surd {n}$ (odmocnina z n)? Zavedli jsme Hilbert�v prostor a budeme pracovat se skal�rn�mi sou�iny a kvadratick�mi formami jako se z�kladn�mi vektory bez hled�n� odmocnin. Ve skal�rn�ch sou�inech ze dvou $n$ ($m$) rozm�rn�ch vektor� jsme z�skali jen jedno ��slo. N�soben� sn�ilo rozm�rnost, dostali jsme jen jedno ��slo (skal�rn�) ur�uj�c� d�lku prv�ho vektoru. Tedy sou�in vektoru ��dky n�soben� vektorem sloupem zprava (p�irozen� po��dek obou vektor�, vektor sloupec n�sobil vektor ��dku zleva) se naz�v� {\em vnit�n� sou�in}. Existuje tak� {\em vn�j�� sou�in}. Ten se z�sk�, kdy� zam�n�me polohy obou vektor� a n�sob�me vektor sloupec vektorem ��dkou zprava: $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{r|rrr} & 1 & 1 & 1 \\ \hline & & & \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} & \qquad & \begin{array}{r|rrr} & 3 & 1 & 0 \\ \hline & & & \\ 3 & 9 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \end{array}$$ Zde t�i jednorozm�rn� vektory sloupce p�sobily na t�i jedno rozm�rn� vektory ��dky. Cel� vektor sloupec by v�en v�emi prvky vektoru sloupce a jako v�sledek byla z�skan� matice rozm�ru $3 \times 3$. M�sto dvou ��sel jsme dostali dv� matice, ka�dou maj�c� 9 maticov�ch prvk�. Vn�j�� sou�in matice se naz�v� {\em tenzor}. V�imn�te si, �e prvky obou vnit�n�ch sou�in� se objevily jako diagon�ln� prvky vn�j��ch sou�in�. Jejich sou�ty, zn�m� jako {\em stopa matice}, jsou identick� s kone�nou formou vnit�n�ho sou�inu. Skal�rn� sou�iny se mohou prov�st z maticov�ch vektor�. Skal�rn� sou�iny maticov�ch vektor� n�soben� vektory ��dky zleva jsou op�t vektory ��dky a

maticov� vektory n�soben� vektory sloupce zprava jsou op�t vektor-sloupce. N�soben� sni�uje rozm�rnost maticov�ho vektoru: \begin{equation} \mbox{\rm vektor-��dka} \times {\bf M} = \mbox{\rm vektor-��dka} \end{equation} \begin{equation} {\bf M} \times \mbox{\rm vektor-sloupec} = \mbox{\rm vektor-sloupec}. \end{equation} Vektor-��dka se n�sob� zprava postupn� v�emi sloupci matice a v�sledek m� tolik m�st jako matice sloupc�. Vektor-sloupec se n�sob� zleva postupn� v�emi ��dky matice a v�sledek m� tolik m�st jako matice ��dk�. Pokud oba vektory jsou matice, n�soben� se mus� prov�st pro v�echny kombinace ��dk� a sloupc�. Sou�inem je op�t matice. V p��pad� �tverce maticov�ch vektor�, oba sou�iny maj� identick� rozm�ry a odli�nost mezi vnit�n�m a vn�j��m prostorem je ztracena. \section{Matice v jednotkov�ch r�mc�ch} %\addcontentsline{kc}{section}{Matice v jednotkov�ch r�mc�ch} \label{Matice v jednotkov�ch r�mc�ch} Kvadratick� forma ${\bf J}^{\rm T}{\bf J}$ po��t� prvky jednotkov�ho vektoru $\bf {J}$. Je sou�asn� oper�torem \begin{equation} {\bf J}^{\rm T}(*){\bf J}. \label{product1} \end{equation} Pokud vlo��me dovnit� tohoto sou�inu matici ${\bf M}$ \begin{equation} {\bf J}^{\rm T}({\bf M}){\bf J}\, \label{product2} \end{equation} dostaneme sou�et prvk� matice ${\bf M}$. ${\bf J}^{\rm T} {\bf M}$ je $n$ rozm�rn� vektor ��dka a ${\bf MJ}$ je $m$ rozm�rn� vektor sloupec. P��t� n�soben� ${\bf J}$ (nebo ${\bf J}^{\rm T}$) se��t� prvky t�chto vektor�. Kdy� vlo��me do (\ref{product1}) m�sto ${\bf M}$ jako v (\ref{product2}) kvadratick� formy $({\bf M}{\bf M})^{\rm T}$ nebo $({\bf M}^{\rm T}{\bf M})$, dostaneme kvadratick� formy skal�rn�ch sou�in� ${\bf J}^{\rm T}{\bf M}$ a ${\bf MJ}$. Poznali jsme, �e vektor sloupec se transponuje do vektoru ��dky a opa�n�. Pokud opakujeme tuto operaci, dostaneme zp�t p�vodn� vektorovou formu: \begin{equation} ({\bf v}^{\rm T})^{\rm T}\ = \ {\bf v}. \end{equation} Matice se transponuje takov�m zp�sobem, �e v�echny vektory sloupce se transponuj� do vektor ��dk� a opa�n�. To znamen�, �e v transponovan� matici indexy $i$ a $j$ se zam�n�.

P�i transponov�n� sou�inu dvou matic (vektor ��dka nebo sloupec je matice, kter� m� bu� $m = 1$ nebo $n = 1$) ob� matice vym�n� si sv� m�sta, tedy \begin{equation} ({\bf J}^{\rm T}{\bf M}^{\rm T})^{\rm T} = {\bf MJ}\ {\rm a} \ ({\bf M}{\bf J})^{\rm T} = {\bf J}^{\rm T}{\bf M}^{\rm T}\;. \end{equation} Dostaneme dv� kvadratick� formy : ${\bf J}^{\rm T}{\bf M}^{\rm T}{\bf MJ}$ a ${\bf J}^{\rm T}{\bf M}{\bf M}^{\rm T}{\bf J}$. Vid�me, �e oba sou�iny maj� stejn� r�mce ${\bf J}^{\rm T}(*){\bf J}$, kter� p�sob� na maticov� sou�in, kter� je uvnit�. Tento r�me�ek po��t� jen prvky vnit�n� matice. Kvadratick� formy ${\bf M}^{\rm T} {\bf M}$ a ${\bf M}{\bf M}^{\rm T}$ jsou zaj�mav�j��, ne� kone�n� sou�in, pon�vad� ka�d� obsahuje v�ce informace. P�edpokl�dali jsme, �e p�vodn� matice ${\bf M}$ m�la $m$ ��dk� a $n$ sloupc�, ob� $m$ a $n$ jsouce rozd�ln�. Tedy transponovan� matice ${\bf M}^{\rm T}$ m�la $n$ ��dk� a $m$ sloupc� a byla rozd�ln� od p�vodn� matice ${\bf M}$. �ekneme, �e takov� matice jsou {\em asymetrick�}. ob� kvadratick� formy jsou symetrick� matice. ${\bf M}^{\rm T}{\bf M}$ m� $n$ ��dk� a $n$ sloupc�, ${\bf M}{\bf M}^{\rm T}$ m� $m$ ��dk� a $m$ sloupc�. Na stop�ch obou maticov�ch sou�in� jsou sou�ty �tverc� prvk� $m_{ij}^2$ matice ${\bf M}$. To je Hilbertova d�lka maticov�ho vektoru a ob� stopy, kter� maj� stejn� d�lky le�� na kouli s pr�m�rem maticov�ho vektoru. Mimodiagon�ln� prvky obou kvadratick�ch forem tvo�� s jejich stopami pravo�hl� troj�heln�ky maj�c� ob� jednotkov� projekce ${\bf J}^{\rm T}{\bf M}$ a ${\bf MJ}^{\rm T}$ jako p�epony (obr. \ref{Maticov� vektorov� soustava}). \begin{figure} \caption{Maticov� vektorov� soustava. ${\bf M}$ -- maticov� vektor, ${\bf J}^{\rm T}{\bf M}$ -- projekce maticov�ho vektoru do sloupce, ${\bf MJ}$ -- projekce maticov�ho vektoru do ��dky, $Tr({\bf M}^{\rm T}{\bf M})$ -- stopa vektoru, $Tr({\bf MJ})$ -- stopa vektoru, $\Lambda$ -- vlastn� hodnoty vektoru, ${\bf M}^{1}$ -- inverzn� maticov� vektor} \label{Maticov� vektorov� soustava} \linethickness{0.6 pt} \begin{picture}(180.00,180.00) %\circle(69.67,70.00){100.67} \emline{69.67}{120.34}{1}{76.08}{119.92}{2} \emline{76.08}{119.92}{3}{82.40}{118.70}{4} \emline{82.40}{118.70}{5}{88.50}{116.68}{6} \emline{88.50}{116.68}{7}{94.29}{113.90}{8} \emline{94.29}{113.90}{9}{99.69}{110.40}{10} \emline{99.69}{110.40}{11}{104.59}{106.25}{12} \emline{104.59}{106.25}{13}{108.93}{101.50}{14} \emline{108.93}{101.50}{15}{112.62}{96.24}{16} \emline{112.62}{96.24}{17}{115.62}{90.56}{18} \emline{115.62}{90.56}{19}{117.86}{84.53}{20} \emline{117.86}{84.53}{21}{119.32}{78.27}{22} \emline{119.32}{78.27}{23}{119.97}{71.88}{24} \emline{119.97}{71.88}{25}{119.80}{65.45}{26} \emline{119.80}{65.45}{27}{118.81}{59.10}{28} \emline{118.81}{59.10}{29}{117.02}{52.93}{30} \emline{117.02}{52.93}{31}{114.46}{47.03}{32} \emline{114.46}{47.03}{33}{111.17}{41.51}{34} \emline{111.17}{41.51}{35}{107.20}{36.45}{36} \emline{107.20}{36.45}{37}{102.62}{31.94}{38}

\emline{102.62}{31.94}{39}{97.50}{28.06}{40} \emline{97.50}{28.06}{41}{91.92}{24.85}{42} \emline{91.92}{24.85}{43}{85.99}{22.38}{44} \emline{85.99}{22.38}{45}{79.79}{20.69}{46} \emline{79.79}{20.69}{47}{73.42}{19.80}{48} \emline{73.42}{19.80}{49}{66.99}{19.74}{50} \emline{66.99}{19.74}{51}{60.61}{20.49}{52} \emline{60.61}{20.49}{53}{54.37}{22.05}{54} \emline{54.37}{22.05}{55}{48.39}{24.39}{56} \emline{48.39}{24.39}{57}{42.75}{27.47}{58} \emline{42.75}{27.47}{59}{37.55}{31.25}{60} \emline{37.55}{31.25}{61}{32.87}{35.66}{62} \emline{32.87}{35.66}{63}{28.79}{40.63}{64} \emline{28.79}{40.63}{65}{25.38}{46.08}{66} \emline{25.38}{46.08}{67}{22.70}{51.92}{68} \emline{22.70}{51.92}{69}{20.77}{58.05}{70} \emline{20.77}{58.05}{71}{19.65}{64.38}{72} \emline{19.65}{64.38}{73}{19.34}{70.80}{74} \emline{19.34}{70.80}{75}{19.85}{77.21}{76} \emline{19.85}{77.21}{77}{21.18}{83.50}{78} \emline{21.18}{83.50}{79}{23.29}{89.57}{80} \emline{23.29}{89.57}{81}{26.17}{95.32}{82} \emline{26.17}{95.32}{83}{29.75}{100.66}{84} \emline{29.75}{100.66}{85}{33.98}{105.49}{86} \emline{33.98}{105.49}{87}{38.79}{109.75}{88} \emline{38.79}{109.75}{89}{44.11}{113.36}{90} \emline{44.11}{113.36}{91}{49.85}{116.27}{92} \emline{49.85}{116.27}{93}{55.91}{118.42}{94} \emline{55.91}{118.42}{95}{62.19}{119.78}{96} \emline{62.19}{119.78}{97}{69.67}{120.34}{98} %\end \put(70.00,70.00){\circle{4.00}} %\vector(70.00,70.00)(70.00,120.33) \put(70.00,120.33){\vector(0,1){0.2}} \emline{70.00}{70.00}{99}{70.00}{120.33}{100} %\end %\vector(70.00,70.33)(130.00,110.00) \put(130.00,110.00){\vector(3,2){0.2}} \emline{70.00}{70.33}{101}{130.00}{110.00}{102} %\end %\vector(70.00,70.00)(90.00,115.33) \put(90.00,115.33){\vector(1,2){0.2}} \emline{70.00}{70.00}{103}{90.00}{115.33}{104} %\end %\vector(90.00,115.33)(130.00,110.00) \put(130.00,110.00){\vector(4,-1){0.2}} \emline{90.00}{115.33}{105}{130.00}{110.00}{106} %\end %\vector(70.33,70.00)(10.00,100.00) \put(10.00,100.00){\vector(-2,1){0.2}} \emline{70.33}{70.00}{107}{10.00}{100.00}{108} %\end %\vector(70.00,70.00)(45.00,114.00) \put(45.00,114.00){\vector(-1,2){0.2}} \emline{70.00}{70.00}{109}{45.00}{114.00}{110} %\end %\vector(45.00,114.00)(10.33,100.00) \put(10.33,100.00){\vector(-3,-1){0.2}}

\emline{45.00}{114.00}{111}{10.33}{100.00}{112} %\end %\vector(70.00,70.00)(26.67,44.00) \put(26.67,44.00){\vector(-3,-2){0.2}} \emline{70.00}{70.00}{113}{26.67}{44.00}{114} %\end %\vector(70.00,70.00)(127.67,33.00) \put(127.67,33.00){\vector(3,-2){0.2}} \emline{70.00}{70.00}{115}{127.67}{33.00}{116} %\end \put(70.00,165.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf M}$}} \put(10.00,140.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf J}^{\rm T}{\bf M}$}} \put(150.00,140.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf MJ}$}} \put(50.00,150.00){\makebox(0,0)[cc]{Tr(${\bf M}{\bf M}^{\rm T})$}} \put(110.00,150.00){\makebox(0,0)[cc]{Tr(${\bf MM}^{\rm T})$}} \put(20.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{$\Lambda$}} \put(130.00,20.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf M}^{-1}$}} \end{picture} \end{figure} Oba skal�rn� sou�iny transformuj� matici do vektoru, ��dky nebo sloupce. Po��taj� jednodu�e prvky v ��dc�ch nebo sloupc�ch matice ${\bf M}$. D�vaj� n�m kone�n� v�sledky v�ech translac�, ${\bf MJ}$ v $m$ rozm�rn�m prostoru ��dek, ${\bf J}^{\rm T}{\bf M}$ v $n$ rozm�rn�m prostoru sloupc�. Kdy� nalezneme tyto sou�ty, sn��me rozm�r prostoru, m�sto $mn$ prvk� m�me pouze $m$ nebo $n$ prvk�. Kdy� jsme sn�ili rozm�r maticov�ho prostoru, zjednodu�ili jsme maticov� vektor, av�ak ztratili jsme informaci o p�vodn�m po�ad� vektor� v matici. A mimo to, alespo� v jednom kvadratick�m skal�rn�m sou�inu, spojili jsme dohromady rozd�ln� vektory. Pokud tyto vektory p�edstavovaly rozd�ln� v�ci, se��t�me dohromady jablka s hru�kami jako ovoce. Maticov� vektorov� soustava na obr. \ref{Maticov� vektorov� soustava} je slo�ena ze samotn� matice ${\bf M}$ a jej�ch dvou projekc�, ${\bf J}^{\rm T}{\bf M}$ a $ {\bf MJ}$. Tyto projekce se rozkl�daj� do stop vektor�, Tr(${\bf J}^{\rm T}{\bf M} $) a Tr(${\bf MJ}$). Tyto stopy vektor� maj� d�le�itou vlastnost: Maj� stejn� d�lky jako samotn� maticov� vektor ${\bf M}$. Tak� vektor vlastn�ch hodnot $\Lambda$ m� stejnou d�lku jako matice ${\bf M}$ a m�e nahradit ob� kvadratick� formy. Inverzn� maticov� vektor ${\bf M}^{-1}$, pokud existuje, pat�� k maticov� vektorov� soustav� (n�kdy m�e b�t nahrazen zobecn�nou inverzn� matic�). Maticov� vektor m� $mn$ prvk�. Se zjednodu�� sv�mi projekcemi do odd�len�ch prostor� ��dk� a sloupc�. Ztr�c�me v t�to projekci n�kter� vlastnosti maticov�ho vektoru. Z�sk�v�me n�jak� informace av�ak cenou za to je ztr�ta jin�ch informac�. Nalezen� kvadratick� formy odpov�d� logick� abstrakci. Nejd�le�it�j�� vlastnost� obou kvadratick�ch forem je jejich schopnost nahrazovat maticov� vektory. Tato schopnost nen� pouhou matematickou konstrukc�. Je zalo�ena na fyzik�ln� zku�enosti, pon�vad� sv�t, ve kter�m �ijeme je jednodu�e konstruov�n takov�m zp�sobem. Abychom to uzav�eli: {\em Matice odpov�d� akci a jej� kvadratick� forma v�sledku tento akce}. Ob� kvadratick� formy maj� tuto d�le�itou vlastnost: �t�p� prostor a jeho prvky. Budi� matice ${\bf M}$ seznamem $n$ rozd�ln�ch knih (s nezn�m�m po�tem kopi�) pat��c�ch $m$ rozd�ln�m osob�m. Ka�d� ��dka je katalogem $i$-t� osobn� knihovny, ka�d� sloupec je seznamem v�skyt�, kter� registruje, ve kter�ch knihovn�ch $j$-t� kniha m�e b�t nalezena. Kvadratick� forma ${\bf M}^{\rm T}{\bf M}$ je prostor $n$ knih, na diagon�le jsou zde po�ty knihoven, ve kter�ch m�e b�t nalezena . ${\bf

M}{\bf M}^{\rm T}$ je prostor knihoven av�ak jeho prvky jsou knihy. Srovnejte to se starov�kou sentenc�, �e existuje m�ra ve v�em nebo, �e m�rou v�eho je �lov�k. \chapter{Konstrukce vektorov�ho prostoru} \label{Konstrukce} \section{��seln� a vektorov� stupnice} \label{Po�et} Z historie matematiky v�me, jak pe�liv� matematikov� konstruovali ��selnou osu, zav�d�je postupn� p�irozen� ��sla, racion�ln� ��sla, iracion�ln� ��sla. Nen� nutn� p�ipom�nat v�echny probl�my spojen� s pojmem kontinua v rozd�ln�ch axiomatick�ch syst�mech. ��seln� osa tvo�� jedno rozm�rn� prostor. P��t� kroky, vytvo�en� dvou, t�� a v�ce rozm�rn�ch prostor� byly provedeny jako odv�n� skok tak zvan�mi kart�zsk�mi sou�iny. P�edpis se zd� b�t jednoduch�: Vezm�te alespo� dva jedno rozm�rn� prostory a n�sobte je dohromady. Mno�inov� teorie napravila n�kter� chyby, av�ak nespojila sv� mno�inov� prostory s vektorov�mi prostory a ob� discipliny z�staly odd�len�. Kdy� pova�ujeme stupnici p�irozen�ch ��sel\footnote {Cel� kladn� ��sla, v�etn� nuly.} (0) --- (1) --- (2) --- (3) --- (4) --- (5) a srovn�me ji se stupnic� jednotkov�ch vektor� ${\bf e}_j$ (0)$\longrightarrow$(1)$\longrightarrow$(2)$\longrightarrow$(3) $\longrightarrow$(4)$\longrightarrow$(5) vid�me, �e jedin�m rozd�lem je, �e vektorov� stupnice je orientovan� a ��seln� stupnice nen�. \section{Form�ln� operace s mno�inami vektor�} \label{Formal} Zavedli jsme jednotkov� vektory ${\bf e}_j$ v podkapitole 1.2 jako z�kladn� jednotky na�eho prostoru. Nejprve dovol�me pouze positivn� translace odpov�daj�c� p�irozen�m ��sl�m. To znamen�, �e maticov� vektor m�e j�t pouze kup�edu ze st�edu koordin�t a nikdy zp�t. �ada n�sleduj�c�ch vektor� tvo�� {\em cestu}. V�echny mo�n� cesty v tomto prostoru tvo�� a {\em m��ku}. U� v�me, �e mus�me rozli�ovat mezi cestou a jej�m kone�n�m bodem, {\em polohov�m vektorem}. Tato odli�nost je stejn� jako mezi �ten�m a pouh�m po��t�n�m slov. P�edpokl�dejme, �e m�me dv� vektorov� �ady nap��klad $${\bf aababac}$$ a $${\bf abcaaba}\;.$$ ob� vedou k bodu s koordin�tami (4, 2, 1, 0, 0, \dots). Budeme to n�kdy ps�t jako $(a^4b^2c^1d^0e^0\dots)$. Takov� notace je u�ite�n� p�i n�kter�ch operac�ch jako $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\;,$$ kde pot�ebujeme rozli�ovat v�znam �len� $2a$ a $a^2$. N�sobitel d�v� po�et �ad, mocniny ur�uje d�lky vektoru. Nyn� je v�hodn�, �e z�kladna jednotkov�ch vektor� je 1. Horn� indexy maj�c� v�znam mocnin jednotkov�ch vektor� je nem�n�. Kdy� p�ijmeme, �e $x^0 = 1$, nulov� mocnina vektoru je pr�v� n�sobitel jedna. Tedy nen� nutn� ps�t tuto 1, proto�e nem�n� sou�in jako $a\times$ 1 $=$ 1$\times = a$.

V�echny vektorov� �ady kon��c� v bod�, jak jsou reprezentovan� naivn� matic� ${\bf N}$, jsou {\em ekvivalentn�}. Jsou definov�ny matematick� operace, kter� transformuj� naivn� matice v jin� ekvivalentn� matice. Pokud tato transformace ned�v� identick� v�sledky, potom ob� matice n�le�� rozd�ln�m t��d�m. Dv� ekvivalentn� naivn� matice maj�c� identickou kvadratickou formu ${\bf N}^{\rm T} {\bf N}$ vedou k jednomu bodu. Nap��klad $$ ({\bf aaba} = ({\bf a}^3{\bf b}) = ({\bf baaa})$$ Zde m�me prvn� p��klad, jak bylo u�ite�n� zav�st kvadratick� formy. Pozd�ji budeme definovat jin� t��dy ekvivalence naivn�ch matic. Abychom byli schopni rozli�ovat mezi $2a$ a $a^2$ (mezi paraleln�mi a n�sledn�mi translacemi), pot�ebujeme stejn� rozd�l tak� pro konstrukci mnohorozm�rn�ho prostoru z jednotkov�ch vektor�. Proto pro vektorov� mno�iny, jednotkov� vektory a jejich �ady existuj�c� {\em sou�asn�}, budeme pou��vat symbol {\em s��t�n�} $\sum $. Pro {\em n�sledn�} vektorov� mno�iny budeme pou��vat symbol pro {\em n�soben�} $\Pi $. N�soben� se m�n� ve s��t�n� na logaritmick� stupnici. S pou�it�m jednotkov� z�kladny logaritm�, ��slo a jeho logaritmus jsou toto�n� , nebo ne? Nap��klad $${\bf aaaaa} = {\bf a}^5, \ \lg_a{\bf a}^5 = 5$$ Tato konvence m�n� po�ad� obou operac� p�i konstrukci prostoru. Klasick�m zp�sobem bylo m�t dv� osy, �ekn�me $(1 + a + a^2 + \ldots)$ a $(1 + b + b^2 + \ldots)$ a n�sobit je. Jako v�sledek dostaneme polohy bod� �tverce $$\begin{array}{cccc} 1 & a & a^2 &\ldots \\ b & ab & a^2b & \ldots \\ b^2 & ab^2 & a^2b^2 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}$$ TaKe �tverci se m�e n�sobit pozd�ji t�et� osou a z�sk� se t�� rozm�rn� krychle, potom se m�e pou��t �tvrt� osa a tak se z�skaj� v�ce rozm�rn� krychle, n�kdy zvan� hyperkrychle. Mohli bychom mluvit o hyperrovin�ch, hyperhran�ch a tak d�le, av�ak nebudeme pou��vat tuto p�edponu, proto�e by p�efoukla n� text. Prostor je konstruov�n postupn� ve vrstv�ch z mno�iny n jednotkov�ch vektor� p�edstavuj�c�ch n rozm�rn� prostor. Nap��klad: \begin{equation} (a + b)^0 + (a + b)^1 + (a + b)^2 + (a + b)^3 + \dots. \end{equation} Jednotliv� sou�iny v sou�tu jsou vektorov� �ady kon��c� na p��mk�ch ortogon�ln�ch k diagon�ln�mu vektoru ${\bf I}$. �tverec se stranou $0-2$ se z�sk� z t�chto bod� vynech�n�m bod� $a^3$ a $b^3$ z ne�pln� vrstvy $3$ a p�id�n�m 6 �ad $a^2b^2$ ze sou�inu �tvrt� �rovn� $(a + b)^4$: $$\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ b & 2ab & 3a^2b\\ b^2 & 3ab^2 & 6a^2b^2\;. \end{array}$$ ��sla u koordin�t d�vaj� po�ty rozd�ln�ch vektorov�ch �ad vedouc�ch k dan�mu p�irozen�mu bodu �tverce. Nap��klad 3 �ady ${\bf aab}$, ${\bf aba}$, ${\bf baa}$ vedou k bodu s koordin�tami $a^2b$. Komutativn� algebra se z�sk� z nekomutativn�

jednou algebraickou operac� transformuj�c� vektorov� �ady na polohov� vektory. \begin{figure} \caption{Dvourozm�rn� prostor. Jednotkov� vektor ${\bf I}_2$ je ortogon�ln� k rovinn�m simplex�m} \label{Dvourozm�rn� prostor} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(120.00,120.00) %\emline(10.00,100.00)(10.00,10.00) \put(10.00,100.00){\line(0,-1){90.00}} %\end %\emline(10.00,10.00)(100.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){90.00}} %\end %\emline(10.00,30.00)(30.00,10.00) \multiput(10.00,30.00)(0.12,-0.12){167}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(10.00,50.00)(50.00,10.00) \multiput(10.00,50.00)(0.12,-0.12){334}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(10.00,70.00)(70.00,10.00) \multiput(10.00,70.00)(0.12,-0.12){501}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(10.00,90.00)(90.00,10.00) \multiput(10.00,90.00)(0.12,-0.12){667}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(10.00,10.00)(70.00,70.00) \put(70.00,70.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(10.00,10.00)(0.12,0.12){501}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(80.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf I}_2$}} \put(10.00,10.00){\circle{6.00}} \put(30.00,10.00){\circle{6.00}} \put(50.00,10.00){\circle{6.00}} \put(70.00,10.00){\circle{6.00}} \put(90.00,10.00){\circle{6.00}} \put(10.00,30.00){\circle{6.00}} \put(30.00,30.00){\circle{6.00}} \put(50.00,30.00){\circle{6.00}} \put(70.00,30.00){\circle{6.00}} \put(10.00,50.00){\circle{6.00}} \put(30.00,50.00){\circle{6.00}} \put(50.00,50.00){\circle{6.00}} \put(10.00,69.33){\circle{6.00}} \put(30.00,70.00){\circle{6.00}} \put(10.00,90.00){\circle{6.00}} \end{picture} \end{figure} Vektorov� �ady vytvo�en� v 2 rozm�rn�m prostoru n�soben� $(a + b)^m$ jdou k bod�m le��c�m na p��mce ortogon�ln� k diagon�le komplexu jako na obr. \ref{Dvourozm�rn� prostor}. Sou�et n jednotkov�ch vektor� ${\bf e}_j$ n�soben� m kr�t je {\em gener�tor} vektorov�ho prostoru. Kdy� se pou�ije t��rozm�rn� gener�tor, vektorov� �ady jdou k troj�heln�kov�m rovin�m(obr. \ref{T�i rozm�rn�m}). \begin{figure} \caption{Prvn� p�t 3 rozm�rn�ch rovinn�ch simplex�}

\label{T�i rozm�rn�m} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(230.00,170.00) %\emline(131.00,20.00)(211.00,20.00) \put(131.00,20.00){\line(1,0){80.00}} %\end %\emline(171.00,89.00)(211.00,20.00) \multiput(171.00,89.00)(0.12,-0.21){334}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(131.00,20.00)(171.00,89.00) \multiput(131.00,20.00)(0.12,0.21){334}{\line(0,1){0.21}} %\end \put(131.00,20.00){\circle{8.00}} \put(151.33,20.00){\circle{8.00}} \put(171.00,20.00){\circle{8.00}} \put(191.00,20.00){\circle{8.00}} \put(211.00,20.00){\circle{8.00}} \put(141.33,37.67){\circle{8.00}} \put(201.00,37.33){\circle{8.00}} \put(161.00,37.33){\circle{8.00}} \put(181.00,37.00){\circle{8.00}} \put(141.00,37.00){\circle{8.00}} \put(151.00,20.00){\circle{8.00}} \put(151.00,54.00){\circle{8.00}} \put(171.00,54.00){\circle{8.00}} \put(191.00,54.33){\circle{8.00}} \put(161.00,71.67){\circle{8.00}} \put(181.00,71.67){\circle{8.00}} \put(171.00,89.00){\circle{8.00}} \put(39.67,37.67){\circle{8.00}} \put(99.33,37.33){\circle{8.00}} \put(59.33,37.33){\circle{8.00}} \put(79.33,37.00){\circle{8.00}} \put(39.33,37.00){\circle{8.00}} \put(49.33,54.00){\circle{8.00}} \put(69.33,54.00){\circle{8.00}} \put(89.33,54.33){\circle{8.00}} \put(59.33,71.67){\circle{8.00}} \put(79.33,71.67){\circle{8.00}} \put(69.33,89.00){\circle{8.00}} \put(161.56,113.44){\circle{8.00}} \put(181.56,113.44){\circle{8.00}} \put(201.56,113.78){\circle{8.00}} \put(171.56,131.11){\circle{8.00}} \put(191.56,131.11){\circle{8.00}} \put(181.56,148.44){\circle{8.00}} \put(101.00,127.78){\circle{8.00}} \put(121.00,127.78){\circle{8.00}} \put(111.00,145.11){\circle{8.00}} \put(50.56,127.22){\circle{8.00}} %\emline(101.11,127.78)(111.11,145.00) \multiput(101.11,127.78)(0.12,0.21){84}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(111.11,145.00)(121.67,127.22) \multiput(111.11,145.00)(0.12,-0.20){88}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\emline(121.67,127.22)(100.56,127.22) \put(121.67,127.22){\line(-1,0){21.11}}

%\end %\emline(161.67,113.33)(182.22,148.33) \multiput(161.67,113.33)(0.12,0.20){172}{\line(0,1){0.20}} %\end %\emline(182.22,148.33)(201.67,113.89) \multiput(182.22,148.33)(0.12,-0.21){163}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(39.44,37.22)(99.44,37.22) \put(39.44,37.22){\line(1,0){60.00}} %\end %\emline(99.44,37.22)(68.89,88.89) \multiput(99.44,37.22)(-0.12,0.20){255}{\line(0,1){0.20}} %\end %\emline(68.89,88.89)(39.44,37.78) \multiput(68.89,88.89)(-0.12,-0.21){246}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(162.22,113.33)(202.22,113.33) \put(162.22,113.33){\line(1,0){40.00}} %\end \end{picture} \end{figure} Ve vy���ch rozm�rech by to byly hyperroviny. Op�t zkr�t�me jejich jm�na a budeme je skromn� naz�vat jednodu�e roviny ve v�ech rozm�rech. Av�ak to opa�n� znamen�, �e p��mka je rovina v 2 rozm�rn�m prostoru a bod je rovina v 1 rozm�rn�m prostoru. To se m�e zd�t podivn�, av�ak neomezen� rovina d�l� sv�j prostor do dvou ��st�. Bod d�l� p��mku podobn� jako p��mka rozd�luje 2 rozm�rnou rovinu na dv� ��st�. Na�e vektory byly omezeny pouze na p�irozen� ��sla a tedy roviny jsou vytvo�eny oper�torem \begin{equation} [\,\sum^n_{j=1}\,{\bf e}_j]^m \end{equation} jsou prvky {\em p�irozen�ho prostoru}. Ten zahrnuje svou limitu, body s koordin�tami $a^0b^0$, $ab^0$, $a^0b$ a tak d�le. Prvky p�irozen�ho prostoru jsou spo�etn� a se tvo�� vektorov�mi �adami jdouc�mi k bod�m s nez�porn�mi koordin�tami. Jednotliv� vrstvy budeme naz�vat {\em rovinn� simplexy}. Pokud jste sly�eli n�co simplexech, potom v�te, �e simplex v $n$ rozm�rn�m prostoru by m�l se ur�it $(n + 1)$ body a my m�me jen $n$ bod�. P�ipome�te si v�ak, �e mluv�me o rovin�ch. Rovina v $n$ rozm�rn�m prostore je body\footnote{M�j syn zde navrhoval p�idat p��davn� jm�no `pevn�'. Av�ak pevn� t�leso je pevn� t�leso, zat�m co pouh� term�n `t�leso' zahrnuje k�d, soustava, tedy je to abstraktn�j�� pojem.} v $(n 1)$ rozm�rn�m prostoru a chyb�j�c� bod je obnoven. Roviny zm�n�n� shora jsou ortogon�ln� k {\em diagon�ln�mu jednotkov�mu vektoru} $ {\bf I}$. Je nutn� k vysv�tlit, pro� existuj� t�i jednotkov� vektory: ${\bf I}$, ${\bf J}$ a ${\bf J}^{\rm T}$. Uk�zali jsme, �e jednotkov� vektor ��dka ${\bf J}^{\rm T}$ a jednotkov� vektor sloupec ${\bf J}$ maj� rozd�ln� ��inky na naivn� matice ${\bf N}$, kter� jsou z�kladn�mi prvky na�eho prostoru nebo obecn� na jakoukoliv matici ${\bf M}$. Transformuj� je do vektor� ��dk� nebo sloupc�. Tedy pot�ebujeme nov� jednotkov� vektor invariantn� k matic�m. T�mto vektorem je jednotkov� diagon�ln� vektor ${\bf I}$. Je to �tvercov� matice maj�c� jednotkov� prvky na diagon�le, kde oba indexy jsou stejn�, $i = j$. Kdy� jednotkov� diagon�ln� matice ${\bf I}$ n�sob� jakoukoliv matici bu� zleva

nebo zprava, tak to zanech�v� matici nezm�n�nou: \begin{equation} {\bf IM} = {\bf MI} = {\bf M}. \end{equation} Jednotkov� diagon�ln� matice ${\bf I}$ je zn�m� jako {\em matice toto�nosti} a byla u� zm�n�na ve sv� sofistikovan� formulaci jako Kronecker�v symbol $\delta_{ij}$, kde $\delta_{ij} = 1$, pokud $i=j$ a $\delta_{ij} = 0$ jinak. Pokra�ujme s konstrukc� prostoru s pou�it�m rovinn�ch simplex� pokl�daj�ce n�sledn� vrstvy jako v cibuli. Sou�ty rovinn�ch simplex� tvo�� {\em rovinn� komplex}. Je ur�en t�emi symbolick�mi operacemi \begin{equation} \sum^m_{i=0}\ [\,\sum^m_{j=1}\,{\bf e}_j]^i\,. \end{equation} \label{n�soben�} Pokud $m$ jde k nekone�nu, dostaneme cel� p�irozen� vektorov� prostor dan�ho rozm�ru. Srovnej po�ad� operac� s tradi�n�m p�edpisem \begin{equation} \prod^n_{j=1}\,[\,\sum^m_{i=0}\,{\bf e}^i]_j \end{equation} a uvid�te, �e jsme pr�v� obr�tili po�ad� form�ln�ch operac�. (\ref{n�soben�}) se prov�d� horn�m indexem i. Av�ak z�skali prostoru. N� prostor vektorov�ch �ad je {\em nekomutativn�}, tvo�en� m��kou bod� je {\em komutativn�}. P�echod mezi ob�ma nalezen�m skal�rn�ch sou�in�. Tato form�ln� operace odpov�d� to bylo uk�z�no v p�edchoz� kapitole.

N�soben� v jsme jin� druh zat�m co prostor prostory se provede logick� abstrakci jak

\section{Vlastnosti rovinn�ch simplex�} \label{Vlastnosti} Jedno a dvou rozm�rn� rovinn� simplexy jsou trivi�ln�. N� pr�zkum startuje s po��te�n�mi 3 rozm�rn�mi rovinn�mi simplexy jako na obr. \ref{T�i rozm�rn�m}. 3 rozm�rn� rovinn� simplexy jsou troj�heln�ky s 1, 3, 6 a 10 body. Ka�d� vy��� simplex m� $(m + 1)$ v�ce bod�, ne� jeho p�edch�dce je relativn� snadn� uspo��dat je do 3 rozm�rn�ho komplexu. Ten tvo�� kladn� k�nus 3 rozm�rn�ho oktogonu jako na obr.\ref{T�i rozm�rn�m rovinn� komplex}. \begin{figure} \caption{T�i rozm�rn� rovinn� komplex} \label{T�i rozm�rn�m rovinn� komplex} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(160.00,150.00) %\emline(70.33,80.00)(90.33,60.00) \multiput(70.33,80.00)(0.12,-0.12){167}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(70.33,100.00)(110.33,60.00) \multiput(70.33,100.00)(0.12,-0.12){334}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(70.33,120.00)(130.33,60.00) \multiput(70.33,120.00)(0.12,-0.12){501}{\line(0,-1){0.12}}

%\end \put(70.33,60.00){\circle{6.00}} \put(90.33,60.00){\circle{6.00}} \put(110.33,60.00){\circle{6.00}} \put(130.33,60.00){\circle{6.00}} \put(70.33,80.00){\circle{6.00}} \put(90.33,80.00){\circle{6.00}} \put(110.33,80.00){\circle{6.00}} \put(70.33,100.00){\circle{6.00}} \put(90.33,100.00){\circle{6.00}} \put(70.33,119.33){\circle{6.00}} %\emline(70.33,60.00)(10.00,15.00) \multiput(70.33,60.00)(-0.16,-0.12){376}{\line(-1,0){0.16}} %\end %\emline(70.33,79.00)(57.67,50.67) \multiput(70.33,79.00)(-0.12,-0.27){106}{\line(0,-1){0.27}} %\end %\emline(57.67,50.67)(90.33,60.00) \multiput(57.67,50.67)(0.42,0.12){78}{\line(1,0){0.42}} %\end %\emline(70.33,99.67)(43.33,40.00) \multiput(70.33,99.67)(-0.12,-0.26){226}{\line(0,-1){0.26}} %\end %\emline(43.33,40.00)(110.33,60.00) \multiput(43.33,40.00)(0.40,0.12){167}{\line(1,0){0.40}} %\end %\emline(70.00,120.00)(27.33,27.67) \multiput(70.00,120.00)(-0.12,-0.26){356}{\line(0,-1){0.26}} %\end %\emline(27.33,27.67)(130.67,60.00) \multiput(27.33,27.67)(0.38,0.12){270}{\line(1,0){0.38}} %\end %\emline(70.00,60.00)(140.00,60.00) \put(70.00,60.00){\line(1,0){70.00}} %\end %\emline(70.33,60.00)(70.33,127.67) \put(70.33,60.00){\line(0,1){67.67}} %\end \put(57.33,50.67){\circle{6.00}} \put(43.33,40.00){\circle{6.00}} \put(58.00,72.67){\circle{6.00}} \put(77.33,50.00){\circle{6.00}} \put(27.67,27.67){\circle{6.00}} \put(63.00,39.00){\circle{6.00}} \put(98.00,49.67){\circle{6.00}} \put(42.33,59.67){\circle{6.00}} \put(56.00,89.67){\circle{6.00}} \put(76.33,69.67){\circle{6.00}} \end{picture} \end{figure} Vy��� simplexy se li�� od ni���ch nejen p�i��t�n�m nov� hrany ale tak� zv�en�m po�tem �ad vedouc�m ke v�em bod�m vyjma vrcholy. Pokud srovn�te 3 rozm�rn� rovinn� simplex s 2 rozm�rn�m komplexem, rozd�l mezi nimi spo��v� v po�tu �ad vedouc�ch k rozd�ln�m bod�m. V�choz� bod (0, 0) d�v� koordin�tu (0, 0, 3), body $a$, $b$ se transformuj� do $ac^2$ a $bc^2$, a tak d�le.

\begin{figure} \caption{Prvn� t�i 4 rozm�rn� rovinn� simplexy a p�t�.} \label{Prvn� p�t} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(180.00,190.00) %\emline(87.67,6.67)(167.67,6.67) \put(87.67,6.67){\line(1,0){80.00}} %\end %\emline(127.67,75.67)(167.67,6.67) \multiput(127.67,75.67)(0.12,-0.21){334}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(87.67,6.67)(127.67,75.67) \multiput(87.67,6.67)(0.12,0.21){334}{\line(0,1){0.21}} %\end \put(87.67,6.67){\circle{6.00}} \put(108.00,6.67){\circle{6.00}} \put(127.67,6.67){\circle{6.00}} \put(147.67,6.67){\circle{6.00}} \put(167.67,6.67){\circle{6.00}} \put(98.00,24.34){\circle{6.00}} \put(157.67,24.00){\circle{6.00}} \put(117.67,24.00){\circle{6.00}} \put(137.67,23.67){\circle{6.00}} \put(97.67,23.67){\circle{6.00}} \put(107.67,6.67){\circle{6.00}} \put(107.67,40.67){\circle{6.00}} \put(127.67,40.67){\circle{6.00}} \put(147.67,41.00){\circle{6.00}} \put(117.67,58.34){\circle{6.00}} \put(137.67,58.34){\circle{6.00}} \put(127.67,75.67){\circle{6.00}} \put(27.11,87.78){\circle{6.00}} \put(7.23,113.89){\circle{6.00}} %\emline(7.23,113.34)(128.34,75.00) \multiput(7.23,113.34)(0.38,-0.12){320}{\line(1,0){0.38}} %\end %\emline(7.78,112.78)(167.78,6.67) \multiput(7.78,112.78)(0.18,-0.12){885}{\line(1,0){0.18}} %\end %\emline(26.67,87.23)(47.23,87.23) \put(26.67,87.23){\line(1,0){20.56}} %\end %\emline(47.23,87.23)(36.67,104.45) \multiput(47.23,87.23)(-0.12,0.19){89}{\line(0,1){0.19}} %\end %\emline(36.67,104.45)(26.67,87.23) \multiput(36.67,104.45)(-0.12,-0.21){84}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(58.34,44.45)(84.45,88.89) \multiput(58.34,44.45)(0.12,0.20){218}{\line(0,1){0.20}} %\end %\emline(40.56,68.34)(73.89,68.34) \put(40.56,68.34){\line(1,0){33.33}} %\end %\emline(73.89,68.34)(56.11,97.78) \multiput(73.89,68.34)(-0.12,0.20){149}{\line(0,1){0.20}} %\end

%\emline(56.11,97.78)(40.56,68.34) \multiput(56.11,97.78)(-0.12,-0.23){130}{\line(0,-1){0.23}} %\end \put(41.11,68.34){\circle{6.00}} \put(47.78,82.23){\circle{6.00}} \put(56.11,97.23){\circle{6.00}} \put(58.34,44.45){\circle{6.00}} \put(67.78,61.11){\circle{6.00}} \put(76.11,74.45){\circle{6.00}} \put(84.45,88.89){\circle{6.00}} \put(73.34,68.89){\circle{6.00}} \put(56.67,68.34){\circle{6.00}} \put(109.45,44.45){\circle{6.00}} \put(92.23,43.89){\circle{6.00}} \put(76.11,43.89){\circle{6.00}} \put(92.78,73.89){\circle{6.00}} \put(65.00,82.08){\circle{6.00}} \put(100.42,61.67){\circle{6.00}} \put(46.67,87.08){\circle{6.00}} %\emline(7.50,112.50)(87.92,6.67) \multiput(7.50,112.50)(0.12,-0.16){671}{\line(0,-1){0.16}} %\end %\emline(58.33,44.58)(58.75,43.75) \multiput(58.33,44.58)(0.11,-0.21){4}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(84.58,88.33)(110.42,44.17) \multiput(84.58,88.33)(0.12,-0.20){216}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\emline(110.42,44.17)(58.75,44.17) \put(110.42,44.17){\line(-1,0){51.67}} %\end \put(27.11,133.20){\circle{6.00}} \put(37.11,150.53){\circle{6.00}} \put(7.23,159.31){\circle{6.00}} %\emline(26.67,132.65)(47.23,132.65) \put(26.67,132.65){\line(1,0){20.56}} %\end %\emline(47.23,132.65)(36.67,149.87) \multiput(47.23,132.65)(-0.12,0.19){89}{\line(0,1){0.19}} %\end %\emline(36.67,149.87)(26.67,132.65) \multiput(36.67,149.87)(-0.12,-0.21){84}{\line(0,-1){0.21}} %\end \put(46.67,132.50){\circle{6.00}} \put(103.78,139.86){\circle{6.00}} \put(83.90,165.97){\circle{6.00}} %\emline(103.34,139.31)(123.90,139.31) \put(103.34,139.31){\line(1,0){20.56}} %\end %\emline(123.90,139.31)(113.34,156.53) \multiput(123.90,139.31)(-0.12,0.20){88}{\line(0,1){0.20}} %\end %\emline(113.34,156.53)(103.34,139.31) \multiput(113.34,156.53)(-0.12,-0.21){84}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(117.23,120.42)(150.56,120.42) \put(117.23,120.42){\line(1,0){33.33}} %\end

%\emline(150.56,120.42)(132.78,149.86) \multiput(150.56,120.42)(-0.12,0.20){149}{\line(0,1){0.20}} %\end %\emline(132.78,149.86)(117.23,120.42) \multiput(132.78,149.86)(-0.12,-0.23){130}{\line(0,-1){0.23}} %\end \put(117.78,120.42){\circle{6.00}} \put(124.45,134.31){\circle{6.00}} \put(132.78,149.31){\circle{6.00}} \put(150.01,120.97){\circle{6.00}} \put(133.34,120.42){\circle{6.00}} \put(141.67,134.16){\circle{6.00}} \put(123.34,139.16){\circle{6.00}} %\emline(7.50,159.17)(27.50,132.50) \multiput(7.50,159.17)(0.12,-0.16){167}{\line(0,-1){0.16}} %\end %\emline(7.08,159.17)(37.08,150.42) \multiput(7.08,159.17)(0.41,-0.12){73}{\line(1,0){0.41}} %\end %\emline(83.75,165.83)(117.50,120.42) \multiput(83.75,165.83)(0.12,-0.16){282}{\line(0,-1){0.16}} %\end %\emline(83.75,165.83)(133.33,149.17) \multiput(83.75,165.83)(0.36,-0.12){139}{\line(1,0){0.36}} %\end %\emline(7.50,158.75)(46.67,132.50) \multiput(7.50,158.75)(0.18,-0.12){219}{\line(1,0){0.18}} %\end %\emline(83.75,165.42)(150.00,120.42) \multiput(83.75,165.42)(0.18,-0.12){376}{\line(1,0){0.18}} %\end \put(36.25,104.17){\circle{6.00}} \put(112.92,155.42){\circle{6.00}} \put(84.17,61.67){\circle{6.00}} \put(107.50,6.67){\circle{6.00}} \put(45.00,169.58){\circle{6.00}} \end{picture} \end{figure} 4 rozm�rn� simplexy jsou t�lesa v 3 rozm�rn�m prostoru. Jsou to pravideln� �ty�st�ny. Pokud se pokou��me kreslit je na 2 rozm�rn� plo�e, mus�me je deformovat jako na obr.\ref{Prvn� p�t}, kde hrany simplex; maj� rozd�ln� d�lky. A na kresb� uvnit� �ty�st�nu se neobjevuj�, pokud je nekresl�me ve stereoskopick� projekci. Objevuje se prvn� pot�: Nejsme schopni vytvo�it ze 4 rozm�rn�ch rovin jejich komplex. Pro�? V�echny vrcholy �ty�st�nu mus� b�t ve stejn� vzd�lenosti od st�edu soustavy koordin�t. Vhodn� bod se zd� le�et uvnit� �ty�st�nu, av�ak st�edu �ty�st�nu m� koordin�tu (1/4, 1/4, 1/4, 1/4). St�ed syst�mu s koordin�tou (0, 0, 0, 0) nem�e b�t uvnit� roviny ale mus� le�et mimo ni. �loha nal�zt tento bod je podobn� �loze lokalizovat Nirv�nu. D�chac� cvi�en� nepom�haj�. Pon�kud u�ite�n�j�� je �as. Jenom posuneme celou rovinu z jej�ho p�vodn�ho m�sta o jednu jednotkovou d�lku v na�� mysli. Pon�vad� tato operace nem� ��dnou geometrickou koordin�tu, �e�� to �lohu. Je�t� v�t�� p�ek�ky se mus� p�ekonat, kdy� se pokou��me p�edstavit p�ti rozm�rn� rovinn� simplex jako na obr. \ref{T�i projekce}. Jej� ob�lka se skl�d� z p�ti �ty�rozm�rn�ch rovin, �ty�st�n� maj�c�ch jednu

nulovou koordin�tu: $$\begin{array}{ccccl} & b & c & d & 0 \\* & b & c & 0 & e \\* & b & 0 & d & e \\* & 0 & c & d & e \\* 0 & b & c & d & e\;. \end{array}$$ Ve 3 rozm�rn�m prostoru �ty�st�nov� strany si p�ek�ej�. Pokud nakresl�me simplex jako trigon�ln� bipyramidu (obr. \ref{T�i projekce} A), m�eme vid�t v jednom okam�iku dva �ty�st�ny, �ekn�me abcd a abce, maj�c� spole�nou stranu abc jako z�kladnu dvou trigon�ln�ch pyramid, v jin�m okam�iku t�i �ty�st�ny maj�c� spole�nou hranu de, kter� proch�z� bipyramidou. Av�ak to jsou pouze strany simplexu a jeho vnit�ek le�� mezi t�mito p�ti �ty�st�ny. Mus�me je odsunout stranou, ne� se dostaneme dovnit�. Po�aduje to koncentraci, abychom vstoupili do vnit� rovin vy���ch rozm�r�. Nebo jeden �ty�st�n se m�e zplo�tit, �ekn�me abcd (obr. \ref{T�i projekce} B) a nad touto deformovanou z�kladnou maj� m�sto �ty�i �ty�st�ny, kter� kryj� pyramidu dvakr�t, jednou jako dva �ty�st�ny abce a acde, jednou jako dva �ty�st�ny abde a bcde. Do 2 rozm�rn� roviny se 5 rozm�rn� rovinn� simplex prom�t� jako pentagram (obr. \ref{T�i projekce} C). Ve v�ech p��padech rovinn� simplex je deformov�n sv�m stla�en�m do m�n� rozm�rn�ho prostoru. V ide�ln�m stavu v�echny hrany by m�ly m�t stejn� d�lky. 5 rozm�rn� rovinn� simplexy 6 rozm�rn�ho rovinn�ho simplexu kryj� svou 3 rozm�rnou projekce t�ikr�t. Projekce ve form� tetragon�ln�ch bipyramid se mohou rozd�lit do dvou pyramid maj�c�ch spole�nou stranu abcd jako z�kladnu potom do �ty� simplex� pod�l osy ef jako d��ve u 5 rozm�rn�ho simplexu. Nebo se m�e zplo�tit jeden 5 rozm�rn�m rovinn� simplex do pravideln�ho pentagonu a nad touto z�kladnou m� m�sto p�t 5 rozm�rn�ch rovinn�ch simplex�, kter� kryj� z�kladnu pentagon�ln� pyramidy t�ikr�t, rohy pentagramu 4 kr�t a sv�j st�ed 5 kr�t. To �in� anal�zu 7 rozm�rn�ho rovinn�ho simplexu nesnadnou, pon�vad� pentagon�ln� bipyramida je jej� nejjednodu��� model. \begin{figure} \caption{T�i projekce 5 rozm�rn�ho rovinn�ho simplexu.. A -- bipyramida, B -jedna strana �ty�st�nu je zplo�t�n�, C -- cel� simplex je zplo�t�n.} \label{T�i projekce} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(150.00,140.00) %\emline(49.33,100.00)(80.00,100.00) \put(49.33,100.00){\line(1,0){30.67}} %\end %\emline(80.00,100.00)(80.00,100.00) \put(80.00,100.00){\line(0,1){0.00}} %\end %\emline(80.00,100.00)(65.33,123.33) \multiput(80.00,100.00)(-0.12,0.19){123}{\line(0,1){0.19}} %\end %\emline(65.33,123.33)(49.67,100.00) \multiput(65.33,123.33)(-0.12,-0.18){131}{\line(0,-1){0.18}} %\end %\emline(45.33,126.00)(65.33,123.33) \multiput(45.33,126.00)(0.87,-0.12){23}{\line(1,0){0.87}}

%\end %\emline(65.33,123.33)(92.00,94.67) \multiput(65.33,123.33)(0.12,-0.13){223}{\line(0,-1){0.13}} %\end %\emline(92.00,94.67)(49.00,100.00) \multiput(92.00,94.67)(-0.96,0.12){45}{\line(-1,0){0.96}} %\end %\emline(49.00,100.00)(45.67,126.00) \multiput(49.00,100.00)(-0.12,0.93){28}{\line(0,1){0.93}} %\end \put(45.67,126.00){\circle{6.00}} \put(65.33,123.33){\circle{6.00}} \put(49.33,100.00){\circle{6.00}} \put(91.67,94.67){\circle{6.00}} \put(79.67,100.00){\circle{6.00}} %\emline(10.67,10.33)(50.00,10.33) \put(10.67,10.33){\line(1,0){39.33}} %\end %\emline(50.00,10.33)(70.00,24.67) \multiput(50.00,10.33)(0.17,0.12){120}{\line(1,0){0.17}} %\end %\emline(70.00,24.67)(35.00,54.00) \multiput(70.00,24.67)(-0.14,0.12){245}{\line(-1,0){0.14}} %\end %\emline(35.00,54.00)(10.67,10.33) \multiput(35.00,54.00)(-0.12,-0.22){203}{\line(0,-1){0.22}} %\end %\emline(50.00,10.33)(34.67,53.67) \multiput(50.00,10.33)(-0.12,0.34){128}{\line(0,1){0.34}} %\end %\emline(82.33,26.67)(121.67,26.67) \put(82.33,26.67){\line(1,0){39.34}} %\end %\emline(121.67,26.67)(130.67,60.00) \multiput(121.67,26.67)(0.12,0.44){76}{\line(0,1){0.44}} %\end %\emline(130.67,60.00)(101.67,80.33) \multiput(130.67,60.00)(-0.17,0.12){170}{\line(-1,0){0.17}} %\end %\emline(101.67,80.33)(73.00,60.00) \multiput(101.67,80.33)(-0.17,-0.12){170}{\line(-1,0){0.17}} %\end %\emline(73.00,60.00)(82.67,26.67) \multiput(73.00,60.00)(0.12,-0.41){81}{\line(0,-1){0.41}} %\end %\emline(82.67,26.67)(82.67,27.00) \put(82.67,26.67){\line(0,1){0.33}} %\end %\emline(82.67,27.00)(130.67,60.33) \multiput(82.67,27.00)(0.17,0.12){278}{\line(1,0){0.17}} %\end %\emline(130.67,60.33)(73.00,60.33) \put(130.67,60.33){\line(-1,0){57.67}} %\end %\emline(73.00,60.33)(121.67,26.67) \multiput(73.00,60.33)(0.17,-0.12){281}{\line(1,0){0.17}} %\end %\emline(121.67,26.67)(101.67,80.33)

\multiput(121.67,26.67)(-0.12,0.32){167}{\line(0,1){0.32}} %\end %\emline(101.67,80.33)(82.33,26.67) \multiput(101.67,80.33)(-0.12,-0.33){162}{\line(0,-1){0.33}} %\end \put(82.33,26.67){\circle{6.00}} \put(121.33,26.67){\circle{6.00}} \put(130.33,60.33){\circle{6.00}} \put(73.33,60.33){\circle{6.00}} \put(101.67,80.33){\circle{6.00}} \put(11.00,10.33){\circle{6.00}} \put(49.67,10.33){\circle{6.00}} \put(35.00,53.33){\circle{6.00}} \put(69.67,25.00){\circle{6.00}} %\emline(45.67,126.00)(91.67,94.67) \multiput(45.67,126.00)(0.18,-0.12){262}{\line(1,0){0.18}} %\end %\emline(11.33,10.33)(35.67,24.33) \multiput(11.33,10.33)(0.21,0.12){117}{\line(1,0){0.21}} %\end %\emline(35.67,24.33)(69.67,24.33) \put(35.67,24.33){\line(1,0){34.00}} %\end %\emline(69.67,24.33)(11.33,10.33) \multiput(69.67,24.33)(-0.50,-0.12){117}{\line(-1,0){0.50}} %\end %\emline(35.67,24.33)(49.67,10.67) \multiput(35.67,24.33)(0.12,-0.12){114}{\line(1,0){0.12}} %\end \put(35.67,24.33){\circle{6.00}} %\emline(36.00,24.33)(35.00,53.33) \multiput(36.00,24.33)(-0.11,3.22){9}{\line(0,1){3.22}} %\end \put(84.81,117.78){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(34.44,67.41){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(127.41,85.19){\makebox(0,0)[cc]{C}} \end{picture} \end{figure} �as a trp�livost jsou podstatn�, kdy� se analyzuj� roviny vy���ch rozm�r�. Rozlo�te je do podrovin a sni�te jejich rozm�rnost jako svou dom�c� �lohu. Domn�nka mimo matematiku: Mnohorozm�rn� objekty se mohou objevovat v m�n� rozm�rn�m prostoru pouze neust�lou z�m�nou sv�ch konfigurac�. Tedy mikro��stice se objevuj� ve form� vln. \section{Konstrukce ��seln� osy} \label{Konstrukce} Doposud jsme pou��vali pouze p�irozen� ��sla a vektory. Av�ak budeme pot�ebovat zlomkov� ��sla a vektory. Nyn� jsme schopni je zav�st, pon�vad� m�me dosti prostoru pro nutn� konstruktivn� operace. P�ipome�te si 2 rozm�rn� komplex (obr. \ref{Konstrukce rational}). Polohov� vektor (1,1) proch�z� rovinn�m simplexem $(a + b)^1$ v bod�, kter� doposud nem� ��dn� jm�no v na�em sv�t�. Zavedeme jej nalezen�m jeho koordin�t na obou os�ch. To se provede s pou�it�m rovnob�ek s ob�ma osami. Nov� ��sla jsou

definov�na jako pom�r koordin�ty $a$ polohov�ho vektoru a mocniny jej�ho simplexu nebo jako pom�r koordin�ty $b$ polohov�ho vektoru a mocniny jej�ho simplexu.. V p��klad� je pom�r 1/2. \begin{figure} \caption{Konstrukce racion�ln�ch ��sel. Vektor (1, 1) prot�n� prvn� rovinn� simplex v bod� s koordin�tou (0.5, 0.5).} \label{Konstrukce rational} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(110.00,110.00) %\emline(24.00,20.00)(24.00,90.00) \put(24.00,20.00){\line(0,1){70.00}} %\end %\emline(24.00,50.00)(54.00,20.00) \multiput(24.00,50.00)(0.12,-0.12){251}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(24.00,80.00)(83.67,20.00) \multiput(24.00,80.00)(0.12,-0.12){498}{\line(0,-1){0.12}} %\end \put(54.33,20.00){\circle{4.00}} %\emline(24.00,20.00)(94.33,20.00) \put(24.00,20.00){\line(1,0){70.33}} %\end \put(84.00,20.00){\circle{4.00}} \put(24.00,20.00){\circle{4.00}} \put(24.00,49.67){\circle{4.00}} \put(24.00,80.00){\circle{4.00}} \put(54.00,49.67){\circle{4.00}} %\vector(24.00,20.00)(54.00,50.00) \put(54.00,50.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(24.00,20.00)(0.12,0.12){251}{\line(0,1){0.12}} %\end %\vector(39.00,35.00)(39.00,20.00) \put(39.00,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(39.00,35.00){\line(0,-1){15.00}} %\end \put(12.33,49.67){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(12.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(12.00,20.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(39.00,10.00){\makebox(0,0)[lc]{ = 0.5}} \end{picture} \end{figure} Kdy� se tato operace provede se v�emi simplexy jdouc�mi k nekone�nu (nebo ekvivalentn� s nekone�n�m simplexem), dostaneme nekone�n� mnoho bod� v intervalu $<0, 1>$. V�echny tyto body jsou spo�etn� indexy i nekone�n� roviny. Jsou zn�m� jako {\em racion�ln� ��sla}. Racion�ln� ��sla mimo interval $<0, 1>$ se z�skaj� se��t�n�m racion�ln�m ��sla a p�irozen�ho ��slo (nebo n�soben�m). Samotn� nekone�n� rovinn� simplex z�stal p�i t�to operaci nerozd�len, jak byl ve sv�m p�irozen�m stavu. Pou�ijeme op�t jednu vlastnost Euklidovsk�ho prostoru, �e toti� rovnob�ky se nikdy nest�kaj� a p�eneseme jemn� d�len� racion�ln�ch ��sel z prv�ho simplexu do nekone�n� roviny (obr. \ref{Konstrukce irrational}). Na ni se objev� nov� polohov� vektory. Prot�naj� jednotkov� simplex v bodech, kter� v�echny le�� p�ed prvn�m racion�ln�m ��slem. Rozd�luj� �hel mezi prvn�m spo�etn�m racion�ln�m vektorem z prim�rn�ho nekone�n�ho d�len� jednotkov�ho intervalu a tedy form� nov� mno�ina nekone�n� mnoho body na ��seln� stupnice.

Operace se mohou opakovat ad infinitum. Prvn� mno�ina iracion�ln�ch ��sel je dosta�uj�c� pro reprezentaci {\em kontinua}. Jej� prvky nejsou spo�etn� pon�vad� nekone�n� z�soba ��sel je vy�erp�na po��t�n�m prv� �rody racion�ln�ch ��sel. Nespo�itateln� ��sla druh� �rody jsou {\em iracion�ln� ��sla}. \begin{figure} \caption{Konstrukce iracion�ln�ch ��sel. Vektor vedouc� k projekci prv�ch racion�ln�ch ��sel $a$ do nekone�n�ho rovinn�ho simplexu m� jako koordin�tu iracion�ln� ��slo $b$} \label{Konstrukce irrational} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(110.00,110.00) %\emline(24.00,20.00)(24.00,90.00) \put(24.00,20.00){\line(0,1){70.00}} %\end %\emline(24.00,50.00)(54.00,20.00) \multiput(24.00,50.00)(0.12,-0.12){251}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(24.00,80.00)(83.67,20.00) \multiput(24.00,80.00)(0.12,-0.12){498}{\line(0,-1){0.12}} %\end \put(54.33,20.00){\circle{4.00}} %\emline(24.00,20.00)(94.33,20.00) \put(24.00,20.00){\line(1,0){70.33}} %\end \put(84.00,20.00){\circle{4.00}} \put(24.00,20.00){\circle{4.00}} \put(24.00,49.67){\circle{4.00}} \put(24.00,80.00){\circle{4.00}} \put(54.00,49.67){\circle{4.00}} %\vector(24.00,20.00)(54.00,50.00) \put(54.00,50.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(24.00,20.00)(0.12,0.12){251}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(12.33,49.67){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(12.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{$\infty$}} \put(12.00,20.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(39.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(54.00,10.33){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(24.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} %\vector(39.00,20.00)(39.00,64.67) \put(39.00,64.67){\vector(0,1){0.2}} \put(39.00,20.00){\line(0,1){44.67}} %\end %\vector(24.00,20.00)(39.00,64.67) \put(39.00,64.67){\vector(1,3){0.2}} \multiput(24.00,20.00)(0.12,0.35){126}{\line(0,1){0.35}} %\end %\vector(31.33,42.33)(31.33,20.00) \put(31.33,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(31.33,42.33){\line(0,-1){22.33}} %\end \put(31.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \end{picture} \end{figure} Ostatn� pot�ebujeme takov� ��sla, kter� nejsme schopni ps�t explicitn�. Pokud se vr�t�me k simplexov� rovin� a pokus�me se zm��it d�lku vektoru vedouc�ho k bodu (0.5, 0.5), nebo (1, 1), oto�en�mu na osu, nenalezneme jej mezi racion�ln�mi

��sly. Odmocnina ze 2 ($\sqrt{2}$) nen� racion�ln� ��slo. ��sla, kter� lze z�skat n�sledn�mi d�len�mi kontinua a odstran�n�m desetinn� ��rky, jsou zn�m� jako {\em ��sla alef}. V Euklidovsk�m prostoru v�ude a v�dy plat�, �e 1 $\times$ 1 = 1. Nikde sou�in nen� iracion�ln� ��slo v�t�� nebo men��, ne� 1. \section{Komplexn� ��sla} \label{Komplexn� ��sla} Uk�zali jsme, �e maticov� vektor ${\bf M}$ se m�e prom�tnout na jednotkov� vektor ��dku ${\bf J}^{\rm T}$ nebo sloupec ${\bf J}$ a �e kvadratick� formy ${\bf M}^{\rm T}{\bf M}$ a ${\bf MM}^{\rm T}$ se mohou rozd�lit do pravo�hl�ch troj�heln�k�. To plat� pro maticov� vektory, ve kter�ch v�echny prvky jsou bu� kladn� nebo z�porn�. Pokud maticov� vektor obsahuje ��sla obou znam�nek, jeho projekce je krat��, ne� samotn� maticov� vektor. Potom p�epona pravo�hl�ho troj�heln�ka (obr. 1.2), reprezentovan� stopou kvadratick� formy, je del��, ne� vn�j�� sou�in, kde Mimodiagon�ln� prvky tvo�� odv�snu. Mimodiagon�ln� prvky mohou b�t bu� kladn� nebo z�porn�. Nap��klad: \begin{center} \begin{tabular}{rrrrcrrrcr} \ & \ & \ & \ & \vline\ & -3 & -2 & 1 & \vline\ & \ $\Sigma$ \\ \hline \ & \ & \ & \ & \vline\ & & & & \vline\ & \\ \ & \ & \ & 3 & \vline\ & 9 & -6 & 3 & \vline\ & 6 \\ \ & \ & \ & -2 & \vline\ & -6 & 4 & -2 & \vline\ & -4 \\ \ & \ & \ & 1 & \vline\ & 3 & -2 & 1 & \vline\ & 2 \\ \hline \ & \ & \ & \ & \vline\ & & & & \vline\ & \ \\ & \ & \ & \ $\Sigma$ & \vline\ & 6 & -4 & 2 & \vline\ & 4 \\ & & & & \vline & & & & \vline & Stopa = 14. \end{tabular} \end{center} D�lka diagon�ln�ho vektoru (stopa) je 14, d�lka mimodiagon�ln�ho vektoru (sou�et Mimodiagon�ln�ch prvk�) je $-$10, d�lka vn�j��ho sou�inu (projekce na jednotkov� vektor) je 4, to znamen�, �e je krat��, ne� samotn� vektor. Z�porn� sou�et Mimodiagon�ln�ch prvk� ukazuje, �e od jejich sou�et mus� b�t ode�ten od stopy nem� se k n� p�i��tat. To m�n� konstrukci troj�heln�ka. Patrn� jste sly�eli o imagin�rn�ch ��slech i, odmocnin�ch ze z�porn�ho ��sla $\sqrt{-1}$. Kdy� se objevila jako mo�n� �e�en� kvadratick�ch rovnic, matematikov� se jich ob�vali jako duch�. Pouze pozd�ji Euler uk�zal, jak mohou b�t zkrocena jejich mapov�n�m na komplexn� rovinu (obr. \ref{Komplexn� ��sla}). \begin{figure} \caption{Komplexn� ��sla. Jsou slo�ena z re�ln� a imagin�rn� ��sti} \label{Komplexn� ��sla} \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(110.00,100.00) %\emline(39.33,20.00)(99.33,20.00) \put(39.33,20.00){\line(1,0){60.00}} %\end %\emline(39.33,20.00)(39.33,80.00) \put(39.33,20.00){\line(0,1){60.00}} %\end %\vector(39.33,20.00)(80.66,47.33)

\put(80.66,47.33){\vector(3,2){0.2}} \multiput(39.33,20.00)(0.18,0.12){228}{\line(1,0){0.18}} %\end \put(44.33,76.67){\makebox(0,0)[lc]{re�ln�}} \put(39.67,4.67){\makebox(0,0)[lc]{imagin�rn�}} %\vector(80.81,47.04)(39.33,47.04) \put(39.33,47.04){\vector(-1,0){0.2}} \put(80.81,47.04){\line(-1,0){41.48}} %\end %\vector(80.44,47.04)(80.44,20.00) \put(80.44,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(80.44,47.04){\line(0,-1){27.04}} %\end \put(80.66,56.33){\makebox(0,0)[lc]{komplex}} \put(9.67,47.00){\makebox(0,0)[cc]{$\sin \phi$}} \put(80.33,13.33){\makebox(0,0)[rc]{$\cos \phi$}} %\circle(39.33,20.00){99.07} \multiput(39.33,69.54)(1.59,-0.10){4}{\line(1,0){1.59}} \multiput(45.70,69.13)(0.57,-0.11){11}{\line(1,0){0.57}} \multiput(51.96,67.90)(0.36,-0.12){17}{\line(1,0){0.36}} \multiput(58.01,65.88)(0.24,-0.12){24}{\line(1,0){0.24}} \multiput(63.75,63.10)(0.18,-0.12){30}{\line(1,0){0.18}} \multiput(69.08,59.61)(0.14,-0.12){35}{\line(1,0){0.14}} \multiput(73.92,55.46)(0.12,-0.13){36}{\line(0,-1){0.13}} \multiput(78.19,50.72)(0.12,-0.17){31}{\line(0,-1){0.17}} \multiput(81.82,45.47)(0.12,-0.23){25}{\line(0,-1){0.23}} \multiput(84.74,39.80)(0.11,-0.32){19}{\line(0,-1){0.32}} \multiput(86.91,33.80)(0.11,-0.52){12}{\line(0,-1){0.52}} \multiput(88.29,27.58)(0.11,-1.27){5}{\line(0,-1){1.27}} \multiput(88.85,21.22)(-0.08,-2.12){3}{\line(0,-1){2.12}} \multiput(88.60,14.85)(-0.12,-0.70){9}{\line(0,-1){0.70}} \multiput(87.53,8.56)(-0.12,-0.38){16}{\line(0,-1){0.38}} \multiput(85.66,2.47)(-0.12,-0.26){22}{\line(0,-1){0.26}} \multiput(1.41,51.87)(0.12,0.12){37}{\line(0,1){0.12}} \multiput(5.82,56.48)(0.15,0.12){34}{\line(1,0){0.15}} \multiput(10.78,60.48)(0.19,0.12){28}{\line(1,0){0.19}} \multiput(16.22,63.81)(0.26,0.12){22}{\line(1,0){0.26}} \multiput(22.04,66.42)(0.38,0.11){16}{\line(1,0){0.38}} \multiput(28.15,68.26)(1.02,0.12){11}{\line(1,0){1.02}} \end{picture} \end{figure} Nyn�, pokud m�me ��slo z ve form� \begin{equation} z = (x + iy) \ {\rm nebo} \ z = r(\cos \phi + i\sin \phi)\;, \end{equation} m�eme je rozd�lit do pravo�hl�ho troj�heln�ka a nahradit line�rn� vektor rovinn�m vektorem, kter� je v�dy slo�en ze dvou prvk�, jednoho re�ln�ho a jednoho imagin�rn�ho. Existuj� zvl�tn� pravidla pro po��t�n� s komplexn�mi ��sly a zejm�na maticemi obsahuj�c�mi komplexn� ��sla. \section{Vytvo�uj�c� funkce} \label{Vytvo�uj�c�} Uk�zali jsme jak se komplex konstruuje ze sv�ch simplex�. Tato technika se pou��v�

intensivn� v kombinatorice pro vytvo�uj�c� funkce. Prostor je definov�n n�jak�m funk�n�m vztahem, obvykle sou�tem nebo sou�inem, jeho� argument jde od 0 a� $\infty$. Vytvo�uj�c� funkce se vyhodnocuje s fale�nou prom�nnou, nap��klad $t$, a vypo�tou se koeficienty p�i rozd�ln�ch mocnin�ch $t$. Pon�vad� �ady ${\bf x}_a{\bf x}_b$ a ${\bf x}_b{\bf x}_a$ jsou nerozli�iteln� v komutativn�m procesu, bylo pova�ov�no za nemo�n� formulovat vytvo�uj�c� funkci, kter� by ukazovala po�ad� symbol� v sou�inech (permutace). Nicm�n� enumer�tory se snadno naleznou ve form� \begin{equation} \sum^n_{k=0}\ t^k/k!\;. \end{equation} Tyto enumer�tory jsou zn�m� jako exponenci�ln� vytvo�uj�c� funkce. Je mo�n� prov�d�t rozd�ln� algebraick� operace s vytvo�uj�c�mi funkcemi, nap��klad nal�zt jejich sou�ty, sou�iny, atd.. Odpov�daj�c� operace jsou zn�m� jako Cauchy Blissardovy algebry. Existuje mnoho koncep�n�ch probl�m� spojen�ch s konvergenc� nekone�n�ch s�ri� pro rozd�ln� argumenty. Zjednodu��me je s pou�it�m jednotkov�ch vektor� a vlastnost� Euklidovsk�ho prostoru. Pouze v�jime�n� zm�n�me n�jak� deformace ide�ln�ho prostoru. \section{Zobecn�n� jednotkov� vektory} \label{Zobecn�n�} S pou�it�m jednotkov�ch vektor� ${\bf e}_j$ z�ili jsme mo�nosti kalkulu. Zjednodu�en� m� mnoho v�hod av�ak mus� se za n� platit. N�kter� vzorce v p��t�ch kapitol�ch jsou spr�vn� i kdy� ${\bf e}_j$ nen� 1 av�ak jak�koliv ��slo. Nap��klad $(a + b + c)^k$ se m�e vyhodnotit jako $(1 + 2 + 3)^k$ stejn� jako $(2.1 + 0.1 + 5)^k$ v z�vislosti na skute�n�ch hodnot�ch prom�nn�ch. Plat� i pro geometrick� reprezentace prom�nn�ch. Je mo�n� si p�edstavit, jakoby prostor byl elastick� a jeho m��ka se mohla nap�nat, jak je pot�eba. Ka�d� zvl�tn� p��pad se m�e rozd�lit do ��sti, kter� je isomorfn� s ide�ln�m p��padem, a do zvl�tn� distorze jednotkov�ch vektor�. \section{Trigonometrick� funkce} \label{Trigonometric} Budeme diskutovat kr�tce trigonometrick� funkce, sinus, cosinus, tangens a kotangens. Spojuj� hodnoty �hly v pravo�hl�ho troj�heln�ka s pod�ly odv�sen k p�epon�. Pokud $\alpha$ je �hel odv�sny $b$ a p�epony $c$, jej� protilehl� strana je $a$, pak definice trigonometrick�ch funkc� jsou \begin{itemize} \item $\sin\, \alpha \item $\cos\, \alpha \item $\tan\, \alpha \item $\cot\, \alpha \item $\sin\, \alpha \end{itemize}

\ \ \ \ \

= = = = =

a/c$ b/c$ a/b$ b/ = 1/tan \alpha$ cos \beta.$

Strany obou �hl� m�n� sv� polohy. Vzorec \begin{center} $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = $1

\end{center} je ve skute�nosti Pythagorova v�ta \label{Pythagorova} ve form�: \begin{center} $(a/c)^2 + (b/c)^2 = (c/c)^2$, \end{center} nebo \begin{center} $\sin^2 \alpha + \sin^2 \bet =$ 1. \end{center} \section{P�irozen� ��sla a ��slovky} %\addcontentsline{kc}{section}{P�irozen� ��sla a ��slovky} \label{Natural} Dv� z�kladn� definice p�irozen�ch ��sel jsou Peanova axiomatick� a von Neumann�v mno�inov� model. Ob� definice jsou p��sn� funk�n�, nedbaj� na vztahy mezi ��sly a ��slovkami jako p�irozen�mi jm�ny p�irozen�ch ��sel a jejich psan� formy, jejich notace. Peano definoval p�irozen� ��sla algoritmem, kter� tvo�� z ��sla $k$ v�t�� ��slo p�i��t�n�m jednotky $(k + 1)$. Je to jemn� p��stup, kter� jsme u� vyu�ili pro vytvo�en� prostoru, kde m�sto 1 se p�idala nov� simplexov� vrstva. Von Neumann�v mno�inov� model vytv��� ��sla po��t�n�m mno�iny. Pr�zdn� mno�ina \ {0\} m� jeden prvek, to vytv��� 1. Mno�ina obsahuj�c� \{0, 1\} m� dva prvky, to vytv��� 2, a tak d�le. V�echny jazyky, kter� zn�m, maj� ��slovky $k$ pro ��sla 0 a� deset. ��slovky pro 11 -- 19 se tvo�� jako (10 + $k$) nap��klad v angli�tin� fourteen. Eleven a twelve jsou deformov�ny, pon�vad� se pou��vala �asto. N�sobky des�tek jako jedna ��slovka tvo�en� jako $(k\times$ty=ten), nap��klad forty. Sta a tis�ce se po��taj� odd�len�, potom pouze kilon�sobky tis�ce (milion, $\dots$) maj� sv� vlastn� ��slovky. ��sla mezi t�mito pivoty se vyjad�uj� jako line�rn� kombinace z�kladn�ch ��slovek. Ov�em existuj� v�jimky, jako zm�n�n�ch 11 a 12. ***Nap��klad deformace a v�jimky ��slovek se objevuj� do sta v Hind\'\i. Sta�� Egyp�an� m�li zvl�tn� jm�na a hieroglyfy pro des�tky. Notace ��slic m�la rozd�ln� formy: V primitivn� form�, jeden z��ez na holi odpov�dal ka�d�mu se�ten�mu objektu. Egyp�an� zavedli zvl�tn� znaky pro mocniny 10 a� $10^7$, av�ak ��slovky jedna a� dev�t vyjad�ovali primitivn� znakem odpov�daj�c�m ��slu. F�ni�an� zavedli p�smena pro 1 -- 9, 10 -- 90 a 100 -- 900. To zkr�tilo v�znamn� notaci. Tento soustava p�evzali Hebrejci a �ekov�. ��man� pou��vali sv�j vlastn� soustava. Specifick� symboly byly omezeny na I, V, X, L, C, D, M a po�et nutn�ch symbol� v jedn� ��slovce s pou�it�m polohov� soustavy IV = jedna ruka bez jednoho prstu, IX = dv� ruce bez jednoho prstu. Kone�n� m�me Indicko arabskou decim�ln� polohovou soustavu. M�li bychom zm�nit mayskou dvac�tkovou soustavu s polohovou notac�, kde nula s ��slovkou znamenala n�soben� 20 kr�t(quatre-vingt v francouz�tin�) babylonskou nedes�tkovou soustavu (n�mecky Schock, �esky kopa), kde mocniny t�� dvac�tek se vyjad�ovaly velikost� jejich symbolu (srovnej tucet -- veletucet -- velk�

veletucet). ��slovky, to je jm�na ��sel, jsou vytvo�eny modul�rn� soustavou, kter� je zalo�ena na na�ich prstech. Po��t�me mno�iny jejich shrabov�n�m na�ima rukama a t�mto p�irozen�m zp�sobem mluv�me a mysl�me o ��slech v decim�ln� soustav�. Definice p�irozen�ch ��sel by m�la vyj�d�it tento fakt. Tedy navrhuji n�sleduj�c� definici: {\em P�irozen� ��sla jsou vytvo�ena s�ri� modul�rn�ch operac�, srovn�vaj�c�ch dv� mno�iny, porovn�vanou mno�inu $\{n\}$ a modul�rn� mno�ina $\{m\}$}. Pr�zdn� mno�ina \{0\} je ze z�ejm�ch d�vod� nevhodn� jako modul�rn� mno�ina \{m\}. Mno�ina \{1\} jako modul�rn� mno�ina $\{m\}$ vytv��� pouze p�irozen� ��slo 0, pon�vad� $$\{n\}\ {\rm mod}\ \{1\} \equiv 0\ .$$ Mno�ina \{2\} vytv��� p�irozen� ��sla 0 a 1. S pou�it�m dosti velk� modul�rn� mno�iny $\{m\}$ dostaneme v jedn� modul�rn� operace v�echna p�irozen� ��sla. Av�ak je to nepohodln�, pon�vad� nem�me pro n� neomezenou z�sob�rnu jednoduch�ch symbol� a ��slovek. Proto se mus� pou��t s�rie modul�rn�ch porovn�v�n�, jej� V�sledkem je s�rie modul�rn�ch identit. Polohov� notace vede k modul�rn�m rovnostem: $$\{135\}\ {\rm mod}\ \{10\} = \ 135$$ $$\{135\}\ {\rm mod}\ \{4\} = 2013$$ Napsan� forma ��sla se z�sk�

s�ri� n�sledn�ch d�len� s modul�rn�mi zbytky

\begin{itemize} \item 135 : 4 = 33 + 3 \item \ 33 : 4 = \ 8 + 1 \item \ \ 8 : 4 = \ 2 + 0 \item \ \ 2 : 4 = \ 0 + 2 \end{itemize} V�sledn� ��slo modulu 4 je tvo�eno jako polohov� kombinace v�ech modul�rn�ch zbytk� naps�n od prvn�ho zprava doleva, kde je naps�n posledn� zbytek \footnote{ Toto semitsk� psan� bylo p�ijat� od F�ni�an�.} = 2013. A�koliv mno�ina \{1\} se zd� b�t p�irozenou z�kladnou ��seln� soustavy a objekty v mno�in�ch u� existuj� takov� form�, s�rie modul�rn� porovn�v�n� s 1 d�v� pouze s�rii nul. D�len� jednou nesni�uje digit�ln� velikost ��sla a nestla�uje jeho notaci. Proto takov� ��seln� soustava je nepraktick�. Bin�rn� soustava je prvou pou�itelnou. Modul�rn� operace je podstatn� mechanickou. V prv�m kroku ��dek prvky se rozsek� do ��dk� podle dan�ho modulu. Posledn� ��dka, kter� je ne�pln� (m�e b�t pr�zdn�) je v�sledek modul�rn� operace \begin{center} \begin{tabular}{lrrrr} ***** & mod & **: & ** & \ \\* \ & \ & \ & ** & \ \\* Zbytek & \ & \ & * & = 1. \end{tabular} \end{center}

Jeden sloupec �pln�ch ��dk� se transponuje do ��dku a operace se opakuje \begin{center} \begin{tabular}{lrrl} ** & mod & **: & ** \\* Zbytek & & & \ 0 = 0. \end{tabular} \end{center} Jeden �pln� sloupec z�skan� druhou modul�rn� operac� se op�t podobn� srovn�v� dokud v�echny prvky se nevy�erpaj� $$\begin{tabular}{lccl} * & mod & **: & 0 (po�et �pln�ch ��dk�) \\ Zbytek & & & * = 1. \end{tabular}$$ V�sledkem je bin�rn� notace ***** = 101. T�et� modul�rn� operace byla ve skute�nosti d�len�m druh� mocniny dvou, t�et� zbytek d�v� po�et �ty�ek v p�vodn� mno�in�. V bin�rn� notac� jsou ur�eny svou t�et� polohou od posledn� ��slice ud�vaj�c� po�et $1 = 2^0$. ��slo men��ho modulu je sou�asn� ��slem v�t��ho modulu. Bin�rn� ��slo �ty�i vypad� jako dekadick� ��slo sto (4 = 100). Dv� p�irozen� ��sla jsou stejn�, pokud se z�skaj� ze stejn� mno�iny $\{n\}$, a jsou srovnateln� ,pokud jsou ur�ena s pou�it�m stejn� modul�rn� mno�iny $\{m\}$. V porovn�n� s von Neumann mno�inov�m modelem, kde spojen� mno�iny \{\{0\}, \{1\}\} vyvol�vaj� ��slo 2, zde vytvo�uj�c� mno�ina \{2\} kryje ��sla 0 a 1. V�hody navr�en� definice jsou z�ejm�: p�irozen� ��sla s kardin�ln�mi ��slovkami algoritmem, kter� ukazuje, jak se tvo�� jm�na a notace p�irozen�ch ��sel z ��slovek. Je to logick�: ��sla, kter� jsou popsan� v p�irozen�m jazyce kombinacemi kardin�ln�ch ��slovek jsou p�irozen� ��sla. \chapter{Line�rn� oper�tory} \label{Line�rn� oper�tory} \section{�vod} \label{�vod 3} Vektory jsou oper�tory, kter� posouvaj� bod na jin� m�sto v prostoru. V t�to kapitole budeme diskutovat speci�ln� oper�tory, kter� p�sob� na mno�iny bod� nebo na mno�iny vektor� jakoby byly jedn�m bodem nebo pevn�m t�lesem. N�kter� z t�chto operac� byly u� zm�n�n�, av�ak nyn� se jim dostane systemati�t�j�� pozornosti. Nicm�n� n�kter� d�le�it� vlastnosti oper�tor� se stanou jasn�j�� pouze pozd�ji, po zaveden� grafov�ch oper�tor� a jejich vyu�it� k dosa�en� praktick�ch v�sledk�. Oper�tory se mohou rozd�lit do {\em aditivn�ch}, jako jsou vektory translace, a {\em multiplikativn�ch}, jako jsou skal�rn� sou�iny. Je mo�n� jin� hledisko klasifikace v z�vislosti na tom, tolik matic nebo vektor� je posti�eno. Operace m�e prob�hat uvnit� jedn� matice, nebo jeden maticov� oper�tor m�e p�sobit na jin� vektor nebo matici. Vzpome�te si, �e vektor ��dka nebo vektor sloupec jsou matice s jen jedou ��dkou nebo sloupcem. \section{Transponov�n� a transverzov�n�} \label{Transponov�n� a Transverzov�n�}

Transponov�n� maticov�ch vektor� u� bylo definov�no. M�n� jednodu�e ��dkov� indexy $i$ a sloupcov� indexy $j$ v�ech maticov�ch prvk� \begin{equation} {\bf M}^{\rm T} \rightarrow {\rm m}^{\rm T}_{ij} = {\rm m}_{ji}\; \end{equation} Pokud ${\bf M}^{\rm T} = {\bf M}$, matice je {\em symetrick�}. Tato vlastnost m� d�le�it� d�sledky pro jin� vlastnosti matice. Je zaj�mav�, �e transpozice m�n� po�ad� �len� v maticov�ch sou�inech: \begin{equation} ({\bf ABC})^{\rm T} = {\bf C}^{\rm T}{\bf B}^{\rm T}{\bf A}^{\rm T}\;. \end{equation} S transpozicemi je spojen� koncep�n� probl�m. P�ijali jsme konvenci, �e ��dky matice znamenaj� po�ad� v �ase, n�slednost, zat�m co sloupce jsou uspo��d�ny v prostoru jako ortogon�ln� vektory. Transpozice m�n� touto po�ad�. Av�ak vzpome�te si na knihu. V�echna slova existuj� sou�asn�, jsme pouze nuceni, abychom je �etli postupn� �etli. Podobnou funkci m� ve vektorov�m prostoru �as, nen� to konven�n� �as, kter� se m��� hodinami. V�echny prvky matice existuj� sou�asn� ve v�ech okam�ic�ch. Jinak bychom pot�ebovali jinou algebru. Druh� operace zde zaveden�, {\em transverze}, se v u�ebnic�ch nevyskytuje, av�ak pot�ebujeme ji k jednoduch�m d�kaz�m bez v�po�t� n�kter�ch kombinatorick�ch identit. Transverze m�n� po�ad� obou index�, co� znamen�, �e ��dky a sloupce se po��taj� odzadu. Pokud transponov�n� ot��� prvky matice okolo hlavn� diagon�ly $m_{11} \longrightarrow m_{nn}$, transverze je ot��� okolo diagon�ly (jej� jm�no bude transverz�la) $m_{1n} \longrightarrow m_{n1}$ (obr.\ref{Transposing}). Nahl��me nejvzd�len�j�� roh matice jako jej� v�choz� bod. \begin{figure} \caption{Transponov�n� (A) a transverzov�n� (B) matice} \label{Transposing} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(140.00,90.00) \put(10.33,20.00){\framebox(39.67,40.00)[cc]{}} \put(79.67,20.00){\framebox(40.33,40.33)[cc]{}} %\emline(5.00,65.00)(60.00,10.00) \multiput(5.00,65.00)(0.12,-0.12){459}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(69.67,10.00)(125.00,65.00) \multiput(69.67,10.00)(0.12,0.12){459}{\line(1,0){0.12}} %\end %\bezier{184}(50.00,9.67)(70.33,-1.00)(60.00,20.00) \put(60.00,20.00){\vector(-1,2){0.2}} \bezier{184}(50.00,9.67)(70.33,-1.00)(60.00,20.00) %\end %\bezier{180}(79.67,9.67)(60.67,-1.00)(69.67,20.00) \put(69.67,20.00){\vector(1,3){0.2}} \bezier{180}(79.67,9.67)(60.67,-1.00)(69.67,20.00) %\end \put(30.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(100.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{B}} \end{picture} \end{figure} \section{Translace a permutace}

\label{Translace a permutace} P�ekl�d�me v�tu z jednoho jazyka do jin�ho, nebo ji p�ekl�d�me jako blok z jednoho m�sta v textu na jin� m�sto. Podobn� m�eme p�ekl�dat vektory nebo jejich �ady. Nyn� mus�me nal�zt techniky, jak vyj�d�it rozd�ln� druhy translace abstraktn�m zp�sobem. Z�sadn� existuj� dv� mo�nosti, jak takov� translace se mohou uskute�nit. Oper�tory mohou b�t aditivn� nebo multiplikativn�. Aditivn� oper�tor se definuje jako rozd�l. Vezmeme dva stavy maticov�ho vektoru, p�vodn� ${\bf M}_1$ a kone�n� ${\bf M}_2$ a hledan� oper�tor ${\bf S}$ je jejich rozd�l: \begin{equation} {\bf S}= {\bf M}_2 - {\bf M}_1 \;. \end{equation} Nap��klad $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} {\bf N}_1 \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf N}_2 \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf S} \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Vypad� to trivi�ln�, av�ak speci�ln� v�tev matematiky, teorie graf�, studuje pouze

tyto oper�tory a vektory k nim ortogon�ln�. Podle na�� konvence ��dka p�esouv� jeden symbol na jin�. To odpov�d� k�dov�n� zpr�vy, v transponovan� form� tv���m uk�zan�m na obr. \ref{Face}. Ka�d� ��dka oper�tor ${\bf S}$ je rozd�l dvou jednotkov�ch vektor� ${\bf e}_j$. Z�porn� ${\bf e}_a$ jde od vrcholu $a$ zp�t ke st�edu a cesta prostorem pokra�uje vektorem ${\bf e}_b$ k vrcholu $b$. V�sledn� simult�nn� translace je vektor jdouc� p��mo z vrcholu $a$ k vrcholu $b$ bez dotknut� se st�edu (obr. \ref{Reprezentace}). \begin{figure} \caption{Reprezentace orientovan�ch a neorientovan�ch hran jako vektorov�ch sou�t� nebo rozd�l�} \label{Reprezentace} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(160.00,100.00) %\vector(20.00,70.00)(20.00,20.00) \put(20.00,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(20.00,70.00){\line(0,-1){50.00}} %\end %\vector(20.00,70.00)(70.00,70.00) \put(70.00,70.00){\vector(1,0){0.2}} \put(20.00,70.00){\line(1,0){50.00}} %\end %\vector(20.00,70.00)(70.00,20.00) \put(70.00,20.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(20.00,70.00)(0.12,-0.12){414}{\line(1,0){0.12}} %\end \put(10.00,47.00){\makebox(0,0)[cc]{$-{\bf e}_a$}} \put(45.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf e}_b$}} \put(37.67,58.67){\makebox(0,0)[lc]{arc $({\bf e}_b - {\bf e}_a)$}} \put(20.00,70.00){\circle{10.00}} \put(70.00,20.00){\circle{10.00}} \put(90.00,70.00){\circle{10.00}} %\emline(90.00,70.00)(140.00,20.00) \multiput(90.00,70.00)(0.12,-0.12){412}{\line(1,0){0.12}} %\end \put(140.00,20.00){\circle{10.00}} %\vector(90.00,20.00)(140.00,70.00) \put(141.00,70.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(90.00,20.00)(0.12,0.12){417}{\line(1,0){0.12}} %\end \put(100.00,20.00){\makebox(0,0)[lc]{$({\bf e}_ + {\bf e}_b)$}} \put(101.00,70.00){\makebox(0,0)[lc]{hran $(a + b)$}} \end{picture} \end{figure} Jednotkov� vektory ${\bf e}_j$ jsou {\em prim�rn�} vektory, jejich sou�ty nebo rozd�ly ${\rm s}_{ij}$ jsou {\em sekund�rn�} vektory. Jejich prostor je oto�en v �hlu $45^0$ k prim�rn�mu prostoru. Ke ka�d�mu sou�tu $(i + j)$ n�le�� dva rozd�ly, $(i - j)$ a $(j - i)$. Oper�tor ${\bf S}$ je �ada takov�ch sekund�rn�ch vektor�. Tyto vektory tvo�� hrany rovinn�ho simplexu $n^1$. Nevych�zej� ze st�edu k n�jak�mu bodu prostoru, av�ak m�n� vektorovou �adu v jinou jdouc� k stejn�mu simplexu. Pon�vad� ob� vektorov� �ady jsou kontinu�ln� cesty, oper�tor, kter� p�ekl�d� jednu v druhou le�� na plo�e v n rozm�rn�m prostoru (obr. \ref{Rozd�l dvou vektorov�ch �ad}).

\begin{figure} \caption{ Rozd�l dvou vektorov�ch �ad {\bf A} a {\bf B} tvo�� plochu {\bf S}} \label{Rozd�l dvou vektorov�ch �ad} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(90.00,100.00) %\vector(10.00,10.00)(10.00,25.00) \put(10.00,25.00){\vector(0,1){0.2}} \put(10.00,10.00){\line(0,1){15.00}} %\end %\vector(10.00,25.00)(18.33,34.67) \put(18.33,34.67){\vector(3,4){0.2}} \multiput(10.00,25.00)(0.12,0.14){70}{\line(0,1){0.14}} %\end %\vector(18.33,34.67)(20.00,49.67) \put(20.00,49.67){\vector(0,1){0.2}} \multiput(18.33,34.67)(0.12,1.07){14}{\line(0,1){1.07}} %\end %\vector(20.00,49.67)(33.33,54.67) \put(33.33,54.67){\vector(3,1){0.2}} \multiput(20.00,49.67)(0.32,0.12){42}{\line(1,0){0.32}} %\end %\vector(33.33,54.67)(41.67,67.67) \put(41.67,67.67){\vector(2,3){0.2}} \multiput(33.33,54.67)(0.12,0.19){70}{\line(0,1){0.19}} %\end %\vector(41.67,67.67)(56.67,75.33) \put(56.67,75.33){\vector(2,1){0.2}} \multiput(41.67,67.67)(0.23,0.12){64}{\line(1,0){0.23}} %\end %\vector(10.00,9.67)(25.00,9.67) \put(25.00,9.67){\vector(1,0){0.2}} \put(10.00,9.67){\line(1,0){15.00}} %\end %\vector(25.00,9.67)(41.33,14.33) \put(41.33,14.33){\vector(4,1){0.2}} \multiput(25.00,9.67)(0.42,0.12){39}{\line(1,0){0.42}} %\end %\vector(41.33,14.33)(44.67,28.33) \put(44.67,28.33){\vector(1,4){0.2}} \multiput(41.33,14.33)(0.12,0.50){28}{\line(0,1){0.50}} %\end %\vector(44.67,28.33)(44.67,42.67) \put(44.67,42.67){\vector(0,1){0.2}} \put(44.67,28.33){\line(0,1){14.34}} %\end %\vector(44.67,42.67)(59.00,45.67) \put(59.00,45.67){\vector(4,1){0.2}} \multiput(44.67,42.67)(0.55,0.12){26}{\line(1,0){0.55}} %\end %\vector(59.00,45.67)(66.33,57.33) \put(66.33,57.33){\vector(2,3){0.2}} \multiput(59.00,45.67)(0.12,0.19){62}{\line(0,1){0.19}} %\end \put(10.00,9.67){\circle{3.89}} \put(72.67,73.00){\makebox(0,0)[lc]{\bf S}} %\bezier{184}(56.67,74.81)(76.30,81.11)(66.30,57.41) \put(66.30,57.41){\vector(-1,-3){0.2}} \bezier{184}(56.67,74.81)(76.30,81.11)(66.30,57.41)

%\end %\emline(66.67,61.85)(66.30,57.41) \multiput(66.67,61.85)(-0.09,-1.11){4}{\line(0,-1){1.11}} %\end %\emline(66.30,57.41)(69.63,60.74) \multiput(66.30,57.41)(0.12,0.12){28}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(25.19,60.74){\makebox(0,0)[cc]{{\bf A}}} \put(56.67,35.19){\makebox(0,0)[cc]{{\bf B}}} %\bezier{188}(10.33,24.67)(31.00,33.00)(25.00,9.33) \put(25.00,9.33){\vector(-1,-4){0.2}} \bezier{188}(10.33,24.67)(31.00,33.00)(25.00,9.33) %\end %\bezier{188}(18.33,34.33)(33.67,43.00)(41.33,14.33) \put(41.33,14.33){\vector(1,-4){0.2}} \bezier{188}(18.33,34.33)(33.67,43.00)(41.33,14.33) %\end %\bezier{188}(20.00,49.33)(39.67,54.33)(44.67,28.33) \put(44.67,28.33){\vector(1,-4){0.2}} \bezier{188}(20.00,49.33)(39.67,54.33)(44.67,28.33) %\end %\bezier{136}(33.00,54.33)(48.67,59.33)(44.67,42.67) \put(44.67,42.67){\vector(-1,-4){0.2}} \bezier{136}(33.00,54.33)(48.67,59.33)(44.67,42.67) %\end %\bezier{224}(41.67,67.67)(65.00,76.00)(59.00,45.67) \put(59.00,45.67){\vector(-1,-4){0.2}} \bezier{224}(41.67,67.67)(65.00,76.00)(59.00,45.67) %\end \end{picture} \end{figure} Sou�et dvou jednotkov�ch vektor� $({\bf e}_j + {\bf e}_i)$ je ortogon�ln� k rozd�lu $({\bf e}_j - {\bf e}_i)$ a odpov�daj�c� matice ${\bf G} = {\bf N}_1 + {\bf N}_2$ se li�� od matice ${\bf S}$ pouze kladn�mi znam�nky d�vaj�c�mi do vztahu ob� jednotkov� vektorov� �ady. Pon�vad� ka�d� n�sledn� prvek v �ad� je ortogon�ln�, ${\bf G}$ p�edstavuj� vektory ortogon�ln� k oper�tor�m ${\bf S}$. Matice ${\bf G}$ jsou line�rn� vektory ortogon�ln� k plo�e oper�toru ${\bf S}$. Tvo�� sekund�rn� vektorov� prostor, kter� nen� �pln�, jako uvid�me v druh� ��sti t�to knihy. Prv� multiplikativn� oper�tory umo�nily vytvo�it n� prostor. Jsou ur�eny vlastnostmi zvl�tn� t��dy naivn�ch matic ${\bf N}$, kter� maj� jeden jednotkov� symbol nejen v ka�d� ��dce av�ak tak� v ka�d�m sloupci. Tyto matice ${\bf P}$ jsou zn�m� jako {\em jednotkov� permuta�n� matice}. Jednotkov� diagon�ln� matice ${\bf I}$ k nim pat��. V�echny permuta�n� matice jsou �tvercov� matice tvo��c� grupy S$_n$ permuta�n�ch matic s $n$ ��dky a sloupci. Kdy� se matice n�sob� permuta�n� matic� zprava, tato operace m�n� po�ad� sloupc� n�soben� matice. Nap��klad $$\begin{tabular}{rrrrcrrrr} \ & \ & \ & \ & \vline\ & 0 \ & \ & \ & \ & \vline\ & 0 \ & \ & \ & \ & \vline\ & 0 \ & \ & \ & \ & \vline\ & 1 \hline & & & & \vline\ & & & & \\ 1 \ & 0 & 0 & 0 & \vline\ & 1 \ & 0 & 0 & 0 & \vline\ &

& & & &

1 0 0 0

& & & &

0 1 0 0

& & & &

0 0 1 0

\\ \\ \\ \\

0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 \ & 1 & 0 & 0 & \vline\ & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \vline\ & 0\ & 0\ & 0\ & 1 \end{tabular}$$ Prvn� sloupec se objev� v sou�inu jako druh�, pon�vad� matice ${\bf P}$ m� 1 v druh�m sloupci prvn� ��dky. Posledn� (nulov�) sloupec se podobn� p�em�st� na prv� m�st� posledn�m jednotkov�m prvkem v prv�m sloupci. N�soben� zleva m�n� po�ad� ��dek n�soben� matice. Nap��klad $$\begin{tabular}{rrrrcrrrr} \ & \ & \ & \ & \vline\ & 1 & 0 & \ & \ & \ & \ & \vline\ & 1 & 0 & \ & \ & \ & \ & \vline\ & 0 & 1 & \ & \ & \ & \ & \vline\ & 0 & 0 & \hline & & & & \vline\ & & & & \\ 0 \ & 1 & 0 & 0 & \vline\ & 1 & 0 0 \ & 0 & 1 & 0 & \vline\ & 0 & 1 0 \ & 0 & 0 & 1 & \vline\ & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & \vline\ & 1\ & 0\ \end{tabular}$$

0 0 0 1

& & & &

0 0 0 0

\\ \\ \\ \\

& & & &

0 & 0\\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0\ & 0

\begin{figure} \caption{Grupa symetrie ${\rm S}_3$. A -- identita, v�echny prvky z�st�vaj� na sv�ch m�stech; B, C, D -- reflexe, dva prvky si zam�n� sv� m�sta; E, F -- oto�en�, t�� prvky vym�n� si sv� m�sta v cyklech} \label{Grupa symetrie $S_3$} \linethickness{0.5pt} \begin{picture}(160.00,210.00) %\emline(10.00,9.67)(60.00,9.67) \put(10.00,9.67){\line(1,0){50.00}} %\end %\emline(60.00,9.67)(35.00,53.33) \multiput(60.00,9.67)(-0.12,0.21){209}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(35.00,53.33)(10.00,9.67) \multiput(35.00,53.33)(-0.12,-0.21){209}{\line(0,-1){0.21}} %\end \put(5.00,5.67){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(65.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(35.00,58.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} %\emline(85.00,9.67)(135.00,9.67) \put(85.00,9.67){\line(1,0){50.00}} %\end %\emline(135.00,9.67)(110.00,53.33) \multiput(135.00,9.67)(-0.12,0.21){209}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(110.00,53.33)(85.00,9.67) \multiput(110.00,53.33)(-0.12,-0.21){209}{\line(0,-1){0.21}} %\end \put(80.00,5.67){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(140.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(110.00,58.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} %\emline(10.00,79.67)(60.00,79.67) \put(10.00,79.67){\line(1,0){50.00}} %\end %\emline(60.00,79.67)(35.00,123.33)

\multiput(60.00,79.67)(-0.12,0.21){209}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(35.00,123.33)(10.00,79.67) \multiput(35.00,123.33)(-0.12,-0.21){209}{\line(0,-1){0.21}} %\end \put(5.00,75.67){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(65.00,75.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(35.00,128.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} %\emline(85.00,79.67)(135.00,79.67) \put(85.00,79.67){\line(1,0){50.00}} %\end %\emline(135.00,79.67)(110.00,123.33) \multiput(135.00,79.67)(-0.12,0.21){209}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(110.00,123.33)(85.00,79.67) \multiput(110.00,123.33)(-0.12,-0.21){209}{\line(0,-1){0.21}} %\end \put(80.00,75.67){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(140.00,75.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(110.00,128.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} %\emline(10.00,149.67)(60.00,149.67) \put(10.00,149.67){\line(1,0){50.00}} %\end %\emline(60.00,149.67)(35.00,193.33) \multiput(60.00,149.67)(-0.12,0.21){209}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(35.00,193.33)(10.00,149.67) \multiput(35.00,193.33)(-0.12,-0.21){209}{\line(0,-1){0.21}} %\end \put(5.00,145.67){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(65.00,145.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(35.00,198.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} %\emline(85.00,149.67)(135.00,149.67) \put(85.00,149.67){\line(1,0){50.00}} %\end %\emline(135.00,149.67)(110.00,193.33) \multiput(135.00,149.67)(-0.12,0.21){209}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(110.00,193.33)(85.00,149.67) \multiput(110.00,193.33)(-0.12,-0.21){209}{\line(0,-1){0.21}} %\end \put(80.00,145.67){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(140.00,145.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(110.00,198.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} \put(35.00,24.33){\circle{4.22}} \put(110.00,24.33){\circle{4.06}} %\circle(35.00,24.00){20.00} \multiput(35.00,34.00)(1.07,-0.12){2}{\line(1,0){1.07}} \multiput(37.15,33.77)(0.34,-0.12){6}{\line(1,0){0.34}} \multiput(39.20,33.08)(0.19,-0.11){10}{\line(1,0){0.19}} \multiput(41.05,31.96)(0.12,-0.11){13}{\line(1,0){0.12}} \multiput(42.62,30.47)(0.11,-0.16){11}{\line(0,-1){0.16}} \multiput(43.84,28.68)(0.11,-0.29){7}{\line(0,-1){0.29}} \multiput(44.64,26.68)(0.12,-0.71){3}{\line(0,-1){0.71}} \put(44.99,24.54){\line(0,-1){2.16}} \multiput(44.87,22.38)(-0.12,-0.42){5}{\line(0,-1){0.42}} \multiput(44.29,20.30)(-0.11,-0.21){9}{\line(0,-1){0.21}} \multiput(43.28,18.39)(-0.12,-0.14){12}{\line(0,-1){0.14}}

\multiput(41.88,16.74)(-0.16,-0.12){11}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(40.16,15.43)(-0.25,-0.11){8}{\line(-1,0){0.25}} \multiput(38.19,14.52)(-0.53,-0.12){4}{\line(-1,0){0.53}} \put(36.08,14.06){\line(-1,0){2.16}} \multiput(33.92,14.06)(-0.53,0.12){4}{\line(-1,0){0.53}} \multiput(31.81,14.52)(-0.25,0.11){8}{\line(-1,0){0.25}} \multiput(29.84,15.43)(-0.16,0.12){11}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(28.12,16.74)(-0.12,0.14){12}{\line(0,1){0.14}} \multiput(26.72,18.39)(-0.11,0.21){9}{\line(0,1){0.21}} \multiput(25.71,20.30)(-0.12,0.42){5}{\line(0,1){0.42}} \put(25.13,22.38){\line(0,1){2.16}} \multiput(25.01,24.54)(0.12,0.71){3}{\line(0,1){0.71}} \multiput(25.36,26.68)(0.11,0.29){7}{\line(0,1){0.29}} \multiput(26.16,28.68)(0.11,0.16){11}{\line(0,1){0.16}} \multiput(27.38,30.47)(0.12,0.11){13}{\line(1,0){0.12}} \multiput(28.95,31.96)(0.19,0.11){10}{\line(1,0){0.19}} \multiput(30.80,33.08)(0.52,0.12){8}{\line(1,0){0.52}} %\end %\circle(110.00,24.33){20.00} \multiput(110.00,34.33)(1.07,-0.12){2}{\line(1,0){1.07}} \multiput(112.15,34.10)(0.34,-0.12){6}{\line(1,0){0.34}} \multiput(114.20,33.41)(0.19,-0.11){10}{\line(1,0){0.19}} \multiput(116.05,32.29)(0.12,-0.11){13}{\line(1,0){0.12}} \multiput(117.62,30.81)(0.11,-0.16){11}{\line(0,-1){0.16}} \multiput(118.84,29.02)(0.11,-0.29){7}{\line(0,-1){0.29}} \multiput(119.64,27.01)(0.12,-0.71){3}{\line(0,-1){0.71}} \put(119.99,24.87){\line(0,-1){2.16}} \multiput(119.87,22.72)(-0.12,-0.42){5}{\line(0,-1){0.42}} \multiput(119.29,20.63)(-0.11,-0.21){9}{\line(0,-1){0.21}} \multiput(118.28,18.72)(-0.12,-0.14){12}{\line(0,-1){0.14}} \multiput(116.88,17.07)(-0.16,-0.12){11}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(115.16,15.76)(-0.25,-0.11){8}{\line(-1,0){0.25}} \multiput(113.19,14.86)(-0.53,-0.12){4}{\line(-1,0){0.53}} \put(111.08,14.39){\line(-1,0){2.16}} \multiput(108.92,14.39)(-0.53,0.12){4}{\line(-1,0){0.53}} \multiput(106.81,14.86)(-0.25,0.11){8}{\line(-1,0){0.25}} \multiput(104.84,15.76)(-0.16,0.12){11}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(103.12,17.07)(-0.12,0.14){12}{\line(0,1){0.14}} \multiput(101.72,18.72)(-0.11,0.21){9}{\line(0,1){0.21}} \multiput(100.71,20.63)(-0.12,0.42){5}{\line(0,1){0.42}} \put(100.13,22.72){\line(0,1){2.16}} \multiput(100.01,24.87)(0.12,0.71){3}{\line(0,1){0.71}} \multiput(100.36,27.01)(0.11,0.29){7}{\line(0,1){0.29}} \multiput(101.16,29.02)(0.11,0.16){11}{\line(0,1){0.16}} \multiput(102.38,30.81)(0.12,0.11){13}{\line(1,0){0.12}} \multiput(103.95,32.29)(0.19,0.11){10}{\line(1,0){0.19}} \multiput(105.80,33.41)(0.52,0.12){8}{\line(1,0){0.52}} %\end %\emline(43.33,26.67)(44.67,21.67) \multiput(43.33,26.67)(0.11,-0.42){12}{\line(0,-1){0.42}} %\end %\emline(44.67,21.67)(46.33,26.67) \multiput(44.67,21.67)(0.12,0.36){14}{\line(0,1){0.36}} %\end %\emline(99.00,27.33)(100.00,23.00) \multiput(99.00,27.33)(0.11,-0.48){9}{\line(0,-1){0.48}} %\end %\emline(100.00,23.00)(101.33,27.00)

\multiput(100.00,23.00)(0.11,0.33){12}{\line(0,1){0.33}} %\end %\emline(10.33,80.00)(60.00,109.00) \multiput(10.33,80.00)(0.21,0.12){242}{\line(1,0){0.21}} %\end %\emline(110.00,122.67)(110.00,70.00) \put(110.00,122.67){\line(0,-1){52.67}} %\end %\emline(135.00,149.67)(84.67,178.33) \multiput(135.00,149.67)(-0.21,0.12){239}{\line(-1,0){0.21}} %\end %\bezier{144}(85.00,167.67)(78.00,184.33)(95.00,178.33) \put(95.00,178.33){\vector(3,-1){0.2}} \bezier{144}(85.00,167.67)(78.00,184.33)(95.00,178.33) %\end \put(20.00,190.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(95.00,190.00){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(20.00,120.00){\makebox(0,0)[cc]{C}} \put(95.00,120.00){\makebox(0,0)[cc]{D}} \put(20.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{E}} \put(95.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{F}} %\bezier{164}(60.00,99.67)(69.67,117.33)(50.00,109.33) \put(50.00,109.33){\vector(-3,-1){0.2}} \bezier{164}(60.00,99.67)(69.67,117.33)(50.00,109.33) %\end %\bezier{148}(100.00,75.00)(110.00,59.00)(120.00,74.67) \put(120.00,74.67){\vector(3,4){0.2}} \bezier{148}(100.00,75.00)(110.00,59.00)(120.00,74.67) %\end \end{picture} \end{figure} Na obr. \ref{Grupa symetrie $S_3$}, kde jsou zobrazeny ��inky 6 permuta�n�ch matic grupy $S_3$ na t��rozm�rn� rovinn� simplex, m�eme vid�t ��inek takov�ho n�soben� sloupce. Jednotkov� diagon�ln� matice nech�v� simplex nezm�n�n�, dv� matice ji ot��� pod�l jej�ho st�edu a t�i matice m�n� polohy pouze dvou vrchol� jakoby se troj�heln�k zrcadlil pod�l roviny ortogon�ln� k odpov�daj�c� hran� (nebo se ot��el pod�l osy le��c� v rovin�). To jsou {\em operace symetrie}. Budou studov�ny pozd�ji podrobn�ji. V�echny permuta�n� matice s n ��dky a sloupci se z�skaj� jako n�sledn� oto�en� a tvo�� cyklick� grupy S$_n$. Ot��ej� vektory v cyklech a po dan�m po�tu opakovan�ch operac� vektory se vr�t� zp�t do sv�ch p�vodn�ch poloh. \section{Inverzn� prvky} %\addcontentsline{kc}{section}{Inverzn� prvky} \label{Inverzn� prvky} Kdy� m�me ��slo, �ekn�me 5, m�eme definovat jeho inverzn� prvek op�t dv�ma zp�soby, aditivn�m a multiplikativn�m. Podobn� se prvky mohou definovat pro vektory. \begin{figure} \caption{Aditivn� a multiplikativn� vyva�ov�n� ��sel} \label{Aditivn�} \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(130.00,90.00) %\emline(55.00,10.00)(67.67,10.00)

\put(55.00,10.00){\line(1,0){12.67}} %\end %\emline(67.67,10.00)(60.00,20.00) \multiput(67.67,10.00)(-0.12,0.16){64}{\line(0,1){0.16}} %\end %\emline(60.00,20.00)(55.00,10.00) \multiput(60.00,20.00)(-0.12,-0.24){42}{\line(0,-1){0.24}} %\end %\emline(10.00,20.00)(110.00,20.00) \put(10.00,20.00){\line(1,0){100.00}} %\end \put(60.00,19.67){\circle{4.00}} \put(40.00,20.00){\circle{4.00}} \put(20.00,20.00){\circle{4.00}} \put(40.00,20.00){\circle{4.00}} \put(80.00,20.00){\circle{4.00}} \put(100.00,20.00){\circle{4.00}} \put(100.00,20.00){\circle{4.00}} %\emline(55.00,50.00)(67.67,50.00) \put(55.00,50.00){\line(1,0){12.67}} %\end %\emline(67.67,50.00)(60.00,60.00) \multiput(67.67,50.00)(-0.12,0.16){64}{\line(0,1){0.16}} %\end %\emline(60.00,60.00)(55.00,50.00) \multiput(60.00,60.00)(-0.12,-0.24){42}{\line(0,-1){0.24}} %\end %\emline(10.00,60.00)(110.00,60.00) \put(10.00,60.00){\line(1,0){100.00}} %\end \put(60.00,59.67){\circle{4.00}} \put(40.00,60.00){\circle{4.00}} \put(20.00,60.00){\circle{4.00}} \put(40.00,60.00){\circle{4.00}} \put(80.00,60.00){\circle{4.00}} \put(100.00,60.00){\circle{4.00}} \put(100.00,60.00){\circle{4.00}} \put(20.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{$-2$}} \put(40.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{$-1$}} \put(60.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(80.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(100.33,70.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(19.33,30.00){\makebox(0,0)[cc]{$\log{1/3}$}} \put(40.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{$\log{1/2}$}} \put(60.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{$\log{1}$}} \put(80.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{$\log{1}$}} \put(100.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{$\log{3}$}} \end{picture} \end{figure} Inverzn� operace ke s��t�n� je ode��t�n�. ��slo 5 se z�skalo z 0 p�i�ten�m 5 a obnov�me p�vodn� situaci ode�ten�m 5: $5 + (-5) = 0$. Inverzn� aditivn� prvek 5 je $(-5)$ a inverzn� aditivn� prvek $(-5)$ je 5. M�eme si p�edstavit tato ��sla na v�ze (obr. \ref{Aditivn�}). Aditivn� inverzn� prvky jsou jen vektory koline�rn� s p�vodn�mi vektory, maj�c� stejn� d�lky av�ak opa�n� sm�r. Tvo�� se z�m�nou znam�nka vektoru. Nyn� m�eme uva�ovat inverzn� prvek pro operaci n�soben�:

$$ a \times a^{-1} = a^0 = 1\;.$$ Kdy� pou�ijeme logaritmickou stupnici dostaneme $${\log a} + {\log a^{-1}} = {\log 1} = 0\;.$$ Z toho zjist�me, �e $a^-1 = 1/a$. Na ��seln� stupnici inverzn� prvky ��sel v�t��ch ne� 1 jsou v intervalu (0,1), kter� se zd� b�t nevyv�en�, viz obr. \ref{Aditivn�}, av�ak je vyv�en� na logaritmick� stupnici. Zd� se, �e je snadn� nal�zt inverzn� vektory k vektor�m-sloupc�m (nebo vektor�m��dk�m). Mus� d�t jednotkov� skal�rn� sou�in, nap��klad: $$\begin{array}{ccc} \begin{tabular}{rrrcr} & & & \vline & 3 \\ & & & \vline & 1/2 \\ & & & \vline & 1 \\ \hline & & & \vline & \\ 1/6 & 1 & 0 & \vline & 1 \end{tabular} & \qquad & \begin{tabular}{rrrcr} & & & \vline & 1/6 \\ & & & \vline & 1 \\ & & & \vline & 0 \\ \hline & & & \vline & \\ 3 & 1/2 & 1 & \vline & 1 \end{tabular} \end{array}$$ Av�ak takov� inverze maj� jednu podstatnou nev�hodu: Nejsou jedine�n�. Existuje nekone�n� mnoho takov�ch inverz�, kter� vyva�uj� ka�d� vektor-sloupec (nebo ka�d� vektor-��dku), tedy jsou {\em neur�it�}, nap��klad jin� vhodn� �e�en� je: $$\begin{array}{ccc} \begin{tabular}{rrrcr} & & & \vline & 3 \\ & & & \vline & 1/2 \\ & & & \vline & 1 \\ \hline & & & \vline & \\ 1/9 & 2/3 & 1/3 & \vline & 1 \end{tabular} & \qquad & \begin{tabular}{rrrcr} & & & \vline & 1/9 \\ & & & \vline & 2/3 \\ & & & \vline & 1/3 \\ \hline & & & \vline & \\ 3 & 1/2 & 1 & \vline & 1 \end{tabular} \end{array}$$ Pokud se pokou��me nal�zt levou (pravou) inverzn� matici, jej� ��dky mus� b�t lev� (prav�) inverze pro odpov�daj�c� sloupce (��dky), av�ak sou�asn� nulov� vektory

pro jin� sloupce (��dky). V dan�m p��pad� nulov� vektor je op�t neur�it�: $$\begin{array}{ccc} \begin{tabular}{lrrcr} & & & \vline & 3 \\ & & & \vline & 1/2 \\ & & & \vline & 1 \\ \hline & & & \vline & \\ 1 & 0 & -3 & \vline & 0 \\ -4/3 & 2 & 3 & \vline & 0 \end{tabular} & \qquad & \begin{tabular}{rrrcrr} & & & \vline & 1 & -4/3 \\ & & & \vline & 0 & 2 \\ & & & \vline & -3 & 3 \\ \hline & & & \vline & \\ 3 & 1/2 & 1 & \vline & 0 & 0 \\ & & & & & \end{tabular} \end{array}$$ Jin� pot� s inverzn� prvky vektor� je, �e nem�eme nal�zt pravou inverzi k vektorusloupci (levou inverzi k vektoru-��dce): $$\begin{array}{ccc} \begin{tabular}{rcrrr} & \vline & ? & ? & ? \\ & \vline & ? & ? & ? \\ & \vline & ? & ? & ? \\ \hline & \vline & & & \\ 3 & \vline & 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & \vline & 0 & 1 & 0 \\ 1 & \vline & 0 & 0 & 1 \end{tabular} & \qquad & \begin{tabular}{rrrcrcr} & & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & \vline & 3 & 1/2 & 0 \hline & & & \vline & & & \\ ? & ? & ? & \vline & 1 & 0 ? & ? & ? & \vline & 0 & 1 ? & ? & ? & \vline & 0 & 0 \end{tabular} \end{array}$$

\\ & 0 \\ & 0 \\ & 1

Byla by tu 1/3 jako prvn� inverzn� prvek ${\rm m}^{-1}_{ij}$, av�ak nem�e se vynulovat v n�sleduj�c�ch ��dc�ch v prv�m sloupci. Pro jej� vynulov�n� bychom pot�ebovali n�jak� nenulov� prvky v druh�m a t�et�m sloupci lev� matice. Pro maticov� vektory m�eme, alespo� n�kdy, nal�zt matice, kter� transformuj� v�echny jejich vektor sloupce do diagon�ln� matice. Jeden vektor sloupec nem� ��dnou inverzi zprava, av�ak jejich soustava ji m�. Kter� vlastnosti matice mus� m�t, aby byla invertovateln�. Budou uk�zan� pozd�ji. Pokud matice m� ob� inverze, zleva i zprava, potom ob� inverze jsou identick� a existuje pouze jedna inverze, jej� akce

je stejn� z obou stran. To je prav� inverze dan� matice. Mohli bychom hledat inverze n�hodn�m zkou�en�m n�hodn�m vhodn�ch vektor�. Lep�� je pou��t n�jak� ov��en� algoritmy, kter� budou zavedeny pozd�ji. Matice maj�c� inverzi je {\em regul�rn�} nebo {\em nesingul�rn�}. Nesingul�rn� matice nemaj� ��dn� nulov� vlastn� hodnoty a vlastn� vektory a singul�rn� matice maj� alespo� jednu nulovou vlastn� hodnotu a vlastn� vektor. {\em Vlastn� vektor} je vektor, ve kter�m se v�echny prvky n�sob�, pokud se vektor n�sob� danou matic�, stejnou hodnotou, kter� se naz�v� {\em vlastn� hodnota}. Nap��klad $$\begin{tabular}{ccccccc} & & & \vline & 1 & 1 & 1 \\ & & & \vline & 1 & -2 & 0 \\ & & & \vline & 1 & 1 & -1 \\ \hline & & $\Pi$ & \vline & 0 & 3 & -1 \\ \hline & & & \vline & & & \\ 1 & -1 & 0 & \vline & 0 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & \vline & 0 & -6 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & \vline & 0 & 3 & -1 \end{tabular}$$ Prvn� sloupec je nulov� vlastn� vektor, v�ech hodnoty sou�inu v jeho sloupci jsou nulov�, vlastn� hodnota druh�ho vlastn�ho vektoru je 3, vlastn� hodnota posledn�ho vlastn�ho vektoru je 1. Existuje je�t� jin� podm�nka pro vlastn� vektory, viz p��t� odd�l. N�kter� nesingul�rn� matice jsou snadno rozpoznateln�. Pokud matice m� v�echny nenulov� prvky pod nebo nad diagon�lou a v�echny diagon�ln� prvky jsou jednotkov� prvky, potom je nesingul�rn�. Inverze v tomto p��pad� se m�e jednodu�e nal�zt technikou zn�mou jako {\em princip inkluse a exkluse}. P�edpokl�dejme, �e k ��dk� u� bylo vyv�eno. V p��t� ��dce skal�rn�ho sou�inu vektoru ��dky s inverzn� matic� sloupcem (p�edpokl�d� se n�soben� zprava) budou nevyv�en� n�kter� hodnoty. Mus�me k tomu p�idat nebo ode��st tolik prvk�, abychom dostali nulov� mimodiagon�ln� prvky. Nap��klad (nulov� symboly jsou vynech�ny) $$\begin{tabular}{ccccccc} & & & \vline & 1 & & \\ & & & \vline & -2 & 1 & \\ & & & \vline & 1 & -2 & 1 \\ \hline & & & \vline & & & \\ 1 & & & \vline & 1 & & \\ 2 & 1 & & \vline & & 1 & \\ 3 & 2 & 1 & \vline & & & 1 \\ \end{tabular}$$ Zde v�hy druh� ��dky jsou $1 \times 2 - 2\times 1 = 0$ a $1 \times 1 = 1$. Podrobn� bude probl�m inverzn�ch matic pojedn�n v kapitole 16. \section{Diagonalizace matic} \label{Diagonalizace matic} Inverzn� matice transformuje matici ${\bf M}$ na diagon�ln� jednotkovou matici $ {\bf I}$. Existuje v�ak je�t� jin� forma diagonalizace. Tato operace vy�aduje simult�nn� akci dvou matic z obou stran matice, kter� se m� diagonalizovat

\begin{equation} {\bf L}({\bf M}){\bf R}= \Delta({\bf M}). \end{equation} $\Delta({\bf M})$ je diagon�ln� matice, kter� m� v�echny mimodiagon�ln� prvky nulov�. Matice v z�vork�ch je zdrojem diagon�ln�ch prvk�. Sou�in ${\bf MM}^{-1}$ by byl p��kladem diagonalizace matice, kde diagonalizovanou matic� je jednotkov� diagon�ln� matice ${\bf I}$. P�i diagonalizaci matice je pot�eba, aby akce matice ${\bf L}$ zleva byla vyv�ena n�soben�m matice ${\bf R}$ zprava. Diagonaliza�n� matice tvo�� r�mec pro matici ${\bf M}$. P�edstavte si, �e pozorujete matici jako mezi dv�ma polarizuj�c�mi filtry. Kdy� filtry oto��te, pohled se vyjasn� nebo ztmavne, av�ak p�i jedn� poloze filtru je transparentn�. Takov� transparentn� matice hled�me. Ob� diagonaliza�n� matice p�sob� jako polarizuj�c� filtry, sni�uj� mimodiagon�ln� prvky a zvy�uj� diagon�ln�. Diagon�ln� matice je transparentn�, pon�vad� diagon�ln� prvky nejsou zatemn�ny mimodiagon�ln�mi. P�ipome�te si obr. \ref{Maticov� vektorov� soustava}. Z�skan� diagon�ln� matice je ekvivalentn� k matici ${\bf M}$ Zvl�t� u�ite�n� ��inek se z�sk�, kdy� sou�in obou diagonaliza�n�ch matic ${\bf L}$ a ${\bf R}$ je jednotkov� diagon�ln� matice \begin{equation} {\bf LR} = {\bf I}\;, \end{equation} nebo ekvivalentn�, kdy� jejich akce nem�n� jednotkovou diagon�ln� matici v jejich r�me�ku: $${\bf LIR} = {\bf I}\;.$$ Potom, pokud mimo to \begin{equation} {\bf L} = {\bf R}^{\rm T}\;, \end{equation}, �e tyto matice jsou {\em vlastn� vektory} dan� matice. Diagon�ln� matice z�skan� jako v�sledek takov�ho n�soben� jsou zn�m� jako matice {\em vlastn�ch hodnot}. Sou�et vlastn�ch hodnot je rovn� stop� diagonalizovan� matice a diagon�ln� matice vlastn�ch hodnot je ekvivalentn� maticov�mu vektoru diagonalizovan� matice. Vektorov� mno�ina pou��van� pro nalezen� vlastn�ch hodnot d�v� diagon�ln� matici, nikoliv v�ak jednotkovou matici ${\bf I}$: $$\begin{tabular}{ccccccc} & & & \vline & 1 & 1 & 1 \\ & & & \vline & 1 & -2 & 0 \\ & & & \vline & 1 & 1 & -1 \\ \hline & & & \vline & & & \\ 1 & 1 & 1 & \vline & 3 & 0 & 0 \\ 1 &-2 & 1 & \vline & 0 & 6 & 0 \\ 1 & 0 &-1 & \vline & 0 & 0 & 2 \\ \end{tabular}$$ Vlastn� vektory se mus� nyn� normalizovat d�len�m odmocninami 1/3, 1/6 1/2.

Normalizovan� vlastn� vektory jsou $$\left( \begin{array}{ccc} \sqrt{1/3} & \sqrt{1/6} & \sqrt{1/2} \\ \sqrt{1/3} & \sqrt{-4/6} & \sqrt{0} \\ \sqrt{1/3} & \sqrt{1/6} & \sqrt{-1/2} \end{array} \right)$$ Vlastn� hodnoty a vlastn� vektory nejsou abstraktn� matematickou konstrukci, ale v�sledkem praktick� zku�enosti. Vlastn� hodnoty jsou zn�m� z fyzik�ln�ch a technick�ch v�d. Vlastn� vektory jsou zn�m� jako faktory, kdy� se pou��vaj� v kapitole 15. \section{Maticov� aritmetika} \label{Maticov� aritmetika} Sou�ty a rozd�ly y byl u� diskutov�ny. Je d�le�it� prozkoumat aritmetiku matic pe�liv�ji, proto�e v u�ebnic�ch m�ete nal�zt rozd�ln� omezen�, jak se matice mohou kombinovat. Aritmetick� operace maticemi jsou obvykle omezeny na matice s identick�mi rozm�ry, maj�c� stejn� po�et ��dk� a sloupc�. To je p��li� p��sn� pravidlo. D��ve ne� zavedeme m�n� p��sn� pravidlo, prozkoum�me v�echny mo�n� p��pady, v jak�ch vztaz�ch matice mohou b�t, pokud jejich indexy obsahuj� jejich prav� hodnoty, jako kdyby se porovn�valy a uspo��daly dva dokumenty (obr.\ref{Matice s��t�n�}). \begin{figure} \caption{Uspo��d�n� matic podle sv�ch index�} \label{Uspo��d�n� matic} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(140.00,120.00) \put(10.00,80.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{{\bf A}}} \put(30.00,70.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{{\bf B}}} \put(10.00,40.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{{\bf A}}} \put(10.00,30.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{{\bf B}}} \put(50.00,40.00){\framebox(20.00,20.00)[lt]{{\bf A}}} \put(60.00,30.00){\framebox(20.00,20.00)[rb]{{\bf B}}} \put(50.00,80.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{{\bf A}}} \put(70.00,80.00){\framebox(10.00,20.00)[cc]{{\bf B}}} \put(90.00,10.00){\framebox(30.00,30.00)[lt]{{\bf A}}} \put(100.00,10.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{{\bf B}}} \end{picture} \end{figure} ��dkov� indexy jdou v ka�d� matici od 1 do $m$, sloupcov� indexy jdou v ka�d� matici od 1 do $n$. To je vnit�n� indexov�n�. Podobn� jako �idovsk�, k�es�ansk� a isl�msk� letopo�ty, mno�iny index� v porovn�van�ch matic�ch nemus� b�t stejn�, nebo jeden mno�ina m�e b�t stejn�, nebo ob� mno�iny mohou souhlasit. Tedy pravidlo maticov� aritmetiky pro s��t�n� a ode��t�n� matic je jednodu�e s��t�n� a ode��t�n� jednotliv�ch prvk� matic podle pravidla: \begin{equation} {\rm pokud}\ {\bf A} \pm {\bf B}= {\bf C}, \; {\rm potom}\ {\rm a}_{ij} \pm {\rm b}_{ij} = {\rm c}_{ij}\;. \end{equation}

\begin{figure} \caption{Mo�nosti s��t�n� a ode��t�n� matic} \label{Matice s��t�n�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(150.00,70.00) \put(10.00,30.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{{\bf A}}} \put(30.00,30.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{{\bf B}}} \put(60.00,30.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{{\bf A}}} \put(60.00,10.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{{\bf B}}} \put(100.00,30.00){\framebox(28.00,20.00)[cc]{${\bf A} + {\bf B}$}} \end{picture} \end{figure} Pot� spo��v� v ot�zce, co d�lat s nezn�m�mi prvky matice. Pokud jsou nulov�, v�sledky mohou b�t jako na obr. \ref{Matice s��t�n�}. D��ve ne� se provede aritmetick� operace, jedna nebo ob� matice se dopln� na stejn� rozm�ry p�i�ten�m nulov�ch prvk� v chyb�j�c�ch ��dc�ch a sloupc�ch. P��pady aritmetick�ch operac� v bloc�ch jsou zn�m� jako p��m� sou�et nebo rozd�l matic. Pokud nezn�m� prvky matice nejsou nulov�, operace vedou k chyb�m. Z�sadn� stejn� podm�nky plat� pro n�soben� matic. Vysv�tlili jsme ��inek permuta�n�ch matic a skal�rn� sou�iny vektor�. Pokud n�sob�me matici vektorem sloupcem zprava, prvky ��dk� ${\bf v}$ matice n�sob� v�echny prvky sloupce. Pokud prvky ${\bf v}$ jsou men�� ne� 1, zmen�uj� v�echny prvky tohoto sloupce, pokud prvky ${\bf v}$ jsou v�t�� ne� 1, zv�t�uj� je. Dva simult�nn� procesy se vyskytuj� p�i n�soben�: prvky ��dk� matice se v�� a s��taj�, nebo pokud prvky vektoru jsou z�porn�, ode��taj� se. N�soben� zleva m� transponovan� ��inek. N�soben� matice vektorem transformuje matici na vektor. Obvykle se to definuje jinak, matice transformuje vektor v jin�. Simult�nn� n�soben� matice vektorem ��dkou zleva a vektorem sloupcem zprava transformuje matici do jednoho prvku. Pokud oba vektory jsou jednotkov� vektory $ {\bf J}^{\rm T}$ a ${\bf J}$, jen se��taj� prvky matice. Je u�ite�n� tak� definovat {\em p��m� sou�in} dvou matic. Pro jeho odli�en� od skal�rn�ho sou�inu, zapisuje se se znakem pro n�soben� $\times$: $${\bf C}= {\bf A}\times{\bf B}\;.$$ V p��m�m sou�inu se n�sob� pouze prvky obou matic maj�c� oba indexy identick�: $${\rm c}_{ij} = {\rm a}_{ij} {\rm b}_{ij}\;.$$ Je to stejn�, jako kdyby ob� matice byly $nm$ rozm�rn� diagon�ln� vektory a nalezly se slo�ky jejich skal�rn�ho sou�inu: $$\begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right) & \times & \left( \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 5 & 3 \\ \end{array}

\right) & \ = & \left( \begin{array}{cc} 3 & -6 \\ 10 & 3 \\ \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{cccc} \left( \begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &-3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right) & \ = & \left( \begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &-6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 10& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right) \end{array}$$ Podobn� se m�e vysv�tlit s��t�n� matic. Ob� matice se rozlo�� do $nm$ rozm�rn�ch diagon�ln�ch vektor� naleznou se sou�ty: $$\begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right) & $\ + $ & \left( \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 5 & 3 \\ \end{array} \right) & \ = & \left( \begin{array}{cc} 4 & -1 \\

7 & 4 \\ \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \ + & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right) & \ = & \left( \begin{array}{cccc} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array} \right) \end{array}$$ \section{Normalizace matic} \label{Normalizace matic} Prodiskutovali jsme probl�m simult�nn� akce v�ce vektor� nebo vektor� maj�c�ch jinou intenzitu ne� 1. To lze n�kdy vy�e�it normalizac� vektor�. C�lem tohoto tvarov�n� vektor� a matic je ud�lat je srovnateln�. Normalizace vektor� se prov�d� vlastn�mi vektory, kter� mus� d�vat jednotkovou diagon�ln� matici ${\bf I}$. Zavedli jsme jednotkov� vektory ${\bf e}_j$. ��dkov� vektor je srovnateln� s jednotkov�m vektorem pokud m� stejnou d�lku. Euklidovsk� d�lka je kriteriem, tedy vektor je normalizovan� pokud jeho prvky se d�l� odmocninou jeho Euklidovsk� d�lky. Nap��klad vektor $(2,1,1,0)^{\rm T}$ se normalizuje jeho d�len�m s $\sqrt 6$. D�lky jeho skal�rn�ho sou�inu je potom 1. Maticov� vektor se normalizuje jeho n�soben�m odmocninou diagon�ln� matice z obou stran. Zde m�me dv� mo�nosti. Bu� normalizujeme pouze diagon�ln� prvky nebo v�echny ��dky a sloupce. Pro normalizaci matice mus� b�t symetrick�. Normalizac� diagon�ln�ch prvk� se maticov� vektor orientuje ve sm�ru jednotkov�ho vektoru ${\bf I}$. To m� n�kter� d�sledky na vlastnosti takov� normalizovan� matice. \section{Ko�eny matic} \label{Ko�eny matic} Definovali jsme skal�rn� sou�iny a kvadratick� formy vektor� a maticov�ch vektor�. Nyn� budeme definovat probl�m odzadu: matice ${\bf M}$ m� ko�eny, pokud m�e b�t rozlo�ena do sou�inu transponovan�ch matic. Nap��klad jednotkov� diagon�ln� matice

m� mnoho ko�en�: $$\begin{array}{cccc} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$ Jednotkov� diagon�ln� matice tvo�� ko�en sama sob�, formy

pon�vad� nem�eme odli�it

\begin{equation} {\bf I} = {\bf I}^2 = {\bf I}^{-1} = {\bf I}^{\rm T}{\bf I} = {\bf I}{\bf I}^{\rm T}\;. \end{equation} Jej� ko�eny jsou symetrick� permuta�n� matice a asymetrick� permuta�n� matice. Mimo to existuj� matice se z�porn�mi znam�nky, pon�vad� $(-1)\times(-1) = 1$. Na�e �sil� naleznout p�irozen� prostor se pon�kud komplikuje t�mto faktem, av�ak u� jsme zavedli komplexn� ��sla a tak m�eme nal�zt ko�eny i pro matice posledn�ho p��kladu\footnote{Ko�eny permuta�n�ch matic se mohou srovn�vat s kvarky ve fyzice: Element�rn� ��stice se �t�p� do sv�ch slo�ek.}. Je sou�asn� �tvrt�m ko�enem ${\bf I}_3$. Potom existuj� vlastn� vektory v�ech nesingul�rn�ch matic. Na�e �sil� vytvo�it prostor kontrolovan�m zp�sobem se vymyk� kontrole. \chapter{Rozd�len�} \label{Rozd�len�} \section{P�edb�n� pozn�mky} \label{P�edb�n� pozn�mky} Rozd�len� p�irozen�ho ��sla m do n ��st� zavedl do matematiky Euler. Analytick� vzorec pro nalezen� po�tu rozd�len� odvodili Ramanudjan a Hardy \cite{[12]}.

Ramanudjan byl matematick� genius z Indie. Byl si jist, �e je mo�n� vypo��tat po�et rozd�len� p�esn� pro jak�koliv ��slo m. Nalezl �e�en� ve spolupr�ci se sv�m �kolitelem, anglick�m matematikem Hardym. Je to dosti slo�it� vzorec odvozen� vy��� matematickou technikou. Budeme pou��vat pouze jednoduch� rekurzivn� metody pro mi vztahy mezi rozd�len�. Steve Weinberg ve sv� p�edn�ce \cite{[13]} o d�le�itosti matematiky pro fyziku se zm�nil, �e rozd�len� z�skaly d�le�itost pro teoretickou fyziku, i kdy� Hardy necht�l studovat praktick� probl�my. Av�ak rozd�len�m\footnote{Boltzmann pou��val tento pojem pro rozd�len� $m$ kvant energie mezi $n$ ��stic. Nazval rozd�len� komplexiony \cite{[2]}.} m�la d�le�itost pro fyziku p�ed Hardyho �asem i kdy� to Hardy ani Weinberg nev�d�li. Rozd�len� �t�p� ��slo $m$ do $n$ ��st�, jejich� sou�et se rovn� ��slu $m$, �ekn�me 7:\ \ 3, 2, 1, 1. Rozd�len� je uspo��dan� mno�ina. Jej� objekty, {\em ��sti} jsou naps�ny v ��dce v klesaj�c�m po��dku: $$ m_{j-1} \geq m_j \geq m_{j+1}\;.$$ Pokud se pod�v�te na �adu ��st�, uvid�te, �e je to $n$ rozm�rn� vektor ��dka $p = (3, 2, 1, 1)$. Z vektoru rozd�len� se z�skaj� jin� vektory maj�c� ekvivalentn� strukturn� prvky, nap��klad $r = (1, 2, 1, 3)$, permutov�n�m, jednoduchou z�m�nou po�ad� prvk� vektoru. Rozd�len� jsou u�ite�n� pro uspo��d�n� bod� rovinn�ch simplex�. Vektor rozd�len� lze z�skat z vektoru-�ady jako skal�rn� sou�in s jednotkov�m vektorem-��dkou ${\bf J}^{\rm T}{\bf N}$ a uspo��d�n�m vektor�. V�echny jednotkov� permutace vektoru maj� stejn� d�lky. Tedy rozd�ln� rozd�len� tvo�� z�kladny pro jin� vektory slo�en� ze stejn�ch ��st�. Vektory pat��c� stejn�m rozd�len�m jsou spojen� s jin�mi body v t��rozm�rn�m simplexu kru�nic�. Ve vy���ch rozm�rech kru�nice se m�n� v sf�ry a proto budeme naz�vat rozd�len� {\em orbity rozd�len�} nebo jednodu�e orbity. Po�et vektor� v rozd�len� bude uv�d�n jako $n$, velikost prvn�ho vektoru jako $m_1$. Z�vorka $(m,n)$ znamen� v�echna rozd�len� ��sla $m$ do nejv�e $n$ ��st�. Pon�vad� nap�eme rozd�len� jako n rozm�rn� vektor povol�me nulov� ��sti v rozd�len�, aby zaplnily pr�zdn� m�sta vektoru. Je to jist� inovace proti tradici, kter� bude velmi u�ite�n�. Av�ak je nutn� rozli�ovat p��sn� oba druhy rozd�len�, s nulami a bez nich. \section{Ferrersovy grafy} \label{Ferrers} \begin{figure} \caption{Konstrukce Ferrersov�ch graf�. Nov� pol��ka se p�i��taj� na voln�ch m�stech} \label{Ferrersovy grafy} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(170.00,160.00) \put(69.67,133.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(40.00,113.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(40.00,103.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(90.00,113.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(100.00,113.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(9.67,73.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(9.67,83.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(9.67,93.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(60.33,83.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{}} \put(60.33,93.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{}} \put(70.00,93.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}}

\put(100.00,93.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(110.00,93.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(120.00,93.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(9.67,33.33){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(9.67,43.33){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(9.67,53.33){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(60.33,43.33){\framebox(9.67,10.00)[cc]{}} \put(60.33,53.33){\framebox(9.67,10.00)[cc]{}} \put(70.00,53.33){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(111.00,30.33){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(121.00,30.33){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(131.00,30.33){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(9.67,23.33){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(70.00,43.33){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(141.00,30.33){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(27.67,33.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(27.67,43.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(27.67,53.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(38.00,53.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(93.33,53.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(103.33,53.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(113.33,53.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(93.33,43.33){\framebox(10.00,9.67)[cc]{}} %\vector(69.67,133.00)(50.00,123.00) \put(50.00,123.00){\vector(-2,-1){0.2}} \multiput(69.67,133.00)(-0.23,-0.12){84}{\line(-1,0){0.23}} %\end %\vector(40.00,103.00)(20.00,103.00) \put(20.00,103.00){\vector(-1,0){0.2}} \put(40.00,103.00){\line(-1,0){20.00}} %\end %\vector(9.67,73.00)(9.67,63.33) \put(9.67,63.33){\vector(0,-1){0.2}} \put(9.67,73.00){\line(0,-1){9.67}} %\end %\vector(20.00,93.00)(38.00,63.00) \put(38.00,63.00){\vector(2,-3){0.2}} \multiput(20.00,93.00)(0.12,-0.20){151}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\vector(80.00,133.00)(100.00,123.00) \put(100.00,123.00){\vector(2,-1){0.2}} \multiput(80.00,133.00)(0.24,-0.12){84}{\line(1,0){0.24}} %\end %\vector(50.00,113.00)(70.00,103.00) \put(70.00,103.00){\vector(2,-1){0.2}} \multiput(50.00,113.00)(0.24,-0.12){84}{\line(1,0){0.24}} %\end %\vector(110.00,113.00)(120.00,103.00) \put(120.00,103.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(110.00,113.00)(0.12,-0.12){84}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(90.33,113.00)(80.00,103.00) \put(80.00,103.00){\vector(-1,-1){0.2}} \multiput(90.33,113.00)(-0.12,-0.12){84}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\vector(60.33,83.00)(38.00,43.00) \put(38.00,43.00){\vector(-1,-2){0.2}} \multiput(60.33,83.00)(-0.12,-0.21){187}{\line(0,-1){0.21}}

%\end %\vector(70.00,83.00)(70.00,53.33) \put(70.00,53.33){\vector(0,-1){0.2}} \put(70.00,83.00){\line(0,-1){29.67}} %\end %\vector(80.00,93.00)(113.33,63.00) \put(113.33,63.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(80.00,93.00)(0.13,-0.12){251}{\line(1,0){0.13}} %\end %\vector(130.00,93.00)(141.00,40.33) \put(141.00,40.33){\vector(1,-4){0.2}} \multiput(130.00,93.00)(0.12,-0.57){92}{\line(0,-1){0.57}} %\end %\vector(100.00,93.00)(93.33,52.67) \put(93.33,52.67){\vector(-1,-4){0.2}} \multiput(100.00,93.00)(-0.12,-0.72){56}{\line(0,-1){0.72}} %\end \end{picture} \end{figure} Ferrersovy grafy se pou��vaj� v teorii rozd�len� pro mnoho d�kaz� zalo�en�ch jednodu�e na jejich vlastnostech. Ferrersovy grafy jsou tabulky (viz obr. \ref{Ferrersovy grafy}) obsahuj�c� $m$ objekt�, ka�d� objekt ve sv�m vlastn�m boxu. �tvercov� boxy jsou uspo��d�ny do sloupc� v nerostouc�m uspo��d�n� $m_j \geq m_{j+1}$ se sou�tem \begin{equation} \sum^n_{j=1} m_j = \sum^{\infty}_{k=0}n_km_k =m \;. \end{equation} Pokud rozd�len� obsahuj� stejn� ��sti, je mo�n� po��tat je spole�n� s pou�it�m indexu k a jejich po�et $n_k$. Je z�ejm�, �e Ferrers�v graf je matice ${\bf F}$, kter� m� sv� jednotkov� prvky uspo��d�ny postupn� v po��te�n�ch ��dc�ch a sloupc�ch. Kdy� se srovnaj� s naivn�mi maticemi, Ferrersovy grafy vypadaj� jako stla�en� naivn� matice ${\bf N}$ ve kter�ch v�echny jednotkov� prvky byl stla�eny k z�kladn� ��dce (to je v matici nahoru) odstran�n�m pr�zdn�ch prvk�: $$\begin{array}{ccccc} \begin{array}{c} ${\bf N}$ \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \leftrightarrow & \begin{array}{c} {\bf N}_2 \\ \\

\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array} & \rightarrow & \begin{array}{c} {\bf F} \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)\\ \\ \\ \\ \end{array} \end{array}$$ Zaveden�m Ferrersov�ch graf� jako matic, dostaneme se nutn� k pojmu {\em omezen�ch rozd�len�}. ��sti rozd�len� nemohou b�t v�t�� ne� po�et ��dk� matice a po�et ��st� v�t�� ne� po�et jej�ch sloupc�. \begin{figure} \caption{Kr�cen� rozd�len� omezen�m ��dk� a sloupc�} \label{Kr�cen�} \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(100.00,100.00) %\emline(20.00,19.67)(80.67,19.67) \put(20.00,19.67){\line(1,0){60.67}} %\end %\emline(20.00,19.67)(20.00,80.00) \put(20.00,19.67){\line(0,1){60.33}} %\end %\emline(20.00,70.00)(70.33,19.67) \multiput(20.00,70.00)(0.12,-0.12){420}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(20.00,51.00)(38.67,51.00) \put(20.00,51.00){\line(1,0){18.67}} %\end %\emline(47.33,42.67)(47.33,19.67) \put(47.33,42.67){\line(0,-1){23.00}} %\end %\emline(20.00,53.00)(36.67,53.00) \put(20.00,53.00){\line(1,0){16.67}} %\end %\emline(20.00,55.33)(34.33,55.33) \put(20.00,55.33){\line(1,0){14.33}} %\end

%\emline(20.00,57.33)(32.67,57.33) \put(20.00,57.33){\line(1,0){12.67}} %\end %\emline(20.00,59.33)(30.67,59.33) \put(20.00,59.33){\line(1,0){10.67}} %\end %\emline(20.00,61.00)(29.00,61.00) \put(20.00,61.00){\line(1,0){9.00}} %\end %\emline(20.00,63.00)(27.00,63.00) \put(20.00,63.00){\line(1,0){7.00}} %\end %\emline(20.00,65.00)(25.00,65.00) \put(20.00,65.00){\line(1,0){5.00}} %\end %\emline(20.00,66.67)(23.33,66.67) \put(20.00,66.67){\line(1,0){3.33}} %\end %\emline(20.00,68.00)(21.67,68.00) \put(20.00,68.00){\line(1,0){1.67}} %\end %\emline(49.33,40.33)(49.33,19.67) \put(49.33,40.33){\line(0,-1){20.67}} %\end %\emline(51.67,38.33)(51.67,19.67) \put(51.67,38.33){\line(0,-1){18.67}} %\end %\emline(54.33,35.67)(54.33,19.67) \put(54.33,35.67){\line(0,-1){16.00}} %\end %\emline(57.00,32.67)(57.00,19.67) \put(57.00,32.67){\line(0,-1){13.00}} %\end %\emline(59.33,30.33)(59.33,19.67) \put(59.33,30.33){\line(0,-1){10.67}} %\end %\emline(61.67,28.00)(61.67,19.67) \put(61.67,28.00){\line(0,-1){8.33}} %\end %\emline(64.00,25.67)(64.00,19.67) \put(64.00,25.67){\line(0,-1){6.00}} %\end %\emline(66.00,23.33)(66.00,20.00) \put(66.00,23.33){\line(0,-1){3.33}} %\end %\emline(68.00,22.00)(68.33,19.67) \multiput(68.00,22.00)(0.11,-0.78){3}{\line(0,-1){0.78}} %\end \put(10.00,69.67){\makebox(0,0)[cc]{m}} \put(9.67,51.00){\makebox(0,0)[cc]{M}} \put(47.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{N}} \put(70.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{n}} \end{picture} \end{figure} Geometrick� interpretace omezen� v kapitole 2. ��st $m_{max}$ ur�uje stranu krychle, $n$ jej� rozm�r, viz obr.\ref{Kr�cen�}.

Zdokonalen� notace rozli�uje d�len� ��slo M a po�et ��dk� $m$. Neomezen� po�et rozd�len� p(M) je rovn� po�tu omezen�ch rozd�len�. Kdy� omezuj�c� podm�nky jsou m�rn�, potom $m \geq M$ a $n \geq M$: \begin{equation} p(M)_{neomezen�} = p(M,M,M)\;. \end{equation} P�eme zde nejprve po�et ��dk� $m$, potom po�et ��st� $n$, a naposled sou�et jednotkov�ch prvk� (po�et vypln�n�ch box�) {\bf M}. D�le�it� vlastnost omezen�ch rozd�len� je ur�ena transponov�n�m Ferrersov�ch graf� ${\bf F} \rightarrow {\bf F}^{\rm T}$: \begin{equation} p(m, n, M) = p(n, m, M)\;. \end{equation} Rozd�len� jsou konjugovan�. Po�et rozd�len� do p�esn� $n$ ��st� s nejv�t�� ��st� $m$ je stejn� jako po�et rozd�len� do $m$ ��st� maj�c� nejv�t�� ��st $n$. Ferrers�v graf lze ode��st od matice obsahuj�c� pouze jednotkov� prvky (definovan� jako ${\bf JJ}^{\rm T}$) a v�sledn� matice se transverzuje (Tr), nap��klad $$\begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) & - & \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)^{\rm Tr} & = & \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\

1 & 0 \end{array} \right) \end{array}$$ Vztah mezi po�tem omezen�ch rozd�len� dvou rozd�ln�ch ��sel se z�sk� pomoc� rovnice \begin{equation} p(m, n, M) = p(n, m, mn - M) \end{equation} Tato identita byla odvozen� operac� velmi u�ite�nou pro z�sk�v�n� prvk� sch�mat rozd�len� (viz p��t� kapitolu) a omezen�ch rozd�len� v�ech druh�. Omezen� rozd�len� do p�esn� $n$ ��st�, maj�c� $m$ jako nejv�t�� ��st, m� $(m + na - 1)$ jednotek v�zan�ch prvky tvo��c�mi prvn� ��dku a sloupec odpov�daj�c�ho FerrersovGrafu (obr. \ref{Ferrersovy grafy}). Pouze $(M - m - n + 1)$ prvk� je voln�ch pro rozd�len� v omezen�m r�me�ku $(m-1)$ a $(n-1)$. Tedy \begin{equation} p(m, n, M) = p(m-1, n-1, M-m-n+1) \end{equation} Nap��klad: p(4,3,8) = p(3,2,2) = 2. Odpov�daj�c� rozd�len� jsou 4,3,1 a 4,2,2; nebo 2,0 a 1,1. Tento vzorec se m�e pou��vat pro nalezen� v�ech omezen�ch rozd�len�. Je to dosti snadn�, kdy� rozd�l $(M-m-n+1)$ je men�� ne� omezuj�c� hodnoty $m$ a $n$ nebo alespo� jedna z omezuj�c�ch hodnot. ��dkov� a sloupcov� sou�ty ��ste�n� omezen�ch rozd�len� maj�c�ch jinou omezuj�c� konstantu, kde bu� $n$ nebo $m$ mohou b�t 1 a� $M$ jsou: \begin{equation} p(m, *, M) = \sum_{j=1}^M \ p(m, j, M) \end{equation} \begin{equation} p(*, n, M) = \sum_{i=1}^M \ p(i, n, M) \end{equation} D��ve ne� prozkoum�me omezen� rozd�len� podrobn�ji, zavedeme tabulky neomezen�ch a ��ste�n� omezen�ch rozd�len�. \section{Matice rozd�len�} \label{Matice rozd�len�} ��ste�n� omezen� rozd�len� se mohou z�skat z neomezen�ch rozd�len� ode�ten�m ��dky $n$ jednotek nebo sloupce $m$ jednotek. To n�m d� rekurzivn� vzorec pro po�et rozd�len� jako sou�et dvou rozd�len� \begin{equation} p(*, N, M) = p(*, N-1, M-1) + p(*, N, M-N-1) \end{equation} V�echna rozd�len� do p�esn� $N$ ��st� se d�l� do dvou mno�in. V jedn� mno�in� jsou rozd�len� maj�c� v posledn�m sloupci 1, jejich po�et se po��t� �lenem $p(*,N-1,M1)$, co� je po�et rozd�len� ��sla $(M-1)$ do p�esn� $(N-1)$ ��st� k, kter� se p�idala 1 na n-t�m m�st� a v jin� mno�in� jsou rozd�len�, kter� maj� v posledn�m sloupci 2 a v�ce. Ty se z�skaly p�i�ten�m jednotkov� ��dky ${\bf J}^{\rm T}$) s $n$ jednotkov�mi prvky rozd�len�m $(M - N)$ do $N$ ��st�.

Podobn� vzorec se m�e odvodit pro rozd�len� $M$ do nejv�e $N$ ��st�. Tato rozd�len� mohou m�t nulu alespo� v posledn�m sloupci nebo jsou rozd�len� p�esn� do $n$ ��st�: \begin{equation} p(*, *=N, M) = p(*, *=N-1, M) + p(*, *=N, M-N) \end{equation} �len p(*, *=N-1, M) jsou rozd�len� $M$ do $(N - 1)$ ��st� transformovan� do rozd�len� do $N$ ��st� p�i�ten�m nuly v n-t�m sloupci, �len p(*, *=N, M-N) jsou rozd�len� $(M - 1)$ do $N$ ��st�, ke kter�m se p�idala jednotkov� ��dka. Abychom formulovali oba rekurzivn� vzorce p�esn�ji, nejprve se mus� definovat zd�nliv� paradoxn� rozd�len�: $$p(0,0,0) = 1\;.$$ Co to znamen�? Rozd�len� nuly do nulov�ho po�tu ��st�. Toto rozd�len� p�edstavuje pr�zdn� prostor s nulov�m rozm�rem. Toto rozd�len� je opr�vn�no svou limitou. S pou�it�m na�� vytvo�uj�c� funkce nap�eme $n = 0^0$ a nalezneme limitu: \begin{equation} \lim{0^0} = \lim_{x\rightarrow\infty}\;(1/x)^0 = 1/x^0 = 1\;. \end{equation} Dostaneme dv� n�sleduj�c� tabulky rozd�len� \begin{table} \caption{Rozd�len� do p�esn� $n$ ��st�} \label{Rozd�len� do p�esn� $n$ ��st�} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & & 1 \\ 1 & & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & & 1 & 1 & & & & & 2 \\ 3 & & 1 & 1 & 1 & & & & 3 \\ 4 & & 1 & 2& 1 & 1& & & 5 \\ 5 & & 1 & 2 & 2 & 1 & 1 & & 7 \\ 6 & & 1 & 3 & 3 & 2 & 1 & 1 & 11 \\ \hline \end{tabular} \end{table} \begin{table} \caption{Rozd�len� do nejv�e n ��st�} \label{Rozd�len� do nejv�e n ��st�} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline m=0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 4 & & 1 & 3 & 4 & 5 & 5 & 5 \\

5 & & 1 & 3 & 5 & 6 & 7 & 7 \\ 6 & & 1 & 4 & 7 & 9 & 10& 11 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Tabulka 4.2 se z�sk� z tabulky 4.1 jako ��ste�n� sou�ty jej�ch ��dek, co� znamen� n�soben�m jednotkovou troj�heln�kov� matic� ${\bf T}^T$ zprava. Prvky matice ${\bf T}^{\rm T}$ jsou \begin{equation} h_{ij} = 1\ {\rm if}\ j \geq i\;\ h_{ij} = 0 {\rm pokud}\ j > i\;. \end{equation} Na druh� stran� se tabulka 4.1 z�sk� z tabulky 4.2 n�soben�m matic� ${\bf T}^{\rm -T}$ zprava. Inverzn� prvky jsou \begin{equation} h_{ii}^{-1} = 1\;,\ h_{i,i+1}^{-1} = -1\;,\ h_{ij} = 0\;, {\rm jinak}\;. \end{equation} V�imn�te si, �e prvky tabulky 4.2 vpravo od diagon�ly z�st�vaj� konstantn�. Rovnaj� se ��dkov�m sou�t�m tabulky 4.1. Zv�t�uj�c� se po�et nul nem�n� po�et rozd�len�. \begin{figure} \caption{Omezov�n� orbit rozd�len�. Nejni��� dovolen� ��st r p�esouv� rovinn� simplex} \label{Omezov�n�} \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(100.00,100.00) %\emline(20.00,80.00)(20.00,20.00) \put(20.00,80.00){\line(0,-1){60.00}} %\end %\emline(20.00,20.00)(80.00,20.00) \put(20.00,20.00){\line(1,0){60.00}} %\end %\emline(40.00,79.33)(40.00,40.00) \put(40.00,79.33){\line(0,-1){39.33}} %\end %\emline(40.00,40.00)(79.67,40.00) \put(40.00,40.00){\line(1,0){39.67}} %\end %\vector(20.00,20.00)(40.00,40.00) \put(40.00,40.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(20.00,20.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(20.00,80.00)(80.00,20.00) \multiput(20.00,80.00)(0.12,-0.12){501}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(18.00,40.00)(22.00,40.00) \put(18.00,40.00){\line(1,0){4.00}} %\end %\emline(40.00,22.00)(40.00,18.00) \put(40.00,22.00){\line(0,-1){4.00}} %\end \put(10.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{r}}

\put(10.00,20.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(40.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{r}} \put(20.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \end{picture} \end{figure} Kdy� op�t n�sob�me tabulku 4.1 matic� ${\bf T}^{\rm T}$, dostaneme rozd�len� maj�c� jako nejmen�� dovolenou ��st ��slo 2. ��inek t�chto oper�tor� si lze p�edstavit na 2 rozm�rn�m komplexu, oper�tory posouvaj� hranici po��tan�ch orbit (obr. \ref{Omezov�n�}). Oper�tor ${\bf T}^{\rm T}$ diferencuje n rozm�rn� komplexy, posouvaje jejich hranici ke kladn�m ��sl�m od�ez�vaje men�� ��sla. Nula tvo�� p�irozenou z�kladn� hranici. \section{Rozd�len� se z�porn�mi ��stmi} \label{Rozd�len� se z�porn�mi ��stmi} Operace s tabulkami rozd�len� vedou k my�lence, co by se stalo s rozd�len�mi mimo kladn� k�nus nez�porn�ch ��sel. Tedy dovolme tak� existenci z�porn�ch ��sel v rozd�len�ch \footnote{Z�porn� ��sti mohou b�t srovn�ny ve fyzice s anti��sticemi. Pon�vad� anihilace uvol�uje energii, neanihiluje ji, energie Vesm�ru je nekone�n�. Spekulace o existenci antisv�t�, tvo�en�ch pouze anti��sticemi vyva�uj�c�mi n� sv�t, mohou b�t vysloven� jako pochyba pokud Vesm�r spo��v� v p�irozen�mu k�nusu prostoru.}. Pokud po�et stejn�ch ��st� $n_k$ je naps�no jako vektor ��dka pod vektorem tvo�en�m ��selnou stupnic�, po�et rozd�len� je nez�visl� na p�esouv�n� ��seln� stupnice, viz tabulku 4.3. Rozd�len� jsou v�dy odvozen� posouv�n�m dvou vektor�, jeden o 1 polohu nahoru, druh� o 1 polohu dol�. Ka�d� rozd�len� odpov�d� vektoru. Pokud je nap�eme jako sloupce, potom jejich skal�rn� sou�in s ��selnou stupnic�, tvo��c� vektor ��dku ${\bf m}^{\rm T}$, d�v� konstantn� sou�et: \begin{equation} {\bf m}^{\rm T}{\bf p} = \sum_{k \geq r}\; m_k n_k = m\;. \end{equation} Zde je notace nekonsistentn�, prvky vektoru ${\bf p}$ jsou ��sla vektor� maj�c�ch stejn� d�lky a p�smeno $n$ s indexem $k$ se pro n� pou��v�. Pro hodnoty ��seln� stupnice p�smeno $m$ se pou��v� s obvykl�m indexem $k$, kter� jde od nejni��� mo�n� hodnoty ��sti $r$ a� nejvy��� mo�n� hodnot�. Index $k$ b�� k nekone�nu, av�ak v�ech p��li� vysok� hodnoty $n_k$ jsou nuly. \begin{table} \caption{Rozd�len� jako vektory} \label{Rozd�len� jako Vektory} \begin{tabular}{|l|r|rrrrr|lr|} \hline Parametr & r & & & & & & & \\ \hline Vektor {\bf m} & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & {\bf mp}= & -5 \\ & -1& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & & 0 \\ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & & 5 \\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & & 10 \\ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 && 15 \\ \hline & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & & \\ \hline Vektor p & 4 & & & & & 1 & & \\ & 3 & 1 & & & 1 & & & \\

& 3 & & 1 & 1 & 2 & 2 & & 1 & 2 & 1 & 2 & & 1 & 3 & 1 & & 1 & 2 & 2 & & & 5 & & & & \hline \end{tabular} \end{table}

& & & & & &

& & & & & &

& & & & & & & & & & \\

\\ \\ \\ \\ \\

S pou�it�m rozd�ln�ch vektor� rozd�len� a rozd�ln�ch vektor� {\bf m}, dostaneme n�sleduj�c� p��klady: \begin{eqnarray*} (4 \times -2) + (1 \times 3) = -5\, \\ (3 \times -1) + (1 \times 0) + (1 \times 3) =\> 0\, \\ (3 \times 0) + (1 \times 2) + (1 \times 3) =\> 5\, \\ (2 \times 1) + (1 \times 2) + (2 \times 3) =\, 10\, \\ (1 \times 2) + (3 \times 3) + (1 \times 4) =\, 15. \end{eqnarray*} Parametr $r$ p�esouv� tabulku rozd�len�, jej� �elo se ot��� okolo nulov�ho bodu. Pokud $r$ bylo $-\infty$, potom $p(-\infty, 1) = 1$ av�ak $p(-\infty, 2)$ by bylo neur�it�, proto�e sou�et kone�n�ho ��sla s nekone�n�m ��slem je op�t nekone�n�. Parametr $r$ se bude zapisovat rozd�len�m jako jeho horn� index, aby uk�zal, �e rozd�ln� z�kladny rozd�len� diferencuj� rovinn� simplexy. \section{Rozd�len� s vnit�n�mi omezen�mi} \label{Rozd�len� s vnit�n�mi omezen�mi} Rozd�len� byla klasifikov�na podle minim�ln� a maxim�ln� mo�n� hodnoty ��sti, av�ak lze omezit i vnit�ek ��seln� stupnice, lze p�edepsat, �e n�kter� hodnoty jsou zak�zan�. Je snadn� si uv�domit co to znamen�: rovinn� simplex m� d�ry, n�kter� orbity se nemohou realizovat a jeho $(n -1)$ t�leso je �id�� ne� norm�ln�. Je snadn� naleznout po�et rozd�len�, ve kter�ch v�echny ��sti jsou sud�. Nen� mo�n� vytvo�it sud� rozd�len� z lich�ho ��sla, tedy: \begin{equation} p_{\rm sud�}(2n) = p_{\rm neomezen�}(n)\;. \end{equation} Nesnadn�j�� �loha je nal�zt po�et rozd�len�, ve kter�ch v�echny ��sti jsou lich�. Jin� zam�tnut� rozd�len� obsahuj� sm�en� lich� a sud� ��sti. Vztah mezi rozd�ln�mi rozd�len�mi je ur�en jako \begin{equation} p_{\rm neomezen�}(n) = p_{\rm lich�}(n) + p_{\rm sud�}(n) + p_{\rm sm�en�}(n)\;. \end{equation} Odpov�daj�c� seznamy jsou uveden� v tabulce 4.4 \begin{table} \caption{Lich�, sud� a sm�en� rozd�len�} \label{Lich�, sud� a sm�en� rozd�len�} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrr|r|r|r|r|} \hline

& \multicolumn{9}{|c|}{Po�et lich�ch rozd�len�}& \multicolumn{4} {|c|}{ Sou�ty}\\ \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & Lich� & Sud� & Sm�en� & p(m) \\ \hline m=1 & 1 & & & & & & & & & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & & 1 & & & & & & & & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & & 1 & & & & & & & 2 & 0 & 1 & 3 \\ 4 & & 1 & & 1 & & & & & & 2 & 2 & 1 & 5 \\ 5 & 1 & & 1 & & 1 & & & & & 3 & 0 & 4 & 7 \\ 6 & & 2 & & 1 & & 1 & & & & 4 & 3 & 4 & 11 \\ 7 & 1 & & 2 & & 1 & & 1 & & & 5 & 0 & 10 & 15 \\ 8 & & 2 & & 2 & & 1 & & 1 & & 6 & 5 & 11 & 22 \\ 9 & 1 & & 3 & & 2 & & 1 & & 1 & 8 & 0 & 22 & 30\\ \hline \end{tabular} \end{table} V�imn�te si, jak ��dk� se z�sk� matice lich�ch rozd�len� z tabulky 4.1. Jej� prvky, vyjma prv�ho v ka�d�m sloupci, jsou posunuty dol� na k��en� diagon�l. Lich� ��slo mus� b�t d�len� do lich�ho ��sla lich�ch ��st� a sud� ��slo do sud�ho ��sla lich�ch ��st�. Tedy matice m�e b�t zapln�na pouze z poloviny. Rekurence je dan� dv�ma mo�nostmi, jak zvy�ovat ��slo $m$. Bu� p�id�me lich� 1 k lich�m rozd�len�m $ (m - 1)$ s p�esn� $(j - 1)$ ��stmi nebo p�id�me $2j$ k lich�m ��sl�m rozd�len� $(m - 2j)$ s p�esn� $j$ ��stmi. Vztah se vyj�d�� jako \begin{equation} o(i,j) = p[(i+j)/2,j]\;. \end{equation} Rozd�len� se v�emi ��stmi nerovn�mi jsou d�le�it�, proto�e jejich transponovan� Ferrersovy grafy maj� nejv�t�� ��st lichou, kdy� po�et ��st� je lich� a sudou, kdy� po�et ��sti je sud�. Nap��klad $$\begin{tabular}{rrrr} 10 & & & \\ & 9,1 & & \\ & 8,2 & & \\ & 7,3 & 7,2,1 & \\ & 6,3 & 6,3,1 & \\ & & 5,4,1 & \\ & & 5,3,2 & \\ & & & 4,3,2,1 \end{tabular}$$ Rozd�len� s nerovn�mi ��stmi se mohou zobrazit v tabulkov� form� jako je tabulka 4.5. V�imn�te si, �e rozd�l sud�ch a lich�ch sloupc� rozd�len� je v�t�inou nulov�, pouze n�kdy $\pm 1$. D�le�itost tohoto jevu bude vysv�tlena pozd�ji. Po�et rozd�len� s nerovn�mi ��stmi je toto�n� s rozd�len�mi, jejich� v�echny ��sti jsou lich�. \begin{table} \caption{Rozd�len� s nerovn�mi ��stmi} \label{Rozd�len� s nerovn�mi ��stmi} \begin{tabular}{|r|rrrr|c|c|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & $\Sigma$ & Rozd�l ($n_{lich�} -

n_{sud�})$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & 1 & 1 \\ 2 & 1 & & & & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & & & 2 & 0 \\ 4 & 1 & 1 & & & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 2 & & & 3 & -1 \\ 6 & 1 & 2 & 1 & & 4 & 0 \\ 7 & 1 & 3 & 1 & & 5 & -1 \\ 8 & 1 & 3 & 2 & & 6 & 0 \\ 9 & 1 & 4 & 3 & & 8 & 0 \\ 10 & 1 & 4 & 4 & 1 & 10 & 0 \\ 11 & 1 & 5 & 5 & 1 & 12 & 0 \\ 12 & 1 & 5 & 7 & 2 & 15 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Rozd�ly jsou zp�sobeny Franklinov�mi bloky s rostouc� minim�ln� ��st� a rostouc�m po�tem ��st� (pou��v� se jejich transponovan� notace), kter� jsou minim�ln� v jejich ��sti se li�� o jednu, tvar odpov�daj�c�ch Ferrersov�ch graf� je trap�zov�: $$\begin{array}{ccccc} \begin{array}{c} (1)\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right)\\ \\ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \quad & \begin{array}{c} (1 1) \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right)\\ \\ \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}

\right) \end{array} & \quad & \begin{array}{c} 1, 2\\ \\ 5, 7 \\ \\ \\ 12, 15 \\ \\ \\ \end{array} \end{array}$$ \section{Diference podle jednotkov�ch ��st�} \label{Diference podle jednotkov� ��sti} M�me uspo��d�ny omezen� rozd�len� podle po�tu nenulov�ch ��st� v tabulce 4.1. Je mo�n� klasifikovat rozd�len� podle po�tu vektor� v rozd�len� maj�c�ch jakoukoliv hodnotu. S pou�it�m hodnoty 1, dostaneme jin� druh diference rozd�len� jako v tabulce 4.6. \begin{table} \caption{Rozd�len� podle jednotkov�ch ��st�} \label{Rozd�len� podle jednotkov�ch ��st�} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & \\ 1 & 0 & 1 & & & & & \\ 2 & 1 & 0 & 1 & & & & \\ 3 & 1 & 1 & 0 & 1 & & & \\ 4 & 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & & \\ 5 & 2 & 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & \\ 6 & 4 & 2 & 2 & 1 & 1 & 0 & 1\\ \hline \end{tabular} \end{table} Prvky tabulky jsou: \begin{equation} p_{i0} = p(i) - p(i - 1),\ p_{ij} = p_{i-1, j-1}\ ,{\rm jinak}\;. \end{equation} Tabulka 4.6 se z�sk� z n�sleduj�c� tabulky 4.7 ��dk� neomezen�ch rozd�len� jej�m n�soben�m matic� ${\bf T}^{-1}$. Nulov� sloupec tabulky 4.6 je rozd�l dvou n�sledn�ch neomezen�ch rozd�len� podle $m$. Ke v�em rozd�len�m $p(m-k)$ se p�idaly k. Rozd�len� v nulov�m sloupci obsahuj� pouze ��sla v�t�� ne� 1. Tato rozd�len� nemohou b�t tvo�en z ni���ch rozd�len� p�i�ten�m jednotek, jsou tedy rozd�lem funkce rozd�len� podle ��sla $n_1$. Pon�vad� tabulka 4.6 je slo�en�, je to sou�in dvou matic a jej� inverzn� matice je tak� slo�en�. \section{Eulerova inverze rozd�len�} \label{Eulerova inverze rozd�len�} Pokud nap�eme n�sledn� rozd�len� jako sloupcov� nebo ��dkov� vektory jako v tabulce 4.7, jej� prvky jsou

\begin{equation} p_{ij} = p(i - j + 1)\;, \end{equation} najdeme dosti snadno jej� inverzn� matici, kter� je uveden� v druh� ��sti stejn� tabulky. \begin{table} \caption{Rozd�len� a jejich Eulerova inverze} \label{Rozd�len� a jejich Eulerova inverze} \begin{tabular}{|r|rrrrrrc|rrrrrr|} \hline & \multicolumn{6}{|c}{Tabulka rozd�len�}& \qquad & \multicolumn{6} {|c|}{Eulerova inverze} \\ \hline j & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline i=0 & 1 & & & & & & & 1 & & & & & \\ 1 & 1 & 1 & & & & & & -1 & 1 & & & & \\ 2 & 2 & 1 & 1 & & & & & -1 & -1 & 1 & & & \\ 3 & 3 & 2 & 1 & 1 & & & & 0 & -1 & -1 & 1 & & \\ 4 & 5 & 3 & 2 & 1 & 1 & & & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & \\ 5 & 7 & 5 & 3 & 2 & 1 & 1 & & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Nenulov� prvky v prv�m sloupci Eulerovy inverze (a podobn� v dal��ch sloupc�ch, kter� jsou pouze posunuty dol� o jednu ��dku) se objevuj� u index�, kter� lze vyj�d�it Eulerovou identitou t�kaj�c� se koeficient� expanze u \begin{equation} (1 - t)(1 - t^2)(1 - t^3)... = 1 + \sum_{i = 1}^\infty\; (-1)^i\; [t^{3i^2 - i)/2} + t^{3i^2 + i)/2}]\;. \end{equation} Nap��klad posledn� ��dka rozd�len� tabulky \ref{Rozd�len� a jejich Eulerova inverze} se eliminuje jej�m n�soben�m Eulerovou inverz� jako: $$(7 \times 1) + (5 \times -1) +( 3 \times -1) + (2 \times 0) + (1 \times 0) + (1 \times 1) = 0.$$ Kdy� $i = 1$, existuje p�r index� p�i t = 1, 2; pro $i = 2$ p�r je 5, 7; pro $i = 3$ tento p�r je $-12, -15$ a tak d�le. Tato ��sla jsou vzd�lenosti od z�kladny rozd�len�. Inverzn� matice se st�v� �id�� jak se $p(m)$ zvy�uje, jak u� bylo uk�z�no shora u Franklinova rozd�len�. V�echny inverzn� prvky jsou $-1,0,1$. Nenulov� prvky Eulerova polynomi�lu se z�skaj� jako sou�ty sou�inu \begin{equation} \prod_{i=1}^\infty \; (1 - t^i)\;. \end{equation} To je ov��en� n�soben�m n�kolika �len� nekone�n�ho sou�inu. Pokud n�sob�me Euler�v polynomi�l s jeho inverzn� funkc� \begin{equation} \prod_i=1^\infty (1 - t^i)^{-1}\;, \end{equation}

dostaneme 1. Z tohoto vztahu plyne, �e rozd�len� jsou vytvo�ena inverz� Eulerovy funkce, kter� je {\em vytvo�uj�c� funkc�} rozd�len�. �leny $t^i$ se mus� pova�ovat za p�edstavuj�c� nerovn� ��sti. Eulerova funkce m� v�echny ��sti $t^i$ rozd�ln�. Zkonstruovali jsme takov� rozd�len� v tabulce 4.5. Pokud koeficient p�i $t^i$ se z�sk� jako sou�in sud�ho po�tu $(1 - t^i)$ �len�, potom znam�nko je kladn�, pokud je to v�sledek lich�ho po�tu �len�, potom znam�nko je z�porn�. Koeficienty jsou ur�en rozd�lem po�tu rozd�len� s lich�mi a sud�mi po�ty nerovn�ch ��st�. Tento rozd�l se m�e d�le vysv�tlit podle Franklina s pou�it�m Ferrersov�ch graf�. V�echny ��sti v $p(n)$ maj�c� alespo� jednu ��st rovnou 1 se z�skaj� z $p(n-1)$. Rozd�lem $p(n) - p(n)$ je zp�sobena n�jak�mi �leny $p(n-2)$. Mus�me p�idat ke ka�d�mu rozd�len� $p(n-2)$ 2, vyjma v�ech rozd�len� $p(n-2)$ obsahuj�c�ch 1. Ta se mus� bu� odstranit nebo pou��t v transponovan� form� s pou�it�m transponovan�ch Ferrersov�ch graf�, pon�vad� jsou pot�eba velk� ��sti. Jedno rozd�len� z konjugovan�ho p�ru je nadbyte�n�. Tato nepou��van� rozd�len� se mus� ode��st. Nap��klad pro $p(8)$: $$\begin{array}{cccccc} 6; & 1^6; & \qquad & Tvo��:& 8; & 62; \\ \underline{51};& 21^4;& & & 53; & \\ 42; & 2^21^2;& & & 44;& 2^4; \\ \underline{33};& 2^3; & & & 3^22; & \\ 41^2;& \underline{31^3}; & & & 42^2; & \\ \underline{321}; & & & & & \end{array}$$ P�ebytky (naho�e podtr�en�): \begin{center} p(1) + 5: 51; \qquad p(3) + 3: 33; 321; 31 \end{center} se z�skaj� ode�ten�m nejv�t�� ��sti z odpov�daj�c�ho rozd�len�. Dv� se mus� p�idat k ode��tan� ��sti. Dostaneme p(8-5) a p(8-7) jako zm�ny. \section{Jin� inverzn� funkce rozd�len�} \label{Jin� inverzn� funkce rozd�len�} Setkali jsme se u� s jin�mi tabulkami rozd�len�, kter� maj� inverzi, pon�vad� jsou v doln� troj�heln�kov� form�. Inverz� tabulky 4.1 je tabulka 4.8. \begin{table} \caption{Inverzn� matice rozd�len� do n ��st�} \label{Inverzn� matice rozd�len� do n ��st�} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline m=1 & 1 & & & & & \\ 2 & -1 & 1 & & & & \\ 3 & 0& -1 & 1 & & & \\ 4 & 1 & -1 & -1 & 1 & & \\ 5 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & \\ 6 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 \\ \hline

\end{tabular} \end{table} Inverz� tabulky 4.6 je tabulka 4.9. \begin{table} \caption{Inverzn� matice jednotkov�ch rozd�l�} \label{Inverzn� matice jednotkov�ch rozd�l�} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline m=1 & 1 & & & & & \\ 2 & 0 & 1 & & & & \\ 3 & -1 & 0 & 1 & & & \\ 4 & -1 & -1 & 0 & 1 & & \\ 5 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & \\ 6 & 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Zat�m co sloupce tabulky 4.8 jsou nepravideln� a prvky ka�d�ho sloupce se mus� nal�zt odd�len�, sloupce tabulky 4.9 se opakuj�, jak jsou pouze posunuty v ka�d�m sloupci o jednu ��dku dol�, podobn� jako jsou posunuty prvky jejich p�vodn� matice. Mohou se snadno nal�zt n�soben�m matice Eulerovy funkce (tabulka 4.7) matic� ${\bf T}$ zleva. \section{Orbity rozd�len� v m rozm�rn�ch krychl�ch} \label{Orbity rozd�len� v m rozm�rn�ch krychl�ch} Omezen� rozd�len� maj� geometrickou interpretaci: Jsou to orbity n rozm�rn�ch rovinn�ch komplex� useknut�ch do krychle se stranou $(m -1)$ jako na obr. 4.3. M�eme po��tat orbity i v krychli. Je to �morn� �loha, pokud se nepou�ij� n�kter� speci�ln� techniky, pon�vad� jejich po�et z�vis� na velikost� krychle. Nap��klad pro 3 rozm�rn� prostor dostaneme orbity jako v tabulce 4.10. \begin{table} \caption{Orbity v 3 rozm�rn�ch krychl�ch} \label{Orbity v 3 rozm�rn�ch krychl�ch} \begin{tabular}{|r|c|c|c|c|} \hline Velikost hrany & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline m=0 & 000 & 000 & 000 & 000 \\ 1 & & 100 & 100 & 100 \\ 2 & & 110 & 200; 110 & 210; 110 \\ 3 & & 111 & 210; 111 & 300; 210; 111 \\ 4 & & & 220; 211 & 310; 220; 211 \\ 5 & & & 221 & 320; 311; 221 \\ 6 & & & 222 & 330; 321; 222 \\ 7 & & & & 331; 322 \\ 8 & & & & 332 \\ 9 & & & & 333 \\ \hline \end{tabular} \end{table}

Rovnice 4.3 se m�e pou��t pro krychle. Ukazuje jejich d�le�itou vlastnost, jsou symetrick� pod�l hlavn� diagon�ly, jdouc� ze st�edu koordin�t, simplexu $n^0$, k nejvzd�len�j��mu vrcholu krychle, ve kter�m v�echny $n$ koordin�ty jsou $(m-1)$. Diagon�lu krychle p�edstavuj� v tabulce 4.10 $k$ indexy. Mimo to krychle je konvexn�, tedy \begin{equation} M \leq mn/2 \ {\rm potom} \ p(m,n,M) \geq p(m,n,M-1) \end{equation} pokud \begin{equation} M \geq mn/2 \ {\rm potom} \ p(m,n,M) \leq p(m,n,M-1) \end{equation} Zde vid�me d�le�itost omezen�ch rozd�len�. Z tabulky 4.10 najdeme rekurenci, kter� je dan� faktem, �e ve v�t�� krychli je v�dy men�� krychle p��tomn� jako jej� z�kladna. Nov� orbity, kter� jsou na jej�ch roz���en�ch stran�ch se k n� p�i��taj�. Av�ak nesta�� zn�t orbity jedn� roz���en� strany, proto�e jin� strany se tvo�� t�mito orbity. Roz���en� strana n rozm�rn� krychle je $(n - 1)$ rozm�rn� krychle. Rekurentn� vztah pro rozd�len� v krychli je tedy \begin{equation} p(m,n,M) = p(m-1,n,M) + p(m,n-1,M) \end{equation} Tato rekurence bude pe�liv�ji vysv�tlena pozd�ji. \section{Vytvo�uj�c� funkce rozd�len� v krychl�ch} \label{Vytvo�uj�c� funkce rozd�len� v krychli} Vytvo�uj�c� funkce rozd�len� je jednodu�e vytvo�uj�c� funkce nekone�n� krychle v Hilbertov� prostoru, jeho� strany maj� rozd�ln� rozm�ry: \begin{equation} {\rm ��sti\ 1:}\; (1 + t_1^1 + t_1^2 + \dots\; t_1^{\infty}) \end{equation} \begin{equation} {\rm ��sti\ 2:}\; (1 + t_2^1 + t_2^2 + \dots\; t_2^{\infty}) \end{equation} a tak d�le a� \begin{equation} {\rm ��sti}\ \infty:\; (1 + \dots\; t^1_{\infty}) \end{equation} Kdy� se provedou n�soben� pro v�echny ��sti a �leny n�sleduj�c�ch rovinn�ch simplex� se se�tou, dostaneme: \begin{equation} 1 + t_1^1 + [t_2^1 + t_1^2] + [t_3^1 + \dots\;. \end{equation} Vytvo�uj�c� funkce omezen�ch rozd�len� se z�sk� vynech�n�m ne��douc�ch (omezen�ch)

��st�. N�kdy se vytvo�uj�c� funkce definuje v inverzn� form�. Nekone�n� mocninov� s�rie se nahrad� rozd�ly $(1 - t_k^{-1})$. To je mo�n�, pokud pova�ujeme $t$ za pouze fale�nou prom�nnou. Nap��klad, vytvo�uj�c� funkce rozd�len� s nerovn�mi neopakuj�c�mi se ��stmi je dan� sou�inem \begin{equation} u(t) = \prod_{k=1}^\infty (1 - t_k)\;. \end{equation} S�to prostoru rozd�len� je pravideln�, pokr�v� v�echna ��sla. Po�et rozd�len� se z�sk� rekurzivn�mi technikami. Av�ak je to velmi slo�it� funkce, pokud se vyjad�uje jedn�m uzav�en�m vzorcem, jako je Ramanudjan-Hardyho funkce. Rozd�len� tvo�� kostru prostoru. Bude n�s zaj�mat, jak je s�to rozd�len� zapln�no do prostoru, ve kter�m v�echny osy maj� jednotkovou stupnici, kter� obsahuje tak� vektorov� �ady. \chapter{M��ky orbit} \label{M��ky orbit} \section{Sch�mata rozd�len�} \label{Sch�mata rozd�len�} Mnohorozm�rn� rovinn� simplexy jsou slo�it�mi objekty, je nutn� nal�zt n�stroje, jak je analyzovat. Nakreslit je je nemo�n�, jak bylo zm�n�no, proto�e jejich ��sti se vrstv� v na�em 3 rozm�rn�m sv�t� na sebe. Klasifikovali jsme ji� orbity v rovinn�ch simplexech podle po�tu $k$ nenulov�ch ��st�. Tento po�et ukazuje rozm�rnost podsimplex�, jejich vrcholy, hrany, (k-1) rozm�rn� t�lesa. Pozd�ji jsme zavedli po�et jednotkov�ch vektor� jako n�stroj diferencuj�c� simplex. Nyn� uspo��d�me rozd�len� jako dvourozm�rn� tabulky. Tyto tabulky se budou naz�vat {\em sch�mata rozd�len�}. \begin{figure} \caption{M��ka orbit rozd�len� (7, 7)} \label{M��ka rozd�len�} \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(190.00,140.00) \put(5.33,110.00){\framebox(19.67,10.00)[cc]{7000000}} \put(30.00,95.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{6000000}} \put(30.00,80.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{5100000}} \put(30.00,65.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{4300000}} \put(55.00,80.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{5110000}} \put(55.00,65.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{4210000}} \put(55.00,50.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{3310000}} \put(55.00,35.00){\framebox(20.00,10.67)[cc]{3220000}} \put(80.00,65.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{4111000}} \put(80.00,40.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{3211000}} \put(80.00,20.00){\framebox(20.33,10.00)[cc]{2221000}} \put(105.00,40.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{3111100}} \put(105.00,20.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{2211100}} \put(130.00,20.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{2111110}} \put(155.00,5.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{1111111}} %\emline(25.00,110.00)(30.00,105.00) \multiput(25.00,110.00)(0.12,-0.12){42}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(40.00,95.00)(40.00,90.00) \put(40.00,95.00){\line(0,-1){5.00}} %\end

%\emline(40.00,80.00)(40.00,75.00) \put(40.00,80.00){\line(0,-1){5.00}} %\end %\emline(50.00,95.00)(55.00,90.00) \multiput(50.00,95.00)(0.12,-0.12){42}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(50.00,85.00)(55.00,85.00) \put(50.00,85.00){\line(1,0){5.00}} %\end %\emline(50.00,69.58)(55.00,69.58) \put(50.00,69.58){\line(1,0){5.00}} %\end %\emline(50.00,79.58)(55.00,75.00) \multiput(50.00,79.58)(0.13,-0.12){39}{\line(1,0){0.13}} %\end %\emline(50.00,65.00)(55.00,60.00) \multiput(50.00,65.00)(0.12,-0.12){42}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(65.42,80.00)(65.42,75.00) \put(65.42,80.00){\line(0,-1){5.00}} %\end %\emline(65.83,65.00)(65.83,60.00) \put(65.83,65.00){\line(0,-1){5.00}} %\end %\emline(65.42,50.00)(65.42,45.83) \put(65.42,50.00){\line(0,-1){4.17}} %\end \bezier{136}(55.00,65.00)(41.67,50.42)(55.00,45.83) %\emline(75.00,79.58)(80.00,75.00) \multiput(75.00,79.58)(0.13,-0.12){39}{\line(1,0){0.13}} %\end %\emline(75.00,69.58)(80.00,69.58) \put(75.00,69.58){\line(1,0){5.00}} %\end %\emline(90.00,65.00)(90.00,50.00) \put(90.00,65.00){\line(0,-1){15.00}} %\end %\emline(75.00,65.00)(80.00,50.00) \multiput(75.00,65.00)(0.12,-0.36){42}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\emline(75.00,50.00)(80.00,50.00) \put(75.00,50.00){\line(1,0){5.00}} %\end %\emline(100.00,65.00)(105.00,50.00) \multiput(100.00,65.00)(0.12,-0.36){42}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\emline(100.00,45.42)(105.00,45.42) \put(100.00,45.42){\line(1,0){5.00}} %\end %\emline(75.00,45.83)(80.00,49.58) \multiput(75.00,45.83)(0.16,0.12){32}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(75.00,35.00)(80.00,30.00) \multiput(75.00,35.00)(0.12,-0.12){42}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(90.00,40.00)(90.00,30.00) \put(90.00,40.00){\line(0,-1){10.00}} %\end

%\emline(125.00,40.00)(130.42,30.00) \multiput(125.00,40.00)(0.12,-0.22){46}{\line(0,-1){0.22}} %\end %\emline(115.00,40.00)(115.00,30.00) \put(115.00,40.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\emline(100.42,25.00)(105.00,25.00) \put(100.42,25.00){\line(1,0){4.58}} %\end %\emline(125.00,25.00)(130.00,25.00) \put(125.00,25.00){\line(1,0){5.00}} %\end %\emline(150.00,20.00)(155.00,15.00) \multiput(150.00,20.00)(0.12,-0.12){42}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(100.00,40.42)(105.00,30.00) \multiput(100.00,40.42)(0.12,-0.25){42}{\line(0,-1){0.25}} %\end \end{picture} \end{figure} Kdy� analyzujeme 7 rozm�rn� rovinn� simplex s $m = 7$, m�eme vyj�t z jeho 3 rozm�rn�ch podsimplex� (obr. 5.1). Vid�me, �e obsahuj� body odpov�daj�c� rozd�len�m: 7,0,0; 6,1,0; 5,2,0; 4,3,0; 5,1,1; 4,2,1; 3,3,1; 3,2,2. Body odpov�daj�c� rozd�len�m jsou spojen� s jin�mi body simplexu kru�nic�. Ve vy���ch rozm�rech kru�nice se m�n� ve sf�ry a to je d�vodem, pro� naz�v�me rozd�len� {\em orbitou}. Jin� body na ka�d� orbit� maj� pouze rozd�ln� po�ad� stejn� mno�iny koordin�t. \begin{table} \caption{Sch�ma rozd�len� (7,7)} \label{Sch�ma rozd�len� (7,7)} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|} \hline na & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6& 7 & $\Sigma$ \\ \hline m = 7 & 1& & & & & & & 1 \\ 6 & & 1 & & & & & & 1 \\ 5 & & 1 & 1 & & & & & 2 \\ 4 & & 1 & 1 & 1 & & & & 3 \\ 3 & & & 2 & 1 & 1 & & & 4 \\ 2 & & & & 1 & 1 & 1& & 3 \\ 1 & & & & & & & 1 & 1 \\ \hline $\Sigma$ & 1 & 3 & 4 & 3 & 2 & 1 & 1 & 11 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Kdy� uspo��d�me rozd�len� do tabulky (tabulka\ref{Sch�ma rozd�len� (7,7)}), klasifika�n� sloupec vol�me podle po�tu nenulov�ch ��st� rozd�len�. Jin� klasifika�n� kriterium je pot�eba pro ��dky. Budou to d�lky nejdel��ho vektoru $m_1$. Ze v�ech vektor� rozd�len� maj�c�ch stejnou rozm�rnost je nejdel�� vektor ten, co m� nejdel�� prv� vektor. Ten je p�evl�d�. Av�ak mohou existovat del�� orbity bl�e k povrchu simplexu s men��m po�tem nenulov�ch ��st�. Nap��klad vektor (4,1,1) m� stejnou d�lku jako (3,3,0), av�ak vektor (4,1,1,1,1) je krat�� ne� (3,3,2,0,0). Takov� uspo��d�n� je v tabulce 5.1. Orbity s t�emi nenulov�mi ��stmi le�� uvnit� 3 rozm�rn�ho simplexu, s dv�ma nenulov�mi ��stmi le�� na jeho hran�ch.

Orbity se �ty�mi nenulov�mi ��stmi jsou uvnit� �ty�st�n�, to je na plo�e ve �tvrt�m rozm�ru. Existuj� zde tato rozd�len�: 4,1,1,1; 3,2,1,1; 2,2,2,1. Podobn� jsou zapln�ny sloupce odpov�daj�c� vy���m rozm�r�m. ��dky sch�mat rozd�len� klasifikuj� rozd�len� podle d�lky prvn�ho nejdel��ho vektoru ${\bf e}_1$. Lze snadno uk�zat, �e v�echny vektory ve vy���ch ��dk�ch jsou del�� ne� vektory v ni���ch ��dk�ch v odpov�daj�c�m sloupci. V nejhor��m p��pad� se dan� rozd�lem \begin{equation} (x + 1)^2 + (x - 1)^2 > (2x)^2\;. \end{equation} T��rozm�rn� rovinn� simplex lze pova�ovat za useknut� 7 rozm�rn� simplex a po dopln�n� sloupc� tabulky 5.1 odpov�daj�c�mi rozd�len�mi dostaneme pr��ez 7 rozm�rnou rovinou. Anal�za nen� dokonal�, jeden prvek je tvo�en dv�ma orbity, av�ak nicm�n� sch�ma d�v� n�hled jak takov� v�cerozm�rn� prostor vypad�. Budeme tedy podrobn� studovat vlastnosti sch�mat rozd�len�. Po�et nenulov�ch vektor� v rozd�len� bude uv�d�n jako $n$, velikost prv�ho vektoru jako $m$. Nuly se nebudou zapisovat, aby se u�et�ila pr�ce. Z�vorka $(m,n)$ znamen� v�echna rozd�len� ��sla $m$ do nejv�e $n$ ��st�. Pon�vad� nap�eme rozd�len� jako vektor, povol�me jako d��ve nulov� ��sti k dopln�n� rozd�len�. \section{Konstrukce sch�mat rozd�len�} \label{Konstrukce sch�mat rozd�len�} \begin{table} \caption{Sch�ma rozd�len� m = 13} \label{Sch�ma rozd�len� m = 13} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|rrrrrrr|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11& 12 & 13 \\ \hline m=13& 1 & & & & & & & & & & & & \\ 12 & & 1& & & & & & & & & & & \\ 11 & & 1& 1 & & & & & & & & & & \\ 10 & & 1 & 1 & 1 & & & & & & & & & \\ 9 & & 1 & 2 & 1 & 1 & & & & & & & & \\ 8 & & 1 & 2 & 2 & 1 & 1 & & & & & & & \\ 7 & & 1 & 3 & 3 & 2 & 1 & 1 & & & & & & \\ \hline 6 & & & 3 & 5 & 2 & 2 & 1 & 1 & & & & & \\ 5 & & & 2 & * & 5 & 5 & 2 & 1 & 1 & & & & \\ 4 & & & & * & 2 & 3 & 3 & 2 & 1 & 1 & & & \\ 3 & & & & & * & * & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & & \\ 2 & & & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\ 1 & & & & & & & & & & & & & 1 \\ \hline $\Sigma$ & 1 & 6 & 14 & 18 & 18 & 14 & 11 & 7 & 5 & 3& 2 & 1 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Sch�ma rozd�len� se rozd�l� do �ty� blok�. Diagon�ln� bloky se opakuj� tabulku 4.1

(lev� horn� blok), prav� doln� blok je naps�n v transponovan� form� pro $n > m/2$. Lich� a sud� sch�mata se chovaj� pon�kud odli�n�, jak lze vid�t na tabulk�ch 5.2 a 5.3 \begin{table} \caption{Sch�ma rozd�len� m = 14} \label{Sch�ma rozd�len� m = 14} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|rrrrrrrr|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11& 12 & 13& 14 \\ \hline m=14& 1 & & & & & & & & & & & & & \\ 13 & & 1 & & & & & & & & & & & & \\ 12 & & 1 & 1 & & & & & & & & & & & \\ 11 & & 1 & 1 & 1 & & & & & & & & & & \\ 10 & & 1 & 2 & 1 & 1 & & & & & & & & & \\ 9 & & 1 & 2 & 2 & 1 & 1 & & & & & & & & \\ 8 & & 1 & 3 & 3 & 2 & 1& 1 & & & & & & & \\ 7 & & 1 & 3 & 4 & 3 & 2 & 1 & 1 & & & & & & \\ \hline 6 & & & * & * & * & * & 2 & 1 & 1 & & & & & \\ 5 & & & 2 & * & * & * & 3 & 2 & 1 & 1 & & & & \\ 4 & & & & 3 & * & * & 4 & 3 & 2 & 1 & 1& & & \\ 3 & & & & & 2 & * & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & & \\ 2 & & & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\ 1 & & & & & & & & & & & & && 1 \\ \hline $\Sigma$ & 1 & 7& 16 & 23 & 23 & 20 & 15 & 11 & 7 & 5 & 3 &2 & 1 & 1\\ \hline \end{tabular} \end{table} V lev�m doln�m bloku nenulov� prvky ozna�en� hv�zdi�kou * mohou b�t um�st�ny pouze nad ��dkou, kter� d�v� dostate�n� velk� sou�in $mn$ pro um�st�n� v�ech jednotek do odpov�daj�c�ch Ferrersov�ch graf� a jejich sou�ty mus� souhlasit nejen s ��dkov�mi a sloupcov�mi sou�ty ale tak� s diagon�ln�mi sou�ty, jak uk�eme n�e. To lze vyu��t pro v�po�ty jejich po�tu spole�n� s pravidly pro omezen� rozd�len�. P��klady ukazuj� t�� d�le�it� vlastnosti sch�mat rozd�len�: \begin{itemize} \item Sch�mata rozd�len� jsou symetrick� podle sv�ch transverz�l, z p���iny konjugovan�ch rozd�len� z�skan�ch transponov�n�m Ferrersov�ch graf�. \item Horn� lev� �tvrtina (transponovan� doln� prav� �tvrtina) obsahuj� prvky tabulky 4.1 rozd�len� do p�esn� $n$ ��st� posunut� o jeden sloupec nahoru. \item Sch�mata maj� formu matice v doln� diagon�ln� form� s jednotkovou diagon�lou. Proto maj� inverze. Je snadn� je nal�zt, nap��klad pro $n=7$ (tabulka \ref{Sch�ma rozd�len� (7,7) a jeho inverze}). \end{itemize} Rozd�len� v ��dc�ch mus� b�t vyv�ena jin�mi s prvky inverzn�ch sloupc�. T�et� sloupec zahrnuje nebo vyd�luje 331 a 322 s 3211 a $31^4$; $2^31$ a $2^21^3$ s $2\times 21^5$. \begin{table} \caption{Sch�ma rozd�len� (7,7) a jeho inverze} \label{Sch�ma rozd�len� (7,7) a jeho inverze} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|crrrrrrr|}

\hline na & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 &\qquad &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline m = 7 & 1 & & & & & & & & 1 & & & & & & \\ 6 & & 1 & & & & & & & & 1 & & & & & \\ 5 & & 1 & 1 & & & & & & & 0 & 1 & & & & \\ 4 & & 1 & 1 & 1 & & & & & & 0 & -1 & 1 & & & \\ 3 & & & 2 & 1 & 1 & & & & & 2 & -1 & -1 & 1 & & \\ 2 & & & & 1 & 1 & 1 & & & & -2 & 2 & 0 & -1& 1 & \\ 1 & & & & & & & 1 & & & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} \section{M��ky orbit} \label{M��ky orbity} Orbita rozd�len� je koule, jej� polom�r $r$ je ur�en Euklidovskou d�lkou odpov�daj�c�ho vektoru: $r = (\sum p^2_j)$. Polom�ry n�kter�ch orbit rozd�len� jsou toto�n�, nap��klad $r(3,3,0)^2 = r(4,1,1)^2 = (18)$. Je tedy nemo�n� ur�it vzd�lenosti mezi orbitami s pou�it�m t�chto polom�r� (Euklidovsk�ch vzd�lenost�), pon�vad� vzd�lenost mezi dv�ma rozd�ln�mi orbitami nemohou b�t nulov�. Uk�zali jsme v ��sti 4.4, �e jedna orbita se m�e z�skat z jin� posunut�m pr�v� dvou vektor�, jednoho nahoru a druh�ho dol�, na ��seln� stupnici. M�eme si p�edstavit, �e oba vektory se sraz� a vym�n� si sv� hodnoty jako si dv� ��stice ide�ln�ho plynu vym�n� sv� energie. Pokud omez�me v�sledek takov� v�m�ny na 1 jednotku, m�eme pova�ovat takov� dv� orbity za orbity nejbli���ho sousedstv�. Vzd�lenost mezi t�mto p�rem je $\sqrt{2}$. Spoj�me je v sch�matu ��rou. N�kter� orbity jsou tak spojen� s mnoha sousedn�mi orbity, jin� maj� pr�v� jednoho souseda, srovnej s obr. 5.1. Orbity (3,3,0) a (4,1,1) nejsou nejbli���mi sousedy, proto�e se mus� transformovat v dvou kroc�ch: $$(3,3,0) \leftrightarrow ((3,2,1) \leftrightarrow (4,1,1)$$ nebo $$(3,3,0) \leftrightarrow (4,2,0) \leftrightarrow (4,1,1)\;.$$ Sch�mata rozd�len� nejsou obecn� vhodn� pro konstrukci m��ky orbit, proto�e p�i $m=n > 7$ se objevuje v�ce orbit na n�kter�ch m�stech tabulky. Je nutn� konstruovat alespo� 3 rozm�rn�m m��ky, aby se uk�zala v�echna existuj�c� spojen�. Nap��klad: $$\begin{array}{ccccc} (5,2,1) & \leftrightarrow & (4,3,1) & \leftrightarrow & (3,3,2) \\ & \searrow \nwarrow & \updownarrow & \swarrow \nearrow & \\ & & (4,2,2) & & \end{array}$$ N�kdy se d�v� p��sn�j�� podm�nka na procesy vedouc� k v�m�n�m, , �e toti� ka�d� sr�ka mus� m�nit po�et pr�zdn�ch ��st�, jako kdyby to byly informa�n� soubory, kter� mohou b�t pouze spojen� do jednoho souboru nebo jeden soubor rozd�len do dvou nebo v�ce soubor�, nebo jako kdyby byla ��st souboru p�evedena do pr�zdn�ho souboru. Zde je tak� nejbli��� soused omezen na spojen� pr�v� dvou soubor� nebo na rozd�len� souboru do dvou (obr.\ref{M��ka rozd�len� soubor�}). V tomto p��pad� cesta mezi dv�ma orbity mus� b�t del��, nap��klad: $$(3,3,0) \leftrightarrow (6,0,0) \leftrightarrow (4,2,0) \leftrightarrow (4,1,1)$$

nebo $$(3,3,0) \leftrightarrow(3,2,1) \leftrightarrow(5,1,0) \leftrightarrow(4,1,1)\;.$$ \begin{figure} \caption{M��ka rozd�len� soubor�. Soubor se m�e rozd�lit do dvou nov�ch nebo dva soubory se mohou spojit do jednoho} \label{M��ka rozd�len� soubor�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(160.00,130.00) \put(10.00,60.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{7}} \put(30.00,60.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{52}} \put(30.00,80.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{61}} \put(30.00,40.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{43}} \put(55.00,99.67){\framebox(15.00,10.33)[cc]{511}} \put(55.00,70.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{421}} \put(55.00,50.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{331}} \put(55.00,20.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{322}} \put(80.00,85.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{4111}} \put(80.00,60.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{3211}} \put(80.00,35.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{3211}} \put(105.67,50.00){\framebox(14.33,10.00)[cc]{$2^21^3$}} \put(125.33,60.00){\framebox(14.67,10.00)[cc]{$21^5$}} \put(130.00,40.00){\framebox(14.33,10.00)[cc]{$1^7$}} %\emline(20.00,70.00)(30.00,80.00) \multiput(20.00,70.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(20.00,70.00)(30.00,70.00) \put(20.00,70.00){\line(1,0){10.00}} %\end %\emline(20.00,60.00)(30.00,50.00) \multiput(20.00,60.00)(0.12,-0.12){84}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(45.00,90.00)(55.00,99.67) \multiput(45.00,90.00)(0.12,0.12){81}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(70.00,99.67)(80.00,95.00) \multiput(70.00,99.67)(0.26,-0.12){39}{\line(1,0){0.26}} %\end %\emline(55.00,99.67)(45.00,70.00) \multiput(55.00,99.67)(-0.12,-0.35){84}{\line(0,-1){0.35}} %\end %\emline(45.00,80.00)(55.00,60.00) \multiput(45.00,80.00)(0.12,-0.24){84}{\line(0,-1){0.24}} %\end %\emline(45.00,60.00)(55.00,30.00) \multiput(45.00,60.00)(0.12,-0.36){84}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\emline(45.00,50.00)(55.00,50.00) \put(45.00,50.00){\line(1,0){10.00}} %\end %\emline(45.00,50.00)(55.00,70.00) \multiput(45.00,50.00)(0.12,0.24){84}{\line(0,1){0.24}} %\end %\emline(45.00,70.00)(55.00,70.00) \put(45.00,70.00){\line(1,0){10.00}}

%\end %\emline(45.00,40.00)(55.00,30.00) \multiput(45.00,40.00)(0.12,-0.12){84}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(70.00,99.67)(80.00,70.00) \multiput(70.00,99.67)(0.12,-0.35){84}{\line(0,-1){0.35}} %\end %\emline(70.00,80.00)(80.00,85.00) \multiput(70.00,80.00)(0.24,0.12){42}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(70.00,70.00)(80.00,45.00) \multiput(70.00,70.00)(0.12,-0.30){84}{\line(0,-1){0.30}} %\end %\emline(70.00,60.00)(80.00,60.00) \put(70.00,60.00){\line(1,0){10.00}} %\end %\emline(70.00,50.00)(80.00,45.00) \multiput(70.00,50.00)(0.24,-0.12){42}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(80.00,60.00)(70.00,30.00) \multiput(80.00,60.00)(-0.12,-0.36){84}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\emline(70.00,30.00)(80.00,35.00) \multiput(70.00,30.00)(0.24,0.12){42}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(100.00,85.00)(105.33,85.00) \put(100.00,85.00){\line(1,0){5.33}} %\end %\emline(100.00,85.00)(105.67,60.00) \multiput(100.00,85.00)(0.12,-0.52){48}{\line(0,-1){0.52}} %\end %\emline(100.00,70.00)(105.33,75.00) \multiput(100.00,70.00)(0.13,0.12){42}{\line(1,0){0.13}} %\end %\emline(100.00,60.00)(105.67,60.00) \put(100.00,60.00){\line(1,0){5.67}} %\end %\emline(100.00,45.00)(105.67,50.00) \multiput(100.00,45.00)(0.14,0.12){42}{\line(1,0){0.14}} %\end %\emline(120.00,60.00)(125.33,60.00) \put(120.00,60.00){\line(1,0){5.33}} %\end %\emline(125.33,60.00)(130.00,50.00) \multiput(125.33,60.00)(0.12,-0.26){39}{\line(0,-1){0.26}} %\end %\emline(45.00,80.00)(55.00,80.00) \put(45.00,80.00){\line(1,0){10.00}} %\end %\emline(70.00,70.00)(80.00,70.00) \put(70.00,70.00){\line(1,0){10.00}} %\end \put(105.67,74.67){\framebox(14.33,10.33)[cc]{$31^4$}} %\emline(120.00,74.67)(125.33,70.00) \multiput(120.00,74.67)(0.14,-0.12){39}{\line(1,0){0.14}} %\end \end{picture} \end{figure}

V m��ce je mo�n� po��tat po�et nejbli���ch soused�. Pokud studujeme po�et soused� o jednu jednotku nebo spojuj�c� hrany mezi sloupci sch�mat rozd�len�, dostaneme zaj�mavou tabulku \ref{Right Hand Jedena-jednotkov� Neighbors Rozd�len� Orbity}. \begin{table} // \caption{Pravostrann� soused� o jednu jednotku v orbit�ch rozd�len�} \label{Right Hand Jedena-jednotkov� Neighbors Rozd�len� Orbity} // \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=2 & 1 & & & & & & 1 \\ 3 & 1 & 1 & & & & & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 1 & & & & 4 \\ 5 & 1 & 3 & 2 & 1 & & & 7 \\ 6& 1 & 4 & 4 & 2 & 1 & & 12 \\ 7 & 1 & 5 & 6 & 4 & 2 & 1& 19 \\ \hline D(7-6) & 0 & 1 & 2 & 2 & 1& 1 & 7\\ \hline \end{tabular} \end{table} Po�et pravostrann�ch soused� je sou�tem dvou �len�. Pravostrann� diagon�ln� soused� existuj� pro v�echna $p(m,n-1)$. P�id�me 1 ke v�em t�mto rozd�len�m a sn��me nejv�t�� ��st. Neur�en� zb�vaj� pravostrann� soused� v ��dc�ch. Jejich po�et je rovn� po�tu rozd�len� $p(m-2)$. Ke ka�d�mu rozd�len� $p(m-2, n-1)$ se p�i��taj� dv� jednotky, jedna v n t�m sloupci, druh� v (n-1)-t�m sloupci. \begin{figure} \caption{M��ky sousedstv� mezi rovinn�mi simplexy} \label{M��ky sousedstv� mezi rovinn�mi simplexy} \linethickness{0.5pt} \begin{picture}(170.00,130.00) \put(10.00,110.00){\framebox(10.00,9.33)[cc]{0}} \put(10.00,90.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(10.00,70.00){\framebox(10.00,10.33)[cc]{2}} \put(30.00,70.00){\framebox(10.00,10.33)[cc]{1,1}} \put(10.00,50.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{3}} \put(29.67,50.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{2,1}} \put(65.33,50.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{1,1,1}} \put(9.67,30.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{4}} \put(29.67,30.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{3,1}} \put(45.00,25.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2,2}} \put(65.33,30.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{2,1,1}} \put(110.33,30.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{$1^4$}} \put(9.67,10.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{5}} \put(30.00,10.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{4,1}} \put(45.33,5.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{3,2}} \put(65.33,10.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{3,1,1}} \put(85.00,5.00){\framebox(15.33,10.00)[cc]{2,2,1}} \put(110.00,10.00){\framebox(15.33,10.00)[cc]{$2,1^3$}} \put(135.67,10.00){\framebox(14.33,10.00)[cc]{$1^5$}} %\vector(10.00,110.00)(10.00,100.00) \put(10.00,100.00){\vector(0,-1){0.2}}

\put(10.00,110.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\vector(10.00,90.00)(10.00,80.33) \put(10.00,80.33){\vector(0,-1){0.2}} \put(10.00,90.00){\line(0,-1){9.67}} %\end %\vector(10.00,70.00)(10.00,60.00) \put(10.00,60.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(10.00,70.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\vector(10.00,50.00)(9.67,40.00) \put(9.67,40.00){\vector(0,-1){0.2}} \multiput(10.00,50.00)(-0.11,-3.33){3}{\line(0,-1){3.33}} %\end %\vector(9.67,30.00)(9.67,20.00) \put(9.67,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(9.67,30.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\vector(20.00,90.00)(30.00,80.33) \put(30.00,80.33){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(20.00,90.00)(0.12,-0.12){81}{\line(1,0){0.12}} %\end %\vector(40.00,70.00)(65.33,60.00) \put(65.33,60.00){\vector(3,-1){0.2}} \multiput(40.00,70.00)(0.30,-0.12){84}{\line(1,0){0.30}} %\end %\vector(80.33,50.00)(110.33,40.00) \put(110.33,40.00){\vector(3,-1){0.2}} \multiput(80.33,50.00)(0.36,-0.12){84}{\line(1,0){0.36}} %\end %\vector(125.33,30.00)(135.67,20.00) \put(135.67,20.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(125.33,30.00)(0.12,-0.12){84}{\line(1,0){0.12}} %\end %\vector(20.00,70.00)(29.67,60.00) \put(29.67,60.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(20.00,70.00)(0.12,-0.12){81}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(30.00,70.00)(29.67,60.00) \put(29.67,60.00){\vector(0,-1){0.2}} \multiput(30.00,70.00)(-0.11,-3.33){3}{\line(0,-1){3.33}} %\end %\vector(20.00,50.00)(29.67,40.00) \put(29.67,40.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(20.00,50.00)(0.12,-0.12){81}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(20.00,30.00)(30.00,20.00) \put(30.00,20.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(20.00,30.00)(0.12,-0.12){84}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(29.67,50.00)(29.67,40.00) \put(29.67,40.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(29.67,50.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\vector(40.00,50.00)(65.33,40.00) \put(65.33,40.00){\vector(3,-1){0.2}} \multiput(40.00,50.00)(0.30,-0.12){84}{\line(1,0){0.30}} %\end

%\emline(40.00,50.00)(45.00,35.00) \multiput(40.00,50.00)(0.12,-0.36){42}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\vector(65.33,50.00)(65.33,40.00) \put(65.33,40.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(65.33,50.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\vector(29.67,29.67)(30.00,20.00) \put(30.00,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \multiput(29.67,29.67)(0.11,-3.22){3}{\line(0,-1){3.22}} %\end %\vector(40.00,30.00)(45.33,15.00) \put(45.33,15.00){\vector(1,-3){0.2}} \multiput(40.00,30.00)(0.12,-0.33){45}{\line(0,-1){0.33}} %\end %\vector(45.00,25.00)(45.33,15.00) \put(45.33,15.00){\vector(0,-1){0.2}} \multiput(45.00,25.00)(0.11,-3.33){3}{\line(0,-1){3.33}} %\end %\vector(110.33,30.00)(110.00,20.00) \put(110.00,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \multiput(110.33,30.00)(-0.11,-3.33){3}{\line(0,-1){3.33}} %\end %\vector(80.33,30.00)(109.67,20.00) \put(109.67,20.00){\vector(3,-1){0.2}} \multiput(80.33,30.00)(0.35,-0.12){84}{\line(1,0){0.35}} %\end %\vector(80.33,29.67)(85.33,15.00) \put(85.33,15.00){\vector(1,-3){0.2}} \multiput(80.33,29.67)(0.12,-0.35){42}{\line(0,-1){0.35}} %\end %\vector(65.33,30.00)(65.33,20.00) \put(65.33,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(65.33,30.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\bezier{180}(40.00,30.00)(36.00,15.67)(65.33,20.00) \put(65.33,20.00){\vector(1,0){0.2}} \bezier{180}(40.00,30.00)(36.00,15.67)(65.33,20.00) %\end %\bezier{168}(55.00,25.00)(82.00,29.33)(85.00,15.00) \put(85.00,15.00){\vector(1,-3){0.2}} \bezier{168}(55.00,25.00)(82.00,29.33)(85.00,15.00) %\end \put(5.00,104.67){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(4.67,85.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(4.67,65.33){\makebox(0,0)[cc]{4}} \put(4.67,45.00){\makebox(0,0)[cc]{7}} \put(4.33,25.00){\makebox(0,0)[cc]{12}} \end{picture} \end{figure} Po�et pravostrann�ch soused� $P(n)$ je sou�tem po�tu neomezen�ch rozd�len� \begin{equation} P(n) = \sum_{k=0}^{n-2}\;p(k)\;. \end{equation} Abychom nalezli v�echny sousedy, mus�me p�idat sousedy uvnit� sloupc�. Po�et prvk�

ve sloupc�ch je po�et rozd�len� do p�esn� $n$ ��st� $p(m,n)$, rozd�l v ka�d�m sloupci se mus� sn�it o 1, av�ak existuj� dal�� spojen�, viz obr. 5.2. Tato spojen� se mus� se��tat odd�len�. V�sledn� ��sla jsou u� zn�m�. Konstrukce sch�mat rozd�len� d�v� v�sledek, kter� je zn�m jako tabulka 4.1 �ten� od diagon�ly do leva. Jin� interpretace pravostrann�ch soused� v rozd�len� o jednu jednotku je rovinn� komplex jako na obr.\ref{M��ky sousedstv� mezi rovinn�mi simplexy}. Vektory spojuj� nejbli��� sousedy ve vrstv�ch. \section{Diagon�ln� diference v m��k�ch} \label{Diagon�ln� diference v m��k�ch} V m��k�ch m�eme po��tat orbity na vedlej��ch diagon�l�ch jdouc�ch postupn� paraleln� k hlavn� diagon�le. Po��taj� orbity maj�c� tvar $[n - k]^k$. Jejich Ferrersovy grafy maj� formu L $$\begin{array}{cccc} x & x & x & x \\ x & & & \\ x & & & \\ x & & & \end{array}$$ Prvky vedlej��ch diagon�l po��taj� rozd�len�, kter� maj� v t�to vrstv� men�� po�et jednotek, jin� jsou uvnit� t�to z�kladny. Odpov�daj�c� tabulka je 5.5. \begin{table} \caption{Diagon�ln� rozd�ly rozd�len�} \label{Diagon�ln� rozd�ly rozd�len�} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrr|r|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & $\Sigma$ \\ \hline n= 1 & 1 & & & & & & & & & 1 \\ 2 & 2 & & & & & & & & & 2 \\ 3 & 3 & & & & & & & & & 3 \\ 4 & 4 & 1 & & & & & & & & 5 \\ 5 & 5 & 2 & & & & & & & & 7 \\ 6 & 6 & 3 & 2 & & & & & & & 11 \\ 7 & 7 & 4 & 4 & & & & & & & 15 \\ 8 & 8 & 5 & 6 & 3 & & & & & & 22 \\ 9 & 9 & 6 & 8 & 6 & 1 & & & & & 30 \\ 10 & 10 & 7 & 10 & 9 & 6 & & & & & 42 \\ 11 & 11 & 8 & 12 & 12 & 11 & 2 & & & & 56 \\ 12 & 12 & 9 & 14 & 15 & 16 & 9 & 2 & & & 77 \\ 13 & 13 & 10 & 16 & 18 & 21 & 16 & 7 & & & 101 \\ 14 & 14 & 11 & 18& 21& 26 & 23 & 18 & 4 & & 135 \\ 15& 15 & 12& 20& 24& 31 & 30 & 29 & 12 & 3 & 176 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Po��te�n� hodnoty $k$ sloupce maj� tyto analytick� tvary: \begin{itemize}

\item 1n po��t� prvky v n sloupc�ch (��dc�ch) maj�c� tvar $(n - k)1^k$, $k = 0$ -$(n -1)$; \item 1(n-3) po��t� prvky v (n - 2) sloupc�ch (��dc�ch) z�skan� ze z�kladn�ho rozd�len� 2,2 p�i�ten�m jednotek v prv� ��dce a sloupci; \item 2(n-5) po��t� prvky v (n - 2) sloupc�ch (��dc�ch) z�skan� ze z�kladn�ch rozd�len� 3,3 a 2,2,2 p�i�ten�m jednotek v prv� ��dce a sloupci; \item 3(n-7) po��t� prvky v (n - 2) sloupc�ch (��dc�ch) z�skan� ze z�kladn�ho rozd�len� 4,4; 3,3,2 a 2,2,2,2 p�i�ten�m jednotek v prv� ��dce a sloupci; \item 5(n-9) + 1. Na t�to �rovni se objevuje rozd�len� 3,3,3, kde prvky za��naj� obsazovat t�et� L vrstvu; \item 7(n-11) + 2. \end{itemize} Hodnoty v z�vork�ch jsou ��sla pro rozd�len�, kter� le�� uvnit� L r�me�ku maj�c�ho $(2k-1)$ jednotek. Ve vy���ch diagon�ln�ch vrstv�ch se objevuj� tyto mo�nosti p�idat nov� prvky pozd�ji. Rozd�len� 4, 4, 4 a 3, 3, 3, 3, pro $n=12$, se po��taj� v sedm� vrstv�. Pro $n=13$, vrstva po��t� sedm rozd�len�: $$\begin{array}{ccccc} 5,5,3; & & \\ 5,4,4; & & \\ & 4,4,4,1; & \\ & 4,4,3,2; & \\ & 4,3,3,3; & \\ & & 3,3,3,3,1; \\ & & 3,3,3,2,1. \end{array}$$ \section{Zobecn�n� m��ky} \label{Zobecn�n� m��ky} \begin{figure} \caption{Nejbli��� soused� v 00111 m��ce} \label{Nejbli��� soused� v 00111 m��ce} \linethickness{0.5pt} \begin{picture}(140.00,160.00) \put(70.00,129.67){\circle{4.00}} \put(70.00,99.00){\circle{4.00}} \put(13.67,90.00){\circle{4.00}} \put(125.67,89.67){\circle{4.00}} \put(42.33,79.67){\circle{4.00}} \put(97.67,79.67){\circle{4.00}} \put(53.67,46.00){\circle{4.00}} \put(87.00,45.67){\circle{4.00}} \put(104.67,22.67){\circle{4.00}} \put(35.00,22.33){\circle{4.00}} \put(70.00,140.00){\makebox(0,0)[cc]{10001}} \put(87.00,109.33){\makebox(0,0)[lc]{01010}} \put(18.67,98.33){\makebox(0,0)[lc]{01100}} \put(118.33,97.67){\makebox(0,0)[rc]{00110}} \put(25.67,68.33){\makebox(0,0)[cc]{10010}} \put(117.00,68.33){\makebox(0,0)[lc]{01001}} \put(32.33,46.00){\makebox(0,0)[rc]{10100}} \put(108.67,46.00){\makebox(0,0)[lc]{00101}} \put(35.00,10.00){\makebox(0,0)[lc]{00011}} \put(105.00,10.00){\makebox(0,0)[rc]{11000}} %\emline(70.33,129.33)(42.33,79.67) \multiput(70.33,129.33)(-0.12,-0.21){234}{\line(0,-1){0.21}}

%\end %\emline(70.33,129.00)(98.00,79.67) \multiput(70.33,129.00)(0.12,-0.21){231}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(70.33,128.67)(53.67,45.67) \multiput(70.33,128.67)(-0.12,-0.60){139}{\line(0,-1){0.60}} %\end %\emline(70.00,128.33)(87.33,46.00) \multiput(70.00,128.33)(0.12,-0.57){145}{\line(0,-1){0.57}} %\end %\emline(70.00,129.33)(35.33,22.33) \multiput(70.00,129.33)(-0.12,-0.37){289}{\line(0,-1){0.37}} %\end %\emline(70.00,129.33)(105.00,23.00) \multiput(70.00,129.33)(0.12,-0.36){292}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\emline(105.00,23.00)(105.00,22.67) \put(105.00,23.00){\line(0,-1){0.33}} %\end %\emline(14.00,90.00)(70.00,99.00) \multiput(14.00,90.00)(0.74,0.12){76}{\line(1,0){0.74}} %\end %\emline(13.33,90.33)(53.67,46.33) \multiput(13.33,90.33)(0.12,-0.13){337}{\line(0,-1){0.13}} %\end %\emline(14.00,89.67)(87.33,45.67) \multiput(14.00,89.67)(0.20,-0.12){367}{\line(1,0){0.20}} %\end %\emline(14.00,90.00)(98.00,79.67) \multiput(14.00,90.00)(0.97,-0.12){87}{\line(1,0){0.97}} %\end %\emline(13.67,90.00)(125.67,90.00) \put(13.67,90.00){\line(1,0){112.00}} %\end %\emline(13.67,89.67)(105.00,22.67) \multiput(13.67,89.67)(0.16,-0.12){559}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(35.00,22.67)(42.67,80.00) \multiput(35.00,22.67)(0.12,0.90){64}{\line(0,1){0.90}} %\end %\emline(35.00,23.00)(70.00,99.00) \multiput(35.00,23.00)(0.12,0.26){292}{\line(0,1){0.26}} %\end %\emline(34.67,22.67)(98.33,79.33) \multiput(34.67,22.67)(0.13,0.12){473}{\line(1,0){0.13}} %\end %\emline(35.67,23.00)(87.67,45.67) \multiput(35.67,23.00)(0.28,0.12){189}{\line(1,0){0.28}} %\end %\emline(35.33,22.67)(126.33,90.00) \multiput(35.33,22.67)(0.16,0.12){562}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(53.67,46.00)(105.00,22.33) \multiput(53.67,46.00)(0.26,-0.12){198}{\line(1,0){0.26}} %\end %\emline(43.00,79.67)(104.67,23.00) \multiput(43.00,79.67)(0.13,-0.12){473}{\line(1,0){0.13}} %\end

%\emline(70.00,99.00)(105.00,23.00) \multiput(70.00,99.00)(0.12,-0.26){292}{\line(0,-1){0.26}} %\end %\emline(98.00,79.33)(105.67,22.67) \multiput(98.00,79.33)(0.12,-0.89){64}{\line(0,-1){0.89}} %\end %\emline(126.00,90.00)(87.33,45.33) \multiput(126.00,90.00)(-0.12,-0.14){323}{\line(0,-1){0.14}} %\end %\emline(126.00,90.00)(53.67,46.33) \multiput(126.00,90.00)(-0.20,-0.12){364}{\line(-1,0){0.20}} %\end %\emline(125.33,89.67)(43.00,80.00) \multiput(125.33,89.67)(-1.02,-0.12){81}{\line(-1,0){1.02}} %\end %\emline(125.33,90.00)(70.00,99.00) \multiput(125.33,90.00)(-0.73,0.12){76}{\line(-1,0){0.73}} %\end %\emline(70.00,99.00)(42.67,80.33) \multiput(70.00,99.00)(-0.18,-0.12){156}{\line(-1,0){0.18}} %\end %\emline(42.67,80.33)(54.00,46.33) \multiput(42.67,80.33)(0.12,-0.36){95}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\emline(54.00,46.33)(87.33,46.33) \put(54.00,46.33){\line(1,0){33.33}} %\end %\emline(87.33,46.33)(98.00,79.33) \multiput(87.33,46.33)(0.12,0.37){89}{\line(0,1){0.37}} %\end %\emline(98.00,79.33)(70.00,99.00) \multiput(98.00,79.33)(-0.17,0.12){164}{\line(-1,0){0.17}} %\end %\emline(70.00,99.33)(89.33,105.00) \multiput(70.00,99.33)(0.40,0.12){48}{\line(1,0){0.40}} %\end \end{picture} \end{figure} Pojem m��ky se bude pou��vat tak� pro mo�n� transformace bod� maj�c�ch zvl�tn� vlastnosti mezi nimi samotn�mi, nap��klad mezi v�emi 10 permutacemi p�tice slo�en� ze 3 symbol� jednoho druhu a 2 symbol� jin�ho druhu. Kdy� se soused� li�� pouze o jeden vym�n� si polohy pouze jak�koliv p�r dvou druh� symbol�, dostaneme m��ku jako na obr. \ref{Nejbli��� soused� v 00111 m��ce}. Ka�d� ze t�� jednotkov�ch symbol� m� dv� mo�nosti, jak zam�nit 0 za 1. Uspo��dejte jako jednoduch� troj�heln�k. Sou�asn� v�m�na dvou p�r� (nebo dv� n�sledn� v�m�ny jednoho p�ru d�vaj� vzor jako na obr. \ref{Petersen�v graf}, zn�m� jako Petersen�v graf. \begin{figure} \caption{Petersen�v graf. Soused�c� vrcholy jsou ve vzd�lenosti 4} \label{Petersen�v graf} \linethickness{0.5pt} \begin{picture}(140.00,160.00) %\emline(70.00,130.00)(70.00,99.67) \put(70.00,130.00){\line(0,-1){30.33}} %\end %\emline(70.00,130.00)(14.00,90.00) \multiput(70.00,130.00)(-0.17,-0.12){334}{\line(-1,0){0.17}}

%\end %\emline(14.00,90.00)(35.00,22.33) \multiput(14.00,90.00)(0.12,-0.38){176}{\line(0,-1){0.38}} %\end %\emline(35.00,22.33)(104.67,22.33) \put(35.00,22.33){\line(1,0){69.67}} %\end %\emline(104.67,22.33)(126.00,90.00) \multiput(104.67,22.33)(0.12,0.38){178}{\line(0,1){0.38}} %\end %\emline(126.00,90.00)(70.00,130.00) \multiput(126.00,90.00)(-0.17,0.12){334}{\line(-1,0){0.17}} %\end %\emline(104.67,22.33)(87.00,45.33) \multiput(104.67,22.33)(-0.12,0.16){148}{\line(0,1){0.16}} %\end %\emline(87.00,45.33)(70.33,100.00) \multiput(87.00,45.33)(-0.12,0.39){139}{\line(0,1){0.39}} %\end %\emline(70.33,100.00)(53.33,45.67) \multiput(70.33,100.00)(-0.12,-0.38){142}{\line(0,-1){0.38}} %\end %\emline(53.33,45.67)(35.00,22.33) \multiput(53.33,45.67)(-0.12,-0.15){153}{\line(0,-1){0.15}} %\end %\emline(14.00,90.33)(42.00,80.00) \multiput(14.00,90.33)(0.32,-0.12){87}{\line(1,0){0.32}} %\end %\emline(42.00,80.00)(87.33,45.33) \multiput(42.00,80.00)(0.16,-0.12){289}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(42.00,79.67)(98.00,79.67) \put(42.00,79.67){\line(1,0){56.00}} %\end %\emline(98.00,79.67)(126.33,90.00) \multiput(98.00,79.67)(0.33,0.12){87}{\line(1,0){0.33}} %\end %\emline(98.00,79.67)(53.00,45.67) \multiput(98.00,79.67)(-0.16,-0.12){284}{\line(-1,0){0.16}} %\end \put(70.00,129.67){\circle{4.00}} \put(70.00,99.00){\circle{4.00}} \put(13.67,90.00){\circle{4.00}} \put(125.67,89.67){\circle{4.00}} \put(42.33,79.67){\circle{4.00}} \put(97.67,79.67){\circle{4.00}} \put(53.67,46.00){\circle{4.00}} \put(87.00,45.67){\circle{4.00}} \put(104.67,22.67){\circle{4.00}} \put(35.00,22.33){\circle{4.00}} \put(70.00,140.00){\makebox(0,0)[cc]{10001}} \put(75.00,105.00){\makebox(0,0)[lc]{01010}} \put(25.00,91.00){\makebox(0,0)[lc]{01100}} \put(115.00,91.00){\makebox(0,0)[rc]{00110}} \put(30.00,70.33){\makebox(0,0)[cc]{10010}} \put(100.00,70.33){\makebox(0,0)[lc]{01001}} \put(32.33,46.00){\makebox(0,0)[lc]{10100}} \put(108.67,46.00){\makebox(0,0)[rc]{00101}}

\put(35.00,10.00){\makebox(0,0)[lc]{00011}} \put(105.00,10.00){\makebox(0,0)[rc]{11000}} \end{picture} \end{figure} \begin{figure} \caption{M��ka t��rozm�rn� jednotkov� krychle} \label{M��ka t��rozm�rn� jednotkov� krychle} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(110.00,100.00) \put(40.33,70.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{000}} \put(40.33,50.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{010}} \put(10.33,50.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{001}} \put(70.33,50.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{100}} \put(10.33,30.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{011}} \put(40.33,30.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{110}} \put(70.33,30.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{101}} \put(40.33,9.67){\framebox(20.00,10.33)[cc]{111}} %\emline(30.33,60.00)(40.33,70.00) \multiput(30.33,60.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(50.00,70.00)(50.00,60.00) \put(50.00,70.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\emline(60.33,70.00)(70.33,60.00) \multiput(60.33,70.00)(0.12,-0.12){84}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(10.33,50.00)(10.33,40.00) \put(10.33,50.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\emline(30.33,30.00)(40.33,20.00) \multiput(30.33,30.00)(0.12,-0.12){84}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(50.00,50.00)(50.00,40.00) \put(50.00,50.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\emline(50.00,30.00)(50.00,20.00) \put(50.00,30.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\emline(70.33,30.00)(60.33,20.00) \multiput(70.33,30.00)(-0.12,-0.12){84}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(90.33,50.00)(90.33,40.00) \put(90.33,50.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\emline(40.33,50.00)(30.33,40.00) \multiput(40.33,50.00)(-0.12,-0.12){84}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(30.33,50.00)(70.33,40.00) \multiput(30.33,50.00)(0.48,-0.12){84}{\line(1,0){0.48}} %\end %\emline(70.33,50.00)(60.33,40.00) \multiput(70.33,50.00)(-0.12,-0.12){84}{\line(-1,0){0.12}} %\end \end{picture} \end{figure} M��ky se tvo�� vrcholy n rozm�rn� krychle. Nejbli��� vrcholy se li�� pouze o jednu

koordin�tu. M��ka 3 rozm�rn� krychle je na obr. \ref{M��ka t��rozm�rn� jednotkov� krychle}. Porovnej linie grafu s re�lnou 3 rozm�rnou krychl� a pokuste si p�edstavit 4 rozm�rnou krychli (obr. \ref{�ty� rozm�rn� krychle}). \begin{figure} \caption{ Projekce �ty� rozm�rn� krychle. Jedna 3 rozm�rn� krychle je oto�ena o $45^0$} \label{�ty� rozm�rn� krychle} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(150.00,150.00) \put(10.33,10.00){\framebox(120.00,120.00)[cc]{}} \put(50.00,50.00){\framebox(40.00,40.00)[cc]{}} %\emline(70.00,119.67)(20.00,70.00) \multiput(70.00,119.67)(-0.12,-0.12){414}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(20.00,70.00)(70.00,20.00) \multiput(20.00,70.00)(0.12,-0.12){417}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(70.00,20.00)(120.33,70.00) \multiput(70.00,20.00)(0.12,0.12){417}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(120.33,70.00)(70.00,120.00) \multiput(120.33,70.00)(-0.12,0.12){417}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(70.00,84.67)(55.00,70.00) \multiput(70.00,84.67)(-0.12,-0.12){123}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(55.00,70.00)(70.00,55.00) \multiput(55.00,70.00)(0.12,-0.12){126}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(70.00,55.00)(85.00,70.00) \multiput(70.00,55.00)(0.12,0.12){126}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(85.00,70.00)(70.33,85.00) \multiput(85.00,70.00)(-0.12,0.12){123}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(10.33,130.00){\circle{4.00}} \put(130.33,130.00){\circle{4.00}} %\emline(10.67,129.67)(70.00,119.67) \multiput(10.67,129.67)(0.71,-0.12){84}{\line(1,0){0.71}} %\end %\emline(10.33,130.00)(50.00,90.00) \multiput(10.33,130.00)(0.12,-0.12){331}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(130.33,130.00)(90.00,90.00) \multiput(130.33,130.00)(-0.12,-0.12){334}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(130.33,130.00)(120.00,70.00) \multiput(130.33,130.00)(-0.12,-0.69){87}{\line(0,-1){0.69}} %\end %\emline(90.00,50.00)(130.33,10.00) \multiput(90.00,50.00)(0.12,-0.12){334}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(130.33,10.00)(69.67,20.00) \multiput(130.33,10.00)(-0.72,0.12){84}{\line(-1,0){0.72}} %\end %\emline(10.67,10.00)(50.00,50.00) \multiput(10.67,10.00)(0.12,0.12){328}{\line(0,1){0.12}}

%\end %\emline(10.33,10.00)(10.33,10.00) \put(10.33,10.00){\line(0,1){0.00}} %\end %\emline(10.33,10.00)(20.00,70.00) \multiput(10.33,10.00)(0.12,0.74){81}{\line(0,1){0.74}} %\end %\emline(70.00,120.00)(70.00,85.00) \put(70.00,120.00){\line(0,-1){35.00}} %\end %\emline(85.00,70.00)(120.33,70.00) \put(85.00,70.00){\line(1,0){35.33}} %\end %\emline(70.00,55.00)(70.00,20.00) \put(70.00,55.00){\line(0,-1){35.00}} %\end %\emline(20.33,69.67)(55.00,69.67) \put(20.33,69.67){\line(1,0){34.67}} %\end %\emline(55.00,69.67)(20.33,69.67) \put(55.00,69.67){\line(-1,0){34.67}} %\end %\emline(20.33,70.00)(55.00,70.00) \put(20.33,70.00){\line(1,0){34.67}} %\end %\emline(90.00,90.00)(85.00,70.33) \multiput(90.00,90.00)(-0.12,-0.47){42}{\line(0,-1){0.47}} %\end %\emline(90.00,50.00)(70.00,55.00) \multiput(90.00,50.00)(-0.48,0.12){42}{\line(-1,0){0.48}} %\end %\emline(50.00,50.00)(55.00,70.33) \multiput(50.00,50.00)(0.12,0.48){42}{\line(0,1){0.48}} %\end %\emline(50.00,90.00)(70.00,85.00) \multiput(50.00,90.00)(0.48,-0.12){42}{\line(1,0){0.48}} %\end \put(70.00,120.00){\circle{4.00}} \put(50.00,90.00){\circle{4.00}} \put(90.00,90.00){\circle{4.00}} \put(70.00,84.67){\circle{4.00}} \put(20.00,70.00){\circle{4.00}} \put(54.67,70.00){\circle{4.00}} \put(84.67,70.00){\circle{4.00}} \put(120.33,70.00){\circle{4.00}} \put(50.00,50.00){\circle{4.00}} \put(70.00,55.00){\circle{4.00}} \put(90.00,50.00){\circle{4.00}} \put(70.00,20.00){\circle{4.00}} \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(130.00,10.00){\circle{4.00}} \end{picture} \end{figure} Klasick�m p��kladem vztahov� m��ky je Aristotelovo porovn�n� �ty� vlastnost�: {\bf tepl�}, {\bf chladn�}, {\bf such�}, a {\bf vlhk�} ke �ty�em element�m: ohe�, vzduch, voda a zem�. Ty lze uspo��dat do tvaru

$$\begin{array}{ccccc} vzduch & & {\bf vlhk�} & & voda \\ \\ & {\bf tepl�} & 0 & {\bf chladn�} & \\ \\ ohe� & & {\bf such�} & & zem�\;. \end{array}$$ Prvky maj� v�dy pouze dv� vlastnosti. Vlastnosti soused�c� svisle a vodorovn� se vz�jemn� vylu�uj�. N�co nem�e b�t sou�asn� tepl� a chladn�, nebo vlhk� a such� \footnote { P�esn�ji, je nutn� kreslit hranici (nulov� bod) mezi t�mito vlastnostmi. V z�vislosti na sv� saturaci, vodn� p�ra m�e b�t such� stejn� jako mokr�.}. \chapter{Erasthothenesovo s�to a jeho Moebiusova inverze} \label{Erasthothenesovo s�to a jeho} \section{D�litel� a jejich matice} \label{D�litel� m jejich matice} V t�to kapitole zavedeme d�le�it� pojem {\em d�litel}. ��slo $k$ je d�litelem ��sla $m$ pokud $m\ \equiv 0\ {\rm mod}\ k$, to znamen�, �e $m$ je identick� s 0, se $k$. Nebo jinak, $m = kn$, ��slo $m$ �t�p� do $n$ stejn�ch ��st� $k$. Z toho plyne, �e ka�d� ��slo m� alespo� dva d�litele, ��slo 1, kter� nech�v� ��slo nezm�n�n� a ��slo samotn�, kdy d�len� d�v� 1 jako v�sledek. Pokud existuj� pouze tyto dva d�litel�, tak se takov� ��slo naz�v� {\em prvo��slo}. Lze nal�zt prvo��sla $p$ pomoc� Erasthothenesova s�ta. Tento algoritmus pracuje jako s�to. ��slo polo�en� na prvn� sloupec s�ta propad� sv�m sloupcem. Pokud dos�hne diagon�lu bez st�etnut� se s d�litelem, je to prvo��slo. D�litel� j reprezentovan� jednotkami v ��dc�ch d�litel� odpov�daj�c�ch sloupc� pracuj� jako oka s�ta. Tedy Erasthothenesovo s�to je matice, jej� prvky jsou $$e_{ij} = 1\;,$$ pokud ��slo j je d�litelem ��sla i, a $$e_{ij} =0\;,$$ jinak. V tabulce 6.1 je Erasthotenesovo s�to a jeho Moebiusova inverzn� funkce. \begin{table} \caption{Erasthotenesovo s�to a jeho Moebiusova inverzn� funkce} \label{Erasthothenes} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|crrrrrrr|} \hline & \multicolumn{7}{|c|}{Erasthothenovo s�to}& &\multicolumn{7} {c|}{Moebiusova inverze}\\ \hline j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7&\qquad & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline i=1& 1 & & & & & & & & 1 & & & & & & \\ 2& 1 & 1 & & & & & & & -1 & 1 & & & & & \\ 3& 1& 0 & 1 & & & & & & -1 & 0 & 1 & & & & \\ 4& 1 & 1 & 0 & 1 & & & & & 0 & -1 & 0 & 1 & & & \\ 5& 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & & & & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & & \\

6& 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & & & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & \\ 7& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1& & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} D�litel� tvo�� pravideln� vzor, jsou ve v�ech ��dc�ch $i\ \equiv 0\ {\rm mod}\ j$. Prvo��sla ��dnou, jako matice roste, av�ak je v�dy mo�n� naleznout jin� prvo��slo $p(n)$ jako sou�in v�ech p�edchoz�ch prvo��sel zv�t�en� o 1 \begin{equation} p(n) = \prod^n_{j=1}\; p_j +1\;. \end{equation} Tato rovnice nevytv��� v�echna prvo��sla. Mezi $p(2)=3$ a $p(3)=7$ je $p=5$. ��dkov� sou�ty Erasthothenova s�ta $({\bf EJ})$ jsou po�ty d�litel�. Objevuj� se na diagon�le kvadratick� formy ${\bf EE}^{\rm T}$ matice ${\bf E}$. Jsou zn�m� jako {\em Eulerova funkce} $\sigma^0\;(n)$. Tato funkce je spojena s logaritmy d�litel�. Pokud pou�ijeme jako z�kladnu logaritm� ��slo $n$ samotn�, dostaneme (vyjma $n = 1$) \begin{equation} \sigma^0 (n) = 2\sum \lg (d|n) \end{equation} nebo pro jakoukoliv z�kladnu logaritm�; \begin{equation} \sigma^0 (n) = 2\sum \lg (d|n)/\lg n \end{equation} D�litel� se objevuj� v p�rech, $d_id_j = n$, vyjma osam�l�ho d�litele, kter� je odmocninou $n$. Sou�et logaritm� se z�kladnou $n$ je tedy pouze polovinou po�tu d�litel� ��sla $n$. Sou�et hodnot d�litel� $\sigma^1 (n)$ n�kdy d�v� dvojn�sobek samotn�ho ��sla, jako $2\times6 = 6+3+2+1$ nebo $2\times28 = 28+14+7+4+2+1$. Takov� ��sla jsou zn�m� jako {\em dokonal� ��sla}. \section{Moebiusova inverze Erasthothenesova s�ta} \label{Moebiusova inverze Erasthothenesova s�ta} V tabulce 6.1 byla uk�z�na Moebiusova funkce jako inverzn� matice ${\bf E}^{-1}$. Prvky jej�ho prv�ho sloupce jsou \begin{itemize} \item $e^{-1}_{i1} = 1, {\rm pokud} i = 1\;,$ nebo v p��pad� sou�inu sud�ho po�tu prvo��sel; \item $e^{-1}_{i1} = -1$, pokud i je prvo��slo nebo sou�in lich�ho po�tu prvo��sel a \item $e^{-1}_{i1} = 0$, pokud i je sou�in vy��� mocniny prvo��sel jako $4 = 2^2$ v tabulce 6.1. \end{itemize} Tyto prvky se objevuj� v dal��ch sloupc�ch na m�stech, kde pom�r $i/j$ je cel� ��slo jinak jsou tam nuly. Jednotkov� prvky jsou �id�� ve vy���ch sloupc�ch.

Moebiusova inverze je klasick�m p��kladem kombinatorick�ho {\em principu inkluse a exkluse}. N�kter� objekty se po��taj� ve sv�ch kombinac�ch dvakr�t nebo v�cekr�t, potom se tyto p�ev�en� ��sti ode��taj� v jin�ch kombinac�ch, abychom dostali spr�vnou hodnotu . Formulovali jsme tento princip v sofistikovan� technice sou�in� matic. Tato technika se m�e pou��t pro v�echny matice, kter� maj� jednotkovou diagon�lu a v�echny nenulov� prvky pod nebo na diagon�le. Jednotkov� matice ${\bf I}$ se ode�te od takov� matice a rozd�l se potom n�sob� s�m se sebou a� v�echny nenulov� prvky zmiz� (nejv�e $n$ kr�t). Nap��klad $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} \\ ({\bf E}- {\bf I})\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} \\ ({\bf E}-{\bf I})^2\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} \\ ({\bf E}-{\bf I})^3\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Rozvojem sou�inu $({\bf E}- {\bf I})^k$, kdy� se rovn� ${\bf 0}$, jednotkov� diagon�ln� matice se vyj�d�� jako \begin{equation} \sum_{i=1}^n\; (-1)^i { n \choose k}\;{\bf E}^i = {\bf I} \end{equation}

N�soben�m obou stran s ${\bf E}^{-1}$ a odstran�n�m ${\bf E}^{-1}{\bf E} = {\bf I} $ dostaneme \begin{equation} {\bf E}^{-1} = \sum_{i=1}^n\; (-1)^{i-1} { n \choose k}\;{\bf E}^{i-1}\;. \end{equation} Objekty ${ n \choose k}$ vypadaj�c� jako jeden sloupec matice v obou rovnic�ch jsou zn�m� jako binomi�ln� koeficienty. Po��taj� v�echny mo�nosti, jak vybrat $k$ objekt� z $n$ objekt�. Inverzn� matice ${\bf E}^{-1}$ je sou�et kladn�ch a z�porn�ch n�sobk� kladn�ch mocnin ${\bf E}^k$. To zn� zcela tajemn�. \section{Funkce d�litel�} \label{Funkce d�litel�} Po�et d�litel� $\sigma^0(n)$ a sou�et hodnot d�litel� jsou dosti nepravideln� funkce. Jejich sekvence a postupn� sou�ty $\sigma^0(n)$ jsou $$\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrr|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline $\sigma^0(n)$ & 1 & 2 & 2 & 3 & 2 & 4 & 2 & 4 & 3 & 4 & 2 \\ $\sigma^1 (n)$ & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 16 & 12 \\ $\sum[\sigma^0(n)]$ & 1 & 3 & 5 & 8 & 10 & 14 & 16 & 20 & 23 & 27 & 29 \\ \hline \end{tabular}$$ Sou�ty $\sum[\sigma^0(n)]$ se z�skaj� jako stopy odpov�daj�c�ch sou�in� matic rostouc�ch Erasthothenov�ch s�t ${\bf EE}^{\rm T}$, nebo jednodu�e spo��t�n�m prvk� matice ${\bf E}$: \begin{equation} \sum[\sigma^0 (n)] = \sum_{j=1}^n\;[n/j]\;, \end{equation} kde [n/j] znamen� celou ��st dan�ho zlomku. Tedy sou�et $\sum[\sigma^0(n)]$ m� jako limitu sou�in $n\sum_{j=1}^n\;n/j$. Nap��klad $$\sum[\sigma^0(3)] = 5 < 3(1 + 1/2 + 1/3) = 11/2\;.$$ Pokud uspo��d�me prvky stop ${\bf E}^{\rm T}{\bf E}$ (to je druh� kvadratick� forma Erasthothenova s�ta), nebo postupn� spo��t�me prvky ve sloupc�ch matice $ {\bf E}$ do tabulky a nalezneme jej� inverzi, potom jej� ��dkov� sou�ty d�vaj� hodnoty Moebiusovy funkce (tabulka\ref{Erasthothenes Sieve Diagonal Values}). \begin{table} \caption{Diagon�ln� hodnoty Erasthothenova s�ta a jejich Moebiusovy inverze} \label{Erasthothenes Sieve Diagonal Values} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|rrrrrrr|r|} \hline & \multicolumn{7}{|c|}{ Diagon�ln� hodnoty}& $\;\Sigma\;$ &\multicolumn{7} {|c|}{Moebiusova inverze} & $\;\Sigma\;$ \\ \hline j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7& & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \\ \hline

i=1 & 1 & & & & & & & 1 & 1 & & & & & & & 1 \\ 2 & 2 & 1 & & & & & & 3 & -2 & 1 & & & & & & -1 \\ 3 & 3 & 1 & 1 & & & & & 5 & -1 & -1 & 1 & & & & & -1 \\ 4 & 4 & 2 & 1 & 1 & & & & 8 & 1 &-1 &-1 & 1 & & & & 0 \\ 5&5 & 2 & 1 & 1 & 1 & & & 10 & -1 & 0 & 0 &-1 & 1 & & & -1 \\ 6&6 & 3 & 2 & 1 & 1 & 1 & & 14 & 2 & 0 &-1 & 0 &-1 & 1 & & 1 \\ 7&7 & 3 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 16 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 &-1 & 1 & -1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Prvky ��dk� p�edchoz� matice ${\bf M}$ jsou ${\bf J}^{\rm T}{\bf E}$, tedy Moebiusova funkce je ${\bf M}^{-1}{\bf J}$. A je�t� d�le�it�j�� funkc� je sou�et hodnot d�litel�. Ty lze vyj�d�it jako sou�in matic maj�c� v r�me�ku ${\bf E}(*){\bf E}^{\rm T}$ diagon�ln� matici index� $\Delta(j)$. ${\bf E}\Delta(j)$ je matice hodnot d�litel�. Sou�ty hodnot d�litel� $\sigma^1 (n)$ jsou diagon�ln�mi prvky matice ${\bf E}\Delta(j){\bf E}^{\rm T}$: $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf E}\Delta(j) \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & & & \\ 1 & 2 & & \\ 1 & 0 & 3 & \\ 1 & 2 & 0 & 4 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf E}\Delta(j){\bf E}^{\rm T} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1& 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 7 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Po�et d�litel� $j$, kter� tak� d�v� pod�ly $n/d$ se z�sk� jako jin� sou�in matic: \begin{equation} \Delta(j){\bf E}[\Delta(j)]^{-1} \end{equation} ��dky ${\bf E}$ se n�sob� odpov�daj�c�m indexem $i$ a sloupce se d�l� odpov�daj�c�m indexem $j$. Prvky sou�inu matic jsou $e_{ij} = i/j$, pokud $i\ \equiv\ 0\ {\rm mod}\ j$ a $e_{ij} = 0$ jinak. $$\left( \begin{array}{ccccc}

1 & & & & \\ 2 & 1 & & & \\ 3 & 0 & 1 & & \\ 4 & 2 & 0 & 1 & \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\;.$$ Pokud n�sob�me tuto matici inverzn� matic� ${\bf E}^{-1}$, dostaneme matici, jej� prvky po��taj� po�ty t�ch ��sel mezi 1 a $n$, kter� jsou d�lena dan�m d�litelem s v�hradou, �e u� nebyl d�len v�t��m d�litelem. Tedy ��dkov� sou�ty v tabulce jsou v�dy $n$. \begin{table} \caption{Po�ty ��sel d�len�ch dan�mi d�liteli} \label{Po�ty ��sel d�len�ch dan�mi d�liteli} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrr|r|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 &$\Sigma$ \\ \hline m=1& 1 & & & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 1 & & & & & & & 2 \\ 3 & 2 & 0 & 1 & & & & & & 3 \\ 4 & 2 & 1 & 0 & 1 & & & & & 4 \\ 5 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 & & & & 5 \\ 6 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & & & 6 \\ 7 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & & 7 \\ 8 & 4 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 8 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Nap��klad 1 v �est� ��dce d�l� 1 a 5; 2 d�l� 2 a 4; 3 a 6 d�l� samy sebe, nejsou d�litel�.

4 a 5

Jej� inverzn� funkce m� op�t tabulkovou formu (viz tabulku \ref{Inversn� funkce po�tu ��sel}). \begin{table} \caption{Inversn� funkce po�tu ��sel} \label{Inversn� funkce po�tu ��sel} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrr|r|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & $\Sigma$ \\ \hline m=1& 1 & & & & & & & & 1 \\ 2 & -1 & 1 & & & & & & & 0 \\ 3 & -2 & 0 & 1 & & & & & & -1 \\ 4 & -1 & -1 & 0 & 1 & & & & & -1 \\ 5 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & & & & -3 \\ 6 & 2 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 & & & 0 \\ 7 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & & -5 \\ 8 & -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Mus� se naj�t prvky $d_{i1}^{-1}$ prv�ho sloupce, pon�vad� v dal��ch sloupc�ch

jsou pouze prvky prv�ho sloupce z�ed�n� nulami jako v z�kladn� matici. Je z�ejm�, �e prvky $(1 - p)$ se mus� objevit v ��dc�ch prvo��sel, v n�sleduj�c�ch sloupc�ch jsou nuly. Hodnoty pro i = 4, 6 ukazuj�, �e mocniny prvo��sel jsou pr�v� sou�iny t�chto prvk�. Hodnota 2 v �est� ��dce se interpretuje jako $(-1)\times(-2)$, sou�in dvou d�litel�. Pro kontrolu se pokus�me nal�zt �e�en� pro 30, sou�in t�� prvo��seln�ch d�litel� $$\begin{tabular}{|l|rrrrrrrr|r|} \hline D�litel� & 1 & 2 & 3 & 5 & 6 & 10 $\Sigma$\\ \hline D�len� ��sla $d_{i1}$ & 8 & 8 & 4 30\\ $d_{i1}^{-1}$ & 1 & -1 & -2 & -4& \hline $d_{i1}d_{i1}^{-1}$ & 8 & -8 & -8 \hline \end{tabular}$$

& 15 & 30 & & 2 & 4 & 2 & 1 & 1 & 2 & 4 & 8 & -8 & \\ & -8 & 8 & 8 & 8 & -8 & 0 \\

kde $d_{30}^{-1} = -8 = -1\times-2\times-4$, nebo $-4\times2$, pokud vyj�d��me 30 jako $5\times6$. Jinou funkc� d�len� je funkce $\varphi(n)$. Tato funkce po��t� ��sla, kter� nejsou d�liteln� d�liteli $n$ vyjma 1. Jsou to $$\begin{tabular}{|l|ccccccc|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline $\varphi(n)$ & 1 & 1 & 2 & 2 & 4 & 2 & 6 \\ \hline Po��tan� ��sla & 1; & 1; & 1,2; & 1,3;& 1 -- 4; & 1,5; & 1 -6 \\ \hline \end{tabular}$$ Hodnoty $\varphi(n)$ se objevily jako prvky v prv�m sloupci tabulky \ref{Inversn� funkce po�tu ��sel}. Uk�zali jsme, �e $\varphi(n)$ se snadno naleznou jako sou�in \begin{equation} \varphi(n) = n\prod_{p=2}^n\;(1- 1/p) \end{equation} kde $p$ jsou prvo��sla, kter� jsou d�liteli $n$. Pom�r $n/p$ se od�t�p� od ��sla $n$ ka�dou inverz� prvo��sla $1/p$. Sou�et po��t� v�echny ode�ten� ��sti z cel�ho $n$. Funkce $\varphi(n)$ sou�inu dvou ��sel je jednodu�e sou�in hodnot pro ka�d� ��slo \begin{equation} \varphi(nm) = \varphi(n)\varphi(m)\;. \end{equation} N�sleduj�c� vztah je velmi zaj�mav� \begin{equation} \sum_{n_{d|n}} \varphi(d) = n\;. \end{equation}

Nap��klad pro $n = 6$: $\varphi(1) + \varphi(2) + +2 +2 = 6$.

\varphi(3) + \varphi(6) = 1 +1

\section{Vztahy mezi d�liteli a rozd�len�mi} \label{Vztahy mezi d�liteli a rozd�len�mi} D�vodem pro� bylo zavedeno Erasthothenovo s�to, je jeho vyu�it� p�i po��t�n� rozd�len�. V ka�d�m neomezen�m rovinn�m simplexu je $p(m)$ rozd�len� ��sla $m$. Sou�et jejich ��st� je $m\times p(m)$. Tento sou�in se z�sk� z Erasthothenova s�ta, pokud se n�sob� zleva diagon�ln� matic� $\Delta$ neomezen�ch rozd�len� napsan�ch v klesaj�c�m po��dku: $p(i) = p(m-i)$ a zprava diagon�ln� matic� $\Delta$ index� $i$. Nap��klad $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccccc} 5 & & & & \\ & 3 & & & \\ & & 2 & & \\ & & & 1 & \\ & & & & 1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccccc} 1 & & & & \\ 1 & 1 & & & \\ 1 & 0 & 1 & & \\ 1 & 1 & 0 & 1 & \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccccc} 1 & & & & \\ & 2 & & & \\ & & 3 & & \\ & & & 4 & \\ & & & & 5 \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{cc} = & \begin{array}{c} \left( \begin{array}{ccccc} 5 & & & & \\ 3 & 6 & & & \\ 2 & 0 & 6 & & \\ 1 & 2 & 0 & 4 & \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array} \right) \\ \hline

\begin{array}{ccccc} 12 & 8 & 6 & 4 & 5 \end{array} \end{array} \end{array}$$ Sou�et prvk� sou�inu je $35 = 5 \times 7$. Rozd�len� $p(5)$ se z�skalo z hodnoty ��st� p�idan�ch k ni���m simplex�m, kter� se se�etly. Jednotky se po��taj� v prv�m sloupci. P�idaly se k $p(m-1)$ rozd�len�m. Av�ak tato mno�ina obsahuje sou�asn� v�echny jednotky z ni���ch rozd�len� zv�t�en� takov�m zp�sobem v p�ede�l�ch kroc�ch, a� na jednotku p�edstavuj�c� p(1). V druh�m sloupci dv� se p�id�vaj� ke 3 rozd�len�m 3. Jedno z nich, (2,1), u� obsahovalo jednu 2, kdy� se toto rozd�len� z�skalo z $p(1)$. Podobn� se po��taj� jin� ��sla v n�sleduj�c�ch sloupc�ch. Tento sou�in t�� matic se m�e vlo�it do r�me�ku ${\bf J}^{\rm T}(*){\bf J}$, kter� se��t� prvky or�movan� matice. Vlo�ka v r�me�ku je: \begin{equation} {\bf J}^{\rm T}{\Delta}[p(m-i)]{\bf E}\ \times\ {\Delta}(i){\bf J}\; \end{equation} Po sob� n�sleduj�c� vektory tvo�� matice v doln� a horn� troj�heln�kov� form� a sou�iny t�� matic se nahrad� sou�inem pouze dvou matic: $$\begin{tabular}{rrrrr|rrrrr} & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & & & & & & 2 & 2 & 2 & 2 \\ & & & & & & & 3 & 3 & 3 \\ & & & & & & & & 4 & 4 \\ & & & & & & & & & 5 \\ \hline & & & & & & & & & \\ 1 & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & & & & 2 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 1 & & & 4 & 6 & 9 & 9 & 9 \\ 7 & 3 & 1 & 1 & & 7 & 13 & 16 & 20 & 20 \\ 12 & 4 & 2 & 1 & 1 & 12 & 20 & 26 & 30 & 35 \end{tabular}$$ Lev� matice po��t� ��sla $n_k$ v rozd�len�ch, prav� matice je v�� jako $m_k$. Diagon�ln� prvky $mp(m)$ se mohou rozlo�it v jin� p�ry vektor� a tak existuje jin� sou�in dvou matic maj�c� identickou diagon�lu. Lev� matice je matic� n�sledn�ch rozd�len� (tabulka 4.8), prav� matice je matic� sou�t� d�litel� $\sigma^1(i)$, napsanou podobn� jako matice n�sledn�ch rozd�len�, av�ak v horn� troj�heln�kov� form� ve sloupc�ch \begin{equation} {\bf S}: s_{ij} = \sigma^1(i)\ {\rm pokud}\ i \leq j, s_{ij} = 0, \ {\rm jinak}\;. \end{equation} $$\begin{tabular}{rrrrr|rrrrr} & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & & & & & & 3 & 3 & 3 & 3 \\ & & & & & & & 4 & 4 & 4 \\ & & & & & & & & 7 & 7 \\ & & & & & & & & & 6 \\

\hline & & & & & & & & & \\ 1 & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & & & & 1 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 2 & 1 & 1& & & 2 & 5 & 9 & 9 & 9 \\ 3 & 2 & 1& 1 & & 3 & 9 & 13 & 20 & 20 \\ 5 & 3 & 2& 1 & 1 & 5 & 14 & 22 & 29 & 35 \\ \end{tabular}$$ ��sla $mp(m)$ se op�t objevuj� na diagon�le sou�inu. Tyto element�rn� vztahy se mohou vyj�d�it ve form�ln� abstraktn� form�. Nap�eme vytvo�uj�c� funkci neomezen�ch rozd�len� \begin{equation} P(x) = \sum_{m=1}^\infty\;p(m)\;q^m \end{equation} a nalezneme jej� derivaci \begin{equation} dP(x) = \sum_{m=1}^\infty\;mp(m)\;q^{m-1}\;. \end{equation} Funkce rozd�len� $P(x)$ se p�edstavuje v ��dc�ch lev� matice. Rozd�l $dP(x)$ se objevuje na diagon�le sou�inu. Kdy� najdeme pom�r obou matic, v�sledek m�e lze formulovat jako \begin{equation} d\lg[P(x)] = dP(x)/P(x) = \sum_{m=1}^\infty\; \varphi(m)q^m\;. \end{equation} Pom�r $dP(x)/P(x)$ je rozd�l logaritmu funkce $P(x)$. Sou�ty d�litel� jsou tedy rozd�ly logaritmick� m�ry vytvo�uj�c� funkce rozd�len�. To uv�d� ve vztah d�litele a funkce rozd�len� a vyu�ilo se pro nalezen� asymptotick�ho chov�n� $p(m)$ funkce. \section{Nuly v rozd�len�} \label{Nuly v rozd�len�} Pokud je sou�et hodnot v�ech ��st� rovinn�ho simplexu $mp(m)$, m�eme nal�zt tak� po�et nul ve v�ech ��stech $n_0(m)$. Tyto po�ty tvo�� prvn� sloupec v tabulce, kter� po��t� v�echny ��sti klasifikovan� podle sv�ch hodnot (tabulka 6.2) \begin{table} \caption{Po�et ��st� v rozd�len�ch} \label{Po�et ��st� v rozd�len�ch} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 & & & & & 4 \\ 3 & 3 & 4 & 1 & 1 & & & & 9 \\ 4 & 8& 7 & 3 & 1 & 1 & & & 20 \\ 5 & 15& 12 & 4 & 2 & 1 & 1 & & 35 \\ 6 & 31 & 19 & 8 & 4 & 2 & 1 & 1 & 66 \\ \hline \end{tabular}

\end{table} Maticov� prvky tabulky 6.2, vyjma jej�ho prv�ho sloupce, se z�skaj� jako ��ste�n� v�sledek sou�inu matic pou��van�ch pro nalezen� sou�tu hodnot ��st� v rozd�len�ch pomoc� rovnice 5.3. Jsou to prvky sou�inu dvou matic $\Delta[p(m-i)]{\bf E}$. Prvn� sloupec je op�t maticov� sou�in matice rozd�len� do p�esn� $n$ ��st� (tabulka 4.2) a matice kladn�ch $(j -i)$ prvk� a jednotkov�ho vektoru sloupce $ {\bf J}$, kter� se��t� ��dkov� hodnoty mezisou�inu. Lze snadno vysv�tlit tento vztah: V ka�d�m rozd�len�, kdy� se $m$ �t�p� do p�esn� $n$ ��st�, existuje $(m n)$ nul. Nap��klad pro $m = 4: 8= 3\times1 +2\times2 +1\times1 +0\times1$. Po�et nul je vyv�en jin�mi ��sly. To vede k jednoduch�mu tvaru n�kter�ch prvk� inverzn� matice $$m^{-1}_{i0} = (1-i)\;.$$ \chapter{Grupy cyklick�ch permutac�} \label{Grupy cyklick�ch permutac�} \section{Pojem cyklick�ch permutac�} \label{Pojem cyklick�ch permutac�} P�edpokl�dejme, �e m�me $n$ objekt� ozna�en�ch indexem, uspo��dan�ch v p�irozen�m po��dku, a �e zam�n�me jejich polohy. Je v�hodnou ps�t tuto operaci {\em permutace} v dvou ��dc�ch, kde prv� odpov�d� v�choz� poloze a druh� ud�v� kone�nou polohu. Nap��klad: \begin{itemize} \item Start 0:\qquad 1 \qquad 2 \qquad 3 \qquad 4 \qquad 5 \qquad 6 \item Krok 1: \qquad 2 \qquad 3 \qquad 1 \qquad 5 \qquad 4 \qquad 6 Prvn� t�� objekty se permutuj� v {\em cyklu d�lky 3}, prvn� objekt se objevil po t�et�m, p��t� dva objekty tvo�� cyklus d�lky 2, se vym�nily sv� m�sta, posledn�ho objekt z�stal na sv�m m�st�. Opakov�n�m procedury dostaneme permutace 2 a� 6: \item Krok 2: \qquad 3 \qquad 1 \qquad 2 \qquad 4 \qquad 5 \qquad 6 \item Krok 3: \qquad 1 \qquad 2 \qquad 3 \qquad 5 \qquad 4 \qquad 6 \item Krok 4: \qquad 2 \qquad 3 \qquad 1 \qquad 4 \qquad 5 \qquad 6 \item Krok 5: \qquad 3 \qquad 1 \qquad 2 \qquad 5 \qquad 4 \qquad 6 \item Krok 6: \qquad 1 \qquad 2 \qquad 3 \qquad 4 \qquad 5 \qquad 6 \item Krok 7: \qquad 2 \qquad 3 \qquad 1 \qquad 5 \qquad 4 \qquad 6 \end{itemize} �ada se vr�t� v 6 t�m kroku do po��te�n�ho uspo��d�n� a nov� cykl startuje v 7 t�m kroku. Index ozna�uj�c� objekty je sloupcov� index $j$. Poloha v permutaci je ozna�ena ��dkov�m indexem $i$ u prvku $1_{ij}$. Tedy permutace jsou isomorfn� s maticemi. V�choz� poloha, odpov�daj�c� diagon�le jednotkov� matice ${\bf I}$, m�e b�t pova�ovan� za nulov� uspo��d�n�. Posledn� prvek z�stal ve v�ech kroc�ch ve sv� p�vodn� poloze a prv� t�i prvky se vr�tily do sv�ch poloh dvakr�t a dva prvky ud�laly t�i oto�ky. D�lka celkov�ho cyklu je sou�inem jednotliv�ch cykl�: $3\times2\times1 = 6$. Prvky pat��c� stejn�m cykl�m se obvykle p�� v z�vork�ch: $(2,3,1)(5,4)(6)$. Po�et prvk� $n$ se �t�p� do $k$ cykl�, $k$ jde od 1 do $n$. Cyklick� struktura je popsan� {\em orbitami rozd�len�}. Mohli bychom mapovat zm�ny cykl� aditivn�mi oper�tory ${\bf S}$ maj�c�mi $-1_{ij}$

pro opou�t�j�c� objekt j, $1_{ij}$ pro objevuj�c� se objekt j, nulov� ��dky pro nehybn� objekty (+1 a -1 se objevuj� na stejn�m m�st�). Tento oper�tor byl zaveden v kapitole 3 a podrobn�ji bude studov�n v kapitole 12. Nyn� budeme studovat {\em multiplikativn� oper�tory} ${\bf P}$. Jejich matice, {\em jednotkov� permuta�n� matice}, jsou naivn�, maj� v ka�d� ��dce pouze jeden jednotkov� prvek a mimo to maj� pouze jeden jednotkov� prvek v ka�d�m sloupci. Matice ${\bf P}$ jsou sou�asn� notace permutac�, pon�vad� jejich ��dkov� jednotkov� prvky $p_{ij}$ odpov�daj� index�m (nebo rovnocenn� abecedn�m symbol�m) $j$. S pou�it�m multiplikativn�ch oper�tor� jsou permutace v�sledkem n�soben� ��dkov�ch vektor� jednotkovou permuta�n� matic� ${\bf P}$ zprava a sloupcov�ch vektor� n�soben�m jednotkovou permuta�n� matic� ${\bf P}$ zleva. R�zn� kroky lze zapsat mocninami t�chto matic ${\bf P}^i$. Jednotkov� diagon�ln� matice je ${\bf I}= {\bf P}^0 \;. $ \begin{figure} \caption{Cyklus permuta�n�ch matic. Kladn� mocniny se m�n� v z�porn�} \label{Cyklus permuta�n�ch matic} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(130.00,130.00) %\circle(60.33,60.00){79.34} \multiput(60.33,99.67)(1.42,-0.10){4}{\line(1,0){1.42}} \multiput(66.00,99.26)(0.50,-0.11){11}{\line(1,0){0.50}} \multiput(71.55,98.05)(0.31,-0.12){17}{\line(1,0){0.31}} \multiput(76.87,96.06)(0.22,-0.12){23}{\line(1,0){0.22}} \multiput(81.85,93.32)(0.16,-0.12){29}{\line(1,0){0.16}} \multiput(86.39,89.91)(0.12,-0.12){34}{\line(0,-1){0.12}} \multiput(90.40,85.88)(0.12,-0.16){29}{\line(0,-1){0.16}} \multiput(93.79,81.32)(0.12,-0.22){23}{\line(0,-1){0.22}} \multiput(96.49,76.32)(0.12,-0.31){17}{\line(0,-1){0.31}} \multiput(98.45,70.99)(0.12,-0.56){10}{\line(0,-1){0.56}} \multiput(99.63,65.43)(0.09,-1.42){4}{\line(0,-1){1.42}} \multiput(100.00,59.76)(-0.11,-1.42){4}{\line(0,-1){1.42}} \multiput(99.56,54.10)(-0.11,-0.50){11}{\line(0,-1){0.50}} \multiput(98.32,48.56)(-0.12,-0.31){17}{\line(0,-1){0.31}} \multiput(96.29,43.25)(-0.12,-0.21){24}{\line(0,-1){0.21}} \multiput(93.53,38.28)(-0.12,-0.16){29}{\line(0,-1){0.16}} \multiput(90.09,33.76)(-0.12,-0.12){34}{\line(-1,0){0.12}} \multiput(86.03,29.78)(-0.16,-0.12){29}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(81.45,26.42)(-0.22,-0.12){23}{\line(-1,0){0.22}} \multiput(76.44,23.75)(-0.31,-0.11){17}{\line(-1,0){0.31}} \multiput(71.10,21.82)(-0.56,-0.11){10}{\line(-1,0){0.56}} \multiput(65.53,20.67)(-1.89,-0.11){3}{\line(-1,0){1.89}} \multiput(59.86,20.33)(-1.42,0.12){4}{\line(-1,0){1.42}} \multiput(54.20,20.81)(-0.50,0.12){11}{\line(-1,0){0.50}} \multiput(48.66,22.09)(-0.29,0.11){18}{\line(-1,0){0.29}} \multiput(43.37,24.14)(-0.21,0.12){24}{\line(-1,0){0.21}} \multiput(38.42,26.93)(-0.16,0.12){29}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(33.92,30.40)(-0.12,0.12){33}{\line(0,1){0.12}} \multiput(29.96,34.48)(-0.12,0.16){28}{\line(0,1){0.16}} \multiput(26.63,39.08)(-0.11,0.22){23}{\line(0,1){0.22}} \multiput(23.99,44.11)(-0.12,0.33){16}{\line(0,1){0.33}} \multiput(22.09,49.46)(-0.11,0.56){10}{\line(0,1){0.56}} \multiput(20.98,55.03)(-0.10,1.89){3}{\line(0,1){1.89}} \multiput(20.67,60.71)(0.10,1.13){5}{\line(0,1){1.13}} \multiput(21.18,66.37)(0.12,0.50){11}{\line(0,1){0.50}} \multiput(22.49,71.89)(0.12,0.29){18}{\line(0,1){0.29}} \multiput(24.58,77.18)(0.12,0.21){24}{\line(0,1){0.21}}

\multiput(27.40,82.11)(0.12,0.15){30}{\line(0,1){0.15}} \multiput(30.89,86.59)(0.12,0.12){33}{\line(1,0){0.12}} \multiput(34.99,90.52)(0.16,0.12){28}{\line(1,0){0.16}} \multiput(39.61,93.83)(0.23,0.12){22}{\line(1,0){0.23}} \multiput(44.66,96.44)(0.34,0.12){16}{\line(1,0){0.34}} \multiput(50.02,98.31)(0.86,0.11){12}{\line(1,0){0.86}} %\end %\vector(60.00,60.00)(100.00,60.00) \put(100.00,60.00){\vector(1,0){0.2}} \put(60.00,60.00){\line(1,0){40.00}} %\end %\vector(60.00,60.00)(60.00,99.67) \put(60.00,99.67){\vector(0,1){0.2}} \put(60.00,60.00){\line(0,1){39.67}} %\end %\vector(60.00,60.00)(88.33,88.00) \put(88.33,88.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(60.00,60.00)(0.12,0.12){234}{\line(1,0){0.12}} %\end %\vector(60.00,60.00)(88.00,31.67) \put(88.00,31.67){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(60.00,60.00)(0.12,-0.12){234}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(60.00,60.00)(24.33,44.00) \put(24.33,44.00){\vector(-2,-1){0.2}} \multiput(60.00,60.00)(-0.27,-0.12){134}{\line(-1,0){0.27}} %\end \put(60.00,110.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf P}^{-1}$}} \put(95.00,95.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf I}$}} \put(110.00,60.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf P}^1$}} \put(95.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf P}^2$}} \put(13.00,38.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf P}^k$}} \end{picture} \end{figure} P�edposledn� mocnina jak�hokoliv permuta�n� matici je jej� inverz� (obr. \ref{Cyklus permuta�n�ch matic}). Je dosti snadn� naleznout tuto matici, proto�e je identick� s transponovanou matic� ${\bf P}^{\rm T}$: \begin{equation} {\bf P}^{n-1} = {\bf P}^{-1} = {\bf P}^{\rm T}\;. \end{equation} Mno�ina v�ech permuta�n�ch matic ${\bf P}$, s $n$ ��dky a $n$ sloupci, p�edstavuje v�echny mo�n� permutace. Zvl�tn� t��dou permuta�n�ch matic jsou symetrick� matice, pro kter� plat� \begin{equation} {\bf P} = {\bf P}^{-1} = {\bf P}^{\rm T}\;. \end{equation} Takov� matice maj� v�echny jednotkov� prvky bu� na diagon�le, nebo jinak tvo�� cykly d�lky 2. Tyto permutace jsou zn�m� jako {\em konvoluce}. Uk�eme p�ekvapiv� jednoduchou techniku pro jejich vytvo�en�. \section{Youngovy tabulky} \label{Youngovy tabulky}

\begin{figure} \caption{Sekvence Youngov�ch tabulek} \label{Sekvence Youngov�ch tabulek} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(160.00,100.00) \put(60.00,70.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(45.00,50.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(80.00,50.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(45.00,40.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(90.00,50.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(6.00,25.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(6.00,15.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(41.00,24.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(41.00,14.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(70.00,25.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(80.00,25.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(110.00,25.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(120.00,25.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(6.00,5.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{3}} \put(51.00,24.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{3}} \put(70.00,15.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{3}} \put(130.00,25.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{3}} %\vector(60.00,70.00)(55.00,60.00) \put(55.00,60.00){\vector(-1,-2){0.2}} \multiput(60.00,70.00)(-0.12,-0.24){42}{\line(0,-1){0.24}} %\end %\vector(70.00,70.00)(80.00,60.00) \put(80.00,60.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(70.00,70.00)(0.12,-0.12){84}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(45.00,40.00)(16.00,35.00) \put(16.00,35.00){\vector(-4,-1){0.2}} \multiput(45.00,40.00)(-0.69,-0.12){42}{\line(-1,0){0.69}} %\end %\vector(45.00,40.00)(41.00,34.00) \put(41.00,34.00){\vector(-2,-3){0.2}} \multiput(45.00,40.00)(-0.12,-0.18){34}{\line(0,-1){0.18}} %\end %\vector(100.00,50.00)(110.00,35.00) \put(110.00,35.00){\vector(2,-3){0.2}} \multiput(100.00,50.00)(0.12,-0.18){84}{\line(0,-1){0.18}} %\end %\vector(80.00,50.00)(70.33,35.00) \put(70.33,35.00){\vector(-2,-3){0.2}} \multiput(80.00,50.00)(-0.12,-0.19){81}{\line(0,-1){0.19}} %\end \end{picture} \end{figure} Budeme rekonstruovat po�ad� Ferrersov�ch graf� nalezen�m v�ech zp�sob�, jak mohou b�t tvo�eny z ni���ch graf� p�i�ten�m nov�ho prvku. Abychom dostali toto uspo��d�n�, indexuje se ka�d� box p�id�van� k men��mu Ferrersovu grafu p�i jeho roz�i�ov�n� do v�t��ho Ferrersovu grafu. Rovnocenn� boxy budou m�t rozd�ln� indexy, proto�e je lze dos�hnout rozd�ln�mi kroky. Takto ozna�en� Ferrersovy grafy jsou zn�m� jako Youngovy tabulky (obr.\ref{Sekvence Youngov�ch tabulek}). Youngovy tabulky jsou spojen� s permutacemi n�sleduj�c�m algoritmem:

\begin{itemize} \item {1} Pokud v�t�� index vypl�v� men��m, zapisuje se v p��t�m voln�m sloupci Youngovy tabulky. \item {2}. Pokud men�� index vypl�v� v�t��m v permutaci, nahrazuje jej v jeho sloupci Youngovy tabulky a p�esouv� to dol� do p��t� ��dky. Nap��klad: \end{itemize} $$\begin{array}{lllllll} 3412 & \rightarrow & 3\ 4 & \rightarrow & 1\ 4 & \rightarrow & 1\ 2\;. \\ & & & & 3 & & 3\ 4 \end{array}$$ T�et� prvek 1 sk��e do prvn�ho sloupce a p�esouv� 3 dol�, potom 2 p�esouv� 4 dol�. Nebo: $$\begin{array}{lllllllll} 4231 & \rightarrow & 4 & \rightarrow & 2 & \rightarrow & 2\ 3 & \rightarrow & 1\ 3\;. \\ & & & & 4 & & 4 & & 2\\ & & & & & & & & 4 \end{array}$$ Jedna vlastnost algoritmu se zd� b�t nev�hodn�, av�ak tato vlastnost pouze reprodukuje vztahy mezi permutacemi. To umo��uje, aby se asymetrick� permuta�n� matice rozlo�ily rozd�ln� podle sv�ch ��dk� a sloupc�. Av�ak ob� Youngovy tabulky n�le�� k stejn�mu typu Ferrersov�ch graf�. Nap��klad: $$\begin{array}{|rrrrrrr|c|} \hline & & & & & & & $\Sigma$\\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0& 0 & 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ \hline 6 & 3 & 7 & 1 & 4 & 2 & 5 & \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{array}{cccc} Sloupce & \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & \\ 6 & 7 & \end{array} & ��dky & \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 7 \\ 2 & 5 &\\ 4 & 6 & \end{array}

\end{array}$$ Vzpome�te si, �e konvoluce maj� symetrick� �ten� je identick�. Permuta�n� matice nebo permuta�n�ch matic nebo Youngov�ch tabulek p��pad� konvoluce, av�ak v�t�inou se li��

matice, a �e potom sloupcov� a ��dkov� Youngova tabulka je v�dy sou�in dvou stejn�ho typu. Ty mohou b�t identick� v v ��dc�ch a sloupc�ch, jako

$$\begin{array}{ccc|ccc} & & & \ 1& 0 & 0 \\ & & & 0 & 0 & 1 \\ & & & 0 & 1 & 0 \\ \hline & & & & & \\ 0 & 1& 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 1 & 0 & 1& 0 \end{array}$$ $$(a,c,b)\times(b,a,c) = (c,a,b)$$ Objevuje se zde vztah mezi po�tem orbit rozd�len� $p(n)$ a po�tem Youngov�ch tabulek $Y(n)$ a po�tem permuta�n�ch matic $P(n)$. Youngovy tabulky se tvo�� z Ferrersov�ch graf� rekurzivn�m algoritmem. Pokud pou�ijeme pro po�et Youngov�ch tabulek odpov�daj�c�ch Ferrersovu grafu s indexem $k$ notaci $y(k)$, potom $y^0(k) = 1$ a m�me vztah mezi po�tem rozd�len� $p(n)$ a po�tem Youngov�ch tabulek $Y(n)$. Podobn�, pokud umocn�me v�echna y(k), dostaneme v�echny permutace $n$ prvk�. Tedy \begin{equation} \sum y^0(k) = p(n)\;; \sum y(k) = Y(n)\;; \sum y^2(k) = P(n) = n! \end{equation} Zde $n!$ znamen� $n$ {\em faktori�l}. Je to sou�in n�sleduj�c�ch p�irozen�ch ��sel: \begin{equation} \prod_{k=1}^n\;k = n!\;. \label{faktori�l} \end{equation} Vysv�tl�me tuto funkci pozd�ji, a� budeme hledat jin� vzorce ur�uj�c� po�et permutac�. P�ed t�m budeme studovat konvoluce. Zde je dan� p��klad jak rovnice (\ref{faktori�l}) pracuje: $$\begin{tabular}{|l|ccccccc|r|} \hline Rozd�len�: & 5 & 4,1& 3,2& $3,1^2$ $\Sigma$ \\ \hline $y^0(k)$ & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & $y^1(k)$ & 1 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & $y^2(k)$ & 1 & 16 & 25 & 36 & 25 & \hline \end{tabular}$$ \section{ Po�et konvoluc�} \label{ Po�et konvoluc�}

& $2^21$ & $2,1^3$ & $1^5$ & 1 & 7 \\ 1 & 26 \\ 16 &1 & 120 \\

Po�et konvoluc� je po�et v�ech mo�n�ch spojen� v telefonn� s�ti. Klasifikujeme v�echny konvoluce podle po�tu prvk�, kter� z�st�vaj� na sv�ch m�stech, co� znamen� nespojen�. Je snadn� vyplnit n�sleduj�c� tabulku \begin{table} \caption{Rozd�len� konvoluc�} \label{Rozd�len� konvoluc�} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|} \hline Ona diagon�le & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline n=0 & 1 & & & & & & & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & & & & & 2 \\ 3 & 0 & 3 & 0 & 1 & & & & 4 \\ 4 & 3 & 0 & 6 & 0 & 1 & & & 10 \\ 5 & 0 & 15 & 0 & 10 & 0 & 1 & & 26 \\ 6 & 15 & 0 & 45 & 0 & 15 & 0 & 1 & 76 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Rekurence prvk� tabulky je \begin{equation} y_{00} = 1\;; y_{ij} = (i - 1)y_{i-2,j} + y_{i-1,j-1}\;. \end{equation} Inverzn� tabulka m� stejn� prvky, pouze znam�nka prvk�, jejich� indexy i se li�� od index� j o hodnotu $(4k + 2)$, jsou z�porn�. Jejich rekurence je \begin{equation} y_{00}^{-1} = 1\;; y_{ij}^{-1} = (1 - i)y_{i-2,j} + y_{i-1,j-1}\;. \end{equation} V�echny matice konvoluc� se z�skaj� dv�ma zp�soby. Bu� p�i�ten�m 1 na posledn�m m�st� diagon�ly. Tyto konvoluce se po��taj� �lenem $y_{i-1,j-1}$. Nebo se jednotkov� prvek p�id�v� v posledn� ��dce mimo diagon�lu. Vlo�� se mezi existuj�c� sloupce do nov�ho sloupce. Potom se jednotkov� prvek mus� sou�asn� p�idat v posledn�m sloupci do nov� ��dky, $i=j$. Mimo diagon�lu existuje $(n - 1)$ m�st, kde se mo�n� vytvo�it nov� spojen� p�r k j u� existuj�c�m p�r�m v matici konvoluce. Tento nov� p�r obsazuje dv� ��dky a sloupce a tedy se tvo�� v matici s $(n - 2)$ ��dky a sloupci. To nezvy�uje po�et prvk� na diagon�le a tak to zvy�uje po�et prvk� v stejn�m sloupci. Podobn� rekurence se pou�ije u ��dkov�ch sou�t� konvoluc�

po��taj�c�ch celkov� po�et

\begin{equation} Y(n) = (n - 1)Y(n - 2) + Y(n - 1) \end{equation} Lze ur�it prvky tabulky \ref{Rozd�len� konvoluc�} p��mo, proto�e se vypo��taj� podle vzorce \begin{equation} y_{ij} = i !/j!t!2^t \end{equation}

\label{konvoluce} kde $t = (i - j)/2$ je po�et cykl� d�lky 2. Tento vzorec obsahuje 3 faktori�ly. �len $2^t$ vyrovn�v� �adu $t$ d�litel�. V�imn�te si, �e rovnice \ref{konvoluce}) po��t� dohromady Youngovy tabulky rozd�ln�ch form�t�, mus� m�t pouze stejn� po�et sloupc�. Je�t� jin� vyj�d�en� po�tu konvoluc� je form�ln� binomi�ln� rovnice \begin{equation} Y(n) = (1 + y_i)^n \end{equation} kde �leny v prv�m sloupci tabulky 7.1 $y_{k0}$ se pova�uj� za mocniny $y^k$, kdy� se sou�ty $(1 + y)$ n�sob� samy se sebou. Nap��klad $$(1 + y)^6 = 1\times1 + 6\times0 + 15\times1 +1\times15 = 76\;.$$

+ 20\times0 + 15\times3 + 6\times0

Konvoluce po��tan� t�mito �leny nemaj� ��dn� prvky na hlavn� diagon�le a z�skaj� se n�soben�m lich�ch ��sel. Jsou to {\em lich� faktori�ly}, pon�vad� se z�skaj� n�sledn�m n�soben�m lich�ch ��sel: $1\times3\times5\times7\times9\times11\times 13\times15\times$ a tak d�le. \section{Faktori�ly a gamma funkce} \label{Faktori�ly a gamma funkce} Po�et v�ech permuta�n�ch matic $P(n)$ se snadno ur�� indexov�n�m mo�nost� uspo��d�n� jednotek do ��dk� a sloupc� v permuta�n� matici. V prv� ��dce existuje n mo�nost�, v druh� ��dce je jeden sloupec blokov�n prvkem prv� ��dky. Prvek druh� ��dky nem�e b�t ve stejn�m sloupci. Mo�nosti se sni�uj� pravideln�. V ka�d� ��dce je voln�ch $(n - i)$ zb�vaj�c�ch m�st. Tyto mo�nosti jsou nez�visl� a tedy se pro v�echny ��dky n�sob�. Dostaneme faktori�l \begin{equation} P(n) = n\times(n-1)\times\dots\times2\times1 = \prod_{j=1}^n\; j = n! \end{equation} Faktori�ln� funkce m� zaj�mavou vlastnost. Pokud $p$ je prvo��slo, potom $(p -1)!\ {\rm mod}\ p = (p - 1)$ a sou�asn� $(p -2)!\ {\rm mod}\ p = 1$. Faktori�l je d�liteln� v�emi sv�mi faktory, �ekn�me $b$. Pokud by modul�rn� hodnota byla rozd�ln�, �ekn�me $a$, potom tato hodnota by mohla b�t vybr�na takov�m zp�sobem, �e $a + b = p$. Faktori�l by byl d�liteln� prvo��slem v�t��m ne� jeho faktory, co� je nemo�n�. Nap��klad: $p =7,\ 720\ {\rm mod}\ 7 \equiv 6;\ 120\ {\rm mod}\ 7 \equiv 1$. Faktori�ln� funkce je definov�na pro p�irozen� ��sla, v�etn� nuly. Dopln�me jej� definici �lenem 0! = 1. U� jsme ud�lali n�co podobn�ho p�i definov�n� pr�zdn�ch rozd�len�. Kombinatorick� funkce jsou definov�ny pro indexov�n� objekt�, kter� mus� b�t cel�. Mohou se objevit ot�zky, co je objekt, nebo zv��e, nebo �lov�k, kdy za��naj� odpov�dat sv�m definic�m a kdy jsou pon�kud rozd�ln�. V matematice se takov� mal� rozd�ly mohou vyj�d�it ��sly. Ve vy��� matematice faktori�ln� funkce je pouze speci�ln�m p��padem {\em gamma funkce}, kterou definoval Euler jako \begin{equation} \Gamma(z+1) = z\Gamma(z) \end{equation}

Kdy� $\Gamma(1) = 1$, potom $$\Gamma(2) = 1\Gamma(1) =1,$$ $$\Gamma(3) = 2\Gamma(1) = 2,$$ a $$\Gamma(4) = 3\Gamma(3) = 6\;.$$ Tedy $$\Gamma(n+1) = n!\;.$$ Kdy� kresl�me graf gamma funkce, m�eme ji interpolovat pro jak�hokoliv re�ln� ��slo. Gamma funkce je definov�na integr�lem\footnote{e v integr�lu je z�kladnou p�irozen�ch logaritm�. Logaritmy mohou b�t dekadick� $\lg a$, bin�rn� $\lb a$, p�irozen� $\ln a$, nebo s jakoukoliv z�kladnou b $\log_b a$}. \begin{equation} \Gamma(z+1) = \int_0^\infty x^z e^{-x}dx\;. \end{equation} Nebudeme se pot�kat s probl�my spojen�mi s vyhodnocen�m takov�ch integr�l� a zavedeme funkci e v p��t� kapitole. Nyn� p�ijmeme pouze v�sledek ud�vaj�c� pro \begin{equation} \Gamma(1/2) = \sqrt\pi. \end{equation} \begin{figure} \caption{Graf funkce $\Gamma(n)$} \label{Graf funkce Gamma} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(140.00,160.00) %\emline(20.00,20.00)(120.00,20.00) \put(20.00,20.00){\line(1,0){100.00}} %\end %\emline(20.00,20.00)(20.00,140.00) \put(20.00,20.00){\line(0,1){120.00}} %\end \put(20.00,40.00){\circle{4.00}} \put(30.00,37.67){\circle{4.00}} \put(40.00,40.00){\circle{4.00}} \put(60.00,60.00){\circle{4.00}} \put(80.00,140.00){\circle{4.00}} \bezier{88}(20.00,40.00)(30.00,35.33)(40.00,40.00) \put(50.00,46.67){\circle{4.00}} \put(10.67,46.67){\circle{4.00}} \put(70.00,89.67){\circle{4.00}} \bezier{48}(40.00,40.00)(45.67,42.00)(50.00,46.67) \bezier{48}(10.33,46.67)(13.00,42.67)(20.00,40.00) \bezier{68}(50.00,46.67)(55.00,51.33)(60.00,60.00) \bezier{128}(60.00,60.00)(66.33,70.00)(70.00,89.33) \bezier{204}(70.00,89.67)(76.33,109.33)(80.33,139.67) \put(20.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(40.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(60.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(80.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(10.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{1}}

\put(9.67,60.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(9.67,80.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(9.67,100.00){\makebox(0,0)[cc]{4}} \put(9.33,120.00){\makebox(0,0)[cc]{5}} \put(9.00,140.00){\makebox(0,0)[cc]{6}} \end{picture} \end{figure} Z n� se vypo��taj� snadno jin� $n/2$ hodnoty gamma funkce, kter� padnou v�born� do d�r mezi faktori�ly, aby se vykreslila jedna hladk� funkce (obr. \ref{Graf funkce Gamma}). Kdy� interpolujeme gamma funkci do z�porn�ch hodnot: $$\Gamma(1) = 0\Gamma(0)$$ dostaneme $$\Gamma(0) = \Gamma(1)/0 = \infty$$ $$\Gamma(0) = (-1)\Gamma(-1)$$ $$\Gamma(-1) = \Gamma(0)/(-1) = -\infty\;.$$ Gamma funkce osciluje pro n�sledn� z�porn� ��sla od $+\infty$ do $-\infty$. Funk�n� vztah u� nen� st�l�, ale chov� se jako mo�e v bou�i. Sv�t matematick�ch funkc� nen� symetrick� k znam�nku inverze, podobn� jako n� fyzik�ln� sv�t, kde anti��stice jsou ��dk� jevy, kter� ihned anihiluj�. Eulerova gamma funkce se m�e pou��t pro nalezen� aproximace faktori�ln� funkce pro velk� n. Stirlingova aproximace je \begin{equation} n! = n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}\;. \end{equation} \label{Stirling aproximace} \section{Index cyklick�ch permutac�} \label{Index cyklick�ch permutac�} Po tomto odbo�en� se nyn� vr�t�me k permutac�m nalezen�m vzorc� ur�uj�c�ch po�et v�ech cyklick�ch struktur. Cyklick� struktury tvo�� orbitu permutac� a sou�et p�es v�echny orbity d�v� faktori�l. Orbita rozd�len� po��t� v�echny permutace cyklu $s_k$ d�lky $k$. Pokud existuje v�ce cykl� stejn� d�lky, jejich d�lky $s_k$ se n�sob�. To d�v� �leny $s_k^t k$, kde $t_k$ je po�et cykl� $s_k$. R�zn� cykly stejn� d�lky se permutuj� vz�jemn� mezi sebou, kdy� se jejich prvky zam��uj�. Tato z�m�ny se po��taj� ��ste�n�mi faktori�ly $t_k!$. Index cyklick�ch permutac� je \begin{equation} n!/\prod n_k!s_k^tak\;. \end{equation} Nap��klad pro n = 4: $$\begin{tabular}{|l|l|c|c|} \hline Orbita & Cyklick� index & Hodnota & \\ \hline 4 & $4!/1!^4$ & 6 & Jeden cykl d�lky 4\\ 31 & $4!/1!^1!3!^1$ & 8 & Jeden cykl d�lky 3,jeden cykl d�lky 1\\ 22 & $4!/2!2$ & 3 & Dva cykly d�lky 2\\ 211 & $4!/1!^!2!^1$ & 6 & Jeden cykl�m d�lky 2, dva cykly d�lky 1\\ 1 & $4!/4!^1$ & 1 & �ty�i cykly d�lky 1\\

\hline $\Sigma$ & & 24 & \\ \hline \end{tabular}$$ \section{Sch�mata permutac�} \label{Sch�mata permutac�} Zavedli jsme sch�mata orbit a nyn� m�me prvn� mo�nost je pou��t pro indexov�n� ��ste�n�ch sou�t� cyklick�ch index�. Tyto ��ste�n� sou�ty jsou zn�m� jako rozd�ln� {\em kombinatorick� identity}. Nejprve uspo��d�me sch�mata rozd�len� podle po�tu cykl� v permutaci a d�lky nejdel��ho cyklu k. Nap��klad pro $n = 6$ dostaneme \begin{tabular}{|r|rrrrrr|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline $k=6$ & 120 & & & & & \\ 5 & & 144 & & & & \\ 4 & & 90 & 90 & & & \\ 3 & & 40 & 120 & 40 & & \\ 2 & & & 15& 45 & 15 & \\ 1 & & & & & & 1 \\ \hline $\Sigma$& 120 & 274& 225 & 85 & 15 & 1 \\ \hline \end{tabular} \\ ��dkov� sou�ty n�sledn�ch sch�mat d�vaj� tabulku 7.2. Jej� prvky jsou zn�m� jako {\em Stirlingova ��sla prv�ho druhu}. Jejich jm�no nazna�uje, �e existuje v�ce druh� Stirlingov�ch ��sel. Existuj� v r�zn�ch vztaz�ch, jak uvid�me pozd�ji. \begin{table} \caption{Stirlingova ��sla prv�ho druhu} \label{Stirlingova ��sla prv�ho druhu} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline t & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$\\ \hline n=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 1 & & & & & 2 \\ 3 & 2 & 3 & 1 & & & & 6 \\ 4 & 6 & 11 & 6 & 1 & & & 24 \\ 5 & 24 & 50 & 35 & 10 & 1 & & 120 \\ 6 & 120 & 274 & 225 & 85 & 15 & 1 & 720 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Rekurence Stirlingov�ch ��sel je \begin{equation} s_{ij} = (n - 1)s_{i-1,j} + s_{i-1,j-1}\;. \end{equation} Vzorec byl vysv�tlen popisem, jak permuta�n� matice ${\bf P}_{n-1}$ se zv�t�uj� nov�mi ��dky a sloupci. M�me $(n - 1)$ mimodiagon�ln�ch poloh v posledn� ��dce,

kter� �t�p� $(n - 1)$ rozm�rnou permuta�n� matici a prodlu�uj� n�jak� existuj�c� cykl, av�ak nem�n� jejich po�et. Potom jednotkov� prvek lze p�idat na diagon�le, av�ak tato operace zvy�uje po�et cykl� jednotkov� d�lky. T�mto zp�sobem dostaneme mezisou�ty v�ce cyklick�ch index� p��mo beze zm�n v�ech odpov�daj�c�ch orbit. Vzpome�te si, �e t�mto sou�t�m odpov�daj� vrcholy, hrany, a obecn� n rozm�rn� podsimplexy plo�n�ho simplexu. Av�ak zde �t�p� pouze jednu p�vodn� orbitu ve st�edu rovinn�ho simplexu nebo centr�ln� orbitu v krychli (obr. \ref{Centr�ln� orbita v 3 rozm�rn� krychle se stranou 0-2}). \begin{figure} \caption{Centr�ln� orbita v 3 rozm�rn� krychli se stranami 0-2. ��ry spojuj� body se vzd�lenost� 2} \label{Centr�ln� orbita v 3 rozm�rn� krychle se stranou 0-2} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(120.00,130.00) %\emline(60.33,19.67)(25.67,40.00) \multiput(60.33,19.67)(-0.20,0.12){170}{\line(-1,0){0.20}} %\end %\emline(25.67,40.00)(25.67,80.00) \put(25.67,40.00){\line(0,1){40.00}} %\end %\emline(25.67,80.00)(60.00,100.00) \multiput(25.67,80.00)(0.21,0.12){167}{\line(1,0){0.21}} %\end %\emline(60.00,100.00)(94.67,80.00) \multiput(60.00,100.00)(0.21,-0.12){167}{\line(1,0){0.21}} %\end %\emline(94.67,80.00)(94.67,40.00) \put(94.67,80.00){\line(0,-1){40.00}} %\end %\emline(94.67,40.00)(59.33,20.00) \multiput(94.67,40.00)(-0.21,-0.12){167}{\line(-1,0){0.21}} %\end %\emline(59.33,20.00)(59.33,20.00) \put(59.33,20.00){\line(0,1){0.00}} %\end %\emline(59.33,20.00)(59.33,99.67) \put(59.33,20.00){\line(0,1){79.67}} %\end %\emline(25.67,80.00)(94.67,40.00) \multiput(25.67,80.00)(0.21,-0.12){334}{\line(1,0){0.21}} %\end %\emline(25.67,40.00)(94.67,80.00) \multiput(25.67,40.00)(0.21,0.12){334}{\line(1,0){0.21}} %\end \put(25.67,80.00){\circle{4.00}} \put(59.67,99.67){\circle{4.00}} \put(94.67,80.00){\circle{4.00}} \put(94.67,40.00){\circle{4.00}} \put(59.33,20.33){\circle{4.00}} \put(25.67,40.00){\circle{4.00}} \put(59.33,110.00){\makebox(0,0)[cc]{abc}} \put(12.67,86.33){\makebox(0,0)[cc]{bac}} \put(12.33,32.67){\makebox(0,0)[cc]{cab}} \put(59.33,8.67){\makebox(0,0)[cc]{cba}} \put(107.67,33.00){\makebox(0,0)[cc]{bca}} \put(107.33,86.67){\makebox(0,0)[cc]{acb}} \end{picture}

\end{figure} \section{Po�et p�em�st�n�} \label{Po�et p�em�st�n�} Jinou mo�nost�, jak po��tat permutace je pou��t po�et jednotkov�ch cykl�. Ten se ur�� podle jednotkov�ch prvk� na hlavn� diagon�le jednotkov� permuta�n� matice zn�m�ch jako {\em nehybn� prvky}. Po�ty rozd�len� se mohou z�skat podle po�tu jednotek v rozd�len�ch. S pou�it�m t�to techniky pro uspo��d�n� do tabulek permuta�n�ch index�, dostaneme sloupcov� sou�ty zn�m� jako {\em po�et p�em�st�n�}. Jsou uk�zan� v tabulce \ref{Po�ty p�em�st�n�}. \begin{table} \caption{Po�ty p�em�st�n�} \label{Po�ty p�em�st�n�} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|} \hline s & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline n=0 & 1 & & & & & & & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & & & & & 2 \\ 3 & 2 & 3 & 0 & 1 & & & & 6 \\ 4 & 9 & 8 & 6 & 0 & 1 & & & 24 \\ 5 & 44 & 45 & 20 & 10 & 0 & 1 & & 120 \\ 6 & 265 & 264 & 135 & 40 & 15 & 0 & 1 & 720 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Rekurence je pon�kud p�ekvapuj�c�; po�et p�em�st�n� ��sel se z�sk� z nulov�ho sloupce jeho n�soben�m binomi�ln�mi koeficienty \begin{equation} r_{ij} = { i \choose j}r_{i-j,0} \end{equation} \label{rij} Porovnej to s tabulkou 4.6 rozd�len� uspo��dan�ch podle po�tu jednotkov�ch ��st�. Nyn� se tyto ��sti jsou jen kombinuj� s jin�mi ��stmi. Prvky tabulky \ref{Po�ty p�em�st�n�} se z�skaj� jako �leny pon�kud slo�it�ho v�razu \begin{equation} n! = 1 + (1 -1/1!)n + (1 -1/1! +1/2!)n(n-1) + \dots \end{equation} kter� lze formulovat jako \begin{equation} n! = \sum_{k=0}^n\;( -1/k!)^k(n)_k\;. \end{equation} \label{Sigma} Nap��klad: $4! = 1 + 0 + 1/2\times12 + 2/6\times24 + 9/24\times24.$ Nyn� je nutn� alespo� vysv�tlit, �e binomi�ln� koeficient ${ i \choose j}$ je pom�r t�� faktori�l� $i!/j!(i-j)!$. Jak se binomi�ln� koeficient z�sk�, uvid�me pozd�ji. Zde d�me p��klad jak 5-t� ��dka tabulky \ref{Po�ty p�em�st�n�} se z�sk�

pomoc� rovnice (\ref{Sigma}): $1\times44 + 5\times9 + 10\times2 + 10\times1 + 5\times0 +1\times1 = 120$. Po�ty p�em�st�n� $r_{i0}$ po��taj� permuta�n� matice s $i$ ��dky a sloupci, kter� nemaj� ��dn� jednotkov� prvky na diagon�le (��dn� nehybn� objekt). Tyto matice se kombinuj� s diagon�ln� jednotkovou matic� ${\bf I}$ s $(i-j)$ ��dky a sloupci v�emi mo�n�mi zp�soby po��tan�mi binomi�ln�m koeficientem. Po�ty p�em�st�n� $r_{i0}$ jsou zn�m� tak� jako {\em subfaktori�ly}, pon�vad� d�vaj� faktori�ly podle n�sleduj�c� rovnice, jej� �leny byly ur�eny podle \ref{rij}. Nyn� jsou vlo�eny jako form�ln� mocniny subfaktori�l� $r^i = r_i$: \begin{equation} n! = (r_i + 1)^n \end{equation} Je mo�n� formulovat rovnici (\ref{Sigma}) tak� v maticov� form� jako p��m� sou�in \begin{equation} \Delta(n!) = {\bf R}\times{\bf B}, \end{equation} kde ${\bf R}$ je matice subfaktori�l� v ��dc�ch a ${\bf B}$ je matic� binomi�ln�ch koeficient�. Invertov�n�m form�ln�ch mocnin dostaneme $r(n)_0 = (k!^n - 1)$. Vlo�en�m $(k!)^n = n!$ dostaneme vzorec \begin{equation} n! - { n \choose 1}(n-1)! + { n \choose 2}(n-2)! - \dots \pm { n \choose n}(n-n)! =(k!)^n \end{equation} To p�ejde pro $n$ jdouc� k nekone�nu \begin{equation} n![1 - 1 + 1/2! - 1/3! + \dots] \approx n^n/e^n\;, \end{equation} kde $e$ je z�kladna p�irozen�ch logaritm�. Tento p�ibli�n� vzorec d�v� hrubou Stirlingovu aproximaci faktori�l� velk�ch ��sel. Srovnej s p�esn�m vzorcem (\ref{Stirling aproximace}). M�li bychom zm�nit je�t� jinou form�ln� notaci pro subfaktori�ly. Je to notace teorie kone�n�ch diferenc�\footnote{Bude to vysv�tleno v podkapitole 9.4.}. \begin{equation} r_0(n) = [E - 1]^n0! = \Delta^n0!\;. \end{equation} Zde $\Delta^n$ nen� diagon�ln� matice, ale diference n-t�ho stupn�, nebo $n$ kr�t se opakuj�c� diference z�kladn�ho stavu $E$. Setk�me se s po�ty p�em�st�n� op�t v kapitole 14. Existuje je�t� jin� rekurence pro subfaktori�ly \begin{equation} r_{n0} = nr_{n-1,0} + (-1)^n \end{equation}

nap��klad $5\times9 - 1 = 44$; $6\times44 + 1 = 245$. Kdy� se vr�t�me k sch�matu rozd�len� v tabulce 7.3 a p�eklasifikujeme permutace bez podle po�tu cykl�, nebo, kdy� vynech�me z p�vodn�ho sch�matu (tabulka 7.2) v�echny permutace s jednotkov�mi cykly, dostaneme tabulku \ref{P�i�azen� Stirlingova ��sla prv�ho druhu} p�i�azen�ch Stirlingov�ch ��sel prv�ho druhu. \begin{table} \caption{P�i�azen� Stirlingova ��sla prv�ho druhu} \label{P�i�azen� Stirlingova ��sla prv�ho druhu} \begin{tabular}{|r|rrrr|r|} \hline j & 0 & 1 & 2 & 3 & $\Sigma= r$\\ \hline i=0 & 1 & & & & 1 \\ 1 & & 0 & & & 0 \\ 2 & & 1 & & & 1 \\ 3 & & 2 & & & 2 \\ 4 & & 6 & 3 & & 9 \\ 5 & & 24& 20 & & 44 \\ 6 & & 120& 130 & 15 & 265 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Rekurence je \begin{equation} a_{i+1,j} = i[a_{ij} + a_{i-1,j-1}]\;. \end{equation} Rekurence je op�t opr�vn�na mo�nostmi, jak p�ipojit nov� prvek k existuj�c�m cykl�m. Bu� jej m�eme vlo�it do existuj�c�ho cyklu nebo lze vytvo�it nov� cykl. Je jednodu��� to formulovat pro $(i + 1)$ matice. V $(i + 1)$ rozm�rn� matici m�me $i$ mo�nost� mimo diagon�lu, jak p�ipojit nov� prvek k existuj�c�m cykl�m. Nebo m�eme p�idat nov� dvou rozm�rn� cykl k matic�m s $(i - 1)$ ��dky se stejn�m po�tem mo�nost�. \section{Eulerova ��sla} \label{Eulerova ��sla} Nem�me vy�erp�ny v�echny mo�nosti jak klasifikovat permutace. Jin� statistika po��t� po�et {\em segment�} permutace, ve kter� jsou jej� prvky uspo��d�ny podle sv�ho p�irozen�ho po��dku jako vzestupn� indexy. Nap��klad permutace(357168942) se �t�p� do �ty� segment� 357/1689/4/2. Rekurence t�to statistiky, zn�m� jako Eulerova ��sla, je: \begin{equation} e_{11} = 1\;; e_{ij} = je_{i-1,j} + (i - j + 1)e_{i-1,j-1}\;. \end{equation} Pokud d�me i-t� prvek na konec ka�d�ho segmentu, po�et segment� z�st�v� nezm�n�n�. Pokud jej d�me na prv� m�sto, zv�t�ujeme po�et segment�. Podobn� pokud jej d�me dovnit� existuj�c�ho segmentu, ten se potom �t�p� do dvou segment�. Uvnit� segment� je $(i - j)$ m�st. Alternativn�m v�kladem je, �e tato statistika po��t� prvky permuta�n�ch matic, kter� jsou nad hlavn� diagon�lou. Zde index $j$ jde od 0 do $(n-1)$. Odpov�daj�c� matice je tabulka \ref{Eulerova ��sla}.

\begin{table} \caption{ Eulerova ��sla} \label{ Eulerova ��sla} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline i=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1& 1 & & & & & 2 \\ 3 & 1 & 4 & 1 & & & & 6 \\ 4 & 1 & 11 & 11 & 1 & & & 24 \\ 5 & 1 & 26 & 66 & 26 & 1 & & 120 \\ 6 & 1 & 57 & 302 & 302 & 57 & 1 & 720 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Ot�zka: Jak lze interpretovat inverzn� funkce Eulerov�ch ��sel? \section{Mac Mahonova ��sla} \label{Mac Mahonova ��sla} Doposud jsme se��tali permutace jako objekty. Nyn� budeme ur�ovat jejich momenty vyj�d�en� po�tem inverz� v permutaci. Po��taj� se podle po�tu nulov�ch prvk� nad jednotkov�mi prvky, kter� jsou pod hlavn� diagon�lou jako v p��klad�, kde 4 na prvn� m�st� m� 3 inverze a 3 na druh�m m�st� pouze 2 $$\left( \begin{array}{cccc} x & x & 1 & 0 \\ x & x & 0 & 1 \\ x & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\;.$$ Permutace klasifikovan� podle t�to metody d�vaj� Mac Mahonova ��sla jako v tabulce \ref{Mac Mahonova ��sla}. \begin{table} \caption{Mac Mahonova ��sla} \label{Mac Mahonova ��sla} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrr|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline n=1 & 1 & & & & & & & & & & \\ 2 & 1 & 1 & & & & & & & & & \\ 3 & 1 & 2 & 2 & 1 & & & & & & & \\ 4 & 1 & 3 & 5 & 6 & 5 & 3 & 1 & & & & \\ 5 & 1 & 4 & 9 & 15 & 20& 22 & 20 & 15 & 9 & 4 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} V�imn�te si, �e zde parametr $k$ nekon�� ��slem $n$ av�ak pokra�uje k hodnot� $n(n-1)/2$. Je to jako kdybychom se��tali tyto hodnoty na diagon�le �tverce. Maxim�ln� moment $k$ je sou�et hodnot $(i-1)$, kde $i$ jde od 1 a� k $n$

\begin{equation} \sum_{i=1}^n\;(i - 1) = { n \choose 2}\;. \end{equation} Rozd�len� moment� je symetrick�, tedy prvky matice jsou ve vztahu jako \begin{equation} m_{ik} = m_{i,[i(i-1)/2]-k}\;. \end{equation} Rekurence Mac Mahonov�ch ��sel $m_{ij}$ je \begin{equation} m_{ij} = \sum_{k=0}^n\;(m-k,n-1)\;;\ m_{10} = 1 \end{equation} nebo pro $k \leq i$: \begin{equation} m_{ij} = m_{i-1,j} + m_{i,j-1}\;. \end{equation} Pokud p�id�me k men�� permuta�n� matici jednotkov� prvek na posledn� m�sto diagon�ly, nem�n� se sou�et p�em�st�n�. To d�v� �len $m_{i-1,j}$. Matice se�ten� �lenem $m_{i,j-1}$ jsou sou�ty prvk� p�edchoz�ch ��dek, jejich� momenty jsou zv�en� p�i�ten�m nov�ho prvku v odpov�daj�c�m sloupci. Maj� po�adovan� rozm�r. Jejich momenty jsou zv�en� permutac� posledn�ho prvku do prv�ho sloupce. \section{Spearman�v korela�n� koeficient} \label{Spearman�v korela�n� koeficient} \begin{figure} \caption{24 permutac� �ady {\bf abcd}. Jsou rozd�leny do �ty� mno�in za��naj�c�mi kapit�lkami. Uspo��dejte zb�vaj�c� t�� symboly a v�echny permutace na kouli} \label{24 permutace} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(150.00,150.00) %\emline(60.00,52.67)(80.00,52.67) \put(60.00,52.67){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(80.00,52.67)(90.00,70.00) \multiput(80.00,52.67)(0.12,0.21){84}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(90.00,70.00)(80.00,87.33) \multiput(90.00,70.00)(-0.12,0.21){84}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(80.00,87.33)(60.00,87.33) \put(80.00,87.33){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(60.00,87.33)(50.00,70.00) \multiput(60.00,87.33)(-0.12,-0.21){84}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(50.00,70.00)(60.33,52.67) \multiput(50.00,70.00)(0.12,-0.20){87}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\emline(59.33,102.67)(79.33,102.67)

\put(59.33,102.67){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(79.33,102.67)(89.33,120.00) \multiput(79.33,102.67)(0.12,0.21){84}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(89.33,120.00)(79.33,137.33) \multiput(89.33,120.00)(-0.12,0.21){84}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(79.33,137.33)(59.33,137.33) \put(79.33,137.33){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(59.33,137.33)(49.33,120.00) \multiput(59.33,137.33)(-0.12,-0.21){84}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(49.33,120.00)(59.67,102.67) \multiput(49.33,120.00)(0.12,-0.20){87}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\emline(7.00,45.33)(17.67,27.00) \multiput(7.00,45.33)(0.12,-0.21){89}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(17.67,27.00)(37.67,27.00) \put(17.67,27.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(37.67,27.00)(47.33,44.67) \multiput(37.67,27.00)(0.12,0.22){81}{\line(0,1){0.22}} %\end %\emline(47.33,44.67)(36.33,62.33) \multiput(47.33,44.67)(-0.12,0.19){92}{\line(0,1){0.19}} %\end %\emline(36.33,62.33)(16.67,62.33) \put(36.33,62.33){\line(-1,0){19.67}} %\end %\emline(16.67,62.33)(7.00,45.67) \multiput(16.67,62.33)(-0.12,-0.21){81}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(92.67,44.67)(103.00,62.00) \multiput(92.67,44.67)(0.12,0.20){87}{\line(0,1){0.20}} %\end %\emline(103.00,62.00)(123.00,62.00) \put(103.00,62.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(123.00,62.00)(133.33,44.67) \multiput(123.00,62.00)(0.12,-0.20){87}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\emline(133.33,44.67)(123.00,27.00) \multiput(133.33,44.67)(-0.12,-0.20){87}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\emline(123.00,27.00)(102.67,27.00) \put(123.00,27.00){\line(-1,0){20.33}} %\end %\emline(102.67,27.00)(93.00,44.67) \multiput(102.67,27.00)(-0.12,0.22){81}{\line(0,1){0.22}} %\end %\circle(70.00,70.00){119.20} \multiput(70.00,129.60)(1.74,-0.10){4}{\line(1,0){1.74}} \multiput(76.94,129.20)(0.62,-0.11){11}{\line(1,0){0.62}} \multiput(83.80,127.98)(0.39,-0.12){17}{\line(1,0){0.39}} \multiput(90.46,125.98)(0.27,-0.12){24}{\line(1,0){0.27}}

\multiput(96.84,123.22)(0.20,-0.12){30}{\line(1,0){0.20}} \multiput(102.86,119.73)(0.16,-0.12){35}{\line(1,0){0.16}} \multiput(108.43,115.56)(0.13,-0.12){40}{\line(1,0){0.13}} \multiput(113.48,110.77)(0.12,-0.14){38}{\line(0,-1){0.14}} \multiput(117.93,105.43)(0.12,-0.18){32}{\line(0,-1){0.18}} \multiput(121.73,99.60)(0.12,-0.24){26}{\line(0,-1){0.24}} \multiput(124.83,93.37)(0.12,-0.33){20}{\line(0,-1){0.33}} \multiput(127.18,86.82)(0.11,-0.48){14}{\line(0,-1){0.48}} \multiput(128.75,80.05)(0.11,-0.99){7}{\line(0,-1){0.99}} \put(129.52,73.13){\line(0,-1){6.96}} \multiput(129.48,66.18)(-0.11,-0.86){8}{\line(0,-1){0.86}} \multiput(128.63,59.27)(-0.12,-0.48){14}{\line(0,-1){0.48}} \multiput(126.98,52.51)(-0.12,-0.31){21}{\line(0,-1){0.31}} \multiput(124.55,45.99)(-0.12,-0.23){27}{\line(0,-1){0.23}} \multiput(121.38,39.80)(-0.12,-0.18){33}{\line(0,-1){0.18}} \multiput(117.52,34.02)(-0.12,-0.14){38}{\line(0,-1){0.14}} \multiput(113.00,28.73)(-0.13,-0.12){40}{\line(-1,0){0.13}} \multiput(107.90,24.00)(-0.16,-0.12){35}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(102.28,19.90)(-0.21,-0.12){29}{\line(-1,0){0.21}} \multiput(96.22,16.48)(-0.28,-0.12){23}{\line(-1,0){0.28}} \multiput(89.81,13.78)(-0.39,-0.11){17}{\line(-1,0){0.39}} \multiput(83.12,11.86)(-0.69,-0.11){10}{\line(-1,0){0.69}} \multiput(76.26,10.73)(-2.32,-0.11){3}{\line(-1,0){2.32}} \multiput(69.31,10.40)(-1.39,0.10){5}{\line(-1,0){1.39}} \multiput(62.37,10.89)(-0.62,0.12){11}{\line(-1,0){0.62}} \multiput(55.53,12.18)(-0.37,0.12){18}{\line(-1,0){0.37}} \multiput(48.89,14.26)(-0.26,0.12){24}{\line(-1,0){0.26}} \multiput(42.54,17.10)(-0.20,0.12){30}{\line(-1,0){0.20}} \multiput(36.57,20.66)(-0.15,0.12){36}{\line(-1,0){0.15}} \multiput(31.04,24.89)(-0.12,0.12){41}{\line(-1,0){0.12}} \multiput(26.05,29.74)(-0.12,0.15){37}{\line(0,1){0.15}} \multiput(21.66,35.13)(-0.12,0.18){32}{\line(0,1){0.18}} \multiput(17.93,41.00)(-0.12,0.24){26}{\line(0,1){0.24}} \multiput(14.90,47.27)(-0.12,0.35){19}{\line(0,1){0.35}} \multiput(12.63,53.84)(-0.11,0.52){13}{\line(0,1){0.52}} \multiput(11.14,60.64)(-0.12,1.15){6}{\line(0,1){1.15}} \multiput(10.45,67.56)(0.06,3.48){2}{\line(0,1){3.48}} \multiput(10.57,74.51)(0.12,0.86){8}{\line(0,1){0.86}} \multiput(11.50,81.41)(0.12,0.45){15}{\line(0,1){0.45}} \multiput(13.23,88.15)(0.12,0.31){21}{\line(0,1){0.31}} \multiput(15.73,94.64)(0.12,0.22){28}{\line(0,1){0.22}} \multiput(18.97,100.79)(0.12,0.17){33}{\line(0,1){0.17}} \multiput(22.90,106.53)(0.12,0.13){39}{\line(0,1){0.13}} \multiput(27.48,111.77)(0.13,0.12){39}{\line(1,0){0.13}} \multiput(32.64,116.44)(0.17,0.12){34}{\line(1,0){0.17}} \multiput(38.30,120.48)(0.22,0.12){28}{\line(1,0){0.22}} \multiput(44.40,123.83)(0.29,0.12){22}{\line(1,0){0.29}} \multiput(50.85,126.44)(0.42,0.12){16}{\line(1,0){0.42}} \multiput(57.55,128.29)(1.13,0.12){11}{\line(1,0){1.13}} %\end %\emline(70.00,129.67)(70.00,70.00) \put(70.00,129.67){\line(0,-1){59.67}} %\end %\emline(70.00,70.00)(121.33,40.00) \multiput(70.00,70.00)(0.20,-0.12){251}{\line(1,0){0.20}} %\end %\emline(70.00,69.33)(18.33,40.00) \multiput(70.00,69.33)(-0.21,-0.12){245}{\line(-1,0){0.21}}

%\end \put(70.00,56.67){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(61.00,112.33){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(106.33,35.00){\makebox(0,0)[cc]{C}} \put(33.67,35.33){\makebox(0,0)[cc]{D}} \put(16.00,62.33){\circle{4.00}} \put(36.33,62.33){\circle{4.00}} \put(47.00,45.00){\circle{4.00}} \put(37.33,27.00){\circle{4.00}} \put(17.33,27.00){\circle{4.00}} \put(7.00,45.00){\circle{4.00}} \put(60.00,52.67){\circle{4.00}} \put(50.33,70.00){\circle{4.00}} \put(60.33,87.33){\circle{4.00}} \put(80.33,87.33){\circle{4.02}} \put(89.67,70.33){\circle{4.00}} \put(80.00,52.67){\circle{4.00}} \put(102.67,62.00){\circle{4.00}} \put(123.00,62.00){\circle{4.00}} \put(133.33,44.67){\circle{4.00}} \put(123.33,27.00){\circle{4.00}} \put(102.33,27.00){\circle{4.00}} \put(93.33,44.67){\circle{4.00}} \put(59.33,102.67){\circle{4.00}} \put(79.67,102.67){\circle{4.00}} \put(89.00,120.00){\circle{4.00}} \put(79.67,137.33){\circle{4.00}} \put(59.33,137.33){\circle{4.00}} \put(49.67,120.33){\circle{4.00}} \end{picture} \end{figure} Sou�et rozd�l� poloh v�ech objekt� permutovan� ve srovn�n� se z�kladn� jednotkovou permutac� je v�dy 0. Tyto rozd�ly mohou b�t bu� kladn� nebo z�porn�. Sou�et �tverc� rozd�l� mus� b�t nutn� kladn�. Tyto rozd�ly poloh mohou b�t pojedn�ny jako vzd�lenosti v krychli (viz obr. \ref{Centr�ln� orbita v 3 rozm�rn� krychle se stranou 0-2}) pro t��rozm�rn� p��pad obr. \ref{24 permutace} kde je nakreslen �ty�rozm�rn� p��pad). $$\begin{tabular}{|l|rrrrr|l|} \hline Referen�n� bod:\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ Permuta�n� bod: & 5 & 2 & 4 & 3 & 1 & \\ \hline (2-1) & 4 & 0 & 1 & -1 & -4 & 0 \\ \hline �tverce & 16& 0 & 1 & 1 & 16 & 34\\ \hline \end{tabular}$$ Pokud pod�l�me z�skan� hodnoty nejv�t��m mo�n�m sou�tem �tverc�, kter� je 40 pro $n=5$, dostaneme hodnoty jdouc� od 0 k 1, kter� charakterizuj� permutace a jsou zn�m� jako {\em Spearman�v korela�n� koeficient}. Pou��v� se pro vyhodnocen� pravd�podobnosti z�skan� po��dkov� statistiky. \section{Redukovan� grupy cyklick�ch permutac�} \label{Redukovan� grupy cyklick�ch permutac�}

Doposud jsme pracovali s permutacemi, kter� se �etly pouze z jedn� strany. V�t�ina na�ich symbol� ur�uje, z kter� strany se mus� ��st(s n�kter�mi vyjimkami jako jsou W, A, T, 8 a jin� symetrick� symboly). P�edstavte si nyn�, �e permutace je reprezentovan� �adou barevn�ch kor�lk� jako \begin{center} (�erven�)-(modr�)-(b�l�)-(zelen�)-(�lut�) \end{center} Pokud najdeme takovou �adu n�hodn�, nem�eme ��ci, z kter� strany ji m�me ��st. V�sledkem je, �e nem�eme odli�it polovinu permutac� jako: $$123 \leftrightarrow 321;\ 213 \leftrightarrow 312;\ 132 \leftrightarrow 231\;. $ $ Jm�no takov� grupy, kter� je nerozli�uje �ten� z obou stran je {\em dihedr�ln�}. Je�t� slo�it�j�� situace vznikne, pokud �ada barevn�ch kor�lk� tvo�� n�hrdeln�k. Potom nem�eme nal�zt ani sm�r �ten� ani po��tek permutace. Tedy m�me nerozli�iteln� permutace: $$ (123-231-312)\leftrightarrow (213-132-321)\;.$$ Z probl�m� spojen�ch zasedac�ch po��dk�}: takov�m zp�sobem, �e Pro $n = 4$ existuj�

s t�mito redukovan�mi grupami zm�n�me pouze �lohu {\em $n$ sezdan�ch dvojic by se m�lo rozsadit u kulat�ho stolu �ena m� sed�t mezi 2 mu�i nikoliv v�ak vedle sv�ho man�ela. 2 zasedac� po��dky (obr. \ref{Probl�m zasedac�ch po��dk�}).

\begin{figure} \caption{Probl�m zasedac�ch po��dk�. Dva zasedac� po��dky pro �ty�i dvojice} \label{Probl�m zasedac�ch po��dk�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(160.00,80.00) %\circle(40.00,40.00){40.67} \multiput(40.00,60.34)(1.24,-0.11){3}{\line(1,0){1.24}} \multiput(43.72,59.99)(0.40,-0.11){9}{\line(1,0){0.40}} \multiput(47.31,58.98)(0.24,-0.12){14}{\line(1,0){0.24}} \multiput(50.66,57.32)(0.16,-0.12){19}{\line(1,0){0.16}} \multiput(53.65,55.08)(0.11,-0.12){22}{\line(0,-1){0.12}} \multiput(56.17,52.33)(0.12,-0.19){17}{\line(0,-1){0.19}} \multiput(58.15,49.16)(0.11,-0.29){12}{\line(0,-1){0.29}} \multiput(59.52,45.69)(0.12,-0.61){6}{\line(0,-1){0.61}} \put(60.24,42.02){\line(0,-1){3.73}} \multiput(60.26,38.29)(-0.11,-0.61){6}{\line(0,-1){0.61}} \multiput(59.61,34.61)(-0.12,-0.32){11}{\line(0,-1){0.32}} \multiput(58.29,31.12)(-0.11,-0.19){17}{\line(0,-1){0.19}} \multiput(56.36,27.92)(-0.12,-0.13){21}{\line(0,-1){0.13}} \multiput(53.88,25.13)(-0.15,-0.11){20}{\line(-1,0){0.15}} \multiput(50.92,22.85)(-0.22,-0.11){15}{\line(-1,0){0.22}} \multiput(47.60,21.14)(-0.40,-0.12){9}{\line(-1,0){0.40}} \multiput(44.03,20.07)(-0.93,-0.10){4}{\line(-1,0){0.93}} \multiput(40.31,19.67)(-1.24,0.10){3}{\line(-1,0){1.24}} \multiput(36.59,19.95)(-0.40,0.11){9}{\line(-1,0){0.40}} \multiput(32.98,20.91)(-0.24,0.11){14}{\line(-1,0){0.24}} \multiput(29.61,22.52)(-0.16,0.12){19}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(26.59,24.71)(-0.12,0.12){22}{\line(0,1){0.12}} \multiput(24.02,27.42)(-0.12,0.18){17}{\line(0,1){0.18}} \multiput(21.99,30.56)(-0.12,0.29){12}{\line(0,1){0.29}} \multiput(20.57,34.01)(-0.11,0.52){7}{\line(0,1){0.52}}

\put(19.80,37.66){\line(0,1){3.73}} \multiput(19.71,41.40)(0.12,0.74){5}{\line(0,1){0.74}} \multiput(20.31,45.08)(0.11,0.32){11}{\line(0,1){0.32}} \multiput(21.57,48.60)(0.12,0.20){16}{\line(0,1){0.20}} \multiput(23.45,51.82)(0.12,0.13){21}{\line(0,1){0.13}} \multiput(25.90,54.65)(0.15,0.12){20}{\line(1,0){0.15}} \multiput(28.81,56.98)(0.22,0.12){15}{\line(1,0){0.22}} \multiput(32.11,58.74)(0.36,0.11){10}{\line(1,0){0.36}} \multiput(35.67,59.87)(1.08,0.12){4}{\line(1,0){1.08}} %\end %\circle(110.00,40.00){40.67} \multiput(110.00,60.34)(1.24,-0.11){3}{\line(1,0){1.24}} \multiput(113.72,59.99)(0.40,-0.11){9}{\line(1,0){0.40}} \multiput(117.31,58.98)(0.24,-0.12){14}{\line(1,0){0.24}} \multiput(120.66,57.32)(0.16,-0.12){19}{\line(1,0){0.16}} \multiput(123.65,55.08)(0.11,-0.12){22}{\line(0,-1){0.12}} \multiput(126.17,52.33)(0.12,-0.19){17}{\line(0,-1){0.19}} \multiput(128.15,49.16)(0.11,-0.29){12}{\line(0,-1){0.29}} \multiput(129.52,45.69)(0.12,-0.61){6}{\line(0,-1){0.61}} \put(130.24,42.02){\line(0,-1){3.73}} \multiput(130.26,38.29)(-0.11,-0.61){6}{\line(0,-1){0.61}} \multiput(129.61,34.61)(-0.12,-0.32){11}{\line(0,-1){0.32}} \multiput(128.29,31.12)(-0.11,-0.19){17}{\line(0,-1){0.19}} \multiput(126.36,27.92)(-0.12,-0.13){21}{\line(0,-1){0.13}} \multiput(123.88,25.13)(-0.15,-0.11){20}{\line(-1,0){0.15}} \multiput(120.92,22.85)(-0.22,-0.11){15}{\line(-1,0){0.22}} \multiput(117.60,21.14)(-0.40,-0.12){9}{\line(-1,0){0.40}} \multiput(114.03,20.07)(-0.93,-0.10){4}{\line(-1,0){0.93}} \multiput(110.31,19.67)(-1.24,0.10){3}{\line(-1,0){1.24}} \multiput(106.59,19.95)(-0.40,0.11){9}{\line(-1,0){0.40}} \multiput(102.98,20.91)(-0.24,0.11){14}{\line(-1,0){0.24}} \multiput(99.61,22.52)(-0.16,0.12){19}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(96.59,24.71)(-0.12,0.12){22}{\line(0,1){0.12}} \multiput(94.02,27.42)(-0.12,0.18){17}{\line(0,1){0.18}} \multiput(91.99,30.56)(-0.12,0.29){12}{\line(0,1){0.29}} \multiput(90.57,34.01)(-0.11,0.52){7}{\line(0,1){0.52}} \put(89.80,37.66){\line(0,1){3.73}} \multiput(89.71,41.40)(0.12,0.74){5}{\line(0,1){0.74}} \multiput(90.31,45.08)(0.11,0.32){11}{\line(0,1){0.32}} \multiput(91.57,48.60)(0.12,0.20){16}{\line(0,1){0.20}} \multiput(93.45,51.82)(0.12,0.13){21}{\line(0,1){0.13}} \multiput(95.90,54.65)(0.15,0.12){20}{\line(1,0){0.15}} \multiput(98.81,56.98)(0.22,0.12){15}{\line(1,0){0.22}} \multiput(102.11,58.74)(0.36,0.11){10}{\line(1,0){0.36}} \multiput(105.67,59.87)(1.08,0.12){4}{\line(1,0){1.08}} %\end \put(40.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(70.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(40.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} \put(10.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{d}} \put(110.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(140.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(110.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} \put(80.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{d}} \put(60.33,60.33){\makebox(0,0)[cc]{C}} \put(60.33,19.33){\makebox(0,0)[cc]{D}} \put(19.33,19.33){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(19.00,60.33){\makebox(0,0)[cc]{B}}

\put(89.67,60.33){\makebox(0,0)[cc]{C}} \put(130.33,60.33){\makebox(0,0)[cc]{D}} \put(130.33,19.67){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(89.33,19.67){\makebox(0,0)[cc]{B}} \end{picture} \end{figure} Po�ty zasedac�ch po��dk� M(n) jsou: $$\begin{tabular}{|r|rrrrrrr|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline M(n)& 2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 13 & 80 \\ \hline \end{tabular}$$ Z�porn� hodnota u $n = 1$ je nutn� pro souhlas s rekurentn�m vztahem: \begin{equation} (n - 2)U_n = n(n - 2)U_{n-1} + nU_{n-2} +4(-1)^{n+1}\;. \end{equation} Nap��klad: $3U_5^6 = 15\times2 + 5\times1 + 4(-1) = 39;\ U_5^6 = 13$. \section{Grupy symetrie} \label{Grupy symetrie} Doposud jsme p�edpokl�dali, �e vektory jsou definov�ny v multidimension�ln�m prostoru a �e po�et permutac� je ur�en rozm�rnost� prostoru. Je mo�n� definovat grupy, kter� jsou pouze isomorfn� s n�jakou Grupou $S_n$ cyklick�ch permutac�. Jako p��klad zavedeme grupu 6 matic se 2 ��dky a sloupci, kter� je isomorfn� s $S_3$: $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} {\bf I}\\ \\ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \\ \\ {\bf A}\\ \\ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf D} \\ \\

\left( \begin{array}{cc} -1/2 & \sqrt 3/2 \\ \sqrt 3/2 & 1/2 \end{array} \right) \\ \\ {\bf G}\\ \\ \left( \begin{array}{cc} -1/2 & -\sqrt 3/2 \\ \sqrt 3/2 & -1/2 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf E} \\ \\ \left( \begin{array}{cc} -1/2 & -\sqrt 3/2 \\ \sqrt 3/2 & -1/2 \end{array} \right) \\ \\ {\bf P} \\ \\ \left( \begin{array}{cc} -1/2 & \sqrt 3/2 \\ \sqrt 3/2 & 1/2 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Pokud n�sob�me t�mito 2 rozm�rn�mi maticemi vektor-��dku zprava (nebo vektorsloupec zleva) jej�ch Euklidovsk� d�lka z�st�v� konstantn�, nikoliv v�ak sou�et jejich prvk�. ��inek t�chto matic lze uk�zat na jednotkov� kru�nici. Oper�tory $ {\bf I}$ a ${\bf A}$ jsou vz�jemn� ortogon�ln�, jin� matice ot��ej� vektory o $(2/3)\pi$, to je o 120 stup��, 0.5 je $\cos 60 ^0$, $\sqrt 3/2 = 0.866 = 30 ^0$. M�sto cykl� rozd�ln�ch d�lek se objevuj� v symetrie.

t��rozm�rn�m geometrii nov� prvky

Jsou tu {\em osy ot��en�}. Pokud obr�zek m� $k$ rozm�rnou osu ot��en�, m� $k$ ekvivalentn�ch poloh a vr�t� se do sv� p�vodn� polohy po $k$ translac�ch, kter� jej ot��ej� okolo osy. Jin�m druhem prvk� symetrie je {\em rovina zrcadlen�}, kter� odr�� obr�zek jako dvojstrann� zrcadlo. Tyto z�kladn� prvky symetrie se kombinuj� rozd�ln�mi zp�soby a jejich syst�my jsou zn�m� pod rozd�ln�mi jm�ny. \section{Vierer Gruppe} \label{Vierer Gruppe}

Jedna soustava 4 jednotkov�ch permuta�n�ch matic $4\times4$ je: $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf I}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{array} \right) \\ \\ {\bf A} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} & 1 & & \\ 1 & & & \\ & & & 1 \\ & & 1 & \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} & & 1 & \\ & & & 1 \\ 1 & & & \\ & 1 & & \end{array} \right) \\ \\ {\bf C} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \\ 1 & & & \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Pokud si p�edstav�me, �e t�mito maticemi permutujeme vrcholy �tverce ozna�en� a, b, c, d, potom ${\bf I}$ je identita, kter� nech�v� polohy roh� �tverce nezm�n�n�, ${\bf A}$ a ${\bf C}$ odr�ej� podle rovin rovnob�n�ch se stranami �tverce ${\bf B} $ ot��� rohy �tverce okolo st�edu. Grupa obsahuje v�echny mo�n� sou�iny t�chto �ty� matic.

S grupou t�chto �ty� matic jsou isomorfn� takov� grupy matic, kter� se z�skaj� n�soben�m jednotkov� permuta�n� matice ${\bf P}$ zleva vhodnou matic� a zprava jej� inverzn� matic� \begin{equation} {\bf UPU}^{-1} = {\bf P}_a\;;\ {\bf UU}^{-1} = {\bf I}\;. \end{equation} S pou�it�m Hadamardov�ch matic dostaneme jin� grupy �ty� matic $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf I}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{array} \right)\\ \\ {\bf A} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & -1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & -1 & & \\ & & 1 & \\ & & & -1 \end{array} \right) \\ \\ {\bf C} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 1 \end{array} \right) \end{array}

\end{array}\;.$$ V�imn�te si, �e odpov�daj�c� matice v obou grup�ch maj� identick� stopy, kter� jsou zn�m� jako {\em charaktery grupy}. \chapter{Naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form�} \label{Naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form�} \section{Jin� faktori�ln� funkce} \label{Jin� faktori�ln� funkce} D��ve ne� budeme studovat v�echny naivn� matice ${\bf N}$, budeme pracovat nejprve s naivn�mi maticemi v {\em doln� troj�heln�kov� form�}, kter� tvo�� a podgrupu naivn�ch matic. Zb�vaj�c� naivn� matice se z nich mohou z�skat permutov�n�m sloupc� jednotkov�mi permuta�n�mi maticemi ${\bf P}$ zprava. P�ipome�te si, �e naivn� matice ${\bf N}$ maj� jeden jednotkov� prvek v ka�d� ��dce. Pokud matice je v doln� troj�heln�kov� form�, potom v�echny jej� nenulov� prvky mus� b�t na nebo pod hlavn� diagon�lou. Podobn�, pokud matice je v horn� troj�heln�kov� form�, potom v�echny jej� nenulov� prvky mus� b�t na nebo nad hlavn� diagon�lu. Ze v�ech permuta�n�ch matic ${\bf P}$ pouze {\em matice identity} ${\bf I}$ m� troj�heln�kov� tvar. Av�ak ta existuje sou�asn� v obou troj�heln�kov�ch tvarech jako v�echny diagon�ln� matice. Existuje pouze jedno m�sto v prv� ��dce doln� troj�heln�kov� formy pro jednotkov� prvek, dv� m�sta jsou v druh� ��dce a v�dy o jedno m�sto v�ce v ka�d� n�sleduj�c� ��dce pro jednotkov� prvek. Tato situace je pr�v� opa�n� ke konstrukci permuta�n� matice. Tam se mo�nosti um�st�n� jednotkov�ch prvk� sni�ovaly v ka�d� ��dce. Nicm�n� oba p��stupy d�vaj� stejn� v�sledek. Tedy existuje n! naivn�ch matic v doln� troj�heln�kov� form� (nebo v p��pad� transponovan� naivn� matice ${\bf N}^{\rm T}$ v horn� troj�heln�kov� form�). Transponovan� naivn� matice lze mapovat na body s p�irozen�mi koordin�tami v m rozm�rn� krychli. Pokud ponech�me prvn� sloupec jako fale�nou prom�nnou (indexovanou jako nulov� sloupec) pro st�ed soustavy koordin�t: ${\bf e}_{0j} = 1$, naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� se m�e srovn�vat s �leny form�ln�ho n�soben� \begin{equation} (1)(1 + a)(1 + a + b)(1 + a +\dots) = \prod_{j=1}^n\;(\sum_{j=1}^n\; {\bf e}_j)\;. \end{equation} V�echny transponovan� matice ${\bf N}$ jsou um�st�ny v m rozm�rn�m pravo�hl�m rovnob�n�ku, jeho� strany jsou $0,1,2,3,..,(n-1)$. S t�mito maticemi se budou opakovat v�echny klasifikace jako u permuta�n�ch matic. Matice s $m$ ��dky tvo�� v t�chto paralepidech faktori�ln� rovinn� simplexy. Srovnej je s vytvo�uj�c�mi funkcemi rozd�len� vysv�tlen�mi v podkapitole 4.10, kde po�et prvk� se tak� sni�oval, av�ak z jin�ch d�vod�. \section{Klasifikace v klesaj�c�m po��dku} \label{Klasifikace v klesaj�c�m po��dku} V p�edch�zej�c� kapitole byly zavedeny Youngovy tabulky a porovn�ny s konvolucemi maj�c�mi pouze cykly d�lky 1 a 2. Youngovy tabulky odpov�daj� naivn�m matic�m, jejich� ��ste�n� sloupcov� sou�ty jsou uspo��dan� v�dy v klesaj�c�m po��dku: \begin{equation} \sum_{i=1}^k\;n_{ij} \geq \sum_{i=1}^k\;n_{i,j+1}\;. \end{equation}

Nap��klad dv� naivn� matice $n=3$ jsou vylou�eny t�mto pravidlem: $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} ${\bf A}$ \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} ${\bf B}$ \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\;. \end{array} \end{array}$$ ${\bf A}$ je vylou�en� pon�vad� $b^2 > a$, ${\bf B}$ je vylou�en� pon�vad� $c > b^0$. \section{Stirlingova ��sla prv�ho druhu} \label{Stirlingova ��sla prv�ho druhu} Tato ��sla po��taj� naivn� matice klasifikovan� podle po�tu $k$ prvk� na hlavn� diagon�le \begin{equation} s_{nk} = (n - 1)s_{n-1,k} +s_{n-1,k-1}\;. \end{equation} Pod diagon�lou v n t� ��dce je $(n - 1)$ m�st, kter� lze p�idat hlavn� diagon�le bez zm�ny $k$. To n�sob� prvn� �len.

s $k$ prvky na

Pokud p�id�me $1_{nn}$, zvy�ujeme po�et prvk� na hlavn� diagon�le po��tan�ch druh�m �lenem. Viz tabulku 7.2. To nen� v�echno, co m�e b�t �e�eno o Stirlingov�ch ��slech prv�ho druhu. Pokud n�sob�me Stirlingova ��sla prv�ho druhu p��mo mocninami $2^{j-1}$ dostaneme tabulku, jej� ��dkov� sou�ty jsou stejn� polovin� vy���ho faktori�lu $(i+1)!/2$ jako v $$\begin{tabular}{|r|rrrrr|r|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ \hline m=1& 1 & & & & & 1 \\

2 & 1 & 2 & & & & 3 & 2 & 6 & 4 & & 4 & 6 & 22 & 24 & 5& 24 & 100 & 140 \hline \end{tabular}$$

3 & 8 &

\\ 12 \\ & & 60 \\ 80 & 16 & 360 \\

Kdy� n�sob�me Stirlingova ��sla mocninami $2^(i-j)$, potom ��dkov� sou�ty d�vaj� $(2i - 1)!/i!2^i$ nebo sou�iny $m$ lich�ch ��sel $1\times3\times5\times\dots$. Faktori�l je zbaven sud�ch ��sel. $$\begin{tabular}{|r|rrrrr|r|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & & 1 \\ 2 & 2 & 1 & & & & 3 \\ 3 & 8 & 6 & 1 & & & 15 \\ 4 & 48 & 44 & 12 & 1 & & 105 \\ 5 & 384 & 400 & 140 & 20 & 1 & 945 \\ \hline \end{tabular}$$ Pokud sloupce se n�sob� sloupcem $\pm$ st��daj�c�ch se znam�nek, potom V prvn�m p��pad� ��dkov� sou�ty jsou nulov�, vyjma $m=2$, v druh�m d�vaj� ni��� lich� faktori�ly\footnote{To je uvedeno bez d�kazu. D�kaz bude uk�z�n pozd�ji.}. \section{Eulerovy polynomi�ly} \label{Eulerovy polynomi�ly} Eulerova ��sla (tabulka 7.5) klasifikuj� naivn� matice podle po�tu $k$ nenulov�ch sloupc�. M�eme p�idat nov� prvek v posledn� ��dce do $k$ u� obsazen�ch sloupc� nebo jej m�eme d�t do $(n - k)$ neobsazen�ch sloupc�. Je jasn�, �e index $k$ zde nem�e b�t 0, jak bylo v�hodn� u permuta�n�ch matic. Eulerova ��sla jsou jen po��tek s�rie polynomi�l� $E_n(r)$ kde $r = 1$. Euler�v polynomi�l $E_n(2)$ se z�sk� n�soben�m ka�d�ho p�edchoz�ho sloupce, vyjma prv�ho, mocninami 2 jako kdyby prvky naivn� matice ve sloupc�ch m�ly znam�nka $\pm$ a v�echny kombinace znam�nek byly p�ijateln� a nalezly se rozd�ly n�sleduj�c�ch se sloupc�. V�sledn� ��sla jsou uvedena v tabulce 8.1, jej� prvky jsou rozd�ly matice z�skan� n�soben�m matice Eulerov�ch ��sel matic� m-t� mocniny 2: $$\begin{tabular}{rrrr|rrrrr|rrrrr} & & & & \ & 1 & 1 & 1 & 1 & \ & 1 & -1 & & \\ & & & & & & 2 & 2 & 2 & & & 1 & -1 & \\ & & & & & & & 4 & 4 & & & & 1 & \\ & & & & & & & & 8 & & & & & 1 \\ \hline 1 & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & &1 & & & \\ 1 & 1 & & & & 1 & 3 & 3 & 3 & &1 & 2 & & \\ 1 & 4 & 1 & & & 1 & 9 & 13 & 13 & &1 & 8 & 4 & \\ 1 & 11 & 11 & 1 & & 1 & 23 & 67 & 75 & &1 & 22 & 44 & 8 \\ \end{tabular}$$ \begin{table} \caption{Eulerovy polynomi�ly $E_n(2)$} \label{Eulerovy polynomi�ly $E_n(2)$} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|}

\hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline n=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 2 & & & & & 3 \\ 3 & 1 & 8 & 4 & & & & 13 \\ 4 & 1 & 22 & 44 & 8 & & & 75 \\ 5 & 1 & 52 & 264 & 208 & 16 & & 541 \\ 6 & 1 & 114 & 1208 & 2416 & 912 & 32 & 4683 \\ \hline \end{tabular} \end{table} ��dkov� sou�ty tabulky 7.1 jsou zaj�mav�. Generuj� se p��mo form�ln� rovnic� \begin{equation} [1 + E(k)]^m = 2E(m) \end{equation} kde $E(k)^i = E(i)$ a $E(0) = 1$. Potom \begin{equation} 2E(1) = { 1 \choose 0}E(0) + { 1 \choose 1}E(1)\;, \end{equation} z toho E(1) = 1 a tak d�le. Tato ��sla se budou objevovat pozd�ji mnohokr�t jako rozd�ly �pln�ch rovinn�ch simplex�, av�ak zde se objevuj� jako roz���en� faktori�ln�ch simplex� nebo jako maticov� sou�in Eulerova ��sla s diagon�ln� matic� mocnin $2^{j-1}$. \section{Mac Mahonova ��sla} \label{Mac Mahonova ��sla} Tato statistika (tabulka 7.6) po��t� naivn� matice podle jejich moment� (nebo po��t�n�m pr�zdn�ch m�st ve v�ech ��dc�ch k prvn�mu jednotkov�mu prvku), kter� se z�skaj� n�soben�m naivn� matice diagon�ln� matic� s indexy $\Delta(j - 1)$. Rekurence se z�sk� z men��ch matic opakov�n�m �len� $n$ kr�t p�edposledn� ��dky tabulky Mac Mahonov�ch ��sel se stejn�mi nebo zv�en�mi momenty. Pokud jednotkov� prvek v posledn� ��dce se um�st� v prv�m sloupci, moment z�st�v� stejn� a zv�� se a� na $(n-1)$, pokud se um�st� v n-t�m sloupci. Z ka�d� matice s $(n-1)$ ��dky vznikne $n$ nov�ch matic. Jejich momenty se po��taj� jako nap��klad pro $n = 5$: $$\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrr|} \hline Momenty: & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10 \\ \hline 4 ��dky a sloupce& 1 & 3 & 5 & 6 & 5 & 3 & 1 & & & & \\ �len 6 & & & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ �len 5 & & & & & & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & \\ �len 4 & & & & & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & & \\ �len 3 & & & & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & & & \\ �len 2 & & & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & & & & \\ �len 1 & & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & & & & & \\ �len 0 & 1 & 1 & 1 & 1 &1 & & & & & & \\ \hline Mac Mahonova ��sla & 1 & 4 & 9 &15& 20 &22 &20 &15 &9 & 4 & 1 \\ \hline \end{tabular}$$

Toto sch�ma d�v� automaticky faktori�ly. \section{Stirlingova ��sla druh�ho druhu} \label{Stirlingova ��sla druh�ho druhu} Kdy� se pod�v�me na sekvenci $aac$, vid�me, �e v jej� matici chyb� sloupec $b$. Vylou�ili jsme takov� �ady jako chybn� Youngovy tabulky nebo konvoluce, av�ak �ady jako $abb$ nebyly tak� mo�n�, kde $b$ se objevilo dvakr�t a $a$ pouze jednou. V t�chto dvou p��padech existuje rozd�l: Pokud nejsou v�echny sloupce obsazen� postupn�, p�eskakujeme v prostoru n�kter� polohy. Budeme tedy nyn� po��tat v�echny naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� s postupn� obsazen�mi sloupci. Jejich rekurence je \begin{equation} s_{11} = 1;\ s_{ij} = js_{i-1,j} + s_{i-1,j-1} \end{equation} Je mo�n� um�stit nov� prvek do $j$ u� obsazen�ch sloupc� a existuje pouze jedna mo�nost, jak zv�it po�et obsazen�ch sloupc�. T�mto zp�sobem dostaneme tabulku ��sel, kter� jsou zn�m� jako {\em Stirlingova ��sla druh�ho druhu} (tabulka \ref{Stirlingova ��sla druh�ho druhu}). \begin{table} \caption{Stirlingova ��sla druh�ho druhu} \label{Stirlingova ��sla druh�ho druhu} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline n=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 1 & & & & & 2 \\ 3 & 1 & 3 & 1 & & & & 5 \\ 4 & 1 & 7 & 6 & 1 & & & 15 \\ 5 & 1 & 15 & 25 & 10 & 1 & & 52 \\ 6 & 1 & 31 & 90 & 65 & 15 & 1 & 203 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Stirlingova ��sla druh�ho druhu jsou inverz� Stirlingov�ch ��sel prv�ho druhu. Podobn� Stirlingova ��sla prv�ho druhu jsou inverze Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu. Inverze se z�sk�, kdy� jedna ze dvou matic ( Tabulka 7.2 a Tabulka 8.2) se n�sob� st��daj�c�mi se znam�nky $(-1)^{i-j}$. Stirling nalezl ��sla nesouc� jeho jm�no, kdy� srovn�val mocniny jak�hokoliv ��sla $t$ s jeho {\em faktori�ln�mi momenty} $(t)_k$ definovan� sou�iny \begin{equation} (t)_k = t(t - 1)...(t - k + 1)\;. \end{equation} Stirlingova ��sla prv�ho druhu transformuj� sou�ty a rozd�ly mocnin do faktori�ln�ch moment� jako v: $(4)_3 = 24 = 2\times4 - 3\times16 + 1\times64$. Stirlingova ��sla druh�ho druhu p�ev�d�j� sou�ty faktori�ln�ch moment� na mocniny jako v: $4^3 = 64 = 1\times 4 + 3\times12 + 1\times 24$. Zde $t$ m�e nahrazovat racion�ln� (iracion�ln�) ��sla.

��dkov� sou�ty Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu, kter� po��taj� naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� s postupn� obsazovan�mi sloupci se z�skaj� jako samovytvo�uj�c� funkce \begin{equation} S(n) = (S_i + 1)^{n-1},\ {\rm kde}\ S^i = S_i \end{equation} nebo s pou�it�m matic. Potom ��sla S(n) se z�skaj� na diagon�le sou�inu. M�eme d�le n�sobit sou�iNa diagon�le matic� index�, abychom dostali momenty $$\begin{tabular}{rrrr|rrrr|rrrr} \hline & & & & \ 1 & 1 & 1 & 1 & \ 1 & & & \\ & & & & & 1 & 2 & 3 & & 2 & & \\ & & & & & & 1 & 3 & & &3 & \\ & & & & & & & 1 & & & & 4 \\ \hline & & & & & & & & & & & \\ 1 & & & & 1 & 1 & 1 & 1 &1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & & & 1 & 2 & 3 & 4 &1 & 4 & 9 &16 \\ 1 & 1 & 2 & & 1 & 2 &5 &10 &1 & 4 &15 &40 \\ 1 & 1 & 2 & 5 & 1 & 2 & 5 &15 &1 & 4 &15 &60 \\ \end{tabular}$$ V�imn�te si, �e matice Stirlingov�ch sou�t� za��n� se dv�ma 1 a na diagon�le sou�inu je pouze jedna 1 a potom bezprost�edn� n�sleduj� vy��� sou�ty. V kone�n�m sou�inu se n�sob� sou�et odpov�daj�c�mi mocninami. Pokud ozna��me matice binomi�ln�ch koeficient� jako ${\bf B}^{\rm T}$, potom m�eme pova�ovat jejich sou�in s diagon�ln� matic� $\Delta(i)$ za logaritmickou diferenci $d(log{\bf S})$, podobn� jak byla odvozena v podkapitole 6.4. Inverzn� matice sou�t� Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu m� prvky: \begin{equation} s_{jj}^{-1} = 1;\ s_{j-1,j}^{-1} = -[S_{j-1} /S_{j}];\ s_{ij} = 0,\ {\rm jinak}\;. \end{equation} Uk�zali jsme jeden vztah mezi Stirlingov�mi ��sly druh�ho druhu a binomi�ln�mi koeficienty. Av�ak zde se objevuje je�t� jin� vztah. Diference dvou n�sledn�ch sou�t� Stirlingov�ch ��sel je vytvo�ena op�t binomem \begin{equation} \Delta_nS_n = S_n - S_{n-1} = (S_{k+1} + 1)^{n-2} \end{equation} kde op�t vlo��me $S^k = S_k$. Nap��klad: $S_6 - S_5 = 1\times1 +4\times2 + 6\times5 + 4\times15 + 1\times52 = 151$. Stirlingova ��sla druh�ho druhu jsou definov�ny form�ln� vztah \begin{equation} \Delta_n^1(m)^n = m^{n-1}[(1 +1/m)^{n-1} + (1 + 1/m)^{n-2} \dots +(1 - 1/m)^0]\;. \end{equation} Vlo�en�m $m = 1$, dostaneme ��sla $S(n,2): \Delta_m1^n = 1^n[2^{n-1} + 2^{n-2}

\dots +2^0].$

Jin� ��sla jsou odvozen� vztahem

\begin{equation} \Delta^m1^n = (m + 1)\Delta^m1^{n-1} + \Delta^{m-1}1^{n-1} \end{equation} pod podm�nkou $\Delta^01^0 = 1$. Rozd�ly Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu \begin{equation} S(m,n) - S(m-1,n) = \Delta^{n-1}2^m \end{equation} tvo�� tabulku 8.3.

\begin{table} \caption{Diference Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu} \label{Diference Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 0 & 1 & & & & & 1 \\ 3 & 0 & 2 & 1 & & & & 3 \\ 4 & 0 & 4 & 5 & 1 & & & 10 \\ 5 & 0 & 8 & 19 & 9 & 1 & & 37 \\ 6 & 0 & 16 & 65 & 55 & 14 & 1 & 151 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Nap��klad: $\Delta^22^6 = 8[(3/2)^3 + (3/2)^2 + (3/2)^1 + (3/2)^0] = 65$. Toto ��slo po��t� naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� s 3 obsazen�mi sloupci a 6 ��dky, z�skan� z 15 matic po��tan�ch $S(5,2)$ p�id�n�m jednotkov�ho prvku do t�et�ho sloupce a $2\times25$ matic po��tan�ch $S(5,3)$ zv�t�en�ch p�i�ten�m nov�ho jednotkov�ho prvku do jednoho ze dvou prv�ch sloupc�. Stirlingova ��sla druh�ho druhu se z�skaj� v {\em belli�nech}. Bellian se je d�len� mno�iny do ��st� zn�m�ch jako ranky. Nap��klad mno�ina $X = {a, b, c}$ m� ranky rank 1 = (a; b; c) rank 2 = (a,bc; b, ac; c, ab) rank 3 = (a, b, c). \section{Substirlingy} \label{Substir} V analogii se subfaktori�ly definovan�mi v podkapitole 7.6, zavedeme ��sla, kter� budeme naz�vat {\em Substirlingy}. Po��taj� naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� s postupn� obsazen�mi sloupci v jin�m uspo��d�n�, podle po�tu sloupc� obsahuj�c�ch pr�v� jeden nenulov� prvek. Uk�zali jsme, �e takov� orbity jsou rozd�ly rovinn�ch simplex�, tedy tak� nyn� tyto matice tvo�� diference. Jejich matice je v tabulce \ref{Substirlingy} kter� je dopln�na ��dkou a sloupcem indexovan�mi od 0. Nap��klad: $s_{40} = 4$ po��t� ${\bf N}:\ a^4,\ a^2b^2,\ abba,\ abab$.

\begin{table} \caption{Substirlingy} \label{Substirlingy} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ \hline n=0 & 1 & & & & & & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & & & & 2 \\ 3 & 1 & 3 & 0 & 1 & & & 5 \\ 4 & 4 & 4 & 6 & 0 & 1 & &15 \\ 5 &11 & 20 &10 &10 & 0 & 1 &52 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Nyn� se zde op�t objevily binomi�ln� koeficienty jako vytvo�uj�c� faktory. Naivn� matice bez jak�chkoliv sloupc� obsahuj�c�ch pouze jeden jednotkov� prvek se kombinuj� s $n$ sloupci s pouze jedn�m jednotkov�m prvkem a v�sledek d�v� prvky matice. Tedy sou�t�m Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu se z�skaj� form�ln�m binomem: \begin{equation} S_n = (s_{n0} + 1)^n,\ {\rm kde}\ s^k = s_{n0}\;. \end{equation} Jin� mo�nost, jak se z�skaj� Stirlingova ��sla druh�ho druhu, je p��m� po��t�n� odpov�daj�c�ch matic uspo��dan�ch podle mocniny a. Nap��klad: $$\begin{array}{ccc} a & & \\ ab & aa & \\ abb,\ abc;& aab,\ aba; & aaa \\ \end{array}$$ Dostaneme tabulku, kde naivn� matice jsou uspo��d�ny podle ��dk� obsahuj�c�ch symbol a. Op�t se tyto matice z�skaj� n�soben�m ni���ch matic (bez tohoto symbolu) binomi�ln�mi koeficienty ukazuj�c� kombinatorick� mo�nosti: \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 1 & & & & & 2 \\ 3 & 2 & 2 & 1 & & & & 5 \\ 4 & 5 & 6 & 3 & 1 & & & 15 \\ 5 & 15& 20 & 12 & 4 & 1 & & 52 \\ 6 & 52& 75 & 50 & 20 & 5 & 1 & 203 \\ \hline \end{tabular} Substirlingy jsou zase sou�ty {\em asociovan�ch Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu}, kter� po��taj� naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� bez pr�zdn�ch sloupc� maj�c� sloupcov� sou�ty alespo� $m_k = 2$. Jejich rekurence je dan� vzorcem

\begin{equation} a_{ij} = ja_{i-1,j} + (i-1)a_{i-2,j-1} \end{equation} a jejich hodnoty jsou uvedeny v tabulce 8.5. \begin{table} \caption{Asociovan� Stirlingova ��sla druh�ho druhu} \label{Asociovan� Stirlingova ��sla druh�ho druhu} \begin{tabular}{|r|rrrr|r|} \hline j & 0 & 1 & 2 & 3 & $\Sigma$ \\ \hline m=0&1 & & & & 1 \\ 1& 0 & 0 & & & 0 \\ 2& & 1 & & & 1 \\ 3& & 1 & & & 1 \\ 4& & 1 & 3 & & 4 \\ 5& & 1 &10 & & 11 \\ 6& & 1 &25 &15 & 41 \\ \hline \end{tabular} \end{table} \section{Prostor �ty� statistik} \label{Prostor �ty� statistik} \begin{figure} \caption{T�i statistiky. A je Eulerova, B je Mac Mahonova, C je Stirlingova. Uspo��dan� �ady jsou a, horizont�ln� symbol, vertik�ln� symbol} \label{T�i statistiky} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(160.00,90.00) %\vector(20.00,20.00)(20.00,70.00) \put(20.00,70.00){\vector(0,1){0.2}} \put(20.00,20.00){\line(0,1){50.00}} %\end %\vector(20.00,20.00)(52.00,20.00) \put(52.00,20.00){\vector(1,0){0.2}} \put(20.00,20.00){\line(1,0){32.00}} %\end \put(20.00,20.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{1}} \put(40.00,20.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(20.00,40.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{2}} \put(40.00,40.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(20.00,60.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(40.00,60.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{3}} \put(45.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(10.00,45.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(9.67,65.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} %\vector(65.00,20.00)(65.00,70.00) \put(65.00,70.00){\vector(0,1){0.2}} \put(65.00,20.00){\line(0,1){50.00}} %\end %\vector(65.00,20.00)(97.00,20.00) \put(97.00,20.00){\vector(1,0){0.2}} \put(65.00,20.00){\line(1,0){32.00}}

%\end \put(65.00,20.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{0}} \put(85.00,20.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(65.00,40.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{1}} \put(85.00,40.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(65.00,60.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(85.00,60.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{3}} \put(90.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} %\vector(110.33,20.00)(110.33,70.00) \put(110.33,70.00){\vector(0,1){0.2}} \put(110.33,20.00){\line(0,1){50.00}} %\end %\vector(110.33,20.00)(142.33,20.00) \put(142.33,20.00){\vector(1,0){0.2}} \put(110.33,20.00){\line(1,0){32.00}} %\end \put(110.33,20.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{1}} \put(130.33,20.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(110.33,40.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{1}} \put(130.33,40.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(110.33,60.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(130.33,60.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{3}} \put(135.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(25.00,10.33){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(70.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(115.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(9.67,25.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(35.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(80.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(125.33,80.00){\makebox(0,0)[cc]{C}} \end{picture} \end{figure} Mapovali jsme naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� na body pravo�hl�ch n rozm�rn�ch rovnob�n�k�. Tyto body jsou klasifikov�ny t�emi rozd�ln�mi statistikami Eulerovou, Stirlingovou a Mac Mahonovou, ve 3 sm�rech. �t�p� prostor za Euklidovsk�m. Tyto statistiky rozd�luj� body odli�n�, jak je uk�zan� na obr. \ref{T�i statistiky} pro t��rozm�rn�m prostor a na sch�matu pro �ty� rozm�rn� prostor (tabulka \ref{Sch�ma �ty� statistik}). \begin{table} \caption{Sch�ma �ty� statistik pro ${\bf N}_4$ v doln� troj�heln�kov� form�} \label{Sch�ma �ty� statistik} \begin{tabular}{|r|r|rrrr|rrrrrrr|} \hline & & \multicolumn{4}{|c|}{Stirling\ I}& \multicolumn{7} {|c|}{Mac\ Mahon} \\ \hline & & 6 & & & & & & & & & & \\ & & & 8 & & & & & & & & & \\ & & & 3 & 6 & & & & & & & & \\ & & & & & 1 & 1 & 3 & 5 & 6 & 5 & 3 &1 \\ \hline Euler & 1 & {\bf 1} & & & & & & & & & & 1 \\ & 11 & 4 & {\bf 7} & & & & &1 & 2 & 5 & 3 & \\ & 11 & 1 & 4 & {\bf 6} & & & 3 & 4 & 4 & & & \\ & 1 & & & & {\bf 1} & 1 & & & & & & \\ \hline & & 6 &11 & 6 & 1 & $\nwarrow$ & \multicolumn{6}{c|}

{Stirling\ II} \\ \hline \end{tabular} \end{table} Srovn�vali jsme t�i statistiky, av�ak �tvrt� se zde objevila, na diagon�le Stirlingovy a Eulerovy statistiky. Eulerova ��sla d�l� naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� podle po�tu obsazen�ch sloupc�. Stirlingova ��sla druh�ho druhu po��taj� matice s ��dky obsazen�mi postupn� a tyto matice se objevuj� na pr��ezu obou statistik. Eulerova statistika �t�p� 6 naivn�ch matic v doln� troj�heln�kov� form� s jedn�m jednotkov�m prvkem na diagon�le do t�� skupin, Stirlingova ��sla vyhodnocuj� odli�n� naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� s dv�ma jednotkov�mi prvky na diagon�le. Nev�m, cosi mysl�te o t�chto koincidenc�ch. Euklidovsk� prostor je pln� p�ekvapen�. Zd� se b�t �iv�, pokud se jej pokou��me analyzovat, nov� vrstvy se objevuj� ji� na element�rn�ch �rovn�ch. Euklides se m�lil, kdy� �ekl kr�li Ptolemaiovi, �e neexistuje ��dn� jin� cesta do jeho prostoru ne� jeho axiomy. R�zn� kombinatorick� funkce vedou t�mto bludi�t�m jako Ariadnina nit. \chapter{Kombinatorika p�irozen�ch vektor�} \label{Kombinatorika p�irozen�mu vektor�} \section{ Binomi�ln� koeficient} \label{ Binomi�ln� koeficient} {\em Binomi�ln� koeficient} je speci�ln� p��pad polynomi�ln�ho koeficient. Tato definice je neplatn� av�ak odpov�d� fakt�m. Dvourozm�rn� prostor je speci�ln�m p��padem multidimension�ln�ho prostoru. Kdy� se binom, �ekn�me $(a+b)$, n�sob� s�m sebou m kr�t a �leny sou�inu se seskup�, dostaneme nap��klad: $$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\;.$$ Prvn� �len 4 u $a^3b$ po��t� �ady ${\bf aaab}$, ${\bf aaba}$,$ {\bf abaa}$ a ${\bf baaa}$, t�et� �len 4 u $ab^3$ po��t� �ady ${\bf abbb}$, ${\bf babb}$, ${\bf bbab}$ a ${\bf bbba}$. Binomi�ln� koeficient je naps�n jako ��slo m um�st�n� nad ��slo k v z�vork�ch \begin{equation} { m \choose k}\;. \end{equation} Binomi�ln� koeficient je sou�inem t�� faktori�l� $m!$, $k!_{-1}$, $(m-k)!_{-1}$. Tedy \begin{equation} { m \choose k} = { m \choose m-k}\;. \end{equation} \section{ Polynomi�ln� koeficient} \label{ Polynomi�ln� koeficient} Rozd�len� ��sla $m$ do $n$ ��st� je n rozm�rn� vektor ${\bf m}$, jeho� prvky jsou uspo��dan� v klesaj�c�m po��dku, $m_j \geq m_{j+1}$. Z tohoto vektoru se mohou

generovat v�echny jin� vektory na dan� orbit�, kdy� se jeho prvky permutuj� jednotkovou permuta�n� matic� p�sob�c� na vektor rozd�len� zprava. T�mto vektor�m odpov�daj� skal�rn� sou�iny naivn� matice ${\bf N}$ s jednotkov�m vektorem ��dkou ${\bf J}^{\rm T}$ nebo kvadratick� forma ${\bf N}^{\rm T}{\bf N}$, proto�e \begin{equation} {\bf J}^{\rm T}{\bf N}= {\bf J}^{\rm T}{\bf N}^{\rm T}{\bf N}\;. \end{equation} Existuje $n!$ permuta�n�ch matic av�ak nikoliv tolik permutovan�ch vektor� sloupc�, kdy� n�kter� prvky vektoru ��dky nejsou rozli�iteln�. Vektory stejn� d�lky $m_k$ sm��uj� ke kouli a pokud se ot���, jejich permutace jsou nerozli�iteln�. Pokud v�echny prvky vektoru jsou stejn�, potom ��dn� permutace nem� jak�koliv ��inek na vektor rozd�len�. Rozd�l�me prvky vektoru do dvou skupin, jedn� se v�emi nulov�mi prvky, to je $n_0$ prvky, druh� skupiny se v�emi zb�vaj�c�mi $(n-n_0)$ prvky. Po�et mo�n�ch permutac� se sn�� z faktori�lu $n!$ na binomi�ln� koeficient ${ n \choose n_0}$, nebo $n!/n_0!(n-n_0)!$. V p��t�m kroku vyd�l�me druhou skupinu vektor� s d�lkou 1, jejich po�et je $n_1$. V�echny jin� vektory se se�tou t�et�m �lenem $(n- n_0 -n_1)$ a odpov�daj�c� permutace binomi�ln�m koeficientem $(n-n_0)!/n_1!(n- n_0 -n_1)!$. T�mto zp�sobem budeme pokra�ovat, a� v�echny mo�n� hodnoty $m_k$ se vy�erpaj�. Pokud n�jak� $n_k = 0$, potom v�hodn� $0! = 1$ a odpov�daj�c� �len je ne��inn�. Na konci dostaneme sou�in binomi�ln�ch koeficient�: \begin{eqnarray} \left(\frac{ n!}{n_0!(n-n_0)!}\right) \left(\frac{(n-n )!}{(n- n_0 -n_1)!}\right) \left(\frac{(n- n_0 -n_1)!}{n_2!(n- n_0 - n_1 - n_2)!}\right) \dots \nonumber \\ \left(\frac{(n-\sum_{k=0}^{m-1}n_k)!}{n_m!0!}\right) \end{eqnarray} Stejn� faktori�ly se objevuj� postupn� jako d�lenci a d�litel�. Kdy� se vyru��, ze sou�inu binomi�ln�ch koeficient� zb�v� {\em polynomi�ln� koeficient} \begin{equation} n!/\prod_{k\geq0}n_k! \end{equation} \label{polynomi�ln� koeficient} Budeme jej naz�vat {\em polynomi�ln� koeficient pro n permutace} pon�vad� se z�sk� permutov�n�m $n$ sloupc�. Pozd�ji zkonstruujeme jin� polynomi�ln� koeficient pro permutace ��dk� naivn� matice. Omezili jsme index $k$ doln� limitou 0. Koeficient by se mohl ve skute�nosti pou��vat tak� pro vektory se z�porn�mi prvky. Po�ty $n_k$ shodn�ch vektor� jsou v�dy kladn�, i kdy� samotn� vektory jsou z�porn�. Polynomi�ln�m koeficientem po��t�me (\ref{polynomi�ln� koeficient}) body na orbit�ch rozd�len� kladn�ho k�nusu $n$ rozm�rn�ho prostoru. Pros�m, v�imn�te si d�le�itosti tohoto kroku. Zn�me vektor ${\bf m}$ p�esn�, av�ak nahrazujeme jej odpov�daj�c�m rozd�len�. V�echny body na dan� orbit� se pova�uj� za {\em ekvivalentn�}. Nahrazen� vektoru ${\bf m}$ rozd�len�m je logick� abstrakce. M�eme pokra�ovat d�le, rozd�len� se srovn�v� s analytickou funkc� a orbita se popisuje hustotou rozd�len�.

\section{Simplexov� sou�ty polynomi�ln�ch koeficient�} \label{Simplexov� sou�ty polynomi�ln�ch koeficient�} Nyn� je mo�n� pou��t op�t sch�mata rozd�len� a studovat sou�ty polynomi�ln�ch koeficient� na v�ech orbit�ch rovinn�ch simplex�, to znamen�, v�ech p�irozen�ch n rozm�rn�ch vektor� s konstantn�mi sou�ty m. Celkov� sou�ty jsou zn�m� v kombinatorice jako rozd�len� $m$ nerozli�iteln�ch v�c� (objekt�) do $n$ p�ihr�dek. Se�tou se binomi�ln�m koeficientem \begin{equation} \sum_{k\geq0} n!/\prod n_k! = { m+n-1 \choose m} = { m+n-1 \choose n-1} \end{equation} \label{binomi�ln� koeficient} Oba binomi�ln� koeficienty jsou ve skute�nosti rozd�ln� formy jednoho koeficientu. Nejsnadn�ji se tento binomi�ln� koeficient z�sk� sledov�n�m v�ech mo�nost� $m$ v�c� do ��dky $(n-1)$ (objekty druh�ho druhu) p�edstavuj�c�ch d�l�c� st�ny odd�l�. Existuje $(m+n-1)$ objekt� dvou druh� a v�sledkem je jednodu�e dan� binomi�ln� koeficient. Kdo nen� uspokojen t�mto v�kladem, m�e dok�zat (\ref{binomi�ln� koeficient}) {\em �plnou indukc�}. Testovali jsme vztah u jednoduch�ch p��pad� a fungoval dob�e. Tedy p�edpokl�dejme, �e plat� pro v�echny n rozm�rn� vektory s $(m-1)$ prvky a pro v�echny $(n-1)$ rozm�rn� vektory s $m$ prvky. Pou�ijeme proposici pro po��t�n� bod� se sou�ty $m$ v $n$ rozm�rech. Tyto body rozd�l�me do dvou odli�n�ch podmno�in. V jedn� podmno�in� budou v�echny body maj�c� jako posledn� prvek 0. V�echny jsou jasn� v $ (n-1)$ rozm�rn�m podprostoru a po��taj� se binomi�ln�m koeficientem ${ m+n-2 \choose m}$. V druh� podmno�in� se po��taj� vektory maj�c�ch jako posledn� prvek alespo� 1. Ty se z�skaj� z rozd�len� $(m-1)$ v�c� do p�esn� $n$ ��st� p�i�ten�m 1 k prv�mu prvku. Toto p�id�n� nem�n� odpov�daj�c� po�et bod� ${ m+n-2 \choose m1}$. V�sledek je tvo�en sou�tem 2 binomi�ln�ch koeficient� a ov��� se v�po�tem \begin{eqnarray} \left(\frac{(m+n-2)!}{m!(n-2)!}\right) + \left(\frac{(m+n-2)!}{(m-1)!(n-1)!}\right) = \nonumber \\ \left(\frac{(m+n-2)![(n-1)+m]}{m!(n-1)!}\right) = { m+n-1 \choose m}\;. \end{eqnarray} \label{sou�tu 2} Jako bylo �e�eno, nebudou n�s zaj�mat vektory se z�porn�mi znam�nky, av�ak je pou�n� uk�zat v�sledky podle doln� limity hodnoty $r$, kter� se objevuje jako parametr $(1-r)$ �lenu $n$ v binomi�ln�ch koeficientech. Hodnotu $r$ lze pova�ovat za faktor diferencuj�c� simplex $$\begin{tabular}{|l|cccc|} \hline Doln� limita & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline & & & & \\ Body simplexu & ${ m+2n-1 \choose n-1}$ & ${ m+n-1 \choose n-1}$ & ${ m-1 \choose n-1}$ & ${ m-n-1 \choose n-1}$ \\ & & & & \\ \hline \end{tabular}$$

Binomi�ln� koeficienty ${ m+3-1 \choose m}$ jsou zn�m� jako troj�heln�kov� ��sla. Po��taj� body 3 rozm�rn�ch rovin, co� jsou rovnostrann� troj�heln�ky. \section{Diference normalizovan�ch simplex�} \label{Diference normalizovan�ch simplex�} Spo��tali jsme p��mo body rovinn�ch simplex�, nyn� pou�ijeme sch�mata rozd�len� a vlo��me do nich polynomi�ln� koeficienty, podobn� jako jsme to provedli u cyklick�ch index� v kapitole 7. Omez�me se na p��pady, kdy $m=n$. Jako p��klad d�me sch�ma pro $m=n=6$: $$\begin{tabular}{|r|rrrrrr|} \hline na & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline m=6 & 6 & & & & & \\ 5 & & 30 & & & & \\ 4 & & 30 & 60 & & & \\ 3 & & 15 & 120 & 60 & & \\ 2 & & & 20 & 90 & 30 & \\ 1 & & & & & & 1 \\ \hline $\sum$ & 6 & 75 & 200 & 150 & 30 & 1 \\ \hline \end{tabular}$$ V prv�m sloupci se po��taj� vrcholy rovinn�ho simplexu, v druh�m sloupci body na 2 rozm�rn�ch hran�ch, v t�et�m sloupci body jeho 3 rozm�rn�ch stran. Pouze posledn� bod le�� uvnit� 6 rozm�rn� roviny, v�ech ostatn�ch 461 bod� le�� na jeho hranic�ch. To je dosti p�ekvapuj�c� vlastnost velmi rozm�rn�ch prostor�, �e ob�lka jejich norm�ln�ch rovinn�ch simplex� je tak velk�. Av�ak nesm�me zapomenout, �e obvykle $m\gag n$ potom existuje v�ce bod� uvnit� ne� na hranici. Sloupcov� sou�ty n�sledn�ch normalizovan�ch rovinn�ch simplex� lze uspo��dat do tabulky \ref{Van der Mondova identita}, jej� ��dky jsou zn�m� jako {\em Van der Mondova identita}. \begin{table} \caption{Van der Mondova identita} \label{Van der Mondova identita} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 2 & 1 & & & & & 3 \\ 3 & 3 & 6 & 1 & & & & 10 \\ 4 & 4 & 18 & 12 & 1 & & & 35 \\ 5 & 5 & 40 & 60 & 20 & 1 & & 126 \\ 6 & 6& 75 & 200 & 150 & 30 & 1 & 462 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Prvky v ka�d� ��dce lze zapsat jako sou�iny dvou binomi�ln�ch koeficient�, nap��klad $75 = (6!/4!2!)\times(5!/4!1!)$. To je speci�ln� p��pad identity \begin{equation}

\sum_{i=0}^{m-k}{ m \choose k+i}{ m-k \choose i} = { m+k \choose m} = { m+n-1 \choose n-1} \end{equation} Sou�et sou�in� dvou binomi�ln�ch koeficient� lze zapsat jako form�ln� mocniny binomi�lu \begin{equation} \left({ m \choose i} + 1\right)^n = { m+n \choose m} \end{equation} Tento vztah po��t� body rovinn�ch simplex� v jednom sm�ru. Jeho speci�ln�m p��padem je {\em Waltisova identita} pro $m=n$: \begin{equation} \sum_{i=0}^{n/2}{ n \choose i}^2 \end{equation}

= { 2n \choose n}

Interpretujeme ji m, ve kter� prvn� vektor je zako�en�n a pouze $(n-1)$ jin�ch vektor� se permutuje. Nap��klad: $$\begin{tabular}{|l|c|ccc|cc|c|r|} \hline Orbity & 4000 & 3100 & 1300 & 2200 & 2110 & 1210 & 1111& $\sum$ \\ \hline Body & 1 & 3 & 3 & 3 & 3 & 6 & 1 & 20 \\ \hline Po�ty & 1 & \multicolumn{3}{|c|} { 9} & \multicolumn{2}{|c|} { 9} & 1 & 20 \\ \hline \end{tabular}$$ \section{Diference podle jednotkov�ch prvk�} \label{Diference podle jednotkov�ch prvk�} Kdy� uspo��d�me sch�mata rozd�len� podle po�tu jednotkov�ch vektor� $n_1$, dostaneme diferenci rovinn�ho simplexu. Nap��klad pro $m=n=5$: $$\begin{tabular}{|r|rrrrrr|} \hline $n_1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline m=5 & 5 & & & & & \\ 4 & & 20 & & & & \\ 3 & 20 & & 30 & & & \\ 2 & & 30 & & 20 & & \\ 1 & & & & & & 1 \\ \hline $\sum$ & 25 & 50 & 30 & 20 & 0 & 1 \\ \hline \end{tabular}$$ V�sledn� sloupcov� sou�ty polynomi�ln�ch koeficient� se zobraz� v tabulkov� form� v tabulce \ref{Diference podle jednotkov�ch prvk�} \begin{table} \caption{Diference podle jednotkov�ch prvk�} \label{Diference podle jednotkov�ch prvk�} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|}

\hline $n_1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=0 &1 & & & & & & & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 1 & & & & & 3 \\ 3 & 3& 6 & 0 & 1 & & & & 10 \\ 4 &10 & 12 & 12 & 0 & 1 & & & 35 \\ 5 &25 & 50 & 30 & 20 & 0 & 1 & &126 \\ 6 &71 &150 &150 & 60 & 30 & 0 & 1 &462 \\ \hline \end{tabular} \end{table} ��sla $b_{i0}$ tvo�� vektory bez jednotkov�ch prvk�. Ty lze nazvat {\em podrovinn� ��sla}, proto�e generuj� po�et bod� norm�ln�ho rovinn�ho simplexu n�soben�m binomi�ln�mi koeficienty: \begin{equation} (b_i + 1)^m = { m+n-1 \choose m} \end{equation} Existuje $(n-k)$ rozm�rn�ch vektor� bez jednotkov�ch prvk� av�ak s nulov�mi prvky. Jejich $(n-k)$ prvk� se kombinuje s $k$ jednotkov�mi prvky. Kdy� $m \neq n$, potom tyto vztahy jsou slo�it�j��. Odpov�daj�c� podrovinn� ��sla se z�skaj� v�po�ty rozd�len� bez jednotkov�ch ��st�. Po��tek tabulky je $$\begin{tabular}{|r|rrrrrrr|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline m=0 & 1& 1 & 1 & 1& 1& 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 3& 4& 5 & 6 \\ 3 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4& 5 & 6 \\ 4 & 0 & 1 & 3 & 6 &10& 15 &21 \\ 5 & 0 & 1 & 4 & 9 &16& 25 &36 \\ 6 & 0 & 1 & 5 &13 &26& 45 &71 \\ \hline \end{tabular}$$ Jej� hodnoty $b(i,j)$ pro mal� $m$ jsou: \begin{itemize} \item b(0,n) = 1; \item b(1,n) = 0; \item b(2,n) = ${ n \choose 1}$; \item b(3,n) = ${ n \choose 1}$; \item b(4,n) = ${ n \choose 1}+{ n \choose 2} = { n+1 \choose 2}$; \item b(5,n) = ${ n \choose 1} + 2{ n \choose 2} = n^2$; \item b(6,n) = ${ n \choose 1} + 3{ n \choose 2} + 3{ n \choose 3}= (n^3-n)/2$. \end{itemize} Podrovinn� ��sla se zde objevuj� na diagon�le. P��klad jejich aplikace pro $m = 4,\ na = 6$: $$21 + 6\times5 + 15\times4 + 20\times0 + 15\times1 = 126 = { 9 \choose 4}\;.$$

Vektory bez jednotkov�ch prvk� se kombinuj� s jednotkov�mi vektory. \section{Diference podle jednoho prvku} \label{Diference podle jednoho prvku} V sch�matech rozd�len� se po��taj� body na sf�rick�ch orbit�ch. Orientujeme rovinn� simplex ve sm�ru jednoho vektoru a potom diferencujeme rovinu podle pouze jednoho zvl�tn�ho vektor ${\bf x}$. To lze uk�zat na 2 rozm�rn�m komplexu: $$\begin{tabular}{|l|l|rrrrrr|c|} \hline $m_a$ & & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & Orbita \\ \hline Body &0 & * & * & * & * & * & * & 0,m\\ &1 & & * & * & * & * & * & 1,(m-1) \\ &2 & & & * & * & * & * & 2,(m-2)\\ &3 & & & & * & * & * & 3,(m-3)\\ &4 & & & & & * & * & 4,(m-4)\\ &5 & & & & & & * & 5,(m-5)\\ \hline Po�et & & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \\ \hline \end{tabular}$$ 2 rozm�rn� komplex tvo�� 3 rozm�rn�m simplex a jeho body pro rozd�ln� hodnoty vektoru ${\bf a}$ se po��taj� sloupcov�mi sou�ty. Je to podobn� situaci, kdy� body (n-1) rozm�rn�ho komplexu se po��taj� pro rozd�ln� hodnoty $m$, $m_k$ jdou od 0 k $m$. Body se po��taj� binomi�ln�mi koeficienty ${ m+k-2 \choose k}$. Nap��klad pro $n=m=7$: $$\begin{tabular}{|l|rrrrrrrr|} \hline $m_k$ & 0& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline Binomi�ln� koeficient& 792& 462& 252 & 123 & 56 & 21 & 6 & 1\\ \hline \end{tabular}$$ Dostaneme identitu \begin{equation} \sum_{k=0}^m { m+k-2 \choose k} = { m+n-1 \choose m} \end{equation} Nyn� zavedeme jinou diferenci. \section{Diference $\Delta(n)$ rovinn�ch simplex�} \label{Rozd�l} \begin{figure} \caption{ Diference rovinn�ho simplexu. Je tvo�ena jedn�m vrcholem, jednou ne�plnou hranou, jednou ne�plnou stranou, atd.} \label{Rozd�l of} \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(120.00,100.00) %\emline(67.11,89.00)(107.11,20.00) \multiput(67.11,89.00)(0.12,-0.21){334}{\line(0,-1){0.21}} %\end

%\emline(27.11,20.00)(67.11,89.00) \multiput(27.11,20.00)(0.12,0.21){334}{\line(0,1){0.21}} %\end \put(27.11,20.00){\circle{4.00}} \put(47.44,20.00){\circle{4.00}} \put(67.11,20.00){\circle{4.00}} \put(87.11,20.00){\circle{4.00}} \put(107.11,20.00){\circle{4.00}} \put(37.44,37.67){\circle{4.00}} \put(97.11,37.33){\circle{4.00}} \put(57.11,37.33){\circle{4.00}} \put(77.11,37.00){\circle{4.00}} \put(37.11,37.00){\circle{4.00}} \put(47.11,20.00){\circle{4.00}} \put(47.11,54.00){\circle{4.00}} \put(67.11,54.00){\circle{4.00}} \put(87.11,54.33){\circle{4.00}} \put(57.11,71.67){\circle{4.00}} \put(77.11,71.67){\circle{4.00}} \put(67.11,89.00){\circle{4.00}} \bezier{64}(66.67,61.67)(75.00,57.33)(69.00,60.67) \bezier{72}(69.00,60.67)(78.33,53.67)(73.33,57.00) \bezier{76}(73.33,57.00)(81.33,49.00)(76.33,54.33) \bezier{88}(76.33,54.33)(84.67,43.67)(80.00,50.33) \bezier{88}(80.00,50.33)(88.00,39.67)(83.00,46.33) \bezier{84}(83.00,46.33)(90.33,35.67)(86.00,42.00) \bezier{96}(86.00,42.00)(93.33,29.00)(88.67,37.00) \bezier{104}(88.67,37.00)(94.67,22.00)(91.33,31.00) \bezier{88}(91.33,31.00)(95.00,17.33)(93.33,25.00) \bezier{76}(93.33,25.00)(93.67,13.00)(94.00,19.67) \bezier{44}(94.00,19.67)(92.00,12.33)(93.00,15.33) \bezier{52}(93.00,15.33)(87.00,10.33)(91.67,13.33) \bezier{76}(91.67,13.33)(79.67,10.00)(86.33,11.67) \bezier{120}(86.33,11.67)(69.00,9.33)(81.33,10.67) \bezier{136}(81.33,10.67)(60.33,10.67)(73.00,10.33) \bezier{100}(73.00,10.33)(57.00,10.00)(66.33,10.67) \bezier{104}(66.33,10.67)(50.00,11.33)(59.33,10.67) \bezier{104}(59.33,10.67)(44.00,10.67)(54.33,10.67) \bezier{156}(54.33,10.67)(30.67,10.67)(46.00,10.67) \bezier{136}(46.00,10.67)(24.00,11.33)(35.67,10.67) \bezier{124}(35.67,10.67)(16.33,14.33)(27.67,11.33) \bezier{60}(27.67,11.33)(19.33,17.33)(23.00,14.00) \bezier{36}(23.00,14.00)(20.33,19.67)(21.67,17.00) \bezier{72}(21.67,17.00)(24.00,27.33)(21.33,20.33) \bezier{52}(21.33,20.33)(27.67,26.67)(23.67,24.67) \bezier{52}(23.67,24.67)(31.00,27.67)(26.33,25.33) \bezier{72}(26.33,25.33)(36.67,28.33)(30.00,27.33) \bezier{100}(30.00,27.33)(44.00,32.33)(35.33,28.00) \bezier{92}(35.33,28.00)(48.67,34.33)(41.00,31.00) \bezier{60}(41.00,31.00)(48.67,36.67)(44.33,33.00) \bezier{72}(44.33,33.00)(52.00,41.67)(48.00,36.67) \bezier{76}(48.00,36.67)(55.33,46.33)(50.67,41.00) \bezier{68}(50.67,41.00)(56.67,50.00)(53.33,45.33) \bezier{84}(53.33,45.33)(59.67,57.00)(55.67,50.00) \bezier{80}(55.67,50.00)(61.67,61.67)(58.33,55.67) \bezier{60}(58.33,55.67)(63.33,63.67)(60.33,59.33) \bezier{44}(60.33,59.33)(65.33,64.00)(62.33,61.67) \bezier{32}(62.33,61.67)(67.33,61.33)(64.33,62.33)

%\emline(27.00,20.00)(107.00,20.00) \put(27.00,20.00){\line(1,0){80.00}} %\end \end{picture} \end{figure} Doposud se permutovaly nulov� prvk� s jin�mi prvky. Vylou��me nulov� prvek a po��t�me pouze existuj�c� (nenulov�) vektory a nikoliv virtu�ln� vektory. To znamen�, �e po��t�me postupn� v�echny k rozm�rn� vektory $(k = 1$ a� $n)$ s konstantn�mi sou�ty $m$. Pokud nakresl�me �ty�st�n (obr.\ref{Rozd�l of}), potom se��tan� mno�ina bod� je tvo�ena jedn�m vrcholem, jednou hranou bez druh�ho vrcholu, vnit�kem jedn� strany a �ty�rozm�rn�m j�drem. V kombinatorice jsou tyto vektory zn�m� jako {\em kompozice}. Ty lze uspo��dat do sch�mat rozd�len�. Pro $m=5$ dostaneme: $$\begin{tabular}{|r|ccccc|r|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ \hline m=5& 5& & & & & 1 \\ 4& & 41;14 & & & & 2 \\ 3& & 32;23 & 311;131;113, & & & 5 \\ 2& & & 221;212;122; & 2111;1211;1121;1112 & & 7 \\ 1& & & & &11111 & 1 \\ \hline $\sum$ & 1& 4 & 6 & 4 & 1 & 16\\ \hline \end{tabular}$$ Sloupcov� sou�ty norm�ln�ch rovinn�ch simplex� d�vaj� tabulku \ref{Binomi�ln� koeficient�}. \begin{table} \caption{Matice binomi�ln�ch koeficient� \label{Binomi�ln� koeficient�} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 1 & & & & & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 1 & & & & 4 \\ 4 & 1 & 3 & 3 & 1 & & & 8 \\ 5 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & & 16 \\ 6 & 1 & 5 & 10 &10 & 5 & 1 & 32 \\ \hline \end{tabular} \end{table}

{\bf B}}

Oba indexy v tabulce \ref{Binomi�ln� koeficient�} byly sn�eny o jednotku, k dosa�en� spr�vn�ho binomi�ln�ho koeficientu ${ k-1 \choose m-1}$. M�li jsme pot�e s binomi�ln�m koeficientem u� d��ve, kdy� se objevily jako ${ m+n-1 \choose m}$. V tomto p��pad� zapl�uj� matici jinak, jako v tabulce \ref{Matice bf B}: \begin{table} \caption{Matice ${\bf B}{\bf B}^{\rm T}$ binomi�ln�ch koeficient�} \label{Matice bf B} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|}

\hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline m=0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 \\ 3 & 1 & 4 & 10 & 20 & 35 & 56 \\ 4 & 1 & 5 & 15 & 35 & 70 &126 \\ 5 & 1 & 6 & 21 & 56& 126 &252 \\ \hline \end{tabular} \end{table} V obou tabulk�ch binomi�ln�ch koeficient� jejich prvky se z�skaly podobn�, to jest jako sou�et dvou soused�, lev�ho a horn�ho s tou v�jimkou, �e v tabulce \ref{Binomi�ln� koeficient�} lev� prvek se p�id�v� pouze pokud $j \geq i$. P�ipome�te si operace s rozd�len�mi a jejich po��t�n�m podle doln� dovolen� limity ��st�. Zde do�lo k podobn�m posun�m hodnot tabulek \ref{Binomi�ln� koeficient�} a \ref{Matice bf B}, av�ak operaci prov�d� matice binomi�ln�ch koeficient� ${\bf B}^{\rm T}$. Permutujeme $k$ nenulov�ch prvk� s $(n-k)$ nulov�mi prvky a z ��sti rovinn�ho simplexu dostaneme cel� simplex. Tedy tato ��st je diferenc� $\Delta(n) $. Pon�vad� existuje v�ce rozd�l�, toto je diference podle po�tu vektor� $n$. V �ty�st�nu se jeden vrchol n�sob� �ty�ikr�t, jedna hrana �estkr�t, jedna strana �ty�ikr�t, vnit�ek pouze jednou. Nyn� se m�eme rekurenci

vr�tit k tabulce \ref{Binomi�ln� koeficient�}. Jej� prvky maj�

\begin{equation} b_{11} = 1;\ b_{ij} = b_{i-1,j} + b_{i-1,j-1} \end{equation} Generuj� se binomem \begin{equation} (1_i + 1)^m = 2^m. \end{equation} U� jsme formulovali rekurentn� vzorec tabulky \ref{Matice bf B} v (\ref{sou�tu 2}). V�imn�te si, �e prvky tabulky \ref{Matice bf B} jsou sou�ty v�ech prvk� jej� p�edch�zej�c� ��dky nebo sloupce, co� je d�sledek po sob� n�sleduj�ch aplikac� (\ref{sou�tu 2}). Inverzn� matice ${\bf B}^{-1}$ k matici ${\bf B}$ se z�sk� z form�ln�ho binomu \begin{equation} (1_i - 1)^m = 0\;. \end{equation} Je to pr�v� matice ${\bf B}$, jej� prvky se n�sob� st��dav� znam�nky $(-1)^{j-i}$. \section{Rozd�l $\Delta(m)$} \label{Rozd�l (m)} Kdy� jsme uspo��dali vektorov� kompozice do tabulky, zab�vali jsme se pouze jej�mi sloupcov�mi sou�ty. Existuj� tak� ��dkov� sou�ty, kter� po��taj� kompozice klasifikovan� podle nejv�t��ho vektoru $m_k$. N�sledn� v�sledky pro $n=m$ lze

uspo��dat do tabulky \ref{Kompozice vektor� s m ��stmi} \begin{table} \caption{Kompozice vektor� s m ��stmi} \label{Kompozice vektor� s m ��stmi} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrr|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline m =1 & 1& 1& 1 & 1& 1 & 1 &1 &1 &1 \\ 2 & & 1 & 2 & 4 & 7 &12 &20 &33 &54 \\ 3 & & & 1 & 2 & 5 &11 &23 &47 &94 \\ 4 & & & & 1 & 2 & 5 &12 &25 &59 \\ 5 & & & & & 1 & 2 &5 &12 &28 \\ 6 & & & & & & 1 &2 &5 &12 \\ & & & & & & &1 &2 & 5\\ & & & & & & & &1 &2 \\ & & & & & & & & &1 \\ \hline $\sum$ &1 & 2 & 3 & 8 &16 &32&64 &128 &256 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Prvky $c_{ij}$ tabulky \ref{Kompozice vektor� s m ��sti} jsou sou�ty polynomi�ln�ch koeficient� po��taj�c�ch kompozice. Jejich sloupcov� sou�ty jsou $2^{j-1}$. Pro $j \leq j/2$ prvky $c_{ij}$ z�st�vaj� konstantn�. Nap��klad $$\begin{tabular}{|c|c|} \hline Orbita & \Po�et kompozic \\ \hline $m-3,3$ & 2 \\ $m-3,2,1$ & 6 \\ $m-3,1^3$ & 4 \\ \hline $\sum$ & 12. \\ \hline \end{tabular}$$ Pro $i=2$ prvky $c_{2j}$ jsou sou�ty binomi�ln�ch koeficient� a jejich rekurence je \begin{equation} c_{2j} = \sum_{k=1}^{j/2}{ j-k \choose k} = 2c_{2,j-1} - c_{2,j-3} \end{equation} kde k je po�et 2. \section{ Druh� diference-- Fibonacciho ��sla} \label{ Druh� diference-- Fibonacciho ��sla} Kdy� p�ipust�me jako nejmen�� prvek 2, dostaneme tabulku \ref{ Fibonacciho ��sla} bod� useknut�ch rovinn�ch simplex�. Jej� ��dkov� sou�ty jsou zn�m� jako {\em Fibonacciho ��sla}. V st�edov�k� aritmetick� knize se objevily jako odpov�� na ot�zku o po�tu p�r� kr�l�k� v n�sleduj�c�ch vrz�ch. \begin{table} \caption{Fibonacciho ��sla}

\label{Fibonacciho ��sla} \begin{tabular}{|r|rrr|r|} \hline n & 1 & 2 & 3 & $\Sigma$ \\ \hline m=2 & 1 & & & 1 \\ 3 & 1 & & & 1 \\ 4 & 1 & 1 & & 2 \\ 5 & 1 & 2 & & 3 \\ 6 & 1 & 3& 1 & 5 \\ 7 & 1 & 4 & 3 & 8 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Vektory po��tan� pro $m=7$ jsou: 7; 52, 25, 43, 34; 322, 232, 223. V�imn�te si, �e prvky tabulky \ref{ Fibonacciho ��sla} jsou binomi�ln� koeficienty posunut� v ka�d�m sloupci o 2 ��dky. Fibonacciho ��sla $F_m$ maj� rekurenci \begin{equation} F_m = F_{m-1} + F_{m-2}\;. \end{equation} Prvky tabulky \ref{ Fibonacciho ��sla}, $f_{ij}$ se z�skaj� p�i�ten�m 2 ke ka�d�mu vektoru s $(j-1)$ nenulov�mi prvky nebo 1 k nejv�t��mu prvku j rozm�rn�ch vektor� \begin{equation} f_{21} = 1;\ f_{ij} = f_{i-2,j-1} + f_{i-1,j} \end{equation} V ka�d� ��dce se opakuj� v�echny prvky obou p�edch�zej�c�ch ��dk�, co� d�v� rekurenci Fibonacciho ��sel. Jin� zp�sobem dosa�en� Fibonacciho ��sla jsou kompozice, ve jsou lich�. Dostaneme ��dk� Pascal�v troj�heln�k:

kter� v�echny prvky

$$\begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 0 & 1 & & & & & 1 \\ 3 & 1& 0 & 1 & & & & 2 \\ 4 & 0 & 2 & 0 & 1 & & & 3 \\ 5 & 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & & 5 \\ 6 & 0 & 3 & 0 & 4 & 0 & 1 & 8 \\ \hline \end{tabular}$$ Nap��klad posledn� ��dka po��t� kompozice: $51,\ 15,\ 33;\ 4\times(3111);\ 111111$. \section{Fibonacciho spir�ly} \label{Fibonacciho spir�ly} \begin{figure} \caption{Fibbonacciho spir�la. �tverce p�epon pravo�hl�ch troj�heln�k� s

n�sledn�mi Fibbonacciho odv�snami jsou lich� Fibbonacciho ��sla} \label{Fibbonacciho spir�la} \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(120.00,160.00) %\emline(10.33,50.00)(110.00,50.00) \put(10.33,50.00){\line(1,0){99.67}} %\end %\emline(80.00,1.67)(80.00,151.67) \put(80.00,1.67){\line(0,1){150.00}} %\end %\emline(80.00,70.00)(100.00,50.33) \multiput(80.00,70.00)(0.12,-0.12){164}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(100.00,50.33)(80.00,10.33) \multiput(100.00,50.33)(-0.12,-0.24){167}{\line(0,-1){0.24}} %\end %\emline(80.00,10.33)(20.00,50.00) \multiput(80.00,10.33)(-0.18,0.12){331}{\line(-1,0){0.18}} %\end %\emline(20.00,50.00)(80.00,150.00) \multiput(20.00,50.00)(0.12,0.20){501}{\line(0,1){0.20}} %\end \put(95.00,65.00){\makebox(0,0)[cc]{$\sqrt{2}$}} \put(95.00,26.67){\makebox(0,0)[cc]{$\sqrt{5}$}} \put(43.00,26.67){\makebox(0,0)[cc]{$\sqrt{13}$}} \put(40.00,105.00){\makebox(0,0)[cc]{$\sqrt{34}$}} \put(20.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{$-3$}} \put(100.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(70.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(69.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$-2$}} \put(70.00,150.00){\makebox(0,0)[cc]{5}} \end{picture} \end{figure} Pokud nakresl�me na dv� ortogon�ln� osy n�sledn� Fibonacciho ��sla, potom p�eponami spojuj�c�mi n�sledn� body odpov�daj�c�ch pravo�hl�ch troj�heln�k� jsou odmocniny �tverc� Fibonacciho ��sel $F_{2k+1}$ (obr. \ref{Fibbonacciho spir�la}). To ukazuje na identitu \begin{equation} F_{2k+1} = F_{k+1}^2 + F_k^2 \end{equation} Podobn� identita se z�sk� pro sud� ��sla z diference dvou �tverc� Fibonacciho ��sel, nap��klad $F_8 = F_5^2 - F_3^2 = 21 = 25 - 4$. Tato diference m�e b�t naps�na jako sou�et sou�in� Fibonacciho ��sel. \begin{equation} F_{2k} = F_{k+1}^2 - F_{k-1}^2 = F_{k}^2 + F_kF_{k-1} \end{equation} Postupn� rozlo��me vy��� Fibonacciho ��sla a vyj�d��me koeficienty ni���ch Fibonacciho ��sel jako: \begin{equation} F_{2k+1} = F_2F_{2k} + F_1F_{2k-1} = F_3F_{2k-1} + F_2F_{2k-2} = \dots \end{equation}

Objevuje se tu je�t� jin� vzorec \begin{equation} F_{n+1} F_{n-1} - F^2_n = (-1)^n \end{equation} Nap��klad p�i $n=5: 3\times8 - 25 = -1$. Tyto vztahy lze formulovat v maticov� form� (s pou�it�m znalosti co je determinant matice) jako $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cc} F_{n+1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n-1} \end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)^n\;. \end{array}$$ Tento vztah vede ke dv�ma skute�nostem. Prvou jsou vlastn� hodnoty pozd�j�� kapitoly, druhou je nulov� mocnina t�to matice:

matice, viz

$$\begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)^0 & = & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{cc} F_1 & F_0 \\ F_0 & F_{-1} \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Na diagon�le jsou hodnoty $F_{n+1}$ a $F_{n-1}$. Tento fakt d�v� mo�nost prodlou�it Fibonacciho ��sla k z�porn�m index�m. Tato s�rie mus� b�t: $1, -1, 2, -3, 5, -8, \dots$. Dostaneme tato ��sla op�t jako sou�ty dvou n�sledn�ch Fibonacciho ��sel, ��dkov� sou�ty prvk� ${\bf B}^{-1}$ nebo jako prvky jejich

vytvo�uj�c� matice $$\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right)^n\;.$$ \chapter{Mocninov� s�rie} \label{Mocninov� s�rie} \section{Polynomi�ln� koeficienty pro m permutace} \label{Polynomi�ln� koeficienty pro m permutace} Polynomi�ln� koeficienty byly definoval pro permutace sloupc� vektor-��dk�. Je jasn�, �e takov� koeficient mus� b�t pou�iteln� pro transponovan� vektor-��dky, to znamen�, �e pro vektor-sloupce. Zd� se, �e nen� nutn� m�t n�kter� speci�ln� koeficienty pro permutace ��dk� vektor-sloupc�, kdy� jedin�m rozd�lem by bylo, �e odpov�daj�c� permuta�n� matice p�sob� na vektor zleva m�sto zprava. Av�ak rozd�ln� situace se objevuje u �ad symbol�, nap��klad $(\bf aaabbccdef)^{\rm T}$. Ur��me snadno po�et �ad vytvo�en�ch polynomi�ln�m koeficientem $10!/3!2!2!1!1!1!$. Nem�eme odli�it stejn� symboly, tedy jejich vz�jemn� permutace jsou ne��inn� jako permutace vektor� maj�c�ch stejn� d�lky. Av�ak tento polynomi�ln� koeficient se li�� od polynomi�ln�ho koeficientu pro n permutace. Polynomi�ln� koeficient pro n permutace permutuje po�ty $n_k$ vektor� maj�c�ch stejnou hodnotu () $m_k$. Nyn� se permutuj� v�skyty jednotliv�ch vektor� ${\bf j}$, se�ten� jako $m_j$,. Z p��kladu je jasn�, �e n�kter� hodnoty $m_j$ mohou b�t stejn� pro v�ce vektor� (1 pro t�i, 2 pro dva). Tady je u�ite�n� nov� index k (jeho hodnoty jsou toto�n� s ��slem $m_k$ samotn�m. Po�et vektor� s hodnotou $m_k$ je $n_k$ a {\em polynomi�ln� koeficient pro m permutace} se nap�e jako \begin{equation} m!/\prod_{j=1}^n m_j! = m!/\prod_{k\geq0}m_k!^{n_k};\ {\rm kde}\ m = \sum_{j=1}^n m_j = \sum_{k\geq0} n_km_k\;. \end{equation} \label{m permutace} M permutace transformuj� sekvence symbol� nap��klad $(\bf dagfabcace)^{\rm T}$, zat�m co n permutace p�sob� jako {\em substituce}, nap��klad $(\bf abcceeefgg)^{\rm T}$. Substituce ${\bf a}$ na ${\bf e}$ nebyla p��m�, av�ak byla ��st� cyklu, mimo to se objevily ${\bf g}$ (kter� nebyly v p��klad�) av�ak jako sloupec s nulov�mi prvky v abecedn� matici. \section{Naivn� sou�iny polynomi�ln�ch koeficient�} \label{Naivn� sou�iny polynomi�ln�ch koeficient�} V kapitole 7 jsme studovali symetrii zvl�tn� t��dy naivn�ch matic, maj�c�ch jeden jednotkov� prvek nejen v ��dc�ch av�ak sou�asn� v sloupc�ch. V�echny jdou k orbit� sest�vaj�c� se pouze z jednoho bodu. Nyn� m�me nal�zt index symetrie dvou grup cyklick�ch permutac� p�sob�c�ch sou�asn� na jin� naivn� matice zleva a zprava: \begin{equation} {\bf P}_m{\bf N}{\bf P}_n\;. \end{equation}

Akce permuta�n�ch matic zleva po��t� polynomi�ln� koeficient pro m permutace(\ref{m permutace}), akce permuta�n�ch matic zprava po��t� polynomi�ln� koeficient pro n permutace (9.1). ��inek permutace zprava je identick� s n permutacemi sloupce vektoru-��dky ${\bf m}$ sloupcov�ch sou�t� naivn� matice: \begin{equation} {\bf J}^{\rm T}{\bf NP}_n\ =\ {\bf m}{\bf P}_n\;. \end{equation} Ob� akce jsou nez�visl� a koeficient�

tedy kone�n�m v�sledkem je pr�v� sou�in obou

\begin{equation} \sum (n!/\prod_{k\geq 0}n!)(m!/\prod_{k\geq 0}m_k^{n_k}!) = n^m \end{equation} Sou�et se provede p�es v�echny orbity rozd�len�. Je to speci�ln� p��pad Newtonova polynomi�ln�ho vzorce, kde koeficienty maj�c� stejnou strukturu rozd�len� se po��taj� dohromady polynomi�lem pro n permutace\footnote{Identita je zn�m� ve fyzice jako Polya-Brillouinova statistika. Av�ak Brillouin a jin� nerozpoznali jej� kl��ovou d�le�itost.}. Kone�n� v�sledek se z�sk� snadno. P�esn� $n$ sloupc� je um�st�no v ka�d� ��dce, do kter� lze vlo�it jeden prvek. Individu�ln� v�b�ry v $m$ ��dc�ch jsou nez�visl� a tedy se n�sob�. Prav� strana je v�sledkem zn�m�m jako {\em rozd�len� m rozli�iteln�ch v�c� do n p�ihr�dek}. Objekty jsou rozli�eny sv�m indexem $i$. Tento index je v sou�tu ztracen. Rozli�itelnost nen� vlastnost� v�c� ale okolnost� \footnote{To m� d�le�it� filosofick� d�sledek. V p�edch�zej�c�m stolet� se diskutovala ot�zka, zda mikro��stice jsou rozli�iteln� nebo ne. Av�ak pojem rozli�itelnosti byl �patn� definov�n.}. V�echny 1 v naivn� matici je identick�, pouze jejich polohy se m�n�. Pokud by byly rozd�ln�, bylo by nutn� zav�st t�et� index, kter� d�v� jinou statistiku (viz pozd�ji). Rozd�lem oproti cyklick�mu indexu (Rovnice 7.15) je druh� faktori�l $m!$ a faktori�ly $m_k$ m�sto jejich prv�ch mocnin. Kdy� pou�ijeme (10.2) pro rozd�len� $1^m$ dostaneme $(n!/n_1!)(m!/1!^{n_1}) =m!$. Cyklick� index �t�p� $S_m$ grupu na cyklick� struktury. \section{Diference v mocninov� s�rii} \label{Diference v mocninov� s�rii} Kdy� uspo��d�me polynomi�ln� koeficienty do sch�mat rozd�len� dostaneme op�t sloupcov� sou�ty jako pro $m=n=6:$ $$\begin{tabular}{|r|rrrrrr|c|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m =6 & 6 & & & & & & 6 \\ 5 & & 180 & & & & & 180 \\ 4 & & 450 & 1800 & & & & 2250 \\ 3 & & 300 & 7200 & 7200 & & & 14700 \\ 2 & & & 1800 & 16200 & 10800 & & 18800 \\ 1 & & & & & & 720 & \\ \hline $\Sigma$ &6 & 930 & 10800 & 23800 & 10800 & 720 & $46656= 6^6$ \\ \hline

\end{tabular}$$ Z n�sledn�ch sch�mat dostaneme tabulku \ref{Mocninov� s�rie}: \begin{table} \caption{Sekvence mocninov� s�rie} \label{Mocninov� s�rie} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 2 & 2 & & & & & 4 \\ 3 & 3 & 18 & 6 & & & & 27 \\ 4 & 4 & 84 & 144 & 24 & & & 256 \\ 5 & 5 & 300 & 1500 & 1200 & 120 & & 3125 \\ 6 & 6 & 930 &10800 &23400 &10800 & 720 & 46656 \\ \hline \end{tabular} \end{table} V tabulce \ref{Mocninov� s�rie}, pouze prvn� sloupec a ��dkov� sou�ty jsou z�ejm� spojen� s $m$ a $n^m$. Mimo to se zde objevuj� faktori�ly av�ak jin�ho prvky rostou p��li� rychle, aby se analyzovaly p��mo. Av�ak v�echny prvky jsou d�liteln� $m$. T�mto zp�sobem se tabulka \ref{Mocninov� s�rie} rozlo�� do p��m�ho sou�inu dvou matic. Jednou z nich je matice binomi�ln�ch koeficient� ${ m \choose k}$. To je matice ${\bf B}^{\rm T}$. Druhou matic� je matice diferenc� $\Delta^n{\bf 0}^m$: \begin{table} \caption{Diference $\Delta^n{\bf 0}^m$} \label{Diference D bf 0} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Delta^n{\bf 0}^m$ \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & & 1 \\ 1 & & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & & 1 & 2 & & & & & 3 \\ 3 & & 1 & 6 & 6 & & & & 13 \\ 4 & & 1 & 14 & 36 & 24 & & & 75 \\ 5 & & 1 & 30 &150 & 240 & 120 & & 541 \\ 6 & & 1 & 62 & 540 &1560 &1800 &720 & 4683 \\ \hline \end{tabular} \end{table} U� jsme se setkali se ��dkov�mi sou�ty $\Delta^n{\bf 0}^m$ v tabulce 9.1 jako Eulerov�mi polynomi�ly $E_n(2)$. Tato ��sla po��taj� naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� n�soben� mocninami $2^k$. Nap��klad pro $m=n=4$: $$\begin{tabular}{|l|c|ccc|ccc|c|} \hline n & 1 & & 2 & & & 3 & & 4 \\ \hline Z�kladn� �ada & aaa &aaab& aabb &abbb &aabc& abbc &abcc &abcd \\ Permutace & 1 & 4 & 6 & 4 &12 & 12 & 12 & 24 \\ \hline

Po�ty & 1 & & 14 & & & 36 & & 24 \\ \hline \end{tabular}$$ Binomi�ln� koeficienty ${ m \choose k}$ permutuj� nenulov� sloupce s nulov�mi sloupci. Tabulka diferenc� m� prvn� ��dku a sloupec indexovan� nulov�mi indexy. Av�ak obsahuj�, vyjma prvek $1_{00}$, pouze nuly. To ru�� ��inek prvn� ��dky binomi�ln� matice v p��m�m sou�inu. Rekurence v tabulce \ref{Diference D bf 0} je jednoduch� \begin{equation} m_{00} = 1;\ m_{ij} = j(m_{i-1,j-1} + m_{i-1,j}) \end{equation} V ka�d�m sloupci m�me $j$ mo�nosti, jak p�idat nov� prvek. Bu� se p�id� do obsazen�ch sloupc�, nebo se p�id� do nov�ho sloupce. Potom se jin� sloupce pouze posunou bez permutov�n�. Tabulka \ref{Mocninov� s�rie} je p��m�m sou�inem $c_{ij} = a_{ij} \times b_{ij}$. Kdy� najdeme norm�ln� sou�in $(\Delta^n 0^m){\bf B}^{\rm T}$, dostaneme matici, jej� prvky jsou mocniny $j^i$. Nap��klad $$\begin{tabular}{rrrr|rrrrr} & & & & 1 & 1 & 1 &1 & 1 \\ & & & & & 1 & 2 & 3 & 4 \\ & & & & & & 1 & 3 & 6 \\ & & & & & & & 1 & 4 \\ \hline 1 & & & & 1 &1 &1 &1 & 1 \\ & 1 & & & & 1 & 2 & 3 & 4 \\ & 1 & 2 & & & 1 & 4 & 9 &16 \\ & 1 & 6 & 6 & & 1 & 8 &27 &64 \\ \end{tabular}$$ Ani tabulka 10.2 nen� element�rn�. Lze ji rozlo�it op�t do matice Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu (tabulka 8.2) a diagon�ln� matice faktori�l� $\Delta(j!)$, kter� n�sob� Stirlingovu matici zprava. Stirlingova ��sla druh�ho druhu po��taj� naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form�. Tato podm�nka zaji��uje, �e v�echny sloupce tvo�� z�kladnu pro sloupcov� permutace, kdy� se odstran� restrikce doln� troj�heln�kov� formy. V jin�m uspo��d�n� m�eme vytvo�it tabulku kone�n�ch diferenc� jako v tabulce \ref{Diference mocninov� s�rie}. \begin{table} \caption{Diference mocninov� s�rie} \label{Diference mocninov� s�rie} \begin{tabular}{|r|r|rrrr|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline m=0 & 1 & & & & \\ 1 & 0 & 1 & & & \\ 2 & 1 & 1 & 1 & & \\ 3 & 14 & 3 & 1 & 1 & \\ 4 &181 & 13 & 3 & 1 & 1 \\ \hline

\end{tabular} \end{table} V nulov�m sloupci se po��taj� �ady simplexu, kter� nejsou v jeho diferenci. Prvky v dal��ch sloupc�ch jsou postupn� rozd�ly. Nap��klad prvky v $d_{30}=14$ jsou: $b^3$, $c^3$, $b^3$, 3$b^2c$, 3$bc^2$, 3$a^2c$, 3$ac^2$. Sloupcov� indexy odpov�daj� mocnin�m prv�ho indexu, nap��klad $d_{41}=13= ab^3 + 3ab^2c + 3abc^2 +6abcd,\d_{42}=3 = a^2b^2 + 2a^2bc$. Kdy� n�sob�me tuto matici transponovanou matic� binomi�ln�ch koeficient� ${\bf B}^{\rm T}$, dostaneme na diagon�le sou�inu odpov�daj�c� mocniny $n^n$. Binomi�ln� koeficient permutuje prv� vektor s jin�mi u� permutovan�mi vektory. \section{Oper�torov� algebra} \label{Oper�torov� algebra} Pou��vali jsme oper�torovou notaci v�cekr�t. Nyn� bychom m�li tuto notaci vysv�tlit. Existuje {\em funkce identity} $E$ a {\em funkce diference} $\Delta$. Mimo to existuj� form�ln� mocniny $0^n$. Tyto funkce jsou definov�ny recipro�n� jako \begin{equation} \Delta^m0^n = [E^m0^n -1]^m = \sum_{j=0}^m { m \choose j}(-1)^j(m-j)^m \end{equation} To d�v� pro odpov�daj�c� prvky matice sou�ty mocnin indexu m: \begin{itemize} \item $\Delta^m0^1 = 1\times1^m$, \item $\Delta^m0^2 = 1\times2^m - 2\times1^m$, \item $\Delta^m0^3 = 1\times3^m - 3\times2^m + 3\times1^m$. \end{itemize} Vypo�teme pro n=3: $$\begin{array}{lcll} $\Delta^m0^3$ & $m=1=$& $1\times3-3\times2+3\times1$ & $=0$,\\ & $m=2=$ & $ 1\times9-3\times4+3\times1$ & $=0$, \\ & $m=3=$ & $1\times27-3\times8+3\times1$ & $=6$, \\ & $m=4=$ & $1\times81-3\times16+3\times1$ & $=36$\;. \\ \end{array}$$ P�vodn� funkce se obnov� sou�inem form�ln� rovnici

$\Delta^m0^n$ s matic� binomi�l�. To odpov�d�

\begin{equation} n^m = E^m 0^n =(1 + \Delta^m0^n)^m\;. \end{equation} ��dkov� sou�ty tabulky 10.2 vzat� se st��daj�c�mi se znam�nky (diference sud�ch a lich�ch sloupc�) d�v� $(-1)^i$. P�edpokl�dejme, �e to plat� pro n�jakou ��dku. Prvky p��t� ��dky jsou pr�v� n�soben� sou�ty p�edch�zej�c� ��dky: \begin{equation} d_{ij} = j(d_{i-1,j-1} + d_{i-1,j}) \end{equation} Kdy� provedeme diferenci $d_1 -2(d_1 +d_2) +3(d_2 +d_3) - \dots = -d_1 + d_2

-d_3 \dots$, dostaneme prvky p�edch�zej�c� ��dky s jin�mi znam�nky, jejich� sou�et byl +/-1. \section{Diference $dx$ a sou�ty $n^m$} \label{Diference dx Sou�ty n} Mocnina $n^m$ je binom, pokud nap�eme n jako sou�et $n = (n-1) +1$. Potom \begin{equation} n^m = [(n-1) + 1]^m = \sum_{k=0}^m{ m \choose k}(n-1)^k\;. \end{equation} Nap��klad: $3^4 = (1\times1+4\times2+6\times4+4\times 8+1\times16) = 81$. �leny binomu jsou rozd�ly po�tu �ad rovinn�ch simplex� podle jednoho vektoru (tento vektor mus� m�t p�edepsanou hodnotu). Funkce $n^m$ se m�e diferencovat je�t� jin�m zp�sobem. Kdy� se pod�v�me na jej� tabulku 10.3, vid�me, �e mocniny lze definovat jejich ��dkov�mi rozd�ly \begin{equation} (n^m - 1) = (n - 1)\sum_{i=0}^m n^i\;. \end{equation} \label{��dka rozd�ly} Nap��klad $27-1 = 2(1+3+9)$. To m�eme ps�t jako sou�et rozd�l� nekone�n� �ady $1/n^k$. P�id�me 1 k ob�ma stran�m (\ref{��dka rozd�ly}) nap�eme to jako \begin{equation} n^m = (n-1)\sum_{k=1}^{\infty}n^{m-k}\;. \end{equation} Tato rovnice plat� tak� pro $m=1$ m�me tedy \begin{equation} n/(n-1) = (n-1)\sum_{i=0}^{\infty}n^{-i} \end{equation} Tato nekone�n� sekvence se skr�v� v nulov�m simplexu, pon�vad� ��sla se z�porn�mi mocninami $1/a^i$ nelze interpretovat jako geometrick� body se z�porn�m znam�nkem, $a^{-1}$ nen� identick� s $-a$. Pro sou�ty prvn�ch ��dek se naleznou snadno n�sleduj�c� identity \begin{equation} \sum_{k=1}^n k^0 = n;\ \sum_{k=1}^n k^1 = { n+1 \choose 2};\ \sum_{k=1}^n k^3 = { n+1 \choose 2}^2\;. \end{equation} V�echny identity se snadno dok�� �plnou indukc�. Zejm�na pokud posledn� plat� pro $n$, potom pro $(n+1)$ m�me $$ { n+1 \choose 2}^2 + { n+1 \choose 1}^3 = { n+2 \choose 2}^2\;. $$ To je ov��en� p��m�mi v�po�ty. V�imn�te si, �e i-t� ��dka tabulky 10.2 se z�sk� postupn� n�soben�m t�to matice $ {\bf Q}$ zprava od (i-1)-t� ��dky. ${\bf Q}$ je diagon�ln� matice index�, kter� se je�t� jednou opakuj� pod hlavn� diagon�lou jako v n�sleduj�c�m p��klad�

$$\begin{array}{cccc|cccc} & & & & 1 & & & \\ & & & & 1 & 2 & & \\ & & & & & 2 & 3 & \\ & & & & & &3 &4\\ \hline 1 & & & & 1 & & & \\ & 1 & & & 1 & 2 & & \\ & 1 & 2 & & 1 & 6 & 6 & \\ & 1 & 6 &6 & 1 &14 &36 &24\;.\\ \end{array}$$ \section{N�kter� klasifika�n� sch�mata} \label{N�kter� klasifika�n� sch�mata} M�eme klasifikovat naivn� matice podobn� jak jsme to ud�lali u permuta�n�ch matic. Takov� klasifikace vedou n�kdy k slo�it�m rekurentn�m vztah�m. Nap��klad pokud napodob�me po�et p�em�st�n� a po��t�me po�et prvk� na hlavn� diagon�le ve vektorov�ch �ad�ch, dostaneme pro $(3,3)$ n�sleduj�c� dv� klasifikace $$\begin{array}{|r|c|c|c|c|c|} \hline & $\hbox{Rozd�l}$ & $\Sigma$ & $\hbox{Zbytek simplexu}$ & $\Sigma$ & $\Sigma$ \\ \hline $k=0$ & bca,cab,bab,ba & 4 & ccb, bcb, caa, cc & 4 & 8\\ 1 & aaa,aab,bba,acb,bac,cb & 6 &bbb, ccc, cbb, bcc, aca, cac & 6 & 12 \\ 2 & aba,abb & 2 & bbc, cbc, aac, acc & 4 & 6\\ 3 & abc & 1 & & 0 & 1 \\ \hline $\Sigma$ & & 13 & & 14 & 27\\ \hline \end{array}$$ Tabulka 10.3 ukazuje po�et p�em�st�n� v diferenc�ch simplex�, tabulka 10.4 ukazuje tento po�et pro v�echny naivn� matice \begin{table} \caption{Rozd�ly po�tu p�em�st�n�} \label{Rozd�ly po�tu p�em�st�n�} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & & & & 3 \\ 3 & 4 & 6 & 2 & 1 & & & 13 \\ 4 & 27 & 28 & 16 & 3 & 1 & & 75 \\ 5 &187 & 214 & 104 & 31 & 4 & 1 &541 \\ \hline \end{tabular} \end{table} \begin{table} \caption{Rozd�ly po�tu p�em�st�n� v mocninov� s�rii} \label{Rozd�ly po�tu p�em�st�n� v mocninov� s�rii} \begin{tabular}{|r|rrrrr|r|}

\hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & $\Sigma$ \\ \hline m=0 & 1 & & & & & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & & & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 & & & 4 \\ 3 & 8 & 12 & 6 & 1 & & 27 \\ 4 & 85 & 104 & 54 & 12 & 1 & 256 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Nebudeme analyzovat tyto vztahy, ale uk�eme jin�. Pokud �ady v rovinn�ch simplexech jsou klasifikov�ny podle po�tu jednotkov�ch vektor� $n_1$, dostaneme diference, tabulka 10.5. \begin{table} \caption{Diference mocnin podle $n_1$} \label{Diference mocnin podle n} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 2 & & & & & 4 \\ 3 & 3 & 18 & 0 & 6 & & & & 27 \\ 4 & 40 & 48 & 144 & 0 & 24 & & & 256 \\ 5 & 205 & 1000 & 600 & 1200 & 0 & 120 & & 3125 \\ 6 & 2556 & 7380 & 18000 & 7200 &10800 & 0 &720 &46656 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Prvky prvn�ho sloupce tabulky 10.5 lze nazvat {\em podmocniny}, proto�e generuj� v ��dc�ch jin� prvky, jejich� sou�ty d�vaj� mocniny $n^n$. Rekurence je \begin{equation} p_{i0}=1\ p_{ij} = p_{i-j,0}\ [i!/(i-j)!]^2\times1/j! = p_{i-j,0}j!{ i \choose j}^2 \end{equation} \label{rekurence} Tato rekurence se m�e rozd�lit do dvou krok�. Nejprve k naivn�m matic�m s $(i-j)$ prvky se p�id� $j$ jednotkov�ch prvk� a ��dky se permutuj� s pou�it�m binomi�ln�ho koeficientu ${ i \choose j}^2$. Potom opakujeme permutace se sloupci s pou�it�m stejn�ho binomi�ln�ho koeficientu. V�sledek se mus� opravit o permutace p�idan�ch $j$ jednotkov�ch prvk� mezi sebou, to se provede faktori�ln�m �lenem 1/j!. \section{Klasifikace podle Dvou vektor�} \label{Klasifikace podle Dvou vektor�} V�echny body v diagramech rozd�len� simplex� byly rozd�leny do orbit. Ty se klasifikovaly podle velikosti nejv�t��ho vektoru. Je mo�n� po��tat body a �ady podle velikost� jednoho zvl�tn�ho vektoru. To lze prov�st pro v�ce vektor� sou�asn�, v�hodn� pouze pro dva vektory, kdy klasifikace je rovinn�. Opust�me sf�rickou perspektivu a budeme skenovat simplex podle dvou os. Jako p��klad uk�eme klasifikaci troj�heln�ku $3^3$

$$\begin{tabular}{|r|rrrr|r|} \hline $m_b$ & 0 & 1 & 2 & 3 & $\sigma$ \\ \hline $m_a$ = 0 & $c^3$ & $3bc^2$ & $3b^2c$ & $b^3$ & 8 \\ 1 & $3ac^2$ & 6abc & $3ab^2$ & & 12 \\ 2 & $3a^2c$ & $3a^2b$ & & & 6 \\ 3 & $a^3$ & & & & 1 \\ \hline $\sigma$ & 8 & 12 & 6 & 1 & 27 \\ \hline \end{tabular}$$ Pro $(4,4)$ simplex se z�sk� podobn� n�sleduj�c� sch�ma $$\begin{tabular}{|r|rrrrr|r|} \hline $m_b$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & $\Sigma$ \\ \hline $m_a= 0$ & 16 & 32 & 24 & 8 & 1 & 81 \\ 1 & 32 & 48 & 24 & 4 & & 108 \\ 2 & 24 & 24 & 6 & & & 54 \\ 3 & 8 & 4 & & & & 12 \\ 4 & 1 & & & & & 1 \\ \hline $\Sigma$ & 81 & 108 & 54 & 12 & 1 & 256\\ \hline \end{tabular}$$ Nulov� ��dka a sloupec odpov�d� simplex�m $3^4$, jejich pr��ezu $s_{00}$ a diagon�le k $2^4$. Prvky se vypo��taj� jako sou�iny dvou binomi�ln�ch koeficient� a odpov�daj�c�ch mocnin \begin{equation} { m_a+m_b \choose m_}{ m \choose m_}(n-2)^{m-m_a-m_b} \end{equation} ��dkov� a sloupcov� sou�ty dvou vektorov�ch sch�mat d�vaj� jednu vektorovou klasifikaci \begin{equation} { m \choose m_}(n-1)^{m-m_a} \end{equation} \section{\ Klesaj�c� a stoupaj�c� faktori�ly} \label{Klesaj�c� a stoupaj�c� faktori�ly} V (\ref{rekurence}) se objevil pom�r dvou faktori�l� $i!/(i-j)!$. Z�skal se z odpov�daj�c�ho binomu jeho n�soben�m faktori�lem $j!$. Tento pom�r je zn�m� jako {\em klesaj�c� faktori�l} a zna�� se jako $(n)_k$. Smysl t�to notace klesaj�c�ho faktori�lu je, �e je to sou�in k �len� $(n-k)$, k jdouc� od 0 k $(k-1)$. Kdy� uspo��d�me klesaj�c� faktori�ly do tabulky \ref{Klesaj�c� faktori�l} klesaj�c� faktori�l m� velmi jednoduchou inverzn� matici. \begin{table}

\caption{Klesaj�c� faktori�l a jeho inverzn� \label{Klesaj�c� faktori�l} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|rrrrrr|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \qquad & 0 & 1 & & 4 & 5 \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & & 1 & & & & & \\ 1 & 1 & 1 & & & & & &-1 & 1 & & & & \\ 2 & 2 & 2 & 1 & & & & & & -2 & 1 & & & \\ 3 & 6 & 6 & 3 & 1 & & & & & & -3 & 1 & & \\ 4 & 24 & 24 & 12 & 4 & 1 & & & & & & -4 & 1 5 &120 &120 & 60 & 20 & 5 & 1 & & & & & &-5 \hline \end{tabular} \end{table}

matice}

2 & 3

& \\ & 1 \\

Klesaj�c� faktori�ly se mohou z�skat form�ln� z binomu \begin{equation} (k! + 1)^n\ \mbox{nahrazuj�c}\ k!^j = j!\;. \end{equation} Zm�nili jsme probl�m rozli�itelnosti v�c� v rozd�len� v�c� do rozli�iteln�ch p�ihr�dek. Rozd�len� nerozli�iteln�ch v�c�, z�skan� jako sou�et polynomi�ln�ch koeficient� pro n permutace, vedlo k binomi�ln�mu koeficientu ${ m+n+1 \choose m} $. Potom jsme rozd�lili $m$ jednotek do $m$ ��dk� a z�skali jsme polynomi�ln� koeficient pro m permutace, proto�e tyto jednotky byly ekvivalentn�. Sou�et sou�in� obou koeficient� dal $n^m$. Nyn� p�id�me t�et� index $k$. M�eme rozli�it, zda v ��dce $i$ ve sloupci $j$ je $1_{\alpha}$ nebo $1_{\beta}$. Objevuje se tu konstantn� ��slo $m!$ permutac� m objekt� pro v�echny body po��tan� sou�tem polynomi�ln�ch koeficient� pro n permutace. V�sledkem je \begin{equation} \sum_{k\geq0}m!n!/\prod n_k! = (m+n-1)!/(n-1)! \end{equation} Tato identita je zn�m� jako {\em stoupaj�c� faktori�l} a pou��v� se notace $ (n)^m$. Oba stoupaj�c� a klesaj�c� faktori�ly jsou ve vztahu jako \begin{equation} (n+m-1)_m = (n)^m\;. \end{equation} Je mo�n� definovat stoupaj�c� faktori�l jako klesaj�c� faktori�l z�porn�ch ��sel \begin{equation} (n)^m =(-1)^m(-n)_m\;. \end{equation} Nap��klad $(n)^2 = (n+2)(n+1)n = (-1)^3(-n)(-n-1)(-n-2)$. \section{\ Matice ${\bf NN}^{\rm T}$} \label{Matice NN} U� jsme spo��tali kvadratick� formy ${\bf N}^{\rm T}{\bf N}$. Nyn� budeme studovat jinou kvadratickou formu ${\bf NN}^{\rm T}$. V se objevuj� bloky ${\bf JJ}_k^{\rm T}$ z�skan� jako vn�j�� sou�iny jednotkov�ho vektoru sloupce ${\bf J}_k$.

Nap��klad blok matic $$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)$$ se permutuje jako $$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right)\;.$$ Tyto bloky nemohou odli�it sekvence $({\bf ababa})^{\rm T}$ a $({\bf babab})^{\rm T}$. Pouze registruj�, �e na m�stech $1,3,5$ byl jeden vektor a jin� vektor byl na m�stech 2 a 4. Rozd�l mezi ob�ma kvadratick�mi formami lze srovnat se dv�ma pozorovateli vlak�. $ {\bf N}^{\rm T}{\bf N}$ je pozorovatel sed�c� na vlaku. Registruje kolikr�t jeho vlak se pohyboval, av�ak nem�e ��ci, kdy. ${\bf NN}^{\rm T}$ je pozorovatel na kolej�ch registruj�c� intervaly, kdy byly koleje vyu�ity, av�ak nem�e ��ci, kter�m vlakem. Kvadratick� formy\footnote{Kvadratick� formy ${\bf NN}^{\rm T}$ dlouh�ch �ad tvo�� velmi zaj�mav� vzory.} ${\bf NN}^{\rm T}$ se po��taj� indexem zn�m�m jako {\em Bell�v polynomi�l} \begin{equation} m!/\prod_{k\geq0} n_k !m_k !^{n_k} \end{equation} Kdy� jej srovn�me se sou�inem dvou polynomi�ln�ch koeficient�, vid�me, �e ten byl d�len �lenem $n!/n_0!$. Tento �len se objevil jako oper�tor n�sob�c� v�echna Stirlingova ��sla druh�ho druhu, aby se dostaly rozd�ly $\Delta^m0^n$ (podkapitola 10.3). Tedy Bellovy polynomi�ly po��taj� Stirlingova ��sla druh�ho druhu a jejich sou�ty. Po�et kvadratick�ch forem ${\bf NN}^{\rm T}$ je identick� s po�tem naivn�ch matic v doln� troj�heln�kov� form� bez pr�zdn�ch mezisloupc�. Kdy� se Bellovy polynomi�ly porovnaj� s cyklick�m indexem (7.15), vid�me, �e se zde m�sto jednoduch�ch $m$ �len� objevuj� jejich faktori�ly. Prvky ve sloupc�ch netvo�� cykly ale nerozli�iteln� podmno�iny. Stirlingova ��sla generuj� rozd�ly, pokud se n�sob� matic� faktori�l� a matic� mocnin, pokud se n�sob� klesaj�c�mi faktori�ly: $$\begin{array}{cccc|rrrrr|rrrrr} & & & & \quad & 1 & 1 & 1 & 1 &\quad & 1 & 1 & 1 & 1 \\

& & & & & & 2 & 2 & 2 & & & 1 & 2 & 3 \\ & & & & & & & 6 & 6 & & & & 2 & 6 \\ & & & & & & & & 24 & & & & & 6 \\ \hline 1 & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & & & & 1 & 3 & 3 & 3 & & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & & & 1 & 7 &13 &13 & & 1 & 4 & 9 &16 \\ 1 & 7 & 6 & 1 & & 1& 15 &51 &75 & & 1 & 8& 27& 64 \\ \end{array}$$ Kdy� je nejni��� dovolen� hodnota $m_j = 2$, polynomi�ly d�vaj� asociovan� Stirlingova ��sla druh�ho druhu, jejich� rekurence je \begin{equation} a_{ij} =ja_{i-1,j} + (i-1)a_{i-2,j-1}\ {\rm s}\ a_{00} =1\;. \end{equation} \section{\ Hlasovac� ��sla} \label{Hlasovac� ��sla} \begin{figure} \caption{K�nus hlasovac�ch ��sel. Koordin�ty ${\bf a}$ jsou v�dy v�t�� ne� koordin�ty ${\bf b}$} \label{Balloting ��sel} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(120.00,120.00) %\emline(20.00,110.00)(20.00,20.00) \put(20.00,110.00){\line(0,-1){90.00}} %\end %\emline(20.00,20.00)(110.00,20.00) \put(20.00,20.00){\line(1,0){90.00}} %\end %\emline(20.00,20.00)(110.00,110.00) \multiput(20.00,20.00)(0.12,0.12){751}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(20.00,40.00)(40.00,20.00) \multiput(20.00,40.00)(0.12,-0.12){167}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(20.00,80.00)(80.00,20.00) \multiput(20.00,80.00)(0.12,-0.12){501}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(20.00,100.00)(100.00,20.00) \multiput(20.00,100.00)(0.12,-0.12){667}{\line(0,-1){0.12}} %\end \put(20.00,19.67){\circle{4.00}} \put(20.00,40.00){\circle{4.00}} %\emline(20.00,60.00)(60.00,20.00) \multiput(20.00,60.00)(0.12,-0.12){334}{\line(0,-1){0.12}} %\end \put(40.00,39.67){\circle{4.00}} \put(20.00,59.67){\circle{4.00}} \put(40.00,59.33){\circle{4.00}} \put(20.00,79.33){\circle{4.00}} \put(40.00,80.00){\circle{4.00}} \put(60.33,60.00){\circle{4.00}} \put(20.00,99.33){\circle{4.00}} \put(10.00,99.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(99.67,9.67){\makebox(0,0)[cc]{b}}

\put(70.00,54.67){\makebox(0,0)[lc]{zak�z�no}} \end{picture} \end{figure} V podkapitole 9.8 byly zavedeny Fibonacciho ��sla se singul�rn� matic�. Pokud p�em�st�me jej� prvky jako v tabulce 9.7, dostaneme matici, kterou lze invertovat. Kladn� prvky inverzn� matice jsou zn�m� jako {\em Hlasovac� ��sla}. \begin{table} \caption{Fibonacciho a hlasovac� ��sla} \label{Fibonacciho a hlasovac� ��sla} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|c|rrrrrrr|} \hline & \multicolumn{7}{|c|} { Fibonacciho ��sla} & & \multicolumn{7}{|c|} {Hlasovac� ��sla}\\ \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \quad & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline m=1 & 1 & & & & & & && 1 & & & & & & \\ 2 & & 1 & & & & & && & 1 & & & & & \\ 3 & 1 & & 1 & & & & && -1 & & 1 & & & & \\ 4& & 2 & & 1 & & & && &-2 & &1 & & & \\ 5 & 1 & & 3& &1 & & && 2& &-3 & & 1 & & \\ 6 & & 3 & & 4 & & 1& && & 3 & &-4 & & 1 & \\ 7 & 1 & & 6 & & 5 & & 1 && -2 & & 9 & & -5 & & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Ve skute�nosti jsou v�echna hlasovac� ��sla kladn�. Z�porn� znam�nka se objevuj� po n�soben� s ${\bf I}*$ z obou stran. Po��taj� bin�rn� �ady, ve kter�ch jedna strana m� v�dy v�hodu danou pravidlem s�ta $m_{ai} \geq m_{bi}$. Po��tan� �ady vedou pouze v polovin� dvou rozm�rn�ho k�nusu (obr. 10.1). Inverzn� Fibonacciho matice po��t� �ady, jej� prvky jsou ${\bf b}$ a dv� n�sledn� ${\bf aa} = {\bf a}^2$. Nap��klad $f_{75} = 5$ po��t� �ady ${\bf b}^5{\bf a}^2$, ${\bf b}^4{\bf a}^2{\bf b}$, ${\bf b}^3{\bf a}^2{\bf b}^2$, ${\bf b}^2{\bf a}^2{\bf b}^3$, ${\bf b}{\bf a}^2{\bf b}^4$. \begin{figure} \caption{Fibonacciho m��ka. Lich� vektory ${\bf a}$ se netvo��. po��taj� omezen� �ady} \label{Fibonacciho m��ka} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(130.00,150.00) %\vector(20.00,20.00)(40.00,20.00) \put(40.00,20.00){\vector(1,0){0.2}} \put(20.00,20.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\vector(40.00,20.00)(60.00,20.00) \put(60.00,20.00){\vector(1,0){0.2}} \put(40.00,20.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\vector(60.00,20.00)(80.00,20.00) \put(80.00,20.00){\vector(1,0){0.2}} \put(60.00,20.00){\line(1,0){20.00}} %\end

Fibonacciho ��sla

%\vector(80.00,20.00)(100.00,20.00) \put(100.00,20.00){\vector(1,0){0.2}} \put(80.00,20.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\vector(100.00,20.00)(120.00,20.00) \put(120.00,20.00){\vector(1,0){0.2}} \put(100.00,20.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\vector(20.00,20.00)(20.00,60.00) \put(20.00,60.00){\vector(0,1){0.2}} \put(20.00,20.00){\line(0,1){40.00}} %\end %\vector(20.00,60.00)(20.00,100.00) \put(20.00,100.00){\vector(0,1){0.2}} \put(20.00,60.00){\line(0,1){40.00}} %\end %\vector(20.00,100.00)(20.00,140.00) \put(20.00,140.00){\vector(0,1){0.2}} \put(20.00,100.00){\line(0,1){40.00}} %\end %\vector(20.33,59.67)(40.00,59.67) \put(40.00,59.67){\vector(1,0){0.2}} \put(20.33,59.67){\line(1,0){19.67}} %\end %\vector(40.00,59.67)(60.00,59.67) \put(60.00,59.67){\vector(1,0){0.2}} \put(40.00,59.67){\line(1,0){20.00}} %\end %\vector(60.00,59.67)(80.00,59.67) \put(80.00,59.67){\vector(1,0){0.2}} \put(60.00,59.67){\line(1,0){20.00}} %\end %\vector(80.00,59.67)(100.00,59.67) \put(100.00,59.67){\vector(1,0){0.2}} \put(80.00,59.67){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(39.67,20.00)(20.00,40.00) \multiput(39.67,20.00)(-0.12,0.12){164}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(20.00,59.67)(60.00,20.00) \multiput(20.00,59.67)(0.12,-0.12){331}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(20.00,80.00)(80.00,20.00) \multiput(20.00,80.00)(0.12,-0.12){501}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(20.00,100.00)(100.00,20.00) \multiput(20.00,100.00)(0.12,-0.12){667}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(20.00,120.00)(120.00,20.00) \multiput(20.00,120.00)(0.12,-0.12){834}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(40.00,20.00)(40.00,59.67) \put(40.00,59.67){\vector(0,1){0.2}} \put(40.00,20.00){\line(0,1){39.67}} %\end %\vector(40.00,59.67)(40.00,99.67) \put(40.00,99.67){\vector(0,1){0.2}} \put(40.00,59.67){\line(0,1){40.00}}

%\end %\vector(60.00,20.00)(60.00,59.67) \put(60.00,59.67){\vector(0,1){0.2}} \put(60.00,20.00){\line(0,1){39.67}} %\end %\vector(60.00,59.67)(60.00,99.67) \put(60.00,99.67){\vector(0,1){0.2}} \put(60.00,59.67){\line(0,1){40.00}} %\end %\vector(79.67,20.00)(79.67,59.67) \put(79.67,59.67){\vector(0,1){0.2}} \put(79.67,20.00){\line(0,1){39.67}} %\end %\vector(79.67,59.67)(79.67,100.00) \put(79.67,100.00){\vector(0,1){0.2}} \put(79.67,59.67){\line(0,1){40.33}} %\end %\vector(20.00,100.00)(40.00,100.00) \put(40.00,100.00){\vector(1,0){0.2}} \put(20.00,100.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\vector(40.00,100.00)(60.00,100.00) \put(60.00,100.00){\vector(1,0){0.2}} \put(40.00,100.00){\line(1,0){20.00}} %\end \put(20.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(40.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(60.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(79.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(100.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{5}} \put(120.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{8}} \put(45.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(65.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(85.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(100.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(120.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(10.00,59.67){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(10.33,100.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(10.33,140.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(44.67,65.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(45.00,105.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(65.00,65.33){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(84.67,65.00){\makebox(0,0)[cc]{4}} \end{picture} \end{figure} Odpov�daj�c� m��ka je zobrazena na obr. \ref{Fibonacciho m��ka}. ��sla $f_{ij}$ jsou vytvo�eny rekurz� \begin{equation} f_{11} = 1;\ f_{ij} = f_{i-1,j-1} + f_{i,j-2}\;. \end{equation} Hlasovac� ��sla $b_{ij}$ jsou vytvo�eny rekurz� \begin{equation} b_{11} = 1;\ b_{ij} = b_{i-1,j-1} + b_{i-1,j+1}\;, \end{equation}

Fibonacciho

M�eme formulovat tak� tabulku, jej� prvky po��taj� �ady, ve kter�ch $m_ \geq m_b^2$. Jej� prvky jsou $b_{ij} = b_{i-1,j-1} + b_{i-2,j}$ a je to op�t z�ed�n� matice binomi�ln�ch koeficient�. Inverzn� matice s kladn�mi znam�nky je $$\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrr|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline n=0 & 1 & & & & & & & & \\ 1 & & 1 & & & & & & & \\ 2 & & & 1 & & & & & & \\ 3 & 1 & & & 1 & & & & & \\ 4 & & 2 & & & 1 & & & & \\ 5 & & & 3 & & & 1 & & & \\ 6 & 3 & & &4 & & & 1 & & \\ 7 & & 7 & & & 5 & & & 1& \\ 8 & & & 12 & & & 6 & & & 1 \\ \hline \end{tabular}$$ Maticov� prvky, ��sla $b_{ij}$, jsou vytvo�ena rekurz� \begin{equation} b_{11} = 1;\ b_{ij} = b_{i-1,j-1} + b_{i-1,j+2}\;. \end{equation} Po��taj� �ady s prvky $a^3$ a $b$. \section{\Diference jin� druhu} \label{Diference jin� druhu} U v�ech bod� (prvk�) prostoru m�eme m��it vzd�lenosti (rozd�ly) od jin�ch bod�. Tyto vzd�lenosti jsou vyvol�ny jejich speci�ln�mi funkcemi. Jako p��klad zavedeme diference $[2^m +1] - { m \choose j}$, zobrazen� v tabulkov� form� v tabulce ref{Diference binomi�ln�ch koeficient�} \begin{table} \caption{\ Diference binomi�ln�ch koeficient�} \label{Diference binomi�ln�ch koeficient�} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|} \hline j & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline m=0& 1 & & & & & \\ 1& 2 & 1 & & & & \\ 2& 4& 3 & 1 & & & \\ 3& 8 & 7 & 4 & 1 & & \\ 4& 16& 15 &11 & 5 & 1 & \\ 5& 32 &31 &26 &16 & 6 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Inverzn� matice m� prvky v tabulce \ref{Diference m}

\begin{table} \caption{\ Diference $m^2$} \label{Diference m} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|} \hline j & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline m=0 & 1 & & & & & \\ 1 &-2 & 1 & & & & \\ 2 & 2& -3 & 1 & & & \\ 3 &-2& 5 &-4 & 1 & & \\ 4 & 2& -7 & 9 &-5 & 1 & \\ 5 &-2& 9&-16 &14 &-6 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Kdy� neuva�ujeme znam�nka $(-1)^{m+j}$, �tverce $(m-1)$ jsou v t�et�m sloupci, v druh�m sloupci jsou prv� diference $(m+1)^2-m^2$ a v prv�m sloupci druh� diference, kter� jsou od druh� ��dky konstantn�. Prvky vy���ch sloupc� jsou rozd�ly prvk� p�edchoz�ch sloupc� \begin{equation} m_{ij} = m_{i-1,j-1} - m_{i-1,j}\;, \end{equation} podobn� jako v�echny sou�ty v matici binomi�ln�ch koeficient�. Jin� mo�nou dekompozic� tabulky \ref{Diference m} je na sou�et dvou tabulek binomi�ln�ch koeficient� ${\bf B}_{m,j} + {\bf B}_{m-1,j-1}$. Takov� diferen�n� tabulky lze konstruovat pro jak�koliv mocniny po sob� n�sleduj�c�ch ��sel. Jejich inverzn� matice nemaj� ��dnou tak jednoduchou interpretaci jako rozd�ly �tverc�. \section{\ Lahova ��sla} \label{Lahova ��sla} Je nesnadn� uk�zat v�echny vztahy mezi v�emi prostorov�mi funkcemi. ${\bf L}$ jsou jednodu�e zavedena jejich tabulkou \ref{Lah ��sel}

Lahova ��sla

\begin{table} \caption{\ Lahova ��sla ${\bf L}$} \label{Lah ��sel} \begin{tabular}{|r|rrrrr|r|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ \hline m=1& 1 & & & & & 1 \\ 2& 2& 1 & & & & 3 \\ 3& 6& 6 & 1 & & & 13 \\ 4& 24& 36 & 12 & 1 & & 73 \\ 5& 120& 240& 120 & 20 & 1& 501 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Ve skute�nosti p�vodn� Lahova ��sla ${\bf L}$ maj� v lich�ch ��dc�ch z�porn�

znam�nka a potom \begin{equation} {\bf L}^2 = {\bf I};\ {\rm nebo}\ {\bf L}^{-1} = (-1)^{i+j}{\bf L}\;. \end{equation} Prvky tabulky \ref{Lah ��sel} jsou binomi�ln�mi koeficienty

p��m�mi sou�iny klesaj�c�ch faktori�l� s

\begin{equation} l_{ij} = i!/j!{ i-1 \choose j-1}\;. \end{equation} Rekurence Lahov�ch ��sel je \begin{equation} l_{i+1,j} = (i+j)l_{ij} + l_{i,j-1} \end{equation} Jin� mo�nost vyvolat Lahova ��sla je sou�in matic Stirlingov�ch ��sel obou druh�. Matice Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu se n�sob� matic� Stirlingov�ch ��sel prv�ho druhu zprava: \begin{equation} {\bf L}= {\bf S}_1{\bf S}_2\;. \end{equation} V d�sledku vztahu obou druh� Stirlingov�ch ��sel je inverze Lahovy matice identick� s touto matic�. Transponovan� po��dek n�soben� Stirlingov�ch ��sel d�v� jinou tabulku \ref{Diference jako sou�in}, tentokr�t diferenc� $\Delta(n)n^n$ \begin{table} \caption{\ Diference jako sou�in ${\bf S}_2{\bf S}_1$} \label{Diference jako sou�in} \begin{tabular}{|r|rrrrr|r|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & & 1 \\ 2 & 2 & 1 & & & & 3 \\ 3& 6 & 6 & 1 & & & 13 \\ 4 & 26 & 36 & 12 & 1 & & 75 \\ 5 &150& 250 &120 &20 & 1 &541 \\ \hline \end{tabular} \end{table} P�i n�soben� matice Stirlingov�ch ��sel prv�ho druhu matic� Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu d�v� stejn� v�sledek jako permutace sloupc� naivn�ch matic v doln� troj�heln�kov� form� s j sloupci s nenulov�mi prvky permuta�n� matice ${\bf P}$ s i ��dky a sloupci a j cykly. Uspo��d�n� zaji��uje, �e pr�zdn� sloupce se nepermutuj� z jejich polohy. Tabulka \ref{Diference jako sou�in} po��t� �ady podle po�tu sloupc� v doln� troj�heln�kov� form�, kter� nebyly permutovan� ze sv� polohy. Prvky jej�ho prv�ho sloupce jsou, vyjma prvn� prvek, $2\Delta^{n-1}0^{n1}$. Po��taj� se matice v doln� troj�heln�kov� form� s vedouc�m prv�m prvkem ${\bf

a}$ a druh�m prvkem bu� ${\bf a}$ nebo ${\bf b}$. \chapter{Mnohorozm�rn� krychle} \label{Mnohorozm�rn� krychle} \section{�vod} \label{�vod 11} �vodem t�to kapitoly zopakujeme n�kter� fakta o krychl�ch, kter� byl u� byla d��ve vysv�tlena. Pou��vali jsme jako vytvo�uj�c� funkci mocniny vektorov�ch mno�in $ (\Sigma{\bf e}_j)^m$. Z�skali jsme vektorov� �ady ${\bf N}$ vedouc�m k bod�m na rovin�ch ortogon�ln�ch k jednotkov�mu diagon�ln�mu vektoru ${\bf I}$. Nalezli jsme matematick� operace, kter� uspo��daly tyto maticov� vektory ${\bf N}$ na sf�rick� orbity a zm�nili jsme n�kter� mo�nosti, jak vytvo�it z rovinn�ch simplex� jejich komplexy, to je kladn� k�nusy ve vektorov�m prostoru. Tak� jsme uk�zali, �e krychle nebo obecn� jak�koliv rovnob�n�ky se tvo�� z rovinn�ch komplex� vynech�n�m p��li� dlouh�ch vektor�. Tradi�n� p��stup, kart�zsk� sou�in n jedno rozm�rn�ch komplex� d�v� pouze body a ��dn� vektorov� �ady \begin{equation} (1 + a + a^2)\times(1 + b +b^2) = 1 + a + a^2 + b + ab + b^2 + a^2b + ab^2 + a^2b^2. \end{equation} Tyto n rozm�rn� krychle se tvo�� obvykle kart�zsk�mi sou�iny komplex�, nap��klad:

$n$ jedno rozm�rn�ch

\begin{equation} (1 + a + a^2)\times(1 + b + b^2) = 1 + (a + b) + a^2 + ab + b^2 + a^2b + ab^2 + a^2b^2. \end{equation} Prv� t�i simplexy jsou �pln�, av�ak posledn� dva jsou useknuty. Mimo to nevznikaj� v�echny �ady. Nyn� se budeme zab�vat krychlemi systematicky. Zejm�na uk�eme, jak se vektorov� �ady transformuj� a krychle body rovinn�ch simplex� do orbit. Tato transformace je mo�n� interpretac� transponovan�ch naivn�ch matic ${\bf N}^{\rm T} $ jako tv��� (obr. \ref{Face}), vektor� ur�uj�c�ch koordin�ty bod� v m rozm�rn�m prostoru. Ka�d� vektorov� �ada odpov�d� jednomu bodu a v�echny �ady rovinn�ho simplexu se mapuj� na body m rozm�rn� krychle, jej� strana je $(n-1)$. Tato transformace nen� jednoduchou �lohou. To lze uk�zat na mapov�n� 3 rozm�rn� roviny na 4 rozm�rnou krychli se stranami 0-2. $$\begin{tabular}{|l|r|rrrrrrrrr|c|} \hline Momenty: & & 0 & 1 & 2 & 3 & 4& 5 & 6 & 7 & 8 & $\Sigma$\\ \hline �ady roviny:& b=0& 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & 16 \\ & 1& & 4 & & 12 & &12& & 4 & & 32 \\ & 2& & &6 & &12 & & 6 & & & 24 \\ & 3& & & & 4 & &4 & & & & 8 \\ & 4& & & & & 1 & & & & & 1 \\ \hline Body krychle: & $\Sigma$ & 1 & 4 &10 &16 &19& 16 &10 & 4 & 1 & 81\\ \hline \end{tabular}$$ �ady z rozd�ln�ch orbit se po��taj� dohromady, pon�vad� maj� stejn� {\em momenty}. Nov� orbity jdou od 0 k $m(n-1)$. N�kter� ze zn�m�ch funkc� dost�vaj� novou

interpretaci, av�ak je�t� bude nutn� zav�st n�jak� nov� funkce. Pro rovinn� simplexy jsme zavedli rozd�ly, kter� maj� pon�kud podivnou vlastnost. Zahrnuj� jeden vrchol, jednu ne�plnou hranu a jednu ne�plnou stranu. Av�ak kdy� transponujeme naivn� matice ${\bf N}$ a interpretujeme je jako tv��e, vid�me, �e tyto vlastnosti znamenaj�, �e diference krychle je obsazen� sv�mi body dot�kaj�c�mi se sv�ho povrchu nejbl�e ke st�edu koordin�t, maj�c�mi alespo� jednu nulovou koordin�tu, alespo� jednu koordin�tu jedna a tak d�le ve v�ce rozm�rn�ch krychl�ch (obr. 11.1). \begin{figure} \caption{Diference t��rozm�rn� krychle se stranami $0-2$. Rozd�l tvo�� body dot�kaj�c� se povrchu krychle nejbli���ho ke st�edu koordin�t. Body diference maj� koordin�ty (permutovan�): $(0,0,0)$; $(0,0,1)$; $(0,1,1)$; $(0,1,2)$} \label{Diference t��rozm�rn� krychle} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(130.00,110.00) \put(40.00,30.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} \put(60.00,40.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} %\emline(20.00,80.00)(60.00,100.00) \multiput(20.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(80.00,80.00)(120.00,100.00) \multiput(80.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(50.00,80.00)(90.00,100.00) \multiput(50.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(90.00,100.00)(90.00,40.00) \put(90.00,100.00){\line(0,-1){60.00}} %\end %\emline(90.00,40.00)(50.00,20.00) \multiput(90.00,40.00)(-0.24,-0.12){167}{\line(-1,0){0.24}} %\end %\emline(50.00,20.00)(50.00,80.00) \put(50.00,20.00){\line(0,1){60.00}} %\end %\emline(20.00,20.00)(60.00,40.00) \multiput(20.00,20.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(80.00,20.00)(120.00,40.00) \multiput(80.00,20.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(20.33,50.33)(80.00,50.33) \put(20.33,50.33){\line(1,0){59.67}} %\end %\emline(80.00,50.33)(120.00,70.00) \multiput(80.00,50.33)(0.24,0.12){164}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(120.00,70.00)(60.00,70.00) \put(120.00,70.00){\line(-1,0){60.00}} %\end %\emline(60.00,70.00)(20.00,50.33) \multiput(60.00,70.00)(-0.24,-0.12){164}{\line(-1,0){0.24}} %\end %\emline(40.00,60.00)(100.00,60.00) \put(40.00,60.00){\line(1,0){60.00}} %\end

%\emline(70.67,90.00)(70.67,30.00) \put(70.67,90.00){\line(0,-1){60.00}} %\end \put(20.00,20.00){\circle{4.00}} \put(20.00,50.33){\circle{4.00}} \put(40.00,30.00){\circle{4.00}} \put(50.00,20.00){\circle{4.00}} \put(40.00,60.33){\circle{4.00}} \put(70.67,30.00){\circle{4.00}} \put(50.00,50.33){\circle{4.00}} \put(40.00,90.00){\circle{4.00}} \put(50.00,80.00){\circle{4.00}} \put(59.67,70.00){\circle{4.00}} \put(80.00,50.33){\circle{4.00}} \put(90.00,40.00){\circle{4.00}} \put(100.00,30.00){\circle{4.00}} \put(20.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$a^3$}} \put(57.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$3a^{2}b$}} \put(83.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$3ab^2$}} \put(117.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{6abc}} \put(20.00,20.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} %\emline(10.00,58.00)(54.00,15.33) \multiput(10.00,58.00)(0.12,-0.12){356}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(31.67,68.33)(85.00,17.33) \multiput(31.67,68.33)(0.13,-0.12){426}{\line(1,0){0.13}} %\end %\emline(32.33,95.67)(115.00,16.67) \multiput(32.33,95.67)(0.13,-0.12){659}{\line(1,0){0.13}} %\end \end{picture} \end{figure} \section{Jednotkov� krychle} \label{Jednotkov� krychle} Jednotkov� krychle jsou pro za��tek nejpou�n�j��. Maj� n stran a na ka�d� stran� existuj� pr�v� dva body, 0 a 1. Generuj� se funkc� \begin{equation} \prod^n_{j=1} (1 + {\bf e}_j) = 2^n\;. \end{equation} \begin{figure} \caption{T�i rozm�rn� krychle se stranou 0-1} \label{T�i rozm�rn� krychle se stranou 0-1} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(120.00,110.00) \put(20.00,20.00){\framebox(50.00,50.00)[cc]{}} \put(45.00,45.00){\framebox(50.00,50.00)[cc]{}} %\emline(20.00,70.00)(45.00,95.00) \multiput(20.00,70.00)(0.12,0.12){209}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(70.00,70.00)(95.00,95.00) \multiput(70.00,70.00)(0.12,0.12){209}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(70.00,20.00)(95.00,45.00) \multiput(70.00,20.00)(0.12,0.12){206}{\line(1,0){0.12}}

%\end %\emline(20.00,20.00)(45.00,45.00) \multiput(20.00,20.00)(0.12,0.12){206}{\line(1,0){0.12}} %\end \put(20.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(10.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(70.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(35.00,45.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} \put(35.00,95.00){\makebox(0,0)[cc]{ac}} \put(80.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{ab}} \put(105.00,45.00){\makebox(0,0)[lc]{bc}} \put(105.00,95.00){\makebox(0,0)[lc]{abc}} \end{picture} \end{figure} Nap��klad pro $n=3$ dostaneme body: $1, a, b, c, ab, ac, bc, abc$ (obr. \ref{T�i rozm�rn� krychle se stranou 0-1}). Jednou z nejzaj�mav�j��ch vlastnost� jednotkov�ch krychl�, ve kter�ch jsou mo�n� pouze cel� koordin�ty, je, �e jsou tvo�eny pouze povrchem. Nen� tu ��dn� bod uvnit� p�edstavuj�c� jejich st�ed. V teorii mno�in n rozm�rn� krychle jsou zn�m� jako {\em boole�ny}. Boole�ny obsahuj� mno�inu, pr�zdnou mno�inu a v�echny podmno�iny. V jednotkov�ch krychl�ch existuje $(m+1)$ orbit rozd�len�, z ka�d�ho rovinn�ho simplexu existuje pr�v� jedna orbita. Po�et bod� na ka�d� orbit� je ur�en odpov�daj�c�m binomi�ln�m koeficientem. Co se m� ur�it je po�et �ad v jednotkov�ch krychl�ch, av�ak studovali jsme i tuto funkci a tento po�et je dan� klesaj�c�m faktori�lem $(i)_{(i-j)}$. Op�t si jej prohl�dneme. Nap�eme jej v inverzn�m uspo��d�n� vzhledem k tabulce 10.6 \begin{table} \caption{�ady v jednotkov� krychli ${\bf F}$} \label{�ady v jednotkov� krychli} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & 1 \\ 1 & 1 & 1 & & & & & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 2 & & & & 5 \\ 3 & 1 & 3 & 6 & 6 & & & 16 \\ 4 & 1 & 4 & 12 & 24 & 24 & & 65 \\ 5 & 1 & 5 & 20 & 60 &120 &120 & 326 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Prvky tabulky 11.1 $f_{ij}$ se z�skaj� jako sou�in binomi�ln� matice ${\bf B}$ a diagon�ln� matice faktori�l� $\Delta(j!)$: \begin{equation} {\bf F}={\bf B}\Delta(j!)\;. \end{equation} M�eme vybrat $k$ objekt� (vektor�) z $n$ objekt� potom je permutovat. To se provede jako form�ln� binomi�lu, kdy� se zach�z� s n�sledn�mi faktori�ly jako s mocninami \begin{equation}

(n)_m = [(k)_i + (n-k)_i]^m\ {\rm kde}\ (k)^j_i = (k)_j\;. \end{equation} Nap��klad pokud $n=5, m=3$ a vybereme $k=2$, v�sledek je $$(5)_3 = 60 = { 3 \choose 0}(2)_3(3)_0 + { 3 \choose 1}(2)_2(3)_1 + { 3 \choose 2}(2)_1(3)_2 + { 3 \choose 3}(2)_0(3)_3 =$$ $$1\times0\times1 + 3\times2\times3 + 3\times2\times6 +1\times1\times6\;.$$ Po��t� se 18 permutac� �ad s dv�ma symboly, �ekn�me $$a, b: 6(abc, abd, abe)\;;$$ 36 permutac� bu� s $a$ nebo $b$: $6(acd, ace, ade, bcd, bce, bde)$ a 6 permutac� �ady $cde$. $(2)_3 = 0$; nen� mo�n� vytvo�it sekvenci t�� symbol� z pouze dvou symbol�. ��dkov� sou�ty jsou d�ny jednodu�e jako \begin{equation} S_m = m(S_{m-1}) + 1 \end{equation} Je mo�n� p�idat nov� objekt do p�edch�zej�c�ch �ad m zp�soby, vyjma nulovou �adu. Jinou mo�nost� dosa�en� matice 11.1, je n�soben� matice po�tu p�em�st�n� ${\bf R}$ (tabulka 7.3) matic� binomi�ln�ch koeficient� \begin{equation} {\bf F}= {\bf RB}. \end{equation} Jinak jsou �ady v jednotkov� krychli vytvo�eny podobn� jako faktori�ly ze subfaktori�l� Appleov�m polynomi�lem $D$. Zde to je polynomi�l druh�ho ��du, $(D + 2)^2$, nap��klad $$44 + 5\times9\times2 + 10 \times2\times4 + 10\times1\times8 + 5\times0\times 16 + 1\times1\times32 = 326\;.$$ Je dob�e zn�mo, �e v P��rod� mnoho jev� se popisuje binomick�m rozd�len�m. Kdy� hod�te n minc� sou�asn�, potom v�sledky zapln� vrcholy jednotkov� krychle rovnom�rn�, zejm�na pokud se experiment opakuje v�cekr�t. Alespo� to p�edpokl�d� teorie pravd�podobnosti. M�n� zn�m� je derivace jin� statistiky vytvo�en� jednotkovou krychl�. P�edpokl�dejme, �e registrujeme nehody. M�jme $S_m$ osob s nejv�e m nehodami a pr�m�rnou nehodovost� 1 na osobu. Za takov�ch podm�nek vybereme jako n�stroj registrace �adu $k$ jednotek z m symbol� pokud jin�ch $m-k$ m�st se vyu��v� pro indexov�n� osob. Takov� rejst��k bude m�t n�sleduj�c� kapacitu: Bude v n�m $m!$ osob s ��dnou nehodou, $m!$ osob s jednou nehodou, m osob s $(m-1)$ nehodami nakonec pouze jedna osoba s m nehodami. Takov� rozd�len� nehod je zn�m� jako {\em Poissonovo rozd�len�}. Pou��v� se obvykle p�i n�zk� nehodovosti a potom se nutn� m�n� podm�nky. Nicm�n� pokud Einstein �ekl, �e B�h nehraje kostky, m�eme ��ci, �e on s�m je Kostka. H�zen� minc� nebo kostek pouze modeluje ide�ln� prostor. \section{Orbity rozd�len� v krychl�ch} \label{Orbity rozd�len� v krychl�ch} Orbity rozd�len� v krychli odpov�daj� bod�m rovinn�ch simplex�. Tedy zn�me jejich celkov� po�et. Tak� jsme shora uk�zali, jak rozd�ln� se mapuj� tyto body na

rovinn� simplexy a krychle. U� jsme zjistili, �e indexov�n� orbit v jednotkov�ch krychl�ch je velmi jednoduch�. Orbity rozd�len� v m rozm�rn�ch krychl�ch jejich� strany jsou 0-2 se snadno naleznou. V�sledky jsou uvedeny v tabulce \ref{Orbity rozd�len� v krychli 0-2}. Uk�zali jsme v podkapitole 11.1, jak jej� ��dka m=4 se z�sk� z bod� rovinn�ho simplexu. \begin{table} \caption{} \label{Orbity rozd�len� v krychli 0-2} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrr|r|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10 &11 &12 & $\Sigma$\\ \hline m=0 & 1 & & & & & & & & & & & & & 1 \\ 1 & 1& 1 & 1 & & & & & & & & & & & 3 \\ 2& 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & & & & & & & & & 6 \\ 3 & 1& 1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & & & & & & & 10 \\ 4 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & & & & & 15 \\ 5 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & & & 21 \\ 6 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 28 \\ \hline \end{tabular} \end{table} N�kter� vlastnosti rozd�len� orbit jsou jasn�. Jsou symetrick� podle parametru $k$. To plyne ze symetrie krychle. Po�et orbit na rovin�ch bl�zko nulov�ho bodu nen� z�visl� na rozm�rnosti krychle a z�st�v� konstantn�. Je ur�en po�tem $k$ a nem�e b�t v�t�� ne� po�et neomezen�ch rozd�len� p(k). Pokud pou�ijeme konstantu $c$ jako d�lku stran krychl�, diagon�la $k$ jde od 0 k $cm$. \begin{figure} \caption{Vznik t��rozm�rn� krychle se stranou 0-2 ze �tverce se stranou 0-2 (pr�zdn� krou�ky). P�id� se jednotkov� t��rozm�rn� krychle se stranou 0-1 (zapln�n� krou�ky) a strany se dopln�} \label{Vznik t��rozm�rn�m krychle} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(130.00,110.00) \put(40.00,30.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} \put(60.00,40.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} %\emline(20.00,80.00)(60.00,100.00) \multiput(20.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(80.00,80.00)(120.00,100.00) \multiput(80.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(50.00,80.00)(90.00,100.00) \multiput(50.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(90.00,100.00)(90.00,40.00) \put(90.00,100.00){\line(0,-1){60.00}} %\end %\emline(90.00,40.00)(50.00,20.00) \multiput(90.00,40.00)(-0.24,-0.12){167}{\line(-1,0){0.24}} %\end %\emline(50.00,20.00)(50.00,80.00) \put(50.00,20.00){\line(0,1){60.00}}

%\end %\emline(20.00,20.00)(60.00,40.00) \multiput(20.00,20.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(80.00,20.00)(120.00,40.00) \multiput(80.00,20.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(20.00,50.00)(80.00,50.00) \put(20.00,50.00){\line(1,0){59.67}} %\end %\emline(80.00,50.00)(120.00,70.00) \multiput(80.00,50.00)(0.24,0.12){164}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(120.00,70.00)(60.00,70.00) \put(120.00,70.00){\line(-1,0){60.00}} %\end %\emline(60.00,70.00)(20.00,50.00) \multiput(60.00,70.00)(-0.24,-0.12){164}{\line(-1,0){0.24}} %\end %\emline(40.00,60.00)(100.00,60.00) \put(40.00,60.00){\line(1,0){60.00}} %\end %\emline(70.00,90.00)(70.67,30.00) \put(70.00,90.00){\line(0,-1){60.00}} %\end \put(20.00,20.00){\circle{4.00}} \put(20.00,20.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} \put(70.00,60.00){\circle{4.00}} \put(100.00,60.00){\circle{4.00}} \put(90.00,70.00){\circle{4.00}} \put(70.00,90.00){\circle{4.00}} \put(90.00,100.00){\circle{4.00}} \put(100.00,90.00){\circle{4.00}} \put(120.00,100.00){\circle{4.00}} \put(120.00,70.00){\circle{4.00}} \put(90.00,100.00){\circle{4.00}} \put(100.00,90.00){\circle{4.00}} \put(20.00,50.00){\circle{4.00}} \put(20.00,80.00){\circle{4.00}} \put(50.00,80.00){\circle{4.00}} \put(80.00,80.00){\circle{4.00}} \put(50.00,50.00){\circle{4.00}} \put(80.00,50.00){\circle{4.00}} \put(50.00,20.00){\circle{4.00}} \put(80.00,20.00){\circle{4.00}} \end{picture} \end{figure} Kdy� pozorujeme ��dkov� rozd�ly v tabulce 11.3, vid�me, �e jsou v�dy 1 na posledn�ch $(m+1)$ obsazen�ch m�stech. Tato ��sla jsou pr�v� po�ty orbit rozd�len� v m rozm�rn� jednotkov� krychli. Ve 3 rozm�rn�m prostoru ji lze nakreslit (obr. \ref{Vznik t��rozm�rn�m krychle}). Ke �tverci se stranou 0-2 se p�id� jednotkov� t��rozm�rn� krychle se stranou 0-1 (zapln�n� krou�ky) a strany se dopln�. Orbita 111 je vytvo�ena z orbity 11, kter� nebyla v �tverci, 211 nebo 221 se z�sk� z 21, 22 vytv��� 221 a 222. To nazna�uje rekurenci orbit rozd�len�. Tu lze zobrazit graficky: $$\begin{tabular}{|r|ccccccc|}

\hline & 0 $<$ & \multicolumn{4}{c}{MOMENTY} & $>$ mc $<$ & $>$ m(c+1) \\ \hline & \multicolumn{6}{l}{Orbity m rozm�rn� krychle s men�� velikost� (c-1)} & \\ & & \multicolumn{6}{r|}{Orbity (m-1) rozm�rn� krychle stejn� velikosti}\\ \hline $\Sigma$: & \multicolumn{7}{c|}{Orbity m rozm�rn� krychle s velikost� c} \\ \hline \end{tabular}$$ Pon�vad� krychle jsou symetrick� pod�l sv�ch diagon�l, lze obr�tit po�ad� poloh s��tanc�. Nap��klad $$\begin{tabular}{|ccccccc|c|ccccccc|} \hline 1 & 1 & 1 & 1 & & & & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & = & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & & \\ \hline 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1 \\ \hline \end{tabular}$$ Definuj�ce po�et orbit p(m,n,c) na rovin� $m$ n rozm�rn� krychle se stranou $c$, m�me \begin{equation} p(m,n,c) = p(m,[n-1],c) + p([m-n],n,[c-1])\;. \end{equation} \section{Body v krychl�ch} \label{Body v krychl�ch} Zn�me celkov� po�et bod� s p�irozen�mi koordin�tami (jinak objem $m^n$) v krychli, nyn� chceme ur�it jejich rozd�len� podle jejich moment� v rovinn�ch simplexech. Pokud v�choz� simplexy nejsou useknuty, tato ��sla mus� b�t binomi�ln� koeficienty ${ m+k-1 \choose k}$. Podobn� ��sla se objev� na ohonech rozd�len�. Z prv�ch krychl� s $c=2$, lze snadno dedukovat rekurenci \begin{table} \caption{ Body v krychli s c=2} \label{ Body v krychli s c=2} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrr|r|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & $\Sigma$\\ \hline n=0 & 1 & & & & & & & & & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & & & & & & & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & & & & & 9 \\ 3 & 1 & 3 & 6 & 7 & 6 & 3 & 1 & & & 27 \\ 4 & 1 & 4 & 10 & 16 & 19 & 16 & 10 & 4 & 1 & 81 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Zde je rekurence jednoduch�. Ke ka�d�mu bodu $(n-1)$ rozm�rn� krychle p�id�me novou stranu s $c$ body. P�i�ten�m 0, 1 jednodu�e se��t�me $(c+1)$ orbit rozd�len� m�n� rozm�rn� krychle. Nap��klad �len 19 v posledn� ��dce se z�sk� jako 6 + 7+ 6.

Vzorec je \begin{equation} c_{ij} = \sum_{k=0}^{c} c_{i-1,j-k}\;. \end{equation} Nov� vektor se v�emi sv�mi mo�n�mi hodnotami se p�id� ke ka�d�mu rozd�len� na vhodn�m m�st�. Jin� mo�nost, jak vyrobit krychle, je zvy�ovat rozm�r $c$ krychle. Krychle rozd�ln�ch rozm�r� $m$ se n�sob� transponovanou matic� binomi�ln�ch koeficient� jak n�sleduje. Po�et bod� v�t�� krychle se objevuje na diagon�le $$\begin{tabular}{rrrr|rrrrr} & & & &\quad& 1 & 1 & 1 & 1 \\ & & & && & 1 & 2 & 3 \\ & & & && & & 1 & 3 \\ & & & && & & & 1 \\ \hline & & & && & & & \\ 1 & & & && 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & & && 3 & 4 & 5 & 6 \\ 9 & 3 & 1 & && 9 &12 &16 &21 \\ 27& 9 & 3 & 1&&27 &36& 48 &64 \\ \end{tabular}$$ T�� rozm�rn� krychle s $c=2$ m� 27 bod�. Transformuje se na t�� rozm�rnou krychli s $c=3$ p�i�ten�m $3\times2$ rozm�rn�ch krychl� (�tverc�), $3\times 1$ rozm�rn�ch krychl� (hran) $1\times0$ rozm�rn�ch krychl�, bodu s koordin�tami $(3, 3, 3)$. Nov� diagon�ln� prvky v inverzn�m uspo��d�n�, $64, 16, 4, 1,$ tvo�� novou z�kladnu dal�� krychle. Aby se zv�ila velikost krychle, je nutn� znovu uspo��dat diagon�ln� prvky a opakovat n�soben�. \section{Vektorov� �ady v krychl�ch} \label{Vektorov� �ady v krychl�ch} V podkapitole 11.2 jsme uk�zali, �e v jednotkov�ch krychl�ch se �ady po��taj� klesaj�c�mi faktori�ly. Pro jin� krychle se po�ty �ad neur�� tak snadno, av�ak nen� to zas a� tak nesnadn�, pokud to provedeme postupn�. Nap��klad pro $ c=2$ dostaneme tabulku \ref{Vektorov� �ady v krychli s c=2}. \begin{table} \caption{Vektorov� �ady v krychli s c=2} \label{Vektorov� �ady v krychli s c=2} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrr|r|} \hline m & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & $\Sigma$\\ \hline n=0 & 1 & & & & & & & & & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & & & & & & & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 4 & 6 & 6 & & & & & 19 \\ 3 & 1 & 3 & 9 & 24 & 54 & 90 & 90 & & & 271 \\ 4 & 1 & 4 &16 & 60 & 204 & 600 &1440 &2520 &2520 & 7365 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Abychom uk�zali, jak jsou vytvo�eny prvky tabulky \ref{Vektorov� �ady v krychli s

c=2}, uk�eme v�sledek pro $s_{45}$: $600 = 90 + 5\times 54 + 10\times24$. Z�skali jsme body v krychl�ch se��t�n�m $(c+1)$ prvk� m�n� rozm�rn� krychle (11.9). V tomto p��pad� je nutn� permutovat p�idan� symboly se symboly odpov�daj�c� �ady s $ (n-1)$ symboly. To se provede n�soben�m odpov�daj�c�ch ��sel s binomi�ln�mi koeficienty. Rekurence je tedy \begin{equation} s_{ij} = \sum_{k=0}^c { m \choose k}s_{i-1,j-1}\;. \end{equation} Jin� mo�nost jak dostat v�t�� krychli zv�t�ov�n�m stran n rozm�rn� krychle d�v� tak� mo�nost, jak nal�zt rekurentn� vzorce po�tu �ad. Pro $n=2$ (�tverce), dostaneme tabulku \ref{�ady v 2 rozm�rn�ch krychl�ch}. \begin{table} \caption{ �ady v 2 rozm�rn�ch krychl�ch} \label{�ady v 2 rozm�rn�ch krychl�ch} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrr|r|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & $\Sigma$\\ \hline c=0 & 1 & & & & & & & & & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 2 & & & & & & & 5 \\ 2 & 1 & 2 & 4 & 6 & 6 & & & & & 19 \\ 3 & 1 & 2 & 4 & 8 &14 &20 &20 & & & 69 \\ 4 & 1 & 2 & 4 & 8 &16 &30& 50 &70 &70 &201 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Rekurence je \begin{equation} s_{i0} = 1;\ s_{ij} = s_{i-1,j-1} + s_{i,j-1};\ s_{ij} = 0,\ \mbox{mimo krychli}\;. \end{equation} V�dy jsou dv� mo�nosti, jak prodlou�it �ady, vyjma �ady vedouc� k zadn�m stran�m. Prv� odpov�d� �lenu $s_{i,j-1}$, na druhou mo�nost uvnit� �tverce se pamatuje po��t�n�m �ad z men��ho �tverce $s_{i-1,j-1}$. Je tak� mo�n� posunout krychli v jej�m prostoru, kdy jej� bod s nejni���m momentem nesouhlas� s po��tkem soustavy koordin�t. Po�et orbit a bod� se nezm�nil touto operace, av�ak po�et �ad ano. \section{P�irozen� krychle - e konstanta} \label{P�irozen� krychle - e konstanta} Uk�zali jsme, �e jednotkov� krychle jsou vytvo�eny vzorcem 1.3. �len 1 v $(1+{\bf e}_j)$ se interpretoval jako ${\bf e}_j^0$. Objem krychle z�vis� na jej� z�kladn� $m$ a na jej� rozm�rnosti $n$. Nyn� budeme studovat, jak� m� krychle objem $e$, pokud se jej� strana bl�� k jedn� a jej� rozm�rnost k nekone�nu. Pokus�me se nal�zt, jakou hodnotu m� limita \begin{equation} e = \lim_{z\rightarrow\infty}(1 + 1/z)^z \end{equation} \label{e Con}

Argument v \ref{e Con} m�e b�t bu� kladn� nebo z�porn�. Z�kladna $e$ krychle le�� mezi krychlemi s cel�mi ��sly $1 < (1+1/z) < 2$. Kdy� $z =1$, v�sledkem je $1.5$ m�sto $2^1$. Kdy� $z =2$, v�sledkem je $1.5^2=2.25$ m�sto $2^2$. Vyhodnocen�m binomi�ln�ho rozvoje (11.7), dostaneme nerovnosti \begin{equation} \sum^{\infty}_{k=0}1/k! < e = \sum^{\infty}_{k=0}{ z \choose k}1/k! < 1 + \sum^\infty_{k=0}1/2^k = 3\;. \end{equation} S pou�it�m sofistikovan�ch matematick�ch argument� lze dok�zat, �e ��slo $e$ mus� b�t v�t�� ne� sou�et inverzn�ch faktori�l�. Pon�vad� by m�l b�t sou�asn� men��, nejlep�� �e�en� je to, kde ob� limity jsou toto�n�. Konstanta $e$ je iracion�ln� ��slo a jej� prv� ��slice jsou $e = 2.71828\dots$. Sou�et inverzn�ch faktori�l� se bl�� rychle k p�esn� hodnot�. Tedy prv�ch sedm �len� d�v� $$e = 1 + 1 +1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + 1/720 = 2,71805\;.$$ P��t� �len je 1/5040 = 0.000198. Opravuje �tvrt� decim�ln� m�sto. Pokud $z$ je z�porn�, substituce $z = -(t+1)$ se vlo�� do vzorce (11.7), a pak n�jak� �pravy ukazuj�, �e se z�sk� op�t ��slo $e$: \begin{eqnarray} \lim_{t\rightarrow\infty}[1 - 1/(t+1)]^{-(t+1)} = \lim [t/(t+1)]^{-(t+1)} = \\ \nonumber lim(1 + 1/z)^{t+1} \times \lim(1 +1/z) = e\times1 = e\;. \end{eqnarray} Vytvo�uj�c� funkce $e$ krychle m� n�kter� d�le�it� vlastnostmi, kter� z n� d�laj� u�ite�n� n�stroj. Kdy� se pou�ije substituce $x = az$, limitou v�razu \begin{equation} \lim_{x\rightarrow\infty} (1 + a/x)^x = e^ = exp(a) \end{equation} je $a$-t� mocnina ��sla $e$. Tato vlastnost ��sla $e$ se vyu��v� p�i pou�it� $e$ jako z�kladny p�irozen�ch logaritm�. Kdy� se vr�t�me k funkci rostouc�ho faktori�lu (10.8), kter� po��t� �ady v jednotkov�ch krychl�ch, potom po�et v�ech �ad v nekone�n� jednotkov� krychli se m�e vyj�d�it s pou�it�m konstanty $e$: \begin{equation} \lim_{n \rightarrow \infty} n!\sum^{\infty}_{k=0} 1/k! = en!\;. \end{equation} Pozn�mka: Aby se nat�ela polovina vn�j��ch stran krychlov�ho kanistru v nekone�n� rozm�rn�m prostoru, je pot�eba v�ce barvy, �e je objem kanistru. \chapter{Matice s cel�mi ��sly} \label{Matice s cel�mi ��sly} \section{Na �vod varov�n�} \label{Na �vod varov�n�}

Tato kapitola z�stane pouze n��rtem. D�vodem je, �e je prakticky nemo�n� pojednat jej� obsah systematicky, jak se to provedlo s naivn�mi maticemi. Zbytek kapitoly se vyu�ije pro zaveden� n�jak�ho materi�lu, kter� pat�� do n�sleduj�c�ch kapitol. \section{Matice s jednotkov�mi symboly} \label{Matice s jednotkov�mi symboly} Zah�jili jsme na�e studia permuta�n�mi maticemi maj�c�mi v ka�d� ��dce a sloupci pouze jeden jednotkov� symbol. Potom jsme p�idali naivn� matice, maj�c�mi toto omezen� pouze pro ��dky a transponovan� naivn� matice, kde se pou�ilo pro sloupce. P��t�m krokem je dovolit, aby jednotky byly vlo�eny na jak�koliv dosa�iteln� m�sto matice. U� v�me, �e po�et t�chto matic bude ur�en binomi�ln�m koeficientem. Pro matice s $m$ sloupci a $n$ ��dky, s k jednotkov� prvky v matici po�et mo�n�ch konfigurac� bude ur�en binomi�ln�m koeficientem ${ mn \choose k}$. Tyto konfigurace se mohou spo��tat s pou�it�m tabulek maj�c�ch dv� orbity rozd�len� do ��dk� a tak� do sloupc�. Nap��klad pro $m=n=k=4$ dostaneme tabulku 12.1. \begin{table} \caption{Rozd�len� jednotkov�ch matic// $m=n=k=4$} \label{Rozd�len� jednotkov�ch matic $m=n=k=4$} \begin{tabular}{|l|ccccc|c|} \hline Rozd�len� & 4 & 31 & 22& 211 &1111 & $\Sigma$ \\ & & & & & ${\bf N}$ & \\ \hline 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 \\ 31 & 0 & 0 & 0 & 144 & 48 & 192 \\ 22 & 0 & 0 & 36 & 144 & 36 & 216 \\ 211 & 0 &144 & 144 & 720 & 144 & 1152 \\ \hline $1^4 {\bf N}^{\rm T}$ & 4 & 48 & 36 & 144 & 24 & 256 \\ \hline $\Sigma$ & 4 &192 & 216 &1152 & 256 & 1820 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Tabulka 12.1 d�v� p�edstavu. V prostoru se objevily nov� vektorov� �ady. Ty vedou ke stejn�m bod�m jako naivn� matice, av�ak jejich orbity nejsou jednoduch�mi orbitami rozd�len� av�ak {\em vzorov�mi orbitami}, kter� jsou sou�iny dvou rozd�len�, jednoho pro ��dky a druh�ho pro sloupce. Nap��klad vzor vytvo�en� sou�inem rozd�len� $(211\times310)$ je $$\left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\;.$$ To je Ferrers�v graf. Existuje 6 mo�n�ch permutac� ��dk� tohoto vzoru (v�echny ��dky jsou rozd�ln�), kter� se kombinuj� s permutacemi �tvrt� nulov� ��dky. Dva sloupce jsou stejn�. Tedy existuj� 3 mo�n� permutace, kter� se kombinuj� s permutacemi �tvrt�ho nulov�ho sloupce.

Sou�in rozd�len� $(211\times211)$ m� dva vzory: $$\left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$ se v�emi mo�n�mi $36 = 3!\times3!$ permutacemi ��dk� a sloupc� a druh� $$\left( \begin{array}{rrr} * & 1 & 1 \\ 1& 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$ s 9 permutacemi nulov�ho prvku ozna�en�ho *. Jednotkov� prvky zapl�uj� pouze ozna�en� ��dek a sloupec. Tyto permutace vzor� se n�sob� 16 permutacemi �tvrt� ��dky a sloupce s nulov�mi prvky. Je snadn� spo��tat v�echny permutace dan�ho vzoru, av�ak je nesnadn�j�� nal�zt v�echny vzory vytvo�en� dan�m sou�inem rozd�len�. Celkov� po�et jednotkov�ch vektor� s konstantn�mi sou�ty je dan� ��dkov�mi nebo sloupcov�mi sou�ty prvk� tabulek podobn�ch tabulce 12.1. Pro pot�e s notac� uvedeme vzorec pouze pro sloupcov� sou�ty, kde m�eme pou��t symbol $n_i$ pro po�et identick�ch binomi�ln�ch koeficient� \begin{equation} \sum (n!/\prod n!){ m \choose k_j}^{n_j} = { mn \choose k};\ \sum_{j=1}^n k_j = k\;. \end{equation} Sou�et se provede p�es v�echna mo�n� rozd�len�. Sou�in binomi�l� nen� omezen� jak�mikoliv podm�nkami na sloupcov� sou�ty a tedy jednotky v ka�d� ��dce mohou b�t rozd�leny nez�visle, potom se ��dky z�skan� takov�m zp�sobem permutuj� ($n=m$), av�ak $n!$ nadhodnocuje permutace ��dk� se stejn�mi sou�ty, tedy v�sledek se mus� pod�lit ��ste�n�mi faktori�ly. \section{Matice s p�irozen�mi ��sly} \label{Matice s p�irozen�mi ��sly} Nyn� se p��t� krok zd� b�t snadn�. Matice je mn rozm�rn� vektor a pokud lze do n� um�stit k jednotkov�ch prvk� bez jak�hokoliv omezen�, po�et v�ech mo�n�ch vektor� je dan� binomi�ln� koeficientem (10.2) ${ mn+k \choose k}$. Tabulka 12.1 by m�la b�t dopln�na 2056 nov�mi vstupy, aby se dostalo ${ 19 \choose 4}$ rozd�ln�ch matic m�sto ${ 16 \choose 4}$ matic s jednotkov�mi prvky. Nov� vzory zapl�uj� tabulku odli�n�, viz tabulku 12.2 \begin{table} \caption{Matice s prvky $\geq\;1$} \label{Matice s prvky $>$1} \begin{tabular}{|r|ccccc|c|} \hline

Rozd�len�& 4 & 31 & 22 & 211 &1111 & $\Sigma$\\ \hline 4 & 16 & 48 & 24 & 48 & 0 & 136 \\ 31 & 48 & 288 &144 & 288 & 0 & 768 \\ 22 & 24 & 144& 72 & 144 & 0 & 384 \\ 211 & 48 & 288 &144 & 288 & 0 & 768 \\ \hline $\Sigma$ &136 & 768& 384 & 768 & 0 & 2056 \\ \hline 1111 & 4 & 192 &216 &1152 & 256 & 1820 \\ \hline $\Sigma$ &140 & 960 &600 &1920 & 256 & 3876 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Je prakticky nemo�n� sledovat v�ech mo�n� vzory maticov�ch vektor�, jak jsme to provedli d��ve. Jedna jejich zvl�tn� t��da byla studov�na systematicky, matice maj�c� v ka�d� ��dce p�esn� dva jednotkov� symboly. Tyto vzory se rozvinuly do speci�ln� v�tve matematiky, teorii graf� (viz p��t� kapitolu). V p�edch�zej�c�ch kapitol�ch jsme se��tali vektory rozd�len�, to je po�et Ferrersov�ch graf�. To je sou�asn� po�et diagon�ln�ch vzor� odpov�daj�c� kvadratick�m form�m naivn�ch matic. Tyto vzory lze srovn�vat se symetrick�mi jednotkov�mi vzory ${\bf JJ}^{\rm T}_j$ matic s $m_j$ prvky, co� je vzor ��sla $\Sigma m_j^2$. \section{Interpretace matic s p�irozen�mi ��sly} \label{Interpretace matic s p�irozen�mi ��sly} Pokud diagon�ln� matice se prom�t� na jednotkov� vektor ��dku ${\bf J}^{\rm T}$, v�sledkem je vektor ��dka odpov�daj�c� vektoru ��dce zobecn�n�ch matic s p�irozen�mi ��sly. Je tedy mo�n� ps�t takovou matici jako �adu projekc� kvadratick�ch forem naivn�ch �ad na n�sledn� jednotkov� vektory ��dky. \begin{equation} ({\bf J}_1^{\rm T}{\bf N}_1^{\rm T}{\bf N}_1, \ {\bf J}_2^{\rm T}{\bf N}_2^{\rm T}{\bf N}_2, \ {\bf J}_3^{\rm T}{\bf N}_3^{\rm T}{\bf N}_3)^{\rm T}\;. \end{equation} Jin� mo�nosti budou uk�zan� pozd�ji. M�eme interpretovat matici ${\bf M}$ spole�n� s jej� transponovanou matic� ${\bf M}^{\rm T}$, vzatou v blokov� form� $$\left( \begin{array}{cc} {\bf 0} & {\bf M}^{\rm T} \\ {\bf M} & {\bf 0} \end{array} \right)\;,$$ jako matici sousedstv� ${\bf A}$ dvojd�ln�ho grafu s n�sobn�mi hranami (viz p��t� kapitolu). \section{Matice koordin�t} \label{Matice koordin�t}

Interpretovali jsme ��dky v matici jako �ady n�sledn�ch vektor�. Existuje je�t� jin� v�klad. ��dky jsou tak� simult�nn� vektory ur�uj�c� polohy rozd�ln�ch bod� nebo objekt�. Matice $$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)$$ d�v� pro dva rozd�ln� body (nebo objekty) stejnou adresu. To je mo�n�, pokud adresa $(1, 0)$ je nap��klad d�m nebo box. Tedy je nutn� studovat mo�nost, �e matice definuj� polohy $m$ bod� v prostoru, �e jsou to seznamy koordin�t v ortogon�ln�ch os�ch. Takov� seznam tvo�� {\em matici koordin�t} ${\bf C}$, jej� prvky $c_{ij}$ jsou koordin�ty $m$ bod� (vrchol�, objekt�) $i$ na $n$ os�ch. Matice sloupec $$\begin{array}{cc} {\bf A} = (0, 1, 2, 3, 4)^{\rm T} \end{array}$$ ur�uje koordin�ty p�ti bod� le��c�ch na p�irozen� ��seln� ose. Mezi v�emi body jsou jednotkov� vzd�lenosti. Matice $$\begin{array}{cc} ${\bf B}$ = & \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \right)^{\rm T} \end{array}$$ ur�uje koordin�ty p�t bod� oto�en�ch do dvou rozm�rn� roviny. Jinou p��mkovou konfigurac� p�ti bod� je rovinn� simplex $$\begin{array}{cc} ${\bf C}$ = & \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right)^{\rm T} \end{array}$$ To jsou p��klady nejjednodu���ch pravideln�ch struktur p�ti bod�, rovnom�rn� rozm�st�n�m p��m�m �et�zcem. Pokud se najdou kvadratick� formy ${\bf CC}^{\rm T}$ matic koordin�t, maj� na sv�ch diagon�l�ch �tverce Euklidovsk�ch vzd�lenost� ka�d�ho bodu od st�edu soustavy koordin�t

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} ${P��klad}{\bf A}$ \\ \\ \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 3 & 6 & 9 & 12\\ 0 & 4 & 8 & 12& 16 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} ${P��klad}{\bf B}$ \\ \\ \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 4 & 8 & 12& 16\\ 0 & 6 & 12& 18& 24\\ 0 & 8 & 16& 24& 32 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{c} ${P��klad}{\bf C}$ \\ \\ \left( \begin{array}{ccccc} 16& 12& 8 & 4 & 0 \\ 12& 10& 6 & 3 & 0 \\ 8 & 6 & 4 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 2 & 10& 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 16 \end{array} \right) \end{array}$$ Mimodiagon�ln� prvky jsou kvadratick� sou�iny obou vzd�lenosti i a j. Koordin�ty bod� tvo�� v prostoru struktury. Pokud �et�zec je ohebn�, m�e se navinout na hran� jednotkov� krychle $$\begin{array}{c} ${\bf D}$ \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\

1 & 1 & 1 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Zde jsou um�st�ny �ty�i body na vrcholy t��rozm�rn� krychle. Jinou konfigurac� je $$\begin{array}{c} ${\bf E}$ \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Zde v�echny �ty�i koordin�ty v prv�m sloupci jsou nuly. Ty lze tedy zanedbat. Prvn� bod le�� ve st�edu soustavy koordin�t, druh� na konci druh�ho jednotkov�ho vektoru, t�et� na konci t�et�ho jednotkov�ho vektoru. Body jsou ve vztahu jako v t��rozm�rn�m rovinn�m komplexu. Vzd�lenosti mezi nimi nejsou stejn�. Prv� bod je v jednotkov� vzd�lenosti k ostatn�m t�em bod�m, vzd�lenosti mezi t�mito t�emi body jsou zdvojeny. Konfigurace �ty� bod� ur�en� matic� koordin�t $$\begin{array}{c} ${\bf F}$ \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$ odpov�d� pravideln�mu �ty�st�nu.

�et�zec je navinut na jeho vrcholy.

\section{Orientovan� a neOrientovan� grafy jako vektorov� �ady} \label{Orientovan� a neOrientovan� grafy jako vektorov� �ady} Pokud nakresl�me diference dvou vektor� $({\bf e}_b - {\bf e}_a)$, jako na obr. 3.2, odpov�d� to p�ijat�m konvenc�m pro kreslen� orientovan�ch hran orientovan�ch graf� (viz p��t� kapitolu). Inciden�n� matice ${\bf S}$ grafu je jen diferenc� dvou naivn�ch matic $${\bf S}= {\bf N}_ - {\bf N}_b\;,$$ jak byl uk�z�no v ��sti 3.3. Je to oper�tor, kter� p�ev�d� vektorovou �adu v jinou. Vektorov� �ada je kontinu�ln� cesta ve vektorov�m prostoru, oper�tor p�ev�d�j�c� jednu vektorovou �adu v jinou je tak� kontinu�ln�. Zd� se, �e je to plocha mezi dv�ma �adami vektor� ��dek, a mohli bychom si ji p�edstavit jako

plochu. Av�ak, kdy� provedeme n�sledn� rozd�ly u v�ech p�r� jednotkov�ch vektor�, dostaneme op�t line�rn� vektor. Smy�ka p�ev�d� jednotkov� vektor v s�m sebe. V�echny tyto vektory le�� v rovin� ortogon�ln� k jednotkov�mu diagon�ln�mu vektoru ${\bf I}$. Jin� mo�nost, jak interpretovat orientovan� grafy je diference uvnit� samotn�ch �ad. Nap��klad �ada ${\bf abcda}$ obsahuje p�echody ${\bf a}$ na ${\bf b}$,${\bf b}$ na ${\bf c}$, ${\bf c}$ na ${\bf d}$ a ${\bf d}$ na ${\bf a}$. Rozd�l je tedy: $$\begin{array}{cccccc} ${\bf a}$ & $\rightarrow$ & ${\bf b}$ & & & \\ & ${\bf b}$ & $\rightarrow$ & ${\bf c}$ & & \\ & & ${\bf c}$ & $\rightarrow$ & ${\bf d}$ & \\ & & & ${\bf d}$ & $\rightarrow$ & ${\bf a}$\;. \end{array}$$ Podobn� se mohou porovn�vat rozd�ly p�i v�t��ch vzd�lenostech. \begin{figure} \caption{Dv� diagon�ln� �ady v t��rozm�rn� krychli 0-2. Najdi zb�vaj�c� �ty�i} \label{Dv� diagon�la �ady v t��rozm�rn� krychli 0-2.} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(130.00,110.00) \put(40.00,30.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} \put(60.00,40.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} %\emline(20.00,80.00)(60.00,100.00) \multiput(20.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(80.00,80.00)(120.00,100.00) \multiput(80.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(50.00,80.00)(90.00,100.00) \multiput(50.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(90.00,100.00)(90.00,40.00) \put(90.00,100.00){\line(0,-1){60.00}} %\end %\emline(90.00,40.00)(50.00,20.00) \multiput(90.00,40.00)(-0.24,-0.12){167}{\line(-1,0){0.24}} %\end %\emline(50.00,20.00)(50.00,80.00) \put(50.00,20.00){\line(0,1){60.00}} %\end %\emline(20.00,20.00)(60.00,40.00) \multiput(20.00,20.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(80.00,20.00)(120.00,40.00) \multiput(80.00,20.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(20.33,50.33)(80.00,50.33) \put(20.33,50.33){\line(1,0){59.67}} %\end %\emline(80.00,50.33)(120.00,70.00) \multiput(80.00,50.33)(0.24,0.12){164}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(120.00,70.00)(60.00,70.00) \put(120.00,70.00){\line(-1,0){60.00}} %\end

%\emline(60.00,70.00)(20.00,50.33) \multiput(60.00,70.00)(-0.24,-0.12){164}{\line(-1,0){0.24}} %\end %\emline(40.00,60.00)(100.00,60.00) \put(40.00,60.00){\line(1,0){60.00}} %\end %\emline(70.67,90.00)(70.67,30.00) \put(70.67,90.00){\line(0,-1){60.00}} %\end \put(20.00,20.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} \put(20.00,20.00){\circle{4.00}} \put(40.00,60.00){\circle{4.00}} \put(70.67,90.00){\circle{4.00}} \put(120.00,100.00){\circle{4.00}} \put(71.00,30.00){\circle{4.00}} \put(100.00,60.00){\circle{4.00}} %\emline(20.00,20.00)(40.00,60.00) \multiput(20.00,20.00)(0.12,0.24){167}{\line(0,1){0.24}} %\end %\emline(40.00,60.00)(71.00,90.00) \multiput(40.00,60.00)(0.12,0.12){251}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(71.00,90.00)(120.00,100.00) \multiput(71.00,90.00)(0.58,0.12){84}{\line(1,0){0.58}} %\end %\emline(120.00,100.00)(100.00,60.33) \multiput(120.00,100.00)(-0.12,-0.24){167}{\line(0,-1){0.24}} %\end %\emline(100.00,60.33)(70.67,30.00) \multiput(100.00,60.33)(-0.12,-0.12){245}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(70.67,30.00)(20.33,20.00) \multiput(70.67,30.00)(-0.60,-0.12){84}{\line(-1,0){0.60}} %\end \end{picture} \end{figure} Orientovan� �pln� grafy $K_n$ tvo�� 2 rozm�rn� hrany (zn�m� jako orientovan� hrany) rovinn�ch simplex�. NeOrientovan� grafy jsou �ady vektor� ortogon�ln�ch k ploch�m odpov�daj�c�ch orientovan�ch graf�. Neorientovan� �pln� grafy $K_n$ jsou vektorov� �ady jdouc� od st�edu koordin�t k nejvzd�len�j��mu konci jednotkov� krychle, jej� strany jsou diagon�ly n rozm�rn� jednotkov� krychle, nebo jinak, k nejvzd�len�j��mu konci krychle se stranou 0-2, jak je uk�zan� na obr. 12.1. Jin� grafy odpov�daj� multimno�in�m z t�chto z�kladen, definovan�ch jako rozd�ly nebo sou�ty naivn�ch matic. Hrany a orientovan� hranov� graf� tvo�� prostor, jeho� symetrie je slo�it�j�� ne� symetrie naivn�ch matic. Rekurzivn� definice kanonick� formy inciden�n� matice ${\bf S}$ �pln�ho orientovan�ho grafu $K_n$ je \begin{equation} \left( \begin{array}{cc} {\bf S}_{n-1} & {\bf 0}_{n-1} \\ -{\bf I}_{n-1} & {\bf J}_{n-1} \end{array} \right) \end{equation}

kde ${\bf 0}_{n-1}$ je nulov� vektor-sloupec. Podobn� je kanonick� forma �pln�ho neorientovan�ho grafu $K_n$ \begin{equation} \left( \begin{array}{cc} {\bf G}_{n-1} & {\bf 0}_{n-1} \\ {\bf I}_{n-1}& {\bf J}_{n-1} \end{array} \right)\;. \end{equation} \section{Kvadratick� formy inciden�n� matice.} \label{Kvadratick� formy inciden�n� matice.} Jednoduch� cvi�en� v n�soben� matic ukazuje, �e kvadratick� formy inciden�n�ch matic neorientovan�ch a orientovan�ch graf� maj� formu \begin{equation} ({\bf N}^{\rm T}_ + = ({\bf N}^{\rm T}_ + {\bf N}_b^{\rm T} + {\bf N}_b^{\rm T} \end{equation}

{\bf {\bf {\bf {\bf

N})^{\rm T}_b({\bf N}_a+ {\bf N}_b) N}_a N}_b) + ({\bf N}_a^{\rm T} {\bf N}_b N}_a)

\begin{equation} ({\bf N}^{\rm T}_ = ({\bf N}^{\rm T}_ + {\bf N}_b^{\rm T} + {\bf N}_b^{\rm T} \end{equation}

{\bf {\bf {\bf {\bf

N})^{\rm T}_b({\bf N}_ - {\bf N}_b) N}_a N}_b) - ({\bf N}_a^{\rm T} {\bf N}_b N}_a)

Kvadratick� formy jsou slo�en� ze dvou ��sti: Diagon�ln� matice ${\bf V}$ tvo�en� sou�tem kvadratick�ch forem dvou naivn�ch matic ${\bf N}_a$ a ${\bf N}_b$. Diagon�ln� prvky $v_j$ jsou zn�m� jako{\em stupn�} odpov�daj�c�ch vrchol�. Sou�et skal�rn�ch sou�in� $$({\bf N}_a^{\rm T} {\bf N}_b + {\bf N}_b^{\rm T} {\bf N}_a)$$ tvo�� mimodiagon�ln� prvky. Je zn�m� jako matice sousedstv� ${\bf A}$ grafu. Jej� prvky $a_{ij}$ ukazuj�, kter� vrcholy soused� a v multigrafech, tolik linek spojuje oba vrcholy. Pro to je nutn� m�t v inciden�n� matici identick� jednotkov� ��dky nebo jednu ��dku s odmocninou n�sobnosti ��dky. Diagon�ln� matice ${\bf V}$ a matice sousedstv� ${\bf A}$ se mohou z�skat jako sou�et nebo rozd�l kvadratick�ch forem neorientovan�ho a orientovan�ho grafu \begin{equation} {\bf V}= 1/2({\bf G}^{\rm T} {\bf G}+ {\bf S}^{\rm T} {\bf S}) \label{v} \end{equation} \begin{equation} {\bf A}= 1/2({\bf G}^{\rm T} {\bf G}- {\bf S}^{\rm T} {\bf S}) \label{a}

\end{equation} \begin{figure} \caption{Dekompozice kvadratick�ch forem ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ a ${\bf G}^{\rm T} {\bf G}$ na diagon�ln� vektor ${\bf V}$ a maticov� vektor sousedstv� ${\bf A} $. ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ a ${\bf G}^{\rm T} {\bf G}$ jsou ortogon�ln�} \label{Dekompozice} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(100.00,70.00) %\vector(70.33,20.00)(20.00,50.00) \put(20.00,50.00){\vector(-3,2){0.2}} \multiput(70.33,20.00)(-0.20,0.12){251}{\line(-1,0){0.20}} %\end %\vector(70.33,20.00)(120.33,50.00) \put(120.33,50.00){\vector(3,2){0.2}} \multiput(70.33,20.00)(0.20,0.12){251}{\line(1,0){0.20}} %\end %\vector(70.33,20.33)(70.33,50.00) \put(70.33,50.00){\vector(0,1){0.2}} \put(70.33,20.33){\line(0,1){29.67}} %\end %\vector(70.33,50.00)(120.00,50.00) \put(120.00,50.00){\vector(1,0){0.2}} \put(70.33,50.00){\line(1,0){49.67}} %\end %\vector(70.33,50.00)(20.00,50.00) \put(20.00,50.00){\vector(-1,0){0.2}} \put(70.33,50.00){\line(-1,0){50.33}} %\end \put(20.00,60.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$}} \put(45.00,60.00){\makebox(0,0)[cc]{-${\bf A}$}} \put(70.33,60.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf V}$}} \put(95.33,60.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf A}$}} \put(120.00,60.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf G}^{\rm T} {\bf G}$}} \put(70.33,20.00){\circle{4.00}} \put(70.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \end{picture} \end{figure} Vztah obou kvadratick�ch forem je uk�zan� sch�maticky na obr�zku \ref{Dekompozice}. Hilbertova d�lka diagon�ln�ho vektoru ${\bf V}$ je 2m, dvojn�sobek po�tu ��dk� v inciden�n� matici. Maticov� vektor sousedstv� ${\bf A}$ m� stejnou d�lku a je opa�n� orientovan� v obou kvadratick�ch form�ch, tedy ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ a ${\bf G}^{\rm T} {\bf G}$ kon�� na rozd�ln�ch rovin�ch. Pokud graf je {\em pravideln�}, $v_j = const$, potom diagon�ln� matice ${\bf V}$ je koline�rn� s jednotkov�m diagon�ln�m vektorem ${\bf I}$ a matice sousedstv� ${\bf A}$ m� tak� stejn� sm�r. Diagon�ln� prvky matice sousedstv� ${\bf A}$ jsou nuly. Je tedy mo�n� pou��t je ned�sledn� pro z�znam smy�ek u grafu se smy�kami. U orientovan�ch graf� ��dky odpov�daj�c� smy�k�m jsou nulov�. Av�ak u neorientovan�ch graf� ��dka odpov�daj�c� smy�ce m� hodnotu 2, co� d�v� jako �tverec 4 a s pou�it�m vzorc� \ref{v} a \ref{a} hodnota smy�ky 2 se objevuje automaticky. Jin� kvadratick� formy ${\bf GG}^{\rm T}$ a ${\bf SS}^{\rm T}$ maj� na diagon�le 2 a po�et jednotkov�ch vektor� v ��dc�ch inciden�n� matice. To je v souladu s faktem, �e ka�d� spojnice se registruje dvakr�t v matici ${\bf V}$ stejn� jako v matici ${\bf A}$. Mimodiagon�ln� prvky jsou $\pm 1$, pokud dva ��dky soused� a

maj� spole�n� vrchol. Mimodiagon�ln� prvky tvo�� takov�m zp�sobem matice sousedstv� liniov�ch graf�. Av�ak u orientovan�ch graf� tento v�klad je znesnadn�n znam�nky, kter� mohou b�t kladn� i z�porn�. Tento vzor znam�nek z�vis� na vz�jemn� orientaci orientovan�ch hran. Nelze jej p�edv�dat a mus� se ur�it odd�len�. \section{Inciden�n� matice �pln�ch graf� $K_n$ jako oper�tory} \label{Inciden�n� matice �pln�ch graf� $K_n$ jako Oper�tory} Jednotkov� matice ${\bf J}$ (${\bf J}^{\rm T}$) jsou oper�tory, kter� se��taj� ��dku (nebo sloupec) prvk� matice, na kterou p�sob�, nebo p�en�ej� je do v�sledn�ho vektoru-��dky (nebo vektoru-sloupce). V kanonick� form� inciden�n�ch matic �pln�ch graf� $K_n$ se jednotkov� matice ${\bf J}$ kombinuj� s jednotkov�mi maticemi ${\bf I}$ se z�porn�mi znam�nky. Inciden�n� matice �pln�ch graf� $K_n$ jsou r�mcov� oper�tory\footnote{Je podivn�, �e takov� element�rn� v�ci lze objevit na konci dvac�t�ho stolet�. Mo�n� byly jen zapomenuty.}. Operace r�mov�n� se pou�ije na kvadratick� formy matic koordin�t dvakr�t. Nejprve se or�muje ${\bf CC}^{\rm T}$ je or�movan� \begin{equation} {\bf S}(*){\bf S}^{\rm T} \end{equation} nebo \begin{equation} {\bf G}(*){\bf G}^{\rm T}\;. \end{equation} V�sledkem t�to operace je v�t�� matice s ${ n \choose 2}$ ��dky a sloupci. Prvky v sou�inu jsou rozd�ly (sou�ty) v�ech p�r� prvk� or�movan� matice. Sou�in se �t�p� na diagon�ln� a ��sti. Diagon�ln� ��st se op�t or�muje, nyn� v r�me�ku shrnuj�c�m diagon�ln� prvky zp�t do n rozm�rn� symetrick� matice \begin{equation} {\bf S}^{\rm T}(*){\bf S} \label{c} \end{equation} nebo \begin{equation} {\bf G}^{\rm T}(*){\bf G} \label{d} \end{equation} Tato operace tvo�� druhou diferenci (sou�et) (sou�t�).

${ n \choose 2}$ prvn�ch diferenc�

Jednotkov� diagon�ln� matice ${\bf I}$ d�v� ${\bf S}({\bf I}){\bf S}^{\rm T}$. To je matice ${\bf SS}^{\rm T}$ �pln�ho grafu $K_4$. �ty�i diagon�ln� prvky ${\bf I}$ se rozvinuly do �esti diagon�ln�ch prvk� sou�inu. Diagon�ln� prvky (2) jsou rozd�ly koordin�t (nebo �tverce vzd�lenost�, pon�vad� ${\bf I} = {\bf I}^2$) �ty� vrchol� pravideln�ho �ty�st�nu. Diagon�ln� prvky jsou uspo��d�ny zp�t do �ty� rozm�r� jako v \ref{c} nebo \ref{d}. \section{Blokov� sch�mata} \label{Blokov� sch�mata}

Jak jsme �ekli, je mo�n� studovat systematicky matice s libovoln�m po�tem jednotkov�ch prvk� v ��dce. Z praktick�ch d�vod� tento po�et mus� b�t konstantn� jinak by byly pouze speci�ln� konfigurace dostupn� pro v�po�ty. Z matic maj�c�ch k jednotkov�ch prvk� v ka�d� ��dce byly studov�ny pouze matice maj�c� zvl�tn� vlastnosti odpov�daj�c� vlastnostem �pln�ch graf�. Takov� matice jsou zvan� {\em blokov� sch�mata} ${\bf B}$ a d�vaj� kvadratick� formy \begin{equation} {\bf B}^{\rm T}{\bf B}= (l -r){\bf I}+ r{\bf JJ}^{\rm T} \end{equation} \label{e} kde $r$ je konektivita bloku. N�kdy se klade na blokov� sch�mata p��sn�j�� podm�nka, jejich matice mus� b�t �tverce jednotky a jejich ob� kvadratick� formy ekvivalentn� \begin{equation} {\bf B}^{\rm T}{\bf B}= {\bf BB}^{\rm T}. \end{equation} Neorientovan� �pln� graf $K_3$ je blok s $l = 3$, $r = 1$. Jin� $K_n$ nejsou bloky, pon�vad� v jejich ${\bf GG}^{\rm T}$ se objevuj� nulov� prvky. Rovnice \ref{e} ukazuje, �e ka�d� jednotkov� vektor ${\bf e}_j$ se mus� objevit v sch�matu l-kr�t, ka�d� p�r prvk� r-kr�t. ��sla m, n, k, l,r jsou omezena n�sleduj�c�mi podm�nkami \begin{equation} mk = nl \quad \label{f} \end{equation} \begin{equation} l(k-1) = r(n-1) \label{g} \end{equation} (\ref{f}) po��t� po�et jednotek v ��dc�ch a sloupc�ch, (\ref{g}) p�ry v ��dc�ch, $mk(k-1)/2$ a v kvadratick� form� $rn(n-1)/2$. Kdy� se pod�l� ob� strany l/2, v�sledek se zjednodu�� na kone�n� tvar. Nejjednodu���m p��kladem blokov�ho sch�matu je matice s $m=n=4, k=l=3, r=2$: $$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\;.$$ Blokov� sch�mata s $k=3$ jsou zn�m� jako Steinerovy trojky. Je jasn�, �e konstrukce blokov�ch sch�mat a nalezen� jejich po�tu nen� jednoduch� �loha. Pokud m�te z�jem, doporu�uje se kniha \cite{[8]}. \section{\Hadamardovy matice} \label{Hadamardovy matice}

Jinou zvl�tn� t��dou matic jsou {\em Hadamardovy matice} ${\bf H}$ s prvky $h_{ij} = \pm 1$ a kvadratick�mi formami \begin{equation} {\bf H}^{\rm T}{\bf H}= {\bf HH}^{\rm T} = n{\bf I}\;. \end{equation} To znamen�, �e v�echny ��dky a sloupce Hadamardovy matice jsou ortogon�ln�. P��klady dvou nejni���ch Hadamardov�ch matic jsou: $$\begin{array}{cc} \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right) & \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 &-1 &-1\\ 1& -1 & 1& -1\\ 1 &-1 &-1& 1\\ \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Hadamardovy matice mohou b�t symetrick� stejn� jako asymetrick�. Existuj� n�kter� pravidla, jak je mo�n� konstruovat Hadamardovy matice vy���ch ��d�. Konstrukce je snadn� p�i $2n$ rozm�rn� matici, kde bloky ni��� matice se mohou pou��t jako stavebn� kameny $$\left( \begin{array}{rr} {\bf H}_n & {\bf H}_n\\ {\bf H}_n & -{\bf H}_n \\ \end{array} \right)\;.$$ \chapter{Grafy} \label{Grafy} \section{Historick� pozn�mky} \label{Historick� pozn�mky} Teorii graf� formuloval, podobn� jako tolik jin�ch pojm� v t�to knize, Euler. P�ed druhou sv�tovou v�lkou cel� teorie graf� mohla b�t shrnuta do pouze jedin� knihy. Dnes existuje �ada specializovan�ch �asopis� zab�vaj�c�ch se teori� graf� a jej�mi aplikacemi. \begin{figure} \caption{Sedm most� v K\"{o}nigsbergu a Eulerovo grafov� �e�en� hlavolamu} \label{Sedm most�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(110.00,120.00) \put(40.00,33.83){\oval(40.00,22.33)[]} \put(40.17,33.33){\oval(51.00,32.67)[lb]}

\put(27.50,33.33){\oval(25.67,32.67)[lt]} %\emline(26.67,49.67)(87.00,49.67) \put(26.67,49.67){\line(1,0){60.33}} %\end %\emline(40.33,17.00)(86.67,17.00) \put(40.33,17.00){\line(1,0){46.33}} %\end \put(86.67,36.17){\oval(42.00,27.00)[lb]} \put(86.17,33.83){\oval(41.00,22.33)[lt]} \put(30.33,40.67){\pravidlo{3.67\unitlength}{13.00\unitlength}} \put(45.33,40.33){\pravidlo{4.33\unitlength}{13.33\unitlength}} \put(74.33,40.33){\pravidlo{4.33\unitlength}{13.33\unitlength}} \put(55.33,30.67){\pravidlo{14.67\unitlength}{4.33\unitlength}} \put(30.00,11.00){\pravidlo{4.33\unitlength}{15.67\unitlength}} \put(45.33,11.00){\pravidlo{4.33\unitlength}{15.67\unitlength}} \put(74.67,10.67){\pravidlo{4.33\unitlength}{16.00\unitlength}} \put(39.33,59.33){\makebox(0,0)[cc]{C}} \put(39.00,32.67){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(39.00,7.33){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(85.00,33.00){\makebox(0,0)[cc]{D}} %\emline(20.00,90.00)(75.00,90.00) \put(20.00,90.00){\line(1,0){55.00}} %\end %\emline(75.00,90.00)(20.00,70.67) \multiput(75.00,90.00)(-0.34,-0.12){162}{\line(-1,0){0.34}} %\end %\emline(20.67,109.67)(75.33,90.00) \multiput(20.67,109.67)(0.33,-0.12){164}{\line(1,0){0.33}} %\end \bezier{128}(20.33,90.00)(8.00,100.33)(21.00,109.33) \bezier{108}(21.00,109.67)(29.67,100.00)(20.00,90.00) \bezier{124}(20.33,90.00)(8.00,79.67)(20.00,70.67) \bezier{108}(20.33,71.00)(29.67,79.33)(20.33,90.00) \put(10.00,90.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(20.00,120.00){\makebox(0,0)[cc]{C}} \put(19.67,62.67){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(85.00,90.00){\makebox(0,0)[cc]{D}} \put(20.33,109.67){\circle{4.00}} \put(20.00,90.00){\circle{4.00}} \put(20.33,70.33){\circle{4.00}} \put(74.67,90.00){\circle{4.00}} \end{picture} \end{figure} Euler formuloval z�kladn� ideu teorie graf�, kdy� vy�e�il hlavolam o sedmi mostech v K\"onigsbergu (obr. \ref{Sedm most�}). Je mo�n� proj�t p�es v�echny mosty a vr�tit se zp�t do v�choz�ho m�sta, kdy� se p�ejde ka�d� most pouze jednou? Euler uk�zal, �e ��dan� cesta existuje pouze tehdy, kdy� ve v�ech k�i�ovatk�ch se st�k� sud� po�et cest. T�i cesty se st�kaly v n�kter�ch k�i�ovatk�ch v Eulerov� grafu. Tedy v K\"onigsbergu jednoduch� cesta byla nemo�n�. �lov�k se div�, pokud by takov� konfigurace most� byl v Ath�n�ch, zaj�mali by se tamn� filosofov� na sv�ch promen�d�ch o takov� trivi�ln� probl�my a pokud by je vy�e�ili podobn� jako Euler, ud�lali by to pro v�echny podobn� konfigurace cest? Nebo nebyl hlavolam o 7 mostech jen d�tskou h���kou? Je pot�eba ur�it� zralost, abychom se zaj�mali o vztahy, kter� nelze vid�t a jen si je p�edstavit? Doposud v�ech probl�my v t�to knize byly vy�e�eny n�soben�m rozd�ln�ch mo�nost� a

jej�ch se��t�n�m. Podstatn� by sta�� �ekov� byli schopni je roz�e�it, av�ak zaj�mali se o geometrick� probl�my, kde probl�m a jeho �e�en� lze vid�t. Mo�nou odpov�d� na shora danou ot�zku je, �e multidimension�ln� prostory jsou p��li� abstraktn�, aby se s nimi za��nalo. V�hodou teorie graf� je, �e grafy spojuj� abstraktn� pojmy s konkr�tnost�. Mohou se nakreslit na pap�r a postupn� prohl�et jako soustava bod� a ��rek. Av�ak tato jednoduchost je klamav�. Grafy se obvykle pova�uj� za bin�rn� vztah dvou mno�in, {\em vrchol�} a {\em hran} nebo {\em orientovan�ch hran}, viz obr. 3.2. Je mo�n� definovat teorii �ehokoliv a zde se objevily velmi zaj�mav� probl�my vhodn� pro to, aby byly studov�ny mlad�mi adepty akademick�ch stup��, jako nap��klad je teorie her. Av�ak n�kter� grafov� probl�my nalezly velmi brzo praktick� aplikace nebo analogie ve fyzik�ln�ch v�d�ch. Zejm�na chemie dala mnoho podn�t� pro vyu�it� teorie graf�, pon�vad� v grafech byl nalezen p�il�hav� model konektivit atom� v molekul�ch. Zd� se b�t nepodstatn� studovat proch�zky mezi vrcholy graf� av�ak, kdy� jsou tyto proch�zky spojen� p��mo se slo�it�mi m��iteln�mi fyzik�ln�mi vlastnostmi chemick�ch slou�enin, jako je bod varu, potom takov� teoretick� studie se s�vaj� pragmatick�mi, d�vaj� n�m hluboko jdouc� n�hled, jak je n� sv�t konstruov�n. Grafy byly spojen� s mnoha rozd�ln�mi maticemi: {\em inciden�n�mi maticemi} ${\bf S}$ a ${\bf G}$, {\em maticemi sousedstv�} ${\bf A}$, {\em maticemi vzd�lenost�} $ {\bf D}$ a jin�mi druhy matice. V�echny tyto matice se vyu�ily pro v�po�ty vlastn�ch hodnot a vlastn�ch vektor�, av�ak rozd�ln� matice nebyly spojen� do sjednocen� soustavy. Matematici byli uspokojeni s faktem, �e v�echny grafy mohou b�t stla�en� do t��rozm�rn�ho prostoru a zobrazen� na dvou rozm�rn� plo�e pap�ru. Ignorovali probl�m rozm�rnosti graf�. R�zn� auto�i je pova�ovali za bezrozm�rn� objekty, jednorozm�rn� objekty �i dvourozm�rn� objekty. Podle Occamovy b�itvy se nem� zav�d�t v�ce faktor�, ne� je nutn� pro vysv�tlen� pozorovan�ch fakt�. Av�ak p�i pojet� graf� jako multidimension�ln�ch vektor� se speci�ln� konfigurac� sjednocuje teorii, grafy jsou jen zvl�tn� t��dou vektor�, sou�ty nebo rozd�ly dvou vektorov�ch �ad. Tyto vektory pat�� do vektorov�ho prostoru. Vlastnosti sou�t� nebo rozd�l� dvou vektorov�ch �ad se mohou studovat v�hodn�, pokud se p�edstav� jako grafy, srovnaj� s existuj�c�mi objekty nebo alespo� s mal�mi vzorky v�t��ch struktur. \section{N�kter� z�kladn� pojmy teorie graf�} \label{N�kter� z�kladn� pojmy teorie graf�} Teorie graf� m� dv� z�kladn� pojmy. Prv�m je {\em vrchol}, kter� je obvykle zobrazen jako bod, av�ak vrcholy mohou b�t ztoto�n�ny s ��mkoliv, tak� s plochou zahrnuj�c� mnoho vrchol�, pokud se teorie graf� pou�ije k praktick�m probl�m�m. Druh�m pojmem jsou {\em hrany} p�edstavuj�c� vztah mezi dv�ma vrcholy. Hrany mohou b�t {\em orientovan�}, jako jsou vektory, jdouc� od vrcholu v jin�mu, potom jsou zvan� {\em orientovan� hrany}, anebo {\em neorientovan�}, jen spojuj�c� dva vrcholy bez jak�koliv preference sm�ru. Potom jsou zvan� {\em hrany} (obr. 3.2). \begin{figure} \caption{P��klady neorientovan�ch graf�. A -- strom, B -- cyklick� graf, C -multigraf} \label{P��klady neorientovan�ch graf�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(140.00,110.00) \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(10.00,9.67){\framebox(40.00,39.67)[cc]{}} \put(68.33,9.67){\framebox(41.67,39.67)[cc]{}} \put(126.67,39.67){\circle{4.00}}

\put(110.00,49.33){\circle{4.00}} \put(68.33,49.33){\circle{4.00}} \put(10.00,49.33){\circle{4.00}} \put(50.33,49.33){\circle{4.00}} \put(50.00,9.67){\circle{4.00}} \put(68.33,9.67){\circle{4.00}} \put(110.00,9.67){\circle{4.00}} %\emline(70.00,49.00)(70.00,9.67) \put(70.00,49.00){\line(0,-1){39.33}} %\end %\emline(110.00,11.33)(126.00,40.00) \multiput(110.00,11.33)(0.12,0.21){134}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(111.33,9.33)(128.00,39.33) \multiput(111.33,9.33)(0.12,0.22){139}{\line(0,1){0.22}} %\end %\emline(10.33,9.67)(50.00,49.33) \multiput(10.33,9.67)(0.12,0.12){331}{\line(1,0){0.12}} %\end \put(40.00,20.33){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(90.33,20.33){\makebox(0,0)[cc]{C}} %\emline(9.67,68.67)(29.67,83.67) \multiput(9.67,68.67)(0.16,0.12){126}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(29.67,83.67)(55.00,83.67) \put(29.67,83.67){\line(1,0){25.33}} %\end %\emline(55.00,83.67)(74.67,68.67) \multiput(55.00,83.67)(0.16,-0.12){126}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(74.67,68.67)(106.00,83.67) \multiput(74.67,68.67)(0.25,0.12){126}{\line(1,0){0.25}} %\end %\emline(29.67,83.67)(10.33,100.00) \multiput(29.67,83.67)(-0.14,0.12){137}{\line(-1,0){0.14}} %\end %\emline(55.00,83.67)(75.00,100.00) \multiput(55.00,83.67)(0.15,0.12){137}{\line(1,0){0.15}} %\end \put(11.00,99.67){\circle{4.00}} \put(10.00,68.67){\circle{4.00}} \put(29.67,83.67){\circle{4.00}} \put(55.33,84.00){\circle{4.00}} \put(75.00,99.33){\circle{4.00}} \put(74.67,69.00){\circle{4.00}} \put(106.00,83.33){\circle{4.00}} \put(42.67,95.33){\makebox(0,0)[cc]{A}} \end{picture} \end{figure} Orientovan� hrana p�edstavuj� ��dku inciden�n� matice ${\bf S}$ tvo�enou diferenc� dvou jednotkov�ch vektor� $({\bf e}_i - {\bf e}_j)$. Podle na�� konvence p�sob� oba vektory sou�asn� a po��tek vektoru m�e b�t um�st�n na vrchol j. V�sledn� orientovan� hranov� vektor jde p��mo z vrcholu j do vrcholu i. Hrany se zobrazuj� jako jednoduch� hrany spojuj�c� dva vrcholy. Ve skute�nosti sou�et dvou jednotkov�ch vektor� je ortogon�ln� k hran� spojuj�c� oba vrcholy. Je instruktivn�j�� kreslit neorientovan� graf se spojuj�c�mi hranami. Nicm�n� z form�ln�ch d�vod� m�eme uva�ovat neorientovan� graf jako �adu vektor�, kde ka�d�

�len je ortogon�ln� ke sv�mu orientovan�mu odpov�daj�c�mu prvku. Kdy� je orientovan� graf vektor, potom neorientovan� graf tak� mus� b�t vektor. Speci�ln� hranou v grafu je {\em smy�ka}, kter� spojuje vrchol s�m se sebou. Objevuj� se form�ln� pot�e, jak spojit orientovan� smy�ky s maticemi, proto�e odpov�daj�c� ��dky jsou nulov� $({\bf e}_j - {\bf e}_j) = {\bf 0}$. Tyto komplikace jsou v�sledkem symetri� vy���ch ��d�. Neorientovan� smy�ka m� dvojitou intenzitu \begin{equation} ({\bf e}_j + {\bf e}_j) = 2{\bf e}_j\;, \end{equation} a uvid�me pozd�ji, jak se tento fakt m�e vyu��t. Vztahy mezi v�cmi mohou b�t v�ci. Nap��klad v chemii, pokud ztoto�n�me atomy v molekule s vrcholy, potom vazby mezi atomy, dr��c� molekulu pohromad� a ur�uj�c� strukturu molekuly, jsou vazebn� elektrony. S�ly mezi j�dry a elektrony se modeluj� grafy pokud do ka�d� spojuj�c� hrany se vlo�� nov� vrchol a tak vznikne {\em podrozd�len� graf}. Ka�d� hrana v graf se �t�p� do p�ru hran. Vytvo�en� podrozd�len� graf m� (n + m) vrchol� a 2m ��dek. \begin{figure} \caption{Graf a jeho hranov� graf} \label{Graf a jeho hranov� graf} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(120.00,150.00) \put(20.00,20.00){\framebox(30.00,30.00)[cc]{}} %\emline(20.00,20.00)(50.00,50.00) \multiput(20.00,20.00)(0.12,0.12){251}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(50.00,50.00)(80.00,50.00) \put(50.00,50.00){\line(1,0){30.00}} %\end %\emline(80.00,50.00)(110.00,50.00) \put(80.00,50.00){\line(1,0){30.00}} %\end \put(20.00,20.00){\circle{4.00}} \put(50.00,20.33){\circle{4.00}} \put(20.33,50.00){\circle{4.00}} \put(50.00,50.00){\circle{4.00}} \put(80.00,50.00){\circle{4.00}} \put(110.00,50.00){\circle{4.00}} \put(35.33,60.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(60.00,35.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(35.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} \put(10.33,35.00){\makebox(0,0)[cc]{d}} \put(30.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{e}} \put(65.00,60.00){\makebox(0,0)[cc]{f}} \put(96.33,60.00){\makebox(0,0)[cc]{g}} %\emline(60.33,79.67)(60.33,130.00) \put(60.33,79.67){\line(0,1){50.33}} %\end %\emline(60.33,130.00)(90.00,115.00) \multiput(60.33,130.00)(0.24,-0.12){126}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(90.00,115.00)(90.00,95.00) \put(90.00,115.00){\line(0,-1){20.00}}

%\end %\emline(90.00,95.00)(60.33,80.00) \multiput(90.00,95.00)(-0.24,-0.12){126}{\line(-1,0){0.24}} %\end %\emline(60.33,80.00)(29.67,95.33) \multiput(60.33,80.00)(-0.24,0.12){128}{\line(-1,0){0.24}} %\end %\emline(29.67,95.33)(29.67,115.00) \put(29.67,95.33){\line(0,1){19.67}} %\end %\emline(29.67,115.00)(60.33,129.67) \multiput(29.67,115.00)(0.25,0.12){123}{\line(1,0){0.25}} %\end %\emline(90.00,114.67)(29.67,114.67) \put(90.00,114.67){\line(-1,0){60.33}} %\end %\emline(29.67,114.67)(20.00,137.00) \multiput(29.67,114.67)(-0.12,0.28){81}{\line(0,1){0.28}} %\end %\emline(60.33,129.33)(29.67,95.33) \multiput(60.33,129.33)(-0.12,-0.13){256}{\line(0,-1){0.13}} %\end \put(60.33,129.67){\circle{4.00}} \put(90.00,114.67){\circle{4.00}} \put(90.00,94.67){\circle{4.00}} \put(60.33,80.33){\circle{4.00}} \put(29.67,95.33){\circle{4.00}} \put(29.67,114.67){\circle{4.00}} \put(20.33,136.67){\circle{4.00}} \put(27.67,140.67){\makebox(0,0)[cc]{g}} \put(60.33,138.67){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(96.67,121.33){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(97.00,87.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} \put(60.33,69.33){\makebox(0,0)[cc]{d}} \put(20.33,86.67){\makebox(0,0)[cc]{e}} \put(17.00,114.67){\makebox(0,0)[cc]{f}} \end{picture} \end{figure} M�eme konstruovat {\em za vrcholy a zav�d�n�m p�vodn�ch ��dek. Pokud byl $2m$. Jeho hranov�

hranov� graf} \ref{Graf a jeho hranov� graf}, z�m�nou ��dek nov�ch sousedstv� nyn� definovan�ch spole�n�mi vrcholy dvou p�vodn� graf m�l m hran, sou�et stup�� jeho vrchol� $v_j$ graf m� m vrchol� a sou�et stup�� jeho vrchol� $v_i$ je

\begin{equation} \Sigma(v^2_j - v_j). \end{equation} P�r vrchol� m�e b�t spojen� v�ce sou�asn� hranami. Potom mluv�me o {\em multigrafech} (\ref{P��klady neorientovan�ch graf�}, C). P��t�m krokem je pova�ovat paraleln� hrany jako jednu hranu s v�hou k. Je z�ejm�, �e hrana nemus� b�t v�en� cel�mi ��sly, av�ak lze pou��t jak�hokoliv v�hy $w_{ij}$. Z v�po�t� se objev� i grafy s imagin�rn�mi hranami. \begin{figure} \caption{Restrikce grafu. Vrcholy v kru�nici A jsou spojen� do jednoho vrcholu a} \label{Restrikce grafu} \linethickness{0.4pt}

\begin{picture}(100.00,110.00) \put(60.00,15.33){\framebox(30.33,29.67)[cc]{}} %\emline(60.00,45.00)(40.00,30.00) \multiput(60.00,45.00)(-0.16,-0.12){126}{\line(-1,0){0.16}} %\end %\emline(40.00,30.00)(60.00,15.33) \multiput(40.00,30.00)(0.16,-0.12){123}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(60.00,15.33)(35.00,7.67) \multiput(60.00,15.33)(-0.39,-0.12){64}{\line(-1,0){0.39}} %\end %\emline(35.00,7.67)(10.00,7.67) \put(35.00,7.67){\line(-1,0){25.00}} %\end %\emline(40.33,30.00)(17.33,30.00) \put(40.33,30.00){\line(-1,0){23.00}} %\end %\emline(60.00,45.00)(35.00,53.33) \multiput(60.00,45.00)(-0.36,0.12){70}{\line(-1,0){0.36}} %\end %\emline(35.00,53.33)(10.33,53.33) \put(35.00,53.33){\line(-1,0){24.67}} %\end %\circle(52.33,29.67){43.00} \multiput(52.33,51.17)(1.29,-0.12){3}{\line(1,0){1.29}} \multiput(56.20,50.82)(0.42,-0.12){9}{\line(1,0){0.42}} \multiput(59.94,49.78)(0.23,-0.11){15}{\line(1,0){0.23}} \multiput(63.43,48.08)(0.16,-0.11){20}{\line(1,0){0.16}} \multiput(66.56,45.78)(0.12,-0.12){23}{\line(0,-1){0.12}} \multiput(69.23,42.96)(0.12,-0.18){18}{\line(0,-1){0.18}} \multiput(71.34,39.71)(0.12,-0.28){13}{\line(0,-1){0.28}} \multiput(72.84,36.12)(0.12,-0.54){7}{\line(0,-1){0.54}} \multiput(73.67,32.33)(0.07,-1.94){2}{\line(0,-1){1.94}} \multiput(73.80,28.45)(-0.11,-0.77){5}{\line(0,-1){0.77}} \multiput(73.23,24.61)(-0.11,-0.33){11}{\line(0,-1){0.33}} \multiput(71.98,20.94)(-0.12,-0.21){16}{\line(0,-1){0.21}} \multiput(70.09,17.55)(-0.12,-0.14){21}{\line(0,-1){0.14}} \multiput(67.62,14.55)(-0.14,-0.12){21}{\line(-1,0){0.14}} \multiput(64.65,12.05)(-0.20,-0.11){17}{\line(-1,0){0.20}} \multiput(61.28,10.12)(-0.33,-0.12){11}{\line(-1,0){0.33}} \multiput(57.62,8.83)(-0.64,-0.10){6}{\line(-1,0){0.64}} \put(53.79,8.22){\line(-1,0){3.88}} \multiput(49.91,8.30)(-0.54,0.11){7}{\line(-1,0){0.54}} \multiput(46.11,9.09)(-0.28,0.11){13}{\line(-1,0){0.28}} \multiput(42.51,10.54)(-0.18,0.12){18}{\line(-1,0){0.18}} \multiput(39.23,12.62)(-0.13,0.12){22}{\line(-1,0){0.13}} \multiput(36.38,15.26)(-0.12,0.16){20}{\line(0,1){0.16}} \multiput(34.05,18.36)(-0.12,0.23){15}{\line(0,1){0.23}} \multiput(32.31,21.83)(-0.11,0.37){10}{\line(0,1){0.37}} \multiput(31.23,25.56)(-0.10,0.97){4}{\line(0,1){0.97}} \multiput(30.84,29.42)(0.10,1.29){3}{\line(0,1){1.29}} \multiput(31.14,33.29)(0.11,0.42){9}{\line(0,1){0.42}} \multiput(32.14,37.05)(0.12,0.25){14}{\line(0,1){0.25}} \multiput(33.80,40.56)(0.12,0.17){19}{\line(0,1){0.17}} \multiput(36.06,43.71)(0.12,0.12){23}{\line(1,0){0.12}} \multiput(38.85,46.41)(0.18,0.12){18}{\line(1,0){0.18}} \multiput(42.08,48.56)(0.27,0.12){13}{\line(1,0){0.27}} \multiput(45.64,50.10)(0.74,0.12){9}{\line(1,0){0.74}}

%\end \put(10.00,53.33){\circle{4.00}} \put(35.00,53.33){\circle{4.00}} \put(60.00,45.00){\circle{4.00}} \put(90.33,45.00){\circle{4.00}} \put(90.33,15.33){\circle{4.00}} \put(60.00,15.33){\circle{4.00}} \put(40.33,30.00){\circle{4.00}} \put(17.33,30.00){\circle{4.00}} \put(35.33,7.67){\circle{4.00}} \put(10.33,7.67){\circle{4.00}} %\emline(90.33,70.00)(90.33,100.00) \put(90.33,70.00){\line(0,1){30.00}} %\end %\emline(90.33,100.00)(54.67,85.00) \multiput(90.33,100.00)(-0.28,-0.12){126}{\line(-1,0){0.28}} %\end %\emline(54.67,85.00)(90.33,70.00) \multiput(54.67,85.00)(0.28,-0.12){126}{\line(1,0){0.28}} %\end %\emline(54.33,85.00)(29.67,85.00) \put(54.33,85.00){\line(-1,0){24.67}} %\end %\emline(55.00,84.67)(35.00,69.33) \multiput(55.00,84.67)(-0.16,-0.12){128}{\line(-1,0){0.16}} %\end %\emline(35.00,69.33)(13.00,69.33) \put(35.00,69.33){\line(-1,0){22.00}} %\end %\emline(55.00,85.00)(34.67,100.00) \multiput(55.00,85.00)(-0.16,0.12){126}{\line(-1,0){0.16}} %\end %\emline(34.67,100.00)(13.33,100.00) \put(34.67,100.00){\line(-1,0){21.33}} %\end \put(12.67,100.00){\circle{4.00}} \put(35.00,100.00){\circle{4.00}} \put(29.67,85.00){\circle{4.00}} \put(13.33,69.33){\circle{4.00}} \put(35.33,69.33){\circle{4.00}} \put(55.00,85.00){\circle{4.00}} \put(90.33,99.67){\circle{4.00}} \put(90.33,70.33){\circle{4.00}} \put(55.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(55.00,95.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \end{picture} \end{figure} Je tak� mo�n� zmen�it grafy seskupen�m mno�iny vrchol� do nov�ho vrcholu a ponech�n�m pouze hran spojuj�c�ch novou mno�inu vrchol� (obr. \ref{Restrikce grafu}). Tato operace zjednodu�uje graf. Oba prvky graf� mohou b�t indexovan� (ozna�en�) a neindexovan� (neozna�en�). Obvykle se uva�uj� pouze vrcholov� ozna�en� grafy. Ozna�en� grafy jsou n�kdy pouze ��ste�n� indexov�ny grafy, kdy� pouze n�kter� jejich vrcholy jsou indexov�ny, nebo rovnocenn�, n�kolik vrchol� m� stejn� indexy. Kdy� jeden vrchol je speci�ln� ozna�en�, mluv�me o {\em ko�enu}.

Zvl�tn� ozna�en� graf� je jejich barven�. Lze formulovat �lohu obarvit vrcholy takov�m zp�sobem, aby ��dn� incidentn� vrcholy nem�ly stejnou barvu. Po�et barev ukazuje ��sti grafu, kde v�echny vrcholy jsou nespojit�. Neexistuje mezi nimi ��dn� hrana. Nejmen�� po�et barev, kter� jsou nutn� k obarven� spojit�ho grafu je 2. Potom mluv�me o {\em dvojd�ln�m grafu}. Pro obarven� rovinn�ch graf� (map), jejich� hrany se neprot�naj�, pot�ebujeme alespo� �ty�i barvy. Dvojd�ln� grafy maj� d�le�itou vlastnost, jejich inciden�n� matice se mohou rozd�lit do dvou blok� a jejich kvadratick� formy se �t�p� do dvou odd�len�ch blok�. Grafy jsou {\em spojen�}, pokud existuje alespo� jeda cesta nebo proch�zka mezi v�emi p�ry vrchol�. Je nep�etr�it� �ada hran spojuj�c�ch dan� p�r vrchol�. Vz�jemn� nespojen� ��sti grafu jsou zn�m� jako jeho {\em slo�ky}. Alespo� $(n-1)$ ��dek je pot�eba ke spojen� v�ech n vrchol� grafu a n hran ke vzniku cyklu. Spojit� grafy s $(n-1)$ hranami jsou zn�m� jako {\em stromy} (\ref{P��klady neorientovan�ch graf�}, A) a jsou acyklick�. Graf tvo�en� v�ce stromy je {\em les}. M�eme nal�zt {\em st�ed} grafu, ur�en� jako jeho nejvnit�n�j�� vrchol, nebo {\em pr�m�r} grafu, jako kdyby grafy byly n�jak�mi pevn�mi objekty. Av�ak zde se objevuj� n�kter� pot�e. Kdy� definujeme st�ed grafu jako vrchol, kter� m� stejnou vzd�lenost od nejvzd�len�j��ch vrchol�, potom v line�rn�ch �et�zc�ch se sud�m po�tem vrchol�, nap��klad v line�rn�m �et�zci $L_6$ \linethickness{0.5pt} \begin{picture}(130.00,20.00) \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(30.00,9.67){\circle{4.00}} \put(50.00,9.33){\circle{4.00}} \put(70.00,9.33){\circle{4.00}} \put(90.33,10.00){\circle{4.00}} \put(110.00,10.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,10.00)(30.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(50.33,10.00)(70.00,10.00) \put(50.33,10.00){\line(1,0){19.67}} %\end %\emline(90.33,10.00)(110.00,10.00) \put(90.33,10.00){\line(1,0){19.67}} %\end %\emline(10.00,10.00)(110.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){100.00}} %\end \end{picture} m�me dva kandid�ty pro nominaci. Je lep�� mluvit o {\em centroidu} nebo o {\em centr�ln� hran�}. N�kter� grafy nemaj� v�bec ��dn� st�ed. Zav�d�t v�echny pojmy teorie graf� postupn� v kr�tk�m p�ehledu je vy�erp�vaj�c�. Av�ak je nutn� zn�t n�kter� pojmy. \begin{figure} \caption{Rozhodovac� strom. Lev� v�tev znamen� 1, prav� v�tev znamen� 0. Ko�en se bere jako decim�ln� ��rka a n�sledn� rozhodnut� modeluj� v�ce hodnotovou logiku} \label{Rozhodovac� strom} \linethickness{0.4pt}

\begin{picture}(100.00,70.00) %\emline(40.00,10.00)(20.00,29.67) \multiput(40.00,10.00)(-0.12,0.12){164}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(39.67,10.00)(80.00,50.00) \multiput(39.67,10.00)(0.12,0.12){334}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(59.67,30.00)(40.00,49.67) \multiput(59.67,30.00)(-0.12,0.12){164}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(40.00,10.00){\circle{4.00}} \put(20.00,30.00){\circle{4.00}} \put(60.00,30.00){\circle{4.00}} \put(39.67,49.67){\circle{4.00}} \put(80.00,50.00){\circle{4.00}} \put(19.67,40.00){\makebox(0,0)[cc]{1.0}} \put(39.67,60.00){\makebox(0,0)[cc]{0.1}} \put(80.00,60.00){\makebox(0,0)[cc]{0.0}} \end{picture} \end{figure} {\em Line�rn� �et�zce} $L_n$ jsou zvl�tn� t��dou strom�, jejich� v�echny vrcholy vyjma dvou koncov�ch maj� stupe� $v_j = 2$. Stupe� vrcholu po��t� hrany incidentn� k vrcholu. Line�rn� �et�zce maj� nejdel�� vzd�lenost mezi sv�mi krajn�mi vrcholy a nejv�t�� pr�m�ry ze v�ech graf�. Jin� krajn� stromy jsou {\em hv�zdy} $S_n$. V�ech $(n-1)$ jejich vrchol� je spojeno p��mo s centr�ln�m vrcholem. Pr�m�r hv�zdy je v�dy 2. {\em Rozhodovac� stromy} jsou stromy s jedn�m vrcholem stupn� 2 a v�emi jin�mi vrcholy se stupni 3 nebo 1. Pokud se vrchol stupn� 2 vybere jako ko�en (obr. \ref{Rozhodovac� strom}), potom na proch�zce je nutn� prov�d�t na ka�d�m kroku bin�rn� rozhodnut�, na kterou stranu j�t. Vrcholy se stupni 1 jsou zn�m� jako {\em listy}. Jsou spojen� {\em v�tvemi} ke {\em kmeni} stromu. U� zn�me rozhodovac� stromy jako �ady v jednotkov�ch krychl�ch. Ve stromu jsou spojen� do rozv�tvuj�c�ch se v�tv�. Indexov�n� list� je zn�m� jako bin�rn� k�dov�n�. {\em �pln� graf} $K_n$ m� n(n-1)/2 hran, kter� spojuj� vz�jemn� v�echny jeho vrcholy. Jeho pr�m�r je 1 a nem� ��dn� st�ed. {\em Dopl�kov�} $\overline{G}$ graf $G$ je definov�n jako mno�ina hran grafu $G$ chyb�j�c� v �pln�m grafu $K_n$ na stejn�ch vrcholech, nebo sou�tem \begin{equation} K_n = G + \overline G\;. \end{equation} Z toho plyne, �e dopl�kov� graf dopl�kov�ho grafu $\overline{\overline G}$ je v�choz� graf G a, �e dopl�kov� graf $\overline{K_n}$ �pln�ho grafu $K_n$ je pr�zdn� graf $G_n$ se ��dnou hranou. \section{Petrieovy matice} \label{Petrieovy matice} Orientovan� hran orientovan�ch grafy byly definov�ny jako rozd�ly dvou jednotkov�ch vektor� $({\bf e}_j - {\bf e}_i)$. Jinou mo�nost� je mapov�n� orientovan�ch a neorientovan�ch hran na matice s jednotkov�mi prvky. Orientovan� hrana se ztoto�n� p��mo s jednotkov�m vektorem $({\bf e}_j$ nebo s kontinu�ln� �adou jednotkov�ch vektor� ${\bf e}_j$. Takov� matice jsou zn�m� jako {\em Petrieovy matice}\footnote{Nem�me dost jednoduch�ch symbol� pro v�echny

rozd�ln� matice.} ${\bf P}e$. Petrieovy matice jsou ekvivalentn� k inciden�n�m matic�m. ��dka obsahuj�c� kontinu�ln� �adu jednotkov�ch symbol� odpov�d� ka�d� orientovan� hran� inciden�n� matice bez p�eru�en�. �ada jednotkov�ch symbol� v Petrieov� matici ${\bf P}e$ jdouc� od i k (p-1) odpov�d� orientovan� hran� mezi vrcholy i a p. Orientovan� hrana 1-2 je p�edstavena v Petrieov� matici jedn�m jednotkov�m symbolem, orientovan� hrana 1-6 vy�aduje 5 jednotkov�ch symbol�. Kanonick� tvary ${\bf P}e$ a ${\bf S}$ pro $K_4$ jsou $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} ${\bf P}e$ \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \end{array}& \begin{array}{c} ${\bf S}$ \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1& 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1& 1 \end{array} \right)\;. \end{array} \end{array}$$ Petrieovy matice maj� dv� d�le�it� vlastnosti: 1. Petrieova matice ${\bf P}e$ grafu $G$ n�soben� inciden�n� matic� ${\bf S}$ line�rn�ho �et�zce $L$ d�v� inciden�n� matici dan�ho grafu: \begin{equation} {\bf S}(G) = {\bf P}e(G){\bf S}(L)\;. \end{equation} Z n�sledn�ch jednotek v ��dce Petrieovy matice pouze prv� a posledn� se mapuj� v sou�inu, v�echny mezilehl� p�ry jsou zni�eny n�sledn�mi p�ry jednotkov�ch symbol� s opa�n�mi znam�nky z inciden�n� matice line�rn�ho �et�zce, jeho� vrcholy jsou indexov�ny postupn�: $1-2-3-\dots-n$. Nap��klad $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{ccc|cccc} & & & \ -1 & 1 & 0 & 0 \\ & & & 0 &-1 & 1 & 0 \\ & & & 0 & 0 &-1 & 1 \\ \hline & & & & & & \\ 1& 0& 0& -1 & 1& 0& 0 \\ 0& 1 &0& 0&-1& 1 &0 \\ 0 &0 &1& 0& 0&-1 &1 \\ \end{array} & \begin{array}{ccc|cccc} & & &\ -1& 1& 0 & 0 \\ & & & 0&-1& 1 &0 \\ & & & 0& 0&-1 &1 \\ \hline & & & & & & \\ 1& 0 &0 & -1 &1& 0& 0 \\ 1& 1 &0 & -1& 0& 1 &0 \\ 1 &1 &1 & -1 &0& 0 &1 \\ \end{array} \end{array}$$ 2. Pouze Petrieovy matice strom� jsou nesingul�rn�. Stromy maj� $(n-1)$ orientovan�ch hran. Tedy jejich Petrieovy matice jsou �tvercov� matice a pon�vad� stromy jsou spojen� grafy, jejich Petrieovy matice jsou bez pr�zdn�ch sloupc�. D�le�itost t�to vlastnosti bude jasn� v kapitole 15. \section{Matice K�duj�c� stromy} \label{Matice K�duj�c� stromy} Petrieovy matice definuj� stromy v prostoru orientovan�ch hran. Jin� mo�nost k�dov�n� strom� je v prostoru jejich vrchol�. Existuje {\em matice sestupn�ho k�du} a jejich inverze, ukazuj�c� vztah vrchol� jako vztah d�t� k rodi��m. V sestupn�m k�du se pou�ij� oba konce orientovan�ch hran, av�ak vrcholy na cest� pouze jednou. Mimo to samotn� ko�en je zaveden jako prvek ${\bf e}_{11}$ v prv� ��dce. Konvence je, �e orientovan� hrany v�dy vych�zej� z ko�ene. V�sledn� k�d\footnote{K�dov� matice ${\bf C}$ je sou�asn� matic� koordin�t.} m� matici $ {\bf C}$ v doln� troj�heln�kov� form� a na diagon�le je jednotkov� matice ${\bf I} $. U strom� prvn� sloupec je jednotkov� matice ${\bf J}$, av�ak k�d dovoluje tak� lesy. Inverze k�dov�ch matic ${\bf C}^{-1}$ jsou v doln� troj�heln�kov� form� a na diagon�le jsou jednotkov� matice ${\bf I}$. Mimodiagon�ln� prvky jsou $-1$, kdy� vrchol j je potomkem vrcholu i, 0 jinak. Pon�vad� ka�d� potomek m� pouze jednoho rodi�e, v ka�d� ��dce jsou dva nenulov� prvky, vyjma prv�ho. Tato ��st matice je inciden�n� matic� ${\bf S}$ dan�ho stromu. Tedy \begin{equation} ({\bf S} + {\bf e}_{11}) = {\bf C}^{-1}\;. \end{equation} Prvek ${\bf e}_{11}$ je vektorem jdouc�m od po��tku soustavy koordin�t k vrcholu 1, nebo s pou�it�m grafov� konvence, orientovan� hrana jdouc� od vrcholu 0 k vrcholu 1. V tomto p��pad� nulov� sloupec obsahuj�c� jeden $-1$ prvek je vypu�t�n. Pro na�e ��ely je nutn� dovolit, aby jak�kolive vrcholu se stal ko�enem bez z�m�ny index�. Z tohoto d�vodu definujeme matici cest jako vrcholy na cest� mezi vrcholem

i ke ko�enu j. To je pouze permutace doln� troj�heln�kov� formy. Nap��klad $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} ${\bf C}$ \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf C}^{-1} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\;. \end{array} \end{array}$$ Permutace sloupc� je (3,1,4,2). ��dka s jednotkov�m prvkem je vlo�ena do inciden�n� matice jako druh� a v�echny orientovan� hrany jdou od vrcholu 2. U� jsme pou�ili k�dovou matici line�rn�ho �et�zce $L_n$ a jej� inverzi jako oper�tory ${\bf T}^{\rm T}$ a ${\bf C}^{-1}$ v podkapitole \ref{Matice rozd�len�}. P�ipome�te si, �e $$\begin{array}{cccc|cccc} & & & & \ 1& 0 & 0& 0 \\ & & & & \ 1 & 1 & 0 & 0 \\ & & & & \ 1 & 1& 1 & 0 \\ & & & & \ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & & & & \ & & & \\ 1& 0& 0& 0 & \ 1 & 0& 0 & 0 \\ -1& 1& 0& 0 & \ 0 & 1& 0 & 0 \\ 0& -1& 1 & 0 & \ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& -1& 1 & \ 0 & 0 & 0 & 1. \\ \end{array}$$ Kdy� si to prohl�dneme, vid�me, �e${\bf C}^{-1}$ je inciden�n� matice line�rn�ho �et�zce $L_4$, jeho� singularita byla odstran�na p�i�ten�m ��dky s jedn�m jednotkov�m prvkem $1_{11}$. Pro takov� zako�en�n� inciden�n� matice budeme pou��vat symbol hv�zdi�ky ${\bf S}*$. Podobn� lze upravit inciden�n� matice v�ech strom�. K�dov� matice ${\bf C}$ jsou jen jejich inverze $({\bf S}*)^{-1}$. Zd� se, �e odli�nost mezi Petrieov�mi maticemi ${\bf P}e$ a k�dov�mi maticemi $ {\bf C}$ je zp�sobena jednotkov�m sloupcem ${\bf J}$, kter� transformuje $(n-1)$

�tvercovou matici na $n$ rozm�rnou �tvercovou matici. Av�ak ob� mno�iny jsou rozd�ln�. Inciden�n� matice strom� ${\bf G}*$ zako�en�n� jednotkov�m sloupcem ${\bf J}$ jsou nesingul�rn� a maj� inverze ${\bf G}^{-1}$, kter� jsou op�t k�dov�mi maticemi $ {\bf C}$ neorientovan�ch strom�. Tyto k�dov� matice ${\bf C}$ mus� obsahovat z�porn� prvky. Nap��klad pro hv�zdu dostaneme s pou�it�m principu inkluse a exkluse $$\begin{array}{cccc|cccc} & & & & \ 1 & 0 & 0 & 0 \\ & & & & \ -1 & 1 & 0 & 0 \\ & & & & \ -1 & 0& 1 & 0 \\ & & & & \ -1 & 0& 0 & 1 \\ \hline & & & & & & & \\ 1& 0& 0& 0 & \ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1& 1 & 0 & 0 & \ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & \ 0& 0 & 1& 0 \\ 1& 0 & 0 & 1 &\ 0 & 0 & 0 & 1\;. \\ \end{array}$$ Inciden�n� matice neorientovan�ch hv�zd ${\bf S}*$ a orientovan�ch hv�zd ${\bf G}*$ jsou vz�jemn�mi inverzemi. \chapter{Enumerace graf�} \label{Enumerace graf�} \section{�vod} \label{�vod 14} Zab�vali jsme se podrobn� enumeracemi naivn�ch matic ${\bf N}$. Spo��tat jejich sou�ty a rozd�ly, zn�m� jako neorientovan� a Orientovan� grafy, je slo�it�j�� probl�m. Tedy pouze n�kter� probl�my enumerace graf� budou diskutov�ny. \section{Enumerace strom�} \label{Enumerace strom�} Acyklick� spojen� grafy, zn�m� jako stromy, tvo�� z�kladnu prostoru graf�. Vysv�tl�me pozd�ji pro�, nyn� pouze uk�eme, jak slo�it� je enumerace graf� ve srovn�n� s naivn�mi maticemi. Ka�d� strom, jeho� vrcholy jsou ozna�en�, s �adou symbol� s pou�it�m Pr\"{u}ferova algoritmu: Vybereme koncov� vrchol s nejni���m indexem, ozna��me jeho souseda a od�e�eme jej od stromu (jeho v�tev se odsekne a vyhod�). Toto o�ez�v�n� se opakuje, a� z p�vodn�ho stromu z�stane pouze $K_2 = L_2$. Takov�m zp�sobem dostaneme �adu $(n-2)$ symbol�. Pokud v�ech n vrchol� p�vodn�ho stromu m�lo zvl�tn� ozna�en�, potom z�ejm� existuje $n^{n-2}$ �ad odpov�daj�c�ch v�em mo�n�m ozna�en�m strom�. Nap��klad: $L_5$ 1-5-4-3-2 d�v� 5,3,4, $L_5$ 2-1-4-3-5 d�v� 1,4,3. Sekvence 4,4,4 se z�sk� o�ez�v�n�m hv�zdy $S_5$ zako�en�n� v 4. Tyto �ady se mohou spo��tat modifikovanou rovnic� 10.2. Strom m� $(n-1)$ hran a sou�et stup�� vrchol� $v_j$ je $\sum v_j = 2(n-1)$. Nejmen�� mo�n� stupe� koncov�ch vrchol� je 1. $n$ vrcholov�ch stup�� je v�zan�ch, tedy ve stromech pouze $(n-2)$ jednotek lze rozd�lit. Proto dostaneme \begin{equation}

{\rm Po�et\ strom�}\ = n^{n-2} = \sum (n!/\prod_k n_k!) ([n-2]!/\prod_k(v_k -1)^{n_k}\;. \end{equation} Sou�et se provede p�es v�echna rozd�len� $(n-2)$ do n ��st� a $v_k$ nahrazuje $m_k$. Rovnice 14.1 po��t� stromy �sp�n�, av�ak objevuje se jedna nev�hoda: R�zn� typy strom� se po��taj� dohromady, kdy� maj� stejnou strukturu rozd�len�. Orbity rozd�len� se �t�p� v grafech do podorbit. Nejmen�� p�r strom� takov�m zp�sobem roz�t�pen� na dva rozd�ln� stromy na orbit� 322111 je na obr�zku 14.1. \begin{figure} \caption{Nejmen�� p�r graf� na stejn� orbit� rozd�len� (A a B) a graf s centr�ln� hranou (C)} \label{Nejmen�� p�r} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(120.00,100.00) %\emline(20.00,10.00)(40.67,10.00) \put(20.00,10.00){\line(1,0){20.67}} %\end %\emline(40.67,10.00)(80.00,10.00) \put(40.67,10.00){\line(1,0){39.33}} %\end \put(20.00,10.00){\circle{4.00}} \put(39.67,10.00){\circle{4.00}} \put(60.00,10.00){\circle{4.00}} \put(80.00,10.00){\circle{4.00}} \put(110.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{C}} %\emline(20.00,30.33)(100.00,30.33) \put(20.00,30.33){\line(1,0){80.00}} %\end %\emline(60.00,30.33)(60.00,50.00) \put(60.00,30.33){\line(0,1){19.67}} %\end %\emline(20.33,65.00)(99.67,65.00) \put(20.33,65.00){\line(1,0){79.33}} %\end %\emline(40.00,65.00)(40.00,85.00) \put(40.00,65.00){\line(0,1){20.00}} %\end \put(20.00,65.00){\circle{4.00}} \put(40.00,65.00){\circle{4.00}} \put(40.00,84.67){\circle{4.00}} \put(60.00,65.00){\circle{4.00}} \put(80.00,65.00){\circle{4.00}} \put(99.33,65.00){\circle{4.00}} \put(60.00,50.00){\circle{4.00}} \put(20.00,30.33){\circle{4.00}} \put(40.00,30.33){\circle{4.00}} \put(60.00,30.33){\circle{4.00}} \put(80.00,30.33){\circle{4.00}} \put(99.67,30.33){\circle{4.00}} \put(110.00,65.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(109.33,30.33){\makebox(0,0)[cc]{B}} \end{picture} \end{figure}

Orbity rozd�len� se �t�p� do grafov�ch orbit s rozd�lnou strukturou. Podobn� vrcholy graf� jsou zn�m� jako {\em orbity grafu}. Toto pou�it� jednoho pojmu na rozd�ln�ch �rovn�ch je pon�kud zav�d�j�c�\footnote{ Slunce m� sv� planety a planety op�t maj� sv� trabanty v�echny se sv�mi vlastn�mi orbitami.}. Strom A na obr. 14.1 m� 5 rozd�ln�ch orbit a B pouze 4. Po�et rozd�ln�ch hran spojuj�c�ch vrcholy na rozd�ln�ch orbit�ch je men��, ne� po�et vrcholov�ch orbit, vyjma symetrick�ch hran spojuj�c�ch vrcholy na stejn�ch orbit�ch, jako je centr�ln� hrana v C na obr. 14.1. Mus�me vysv�tlit, pro� orbity rozd�len� jsou d�le�it�, a nal�zt techniky jak spo��tat po�et neozna�en�ch strom�. D��ve v�ak zm�n�me jin� dva probl�my spojen� s ozna�ov�n�m strom�. Stromy, podobn� jako jin� grafy, lze vzty�it ze strom� ni���ch rozm�r�. Pokud pou�ijeme techniku Youngov�ch tabulek, co� je vepisov�n� index� do Ferrersov�ch graf�, dostaneme Youngem ozna�en� stromy. Kdy� se vych�z� z $K_2$, existuje v�dy $ (n-1)$ p��le�itost� jak p�ipojit n-t� vrchol k $(n-1)$ vrchol�m strom� ni��� hladiny a po�et Youngem ozna�en�ch strom� mus� b�t $(n-1)!$. Tyto stromy lze srovn�vat s konvolucemi. V�echny stromy jsou vytvo�eny polynomi�lem \begin{equation} x(x + m)^{m-1} \end{equation} \label{polynomi�lu} kde $m$ je po�et hran ve stromu s $(m + 1)$ vrcholy. Mocniny $x$ lze interpretovat jako po�et hran spojen�ch s p�idan�m vrcholem tvo��c�m ko�en a �leny polynomi�lu p�i $x^k$ lze interpretovat jako po�et strom� zako�en�n�ch v n-t�m vrcholu maj�c�m odpov�daj�c� stupe� vrcholu k. Nap��klad pro $m=4$ dostaneme: $$64x^1 + 48x^2 + 12x^3 + 1x^4 = 125\;.$$ 16 strom� se 4 vrcholy jsou p�ipojen� k p�t�mu vrcholu na 4 rozd�ln�ch m�stech. To d�v� prv� koeficient. Druh� koeficient se z�sk� zako�en�n�m $(L_3 + K_1)=3\times12$ a $2K_2=3\times4$. Posledn� �len odpov�d� hv�zd� zako�en�n� v p�t�m vrcholu. Tak jsme dostali novou kombinatorickou identitu, kterou lze zobrazit v tabulkov� form� v tabulce 14.1 dohromady s jej� inverzn� matic� \begin{table} \caption{Stromy vytvo�en� polynomi�lem ({\ref polynomi�lu}) a inverzn� matice} \label{Stromy vytvo�en� polynomi�lem} \begin{tabular}{|l|rrrrr|c|rrrrrr|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\sum$ & \ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline m=1 & 1& & & & & 1 & \ & 1 & & & & \\ 2 & 2 & 1 & & & & 3 & & -2 & 1 & & & \\ 3 & 9 & 6 & 1 & & & 16 & & 3 & -6 & 1 & & \\ 4 & 64 & 48 & 12 & 1 & & 125 & & -4 &

24 & -12 & 1 & \\ 5 & 625 & 500 & 150 & 20 & 1 & 1296& & 5 & -80 & 90 & -20 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Prvky inverzn� matice se mohou rozlo�it do binomi�ln�ch koeficient� ${ m \choose j}$ a prvk� $-j^{(i-j)}$. P��t� ��dka inverzn� matice je $-6\times1 +15\times16 -20\times27 + 15\times16 -6\times5 +1\times1$. Pro indexov�n� neozna�en�ch strom� je nutn� nal�zt po�et orbit zako�en�n�ch strom� a po�et zako�en�n�ch strom� se symetrick�mi hranami. \section{Grupa symetrie neorientovan�ch graf�} \label{Grupa symetrie neorientovan�ch graf�} Inciden�n� matice ${\bf G}$ �pln�ho neorientovan�ho grafu $K_n$ m� $n$ sloupc� a $n(n-1)/2$ hran. V ka�d�m sloupci existuje $(n-1)$ jednotkov�ch prvk� a v ka�d� ��dce existuj� dva jednotkov� prvky. R�zn� kombinace p�r� jednotkov�ch vektor� odpov�daj� rozd�ln�m hran�m grafu a lze indexovan� postupn� indexem i, jdouc�m od 1 a� k $n(n-1)/2$. Inciden�n� matici ${\bf G}$ lze permutovat zleva permuta�n�mi maticemi ${\bf P}_{n(n-1)/2}$ tvo��c�mi grupu cyklick�ch permutac� $S_{n(n-1)/2}$ a zprava permuta�n�mi maticemi ${\bf P}_n$. Tyto permutace n sloupc� tvo�� grupu $S_n$ cyklick�ch permutac�, kter� m�n� permutace v�t�� levostrann� grupy $S_{n(n-1)/2}$. Tato grupa grafov�ch hran nem�e b�t �pln�, proto�e je indukovan� men�� cyklickou grupou $S_n$. Pou�ijeme pro grafovou grupu indukovanou permutacemi sloupc� inciden�n� matice ${\bf G}_n$ jednoduchou notaci $G_n$. V matematick� literatu�e se pou��vaj� rozd�ln� jm�na, jako "v�ncov� sou�in" nebo "krokov� grupa". V tabulce 14.2 jsou uk�zan� ��inky cyklick�ch permutac� na inciden�n� matici �pln�ho grafu $K_n$. \begin{table} \caption{Vztahy mezi $S_n$ a $G_n$ grupami} \label{Vztahy mezi $S_n$ a $G_n$ grupami} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline $S_n$ grupa & & $s_1^4$ & $s_1^2s_2^1$ & $s^1_1s_3^1$ & $s^2_2$ & $s_4^1$ \\ \hline ${\bf P}$ & &1 0 0 0 & 0 1 0 0 & 0 1 0 0 & 0 1 0 0 & 0 1 0 0 \\ & &0 1 0 0 & 1 0 0 0 & 0 0 1 0 & 1 0 0 0 & 0 0 1 0 \\ & &0 0 1 0 & 0 0 1 0 & 1 0 0 0 & 0 0 0 1 & 0 0 0 1 \\ & &0 0 0 1 & 0 0 0 1 & 0 0 0 1 & 0 0 1 0 & 1 0 0 0 \\ \hline Po��te�n� ��dka& ${\bf G}_{K_4}$ & \multicolumn{5}{c|}{Permutovan� hrany (index p�vodn� ��dky)} \\ \hline 1 &1 1 0 0& 1 & 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 &1 0 1 0& 2 & 3 & 3 & 5 & 4 \\ 3 &0 1 1 0& 3 & 2 & 1 & 4 & 3 \\ 4 &1 0 0 1& 4 & 4 & 6 & 3 & 6 \\ 5 &0 1 0 1& 5 & 6 & 4 & 2 & 5 \\ 6 &0 0 1 1& 6 & 5 & 5 & 6 & 1 \\ \hline

$G_4$ grupy & & $s^6_1$ & $s_1^2s^2_2$ & $s^2_3$ & $s_1^2s^2_2$ & $s_2^1s_4^1\;.$ \\ \hline \end{tabular} \end{table} Indexov�n� hran grafu se prov�d� rekurzivn�. Ke grafu s $n$ hranami se p�id�v� nov� vrchol a k inciden�n� matici ${\bf G}_n$ nov� blok maj�c� blokov� tvar dvou jednotkov�ch matic $({\bf I}_n|{\bf J}_n)$. Podgrupa $s_1^1S_n$ grupy $S_{n-1}$, kter� nech�v� posledn� sloupec na sv�m m�st�, permutuje pouze prvky matice ${\bf G}$, av�ak jej� ��inek transformuje jednotkov� cyklus $s_1$ s jedn�m prvkem do n prvk� p�sob�c� permuta�n� matice a transformuje jej� cyklickou strukturu, co� p�id�v� nov� cykly k existuj�c� struktu�e grafov� grupy. Ov�em grupa $S_{n+1}$ obsahuje tak� jin�ho podgrupy ne� $s_1^1S_n$. Jednou z nich je podgrupa jednoduch�ch cykl� $s_{n+1}$. Ka�d� cyklus s lichou d�lkou k transformuje $(n+1)$-t� jednotkov� cyklus do nov�ho cyklu stejn� d�lky. V na�em p��klad� $(s_1^1 + s_1^3)$ se transformuje do \begin{equation} (s_1^3 + s_1^3) = s^6_1\ {\rm a}\ (s_1^1 + s_3^1)\ {\rm do}\ (s_3^1 + s_3^1)= s_3^2\;. \end{equation} Cykly sud� d�lky transformuj� p�idan� jednotkov� cyklus do dvou cykl�, jednoho maj�c�ho stejnou d�lku jako p�vodn� cyklus a druh�ho s polovi�n� d�lkou. Pro tento p��pad m�me v na�em p��klad� cykly d�lky 2: $$[s_1^1 + (s_1^1s^1_2)] = (s_1^1 + s_1^1s^1_2) = s_1^2s^2_2\;.$$ Ve skute�nosti ka�d� prvek cyklu d�lky $n$ p�sob� na $(n-1)/2$ indukovan�ch prvk� grupy $G_n$. Pokud $n$ je lich�, $(n -1)/2$ je cel� ��slo, pokud $n$ je sud�, zb�v� $n/2$ hran, kter� se permutuj� a tvo�� nov� cyklus. V na�em p��klad� $s_4$ generovalo nov� cyklus $s_2$, proto�e �pln� graf $K_4$ m� 6 hran. V $K_6$ s 15 hranami $s_6$ vytv��� cyklickou strukturu $s_4^1s_6^2$. Kdy� existuj� dva cykly rozd�ln�ch d�lek, kter� nemaj� spole�n� d�litel, vytv��� tolik cykl�, jakou m� jejich spole�n� d�litel d�lku, d�lky rovnaj�c� se jejich nejmen��mu n�sobku. Nap��klad p�i $n=5: 2\times3=6$ a zb�vaj� 4 prvky, aby se permutovaly s men��mi cykly. To je mo�n� jako $s_1^1s^1_3$. Cyklus $s_1$ je indukov�n cyklem $s_2$, kter� permutuje dva vektory pouze s jednou hranou a zanech�v� identitu. Cyklus $s_3$ permutuje jen sloupce t�� hran a jen se reprodukuje. N�kter� p��klady podgup $S(n)$ a odpov�daj�c� indukovan� grafov� cykly $$\begin{array}{cccccc} S_6 & s_6^1\;; & S_7 & s_1^1s^1_6\;; & S_8 & s^1_2s^1_6\;; \\ & & & & & \\ G_6 & s_3s^2_6\;; & G_7 & s_3s^3_6\;; & G & s_1^1s_3^1s^4_6\;. \\ \end{array}$$ Je mo�n� vytvo�it jakoukoliv grafovou grupu bu� po��t�n�m v�sledk� n�soben� inciden�n�ch matic rozd�ln�mi permuta�n�mi maticemi, nebo dedukc� ��ink� rozd�ln�ch cyklick�ch struktur. Oba zp�soby jsou zdlouhav� pr�ce vy�aduj�c� trp�livost anebo po��ta�. Pokud si uv�dom�me, �e se jedn� jen o sou�ty pouze dvou naivn�ch matic, kde se v�echny operace zd�ly snadn�, mus�me se divit, jak slo�it� mus� b�t grupy matic maj�c�ch v ka�d� ��dce t�i nebo v�ce jednotkov�ch symbol�, nebo grupy matic rozd�ln�ch druh�.

Grafov� grupy $G_n$ se mohou pou��t pro ur�en� po�tu v�ech jednoduch�ch graf� s $n$ vrcholy, podobn� jako se pou�ily cyklick� indexy. Hrana m�e b�t p��tomn� v grafu nebo ne. V jednoduch�m grafu nejsou dovolen� n�sobn� hrany a m�eme si p�edstavit, �e grafy jsou um�st�ny na vrcholy $n(n-1)/2$ rozm�rn� jednotkov� krychle, jej� strany jsou tvo�eny diagon�lami jako na obr�zku 12.1, kde jsou uk�zan� dv� diagon�ln� �ady v 3 rozm�rn� krychli. Abychom p�edstavili ob� mo�nosti, vlo��me do cyklick�ch index� polynomi�lu $(1 + x^k)$ cykly $s_k$ a vypo�teme pro v�echny podgrupy. $G_4$ grafov� index je \begin{equation} G_4 = 1/24\ (s^6_1 + 9s^2_1s^2_2 + 8s^2_3 + 6s^1_2s_4^1)\;. \end{equation} To d�v� \begin{equation} Z(G_4,\ 1+x) = 1 + x^1 + 2x^2 + 3x^3 + 2x^4 + x^5 + x^6 \end{equation} \label{Z(G} kde koeficienty p�i $x^k$ ur�uj� po�et rozd�ln�ch graf� se 4 vrcholy a k hranami. Jsou uk�zan� na obr. \ref{Grafy se 4 vrcholy a k hranami}. \begin{figure} \caption{Grafy se 4 vrcholy a k hranami} \label{Grafy se 4 vrcholy a k hranami} \unitlength 0.35mm \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(177.37,77.60) \put(10.00,75.33){\circle{4.00}} \put(10.00,60.33){\circle{4.00}} \put(25.00,75.33){\circle{4.00}} \put(25.00,60.33){\circle{4.00}} \put(35.00,75.00){\circle{4.00}} \put(50.00,75.33){\circle{4.00}} \put(35.00,60.33){\circle{4.00}} \put(50.00,60.33){\circle{4.00}} %\emline(35.00,75.00)(50.00,75.00) \put(35.00,75.00){\line(1,0){15.00}} %\end \put(60.33,75.00){\circle{4.00}} \put(75.00,75.00){\circle{4.00}} \put(60.00,60.33){\circle{4.00}} \put(75.00,60.33){\circle{4.00}} %\emline(60.00,60.00)(60.00,75.00) \put(60.00,60.00){\line(0,1){15.00}} %\end %\emline(60.00,75.00)(75.00,75.00) \put(60.00,75.00){\line(1,0){15.00}} %\end \put(60.00,50.33){\circle{4.00}} \put(75.00,50.33){\circle{4.00}} \put(60.00,35.33){\circle{4.00}} \put(75.00,35.33){\circle{4.00}} %\emline(60.00,50.33)(75.00,50.33) \put(60.00,50.33){\line(1,0){15.00}} %\end

%\emline(60.00,35.33)(74.67,35.33) \put(60.00,35.33){\line(1,0){14.67}} %\end \put(85.00,75.00){\circle{4.00}} \put(100.00,75.00){\circle{4.00}} \put(85.00,60.00){\circle{4.00}} \put(100.00,60.33){\circle{4.00}} %\emline(85.00,60.33)(85.00,75.00) \put(85.00,60.33){\line(0,1){14.67}} %\end %\emline(85.00,75.00)(100.00,75.00) \put(85.00,75.00){\line(1,0){15.00}} %\end %\emline(100.00,75.00)(100.00,60.33) \put(100.00,75.00){\line(0,-1){14.67}} %\end \put(85.00,50.33){\circle{4.00}} \put(100.00,50.33){\circle{4.00}} \put(85.00,35.33){\circle{4.00}} \put(100.00,35.33){\circle{4.00}} %\emline(84.67,35.33)(84.67,50.33) \put(84.67,35.33){\line(0,1){15.00}} %\end %\emline(84.67,50.33)(100.00,50.33) \put(84.67,50.33){\line(1,0){15.33}} %\end %\emline(84.67,50.33)(100.00,35.33) \multiput(84.67,50.33)(0.12,-0.12){126}{\line(1,0){0.12}} %\end \put(84.67,25.33){\circle{4.00}} \put(100.00,25.33){\circle{4.00}} \put(84.67,10.33){\circle{4.00}} \put(100.00,10.33){\circle{4.00}} %\emline(84.67,25.33)(100.00,25.33) \put(84.67,25.33){\line(1,0){15.33}} %\end %\emline(100.00,25.33)(84.67,10.33) \multiput(100.00,25.33)(-0.12,-0.12){126}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(84.67,10.33)(84.67,25.33) \put(84.67,10.33){\line(0,1){15.00}} %\end \put(111.00,60.33){\framebox(14.67,14.67)[cc]{}} \put(111.00,75.00){\circle{4.00}} \put(125.67,75.00){\circle{4.00}} \put(111.00,60.33){\circle{4.00}} \put(125.67,60.33){\circle{4.00}} \put(111.00,50.33){\circle{4.00}} \put(125.67,50.33){\circle{4.00}} \put(111.00,36.00){\circle{4.00}} \put(125.67,35.33){\circle{4.00}} %\emline(111.00,50.33)(125.67,50.33) \put(111.00,50.33){\line(1,0){14.67}} %\end %\emline(125.67,50.33)(111.00,36.00) \multiput(125.67,50.33)(-0.12,-0.12){120}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(111.00,36.00)(111.00,50.33)

\put(111.00,36.00){\line(0,1){14.33}} %\end %\emline(111.00,50.33)(125.67,35.33) \multiput(111.00,50.33)(0.12,-0.12){123}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(135.61,74.96)(150.75,60.30) \multiput(135.61,74.96)(0.12,-0.12){123}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(135.61,60.30)(150.75,74.96) \multiput(135.61,60.30)(0.12,0.12){123}{\line(1,0){0.12}} %\end \put(135.61,74.96){\circle{4.00}} \put(150.75,74.96){\circle{4.00}} \put(135.61,60.30){\circle{4.00}} \put(150.75,60.30){\circle{4.00}} %\emline(135.67,75.00)(135.67,60.33) \put(135.67,75.00){\line(0,-1){14.67}} %\end %\emline(135.67,60.33)(150.67,60.33) \put(135.67,60.33){\line(1,0){15.00}} %\end %\emline(150.67,60.33)(150.67,75.00) \put(150.67,60.33){\line(0,1){14.67}} %\end \put(160.67,60.33){\framebox(15.00,15.00)[cc]{}} %\emline(160.67,75.33)(175.67,60.33) \multiput(160.67,75.33)(0.12,-0.12){126}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(160.67,60.33)(175.67,75.33) \multiput(160.67,60.33)(0.12,0.12){126}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(161.00,75.33){\circle{4.00}} \put(175.67,75.33){\circle{4.00}} \put(160.67,60.33){\circle{4.00}} \put(175.67,60.33){\circle{4.00}} \end{picture} \end{figure} \section{Symetrie neorientovan�ch graf�} \label{Symetrie neorientovan�ch graf�} Vysv�tlili jsme grafov� grupy permutacemi sloupc� inciden�n� matice ${\bf G}$ �pln�ho grafu. Nyn� pou�ijeme tuto techniku a vysv�tl�me symetrii jin�ch neorientovan�ch graf�, kter� jsou podstatn� podmno�inou k prvk� �pln�ho grafu. Jsou pouze dv� mo�nosti, co permutace sloupc� inciden�n� matice mohou prov�st s hranami. ��dku lze permutovat samu se sebou nebo se m�e zm�nit v ��dku odpov�daj�c� jin� hran�. Grupa jedin� hrany m� dva prvky: (1)(2) a (12). Pokud je hrana definov�na na mno�in� 4 vrchol�, potom existuj� 4 permutace, kter� ji nech�vaj� nezm�n�nou: (1)(2)(3)(4), (1)(2)(34), (12)(3)(4), a (12)(34). M�eme vybrat 6 rozd�ln�ch hran, av�ak n�kter� budou m�t stejn� grupy, jako hrana 3-4 s hranou 1-2. S k ��dky m�me v�dy t�i mo�nosti: Permutace p�sob�c� na vrcholy m�n� pouze po�ad� hran, to znamen� jejich indexov�n�. Nebo m�n� je �pln� (nebo alespo� ��ste�n�) do ��dk� odpov�daj�c�ch jin�m hran�m. V�sledkem je, �e jeden ozna�en� graf je zm�nil v jin� ozna�en� graf, kter� mus� m�t stejn� po�et hran a mus� n�le�et ke stejn�mu typu grafu.

Po�et $b$ permutac�, kter� pouze permutuj� hrany inciden�n� matice ${\bf G}$ grafu ur�uje symetrii grafu. Kdy� pod�l�me po�et v�ech permutac� $n!$ {\em ��slem symetrie} $b$, dostaneme po�et rozd�ln� ozna�en�ch graf� dan�ho typu. $b$ jednoduch�ch hran na 4 vrcholech je 4 a existuje opravdu $24/4 = 6$ rozd�ln�ch hran na mno�in� 4 vrchol�. ��slo symetrie tohoto grafu $K_4$ je 24, tedy existuje pouze jedno rozli�iteln� ozna�en� tohoto grafu. Vztah po�tu $b$ rozli�iteln�ch ozna�en� je zn�m� jako {\em Burnsidova lemma}. Nyn� prozkoum�me v�po�ty podle (\ref{Z(G}). Vzorec \begin{equation} (1+x)^6 +9(1+x)^2(1+x^2)^2 +8(1+x^3)^2 + 6(1+x^2)(1+x^4) \end{equation} se rozd�l� podle sv�ch �len� do kone�n�ho v�sledku jako: $$\begin{tabular}{|r|rrrrrrr|} \hline Mocniny x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline $s^6_1$ & 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1 \\ $9s^2_1s^2_2$ & 9 & 18 & 27 & 36 & 27 & 18 & 9 \\ $8s^2_3$ & 8 & & & 16 & & & 8 \\ $6s^1_2s^1_4$ & 6 & & 6 & & 6 & & 6 \\ \hline $\Sigma$ & 24 & 24 & 48 & 72 & 48 & 24 & 24 \\ \hline Po�et graf� & 1 & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 1 \\ \hline \end{tabular}$$ V�echny permuta�n� matice grupy $S_4$ transformuj� pr�zdn� nebo �pln� graf na sebe. Tedy jejich b = 24. Kdy� pod�l�me sloupcov� sou�ty 24, dostaneme po�et rozd�ln�ch graf� s $k$ vrcholy. Po�et rozli�iteln�ch ozna�en�ch graf� je dan� v prv� ��dce, kde se po��taj� identitn� permutace. Pro jedinou hranu to d�v� �est rozd�ln�ch graf�. ��slo $b$ je vytvo�en� t�emi permutacemi hran typu $s^2_1s^2_2$ a jedou permutac� $s^6_1$. U graf� s dv�ma hranami, 15, 27 a 6 permutac� n�le�� dv�ma rozd�ln�m graf�m, bu� $L_3$ a jeden izolovan� vrchol nebo dv� $L_2$. Kdy� se pokou��me d�lit permutace do orbit grafu, m�eme pou��t fakt, �e oba $b$ a po�et rozd�ln�ch ozna�en� grafu mus� b�t d�liteli $n!$. 15 se m�e potom �t�pit pouze jako $12+3$. Potom 27 se m�e rozd�lit jako $12+12+3$. M�eme pou��t tak� jin� kriterium a rozhodnout, kter� z obou mo�nost� je spr�vn�. Vyu�ijeme mo�n� rozd�len� vrcholov�ch stup��. Grafy s dv�ma hranami maj� sou�et vrcholov�ch stup�� 4 a pro 4 vrcholy dv� rozd�len�: 2110 a 1111. Existuje 12 rozli�iteln�ch permutac� prv�ho rozd�len� a pouze 1 permutace druh�ho. Toto rozd�len� je st�l� u v�ech permutac�, v�etn� cyklu d�lky 4, tedy struktura grupy je $s^1_4$. Ob� krit�ria nech�vaj� jako jedin� mo�n� �t�pen� 12+12+3. Existuje 12 line�rn�ch �et�zc� $L_4$ s $b=2$ a strukturou grupy $(s^4_1 + s^2_2)$ a 3 grafy $2K_2$ s $b=8$. Jejich struktura grupy je $s^4_1 + 2s^2s^1_2 + 3s^2_2 + 2s_4^1$. Grafy s p�ti a �esti hranami jsou komplement�rn� grafy s ��dnou a jedou hranou. \section{Orientovan� grafy} \label{Orientovan� grafy} V jednoduch�m orientovan�m grafu mohou existovat dv� orientovan� hrany mezi ka�d�m

p�rem vrchol�. Symetrie orientovan�ch graf� tento fakt komplikuje. To lze dokumentovat na vztahu mezi po�tem samo se dopl�uj�c�ch neorientovan�ch graf� s 4k vrcholy a po�tem samo se dopl�uj�c�ch turnaj� s 2k vrcholy. A {\em turnaj} je spojen� orientovan� graf, kter� m�e m�t pouze jednu z obou orientac� orientovan�ch hran. �pln� turnaj s 2k vrcholy m� $(4k^2 - 2k)$ orientovan�ch hran, �pln� orientovan� graf s 4k vrcholy m� $(8k^2 -2k)$ orientovan�ch hran. Je nutn� k dopln�n� grafu odpov�daj�c�ho samo se dopl�uj�c�mu turnaji s 2k vrcholy vytvo�it z ka�d� orientovan� hrany dv� orientovan� hrany. To lze prov�st n�sledovn�: Vytvo��me 2k nov�ch vrchol� indexovan�ch ��rkovan�mi indexy turnaj a spoj�me v�echny lich� ��rkovan� a ne��rkovan� vrcholy maj�c� stejn� index k orientovan�mi hranami. Pokud v turnaji existuje orientovan� hrana i-j, vytvo��me orientovan� hrany i-j a i-j' v dopl�kov�m grafu, pokud existuje orientovan� hrana j-i, zavedeme orientovan� hrany i'-j a i'-j'. Orientovan� hrany chyb�j�c� v indukovan�m grafu jsou p��tomn� v samo se dopl�uj�c�m grafu odpov�daj� orientovan�m hran�m v Dopl�kov�m turnaji nebo spojuj� sud� ��rkovan� a ne��rkovan� vrcholy. Rozd�l je tvo�en $4k^2$ orientovan�mi hranami a $2k$ vrcholy. Rozd�l mezi orientovan�mi a neorientovan�mi grafy lze vysv�tlit tak� jin�m zp�sobem. M�eme pou��t dv� zvl�tn� hrany pro ob� orientace orientovan�ch hran i-j a j-i. V jednoduch�m orientovan�m grafu m�e b�t n(n-1) orientovan�ch hran, to je dvojn�sobek po�tu hran. Inciden�n� matice ${\bf S}$ m� dvojn�sobek po�tu ��dk� inciden�n� matice ${\bf G}$ a permutace jej�ch sloupc� vytv��� jin� druh permutac� sloupc� z�m�nou znam�nka. Permutace (12)(3)(4) vytv��� grafov� permutace (12)(23) (45)(6)(89)(10,11)(12), co� nech�v� nezm�n�n� pouze dv� hrany. U� jsme se zm�nili, �e po�et ozna�en�ch neorientovan�ch graf� je $2^{n(n-1)/2}$. To lze napsat jako polynomi�l \begin{equation} G(t) = (1 + t)^{{ n \choose 2}}\ {\rm s}\ t=1\;. \end{equation} Tento fakt je vyvozen z mo�nosti, jak zaplnit matici sousedstv� ${\bf A}$ jednotkov�mi symboly. Existuje ${ n \choose 2}$ mo�nost�, kter� jsou nez�visl�. Matice sousedstv� je symetrick�. Zapl�uj� se sou�asn� doln� a horn� mimodiagon�ln� polohy. Polynomi�l $G(2)$ d�v� po�et ozna�en�ch orientovan�ch graf� s pouze jednou orientovanou hranou mezi p�rem vrchol�. Toto odpov�d� matici sousedstv�, kter� m� pouze jeden prvek v ka�d�m p�ru poloh i-j a j-i ukazuj�c� orientaci orientovan� hrany. Polynomi�l $G(3)$ d�v� po�et orientovan�ch graf� s ob�ma orientacemi orientovan�ch hran, nebo po�tu asymetrick�ch matic sousedstv�, kter� mohou m�t p�r jednotkov�ch symbol� v ka�d�m p�ru odpov�daj�c�ch m�st. \section{Spojit� neorientovan� grafy} \label{Spojit� neorientovan� grafy} Graf je spojit�, pokud m� pouze jednu slo�ku. Po�et neorientovan�ch spojit�ch graf� lze ur�it, pokud po��t�me v�echny grafy zako�en�n� v jedn� slo�ce $C_k$ s $k$ vrcholy. Jejich po�et je rovn� po�tu v�ech zako�en�n�ch ozna�en�ch graf� \begin{equation} n2^{n(n-1)/2} = \sum_{k=1}^n { n \choose k}C_kG_{n-k} \label{zako�en�n� ozna�en� grafy} \end{equation} kde $G_{n-k}$ je po�et v�ech zako�en�n�ch graf� s $(n-k)$ vrcholy, co� znamen�

$n2^{(n-k)(n-k-1)/2}$ s $G_0 = 1$. V�znam lev� strany identity je jasn�: Ka�d� graf m� $n$ mo�n�ch ko�en�. Prav� strana po��t� ka�d� graf podle po�tu jeho slo�ek. Pokud m� dv� slo�ky, potom se po��t� dvakr�t, jednou s $k$ ko�eny, potom s $(n-k)$ ko�eny. Pr�zdn� graf se po��t� $n$ kr�t v d�sledku binomi�ln�ho koeficientu na prav� stran�. Kdy� odd�l�me po�et spojit�ch graf� $C_n$, m�eme ur�it po�et v�ech zako�en�n�ch ozna�en�ch graf� rekurzivn�.. Zde se pou�ije obecn� vztah mezi dv�ma vytvo�uj�c�mi funkcemi, norm�ln� a exponenci�ln�. Po�ty spojit�ch ozna�en�ch graf� $G_n$ jsou koeficienty exponenci�ln� vytvo�uj�c� funkce ozna�en�ch graf� \begin{equation} G(x) =\sum_{n=1}^{\infty}C^n(x)/n! = \exp(\sum_{n=1}^{\infty}a^nx^n)\;. \end{equation} Pon�vad� existuje tak� norm�ln� vytvo�uj�c� funkce ozna�en�ch graf� \begin{equation} G(x) = \sum_{n=1}^{\infty}A^nx^n)\;, \end{equation} ob� funkce lze srovn�vat. Vlo�en�m $a_0 =1$, m�eme logaritmovat ob� strany s v�sledkem \begin{equation} a_n = A_n - 1/n\ \sum_{n=1}^{\infty}ka_kA_{n-k})\;. \end{equation} (\ref{zako�en�n� ozna�en� grafy}) (14.8) je jen speci�ln�m p��padem t�to identity.

Po�et spojit�ch graf� $C_n$ je rychle rostouc� funkce $$\begin{tabular}{|r|rrrrrr|} \hline na & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline $C_n$& 1 & 1 & 4 & 38 & 728 & 26704 \\ \hline \end{tabular}\;.$$ \chapter{Vlastn� hodnoty a vlastn� vektory} \label{Vlastn� hodnoty a vlastn� vektory} \section{Interpretace vlastn�ch hodnot} \label{Interpretace vlastn�ch hodnot} Kvadratick� forma naivn�ch matic ${\bf N}^{\rm T}{\bf N}$ je diagon�ln� matice. Tak� �tverce Hadamardov�ch matic jsou diagon�ln� matice. Av�ak druh� kvadratick� forma naivn�ch matic ${\bf NN}^{\rm T}$ a kvadratick� formy inciden�n�ch matic graf� ${\bf G}$ a ${\bf S}$ maj� mimodiagon�ln� prvky. Interpretovali jsme diagon�ln� a mimodiagon�ln� prvky jako dva ortogon�ln� maticov� vektory ud�vaj�c� jednotkov� projekce jak�hokoliv maticov�ho vektoru ${\bf M}$ do prostoru hran a sloupc� (viz obr. \label{Maticov� vektorov� soustava}). V t�to kapitole uk�eme podm�nky, kdy maticov� vektor lze reprezentovat ekvivalentn� diagon�ln� matic� {\em vlastn�ch hodnot} zaveden�ch v podkapitole \ref{Diagonalizace matic} a

vlastnosti, kter� takov� nahrazen� m�. Ve srovn�n� s naivn�mi maticemi je jasn� jedna vlastnost: diagon�ln� matice mus� m�t stejnou d�lku jako samotn� maticov� vektor ${\bf M}$. Z t�to vlastnosti vypl�v�, �e p�i diagonalizaci se maticov� vektor ${\bf M}$ ot���, aby se sn�ila d�le�itost mimodiagon�ln�ch prvk�. Alternativn� poloha vektoru je st�l� a m�n�me soustavu koordin�t, p�esn� jako kdybychom obch�zeli okolo matice a� bychom nalezli m�sto, odkud je mo�n� vid�t skrze matici. Takov� v�hled m� svou vlastn� mno�inu koordin�t. Obch�zen� matice se podob� funkci polarizuj�c�ch filtr� ot��ej�c�ch sv�tlo (mno�ina vlastn�ch hodnot je zn�m� jako {\em spektrum} matice). Polarizuj�c� funkci m� p�r matic zn�m�ch jako matice {\em vlastn�ch vektor�}. Matice ${\bf M}$ se vlo�� mezi p�r matic vlastn�ch vektor� ${\bf Z}^{\rm T}$ a ${\bf Z}$ a v�sledn� sou�in je ekvivalentn� diagon�ln� matici $\Delta({\bf M})$: \begin{equation} {\bf Z}^{\rm T} {\bf MZ}= \Delta({\bf M}) \end{equation} V podkapitole \ref{Diagonalizace matic} se pou�ily symboly ${\bf L}$ a ${\bf R}$ pro ob� diagonalizuj�c� matice. Rozd�l mezi t�mito maticemi vlastn�ch vektor� je zp�soben dal��m po�adavkem na vlastn� vektory. Vlastn� vektory jsou diagonalizuj�c� vektory, kter� jsou normalizov�ny jako v n�sleduj�c�ch p��kladech $$\begin{array}{rr|rrr} & & \ & 1/\sqrt{ 2} & 1/\sqrt{ 2} \\ & & & 1/\sqrt{ 2} &-1/\sqrt{ 2} \\ \hline 0 & 1 & & 1/\sqrt{ 2} & -1/\sqrt{ 2} \\ 1 & 0 & & 1/\sqrt{ 2} & 1/\sqrt{ 2} \\ \hline 1/\sqrt{ 2} & 1/\sqrt{ 2} & & 1 & 0 \\ 1/\sqrt{ 2} & -1/\sqrt{ 2} & & 0 & -1 \\ \end{array}$$ $$\begin{array}{rr|rrr} & & \ & 1/\sqrt{ 2} & 1/\sqrt{ 2} \\ & & & 1/\sqrt{ 2} &-1/\sqrt{ 2} \\ \hline 2 & 1 & \ & 3/\sqrt{ 2} & 1/\sqrt{ 2} \\ 1 & 2 & & 3/\sqrt{ 2} & -1/\sqrt{ 2} \\ \hline 1/\sqrt{ 2} & 1/\sqrt{ 2} & & 3 & 0 \\ 1/\sqrt{ 2} & -1/\sqrt{ 2} & & 0 & 1 \\ \end{array}$$ Situace se komplikuje, kdy� je v�ce vlastn�ch hodnot stejn�ch a hodnoty jsou n�sobky.

odpov�daj�c�

V�imn�te si dvou d�le�it�ch vlastnost� vlastn�ch vektor� matic: \begin{itemize} \item 1. Jejich sloupcov� vektory by m�ly b�t ortogon�ln� a normalizovan� \begin{equation} {\bf Z}^{\rm T}{\bf Z}= {\bf I} \end{equation} Nap��klad

$$\begin{array}{rr|rrr} & & \ & 2^{-1/2} & 2^{-1/2} \\ & & & 2^{-1/2} & -2^{-1/2} \\ \hline 2^{-1/2} & 2^{-1/2} & & 1 & 0 \\ 2^{-1/2} & 2^{-1/2} & & 0 & 1 \\ \end{array}$$ N�kdy se nesnadn� nal�zt ortogon�ln� vlastn� vektory, pokud je stejn�ch v�ce vlastn�ch hodnot (nebo jedna vlastn� hodnota je n�sobn�). \item 2. Kdy� vlastn� vektory n�sob� matici ${\bf M}$, v�echny jej� prvky se n�sob� faktorem odpov�daj�c�m vlastn� hodnot� $\lambda_j$. Jin�mi slovy, matice $ {\bf M}$ se chov� k matic�m sv�ch vlastn�ch vektor� ${\bf Z}^{\rm T}$ a ${\bf Z}$ jako diagon�ln� matice vlastn�ch hodnot \begin{equation} {\bf MZ}= \lambda_j {\bf Z} \end{equation} \end{itemize} \section{Vlastn� hodnoty a singul�rn� hodnoty} \label{Vlastn� hodnoty a singul�rn� hodnoty} V�echny shora uveden� rovnice byly naps�ny pro �tvercov� matice ${\bf M}$ p�edstavuj�c� kvadratick� formy. U obd�ln�kov�ch matic m�eme zaplnit jejich chyb�j�c� ��dky nebo sloupce nulov�mi prvky a pro jak�koliv vektor vzat� jako vlastn� vektor dostaneme nulovou vlastn� hodnotu. Nebudeme se zaj�mat o vlastn� hodnoty pravo�hl�ch matic, av�ak o vlastn� hodnoty jsoujich kvadratick�ch forem, kter� jsou zn�m� jako {\em singul�rn� hodnoty} pravo�hl�ch matic a asymetrick�ch �tvercov�ch matic. Inciden�n� matice ${\bf S}$ stromu je $(n-1)\times n$-rozm�rn�. ${\bf S}^{\rm T} {\bf S}$ je n-rozm�rn� matice, ${\bf SS}^{\rm T}$ je $(n-1)$-rozm�rn� matice. Ob� sou�iny maj� stejn� mno�iny singul�rn�ch hodnot. V tomto p��pad� ${\bf S}^{\rm T} {\bf S}$ mus� m�t jednu nulovou $\lambda_j$. To plat� pro v�echny spojit� grafy. �tverec jednotkov� matice ${\bf JJ}^{\rm T}$ m� pouze jednu nenulovou vlastn� hodnotu, kter� je identick� s vlastn� hodnotou ${\bf J}^{\rm T}{\bf J}$. To je sou�et n jednotek. Je�t� jednou opakujeme d�le�it� fakt, �e na diagon�le obou kvadratick�ch forem stejn� jako na diagon�le �tverc� symetrick�ch matic se objevuj� �tverce prvk� $m_{ij}$. Pokud je matice symetrick�, ob� kvadratick� formy jsou toto�n� se �tvercem matice ${\bf M}^{\rm T}{\bf M} = {\bf M}^2$, tedy singul�rn� hodnoty symetrick� matice jsou toto�n� se �tvercem jej�ch vlastn�ch hodnot. \section{Charakteristick� polynomi�ly} \label{Charakteristick� polynomi�ly} Nyn� p�istoup�me k probl�mu vlastn�ch hodnot z jin�ho hlediska. Matice a matice jej�ch vlastn�ch vektor� tvo�� soustavu line�rn� rovnic, jej� �e�en� se nalezne, kdy� se ode�te postupn� diagon�ln� matice vlastn�ch hodnot $\Delta(\lambda)$ od matice ${\bf M}$ a v�sledn� matice se n�sob� vlastn�m vektorem ${\bf z}$: \begin{equation} ({\bf M}- \lambda{\bf I}){\bf z}= {\bf 0} \end{equation}

Nap��klad matice $$\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$$ odpov�d� rovnic�m $$(2 -\lambda)x + y = 0$$ $$x + (2 -\lambda)y = 0\;.$$ Pokud vlo��me vlastn� vektor $x=1,\ y=1,$ dostaneme jako �e�en� $\lambda=3,$ pro $x=1,\ y=-1,$ je vlastn� hodnota $\lambda=1$. U� zn�me vlastn� vektory jinak se �e�en� mus� nal�zt s pou�it�m rozd�ln�ch metod. Sou�in rozd�l� vlastn�ch hodnot s nezn�m�mi $x$ je {\em charakteristick� polynomi�l} $P(x)$ matice ${\bf M}$. V dan�m p��pad� je to $P(x) = x^2 -4x +3$. V obecn�m p��pad� charakteristick� polynomi�l je \begin{equation} P(x) = \prod^n_{j=1}(x - \lambda_j) = x^n - a_1x^{n-1} +a_2x^{n-2} \dots \pm a_{n-1}x \pm a_nx^0\;. \end{equation} �len $a_1$ je jen sou�et v�ech vlastn�ch hodnot a je identick� se stopou matice, posledn� �len je sou�inem v�ech vlastn�ch hodnot a ur�uje zda soustava vlastn�ch hodnot m� �e�en�. Tedy se naz�v� {\em determinant}. Pokud matice m� alespo� jednu nulovou vlastn� hodnotu, potom �e�en� maticov�ch rovnic je neur�it� a matice je {\em singul�rn�}. \section{Permanenty a determinanty} \label{Permanenty a determinanty} Doposud {\em permanenty} nebyly definov�ny a bez nich bychom m�li pot�e s popisem, jak se z�skaj� polynomi�ly z prvk� matice. P�edpokl�dejme, �e m�me �tvercovou matici, jej� prvky jsou bu� symboly nebo ��sla, nap��klad $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf A}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B}\\ \\ \left(

\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right)\;. \end{array} \end{array}$$ permanent $p({\bf M})$ je sou�et v�ech sou�in� v�ech kombinac� v�ech prvk� $m_{ij} $ v ��dce i nebo sloupci j s prvky s jin�mi indexy ve v�ech jin�ch sloupc�ch a ��dc�ch $$p({\bf A}) = aei + afh + bdi + bfg + cdh + ceg$$ $$p({\bf B}) = 110 + 131 + 100 + 131 + 201 + 211 = 8\;.$$ Pou�ijeme celou mno�inu permuta�n� matice ${\bf P}$ jako vzor� a nap�eme z matice vybran� prvky jako sou�iny. Je jasn�, �e po�et prvk� v n-rozm�rn�m permanentu je $n!$. n prvk� v ka�d� ��dce se n�sob� s $(n-1)!$ �leny p�edch�zej�c�ch permanent�. Ve skute�nosti po�et ��dk� a sloupc� v matici nemus� b�t stejn�, av�ak odpov�daj�c� sou�iny potom obsahuj� nuly. To je d�le�it� pro definici determinant�. D��ve ne� s nimi za�neme, uk�eme alespo� jeden v�sledek z bohat� teorie permanent�, toti� permanent matice $({\bf JJ}_n^{\rm T}+k{\bf I}_n)$: \begin{itemize} \item Pokud $k=0$, m�me �tvercovou jednotkovou matici. V�ech $n!$ �ad permanentu jsou rovn� 1 a jejich sou�et d�v� faktori�l $n!$. \item Pokud $k= -1$, potom na hlavn� diagon�le jsou nuly a v�echny �ady obsahuj�c� alespo� jeden diagon�ln� prvek jsou nulov�. Po��t�me prvky permanentu jako permuta�n� matice ${\bf P}$ bez prvk� na hlavn� diagon�le. Mohli byste si vzpomenout (pokud ne, viz kapitolu 7), �e se po��taj� podle subfaktori�l� $z_{i0}$, tabulka 7.3. To d�v� pro matice $({\bf JJ}^{\rm T}-{\bf I})$ v�sledek $ ({\bf JJ}^{\rm T}_n-{\bf I}_n) = (r_n -1)^n$. \item Pokud k=1, m�me na hlavn� diagon�le 2 a prvky permanentu obsahuj�c� diagon�ln� prvky jsou mocniny 2. Vlo�en�m t�to hodnoty do zobecn�n�ho polynomi�lu dostaneme $({\bf JJ}_n+{\bf I}_n) = (r_n -1)^n$. To je Apple�v polynomi�l. \item Podobn� se naleznou permanenty pro jak�koliv k. \end{itemize} {\em Determinant} $Det({\bf M})$ je v ur�it�m smyslu inverzn� funkc� permanentu, proto�e je zalo�en na principu inkluse a exkluse. M� identick� prvky jako permanent, pouze jejich znam�nka jsou bu� kladn� nebo z�porn� v z�vislosti na znam�nku vytvo�uj�c� permutace, to je na po�tu inverz�. Pro na�e p��klady to je $$Det(A) = aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg$$ $$Det(B) = 0 - 3 - 0 + 3 +0 -2 = -2\;.$$ Pro $n=2$ je determinant $Det({\bf M}) = ad - bc$. Pro $n=3$, determinant se snadno nalezne, pokud opakujeme prvn� 2 ��dky matice jako jej� 4-tou a 5-tou ��dku a nap�eme diagon�ln� sou�iny vlevo a vpravo $$\begin{array}{c|ccc|c} &\ & b & c &\ \\ (-) & d & e & f &\ (+)\\ ceg & g & h & i & aei\\

\hline fah & & b & c & dhc\\ ibd & d & e & f & gbf\\ \end{array}$$ Nalezen� determinant� matic vy���ch ��d� b�valo pracnou �lohou. Byla formalizov�na definic� {\em minor�} $A_{ij}$ prvk� matice $m_{ij}$. Minor $A_{ij}$ je determinant matice $\delta_{ij}{\bf M}$, z�skan� z matice ${\bf M}$ vynech�n�m jt�ho sloupce a i--t� ��dky. Determinant se pak definoval jako sou�et sou�in� v�ech prvk� ��dky nebo sloupce s jejich minory \begin{equation} Det({\bf M})=\sum_{i=1}^m m_{ij}A_{ij}=\sum_{j=1}^n m_{ij}A_{ij} \end{equation} Determinanty se snadno naleznou pouze u n�kter�ch typ� matic. Je z�ejm�, �e determinant diagon�ln� matice je sou�inem jej�ch prvk�, zat�m co stopa je jejich sou�tem. Pon�vad� prvky diagon�ln� matice jsou sou�asn� jej�mi vlastn�mi hodnotami, determinant je sou�inem vlastn�ch hodnot matice \begin{equation} Det({\bf M})= \prod_{j=1}^n\lambda_j\;. \end{equation} To plat� pro jakoukoliv matici a tento fakt d�v� jinou definici determinantu jako objemu rovnob�n�ku tvo�en�ho vlastn�mi hodnotami. Pokud jedna vlastn� hodnota je nulov�, obd�ln�k netvo�� t�leso v n-rozm�rn�m prostoru a jeho objem je nulov�. Polynomi�l je sou�inem rozd�l� diagon�ln� matice nezn�m�ch $x$ se samotnou matic� ${\bf M}$. Po��t� se podobn� jako determinant, pouze rozd�ly se nech�vaj� neotev�en�. Determinant je posledn�m �lenem $a_n$ polynomi�lu, kdy� je $x^0$. Jinak: Pokud matice obsahuje nezn�m� $x$ na diagon�le, nem�eme vypo��tat jej� determinant v uzav�en� form� jako ��slo. V�sledkem je polynomi�l. Nap��klad matice ${\bf M}$ $$\left( \begin{array}{ccc} x & & b \\ & x & c \\ b & c & x \end{array} \right)$$ d�v� determinant $$Det{\bf M} = x^3 + 0x^2 - (a + b + c )x^1 + 2abcx^0$$\. Determinanty symetrick�ch matic s nulami na diagon�le se d�l� podle mocniny $x$ podle po�tu p�em�st�n� a z�skan� po�ty jsou identick� s prvky charakteristick�ho polynomi�lu. Tak� u triangul�rn�ch matic v doln�m nebo horn�m troj�heln�kov�m tvaru je determinant sou�inem jejich diagon�ln�ch prvk�. Rozlo��me determinant podle prvk� prv� ��dky. Zde bude pouze jeden nenulov� prvek $m_{11}A_{11}$. Potom podobn� rozlo��me minor $A_{11}$. Pro v�po�et determinant� jsou d�le�it� dv� pravidla: \begin{itemize}

\item 1. Z�m�na po�ad� hran nebo sloupc� nem�n� hodnotu determinantu, av�ak m�e zm�nit jeho znam�nko. Permanent nen� z�visl� na po�ad� sloupc� a hran a znam�nko lze zm�nit, pokud nov� permutace hran nebo sloupc� zm�n� znam�nko �len� determinantu. \item 2. Determinant se nezm�n�, kdy� p�id�me nebo ode�teme k n�jak� ��dce (nebo sloupci) matice n�sobek ��dky (nebo sloupce) matice. Pokud p�id�me v p��klad� shora k druh� ��dce prvou ��dku a zkontrolujeme v�echny �leny, vid�me, �e co se objev� na jedn� stran� determinantu, to se objev� tak� na druh� stran� v sou�inech se z�porn�mi znam�nky a v�echny zm�ny se samy eliminuj� a hodnota determinantu z�stane nezm�n�n�. \end{itemize} Ob� pravidla se vyu��vaj� pro v�po�et determinantu. Nap��klad uk�eme, nalezne determinant matice $({\bf JJ}_3^{\rm T}- {\bf I}_3)$: $$\begin{array}{c} {\bf 0}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf 2}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 &-1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf 3}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 1 &-1 & 0 \\ 1 & 0 &-1

jak se

\end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ \begin{itemize} \item 1. Sou�et druh� a t�et� ��dky 2,1,1 se p�idal k prv� ��dce. \item 2. Prvn� sloupec byl ode�ten od posledn�ho. \item 3. Prvn� sloupec byl ode�ten od druh�ho. \end{itemize} n rozm�rn� matice $({\bf JJ}_3^{\rm T}- {\bf I})$ transformovan� t�mito t�emi kroky do doln� troj�heln�kov� formy m� na diagon�le jednu hodnotu $(n-1)$ a $(n1)$ hodnot -1. V�t�� matice vy�aduj� v�ce krok�. Nyn� determinanty naleznou obvykle po��ta�e. Av�ak k z�sk�n� n�hledu je dobr� zn�t principy, kter� tvo�� z�kladnu pou�it�ch algoritm�. Determinant lze interpretovat jako $1/n!$ ��st objemu n-rozm�rn�ho t�lesa opsan�ho matic� spole�n� s po��te�n�m bodem koordin�t. Nap��klad dva body $A(5,2)$ a $B(2,5)$ tvo�� s $O(0,0)$ troj�heln�k, viz obr. \ref{Interpretace} \begin{figure} \caption{Interpretace determinantu} \label{Interpretace} \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(140.00,140.00) \put(20.20,20.00){\framebox(100.33,100.00)[cc]{0.30}} %\emline(20.00,20.00)(60.00,120.00) \multiput(20.00,20.00)(0.12,0.30){334}{\line(0,1){0.30}} %\end %\emline(60.00,120.00)(120.00,60.00) \multiput(60.00,120.00)(0.12,-0.12){500}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(120.00,60.00)(20.20,20.00) \multiput(120.00,60.00)(-0.30,-0.12){334}{\line(-1,0){0.30}} %\end \put(60.00,130.00){\makebox(0,0)[cc]{A(5,2)}} \put(129.00,60.00){\makebox(0,0)[lc]{B(2,5)}} \put(9.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{O(0,0)}} \end{picture} \end{figure} Plocha troj�heln�ku je $25 - 10 -4.5 = 10,5$. $$\left( \begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{array} \right)$$ je $25 - 4 = 21$. Polovina je 10.5. \section{Polynomi�ly graf�}

Determinant matice

\label{Polynomi�ly graf�} Matice sousedstv� ${\bf A}$ jednoduch�ch graf� bez smy�ek maj� v�echny mimodiagon�ln� prvky bu� 1 nebo 0, v�echny diagon�ln� prvky jsou nulov� a matice jsou symetrick� $a_{ij}= a_{ji}$. Pokud se pokou��me nal�zt jejich polynomi�ly shora popsanou metodou, najdeme pro 3 vrcholy \begin{equation} \hbox{Jeden mimodiagon�ln� prvek}\ P({\bf A}) = x^3 - x^1 = \prod_{j=1}^3(x -\lambda_j) \end{equation} \begin{equation} \hbox{Dva mimodiagon�ln� prvky}\ P({\bf A}) = x^3 - 2x^1\;. \end{equation} Koeficient $a_1$ p�i $x^2$ v polynomi�lu odpov�daj�c� sou�tu vlastn�ch hodnot je 0, pon�vad� stopa ${\bf A}$ je nula. Koeficient $a_2$ p�i $x^1$ odpov�daj�c� sou�tu �len� $\lambda_i\lambda_jx$, je �m�rn� po�tu hran v grafu. To plat� tak� pro grafy s v�ce vrcholy, proto�e tyto �leny se objevuj� v polynomi�lu, kdy� se diagon�la �len� $x$ n�sob� mimodiagon�ln�mi prvky. V d�sledku symetrie matice sousedstv� v�echny �leny p�i $x^{n-k_{lich�}}$ jsou nulov� a �leny u $x^{nk_{sud�}}$ se tvo�� po�tem k-n�sobk� izolovan�ch hran. Tyto k-tic jsou zn�m� jako {\em obr�zky hran}. Nap��klad �et�zce $L_6$ \\ \linethickness{0.5pt} \begin{picture}(130.00,20.00) \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(30.00,9.67){\circle{4.00}} \put(50.00,9.33){\circle{4.00}} \put(70.00,9.33){\circle{4.00}} \put(90.33,10.00){\circle{4.00}} \put(110.00,10.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,10.00)(30.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(50.33,10.00)(70.00,10.00) \put(50.33,10.00){\line(1,0){19.67}} %\end %\emline(90.33,10.00)(110.00,10.00) \put(90.33,10.00){\line(1,0){19.67}} %\end %\emline(10.00,10.00)(110.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){100.00}} \end{picture} �leny polynomi�lu jsou 5, 6 1. Polynomi�l matice sousedstv� ${\bf A}$ strom� je zn�m� jako {\em acyklick� polynomi�l}, proto�e nen� p�izp�soben pro cykly. Je sou�asn� {\em polynomi�lem shodnosti} acyklick�ch graf�. Polynomi�ln� koeficienty line�rn�ch �et�zc� lze zobrazit v tabulkov� form� dosti snadno (tabulka \ref{Polynomi�ln� koeficienty line�rn�ch �et�zc� $L_n$}). \begin{table}

\caption{Polynomi�ln� koeficienty line�rn�ch �et�zc� $L_n$} \label{Polynomi�ln� koeficienty line�rn�ch �et�zc� $L_n$} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & \\ 1 & 0 & 1 & & & & & \\ 2 &-1 & 0 & 1 & & & & \\ 3 & 0 &-2 & 0 & 1 & & & \\ 4 & 1 & 0 &-3 & 0 & 1 & & \\ 5 & 0 & 3 & 0 &-4 & 0 & 1 & \\ 6 &-1 & 0 & 6 & 0 &-5 & 0 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} \begin{figure} \caption{�est dvojic (A) a jedna trojice (B) �et�zce $L_6$} \label{�est dvojic a jedna trojice} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(130.00,160.00) \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(30.00,9.67){\circle{4.00}} \put(50.00,9.33){\circle{4.00}} \put(70.00,9.33){\circle{4.00}} \put(90.33,10.00){\circle{4.00}} \put(110.00,10.00){\circle{4.00}} \put(10.00,50.00){\circle{4.00}} \put(10.00,70.00){\circle{4.00}} \put(10.00,90.00){\circle{4.00}} \put(10.00,110.00){\circle{4.00}} \put(10.00,130.00){\circle{4.00}} \put(30.00,49.67){\circle{4.00}} \put(30.00,69.67){\circle{4.00}} \put(30.00,89.67){\circle{4.00}} \put(30.00,109.67){\circle{4.00}} \put(30.00,129.67){\circle{4.00}} \put(50.00,49.33){\circle{4.00}} \put(50.00,69.33){\circle{4.00}} \put(50.00,89.33){\circle{4.00}} \put(50.00,109.33){\circle{4.00}} \put(50.00,129.33){\circle{4.00}} \put(70.00,49.33){\circle{4.00}} \put(70.00,69.33){\circle{4.00}} \put(70.00,89.33){\circle{4.00}} \put(70.00,109.33){\circle{4.00}} \put(70.00,129.33){\circle{4.00}} \put(90.33,50.00){\circle{4.00}} \put(90.33,70.00){\circle{4.00}} \put(90.33,90.00){\circle{4.00}} \put(90.33,110.00){\circle{4.00}} \put(90.33,130.00){\circle{4.00}} \put(110.00,50.00){\circle{4.00}} \put(110.00,70.00){\circle{4.00}} \put(110.00,90.00){\circle{4.00}} \put(110.00,110.00){\circle{4.00}} \put(110.00,130.00){\circle{4.00}}

\put(10.00,150.00){\circle{4.00}} \put(30.00,149.67){\circle{4.00}} \put(50.00,149.33){\circle{4.00}} \put(70.00,149.33){\circle{4.00}} \put(90.33,150.00){\circle{4.00}} \put(110.00,150.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,150.00)(30.00,150.00) \put(10.00,150.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(50.00,150.00)(70.00,150.00) \put(50.00,150.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(10.00,130.00)(30.00,130.00) \put(10.00,130.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(70.00,130.00)(90.00,130.00) \put(70.00,130.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(10.00,110.00)(30.00,110.00) \put(10.00,110.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(90.00,110.00)(110.00,110.00) \put(90.00,110.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(30.00,90.00)(50.00,90.00) \put(30.00,90.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(70.00,90.00)(90.00,90.00) \put(70.00,90.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(30.00,70.00)(50.00,70.00) \put(30.00,70.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(90.33,70.00)(110.00,70.00) \put(90.33,70.00){\line(1,0){19.67}} %\end %\emline(50.00,50.00)(70.00,50.00) \put(50.00,50.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(90.67,50.00)(110.00,50.00) \put(90.67,50.00){\line(1,0){19.33}} %\end %\emline(10.00,10.00)(30.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(50.33,10.00)(70.00,10.00) \put(50.33,10.00){\line(1,0){19.67}} %\end %\emline(90.33,10.00)(110.00,10.00) \put(90.33,10.00){\line(1,0){19.67}} %\end \put(120.00,100.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(120.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{B}} \end{picture} \end{figure} U $L_6$ m�me 5 hran. �est dvojic a jedna trojice jsou uk�zan� na obr. \ref{�est dvojic a jedna trojice}.

Prvky tabulky 15.1 (srovnej s tabulkou 10.7) jsou binomi�ln� koeficienty a ��dkov� sou�ty absolutn�ch hodnot koeficient� jsou Fibonacciho ��sla. Koeficienty polynomi�l� line�rn�ch �et�zc� jsou nejv�t��, kter� lze z�skat pro stromy. Je jasn�, �e neexistuje p��li� mnoho kombinac� t�chto koeficient�. Pon�vad� po�et strom� je rychle rostouc� funkce, a koeficienty jsou omezen�, jejich kombinace ve srovn�n� strom� jsou �id�� a v�sledkem je, �e stromy mus� b�t {\em isospektr�ln�}. To znamen�, �e rozd�ln� typy strom� mus� m�t identick� spektra. Na obr. \ref{P�r nejmen��ch isospektr�ln�ch strom�} je p�r nejmen��ch isospektr�ln�ch strom�, jeho� polynomi�l je $x^8 - 7x^6 + 9x^4$. \begin{figure} \caption{P�r nejmen��ch isospektr�ln�ch strom�} \label{P�r nejmen��ch isospektr�ln�ch strom�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(150.00,60.00) %\emline(30.00,30.33)(75.00,30.33) \put(30.00,30.33){\line(1,0){45.00}} %\end %\emline(20.00,40.00)(40.00,20.00) \multiput(20.00,40.00)(0.12,-0.12){167}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(20.00,20.00)(40.00,40.00) \multiput(20.00,20.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(90.00,30.00)(135.00,30.00) \put(90.00,30.00){\line(1,0){44.67}} %\end %\emline(105.00,30.33)(95.00,40.00) \multiput(105.00,30.33)(-0.12,0.12){81}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(104.67,30.33)(95.00,20.00) \multiput(104.67,30.33)(-0.12,-0.13){81}{\line(0,-1){0.13}} %\end %\emline(120.00,30.33)(130.00,40.00) \multiput(120.00,30.33)(0.12,0.12){81}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(120.00,30.33)(130.00,20.00) \multiput(120.00,30.33)(0.12,-0.12){84}{\line(0,-1){0.12}} %\end \put(20.33,40.00){\circle{4.00}} \put(30.00,30.33){\circle{4.00}} \put(40.00,40.00){\circle{4.00}} \put(20.33,20.33){\circle{4.00}} \put(40.00,20.00){\circle{4.00}} \put(45.00,30.33){\circle{4.00}} \put(60.00,30.33){\circle{4.00}} \put(75.00,30.33){\circle{4.00}} \put(95.00,40.00){\circle{4.00}} \put(130.00,40.00){\circle{4.00}} \put(90.00,30.33){\circle{4.00}} \put(94.67,20.00){\circle{4.00}} \put(104.67,30.33){\circle{4.00}} \put(120.33,30.33){\circle{4.00}} \put(135.00,30.33){\circle{4.00}} \put(130.00,20.00){\circle{4.00}} \end{picture} \end{figure}

Acyklick� polynomi�ly se kombinuj� s {\em polynomi�lem cykl�}, pokud se objevuj� v grafu cykly. ��inek cykl� lze uk�zat na p��klad� matice sousedstv� $K_3$ (obr. \ref{�pln� graf $K_3$ a sou�asn� cyklus $C_3$}): $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} x & -1 & -1\\ -1 & x & -1\\ -1 & -1 & x \end{array} \right) & $=$ & P({\bf A}) = x^3 - 3x^1 + 2 \end{array}$$ \\ \begin{figure} \caption{�pln� graf $K_3$ a sou�asn� cyklus $C_3$} \label{�pln� graf $K_3$ a sou�asn� cyklus $C_3$} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(70.00,70.00) %\emline(10.00,12.33)(60.00,12.33) \put(10.00,12.33){\line(1,0){50.00}} %\end %\emline(10.00,12.33)(35.00,53.67) \multiput(10.00,12.33)(0.12,0.20){209}{\line(0,1){0.20}} %\end %\emline(35.00,53.67)(60.00,12.33) \multiput(35.00,53.67)(0.12,-0.20){209}{\line(0,-1){0.20}} %\end \put(10.00,12.33){\circle{4.00}} \put(59.67,12.33){\circle{4.00}} \put(35.00,53.67){\circle{4.00}} \end{picture} \end{figure} objevuje koeficient 2 u �lenu $x^0$. Ten je vytvo�en� cyklem $C_3$. Tento cyklus se po��t� dvakr�t. Tato n�sobnost se objevuje u v�ech cykl�, kter� se mus� se��tat odd�len� od acyklick�ch �len�. Cykly sud� d�lky se ode�tou od po�tu $k/2$-tic izolovan�ch hran. Je dosti snadn� zkonstruovat polynomi�l izolovan�ch cykl�. Pokud odstran�me z cyklu hranu, zm�n� se na line�rn� �et�zec, jeho� acyklick� polynomi�l u� zn�me, a p�emos�uj�c� hrana se kombinuje s k-ticemi s $(n-3)$ hranami cyklu, jako kdyby tvo�ily rozd�ly line�rn�ho �et�zce s $(n-2)$ vrcholy. Tyto k-tice jsou ode�teny od �len� $L_n$. Nap��klad $$P(C_6) = P(L_6) + P(L_4) = (x^6 - 5x^4 + 6x^2 -1) - (x^4 - 3x^2 + 1) = x^6 6x^4 + 9x^2\;.$$ Aby se dostal cyklick� polynomi�l, mus�me ode��st koeficient 2 pro $n=6$. V�sledkem je

cyklus d�lky

$$x^6 - 6x^4 + 9x^2 -2\;.$$ Pokud matice sousedstv� je v�en� nebo graf obsahuje n�sobn� hrany, polynomi�l lze pat�i�n� modifikovat. Uk�zali jsme, �e koeficient $a_2$ polynomi�lu p�i $x^{n-2}$ je tvo�en �tverci prvk� matice. Dal�� �leny ve v�t��ch matic�ch jsou slo�it�j��. Nalezen� v�ech k-tic izolovan�ch hran a cykl� v grafech s mnoha vrcholy a hranami je pracn� a v�po�et polynomi�l� touto technikou u� nen� praktick�.

\section{Clujsky v�en� matice sousedstv� line�rn�ch �et�zc�} \label{Clujsky v�en� matice sousedstv�} Diadudea zavedl asymetricky v�en� matice vzd�lenost�, Clujsk� matice (pojmenovan� podle jeho domovsk�ho m�sta Cluj v Rumunsku), Wienerov�mi v�hami $N_{i,(i,j)}$ a $N_{j,(i,j)} $( po�et vrchol� na konci j cesty $p_{ij}$ od diagon�ln�ho vrcholu ($i=j$) k mimodiagon�ln�mu vrcholu j ($i\not =j$). Nejprve je nutn� vysv�tlit vztahy Clujsk�ch matic k jin�m matic�m charakterizuj�c�m grafy, jako jsou inciden�n� matice ${\bf S}$ (orientovan� grafy) ${\bf G}$ (neorientovan� grafy), matice proch�zek a cest definovan�ch ${\bf W}$ na orientovan�ch hran�ch (neorientovan�ch hran�ch), matice proch�zek a cest definovan�ch ${\bf P}$ na vrcholech, viz p��t� kapitolu. Prvky inciden�n� matice orientovan�ho grafu ${\bf S}$ jsou definovan� jako $s_{ij} = -1$, pokud orientovan� hrana i jde od vrcholu j, $s_{ij} = 1$ pokud orientovan� hrana i jde k vrcholu j, $s_{ij} =0$ jinak. Kvadratick� forma inciden�n� matice se svou transponovanou matic� ${\bf S}^T$ je zn�m� jako Laplace-Kirchhoffova matice. Je rozlo�ena do diagon�ln� matice stup�� vrchol� ${\bf V}$ a matici mimodiagon�ln�ch prvk� zn�m� jako matice sousedstv� ${\bf A}$($a_{ij} = 1$, pokud vrchol i soused� s vrcholem j, $a_{ij} =0$ jinak) \begin{equation} {\bf S}^T\ {\bf S} \label{3}\ . \end{equation} Druh� kvadratick� forma inciden�n� matice se svou transponovanou matic� ${\bf S}\ {\bf S}^T$ m� mimodiagon�ln� prvky odpov�daj�c� matic�m sousedstv� ${\bf A}$ hranov�ho grafu. U strom� tato matice m� rozm�r $(n-1)$ a m� pravou inverzi, co� je kvadratick� forma matice proch�zek a cest ${\bf W}$ definovan�ch ${\bf W}$ na orientovan�ch hran�ch (neorientovan�ch hran�ch). Matice proch�zek a cest ${\bf P}$ jsou definov�ny pro stromy tak� na vrcholech. Prvky ${\bf P_p}$ (cesta) jsou pro orientovan� stromy $p_{ij} = 1$, pokud vrchol j je incidentn� s cestou i, $p_{ij} =0$ jinak. Prvky ${\bf P_w}$ (proch�zka) jsou pro neorientovan� stromy $p_{ij} = 1$, pokud vrchol j je na konci cesty i, $p_{ij} = -1$, pokud vrchol j je vnit�n�m vrcholem cesty i, $p_{ij} =0$ jinak. Sou�et \begin{equation} {\bf P_w}\ + \ {\bf P_p} \end{equation} je dvakr�t inciden�n� matice ${\bf G}_K$ �pln�ho neorientovan�ho grafu $K_n$, pon�vad� v sou�tu zb�vaj� pouze p��m� proch�zky mezi v�emi p�ry vrchol�. Clujsk� matice strom� jsou skal�rn� sou�iny transponovan� matice proch�zek ${\bf P_p}^T$ s inciden�n� matic� ${\bf G}_K$ (tyto konvence lze transponovat) \begin{equation} {\bf C_p}\ = {\bf P_p^T}{\bf G}_K \end{equation} Nap��klad pro line�rn� �et�zec $L_4$ $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{cccccc} \ \ & \ \ & \ \ & \ \ & \ \ &\ \\ \ \ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \\ \ \ &\ \ & \ \ &\ \ &\ \ &\ \ \\ \ \ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \ & \end{array} & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{cc} \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{cccc} 3 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array} \right) \end{array}$$\. Diagon�ln� prvky skal�rn�ho sou�inu po��taj� $(n-1)$ proch�zky jdouc� od vrcholu $j=i$ k jin�m vrchol�m. Mimodiagon�ln� prvky skal�rn�ho sou�inu po��taj� proch�zky incidentn� s ob�ma vrcholy $i$ a $j$. Mimodiagon�ln� matice je Clujsk� matice ${\bf C}_e$ Pon�vad� Diadudea se zaj�mal hlavn� o chemick� aspekty nov�ch matic ${\bf C}_p$, z�staly nepov�imnut� n�kter� vlastnosti p��m�ch (Hadamardov�ch) sou�in� Clujsk� matice s odpov�daj�c� matic� sousedstv� ${\bf A}$: \begin{equation} {\bf C}_e = {\bf C}_p \bullet {\bf A} \end{equation} co� ponech�v� pouze soused�c� prvky Clujsk� matice ${\bf C}_e$ (nebo rovnocenn� Clujsky v�en� matice sousedstv� ${\bf A}_C$, nap��klad pro line�rn� �et�zec $L_4$ (n-butan) shora $$\left( \begin{array}{cccc}

0 & 1 & 0 & 3 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & \end{array} \right)$$\,

0 \\ 0 \\ 3 \\ 0

Z�kladn� vlastnosti t�chto matic sousedstv� v�en�ch po�tem vrchol� na konci orientovan�ch hran (neorientovan�ch hran) ${\bf A}_C$ jsou: 1) Sou�et jejich prvk� je n(n - 1). Ka�d� z (n - 1) hran m� n vrchol� na sv�ch konc�ch. 2) Stopa je nulov�. 3) Sou�et �tverc� vlastn�ch hodnot je 2W: \begin{equation} Tr {\bf A}_C^2 = 2W \end{equation} pon�vad� na stop� ${\bf A}_C^2$ se objevuj� dvakr�t sou�iny po�tu vrchol� $N_{i, (i,j)} \ N_{j,(i,j)}$ na obou stran�ch v�ech hran. Spektrum je symetrick�, vlastn� hodnoty se objevuj� v p�rech $\pm \lambda_j$. Lich� vlastn� hodnoty strom� s lich�m po�tem vrchol� jsou nulov�. Nejv�t�� vlastn� hodnota je $(n - 1)$, co� je toto�n� s nejv�t��mi prvky matice $N_{ij}$ koncov�ch vrchol�. �len charakteristick�ho polynomi�lu $x^{n-1}$ je nulov�, �len $x^{n-2}$ je Wienerovo ��slo. P�rem nejv�t��ch vlastn�ch hodnot $\pm (n-1)$ hv�zd jsou jejich jedin� nenulov� vlastn� hodnoty. To je konsistentn� s jejich Wienerov�m ��slem $S_n$: $W_S = (n1)^2$. Vlastn� hodnoty line�rn�ch �et�zc� $L_n$ s lich�m n (z prohl�dky prvn�ch �et�zc�) maj� hodnoty $(0, \pm [2, 4, \dots, (n-1)])$, vlastn� hodnoty line�rn�ch �et�zc� $L_n$ se sud�m n maj� hodnoty $(\pm [1,\ 3,\ \dots,\ (n-1)])$. Tyto hodnoty se shoduj� s kombinatorick�mi identitami pro sekvence binomi�ln�ch koeficient�: pro lich� n: \begin{equation} { n+1 \choose 3} = \sum_{k=0}^{(n-1)/2} (2k)^2 = \sum_{k=1}^{n-1}k(n-k) \end{equation} pro sud� n: \begin{equation} { n+1 \choose 3} = \sum_{k=1}^{n/2} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n-1}k(n-k) \label{9} \end{equation}

Charakteristick� polynomi�l lze vypo��tat analogicky se zn�mou metodou ur�uj�c� charakteristick� polynomi�l nev�en� matice sousedstv� strom� po��t�n�m v�ech k-tic izolovan�ch hran. Zde ka�d� k-tice dostane svou v�hou ur�enou v�emi sou�iny orientovan�ch hran (neorientovan�ch hran) $N_{i,(i,j)} N_{j,(i,j)}$. Nap��klad pro $L_5$: V�hy vazeb 1 -- 4 = 4;\ 2 -- 3 = 6;\ 3 -- 2 = 6;\ 4 -- 1 = 4;: $x^3$ �len (1-tice, Wiener�v �len): $4+6+6+4 = 20$; $x^1$ �len (2-tice): $(4\times 6) + (4\times 6) + (4\times 4) = 64.$ Charakteristick� polynomi�l: $P = x^5 - 20 x^3 + 64x$. �len $x^{n-1}$ charakteristick�ho polynomi�lu je nula. To odpov�d� sou�tu vlastn�ch hodnot. �len $x^{n-2}$ charakteristick�ho polynomi�lu je ur�en sou�tem 1-tic. Tedy je to Wiener�v �len. Odpov�d� sou�tu sou�in� dvou vlastn�ch hodnot. Ob� rekurence se shoduj� s kombinatorick�mi identitami shora. \section{Techniky o�ez�v�n�} \label{Techniky o�ez�v�n�} \begin{figure} \caption{O�ez�v�n� graf�. Grafy 1A a 2A se zv�t�� p�i�ten�m jedn� hrany a vrcholu (1B a 2B). Grafy B se o�e�ou vynech�n�m nov�ch hran dohromady se soused�c�mi vrcholy (pr�zdn� krou�ky) a soused�c�ch hran (1C a 2C).} \label{O�ez�v�n� graf�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(190.00,60.00) \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(25.00,10.00){\circle{4.00}} \put(40.33,10.00){\circle{4.00}} \put(55.00,10.00){\circle{4.00}} \put(70.00,10.00){\circle{4.00}} \put(85.00,10.00){\circle{4.00}} \put(100.00,9.67){\circle{4.00}} %\emline(10.00,10.00)(40.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){30.00}} %\end %\emline(55.00,10.00)(100.00,10.00) \put(55.00,10.00){\line(1,0){45.00}} %\end \put(110.00,9.67){\circle{4.00}} \put(125.00,9.33){\circle{4.00}} \put(140.00,9.67){\circle{4.00}} \put(160.00,10.00){\circle{4.00}} %\emline(110.00,9.67)(125.00,9.67) \put(110.00,9.67){\line(1,0){15.00}} %\end %\emline(140.00,9.67)(160.00,9.67) \put(140.00,9.67){\line(1,0){20.00}} %\end \put(10.00,40.00){\circle{4.00}} \put(25.00,40.00){\circle{4.00}} \put(40.33,40.00){\circle{4.00}} \put(55.00,40.00){\circle{4.00}} \put(70.00,40.00){\circle{4.00}}

jednoho

\put(85.00,40.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,40.00)(40.00,40.00) \put(10.00,40.00){\line(1,0){30.00}} %\end \put(110.00,39.67){\circle{4.00}} \put(70.00,25.00){\circle{4.00}} %\emline(55.00,40.00)(85.33,40.00) \put(55.00,40.00){\line(1,0){30.33}} %\end %\emline(70.00,40.00)(70.00,25.00) \put(70.00,40.00){\line(0,-1){15.00}} %\end \put(140.00,40.00){\circle{4.00}} \put(125.00,40.00){\circle{4.00}} \put(125.00,25.00){\circle{4.00}} %\emline(125.00,40.00)(125.00,25.00) \put(125.00,40.00){\line(0,-1){15.00}} %\end \put(25.00,49.67){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(77.67,50.00){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(132.33,50.00){\makebox(0,0)[cc]{C}} \put(175.00,9.67){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(174.67,40.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \end{picture} \end{figure} Charakteristick� polynomi�l acyklick�ho grafu je determinant diference jeho matice a diagon�ln� matice $x{\bf I}$. Kdy� graf se zv�t�� p�i�ten�m nov�ho vrcholu a hrany, charakteristick� polynomi�l se zm�n� podle m�sta, kde je p�ipojen� nov� vrchol. Jinak, pokud se zmen�� velikost grafu ode�ten�m jednoho vrcholu a jeho hran, polynomi�l indukovan�ho grafu je diferenc� podle grafu, kter� z�st�v�, kdy� spojuj�c� vrchol, ke kter�mu je p�ipojen� nov� vrchol, se odstran� se v�emi sv�mi hranami. Kone�n� charakteristick� polynomi�l lze potom napsat jako determinant $2\times2$ matice. Nap��klad (obr. \ref{O�ez�v�n� graf�}). $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cc} (x^3 - 2x) & x^2 \\ 1 & x \end{array} \right) & = & x^4 - 3x^2\\ \end{array}$$ $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cc} (x^3 - 2x) & (x^2 - 1)\\ 1 & x \end{array} \right) & = & x^4 - 3x^2 +1 \end{array}$$ V prv�m p��pad� dva voln� vrcholy $K_1$ odpov�daj� �lenu $x^2$, v graf $K_2$ odpov�d� �lenu $(x^2-1)$.

druh�m p��pad�

Grafu lze o�ezat v�ce v�tv� sou�asn� a v�tvemi nemus� b�t izolovan� vrcholy, ale tak� grafy. Na diagon�le se zde objevuj� v�dy polynomi�ly o�ezan�ch a o�ez�van�ch graf� a mimodiagon�ln� prvky jsou jejich odpov�daj�c�mi rozd�ly. Jedinou nutnou podm�nkou je, �e v�echny subgrafy mus� b�t spojen� {\em mosty}, hranami nebo orientovan�mi hranami spojuj�c�mi dva vrcholy bez cykl�. Potom se objevuj� v matici polynomi�ly odpov�daj�c�ch subgraf� a jejich rozd�l�, polynomi�ly odpov�daj�c�ch subgraf� bez spojuj�c�ho vrcholu $$\left( \begin{array}{cc} \hbox{polynomi�l A} & \hbox{diference AB} \\ \hbox{diference BA} & \hbox{polynomi�l B}\\ \end{array} \right)\;.$$ Nap��klad hv�zda $S_3$ o�ezan� jako $2K_1$ a $K_2$ $$\left( \begin{array}{cc} x^2 - 2 & 2 \\ 1 & x - 1 \end{array} \right)$$ O�ez�v�n� sni�uje rozm�rnost polynomi�lu. \section{Polynomi�ly graf� se smy�kami} \label{Polynomi�ly graf� se smy�kami} Diagon�ln� matice stup�� vrchol� ${\bf V}$ lze pova�ovat za matice sousedstv� grafu, kter� se skl�d� pouze ze smy�ek. Jej� polynomi�l se z�sk� jednodu�e jako sou�in \begin{equation} \prod^n_{j=1} (x - v_j) = \prod^n_{j=1} (x - \lambda_j)\;. \end{equation} Koeficienty polynomi�lu lze vypo��tat tak� jako sou�ty v�ech k-tic izolovan�ch smy�ek na rozd�ln�ch vrcholech nap��klad pro $v_j = 2,1,1$: $$\begin{tabular}{|cc|cccc|ccccc|cc|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{Smy�ka} & \multicolumn{4}{c}{1-tice} & \multicolumn{5}{|c|}{2-tice} & \multicolumn{2}{|c|}{3-tice} \\ \hline *& * & * 0& 0*& & & *0& *0& 0*& 0 * & &*0 & 0* \\ *& & & &* & & * & & *& & * &* & * \\ *& & & & & *& & * & & * & * & * & * \\ \hline \multicolumn{2}{|c|}{$\Sigma$} & \multicolumn{4}{|c|}{4} & \multicolumn{5}{|c|}{5} & \multicolumn{2}{|c|}{2} \\ \hline \end{tabular}$$ Smy�kov� polynomi�l je $P(V) = x^3 - 4x^2 + 5x^1 - 2$. To umo��uje naj�t polynomi�ly kvadratick�ch forem ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$ nebo ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ (${\bf V}\pm{\bf A})$.

Obr�zky smy�ek se kombinuj� s obr�zky hran nebo orientovan�ch hran. V�echny p�ry smy�ek se po��taj� spole�n� s jedn�m obr�zkem hran. Obr�zky smy�ek tvo�en� smy�kou a hranou se po��taj� dohromady se smy�kami 3-tic. Tedy polynomi�ly kvadratick� formy inciden�n� matice orientovan�ch a neorientovan�ch graf� obsahuj� v�echny �leny polynomi�lu, nejen ka�d� druh� �len jako acyklick� polynomi�lu. Kone�n� smy�kov� polynomi�l $L_4$ m� 3 slo�ky $$\begin{tabular}{l|rrrr} Smy�kov� polynomi�l & $x^3$ & $-4x^2$ & $+5x^1$ &$- 2$ \\ Hranov� polynomi�l & & & $-2x^1$ & \\ Cyklick� polynomi�l & & 0 & & \\ Hranov�-smy�kov� polynomi�l & & & & + 2 \\ \hline V�sledn� polynomi�l & $x^3$ & $-4x^2$ & $+3x^1$ & \\ \end{tabular}$$ ��inek diagon�ln�ch prvk� je jednoduch�, kdy� v�echny diagon�ln� prvky jsou stejn� r, jako u {\em pravideln�ch graf�}. Nezn�m� $x$ lze nahradit substituc� $y = (x + r)$ a matice pojednat, jako by byly bez diagon�ln�ch prvk�. To lze vyu��t v n�kter�ch p��padech pro v�po�et determinant�, jak uvid�me pozd�ji. \section{Grafy s vymazan�mi vrcholy a hranami} \label{Grafy s vymazan�mi vrcholy a hranami} Mno�ina n subgraf� grafu $G$, z�skan� z p�vodn�ho grafu vynech�n�m ka�d�ho vrcholu se v�emi jeho incidentn�mi orientovan�mi hranami nebo neorientovan�mi hranami, je zn�m� jako {\em Ulamovy subgrafy}. Ulam vyslovil domn�nku, �e p�vodn� graf lze rekonstruovat z t�to mno�in�. To se zd� trivi�ln�, av�ak je nesnadn� to dok�zat pro neozna�en� grafy, kde neexistuje ��dn� jednoduch� zp�sob, jako sp�rovat neozna�en� vrcholy dvou graf�. Existuje jin� vztah, polynomi�ly Ulamov�ch subgraf� jsou rozd�ly polynomi�lu p�vodn�ho grafu. To znamen�, �e vrchol vymazan� v subgrafu $\delta_j G$ je ��ste�nou diferenc� p�vodn�ho grafu podle vymazan�ho vrcholu $\delta_j P(G)$ nebo diferenc� odpov�daj�c� matice z�skan� odstran�n�m odpov�daj�c� ��dky a sloupce. Pravidla diferencov�n� a integrov�n� jsou stejn� jako v diferenci�ln�m a integr�ln�m kalkulu \begin{equation} \delta x^n = nx^{n-1} \end{equation} \begin{equation} \int nx^{n-1} = x^n \end{equation} Rekonstrukce p�vodn�ho polynomi�lu matice ze sou�tu rozd�l� \begin{equation} P(M) = \int \sum_{j=1}^n \delta_j P(M) \end{equation} je p�esn� a� integra�n� konstantu, kter� miz� v diferenc�ch. Nap��klad u grafu na obr. \ref{Graf A a jeho vrcholov� vymazan� subgrafy $A_1$ -$A_5$} odpov�daj�c� polynomi�ly jeho Ulamov�ch subgraf� jsou $$\begin{tabular}{l|rrrr} ${\bf A}_1$ & $x^4$ & $-4x^2$ & $-2x$ & $+1$ \\

${\bf A}_2$ & $ x^4$ & $-2x^2$ & & \\ ${\bf A}_3$ & $ x^4$ & $-5x^2$ & $-4x$ & \\ ${\bf A}_4$ & $ x^4$ & $-3x^2$ & & \\ ${\bf A}_5$ & $x^4$ & $-4x^2$ & $-2x$ & $+1$ \\ \hline $\sum$ & $5x^4$ & $-18x^2$ & $-8x$ & $+2 $ \\ \hline ${\bf A}$ & $x^5$ & $-6x^3$ & $-4x^2$ & $2x $ \\ \end{tabular}$$ \begin{figure} \caption{Graf A a jeho vrcholov� vymazan� subgrafy $A_1$ -- $A_5$} \label{Graf A a jeho vrcholov� vymazan� subgrafy $A_1$ -- $A_5$} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(190.00,90.00) \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(10.00,30.00){\circle{4.00}} \put(30.00,29.67){\circle{4.00}} \put(30.00,10.00){\circle{4.00}} \put(70.00,30.00){\circle{4.00}} \put(90.00,29.67){\circle{4.00}} \put(110.00,30.00){\circle{4.00}} \put(90.00,10.00){\circle{4.00}} \put(10.00,50.00){\circle{4.00}} \put(10.00,70.00){\circle{4.00}} \put(30.00,69.67){\circle{4.00}} \put(50.00,70.00){\circle{4.00}} \put(30.00,50.00){\circle{4.00}} \put(70.00,50.00){\circle{4.00}} \put(90.00,69.67){\circle{4.00}} \put(110.00,70.00){\circle{4.00}} \put(90.00,50.00){\circle{4.00}} \put(130.00,30.00){\circle{4.00}} \put(150.00,29.67){\circle{4.00}} \put(170.00,30.00){\circle{4.00}} \put(130.00,50.00){\circle{4.00}} \put(130.00,70.00){\circle{4.00}} \put(170.00,70.00){\circle{4.00}} \put(150.00,50.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,69.67)(50.00,69.67) \put(10.00,69.67){\line(1,0){40.00}} %\end %\emline(10.00,69.67)(10.00,50.00) \put(10.00,69.67){\line(0,-1){19.67}} %\end %\emline(10.00,50.00)(30.00,50.00) \put(10.00,50.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(30.33,69.67)(10.00,50.00) \multiput(30.33,69.67)(-0.12,-0.12){164}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(110.00,70.00)(90.00,70.00) \put(110.00,70.00){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(90.00,70.00)(90.00,50.00) \put(90.00,70.00){\line(0,-1){20.00}} %\end %\emline(90.00,50.00)(70.00,50.00)

\put(90.00,50.00){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(70.00,50.00)(90.00,70.00) \multiput(70.00,50.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(130.00,70.00)(130.00,50.00) \put(130.00,70.00){\line(0,-1){20.00}} %\end %\emline(130.00,50.00)(150.00,50.00) \put(130.00,50.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(30.00,30.00)(10.00,30.00) \put(30.00,30.00){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(10.00,30.00)(10.00,10.00) \put(10.00,30.00){\line(0,-1){20.00}} %\end %\emline(10.00,10.00)(30.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(30.00,10.00)(30.00,30.00) \put(30.00,10.00){\line(0,1){20.00}} %\end %\emline(30.00,30.00)(10.00,10.00) \multiput(30.00,30.00)(-0.12,-0.12){167}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(70.00,30.00)(110.00,30.00) \put(70.00,30.00){\line(1,0){40.00}} %\end %\emline(90.00,30.00)(90.00,10.00) \put(90.00,30.00){\line(0,-1){20.00}} %\end \put(10.00,76.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(30.00,76.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(50.00,76.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(10.00,40.33){\makebox(0,0)[cc]{4}} \put(30.00,40.33){\makebox(0,0)[cc]{5}} %\emline(30.00,69.67)(30.00,50.00) \put(30.00,69.67){\line(0,-1){19.67}} %\end \put(70.00,70.00){\circle{4.00}} \put(150.00,70.00){\circle{4.00}} \put(70.00,10.00){\circle{4.00}} \put(130.00,9.67){\circle{4.00}} \put(150.00,10.00){\circle{4.00}} \put(40.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(100.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_1$}} \put(40.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_3$}} \put(50.00,30.00){\circle{4.00}} \put(99.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_4$}} \put(160.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_3$}} \put(160.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_5$}} %\emline(130.00,30.00)(170.00,30.00) \put(130.00,30.00){\line(1,0){40.00}} %\end %\emline(150.00,30.00)(130.00,10.33) \multiput(150.00,30.00)(-0.12,-0.12){164}{\line(-1,0){0.12}} %\end

%\emline(130.00,10.33)(130.00,30.00) \put(130.00,10.33){\line(0,1){19.67}} %\end \end{picture} \end{figure} V grafech s vymazan�mi hranami (nebo orientovan�mi hranami) se eliminuj� pouze samotn� hrany (orientovan� hrany) bez vymaz�n� incidentn�ch vrchol�, co� odpov�d� eliminaci odpov�daj�c�ch ��dk� a sloupc� v kvadratick� form� ${\bf GG}^{\rm T}$ nebo ${\bf SS}^{\rm T}$. Mno�ina hran vymazan�ch subgraf� m� $m$ subgraf�, kde $m$ je po�et hran grafu. Ve stromech ka�d� subgraf m� v�dy dv� slo�ky. Zde se tak� sou�et polynomi�l� hranov� vymazan�ch subgraf� strom� je diference polynomi�lu p�vodn�ho stromu, av�ak pravidla diferencov�n� jsou rozd�ln�. Koeficient� p�i $ (n-2k)$ mocnin $x$ se nen�sob� mocninami $x$ a mocnost $x$ se nesni�uje, av�ak d�l� se $(m-k)$ a mocnina $x$ je zanech�na nezm�n�n�. Hranov� vymazan� strom je les s $n$ vrcholy a prv� �len jeho polynomi�lu je $x^n$. Existuje $m$ subgraf� a tedy sou�et polynomi�l� v�ech subgraf� je d�liteln� $m$. V�echny subgrafy obsahuj� $(m-1)$ hran a tedy koeficient druh�ho �lenu sou�tu, kdy� se d�l� t�mto ��slem d�v� $m$. N�sleduj�c� koeficienty se mohou odvodit s pou�it�m �pln� indukce. Pokud vztah polynomi�lu plat� pro p�vodn� strom, tak mus� platit tak� pro jeho subgrafy (lesy), obsahuj�c� o jednu hranu m�n�, a jejich polynomi�ly. Odpov�daj�c� koeficienty v�ech subgraf� mus� b�t $0\ {\rm mod}\ (m-k) $. To plat� tak� pro �len $a_{n-k}$ pokud $n=(2k+1)$. Mezi subgrafy line�rn�ho �et�zce existuje $k$ subgraf� obsahuj�c�ch �len odpov�daj�c� $(k+1)$-tici. Nap��klad u grafu na obr. \ref{Strom B a jeho hranov� vymazan� subgrafy $B_1$ -$B_5$} odpov�daj�c� polynomi�ly jeho hranov� vymazan�ch subgraf� jsou $$\begin{tabular}{l|rrr} ${\bf B}_1$ &$ x^6$ & $-4x^4$ & $+2x^2$ \\ ${\bf B}_2$ & $ x^6$ & $-4x^4$ & $+2x^2 $ \\ ${\bf B}_3$ & $x^6$ & $-4x^4$ & $+2x^2$ \\ ${\bf B}_4$ &$ x^6$ & $-4x^4$ & $+3x^2 $ \\ ${\bf B}_5$ &$ x^6$ & $-4x^4$ & \\ \hline $\sum$ & $ 5x^6$ & $-20x^2$ & $+9x^2$ \\ \hline ${\bf B}$ & $ x^6$ & $-5x^4$ & $-3x^2 $ \\ \end{tabular}$$ \begin{figure} \caption{Strom B a jeho hranov� vymazan� subgrafy $B_1$ -- $B_5$} \label{Strom B jeho hranov� vymazan� subgrafy $B_1$ -- $B_5$} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(260.00,130.00) \put(10.00,30.00){\circle{4.00}} \put(30.00,30.00){\circle{4.00}} \put(50.00,30.00){\circle{4.00}} \put(70.00,30.00){\circle{4.00}} \put(30.00,10.00){\circle{4.00}} \put(30.00,50.00){\circle{4.00}} \put(10.00,100.00){\circle{4.00}} \put(30.00,100.00){\circle{4.00}} \put(50.00,100.00){\circle{4.00}} \put(70.00,100.00){\circle{4.00}} \put(30.00,80.00){\circle{4.00}} \put(30.00,120.00){\circle{4.00}} \put(100.00,30.00){\circle{4.00}}

\put(190.00,30.00){\circle{4.00}} \put(120.00,30.00){\circle{4.00}} \put(210.00,30.00){\circle{4.00}} \put(140.00,30.00){\circle{4.00}} \put(230.00,30.00){\circle{4.00}} \put(160.00,30.00){\circle{4.00}} \put(250.00,30.00){\circle{4.00}} \put(120.00,10.00){\circle{4.00}} \put(210.00,10.00){\circle{4.00}} \put(120.00,50.00){\circle{4.00}} \put(210.00,50.00){\circle{4.00}} \put(100.00,100.00){\circle{4.00}} \put(190.00,100.00){\circle{4.00}} \put(120.00,100.00){\circle{4.00}} \put(210.00,100.00){\circle{4.00}} \put(140.00,100.00){\circle{4.00}} \put(230.00,100.00){\circle{4.00}} \put(160.00,100.00){\circle{4.00}} \put(250.00,100.00){\circle{4.00}} \put(120.00,80.00){\circle{4.00}} \put(210.00,80.00){\circle{4.00}} \put(120.00,120.00){\circle{4.00}} \put(210.00,120.00){\circle{4.00}} \put(20.00,105.33){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(40.00,105.33){\makebox(0,0)[cc]{4}} \put(60.00,105.00){\makebox(0,0)[cc]{5}} \put(20.00,115.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(20.00,85.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} %\emline(10.00,100.00)(70.00,100.00) \put(10.00,100.00){\line(1,0){60.00}} %\end %\emline(30.00,120.00)(30.00,80.00) \put(30.00,120.00){\line(0,-1){40.00}} %\end %\emline(9.67,30.00)(70.00,30.00) \put(9.67,30.00){\line(1,0){60.33}} %\end %\emline(30.00,50.00)(30.00,30.00) \put(30.00,50.00){\line(0,-1){20.00}} %\end \put(140.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{$B_1$}} %\emline(120.00,120.33)(120.00,80.00) \put(120.00,120.33){\line(0,-1){40.33}} %\end %\emline(120.00,100.00)(160.00,100.00) \put(120.00,100.00){\line(1,0){40.00}} %\end %\emline(120.00,50.00)(120.00,10.00) \put(120.00,50.00){\line(0,-1){40.00}} %\end %\emline(100.00,30.00)(120.00,30.00) \put(100.00,30.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(139.67,30.00)(160.00,30.00) \put(139.67,30.00){\line(1,0){20.33}} %\end \put(140.00,10.33){\makebox(0,0)[cc]{$B_4$}} %\emline(190.00,100.33)(250.00,100.33)

\put(190.00,100.33){\line(1,0){60.00}} %\end %\emline(210.00,100.33)(210.00,80.00) \put(210.00,100.33){\line(0,-1){20.33}} %\end %\emline(210.00,50.00)(210.00,10.00) \put(210.00,50.00){\line(0,-1){40.00}} %\end %\emline(190.00,30.00)(230.00,30.00) \put(190.00,30.00){\line(1,0){40.00}} %\end \put(230.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{$B_2$}} \put(229.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$B_5$}} \put(50.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{$B$}} \put(50.00,10.33){\makebox(0,0)[cc]{$B_3$}} \end{picture} \end{figure} Pro odpov�daj�c� polynomi�ly vymazan� hrana sni�uje po�et obr�zk� s $k$ izolovan�mi hranami. Existuje v�dy $(m - k)$ takov�ch subgraf� se stejn�m polynomi�lem. Kdy� se pod�l� tento parametr koeficienty u �len� p�i $x^{n-2k}$, dostaneme tak� acyklick� polynomi�ly pro cyklick� grafy. Nap��klad $$K_4 : x^4 -6x^2 + 3\\ \Sigma_i \delta (P) = 6(x^4 -5x^2 + 2) = (6/6)x^4 -(30/5)x^2 + (12/4)\;.$$ Rozd�ly matic budou u�ite�n� pro nalezen� jejich inverz�. \section{Seidlovy matice regul�rn�ch graf�} \label{Seidlovy matice regul�rn�ch graf�} Seidel definoval modifikovanou matici sousedstv� ${\bf A}_S$ pro tak zvan� schlicht\footnote{Z n�m�iny.} grafy (s jednoduch�mi orientovan�mi hranami) n�sleduj�c�m zp�sobem: $a_{ij} = -1$ pokud i a j vrcholy soused�, $a_{ij} = 1$ pokud i a j vrcholy nesoused� a $a_{ii} = 0$. To znamen�, �e \begin{equation} {\bf A}_S = \overline{\bf A} - {\bf A}\;. \end{equation} Tuto matici lze interpretovat jako diferenci matic sousedstv� grafu $G$ a jeho dopl�kov�ho grafu $\overline{G}$. Seidlovy matice pravideln�ch graf� se mohou formulovat jako diference Laplace-Kirchhoffovy matic ${\bf K}= {\bf S}^{\rm T} {\bf S}$ obou graf� opraven�ch pravideln�mi diagon�ln�mi �leny $(n - 1 - 2r)$, kde $r$ jsou stupn� vrchol� pravideln�ho grafu. \begin{equation} {\bf A}_S = {\bf K} - \overline{\bf K}+ (n - 1 - 2r){\bf I}. \end{equation} Tedy Seidlova matice pravideln�ho grafu m� spektrum, kter� se z�sk� z diference spekter jeho Laplace-Kirchhoffovy matice ${\bf K}$ a Laplace-Kirchhoffovy matice jeho dopl�kov�ho grafu $\overline{\bf K}$ opraven�ch diagon�ln�mi �leny. Nap��klad pro cykl $C_4$: $$\begin{tabular}{l|rrrc} Spektrum $C_4$ & 4,& 2,& 2, & 0 \\ Spektrum $\overline{C_4}$ & 0, & -2, & -2,& 0\\

$\Delta(n - 1 - 2r)$ & -1, & -1, & -1, & -1 \\ \hline Spektrum ${\bf A}$ & 3, & -1, & -1, & $-1\;.$ \end{tabular}$$ V�sledek je identick� se spektrem matice sousedstv� �pln�ho grafu $K_4$, p�es to, �e Seidlova matice obsahuje jednotkov� prvky obou znam�nek. Av�ak ob� matice, $ {\bf A}(K_4)$ a ${\bf A}_S(K_4)$ jsou matice sousedstv� hranov�ho grafu dvojhv�zdy $S_5$ s rozd�ln�mi orientacemi. Pon�vad� ob� orientace $$\begin{tabular}{ccccccc} &$\downarrow$ & & \qquad & & $\uparrow$ & \\ $\rightarrow$ & &$\leftarrow$ & & $\leftarrow$ & &$\rightarrow $ \\ & $\downarrow$ & & & &$\uparrow $ & \\ \end{tabular}$$ maj� identick� Laplace-Kirchhoffovy matice ${\bf K}$ spektra. V�sledek je spr�vn�.

a tedy tak� identick�

S pou�it�m stejn� argumentace kvadratick� forma ${\bf SS}^{\rm T}$ dvojd�ln�ch cykl� (n sud�), jejich� Spektra jsou ekvivalentn� Laplace-Kirchhoffov�m matic�m $ {\bf S}^{\rm T}{\bf S}$, maj� v�echny mimodiagon�ln� prvky bu� z�porn� nebo jeden mimodiagon�ln� prvek v ka�d� ��dce m�e b�t z�porn� a druh� kladn�. Pokud kombinujeme ${\bf K}(C_{2k})$ s ${\bf K}(\overline{C_{2k}})$, v�sledek je identick� s diferenc� ${\bf K}(kK_2) - {\bf K}(k\overline{K_2})$. Tedy Seidlovy matice sousedstv� $k$ �pln�ch graf� $K_2$ a cykl� $C_{2k}$ jsou isospektr�ln�. Nap��klad: $$\begin{tabular}{l|rrrrrr} Spektrum ${\bf K}(3K_2)$ & 2& 2,& 2& 0,& 0,& 0 \\ Spektrum ${\bf K}(\overline{3K_2})$ &-4,&-4,&-4,&-6,&-6,& 0 \\ $\Delta(n - 1 - 2r)$ & 3,& 3,& 3,& 3,& 3,& 3 \\ \hline Spektrum {\bf A}(3K ) &1,& 1,& 1,&-3,&-3, &3 \\ \end{tabular}$$ $$\begin{tabular}{l|rrrrrr} Spektrum ${\bf K}(C_6)$ & 4,& 3,& 3,& 1,& 1,& 0 \\ Spektrum ${\bf K}(\overline{C_6})$ & -2,&-3,&-3,&-5,&-5, &0 \\ $\Delta(n - 1 - 2r)$ & 1,& 1,& 1,& 1,& 1,& 1 \\ \hline Spektrum ${\bf A}(C_6)$ & 3,& 1,& 1,&-3,&-3,& 1.\\ \end{tabular}$$ \section{\ Spektra neorientovan�ch podrozd�len�ch graf�} \label{Spektra neorientovan�ch podrozd�len�ch graf�} Podrozd�len� graf $S(G)$ se z�sk� z grafu $G$ vlo�en�m nov�ho vrcholu do ka�d� z jeho m hran. Matice sousedstv� neorientovan�ho podrozd�len�ho grafu ${\bf A}[S(G)] $ se z�sk� p��mo z inciden�n� matice ${\bf G}$ p�vodn�ho grafu jeho zaps�n�m v blokov� form� $$\begin{array}{ccc} {\bf A}[S(G)] & = & \left( \begin{array}{cc} {\bf 0} & {\bf G} \\

{\bf G}^{\rm T} & {\bf 0} \end{array} \right) \end{array}$$ kde ${\bf 0}$ je nulov� matice. Spektra matic sousedstv� podrozd�len�ch graf� s $n$ vrcholy a $m$ hranami jsou ve vztahu se spektry kvadratick�ch forem ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$ p�vodn�ho grafu jako \begin{equation} P_{S(G)}(\lambda_j) = (\lambda_j=0)^{\|m-n\|} \pm P_{G^{\rm T}G}(\lambda_j)^{1/2} \end{equation} \label{Pe} kde $G^{\rm T}G\lambda_j$ jsou vlastn� hodnoty kvadratick� forma inciden�n� matice ${\bf G}$ p�vodn�ho grafu. Stejn� vztah plat� tak� pro podrozd�len� orientovan� grafy $S(G)$ s inciden�n�mi maticemi ${\bf S}$. Matice sousedstv� ${\bf A}^2[S(G)]$ m� dva bloky ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$ a ${\bf GG}^{\rm T}$. Oba bloky maj� identick� spektra. Jejich odmocniny s ob�ma znam�nky tvo�� spektrum matice sousedstv� podrozd�len�ho grafu. Diferenci mezi po�tem vrchol� a hran�ch zapl�uj� nulov� vlastn� hodnoty. To lze vyu��t pro v�po�ty. Nap��klad cyklus $C_3$ m� matici sousedstv� ${\bf A}$ ekvivalentn� se svou inciden�n� matic� ${\bf G}$. Podrozd�len� graf cyklu $C_3$ je cyklus $C_6$. Jeho matice sousedstv� ${\bf A}$ je $$\left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\;.$$

\\ \\ \\ \\ \\

Kvadratick� bloky jsou identick� $$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right)$$ a maj� vlastn� hodnoty: 4, 1, 1, tedy matice sousedstv� ${\bf A}$ pro $C_6$ m� vlastn� hodnoty: $2,1,1,-1,-1,-2$. Podrozd�len� graf hv�zdy $S_4$ m� matici sousedstv� ${\bf A}$ $$\left( \begin{array}{ccccccc}

0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\;.$$

& & & & & & &

1 0 0 0 0 0 0

& & & & & & &

0 1 0 0 0 0 0

& & & & & & &

0 0 1 0 0 0 0

\\ \\ \\ \\ \\ \\

Kvadratick� bloky jsou $$\begin{array}{cc} \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{cccc} 3 & 1& 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1& 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$\. U� v�me, �e prvn� blok m� vlastn� hodnoty: 4, 1, 1, tedy A}$ u $S(S_4)$ m� vlastn� hodnoty: $2,1,1,0,-1,-1,-2$.

matice sousedstv� ${\bf

V�echny podrozd�len� grafy hv�zd $S_n$ maj� spektrum odvozen� ze spekter sv�ch hranov�ch graf� ${\bf GG}^{\rm T}= {\bf I}+ {\bf JJ}^{\rm T}$. Odpov�daj�c� spektra jsou $n,1^{n-1}$ a snadno se naleznou jejich odmocniny. Znam�nka jsou ur�ena nulovou stopou matice sousedstv� ${\bf A}$. \section{\ Matice sousedstv� linkov�ch graf�} \label{Matice sousedstv� linkov�ch graf�} Kvadratick� forma ${\bf GG}^{\rm T}$ inciden�n� matice ${\bf G}$ definuje hranov� graf $L(G)$ p�vodn�ho grafu $G$. Hranov� graf se z�sk� ze sv�ho p�vodn�ho grafu, kdy� se jeho hrany transformuj� ve vrcholy, kter� jsou incidentn�, pokud maj� v p�vodn�m grafu spole�n� vrchol. Vztah mezi kvadratickou formou ${\bf GG}^{\rm T}$ matice sousedstv� ${\bf A}[L(G)]$ hranov�ho grafu pro p�vodn� grafy s jednoduch�mi hranami je \begin{equation} {\bf GG}^{\rm T} = 2{\bf I}+ {\bf A}[L(G)]\;, \end{equation} kde ${\bf I}$ je jednotkov� diagon�ln� matice. Tedy existuje vztah mezi vlastn�mi hodnotami matice sousedstv� ${\bf A}[L(G)]$ hranov�ho grafu \begin{equation} P_{L({\bf A})}(\lambda_j) = P_{{\bf GG}^{\rm T}}(\lambda_j -2)\;.

\end{equation} \label{P} Hranov� graf line�rn�ho �et�zce $L_n$ je line�rn� �et�zec $L_{n-1}$. graf line�rn�ho �et�zce $L_n$ je line�rn� �et�zec $L_{2n-1}$.

Podrozd�len�

Dv� podm�nky podrozd�len�ch graf� (equation \ref{Pe}) a hranov�ch graf� (equation \ref{P}) ur�uje vztahy mezi vlastn�mi hodnotami matic line�rn�ch �et�zc� jako $$\begin{tabular}{|r|r|r|} \hline $L_n$ & $\lambda_j({\bf GG}^{\rm T})$ & $\lambda_j({\bf A})$\\ \hline n=2 & 2,\ 0 & 1,\ -1 \\ 3 & 3,\ 1 & $\sqrt{2},\ 0,\ -\sqrt{2}$ \\ 4 & $2+\sqrt{2},\ 2,\ 2-\sqrt{2}$ & $1.618,\ 0.618,\ -0.618,\ -1.618$ \\ 5 & $3.618,\ 2.618,\ 2,\ 1.382,\ 0.382$ & $\sqrt{3},\ 1,\ -1,\ -\sqrt{3}$ \\ \hline \end{tabular}$$ Tyto vztahy vedou ke vzorci pro vlastn� hodnoty matice sousedstv� ${\bf A}$ line�rn�ch �et�zc� \begin{equation} {\bf A}_{(L_n)}(\lambda_j) = 2\cos\;j\pi/(n-1)\;. \end{equation} Line�rn� �et�zec $L_n$ se chov� jako ty� upevn�n� ve sv�m st�edu. To je opak k �ad�, kter� je upevn�n� na sv�ch konc�ch. Jej� vibrace popisuje sinusov� funkce. \section{\ Orientovan� Podrozd�len� grafy} \label{Orientovan� Podrozd�len� grafy} Matice sousedstv� podrozd�len�ch graf� odvozen� z inciden�n� matice ${\bf S}$ orientovan�ch graf� kladou slo�it�j�� probl�m. Vzpome�te si, �e orientovan� grafy jsou tvo�eny orientovan�mi hranami jdouc�mi od vrcholu j k vrcholu i. Jejich inciden�n� matice ${\bf S}$ m� v ka�d� ��dce diferenci dvou jednotkov�ch vektor� $ ({\bf e}_i - {\bf e}_j).$ Kvadratick� forma ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$, z kter� matice sousedstv� ${\bf A}$ je odvozen�, m� v�echny sv� mimodiagon�ln� prvky z�porn�: ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}= ({\bf V}- {\bf A})$, kde ${\bf V}$ je diagon�ln� matice stup�� vrchol� $v_j$. Tedy v�echny prvky matice sousedstv� orientovan�ho grafu jsou obvykle kladn�\footnote{Prvky s ob�ma znam�nky se objevuj� v LaplaceKirchhoffov�ch matic�ch komplement�rn�ch graf� graf� s n�sobn�mi hranami vznikaj�c�ch z Eichingerov�ch matic ${\bf E}$, kter� jsou pseudoinverzemi LaplaceKirchhoffov�ch matic ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ (viz p��t� kapitolu).}. Nejprve je nutn� vy�e�it ot�zku, v jak�m vztahu jsou vlastn� hodnoty matice sousedstv� maj�c� prvky obou znam�nek k vlastn�m hodnot�m matice sousedstv� s jednotn�mi znam�nky. Jednoduch� cvi�en� v n�soben� matic ukazuje, �e prvek $a_{ij} $ matice sousedstv� hranov�ho grafu je z�porn�, pokud ob� orientovan� hrany maj� stejnou orientaci (st�kaj� se hlavou k ocasu). Abychom udr�eli takovou orientaci, v�echny stupn� vrchol� grafu $v_j$ mus� b�t 1 nebo 2, co� je mo�n� v line�rn�ch �et�zc�ch a jednoduch�ch cyklech. Pokud se st�k� ve vrcholu t�i nebo v�ce orientovan�ch hran, potom alespo� dv� mus� m�t opa�nou orientaci, a v matici sousedstv� hranov�ho grafu se objevuje kladn� znam�nko. Pokud je graf dvojd�ln�,

potom je mo�n� vybrat orientaci orientovan�ch hran takov�m zp�sobem, �e v�echny prvky matice sousedstv� jsou kladn�. Pon�vad� kvadratick� forma ${\bf S}^{\rm T} {\bf S}$ je nez�visl� na orientaci orientovan�ch hran, v�echny kvadratick� formy ${\bf SS}^{\rm T}$ dvojd�ln�ch graf� mus� m�t identick� spektrum jako kvadratick� forma ${\bf SS}^{\rm T}$ s jednotn�mi znam�nky. To lze shrnout tak, �e kvadratick� formy $${\bf SS}^{\rm T} = 2{\bf I} \pm {\bf A}[L(G)]$$ orientovan�ch line�rn�ch �et�zc� $L_n$ a dvojd�ln� (n sud�) jednoduch� cykly $C_n$ maj� identick� spektra, a matice sousedstv� jejich hranov�ch graf� mus� maj� vlastn� hodnoty maj�c� tvar $\pm(\lambda_j \pm 2)^{1/2}$. Jednoduch� cykly, kter� jsou podrozd�len�mi grafy cykl� s lich�m po�tem vrchol�, maj� vlastn� hodnoty ve tvaru $\pm(\lambda_j^2 - 2)^{1/2}$. Vlastn� hodnoty podrozd�len�ch graf� dvojd�ln�ch graf� maj� vlastn� hodnoty $\pm(\lambda_j^2 + 2^{1/2}$), kde $\lambda_j$ jsou vlastn� hodnoty odpov�daj�c�ch hranov�ch graf�. Pro pravideln� orientovan� grafy plat� vztah (\ref{Pe}) pro v�echny orientace podrozd�len�ch graf�. Pro jin� grafy je nutn� vy�e�it ��inky rozd�ln�ch orientac� orientovan�ch hran v orientovan�m grafu na spektra odpov�daj�c�ch podrozd�len�ch grafy individu�ln�. \section{\ La Verrier-Frame-Fadd�jevova technika} \label{La Verrier-Frame-Fadd�jevova technika} Tato technika spo��v� na vlastnostech sou�in� matic a jejich vztahu se sou�iny vlastn�ch hodnot \begin{equation} Sp({\bf M}^k) = Sp(\lambda_j^k) \end{equation} Pokud ode�teme od matice ${\bf M}$ diagon�ln� matici hodnot stopy $Tr({\bf I})$, ode�teme sou�et vlastn�ch hodnot od ka�d� diagon�ln� hodnoty matice ${\bf M}$. Nazveme to diferenc� matice ${\bf B}_1$. Jej� sou�in matic� ${\bf M}$ m� vlastn� hodnoty tvo�en� sou�ty p�r� rozd�ln�ch vlastn�ch hodnot matice ${\bf M}$ \begin{equation} Sp[({\bf M}- Tr{\bf I}){\bf M}] = Sp({\bf B}_1{\bf M}) = Sp(\Sigma\lambda_j^2 - \Sigma\lambda_j^2 -2\Sigma\lambda_i\lambda_j) \end{equation} �leny $\Sigma\lambda_j^2$ se vz�jemn� eliminuj�. Tedy stopa sou�inu je dvojn�sobek sou�tu sou�in� dvou vlastn�ch hodnot matice ${\bf M}$, co� je koeficient $a_2$ p�i $x^{n-2}$. Kdy� ode�teme tento koeficient od diagon�ly sou�inu ${\bf BM}_1$, dostaneme matici ${\bf B}_2$, jej� sou�in s matic� ${\bf M}$ n�m d�v� na diagon�le trojn�sobek sou�tu sou�inu t�� rozd�ln�ch vlastn�ch hodnot matice ${\bf M}$: \begin{equation} Sp[({\bf M}- Tr({\bf M}){\bf M}- a{\bf I}){\bf M}] = \sum (\lambda_j^3 -\lambda_j^3 -2\lambda_j^2\lambda_j + 2\lambda_i\lambda_j^2 - 3\lambda_i\lambda_j\lambda_k) \end{equation} T�mto zp�sobem pokra�ujeme $n$ kr�t nebo dokud nedostaneme v n�jak�m kroku jako v�sledek matici ${\bf B}_k = {\bf 0}$. U� jsme pou�ili tuto techniku pro matice v troj�heln�kov�m tvaru, kde bylo nutn� pouze prv� ode��t�n�. Nap��klad

$$\begin{array}{c} {\bf M}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf B}_1\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} -5 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -6 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -6 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -7 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B}_2\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 7 & -2 & -2 & -4 \\ -2 & 9 & -3 & 1 \\ -2 & -3 & 9 & 1 \\ -4 & 1 & 1 & 13 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf B}_3\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} -3 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -3 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -3 & -1 \\ 3 & -1 & -1 & -7 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B}_3{\bf M}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc}

-4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Polynomi�l je $x^4 -8x^3 +19x^2 -16x -1$. Probl�m nalezen� polynomi�l� je tedy transformovan� na z�kladn� operace s maticemi, ode��t�n� a n�soben�. Nad ka�dou matic� se klene duha indukovan�ch matic, kter� na sv�m konci n�m ukazuje polynomi�l a v n�m spektrum matice. Nalezen� vlastn�ch hodnot m�e b�t n�kdy, kdy� se vy�e�� technick� probl�m, hrncem zlata na konci duhy. V�imn�te si, �e ${\bf B}_3{\bf M}$ je diagon�ln� matice se stejn�mi hodnotami. To znamen�, �e ${\bf B}_3$ je n�sobek inverzn� matice ${\bf M}^{-1}$. \section{\ Kolapsovan� matice sousedstv� vysoce regul�rn�ch graf�} \label{Kolapsovan� matice sousedstv� vysoce regul�rn�ch graf�} \begin{figure} \caption{Spr�vn� (a) a nespr�vn� (b) indexov�n� cyklu $C_4$} \label{ spr�vn� nespr�vn� indexov�n�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(180.00,100.00) \put(10.33,49.00){\framebox(15.00,15.00)[cc]{}} \put(40.00,49.00){\framebox(15.00,15.00)[cc]{}} \put(70.00,49.00){\framebox(15.00,15.00)[cc]{}} \put(100.00,49.00){\framebox(15.33,15.00)[cc]{}} \put(40.00,10.00){\framebox(15.00,15.00)[cc]{}} \put(10.33,64.00){\circle{4.00}} \put(25.33,64.00){\circle{4.00}} \put(40.00,64.00){\circle{4.00}} \put(55.00,64.00){\circle{4.00}} \put(70.00,64.00){\circle{4.00}} \put(85.00,64.00){\circle{4.00}} \put(100.00,64.00){\circle{4.00}} \put(115.33,64.00){\circle{4.00}} \put(10.33,49.00){\circle{4.00}} \put(25.33,49.00){\circle{4.00}} \put(40.00,49.00){\circle{4.00}} \put(55.00,49.00){\circle{4.00}} \put(70.00,49.00){\circle{4.00}} \put(85.00,49.00){\circle{4.00}} \put(100.00,49.00){\circle{4.00}} \put(115.33,49.00){\circle{4.00}} \put(40.00,25.00){\circle{4.00}} \put(55.00,25.00){\circle{4.00}} \put(40.00,10.00){\circle{4.00}} \put(55.00,10.00){\circle{4.00}} \put(10.33,74.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(40.00,74.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(70.00,74.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(85.00,74.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(100.00,73.67){\makebox(0,0)[cc]{1}}

\put(115.33,74.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(25.33,74.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(55.00,74.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(10.67,39.00){\makebox(0,0)[cc]{4}} \put(25.33,39.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(40.00,39.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(55.00,39.33){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(70.00,39.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(85.00,39.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(100.00,39.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(115.33,39.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(30.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(65.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(64.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(29.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(160.00,17.33){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(133.00,49.00){\framebox(15.33,15.00)[cc]{}} \put(133.00,64.00){\circle{4.00}} \put(148.33,64.00){\circle{4.00}} \put(133.00,49.00){\circle{4.00}} \put(148.33,49.00){\circle{4.00}} \put(133.00,73.67){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(148.33,74.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(133.00,39.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(148.33,39.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(160.00,57.33){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(17.67,85.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(47.67,85.00){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(77.67,85.00){\makebox(0,0)[cc]{C}} \put(107.67,85.00){\makebox(0,0)[cc]{D}} \put(141.33,85.00){\makebox(0,0)[cc]{E}} \end{picture} \end{figure} Vysoce pravideln� n rozm�rn� grafy jsou grafy charakterizovan� �tvercovou matic� $x{\bf A}'$ s rozm�rem men��m ne� $n$, maj�c� vlastnost, �e ka�d� vrchol j soused� s a' vrcholy i. Matice ${\bf A}'$ jsou zn�m� jako {\em kolapsovan� matice sousedstv�}. P��klady vysoce pravideln�ch graf� jsou �pln� grafy $K_n$ a cykly $C_n$. N�kter� indexov�n� vrchol� vysoce pravideln�ch graf� je {\em spr�vn�}, pokud m�e b�t pops�no kolapsovanou matic� sousedstv�. Nap��klad cykl $C_4$ lze spr�vn� indexovat jako na obr.\ref{ spr�vn� nespr�vn� indexov�n�}. Indexov�n� B je nespr�vn�, pon�vad� vrcholy 2 nejsou ekvivalentn�. Kolapsov�n� matice sousedstv� se dos�hne slo�en�m jej�ch hran a vynech�n�m odpov�daj�c�ho sloupce: $$\begin{array}{cccc} \begin{array}{c} {\bf A}_A\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\\

\\ \\ \end{array} & \begin{array}{c} {\bf A}_B\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\\ \\ \\ \\ \end{array} & \begin{array}{c} {\bf A}_C\\ \\ \left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right)\\ \\ \\ \\ \\ \end{array} & \begin{array}{c} {\bf A}_D\\ \\ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \\ \\ {\bf A}_E\\ \\ (2) \end{array} \end{array}$$ Kolapsovan� matice sousedstv� se zdaj� m�t zaj�mavou vlastnost: Polynomi�ly kolapsovan�ch matic sousedstv� ${\bf A}'$ jsou d�litel� polynomi�l� matic sousedstv� ${\bf A}$. Domn�nkou je, �e spr�vn� kolapsovan� matice sousedstv� maj� stejnou mno�inu vlastn�ch hodnot. Spektra kolapsovan�ch matic sousedstv� jsou useknut� k nejv�t��m vlastn�m hodnot�m. Polynomi�ly kolapsovan�ch matic sousedstv� ${\bf A}'$ jsou: $$P({\bf A}_A) = x^4 - 4x^2;$$ $$P({\bf A}_B) = x^3 -4x;$$

$$P({\bf A}_C) = x^2 - 4;$$ $$P({\bf A}_D) = x^2 - 2x;$$ $$P({\bf A}_E) = x -2\;.$$ \section{\ Faktorov� anal�za} \label{Faktorov� anal�za} Definovali jsme ekvivalenci grafov�ch vektor� jako t��dy matic, kter� se mohou z�skat permutacemi ��dek a nebo sloupc� jednotkovou permuta�n� matic� ${\bf P}$. Ekvivalentn� matice maj� stejn� kvadratick� formy, prom�taj� se na jeden bod ve vektorov�m prostoru. Nyn� definujeme jin� t��dy ekvivalence vzhledem ke spole�n� kvadratick� form� nebo obecn�ji vzhledem ke spole�n�mu sou�inu. �ekneme, �e matice ${\bf B}$ a ${\bf C}$ jsou {\em ekvivalentn�} pokud \begin{equation} {\bf B}^{\rm T}{\bf B}= {\bf C}^{\rm T}{\bf C}\;, \end{equation} nebo matice ${\bf B}^{\rm T}$ je ekvivalentn� matici ${\bf U}$ a matice ${\bf B}$ je ekvivalentn� matici ${\bf V}$ pokud $${\bf B}^{\rm T}{\bf B}= {\bf UV}$$. Nap��klad n�sleduj�c� matice jsou ekvivalentn� podle t�to definice $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{2} & 0 & 0 \\ \sqrt{1/2} & \sqrt{3/2} & 0 \\ \sqrt{1/2} & \sqrt{1/6} & \sqrt{4/3} \end{array} \right) & \equiv & \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cccc} \sqrt{3} & 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{1/3} & \sqrt{8/3} & 0 & 0 \\ \sqrt{1/3} & \sqrt{1/6} & \sqrt{5/2}& 0 \\ \sqrt{1/3} & \sqrt{1/6} & \sqrt{1/10} & \sqrt{12/5} \end{array} \right) & \equiv & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Existence takov�ch p�r� nebo n�sobk� m� pon�kud nep��jemn� d�sledek: Pokud zn�me pouze skal�rn� sou�in, nem�eme si b�t jisti, zda ko�eny, kter� jsme nalezli, jsou spr�vn� nebo jsou pouze ekvivalentn� k p�vodn�m prvk�m sou�inu. Av�ak existuj� tak� dobr� zpr�vy o existenci ekvivalence: M�eme nahradit nezn�m� maticov� vektor kanonickou triangul�rn� dekompozic� jeho kvadratick� formy. To vyu��v� {\em faktorov� anal�za}, kdy� matice experiment�ln�ch v�sledk� obsahuj�c� stochastick� chyby se nahrad� sou�ty matic maj�c�ch velk� v�hy a diference se ponech� jako matice chyb. Uk�zali jsme v podkapitole 3.4, �e inverzn� matice matice v doln� troj�heln�kov� form� s jednotkovou diagon�lou se m�e p�edstavit jako sou�et mocnin samotn� matice. Nyn� uk�eme, �e kvadratick� forma se m�e rozlo�it do sou�tu {\em faktor�}, nebo sv�ch transponovan�ch vlastn�ch vektor� ${\bf Z}$: \begin{eqnarray} {\bf Z}{\bf M}^{\rm T}{\bf MZ}^{\rm T}= \Delta \lambda_j \\ \Sigma \lambda_j {\bf Z}^{\rm T}{\bf Z} = {\bf MM}^{\rm T} \end{eqnarray} Existuje vztah, kter� je dopl�kem k rovnici 15.2 \begin{equation} \Sigma {\bf Z}^{\rm T}{\bf Z}^{\rm T}= {\bf I} \end{equation} Nap��klad matice ${\bf Q}$ $$\left( \begin{array}{ccc} 1 &-1 & 0\\ -1& 2& -1\\ 0 &-1 & 1 \end{array} \right)$$ m� t�� vlastn� vektory, $(1,1,1)^{\rm T}$, $(1/\sqrt{6},-2/\sqrt{6}, 1/\sqrt{6})^{\rm T}$ a $(1/\sqrt{2},0,-1/\sqrt{2})^{\rm T}$, kter� d�vaj� t�i vn�j�� kvadratick� formy s n�sobnostmi $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf A}\ \lambda_{j=0}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{array}

\right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B}\ \lambda_{j=3}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1/6 & -2/6 & 1/6 \\ -2/6 & 4/6 & -2/6 \\ 1/6 & -2/6 & 1/6 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{c} {\bf C}\ \lambda_{j=1}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1/2 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1/2 & 0 & 1/2 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Odpov�daj�c� sou�ty jsou ${\bf Q}= 3{\bf B}+ 1{\bf C}$ a ${\bf I}= {\bf A}+ {\bf B}+ {\bf C}$. Vn�j�� kvadratick� formy vlastn�ch vektor� jsou faktory korela�n� matice. Tyto korela�n� matice jsou rozlo�eny do sv�ch faktor� maj�c�ch nejv�t�� vlastn� hodnoty, kter� jsou normalizovan� na 1. V na�em p��klad� m�e b�t �e�eno, �e faktor ${\bf B}$ vysv�tluje 75\% matice ${\bf Q}$ a faktor ${\bf C}$ zb�vaj�c�ch 25\%. Faktorov� dekompozice je cenn� n�stroj pro vysv�tlov�n� rozs�hl�ch korela�n�ch matic, kdy� n�kolik faktor� kryje uspokojiv� nejv�t�� ��st prvk� korela�n� matice, �e zbytek lze pova�ovat za stochastickou chybu pozorov�n�. \chapter{Inversn� matice} \label{Inversn� matice} \section{�vod} \label{�vod 16} Inverzn� matice byly zm�n�n� v�cekr�t, av�ak nyn� by m�ly b�t vysv�tleny systemati�t�ji. Je dosti snadn� definovat inverzn� prvek izolovan�ho prvku, jako je ��slo nebo vektor. Av�ak tato �loha se st�v� koncep�n� nesnadnou pro cel� syst�my reprezentovan� maticov�mi vektory. A je trochu tajemn�, jak definovat inverzn� prvky k objekt�m. M�ete ��ci, co je va�� inverz�? Odpov�� bude z�visl� na situaci: zda hled�te svou vnit�n� inverzi pouze jako osoba, nebo sv�j inverzn� prvek jako ��sti n�jak� soustavy? Nejprve si vzpome�te na sekci 3.4. Tam se popisuj� dva typy inverzn�ch prvk�, aditivn� a multiplikativn�. Aditivn� inverze je definov�na identit $a + b = 0$, z toho $b = -a$. Z�porn� prvek m� stejnou hodnotu a opa�n� znam�nko ke sv�mu p�vodn�mu prvku. Multiplikativn� inverzn� prvek je definov�n jako sou�in $ab = 1$.

Z toho $b = 1/a$ a $a = 1/a$. Odli�nost mezi prvkem a jeho inverz� je ur�ena konvenc�. U� jsme uk�zali, �e multiplikativn� inverze jsou aditivn� na logaritmick� stupnici (obr. 3.5). Pro matice tak� mohou b�t definovan� aditivn� a multiplikativn� inverzn� matice s nulov�mi maticemi ${\bf 0}$ a jednotkov�mi diagon�ln�mi maticemi ${\bf I}$ jako jednotkov�mi prvky. Aditivn� inverze pro ${\bf M}$ se zdaj� b�t trivi�ln�, maj� pouze inverzn� znam�nka $-{\bf M}$, pon�vad� ${\bf M}-{\bf M}= {\bf 0}$. Multiplikativn� inverze jsou mnohem v�ce zaj�mav�. Nicm�n� u� jsme definovali {\em komplement�rn� grafy} $\overline{{\bf G}_n}$ k grafy ${\bf G}_n$ rovnic� \begin{equation} {\bf G}_n +\overline{{\bf G}_n} = {\bf G}_{K_n}\;. \end{equation} Dopl�kov� graf dohromady s p�vodn�m grafem d�v� �pln� graf $K_n$. Matice ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ a $\overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}}$ lze pova�ovat za {\em zobecn�nou aditivn� inverzi}, jak vid�me pozd�ji. Nyn� budeme uva�ujeme multiplikativn� inverze. Za�neme jednotkov�mi permuta�n�mi maticemi ${\bf P}$, kter� p�edstavuj� symetrick� grupy. Jejich inverze jsou jednodu�e jejich transponovan� matice \begin{equation} {\bf P}^{\rm T}{\bf P}= {\bf I}\;. \end{equation} Pro diagon�ln� matice $\Delta{\bf M}$ inverzn� prvky $d_{ii}$ jsou prvky $1/d_{ii} $. Av�ak, kdy� kombinujeme diagon�ln� matici s permuta�n� matic�, jej� inverze nen� jednoduch�m sou�tem obou ��ste�n�ch inverz�. Probl�m inverzn�ch matic je slo�it� pro n�kter� asymetrick� matice, kter� maj� dv� rozd�ln� inverzn� matice, jednu zleva a druhou zprava, proto�e n�soben� zleva m� jin� ��inek ne� n�soben� zprava. A mnoho matic nemaj� ��dnou inverzn� matici, pon�vad� jsou singul�rn�. Jejich spektrum obsahuje n�jak� nulov� vlastn� hodnoty a jejich duha se neuzav�r�. M�eme v t�to souvislosti upozornit na definici vlastn�ch vektor�, ${\bf Z}$, kter� d�vaj�, kdy� se n�sob� s ${\bf Z}^{\rm T}$ jednotkovou diagon�ln� matici. Transponovan� matice vlastn� vektor� matice ${\bf Z}^{\rm T}$ je levostrann� inverzn� matice pro ${\bf Z}$. Pracovali jsme s kvadratick�mi formami a bude v�hodn� definovat pro tyto kvadratick� formy t�et� druh inverzn�ch matic, {\em vnit�n� inverzn� matici} kvadratick� formy jako matici ${\bf R}$, kter� d�v�, pokud to se n�sob� z jedn� strany matic� ${\bf M}$ a z druh� strany jej� transponovanou formou ${\bf M}^{\rm T}$ jednotkovou diagon�ln� matici: \begin{equation} {\bf MRM}^{\rm T} = {\bf I} \end{equation} Ty lze vyj�d�it tak� konven�n�, ${\bf MR}$ je {\em levostrannou inverzn� matic�} pro${\bf M}^{\rm T}$ a ${\bf RM}^{\rm T}$ je {\em pravostrannou inverzn� matic�} pro ${\bf M}$.

Pokud oprav�me sou�in vlastn�ch vektor� s jejich matic� uvnit� jej�ch inverzn�mi vlastn�mi hodnotami, dostaneme jednotkovou diagon�ln� matici. Tedy matice ${\bf M} $ v�en� inverzemi sv�ch vlastn�ch hodnot je vnit�n� inverzn� matic� matice sv�ch vlastn�ch vektor�. Nap��klad $$\begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{cc} 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{array} \right)\ & \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{cc} 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{2} \end{array} \right) & $=$\ & \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$ \section{Invertov�n� matic} \label{Invertov�n� matic} Uk�zali jsme v kapitole 8, kdy� jsme pracovali s maticemi kombinatorick�ch ��sel v troj�heln�kov�m tvaru, �e jejich inverzn� matice se naleznou technikou inkluse a exkluse. Jin� technika vhodn� pro nalezen� inverzn�ch matic byla u� uk�zan� v podkapitole 15.13 jako La Verrier-Frame-Fadd�jevova technika. Ob� techniky jsou ekvivalentn� v p��pad� matic v doln� troj�heln�kov� form� maj�c�ch jednotkovou diagon�lu. n-t� mocnina jej� diference s jednotkovou diagon�ln� matic� d�v� nulovou matici ${\bf 0}$. Kdy� nap�eme v�echny �leny t�to mocniny a p�eskup�me je vhodn�, dostaneme \begin{equation} {\bf I}= [{\bf M}^{n-1}- n{\bf M}^{n-2}+ (n(n-1)/2){\bf M}^{n-3} \dots \pm n{\bf M}^1 \pm {\bf I}]{\bf M}\;. \end{equation} Prav� strana matice v z�vork�ch je levostrannou inverzn� matic� ${\bf M}$ matice v doln� troj�heln�kov� form� ${\bf M}$. Podobnou strukturu, pouze pon�kud slo�it�j��, maj� matice ${\bf B}_{n-1}$ z�skan� La Verrier-Fad�jev-Frame technikou, kde koeficienty polynomi�lu se pou��vaj� pro ode��t�n� n�sobk� jednotkov� diagon�ln� matice v rozd�ln�ch kroc�ch n�soben�

matic� ${\bf M}$. Inverzn� matice se definuje s pou�it�m determinantu $Det(M)$ a determinant� v�ech jeho submatic $\delta_{ij}{\bf M}$, zn�m�ch jako {\em minory} ${\bf A}_{ij}$. $\delta_{ij}{\bf M}$ je matic� ${\bf M}$ s vymazanou i-tou ��dkou a j-t�m sloupcem. Inverzn� matice ${\bf M}^{-1}$ matice ${\bf M}$ je transponovan� matice jej�ch minor� ${\bf A}_{ij}$ d�len�ch determinantem. Pokud je determinant nulov� potom inverzn� matice nen� definov�na ze z�ejm�ho d�vodu: Pokud d�l�me mal�mi ��sly bl�zk�mi k nule, dostaneme neur�it� nekone�n� ��sla. To d�v� tak� odpov�� na ot�zku, co je V� inverzn� prvek. Je to V� minor. Tem z�vis� na vlastnostech sv�ta, ve kter�m �ijete. Nap��klad magick� �tvercov� matice a jej� inverzn� matice $$\begin{array}{cccc} \left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & 7 \\ 8 & 1 & 6 \\ 4 & 9 & 2 \end{array} \right)^{-1} & = & 1/360 \left( \begin{array}{ccc} -52 & 53& 23 \\ 8 & -22 & 38 \\ 68 & -7 & -37 \end{array} \right) \end{array}$$ A praktick� technika pro

invertov�n� matic m� dva kroky:

\begin{itemize} \item Nejprve se pravideln� matice rozlo�� do 3 matic \begin{equation} {\bf M}= {\bf LUP} \end{equation} kde ${\bf L}$ je matic� v doln� troj�heln�kov� form�, ${\bf U}$ je matic� v horn� troj�heln�kov� form� a ${\bf P}$ je permuta�n� matice. \item Je snadn� nal�zt odpov�daj�c� inverzn� matice a inverzn� matice je potom \begin{equation} {\bf M}^{-1} = {\bf P}^{-1} {\bf U}^{-1} {\bf L}^{-1}\;. \end{equation} \end{itemize} N�soben� matice jej� inverzn� matic� lze transformovat na �lohu dekompozice jej�ho determinantu podle jej� hrany nebo sloupce. Pokud ��dka minor� se n�sob� transponovanou ��dkou odpov�daj�c�ch prvk� matice, dostaneme determinant, pon�vad� minory v inverzn� matici se j�m d�l�, je pom�r 1. Pokud se n�sob� nesouhlas�c� hrany, m� to stejn� ��inek, jako kdyby matice m�la dv� identick� hrany a determinant dan� t�mto sou�inem je nulov�.

\section{Matice proch�zek a cest} \label{Matice proch�zek a cest} Uk�zali jsme, v jak�m vztahu jsou prvky inverzn� matice k minor�m prvk� matice. Av�ak v n�kter�ch p��padech se m�e odvodit tato inverzn� matice p��mo ze struktury graf� bez ��dn�ch z�ejm�ch vztah� k minor�m determinantu. To je p��pad matic ${\bf SS}^{\rm T}$ nebo ${\bf GG}^{\rm T}$ strom�. Maj� $(n-1)$ hran a sloupc� a jsou nesingul�rn�, proto�e odpov�daj�c� kvadratick� formy ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ a ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$ maj� pr�v� jednu nulovou vlastn� hodnotu. Ve stromu neexistuje ��dn� cykl, tedy existuje pouze jedna proch�zka mezi ka�d�m p�rem vrchol� (v p��pad� neorientovan�ch graf� mluv�me o cest�ch). M�e se definovat matice\footnote{Pouze jeden symbol se pou��v� pro ob� matice pro �sporu.} ${\bf W}$ s hranami odpov�daj�c�mi v�em proch�zk�m nebo cest�m ve stromu, se sloupci p�edstavuj�c�mi orientovan� hrany nebo neorientovan� hrany. Prvky $w_{ij}$ t�chto matic jsou $\pm 1$ pokud orientovan� hrana nebo neorientovan� hrana $j$ je ��st� cesty nebo proch�zky, $i$ 0 jinak. Definice se komplikuje, zejm�na pro neorientovan� stromy, znam�nky nutn�mi k eliminaci ne��douc�ch prvk�, kdy� matice proch�zek se n�sob� matic� ${\bf GG}^{\rm T}$, jej� v�echny prvky jsou kladn�. orientovan� stromy mohou m�t konfiguraci v�ech orientovan�ch hran hlava k ocasu, pon�vad� stromy jsou dvojd�ln� grafy. Potom v�echny mimodiagon�ln� prvky $ {\bf GG}^{\rm T}$ jsou z�porn� a v�echny prvky ${\bf W}$ kladn�. Jinak $w_{ij}$ m� kladn� znam�nko, pokud hrana $j$ je v sud� vzd�lenosti od posledn� hrany v proch�zce (cest�) nebo orientovan� hrana $j$ m� stejnou orientaci jako posledn� orientovan� hrana, a m� z�porn� znam�nko, pokud odpov�daj�c� hrana je v lich� vzd�lenosti od posledn� hrany, nebo odpov�daj�c� orientovan� hrana m� opa�nou orientaci jako posledn� hrana. Matice cest orientovan�ch line�rn�ch �et�zc� vypadaj� jako Petrieovy matice �pln�ch graf� (viz podkapitolu 13.3), pouze prvky obou matic maj� rozd�lnou interpretaci. Prav� inverzn� matice kvadratick�ch forem ${\bf GG}^{\rm T}$ a ${\bf SS}^{\rm T}$ jsou 1/n n�sobky odpov�daj�c�ch kvadratick�ch forem ${\bf W}^{\rm T}{\bf W}$, matice ${\bf G}^{\rm T}{\bf W}^{\rm T}{\bf W}$ a ${\bf S}^{\rm}{\bf W}^{\rm T}{\bf W}$ jsou prav�mi inverzn�mi maticemi ${\bf G}$ nebo ${\bf S}$, podobn� jako ${\bf W}^{\rm T}{\bf WG}$ a ${\bf W}^{\rm T}{\bf WS}$ jsou lev�mi inverzn�mi maticemi $ {\bf G}$ nebo ${\bf S}$. Diagon�ln� prvky obou kvadratick�ch forem po��taj� kolikr�t odpov�daj�c� orientovan� hrana nebo neorientovan� hrana byla pou��v�na ve v�e proch�zk�ch nebo cest�ch, mimodiagon�ln� prvky po��taj� spole�n� vyu�it� dan�ho p�ru hran. Takto jednodu�e z�skan� ��sla jsou sou�asn� minory odpov�daj�c� kvadratick� formy inciden�n� matice. Stopa ${\bf W}^{\rm T}{\bf W}$ je sou�et vzd�lenost� mezi vrcholy ve stromu. Je zn�m� jako {\em Wienerovo ��slo}, viz p��t� kapitolu. Matice proch�zek a cest stromy zahrnuj� v�echny proch�zky nebo cesty dan�ho stromu, zat�m co k�dov� matice strom� zahrnuj� pouze proch�zky (nebo cesty) z ko�enu. U orientovan�ch strom� oba druhy matic jsou ve vztahu jako \begin{equation} {\bf C}{\bf S}_{\rm K}^{\rm T} = -{\bf W}^{\rm T}\;. \end{equation} Nap��klad $$\begin{tabular}{rrrr|rrrrrr} & & & &\ -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\

& & & & 1 & 0 & -1& 0 & -1& 0 \\ & & & & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1\\ & & & & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & & & & & & & & &\\ 1 & & & & -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & & & 0 & -1 & -1& -1 & -1& 0 \\ 1 & 1 & 1 & & 0 & 0 & 0 & -1 & -1& -1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{tabular}$$ \section{Inversn� matice lich�ch neorientovan�ch cykl�.} \label{Inversn� matice lich�ch neorientovan�ch cykl�.} Inciden�n� matice ${\bf G}$ jednoduch� neorientovan�ch cykl� $C_{lich�}$ m� ve sv� kanonick� form� v ka�d� ��dce dv� n�sledn� 1, \begin{equation} g_{ii} = 1,\ g_{i,i+1} = 1\ [{\rm pokud}\i=(n + 1)\ {\rm potom}\ i= 1,\ g_{ij} = 0\ {\rm jinak}\;. \end{equation} Ob� kvadratick� formy je identick�, jejich prvky jsou \begin{equation} g^{\rm T}g_{ii} = 2,\ g^{\rm T}g_{i,i\pm 1} = 1\ [{\rm pokud}\ i = (n + 1) {\rm potom}\ i = 1\;. \end{equation} Za�neme hled�n�m inverzn� matice kvadratick� formy matice cykl� ${\bf C}^{\rm T} {\bf C}$. Je snadn� ji nal�zt pro mal� cykly, nap��klad pro 7 �lenn� cyklus tato symetrick� matice $({\bf G}^{\rm T}{\bf G})$ za��n� jako $$\begin{array}{cc} {\bf G}^{\rm T}{\bf G} & \left( \begin{array}{rrrrrrr} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Jej� inverzn� matic� $({\bf G}^{\rm T}{\bf G})^{-1}= {\bf C}^{\rm T}{\bf C} $ za��n� jako $$\begin{array}{cc} ({\bf C}^{\rm T}{\bf C}) & \left( \begin{array}{rrrrrrr} -5 & 7 & -5 & 3 & -1 & -1 & 3 \\ 3 & -5 & 7 & -5 & 3 & -1 & -1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array} \right)

\end{array}$$ Tato matice je kvadratickou formou z�kladn� matice ${\bf C}$ lich�ch cykl�, jej� prvky jsou $c_{ij} = (-1)^{d(ij)}$. Horn� d(ij) indexy jsou vzd�lenosti vrchol� j od diagon�ln�ho vrcholu i. Je tu k kladn�ch prvk� a $(k + 1)$ z�porn�ch prvk� v ka�d� ��dce a sloupci, nap��klad $$\begin{array}{cc} ${\bf C}$ & \left( \begin{array}{rrrrrrr} +1 & -1& +1 & -1& -1 & +1& -1 \\ -1 & +1& -1& +1 & -1& -1 & +1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array} \right) \end{array}$$ Pon�vad� ${\bf C}$ je symetrick� \begin{equation} {\bf C}^{\rm T}{\bf C} = {\bf CC}^{\rm T} = {\bf C}^2\;. \end{equation} V kvadratick�ch form�ch znam�nka sousedn�ch prvk� jsou v�dy opa�n� a diference jejich hodnot je v�dy 2. Tedy, kdy� se n�sob� ${\bf C}^{\rm T}{\bf C}$ s ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$, dostaneme pro diagon�ln� prvky $$1\times (2 - n) + 2\times na + 1\times (2 - n) = 4\;.$$ Pro mimodiagon�ln� prvky dostaneme $$1\times[2(k - 1) - n] + 2\times(n - 2k) + 1\times[2(k + 1) - n] = 0\;.$$ Podobn� v�sledek se z�sk� tak� pro prost�edn� prvky $\pm(1, 1, -3)$ nebo $\pm(-3, 1, 1)$. Matice cykl� ${\bf C}$ m� po�adovanou vlastnost matice cykl�, toti� ${\bf CG}\ \equiv {\bf 0}\ {\rm mod}\ 2$. Sousedn� prvky jsou v�t�inou $(\pm 1)$ a pokud maj� stejn� znam�nko, potom jejich sou�et je 2. Sou�in je $2{\bf P}$, kde $ {\bf P}$ je jednotkov� permuta�n� matice cyklu. P��t� sou�in je $${\bf CGG}^{\rm T} = 2({\bf P}+ {\bf P}^{\rm T})\;.$$ Tento v�sledek Se bude interpretovat v term�nech kolinearity a pozd�ji.

ortogonality

Tyto vlastnosti ��ste�n�ch sou�in� n�m dovoluj� definovat pseudoinversn� matice $ {\bf G}$ a ${\bf G}^{\rm T}$ z obou stran \begin{equation} {\bf G}^{-1}\ \hbox{zprava}\ = 1/4{\bf G}^{\rm T}{\bf C}^2 = \pm1/2{\bf CP}^{\rm T} \end{equation} \begin{equation} {\bf G}^{-1}\ \hbox{zleva}\ = 1/4{\bf C}^2{\bf C}^{\rm T}= \pm1/2{\bf P}^{\rm T} {\bf C}\;. \end{equation}

Permuta�n� matice ${\bf P}^{\rm T}$ m� jednotkov� prvky $p_{i,i+(n-1)/2}$. Pokud n�sob� matici ${\bf C}$ zprava, permutuje jej� sloupce, pokud zleva, permutuje jej� hrany. Pon�vad� matice ${\bf C}$ je symetrick�, v�sledky obou permutac� jsou identick� a inciden�n� matice neorientovan�ho lich�ho cyklu m� pravou inverzn� matic�. Mimo to, pokud matice cyklu p�sob� na kvadratickou formu ${\bf G}^{\rm T} {\bf G}$ z obou stran, tak� ji diagonalizuje: $${\bf CG}^{\rm T}{\bf GC}= 4{\bf I}\;.$$ \section{Inversn� matice neorientovan�ch cyklick�ch graf�} \label{Inversn� matice Neorientovan�ch cyklick�ch graf�} Existence inverzn�ch matic kvadratick� formy inciden�n� matice jednoduch�ch neorientovan�ch cykl� bud� z�jem o mo�nosti nal�zt inverzn� matice t�chto kvadratick�ch forem inciden�n�ch matic cyklick�ch graf�. Z obou kvadratick�ch forem ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$ a ${\bf GG}^{\rm T}$ pouze matice men��ho rozm�ru m�e m�t inverzn� matic�. To znamen�, �e pro grafy s dv�ma nebo v�ce cykly pouze forma ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$ m�e b�t nesingul�rn�, proto�e ${\bf GG}^{\rm T}$ je vy���ho rozm�ru. \begin{figure} \caption{P��klady neorientovan�ch nesingul�rn�ch cyklick�ch graf�} \label{P��klady neorientovan�ch nesingul�rn�ch cyklick�ch graf�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(150.00,60.00) \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(10.00,30.33){\circle{4.00}} \put(25.00,20.00){\circle{4.00}} \put(44.67,20.00){\circle{4.00}} %\emline(45.00,20.00)(25.33,20.00) \put(45.00,20.00){\line(-1,0){19.67}} %\end %\emline(25.33,20.00)(10.00,30.00) \multiput(25.33,20.00)(-0.18,0.12){84}{\line(-1,0){0.18}} %\end %\emline(10.00,30.00)(10.00,10.00) \put(10.00,30.00){\line(0,-1){20.00}} %\end %\emline(10.00,10.00)(25.00,20.00) \multiput(10.00,10.00)(0.18,0.12){84}{\line(1,0){0.18}} %\end \put(28.33,40.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(60.00,10.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{}} %\emline(60.00,10.00)(80.00,30.00) \multiput(60.00,10.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(60.00,30.00){\circle{4.00}} \put(80.00,30.00){\circle{4.00}} \put(60.00,10.00){\circle{4.00}} \put(80.00,10.00){\circle{4.00}} \put(99.67,10.00){\circle{4.00}} %\emline(99.67,9.67)(99.67,30.00) \put(99.67,9.67){\line(0,1){20.33}} %\end %\emline(99.67,30.00)(131.33,10.00) \multiput(99.67,30.00)(0.19,-0.12){167}{\line(1,0){0.19}} %\end

%\emline(131.33,10.00)(131.33,30.00) \put(131.33,10.00){\line(0,1){20.00}} %\end %\emline(131.33,30.00)(99.67,10.00) \multiput(131.33,30.00)(-0.19,-0.12){167}{\line(-1,0){0.19}} %\end \put(99.67,29.67){\circle{4.00}} \put(115.67,20.00){\circle{4.00}} \put(131.33,29.67){\circle{4.00}} \put(131.33,10.33){\circle{4.00}} \put(70.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(115.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{C}} \end{picture} \end{figure} N�kter� p��klady neorientovan�ch cyklick�ch graf� maj�c�ch inverzn� matice kvadratick�ch forem se snadno nalezly (obr. 16.1). Graf A m� inverzn� matici obou kvadratick�ch forem $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf G}^{\rm T}{\bf G}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} 4{\bf G}^{\rm T}{\bf G}^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 3 &-1 &-1 & 1\\ -1 & 3 &-1 & 1\\ -1 &-1 & 3 &-3\\ 1 & 1 &-3 & 7 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf GG}^{\rm T}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array} \right)

\end{array} & \begin{array}{c} 2({\bf GG}^{\rm T})^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 2& -1 & -1 & 1\\ -1 & 2 & 0 & -1\\ -1 & 0 & 2 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Graf B $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf G}^{\rm T}{\bf G}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 3 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} 4({\bf G}^{\rm T}{\bf G})^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 2 & -1 & -1 & 0\\ -1& 3 & 1 & -1\\ -1& 1 & 3 & -1\\ 0 & -1 & -1 & 2 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Graf C $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf G}^{\rm T}{\bf G}\\ \\ \left( \begin{array}{ccccc} 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 4 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}

\right) \end{array} \begin{array}{c} 24({\bf G}^{\rm T}{\bf G})^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{ccccc} 17 &-7 & -3 & 1 & 1\\ -7 &17 & -3 & 1 & 1\\ -3 & -3 & 9 & -3 & -3\\ 1 & 1 & -3 & 17 & -7\\ 1 & 1 & -3 & -7 & 17 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ \section{Zobecn�n� Inverze Laplace-Kirchhoffov�ch matic} \label{Zobecn�n� Inverze Laplace-Kirchhoffov�ch matic} Laplace-Kirchhoffovy matice jsou pojmenovan� podle dvou proslul�ch v�dc�. Laplace vy�e�il s pou�it�m t�chto matic pohyb nebesk�ch t�les, Kirchhoff vy�e�il s pou�it�m t�chto matic pohyb elektron� v elektrick�ch obvod�. Laplace-Kirchhoffovy matice jsou matice ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$. Maj� kladn� diagon�ln� prvky a z�porn� mimodiagon�ln� prvky, kter� jsou vyv�eny jako \begin{equation} {\bf S}^{\rm T}{\bf S}{\bf J} = {\bf 0};\ {\bf J}^{\rm T}{\bf S}^{\rm T}{\bf S}= {\bf 0}\ . \end{equation} Laplace-Kirchhoffovy matice maj� jednu nulovou vlastn� hodnotu. Tu lze odstranit, pokud p�id�me nebo ode�teme od Laplace-Kirchhoffovy matice n�sobek k jednotkov� matice $k{\bf JJ}^{\rm T}$. Potom m�eme nal�zt inverzn� matici. Pokud p�id�me nebo ode�teme od n� op�t n�sobek jednotkov� matice $k{\bf JJ}^{\rm T}$, dostaneme zobecn�nou inverzn� matic� s vlastnostmi: \begin{equation} {\bf S}^{\rm T}{\bf S}[({\bf S}^{\rm T}{\bf S}+ k{\bf JJ}^{\rm T})^{-1} + k{\bf JJ}^{\rm T}] = n{\bf I}- {\bf JJ}^{\rm T} \end{equation} Nap��klad $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} {\bf S}^{\rm T}{\bf S}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c}

({\bf S}^{\rm T}{\bf S}+{\bf JJ}^{\rm T})\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} ({\bf S}^{\rm T}{\bf S}+{\bf JJ}^{\rm T})^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{c} ({\bf S}^{\rm T}{\bf S}+{\bf JJ}^{\rm T})^{-1}) +{\bf JJ}^{\rm T}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 3 \end{array} \right) \end{array}$$ To je mo�n� pon�vad� jednotkov� vektor ${\bf J}$ je nulov�m vlastn�m vektorem matice ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$. Vzpome�te si, �e $n{\bf I}- {\bf JJ}^{\rm T}$ je Laplace-Kirchhoffova matice �pln�ho grafu $K_n$. Mezi nekone�n� mnoha zobecn�n�mi inverzn�mi maticemi ka�d� matice ${\bf S}^{\rm T} {\bf S}$ existuje speci�ln� zobecn�n� inverzn� matice, kter� se z�sk� Moebiusovou inverz� matice ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$. Hlavn� podmatice $\delta_{j}{\bf S}^{\rm T}{\bf j-t� sloupec, jsou nesingul�rn� a maj� inverzn� matice se�tou s ponech�n�m pr�zdn� j-t� ��dky a Eichingerovy matice} ${\bf E}$, kter� tak� maj� matic:

S}$, kde je vypu�t�na j-t� ��dka a matice. Pokud se tyto inverzn� sloupce, dostaneme {\em vlastnosti zobecn�n�ch inverzn�ch

\begin{equation} {\bf E} = \sum_{j=1}^n \delta_{j}{\bf S}^{\rm T}{\bf S} \end{equation} \begin{equation} {\bf S}^{\rm T}{\bf S}{\bf E} = n{\bf I} -{\bf JJ}^{\rm T}\;. \end{equation} Nap��klad jako shora

$$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} {\bf S}^{\rm T}{\bf S}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right) \end{array} \begin{array}{c} (\delta_1({\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \end{array} \begin{array}{c} (\delta_2{\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} (\delta_3{\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{c} {\bf E}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 3 \end{array} \right)

\end{array}$$ Vlastn� hodnoty Eichingerov�ch matic jsou inverzn� vlastn� hodnoty p�vodn� Laplace-Kirchhoffovy matice vyjma vlastn� hodnotu odpov�daj�c� nulov� vlastn� hodnot�. Tato vlastn� hodnota je rovn� sou�tu ostatn�ch $(n-1)$ vlastn�ch hodnot. \section{Technika zako�en�n�} \label{Technika zako�en�n�} V kapitole 13 jsme uk�zali, �e inciden�n� matice strom� jsou nesingul�rn�, a �e maj� inverzn� matice $({\bf S}*)^{-1}$, k�dov� matice ${\bf C}$. Zako�en�n� odstra�uje singularitu nejen matice strom� ale v�ech graf�. D�kaz je induktivn� a je formulovan� pro pravou inverzn� matici. Matice ${\bf JJ}^{\rm T}$ je nulov� matice jak�koliv Laplace-Kirchhoffovy matice, pon�vad� jednotkov� sloupec je jej�m nulov�m vlastn�m vektorem. Av�ak matice ${\bf JJ}^{\rm T}$ p�id�v� na m�sto perturbace 1 v dan� ��dce a nuly v odpov�daj�c�m sloupci. Ko�enov� ��dka mus� b�t vyv�ena. V jin�ch ��dc�ch je jednotkov� sloupec nulov�m vlastn� vektorem, 1 na diagon�le je vyvol�na dal��mi prvky ��ste�n� inverzn� matice. Pon�vad� Laplace-Kirchhoffova matice je symetrick�, sou�in ��ste�n� inverzn� matice se z�porn�mi mimodiagon�ln� prvky ko�enov� ��dky mus� d�vat -1. To nech�v� nuly jako mimodiagon�ln� prvky. V p�edchoz� sekci byla uk�z�na Moebiusova inverzn� matice Laplace-Kirchhoffovy matice. To vy�aduje invertov�n� n submatic. Je dosta�uj�c� odstranit singularitu Laplace-Kirchhoffovy matice zako�en�n�m pouze jednoho vrcholu, jednodu�e p�i�ten�m 1 (nebo jak�hokoliv ��sla) k jednomu jej�mu diagon�ln�mu prvku: \begin{equation} {(\delta_j\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{-1} + {\bf JJ}^{\rm T} = ({\bf S}^{\rm T}{\bf S} + 1_{jj})^{-1}\;. \end{equation} Nap��klad $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} ({\bf S}^{\rm T}{\bf S} + 1_{11})_{C_4}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 3 & -1 & 0 & -1\\ -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 0 & -1 & 2 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} ({\bf S}^{\rm T}{\bf S} + 1_{11})_{C_4})^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 7/4 & 6/4 & 5/4 \\ 1 & 6/4 & 8/4 & 6/4 \\ 1 & 5/4 & 6/4 & 7/4 \end{array}

\right)\;. \end{array} \end{array}$$ V�ha orientovan�ch hran se sn�ila pro cykly $C_n$. Inverzn� matic� diference $ (\delta_1{\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{-1}$ je v�dy matice ${\bf SS}^{\rm T}$ line�rn�ho �et�zce $L_n$, jeho� inverzn� matic� je kvadratick� forma ${\bf W}^{\rm T}{\bf W}$ matice cest. �et�zec tvo�� nap�nac� strom. Jeho �tvercov� matice se mus� rozlo�it do troj�heln�kov�ho tvaru a p�idat k matici ${\bf JJ}^{\rm T}$. Pon�vad� ${\bf W}^{\rm T}{\bf W}$, jak byly definov�ny, d�vaj� $n{\bf I}$ jako sou�in s ${\bf SS}^{\rm T}$, je nutn� d�lit n. Jako p��klad troj�heln�kov� dekompozice $$\begin{array}{c} {\bf W}^{\rm T} \\ \\ \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} {\bf W}^{\rm T}{\bf W}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \end{array} & = & \begin{array}{c} Troj�heln�kov� dekompozice\\ \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3/4} & 0 & 0\\ \sqrt{1/3} & \sqrt{2/3} & 0\\ \sqrt{1/12} & \sqrt{1/6} & \sqrt{1/2} \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Kdy� prvky matice ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ se interpretuj� jako {\em vodivosti}, potom prvky inverzn� matice jsou {\em odpory} (nebo odporov� vzd�lenosti). Dva soused�c� vrcholy jsou spojen� v kru�nici $C_n$ dv�ma zp�soby, bu� p��mo spojuj�c� orientovanou hranou, nebo cestou $(n-1)$ orientovan�ch hran. Pokud v�echny orientovan� hrany maj� odpor 1, potom vodivost obou spojen� je 1 a $1/(n-1)$. Vodivost obvodu je $n/(n-1)$, v na�em p��klad� $4/3$. Dv� cesty mezi opa�n�mi vrcholy v sud�ch cyklech maj� odpory $n/2$, jejich spojen� vodivost je $4/n$, v na�em p��klad� $1$. Technika zako�en�n� u strom� d�v� stejn� v�sledek jako k�dov� matice.

N�sobnost k

orientovan�ch hran se m�e vyj�d�it jako opakov�n� hrany nebo v�en� orientovan�ch hran. Tyto v�hy v inciden�n� matici mus� b�t odmocninami n�sobnosti k orientovan� hrany. Element�rn� v�po�ty ukazuj�, �e n�sobnost k orientovan�ch hran sni�uje k�d vrcholu, do kter�ho jde orientovan� hrana, jako 1/k. Nap��klad strom \begin{figure} \unitlength 1.0mm \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(51.70,12.33) \put(10.33,10.00){\circle{4.00}} \put(30.00,10.00){\circle{4.00}} \put(50.00,10.00){\circle{4.00}} %\emline(30.00,10.00)(50.00,10.00) \put(30.00,10.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(10.33,8.67)(30.00,8.67) \put(10.33,8.67){\line(1,0){19.67}} %\end %\emline(10.67,11.00)(30.00,11.00) \put(10.67,11.00){\line(1,0){19.33}} %\end \end{picture} \end{figure} m� t�� k�dy odpov�daj�c� ko�en�m 1, 2, 3: $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} Ko�en\ 1\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 1 & \sqrt{1/2} & 0 \\ 1 & \sqrt{1/2} & 1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} Ko�en\ 2\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & \sqrt{1/2} \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} Ko�en\ 3\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\

1 & 1 & \sqrt{1/2} \end{array} \right) \end{array} \end{array}\;.$$ \section{Vztahy Spekter graf� a komplement�rn�ch graf�} \label{Vztahy Spekter graf� a komplement�rn�ch graf�} Charakteristick� polynomi�ly Laplace-Kirchhoffov�ch matic lze nal�zt stejnou technikou jako charakteristick� polynomi�ly matic sousedstv�, to je indexov�n�m charakteristick�ch obr�zk�, ve kter�ch stupn� vrchol� $v_j$ p�edstavuj� smy�ky nebo technikou La Verrier-Fad�jev-Frameovou. Sou�et inverzn� matice Laplace-Kirchhoffovy submatice $(\delta{\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{-1}$ tvo�� zobecn�nou inverzn� matici ${\bf E}$ Laplace-Kirchhoffovy matice d�vaj�c� jako sou�in Laplace-Kirchhoffovy matici �pln�ho grafu ${\bf S}^{\rm T} {\bf S}_K$: \begin{equation} {\bf S}^{\rm T}{\bf S}{\bf E}= {\bf S}^{\rm T}{\bf S}_K\;. \end{equation} Zobecn�n� inverzn� matice ${\bf E}$ Laplace-Kirchhoffovy matice je identick� s matic� ${\bf B}_{n-2}$ La Verrier-Fad�jev-Frameovy techniky \begin{equation} {\bf S}^{\rm T}{\bf S} = ({\bf S}^{\rm T}{\bf S})_n -a_1({\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{n-1}\;, \end{equation} kde $a_1$ je koeficient charakteristick�ho polynomi�lu a matice $({\bf S}^{\rm T} {\bf S})_n = ({\bf S}^{\rm T}{\bf S}){\bf B}_{n-1}$. Frameovy matice ${\bf B}$ se z�skaj� jako ${\bf B}_n = ({\bf S}^{\rm T}{\bf S})_n - a_n{\bf I}$. Posledn� Frameova matice je ${\bf B}_n = ({\bf S}^{\rm T}{\bf S}_n - a_n{\bf I}) = {\bf 0}$. To znamen�, �e \begin{equation} {\bf B}_{n-1} = 1/a_{n-1}({\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{-1}\;. \end{equation} U Laplace-Kirchhoffovy matice $a_n = 0$, tedy $({\bf S}^{\rm T}{\bf S})_n = {\bf 0}$. Tedy ${\bf B}_{n-1} = ({\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{-1}$, a $ a_{n-1} = n$. Z toho plyne, �e \begin{equation} {\bf E}= {\bf B}_{n-2}\ {\rm a}\{\bf E}({\bf S}^{\rm T}{\bf S})^2 = n{\bf S}^{\rm T}{\bf S}\;. \end{equation} Mimo to, pokud Laplace-Kirchhoffova matice ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}_K$ grafu $G_n$ se n�sob� $({\bf E}- {\bf I})$, z�sk� se Laplace-Kirchhoffova matice dopl�kov�ho grafu $\overline{G}$. Z t�chto v�sledk� plyne vztah vlastn�ch hodnot $\lambda_j$ odpov�daj�c� Laplace-Kirchhoffovy matice: \begin{equation} {\bf E}(\lambda_j ) = {\bf S}^{\rm T}{\bf S}(n/\lambda_j)\ {\rm a}\ {\bf S}^{\rm T}{\bf S}(\overline{G})(\lambda_j)

= {\bf S}^{\rm T}{\bf S}(G)(n -\lambda_j)\;. \end{equation} Vlastn� hodnoty Laplace-Kirchhoffov�ch matic p�r� komplement�rn�ch graf� mus� b�t komplement�rn�, aby jejich sou�ty daly vlastn� hodnoty �pln�ho grafu $K_n$. Nap��klad hv�zda $S_n$ je dopl�kov�m grafem �pln�ho grafu $K_{n-1}$. Jej� spektrum je $[n, 1^{n-2}, 0]$, co� je dopl�kem ke spektrum $[0, (n - 1)^{n-2}, 0]$ LaplaceKirchhoffovy matice �pln�ho grafu s $(n -1)$ vrcholy. \section{Sou�iny Laplace-Kirchhoffov�ch matic} \label{Sou�iny Laplace-Kirchhoffov�ch matic} Dva grafy se pova�uj� za ekvivalentn�, pokud jejich matice mohou b�t vz�jemn� transformovan� symetrick�mi permutacemi s jednotkov�mi permuta�n�mi maticemi ${\bf P}$: ${\bf M}_{G_i} = {\bf PM}_{G_j}{\bf P}^{\rm T}$. Vyst�v� zaj�mav� probl�m: V jak�m vztahu jsou vlastn� hodnoty odpov�daj�c�ch matic p�i takov�ch operac�ch. Je obvykl� uspo��dat vlastn� hodnoty v vzestupn�m nebo sni�uj�c�m se uspo��d�n�, av�ak pokud se matice permutuje, potom by se tak� m�ly jej� vlastn� hodnoty permutovat, aby se dostaly rozd�ln� sou�iny a tedy nemohou b�t ve v�ech ekvivalentn�ch grafech uspo��d�ny podobn� jako v kanonick� form� v vzestupn�m nebo klesaj�c�m po��dku. To znamen�, �e lze definovat {\em orbitu vlastn�ch hodnot}, jej� objem je ur�en n�sobnostmi vlastn�ch hodnot. Kdy� n�sob�me Laplace-Kirchhoffovy matice dvan�cti rozd�ln� ozna�en�ch line�rn� �et�zc� $L_4$, dostaneme 3 rozd�ln� v�sledky v z�vislosti na po�tu spole�n�ch orientovan�ch hran a dan� permutaci. Z t�chto t�� se zaj�m�me o dva extr�mn� p��pady: $$\begin{array}{cc} \hbox {3 spole�n� orientovan� hrany}\ & \left( \begin{array}{cccc} 2 & -3 & 1 & 0\\ -3 & 6 & -4 & 1\\ 1 & -4 & 6& -3\\ 0 & 1 & -3& 2 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Stopa je sou�tem �tverc� vlastn�ch hodnot $(2 + 2^{1/2})^2 + 2^2 + (2 - 2^{1/2})^2 = 16$. $$\begin{array}{cc} \hbox {��dn� spole�n� orientovan� hrana}\ & \left( \begin{array}{cccc} 2 &-1 &-1& 0 \\ -1 & 2 & 0 &-1 \\ -1 & 0 & 2& -1 \\ 0 &-1 &-1 & 2 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ $L_4$ je samo se dopl�uj�c� graf a v sou�inu dvou samo se dopl�uj�c�ch graf� se

vlastn� hodnoty jsoun n�sob� v opa�n�m uspo��d�n� jako vlastn� hodnoty ve �tverci $$\begin{tabular}{|l|rrrr|} \hline Spektrum $(L_4)$ & $2+2^{1/2}$ & 2 & $2-2^{1/2}$ & 0 \\ Spektrum $(L_4)$ & $2-2^{1/2}$ & 2 & $2+2^{1/2}$ & 0 \\ \hline Spektrum $(C_4)$ & 2 & 4 & 2 & 0 \\ \hline \end{tabular}$$ Matice sou�inu je Laplace-Kirchhoffova matice cyklu $C_4$ a jej� vlastn� hodnoty nejsou uspo��dan�, pon�vad� samotn� cykl je permutovan� ze sv� standardn� formy. V�sledek lze formulovat jako teor�mu: Pokud se Laplace-Kirchhoffova matice grafu s jednoduch�mi orientovan�mi hranami n�sob� Laplace-Kirchhoffovou matic� sv�ho dopl�kov�ho grafu, vlastn� hodnoty sou�inu matic jsou vlastn�mi hodnotami p�vodn� Laplace-Kirchhoffova matice n�soben� vlastn�mi hodnotami jej�ho dopl�kov�ho grafu vzat�mi v inverzn�m uspo��d�n�, vyjma nulovou vlastn� hodnotu. D�kaz: Z dopl�kov�ch vlastnost� obou Laplace-Kirchhoffova matic plyne, �e jejich mimodiagon�ln� prvky tvo��c� matice sousedstv� ${\bf A}$ nemaj� ��dn� ��inek na stopu sou�inu, $Tr[{\bf A}(G){\bf A}\overline{(G)}] = 0$. Tedy diagon�ln� prvky sou�inu jsou $v_j[(n - 1) - v_j]$ a sou�asn� stopa je podle teor�mu sou�tem vlastn�ch hodnot sou�in� $\lambda_j(n-\lambda_j)$: \begin{equation} Tr({\bf S}^{\rm T}{\bf S}\overline{({\bf S}^{\rm T}{\bf S}}) = \sum_{j=1}^n [(n - v_j)- v_j^2] = \\ \sum_{j=1}^n[(n\lambda_j - \lambda_j^2) \end{equation} Stopa Laplace-Kirchhoffovy matice se sou�asn� rovn� sou�tu stup�� vrchol� $\Sigma v_j$ a sou�tu vlastn�ch hodnot $\Sigma\lambda_j$ a stopa �tverce LaplaceKirchhoffova matice s jednoduch�mi orientovan�mi hranami je \begin{equation} Tr([{\bf S}^{\rm T}{\bf S}]^2) = \sum_{j=1}^n (v_j^2 + v_j) = \sum_{j=1}^n\lambda_j^2, \end{equation} tedy \begin{equation} Tr({\bf S}^{\rm T}{\bf S}\overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}}) = nTr({\bf S}^{\rm T}{\bf S}) - Tr([{\bf S}^{\rm T}{\bf S}]^2)\;. \end{equation} Vych�zeje z dopl�kov�ho grafu a jeho Laplace-Kirchhoffovy matice a vlo�en�m $(n -1 - v_j)$ dostaneme stejn� v�sledek. D�kaz vyu�il vlastnosti grafov�ch matic s jednoduch�mi orientovan�mi hranami, av�ak vztah mezi vlastn�mi hodnotami plat� tak� pro multigrafy a jejich komplement�rn� grafy, jak se vypo��t� ze vztahu \begin{equation} \overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}} = {\bf S}^{\rm T}{\bf S}({\bf E}- {\bf I})\;.

\end{equation} To je diference \begin{equation} \overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}} = ({\bf S}^{\rm T}{\bf S})_K -{\bf S}^{\rm T}{\bf S}\;. \end{equation} Nap��klad $$\begin{tabular}{cccc|ccc} & & & &\multicolumn{3}{c}{$\overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}}$}\\ & & & & & & \\ & & & &\ -1 & 1 & 0\\ & & & &\ 1 & 0 & -1\\ & & & &\ 0 & -1 & 1\\ \hline & & & & & & \\ ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ & 3 & -2 & -1 & -5 & 4 & 1 \\ & -2 & 2 & 0 & 4 & -2 & -2 \\ & -1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \end{tabular}$$ $$\begin{tabular}{|l|ccc|} \hline Spektrum ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ & $3+3^{1/2}$ & $3- 3^{1/2}$ & 0 \\ Spektrum $\overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}}$ & $-3^{1/2}$ & $3^{1/2}$ & 0 \\ \hline & & & \\ Spektrum ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}\overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}}$ & $ -(3+27^{1/2})$ & $27^{1/2} -3$ & 0 \\ \hline \end{tabular}$$ D�kaz lze zjednodu�it s pou�it�m form�ln� notace: \begin{eqnarray} [{\bf S}^{\rm T}{\bf S}]^2 + \overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}} = {\bf S}^{\rm T}{\bf S} \\ ({\bf S}^{\rm T}{\bf S} + \overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}}) = {\bf S}^{\rm T}{\bf S}({\bf S}^{\rm T}{\bf S})_K = \\ {\bf S}^{\rm T}{\bf S}(n{\bf I}-{\bf JJ}^{\rm T}) = \\ n{\bf I}{\bf S}^{\rm T}{\bf S}+ {\bf 0}= n{\bf S}^{\rm T}{\bf S}\;. \end{eqnarray} Nebo \begin{equation} Sp(\lambda_j^2 + \lambda_j[n - \lambda_j]) = nSp(\lambda_j)\;. \end{equation} Jednotkov� vektor-sloupec ${\bf J}$ nebo jednotkov� vektor-��dka ${\bf J}^{\rm T}$ jsou nulov�mi vlastn�mi vektory Laplace-Kirchhoffov�ch matic v�ech graf� a Laplace-Kirchhoffovy matice v�ech subgraf� �pln�ho grafu $K_n$ nejsou ortonorm�ln� vlastn� vektory sv� Laplace-Kirchhoffovy matice.

D�sledkem vlastnost� sou�in� vlastn�ch hodnot je, �e spektra samo se dopl�uj�c�ch graf� (jejich Laplace-Kirchhoffov�ch matic) mus� b�t symetrick�, vyjma jejich nulovou vlastn� hodnotu: \begin{equation} n/2 \pm( -\lambda_jn/2)\;. \end{equation} \section{\ Syst�my line�rn�ch rovnic} \label{Syst�my line�rn�ch rovnic} Soustavu $n$ rovnic s $n$ nezn�m�mi lze zapsat v

maticov� form� jako

\begin{equation} {\bf Mx}= {\bf b}\;. \end{equation} Matice koeficient� se n�sob� vektorem sloupcem ${\bf x}$ a d�v� vektor sloupec $ {\bf b}$. Soustava rovnic m� �e�en�, pokud matice ${\bf M}$ nen� singul�rn�. Potom \begin{equation} {\bf x} = {\bf M}^{-1}{\bf b}. \end{equation} Nalezneme inverzn� matici a jej�m n�soben�m s vektorem {\bf b} bychom m�li dostat nezn�m�. Jinou mo�nost�, jak vy�e�it soustavu v p��pad�, �e matice ${\bf M}$ nen� singul�rn� a jej� determinant nen� nulov�, je Cramerova technika. Konstruujeme blokovou matici ve tvaru \begin{equation} \left( \begin{array}{cc} {\bf M}& {\bf b} \\ {\bf J} & \Sigma x_j \end{array} \right)\;. \end{equation} Posledn� sloupec t�to matice s $m = (n+1)$ ��dkami a sloupci je line�rn� kombinace prvn�ch n sloupc�. V�hy jsou dan� prvky vektoru ${\bf x}$. To plat� tak� pro m-tou ��dku. Determinant blokov� matice je nula a tedy, kdy� jej rozvineme podle posledn� ��dky dostaneme \begin{equation} \Sigma x_j = \Sigma A_{mj}/det(M)\;. \end{equation} $A_{mj}$ je minor. Prvky $x_j$ jsou jednodu�e odpov�daj�c� pod�ly determinant�. Nev�hodou t�to techniky je, �e vy�aduje mnoho v�po�t�. Jin� nev�hoda nen� obvykle z�ejm�. Pokud ka�d� ��dka m� sv�j vlastn� vektor vah nebo pokud vektor ${\bf b}$ se kombinuje s vektorem chyb, potom vektor ${\bf x}$ m�e b�t daleko od v�ech vektor�

${\bf x}_j$. Nap��klad matice $$\left( \begin{array}{ccccc} 12 & 4 & 3 & 2 & 1\\ 14 & 5 & 5 & 3 & 2\\ 14 & 5 & 5 & 4 & 1\\ 16 & 6 & 6 & 6 & 3\\ 16 & 6 & 8 & 4 & 3 \end{array} \right)$$ m� dob�e definovanou inverzn� matic� a d�v� pro vektor ${\bf b} = (32, 46, 45, 64, 62)^{\rm T}$ jako �e�en� vektor ${\bf x}= (1, 1, 2, 3, 4)^{\rm T}$. Zaveden�m vektoru chyb ${\bf r} = (2, 0, 0, 0, 0) ^{\rm T}$, kter� d�v� vektor ${\bf b} = (34, 46, 45, 64, 62)^{\rm T}$, vektor ${\bf b}$ se zm�n� na $(8.5, -24, 4, 5, 6)^{\rm T}$. To znamen�, �e mal� chyba indukovala chybu vkl�dan�ho vektoru $(7.5, -25, 2, 2, 2)^{\rm T}$, kter� �pln� deformovala spr�vn� vektor, nebo m�lo zm�n�n� zvl�tn� vektor ${\bf x}$ deformoval v�sledek pro cel� svazek s identick�mi vektory. Tato vlastnost vektorov�ch syst�m� je velmi ne��astn�, proto�e nem�eme b�t jisti, pokud nezn�me p�esn� hodnoty, pouze s pou�it�m p�ibli�n�ch hodnot, �e na�e rekonstrukce odpov�d� p�vodn�m hodnot�m. \chapter{matice vzd�lenost�} \label{matice vzd�lenost�} \section{�vod} \label{�vod 17} Vzd�lenosti u� byly zm�n�n�, av�ak nyn� jejich matice budou studov�ny systematicky, s pou�it�m v�ech nich znalost�. M�eme se pohybovat mezi dv�ma body i a j po rozd�ln�ch cest�ch. D�lky cest z�vis� na okolnostech, jako na dostupnosti cest, nebo prost�edc�ch transportu. D�lka cesty mezi body i a j je {\em vzd�lenost} $d_{ij}$. {\em Topologick� matice vzd�lenost�} ${\bf D}$ jsou definov�ny jako matice, jejich� mimodiagon�ln� prvky jsou vzd�lenosti $d_{ij}$. Tyto prvky po��taj� po�et orientovan�ch hran (neorientovan�ch hran) mezi vrcholy i a j v grafu. To je nejmen�� po�et hran nebo orientovan�ch hran, kter� se mus� proj�t na proch�zce nebo cest� mezi ob�ma vrcholy. To je d�le�it� v grafech s cykly, kde existuje v�ce proch�zek nebo cest. Vzd�lenosti mezi nespojit�mi bloky jsou definovan� jako nekone�n�. Takov� matice vzd�lenost� se pou��valy k charakterizaci graf� v teorii graf� a nikdo se nestaral, jak� je v�znam vzd�lenost� z�skan�ch jednoduch�m po��t�n�m hran. Pak se zavedly matice vzd�lenost� m���c� euklidovsk� geometrick� vzd�lenosti odpov�daj�c�ch vrchol� a zavedly se tak� v chemii matice s recipro�n�mi hodnotami vzd�lenost�. Topologick� matice vzd�lenost� ${\bf D}$ grafu m� stejn� jednotkov� prvky jako jeho matice sousedstv� ${\bf A}$. Ob� matice se z�skaj� stejnou operac� popsanou v podkapitole 12.8 z matice koordin�t. Probl�m se demonstruje na p��klad� koordin�t �ty� bod� na vrcholech pravideln�ho �ty�st�nu, nata�en�ho p��mo na osy nebo navinut�ho cik-cak na jednotkovou krychli. Existuj� t�i odpov�daj�c� kvadratick� formy t�� matic koordin�t ${\bf CC}^{\rm T}$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf A} \\ {\bf I}^2 \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B} \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right)\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 3 & 6 & 9 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} \\ \\ {\bf C} \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right)\;. \end{array}

\end{array}$$ P�i n�soben� kvadratick�ch forem t�chto matic koordin�t s r�me�kem ${\bf S}^{\rm T}(*){\bf S}$, kde ${\bf S}^{\rm T}$ je matic� $$\left( \begin{array}{cccccc} -1 &-1& 0 &-1& 0 & 0 \\ 1 &0& -1 & 0 &-1 & 0 \\ 0 & 1& 1 & 0& 0 &-1 \\ 0 & 0& 0 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right)\;,$$ naleznou se vzd�lenosti (rozd�ly koordin�t) mezi �ty�i body v rozd�ln� konfiguraci. Tyto vzd�lenosti se objev� jako {\em diagon�ln� prvky} odpov�daj�c�ch sou�in�. Jsou to $(2, 2, 2, 2, 2, 2)$, $(1, 4, 1, 9, 4, 1)$ a $(1, 2, 1, 3, 2, 1)$. Ve v�ech p��padech tato ��sla jsou �tverce euklidovsk�ch vzd�lenost�. Tyto diagon�ly $\Delta_D$ $n(n-1)/2$ vzd�lenost� se redukuj� do n rozm�rn� �tvercov� matice or�mov�n�m inciden�n� matic� �pln�ho grafu \begin{equation} {\bf S}^{\rm T}\Delta_D{\bf S}= {\bf Q} - {\bf D}\;, \end{equation} kde ${\bf Q}$ je diagon�ln� matice ��dkov�ch nebo sloupcov� sou�t� prvk� vzd�lenost� vrcholu i ke v�em jin�m vrchol�m. Z�porn� mimodiagon�ln� prvky ukazuj� vzd�lenosti mezi odpov�daj�c�mi p�ry vrchol�: $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf A} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 3 & -1& -1& -1\\ -1 & 3 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 3 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 13 & -1 & -4 & -9 \\ -1 & 6 & -1 & -4 \\ -4 & -1 & 6 & -1 \\ -9& -4& -1 & 13 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{c}

${\bf C}$ \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 6 & -1 & -2 & -3 \\ -1 & 4 & -1 & -2 \\ -2 & -1 & 4 & -1 \\ -3 & -2 & -1 & 6 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Prv� matice ${\bf A}$ je identick� s Laplace-Kirchhoffovou matic� �pln�ho grafu $K_4$. Druh� matice ${\bf B}$ odpov�d� �tverc�m Euklidovsk�ch vzd�lenost� mezi koordin�tami ��seln� osy. Mimodiagon�ln� prvky t�et� matice ${\bf C}$ jsou identick� s topologickou matic� vzd�lenost� $L_4$. \section{Vlastnosti matice vzd�lenost�} \label{Vlastnosti matice vzd�lenost�} Topologick� matice vzd�lenost� ${\bf D}$ strom� maj� zaj�mavou vlastnost. Byla objevena dosti ned�vno Rutherfordem. Zjistil, �e ${\bf D}$ je vnit�n� inverzn� matic� kvadratick� formy inciden�n� matice \begin{equation} {\bf S}{\bf D}{\bf S}^{\rm T}= -2{\bf I}\;. \end{equation} \label{S} Rozm�rnost matice vzd�lenost� je sn�ena t�mto or�mov�n�m na rozm�rnost mno�iny orientovan�ch hran $(n-1)$. Prvky prv�ho sou�inu, nap��klad ${\bf D}{\bf S}^{\rm T}$, jsou rozd�ly vzd�lenost� $(BJ - BK) - (AJ - AK)$. Tato diference u acyklick�ch graf� je jen vzd�lenost� mezi vrcholy spojen�mi jedou orientovanou hranou, to znamen�, �e je $\pm 1$, podle orientace orientovan� hrany. V druh�m sou�inu dostaneme op�t diference. V�sledkem je druh� diference, kter� je z�porn�. Interpretujeme toto sch�ma diferenc� jako symptom ortogonality (n-1) orientovan�ch hran ve stromech. Sch�ma diferenc� se v�emi orientovan�mi hranami v �pln�m grafu \begin{equation} {\bf S}_K{\bf D}{\bf S}^{\rm T}_K \end{equation} ur�uje polohy vrchol� v prostoru. P��klady matic vzd�lenost� shora d�vaj� n�sleduj�c� rozd�ly $$\begin{array}{c} ${\bf A}$ \\ \\ \left( \begin{array}{rrrrrr} -2 & -1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -2 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & -2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & -1 & -2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & -2 \end{array}

\right) \end{array}$$ $$\begin{array}{c} ${\bf B}$ \\ \\ \left( \begin{array}{rrrrrr} -2 & -4 & -2 & -6 & -4 & -2\\ -4 & -8 & -4 & -12 & -8 & -4 \\ -2 & -4 & -2 & -6 & -4 & -2 \\ -6& -12& -6 & -18 & -12 & -6\\ -4 & -8 & -4 & -12 & -8 & -4 \\ -2 & -4 & -2 & -6 & -4 & -2 \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{c} ${\bf C}$ \\ \\ \left( \begin{array}{rrrrrr} -2 & -2 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & -4 & -2 & -4 & -4 & -2 \\ 0 & -2 & -2 & -2 & -2 & 0 \\ -2 & -4 & -2 & -6 & -4 & -2 \\ 0 & -2 & -2 & -4 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & -2 & -2 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Anal�za sch�mat diferenc� ukazuje, �e diagon�ln� prvky jsou dvojn�sobky d�lek odpov�daj�c�ch orientovan�ch hran. Mimodiagon�ln� prvky se interpretuj� jako kosiny �hl� mezi odpov�daj�c�mi orientovan�mi hranami: \begin{equation} \cos A = (b^2 + c^2 - a^2)/2bc. \end{equation} \label{cos} Po normalizaci diagon�ln�ch prvk� dostaneme v p��pad� A na diagon�le 1. Mimodiagon�ln� prvky jsou 1, 0, -1. Kdy� se d�l� $2\times1\times1$ daj� $0.5, 0, -0.5$. Tyto hodnoty jsou kosiny $60^0, 90^0$ a $120^0$. To jsou �hly mezi hranami v pravideln�m �ty�st�nu. Po normalizaci diagon�ln�ch prvk� dostaneme v p��pad� B na diagon�le vzd�lenosti 1, 4 a 9. Jejich odmocniny jsou 1, 2 a 3, vzd�lenosti na p��mce. Mimodiagon�ln� prvky jsou $-2,\ -4,\ -6,\ -8,$ a $-12$. Kdy� se d�l� odpov�daj�c�mi diagon�ln�mi prvky jako $2\times1\times1$, $2\times1\times2$, $2\times1\times3$, 2\times2\times2$ a $2\times2\times3$, pod�l je v�dy 1. To je kosinus $0^0$, v�echny vzd�lenosti mezi body jsou koline�rn�. To odpov�d� konfiguraci p��mky. V p��pad� B dostaneme na diagon�le po normalizaci diagon�ln�ch prvk� 1, 2 a 3. Jedna je strana krychle, odmocnina 2 je diagon�la jej� strany a odmocnina 3 je jej� vnit�n� diagon�la. Mimodiagon�ln� prvky jsou $0,\ -2,$ a $-4$. Jsou d�leny odpov�daj�c�mi diagon�ln�mi prvky jako $2\times1\times\sqrt{2}$, $2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}$ a $2\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}$. To jsou kosiny $35.26^0, 45^0$ a $90^0$. To jsou �hly mezi orientovan�mi hranami v 3 rozm�rn�

krychli, jak je pot�eba. \section{Ulo�en� graf�} \label{Ulo�en� graf�} Pokud interpretujeme vzd�lenosti p�es orientovan� hrany jako �tverce euklidovsk�ch geometrick�ch vzd�lenost�, potom m�eme studovat konfigurace graf� ulo�en�ch do grafov�ho prostoru. T�i konfigurace line�rn�ho �et�zce u� byly zm�n�n�. Topologick� konfigurace strom� se z�skaj� z k�dov� matice a v�echny orientovan� hrany ve stromech jsou ortogon�ln�. Konformace cykl� se sud�m po�tem vrchol� jsou zaj�mav�. Cykl $C_4$ tvo�� �tverec, ka�d� z jeho �ty� orientovan�ch hran je ortogon�ln� se sv�mi ob�ma sousedkami a koline�rn� se �tvrtou orientovanou hranou $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf D}_{C_{4}} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf S}{\bf D}_{C_{4}}{\bf S}^{\rm T} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} -2 & 0 & 2 & 0\\ 0& -2 & 0 & 2\\ 2& 0& -2 & 0\\ 0 & 2 & 0& -2 \end{array} \right)\;. \end{array} \end{array}$$ Cykl $C_4$ ohnut� na pravideln� �ty�st�n s matic� vzd�lenost� odpov�daj�c� matici vzd�lenost� �pln�ho grafu $K_4$ d�v� jin� maticov� �hly. Soused�c� orientovan� hrany tvo�� 60-stup�ov� �hly a ka�d� orientovan� hrana je ortogon�ln� ke sv� protilehl� orientovan� hran�. Ty tvo�� p�r, kter� nem� ��dn� spole�n� vrchol. $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf D}_{K_{4}} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1& 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0

\end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf S}{\bf D}_{K_{4}}{\bf S}^{\rm T} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} -2 & 1 & 0 & 1\\ 1& -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 &-2 & 1\\ 1 & 0 & 1 &-2 \end{array} \right)\;. \end{array} \end{array}$$ \begin{figure} \caption{T�i um�st�n� cyklu $C_6$} \label{T�i um�st�n� cyklu $C_6$} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(180.00,60.00) \put(10.33,10.00){\circle{4.00}} \put(30.00,9.67){\circle{4.00}} \put(10.33,30.00){\circle{4.00}} \put(30.00,29.67){\circle{4.00}} \put(25.33,25.00){\circle{4.00}} \put(45.00,24.67){\circle{4.00}} \put(25.33,45.00){\circle{4.00}} \put(45.00,44.67){\circle{4.00}} \put(70.67,10.00){\circle{4.00}} \put(90.33,9.67){\circle{4.00}} \put(70.67,30.00){\circle{4.00}} \put(90.33,29.67){\circle{4.00}} \put(85.67,25.00){\circle{4.00}} \put(105.33,24.67){\circle{4.00}} \put(85.67,45.00){\circle{4.00}} \put(105.33,44.67){\circle{4.00}} \put(130.33,10.00){\circle{4.00}} \put(150.00,9.67){\circle{4.00}} \put(130.33,30.00){\circle{4.00}} \put(150.00,29.67){\circle{4.00}} \put(145.33,25.00){\circle{4.00}} \put(165.00,24.67){\circle{4.00}} \put(145.33,45.00){\circle{4.00}} \put(165.00,44.67){\circle{4.00}} %\emline(10.33,9.67)(10.33,30.00) \put(10.33,9.67){\line(0,1){20.33}} %\end %\emline(10.33,30.00)(25.00,44.67) \multiput(10.33,30.00)(0.12,0.12){123}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(25.00,44.67)(45.00,44.67) \put(25.00,44.67){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(45.00,44.67)(45.00,25.00) \put(45.00,44.67){\line(0,-1){19.67}} %\end

%\emline(45.00,25.00)(30.33,10.00) \multiput(45.00,25.00)(-0.12,-0.12){123}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(30.33,10.00)(10.33,10.00) \put(30.33,10.00){\line(-1,0){20.00}} %\end \put(70.67,10.00){\line(0,1){20.33}} %\end %\emline(70.67,30.00)(86.00,44.67) \multiput(70.67,30.00)(0.12,0.12){123}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(86.00,44.67)(105.33,44.67) \put(86.00,44.67){\line(1,0){19.33}} %\end %\emline(105.33,44.67)(90.67,29.67) \multiput(105.33,44.67)(-0.12,-0.12){123}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(90.67,29.67)(90.67,10.00) \put(90.67,29.67){\line(0,-1){19.67}} %\end %\emline(90.67,10.00)(70.67,10.00) \put(90.67,10.00){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(130.33,9.67)(145.67,25.33) \multiput(130.33,9.67)(0.12,0.12){128}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(145.67,25.33)(145.67,44.67) \put(145.67,25.33){\line(0,1){19.33}} %\end \put(4.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(3.67,29.67){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(25.00,52.33){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(45.00,52.33){\makebox(0,0)[cc]{4}} \put(51.00,20.33){\makebox(0,0)[cc]{5}} \put(38.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{6}} \put(62.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(62.33,30.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(85.67,52.33){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(105.33,52.33){\makebox(0,0)[cc]{4}} \put(97.33,29.67){\makebox(0,0)[cc]{5}} \put(97.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{6}} %\emline(145.67,44.67)(165.00,44.67) \put(145.67,44.67){\line(1,0){19.33}} %\end %\emline(165.00,44.67)(165.00,24.33) \put(165.00,44.67){\line(0,-1){20.33}} %\end %\emline(165.00,24.33)(150.33,10.00) \multiput(165.00,24.33)(-0.12,-0.12){120}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(150.33,10.00)(130.33,10.00) \put(150.33,10.00){\line(-1,0){20.00}} %\end \put(121.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(157.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(170.67,24.33){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(165.00,52.33){\makebox(0,0)[cc]{4}} \put(145.67,52.33){\makebox(0,0)[cc]{5}}

\put(137.67,24.67){\makebox(0,0)[cc]{6}} \end{picture} \end{figure} Existuj� t�i um�st�n� cyklu $C_6$ na vrcholy 3 rozm�rn� krychle. Prv� je identick� s obvyklou topologickou matic� vzd�lenost� vede ke t�em koline�rn�m p�r�m ortogon�ln�ch orientovan�ch hran $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf D}_{C_{6}} \\ \\ \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 2\\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf S}{\bf D}_{C_{6}}{\bf S}^{\rm T} \\ \\ \left( \begin{array}{cccccc} -2& 0 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0& -2& 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 &-2 & 0 & 0 & 2\\ 2 & 0 & 0 &-2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 &-2 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 &-2 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Dva jin� tvary $C_6$ maj� n�kter� vzd�lenosti krat�� a vedou k jin�mu uspo��d�n� koline�rn�ch orientovan�ch hran. $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf D}_{C_{6}} \\ \\ \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1& 2& 3 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 2\\ 2 & 1& 0 & 1 & 2 & 1\\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c}

{\bf S}{\bf D}_{C_{6}}{\bf S}^{\rm T} \\ \\ \left( \begin{array}{cccccc} -2 & 0& 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 &-2 & 0 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 &-2 & 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 0& -2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 &-2 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 &-2 \end{array} \right)\;. \end{array} \end{array}$$ Koline�rn� orientovan� hrany v t�et� konformaci $C_6$ jsou (1-2 -- 4-5), (2-3 -1-6) a (3-4 -- 5-6). Rovinn�ch konformace $C_6$ m� n�sleduj�c� matici a v�slednou matici �hl� mezi vazbami $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf D}_{C_{6}} \\ \\ \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 3 & 4 & 3 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 3 & 4 & 3\\ 3 & 1 & 0 & 1 & 3 & 4\\ 4 & 3 & 1 & 0 & 1 & 3\\ 3 & 4 & 3 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 4 & 3 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf S}{\bf D}_{C_{6}}{\bf S}^{\rm T} \\ \\ \left( \begin{array}{cccccc} -2 &-1 & 1 & 2 & 1& -1\\ -1 &-2 &-1 & 1 & 2& 1\\ 1 &-1 &-2& -1 & 1& 2\\ 2 & 1 &-1 &-2& -1& 1\\ 1 & 2 & 1 &-1 &-2 &-1\\ -1 & 1 & 2 & 1 &-1 &-2 \end{array} \right)\ \end{array} \end{array}$$ kde �hly jsou $120^0$, $60^0$, $180^0$, $300^0$ a $240^0$. Lich� cykly maj� ka�dou orientovanou hranu ortogon�ln� ke sv�m soused�m na obou stran�ch, av�ak p�r jej�ch protilehl�ch hran tvo�� k n� $60^0$. Tato konformace se z�sk� oto�en�m dvou n�sledn�ch prav�ch �hl� o $60^0$ k dan� orientovan� hran�. V�sledek se objev� u orientovan� hrany uzav�raj�c� cykl.

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf D}_{C_7} \\ \\ \left( \begin{array}{ccccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 3 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 3 & 2\\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 3\\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf S}{\bf D}_{C_{7}}{\bf S}^{\rm T} \\ \\ \left( \begin{array}{ccccccc} -2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0& 0\\ 0 &-2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 &-2 & 0 & 0& 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 &-2 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 &-2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 &-2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 &-2 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Matice vzd�lenost� �pln�ch graf� $K_n$ se mohou vyj�d�it jako ${\bf D} = n{\bf JJ}^{\rm T}- {\bf I}$. Sou�in je ${\bf SJJ}^{\rm T}{\bf S}^{\rm T}= {\bf 0}$. Tedy \begin{equation} {\bf SD}_K{\bf S}^{\rm T}= -{\bf SS}^{\rm T}\;. \end{equation} Vn�j�� sou�in inciden�n� matice grafu s jednoduch�mi orientovan�mi hranami m� na diagon�le 2. Mimodiagon�ln� prvky jsou bu� 0, pokud orientovan� hrany nemaj� jak�koliv spole�n� vrchol, nebo 1, pokud se dv� orientovan� hrany st�kaj� ve vrcholu. Kosinus $60^0$ je 0.5. Tedy v �pln�ch grafech se objevuj� rovnostrann� struktury. $K_3$ je rovnostrann� troj�heln�k, $K_4$ je rovnostrann� �ty�st�n. �est orientovan�ch hran rovnostrann�ho �ty�st�nu tvo�� t�� p�ry ortogon�ln�ch orientovan�ch hran. Kvadratick� formy �pln�ch graf� se mohou formulovat v blokov� form� s postupn�m pou�it�m $(n -1)$ �pln�ho grafu a jednotkov�ch vektor� $$\begin{tabular}{rr|rr} & & \ ${\bf S}^{\rm T}$ & $-{\bf I}$\\ & & ${\bf 0}$ & ${\bf J}^{\rm T}$\\ \hline & & & \\ ${\bf S}$ & ${\bf 0}$ & ${\bf SS}^{\rm T}$ & $-{\bf S}$\\

-${\bf I}$ & ${\bf J}$ & ${\bf -S}^{\rm T}$ & ${\bf I + JJ}$ \end{tabular}$$ P�i zv�t�ov�n� rozm�ru �pln�ho grafu se bude objevovat $(n - 3)$ ortogon�ln�ch orientovan�ch hran ke ka�d� p�vodn� orientovan� hran�. Kdy� vlo��me matici vzd�lenost� hv�zdy zako�en�n� v n-t�m vrcholu do ${\bf SS}^{\rm T}$ �pln�ho grafu, potom dostaneme pro graf hv�zdy sou�in \begin{equation} \begin{array}{ccc} {\bf S}_K{\bf DS}_K^{\rm T} & = & \left( \begin{array}{cc} 2{\bf SS}^{\rm T} & -2{\bf S}\\ -2{\bf S} & -2{\bf I} \end{array} \right) \end{array} \end{equation} Orientovan� hrany hv�zdy jsou ortogon�ln�. orientovan�ch hran spojuj�c� sv� voln� vrcholy maj� dvojit� d�lky (na diagon�le se objevuj� �ty�ky). Tyto orientovan� hrany jsou diagon�ly odpov�daj�c�ch �tverc�. To lze zkontrolovat v�po�tem kosin�. $2/8^{1/2}$ je kosinem $45^0$. P��m� verifikace je mo�n� pouze pro $K_5$ s t�emi ortogon�ln�mi osami. \section{Vlastn� hodnoty a vlastn� vektory} \label{Vlastn� hodnoty a vlastn� vektory} Matice vzd�lenost� p��m�ch �et�zc� maj� 3 nenulov� vlastn� hodnoty: $W+a$, -a a $W$, kde $W$ je topologick� Wienerovo ��slo ${ n+1 \choose 3}$. Vlastn� hodnota a m� n�sleduj�c� hodnoty $$\begin{tabular}{|r|rrrrrrr|} \hline n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline & 0 & 0.4495& 1.4031 & 3.0384 & 5.7272 & 9.0405 & 13.7494 \\ \hline \end{tabular}$$ Vlastn� vektor nejmen�� vlastn� hodnoty W m� prvky $v_j = -1 + 2(j - 1)/(n - 1)$, kter� v�� n n�sledn�ch �tverc� ��sel k od $-(n-1)$ a� po $(n - 1)$. To vede ke kombinatorick� identit� \begin{equation} \sum_{k=0}^{n/2}\;[1 - 2k/(n-1)][(n-1-k-x)^2 - (k-x)^2] = 1 - 2x/(n-1) \end{equation} kde x jde od 0 a� k $(n - 1)$. Pokud p��r�stky �et�zce jsou dva vrcholy, potom zm�na mezi n�sledn�mi po�ty d�v� mo�nost pou��t �plnou indukci $$\begin{tabular}{|rr|rr|} \hline & & $ 7/7 \times (25 - 4) =$ & 21 \\ $5/5 \times (16 - 1) = $ & $75/5$ & $ 5/7 \times (16 - 1) =$

& $75/7$ \\ $ 3/5 \times (9 - 0) =$ & $27/5$ & $ 3/7 \times (9 - 0) =$ & $27/7$ \\ $1/5 \times (4 - 1) =$ & $ 3/5$ & $1/7 \times (4 - 1) =$ &$ 3/7$ \\ \hline & $ 105/5 $ & & $21 + 105/7$ \\ \hline \end{tabular}$$ kter� je ov��en� p��m�mi v�po�ty. Pro x = 0, identita se zjednodu�uje na \begin{equation} \sum_{k=0}^{n/2}\;(n-1-2k)^2 = { n+1 \choose 3}\;. \end{equation} Vlastn� hodnota $a$ u p��m�ch �et�zc� je vytvo�ena rovinnou reflex� (prvky vlastn�ho vektoru jsou symetrick� podle st�edu �et�zce) se z�sk� rota�n�m tenzor \begin{equation} b = ( + W/2) = [\Sigma d^4 - 3/4W^2]^{1/2}\;. \end{equation} D�kaz je jednoduch�. Sou�et �tverc� vlastn�ch hodnot mus� b�t rovn� stop� �tverce matice. To znamen�, �e s dvojit�m sou�tem hodnot $d^4$ \begin{equation} (1/2 W + a)^2 + W^2 + ( - 1/2 W)^2 = 2\Sigma d^4 \end{equation} �e�en� kvadratick� rovnice d� v�sledek. �ty�i vlastn� hodnoty (v�etn� nulov�) se mohou vyj�d�it jako $W/2 \pm(b\ {\rm nebo}\ W/2)$. M�eme porovnat t�i nenulov� vlastn� hodnoty p��m�ch line�rn�ch �et�zc� s t�emi odli�n�mi vlastn�mi hodnotami topologick� matice vzd�lenost� hv�zd. Kladn� vlastn� hodnoty jsou sou�tem v�ech z�porn�ch vlastn�ch hodnot. Existuje $(n - 2)$ vlastn�ch hodnot $-2$ a speci�ln� vlastn� hodnota \begin{equation} -a = (n - 2)/2 + [n^2 - 3n + 3]^{1/2}\;. \end{equation} Odpov�daj�c� vlastn� vektory pro hv�zdy zako�en�n� v $v_1$ jsou $$\begin{array}{ccccc} & 1 & 1 & 1 & $\ldots$ \\ 0 & 1 & -1/(n-2) & -1/(n-2) & $\ldots$ \\ 1 & -a/(n-1)& -a/(n-1) & -a/(n-1) & $\ldots $ \end{array}$$ V d�sledku monotonnosti matice vzd�lenost� se snadno naleznou v�echny sou�iny. Vlastn� hodnota $a$ se z�sk� jako �e�en� kvadratick� rovnice \begin{equation} a^2 + 2(n-2)a -(n-1) = 0\;. \end{equation} Rovinn�ch konformace $C_6$ m� n�sleduj�c� vlastn� hodnoty: $ 12, 0, 0, 0, -6,

-6,$, ve srovn�n� s dv�ma konformacemi $C_6$ ulo�en�mi na krychli $9, 0, 0, -1, -4, -4$ a $8.424, 0, 0, -1.424, -3, -4$ (dv� permutace s men��mi vzd�lenostmi). Maxim�ln� vlastn� hodnota sud�ch rovinn�ch cykl� na kruhu jednotkov�m polom�rem je $2n$ a jej� vlastn� vektor je jednotkov� vektor (toto odpov�d� $2n/4$ pro topologick� matice vzd�lenost�). Sud� vzd�lenosti na kru�nici tvo�� pravo�hl� troj�heln�ky nad pr�m�rem jako p�eponou a jejich p�ry se se��taj� na 4. \section{Zobecn�n� matice vzd�lenost�} \label{Zobecn�n� matice vzd�lenost�} Jinou matic� p�i definov�n� grafu je matice sousedstv� ${\bf A}$, kter� m� identick� jednotkov� prvky jako matice vzd�lenost� a nulov� prvky na m�stech, kde $d_{ij}$ jsou v�t�� ne� 1. Je mo�n� formulovat mno�iny zobecn�n�ch matic vzd�lenost� ${\bf D}^k}$ kde k je mocnina topologick� vzd�lenosti $d_{ij}$. Potom matice sousedstv� ${\bf A}$ se objevuje jako zobecn�n� matice vzd�lenost� ${\bf D}^-\infty}$, co� je nekone�n� inverzn� mocnina vzd�lenost�. Matice $({\bf JJ}^{\rm T}- {\bf I})$ (jinak matice vzd�lenost� �pln�ho grafu) je tedy matic� vzd�lenost� ${\bf D^0}$. Zm�ny vlastn�ch hodnot a vlastn�ch vektor� mezi matic� sousedstv� ${\bf A}$ a matic� vzd�lenost� ${\bf D}$ jsou potom kontinu�ln� transformac� vytvo�enou mocninami dan�ch vzd�lenost� nebo v n�kter�ch p��padech zm�nami geometrick� konformace. Budeme studovat n�kter� speci�ln� p��klady. \subsection{Zvl�tn� p��pady: Line�rn� �et�zce} \label{Zvl�tn� p��pady: Line�rn� �et�zce} Jako prvn� p��klad pou�ijeme line�rn� �et�zce, kter� existuj� ve tvaru pevn�ch ty��. Bylo zji�t�no, �e pro vyj�d�en� t�to geometrick� vlastnosti je nutn� a dosta�uj�c� ps�t vzd�lenosti $d_{ij}$ jako �tverce line�rn�ch vzd�lenost�. Topologick� matice vzd�lenost� je potom pr�v� druhou mocninou geometrick� matice vzd�lenost� line�rn�ho �et�zce ohnut�ho na vrcholy n rozm�rn� jednotkov� krychle. Jejich line�rn� vzd�lenosti jsou �tverce odpov�daj�c� $d_{ij}$ na diagon�l�ch v n rozm�rn� krychli. V tabulce 1 jsou zobrazeny vlastn� hodnoty rozd�ln�ch mocnin matice vzd�lenost� $L_5$ v tabulkov� form�. Tento �et�zec je dosti dlouh�, aby se uk�zaly hlavn� vlastnosti takov� soustavy, kde druh� mocniny geometrick� matice vzd�lenost� maj� v�dy pouze 3 nenulov� vlastn� hodnoty. \begin{table} \caption{Vlastn� hodnoty d* ${\bf D}^k$ matic line�rn�ho �et�zce $L_5$} \label{Vlastn� hodnoty d* line�rn� �et�zec} \begin{tabular}{|c|lllll|} \hline Distance mocniny & & & & & \\ \hline j &1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline $-\infty$ & 1.7321 & 1 & 0 & -1 & -1.7321\\ -2 & 2.1109 & 0.7376 & -0.3024 &-1.0501 & -1.4960 \\ -1 & 2.6166 & 0.3036 & -0.5607 &-1.0536 & -1.3056 \\ -1/2 & 3.1292 &-0.1686 & -0.7526 &-1.0387 & -1.1649 \\ 0 & 4 &-1 & -1 &-1 & -1 \\ 1/2 & 5.5279 &-0.7959 & -0.9187 &-1.3178 & -2.4955 \\ 1 & 8.2882 &-0.5578 & -0.7639 &-1.7304 & -5.2361 \\ 2 &23.0384 & 0 & 0 &-3.0384 & -20 \\

3 &77.1665 & 2.2099 & 0.5776 &-5.7441 &-74.2099 \\ \hline \end{tabular} \end{table} V�echny diagon�ln� prvky matic vzd�lenost� jsou nulov� a tedy sou�ty vlastn�ch hodnot mus� b�t tak� nuly. Je u� dob�e zn�mo, �e vlastn� hodnoty matic sousedstv� line�rn� �et�zce jsou $2\cos(2k \pi/n+1)$, tvo�� vlnu. Vlastn� hodnoty matice sousedstv� tvo�� nejni��� limitu k vlastn�m hodnot�m matice vzd�lenost� se z�porn�mi mocninami k. Nejv�t�� vlastn� hodnota kontinu�ln� roste s rostouc� mocninou k. Jin� vlastn� hodnoty maj� p�i $k = 0$ p�l. V�echny z�porn� vlastn� hodnoty jsou -1. Pro nez�porn� vlastn� hodnoty je ${\bf A}$ minim�ln� vyjma nejni��� vlastn� hodnoty. Ta m� zde sv� maximum. T�et� singularita vznik�, kdy� mocnina $k = 2$. V�dy existuj� pouze t�� nenulov� vlastn� hodnoty. Tedy funk�n� vztah \begin{equation} \lambda_j = f(k) \end{equation} m� t�i odli�n� oblasti, jejich� parametry lze nal�zt line�rn�mi regresemi. Topologick� matice vzd�lenost� �et�zce, kde po�ty orientovan�ch hran p�edstavuj� vzd�lenosti mezi vrcholy, p�edstavuje bu� prvn� momenty geometrick� matice vzd�lenost� pevn� ty�e, nebo sou�asn� geometrickou matic� �tverc� vzd�lenost� v line�rn�m �et�zci ulo�en�m na n rozm�rn� jednotkov� krychli. Existence singularity p�i $k = 2$ je dan� symetrii pevn�ch ty��. Momenty podle d�lky jej�ch os jsou 0. T�i nenulov� vlastn� hodnoty lze ztoto�nit s prvky symetrie jak je uk�zan� v podkapitole \ref{Vlastn� hodnoty a vlastn� vektory}. Vlastn� vektory vzd�lenost� jsou dosti zaj�mav� p�i jak�chkoliv k. Jsou obvykle symetrick� podle st�edu, vyjma nulov�ch vlastn�ch vektor� p�i $k = 2$, a degenerovan�ch $-1$ vlastn�ch vektor� p�i $k = 0$, kter� jsou asymetrick�. Symetrie m�e b�t zrcadlov� ($v_j = v_{n-j}$, zna�en� jako $\sigma$), nebo rota�n� ($v_j = v_{n-j}$, zna�en� jako C). Tyto symetrie se st��daj� pro kladn� a z�porn� mocniny k: $$\begin{tabular}{|l|ccccc|} \hline Vlastn� vektor & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline k z�porn� & $\sigma$ & C & $\sigma$ & C & $\sigma$\\ \hline \end{tabular}$$ Kladn� nenormalizovan� vlastn� vektor je deformovan� jednotkov� vektor sloupec (��dka). V matici sousedstv� ${\bf A}$ jsou hodnoty odpov�daj�c� jednotkov�mu vektoru sn�en� na obou konc�ch, pro kladn� mocniny vzd�lenost� k jsou sn�en� ve st�edu. Fakt, �e topologick� matice vzd�lenost� stejn� jako geometrick� matice vzd�lenost� line�rn�ho �et�zce m� n r�zn�ch nenulov�ch vlastn�ch hodnot je konsistentn� vysv�tlena jejich rozm�rnost�. Maj� p��li� mnoho prvk� symetrie, aby byly ulo�eny ve 3 rozm�rech, kde jsou dosta�uj�c� t�i nenulov� vlastn� hodnoty. \subsection{Zvl�tn� p��pady: Cykl $C_4$} \label{ Zvl�tn� p��pady: Cykl C_4$}

Jin� v�jime�n� p��pad je cykl $C_4$, kter� lze ohnout z tvaru pravideln�ho �ty�st�nu na rovinn� �tverec zv�t�en�m dvou vzd�lenost� nebo na ty� jejich rovnom�rn�m sn�en�m. Jeho topologick� matice vzd�lenost� je tedy nerozli�iteln� od druh� mocniny geometrick� matice vzd�lenost� �tverce a matice $[{\bf JJ}- {\bf I}] $ je jedou z mo�n�ch geometrick�ch konformac� (podobn� jako u �et�zce $L_4$, av�ak matice sousedstv� jsou zde rozd�ln�). P�i cyklu $C_4$ je matice sousedstv� ${\bf A}$ sou�asn� matic� vzd�lenost� tohoto cyklu, kdy� vrcholy 1 a 3 i 2 a 4 jsou ztoto�n�ny a cykl se slo��. Pokud vzd�lenosti 1 a 3 i 2 a 4 nejsou stejn�, je tak� mo�n� srovnat v�echny orientovan� hrany tohoto cyklu do p��mky. Vlastn� hodnoty odpov�daj�c� prvk�m matice vzd�lenosti $d_{ij}$ se z�skaj� jednodu�e p�i�ten�m nebo ode�ten�m vzd�lenosti $d_{ij}$ od vlastn�ch hodnot ${\bf A}$ \begin{table} \caption{Vlastn� hodnoty d* cyklu $C_4$ a ${\bf D}^k$ matic} \label{Vlastn� hodnoty d* cyklu $C_4$} \begin{tabular}{|r|llll|} \hline Vlastn� hodnoty {\bf A}& 2 & 0 & 0 & -2 \\ Zm�ny vzd�lenost� & +d & -d &-d & +d \\ P��klady: $d^2_{ij}$ 0.25 & 1.75 & -0.25 & -0.25 & -1.75 \\ 1 & 3 & -1 & -1 & -1 \\ 1.414 & 3.414 & -1.414 &-1.414 & -0.586 \\ 2 & 4 & -2 & -2 & 0 \\ 4 & 6 & -4 & -4 & 2\\ 8 & 10 & -8 & -8 & 6 \\ \hline Z�porn� vzd�lenosti -1 & 1 & 1 & 1 & -3 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Toto sch�ma vede k zm�n� po�ad� vlastn�ch hodnot. Druh� vlastn� hodnota se z�sk� pro kladn� k jako �tvrt�. Vzd�lenost 8 je geometricky nemo�n�, mus� to tedy b�t �est� moment vzd�lenosti $\sqrt{2}$. Z�porn� vzd�lenosti lze interpretovat jako �tverce vzd�lenost� v komplexn� rovin�. V�echny matice vzd�lenost� $C_4$ maj� stejnou mno�inu vlastn�ch vektor�, odpov�daj�c� Vierergruppe: $$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{array} \right)$$ Pokud slo��me $C_4$ jako romboid, dostaneme diagon�ly rozd�ln�ch d�lek. Jejich �tverce se op�t objev� jako vlastn� hodnoty, av�ak ve slo�it�m vzoru, jako v tomto p��klad�

\begin{table} \caption{Vlastn� hodnoty d* ${\bf D}^k$ matic rombick�ho cyklu $C_4$} \label{Vlastn� hodnoty d* rombick�ho cyklu} \begin{tabular}{|ll|llll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{Vzd�lenosti} & & & & \\ $d^2_{13}$ & $d^2_{24}$ & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 3 & 1 & $2+5^{1/2}$ & -3 & -1 & $2-5^{1/2}$ \\ 4 & 0 & $2+8^{1/2}$ & -4 & 0 & $ 2-8^{1/2}$ \\ 1 & 0 & $(1+17^{1/2})/2$ & -1 & 0 & $(1-17^{1/2})/2$ \\ \hline \end{tabular} \end{table} Druh� p��pad je extr�mn�, v�echny vrcholy le�� na p��mce. T�et� p��pad p�edstavuje dv� dvojn� vazby nato�en� o $60^0$, nebo matici sousedstv� grafu na obr. 13.2 b, nebo matici vzd�lenost� jedn� jeho konformace. Vlastn� vektory jsou tak� deformovan�, jdou op�t k ni���m hodnot�m a k vy���m hodnot�m (v t�et�m p��pad� je to 0.7808) a maj�c� nulov� hodnoty, kter� jsou mo�n� tak� pro jin� konformace nebo momenty: $$\left( \begin{array}{cccc} 0.6180 (0.4142)& 1 & 0.6180 (0.4142)& 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & - 0.6180 (0.4142) &1 & - 0.6180 (0.4142) \end{array} \right)$$ Existuje tak� t�et� deformace cyklu $C_4$, odpov�daj�c� zm�n�m dvou vzd�lenost�. �tverec se transformuje v obd�ln�k nebo je cykl tvo�en ze dvou �et�zc� $L_2$. Zde se objevuje nulov� vzd�lenost jak se m�n� permutovan� matice sousedstv�: $$\begin{tabular}{|r|rrrr|} \hline Vzd�lenosti $d^2$ & \multicolumn{4}{|c|}{Vlastn� hodnoty}\\ \hline 0 & 2 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & -2 & -2 \\ 4 & 10 & 0 & -2 & -8 \\ 8 & 18 & 0 & -2 &-16 \\ \hline \end{tabular}$$ V�echny vlastn� vektory z�st�vaj� stejn� jako u $C_4$. Lze se domn�vat, �e topologick� matice vzd�lenost� grafu sest�vaj�c�ho se ze dvou slo�ek $L_2$ m� dv� nekone�n� vlastn� hodnoty, jin� dv� jsou 0 a $-2$. To vypl�v� z vlastn�ch vektor�, kter� z�st�vaj� identick� bez ohledu na vzd�lenosti obou slo�ek. Vlastn� hodnoty jsou op�t ur�eny prvky symetrie. Nenulov� vlastn� hodnoty jsou t�i pro �tverec a dv� pro konfigurace odpov�daj�c� $L_2$. \subsection{Zvl�tn� p��pady: Dva cykly $C_4$ (krychle)} \label{ Zvl�tn� p��pady: Dva cykly $C_4$ (krychle)}

Zde budeme studovat vytvo�en� krychle ze dvou cykl� $C_4$. Matice sousedstv� dvou cykl� $C_4$ lze zapsat podobn� jako pro dva �et�zce $L_2$ v blokov� form� jako $$\left( \begin{array}{cc} {\bf C} & {\bf 0}\\ {\bf 0} & {\bf C} \end{array} \right)$$ Matice sousedstv� krychle je $$\left( \begin{array}{cc} {\bf C} & {\bf I} \\ {\bf I} & {\bf C} \end{array} \right)$$ Matice vzd�lenost� dvou �tverc� m� tvar $$\left( \begin{array}{cc} {\bf D} & ({\bf D}+d{\bf JJ}^{\rm T}) \\ ({\bf D}+d{\bf JJ}^{\rm T}) & {\bf D} \end{array} \right)$$ Odpov�daj�c� vlastn� hodnoty jsou v tabulce. Dal�� �ty�i vlastn� hodnoty jsou bu� nulov�, nebo maj� stejn� hodnoty se z�porn�mi znam�nky \begin{table} \caption{Vlastn� hodnoty dvou jednotkov�ch �tverc� ve vzd�lenosti $d^2$} \label{Vlastn� hodnoty dvou jednotkov�ch �tverc� ve vzd�lenosti $d^2$} \begin{tabular}{|l|rrrr|} \hline Vlastn� hodnota & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline Vzd�lenost & & & & \\ \hline {\bf A}(krychle) & 2.618 & 1.618 & 0.618 & 0.382\\ {\bf A}[2C(4)] & 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & -4 & -4 \\ 1 & 12 & -4 & -4 & -4 \\ 4 & 24 & -16 & -4 & -4 \\ 8 & 40 & -32 & -4 & -4 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Vlastn� hodnoty dvou na sebe polo�en�ch �tverc� v nulov� vzd�lenosti jsou pr�v� zdvojen� vlastn� hodnoty jednoho �tverce. T�et� vzd�lenost se p�id�v� �ty�ikr�t k prvn� vlastn� hodnot� a ode��t� se �ty�ikr�t od druh�. Zd� se, �e existuje vzor, jak se tvo�� spektrum m��kov�ho grafu. Spektrum p��m�ho �et�zce $L_3$ je $5.416, 0, -1.416, -4$. Spektrum �tvercov� m��ky tvo�en� t�emi $L_3$ je $25.416, -12, -1.416, -12$, zat�m co 3 ztoto�n�n� $L_3$ maj� spektrum

$13.348, -1.348, -12$. To je $3\times (4.449, -0.449, -4)$, vlastn� hodnoty $L_3$. Vlastn� hodnoty odpov�daj�c� momentu reflexe se lehce zm�nily. Zobecn�n� matic vzd�lenost� ${\bf D}^k$ na matice sousedstv� je dvojzna�n� pro topologick� matice vzd�lenost� graf�, kter� jsou ulo�en� rozd�ln� od sv� standardn� konfigurace. Nap��klad na krychli lze ulo�it mnoho rozd�ln�ch graf�. Jejich matice sousedstv� jsou subgrafy krychle. \section{Neline�rn� a z�porn� vzd�lenosti} \label{Neline�rn� a z�porn� vzd�lenosti} Bylo obvykl� pou��vat libovoln� vzd�lenosti v matic�ch vzd�lenost�, jako v probl�mu obchodn�ho cestuj�c�ho. Pokud po�adujeme, aby vzd�lenosti v matici vzd�lenost� byly �tverci euklidovsk�ch vzd�lenost�, potom je nutn� naleznout interpretaci pro matice, kde vzd�lenosti jsou del�� nebo krat�� ne� mo�n�. Jednoduchou interpretac� del��ch vzd�lenost� je, �e p�edstavuj� cestu se zat��kami. Zde se objevuje nov� probl�m, v tenzoru ${\bf SDS}^{\rm T}$ se objevuj� mimodiagon�ln� prvky, kter� d�vaj� kosiny �hl� mezi orientovan�mi hranami v�t�� ne� 1. Nap��klad n�sleduj�c� matice: $$\begin{array}{cccc} \left( \begin{array}{ccc} 0 &1 &4\\ 1 &0 &1\\ 4 &1 &0 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1& 5\\ 1 & 0& 1\\ 5 & 1& 0 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 6\\ 1 & 0& 1\\ 6 & 1 & 0 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 10\\ 1 & 0 & 4\\ 10 & 4 & 0 \end{array} \right) \end{array}$$ d�vaj� odpov�daj�c� tensory $$\begin{array}{cc}

\left( \begin{array}{ccc} -2 & -4 & -2\\ -4 & -8 & -4\\ -2 & -4 & -2 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} -2 & -5 & -3\\ -5 & -10& -5\\ -3 & -5& -2 \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{cc} \left( \begin{array}{ccc} -2 & -6 & -4\\ -6 & -12& -6\\ -4 & -6 & -2 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} -2 & -7 & -5\\ -7& -20 & -13\\ -5& -13 & -8 \end{array} \right) \end{array}$$ Pokud je p�epona del�� ne� �tverce odv�sen, mimodiagon�ln� prvky odpov�daj�c� kosin�m jsou projekce jej� odmocniny na odv�sny. To se jev�, jako kdyby byly prodlou�eny, aby odpov�daly sv� p�epon�. Pokud odv�sny nejsou stejn�, dekompozice jsou nestejn�. Nap��klad $$1.1180 + 1.1180 = 5^{1/2}\;,$$ $$1.1068 + 2\times1.0277 = 3.1622 = 10^{1/2}\;.$$ Pouze ��st odpov�daj�c� jednotkov� d�lce se objevuje ve v�sledku. Pravidlo pro dekompozice je op�t teor�m kosin� (\ref{cos}). To plat� i pro z�porn� vzd�lenosti, kter� lze p��padn� interpretovat jako �tverce vzd�lenost� v komplexn� rovin�. Pokud je cel� matice vzd�lenost� z�porn�, znam�nko m�n� pouze znam�nko v�sledku. Av�ak kombinace kladn�ch a z�porn�ch znam�nek vede ke kosin�m v�t��m ne� 1, nap��klad $$\begin{array}{cc} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0 \end{array} \right) &

\left( \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 3\\ 1 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -2 \end{array} \right) \end{array}$$ �hly odpov�daj�c� kosin�m v�t��m ne� 1 nemaj� v euklidovsk�m prostoru smysl. \chapter{Diferenci�ln� rovnice} \label{Diferenci�ln� rovnice} \section{�vod} \label{�vod 18} Sta�� �ekov� byli velmi dobr�mi geometry a m�li jist� znalosti algebry, av�ak nebyli schopni si p�edstavit dr�hu pohybuj�c�ho se objektu jako geometrick� probl�m. Ka�d� zn� Zenonovy paradoxy. Byl to kulturn� �ok, kdy� Zenon vystoupil se sv�mi objevy. P�edstavte si, Achilles m�e nikdy chytit �elvu, pokud m� handicap. Kdy� ji Achilles doh�n�, �elva m�n� svou polohu a z�st�v� vp�edu. Kdy� Achilles b�� druh� handicap, �elva op�t m�n� svou polohu a tak d�le v nekone�n� mnoha intervalech. Sta�� matematikov� nezjistili, �e sou�et nekone�n�ho po�tu st�le se sni�uj�c�ch zlomk� je kone�n�. Av�ak je dost podivn�, �e nebyli schopni p�edstavit si situaci graficky jako obr. \ref{Zenon plot Achilles �elvu aporea}. \begin{figure} \caption{Zenon�v n��rt aporey Achilla s �elvou. P��mky jsou vztahy mezi geometrick�mi polohami obou sout��c�ch (svislice) a �as (horizont�la)} \label{Zenon�v n��rt Aporey Achilla s �elvou} \speci�ln�{em:linewidth 0.6pt} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(160.00,160.00) \put(20.00,20.00){\framebox(128.00,128.00)[cc]{}} \emline{20.00}{148.00}{1}{148.33}{20.33}{2} \emline{148.33}{20.33}{3}{20.00}{84.00}{4} %\vector(20.00,84.00)(84.00,84.00) \put(84.00,84.00){\vector(1,0){0.2}} \emline{20.00}{84.00}{5}{84.00}{84.00}{6} %\end %\vector(84.00,84.00)(84.00,52.00) \put(84.00,52.00){\vector(0,-1){0.2}} \emline{84.00}{84.00}{7}{84.00}{52.00}{8} %\end %\vector(84.00,52.00)(116.33,52.00) \put(116.33,52.00){\vector(1,0){0.2}} \emline{84.00}{52.00}{9}{116.33}{52.00}{10} %\end %\vector(116.33,52.00)(116.33,36.00) \put(116.33,36.00){\vector(0,-1){0.2}} \emline{116.33}{52.00}{11}{116.33}{36.00}{12} %\end %\vector(116.33,36.00)(133.00,36.00) \put(133.00,36.00){\vector(1,0){0.2}} \emline{116.33}{36.00}{13}{133.00}{36.00}{14}

%\end %\vector(133.00,36.00)(133.00,28.00) \put(133.00,28.00){\vector(0,-1){0.2}} \emline{133.00}{36.00}{15}{133.00}{28.00}{16} %\end %\vector(133.00,28.00)(137.33,28.33) \put(137.33,28.33){\vector(1,0){0.2}} \emline{133.00}{28.00}{17}{137.33}{28.33}{18} %\end \put(10.00,84.00){\makebox(0,0)[cc]{T}} \put(9.67,148.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(9.67,137.67){\makebox(0,0)[cc]{t+1}} \put(20.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(9.67,20.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(148.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{t}} \put(79.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{�as (poloha)}} \end{picture} \end{figure} Tento jednoduch� n��rt dvou p��mek p�edstavuje oba sout��c�, kte�� se pohybuj�c� konstantn� rychlost�. Jedna osa ukazuje jejich geometrick� polohy sm��uj�c� dol� na z�vodi�ti. Horizont�ln� osa odpov�d� �asu. P�edstavit si abstraktn� �as jako geometrickou vzd�lenost bylo inovace, kter� se zd� b�t nyn� z�ejm�. Ob� hrany lze reprezentovat rovnicemi a bod, kde se ob� hrany k��� lze vypo��tat. Schodi�t� mezi ob�ma hranami ukazuje, �e intervaly se sni�uj� a konverguj� . Sou�et nekone�n� mnoho �len� je kone�n�. \section{Analytick� geometrie} \label{Analytick� geometrie} Byl to Descartes, kdo se svou analytickou geometri� nalezl, �e jednoduch� n��rt dvou p��mek �e�� Zenonovu aporeu o Achillovi a �elv�. Analytick� geometrie studuje nejen izolovan� body nebo vektorov� �ady, jak jsme to doposud prov�d�li, av�ak mno�iny bod� spojen� funk�n�mi vztahy. U� jsme konstruovali ��seln� stupnice. Jejich hrany lze se ot��et, posunovat a oh�bat. Za�n�me maticov�m n�soben�m vektoru ��dky skal�rem $$\begin{tabular}{r|r|ccccccc} x & & \ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 1 & \ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ y' & 0.5 & & 0 & 0.5 & 1 & 1.5 & 2 & 2.5 \\ \end{tabular}$$ P��mka 6 bod� v ose x se kop�rovala a prom�tla do osy y. V�sledn� polohy p�vodn�ch bod� v ose b se popisuj� bu� jako $ y = 1x$ nebo jako $ y = 0.5x\;.$ Av�ak tyto rovnice plat� nejen pro mno�inu �esti bod� s p�irozen�mi koordin�tami ale pro v�echny body mezi nimi le��c�mi na p��mce. Jednotkov� vektory nejsou nutn�. Rovnice p��mky ve dvou rozm�rech je \begin{equation} y = a + bx \end{equation} \label{y}

�len a je hodnota y, kdy� $x =0$. V dan�m p��klad� $a=0$. �len a je sklon p��mky ur�en� jako pom�r $y/x$, je to tangens �hlu $\alpha$. Pokud zn�me y, m�eme nal�zt x vy�e�en�m rovnice (\ref{y}) jako $x = (y - a)/b$. Dvojrozm�rn� rovinn� Simplexy jsou p��mky maj�c� tvar $ y+x=m $, jejich sklony jsou z�porn� $b = -1$ a jsou definov�ny pouze v kladn�m k�nusu. V rovin� lze definovat mnoho p��mek. Ty mohou b�t paraleln� nebo se mohou k��it. Ke k��en� dojde, kdy� ob� koordin�ty x a y obou p��mek jsou stejn�, jako nap��klad $$ y = 2 + 3x $$ $$ y = 3 + 2x.$$ �e�en� je $2 + 3x = 3 + 2x$ a tedy $x = 1$. Vlo�en�m x zp�t dostaneme y = 5. S pou�it�m maticov� techniky se soustava dvou rovnic m�e uspo��dat do pol�rn�ho tvaru: $$-3x + y = 2$$ $$-2x + y = 3 $$ Pak se najde inverzn� matice pro matic $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cc} -3 & 1 \\ -2 & 1 \end{array} \right) & ${\rm co�\ je}$ & \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ -2 & 3 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ a ta d�v�, kdy� se n�sob� vektorem T}$.

${bf b} = (2, 3)^{\rm T}$ �e�en�

$(1, 5)^{\rm

\section{Zenonovy grafy} \label{Zenonovy grafy} Vra�me se k Zenonov� aporei. Nyn� sledujeme odd�len� polohy Achilla nebo �elvy. Pro tento ��el nepot�ebujeme �asovou osu. Osa x je vzd�lenost ke konci trat�, y je prob�hnut� vzd�lenost. Nap��klad: $$\begin{tabular}{|l|ccccccccc|} \hline Interval& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline x & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \end{tabular}$$ Vztah obou hodnot se popisuje rovnic� $y = 8 - x$. Konstanta je relativn� d�lka

trat� vyj�d�en� rychlost�. Je kone�n�. Jin� popis pohybu se z�sk�, kdy� z�kladna x p�edstavuje polohu v �ase t a vertik�ln� osa y polohu v �ase $t+1$, 1 p�edstavuje interval �asu $\Delta Budi� koordin�ty m��en�ch bod� pro jednoduchost:

t$.

$$\begin{tabular}{|l|ccccccccc|} \hline Interval & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ y & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \end{tabular}$$ Rovnom�rn� pohyb se popisuje rovnici $y = 1 + x$. Nyn� zm��me koordin�ty n�sledovn�: $$\begin{tabular}{|l|ccccccccc|} \hline Interval& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline x & 258 & 128 & 64 & 32 & 16 & 8 & 4 & 2 & 1 \\ y & 0 & 128 & 192 & 224 & 240 & 248 & 252 & 254 & 255 \\ \hline \end{tabular}$$ Rychlost pohybu nen� konstantn�, av�ak sni�uje se exponenci�ln�. ��ra zobrazuj�c� hodnoty x v rozd�ln�ch �asov�ch intervalech na obr�zku \ref{Exponenci�ln� curve.} je prohnut�. Abychom ji nap��mili, mus�me pou��t logaritmickou stupnici $y = \log x$. \begin{figure} \caption{Exponenci�ln� k�ivka. Zmen�uj�c� se vzd�lenostn� intervaly z {\ref Zenon�v n��rt Aporey Achilla s �elvou} jsou na vertik�ln� ose, horizont�ln� osou je �as} \label{Exponenci�ln� k�ivka.} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(160.00,160.00) \put(20.67,148.00){\circle{4.00}} \put(35.33,84.00){\circle{4.00}} \put(50.00,52.00){\circle{4.00}} \put(65.33,36.00){\circle{4.00}} \put(80.33,28.00){\circle{4.00}} \put(95.33,24.00){\circle{4.00}} \put(110.33,22.00){\circle{4.00}} \put(125.33,21.00){\circle{4.00}} \put(20.67,19.67){\framebox(119.67,128.67)[cc]{}} \put(140.33,20.00){\circle{3.40}} \bezier{416}(20.67,148.33)(35.33,67.67)(50.33,52.00) \bezier{164}(50.33,52.33)(65.33,31.67)(80.33,28.00) \bezier{124}(80.33,28.00)(95.33,23.00)(110.33,22.00) \bezier{120}(110.33,21.67)(140.33,20.00)(140.33,20.00) \put(10.00,130.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(130.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{t}} \put(20.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(10.00,19.67){\makebox(0,0)[cc]{0}}

\end{picture} \end{figure} Op�t nech�me z�kladnu x p�edstavovat polohu v �ase t a vertik�ln� osu y polohu v �ase $t+1$, 1 p�edstavuje interval �asu $\Delta t$. Koordin�ty exponenci�ln� k�ivky jsou $$\begin{tabular}{|l|ccccccccc|} \hline Interval& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline x & 0 & 128 & 192 & 224 & 240 & 248 & 252 & 254 & 255 \\ y & 128 & 64 & 32 & 16 & 8 & 4 & 2 & 1 & ? \\ \hline \end{tabular}$$ x hodnoty rostou, y hodnoty se sni�uj�. Ob� zm�ny nejsou line�rn�. Nicm�n� pokud hodnoty x jsou nakresl� proti odpov�daj�c�m hodnot�m y, n��rt je line�rn�, viz obr. \ref{Linearizace}. \begin{figure} \caption{Linearizace exponenci�ln� k�ivky. Sni�uj�c� se vzd�lenosti mezi body odpov�daj� konstantn�m �asov�m interval�m} \label{Linearizace} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(280.00,280.00) \put(10.00,138.00){\circle{4.00}} \put(138.00,74.00){\circle{4.00}} \put(202.00,42.00){\circle{4.00}} \put(234.00,26.00){\circle{4.00}} \put(250.00,18.00){\circle{4.00}} \put(258.00,14.00){\circle{4.00}} \put(262.00,12.00){\circle{4.00}} \put(264.00,11.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,138.00)(266.00,10.00) \multiput(10.00,138.00)(0.24,-0.12){1062}{\line(1,0){0.24}} %\end \put(10.00,10.00){\framebox(256.00,256.00)[cc]{}} \put(4.67,237.33){\makebox(0,0)[cc]{y}} \put(260.00,3.33){\makebox(0,0)[cc]{x}} \end{picture} \end{figure} N��rt p�edstavuje exponenci�ln� zm�ny, nap��klad radioaktivn� rozpad nebo monomolekul�rn� chemick� reakce, pokud y je v�choz� substance a x je produkt. Odpov�daj�c� rovnic� je \begin{equation} y = 2^{8-t}\;. \end{equation} ve sv� modern� form� je nyn� transformovan� na ot�zku, kdy se rozpadne posledn� radioaktivn� atom, kdy� v�choz� po�et je $x = 256$. Jsme nyn� v podobn� situaci jako byli �ekov�. Rozpad radioaktivn�ch prvk� se ��d� exponenci�ln�m z�konem. Pom�r rozpadaj�c�ch se atom� ve stejn�ch �asov�ch intervalech \Delta_t$ je konstantn�. Abychom si byli jisti, �e v�echny atomy se rozpadly, pot�ebujeme nekone�n� mnoho takov�ch interval�. Podstatn� nekone�n�

mnoho interval� je pot�eba pouze pro posledn� atom, pokud po�adujeme jistotu jeho rozpadu. Grafov� proces je stejn� jako v p��pad� b�c�, pokud ob� osy, �asu i polohy, se nahrad� polohami (koncentracemi) v n�sledn�ch �asov�ch intervalech $t$ a $(t+1)$, jako kdyby ob� polohy byly na dvou rozd�ln�ch ortogon�ln�ch os�ch. Kdy� se to ud�l�, tyto polohy se pova�uj� za ortogon�ln� a exponenci�ln� pohyb se m�n� do line�rn�, jako kdybychom pou�ili logaritmickou stupnici\footnote{ Line�rn� pohyb je limitou exponenci�ln�ho pohybu, kdy� konstanta je $k=0$}. \section{Markovovy matice} \label{Markovovy matice} Markov bylo rusk� matematik, kter� dostal pon�kud d�tsk� n�pad studovat uspo��d�n�, ve kter�m souhl�sky n�sleduj� samohl�sky v Pu�kinov� b�sni. Po souhl�ska m�e n�sledovat jin� souhl�ska nebo samohl�ska s n�jakou statistickou pravd�podobnost�, kter� je ur�ena strukturou jazyka a jeho pou�it� autorem. Markov studoval pravd�podobnosti p�echod� n�sledn�ch hl�sek, jako souhl�sky c a samohl�sky v v p��klad� \begin{center} A vv A vc M cv A vc R cc K cv O vc V \end{center} Pravd�podobnosti vv, vc, cc a cv se z�skaj� z p��m�ch sou�t� jejich d�len�m v�emi mo�nostmi p�echod� (zde 7 p�echod� 8 p�smen). Kdy� se vz�jemn� uspo��daj� do matice, tvo�� {\em stochastick� matice} ${\bf M}$, jejich� ��dkov� sou�ty jsou 1. Teorie proces� spojen�ch s t�mito maticemi tvo�� ��st teorie {\em stochastick�ch proces�}. Ka�d� hl�ska v textu se pova�uje za stav soustavy, kter� osciluje neust�le mezi sv�mi mo�n�mi stavy a tvo�� tak �et�zec n�sledn�ch jev�. Existuje jin� mo�nost, jak interpretovat jev. Text lze pova�ovat jako celek a v�echny pozorovan� p�echody mohou tvo�it jeden p�echod do p��t�ho stavu. Nebo lze srovn�vat dva odli�n� objekty p�edstavovan� �adami symbol�. Rozd�ly lze tedy vyj�d�it jako orientovan� hranov� graf, nap��klad $$\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrr|} \hline & ? & A & A & M & A & R & K & O & V \\ & A & A & M & A & R & K & O & V& ? \\ \hline & & & & & & & & & \\ c & * & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 &-1 & 1 & * \\ v & * & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & * \\ \hline \end{tabular}$$ \begin{figure} \caption{Mo�n� p�echody dvou p�smenn� �ady. P��m� p�echody $cc \leftrightarrow vv$ jsou nemo�n�} \label{Mo�n� p�echody dvou p�smenn� �ady} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(120.00,110.00) \put(30.33,40.00){\framebox(14.67,15.67)[cc]{cc}} \put(49.67,20.00){\framebox(15.33,15.00)[cc]{vc}} \put(49.67,60.00){\framebox(15.33,15.00)[cc]{cv}}

\put(70.00,40.00){\framebox(15.00,15.33)[cc]{vv}} %\bezier{176}(30.33,55.67)(9.67,48.67)(30.33,40.00) \put(30.33,40.00){\vector(2,-1){0.2}} \bezier{176}(30.33,55.67)(9.67,48.67)(30.33,40.00) %\end %\bezier{172}(49.67,75.00)(58.00,95.00)(65.00,75.00) \put(65.00,75.00){\vector(1,-3){0.2}} \bezier{172}(49.67,75.00)(58.00,95.00)(65.00,75.00) %\end %\bezier{172}(85.00,55.33)(105.00,51.00)(85.00,40.00) \put(85.00,40.00){\vector(-3,-2){0.2}} \bezier{172}(85.00,55.33)(105.00,51.00)(85.00,40.00) %\end %\bezier{172}(49.67,20.00)(57.33,0.00)(65.00,20.00) \put(65.00,20.00){\vector(1,3){0.2}} \bezier{172}(49.67,20.00)(57.33,0.00)(65.00,20.00) %\end %\vector(45.00,55.67)(49.67,60.00) \put(49.67,60.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(45.00,55.67)(0.13,0.12){37}{\line(1,0){0.13}} %\end %\vector(65.00,60.00)(70.00,55.33) \put(70.00,55.33){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(65.00,60.00)(0.13,-0.12){39}{\line(1,0){0.13}} %\end %\vector(70.00,40.00)(65.00,35.00) \put(65.00,35.00){\vector(-1,-1){0.2}} \multiput(70.00,40.00)(-0.12,-0.12){42}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(49.67,35.00)(45.00,40.00) \put(45.00,40.00){\vector(-1,1){0.2}} \multiput(49.67,35.00)(-0.12,0.13){39}{\line(0,1){0.13}} %\end %\vector(49.67,60.00)(49.67,35.00) \put(49.67,35.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(49.67,60.00){\line(0,-1){25.00}} %\end %\vector(65.00,35.00)(65.00,60.00) \put(65.00,60.00){\vector(0,1){0.2}} \put(65.00,35.00){\line(0,1){25.00}} %\end \end{picture} \end{figure} Dv� ��dky s ��sly tvo�� transponovanou inciden�n� matici ${\bf S}^{\rm T}$ multigrafu se smy�kami, nuly jsou na m�stech smy�ek, orientovan�ch hran za��naj�c�ch a kon��c�ch na stejn�m m�st�, hv�zdi�kou * jsou ozna�eny neur�it� po��te�n� a koncov� stavy. Je mo�n� spojit posledn� p�smeno s prv�m, aby se odstranily tyto voln� konce. �ada je tvo�ena rozd�ly $({\bf e}_i -{\bf e}_j)$ a je jasn�, �e ji m�eme napsat jako inciden�n� matici orientovan�ho multigrafu se smy�kami. Na obr. \ref{Mo�n� p�echody dvou p�smenn� �ady} jsou uk�zan� mo�n� p�echody dvou p�smenn� �ady, na obr. \ref{Mo�n� p�echody dvou p�smenn� �ady} mo�n� p�echody t�� p�smenn� �ady jsou uk�zan�. \begin{figure} \caption{Mo�n� p�echody t�� p�smenn� �ady}

\label{Mo�n� p�echody t�� p�smenn� �ady} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(180.00,80.00) \put(20.00,30.00){\framebox(15.00,10.67)[cc]{ccc}} \put(40.33,10.00){\framebox(14.67,10.00)[cc]{ccv}} %\vector(35.00,30.00)(40.33,20.00) \put(40.33,20.00){\vector(1,-2){0.2}} \multiput(35.00,30.00)(0.12,-0.22){45}{\line(0,-1){0.22}} %\end %\bezier{160}(20.00,40.67)(0.67,36.67)(20.00,30.00) \put(20.00,30.00){\vector(3,-1){0.2}} \bezier{160}(20.00,40.67)(0.67,36.67)(20.00,30.00) %\end \put(40.33,50.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{vcc}} %\vector(40.67,50.00)(35.00,40.67) \put(35.00,40.67){\vector(-2,-3){0.2}} \multiput(40.67,50.00)(-0.12,-0.19){48}{\line(0,-1){0.19}} %\end %\vector(47.00,50.00)(47.00,20.00) \put(47.00,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(47.00,50.00){\line(0,-1){30.00}} %\end \put(60.00,30.00){\framebox(15.00,10.67)[cc]{cvc}} \put(85.00,30.00){\framebox(15.00,10.67)[cc]{vcv}} %\vector(75.00,40.67)(85.00,40.67) \put(85.00,40.67){\vector(1,0){0.2}} \put(75.00,40.67){\line(1,0){10.00}} %\end %\vector(85.00,30.00)(75.00,30.00) \put(75.00,30.00){\vector(-1,0){0.2}} \put(85.00,30.00){\line(-1,0){10.00}} %\end \put(105.00,50.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{vvc}} \put(105.00,10.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{cvv}} %\vector(112.67,20.00)(112.67,50.00) \put(112.67,50.00){\vector(0,1){0.2}} \put(112.67,20.00){\line(0,1){30.00}} %\end \put(125.00,30.00){\framebox(15.00,10.67)[cc]{vvv}} %\vector(125.00,40.67)(120.00,50.00) \put(120.00,50.00){\vector(-1,2){0.2}} \multiput(125.00,40.67)(-0.12,0.22){42}{\line(0,1){0.22}} %\end %\vector(120.00,20.00)(125.00,30.00) \put(125.00,30.00){\vector(1,2){0.2}} \multiput(120.00,20.00)(0.12,0.24){42}{\line(0,1){0.24}} %\end %\vector(105.00,60.00)(55.33,60.00) \put(55.33,60.00){\vector(-1,0){0.2}} \put(105.00,60.00){\line(-1,0){49.67}} %\end %\vector(55.00,10.00)(105.00,10.00) \put(105.00,10.00){\vector(1,0){0.2}} \put(55.00,10.00){\line(1,0){50.00}} %\end %\bezier{164}(140.00,40.67)(160.00,35.33)(140.00,30.00) \put(140.00,30.00){\vector(-4,-1){0.2}} \bezier{164}(140.00,40.67)(160.00,35.33)(140.00,30.00)

%\end %\vector(55.00,20.00)(60.00,30.00) \put(60.00,30.00){\vector(1,2){0.2}} \multiput(55.00,20.00)(0.12,0.24){42}{\line(0,1){0.24}} %\end %\vector(59.67,40.67)(55.33,50.00) \put(55.33,50.00){\vector(-1,2){0.2}} \multiput(59.67,40.67)(-0.12,0.25){37}{\line(0,1){0.25}} %\end %\vector(105.00,50.00)(100.00,40.67) \put(100.00,40.67){\vector(-1,-2){0.2}} \multiput(105.00,50.00)(-0.12,-0.22){42}{\line(0,-1){0.22}} %\end %\vector(100.00,30.00)(105.00,20.00) \put(105.00,20.00){\vector(1,-2){0.2}} \multiput(100.00,30.00)(0.12,-0.24){42}{\line(0,-1){0.24}} %\end \end{picture} \end{figure} Takov� p�echody nejsou omezeny na jazyk. Pokud sledujeme atomy radioaktivn�ch prvk� po n�jak� �asov� obdob�, potom ka�d� atom bu� z�stal nezm�n�n�, nebo vyz��il kvantum radiace a zm�nil se na atom jin�ho prvku. Zde nezn�me indexov�n� jednotliv�ch atom�, m�eme ur�it pouze jejich mno�stv�. Mno�stv� $\delta x$ atom�, kter� se rozpadly v �asov�m intervalu, je �m�rn� po�tu atom� $x$, konstantou proporcionality k d�lce �asov�ho intervalu $\delta t$ je $k$. Rovnice popisuj�c� tento proces je \begin{equation} \delta x/\delta t = -kx \label{delta} \end{equation} �e�en� t�to rovnice se nalezne odd�len�m prom�nn�ch v diferenci�ln�m tvaru (velmi kr�tk� $\delta t$): \begin{equation} \delta x/x = \delta (logx)= -k\delta t \end{equation} a integrac� obou stran a delogaritmov�n�m v�sledku \begin{equation} x = Aexp(-kt) \end{equation} kde $A$ je po��te�n� hodnota $x$ jako integra�n� konstanta. Toto �e�en� m� shora zm�n�n� h��ek: Nem�eme si nikdy b�t jisti s �asem, kdy se rozpadne posledn� atom v soustav�, existuj� pouze pravd�podobnosti. To je rozd�l mezi diferenci�ln�m a integr�ln�m kalkulem a kone�nou matematikou. Proces lze zobrazit dv�ma rozd�ln�mi n��rty, bu� vyn��me koncentrace vzhledem k uplynul�mu �asu jako na obr. \ref{Exponenci�ln� k�ivka.}, co� je tradi�n� technika, nebo vyn��me koncentrace m�n�c� se substance $x_t$ p��padn� koncentrace produktu $(1 - x)_t$ vzhledem k t�mto koncentrac�m $x_{t+1}$ nebo $(1-x_{t+1})$ v konstantn�ch �asov�ch intervalech $\Delta t$ jako na obr. \ref{Linearizace}. Body koncentrace na tomto grafu tvo�� p��mky, jejich� sklony jsou z�visl� na rychlostn�ch konstant�ch k.

Je�t� jednou: Hodnoty funkce ve dvou rozd�ln�ch �asov�ch intervalech byly pojedn�ny jako ortogon�ln� vektory. T�mto zp�sobem jsme z�skali graf line�rn� funkce z exponenci�ln� funkce, jako kdybychom nalezli logaritmus exponenci�ln� funkce. Ortogon�ln� projekce dala logaritmickou transformac� exponenci�ln� rychlosti transformac� n atom� dvou druh�. \section{Mnohorozm�rn� syst�my} \label{Mnohorozm�rn� syst�my} Podle na�� definice matice orientovan�ch graf� popisuj� pohyby na rovin�ch ortogon�ln�ch k jednotkov�m vektor�m ${\bf I}$. Jsme schopni sledovat pohodln� m�n�c� se koncentrace 3 slo�ek, kter� se mohou nakreslit na rovnostrann� troj�heln�k. Co je snadn� pro dv� slo�ky se st�v� slo�it�m v syst�mech obsahuj�c�ch n rozd�ln�ch slo�ek, z nich� ka�d� se m�e transformovat v jinou s rozd�ln�mi rychlostmi $k_{ij}$. Nicm�n� z�kladn� z�st�v� a takov� syst�my se popisuj� zobecn�nou Markovovou matic� ${\bf M}$, jej� mimodiagon�ln� prvky $k_{ij}$. jsou rychlostn� konstanty soustavy rovnic \ref{delta} a diagon�ln� prvky jsou sou�ty rychlostn�ch konstant se z�porn�mi znam�nky $-\Sigma k_{ij}$. Diagon�ln� prvky jsou bu� sloupcov� sou�ty, pokud matice ${\bf M}$ p�sob� na koncentra�n� vektor sloupec ${\bf c}$ zleva, nebo ��dkov� sou�ty, pokud matice ${\bf P}$ p�sob� na koncentra�n� vektor ��dku ${\bf c}^{\rm T}$ zprava. \section{Matice p�echod�} \label{Matice p�echod�} Matice p�echod� ${\bf P}$ je tvo�ena dv�ma ��stmi, Markovovou matic� ${\bf M}$ a matic� identity ${\bf I}$ \begin{equation} {\bf P}= ({\bf I} + {\bf M})\;. \end{equation} ${\bf M}$ je asymetricky rozd�len� Laplace-Kirchhoffova matice ${\bf S}^{\rm T} {\bf S}$ se z�porn�mi znam�nky na diagon�le, kter� je normalizov�na na jednotkov� koncentrace. Matice p�echod� ${\bf P}$ maj� dv� limity: Bu� matici identity ${\bf I}$, pokud nedoch�z� k ��dn� zm�n� v dan�m �asov�m intervalu, nebo permuta�n� matice ${\bf P}$, pokud se v�echny l�tky transformuj� na jin� b�hem jednoho �asov�ho intervalu. M�eme p�edpokl�dat, �e ka�d� reakce (p�echod), ve kter� se jedna l�tka m�n� v jinou l�tku, �ekn�me $ a \rightarrow b$ v �asov�m intervalu $\delta t$ se registruje v inciden�n� matici ${\bf S}$ jako diference dvou jednotkov�ch vektor� $({\bf e}_i- {\bf e}_j)$. Tyto aditivn� oper�tory se transformuj� v kvadratick� form� ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ do multiplikativn�ch oper�tor�, kter� jsou normalizov�ny, to znamen�, �e oper�tor $k_{ij}$ je pom�r transformovan�ch objekt� ke v�em p��tomn�m objekt�m, a normalizovan� symetrick� kvadratick� forma ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ je �t�p� do ��dkov�ho oper�toru ${\bf P}_r$ a sloupcov�ho oper�toru ${\bf P_c}$ \begin{equation} -{\bf S}^{\rm T}{\bf S}= {\bf P}_r + {\bf P}_c\;. \end{equation} Matice sousedstv� ${\bf A}$, kter� jsme pou��vali doposud, byly symetrick�. Ty se z�skaly jako mimodiagon�ln� prvky kvadratick�ch forem inciden�n�ch matic bu� orientovan�ho grafu ${\bf S}$, nebo neorientovan�ho grafu ${\bf G}$ (viz podkapitolu 12.7).

Pon�vad� asymetrick� matice sousedstv� se pou��vaj� jako oper�tory, je nutn� ur�it, jak se form�ln� vytvo��. Kdy� se vektory-hrany ${\bf c}$ n�sob� zprava, potom $a_{ij} = k$, kdy� k orientovan�ch hran jde z vrcholu j do vrcholu i, kdy� se vektory-sloupce ${\bf c}$ n�sob� zleva, potom $ _{ij} = k$, kdy� k orientovan�ch hran jde z vrcholu i do vrcholu j. Pou�ijeme doln� indexy r a l pro oba druhy matic sousedstv� ${\bf A}$. Orientaci orientovan�ch hran lze vyj�d�it znam�nky, kde $a_{ij} = +k$, kdy� k orientovan�ch hran jde z vrcholu i do vrcholu j, nebo kde $a_{ij} = -k$, kdy� k orientovan�ch hran jde z vrcholu i do vrcholu j, nebo opa�n�. Pokud ka�d� orientovan� hrana p�edstavuje jednu transformaci objektu j na objekt i a po�ty $k_{ij}$ jsou normalizov�ny, $k_{ij}$ se m�n� v rychlostn� konstanty reakc� zn�m�ch v chemii jako monomolekul�rn� reakce, spolu s odpov�daj�c�mi sou�ty $\Sigma k_{ij}$ na diagon�le se z�porn�mi znam�nky. Kdy� se koncentrace (nebo koordin�ta) vektor� ${\bf c}$ n�sob� t�mito oper�tory, z�skaj� se zm�ny koncentrac�, kdy� se koncentrace vektor� ${\bf c}$ n�sob� $({\bf I}- {\bf P})$, z�skaj� se nov� koncentrace vektor�. P�edpokl�d�me, �e koncentrace vektor� jsou hrany a n�soben� je zprava \begin{equation} {\bf c}_{t+1}^{\rm T} = {\bf c}_{t}^{\rm T}{\bf M}\;, \end{equation} tedy sou�ty $\Sigma k_{ij}$ na diagon�le jsou sloupcov� sou�ty. Budi� ${\bf S}$ a ${\bf G}$ inciden�n� matice stejn� orientovan�ho multigrafu, kde $ {\bf S}$ a ${\bf G}$ jsou identick� matice vyjma znam�nek. Neorientovan� hrana odpov�d� ka�d� orientovan� hran�. Hrany ${\bf S}$ a ${\bf G}$ jsou vz�jemn� ortogon�ln� vektory. \begin{figure} \caption{Reak�n� multigraf} \label{Reak�n� multigraf} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(180.00,90.00) \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(10.00,30.00){\circle{4.00}} \put(30.00,29.67){\circle{4.00}} \put(30.00,10.00){\circle{4.00}} \put(70.00,30.00){\circle{4.00}} \put(90.00,29.67){\circle{4.00}} \put(110.00,30.00){\circle{4.00}} \put(90.00,10.00){\circle{4.00}} \put(10.00,50.00){\circle{4.00}} \put(10.00,70.00){\circle{4.00}} \put(30.00,69.67){\circle{4.00}} \put(50.00,70.00){\circle{4.00}} \put(30.00,50.00){\circle{4.00}} \put(70.00,50.00){\circle{4.00}} \put(90.00,69.67){\circle{4.00}} \put(110.00,70.00){\circle{4.00}} \put(90.00,50.00){\circle{4.00}} \put(130.00,30.00){\circle{4.00}} \put(150.00,29.67){\circle{4.00}} \put(170.00,30.00){\circle{4.00}} \put(130.00,50.00){\circle{4.00}}

\put(130.00,70.00){\circle{4.00}} \put(170.00,70.00){\circle{4.00}} \put(150.00,50.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,69.67)(50.00,69.67) \put(10.00,69.67){\line(1,0){40.00}} %\end %\emline(10.00,69.67)(10.00,50.00) \put(10.00,69.67){\line(0,-1){19.67}} %\end %\emline(10.00,50.00)(30.00,50.00) \put(10.00,50.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(30.33,69.67)(10.00,50.00) \multiput(30.33,69.67)(-0.12,-0.12){164}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(110.00,70.00)(90.00,70.00) \put(110.00,70.00){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(90.00,70.00)(90.00,50.00) \put(90.00,70.00){\line(0,-1){20.00}} %\end %\emline(90.00,50.00)(70.00,50.00) \put(90.00,50.00){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(70.00,50.00)(90.00,70.00) \multiput(70.00,50.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(130.00,70.00)(130.00,50.00) \put(130.00,70.00){\line(0,-1){20.00}} %\end %\emline(130.00,50.00)(150.00,50.00) \put(130.00,50.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(30.00,30.00)(10.00,30.00) \put(30.00,30.00){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(10.00,30.00)(10.00,10.00) \put(10.00,30.00){\line(0,-1){20.00}} %\end %\emline(10.00,10.00)(30.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(30.00,10.00)(30.00,30.00) \put(30.00,10.00){\line(0,1){20.00}} %\end %\emline(30.00,30.00)(10.00,10.00) \multiput(30.00,30.00)(-0.12,-0.12){167}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(70.00,30.00)(110.00,30.00) \put(70.00,30.00){\line(1,0){40.00}} %\end %\emline(90.00,30.00)(90.00,10.00) \put(90.00,30.00){\line(0,-1){20.00}} %\end \put(10.00,76.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(30.00,76.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(50.00,76.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(10.00,40.33){\makebox(0,0)[cc]{4}}

\put(30.00,40.33){\makebox(0,0)[cc]{5}} %\emline(30.00,69.67)(30.00,50.00) \put(30.00,69.67){\line(0,-1){19.67}} %\end \put(70.00,70.00){\circle{4.00}} \put(150.00,70.00){\circle{4.00}} \put(70.00,10.00){\circle{4.00}} \put(130.00,9.67){\circle{4.00}} \put(150.00,10.00){\circle{4.00}} \put(40.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(100.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_1$}} \put(40.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_3$}} \put(50.00,30.00){\circle{4.00}} \put(99.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_4$}} \put(160.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_3$}} \put(160.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_5$}} %\emline(130.00,30.00)(170.00,30.00) \put(130.00,30.00){\line(1,0){40.00}} %\end %\emline(150.00,30.00)(130.00,10.33) \multiput(150.00,30.00)(-0.12,-0.12){164}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(130.00,10.33)(130.00,30.00) \put(130.00,10.33){\line(0,1){19.67}} %\end \end{picture} \end{figure} Odpov�daj�c� skal�rn� sou�iny ${\bf S}^{\rm T}{\bf G}$ a ${\bf G}^{\rm T}{\bf S}$ jsou asymetrick� matice ukazuj�c� rozd�ly v orientaci orientovan�ch hran. Jako p��klad pou�ijeme multigraf definovan� transponovanou inciden�n� matic� ${\bf S}^{\rm T}$ (viz obr. \ref{Reak�n� multigraf}) $$\begin{array}{cc} {\bf S}^{\rm T} & \left( \begin{array}{ccccccc} -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Prvky matice ${\bf G}^{\rm T}{\bf S}$ jsou $$\left( \begin{array}{cccc} -3 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & 1 & -1\\ -1 & -1 & 2 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$$ Mohou se interpretovat jako

$v_{ii} =$ (orientovan� hrany do - orientovan� hrany ven) $a_{ij} =$ (orientovan� hrany z i do j - orientovan� hrany z j do i), potom $a_{ij} =$ 0 ��dn� orientovan� hrana. Prvky matice ${\bf S}^{\rm T}{\bf G}$ jsou $$\left( \begin{array}{cccc} 3 &-1 & -1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 0\\ 1 &-1 & 0 & 0 \end{array} \right)$$ lze je interpretovat jako $v_{ii} =$ (orientovan� hrany do - orientovan� hrany ven) $a_{ij} =$ (orientovan� hrany z i do j - orientovan� hrany z j do i), potom $a_{ij} =$ 0 ��dn� orientovan� hrana. Mimodiagon�ln� prvky matice ${\bf S}^{\rm T}{\bf G}$ se li�� od mimodiagon�ln�ch prvk� matice ${\bf G}^{\rm T}{\bf S}$ pouze znam�nky. Skal�rn� sou�iny ${\bf S}^{\rm T}{\bf G}$ a ${\bf G}^{\rm T}{\bf S}$ se mohou kombinovat s kvadratick�mi formami inciden�n�ch matic. Existuj� �ty�i aditivn� kombinace $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf S}^{\rm T}{\bf S}\\ \\ \left( \begin{array}{rrrr} 5 & -3 & -1 & -1\\ -3 & 5 & -1 & -1\\ -1 & -1 & 2 & 0\\ -1 & -1 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf G}^{\rm T}{\bf G}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 5 & 3 & 1 & 1\\ 3 & 5 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{c} {\bf G}^{\rm T}{\bf S}+{\bf S}^{\rm T}{\bf S}\\ \\ \left( \begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 0 & 0\\ -4 & 6 & 0 & -2\\ -2 & -2 & 4 & 0\\ -2 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf G}^{\rm T}{\bf S}-{\bf S}^{\rm T}{\bf S}\\ \\ \left( \begin{array}{rrrr} -8 & 4 & 2 & 2\\ 2 & -4 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & -2 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf G}^{\rm T}{\bf S}+{\bf G}^{\rm T}{\bf G}\\ \\ \left( \begin{array}{rrrr} 2 & 4 & 2 & 2\\ 2 & 6 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf G}^{\rm T}{\bf S}-{\bf G}^{\rm T}{\bf G}\\ \\ \left( \begin{array}{rrrr} -8 & -2 & 0& 0\\ -4 & -4 & 0 & -2\\ -2 & -2 & 0 & 0\\ -2 & 0 & 0 & -2 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ To d�v� tento vzor $${\bf G}^{\rm T}{\bf S}+ {\bf S}^{\rm T}{\bf S}= 2({\bf V}_{v} - {\bf A}_r)$$ $${\bf G}^{\rm T}{\bf S}- {\bf S}^{\rm T}{\bf S}=

2({\bf A}_l- {\bf V}_{out})$$ $${\bf G}^{\rm T}{\bf S}+ {\bf G}^{\rm T}{\bf G}= 2({\bf V}_{v}+ {\bf A}_l)$$ $${\bf G}^{\rm T}{\bf S}- {\bf G}^{\rm T}{\bf G}= -2({\bf A}_r + {\bf V}_{out})\;.$$ Skal�rn� sou�in $({\bf G}- {\bf S})^{\rm T} {\bf S}$ lze normalizovat do levostrann�ho oper�toru ${\bf M}$. Diagon�ln� matice stup�� vrchol� (orientovan� hrany do a ven), stejn� jako asymetrick� matice sousedstv� se mohou rozd�lit transponov�n�m sou�t� nebo rozd�l� ${\bf G}^{\rm T}{\bf S}$ s ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$ a jejich kombinov�n�m se sou�ty nebo rozd�ly ${\bf G}^{\rm T}{\bf S}$ s ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$: $$4{\bf V}_{v} = ({\bf G}^{\rm T}{\bf S}+ {\bf S}^{\rm T}{\bf S}) + ({\bf G}^{\rm T}{\bf S}+ {\bf G}^{\rm T}{\bf G})^{\rm T} $$ $$-4{\bf V}_{out} = ({\bf G}^{\rm T}{\bf S}{\bf S}^{\rm T}{\bf S}) + ({\bf G}^{\rm T}{\bf S}{\bf G}^{\rm T}{\bf G})^{\rm T}$$ $${\bf -}4{\bf A}_l = ({\bf G}^{\rm T}{\bf S}+ {\bf S}^{\rm T}{\bf S}) - ({\bf G}^{\rm T}{\bf S}+ {\bf G}^{\rm T}{\bf G})^{\rm T} $$ $$4{\bf A}_r = ({\bf G}^{\rm T}{\bf S}{\bf S}^{\rm T}{\bf S}) - ({\bf G}^{\rm T}{\bf S}{\bf G}^{\rm T}{\bf G})^{\rm T}\;.$$ Stejn� operace s ${\bf S}^{\rm T}{\bf G}$ d�v� vzor $${\bf S}^{\rm T}{\bf G}+ {\bf S}^{\rm T}{\bf S}= 2({\bf V}_{v} - {\bf A}_l)$$ $${\bf S}^{\rm T}{\bf G}- {\bf S}^{\rm T}{\bf S}= 2({\bf A}_r - {\bf V}_{out})$$ $${\bf S}^{\rm T}{\bf G}+ {\bf G}^{\rm T}{\bf G}= 2({\bf V}_{v}+ {\bf A}_r)$$ $${\bf S}^{\rm T}{\bf G} - {\bf G}^{\rm T}{\bf G}= -2({\bf A}_l + {\bf V}_{out})\;.$$ Skal�rn� sou�in ${\bf S}^{\rm T}({\bf G}- {\bf S})$ lze normalizovat do pravostrann�ho oper�toru ${\bf M}$. Diagon�ln� matice stup�� vrchol� (orientovan� hrany do a ven), stejn� jako asymetrick� matice sousedstv� se mohou rozd�lit transponov�n�m sou�t� nebo rozd�l� ${\bf S}^{\rm T}{\bf G}$ s ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$ a jejich kombinov�n�m se sou�ty nebo rozd�ly ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ s ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ jako shora. Tyto transponovan� matice jsou identick� se sou�ty nebo rozd�ly ${\bf G}^{\rm T}{\bf S}$, proto�e transponov�n� m�n� po�ad� matice v sou�inu. Inciden�n� matice ${\bf S}$ a ${\bf G}$, nebo jejich transponovan� matice, pou��van� jako multiplikativn� oper�tory, p�en�ej� ka�d� prvek n�soben�ho maticov�ho vektoru dvakr�t, jednou na diagon�le, jednou jako mimodiagon�ln� prvek. Sou�ty nebo rozd�ly t�chto matic ${\bf S}$ a ${\bf G}$, kter� by m�ly b�t transformovan� do kvadratick�ch matic, maj� v ka�d� ��dce p�esn� jeden prvek 2 v kon��c�m nebo v�choz�m sloupci. V�sledky jsou tedy element�rn�. Av�ak tato fakta nejsou vysv�tlena v u�ebnic�ch ani v b�n� literatu�e. Pokud byly studov�ny

d��ve,

byly zapomenuty.

Dvojit� ��etnictv� orientovan�ch hran s pou�it�m ortogon�ln�ch vektorov�ch �ad, jejich sou�t� a rozd�l�, kvadratick�ch forem, skal�rn�ch sou�in� a transponovan�ch matic, d�v� s� p��buzn�ch matic popisuj�c�ch grafy a objekty isomorfn� k jejich transformac�m. Laplace-Kirchhoffova matice, identick� s ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ a pou�it� pro �e�en� elektrick�ch obvod�, je symetrick�. Ta ve skute�nosti popisuje pouze vlastnosti obvodu, odpory hran (vodi��) spojuj�c�ch vrcholy s�t�. Sm�r proudu je zaveden aplikovan�m nap�t�m. Matice proud� odpov�d� jedn� z matic ${\bf S}^{\rm T} {\bf G}$ nebo ${\bf G}^{\rm T}{\bf S}$, proudy $k$ ve v�tv�ch maj� v�dy opa�n� znam�nka \begin{equation} ({\bf S}^{\rm T}{\bf G})_{ij} = -({\bf S}^{\rm T}{\bf G})_{ij}\;. \end{equation} Mimo to proudy do a ven u v�ech vrchol� mus� b�t vyv�eny, $\Sigma k_{ij} = 0$. Pon�vad� odpory se mohou vyj�d�it jako d�lky vodi��, inverzn� probl�m se objevuje jako odporov� vzd�lenosti. \section{Rovnov�n� koncentrace} \label{Rovnov�n� koncentrace} Nalezen� diagon�ln� matice ${\bf C}$ rovnov�n�ch koncentrac� $c_j*$ pro velk� syst�my nen� jednoduch� �loha. Vy�aduje v�po�ty determinant� v�ech submatic sou�inu matic $\delta_j{\bf MC}$, z�skan�ch vynech�n�m j-t� ��dky a sloupce. Pro tento ��el bylo vypracov�no mnoho variant Kirchhoffovy techniky nap�nac�ch strom�. Dnes jsou technick� pot�e odstran�n� pou�it�m po��ta��, av�ak z�kladn� ot�zka z�st�v� otev�en�: je sou�in ${\bf MC}$ symetrick� matice nebo nen�? Wei a Prater \cite{[14]}, kte�� vypracovali maticovou techniku pro �e�en� soustav exponenci�ln�ch rovnic, argumentovali principem mikroskopick� reversibility, podle kter� by m�la b�t spr�vn� ekvivalence: \begin{equation} c_i^*k_{ij} = c_j^*k_{ji} \end{equation} Vlastnosti podstatn� kladn�ch matic �in� platnost tohoto principu pochybnou. Pou�ijeme vlastnosti vlastn�ch hodnot Markovov�ch matic a budeme studovat oper�tor ${\bf P}= ({\bf I}+ {\bf M})$. Tento oper�tor transformuje koncentra�n� vektor ${\bf c}_t$ v �ase t na koncentra�n� vektor ${\bf c}_{t+1}$ v �ase $(t + \delta)$. \section{Vlastnosti matic sou�t� (I + M)} \label{Vlastnosti matic} Matice $({\bf I}+ {\bf M})$ maj� jednu vlastn� hodnotu p�esn� 1, jin� vlastn� hodnoty jsou v kru�nici $0 < \lambda_j < 1$. Matice ${\bf M}$ m� p�esn� jednu vlastn� hodnotu rovnou nule a zb�vaj�c�ch $(n-1)$ vlastn�ch hodnot v intervalu omezen�m kru�nic� danou sou�ty rychlost� $\Sigma -k_{ij}$. Pon�vad� transformace jak�koliv l�tky nem�e b�t v�t�� ne� jej� koncentrace, sou�et rychlostn�ch konstant mus� b�t men�� ne� 1. Pokud se p�id� jednotkov� matice ${\bf I}$ k ${\bf M}$, v�echny vlastn� hodnoty se zv�t�� rovnom�rn� o 1. To m� d�le�it� d�sledek, kter� z�stal nepov�imnut�: Rovnov�n� stav oper�toru ${\bf P} = {\bf I + M}^\infty$ m� jednu vlastn� hodnotu p�esn� 1, v�echny jin� vlastn� hodnoty jsou 0. Sou�in

jak�hokoliv koncentra�n�ho vektoru ${\bf c}$ s rovnov�n�m {\bf M})^{\infty}$ mus� d�t rovnov�n� koncentra�n� vektor {\bf I}({\bf I}+ {\bf M})^{\infty}$ m� tvar n identick�ch koncentra�n�ch vektor� ${\bf c}^{\rm T}$. Pon�vad� sou�et $\Sigma_{j=1}^n = 1$, tento v�sledek souhlas� s podm�nkou M})^{\infty} = {\bf c}^{*{\rm T}}$.

oper�torem $({\bf I}+ ${\bf c}^*$. Tedy $(1/n) sloupc� rovnov�n�ch koncentrac� je v�dy ${\bf c}({\bf I}+ {\bf

Jinou d�le�itou vlastnost� rovnov�n�ho oper�toru je, �e jeho sou�in s Markovovou matic� ${\bf M}$ mus� d�vat nulovou matici ${\bf 0}$: ${\bf M}({\bf I}+ {\bf M})^{\infty} = {\bf 0}$. Abychom uk�zali n�kter� d�sledky, rozd�l�me rovnov�n� maticov� oper�tor do diagon�ln� matice ${\bf C}$, jej� prvky jsou rovnov�n� koncentrace $c^*_j$, a matici mimodiagon�ln�ch prvk� $[{\bf M}({\bf I}+ {\bf M})^{\infty} - {\bf C}]$. Sou�iny s Markovovou matic� maj� n�sleduj�c� tvar: $$\begin{array}{ccc} {\bf M} & = & \left( \begin{array}{cccc} -c_1^*\Sigma k_{i1} & c_2^* k_{12} & \dots & c_n^* k_{1n} \\ c_1^* k_{21} & -c_2^*\Sigma k_{i2} & \dots & c_n^* k_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_1^* k_{n1} & c_2^* k_{n2} & \dots & -c_n^*\Sigma k_{v} \\ \end{array} \right)\;. \end{array}$$ $$\begin{array}{c} {\bf M}[({\bf I}+ {\bf M})^{\infty} - {\bf C}]\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} \Sigma_{i=1}c_ik_{1i} & \Sigma_{i\neq2}(c_i^* k_{i1} -c_1^* k_{i1}) & \dots & \Sigma_{i\neq n}(c_i^* k_{1n} -c_1^* k_{i1})\\ \Sigma_{i\neq1}(c_i^* k_{2i} -c_2^* k_{2i}) & \Sigma_{i=2}c_ik_{2i} & \dots & \Sigma_{i\neq n}(c_i^* k_{2n}-c_1^*k_{i2})\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \Sigma_{i\neq1}(c_i^* k_{ni} -c_n^* k_{ni}) & \Sigma_{i\neq2}(c_i^* k_{ni} -c_n^* k_{ni}) & \dots & \Sigma_{i=n}c_ik_{ni} \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Rovnov�n� podm�nka je spln�na pokud \begin{equation} \sum_{j=n}^nc_j^*k_{ji} - \sum_{i=n}^nc_i^*k_{ij} = 0 \end{equation} V�echny proudy do ka�d� polohy v matici mus� b�t vyv�eny v�emi proudy z polohy, aby se udr�ela rovnov�ha. Pro to nen� nutnou podm�nkou princip mikroskopick� reversibility, je to pouze speci�ln� p��pad ze v�ech mo�nost�, jak se m�e dos�hnout rovnov�ha. Pon�vad� jak�koliv rovnov�n� stav oper�toru ${\bf P}$ m� p�esn� jednu vlastn� hodnotu 1, zbyl�ch $(n - 1)$ vlastn�ch hodnot jsou 0, snadno se naleznou odpov�daj�c� vlastn� vektory. Jednotkov�m vlastn�m vektorem je jednotkov� ��dka $ {\bf J}^{\rm T}$ nebo jednotkov� sloupec ${\bf J}$. Nulov� vlastn� vektory lze

vybrat jako jakoukoliv z $(n -1)$ hran nebo sloupc� Markovovy matice. Ka�d� Markovova matice je tedy soustavou vlastn�ch vektor� sv�ho rovnov�n�ho stavu. \section{Klasifikace Markovov�ch matic} \label{Klasifikace Markovov�ch matic} Markovova matice popisuje sv�j vlastn� rovnov�n� stav a v�echny cesty k rovnov�ze z jak�hokoliv bodu n rozm�rn�ho koncentra�n�ho simplexu. Tento simplex je rovina ortogon�ln� k jednotkov�mu vektoru ${\bf I}$, nap��klad pro 3 l�tky je to rovnostrann� troj�heln�k. Ka�d� bod simplexu m�e b�t rovnov�n�m bodem soustavy a ke ka�d�mu rovnov�n�mu bodu vede nekone�n� mnoho cest. Tedy je nutn� klasifikovat Markovovy matice podle charakteru cest, kter� matice vytv���. Pokud vylou��me matice jdouc� ke koncentrac�m mimo simplex, existuj� t�i mo�nosti. Snadno je lze nal�zt pro dvojrozm�rn� p��pad: $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} {\bf A} \\ p, q < 0.5 \\ \\ \left( \begin{array}{cc} (1-p) & p \\ q & (1-q) \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B} \\ p = q = 0.5\\ \\ \left( \begin{array}{cc} 0.5 & 0.5\\ 0.5 & 0.5 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf C} \\ p, q > 0.5 \\ \\ \left( \begin{array}{cc} (1-p) & p \\ q & (1-q) \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ \begin{itemize} \item ${\bf A}$: Hladk� p�ibl�en�. Transforma�n� linie jsou uvnit� r�mce tvo�en�ho diagon�lou a osou x. Determinant ${\bf P}$ je v�t�� ne� 1. Prvn� krok m�e bezprost�edn� v�st k rovnov�n� koncentraci. \item ${\bf B}$. Osciluj�c� p�ibl�en�. To lze rozeznat jednodu�e podle reak�n� konstanty. Pokud $k_{ij} > c^*_j$, potom soustava osciluje, kdy� reakce za��n� z

vrcholu reak�n�ho simplexu $c^i = 1$. V prv�m kroku koncentrace $c_j$ sko�� nad rovnov�nou koncentraci. Zde by se m�ly studovat �asov� podm�nky, to je vztahy mezi �asov�mi intervaly pot�ebn�mi pro transformaci objektu v jin�. Tyto intervaly jsou jist� rozd�ln� pro n rozd�ln�ch objekt� a cel� reak�n� intervaly. Nem�eme p�edpokl�dat, �e v�echny objekty reaguj� sou�asn� a tedy reak�n� intervaly mohou b�t mnohem del�� ne� transforma�n� intervaly jednotliv�ch objekt�. Av�ak tato diference p�sob� labilitu a m�e vest k oscilac�m jin�ch typ�. \item ${\bf C}$. Nejstrm�j�� p��stup. Reak�n� cesta by m�la b�t p��mka jdouc� od jak�koliv koncentra�n�ho bodu k rovnov�n�mu. To vy�aduje, aby reak�n� konstanta ka�d� l�tky byla �m�rn� rovnov�n� koncentraci c�lov� l�tky. Nap��klad pro 3 l�tky: $c_1k_{12} = ac^*_2$ $c_1k_{13} = ac^*_3$. Z podm�nek mikroskopick� reversibility $c^*_2k_{23} = c^*_3k_{32}$ dostaneme vztah reak�n�ch konstant $k_{23}/k_{13}=k_{23}/k_{12}$. Pro druh� dv� l�tky dostaneme podobn� pro $c_2$: $k_{21}/k_{31}=k_{23}/k_{12}$ a pro $c_3$: $k_{31}/k_{21}=k_{32}/k_{12}$. \end{itemize} P�i srovn�n� v�ech t�� v�sledk� vid�me, �e takov� p��stup je mo�n� pouze pro $c_j^* = 1/3$, to je pro st�ed simplexu. Princip mikroskopick� reversibility zaji��uje nejstrm�j�� p��stup pouze na p��mce spojuj�c� rovnov�n� stav s vrcholy simplexu, jedna �ist� l�tka reaguje nebo jedna l�tka miz� z rovnov�n�ho stavu. To je speci�ln� cesta a je to problematick�. Je mnohem snaz�� p�ipustit existenci cyklick�ch proud�, kter� mus� b�t vyv�eny v rovnov�ze podm�nkou pro l�tky v cyklu \begin{equation} k_{ij} = (k + k')/c^*_i\;,\ {\em kde}\ k' = c^*_j k_{ij}\;. \end{equation} Nejstrm�j�� p��stup k rovnov�ze by mohl b�t optim�ln� cestou v koncentra�n�m simplexu, av�ak nen� mo�n� dok�zat, �e je to pouze jedin� mo�n� cesta pro v�echny reak�n� syst�my a podm�nky. Nen� mo�n� dok�zat, �e sou�in matic ${\bf MC}$ je symetrick� matice. Na druh� stran� je dosti snadn� nal�zt podm�nky pro osciluj�c� reak�n� soustavy. Dosta�uj�c� podm�nkou je, aby $k_{ij}$ byly relativn� velk� ��sla. Ov�em takov� hodnoty poru�uj� podm�nky diferenci�ln�ch reakc�, p�edpokl�d� se, �e p��r�stky $\delta x/\delta t$ jsou nekone�n� mal� av�ak maticov� n�soben� ukazuje, pro� se objevuj� oscilace: v jednom �asov�m intervalu nejsou dostate�n� velk� koncentrace zp�tn�ch produkt� k vyv�en� ztr�ty $c_j \Sigma k_{ij}$, pokud ob� hodnoty $c_j$ a $\Sigma k_{ij}$ jsou velk�. Pon�vad� $({\bf I}+ {\bf M})^b \neq ({\bf I}+ b{\bf M})$, nem�eme vybrat �asov� intervaly $\Delta_t$ voln�. Ty by m�ly b�t srovnateln� s intervaly pot�ebn�mi pro reakce. Pokud n�jak� reakce vy�aduj� podstatn� del�� �asy, oscilace se objev� jako v Lotka-Wolterov� cyklu. \section{\ Jakobiho aproximace} \label{Jakobiho aproximace} Uk�zali jsme p�esn� metody pro �e�en� rovnic ${\bf Mx}= {\bf b}$ v kapitole 16, zalo�en� na invertov�n� matice ${\bf M}$ nebo nalezen� jej�ch vlastn�ch hodnot. V p��pad�, �e nejsme schopni prov�st takov� sofistikovan� matematick� operace, m�eme se pokusit uh�dnout spr�vnou odpov��. Po��tali jsme matice a v�me, �e pokud se omez�me na p�irozen� ��sla, jejich po�et nen� nekone�n�. Proto je s pou�it�m po��ta�e mo�n� naleznout �e�en� metodou zkou�ek a omyl�, zejm�na kdy� se v�sledky porovn�vaj� s c�lov�mi hodnotami a nemo�n� kombinacemi se vylou��. Tuto techniku fluktuac� lze srovn�vat s procesem, jak�m soustava hled� svou rovnov�hu. Za�n�me s vektorem odhadu {\bf y}. Po n�soben� matic� ${\bf M}$ dostaneme vektor odhadu ${\bf g}$. P�i jeho srovn�n� s c�lov�m vektorem ${\bf b}$ dostaneme

diferenci $d({\bf g}-{\bf b})$. Pokud je nulov�, n� odhad je toto�n� s hledan�m vektorem a m�eme na�e hled�n� skon�it. Podobn� pokud diference $d({\bf g}-{\bf b}) $ je zanedbateln�, m�eme na�e hled�n� skon�it. Jinak mus�me opravit vektor odhadu s pou�it�m $d({\bf g}-{\bf b})$. Av�ak nem�eme pou��t celou diferenci, proto�e p��t� odhad by mohl b�t jako kyvadlo na druh� stran� spr�vn� hodnoty. Mus�me fluktuace zmen�ovat. Oprava mus� b�t men�� ne� diference, co� se dos�hne s pou�it�m konstanty c: $0
\put(100.00,45.00){\circle{4.00}} \put(140.00,45.00){\circle{4.00}} \put(40.00,29.33){\circle{4.00}} \put(120.00,30.00){\circle{4.00}} \put(75.00,5.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,60.00)(20.00,45.00) \multiput(10.00,60.00)(0.12,-0.18){84}{\line(0,-1){0.18}} %\end %\emline(20.00,45.00)(40.00,30.00) \multiput(20.00,45.00)(0.16,-0.12){126}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(40.00,30.00)(75.00,5.00) \multiput(40.00,30.00)(0.17,-0.12){209}{\line(1,0){0.17}} %\end %\emline(75.00,5.00)(120.00,30.00) \multiput(75.00,5.00)(0.22,0.12){209}{\line(1,0){0.22}} %\end %\emline(120.00,30.00)(140.00,45.00) \multiput(120.00,30.00)(0.16,0.12){126}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(140.00,45.00)(150.00,60.00) \multiput(140.00,45.00)(0.12,0.18){84}{\line(0,1){0.18}} %\end %\emline(130.00,60.00)(140.00,45.00) \multiput(130.00,60.00)(0.12,-0.18){84}{\line(0,-1){0.18}} %\end %\emline(110.00,60.00)(100.00,45.00) \multiput(110.00,60.00)(-0.12,-0.18){84}{\line(0,-1){0.18}} %\end %\emline(100.00,45.00)(90.00,60.00) \multiput(100.00,45.00)(-0.12,0.18){84}{\line(0,1){0.18}} %\end %\emline(50.00,60.00)(60.00,45.00) \multiput(50.00,60.00)(0.12,-0.18){84}{\line(0,-1){0.18}} %\end %\emline(60.00,45.00)(70.00,60.00) \multiput(60.00,45.00)(0.12,0.18){84}{\line(0,1){0.18}} %\end %\emline(30.00,60.00)(20.00,45.00) \multiput(30.00,60.00)(-0.12,-0.18){84}{\line(0,-1){0.18}} %\end %\emline(40.00,30.00)(60.00,45.00) \multiput(40.00,30.00)(0.16,0.12){126}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(100.00,45.00)(120.00,30.00) \multiput(100.00,45.00)(0.16,-0.12){126}{\line(1,0){0.16}} %\end \put(10.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{000}} \put(30.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{001}} \put(50.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{010}} \put(70.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{011}} \put(90.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{100}} \put(110.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{101}} \put(130.00,69.33){\makebox(0,0)[cc]{110}} \put(150.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{111}} \end{picture} \end{figure}

Nejmen�� nutn� po�et ��slic pro ka�d� objekt z m objekt� je bl�zk� k $\log_2 m$. Tyto ��slice po��taj� hrany bin�rn�ho rozhodovac�ho grafu, na jeho� listech jsou um�st�ny po��tan� objekty (obr. \label{Bin�rn� rozhodovac� strom je isomorfn� s indexov�n�m m objekt� bin�rn�mi ��slicemi})\footnote{ Uspo��dejte, pros�m, listy na vrcholy krychle a nakreslete si rozhodovac� strom sami. Zkou�el jsem to, av�ak m�j obr�zek byl p��li� o�kliv�. Krychle stejn� jako rozhodovac� strom mus� b�t deformovan�}. Pro v�echny m objekty pot�ebujeme alespo� $m\log_2 m$ ��slic (v uk�zan�m p��klad� 24 ��slic). Tuto limitu lze z�skat pouze pokud $m$ jsou mocniny $2$. Nicm�n� m�eme pou��vat pro element�rn� v�po�ty logaritmy s uspokojuj�c� p�esnost�. Po�et ��slic $m_j$ je vzd�lenost list� j od ko�ene v rozhodovac�m stromu. Tedy logaritmy jsou ve vztahu ke vzd�lenostem. Kdy� v�me, �e $3^5 = 243$, konstruujeme

bin�rn� rozhodovac� strom s 1937 hranami

\begin{itemize} \item 128 * 8 = 1024 \item \ 64 * 8 = \ 512 \item \ 32 * 8 = \ 256 \item \ 16 * 8 = \ 128 Doposud se vyu�ilo pln� 15 v�tv� s 16 listy z 16 kmen� �tvrt�ho stupn� pro indexov�n� 240 list� (objekt�) s 1920 ��slicemi. Krat�� strom ra��c� z posledn�ho kmene se pou�ije pro posledn� t�i listy \item \ \ 2 * 6 = \ \ 12 \item \ \ 1 * 5 = \ \ \ 5 \end{itemize} Sou�et vzd�lenost� list� od ko�ene je 1937. Tedy $ 1937: 243 = 7.971$. V�sledek d�len� je pr�m�rn� vzd�lenost, kter� se rovn� $\log_2 3^4$. Odhad bin�rn�ho logaritmu 3 je $7.971 : 5 = 1.597$. Pon�vad� $\lg_2 3 = 1.585$, p�esnost pro takov� jednoduch� v�po�et je dobr� a mohla by se vylep�it s pou�it�m vy���ch mocnin hledan�ho ��sla, kter� jsou bl�zk� k mocnin� z�kladn�ho ��sla. V�po�ty lze prov�st pro jak�hokoliv p�irozen� po�et v�tv�. Jako p��klad: $5^{10} = 9765625$. Odpov�daj�c� zako�en�n� strom s 10 v�tvemi m� d�lku 7. D�leno 10 dostaneme 0.70000. Tabulkov� hodnota (z�skan� po��ta�kou) je $\log_{10}5 = 0.69897$. Po tomto odbo�en� se vr�t�me k funkci entropie. Pokud m�me n�jak� informace o po��tan�ch objektech, nutn� po�et ��slic lze sn�it. P�edpokl�dejme, �e objekty jsou u� indexov�ny $n$ symboly abecedy. Nov� indexov�n� lze slo�it ze dvou ��st�, symbolu $j$ a bin�rn�ho k�du zvl�tn�ho pro ka�d� zvl�tn� symbol. Nyn� pot�ebujeme pouze $\Sigma m_j \log_2 m_j$ symboly. Diference \begin{equation} H = m\log_2 m - \sum_{j=1}^n m_j \log_2 m_j = \sum m_j\log(m_j/m) \label{H_m} \end{equation} bude m�rou informace o po��tan�ch objektech z�skan� d�len�m mno�iny m objekt� do n ozna�en�ch podmno�in. Zaveden�m $p_j = m_j/m$ a d�len�m v�sledku ��slem $m$, dostaneme entropii $H_m$ vzta�enou na 1 objekt. Nap��klad �ada $aaaabbcd$

a jej� permutace vy�aduj� pouze 10 ��slic:

$$\begin{tabular}{|l|rrrrrrrr|}

\hline Decim�ln� & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline Bin�rn� & a00 & a01 & a10 & a11 & b0 & b1 & c & d \\ \hline \end{tabular}$$ Normalizovan� diference vzhledem k �pln�mu stromu $H=(24-10)/8=1.75$ je informa�n� entropie �ady\footnote{Recenzent presti�n�ho vzd�l�vac�ho �asopisu tomu nev��il a zam�tnul m�j �l�nek.}. Na ne�t�st� tento jednoduch� v�klad nevysv�tluje funkci entropie H. To je pouze aproximace jedn� jej� formy zalo�en� na bin�rn�ch logaritmech. \section{Boltzmannova funkce entropie $H_n$} \label{Boltzmannova funkce entropie $H_n$} Na Boltzmannov� hrobu je vyryt vzorec \begin{equation} S = - k\ln W\;, \end{equation} kde S zastupuje pro termodynamickou entropii, W jako Wahrscheinlichkeit znamen� pravd�podobnost a k je konstanta pojmenovan� na po�est Boltzmanna. Tento vzorec byl p���inou jeho smrti. Zem�el vy�erp�n marn�m �sil�m jej dok�zat. I jeho p��tel� vym�leli aporey, aby znemo�nili Boltzmannovu my�lenku. Jeho tragedi� bylo, �e nikdo nerozum�l jeho d�kazu, kter� se pokou��m vysv�tlit v t�to knize. Entropii definoval Clausius jej� diferenc�. Diference entropie je pom�r mezi specifick�m teplem Q pot�ebn�m pro zv�en� teploty T n�jak� l�tky a T: $dS = dQ/T$. Pokud by specifick� teplo bylo konstantn�, integrovan� forma by byla \begin{equation} S = C\log T + S_0\;. \end{equation} P�edpokl�d� se, �e entropie p�i absolutn� nule je nulov�. Tedy integra�n� konstanta $S_0$ mus� b�t $-C\log 0$. Av�ak entropie je mnohem slo�it�j�� funkce, proto�e specifick� teplo Q z�vis� na teplot� a m� singularity, jako jsou tepla t�n� a odpa�ov�n�. Soust�ed�me se na fakt, �e entropie je logaritmickou funkc� teploty. Co je teplota? To je m�ra tepeln�ho pohybu molekul\footnote{Podle sofistikovan�j�� definice je T integruj�c� faktor.}. V soustav� ide�ln�ho plynu molekuly reprezentovan� body se pohybuj� n�hodn� a pokud se sraz�, vym�n� si svou kinetickou energii, av�ak celkov� mno�stv� energie p�i konstantn� teplot� z�st�v� konstantn�. Mimo to, pokud soustava z�st�v� izolovan�, rozd�len� energi� molekul dosahuje spont�nn� rovnov�n� stav. To je nejv�t�� orbita, na kter� soustava je st�l� pro dlouh� �asov� obdob�. Funkce entropie se pova�uje za tajemnou. Nejen pro svou abstraktn� formu (nec�t�me ji p��mo jako teplotu, tlak a objem), av�ak pro jej� vlastnosti. Zvy�uje se samovoln�. Sn�en� entropie vy�aduje vn�j�� akci. Uk�zali jsme, �e plochy konstantn� energie ve f�zov�m prostoru jsou roviny ortogon�ln� k jednotkov�mu vektoru ${\bf I}$. Soustava ide�ln�ho plynu se pohybuje na t�to rovin� a po v�t�inu �asu z�st�v� na ka�d� orbit� �m�rn� k jej�mu objemu. Tedy soustava existuje na nejv�t�� orbit� nebo orbit�ch k n� nejbli���ch po v�t�inu �asu. U� zn�me vzorec pro vyhodnocen� objem� jednotliv�ch orbit. T�m je

polynomi�ln� koeficient pro n permutace $n!/ \Pi n_k!$. Logaritmus tohoto koeficientu byl navr�en Boltzmannem jako matematick� ekvivalent entropie, H funkce. Pokud n a $n_k$ jsou velk� ��sla, co� v p��pad� ide�ln�ho plynu jist� jsou(Avogadrovo ��slo, ur�uj�c� po�et molekul v 1 molu plynu, je ��du $10^{23}$), m�e pou��t se Stirlingova aproximace n!. V�sledek je \begin{equation} H_n = -\Sigma (n_k/n) \(log n_k/n)\;. \label{H_n} \end{equation} Tento v�sledek se m�e z�skat pouze s p�irozen�mi logaritmy na rozd�l od informa�n� entropie. Boltzmannov�m probl�m bylo, �e se pouze domn�val o existenci kvant energie (byly objeveny v �ase Boltzmannovy smrti Planckem), a �e m�sto aby mluvil o symetrii orbit rozd�len�, zavedl �patn� definovan� pravd�podobnosti $p_k$, kter� nahradily prav� pod�ly $n_k/n$. Jeden paradox vznesen� proti Boltzmannovi byl spojen s �asovou inverz�. Klasick� mechanika p�edpokl�dala, �e �as lze obr�tit. Av�ak takov� inverze �asu by m�la v�st ke sn�en� entropie. To by se mohlo br�t jako d�kaz proti H teor�m�. Uk�zali jsme, �e prostor nen� necitliv� ke zm�n�m znam�nka, z�porn� k�nus m� zcela rozd�ln� vlastnosti ne� kladn�. Nicm�n� zm�ny znam�nka entropie pouze klasifikuj� p�irozen� procesy. M�eme ��ci, �e pokud by �asov� inverze vedla ke sn�en� entropie soustavy, potom tato �asov� inverze nen� spont�nn� jev, pon�vad� jeho p���ina by le�ela mimo soustavu. \section{Maxim�ln� $H_n$ entropie} \label{Maxim�ln� $H_n$ entropie} Hled�n� maxim�ln�ch hodnot funkce \ref{H_n} se zd� b�t snadnou �lohou. Entropie $H_n$ je maxim�ln�, kdy� v�echny hodnoty $n_j = 1$. Tato monot�nn� �e�en� m� chybu: Lze je uskute�nit pouze p�i speci�ln�ch hodnot�ch aritmetick�ho pr�m�ru $m/n$. Sou�et aritmetick� �ady 1 a� n je ${ n+1 \choose 2}$, tedy aritmetick� pr�m�r hodnoty $m_j$ nutn� pro line�rn� rozd�len� je $(n-1)/2$, jedna polovina po�tu objekt�. Tato hodnota je p�ijateln� pouze u mal�ch syst�m�. U rozs�hl�ch syst�m�, jako jsou molekuly plynu, monot�nn� rozd�len� je nedosa�iteln�. Avogadrovo ��slo N je $6.023\times10^{23}$ (jeden mol vod�ku v�� asi dva gramy), Boltzmannova konstanta k ($k=R/N$) je $1.38\times10^{-23}$ Joule/grad a konstanta R je 8.314 Joule/grad. Monot�nn� rozd�len� by vy�adovalo teploty v kelvinech v ��du Avogadrova ��sla. Rozd�len� molekul plynu nem�e b�t monot�nn�.. Nicm�n� to mus� b�t tak ploch�, je to mo�n�. Prozkoum�me nejprve vztahy pr�m�r� n�kter�ch �ikm�ch rozd�len�. P��mkov� sklony $$\begin{tabular}{|l|rrrrrr|c|} \hline $n_k$ & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & $\sum 21={ k+ 1 \choose 2} $ \\ $m_k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \\ \hline $n_k \times m_k$ & 0 &5 & 8 & 9 & 8 & 5 & $\sum 35={ k+ 1 \choose 3}$ \\

jak

\hline \end{tabular}$$ d�vaj� aritmetick� pr�m�r $(k-1)/3$, p�ibli�n� $\sqrt{ 2n}/3$. Exponenci�ln� sklony $$\begin{tabular}{|l|rrrrrr|l|} \hline $n_k$ & 32& 16& 8 & 4 & 2 & 1 & $\sum 63= 2^6-1= 2^{k+1}-1 $ \\ $m_k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \\ \hline $n_k \times m_k$ & 0 &16 & 16 & 12 & 8 & 5 & $\sum 57=2^6-7= 2^{k+1}-2k+1 $ \\ \hline \end{tabular}$$ maj� aritmetick� pr�m�r pro v�echny velikosti pon�kud men�� ne� 1. Kdy� $m_k$ hodnoty vych�zej� od nejni��� hodnoty r, aritmetick� pr�m�r budou v�dy $r+1$, pon�vad� p�id�me k z�kladn�mu rozd�len� $r\times 2^{k+1}-1 $ jednotek. Exponenci�ln� sklony lze nap��mit kombinov�n�m n�kolika takov�ch rozd�len�: $$\begin{tabular}{|l|rrrrrrrr|l|} \hline $n_k$ & 8& 8& 4 & 4 & 2 & 2 & 1 &1 & $\sum 30= 2\times(2^4-1)$ \\ $m_k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \\ \hline $n_k \times m_k$ & 0 & 8 & 8 & 12 & 8 & 10 & 6 & 7 & $\sum 59$ \\ \hline \end{tabular}$$ Aritmetick� pr�m�r roste pomalu a sklony lze nap��mit vyrovn�n�m sousedn�ch hodnot. Rozd�len� m�e b�t symetrick�. P��mkov� rozd�len� ve tvaru sedlov� st�echy d�v� pon�kud lep�� v�sledek ne� monot�nn� rozd�len�: Jeho aritmetick� pr�m�r je v intervalu odmocniny n: $$\begin{tabular}{|l|rrrrrrr|l|} \hline $n_k$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 3 & 2 & 1 & $\sum 16=4^2$ \\ $m_k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \\ \hline $n_k \times m_k$ & 0 &2 & 6 & 12 & 12 & 10 & 6 & $\sum 48=3\times4^2$ \\ \hline \end{tabular}$$ Binomick� rozd�len� d�v� tento v�sledek $$\begin{tabular}{|l|rrrrrrr|l|} \hline $n_k$ & 1 & 6 & 15& 20& 15& 6 & 1 & $\sum 64=2^6$ \\ $m_k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \\ \hline $n_k \times m_k$ & 0 & 6 & 30 & 60 & 60 & 30 & 6 & $\sum 192=3\times2^6$ \\ \hline \end{tabular}$$

Pokud $n=2^k$, potom aritmetick� pr�m�r binomi�ln�ho rozd�len� je $k/2$. Pro Avogadrovo ��slo $k\simeq79$ ($2^{79}=6.045\times10^{23}$). Aritmetick� pr�m�r je velmi n�zk�. To znamen�, �e rozd�len� m�e b�t plo��� a obsahuje v�ce hodnot ne� 80. Plo��� binomick� rozd�len� lze modelovat jako $$\begin{tabular}{|l|rrrrrrrrrr|l|} \hline $n_k$ & 1 & 1 & 4 & 4 & 6 & 6 & 4 & 4 & 1 & 1 & $\sum 32=2\times2^4$ \\ $m_k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & \\ \hline $n_k \times m_k$ & 0 & 1 & 8 & 12 & 24 & 30 & 24 & 28 & 8 & 9 & $\sum 144=9\times2^3$ \\ \hline \end{tabular}$$ Entropii lze op�t zv�it vyrovn�n�m sklonu jako $1,2,3,5,5\dots$. Vzestupn� a sestupn� exponenci�ln� sklony: $$\begin{tabular}{|l|rrrrrrr|l|} \hline $n_k$ & 1 & 2 & 4 & 8 & 4 & 2 & 1 & $\sum 22=2^3-1+2^4-1$ \\ $m_k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \\ \hline $n_k \times m_k$ & 0 & 2 & 8 & 24 & 16 & 10 & 12 & $\sum 72$ \\ \hline \end{tabular}$$ Rozd�len� je slo�en� ze dvou slo�ek. Klesaj�c� exponenci�ln� sklon s $n=2^{k+1}-1$ ��stmi m� pr�m�rnou hodnotu $k+1$. Vzestupn� exponenci�ln� sklon s $n=2^{k}-1$ ��stmi m� sou�et $n_k \times m_k = \sum_{k=0}^{k-1}k2^k$. Jeho pr�m�rn� hodnota je pon�kud v�t�� ne� $(k-2)$, av�ak men�� ne� $k$, pon�vad� posledn� �len v sou�tu je rozhoduj�c�. Aritmetick� pr�m�r je p�ibli�n� k. Exponenci�ln� sklony lze op�t nap��mit jako d��ve. Entropie $H_n$ by byla maxim�ln�, kdyby rozd�len� bylo tak ploch�, jak je to mo�n� a bl�ilo se k monot�nn�mu rozd�len�. Pokud existuje dosti m�sta pro v�echny ��sti, rozd�len� budou symetrick� a jinak mohou b�t �ikm� jeden. \section{Shannonova funkce entropie $H_m$} \label{Shannonova funkce entropie $H_m$} Konstatov�n� z abstraktu v Chemical Abstracts \cite{[15]}: "Boltzmannova entropie je informa�n� entropi�", je typick� pro sou�asn� stav. Obecn� se v���, �e Shannonova funkce entropie $H_{m}$ je dokonaleji a tedy l�pe definov�na ne� Boltzmannova funkce entropie $H_{n}$. Av�ak ob� funkce m��� p��buzn� av�ak nicm�n� rozd�ln� vlastnosti. Ty mohou dokonce b�t aditivn�. M�eme spekulovat, kdo byl tou bludi�kou, kdo zm�nil velk� tajemstv� spojen� s entropi� na je�t� v�t�� chybu. Jej� d�sledky jsou rozset� z matematiky do fyziky, biologie, soci�ln�ch v�d a� k filosofii. J. Von Neumann dal Shannonovi tuto radu \cite{[16]}: \begin{quote} ``M�l byste to nazvat entropi� ze dvou d�vod�. V prvn� �ad� Va�e funkce nejistoty se pou��v� v statistick� mechanice pod t�mto jm�nem, tak�e u� m�

jm�no. V druh� �ad�, co� je d�le�it�j��, nikdo nev�, co entropie opravdu je, a tak v debat� budete v�dy m�t v�hodu.'' \end{quote} Z�kladn� idea Boltzmannova d�kazu (Kac \cite{[17]} " demonstrace").

H teoremu nebyla pochopena a z�stala tajemn�

Uk�zali jsme odvozen� rovnice \ref{H} a co to m���. Shannon vybral funkci H z�m�rn� z pon�kud jin�ho d�vodu. Zaj�maly jej �etnosti symbol� ve zpr�v�ch(nebo pod�ly jednotliv�ch �etnost� $m_j$ jednotliv�ch symbol� j k celkov�mu po�tu m v�ech symbol� $m_j/m$). Funkce H je aditivn�, kdy� se rozhodov�n� �t�p� jako na obr. \ref{Rozhodov�n� ze �ty� mo�nost�} \begin{figure} \caption{Rozhodov�n� ze �ty� mo�nost�} \label{Rozhodov�n� ze �ty� mo�nost�} \linethickness{0.60pt} \begin{picture}(170.00,60.00) \put(10.00,40.00){\circle{4.00}} \put(30.00,40.00){\circle{4.00}} \put(50.00,39.67){\circle{4.00}} \put(70.00,40.00){\circle{4.00}} \put(90.00,40.00){\circle{4.00}} \put(110.00,40.00){\circle{4.00}} \put(130.00,40.00){\circle{4.00}} \put(150.00,40.00){\circle{4.00}} \put(40.00,10.00){\circle{4.00}} \put(120.00,10.00){\circle{4.00}} \put(130.33,25.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,40.00)(40.00,10.00) \multiput(10.00,40.00)(0.12,-0.12){251}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(40.00,10.00)(70.33,40.00) \multiput(40.00,10.00)(0.12,0.12){251}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(30.00,40.33)(40.00,10.00) \multiput(30.00,40.33)(0.12,-0.36){84}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\emline(40.00,10.00)(50.33,39.67) \multiput(40.00,10.00)(0.12,0.34){87}{\line(0,1){0.34}} %\end %\emline(90.00,39.67)(120.00,9.67) \multiput(90.00,39.67)(0.12,-0.12){251}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(120.00,9.67)(130.67,25.00) \multiput(120.00,9.67)(0.12,0.17){89}{\line(0,1){0.17}} %\end %\emline(130.67,25.00)(150.00,40.33) \multiput(130.67,25.00)(0.15,0.12){128}{\line(1,0){0.15}} %\end %\emline(110.33,39.67)(130.67,25.00) \multiput(110.33,39.67)(0.17,-0.12){123}{\line(1,0){0.17}} %\end %\emline(130.33,40.00)(130.33,25.00) \put(130.33,40.00){\line(0,-1){15.00}} %\end \put(15.33,21.67){\makebox(0,0)[cc]{1/2}} \put(23.33,34.33){\makebox(0,0)[cc]{1/4}}

\put(55.00,34.33){\makebox(0,0)[cc]{1/8}} \put(65.00,21.33){\makebox(0,0)[cc]{1/8}} \put(100.00,21.33){\makebox(0,0)[cc]{1/2}} \put(132.00,15.00){\makebox(0,0)[cc]{1/2}} \put(115.00,28.33){\makebox(0,0)[cc]{1/2}} \put(122.67,37.00){\makebox(0,0)[cc]{1/4}} \put(145.00,28.67){\makebox(0,0)[cc]{1/4}} \end{picture} \end{figure} Nejd�le�it�j�� rozd�lem \ref{H_m} vzhledem \ref{H_n} je maxim�ln� hodnota obou funkc�. ${H_m}$ je maxim�ln�, kdy� v�ech symboly maj� stejnou �etnost, co� se rovn� aritmetick�mu pr�m�ru $\overline{m}=m/n$. Potom $n_{m/n}=n$ (jin� $n_k=0$) a entropie $H_n$ je minim�ln�, nulov�. Entropie $H_m$ m� hromad�c� ��inek na rozd�len�. To sni�uje jeho rozptyl. Fakt existence dvou funkc� entropie vysv�tluje tak zvanou redundanci informace, pon�vad� ${H_m}$ v textech nen� maxim�ln�. Kdy� m entropie je maxim�ln�, n entropie je minim�ln� a jejich sou�et nen� optim�ln�. Pokud by se v�echny symboly objevily v na�� �e�i se stejnou �etnost�, rozd�ly mezi slovy by byly zanedbateln� a nesnadno by se pozn�valy. Existuje 6 permutac� $aabb$ a pouze 4 permutace $aaab$. Av�ak existuj� tak� 4 �ady $abbb$ a stejn� rozd�len� daj� dohromady 8 �ad. Je lep�� to vysv�tlit na slovech jako z�kladn�ch vektorech informace. Mus�me opakovat slova spojen� s p�edm�tem, o kter�m mluv�me. Tato kl��ov� slova, kter� jsou nutn� pro porozum�n�, jsou �etn�j��. Zm�ny �etnosti slov ve zpr�v�ch podle jejich p�edm�t� n�m d�v� mo�nost formulovat v�ce rozd�ln�ch zpr�v ne� pokud by se v�echna slova pou��vala rovnom�rn� a bezprost�edn� pozn�vat, o �em se mluv�. Uk�zali jsme jednoduchou interpretaci informa�n� entropie. Nyn� zavedeme tuto funkci jako analogii Boltzmannovy funkce entropie $H_n$. To je logaritmick� m�ra polynomi�ln�ho koeficientu pro n permutace $n!/Pi\ n_k!$. Existuje polynomi�ln� koeficient pro m permutace $m!/Pi\ m_j!= m!/Pi\ m_k!^{n_k}$. Existuj� tedy dva polynomi�ln� koeficienty, jeden pro n permutace, jin� pro m permutace. Jak� jsou vlastnosti polynomi�ln�ho koeficientu pro n permutace? Tento koeficient ur�uje kolik �ad lze vytvo�it z m symbol� na abeced� n symbol�. Jin�mi slovy, kolik m�st existuje pro rozd�ln� zpr�vy. Koeficient \begin{equation} m!/\prod_{j=1}^n\ n_j =\prod_{k\geq1} n_k!^{m_k} \end{equation} lze modifikovat podobn� jako v p��pad� \ref{H_n} s pou�it�m Stirling aproximace m faktori�l�. V�sledek m� stejnou formu jako \ref{H_n}, vyjma toho, �e $p_k$ jsou relativn� �etnosti jednotliv�ch symbol�. \section{Vzd�lenosti a entropie} \label{Vzd�lenosti a entropie} Odpov�� na ot�zku, tolik and�l� se vejde na �pici jehly, nen� �lohou matematiky, av�ak anal�za pr�ce Maxwellova d�mona je, pon�vad� tato kreatura je je�t� s n�mi nejen ve fyzice ale tak� v teorii informace. D�mon transformoval sm�enou �adu chladn�ch molekul c a hork�ch molekul h

chchchchchchchchchchchchchchchchchchchch do �ady ve tvaru cccccccccccccccccccchhhhhhhhhhhhhhhhhhhh Doposud jsme pova�ovali ob� �ady za ekvivalentn�, pon�vad� ob� �ady jsou na stejn� orbit�. Kdy� si je p�edstav�me v dvourozm�rn�m prostoru, ob� �ady jsou rozli�iteln�. Zapl�me dlouhou �adou dva svazky knihy. Potom pozorujeme ob� �ady jako dva odli�n� stavy, jeden svazek s hork�mi molekulami h m� vy��� teplotu ne� druh� s chladn�mi molekulami c. Sm�en� �ady (stavy jim odpov�daj�c�) maj� mezilehl� teploty a vy��� fyzik�ln� entropii. Probl�mem je naj�t zp�sob, jako zm��it jejich rozd�l. Jedna mo�nost je vyj�d�it jej s pou�it�m vzd�lenosti mezi symboly jednoho druhu. Pro takov� kr�tk� �ady je nutn� uzav��t je smy�kou, abychom zabr�nili probl�m�m kr�cen� spojen�mi s ob�ma konci. Vzd�lenosti mezi symboly c jsou potom 2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2, a 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,20. Vzd�lenosti mezi symboly h jsou zde stejn�. Rozd�len� vzd�lenost� v obou p��padech je zcela rozd�ln� a ��inek m�ch�n� lze m��it p�esn� jako pro p�vodn� �ady polynomi�ln�mi koeficienty. Rozd�len� vzd�lenost� v binomick�m rozd�len� je zn�m� jako z�porn� binomick� rozd�len�. U v�ce symbol� m�eme mluvit o z�porn�m polynomi�ln�m rozd�len�. \section{Logick� funkce} \label{Logick� funkce} Na�e p�emy�len� je ��zeno logick�mi z�kony, jako jsou konjunkce, alternativa, implikace nebo jin� logick� funkce. N�kter� predik�t m�e b�t pravdiv� nebo fale�n�. Spr�vn� predik�t m� hodnotu 1, fale�n� predik�t m� hodnotu 0. Nyn� jsou zn�m� mnoho hodnotov� logika nebo fuzzy logika, kdy� fale�n� predik�t m�e m�t jakoukoliv hodnotu mezi 1 a 0. Dva predik�ty se kombinuj� a v�sledek z�vis� na z�kon�, kter� se mus� pou��t. Logick� rozhodov�n� p lze reprezentovat jako strom se dv�ma v�tvemi. Lev� znamen� spr�vn� a jej� hodnota je 1. Prav� v�tev znamen� nulu. Na odpov�daj�c� v�tvi je naroubov�n strom pro druh� predik�t q. Ke konci jeho v�tv� jsou p�i�azeny nov� logick� hodnoty podle tabulky logick�ch funkc�. \begin{table} \caption{Logick� funkce} \label{Logick� funkce} \begin{tabular}{|lcc|ccc|} \hline konjunkce: & & & pokud p q,& & potom (p a q) \\ alternativa:& & & pokud p q,& & potom (p nebo q) \\ implikace:& & & pokud p q,& & potom (p je q) \\

\hline & p & q &konjunkce & alternativa & implikace\\ \hline & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Konjunkce funkce se z�sk� obvykl�m n�soben�m

$p\times q$.

\begin{figure} \caption{Rozhodovac� strom. Lev� v�tev znamen� 1, prav� v�tev znamen� 0. Ko�en se bere jako desetinn� ��rka} \label{Rozhodovac� strom} \linethickness{0.40pt} \begin{picture}(100.00,80.00) %\emline(40.00,10.00)(20.00,29.67) \multiput(40.00,10.00)(-0.12,0.12){164}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(39.67,10.00)(80.00,50.00) \multiput(39.67,10.00)(0.12,0.12){334}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(59.67,30.00)(40.00,49.67) \multiput(59.67,30.00)(-0.12,0.12){164}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(40.00,10.00){\circle{4.00}} \put(20.00,30.00){\circle{4.00}} \put(60.00,30.00){\circle{4.00}} \put(39.67,49.67){\circle{4.00}} \put(80.00,50.00){\circle{4.00}} \put(19.67,40.00){\makebox(0,0)[cc]{1.0}} \put(39.67,60.00){\makebox(0,0)[cc]{0.1}} \put(80.00,60.00){\makebox(0,0)[cc]{0.0}} \end{picture} \end{figure} T�� hodnotovou logiku dovoluj�c� hodnoty 1, 0.5 a 0 lze reprezentovat rozhodovac�m stromem s v�ce v�tvemi, kdy� bin�rn� bod se um�st� po prvn� hodnot� (obr. \ref{Rozhodovac� strom}). Hodnota 0.1 znamen� nulu a 2, to je 0.5, pon�vad� 1 je 2. 0.0 se zaokrouhl� k 0. Prav� v�tev by mohla m�t hodnoty 1.1 a 1.0, av�ak hodnoty v�t�� ne� 1 jsou useknuty. Logick� operace m�eme nahl�et jako operace symetrie, p�i�azuj�c� rozd�ln�m bod�m logick�ho prostoru dan� hodnoty. \chapter{Literatura} \begin{thebibliography}{}{} \bibitem{1} J. Riordan, An Introduction to Combinatorial Analysis, John Wiley, New York, 1958. \bibitem{2} L. Boltzmann, �ber die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der mechanishen W"rmetheorie und die Wahrscheinlichkeitsrechnung, {\it Wiener Berichte} {\bf 1877}, 76, 373.

\bibitem{3} C. E. Shannon, The Mathematical Theory of Communication, {\it Bell System Technical Journal}, {\bf 1948}, 27, 379, 623. \bibitem{4} J. Ha\v{s}ek, The Brave Soldier \v{S}vejk. \bibitem{5} M. Kunz, What is Entropy (in Czech), {\it V\v{e}da a technika ml\'ade\v{z}i}, {\bf 1979}, 33, 552, , 616. \bibitem{6} W. Feller, An Introduction to Probability Theory its Applications, J.Willey, New York, 1970, Chapter 10.4.

and

\bibitem{7} W. Heissenberg in The Physicist's Conception of Nature, Ed. J. Mehra, D. Reidel, Dortrecht, {\bf 1968}, p. 267. \bibitem{8} M. Hall Jr., Combinatorial Waltham, 1967. \bibitem{9}

Theory, Blaisdell Publ. Comp.,

F. Harary, Graph Theory, Addison-Wesley, Reading, 1969.

\bibitem{10} F. Harary, E. Press, New York, 1973

M. Palmer, Graphical Enumeration, Academic

\bibitem{11} D. Cvetkovic, M. Doob, H. Sachs, Spectra of Graphs, Deutcher Verlag der Wissenshaften, Berlin, 1980. \bibitem{12} G. E. Andrews, The Theory of Partitions, Addison-Wesley Publ. Comp., Reading, MA, 1976. \bibitem{13} S. Weinberg, Mathematics, Notices AMS, 1986, 716.

the Unifying Thread in Science,

\bibitem{14} J. Wei, C. D. Prater, Structure and analysis reaction systems. In D.D. Eley, P. W. Selwood, P. B. Weisz Eds., Advances in Catalysis, Vol. XIII, 203-392, Academic Press, New York, 1962.

of complex

\bibitem{15} E. B. Chen, Boltzmann Entropy, Relative Entropy and Related Quantities in Thermodynamic Space, {\it J. Chem. {\bf 1995}, 102, 7169-79; CA 122: 299958.

Phys.\/},

\bibitem{16} M. Tribus, E. C. McIrvine, Energy and Information, {\it Scientific American\/}, {\bf 1971}, 225, 3, 179. \bibitem{17} M. Kac in J. Mehra, Ed. The Physicist's Conception of Nature, Reidel, Dordrecht, 1973, p.560. M. Kunz, A Note about {\bf 1988}, 23, 3. \end{the bibliography} \end{document}

the Negentropy Principle, {\it MATCH\/},

Related Documents

Mc
December 2019 54
Mc
April 2020 33
Mc
November 2019 62
Mc
June 2020 27
Mc
June 2020 36
Mc-petra
November 2019 20