Mc

\documentclass[bezier]{book} \usepackage[czech]{babel} \def\emline#1#2#3#4#5#6{% \put(#1,#2){\special{em:moveto}}% \put(#4,#5){\special{em:lineto}}} \begin{document} \author{Milan Kunz} \title{Maticov� kombinatorika a algebra} \maketitle \tableofcontents \listoffigures \listoftables \pagenumbering{arabic} \newpage \pagenumbering{Roman} \setcounter{page}{5} \chapter*{P�edmluva} Kdy� studujeme matematiku, zjist�me, �e m� mnoho odv�tv� a specializac�: algebru, geometrii, topologii, diferenci�ln� a integr�ln� po�et, kombinatoriku; r�zn� teorie: teorii ��sel, teorii grup, teorii mno�in, teorii graf�, teorii informace, teorii k�dov�n�, speci�ln� teorie rovnic, teorii oper�tor�, atd.. Zd� se, �e neexistuje ��dn� sjednocuj�c� koncept. Zn�me v�ak pouze jeden sv�t, ve kter�m �ijeme, pouze jednu fyziku, jednu chemii, jednu biologii. Tak� by m�la existovat pouze jedna matematika. Titul t�to knihy je "Maticov� kombinatorika a algebra". Kombinatorika je star� odv�tv� matematiky. Jej� z�klady se pova�uj� za element�rn�, pon�vad� jsou zalo�eny na dobr�ch p��kladech. Av�ak to m� sv� omezen�: Existuje p��li� mnoho identit je�t� jich v�ce zb�v� k objeven�. Mysl je jimi p�epln�na, jak Riordan pouk�zal\cite{1}, proto�e se ukazuje pouze nepo��dek v hojnosti. Klasick� kombinatorika zahrnovala mnoho odv�tv�, kter� se pozd�ji rozd�lila, av�ak kter� jsou podstatn� pro jej� pochopen�. Naleznete zde t�mata jak z teorie ��sel tak z teorie grup. Algebra je velmi abstraktn� v�da, vyjma sv� jedn� v�tve, line�rn� algebry. Studuj� se operace s vektory maticemi. A na t�chto pojmech je zalo�ena podstata knihy. Mysl�m si, �e jsem na�el cestu do podivuhodn�ho sv�ta kombinatoriky. Za�alo k d�vno, kdy� jsem n�hodn� objevil, �e dv� proslul� funkce entropie $H = -\sum p_j \log p_j$, jak ji definoval Boltzmann \cite{2} a Shannon \cite{3}, jsou dv� odli�n� funkce ze dvou polynomick�ch koeficient�, v protikladu k obecn� p�ijat�m n�zor�m principu negentropie. M�l jsem tenkr�t pocit jako kadet Biegler \cite{4}. Vzpome�te na jeho zoufal� v�k�ik: ``Jesusmarja, Herr Major, es stimmt nicht!''. Star�� d�stojn�ci klidn� naslouchali p�edn�ce o k�dov�n�, av�ak dan� p��klad ned�val smysl, proto�e m�li po ruce jin� svazek, ne� p�edpisovaly instrukce. Jm�no knihy bylo "S\"unde der V\"ater". Podobn� jako ve �vejkovi si mysl�m, �e kniha se m� ��st od sv�ho prv�ho svazku. Bylo t�m�� nemo�n� publikovat v�sledky, proto�e nesouhlasily s p�ijat�mi n�zory. M�j prv� pokus byl zam�tnut z d�vodu, �e m�j v�klad byl nesrozumiteln�.

Ve vzteku jsem napsal sv�j v�klad pro technick� �asopis pro ml�de�, kde byl p�ijat jako vhodn� �ten� pro jejich naivn� �ten��e \cite{5}. Doposud jsem nebyl schopn� publikovat sv�j v�sledek explicitn�. Odborn� referenti nep�ijali m� argumenty. Z mnoha d�vod�. Byl jsem nucen pokra�ovat ve sv�m v�zkumu, objevit nov� vztahy, kter� dok�zaly moji koncepci. Jsou to velmi element�rn� v�ci o matic�ch graf�, kter� nejsou vysv�tleny v u�ebnic�ch na jejich vhodn�m m�st�, co� znamen� na po��tku. Douf�m tedy, �e jsem usp�l. Pokud by tato kniha byla naps�na p�ed sto l�ty, mohla by zachr�nit jeden lidsk� �ivot, pokud by byla publikov�na pades�ti roky, mohla by zabr�nit myln� interpretaci teorie informace. Matematick� rovnice a identity jsou jako kousky skl�da�ky. Jsou uspo��d�ny tradi�n�m zp�sobem do specializac�, kter� jsou studov�ny odd�len�. Pokud matematikov� byli neschopni si uv�domit, �e ob� funkce entropie vypl�vaj� z identity, zn�m� paradoxn� jako Polya-Brillouinova statistika, kterou lze nal�zt ve v�eobecn� pou��van�ch u�ebnic�ch\cite{6}, pak n�jak� z�kladn� p�ek�ky jim zabr�nily interpretovat jejich abstraktn� definice spr�vn�. Kdy� jsem studoval probl�m entropie, v�d�l jsem, �e to byl kombinatorick� probl�m, pon�vad� s�m Boltzmann spojil funkci H s kombinatorickou identitou. Mimo to jsem ji koreloval intuitivn� maticemi, proto�e: "Ani jsem nev�d�l, co je matice a jak se n�sob�," jako Heisenberg \cite{7} p�ede mnou. Obvykl� v�klady matic mi ned�valy ��dn� smysl. M�j p��stup je element�rn�: �ada symbol� (slovo, text) \begin{itemize} \item ``v�klady matic mi ned�valy ��dn� smysl '' je pova�ov�na za �adu n�sledn�ch vektor� napsan�ch tu�n�mi p�smeny jako vektory \item ``{\bf v�klady matic mi ned�valy ��dn� smysl}''\\ vektory v �ad� jsou naps�ny s pou�it�m formalismu \item ${\bf j} = {\bf e}_j = (0, 0,...1_j,...0)$ \end{itemize} jako vektor sloupec ve form� matice. Nazval jsem matice maj�c� v ka�d� ��dce pr�v� jeden jednotkov� symbol "naivn�". Jin� vhodn� n�zvy, jako primitivn�, element�rn� u� byly obsazeny. Matice z�skan� permutacemi nal�zaj�c� skal�rn� sou�iny naivn� matice s jednotkov�mi vektory, se se�tou a v�sledky se zobraz� v tabulkov� form�. V�sledn� tabulky kombinatorick�ch funkc� maj� formu matice a lze na nich prov�d�t maticov� operace, jako je n�soben�, transpozice a inverze. Aplikace maticov� operace byla obvykl� v kombinatorice jako Kroneckerova funkce $\delta_{ij}$, kter� je implicitn� aplikac� inverzn� matice. Riordan uv�d� mnoho p��klad� jejich pou�it�. Av�ak maticov� technika se nepou��vala systematicky p�i odvozov�n� kombinatorick�ch identit a nespojovala se z�kladn�mi vlastnostmi vektorov�ch prostor�. Teprve nyn� se objevuj� podobn� studie. Rozd�ly sou�tu dvou naivn�ch matic jsou studov�ny v druh� ��sti knihy. Jsou zn�m� jako grafy. N�vrhy blok� by mohly tvo�it p��t� krok. Se vyu��v� v pokro�il� kombinatorice.

Bloky maj� maticovou formu a hledaj� se po�ty rozli�iteln�ch blok�. Hall \cite{8} zah�jil svou knihu kapitolami rekapituluj�c�mi klasickou kombinatoriku p�ed t�m ne� pojednal n�vrhy blok�, av�ak neu�inil ��dn� pokus pou��t sjednocenou maticovou techniku k tradi�n� kombinatorice a vysv�tlit kombinatorick� probl�my jako po��t�n� naivn�ch blok�. Kdy� jsem spojil kombinatorick� probl�my s vlastnostmi spo�etn�ch vektorov�ch prostor�, objevil jsem jinou cestu do u prostor. Mohu objasnit, alespo� to v���m, jak tento prostor je vystav�n. Jeho n�kter� z�kladn� vlastnostmi nejsou vysv�tleny v u�ebnic�ch. Bu� matematikov� je nepova�uj� d�le�it�, nebo jednodu�e je ignoruj�. Ov�em existuje mo�nost, �e je skr�vaj� jako hermetick� tajemstv� nevysv�tlen� nezasv�cen�m. V ka�d�m p��pad� Euklidovsk� prostor m� velmi podivuhodn� vlastnostmi. Tato kniha je element�rn�. Pouze v�jime�n� jsou uvedeny v�sledky vy��� matematik, potom bez d�kaz�. Nicm�n� si nemysl�m, �e je to snadn� kniha. Ukazuje, jak slo�it� sv�t je, �e v�echno je spojen� s v��m. Pokou��m se vysv�tlit n�kter� ��sti kombinatoriky a maticov� algebry nekonven�n�m zp�sobem. C�lem nen� matematick� p�esnost nebo praktick� aplikace, av�ak dosa�en� intuitivn�ho porozum�n� slo�itosti vektorov�ho prostoru. D�v�m p�ednost �pln� indukci p�ed vytvo�uj�c�mi funkcemi a hlavn�m c�lem knihy je uk�zat, �e sv�t nem� pouze t�i rozm�ry, ve kter�ch se m�eme pohybovat. Mus�m p�iznat, �e j� s�m m�m pot�e, kdy� se pokou��m si p�edstavit n�kter� element�rn� v�ci. N�kter� �e�en� jsem na�el pouze po velmi dlouh�ch obdob�ch p�emy�len�, jakoby spr�vn� zp�sob byl blokov�n neviditeln�mi p�ek�kami. D��ve ne� za�neme, ud�lejme pozn�mku o ��seln�ch syst�mech. Ka�d� zn� decim�ln�: $$0 = 10^{-\infty};\ 1 = 10^0;\ 10 = 10^1;\ 100 = 10^2\;.$$ N�kdo zn� bin�rn�: $$0 = 2^{-\infty};\ 1 = 1^1 = 2^0;\ 10 = 2^1; \ 11 = 3;\ 100 = 4 = 2^2\;.$$ Av�ak nikdo, jak se mi zd�, nestudoval jednotkovou ��selnou soustavu: $$1 =1^1;\ 11 = 2 = 1^2;\ 111 = 3 = 1^3.$$ Rozd�lem je, �e soustava startuje z prvn� mocniny 1, kter� je nerozli�iteln� od sv� nulov� mocniny $$1 = 1^{-1} = 1^0\;.$$ Logaritmus 1 s base logaritmus 1 je op�t 1, 3.

logaritmus 111 s bas� logaritmu 1 je

Matematick� operace v tomto syst�mu jsou jednoduch�: s��t�n� \begin{center} $111 + 11 = 11\ 111$ \end{center} ode��t�n�

\begin{center} $111 - 11 = 1$ \end{center} N�soben� a d�len� by se m�ly zapsat jako mocniny, nap��klad n�soben� $(111)^{11}$, av�ak lze uspo��dat do blok� \begin{center} \begin{tabbing} \= \qquad 11 $\times$ 111 = \= 111 \\ \= \> 111 = 111\,111 \end{tabbing} \end{center} a d�len� \begin{center} \begin{tabbing} \= \qquad 111\, 111 $\div$ 11 = 11 \= 11\ 11 \vline \ 1\\ \> \> 11 \= 11 \vline \ 1\\ \> \> \> 11 \vline \ 1 = 111 \end{tabbing} \end{center} Pou�ijeme tento soustava implicitn� bez jeho dal��ho zmi�ov�n�. Vyskytnou se n�jak� probl�my s notac�. Nen� dost p�smen k pou�it� speci�ln� pro ka�dou funkci. Proto pou�ijeme n�kter� p�smena pro rozd�ln� funkce bez varov�n�. Obr�zky, tabulky a rovnice jsou indexov�ny odd�len� v ka�d� kapitole. Jednou pot�� systematick�ho v�kladu je, �e nem�ete rozum�t v�emu najednou. Je nutn� zav�d�t koncepty postupn�. Nov� znalosti modifikuj� p�edchoz� definice. Proto n�kter� t�mata budou pojedn�ny opakovan�, kdy� bude mo�n� vyu��t nov� zav�d�n� techniky. Bu�te trp�liv�, pros�m, kdy� n�kter� v�c se zd� b�t vysv�tlov�na p��li� podrobn�. Pokud opravdu chcete porozum�t, �t�te knihu v�cekr�t. Je to v�ak dosti mechanick� p�eklad z angli�tiny, proveden� metodou "nahra�". Nenahrazen� z�staly mimo jin� chyby desetinn� te�ky pou��van� v americk� angli�tin�. Zm�nil jsem knihy Riordana \cite{9}, kter� byly d�le�it� pro kombinatoriku. Podobn� by se m�ly zm�nit knihy Hararyho pro grafy \cite{10,11} kniha Cvetkovi$\breve c$e, Dooba a Sachse \cite{12} pro vlastn� hodnoty matice sousedstv�. N�kter� ��sti t�to knihy jsou kompilov�ny z �asopiseck�ch �l�nk�. Chci vyj�d�it sv�j vd�k zejm�na �len�m Z�h�ebsk� skupiny za mnoh� reprinty. \pagenumbering{arabic} \chapter{Euklidovsk�, Hilbert�v a f�zov� prostor} \label{Euklidovsk�} \section{P�edb�n� pozn�mky} \label{Preliminary} Obecn� v���me, �e �ijeme v t��rozm�rn�m prostoru s t�emi mo�n�mi sm�ry pohybu a jejich protiklady: vp�ed a zp�t, vlevo a vpravo, nahoru a dol�. N�kdy se p�id�v� �as jako �tvrt� rozm�r se specifick�mi vlastnostmi. �as je nezbytn� pro pohyb. Nem�eme se pohybovat v �ase fyzik�ln�, pon�vad� je to proud, kter� v�echno un��, av�ak na�e mysl se m�e pohybovat v �ase bez jak�chkoliv pot��.

N� pojem prostoru je zalo�en� na form� na�ich knih: bod m� t�i koordin�ty odpov�daj�c� ��slu strany, ��dky a sloupce \footnote{ Tak� existuj� pol�rn� koordin�ty ud�vaj�c� polohy jako na kole, av�ak ty jsou mimo n� z�jem.}. T�i rozm�ry knihy se tvo�� danou konvenc� z �ady symbol�. P��li� dlouh� �ady jsou rozsek�ny do ��dek, p��li� dlouh� �ady ��dek jsou rozsek�ny do str�nek a p��padn� p��li� dlouh� sekvence stran jsou rozsek�ny do svazk� tvo��c�ch �tvrt� rozm�r. V�dy v�ak mus�me ur�it nejprve polohu symbolu v ��dku. Existuj� rozd�ln� formy knih, jako nap��klad svitky. �ady symbol� se mohou nat��et na bubny nebo se svinovat do klubek a p�i tom z�st�vaj� podstatn� nezm�n�n�. Podobn� body prostoru se mohou indexovat rozd�ln�mi zp�soby. Knihy existuj� bez jak�hokoliv pohybu, av�ak kdy� je �teme, pot�ebujeme �as pro p�enos jejich symbol� do na�eho mozku, abychom si zapamatovali podstatn� fakta a my�lenky, k p�eps�n� knihy do na�eho mozku. Sv�t je slovo, a to velmi dlouh� slovo, v ciz�m jazyku. Mus�me se u�it, jak mu porozum�t. Existuje jeden podstatn� rozd�l mezi knihou a na��m sv�tem. Sv�t se pohybuje. Jako kdyby se sama kniha neust�le p�episovala. N�kter� ��sti se n�m zdaj� b�t stabiln�, av�ak n�kde prob�haj� neust�le neviditeln� zm�ny. Sv�t je v okam�iku a kniha A a v p��t�m okam�iku b kniha B. V�echny mo�n� stavy sv�ta tvo�� knihovnu. Av�ak budeme analyzovat nejprve jednodu��� p��pad, nehybn� text. T�i rozm�ry prostoru nejsou ekvivalentn�. Pohyb vp�ed je snadn�, vzad ne�ikovn�, Pohyby vlevo nebo vpravo, jako krabi, nejsou norm�ln�, nahoru a dol� se m�eme pohybovat pouze v kr�tk�ch skoc�ch (dlouh� p�dy dol� kon�� nebezpe�n�). V knih�ch o�i mus� sk�kat na p��t� ��dky, strany se mus� obracet, nov� svazky otev�rat. Zvy�uj�c� se �sil� je pot�ebn� v ka�d�m nov�m kroku. Matematika abstrahuje tyto rozd�ly. T�i rozm�ry prostoru jsou pova�ovan� za ekvivalentn� a ortogon�ln�. N� sv�t se zd� b�t omezen t�mito t�emi rozm�ry. Nejsme schopni nal�zt �tvrt� geometrick� rozm�r, kter� by byl ortogon�ln� k prv�m t�em. To je zdrojem mnoha pot�� a nedorozum�n�. Matematikov� pokuste si se jim vyhnout skr�vaj�ce decentn� na�i neschopnost jako ostudu. Od starov�ku ortogonalita znamen�, �e mezi dv�ma p��mkami existuje prav� �hel R. Ve skute�nosti zde mus� b�t 4 R, pokud se k��� dv� p��mky $$\begin{array}{ccc} R &\vline & R \\ & \vline & \\ \hline & \vline & \\ R & \vline & R \end{array}$$ T�et� p��mka v rovin� mus� b�t bu� paraleln� k jedn� z nich, potom k��� jinou, nebo k��� ob�, potom tvo�� troj�heln�k, vyjma p��mky proch�zej�c� k��en�m prv�ch dvou p��mek. Nejd�le�it�j�� vlastnost� pravo�hl�ch troj�heln�k� je, �e �tverec nad jejich p�eponami jsou stejn� sou�t�m �tverc� obou ostatn�ch stran jako na obr. \ref{Pythagorean} \begin{figure} \caption{Pythagorova v�ta. $a^2\ +\ b^2\ = \ c^2$}

\label{Pythagorean} \linethickness{0.6 pt} \begin{picture}(150.00,130.00) \put(50.00,80.00){\line(0,1){30.00}} \put(50.00,110.00){\line(1,0){30.00}} \put(80.00,110.00){\line(0,-1){30.00}} \put(80.00,80.00){\line(-1,0){70.00}} \put(10.00,80.00){\line(0,-1){40.00}} \put(10.00,40.00){\line(1,0){40.00}} \put(50.00,40.00){\line(0,1){40.00}} \put(50.00,80.00){\line(1,0){30.00}} \put(80.00,80.00){\line(0,1){0.00}} \put(80.00,80.00){\line(-1,0){30.00}} \put(50.00,40.00){\line(3,4){30.00}} \put(80.00,80.00){\line(4,-3){40.00}} \put(120.00,50.00){\line(-3,-4){30.00}} \put(90.00,10.00){\line(-4,3){40.00}} \put(63.00,85.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(71.00,56.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} \put(43.00,60.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \end{picture} \end{figure} Nejmen�� pravo�hl� troj�heln�k, jeho� strany jsou cel� ��sla m� strany 3, 4, 5. Jejich �tverce jsou 9 + 16 = 25. Vztah mezi stranami pravo�hl�ch troj�heln�k� je zn�m jako {\em Pythagorova v�ta}. Znalost pravo�hl�ch troj�heln�k� byla jedn�m z prvn�ch matematick�ch �sp�ch� lidstva. Pyramidy maj� �tvercov� z�kladny. Jejich triangulace byla velmi p�esn� d�ky vyu�it� tento znalosti. Podobn� jako nejsme schopni nal�zt �tvrt� rozm�r, nejsme ani schopni rozhodnout, zda mno�ina ��sel neodpov�d� mno�in� ortogon�ln�ch p��mek, jejich� d�lky odpov�daj� dan�m ��sl�m. Kresleme postupn� pravo�hl� troj�heln�ky jako na obr.\ref{Consecutive} \begin{figure} \caption{Postupn� Pythagorovo s��t�n�. Nov� vektory se p�i��taj� jako ortogon�ln� k sou�tu p�edchoz�ch} \label{Consecutive} \linethickness{0.6 pt} \begin{picture}(90.00,90.00) %\vector(20.00,80.00)(70.00,80.00) \put(70.00,80.00){\vector(1,0){0.2}} \put(20.00,80.00){\line(1,0){50.00}} %\end %\vector(70.00,80.00)(70.00,50.00) \put(70.00,50.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(70.00,80.00){\line(0,-1){30.00}} %\end %\vector(70.00,50.00)(55.00,25.00) \put(55.00,25.00){\vector(-2,-3){0.2}} \multiput(70.00,50.00)(-0.12,-0.20){126}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\vector(55.00,25.00)(30.67,8.33) \put(30.67,8.33){\vector(-3,-2){0.2}} \multiput(55.00,25.00)(-0.18,-0.12){139}{\line(-1,0){0.18}} %\end \put(43.67,84.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(75.00,64.00){\makebox(0,0)[cc]{b}}

\put(68.33,34.33){\makebox(0,0)[cc]{c}} \put(48.00,12.67){\makebox(0,0)[cc]{d}} \put(63.67,73.00){\makebox(0,0)[cc]{R}} \put(60.67,48.67){\makebox(0,0)[cc]{R}} \put(45.67,25.67){\makebox(0,0)[cc]{R}} \put(20.00,80.00){\circle{0.00}} \put(20.00,80.00){\circle{0.00}} \put(20.00,80.00){\circle{2.75}} %\vector(20.00,80.00)(70.00,50.00) \put(70.00,50.00){\vector(3,-2){0.2}} \multiput(20.00,80.00)(0.20,-0.12){251}{\line(1,0){0.20}} %\end %\vector(20.00,80.00)(55.00,25.00) \put(55.00,25.00){\vector(2,-3){0.2}} \multiput(20.00,80.00)(0.12,-0.19){292}{\line(0,-1){0.19}} %\end %\vector(20.00,80.00)(30.67,8.33) \put(30.67,8.33){\vector(1,-4){0.2}} \multiput(20.00,80.00)(0.12,-0.81){89}{\line(0,-1){0.81}} %\end \end{picture} \end{figure} Ka�d� nov� p��mka je ortogon�ln� k pravo�heln�kov�mu sou�tu v�ech p�edch�zej�c�ch p��mek. Pokuste se vytvo�it t��rozm�rn� model tak, �e polo��me t�et� p��mku kolmo k rovin�, ve kter� le�� prv� dv� p��mky. Potom oto��me tuto p��mku do roviny ortogon�ln� k p�epon�, skl�daj�ce ji dol�, a� se dotkne roviny. T�m vznikne nad rovinou m�sto pro �tvrt� vektor, op�t ortogon�ln� k p�epon� prv�ch t�� vektor�. Dostaneme obecnou rovnici \begin{equation} L^2\ = \ \sum m^2_j \end{equation} \label{sou�tu} kde $m^2_j$ zastupuje $n$ rozd�ln�ch odv�sen a $L^2$ je �tverec d�lky v�ech $n$ odv�sen. M�eme oto�it postupn� ka�d� vektor roviny takov�m zp�sobem, �e tvo�� pravo�hl� troj�heln�k se sou�tem v�ech ostatn�ch $(n - 1)$ vektor�, av�ak nesm�me uva�ovat sou�asn� v�ce p��mek nebo� zjist�me, �e nejsou ortogon�ln�, jak jasn� vid�me na obr.\ref{Consecutive}, kde byla nakreslena s�rie pravo�hl�ch troj�heln�k�. Pokud bychom m�li k dispozici v�ce rozm�r�, mohli bychom rozlo�it takov� sou�ty do n ortogon�ln�ch sm�r�. Sou�et $n$ �tverc� s hodnotami stran (d�lkami) $m^2_j$ se m�e op�t rozlo�it do Pythagorova troj�heln�ku, jeho� �tverce stran a, b, c jsou postupn� \begin{equation} a^2 = n\overline{m} \end{equation} \begin{equation} b^2 = \sum m^2 - n\overline{m} \end{equation} \begin{equation}

c^2 = \sum m^2_j, \end{equation}\. \label{mean} $\overline{m}$ v \ref{mean} je zn�m� jako {\em aritmetick� pr�m�r}. Ve skute�nosti aritmetick� pr�m�r m�e b�t identick� s jedn�m z $n$ s��tanc�. Aritmetick� pr�m�r se po��t� obvykle nalezen�m sou�tu v�ech $m$ hodnot a jeho d�len�m $n$ \begin{equation} \overline{m} = \sum m_j/n. \end{equation} \label{bar} P��mkovou d�lkou strany je jej� odmocnina. Zde se odmocnina $n$ objevuje pon�kud p�ekvapiv�, av�ak je to d�lka diagon�ly $n$ rozm�rn� krychle. Podobn� t�et� stranu troj�heln�ku (1.3) se m�e normalizovat jej�m d�len�m s $n$. Potom dostaneme hodnotu $\sigma^2$ zn�mou jako {\em disperze} \begin{equation} \sigma^2 = 1/n\sum (m^2_j - n\overline{m}^2). \end{equation} \label{standard} Odmocnina disperze, kter� je srovnateln� s pr�m�rem, je zn�m� jako {\em standardn� odchylka} $\sigma$. Nap��klad vezm�te hodnoty 1, 2, 3, 4. Jejich pr�m�r je 2.5, sou�et �tverc� $30 = 1 + 4 + 9 + 16$. Disperze je $1/4(30 - 4 \times 6.25) = 1.25$. P�i po��t�n� pr�m�ru a standardn� odchylky nepot�ebujeme zn�t sm�ry obou odv�sen, proto�e jsou ur�eny automaticky sv�mi d�lkami, jako kdy� se troj�heln�k konstruuje ze zn�m�ch d�lek sv�ch t�� stran. Nakresl�me dv� kru�nice s pr�m�ry $a$ a $b$ na obou konc�ch strany $c$. Kde se kru�nice k���, le�� t�et� vrchol. Sm�r v�ech stran v mnohorozm�rn�m prostoru je pro n�s zcela abstraktn�. \section{Euklidovsk� prostor} \label{Euklidovsk�ho prostor} Prostor pravo�hl�ch troj�heln�k� a nikdy se k���c�ch rovnob�ek je zn�m� jako {\em Euklidovsk� prostor}. Jeho zobecn�n� do nekone�n� mnoha rozm�r� $n \rightarrow \infty$ pro sou�et \ref{pr�m�r} je zn�m� jako {\em Hilbert�v prostor}. Euklidovsk� prostor s $n$ rozm�ry v n�m tvo�� podprostor. Euklides zalo�il svoji geometrii n p�ti postul�tech: 1. Lze v�st p��mku z jak�hokoliv bodu k jin�mu. 2. Kone�nou p��mku lze nep�etr�it� prodlou�it. 3. Lze opsat kru�nici s jak�hokoliv st�edu s jak�mkoliv polom�rem. 4. V�echny prav� �hly se vz�jemn� rovnaj�. 5. Pokud p��mka prot�naj�c� dv� p��mky tvo�� vnit�n� �hly na stejn� stran� men��, ne� dva prav� �hly, pokud se prodlou�� do nekone�na, sb�haj� se na stran�, kde jsou �hly men�� ne� dva prav� �hly. P�t� postul�t je nadbyte�n�. Z toho plyne p��mo z aplikace prvn�ch �ty� postul�t� v n�sleduj�c� konstrukci. Vezmeme �tverec ABCD. V�echny jeho prav� �hly jsou podle 4. postul�tu prav�, v�echny jeho strany jsou p��mky. P�id�me k tomuto �tverci ABCD nov� �tverec CDEF a vyrovn�me strany AE a BF podle 2. postul�tu. Ke z�skan�mu obd�ln�ku ABEF

p�id�me nov� �tverec EFGH, op�t vyrovn�me strany AG a BH podle 2. postul�tu. Takov�m zp�sobem budeme pokra�ovat s p�id�v�n�m �tverc� do nekone�na, p��padn� na jin� krat�� stran� obd�ln�ka. Takov�m zp�sobem vytvo��me paraleln� p��mky spojen� hranami. Existuj� dv� mo�nosti, �e dlouh� strany nekone�n�ho obd�ln�ku se setkaj� nebo rozejdou. Bu� t�mito dlouh�mi stranami nejsou p��mky odpov�daj�c� po�adavk�m 2. postul�tu, nebo prav� �hly n�sledn�ch �tverc� nesplnily po�adavky 4. postul�tu. P�t� postul�t je d�sledek aplikace p�ede�l�ch postul�t� pro nekone�n� konstrukce. Probl�m ortogonality ztr�c� svou d�le�itost v Hilbertov� prostoru. Pokud m�te z�sob�rnu nekone�n� mnoha vektor�, m�ete vybrat jak�hokoliv dva jako prvn�, kter� budou vz�jemn� kolm�. M�ete b�t jisti, �e naleznete t�et�, kter� bude ortogon�ln� k prvn�m dv�ma. Tak m�ete pokra�ovat. Budete vy�erp�ni p�ed t�m, ne� budete schopni vy�erpat nekone�nou z�sob�rnu. Nebo m�ete b�t l�n� a pou��t alternativn� vektory s �hly v�t��mi a men��mi ne� ortogon�ln�. Chyby se budou ur�it� postupn� kompenzovat. Euklides zavedl axiomy do matematiky. Prostor a jeho prvky jsou definov�ny mno�inou proposic. Nev�hodou tohoto p��stupu je, �e nev�me a priori, jej� prvky tvo�� prostor. Pou�ijeme jin� p��stup a budeme generovat prvky postupn�. Setk�me se s prostory s mnoha rozm�ry, pozn�vaj�ce, �e nejsme sami v prostoru. V tomto zvl�tn�m prostoru �ij� jin� lid� a existuje v n�m mnoho v�ci. Ka�d� jednotlivost m� svou vlastn� polohu v prostoru. Pro v��et t�chto poloh pot�ebujeme pro ka�d� objekt jeho specifick� ��dky s vlastn�mi koordin�tami. V ka�d� ��dce mus� b�t tolik koordin�t, kolik m� prostor, v n�m� jednotlivosti existuj�, rozm�r�. Pokud by bylo $m$ jednotlivost� v $n$ rozm�rn�m prostoru, bylo by nutn� zn�t $mn$ koordin�t, v 3 rozm�rn�m prostoru pot�ebujeme pro $m$ jednotlivost� $3m$ koordin�t a v 1 rozm�rn�m prostoru st�le je�t� $m$ koordin�t k ur�en� poloh v�ech objekt�. Prostory s $m$ objekty jsou zn�m� ve fyzice jak f�zov� prostory\footnote {Po�et objekt� je zde dan� jako $n$. Aby se zamezilo z�m�n� s $n$ rozm�ry, pou�ijeme symbol $m$.}. F�zov� prostory maj� podivnou vlastnost, �e n�kter� z nich m�eme vn�mat p��mo. V�eobecn� zn�m�m p��kladem je teplota a rychlost v�tru v soustav� molekul vzduchu. Tyto pojmy, kter� v�ichni zn�me z vlastn� zku�enosti, odpov�daj� matematick�m pojm�m. Ka�d� molekula m� p�i teplot� okol� pr�m�rnou rychlost n�kolika set metr� za sekundu. N�razy nepatrn�ch molekul na st�ny n�doby vyvol�vaj� tlak. Chaotick� kolize molekul pohybuj�c�ch se v rozd�ln�ch sm�rech vedou k st�l�mu rozd�len� rychlost� ��stic. Tyto rychlosti se rozlo�� do dvou slo�ek. Jedna slo�ka je tvo�ena ��st� pohybu, kterou maj� spole�nou v�echny ��stice v dan�m objemu. Tuto slo�ku, matematicky aritmetick� pr�m�r, obvykle velkou pouze n�kolik metr� za sekundu, ve srovn�n� se shora zm�n�n�mi sty metry za sekundu u jednotliv�ch molekul, c�t�me, kdy� jsme uvnit� soustavy jako jej� sou��st, jako v�tr, co� je fyzik�ln� vlastnost syst�mu molekul. Jinou slo�kou je disperze z pr�m�rn� vektorov� rychlosti. Je zn�m� jako tepeln� pohyb molekul, teplota. Uk�eme, �e v�echny f�zov� prostory jsou {\em isomorfn�}. N�kter� jejich vlastnosti nez�vis� na rozm�rnosti $n$ prostoru, ve kter�m je ulo�en soustava $m$ entit, av�ak jsou uveden� pouze po�tem entit. F�zov� prostor je tedy realitou a nen� matematickou konstrukc�. Na ne�t�st� na�e zku�enost je omezena vlastnostech jeskyn� v n� �ijeme, jak Plato napsal. Je extr�mn� nesnadn� p�ekonat tento handicap a vid�t ide�ln� prostory za st�ny, kter�

vyvol�vaj�. St�ny vn�j��ho sv�ta, kter� na�e o�i prom�taj� na st�nu jeskyn�, ve kter� �ijeme (mozkovnu) jsou dvou rozm�rn� \footnote{ Angli�tina mi dovolila slovn� h���ku, pojem pro mozkovnu je scull cave.}. T�et� rozm�r rozli�ujeme �sil�m sval� o�� zaost�uj�c�ch na retinu. To se d�je automaticky. Vy��� rozm�ry rozli�ujeme �sil�m na�ich mozk� nebo jejich roz���en�, po��ta��. Bude dlouho trvat, ne� se p�izp�sob�me pojmu vy���ch rozm�r� stejn�m zp�sobem jako se n� zrak p�izp�sobil t�em rozm�r�m. Na�e vizu�ln� org�ny se vyv�jely po sta miliony rok�. Pojem mo�nosti neviditeln�ch prostor� se zrodil p�ed 2500 roky, studie jejich vlastnost� zapo�aly p�ed 250 roky a po��ta�e, kter� usnadnily jejich porozum�n� se objevily p�ed 50 roky. Chce to �as. \section{Jednotkov� vektory ${\bf e}_j$} \label{Jednotkov� vektory} Nyn� je �as zav�st pojem line�rn� translace. Pokud se mikro��stice pohybuje ve Wilsonov� komo�e (nebo letadlo v stratosf��e), zanech�v� za sebou stopu ionizovan�ch ��stic, na kter�ch se kondenzuj� molekuly. P�edstavte si, �e tak� abstraktn� bod, kdy� se pohybuje, zanech�v� takovou stopu. Naz�v�me ji {\em vektor} a kresl�me ji jako p��mku se �ipkou ve sm�ru pohybu $\longrightarrow$. K posunut� bodu mus�me pou��t tuto stopu spojuj�c� ob� polohy bodu, po��te�n� a kone�nou. Diskutovali jsme ortogonalitu a je z�ejm�, �e vektory mohou b�t ortogon�ln�. Av�ak definovali jsme ortogonalitu pouze mezi p��mkami a proto p�edpokl�dejme, �e vektory jsou p��mkov�. Ov�em pohyb v prostoru nemus� b�t omezen pouze na pohyb pod�l p��mky, av�ak pokou��me se udr�ovat n� prostor tak jednoduch�, jak je to mo�n�. M�eme p�edpokl�dat, �e prostory s k�ivkov�mi vektory jsou isomorfn� prostor�m s p��mkov�mi vektory. Nyn� zavedeme speci�ln� m�sto v $n$ rozm�rn�m prostoru, od kter�ho budeme m��it v�echny translace. Tento bod budeme naz�vat {\em st�ed soustavy koordin�t}. Potom definujeme $n$ bod� na kouli (kruhu) se st�edem ve st�edu soustavy koordin�t. P�ijmeme r�dius koule jako jednotkovou d�lku. M�eme si p�edstavit, �e body na kouli jsou p�enesen� st�edy soustavy koordin�t a budeme naz�vat ka�d� vektor spojuj�c� st�ed soustavy koordin�t s definovan�mi $n$ body na kouli {\em jednotkov� vektor} ${\bf e}_j$. Notac� jednotkov�ho vektoru ${\bf e}_j$ je ��dka v kulat�ch z�vork�ch s $n$ prvky. Ve fyzice symboly se �ipkami se pou��vaj� jako $\vec \j$. $(n - 1)$ prvk� vektoru ${\bf e}_j$ jsou nuly a je pouze jeden jednotkov� prvek na j-t�m m�st� \begin{equation} {\bf e}_j = (0_1, 0_2,\dots, 1_j, \dots, 0_n). \end{equation} \label{jednotkov�} Stejn� d�lky v�ech jednotkov�ch vektor� ${\bf e}_j$ v (\ref{jednotkov�}) nejsou podstatnou podm�nkou existence vektorov�ho prostoru. Mohli bychom definovat jednotkov� vektory ${\bf e}_j$ v (\ref{jednotkov�}) jako maj�c� rozd�ln� d�lky, prov�st v�echny operace jako s vektory maj�c�mi stejn� d�lky a teprve potom modifikovat v�sledky podle definovan�ch d�lek. Krychle, jej� strany nejsou rovn�, je pravo�hl� rovnob�n�k. Jej� objem se nap��klad m�e vypo��tat jako \begin{itemize} \item {strana $ = 4.4$ cm} \item {strana $b = 3.9$ cm} \item {strana $c = 0.4$ cm} \begin{itemize} \item {objem = $4.4 \times 3.9 \times 0.4 = 6.864$.} \end{itemize} \end{itemize}

Jinou mo�nost� je \begin{itemize} \item {strana $ = 2.2 \times$ vektor ${\bf a}$ = 2 cm} \item {strana $b = 1.3 \times$ vektor ${\bf b}$ = 3 cm} \item {strana $c = 0.4 \times$ vektor ${\bf c}$ = 1 cm} \begin{itemize} \item {objem $= 2.2 \times 1.3 \times 0.4 = 1.144$} \item {objem rovnob�n�ka = $2 \times 3 \times 1 = 6$} \item {celkov� objem $ 1.144 \times 6 = 6.864$}. \end{itemize} \end{itemize} Vektory, kter� za��naj� v jin�ch bodech prostoru jsou srovn�v�ny s t�mito vzorky vektor� ${\bf e}_j$ za��naj�c�mi ve st�edu. Jsou pova�ovan� za {\em identick�} s jednotkov�mi vektory ${\bf e}_j$, pokud jsou {\em koline�rn�}. Ov�em tyto vektory mohou b�t krat�� nebo del��, mohou m�t opa�n� sm�ry, av�ak takov� rozd�ly budou napraveny algebraick�mi prost�edky pozd�ji. N�kdy vektory nesouhlas� s jednotkov�mi vektory, av�ak s jejich line�rn�mi kombinacemi. P�edpokl�d�me, �e jednotkov� vektory ${\bf e}_j$ jsou ortogon�ln� podle definice. Podrob�me tyto jednotkov� vektory rozd�ln�m matematick�m operac�m. Nalezneme jejich sou�ty, rozd�ly a sou�iny, budeme se dokonce pokou�et je d�lit. Tyto operace se budou prov�d�t v algebraick� form�. Ne� budeme pokra�ovat, mus�me prozkoumat v�sledky vektorov� translace na n�jak�ch p��kladech, abychom interpretovali algebraick� v�sledky spr�vn�. Jak se mohou dva vektory se��tat? P�edpokl�dejme, �e st�ed ${\bf 0}$ byl nejprve p�enesen do bodu $a$ vektorem ${\bf e}_a$ potom do bodu s koordin�tami $ab$ translac� ${\bf e}_b$. Existuj� jin� mo�nosti jak dos�hnout stejn� bod. M�eme nejprve prov�st translaci $ {\bf e}_b$ potom translaci ${\bf e}_a$. V u�ebnic�ch algebry m�ete nal�zt, �e sumace je {\em komutativn�} operace. Toto slovo znamen�, �e v�sledek operace nen� z�visl� na po�ad� �len� v operaci. Je pravda, �e kone�n� poloha v prostoru neobsahuje informaci o zp�sobu, jak tato poloha byla dosa�ena. Av�ak zde existuje je�t� jin� mo�nost, jak se vektory mohou se��tat: Oba vektory a sou�asn� bod se posunuje p��mo ve sm�ru mezi ob�ma, jako p�i ta�en� auta dv�ma lany jako na obr.\ref{Vektorov� akce} \begin{figure} \caption{Vektorov� akce. Postupn� akce A a B a simult�nn� akce S dvou vektor� $ {\bf a}$ a ${\bf b}$ vedou k stejn� kone�n� poloze R} \label{Vektorov� akce} \linethickness{0.6 pt} \begin{picture}(150.00,100.00) %\vector(9.00,55.00)(9.00,85.00) \put(9.00,85.00){\vector(0,1){0.2}} \put(9.00,55.00){\line(0,1){30.00}} %\end %\vector(9.00,85.00)(39.00,85.00) \put(39.00,85.00){\vector(1,0){0.2}} \put(9.00,85.00){\line(1,0){30.00}} %\end %\vector(44.00,55.00)(74.00,55.00) \put(74.00,55.00){\vector(1,0){0.2}}

\put(44.00,55.00){\line(1,0){30.00}} %\end %\vector(74.00,55.00)(74.00,85.00) \put(74.00,85.00){\vector(0,1){0.2}} \put(74.00,55.00){\line(0,1){30.00}} %\end %\vector(89.00,55.00)(89.00,85.00) \put(89.00,85.00){\vector(0,1){0.2}} \put(89.00,55.00){\line(0,1){30.00}} %\end %\vector(89.00,55.00)(119.00,55.00) \put(119.00,55.00){\vector(1,0){0.2}} \put(89.00,55.00){\line(1,0){30.00}} %\end \put(9.00,55.00){\circle{4.00}} \put(44.00,55.00){\circle{4.00}} \put(89.00,55.00){\circle{4.00}} \put(44.00,10.00){\circle{4.00}} %\vector(44.00,10.00)(74.00,40.00) \put(74.00,40.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(44.00,10.00)(0.12,0.12){251}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(24.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(54.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(104.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{S}} \put(55.00,35.00){\makebox(0,0)[cc]{R}} \end{picture} \end{figure} \section{Matice} %\addcontentsline{kc}{section}{Matice} \label{Matice} Pot�ebujeme tedy t�i mo�nosti, jak ps�t sou�et dvou vektor�. Mus�me m�t mo�nost ps�t je jako postupn� p�sob�c� vektory nebo jako sou�asn� p�sob�c� vektory. Sou�asn� p�sob�c� jednotkov� vektory se mohou snadno zapsat jako sou�et dvou jednotkov�ch vektor� v jedn� ��dce. Pravidlo je jednoduch�, prvky se p�i��taj� na sv�ch m�stech: \begin{center} (1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0). \end{center} V t�to notaci m�me celkem $n$ sou�asn� p�sob�c�ch vektor� v ��dce. Tedy mus�me ps�t n�sledn� vektory v takov�m sou�tu jak sloupec ��dkov�ch vektor�. Dostaneme dva rozd�ln� sloupce pro na�e p��klady $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} (1, & 0, & 0) \\ (0, & 1, & 0) \end{array} \right) & \qquad & \left( \begin{array}{ccc} (0, & 1, & 0) \\

(1, & 0, & 0) \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Takov� sloupce $m$ vektor-��dk� maj�c� v ka�d� ��dce $n$ prvk� jsou zn�m� jako {\em matice}. ��dkov� z�vorky a ��rky jsou z matice vymaz�ny. V�imn�te si, �e v matici jsou prvky uspo��d�ny do sloupc� podobn� jak do ��dk�. Je tedy mo�n� pou��t konvenci, �e matice je tvo�ena $n$ n�sledn�mi $m$ rozm�rn�mi vektor-sloupci. Pon�vad� m�me zaveden� pro jednotliv� sloupce doln� index $j$ jdouc� od 1 k $n$, m�eme pou��t pro ��dky matice index $i$ jdouc� od 1 k $m$. Vzpome�te se, �e index $i$ je p��tomn� v textech implicitn�, jako p�irozen� po��dek n�sledn�ch symbol�. To nemus� b�t vyj�d�en� explicitn�. N�kdy je v�hodn� nechat oba indexy vych�zet od nuly. Potom jdou a� $(m -1)$ nebo a� $(n -1)$. Lze nal�zt jeden maticov� index napsan� jako doln� a druh� jako horn�. Av�ak je lep�� rezervovat horn� index pro mocniny. Kdy� po sob� n�sleduj� dva stejn� symboly, nap��klad ${\bf aa}$, p�ou se kr�tce jako ${\bf a}^2$. Kdy� to d�l�me, zpracov�v�me n�sledn� vektory jakoby se n�sobily. N�soben� je {\em nekomutativn�} operace. V�sledek z�vis� na po�ad� �len� v operaci. Nebudeme pou��vat jak�koliv symbol pro n�soben� vektor� nebo matic. M�me v na�ich p��kladech mal� kulat� z�vorky ve v�ech ��dc�ch matice uvnit� v�t��ch z�vorek pou��van�ch pro matice. Matice se tak� ohrani�uj� dvojit�mi svislicemi nebo jsou naps�n do r�me�ku. Budeme je ps�t n�kdy bez jak�chkoliv ohrani�en�, av�ak kdy� se dot�kaj�, odd�l�me je jednoduchou �arou. Je je�t� nutn� uva�ovat rozd�ln� matice s jednotkov�mi vektory: $$\begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right) & \qquad & \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right) & \qquad & \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{array}\;.$$ Matice s pr�zdn�mi ��dky jsou mo�n� nadbyte�n�, pon�vad� ��dn� akce neodpov�d� dan� ��dce, av�ak v�imn�te si, �e t�et� matice m�e b�t z�skan� z druh� oto�en�m prvk� okolo hlavn� diagon�ly, nebo z�m�nou ��dkov�ch $i$ a sloupcov�ch $j$ index�. Matice ${\bf M}$ jsou transponovan� matice ${\bf M}^{\rm T}$. Matice s dv�ma identick�mi jednotkov�mi vektory v n�sledn�ch ��dc�ch se mohou interpretovat jako dv� n�sledn� translace jdouc� stejn�m sm�rem. V�sledn� poloha v prostoru m�e b�t z�ejm� popsan� vektorem $(2, 0)$. Av�ak pokud se pokou��me interpretovat tento

vektor s jin�mi ��sly ne� 0 a 1, maje na v�dom� na�i konvenci, �e vektory v ��dce jsou simult�nn�, m�me pot�e s interpretaci t�chto prvk�. M�eme si p�edstavit, �e translace vy�aduje v�t�� s�lu, aby se provedla, a �e m� dvojitou intenzitu jak v hudb� forte. Abychom byli konsistentn�, nem�eme interpretovat jin� prvky matice, ne� 0 a 1 jednodu�e jako d�lky vektoru, pokud nezavedeme takov� vektory n�jak�mi algebraick�mi operacemi, kter� u�in� takov� multivektory dovolen�mi prvky v na�em prostoru. V kvantov� mechanice existuje princip exkluse formulovan� Paulim. Konstatuje, �e v syst�mu nemohou b�t dv� identick� ��stice. Z na�� zku�enosti v�me, �e v jednom m�st� nemohou b�t dv� v�ci sou�asn�. Budeme aplikovat takov� princip pro vektory. Omezme se nejprve na matice maj�c� pr�v� jeden jednotkov� vektor ${\bf e}_j$ nejen v ka�d� poloze, ale tak� v ka�d� ��dce. Pou�ijeme symbol ${\bf e}_j$ nejen pro geometrick� translace v prostoru, ale tak� pro rozd�ln� objekty, e.g. pro p�smeny t�to knihy. (P�i p�smena do ��dk�, tedy text je ��dka sloupc� a ka�d� p�smeno j mus� b�t nahrazeno odpov�daj�c�m jednotkov�m vektor-sloupcem ${\bf e}_j^{\rm T}$). Matice maj�c� jeden jednotkov� prvek v ka�d� ��dce se zdaj� p��li� "naivn�", aby byly studov�ny, av�ak uvid�me, �e maj� zcela zaj�mav� vlastnosti. Jednou u�ite�nou vlastnost� naivn�ch matic ${\bf N}$ je, �e se mohou interpretovat bu� jak �ady $m$ jednotkov�ch vektor� ${\bf e}_j$ jdouc� od st�edu soustavy koordin�t k n�jak�mu bodu v $n$ rozm�rn�m prostoru nebo jako poloha vektoru v $m$ rozm�rn�m prostoru. Abychom udr�eli na�i konvenci o n�slednosti a simult�nnosti translace vektor�, transponujeme naivn� matice ${\bf N}$ do ${\bf N}^{\rm T}$. P�eme ji jako ��dku jednotkov�ch vektor�-sloupc� ${\bf e}_j$. Jednotkov� symboly se budou objevovat v $j$-t� ��dce $n$ rozm�rn�ho sloupce m�sto v $j$-t�m sloupci $n$ rozm�rn� ��dky. Soustava index� jednotkov�ho prvku je v�hodnou zna�kou d�lky vektoru ${\bf e}_i$, kter� vych�z� ze st�edu koordin�t v $m$ rozm�rn�m prostoru. Neexistuje ��dn� prvek, kter� by mohl kolidovat s touto interpretac�. Av�ak vzd�lenosti od st�edu mohou b�t nuly. Tedy ��dkov�m index�m mus� b�t po��t�na od nuly, ode��taje jednotku z ka�d�ho p�vodn�ho indexu $i$. V takov� interpretaci matice ${\bf N}^{\rm T}$ odpov�d� {\em tv���m} (obr. \ref{Face}). \begin{figure} \caption{Tv�� v 8 rozm�rn�m prostoru. Konce jednotliv�ch vektor� jsou spojen� s jejich sousedy p��mkami} \label{Face} \linethickness{0.6 pt} \begin{picture}(120.00,100.00) %\vector(50.00,50.00)(10.00,50.00) \put(10.00,50.00){\vector(-1,0){0.2}} \put(50.00,50.00){\line(-1,0){40.00}} %\end \put(50.00,50.00){\circle{4.00}} %\vector(50.00,50.00)(90.00,50.00) \put(90.00,50.00){\vector(1,0){0.2}} \put(50.00,50.00){\line(1,0){40.00}} %\end %\vector(50.00,50.00)(50.00,90.00) \put(50.00,90.00){\vector(0,1){0.2}} \put(50.00,50.00){\line(0,1){40.00}} %\end %\vector(50.00,50.00)(90.00,90.00) \put(90.00,90.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(50.00,50.00)(0.12,0.12){334}{\line(0,1){0.12}} %\end %\vector(50.00,50.00)(10.00,90.00)

\put(10.00,90.00){\vector(-1,1){0.2}} \multiput(50.00,50.00)(-0.12,0.12){334}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(50.00,72.00){\circle{6.00}} \put(65.00,65.00){\circle{6.00}} \put(24.00,76.00){\circle{6.00}} \put(32.00,50.00){\circle{6.00}} \put(77.00,50.00){\circle{6.00}} %\emline(77.00,50.00)(65.00,65.00) \multiput(77.00,50.00)(-0.12,0.15){101}{\line(0,1){0.15}} %\end %\emline(65.00,65.00)(50.00,72.00) \multiput(65.00,65.00)(-0.25,0.12){59}{\line(-1,0){0.25}} %\end %\emline(50.00,72.00)(24.00,76.00) \multiput(50.00,72.00)(-0.76,0.12){34}{\line(-1,0){0.76}} %\end %\emline(24.00,76.00)(32.00,50.00) \multiput(24.00,76.00)(0.12,-0.39){67}{\line(0,-1){0.39}} %\end %\vector(50.00,50.00)(10.00,10.00) \put(10.00,10.00){\vector(-1,-1){0.2}} \multiput(50.00,50.00)(-0.12,-0.12){334}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(50.00,50.00)(50.00,10.00) \put(50.00,10.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(50.00,50.00){\line(0,-1){40.00}} %\end %\vector(50.00,50.00)(90.00,10.00) \put(90.00,10.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(50.00,50.00)(0.12,-0.12){334}{\line(0,-1){0.12}} %\end \put(17.00,17.00){\circle{6.00}} \put(17.00,17.00){\circle{6.00}} \put(81.00,19.00){\circle{6.00}} %\emline(32.00,50.00)(17.00,17.00) \multiput(32.00,50.00)(-0.12,-0.26){126}{\line(0,-1){0.26}} %\end %\emline(77.00,50.00)(81.00,19.00) \multiput(77.00,50.00)(0.12,-0.91){34}{\line(0,-1){0.91}} %\end \put(32.00,50.00){\circle{6.00}} \put(24.00,76.00){\circle{6.00}} \put(50.00,72.00){\circle{6.00}} \put(65.00,65.00){\circle{6.00}} \put(77.00,50.00){\circle{6.00}} \end{picture} \end{figure} Kdy� nakresl�me $m$ vektor� na pap�r, a indexujeme je postupn�, ozna�uj�ce d�lku ka�d�ho vektoru, a spoj�me zna�ky p��mkami, dostaneme obr�zek p�ipom�naj�c� tv��. Ka�d� tv�� p�edstavuje bod $m$ rozm�rn�ho prostoru a existuje tolik tv��� jako existuje bod� v tomto prostoru. Zn�te svou tv��? Je tvo�ena rozd�ln� v rozd�ln�ch prostorech. Kdy� se sezn�m�me se v�emi naivn�mi maticemi jejich spo��t�n�m, budeme studovat jejich sou�ty a rozd�ly, co� znamen� vlastnosti matic maj�c�ch v ka�d� ��dce sou�et nebo rozd�l dvou jednotkov�ch vektor�. D��ve ne� p�ejdeme k maticov�

aritmetice nau��me se, jak k pracovat maticemi.. Nejprve zavedeme maticov� sou�iny. \section{Skal�rn� sou�iny a kvadratick� formy} \label{Scalar} Kdy� m�me dva vektory ${\bf a}$, ${\bf b}$, m�eme nal�zt vz�jemn� projekce vektor� jako na obr. \ref{Skal�rn� sou�iny}.

obou

\begin{figure} \caption{Skal�rn� sou�iny. Oba vektory se vz�jemn� prom�taj�} \label{Skal�rn� sou�iny} \linethickness{0.6 pt} \begin{picture}(130.00,90.00) %\emline(10.00,35.00)(114.00,35.00) \put(10.00,35.00){\line(1,0){104.00}} %\end \put(60.00,35.00){\circle{4.00}} %\emline(100.00,65.00)(20.00,5.00) \multiput(100.00,65.00)(-0.16,-0.12){501}{\line(-1,0){0.16}} %\end \put(20.00,35.00){\circle{4.00}} %\emline(100.00,65.00)(109.00,72.00) \multiput(100.00,65.00)(0.15,0.12){59}{\line(1,0){0.15}} %\end %\emline(100.00,65.00)(100.00,35.00) \put(100.00,65.00){\line(0,-1){30.00}} %\end \put(100.00,65.00){\circle{4.00}} %\emline(99.00,38.00)(100.00,35.00) \multiput(99.00,38.00)(0.11,-0.33){9}{\line(0,-1){0.33}} %\end %\emline(100.00,35.00)(101.00,38.00) \multiput(100.00,35.00)(0.11,0.33){9}{\line(0,1){0.33}} %\end %\emline(20.00,35.00)(37.00,18.00) \multiput(20.00,35.00)(0.12,-0.12){142}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(37.00,18.00)(34.00,19.00) \multiput(37.00,18.00)(-0.33,0.11){9}{\line(-1,0){0.33}} %\end %\emline(37.00,18.00)(36.00,21.00) \multiput(37.00,18.00)(-0.11,0.33){9}{\line(0,1){0.33}} %\end \end{picture} \end{figure} Projekce jsou zn�m� jako {\em skal�rn� sou�iny}. Pokud oba vektory jsou ortogon�ln�, skal�rn� sou�in je ${\bf 0}$, pokud jsou koline�rn�, skal�rn� sou�in je po normalizaci 1. Nenormalizovan� skal�rn� sou�in vektoru se sebou sam�m je zn�m� jako {\em kvadratick� forma}. {\em Normalizace} znamen�, �e skal�rn� sou�in se srovn�v� s jednotkovou d�lkou prom�tnut�ho vektoru. Skal�rn� sou�in se zd� tedy b�t pr�v� kosinem �hlu mezi ob�ma vektory. Av�ak nen� tomu tak jednoduch�, jak se to zd� b�t. Slovo sou�in je spojen� s operac� {\em n�soben�}. Jak se n�sob� dva vektory? Vezm�te vektor sloupec ${\bf v}$ a n�sobte jej vektorem ��dkou ${\bf v}^{\rm T}$. Ka�d� prvek $j$ sloupce se n�sob� odpov�daj�c�m prvkem $i$ ��dky a sou�iny se

se��taj� do jednoho ��sla. Nap��klad: $(1, 1, 1) \times (3, 1, 0)^{\rm T}$ je naps�n ve form� $$\begin{array}{rrr|r} & & & 3 \\ & & & 1 \\ & & & 0 \\ \hline & & & \\ 1 & 1 & 1 & 4 \end{array}$$ V�sledek byl z�sk�n jako $1 \times 3 + 1 \times 1 + 1 \times 0 = 4$. Jinak n�soben�m odpov�daj�c�ch prvk� svisle $$\begin{tabular}{cr} (1, 1, 1) & $\times$ \\ (3, 1, 0) & \\ \hline & \\ (3, 1, 0) & = 4 \end{tabular}$$ Kdy� zam�n�me polohy ��dky a sloupce, dostaneme stejn� v�sledek $$\begin{array}{rrr|r} & & & 1 \\ & & & 1 \\ & & & 1 \\ \hline & & & \\ 3 & 1 & 0 & 4 \end{array}$$ $3 \times 1 + 1 \times 1 + 0 \times 1 = 4$. Kdy� se n�sob�, prvky jednoho vektoru se v�� prvky jin�ho vektoru. V�echny v�hy v prvn�m p��klad� byly 1. Mysl�m si, �e u� zn�te skal�rn� sou�iny vektoru sloupce s jednotkov�m vektorem-��dkou, pon�vad� se pou��vaj� pro nalezen� sou�t� v�ce ��sel napsan�ch do sloupc�. V druh�m p��klad� v�hy byly 3, 1 a 0. Jednotkov� prvky dostaly rozd�ln� v�hy. Nebo operace bylo jednodu�e $3 + 1 + 0 =4$. Pokud vektor se v�� s�m sebou, dostaneme jeho {\em kvadratickou formu} $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{rrr|r} & & & 1 \\ & & & 1 \\ & & & 1 \\ \hline & & & \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array} & {\rm a} & \begin{array}{rrr|r} & & & 3 \\ & & & 1 \\ & & & 0 \\ \hline

& & & \\ 3 & 1 & 0 & 10 \end{array} \end{array}$$ Zde m�me $1 \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times 1 = 3$ a $3 \times 3 + 1 \times 1 + 0 \times 0 = 10$. Odpov�daj�c� prvky obou vektor� se n�sob� a ze sou�in� se provede jejich sou�et. U� zn�te v�sledek prvn�ho p��kladu, pon�vad� je to jednodu�e sou�et $n$ jednotek (zde $n = 3$). Zd� se byly element�rn�, av�ak nen� tomu tak. P�ipome�te si, co bylo �e�eno o Hilbertov� prostoru a analyzujte skal�rn� sou�in {\em jednotkov�ho vektoru} ${\bf J}$ s jednotkov�m vektorem $\bf {J}^{\rm T}$. (Jednotkov� vektor ${\bf J}$ je vektor sloupec, jednotkov� vektor ${\bf J}^{\rm T} $ je vektor ��dka. V�echny jejich prvky jsou 1). Skal�rn� sou�in je jen sou�et prvk� vektoru, kvadratick� forma je �tverec jejich Euklidovsk�ho d�lky. Pokud mysl�te, �e m�me pracovat s odmocninami kvadratick�ch forem, p�edstavte si, �e jednotkov� vektor ${\bf J}$ p�edstavuje $n$ lid�. Kvadratick� forma jen po��t� tyto lidi. M�me ur�it jejich po�et jako $\surd {n}$ (odmocnina z n)? Zavedli jsme Hilbert�v prostor a budeme pracovat se skal�rn�mi sou�iny a kvadratick�mi formami jako se z�kladn�mi vektory bez hled�n� odmocnin. Ve skal�rn�ch sou�inech ze dvou $n$ ($m$) rozm�rn�ch vektor� jsme z�skali jen jedno ��slo. N�soben� sn�ilo rozm�rnost, dostali jsme jen jedno ��slo (skal�rn�) ur�uj�c� d�lku prv�ho vektoru. Tedy sou�in vektoru ��dky n�soben� vektorem sloupem zprava (p�irozen� po��dek obou vektor�, vektor sloupec n�sobil vektor ��dku zleva) se naz�v� {\em vnit�n� sou�in}. Existuje tak� {\em vn�j�� sou�in}. Ten se z�sk�, kdy� zam�n�me polohy obou vektor� a n�sob�me vektor sloupec vektorem ��dkou zprava: $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{r|rrr} & 1 & 1 & 1 \\ \hline & & & \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} & \qquad & \begin{array}{r|rrr} & 3 & 1 & 0 \\ \hline & & & \\ 3 & 9 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \end{array}$$ Zde t�i jednorozm�rn� vektory sloupce p�sobily na t�i jedno rozm�rn� vektory ��dky. Cel� vektor sloupec by v�en v�emi prvky vektoru sloupce a jako v�sledek byla z�skan� matice rozm�ru $3 \times 3$. M�sto dvou ��sel jsme dostali dv� matice, ka�dou maj�c� 9 maticov�ch prvk�. Vn�j�� sou�in matice se naz�v� {\em tenzor}. V�imn�te si, �e prvky obou vnit�n�ch sou�in� se objevily jako diagon�ln� prvky vn�j��ch sou�in�. Jejich sou�ty, zn�m� jako {\em stopa matice}, jsou identick� s kone�nou formou vnit�n�ho sou�inu. Skal�rn� sou�iny se mohou prov�st z maticov�ch vektor�. Skal�rn� sou�iny maticov�ch vektor� n�soben� vektory ��dky zleva jsou op�t vektory ��dky a

maticov� vektory n�soben� vektory sloupce zprava jsou op�t vektor-sloupce. N�soben� sni�uje rozm�rnost maticov�ho vektoru: \begin{equation} \mbox{\rm vektor-��dka} \times {\bf M} = \mbox{\rm vektor-��dka} \end{equation} \begin{equation} {\bf M} \times \mbox{\rm vektor-sloupec} = \mbox{\rm vektor-sloupec}. \end{equation} Vektor-��dka se n�sob� zprava postupn� v�emi sloupci matice a v�sledek m� tolik m�st jako matice sloupc�. Vektor-sloupec se n�sob� zleva postupn� v�emi ��dky matice a v�sledek m� tolik m�st jako matice ��dk�. Pokud oba vektory jsou matice, n�soben� se mus� prov�st pro v�echny kombinace ��dk� a sloupc�. Sou�inem je op�t matice. V p��pad� �tverce maticov�ch vektor�, oba sou�iny maj� identick� rozm�ry a odli�nost mezi vnit�n�m a vn�j��m prostorem je ztracena. \section{Matice v jednotkov�ch r�mc�ch} %\addcontentsline{kc}{section}{Matice v jednotkov�ch r�mc�ch} \label{Matice v jednotkov�ch r�mc�ch} Kvadratick� forma ${\bf J}^{\rm T}{\bf J}$ po��t� prvky jednotkov�ho vektoru $\bf {J}$. Je sou�asn� oper�torem \begin{equation} {\bf J}^{\rm T}(*){\bf J}. \label{product1} \end{equation} Pokud vlo��me dovnit� tohoto sou�inu matici ${\bf M}$ \begin{equation} {\bf J}^{\rm T}({\bf M}){\bf J}\, \label{product2} \end{equation} dostaneme sou�et prvk� matice ${\bf M}$. ${\bf J}^{\rm T} {\bf M}$ je $n$ rozm�rn� vektor ��dka a ${\bf MJ}$ je $m$ rozm�rn� vektor sloupec. P��t� n�soben� ${\bf J}$ (nebo ${\bf J}^{\rm T}$) se��t� prvky t�chto vektor�. Kdy� vlo��me do (\ref{product1}) m�sto ${\bf M}$ jako v (\ref{product2}) kvadratick� formy $({\bf M}{\bf M})^{\rm T}$ nebo $({\bf M}^{\rm T}{\bf M})$, dostaneme kvadratick� formy skal�rn�ch sou�in� ${\bf J}^{\rm T}{\bf M}$ a ${\bf MJ}$. Poznali jsme, �e vektor sloupec se transponuje do vektoru ��dky a opa�n�. Pokud opakujeme tuto operaci, dostaneme zp�t p�vodn� vektorovou formu: \begin{equation} ({\bf v}^{\rm T})^{\rm T}\ = \ {\bf v}. \end{equation} Matice se transponuje takov�m zp�sobem, �e v�echny vektory sloupce se transponuj� do vektor ��dk� a opa�n�. To znamen�, �e v transponovan� matici indexy $i$ a $j$ se zam�n�.

P�i transponov�n� sou�inu dvou matic (vektor ��dka nebo sloupec je matice, kter� m� bu� $m = 1$ nebo $n = 1$) ob� matice vym�n� si sv� m�sta, tedy \begin{equation} ({\bf J}^{\rm T}{\bf M}^{\rm T})^{\rm T} = {\bf MJ}\ {\rm a} \ ({\bf M}{\bf J})^{\rm T} = {\bf J}^{\rm T}{\bf M}^{\rm T}\;. \end{equation} Dostaneme dv� kvadratick� formy : ${\bf J}^{\rm T}{\bf M}^{\rm T}{\bf MJ}$ a ${\bf J}^{\rm T}{\bf M}{\bf M}^{\rm T}{\bf J}$. Vid�me, �e oba sou�iny maj� stejn� r�mce ${\bf J}^{\rm T}(*){\bf J}$, kter� p�sob� na maticov� sou�in, kter� je uvnit�. Tento r�me�ek po��t� jen prvky vnit�n� matice. Kvadratick� formy ${\bf M}^{\rm T} {\bf M}$ a ${\bf M}{\bf M}^{\rm T}$ jsou zaj�mav�j��, ne� kone�n� sou�in, pon�vad� ka�d� obsahuje v�ce informace. P�edpokl�dali jsme, �e p�vodn� matice ${\bf M}$ m�la $m$ ��dk� a $n$ sloupc�, ob� $m$ a $n$ jsouce rozd�ln�. Tedy transponovan� matice ${\bf M}^{\rm T}$ m�la $n$ ��dk� a $m$ sloupc� a byla rozd�ln� od p�vodn� matice ${\bf M}$. �ekneme, �e takov� matice jsou {\em asymetrick�}. ob� kvadratick� formy jsou symetrick� matice. ${\bf M}^{\rm T}{\bf M}$ m� $n$ ��dk� a $n$ sloupc�, ${\bf M}{\bf M}^{\rm T}$ m� $m$ ��dk� a $m$ sloupc�. Na stop�ch obou maticov�ch sou�in� jsou sou�ty �tverc� prvk� $m_{ij}^2$ matice ${\bf M}$. To je Hilbertova d�lka maticov�ho vektoru a ob� stopy, kter� maj� stejn� d�lky le�� na kouli s pr�m�rem maticov�ho vektoru. Mimodiagon�ln� prvky obou kvadratick�ch forem tvo�� s jejich stopami pravo�hl� troj�heln�ky maj�c� ob� jednotkov� projekce ${\bf J}^{\rm T}{\bf M}$ a ${\bf MJ}^{\rm T}$ jako p�epony (obr. \ref{Maticov� vektorov� soustava}). \begin{figure} \caption{Maticov� vektorov� soustava. ${\bf M}$ -- maticov� vektor, ${\bf J}^{\rm T}{\bf M}$ -- projekce maticov�ho vektoru do sloupce, ${\bf MJ}$ -- projekce maticov�ho vektoru do ��dky, $Tr({\bf M}^{\rm T}{\bf M})$ -- stopa vektoru, $Tr({\bf MJ})$ -- stopa vektoru, $\Lambda$ -- vlastn� hodnoty vektoru, ${\bf M}^{1}$ -- inverzn� maticov� vektor} \label{Maticov� vektorov� soustava} \linethickness{0.6 pt} \begin{picture}(180.00,180.00) %\circle(69.67,70.00){100.67} \emline{69.67}{120.34}{1}{76.08}{119.92}{2} \emline{76.08}{119.92}{3}{82.40}{118.70}{4} \emline{82.40}{118.70}{5}{88.50}{116.68}{6} \emline{88.50}{116.68}{7}{94.29}{113.90}{8} \emline{94.29}{113.90}{9}{99.69}{110.40}{10} \emline{99.69}{110.40}{11}{104.59}{106.25}{12} \emline{104.59}{106.25}{13}{108.93}{101.50}{14} \emline{108.93}{101.50}{15}{112.62}{96.24}{16} \emline{112.62}{96.24}{17}{115.62}{90.56}{18} \emline{115.62}{90.56}{19}{117.86}{84.53}{20} \emline{117.86}{84.53}{21}{119.32}{78.27}{22} \emline{119.32}{78.27}{23}{119.97}{71.88}{24} \emline{119.97}{71.88}{25}{119.80}{65.45}{26} \emline{119.80}{65.45}{27}{118.81}{59.10}{28} \emline{118.81}{59.10}{29}{117.02}{52.93}{30} \emline{117.02}{52.93}{31}{114.46}{47.03}{32} \emline{114.46}{47.03}{33}{111.17}{41.51}{34} \emline{111.17}{41.51}{35}{107.20}{36.45}{36} \emline{107.20}{36.45}{37}{102.62}{31.94}{38}

\emline{102.62}{31.94}{39}{97.50}{28.06}{40} \emline{97.50}{28.06}{41}{91.92}{24.85}{42} \emline{91.92}{24.85}{43}{85.99}{22.38}{44} \emline{85.99}{22.38}{45}{79.79}{20.69}{46} \emline{79.79}{20.69}{47}{73.42}{19.80}{48} \emline{73.42}{19.80}{49}{66.99}{19.74}{50} \emline{66.99}{19.74}{51}{60.61}{20.49}{52} \emline{60.61}{20.49}{53}{54.37}{22.05}{54} \emline{54.37}{22.05}{55}{48.39}{24.39}{56} \emline{48.39}{24.39}{57}{42.75}{27.47}{58} \emline{42.75}{27.47}{59}{37.55}{31.25}{60} \emline{37.55}{31.25}{61}{32.87}{35.66}{62} \emline{32.87}{35.66}{63}{28.79}{40.63}{64} \emline{28.79}{40.63}{65}{25.38}{46.08}{66} \emline{25.38}{46.08}{67}{22.70}{51.92}{68} \emline{22.70}{51.92}{69}{20.77}{58.05}{70} \emline{20.77}{58.05}{71}{19.65}{64.38}{72} \emline{19.65}{64.38}{73}{19.34}{70.80}{74} \emline{19.34}{70.80}{75}{19.85}{77.21}{76} \emline{19.85}{77.21}{77}{21.18}{83.50}{78} \emline{21.18}{83.50}{79}{23.29}{89.57}{80} \emline{23.29}{89.57}{81}{26.17}{95.32}{82} \emline{26.17}{95.32}{83}{29.75}{100.66}{84} \emline{29.75}{100.66}{85}{33.98}{105.49}{86} \emline{33.98}{105.49}{87}{38.79}{109.75}{88} \emline{38.79}{109.75}{89}{44.11}{113.36}{90} \emline{44.11}{113.36}{91}{49.85}{116.27}{92} \emline{49.85}{116.27}{93}{55.91}{118.42}{94} \emline{55.91}{118.42}{95}{62.19}{119.78}{96} \emline{62.19}{119.78}{97}{69.67}{120.34}{98} %\end \put(70.00,70.00){\circle{4.00}} %\vector(70.00,70.00)(70.00,120.33) \put(70.00,120.33){\vector(0,1){0.2}} \emline{70.00}{70.00}{99}{70.00}{120.33}{100} %\end %\vector(70.00,70.33)(130.00,110.00) \put(130.00,110.00){\vector(3,2){0.2}} \emline{70.00}{70.33}{101}{130.00}{110.00}{102} %\end %\vector(70.00,70.00)(90.00,115.33) \put(90.00,115.33){\vector(1,2){0.2}} \emline{70.00}{70.00}{103}{90.00}{115.33}{104} %\end %\vector(90.00,115.33)(130.00,110.00) \put(130.00,110.00){\vector(4,-1){0.2}} \emline{90.00}{115.33}{105}{130.00}{110.00}{106} %\end %\vector(70.33,70.00)(10.00,100.00) \put(10.00,100.00){\vector(-2,1){0.2}} \emline{70.33}{70.00}{107}{10.00}{100.00}{108} %\end %\vector(70.00,70.00)(45.00,114.00) \put(45.00,114.00){\vector(-1,2){0.2}} \emline{70.00}{70.00}{109}{45.00}{114.00}{110} %\end %\vector(45.00,114.00)(10.33,100.00) \put(10.33,100.00){\vector(-3,-1){0.2}}

\emline{45.00}{114.00}{111}{10.33}{100.00}{112} %\end %\vector(70.00,70.00)(26.67,44.00) \put(26.67,44.00){\vector(-3,-2){0.2}} \emline{70.00}{70.00}{113}{26.67}{44.00}{114} %\end %\vector(70.00,70.00)(127.67,33.00) \put(127.67,33.00){\vector(3,-2){0.2}} \emline{70.00}{70.00}{115}{127.67}{33.00}{116} %\end \put(70.00,165.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf M}$}} \put(10.00,140.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf J}^{\rm T}{\bf M}$}} \put(150.00,140.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf MJ}$}} \put(50.00,150.00){\makebox(0,0)[cc]{Tr(${\bf M}{\bf M}^{\rm T})$}} \put(110.00,150.00){\makebox(0,0)[cc]{Tr(${\bf MM}^{\rm T})$}} \put(20.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{$\Lambda$}} \put(130.00,20.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf M}^{-1}$}} \end{picture} \end{figure} Oba skal�rn� sou�iny transformuj� matici do vektoru, ��dky nebo sloupce. Po��taj� jednodu�e prvky v ��dc�ch nebo sloupc�ch matice ${\bf M}$. D�vaj� n�m kone�n� v�sledky v�ech translac�, ${\bf MJ}$ v $m$ rozm�rn�m prostoru ��dek, ${\bf J}^{\rm T}{\bf M}$ v $n$ rozm�rn�m prostoru sloupc�. Kdy� nalezneme tyto sou�ty, sn��me rozm�r prostoru, m�sto $mn$ prvk� m�me pouze $m$ nebo $n$ prvk�. Kdy� jsme sn�ili rozm�r maticov�ho prostoru, zjednodu�ili jsme maticov� vektor, av�ak ztratili jsme informaci o p�vodn�m po�ad� vektor� v matici. A mimo to, alespo� v jednom kvadratick�m skal�rn�m sou�inu, spojili jsme dohromady rozd�ln� vektory. Pokud tyto vektory p�edstavovaly rozd�ln� v�ci, se��t�me dohromady jablka s hru�kami jako ovoce. Maticov� vektorov� soustava na obr. \ref{Maticov� vektorov� soustava} je slo�ena ze samotn� matice ${\bf M}$ a jej�ch dvou projekc�, ${\bf J}^{\rm T}{\bf M}$ a $ {\bf MJ}$. Tyto projekce se rozkl�daj� do stop vektor�, Tr(${\bf J}^{\rm T}{\bf M} $) a Tr(${\bf MJ}$). Tyto stopy vektor� maj� d�le�itou vlastnost: Maj� stejn� d�lky jako samotn� maticov� vektor ${\bf M}$. Tak� vektor vlastn�ch hodnot $\Lambda$ m� stejnou d�lku jako matice ${\bf M}$ a m�e nahradit ob� kvadratick� formy. Inverzn� maticov� vektor ${\bf M}^{-1}$, pokud existuje, pat�� k maticov� vektorov� soustav� (n�kdy m�e b�t nahrazen zobecn�nou inverzn� matic�). Maticov� vektor m� $mn$ prvk�. Se zjednodu�� sv�mi projekcemi do odd�len�ch prostor� ��dk� a sloupc�. Ztr�c�me v t�to projekci n�kter� vlastnosti maticov�ho vektoru. Z�sk�v�me n�jak� informace av�ak cenou za to je ztr�ta jin�ch informac�. Nalezen� kvadratick� formy odpov�d� logick� abstrakci. Nejd�le�it�j�� vlastnost� obou kvadratick�ch forem je jejich schopnost nahrazovat maticov� vektory. Tato schopnost nen� pouhou matematickou konstrukc�. Je zalo�ena na fyzik�ln� zku�enosti, pon�vad� sv�t, ve kter�m �ijeme je jednodu�e konstruov�n takov�m zp�sobem. Abychom to uzav�eli: {\em Matice odpov�d� akci a jej� kvadratick� forma v�sledku tento akce}. Ob� kvadratick� formy maj� tuto d�le�itou vlastnost: �t�p� prostor a jeho prvky. Budi� matice ${\bf M}$ seznamem $n$ rozd�ln�ch knih (s nezn�m�m po�tem kopi�) pat��c�ch $m$ rozd�ln�m osob�m. Ka�d� ��dka je katalogem $i$-t� osobn� knihovny, ka�d� sloupec je seznamem v�skyt�, kter� registruje, ve kter�ch knihovn�ch $j$-t� kniha m�e b�t nalezena. Kvadratick� forma ${\bf M}^{\rm T}{\bf M}$ je prostor $n$ knih, na diagon�le jsou zde po�ty knihoven, ve kter�ch m�e b�t nalezena . ${\bf

M}{\bf M}^{\rm T}$ je prostor knihoven av�ak jeho prvky jsou knihy. Srovnejte to se starov�kou sentenc�, �e existuje m�ra ve v�em nebo, �e m�rou v�eho je �lov�k. \chapter{Konstrukce vektorov�ho prostoru} \label{Konstrukce} \section{��seln� a vektorov� stupnice} \label{Po�et} Z historie matematiky v�me, jak pe�liv� matematikov� konstruovali ��selnou osu, zav�d�je postupn� p�irozen� ��sla, racion�ln� ��sla, iracion�ln� ��sla. Nen� nutn� p�ipom�nat v�echny probl�my spojen� s pojmem kontinua v rozd�ln�ch axiomatick�ch syst�mech. ��seln� osa tvo�� jedno rozm�rn� prostor. P��t� kroky, vytvo�en� dvou, t�� a v�ce rozm�rn�ch prostor� byly provedeny jako odv�n� skok tak zvan�mi kart�zsk�mi sou�iny. P�edpis se zd� b�t jednoduch�: Vezm�te alespo� dva jedno rozm�rn� prostory a n�sobte je dohromady. Mno�inov� teorie napravila n�kter� chyby, av�ak nespojila sv� mno�inov� prostory s vektorov�mi prostory a ob� discipliny z�staly odd�len�. Kdy� pova�ujeme stupnici p�irozen�ch ��sel\footnote {Cel� kladn� ��sla, v�etn� nuly.} (0) --- (1) --- (2) --- (3) --- (4) --- (5) a srovn�me ji se stupnic� jednotkov�ch vektor� ${\bf e}_j$ (0)$\longrightarrow$(1)$\longrightarrow$(2)$\longrightarrow$(3) $\longrightarrow$(4)$\longrightarrow$(5) vid�me, �e jedin�m rozd�lem je, �e vektorov� stupnice je orientovan� a ��seln� stupnice nen�. \section{Form�ln� operace s mno�inami vektor�} \label{Formal} Zavedli jsme jednotkov� vektory ${\bf e}_j$ v podkapitole 1.2 jako z�kladn� jednotky na�eho prostoru. Nejprve dovol�me pouze positivn� translace odpov�daj�c� p�irozen�m ��sl�m. To znamen�, �e maticov� vektor m�e j�t pouze kup�edu ze st�edu koordin�t a nikdy zp�t. �ada n�sleduj�c�ch vektor� tvo�� {\em cestu}. V�echny mo�n� cesty v tomto prostoru tvo�� a {\em m��ku}. U� v�me, �e mus�me rozli�ovat mezi cestou a jej�m kone�n�m bodem, {\em polohov�m vektorem}. Tato odli�nost je stejn� jako mezi �ten�m a pouh�m po��t�n�m slov. P�edpokl�dejme, �e m�me dv� vektorov� �ady nap��klad $${\bf aababac}$$ a $${\bf abcaaba}\;.$$ ob� vedou k bodu s koordin�tami (4, 2, 1, 0, 0, \dots). Budeme to n�kdy ps�t jako $(a^4b^2c^1d^0e^0\dots)$. Takov� notace je u�ite�n� p�i n�kter�ch operac�ch jako $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\;,$$ kde pot�ebujeme rozli�ovat v�znam �len� $2a$ a $a^2$. N�sobitel d�v� po�et �ad, mocniny ur�uje d�lky vektoru. Nyn� je v�hodn�, �e z�kladna jednotkov�ch vektor� je 1. Horn� indexy maj�c� v�znam mocnin jednotkov�ch vektor� je nem�n�. Kdy� p�ijmeme, �e $x^0 = 1$, nulov� mocnina vektoru je pr�v� n�sobitel jedna. Tedy nen� nutn� ps�t tuto 1, proto�e nem�n� sou�in jako $a\times$ 1 $=$ 1$\times = a$.

V�echny vektorov� �ady kon��c� v bod�, jak jsou reprezentovan� naivn� matic� ${\bf N}$, jsou {\em ekvivalentn�}. Jsou definov�ny matematick� operace, kter� transformuj� naivn� matice v jin� ekvivalentn� matice. Pokud tato transformace ned�v� identick� v�sledky, potom ob� matice n�le�� rozd�ln�m t��d�m. Dv� ekvivalentn� naivn� matice maj�c� identickou kvadratickou formu ${\bf N}^{\rm T} {\bf N}$ vedou k jednomu bodu. Nap��klad $$ ({\bf aaba} = ({\bf a}^3{\bf b}) = ({\bf baaa})$$ Zde m�me prvn� p��klad, jak bylo u�ite�n� zav�st kvadratick� formy. Pozd�ji budeme definovat jin� t��dy ekvivalence naivn�ch matic. Abychom byli schopni rozli�ovat mezi $2a$ a $a^2$ (mezi paraleln�mi a n�sledn�mi translacemi), pot�ebujeme stejn� rozd�l tak� pro konstrukci mnohorozm�rn�ho prostoru z jednotkov�ch vektor�. Proto pro vektorov� mno�iny, jednotkov� vektory a jejich �ady existuj�c� {\em sou�asn�}, budeme pou��vat symbol {\em s��t�n�} $\sum $. Pro {\em n�sledn�} vektorov� mno�iny budeme pou��vat symbol pro {\em n�soben�} $\Pi $. N�soben� se m�n� ve s��t�n� na logaritmick� stupnici. S pou�it�m jednotkov� z�kladny logaritm�, ��slo a jeho logaritmus jsou toto�n� , nebo ne? Nap��klad $${\bf aaaaa} = {\bf a}^5, \ \lg_a{\bf a}^5 = 5$$ Tato konvence m�n� po�ad� obou operac� p�i konstrukci prostoru. Klasick�m zp�sobem bylo m�t dv� osy, �ekn�me $(1 + a + a^2 + \ldots)$ a $(1 + b + b^2 + \ldots)$ a n�sobit je. Jako v�sledek dostaneme polohy bod� �tverce $$\begin{array}{cccc} 1 & a & a^2 &\ldots \\ b & ab & a^2b & \ldots \\ b^2 & ab^2 & a^2b^2 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}$$ TaKe �tverci se m�e n�sobit pozd�ji t�et� osou a z�sk� se t�� rozm�rn� krychle, potom se m�e pou��t �tvrt� osa a tak se z�skaj� v�ce rozm�rn� krychle, n�kdy zvan� hyperkrychle. Mohli bychom mluvit o hyperrovin�ch, hyperhran�ch a tak d�le, av�ak nebudeme pou��vat tuto p�edponu, proto�e by p�efoukla n� text. Prostor je konstruov�n postupn� ve vrstv�ch z mno�iny n jednotkov�ch vektor� p�edstavuj�c�ch n rozm�rn� prostor. Nap��klad: \begin{equation} (a + b)^0 + (a + b)^1 + (a + b)^2 + (a + b)^3 + \dots. \end{equation} Jednotliv� sou�iny v sou�tu jsou vektorov� �ady kon��c� na p��mk�ch ortogon�ln�ch k diagon�ln�mu vektoru ${\bf I}$. �tverec se stranou $0-2$ se z�sk� z t�chto bod� vynech�n�m bod� $a^3$ a $b^3$ z ne�pln� vrstvy $3$ a p�id�n�m 6 �ad $a^2b^2$ ze sou�inu �tvrt� �rovn� $(a + b)^4$: $$\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ b & 2ab & 3a^2b\\ b^2 & 3ab^2 & 6a^2b^2\;. \end{array}$$ ��sla u koordin�t d�vaj� po�ty rozd�ln�ch vektorov�ch �ad vedouc�ch k dan�mu p�irozen�mu bodu �tverce. Nap��klad 3 �ady ${\bf aab}$, ${\bf aba}$, ${\bf baa}$ vedou k bodu s koordin�tami $a^2b$. Komutativn� algebra se z�sk� z nekomutativn�

jednou algebraickou operac� transformuj�c� vektorov� �ady na polohov� vektory. \begin{figure} \caption{Dvourozm�rn� prostor. Jednotkov� vektor ${\bf I}_2$ je ortogon�ln� k rovinn�m simplex�m} \label{Dvourozm�rn� prostor} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(120.00,120.00) %\emline(10.00,100.00)(10.00,10.00) \put(10.00,100.00){\line(0,-1){90.00}} %\end %\emline(10.00,10.00)(100.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){90.00}} %\end %\emline(10.00,30.00)(30.00,10.00) \multiput(10.00,30.00)(0.12,-0.12){167}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(10.00,50.00)(50.00,10.00) \multiput(10.00,50.00)(0.12,-0.12){334}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(10.00,70.00)(70.00,10.00) \multiput(10.00,70.00)(0.12,-0.12){501}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(10.00,90.00)(90.00,10.00) \multiput(10.00,90.00)(0.12,-0.12){667}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(10.00,10.00)(70.00,70.00) \put(70.00,70.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(10.00,10.00)(0.12,0.12){501}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(80.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf I}_2$}} \put(10.00,10.00){\circle{6.00}} \put(30.00,10.00){\circle{6.00}} \put(50.00,10.00){\circle{6.00}} \put(70.00,10.00){\circle{6.00}} \put(90.00,10.00){\circle{6.00}} \put(10.00,30.00){\circle{6.00}} \put(30.00,30.00){\circle{6.00}} \put(50.00,30.00){\circle{6.00}} \put(70.00,30.00){\circle{6.00}} \put(10.00,50.00){\circle{6.00}} \put(30.00,50.00){\circle{6.00}} \put(50.00,50.00){\circle{6.00}} \put(10.00,69.33){\circle{6.00}} \put(30.00,70.00){\circle{6.00}} \put(10.00,90.00){\circle{6.00}} \end{picture} \end{figure} Vektorov� �ady vytvo�en� v 2 rozm�rn�m prostoru n�soben� $(a + b)^m$ jdou k bod�m le��c�m na p��mce ortogon�ln� k diagon�le komplexu jako na obr. \ref{Dvourozm�rn� prostor}. Sou�et n jednotkov�ch vektor� ${\bf e}_j$ n�soben� m kr�t je {\em gener�tor} vektorov�ho prostoru. Kdy� se pou�ije t��rozm�rn� gener�tor, vektorov� �ady jdou k troj�heln�kov�m rovin�m(obr. \ref{T�i rozm�rn�m}). \begin{figure} \caption{Prvn� p�t 3 rozm�rn�ch rovinn�ch simplex�}

\label{T�i rozm�rn�m} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(230.00,170.00) %\emline(131.00,20.00)(211.00,20.00) \put(131.00,20.00){\line(1,0){80.00}} %\end %\emline(171.00,89.00)(211.00,20.00) \multiput(171.00,89.00)(0.12,-0.21){334}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(131.00,20.00)(171.00,89.00) \multiput(131.00,20.00)(0.12,0.21){334}{\line(0,1){0.21}} %\end \put(131.00,20.00){\circle{8.00}} \put(151.33,20.00){\circle{8.00}} \put(171.00,20.00){\circle{8.00}} \put(191.00,20.00){\circle{8.00}} \put(211.00,20.00){\circle{8.00}} \put(141.33,37.67){\circle{8.00}} \put(201.00,37.33){\circle{8.00}} \put(161.00,37.33){\circle{8.00}} \put(181.00,37.00){\circle{8.00}} \put(141.00,37.00){\circle{8.00}} \put(151.00,20.00){\circle{8.00}} \put(151.00,54.00){\circle{8.00}} \put(171.00,54.00){\circle{8.00}} \put(191.00,54.33){\circle{8.00}} \put(161.00,71.67){\circle{8.00}} \put(181.00,71.67){\circle{8.00}} \put(171.00,89.00){\circle{8.00}} \put(39.67,37.67){\circle{8.00}} \put(99.33,37.33){\circle{8.00}} \put(59.33,37.33){\circle{8.00}} \put(79.33,37.00){\circle{8.00}} \put(39.33,37.00){\circle{8.00}} \put(49.33,54.00){\circle{8.00}} \put(69.33,54.00){\circle{8.00}} \put(89.33,54.33){\circle{8.00}} \put(59.33,71.67){\circle{8.00}} \put(79.33,71.67){\circle{8.00}} \put(69.33,89.00){\circle{8.00}} \put(161.56,113.44){\circle{8.00}} \put(181.56,113.44){\circle{8.00}} \put(201.56,113.78){\circle{8.00}} \put(171.56,131.11){\circle{8.00}} \put(191.56,131.11){\circle{8.00}} \put(181.56,148.44){\circle{8.00}} \put(101.00,127.78){\circle{8.00}} \put(121.00,127.78){\circle{8.00}} \put(111.00,145.11){\circle{8.00}} \put(50.56,127.22){\circle{8.00}} %\emline(101.11,127.78)(111.11,145.00) \multiput(101.11,127.78)(0.12,0.21){84}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(111.11,145.00)(121.67,127.22) \multiput(111.11,145.00)(0.12,-0.20){88}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\emline(121.67,127.22)(100.56,127.22) \put(121.67,127.22){\line(-1,0){21.11}}

%\end %\emline(161.67,113.33)(182.22,148.33) \multiput(161.67,113.33)(0.12,0.20){172}{\line(0,1){0.20}} %\end %\emline(182.22,148.33)(201.67,113.89) \multiput(182.22,148.33)(0.12,-0.21){163}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(39.44,37.22)(99.44,37.22) \put(39.44,37.22){\line(1,0){60.00}} %\end %\emline(99.44,37.22)(68.89,88.89) \multiput(99.44,37.22)(-0.12,0.20){255}{\line(0,1){0.20}} %\end %\emline(68.89,88.89)(39.44,37.78) \multiput(68.89,88.89)(-0.12,-0.21){246}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(162.22,113.33)(202.22,113.33) \put(162.22,113.33){\line(1,0){40.00}} %\end \end{picture} \end{figure} Ve vy���ch rozm�rech by to byly hyperroviny. Op�t zkr�t�me jejich jm�na a budeme je skromn� naz�vat jednodu�e roviny ve v�ech rozm�rech. Av�ak to opa�n� znamen�, �e p��mka je rovina v 2 rozm�rn�m prostoru a bod je rovina v 1 rozm�rn�m prostoru. To se m�e zd�t podivn�, av�ak neomezen� rovina d�l� sv�j prostor do dvou ��st�. Bod d�l� p��mku podobn� jako p��mka rozd�luje 2 rozm�rnou rovinu na dv� ��st�. Na�e vektory byly omezeny pouze na p�irozen� ��sla a tedy roviny jsou vytvo�eny oper�torem \begin{equation} [\,\sum^n_{j=1}\,{\bf e}_j]^m \end{equation} jsou prvky {\em p�irozen�ho prostoru}. Ten zahrnuje svou limitu, body s koordin�tami $a^0b^0$, $ab^0$, $a^0b$ a tak d�le. Prvky p�irozen�ho prostoru jsou spo�etn� a se tvo�� vektorov�mi �adami jdouc�mi k bod�m s nez�porn�mi koordin�tami. Jednotliv� vrstvy budeme naz�vat {\em rovinn� simplexy}. Pokud jste sly�eli n�co simplexech, potom v�te, �e simplex v $n$ rozm�rn�m prostoru by m�l se ur�it $(n + 1)$ body a my m�me jen $n$ bod�. P�ipome�te si v�ak, �e mluv�me o rovin�ch. Rovina v $n$ rozm�rn�m prostore je body\footnote{M�j syn zde navrhoval p�idat p��davn� jm�no `pevn�'. Av�ak pevn� t�leso je pevn� t�leso, zat�m co pouh� term�n `t�leso' zahrnuje k�d, soustava, tedy je to abstraktn�j�� pojem.} v $(n 1)$ rozm�rn�m prostoru a chyb�j�c� bod je obnoven. Roviny zm�n�n� shora jsou ortogon�ln� k {\em diagon�ln�mu jednotkov�mu vektoru} $ {\bf I}$. Je nutn� k vysv�tlit, pro� existuj� t�i jednotkov� vektory: ${\bf I}$, ${\bf J}$ a ${\bf J}^{\rm T}$. Uk�zali jsme, �e jednotkov� vektor ��dka ${\bf J}^{\rm T}$ a jednotkov� vektor sloupec ${\bf J}$ maj� rozd�ln� ��inky na naivn� matice ${\bf N}$, kter� jsou z�kladn�mi prvky na�eho prostoru nebo obecn� na jakoukoliv matici ${\bf M}$. Transformuj� je do vektor� ��dk� nebo sloupc�. Tedy pot�ebujeme nov� jednotkov� vektor invariantn� k matic�m. T�mto vektorem je jednotkov� diagon�ln� vektor ${\bf I}$. Je to �tvercov� matice maj�c� jednotkov� prvky na diagon�le, kde oba indexy jsou stejn�, $i = j$. Kdy� jednotkov� diagon�ln� matice ${\bf I}$ n�sob� jakoukoliv matici bu� zleva

nebo zprava, tak to zanech�v� matici nezm�n�nou: \begin{equation} {\bf IM} = {\bf MI} = {\bf M}. \end{equation} Jednotkov� diagon�ln� matice ${\bf I}$ je zn�m� jako {\em matice toto�nosti} a byla u� zm�n�na ve sv� sofistikovan� formulaci jako Kronecker�v symbol $\delta_{ij}$, kde $\delta_{ij} = 1$, pokud $i=j$ a $\delta_{ij} = 0$ jinak. Pokra�ujme s konstrukc� prostoru s pou�it�m rovinn�ch simplex� pokl�daj�ce n�sledn� vrstvy jako v cibuli. Sou�ty rovinn�ch simplex� tvo�� {\em rovinn� komplex}. Je ur�en t�emi symbolick�mi operacemi \begin{equation} \sum^m_{i=0}\ [\,\sum^m_{j=1}\,{\bf e}_j]^i\,. \end{equation} \label{n�soben�} Pokud $m$ jde k nekone�nu, dostaneme cel� p�irozen� vektorov� prostor dan�ho rozm�ru. Srovnej po�ad� operac� s tradi�n�m p�edpisem \begin{equation} \prod^n_{j=1}\,[\,\sum^m_{i=0}\,{\bf e}^i]_j \end{equation} a uvid�te, �e jsme pr�v� obr�tili po�ad� form�ln�ch operac�. (\ref{n�soben�}) se prov�d� horn�m indexem i. Av�ak z�skali prostoru. N� prostor vektorov�ch �ad je {\em nekomutativn�}, tvo�en� m��kou bod� je {\em komutativn�}. P�echod mezi ob�ma nalezen�m skal�rn�ch sou�in�. Tato form�ln� operace odpov�d� to bylo uk�z�no v p�edchoz� kapitole.

N�soben� v jsme jin� druh zat�m co prostor prostory se provede logick� abstrakci jak

\section{Vlastnosti rovinn�ch simplex�} \label{Vlastnosti} Jedno a dvou rozm�rn� rovinn� simplexy jsou trivi�ln�. N� pr�zkum startuje s po��te�n�mi 3 rozm�rn�mi rovinn�mi simplexy jako na obr. \ref{T�i rozm�rn�m}. 3 rozm�rn� rovinn� simplexy jsou troj�heln�ky s 1, 3, 6 a 10 body. Ka�d� vy��� simplex m� $(m + 1)$ v�ce bod�, ne� jeho p�edch�dce je relativn� snadn� uspo��dat je do 3 rozm�rn�ho komplexu. Ten tvo�� kladn� k�nus 3 rozm�rn�ho oktogonu jako na obr.\ref{T�i rozm�rn�m rovinn� komplex}. \begin{figure} \caption{T�i rozm�rn� rovinn� komplex} \label{T�i rozm�rn�m rovinn� komplex} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(160.00,150.00) %\emline(70.33,80.00)(90.33,60.00) \multiput(70.33,80.00)(0.12,-0.12){167}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(70.33,100.00)(110.33,60.00) \multiput(70.33,100.00)(0.12,-0.12){334}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(70.33,120.00)(130.33,60.00) \multiput(70.33,120.00)(0.12,-0.12){501}{\line(0,-1){0.12}}

%\end \put(70.33,60.00){\circle{6.00}} \put(90.33,60.00){\circle{6.00}} \put(110.33,60.00){\circle{6.00}} \put(130.33,60.00){\circle{6.00}} \put(70.33,80.00){\circle{6.00}} \put(90.33,80.00){\circle{6.00}} \put(110.33,80.00){\circle{6.00}} \put(70.33,100.00){\circle{6.00}} \put(90.33,100.00){\circle{6.00}} \put(70.33,119.33){\circle{6.00}} %\emline(70.33,60.00)(10.00,15.00) \multiput(70.33,60.00)(-0.16,-0.12){376}{\line(-1,0){0.16}} %\end %\emline(70.33,79.00)(57.67,50.67) \multiput(70.33,79.00)(-0.12,-0.27){106}{\line(0,-1){0.27}} %\end %\emline(57.67,50.67)(90.33,60.00) \multiput(57.67,50.67)(0.42,0.12){78}{\line(1,0){0.42}} %\end %\emline(70.33,99.67)(43.33,40.00) \multiput(70.33,99.67)(-0.12,-0.26){226}{\line(0,-1){0.26}} %\end %\emline(43.33,40.00)(110.33,60.00) \multiput(43.33,40.00)(0.40,0.12){167}{\line(1,0){0.40}} %\end %\emline(70.00,120.00)(27.33,27.67) \multiput(70.00,120.00)(-0.12,-0.26){356}{\line(0,-1){0.26}} %\end %\emline(27.33,27.67)(130.67,60.00) \multiput(27.33,27.67)(0.38,0.12){270}{\line(1,0){0.38}} %\end %\emline(70.00,60.00)(140.00,60.00) \put(70.00,60.00){\line(1,0){70.00}} %\end %\emline(70.33,60.00)(70.33,127.67) \put(70.33,60.00){\line(0,1){67.67}} %\end \put(57.33,50.67){\circle{6.00}} \put(43.33,40.00){\circle{6.00}} \put(58.00,72.67){\circle{6.00}} \put(77.33,50.00){\circle{6.00}} \put(27.67,27.67){\circle{6.00}} \put(63.00,39.00){\circle{6.00}} \put(98.00,49.67){\circle{6.00}} \put(42.33,59.67){\circle{6.00}} \put(56.00,89.67){\circle{6.00}} \put(76.33,69.67){\circle{6.00}} \end{picture} \end{figure} Vy��� simplexy se li�� od ni���ch nejen p�i��t�n�m nov� hrany ale tak� zv�en�m po�tem �ad vedouc�m ke v�em bod�m vyjma vrcholy. Pokud srovn�te 3 rozm�rn� rovinn� simplex s 2 rozm�rn�m komplexem, rozd�l mezi nimi spo��v� v po�tu �ad vedouc�ch k rozd�ln�m bod�m. V�choz� bod (0, 0) d�v� koordin�tu (0, 0, 3), body $a$, $b$ se transformuj� do $ac^2$ a $bc^2$, a tak d�le.

\begin{figure} \caption{Prvn� t�i 4 rozm�rn� rovinn� simplexy a p�t�.} \label{Prvn� p�t} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(180.00,190.00) %\emline(87.67,6.67)(167.67,6.67) \put(87.67,6.67){\line(1,0){80.00}} %\end %\emline(127.67,75.67)(167.67,6.67) \multiput(127.67,75.67)(0.12,-0.21){334}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(87.67,6.67)(127.67,75.67) \multiput(87.67,6.67)(0.12,0.21){334}{\line(0,1){0.21}} %\end \put(87.67,6.67){\circle{6.00}} \put(108.00,6.67){\circle{6.00}} \put(127.67,6.67){\circle{6.00}} \put(147.67,6.67){\circle{6.00}} \put(167.67,6.67){\circle{6.00}} \put(98.00,24.34){\circle{6.00}} \put(157.67,24.00){\circle{6.00}} \put(117.67,24.00){\circle{6.00}} \put(137.67,23.67){\circle{6.00}} \put(97.67,23.67){\circle{6.00}} \put(107.67,6.67){\circle{6.00}} \put(107.67,40.67){\circle{6.00}} \put(127.67,40.67){\circle{6.00}} \put(147.67,41.00){\circle{6.00}} \put(117.67,58.34){\circle{6.00}} \put(137.67,58.34){\circle{6.00}} \put(127.67,75.67){\circle{6.00}} \put(27.11,87.78){\circle{6.00}} \put(7.23,113.89){\circle{6.00}} %\emline(7.23,113.34)(128.34,75.00) \multiput(7.23,113.34)(0.38,-0.12){320}{\line(1,0){0.38}} %\end %\emline(7.78,112.78)(167.78,6.67) \multiput(7.78,112.78)(0.18,-0.12){885}{\line(1,0){0.18}} %\end %\emline(26.67,87.23)(47.23,87.23) \put(26.67,87.23){\line(1,0){20.56}} %\end %\emline(47.23,87.23)(36.67,104.45) \multiput(47.23,87.23)(-0.12,0.19){89}{\line(0,1){0.19}} %\end %\emline(36.67,104.45)(26.67,87.23) \multiput(36.67,104.45)(-0.12,-0.21){84}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(58.34,44.45)(84.45,88.89) \multiput(58.34,44.45)(0.12,0.20){218}{\line(0,1){0.20}} %\end %\emline(40.56,68.34)(73.89,68.34) \put(40.56,68.34){\line(1,0){33.33}} %\end %\emline(73.89,68.34)(56.11,97.78) \multiput(73.89,68.34)(-0.12,0.20){149}{\line(0,1){0.20}} %\end

%\emline(56.11,97.78)(40.56,68.34) \multiput(56.11,97.78)(-0.12,-0.23){130}{\line(0,-1){0.23}} %\end \put(41.11,68.34){\circle{6.00}} \put(47.78,82.23){\circle{6.00}} \put(56.11,97.23){\circle{6.00}} \put(58.34,44.45){\circle{6.00}} \put(67.78,61.11){\circle{6.00}} \put(76.11,74.45){\circle{6.00}} \put(84.45,88.89){\circle{6.00}} \put(73.34,68.89){\circle{6.00}} \put(56.67,68.34){\circle{6.00}} \put(109.45,44.45){\circle{6.00}} \put(92.23,43.89){\circle{6.00}} \put(76.11,43.89){\circle{6.00}} \put(92.78,73.89){\circle{6.00}} \put(65.00,82.08){\circle{6.00}} \put(100.42,61.67){\circle{6.00}} \put(46.67,87.08){\circle{6.00}} %\emline(7.50,112.50)(87.92,6.67) \multiput(7.50,112.50)(0.12,-0.16){671}{\line(0,-1){0.16}} %\end %\emline(58.33,44.58)(58.75,43.75) \multiput(58.33,44.58)(0.11,-0.21){4}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(84.58,88.33)(110.42,44.17) \multiput(84.58,88.33)(0.12,-0.20){216}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\emline(110.42,44.17)(58.75,44.17) \put(110.42,44.17){\line(-1,0){51.67}} %\end \put(27.11,133.20){\circle{6.00}} \put(37.11,150.53){\circle{6.00}} \put(7.23,159.31){\circle{6.00}} %\emline(26.67,132.65)(47.23,132.65) \put(26.67,132.65){\line(1,0){20.56}} %\end %\emline(47.23,132.65)(36.67,149.87) \multiput(47.23,132.65)(-0.12,0.19){89}{\line(0,1){0.19}} %\end %\emline(36.67,149.87)(26.67,132.65) \multiput(36.67,149.87)(-0.12,-0.21){84}{\line(0,-1){0.21}} %\end \put(46.67,132.50){\circle{6.00}} \put(103.78,139.86){\circle{6.00}} \put(83.90,165.97){\circle{6.00}} %\emline(103.34,139.31)(123.90,139.31) \put(103.34,139.31){\line(1,0){20.56}} %\end %\emline(123.90,139.31)(113.34,156.53) \multiput(123.90,139.31)(-0.12,0.20){88}{\line(0,1){0.20}} %\end %\emline(113.34,156.53)(103.34,139.31) \multiput(113.34,156.53)(-0.12,-0.21){84}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(117.23,120.42)(150.56,120.42) \put(117.23,120.42){\line(1,0){33.33}} %\end

%\emline(150.56,120.42)(132.78,149.86) \multiput(150.56,120.42)(-0.12,0.20){149}{\line(0,1){0.20}} %\end %\emline(132.78,149.86)(117.23,120.42) \multiput(132.78,149.86)(-0.12,-0.23){130}{\line(0,-1){0.23}} %\end \put(117.78,120.42){\circle{6.00}} \put(124.45,134.31){\circle{6.00}} \put(132.78,149.31){\circle{6.00}} \put(150.01,120.97){\circle{6.00}} \put(133.34,120.42){\circle{6.00}} \put(141.67,134.16){\circle{6.00}} \put(123.34,139.16){\circle{6.00}} %\emline(7.50,159.17)(27.50,132.50) \multiput(7.50,159.17)(0.12,-0.16){167}{\line(0,-1){0.16}} %\end %\emline(7.08,159.17)(37.08,150.42) \multiput(7.08,159.17)(0.41,-0.12){73}{\line(1,0){0.41}} %\end %\emline(83.75,165.83)(117.50,120.42) \multiput(83.75,165.83)(0.12,-0.16){282}{\line(0,-1){0.16}} %\end %\emline(83.75,165.83)(133.33,149.17) \multiput(83.75,165.83)(0.36,-0.12){139}{\line(1,0){0.36}} %\end %\emline(7.50,158.75)(46.67,132.50) \multiput(7.50,158.75)(0.18,-0.12){219}{\line(1,0){0.18}} %\end %\emline(83.75,165.42)(150.00,120.42) \multiput(83.75,165.42)(0.18,-0.12){376}{\line(1,0){0.18}} %\end \put(36.25,104.17){\circle{6.00}} \put(112.92,155.42){\circle{6.00}} \put(84.17,61.67){\circle{6.00}} \put(107.50,6.67){\circle{6.00}} \put(45.00,169.58){\circle{6.00}} \end{picture} \end{figure} 4 rozm�rn� simplexy jsou t�lesa v 3 rozm�rn�m prostoru. Jsou to pravideln� �ty�st�ny. Pokud se pokou��me kreslit je na 2 rozm�rn� plo�e, mus�me je deformovat jako na obr.\ref{Prvn� p�t}, kde hrany simplex; maj� rozd�ln� d�lky. A na kresb� uvnit� �ty�st�nu se neobjevuj�, pokud je nekresl�me ve stereoskopick� projekci. Objevuje se prvn� pot�: Nejsme schopni vytvo�it ze 4 rozm�rn�ch rovin jejich komplex. Pro�? V�echny vrcholy �ty�st�nu mus� b�t ve stejn� vzd�lenosti od st�edu soustavy koordin�t. Vhodn� bod se zd� le�et uvnit� �ty�st�nu, av�ak st�edu �ty�st�nu m� koordin�tu (1/4, 1/4, 1/4, 1/4). St�ed syst�mu s koordin�tou (0, 0, 0, 0) nem�e b�t uvnit� roviny ale mus� le�et mimo ni. �loha nal�zt tento bod je podobn� �loze lokalizovat Nirv�nu. D�chac� cvi�en� nepom�haj�. Pon�kud u�ite�n�j�� je �as. Jenom posuneme celou rovinu z jej�ho p�vodn�ho m�sta o jednu jednotkovou d�lku v na�� mysli. Pon�vad� tato operace nem� ��dnou geometrickou koordin�tu, �e�� to �lohu. Je�t� v�t�� p�ek�ky se mus� p�ekonat, kdy� se pokou��me p�edstavit p�ti rozm�rn� rovinn� simplex jako na obr. \ref{T�i projekce}. Jej� ob�lka se skl�d� z p�ti �ty�rozm�rn�ch rovin, �ty�st�n� maj�c�ch jednu

nulovou koordin�tu: $$\begin{array}{ccccl} & b & c & d & 0 \\* & b & c & 0 & e \\* & b & 0 & d & e \\* & 0 & c & d & e \\* 0 & b & c & d & e\;. \end{array}$$ Ve 3 rozm�rn�m prostoru �ty�st�nov� strany si p�ek�ej�. Pokud nakresl�me simplex jako trigon�ln� bipyramidu (obr. \ref{T�i projekce} A), m�eme vid�t v jednom okam�iku dva �ty�st�ny, �ekn�me abcd a abce, maj�c� spole�nou stranu abc jako z�kladnu dvou trigon�ln�ch pyramid, v jin�m okam�iku t�i �ty�st�ny maj�c� spole�nou hranu de, kter� proch�z� bipyramidou. Av�ak to jsou pouze strany simplexu a jeho vnit�ek le�� mezi t�mito p�ti �ty�st�ny. Mus�me je odsunout stranou, ne� se dostaneme dovnit�. Po�aduje to koncentraci, abychom vstoupili do vnit� rovin vy���ch rozm�r�. Nebo jeden �ty�st�n se m�e zplo�tit, �ekn�me abcd (obr. \ref{T�i projekce} B) a nad touto deformovanou z�kladnou maj� m�sto �ty�i �ty�st�ny, kter� kryj� pyramidu dvakr�t, jednou jako dva �ty�st�ny abce a acde, jednou jako dva �ty�st�ny abde a bcde. Do 2 rozm�rn� roviny se 5 rozm�rn� rovinn� simplex prom�t� jako pentagram (obr. \ref{T�i projekce} C). Ve v�ech p��padech rovinn� simplex je deformov�n sv�m stla�en�m do m�n� rozm�rn�ho prostoru. V ide�ln�m stavu v�echny hrany by m�ly m�t stejn� d�lky. 5 rozm�rn� rovinn� simplexy 6 rozm�rn�ho rovinn�ho simplexu kryj� svou 3 rozm�rnou projekce t�ikr�t. Projekce ve form� tetragon�ln�ch bipyramid se mohou rozd�lit do dvou pyramid maj�c�ch spole�nou stranu abcd jako z�kladnu potom do �ty� simplex� pod�l osy ef jako d��ve u 5 rozm�rn�ho simplexu. Nebo se m�e zplo�tit jeden 5 rozm�rn�m rovinn� simplex do pravideln�ho pentagonu a nad touto z�kladnou m� m�sto p�t 5 rozm�rn�ch rovinn�ch simplex�, kter� kryj� z�kladnu pentagon�ln� pyramidy t�ikr�t, rohy pentagramu 4 kr�t a sv�j st�ed 5 kr�t. To �in� anal�zu 7 rozm�rn�ho rovinn�ho simplexu nesnadnou, pon�vad� pentagon�ln� bipyramida je jej� nejjednodu��� model. \begin{figure} \caption{T�i projekce 5 rozm�rn�ho rovinn�ho simplexu.. A -- bipyramida, B -jedna strana �ty�st�nu je zplo�t�n�, C -- cel� simplex je zplo�t�n.} \label{T�i projekce} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(150.00,140.00) %\emline(49.33,100.00)(80.00,100.00) \put(49.33,100.00){\line(1,0){30.67}} %\end %\emline(80.00,100.00)(80.00,100.00) \put(80.00,100.00){\line(0,1){0.00}} %\end %\emline(80.00,100.00)(65.33,123.33) \multiput(80.00,100.00)(-0.12,0.19){123}{\line(0,1){0.19}} %\end %\emline(65.33,123.33)(49.67,100.00) \multiput(65.33,123.33)(-0.12,-0.18){131}{\line(0,-1){0.18}} %\end %\emline(45.33,126.00)(65.33,123.33) \multiput(45.33,126.00)(0.87,-0.12){23}{\line(1,0){0.87}}

%\end %\emline(65.33,123.33)(92.00,94.67) \multiput(65.33,123.33)(0.12,-0.13){223}{\line(0,-1){0.13}} %\end %\emline(92.00,94.67)(49.00,100.00) \multiput(92.00,94.67)(-0.96,0.12){45}{\line(-1,0){0.96}} %\end %\emline(49.00,100.00)(45.67,126.00) \multiput(49.00,100.00)(-0.12,0.93){28}{\line(0,1){0.93}} %\end \put(45.67,126.00){\circle{6.00}} \put(65.33,123.33){\circle{6.00}} \put(49.33,100.00){\circle{6.00}} \put(91.67,94.67){\circle{6.00}} \put(79.67,100.00){\circle{6.00}} %\emline(10.67,10.33)(50.00,10.33) \put(10.67,10.33){\line(1,0){39.33}} %\end %\emline(50.00,10.33)(70.00,24.67) \multiput(50.00,10.33)(0.17,0.12){120}{\line(1,0){0.17}} %\end %\emline(70.00,24.67)(35.00,54.00) \multiput(70.00,24.67)(-0.14,0.12){245}{\line(-1,0){0.14}} %\end %\emline(35.00,54.00)(10.67,10.33) \multiput(35.00,54.00)(-0.12,-0.22){203}{\line(0,-1){0.22}} %\end %\emline(50.00,10.33)(34.67,53.67) \multiput(50.00,10.33)(-0.12,0.34){128}{\line(0,1){0.34}} %\end %\emline(82.33,26.67)(121.67,26.67) \put(82.33,26.67){\line(1,0){39.34}} %\end %\emline(121.67,26.67)(130.67,60.00) \multiput(121.67,26.67)(0.12,0.44){76}{\line(0,1){0.44}} %\end %\emline(130.67,60.00)(101.67,80.33) \multiput(130.67,60.00)(-0.17,0.12){170}{\line(-1,0){0.17}} %\end %\emline(101.67,80.33)(73.00,60.00) \multiput(101.67,80.33)(-0.17,-0.12){170}{\line(-1,0){0.17}} %\end %\emline(73.00,60.00)(82.67,26.67) \multiput(73.00,60.00)(0.12,-0.41){81}{\line(0,-1){0.41}} %\end %\emline(82.67,26.67)(82.67,27.00) \put(82.67,26.67){\line(0,1){0.33}} %\end %\emline(82.67,27.00)(130.67,60.33) \multiput(82.67,27.00)(0.17,0.12){278}{\line(1,0){0.17}} %\end %\emline(130.67,60.33)(73.00,60.33) \put(130.67,60.33){\line(-1,0){57.67}} %\end %\emline(73.00,60.33)(121.67,26.67) \multiput(73.00,60.33)(0.17,-0.12){281}{\line(1,0){0.17}} %\end %\emline(121.67,26.67)(101.67,80.33)

\multiput(121.67,26.67)(-0.12,0.32){167}{\line(0,1){0.32}} %\end %\emline(101.67,80.33)(82.33,26.67) \multiput(101.67,80.33)(-0.12,-0.33){162}{\line(0,-1){0.33}} %\end \put(82.33,26.67){\circle{6.00}} \put(121.33,26.67){\circle{6.00}} \put(130.33,60.33){\circle{6.00}} \put(73.33,60.33){\circle{6.00}} \put(101.67,80.33){\circle{6.00}} \put(11.00,10.33){\circle{6.00}} \put(49.67,10.33){\circle{6.00}} \put(35.00,53.33){\circle{6.00}} \put(69.67,25.00){\circle{6.00}} %\emline(45.67,126.00)(91.67,94.67) \multiput(45.67,126.00)(0.18,-0.12){262}{\line(1,0){0.18}} %\end %\emline(11.33,10.33)(35.67,24.33) \multiput(11.33,10.33)(0.21,0.12){117}{\line(1,0){0.21}} %\end %\emline(35.67,24.33)(69.67,24.33) \put(35.67,24.33){\line(1,0){34.00}} %\end %\emline(69.67,24.33)(11.33,10.33) \multiput(69.67,24.33)(-0.50,-0.12){117}{\line(-1,0){0.50}} %\end %\emline(35.67,24.33)(49.67,10.67) \multiput(35.67,24.33)(0.12,-0.12){114}{\line(1,0){0.12}} %\end \put(35.67,24.33){\circle{6.00}} %\emline(36.00,24.33)(35.00,53.33) \multiput(36.00,24.33)(-0.11,3.22){9}{\line(0,1){3.22}} %\end \put(84.81,117.78){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(34.44,67.41){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(127.41,85.19){\makebox(0,0)[cc]{C}} \end{picture} \end{figure} �as a trp�livost jsou podstatn�, kdy� se analyzuj� roviny vy���ch rozm�r�. Rozlo�te je do podrovin a sni�te jejich rozm�rnost jako svou dom�c� �lohu. Domn�nka mimo matematiku: Mnohorozm�rn� objekty se mohou objevovat v m�n� rozm�rn�m prostoru pouze neust�lou z�m�nou sv�ch konfigurac�. Tedy mikro��stice se objevuj� ve form� vln. \section{Konstrukce ��seln� osy} \label{Konstrukce} Doposud jsme pou��vali pouze p�irozen� ��sla a vektory. Av�ak budeme pot�ebovat zlomkov� ��sla a vektory. Nyn� jsme schopni je zav�st, pon�vad� m�me dosti prostoru pro nutn� konstruktivn� operace. P�ipome�te si 2 rozm�rn� komplex (obr. \ref{Konstrukce rational}). Polohov� vektor (1,1) proch�z� rovinn�m simplexem $(a + b)^1$ v bod�, kter� doposud nem� ��dn� jm�no v na�em sv�t�. Zavedeme jej nalezen�m jeho koordin�t na obou os�ch. To se provede s pou�it�m rovnob�ek s ob�ma osami. Nov� ��sla jsou

definov�na jako pom�r koordin�ty $a$ polohov�ho vektoru a mocniny jej�ho simplexu nebo jako pom�r koordin�ty $b$ polohov�ho vektoru a mocniny jej�ho simplexu.. V p��klad� je pom�r 1/2. \begin{figure} \caption{Konstrukce racion�ln�ch ��sel. Vektor (1, 1) prot�n� prvn� rovinn� simplex v bod� s koordin�tou (0.5, 0.5).} \label{Konstrukce rational} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(110.00,110.00) %\emline(24.00,20.00)(24.00,90.00) \put(24.00,20.00){\line(0,1){70.00}} %\end %\emline(24.00,50.00)(54.00,20.00) \multiput(24.00,50.00)(0.12,-0.12){251}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(24.00,80.00)(83.67,20.00) \multiput(24.00,80.00)(0.12,-0.12){498}{\line(0,-1){0.12}} %\end \put(54.33,20.00){\circle{4.00}} %\emline(24.00,20.00)(94.33,20.00) \put(24.00,20.00){\line(1,0){70.33}} %\end \put(84.00,20.00){\circle{4.00}} \put(24.00,20.00){\circle{4.00}} \put(24.00,49.67){\circle{4.00}} \put(24.00,80.00){\circle{4.00}} \put(54.00,49.67){\circle{4.00}} %\vector(24.00,20.00)(54.00,50.00) \put(54.00,50.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(24.00,20.00)(0.12,0.12){251}{\line(0,1){0.12}} %\end %\vector(39.00,35.00)(39.00,20.00) \put(39.00,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(39.00,35.00){\line(0,-1){15.00}} %\end \put(12.33,49.67){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(12.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(12.00,20.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(39.00,10.00){\makebox(0,0)[lc]{ = 0.5}} \end{picture} \end{figure} Kdy� se tato operace provede se v�emi simplexy jdouc�mi k nekone�nu (nebo ekvivalentn� s nekone�n�m simplexem), dostaneme nekone�n� mnoho bod� v intervalu $<0, 1>$. V�echny tyto body jsou spo�etn� indexy i nekone�n� roviny. Jsou zn�m� jako {\em racion�ln� ��sla}. Racion�ln� ��sla mimo interval $<0, 1>$ se z�skaj� se��t�n�m racion�ln�m ��sla a p�irozen�ho ��slo (nebo n�soben�m). Samotn� nekone�n� rovinn� simplex z�stal p�i t�to operaci nerozd�len, jak byl ve sv�m p�irozen�m stavu. Pou�ijeme op�t jednu vlastnost Euklidovsk�ho prostoru, �e toti� rovnob�ky se nikdy nest�kaj� a p�eneseme jemn� d�len� racion�ln�ch ��sel z prv�ho simplexu do nekone�n� roviny (obr. \ref{Konstrukce irrational}). Na ni se objev� nov� polohov� vektory. Prot�naj� jednotkov� simplex v bodech, kter� v�echny le�� p�ed prvn�m racion�ln�m ��slem. Rozd�luj� �hel mezi prvn�m spo�etn�m racion�ln�m vektorem z prim�rn�ho nekone�n�ho d�len� jednotkov�ho intervalu a tedy form� nov� mno�ina nekone�n� mnoho body na ��seln� stupnice.

Operace se mohou opakovat ad infinitum. Prvn� mno�ina iracion�ln�ch ��sel je dosta�uj�c� pro reprezentaci {\em kontinua}. Jej� prvky nejsou spo�etn� pon�vad� nekone�n� z�soba ��sel je vy�erp�na po��t�n�m prv� �rody racion�ln�ch ��sel. Nespo�itateln� ��sla druh� �rody jsou {\em iracion�ln� ��sla}. \begin{figure} \caption{Konstrukce iracion�ln�ch ��sel. Vektor vedouc� k projekci prv�ch racion�ln�ch ��sel $a$ do nekone�n�ho rovinn�ho simplexu m� jako koordin�tu iracion�ln� ��slo $b$} \label{Konstrukce irrational} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(110.00,110.00) %\emline(24.00,20.00)(24.00,90.00) \put(24.00,20.00){\line(0,1){70.00}} %\end %\emline(24.00,50.00)(54.00,20.00) \multiput(24.00,50.00)(0.12,-0.12){251}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(24.00,80.00)(83.67,20.00) \multiput(24.00,80.00)(0.12,-0.12){498}{\line(0,-1){0.12}} %\end \put(54.33,20.00){\circle{4.00}} %\emline(24.00,20.00)(94.33,20.00) \put(24.00,20.00){\line(1,0){70.33}} %\end \put(84.00,20.00){\circle{4.00}} \put(24.00,20.00){\circle{4.00}} \put(24.00,49.67){\circle{4.00}} \put(24.00,80.00){\circle{4.00}} \put(54.00,49.67){\circle{4.00}} %\vector(24.00,20.00)(54.00,50.00) \put(54.00,50.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(24.00,20.00)(0.12,0.12){251}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(12.33,49.67){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(12.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{$\infty$}} \put(12.00,20.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(39.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(54.00,10.33){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(24.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} %\vector(39.00,20.00)(39.00,64.67) \put(39.00,64.67){\vector(0,1){0.2}} \put(39.00,20.00){\line(0,1){44.67}} %\end %\vector(24.00,20.00)(39.00,64.67) \put(39.00,64.67){\vector(1,3){0.2}} \multiput(24.00,20.00)(0.12,0.35){126}{\line(0,1){0.35}} %\end %\vector(31.33,42.33)(31.33,20.00) \put(31.33,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(31.33,42.33){\line(0,-1){22.33}} %\end \put(31.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \end{picture} \end{figure} Ostatn� pot�ebujeme takov� ��sla, kter� nejsme schopni ps�t explicitn�. Pokud se vr�t�me k simplexov� rovin� a pokus�me se zm��it d�lku vektoru vedouc�ho k bodu (0.5, 0.5), nebo (1, 1), oto�en�mu na osu, nenalezneme jej mezi racion�ln�mi

��sly. Odmocnina ze 2 ($\sqrt{2}$) nen� racion�ln� ��slo. ��sla, kter� lze z�skat n�sledn�mi d�len�mi kontinua a odstran�n�m desetinn� ��rky, jsou zn�m� jako {\em ��sla alef}. V Euklidovsk�m prostoru v�ude a v�dy plat�, �e 1 $\times$ 1 = 1. Nikde sou�in nen� iracion�ln� ��slo v�t�� nebo men��, ne� 1. \section{Komplexn� ��sla} \label{Komplexn� ��sla} Uk�zali jsme, �e maticov� vektor ${\bf M}$ se m�e prom�tnout na jednotkov� vektor ��dku ${\bf J}^{\rm T}$ nebo sloupec ${\bf J}$ a �e kvadratick� formy ${\bf M}^{\rm T}{\bf M}$ a ${\bf MM}^{\rm T}$ se mohou rozd�lit do pravo�hl�ch troj�heln�k�. To plat� pro maticov� vektory, ve kter�ch v�echny prvky jsou bu� kladn� nebo z�porn�. Pokud maticov� vektor obsahuje ��sla obou znam�nek, jeho projekce je krat��, ne� samotn� maticov� vektor. Potom p�epona pravo�hl�ho troj�heln�ka (obr. 1.2), reprezentovan� stopou kvadratick� formy, je del��, ne� vn�j�� sou�in, kde Mimodiagon�ln� prvky tvo�� odv�snu. Mimodiagon�ln� prvky mohou b�t bu� kladn� nebo z�porn�. Nap��klad: \begin{center} \begin{tabular}{rrrrcrrrcr} \ & \ & \ & \ & \vline\ & -3 & -2 & 1 & \vline\ & \ $\Sigma$ \\ \hline \ & \ & \ & \ & \vline\ & & & & \vline\ & \\ \ & \ & \ & 3 & \vline\ & 9 & -6 & 3 & \vline\ & 6 \\ \ & \ & \ & -2 & \vline\ & -6 & 4 & -2 & \vline\ & -4 \\ \ & \ & \ & 1 & \vline\ & 3 & -2 & 1 & \vline\ & 2 \\ \hline \ & \ & \ & \ & \vline\ & & & & \vline\ & \ \\ & \ & \ & \ $\Sigma$ & \vline\ & 6 & -4 & 2 & \vline\ & 4 \\ & & & & \vline & & & & \vline & Stopa = 14. \end{tabular} \end{center} D�lka diagon�ln�ho vektoru (stopa) je 14, d�lka mimodiagon�ln�ho vektoru (sou�et Mimodiagon�ln�ch prvk�) je $-$10, d�lka vn�j��ho sou�inu (projekce na jednotkov� vektor) je 4, to znamen�, �e je krat��, ne� samotn� vektor. Z�porn� sou�et Mimodiagon�ln�ch prvk� ukazuje, �e od jejich sou�et mus� b�t ode�ten od stopy nem� se k n� p�i��tat. To m�n� konstrukci troj�heln�ka. Patrn� jste sly�eli o imagin�rn�ch ��slech i, odmocnin�ch ze z�porn�ho ��sla $\sqrt{-1}$. Kdy� se objevila jako mo�n� �e�en� kvadratick�ch rovnic, matematikov� se jich ob�vali jako duch�. Pouze pozd�ji Euler uk�zal, jak mohou b�t zkrocena jejich mapov�n�m na komplexn� rovinu (obr. \ref{Komplexn� ��sla}). \begin{figure} \caption{Komplexn� ��sla. Jsou slo�ena z re�ln� a imagin�rn� ��sti} \label{Komplexn� ��sla} \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(110.00,100.00) %\emline(39.33,20.00)(99.33,20.00) \put(39.33,20.00){\line(1,0){60.00}} %\end %\emline(39.33,20.00)(39.33,80.00) \put(39.33,20.00){\line(0,1){60.00}} %\end %\vector(39.33,20.00)(80.66,47.33)

\put(80.66,47.33){\vector(3,2){0.2}} \multiput(39.33,20.00)(0.18,0.12){228}{\line(1,0){0.18}} %\end \put(44.33,76.67){\makebox(0,0)[lc]{re�ln�}} \put(39.67,4.67){\makebox(0,0)[lc]{imagin�rn�}} %\vector(80.81,47.04)(39.33,47.04) \put(39.33,47.04){\vector(-1,0){0.2}} \put(80.81,47.04){\line(-1,0){41.48}} %\end %\vector(80.44,47.04)(80.44,20.00) \put(80.44,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(80.44,47.04){\line(0,-1){27.04}} %\end \put(80.66,56.33){\makebox(0,0)[lc]{komplex}} \put(9.67,47.00){\makebox(0,0)[cc]{$\sin \phi$}} \put(80.33,13.33){\makebox(0,0)[rc]{$\cos \phi$}} %\circle(39.33,20.00){99.07} \multiput(39.33,69.54)(1.59,-0.10){4}{\line(1,0){1.59}} \multiput(45.70,69.13)(0.57,-0.11){11}{\line(1,0){0.57}} \multiput(51.96,67.90)(0.36,-0.12){17}{\line(1,0){0.36}} \multiput(58.01,65.88)(0.24,-0.12){24}{\line(1,0){0.24}} \multiput(63.75,63.10)(0.18,-0.12){30}{\line(1,0){0.18}} \multiput(69.08,59.61)(0.14,-0.12){35}{\line(1,0){0.14}} \multiput(73.92,55.46)(0.12,-0.13){36}{\line(0,-1){0.13}} \multiput(78.19,50.72)(0.12,-0.17){31}{\line(0,-1){0.17}} \multiput(81.82,45.47)(0.12,-0.23){25}{\line(0,-1){0.23}} \multiput(84.74,39.80)(0.11,-0.32){19}{\line(0,-1){0.32}} \multiput(86.91,33.80)(0.11,-0.52){12}{\line(0,-1){0.52}} \multiput(88.29,27.58)(0.11,-1.27){5}{\line(0,-1){1.27}} \multiput(88.85,21.22)(-0.08,-2.12){3}{\line(0,-1){2.12}} \multiput(88.60,14.85)(-0.12,-0.70){9}{\line(0,-1){0.70}} \multiput(87.53,8.56)(-0.12,-0.38){16}{\line(0,-1){0.38}} \multiput(85.66,2.47)(-0.12,-0.26){22}{\line(0,-1){0.26}} \multiput(1.41,51.87)(0.12,0.12){37}{\line(0,1){0.12}} \multiput(5.82,56.48)(0.15,0.12){34}{\line(1,0){0.15}} \multiput(10.78,60.48)(0.19,0.12){28}{\line(1,0){0.19}} \multiput(16.22,63.81)(0.26,0.12){22}{\line(1,0){0.26}} \multiput(22.04,66.42)(0.38,0.11){16}{\line(1,0){0.38}} \multiput(28.15,68.26)(1.02,0.12){11}{\line(1,0){1.02}} \end{picture} \end{figure} Nyn�, pokud m�me ��slo z ve form� \begin{equation} z = (x + iy) \ {\rm nebo} \ z = r(\cos \phi + i\sin \phi)\;, \end{equation} m�eme je rozd�lit do pravo�hl�ho troj�heln�ka a nahradit line�rn� vektor rovinn�m vektorem, kter� je v�dy slo�en ze dvou prvk�, jednoho re�ln�ho a jednoho imagin�rn�ho. Existuj� zvl�tn� pravidla pro po��t�n� s komplexn�mi ��sly a zejm�na maticemi obsahuj�c�mi komplexn� ��sla. \section{Vytvo�uj�c� funkce} \label{Vytvo�uj�c�} Uk�zali jsme jak se komplex konstruuje ze sv�ch simplex�. Tato technika se pou��v�

intensivn� v kombinatorice pro vytvo�uj�c� funkce. Prostor je definov�n n�jak�m funk�n�m vztahem, obvykle sou�tem nebo sou�inem, jeho� argument jde od 0 a� $\infty$. Vytvo�uj�c� funkce se vyhodnocuje s fale�nou prom�nnou, nap��klad $t$, a vypo�tou se koeficienty p�i rozd�ln�ch mocnin�ch $t$. Pon�vad� �ady ${\bf x}_a{\bf x}_b$ a ${\bf x}_b{\bf x}_a$ jsou nerozli�iteln� v komutativn�m procesu, bylo pova�ov�no za nemo�n� formulovat vytvo�uj�c� funkci, kter� by ukazovala po�ad� symbol� v sou�inech (permutace). Nicm�n� enumer�tory se snadno naleznou ve form� \begin{equation} \sum^n_{k=0}\ t^k/k!\;. \end{equation} Tyto enumer�tory jsou zn�m� jako exponenci�ln� vytvo�uj�c� funkce. Je mo�n� prov�d�t rozd�ln� algebraick� operace s vytvo�uj�c�mi funkcemi, nap��klad nal�zt jejich sou�ty, sou�iny, atd.. Odpov�daj�c� operace jsou zn�m� jako Cauchy Blissardovy algebry. Existuje mnoho koncep�n�ch probl�m� spojen�ch s konvergenc� nekone�n�ch s�ri� pro rozd�ln� argumenty. Zjednodu��me je s pou�it�m jednotkov�ch vektor� a vlastnost� Euklidovsk�ho prostoru. Pouze v�jime�n� zm�n�me n�jak� deformace ide�ln�ho prostoru. \section{Zobecn�n� jednotkov� vektory} \label{Zobecn�n�} S pou�it�m jednotkov�ch vektor� ${\bf e}_j$ z�ili jsme mo�nosti kalkulu. Zjednodu�en� m� mnoho v�hod av�ak mus� se za n� platit. N�kter� vzorce v p��t�ch kapitol�ch jsou spr�vn� i kdy� ${\bf e}_j$ nen� 1 av�ak jak�koliv ��slo. Nap��klad $(a + b + c)^k$ se m�e vyhodnotit jako $(1 + 2 + 3)^k$ stejn� jako $(2.1 + 0.1 + 5)^k$ v z�vislosti na skute�n�ch hodnot�ch prom�nn�ch. Plat� i pro geometrick� reprezentace prom�nn�ch. Je mo�n� si p�edstavit, jakoby prostor byl elastick� a jeho m��ka se mohla nap�nat, jak je pot�eba. Ka�d� zvl�tn� p��pad se m�e rozd�lit do ��sti, kter� je isomorfn� s ide�ln�m p��padem, a do zvl�tn� distorze jednotkov�ch vektor�. \section{Trigonometrick� funkce} \label{Trigonometric} Budeme diskutovat kr�tce trigonometrick� funkce, sinus, cosinus, tangens a kotangens. Spojuj� hodnoty �hly v pravo�hl�ho troj�heln�ka s pod�ly odv�sen k p�epon�. Pokud $\alpha$ je �hel odv�sny $b$ a p�epony $c$, jej� protilehl� strana je $a$, pak definice trigonometrick�ch funkc� jsou \begin{itemize} \item $\sin\, \alpha \item $\cos\, \alpha \item $\tan\, \alpha \item $\cot\, \alpha \item $\sin\, \alpha \end{itemize}

\ \ \ \ \

= = = = =

a/c$ b/c$ a/b$ b/ = 1/tan \alpha$ cos \beta.$

Strany obou �hl� m�n� sv� polohy. Vzorec \begin{center} $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = $1

\end{center} je ve skute�nosti Pythagorova v�ta \label{Pythagorova} ve form�: \begin{center} $(a/c)^2 + (b/c)^2 = (c/c)^2$, \end{center} nebo \begin{center} $\sin^2 \alpha + \sin^2 \bet =$ 1. \end{center} \section{P�irozen� ��sla a ��slovky} %\addcontentsline{kc}{section}{P�irozen� ��sla a ��slovky} \label{Natural} Dv� z�kladn� definice p�irozen�ch ��sel jsou Peanova axiomatick� a von Neumann�v mno�inov� model. Ob� definice jsou p��sn� funk�n�, nedbaj� na vztahy mezi ��sly a ��slovkami jako p�irozen�mi jm�ny p�irozen�ch ��sel a jejich psan� formy, jejich notace. Peano definoval p�irozen� ��sla algoritmem, kter� tvo�� z ��sla $k$ v�t�� ��slo p�i��t�n�m jednotky $(k + 1)$. Je to jemn� p��stup, kter� jsme u� vyu�ili pro vytvo�en� prostoru, kde m�sto 1 se p�idala nov� simplexov� vrstva. Von Neumann�v mno�inov� model vytv��� ��sla po��t�n�m mno�iny. Pr�zdn� mno�ina \ {0\} m� jeden prvek, to vytv��� 1. Mno�ina obsahuj�c� \{0, 1\} m� dva prvky, to vytv��� 2, a tak d�le. V�echny jazyky, kter� zn�m, maj� ��slovky $k$ pro ��sla 0 a� deset. ��slovky pro 11 -- 19 se tvo�� jako (10 + $k$) nap��klad v angli�tin� fourteen. Eleven a twelve jsou deformov�ny, pon�vad� se pou��vala �asto. N�sobky des�tek jako jedna ��slovka tvo�en� jako $(k\times$ty=ten), nap��klad forty. Sta a tis�ce se po��taj� odd�len�, potom pouze kilon�sobky tis�ce (milion, $\dots$) maj� sv� vlastn� ��slovky. ��sla mezi t�mito pivoty se vyjad�uj� jako line�rn� kombinace z�kladn�ch ��slovek. Ov�em existuj� v�jimky, jako zm�n�n�ch 11 a 12. ***Nap��klad deformace a v�jimky ��slovek se objevuj� do sta v Hind\'\i. Sta�� Egyp�an� m�li zvl�tn� jm�na a hieroglyfy pro des�tky. Notace ��slic m�la rozd�ln� formy: V primitivn� form�, jeden z��ez na holi odpov�dal ka�d�mu se�ten�mu objektu. Egyp�an� zavedli zvl�tn� znaky pro mocniny 10 a� $10^7$, av�ak ��slovky jedna a� dev�t vyjad�ovali primitivn� znakem odpov�daj�c�m ��slu. F�ni�an� zavedli p�smena pro 1 -- 9, 10 -- 90 a 100 -- 900. To zkr�tilo v�znamn� notaci. Tento soustava p�evzali Hebrejci a �ekov�. ��man� pou��vali sv�j vlastn� soustava. Specifick� symboly byly omezeny na I, V, X, L, C, D, M a po�et nutn�ch symbol� v jedn� ��slovce s pou�it�m polohov� soustavy IV = jedna ruka bez jednoho prstu, IX = dv� ruce bez jednoho prstu. Kone�n� m�me Indicko arabskou decim�ln� polohovou soustavu. M�li bychom zm�nit mayskou dvac�tkovou soustavu s polohovou notac�, kde nula s ��slovkou znamenala n�soben� 20 kr�t(quatre-vingt v francouz�tin�) babylonskou nedes�tkovou soustavu (n�mecky Schock, �esky kopa), kde mocniny t�� dvac�tek se vyjad�ovaly velikost� jejich symbolu (srovnej tucet -- veletucet -- velk�

veletucet). ��slovky, to je jm�na ��sel, jsou vytvo�eny modul�rn� soustavou, kter� je zalo�ena na na�ich prstech. Po��t�me mno�iny jejich shrabov�n�m na�ima rukama a t�mto p�irozen�m zp�sobem mluv�me a mysl�me o ��slech v decim�ln� soustav�. Definice p�irozen�ch ��sel by m�la vyj�d�it tento fakt. Tedy navrhuji n�sleduj�c� definici: {\em P�irozen� ��sla jsou vytvo�ena s�ri� modul�rn�ch operac�, srovn�vaj�c�ch dv� mno�iny, porovn�vanou mno�inu $\{n\}$ a modul�rn� mno�ina $\{m\}$}. Pr�zdn� mno�ina \{0\} je ze z�ejm�ch d�vod� nevhodn� jako modul�rn� mno�ina \{m\}. Mno�ina \{1\} jako modul�rn� mno�ina $\{m\}$ vytv��� pouze p�irozen� ��slo 0, pon�vad� $$\{n\}\ {\rm mod}\ \{1\} \equiv 0\ .$$ Mno�ina \{2\} vytv��� p�irozen� ��sla 0 a 1. S pou�it�m dosti velk� modul�rn� mno�iny $\{m\}$ dostaneme v jedn� modul�rn� operace v�echna p�irozen� ��sla. Av�ak je to nepohodln�, pon�vad� nem�me pro n� neomezenou z�sob�rnu jednoduch�ch symbol� a ��slovek. Proto se mus� pou��t s�rie modul�rn�ch porovn�v�n�, jej� V�sledkem je s�rie modul�rn�ch identit. Polohov� notace vede k modul�rn�m rovnostem: $$\{135\}\ {\rm mod}\ \{10\} = \ 135$$ $$\{135\}\ {\rm mod}\ \{4\} = 2013$$ Napsan� forma ��sla se z�sk�

s�ri� n�sledn�ch d�len� s modul�rn�mi zbytky

\begin{itemize} \item 135 : 4 = 33 + 3 \item \ 33 : 4 = \ 8 + 1 \item \ \ 8 : 4 = \ 2 + 0 \item \ \ 2 : 4 = \ 0 + 2 \end{itemize} V�sledn� ��slo modulu 4 je tvo�eno jako polohov� kombinace v�ech modul�rn�ch zbytk� naps�n od prvn�ho zprava doleva, kde je naps�n posledn� zbytek \footnote{ Toto semitsk� psan� bylo p�ijat� od F�ni�an�.} = 2013. A�koliv mno�ina \{1\} se zd� b�t p�irozenou z�kladnou ��seln� soustavy a objekty v mno�in�ch u� existuj� takov� form�, s�rie modul�rn� porovn�v�n� s 1 d�v� pouze s�rii nul. D�len� jednou nesni�uje digit�ln� velikost ��sla a nestla�uje jeho notaci. Proto takov� ��seln� soustava je nepraktick�. Bin�rn� soustava je prvou pou�itelnou. Modul�rn� operace je podstatn� mechanickou. V prv�m kroku ��dek prvky se rozsek� do ��dk� podle dan�ho modulu. Posledn� ��dka, kter� je ne�pln� (m�e b�t pr�zdn�) je v�sledek modul�rn� operace \begin{center} \begin{tabular}{lrrrr} ***** & mod & **: & ** & \ \\* \ & \ & \ & ** & \ \\* Zbytek & \ & \ & * & = 1. \end{tabular} \end{center}

Jeden sloupec �pln�ch ��dk� se transponuje do ��dku a operace se opakuje \begin{center} \begin{tabular}{lrrl} ** & mod & **: & ** \\* Zbytek & & & \ 0 = 0. \end{tabular} \end{center} Jeden �pln� sloupec z�skan� druhou modul�rn� operac� se op�t podobn� srovn�v� dokud v�echny prvky se nevy�erpaj� $$\begin{tabular}{lccl} * & mod & **: & 0 (po�et �pln�ch ��dk�) \\ Zbytek & & & * = 1. \end{tabular}$$ V�sledkem je bin�rn� notace ***** = 101. T�et� modul�rn� operace byla ve skute�nosti d�len�m druh� mocniny dvou, t�et� zbytek d�v� po�et �ty�ek v p�vodn� mno�in�. V bin�rn� notac� jsou ur�eny svou t�et� polohou od posledn� ��slice ud�vaj�c� po�et $1 = 2^0$. ��slo men��ho modulu je sou�asn� ��slem v�t��ho modulu. Bin�rn� ��slo �ty�i vypad� jako dekadick� ��slo sto (4 = 100). Dv� p�irozen� ��sla jsou stejn�, pokud se z�skaj� ze stejn� mno�iny $\{n\}$, a jsou srovnateln� ,pokud jsou ur�ena s pou�it�m stejn� modul�rn� mno�iny $\{m\}$. V porovn�n� s von Neumann mno�inov�m modelem, kde spojen� mno�iny \{\{0\}, \{1\}\} vyvol�vaj� ��slo 2, zde vytvo�uj�c� mno�ina \{2\} kryje ��sla 0 a 1. V�hody navr�en� definice jsou z�ejm�: p�irozen� ��sla s kardin�ln�mi ��slovkami algoritmem, kter� ukazuje, jak se tvo�� jm�na a notace p�irozen�ch ��sel z ��slovek. Je to logick�: ��sla, kter� jsou popsan� v p�irozen�m jazyce kombinacemi kardin�ln�ch ��slovek jsou p�irozen� ��sla. \chapter{Line�rn� oper�tory} \label{Line�rn� oper�tory} \section{�vod} \label{�vod 3} Vektory jsou oper�tory, kter� posouvaj� bod na jin� m�sto v prostoru. V t�to kapitole budeme diskutovat speci�ln� oper�tory, kter� p�sob� na mno�iny bod� nebo na mno�iny vektor� jakoby byly jedn�m bodem nebo pevn�m t�lesem. N�kter� z t�chto operac� byly u� zm�n�n�, av�ak nyn� se jim dostane systemati�t�j�� pozornosti. Nicm�n� n�kter� d�le�it� vlastnosti oper�tor� se stanou jasn�j�� pouze pozd�ji, po zaveden� grafov�ch oper�tor� a jejich vyu�it� k dosa�en� praktick�ch v�sledk�. Oper�tory se mohou rozd�lit do {\em aditivn�ch}, jako jsou vektory translace, a {\em multiplikativn�ch}, jako jsou skal�rn� sou�iny. Je mo�n� jin� hledisko klasifikace v z�vislosti na tom, tolik matic nebo vektor� je posti�eno. Operace m�e prob�hat uvnit� jedn� matice, nebo jeden maticov� oper�tor m�e p�sobit na jin� vektor nebo matici. Vzpome�te si, �e vektor ��dka nebo vektor sloupec jsou matice s jen jedou ��dkou nebo sloupcem. \section{Transponov�n� a transverzov�n�} \label{Transponov�n� a Transverzov�n�}

Transponov�n� maticov�ch vektor� u� bylo definov�no. M�n� jednodu�e ��dkov� indexy $i$ a sloupcov� indexy $j$ v�ech maticov�ch prvk� \begin{equation} {\bf M}^{\rm T} \rightarrow {\rm m}^{\rm T}_{ij} = {\rm m}_{ji}\; \end{equation} Pokud ${\bf M}^{\rm T} = {\bf M}$, matice je {\em symetrick�}. Tato vlastnost m� d�le�it� d�sledky pro jin� vlastnosti matice. Je zaj�mav�, �e transpozice m�n� po�ad� �len� v maticov�ch sou�inech: \begin{equation} ({\bf ABC})^{\rm T} = {\bf C}^{\rm T}{\bf B}^{\rm T}{\bf A}^{\rm T}\;. \end{equation} S transpozicemi je spojen� koncep�n� probl�m. P�ijali jsme konvenci, �e ��dky matice znamenaj� po�ad� v �ase, n�slednost, zat�m co sloupce jsou uspo��d�ny v prostoru jako ortogon�ln� vektory. Transpozice m�n� touto po�ad�. Av�ak vzpome�te si na knihu. V�echna slova existuj� sou�asn�, jsme pouze nuceni, abychom je �etli postupn� �etli. Podobnou funkci m� ve vektorov�m prostoru �as, nen� to konven�n� �as, kter� se m��� hodinami. V�echny prvky matice existuj� sou�asn� ve v�ech okam�ic�ch. Jinak bychom pot�ebovali jinou algebru. Druh� operace zde zaveden�, {\em transverze}, se v u�ebnic�ch nevyskytuje, av�ak pot�ebujeme ji k jednoduch�m d�kaz�m bez v�po�t� n�kter�ch kombinatorick�ch identit. Transverze m�n� po�ad� obou index�, co� znamen�, �e ��dky a sloupce se po��taj� odzadu. Pokud transponov�n� ot��� prvky matice okolo hlavn� diagon�ly $m_{11} \longrightarrow m_{nn}$, transverze je ot��� okolo diagon�ly (jej� jm�no bude transverz�la) $m_{1n} \longrightarrow m_{n1}$ (obr.\ref{Transposing}). Nahl��me nejvzd�len�j�� roh matice jako jej� v�choz� bod. \begin{figure} \caption{Transponov�n� (A) a transverzov�n� (B) matice} \label{Transposing} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(140.00,90.00) \put(10.33,20.00){\framebox(39.67,40.00)[cc]{}} \put(79.67,20.00){\framebox(40.33,40.33)[cc]{}} %\emline(5.00,65.00)(60.00,10.00) \multiput(5.00,65.00)(0.12,-0.12){459}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(69.67,10.00)(125.00,65.00) \multiput(69.67,10.00)(0.12,0.12){459}{\line(1,0){0.12}} %\end %\bezier{184}(50.00,9.67)(70.33,-1.00)(60.00,20.00) \put(60.00,20.00){\vector(-1,2){0.2}} \bezier{184}(50.00,9.67)(70.33,-1.00)(60.00,20.00) %\end %\bezier{180}(79.67,9.67)(60.67,-1.00)(69.67,20.00) \put(69.67,20.00){\vector(1,3){0.2}} \bezier{180}(79.67,9.67)(60.67,-1.00)(69.67,20.00) %\end \put(30.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(100.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{B}} \end{picture} \end{figure} \section{Translace a permutace}

\label{Translace a permutace} P�ekl�d�me v�tu z jednoho jazyka do jin�ho, nebo ji p�ekl�d�me jako blok z jednoho m�sta v textu na jin� m�sto. Podobn� m�eme p�ekl�dat vektory nebo jejich �ady. Nyn� mus�me nal�zt techniky, jak vyj�d�it rozd�ln� druhy translace abstraktn�m zp�sobem. Z�sadn� existuj� dv� mo�nosti, jak takov� translace se mohou uskute�nit. Oper�tory mohou b�t aditivn� nebo multiplikativn�. Aditivn� oper�tor se definuje jako rozd�l. Vezmeme dva stavy maticov�ho vektoru, p�vodn� ${\bf M}_1$ a kone�n� ${\bf M}_2$ a hledan� oper�tor ${\bf S}$ je jejich rozd�l: \begin{equation} {\bf S}= {\bf M}_2 - {\bf M}_1 \;. \end{equation} Nap��klad $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} {\bf N}_1 \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf N}_2 \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf S} \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Vypad� to trivi�ln�, av�ak speci�ln� v�tev matematiky, teorie graf�, studuje pouze

tyto oper�tory a vektory k nim ortogon�ln�. Podle na�� konvence ��dka p�esouv� jeden symbol na jin�. To odpov�d� k�dov�n� zpr�vy, v transponovan� form� tv���m uk�zan�m na obr. \ref{Face}. Ka�d� ��dka oper�tor ${\bf S}$ je rozd�l dvou jednotkov�ch vektor� ${\bf e}_j$. Z�porn� ${\bf e}_a$ jde od vrcholu $a$ zp�t ke st�edu a cesta prostorem pokra�uje vektorem ${\bf e}_b$ k vrcholu $b$. V�sledn� simult�nn� translace je vektor jdouc� p��mo z vrcholu $a$ k vrcholu $b$ bez dotknut� se st�edu (obr. \ref{Reprezentace}). \begin{figure} \caption{Reprezentace orientovan�ch a neorientovan�ch hran jako vektorov�ch sou�t� nebo rozd�l�} \label{Reprezentace} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(160.00,100.00) %\vector(20.00,70.00)(20.00,20.00) \put(20.00,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(20.00,70.00){\line(0,-1){50.00}} %\end %\vector(20.00,70.00)(70.00,70.00) \put(70.00,70.00){\vector(1,0){0.2}} \put(20.00,70.00){\line(1,0){50.00}} %\end %\vector(20.00,70.00)(70.00,20.00) \put(70.00,20.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(20.00,70.00)(0.12,-0.12){414}{\line(1,0){0.12}} %\end \put(10.00,47.00){\makebox(0,0)[cc]{$-{\bf e}_a$}} \put(45.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf e}_b$}} \put(37.67,58.67){\makebox(0,0)[lc]{arc $({\bf e}_b - {\bf e}_a)$}} \put(20.00,70.00){\circle{10.00}} \put(70.00,20.00){\circle{10.00}} \put(90.00,70.00){\circle{10.00}} %\emline(90.00,70.00)(140.00,20.00) \multiput(90.00,70.00)(0.12,-0.12){412}{\line(1,0){0.12}} %\end \put(140.00,20.00){\circle{10.00}} %\vector(90.00,20.00)(140.00,70.00) \put(141.00,70.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(90.00,20.00)(0.12,0.12){417}{\line(1,0){0.12}} %\end \put(100.00,20.00){\makebox(0,0)[lc]{$({\bf e}_ + {\bf e}_b)$}} \put(101.00,70.00){\makebox(0,0)[lc]{hran $(a + b)$}} \end{picture} \end{figure} Jednotkov� vektory ${\bf e}_j$ jsou {\em prim�rn�} vektory, jejich sou�ty nebo rozd�ly ${\rm s}_{ij}$ jsou {\em sekund�rn�} vektory. Jejich prostor je oto�en v �hlu $45^0$ k prim�rn�mu prostoru. Ke ka�d�mu sou�tu $(i + j)$ n�le�� dva rozd�ly, $(i - j)$ a $(j - i)$. Oper�tor ${\bf S}$ je �ada takov�ch sekund�rn�ch vektor�. Tyto vektory tvo�� hrany rovinn�ho simplexu $n^1$. Nevych�zej� ze st�edu k n�jak�mu bodu prostoru, av�ak m�n� vektorovou �adu v jinou jdouc� k stejn�mu simplexu. Pon�vad� ob� vektorov� �ady jsou kontinu�ln� cesty, oper�tor, kter� p�ekl�d� jednu v druhou le�� na plo�e v n rozm�rn�m prostoru (obr. \ref{Rozd�l dvou vektorov�ch �ad}).

\begin{figure} \caption{ Rozd�l dvou vektorov�ch �ad {\bf A} a {\bf B} tvo�� plochu {\bf S}} \label{Rozd�l dvou vektorov�ch �ad} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(90.00,100.00) %\vector(10.00,10.00)(10.00,25.00) \put(10.00,25.00){\vector(0,1){0.2}} \put(10.00,10.00){\line(0,1){15.00}} %\end %\vector(10.00,25.00)(18.33,34.67) \put(18.33,34.67){\vector(3,4){0.2}} \multiput(10.00,25.00)(0.12,0.14){70}{\line(0,1){0.14}} %\end %\vector(18.33,34.67)(20.00,49.67) \put(20.00,49.67){\vector(0,1){0.2}} \multiput(18.33,34.67)(0.12,1.07){14}{\line(0,1){1.07}} %\end %\vector(20.00,49.67)(33.33,54.67) \put(33.33,54.67){\vector(3,1){0.2}} \multiput(20.00,49.67)(0.32,0.12){42}{\line(1,0){0.32}} %\end %\vector(33.33,54.67)(41.67,67.67) \put(41.67,67.67){\vector(2,3){0.2}} \multiput(33.33,54.67)(0.12,0.19){70}{\line(0,1){0.19}} %\end %\vector(41.67,67.67)(56.67,75.33) \put(56.67,75.33){\vector(2,1){0.2}} \multiput(41.67,67.67)(0.23,0.12){64}{\line(1,0){0.23}} %\end %\vector(10.00,9.67)(25.00,9.67) \put(25.00,9.67){\vector(1,0){0.2}} \put(10.00,9.67){\line(1,0){15.00}} %\end %\vector(25.00,9.67)(41.33,14.33) \put(41.33,14.33){\vector(4,1){0.2}} \multiput(25.00,9.67)(0.42,0.12){39}{\line(1,0){0.42}} %\end %\vector(41.33,14.33)(44.67,28.33) \put(44.67,28.33){\vector(1,4){0.2}} \multiput(41.33,14.33)(0.12,0.50){28}{\line(0,1){0.50}} %\end %\vector(44.67,28.33)(44.67,42.67) \put(44.67,42.67){\vector(0,1){0.2}} \put(44.67,28.33){\line(0,1){14.34}} %\end %\vector(44.67,42.67)(59.00,45.67) \put(59.00,45.67){\vector(4,1){0.2}} \multiput(44.67,42.67)(0.55,0.12){26}{\line(1,0){0.55}} %\end %\vector(59.00,45.67)(66.33,57.33) \put(66.33,57.33){\vector(2,3){0.2}} \multiput(59.00,45.67)(0.12,0.19){62}{\line(0,1){0.19}} %\end \put(10.00,9.67){\circle{3.89}} \put(72.67,73.00){\makebox(0,0)[lc]{\bf S}} %\bezier{184}(56.67,74.81)(76.30,81.11)(66.30,57.41) \put(66.30,57.41){\vector(-1,-3){0.2}} \bezier{184}(56.67,74.81)(76.30,81.11)(66.30,57.41)

%\end %\emline(66.67,61.85)(66.30,57.41) \multiput(66.67,61.85)(-0.09,-1.11){4}{\line(0,-1){1.11}} %\end %\emline(66.30,57.41)(69.63,60.74) \multiput(66.30,57.41)(0.12,0.12){28}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(25.19,60.74){\makebox(0,0)[cc]{{\bf A}}} \put(56.67,35.19){\makebox(0,0)[cc]{{\bf B}}} %\bezier{188}(10.33,24.67)(31.00,33.00)(25.00,9.33) \put(25.00,9.33){\vector(-1,-4){0.2}} \bezier{188}(10.33,24.67)(31.00,33.00)(25.00,9.33) %\end %\bezier{188}(18.33,34.33)(33.67,43.00)(41.33,14.33) \put(41.33,14.33){\vector(1,-4){0.2}} \bezier{188}(18.33,34.33)(33.67,43.00)(41.33,14.33) %\end %\bezier{188}(20.00,49.33)(39.67,54.33)(44.67,28.33) \put(44.67,28.33){\vector(1,-4){0.2}} \bezier{188}(20.00,49.33)(39.67,54.33)(44.67,28.33) %\end %\bezier{136}(33.00,54.33)(48.67,59.33)(44.67,42.67) \put(44.67,42.67){\vector(-1,-4){0.2}} \bezier{136}(33.00,54.33)(48.67,59.33)(44.67,42.67) %\end %\bezier{224}(41.67,67.67)(65.00,76.00)(59.00,45.67) \put(59.00,45.67){\vector(-1,-4){0.2}} \bezier{224}(41.67,67.67)(65.00,76.00)(59.00,45.67) %\end \end{picture} \end{figure} Sou�et dvou jednotkov�ch vektor� $({\bf e}_j + {\bf e}_i)$ je ortogon�ln� k rozd�lu $({\bf e}_j - {\bf e}_i)$ a odpov�daj�c� matice ${\bf G} = {\bf N}_1 + {\bf N}_2$ se li�� od matice ${\bf S}$ pouze kladn�mi znam�nky d�vaj�c�mi do vztahu ob� jednotkov� vektorov� �ady. Pon�vad� ka�d� n�sledn� prvek v �ad� je ortogon�ln�, ${\bf G}$ p�edstavuj� vektory ortogon�ln� k oper�tor�m ${\bf S}$. Matice ${\bf G}$ jsou line�rn� vektory ortogon�ln� k plo�e oper�toru ${\bf S}$. Tvo�� sekund�rn� vektorov� prostor, kter� nen� �pln�, jako uvid�me v druh� ��sti t�to knihy. Prv� multiplikativn� oper�tory umo�nily vytvo�it n� prostor. Jsou ur�eny vlastnostmi zvl�tn� t��dy naivn�ch matic ${\bf N}$, kter� maj� jeden jednotkov� symbol nejen v ka�d� ��dce av�ak tak� v ka�d�m sloupci. Tyto matice ${\bf P}$ jsou zn�m� jako {\em jednotkov� permuta�n� matice}. Jednotkov� diagon�ln� matice ${\bf I}$ k nim pat��. V�echny permuta�n� matice jsou �tvercov� matice tvo��c� grupy S$_n$ permuta�n�ch matic s $n$ ��dky a sloupci. Kdy� se matice n�sob� permuta�n� matic� zprava, tato operace m�n� po�ad� sloupc� n�soben� matice. Nap��klad $$\begin{tabular}{rrrrcrrrr} \ & \ & \ & \ & \vline\ & 0 \ & \ & \ & \ & \vline\ & 0 \ & \ & \ & \ & \vline\ & 0 \ & \ & \ & \ & \vline\ & 1 \hline & & & & \vline\ & & & & \\ 1 \ & 0 & 0 & 0 & \vline\ & 1 \ & 0 & 0 & 0 & \vline\ &

& & & &

1 0 0 0

& & & &

0 1 0 0

& & & &

0 0 1 0

\\ \\ \\ \\

0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 \ & 1 & 0 & 0 & \vline\ & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \vline\ & 0\ & 0\ & 0\ & 1 \end{tabular}$$ Prvn� sloupec se objev� v sou�inu jako druh�, pon�vad� matice ${\bf P}$ m� 1 v druh�m sloupci prvn� ��dky. Posledn� (nulov�) sloupec se podobn� p�em�st� na prv� m�st� posledn�m jednotkov�m prvkem v prv�m sloupci. N�soben� zleva m�n� po�ad� ��dek n�soben� matice. Nap��klad $$\begin{tabular}{rrrrcrrrr} \ & \ & \ & \ & \vline\ & 1 & 0 & \ & \ & \ & \ & \vline\ & 1 & 0 & \ & \ & \ & \ & \vline\ & 0 & 1 & \ & \ & \ & \ & \vline\ & 0 & 0 & \hline & & & & \vline\ & & & & \\ 0 \ & 1 & 0 & 0 & \vline\ & 1 & 0 0 \ & 0 & 1 & 0 & \vline\ & 0 & 1 0 \ & 0 & 0 & 1 & \vline\ & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & \vline\ & 1\ & 0\ \end{tabular}$$

0 0 0 1

& & & &

0 0 0 0

\\ \\ \\ \\

& & & &

0 & 0\\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0\ & 0

\begin{figure} \caption{Grupa symetrie ${\rm S}_3$. A -- identita, v�echny prvky z�st�vaj� na sv�ch m�stech; B, C, D -- reflexe, dva prvky si zam�n� sv� m�sta; E, F -- oto�en�, t�� prvky vym�n� si sv� m�sta v cyklech} \label{Grupa symetrie $S_3$} \linethickness{0.5pt} \begin{picture}(160.00,210.00) %\emline(10.00,9.67)(60.00,9.67) \put(10.00,9.67){\line(1,0){50.00}} %\end %\emline(60.00,9.67)(35.00,53.33) \multiput(60.00,9.67)(-0.12,0.21){209}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(35.00,53.33)(10.00,9.67) \multiput(35.00,53.33)(-0.12,-0.21){209}{\line(0,-1){0.21}} %\end \put(5.00,5.67){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(65.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(35.00,58.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} %\emline(85.00,9.67)(135.00,9.67) \put(85.00,9.67){\line(1,0){50.00}} %\end %\emline(135.00,9.67)(110.00,53.33) \multiput(135.00,9.67)(-0.12,0.21){209}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(110.00,53.33)(85.00,9.67) \multiput(110.00,53.33)(-0.12,-0.21){209}{\line(0,-1){0.21}} %\end \put(80.00,5.67){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(140.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(110.00,58.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} %\emline(10.00,79.67)(60.00,79.67) \put(10.00,79.67){\line(1,0){50.00}} %\end %\emline(60.00,79.67)(35.00,123.33)

\multiput(60.00,79.67)(-0.12,0.21){209}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(35.00,123.33)(10.00,79.67) \multiput(35.00,123.33)(-0.12,-0.21){209}{\line(0,-1){0.21}} %\end \put(5.00,75.67){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(65.00,75.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(35.00,128.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} %\emline(85.00,79.67)(135.00,79.67) \put(85.00,79.67){\line(1,0){50.00}} %\end %\emline(135.00,79.67)(110.00,123.33) \multiput(135.00,79.67)(-0.12,0.21){209}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(110.00,123.33)(85.00,79.67) \multiput(110.00,123.33)(-0.12,-0.21){209}{\line(0,-1){0.21}} %\end \put(80.00,75.67){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(140.00,75.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(110.00,128.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} %\emline(10.00,149.67)(60.00,149.67) \put(10.00,149.67){\line(1,0){50.00}} %\end %\emline(60.00,149.67)(35.00,193.33) \multiput(60.00,149.67)(-0.12,0.21){209}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(35.00,193.33)(10.00,149.67) \multiput(35.00,193.33)(-0.12,-0.21){209}{\line(0,-1){0.21}} %\end \put(5.00,145.67){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(65.00,145.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(35.00,198.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} %\emline(85.00,149.67)(135.00,149.67) \put(85.00,149.67){\line(1,0){50.00}} %\end %\emline(135.00,149.67)(110.00,193.33) \multiput(135.00,149.67)(-0.12,0.21){209}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(110.00,193.33)(85.00,149.67) \multiput(110.00,193.33)(-0.12,-0.21){209}{\line(0,-1){0.21}} %\end \put(80.00,145.67){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(140.00,145.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(110.00,198.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} \put(35.00,24.33){\circle{4.22}} \put(110.00,24.33){\circle{4.06}} %\circle(35.00,24.00){20.00} \multiput(35.00,34.00)(1.07,-0.12){2}{\line(1,0){1.07}} \multiput(37.15,33.77)(0.34,-0.12){6}{\line(1,0){0.34}} \multiput(39.20,33.08)(0.19,-0.11){10}{\line(1,0){0.19}} \multiput(41.05,31.96)(0.12,-0.11){13}{\line(1,0){0.12}} \multiput(42.62,30.47)(0.11,-0.16){11}{\line(0,-1){0.16}} \multiput(43.84,28.68)(0.11,-0.29){7}{\line(0,-1){0.29}} \multiput(44.64,26.68)(0.12,-0.71){3}{\line(0,-1){0.71}} \put(44.99,24.54){\line(0,-1){2.16}} \multiput(44.87,22.38)(-0.12,-0.42){5}{\line(0,-1){0.42}} \multiput(44.29,20.30)(-0.11,-0.21){9}{\line(0,-1){0.21}} \multiput(43.28,18.39)(-0.12,-0.14){12}{\line(0,-1){0.14}}

\multiput(41.88,16.74)(-0.16,-0.12){11}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(40.16,15.43)(-0.25,-0.11){8}{\line(-1,0){0.25}} \multiput(38.19,14.52)(-0.53,-0.12){4}{\line(-1,0){0.53}} \put(36.08,14.06){\line(-1,0){2.16}} \multiput(33.92,14.06)(-0.53,0.12){4}{\line(-1,0){0.53}} \multiput(31.81,14.52)(-0.25,0.11){8}{\line(-1,0){0.25}} \multiput(29.84,15.43)(-0.16,0.12){11}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(28.12,16.74)(-0.12,0.14){12}{\line(0,1){0.14}} \multiput(26.72,18.39)(-0.11,0.21){9}{\line(0,1){0.21}} \multiput(25.71,20.30)(-0.12,0.42){5}{\line(0,1){0.42}} \put(25.13,22.38){\line(0,1){2.16}} \multiput(25.01,24.54)(0.12,0.71){3}{\line(0,1){0.71}} \multiput(25.36,26.68)(0.11,0.29){7}{\line(0,1){0.29}} \multiput(26.16,28.68)(0.11,0.16){11}{\line(0,1){0.16}} \multiput(27.38,30.47)(0.12,0.11){13}{\line(1,0){0.12}} \multiput(28.95,31.96)(0.19,0.11){10}{\line(1,0){0.19}} \multiput(30.80,33.08)(0.52,0.12){8}{\line(1,0){0.52}} %\end %\circle(110.00,24.33){20.00} \multiput(110.00,34.33)(1.07,-0.12){2}{\line(1,0){1.07}} \multiput(112.15,34.10)(0.34,-0.12){6}{\line(1,0){0.34}} \multiput(114.20,33.41)(0.19,-0.11){10}{\line(1,0){0.19}} \multiput(116.05,32.29)(0.12,-0.11){13}{\line(1,0){0.12}} \multiput(117.62,30.81)(0.11,-0.16){11}{\line(0,-1){0.16}} \multiput(118.84,29.02)(0.11,-0.29){7}{\line(0,-1){0.29}} \multiput(119.64,27.01)(0.12,-0.71){3}{\line(0,-1){0.71}} \put(119.99,24.87){\line(0,-1){2.16}} \multiput(119.87,22.72)(-0.12,-0.42){5}{\line(0,-1){0.42}} \multiput(119.29,20.63)(-0.11,-0.21){9}{\line(0,-1){0.21}} \multiput(118.28,18.72)(-0.12,-0.14){12}{\line(0,-1){0.14}} \multiput(116.88,17.07)(-0.16,-0.12){11}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(115.16,15.76)(-0.25,-0.11){8}{\line(-1,0){0.25}} \multiput(113.19,14.86)(-0.53,-0.12){4}{\line(-1,0){0.53}} \put(111.08,14.39){\line(-1,0){2.16}} \multiput(108.92,14.39)(-0.53,0.12){4}{\line(-1,0){0.53}} \multiput(106.81,14.86)(-0.25,0.11){8}{\line(-1,0){0.25}} \multiput(104.84,15.76)(-0.16,0.12){11}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(103.12,17.07)(-0.12,0.14){12}{\line(0,1){0.14}} \multiput(101.72,18.72)(-0.11,0.21){9}{\line(0,1){0.21}} \multiput(100.71,20.63)(-0.12,0.42){5}{\line(0,1){0.42}} \put(100.13,22.72){\line(0,1){2.16}} \multiput(100.01,24.87)(0.12,0.71){3}{\line(0,1){0.71}} \multiput(100.36,27.01)(0.11,0.29){7}{\line(0,1){0.29}} \multiput(101.16,29.02)(0.11,0.16){11}{\line(0,1){0.16}} \multiput(102.38,30.81)(0.12,0.11){13}{\line(1,0){0.12}} \multiput(103.95,32.29)(0.19,0.11){10}{\line(1,0){0.19}} \multiput(105.80,33.41)(0.52,0.12){8}{\line(1,0){0.52}} %\end %\emline(43.33,26.67)(44.67,21.67) \multiput(43.33,26.67)(0.11,-0.42){12}{\line(0,-1){0.42}} %\end %\emline(44.67,21.67)(46.33,26.67) \multiput(44.67,21.67)(0.12,0.36){14}{\line(0,1){0.36}} %\end %\emline(99.00,27.33)(100.00,23.00) \multiput(99.00,27.33)(0.11,-0.48){9}{\line(0,-1){0.48}} %\end %\emline(100.00,23.00)(101.33,27.00)

\multiput(100.00,23.00)(0.11,0.33){12}{\line(0,1){0.33}} %\end %\emline(10.33,80.00)(60.00,109.00) \multiput(10.33,80.00)(0.21,0.12){242}{\line(1,0){0.21}} %\end %\emline(110.00,122.67)(110.00,70.00) \put(110.00,122.67){\line(0,-1){52.67}} %\end %\emline(135.00,149.67)(84.67,178.33) \multiput(135.00,149.67)(-0.21,0.12){239}{\line(-1,0){0.21}} %\end %\bezier{144}(85.00,167.67)(78.00,184.33)(95.00,178.33) \put(95.00,178.33){\vector(3,-1){0.2}} \bezier{144}(85.00,167.67)(78.00,184.33)(95.00,178.33) %\end \put(20.00,190.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(95.00,190.00){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(20.00,120.00){\makebox(0,0)[cc]{C}} \put(95.00,120.00){\makebox(0,0)[cc]{D}} \put(20.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{E}} \put(95.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{F}} %\bezier{164}(60.00,99.67)(69.67,117.33)(50.00,109.33) \put(50.00,109.33){\vector(-3,-1){0.2}} \bezier{164}(60.00,99.67)(69.67,117.33)(50.00,109.33) %\end %\bezier{148}(100.00,75.00)(110.00,59.00)(120.00,74.67) \put(120.00,74.67){\vector(3,4){0.2}} \bezier{148}(100.00,75.00)(110.00,59.00)(120.00,74.67) %\end \end{picture} \end{figure} Na obr. \ref{Grupa symetrie $S_3$}, kde jsou zobrazeny ��inky 6 permuta�n�ch matic grupy $S_3$ na t��rozm�rn� rovinn� simplex, m�eme vid�t ��inek takov�ho n�soben� sloupce. Jednotkov� diagon�ln� matice nech�v� simplex nezm�n�n�, dv� matice ji ot��� pod�l jej�ho st�edu a t�i matice m�n� polohy pouze dvou vrchol� jakoby se troj�heln�k zrcadlil pod�l roviny ortogon�ln� k odpov�daj�c� hran� (nebo se ot��el pod�l osy le��c� v rovin�). To jsou {\em operace symetrie}. Budou studov�ny pozd�ji podrobn�ji. V�echny permuta�n� matice s n ��dky a sloupci se z�skaj� jako n�sledn� oto�en� a tvo�� cyklick� grupy S$_n$. Ot��ej� vektory v cyklech a po dan�m po�tu opakovan�ch operac� vektory se vr�t� zp�t do sv�ch p�vodn�ch poloh. \section{Inverzn� prvky} %\addcontentsline{kc}{section}{Inverzn� prvky} \label{Inverzn� prvky} Kdy� m�me ��slo, �ekn�me 5, m�eme definovat jeho inverzn� prvek op�t dv�ma zp�soby, aditivn�m a multiplikativn�m. Podobn� se prvky mohou definovat pro vektory. \begin{figure} \caption{Aditivn� a multiplikativn� vyva�ov�n� ��sel} \label{Aditivn�} \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(130.00,90.00) %\emline(55.00,10.00)(67.67,10.00)

\put(55.00,10.00){\line(1,0){12.67}} %\end %\emline(67.67,10.00)(60.00,20.00) \multiput(67.67,10.00)(-0.12,0.16){64}{\line(0,1){0.16}} %\end %\emline(60.00,20.00)(55.00,10.00) \multiput(60.00,20.00)(-0.12,-0.24){42}{\line(0,-1){0.24}} %\end %\emline(10.00,20.00)(110.00,20.00) \put(10.00,20.00){\line(1,0){100.00}} %\end \put(60.00,19.67){\circle{4.00}} \put(40.00,20.00){\circle{4.00}} \put(20.00,20.00){\circle{4.00}} \put(40.00,20.00){\circle{4.00}} \put(80.00,20.00){\circle{4.00}} \put(100.00,20.00){\circle{4.00}} \put(100.00,20.00){\circle{4.00}} %\emline(55.00,50.00)(67.67,50.00) \put(55.00,50.00){\line(1,0){12.67}} %\end %\emline(67.67,50.00)(60.00,60.00) \multiput(67.67,50.00)(-0.12,0.16){64}{\line(0,1){0.16}} %\end %\emline(60.00,60.00)(55.00,50.00) \multiput(60.00,60.00)(-0.12,-0.24){42}{\line(0,-1){0.24}} %\end %\emline(10.00,60.00)(110.00,60.00) \put(10.00,60.00){\line(1,0){100.00}} %\end \put(60.00,59.67){\circle{4.00}} \put(40.00,60.00){\circle{4.00}} \put(20.00,60.00){\circle{4.00}} \put(40.00,60.00){\circle{4.00}} \put(80.00,60.00){\circle{4.00}} \put(100.00,60.00){\circle{4.00}} \put(100.00,60.00){\circle{4.00}} \put(20.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{$-2$}} \put(40.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{$-1$}} \put(60.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(80.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(100.33,70.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(19.33,30.00){\makebox(0,0)[cc]{$\log{1/3}$}} \put(40.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{$\log{1/2}$}} \put(60.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{$\log{1}$}} \put(80.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{$\log{1}$}} \put(100.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{$\log{3}$}} \end{picture} \end{figure} Inverzn� operace ke s��t�n� je ode��t�n�. ��slo 5 se z�skalo z 0 p�i�ten�m 5 a obnov�me p�vodn� situaci ode�ten�m 5: $5 + (-5) = 0$. Inverzn� aditivn� prvek 5 je $(-5)$ a inverzn� aditivn� prvek $(-5)$ je 5. M�eme si p�edstavit tato ��sla na v�ze (obr. \ref{Aditivn�}). Aditivn� inverzn� prvky jsou jen vektory koline�rn� s p�vodn�mi vektory, maj�c� stejn� d�lky av�ak opa�n� sm�r. Tvo�� se z�m�nou znam�nka vektoru. Nyn� m�eme uva�ovat inverzn� prvek pro operaci n�soben�:

$$ a \times a^{-1} = a^0 = 1\;.$$ Kdy� pou�ijeme logaritmickou stupnici dostaneme $${\log a} + {\log a^{-1}} = {\log 1} = 0\;.$$ Z toho zjist�me, �e $a^-1 = 1/a$. Na ��seln� stupnici inverzn� prvky ��sel v�t��ch ne� 1 jsou v intervalu (0,1), kter� se zd� b�t nevyv�en�, viz obr. \ref{Aditivn�}, av�ak je vyv�en� na logaritmick� stupnici. Zd� se, �e je snadn� nal�zt inverzn� vektory k vektor�m-sloupc�m (nebo vektor�m��dk�m). Mus� d�t jednotkov� skal�rn� sou�in, nap��klad: $$\begin{array}{ccc} \begin{tabular}{rrrcr} & & & \vline & 3 \\ & & & \vline & 1/2 \\ & & & \vline & 1 \\ \hline & & & \vline & \\ 1/6 & 1 & 0 & \vline & 1 \end{tabular} & \qquad & \begin{tabular}{rrrcr} & & & \vline & 1/6 \\ & & & \vline & 1 \\ & & & \vline & 0 \\ \hline & & & \vline & \\ 3 & 1/2 & 1 & \vline & 1 \end{tabular} \end{array}$$ Av�ak takov� inverze maj� jednu podstatnou nev�hodu: Nejsou jedine�n�. Existuje nekone�n� mnoho takov�ch inverz�, kter� vyva�uj� ka�d� vektor-sloupec (nebo ka�d� vektor-��dku), tedy jsou {\em neur�it�}, nap��klad jin� vhodn� �e�en� je: $$\begin{array}{ccc} \begin{tabular}{rrrcr} & & & \vline & 3 \\ & & & \vline & 1/2 \\ & & & \vline & 1 \\ \hline & & & \vline & \\ 1/9 & 2/3 & 1/3 & \vline & 1 \end{tabular} & \qquad & \begin{tabular}{rrrcr} & & & \vline & 1/9 \\ & & & \vline & 2/3 \\ & & & \vline & 1/3 \\ \hline & & & \vline & \\ 3 & 1/2 & 1 & \vline & 1 \end{tabular} \end{array}$$ Pokud se pokou��me nal�zt levou (pravou) inverzn� matici, jej� ��dky mus� b�t lev� (prav�) inverze pro odpov�daj�c� sloupce (��dky), av�ak sou�asn� nulov� vektory

pro jin� sloupce (��dky). V dan�m p��pad� nulov� vektor je op�t neur�it�: $$\begin{array}{ccc} \begin{tabular}{lrrcr} & & & \vline & 3 \\ & & & \vline & 1/2 \\ & & & \vline & 1 \\ \hline & & & \vline & \\ 1 & 0 & -3 & \vline & 0 \\ -4/3 & 2 & 3 & \vline & 0 \end{tabular} & \qquad & \begin{tabular}{rrrcrr} & & & \vline & 1 & -4/3 \\ & & & \vline & 0 & 2 \\ & & & \vline & -3 & 3 \\ \hline & & & \vline & \\ 3 & 1/2 & 1 & \vline & 0 & 0 \\ & & & & & \end{tabular} \end{array}$$ Jin� pot� s inverzn� prvky vektor� je, �e nem�eme nal�zt pravou inverzi k vektorusloupci (levou inverzi k vektoru-��dce): $$\begin{array}{ccc} \begin{tabular}{rcrrr} & \vline & ? & ? & ? \\ & \vline & ? & ? & ? \\ & \vline & ? & ? & ? \\ \hline & \vline & & & \\ 3 & \vline & 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & \vline & 0 & 1 & 0 \\ 1 & \vline & 0 & 0 & 1 \end{tabular} & \qquad & \begin{tabular}{rrrcrcr} & & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & \vline & 3 & 1/2 & 0 \hline & & & \vline & & & \\ ? & ? & ? & \vline & 1 & 0 ? & ? & ? & \vline & 0 & 1 ? & ? & ? & \vline & 0 & 0 \end{tabular} \end{array}$$

\\ & 0 \\ & 0 \\ & 1

Byla by tu 1/3 jako prvn� inverzn� prvek ${\rm m}^{-1}_{ij}$, av�ak nem�e se vynulovat v n�sleduj�c�ch ��dc�ch v prv�m sloupci. Pro jej� vynulov�n� bychom pot�ebovali n�jak� nenulov� prvky v druh�m a t�et�m sloupci lev� matice. Pro maticov� vektory m�eme, alespo� n�kdy, nal�zt matice, kter� transformuj� v�echny jejich vektor sloupce do diagon�ln� matice. Jeden vektor sloupec nem� ��dnou inverzi zprava, av�ak jejich soustava ji m�. Kter� vlastnosti matice mus� m�t, aby byla invertovateln�. Budou uk�zan� pozd�ji. Pokud matice m� ob� inverze, zleva i zprava, potom ob� inverze jsou identick� a existuje pouze jedna inverze, jej� akce

je stejn� z obou stran. To je prav� inverze dan� matice. Mohli bychom hledat inverze n�hodn�m zkou�en�m n�hodn�m vhodn�ch vektor�. Lep�� je pou��t n�jak� ov��en� algoritmy, kter� budou zavedeny pozd�ji. Matice maj�c� inverzi je {\em regul�rn�} nebo {\em nesingul�rn�}. Nesingul�rn� matice nemaj� ��dn� nulov� vlastn� hodnoty a vlastn� vektory a singul�rn� matice maj� alespo� jednu nulovou vlastn� hodnotu a vlastn� vektor. {\em Vlastn� vektor} je vektor, ve kter�m se v�echny prvky n�sob�, pokud se vektor n�sob� danou matic�, stejnou hodnotou, kter� se naz�v� {\em vlastn� hodnota}. Nap��klad $$\begin{tabular}{ccccccc} & & & \vline & 1 & 1 & 1 \\ & & & \vline & 1 & -2 & 0 \\ & & & \vline & 1 & 1 & -1 \\ \hline & & $\Pi$ & \vline & 0 & 3 & -1 \\ \hline & & & \vline & & & \\ 1 & -1 & 0 & \vline & 0 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & \vline & 0 & -6 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & \vline & 0 & 3 & -1 \end{tabular}$$ Prvn� sloupec je nulov� vlastn� vektor, v�ech hodnoty sou�inu v jeho sloupci jsou nulov�, vlastn� hodnota druh�ho vlastn�ho vektoru je 3, vlastn� hodnota posledn�ho vlastn�ho vektoru je 1. Existuje je�t� jin� podm�nka pro vlastn� vektory, viz p��t� odd�l. N�kter� nesingul�rn� matice jsou snadno rozpoznateln�. Pokud matice m� v�echny nenulov� prvky pod nebo nad diagon�lou a v�echny diagon�ln� prvky jsou jednotkov� prvky, potom je nesingul�rn�. Inverze v tomto p��pad� se m�e jednodu�e nal�zt technikou zn�mou jako {\em princip inkluse a exkluse}. P�edpokl�dejme, �e k ��dk� u� bylo vyv�eno. V p��t� ��dce skal�rn�ho sou�inu vektoru ��dky s inverzn� matic� sloupcem (p�edpokl�d� se n�soben� zprava) budou nevyv�en� n�kter� hodnoty. Mus�me k tomu p�idat nebo ode��st tolik prvk�, abychom dostali nulov� mimodiagon�ln� prvky. Nap��klad (nulov� symboly jsou vynech�ny) $$\begin{tabular}{ccccccc} & & & \vline & 1 & & \\ & & & \vline & -2 & 1 & \\ & & & \vline & 1 & -2 & 1 \\ \hline & & & \vline & & & \\ 1 & & & \vline & 1 & & \\ 2 & 1 & & \vline & & 1 & \\ 3 & 2 & 1 & \vline & & & 1 \\ \end{tabular}$$ Zde v�hy druh� ��dky jsou $1 \times 2 - 2\times 1 = 0$ a $1 \times 1 = 1$. Podrobn� bude probl�m inverzn�ch matic pojedn�n v kapitole 16. \section{Diagonalizace matic} \label{Diagonalizace matic} Inverzn� matice transformuje matici ${\bf M}$ na diagon�ln� jednotkovou matici $ {\bf I}$. Existuje v�ak je�t� jin� forma diagonalizace. Tato operace vy�aduje simult�nn� akci dvou matic z obou stran matice, kter� se m� diagonalizovat

\begin{equation} {\bf L}({\bf M}){\bf R}= \Delta({\bf M}). \end{equation} $\Delta({\bf M})$ je diagon�ln� matice, kter� m� v�echny mimodiagon�ln� prvky nulov�. Matice v z�vork�ch je zdrojem diagon�ln�ch prvk�. Sou�in ${\bf MM}^{-1}$ by byl p��kladem diagonalizace matice, kde diagonalizovanou matic� je jednotkov� diagon�ln� matice ${\bf I}$. P�i diagonalizaci matice je pot�eba, aby akce matice ${\bf L}$ zleva byla vyv�ena n�soben�m matice ${\bf R}$ zprava. Diagonaliza�n� matice tvo�� r�mec pro matici ${\bf M}$. P�edstavte si, �e pozorujete matici jako mezi dv�ma polarizuj�c�mi filtry. Kdy� filtry oto��te, pohled se vyjasn� nebo ztmavne, av�ak p�i jedn� poloze filtru je transparentn�. Takov� transparentn� matice hled�me. Ob� diagonaliza�n� matice p�sob� jako polarizuj�c� filtry, sni�uj� mimodiagon�ln� prvky a zvy�uj� diagon�ln�. Diagon�ln� matice je transparentn�, pon�vad� diagon�ln� prvky nejsou zatemn�ny mimodiagon�ln�mi. P�ipome�te si obr. \ref{Maticov� vektorov� soustava}. Z�skan� diagon�ln� matice je ekvivalentn� k matici ${\bf M}$ Zvl�t� u�ite�n� ��inek se z�sk�, kdy� sou�in obou diagonaliza�n�ch matic ${\bf L}$ a ${\bf R}$ je jednotkov� diagon�ln� matice \begin{equation} {\bf LR} = {\bf I}\;, \end{equation} nebo ekvivalentn�, kdy� jejich akce nem�n� jednotkovou diagon�ln� matici v jejich r�me�ku: $${\bf LIR} = {\bf I}\;.$$ Potom, pokud mimo to \begin{equation} {\bf L} = {\bf R}^{\rm T}\;, \end{equation}, �e tyto matice jsou {\em vlastn� vektory} dan� matice. Diagon�ln� matice z�skan� jako v�sledek takov�ho n�soben� jsou zn�m� jako matice {\em vlastn�ch hodnot}. Sou�et vlastn�ch hodnot je rovn� stop� diagonalizovan� matice a diagon�ln� matice vlastn�ch hodnot je ekvivalentn� maticov�mu vektoru diagonalizovan� matice. Vektorov� mno�ina pou��van� pro nalezen� vlastn�ch hodnot d�v� diagon�ln� matici, nikoliv v�ak jednotkovou matici ${\bf I}$: $$\begin{tabular}{ccccccc} & & & \vline & 1 & 1 & 1 \\ & & & \vline & 1 & -2 & 0 \\ & & & \vline & 1 & 1 & -1 \\ \hline & & & \vline & & & \\ 1 & 1 & 1 & \vline & 3 & 0 & 0 \\ 1 &-2 & 1 & \vline & 0 & 6 & 0 \\ 1 & 0 &-1 & \vline & 0 & 0 & 2 \\ \end{tabular}$$ Vlastn� vektory se mus� nyn� normalizovat d�len�m odmocninami 1/3, 1/6 1/2.

Normalizovan� vlastn� vektory jsou $$\left( \begin{array}{ccc} \sqrt{1/3} & \sqrt{1/6} & \sqrt{1/2} \\ \sqrt{1/3} & \sqrt{-4/6} & \sqrt{0} \\ \sqrt{1/3} & \sqrt{1/6} & \sqrt{-1/2} \end{array} \right)$$ Vlastn� hodnoty a vlastn� vektory nejsou abstraktn� matematickou konstrukci, ale v�sledkem praktick� zku�enosti. Vlastn� hodnoty jsou zn�m� z fyzik�ln�ch a technick�ch v�d. Vlastn� vektory jsou zn�m� jako faktory, kdy� se pou��vaj� v kapitole 15. \section{Maticov� aritmetika} \label{Maticov� aritmetika} Sou�ty a rozd�ly y byl u� diskutov�ny. Je d�le�it� prozkoumat aritmetiku matic pe�liv�ji, proto�e v u�ebnic�ch m�ete nal�zt rozd�ln� omezen�, jak se matice mohou kombinovat. Aritmetick� operace maticemi jsou obvykle omezeny na matice s identick�mi rozm�ry, maj�c� stejn� po�et ��dk� a sloupc�. To je p��li� p��sn� pravidlo. D��ve ne� zavedeme m�n� p��sn� pravidlo, prozkoum�me v�echny mo�n� p��pady, v jak�ch vztaz�ch matice mohou b�t, pokud jejich indexy obsahuj� jejich prav� hodnoty, jako kdyby se porovn�valy a uspo��daly dva dokumenty (obr.\ref{Matice s��t�n�}). \begin{figure} \caption{Uspo��d�n� matic podle sv�ch index�} \label{Uspo��d�n� matic} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(140.00,120.00) \put(10.00,80.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{{\bf A}}} \put(30.00,70.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{{\bf B}}} \put(10.00,40.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{{\bf A}}} \put(10.00,30.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{{\bf B}}} \put(50.00,40.00){\framebox(20.00,20.00)[lt]{{\bf A}}} \put(60.00,30.00){\framebox(20.00,20.00)[rb]{{\bf B}}} \put(50.00,80.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{{\bf A}}} \put(70.00,80.00){\framebox(10.00,20.00)[cc]{{\bf B}}} \put(90.00,10.00){\framebox(30.00,30.00)[lt]{{\bf A}}} \put(100.00,10.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{{\bf B}}} \end{picture} \end{figure} ��dkov� indexy jdou v ka�d� matici od 1 do $m$, sloupcov� indexy jdou v ka�d� matici od 1 do $n$. To je vnit�n� indexov�n�. Podobn� jako �idovsk�, k�es�ansk� a isl�msk� letopo�ty, mno�iny index� v porovn�van�ch matic�ch nemus� b�t stejn�, nebo jeden mno�ina m�e b�t stejn�, nebo ob� mno�iny mohou souhlasit. Tedy pravidlo maticov� aritmetiky pro s��t�n� a ode��t�n� matic je jednodu�e s��t�n� a ode��t�n� jednotliv�ch prvk� matic podle pravidla: \begin{equation} {\rm pokud}\ {\bf A} \pm {\bf B}= {\bf C}, \; {\rm potom}\ {\rm a}_{ij} \pm {\rm b}_{ij} = {\rm c}_{ij}\;. \end{equation}

\begin{figure} \caption{Mo�nosti s��t�n� a ode��t�n� matic} \label{Matice s��t�n�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(150.00,70.00) \put(10.00,30.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{{\bf A}}} \put(30.00,30.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{{\bf B}}} \put(60.00,30.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{{\bf A}}} \put(60.00,10.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{{\bf B}}} \put(100.00,30.00){\framebox(28.00,20.00)[cc]{${\bf A} + {\bf B}$}} \end{picture} \end{figure} Pot� spo��v� v ot�zce, co d�lat s nezn�m�mi prvky matice. Pokud jsou nulov�, v�sledky mohou b�t jako na obr. \ref{Matice s��t�n�}. D��ve ne� se provede aritmetick� operace, jedna nebo ob� matice se dopln� na stejn� rozm�ry p�i�ten�m nulov�ch prvk� v chyb�j�c�ch ��dc�ch a sloupc�ch. P��pady aritmetick�ch operac� v bloc�ch jsou zn�m� jako p��m� sou�et nebo rozd�l matic. Pokud nezn�m� prvky matice nejsou nulov�, operace vedou k chyb�m. Z�sadn� stejn� podm�nky plat� pro n�soben� matic. Vysv�tlili jsme ��inek permuta�n�ch matic a skal�rn� sou�iny vektor�. Pokud n�sob�me matici vektorem sloupcem zprava, prvky ��dk� ${\bf v}$ matice n�sob� v�echny prvky sloupce. Pokud prvky ${\bf v}$ jsou men�� ne� 1, zmen�uj� v�echny prvky tohoto sloupce, pokud prvky ${\bf v}$ jsou v�t�� ne� 1, zv�t�uj� je. Dva simult�nn� procesy se vyskytuj� p�i n�soben�: prvky ��dk� matice se v�� a s��taj�, nebo pokud prvky vektoru jsou z�porn�, ode��taj� se. N�soben� zleva m� transponovan� ��inek. N�soben� matice vektorem transformuje matici na vektor. Obvykle se to definuje jinak, matice transformuje vektor v jin�. Simult�nn� n�soben� matice vektorem ��dkou zleva a vektorem sloupcem zprava transformuje matici do jednoho prvku. Pokud oba vektory jsou jednotkov� vektory $ {\bf J}^{\rm T}$ a ${\bf J}$, jen se��taj� prvky matice. Je u�ite�n� tak� definovat {\em p��m� sou�in} dvou matic. Pro jeho odli�en� od skal�rn�ho sou�inu, zapisuje se se znakem pro n�soben� $\times$: $${\bf C}= {\bf A}\times{\bf B}\;.$$ V p��m�m sou�inu se n�sob� pouze prvky obou matic maj�c� oba indexy identick�: $${\rm c}_{ij} = {\rm a}_{ij} {\rm b}_{ij}\;.$$ Je to stejn�, jako kdyby ob� matice byly $nm$ rozm�rn� diagon�ln� vektory a nalezly se slo�ky jejich skal�rn�ho sou�inu: $$\begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right) & \times & \left( \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 5 & 3 \\ \end{array}

\right) & \ = & \left( \begin{array}{cc} 3 & -6 \\ 10 & 3 \\ \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{cccc} \left( \begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &-3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right) & \ = & \left( \begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &-6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 10& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right) \end{array}$$ Podobn� se m�e vysv�tlit s��t�n� matic. Ob� matice se rozlo�� do $nm$ rozm�rn�ch diagon�ln�ch vektor� naleznou se sou�ty: $$\begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right) & $\ + $ & \left( \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 5 & 3 \\ \end{array} \right) & \ = & \left( \begin{array}{cc} 4 & -1 \\

7 & 4 \\ \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \ + & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right) & \ = & \left( \begin{array}{cccc} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array} \right) \end{array}$$ \section{Normalizace matic} \label{Normalizace matic} Prodiskutovali jsme probl�m simult�nn� akce v�ce vektor� nebo vektor� maj�c�ch jinou intenzitu ne� 1. To lze n�kdy vy�e�it normalizac� vektor�. C�lem tohoto tvarov�n� vektor� a matic je ud�lat je srovnateln�. Normalizace vektor� se prov�d� vlastn�mi vektory, kter� mus� d�vat jednotkovou diagon�ln� matici ${\bf I}$. Zavedli jsme jednotkov� vektory ${\bf e}_j$. ��dkov� vektor je srovnateln� s jednotkov�m vektorem pokud m� stejnou d�lku. Euklidovsk� d�lka je kriteriem, tedy vektor je normalizovan� pokud jeho prvky se d�l� odmocninou jeho Euklidovsk� d�lky. Nap��klad vektor $(2,1,1,0)^{\rm T}$ se normalizuje jeho d�len�m s $\sqrt 6$. D�lky jeho skal�rn�ho sou�inu je potom 1. Maticov� vektor se normalizuje jeho n�soben�m odmocninou diagon�ln� matice z obou stran. Zde m�me dv� mo�nosti. Bu� normalizujeme pouze diagon�ln� prvky nebo v�echny ��dky a sloupce. Pro normalizaci matice mus� b�t symetrick�. Normalizac� diagon�ln�ch prvk� se maticov� vektor orientuje ve sm�ru jednotkov�ho vektoru ${\bf I}$. To m� n�kter� d�sledky na vlastnosti takov� normalizovan� matice. \section{Ko�eny matic} \label{Ko�eny matic} Definovali jsme skal�rn� sou�iny a kvadratick� formy vektor� a maticov�ch vektor�. Nyn� budeme definovat probl�m odzadu: matice ${\bf M}$ m� ko�eny, pokud m�e b�t rozlo�ena do sou�inu transponovan�ch matic. Nap��klad jednotkov� diagon�ln� matice

m� mnoho ko�en�: $$\begin{array}{cccc} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$ Jednotkov� diagon�ln� matice tvo�� ko�en sama sob�, formy

pon�vad� nem�eme odli�it

\begin{equation} {\bf I} = {\bf I}^2 = {\bf I}^{-1} = {\bf I}^{\rm T}{\bf I} = {\bf I}{\bf I}^{\rm T}\;. \end{equation} Jej� ko�eny jsou symetrick� permuta�n� matice a asymetrick� permuta�n� matice. Mimo to existuj� matice se z�porn�mi znam�nky, pon�vad� $(-1)\times(-1) = 1$. Na�e �sil� naleznout p�irozen� prostor se pon�kud komplikuje t�mto faktem, av�ak u� jsme zavedli komplexn� ��sla a tak m�eme nal�zt ko�eny i pro matice posledn�ho p��kladu\footnote{Ko�eny permuta�n�ch matic se mohou srovn�vat s kvarky ve fyzice: Element�rn� ��stice se �t�p� do sv�ch slo�ek.}. Je sou�asn� �tvrt�m ko�enem ${\bf I}_3$. Potom existuj� vlastn� vektory v�ech nesingul�rn�ch matic. Na�e �sil� vytvo�it prostor kontrolovan�m zp�sobem se vymyk� kontrole. \chapter{Rozd�len�} \label{Rozd�len�} \section{P�edb�n� pozn�mky} \label{P�edb�n� pozn�mky} Rozd�len� p�irozen�ho ��sla m do n ��st� zavedl do matematiky Euler. Analytick� vzorec pro nalezen� po�tu rozd�len� odvodili Ramanudjan a Hardy \cite{[12]}.

Ramanudjan byl matematick� genius z Indie. Byl si jist, �e je mo�n� vypo��tat po�et rozd�len� p�esn� pro jak�koliv ��slo m. Nalezl �e�en� ve spolupr�ci se sv�m �kolitelem, anglick�m matematikem Hardym. Je to dosti slo�it� vzorec odvozen� vy��� matematickou technikou. Budeme pou��vat pouze jednoduch� rekurzivn� metody pro mi vztahy mezi rozd�len�. Steve Weinberg ve sv� p�edn�ce \cite{[13]} o d�le�itosti matematiky pro fyziku se zm�nil, �e rozd�len� z�skaly d�le�itost pro teoretickou fyziku, i kdy� Hardy necht�l studovat praktick� probl�my. Av�ak rozd�len�m\footnote{Boltzmann pou��val tento pojem pro rozd�len� $m$ kvant energie mezi $n$ ��stic. Nazval rozd�len� komplexiony \cite{[2]}.} m�la d�le�itost pro fyziku p�ed Hardyho �asem i kdy� to Hardy ani Weinberg nev�d�li. Rozd�len� �t�p� ��slo $m$ do $n$ ��st�, jejich� sou�et se rovn� ��slu $m$, �ekn�me 7:\ \ 3, 2, 1, 1. Rozd�len� je uspo��dan� mno�ina. Jej� objekty, {\em ��sti} jsou naps�ny v ��dce v klesaj�c�m po��dku: $$ m_{j-1} \geq m_j \geq m_{j+1}\;.$$ Pokud se pod�v�te na �adu ��st�, uvid�te, �e je to $n$ rozm�rn� vektor ��dka $p = (3, 2, 1, 1)$. Z vektoru rozd�len� se z�skaj� jin� vektory maj�c� ekvivalentn� strukturn� prvky, nap��klad $r = (1, 2, 1, 3)$, permutov�n�m, jednoduchou z�m�nou po�ad� prvk� vektoru. Rozd�len� jsou u�ite�n� pro uspo��d�n� bod� rovinn�ch simplex�. Vektor rozd�len� lze z�skat z vektoru-�ady jako skal�rn� sou�in s jednotkov�m vektorem-��dkou ${\bf J}^{\rm T}{\bf N}$ a uspo��d�n�m vektor�. V�echny jednotkov� permutace vektoru maj� stejn� d�lky. Tedy rozd�ln� rozd�len� tvo�� z�kladny pro jin� vektory slo�en� ze stejn�ch ��st�. Vektory pat��c� stejn�m rozd�len�m jsou spojen� s jin�mi body v t��rozm�rn�m simplexu kru�nic�. Ve vy���ch rozm�rech kru�nice se m�n� v sf�ry a proto budeme naz�vat rozd�len� {\em orbity rozd�len�} nebo jednodu�e orbity. Po�et vektor� v rozd�len� bude uv�d�n jako $n$, velikost prvn�ho vektoru jako $m_1$. Z�vorka $(m,n)$ znamen� v�echna rozd�len� ��sla $m$ do nejv�e $n$ ��st�. Pon�vad� nap�eme rozd�len� jako n rozm�rn� vektor povol�me nulov� ��sti v rozd�len�, aby zaplnily pr�zdn� m�sta vektoru. Je to jist� inovace proti tradici, kter� bude velmi u�ite�n�. Av�ak je nutn� rozli�ovat p��sn� oba druhy rozd�len�, s nulami a bez nich. \section{Ferrersovy grafy} \label{Ferrers} \begin{figure} \caption{Konstrukce Ferrersov�ch graf�. Nov� pol��ka se p�i��taj� na voln�ch m�stech} \label{Ferrersovy grafy} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(170.00,160.00) \put(69.67,133.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(40.00,113.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(40.00,103.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(90.00,113.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(100.00,113.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(9.67,73.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(9.67,83.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(9.67,93.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(60.33,83.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{}} \put(60.33,93.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{}} \put(70.00,93.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}}

\put(100.00,93.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(110.00,93.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(120.00,93.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(9.67,33.33){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(9.67,43.33){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(9.67,53.33){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(60.33,43.33){\framebox(9.67,10.00)[cc]{}} \put(60.33,53.33){\framebox(9.67,10.00)[cc]{}} \put(70.00,53.33){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(111.00,30.33){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(121.00,30.33){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(131.00,30.33){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(9.67,23.33){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(70.00,43.33){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(141.00,30.33){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(27.67,33.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(27.67,43.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(27.67,53.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{}} \put(38.00,53.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(93.33,53.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(103.33,53.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(113.33,53.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{}} \put(93.33,43.33){\framebox(10.00,9.67)[cc]{}} %\vector(69.67,133.00)(50.00,123.00) \put(50.00,123.00){\vector(-2,-1){0.2}} \multiput(69.67,133.00)(-0.23,-0.12){84}{\line(-1,0){0.23}} %\end %\vector(40.00,103.00)(20.00,103.00) \put(20.00,103.00){\vector(-1,0){0.2}} \put(40.00,103.00){\line(-1,0){20.00}} %\end %\vector(9.67,73.00)(9.67,63.33) \put(9.67,63.33){\vector(0,-1){0.2}} \put(9.67,73.00){\line(0,-1){9.67}} %\end %\vector(20.00,93.00)(38.00,63.00) \put(38.00,63.00){\vector(2,-3){0.2}} \multiput(20.00,93.00)(0.12,-0.20){151}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\vector(80.00,133.00)(100.00,123.00) \put(100.00,123.00){\vector(2,-1){0.2}} \multiput(80.00,133.00)(0.24,-0.12){84}{\line(1,0){0.24}} %\end %\vector(50.00,113.00)(70.00,103.00) \put(70.00,103.00){\vector(2,-1){0.2}} \multiput(50.00,113.00)(0.24,-0.12){84}{\line(1,0){0.24}} %\end %\vector(110.00,113.00)(120.00,103.00) \put(120.00,103.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(110.00,113.00)(0.12,-0.12){84}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(90.33,113.00)(80.00,103.00) \put(80.00,103.00){\vector(-1,-1){0.2}} \multiput(90.33,113.00)(-0.12,-0.12){84}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\vector(60.33,83.00)(38.00,43.00) \put(38.00,43.00){\vector(-1,-2){0.2}} \multiput(60.33,83.00)(-0.12,-0.21){187}{\line(0,-1){0.21}}

%\end %\vector(70.00,83.00)(70.00,53.33) \put(70.00,53.33){\vector(0,-1){0.2}} \put(70.00,83.00){\line(0,-1){29.67}} %\end %\vector(80.00,93.00)(113.33,63.00) \put(113.33,63.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(80.00,93.00)(0.13,-0.12){251}{\line(1,0){0.13}} %\end %\vector(130.00,93.00)(141.00,40.33) \put(141.00,40.33){\vector(1,-4){0.2}} \multiput(130.00,93.00)(0.12,-0.57){92}{\line(0,-1){0.57}} %\end %\vector(100.00,93.00)(93.33,52.67) \put(93.33,52.67){\vector(-1,-4){0.2}} \multiput(100.00,93.00)(-0.12,-0.72){56}{\line(0,-1){0.72}} %\end \end{picture} \end{figure} Ferrersovy grafy se pou��vaj� v teorii rozd�len� pro mnoho d�kaz� zalo�en�ch jednodu�e na jejich vlastnostech. Ferrersovy grafy jsou tabulky (viz obr. \ref{Ferrersovy grafy}) obsahuj�c� $m$ objekt�, ka�d� objekt ve sv�m vlastn�m boxu. �tvercov� boxy jsou uspo��d�ny do sloupc� v nerostouc�m uspo��d�n� $m_j \geq m_{j+1}$ se sou�tem \begin{equation} \sum^n_{j=1} m_j = \sum^{\infty}_{k=0}n_km_k =m \;. \end{equation} Pokud rozd�len� obsahuj� stejn� ��sti, je mo�n� po��tat je spole�n� s pou�it�m indexu k a jejich po�et $n_k$. Je z�ejm�, �e Ferrers�v graf je matice ${\bf F}$, kter� m� sv� jednotkov� prvky uspo��d�ny postupn� v po��te�n�ch ��dc�ch a sloupc�ch. Kdy� se srovnaj� s naivn�mi maticemi, Ferrersovy grafy vypadaj� jako stla�en� naivn� matice ${\bf N}$ ve kter�ch v�echny jednotkov� prvky byl stla�eny k z�kladn� ��dce (to je v matici nahoru) odstran�n�m pr�zdn�ch prvk�: $$\begin{array}{ccccc} \begin{array}{c} ${\bf N}$ \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \leftrightarrow & \begin{array}{c} {\bf N}_2 \\ \\

\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array} & \rightarrow & \begin{array}{c} {\bf F} \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)\\ \\ \\ \\ \end{array} \end{array}$$ Zaveden�m Ferrersov�ch graf� jako matic, dostaneme se nutn� k pojmu {\em omezen�ch rozd�len�}. ��sti rozd�len� nemohou b�t v�t�� ne� po�et ��dk� matice a po�et ��st� v�t�� ne� po�et jej�ch sloupc�. \begin{figure} \caption{Kr�cen� rozd�len� omezen�m ��dk� a sloupc�} \label{Kr�cen�} \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(100.00,100.00) %\emline(20.00,19.67)(80.67,19.67) \put(20.00,19.67){\line(1,0){60.67}} %\end %\emline(20.00,19.67)(20.00,80.00) \put(20.00,19.67){\line(0,1){60.33}} %\end %\emline(20.00,70.00)(70.33,19.67) \multiput(20.00,70.00)(0.12,-0.12){420}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(20.00,51.00)(38.67,51.00) \put(20.00,51.00){\line(1,0){18.67}} %\end %\emline(47.33,42.67)(47.33,19.67) \put(47.33,42.67){\line(0,-1){23.00}} %\end %\emline(20.00,53.00)(36.67,53.00) \put(20.00,53.00){\line(1,0){16.67}} %\end %\emline(20.00,55.33)(34.33,55.33) \put(20.00,55.33){\line(1,0){14.33}} %\end

%\emline(20.00,57.33)(32.67,57.33) \put(20.00,57.33){\line(1,0){12.67}} %\end %\emline(20.00,59.33)(30.67,59.33) \put(20.00,59.33){\line(1,0){10.67}} %\end %\emline(20.00,61.00)(29.00,61.00) \put(20.00,61.00){\line(1,0){9.00}} %\end %\emline(20.00,63.00)(27.00,63.00) \put(20.00,63.00){\line(1,0){7.00}} %\end %\emline(20.00,65.00)(25.00,65.00) \put(20.00,65.00){\line(1,0){5.00}} %\end %\emline(20.00,66.67)(23.33,66.67) \put(20.00,66.67){\line(1,0){3.33}} %\end %\emline(20.00,68.00)(21.67,68.00) \put(20.00,68.00){\line(1,0){1.67}} %\end %\emline(49.33,40.33)(49.33,19.67) \put(49.33,40.33){\line(0,-1){20.67}} %\end %\emline(51.67,38.33)(51.67,19.67) \put(51.67,38.33){\line(0,-1){18.67}} %\end %\emline(54.33,35.67)(54.33,19.67) \put(54.33,35.67){\line(0,-1){16.00}} %\end %\emline(57.00,32.67)(57.00,19.67) \put(57.00,32.67){\line(0,-1){13.00}} %\end %\emline(59.33,30.33)(59.33,19.67) \put(59.33,30.33){\line(0,-1){10.67}} %\end %\emline(61.67,28.00)(61.67,19.67) \put(61.67,28.00){\line(0,-1){8.33}} %\end %\emline(64.00,25.67)(64.00,19.67) \put(64.00,25.67){\line(0,-1){6.00}} %\end %\emline(66.00,23.33)(66.00,20.00) \put(66.00,23.33){\line(0,-1){3.33}} %\end %\emline(68.00,22.00)(68.33,19.67) \multiput(68.00,22.00)(0.11,-0.78){3}{\line(0,-1){0.78}} %\end \put(10.00,69.67){\makebox(0,0)[cc]{m}} \put(9.67,51.00){\makebox(0,0)[cc]{M}} \put(47.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{N}} \put(70.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{n}} \end{picture} \end{figure} Geometrick� interpretace omezen� v kapitole 2. ��st $m_{max}$ ur�uje stranu krychle, $n$ jej� rozm�r, viz obr.\ref{Kr�cen�}.

Zdokonalen� notace rozli�uje d�len� ��slo M a po�et ��dk� $m$. Neomezen� po�et rozd�len� p(M) je rovn� po�tu omezen�ch rozd�len�. Kdy� omezuj�c� podm�nky jsou m�rn�, potom $m \geq M$ a $n \geq M$: \begin{equation} p(M)_{neomezen�} = p(M,M,M)\;. \end{equation} P�eme zde nejprve po�et ��dk� $m$, potom po�et ��st� $n$, a naposled sou�et jednotkov�ch prvk� (po�et vypln�n�ch box�) {\bf M}. D�le�it� vlastnost omezen�ch rozd�len� je ur�ena transponov�n�m Ferrersov�ch graf� ${\bf F} \rightarrow {\bf F}^{\rm T}$: \begin{equation} p(m, n, M) = p(n, m, M)\;. \end{equation} Rozd�len� jsou konjugovan�. Po�et rozd�len� do p�esn� $n$ ��st� s nejv�t�� ��st� $m$ je stejn� jako po�et rozd�len� do $m$ ��st� maj�c� nejv�t�� ��st $n$. Ferrers�v graf lze ode��st od matice obsahuj�c� pouze jednotkov� prvky (definovan� jako ${\bf JJ}^{\rm T}$) a v�sledn� matice se transverzuje (Tr), nap��klad $$\begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) & - & \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)^{\rm Tr} & = & \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\

1 & 0 \end{array} \right) \end{array}$$ Vztah mezi po�tem omezen�ch rozd�len� dvou rozd�ln�ch ��sel se z�sk� pomoc� rovnice \begin{equation} p(m, n, M) = p(n, m, mn - M) \end{equation} Tato identita byla odvozen� operac� velmi u�ite�nou pro z�sk�v�n� prvk� sch�mat rozd�len� (viz p��t� kapitolu) a omezen�ch rozd�len� v�ech druh�. Omezen� rozd�len� do p�esn� $n$ ��st�, maj�c� $m$ jako nejv�t�� ��st, m� $(m + na - 1)$ jednotek v�zan�ch prvky tvo��c�mi prvn� ��dku a sloupec odpov�daj�c�ho FerrersovGrafu (obr. \ref{Ferrersovy grafy}). Pouze $(M - m - n + 1)$ prvk� je voln�ch pro rozd�len� v omezen�m r�me�ku $(m-1)$ a $(n-1)$. Tedy \begin{equation} p(m, n, M) = p(m-1, n-1, M-m-n+1) \end{equation} Nap��klad: p(4,3,8) = p(3,2,2) = 2. Odpov�daj�c� rozd�len� jsou 4,3,1 a 4,2,2; nebo 2,0 a 1,1. Tento vzorec se m�e pou��vat pro nalezen� v�ech omezen�ch rozd�len�. Je to dosti snadn�, kdy� rozd�l $(M-m-n+1)$ je men�� ne� omezuj�c� hodnoty $m$ a $n$ nebo alespo� jedna z omezuj�c�ch hodnot. ��dkov� a sloupcov� sou�ty ��ste�n� omezen�ch rozd�len� maj�c�ch jinou omezuj�c� konstantu, kde bu� $n$ nebo $m$ mohou b�t 1 a� $M$ jsou: \begin{equation} p(m, *, M) = \sum_{j=1}^M \ p(m, j, M) \end{equation} \begin{equation} p(*, n, M) = \sum_{i=1}^M \ p(i, n, M) \end{equation} D��ve ne� prozkoum�me omezen� rozd�len� podrobn�ji, zavedeme tabulky neomezen�ch a ��ste�n� omezen�ch rozd�len�. \section{Matice rozd�len�} \label{Matice rozd�len�} ��ste�n� omezen� rozd�len� se mohou z�skat z neomezen�ch rozd�len� ode�ten�m ��dky $n$ jednotek nebo sloupce $m$ jednotek. To n�m d� rekurzivn� vzorec pro po�et rozd�len� jako sou�et dvou rozd�len� \begin{equation} p(*, N, M) = p(*, N-1, M-1) + p(*, N, M-N-1) \end{equation} V�echna rozd�len� do p�esn� $N$ ��st� se d�l� do dvou mno�in. V jedn� mno�in� jsou rozd�len� maj�c� v posledn�m sloupci 1, jejich po�et se po��t� �lenem $p(*,N-1,M1)$, co� je po�et rozd�len� ��sla $(M-1)$ do p�esn� $(N-1)$ ��st� k, kter� se p�idala 1 na n-t�m m�st� a v jin� mno�in� jsou rozd�len�, kter� maj� v posledn�m sloupci 2 a v�ce. Ty se z�skaly p�i�ten�m jednotkov� ��dky ${\bf J}^{\rm T}$) s $n$ jednotkov�mi prvky rozd�len�m $(M - N)$ do $N$ ��st�.

Podobn� vzorec se m�e odvodit pro rozd�len� $M$ do nejv�e $N$ ��st�. Tato rozd�len� mohou m�t nulu alespo� v posledn�m sloupci nebo jsou rozd�len� p�esn� do $n$ ��st�: \begin{equation} p(*, *=N, M) = p(*, *=N-1, M) + p(*, *=N, M-N) \end{equation} �len p(*, *=N-1, M) jsou rozd�len� $M$ do $(N - 1)$ ��st� transformovan� do rozd�len� do $N$ ��st� p�i�ten�m nuly v n-t�m sloupci, �len p(*, *=N, M-N) jsou rozd�len� $(M - 1)$ do $N$ ��st�, ke kter�m se p�idala jednotkov� ��dka. Abychom formulovali oba rekurzivn� vzorce p�esn�ji, nejprve se mus� definovat zd�nliv� paradoxn� rozd�len�: $$p(0,0,0) = 1\;.$$ Co to znamen�? Rozd�len� nuly do nulov�ho po�tu ��st�. Toto rozd�len� p�edstavuje pr�zdn� prostor s nulov�m rozm�rem. Toto rozd�len� je opr�vn�no svou limitou. S pou�it�m na�� vytvo�uj�c� funkce nap�eme $n = 0^0$ a nalezneme limitu: \begin{equation} \lim{0^0} = \lim_{x\rightarrow\infty}\;(1/x)^0 = 1/x^0 = 1\;. \end{equation} Dostaneme dv� n�sleduj�c� tabulky rozd�len� \begin{table} \caption{Rozd�len� do p�esn� $n$ ��st�} \label{Rozd�len� do p�esn� $n$ ��st�} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & & 1 \\ 1 & & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & & 1 & 1 & & & & & 2 \\ 3 & & 1 & 1 & 1 & & & & 3 \\ 4 & & 1 & 2& 1 & 1& & & 5 \\ 5 & & 1 & 2 & 2 & 1 & 1 & & 7 \\ 6 & & 1 & 3 & 3 & 2 & 1 & 1 & 11 \\ \hline \end{tabular} \end{table} \begin{table} \caption{Rozd�len� do nejv�e n ��st�} \label{Rozd�len� do nejv�e n ��st�} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline m=0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 4 & & 1 & 3 & 4 & 5 & 5 & 5 \\

5 & & 1 & 3 & 5 & 6 & 7 & 7 \\ 6 & & 1 & 4 & 7 & 9 & 10& 11 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Tabulka 4.2 se z�sk� z tabulky 4.1 jako ��ste�n� sou�ty jej�ch ��dek, co� znamen� n�soben�m jednotkovou troj�heln�kov� matic� ${\bf T}^T$ zprava. Prvky matice ${\bf T}^{\rm T}$ jsou \begin{equation} h_{ij} = 1\ {\rm if}\ j \geq i\;\ h_{ij} = 0 {\rm pokud}\ j > i\;. \end{equation} Na druh� stran� se tabulka 4.1 z�sk� z tabulky 4.2 n�soben�m matic� ${\bf T}^{\rm -T}$ zprava. Inverzn� prvky jsou \begin{equation} h_{ii}^{-1} = 1\;,\ h_{i,i+1}^{-1} = -1\;,\ h_{ij} = 0\;, {\rm jinak}\;. \end{equation} V�imn�te si, �e prvky tabulky 4.2 vpravo od diagon�ly z�st�vaj� konstantn�. Rovnaj� se ��dkov�m sou�t�m tabulky 4.1. Zv�t�uj�c� se po�et nul nem�n� po�et rozd�len�. \begin{figure} \caption{Omezov�n� orbit rozd�len�. Nejni��� dovolen� ��st r p�esouv� rovinn� simplex} \label{Omezov�n�} \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(100.00,100.00) %\emline(20.00,80.00)(20.00,20.00) \put(20.00,80.00){\line(0,-1){60.00}} %\end %\emline(20.00,20.00)(80.00,20.00) \put(20.00,20.00){\line(1,0){60.00}} %\end %\emline(40.00,79.33)(40.00,40.00) \put(40.00,79.33){\line(0,-1){39.33}} %\end %\emline(40.00,40.00)(79.67,40.00) \put(40.00,40.00){\line(1,0){39.67}} %\end %\vector(20.00,20.00)(40.00,40.00) \put(40.00,40.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(20.00,20.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(20.00,80.00)(80.00,20.00) \multiput(20.00,80.00)(0.12,-0.12){501}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(18.00,40.00)(22.00,40.00) \put(18.00,40.00){\line(1,0){4.00}} %\end %\emline(40.00,22.00)(40.00,18.00) \put(40.00,22.00){\line(0,-1){4.00}} %\end \put(10.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{r}}

\put(10.00,20.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(40.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{r}} \put(20.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \end{picture} \end{figure} Kdy� op�t n�sob�me tabulku 4.1 matic� ${\bf T}^{\rm T}$, dostaneme rozd�len� maj�c� jako nejmen�� dovolenou ��st ��slo 2. ��inek t�chto oper�tor� si lze p�edstavit na 2 rozm�rn�m komplexu, oper�tory posouvaj� hranici po��tan�ch orbit (obr. \ref{Omezov�n�}). Oper�tor ${\bf T}^{\rm T}$ diferencuje n rozm�rn� komplexy, posouvaje jejich hranici ke kladn�m ��sl�m od�ez�vaje men�� ��sla. Nula tvo�� p�irozenou z�kladn� hranici. \section{Rozd�len� se z�porn�mi ��stmi} \label{Rozd�len� se z�porn�mi ��stmi} Operace s tabulkami rozd�len� vedou k my�lence, co by se stalo s rozd�len�mi mimo kladn� k�nus nez�porn�ch ��sel. Tedy dovolme tak� existenci z�porn�ch ��sel v rozd�len�ch \footnote{Z�porn� ��sti mohou b�t srovn�ny ve fyzice s anti��sticemi. Pon�vad� anihilace uvol�uje energii, neanihiluje ji, energie Vesm�ru je nekone�n�. Spekulace o existenci antisv�t�, tvo�en�ch pouze anti��sticemi vyva�uj�c�mi n� sv�t, mohou b�t vysloven� jako pochyba pokud Vesm�r spo��v� v p�irozen�mu k�nusu prostoru.}. Pokud po�et stejn�ch ��st� $n_k$ je naps�no jako vektor ��dka pod vektorem tvo�en�m ��selnou stupnic�, po�et rozd�len� je nez�visl� na p�esouv�n� ��seln� stupnice, viz tabulku 4.3. Rozd�len� jsou v�dy odvozen� posouv�n�m dvou vektor�, jeden o 1 polohu nahoru, druh� o 1 polohu dol�. Ka�d� rozd�len� odpov�d� vektoru. Pokud je nap�eme jako sloupce, potom jejich skal�rn� sou�in s ��selnou stupnic�, tvo��c� vektor ��dku ${\bf m}^{\rm T}$, d�v� konstantn� sou�et: \begin{equation} {\bf m}^{\rm T}{\bf p} = \sum_{k \geq r}\; m_k n_k = m\;. \end{equation} Zde je notace nekonsistentn�, prvky vektoru ${\bf p}$ jsou ��sla vektor� maj�c�ch stejn� d�lky a p�smeno $n$ s indexem $k$ se pro n� pou��v�. Pro hodnoty ��seln� stupnice p�smeno $m$ se pou��v� s obvykl�m indexem $k$, kter� jde od nejni��� mo�n� hodnoty ��sti $r$ a� nejvy��� mo�n� hodnot�. Index $k$ b�� k nekone�nu, av�ak v�ech p��li� vysok� hodnoty $n_k$ jsou nuly. \begin{table} \caption{Rozd�len� jako vektory} \label{Rozd�len� jako Vektory} \begin{tabular}{|l|r|rrrrr|lr|} \hline Parametr & r & & & & & & & \\ \hline Vektor {\bf m} & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & {\bf mp}= & -5 \\ & -1& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & & 0 \\ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & & 5 \\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & & 10 \\ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 && 15 \\ \hline & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & & \\ \hline Vektor p & 4 & & & & & 1 & & \\ & 3 & 1 & & & 1 & & & \\

& 3 & & 1 & 1 & 2 & 2 & & 1 & 2 & 1 & 2 & & 1 & 3 & 1 & & 1 & 2 & 2 & & & 5 & & & & \hline \end{tabular} \end{table}

& & & & & &

& & & & & &

& & & & & & & & & & \\

\\ \\ \\ \\ \\

S pou�it�m rozd�ln�ch vektor� rozd�len� a rozd�ln�ch vektor� {\bf m}, dostaneme n�sleduj�c� p��klady: \begin{eqnarray*} (4 \times -2) + (1 \times 3) = -5\, \\ (3 \times -1) + (1 \times 0) + (1 \times 3) =\> 0\, \\ (3 \times 0) + (1 \times 2) + (1 \times 3) =\> 5\, \\ (2 \times 1) + (1 \times 2) + (2 \times 3) =\, 10\, \\ (1 \times 2) + (3 \times 3) + (1 \times 4) =\, 15. \end{eqnarray*} Parametr $r$ p�esouv� tabulku rozd�len�, jej� �elo se ot��� okolo nulov�ho bodu. Pokud $r$ bylo $-\infty$, potom $p(-\infty, 1) = 1$ av�ak $p(-\infty, 2)$ by bylo neur�it�, proto�e sou�et kone�n�ho ��sla s nekone�n�m ��slem je op�t nekone�n�. Parametr $r$ se bude zapisovat rozd�len�m jako jeho horn� index, aby uk�zal, �e rozd�ln� z�kladny rozd�len� diferencuj� rovinn� simplexy. \section{Rozd�len� s vnit�n�mi omezen�mi} \label{Rozd�len� s vnit�n�mi omezen�mi} Rozd�len� byla klasifikov�na podle minim�ln� a maxim�ln� mo�n� hodnoty ��sti, av�ak lze omezit i vnit�ek ��seln� stupnice, lze p�edepsat, �e n�kter� hodnoty jsou zak�zan�. Je snadn� si uv�domit co to znamen�: rovinn� simplex m� d�ry, n�kter� orbity se nemohou realizovat a jeho $(n -1)$ t�leso je �id�� ne� norm�ln�. Je snadn� naleznout po�et rozd�len�, ve kter�ch v�echny ��sti jsou sud�. Nen� mo�n� vytvo�it sud� rozd�len� z lich�ho ��sla, tedy: \begin{equation} p_{\rm sud�}(2n) = p_{\rm neomezen�}(n)\;. \end{equation} Nesnadn�j�� �loha je nal�zt po�et rozd�len�, ve kter�ch v�echny ��sti jsou lich�. Jin� zam�tnut� rozd�len� obsahuj� sm�en� lich� a sud� ��sti. Vztah mezi rozd�ln�mi rozd�len�mi je ur�en jako \begin{equation} p_{\rm neomezen�}(n) = p_{\rm lich�}(n) + p_{\rm sud�}(n) + p_{\rm sm�en�}(n)\;. \end{equation} Odpov�daj�c� seznamy jsou uveden� v tabulce 4.4 \begin{table} \caption{Lich�, sud� a sm�en� rozd�len�} \label{Lich�, sud� a sm�en� rozd�len�} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrr|r|r|r|r|} \hline

& \multicolumn{9}{|c|}{Po�et lich�ch rozd�len�}& \multicolumn{4} {|c|}{ Sou�ty}\\ \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & Lich� & Sud� & Sm�en� & p(m) \\ \hline m=1 & 1 & & & & & & & & & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & & 1 & & & & & & & & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & & 1 & & & & & & & 2 & 0 & 1 & 3 \\ 4 & & 1 & & 1 & & & & & & 2 & 2 & 1 & 5 \\ 5 & 1 & & 1 & & 1 & & & & & 3 & 0 & 4 & 7 \\ 6 & & 2 & & 1 & & 1 & & & & 4 & 3 & 4 & 11 \\ 7 & 1 & & 2 & & 1 & & 1 & & & 5 & 0 & 10 & 15 \\ 8 & & 2 & & 2 & & 1 & & 1 & & 6 & 5 & 11 & 22 \\ 9 & 1 & & 3 & & 2 & & 1 & & 1 & 8 & 0 & 22 & 30\\ \hline \end{tabular} \end{table} V�imn�te si, jak ��dk� se z�sk� matice lich�ch rozd�len� z tabulky 4.1. Jej� prvky, vyjma prv�ho v ka�d�m sloupci, jsou posunuty dol� na k��en� diagon�l. Lich� ��slo mus� b�t d�len� do lich�ho ��sla lich�ch ��st� a sud� ��slo do sud�ho ��sla lich�ch ��st�. Tedy matice m�e b�t zapln�na pouze z poloviny. Rekurence je dan� dv�ma mo�nostmi, jak zvy�ovat ��slo $m$. Bu� p�id�me lich� 1 k lich�m rozd�len�m $ (m - 1)$ s p�esn� $(j - 1)$ ��stmi nebo p�id�me $2j$ k lich�m ��sl�m rozd�len� $(m - 2j)$ s p�esn� $j$ ��stmi. Vztah se vyj�d�� jako \begin{equation} o(i,j) = p[(i+j)/2,j]\;. \end{equation} Rozd�len� se v�emi ��stmi nerovn�mi jsou d�le�it�, proto�e jejich transponovan� Ferrersovy grafy maj� nejv�t�� ��st lichou, kdy� po�et ��st� je lich� a sudou, kdy� po�et ��sti je sud�. Nap��klad $$\begin{tabular}{rrrr} 10 & & & \\ & 9,1 & & \\ & 8,2 & & \\ & 7,3 & 7,2,1 & \\ & 6,3 & 6,3,1 & \\ & & 5,4,1 & \\ & & 5,3,2 & \\ & & & 4,3,2,1 \end{tabular}$$ Rozd�len� s nerovn�mi ��stmi se mohou zobrazit v tabulkov� form� jako je tabulka 4.5. V�imn�te si, �e rozd�l sud�ch a lich�ch sloupc� rozd�len� je v�t�inou nulov�, pouze n�kdy $\pm 1$. D�le�itost tohoto jevu bude vysv�tlena pozd�ji. Po�et rozd�len� s nerovn�mi ��stmi je toto�n� s rozd�len�mi, jejich� v�echny ��sti jsou lich�. \begin{table} \caption{Rozd�len� s nerovn�mi ��stmi} \label{Rozd�len� s nerovn�mi ��stmi} \begin{tabular}{|r|rrrr|c|c|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & $\Sigma$ & Rozd�l ($n_{lich�} -

n_{sud�})$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & 1 & 1 \\ 2 & 1 & & & & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & & & 2 & 0 \\ 4 & 1 & 1 & & & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 2 & & & 3 & -1 \\ 6 & 1 & 2 & 1 & & 4 & 0 \\ 7 & 1 & 3 & 1 & & 5 & -1 \\ 8 & 1 & 3 & 2 & & 6 & 0 \\ 9 & 1 & 4 & 3 & & 8 & 0 \\ 10 & 1 & 4 & 4 & 1 & 10 & 0 \\ 11 & 1 & 5 & 5 & 1 & 12 & 0 \\ 12 & 1 & 5 & 7 & 2 & 15 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Rozd�ly jsou zp�sobeny Franklinov�mi bloky s rostouc� minim�ln� ��st� a rostouc�m po�tem ��st� (pou��v� se jejich transponovan� notace), kter� jsou minim�ln� v jejich ��sti se li�� o jednu, tvar odpov�daj�c�ch Ferrersov�ch graf� je trap�zov�: $$\begin{array}{ccccc} \begin{array}{c} (1)\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right)\\ \\ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \quad & \begin{array}{c} (1 1) \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right)\\ \\ \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}

\right) \end{array} & \quad & \begin{array}{c} 1, 2\\ \\ 5, 7 \\ \\ \\ 12, 15 \\ \\ \\ \end{array} \end{array}$$ \section{Diference podle jednotkov�ch ��st�} \label{Diference podle jednotkov� ��sti} M�me uspo��d�ny omezen� rozd�len� podle po�tu nenulov�ch ��st� v tabulce 4.1. Je mo�n� klasifikovat rozd�len� podle po�tu vektor� v rozd�len� maj�c�ch jakoukoliv hodnotu. S pou�it�m hodnoty 1, dostaneme jin� druh diference rozd�len� jako v tabulce 4.6. \begin{table} \caption{Rozd�len� podle jednotkov�ch ��st�} \label{Rozd�len� podle jednotkov�ch ��st�} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & \\ 1 & 0 & 1 & & & & & \\ 2 & 1 & 0 & 1 & & & & \\ 3 & 1 & 1 & 0 & 1 & & & \\ 4 & 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & & \\ 5 & 2 & 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & \\ 6 & 4 & 2 & 2 & 1 & 1 & 0 & 1\\ \hline \end{tabular} \end{table} Prvky tabulky jsou: \begin{equation} p_{i0} = p(i) - p(i - 1),\ p_{ij} = p_{i-1, j-1}\ ,{\rm jinak}\;. \end{equation} Tabulka 4.6 se z�sk� z n�sleduj�c� tabulky 4.7 ��dk� neomezen�ch rozd�len� jej�m n�soben�m matic� ${\bf T}^{-1}$. Nulov� sloupec tabulky 4.6 je rozd�l dvou n�sledn�ch neomezen�ch rozd�len� podle $m$. Ke v�em rozd�len�m $p(m-k)$ se p�idaly k. Rozd�len� v nulov�m sloupci obsahuj� pouze ��sla v�t�� ne� 1. Tato rozd�len� nemohou b�t tvo�en z ni���ch rozd�len� p�i�ten�m jednotek, jsou tedy rozd�lem funkce rozd�len� podle ��sla $n_1$. Pon�vad� tabulka 4.6 je slo�en�, je to sou�in dvou matic a jej� inverzn� matice je tak� slo�en�. \section{Eulerova inverze rozd�len�} \label{Eulerova inverze rozd�len�} Pokud nap�eme n�sledn� rozd�len� jako sloupcov� nebo ��dkov� vektory jako v tabulce 4.7, jej� prvky jsou

\begin{equation} p_{ij} = p(i - j + 1)\;, \end{equation} najdeme dosti snadno jej� inverzn� matici, kter� je uveden� v druh� ��sti stejn� tabulky. \begin{table} \caption{Rozd�len� a jejich Eulerova inverze} \label{Rozd�len� a jejich Eulerova inverze} \begin{tabular}{|r|rrrrrrc|rrrrrr|} \hline & \multicolumn{6}{|c}{Tabulka rozd�len�}& \qquad & \multicolumn{6} {|c|}{Eulerova inverze} \\ \hline j & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline i=0 & 1 & & & & & & & 1 & & & & & \\ 1 & 1 & 1 & & & & & & -1 & 1 & & & & \\ 2 & 2 & 1 & 1 & & & & & -1 & -1 & 1 & & & \\ 3 & 3 & 2 & 1 & 1 & & & & 0 & -1 & -1 & 1 & & \\ 4 & 5 & 3 & 2 & 1 & 1 & & & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & \\ 5 & 7 & 5 & 3 & 2 & 1 & 1 & & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Nenulov� prvky v prv�m sloupci Eulerovy inverze (a podobn� v dal��ch sloupc�ch, kter� jsou pouze posunuty dol� o jednu ��dku) se objevuj� u index�, kter� lze vyj�d�it Eulerovou identitou t�kaj�c� se koeficient� expanze u \begin{equation} (1 - t)(1 - t^2)(1 - t^3)... = 1 + \sum_{i = 1}^\infty\; (-1)^i\; [t^{3i^2 - i)/2} + t^{3i^2 + i)/2}]\;. \end{equation} Nap��klad posledn� ��dka rozd�len� tabulky \ref{Rozd�len� a jejich Eulerova inverze} se eliminuje jej�m n�soben�m Eulerovou inverz� jako: $$(7 \times 1) + (5 \times -1) +( 3 \times -1) + (2 \times 0) + (1 \times 0) + (1 \times 1) = 0.$$ Kdy� $i = 1$, existuje p�r index� p�i t = 1, 2; pro $i = 2$ p�r je 5, 7; pro $i = 3$ tento p�r je $-12, -15$ a tak d�le. Tato ��sla jsou vzd�lenosti od z�kladny rozd�len�. Inverzn� matice se st�v� �id�� jak se $p(m)$ zvy�uje, jak u� bylo uk�z�no shora u Franklinova rozd�len�. V�echny inverzn� prvky jsou $-1,0,1$. Nenulov� prvky Eulerova polynomi�lu se z�skaj� jako sou�ty sou�inu \begin{equation} \prod_{i=1}^\infty \; (1 - t^i)\;. \end{equation} To je ov��en� n�soben�m n�kolika �len� nekone�n�ho sou�inu. Pokud n�sob�me Euler�v polynomi�l s jeho inverzn� funkc� \begin{equation} \prod_i=1^\infty (1 - t^i)^{-1}\;, \end{equation}

dostaneme 1. Z tohoto vztahu plyne, �e rozd�len� jsou vytvo�ena inverz� Eulerovy funkce, kter� je {\em vytvo�uj�c� funkc�} rozd�len�. �leny $t^i$ se mus� pova�ovat za p�edstavuj�c� nerovn� ��sti. Eulerova funkce m� v�echny ��sti $t^i$ rozd�ln�. Zkonstruovali jsme takov� rozd�len� v tabulce 4.5. Pokud koeficient p�i $t^i$ se z�sk� jako sou�in sud�ho po�tu $(1 - t^i)$ �len�, potom znam�nko je kladn�, pokud je to v�sledek lich�ho po�tu �len�, potom znam�nko je z�porn�. Koeficienty jsou ur�en rozd�lem po�tu rozd�len� s lich�mi a sud�mi po�ty nerovn�ch ��st�. Tento rozd�l se m�e d�le vysv�tlit podle Franklina s pou�it�m Ferrersov�ch graf�. V�echny ��sti v $p(n)$ maj�c� alespo� jednu ��st rovnou 1 se z�skaj� z $p(n-1)$. Rozd�lem $p(n) - p(n)$ je zp�sobena n�jak�mi �leny $p(n-2)$. Mus�me p�idat ke ka�d�mu rozd�len� $p(n-2)$ 2, vyjma v�ech rozd�len� $p(n-2)$ obsahuj�c�ch 1. Ta se mus� bu� odstranit nebo pou��t v transponovan� form� s pou�it�m transponovan�ch Ferrersov�ch graf�, pon�vad� jsou pot�eba velk� ��sti. Jedno rozd�len� z konjugovan�ho p�ru je nadbyte�n�. Tato nepou��van� rozd�len� se mus� ode��st. Nap��klad pro $p(8)$: $$\begin{array}{cccccc} 6; & 1^6; & \qquad & Tvo��:& 8; & 62; \\ \underline{51};& 21^4;& & & 53; & \\ 42; & 2^21^2;& & & 44;& 2^4; \\ \underline{33};& 2^3; & & & 3^22; & \\ 41^2;& \underline{31^3}; & & & 42^2; & \\ \underline{321}; & & & & & \end{array}$$ P�ebytky (naho�e podtr�en�): \begin{center} p(1) + 5: 51; \qquad p(3) + 3: 33; 321; 31 \end{center} se z�skaj� ode�ten�m nejv�t�� ��sti z odpov�daj�c�ho rozd�len�. Dv� se mus� p�idat k ode��tan� ��sti. Dostaneme p(8-5) a p(8-7) jako zm�ny. \section{Jin� inverzn� funkce rozd�len�} \label{Jin� inverzn� funkce rozd�len�} Setkali jsme se u� s jin�mi tabulkami rozd�len�, kter� maj� inverzi, pon�vad� jsou v doln� troj�heln�kov� form�. Inverz� tabulky 4.1 je tabulka 4.8. \begin{table} \caption{Inverzn� matice rozd�len� do n ��st�} \label{Inverzn� matice rozd�len� do n ��st�} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline m=1 & 1 & & & & & \\ 2 & -1 & 1 & & & & \\ 3 & 0& -1 & 1 & & & \\ 4 & 1 & -1 & -1 & 1 & & \\ 5 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & \\ 6 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 \\ \hline

\end{tabular} \end{table} Inverz� tabulky 4.6 je tabulka 4.9. \begin{table} \caption{Inverzn� matice jednotkov�ch rozd�l�} \label{Inverzn� matice jednotkov�ch rozd�l�} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline m=1 & 1 & & & & & \\ 2 & 0 & 1 & & & & \\ 3 & -1 & 0 & 1 & & & \\ 4 & -1 & -1 & 0 & 1 & & \\ 5 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & \\ 6 & 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Zat�m co sloupce tabulky 4.8 jsou nepravideln� a prvky ka�d�ho sloupce se mus� nal�zt odd�len�, sloupce tabulky 4.9 se opakuj�, jak jsou pouze posunuty v ka�d�m sloupci o jednu ��dku dol�, podobn� jako jsou posunuty prvky jejich p�vodn� matice. Mohou se snadno nal�zt n�soben�m matice Eulerovy funkce (tabulka 4.7) matic� ${\bf T}$ zleva. \section{Orbity rozd�len� v m rozm�rn�ch krychl�ch} \label{Orbity rozd�len� v m rozm�rn�ch krychl�ch} Omezen� rozd�len� maj� geometrickou interpretaci: Jsou to orbity n rozm�rn�ch rovinn�ch komplex� useknut�ch do krychle se stranou $(m -1)$ jako na obr. 4.3. M�eme po��tat orbity i v krychli. Je to �morn� �loha, pokud se nepou�ij� n�kter� speci�ln� techniky, pon�vad� jejich po�et z�vis� na velikost� krychle. Nap��klad pro 3 rozm�rn� prostor dostaneme orbity jako v tabulce 4.10. \begin{table} \caption{Orbity v 3 rozm�rn�ch krychl�ch} \label{Orbity v 3 rozm�rn�ch krychl�ch} \begin{tabular}{|r|c|c|c|c|} \hline Velikost hrany & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline m=0 & 000 & 000 & 000 & 000 \\ 1 & & 100 & 100 & 100 \\ 2 & & 110 & 200; 110 & 210; 110 \\ 3 & & 111 & 210; 111 & 300; 210; 111 \\ 4 & & & 220; 211 & 310; 220; 211 \\ 5 & & & 221 & 320; 311; 221 \\ 6 & & & 222 & 330; 321; 222 \\ 7 & & & & 331; 322 \\ 8 & & & & 332 \\ 9 & & & & 333 \\ \hline \end{tabular} \end{table}

Rovnice 4.3 se m�e pou��t pro krychle. Ukazuje jejich d�le�itou vlastnost, jsou symetrick� pod�l hlavn� diagon�ly, jdouc� ze st�edu koordin�t, simplexu $n^0$, k nejvzd�len�j��mu vrcholu krychle, ve kter�m v�echny $n$ koordin�ty jsou $(m-1)$. Diagon�lu krychle p�edstavuj� v tabulce 4.10 $k$ indexy. Mimo to krychle je konvexn�, tedy \begin{equation} M \leq mn/2 \ {\rm potom} \ p(m,n,M) \geq p(m,n,M-1) \end{equation} pokud \begin{equation} M \geq mn/2 \ {\rm potom} \ p(m,n,M) \leq p(m,n,M-1) \end{equation} Zde vid�me d�le�itost omezen�ch rozd�len�. Z tabulky 4.10 najdeme rekurenci, kter� je dan� faktem, �e ve v�t�� krychli je v�dy men�� krychle p��tomn� jako jej� z�kladna. Nov� orbity, kter� jsou na jej�ch roz���en�ch stran�ch se k n� p�i��taj�. Av�ak nesta�� zn�t orbity jedn� roz���en� strany, proto�e jin� strany se tvo�� t�mito orbity. Roz���en� strana n rozm�rn� krychle je $(n - 1)$ rozm�rn� krychle. Rekurentn� vztah pro rozd�len� v krychli je tedy \begin{equation} p(m,n,M) = p(m-1,n,M) + p(m,n-1,M) \end{equation} Tato rekurence bude pe�liv�ji vysv�tlena pozd�ji. \section{Vytvo�uj�c� funkce rozd�len� v krychl�ch} \label{Vytvo�uj�c� funkce rozd�len� v krychli} Vytvo�uj�c� funkce rozd�len� je jednodu�e vytvo�uj�c� funkce nekone�n� krychle v Hilbertov� prostoru, jeho� strany maj� rozd�ln� rozm�ry: \begin{equation} {\rm ��sti\ 1:}\; (1 + t_1^1 + t_1^2 + \dots\; t_1^{\infty}) \end{equation} \begin{equation} {\rm ��sti\ 2:}\; (1 + t_2^1 + t_2^2 + \dots\; t_2^{\infty}) \end{equation} a tak d�le a� \begin{equation} {\rm ��sti}\ \infty:\; (1 + \dots\; t^1_{\infty}) \end{equation} Kdy� se provedou n�soben� pro v�echny ��sti a �leny n�sleduj�c�ch rovinn�ch simplex� se se�tou, dostaneme: \begin{equation} 1 + t_1^1 + [t_2^1 + t_1^2] + [t_3^1 + \dots\;. \end{equation} Vytvo�uj�c� funkce omezen�ch rozd�len� se z�sk� vynech�n�m ne��douc�ch (omezen�ch)

��st�. N�kdy se vytvo�uj�c� funkce definuje v inverzn� form�. Nekone�n� mocninov� s�rie se nahrad� rozd�ly $(1 - t_k^{-1})$. To je mo�n�, pokud pova�ujeme $t$ za pouze fale�nou prom�nnou. Nap��klad, vytvo�uj�c� funkce rozd�len� s nerovn�mi neopakuj�c�mi se ��stmi je dan� sou�inem \begin{equation} u(t) = \prod_{k=1}^\infty (1 - t_k)\;. \end{equation} S�to prostoru rozd�len� je pravideln�, pokr�v� v�echna ��sla. Po�et rozd�len� se z�sk� rekurzivn�mi technikami. Av�ak je to velmi slo�it� funkce, pokud se vyjad�uje jedn�m uzav�en�m vzorcem, jako je Ramanudjan-Hardyho funkce. Rozd�len� tvo�� kostru prostoru. Bude n�s zaj�mat, jak je s�to rozd�len� zapln�no do prostoru, ve kter�m v�echny osy maj� jednotkovou stupnici, kter� obsahuje tak� vektorov� �ady. \chapter{M��ky orbit} \label{M��ky orbit} \section{Sch�mata rozd�len�} \label{Sch�mata rozd�len�} Mnohorozm�rn� rovinn� simplexy jsou slo�it�mi objekty, je nutn� nal�zt n�stroje, jak je analyzovat. Nakreslit je je nemo�n�, jak bylo zm�n�no, proto�e jejich ��sti se vrstv� v na�em 3 rozm�rn�m sv�t� na sebe. Klasifikovali jsme ji� orbity v rovinn�ch simplexech podle po�tu $k$ nenulov�ch ��st�. Tento po�et ukazuje rozm�rnost podsimplex�, jejich vrcholy, hrany, (k-1) rozm�rn� t�lesa. Pozd�ji jsme zavedli po�et jednotkov�ch vektor� jako n�stroj diferencuj�c� simplex. Nyn� uspo��d�me rozd�len� jako dvourozm�rn� tabulky. Tyto tabulky se budou naz�vat {\em sch�mata rozd�len�}. \begin{figure} \caption{M��ka orbit rozd�len� (7, 7)} \label{M��ka rozd�len�} \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(190.00,140.00) \put(5.33,110.00){\framebox(19.67,10.00)[cc]{7000000}} \put(30.00,95.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{6000000}} \put(30.00,80.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{5100000}} \put(30.00,65.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{4300000}} \put(55.00,80.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{5110000}} \put(55.00,65.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{4210000}} \put(55.00,50.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{3310000}} \put(55.00,35.00){\framebox(20.00,10.67)[cc]{3220000}} \put(80.00,65.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{4111000}} \put(80.00,40.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{3211000}} \put(80.00,20.00){\framebox(20.33,10.00)[cc]{2221000}} \put(105.00,40.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{3111100}} \put(105.00,20.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{2211100}} \put(130.00,20.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{2111110}} \put(155.00,5.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{1111111}} %\emline(25.00,110.00)(30.00,105.00) \multiput(25.00,110.00)(0.12,-0.12){42}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(40.00,95.00)(40.00,90.00) \put(40.00,95.00){\line(0,-1){5.00}} %\end

%\emline(40.00,80.00)(40.00,75.00) \put(40.00,80.00){\line(0,-1){5.00}} %\end %\emline(50.00,95.00)(55.00,90.00) \multiput(50.00,95.00)(0.12,-0.12){42}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(50.00,85.00)(55.00,85.00) \put(50.00,85.00){\line(1,0){5.00}} %\end %\emline(50.00,69.58)(55.00,69.58) \put(50.00,69.58){\line(1,0){5.00}} %\end %\emline(50.00,79.58)(55.00,75.00) \multiput(50.00,79.58)(0.13,-0.12){39}{\line(1,0){0.13}} %\end %\emline(50.00,65.00)(55.00,60.00) \multiput(50.00,65.00)(0.12,-0.12){42}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(65.42,80.00)(65.42,75.00) \put(65.42,80.00){\line(0,-1){5.00}} %\end %\emline(65.83,65.00)(65.83,60.00) \put(65.83,65.00){\line(0,-1){5.00}} %\end %\emline(65.42,50.00)(65.42,45.83) \put(65.42,50.00){\line(0,-1){4.17}} %\end \bezier{136}(55.00,65.00)(41.67,50.42)(55.00,45.83) %\emline(75.00,79.58)(80.00,75.00) \multiput(75.00,79.58)(0.13,-0.12){39}{\line(1,0){0.13}} %\end %\emline(75.00,69.58)(80.00,69.58) \put(75.00,69.58){\line(1,0){5.00}} %\end %\emline(90.00,65.00)(90.00,50.00) \put(90.00,65.00){\line(0,-1){15.00}} %\end %\emline(75.00,65.00)(80.00,50.00) \multiput(75.00,65.00)(0.12,-0.36){42}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\emline(75.00,50.00)(80.00,50.00) \put(75.00,50.00){\line(1,0){5.00}} %\end %\emline(100.00,65.00)(105.00,50.00) \multiput(100.00,65.00)(0.12,-0.36){42}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\emline(100.00,45.42)(105.00,45.42) \put(100.00,45.42){\line(1,0){5.00}} %\end %\emline(75.00,45.83)(80.00,49.58) \multiput(75.00,45.83)(0.16,0.12){32}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(75.00,35.00)(80.00,30.00) \multiput(75.00,35.00)(0.12,-0.12){42}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(90.00,40.00)(90.00,30.00) \put(90.00,40.00){\line(0,-1){10.00}} %\end

%\emline(125.00,40.00)(130.42,30.00) \multiput(125.00,40.00)(0.12,-0.22){46}{\line(0,-1){0.22}} %\end %\emline(115.00,40.00)(115.00,30.00) \put(115.00,40.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\emline(100.42,25.00)(105.00,25.00) \put(100.42,25.00){\line(1,0){4.58}} %\end %\emline(125.00,25.00)(130.00,25.00) \put(125.00,25.00){\line(1,0){5.00}} %\end %\emline(150.00,20.00)(155.00,15.00) \multiput(150.00,20.00)(0.12,-0.12){42}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(100.00,40.42)(105.00,30.00) \multiput(100.00,40.42)(0.12,-0.25){42}{\line(0,-1){0.25}} %\end \end{picture} \end{figure} Kdy� analyzujeme 7 rozm�rn� rovinn� simplex s $m = 7$, m�eme vyj�t z jeho 3 rozm�rn�ch podsimplex� (obr. 5.1). Vid�me, �e obsahuj� body odpov�daj�c� rozd�len�m: 7,0,0; 6,1,0; 5,2,0; 4,3,0; 5,1,1; 4,2,1; 3,3,1; 3,2,2. Body odpov�daj�c� rozd�len�m jsou spojen� s jin�mi body simplexu kru�nic�. Ve vy���ch rozm�rech kru�nice se m�n� ve sf�ry a to je d�vodem, pro� naz�v�me rozd�len� {\em orbitou}. Jin� body na ka�d� orbit� maj� pouze rozd�ln� po�ad� stejn� mno�iny koordin�t. \begin{table} \caption{Sch�ma rozd�len� (7,7)} \label{Sch�ma rozd�len� (7,7)} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|} \hline na & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6& 7 & $\Sigma$ \\ \hline m = 7 & 1& & & & & & & 1 \\ 6 & & 1 & & & & & & 1 \\ 5 & & 1 & 1 & & & & & 2 \\ 4 & & 1 & 1 & 1 & & & & 3 \\ 3 & & & 2 & 1 & 1 & & & 4 \\ 2 & & & & 1 & 1 & 1& & 3 \\ 1 & & & & & & & 1 & 1 \\ \hline $\Sigma$ & 1 & 3 & 4 & 3 & 2 & 1 & 1 & 11 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Kdy� uspo��d�me rozd�len� do tabulky (tabulka\ref{Sch�ma rozd�len� (7,7)}), klasifika�n� sloupec vol�me podle po�tu nenulov�ch ��st� rozd�len�. Jin� klasifika�n� kriterium je pot�eba pro ��dky. Budou to d�lky nejdel��ho vektoru $m_1$. Ze v�ech vektor� rozd�len� maj�c�ch stejnou rozm�rnost je nejdel�� vektor ten, co m� nejdel�� prv� vektor. Ten je p�evl�d�. Av�ak mohou existovat del�� orbity bl�e k povrchu simplexu s men��m po�tem nenulov�ch ��st�. Nap��klad vektor (4,1,1) m� stejnou d�lku jako (3,3,0), av�ak vektor (4,1,1,1,1) je krat�� ne� (3,3,2,0,0). Takov� uspo��d�n� je v tabulce 5.1. Orbity s t�emi nenulov�mi ��stmi le�� uvnit� 3 rozm�rn�ho simplexu, s dv�ma nenulov�mi ��stmi le�� na jeho hran�ch.

Orbity se �ty�mi nenulov�mi ��stmi jsou uvnit� �ty�st�n�, to je na plo�e ve �tvrt�m rozm�ru. Existuj� zde tato rozd�len�: 4,1,1,1; 3,2,1,1; 2,2,2,1. Podobn� jsou zapln�ny sloupce odpov�daj�c� vy���m rozm�r�m. ��dky sch�mat rozd�len� klasifikuj� rozd�len� podle d�lky prvn�ho nejdel��ho vektoru ${\bf e}_1$. Lze snadno uk�zat, �e v�echny vektory ve vy���ch ��dk�ch jsou del�� ne� vektory v ni���ch ��dk�ch v odpov�daj�c�m sloupci. V nejhor��m p��pad� se dan� rozd�lem \begin{equation} (x + 1)^2 + (x - 1)^2 > (2x)^2\;. \end{equation} T��rozm�rn� rovinn� simplex lze pova�ovat za useknut� 7 rozm�rn� simplex a po dopln�n� sloupc� tabulky 5.1 odpov�daj�c�mi rozd�len�mi dostaneme pr��ez 7 rozm�rnou rovinou. Anal�za nen� dokonal�, jeden prvek je tvo�en dv�ma orbity, av�ak nicm�n� sch�ma d�v� n�hled jak takov� v�cerozm�rn� prostor vypad�. Budeme tedy podrobn� studovat vlastnosti sch�mat rozd�len�. Po�et nenulov�ch vektor� v rozd�len� bude uv�d�n jako $n$, velikost prv�ho vektoru jako $m$. Nuly se nebudou zapisovat, aby se u�et�ila pr�ce. Z�vorka $(m,n)$ znamen� v�echna rozd�len� ��sla $m$ do nejv�e $n$ ��st�. Pon�vad� nap�eme rozd�len� jako vektor, povol�me jako d��ve nulov� ��sti k dopln�n� rozd�len�. \section{Konstrukce sch�mat rozd�len�} \label{Konstrukce sch�mat rozd�len�} \begin{table} \caption{Sch�ma rozd�len� m = 13} \label{Sch�ma rozd�len� m = 13} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|rrrrrrr|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11& 12 & 13 \\ \hline m=13& 1 & & & & & & & & & & & & \\ 12 & & 1& & & & & & & & & & & \\ 11 & & 1& 1 & & & & & & & & & & \\ 10 & & 1 & 1 & 1 & & & & & & & & & \\ 9 & & 1 & 2 & 1 & 1 & & & & & & & & \\ 8 & & 1 & 2 & 2 & 1 & 1 & & & & & & & \\ 7 & & 1 & 3 & 3 & 2 & 1 & 1 & & & & & & \\ \hline 6 & & & 3 & 5 & 2 & 2 & 1 & 1 & & & & & \\ 5 & & & 2 & * & 5 & 5 & 2 & 1 & 1 & & & & \\ 4 & & & & * & 2 & 3 & 3 & 2 & 1 & 1 & & & \\ 3 & & & & & * & * & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & & \\ 2 & & & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\ 1 & & & & & & & & & & & & & 1 \\ \hline $\Sigma$ & 1 & 6 & 14 & 18 & 18 & 14 & 11 & 7 & 5 & 3& 2 & 1 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Sch�ma rozd�len� se rozd�l� do �ty� blok�. Diagon�ln� bloky se opakuj� tabulku 4.1

(lev� horn� blok), prav� doln� blok je naps�n v transponovan� form� pro $n > m/2$. Lich� a sud� sch�mata se chovaj� pon�kud odli�n�, jak lze vid�t na tabulk�ch 5.2 a 5.3 \begin{table} \caption{Sch�ma rozd�len� m = 14} \label{Sch�ma rozd�len� m = 14} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|rrrrrrrr|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11& 12 & 13& 14 \\ \hline m=14& 1 & & & & & & & & & & & & & \\ 13 & & 1 & & & & & & & & & & & & \\ 12 & & 1 & 1 & & & & & & & & & & & \\ 11 & & 1 & 1 & 1 & & & & & & & & & & \\ 10 & & 1 & 2 & 1 & 1 & & & & & & & & & \\ 9 & & 1 & 2 & 2 & 1 & 1 & & & & & & & & \\ 8 & & 1 & 3 & 3 & 2 & 1& 1 & & & & & & & \\ 7 & & 1 & 3 & 4 & 3 & 2 & 1 & 1 & & & & & & \\ \hline 6 & & & * & * & * & * & 2 & 1 & 1 & & & & & \\ 5 & & & 2 & * & * & * & 3 & 2 & 1 & 1 & & & & \\ 4 & & & & 3 & * & * & 4 & 3 & 2 & 1 & 1& & & \\ 3 & & & & & 2 & * & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & & \\ 2 & & & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\ 1 & & & & & & & & & & & & && 1 \\ \hline $\Sigma$ & 1 & 7& 16 & 23 & 23 & 20 & 15 & 11 & 7 & 5 & 3 &2 & 1 & 1\\ \hline \end{tabular} \end{table} V lev�m doln�m bloku nenulov� prvky ozna�en� hv�zdi�kou * mohou b�t um�st�ny pouze nad ��dkou, kter� d�v� dostate�n� velk� sou�in $mn$ pro um�st�n� v�ech jednotek do odpov�daj�c�ch Ferrersov�ch graf� a jejich sou�ty mus� souhlasit nejen s ��dkov�mi a sloupcov�mi sou�ty ale tak� s diagon�ln�mi sou�ty, jak uk�eme n�e. To lze vyu��t pro v�po�ty jejich po�tu spole�n� s pravidly pro omezen� rozd�len�. P��klady ukazuj� t�� d�le�it� vlastnosti sch�mat rozd�len�: \begin{itemize} \item Sch�mata rozd�len� jsou symetrick� podle sv�ch transverz�l, z p���iny konjugovan�ch rozd�len� z�skan�ch transponov�n�m Ferrersov�ch graf�. \item Horn� lev� �tvrtina (transponovan� doln� prav� �tvrtina) obsahuj� prvky tabulky 4.1 rozd�len� do p�esn� $n$ ��st� posunut� o jeden sloupec nahoru. \item Sch�mata maj� formu matice v doln� diagon�ln� form� s jednotkovou diagon�lou. Proto maj� inverze. Je snadn� je nal�zt, nap��klad pro $n=7$ (tabulka \ref{Sch�ma rozd�len� (7,7) a jeho inverze}). \end{itemize} Rozd�len� v ��dc�ch mus� b�t vyv�ena jin�mi s prvky inverzn�ch sloupc�. T�et� sloupec zahrnuje nebo vyd�luje 331 a 322 s 3211 a $31^4$; $2^31$ a $2^21^3$ s $2\times 21^5$. \begin{table} \caption{Sch�ma rozd�len� (7,7) a jeho inverze} \label{Sch�ma rozd�len� (7,7) a jeho inverze} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|crrrrrrr|}

\hline na & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 &\qquad &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline m = 7 & 1 & & & & & & & & 1 & & & & & & \\ 6 & & 1 & & & & & & & & 1 & & & & & \\ 5 & & 1 & 1 & & & & & & & 0 & 1 & & & & \\ 4 & & 1 & 1 & 1 & & & & & & 0 & -1 & 1 & & & \\ 3 & & & 2 & 1 & 1 & & & & & 2 & -1 & -1 & 1 & & \\ 2 & & & & 1 & 1 & 1 & & & & -2 & 2 & 0 & -1& 1 & \\ 1 & & & & & & & 1 & & & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} \section{M��ky orbit} \label{M��ky orbity} Orbita rozd�len� je koule, jej� polom�r $r$ je ur�en Euklidovskou d�lkou odpov�daj�c�ho vektoru: $r = (\sum p^2_j)$. Polom�ry n�kter�ch orbit rozd�len� jsou toto�n�, nap��klad $r(3,3,0)^2 = r(4,1,1)^2 = (18)$. Je tedy nemo�n� ur�it vzd�lenosti mezi orbitami s pou�it�m t�chto polom�r� (Euklidovsk�ch vzd�lenost�), pon�vad� vzd�lenost mezi dv�ma rozd�ln�mi orbitami nemohou b�t nulov�. Uk�zali jsme v ��sti 4.4, �e jedna orbita se m�e z�skat z jin� posunut�m pr�v� dvou vektor�, jednoho nahoru a druh�ho dol�, na ��seln� stupnici. M�eme si p�edstavit, �e oba vektory se sraz� a vym�n� si sv� hodnoty jako si dv� ��stice ide�ln�ho plynu vym�n� sv� energie. Pokud omez�me v�sledek takov� v�m�ny na 1 jednotku, m�eme pova�ovat takov� dv� orbity za orbity nejbli���ho sousedstv�. Vzd�lenost mezi t�mto p�rem je $\sqrt{2}$. Spoj�me je v sch�matu ��rou. N�kter� orbity jsou tak spojen� s mnoha sousedn�mi orbity, jin� maj� pr�v� jednoho souseda, srovnej s obr. 5.1. Orbity (3,3,0) a (4,1,1) nejsou nejbli���mi sousedy, proto�e se mus� transformovat v dvou kroc�ch: $$(3,3,0) \leftrightarrow ((3,2,1) \leftrightarrow (4,1,1)$$ nebo $$(3,3,0) \leftrightarrow (4,2,0) \leftrightarrow (4,1,1)\;.$$ Sch�mata rozd�len� nejsou obecn� vhodn� pro konstrukci m��ky orbit, proto�e p�i $m=n > 7$ se objevuje v�ce orbit na n�kter�ch m�stech tabulky. Je nutn� konstruovat alespo� 3 rozm�rn�m m��ky, aby se uk�zala v�echna existuj�c� spojen�. Nap��klad: $$\begin{array}{ccccc} (5,2,1) & \leftrightarrow & (4,3,1) & \leftrightarrow & (3,3,2) \\ & \searrow \nwarrow & \updownarrow & \swarrow \nearrow & \\ & & (4,2,2) & & \end{array}$$ N�kdy se d�v� p��sn�j�� podm�nka na procesy vedouc� k v�m�n�m, , �e toti� ka�d� sr�ka mus� m�nit po�et pr�zdn�ch ��st�, jako kdyby to byly informa�n� soubory, kter� mohou b�t pouze spojen� do jednoho souboru nebo jeden soubor rozd�len do dvou nebo v�ce soubor�, nebo jako kdyby byla ��st souboru p�evedena do pr�zdn�ho souboru. Zde je tak� nejbli��� soused omezen na spojen� pr�v� dvou soubor� nebo na rozd�len� souboru do dvou (obr.\ref{M��ka rozd�len� soubor�}). V tomto p��pad� cesta mezi dv�ma orbity mus� b�t del��, nap��klad: $$(3,3,0) \leftrightarrow (6,0,0) \leftrightarrow (4,2,0) \leftrightarrow (4,1,1)$$

nebo $$(3,3,0) \leftrightarrow(3,2,1) \leftrightarrow(5,1,0) \leftrightarrow(4,1,1)\;.$$ \begin{figure} \caption{M��ka rozd�len� soubor�. Soubor se m�e rozd�lit do dvou nov�ch nebo dva soubory se mohou spojit do jednoho} \label{M��ka rozd�len� soubor�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(160.00,130.00) \put(10.00,60.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{7}} \put(30.00,60.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{52}} \put(30.00,80.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{61}} \put(30.00,40.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{43}} \put(55.00,99.67){\framebox(15.00,10.33)[cc]{511}} \put(55.00,70.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{421}} \put(55.00,50.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{331}} \put(55.00,20.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{322}} \put(80.00,85.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{4111}} \put(80.00,60.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{3211}} \put(80.00,35.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{3211}} \put(105.67,50.00){\framebox(14.33,10.00)[cc]{$2^21^3$}} \put(125.33,60.00){\framebox(14.67,10.00)[cc]{$21^5$}} \put(130.00,40.00){\framebox(14.33,10.00)[cc]{$1^7$}} %\emline(20.00,70.00)(30.00,80.00) \multiput(20.00,70.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(20.00,70.00)(30.00,70.00) \put(20.00,70.00){\line(1,0){10.00}} %\end %\emline(20.00,60.00)(30.00,50.00) \multiput(20.00,60.00)(0.12,-0.12){84}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(45.00,90.00)(55.00,99.67) \multiput(45.00,90.00)(0.12,0.12){81}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(70.00,99.67)(80.00,95.00) \multiput(70.00,99.67)(0.26,-0.12){39}{\line(1,0){0.26}} %\end %\emline(55.00,99.67)(45.00,70.00) \multiput(55.00,99.67)(-0.12,-0.35){84}{\line(0,-1){0.35}} %\end %\emline(45.00,80.00)(55.00,60.00) \multiput(45.00,80.00)(0.12,-0.24){84}{\line(0,-1){0.24}} %\end %\emline(45.00,60.00)(55.00,30.00) \multiput(45.00,60.00)(0.12,-0.36){84}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\emline(45.00,50.00)(55.00,50.00) \put(45.00,50.00){\line(1,0){10.00}} %\end %\emline(45.00,50.00)(55.00,70.00) \multiput(45.00,50.00)(0.12,0.24){84}{\line(0,1){0.24}} %\end %\emline(45.00,70.00)(55.00,70.00) \put(45.00,70.00){\line(1,0){10.00}}

%\end %\emline(45.00,40.00)(55.00,30.00) \multiput(45.00,40.00)(0.12,-0.12){84}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(70.00,99.67)(80.00,70.00) \multiput(70.00,99.67)(0.12,-0.35){84}{\line(0,-1){0.35}} %\end %\emline(70.00,80.00)(80.00,85.00) \multiput(70.00,80.00)(0.24,0.12){42}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(70.00,70.00)(80.00,45.00) \multiput(70.00,70.00)(0.12,-0.30){84}{\line(0,-1){0.30}} %\end %\emline(70.00,60.00)(80.00,60.00) \put(70.00,60.00){\line(1,0){10.00}} %\end %\emline(70.00,50.00)(80.00,45.00) \multiput(70.00,50.00)(0.24,-0.12){42}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(80.00,60.00)(70.00,30.00) \multiput(80.00,60.00)(-0.12,-0.36){84}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\emline(70.00,30.00)(80.00,35.00) \multiput(70.00,30.00)(0.24,0.12){42}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(100.00,85.00)(105.33,85.00) \put(100.00,85.00){\line(1,0){5.33}} %\end %\emline(100.00,85.00)(105.67,60.00) \multiput(100.00,85.00)(0.12,-0.52){48}{\line(0,-1){0.52}} %\end %\emline(100.00,70.00)(105.33,75.00) \multiput(100.00,70.00)(0.13,0.12){42}{\line(1,0){0.13}} %\end %\emline(100.00,60.00)(105.67,60.00) \put(100.00,60.00){\line(1,0){5.67}} %\end %\emline(100.00,45.00)(105.67,50.00) \multiput(100.00,45.00)(0.14,0.12){42}{\line(1,0){0.14}} %\end %\emline(120.00,60.00)(125.33,60.00) \put(120.00,60.00){\line(1,0){5.33}} %\end %\emline(125.33,60.00)(130.00,50.00) \multiput(125.33,60.00)(0.12,-0.26){39}{\line(0,-1){0.26}} %\end %\emline(45.00,80.00)(55.00,80.00) \put(45.00,80.00){\line(1,0){10.00}} %\end %\emline(70.00,70.00)(80.00,70.00) \put(70.00,70.00){\line(1,0){10.00}} %\end \put(105.67,74.67){\framebox(14.33,10.33)[cc]{$31^4$}} %\emline(120.00,74.67)(125.33,70.00) \multiput(120.00,74.67)(0.14,-0.12){39}{\line(1,0){0.14}} %\end \end{picture} \end{figure}

V m��ce je mo�n� po��tat po�et nejbli���ch soused�. Pokud studujeme po�et soused� o jednu jednotku nebo spojuj�c� hrany mezi sloupci sch�mat rozd�len�, dostaneme zaj�mavou tabulku \ref{Right Hand Jedena-jednotkov� Neighbors Rozd�len� Orbity}. \begin{table} // \caption{Pravostrann� soused� o jednu jednotku v orbit�ch rozd�len�} \label{Right Hand Jedena-jednotkov� Neighbors Rozd�len� Orbity} // \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=2 & 1 & & & & & & 1 \\ 3 & 1 & 1 & & & & & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 1 & & & & 4 \\ 5 & 1 & 3 & 2 & 1 & & & 7 \\ 6& 1 & 4 & 4 & 2 & 1 & & 12 \\ 7 & 1 & 5 & 6 & 4 & 2 & 1& 19 \\ \hline D(7-6) & 0 & 1 & 2 & 2 & 1& 1 & 7\\ \hline \end{tabular} \end{table} Po�et pravostrann�ch soused� je sou�tem dvou �len�. Pravostrann� diagon�ln� soused� existuj� pro v�echna $p(m,n-1)$. P�id�me 1 ke v�em t�mto rozd�len�m a sn��me nejv�t�� ��st. Neur�en� zb�vaj� pravostrann� soused� v ��dc�ch. Jejich po�et je rovn� po�tu rozd�len� $p(m-2)$. Ke ka�d�mu rozd�len� $p(m-2, n-1)$ se p�i��taj� dv� jednotky, jedna v n t�m sloupci, druh� v (n-1)-t�m sloupci. \begin{figure} \caption{M��ky sousedstv� mezi rovinn�mi simplexy} \label{M��ky sousedstv� mezi rovinn�mi simplexy} \linethickness{0.5pt} \begin{picture}(170.00,130.00) \put(10.00,110.00){\framebox(10.00,9.33)[cc]{0}} \put(10.00,90.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(10.00,70.00){\framebox(10.00,10.33)[cc]{2}} \put(30.00,70.00){\framebox(10.00,10.33)[cc]{1,1}} \put(10.00,50.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{3}} \put(29.67,50.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{2,1}} \put(65.33,50.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{1,1,1}} \put(9.67,30.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{4}} \put(29.67,30.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{3,1}} \put(45.00,25.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2,2}} \put(65.33,30.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{2,1,1}} \put(110.33,30.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{$1^4$}} \put(9.67,10.00){\framebox(10.33,10.00)[cc]{5}} \put(30.00,10.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{4,1}} \put(45.33,5.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{3,2}} \put(65.33,10.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{3,1,1}} \put(85.00,5.00){\framebox(15.33,10.00)[cc]{2,2,1}} \put(110.00,10.00){\framebox(15.33,10.00)[cc]{$2,1^3$}} \put(135.67,10.00){\framebox(14.33,10.00)[cc]{$1^5$}} %\vector(10.00,110.00)(10.00,100.00) \put(10.00,100.00){\vector(0,-1){0.2}}

\put(10.00,110.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\vector(10.00,90.00)(10.00,80.33) \put(10.00,80.33){\vector(0,-1){0.2}} \put(10.00,90.00){\line(0,-1){9.67}} %\end %\vector(10.00,70.00)(10.00,60.00) \put(10.00,60.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(10.00,70.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\vector(10.00,50.00)(9.67,40.00) \put(9.67,40.00){\vector(0,-1){0.2}} \multiput(10.00,50.00)(-0.11,-3.33){3}{\line(0,-1){3.33}} %\end %\vector(9.67,30.00)(9.67,20.00) \put(9.67,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(9.67,30.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\vector(20.00,90.00)(30.00,80.33) \put(30.00,80.33){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(20.00,90.00)(0.12,-0.12){81}{\line(1,0){0.12}} %\end %\vector(40.00,70.00)(65.33,60.00) \put(65.33,60.00){\vector(3,-1){0.2}} \multiput(40.00,70.00)(0.30,-0.12){84}{\line(1,0){0.30}} %\end %\vector(80.33,50.00)(110.33,40.00) \put(110.33,40.00){\vector(3,-1){0.2}} \multiput(80.33,50.00)(0.36,-0.12){84}{\line(1,0){0.36}} %\end %\vector(125.33,30.00)(135.67,20.00) \put(135.67,20.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(125.33,30.00)(0.12,-0.12){84}{\line(1,0){0.12}} %\end %\vector(20.00,70.00)(29.67,60.00) \put(29.67,60.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(20.00,70.00)(0.12,-0.12){81}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(30.00,70.00)(29.67,60.00) \put(29.67,60.00){\vector(0,-1){0.2}} \multiput(30.00,70.00)(-0.11,-3.33){3}{\line(0,-1){3.33}} %\end %\vector(20.00,50.00)(29.67,40.00) \put(29.67,40.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(20.00,50.00)(0.12,-0.12){81}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(20.00,30.00)(30.00,20.00) \put(30.00,20.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(20.00,30.00)(0.12,-0.12){84}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(29.67,50.00)(29.67,40.00) \put(29.67,40.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(29.67,50.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\vector(40.00,50.00)(65.33,40.00) \put(65.33,40.00){\vector(3,-1){0.2}} \multiput(40.00,50.00)(0.30,-0.12){84}{\line(1,0){0.30}} %\end

%\emline(40.00,50.00)(45.00,35.00) \multiput(40.00,50.00)(0.12,-0.36){42}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\vector(65.33,50.00)(65.33,40.00) \put(65.33,40.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(65.33,50.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\vector(29.67,29.67)(30.00,20.00) \put(30.00,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \multiput(29.67,29.67)(0.11,-3.22){3}{\line(0,-1){3.22}} %\end %\vector(40.00,30.00)(45.33,15.00) \put(45.33,15.00){\vector(1,-3){0.2}} \multiput(40.00,30.00)(0.12,-0.33){45}{\line(0,-1){0.33}} %\end %\vector(45.00,25.00)(45.33,15.00) \put(45.33,15.00){\vector(0,-1){0.2}} \multiput(45.00,25.00)(0.11,-3.33){3}{\line(0,-1){3.33}} %\end %\vector(110.33,30.00)(110.00,20.00) \put(110.00,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \multiput(110.33,30.00)(-0.11,-3.33){3}{\line(0,-1){3.33}} %\end %\vector(80.33,30.00)(109.67,20.00) \put(109.67,20.00){\vector(3,-1){0.2}} \multiput(80.33,30.00)(0.35,-0.12){84}{\line(1,0){0.35}} %\end %\vector(80.33,29.67)(85.33,15.00) \put(85.33,15.00){\vector(1,-3){0.2}} \multiput(80.33,29.67)(0.12,-0.35){42}{\line(0,-1){0.35}} %\end %\vector(65.33,30.00)(65.33,20.00) \put(65.33,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(65.33,30.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\bezier{180}(40.00,30.00)(36.00,15.67)(65.33,20.00) \put(65.33,20.00){\vector(1,0){0.2}} \bezier{180}(40.00,30.00)(36.00,15.67)(65.33,20.00) %\end %\bezier{168}(55.00,25.00)(82.00,29.33)(85.00,15.00) \put(85.00,15.00){\vector(1,-3){0.2}} \bezier{168}(55.00,25.00)(82.00,29.33)(85.00,15.00) %\end \put(5.00,104.67){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(4.67,85.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(4.67,65.33){\makebox(0,0)[cc]{4}} \put(4.67,45.00){\makebox(0,0)[cc]{7}} \put(4.33,25.00){\makebox(0,0)[cc]{12}} \end{picture} \end{figure} Po�et pravostrann�ch soused� $P(n)$ je sou�tem po�tu neomezen�ch rozd�len� \begin{equation} P(n) = \sum_{k=0}^{n-2}\;p(k)\;. \end{equation} Abychom nalezli v�echny sousedy, mus�me p�idat sousedy uvnit� sloupc�. Po�et prvk�

ve sloupc�ch je po�et rozd�len� do p�esn� $n$ ��st� $p(m,n)$, rozd�l v ka�d�m sloupci se mus� sn�it o 1, av�ak existuj� dal�� spojen�, viz obr. 5.2. Tato spojen� se mus� se��tat odd�len�. V�sledn� ��sla jsou u� zn�m�. Konstrukce sch�mat rozd�len� d�v� v�sledek, kter� je zn�m jako tabulka 4.1 �ten� od diagon�ly do leva. Jin� interpretace pravostrann�ch soused� v rozd�len� o jednu jednotku je rovinn� komplex jako na obr.\ref{M��ky sousedstv� mezi rovinn�mi simplexy}. Vektory spojuj� nejbli��� sousedy ve vrstv�ch. \section{Diagon�ln� diference v m��k�ch} \label{Diagon�ln� diference v m��k�ch} V m��k�ch m�eme po��tat orbity na vedlej��ch diagon�l�ch jdouc�ch postupn� paraleln� k hlavn� diagon�le. Po��taj� orbity maj�c� tvar $[n - k]^k$. Jejich Ferrersovy grafy maj� formu L $$\begin{array}{cccc} x & x & x & x \\ x & & & \\ x & & & \\ x & & & \end{array}$$ Prvky vedlej��ch diagon�l po��taj� rozd�len�, kter� maj� v t�to vrstv� men�� po�et jednotek, jin� jsou uvnit� t�to z�kladny. Odpov�daj�c� tabulka je 5.5. \begin{table} \caption{Diagon�ln� rozd�ly rozd�len�} \label{Diagon�ln� rozd�ly rozd�len�} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrr|r|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & $\Sigma$ \\ \hline n= 1 & 1 & & & & & & & & & 1 \\ 2 & 2 & & & & & & & & & 2 \\ 3 & 3 & & & & & & & & & 3 \\ 4 & 4 & 1 & & & & & & & & 5 \\ 5 & 5 & 2 & & & & & & & & 7 \\ 6 & 6 & 3 & 2 & & & & & & & 11 \\ 7 & 7 & 4 & 4 & & & & & & & 15 \\ 8 & 8 & 5 & 6 & 3 & & & & & & 22 \\ 9 & 9 & 6 & 8 & 6 & 1 & & & & & 30 \\ 10 & 10 & 7 & 10 & 9 & 6 & & & & & 42 \\ 11 & 11 & 8 & 12 & 12 & 11 & 2 & & & & 56 \\ 12 & 12 & 9 & 14 & 15 & 16 & 9 & 2 & & & 77 \\ 13 & 13 & 10 & 16 & 18 & 21 & 16 & 7 & & & 101 \\ 14 & 14 & 11 & 18& 21& 26 & 23 & 18 & 4 & & 135 \\ 15& 15 & 12& 20& 24& 31 & 30 & 29 & 12 & 3 & 176 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Po��te�n� hodnoty $k$ sloupce maj� tyto analytick� tvary: \begin{itemize}

\item 1n po��t� prvky v n sloupc�ch (��dc�ch) maj�c� tvar $(n - k)1^k$, $k = 0$ -$(n -1)$; \item 1(n-3) po��t� prvky v (n - 2) sloupc�ch (��dc�ch) z�skan� ze z�kladn�ho rozd�len� 2,2 p�i�ten�m jednotek v prv� ��dce a sloupci; \item 2(n-5) po��t� prvky v (n - 2) sloupc�ch (��dc�ch) z�skan� ze z�kladn�ch rozd�len� 3,3 a 2,2,2 p�i�ten�m jednotek v prv� ��dce a sloupci; \item 3(n-7) po��t� prvky v (n - 2) sloupc�ch (��dc�ch) z�skan� ze z�kladn�ho rozd�len� 4,4; 3,3,2 a 2,2,2,2 p�i�ten�m jednotek v prv� ��dce a sloupci; \item 5(n-9) + 1. Na t�to �rovni se objevuje rozd�len� 3,3,3, kde prvky za��naj� obsazovat t�et� L vrstvu; \item 7(n-11) + 2. \end{itemize} Hodnoty v z�vork�ch jsou ��sla pro rozd�len�, kter� le�� uvnit� L r�me�ku maj�c�ho $(2k-1)$ jednotek. Ve vy���ch diagon�ln�ch vrstv�ch se objevuj� tyto mo�nosti p�idat nov� prvky pozd�ji. Rozd�len� 4, 4, 4 a 3, 3, 3, 3, pro $n=12$, se po��taj� v sedm� vrstv�. Pro $n=13$, vrstva po��t� sedm rozd�len�: $$\begin{array}{ccccc} 5,5,3; & & \\ 5,4,4; & & \\ & 4,4,4,1; & \\ & 4,4,3,2; & \\ & 4,3,3,3; & \\ & & 3,3,3,3,1; \\ & & 3,3,3,2,1. \end{array}$$ \section{Zobecn�n� m��ky} \label{Zobecn�n� m��ky} \begin{figure} \caption{Nejbli��� soused� v 00111 m��ce} \label{Nejbli��� soused� v 00111 m��ce} \linethickness{0.5pt} \begin{picture}(140.00,160.00) \put(70.00,129.67){\circle{4.00}} \put(70.00,99.00){\circle{4.00}} \put(13.67,90.00){\circle{4.00}} \put(125.67,89.67){\circle{4.00}} \put(42.33,79.67){\circle{4.00}} \put(97.67,79.67){\circle{4.00}} \put(53.67,46.00){\circle{4.00}} \put(87.00,45.67){\circle{4.00}} \put(104.67,22.67){\circle{4.00}} \put(35.00,22.33){\circle{4.00}} \put(70.00,140.00){\makebox(0,0)[cc]{10001}} \put(87.00,109.33){\makebox(0,0)[lc]{01010}} \put(18.67,98.33){\makebox(0,0)[lc]{01100}} \put(118.33,97.67){\makebox(0,0)[rc]{00110}} \put(25.67,68.33){\makebox(0,0)[cc]{10010}} \put(117.00,68.33){\makebox(0,0)[lc]{01001}} \put(32.33,46.00){\makebox(0,0)[rc]{10100}} \put(108.67,46.00){\makebox(0,0)[lc]{00101}} \put(35.00,10.00){\makebox(0,0)[lc]{00011}} \put(105.00,10.00){\makebox(0,0)[rc]{11000}} %\emline(70.33,129.33)(42.33,79.67) \multiput(70.33,129.33)(-0.12,-0.21){234}{\line(0,-1){0.21}}

%\end %\emline(70.33,129.00)(98.00,79.67) \multiput(70.33,129.00)(0.12,-0.21){231}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(70.33,128.67)(53.67,45.67) \multiput(70.33,128.67)(-0.12,-0.60){139}{\line(0,-1){0.60}} %\end %\emline(70.00,128.33)(87.33,46.00) \multiput(70.00,128.33)(0.12,-0.57){145}{\line(0,-1){0.57}} %\end %\emline(70.00,129.33)(35.33,22.33) \multiput(70.00,129.33)(-0.12,-0.37){289}{\line(0,-1){0.37}} %\end %\emline(70.00,129.33)(105.00,23.00) \multiput(70.00,129.33)(0.12,-0.36){292}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\emline(105.00,23.00)(105.00,22.67) \put(105.00,23.00){\line(0,-1){0.33}} %\end %\emline(14.00,90.00)(70.00,99.00) \multiput(14.00,90.00)(0.74,0.12){76}{\line(1,0){0.74}} %\end %\emline(13.33,90.33)(53.67,46.33) \multiput(13.33,90.33)(0.12,-0.13){337}{\line(0,-1){0.13}} %\end %\emline(14.00,89.67)(87.33,45.67) \multiput(14.00,89.67)(0.20,-0.12){367}{\line(1,0){0.20}} %\end %\emline(14.00,90.00)(98.00,79.67) \multiput(14.00,90.00)(0.97,-0.12){87}{\line(1,0){0.97}} %\end %\emline(13.67,90.00)(125.67,90.00) \put(13.67,90.00){\line(1,0){112.00}} %\end %\emline(13.67,89.67)(105.00,22.67) \multiput(13.67,89.67)(0.16,-0.12){559}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(35.00,22.67)(42.67,80.00) \multiput(35.00,22.67)(0.12,0.90){64}{\line(0,1){0.90}} %\end %\emline(35.00,23.00)(70.00,99.00) \multiput(35.00,23.00)(0.12,0.26){292}{\line(0,1){0.26}} %\end %\emline(34.67,22.67)(98.33,79.33) \multiput(34.67,22.67)(0.13,0.12){473}{\line(1,0){0.13}} %\end %\emline(35.67,23.00)(87.67,45.67) \multiput(35.67,23.00)(0.28,0.12){189}{\line(1,0){0.28}} %\end %\emline(35.33,22.67)(126.33,90.00) \multiput(35.33,22.67)(0.16,0.12){562}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(53.67,46.00)(105.00,22.33) \multiput(53.67,46.00)(0.26,-0.12){198}{\line(1,0){0.26}} %\end %\emline(43.00,79.67)(104.67,23.00) \multiput(43.00,79.67)(0.13,-0.12){473}{\line(1,0){0.13}} %\end

%\emline(70.00,99.00)(105.00,23.00) \multiput(70.00,99.00)(0.12,-0.26){292}{\line(0,-1){0.26}} %\end %\emline(98.00,79.33)(105.67,22.67) \multiput(98.00,79.33)(0.12,-0.89){64}{\line(0,-1){0.89}} %\end %\emline(126.00,90.00)(87.33,45.33) \multiput(126.00,90.00)(-0.12,-0.14){323}{\line(0,-1){0.14}} %\end %\emline(126.00,90.00)(53.67,46.33) \multiput(126.00,90.00)(-0.20,-0.12){364}{\line(-1,0){0.20}} %\end %\emline(125.33,89.67)(43.00,80.00) \multiput(125.33,89.67)(-1.02,-0.12){81}{\line(-1,0){1.02}} %\end %\emline(125.33,90.00)(70.00,99.00) \multiput(125.33,90.00)(-0.73,0.12){76}{\line(-1,0){0.73}} %\end %\emline(70.00,99.00)(42.67,80.33) \multiput(70.00,99.00)(-0.18,-0.12){156}{\line(-1,0){0.18}} %\end %\emline(42.67,80.33)(54.00,46.33) \multiput(42.67,80.33)(0.12,-0.36){95}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\emline(54.00,46.33)(87.33,46.33) \put(54.00,46.33){\line(1,0){33.33}} %\end %\emline(87.33,46.33)(98.00,79.33) \multiput(87.33,46.33)(0.12,0.37){89}{\line(0,1){0.37}} %\end %\emline(98.00,79.33)(70.00,99.00) \multiput(98.00,79.33)(-0.17,0.12){164}{\line(-1,0){0.17}} %\end %\emline(70.00,99.33)(89.33,105.00) \multiput(70.00,99.33)(0.40,0.12){48}{\line(1,0){0.40}} %\end \end{picture} \end{figure} Pojem m��ky se bude pou��vat tak� pro mo�n� transformace bod� maj�c�ch zvl�tn� vlastnosti mezi nimi samotn�mi, nap��klad mezi v�emi 10 permutacemi p�tice slo�en� ze 3 symbol� jednoho druhu a 2 symbol� jin�ho druhu. Kdy� se soused� li�� pouze o jeden vym�n� si polohy pouze jak�koliv p�r dvou druh� symbol�, dostaneme m��ku jako na obr. \ref{Nejbli��� soused� v 00111 m��ce}. Ka�d� ze t�� jednotkov�ch symbol� m� dv� mo�nosti, jak zam�nit 0 za 1. Uspo��dejte jako jednoduch� troj�heln�k. Sou�asn� v�m�na dvou p�r� (nebo dv� n�sledn� v�m�ny jednoho p�ru d�vaj� vzor jako na obr. \ref{Petersen�v graf}, zn�m� jako Petersen�v graf. \begin{figure} \caption{Petersen�v graf. Soused�c� vrcholy jsou ve vzd�lenosti 4} \label{Petersen�v graf} \linethickness{0.5pt} \begin{picture}(140.00,160.00) %\emline(70.00,130.00)(70.00,99.67) \put(70.00,130.00){\line(0,-1){30.33}} %\end %\emline(70.00,130.00)(14.00,90.00) \multiput(70.00,130.00)(-0.17,-0.12){334}{\line(-1,0){0.17}}

%\end %\emline(14.00,90.00)(35.00,22.33) \multiput(14.00,90.00)(0.12,-0.38){176}{\line(0,-1){0.38}} %\end %\emline(35.00,22.33)(104.67,22.33) \put(35.00,22.33){\line(1,0){69.67}} %\end %\emline(104.67,22.33)(126.00,90.00) \multiput(104.67,22.33)(0.12,0.38){178}{\line(0,1){0.38}} %\end %\emline(126.00,90.00)(70.00,130.00) \multiput(126.00,90.00)(-0.17,0.12){334}{\line(-1,0){0.17}} %\end %\emline(104.67,22.33)(87.00,45.33) \multiput(104.67,22.33)(-0.12,0.16){148}{\line(0,1){0.16}} %\end %\emline(87.00,45.33)(70.33,100.00) \multiput(87.00,45.33)(-0.12,0.39){139}{\line(0,1){0.39}} %\end %\emline(70.33,100.00)(53.33,45.67) \multiput(70.33,100.00)(-0.12,-0.38){142}{\line(0,-1){0.38}} %\end %\emline(53.33,45.67)(35.00,22.33) \multiput(53.33,45.67)(-0.12,-0.15){153}{\line(0,-1){0.15}} %\end %\emline(14.00,90.33)(42.00,80.00) \multiput(14.00,90.33)(0.32,-0.12){87}{\line(1,0){0.32}} %\end %\emline(42.00,80.00)(87.33,45.33) \multiput(42.00,80.00)(0.16,-0.12){289}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(42.00,79.67)(98.00,79.67) \put(42.00,79.67){\line(1,0){56.00}} %\end %\emline(98.00,79.67)(126.33,90.00) \multiput(98.00,79.67)(0.33,0.12){87}{\line(1,0){0.33}} %\end %\emline(98.00,79.67)(53.00,45.67) \multiput(98.00,79.67)(-0.16,-0.12){284}{\line(-1,0){0.16}} %\end \put(70.00,129.67){\circle{4.00}} \put(70.00,99.00){\circle{4.00}} \put(13.67,90.00){\circle{4.00}} \put(125.67,89.67){\circle{4.00}} \put(42.33,79.67){\circle{4.00}} \put(97.67,79.67){\circle{4.00}} \put(53.67,46.00){\circle{4.00}} \put(87.00,45.67){\circle{4.00}} \put(104.67,22.67){\circle{4.00}} \put(35.00,22.33){\circle{4.00}} \put(70.00,140.00){\makebox(0,0)[cc]{10001}} \put(75.00,105.00){\makebox(0,0)[lc]{01010}} \put(25.00,91.00){\makebox(0,0)[lc]{01100}} \put(115.00,91.00){\makebox(0,0)[rc]{00110}} \put(30.00,70.33){\makebox(0,0)[cc]{10010}} \put(100.00,70.33){\makebox(0,0)[lc]{01001}} \put(32.33,46.00){\makebox(0,0)[lc]{10100}} \put(108.67,46.00){\makebox(0,0)[rc]{00101}}

\put(35.00,10.00){\makebox(0,0)[lc]{00011}} \put(105.00,10.00){\makebox(0,0)[rc]{11000}} \end{picture} \end{figure} \begin{figure} \caption{M��ka t��rozm�rn� jednotkov� krychle} \label{M��ka t��rozm�rn� jednotkov� krychle} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(110.00,100.00) \put(40.33,70.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{000}} \put(40.33,50.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{010}} \put(10.33,50.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{001}} \put(70.33,50.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{100}} \put(10.33,30.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{011}} \put(40.33,30.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{110}} \put(70.33,30.00){\framebox(20.00,10.00)[cc]{101}} \put(40.33,9.67){\framebox(20.00,10.33)[cc]{111}} %\emline(30.33,60.00)(40.33,70.00) \multiput(30.33,60.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(50.00,70.00)(50.00,60.00) \put(50.00,70.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\emline(60.33,70.00)(70.33,60.00) \multiput(60.33,70.00)(0.12,-0.12){84}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(10.33,50.00)(10.33,40.00) \put(10.33,50.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\emline(30.33,30.00)(40.33,20.00) \multiput(30.33,30.00)(0.12,-0.12){84}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(50.00,50.00)(50.00,40.00) \put(50.00,50.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\emline(50.00,30.00)(50.00,20.00) \put(50.00,30.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\emline(70.33,30.00)(60.33,20.00) \multiput(70.33,30.00)(-0.12,-0.12){84}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(90.33,50.00)(90.33,40.00) \put(90.33,50.00){\line(0,-1){10.00}} %\end %\emline(40.33,50.00)(30.33,40.00) \multiput(40.33,50.00)(-0.12,-0.12){84}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(30.33,50.00)(70.33,40.00) \multiput(30.33,50.00)(0.48,-0.12){84}{\line(1,0){0.48}} %\end %\emline(70.33,50.00)(60.33,40.00) \multiput(70.33,50.00)(-0.12,-0.12){84}{\line(-1,0){0.12}} %\end \end{picture} \end{figure} M��ky se tvo�� vrcholy n rozm�rn� krychle. Nejbli��� vrcholy se li�� pouze o jednu

koordin�tu. M��ka 3 rozm�rn� krychle je na obr. \ref{M��ka t��rozm�rn� jednotkov� krychle}. Porovnej linie grafu s re�lnou 3 rozm�rnou krychl� a pokuste si p�edstavit 4 rozm�rnou krychli (obr. \ref{�ty� rozm�rn� krychle}). \begin{figure} \caption{ Projekce �ty� rozm�rn� krychle. Jedna 3 rozm�rn� krychle je oto�ena o $45^0$} \label{�ty� rozm�rn� krychle} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(150.00,150.00) \put(10.33,10.00){\framebox(120.00,120.00)[cc]{}} \put(50.00,50.00){\framebox(40.00,40.00)[cc]{}} %\emline(70.00,119.67)(20.00,70.00) \multiput(70.00,119.67)(-0.12,-0.12){414}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(20.00,70.00)(70.00,20.00) \multiput(20.00,70.00)(0.12,-0.12){417}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(70.00,20.00)(120.33,70.00) \multiput(70.00,20.00)(0.12,0.12){417}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(120.33,70.00)(70.00,120.00) \multiput(120.33,70.00)(-0.12,0.12){417}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(70.00,84.67)(55.00,70.00) \multiput(70.00,84.67)(-0.12,-0.12){123}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(55.00,70.00)(70.00,55.00) \multiput(55.00,70.00)(0.12,-0.12){126}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(70.00,55.00)(85.00,70.00) \multiput(70.00,55.00)(0.12,0.12){126}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(85.00,70.00)(70.33,85.00) \multiput(85.00,70.00)(-0.12,0.12){123}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(10.33,130.00){\circle{4.00}} \put(130.33,130.00){\circle{4.00}} %\emline(10.67,129.67)(70.00,119.67) \multiput(10.67,129.67)(0.71,-0.12){84}{\line(1,0){0.71}} %\end %\emline(10.33,130.00)(50.00,90.00) \multiput(10.33,130.00)(0.12,-0.12){331}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(130.33,130.00)(90.00,90.00) \multiput(130.33,130.00)(-0.12,-0.12){334}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(130.33,130.00)(120.00,70.00) \multiput(130.33,130.00)(-0.12,-0.69){87}{\line(0,-1){0.69}} %\end %\emline(90.00,50.00)(130.33,10.00) \multiput(90.00,50.00)(0.12,-0.12){334}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(130.33,10.00)(69.67,20.00) \multiput(130.33,10.00)(-0.72,0.12){84}{\line(-1,0){0.72}} %\end %\emline(10.67,10.00)(50.00,50.00) \multiput(10.67,10.00)(0.12,0.12){328}{\line(0,1){0.12}}

%\end %\emline(10.33,10.00)(10.33,10.00) \put(10.33,10.00){\line(0,1){0.00}} %\end %\emline(10.33,10.00)(20.00,70.00) \multiput(10.33,10.00)(0.12,0.74){81}{\line(0,1){0.74}} %\end %\emline(70.00,120.00)(70.00,85.00) \put(70.00,120.00){\line(0,-1){35.00}} %\end %\emline(85.00,70.00)(120.33,70.00) \put(85.00,70.00){\line(1,0){35.33}} %\end %\emline(70.00,55.00)(70.00,20.00) \put(70.00,55.00){\line(0,-1){35.00}} %\end %\emline(20.33,69.67)(55.00,69.67) \put(20.33,69.67){\line(1,0){34.67}} %\end %\emline(55.00,69.67)(20.33,69.67) \put(55.00,69.67){\line(-1,0){34.67}} %\end %\emline(20.33,70.00)(55.00,70.00) \put(20.33,70.00){\line(1,0){34.67}} %\end %\emline(90.00,90.00)(85.00,70.33) \multiput(90.00,90.00)(-0.12,-0.47){42}{\line(0,-1){0.47}} %\end %\emline(90.00,50.00)(70.00,55.00) \multiput(90.00,50.00)(-0.48,0.12){42}{\line(-1,0){0.48}} %\end %\emline(50.00,50.00)(55.00,70.33) \multiput(50.00,50.00)(0.12,0.48){42}{\line(0,1){0.48}} %\end %\emline(50.00,90.00)(70.00,85.00) \multiput(50.00,90.00)(0.48,-0.12){42}{\line(1,0){0.48}} %\end \put(70.00,120.00){\circle{4.00}} \put(50.00,90.00){\circle{4.00}} \put(90.00,90.00){\circle{4.00}} \put(70.00,84.67){\circle{4.00}} \put(20.00,70.00){\circle{4.00}} \put(54.67,70.00){\circle{4.00}} \put(84.67,70.00){\circle{4.00}} \put(120.33,70.00){\circle{4.00}} \put(50.00,50.00){\circle{4.00}} \put(70.00,55.00){\circle{4.00}} \put(90.00,50.00){\circle{4.00}} \put(70.00,20.00){\circle{4.00}} \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(130.00,10.00){\circle{4.00}} \end{picture} \end{figure} Klasick�m p��kladem vztahov� m��ky je Aristotelovo porovn�n� �ty� vlastnost�: {\bf tepl�}, {\bf chladn�}, {\bf such�}, a {\bf vlhk�} ke �ty�em element�m: ohe�, vzduch, voda a zem�. Ty lze uspo��dat do tvaru

$$\begin{array}{ccccc} vzduch & & {\bf vlhk�} & & voda \\ \\ & {\bf tepl�} & 0 & {\bf chladn�} & \\ \\ ohe� & & {\bf such�} & & zem�\;. \end{array}$$ Prvky maj� v�dy pouze dv� vlastnosti. Vlastnosti soused�c� svisle a vodorovn� se vz�jemn� vylu�uj�. N�co nem�e b�t sou�asn� tepl� a chladn�, nebo vlhk� a such� \footnote { P�esn�ji, je nutn� kreslit hranici (nulov� bod) mezi t�mito vlastnostmi. V z�vislosti na sv� saturaci, vodn� p�ra m�e b�t such� stejn� jako mokr�.}. \chapter{Erasthothenesovo s�to a jeho Moebiusova inverze} \label{Erasthothenesovo s�to a jeho} \section{D�litel� a jejich matice} \label{D�litel� m jejich matice} V t�to kapitole zavedeme d�le�it� pojem {\em d�litel}. ��slo $k$ je d�litelem ��sla $m$ pokud $m\ \equiv 0\ {\rm mod}\ k$, to znamen�, �e $m$ je identick� s 0, se $k$. Nebo jinak, $m = kn$, ��slo $m$ �t�p� do $n$ stejn�ch ��st� $k$. Z toho plyne, �e ka�d� ��slo m� alespo� dva d�litele, ��slo 1, kter� nech�v� ��slo nezm�n�n� a ��slo samotn�, kdy d�len� d�v� 1 jako v�sledek. Pokud existuj� pouze tyto dva d�litel�, tak se takov� ��slo naz�v� {\em prvo��slo}. Lze nal�zt prvo��sla $p$ pomoc� Erasthothenesova s�ta. Tento algoritmus pracuje jako s�to. ��slo polo�en� na prvn� sloupec s�ta propad� sv�m sloupcem. Pokud dos�hne diagon�lu bez st�etnut� se s d�litelem, je to prvo��slo. D�litel� j reprezentovan� jednotkami v ��dc�ch d�litel� odpov�daj�c�ch sloupc� pracuj� jako oka s�ta. Tedy Erasthothenesovo s�to je matice, jej� prvky jsou $$e_{ij} = 1\;,$$ pokud ��slo j je d�litelem ��sla i, a $$e_{ij} =0\;,$$ jinak. V tabulce 6.1 je Erasthotenesovo s�to a jeho Moebiusova inverzn� funkce. \begin{table} \caption{Erasthotenesovo s�to a jeho Moebiusova inverzn� funkce} \label{Erasthothenes} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|crrrrrrr|} \hline & \multicolumn{7}{|c|}{Erasthothenovo s�to}& &\multicolumn{7} {c|}{Moebiusova inverze}\\ \hline j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7&\qquad & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline i=1& 1 & & & & & & & & 1 & & & & & & \\ 2& 1 & 1 & & & & & & & -1 & 1 & & & & & \\ 3& 1& 0 & 1 & & & & & & -1 & 0 & 1 & & & & \\ 4& 1 & 1 & 0 & 1 & & & & & 0 & -1 & 0 & 1 & & & \\ 5& 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & & & & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & & \\

6& 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & & & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & \\ 7& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1& & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} D�litel� tvo�� pravideln� vzor, jsou ve v�ech ��dc�ch $i\ \equiv 0\ {\rm mod}\ j$. Prvo��sla ��dnou, jako matice roste, av�ak je v�dy mo�n� naleznout jin� prvo��slo $p(n)$ jako sou�in v�ech p�edchoz�ch prvo��sel zv�t�en� o 1 \begin{equation} p(n) = \prod^n_{j=1}\; p_j +1\;. \end{equation} Tato rovnice nevytv��� v�echna prvo��sla. Mezi $p(2)=3$ a $p(3)=7$ je $p=5$. ��dkov� sou�ty Erasthothenova s�ta $({\bf EJ})$ jsou po�ty d�litel�. Objevuj� se na diagon�le kvadratick� formy ${\bf EE}^{\rm T}$ matice ${\bf E}$. Jsou zn�m� jako {\em Eulerova funkce} $\sigma^0\;(n)$. Tato funkce je spojena s logaritmy d�litel�. Pokud pou�ijeme jako z�kladnu logaritm� ��slo $n$ samotn�, dostaneme (vyjma $n = 1$) \begin{equation} \sigma^0 (n) = 2\sum \lg (d|n) \end{equation} nebo pro jakoukoliv z�kladnu logaritm�; \begin{equation} \sigma^0 (n) = 2\sum \lg (d|n)/\lg n \end{equation} D�litel� se objevuj� v p�rech, $d_id_j = n$, vyjma osam�l�ho d�litele, kter� je odmocninou $n$. Sou�et logaritm� se z�kladnou $n$ je tedy pouze polovinou po�tu d�litel� ��sla $n$. Sou�et hodnot d�litel� $\sigma^1 (n)$ n�kdy d�v� dvojn�sobek samotn�ho ��sla, jako $2\times6 = 6+3+2+1$ nebo $2\times28 = 28+14+7+4+2+1$. Takov� ��sla jsou zn�m� jako {\em dokonal� ��sla}. \section{Moebiusova inverze Erasthothenesova s�ta} \label{Moebiusova inverze Erasthothenesova s�ta} V tabulce 6.1 byla uk�z�na Moebiusova funkce jako inverzn� matice ${\bf E}^{-1}$. Prvky jej�ho prv�ho sloupce jsou \begin{itemize} \item $e^{-1}_{i1} = 1, {\rm pokud} i = 1\;,$ nebo v p��pad� sou�inu sud�ho po�tu prvo��sel; \item $e^{-1}_{i1} = -1$, pokud i je prvo��slo nebo sou�in lich�ho po�tu prvo��sel a \item $e^{-1}_{i1} = 0$, pokud i je sou�in vy��� mocniny prvo��sel jako $4 = 2^2$ v tabulce 6.1. \end{itemize} Tyto prvky se objevuj� v dal��ch sloupc�ch na m�stech, kde pom�r $i/j$ je cel� ��slo jinak jsou tam nuly. Jednotkov� prvky jsou �id�� ve vy���ch sloupc�ch.

Moebiusova inverze je klasick�m p��kladem kombinatorick�ho {\em principu inkluse a exkluse}. N�kter� objekty se po��taj� ve sv�ch kombinac�ch dvakr�t nebo v�cekr�t, potom se tyto p�ev�en� ��sti ode��taj� v jin�ch kombinac�ch, abychom dostali spr�vnou hodnotu . Formulovali jsme tento princip v sofistikovan� technice sou�in� matic. Tato technika se m�e pou��t pro v�echny matice, kter� maj� jednotkovou diagon�lu a v�echny nenulov� prvky pod nebo na diagon�le. Jednotkov� matice ${\bf I}$ se ode�te od takov� matice a rozd�l se potom n�sob� s�m se sebou a� v�echny nenulov� prvky zmiz� (nejv�e $n$ kr�t). Nap��klad $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} \\ ({\bf E}- {\bf I})\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} \\ ({\bf E}-{\bf I})^2\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} \\ ({\bf E}-{\bf I})^3\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Rozvojem sou�inu $({\bf E}- {\bf I})^k$, kdy� se rovn� ${\bf 0}$, jednotkov� diagon�ln� matice se vyj�d�� jako \begin{equation} \sum_{i=1}^n\; (-1)^i { n \choose k}\;{\bf E}^i = {\bf I} \end{equation}

N�soben�m obou stran s ${\bf E}^{-1}$ a odstran�n�m ${\bf E}^{-1}{\bf E} = {\bf I} $ dostaneme \begin{equation} {\bf E}^{-1} = \sum_{i=1}^n\; (-1)^{i-1} { n \choose k}\;{\bf E}^{i-1}\;. \end{equation} Objekty ${ n \choose k}$ vypadaj�c� jako jeden sloupec matice v obou rovnic�ch jsou zn�m� jako binomi�ln� koeficienty. Po��taj� v�echny mo�nosti, jak vybrat $k$ objekt� z $n$ objekt�. Inverzn� matice ${\bf E}^{-1}$ je sou�et kladn�ch a z�porn�ch n�sobk� kladn�ch mocnin ${\bf E}^k$. To zn� zcela tajemn�. \section{Funkce d�litel�} \label{Funkce d�litel�} Po�et d�litel� $\sigma^0(n)$ a sou�et hodnot d�litel� jsou dosti nepravideln� funkce. Jejich sekvence a postupn� sou�ty $\sigma^0(n)$ jsou $$\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrr|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline $\sigma^0(n)$ & 1 & 2 & 2 & 3 & 2 & 4 & 2 & 4 & 3 & 4 & 2 \\ $\sigma^1 (n)$ & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 16 & 12 \\ $\sum[\sigma^0(n)]$ & 1 & 3 & 5 & 8 & 10 & 14 & 16 & 20 & 23 & 27 & 29 \\ \hline \end{tabular}$$ Sou�ty $\sum[\sigma^0(n)]$ se z�skaj� jako stopy odpov�daj�c�ch sou�in� matic rostouc�ch Erasthothenov�ch s�t ${\bf EE}^{\rm T}$, nebo jednodu�e spo��t�n�m prvk� matice ${\bf E}$: \begin{equation} \sum[\sigma^0 (n)] = \sum_{j=1}^n\;[n/j]\;, \end{equation} kde [n/j] znamen� celou ��st dan�ho zlomku. Tedy sou�et $\sum[\sigma^0(n)]$ m� jako limitu sou�in $n\sum_{j=1}^n\;n/j$. Nap��klad $$\sum[\sigma^0(3)] = 5 < 3(1 + 1/2 + 1/3) = 11/2\;.$$ Pokud uspo��d�me prvky stop ${\bf E}^{\rm T}{\bf E}$ (to je druh� kvadratick� forma Erasthothenova s�ta), nebo postupn� spo��t�me prvky ve sloupc�ch matice $ {\bf E}$ do tabulky a nalezneme jej� inverzi, potom jej� ��dkov� sou�ty d�vaj� hodnoty Moebiusovy funkce (tabulka\ref{Erasthothenes Sieve Diagonal Values}). \begin{table} \caption{Diagon�ln� hodnoty Erasthothenova s�ta a jejich Moebiusovy inverze} \label{Erasthothenes Sieve Diagonal Values} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|rrrrrrr|r|} \hline & \multicolumn{7}{|c|}{ Diagon�ln� hodnoty}& $\;\Sigma\;$ &\multicolumn{7} {|c|}{Moebiusova inverze} & $\;\Sigma\;$ \\ \hline j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7& & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \\ \hline

i=1 & 1 & & & & & & & 1 & 1 & & & & & & & 1 \\ 2 & 2 & 1 & & & & & & 3 & -2 & 1 & & & & & & -1 \\ 3 & 3 & 1 & 1 & & & & & 5 & -1 & -1 & 1 & & & & & -1 \\ 4 & 4 & 2 & 1 & 1 & & & & 8 & 1 &-1 &-1 & 1 & & & & 0 \\ 5&5 & 2 & 1 & 1 & 1 & & & 10 & -1 & 0 & 0 &-1 & 1 & & & -1 \\ 6&6 & 3 & 2 & 1 & 1 & 1 & & 14 & 2 & 0 &-1 & 0 &-1 & 1 & & 1 \\ 7&7 & 3 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 16 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 &-1 & 1 & -1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Prvky ��dk� p�edchoz� matice ${\bf M}$ jsou ${\bf J}^{\rm T}{\bf E}$, tedy Moebiusova funkce je ${\bf M}^{-1}{\bf J}$. A je�t� d�le�it�j�� funkc� je sou�et hodnot d�litel�. Ty lze vyj�d�it jako sou�in matic maj�c� v r�me�ku ${\bf E}(*){\bf E}^{\rm T}$ diagon�ln� matici index� $\Delta(j)$. ${\bf E}\Delta(j)$ je matice hodnot d�litel�. Sou�ty hodnot d�litel� $\sigma^1 (n)$ jsou diagon�ln�mi prvky matice ${\bf E}\Delta(j){\bf E}^{\rm T}$: $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf E}\Delta(j) \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & & & \\ 1 & 2 & & \\ 1 & 0 & 3 & \\ 1 & 2 & 0 & 4 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf E}\Delta(j){\bf E}^{\rm T} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1& 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 7 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Po�et d�litel� $j$, kter� tak� d�v� pod�ly $n/d$ se z�sk� jako jin� sou�in matic: \begin{equation} \Delta(j){\bf E}[\Delta(j)]^{-1} \end{equation} ��dky ${\bf E}$ se n�sob� odpov�daj�c�m indexem $i$ a sloupce se d�l� odpov�daj�c�m indexem $j$. Prvky sou�inu matic jsou $e_{ij} = i/j$, pokud $i\ \equiv\ 0\ {\rm mod}\ j$ a $e_{ij} = 0$ jinak. $$\left( \begin{array}{ccccc}

1 & & & & \\ 2 & 1 & & & \\ 3 & 0 & 1 & & \\ 4 & 2 & 0 & 1 & \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\;.$$ Pokud n�sob�me tuto matici inverzn� matic� ${\bf E}^{-1}$, dostaneme matici, jej� prvky po��taj� po�ty t�ch ��sel mezi 1 a $n$, kter� jsou d�lena dan�m d�litelem s v�hradou, �e u� nebyl d�len v�t��m d�litelem. Tedy ��dkov� sou�ty v tabulce jsou v�dy $n$. \begin{table} \caption{Po�ty ��sel d�len�ch dan�mi d�liteli} \label{Po�ty ��sel d�len�ch dan�mi d�liteli} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrr|r|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 &$\Sigma$ \\ \hline m=1& 1 & & & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 1 & & & & & & & 2 \\ 3 & 2 & 0 & 1 & & & & & & 3 \\ 4 & 2 & 1 & 0 & 1 & & & & & 4 \\ 5 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 & & & & 5 \\ 6 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & & & 6 \\ 7 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & & 7 \\ 8 & 4 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 8 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Nap��klad 1 v �est� ��dce d�l� 1 a 5; 2 d�l� 2 a 4; 3 a 6 d�l� samy sebe, nejsou d�litel�.

4 a 5

Jej� inverzn� funkce m� op�t tabulkovou formu (viz tabulku \ref{Inversn� funkce po�tu ��sel}). \begin{table} \caption{Inversn� funkce po�tu ��sel} \label{Inversn� funkce po�tu ��sel} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrr|r|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & $\Sigma$ \\ \hline m=1& 1 & & & & & & & & 1 \\ 2 & -1 & 1 & & & & & & & 0 \\ 3 & -2 & 0 & 1 & & & & & & -1 \\ 4 & -1 & -1 & 0 & 1 & & & & & -1 \\ 5 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & & & & -3 \\ 6 & 2 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 & & & 0 \\ 7 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & & -5 \\ 8 & -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Mus� se naj�t prvky $d_{i1}^{-1}$ prv�ho sloupce, pon�vad� v dal��ch sloupc�ch

jsou pouze prvky prv�ho sloupce z�ed�n� nulami jako v z�kladn� matici. Je z�ejm�, �e prvky $(1 - p)$ se mus� objevit v ��dc�ch prvo��sel, v n�sleduj�c�ch sloupc�ch jsou nuly. Hodnoty pro i = 4, 6 ukazuj�, �e mocniny prvo��sel jsou pr�v� sou�iny t�chto prvk�. Hodnota 2 v �est� ��dce se interpretuje jako $(-1)\times(-2)$, sou�in dvou d�litel�. Pro kontrolu se pokus�me nal�zt �e�en� pro 30, sou�in t�� prvo��seln�ch d�litel� $$\begin{tabular}{|l|rrrrrrrr|r|} \hline D�litel� & 1 & 2 & 3 & 5 & 6 & 10 $\Sigma$\\ \hline D�len� ��sla $d_{i1}$ & 8 & 8 & 4 30\\ $d_{i1}^{-1}$ & 1 & -1 & -2 & -4& \hline $d_{i1}d_{i1}^{-1}$ & 8 & -8 & -8 \hline \end{tabular}$$

& 15 & 30 & & 2 & 4 & 2 & 1 & 1 & 2 & 4 & 8 & -8 & \\ & -8 & 8 & 8 & 8 & -8 & 0 \\

kde $d_{30}^{-1} = -8 = -1\times-2\times-4$, nebo $-4\times2$, pokud vyj�d��me 30 jako $5\times6$. Jinou funkc� d�len� je funkce $\varphi(n)$. Tato funkce po��t� ��sla, kter� nejsou d�liteln� d�liteli $n$ vyjma 1. Jsou to $$\begin{tabular}{|l|ccccccc|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline $\varphi(n)$ & 1 & 1 & 2 & 2 & 4 & 2 & 6 \\ \hline Po��tan� ��sla & 1; & 1; & 1,2; & 1,3;& 1 -- 4; & 1,5; & 1 -6 \\ \hline \end{tabular}$$ Hodnoty $\varphi(n)$ se objevily jako prvky v prv�m sloupci tabulky \ref{Inversn� funkce po�tu ��sel}. Uk�zali jsme, �e $\varphi(n)$ se snadno naleznou jako sou�in \begin{equation} \varphi(n) = n\prod_{p=2}^n\;(1- 1/p) \end{equation} kde $p$ jsou prvo��sla, kter� jsou d�liteli $n$. Pom�r $n/p$ se od�t�p� od ��sla $n$ ka�dou inverz� prvo��sla $1/p$. Sou�et po��t� v�echny ode�ten� ��sti z cel�ho $n$. Funkce $\varphi(n)$ sou�inu dvou ��sel je jednodu�e sou�in hodnot pro ka�d� ��slo \begin{equation} \varphi(nm) = \varphi(n)\varphi(m)\;. \end{equation} N�sleduj�c� vztah je velmi zaj�mav� \begin{equation} \sum_{n_{d|n}} \varphi(d) = n\;. \end{equation}

Nap��klad pro $n = 6$: $\varphi(1) + \varphi(2) + +2 +2 = 6$.

\varphi(3) + \varphi(6) = 1 +1

\section{Vztahy mezi d�liteli a rozd�len�mi} \label{Vztahy mezi d�liteli a rozd�len�mi} D�vodem pro� bylo zavedeno Erasthothenovo s�to, je jeho vyu�it� p�i po��t�n� rozd�len�. V ka�d�m neomezen�m rovinn�m simplexu je $p(m)$ rozd�len� ��sla $m$. Sou�et jejich ��st� je $m\times p(m)$. Tento sou�in se z�sk� z Erasthothenova s�ta, pokud se n�sob� zleva diagon�ln� matic� $\Delta$ neomezen�ch rozd�len� napsan�ch v klesaj�c�m po��dku: $p(i) = p(m-i)$ a zprava diagon�ln� matic� $\Delta$ index� $i$. Nap��klad $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccccc} 5 & & & & \\ & 3 & & & \\ & & 2 & & \\ & & & 1 & \\ & & & & 1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccccc} 1 & & & & \\ 1 & 1 & & & \\ 1 & 0 & 1 & & \\ 1 & 1 & 0 & 1 & \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccccc} 1 & & & & \\ & 2 & & & \\ & & 3 & & \\ & & & 4 & \\ & & & & 5 \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{cc} = & \begin{array}{c} \left( \begin{array}{ccccc} 5 & & & & \\ 3 & 6 & & & \\ 2 & 0 & 6 & & \\ 1 & 2 & 0 & 4 & \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array} \right) \\ \hline

\begin{array}{ccccc} 12 & 8 & 6 & 4 & 5 \end{array} \end{array} \end{array}$$ Sou�et prvk� sou�inu je $35 = 5 \times 7$. Rozd�len� $p(5)$ se z�skalo z hodnoty ��st� p�idan�ch k ni���m simplex�m, kter� se se�etly. Jednotky se po��taj� v prv�m sloupci. P�idaly se k $p(m-1)$ rozd�len�m. Av�ak tato mno�ina obsahuje sou�asn� v�echny jednotky z ni���ch rozd�len� zv�t�en� takov�m zp�sobem v p�ede�l�ch kroc�ch, a� na jednotku p�edstavuj�c� p(1). V druh�m sloupci dv� se p�id�vaj� ke 3 rozd�len�m 3. Jedno z nich, (2,1), u� obsahovalo jednu 2, kdy� se toto rozd�len� z�skalo z $p(1)$. Podobn� se po��taj� jin� ��sla v n�sleduj�c�ch sloupc�ch. Tento sou�in t�� matic se m�e vlo�it do r�me�ku ${\bf J}^{\rm T}(*){\bf J}$, kter� se��t� prvky or�movan� matice. Vlo�ka v r�me�ku je: \begin{equation} {\bf J}^{\rm T}{\Delta}[p(m-i)]{\bf E}\ \times\ {\Delta}(i){\bf J}\; \end{equation} Po sob� n�sleduj�c� vektory tvo�� matice v doln� a horn� troj�heln�kov� form� a sou�iny t�� matic se nahrad� sou�inem pouze dvou matic: $$\begin{tabular}{rrrrr|rrrrr} & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & & & & & & 2 & 2 & 2 & 2 \\ & & & & & & & 3 & 3 & 3 \\ & & & & & & & & 4 & 4 \\ & & & & & & & & & 5 \\ \hline & & & & & & & & & \\ 1 & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & & & & 2 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 1 & & & 4 & 6 & 9 & 9 & 9 \\ 7 & 3 & 1 & 1 & & 7 & 13 & 16 & 20 & 20 \\ 12 & 4 & 2 & 1 & 1 & 12 & 20 & 26 & 30 & 35 \end{tabular}$$ Lev� matice po��t� ��sla $n_k$ v rozd�len�ch, prav� matice je v�� jako $m_k$. Diagon�ln� prvky $mp(m)$ se mohou rozlo�it v jin� p�ry vektor� a tak existuje jin� sou�in dvou matic maj�c� identickou diagon�lu. Lev� matice je matic� n�sledn�ch rozd�len� (tabulka 4.8), prav� matice je matic� sou�t� d�litel� $\sigma^1(i)$, napsanou podobn� jako matice n�sledn�ch rozd�len�, av�ak v horn� troj�heln�kov� form� ve sloupc�ch \begin{equation} {\bf S}: s_{ij} = \sigma^1(i)\ {\rm pokud}\ i \leq j, s_{ij} = 0, \ {\rm jinak}\;. \end{equation} $$\begin{tabular}{rrrrr|rrrrr} & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & & & & & & 3 & 3 & 3 & 3 \\ & & & & & & & 4 & 4 & 4 \\ & & & & & & & & 7 & 7 \\ & & & & & & & & & 6 \\

\hline & & & & & & & & & \\ 1 & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & & & & 1 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 2 & 1 & 1& & & 2 & 5 & 9 & 9 & 9 \\ 3 & 2 & 1& 1 & & 3 & 9 & 13 & 20 & 20 \\ 5 & 3 & 2& 1 & 1 & 5 & 14 & 22 & 29 & 35 \\ \end{tabular}$$ ��sla $mp(m)$ se op�t objevuj� na diagon�le sou�inu. Tyto element�rn� vztahy se mohou vyj�d�it ve form�ln� abstraktn� form�. Nap�eme vytvo�uj�c� funkci neomezen�ch rozd�len� \begin{equation} P(x) = \sum_{m=1}^\infty\;p(m)\;q^m \end{equation} a nalezneme jej� derivaci \begin{equation} dP(x) = \sum_{m=1}^\infty\;mp(m)\;q^{m-1}\;. \end{equation} Funkce rozd�len� $P(x)$ se p�edstavuje v ��dc�ch lev� matice. Rozd�l $dP(x)$ se objevuje na diagon�le sou�inu. Kdy� najdeme pom�r obou matic, v�sledek m�e lze formulovat jako \begin{equation} d\lg[P(x)] = dP(x)/P(x) = \sum_{m=1}^\infty\; \varphi(m)q^m\;. \end{equation} Pom�r $dP(x)/P(x)$ je rozd�l logaritmu funkce $P(x)$. Sou�ty d�litel� jsou tedy rozd�ly logaritmick� m�ry vytvo�uj�c� funkce rozd�len�. To uv�d� ve vztah d�litele a funkce rozd�len� a vyu�ilo se pro nalezen� asymptotick�ho chov�n� $p(m)$ funkce. \section{Nuly v rozd�len�} \label{Nuly v rozd�len�} Pokud je sou�et hodnot v�ech ��st� rovinn�ho simplexu $mp(m)$, m�eme nal�zt tak� po�et nul ve v�ech ��stech $n_0(m)$. Tyto po�ty tvo�� prvn� sloupec v tabulce, kter� po��t� v�echny ��sti klasifikovan� podle sv�ch hodnot (tabulka 6.2) \begin{table} \caption{Po�et ��st� v rozd�len�ch} \label{Po�et ��st� v rozd�len�ch} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 & & & & & 4 \\ 3 & 3 & 4 & 1 & 1 & & & & 9 \\ 4 & 8& 7 & 3 & 1 & 1 & & & 20 \\ 5 & 15& 12 & 4 & 2 & 1 & 1 & & 35 \\ 6 & 31 & 19 & 8 & 4 & 2 & 1 & 1 & 66 \\ \hline \end{tabular}

\end{table} Maticov� prvky tabulky 6.2, vyjma jej�ho prv�ho sloupce, se z�skaj� jako ��ste�n� v�sledek sou�inu matic pou��van�ch pro nalezen� sou�tu hodnot ��st� v rozd�len�ch pomoc� rovnice 5.3. Jsou to prvky sou�inu dvou matic $\Delta[p(m-i)]{\bf E}$. Prvn� sloupec je op�t maticov� sou�in matice rozd�len� do p�esn� $n$ ��st� (tabulka 4.2) a matice kladn�ch $(j -i)$ prvk� a jednotkov�ho vektoru sloupce $ {\bf J}$, kter� se��t� ��dkov� hodnoty mezisou�inu. Lze snadno vysv�tlit tento vztah: V ka�d�m rozd�len�, kdy� se $m$ �t�p� do p�esn� $n$ ��st�, existuje $(m n)$ nul. Nap��klad pro $m = 4: 8= 3\times1 +2\times2 +1\times1 +0\times1$. Po�et nul je vyv�en jin�mi ��sly. To vede k jednoduch�mu tvaru n�kter�ch prvk� inverzn� matice $$m^{-1}_{i0} = (1-i)\;.$$ \chapter{Grupy cyklick�ch permutac�} \label{Grupy cyklick�ch permutac�} \section{Pojem cyklick�ch permutac�} \label{Pojem cyklick�ch permutac�} P�edpokl�dejme, �e m�me $n$ objekt� ozna�en�ch indexem, uspo��dan�ch v p�irozen�m po��dku, a �e zam�n�me jejich polohy. Je v�hodnou ps�t tuto operaci {\em permutace} v dvou ��dc�ch, kde prv� odpov�d� v�choz� poloze a druh� ud�v� kone�nou polohu. Nap��klad: \begin{itemize} \item Start 0:\qquad 1 \qquad 2 \qquad 3 \qquad 4 \qquad 5 \qquad 6 \item Krok 1: \qquad 2 \qquad 3 \qquad 1 \qquad 5 \qquad 4 \qquad 6 Prvn� t�� objekty se permutuj� v {\em cyklu d�lky 3}, prvn� objekt se objevil po t�et�m, p��t� dva objekty tvo�� cyklus d�lky 2, se vym�nily sv� m�sta, posledn�ho objekt z�stal na sv�m m�st�. Opakov�n�m procedury dostaneme permutace 2 a� 6: \item Krok 2: \qquad 3 \qquad 1 \qquad 2 \qquad 4 \qquad 5 \qquad 6 \item Krok 3: \qquad 1 \qquad 2 \qquad 3 \qquad 5 \qquad 4 \qquad 6 \item Krok 4: \qquad 2 \qquad 3 \qquad 1 \qquad 4 \qquad 5 \qquad 6 \item Krok 5: \qquad 3 \qquad 1 \qquad 2 \qquad 5 \qquad 4 \qquad 6 \item Krok 6: \qquad 1 \qquad 2 \qquad 3 \qquad 4 \qquad 5 \qquad 6 \item Krok 7: \qquad 2 \qquad 3 \qquad 1 \qquad 5 \qquad 4 \qquad 6 \end{itemize} �ada se vr�t� v 6 t�m kroku do po��te�n�ho uspo��d�n� a nov� cykl startuje v 7 t�m kroku. Index ozna�uj�c� objekty je sloupcov� index $j$. Poloha v permutaci je ozna�ena ��dkov�m indexem $i$ u prvku $1_{ij}$. Tedy permutace jsou isomorfn� s maticemi. V�choz� poloha, odpov�daj�c� diagon�le jednotkov� matice ${\bf I}$, m�e b�t pova�ovan� za nulov� uspo��d�n�. Posledn� prvek z�stal ve v�ech kroc�ch ve sv� p�vodn� poloze a prv� t�i prvky se vr�tily do sv�ch poloh dvakr�t a dva prvky ud�laly t�i oto�ky. D�lka celkov�ho cyklu je sou�inem jednotliv�ch cykl�: $3\times2\times1 = 6$. Prvky pat��c� stejn�m cykl�m se obvykle p�� v z�vork�ch: $(2,3,1)(5,4)(6)$. Po�et prvk� $n$ se �t�p� do $k$ cykl�, $k$ jde od 1 do $n$. Cyklick� struktura je popsan� {\em orbitami rozd�len�}. Mohli bychom mapovat zm�ny cykl� aditivn�mi oper�tory ${\bf S}$ maj�c�mi $-1_{ij}$

pro opou�t�j�c� objekt j, $1_{ij}$ pro objevuj�c� se objekt j, nulov� ��dky pro nehybn� objekty (+1 a -1 se objevuj� na stejn�m m�st�). Tento oper�tor byl zaveden v kapitole 3 a podrobn�ji bude studov�n v kapitole 12. Nyn� budeme studovat {\em multiplikativn� oper�tory} ${\bf P}$. Jejich matice, {\em jednotkov� permuta�n� matice}, jsou naivn�, maj� v ka�d� ��dce pouze jeden jednotkov� prvek a mimo to maj� pouze jeden jednotkov� prvek v ka�d�m sloupci. Matice ${\bf P}$ jsou sou�asn� notace permutac�, pon�vad� jejich ��dkov� jednotkov� prvky $p_{ij}$ odpov�daj� index�m (nebo rovnocenn� abecedn�m symbol�m) $j$. S pou�it�m multiplikativn�ch oper�tor� jsou permutace v�sledkem n�soben� ��dkov�ch vektor� jednotkovou permuta�n� matic� ${\bf P}$ zprava a sloupcov�ch vektor� n�soben�m jednotkovou permuta�n� matic� ${\bf P}$ zleva. R�zn� kroky lze zapsat mocninami t�chto matic ${\bf P}^i$. Jednotkov� diagon�ln� matice je ${\bf I}= {\bf P}^0 \;. $ \begin{figure} \caption{Cyklus permuta�n�ch matic. Kladn� mocniny se m�n� v z�porn�} \label{Cyklus permuta�n�ch matic} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(130.00,130.00) %\circle(60.33,60.00){79.34} \multiput(60.33,99.67)(1.42,-0.10){4}{\line(1,0){1.42}} \multiput(66.00,99.26)(0.50,-0.11){11}{\line(1,0){0.50}} \multiput(71.55,98.05)(0.31,-0.12){17}{\line(1,0){0.31}} \multiput(76.87,96.06)(0.22,-0.12){23}{\line(1,0){0.22}} \multiput(81.85,93.32)(0.16,-0.12){29}{\line(1,0){0.16}} \multiput(86.39,89.91)(0.12,-0.12){34}{\line(0,-1){0.12}} \multiput(90.40,85.88)(0.12,-0.16){29}{\line(0,-1){0.16}} \multiput(93.79,81.32)(0.12,-0.22){23}{\line(0,-1){0.22}} \multiput(96.49,76.32)(0.12,-0.31){17}{\line(0,-1){0.31}} \multiput(98.45,70.99)(0.12,-0.56){10}{\line(0,-1){0.56}} \multiput(99.63,65.43)(0.09,-1.42){4}{\line(0,-1){1.42}} \multiput(100.00,59.76)(-0.11,-1.42){4}{\line(0,-1){1.42}} \multiput(99.56,54.10)(-0.11,-0.50){11}{\line(0,-1){0.50}} \multiput(98.32,48.56)(-0.12,-0.31){17}{\line(0,-1){0.31}} \multiput(96.29,43.25)(-0.12,-0.21){24}{\line(0,-1){0.21}} \multiput(93.53,38.28)(-0.12,-0.16){29}{\line(0,-1){0.16}} \multiput(90.09,33.76)(-0.12,-0.12){34}{\line(-1,0){0.12}} \multiput(86.03,29.78)(-0.16,-0.12){29}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(81.45,26.42)(-0.22,-0.12){23}{\line(-1,0){0.22}} \multiput(76.44,23.75)(-0.31,-0.11){17}{\line(-1,0){0.31}} \multiput(71.10,21.82)(-0.56,-0.11){10}{\line(-1,0){0.56}} \multiput(65.53,20.67)(-1.89,-0.11){3}{\line(-1,0){1.89}} \multiput(59.86,20.33)(-1.42,0.12){4}{\line(-1,0){1.42}} \multiput(54.20,20.81)(-0.50,0.12){11}{\line(-1,0){0.50}} \multiput(48.66,22.09)(-0.29,0.11){18}{\line(-1,0){0.29}} \multiput(43.37,24.14)(-0.21,0.12){24}{\line(-1,0){0.21}} \multiput(38.42,26.93)(-0.16,0.12){29}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(33.92,30.40)(-0.12,0.12){33}{\line(0,1){0.12}} \multiput(29.96,34.48)(-0.12,0.16){28}{\line(0,1){0.16}} \multiput(26.63,39.08)(-0.11,0.22){23}{\line(0,1){0.22}} \multiput(23.99,44.11)(-0.12,0.33){16}{\line(0,1){0.33}} \multiput(22.09,49.46)(-0.11,0.56){10}{\line(0,1){0.56}} \multiput(20.98,55.03)(-0.10,1.89){3}{\line(0,1){1.89}} \multiput(20.67,60.71)(0.10,1.13){5}{\line(0,1){1.13}} \multiput(21.18,66.37)(0.12,0.50){11}{\line(0,1){0.50}} \multiput(22.49,71.89)(0.12,0.29){18}{\line(0,1){0.29}} \multiput(24.58,77.18)(0.12,0.21){24}{\line(0,1){0.21}}

\multiput(27.40,82.11)(0.12,0.15){30}{\line(0,1){0.15}} \multiput(30.89,86.59)(0.12,0.12){33}{\line(1,0){0.12}} \multiput(34.99,90.52)(0.16,0.12){28}{\line(1,0){0.16}} \multiput(39.61,93.83)(0.23,0.12){22}{\line(1,0){0.23}} \multiput(44.66,96.44)(0.34,0.12){16}{\line(1,0){0.34}} \multiput(50.02,98.31)(0.86,0.11){12}{\line(1,0){0.86}} %\end %\vector(60.00,60.00)(100.00,60.00) \put(100.00,60.00){\vector(1,0){0.2}} \put(60.00,60.00){\line(1,0){40.00}} %\end %\vector(60.00,60.00)(60.00,99.67) \put(60.00,99.67){\vector(0,1){0.2}} \put(60.00,60.00){\line(0,1){39.67}} %\end %\vector(60.00,60.00)(88.33,88.00) \put(88.33,88.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(60.00,60.00)(0.12,0.12){234}{\line(1,0){0.12}} %\end %\vector(60.00,60.00)(88.00,31.67) \put(88.00,31.67){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(60.00,60.00)(0.12,-0.12){234}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(60.00,60.00)(24.33,44.00) \put(24.33,44.00){\vector(-2,-1){0.2}} \multiput(60.00,60.00)(-0.27,-0.12){134}{\line(-1,0){0.27}} %\end \put(60.00,110.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf P}^{-1}$}} \put(95.00,95.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf I}$}} \put(110.00,60.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf P}^1$}} \put(95.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf P}^2$}} \put(13.00,38.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf P}^k$}} \end{picture} \end{figure} P�edposledn� mocnina jak�hokoliv permuta�n� matici je jej� inverz� (obr. \ref{Cyklus permuta�n�ch matic}). Je dosti snadn� naleznout tuto matici, proto�e je identick� s transponovanou matic� ${\bf P}^{\rm T}$: \begin{equation} {\bf P}^{n-1} = {\bf P}^{-1} = {\bf P}^{\rm T}\;. \end{equation} Mno�ina v�ech permuta�n�ch matic ${\bf P}$, s $n$ ��dky a $n$ sloupci, p�edstavuje v�echny mo�n� permutace. Zvl�tn� t��dou permuta�n�ch matic jsou symetrick� matice, pro kter� plat� \begin{equation} {\bf P} = {\bf P}^{-1} = {\bf P}^{\rm T}\;. \end{equation} Takov� matice maj� v�echny jednotkov� prvky bu� na diagon�le, nebo jinak tvo�� cykly d�lky 2. Tyto permutace jsou zn�m� jako {\em konvoluce}. Uk�eme p�ekvapiv� jednoduchou techniku pro jejich vytvo�en�. \section{Youngovy tabulky} \label{Youngovy tabulky}

\begin{figure} \caption{Sekvence Youngov�ch tabulek} \label{Sekvence Youngov�ch tabulek} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(160.00,100.00) \put(60.00,70.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(45.00,50.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(80.00,50.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(45.00,40.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(90.00,50.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(6.00,25.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(6.00,15.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(41.00,24.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(41.00,14.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(70.00,25.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(80.00,25.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(110.00,25.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(120.00,25.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(6.00,5.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{3}} \put(51.00,24.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{3}} \put(70.00,15.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{3}} \put(130.00,25.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{3}} %\vector(60.00,70.00)(55.00,60.00) \put(55.00,60.00){\vector(-1,-2){0.2}} \multiput(60.00,70.00)(-0.12,-0.24){42}{\line(0,-1){0.24}} %\end %\vector(70.00,70.00)(80.00,60.00) \put(80.00,60.00){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(70.00,70.00)(0.12,-0.12){84}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(45.00,40.00)(16.00,35.00) \put(16.00,35.00){\vector(-4,-1){0.2}} \multiput(45.00,40.00)(-0.69,-0.12){42}{\line(-1,0){0.69}} %\end %\vector(45.00,40.00)(41.00,34.00) \put(41.00,34.00){\vector(-2,-3){0.2}} \multiput(45.00,40.00)(-0.12,-0.18){34}{\line(0,-1){0.18}} %\end %\vector(100.00,50.00)(110.00,35.00) \put(110.00,35.00){\vector(2,-3){0.2}} \multiput(100.00,50.00)(0.12,-0.18){84}{\line(0,-1){0.18}} %\end %\vector(80.00,50.00)(70.33,35.00) \put(70.33,35.00){\vector(-2,-3){0.2}} \multiput(80.00,50.00)(-0.12,-0.19){81}{\line(0,-1){0.19}} %\end \end{picture} \end{figure} Budeme rekonstruovat po�ad� Ferrersov�ch graf� nalezen�m v�ech zp�sob�, jak mohou b�t tvo�eny z ni���ch graf� p�i�ten�m nov�ho prvku. Abychom dostali toto uspo��d�n�, indexuje se ka�d� box p�id�van� k men��mu Ferrersovu grafu p�i jeho roz�i�ov�n� do v�t��ho Ferrersovu grafu. Rovnocenn� boxy budou m�t rozd�ln� indexy, proto�e je lze dos�hnout rozd�ln�mi kroky. Takto ozna�en� Ferrersovy grafy jsou zn�m� jako Youngovy tabulky (obr.\ref{Sekvence Youngov�ch tabulek}). Youngovy tabulky jsou spojen� s permutacemi n�sleduj�c�m algoritmem:

\begin{itemize} \item {1} Pokud v�t�� index vypl�v� men��m, zapisuje se v p��t�m voln�m sloupci Youngovy tabulky. \item {2}. Pokud men�� index vypl�v� v�t��m v permutaci, nahrazuje jej v jeho sloupci Youngovy tabulky a p�esouv� to dol� do p��t� ��dky. Nap��klad: \end{itemize} $$\begin{array}{lllllll} 3412 & \rightarrow & 3\ 4 & \rightarrow & 1\ 4 & \rightarrow & 1\ 2\;. \\ & & & & 3 & & 3\ 4 \end{array}$$ T�et� prvek 1 sk��e do prvn�ho sloupce a p�esouv� 3 dol�, potom 2 p�esouv� 4 dol�. Nebo: $$\begin{array}{lllllllll} 4231 & \rightarrow & 4 & \rightarrow & 2 & \rightarrow & 2\ 3 & \rightarrow & 1\ 3\;. \\ & & & & 4 & & 4 & & 2\\ & & & & & & & & 4 \end{array}$$ Jedna vlastnost algoritmu se zd� b�t nev�hodn�, av�ak tato vlastnost pouze reprodukuje vztahy mezi permutacemi. To umo��uje, aby se asymetrick� permuta�n� matice rozlo�ily rozd�ln� podle sv�ch ��dk� a sloupc�. Av�ak ob� Youngovy tabulky n�le�� k stejn�mu typu Ferrersov�ch graf�. Nap��klad: $$\begin{array}{|rrrrrrr|c|} \hline & & & & & & & $\Sigma$\\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0& 0 & 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ \hline 6 & 3 & 7 & 1 & 4 & 2 & 5 & \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{array}{cccc} Sloupce & \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & \\ 6 & 7 & \end{array} & ��dky & \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 7 \\ 2 & 5 &\\ 4 & 6 & \end{array}

\end{array}$$ Vzpome�te si, �e konvoluce maj� symetrick� �ten� je identick�. Permuta�n� matice nebo permuta�n�ch matic nebo Youngov�ch tabulek p��pad� konvoluce, av�ak v�t�inou se li��

matice, a �e potom sloupcov� a ��dkov� Youngova tabulka je v�dy sou�in dvou stejn�ho typu. Ty mohou b�t identick� v v ��dc�ch a sloupc�ch, jako

$$\begin{array}{ccc|ccc} & & & \ 1& 0 & 0 \\ & & & 0 & 0 & 1 \\ & & & 0 & 1 & 0 \\ \hline & & & & & \\ 0 & 1& 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 1 & 0 & 1& 0 \end{array}$$ $$(a,c,b)\times(b,a,c) = (c,a,b)$$ Objevuje se zde vztah mezi po�tem orbit rozd�len� $p(n)$ a po�tem Youngov�ch tabulek $Y(n)$ a po�tem permuta�n�ch matic $P(n)$. Youngovy tabulky se tvo�� z Ferrersov�ch graf� rekurzivn�m algoritmem. Pokud pou�ijeme pro po�et Youngov�ch tabulek odpov�daj�c�ch Ferrersovu grafu s indexem $k$ notaci $y(k)$, potom $y^0(k) = 1$ a m�me vztah mezi po�tem rozd�len� $p(n)$ a po�tem Youngov�ch tabulek $Y(n)$. Podobn�, pokud umocn�me v�echna y(k), dostaneme v�echny permutace $n$ prvk�. Tedy \begin{equation} \sum y^0(k) = p(n)\;; \sum y(k) = Y(n)\;; \sum y^2(k) = P(n) = n! \end{equation} Zde $n!$ znamen� $n$ {\em faktori�l}. Je to sou�in n�sleduj�c�ch p�irozen�ch ��sel: \begin{equation} \prod_{k=1}^n\;k = n!\;. \label{faktori�l} \end{equation} Vysv�tl�me tuto funkci pozd�ji, a� budeme hledat jin� vzorce ur�uj�c� po�et permutac�. P�ed t�m budeme studovat konvoluce. Zde je dan� p��klad jak rovnice (\ref{faktori�l}) pracuje: $$\begin{tabular}{|l|ccccccc|r|} \hline Rozd�len�: & 5 & 4,1& 3,2& $3,1^2$ $\Sigma$ \\ \hline $y^0(k)$ & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & $y^1(k)$ & 1 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & $y^2(k)$ & 1 & 16 & 25 & 36 & 25 & \hline \end{tabular}$$ \section{ Po�et konvoluc�} \label{ Po�et konvoluc�}

& $2^21$ & $2,1^3$ & $1^5$ & 1 & 7 \\ 1 & 26 \\ 16 &1 & 120 \\

Po�et konvoluc� je po�et v�ech mo�n�ch spojen� v telefonn� s�ti. Klasifikujeme v�echny konvoluce podle po�tu prvk�, kter� z�st�vaj� na sv�ch m�stech, co� znamen� nespojen�. Je snadn� vyplnit n�sleduj�c� tabulku \begin{table} \caption{Rozd�len� konvoluc�} \label{Rozd�len� konvoluc�} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|} \hline Ona diagon�le & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline n=0 & 1 & & & & & & & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & & & & & 2 \\ 3 & 0 & 3 & 0 & 1 & & & & 4 \\ 4 & 3 & 0 & 6 & 0 & 1 & & & 10 \\ 5 & 0 & 15 & 0 & 10 & 0 & 1 & & 26 \\ 6 & 15 & 0 & 45 & 0 & 15 & 0 & 1 & 76 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Rekurence prvk� tabulky je \begin{equation} y_{00} = 1\;; y_{ij} = (i - 1)y_{i-2,j} + y_{i-1,j-1}\;. \end{equation} Inverzn� tabulka m� stejn� prvky, pouze znam�nka prvk�, jejich� indexy i se li�� od index� j o hodnotu $(4k + 2)$, jsou z�porn�. Jejich rekurence je \begin{equation} y_{00}^{-1} = 1\;; y_{ij}^{-1} = (1 - i)y_{i-2,j} + y_{i-1,j-1}\;. \end{equation} V�echny matice konvoluc� se z�skaj� dv�ma zp�soby. Bu� p�i�ten�m 1 na posledn�m m�st� diagon�ly. Tyto konvoluce se po��taj� �lenem $y_{i-1,j-1}$. Nebo se jednotkov� prvek p�id�v� v posledn� ��dce mimo diagon�lu. Vlo�� se mezi existuj�c� sloupce do nov�ho sloupce. Potom se jednotkov� prvek mus� sou�asn� p�idat v posledn�m sloupci do nov� ��dky, $i=j$. Mimo diagon�lu existuje $(n - 1)$ m�st, kde se mo�n� vytvo�it nov� spojen� p�r k j u� existuj�c�m p�r�m v matici konvoluce. Tento nov� p�r obsazuje dv� ��dky a sloupce a tedy se tvo�� v matici s $(n - 2)$ ��dky a sloupci. To nezvy�uje po�et prvk� na diagon�le a tak to zvy�uje po�et prvk� v stejn�m sloupci. Podobn� rekurence se pou�ije u ��dkov�ch sou�t� konvoluc�

po��taj�c�ch celkov� po�et

\begin{equation} Y(n) = (n - 1)Y(n - 2) + Y(n - 1) \end{equation} Lze ur�it prvky tabulky \ref{Rozd�len� konvoluc�} p��mo, proto�e se vypo��taj� podle vzorce \begin{equation} y_{ij} = i !/j!t!2^t \end{equation}

\label{konvoluce} kde $t = (i - j)/2$ je po�et cykl� d�lky 2. Tento vzorec obsahuje 3 faktori�ly. �len $2^t$ vyrovn�v� �adu $t$ d�litel�. V�imn�te si, �e rovnice \ref{konvoluce}) po��t� dohromady Youngovy tabulky rozd�ln�ch form�t�, mus� m�t pouze stejn� po�et sloupc�. Je�t� jin� vyj�d�en� po�tu konvoluc� je form�ln� binomi�ln� rovnice \begin{equation} Y(n) = (1 + y_i)^n \end{equation} kde �leny v prv�m sloupci tabulky 7.1 $y_{k0}$ se pova�uj� za mocniny $y^k$, kdy� se sou�ty $(1 + y)$ n�sob� samy se sebou. Nap��klad $$(1 + y)^6 = 1\times1 + 6\times0 + 15\times1 +1\times15 = 76\;.$$

+ 20\times0 + 15\times3 + 6\times0

Konvoluce po��tan� t�mito �leny nemaj� ��dn� prvky na hlavn� diagon�le a z�skaj� se n�soben�m lich�ch ��sel. Jsou to {\em lich� faktori�ly}, pon�vad� se z�skaj� n�sledn�m n�soben�m lich�ch ��sel: $1\times3\times5\times7\times9\times11\times 13\times15\times$ a tak d�le. \section{Faktori�ly a gamma funkce} \label{Faktori�ly a gamma funkce} Po�et v�ech permuta�n�ch matic $P(n)$ se snadno ur�� indexov�n�m mo�nost� uspo��d�n� jednotek do ��dk� a sloupc� v permuta�n� matici. V prv� ��dce existuje n mo�nost�, v druh� ��dce je jeden sloupec blokov�n prvkem prv� ��dky. Prvek druh� ��dky nem�e b�t ve stejn�m sloupci. Mo�nosti se sni�uj� pravideln�. V ka�d� ��dce je voln�ch $(n - i)$ zb�vaj�c�ch m�st. Tyto mo�nosti jsou nez�visl� a tedy se pro v�echny ��dky n�sob�. Dostaneme faktori�l \begin{equation} P(n) = n\times(n-1)\times\dots\times2\times1 = \prod_{j=1}^n\; j = n! \end{equation} Faktori�ln� funkce m� zaj�mavou vlastnost. Pokud $p$ je prvo��slo, potom $(p -1)!\ {\rm mod}\ p = (p - 1)$ a sou�asn� $(p -2)!\ {\rm mod}\ p = 1$. Faktori�l je d�liteln� v�emi sv�mi faktory, �ekn�me $b$. Pokud by modul�rn� hodnota byla rozd�ln�, �ekn�me $a$, potom tato hodnota by mohla b�t vybr�na takov�m zp�sobem, �e $a + b = p$. Faktori�l by byl d�liteln� prvo��slem v�t��m ne� jeho faktory, co� je nemo�n�. Nap��klad: $p =7,\ 720\ {\rm mod}\ 7 \equiv 6;\ 120\ {\rm mod}\ 7 \equiv 1$. Faktori�ln� funkce je definov�na pro p�irozen� ��sla, v�etn� nuly. Dopln�me jej� definici �lenem 0! = 1. U� jsme ud�lali n�co podobn�ho p�i definov�n� pr�zdn�ch rozd�len�. Kombinatorick� funkce jsou definov�ny pro indexov�n� objekt�, kter� mus� b�t cel�. Mohou se objevit ot�zky, co je objekt, nebo zv��e, nebo �lov�k, kdy za��naj� odpov�dat sv�m definic�m a kdy jsou pon�kud rozd�ln�. V matematice se takov� mal� rozd�ly mohou vyj�d�it ��sly. Ve vy��� matematice faktori�ln� funkce je pouze speci�ln�m p��padem {\em gamma funkce}, kterou definoval Euler jako \begin{equation} \Gamma(z+1) = z\Gamma(z) \end{equation}

Kdy� $\Gamma(1) = 1$, potom $$\Gamma(2) = 1\Gamma(1) =1,$$ $$\Gamma(3) = 2\Gamma(1) = 2,$$ a $$\Gamma(4) = 3\Gamma(3) = 6\;.$$ Tedy $$\Gamma(n+1) = n!\;.$$ Kdy� kresl�me graf gamma funkce, m�eme ji interpolovat pro jak�hokoliv re�ln� ��slo. Gamma funkce je definov�na integr�lem\footnote{e v integr�lu je z�kladnou p�irozen�ch logaritm�. Logaritmy mohou b�t dekadick� $\lg a$, bin�rn� $\lb a$, p�irozen� $\ln a$, nebo s jakoukoliv z�kladnou b $\log_b a$}. \begin{equation} \Gamma(z+1) = \int_0^\infty x^z e^{-x}dx\;. \end{equation} Nebudeme se pot�kat s probl�my spojen�mi s vyhodnocen�m takov�ch integr�l� a zavedeme funkci e v p��t� kapitole. Nyn� p�ijmeme pouze v�sledek ud�vaj�c� pro \begin{equation} \Gamma(1/2) = \sqrt\pi. \end{equation} \begin{figure} \caption{Graf funkce $\Gamma(n)$} \label{Graf funkce Gamma} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(140.00,160.00) %\emline(20.00,20.00)(120.00,20.00) \put(20.00,20.00){\line(1,0){100.00}} %\end %\emline(20.00,20.00)(20.00,140.00) \put(20.00,20.00){\line(0,1){120.00}} %\end \put(20.00,40.00){\circle{4.00}} \put(30.00,37.67){\circle{4.00}} \put(40.00,40.00){\circle{4.00}} \put(60.00,60.00){\circle{4.00}} \put(80.00,140.00){\circle{4.00}} \bezier{88}(20.00,40.00)(30.00,35.33)(40.00,40.00) \put(50.00,46.67){\circle{4.00}} \put(10.67,46.67){\circle{4.00}} \put(70.00,89.67){\circle{4.00}} \bezier{48}(40.00,40.00)(45.67,42.00)(50.00,46.67) \bezier{48}(10.33,46.67)(13.00,42.67)(20.00,40.00) \bezier{68}(50.00,46.67)(55.00,51.33)(60.00,60.00) \bezier{128}(60.00,60.00)(66.33,70.00)(70.00,89.33) \bezier{204}(70.00,89.67)(76.33,109.33)(80.33,139.67) \put(20.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(40.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(60.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(80.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(10.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{1}}

\put(9.67,60.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(9.67,80.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(9.67,100.00){\makebox(0,0)[cc]{4}} \put(9.33,120.00){\makebox(0,0)[cc]{5}} \put(9.00,140.00){\makebox(0,0)[cc]{6}} \end{picture} \end{figure} Z n� se vypo��taj� snadno jin� $n/2$ hodnoty gamma funkce, kter� padnou v�born� do d�r mezi faktori�ly, aby se vykreslila jedna hladk� funkce (obr. \ref{Graf funkce Gamma}). Kdy� interpolujeme gamma funkci do z�porn�ch hodnot: $$\Gamma(1) = 0\Gamma(0)$$ dostaneme $$\Gamma(0) = \Gamma(1)/0 = \infty$$ $$\Gamma(0) = (-1)\Gamma(-1)$$ $$\Gamma(-1) = \Gamma(0)/(-1) = -\infty\;.$$ Gamma funkce osciluje pro n�sledn� z�porn� ��sla od $+\infty$ do $-\infty$. Funk�n� vztah u� nen� st�l�, ale chov� se jako mo�e v bou�i. Sv�t matematick�ch funkc� nen� symetrick� k znam�nku inverze, podobn� jako n� fyzik�ln� sv�t, kde anti��stice jsou ��dk� jevy, kter� ihned anihiluj�. Eulerova gamma funkce se m�e pou��t pro nalezen� aproximace faktori�ln� funkce pro velk� n. Stirlingova aproximace je \begin{equation} n! = n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}\;. \end{equation} \label{Stirling aproximace} \section{Index cyklick�ch permutac�} \label{Index cyklick�ch permutac�} Po tomto odbo�en� se nyn� vr�t�me k permutac�m nalezen�m vzorc� ur�uj�c�ch po�et v�ech cyklick�ch struktur. Cyklick� struktury tvo�� orbitu permutac� a sou�et p�es v�echny orbity d�v� faktori�l. Orbita rozd�len� po��t� v�echny permutace cyklu $s_k$ d�lky $k$. Pokud existuje v�ce cykl� stejn� d�lky, jejich d�lky $s_k$ se n�sob�. To d�v� �leny $s_k^t k$, kde $t_k$ je po�et cykl� $s_k$. R�zn� cykly stejn� d�lky se permutuj� vz�jemn� mezi sebou, kdy� se jejich prvky zam��uj�. Tato z�m�ny se po��taj� ��ste�n�mi faktori�ly $t_k!$. Index cyklick�ch permutac� je \begin{equation} n!/\prod n_k!s_k^tak\;. \end{equation} Nap��klad pro n = 4: $$\begin{tabular}{|l|l|c|c|} \hline Orbita & Cyklick� index & Hodnota & \\ \hline 4 & $4!/1!^4$ & 6 & Jeden cykl d�lky 4\\ 31 & $4!/1!^1!3!^1$ & 8 & Jeden cykl d�lky 3,jeden cykl d�lky 1\\ 22 & $4!/2!2$ & 3 & Dva cykly d�lky 2\\ 211 & $4!/1!^!2!^1$ & 6 & Jeden cykl�m d�lky 2, dva cykly d�lky 1\\ 1 & $4!/4!^1$ & 1 & �ty�i cykly d�lky 1\\

\hline $\Sigma$ & & 24 & \\ \hline \end{tabular}$$ \section{Sch�mata permutac�} \label{Sch�mata permutac�} Zavedli jsme sch�mata orbit a nyn� m�me prvn� mo�nost je pou��t pro indexov�n� ��ste�n�ch sou�t� cyklick�ch index�. Tyto ��ste�n� sou�ty jsou zn�m� jako rozd�ln� {\em kombinatorick� identity}. Nejprve uspo��d�me sch�mata rozd�len� podle po�tu cykl� v permutaci a d�lky nejdel��ho cyklu k. Nap��klad pro $n = 6$ dostaneme \begin{tabular}{|r|rrrrrr|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline $k=6$ & 120 & & & & & \\ 5 & & 144 & & & & \\ 4 & & 90 & 90 & & & \\ 3 & & 40 & 120 & 40 & & \\ 2 & & & 15& 45 & 15 & \\ 1 & & & & & & 1 \\ \hline $\Sigma$& 120 & 274& 225 & 85 & 15 & 1 \\ \hline \end{tabular} \\ ��dkov� sou�ty n�sledn�ch sch�mat d�vaj� tabulku 7.2. Jej� prvky jsou zn�m� jako {\em Stirlingova ��sla prv�ho druhu}. Jejich jm�no nazna�uje, �e existuje v�ce druh� Stirlingov�ch ��sel. Existuj� v r�zn�ch vztaz�ch, jak uvid�me pozd�ji. \begin{table} \caption{Stirlingova ��sla prv�ho druhu} \label{Stirlingova ��sla prv�ho druhu} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline t & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$\\ \hline n=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 1 & & & & & 2 \\ 3 & 2 & 3 & 1 & & & & 6 \\ 4 & 6 & 11 & 6 & 1 & & & 24 \\ 5 & 24 & 50 & 35 & 10 & 1 & & 120 \\ 6 & 120 & 274 & 225 & 85 & 15 & 1 & 720 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Rekurence Stirlingov�ch ��sel je \begin{equation} s_{ij} = (n - 1)s_{i-1,j} + s_{i-1,j-1}\;. \end{equation} Vzorec byl vysv�tlen popisem, jak permuta�n� matice ${\bf P}_{n-1}$ se zv�t�uj� nov�mi ��dky a sloupci. M�me $(n - 1)$ mimodiagon�ln�ch poloh v posledn� ��dce,

kter� �t�p� $(n - 1)$ rozm�rnou permuta�n� matici a prodlu�uj� n�jak� existuj�c� cykl, av�ak nem�n� jejich po�et. Potom jednotkov� prvek lze p�idat na diagon�le, av�ak tato operace zvy�uje po�et cykl� jednotkov� d�lky. T�mto zp�sobem dostaneme mezisou�ty v�ce cyklick�ch index� p��mo beze zm�n v�ech odpov�daj�c�ch orbit. Vzpome�te si, �e t�mto sou�t�m odpov�daj� vrcholy, hrany, a obecn� n rozm�rn� podsimplexy plo�n�ho simplexu. Av�ak zde �t�p� pouze jednu p�vodn� orbitu ve st�edu rovinn�ho simplexu nebo centr�ln� orbitu v krychli (obr. \ref{Centr�ln� orbita v 3 rozm�rn� krychle se stranou 0-2}). \begin{figure} \caption{Centr�ln� orbita v 3 rozm�rn� krychli se stranami 0-2. ��ry spojuj� body se vzd�lenost� 2} \label{Centr�ln� orbita v 3 rozm�rn� krychle se stranou 0-2} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(120.00,130.00) %\emline(60.33,19.67)(25.67,40.00) \multiput(60.33,19.67)(-0.20,0.12){170}{\line(-1,0){0.20}} %\end %\emline(25.67,40.00)(25.67,80.00) \put(25.67,40.00){\line(0,1){40.00}} %\end %\emline(25.67,80.00)(60.00,100.00) \multiput(25.67,80.00)(0.21,0.12){167}{\line(1,0){0.21}} %\end %\emline(60.00,100.00)(94.67,80.00) \multiput(60.00,100.00)(0.21,-0.12){167}{\line(1,0){0.21}} %\end %\emline(94.67,80.00)(94.67,40.00) \put(94.67,80.00){\line(0,-1){40.00}} %\end %\emline(94.67,40.00)(59.33,20.00) \multiput(94.67,40.00)(-0.21,-0.12){167}{\line(-1,0){0.21}} %\end %\emline(59.33,20.00)(59.33,20.00) \put(59.33,20.00){\line(0,1){0.00}} %\end %\emline(59.33,20.00)(59.33,99.67) \put(59.33,20.00){\line(0,1){79.67}} %\end %\emline(25.67,80.00)(94.67,40.00) \multiput(25.67,80.00)(0.21,-0.12){334}{\line(1,0){0.21}} %\end %\emline(25.67,40.00)(94.67,80.00) \multiput(25.67,40.00)(0.21,0.12){334}{\line(1,0){0.21}} %\end \put(25.67,80.00){\circle{4.00}} \put(59.67,99.67){\circle{4.00}} \put(94.67,80.00){\circle{4.00}} \put(94.67,40.00){\circle{4.00}} \put(59.33,20.33){\circle{4.00}} \put(25.67,40.00){\circle{4.00}} \put(59.33,110.00){\makebox(0,0)[cc]{abc}} \put(12.67,86.33){\makebox(0,0)[cc]{bac}} \put(12.33,32.67){\makebox(0,0)[cc]{cab}} \put(59.33,8.67){\makebox(0,0)[cc]{cba}} \put(107.67,33.00){\makebox(0,0)[cc]{bca}} \put(107.33,86.67){\makebox(0,0)[cc]{acb}} \end{picture}

\end{figure} \section{Po�et p�em�st�n�} \label{Po�et p�em�st�n�} Jinou mo�nost�, jak po��tat permutace je pou��t po�et jednotkov�ch cykl�. Ten se ur�� podle jednotkov�ch prvk� na hlavn� diagon�le jednotkov� permuta�n� matice zn�m�ch jako {\em nehybn� prvky}. Po�ty rozd�len� se mohou z�skat podle po�tu jednotek v rozd�len�ch. S pou�it�m t�to techniky pro uspo��d�n� do tabulek permuta�n�ch index�, dostaneme sloupcov� sou�ty zn�m� jako {\em po�et p�em�st�n�}. Jsou uk�zan� v tabulce \ref{Po�ty p�em�st�n�}. \begin{table} \caption{Po�ty p�em�st�n�} \label{Po�ty p�em�st�n�} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|} \hline s & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline n=0 & 1 & & & & & & & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & & & & & 2 \\ 3 & 2 & 3 & 0 & 1 & & & & 6 \\ 4 & 9 & 8 & 6 & 0 & 1 & & & 24 \\ 5 & 44 & 45 & 20 & 10 & 0 & 1 & & 120 \\ 6 & 265 & 264 & 135 & 40 & 15 & 0 & 1 & 720 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Rekurence je pon�kud p�ekvapuj�c�; po�et p�em�st�n� ��sel se z�sk� z nulov�ho sloupce jeho n�soben�m binomi�ln�mi koeficienty \begin{equation} r_{ij} = { i \choose j}r_{i-j,0} \end{equation} \label{rij} Porovnej to s tabulkou 4.6 rozd�len� uspo��dan�ch podle po�tu jednotkov�ch ��st�. Nyn� se tyto ��sti jsou jen kombinuj� s jin�mi ��stmi. Prvky tabulky \ref{Po�ty p�em�st�n�} se z�skaj� jako �leny pon�kud slo�it�ho v�razu \begin{equation} n! = 1 + (1 -1/1!)n + (1 -1/1! +1/2!)n(n-1) + \dots \end{equation} kter� lze formulovat jako \begin{equation} n! = \sum_{k=0}^n\;( -1/k!)^k(n)_k\;. \end{equation} \label{Sigma} Nap��klad: $4! = 1 + 0 + 1/2\times12 + 2/6\times24 + 9/24\times24.$ Nyn� je nutn� alespo� vysv�tlit, �e binomi�ln� koeficient ${ i \choose j}$ je pom�r t�� faktori�l� $i!/j!(i-j)!$. Jak se binomi�ln� koeficient z�sk�, uvid�me pozd�ji. Zde d�me p��klad jak 5-t� ��dka tabulky \ref{Po�ty p�em�st�n�} se z�sk�

pomoc� rovnice (\ref{Sigma}): $1\times44 + 5\times9 + 10\times2 + 10\times1 + 5\times0 +1\times1 = 120$. Po�ty p�em�st�n� $r_{i0}$ po��taj� permuta�n� matice s $i$ ��dky a sloupci, kter� nemaj� ��dn� jednotkov� prvky na diagon�le (��dn� nehybn� objekt). Tyto matice se kombinuj� s diagon�ln� jednotkovou matic� ${\bf I}$ s $(i-j)$ ��dky a sloupci v�emi mo�n�mi zp�soby po��tan�mi binomi�ln�m koeficientem. Po�ty p�em�st�n� $r_{i0}$ jsou zn�m� tak� jako {\em subfaktori�ly}, pon�vad� d�vaj� faktori�ly podle n�sleduj�c� rovnice, jej� �leny byly ur�eny podle \ref{rij}. Nyn� jsou vlo�eny jako form�ln� mocniny subfaktori�l� $r^i = r_i$: \begin{equation} n! = (r_i + 1)^n \end{equation} Je mo�n� formulovat rovnici (\ref{Sigma}) tak� v maticov� form� jako p��m� sou�in \begin{equation} \Delta(n!) = {\bf R}\times{\bf B}, \end{equation} kde ${\bf R}$ je matice subfaktori�l� v ��dc�ch a ${\bf B}$ je matic� binomi�ln�ch koeficient�. Invertov�n�m form�ln�ch mocnin dostaneme $r(n)_0 = (k!^n - 1)$. Vlo�en�m $(k!)^n = n!$ dostaneme vzorec \begin{equation} n! - { n \choose 1}(n-1)! + { n \choose 2}(n-2)! - \dots \pm { n \choose n}(n-n)! =(k!)^n \end{equation} To p�ejde pro $n$ jdouc� k nekone�nu \begin{equation} n![1 - 1 + 1/2! - 1/3! + \dots] \approx n^n/e^n\;, \end{equation} kde $e$ je z�kladna p�irozen�ch logaritm�. Tento p�ibli�n� vzorec d�v� hrubou Stirlingovu aproximaci faktori�l� velk�ch ��sel. Srovnej s p�esn�m vzorcem (\ref{Stirling aproximace}). M�li bychom zm�nit je�t� jinou form�ln� notaci pro subfaktori�ly. Je to notace teorie kone�n�ch diferenc�\footnote{Bude to vysv�tleno v podkapitole 9.4.}. \begin{equation} r_0(n) = [E - 1]^n0! = \Delta^n0!\;. \end{equation} Zde $\Delta^n$ nen� diagon�ln� matice, ale diference n-t�ho stupn�, nebo $n$ kr�t se opakuj�c� diference z�kladn�ho stavu $E$. Setk�me se s po�ty p�em�st�n� op�t v kapitole 14. Existuje je�t� jin� rekurence pro subfaktori�ly \begin{equation} r_{n0} = nr_{n-1,0} + (-1)^n \end{equation}

nap��klad $5\times9 - 1 = 44$; $6\times44 + 1 = 245$. Kdy� se vr�t�me k sch�matu rozd�len� v tabulce 7.3 a p�eklasifikujeme permutace bez podle po�tu cykl�, nebo, kdy� vynech�me z p�vodn�ho sch�matu (tabulka 7.2) v�echny permutace s jednotkov�mi cykly, dostaneme tabulku \ref{P�i�azen� Stirlingova ��sla prv�ho druhu} p�i�azen�ch Stirlingov�ch ��sel prv�ho druhu. \begin{table} \caption{P�i�azen� Stirlingova ��sla prv�ho druhu} \label{P�i�azen� Stirlingova ��sla prv�ho druhu} \begin{tabular}{|r|rrrr|r|} \hline j & 0 & 1 & 2 & 3 & $\Sigma= r$\\ \hline i=0 & 1 & & & & 1 \\ 1 & & 0 & & & 0 \\ 2 & & 1 & & & 1 \\ 3 & & 2 & & & 2 \\ 4 & & 6 & 3 & & 9 \\ 5 & & 24& 20 & & 44 \\ 6 & & 120& 130 & 15 & 265 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Rekurence je \begin{equation} a_{i+1,j} = i[a_{ij} + a_{i-1,j-1}]\;. \end{equation} Rekurence je op�t opr�vn�na mo�nostmi, jak p�ipojit nov� prvek k existuj�c�m cykl�m. Bu� jej m�eme vlo�it do existuj�c�ho cyklu nebo lze vytvo�it nov� cykl. Je jednodu��� to formulovat pro $(i + 1)$ matice. V $(i + 1)$ rozm�rn� matici m�me $i$ mo�nost� mimo diagon�lu, jak p�ipojit nov� prvek k existuj�c�m cykl�m. Nebo m�eme p�idat nov� dvou rozm�rn� cykl k matic�m s $(i - 1)$ ��dky se stejn�m po�tem mo�nost�. \section{Eulerova ��sla} \label{Eulerova ��sla} Nem�me vy�erp�ny v�echny mo�nosti jak klasifikovat permutace. Jin� statistika po��t� po�et {\em segment�} permutace, ve kter� jsou jej� prvky uspo��d�ny podle sv�ho p�irozen�ho po��dku jako vzestupn� indexy. Nap��klad permutace(357168942) se �t�p� do �ty� segment� 357/1689/4/2. Rekurence t�to statistiky, zn�m� jako Eulerova ��sla, je: \begin{equation} e_{11} = 1\;; e_{ij} = je_{i-1,j} + (i - j + 1)e_{i-1,j-1}\;. \end{equation} Pokud d�me i-t� prvek na konec ka�d�ho segmentu, po�et segment� z�st�v� nezm�n�n�. Pokud jej d�me na prv� m�sto, zv�t�ujeme po�et segment�. Podobn� pokud jej d�me dovnit� existuj�c�ho segmentu, ten se potom �t�p� do dvou segment�. Uvnit� segment� je $(i - j)$ m�st. Alternativn�m v�kladem je, �e tato statistika po��t� prvky permuta�n�ch matic, kter� jsou nad hlavn� diagon�lou. Zde index $j$ jde od 0 do $(n-1)$. Odpov�daj�c� matice je tabulka \ref{Eulerova ��sla}.

\begin{table} \caption{ Eulerova ��sla} \label{ Eulerova ��sla} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline i=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1& 1 & & & & & 2 \\ 3 & 1 & 4 & 1 & & & & 6 \\ 4 & 1 & 11 & 11 & 1 & & & 24 \\ 5 & 1 & 26 & 66 & 26 & 1 & & 120 \\ 6 & 1 & 57 & 302 & 302 & 57 & 1 & 720 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Ot�zka: Jak lze interpretovat inverzn� funkce Eulerov�ch ��sel? \section{Mac Mahonova ��sla} \label{Mac Mahonova ��sla} Doposud jsme se��tali permutace jako objekty. Nyn� budeme ur�ovat jejich momenty vyj�d�en� po�tem inverz� v permutaci. Po��taj� se podle po�tu nulov�ch prvk� nad jednotkov�mi prvky, kter� jsou pod hlavn� diagon�lou jako v p��klad�, kde 4 na prvn� m�st� m� 3 inverze a 3 na druh�m m�st� pouze 2 $$\left( \begin{array}{cccc} x & x & 1 & 0 \\ x & x & 0 & 1 \\ x & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\;.$$ Permutace klasifikovan� podle t�to metody d�vaj� Mac Mahonova ��sla jako v tabulce \ref{Mac Mahonova ��sla}. \begin{table} \caption{Mac Mahonova ��sla} \label{Mac Mahonova ��sla} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrr|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline n=1 & 1 & & & & & & & & & & \\ 2 & 1 & 1 & & & & & & & & & \\ 3 & 1 & 2 & 2 & 1 & & & & & & & \\ 4 & 1 & 3 & 5 & 6 & 5 & 3 & 1 & & & & \\ 5 & 1 & 4 & 9 & 15 & 20& 22 & 20 & 15 & 9 & 4 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} V�imn�te si, �e zde parametr $k$ nekon�� ��slem $n$ av�ak pokra�uje k hodnot� $n(n-1)/2$. Je to jako kdybychom se��tali tyto hodnoty na diagon�le �tverce. Maxim�ln� moment $k$ je sou�et hodnot $(i-1)$, kde $i$ jde od 1 a� k $n$

\begin{equation} \sum_{i=1}^n\;(i - 1) = { n \choose 2}\;. \end{equation} Rozd�len� moment� je symetrick�, tedy prvky matice jsou ve vztahu jako \begin{equation} m_{ik} = m_{i,[i(i-1)/2]-k}\;. \end{equation} Rekurence Mac Mahonov�ch ��sel $m_{ij}$ je \begin{equation} m_{ij} = \sum_{k=0}^n\;(m-k,n-1)\;;\ m_{10} = 1 \end{equation} nebo pro $k \leq i$: \begin{equation} m_{ij} = m_{i-1,j} + m_{i,j-1}\;. \end{equation} Pokud p�id�me k men�� permuta�n� matici jednotkov� prvek na posledn� m�sto diagon�ly, nem�n� se sou�et p�em�st�n�. To d�v� �len $m_{i-1,j}$. Matice se�ten� �lenem $m_{i,j-1}$ jsou sou�ty prvk� p�edchoz�ch ��dek, jejich� momenty jsou zv�en� p�i�ten�m nov�ho prvku v odpov�daj�c�m sloupci. Maj� po�adovan� rozm�r. Jejich momenty jsou zv�en� permutac� posledn�ho prvku do prv�ho sloupce. \section{Spearman�v korela�n� koeficient} \label{Spearman�v korela�n� koeficient} \begin{figure} \caption{24 permutac� �ady {\bf abcd}. Jsou rozd�leny do �ty� mno�in za��naj�c�mi kapit�lkami. Uspo��dejte zb�vaj�c� t�� symboly a v�echny permutace na kouli} \label{24 permutace} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(150.00,150.00) %\emline(60.00,52.67)(80.00,52.67) \put(60.00,52.67){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(80.00,52.67)(90.00,70.00) \multiput(80.00,52.67)(0.12,0.21){84}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(90.00,70.00)(80.00,87.33) \multiput(90.00,70.00)(-0.12,0.21){84}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(80.00,87.33)(60.00,87.33) \put(80.00,87.33){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(60.00,87.33)(50.00,70.00) \multiput(60.00,87.33)(-0.12,-0.21){84}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(50.00,70.00)(60.33,52.67) \multiput(50.00,70.00)(0.12,-0.20){87}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\emline(59.33,102.67)(79.33,102.67)

\put(59.33,102.67){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(79.33,102.67)(89.33,120.00) \multiput(79.33,102.67)(0.12,0.21){84}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(89.33,120.00)(79.33,137.33) \multiput(89.33,120.00)(-0.12,0.21){84}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(79.33,137.33)(59.33,137.33) \put(79.33,137.33){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(59.33,137.33)(49.33,120.00) \multiput(59.33,137.33)(-0.12,-0.21){84}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(49.33,120.00)(59.67,102.67) \multiput(49.33,120.00)(0.12,-0.20){87}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\emline(7.00,45.33)(17.67,27.00) \multiput(7.00,45.33)(0.12,-0.21){89}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(17.67,27.00)(37.67,27.00) \put(17.67,27.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(37.67,27.00)(47.33,44.67) \multiput(37.67,27.00)(0.12,0.22){81}{\line(0,1){0.22}} %\end %\emline(47.33,44.67)(36.33,62.33) \multiput(47.33,44.67)(-0.12,0.19){92}{\line(0,1){0.19}} %\end %\emline(36.33,62.33)(16.67,62.33) \put(36.33,62.33){\line(-1,0){19.67}} %\end %\emline(16.67,62.33)(7.00,45.67) \multiput(16.67,62.33)(-0.12,-0.21){81}{\line(0,-1){0.21}} %\end %\emline(92.67,44.67)(103.00,62.00) \multiput(92.67,44.67)(0.12,0.20){87}{\line(0,1){0.20}} %\end %\emline(103.00,62.00)(123.00,62.00) \put(103.00,62.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(123.00,62.00)(133.33,44.67) \multiput(123.00,62.00)(0.12,-0.20){87}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\emline(133.33,44.67)(123.00,27.00) \multiput(133.33,44.67)(-0.12,-0.20){87}{\line(0,-1){0.20}} %\end %\emline(123.00,27.00)(102.67,27.00) \put(123.00,27.00){\line(-1,0){20.33}} %\end %\emline(102.67,27.00)(93.00,44.67) \multiput(102.67,27.00)(-0.12,0.22){81}{\line(0,1){0.22}} %\end %\circle(70.00,70.00){119.20} \multiput(70.00,129.60)(1.74,-0.10){4}{\line(1,0){1.74}} \multiput(76.94,129.20)(0.62,-0.11){11}{\line(1,0){0.62}} \multiput(83.80,127.98)(0.39,-0.12){17}{\line(1,0){0.39}} \multiput(90.46,125.98)(0.27,-0.12){24}{\line(1,0){0.27}}

\multiput(96.84,123.22)(0.20,-0.12){30}{\line(1,0){0.20}} \multiput(102.86,119.73)(0.16,-0.12){35}{\line(1,0){0.16}} \multiput(108.43,115.56)(0.13,-0.12){40}{\line(1,0){0.13}} \multiput(113.48,110.77)(0.12,-0.14){38}{\line(0,-1){0.14}} \multiput(117.93,105.43)(0.12,-0.18){32}{\line(0,-1){0.18}} \multiput(121.73,99.60)(0.12,-0.24){26}{\line(0,-1){0.24}} \multiput(124.83,93.37)(0.12,-0.33){20}{\line(0,-1){0.33}} \multiput(127.18,86.82)(0.11,-0.48){14}{\line(0,-1){0.48}} \multiput(128.75,80.05)(0.11,-0.99){7}{\line(0,-1){0.99}} \put(129.52,73.13){\line(0,-1){6.96}} \multiput(129.48,66.18)(-0.11,-0.86){8}{\line(0,-1){0.86}} \multiput(128.63,59.27)(-0.12,-0.48){14}{\line(0,-1){0.48}} \multiput(126.98,52.51)(-0.12,-0.31){21}{\line(0,-1){0.31}} \multiput(124.55,45.99)(-0.12,-0.23){27}{\line(0,-1){0.23}} \multiput(121.38,39.80)(-0.12,-0.18){33}{\line(0,-1){0.18}} \multiput(117.52,34.02)(-0.12,-0.14){38}{\line(0,-1){0.14}} \multiput(113.00,28.73)(-0.13,-0.12){40}{\line(-1,0){0.13}} \multiput(107.90,24.00)(-0.16,-0.12){35}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(102.28,19.90)(-0.21,-0.12){29}{\line(-1,0){0.21}} \multiput(96.22,16.48)(-0.28,-0.12){23}{\line(-1,0){0.28}} \multiput(89.81,13.78)(-0.39,-0.11){17}{\line(-1,0){0.39}} \multiput(83.12,11.86)(-0.69,-0.11){10}{\line(-1,0){0.69}} \multiput(76.26,10.73)(-2.32,-0.11){3}{\line(-1,0){2.32}} \multiput(69.31,10.40)(-1.39,0.10){5}{\line(-1,0){1.39}} \multiput(62.37,10.89)(-0.62,0.12){11}{\line(-1,0){0.62}} \multiput(55.53,12.18)(-0.37,0.12){18}{\line(-1,0){0.37}} \multiput(48.89,14.26)(-0.26,0.12){24}{\line(-1,0){0.26}} \multiput(42.54,17.10)(-0.20,0.12){30}{\line(-1,0){0.20}} \multiput(36.57,20.66)(-0.15,0.12){36}{\line(-1,0){0.15}} \multiput(31.04,24.89)(-0.12,0.12){41}{\line(-1,0){0.12}} \multiput(26.05,29.74)(-0.12,0.15){37}{\line(0,1){0.15}} \multiput(21.66,35.13)(-0.12,0.18){32}{\line(0,1){0.18}} \multiput(17.93,41.00)(-0.12,0.24){26}{\line(0,1){0.24}} \multiput(14.90,47.27)(-0.12,0.35){19}{\line(0,1){0.35}} \multiput(12.63,53.84)(-0.11,0.52){13}{\line(0,1){0.52}} \multiput(11.14,60.64)(-0.12,1.15){6}{\line(0,1){1.15}} \multiput(10.45,67.56)(0.06,3.48){2}{\line(0,1){3.48}} \multiput(10.57,74.51)(0.12,0.86){8}{\line(0,1){0.86}} \multiput(11.50,81.41)(0.12,0.45){15}{\line(0,1){0.45}} \multiput(13.23,88.15)(0.12,0.31){21}{\line(0,1){0.31}} \multiput(15.73,94.64)(0.12,0.22){28}{\line(0,1){0.22}} \multiput(18.97,100.79)(0.12,0.17){33}{\line(0,1){0.17}} \multiput(22.90,106.53)(0.12,0.13){39}{\line(0,1){0.13}} \multiput(27.48,111.77)(0.13,0.12){39}{\line(1,0){0.13}} \multiput(32.64,116.44)(0.17,0.12){34}{\line(1,0){0.17}} \multiput(38.30,120.48)(0.22,0.12){28}{\line(1,0){0.22}} \multiput(44.40,123.83)(0.29,0.12){22}{\line(1,0){0.29}} \multiput(50.85,126.44)(0.42,0.12){16}{\line(1,0){0.42}} \multiput(57.55,128.29)(1.13,0.12){11}{\line(1,0){1.13}} %\end %\emline(70.00,129.67)(70.00,70.00) \put(70.00,129.67){\line(0,-1){59.67}} %\end %\emline(70.00,70.00)(121.33,40.00) \multiput(70.00,70.00)(0.20,-0.12){251}{\line(1,0){0.20}} %\end %\emline(70.00,69.33)(18.33,40.00) \multiput(70.00,69.33)(-0.21,-0.12){245}{\line(-1,0){0.21}}

%\end \put(70.00,56.67){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(61.00,112.33){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(106.33,35.00){\makebox(0,0)[cc]{C}} \put(33.67,35.33){\makebox(0,0)[cc]{D}} \put(16.00,62.33){\circle{4.00}} \put(36.33,62.33){\circle{4.00}} \put(47.00,45.00){\circle{4.00}} \put(37.33,27.00){\circle{4.00}} \put(17.33,27.00){\circle{4.00}} \put(7.00,45.00){\circle{4.00}} \put(60.00,52.67){\circle{4.00}} \put(50.33,70.00){\circle{4.00}} \put(60.33,87.33){\circle{4.00}} \put(80.33,87.33){\circle{4.02}} \put(89.67,70.33){\circle{4.00}} \put(80.00,52.67){\circle{4.00}} \put(102.67,62.00){\circle{4.00}} \put(123.00,62.00){\circle{4.00}} \put(133.33,44.67){\circle{4.00}} \put(123.33,27.00){\circle{4.00}} \put(102.33,27.00){\circle{4.00}} \put(93.33,44.67){\circle{4.00}} \put(59.33,102.67){\circle{4.00}} \put(79.67,102.67){\circle{4.00}} \put(89.00,120.00){\circle{4.00}} \put(79.67,137.33){\circle{4.00}} \put(59.33,137.33){\circle{4.00}} \put(49.67,120.33){\circle{4.00}} \end{picture} \end{figure} Sou�et rozd�l� poloh v�ech objekt� permutovan� ve srovn�n� se z�kladn� jednotkovou permutac� je v�dy 0. Tyto rozd�ly mohou b�t bu� kladn� nebo z�porn�. Sou�et �tverc� rozd�l� mus� b�t nutn� kladn�. Tyto rozd�ly poloh mohou b�t pojedn�ny jako vzd�lenosti v krychli (viz obr. \ref{Centr�ln� orbita v 3 rozm�rn� krychle se stranou 0-2}) pro t��rozm�rn� p��pad obr. \ref{24 permutace} kde je nakreslen �ty�rozm�rn� p��pad). $$\begin{tabular}{|l|rrrrr|l|} \hline Referen�n� bod:\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ Permuta�n� bod: & 5 & 2 & 4 & 3 & 1 & \\ \hline (2-1) & 4 & 0 & 1 & -1 & -4 & 0 \\ \hline �tverce & 16& 0 & 1 & 1 & 16 & 34\\ \hline \end{tabular}$$ Pokud pod�l�me z�skan� hodnoty nejv�t��m mo�n�m sou�tem �tverc�, kter� je 40 pro $n=5$, dostaneme hodnoty jdouc� od 0 k 1, kter� charakterizuj� permutace a jsou zn�m� jako {\em Spearman�v korela�n� koeficient}. Pou��v� se pro vyhodnocen� pravd�podobnosti z�skan� po��dkov� statistiky. \section{Redukovan� grupy cyklick�ch permutac�} \label{Redukovan� grupy cyklick�ch permutac�}

Doposud jsme pracovali s permutacemi, kter� se �etly pouze z jedn� strany. V�t�ina na�ich symbol� ur�uje, z kter� strany se mus� ��st(s n�kter�mi vyjimkami jako jsou W, A, T, 8 a jin� symetrick� symboly). P�edstavte si nyn�, �e permutace je reprezentovan� �adou barevn�ch kor�lk� jako \begin{center} (�erven�)-(modr�)-(b�l�)-(zelen�)-(�lut�) \end{center} Pokud najdeme takovou �adu n�hodn�, nem�eme ��ci, z kter� strany ji m�me ��st. V�sledkem je, �e nem�eme odli�it polovinu permutac� jako: $$123 \leftrightarrow 321;\ 213 \leftrightarrow 312;\ 132 \leftrightarrow 231\;. $ $ Jm�no takov� grupy, kter� je nerozli�uje �ten� z obou stran je {\em dihedr�ln�}. Je�t� slo�it�j�� situace vznikne, pokud �ada barevn�ch kor�lk� tvo�� n�hrdeln�k. Potom nem�eme nal�zt ani sm�r �ten� ani po��tek permutace. Tedy m�me nerozli�iteln� permutace: $$ (123-231-312)\leftrightarrow (213-132-321)\;.$$ Z probl�m� spojen�ch zasedac�ch po��dk�}: takov�m zp�sobem, �e Pro $n = 4$ existuj�

s t�mito redukovan�mi grupami zm�n�me pouze �lohu {\em $n$ sezdan�ch dvojic by se m�lo rozsadit u kulat�ho stolu �ena m� sed�t mezi 2 mu�i nikoliv v�ak vedle sv�ho man�ela. 2 zasedac� po��dky (obr. \ref{Probl�m zasedac�ch po��dk�}).

\begin{figure} \caption{Probl�m zasedac�ch po��dk�. Dva zasedac� po��dky pro �ty�i dvojice} \label{Probl�m zasedac�ch po��dk�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(160.00,80.00) %\circle(40.00,40.00){40.67} \multiput(40.00,60.34)(1.24,-0.11){3}{\line(1,0){1.24}} \multiput(43.72,59.99)(0.40,-0.11){9}{\line(1,0){0.40}} \multiput(47.31,58.98)(0.24,-0.12){14}{\line(1,0){0.24}} \multiput(50.66,57.32)(0.16,-0.12){19}{\line(1,0){0.16}} \multiput(53.65,55.08)(0.11,-0.12){22}{\line(0,-1){0.12}} \multiput(56.17,52.33)(0.12,-0.19){17}{\line(0,-1){0.19}} \multiput(58.15,49.16)(0.11,-0.29){12}{\line(0,-1){0.29}} \multiput(59.52,45.69)(0.12,-0.61){6}{\line(0,-1){0.61}} \put(60.24,42.02){\line(0,-1){3.73}} \multiput(60.26,38.29)(-0.11,-0.61){6}{\line(0,-1){0.61}} \multiput(59.61,34.61)(-0.12,-0.32){11}{\line(0,-1){0.32}} \multiput(58.29,31.12)(-0.11,-0.19){17}{\line(0,-1){0.19}} \multiput(56.36,27.92)(-0.12,-0.13){21}{\line(0,-1){0.13}} \multiput(53.88,25.13)(-0.15,-0.11){20}{\line(-1,0){0.15}} \multiput(50.92,22.85)(-0.22,-0.11){15}{\line(-1,0){0.22}} \multiput(47.60,21.14)(-0.40,-0.12){9}{\line(-1,0){0.40}} \multiput(44.03,20.07)(-0.93,-0.10){4}{\line(-1,0){0.93}} \multiput(40.31,19.67)(-1.24,0.10){3}{\line(-1,0){1.24}} \multiput(36.59,19.95)(-0.40,0.11){9}{\line(-1,0){0.40}} \multiput(32.98,20.91)(-0.24,0.11){14}{\line(-1,0){0.24}} \multiput(29.61,22.52)(-0.16,0.12){19}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(26.59,24.71)(-0.12,0.12){22}{\line(0,1){0.12}} \multiput(24.02,27.42)(-0.12,0.18){17}{\line(0,1){0.18}} \multiput(21.99,30.56)(-0.12,0.29){12}{\line(0,1){0.29}} \multiput(20.57,34.01)(-0.11,0.52){7}{\line(0,1){0.52}}

\put(19.80,37.66){\line(0,1){3.73}} \multiput(19.71,41.40)(0.12,0.74){5}{\line(0,1){0.74}} \multiput(20.31,45.08)(0.11,0.32){11}{\line(0,1){0.32}} \multiput(21.57,48.60)(0.12,0.20){16}{\line(0,1){0.20}} \multiput(23.45,51.82)(0.12,0.13){21}{\line(0,1){0.13}} \multiput(25.90,54.65)(0.15,0.12){20}{\line(1,0){0.15}} \multiput(28.81,56.98)(0.22,0.12){15}{\line(1,0){0.22}} \multiput(32.11,58.74)(0.36,0.11){10}{\line(1,0){0.36}} \multiput(35.67,59.87)(1.08,0.12){4}{\line(1,0){1.08}} %\end %\circle(110.00,40.00){40.67} \multiput(110.00,60.34)(1.24,-0.11){3}{\line(1,0){1.24}} \multiput(113.72,59.99)(0.40,-0.11){9}{\line(1,0){0.40}} \multiput(117.31,58.98)(0.24,-0.12){14}{\line(1,0){0.24}} \multiput(120.66,57.32)(0.16,-0.12){19}{\line(1,0){0.16}} \multiput(123.65,55.08)(0.11,-0.12){22}{\line(0,-1){0.12}} \multiput(126.17,52.33)(0.12,-0.19){17}{\line(0,-1){0.19}} \multiput(128.15,49.16)(0.11,-0.29){12}{\line(0,-1){0.29}} \multiput(129.52,45.69)(0.12,-0.61){6}{\line(0,-1){0.61}} \put(130.24,42.02){\line(0,-1){3.73}} \multiput(130.26,38.29)(-0.11,-0.61){6}{\line(0,-1){0.61}} \multiput(129.61,34.61)(-0.12,-0.32){11}{\line(0,-1){0.32}} \multiput(128.29,31.12)(-0.11,-0.19){17}{\line(0,-1){0.19}} \multiput(126.36,27.92)(-0.12,-0.13){21}{\line(0,-1){0.13}} \multiput(123.88,25.13)(-0.15,-0.11){20}{\line(-1,0){0.15}} \multiput(120.92,22.85)(-0.22,-0.11){15}{\line(-1,0){0.22}} \multiput(117.60,21.14)(-0.40,-0.12){9}{\line(-1,0){0.40}} \multiput(114.03,20.07)(-0.93,-0.10){4}{\line(-1,0){0.93}} \multiput(110.31,19.67)(-1.24,0.10){3}{\line(-1,0){1.24}} \multiput(106.59,19.95)(-0.40,0.11){9}{\line(-1,0){0.40}} \multiput(102.98,20.91)(-0.24,0.11){14}{\line(-1,0){0.24}} \multiput(99.61,22.52)(-0.16,0.12){19}{\line(-1,0){0.16}} \multiput(96.59,24.71)(-0.12,0.12){22}{\line(0,1){0.12}} \multiput(94.02,27.42)(-0.12,0.18){17}{\line(0,1){0.18}} \multiput(91.99,30.56)(-0.12,0.29){12}{\line(0,1){0.29}} \multiput(90.57,34.01)(-0.11,0.52){7}{\line(0,1){0.52}} \put(89.80,37.66){\line(0,1){3.73}} \multiput(89.71,41.40)(0.12,0.74){5}{\line(0,1){0.74}} \multiput(90.31,45.08)(0.11,0.32){11}{\line(0,1){0.32}} \multiput(91.57,48.60)(0.12,0.20){16}{\line(0,1){0.20}} \multiput(93.45,51.82)(0.12,0.13){21}{\line(0,1){0.13}} \multiput(95.90,54.65)(0.15,0.12){20}{\line(1,0){0.15}} \multiput(98.81,56.98)(0.22,0.12){15}{\line(1,0){0.22}} \multiput(102.11,58.74)(0.36,0.11){10}{\line(1,0){0.36}} \multiput(105.67,59.87)(1.08,0.12){4}{\line(1,0){1.08}} %\end \put(40.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(70.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(40.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} \put(10.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{d}} \put(110.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(140.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(110.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} \put(80.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{d}} \put(60.33,60.33){\makebox(0,0)[cc]{C}} \put(60.33,19.33){\makebox(0,0)[cc]{D}} \put(19.33,19.33){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(19.00,60.33){\makebox(0,0)[cc]{B}}

\put(89.67,60.33){\makebox(0,0)[cc]{C}} \put(130.33,60.33){\makebox(0,0)[cc]{D}} \put(130.33,19.67){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(89.33,19.67){\makebox(0,0)[cc]{B}} \end{picture} \end{figure} Po�ty zasedac�ch po��dk� M(n) jsou: $$\begin{tabular}{|r|rrrrrrr|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline M(n)& 2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 13 & 80 \\ \hline \end{tabular}$$ Z�porn� hodnota u $n = 1$ je nutn� pro souhlas s rekurentn�m vztahem: \begin{equation} (n - 2)U_n = n(n - 2)U_{n-1} + nU_{n-2} +4(-1)^{n+1}\;. \end{equation} Nap��klad: $3U_5^6 = 15\times2 + 5\times1 + 4(-1) = 39;\ U_5^6 = 13$. \section{Grupy symetrie} \label{Grupy symetrie} Doposud jsme p�edpokl�dali, �e vektory jsou definov�ny v multidimension�ln�m prostoru a �e po�et permutac� je ur�en rozm�rnost� prostoru. Je mo�n� definovat grupy, kter� jsou pouze isomorfn� s n�jakou Grupou $S_n$ cyklick�ch permutac�. Jako p��klad zavedeme grupu 6 matic se 2 ��dky a sloupci, kter� je isomorfn� s $S_3$: $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} {\bf I}\\ \\ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \\ \\ {\bf A}\\ \\ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf D} \\ \\

\left( \begin{array}{cc} -1/2 & \sqrt 3/2 \\ \sqrt 3/2 & 1/2 \end{array} \right) \\ \\ {\bf G}\\ \\ \left( \begin{array}{cc} -1/2 & -\sqrt 3/2 \\ \sqrt 3/2 & -1/2 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf E} \\ \\ \left( \begin{array}{cc} -1/2 & -\sqrt 3/2 \\ \sqrt 3/2 & -1/2 \end{array} \right) \\ \\ {\bf P} \\ \\ \left( \begin{array}{cc} -1/2 & \sqrt 3/2 \\ \sqrt 3/2 & 1/2 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Pokud n�sob�me t�mito 2 rozm�rn�mi maticemi vektor-��dku zprava (nebo vektorsloupec zleva) jej�ch Euklidovsk� d�lka z�st�v� konstantn�, nikoliv v�ak sou�et jejich prvk�. ��inek t�chto matic lze uk�zat na jednotkov� kru�nici. Oper�tory $ {\bf I}$ a ${\bf A}$ jsou vz�jemn� ortogon�ln�, jin� matice ot��ej� vektory o $(2/3)\pi$, to je o 120 stup��, 0.5 je $\cos 60 ^0$, $\sqrt 3/2 = 0.866 = 30 ^0$. M�sto cykl� rozd�ln�ch d�lek se objevuj� v symetrie.

t��rozm�rn�m geometrii nov� prvky

Jsou tu {\em osy ot��en�}. Pokud obr�zek m� $k$ rozm�rnou osu ot��en�, m� $k$ ekvivalentn�ch poloh a vr�t� se do sv� p�vodn� polohy po $k$ translac�ch, kter� jej ot��ej� okolo osy. Jin�m druhem prvk� symetrie je {\em rovina zrcadlen�}, kter� odr�� obr�zek jako dvojstrann� zrcadlo. Tyto z�kladn� prvky symetrie se kombinuj� rozd�ln�mi zp�soby a jejich syst�my jsou zn�m� pod rozd�ln�mi jm�ny. \section{Vierer Gruppe} \label{Vierer Gruppe}

Jedna soustava 4 jednotkov�ch permuta�n�ch matic $4\times4$ je: $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf I}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{array} \right) \\ \\ {\bf A} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} & 1 & & \\ 1 & & & \\ & & & 1 \\ & & 1 & \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} & & 1 & \\ & & & 1 \\ 1 & & & \\ & 1 & & \end{array} \right) \\ \\ {\bf C} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \\ 1 & & & \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Pokud si p�edstav�me, �e t�mito maticemi permutujeme vrcholy �tverce ozna�en� a, b, c, d, potom ${\bf I}$ je identita, kter� nech�v� polohy roh� �tverce nezm�n�n�, ${\bf A}$ a ${\bf C}$ odr�ej� podle rovin rovnob�n�ch se stranami �tverce ${\bf B} $ ot��� rohy �tverce okolo st�edu. Grupa obsahuje v�echny mo�n� sou�iny t�chto �ty� matic.

S grupou t�chto �ty� matic jsou isomorfn� takov� grupy matic, kter� se z�skaj� n�soben�m jednotkov� permuta�n� matice ${\bf P}$ zleva vhodnou matic� a zprava jej� inverzn� matic� \begin{equation} {\bf UPU}^{-1} = {\bf P}_a\;;\ {\bf UU}^{-1} = {\bf I}\;. \end{equation} S pou�it�m Hadamardov�ch matic dostaneme jin� grupy �ty� matic $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf I}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{array} \right)\\ \\ {\bf A} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & -1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & -1 & & \\ & & 1 & \\ & & & -1 \end{array} \right) \\ \\ {\bf C} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 1 \end{array} \right) \end{array}

\end{array}\;.$$ V�imn�te si, �e odpov�daj�c� matice v obou grup�ch maj� identick� stopy, kter� jsou zn�m� jako {\em charaktery grupy}. \chapter{Naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form�} \label{Naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form�} \section{Jin� faktori�ln� funkce} \label{Jin� faktori�ln� funkce} D��ve ne� budeme studovat v�echny naivn� matice ${\bf N}$, budeme pracovat nejprve s naivn�mi maticemi v {\em doln� troj�heln�kov� form�}, kter� tvo�� a podgrupu naivn�ch matic. Zb�vaj�c� naivn� matice se z nich mohou z�skat permutov�n�m sloupc� jednotkov�mi permuta�n�mi maticemi ${\bf P}$ zprava. P�ipome�te si, �e naivn� matice ${\bf N}$ maj� jeden jednotkov� prvek v ka�d� ��dce. Pokud matice je v doln� troj�heln�kov� form�, potom v�echny jej� nenulov� prvky mus� b�t na nebo pod hlavn� diagon�lou. Podobn�, pokud matice je v horn� troj�heln�kov� form�, potom v�echny jej� nenulov� prvky mus� b�t na nebo nad hlavn� diagon�lu. Ze v�ech permuta�n�ch matic ${\bf P}$ pouze {\em matice identity} ${\bf I}$ m� troj�heln�kov� tvar. Av�ak ta existuje sou�asn� v obou troj�heln�kov�ch tvarech jako v�echny diagon�ln� matice. Existuje pouze jedno m�sto v prv� ��dce doln� troj�heln�kov� formy pro jednotkov� prvek, dv� m�sta jsou v druh� ��dce a v�dy o jedno m�sto v�ce v ka�d� n�sleduj�c� ��dce pro jednotkov� prvek. Tato situace je pr�v� opa�n� ke konstrukci permuta�n� matice. Tam se mo�nosti um�st�n� jednotkov�ch prvk� sni�ovaly v ka�d� ��dce. Nicm�n� oba p��stupy d�vaj� stejn� v�sledek. Tedy existuje n! naivn�ch matic v doln� troj�heln�kov� form� (nebo v p��pad� transponovan� naivn� matice ${\bf N}^{\rm T}$ v horn� troj�heln�kov� form�). Transponovan� naivn� matice lze mapovat na body s p�irozen�mi koordin�tami v m rozm�rn� krychli. Pokud ponech�me prvn� sloupec jako fale�nou prom�nnou (indexovanou jako nulov� sloupec) pro st�ed soustavy koordin�t: ${\bf e}_{0j} = 1$, naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� se m�e srovn�vat s �leny form�ln�ho n�soben� \begin{equation} (1)(1 + a)(1 + a + b)(1 + a +\dots) = \prod_{j=1}^n\;(\sum_{j=1}^n\; {\bf e}_j)\;. \end{equation} V�echny transponovan� matice ${\bf N}$ jsou um�st�ny v m rozm�rn�m pravo�hl�m rovnob�n�ku, jeho� strany jsou $0,1,2,3,..,(n-1)$. S t�mito maticemi se budou opakovat v�echny klasifikace jako u permuta�n�ch matic. Matice s $m$ ��dky tvo�� v t�chto paralepidech faktori�ln� rovinn� simplexy. Srovnej je s vytvo�uj�c�mi funkcemi rozd�len� vysv�tlen�mi v podkapitole 4.10, kde po�et prvk� se tak� sni�oval, av�ak z jin�ch d�vod�. \section{Klasifikace v klesaj�c�m po��dku} \label{Klasifikace v klesaj�c�m po��dku} V p�edch�zej�c� kapitole byly zavedeny Youngovy tabulky a porovn�ny s konvolucemi maj�c�mi pouze cykly d�lky 1 a 2. Youngovy tabulky odpov�daj� naivn�m matic�m, jejich� ��ste�n� sloupcov� sou�ty jsou uspo��dan� v�dy v klesaj�c�m po��dku: \begin{equation} \sum_{i=1}^k\;n_{ij} \geq \sum_{i=1}^k\;n_{i,j+1}\;. \end{equation}

Nap��klad dv� naivn� matice $n=3$ jsou vylou�eny t�mto pravidlem: $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} ${\bf A}$ \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} ${\bf B}$ \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\;. \end{array} \end{array}$$ ${\bf A}$ je vylou�en� pon�vad� $b^2 > a$, ${\bf B}$ je vylou�en� pon�vad� $c > b^0$. \section{Stirlingova ��sla prv�ho druhu} \label{Stirlingova ��sla prv�ho druhu} Tato ��sla po��taj� naivn� matice klasifikovan� podle po�tu $k$ prvk� na hlavn� diagon�le \begin{equation} s_{nk} = (n - 1)s_{n-1,k} +s_{n-1,k-1}\;. \end{equation} Pod diagon�lou v n t� ��dce je $(n - 1)$ m�st, kter� lze p�idat hlavn� diagon�le bez zm�ny $k$. To n�sob� prvn� �len.

s $k$ prvky na

Pokud p�id�me $1_{nn}$, zvy�ujeme po�et prvk� na hlavn� diagon�le po��tan�ch druh�m �lenem. Viz tabulku 7.2. To nen� v�echno, co m�e b�t �e�eno o Stirlingov�ch ��slech prv�ho druhu. Pokud n�sob�me Stirlingova ��sla prv�ho druhu p��mo mocninami $2^{j-1}$ dostaneme tabulku, jej� ��dkov� sou�ty jsou stejn� polovin� vy���ho faktori�lu $(i+1)!/2$ jako v $$\begin{tabular}{|r|rrrrr|r|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ \hline m=1& 1 & & & & & 1 \\

2 & 1 & 2 & & & & 3 & 2 & 6 & 4 & & 4 & 6 & 22 & 24 & 5& 24 & 100 & 140 \hline \end{tabular}$$

3 & 8 &

\\ 12 \\ & & 60 \\ 80 & 16 & 360 \\

Kdy� n�sob�me Stirlingova ��sla mocninami $2^(i-j)$, potom ��dkov� sou�ty d�vaj� $(2i - 1)!/i!2^i$ nebo sou�iny $m$ lich�ch ��sel $1\times3\times5\times\dots$. Faktori�l je zbaven sud�ch ��sel. $$\begin{tabular}{|r|rrrrr|r|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & & 1 \\ 2 & 2 & 1 & & & & 3 \\ 3 & 8 & 6 & 1 & & & 15 \\ 4 & 48 & 44 & 12 & 1 & & 105 \\ 5 & 384 & 400 & 140 & 20 & 1 & 945 \\ \hline \end{tabular}$$ Pokud sloupce se n�sob� sloupcem $\pm$ st��daj�c�ch se znam�nek, potom V prvn�m p��pad� ��dkov� sou�ty jsou nulov�, vyjma $m=2$, v druh�m d�vaj� ni��� lich� faktori�ly\footnote{To je uvedeno bez d�kazu. D�kaz bude uk�z�n pozd�ji.}. \section{Eulerovy polynomi�ly} \label{Eulerovy polynomi�ly} Eulerova ��sla (tabulka 7.5) klasifikuj� naivn� matice podle po�tu $k$ nenulov�ch sloupc�. M�eme p�idat nov� prvek v posledn� ��dce do $k$ u� obsazen�ch sloupc� nebo jej m�eme d�t do $(n - k)$ neobsazen�ch sloupc�. Je jasn�, �e index $k$ zde nem�e b�t 0, jak bylo v�hodn� u permuta�n�ch matic. Eulerova ��sla jsou jen po��tek s�rie polynomi�l� $E_n(r)$ kde $r = 1$. Euler�v polynomi�l $E_n(2)$ se z�sk� n�soben�m ka�d�ho p�edchoz�ho sloupce, vyjma prv�ho, mocninami 2 jako kdyby prvky naivn� matice ve sloupc�ch m�ly znam�nka $\pm$ a v�echny kombinace znam�nek byly p�ijateln� a nalezly se rozd�ly n�sleduj�c�ch se sloupc�. V�sledn� ��sla jsou uvedena v tabulce 8.1, jej� prvky jsou rozd�ly matice z�skan� n�soben�m matice Eulerov�ch ��sel matic� m-t� mocniny 2: $$\begin{tabular}{rrrr|rrrrr|rrrrr} & & & & \ & 1 & 1 & 1 & 1 & \ & 1 & -1 & & \\ & & & & & & 2 & 2 & 2 & & & 1 & -1 & \\ & & & & & & & 4 & 4 & & & & 1 & \\ & & & & & & & & 8 & & & & & 1 \\ \hline 1 & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & &1 & & & \\ 1 & 1 & & & & 1 & 3 & 3 & 3 & &1 & 2 & & \\ 1 & 4 & 1 & & & 1 & 9 & 13 & 13 & &1 & 8 & 4 & \\ 1 & 11 & 11 & 1 & & 1 & 23 & 67 & 75 & &1 & 22 & 44 & 8 \\ \end{tabular}$$ \begin{table} \caption{Eulerovy polynomi�ly $E_n(2)$} \label{Eulerovy polynomi�ly $E_n(2)$} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|}

\hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline n=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 2 & & & & & 3 \\ 3 & 1 & 8 & 4 & & & & 13 \\ 4 & 1 & 22 & 44 & 8 & & & 75 \\ 5 & 1 & 52 & 264 & 208 & 16 & & 541 \\ 6 & 1 & 114 & 1208 & 2416 & 912 & 32 & 4683 \\ \hline \end{tabular} \end{table} ��dkov� sou�ty tabulky 7.1 jsou zaj�mav�. Generuj� se p��mo form�ln� rovnic� \begin{equation} [1 + E(k)]^m = 2E(m) \end{equation} kde $E(k)^i = E(i)$ a $E(0) = 1$. Potom \begin{equation} 2E(1) = { 1 \choose 0}E(0) + { 1 \choose 1}E(1)\;, \end{equation} z toho E(1) = 1 a tak d�le. Tato ��sla se budou objevovat pozd�ji mnohokr�t jako rozd�ly �pln�ch rovinn�ch simplex�, av�ak zde se objevuj� jako roz���en� faktori�ln�ch simplex� nebo jako maticov� sou�in Eulerova ��sla s diagon�ln� matic� mocnin $2^{j-1}$. \section{Mac Mahonova ��sla} \label{Mac Mahonova ��sla} Tato statistika (tabulka 7.6) po��t� naivn� matice podle jejich moment� (nebo po��t�n�m pr�zdn�ch m�st ve v�ech ��dc�ch k prvn�mu jednotkov�mu prvku), kter� se z�skaj� n�soben�m naivn� matice diagon�ln� matic� s indexy $\Delta(j - 1)$. Rekurence se z�sk� z men��ch matic opakov�n�m �len� $n$ kr�t p�edposledn� ��dky tabulky Mac Mahonov�ch ��sel se stejn�mi nebo zv�en�mi momenty. Pokud jednotkov� prvek v posledn� ��dce se um�st� v prv�m sloupci, moment z�st�v� stejn� a zv�� se a� na $(n-1)$, pokud se um�st� v n-t�m sloupci. Z ka�d� matice s $(n-1)$ ��dky vznikne $n$ nov�ch matic. Jejich momenty se po��taj� jako nap��klad pro $n = 5$: $$\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrr|} \hline Momenty: & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10 \\ \hline 4 ��dky a sloupce& 1 & 3 & 5 & 6 & 5 & 3 & 1 & & & & \\ �len 6 & & & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ �len 5 & & & & & & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & \\ �len 4 & & & & & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & & \\ �len 3 & & & & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & & & \\ �len 2 & & & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & & & & \\ �len 1 & & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & & & & & \\ �len 0 & 1 & 1 & 1 & 1 &1 & & & & & & \\ \hline Mac Mahonova ��sla & 1 & 4 & 9 &15& 20 &22 &20 &15 &9 & 4 & 1 \\ \hline \end{tabular}$$

Toto sch�ma d�v� automaticky faktori�ly. \section{Stirlingova ��sla druh�ho druhu} \label{Stirlingova ��sla druh�ho druhu} Kdy� se pod�v�me na sekvenci $aac$, vid�me, �e v jej� matici chyb� sloupec $b$. Vylou�ili jsme takov� �ady jako chybn� Youngovy tabulky nebo konvoluce, av�ak �ady jako $abb$ nebyly tak� mo�n�, kde $b$ se objevilo dvakr�t a $a$ pouze jednou. V t�chto dvou p��padech existuje rozd�l: Pokud nejsou v�echny sloupce obsazen� postupn�, p�eskakujeme v prostoru n�kter� polohy. Budeme tedy nyn� po��tat v�echny naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� s postupn� obsazen�mi sloupci. Jejich rekurence je \begin{equation} s_{11} = 1;\ s_{ij} = js_{i-1,j} + s_{i-1,j-1} \end{equation} Je mo�n� um�stit nov� prvek do $j$ u� obsazen�ch sloupc� a existuje pouze jedna mo�nost, jak zv�it po�et obsazen�ch sloupc�. T�mto zp�sobem dostaneme tabulku ��sel, kter� jsou zn�m� jako {\em Stirlingova ��sla druh�ho druhu} (tabulka \ref{Stirlingova ��sla druh�ho druhu}). \begin{table} \caption{Stirlingova ��sla druh�ho druhu} \label{Stirlingova ��sla druh�ho druhu} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline n=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 1 & & & & & 2 \\ 3 & 1 & 3 & 1 & & & & 5 \\ 4 & 1 & 7 & 6 & 1 & & & 15 \\ 5 & 1 & 15 & 25 & 10 & 1 & & 52 \\ 6 & 1 & 31 & 90 & 65 & 15 & 1 & 203 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Stirlingova ��sla druh�ho druhu jsou inverz� Stirlingov�ch ��sel prv�ho druhu. Podobn� Stirlingova ��sla prv�ho druhu jsou inverze Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu. Inverze se z�sk�, kdy� jedna ze dvou matic ( Tabulka 7.2 a Tabulka 8.2) se n�sob� st��daj�c�mi se znam�nky $(-1)^{i-j}$. Stirling nalezl ��sla nesouc� jeho jm�no, kdy� srovn�val mocniny jak�hokoliv ��sla $t$ s jeho {\em faktori�ln�mi momenty} $(t)_k$ definovan� sou�iny \begin{equation} (t)_k = t(t - 1)...(t - k + 1)\;. \end{equation} Stirlingova ��sla prv�ho druhu transformuj� sou�ty a rozd�ly mocnin do faktori�ln�ch moment� jako v: $(4)_3 = 24 = 2\times4 - 3\times16 + 1\times64$. Stirlingova ��sla druh�ho druhu p�ev�d�j� sou�ty faktori�ln�ch moment� na mocniny jako v: $4^3 = 64 = 1\times 4 + 3\times12 + 1\times 24$. Zde $t$ m�e nahrazovat racion�ln� (iracion�ln�) ��sla.

��dkov� sou�ty Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu, kter� po��taj� naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� s postupn� obsazovan�mi sloupci se z�skaj� jako samovytvo�uj�c� funkce \begin{equation} S(n) = (S_i + 1)^{n-1},\ {\rm kde}\ S^i = S_i \end{equation} nebo s pou�it�m matic. Potom ��sla S(n) se z�skaj� na diagon�le sou�inu. M�eme d�le n�sobit sou�iNa diagon�le matic� index�, abychom dostali momenty $$\begin{tabular}{rrrr|rrrr|rrrr} \hline & & & & \ 1 & 1 & 1 & 1 & \ 1 & & & \\ & & & & & 1 & 2 & 3 & & 2 & & \\ & & & & & & 1 & 3 & & &3 & \\ & & & & & & & 1 & & & & 4 \\ \hline & & & & & & & & & & & \\ 1 & & & & 1 & 1 & 1 & 1 &1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & & & 1 & 2 & 3 & 4 &1 & 4 & 9 &16 \\ 1 & 1 & 2 & & 1 & 2 &5 &10 &1 & 4 &15 &40 \\ 1 & 1 & 2 & 5 & 1 & 2 & 5 &15 &1 & 4 &15 &60 \\ \end{tabular}$$ V�imn�te si, �e matice Stirlingov�ch sou�t� za��n� se dv�ma 1 a na diagon�le sou�inu je pouze jedna 1 a potom bezprost�edn� n�sleduj� vy��� sou�ty. V kone�n�m sou�inu se n�sob� sou�et odpov�daj�c�mi mocninami. Pokud ozna��me matice binomi�ln�ch koeficient� jako ${\bf B}^{\rm T}$, potom m�eme pova�ovat jejich sou�in s diagon�ln� matic� $\Delta(i)$ za logaritmickou diferenci $d(log{\bf S})$, podobn� jak byla odvozena v podkapitole 6.4. Inverzn� matice sou�t� Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu m� prvky: \begin{equation} s_{jj}^{-1} = 1;\ s_{j-1,j}^{-1} = -[S_{j-1} /S_{j}];\ s_{ij} = 0,\ {\rm jinak}\;. \end{equation} Uk�zali jsme jeden vztah mezi Stirlingov�mi ��sly druh�ho druhu a binomi�ln�mi koeficienty. Av�ak zde se objevuje je�t� jin� vztah. Diference dvou n�sledn�ch sou�t� Stirlingov�ch ��sel je vytvo�ena op�t binomem \begin{equation} \Delta_nS_n = S_n - S_{n-1} = (S_{k+1} + 1)^{n-2} \end{equation} kde op�t vlo��me $S^k = S_k$. Nap��klad: $S_6 - S_5 = 1\times1 +4\times2 + 6\times5 + 4\times15 + 1\times52 = 151$. Stirlingova ��sla druh�ho druhu jsou definov�ny form�ln� vztah \begin{equation} \Delta_n^1(m)^n = m^{n-1}[(1 +1/m)^{n-1} + (1 + 1/m)^{n-2} \dots +(1 - 1/m)^0]\;. \end{equation} Vlo�en�m $m = 1$, dostaneme ��sla $S(n,2): \Delta_m1^n = 1^n[2^{n-1} + 2^{n-2}

\dots +2^0].$

Jin� ��sla jsou odvozen� vztahem

\begin{equation} \Delta^m1^n = (m + 1)\Delta^m1^{n-1} + \Delta^{m-1}1^{n-1} \end{equation} pod podm�nkou $\Delta^01^0 = 1$. Rozd�ly Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu \begin{equation} S(m,n) - S(m-1,n) = \Delta^{n-1}2^m \end{equation} tvo�� tabulku 8.3.

\begin{table} \caption{Diference Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu} \label{Diference Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 0 & 1 & & & & & 1 \\ 3 & 0 & 2 & 1 & & & & 3 \\ 4 & 0 & 4 & 5 & 1 & & & 10 \\ 5 & 0 & 8 & 19 & 9 & 1 & & 37 \\ 6 & 0 & 16 & 65 & 55 & 14 & 1 & 151 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Nap��klad: $\Delta^22^6 = 8[(3/2)^3 + (3/2)^2 + (3/2)^1 + (3/2)^0] = 65$. Toto ��slo po��t� naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� s 3 obsazen�mi sloupci a 6 ��dky, z�skan� z 15 matic po��tan�ch $S(5,2)$ p�id�n�m jednotkov�ho prvku do t�et�ho sloupce a $2\times25$ matic po��tan�ch $S(5,3)$ zv�t�en�ch p�i�ten�m nov�ho jednotkov�ho prvku do jednoho ze dvou prv�ch sloupc�. Stirlingova ��sla druh�ho druhu se z�skaj� v {\em belli�nech}. Bellian se je d�len� mno�iny do ��st� zn�m�ch jako ranky. Nap��klad mno�ina $X = {a, b, c}$ m� ranky rank 1 = (a; b; c) rank 2 = (a,bc; b, ac; c, ab) rank 3 = (a, b, c). \section{Substirlingy} \label{Substir} V analogii se subfaktori�ly definovan�mi v podkapitole 7.6, zavedeme ��sla, kter� budeme naz�vat {\em Substirlingy}. Po��taj� naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� s postupn� obsazen�mi sloupci v jin�m uspo��d�n�, podle po�tu sloupc� obsahuj�c�ch pr�v� jeden nenulov� prvek. Uk�zali jsme, �e takov� orbity jsou rozd�ly rovinn�ch simplex�, tedy tak� nyn� tyto matice tvo�� diference. Jejich matice je v tabulce \ref{Substirlingy} kter� je dopln�na ��dkou a sloupcem indexovan�mi od 0. Nap��klad: $s_{40} = 4$ po��t� ${\bf N}:\ a^4,\ a^2b^2,\ abba,\ abab$.

\begin{table} \caption{Substirlingy} \label{Substirlingy} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ \hline n=0 & 1 & & & & & & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & & & & 2 \\ 3 & 1 & 3 & 0 & 1 & & & 5 \\ 4 & 4 & 4 & 6 & 0 & 1 & &15 \\ 5 &11 & 20 &10 &10 & 0 & 1 &52 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Nyn� se zde op�t objevily binomi�ln� koeficienty jako vytvo�uj�c� faktory. Naivn� matice bez jak�chkoliv sloupc� obsahuj�c�ch pouze jeden jednotkov� prvek se kombinuj� s $n$ sloupci s pouze jedn�m jednotkov�m prvkem a v�sledek d�v� prvky matice. Tedy sou�t�m Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu se z�skaj� form�ln�m binomem: \begin{equation} S_n = (s_{n0} + 1)^n,\ {\rm kde}\ s^k = s_{n0}\;. \end{equation} Jin� mo�nost, jak se z�skaj� Stirlingova ��sla druh�ho druhu, je p��m� po��t�n� odpov�daj�c�ch matic uspo��dan�ch podle mocniny a. Nap��klad: $$\begin{array}{ccc} a & & \\ ab & aa & \\ abb,\ abc;& aab,\ aba; & aaa \\ \end{array}$$ Dostaneme tabulku, kde naivn� matice jsou uspo��d�ny podle ��dk� obsahuj�c�ch symbol a. Op�t se tyto matice z�skaj� n�soben�m ni���ch matic (bez tohoto symbolu) binomi�ln�mi koeficienty ukazuj�c� kombinatorick� mo�nosti: \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 1 & & & & & 2 \\ 3 & 2 & 2 & 1 & & & & 5 \\ 4 & 5 & 6 & 3 & 1 & & & 15 \\ 5 & 15& 20 & 12 & 4 & 1 & & 52 \\ 6 & 52& 75 & 50 & 20 & 5 & 1 & 203 \\ \hline \end{tabular} Substirlingy jsou zase sou�ty {\em asociovan�ch Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu}, kter� po��taj� naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� bez pr�zdn�ch sloupc� maj�c� sloupcov� sou�ty alespo� $m_k = 2$. Jejich rekurence je dan� vzorcem

\begin{equation} a_{ij} = ja_{i-1,j} + (i-1)a_{i-2,j-1} \end{equation} a jejich hodnoty jsou uvedeny v tabulce 8.5. \begin{table} \caption{Asociovan� Stirlingova ��sla druh�ho druhu} \label{Asociovan� Stirlingova ��sla druh�ho druhu} \begin{tabular}{|r|rrrr|r|} \hline j & 0 & 1 & 2 & 3 & $\Sigma$ \\ \hline m=0&1 & & & & 1 \\ 1& 0 & 0 & & & 0 \\ 2& & 1 & & & 1 \\ 3& & 1 & & & 1 \\ 4& & 1 & 3 & & 4 \\ 5& & 1 &10 & & 11 \\ 6& & 1 &25 &15 & 41 \\ \hline \end{tabular} \end{table} \section{Prostor �ty� statistik} \label{Prostor �ty� statistik} \begin{figure} \caption{T�i statistiky. A je Eulerova, B je Mac Mahonova, C je Stirlingova. Uspo��dan� �ady jsou a, horizont�ln� symbol, vertik�ln� symbol} \label{T�i statistiky} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(160.00,90.00) %\vector(20.00,20.00)(20.00,70.00) \put(20.00,70.00){\vector(0,1){0.2}} \put(20.00,20.00){\line(0,1){50.00}} %\end %\vector(20.00,20.00)(52.00,20.00) \put(52.00,20.00){\vector(1,0){0.2}} \put(20.00,20.00){\line(1,0){32.00}} %\end \put(20.00,20.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{1}} \put(40.00,20.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(20.00,40.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{2}} \put(40.00,40.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(20.00,60.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(40.00,60.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{3}} \put(45.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(10.00,45.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(9.67,65.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} %\vector(65.00,20.00)(65.00,70.00) \put(65.00,70.00){\vector(0,1){0.2}} \put(65.00,20.00){\line(0,1){50.00}} %\end %\vector(65.00,20.00)(97.00,20.00) \put(97.00,20.00){\vector(1,0){0.2}} \put(65.00,20.00){\line(1,0){32.00}}

%\end \put(65.00,20.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{0}} \put(85.00,20.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{1}} \put(65.00,40.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{1}} \put(85.00,40.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(65.00,60.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(85.00,60.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{3}} \put(90.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} %\vector(110.33,20.00)(110.33,70.00) \put(110.33,70.00){\vector(0,1){0.2}} \put(110.33,20.00){\line(0,1){50.00}} %\end %\vector(110.33,20.00)(142.33,20.00) \put(142.33,20.00){\vector(1,0){0.2}} \put(110.33,20.00){\line(1,0){32.00}} %\end \put(110.33,20.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{1}} \put(130.33,20.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(110.33,40.00){\framebox(9.67,10.00)[cc]{1}} \put(130.33,40.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(110.33,60.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{2}} \put(130.33,60.00){\framebox(10.00,10.00)[cc]{3}} \put(135.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(25.00,10.33){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(70.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(115.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(9.67,25.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(35.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(80.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(125.33,80.00){\makebox(0,0)[cc]{C}} \end{picture} \end{figure} Mapovali jsme naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� na body pravo�hl�ch n rozm�rn�ch rovnob�n�k�. Tyto body jsou klasifikov�ny t�emi rozd�ln�mi statistikami Eulerovou, Stirlingovou a Mac Mahonovou, ve 3 sm�rech. �t�p� prostor za Euklidovsk�m. Tyto statistiky rozd�luj� body odli�n�, jak je uk�zan� na obr. \ref{T�i statistiky} pro t��rozm�rn�m prostor a na sch�matu pro �ty� rozm�rn� prostor (tabulka \ref{Sch�ma �ty� statistik}). \begin{table} \caption{Sch�ma �ty� statistik pro ${\bf N}_4$ v doln� troj�heln�kov� form�} \label{Sch�ma �ty� statistik} \begin{tabular}{|r|r|rrrr|rrrrrrr|} \hline & & \multicolumn{4}{|c|}{Stirling\ I}& \multicolumn{7} {|c|}{Mac\ Mahon} \\ \hline & & 6 & & & & & & & & & & \\ & & & 8 & & & & & & & & & \\ & & & 3 & 6 & & & & & & & & \\ & & & & & 1 & 1 & 3 & 5 & 6 & 5 & 3 &1 \\ \hline Euler & 1 & {\bf 1} & & & & & & & & & & 1 \\ & 11 & 4 & {\bf 7} & & & & &1 & 2 & 5 & 3 & \\ & 11 & 1 & 4 & {\bf 6} & & & 3 & 4 & 4 & & & \\ & 1 & & & & {\bf 1} & 1 & & & & & & \\ \hline & & 6 &11 & 6 & 1 & $\nwarrow$ & \multicolumn{6}{c|}

{Stirling\ II} \\ \hline \end{tabular} \end{table} Srovn�vali jsme t�i statistiky, av�ak �tvrt� se zde objevila, na diagon�le Stirlingovy a Eulerovy statistiky. Eulerova ��sla d�l� naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� podle po�tu obsazen�ch sloupc�. Stirlingova ��sla druh�ho druhu po��taj� matice s ��dky obsazen�mi postupn� a tyto matice se objevuj� na pr��ezu obou statistik. Eulerova statistika �t�p� 6 naivn�ch matic v doln� troj�heln�kov� form� s jedn�m jednotkov�m prvkem na diagon�le do t�� skupin, Stirlingova ��sla vyhodnocuj� odli�n� naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� s dv�ma jednotkov�mi prvky na diagon�le. Nev�m, cosi mysl�te o t�chto koincidenc�ch. Euklidovsk� prostor je pln� p�ekvapen�. Zd� se b�t �iv�, pokud se jej pokou��me analyzovat, nov� vrstvy se objevuj� ji� na element�rn�ch �rovn�ch. Euklides se m�lil, kdy� �ekl kr�li Ptolemaiovi, �e neexistuje ��dn� jin� cesta do jeho prostoru ne� jeho axiomy. R�zn� kombinatorick� funkce vedou t�mto bludi�t�m jako Ariadnina nit. \chapter{Kombinatorika p�irozen�ch vektor�} \label{Kombinatorika p�irozen�mu vektor�} \section{ Binomi�ln� koeficient} \label{ Binomi�ln� koeficient} {\em Binomi�ln� koeficient} je speci�ln� p��pad polynomi�ln�ho koeficient. Tato definice je neplatn� av�ak odpov�d� fakt�m. Dvourozm�rn� prostor je speci�ln�m p��padem multidimension�ln�ho prostoru. Kdy� se binom, �ekn�me $(a+b)$, n�sob� s�m sebou m kr�t a �leny sou�inu se seskup�, dostaneme nap��klad: $$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\;.$$ Prvn� �len 4 u $a^3b$ po��t� �ady ${\bf aaab}$, ${\bf aaba}$,$ {\bf abaa}$ a ${\bf baaa}$, t�et� �len 4 u $ab^3$ po��t� �ady ${\bf abbb}$, ${\bf babb}$, ${\bf bbab}$ a ${\bf bbba}$. Binomi�ln� koeficient je naps�n jako ��slo m um�st�n� nad ��slo k v z�vork�ch \begin{equation} { m \choose k}\;. \end{equation} Binomi�ln� koeficient je sou�inem t�� faktori�l� $m!$, $k!_{-1}$, $(m-k)!_{-1}$. Tedy \begin{equation} { m \choose k} = { m \choose m-k}\;. \end{equation} \section{ Polynomi�ln� koeficient} \label{ Polynomi�ln� koeficient} Rozd�len� ��sla $m$ do $n$ ��st� je n rozm�rn� vektor ${\bf m}$, jeho� prvky jsou uspo��dan� v klesaj�c�m po��dku, $m_j \geq m_{j+1}$. Z tohoto vektoru se mohou

generovat v�echny jin� vektory na dan� orbit�, kdy� se jeho prvky permutuj� jednotkovou permuta�n� matic� p�sob�c� na vektor rozd�len� zprava. T�mto vektor�m odpov�daj� skal�rn� sou�iny naivn� matice ${\bf N}$ s jednotkov�m vektorem ��dkou ${\bf J}^{\rm T}$ nebo kvadratick� forma ${\bf N}^{\rm T}{\bf N}$, proto�e \begin{equation} {\bf J}^{\rm T}{\bf N}= {\bf J}^{\rm T}{\bf N}^{\rm T}{\bf N}\;. \end{equation} Existuje $n!$ permuta�n�ch matic av�ak nikoliv tolik permutovan�ch vektor� sloupc�, kdy� n�kter� prvky vektoru ��dky nejsou rozli�iteln�. Vektory stejn� d�lky $m_k$ sm��uj� ke kouli a pokud se ot���, jejich permutace jsou nerozli�iteln�. Pokud v�echny prvky vektoru jsou stejn�, potom ��dn� permutace nem� jak�koliv ��inek na vektor rozd�len�. Rozd�l�me prvky vektoru do dvou skupin, jedn� se v�emi nulov�mi prvky, to je $n_0$ prvky, druh� skupiny se v�emi zb�vaj�c�mi $(n-n_0)$ prvky. Po�et mo�n�ch permutac� se sn�� z faktori�lu $n!$ na binomi�ln� koeficient ${ n \choose n_0}$, nebo $n!/n_0!(n-n_0)!$. V p��t�m kroku vyd�l�me druhou skupinu vektor� s d�lkou 1, jejich po�et je $n_1$. V�echny jin� vektory se se�tou t�et�m �lenem $(n- n_0 -n_1)$ a odpov�daj�c� permutace binomi�ln�m koeficientem $(n-n_0)!/n_1!(n- n_0 -n_1)!$. T�mto zp�sobem budeme pokra�ovat, a� v�echny mo�n� hodnoty $m_k$ se vy�erpaj�. Pokud n�jak� $n_k = 0$, potom v�hodn� $0! = 1$ a odpov�daj�c� �len je ne��inn�. Na konci dostaneme sou�in binomi�ln�ch koeficient�: \begin{eqnarray} \left(\frac{ n!}{n_0!(n-n_0)!}\right) \left(\frac{(n-n )!}{(n- n_0 -n_1)!}\right) \left(\frac{(n- n_0 -n_1)!}{n_2!(n- n_0 - n_1 - n_2)!}\right) \dots \nonumber \\ \left(\frac{(n-\sum_{k=0}^{m-1}n_k)!}{n_m!0!}\right) \end{eqnarray} Stejn� faktori�ly se objevuj� postupn� jako d�lenci a d�litel�. Kdy� se vyru��, ze sou�inu binomi�ln�ch koeficient� zb�v� {\em polynomi�ln� koeficient} \begin{equation} n!/\prod_{k\geq0}n_k! \end{equation} \label{polynomi�ln� koeficient} Budeme jej naz�vat {\em polynomi�ln� koeficient pro n permutace} pon�vad� se z�sk� permutov�n�m $n$ sloupc�. Pozd�ji zkonstruujeme jin� polynomi�ln� koeficient pro permutace ��dk� naivn� matice. Omezili jsme index $k$ doln� limitou 0. Koeficient by se mohl ve skute�nosti pou��vat tak� pro vektory se z�porn�mi prvky. Po�ty $n_k$ shodn�ch vektor� jsou v�dy kladn�, i kdy� samotn� vektory jsou z�porn�. Polynomi�ln�m koeficientem po��t�me (\ref{polynomi�ln� koeficient}) body na orbit�ch rozd�len� kladn�ho k�nusu $n$ rozm�rn�ho prostoru. Pros�m, v�imn�te si d�le�itosti tohoto kroku. Zn�me vektor ${\bf m}$ p�esn�, av�ak nahrazujeme jej odpov�daj�c�m rozd�len�. V�echny body na dan� orbit� se pova�uj� za {\em ekvivalentn�}. Nahrazen� vektoru ${\bf m}$ rozd�len�m je logick� abstrakce. M�eme pokra�ovat d�le, rozd�len� se srovn�v� s analytickou funkc� a orbita se popisuje hustotou rozd�len�.

\section{Simplexov� sou�ty polynomi�ln�ch koeficient�} \label{Simplexov� sou�ty polynomi�ln�ch koeficient�} Nyn� je mo�n� pou��t op�t sch�mata rozd�len� a studovat sou�ty polynomi�ln�ch koeficient� na v�ech orbit�ch rovinn�ch simplex�, to znamen�, v�ech p�irozen�ch n rozm�rn�ch vektor� s konstantn�mi sou�ty m. Celkov� sou�ty jsou zn�m� v kombinatorice jako rozd�len� $m$ nerozli�iteln�ch v�c� (objekt�) do $n$ p�ihr�dek. Se�tou se binomi�ln�m koeficientem \begin{equation} \sum_{k\geq0} n!/\prod n_k! = { m+n-1 \choose m} = { m+n-1 \choose n-1} \end{equation} \label{binomi�ln� koeficient} Oba binomi�ln� koeficienty jsou ve skute�nosti rozd�ln� formy jednoho koeficientu. Nejsnadn�ji se tento binomi�ln� koeficient z�sk� sledov�n�m v�ech mo�nost� $m$ v�c� do ��dky $(n-1)$ (objekty druh�ho druhu) p�edstavuj�c�ch d�l�c� st�ny odd�l�. Existuje $(m+n-1)$ objekt� dvou druh� a v�sledkem je jednodu�e dan� binomi�ln� koeficient. Kdo nen� uspokojen t�mto v�kladem, m�e dok�zat (\ref{binomi�ln� koeficient}) {\em �plnou indukc�}. Testovali jsme vztah u jednoduch�ch p��pad� a fungoval dob�e. Tedy p�edpokl�dejme, �e plat� pro v�echny n rozm�rn� vektory s $(m-1)$ prvky a pro v�echny $(n-1)$ rozm�rn� vektory s $m$ prvky. Pou�ijeme proposici pro po��t�n� bod� se sou�ty $m$ v $n$ rozm�rech. Tyto body rozd�l�me do dvou odli�n�ch podmno�in. V jedn� podmno�in� budou v�echny body maj�c� jako posledn� prvek 0. V�echny jsou jasn� v $ (n-1)$ rozm�rn�m podprostoru a po��taj� se binomi�ln�m koeficientem ${ m+n-2 \choose m}$. V druh� podmno�in� se po��taj� vektory maj�c�ch jako posledn� prvek alespo� 1. Ty se z�skaj� z rozd�len� $(m-1)$ v�c� do p�esn� $n$ ��st� p�i�ten�m 1 k prv�mu prvku. Toto p�id�n� nem�n� odpov�daj�c� po�et bod� ${ m+n-2 \choose m1}$. V�sledek je tvo�en sou�tem 2 binomi�ln�ch koeficient� a ov��� se v�po�tem \begin{eqnarray} \left(\frac{(m+n-2)!}{m!(n-2)!}\right) + \left(\frac{(m+n-2)!}{(m-1)!(n-1)!}\right) = \nonumber \\ \left(\frac{(m+n-2)![(n-1)+m]}{m!(n-1)!}\right) = { m+n-1 \choose m}\;. \end{eqnarray} \label{sou�tu 2} Jako bylo �e�eno, nebudou n�s zaj�mat vektory se z�porn�mi znam�nky, av�ak je pou�n� uk�zat v�sledky podle doln� limity hodnoty $r$, kter� se objevuje jako parametr $(1-r)$ �lenu $n$ v binomi�ln�ch koeficientech. Hodnotu $r$ lze pova�ovat za faktor diferencuj�c� simplex $$\begin{tabular}{|l|cccc|} \hline Doln� limita & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline & & & & \\ Body simplexu & ${ m+2n-1 \choose n-1}$ & ${ m+n-1 \choose n-1}$ & ${ m-1 \choose n-1}$ & ${ m-n-1 \choose n-1}$ \\ & & & & \\ \hline \end{tabular}$$

Binomi�ln� koeficienty ${ m+3-1 \choose m}$ jsou zn�m� jako troj�heln�kov� ��sla. Po��taj� body 3 rozm�rn�ch rovin, co� jsou rovnostrann� troj�heln�ky. \section{Diference normalizovan�ch simplex�} \label{Diference normalizovan�ch simplex�} Spo��tali jsme p��mo body rovinn�ch simplex�, nyn� pou�ijeme sch�mata rozd�len� a vlo��me do nich polynomi�ln� koeficienty, podobn� jako jsme to provedli u cyklick�ch index� v kapitole 7. Omez�me se na p��pady, kdy $m=n$. Jako p��klad d�me sch�ma pro $m=n=6$: $$\begin{tabular}{|r|rrrrrr|} \hline na & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline m=6 & 6 & & & & & \\ 5 & & 30 & & & & \\ 4 & & 30 & 60 & & & \\ 3 & & 15 & 120 & 60 & & \\ 2 & & & 20 & 90 & 30 & \\ 1 & & & & & & 1 \\ \hline $\sum$ & 6 & 75 & 200 & 150 & 30 & 1 \\ \hline \end{tabular}$$ V prv�m sloupci se po��taj� vrcholy rovinn�ho simplexu, v druh�m sloupci body na 2 rozm�rn�ch hran�ch, v t�et�m sloupci body jeho 3 rozm�rn�ch stran. Pouze posledn� bod le�� uvnit� 6 rozm�rn� roviny, v�ech ostatn�ch 461 bod� le�� na jeho hranic�ch. To je dosti p�ekvapuj�c� vlastnost velmi rozm�rn�ch prostor�, �e ob�lka jejich norm�ln�ch rovinn�ch simplex� je tak velk�. Av�ak nesm�me zapomenout, �e obvykle $m\gag n$ potom existuje v�ce bod� uvnit� ne� na hranici. Sloupcov� sou�ty n�sledn�ch normalizovan�ch rovinn�ch simplex� lze uspo��dat do tabulky \ref{Van der Mondova identita}, jej� ��dky jsou zn�m� jako {\em Van der Mondova identita}. \begin{table} \caption{Van der Mondova identita} \label{Van der Mondova identita} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 2 & 1 & & & & & 3 \\ 3 & 3 & 6 & 1 & & & & 10 \\ 4 & 4 & 18 & 12 & 1 & & & 35 \\ 5 & 5 & 40 & 60 & 20 & 1 & & 126 \\ 6 & 6& 75 & 200 & 150 & 30 & 1 & 462 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Prvky v ka�d� ��dce lze zapsat jako sou�iny dvou binomi�ln�ch koeficient�, nap��klad $75 = (6!/4!2!)\times(5!/4!1!)$. To je speci�ln� p��pad identity \begin{equation}

\sum_{i=0}^{m-k}{ m \choose k+i}{ m-k \choose i} = { m+k \choose m} = { m+n-1 \choose n-1} \end{equation} Sou�et sou�in� dvou binomi�ln�ch koeficient� lze zapsat jako form�ln� mocniny binomi�lu \begin{equation} \left({ m \choose i} + 1\right)^n = { m+n \choose m} \end{equation} Tento vztah po��t� body rovinn�ch simplex� v jednom sm�ru. Jeho speci�ln�m p��padem je {\em Waltisova identita} pro $m=n$: \begin{equation} \sum_{i=0}^{n/2}{ n \choose i}^2 \end{equation}

= { 2n \choose n}

Interpretujeme ji m, ve kter� prvn� vektor je zako�en�n a pouze $(n-1)$ jin�ch vektor� se permutuje. Nap��klad: $$\begin{tabular}{|l|c|ccc|cc|c|r|} \hline Orbity & 4000 & 3100 & 1300 & 2200 & 2110 & 1210 & 1111& $\sum$ \\ \hline Body & 1 & 3 & 3 & 3 & 3 & 6 & 1 & 20 \\ \hline Po�ty & 1 & \multicolumn{3}{|c|} { 9} & \multicolumn{2}{|c|} { 9} & 1 & 20 \\ \hline \end{tabular}$$ \section{Diference podle jednotkov�ch prvk�} \label{Diference podle jednotkov�ch prvk�} Kdy� uspo��d�me sch�mata rozd�len� podle po�tu jednotkov�ch vektor� $n_1$, dostaneme diferenci rovinn�ho simplexu. Nap��klad pro $m=n=5$: $$\begin{tabular}{|r|rrrrrr|} \hline $n_1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline m=5 & 5 & & & & & \\ 4 & & 20 & & & & \\ 3 & 20 & & 30 & & & \\ 2 & & 30 & & 20 & & \\ 1 & & & & & & 1 \\ \hline $\sum$ & 25 & 50 & 30 & 20 & 0 & 1 \\ \hline \end{tabular}$$ V�sledn� sloupcov� sou�ty polynomi�ln�ch koeficient� se zobraz� v tabulkov� form� v tabulce \ref{Diference podle jednotkov�ch prvk�} \begin{table} \caption{Diference podle jednotkov�ch prvk�} \label{Diference podle jednotkov�ch prvk�} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|}

\hline $n_1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=0 &1 & & & & & & & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 1 & & & & & 3 \\ 3 & 3& 6 & 0 & 1 & & & & 10 \\ 4 &10 & 12 & 12 & 0 & 1 & & & 35 \\ 5 &25 & 50 & 30 & 20 & 0 & 1 & &126 \\ 6 &71 &150 &150 & 60 & 30 & 0 & 1 &462 \\ \hline \end{tabular} \end{table} ��sla $b_{i0}$ tvo�� vektory bez jednotkov�ch prvk�. Ty lze nazvat {\em podrovinn� ��sla}, proto�e generuj� po�et bod� norm�ln�ho rovinn�ho simplexu n�soben�m binomi�ln�mi koeficienty: \begin{equation} (b_i + 1)^m = { m+n-1 \choose m} \end{equation} Existuje $(n-k)$ rozm�rn�ch vektor� bez jednotkov�ch prvk� av�ak s nulov�mi prvky. Jejich $(n-k)$ prvk� se kombinuje s $k$ jednotkov�mi prvky. Kdy� $m \neq n$, potom tyto vztahy jsou slo�it�j��. Odpov�daj�c� podrovinn� ��sla se z�skaj� v�po�ty rozd�len� bez jednotkov�ch ��st�. Po��tek tabulky je $$\begin{tabular}{|r|rrrrrrr|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline m=0 & 1& 1 & 1 & 1& 1& 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 3& 4& 5 & 6 \\ 3 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4& 5 & 6 \\ 4 & 0 & 1 & 3 & 6 &10& 15 &21 \\ 5 & 0 & 1 & 4 & 9 &16& 25 &36 \\ 6 & 0 & 1 & 5 &13 &26& 45 &71 \\ \hline \end{tabular}$$ Jej� hodnoty $b(i,j)$ pro mal� $m$ jsou: \begin{itemize} \item b(0,n) = 1; \item b(1,n) = 0; \item b(2,n) = ${ n \choose 1}$; \item b(3,n) = ${ n \choose 1}$; \item b(4,n) = ${ n \choose 1}+{ n \choose 2} = { n+1 \choose 2}$; \item b(5,n) = ${ n \choose 1} + 2{ n \choose 2} = n^2$; \item b(6,n) = ${ n \choose 1} + 3{ n \choose 2} + 3{ n \choose 3}= (n^3-n)/2$. \end{itemize} Podrovinn� ��sla se zde objevuj� na diagon�le. P��klad jejich aplikace pro $m = 4,\ na = 6$: $$21 + 6\times5 + 15\times4 + 20\times0 + 15\times1 = 126 = { 9 \choose 4}\;.$$

Vektory bez jednotkov�ch prvk� se kombinuj� s jednotkov�mi vektory. \section{Diference podle jednoho prvku} \label{Diference podle jednoho prvku} V sch�matech rozd�len� se po��taj� body na sf�rick�ch orbit�ch. Orientujeme rovinn� simplex ve sm�ru jednoho vektoru a potom diferencujeme rovinu podle pouze jednoho zvl�tn�ho vektor ${\bf x}$. To lze uk�zat na 2 rozm�rn�m komplexu: $$\begin{tabular}{|l|l|rrrrrr|c|} \hline $m_a$ & & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & Orbita \\ \hline Body &0 & * & * & * & * & * & * & 0,m\\ &1 & & * & * & * & * & * & 1,(m-1) \\ &2 & & & * & * & * & * & 2,(m-2)\\ &3 & & & & * & * & * & 3,(m-3)\\ &4 & & & & & * & * & 4,(m-4)\\ &5 & & & & & & * & 5,(m-5)\\ \hline Po�et & & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \\ \hline \end{tabular}$$ 2 rozm�rn� komplex tvo�� 3 rozm�rn�m simplex a jeho body pro rozd�ln� hodnoty vektoru ${\bf a}$ se po��taj� sloupcov�mi sou�ty. Je to podobn� situaci, kdy� body (n-1) rozm�rn�ho komplexu se po��taj� pro rozd�ln� hodnoty $m$, $m_k$ jdou od 0 k $m$. Body se po��taj� binomi�ln�mi koeficienty ${ m+k-2 \choose k}$. Nap��klad pro $n=m=7$: $$\begin{tabular}{|l|rrrrrrrr|} \hline $m_k$ & 0& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline Binomi�ln� koeficient& 792& 462& 252 & 123 & 56 & 21 & 6 & 1\\ \hline \end{tabular}$$ Dostaneme identitu \begin{equation} \sum_{k=0}^m { m+k-2 \choose k} = { m+n-1 \choose m} \end{equation} Nyn� zavedeme jinou diferenci. \section{Diference $\Delta(n)$ rovinn�ch simplex�} \label{Rozd�l} \begin{figure} \caption{ Diference rovinn�ho simplexu. Je tvo�ena jedn�m vrcholem, jednou ne�plnou hranou, jednou ne�plnou stranou, atd.} \label{Rozd�l of} \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(120.00,100.00) %\emline(67.11,89.00)(107.11,20.00) \multiput(67.11,89.00)(0.12,-0.21){334}{\line(0,-1){0.21}} %\end

%\emline(27.11,20.00)(67.11,89.00) \multiput(27.11,20.00)(0.12,0.21){334}{\line(0,1){0.21}} %\end \put(27.11,20.00){\circle{4.00}} \put(47.44,20.00){\circle{4.00}} \put(67.11,20.00){\circle{4.00}} \put(87.11,20.00){\circle{4.00}} \put(107.11,20.00){\circle{4.00}} \put(37.44,37.67){\circle{4.00}} \put(97.11,37.33){\circle{4.00}} \put(57.11,37.33){\circle{4.00}} \put(77.11,37.00){\circle{4.00}} \put(37.11,37.00){\circle{4.00}} \put(47.11,20.00){\circle{4.00}} \put(47.11,54.00){\circle{4.00}} \put(67.11,54.00){\circle{4.00}} \put(87.11,54.33){\circle{4.00}} \put(57.11,71.67){\circle{4.00}} \put(77.11,71.67){\circle{4.00}} \put(67.11,89.00){\circle{4.00}} \bezier{64}(66.67,61.67)(75.00,57.33)(69.00,60.67) \bezier{72}(69.00,60.67)(78.33,53.67)(73.33,57.00) \bezier{76}(73.33,57.00)(81.33,49.00)(76.33,54.33) \bezier{88}(76.33,54.33)(84.67,43.67)(80.00,50.33) \bezier{88}(80.00,50.33)(88.00,39.67)(83.00,46.33) \bezier{84}(83.00,46.33)(90.33,35.67)(86.00,42.00) \bezier{96}(86.00,42.00)(93.33,29.00)(88.67,37.00) \bezier{104}(88.67,37.00)(94.67,22.00)(91.33,31.00) \bezier{88}(91.33,31.00)(95.00,17.33)(93.33,25.00) \bezier{76}(93.33,25.00)(93.67,13.00)(94.00,19.67) \bezier{44}(94.00,19.67)(92.00,12.33)(93.00,15.33) \bezier{52}(93.00,15.33)(87.00,10.33)(91.67,13.33) \bezier{76}(91.67,13.33)(79.67,10.00)(86.33,11.67) \bezier{120}(86.33,11.67)(69.00,9.33)(81.33,10.67) \bezier{136}(81.33,10.67)(60.33,10.67)(73.00,10.33) \bezier{100}(73.00,10.33)(57.00,10.00)(66.33,10.67) \bezier{104}(66.33,10.67)(50.00,11.33)(59.33,10.67) \bezier{104}(59.33,10.67)(44.00,10.67)(54.33,10.67) \bezier{156}(54.33,10.67)(30.67,10.67)(46.00,10.67) \bezier{136}(46.00,10.67)(24.00,11.33)(35.67,10.67) \bezier{124}(35.67,10.67)(16.33,14.33)(27.67,11.33) \bezier{60}(27.67,11.33)(19.33,17.33)(23.00,14.00) \bezier{36}(23.00,14.00)(20.33,19.67)(21.67,17.00) \bezier{72}(21.67,17.00)(24.00,27.33)(21.33,20.33) \bezier{52}(21.33,20.33)(27.67,26.67)(23.67,24.67) \bezier{52}(23.67,24.67)(31.00,27.67)(26.33,25.33) \bezier{72}(26.33,25.33)(36.67,28.33)(30.00,27.33) \bezier{100}(30.00,27.33)(44.00,32.33)(35.33,28.00) \bezier{92}(35.33,28.00)(48.67,34.33)(41.00,31.00) \bezier{60}(41.00,31.00)(48.67,36.67)(44.33,33.00) \bezier{72}(44.33,33.00)(52.00,41.67)(48.00,36.67) \bezier{76}(48.00,36.67)(55.33,46.33)(50.67,41.00) \bezier{68}(50.67,41.00)(56.67,50.00)(53.33,45.33) \bezier{84}(53.33,45.33)(59.67,57.00)(55.67,50.00) \bezier{80}(55.67,50.00)(61.67,61.67)(58.33,55.67) \bezier{60}(58.33,55.67)(63.33,63.67)(60.33,59.33) \bezier{44}(60.33,59.33)(65.33,64.00)(62.33,61.67) \bezier{32}(62.33,61.67)(67.33,61.33)(64.33,62.33)

%\emline(27.00,20.00)(107.00,20.00) \put(27.00,20.00){\line(1,0){80.00}} %\end \end{picture} \end{figure} Doposud se permutovaly nulov� prvk� s jin�mi prvky. Vylou��me nulov� prvek a po��t�me pouze existuj�c� (nenulov�) vektory a nikoliv virtu�ln� vektory. To znamen�, �e po��t�me postupn� v�echny k rozm�rn� vektory $(k = 1$ a� $n)$ s konstantn�mi sou�ty $m$. Pokud nakresl�me �ty�st�n (obr.\ref{Rozd�l of}), potom se��tan� mno�ina bod� je tvo�ena jedn�m vrcholem, jednou hranou bez druh�ho vrcholu, vnit�kem jedn� strany a �ty�rozm�rn�m j�drem. V kombinatorice jsou tyto vektory zn�m� jako {\em kompozice}. Ty lze uspo��dat do sch�mat rozd�len�. Pro $m=5$ dostaneme: $$\begin{tabular}{|r|ccccc|r|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ \hline m=5& 5& & & & & 1 \\ 4& & 41;14 & & & & 2 \\ 3& & 32;23 & 311;131;113, & & & 5 \\ 2& & & 221;212;122; & 2111;1211;1121;1112 & & 7 \\ 1& & & & &11111 & 1 \\ \hline $\sum$ & 1& 4 & 6 & 4 & 1 & 16\\ \hline \end{tabular}$$ Sloupcov� sou�ty norm�ln�ch rovinn�ch simplex� d�vaj� tabulku \ref{Binomi�ln� koeficient�}. \begin{table} \caption{Matice binomi�ln�ch koeficient� \label{Binomi�ln� koeficient�} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 1 & & & & & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 1 & & & & 4 \\ 4 & 1 & 3 & 3 & 1 & & & 8 \\ 5 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & & 16 \\ 6 & 1 & 5 & 10 &10 & 5 & 1 & 32 \\ \hline \end{tabular} \end{table}

{\bf B}}

Oba indexy v tabulce \ref{Binomi�ln� koeficient�} byly sn�eny o jednotku, k dosa�en� spr�vn�ho binomi�ln�ho koeficientu ${ k-1 \choose m-1}$. M�li jsme pot�e s binomi�ln�m koeficientem u� d��ve, kdy� se objevily jako ${ m+n-1 \choose m}$. V tomto p��pad� zapl�uj� matici jinak, jako v tabulce \ref{Matice bf B}: \begin{table} \caption{Matice ${\bf B}{\bf B}^{\rm T}$ binomi�ln�ch koeficient�} \label{Matice bf B} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|}

\hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline m=0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 \\ 3 & 1 & 4 & 10 & 20 & 35 & 56 \\ 4 & 1 & 5 & 15 & 35 & 70 &126 \\ 5 & 1 & 6 & 21 & 56& 126 &252 \\ \hline \end{tabular} \end{table} V obou tabulk�ch binomi�ln�ch koeficient� jejich prvky se z�skaly podobn�, to jest jako sou�et dvou soused�, lev�ho a horn�ho s tou v�jimkou, �e v tabulce \ref{Binomi�ln� koeficient�} lev� prvek se p�id�v� pouze pokud $j \geq i$. P�ipome�te si operace s rozd�len�mi a jejich po��t�n�m podle doln� dovolen� limity ��st�. Zde do�lo k podobn�m posun�m hodnot tabulek \ref{Binomi�ln� koeficient�} a \ref{Matice bf B}, av�ak operaci prov�d� matice binomi�ln�ch koeficient� ${\bf B}^{\rm T}$. Permutujeme $k$ nenulov�ch prvk� s $(n-k)$ nulov�mi prvky a z ��sti rovinn�ho simplexu dostaneme cel� simplex. Tedy tato ��st je diferenc� $\Delta(n) $. Pon�vad� existuje v�ce rozd�l�, toto je diference podle po�tu vektor� $n$. V �ty�st�nu se jeden vrchol n�sob� �ty�ikr�t, jedna hrana �estkr�t, jedna strana �ty�ikr�t, vnit�ek pouze jednou. Nyn� se m�eme rekurenci

vr�tit k tabulce \ref{Binomi�ln� koeficient�}. Jej� prvky maj�

\begin{equation} b_{11} = 1;\ b_{ij} = b_{i-1,j} + b_{i-1,j-1} \end{equation} Generuj� se binomem \begin{equation} (1_i + 1)^m = 2^m. \end{equation} U� jsme formulovali rekurentn� vzorec tabulky \ref{Matice bf B} v (\ref{sou�tu 2}). V�imn�te si, �e prvky tabulky \ref{Matice bf B} jsou sou�ty v�ech prvk� jej� p�edch�zej�c� ��dky nebo sloupce, co� je d�sledek po sob� n�sleduj�ch aplikac� (\ref{sou�tu 2}). Inverzn� matice ${\bf B}^{-1}$ k matici ${\bf B}$ se z�sk� z form�ln�ho binomu \begin{equation} (1_i - 1)^m = 0\;. \end{equation} Je to pr�v� matice ${\bf B}$, jej� prvky se n�sob� st��dav� znam�nky $(-1)^{j-i}$. \section{Rozd�l $\Delta(m)$} \label{Rozd�l (m)} Kdy� jsme uspo��dali vektorov� kompozice do tabulky, zab�vali jsme se pouze jej�mi sloupcov�mi sou�ty. Existuj� tak� ��dkov� sou�ty, kter� po��taj� kompozice klasifikovan� podle nejv�t��ho vektoru $m_k$. N�sledn� v�sledky pro $n=m$ lze

uspo��dat do tabulky \ref{Kompozice vektor� s m ��stmi} \begin{table} \caption{Kompozice vektor� s m ��stmi} \label{Kompozice vektor� s m ��stmi} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrr|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline m =1 & 1& 1& 1 & 1& 1 & 1 &1 &1 &1 \\ 2 & & 1 & 2 & 4 & 7 &12 &20 &33 &54 \\ 3 & & & 1 & 2 & 5 &11 &23 &47 &94 \\ 4 & & & & 1 & 2 & 5 &12 &25 &59 \\ 5 & & & & & 1 & 2 &5 &12 &28 \\ 6 & & & & & & 1 &2 &5 &12 \\ & & & & & & &1 &2 & 5\\ & & & & & & & &1 &2 \\ & & & & & & & & &1 \\ \hline $\sum$ &1 & 2 & 3 & 8 &16 &32&64 &128 &256 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Prvky $c_{ij}$ tabulky \ref{Kompozice vektor� s m ��sti} jsou sou�ty polynomi�ln�ch koeficient� po��taj�c�ch kompozice. Jejich sloupcov� sou�ty jsou $2^{j-1}$. Pro $j \leq j/2$ prvky $c_{ij}$ z�st�vaj� konstantn�. Nap��klad $$\begin{tabular}{|c|c|} \hline Orbita & \Po�et kompozic \\ \hline $m-3,3$ & 2 \\ $m-3,2,1$ & 6 \\ $m-3,1^3$ & 4 \\ \hline $\sum$ & 12. \\ \hline \end{tabular}$$ Pro $i=2$ prvky $c_{2j}$ jsou sou�ty binomi�ln�ch koeficient� a jejich rekurence je \begin{equation} c_{2j} = \sum_{k=1}^{j/2}{ j-k \choose k} = 2c_{2,j-1} - c_{2,j-3} \end{equation} kde k je po�et 2. \section{ Druh� diference-- Fibonacciho ��sla} \label{ Druh� diference-- Fibonacciho ��sla} Kdy� p�ipust�me jako nejmen�� prvek 2, dostaneme tabulku \ref{ Fibonacciho ��sla} bod� useknut�ch rovinn�ch simplex�. Jej� ��dkov� sou�ty jsou zn�m� jako {\em Fibonacciho ��sla}. V st�edov�k� aritmetick� knize se objevily jako odpov�� na ot�zku o po�tu p�r� kr�l�k� v n�sleduj�c�ch vrz�ch. \begin{table} \caption{Fibonacciho ��sla}

\label{Fibonacciho ��sla} \begin{tabular}{|r|rrr|r|} \hline n & 1 & 2 & 3 & $\Sigma$ \\ \hline m=2 & 1 & & & 1 \\ 3 & 1 & & & 1 \\ 4 & 1 & 1 & & 2 \\ 5 & 1 & 2 & & 3 \\ 6 & 1 & 3& 1 & 5 \\ 7 & 1 & 4 & 3 & 8 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Vektory po��tan� pro $m=7$ jsou: 7; 52, 25, 43, 34; 322, 232, 223. V�imn�te si, �e prvky tabulky \ref{ Fibonacciho ��sla} jsou binomi�ln� koeficienty posunut� v ka�d�m sloupci o 2 ��dky. Fibonacciho ��sla $F_m$ maj� rekurenci \begin{equation} F_m = F_{m-1} + F_{m-2}\;. \end{equation} Prvky tabulky \ref{ Fibonacciho ��sla}, $f_{ij}$ se z�skaj� p�i�ten�m 2 ke ka�d�mu vektoru s $(j-1)$ nenulov�mi prvky nebo 1 k nejv�t��mu prvku j rozm�rn�ch vektor� \begin{equation} f_{21} = 1;\ f_{ij} = f_{i-2,j-1} + f_{i-1,j} \end{equation} V ka�d� ��dce se opakuj� v�echny prvky obou p�edch�zej�c�ch ��dk�, co� d�v� rekurenci Fibonacciho ��sel. Jin� zp�sobem dosa�en� Fibonacciho ��sla jsou kompozice, ve jsou lich�. Dostaneme ��dk� Pascal�v troj�heln�k:

kter� v�echny prvky

$$\begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 0 & 1 & & & & & 1 \\ 3 & 1& 0 & 1 & & & & 2 \\ 4 & 0 & 2 & 0 & 1 & & & 3 \\ 5 & 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & & 5 \\ 6 & 0 & 3 & 0 & 4 & 0 & 1 & 8 \\ \hline \end{tabular}$$ Nap��klad posledn� ��dka po��t� kompozice: $51,\ 15,\ 33;\ 4\times(3111);\ 111111$. \section{Fibonacciho spir�ly} \label{Fibonacciho spir�ly} \begin{figure} \caption{Fibbonacciho spir�la. �tverce p�epon pravo�hl�ch troj�heln�k� s

n�sledn�mi Fibbonacciho odv�snami jsou lich� Fibbonacciho ��sla} \label{Fibbonacciho spir�la} \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(120.00,160.00) %\emline(10.33,50.00)(110.00,50.00) \put(10.33,50.00){\line(1,0){99.67}} %\end %\emline(80.00,1.67)(80.00,151.67) \put(80.00,1.67){\line(0,1){150.00}} %\end %\emline(80.00,70.00)(100.00,50.33) \multiput(80.00,70.00)(0.12,-0.12){164}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(100.00,50.33)(80.00,10.33) \multiput(100.00,50.33)(-0.12,-0.24){167}{\line(0,-1){0.24}} %\end %\emline(80.00,10.33)(20.00,50.00) \multiput(80.00,10.33)(-0.18,0.12){331}{\line(-1,0){0.18}} %\end %\emline(20.00,50.00)(80.00,150.00) \multiput(20.00,50.00)(0.12,0.20){501}{\line(0,1){0.20}} %\end \put(95.00,65.00){\makebox(0,0)[cc]{$\sqrt{2}$}} \put(95.00,26.67){\makebox(0,0)[cc]{$\sqrt{5}$}} \put(43.00,26.67){\makebox(0,0)[cc]{$\sqrt{13}$}} \put(40.00,105.00){\makebox(0,0)[cc]{$\sqrt{34}$}} \put(20.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{$-3$}} \put(100.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(70.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(69.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$-2$}} \put(70.00,150.00){\makebox(0,0)[cc]{5}} \end{picture} \end{figure} Pokud nakresl�me na dv� ortogon�ln� osy n�sledn� Fibonacciho ��sla, potom p�eponami spojuj�c�mi n�sledn� body odpov�daj�c�ch pravo�hl�ch troj�heln�k� jsou odmocniny �tverc� Fibonacciho ��sel $F_{2k+1}$ (obr. \ref{Fibbonacciho spir�la}). To ukazuje na identitu \begin{equation} F_{2k+1} = F_{k+1}^2 + F_k^2 \end{equation} Podobn� identita se z�sk� pro sud� ��sla z diference dvou �tverc� Fibonacciho ��sel, nap��klad $F_8 = F_5^2 - F_3^2 = 21 = 25 - 4$. Tato diference m�e b�t naps�na jako sou�et sou�in� Fibonacciho ��sel. \begin{equation} F_{2k} = F_{k+1}^2 - F_{k-1}^2 = F_{k}^2 + F_kF_{k-1} \end{equation} Postupn� rozlo��me vy��� Fibonacciho ��sla a vyj�d��me koeficienty ni���ch Fibonacciho ��sel jako: \begin{equation} F_{2k+1} = F_2F_{2k} + F_1F_{2k-1} = F_3F_{2k-1} + F_2F_{2k-2} = \dots \end{equation}

Objevuje se tu je�t� jin� vzorec \begin{equation} F_{n+1} F_{n-1} - F^2_n = (-1)^n \end{equation} Nap��klad p�i $n=5: 3\times8 - 25 = -1$. Tyto vztahy lze formulovat v maticov� form� (s pou�it�m znalosti co je determinant matice) jako $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cc} F_{n+1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n-1} \end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)^n\;. \end{array}$$ Tento vztah vede ke dv�ma skute�nostem. Prvou jsou vlastn� hodnoty pozd�j�� kapitoly, druhou je nulov� mocnina t�to matice:

matice, viz

$$\begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)^0 & = & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{cc} F_1 & F_0 \\ F_0 & F_{-1} \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Na diagon�le jsou hodnoty $F_{n+1}$ a $F_{n-1}$. Tento fakt d�v� mo�nost prodlou�it Fibonacciho ��sla k z�porn�m index�m. Tato s�rie mus� b�t: $1, -1, 2, -3, 5, -8, \dots$. Dostaneme tato ��sla op�t jako sou�ty dvou n�sledn�ch Fibonacciho ��sel, ��dkov� sou�ty prvk� ${\bf B}^{-1}$ nebo jako prvky jejich

vytvo�uj�c� matice $$\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right)^n\;.$$ \chapter{Mocninov� s�rie} \label{Mocninov� s�rie} \section{Polynomi�ln� koeficienty pro m permutace} \label{Polynomi�ln� koeficienty pro m permutace} Polynomi�ln� koeficienty byly definoval pro permutace sloupc� vektor-��dk�. Je jasn�, �e takov� koeficient mus� b�t pou�iteln� pro transponovan� vektor-��dky, to znamen�, �e pro vektor-sloupce. Zd� se, �e nen� nutn� m�t n�kter� speci�ln� koeficienty pro permutace ��dk� vektor-sloupc�, kdy� jedin�m rozd�lem by bylo, �e odpov�daj�c� permuta�n� matice p�sob� na vektor zleva m�sto zprava. Av�ak rozd�ln� situace se objevuje u �ad symbol�, nap��klad $(\bf aaabbccdef)^{\rm T}$. Ur��me snadno po�et �ad vytvo�en�ch polynomi�ln�m koeficientem $10!/3!2!2!1!1!1!$. Nem�eme odli�it stejn� symboly, tedy jejich vz�jemn� permutace jsou ne��inn� jako permutace vektor� maj�c�ch stejn� d�lky. Av�ak tento polynomi�ln� koeficient se li�� od polynomi�ln�ho koeficientu pro n permutace. Polynomi�ln� koeficient pro n permutace permutuje po�ty $n_k$ vektor� maj�c�ch stejnou hodnotu () $m_k$. Nyn� se permutuj� v�skyty jednotliv�ch vektor� ${\bf j}$, se�ten� jako $m_j$,. Z p��kladu je jasn�, �e n�kter� hodnoty $m_j$ mohou b�t stejn� pro v�ce vektor� (1 pro t�i, 2 pro dva). Tady je u�ite�n� nov� index k (jeho hodnoty jsou toto�n� s ��slem $m_k$ samotn�m. Po�et vektor� s hodnotou $m_k$ je $n_k$ a {\em polynomi�ln� koeficient pro m permutace} se nap�e jako \begin{equation} m!/\prod_{j=1}^n m_j! = m!/\prod_{k\geq0}m_k!^{n_k};\ {\rm kde}\ m = \sum_{j=1}^n m_j = \sum_{k\geq0} n_km_k\;. \end{equation} \label{m permutace} M permutace transformuj� sekvence symbol� nap��klad $(\bf dagfabcace)^{\rm T}$, zat�m co n permutace p�sob� jako {\em substituce}, nap��klad $(\bf abcceeefgg)^{\rm T}$. Substituce ${\bf a}$ na ${\bf e}$ nebyla p��m�, av�ak byla ��st� cyklu, mimo to se objevily ${\bf g}$ (kter� nebyly v p��klad�) av�ak jako sloupec s nulov�mi prvky v abecedn� matici. \section{Naivn� sou�iny polynomi�ln�ch koeficient�} \label{Naivn� sou�iny polynomi�ln�ch koeficient�} V kapitole 7 jsme studovali symetrii zvl�tn� t��dy naivn�ch matic, maj�c�ch jeden jednotkov� prvek nejen v ��dc�ch av�ak sou�asn� v sloupc�ch. V�echny jdou k orbit� sest�vaj�c� se pouze z jednoho bodu. Nyn� m�me nal�zt index symetrie dvou grup cyklick�ch permutac� p�sob�c�ch sou�asn� na jin� naivn� matice zleva a zprava: \begin{equation} {\bf P}_m{\bf N}{\bf P}_n\;. \end{equation}

Akce permuta�n�ch matic zleva po��t� polynomi�ln� koeficient pro m permutace(\ref{m permutace}), akce permuta�n�ch matic zprava po��t� polynomi�ln� koeficient pro n permutace (9.1). ��inek permutace zprava je identick� s n permutacemi sloupce vektoru-��dky ${\bf m}$ sloupcov�ch sou�t� naivn� matice: \begin{equation} {\bf J}^{\rm T}{\bf NP}_n\ =\ {\bf m}{\bf P}_n\;. \end{equation} Ob� akce jsou nez�visl� a koeficient�

tedy kone�n�m v�sledkem je pr�v� sou�in obou

\begin{equation} \sum (n!/\prod_{k\geq 0}n!)(m!/\prod_{k\geq 0}m_k^{n_k}!) = n^m \end{equation} Sou�et se provede p�es v�echny orbity rozd�len�. Je to speci�ln� p��pad Newtonova polynomi�ln�ho vzorce, kde koeficienty maj�c� stejnou strukturu rozd�len� se po��taj� dohromady polynomi�lem pro n permutace\footnote{Identita je zn�m� ve fyzice jako Polya-Brillouinova statistika. Av�ak Brillouin a jin� nerozpoznali jej� kl��ovou d�le�itost.}. Kone�n� v�sledek se z�sk� snadno. P�esn� $n$ sloupc� je um�st�no v ka�d� ��dce, do kter� lze vlo�it jeden prvek. Individu�ln� v�b�ry v $m$ ��dc�ch jsou nez�visl� a tedy se n�sob�. Prav� strana je v�sledkem zn�m�m jako {\em rozd�len� m rozli�iteln�ch v�c� do n p�ihr�dek}. Objekty jsou rozli�eny sv�m indexem $i$. Tento index je v sou�tu ztracen. Rozli�itelnost nen� vlastnost� v�c� ale okolnost� \footnote{To m� d�le�it� filosofick� d�sledek. V p�edch�zej�c�m stolet� se diskutovala ot�zka, zda mikro��stice jsou rozli�iteln� nebo ne. Av�ak pojem rozli�itelnosti byl �patn� definov�n.}. V�echny 1 v naivn� matici je identick�, pouze jejich polohy se m�n�. Pokud by byly rozd�ln�, bylo by nutn� zav�st t�et� index, kter� d�v� jinou statistiku (viz pozd�ji). Rozd�lem oproti cyklick�mu indexu (Rovnice 7.15) je druh� faktori�l $m!$ a faktori�ly $m_k$ m�sto jejich prv�ch mocnin. Kdy� pou�ijeme (10.2) pro rozd�len� $1^m$ dostaneme $(n!/n_1!)(m!/1!^{n_1}) =m!$. Cyklick� index �t�p� $S_m$ grupu na cyklick� struktury. \section{Diference v mocninov� s�rii} \label{Diference v mocninov� s�rii} Kdy� uspo��d�me polynomi�ln� koeficienty do sch�mat rozd�len� dostaneme op�t sloupcov� sou�ty jako pro $m=n=6:$ $$\begin{tabular}{|r|rrrrrr|c|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m =6 & 6 & & & & & & 6 \\ 5 & & 180 & & & & & 180 \\ 4 & & 450 & 1800 & & & & 2250 \\ 3 & & 300 & 7200 & 7200 & & & 14700 \\ 2 & & & 1800 & 16200 & 10800 & & 18800 \\ 1 & & & & & & 720 & \\ \hline $\Sigma$ &6 & 930 & 10800 & 23800 & 10800 & 720 & $46656= 6^6$ \\ \hline

\end{tabular}$$ Z n�sledn�ch sch�mat dostaneme tabulku \ref{Mocninov� s�rie}: \begin{table} \caption{Sekvence mocninov� s�rie} \label{Mocninov� s�rie} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 2 & 2 & & & & & 4 \\ 3 & 3 & 18 & 6 & & & & 27 \\ 4 & 4 & 84 & 144 & 24 & & & 256 \\ 5 & 5 & 300 & 1500 & 1200 & 120 & & 3125 \\ 6 & 6 & 930 &10800 &23400 &10800 & 720 & 46656 \\ \hline \end{tabular} \end{table} V tabulce \ref{Mocninov� s�rie}, pouze prvn� sloupec a ��dkov� sou�ty jsou z�ejm� spojen� s $m$ a $n^m$. Mimo to se zde objevuj� faktori�ly av�ak jin�ho prvky rostou p��li� rychle, aby se analyzovaly p��mo. Av�ak v�echny prvky jsou d�liteln� $m$. T�mto zp�sobem se tabulka \ref{Mocninov� s�rie} rozlo�� do p��m�ho sou�inu dvou matic. Jednou z nich je matice binomi�ln�ch koeficient� ${ m \choose k}$. To je matice ${\bf B}^{\rm T}$. Druhou matic� je matice diferenc� $\Delta^n{\bf 0}^m$: \begin{table} \caption{Diference $\Delta^n{\bf 0}^m$} \label{Diference D bf 0} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Delta^n{\bf 0}^m$ \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & & 1 \\ 1 & & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & & 1 & 2 & & & & & 3 \\ 3 & & 1 & 6 & 6 & & & & 13 \\ 4 & & 1 & 14 & 36 & 24 & & & 75 \\ 5 & & 1 & 30 &150 & 240 & 120 & & 541 \\ 6 & & 1 & 62 & 540 &1560 &1800 &720 & 4683 \\ \hline \end{tabular} \end{table} U� jsme se setkali se ��dkov�mi sou�ty $\Delta^n{\bf 0}^m$ v tabulce 9.1 jako Eulerov�mi polynomi�ly $E_n(2)$. Tato ��sla po��taj� naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form� n�soben� mocninami $2^k$. Nap��klad pro $m=n=4$: $$\begin{tabular}{|l|c|ccc|ccc|c|} \hline n & 1 & & 2 & & & 3 & & 4 \\ \hline Z�kladn� �ada & aaa &aaab& aabb &abbb &aabc& abbc &abcc &abcd \\ Permutace & 1 & 4 & 6 & 4 &12 & 12 & 12 & 24 \\ \hline

Po�ty & 1 & & 14 & & & 36 & & 24 \\ \hline \end{tabular}$$ Binomi�ln� koeficienty ${ m \choose k}$ permutuj� nenulov� sloupce s nulov�mi sloupci. Tabulka diferenc� m� prvn� ��dku a sloupec indexovan� nulov�mi indexy. Av�ak obsahuj�, vyjma prvek $1_{00}$, pouze nuly. To ru�� ��inek prvn� ��dky binomi�ln� matice v p��m�m sou�inu. Rekurence v tabulce \ref{Diference D bf 0} je jednoduch� \begin{equation} m_{00} = 1;\ m_{ij} = j(m_{i-1,j-1} + m_{i-1,j}) \end{equation} V ka�d�m sloupci m�me $j$ mo�nosti, jak p�idat nov� prvek. Bu� se p�id� do obsazen�ch sloupc�, nebo se p�id� do nov�ho sloupce. Potom se jin� sloupce pouze posunou bez permutov�n�. Tabulka \ref{Mocninov� s�rie} je p��m�m sou�inem $c_{ij} = a_{ij} \times b_{ij}$. Kdy� najdeme norm�ln� sou�in $(\Delta^n 0^m){\bf B}^{\rm T}$, dostaneme matici, jej� prvky jsou mocniny $j^i$. Nap��klad $$\begin{tabular}{rrrr|rrrrr} & & & & 1 & 1 & 1 &1 & 1 \\ & & & & & 1 & 2 & 3 & 4 \\ & & & & & & 1 & 3 & 6 \\ & & & & & & & 1 & 4 \\ \hline 1 & & & & 1 &1 &1 &1 & 1 \\ & 1 & & & & 1 & 2 & 3 & 4 \\ & 1 & 2 & & & 1 & 4 & 9 &16 \\ & 1 & 6 & 6 & & 1 & 8 &27 &64 \\ \end{tabular}$$ Ani tabulka 10.2 nen� element�rn�. Lze ji rozlo�it op�t do matice Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu (tabulka 8.2) a diagon�ln� matice faktori�l� $\Delta(j!)$, kter� n�sob� Stirlingovu matici zprava. Stirlingova ��sla druh�ho druhu po��taj� naivn� matice v doln� troj�heln�kov� form�. Tato podm�nka zaji��uje, �e v�echny sloupce tvo�� z�kladnu pro sloupcov� permutace, kdy� se odstran� restrikce doln� troj�heln�kov� formy. V jin�m uspo��d�n� m�eme vytvo�it tabulku kone�n�ch diferenc� jako v tabulce \ref{Diference mocninov� s�rie}. \begin{table} \caption{Diference mocninov� s�rie} \label{Diference mocninov� s�rie} \begin{tabular}{|r|r|rrrr|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline m=0 & 1 & & & & \\ 1 & 0 & 1 & & & \\ 2 & 1 & 1 & 1 & & \\ 3 & 14 & 3 & 1 & 1 & \\ 4 &181 & 13 & 3 & 1 & 1 \\ \hline

\end{tabular} \end{table} V nulov�m sloupci se po��taj� �ady simplexu, kter� nejsou v jeho diferenci. Prvky v dal��ch sloupc�ch jsou postupn� rozd�ly. Nap��klad prvky v $d_{30}=14$ jsou: $b^3$, $c^3$, $b^3$, 3$b^2c$, 3$bc^2$, 3$a^2c$, 3$ac^2$. Sloupcov� indexy odpov�daj� mocnin�m prv�ho indexu, nap��klad $d_{41}=13= ab^3 + 3ab^2c + 3abc^2 +6abcd,\d_{42}=3 = a^2b^2 + 2a^2bc$. Kdy� n�sob�me tuto matici transponovanou matic� binomi�ln�ch koeficient� ${\bf B}^{\rm T}$, dostaneme na diagon�le sou�inu odpov�daj�c� mocniny $n^n$. Binomi�ln� koeficient permutuje prv� vektor s jin�mi u� permutovan�mi vektory. \section{Oper�torov� algebra} \label{Oper�torov� algebra} Pou��vali jsme oper�torovou notaci v�cekr�t. Nyn� bychom m�li tuto notaci vysv�tlit. Existuje {\em funkce identity} $E$ a {\em funkce diference} $\Delta$. Mimo to existuj� form�ln� mocniny $0^n$. Tyto funkce jsou definov�ny recipro�n� jako \begin{equation} \Delta^m0^n = [E^m0^n -1]^m = \sum_{j=0}^m { m \choose j}(-1)^j(m-j)^m \end{equation} To d�v� pro odpov�daj�c� prvky matice sou�ty mocnin indexu m: \begin{itemize} \item $\Delta^m0^1 = 1\times1^m$, \item $\Delta^m0^2 = 1\times2^m - 2\times1^m$, \item $\Delta^m0^3 = 1\times3^m - 3\times2^m + 3\times1^m$. \end{itemize} Vypo�teme pro n=3: $$\begin{array}{lcll} $\Delta^m0^3$ & $m=1=$& $1\times3-3\times2+3\times1$ & $=0$,\\ & $m=2=$ & $ 1\times9-3\times4+3\times1$ & $=0$, \\ & $m=3=$ & $1\times27-3\times8+3\times1$ & $=6$, \\ & $m=4=$ & $1\times81-3\times16+3\times1$ & $=36$\;. \\ \end{array}$$ P�vodn� funkce se obnov� sou�inem form�ln� rovnici

$\Delta^m0^n$ s matic� binomi�l�. To odpov�d�

\begin{equation} n^m = E^m 0^n =(1 + \Delta^m0^n)^m\;. \end{equation} ��dkov� sou�ty tabulky 10.2 vzat� se st��daj�c�mi se znam�nky (diference sud�ch a lich�ch sloupc�) d�v� $(-1)^i$. P�edpokl�dejme, �e to plat� pro n�jakou ��dku. Prvky p��t� ��dky jsou pr�v� n�soben� sou�ty p�edch�zej�c� ��dky: \begin{equation} d_{ij} = j(d_{i-1,j-1} + d_{i-1,j}) \end{equation} Kdy� provedeme diferenci $d_1 -2(d_1 +d_2) +3(d_2 +d_3) - \dots = -d_1 + d_2

-d_3 \dots$, dostaneme prvky p�edch�zej�c� ��dky s jin�mi znam�nky, jejich� sou�et byl +/-1. \section{Diference $dx$ a sou�ty $n^m$} \label{Diference dx Sou�ty n} Mocnina $n^m$ je binom, pokud nap�eme n jako sou�et $n = (n-1) +1$. Potom \begin{equation} n^m = [(n-1) + 1]^m = \sum_{k=0}^m{ m \choose k}(n-1)^k\;. \end{equation} Nap��klad: $3^4 = (1\times1+4\times2+6\times4+4\times 8+1\times16) = 81$. �leny binomu jsou rozd�ly po�tu �ad rovinn�ch simplex� podle jednoho vektoru (tento vektor mus� m�t p�edepsanou hodnotu). Funkce $n^m$ se m�e diferencovat je�t� jin�m zp�sobem. Kdy� se pod�v�me na jej� tabulku 10.3, vid�me, �e mocniny lze definovat jejich ��dkov�mi rozd�ly \begin{equation} (n^m - 1) = (n - 1)\sum_{i=0}^m n^i\;. \end{equation} \label{��dka rozd�ly} Nap��klad $27-1 = 2(1+3+9)$. To m�eme ps�t jako sou�et rozd�l� nekone�n� �ady $1/n^k$. P�id�me 1 k ob�ma stran�m (\ref{��dka rozd�ly}) nap�eme to jako \begin{equation} n^m = (n-1)\sum_{k=1}^{\infty}n^{m-k}\;. \end{equation} Tato rovnice plat� tak� pro $m=1$ m�me tedy \begin{equation} n/(n-1) = (n-1)\sum_{i=0}^{\infty}n^{-i} \end{equation} Tato nekone�n� sekvence se skr�v� v nulov�m simplexu, pon�vad� ��sla se z�porn�mi mocninami $1/a^i$ nelze interpretovat jako geometrick� body se z�porn�m znam�nkem, $a^{-1}$ nen� identick� s $-a$. Pro sou�ty prvn�ch ��dek se naleznou snadno n�sleduj�c� identity \begin{equation} \sum_{k=1}^n k^0 = n;\ \sum_{k=1}^n k^1 = { n+1 \choose 2};\ \sum_{k=1}^n k^3 = { n+1 \choose 2}^2\;. \end{equation} V�echny identity se snadno dok�� �plnou indukc�. Zejm�na pokud posledn� plat� pro $n$, potom pro $(n+1)$ m�me $$ { n+1 \choose 2}^2 + { n+1 \choose 1}^3 = { n+2 \choose 2}^2\;. $$ To je ov��en� p��m�mi v�po�ty. V�imn�te si, �e i-t� ��dka tabulky 10.2 se z�sk� postupn� n�soben�m t�to matice $ {\bf Q}$ zprava od (i-1)-t� ��dky. ${\bf Q}$ je diagon�ln� matice index�, kter� se je�t� jednou opakuj� pod hlavn� diagon�lou jako v n�sleduj�c�m p��klad�

$$\begin{array}{cccc|cccc} & & & & 1 & & & \\ & & & & 1 & 2 & & \\ & & & & & 2 & 3 & \\ & & & & & &3 &4\\ \hline 1 & & & & 1 & & & \\ & 1 & & & 1 & 2 & & \\ & 1 & 2 & & 1 & 6 & 6 & \\ & 1 & 6 &6 & 1 &14 &36 &24\;.\\ \end{array}$$ \section{N�kter� klasifika�n� sch�mata} \label{N�kter� klasifika�n� sch�mata} M�eme klasifikovat naivn� matice podobn� jak jsme to ud�lali u permuta�n�ch matic. Takov� klasifikace vedou n�kdy k slo�it�m rekurentn�m vztah�m. Nap��klad pokud napodob�me po�et p�em�st�n� a po��t�me po�et prvk� na hlavn� diagon�le ve vektorov�ch �ad�ch, dostaneme pro $(3,3)$ n�sleduj�c� dv� klasifikace $$\begin{array}{|r|c|c|c|c|c|} \hline & $\hbox{Rozd�l}$ & $\Sigma$ & $\hbox{Zbytek simplexu}$ & $\Sigma$ & $\Sigma$ \\ \hline $k=0$ & bca,cab,bab,ba & 4 & ccb, bcb, caa, cc & 4 & 8\\ 1 & aaa,aab,bba,acb,bac,cb & 6 &bbb, ccc, cbb, bcc, aca, cac & 6 & 12 \\ 2 & aba,abb & 2 & bbc, cbc, aac, acc & 4 & 6\\ 3 & abc & 1 & & 0 & 1 \\ \hline $\Sigma$ & & 13 & & 14 & 27\\ \hline \end{array}$$ Tabulka 10.3 ukazuje po�et p�em�st�n� v diferenc�ch simplex�, tabulka 10.4 ukazuje tento po�et pro v�echny naivn� matice \begin{table} \caption{Rozd�ly po�tu p�em�st�n�} \label{Rozd�ly po�tu p�em�st�n�} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & & & & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & & & & 3 \\ 3 & 4 & 6 & 2 & 1 & & & 13 \\ 4 & 27 & 28 & 16 & 3 & 1 & & 75 \\ 5 &187 & 214 & 104 & 31 & 4 & 1 &541 \\ \hline \end{tabular} \end{table} \begin{table} \caption{Rozd�ly po�tu p�em�st�n� v mocninov� s�rii} \label{Rozd�ly po�tu p�em�st�n� v mocninov� s�rii} \begin{tabular}{|r|rrrrr|r|}

\hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & $\Sigma$ \\ \hline m=0 & 1 & & & & & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & & & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 & & & 4 \\ 3 & 8 & 12 & 6 & 1 & & 27 \\ 4 & 85 & 104 & 54 & 12 & 1 & 256 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Nebudeme analyzovat tyto vztahy, ale uk�eme jin�. Pokud �ady v rovinn�ch simplexech jsou klasifikov�ny podle po�tu jednotkov�ch vektor� $n_1$, dostaneme diference, tabulka 10.5. \begin{table} \caption{Diference mocnin podle $n_1$} \label{Diference mocnin podle n} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|r|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & & 1 \\ 1 & 0 & 1 & & & & & & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 2 & & & & & 4 \\ 3 & 3 & 18 & 0 & 6 & & & & 27 \\ 4 & 40 & 48 & 144 & 0 & 24 & & & 256 \\ 5 & 205 & 1000 & 600 & 1200 & 0 & 120 & & 3125 \\ 6 & 2556 & 7380 & 18000 & 7200 &10800 & 0 &720 &46656 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Prvky prvn�ho sloupce tabulky 10.5 lze nazvat {\em podmocniny}, proto�e generuj� v ��dc�ch jin� prvky, jejich� sou�ty d�vaj� mocniny $n^n$. Rekurence je \begin{equation} p_{i0}=1\ p_{ij} = p_{i-j,0}\ [i!/(i-j)!]^2\times1/j! = p_{i-j,0}j!{ i \choose j}^2 \end{equation} \label{rekurence} Tato rekurence se m�e rozd�lit do dvou krok�. Nejprve k naivn�m matic�m s $(i-j)$ prvky se p�id� $j$ jednotkov�ch prvk� a ��dky se permutuj� s pou�it�m binomi�ln�ho koeficientu ${ i \choose j}^2$. Potom opakujeme permutace se sloupci s pou�it�m stejn�ho binomi�ln�ho koeficientu. V�sledek se mus� opravit o permutace p�idan�ch $j$ jednotkov�ch prvk� mezi sebou, to se provede faktori�ln�m �lenem 1/j!. \section{Klasifikace podle Dvou vektor�} \label{Klasifikace podle Dvou vektor�} V�echny body v diagramech rozd�len� simplex� byly rozd�leny do orbit. Ty se klasifikovaly podle velikosti nejv�t��ho vektoru. Je mo�n� po��tat body a �ady podle velikost� jednoho zvl�tn�ho vektoru. To lze prov�st pro v�ce vektor� sou�asn�, v�hodn� pouze pro dva vektory, kdy klasifikace je rovinn�. Opust�me sf�rickou perspektivu a budeme skenovat simplex podle dvou os. Jako p��klad uk�eme klasifikaci troj�heln�ku $3^3$

$$\begin{tabular}{|r|rrrr|r|} \hline $m_b$ & 0 & 1 & 2 & 3 & $\sigma$ \\ \hline $m_a$ = 0 & $c^3$ & $3bc^2$ & $3b^2c$ & $b^3$ & 8 \\ 1 & $3ac^2$ & 6abc & $3ab^2$ & & 12 \\ 2 & $3a^2c$ & $3a^2b$ & & & 6 \\ 3 & $a^3$ & & & & 1 \\ \hline $\sigma$ & 8 & 12 & 6 & 1 & 27 \\ \hline \end{tabular}$$ Pro $(4,4)$ simplex se z�sk� podobn� n�sleduj�c� sch�ma $$\begin{tabular}{|r|rrrrr|r|} \hline $m_b$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & $\Sigma$ \\ \hline $m_a= 0$ & 16 & 32 & 24 & 8 & 1 & 81 \\ 1 & 32 & 48 & 24 & 4 & & 108 \\ 2 & 24 & 24 & 6 & & & 54 \\ 3 & 8 & 4 & & & & 12 \\ 4 & 1 & & & & & 1 \\ \hline $\Sigma$ & 81 & 108 & 54 & 12 & 1 & 256\\ \hline \end{tabular}$$ Nulov� ��dka a sloupec odpov�d� simplex�m $3^4$, jejich pr��ezu $s_{00}$ a diagon�le k $2^4$. Prvky se vypo��taj� jako sou�iny dvou binomi�ln�ch koeficient� a odpov�daj�c�ch mocnin \begin{equation} { m_a+m_b \choose m_}{ m \choose m_}(n-2)^{m-m_a-m_b} \end{equation} ��dkov� a sloupcov� sou�ty dvou vektorov�ch sch�mat d�vaj� jednu vektorovou klasifikaci \begin{equation} { m \choose m_}(n-1)^{m-m_a} \end{equation} \section{\ Klesaj�c� a stoupaj�c� faktori�ly} \label{Klesaj�c� a stoupaj�c� faktori�ly} V (\ref{rekurence}) se objevil pom�r dvou faktori�l� $i!/(i-j)!$. Z�skal se z odpov�daj�c�ho binomu jeho n�soben�m faktori�lem $j!$. Tento pom�r je zn�m� jako {\em klesaj�c� faktori�l} a zna�� se jako $(n)_k$. Smysl t�to notace klesaj�c�ho faktori�lu je, �e je to sou�in k �len� $(n-k)$, k jdouc� od 0 k $(k-1)$. Kdy� uspo��d�me klesaj�c� faktori�ly do tabulky \ref{Klesaj�c� faktori�l} klesaj�c� faktori�l m� velmi jednoduchou inverzn� matici. \begin{table}

\caption{Klesaj�c� faktori�l a jeho inverzn� \label{Klesaj�c� faktori�l} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|rrrrrr|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \qquad & 0 & 1 & & 4 & 5 \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & & 1 & & & & & \\ 1 & 1 & 1 & & & & & &-1 & 1 & & & & \\ 2 & 2 & 2 & 1 & & & & & & -2 & 1 & & & \\ 3 & 6 & 6 & 3 & 1 & & & & & & -3 & 1 & & \\ 4 & 24 & 24 & 12 & 4 & 1 & & & & & & -4 & 1 5 &120 &120 & 60 & 20 & 5 & 1 & & & & & &-5 \hline \end{tabular} \end{table}

matice}

2 & 3

& \\ & 1 \\

Klesaj�c� faktori�ly se mohou z�skat form�ln� z binomu \begin{equation} (k! + 1)^n\ \mbox{nahrazuj�c}\ k!^j = j!\;. \end{equation} Zm�nili jsme probl�m rozli�itelnosti v�c� v rozd�len� v�c� do rozli�iteln�ch p�ihr�dek. Rozd�len� nerozli�iteln�ch v�c�, z�skan� jako sou�et polynomi�ln�ch koeficient� pro n permutace, vedlo k binomi�ln�mu koeficientu ${ m+n+1 \choose m} $. Potom jsme rozd�lili $m$ jednotek do $m$ ��dk� a z�skali jsme polynomi�ln� koeficient pro m permutace, proto�e tyto jednotky byly ekvivalentn�. Sou�et sou�in� obou koeficient� dal $n^m$. Nyn� p�id�me t�et� index $k$. M�eme rozli�it, zda v ��dce $i$ ve sloupci $j$ je $1_{\alpha}$ nebo $1_{\beta}$. Objevuje se tu konstantn� ��slo $m!$ permutac� m objekt� pro v�echny body po��tan� sou�tem polynomi�ln�ch koeficient� pro n permutace. V�sledkem je \begin{equation} \sum_{k\geq0}m!n!/\prod n_k! = (m+n-1)!/(n-1)! \end{equation} Tato identita je zn�m� jako {\em stoupaj�c� faktori�l} a pou��v� se notace $ (n)^m$. Oba stoupaj�c� a klesaj�c� faktori�ly jsou ve vztahu jako \begin{equation} (n+m-1)_m = (n)^m\;. \end{equation} Je mo�n� definovat stoupaj�c� faktori�l jako klesaj�c� faktori�l z�porn�ch ��sel \begin{equation} (n)^m =(-1)^m(-n)_m\;. \end{equation} Nap��klad $(n)^2 = (n+2)(n+1)n = (-1)^3(-n)(-n-1)(-n-2)$. \section{\ Matice ${\bf NN}^{\rm T}$} \label{Matice NN} U� jsme spo��tali kvadratick� formy ${\bf N}^{\rm T}{\bf N}$. Nyn� budeme studovat jinou kvadratickou formu ${\bf NN}^{\rm T}$. V se objevuj� bloky ${\bf JJ}_k^{\rm T}$ z�skan� jako vn�j�� sou�iny jednotkov�ho vektoru sloupce ${\bf J}_k$.

Nap��klad blok matic $$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)$$ se permutuje jako $$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right)\;.$$ Tyto bloky nemohou odli�it sekvence $({\bf ababa})^{\rm T}$ a $({\bf babab})^{\rm T}$. Pouze registruj�, �e na m�stech $1,3,5$ byl jeden vektor a jin� vektor byl na m�stech 2 a 4. Rozd�l mezi ob�ma kvadratick�mi formami lze srovnat se dv�ma pozorovateli vlak�. $ {\bf N}^{\rm T}{\bf N}$ je pozorovatel sed�c� na vlaku. Registruje kolikr�t jeho vlak se pohyboval, av�ak nem�e ��ci, kdy. ${\bf NN}^{\rm T}$ je pozorovatel na kolej�ch registruj�c� intervaly, kdy byly koleje vyu�ity, av�ak nem�e ��ci, kter�m vlakem. Kvadratick� formy\footnote{Kvadratick� formy ${\bf NN}^{\rm T}$ dlouh�ch �ad tvo�� velmi zaj�mav� vzory.} ${\bf NN}^{\rm T}$ se po��taj� indexem zn�m�m jako {\em Bell�v polynomi�l} \begin{equation} m!/\prod_{k\geq0} n_k !m_k !^{n_k} \end{equation} Kdy� jej srovn�me se sou�inem dvou polynomi�ln�ch koeficient�, vid�me, �e ten byl d�len �lenem $n!/n_0!$. Tento �len se objevil jako oper�tor n�sob�c� v�echna Stirlingova ��sla druh�ho druhu, aby se dostaly rozd�ly $\Delta^m0^n$ (podkapitola 10.3). Tedy Bellovy polynomi�ly po��taj� Stirlingova ��sla druh�ho druhu a jejich sou�ty. Po�et kvadratick�ch forem ${\bf NN}^{\rm T}$ je identick� s po�tem naivn�ch matic v doln� troj�heln�kov� form� bez pr�zdn�ch mezisloupc�. Kdy� se Bellovy polynomi�ly porovnaj� s cyklick�m indexem (7.15), vid�me, �e se zde m�sto jednoduch�ch $m$ �len� objevuj� jejich faktori�ly. Prvky ve sloupc�ch netvo�� cykly ale nerozli�iteln� podmno�iny. Stirlingova ��sla generuj� rozd�ly, pokud se n�sob� matic� faktori�l� a matic� mocnin, pokud se n�sob� klesaj�c�mi faktori�ly: $$\begin{array}{cccc|rrrrr|rrrrr} & & & & \quad & 1 & 1 & 1 & 1 &\quad & 1 & 1 & 1 & 1 \\

& & & & & & 2 & 2 & 2 & & & 1 & 2 & 3 \\ & & & & & & & 6 & 6 & & & & 2 & 6 \\ & & & & & & & & 24 & & & & & 6 \\ \hline 1 & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & & & & 1 & 3 & 3 & 3 & & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & & & 1 & 7 &13 &13 & & 1 & 4 & 9 &16 \\ 1 & 7 & 6 & 1 & & 1& 15 &51 &75 & & 1 & 8& 27& 64 \\ \end{array}$$ Kdy� je nejni��� dovolen� hodnota $m_j = 2$, polynomi�ly d�vaj� asociovan� Stirlingova ��sla druh�ho druhu, jejich� rekurence je \begin{equation} a_{ij} =ja_{i-1,j} + (i-1)a_{i-2,j-1}\ {\rm s}\ a_{00} =1\;. \end{equation} \section{\ Hlasovac� ��sla} \label{Hlasovac� ��sla} \begin{figure} \caption{K�nus hlasovac�ch ��sel. Koordin�ty ${\bf a}$ jsou v�dy v�t�� ne� koordin�ty ${\bf b}$} \label{Balloting ��sel} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(120.00,120.00) %\emline(20.00,110.00)(20.00,20.00) \put(20.00,110.00){\line(0,-1){90.00}} %\end %\emline(20.00,20.00)(110.00,20.00) \put(20.00,20.00){\line(1,0){90.00}} %\end %\emline(20.00,20.00)(110.00,110.00) \multiput(20.00,20.00)(0.12,0.12){751}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(20.00,40.00)(40.00,20.00) \multiput(20.00,40.00)(0.12,-0.12){167}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(20.00,80.00)(80.00,20.00) \multiput(20.00,80.00)(0.12,-0.12){501}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(20.00,100.00)(100.00,20.00) \multiput(20.00,100.00)(0.12,-0.12){667}{\line(0,-1){0.12}} %\end \put(20.00,19.67){\circle{4.00}} \put(20.00,40.00){\circle{4.00}} %\emline(20.00,60.00)(60.00,20.00) \multiput(20.00,60.00)(0.12,-0.12){334}{\line(0,-1){0.12}} %\end \put(40.00,39.67){\circle{4.00}} \put(20.00,59.67){\circle{4.00}} \put(40.00,59.33){\circle{4.00}} \put(20.00,79.33){\circle{4.00}} \put(40.00,80.00){\circle{4.00}} \put(60.33,60.00){\circle{4.00}} \put(20.00,99.33){\circle{4.00}} \put(10.00,99.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(99.67,9.67){\makebox(0,0)[cc]{b}}

\put(70.00,54.67){\makebox(0,0)[lc]{zak�z�no}} \end{picture} \end{figure} V podkapitole 9.8 byly zavedeny Fibonacciho ��sla se singul�rn� matic�. Pokud p�em�st�me jej� prvky jako v tabulce 9.7, dostaneme matici, kterou lze invertovat. Kladn� prvky inverzn� matice jsou zn�m� jako {\em Hlasovac� ��sla}. \begin{table} \caption{Fibonacciho a hlasovac� ��sla} \label{Fibonacciho a hlasovac� ��sla} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|c|rrrrrrr|} \hline & \multicolumn{7}{|c|} { Fibonacciho ��sla} & & \multicolumn{7}{|c|} {Hlasovac� ��sla}\\ \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \quad & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline m=1 & 1 & & & & & & && 1 & & & & & & \\ 2 & & 1 & & & & & && & 1 & & & & & \\ 3 & 1 & & 1 & & & & && -1 & & 1 & & & & \\ 4& & 2 & & 1 & & & && &-2 & &1 & & & \\ 5 & 1 & & 3& &1 & & && 2& &-3 & & 1 & & \\ 6 & & 3 & & 4 & & 1& && & 3 & &-4 & & 1 & \\ 7 & 1 & & 6 & & 5 & & 1 && -2 & & 9 & & -5 & & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Ve skute�nosti jsou v�echna hlasovac� ��sla kladn�. Z�porn� znam�nka se objevuj� po n�soben� s ${\bf I}*$ z obou stran. Po��taj� bin�rn� �ady, ve kter�ch jedna strana m� v�dy v�hodu danou pravidlem s�ta $m_{ai} \geq m_{bi}$. Po��tan� �ady vedou pouze v polovin� dvou rozm�rn�ho k�nusu (obr. 10.1). Inverzn� Fibonacciho matice po��t� �ady, jej� prvky jsou ${\bf b}$ a dv� n�sledn� ${\bf aa} = {\bf a}^2$. Nap��klad $f_{75} = 5$ po��t� �ady ${\bf b}^5{\bf a}^2$, ${\bf b}^4{\bf a}^2{\bf b}$, ${\bf b}^3{\bf a}^2{\bf b}^2$, ${\bf b}^2{\bf a}^2{\bf b}^3$, ${\bf b}{\bf a}^2{\bf b}^4$. \begin{figure} \caption{Fibonacciho m��ka. Lich� vektory ${\bf a}$ se netvo��. po��taj� omezen� �ady} \label{Fibonacciho m��ka} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(130.00,150.00) %\vector(20.00,20.00)(40.00,20.00) \put(40.00,20.00){\vector(1,0){0.2}} \put(20.00,20.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\vector(40.00,20.00)(60.00,20.00) \put(60.00,20.00){\vector(1,0){0.2}} \put(40.00,20.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\vector(60.00,20.00)(80.00,20.00) \put(80.00,20.00){\vector(1,0){0.2}} \put(60.00,20.00){\line(1,0){20.00}} %\end

Fibonacciho ��sla

%\vector(80.00,20.00)(100.00,20.00) \put(100.00,20.00){\vector(1,0){0.2}} \put(80.00,20.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\vector(100.00,20.00)(120.00,20.00) \put(120.00,20.00){\vector(1,0){0.2}} \put(100.00,20.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\vector(20.00,20.00)(20.00,60.00) \put(20.00,60.00){\vector(0,1){0.2}} \put(20.00,20.00){\line(0,1){40.00}} %\end %\vector(20.00,60.00)(20.00,100.00) \put(20.00,100.00){\vector(0,1){0.2}} \put(20.00,60.00){\line(0,1){40.00}} %\end %\vector(20.00,100.00)(20.00,140.00) \put(20.00,140.00){\vector(0,1){0.2}} \put(20.00,100.00){\line(0,1){40.00}} %\end %\vector(20.33,59.67)(40.00,59.67) \put(40.00,59.67){\vector(1,0){0.2}} \put(20.33,59.67){\line(1,0){19.67}} %\end %\vector(40.00,59.67)(60.00,59.67) \put(60.00,59.67){\vector(1,0){0.2}} \put(40.00,59.67){\line(1,0){20.00}} %\end %\vector(60.00,59.67)(80.00,59.67) \put(80.00,59.67){\vector(1,0){0.2}} \put(60.00,59.67){\line(1,0){20.00}} %\end %\vector(80.00,59.67)(100.00,59.67) \put(100.00,59.67){\vector(1,0){0.2}} \put(80.00,59.67){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(39.67,20.00)(20.00,40.00) \multiput(39.67,20.00)(-0.12,0.12){164}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(20.00,59.67)(60.00,20.00) \multiput(20.00,59.67)(0.12,-0.12){331}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(20.00,80.00)(80.00,20.00) \multiput(20.00,80.00)(0.12,-0.12){501}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(20.00,100.00)(100.00,20.00) \multiput(20.00,100.00)(0.12,-0.12){667}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(20.00,120.00)(120.00,20.00) \multiput(20.00,120.00)(0.12,-0.12){834}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(40.00,20.00)(40.00,59.67) \put(40.00,59.67){\vector(0,1){0.2}} \put(40.00,20.00){\line(0,1){39.67}} %\end %\vector(40.00,59.67)(40.00,99.67) \put(40.00,99.67){\vector(0,1){0.2}} \put(40.00,59.67){\line(0,1){40.00}}

%\end %\vector(60.00,20.00)(60.00,59.67) \put(60.00,59.67){\vector(0,1){0.2}} \put(60.00,20.00){\line(0,1){39.67}} %\end %\vector(60.00,59.67)(60.00,99.67) \put(60.00,99.67){\vector(0,1){0.2}} \put(60.00,59.67){\line(0,1){40.00}} %\end %\vector(79.67,20.00)(79.67,59.67) \put(79.67,59.67){\vector(0,1){0.2}} \put(79.67,20.00){\line(0,1){39.67}} %\end %\vector(79.67,59.67)(79.67,100.00) \put(79.67,100.00){\vector(0,1){0.2}} \put(79.67,59.67){\line(0,1){40.33}} %\end %\vector(20.00,100.00)(40.00,100.00) \put(40.00,100.00){\vector(1,0){0.2}} \put(20.00,100.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\vector(40.00,100.00)(60.00,100.00) \put(60.00,100.00){\vector(1,0){0.2}} \put(40.00,100.00){\line(1,0){20.00}} %\end \put(20.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(40.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(60.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(79.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(100.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{5}} \put(120.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{8}} \put(45.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(65.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(85.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(100.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(120.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(10.00,59.67){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(10.33,100.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(10.33,140.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(44.67,65.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(45.00,105.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(65.00,65.33){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(84.67,65.00){\makebox(0,0)[cc]{4}} \end{picture} \end{figure} Odpov�daj�c� m��ka je zobrazena na obr. \ref{Fibonacciho m��ka}. ��sla $f_{ij}$ jsou vytvo�eny rekurz� \begin{equation} f_{11} = 1;\ f_{ij} = f_{i-1,j-1} + f_{i,j-2}\;. \end{equation} Hlasovac� ��sla $b_{ij}$ jsou vytvo�eny rekurz� \begin{equation} b_{11} = 1;\ b_{ij} = b_{i-1,j-1} + b_{i-1,j+1}\;, \end{equation}

Fibonacciho

M�eme formulovat tak� tabulku, jej� prvky po��taj� �ady, ve kter�ch $m_ \geq m_b^2$. Jej� prvky jsou $b_{ij} = b_{i-1,j-1} + b_{i-2,j}$ a je to op�t z�ed�n� matice binomi�ln�ch koeficient�. Inverzn� matice s kladn�mi znam�nky je $$\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrr|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline n=0 & 1 & & & & & & & & \\ 1 & & 1 & & & & & & & \\ 2 & & & 1 & & & & & & \\ 3 & 1 & & & 1 & & & & & \\ 4 & & 2 & & & 1 & & & & \\ 5 & & & 3 & & & 1 & & & \\ 6 & 3 & & &4 & & & 1 & & \\ 7 & & 7 & & & 5 & & & 1& \\ 8 & & & 12 & & & 6 & & & 1 \\ \hline \end{tabular}$$ Maticov� prvky, ��sla $b_{ij}$, jsou vytvo�ena rekurz� \begin{equation} b_{11} = 1;\ b_{ij} = b_{i-1,j-1} + b_{i-1,j+2}\;. \end{equation} Po��taj� �ady s prvky $a^3$ a $b$. \section{\Diference jin� druhu} \label{Diference jin� druhu} U v�ech bod� (prvk�) prostoru m�eme m��it vzd�lenosti (rozd�ly) od jin�ch bod�. Tyto vzd�lenosti jsou vyvol�ny jejich speci�ln�mi funkcemi. Jako p��klad zavedeme diference $[2^m +1] - { m \choose j}$, zobrazen� v tabulkov� form� v tabulce ref{Diference binomi�ln�ch koeficient�} \begin{table} \caption{\ Diference binomi�ln�ch koeficient�} \label{Diference binomi�ln�ch koeficient�} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|} \hline j & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline m=0& 1 & & & & & \\ 1& 2 & 1 & & & & \\ 2& 4& 3 & 1 & & & \\ 3& 8 & 7 & 4 & 1 & & \\ 4& 16& 15 &11 & 5 & 1 & \\ 5& 32 &31 &26 &16 & 6 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Inverzn� matice m� prvky v tabulce \ref{Diference m}

\begin{table} \caption{\ Diference $m^2$} \label{Diference m} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|} \hline j & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline m=0 & 1 & & & & & \\ 1 &-2 & 1 & & & & \\ 2 & 2& -3 & 1 & & & \\ 3 &-2& 5 &-4 & 1 & & \\ 4 & 2& -7 & 9 &-5 & 1 & \\ 5 &-2& 9&-16 &14 &-6 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Kdy� neuva�ujeme znam�nka $(-1)^{m+j}$, �tverce $(m-1)$ jsou v t�et�m sloupci, v druh�m sloupci jsou prv� diference $(m+1)^2-m^2$ a v prv�m sloupci druh� diference, kter� jsou od druh� ��dky konstantn�. Prvky vy���ch sloupc� jsou rozd�ly prvk� p�edchoz�ch sloupc� \begin{equation} m_{ij} = m_{i-1,j-1} - m_{i-1,j}\;, \end{equation} podobn� jako v�echny sou�ty v matici binomi�ln�ch koeficient�. Jin� mo�nou dekompozic� tabulky \ref{Diference m} je na sou�et dvou tabulek binomi�ln�ch koeficient� ${\bf B}_{m,j} + {\bf B}_{m-1,j-1}$. Takov� diferen�n� tabulky lze konstruovat pro jak�koliv mocniny po sob� n�sleduj�c�ch ��sel. Jejich inverzn� matice nemaj� ��dnou tak jednoduchou interpretaci jako rozd�ly �tverc�. \section{\ Lahova ��sla} \label{Lahova ��sla} Je nesnadn� uk�zat v�echny vztahy mezi v�emi prostorov�mi funkcemi. ${\bf L}$ jsou jednodu�e zavedena jejich tabulkou \ref{Lah ��sel}

Lahova ��sla

\begin{table} \caption{\ Lahova ��sla ${\bf L}$} \label{Lah ��sel} \begin{tabular}{|r|rrrrr|r|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ \hline m=1& 1 & & & & & 1 \\ 2& 2& 1 & & & & 3 \\ 3& 6& 6 & 1 & & & 13 \\ 4& 24& 36 & 12 & 1 & & 73 \\ 5& 120& 240& 120 & 20 & 1& 501 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Ve skute�nosti p�vodn� Lahova ��sla ${\bf L}$ maj� v lich�ch ��dc�ch z�porn�

znam�nka a potom \begin{equation} {\bf L}^2 = {\bf I};\ {\rm nebo}\ {\bf L}^{-1} = (-1)^{i+j}{\bf L}\;. \end{equation} Prvky tabulky \ref{Lah ��sel} jsou binomi�ln�mi koeficienty

p��m�mi sou�iny klesaj�c�ch faktori�l� s

\begin{equation} l_{ij} = i!/j!{ i-1 \choose j-1}\;. \end{equation} Rekurence Lahov�ch ��sel je \begin{equation} l_{i+1,j} = (i+j)l_{ij} + l_{i,j-1} \end{equation} Jin� mo�nost vyvolat Lahova ��sla je sou�in matic Stirlingov�ch ��sel obou druh�. Matice Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu se n�sob� matic� Stirlingov�ch ��sel prv�ho druhu zprava: \begin{equation} {\bf L}= {\bf S}_1{\bf S}_2\;. \end{equation} V d�sledku vztahu obou druh� Stirlingov�ch ��sel je inverze Lahovy matice identick� s touto matic�. Transponovan� po��dek n�soben� Stirlingov�ch ��sel d�v� jinou tabulku \ref{Diference jako sou�in}, tentokr�t diferenc� $\Delta(n)n^n$ \begin{table} \caption{\ Diference jako sou�in ${\bf S}_2{\bf S}_1$} \label{Diference jako sou�in} \begin{tabular}{|r|rrrrr|r|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ \hline m=1 & 1 & & & & & 1 \\ 2 & 2 & 1 & & & & 3 \\ 3& 6 & 6 & 1 & & & 13 \\ 4 & 26 & 36 & 12 & 1 & & 75 \\ 5 &150& 250 &120 &20 & 1 &541 \\ \hline \end{tabular} \end{table} P�i n�soben� matice Stirlingov�ch ��sel prv�ho druhu matic� Stirlingov�ch ��sel druh�ho druhu d�v� stejn� v�sledek jako permutace sloupc� naivn�ch matic v doln� troj�heln�kov� form� s j sloupci s nenulov�mi prvky permuta�n� matice ${\bf P}$ s i ��dky a sloupci a j cykly. Uspo��d�n� zaji��uje, �e pr�zdn� sloupce se nepermutuj� z jejich polohy. Tabulka \ref{Diference jako sou�in} po��t� �ady podle po�tu sloupc� v doln� troj�heln�kov� form�, kter� nebyly permutovan� ze sv� polohy. Prvky jej�ho prv�ho sloupce jsou, vyjma prvn� prvek, $2\Delta^{n-1}0^{n1}$. Po��taj� se matice v doln� troj�heln�kov� form� s vedouc�m prv�m prvkem ${\bf

a}$ a druh�m prvkem bu� ${\bf a}$ nebo ${\bf b}$. \chapter{Mnohorozm�rn� krychle} \label{Mnohorozm�rn� krychle} \section{�vod} \label{�vod 11} �vodem t�to kapitoly zopakujeme n�kter� fakta o krychl�ch, kter� byl u� byla d��ve vysv�tlena. Pou��vali jsme jako vytvo�uj�c� funkci mocniny vektorov�ch mno�in $ (\Sigma{\bf e}_j)^m$. Z�skali jsme vektorov� �ady ${\bf N}$ vedouc�m k bod�m na rovin�ch ortogon�ln�ch k jednotkov�mu diagon�ln�mu vektoru ${\bf I}$. Nalezli jsme matematick� operace, kter� uspo��daly tyto maticov� vektory ${\bf N}$ na sf�rick� orbity a zm�nili jsme n�kter� mo�nosti, jak vytvo�it z rovinn�ch simplex� jejich komplexy, to je kladn� k�nusy ve vektorov�m prostoru. Tak� jsme uk�zali, �e krychle nebo obecn� jak�koliv rovnob�n�ky se tvo�� z rovinn�ch komplex� vynech�n�m p��li� dlouh�ch vektor�. Tradi�n� p��stup, kart�zsk� sou�in n jedno rozm�rn�ch komplex� d�v� pouze body a ��dn� vektorov� �ady \begin{equation} (1 + a + a^2)\times(1 + b +b^2) = 1 + a + a^2 + b + ab + b^2 + a^2b + ab^2 + a^2b^2. \end{equation} Tyto n rozm�rn� krychle se tvo�� obvykle kart�zsk�mi sou�iny komplex�, nap��klad:

$n$ jedno rozm�rn�ch

\begin{equation} (1 + a + a^2)\times(1 + b + b^2) = 1 + (a + b) + a^2 + ab + b^2 + a^2b + ab^2 + a^2b^2. \end{equation} Prv� t�i simplexy jsou �pln�, av�ak posledn� dva jsou useknuty. Mimo to nevznikaj� v�echny �ady. Nyn� se budeme zab�vat krychlemi systematicky. Zejm�na uk�eme, jak se vektorov� �ady transformuj� a krychle body rovinn�ch simplex� do orbit. Tato transformace je mo�n� interpretac� transponovan�ch naivn�ch matic ${\bf N}^{\rm T} $ jako tv��� (obr. \ref{Face}), vektor� ur�uj�c�ch koordin�ty bod� v m rozm�rn�m prostoru. Ka�d� vektorov� �ada odpov�d� jednomu bodu a v�echny �ady rovinn�ho simplexu se mapuj� na body m rozm�rn� krychle, jej� strana je $(n-1)$. Tato transformace nen� jednoduchou �lohou. To lze uk�zat na mapov�n� 3 rozm�rn� roviny na 4 rozm�rnou krychli se stranami 0-2. $$\begin{tabular}{|l|r|rrrrrrrrr|c|} \hline Momenty: & & 0 & 1 & 2 & 3 & 4& 5 & 6 & 7 & 8 & $\Sigma$\\ \hline �ady roviny:& b=0& 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & 16 \\ & 1& & 4 & & 12 & &12& & 4 & & 32 \\ & 2& & &6 & &12 & & 6 & & & 24 \\ & 3& & & & 4 & &4 & & & & 8 \\ & 4& & & & & 1 & & & & & 1 \\ \hline Body krychle: & $\Sigma$ & 1 & 4 &10 &16 &19& 16 &10 & 4 & 1 & 81\\ \hline \end{tabular}$$ �ady z rozd�ln�ch orbit se po��taj� dohromady, pon�vad� maj� stejn� {\em momenty}. Nov� orbity jdou od 0 k $m(n-1)$. N�kter� ze zn�m�ch funkc� dost�vaj� novou

interpretaci, av�ak je�t� bude nutn� zav�st n�jak� nov� funkce. Pro rovinn� simplexy jsme zavedli rozd�ly, kter� maj� pon�kud podivnou vlastnost. Zahrnuj� jeden vrchol, jednu ne�plnou hranu a jednu ne�plnou stranu. Av�ak kdy� transponujeme naivn� matice ${\bf N}$ a interpretujeme je jako tv��e, vid�me, �e tyto vlastnosti znamenaj�, �e diference krychle je obsazen� sv�mi body dot�kaj�c�mi se sv�ho povrchu nejbl�e ke st�edu koordin�t, maj�c�mi alespo� jednu nulovou koordin�tu, alespo� jednu koordin�tu jedna a tak d�le ve v�ce rozm�rn�ch krychl�ch (obr. 11.1). \begin{figure} \caption{Diference t��rozm�rn� krychle se stranami $0-2$. Rozd�l tvo�� body dot�kaj�c� se povrchu krychle nejbli���ho ke st�edu koordin�t. Body diference maj� koordin�ty (permutovan�): $(0,0,0)$; $(0,0,1)$; $(0,1,1)$; $(0,1,2)$} \label{Diference t��rozm�rn� krychle} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(130.00,110.00) \put(40.00,30.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} \put(60.00,40.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} %\emline(20.00,80.00)(60.00,100.00) \multiput(20.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(80.00,80.00)(120.00,100.00) \multiput(80.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(50.00,80.00)(90.00,100.00) \multiput(50.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(90.00,100.00)(90.00,40.00) \put(90.00,100.00){\line(0,-1){60.00}} %\end %\emline(90.00,40.00)(50.00,20.00) \multiput(90.00,40.00)(-0.24,-0.12){167}{\line(-1,0){0.24}} %\end %\emline(50.00,20.00)(50.00,80.00) \put(50.00,20.00){\line(0,1){60.00}} %\end %\emline(20.00,20.00)(60.00,40.00) \multiput(20.00,20.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(80.00,20.00)(120.00,40.00) \multiput(80.00,20.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(20.33,50.33)(80.00,50.33) \put(20.33,50.33){\line(1,0){59.67}} %\end %\emline(80.00,50.33)(120.00,70.00) \multiput(80.00,50.33)(0.24,0.12){164}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(120.00,70.00)(60.00,70.00) \put(120.00,70.00){\line(-1,0){60.00}} %\end %\emline(60.00,70.00)(20.00,50.33) \multiput(60.00,70.00)(-0.24,-0.12){164}{\line(-1,0){0.24}} %\end %\emline(40.00,60.00)(100.00,60.00) \put(40.00,60.00){\line(1,0){60.00}} %\end

%\emline(70.67,90.00)(70.67,30.00) \put(70.67,90.00){\line(0,-1){60.00}} %\end \put(20.00,20.00){\circle{4.00}} \put(20.00,50.33){\circle{4.00}} \put(40.00,30.00){\circle{4.00}} \put(50.00,20.00){\circle{4.00}} \put(40.00,60.33){\circle{4.00}} \put(70.67,30.00){\circle{4.00}} \put(50.00,50.33){\circle{4.00}} \put(40.00,90.00){\circle{4.00}} \put(50.00,80.00){\circle{4.00}} \put(59.67,70.00){\circle{4.00}} \put(80.00,50.33){\circle{4.00}} \put(90.00,40.00){\circle{4.00}} \put(100.00,30.00){\circle{4.00}} \put(20.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$a^3$}} \put(57.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$3a^{2}b$}} \put(83.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$3ab^2$}} \put(117.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{6abc}} \put(20.00,20.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} %\emline(10.00,58.00)(54.00,15.33) \multiput(10.00,58.00)(0.12,-0.12){356}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(31.67,68.33)(85.00,17.33) \multiput(31.67,68.33)(0.13,-0.12){426}{\line(1,0){0.13}} %\end %\emline(32.33,95.67)(115.00,16.67) \multiput(32.33,95.67)(0.13,-0.12){659}{\line(1,0){0.13}} %\end \end{picture} \end{figure} \section{Jednotkov� krychle} \label{Jednotkov� krychle} Jednotkov� krychle jsou pro za��tek nejpou�n�j��. Maj� n stran a na ka�d� stran� existuj� pr�v� dva body, 0 a 1. Generuj� se funkc� \begin{equation} \prod^n_{j=1} (1 + {\bf e}_j) = 2^n\;. \end{equation} \begin{figure} \caption{T�i rozm�rn� krychle se stranou 0-1} \label{T�i rozm�rn� krychle se stranou 0-1} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(120.00,110.00) \put(20.00,20.00){\framebox(50.00,50.00)[cc]{}} \put(45.00,45.00){\framebox(50.00,50.00)[cc]{}} %\emline(20.00,70.00)(45.00,95.00) \multiput(20.00,70.00)(0.12,0.12){209}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(70.00,70.00)(95.00,95.00) \multiput(70.00,70.00)(0.12,0.12){209}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(70.00,20.00)(95.00,45.00) \multiput(70.00,20.00)(0.12,0.12){206}{\line(1,0){0.12}}

%\end %\emline(20.00,20.00)(45.00,45.00) \multiput(20.00,20.00)(0.12,0.12){206}{\line(1,0){0.12}} %\end \put(20.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(10.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(70.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(35.00,45.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} \put(35.00,95.00){\makebox(0,0)[cc]{ac}} \put(80.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{ab}} \put(105.00,45.00){\makebox(0,0)[lc]{bc}} \put(105.00,95.00){\makebox(0,0)[lc]{abc}} \end{picture} \end{figure} Nap��klad pro $n=3$ dostaneme body: $1, a, b, c, ab, ac, bc, abc$ (obr. \ref{T�i rozm�rn� krychle se stranou 0-1}). Jednou z nejzaj�mav�j��ch vlastnost� jednotkov�ch krychl�, ve kter�ch jsou mo�n� pouze cel� koordin�ty, je, �e jsou tvo�eny pouze povrchem. Nen� tu ��dn� bod uvnit� p�edstavuj�c� jejich st�ed. V teorii mno�in n rozm�rn� krychle jsou zn�m� jako {\em boole�ny}. Boole�ny obsahuj� mno�inu, pr�zdnou mno�inu a v�echny podmno�iny. V jednotkov�ch krychl�ch existuje $(m+1)$ orbit rozd�len�, z ka�d�ho rovinn�ho simplexu existuje pr�v� jedna orbita. Po�et bod� na ka�d� orbit� je ur�en odpov�daj�c�m binomi�ln�m koeficientem. Co se m� ur�it je po�et �ad v jednotkov�ch krychl�ch, av�ak studovali jsme i tuto funkci a tento po�et je dan� klesaj�c�m faktori�lem $(i)_{(i-j)}$. Op�t si jej prohl�dneme. Nap�eme jej v inverzn�m uspo��d�n� vzhledem k tabulce 10.6 \begin{table} \caption{�ady v jednotkov� krychli ${\bf F}$} \label{�ady v jednotkov� krychli} \begin{tabular}{|r|rrrrrr|r|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\Sigma$ \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & 1 \\ 1 & 1 & 1 & & & & & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 2 & & & & 5 \\ 3 & 1 & 3 & 6 & 6 & & & 16 \\ 4 & 1 & 4 & 12 & 24 & 24 & & 65 \\ 5 & 1 & 5 & 20 & 60 &120 &120 & 326 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Prvky tabulky 11.1 $f_{ij}$ se z�skaj� jako sou�in binomi�ln� matice ${\bf B}$ a diagon�ln� matice faktori�l� $\Delta(j!)$: \begin{equation} {\bf F}={\bf B}\Delta(j!)\;. \end{equation} M�eme vybrat $k$ objekt� (vektor�) z $n$ objekt� potom je permutovat. To se provede jako form�ln� binomi�lu, kdy� se zach�z� s n�sledn�mi faktori�ly jako s mocninami \begin{equation}

(n)_m = [(k)_i + (n-k)_i]^m\ {\rm kde}\ (k)^j_i = (k)_j\;. \end{equation} Nap��klad pokud $n=5, m=3$ a vybereme $k=2$, v�sledek je $$(5)_3 = 60 = { 3 \choose 0}(2)_3(3)_0 + { 3 \choose 1}(2)_2(3)_1 + { 3 \choose 2}(2)_1(3)_2 + { 3 \choose 3}(2)_0(3)_3 =$$ $$1\times0\times1 + 3\times2\times3 + 3\times2\times6 +1\times1\times6\;.$$ Po��t� se 18 permutac� �ad s dv�ma symboly, �ekn�me $$a, b: 6(abc, abd, abe)\;;$$ 36 permutac� bu� s $a$ nebo $b$: $6(acd, ace, ade, bcd, bce, bde)$ a 6 permutac� �ady $cde$. $(2)_3 = 0$; nen� mo�n� vytvo�it sekvenci t�� symbol� z pouze dvou symbol�. ��dkov� sou�ty jsou d�ny jednodu�e jako \begin{equation} S_m = m(S_{m-1}) + 1 \end{equation} Je mo�n� p�idat nov� objekt do p�edch�zej�c�ch �ad m zp�soby, vyjma nulovou �adu. Jinou mo�nost� dosa�en� matice 11.1, je n�soben� matice po�tu p�em�st�n� ${\bf R}$ (tabulka 7.3) matic� binomi�ln�ch koeficient� \begin{equation} {\bf F}= {\bf RB}. \end{equation} Jinak jsou �ady v jednotkov� krychli vytvo�eny podobn� jako faktori�ly ze subfaktori�l� Appleov�m polynomi�lem $D$. Zde to je polynomi�l druh�ho ��du, $(D + 2)^2$, nap��klad $$44 + 5\times9\times2 + 10 \times2\times4 + 10\times1\times8 + 5\times0\times 16 + 1\times1\times32 = 326\;.$$ Je dob�e zn�mo, �e v P��rod� mnoho jev� se popisuje binomick�m rozd�len�m. Kdy� hod�te n minc� sou�asn�, potom v�sledky zapln� vrcholy jednotkov� krychle rovnom�rn�, zejm�na pokud se experiment opakuje v�cekr�t. Alespo� to p�edpokl�d� teorie pravd�podobnosti. M�n� zn�m� je derivace jin� statistiky vytvo�en� jednotkovou krychl�. P�edpokl�dejme, �e registrujeme nehody. M�jme $S_m$ osob s nejv�e m nehodami a pr�m�rnou nehodovost� 1 na osobu. Za takov�ch podm�nek vybereme jako n�stroj registrace �adu $k$ jednotek z m symbol� pokud jin�ch $m-k$ m�st se vyu��v� pro indexov�n� osob. Takov� rejst��k bude m�t n�sleduj�c� kapacitu: Bude v n�m $m!$ osob s ��dnou nehodou, $m!$ osob s jednou nehodou, m osob s $(m-1)$ nehodami nakonec pouze jedna osoba s m nehodami. Takov� rozd�len� nehod je zn�m� jako {\em Poissonovo rozd�len�}. Pou��v� se obvykle p�i n�zk� nehodovosti a potom se nutn� m�n� podm�nky. Nicm�n� pokud Einstein �ekl, �e B�h nehraje kostky, m�eme ��ci, �e on s�m je Kostka. H�zen� minc� nebo kostek pouze modeluje ide�ln� prostor. \section{Orbity rozd�len� v krychl�ch} \label{Orbity rozd�len� v krychl�ch} Orbity rozd�len� v krychli odpov�daj� bod�m rovinn�ch simplex�. Tedy zn�me jejich celkov� po�et. Tak� jsme shora uk�zali, jak rozd�ln� se mapuj� tyto body na

rovinn� simplexy a krychle. U� jsme zjistili, �e indexov�n� orbit v jednotkov�ch krychl�ch je velmi jednoduch�. Orbity rozd�len� v m rozm�rn�ch krychl�ch jejich� strany jsou 0-2 se snadno naleznou. V�sledky jsou uvedeny v tabulce \ref{Orbity rozd�len� v krychli 0-2}. Uk�zali jsme v podkapitole 11.1, jak jej� ��dka m=4 se z�sk� z bod� rovinn�ho simplexu. \begin{table} \caption{} \label{Orbity rozd�len� v krychli 0-2} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrr|r|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10 &11 &12 & $\Sigma$\\ \hline m=0 & 1 & & & & & & & & & & & & & 1 \\ 1 & 1& 1 & 1 & & & & & & & & & & & 3 \\ 2& 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & & & & & & & & & 6 \\ 3 & 1& 1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & & & & & & & 10 \\ 4 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & & & & & 15 \\ 5 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & & & 21 \\ 6 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 28 \\ \hline \end{tabular} \end{table} N�kter� vlastnosti rozd�len� orbit jsou jasn�. Jsou symetrick� podle parametru $k$. To plyne ze symetrie krychle. Po�et orbit na rovin�ch bl�zko nulov�ho bodu nen� z�visl� na rozm�rnosti krychle a z�st�v� konstantn�. Je ur�en po�tem $k$ a nem�e b�t v�t�� ne� po�et neomezen�ch rozd�len� p(k). Pokud pou�ijeme konstantu $c$ jako d�lku stran krychl�, diagon�la $k$ jde od 0 k $cm$. \begin{figure} \caption{Vznik t��rozm�rn� krychle se stranou 0-2 ze �tverce se stranou 0-2 (pr�zdn� krou�ky). P�id� se jednotkov� t��rozm�rn� krychle se stranou 0-1 (zapln�n� krou�ky) a strany se dopln�} \label{Vznik t��rozm�rn�m krychle} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(130.00,110.00) \put(40.00,30.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} \put(60.00,40.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} %\emline(20.00,80.00)(60.00,100.00) \multiput(20.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(80.00,80.00)(120.00,100.00) \multiput(80.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(50.00,80.00)(90.00,100.00) \multiput(50.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(90.00,100.00)(90.00,40.00) \put(90.00,100.00){\line(0,-1){60.00}} %\end %\emline(90.00,40.00)(50.00,20.00) \multiput(90.00,40.00)(-0.24,-0.12){167}{\line(-1,0){0.24}} %\end %\emline(50.00,20.00)(50.00,80.00) \put(50.00,20.00){\line(0,1){60.00}}

%\end %\emline(20.00,20.00)(60.00,40.00) \multiput(20.00,20.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(80.00,20.00)(120.00,40.00) \multiput(80.00,20.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(20.00,50.00)(80.00,50.00) \put(20.00,50.00){\line(1,0){59.67}} %\end %\emline(80.00,50.00)(120.00,70.00) \multiput(80.00,50.00)(0.24,0.12){164}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(120.00,70.00)(60.00,70.00) \put(120.00,70.00){\line(-1,0){60.00}} %\end %\emline(60.00,70.00)(20.00,50.00) \multiput(60.00,70.00)(-0.24,-0.12){164}{\line(-1,0){0.24}} %\end %\emline(40.00,60.00)(100.00,60.00) \put(40.00,60.00){\line(1,0){60.00}} %\end %\emline(70.00,90.00)(70.67,30.00) \put(70.00,90.00){\line(0,-1){60.00}} %\end \put(20.00,20.00){\circle{4.00}} \put(20.00,20.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} \put(70.00,60.00){\circle{4.00}} \put(100.00,60.00){\circle{4.00}} \put(90.00,70.00){\circle{4.00}} \put(70.00,90.00){\circle{4.00}} \put(90.00,100.00){\circle{4.00}} \put(100.00,90.00){\circle{4.00}} \put(120.00,100.00){\circle{4.00}} \put(120.00,70.00){\circle{4.00}} \put(90.00,100.00){\circle{4.00}} \put(100.00,90.00){\circle{4.00}} \put(20.00,50.00){\circle{4.00}} \put(20.00,80.00){\circle{4.00}} \put(50.00,80.00){\circle{4.00}} \put(80.00,80.00){\circle{4.00}} \put(50.00,50.00){\circle{4.00}} \put(80.00,50.00){\circle{4.00}} \put(50.00,20.00){\circle{4.00}} \put(80.00,20.00){\circle{4.00}} \end{picture} \end{figure} Kdy� pozorujeme ��dkov� rozd�ly v tabulce 11.3, vid�me, �e jsou v�dy 1 na posledn�ch $(m+1)$ obsazen�ch m�stech. Tato ��sla jsou pr�v� po�ty orbit rozd�len� v m rozm�rn� jednotkov� krychli. Ve 3 rozm�rn�m prostoru ji lze nakreslit (obr. \ref{Vznik t��rozm�rn�m krychle}). Ke �tverci se stranou 0-2 se p�id� jednotkov� t��rozm�rn� krychle se stranou 0-1 (zapln�n� krou�ky) a strany se dopln�. Orbita 111 je vytvo�ena z orbity 11, kter� nebyla v �tverci, 211 nebo 221 se z�sk� z 21, 22 vytv��� 221 a 222. To nazna�uje rekurenci orbit rozd�len�. Tu lze zobrazit graficky: $$\begin{tabular}{|r|ccccccc|}

\hline & 0 $<$ & \multicolumn{4}{c}{MOMENTY} & $>$ mc $<$ & $>$ m(c+1) \\ \hline & \multicolumn{6}{l}{Orbity m rozm�rn� krychle s men�� velikost� (c-1)} & \\ & & \multicolumn{6}{r|}{Orbity (m-1) rozm�rn� krychle stejn� velikosti}\\ \hline $\Sigma$: & \multicolumn{7}{c|}{Orbity m rozm�rn� krychle s velikost� c} \\ \hline \end{tabular}$$ Pon�vad� krychle jsou symetrick� pod�l sv�ch diagon�l, lze obr�tit po�ad� poloh s��tanc�. Nap��klad $$\begin{tabular}{|ccccccc|c|ccccccc|} \hline 1 & 1 & 1 & 1 & & & & & & & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & = & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & & \\ \hline 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 1 \\ \hline \end{tabular}$$ Definuj�ce po�et orbit p(m,n,c) na rovin� $m$ n rozm�rn� krychle se stranou $c$, m�me \begin{equation} p(m,n,c) = p(m,[n-1],c) + p([m-n],n,[c-1])\;. \end{equation} \section{Body v krychl�ch} \label{Body v krychl�ch} Zn�me celkov� po�et bod� s p�irozen�mi koordin�tami (jinak objem $m^n$) v krychli, nyn� chceme ur�it jejich rozd�len� podle jejich moment� v rovinn�ch simplexech. Pokud v�choz� simplexy nejsou useknuty, tato ��sla mus� b�t binomi�ln� koeficienty ${ m+k-1 \choose k}$. Podobn� ��sla se objev� na ohonech rozd�len�. Z prv�ch krychl� s $c=2$, lze snadno dedukovat rekurenci \begin{table} \caption{ Body v krychli s c=2} \label{ Body v krychli s c=2} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrr|r|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & $\Sigma$\\ \hline n=0 & 1 & & & & & & & & & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & & & & & & & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & & & & & 9 \\ 3 & 1 & 3 & 6 & 7 & 6 & 3 & 1 & & & 27 \\ 4 & 1 & 4 & 10 & 16 & 19 & 16 & 10 & 4 & 1 & 81 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Zde je rekurence jednoduch�. Ke ka�d�mu bodu $(n-1)$ rozm�rn� krychle p�id�me novou stranu s $c$ body. P�i�ten�m 0, 1 jednodu�e se��t�me $(c+1)$ orbit rozd�len� m�n� rozm�rn� krychle. Nap��klad �len 19 v posledn� ��dce se z�sk� jako 6 + 7+ 6.

Vzorec je \begin{equation} c_{ij} = \sum_{k=0}^{c} c_{i-1,j-k}\;. \end{equation} Nov� vektor se v�emi sv�mi mo�n�mi hodnotami se p�id� ke ka�d�mu rozd�len� na vhodn�m m�st�. Jin� mo�nost, jak vyrobit krychle, je zvy�ovat rozm�r $c$ krychle. Krychle rozd�ln�ch rozm�r� $m$ se n�sob� transponovanou matic� binomi�ln�ch koeficient� jak n�sleduje. Po�et bod� v�t�� krychle se objevuje na diagon�le $$\begin{tabular}{rrrr|rrrrr} & & & &\quad& 1 & 1 & 1 & 1 \\ & & & && & 1 & 2 & 3 \\ & & & && & & 1 & 3 \\ & & & && & & & 1 \\ \hline & & & && & & & \\ 1 & & & && 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & & && 3 & 4 & 5 & 6 \\ 9 & 3 & 1 & && 9 &12 &16 &21 \\ 27& 9 & 3 & 1&&27 &36& 48 &64 \\ \end{tabular}$$ T�� rozm�rn� krychle s $c=2$ m� 27 bod�. Transformuje se na t�� rozm�rnou krychli s $c=3$ p�i�ten�m $3\times2$ rozm�rn�ch krychl� (�tverc�), $3\times 1$ rozm�rn�ch krychl� (hran) $1\times0$ rozm�rn�ch krychl�, bodu s koordin�tami $(3, 3, 3)$. Nov� diagon�ln� prvky v inverzn�m uspo��d�n�, $64, 16, 4, 1,$ tvo�� novou z�kladnu dal�� krychle. Aby se zv�ila velikost krychle, je nutn� znovu uspo��dat diagon�ln� prvky a opakovat n�soben�. \section{Vektorov� �ady v krychl�ch} \label{Vektorov� �ady v krychl�ch} V podkapitole 11.2 jsme uk�zali, �e v jednotkov�ch krychl�ch se �ady po��taj� klesaj�c�mi faktori�ly. Pro jin� krychle se po�ty �ad neur�� tak snadno, av�ak nen� to zas a� tak nesnadn�, pokud to provedeme postupn�. Nap��klad pro $ c=2$ dostaneme tabulku \ref{Vektorov� �ady v krychli s c=2}. \begin{table} \caption{Vektorov� �ady v krychli s c=2} \label{Vektorov� �ady v krychli s c=2} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrr|r|} \hline m & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & $\Sigma$\\ \hline n=0 & 1 & & & & & & & & & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & & & & & & & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 4 & 6 & 6 & & & & & 19 \\ 3 & 1 & 3 & 9 & 24 & 54 & 90 & 90 & & & 271 \\ 4 & 1 & 4 &16 & 60 & 204 & 600 &1440 &2520 &2520 & 7365 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Abychom uk�zali, jak jsou vytvo�eny prvky tabulky \ref{Vektorov� �ady v krychli s

c=2}, uk�eme v�sledek pro $s_{45}$: $600 = 90 + 5\times 54 + 10\times24$. Z�skali jsme body v krychl�ch se��t�n�m $(c+1)$ prvk� m�n� rozm�rn� krychle (11.9). V tomto p��pad� je nutn� permutovat p�idan� symboly se symboly odpov�daj�c� �ady s $ (n-1)$ symboly. To se provede n�soben�m odpov�daj�c�ch ��sel s binomi�ln�mi koeficienty. Rekurence je tedy \begin{equation} s_{ij} = \sum_{k=0}^c { m \choose k}s_{i-1,j-1}\;. \end{equation} Jin� mo�nost jak dostat v�t�� krychli zv�t�ov�n�m stran n rozm�rn� krychle d�v� tak� mo�nost, jak nal�zt rekurentn� vzorce po�tu �ad. Pro $n=2$ (�tverce), dostaneme tabulku \ref{�ady v 2 rozm�rn�ch krychl�ch}. \begin{table} \caption{ �ady v 2 rozm�rn�ch krychl�ch} \label{�ady v 2 rozm�rn�ch krychl�ch} \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrr|r|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & $\Sigma$\\ \hline c=0 & 1 & & & & & & & & & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 2 & & & & & & & 5 \\ 2 & 1 & 2 & 4 & 6 & 6 & & & & & 19 \\ 3 & 1 & 2 & 4 & 8 &14 &20 &20 & & & 69 \\ 4 & 1 & 2 & 4 & 8 &16 &30& 50 &70 &70 &201 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Rekurence je \begin{equation} s_{i0} = 1;\ s_{ij} = s_{i-1,j-1} + s_{i,j-1};\ s_{ij} = 0,\ \mbox{mimo krychli}\;. \end{equation} V�dy jsou dv� mo�nosti, jak prodlou�it �ady, vyjma �ady vedouc� k zadn�m stran�m. Prv� odpov�d� �lenu $s_{i,j-1}$, na druhou mo�nost uvnit� �tverce se pamatuje po��t�n�m �ad z men��ho �tverce $s_{i-1,j-1}$. Je tak� mo�n� posunout krychli v jej�m prostoru, kdy jej� bod s nejni���m momentem nesouhlas� s po��tkem soustavy koordin�t. Po�et orbit a bod� se nezm�nil touto operace, av�ak po�et �ad ano. \section{P�irozen� krychle - e konstanta} \label{P�irozen� krychle - e konstanta} Uk�zali jsme, �e jednotkov� krychle jsou vytvo�eny vzorcem 1.3. �len 1 v $(1+{\bf e}_j)$ se interpretoval jako ${\bf e}_j^0$. Objem krychle z�vis� na jej� z�kladn� $m$ a na jej� rozm�rnosti $n$. Nyn� budeme studovat, jak� m� krychle objem $e$, pokud se jej� strana bl�� k jedn� a jej� rozm�rnost k nekone�nu. Pokus�me se nal�zt, jakou hodnotu m� limita \begin{equation} e = \lim_{z\rightarrow\infty}(1 + 1/z)^z \end{equation} \label{e Con}

Argument v \ref{e Con} m�e b�t bu� kladn� nebo z�porn�. Z�kladna $e$ krychle le�� mezi krychlemi s cel�mi ��sly $1 < (1+1/z) < 2$. Kdy� $z =1$, v�sledkem je $1.5$ m�sto $2^1$. Kdy� $z =2$, v�sledkem je $1.5^2=2.25$ m�sto $2^2$. Vyhodnocen�m binomi�ln�ho rozvoje (11.7), dostaneme nerovnosti \begin{equation} \sum^{\infty}_{k=0}1/k! < e = \sum^{\infty}_{k=0}{ z \choose k}1/k! < 1 + \sum^\infty_{k=0}1/2^k = 3\;. \end{equation} S pou�it�m sofistikovan�ch matematick�ch argument� lze dok�zat, �e ��slo $e$ mus� b�t v�t�� ne� sou�et inverzn�ch faktori�l�. Pon�vad� by m�l b�t sou�asn� men��, nejlep�� �e�en� je to, kde ob� limity jsou toto�n�. Konstanta $e$ je iracion�ln� ��slo a jej� prv� ��slice jsou $e = 2.71828\dots$. Sou�et inverzn�ch faktori�l� se bl�� rychle k p�esn� hodnot�. Tedy prv�ch sedm �len� d�v� $$e = 1 + 1 +1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + 1/720 = 2,71805\;.$$ P��t� �len je 1/5040 = 0.000198. Opravuje �tvrt� decim�ln� m�sto. Pokud $z$ je z�porn�, substituce $z = -(t+1)$ se vlo�� do vzorce (11.7), a pak n�jak� �pravy ukazuj�, �e se z�sk� op�t ��slo $e$: \begin{eqnarray} \lim_{t\rightarrow\infty}[1 - 1/(t+1)]^{-(t+1)} = \lim [t/(t+1)]^{-(t+1)} = \\ \nonumber lim(1 + 1/z)^{t+1} \times \lim(1 +1/z) = e\times1 = e\;. \end{eqnarray} Vytvo�uj�c� funkce $e$ krychle m� n�kter� d�le�it� vlastnostmi, kter� z n� d�laj� u�ite�n� n�stroj. Kdy� se pou�ije substituce $x = az$, limitou v�razu \begin{equation} \lim_{x\rightarrow\infty} (1 + a/x)^x = e^ = exp(a) \end{equation} je $a$-t� mocnina ��sla $e$. Tato vlastnost ��sla $e$ se vyu��v� p�i pou�it� $e$ jako z�kladny p�irozen�ch logaritm�. Kdy� se vr�t�me k funkci rostouc�ho faktori�lu (10.8), kter� po��t� �ady v jednotkov�ch krychl�ch, potom po�et v�ech �ad v nekone�n� jednotkov� krychli se m�e vyj�d�it s pou�it�m konstanty $e$: \begin{equation} \lim_{n \rightarrow \infty} n!\sum^{\infty}_{k=0} 1/k! = en!\;. \end{equation} Pozn�mka: Aby se nat�ela polovina vn�j��ch stran krychlov�ho kanistru v nekone�n� rozm�rn�m prostoru, je pot�eba v�ce barvy, �e je objem kanistru. \chapter{Matice s cel�mi ��sly} \label{Matice s cel�mi ��sly} \section{Na �vod varov�n�} \label{Na �vod varov�n�}

Tato kapitola z�stane pouze n��rtem. D�vodem je, �e je prakticky nemo�n� pojednat jej� obsah systematicky, jak se to provedlo s naivn�mi maticemi. Zbytek kapitoly se vyu�ije pro zaveden� n�jak�ho materi�lu, kter� pat�� do n�sleduj�c�ch kapitol. \section{Matice s jednotkov�mi symboly} \label{Matice s jednotkov�mi symboly} Zah�jili jsme na�e studia permuta�n�mi maticemi maj�c�mi v ka�d� ��dce a sloupci pouze jeden jednotkov� symbol. Potom jsme p�idali naivn� matice, maj�c�mi toto omezen� pouze pro ��dky a transponovan� naivn� matice, kde se pou�ilo pro sloupce. P��t�m krokem je dovolit, aby jednotky byly vlo�eny na jak�koliv dosa�iteln� m�sto matice. U� v�me, �e po�et t�chto matic bude ur�en binomi�ln�m koeficientem. Pro matice s $m$ sloupci a $n$ ��dky, s k jednotkov� prvky v matici po�et mo�n�ch konfigurac� bude ur�en binomi�ln�m koeficientem ${ mn \choose k}$. Tyto konfigurace se mohou spo��tat s pou�it�m tabulek maj�c�ch dv� orbity rozd�len� do ��dk� a tak� do sloupc�. Nap��klad pro $m=n=k=4$ dostaneme tabulku 12.1. \begin{table} \caption{Rozd�len� jednotkov�ch matic// $m=n=k=4$} \label{Rozd�len� jednotkov�ch matic $m=n=k=4$} \begin{tabular}{|l|ccccc|c|} \hline Rozd�len� & 4 & 31 & 22& 211 &1111 & $\Sigma$ \\ & & & & & ${\bf N}$ & \\ \hline 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 \\ 31 & 0 & 0 & 0 & 144 & 48 & 192 \\ 22 & 0 & 0 & 36 & 144 & 36 & 216 \\ 211 & 0 &144 & 144 & 720 & 144 & 1152 \\ \hline $1^4 {\bf N}^{\rm T}$ & 4 & 48 & 36 & 144 & 24 & 256 \\ \hline $\Sigma$ & 4 &192 & 216 &1152 & 256 & 1820 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Tabulka 12.1 d�v� p�edstavu. V prostoru se objevily nov� vektorov� �ady. Ty vedou ke stejn�m bod�m jako naivn� matice, av�ak jejich orbity nejsou jednoduch�mi orbitami rozd�len� av�ak {\em vzorov�mi orbitami}, kter� jsou sou�iny dvou rozd�len�, jednoho pro ��dky a druh�ho pro sloupce. Nap��klad vzor vytvo�en� sou�inem rozd�len� $(211\times310)$ je $$\left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\;.$$ To je Ferrers�v graf. Existuje 6 mo�n�ch permutac� ��dk� tohoto vzoru (v�echny ��dky jsou rozd�ln�), kter� se kombinuj� s permutacemi �tvrt� nulov� ��dky. Dva sloupce jsou stejn�. Tedy existuj� 3 mo�n� permutace, kter� se kombinuj� s permutacemi �tvrt�ho nulov�ho sloupce.

Sou�in rozd�len� $(211\times211)$ m� dva vzory: $$\left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$ se v�emi mo�n�mi $36 = 3!\times3!$ permutacemi ��dk� a sloupc� a druh� $$\left( \begin{array}{rrr} * & 1 & 1 \\ 1& 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$ s 9 permutacemi nulov�ho prvku ozna�en�ho *. Jednotkov� prvky zapl�uj� pouze ozna�en� ��dek a sloupec. Tyto permutace vzor� se n�sob� 16 permutacemi �tvrt� ��dky a sloupce s nulov�mi prvky. Je snadn� spo��tat v�echny permutace dan�ho vzoru, av�ak je nesnadn�j�� nal�zt v�echny vzory vytvo�en� dan�m sou�inem rozd�len�. Celkov� po�et jednotkov�ch vektor� s konstantn�mi sou�ty je dan� ��dkov�mi nebo sloupcov�mi sou�ty prvk� tabulek podobn�ch tabulce 12.1. Pro pot�e s notac� uvedeme vzorec pouze pro sloupcov� sou�ty, kde m�eme pou��t symbol $n_i$ pro po�et identick�ch binomi�ln�ch koeficient� \begin{equation} \sum (n!/\prod n!){ m \choose k_j}^{n_j} = { mn \choose k};\ \sum_{j=1}^n k_j = k\;. \end{equation} Sou�et se provede p�es v�echna mo�n� rozd�len�. Sou�in binomi�l� nen� omezen� jak�mikoliv podm�nkami na sloupcov� sou�ty a tedy jednotky v ka�d� ��dce mohou b�t rozd�leny nez�visle, potom se ��dky z�skan� takov�m zp�sobem permutuj� ($n=m$), av�ak $n!$ nadhodnocuje permutace ��dk� se stejn�mi sou�ty, tedy v�sledek se mus� pod�lit ��ste�n�mi faktori�ly. \section{Matice s p�irozen�mi ��sly} \label{Matice s p�irozen�mi ��sly} Nyn� se p��t� krok zd� b�t snadn�. Matice je mn rozm�rn� vektor a pokud lze do n� um�stit k jednotkov�ch prvk� bez jak�hokoliv omezen�, po�et v�ech mo�n�ch vektor� je dan� binomi�ln� koeficientem (10.2) ${ mn+k \choose k}$. Tabulka 12.1 by m�la b�t dopln�na 2056 nov�mi vstupy, aby se dostalo ${ 19 \choose 4}$ rozd�ln�ch matic m�sto ${ 16 \choose 4}$ matic s jednotkov�mi prvky. Nov� vzory zapl�uj� tabulku odli�n�, viz tabulku 12.2 \begin{table} \caption{Matice s prvky $\geq\;1$} \label{Matice s prvky $>$1} \begin{tabular}{|r|ccccc|c|} \hline

Rozd�len�& 4 & 31 & 22 & 211 &1111 & $\Sigma$\\ \hline 4 & 16 & 48 & 24 & 48 & 0 & 136 \\ 31 & 48 & 288 &144 & 288 & 0 & 768 \\ 22 & 24 & 144& 72 & 144 & 0 & 384 \\ 211 & 48 & 288 &144 & 288 & 0 & 768 \\ \hline $\Sigma$ &136 & 768& 384 & 768 & 0 & 2056 \\ \hline 1111 & 4 & 192 &216 &1152 & 256 & 1820 \\ \hline $\Sigma$ &140 & 960 &600 &1920 & 256 & 3876 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Je prakticky nemo�n� sledovat v�ech mo�n� vzory maticov�ch vektor�, jak jsme to provedli d��ve. Jedna jejich zvl�tn� t��da byla studov�na systematicky, matice maj�c� v ka�d� ��dce p�esn� dva jednotkov� symboly. Tyto vzory se rozvinuly do speci�ln� v�tve matematiky, teorii graf� (viz p��t� kapitolu). V p�edch�zej�c�ch kapitol�ch jsme se��tali vektory rozd�len�, to je po�et Ferrersov�ch graf�. To je sou�asn� po�et diagon�ln�ch vzor� odpov�daj�c� kvadratick�m form�m naivn�ch matic. Tyto vzory lze srovn�vat se symetrick�mi jednotkov�mi vzory ${\bf JJ}^{\rm T}_j$ matic s $m_j$ prvky, co� je vzor ��sla $\Sigma m_j^2$. \section{Interpretace matic s p�irozen�mi ��sly} \label{Interpretace matic s p�irozen�mi ��sly} Pokud diagon�ln� matice se prom�t� na jednotkov� vektor ��dku ${\bf J}^{\rm T}$, v�sledkem je vektor ��dka odpov�daj�c� vektoru ��dce zobecn�n�ch matic s p�irozen�mi ��sly. Je tedy mo�n� ps�t takovou matici jako �adu projekc� kvadratick�ch forem naivn�ch �ad na n�sledn� jednotkov� vektory ��dky. \begin{equation} ({\bf J}_1^{\rm T}{\bf N}_1^{\rm T}{\bf N}_1, \ {\bf J}_2^{\rm T}{\bf N}_2^{\rm T}{\bf N}_2, \ {\bf J}_3^{\rm T}{\bf N}_3^{\rm T}{\bf N}_3)^{\rm T}\;. \end{equation} Jin� mo�nosti budou uk�zan� pozd�ji. M�eme interpretovat matici ${\bf M}$ spole�n� s jej� transponovanou matic� ${\bf M}^{\rm T}$, vzatou v blokov� form� $$\left( \begin{array}{cc} {\bf 0} & {\bf M}^{\rm T} \\ {\bf M} & {\bf 0} \end{array} \right)\;,$$ jako matici sousedstv� ${\bf A}$ dvojd�ln�ho grafu s n�sobn�mi hranami (viz p��t� kapitolu). \section{Matice koordin�t} \label{Matice koordin�t}

Interpretovali jsme ��dky v matici jako �ady n�sledn�ch vektor�. Existuje je�t� jin� v�klad. ��dky jsou tak� simult�nn� vektory ur�uj�c� polohy rozd�ln�ch bod� nebo objekt�. Matice $$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)$$ d�v� pro dva rozd�ln� body (nebo objekty) stejnou adresu. To je mo�n�, pokud adresa $(1, 0)$ je nap��klad d�m nebo box. Tedy je nutn� studovat mo�nost, �e matice definuj� polohy $m$ bod� v prostoru, �e jsou to seznamy koordin�t v ortogon�ln�ch os�ch. Takov� seznam tvo�� {\em matici koordin�t} ${\bf C}$, jej� prvky $c_{ij}$ jsou koordin�ty $m$ bod� (vrchol�, objekt�) $i$ na $n$ os�ch. Matice sloupec $$\begin{array}{cc} {\bf A} = (0, 1, 2, 3, 4)^{\rm T} \end{array}$$ ur�uje koordin�ty p�ti bod� le��c�ch na p�irozen� ��seln� ose. Mezi v�emi body jsou jednotkov� vzd�lenosti. Matice $$\begin{array}{cc} ${\bf B}$ = & \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \right)^{\rm T} \end{array}$$ ur�uje koordin�ty p�t bod� oto�en�ch do dvou rozm�rn� roviny. Jinou p��mkovou konfigurac� p�ti bod� je rovinn� simplex $$\begin{array}{cc} ${\bf C}$ = & \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right)^{\rm T} \end{array}$$ To jsou p��klady nejjednodu���ch pravideln�ch struktur p�ti bod�, rovnom�rn� rozm�st�n�m p��m�m �et�zcem. Pokud se najdou kvadratick� formy ${\bf CC}^{\rm T}$ matic koordin�t, maj� na sv�ch diagon�l�ch �tverce Euklidovsk�ch vzd�lenost� ka�d�ho bodu od st�edu soustavy koordin�t

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} ${P��klad}{\bf A}$ \\ \\ \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 3 & 6 & 9 & 12\\ 0 & 4 & 8 & 12& 16 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} ${P��klad}{\bf B}$ \\ \\ \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 4 & 8 & 12& 16\\ 0 & 6 & 12& 18& 24\\ 0 & 8 & 16& 24& 32 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{c} ${P��klad}{\bf C}$ \\ \\ \left( \begin{array}{ccccc} 16& 12& 8 & 4 & 0 \\ 12& 10& 6 & 3 & 0 \\ 8 & 6 & 4 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 2 & 10& 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 16 \end{array} \right) \end{array}$$ Mimodiagon�ln� prvky jsou kvadratick� sou�iny obou vzd�lenosti i a j. Koordin�ty bod� tvo�� v prostoru struktury. Pokud �et�zec je ohebn�, m�e se navinout na hran� jednotkov� krychle $$\begin{array}{c} ${\bf D}$ \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\

1 & 1 & 1 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Zde jsou um�st�ny �ty�i body na vrcholy t��rozm�rn� krychle. Jinou konfigurac� je $$\begin{array}{c} ${\bf E}$ \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Zde v�echny �ty�i koordin�ty v prv�m sloupci jsou nuly. Ty lze tedy zanedbat. Prvn� bod le�� ve st�edu soustavy koordin�t, druh� na konci druh�ho jednotkov�ho vektoru, t�et� na konci t�et�ho jednotkov�ho vektoru. Body jsou ve vztahu jako v t��rozm�rn�m rovinn�m komplexu. Vzd�lenosti mezi nimi nejsou stejn�. Prv� bod je v jednotkov� vzd�lenosti k ostatn�m t�em bod�m, vzd�lenosti mezi t�mito t�emi body jsou zdvojeny. Konfigurace �ty� bod� ur�en� matic� koordin�t $$\begin{array}{c} ${\bf F}$ \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$ odpov�d� pravideln�mu �ty�st�nu.

�et�zec je navinut na jeho vrcholy.

\section{Orientovan� a neOrientovan� grafy jako vektorov� �ady} \label{Orientovan� a neOrientovan� grafy jako vektorov� �ady} Pokud nakresl�me diference dvou vektor� $({\bf e}_b - {\bf e}_a)$, jako na obr. 3.2, odpov�d� to p�ijat�m konvenc�m pro kreslen� orientovan�ch hran orientovan�ch graf� (viz p��t� kapitolu). Inciden�n� matice ${\bf S}$ grafu je jen diferenc� dvou naivn�ch matic $${\bf S}= {\bf N}_ - {\bf N}_b\;,$$ jak byl uk�z�no v ��sti 3.3. Je to oper�tor, kter� p�ev�d� vektorovou �adu v jinou. Vektorov� �ada je kontinu�ln� cesta ve vektorov�m prostoru, oper�tor p�ev�d�j�c� jednu vektorovou �adu v jinou je tak� kontinu�ln�. Zd� se, �e je to plocha mezi dv�ma �adami vektor� ��dek, a mohli bychom si ji p�edstavit jako

plochu. Av�ak, kdy� provedeme n�sledn� rozd�ly u v�ech p�r� jednotkov�ch vektor�, dostaneme op�t line�rn� vektor. Smy�ka p�ev�d� jednotkov� vektor v s�m sebe. V�echny tyto vektory le�� v rovin� ortogon�ln� k jednotkov�mu diagon�ln�mu vektoru ${\bf I}$. Jin� mo�nost, jak interpretovat orientovan� grafy je diference uvnit� samotn�ch �ad. Nap��klad �ada ${\bf abcda}$ obsahuje p�echody ${\bf a}$ na ${\bf b}$,${\bf b}$ na ${\bf c}$, ${\bf c}$ na ${\bf d}$ a ${\bf d}$ na ${\bf a}$. Rozd�l je tedy: $$\begin{array}{cccccc} ${\bf a}$ & $\rightarrow$ & ${\bf b}$ & & & \\ & ${\bf b}$ & $\rightarrow$ & ${\bf c}$ & & \\ & & ${\bf c}$ & $\rightarrow$ & ${\bf d}$ & \\ & & & ${\bf d}$ & $\rightarrow$ & ${\bf a}$\;. \end{array}$$ Podobn� se mohou porovn�vat rozd�ly p�i v�t��ch vzd�lenostech. \begin{figure} \caption{Dv� diagon�ln� �ady v t��rozm�rn� krychli 0-2. Najdi zb�vaj�c� �ty�i} \label{Dv� diagon�la �ady v t��rozm�rn� krychli 0-2.} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(130.00,110.00) \put(40.00,30.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} \put(60.00,40.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} %\emline(20.00,80.00)(60.00,100.00) \multiput(20.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(80.00,80.00)(120.00,100.00) \multiput(80.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(50.00,80.00)(90.00,100.00) \multiput(50.00,80.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(90.00,100.00)(90.00,40.00) \put(90.00,100.00){\line(0,-1){60.00}} %\end %\emline(90.00,40.00)(50.00,20.00) \multiput(90.00,40.00)(-0.24,-0.12){167}{\line(-1,0){0.24}} %\end %\emline(50.00,20.00)(50.00,80.00) \put(50.00,20.00){\line(0,1){60.00}} %\end %\emline(20.00,20.00)(60.00,40.00) \multiput(20.00,20.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(80.00,20.00)(120.00,40.00) \multiput(80.00,20.00)(0.24,0.12){167}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(20.33,50.33)(80.00,50.33) \put(20.33,50.33){\line(1,0){59.67}} %\end %\emline(80.00,50.33)(120.00,70.00) \multiput(80.00,50.33)(0.24,0.12){164}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(120.00,70.00)(60.00,70.00) \put(120.00,70.00){\line(-1,0){60.00}} %\end

%\emline(60.00,70.00)(20.00,50.33) \multiput(60.00,70.00)(-0.24,-0.12){164}{\line(-1,0){0.24}} %\end %\emline(40.00,60.00)(100.00,60.00) \put(40.00,60.00){\line(1,0){60.00}} %\end %\emline(70.67,90.00)(70.67,30.00) \put(70.67,90.00){\line(0,-1){60.00}} %\end \put(20.00,20.00){\framebox(60.00,60.00)[cc]{}} \put(20.00,20.00){\circle{4.00}} \put(40.00,60.00){\circle{4.00}} \put(70.67,90.00){\circle{4.00}} \put(120.00,100.00){\circle{4.00}} \put(71.00,30.00){\circle{4.00}} \put(100.00,60.00){\circle{4.00}} %\emline(20.00,20.00)(40.00,60.00) \multiput(20.00,20.00)(0.12,0.24){167}{\line(0,1){0.24}} %\end %\emline(40.00,60.00)(71.00,90.00) \multiput(40.00,60.00)(0.12,0.12){251}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(71.00,90.00)(120.00,100.00) \multiput(71.00,90.00)(0.58,0.12){84}{\line(1,0){0.58}} %\end %\emline(120.00,100.00)(100.00,60.33) \multiput(120.00,100.00)(-0.12,-0.24){167}{\line(0,-1){0.24}} %\end %\emline(100.00,60.33)(70.67,30.00) \multiput(100.00,60.33)(-0.12,-0.12){245}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(70.67,30.00)(20.33,20.00) \multiput(70.67,30.00)(-0.60,-0.12){84}{\line(-1,0){0.60}} %\end \end{picture} \end{figure} Orientovan� �pln� grafy $K_n$ tvo�� 2 rozm�rn� hrany (zn�m� jako orientovan� hrany) rovinn�ch simplex�. NeOrientovan� grafy jsou �ady vektor� ortogon�ln�ch k ploch�m odpov�daj�c�ch orientovan�ch graf�. Neorientovan� �pln� grafy $K_n$ jsou vektorov� �ady jdouc� od st�edu koordin�t k nejvzd�len�j��mu konci jednotkov� krychle, jej� strany jsou diagon�ly n rozm�rn� jednotkov� krychle, nebo jinak, k nejvzd�len�j��mu konci krychle se stranou 0-2, jak je uk�zan� na obr. 12.1. Jin� grafy odpov�daj� multimno�in�m z t�chto z�kladen, definovan�ch jako rozd�ly nebo sou�ty naivn�ch matic. Hrany a orientovan� hranov� graf� tvo�� prostor, jeho� symetrie je slo�it�j�� ne� symetrie naivn�ch matic. Rekurzivn� definice kanonick� formy inciden�n� matice ${\bf S}$ �pln�ho orientovan�ho grafu $K_n$ je \begin{equation} \left( \begin{array}{cc} {\bf S}_{n-1} & {\bf 0}_{n-1} \\ -{\bf I}_{n-1} & {\bf J}_{n-1} \end{array} \right) \end{equation}

kde ${\bf 0}_{n-1}$ je nulov� vektor-sloupec. Podobn� je kanonick� forma �pln�ho neorientovan�ho grafu $K_n$ \begin{equation} \left( \begin{array}{cc} {\bf G}_{n-1} & {\bf 0}_{n-1} \\ {\bf I}_{n-1}& {\bf J}_{n-1} \end{array} \right)\;. \end{equation} \section{Kvadratick� formy inciden�n� matice.} \label{Kvadratick� formy inciden�n� matice.} Jednoduch� cvi�en� v n�soben� matic ukazuje, �e kvadratick� formy inciden�n�ch matic neorientovan�ch a orientovan�ch graf� maj� formu \begin{equation} ({\bf N}^{\rm T}_ + = ({\bf N}^{\rm T}_ + {\bf N}_b^{\rm T} + {\bf N}_b^{\rm T} \end{equation}

{\bf {\bf {\bf {\bf

N})^{\rm T}_b({\bf N}_a+ {\bf N}_b) N}_a N}_b) + ({\bf N}_a^{\rm T} {\bf N}_b N}_a)

\begin{equation} ({\bf N}^{\rm T}_ = ({\bf N}^{\rm T}_ + {\bf N}_b^{\rm T} + {\bf N}_b^{\rm T} \end{equation}

{\bf {\bf {\bf {\bf

N})^{\rm T}_b({\bf N}_ - {\bf N}_b) N}_a N}_b) - ({\bf N}_a^{\rm T} {\bf N}_b N}_a)

Kvadratick� formy jsou slo�en� ze dvou ��sti: Diagon�ln� matice ${\bf V}$ tvo�en� sou�tem kvadratick�ch forem dvou naivn�ch matic ${\bf N}_a$ a ${\bf N}_b$. Diagon�ln� prvky $v_j$ jsou zn�m� jako{\em stupn�} odpov�daj�c�ch vrchol�. Sou�et skal�rn�ch sou�in� $$({\bf N}_a^{\rm T} {\bf N}_b + {\bf N}_b^{\rm T} {\bf N}_a)$$ tvo�� mimodiagon�ln� prvky. Je zn�m� jako matice sousedstv� ${\bf A}$ grafu. Jej� prvky $a_{ij}$ ukazuj�, kter� vrcholy soused� a v multigrafech, tolik linek spojuje oba vrcholy. Pro to je nutn� m�t v inciden�n� matici identick� jednotkov� ��dky nebo jednu ��dku s odmocninou n�sobnosti ��dky. Diagon�ln� matice ${\bf V}$ a matice sousedstv� ${\bf A}$ se mohou z�skat jako sou�et nebo rozd�l kvadratick�ch forem neorientovan�ho a orientovan�ho grafu \begin{equation} {\bf V}= 1/2({\bf G}^{\rm T} {\bf G}+ {\bf S}^{\rm T} {\bf S}) \label{v} \end{equation} \begin{equation} {\bf A}= 1/2({\bf G}^{\rm T} {\bf G}- {\bf S}^{\rm T} {\bf S}) \label{a}

\end{equation} \begin{figure} \caption{Dekompozice kvadratick�ch forem ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ a ${\bf G}^{\rm T} {\bf G}$ na diagon�ln� vektor ${\bf V}$ a maticov� vektor sousedstv� ${\bf A} $. ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ a ${\bf G}^{\rm T} {\bf G}$ jsou ortogon�ln�} \label{Dekompozice} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(100.00,70.00) %\vector(70.33,20.00)(20.00,50.00) \put(20.00,50.00){\vector(-3,2){0.2}} \multiput(70.33,20.00)(-0.20,0.12){251}{\line(-1,0){0.20}} %\end %\vector(70.33,20.00)(120.33,50.00) \put(120.33,50.00){\vector(3,2){0.2}} \multiput(70.33,20.00)(0.20,0.12){251}{\line(1,0){0.20}} %\end %\vector(70.33,20.33)(70.33,50.00) \put(70.33,50.00){\vector(0,1){0.2}} \put(70.33,20.33){\line(0,1){29.67}} %\end %\vector(70.33,50.00)(120.00,50.00) \put(120.00,50.00){\vector(1,0){0.2}} \put(70.33,50.00){\line(1,0){49.67}} %\end %\vector(70.33,50.00)(20.00,50.00) \put(20.00,50.00){\vector(-1,0){0.2}} \put(70.33,50.00){\line(-1,0){50.33}} %\end \put(20.00,60.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$}} \put(45.00,60.00){\makebox(0,0)[cc]{-${\bf A}$}} \put(70.33,60.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf V}$}} \put(95.33,60.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf A}$}} \put(120.00,60.00){\makebox(0,0)[cc]{${\bf G}^{\rm T} {\bf G}$}} \put(70.33,20.00){\circle{4.00}} \put(70.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \end{picture} \end{figure} Vztah obou kvadratick�ch forem je uk�zan� sch�maticky na obr�zku \ref{Dekompozice}. Hilbertova d�lka diagon�ln�ho vektoru ${\bf V}$ je 2m, dvojn�sobek po�tu ��dk� v inciden�n� matici. Maticov� vektor sousedstv� ${\bf A}$ m� stejnou d�lku a je opa�n� orientovan� v obou kvadratick�ch form�ch, tedy ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ a ${\bf G}^{\rm T} {\bf G}$ kon�� na rozd�ln�ch rovin�ch. Pokud graf je {\em pravideln�}, $v_j = const$, potom diagon�ln� matice ${\bf V}$ je koline�rn� s jednotkov�m diagon�ln�m vektorem ${\bf I}$ a matice sousedstv� ${\bf A}$ m� tak� stejn� sm�r. Diagon�ln� prvky matice sousedstv� ${\bf A}$ jsou nuly. Je tedy mo�n� pou��t je ned�sledn� pro z�znam smy�ek u grafu se smy�kami. U orientovan�ch graf� ��dky odpov�daj�c� smy�k�m jsou nulov�. Av�ak u neorientovan�ch graf� ��dka odpov�daj�c� smy�ce m� hodnotu 2, co� d�v� jako �tverec 4 a s pou�it�m vzorc� \ref{v} a \ref{a} hodnota smy�ky 2 se objevuje automaticky. Jin� kvadratick� formy ${\bf GG}^{\rm T}$ a ${\bf SS}^{\rm T}$ maj� na diagon�le 2 a po�et jednotkov�ch vektor� v ��dc�ch inciden�n� matice. To je v souladu s faktem, �e ka�d� spojnice se registruje dvakr�t v matici ${\bf V}$ stejn� jako v matici ${\bf A}$. Mimodiagon�ln� prvky jsou $\pm 1$, pokud dva ��dky soused� a

maj� spole�n� vrchol. Mimodiagon�ln� prvky tvo�� takov�m zp�sobem matice sousedstv� liniov�ch graf�. Av�ak u orientovan�ch graf� tento v�klad je znesnadn�n znam�nky, kter� mohou b�t kladn� i z�porn�. Tento vzor znam�nek z�vis� na vz�jemn� orientaci orientovan�ch hran. Nelze jej p�edv�dat a mus� se ur�it odd�len�. \section{Inciden�n� matice �pln�ch graf� $K_n$ jako oper�tory} \label{Inciden�n� matice �pln�ch graf� $K_n$ jako Oper�tory} Jednotkov� matice ${\bf J}$ (${\bf J}^{\rm T}$) jsou oper�tory, kter� se��taj� ��dku (nebo sloupec) prvk� matice, na kterou p�sob�, nebo p�en�ej� je do v�sledn�ho vektoru-��dky (nebo vektoru-sloupce). V kanonick� form� inciden�n�ch matic �pln�ch graf� $K_n$ se jednotkov� matice ${\bf J}$ kombinuj� s jednotkov�mi maticemi ${\bf I}$ se z�porn�mi znam�nky. Inciden�n� matice �pln�ch graf� $K_n$ jsou r�mcov� oper�tory\footnote{Je podivn�, �e takov� element�rn� v�ci lze objevit na konci dvac�t�ho stolet�. Mo�n� byly jen zapomenuty.}. Operace r�mov�n� se pou�ije na kvadratick� formy matic koordin�t dvakr�t. Nejprve se or�muje ${\bf CC}^{\rm T}$ je or�movan� \begin{equation} {\bf S}(*){\bf S}^{\rm T} \end{equation} nebo \begin{equation} {\bf G}(*){\bf G}^{\rm T}\;. \end{equation} V�sledkem t�to operace je v�t�� matice s ${ n \choose 2}$ ��dky a sloupci. Prvky v sou�inu jsou rozd�ly (sou�ty) v�ech p�r� prvk� or�movan� matice. Sou�in se �t�p� na diagon�ln� a ��sti. Diagon�ln� ��st se op�t or�muje, nyn� v r�me�ku shrnuj�c�m diagon�ln� prvky zp�t do n rozm�rn� symetrick� matice \begin{equation} {\bf S}^{\rm T}(*){\bf S} \label{c} \end{equation} nebo \begin{equation} {\bf G}^{\rm T}(*){\bf G} \label{d} \end{equation} Tato operace tvo�� druhou diferenci (sou�et) (sou�t�).

${ n \choose 2}$ prvn�ch diferenc�

Jednotkov� diagon�ln� matice ${\bf I}$ d�v� ${\bf S}({\bf I}){\bf S}^{\rm T}$. To je matice ${\bf SS}^{\rm T}$ �pln�ho grafu $K_4$. �ty�i diagon�ln� prvky ${\bf I}$ se rozvinuly do �esti diagon�ln�ch prvk� sou�inu. Diagon�ln� prvky (2) jsou rozd�ly koordin�t (nebo �tverce vzd�lenost�, pon�vad� ${\bf I} = {\bf I}^2$) �ty� vrchol� pravideln�ho �ty�st�nu. Diagon�ln� prvky jsou uspo��d�ny zp�t do �ty� rozm�r� jako v \ref{c} nebo \ref{d}. \section{Blokov� sch�mata} \label{Blokov� sch�mata}

Jak jsme �ekli, je mo�n� studovat systematicky matice s libovoln�m po�tem jednotkov�ch prvk� v ��dce. Z praktick�ch d�vod� tento po�et mus� b�t konstantn� jinak by byly pouze speci�ln� konfigurace dostupn� pro v�po�ty. Z matic maj�c�ch k jednotkov�ch prvk� v ka�d� ��dce byly studov�ny pouze matice maj�c� zvl�tn� vlastnosti odpov�daj�c� vlastnostem �pln�ch graf�. Takov� matice jsou zvan� {\em blokov� sch�mata} ${\bf B}$ a d�vaj� kvadratick� formy \begin{equation} {\bf B}^{\rm T}{\bf B}= (l -r){\bf I}+ r{\bf JJ}^{\rm T} \end{equation} \label{e} kde $r$ je konektivita bloku. N�kdy se klade na blokov� sch�mata p��sn�j�� podm�nka, jejich matice mus� b�t �tverce jednotky a jejich ob� kvadratick� formy ekvivalentn� \begin{equation} {\bf B}^{\rm T}{\bf B}= {\bf BB}^{\rm T}. \end{equation} Neorientovan� �pln� graf $K_3$ je blok s $l = 3$, $r = 1$. Jin� $K_n$ nejsou bloky, pon�vad� v jejich ${\bf GG}^{\rm T}$ se objevuj� nulov� prvky. Rovnice \ref{e} ukazuje, �e ka�d� jednotkov� vektor ${\bf e}_j$ se mus� objevit v sch�matu l-kr�t, ka�d� p�r prvk� r-kr�t. ��sla m, n, k, l,r jsou omezena n�sleduj�c�mi podm�nkami \begin{equation} mk = nl \quad \label{f} \end{equation} \begin{equation} l(k-1) = r(n-1) \label{g} \end{equation} (\ref{f}) po��t� po�et jednotek v ��dc�ch a sloupc�ch, (\ref{g}) p�ry v ��dc�ch, $mk(k-1)/2$ a v kvadratick� form� $rn(n-1)/2$. Kdy� se pod�l� ob� strany l/2, v�sledek se zjednodu�� na kone�n� tvar. Nejjednodu���m p��kladem blokov�ho sch�matu je matice s $m=n=4, k=l=3, r=2$: $$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\;.$$ Blokov� sch�mata s $k=3$ jsou zn�m� jako Steinerovy trojky. Je jasn�, �e konstrukce blokov�ch sch�mat a nalezen� jejich po�tu nen� jednoduch� �loha. Pokud m�te z�jem, doporu�uje se kniha \cite{[8]}. \section{\Hadamardovy matice} \label{Hadamardovy matice}

Jinou zvl�tn� t��dou matic jsou {\em Hadamardovy matice} ${\bf H}$ s prvky $h_{ij} = \pm 1$ a kvadratick�mi formami \begin{equation} {\bf H}^{\rm T}{\bf H}= {\bf HH}^{\rm T} = n{\bf I}\;. \end{equation} To znamen�, �e v�echny ��dky a sloupce Hadamardovy matice jsou ortogon�ln�. P��klady dvou nejni���ch Hadamardov�ch matic jsou: $$\begin{array}{cc} \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right) & \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 &-1 &-1\\ 1& -1 & 1& -1\\ 1 &-1 &-1& 1\\ \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Hadamardovy matice mohou b�t symetrick� stejn� jako asymetrick�. Existuj� n�kter� pravidla, jak je mo�n� konstruovat Hadamardovy matice vy���ch ��d�. Konstrukce je snadn� p�i $2n$ rozm�rn� matici, kde bloky ni��� matice se mohou pou��t jako stavebn� kameny $$\left( \begin{array}{rr} {\bf H}_n & {\bf H}_n\\ {\bf H}_n & -{\bf H}_n \\ \end{array} \right)\;.$$ \chapter{Grafy} \label{Grafy} \section{Historick� pozn�mky} \label{Historick� pozn�mky} Teorii graf� formuloval, podobn� jako tolik jin�ch pojm� v t�to knize, Euler. P�ed druhou sv�tovou v�lkou cel� teorie graf� mohla b�t shrnuta do pouze jedin� knihy. Dnes existuje �ada specializovan�ch �asopis� zab�vaj�c�ch se teori� graf� a jej�mi aplikacemi. \begin{figure} \caption{Sedm most� v K\"{o}nigsbergu a Eulerovo grafov� �e�en� hlavolamu} \label{Sedm most�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(110.00,120.00) \put(40.00,33.83){\oval(40.00,22.33)[]} \put(40.17,33.33){\oval(51.00,32.67)[lb]}

\put(27.50,33.33){\oval(25.67,32.67)[lt]} %\emline(26.67,49.67)(87.00,49.67) \put(26.67,49.67){\line(1,0){60.33}} %\end %\emline(40.33,17.00)(86.67,17.00) \put(40.33,17.00){\line(1,0){46.33}} %\end \put(86.67,36.17){\oval(42.00,27.00)[lb]} \put(86.17,33.83){\oval(41.00,22.33)[lt]} \put(30.33,40.67){\pravidlo{3.67\unitlength}{13.00\unitlength}} \put(45.33,40.33){\pravidlo{4.33\unitlength}{13.33\unitlength}} \put(74.33,40.33){\pravidlo{4.33\unitlength}{13.33\unitlength}} \put(55.33,30.67){\pravidlo{14.67\unitlength}{4.33\unitlength}} \put(30.00,11.00){\pravidlo{4.33\unitlength}{15.67\unitlength}} \put(45.33,11.00){\pravidlo{4.33\unitlength}{15.67\unitlength}} \put(74.67,10.67){\pravidlo{4.33\unitlength}{16.00\unitlength}} \put(39.33,59.33){\makebox(0,0)[cc]{C}} \put(39.00,32.67){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(39.00,7.33){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(85.00,33.00){\makebox(0,0)[cc]{D}} %\emline(20.00,90.00)(75.00,90.00) \put(20.00,90.00){\line(1,0){55.00}} %\end %\emline(75.00,90.00)(20.00,70.67) \multiput(75.00,90.00)(-0.34,-0.12){162}{\line(-1,0){0.34}} %\end %\emline(20.67,109.67)(75.33,90.00) \multiput(20.67,109.67)(0.33,-0.12){164}{\line(1,0){0.33}} %\end \bezier{128}(20.33,90.00)(8.00,100.33)(21.00,109.33) \bezier{108}(21.00,109.67)(29.67,100.00)(20.00,90.00) \bezier{124}(20.33,90.00)(8.00,79.67)(20.00,70.67) \bezier{108}(20.33,71.00)(29.67,79.33)(20.33,90.00) \put(10.00,90.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(20.00,120.00){\makebox(0,0)[cc]{C}} \put(19.67,62.67){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(85.00,90.00){\makebox(0,0)[cc]{D}} \put(20.33,109.67){\circle{4.00}} \put(20.00,90.00){\circle{4.00}} \put(20.33,70.33){\circle{4.00}} \put(74.67,90.00){\circle{4.00}} \end{picture} \end{figure} Euler formuloval z�kladn� ideu teorie graf�, kdy� vy�e�il hlavolam o sedmi mostech v K\"onigsbergu (obr. \ref{Sedm most�}). Je mo�n� proj�t p�es v�echny mosty a vr�tit se zp�t do v�choz�ho m�sta, kdy� se p�ejde ka�d� most pouze jednou? Euler uk�zal, �e ��dan� cesta existuje pouze tehdy, kdy� ve v�ech k�i�ovatk�ch se st�k� sud� po�et cest. T�i cesty se st�kaly v n�kter�ch k�i�ovatk�ch v Eulerov� grafu. Tedy v K\"onigsbergu jednoduch� cesta byla nemo�n�. �lov�k se div�, pokud by takov� konfigurace most� byl v Ath�n�ch, zaj�mali by se tamn� filosofov� na sv�ch promen�d�ch o takov� trivi�ln� probl�my a pokud by je vy�e�ili podobn� jako Euler, ud�lali by to pro v�echny podobn� konfigurace cest? Nebo nebyl hlavolam o 7 mostech jen d�tskou h���kou? Je pot�eba ur�it� zralost, abychom se zaj�mali o vztahy, kter� nelze vid�t a jen si je p�edstavit? Doposud v�ech probl�my v t�to knize byly vy�e�eny n�soben�m rozd�ln�ch mo�nost� a

jej�ch se��t�n�m. Podstatn� by sta�� �ekov� byli schopni je roz�e�it, av�ak zaj�mali se o geometrick� probl�my, kde probl�m a jeho �e�en� lze vid�t. Mo�nou odpov�d� na shora danou ot�zku je, �e multidimension�ln� prostory jsou p��li� abstraktn�, aby se s nimi za��nalo. V�hodou teorie graf� je, �e grafy spojuj� abstraktn� pojmy s konkr�tnost�. Mohou se nakreslit na pap�r a postupn� prohl�et jako soustava bod� a ��rek. Av�ak tato jednoduchost je klamav�. Grafy se obvykle pova�uj� za bin�rn� vztah dvou mno�in, {\em vrchol�} a {\em hran} nebo {\em orientovan�ch hran}, viz obr. 3.2. Je mo�n� definovat teorii �ehokoliv a zde se objevily velmi zaj�mav� probl�my vhodn� pro to, aby byly studov�ny mlad�mi adepty akademick�ch stup��, jako nap��klad je teorie her. Av�ak n�kter� grafov� probl�my nalezly velmi brzo praktick� aplikace nebo analogie ve fyzik�ln�ch v�d�ch. Zejm�na chemie dala mnoho podn�t� pro vyu�it� teorie graf�, pon�vad� v grafech byl nalezen p�il�hav� model konektivit atom� v molekul�ch. Zd� se b�t nepodstatn� studovat proch�zky mezi vrcholy graf� av�ak, kdy� jsou tyto proch�zky spojen� p��mo se slo�it�mi m��iteln�mi fyzik�ln�mi vlastnostmi chemick�ch slou�enin, jako je bod varu, potom takov� teoretick� studie se s�vaj� pragmatick�mi, d�vaj� n�m hluboko jdouc� n�hled, jak je n� sv�t konstruov�n. Grafy byly spojen� s mnoha rozd�ln�mi maticemi: {\em inciden�n�mi maticemi} ${\bf S}$ a ${\bf G}$, {\em maticemi sousedstv�} ${\bf A}$, {\em maticemi vzd�lenost�} $ {\bf D}$ a jin�mi druhy matice. V�echny tyto matice se vyu�ily pro v�po�ty vlastn�ch hodnot a vlastn�ch vektor�, av�ak rozd�ln� matice nebyly spojen� do sjednocen� soustavy. Matematici byli uspokojeni s faktem, �e v�echny grafy mohou b�t stla�en� do t��rozm�rn�ho prostoru a zobrazen� na dvou rozm�rn� plo�e pap�ru. Ignorovali probl�m rozm�rnosti graf�. R�zn� auto�i je pova�ovali za bezrozm�rn� objekty, jednorozm�rn� objekty �i dvourozm�rn� objekty. Podle Occamovy b�itvy se nem� zav�d�t v�ce faktor�, ne� je nutn� pro vysv�tlen� pozorovan�ch fakt�. Av�ak p�i pojet� graf� jako multidimension�ln�ch vektor� se speci�ln� konfigurac� sjednocuje teorii, grafy jsou jen zvl�tn� t��dou vektor�, sou�ty nebo rozd�ly dvou vektorov�ch �ad. Tyto vektory pat�� do vektorov�ho prostoru. Vlastnosti sou�t� nebo rozd�l� dvou vektorov�ch �ad se mohou studovat v�hodn�, pokud se p�edstav� jako grafy, srovnaj� s existuj�c�mi objekty nebo alespo� s mal�mi vzorky v�t��ch struktur. \section{N�kter� z�kladn� pojmy teorie graf�} \label{N�kter� z�kladn� pojmy teorie graf�} Teorie graf� m� dv� z�kladn� pojmy. Prv�m je {\em vrchol}, kter� je obvykle zobrazen jako bod, av�ak vrcholy mohou b�t ztoto�n�ny s ��mkoliv, tak� s plochou zahrnuj�c� mnoho vrchol�, pokud se teorie graf� pou�ije k praktick�m probl�m�m. Druh�m pojmem jsou {\em hrany} p�edstavuj�c� vztah mezi dv�ma vrcholy. Hrany mohou b�t {\em orientovan�}, jako jsou vektory, jdouc� od vrcholu v jin�mu, potom jsou zvan� {\em orientovan� hrany}, anebo {\em neorientovan�}, jen spojuj�c� dva vrcholy bez jak�koliv preference sm�ru. Potom jsou zvan� {\em hrany} (obr. 3.2). \begin{figure} \caption{P��klady neorientovan�ch graf�. A -- strom, B -- cyklick� graf, C -multigraf} \label{P��klady neorientovan�ch graf�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(140.00,110.00) \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(10.00,9.67){\framebox(40.00,39.67)[cc]{}} \put(68.33,9.67){\framebox(41.67,39.67)[cc]{}} \put(126.67,39.67){\circle{4.00}}

\put(110.00,49.33){\circle{4.00}} \put(68.33,49.33){\circle{4.00}} \put(10.00,49.33){\circle{4.00}} \put(50.33,49.33){\circle{4.00}} \put(50.00,9.67){\circle{4.00}} \put(68.33,9.67){\circle{4.00}} \put(110.00,9.67){\circle{4.00}} %\emline(70.00,49.00)(70.00,9.67) \put(70.00,49.00){\line(0,-1){39.33}} %\end %\emline(110.00,11.33)(126.00,40.00) \multiput(110.00,11.33)(0.12,0.21){134}{\line(0,1){0.21}} %\end %\emline(111.33,9.33)(128.00,39.33) \multiput(111.33,9.33)(0.12,0.22){139}{\line(0,1){0.22}} %\end %\emline(10.33,9.67)(50.00,49.33) \multiput(10.33,9.67)(0.12,0.12){331}{\line(1,0){0.12}} %\end \put(40.00,20.33){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(90.33,20.33){\makebox(0,0)[cc]{C}} %\emline(9.67,68.67)(29.67,83.67) \multiput(9.67,68.67)(0.16,0.12){126}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(29.67,83.67)(55.00,83.67) \put(29.67,83.67){\line(1,0){25.33}} %\end %\emline(55.00,83.67)(74.67,68.67) \multiput(55.00,83.67)(0.16,-0.12){126}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(74.67,68.67)(106.00,83.67) \multiput(74.67,68.67)(0.25,0.12){126}{\line(1,0){0.25}} %\end %\emline(29.67,83.67)(10.33,100.00) \multiput(29.67,83.67)(-0.14,0.12){137}{\line(-1,0){0.14}} %\end %\emline(55.00,83.67)(75.00,100.00) \multiput(55.00,83.67)(0.15,0.12){137}{\line(1,0){0.15}} %\end \put(11.00,99.67){\circle{4.00}} \put(10.00,68.67){\circle{4.00}} \put(29.67,83.67){\circle{4.00}} \put(55.33,84.00){\circle{4.00}} \put(75.00,99.33){\circle{4.00}} \put(74.67,69.00){\circle{4.00}} \put(106.00,83.33){\circle{4.00}} \put(42.67,95.33){\makebox(0,0)[cc]{A}} \end{picture} \end{figure} Orientovan� hrana p�edstavuj� ��dku inciden�n� matice ${\bf S}$ tvo�enou diferenc� dvou jednotkov�ch vektor� $({\bf e}_i - {\bf e}_j)$. Podle na�� konvence p�sob� oba vektory sou�asn� a po��tek vektoru m�e b�t um�st�n na vrchol j. V�sledn� orientovan� hranov� vektor jde p��mo z vrcholu j do vrcholu i. Hrany se zobrazuj� jako jednoduch� hrany spojuj�c� dva vrcholy. Ve skute�nosti sou�et dvou jednotkov�ch vektor� je ortogon�ln� k hran� spojuj�c� oba vrcholy. Je instruktivn�j�� kreslit neorientovan� graf se spojuj�c�mi hranami. Nicm�n� z form�ln�ch d�vod� m�eme uva�ovat neorientovan� graf jako �adu vektor�, kde ka�d�

�len je ortogon�ln� ke sv�mu orientovan�mu odpov�daj�c�mu prvku. Kdy� je orientovan� graf vektor, potom neorientovan� graf tak� mus� b�t vektor. Speci�ln� hranou v grafu je {\em smy�ka}, kter� spojuje vrchol s�m se sebou. Objevuj� se form�ln� pot�e, jak spojit orientovan� smy�ky s maticemi, proto�e odpov�daj�c� ��dky jsou nulov� $({\bf e}_j - {\bf e}_j) = {\bf 0}$. Tyto komplikace jsou v�sledkem symetri� vy���ch ��d�. Neorientovan� smy�ka m� dvojitou intenzitu \begin{equation} ({\bf e}_j + {\bf e}_j) = 2{\bf e}_j\;, \end{equation} a uvid�me pozd�ji, jak se tento fakt m�e vyu��t. Vztahy mezi v�cmi mohou b�t v�ci. Nap��klad v chemii, pokud ztoto�n�me atomy v molekule s vrcholy, potom vazby mezi atomy, dr��c� molekulu pohromad� a ur�uj�c� strukturu molekuly, jsou vazebn� elektrony. S�ly mezi j�dry a elektrony se modeluj� grafy pokud do ka�d� spojuj�c� hrany se vlo�� nov� vrchol a tak vznikne {\em podrozd�len� graf}. Ka�d� hrana v graf se �t�p� do p�ru hran. Vytvo�en� podrozd�len� graf m� (n + m) vrchol� a 2m ��dek. \begin{figure} \caption{Graf a jeho hranov� graf} \label{Graf a jeho hranov� graf} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(120.00,150.00) \put(20.00,20.00){\framebox(30.00,30.00)[cc]{}} %\emline(20.00,20.00)(50.00,50.00) \multiput(20.00,20.00)(0.12,0.12){251}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(50.00,50.00)(80.00,50.00) \put(50.00,50.00){\line(1,0){30.00}} %\end %\emline(80.00,50.00)(110.00,50.00) \put(80.00,50.00){\line(1,0){30.00}} %\end \put(20.00,20.00){\circle{4.00}} \put(50.00,20.33){\circle{4.00}} \put(20.33,50.00){\circle{4.00}} \put(50.00,50.00){\circle{4.00}} \put(80.00,50.00){\circle{4.00}} \put(110.00,50.00){\circle{4.00}} \put(35.33,60.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(60.00,35.00){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(35.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} \put(10.33,35.00){\makebox(0,0)[cc]{d}} \put(30.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{e}} \put(65.00,60.00){\makebox(0,0)[cc]{f}} \put(96.33,60.00){\makebox(0,0)[cc]{g}} %\emline(60.33,79.67)(60.33,130.00) \put(60.33,79.67){\line(0,1){50.33}} %\end %\emline(60.33,130.00)(90.00,115.00) \multiput(60.33,130.00)(0.24,-0.12){126}{\line(1,0){0.24}} %\end %\emline(90.00,115.00)(90.00,95.00) \put(90.00,115.00){\line(0,-1){20.00}}

%\end %\emline(90.00,95.00)(60.33,80.00) \multiput(90.00,95.00)(-0.24,-0.12){126}{\line(-1,0){0.24}} %\end %\emline(60.33,80.00)(29.67,95.33) \multiput(60.33,80.00)(-0.24,0.12){128}{\line(-1,0){0.24}} %\end %\emline(29.67,95.33)(29.67,115.00) \put(29.67,95.33){\line(0,1){19.67}} %\end %\emline(29.67,115.00)(60.33,129.67) \multiput(29.67,115.00)(0.25,0.12){123}{\line(1,0){0.25}} %\end %\emline(90.00,114.67)(29.67,114.67) \put(90.00,114.67){\line(-1,0){60.33}} %\end %\emline(29.67,114.67)(20.00,137.00) \multiput(29.67,114.67)(-0.12,0.28){81}{\line(0,1){0.28}} %\end %\emline(60.33,129.33)(29.67,95.33) \multiput(60.33,129.33)(-0.12,-0.13){256}{\line(0,-1){0.13}} %\end \put(60.33,129.67){\circle{4.00}} \put(90.00,114.67){\circle{4.00}} \put(90.00,94.67){\circle{4.00}} \put(60.33,80.33){\circle{4.00}} \put(29.67,95.33){\circle{4.00}} \put(29.67,114.67){\circle{4.00}} \put(20.33,136.67){\circle{4.00}} \put(27.67,140.67){\makebox(0,0)[cc]{g}} \put(60.33,138.67){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(96.67,121.33){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(97.00,87.00){\makebox(0,0)[cc]{c}} \put(60.33,69.33){\makebox(0,0)[cc]{d}} \put(20.33,86.67){\makebox(0,0)[cc]{e}} \put(17.00,114.67){\makebox(0,0)[cc]{f}} \end{picture} \end{figure} M�eme konstruovat {\em za vrcholy a zav�d�n�m p�vodn�ch ��dek. Pokud byl $2m$. Jeho hranov�

hranov� graf} \ref{Graf a jeho hranov� graf}, z�m�nou ��dek nov�ch sousedstv� nyn� definovan�ch spole�n�mi vrcholy dvou p�vodn� graf m�l m hran, sou�et stup�� jeho vrchol� $v_j$ graf m� m vrchol� a sou�et stup�� jeho vrchol� $v_i$ je

\begin{equation} \Sigma(v^2_j - v_j). \end{equation} P�r vrchol� m�e b�t spojen� v�ce sou�asn� hranami. Potom mluv�me o {\em multigrafech} (\ref{P��klady neorientovan�ch graf�}, C). P��t�m krokem je pova�ovat paraleln� hrany jako jednu hranu s v�hou k. Je z�ejm�, �e hrana nemus� b�t v�en� cel�mi ��sly, av�ak lze pou��t jak�hokoliv v�hy $w_{ij}$. Z v�po�t� se objev� i grafy s imagin�rn�mi hranami. \begin{figure} \caption{Restrikce grafu. Vrcholy v kru�nici A jsou spojen� do jednoho vrcholu a} \label{Restrikce grafu} \linethickness{0.4pt}

\begin{picture}(100.00,110.00) \put(60.00,15.33){\framebox(30.33,29.67)[cc]{}} %\emline(60.00,45.00)(40.00,30.00) \multiput(60.00,45.00)(-0.16,-0.12){126}{\line(-1,0){0.16}} %\end %\emline(40.00,30.00)(60.00,15.33) \multiput(40.00,30.00)(0.16,-0.12){123}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(60.00,15.33)(35.00,7.67) \multiput(60.00,15.33)(-0.39,-0.12){64}{\line(-1,0){0.39}} %\end %\emline(35.00,7.67)(10.00,7.67) \put(35.00,7.67){\line(-1,0){25.00}} %\end %\emline(40.33,30.00)(17.33,30.00) \put(40.33,30.00){\line(-1,0){23.00}} %\end %\emline(60.00,45.00)(35.00,53.33) \multiput(60.00,45.00)(-0.36,0.12){70}{\line(-1,0){0.36}} %\end %\emline(35.00,53.33)(10.33,53.33) \put(35.00,53.33){\line(-1,0){24.67}} %\end %\circle(52.33,29.67){43.00} \multiput(52.33,51.17)(1.29,-0.12){3}{\line(1,0){1.29}} \multiput(56.20,50.82)(0.42,-0.12){9}{\line(1,0){0.42}} \multiput(59.94,49.78)(0.23,-0.11){15}{\line(1,0){0.23}} \multiput(63.43,48.08)(0.16,-0.11){20}{\line(1,0){0.16}} \multiput(66.56,45.78)(0.12,-0.12){23}{\line(0,-1){0.12}} \multiput(69.23,42.96)(0.12,-0.18){18}{\line(0,-1){0.18}} \multiput(71.34,39.71)(0.12,-0.28){13}{\line(0,-1){0.28}} \multiput(72.84,36.12)(0.12,-0.54){7}{\line(0,-1){0.54}} \multiput(73.67,32.33)(0.07,-1.94){2}{\line(0,-1){1.94}} \multiput(73.80,28.45)(-0.11,-0.77){5}{\line(0,-1){0.77}} \multiput(73.23,24.61)(-0.11,-0.33){11}{\line(0,-1){0.33}} \multiput(71.98,20.94)(-0.12,-0.21){16}{\line(0,-1){0.21}} \multiput(70.09,17.55)(-0.12,-0.14){21}{\line(0,-1){0.14}} \multiput(67.62,14.55)(-0.14,-0.12){21}{\line(-1,0){0.14}} \multiput(64.65,12.05)(-0.20,-0.11){17}{\line(-1,0){0.20}} \multiput(61.28,10.12)(-0.33,-0.12){11}{\line(-1,0){0.33}} \multiput(57.62,8.83)(-0.64,-0.10){6}{\line(-1,0){0.64}} \put(53.79,8.22){\line(-1,0){3.88}} \multiput(49.91,8.30)(-0.54,0.11){7}{\line(-1,0){0.54}} \multiput(46.11,9.09)(-0.28,0.11){13}{\line(-1,0){0.28}} \multiput(42.51,10.54)(-0.18,0.12){18}{\line(-1,0){0.18}} \multiput(39.23,12.62)(-0.13,0.12){22}{\line(-1,0){0.13}} \multiput(36.38,15.26)(-0.12,0.16){20}{\line(0,1){0.16}} \multiput(34.05,18.36)(-0.12,0.23){15}{\line(0,1){0.23}} \multiput(32.31,21.83)(-0.11,0.37){10}{\line(0,1){0.37}} \multiput(31.23,25.56)(-0.10,0.97){4}{\line(0,1){0.97}} \multiput(30.84,29.42)(0.10,1.29){3}{\line(0,1){1.29}} \multiput(31.14,33.29)(0.11,0.42){9}{\line(0,1){0.42}} \multiput(32.14,37.05)(0.12,0.25){14}{\line(0,1){0.25}} \multiput(33.80,40.56)(0.12,0.17){19}{\line(0,1){0.17}} \multiput(36.06,43.71)(0.12,0.12){23}{\line(1,0){0.12}} \multiput(38.85,46.41)(0.18,0.12){18}{\line(1,0){0.18}} \multiput(42.08,48.56)(0.27,0.12){13}{\line(1,0){0.27}} \multiput(45.64,50.10)(0.74,0.12){9}{\line(1,0){0.74}}

%\end \put(10.00,53.33){\circle{4.00}} \put(35.00,53.33){\circle{4.00}} \put(60.00,45.00){\circle{4.00}} \put(90.33,45.00){\circle{4.00}} \put(90.33,15.33){\circle{4.00}} \put(60.00,15.33){\circle{4.00}} \put(40.33,30.00){\circle{4.00}} \put(17.33,30.00){\circle{4.00}} \put(35.33,7.67){\circle{4.00}} \put(10.33,7.67){\circle{4.00}} %\emline(90.33,70.00)(90.33,100.00) \put(90.33,70.00){\line(0,1){30.00}} %\end %\emline(90.33,100.00)(54.67,85.00) \multiput(90.33,100.00)(-0.28,-0.12){126}{\line(-1,0){0.28}} %\end %\emline(54.67,85.00)(90.33,70.00) \multiput(54.67,85.00)(0.28,-0.12){126}{\line(1,0){0.28}} %\end %\emline(54.33,85.00)(29.67,85.00) \put(54.33,85.00){\line(-1,0){24.67}} %\end %\emline(55.00,84.67)(35.00,69.33) \multiput(55.00,84.67)(-0.16,-0.12){128}{\line(-1,0){0.16}} %\end %\emline(35.00,69.33)(13.00,69.33) \put(35.00,69.33){\line(-1,0){22.00}} %\end %\emline(55.00,85.00)(34.67,100.00) \multiput(55.00,85.00)(-0.16,0.12){126}{\line(-1,0){0.16}} %\end %\emline(34.67,100.00)(13.33,100.00) \put(34.67,100.00){\line(-1,0){21.33}} %\end \put(12.67,100.00){\circle{4.00}} \put(35.00,100.00){\circle{4.00}} \put(29.67,85.00){\circle{4.00}} \put(13.33,69.33){\circle{4.00}} \put(35.33,69.33){\circle{4.00}} \put(55.00,85.00){\circle{4.00}} \put(90.33,99.67){\circle{4.00}} \put(90.33,70.33){\circle{4.00}} \put(55.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(55.00,95.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \end{picture} \end{figure} Je tak� mo�n� zmen�it grafy seskupen�m mno�iny vrchol� do nov�ho vrcholu a ponech�n�m pouze hran spojuj�c�ch novou mno�inu vrchol� (obr. \ref{Restrikce grafu}). Tato operace zjednodu�uje graf. Oba prvky graf� mohou b�t indexovan� (ozna�en�) a neindexovan� (neozna�en�). Obvykle se uva�uj� pouze vrcholov� ozna�en� grafy. Ozna�en� grafy jsou n�kdy pouze ��ste�n� indexov�ny grafy, kdy� pouze n�kter� jejich vrcholy jsou indexov�ny, nebo rovnocenn�, n�kolik vrchol� m� stejn� indexy. Kdy� jeden vrchol je speci�ln� ozna�en�, mluv�me o {\em ko�enu}.

Zvl�tn� ozna�en� graf� je jejich barven�. Lze formulovat �lohu obarvit vrcholy takov�m zp�sobem, aby ��dn� incidentn� vrcholy nem�ly stejnou barvu. Po�et barev ukazuje ��sti grafu, kde v�echny vrcholy jsou nespojit�. Neexistuje mezi nimi ��dn� hrana. Nejmen�� po�et barev, kter� jsou nutn� k obarven� spojit�ho grafu je 2. Potom mluv�me o {\em dvojd�ln�m grafu}. Pro obarven� rovinn�ch graf� (map), jejich� hrany se neprot�naj�, pot�ebujeme alespo� �ty�i barvy. Dvojd�ln� grafy maj� d�le�itou vlastnost, jejich inciden�n� matice se mohou rozd�lit do dvou blok� a jejich kvadratick� formy se �t�p� do dvou odd�len�ch blok�. Grafy jsou {\em spojen�}, pokud existuje alespo� jeda cesta nebo proch�zka mezi v�emi p�ry vrchol�. Je nep�etr�it� �ada hran spojuj�c�ch dan� p�r vrchol�. Vz�jemn� nespojen� ��sti grafu jsou zn�m� jako jeho {\em slo�ky}. Alespo� $(n-1)$ ��dek je pot�eba ke spojen� v�ech n vrchol� grafu a n hran ke vzniku cyklu. Spojit� grafy s $(n-1)$ hranami jsou zn�m� jako {\em stromy} (\ref{P��klady neorientovan�ch graf�}, A) a jsou acyklick�. Graf tvo�en� v�ce stromy je {\em les}. M�eme nal�zt {\em st�ed} grafu, ur�en� jako jeho nejvnit�n�j�� vrchol, nebo {\em pr�m�r} grafu, jako kdyby grafy byly n�jak�mi pevn�mi objekty. Av�ak zde se objevuj� n�kter� pot�e. Kdy� definujeme st�ed grafu jako vrchol, kter� m� stejnou vzd�lenost od nejvzd�len�j��ch vrchol�, potom v line�rn�ch �et�zc�ch se sud�m po�tem vrchol�, nap��klad v line�rn�m �et�zci $L_6$ \linethickness{0.5pt} \begin{picture}(130.00,20.00) \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(30.00,9.67){\circle{4.00}} \put(50.00,9.33){\circle{4.00}} \put(70.00,9.33){\circle{4.00}} \put(90.33,10.00){\circle{4.00}} \put(110.00,10.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,10.00)(30.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(50.33,10.00)(70.00,10.00) \put(50.33,10.00){\line(1,0){19.67}} %\end %\emline(90.33,10.00)(110.00,10.00) \put(90.33,10.00){\line(1,0){19.67}} %\end %\emline(10.00,10.00)(110.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){100.00}} %\end \end{picture} m�me dva kandid�ty pro nominaci. Je lep�� mluvit o {\em centroidu} nebo o {\em centr�ln� hran�}. N�kter� grafy nemaj� v�bec ��dn� st�ed. Zav�d�t v�echny pojmy teorie graf� postupn� v kr�tk�m p�ehledu je vy�erp�vaj�c�. Av�ak je nutn� zn�t n�kter� pojmy. \begin{figure} \caption{Rozhodovac� strom. Lev� v�tev znamen� 1, prav� v�tev znamen� 0. Ko�en se bere jako decim�ln� ��rka a n�sledn� rozhodnut� modeluj� v�ce hodnotovou logiku} \label{Rozhodovac� strom} \linethickness{0.4pt}

\begin{picture}(100.00,70.00) %\emline(40.00,10.00)(20.00,29.67) \multiput(40.00,10.00)(-0.12,0.12){164}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(39.67,10.00)(80.00,50.00) \multiput(39.67,10.00)(0.12,0.12){334}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(59.67,30.00)(40.00,49.67) \multiput(59.67,30.00)(-0.12,0.12){164}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(40.00,10.00){\circle{4.00}} \put(20.00,30.00){\circle{4.00}} \put(60.00,30.00){\circle{4.00}} \put(39.67,49.67){\circle{4.00}} \put(80.00,50.00){\circle{4.00}} \put(19.67,40.00){\makebox(0,0)[cc]{1.0}} \put(39.67,60.00){\makebox(0,0)[cc]{0.1}} \put(80.00,60.00){\makebox(0,0)[cc]{0.0}} \end{picture} \end{figure} {\em Line�rn� �et�zce} $L_n$ jsou zvl�tn� t��dou strom�, jejich� v�echny vrcholy vyjma dvou koncov�ch maj� stupe� $v_j = 2$. Stupe� vrcholu po��t� hrany incidentn� k vrcholu. Line�rn� �et�zce maj� nejdel�� vzd�lenost mezi sv�mi krajn�mi vrcholy a nejv�t�� pr�m�ry ze v�ech graf�. Jin� krajn� stromy jsou {\em hv�zdy} $S_n$. V�ech $(n-1)$ jejich vrchol� je spojeno p��mo s centr�ln�m vrcholem. Pr�m�r hv�zdy je v�dy 2. {\em Rozhodovac� stromy} jsou stromy s jedn�m vrcholem stupn� 2 a v�emi jin�mi vrcholy se stupni 3 nebo 1. Pokud se vrchol stupn� 2 vybere jako ko�en (obr. \ref{Rozhodovac� strom}), potom na proch�zce je nutn� prov�d�t na ka�d�m kroku bin�rn� rozhodnut�, na kterou stranu j�t. Vrcholy se stupni 1 jsou zn�m� jako {\em listy}. Jsou spojen� {\em v�tvemi} ke {\em kmeni} stromu. U� zn�me rozhodovac� stromy jako �ady v jednotkov�ch krychl�ch. Ve stromu jsou spojen� do rozv�tvuj�c�ch se v�tv�. Indexov�n� list� je zn�m� jako bin�rn� k�dov�n�. {\em �pln� graf} $K_n$ m� n(n-1)/2 hran, kter� spojuj� vz�jemn� v�echny jeho vrcholy. Jeho pr�m�r je 1 a nem� ��dn� st�ed. {\em Dopl�kov�} $\overline{G}$ graf $G$ je definov�n jako mno�ina hran grafu $G$ chyb�j�c� v �pln�m grafu $K_n$ na stejn�ch vrcholech, nebo sou�tem \begin{equation} K_n = G + \overline G\;. \end{equation} Z toho plyne, �e dopl�kov� graf dopl�kov�ho grafu $\overline{\overline G}$ je v�choz� graf G a, �e dopl�kov� graf $\overline{K_n}$ �pln�ho grafu $K_n$ je pr�zdn� graf $G_n$ se ��dnou hranou. \section{Petrieovy matice} \label{Petrieovy matice} Orientovan� hran orientovan�ch grafy byly definov�ny jako rozd�ly dvou jednotkov�ch vektor� $({\bf e}_j - {\bf e}_i)$. Jinou mo�nost� je mapov�n� orientovan�ch a neorientovan�ch hran na matice s jednotkov�mi prvky. Orientovan� hrana se ztoto�n� p��mo s jednotkov�m vektorem $({\bf e}_j$ nebo s kontinu�ln� �adou jednotkov�ch vektor� ${\bf e}_j$. Takov� matice jsou zn�m� jako {\em Petrieovy matice}\footnote{Nem�me dost jednoduch�ch symbol� pro v�echny

rozd�ln� matice.} ${\bf P}e$. Petrieovy matice jsou ekvivalentn� k inciden�n�m matic�m. ��dka obsahuj�c� kontinu�ln� �adu jednotkov�ch symbol� odpov�d� ka�d� orientovan� hran� inciden�n� matice bez p�eru�en�. �ada jednotkov�ch symbol� v Petrieov� matici ${\bf P}e$ jdouc� od i k (p-1) odpov�d� orientovan� hran� mezi vrcholy i a p. Orientovan� hrana 1-2 je p�edstavena v Petrieov� matici jedn�m jednotkov�m symbolem, orientovan� hrana 1-6 vy�aduje 5 jednotkov�ch symbol�. Kanonick� tvary ${\bf P}e$ a ${\bf S}$ pro $K_4$ jsou $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} ${\bf P}e$ \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \end{array}& \begin{array}{c} ${\bf S}$ \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1& 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1& 1 \end{array} \right)\;. \end{array} \end{array}$$ Petrieovy matice maj� dv� d�le�it� vlastnosti: 1. Petrieova matice ${\bf P}e$ grafu $G$ n�soben� inciden�n� matic� ${\bf S}$ line�rn�ho �et�zce $L$ d�v� inciden�n� matici dan�ho grafu: \begin{equation} {\bf S}(G) = {\bf P}e(G){\bf S}(L)\;. \end{equation} Z n�sledn�ch jednotek v ��dce Petrieovy matice pouze prv� a posledn� se mapuj� v sou�inu, v�echny mezilehl� p�ry jsou zni�eny n�sledn�mi p�ry jednotkov�ch symbol� s opa�n�mi znam�nky z inciden�n� matice line�rn�ho �et�zce, jeho� vrcholy jsou indexov�ny postupn�: $1-2-3-\dots-n$. Nap��klad $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{ccc|cccc} & & & \ -1 & 1 & 0 & 0 \\ & & & 0 &-1 & 1 & 0 \\ & & & 0 & 0 &-1 & 1 \\ \hline & & & & & & \\ 1& 0& 0& -1 & 1& 0& 0 \\ 0& 1 &0& 0&-1& 1 &0 \\ 0 &0 &1& 0& 0&-1 &1 \\ \end{array} & \begin{array}{ccc|cccc} & & &\ -1& 1& 0 & 0 \\ & & & 0&-1& 1 &0 \\ & & & 0& 0&-1 &1 \\ \hline & & & & & & \\ 1& 0 &0 & -1 &1& 0& 0 \\ 1& 1 &0 & -1& 0& 1 &0 \\ 1 &1 &1 & -1 &0& 0 &1 \\ \end{array} \end{array}$$ 2. Pouze Petrieovy matice strom� jsou nesingul�rn�. Stromy maj� $(n-1)$ orientovan�ch hran. Tedy jejich Petrieovy matice jsou �tvercov� matice a pon�vad� stromy jsou spojen� grafy, jejich Petrieovy matice jsou bez pr�zdn�ch sloupc�. D�le�itost t�to vlastnosti bude jasn� v kapitole 15. \section{Matice K�duj�c� stromy} \label{Matice K�duj�c� stromy} Petrieovy matice definuj� stromy v prostoru orientovan�ch hran. Jin� mo�nost k�dov�n� strom� je v prostoru jejich vrchol�. Existuje {\em matice sestupn�ho k�du} a jejich inverze, ukazuj�c� vztah vrchol� jako vztah d�t� k rodi��m. V sestupn�m k�du se pou�ij� oba konce orientovan�ch hran, av�ak vrcholy na cest� pouze jednou. Mimo to samotn� ko�en je zaveden jako prvek ${\bf e}_{11}$ v prv� ��dce. Konvence je, �e orientovan� hrany v�dy vych�zej� z ko�ene. V�sledn� k�d\footnote{K�dov� matice ${\bf C}$ je sou�asn� matic� koordin�t.} m� matici $ {\bf C}$ v doln� troj�heln�kov� form� a na diagon�le je jednotkov� matice ${\bf I} $. U strom� prvn� sloupec je jednotkov� matice ${\bf J}$, av�ak k�d dovoluje tak� lesy. Inverze k�dov�ch matic ${\bf C}^{-1}$ jsou v doln� troj�heln�kov� form� a na diagon�le jsou jednotkov� matice ${\bf I}$. Mimodiagon�ln� prvky jsou $-1$, kdy� vrchol j je potomkem vrcholu i, 0 jinak. Pon�vad� ka�d� potomek m� pouze jednoho rodi�e, v ka�d� ��dce jsou dva nenulov� prvky, vyjma prv�ho. Tato ��st matice je inciden�n� matic� ${\bf S}$ dan�ho stromu. Tedy \begin{equation} ({\bf S} + {\bf e}_{11}) = {\bf C}^{-1}\;. \end{equation} Prvek ${\bf e}_{11}$ je vektorem jdouc�m od po��tku soustavy koordin�t k vrcholu 1, nebo s pou�it�m grafov� konvence, orientovan� hrana jdouc� od vrcholu 0 k vrcholu 1. V tomto p��pad� nulov� sloupec obsahuj�c� jeden $-1$ prvek je vypu�t�n. Pro na�e ��ely je nutn� dovolit, aby jak�kolive vrcholu se stal ko�enem bez z�m�ny index�. Z tohoto d�vodu definujeme matici cest jako vrcholy na cest� mezi vrcholem

i ke ko�enu j. To je pouze permutace doln� troj�heln�kov� formy. Nap��klad $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} ${\bf C}$ \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf C}^{-1} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\;. \end{array} \end{array}$$ Permutace sloupc� je (3,1,4,2). ��dka s jednotkov�m prvkem je vlo�ena do inciden�n� matice jako druh� a v�echny orientovan� hrany jdou od vrcholu 2. U� jsme pou�ili k�dovou matici line�rn�ho �et�zce $L_n$ a jej� inverzi jako oper�tory ${\bf T}^{\rm T}$ a ${\bf C}^{-1}$ v podkapitole \ref{Matice rozd�len�}. P�ipome�te si, �e $$\begin{array}{cccc|cccc} & & & & \ 1& 0 & 0& 0 \\ & & & & \ 1 & 1 & 0 & 0 \\ & & & & \ 1 & 1& 1 & 0 \\ & & & & \ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & & & & \ & & & \\ 1& 0& 0& 0 & \ 1 & 0& 0 & 0 \\ -1& 1& 0& 0 & \ 0 & 1& 0 & 0 \\ 0& -1& 1 & 0 & \ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& -1& 1 & \ 0 & 0 & 0 & 1. \\ \end{array}$$ Kdy� si to prohl�dneme, vid�me, �e${\bf C}^{-1}$ je inciden�n� matice line�rn�ho �et�zce $L_4$, jeho� singularita byla odstran�na p�i�ten�m ��dky s jedn�m jednotkov�m prvkem $1_{11}$. Pro takov� zako�en�n� inciden�n� matice budeme pou��vat symbol hv�zdi�ky ${\bf S}*$. Podobn� lze upravit inciden�n� matice v�ech strom�. K�dov� matice ${\bf C}$ jsou jen jejich inverze $({\bf S}*)^{-1}$. Zd� se, �e odli�nost mezi Petrieov�mi maticemi ${\bf P}e$ a k�dov�mi maticemi $ {\bf C}$ je zp�sobena jednotkov�m sloupcem ${\bf J}$, kter� transformuje $(n-1)$

�tvercovou matici na $n$ rozm�rnou �tvercovou matici. Av�ak ob� mno�iny jsou rozd�ln�. Inciden�n� matice strom� ${\bf G}*$ zako�en�n� jednotkov�m sloupcem ${\bf J}$ jsou nesingul�rn� a maj� inverze ${\bf G}^{-1}$, kter� jsou op�t k�dov�mi maticemi $ {\bf C}$ neorientovan�ch strom�. Tyto k�dov� matice ${\bf C}$ mus� obsahovat z�porn� prvky. Nap��klad pro hv�zdu dostaneme s pou�it�m principu inkluse a exkluse $$\begin{array}{cccc|cccc} & & & & \ 1 & 0 & 0 & 0 \\ & & & & \ -1 & 1 & 0 & 0 \\ & & & & \ -1 & 0& 1 & 0 \\ & & & & \ -1 & 0& 0 & 1 \\ \hline & & & & & & & \\ 1& 0& 0& 0 & \ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1& 1 & 0 & 0 & \ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & \ 0& 0 & 1& 0 \\ 1& 0 & 0 & 1 &\ 0 & 0 & 0 & 1\;. \\ \end{array}$$ Inciden�n� matice neorientovan�ch hv�zd ${\bf S}*$ a orientovan�ch hv�zd ${\bf G}*$ jsou vz�jemn�mi inverzemi. \chapter{Enumerace graf�} \label{Enumerace graf�} \section{�vod} \label{�vod 14} Zab�vali jsme se podrobn� enumeracemi naivn�ch matic ${\bf N}$. Spo��tat jejich sou�ty a rozd�ly, zn�m� jako neorientovan� a Orientovan� grafy, je slo�it�j�� probl�m. Tedy pouze n�kter� probl�my enumerace graf� budou diskutov�ny. \section{Enumerace strom�} \label{Enumerace strom�} Acyklick� spojen� grafy, zn�m� jako stromy, tvo�� z�kladnu prostoru graf�. Vysv�tl�me pozd�ji pro�, nyn� pouze uk�eme, jak slo�it� je enumerace graf� ve srovn�n� s naivn�mi maticemi. Ka�d� strom, jeho� vrcholy jsou ozna�en�, s �adou symbol� s pou�it�m Pr\"{u}ferova algoritmu: Vybereme koncov� vrchol s nejni���m indexem, ozna��me jeho souseda a od�e�eme jej od stromu (jeho v�tev se odsekne a vyhod�). Toto o�ez�v�n� se opakuje, a� z p�vodn�ho stromu z�stane pouze $K_2 = L_2$. Takov�m zp�sobem dostaneme �adu $(n-2)$ symbol�. Pokud v�ech n vrchol� p�vodn�ho stromu m�lo zvl�tn� ozna�en�, potom z�ejm� existuje $n^{n-2}$ �ad odpov�daj�c�ch v�em mo�n�m ozna�en�m strom�. Nap��klad: $L_5$ 1-5-4-3-2 d�v� 5,3,4, $L_5$ 2-1-4-3-5 d�v� 1,4,3. Sekvence 4,4,4 se z�sk� o�ez�v�n�m hv�zdy $S_5$ zako�en�n� v 4. Tyto �ady se mohou spo��tat modifikovanou rovnic� 10.2. Strom m� $(n-1)$ hran a sou�et stup�� vrchol� $v_j$ je $\sum v_j = 2(n-1)$. Nejmen�� mo�n� stupe� koncov�ch vrchol� je 1. $n$ vrcholov�ch stup�� je v�zan�ch, tedy ve stromech pouze $(n-2)$ jednotek lze rozd�lit. Proto dostaneme \begin{equation}

{\rm Po�et\ strom�}\ = n^{n-2} = \sum (n!/\prod_k n_k!) ([n-2]!/\prod_k(v_k -1)^{n_k}\;. \end{equation} Sou�et se provede p�es v�echna rozd�len� $(n-2)$ do n ��st� a $v_k$ nahrazuje $m_k$. Rovnice 14.1 po��t� stromy �sp�n�, av�ak objevuje se jedna nev�hoda: R�zn� typy strom� se po��taj� dohromady, kdy� maj� stejnou strukturu rozd�len�. Orbity rozd�len� se �t�p� v grafech do podorbit. Nejmen�� p�r strom� takov�m zp�sobem roz�t�pen� na dva rozd�ln� stromy na orbit� 322111 je na obr�zku 14.1. \begin{figure} \caption{Nejmen�� p�r graf� na stejn� orbit� rozd�len� (A a B) a graf s centr�ln� hranou (C)} \label{Nejmen�� p�r} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(120.00,100.00) %\emline(20.00,10.00)(40.67,10.00) \put(20.00,10.00){\line(1,0){20.67}} %\end %\emline(40.67,10.00)(80.00,10.00) \put(40.67,10.00){\line(1,0){39.33}} %\end \put(20.00,10.00){\circle{4.00}} \put(39.67,10.00){\circle{4.00}} \put(60.00,10.00){\circle{4.00}} \put(80.00,10.00){\circle{4.00}} \put(110.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{C}} %\emline(20.00,30.33)(100.00,30.33) \put(20.00,30.33){\line(1,0){80.00}} %\end %\emline(60.00,30.33)(60.00,50.00) \put(60.00,30.33){\line(0,1){19.67}} %\end %\emline(20.33,65.00)(99.67,65.00) \put(20.33,65.00){\line(1,0){79.33}} %\end %\emline(40.00,65.00)(40.00,85.00) \put(40.00,65.00){\line(0,1){20.00}} %\end \put(20.00,65.00){\circle{4.00}} \put(40.00,65.00){\circle{4.00}} \put(40.00,84.67){\circle{4.00}} \put(60.00,65.00){\circle{4.00}} \put(80.00,65.00){\circle{4.00}} \put(99.33,65.00){\circle{4.00}} \put(60.00,50.00){\circle{4.00}} \put(20.00,30.33){\circle{4.00}} \put(40.00,30.33){\circle{4.00}} \put(60.00,30.33){\circle{4.00}} \put(80.00,30.33){\circle{4.00}} \put(99.67,30.33){\circle{4.00}} \put(110.00,65.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(109.33,30.33){\makebox(0,0)[cc]{B}} \end{picture} \end{figure}

Orbity rozd�len� se �t�p� do grafov�ch orbit s rozd�lnou strukturou. Podobn� vrcholy graf� jsou zn�m� jako {\em orbity grafu}. Toto pou�it� jednoho pojmu na rozd�ln�ch �rovn�ch je pon�kud zav�d�j�c�\footnote{ Slunce m� sv� planety a planety op�t maj� sv� trabanty v�echny se sv�mi vlastn�mi orbitami.}. Strom A na obr. 14.1 m� 5 rozd�ln�ch orbit a B pouze 4. Po�et rozd�ln�ch hran spojuj�c�ch vrcholy na rozd�ln�ch orbit�ch je men��, ne� po�et vrcholov�ch orbit, vyjma symetrick�ch hran spojuj�c�ch vrcholy na stejn�ch orbit�ch, jako je centr�ln� hrana v C na obr. 14.1. Mus�me vysv�tlit, pro� orbity rozd�len� jsou d�le�it�, a nal�zt techniky jak spo��tat po�et neozna�en�ch strom�. D��ve v�ak zm�n�me jin� dva probl�my spojen� s ozna�ov�n�m strom�. Stromy, podobn� jako jin� grafy, lze vzty�it ze strom� ni���ch rozm�r�. Pokud pou�ijeme techniku Youngov�ch tabulek, co� je vepisov�n� index� do Ferrersov�ch graf�, dostaneme Youngem ozna�en� stromy. Kdy� se vych�z� z $K_2$, existuje v�dy $ (n-1)$ p��le�itost� jak p�ipojit n-t� vrchol k $(n-1)$ vrchol�m strom� ni��� hladiny a po�et Youngem ozna�en�ch strom� mus� b�t $(n-1)!$. Tyto stromy lze srovn�vat s konvolucemi. V�echny stromy jsou vytvo�eny polynomi�lem \begin{equation} x(x + m)^{m-1} \end{equation} \label{polynomi�lu} kde $m$ je po�et hran ve stromu s $(m + 1)$ vrcholy. Mocniny $x$ lze interpretovat jako po�et hran spojen�ch s p�idan�m vrcholem tvo��c�m ko�en a �leny polynomi�lu p�i $x^k$ lze interpretovat jako po�et strom� zako�en�n�ch v n-t�m vrcholu maj�c�m odpov�daj�c� stupe� vrcholu k. Nap��klad pro $m=4$ dostaneme: $$64x^1 + 48x^2 + 12x^3 + 1x^4 = 125\;.$$ 16 strom� se 4 vrcholy jsou p�ipojen� k p�t�mu vrcholu na 4 rozd�ln�ch m�stech. To d�v� prv� koeficient. Druh� koeficient se z�sk� zako�en�n�m $(L_3 + K_1)=3\times12$ a $2K_2=3\times4$. Posledn� �len odpov�d� hv�zd� zako�en�n� v p�t�m vrcholu. Tak jsme dostali novou kombinatorickou identitu, kterou lze zobrazit v tabulkov� form� v tabulce 14.1 dohromady s jej� inverzn� matic� \begin{table} \caption{Stromy vytvo�en� polynomi�lem ({\ref polynomi�lu}) a inverzn� matice} \label{Stromy vytvo�en� polynomi�lem} \begin{tabular}{|l|rrrrr|c|rrrrrr|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & $\sum$ & \ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline m=1 & 1& & & & & 1 & \ & 1 & & & & \\ 2 & 2 & 1 & & & & 3 & & -2 & 1 & & & \\ 3 & 9 & 6 & 1 & & & 16 & & 3 & -6 & 1 & & \\ 4 & 64 & 48 & 12 & 1 & & 125 & & -4 &

24 & -12 & 1 & \\ 5 & 625 & 500 & 150 & 20 & 1 & 1296& & 5 & -80 & 90 & -20 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Prvky inverzn� matice se mohou rozlo�it do binomi�ln�ch koeficient� ${ m \choose j}$ a prvk� $-j^{(i-j)}$. P��t� ��dka inverzn� matice je $-6\times1 +15\times16 -20\times27 + 15\times16 -6\times5 +1\times1$. Pro indexov�n� neozna�en�ch strom� je nutn� nal�zt po�et orbit zako�en�n�ch strom� a po�et zako�en�n�ch strom� se symetrick�mi hranami. \section{Grupa symetrie neorientovan�ch graf�} \label{Grupa symetrie neorientovan�ch graf�} Inciden�n� matice ${\bf G}$ �pln�ho neorientovan�ho grafu $K_n$ m� $n$ sloupc� a $n(n-1)/2$ hran. V ka�d�m sloupci existuje $(n-1)$ jednotkov�ch prvk� a v ka�d� ��dce existuj� dva jednotkov� prvky. R�zn� kombinace p�r� jednotkov�ch vektor� odpov�daj� rozd�ln�m hran�m grafu a lze indexovan� postupn� indexem i, jdouc�m od 1 a� k $n(n-1)/2$. Inciden�n� matici ${\bf G}$ lze permutovat zleva permuta�n�mi maticemi ${\bf P}_{n(n-1)/2}$ tvo��c�mi grupu cyklick�ch permutac� $S_{n(n-1)/2}$ a zprava permuta�n�mi maticemi ${\bf P}_n$. Tyto permutace n sloupc� tvo�� grupu $S_n$ cyklick�ch permutac�, kter� m�n� permutace v�t�� levostrann� grupy $S_{n(n-1)/2}$. Tato grupa grafov�ch hran nem�e b�t �pln�, proto�e je indukovan� men�� cyklickou grupou $S_n$. Pou�ijeme pro grafovou grupu indukovanou permutacemi sloupc� inciden�n� matice ${\bf G}_n$ jednoduchou notaci $G_n$. V matematick� literatu�e se pou��vaj� rozd�ln� jm�na, jako "v�ncov� sou�in" nebo "krokov� grupa". V tabulce 14.2 jsou uk�zan� ��inky cyklick�ch permutac� na inciden�n� matici �pln�ho grafu $K_n$. \begin{table} \caption{Vztahy mezi $S_n$ a $G_n$ grupami} \label{Vztahy mezi $S_n$ a $G_n$ grupami} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline $S_n$ grupa & & $s_1^4$ & $s_1^2s_2^1$ & $s^1_1s_3^1$ & $s^2_2$ & $s_4^1$ \\ \hline ${\bf P}$ & &1 0 0 0 & 0 1 0 0 & 0 1 0 0 & 0 1 0 0 & 0 1 0 0 \\ & &0 1 0 0 & 1 0 0 0 & 0 0 1 0 & 1 0 0 0 & 0 0 1 0 \\ & &0 0 1 0 & 0 0 1 0 & 1 0 0 0 & 0 0 0 1 & 0 0 0 1 \\ & &0 0 0 1 & 0 0 0 1 & 0 0 0 1 & 0 0 1 0 & 1 0 0 0 \\ \hline Po��te�n� ��dka& ${\bf G}_{K_4}$ & \multicolumn{5}{c|}{Permutovan� hrany (index p�vodn� ��dky)} \\ \hline 1 &1 1 0 0& 1 & 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 &1 0 1 0& 2 & 3 & 3 & 5 & 4 \\ 3 &0 1 1 0& 3 & 2 & 1 & 4 & 3 \\ 4 &1 0 0 1& 4 & 4 & 6 & 3 & 6 \\ 5 &0 1 0 1& 5 & 6 & 4 & 2 & 5 \\ 6 &0 0 1 1& 6 & 5 & 5 & 6 & 1 \\ \hline

$G_4$ grupy & & $s^6_1$ & $s_1^2s^2_2$ & $s^2_3$ & $s_1^2s^2_2$ & $s_2^1s_4^1\;.$ \\ \hline \end{tabular} \end{table} Indexov�n� hran grafu se prov�d� rekurzivn�. Ke grafu s $n$ hranami se p�id�v� nov� vrchol a k inciden�n� matici ${\bf G}_n$ nov� blok maj�c� blokov� tvar dvou jednotkov�ch matic $({\bf I}_n|{\bf J}_n)$. Podgrupa $s_1^1S_n$ grupy $S_{n-1}$, kter� nech�v� posledn� sloupec na sv�m m�st�, permutuje pouze prvky matice ${\bf G}$, av�ak jej� ��inek transformuje jednotkov� cyklus $s_1$ s jedn�m prvkem do n prvk� p�sob�c� permuta�n� matice a transformuje jej� cyklickou strukturu, co� p�id�v� nov� cykly k existuj�c� struktu�e grafov� grupy. Ov�em grupa $S_{n+1}$ obsahuje tak� jin�ho podgrupy ne� $s_1^1S_n$. Jednou z nich je podgrupa jednoduch�ch cykl� $s_{n+1}$. Ka�d� cyklus s lichou d�lkou k transformuje $(n+1)$-t� jednotkov� cyklus do nov�ho cyklu stejn� d�lky. V na�em p��klad� $(s_1^1 + s_1^3)$ se transformuje do \begin{equation} (s_1^3 + s_1^3) = s^6_1\ {\rm a}\ (s_1^1 + s_3^1)\ {\rm do}\ (s_3^1 + s_3^1)= s_3^2\;. \end{equation} Cykly sud� d�lky transformuj� p�idan� jednotkov� cyklus do dvou cykl�, jednoho maj�c�ho stejnou d�lku jako p�vodn� cyklus a druh�ho s polovi�n� d�lkou. Pro tento p��pad m�me v na�em p��klad� cykly d�lky 2: $$[s_1^1 + (s_1^1s^1_2)] = (s_1^1 + s_1^1s^1_2) = s_1^2s^2_2\;.$$ Ve skute�nosti ka�d� prvek cyklu d�lky $n$ p�sob� na $(n-1)/2$ indukovan�ch prvk� grupy $G_n$. Pokud $n$ je lich�, $(n -1)/2$ je cel� ��slo, pokud $n$ je sud�, zb�v� $n/2$ hran, kter� se permutuj� a tvo�� nov� cyklus. V na�em p��klad� $s_4$ generovalo nov� cyklus $s_2$, proto�e �pln� graf $K_4$ m� 6 hran. V $K_6$ s 15 hranami $s_6$ vytv��� cyklickou strukturu $s_4^1s_6^2$. Kdy� existuj� dva cykly rozd�ln�ch d�lek, kter� nemaj� spole�n� d�litel, vytv��� tolik cykl�, jakou m� jejich spole�n� d�litel d�lku, d�lky rovnaj�c� se jejich nejmen��mu n�sobku. Nap��klad p�i $n=5: 2\times3=6$ a zb�vaj� 4 prvky, aby se permutovaly s men��mi cykly. To je mo�n� jako $s_1^1s^1_3$. Cyklus $s_1$ je indukov�n cyklem $s_2$, kter� permutuje dva vektory pouze s jednou hranou a zanech�v� identitu. Cyklus $s_3$ permutuje jen sloupce t�� hran a jen se reprodukuje. N�kter� p��klady podgup $S(n)$ a odpov�daj�c� indukovan� grafov� cykly $$\begin{array}{cccccc} S_6 & s_6^1\;; & S_7 & s_1^1s^1_6\;; & S_8 & s^1_2s^1_6\;; \\ & & & & & \\ G_6 & s_3s^2_6\;; & G_7 & s_3s^3_6\;; & G & s_1^1s_3^1s^4_6\;. \\ \end{array}$$ Je mo�n� vytvo�it jakoukoliv grafovou grupu bu� po��t�n�m v�sledk� n�soben� inciden�n�ch matic rozd�ln�mi permuta�n�mi maticemi, nebo dedukc� ��ink� rozd�ln�ch cyklick�ch struktur. Oba zp�soby jsou zdlouhav� pr�ce vy�aduj�c� trp�livost anebo po��ta�. Pokud si uv�dom�me, �e se jedn� jen o sou�ty pouze dvou naivn�ch matic, kde se v�echny operace zd�ly snadn�, mus�me se divit, jak slo�it� mus� b�t grupy matic maj�c�ch v ka�d� ��dce t�i nebo v�ce jednotkov�ch symbol�, nebo grupy matic rozd�ln�ch druh�.

Grafov� grupy $G_n$ se mohou pou��t pro ur�en� po�tu v�ech jednoduch�ch graf� s $n$ vrcholy, podobn� jako se pou�ily cyklick� indexy. Hrana m�e b�t p��tomn� v grafu nebo ne. V jednoduch�m grafu nejsou dovolen� n�sobn� hrany a m�eme si p�edstavit, �e grafy jsou um�st�ny na vrcholy $n(n-1)/2$ rozm�rn� jednotkov� krychle, jej� strany jsou tvo�eny diagon�lami jako na obr�zku 12.1, kde jsou uk�zan� dv� diagon�ln� �ady v 3 rozm�rn� krychli. Abychom p�edstavili ob� mo�nosti, vlo��me do cyklick�ch index� polynomi�lu $(1 + x^k)$ cykly $s_k$ a vypo�teme pro v�echny podgrupy. $G_4$ grafov� index je \begin{equation} G_4 = 1/24\ (s^6_1 + 9s^2_1s^2_2 + 8s^2_3 + 6s^1_2s_4^1)\;. \end{equation} To d�v� \begin{equation} Z(G_4,\ 1+x) = 1 + x^1 + 2x^2 + 3x^3 + 2x^4 + x^5 + x^6 \end{equation} \label{Z(G} kde koeficienty p�i $x^k$ ur�uj� po�et rozd�ln�ch graf� se 4 vrcholy a k hranami. Jsou uk�zan� na obr. \ref{Grafy se 4 vrcholy a k hranami}. \begin{figure} \caption{Grafy se 4 vrcholy a k hranami} \label{Grafy se 4 vrcholy a k hranami} \unitlength 0.35mm \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(177.37,77.60) \put(10.00,75.33){\circle{4.00}} \put(10.00,60.33){\circle{4.00}} \put(25.00,75.33){\circle{4.00}} \put(25.00,60.33){\circle{4.00}} \put(35.00,75.00){\circle{4.00}} \put(50.00,75.33){\circle{4.00}} \put(35.00,60.33){\circle{4.00}} \put(50.00,60.33){\circle{4.00}} %\emline(35.00,75.00)(50.00,75.00) \put(35.00,75.00){\line(1,0){15.00}} %\end \put(60.33,75.00){\circle{4.00}} \put(75.00,75.00){\circle{4.00}} \put(60.00,60.33){\circle{4.00}} \put(75.00,60.33){\circle{4.00}} %\emline(60.00,60.00)(60.00,75.00) \put(60.00,60.00){\line(0,1){15.00}} %\end %\emline(60.00,75.00)(75.00,75.00) \put(60.00,75.00){\line(1,0){15.00}} %\end \put(60.00,50.33){\circle{4.00}} \put(75.00,50.33){\circle{4.00}} \put(60.00,35.33){\circle{4.00}} \put(75.00,35.33){\circle{4.00}} %\emline(60.00,50.33)(75.00,50.33) \put(60.00,50.33){\line(1,0){15.00}} %\end

%\emline(60.00,35.33)(74.67,35.33) \put(60.00,35.33){\line(1,0){14.67}} %\end \put(85.00,75.00){\circle{4.00}} \put(100.00,75.00){\circle{4.00}} \put(85.00,60.00){\circle{4.00}} \put(100.00,60.33){\circle{4.00}} %\emline(85.00,60.33)(85.00,75.00) \put(85.00,60.33){\line(0,1){14.67}} %\end %\emline(85.00,75.00)(100.00,75.00) \put(85.00,75.00){\line(1,0){15.00}} %\end %\emline(100.00,75.00)(100.00,60.33) \put(100.00,75.00){\line(0,-1){14.67}} %\end \put(85.00,50.33){\circle{4.00}} \put(100.00,50.33){\circle{4.00}} \put(85.00,35.33){\circle{4.00}} \put(100.00,35.33){\circle{4.00}} %\emline(84.67,35.33)(84.67,50.33) \put(84.67,35.33){\line(0,1){15.00}} %\end %\emline(84.67,50.33)(100.00,50.33) \put(84.67,50.33){\line(1,0){15.33}} %\end %\emline(84.67,50.33)(100.00,35.33) \multiput(84.67,50.33)(0.12,-0.12){126}{\line(1,0){0.12}} %\end \put(84.67,25.33){\circle{4.00}} \put(100.00,25.33){\circle{4.00}} \put(84.67,10.33){\circle{4.00}} \put(100.00,10.33){\circle{4.00}} %\emline(84.67,25.33)(100.00,25.33) \put(84.67,25.33){\line(1,0){15.33}} %\end %\emline(100.00,25.33)(84.67,10.33) \multiput(100.00,25.33)(-0.12,-0.12){126}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(84.67,10.33)(84.67,25.33) \put(84.67,10.33){\line(0,1){15.00}} %\end \put(111.00,60.33){\framebox(14.67,14.67)[cc]{}} \put(111.00,75.00){\circle{4.00}} \put(125.67,75.00){\circle{4.00}} \put(111.00,60.33){\circle{4.00}} \put(125.67,60.33){\circle{4.00}} \put(111.00,50.33){\circle{4.00}} \put(125.67,50.33){\circle{4.00}} \put(111.00,36.00){\circle{4.00}} \put(125.67,35.33){\circle{4.00}} %\emline(111.00,50.33)(125.67,50.33) \put(111.00,50.33){\line(1,0){14.67}} %\end %\emline(125.67,50.33)(111.00,36.00) \multiput(125.67,50.33)(-0.12,-0.12){120}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(111.00,36.00)(111.00,50.33)

\put(111.00,36.00){\line(0,1){14.33}} %\end %\emline(111.00,50.33)(125.67,35.33) \multiput(111.00,50.33)(0.12,-0.12){123}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(135.61,74.96)(150.75,60.30) \multiput(135.61,74.96)(0.12,-0.12){123}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(135.61,60.30)(150.75,74.96) \multiput(135.61,60.30)(0.12,0.12){123}{\line(1,0){0.12}} %\end \put(135.61,74.96){\circle{4.00}} \put(150.75,74.96){\circle{4.00}} \put(135.61,60.30){\circle{4.00}} \put(150.75,60.30){\circle{4.00}} %\emline(135.67,75.00)(135.67,60.33) \put(135.67,75.00){\line(0,-1){14.67}} %\end %\emline(135.67,60.33)(150.67,60.33) \put(135.67,60.33){\line(1,0){15.00}} %\end %\emline(150.67,60.33)(150.67,75.00) \put(150.67,60.33){\line(0,1){14.67}} %\end \put(160.67,60.33){\framebox(15.00,15.00)[cc]{}} %\emline(160.67,75.33)(175.67,60.33) \multiput(160.67,75.33)(0.12,-0.12){126}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(160.67,60.33)(175.67,75.33) \multiput(160.67,60.33)(0.12,0.12){126}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(161.00,75.33){\circle{4.00}} \put(175.67,75.33){\circle{4.00}} \put(160.67,60.33){\circle{4.00}} \put(175.67,60.33){\circle{4.00}} \end{picture} \end{figure} \section{Symetrie neorientovan�ch graf�} \label{Symetrie neorientovan�ch graf�} Vysv�tlili jsme grafov� grupy permutacemi sloupc� inciden�n� matice ${\bf G}$ �pln�ho grafu. Nyn� pou�ijeme tuto techniku a vysv�tl�me symetrii jin�ch neorientovan�ch graf�, kter� jsou podstatn� podmno�inou k prvk� �pln�ho grafu. Jsou pouze dv� mo�nosti, co permutace sloupc� inciden�n� matice mohou prov�st s hranami. ��dku lze permutovat samu se sebou nebo se m�e zm�nit v ��dku odpov�daj�c� jin� hran�. Grupa jedin� hrany m� dva prvky: (1)(2) a (12). Pokud je hrana definov�na na mno�in� 4 vrchol�, potom existuj� 4 permutace, kter� ji nech�vaj� nezm�n�nou: (1)(2)(3)(4), (1)(2)(34), (12)(3)(4), a (12)(34). M�eme vybrat 6 rozd�ln�ch hran, av�ak n�kter� budou m�t stejn� grupy, jako hrana 3-4 s hranou 1-2. S k ��dky m�me v�dy t�i mo�nosti: Permutace p�sob�c� na vrcholy m�n� pouze po�ad� hran, to znamen� jejich indexov�n�. Nebo m�n� je �pln� (nebo alespo� ��ste�n�) do ��dk� odpov�daj�c�ch jin�m hran�m. V�sledkem je, �e jeden ozna�en� graf je zm�nil v jin� ozna�en� graf, kter� mus� m�t stejn� po�et hran a mus� n�le�et ke stejn�mu typu grafu.

Po�et $b$ permutac�, kter� pouze permutuj� hrany inciden�n� matice ${\bf G}$ grafu ur�uje symetrii grafu. Kdy� pod�l�me po�et v�ech permutac� $n!$ {\em ��slem symetrie} $b$, dostaneme po�et rozd�ln� ozna�en�ch graf� dan�ho typu. $b$ jednoduch�ch hran na 4 vrcholech je 4 a existuje opravdu $24/4 = 6$ rozd�ln�ch hran na mno�in� 4 vrchol�. ��slo symetrie tohoto grafu $K_4$ je 24, tedy existuje pouze jedno rozli�iteln� ozna�en� tohoto grafu. Vztah po�tu $b$ rozli�iteln�ch ozna�en� je zn�m� jako {\em Burnsidova lemma}. Nyn� prozkoum�me v�po�ty podle (\ref{Z(G}). Vzorec \begin{equation} (1+x)^6 +9(1+x)^2(1+x^2)^2 +8(1+x^3)^2 + 6(1+x^2)(1+x^4) \end{equation} se rozd�l� podle sv�ch �len� do kone�n�ho v�sledku jako: $$\begin{tabular}{|r|rrrrrrr|} \hline Mocniny x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline $s^6_1$ & 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1 \\ $9s^2_1s^2_2$ & 9 & 18 & 27 & 36 & 27 & 18 & 9 \\ $8s^2_3$ & 8 & & & 16 & & & 8 \\ $6s^1_2s^1_4$ & 6 & & 6 & & 6 & & 6 \\ \hline $\Sigma$ & 24 & 24 & 48 & 72 & 48 & 24 & 24 \\ \hline Po�et graf� & 1 & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 1 \\ \hline \end{tabular}$$ V�echny permuta�n� matice grupy $S_4$ transformuj� pr�zdn� nebo �pln� graf na sebe. Tedy jejich b = 24. Kdy� pod�l�me sloupcov� sou�ty 24, dostaneme po�et rozd�ln�ch graf� s $k$ vrcholy. Po�et rozli�iteln�ch ozna�en�ch graf� je dan� v prv� ��dce, kde se po��taj� identitn� permutace. Pro jedinou hranu to d�v� �est rozd�ln�ch graf�. ��slo $b$ je vytvo�en� t�emi permutacemi hran typu $s^2_1s^2_2$ a jedou permutac� $s^6_1$. U graf� s dv�ma hranami, 15, 27 a 6 permutac� n�le�� dv�ma rozd�ln�m graf�m, bu� $L_3$ a jeden izolovan� vrchol nebo dv� $L_2$. Kdy� se pokou��me d�lit permutace do orbit grafu, m�eme pou��t fakt, �e oba $b$ a po�et rozd�ln�ch ozna�en� grafu mus� b�t d�liteli $n!$. 15 se m�e potom �t�pit pouze jako $12+3$. Potom 27 se m�e rozd�lit jako $12+12+3$. M�eme pou��t tak� jin� kriterium a rozhodnout, kter� z obou mo�nost� je spr�vn�. Vyu�ijeme mo�n� rozd�len� vrcholov�ch stup��. Grafy s dv�ma hranami maj� sou�et vrcholov�ch stup�� 4 a pro 4 vrcholy dv� rozd�len�: 2110 a 1111. Existuje 12 rozli�iteln�ch permutac� prv�ho rozd�len� a pouze 1 permutace druh�ho. Toto rozd�len� je st�l� u v�ech permutac�, v�etn� cyklu d�lky 4, tedy struktura grupy je $s^1_4$. Ob� krit�ria nech�vaj� jako jedin� mo�n� �t�pen� 12+12+3. Existuje 12 line�rn�ch �et�zc� $L_4$ s $b=2$ a strukturou grupy $(s^4_1 + s^2_2)$ a 3 grafy $2K_2$ s $b=8$. Jejich struktura grupy je $s^4_1 + 2s^2s^1_2 + 3s^2_2 + 2s_4^1$. Grafy s p�ti a �esti hranami jsou komplement�rn� grafy s ��dnou a jedou hranou. \section{Orientovan� grafy} \label{Orientovan� grafy} V jednoduch�m orientovan�m grafu mohou existovat dv� orientovan� hrany mezi ka�d�m

p�rem vrchol�. Symetrie orientovan�ch graf� tento fakt komplikuje. To lze dokumentovat na vztahu mezi po�tem samo se dopl�uj�c�ch neorientovan�ch graf� s 4k vrcholy a po�tem samo se dopl�uj�c�ch turnaj� s 2k vrcholy. A {\em turnaj} je spojen� orientovan� graf, kter� m�e m�t pouze jednu z obou orientac� orientovan�ch hran. �pln� turnaj s 2k vrcholy m� $(4k^2 - 2k)$ orientovan�ch hran, �pln� orientovan� graf s 4k vrcholy m� $(8k^2 -2k)$ orientovan�ch hran. Je nutn� k dopln�n� grafu odpov�daj�c�ho samo se dopl�uj�c�mu turnaji s 2k vrcholy vytvo�it z ka�d� orientovan� hrany dv� orientovan� hrany. To lze prov�st n�sledovn�: Vytvo��me 2k nov�ch vrchol� indexovan�ch ��rkovan�mi indexy turnaj a spoj�me v�echny lich� ��rkovan� a ne��rkovan� vrcholy maj�c� stejn� index k orientovan�mi hranami. Pokud v turnaji existuje orientovan� hrana i-j, vytvo��me orientovan� hrany i-j a i-j' v dopl�kov�m grafu, pokud existuje orientovan� hrana j-i, zavedeme orientovan� hrany i'-j a i'-j'. Orientovan� hrany chyb�j�c� v indukovan�m grafu jsou p��tomn� v samo se dopl�uj�c�m grafu odpov�daj� orientovan�m hran�m v Dopl�kov�m turnaji nebo spojuj� sud� ��rkovan� a ne��rkovan� vrcholy. Rozd�l je tvo�en $4k^2$ orientovan�mi hranami a $2k$ vrcholy. Rozd�l mezi orientovan�mi a neorientovan�mi grafy lze vysv�tlit tak� jin�m zp�sobem. M�eme pou��t dv� zvl�tn� hrany pro ob� orientace orientovan�ch hran i-j a j-i. V jednoduch�m orientovan�m grafu m�e b�t n(n-1) orientovan�ch hran, to je dvojn�sobek po�tu hran. Inciden�n� matice ${\bf S}$ m� dvojn�sobek po�tu ��dk� inciden�n� matice ${\bf G}$ a permutace jej�ch sloupc� vytv��� jin� druh permutac� sloupc� z�m�nou znam�nka. Permutace (12)(3)(4) vytv��� grafov� permutace (12)(23) (45)(6)(89)(10,11)(12), co� nech�v� nezm�n�n� pouze dv� hrany. U� jsme se zm�nili, �e po�et ozna�en�ch neorientovan�ch graf� je $2^{n(n-1)/2}$. To lze napsat jako polynomi�l \begin{equation} G(t) = (1 + t)^{{ n \choose 2}}\ {\rm s}\ t=1\;. \end{equation} Tento fakt je vyvozen z mo�nosti, jak zaplnit matici sousedstv� ${\bf A}$ jednotkov�mi symboly. Existuje ${ n \choose 2}$ mo�nost�, kter� jsou nez�visl�. Matice sousedstv� je symetrick�. Zapl�uj� se sou�asn� doln� a horn� mimodiagon�ln� polohy. Polynomi�l $G(2)$ d�v� po�et ozna�en�ch orientovan�ch graf� s pouze jednou orientovanou hranou mezi p�rem vrchol�. Toto odpov�d� matici sousedstv�, kter� m� pouze jeden prvek v ka�d�m p�ru poloh i-j a j-i ukazuj�c� orientaci orientovan� hrany. Polynomi�l $G(3)$ d�v� po�et orientovan�ch graf� s ob�ma orientacemi orientovan�ch hran, nebo po�tu asymetrick�ch matic sousedstv�, kter� mohou m�t p�r jednotkov�ch symbol� v ka�d�m p�ru odpov�daj�c�ch m�st. \section{Spojit� neorientovan� grafy} \label{Spojit� neorientovan� grafy} Graf je spojit�, pokud m� pouze jednu slo�ku. Po�et neorientovan�ch spojit�ch graf� lze ur�it, pokud po��t�me v�echny grafy zako�en�n� v jedn� slo�ce $C_k$ s $k$ vrcholy. Jejich po�et je rovn� po�tu v�ech zako�en�n�ch ozna�en�ch graf� \begin{equation} n2^{n(n-1)/2} = \sum_{k=1}^n { n \choose k}C_kG_{n-k} \label{zako�en�n� ozna�en� grafy} \end{equation} kde $G_{n-k}$ je po�et v�ech zako�en�n�ch graf� s $(n-k)$ vrcholy, co� znamen�

$n2^{(n-k)(n-k-1)/2}$ s $G_0 = 1$. V�znam lev� strany identity je jasn�: Ka�d� graf m� $n$ mo�n�ch ko�en�. Prav� strana po��t� ka�d� graf podle po�tu jeho slo�ek. Pokud m� dv� slo�ky, potom se po��t� dvakr�t, jednou s $k$ ko�eny, potom s $(n-k)$ ko�eny. Pr�zdn� graf se po��t� $n$ kr�t v d�sledku binomi�ln�ho koeficientu na prav� stran�. Kdy� odd�l�me po�et spojit�ch graf� $C_n$, m�eme ur�it po�et v�ech zako�en�n�ch ozna�en�ch graf� rekurzivn�.. Zde se pou�ije obecn� vztah mezi dv�ma vytvo�uj�c�mi funkcemi, norm�ln� a exponenci�ln�. Po�ty spojit�ch ozna�en�ch graf� $G_n$ jsou koeficienty exponenci�ln� vytvo�uj�c� funkce ozna�en�ch graf� \begin{equation} G(x) =\sum_{n=1}^{\infty}C^n(x)/n! = \exp(\sum_{n=1}^{\infty}a^nx^n)\;. \end{equation} Pon�vad� existuje tak� norm�ln� vytvo�uj�c� funkce ozna�en�ch graf� \begin{equation} G(x) = \sum_{n=1}^{\infty}A^nx^n)\;, \end{equation} ob� funkce lze srovn�vat. Vlo�en�m $a_0 =1$, m�eme logaritmovat ob� strany s v�sledkem \begin{equation} a_n = A_n - 1/n\ \sum_{n=1}^{\infty}ka_kA_{n-k})\;. \end{equation} (\ref{zako�en�n� ozna�en� grafy}) (14.8) je jen speci�ln�m p��padem t�to identity.

Po�et spojit�ch graf� $C_n$ je rychle rostouc� funkce $$\begin{tabular}{|r|rrrrrr|} \hline na & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline $C_n$& 1 & 1 & 4 & 38 & 728 & 26704 \\ \hline \end{tabular}\;.$$ \chapter{Vlastn� hodnoty a vlastn� vektory} \label{Vlastn� hodnoty a vlastn� vektory} \section{Interpretace vlastn�ch hodnot} \label{Interpretace vlastn�ch hodnot} Kvadratick� forma naivn�ch matic ${\bf N}^{\rm T}{\bf N}$ je diagon�ln� matice. Tak� �tverce Hadamardov�ch matic jsou diagon�ln� matice. Av�ak druh� kvadratick� forma naivn�ch matic ${\bf NN}^{\rm T}$ a kvadratick� formy inciden�n�ch matic graf� ${\bf G}$ a ${\bf S}$ maj� mimodiagon�ln� prvky. Interpretovali jsme diagon�ln� a mimodiagon�ln� prvky jako dva ortogon�ln� maticov� vektory ud�vaj�c� jednotkov� projekce jak�hokoliv maticov�ho vektoru ${\bf M}$ do prostoru hran a sloupc� (viz obr. \label{Maticov� vektorov� soustava}). V t�to kapitole uk�eme podm�nky, kdy maticov� vektor lze reprezentovat ekvivalentn� diagon�ln� matic� {\em vlastn�ch hodnot} zaveden�ch v podkapitole \ref{Diagonalizace matic} a

vlastnosti, kter� takov� nahrazen� m�. Ve srovn�n� s naivn�mi maticemi je jasn� jedna vlastnost: diagon�ln� matice mus� m�t stejnou d�lku jako samotn� maticov� vektor ${\bf M}$. Z t�to vlastnosti vypl�v�, �e p�i diagonalizaci se maticov� vektor ${\bf M}$ ot���, aby se sn�ila d�le�itost mimodiagon�ln�ch prvk�. Alternativn� poloha vektoru je st�l� a m�n�me soustavu koordin�t, p�esn� jako kdybychom obch�zeli okolo matice a� bychom nalezli m�sto, odkud je mo�n� vid�t skrze matici. Takov� v�hled m� svou vlastn� mno�inu koordin�t. Obch�zen� matice se podob� funkci polarizuj�c�ch filtr� ot��ej�c�ch sv�tlo (mno�ina vlastn�ch hodnot je zn�m� jako {\em spektrum} matice). Polarizuj�c� funkci m� p�r matic zn�m�ch jako matice {\em vlastn�ch vektor�}. Matice ${\bf M}$ se vlo�� mezi p�r matic vlastn�ch vektor� ${\bf Z}^{\rm T}$ a ${\bf Z}$ a v�sledn� sou�in je ekvivalentn� diagon�ln� matici $\Delta({\bf M})$: \begin{equation} {\bf Z}^{\rm T} {\bf MZ}= \Delta({\bf M}) \end{equation} V podkapitole \ref{Diagonalizace matic} se pou�ily symboly ${\bf L}$ a ${\bf R}$ pro ob� diagonalizuj�c� matice. Rozd�l mezi t�mito maticemi vlastn�ch vektor� je zp�soben dal��m po�adavkem na vlastn� vektory. Vlastn� vektory jsou diagonalizuj�c� vektory, kter� jsou normalizov�ny jako v n�sleduj�c�ch p��kladech $$\begin{array}{rr|rrr} & & \ & 1/\sqrt{ 2} & 1/\sqrt{ 2} \\ & & & 1/\sqrt{ 2} &-1/\sqrt{ 2} \\ \hline 0 & 1 & & 1/\sqrt{ 2} & -1/\sqrt{ 2} \\ 1 & 0 & & 1/\sqrt{ 2} & 1/\sqrt{ 2} \\ \hline 1/\sqrt{ 2} & 1/\sqrt{ 2} & & 1 & 0 \\ 1/\sqrt{ 2} & -1/\sqrt{ 2} & & 0 & -1 \\ \end{array}$$ $$\begin{array}{rr|rrr} & & \ & 1/\sqrt{ 2} & 1/\sqrt{ 2} \\ & & & 1/\sqrt{ 2} &-1/\sqrt{ 2} \\ \hline 2 & 1 & \ & 3/\sqrt{ 2} & 1/\sqrt{ 2} \\ 1 & 2 & & 3/\sqrt{ 2} & -1/\sqrt{ 2} \\ \hline 1/\sqrt{ 2} & 1/\sqrt{ 2} & & 3 & 0 \\ 1/\sqrt{ 2} & -1/\sqrt{ 2} & & 0 & 1 \\ \end{array}$$ Situace se komplikuje, kdy� je v�ce vlastn�ch hodnot stejn�ch a hodnoty jsou n�sobky.

odpov�daj�c�

V�imn�te si dvou d�le�it�ch vlastnost� vlastn�ch vektor� matic: \begin{itemize} \item 1. Jejich sloupcov� vektory by m�ly b�t ortogon�ln� a normalizovan� \begin{equation} {\bf Z}^{\rm T}{\bf Z}= {\bf I} \end{equation} Nap��klad

$$\begin{array}{rr|rrr} & & \ & 2^{-1/2} & 2^{-1/2} \\ & & & 2^{-1/2} & -2^{-1/2} \\ \hline 2^{-1/2} & 2^{-1/2} & & 1 & 0 \\ 2^{-1/2} & 2^{-1/2} & & 0 & 1 \\ \end{array}$$ N�kdy se nesnadn� nal�zt ortogon�ln� vlastn� vektory, pokud je stejn�ch v�ce vlastn�ch hodnot (nebo jedna vlastn� hodnota je n�sobn�). \item 2. Kdy� vlastn� vektory n�sob� matici ${\bf M}$, v�echny jej� prvky se n�sob� faktorem odpov�daj�c�m vlastn� hodnot� $\lambda_j$. Jin�mi slovy, matice $ {\bf M}$ se chov� k matic�m sv�ch vlastn�ch vektor� ${\bf Z}^{\rm T}$ a ${\bf Z}$ jako diagon�ln� matice vlastn�ch hodnot \begin{equation} {\bf MZ}= \lambda_j {\bf Z} \end{equation} \end{itemize} \section{Vlastn� hodnoty a singul�rn� hodnoty} \label{Vlastn� hodnoty a singul�rn� hodnoty} V�echny shora uveden� rovnice byly naps�ny pro �tvercov� matice ${\bf M}$ p�edstavuj�c� kvadratick� formy. U obd�ln�kov�ch matic m�eme zaplnit jejich chyb�j�c� ��dky nebo sloupce nulov�mi prvky a pro jak�koliv vektor vzat� jako vlastn� vektor dostaneme nulovou vlastn� hodnotu. Nebudeme se zaj�mat o vlastn� hodnoty pravo�hl�ch matic, av�ak o vlastn� hodnoty jsoujich kvadratick�ch forem, kter� jsou zn�m� jako {\em singul�rn� hodnoty} pravo�hl�ch matic a asymetrick�ch �tvercov�ch matic. Inciden�n� matice ${\bf S}$ stromu je $(n-1)\times n$-rozm�rn�. ${\bf S}^{\rm T} {\bf S}$ je n-rozm�rn� matice, ${\bf SS}^{\rm T}$ je $(n-1)$-rozm�rn� matice. Ob� sou�iny maj� stejn� mno�iny singul�rn�ch hodnot. V tomto p��pad� ${\bf S}^{\rm T} {\bf S}$ mus� m�t jednu nulovou $\lambda_j$. To plat� pro v�echny spojit� grafy. �tverec jednotkov� matice ${\bf JJ}^{\rm T}$ m� pouze jednu nenulovou vlastn� hodnotu, kter� je identick� s vlastn� hodnotou ${\bf J}^{\rm T}{\bf J}$. To je sou�et n jednotek. Je�t� jednou opakujeme d�le�it� fakt, �e na diagon�le obou kvadratick�ch forem stejn� jako na diagon�le �tverc� symetrick�ch matic se objevuj� �tverce prvk� $m_{ij}$. Pokud je matice symetrick�, ob� kvadratick� formy jsou toto�n� se �tvercem matice ${\bf M}^{\rm T}{\bf M} = {\bf M}^2$, tedy singul�rn� hodnoty symetrick� matice jsou toto�n� se �tvercem jej�ch vlastn�ch hodnot. \section{Charakteristick� polynomi�ly} \label{Charakteristick� polynomi�ly} Nyn� p�istoup�me k probl�mu vlastn�ch hodnot z jin�ho hlediska. Matice a matice jej�ch vlastn�ch vektor� tvo�� soustavu line�rn� rovnic, jej� �e�en� se nalezne, kdy� se ode�te postupn� diagon�ln� matice vlastn�ch hodnot $\Delta(\lambda)$ od matice ${\bf M}$ a v�sledn� matice se n�sob� vlastn�m vektorem ${\bf z}$: \begin{equation} ({\bf M}- \lambda{\bf I}){\bf z}= {\bf 0} \end{equation}

Nap��klad matice $$\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$$ odpov�d� rovnic�m $$(2 -\lambda)x + y = 0$$ $$x + (2 -\lambda)y = 0\;.$$ Pokud vlo��me vlastn� vektor $x=1,\ y=1,$ dostaneme jako �e�en� $\lambda=3,$ pro $x=1,\ y=-1,$ je vlastn� hodnota $\lambda=1$. U� zn�me vlastn� vektory jinak se �e�en� mus� nal�zt s pou�it�m rozd�ln�ch metod. Sou�in rozd�l� vlastn�ch hodnot s nezn�m�mi $x$ je {\em charakteristick� polynomi�l} $P(x)$ matice ${\bf M}$. V dan�m p��pad� je to $P(x) = x^2 -4x +3$. V obecn�m p��pad� charakteristick� polynomi�l je \begin{equation} P(x) = \prod^n_{j=1}(x - \lambda_j) = x^n - a_1x^{n-1} +a_2x^{n-2} \dots \pm a_{n-1}x \pm a_nx^0\;. \end{equation} �len $a_1$ je jen sou�et v�ech vlastn�ch hodnot a je identick� se stopou matice, posledn� �len je sou�inem v�ech vlastn�ch hodnot a ur�uje zda soustava vlastn�ch hodnot m� �e�en�. Tedy se naz�v� {\em determinant}. Pokud matice m� alespo� jednu nulovou vlastn� hodnotu, potom �e�en� maticov�ch rovnic je neur�it� a matice je {\em singul�rn�}. \section{Permanenty a determinanty} \label{Permanenty a determinanty} Doposud {\em permanenty} nebyly definov�ny a bez nich bychom m�li pot�e s popisem, jak se z�skaj� polynomi�ly z prvk� matice. P�edpokl�dejme, �e m�me �tvercovou matici, jej� prvky jsou bu� symboly nebo ��sla, nap��klad $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf A}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B}\\ \\ \left(

\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right)\;. \end{array} \end{array}$$ permanent $p({\bf M})$ je sou�et v�ech sou�in� v�ech kombinac� v�ech prvk� $m_{ij} $ v ��dce i nebo sloupci j s prvky s jin�mi indexy ve v�ech jin�ch sloupc�ch a ��dc�ch $$p({\bf A}) = aei + afh + bdi + bfg + cdh + ceg$$ $$p({\bf B}) = 110 + 131 + 100 + 131 + 201 + 211 = 8\;.$$ Pou�ijeme celou mno�inu permuta�n� matice ${\bf P}$ jako vzor� a nap�eme z matice vybran� prvky jako sou�iny. Je jasn�, �e po�et prvk� v n-rozm�rn�m permanentu je $n!$. n prvk� v ka�d� ��dce se n�sob� s $(n-1)!$ �leny p�edch�zej�c�ch permanent�. Ve skute�nosti po�et ��dk� a sloupc� v matici nemus� b�t stejn�, av�ak odpov�daj�c� sou�iny potom obsahuj� nuly. To je d�le�it� pro definici determinant�. D��ve ne� s nimi za�neme, uk�eme alespo� jeden v�sledek z bohat� teorie permanent�, toti� permanent matice $({\bf JJ}_n^{\rm T}+k{\bf I}_n)$: \begin{itemize} \item Pokud $k=0$, m�me �tvercovou jednotkovou matici. V�ech $n!$ �ad permanentu jsou rovn� 1 a jejich sou�et d�v� faktori�l $n!$. \item Pokud $k= -1$, potom na hlavn� diagon�le jsou nuly a v�echny �ady obsahuj�c� alespo� jeden diagon�ln� prvek jsou nulov�. Po��t�me prvky permanentu jako permuta�n� matice ${\bf P}$ bez prvk� na hlavn� diagon�le. Mohli byste si vzpomenout (pokud ne, viz kapitolu 7), �e se po��taj� podle subfaktori�l� $z_{i0}$, tabulka 7.3. To d�v� pro matice $({\bf JJ}^{\rm T}-{\bf I})$ v�sledek $ ({\bf JJ}^{\rm T}_n-{\bf I}_n) = (r_n -1)^n$. \item Pokud k=1, m�me na hlavn� diagon�le 2 a prvky permanentu obsahuj�c� diagon�ln� prvky jsou mocniny 2. Vlo�en�m t�to hodnoty do zobecn�n�ho polynomi�lu dostaneme $({\bf JJ}_n+{\bf I}_n) = (r_n -1)^n$. To je Apple�v polynomi�l. \item Podobn� se naleznou permanenty pro jak�koliv k. \end{itemize} {\em Determinant} $Det({\bf M})$ je v ur�it�m smyslu inverzn� funkc� permanentu, proto�e je zalo�en na principu inkluse a exkluse. M� identick� prvky jako permanent, pouze jejich znam�nka jsou bu� kladn� nebo z�porn� v z�vislosti na znam�nku vytvo�uj�c� permutace, to je na po�tu inverz�. Pro na�e p��klady to je $$Det(A) = aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg$$ $$Det(B) = 0 - 3 - 0 + 3 +0 -2 = -2\;.$$ Pro $n=2$ je determinant $Det({\bf M}) = ad - bc$. Pro $n=3$, determinant se snadno nalezne, pokud opakujeme prvn� 2 ��dky matice jako jej� 4-tou a 5-tou ��dku a nap�eme diagon�ln� sou�iny vlevo a vpravo $$\begin{array}{c|ccc|c} &\ & b & c &\ \\ (-) & d & e & f &\ (+)\\ ceg & g & h & i & aei\\

\hline fah & & b & c & dhc\\ ibd & d & e & f & gbf\\ \end{array}$$ Nalezen� determinant� matic vy���ch ��d� b�valo pracnou �lohou. Byla formalizov�na definic� {\em minor�} $A_{ij}$ prvk� matice $m_{ij}$. Minor $A_{ij}$ je determinant matice $\delta_{ij}{\bf M}$, z�skan� z matice ${\bf M}$ vynech�n�m jt�ho sloupce a i--t� ��dky. Determinant se pak definoval jako sou�et sou�in� v�ech prvk� ��dky nebo sloupce s jejich minory \begin{equation} Det({\bf M})=\sum_{i=1}^m m_{ij}A_{ij}=\sum_{j=1}^n m_{ij}A_{ij} \end{equation} Determinanty se snadno naleznou pouze u n�kter�ch typ� matic. Je z�ejm�, �e determinant diagon�ln� matice je sou�inem jej�ch prvk�, zat�m co stopa je jejich sou�tem. Pon�vad� prvky diagon�ln� matice jsou sou�asn� jej�mi vlastn�mi hodnotami, determinant je sou�inem vlastn�ch hodnot matice \begin{equation} Det({\bf M})= \prod_{j=1}^n\lambda_j\;. \end{equation} To plat� pro jakoukoliv matici a tento fakt d�v� jinou definici determinantu jako objemu rovnob�n�ku tvo�en�ho vlastn�mi hodnotami. Pokud jedna vlastn� hodnota je nulov�, obd�ln�k netvo�� t�leso v n-rozm�rn�m prostoru a jeho objem je nulov�. Polynomi�l je sou�inem rozd�l� diagon�ln� matice nezn�m�ch $x$ se samotnou matic� ${\bf M}$. Po��t� se podobn� jako determinant, pouze rozd�ly se nech�vaj� neotev�en�. Determinant je posledn�m �lenem $a_n$ polynomi�lu, kdy� je $x^0$. Jinak: Pokud matice obsahuje nezn�m� $x$ na diagon�le, nem�eme vypo��tat jej� determinant v uzav�en� form� jako ��slo. V�sledkem je polynomi�l. Nap��klad matice ${\bf M}$ $$\left( \begin{array}{ccc} x & & b \\ & x & c \\ b & c & x \end{array} \right)$$ d�v� determinant $$Det{\bf M} = x^3 + 0x^2 - (a + b + c )x^1 + 2abcx^0$$\. Determinanty symetrick�ch matic s nulami na diagon�le se d�l� podle mocniny $x$ podle po�tu p�em�st�n� a z�skan� po�ty jsou identick� s prvky charakteristick�ho polynomi�lu. Tak� u triangul�rn�ch matic v doln�m nebo horn�m troj�heln�kov�m tvaru je determinant sou�inem jejich diagon�ln�ch prvk�. Rozlo��me determinant podle prvk� prv� ��dky. Zde bude pouze jeden nenulov� prvek $m_{11}A_{11}$. Potom podobn� rozlo��me minor $A_{11}$. Pro v�po�et determinant� jsou d�le�it� dv� pravidla: \begin{itemize}

\item 1. Z�m�na po�ad� hran nebo sloupc� nem�n� hodnotu determinantu, av�ak m�e zm�nit jeho znam�nko. Permanent nen� z�visl� na po�ad� sloupc� a hran a znam�nko lze zm�nit, pokud nov� permutace hran nebo sloupc� zm�n� znam�nko �len� determinantu. \item 2. Determinant se nezm�n�, kdy� p�id�me nebo ode�teme k n�jak� ��dce (nebo sloupci) matice n�sobek ��dky (nebo sloupce) matice. Pokud p�id�me v p��klad� shora k druh� ��dce prvou ��dku a zkontrolujeme v�echny �leny, vid�me, �e co se objev� na jedn� stran� determinantu, to se objev� tak� na druh� stran� v sou�inech se z�porn�mi znam�nky a v�echny zm�ny se samy eliminuj� a hodnota determinantu z�stane nezm�n�n�. \end{itemize} Ob� pravidla se vyu��vaj� pro v�po�et determinantu. Nap��klad uk�eme, nalezne determinant matice $({\bf JJ}_3^{\rm T}- {\bf I}_3)$: $$\begin{array}{c} {\bf 0}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf 2}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 &-1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf 3}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 1 &-1 & 0 \\ 1 & 0 &-1

jak se

\end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ \begin{itemize} \item 1. Sou�et druh� a t�et� ��dky 2,1,1 se p�idal k prv� ��dce. \item 2. Prvn� sloupec byl ode�ten od posledn�ho. \item 3. Prvn� sloupec byl ode�ten od druh�ho. \end{itemize} n rozm�rn� matice $({\bf JJ}_3^{\rm T}- {\bf I})$ transformovan� t�mito t�emi kroky do doln� troj�heln�kov� formy m� na diagon�le jednu hodnotu $(n-1)$ a $(n1)$ hodnot -1. V�t�� matice vy�aduj� v�ce krok�. Nyn� determinanty naleznou obvykle po��ta�e. Av�ak k z�sk�n� n�hledu je dobr� zn�t principy, kter� tvo�� z�kladnu pou�it�ch algoritm�. Determinant lze interpretovat jako $1/n!$ ��st objemu n-rozm�rn�ho t�lesa opsan�ho matic� spole�n� s po��te�n�m bodem koordin�t. Nap��klad dva body $A(5,2)$ a $B(2,5)$ tvo�� s $O(0,0)$ troj�heln�k, viz obr. \ref{Interpretace} \begin{figure} \caption{Interpretace determinantu} \label{Interpretace} \linethickness{0.4pt} \begin{picture}(140.00,140.00) \put(20.20,20.00){\framebox(100.33,100.00)[cc]{0.30}} %\emline(20.00,20.00)(60.00,120.00) \multiput(20.00,20.00)(0.12,0.30){334}{\line(0,1){0.30}} %\end %\emline(60.00,120.00)(120.00,60.00) \multiput(60.00,120.00)(0.12,-0.12){500}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(120.00,60.00)(20.20,20.00) \multiput(120.00,60.00)(-0.30,-0.12){334}{\line(-1,0){0.30}} %\end \put(60.00,130.00){\makebox(0,0)[cc]{A(5,2)}} \put(129.00,60.00){\makebox(0,0)[lc]{B(2,5)}} \put(9.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{O(0,0)}} \end{picture} \end{figure} Plocha troj�heln�ku je $25 - 10 -4.5 = 10,5$. $$\left( \begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{array} \right)$$ je $25 - 4 = 21$. Polovina je 10.5. \section{Polynomi�ly graf�}

Determinant matice

\label{Polynomi�ly graf�} Matice sousedstv� ${\bf A}$ jednoduch�ch graf� bez smy�ek maj� v�echny mimodiagon�ln� prvky bu� 1 nebo 0, v�echny diagon�ln� prvky jsou nulov� a matice jsou symetrick� $a_{ij}= a_{ji}$. Pokud se pokou��me nal�zt jejich polynomi�ly shora popsanou metodou, najdeme pro 3 vrcholy \begin{equation} \hbox{Jeden mimodiagon�ln� prvek}\ P({\bf A}) = x^3 - x^1 = \prod_{j=1}^3(x -\lambda_j) \end{equation} \begin{equation} \hbox{Dva mimodiagon�ln� prvky}\ P({\bf A}) = x^3 - 2x^1\;. \end{equation} Koeficient $a_1$ p�i $x^2$ v polynomi�lu odpov�daj�c� sou�tu vlastn�ch hodnot je 0, pon�vad� stopa ${\bf A}$ je nula. Koeficient $a_2$ p�i $x^1$ odpov�daj�c� sou�tu �len� $\lambda_i\lambda_jx$, je �m�rn� po�tu hran v grafu. To plat� tak� pro grafy s v�ce vrcholy, proto�e tyto �leny se objevuj� v polynomi�lu, kdy� se diagon�la �len� $x$ n�sob� mimodiagon�ln�mi prvky. V d�sledku symetrie matice sousedstv� v�echny �leny p�i $x^{n-k_{lich�}}$ jsou nulov� a �leny u $x^{nk_{sud�}}$ se tvo�� po�tem k-n�sobk� izolovan�ch hran. Tyto k-tic jsou zn�m� jako {\em obr�zky hran}. Nap��klad �et�zce $L_6$ \\ \linethickness{0.5pt} \begin{picture}(130.00,20.00) \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(30.00,9.67){\circle{4.00}} \put(50.00,9.33){\circle{4.00}} \put(70.00,9.33){\circle{4.00}} \put(90.33,10.00){\circle{4.00}} \put(110.00,10.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,10.00)(30.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(50.33,10.00)(70.00,10.00) \put(50.33,10.00){\line(1,0){19.67}} %\end %\emline(90.33,10.00)(110.00,10.00) \put(90.33,10.00){\line(1,0){19.67}} %\end %\emline(10.00,10.00)(110.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){100.00}} \end{picture} �leny polynomi�lu jsou 5, 6 1. Polynomi�l matice sousedstv� ${\bf A}$ strom� je zn�m� jako {\em acyklick� polynomi�l}, proto�e nen� p�izp�soben pro cykly. Je sou�asn� {\em polynomi�lem shodnosti} acyklick�ch graf�. Polynomi�ln� koeficienty line�rn�ch �et�zc� lze zobrazit v tabulkov� form� dosti snadno (tabulka \ref{Polynomi�ln� koeficienty line�rn�ch �et�zc� $L_n$}). \begin{table}

\caption{Polynomi�ln� koeficienty line�rn�ch �et�zc� $L_n$} \label{Polynomi�ln� koeficienty line�rn�ch �et�zc� $L_n$} \begin{tabular}{|r|rrrrrrr|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline m=0 & 1 & & & & & & \\ 1 & 0 & 1 & & & & & \\ 2 &-1 & 0 & 1 & & & & \\ 3 & 0 &-2 & 0 & 1 & & & \\ 4 & 1 & 0 &-3 & 0 & 1 & & \\ 5 & 0 & 3 & 0 &-4 & 0 & 1 & \\ 6 &-1 & 0 & 6 & 0 &-5 & 0 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} \begin{figure} \caption{�est dvojic (A) a jedna trojice (B) �et�zce $L_6$} \label{�est dvojic a jedna trojice} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(130.00,160.00) \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(30.00,9.67){\circle{4.00}} \put(50.00,9.33){\circle{4.00}} \put(70.00,9.33){\circle{4.00}} \put(90.33,10.00){\circle{4.00}} \put(110.00,10.00){\circle{4.00}} \put(10.00,50.00){\circle{4.00}} \put(10.00,70.00){\circle{4.00}} \put(10.00,90.00){\circle{4.00}} \put(10.00,110.00){\circle{4.00}} \put(10.00,130.00){\circle{4.00}} \put(30.00,49.67){\circle{4.00}} \put(30.00,69.67){\circle{4.00}} \put(30.00,89.67){\circle{4.00}} \put(30.00,109.67){\circle{4.00}} \put(30.00,129.67){\circle{4.00}} \put(50.00,49.33){\circle{4.00}} \put(50.00,69.33){\circle{4.00}} \put(50.00,89.33){\circle{4.00}} \put(50.00,109.33){\circle{4.00}} \put(50.00,129.33){\circle{4.00}} \put(70.00,49.33){\circle{4.00}} \put(70.00,69.33){\circle{4.00}} \put(70.00,89.33){\circle{4.00}} \put(70.00,109.33){\circle{4.00}} \put(70.00,129.33){\circle{4.00}} \put(90.33,50.00){\circle{4.00}} \put(90.33,70.00){\circle{4.00}} \put(90.33,90.00){\circle{4.00}} \put(90.33,110.00){\circle{4.00}} \put(90.33,130.00){\circle{4.00}} \put(110.00,50.00){\circle{4.00}} \put(110.00,70.00){\circle{4.00}} \put(110.00,90.00){\circle{4.00}} \put(110.00,110.00){\circle{4.00}} \put(110.00,130.00){\circle{4.00}}

\put(10.00,150.00){\circle{4.00}} \put(30.00,149.67){\circle{4.00}} \put(50.00,149.33){\circle{4.00}} \put(70.00,149.33){\circle{4.00}} \put(90.33,150.00){\circle{4.00}} \put(110.00,150.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,150.00)(30.00,150.00) \put(10.00,150.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(50.00,150.00)(70.00,150.00) \put(50.00,150.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(10.00,130.00)(30.00,130.00) \put(10.00,130.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(70.00,130.00)(90.00,130.00) \put(70.00,130.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(10.00,110.00)(30.00,110.00) \put(10.00,110.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(90.00,110.00)(110.00,110.00) \put(90.00,110.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(30.00,90.00)(50.00,90.00) \put(30.00,90.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(70.00,90.00)(90.00,90.00) \put(70.00,90.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(30.00,70.00)(50.00,70.00) \put(30.00,70.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(90.33,70.00)(110.00,70.00) \put(90.33,70.00){\line(1,0){19.67}} %\end %\emline(50.00,50.00)(70.00,50.00) \put(50.00,50.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(90.67,50.00)(110.00,50.00) \put(90.67,50.00){\line(1,0){19.33}} %\end %\emline(10.00,10.00)(30.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(50.33,10.00)(70.00,10.00) \put(50.33,10.00){\line(1,0){19.67}} %\end %\emline(90.33,10.00)(110.00,10.00) \put(90.33,10.00){\line(1,0){19.67}} %\end \put(120.00,100.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(120.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{B}} \end{picture} \end{figure} U $L_6$ m�me 5 hran. �est dvojic a jedna trojice jsou uk�zan� na obr. \ref{�est dvojic a jedna trojice}.

Prvky tabulky 15.1 (srovnej s tabulkou 10.7) jsou binomi�ln� koeficienty a ��dkov� sou�ty absolutn�ch hodnot koeficient� jsou Fibonacciho ��sla. Koeficienty polynomi�l� line�rn�ch �et�zc� jsou nejv�t��, kter� lze z�skat pro stromy. Je jasn�, �e neexistuje p��li� mnoho kombinac� t�chto koeficient�. Pon�vad� po�et strom� je rychle rostouc� funkce, a koeficienty jsou omezen�, jejich kombinace ve srovn�n� strom� jsou �id�� a v�sledkem je, �e stromy mus� b�t {\em isospektr�ln�}. To znamen�, �e rozd�ln� typy strom� mus� m�t identick� spektra. Na obr. \ref{P�r nejmen��ch isospektr�ln�ch strom�} je p�r nejmen��ch isospektr�ln�ch strom�, jeho� polynomi�l je $x^8 - 7x^6 + 9x^4$. \begin{figure} \caption{P�r nejmen��ch isospektr�ln�ch strom�} \label{P�r nejmen��ch isospektr�ln�ch strom�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(150.00,60.00) %\emline(30.00,30.33)(75.00,30.33) \put(30.00,30.33){\line(1,0){45.00}} %\end %\emline(20.00,40.00)(40.00,20.00) \multiput(20.00,40.00)(0.12,-0.12){167}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(20.00,20.00)(40.00,40.00) \multiput(20.00,20.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(90.00,30.00)(135.00,30.00) \put(90.00,30.00){\line(1,0){44.67}} %\end %\emline(105.00,30.33)(95.00,40.00) \multiput(105.00,30.33)(-0.12,0.12){81}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(104.67,30.33)(95.00,20.00) \multiput(104.67,30.33)(-0.12,-0.13){81}{\line(0,-1){0.13}} %\end %\emline(120.00,30.33)(130.00,40.00) \multiput(120.00,30.33)(0.12,0.12){81}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(120.00,30.33)(130.00,20.00) \multiput(120.00,30.33)(0.12,-0.12){84}{\line(0,-1){0.12}} %\end \put(20.33,40.00){\circle{4.00}} \put(30.00,30.33){\circle{4.00}} \put(40.00,40.00){\circle{4.00}} \put(20.33,20.33){\circle{4.00}} \put(40.00,20.00){\circle{4.00}} \put(45.00,30.33){\circle{4.00}} \put(60.00,30.33){\circle{4.00}} \put(75.00,30.33){\circle{4.00}} \put(95.00,40.00){\circle{4.00}} \put(130.00,40.00){\circle{4.00}} \put(90.00,30.33){\circle{4.00}} \put(94.67,20.00){\circle{4.00}} \put(104.67,30.33){\circle{4.00}} \put(120.33,30.33){\circle{4.00}} \put(135.00,30.33){\circle{4.00}} \put(130.00,20.00){\circle{4.00}} \end{picture} \end{figure}

Acyklick� polynomi�ly se kombinuj� s {\em polynomi�lem cykl�}, pokud se objevuj� v grafu cykly. ��inek cykl� lze uk�zat na p��klad� matice sousedstv� $K_3$ (obr. \ref{�pln� graf $K_3$ a sou�asn� cyklus $C_3$}): $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} x & -1 & -1\\ -1 & x & -1\\ -1 & -1 & x \end{array} \right) & $=$ & P({\bf A}) = x^3 - 3x^1 + 2 \end{array}$$ \\ \begin{figure} \caption{�pln� graf $K_3$ a sou�asn� cyklus $C_3$} \label{�pln� graf $K_3$ a sou�asn� cyklus $C_3$} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(70.00,70.00) %\emline(10.00,12.33)(60.00,12.33) \put(10.00,12.33){\line(1,0){50.00}} %\end %\emline(10.00,12.33)(35.00,53.67) \multiput(10.00,12.33)(0.12,0.20){209}{\line(0,1){0.20}} %\end %\emline(35.00,53.67)(60.00,12.33) \multiput(35.00,53.67)(0.12,-0.20){209}{\line(0,-1){0.20}} %\end \put(10.00,12.33){\circle{4.00}} \put(59.67,12.33){\circle{4.00}} \put(35.00,53.67){\circle{4.00}} \end{picture} \end{figure} objevuje koeficient 2 u �lenu $x^0$. Ten je vytvo�en� cyklem $C_3$. Tento cyklus se po��t� dvakr�t. Tato n�sobnost se objevuje u v�ech cykl�, kter� se mus� se��tat odd�len� od acyklick�ch �len�. Cykly sud� d�lky se ode�tou od po�tu $k/2$-tic izolovan�ch hran. Je dosti snadn� zkonstruovat polynomi�l izolovan�ch cykl�. Pokud odstran�me z cyklu hranu, zm�n� se na line�rn� �et�zec, jeho� acyklick� polynomi�l u� zn�me, a p�emos�uj�c� hrana se kombinuje s k-ticemi s $(n-3)$ hranami cyklu, jako kdyby tvo�ily rozd�ly line�rn�ho �et�zce s $(n-2)$ vrcholy. Tyto k-tice jsou ode�teny od �len� $L_n$. Nap��klad $$P(C_6) = P(L_6) + P(L_4) = (x^6 - 5x^4 + 6x^2 -1) - (x^4 - 3x^2 + 1) = x^6 6x^4 + 9x^2\;.$$ Aby se dostal cyklick� polynomi�l, mus�me ode��st koeficient 2 pro $n=6$. V�sledkem je

cyklus d�lky

$$x^6 - 6x^4 + 9x^2 -2\;.$$ Pokud matice sousedstv� je v�en� nebo graf obsahuje n�sobn� hrany, polynomi�l lze pat�i�n� modifikovat. Uk�zali jsme, �e koeficient $a_2$ polynomi�lu p�i $x^{n-2}$ je tvo�en �tverci prvk� matice. Dal�� �leny ve v�t��ch matic�ch jsou slo�it�j��. Nalezen� v�ech k-tic izolovan�ch hran a cykl� v grafech s mnoha vrcholy a hranami je pracn� a v�po�et polynomi�l� touto technikou u� nen� praktick�.

\section{Clujsky v�en� matice sousedstv� line�rn�ch �et�zc�} \label{Clujsky v�en� matice sousedstv�} Diadudea zavedl asymetricky v�en� matice vzd�lenost�, Clujsk� matice (pojmenovan� podle jeho domovsk�ho m�sta Cluj v Rumunsku), Wienerov�mi v�hami $N_{i,(i,j)}$ a $N_{j,(i,j)} $( po�et vrchol� na konci j cesty $p_{ij}$ od diagon�ln�ho vrcholu ($i=j$) k mimodiagon�ln�mu vrcholu j ($i\not =j$). Nejprve je nutn� vysv�tlit vztahy Clujsk�ch matic k jin�m matic�m charakterizuj�c�m grafy, jako jsou inciden�n� matice ${\bf S}$ (orientovan� grafy) ${\bf G}$ (neorientovan� grafy), matice proch�zek a cest definovan�ch ${\bf W}$ na orientovan�ch hran�ch (neorientovan�ch hran�ch), matice proch�zek a cest definovan�ch ${\bf P}$ na vrcholech, viz p��t� kapitolu. Prvky inciden�n� matice orientovan�ho grafu ${\bf S}$ jsou definovan� jako $s_{ij} = -1$, pokud orientovan� hrana i jde od vrcholu j, $s_{ij} = 1$ pokud orientovan� hrana i jde k vrcholu j, $s_{ij} =0$ jinak. Kvadratick� forma inciden�n� matice se svou transponovanou matic� ${\bf S}^T$ je zn�m� jako Laplace-Kirchhoffova matice. Je rozlo�ena do diagon�ln� matice stup�� vrchol� ${\bf V}$ a matici mimodiagon�ln�ch prvk� zn�m� jako matice sousedstv� ${\bf A}$($a_{ij} = 1$, pokud vrchol i soused� s vrcholem j, $a_{ij} =0$ jinak) \begin{equation} {\bf S}^T\ {\bf S} \label{3}\ . \end{equation} Druh� kvadratick� forma inciden�n� matice se svou transponovanou matic� ${\bf S}\ {\bf S}^T$ m� mimodiagon�ln� prvky odpov�daj�c� matic�m sousedstv� ${\bf A}$ hranov�ho grafu. U strom� tato matice m� rozm�r $(n-1)$ a m� pravou inverzi, co� je kvadratick� forma matice proch�zek a cest ${\bf W}$ definovan�ch ${\bf W}$ na orientovan�ch hran�ch (neorientovan�ch hran�ch). Matice proch�zek a cest ${\bf P}$ jsou definov�ny pro stromy tak� na vrcholech. Prvky ${\bf P_p}$ (cesta) jsou pro orientovan� stromy $p_{ij} = 1$, pokud vrchol j je incidentn� s cestou i, $p_{ij} =0$ jinak. Prvky ${\bf P_w}$ (proch�zka) jsou pro neorientovan� stromy $p_{ij} = 1$, pokud vrchol j je na konci cesty i, $p_{ij} = -1$, pokud vrchol j je vnit�n�m vrcholem cesty i, $p_{ij} =0$ jinak. Sou�et \begin{equation} {\bf P_w}\ + \ {\bf P_p} \end{equation} je dvakr�t inciden�n� matice ${\bf G}_K$ �pln�ho neorientovan�ho grafu $K_n$, pon�vad� v sou�tu zb�vaj� pouze p��m� proch�zky mezi v�emi p�ry vrchol�. Clujsk� matice strom� jsou skal�rn� sou�iny transponovan� matice proch�zek ${\bf P_p}^T$ s inciden�n� matic� ${\bf G}_K$ (tyto konvence lze transponovat) \begin{equation} {\bf C_p}\ = {\bf P_p^T}{\bf G}_K \end{equation} Nap��klad pro line�rn� �et�zec $L_4$ $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{cccccc} \ \ & \ \ & \ \ & \ \ & \ \ &\ \\ \ \ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \\ \ \ &\ \ & \ \ &\ \ &\ \ &\ \ \\ \ \ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \ & \end{array} & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{cc} \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{cccc} 3 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array} \right) \end{array}$$\. Diagon�ln� prvky skal�rn�ho sou�inu po��taj� $(n-1)$ proch�zky jdouc� od vrcholu $j=i$ k jin�m vrchol�m. Mimodiagon�ln� prvky skal�rn�ho sou�inu po��taj� proch�zky incidentn� s ob�ma vrcholy $i$ a $j$. Mimodiagon�ln� matice je Clujsk� matice ${\bf C}_e$ Pon�vad� Diadudea se zaj�mal hlavn� o chemick� aspekty nov�ch matic ${\bf C}_p$, z�staly nepov�imnut� n�kter� vlastnosti p��m�ch (Hadamardov�ch) sou�in� Clujsk� matice s odpov�daj�c� matic� sousedstv� ${\bf A}$: \begin{equation} {\bf C}_e = {\bf C}_p \bullet {\bf A} \end{equation} co� ponech�v� pouze soused�c� prvky Clujsk� matice ${\bf C}_e$ (nebo rovnocenn� Clujsky v�en� matice sousedstv� ${\bf A}_C$, nap��klad pro line�rn� �et�zec $L_4$ (n-butan) shora $$\left( \begin{array}{cccc}

0 & 1 & 0 & 3 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & \end{array} \right)$$\,

0 \\ 0 \\ 3 \\ 0

Z�kladn� vlastnosti t�chto matic sousedstv� v�en�ch po�tem vrchol� na konci orientovan�ch hran (neorientovan�ch hran) ${\bf A}_C$ jsou: 1) Sou�et jejich prvk� je n(n - 1). Ka�d� z (n - 1) hran m� n vrchol� na sv�ch konc�ch. 2) Stopa je nulov�. 3) Sou�et �tverc� vlastn�ch hodnot je 2W: \begin{equation} Tr {\bf A}_C^2 = 2W \end{equation} pon�vad� na stop� ${\bf A}_C^2$ se objevuj� dvakr�t sou�iny po�tu vrchol� $N_{i, (i,j)} \ N_{j,(i,j)}$ na obou stran�ch v�ech hran. Spektrum je symetrick�, vlastn� hodnoty se objevuj� v p�rech $\pm \lambda_j$. Lich� vlastn� hodnoty strom� s lich�m po�tem vrchol� jsou nulov�. Nejv�t�� vlastn� hodnota je $(n - 1)$, co� je toto�n� s nejv�t��mi prvky matice $N_{ij}$ koncov�ch vrchol�. �len charakteristick�ho polynomi�lu $x^{n-1}$ je nulov�, �len $x^{n-2}$ je Wienerovo ��slo. P�rem nejv�t��ch vlastn�ch hodnot $\pm (n-1)$ hv�zd jsou jejich jedin� nenulov� vlastn� hodnoty. To je konsistentn� s jejich Wienerov�m ��slem $S_n$: $W_S = (n1)^2$. Vlastn� hodnoty line�rn�ch �et�zc� $L_n$ s lich�m n (z prohl�dky prvn�ch �et�zc�) maj� hodnoty $(0, \pm [2, 4, \dots, (n-1)])$, vlastn� hodnoty line�rn�ch �et�zc� $L_n$ se sud�m n maj� hodnoty $(\pm [1,\ 3,\ \dots,\ (n-1)])$. Tyto hodnoty se shoduj� s kombinatorick�mi identitami pro sekvence binomi�ln�ch koeficient�: pro lich� n: \begin{equation} { n+1 \choose 3} = \sum_{k=0}^{(n-1)/2} (2k)^2 = \sum_{k=1}^{n-1}k(n-k) \end{equation} pro sud� n: \begin{equation} { n+1 \choose 3} = \sum_{k=1}^{n/2} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n-1}k(n-k) \label{9} \end{equation}

Charakteristick� polynomi�l lze vypo��tat analogicky se zn�mou metodou ur�uj�c� charakteristick� polynomi�l nev�en� matice sousedstv� strom� po��t�n�m v�ech k-tic izolovan�ch hran. Zde ka�d� k-tice dostane svou v�hou ur�enou v�emi sou�iny orientovan�ch hran (neorientovan�ch hran) $N_{i,(i,j)} N_{j,(i,j)}$. Nap��klad pro $L_5$: V�hy vazeb 1 -- 4 = 4;\ 2 -- 3 = 6;\ 3 -- 2 = 6;\ 4 -- 1 = 4;: $x^3$ �len (1-tice, Wiener�v �len): $4+6+6+4 = 20$; $x^1$ �len (2-tice): $(4\times 6) + (4\times 6) + (4\times 4) = 64.$ Charakteristick� polynomi�l: $P = x^5 - 20 x^3 + 64x$. �len $x^{n-1}$ charakteristick�ho polynomi�lu je nula. To odpov�d� sou�tu vlastn�ch hodnot. �len $x^{n-2}$ charakteristick�ho polynomi�lu je ur�en sou�tem 1-tic. Tedy je to Wiener�v �len. Odpov�d� sou�tu sou�in� dvou vlastn�ch hodnot. Ob� rekurence se shoduj� s kombinatorick�mi identitami shora. \section{Techniky o�ez�v�n�} \label{Techniky o�ez�v�n�} \begin{figure} \caption{O�ez�v�n� graf�. Grafy 1A a 2A se zv�t�� p�i�ten�m jedn� hrany a vrcholu (1B a 2B). Grafy B se o�e�ou vynech�n�m nov�ch hran dohromady se soused�c�mi vrcholy (pr�zdn� krou�ky) a soused�c�ch hran (1C a 2C).} \label{O�ez�v�n� graf�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(190.00,60.00) \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(25.00,10.00){\circle{4.00}} \put(40.33,10.00){\circle{4.00}} \put(55.00,10.00){\circle{4.00}} \put(70.00,10.00){\circle{4.00}} \put(85.00,10.00){\circle{4.00}} \put(100.00,9.67){\circle{4.00}} %\emline(10.00,10.00)(40.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){30.00}} %\end %\emline(55.00,10.00)(100.00,10.00) \put(55.00,10.00){\line(1,0){45.00}} %\end \put(110.00,9.67){\circle{4.00}} \put(125.00,9.33){\circle{4.00}} \put(140.00,9.67){\circle{4.00}} \put(160.00,10.00){\circle{4.00}} %\emline(110.00,9.67)(125.00,9.67) \put(110.00,9.67){\line(1,0){15.00}} %\end %\emline(140.00,9.67)(160.00,9.67) \put(140.00,9.67){\line(1,0){20.00}} %\end \put(10.00,40.00){\circle{4.00}} \put(25.00,40.00){\circle{4.00}} \put(40.33,40.00){\circle{4.00}} \put(55.00,40.00){\circle{4.00}} \put(70.00,40.00){\circle{4.00}}

jednoho

\put(85.00,40.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,40.00)(40.00,40.00) \put(10.00,40.00){\line(1,0){30.00}} %\end \put(110.00,39.67){\circle{4.00}} \put(70.00,25.00){\circle{4.00}} %\emline(55.00,40.00)(85.33,40.00) \put(55.00,40.00){\line(1,0){30.33}} %\end %\emline(70.00,40.00)(70.00,25.00) \put(70.00,40.00){\line(0,-1){15.00}} %\end \put(140.00,40.00){\circle{4.00}} \put(125.00,40.00){\circle{4.00}} \put(125.00,25.00){\circle{4.00}} %\emline(125.00,40.00)(125.00,25.00) \put(125.00,40.00){\line(0,-1){15.00}} %\end \put(25.00,49.67){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(77.67,50.00){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(132.33,50.00){\makebox(0,0)[cc]{C}} \put(175.00,9.67){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(174.67,40.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \end{picture} \end{figure} Charakteristick� polynomi�l acyklick�ho grafu je determinant diference jeho matice a diagon�ln� matice $x{\bf I}$. Kdy� graf se zv�t�� p�i�ten�m nov�ho vrcholu a hrany, charakteristick� polynomi�l se zm�n� podle m�sta, kde je p�ipojen� nov� vrchol. Jinak, pokud se zmen�� velikost grafu ode�ten�m jednoho vrcholu a jeho hran, polynomi�l indukovan�ho grafu je diferenc� podle grafu, kter� z�st�v�, kdy� spojuj�c� vrchol, ke kter�mu je p�ipojen� nov� vrchol, se odstran� se v�emi sv�mi hranami. Kone�n� charakteristick� polynomi�l lze potom napsat jako determinant $2\times2$ matice. Nap��klad (obr. \ref{O�ez�v�n� graf�}). $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cc} (x^3 - 2x) & x^2 \\ 1 & x \end{array} \right) & = & x^4 - 3x^2\\ \end{array}$$ $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cc} (x^3 - 2x) & (x^2 - 1)\\ 1 & x \end{array} \right) & = & x^4 - 3x^2 +1 \end{array}$$ V prv�m p��pad� dva voln� vrcholy $K_1$ odpov�daj� �lenu $x^2$, v graf $K_2$ odpov�d� �lenu $(x^2-1)$.

druh�m p��pad�

Grafu lze o�ezat v�ce v�tv� sou�asn� a v�tvemi nemus� b�t izolovan� vrcholy, ale tak� grafy. Na diagon�le se zde objevuj� v�dy polynomi�ly o�ezan�ch a o�ez�van�ch graf� a mimodiagon�ln� prvky jsou jejich odpov�daj�c�mi rozd�ly. Jedinou nutnou podm�nkou je, �e v�echny subgrafy mus� b�t spojen� {\em mosty}, hranami nebo orientovan�mi hranami spojuj�c�mi dva vrcholy bez cykl�. Potom se objevuj� v matici polynomi�ly odpov�daj�c�ch subgraf� a jejich rozd�l�, polynomi�ly odpov�daj�c�ch subgraf� bez spojuj�c�ho vrcholu $$\left( \begin{array}{cc} \hbox{polynomi�l A} & \hbox{diference AB} \\ \hbox{diference BA} & \hbox{polynomi�l B}\\ \end{array} \right)\;.$$ Nap��klad hv�zda $S_3$ o�ezan� jako $2K_1$ a $K_2$ $$\left( \begin{array}{cc} x^2 - 2 & 2 \\ 1 & x - 1 \end{array} \right)$$ O�ez�v�n� sni�uje rozm�rnost polynomi�lu. \section{Polynomi�ly graf� se smy�kami} \label{Polynomi�ly graf� se smy�kami} Diagon�ln� matice stup�� vrchol� ${\bf V}$ lze pova�ovat za matice sousedstv� grafu, kter� se skl�d� pouze ze smy�ek. Jej� polynomi�l se z�sk� jednodu�e jako sou�in \begin{equation} \prod^n_{j=1} (x - v_j) = \prod^n_{j=1} (x - \lambda_j)\;. \end{equation} Koeficienty polynomi�lu lze vypo��tat tak� jako sou�ty v�ech k-tic izolovan�ch smy�ek na rozd�ln�ch vrcholech nap��klad pro $v_j = 2,1,1$: $$\begin{tabular}{|cc|cccc|ccccc|cc|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{Smy�ka} & \multicolumn{4}{c}{1-tice} & \multicolumn{5}{|c|}{2-tice} & \multicolumn{2}{|c|}{3-tice} \\ \hline *& * & * 0& 0*& & & *0& *0& 0*& 0 * & &*0 & 0* \\ *& & & &* & & * & & *& & * &* & * \\ *& & & & & *& & * & & * & * & * & * \\ \hline \multicolumn{2}{|c|}{$\Sigma$} & \multicolumn{4}{|c|}{4} & \multicolumn{5}{|c|}{5} & \multicolumn{2}{|c|}{2} \\ \hline \end{tabular}$$ Smy�kov� polynomi�l je $P(V) = x^3 - 4x^2 + 5x^1 - 2$. To umo��uje naj�t polynomi�ly kvadratick�ch forem ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$ nebo ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ (${\bf V}\pm{\bf A})$.

Obr�zky smy�ek se kombinuj� s obr�zky hran nebo orientovan�ch hran. V�echny p�ry smy�ek se po��taj� spole�n� s jedn�m obr�zkem hran. Obr�zky smy�ek tvo�en� smy�kou a hranou se po��taj� dohromady se smy�kami 3-tic. Tedy polynomi�ly kvadratick� formy inciden�n� matice orientovan�ch a neorientovan�ch graf� obsahuj� v�echny �leny polynomi�lu, nejen ka�d� druh� �len jako acyklick� polynomi�lu. Kone�n� smy�kov� polynomi�l $L_4$ m� 3 slo�ky $$\begin{tabular}{l|rrrr} Smy�kov� polynomi�l & $x^3$ & $-4x^2$ & $+5x^1$ &$- 2$ \\ Hranov� polynomi�l & & & $-2x^1$ & \\ Cyklick� polynomi�l & & 0 & & \\ Hranov�-smy�kov� polynomi�l & & & & + 2 \\ \hline V�sledn� polynomi�l & $x^3$ & $-4x^2$ & $+3x^1$ & \\ \end{tabular}$$ ��inek diagon�ln�ch prvk� je jednoduch�, kdy� v�echny diagon�ln� prvky jsou stejn� r, jako u {\em pravideln�ch graf�}. Nezn�m� $x$ lze nahradit substituc� $y = (x + r)$ a matice pojednat, jako by byly bez diagon�ln�ch prvk�. To lze vyu��t v n�kter�ch p��padech pro v�po�et determinant�, jak uvid�me pozd�ji. \section{Grafy s vymazan�mi vrcholy a hranami} \label{Grafy s vymazan�mi vrcholy a hranami} Mno�ina n subgraf� grafu $G$, z�skan� z p�vodn�ho grafu vynech�n�m ka�d�ho vrcholu se v�emi jeho incidentn�mi orientovan�mi hranami nebo neorientovan�mi hranami, je zn�m� jako {\em Ulamovy subgrafy}. Ulam vyslovil domn�nku, �e p�vodn� graf lze rekonstruovat z t�to mno�in�. To se zd� trivi�ln�, av�ak je nesnadn� to dok�zat pro neozna�en� grafy, kde neexistuje ��dn� jednoduch� zp�sob, jako sp�rovat neozna�en� vrcholy dvou graf�. Existuje jin� vztah, polynomi�ly Ulamov�ch subgraf� jsou rozd�ly polynomi�lu p�vodn�ho grafu. To znamen�, �e vrchol vymazan� v subgrafu $\delta_j G$ je ��ste�nou diferenc� p�vodn�ho grafu podle vymazan�ho vrcholu $\delta_j P(G)$ nebo diferenc� odpov�daj�c� matice z�skan� odstran�n�m odpov�daj�c� ��dky a sloupce. Pravidla diferencov�n� a integrov�n� jsou stejn� jako v diferenci�ln�m a integr�ln�m kalkulu \begin{equation} \delta x^n = nx^{n-1} \end{equation} \begin{equation} \int nx^{n-1} = x^n \end{equation} Rekonstrukce p�vodn�ho polynomi�lu matice ze sou�tu rozd�l� \begin{equation} P(M) = \int \sum_{j=1}^n \delta_j P(M) \end{equation} je p�esn� a� integra�n� konstantu, kter� miz� v diferenc�ch. Nap��klad u grafu na obr. \ref{Graf A a jeho vrcholov� vymazan� subgrafy $A_1$ -$A_5$} odpov�daj�c� polynomi�ly jeho Ulamov�ch subgraf� jsou $$\begin{tabular}{l|rrrr} ${\bf A}_1$ & $x^4$ & $-4x^2$ & $-2x$ & $+1$ \\

${\bf A}_2$ & $ x^4$ & $-2x^2$ & & \\ ${\bf A}_3$ & $ x^4$ & $-5x^2$ & $-4x$ & \\ ${\bf A}_4$ & $ x^4$ & $-3x^2$ & & \\ ${\bf A}_5$ & $x^4$ & $-4x^2$ & $-2x$ & $+1$ \\ \hline $\sum$ & $5x^4$ & $-18x^2$ & $-8x$ & $+2 $ \\ \hline ${\bf A}$ & $x^5$ & $-6x^3$ & $-4x^2$ & $2x $ \\ \end{tabular}$$ \begin{figure} \caption{Graf A a jeho vrcholov� vymazan� subgrafy $A_1$ -- $A_5$} \label{Graf A a jeho vrcholov� vymazan� subgrafy $A_1$ -- $A_5$} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(190.00,90.00) \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(10.00,30.00){\circle{4.00}} \put(30.00,29.67){\circle{4.00}} \put(30.00,10.00){\circle{4.00}} \put(70.00,30.00){\circle{4.00}} \put(90.00,29.67){\circle{4.00}} \put(110.00,30.00){\circle{4.00}} \put(90.00,10.00){\circle{4.00}} \put(10.00,50.00){\circle{4.00}} \put(10.00,70.00){\circle{4.00}} \put(30.00,69.67){\circle{4.00}} \put(50.00,70.00){\circle{4.00}} \put(30.00,50.00){\circle{4.00}} \put(70.00,50.00){\circle{4.00}} \put(90.00,69.67){\circle{4.00}} \put(110.00,70.00){\circle{4.00}} \put(90.00,50.00){\circle{4.00}} \put(130.00,30.00){\circle{4.00}} \put(150.00,29.67){\circle{4.00}} \put(170.00,30.00){\circle{4.00}} \put(130.00,50.00){\circle{4.00}} \put(130.00,70.00){\circle{4.00}} \put(170.00,70.00){\circle{4.00}} \put(150.00,50.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,69.67)(50.00,69.67) \put(10.00,69.67){\line(1,0){40.00}} %\end %\emline(10.00,69.67)(10.00,50.00) \put(10.00,69.67){\line(0,-1){19.67}} %\end %\emline(10.00,50.00)(30.00,50.00) \put(10.00,50.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(30.33,69.67)(10.00,50.00) \multiput(30.33,69.67)(-0.12,-0.12){164}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(110.00,70.00)(90.00,70.00) \put(110.00,70.00){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(90.00,70.00)(90.00,50.00) \put(90.00,70.00){\line(0,-1){20.00}} %\end %\emline(90.00,50.00)(70.00,50.00)

\put(90.00,50.00){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(70.00,50.00)(90.00,70.00) \multiput(70.00,50.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(130.00,70.00)(130.00,50.00) \put(130.00,70.00){\line(0,-1){20.00}} %\end %\emline(130.00,50.00)(150.00,50.00) \put(130.00,50.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(30.00,30.00)(10.00,30.00) \put(30.00,30.00){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(10.00,30.00)(10.00,10.00) \put(10.00,30.00){\line(0,-1){20.00}} %\end %\emline(10.00,10.00)(30.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(30.00,10.00)(30.00,30.00) \put(30.00,10.00){\line(0,1){20.00}} %\end %\emline(30.00,30.00)(10.00,10.00) \multiput(30.00,30.00)(-0.12,-0.12){167}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(70.00,30.00)(110.00,30.00) \put(70.00,30.00){\line(1,0){40.00}} %\end %\emline(90.00,30.00)(90.00,10.00) \put(90.00,30.00){\line(0,-1){20.00}} %\end \put(10.00,76.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(30.00,76.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(50.00,76.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(10.00,40.33){\makebox(0,0)[cc]{4}} \put(30.00,40.33){\makebox(0,0)[cc]{5}} %\emline(30.00,69.67)(30.00,50.00) \put(30.00,69.67){\line(0,-1){19.67}} %\end \put(70.00,70.00){\circle{4.00}} \put(150.00,70.00){\circle{4.00}} \put(70.00,10.00){\circle{4.00}} \put(130.00,9.67){\circle{4.00}} \put(150.00,10.00){\circle{4.00}} \put(40.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(100.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_1$}} \put(40.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_3$}} \put(50.00,30.00){\circle{4.00}} \put(99.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_4$}} \put(160.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_3$}} \put(160.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_5$}} %\emline(130.00,30.00)(170.00,30.00) \put(130.00,30.00){\line(1,0){40.00}} %\end %\emline(150.00,30.00)(130.00,10.33) \multiput(150.00,30.00)(-0.12,-0.12){164}{\line(-1,0){0.12}} %\end

%\emline(130.00,10.33)(130.00,30.00) \put(130.00,10.33){\line(0,1){19.67}} %\end \end{picture} \end{figure} V grafech s vymazan�mi hranami (nebo orientovan�mi hranami) se eliminuj� pouze samotn� hrany (orientovan� hrany) bez vymaz�n� incidentn�ch vrchol�, co� odpov�d� eliminaci odpov�daj�c�ch ��dk� a sloupc� v kvadratick� form� ${\bf GG}^{\rm T}$ nebo ${\bf SS}^{\rm T}$. Mno�ina hran vymazan�ch subgraf� m� $m$ subgraf�, kde $m$ je po�et hran grafu. Ve stromech ka�d� subgraf m� v�dy dv� slo�ky. Zde se tak� sou�et polynomi�l� hranov� vymazan�ch subgraf� strom� je diference polynomi�lu p�vodn�ho stromu, av�ak pravidla diferencov�n� jsou rozd�ln�. Koeficient� p�i $ (n-2k)$ mocnin $x$ se nen�sob� mocninami $x$ a mocnost $x$ se nesni�uje, av�ak d�l� se $(m-k)$ a mocnina $x$ je zanech�na nezm�n�n�. Hranov� vymazan� strom je les s $n$ vrcholy a prv� �len jeho polynomi�lu je $x^n$. Existuje $m$ subgraf� a tedy sou�et polynomi�l� v�ech subgraf� je d�liteln� $m$. V�echny subgrafy obsahuj� $(m-1)$ hran a tedy koeficient druh�ho �lenu sou�tu, kdy� se d�l� t�mto ��slem d�v� $m$. N�sleduj�c� koeficienty se mohou odvodit s pou�it�m �pln� indukce. Pokud vztah polynomi�lu plat� pro p�vodn� strom, tak mus� platit tak� pro jeho subgrafy (lesy), obsahuj�c� o jednu hranu m�n�, a jejich polynomi�ly. Odpov�daj�c� koeficienty v�ech subgraf� mus� b�t $0\ {\rm mod}\ (m-k) $. To plat� tak� pro �len $a_{n-k}$ pokud $n=(2k+1)$. Mezi subgrafy line�rn�ho �et�zce existuje $k$ subgraf� obsahuj�c�ch �len odpov�daj�c� $(k+1)$-tici. Nap��klad u grafu na obr. \ref{Strom B a jeho hranov� vymazan� subgrafy $B_1$ -$B_5$} odpov�daj�c� polynomi�ly jeho hranov� vymazan�ch subgraf� jsou $$\begin{tabular}{l|rrr} ${\bf B}_1$ &$ x^6$ & $-4x^4$ & $+2x^2$ \\ ${\bf B}_2$ & $ x^6$ & $-4x^4$ & $+2x^2 $ \\ ${\bf B}_3$ & $x^6$ & $-4x^4$ & $+2x^2$ \\ ${\bf B}_4$ &$ x^6$ & $-4x^4$ & $+3x^2 $ \\ ${\bf B}_5$ &$ x^6$ & $-4x^4$ & \\ \hline $\sum$ & $ 5x^6$ & $-20x^2$ & $+9x^2$ \\ \hline ${\bf B}$ & $ x^6$ & $-5x^4$ & $-3x^2 $ \\ \end{tabular}$$ \begin{figure} \caption{Strom B a jeho hranov� vymazan� subgrafy $B_1$ -- $B_5$} \label{Strom B jeho hranov� vymazan� subgrafy $B_1$ -- $B_5$} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(260.00,130.00) \put(10.00,30.00){\circle{4.00}} \put(30.00,30.00){\circle{4.00}} \put(50.00,30.00){\circle{4.00}} \put(70.00,30.00){\circle{4.00}} \put(30.00,10.00){\circle{4.00}} \put(30.00,50.00){\circle{4.00}} \put(10.00,100.00){\circle{4.00}} \put(30.00,100.00){\circle{4.00}} \put(50.00,100.00){\circle{4.00}} \put(70.00,100.00){\circle{4.00}} \put(30.00,80.00){\circle{4.00}} \put(30.00,120.00){\circle{4.00}} \put(100.00,30.00){\circle{4.00}}

\put(190.00,30.00){\circle{4.00}} \put(120.00,30.00){\circle{4.00}} \put(210.00,30.00){\circle{4.00}} \put(140.00,30.00){\circle{4.00}} \put(230.00,30.00){\circle{4.00}} \put(160.00,30.00){\circle{4.00}} \put(250.00,30.00){\circle{4.00}} \put(120.00,10.00){\circle{4.00}} \put(210.00,10.00){\circle{4.00}} \put(120.00,50.00){\circle{4.00}} \put(210.00,50.00){\circle{4.00}} \put(100.00,100.00){\circle{4.00}} \put(190.00,100.00){\circle{4.00}} \put(120.00,100.00){\circle{4.00}} \put(210.00,100.00){\circle{4.00}} \put(140.00,100.00){\circle{4.00}} \put(230.00,100.00){\circle{4.00}} \put(160.00,100.00){\circle{4.00}} \put(250.00,100.00){\circle{4.00}} \put(120.00,80.00){\circle{4.00}} \put(210.00,80.00){\circle{4.00}} \put(120.00,120.00){\circle{4.00}} \put(210.00,120.00){\circle{4.00}} \put(20.00,105.33){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(40.00,105.33){\makebox(0,0)[cc]{4}} \put(60.00,105.00){\makebox(0,0)[cc]{5}} \put(20.00,115.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(20.00,85.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} %\emline(10.00,100.00)(70.00,100.00) \put(10.00,100.00){\line(1,0){60.00}} %\end %\emline(30.00,120.00)(30.00,80.00) \put(30.00,120.00){\line(0,-1){40.00}} %\end %\emline(9.67,30.00)(70.00,30.00) \put(9.67,30.00){\line(1,0){60.33}} %\end %\emline(30.00,50.00)(30.00,30.00) \put(30.00,50.00){\line(0,-1){20.00}} %\end \put(140.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{$B_1$}} %\emline(120.00,120.33)(120.00,80.00) \put(120.00,120.33){\line(0,-1){40.33}} %\end %\emline(120.00,100.00)(160.00,100.00) \put(120.00,100.00){\line(1,0){40.00}} %\end %\emline(120.00,50.00)(120.00,10.00) \put(120.00,50.00){\line(0,-1){40.00}} %\end %\emline(100.00,30.00)(120.00,30.00) \put(100.00,30.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(139.67,30.00)(160.00,30.00) \put(139.67,30.00){\line(1,0){20.33}} %\end \put(140.00,10.33){\makebox(0,0)[cc]{$B_4$}} %\emline(190.00,100.33)(250.00,100.33)

\put(190.00,100.33){\line(1,0){60.00}} %\end %\emline(210.00,100.33)(210.00,80.00) \put(210.00,100.33){\line(0,-1){20.33}} %\end %\emline(210.00,50.00)(210.00,10.00) \put(210.00,50.00){\line(0,-1){40.00}} %\end %\emline(190.00,30.00)(230.00,30.00) \put(190.00,30.00){\line(1,0){40.00}} %\end \put(230.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{$B_2$}} \put(229.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$B_5$}} \put(50.00,80.00){\makebox(0,0)[cc]{$B$}} \put(50.00,10.33){\makebox(0,0)[cc]{$B_3$}} \end{picture} \end{figure} Pro odpov�daj�c� polynomi�ly vymazan� hrana sni�uje po�et obr�zk� s $k$ izolovan�mi hranami. Existuje v�dy $(m - k)$ takov�ch subgraf� se stejn�m polynomi�lem. Kdy� se pod�l� tento parametr koeficienty u �len� p�i $x^{n-2k}$, dostaneme tak� acyklick� polynomi�ly pro cyklick� grafy. Nap��klad $$K_4 : x^4 -6x^2 + 3\\ \Sigma_i \delta (P) = 6(x^4 -5x^2 + 2) = (6/6)x^4 -(30/5)x^2 + (12/4)\;.$$ Rozd�ly matic budou u�ite�n� pro nalezen� jejich inverz�. \section{Seidlovy matice regul�rn�ch graf�} \label{Seidlovy matice regul�rn�ch graf�} Seidel definoval modifikovanou matici sousedstv� ${\bf A}_S$ pro tak zvan� schlicht\footnote{Z n�m�iny.} grafy (s jednoduch�mi orientovan�mi hranami) n�sleduj�c�m zp�sobem: $a_{ij} = -1$ pokud i a j vrcholy soused�, $a_{ij} = 1$ pokud i a j vrcholy nesoused� a $a_{ii} = 0$. To znamen�, �e \begin{equation} {\bf A}_S = \overline{\bf A} - {\bf A}\;. \end{equation} Tuto matici lze interpretovat jako diferenci matic sousedstv� grafu $G$ a jeho dopl�kov�ho grafu $\overline{G}$. Seidlovy matice pravideln�ch graf� se mohou formulovat jako diference Laplace-Kirchhoffovy matic ${\bf K}= {\bf S}^{\rm T} {\bf S}$ obou graf� opraven�ch pravideln�mi diagon�ln�mi �leny $(n - 1 - 2r)$, kde $r$ jsou stupn� vrchol� pravideln�ho grafu. \begin{equation} {\bf A}_S = {\bf K} - \overline{\bf K}+ (n - 1 - 2r){\bf I}. \end{equation} Tedy Seidlova matice pravideln�ho grafu m� spektrum, kter� se z�sk� z diference spekter jeho Laplace-Kirchhoffovy matice ${\bf K}$ a Laplace-Kirchhoffovy matice jeho dopl�kov�ho grafu $\overline{\bf K}$ opraven�ch diagon�ln�mi �leny. Nap��klad pro cykl $C_4$: $$\begin{tabular}{l|rrrc} Spektrum $C_4$ & 4,& 2,& 2, & 0 \\ Spektrum $\overline{C_4}$ & 0, & -2, & -2,& 0\\

$\Delta(n - 1 - 2r)$ & -1, & -1, & -1, & -1 \\ \hline Spektrum ${\bf A}$ & 3, & -1, & -1, & $-1\;.$ \end{tabular}$$ V�sledek je identick� se spektrem matice sousedstv� �pln�ho grafu $K_4$, p�es to, �e Seidlova matice obsahuje jednotkov� prvky obou znam�nek. Av�ak ob� matice, $ {\bf A}(K_4)$ a ${\bf A}_S(K_4)$ jsou matice sousedstv� hranov�ho grafu dvojhv�zdy $S_5$ s rozd�ln�mi orientacemi. Pon�vad� ob� orientace $$\begin{tabular}{ccccccc} &$\downarrow$ & & \qquad & & $\uparrow$ & \\ $\rightarrow$ & &$\leftarrow$ & & $\leftarrow$ & &$\rightarrow $ \\ & $\downarrow$ & & & &$\uparrow $ & \\ \end{tabular}$$ maj� identick� Laplace-Kirchhoffovy matice ${\bf K}$ spektra. V�sledek je spr�vn�.

a tedy tak� identick�

S pou�it�m stejn� argumentace kvadratick� forma ${\bf SS}^{\rm T}$ dvojd�ln�ch cykl� (n sud�), jejich� Spektra jsou ekvivalentn� Laplace-Kirchhoffov�m matic�m $ {\bf S}^{\rm T}{\bf S}$, maj� v�echny mimodiagon�ln� prvky bu� z�porn� nebo jeden mimodiagon�ln� prvek v ka�d� ��dce m�e b�t z�porn� a druh� kladn�. Pokud kombinujeme ${\bf K}(C_{2k})$ s ${\bf K}(\overline{C_{2k}})$, v�sledek je identick� s diferenc� ${\bf K}(kK_2) - {\bf K}(k\overline{K_2})$. Tedy Seidlovy matice sousedstv� $k$ �pln�ch graf� $K_2$ a cykl� $C_{2k}$ jsou isospektr�ln�. Nap��klad: $$\begin{tabular}{l|rrrrrr} Spektrum ${\bf K}(3K_2)$ & 2& 2,& 2& 0,& 0,& 0 \\ Spektrum ${\bf K}(\overline{3K_2})$ &-4,&-4,&-4,&-6,&-6,& 0 \\ $\Delta(n - 1 - 2r)$ & 3,& 3,& 3,& 3,& 3,& 3 \\ \hline Spektrum {\bf A}(3K ) &1,& 1,& 1,&-3,&-3, &3 \\ \end{tabular}$$ $$\begin{tabular}{l|rrrrrr} Spektrum ${\bf K}(C_6)$ & 4,& 3,& 3,& 1,& 1,& 0 \\ Spektrum ${\bf K}(\overline{C_6})$ & -2,&-3,&-3,&-5,&-5, &0 \\ $\Delta(n - 1 - 2r)$ & 1,& 1,& 1,& 1,& 1,& 1 \\ \hline Spektrum ${\bf A}(C_6)$ & 3,& 1,& 1,&-3,&-3,& 1.\\ \end{tabular}$$ \section{\ Spektra neorientovan�ch podrozd�len�ch graf�} \label{Spektra neorientovan�ch podrozd�len�ch graf�} Podrozd�len� graf $S(G)$ se z�sk� z grafu $G$ vlo�en�m nov�ho vrcholu do ka�d� z jeho m hran. Matice sousedstv� neorientovan�ho podrozd�len�ho grafu ${\bf A}[S(G)] $ se z�sk� p��mo z inciden�n� matice ${\bf G}$ p�vodn�ho grafu jeho zaps�n�m v blokov� form� $$\begin{array}{ccc} {\bf A}[S(G)] & = & \left( \begin{array}{cc} {\bf 0} & {\bf G} \\

{\bf G}^{\rm T} & {\bf 0} \end{array} \right) \end{array}$$ kde ${\bf 0}$ je nulov� matice. Spektra matic sousedstv� podrozd�len�ch graf� s $n$ vrcholy a $m$ hranami jsou ve vztahu se spektry kvadratick�ch forem ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$ p�vodn�ho grafu jako \begin{equation} P_{S(G)}(\lambda_j) = (\lambda_j=0)^{\|m-n\|} \pm P_{G^{\rm T}G}(\lambda_j)^{1/2} \end{equation} \label{Pe} kde $G^{\rm T}G\lambda_j$ jsou vlastn� hodnoty kvadratick� forma inciden�n� matice ${\bf G}$ p�vodn�ho grafu. Stejn� vztah plat� tak� pro podrozd�len� orientovan� grafy $S(G)$ s inciden�n�mi maticemi ${\bf S}$. Matice sousedstv� ${\bf A}^2[S(G)]$ m� dva bloky ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$ a ${\bf GG}^{\rm T}$. Oba bloky maj� identick� spektra. Jejich odmocniny s ob�ma znam�nky tvo�� spektrum matice sousedstv� podrozd�len�ho grafu. Diferenci mezi po�tem vrchol� a hran�ch zapl�uj� nulov� vlastn� hodnoty. To lze vyu��t pro v�po�ty. Nap��klad cyklus $C_3$ m� matici sousedstv� ${\bf A}$ ekvivalentn� se svou inciden�n� matic� ${\bf G}$. Podrozd�len� graf cyklu $C_3$ je cyklus $C_6$. Jeho matice sousedstv� ${\bf A}$ je $$\left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\;.$$

\\ \\ \\ \\ \\

Kvadratick� bloky jsou identick� $$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right)$$ a maj� vlastn� hodnoty: 4, 1, 1, tedy matice sousedstv� ${\bf A}$ pro $C_6$ m� vlastn� hodnoty: $2,1,1,-1,-1,-2$. Podrozd�len� graf hv�zdy $S_4$ m� matici sousedstv� ${\bf A}$ $$\left( \begin{array}{ccccccc}

0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\;.$$

& & & & & & &

1 0 0 0 0 0 0

& & & & & & &

0 1 0 0 0 0 0

& & & & & & &

0 0 1 0 0 0 0

\\ \\ \\ \\ \\ \\

Kvadratick� bloky jsou $$\begin{array}{cc} \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{cccc} 3 & 1& 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1& 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$\. U� v�me, �e prvn� blok m� vlastn� hodnoty: 4, 1, 1, tedy A}$ u $S(S_4)$ m� vlastn� hodnoty: $2,1,1,0,-1,-1,-2$.

matice sousedstv� ${\bf

V�echny podrozd�len� grafy hv�zd $S_n$ maj� spektrum odvozen� ze spekter sv�ch hranov�ch graf� ${\bf GG}^{\rm T}= {\bf I}+ {\bf JJ}^{\rm T}$. Odpov�daj�c� spektra jsou $n,1^{n-1}$ a snadno se naleznou jejich odmocniny. Znam�nka jsou ur�ena nulovou stopou matice sousedstv� ${\bf A}$. \section{\ Matice sousedstv� linkov�ch graf�} \label{Matice sousedstv� linkov�ch graf�} Kvadratick� forma ${\bf GG}^{\rm T}$ inciden�n� matice ${\bf G}$ definuje hranov� graf $L(G)$ p�vodn�ho grafu $G$. Hranov� graf se z�sk� ze sv�ho p�vodn�ho grafu, kdy� se jeho hrany transformuj� ve vrcholy, kter� jsou incidentn�, pokud maj� v p�vodn�m grafu spole�n� vrchol. Vztah mezi kvadratickou formou ${\bf GG}^{\rm T}$ matice sousedstv� ${\bf A}[L(G)]$ hranov�ho grafu pro p�vodn� grafy s jednoduch�mi hranami je \begin{equation} {\bf GG}^{\rm T} = 2{\bf I}+ {\bf A}[L(G)]\;, \end{equation} kde ${\bf I}$ je jednotkov� diagon�ln� matice. Tedy existuje vztah mezi vlastn�mi hodnotami matice sousedstv� ${\bf A}[L(G)]$ hranov�ho grafu \begin{equation} P_{L({\bf A})}(\lambda_j) = P_{{\bf GG}^{\rm T}}(\lambda_j -2)\;.

\end{equation} \label{P} Hranov� graf line�rn�ho �et�zce $L_n$ je line�rn� �et�zec $L_{n-1}$. graf line�rn�ho �et�zce $L_n$ je line�rn� �et�zec $L_{2n-1}$.

Podrozd�len�

Dv� podm�nky podrozd�len�ch graf� (equation \ref{Pe}) a hranov�ch graf� (equation \ref{P}) ur�uje vztahy mezi vlastn�mi hodnotami matic line�rn�ch �et�zc� jako $$\begin{tabular}{|r|r|r|} \hline $L_n$ & $\lambda_j({\bf GG}^{\rm T})$ & $\lambda_j({\bf A})$\\ \hline n=2 & 2,\ 0 & 1,\ -1 \\ 3 & 3,\ 1 & $\sqrt{2},\ 0,\ -\sqrt{2}$ \\ 4 & $2+\sqrt{2},\ 2,\ 2-\sqrt{2}$ & $1.618,\ 0.618,\ -0.618,\ -1.618$ \\ 5 & $3.618,\ 2.618,\ 2,\ 1.382,\ 0.382$ & $\sqrt{3},\ 1,\ -1,\ -\sqrt{3}$ \\ \hline \end{tabular}$$ Tyto vztahy vedou ke vzorci pro vlastn� hodnoty matice sousedstv� ${\bf A}$ line�rn�ch �et�zc� \begin{equation} {\bf A}_{(L_n)}(\lambda_j) = 2\cos\;j\pi/(n-1)\;. \end{equation} Line�rn� �et�zec $L_n$ se chov� jako ty� upevn�n� ve sv�m st�edu. To je opak k �ad�, kter� je upevn�n� na sv�ch konc�ch. Jej� vibrace popisuje sinusov� funkce. \section{\ Orientovan� Podrozd�len� grafy} \label{Orientovan� Podrozd�len� grafy} Matice sousedstv� podrozd�len�ch graf� odvozen� z inciden�n� matice ${\bf S}$ orientovan�ch graf� kladou slo�it�j�� probl�m. Vzpome�te si, �e orientovan� grafy jsou tvo�eny orientovan�mi hranami jdouc�mi od vrcholu j k vrcholu i. Jejich inciden�n� matice ${\bf S}$ m� v ka�d� ��dce diferenci dvou jednotkov�ch vektor� $ ({\bf e}_i - {\bf e}_j).$ Kvadratick� forma ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$, z kter� matice sousedstv� ${\bf A}$ je odvozen�, m� v�echny sv� mimodiagon�ln� prvky z�porn�: ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}= ({\bf V}- {\bf A})$, kde ${\bf V}$ je diagon�ln� matice stup�� vrchol� $v_j$. Tedy v�echny prvky matice sousedstv� orientovan�ho grafu jsou obvykle kladn�\footnote{Prvky s ob�ma znam�nky se objevuj� v LaplaceKirchhoffov�ch matic�ch komplement�rn�ch graf� graf� s n�sobn�mi hranami vznikaj�c�ch z Eichingerov�ch matic ${\bf E}$, kter� jsou pseudoinverzemi LaplaceKirchhoffov�ch matic ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ (viz p��t� kapitolu).}. Nejprve je nutn� vy�e�it ot�zku, v jak�m vztahu jsou vlastn� hodnoty matice sousedstv� maj�c� prvky obou znam�nek k vlastn�m hodnot�m matice sousedstv� s jednotn�mi znam�nky. Jednoduch� cvi�en� v n�soben� matic ukazuje, �e prvek $a_{ij} $ matice sousedstv� hranov�ho grafu je z�porn�, pokud ob� orientovan� hrany maj� stejnou orientaci (st�kaj� se hlavou k ocasu). Abychom udr�eli takovou orientaci, v�echny stupn� vrchol� grafu $v_j$ mus� b�t 1 nebo 2, co� je mo�n� v line�rn�ch �et�zc�ch a jednoduch�ch cyklech. Pokud se st�k� ve vrcholu t�i nebo v�ce orientovan�ch hran, potom alespo� dv� mus� m�t opa�nou orientaci, a v matici sousedstv� hranov�ho grafu se objevuje kladn� znam�nko. Pokud je graf dvojd�ln�,

potom je mo�n� vybrat orientaci orientovan�ch hran takov�m zp�sobem, �e v�echny prvky matice sousedstv� jsou kladn�. Pon�vad� kvadratick� forma ${\bf S}^{\rm T} {\bf S}$ je nez�visl� na orientaci orientovan�ch hran, v�echny kvadratick� formy ${\bf SS}^{\rm T}$ dvojd�ln�ch graf� mus� m�t identick� spektrum jako kvadratick� forma ${\bf SS}^{\rm T}$ s jednotn�mi znam�nky. To lze shrnout tak, �e kvadratick� formy $${\bf SS}^{\rm T} = 2{\bf I} \pm {\bf A}[L(G)]$$ orientovan�ch line�rn�ch �et�zc� $L_n$ a dvojd�ln� (n sud�) jednoduch� cykly $C_n$ maj� identick� spektra, a matice sousedstv� jejich hranov�ch graf� mus� maj� vlastn� hodnoty maj�c� tvar $\pm(\lambda_j \pm 2)^{1/2}$. Jednoduch� cykly, kter� jsou podrozd�len�mi grafy cykl� s lich�m po�tem vrchol�, maj� vlastn� hodnoty ve tvaru $\pm(\lambda_j^2 - 2)^{1/2}$. Vlastn� hodnoty podrozd�len�ch graf� dvojd�ln�ch graf� maj� vlastn� hodnoty $\pm(\lambda_j^2 + 2^{1/2}$), kde $\lambda_j$ jsou vlastn� hodnoty odpov�daj�c�ch hranov�ch graf�. Pro pravideln� orientovan� grafy plat� vztah (\ref{Pe}) pro v�echny orientace podrozd�len�ch graf�. Pro jin� grafy je nutn� vy�e�it ��inky rozd�ln�ch orientac� orientovan�ch hran v orientovan�m grafu na spektra odpov�daj�c�ch podrozd�len�ch grafy individu�ln�. \section{\ La Verrier-Frame-Fadd�jevova technika} \label{La Verrier-Frame-Fadd�jevova technika} Tato technika spo��v� na vlastnostech sou�in� matic a jejich vztahu se sou�iny vlastn�ch hodnot \begin{equation} Sp({\bf M}^k) = Sp(\lambda_j^k) \end{equation} Pokud ode�teme od matice ${\bf M}$ diagon�ln� matici hodnot stopy $Tr({\bf I})$, ode�teme sou�et vlastn�ch hodnot od ka�d� diagon�ln� hodnoty matice ${\bf M}$. Nazveme to diferenc� matice ${\bf B}_1$. Jej� sou�in matic� ${\bf M}$ m� vlastn� hodnoty tvo�en� sou�ty p�r� rozd�ln�ch vlastn�ch hodnot matice ${\bf M}$ \begin{equation} Sp[({\bf M}- Tr{\bf I}){\bf M}] = Sp({\bf B}_1{\bf M}) = Sp(\Sigma\lambda_j^2 - \Sigma\lambda_j^2 -2\Sigma\lambda_i\lambda_j) \end{equation} �leny $\Sigma\lambda_j^2$ se vz�jemn� eliminuj�. Tedy stopa sou�inu je dvojn�sobek sou�tu sou�in� dvou vlastn�ch hodnot matice ${\bf M}$, co� je koeficient $a_2$ p�i $x^{n-2}$. Kdy� ode�teme tento koeficient od diagon�ly sou�inu ${\bf BM}_1$, dostaneme matici ${\bf B}_2$, jej� sou�in s matic� ${\bf M}$ n�m d�v� na diagon�le trojn�sobek sou�tu sou�inu t�� rozd�ln�ch vlastn�ch hodnot matice ${\bf M}$: \begin{equation} Sp[({\bf M}- Tr({\bf M}){\bf M}- a{\bf I}){\bf M}] = \sum (\lambda_j^3 -\lambda_j^3 -2\lambda_j^2\lambda_j + 2\lambda_i\lambda_j^2 - 3\lambda_i\lambda_j\lambda_k) \end{equation} T�mto zp�sobem pokra�ujeme $n$ kr�t nebo dokud nedostaneme v n�jak�m kroku jako v�sledek matici ${\bf B}_k = {\bf 0}$. U� jsme pou�ili tuto techniku pro matice v troj�heln�kov�m tvaru, kde bylo nutn� pouze prv� ode��t�n�. Nap��klad

$$\begin{array}{c} {\bf M}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf B}_1\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} -5 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -6 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -6 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -7 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B}_2\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 7 & -2 & -2 & -4 \\ -2 & 9 & -3 & 1 \\ -2 & -3 & 9 & 1 \\ -4 & 1 & 1 & 13 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf B}_3\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} -3 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -3 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -3 & -1 \\ 3 & -1 & -1 & -7 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B}_3{\bf M}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc}

-4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Polynomi�l je $x^4 -8x^3 +19x^2 -16x -1$. Probl�m nalezen� polynomi�l� je tedy transformovan� na z�kladn� operace s maticemi, ode��t�n� a n�soben�. Nad ka�dou matic� se klene duha indukovan�ch matic, kter� na sv�m konci n�m ukazuje polynomi�l a v n�m spektrum matice. Nalezen� vlastn�ch hodnot m�e b�t n�kdy, kdy� se vy�e�� technick� probl�m, hrncem zlata na konci duhy. V�imn�te si, �e ${\bf B}_3{\bf M}$ je diagon�ln� matice se stejn�mi hodnotami. To znamen�, �e ${\bf B}_3$ je n�sobek inverzn� matice ${\bf M}^{-1}$. \section{\ Kolapsovan� matice sousedstv� vysoce regul�rn�ch graf�} \label{Kolapsovan� matice sousedstv� vysoce regul�rn�ch graf�} \begin{figure} \caption{Spr�vn� (a) a nespr�vn� (b) indexov�n� cyklu $C_4$} \label{ spr�vn� nespr�vn� indexov�n�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(180.00,100.00) \put(10.33,49.00){\framebox(15.00,15.00)[cc]{}} \put(40.00,49.00){\framebox(15.00,15.00)[cc]{}} \put(70.00,49.00){\framebox(15.00,15.00)[cc]{}} \put(100.00,49.00){\framebox(15.33,15.00)[cc]{}} \put(40.00,10.00){\framebox(15.00,15.00)[cc]{}} \put(10.33,64.00){\circle{4.00}} \put(25.33,64.00){\circle{4.00}} \put(40.00,64.00){\circle{4.00}} \put(55.00,64.00){\circle{4.00}} \put(70.00,64.00){\circle{4.00}} \put(85.00,64.00){\circle{4.00}} \put(100.00,64.00){\circle{4.00}} \put(115.33,64.00){\circle{4.00}} \put(10.33,49.00){\circle{4.00}} \put(25.33,49.00){\circle{4.00}} \put(40.00,49.00){\circle{4.00}} \put(55.00,49.00){\circle{4.00}} \put(70.00,49.00){\circle{4.00}} \put(85.00,49.00){\circle{4.00}} \put(100.00,49.00){\circle{4.00}} \put(115.33,49.00){\circle{4.00}} \put(40.00,25.00){\circle{4.00}} \put(55.00,25.00){\circle{4.00}} \put(40.00,10.00){\circle{4.00}} \put(55.00,10.00){\circle{4.00}} \put(10.33,74.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(40.00,74.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(70.00,74.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(85.00,74.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(100.00,73.67){\makebox(0,0)[cc]{1}}

\put(115.33,74.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(25.33,74.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(55.00,74.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(10.67,39.00){\makebox(0,0)[cc]{4}} \put(25.33,39.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(40.00,39.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(55.00,39.33){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(70.00,39.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(85.00,39.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(100.00,39.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(115.33,39.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(30.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(65.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(64.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(29.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(160.00,17.33){\makebox(0,0)[cc]{b}} \put(133.00,49.00){\framebox(15.33,15.00)[cc]{}} \put(133.00,64.00){\circle{4.00}} \put(148.33,64.00){\circle{4.00}} \put(133.00,49.00){\circle{4.00}} \put(148.33,49.00){\circle{4.00}} \put(133.00,73.67){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(148.33,74.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(133.00,39.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(148.33,39.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(160.00,57.33){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(17.67,85.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(47.67,85.00){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(77.67,85.00){\makebox(0,0)[cc]{C}} \put(107.67,85.00){\makebox(0,0)[cc]{D}} \put(141.33,85.00){\makebox(0,0)[cc]{E}} \end{picture} \end{figure} Vysoce pravideln� n rozm�rn� grafy jsou grafy charakterizovan� �tvercovou matic� $x{\bf A}'$ s rozm�rem men��m ne� $n$, maj�c� vlastnost, �e ka�d� vrchol j soused� s a' vrcholy i. Matice ${\bf A}'$ jsou zn�m� jako {\em kolapsovan� matice sousedstv�}. P��klady vysoce pravideln�ch graf� jsou �pln� grafy $K_n$ a cykly $C_n$. N�kter� indexov�n� vrchol� vysoce pravideln�ch graf� je {\em spr�vn�}, pokud m�e b�t pops�no kolapsovanou matic� sousedstv�. Nap��klad cykl $C_4$ lze spr�vn� indexovat jako na obr.\ref{ spr�vn� nespr�vn� indexov�n�}. Indexov�n� B je nespr�vn�, pon�vad� vrcholy 2 nejsou ekvivalentn�. Kolapsov�n� matice sousedstv� se dos�hne slo�en�m jej�ch hran a vynech�n�m odpov�daj�c�ho sloupce: $$\begin{array}{cccc} \begin{array}{c} {\bf A}_A\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\\

\\ \\ \end{array} & \begin{array}{c} {\bf A}_B\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\\ \\ \\ \\ \end{array} & \begin{array}{c} {\bf A}_C\\ \\ \left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right)\\ \\ \\ \\ \\ \end{array} & \begin{array}{c} {\bf A}_D\\ \\ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \\ \\ {\bf A}_E\\ \\ (2) \end{array} \end{array}$$ Kolapsovan� matice sousedstv� se zdaj� m�t zaj�mavou vlastnost: Polynomi�ly kolapsovan�ch matic sousedstv� ${\bf A}'$ jsou d�litel� polynomi�l� matic sousedstv� ${\bf A}$. Domn�nkou je, �e spr�vn� kolapsovan� matice sousedstv� maj� stejnou mno�inu vlastn�ch hodnot. Spektra kolapsovan�ch matic sousedstv� jsou useknut� k nejv�t��m vlastn�m hodnot�m. Polynomi�ly kolapsovan�ch matic sousedstv� ${\bf A}'$ jsou: $$P({\bf A}_A) = x^4 - 4x^2;$$ $$P({\bf A}_B) = x^3 -4x;$$

$$P({\bf A}_C) = x^2 - 4;$$ $$P({\bf A}_D) = x^2 - 2x;$$ $$P({\bf A}_E) = x -2\;.$$ \section{\ Faktorov� anal�za} \label{Faktorov� anal�za} Definovali jsme ekvivalenci grafov�ch vektor� jako t��dy matic, kter� se mohou z�skat permutacemi ��dek a nebo sloupc� jednotkovou permuta�n� matic� ${\bf P}$. Ekvivalentn� matice maj� stejn� kvadratick� formy, prom�taj� se na jeden bod ve vektorov�m prostoru. Nyn� definujeme jin� t��dy ekvivalence vzhledem ke spole�n� kvadratick� form� nebo obecn�ji vzhledem ke spole�n�mu sou�inu. �ekneme, �e matice ${\bf B}$ a ${\bf C}$ jsou {\em ekvivalentn�} pokud \begin{equation} {\bf B}^{\rm T}{\bf B}= {\bf C}^{\rm T}{\bf C}\;, \end{equation} nebo matice ${\bf B}^{\rm T}$ je ekvivalentn� matici ${\bf U}$ a matice ${\bf B}$ je ekvivalentn� matici ${\bf V}$ pokud $${\bf B}^{\rm T}{\bf B}= {\bf UV}$$. Nap��klad n�sleduj�c� matice jsou ekvivalentn� podle t�to definice $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{2} & 0 & 0 \\ \sqrt{1/2} & \sqrt{3/2} & 0 \\ \sqrt{1/2} & \sqrt{1/6} & \sqrt{4/3} \end{array} \right) & \equiv & \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cccc} \sqrt{3} & 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{1/3} & \sqrt{8/3} & 0 & 0 \\ \sqrt{1/3} & \sqrt{1/6} & \sqrt{5/2}& 0 \\ \sqrt{1/3} & \sqrt{1/6} & \sqrt{1/10} & \sqrt{12/5} \end{array} \right) & \equiv & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Existence takov�ch p�r� nebo n�sobk� m� pon�kud nep��jemn� d�sledek: Pokud zn�me pouze skal�rn� sou�in, nem�eme si b�t jisti, zda ko�eny, kter� jsme nalezli, jsou spr�vn� nebo jsou pouze ekvivalentn� k p�vodn�m prvk�m sou�inu. Av�ak existuj� tak� dobr� zpr�vy o existenci ekvivalence: M�eme nahradit nezn�m� maticov� vektor kanonickou triangul�rn� dekompozic� jeho kvadratick� formy. To vyu��v� {\em faktorov� anal�za}, kdy� matice experiment�ln�ch v�sledk� obsahuj�c� stochastick� chyby se nahrad� sou�ty matic maj�c�ch velk� v�hy a diference se ponech� jako matice chyb. Uk�zali jsme v podkapitole 3.4, �e inverzn� matice matice v doln� troj�heln�kov� form� s jednotkovou diagon�lou se m�e p�edstavit jako sou�et mocnin samotn� matice. Nyn� uk�eme, �e kvadratick� forma se m�e rozlo�it do sou�tu {\em faktor�}, nebo sv�ch transponovan�ch vlastn�ch vektor� ${\bf Z}$: \begin{eqnarray} {\bf Z}{\bf M}^{\rm T}{\bf MZ}^{\rm T}= \Delta \lambda_j \\ \Sigma \lambda_j {\bf Z}^{\rm T}{\bf Z} = {\bf MM}^{\rm T} \end{eqnarray} Existuje vztah, kter� je dopl�kem k rovnici 15.2 \begin{equation} \Sigma {\bf Z}^{\rm T}{\bf Z}^{\rm T}= {\bf I} \end{equation} Nap��klad matice ${\bf Q}$ $$\left( \begin{array}{ccc} 1 &-1 & 0\\ -1& 2& -1\\ 0 &-1 & 1 \end{array} \right)$$ m� t�� vlastn� vektory, $(1,1,1)^{\rm T}$, $(1/\sqrt{6},-2/\sqrt{6}, 1/\sqrt{6})^{\rm T}$ a $(1/\sqrt{2},0,-1/\sqrt{2})^{\rm T}$, kter� d�vaj� t�i vn�j�� kvadratick� formy s n�sobnostmi $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf A}\ \lambda_{j=0}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{array}

\right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B}\ \lambda_{j=3}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1/6 & -2/6 & 1/6 \\ -2/6 & 4/6 & -2/6 \\ 1/6 & -2/6 & 1/6 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{c} {\bf C}\ \lambda_{j=1}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1/2 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1/2 & 0 & 1/2 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Odpov�daj�c� sou�ty jsou ${\bf Q}= 3{\bf B}+ 1{\bf C}$ a ${\bf I}= {\bf A}+ {\bf B}+ {\bf C}$. Vn�j�� kvadratick� formy vlastn�ch vektor� jsou faktory korela�n� matice. Tyto korela�n� matice jsou rozlo�eny do sv�ch faktor� maj�c�ch nejv�t�� vlastn� hodnoty, kter� jsou normalizovan� na 1. V na�em p��klad� m�e b�t �e�eno, �e faktor ${\bf B}$ vysv�tluje 75\% matice ${\bf Q}$ a faktor ${\bf C}$ zb�vaj�c�ch 25\%. Faktorov� dekompozice je cenn� n�stroj pro vysv�tlov�n� rozs�hl�ch korela�n�ch matic, kdy� n�kolik faktor� kryje uspokojiv� nejv�t�� ��st prvk� korela�n� matice, �e zbytek lze pova�ovat za stochastickou chybu pozorov�n�. \chapter{Inversn� matice} \label{Inversn� matice} \section{�vod} \label{�vod 16} Inverzn� matice byly zm�n�n� v�cekr�t, av�ak nyn� by m�ly b�t vysv�tleny systemati�t�ji. Je dosti snadn� definovat inverzn� prvek izolovan�ho prvku, jako je ��slo nebo vektor. Av�ak tato �loha se st�v� koncep�n� nesnadnou pro cel� syst�my reprezentovan� maticov�mi vektory. A je trochu tajemn�, jak definovat inverzn� prvky k objekt�m. M�ete ��ci, co je va�� inverz�? Odpov�� bude z�visl� na situaci: zda hled�te svou vnit�n� inverzi pouze jako osoba, nebo sv�j inverzn� prvek jako ��sti n�jak� soustavy? Nejprve si vzpome�te na sekci 3.4. Tam se popisuj� dva typy inverzn�ch prvk�, aditivn� a multiplikativn�. Aditivn� inverze je definov�na identit $a + b = 0$, z toho $b = -a$. Z�porn� prvek m� stejnou hodnotu a opa�n� znam�nko ke sv�mu p�vodn�mu prvku. Multiplikativn� inverzn� prvek je definov�n jako sou�in $ab = 1$.

Z toho $b = 1/a$ a $a = 1/a$. Odli�nost mezi prvkem a jeho inverz� je ur�ena konvenc�. U� jsme uk�zali, �e multiplikativn� inverze jsou aditivn� na logaritmick� stupnici (obr. 3.5). Pro matice tak� mohou b�t definovan� aditivn� a multiplikativn� inverzn� matice s nulov�mi maticemi ${\bf 0}$ a jednotkov�mi diagon�ln�mi maticemi ${\bf I}$ jako jednotkov�mi prvky. Aditivn� inverze pro ${\bf M}$ se zdaj� b�t trivi�ln�, maj� pouze inverzn� znam�nka $-{\bf M}$, pon�vad� ${\bf M}-{\bf M}= {\bf 0}$. Multiplikativn� inverze jsou mnohem v�ce zaj�mav�. Nicm�n� u� jsme definovali {\em komplement�rn� grafy} $\overline{{\bf G}_n}$ k grafy ${\bf G}_n$ rovnic� \begin{equation} {\bf G}_n +\overline{{\bf G}_n} = {\bf G}_{K_n}\;. \end{equation} Dopl�kov� graf dohromady s p�vodn�m grafem d�v� �pln� graf $K_n$. Matice ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ a $\overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}}$ lze pova�ovat za {\em zobecn�nou aditivn� inverzi}, jak vid�me pozd�ji. Nyn� budeme uva�ujeme multiplikativn� inverze. Za�neme jednotkov�mi permuta�n�mi maticemi ${\bf P}$, kter� p�edstavuj� symetrick� grupy. Jejich inverze jsou jednodu�e jejich transponovan� matice \begin{equation} {\bf P}^{\rm T}{\bf P}= {\bf I}\;. \end{equation} Pro diagon�ln� matice $\Delta{\bf M}$ inverzn� prvky $d_{ii}$ jsou prvky $1/d_{ii} $. Av�ak, kdy� kombinujeme diagon�ln� matici s permuta�n� matic�, jej� inverze nen� jednoduch�m sou�tem obou ��ste�n�ch inverz�. Probl�m inverzn�ch matic je slo�it� pro n�kter� asymetrick� matice, kter� maj� dv� rozd�ln� inverzn� matice, jednu zleva a druhou zprava, proto�e n�soben� zleva m� jin� ��inek ne� n�soben� zprava. A mnoho matic nemaj� ��dnou inverzn� matici, pon�vad� jsou singul�rn�. Jejich spektrum obsahuje n�jak� nulov� vlastn� hodnoty a jejich duha se neuzav�r�. M�eme v t�to souvislosti upozornit na definici vlastn�ch vektor�, ${\bf Z}$, kter� d�vaj�, kdy� se n�sob� s ${\bf Z}^{\rm T}$ jednotkovou diagon�ln� matici. Transponovan� matice vlastn� vektor� matice ${\bf Z}^{\rm T}$ je levostrann� inverzn� matice pro ${\bf Z}$. Pracovali jsme s kvadratick�mi formami a bude v�hodn� definovat pro tyto kvadratick� formy t�et� druh inverzn�ch matic, {\em vnit�n� inverzn� matici} kvadratick� formy jako matici ${\bf R}$, kter� d�v�, pokud to se n�sob� z jedn� strany matic� ${\bf M}$ a z druh� strany jej� transponovanou formou ${\bf M}^{\rm T}$ jednotkovou diagon�ln� matici: \begin{equation} {\bf MRM}^{\rm T} = {\bf I} \end{equation} Ty lze vyj�d�it tak� konven�n�, ${\bf MR}$ je {\em levostrannou inverzn� matic�} pro${\bf M}^{\rm T}$ a ${\bf RM}^{\rm T}$ je {\em pravostrannou inverzn� matic�} pro ${\bf M}$.

Pokud oprav�me sou�in vlastn�ch vektor� s jejich matic� uvnit� jej�ch inverzn�mi vlastn�mi hodnotami, dostaneme jednotkovou diagon�ln� matici. Tedy matice ${\bf M} $ v�en� inverzemi sv�ch vlastn�ch hodnot je vnit�n� inverzn� matic� matice sv�ch vlastn�ch vektor�. Nap��klad $$\begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{cc} 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{array} \right)\ & \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{cc} 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{2} \end{array} \right) & $=$\ & \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$ \section{Invertov�n� matic} \label{Invertov�n� matic} Uk�zali jsme v kapitole 8, kdy� jsme pracovali s maticemi kombinatorick�ch ��sel v troj�heln�kov�m tvaru, �e jejich inverzn� matice se naleznou technikou inkluse a exkluse. Jin� technika vhodn� pro nalezen� inverzn�ch matic byla u� uk�zan� v podkapitole 15.13 jako La Verrier-Frame-Fadd�jevova technika. Ob� techniky jsou ekvivalentn� v p��pad� matic v doln� troj�heln�kov� form� maj�c�ch jednotkovou diagon�lu. n-t� mocnina jej� diference s jednotkovou diagon�ln� matic� d�v� nulovou matici ${\bf 0}$. Kdy� nap�eme v�echny �leny t�to mocniny a p�eskup�me je vhodn�, dostaneme \begin{equation} {\bf I}= [{\bf M}^{n-1}- n{\bf M}^{n-2}+ (n(n-1)/2){\bf M}^{n-3} \dots \pm n{\bf M}^1 \pm {\bf I}]{\bf M}\;. \end{equation} Prav� strana matice v z�vork�ch je levostrannou inverzn� matic� ${\bf M}$ matice v doln� troj�heln�kov� form� ${\bf M}$. Podobnou strukturu, pouze pon�kud slo�it�j��, maj� matice ${\bf B}_{n-1}$ z�skan� La Verrier-Fad�jev-Frame technikou, kde koeficienty polynomi�lu se pou��vaj� pro ode��t�n� n�sobk� jednotkov� diagon�ln� matice v rozd�ln�ch kroc�ch n�soben�

matic� ${\bf M}$. Inverzn� matice se definuje s pou�it�m determinantu $Det(M)$ a determinant� v�ech jeho submatic $\delta_{ij}{\bf M}$, zn�m�ch jako {\em minory} ${\bf A}_{ij}$. $\delta_{ij}{\bf M}$ je matic� ${\bf M}$ s vymazanou i-tou ��dkou a j-t�m sloupcem. Inverzn� matice ${\bf M}^{-1}$ matice ${\bf M}$ je transponovan� matice jej�ch minor� ${\bf A}_{ij}$ d�len�ch determinantem. Pokud je determinant nulov� potom inverzn� matice nen� definov�na ze z�ejm�ho d�vodu: Pokud d�l�me mal�mi ��sly bl�zk�mi k nule, dostaneme neur�it� nekone�n� ��sla. To d�v� tak� odpov�� na ot�zku, co je V� inverzn� prvek. Je to V� minor. Tem z�vis� na vlastnostech sv�ta, ve kter�m �ijete. Nap��klad magick� �tvercov� matice a jej� inverzn� matice $$\begin{array}{cccc} \left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & 7 \\ 8 & 1 & 6 \\ 4 & 9 & 2 \end{array} \right)^{-1} & = & 1/360 \left( \begin{array}{ccc} -52 & 53& 23 \\ 8 & -22 & 38 \\ 68 & -7 & -37 \end{array} \right) \end{array}$$ A praktick� technika pro

invertov�n� matic m� dva kroky:

\begin{itemize} \item Nejprve se pravideln� matice rozlo�� do 3 matic \begin{equation} {\bf M}= {\bf LUP} \end{equation} kde ${\bf L}$ je matic� v doln� troj�heln�kov� form�, ${\bf U}$ je matic� v horn� troj�heln�kov� form� a ${\bf P}$ je permuta�n� matice. \item Je snadn� nal�zt odpov�daj�c� inverzn� matice a inverzn� matice je potom \begin{equation} {\bf M}^{-1} = {\bf P}^{-1} {\bf U}^{-1} {\bf L}^{-1}\;. \end{equation} \end{itemize} N�soben� matice jej� inverzn� matic� lze transformovat na �lohu dekompozice jej�ho determinantu podle jej� hrany nebo sloupce. Pokud ��dka minor� se n�sob� transponovanou ��dkou odpov�daj�c�ch prvk� matice, dostaneme determinant, pon�vad� minory v inverzn� matici se j�m d�l�, je pom�r 1. Pokud se n�sob� nesouhlas�c� hrany, m� to stejn� ��inek, jako kdyby matice m�la dv� identick� hrany a determinant dan� t�mto sou�inem je nulov�.

\section{Matice proch�zek a cest} \label{Matice proch�zek a cest} Uk�zali jsme, v jak�m vztahu jsou prvky inverzn� matice k minor�m prvk� matice. Av�ak v n�kter�ch p��padech se m�e odvodit tato inverzn� matice p��mo ze struktury graf� bez ��dn�ch z�ejm�ch vztah� k minor�m determinantu. To je p��pad matic ${\bf SS}^{\rm T}$ nebo ${\bf GG}^{\rm T}$ strom�. Maj� $(n-1)$ hran a sloupc� a jsou nesingul�rn�, proto�e odpov�daj�c� kvadratick� formy ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ a ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$ maj� pr�v� jednu nulovou vlastn� hodnotu. Ve stromu neexistuje ��dn� cykl, tedy existuje pouze jedna proch�zka mezi ka�d�m p�rem vrchol� (v p��pad� neorientovan�ch graf� mluv�me o cest�ch). M�e se definovat matice\footnote{Pouze jeden symbol se pou��v� pro ob� matice pro �sporu.} ${\bf W}$ s hranami odpov�daj�c�mi v�em proch�zk�m nebo cest�m ve stromu, se sloupci p�edstavuj�c�mi orientovan� hrany nebo neorientovan� hrany. Prvky $w_{ij}$ t�chto matic jsou $\pm 1$ pokud orientovan� hrana nebo neorientovan� hrana $j$ je ��st� cesty nebo proch�zky, $i$ 0 jinak. Definice se komplikuje, zejm�na pro neorientovan� stromy, znam�nky nutn�mi k eliminaci ne��douc�ch prvk�, kdy� matice proch�zek se n�sob� matic� ${\bf GG}^{\rm T}$, jej� v�echny prvky jsou kladn�. orientovan� stromy mohou m�t konfiguraci v�ech orientovan�ch hran hlava k ocasu, pon�vad� stromy jsou dvojd�ln� grafy. Potom v�echny mimodiagon�ln� prvky $ {\bf GG}^{\rm T}$ jsou z�porn� a v�echny prvky ${\bf W}$ kladn�. Jinak $w_{ij}$ m� kladn� znam�nko, pokud hrana $j$ je v sud� vzd�lenosti od posledn� hrany v proch�zce (cest�) nebo orientovan� hrana $j$ m� stejnou orientaci jako posledn� orientovan� hrana, a m� z�porn� znam�nko, pokud odpov�daj�c� hrana je v lich� vzd�lenosti od posledn� hrany, nebo odpov�daj�c� orientovan� hrana m� opa�nou orientaci jako posledn� hrana. Matice cest orientovan�ch line�rn�ch �et�zc� vypadaj� jako Petrieovy matice �pln�ch graf� (viz podkapitolu 13.3), pouze prvky obou matic maj� rozd�lnou interpretaci. Prav� inverzn� matice kvadratick�ch forem ${\bf GG}^{\rm T}$ a ${\bf SS}^{\rm T}$ jsou 1/n n�sobky odpov�daj�c�ch kvadratick�ch forem ${\bf W}^{\rm T}{\bf W}$, matice ${\bf G}^{\rm T}{\bf W}^{\rm T}{\bf W}$ a ${\bf S}^{\rm}{\bf W}^{\rm T}{\bf W}$ jsou prav�mi inverzn�mi maticemi ${\bf G}$ nebo ${\bf S}$, podobn� jako ${\bf W}^{\rm T}{\bf WG}$ a ${\bf W}^{\rm T}{\bf WS}$ jsou lev�mi inverzn�mi maticemi $ {\bf G}$ nebo ${\bf S}$. Diagon�ln� prvky obou kvadratick�ch forem po��taj� kolikr�t odpov�daj�c� orientovan� hrana nebo neorientovan� hrana byla pou��v�na ve v�e proch�zk�ch nebo cest�ch, mimodiagon�ln� prvky po��taj� spole�n� vyu�it� dan�ho p�ru hran. Takto jednodu�e z�skan� ��sla jsou sou�asn� minory odpov�daj�c� kvadratick� formy inciden�n� matice. Stopa ${\bf W}^{\rm T}{\bf W}$ je sou�et vzd�lenost� mezi vrcholy ve stromu. Je zn�m� jako {\em Wienerovo ��slo}, viz p��t� kapitolu. Matice proch�zek a cest stromy zahrnuj� v�echny proch�zky nebo cesty dan�ho stromu, zat�m co k�dov� matice strom� zahrnuj� pouze proch�zky (nebo cesty) z ko�enu. U orientovan�ch strom� oba druhy matic jsou ve vztahu jako \begin{equation} {\bf C}{\bf S}_{\rm K}^{\rm T} = -{\bf W}^{\rm T}\;. \end{equation} Nap��klad $$\begin{tabular}{rrrr|rrrrrr} & & & &\ -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\

& & & & 1 & 0 & -1& 0 & -1& 0 \\ & & & & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1\\ & & & & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & & & & & & & & &\\ 1 & & & & -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & & & 0 & -1 & -1& -1 & -1& 0 \\ 1 & 1 & 1 & & 0 & 0 & 0 & -1 & -1& -1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{tabular}$$ \section{Inversn� matice lich�ch neorientovan�ch cykl�.} \label{Inversn� matice lich�ch neorientovan�ch cykl�.} Inciden�n� matice ${\bf G}$ jednoduch� neorientovan�ch cykl� $C_{lich�}$ m� ve sv� kanonick� form� v ka�d� ��dce dv� n�sledn� 1, \begin{equation} g_{ii} = 1,\ g_{i,i+1} = 1\ [{\rm pokud}\i=(n + 1)\ {\rm potom}\ i= 1,\ g_{ij} = 0\ {\rm jinak}\;. \end{equation} Ob� kvadratick� formy je identick�, jejich prvky jsou \begin{equation} g^{\rm T}g_{ii} = 2,\ g^{\rm T}g_{i,i\pm 1} = 1\ [{\rm pokud}\ i = (n + 1) {\rm potom}\ i = 1\;. \end{equation} Za�neme hled�n�m inverzn� matice kvadratick� formy matice cykl� ${\bf C}^{\rm T} {\bf C}$. Je snadn� ji nal�zt pro mal� cykly, nap��klad pro 7 �lenn� cyklus tato symetrick� matice $({\bf G}^{\rm T}{\bf G})$ za��n� jako $$\begin{array}{cc} {\bf G}^{\rm T}{\bf G} & \left( \begin{array}{rrrrrrr} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Jej� inverzn� matic� $({\bf G}^{\rm T}{\bf G})^{-1}= {\bf C}^{\rm T}{\bf C} $ za��n� jako $$\begin{array}{cc} ({\bf C}^{\rm T}{\bf C}) & \left( \begin{array}{rrrrrrr} -5 & 7 & -5 & 3 & -1 & -1 & 3 \\ 3 & -5 & 7 & -5 & 3 & -1 & -1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array} \right)

\end{array}$$ Tato matice je kvadratickou formou z�kladn� matice ${\bf C}$ lich�ch cykl�, jej� prvky jsou $c_{ij} = (-1)^{d(ij)}$. Horn� d(ij) indexy jsou vzd�lenosti vrchol� j od diagon�ln�ho vrcholu i. Je tu k kladn�ch prvk� a $(k + 1)$ z�porn�ch prvk� v ka�d� ��dce a sloupci, nap��klad $$\begin{array}{cc} ${\bf C}$ & \left( \begin{array}{rrrrrrr} +1 & -1& +1 & -1& -1 & +1& -1 \\ -1 & +1& -1& +1 & -1& -1 & +1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array} \right) \end{array}$$ Pon�vad� ${\bf C}$ je symetrick� \begin{equation} {\bf C}^{\rm T}{\bf C} = {\bf CC}^{\rm T} = {\bf C}^2\;. \end{equation} V kvadratick�ch form�ch znam�nka sousedn�ch prvk� jsou v�dy opa�n� a diference jejich hodnot je v�dy 2. Tedy, kdy� se n�sob� ${\bf C}^{\rm T}{\bf C}$ s ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$, dostaneme pro diagon�ln� prvky $$1\times (2 - n) + 2\times na + 1\times (2 - n) = 4\;.$$ Pro mimodiagon�ln� prvky dostaneme $$1\times[2(k - 1) - n] + 2\times(n - 2k) + 1\times[2(k + 1) - n] = 0\;.$$ Podobn� v�sledek se z�sk� tak� pro prost�edn� prvky $\pm(1, 1, -3)$ nebo $\pm(-3, 1, 1)$. Matice cykl� ${\bf C}$ m� po�adovanou vlastnost matice cykl�, toti� ${\bf CG}\ \equiv {\bf 0}\ {\rm mod}\ 2$. Sousedn� prvky jsou v�t�inou $(\pm 1)$ a pokud maj� stejn� znam�nko, potom jejich sou�et je 2. Sou�in je $2{\bf P}$, kde $ {\bf P}$ je jednotkov� permuta�n� matice cyklu. P��t� sou�in je $${\bf CGG}^{\rm T} = 2({\bf P}+ {\bf P}^{\rm T})\;.$$ Tento v�sledek Se bude interpretovat v term�nech kolinearity a pozd�ji.

ortogonality

Tyto vlastnosti ��ste�n�ch sou�in� n�m dovoluj� definovat pseudoinversn� matice $ {\bf G}$ a ${\bf G}^{\rm T}$ z obou stran \begin{equation} {\bf G}^{-1}\ \hbox{zprava}\ = 1/4{\bf G}^{\rm T}{\bf C}^2 = \pm1/2{\bf CP}^{\rm T} \end{equation} \begin{equation} {\bf G}^{-1}\ \hbox{zleva}\ = 1/4{\bf C}^2{\bf C}^{\rm T}= \pm1/2{\bf P}^{\rm T} {\bf C}\;. \end{equation}

Permuta�n� matice ${\bf P}^{\rm T}$ m� jednotkov� prvky $p_{i,i+(n-1)/2}$. Pokud n�sob� matici ${\bf C}$ zprava, permutuje jej� sloupce, pokud zleva, permutuje jej� hrany. Pon�vad� matice ${\bf C}$ je symetrick�, v�sledky obou permutac� jsou identick� a inciden�n� matice neorientovan�ho lich�ho cyklu m� pravou inverzn� matic�. Mimo to, pokud matice cyklu p�sob� na kvadratickou formu ${\bf G}^{\rm T} {\bf G}$ z obou stran, tak� ji diagonalizuje: $${\bf CG}^{\rm T}{\bf GC}= 4{\bf I}\;.$$ \section{Inversn� matice neorientovan�ch cyklick�ch graf�} \label{Inversn� matice Neorientovan�ch cyklick�ch graf�} Existence inverzn�ch matic kvadratick� formy inciden�n� matice jednoduch�ch neorientovan�ch cykl� bud� z�jem o mo�nosti nal�zt inverzn� matice t�chto kvadratick�ch forem inciden�n�ch matic cyklick�ch graf�. Z obou kvadratick�ch forem ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$ a ${\bf GG}^{\rm T}$ pouze matice men��ho rozm�ru m�e m�t inverzn� matic�. To znamen�, �e pro grafy s dv�ma nebo v�ce cykly pouze forma ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$ m�e b�t nesingul�rn�, proto�e ${\bf GG}^{\rm T}$ je vy���ho rozm�ru. \begin{figure} \caption{P��klady neorientovan�ch nesingul�rn�ch cyklick�ch graf�} \label{P��klady neorientovan�ch nesingul�rn�ch cyklick�ch graf�} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(150.00,60.00) \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(10.00,30.33){\circle{4.00}} \put(25.00,20.00){\circle{4.00}} \put(44.67,20.00){\circle{4.00}} %\emline(45.00,20.00)(25.33,20.00) \put(45.00,20.00){\line(-1,0){19.67}} %\end %\emline(25.33,20.00)(10.00,30.00) \multiput(25.33,20.00)(-0.18,0.12){84}{\line(-1,0){0.18}} %\end %\emline(10.00,30.00)(10.00,10.00) \put(10.00,30.00){\line(0,-1){20.00}} %\end %\emline(10.00,10.00)(25.00,20.00) \multiput(10.00,10.00)(0.18,0.12){84}{\line(1,0){0.18}} %\end \put(28.33,40.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(60.00,10.00){\framebox(20.00,20.00)[cc]{}} %\emline(60.00,10.00)(80.00,30.00) \multiput(60.00,10.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(60.00,30.00){\circle{4.00}} \put(80.00,30.00){\circle{4.00}} \put(60.00,10.00){\circle{4.00}} \put(80.00,10.00){\circle{4.00}} \put(99.67,10.00){\circle{4.00}} %\emline(99.67,9.67)(99.67,30.00) \put(99.67,9.67){\line(0,1){20.33}} %\end %\emline(99.67,30.00)(131.33,10.00) \multiput(99.67,30.00)(0.19,-0.12){167}{\line(1,0){0.19}} %\end

%\emline(131.33,10.00)(131.33,30.00) \put(131.33,10.00){\line(0,1){20.00}} %\end %\emline(131.33,30.00)(99.67,10.00) \multiput(131.33,30.00)(-0.19,-0.12){167}{\line(-1,0){0.19}} %\end \put(99.67,29.67){\circle{4.00}} \put(115.67,20.00){\circle{4.00}} \put(131.33,29.67){\circle{4.00}} \put(131.33,10.33){\circle{4.00}} \put(70.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{B}} \put(115.00,40.00){\makebox(0,0)[cc]{C}} \end{picture} \end{figure} N�kter� p��klady neorientovan�ch cyklick�ch graf� maj�c�ch inverzn� matice kvadratick�ch forem se snadno nalezly (obr. 16.1). Graf A m� inverzn� matici obou kvadratick�ch forem $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf G}^{\rm T}{\bf G}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} 4{\bf G}^{\rm T}{\bf G}^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 3 &-1 &-1 & 1\\ -1 & 3 &-1 & 1\\ -1 &-1 & 3 &-3\\ 1 & 1 &-3 & 7 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf GG}^{\rm T}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array} \right)

\end{array} & \begin{array}{c} 2({\bf GG}^{\rm T})^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 2& -1 & -1 & 1\\ -1 & 2 & 0 & -1\\ -1 & 0 & 2 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Graf B $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf G}^{\rm T}{\bf G}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 3 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} 4({\bf G}^{\rm T}{\bf G})^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 2 & -1 & -1 & 0\\ -1& 3 & 1 & -1\\ -1& 1 & 3 & -1\\ 0 & -1 & -1 & 2 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Graf C $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf G}^{\rm T}{\bf G}\\ \\ \left( \begin{array}{ccccc} 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 4 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}

\right) \end{array} \begin{array}{c} 24({\bf G}^{\rm T}{\bf G})^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{ccccc} 17 &-7 & -3 & 1 & 1\\ -7 &17 & -3 & 1 & 1\\ -3 & -3 & 9 & -3 & -3\\ 1 & 1 & -3 & 17 & -7\\ 1 & 1 & -3 & -7 & 17 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ \section{Zobecn�n� Inverze Laplace-Kirchhoffov�ch matic} \label{Zobecn�n� Inverze Laplace-Kirchhoffov�ch matic} Laplace-Kirchhoffovy matice jsou pojmenovan� podle dvou proslul�ch v�dc�. Laplace vy�e�il s pou�it�m t�chto matic pohyb nebesk�ch t�les, Kirchhoff vy�e�il s pou�it�m t�chto matic pohyb elektron� v elektrick�ch obvod�. Laplace-Kirchhoffovy matice jsou matice ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$. Maj� kladn� diagon�ln� prvky a z�porn� mimodiagon�ln� prvky, kter� jsou vyv�eny jako \begin{equation} {\bf S}^{\rm T}{\bf S}{\bf J} = {\bf 0};\ {\bf J}^{\rm T}{\bf S}^{\rm T}{\bf S}= {\bf 0}\ . \end{equation} Laplace-Kirchhoffovy matice maj� jednu nulovou vlastn� hodnotu. Tu lze odstranit, pokud p�id�me nebo ode�teme od Laplace-Kirchhoffovy matice n�sobek k jednotkov� matice $k{\bf JJ}^{\rm T}$. Potom m�eme nal�zt inverzn� matici. Pokud p�id�me nebo ode�teme od n� op�t n�sobek jednotkov� matice $k{\bf JJ}^{\rm T}$, dostaneme zobecn�nou inverzn� matic� s vlastnostmi: \begin{equation} {\bf S}^{\rm T}{\bf S}[({\bf S}^{\rm T}{\bf S}+ k{\bf JJ}^{\rm T})^{-1} + k{\bf JJ}^{\rm T}] = n{\bf I}- {\bf JJ}^{\rm T} \end{equation} Nap��klad $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} {\bf S}^{\rm T}{\bf S}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c}

({\bf S}^{\rm T}{\bf S}+{\bf JJ}^{\rm T})\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} ({\bf S}^{\rm T}{\bf S}+{\bf JJ}^{\rm T})^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{c} ({\bf S}^{\rm T}{\bf S}+{\bf JJ}^{\rm T})^{-1}) +{\bf JJ}^{\rm T}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 3 \end{array} \right) \end{array}$$ To je mo�n� pon�vad� jednotkov� vektor ${\bf J}$ je nulov�m vlastn�m vektorem matice ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$. Vzpome�te si, �e $n{\bf I}- {\bf JJ}^{\rm T}$ je Laplace-Kirchhoffova matice �pln�ho grafu $K_n$. Mezi nekone�n� mnoha zobecn�n�mi inverzn�mi maticemi ka�d� matice ${\bf S}^{\rm T} {\bf S}$ existuje speci�ln� zobecn�n� inverzn� matice, kter� se z�sk� Moebiusovou inverz� matice ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$. Hlavn� podmatice $\delta_{j}{\bf S}^{\rm T}{\bf j-t� sloupec, jsou nesingul�rn� a maj� inverzn� matice se�tou s ponech�n�m pr�zdn� j-t� ��dky a Eichingerovy matice} ${\bf E}$, kter� tak� maj� matic:

S}$, kde je vypu�t�na j-t� ��dka a matice. Pokud se tyto inverzn� sloupce, dostaneme {\em vlastnosti zobecn�n�ch inverzn�ch

\begin{equation} {\bf E} = \sum_{j=1}^n \delta_{j}{\bf S}^{\rm T}{\bf S} \end{equation} \begin{equation} {\bf S}^{\rm T}{\bf S}{\bf E} = n{\bf I} -{\bf JJ}^{\rm T}\;. \end{equation} Nap��klad jako shora

$$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} {\bf S}^{\rm T}{\bf S}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right) \end{array} \begin{array}{c} (\delta_1({\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \end{array} \begin{array}{c} (\delta_2{\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} (\delta_3{\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{c} {\bf E}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 3 \end{array} \right)

\end{array}$$ Vlastn� hodnoty Eichingerov�ch matic jsou inverzn� vlastn� hodnoty p�vodn� Laplace-Kirchhoffovy matice vyjma vlastn� hodnotu odpov�daj�c� nulov� vlastn� hodnot�. Tato vlastn� hodnota je rovn� sou�tu ostatn�ch $(n-1)$ vlastn�ch hodnot. \section{Technika zako�en�n�} \label{Technika zako�en�n�} V kapitole 13 jsme uk�zali, �e inciden�n� matice strom� jsou nesingul�rn�, a �e maj� inverzn� matice $({\bf S}*)^{-1}$, k�dov� matice ${\bf C}$. Zako�en�n� odstra�uje singularitu nejen matice strom� ale v�ech graf�. D�kaz je induktivn� a je formulovan� pro pravou inverzn� matici. Matice ${\bf JJ}^{\rm T}$ je nulov� matice jak�koliv Laplace-Kirchhoffovy matice, pon�vad� jednotkov� sloupec je jej�m nulov�m vlastn�m vektorem. Av�ak matice ${\bf JJ}^{\rm T}$ p�id�v� na m�sto perturbace 1 v dan� ��dce a nuly v odpov�daj�c�m sloupci. Ko�enov� ��dka mus� b�t vyv�ena. V jin�ch ��dc�ch je jednotkov� sloupec nulov�m vlastn� vektorem, 1 na diagon�le je vyvol�na dal��mi prvky ��ste�n� inverzn� matice. Pon�vad� Laplace-Kirchhoffova matice je symetrick�, sou�in ��ste�n� inverzn� matice se z�porn�mi mimodiagon�ln� prvky ko�enov� ��dky mus� d�vat -1. To nech�v� nuly jako mimodiagon�ln� prvky. V p�edchoz� sekci byla uk�z�na Moebiusova inverzn� matice Laplace-Kirchhoffovy matice. To vy�aduje invertov�n� n submatic. Je dosta�uj�c� odstranit singularitu Laplace-Kirchhoffovy matice zako�en�n�m pouze jednoho vrcholu, jednodu�e p�i�ten�m 1 (nebo jak�hokoliv ��sla) k jednomu jej�mu diagon�ln�mu prvku: \begin{equation} {(\delta_j\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{-1} + {\bf JJ}^{\rm T} = ({\bf S}^{\rm T}{\bf S} + 1_{jj})^{-1}\;. \end{equation} Nap��klad $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} ({\bf S}^{\rm T}{\bf S} + 1_{11})_{C_4}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 3 & -1 & 0 & -1\\ -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 0 & -1 & 2 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} ({\bf S}^{\rm T}{\bf S} + 1_{11})_{C_4})^{-1}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 7/4 & 6/4 & 5/4 \\ 1 & 6/4 & 8/4 & 6/4 \\ 1 & 5/4 & 6/4 & 7/4 \end{array}

\right)\;. \end{array} \end{array}$$ V�ha orientovan�ch hran se sn�ila pro cykly $C_n$. Inverzn� matic� diference $ (\delta_1{\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{-1}$ je v�dy matice ${\bf SS}^{\rm T}$ line�rn�ho �et�zce $L_n$, jeho� inverzn� matic� je kvadratick� forma ${\bf W}^{\rm T}{\bf W}$ matice cest. �et�zec tvo�� nap�nac� strom. Jeho �tvercov� matice se mus� rozlo�it do troj�heln�kov�ho tvaru a p�idat k matici ${\bf JJ}^{\rm T}$. Pon�vad� ${\bf W}^{\rm T}{\bf W}$, jak byly definov�ny, d�vaj� $n{\bf I}$ jako sou�in s ${\bf SS}^{\rm T}$, je nutn� d�lit n. Jako p��klad troj�heln�kov� dekompozice $$\begin{array}{c} {\bf W}^{\rm T} \\ \\ \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} {\bf W}^{\rm T}{\bf W}\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \end{array} & = & \begin{array}{c} Troj�heln�kov� dekompozice\\ \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3/4} & 0 & 0\\ \sqrt{1/3} & \sqrt{2/3} & 0\\ \sqrt{1/12} & \sqrt{1/6} & \sqrt{1/2} \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Kdy� prvky matice ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ se interpretuj� jako {\em vodivosti}, potom prvky inverzn� matice jsou {\em odpory} (nebo odporov� vzd�lenosti). Dva soused�c� vrcholy jsou spojen� v kru�nici $C_n$ dv�ma zp�soby, bu� p��mo spojuj�c� orientovanou hranou, nebo cestou $(n-1)$ orientovan�ch hran. Pokud v�echny orientovan� hrany maj� odpor 1, potom vodivost obou spojen� je 1 a $1/(n-1)$. Vodivost obvodu je $n/(n-1)$, v na�em p��klad� $4/3$. Dv� cesty mezi opa�n�mi vrcholy v sud�ch cyklech maj� odpory $n/2$, jejich spojen� vodivost je $4/n$, v na�em p��klad� $1$. Technika zako�en�n� u strom� d�v� stejn� v�sledek jako k�dov� matice.

N�sobnost k

orientovan�ch hran se m�e vyj�d�it jako opakov�n� hrany nebo v�en� orientovan�ch hran. Tyto v�hy v inciden�n� matici mus� b�t odmocninami n�sobnosti k orientovan� hrany. Element�rn� v�po�ty ukazuj�, �e n�sobnost k orientovan�ch hran sni�uje k�d vrcholu, do kter�ho jde orientovan� hrana, jako 1/k. Nap��klad strom \begin{figure} \unitlength 1.0mm \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(51.70,12.33) \put(10.33,10.00){\circle{4.00}} \put(30.00,10.00){\circle{4.00}} \put(50.00,10.00){\circle{4.00}} %\emline(30.00,10.00)(50.00,10.00) \put(30.00,10.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(10.33,8.67)(30.00,8.67) \put(10.33,8.67){\line(1,0){19.67}} %\end %\emline(10.67,11.00)(30.00,11.00) \put(10.67,11.00){\line(1,0){19.33}} %\end \end{picture} \end{figure} m� t�� k�dy odpov�daj�c� ko�en�m 1, 2, 3: $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} Ko�en\ 1\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 1 & \sqrt{1/2} & 0 \\ 1 & \sqrt{1/2} & 1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} Ko�en\ 2\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & \sqrt{1/2} \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} Ko�en\ 3\\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\

1 & 1 & \sqrt{1/2} \end{array} \right) \end{array} \end{array}\;.$$ \section{Vztahy Spekter graf� a komplement�rn�ch graf�} \label{Vztahy Spekter graf� a komplement�rn�ch graf�} Charakteristick� polynomi�ly Laplace-Kirchhoffov�ch matic lze nal�zt stejnou technikou jako charakteristick� polynomi�ly matic sousedstv�, to je indexov�n�m charakteristick�ch obr�zk�, ve kter�ch stupn� vrchol� $v_j$ p�edstavuj� smy�ky nebo technikou La Verrier-Fad�jev-Frameovou. Sou�et inverzn� matice Laplace-Kirchhoffovy submatice $(\delta{\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{-1}$ tvo�� zobecn�nou inverzn� matici ${\bf E}$ Laplace-Kirchhoffovy matice d�vaj�c� jako sou�in Laplace-Kirchhoffovy matici �pln�ho grafu ${\bf S}^{\rm T} {\bf S}_K$: \begin{equation} {\bf S}^{\rm T}{\bf S}{\bf E}= {\bf S}^{\rm T}{\bf S}_K\;. \end{equation} Zobecn�n� inverzn� matice ${\bf E}$ Laplace-Kirchhoffovy matice je identick� s matic� ${\bf B}_{n-2}$ La Verrier-Fad�jev-Frameovy techniky \begin{equation} {\bf S}^{\rm T}{\bf S} = ({\bf S}^{\rm T}{\bf S})_n -a_1({\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{n-1}\;, \end{equation} kde $a_1$ je koeficient charakteristick�ho polynomi�lu a matice $({\bf S}^{\rm T} {\bf S})_n = ({\bf S}^{\rm T}{\bf S}){\bf B}_{n-1}$. Frameovy matice ${\bf B}$ se z�skaj� jako ${\bf B}_n = ({\bf S}^{\rm T}{\bf S})_n - a_n{\bf I}$. Posledn� Frameova matice je ${\bf B}_n = ({\bf S}^{\rm T}{\bf S}_n - a_n{\bf I}) = {\bf 0}$. To znamen�, �e \begin{equation} {\bf B}_{n-1} = 1/a_{n-1}({\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{-1}\;. \end{equation} U Laplace-Kirchhoffovy matice $a_n = 0$, tedy $({\bf S}^{\rm T}{\bf S})_n = {\bf 0}$. Tedy ${\bf B}_{n-1} = ({\bf S}^{\rm T}{\bf S})^{-1}$, a $ a_{n-1} = n$. Z toho plyne, �e \begin{equation} {\bf E}= {\bf B}_{n-2}\ {\rm a}\{\bf E}({\bf S}^{\rm T}{\bf S})^2 = n{\bf S}^{\rm T}{\bf S}\;. \end{equation} Mimo to, pokud Laplace-Kirchhoffova matice ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}_K$ grafu $G_n$ se n�sob� $({\bf E}- {\bf I})$, z�sk� se Laplace-Kirchhoffova matice dopl�kov�ho grafu $\overline{G}$. Z t�chto v�sledk� plyne vztah vlastn�ch hodnot $\lambda_j$ odpov�daj�c� Laplace-Kirchhoffovy matice: \begin{equation} {\bf E}(\lambda_j ) = {\bf S}^{\rm T}{\bf S}(n/\lambda_j)\ {\rm a}\ {\bf S}^{\rm T}{\bf S}(\overline{G})(\lambda_j)

= {\bf S}^{\rm T}{\bf S}(G)(n -\lambda_j)\;. \end{equation} Vlastn� hodnoty Laplace-Kirchhoffov�ch matic p�r� komplement�rn�ch graf� mus� b�t komplement�rn�, aby jejich sou�ty daly vlastn� hodnoty �pln�ho grafu $K_n$. Nap��klad hv�zda $S_n$ je dopl�kov�m grafem �pln�ho grafu $K_{n-1}$. Jej� spektrum je $[n, 1^{n-2}, 0]$, co� je dopl�kem ke spektrum $[0, (n - 1)^{n-2}, 0]$ LaplaceKirchhoffovy matice �pln�ho grafu s $(n -1)$ vrcholy. \section{Sou�iny Laplace-Kirchhoffov�ch matic} \label{Sou�iny Laplace-Kirchhoffov�ch matic} Dva grafy se pova�uj� za ekvivalentn�, pokud jejich matice mohou b�t vz�jemn� transformovan� symetrick�mi permutacemi s jednotkov�mi permuta�n�mi maticemi ${\bf P}$: ${\bf M}_{G_i} = {\bf PM}_{G_j}{\bf P}^{\rm T}$. Vyst�v� zaj�mav� probl�m: V jak�m vztahu jsou vlastn� hodnoty odpov�daj�c�ch matic p�i takov�ch operac�ch. Je obvykl� uspo��dat vlastn� hodnoty v vzestupn�m nebo sni�uj�c�m se uspo��d�n�, av�ak pokud se matice permutuje, potom by se tak� m�ly jej� vlastn� hodnoty permutovat, aby se dostaly rozd�ln� sou�iny a tedy nemohou b�t ve v�ech ekvivalentn�ch grafech uspo��d�ny podobn� jako v kanonick� form� v vzestupn�m nebo klesaj�c�m po��dku. To znamen�, �e lze definovat {\em orbitu vlastn�ch hodnot}, jej� objem je ur�en n�sobnostmi vlastn�ch hodnot. Kdy� n�sob�me Laplace-Kirchhoffovy matice dvan�cti rozd�ln� ozna�en�ch line�rn� �et�zc� $L_4$, dostaneme 3 rozd�ln� v�sledky v z�vislosti na po�tu spole�n�ch orientovan�ch hran a dan� permutaci. Z t�chto t�� se zaj�m�me o dva extr�mn� p��pady: $$\begin{array}{cc} \hbox {3 spole�n� orientovan� hrany}\ & \left( \begin{array}{cccc} 2 & -3 & 1 & 0\\ -3 & 6 & -4 & 1\\ 1 & -4 & 6& -3\\ 0 & 1 & -3& 2 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Stopa je sou�tem �tverc� vlastn�ch hodnot $(2 + 2^{1/2})^2 + 2^2 + (2 - 2^{1/2})^2 = 16$. $$\begin{array}{cc} \hbox {��dn� spole�n� orientovan� hrana}\ & \left( \begin{array}{cccc} 2 &-1 &-1& 0 \\ -1 & 2 & 0 &-1 \\ -1 & 0 & 2& -1 \\ 0 &-1 &-1 & 2 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ $L_4$ je samo se dopl�uj�c� graf a v sou�inu dvou samo se dopl�uj�c�ch graf� se

vlastn� hodnoty jsoun n�sob� v opa�n�m uspo��d�n� jako vlastn� hodnoty ve �tverci $$\begin{tabular}{|l|rrrr|} \hline Spektrum $(L_4)$ & $2+2^{1/2}$ & 2 & $2-2^{1/2}$ & 0 \\ Spektrum $(L_4)$ & $2-2^{1/2}$ & 2 & $2+2^{1/2}$ & 0 \\ \hline Spektrum $(C_4)$ & 2 & 4 & 2 & 0 \\ \hline \end{tabular}$$ Matice sou�inu je Laplace-Kirchhoffova matice cyklu $C_4$ a jej� vlastn� hodnoty nejsou uspo��dan�, pon�vad� samotn� cykl je permutovan� ze sv� standardn� formy. V�sledek lze formulovat jako teor�mu: Pokud se Laplace-Kirchhoffova matice grafu s jednoduch�mi orientovan�mi hranami n�sob� Laplace-Kirchhoffovou matic� sv�ho dopl�kov�ho grafu, vlastn� hodnoty sou�inu matic jsou vlastn�mi hodnotami p�vodn� Laplace-Kirchhoffova matice n�soben� vlastn�mi hodnotami jej�ho dopl�kov�ho grafu vzat�mi v inverzn�m uspo��d�n�, vyjma nulovou vlastn� hodnotu. D�kaz: Z dopl�kov�ch vlastnost� obou Laplace-Kirchhoffova matic plyne, �e jejich mimodiagon�ln� prvky tvo��c� matice sousedstv� ${\bf A}$ nemaj� ��dn� ��inek na stopu sou�inu, $Tr[{\bf A}(G){\bf A}\overline{(G)}] = 0$. Tedy diagon�ln� prvky sou�inu jsou $v_j[(n - 1) - v_j]$ a sou�asn� stopa je podle teor�mu sou�tem vlastn�ch hodnot sou�in� $\lambda_j(n-\lambda_j)$: \begin{equation} Tr({\bf S}^{\rm T}{\bf S}\overline{({\bf S}^{\rm T}{\bf S}}) = \sum_{j=1}^n [(n - v_j)- v_j^2] = \\ \sum_{j=1}^n[(n\lambda_j - \lambda_j^2) \end{equation} Stopa Laplace-Kirchhoffovy matice se sou�asn� rovn� sou�tu stup�� vrchol� $\Sigma v_j$ a sou�tu vlastn�ch hodnot $\Sigma\lambda_j$ a stopa �tverce LaplaceKirchhoffova matice s jednoduch�mi orientovan�mi hranami je \begin{equation} Tr([{\bf S}^{\rm T}{\bf S}]^2) = \sum_{j=1}^n (v_j^2 + v_j) = \sum_{j=1}^n\lambda_j^2, \end{equation} tedy \begin{equation} Tr({\bf S}^{\rm T}{\bf S}\overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}}) = nTr({\bf S}^{\rm T}{\bf S}) - Tr([{\bf S}^{\rm T}{\bf S}]^2)\;. \end{equation} Vych�zeje z dopl�kov�ho grafu a jeho Laplace-Kirchhoffovy matice a vlo�en�m $(n -1 - v_j)$ dostaneme stejn� v�sledek. D�kaz vyu�il vlastnosti grafov�ch matic s jednoduch�mi orientovan�mi hranami, av�ak vztah mezi vlastn�mi hodnotami plat� tak� pro multigrafy a jejich komplement�rn� grafy, jak se vypo��t� ze vztahu \begin{equation} \overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}} = {\bf S}^{\rm T}{\bf S}({\bf E}- {\bf I})\;.

\end{equation} To je diference \begin{equation} \overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}} = ({\bf S}^{\rm T}{\bf S})_K -{\bf S}^{\rm T}{\bf S}\;. \end{equation} Nap��klad $$\begin{tabular}{cccc|ccc} & & & &\multicolumn{3}{c}{$\overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}}$}\\ & & & & & & \\ & & & &\ -1 & 1 & 0\\ & & & &\ 1 & 0 & -1\\ & & & &\ 0 & -1 & 1\\ \hline & & & & & & \\ ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ & 3 & -2 & -1 & -5 & 4 & 1 \\ & -2 & 2 & 0 & 4 & -2 & -2 \\ & -1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \end{tabular}$$ $$\begin{tabular}{|l|ccc|} \hline Spektrum ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ & $3+3^{1/2}$ & $3- 3^{1/2}$ & 0 \\ Spektrum $\overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}}$ & $-3^{1/2}$ & $3^{1/2}$ & 0 \\ \hline & & & \\ Spektrum ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}\overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}}$ & $ -(3+27^{1/2})$ & $27^{1/2} -3$ & 0 \\ \hline \end{tabular}$$ D�kaz lze zjednodu�it s pou�it�m form�ln� notace: \begin{eqnarray} [{\bf S}^{\rm T}{\bf S}]^2 + \overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}} = {\bf S}^{\rm T}{\bf S} \\ ({\bf S}^{\rm T}{\bf S} + \overline{{\bf S}^{\rm T}{\bf S}}) = {\bf S}^{\rm T}{\bf S}({\bf S}^{\rm T}{\bf S})_K = \\ {\bf S}^{\rm T}{\bf S}(n{\bf I}-{\bf JJ}^{\rm T}) = \\ n{\bf I}{\bf S}^{\rm T}{\bf S}+ {\bf 0}= n{\bf S}^{\rm T}{\bf S}\;. \end{eqnarray} Nebo \begin{equation} Sp(\lambda_j^2 + \lambda_j[n - \lambda_j]) = nSp(\lambda_j)\;. \end{equation} Jednotkov� vektor-sloupec ${\bf J}$ nebo jednotkov� vektor-��dka ${\bf J}^{\rm T}$ jsou nulov�mi vlastn�mi vektory Laplace-Kirchhoffov�ch matic v�ech graf� a Laplace-Kirchhoffovy matice v�ech subgraf� �pln�ho grafu $K_n$ nejsou ortonorm�ln� vlastn� vektory sv� Laplace-Kirchhoffovy matice.

D�sledkem vlastnost� sou�in� vlastn�ch hodnot je, �e spektra samo se dopl�uj�c�ch graf� (jejich Laplace-Kirchhoffov�ch matic) mus� b�t symetrick�, vyjma jejich nulovou vlastn� hodnotu: \begin{equation} n/2 \pm( -\lambda_jn/2)\;. \end{equation} \section{\ Syst�my line�rn�ch rovnic} \label{Syst�my line�rn�ch rovnic} Soustavu $n$ rovnic s $n$ nezn�m�mi lze zapsat v

maticov� form� jako

\begin{equation} {\bf Mx}= {\bf b}\;. \end{equation} Matice koeficient� se n�sob� vektorem sloupcem ${\bf x}$ a d�v� vektor sloupec $ {\bf b}$. Soustava rovnic m� �e�en�, pokud matice ${\bf M}$ nen� singul�rn�. Potom \begin{equation} {\bf x} = {\bf M}^{-1}{\bf b}. \end{equation} Nalezneme inverzn� matici a jej�m n�soben�m s vektorem {\bf b} bychom m�li dostat nezn�m�. Jinou mo�nost�, jak vy�e�it soustavu v p��pad�, �e matice ${\bf M}$ nen� singul�rn� a jej� determinant nen� nulov�, je Cramerova technika. Konstruujeme blokovou matici ve tvaru \begin{equation} \left( \begin{array}{cc} {\bf M}& {\bf b} \\ {\bf J} & \Sigma x_j \end{array} \right)\;. \end{equation} Posledn� sloupec t�to matice s $m = (n+1)$ ��dkami a sloupci je line�rn� kombinace prvn�ch n sloupc�. V�hy jsou dan� prvky vektoru ${\bf x}$. To plat� tak� pro m-tou ��dku. Determinant blokov� matice je nula a tedy, kdy� jej rozvineme podle posledn� ��dky dostaneme \begin{equation} \Sigma x_j = \Sigma A_{mj}/det(M)\;. \end{equation} $A_{mj}$ je minor. Prvky $x_j$ jsou jednodu�e odpov�daj�c� pod�ly determinant�. Nev�hodou t�to techniky je, �e vy�aduje mnoho v�po�t�. Jin� nev�hoda nen� obvykle z�ejm�. Pokud ka�d� ��dka m� sv�j vlastn� vektor vah nebo pokud vektor ${\bf b}$ se kombinuje s vektorem chyb, potom vektor ${\bf x}$ m�e b�t daleko od v�ech vektor�

${\bf x}_j$. Nap��klad matice $$\left( \begin{array}{ccccc} 12 & 4 & 3 & 2 & 1\\ 14 & 5 & 5 & 3 & 2\\ 14 & 5 & 5 & 4 & 1\\ 16 & 6 & 6 & 6 & 3\\ 16 & 6 & 8 & 4 & 3 \end{array} \right)$$ m� dob�e definovanou inverzn� matic� a d�v� pro vektor ${\bf b} = (32, 46, 45, 64, 62)^{\rm T}$ jako �e�en� vektor ${\bf x}= (1, 1, 2, 3, 4)^{\rm T}$. Zaveden�m vektoru chyb ${\bf r} = (2, 0, 0, 0, 0) ^{\rm T}$, kter� d�v� vektor ${\bf b} = (34, 46, 45, 64, 62)^{\rm T}$, vektor ${\bf b}$ se zm�n� na $(8.5, -24, 4, 5, 6)^{\rm T}$. To znamen�, �e mal� chyba indukovala chybu vkl�dan�ho vektoru $(7.5, -25, 2, 2, 2)^{\rm T}$, kter� �pln� deformovala spr�vn� vektor, nebo m�lo zm�n�n� zvl�tn� vektor ${\bf x}$ deformoval v�sledek pro cel� svazek s identick�mi vektory. Tato vlastnost vektorov�ch syst�m� je velmi ne��astn�, proto�e nem�eme b�t jisti, pokud nezn�me p�esn� hodnoty, pouze s pou�it�m p�ibli�n�ch hodnot, �e na�e rekonstrukce odpov�d� p�vodn�m hodnot�m. \chapter{matice vzd�lenost�} \label{matice vzd�lenost�} \section{�vod} \label{�vod 17} Vzd�lenosti u� byly zm�n�n�, av�ak nyn� jejich matice budou studov�ny systematicky, s pou�it�m v�ech nich znalost�. M�eme se pohybovat mezi dv�ma body i a j po rozd�ln�ch cest�ch. D�lky cest z�vis� na okolnostech, jako na dostupnosti cest, nebo prost�edc�ch transportu. D�lka cesty mezi body i a j je {\em vzd�lenost} $d_{ij}$. {\em Topologick� matice vzd�lenost�} ${\bf D}$ jsou definov�ny jako matice, jejich� mimodiagon�ln� prvky jsou vzd�lenosti $d_{ij}$. Tyto prvky po��taj� po�et orientovan�ch hran (neorientovan�ch hran) mezi vrcholy i a j v grafu. To je nejmen�� po�et hran nebo orientovan�ch hran, kter� se mus� proj�t na proch�zce nebo cest� mezi ob�ma vrcholy. To je d�le�it� v grafech s cykly, kde existuje v�ce proch�zek nebo cest. Vzd�lenosti mezi nespojit�mi bloky jsou definovan� jako nekone�n�. Takov� matice vzd�lenost� se pou��valy k charakterizaci graf� v teorii graf� a nikdo se nestaral, jak� je v�znam vzd�lenost� z�skan�ch jednoduch�m po��t�n�m hran. Pak se zavedly matice vzd�lenost� m���c� euklidovsk� geometrick� vzd�lenosti odpov�daj�c�ch vrchol� a zavedly se tak� v chemii matice s recipro�n�mi hodnotami vzd�lenost�. Topologick� matice vzd�lenost� ${\bf D}$ grafu m� stejn� jednotkov� prvky jako jeho matice sousedstv� ${\bf A}$. Ob� matice se z�skaj� stejnou operac� popsanou v podkapitole 12.8 z matice koordin�t. Probl�m se demonstruje na p��klad� koordin�t �ty� bod� na vrcholech pravideln�ho �ty�st�nu, nata�en�ho p��mo na osy nebo navinut�ho cik-cak na jednotkovou krychli. Existuj� t�i odpov�daj�c� kvadratick� formy t�� matic koordin�t ${\bf CC}^{\rm T}$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf A} \\ {\bf I}^2 \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B} \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right)\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 3 & 6 & 9 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} \\ \\ {\bf C} \\ \\ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right)\;. \end{array}

\end{array}$$ P�i n�soben� kvadratick�ch forem t�chto matic koordin�t s r�me�kem ${\bf S}^{\rm T}(*){\bf S}$, kde ${\bf S}^{\rm T}$ je matic� $$\left( \begin{array}{cccccc} -1 &-1& 0 &-1& 0 & 0 \\ 1 &0& -1 & 0 &-1 & 0 \\ 0 & 1& 1 & 0& 0 &-1 \\ 0 & 0& 0 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right)\;,$$ naleznou se vzd�lenosti (rozd�ly koordin�t) mezi �ty�i body v rozd�ln� konfiguraci. Tyto vzd�lenosti se objev� jako {\em diagon�ln� prvky} odpov�daj�c�ch sou�in�. Jsou to $(2, 2, 2, 2, 2, 2)$, $(1, 4, 1, 9, 4, 1)$ a $(1, 2, 1, 3, 2, 1)$. Ve v�ech p��padech tato ��sla jsou �tverce euklidovsk�ch vzd�lenost�. Tyto diagon�ly $\Delta_D$ $n(n-1)/2$ vzd�lenost� se redukuj� do n rozm�rn� �tvercov� matice or�mov�n�m inciden�n� matic� �pln�ho grafu \begin{equation} {\bf S}^{\rm T}\Delta_D{\bf S}= {\bf Q} - {\bf D}\;, \end{equation} kde ${\bf Q}$ je diagon�ln� matice ��dkov�ch nebo sloupcov� sou�t� prvk� vzd�lenost� vrcholu i ke v�em jin�m vrchol�m. Z�porn� mimodiagon�ln� prvky ukazuj� vzd�lenosti mezi odpov�daj�c�mi p�ry vrchol�: $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf A} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 3 & -1& -1& -1\\ -1 & 3 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 3 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 13 & -1 & -4 & -9 \\ -1 & 6 & -1 & -4 \\ -4 & -1 & 6 & -1 \\ -9& -4& -1 & 13 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{c}

${\bf C}$ \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 6 & -1 & -2 & -3 \\ -1 & 4 & -1 & -2 \\ -2 & -1 & 4 & -1 \\ -3 & -2 & -1 & 6 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Prv� matice ${\bf A}$ je identick� s Laplace-Kirchhoffovou matic� �pln�ho grafu $K_4$. Druh� matice ${\bf B}$ odpov�d� �tverc�m Euklidovsk�ch vzd�lenost� mezi koordin�tami ��seln� osy. Mimodiagon�ln� prvky t�et� matice ${\bf C}$ jsou identick� s topologickou matic� vzd�lenost� $L_4$. \section{Vlastnosti matice vzd�lenost�} \label{Vlastnosti matice vzd�lenost�} Topologick� matice vzd�lenost� ${\bf D}$ strom� maj� zaj�mavou vlastnost. Byla objevena dosti ned�vno Rutherfordem. Zjistil, �e ${\bf D}$ je vnit�n� inverzn� matic� kvadratick� formy inciden�n� matice \begin{equation} {\bf S}{\bf D}{\bf S}^{\rm T}= -2{\bf I}\;. \end{equation} \label{S} Rozm�rnost matice vzd�lenost� je sn�ena t�mto or�mov�n�m na rozm�rnost mno�iny orientovan�ch hran $(n-1)$. Prvky prv�ho sou�inu, nap��klad ${\bf D}{\bf S}^{\rm T}$, jsou rozd�ly vzd�lenost� $(BJ - BK) - (AJ - AK)$. Tato diference u acyklick�ch graf� je jen vzd�lenost� mezi vrcholy spojen�mi jedou orientovanou hranou, to znamen�, �e je $\pm 1$, podle orientace orientovan� hrany. V druh�m sou�inu dostaneme op�t diference. V�sledkem je druh� diference, kter� je z�porn�. Interpretujeme toto sch�ma diferenc� jako symptom ortogonality (n-1) orientovan�ch hran ve stromech. Sch�ma diferenc� se v�emi orientovan�mi hranami v �pln�m grafu \begin{equation} {\bf S}_K{\bf D}{\bf S}^{\rm T}_K \end{equation} ur�uje polohy vrchol� v prostoru. P��klady matic vzd�lenost� shora d�vaj� n�sleduj�c� rozd�ly $$\begin{array}{c} ${\bf A}$ \\ \\ \left( \begin{array}{rrrrrr} -2 & -1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -2 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & -2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & -1 & -2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & -2 \end{array}

\right) \end{array}$$ $$\begin{array}{c} ${\bf B}$ \\ \\ \left( \begin{array}{rrrrrr} -2 & -4 & -2 & -6 & -4 & -2\\ -4 & -8 & -4 & -12 & -8 & -4 \\ -2 & -4 & -2 & -6 & -4 & -2 \\ -6& -12& -6 & -18 & -12 & -6\\ -4 & -8 & -4 & -12 & -8 & -4 \\ -2 & -4 & -2 & -6 & -4 & -2 \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{c} ${\bf C}$ \\ \\ \left( \begin{array}{rrrrrr} -2 & -2 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & -4 & -2 & -4 & -4 & -2 \\ 0 & -2 & -2 & -2 & -2 & 0 \\ -2 & -4 & -2 & -6 & -4 & -2 \\ 0 & -2 & -2 & -4 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & -2 & -2 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Anal�za sch�mat diferenc� ukazuje, �e diagon�ln� prvky jsou dvojn�sobky d�lek odpov�daj�c�ch orientovan�ch hran. Mimodiagon�ln� prvky se interpretuj� jako kosiny �hl� mezi odpov�daj�c�mi orientovan�mi hranami: \begin{equation} \cos A = (b^2 + c^2 - a^2)/2bc. \end{equation} \label{cos} Po normalizaci diagon�ln�ch prvk� dostaneme v p��pad� A na diagon�le 1. Mimodiagon�ln� prvky jsou 1, 0, -1. Kdy� se d�l� $2\times1\times1$ daj� $0.5, 0, -0.5$. Tyto hodnoty jsou kosiny $60^0, 90^0$ a $120^0$. To jsou �hly mezi hranami v pravideln�m �ty�st�nu. Po normalizaci diagon�ln�ch prvk� dostaneme v p��pad� B na diagon�le vzd�lenosti 1, 4 a 9. Jejich odmocniny jsou 1, 2 a 3, vzd�lenosti na p��mce. Mimodiagon�ln� prvky jsou $-2,\ -4,\ -6,\ -8,$ a $-12$. Kdy� se d�l� odpov�daj�c�mi diagon�ln�mi prvky jako $2\times1\times1$, $2\times1\times2$, $2\times1\times3$, 2\times2\times2$ a $2\times2\times3$, pod�l je v�dy 1. To je kosinus $0^0$, v�echny vzd�lenosti mezi body jsou koline�rn�. To odpov�d� konfiguraci p��mky. V p��pad� B dostaneme na diagon�le po normalizaci diagon�ln�ch prvk� 1, 2 a 3. Jedna je strana krychle, odmocnina 2 je diagon�la jej� strany a odmocnina 3 je jej� vnit�n� diagon�la. Mimodiagon�ln� prvky jsou $0,\ -2,$ a $-4$. Jsou d�leny odpov�daj�c�mi diagon�ln�mi prvky jako $2\times1\times\sqrt{2}$, $2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}$ a $2\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}$. To jsou kosiny $35.26^0, 45^0$ a $90^0$. To jsou �hly mezi orientovan�mi hranami v 3 rozm�rn�

krychli, jak je pot�eba. \section{Ulo�en� graf�} \label{Ulo�en� graf�} Pokud interpretujeme vzd�lenosti p�es orientovan� hrany jako �tverce euklidovsk�ch geometrick�ch vzd�lenost�, potom m�eme studovat konfigurace graf� ulo�en�ch do grafov�ho prostoru. T�i konfigurace line�rn�ho �et�zce u� byly zm�n�n�. Topologick� konfigurace strom� se z�skaj� z k�dov� matice a v�echny orientovan� hrany ve stromech jsou ortogon�ln�. Konformace cykl� se sud�m po�tem vrchol� jsou zaj�mav�. Cykl $C_4$ tvo�� �tverec, ka�d� z jeho �ty� orientovan�ch hran je ortogon�ln� se sv�mi ob�ma sousedkami a koline�rn� se �tvrtou orientovanou hranou $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf D}_{C_{4}} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf S}{\bf D}_{C_{4}}{\bf S}^{\rm T} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} -2 & 0 & 2 & 0\\ 0& -2 & 0 & 2\\ 2& 0& -2 & 0\\ 0 & 2 & 0& -2 \end{array} \right)\;. \end{array} \end{array}$$ Cykl $C_4$ ohnut� na pravideln� �ty�st�n s matic� vzd�lenost� odpov�daj�c� matici vzd�lenost� �pln�ho grafu $K_4$ d�v� jin� maticov� �hly. Soused�c� orientovan� hrany tvo�� 60-stup�ov� �hly a ka�d� orientovan� hrana je ortogon�ln� ke sv� protilehl� orientovan� hran�. Ty tvo�� p�r, kter� nem� ��dn� spole�n� vrchol. $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf D}_{K_{4}} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1& 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0

\end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf S}{\bf D}_{K_{4}}{\bf S}^{\rm T} \\ \\ \left( \begin{array}{cccc} -2 & 1 & 0 & 1\\ 1& -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 &-2 & 1\\ 1 & 0 & 1 &-2 \end{array} \right)\;. \end{array} \end{array}$$ \begin{figure} \caption{T�i um�st�n� cyklu $C_6$} \label{T�i um�st�n� cyklu $C_6$} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(180.00,60.00) \put(10.33,10.00){\circle{4.00}} \put(30.00,9.67){\circle{4.00}} \put(10.33,30.00){\circle{4.00}} \put(30.00,29.67){\circle{4.00}} \put(25.33,25.00){\circle{4.00}} \put(45.00,24.67){\circle{4.00}} \put(25.33,45.00){\circle{4.00}} \put(45.00,44.67){\circle{4.00}} \put(70.67,10.00){\circle{4.00}} \put(90.33,9.67){\circle{4.00}} \put(70.67,30.00){\circle{4.00}} \put(90.33,29.67){\circle{4.00}} \put(85.67,25.00){\circle{4.00}} \put(105.33,24.67){\circle{4.00}} \put(85.67,45.00){\circle{4.00}} \put(105.33,44.67){\circle{4.00}} \put(130.33,10.00){\circle{4.00}} \put(150.00,9.67){\circle{4.00}} \put(130.33,30.00){\circle{4.00}} \put(150.00,29.67){\circle{4.00}} \put(145.33,25.00){\circle{4.00}} \put(165.00,24.67){\circle{4.00}} \put(145.33,45.00){\circle{4.00}} \put(165.00,44.67){\circle{4.00}} %\emline(10.33,9.67)(10.33,30.00) \put(10.33,9.67){\line(0,1){20.33}} %\end %\emline(10.33,30.00)(25.00,44.67) \multiput(10.33,30.00)(0.12,0.12){123}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(25.00,44.67)(45.00,44.67) \put(25.00,44.67){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(45.00,44.67)(45.00,25.00) \put(45.00,44.67){\line(0,-1){19.67}} %\end

%\emline(45.00,25.00)(30.33,10.00) \multiput(45.00,25.00)(-0.12,-0.12){123}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(30.33,10.00)(10.33,10.00) \put(30.33,10.00){\line(-1,0){20.00}} %\end \put(70.67,10.00){\line(0,1){20.33}} %\end %\emline(70.67,30.00)(86.00,44.67) \multiput(70.67,30.00)(0.12,0.12){123}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(86.00,44.67)(105.33,44.67) \put(86.00,44.67){\line(1,0){19.33}} %\end %\emline(105.33,44.67)(90.67,29.67) \multiput(105.33,44.67)(-0.12,-0.12){123}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(90.67,29.67)(90.67,10.00) \put(90.67,29.67){\line(0,-1){19.67}} %\end %\emline(90.67,10.00)(70.67,10.00) \put(90.67,10.00){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(130.33,9.67)(145.67,25.33) \multiput(130.33,9.67)(0.12,0.12){128}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(145.67,25.33)(145.67,44.67) \put(145.67,25.33){\line(0,1){19.33}} %\end \put(4.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(3.67,29.67){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(25.00,52.33){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(45.00,52.33){\makebox(0,0)[cc]{4}} \put(51.00,20.33){\makebox(0,0)[cc]{5}} \put(38.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{6}} \put(62.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(62.33,30.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(85.67,52.33){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(105.33,52.33){\makebox(0,0)[cc]{4}} \put(97.33,29.67){\makebox(0,0)[cc]{5}} \put(97.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{6}} %\emline(145.67,44.67)(165.00,44.67) \put(145.67,44.67){\line(1,0){19.33}} %\end %\emline(165.00,44.67)(165.00,24.33) \put(165.00,44.67){\line(0,-1){20.33}} %\end %\emline(165.00,24.33)(150.33,10.00) \multiput(165.00,24.33)(-0.12,-0.12){120}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(150.33,10.00)(130.33,10.00) \put(150.33,10.00){\line(-1,0){20.00}} %\end \put(121.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(157.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(170.67,24.33){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(165.00,52.33){\makebox(0,0)[cc]{4}} \put(145.67,52.33){\makebox(0,0)[cc]{5}}

\put(137.67,24.67){\makebox(0,0)[cc]{6}} \end{picture} \end{figure} Existuj� t�i um�st�n� cyklu $C_6$ na vrcholy 3 rozm�rn� krychle. Prv� je identick� s obvyklou topologickou matic� vzd�lenost� vede ke t�em koline�rn�m p�r�m ortogon�ln�ch orientovan�ch hran $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf D}_{C_{6}} \\ \\ \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 2\\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf S}{\bf D}_{C_{6}}{\bf S}^{\rm T} \\ \\ \left( \begin{array}{cccccc} -2& 0 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0& -2& 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 &-2 & 0 & 0 & 2\\ 2 & 0 & 0 &-2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 &-2 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 &-2 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Dva jin� tvary $C_6$ maj� n�kter� vzd�lenosti krat�� a vedou k jin�mu uspo��d�n� koline�rn�ch orientovan�ch hran. $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf D}_{C_{6}} \\ \\ \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1& 2& 3 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 2\\ 2 & 1& 0 & 1 & 2 & 1\\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c}

{\bf S}{\bf D}_{C_{6}}{\bf S}^{\rm T} \\ \\ \left( \begin{array}{cccccc} -2 & 0& 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 &-2 & 0 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 &-2 & 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 0& -2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 &-2 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 &-2 \end{array} \right)\;. \end{array} \end{array}$$ Koline�rn� orientovan� hrany v t�et� konformaci $C_6$ jsou (1-2 -- 4-5), (2-3 -1-6) a (3-4 -- 5-6). Rovinn�ch konformace $C_6$ m� n�sleduj�c� matici a v�slednou matici �hl� mezi vazbami $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf D}_{C_{6}} \\ \\ \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 3 & 4 & 3 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 3 & 4 & 3\\ 3 & 1 & 0 & 1 & 3 & 4\\ 4 & 3 & 1 & 0 & 1 & 3\\ 3 & 4 & 3 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 4 & 3 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf S}{\bf D}_{C_{6}}{\bf S}^{\rm T} \\ \\ \left( \begin{array}{cccccc} -2 &-1 & 1 & 2 & 1& -1\\ -1 &-2 &-1 & 1 & 2& 1\\ 1 &-1 &-2& -1 & 1& 2\\ 2 & 1 &-1 &-2& -1& 1\\ 1 & 2 & 1 &-1 &-2 &-1\\ -1 & 1 & 2 & 1 &-1 &-2 \end{array} \right)\ \end{array} \end{array}$$ kde �hly jsou $120^0$, $60^0$, $180^0$, $300^0$ a $240^0$. Lich� cykly maj� ka�dou orientovanou hranu ortogon�ln� ke sv�m soused�m na obou stran�ch, av�ak p�r jej�ch protilehl�ch hran tvo�� k n� $60^0$. Tato konformace se z�sk� oto�en�m dvou n�sledn�ch prav�ch �hl� o $60^0$ k dan� orientovan� hran�. V�sledek se objev� u orientovan� hrany uzav�raj�c� cykl.

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf D}_{C_7} \\ \\ \left( \begin{array}{ccccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 3 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 3 & 2\\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 3\\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf S}{\bf D}_{C_{7}}{\bf S}^{\rm T} \\ \\ \left( \begin{array}{ccccccc} -2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0& 0\\ 0 &-2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 &-2 & 0 & 0& 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 &-2 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 &-2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 &-2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 &-2 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ Matice vzd�lenost� �pln�ch graf� $K_n$ se mohou vyj�d�it jako ${\bf D} = n{\bf JJ}^{\rm T}- {\bf I}$. Sou�in je ${\bf SJJ}^{\rm T}{\bf S}^{\rm T}= {\bf 0}$. Tedy \begin{equation} {\bf SD}_K{\bf S}^{\rm T}= -{\bf SS}^{\rm T}\;. \end{equation} Vn�j�� sou�in inciden�n� matice grafu s jednoduch�mi orientovan�mi hranami m� na diagon�le 2. Mimodiagon�ln� prvky jsou bu� 0, pokud orientovan� hrany nemaj� jak�koliv spole�n� vrchol, nebo 1, pokud se dv� orientovan� hrany st�kaj� ve vrcholu. Kosinus $60^0$ je 0.5. Tedy v �pln�ch grafech se objevuj� rovnostrann� struktury. $K_3$ je rovnostrann� troj�heln�k, $K_4$ je rovnostrann� �ty�st�n. �est orientovan�ch hran rovnostrann�ho �ty�st�nu tvo�� t�� p�ry ortogon�ln�ch orientovan�ch hran. Kvadratick� formy �pln�ch graf� se mohou formulovat v blokov� form� s postupn�m pou�it�m $(n -1)$ �pln�ho grafu a jednotkov�ch vektor� $$\begin{tabular}{rr|rr} & & \ ${\bf S}^{\rm T}$ & $-{\bf I}$\\ & & ${\bf 0}$ & ${\bf J}^{\rm T}$\\ \hline & & & \\ ${\bf S}$ & ${\bf 0}$ & ${\bf SS}^{\rm T}$ & $-{\bf S}$\\

-${\bf I}$ & ${\bf J}$ & ${\bf -S}^{\rm T}$ & ${\bf I + JJ}$ \end{tabular}$$ P�i zv�t�ov�n� rozm�ru �pln�ho grafu se bude objevovat $(n - 3)$ ortogon�ln�ch orientovan�ch hran ke ka�d� p�vodn� orientovan� hran�. Kdy� vlo��me matici vzd�lenost� hv�zdy zako�en�n� v n-t�m vrcholu do ${\bf SS}^{\rm T}$ �pln�ho grafu, potom dostaneme pro graf hv�zdy sou�in \begin{equation} \begin{array}{ccc} {\bf S}_K{\bf DS}_K^{\rm T} & = & \left( \begin{array}{cc} 2{\bf SS}^{\rm T} & -2{\bf S}\\ -2{\bf S} & -2{\bf I} \end{array} \right) \end{array} \end{equation} Orientovan� hrany hv�zdy jsou ortogon�ln�. orientovan�ch hran spojuj�c� sv� voln� vrcholy maj� dvojit� d�lky (na diagon�le se objevuj� �ty�ky). Tyto orientovan� hrany jsou diagon�ly odpov�daj�c�ch �tverc�. To lze zkontrolovat v�po�tem kosin�. $2/8^{1/2}$ je kosinem $45^0$. P��m� verifikace je mo�n� pouze pro $K_5$ s t�emi ortogon�ln�mi osami. \section{Vlastn� hodnoty a vlastn� vektory} \label{Vlastn� hodnoty a vlastn� vektory} Matice vzd�lenost� p��m�ch �et�zc� maj� 3 nenulov� vlastn� hodnoty: $W+a$, -a a $W$, kde $W$ je topologick� Wienerovo ��slo ${ n+1 \choose 3}$. Vlastn� hodnota a m� n�sleduj�c� hodnoty $$\begin{tabular}{|r|rrrrrrr|} \hline n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline & 0 & 0.4495& 1.4031 & 3.0384 & 5.7272 & 9.0405 & 13.7494 \\ \hline \end{tabular}$$ Vlastn� vektor nejmen�� vlastn� hodnoty W m� prvky $v_j = -1 + 2(j - 1)/(n - 1)$, kter� v�� n n�sledn�ch �tverc� ��sel k od $-(n-1)$ a� po $(n - 1)$. To vede ke kombinatorick� identit� \begin{equation} \sum_{k=0}^{n/2}\;[1 - 2k/(n-1)][(n-1-k-x)^2 - (k-x)^2] = 1 - 2x/(n-1) \end{equation} kde x jde od 0 a� k $(n - 1)$. Pokud p��r�stky �et�zce jsou dva vrcholy, potom zm�na mezi n�sledn�mi po�ty d�v� mo�nost pou��t �plnou indukci $$\begin{tabular}{|rr|rr|} \hline & & $ 7/7 \times (25 - 4) =$ & 21 \\ $5/5 \times (16 - 1) = $ & $75/5$ & $ 5/7 \times (16 - 1) =$

& $75/7$ \\ $ 3/5 \times (9 - 0) =$ & $27/5$ & $ 3/7 \times (9 - 0) =$ & $27/7$ \\ $1/5 \times (4 - 1) =$ & $ 3/5$ & $1/7 \times (4 - 1) =$ &$ 3/7$ \\ \hline & $ 105/5 $ & & $21 + 105/7$ \\ \hline \end{tabular}$$ kter� je ov��en� p��m�mi v�po�ty. Pro x = 0, identita se zjednodu�uje na \begin{equation} \sum_{k=0}^{n/2}\;(n-1-2k)^2 = { n+1 \choose 3}\;. \end{equation} Vlastn� hodnota $a$ u p��m�ch �et�zc� je vytvo�ena rovinnou reflex� (prvky vlastn�ho vektoru jsou symetrick� podle st�edu �et�zce) se z�sk� rota�n�m tenzor \begin{equation} b = ( + W/2) = [\Sigma d^4 - 3/4W^2]^{1/2}\;. \end{equation} D�kaz je jednoduch�. Sou�et �tverc� vlastn�ch hodnot mus� b�t rovn� stop� �tverce matice. To znamen�, �e s dvojit�m sou�tem hodnot $d^4$ \begin{equation} (1/2 W + a)^2 + W^2 + ( - 1/2 W)^2 = 2\Sigma d^4 \end{equation} �e�en� kvadratick� rovnice d� v�sledek. �ty�i vlastn� hodnoty (v�etn� nulov�) se mohou vyj�d�it jako $W/2 \pm(b\ {\rm nebo}\ W/2)$. M�eme porovnat t�i nenulov� vlastn� hodnoty p��m�ch line�rn�ch �et�zc� s t�emi odli�n�mi vlastn�mi hodnotami topologick� matice vzd�lenost� hv�zd. Kladn� vlastn� hodnoty jsou sou�tem v�ech z�porn�ch vlastn�ch hodnot. Existuje $(n - 2)$ vlastn�ch hodnot $-2$ a speci�ln� vlastn� hodnota \begin{equation} -a = (n - 2)/2 + [n^2 - 3n + 3]^{1/2}\;. \end{equation} Odpov�daj�c� vlastn� vektory pro hv�zdy zako�en�n� v $v_1$ jsou $$\begin{array}{ccccc} & 1 & 1 & 1 & $\ldots$ \\ 0 & 1 & -1/(n-2) & -1/(n-2) & $\ldots$ \\ 1 & -a/(n-1)& -a/(n-1) & -a/(n-1) & $\ldots $ \end{array}$$ V d�sledku monotonnosti matice vzd�lenost� se snadno naleznou v�echny sou�iny. Vlastn� hodnota $a$ se z�sk� jako �e�en� kvadratick� rovnice \begin{equation} a^2 + 2(n-2)a -(n-1) = 0\;. \end{equation} Rovinn�ch konformace $C_6$ m� n�sleduj�c� vlastn� hodnoty: $ 12, 0, 0, 0, -6,

-6,$, ve srovn�n� s dv�ma konformacemi $C_6$ ulo�en�mi na krychli $9, 0, 0, -1, -4, -4$ a $8.424, 0, 0, -1.424, -3, -4$ (dv� permutace s men��mi vzd�lenostmi). Maxim�ln� vlastn� hodnota sud�ch rovinn�ch cykl� na kruhu jednotkov�m polom�rem je $2n$ a jej� vlastn� vektor je jednotkov� vektor (toto odpov�d� $2n/4$ pro topologick� matice vzd�lenost�). Sud� vzd�lenosti na kru�nici tvo�� pravo�hl� troj�heln�ky nad pr�m�rem jako p�eponou a jejich p�ry se se��taj� na 4. \section{Zobecn�n� matice vzd�lenost�} \label{Zobecn�n� matice vzd�lenost�} Jinou matic� p�i definov�n� grafu je matice sousedstv� ${\bf A}$, kter� m� identick� jednotkov� prvky jako matice vzd�lenost� a nulov� prvky na m�stech, kde $d_{ij}$ jsou v�t�� ne� 1. Je mo�n� formulovat mno�iny zobecn�n�ch matic vzd�lenost� ${\bf D}^k}$ kde k je mocnina topologick� vzd�lenosti $d_{ij}$. Potom matice sousedstv� ${\bf A}$ se objevuje jako zobecn�n� matice vzd�lenost� ${\bf D}^-\infty}$, co� je nekone�n� inverzn� mocnina vzd�lenost�. Matice $({\bf JJ}^{\rm T}- {\bf I})$ (jinak matice vzd�lenost� �pln�ho grafu) je tedy matic� vzd�lenost� ${\bf D^0}$. Zm�ny vlastn�ch hodnot a vlastn�ch vektor� mezi matic� sousedstv� ${\bf A}$ a matic� vzd�lenost� ${\bf D}$ jsou potom kontinu�ln� transformac� vytvo�enou mocninami dan�ch vzd�lenost� nebo v n�kter�ch p��padech zm�nami geometrick� konformace. Budeme studovat n�kter� speci�ln� p��klady. \subsection{Zvl�tn� p��pady: Line�rn� �et�zce} \label{Zvl�tn� p��pady: Line�rn� �et�zce} Jako prvn� p��klad pou�ijeme line�rn� �et�zce, kter� existuj� ve tvaru pevn�ch ty��. Bylo zji�t�no, �e pro vyj�d�en� t�to geometrick� vlastnosti je nutn� a dosta�uj�c� ps�t vzd�lenosti $d_{ij}$ jako �tverce line�rn�ch vzd�lenost�. Topologick� matice vzd�lenost� je potom pr�v� druhou mocninou geometrick� matice vzd�lenost� line�rn�ho �et�zce ohnut�ho na vrcholy n rozm�rn� jednotkov� krychle. Jejich line�rn� vzd�lenosti jsou �tverce odpov�daj�c� $d_{ij}$ na diagon�l�ch v n rozm�rn� krychli. V tabulce 1 jsou zobrazeny vlastn� hodnoty rozd�ln�ch mocnin matice vzd�lenost� $L_5$ v tabulkov� form�. Tento �et�zec je dosti dlouh�, aby se uk�zaly hlavn� vlastnosti takov� soustavy, kde druh� mocniny geometrick� matice vzd�lenost� maj� v�dy pouze 3 nenulov� vlastn� hodnoty. \begin{table} \caption{Vlastn� hodnoty d* ${\bf D}^k$ matic line�rn�ho �et�zce $L_5$} \label{Vlastn� hodnoty d* line�rn� �et�zec} \begin{tabular}{|c|lllll|} \hline Distance mocniny & & & & & \\ \hline j &1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline $-\infty$ & 1.7321 & 1 & 0 & -1 & -1.7321\\ -2 & 2.1109 & 0.7376 & -0.3024 &-1.0501 & -1.4960 \\ -1 & 2.6166 & 0.3036 & -0.5607 &-1.0536 & -1.3056 \\ -1/2 & 3.1292 &-0.1686 & -0.7526 &-1.0387 & -1.1649 \\ 0 & 4 &-1 & -1 &-1 & -1 \\ 1/2 & 5.5279 &-0.7959 & -0.9187 &-1.3178 & -2.4955 \\ 1 & 8.2882 &-0.5578 & -0.7639 &-1.7304 & -5.2361 \\ 2 &23.0384 & 0 & 0 &-3.0384 & -20 \\

3 &77.1665 & 2.2099 & 0.5776 &-5.7441 &-74.2099 \\ \hline \end{tabular} \end{table} V�echny diagon�ln� prvky matic vzd�lenost� jsou nulov� a tedy sou�ty vlastn�ch hodnot mus� b�t tak� nuly. Je u� dob�e zn�mo, �e vlastn� hodnoty matic sousedstv� line�rn� �et�zce jsou $2\cos(2k \pi/n+1)$, tvo�� vlnu. Vlastn� hodnoty matice sousedstv� tvo�� nejni��� limitu k vlastn�m hodnot�m matice vzd�lenost� se z�porn�mi mocninami k. Nejv�t�� vlastn� hodnota kontinu�ln� roste s rostouc� mocninou k. Jin� vlastn� hodnoty maj� p�i $k = 0$ p�l. V�echny z�porn� vlastn� hodnoty jsou -1. Pro nez�porn� vlastn� hodnoty je ${\bf A}$ minim�ln� vyjma nejni��� vlastn� hodnoty. Ta m� zde sv� maximum. T�et� singularita vznik�, kdy� mocnina $k = 2$. V�dy existuj� pouze t�� nenulov� vlastn� hodnoty. Tedy funk�n� vztah \begin{equation} \lambda_j = f(k) \end{equation} m� t�i odli�n� oblasti, jejich� parametry lze nal�zt line�rn�mi regresemi. Topologick� matice vzd�lenost� �et�zce, kde po�ty orientovan�ch hran p�edstavuj� vzd�lenosti mezi vrcholy, p�edstavuje bu� prvn� momenty geometrick� matice vzd�lenost� pevn� ty�e, nebo sou�asn� geometrickou matic� �tverc� vzd�lenost� v line�rn�m �et�zci ulo�en�m na n rozm�rn� jednotkov� krychli. Existence singularity p�i $k = 2$ je dan� symetrii pevn�ch ty��. Momenty podle d�lky jej�ch os jsou 0. T�i nenulov� vlastn� hodnoty lze ztoto�nit s prvky symetrie jak je uk�zan� v podkapitole \ref{Vlastn� hodnoty a vlastn� vektory}. Vlastn� vektory vzd�lenost� jsou dosti zaj�mav� p�i jak�chkoliv k. Jsou obvykle symetrick� podle st�edu, vyjma nulov�ch vlastn�ch vektor� p�i $k = 2$, a degenerovan�ch $-1$ vlastn�ch vektor� p�i $k = 0$, kter� jsou asymetrick�. Symetrie m�e b�t zrcadlov� ($v_j = v_{n-j}$, zna�en� jako $\sigma$), nebo rota�n� ($v_j = v_{n-j}$, zna�en� jako C). Tyto symetrie se st��daj� pro kladn� a z�porn� mocniny k: $$\begin{tabular}{|l|ccccc|} \hline Vlastn� vektor & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline k z�porn� & $\sigma$ & C & $\sigma$ & C & $\sigma$\\ \hline \end{tabular}$$ Kladn� nenormalizovan� vlastn� vektor je deformovan� jednotkov� vektor sloupec (��dka). V matici sousedstv� ${\bf A}$ jsou hodnoty odpov�daj�c� jednotkov�mu vektoru sn�en� na obou konc�ch, pro kladn� mocniny vzd�lenost� k jsou sn�en� ve st�edu. Fakt, �e topologick� matice vzd�lenost� stejn� jako geometrick� matice vzd�lenost� line�rn�ho �et�zce m� n r�zn�ch nenulov�ch vlastn�ch hodnot je konsistentn� vysv�tlena jejich rozm�rnost�. Maj� p��li� mnoho prvk� symetrie, aby byly ulo�eny ve 3 rozm�rech, kde jsou dosta�uj�c� t�i nenulov� vlastn� hodnoty. \subsection{Zvl�tn� p��pady: Cykl $C_4$} \label{ Zvl�tn� p��pady: Cykl C_4$}

Jin� v�jime�n� p��pad je cykl $C_4$, kter� lze ohnout z tvaru pravideln�ho �ty�st�nu na rovinn� �tverec zv�t�en�m dvou vzd�lenost� nebo na ty� jejich rovnom�rn�m sn�en�m. Jeho topologick� matice vzd�lenost� je tedy nerozli�iteln� od druh� mocniny geometrick� matice vzd�lenost� �tverce a matice $[{\bf JJ}- {\bf I}] $ je jedou z mo�n�ch geometrick�ch konformac� (podobn� jako u �et�zce $L_4$, av�ak matice sousedstv� jsou zde rozd�ln�). P�i cyklu $C_4$ je matice sousedstv� ${\bf A}$ sou�asn� matic� vzd�lenost� tohoto cyklu, kdy� vrcholy 1 a 3 i 2 a 4 jsou ztoto�n�ny a cykl se slo��. Pokud vzd�lenosti 1 a 3 i 2 a 4 nejsou stejn�, je tak� mo�n� srovnat v�echny orientovan� hrany tohoto cyklu do p��mky. Vlastn� hodnoty odpov�daj�c� prvk�m matice vzd�lenosti $d_{ij}$ se z�skaj� jednodu�e p�i�ten�m nebo ode�ten�m vzd�lenosti $d_{ij}$ od vlastn�ch hodnot ${\bf A}$ \begin{table} \caption{Vlastn� hodnoty d* cyklu $C_4$ a ${\bf D}^k$ matic} \label{Vlastn� hodnoty d* cyklu $C_4$} \begin{tabular}{|r|llll|} \hline Vlastn� hodnoty {\bf A}& 2 & 0 & 0 & -2 \\ Zm�ny vzd�lenost� & +d & -d &-d & +d \\ P��klady: $d^2_{ij}$ 0.25 & 1.75 & -0.25 & -0.25 & -1.75 \\ 1 & 3 & -1 & -1 & -1 \\ 1.414 & 3.414 & -1.414 &-1.414 & -0.586 \\ 2 & 4 & -2 & -2 & 0 \\ 4 & 6 & -4 & -4 & 2\\ 8 & 10 & -8 & -8 & 6 \\ \hline Z�porn� vzd�lenosti -1 & 1 & 1 & 1 & -3 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Toto sch�ma vede k zm�n� po�ad� vlastn�ch hodnot. Druh� vlastn� hodnota se z�sk� pro kladn� k jako �tvrt�. Vzd�lenost 8 je geometricky nemo�n�, mus� to tedy b�t �est� moment vzd�lenosti $\sqrt{2}$. Z�porn� vzd�lenosti lze interpretovat jako �tverce vzd�lenost� v komplexn� rovin�. V�echny matice vzd�lenost� $C_4$ maj� stejnou mno�inu vlastn�ch vektor�, odpov�daj�c� Vierergruppe: $$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{array} \right)$$ Pokud slo��me $C_4$ jako romboid, dostaneme diagon�ly rozd�ln�ch d�lek. Jejich �tverce se op�t objev� jako vlastn� hodnoty, av�ak ve slo�it�m vzoru, jako v tomto p��klad�

\begin{table} \caption{Vlastn� hodnoty d* ${\bf D}^k$ matic rombick�ho cyklu $C_4$} \label{Vlastn� hodnoty d* rombick�ho cyklu} \begin{tabular}{|ll|llll|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{Vzd�lenosti} & & & & \\ $d^2_{13}$ & $d^2_{24}$ & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 3 & 1 & $2+5^{1/2}$ & -3 & -1 & $2-5^{1/2}$ \\ 4 & 0 & $2+8^{1/2}$ & -4 & 0 & $ 2-8^{1/2}$ \\ 1 & 0 & $(1+17^{1/2})/2$ & -1 & 0 & $(1-17^{1/2})/2$ \\ \hline \end{tabular} \end{table} Druh� p��pad je extr�mn�, v�echny vrcholy le�� na p��mce. T�et� p��pad p�edstavuje dv� dvojn� vazby nato�en� o $60^0$, nebo matici sousedstv� grafu na obr. 13.2 b, nebo matici vzd�lenost� jedn� jeho konformace. Vlastn� vektory jsou tak� deformovan�, jdou op�t k ni���m hodnot�m a k vy���m hodnot�m (v t�et�m p��pad� je to 0.7808) a maj�c� nulov� hodnoty, kter� jsou mo�n� tak� pro jin� konformace nebo momenty: $$\left( \begin{array}{cccc} 0.6180 (0.4142)& 1 & 0.6180 (0.4142)& 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & - 0.6180 (0.4142) &1 & - 0.6180 (0.4142) \end{array} \right)$$ Existuje tak� t�et� deformace cyklu $C_4$, odpov�daj�c� zm�n�m dvou vzd�lenost�. �tverec se transformuje v obd�ln�k nebo je cykl tvo�en ze dvou �et�zc� $L_2$. Zde se objevuje nulov� vzd�lenost jak se m�n� permutovan� matice sousedstv�: $$\begin{tabular}{|r|rrrr|} \hline Vzd�lenosti $d^2$ & \multicolumn{4}{|c|}{Vlastn� hodnoty}\\ \hline 0 & 2 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & -2 & -2 \\ 4 & 10 & 0 & -2 & -8 \\ 8 & 18 & 0 & -2 &-16 \\ \hline \end{tabular}$$ V�echny vlastn� vektory z�st�vaj� stejn� jako u $C_4$. Lze se domn�vat, �e topologick� matice vzd�lenost� grafu sest�vaj�c�ho se ze dvou slo�ek $L_2$ m� dv� nekone�n� vlastn� hodnoty, jin� dv� jsou 0 a $-2$. To vypl�v� z vlastn�ch vektor�, kter� z�st�vaj� identick� bez ohledu na vzd�lenosti obou slo�ek. Vlastn� hodnoty jsou op�t ur�eny prvky symetrie. Nenulov� vlastn� hodnoty jsou t�i pro �tverec a dv� pro konfigurace odpov�daj�c� $L_2$. \subsection{Zvl�tn� p��pady: Dva cykly $C_4$ (krychle)} \label{ Zvl�tn� p��pady: Dva cykly $C_4$ (krychle)}

Zde budeme studovat vytvo�en� krychle ze dvou cykl� $C_4$. Matice sousedstv� dvou cykl� $C_4$ lze zapsat podobn� jako pro dva �et�zce $L_2$ v blokov� form� jako $$\left( \begin{array}{cc} {\bf C} & {\bf 0}\\ {\bf 0} & {\bf C} \end{array} \right)$$ Matice sousedstv� krychle je $$\left( \begin{array}{cc} {\bf C} & {\bf I} \\ {\bf I} & {\bf C} \end{array} \right)$$ Matice vzd�lenost� dvou �tverc� m� tvar $$\left( \begin{array}{cc} {\bf D} & ({\bf D}+d{\bf JJ}^{\rm T}) \\ ({\bf D}+d{\bf JJ}^{\rm T}) & {\bf D} \end{array} \right)$$ Odpov�daj�c� vlastn� hodnoty jsou v tabulce. Dal�� �ty�i vlastn� hodnoty jsou bu� nulov�, nebo maj� stejn� hodnoty se z�porn�mi znam�nky \begin{table} \caption{Vlastn� hodnoty dvou jednotkov�ch �tverc� ve vzd�lenosti $d^2$} \label{Vlastn� hodnoty dvou jednotkov�ch �tverc� ve vzd�lenosti $d^2$} \begin{tabular}{|l|rrrr|} \hline Vlastn� hodnota & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline Vzd�lenost & & & & \\ \hline {\bf A}(krychle) & 2.618 & 1.618 & 0.618 & 0.382\\ {\bf A}[2C(4)] & 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & -4 & -4 \\ 1 & 12 & -4 & -4 & -4 \\ 4 & 24 & -16 & -4 & -4 \\ 8 & 40 & -32 & -4 & -4 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Vlastn� hodnoty dvou na sebe polo�en�ch �tverc� v nulov� vzd�lenosti jsou pr�v� zdvojen� vlastn� hodnoty jednoho �tverce. T�et� vzd�lenost se p�id�v� �ty�ikr�t k prvn� vlastn� hodnot� a ode��t� se �ty�ikr�t od druh�. Zd� se, �e existuje vzor, jak se tvo�� spektrum m��kov�ho grafu. Spektrum p��m�ho �et�zce $L_3$ je $5.416, 0, -1.416, -4$. Spektrum �tvercov� m��ky tvo�en� t�emi $L_3$ je $25.416, -12, -1.416, -12$, zat�m co 3 ztoto�n�n� $L_3$ maj� spektrum

$13.348, -1.348, -12$. To je $3\times (4.449, -0.449, -4)$, vlastn� hodnoty $L_3$. Vlastn� hodnoty odpov�daj�c� momentu reflexe se lehce zm�nily. Zobecn�n� matic vzd�lenost� ${\bf D}^k$ na matice sousedstv� je dvojzna�n� pro topologick� matice vzd�lenost� graf�, kter� jsou ulo�en� rozd�ln� od sv� standardn� konfigurace. Nap��klad na krychli lze ulo�it mnoho rozd�ln�ch graf�. Jejich matice sousedstv� jsou subgrafy krychle. \section{Neline�rn� a z�porn� vzd�lenosti} \label{Neline�rn� a z�porn� vzd�lenosti} Bylo obvykl� pou��vat libovoln� vzd�lenosti v matic�ch vzd�lenost�, jako v probl�mu obchodn�ho cestuj�c�ho. Pokud po�adujeme, aby vzd�lenosti v matici vzd�lenost� byly �tverci euklidovsk�ch vzd�lenost�, potom je nutn� naleznout interpretaci pro matice, kde vzd�lenosti jsou del�� nebo krat�� ne� mo�n�. Jednoduchou interpretac� del��ch vzd�lenost� je, �e p�edstavuj� cestu se zat��kami. Zde se objevuje nov� probl�m, v tenzoru ${\bf SDS}^{\rm T}$ se objevuj� mimodiagon�ln� prvky, kter� d�vaj� kosiny �hl� mezi orientovan�mi hranami v�t�� ne� 1. Nap��klad n�sleduj�c� matice: $$\begin{array}{cccc} \left( \begin{array}{ccc} 0 &1 &4\\ 1 &0 &1\\ 4 &1 &0 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1& 5\\ 1 & 0& 1\\ 5 & 1& 0 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 6\\ 1 & 0& 1\\ 6 & 1 & 0 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 10\\ 1 & 0 & 4\\ 10 & 4 & 0 \end{array} \right) \end{array}$$ d�vaj� odpov�daj�c� tensory $$\begin{array}{cc}

\left( \begin{array}{ccc} -2 & -4 & -2\\ -4 & -8 & -4\\ -2 & -4 & -2 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} -2 & -5 & -3\\ -5 & -10& -5\\ -3 & -5& -2 \end{array} \right) \end{array}$$ $$\begin{array}{cc} \left( \begin{array}{ccc} -2 & -6 & -4\\ -6 & -12& -6\\ -4 & -6 & -2 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} -2 & -7 & -5\\ -7& -20 & -13\\ -5& -13 & -8 \end{array} \right) \end{array}$$ Pokud je p�epona del�� ne� �tverce odv�sen, mimodiagon�ln� prvky odpov�daj�c� kosin�m jsou projekce jej� odmocniny na odv�sny. To se jev�, jako kdyby byly prodlou�eny, aby odpov�daly sv� p�epon�. Pokud odv�sny nejsou stejn�, dekompozice jsou nestejn�. Nap��klad $$1.1180 + 1.1180 = 5^{1/2}\;,$$ $$1.1068 + 2\times1.0277 = 3.1622 = 10^{1/2}\;.$$ Pouze ��st odpov�daj�c� jednotkov� d�lce se objevuje ve v�sledku. Pravidlo pro dekompozice je op�t teor�m kosin� (\ref{cos}). To plat� i pro z�porn� vzd�lenosti, kter� lze p��padn� interpretovat jako �tverce vzd�lenost� v komplexn� rovin�. Pokud je cel� matice vzd�lenost� z�porn�, znam�nko m�n� pouze znam�nko v�sledku. Av�ak kombinace kladn�ch a z�porn�ch znam�nek vede ke kosin�m v�t��m ne� 1, nap��klad $$\begin{array}{cc} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0 \end{array} \right) &

\left( \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 3\\ 1 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -2 \end{array} \right) \end{array}$$ �hly odpov�daj�c� kosin�m v�t��m ne� 1 nemaj� v euklidovsk�m prostoru smysl. \chapter{Diferenci�ln� rovnice} \label{Diferenci�ln� rovnice} \section{�vod} \label{�vod 18} Sta�� �ekov� byli velmi dobr�mi geometry a m�li jist� znalosti algebry, av�ak nebyli schopni si p�edstavit dr�hu pohybuj�c�ho se objektu jako geometrick� probl�m. Ka�d� zn� Zenonovy paradoxy. Byl to kulturn� �ok, kdy� Zenon vystoupil se sv�mi objevy. P�edstavte si, Achilles m�e nikdy chytit �elvu, pokud m� handicap. Kdy� ji Achilles doh�n�, �elva m�n� svou polohu a z�st�v� vp�edu. Kdy� Achilles b�� druh� handicap, �elva op�t m�n� svou polohu a tak d�le v nekone�n� mnoha intervalech. Sta�� matematikov� nezjistili, �e sou�et nekone�n�ho po�tu st�le se sni�uj�c�ch zlomk� je kone�n�. Av�ak je dost podivn�, �e nebyli schopni p�edstavit si situaci graficky jako obr. \ref{Zenon plot Achilles �elvu aporea}. \begin{figure} \caption{Zenon�v n��rt aporey Achilla s �elvou. P��mky jsou vztahy mezi geometrick�mi polohami obou sout��c�ch (svislice) a �as (horizont�la)} \label{Zenon�v n��rt Aporey Achilla s �elvou} \speci�ln�{em:linewidth 0.6pt} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(160.00,160.00) \put(20.00,20.00){\framebox(128.00,128.00)[cc]{}} \emline{20.00}{148.00}{1}{148.33}{20.33}{2} \emline{148.33}{20.33}{3}{20.00}{84.00}{4} %\vector(20.00,84.00)(84.00,84.00) \put(84.00,84.00){\vector(1,0){0.2}} \emline{20.00}{84.00}{5}{84.00}{84.00}{6} %\end %\vector(84.00,84.00)(84.00,52.00) \put(84.00,52.00){\vector(0,-1){0.2}} \emline{84.00}{84.00}{7}{84.00}{52.00}{8} %\end %\vector(84.00,52.00)(116.33,52.00) \put(116.33,52.00){\vector(1,0){0.2}} \emline{84.00}{52.00}{9}{116.33}{52.00}{10} %\end %\vector(116.33,52.00)(116.33,36.00) \put(116.33,36.00){\vector(0,-1){0.2}} \emline{116.33}{52.00}{11}{116.33}{36.00}{12} %\end %\vector(116.33,36.00)(133.00,36.00) \put(133.00,36.00){\vector(1,0){0.2}} \emline{116.33}{36.00}{13}{133.00}{36.00}{14}

%\end %\vector(133.00,36.00)(133.00,28.00) \put(133.00,28.00){\vector(0,-1){0.2}} \emline{133.00}{36.00}{15}{133.00}{28.00}{16} %\end %\vector(133.00,28.00)(137.33,28.33) \put(137.33,28.33){\vector(1,0){0.2}} \emline{133.00}{28.00}{17}{137.33}{28.33}{18} %\end \put(10.00,84.00){\makebox(0,0)[cc]{T}} \put(9.67,148.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(9.67,137.67){\makebox(0,0)[cc]{t+1}} \put(20.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(9.67,20.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(148.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{t}} \put(79.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{�as (poloha)}} \end{picture} \end{figure} Tento jednoduch� n��rt dvou p��mek p�edstavuje oba sout��c�, kte�� se pohybuj�c� konstantn� rychlost�. Jedna osa ukazuje jejich geometrick� polohy sm��uj�c� dol� na z�vodi�ti. Horizont�ln� osa odpov�d� �asu. P�edstavit si abstraktn� �as jako geometrickou vzd�lenost bylo inovace, kter� se zd� b�t nyn� z�ejm�. Ob� hrany lze reprezentovat rovnicemi a bod, kde se ob� hrany k��� lze vypo��tat. Schodi�t� mezi ob�ma hranami ukazuje, �e intervaly se sni�uj� a konverguj� . Sou�et nekone�n� mnoho �len� je kone�n�. \section{Analytick� geometrie} \label{Analytick� geometrie} Byl to Descartes, kdo se svou analytickou geometri� nalezl, �e jednoduch� n��rt dvou p��mek �e�� Zenonovu aporeu o Achillovi a �elv�. Analytick� geometrie studuje nejen izolovan� body nebo vektorov� �ady, jak jsme to doposud prov�d�li, av�ak mno�iny bod� spojen� funk�n�mi vztahy. U� jsme konstruovali ��seln� stupnice. Jejich hrany lze se ot��et, posunovat a oh�bat. Za�n�me maticov�m n�soben�m vektoru ��dky skal�rem $$\begin{tabular}{r|r|ccccccc} x & & \ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 1 & \ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ y' & 0.5 & & 0 & 0.5 & 1 & 1.5 & 2 & 2.5 \\ \end{tabular}$$ P��mka 6 bod� v ose x se kop�rovala a prom�tla do osy y. V�sledn� polohy p�vodn�ch bod� v ose b se popisuj� bu� jako $ y = 1x$ nebo jako $ y = 0.5x\;.$ Av�ak tyto rovnice plat� nejen pro mno�inu �esti bod� s p�irozen�mi koordin�tami ale pro v�echny body mezi nimi le��c�mi na p��mce. Jednotkov� vektory nejsou nutn�. Rovnice p��mky ve dvou rozm�rech je \begin{equation} y = a + bx \end{equation} \label{y}

�len a je hodnota y, kdy� $x =0$. V dan�m p��klad� $a=0$. �len a je sklon p��mky ur�en� jako pom�r $y/x$, je to tangens �hlu $\alpha$. Pokud zn�me y, m�eme nal�zt x vy�e�en�m rovnice (\ref{y}) jako $x = (y - a)/b$. Dvojrozm�rn� rovinn� Simplexy jsou p��mky maj�c� tvar $ y+x=m $, jejich sklony jsou z�porn� $b = -1$ a jsou definov�ny pouze v kladn�m k�nusu. V rovin� lze definovat mnoho p��mek. Ty mohou b�t paraleln� nebo se mohou k��it. Ke k��en� dojde, kdy� ob� koordin�ty x a y obou p��mek jsou stejn�, jako nap��klad $$ y = 2 + 3x $$ $$ y = 3 + 2x.$$ �e�en� je $2 + 3x = 3 + 2x$ a tedy $x = 1$. Vlo�en�m x zp�t dostaneme y = 5. S pou�it�m maticov� techniky se soustava dvou rovnic m�e uspo��dat do pol�rn�ho tvaru: $$-3x + y = 2$$ $$-2x + y = 3 $$ Pak se najde inverzn� matice pro matic $$\begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cc} -3 & 1 \\ -2 & 1 \end{array} \right) & ${\rm co�\ je}$ & \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ -2 & 3 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ a ta d�v�, kdy� se n�sob� vektorem T}$.

${bf b} = (2, 3)^{\rm T}$ �e�en�

$(1, 5)^{\rm

\section{Zenonovy grafy} \label{Zenonovy grafy} Vra�me se k Zenonov� aporei. Nyn� sledujeme odd�len� polohy Achilla nebo �elvy. Pro tento ��el nepot�ebujeme �asovou osu. Osa x je vzd�lenost ke konci trat�, y je prob�hnut� vzd�lenost. Nap��klad: $$\begin{tabular}{|l|ccccccccc|} \hline Interval& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline x & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \end{tabular}$$ Vztah obou hodnot se popisuje rovnic� $y = 8 - x$. Konstanta je relativn� d�lka

trat� vyj�d�en� rychlost�. Je kone�n�. Jin� popis pohybu se z�sk�, kdy� z�kladna x p�edstavuje polohu v �ase t a vertik�ln� osa y polohu v �ase $t+1$, 1 p�edstavuje interval �asu $\Delta Budi� koordin�ty m��en�ch bod� pro jednoduchost:

t$.

$$\begin{tabular}{|l|ccccccccc|} \hline Interval & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ y & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \end{tabular}$$ Rovnom�rn� pohyb se popisuje rovnici $y = 1 + x$. Nyn� zm��me koordin�ty n�sledovn�: $$\begin{tabular}{|l|ccccccccc|} \hline Interval& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline x & 258 & 128 & 64 & 32 & 16 & 8 & 4 & 2 & 1 \\ y & 0 & 128 & 192 & 224 & 240 & 248 & 252 & 254 & 255 \\ \hline \end{tabular}$$ Rychlost pohybu nen� konstantn�, av�ak sni�uje se exponenci�ln�. ��ra zobrazuj�c� hodnoty x v rozd�ln�ch �asov�ch intervalech na obr�zku \ref{Exponenci�ln� curve.} je prohnut�. Abychom ji nap��mili, mus�me pou��t logaritmickou stupnici $y = \log x$. \begin{figure} \caption{Exponenci�ln� k�ivka. Zmen�uj�c� se vzd�lenostn� intervaly z {\ref Zenon�v n��rt Aporey Achilla s �elvou} jsou na vertik�ln� ose, horizont�ln� osou je �as} \label{Exponenci�ln� k�ivka.} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(160.00,160.00) \put(20.67,148.00){\circle{4.00}} \put(35.33,84.00){\circle{4.00}} \put(50.00,52.00){\circle{4.00}} \put(65.33,36.00){\circle{4.00}} \put(80.33,28.00){\circle{4.00}} \put(95.33,24.00){\circle{4.00}} \put(110.33,22.00){\circle{4.00}} \put(125.33,21.00){\circle{4.00}} \put(20.67,19.67){\framebox(119.67,128.67)[cc]{}} \put(140.33,20.00){\circle{3.40}} \bezier{416}(20.67,148.33)(35.33,67.67)(50.33,52.00) \bezier{164}(50.33,52.33)(65.33,31.67)(80.33,28.00) \bezier{124}(80.33,28.00)(95.33,23.00)(110.33,22.00) \bezier{120}(110.33,21.67)(140.33,20.00)(140.33,20.00) \put(10.00,130.00){\makebox(0,0)[cc]{a}} \put(130.33,10.00){\makebox(0,0)[cc]{t}} \put(20.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{0}} \put(10.00,19.67){\makebox(0,0)[cc]{0}}

\end{picture} \end{figure} Op�t nech�me z�kladnu x p�edstavovat polohu v �ase t a vertik�ln� osu y polohu v �ase $t+1$, 1 p�edstavuje interval �asu $\Delta t$. Koordin�ty exponenci�ln� k�ivky jsou $$\begin{tabular}{|l|ccccccccc|} \hline Interval& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline x & 0 & 128 & 192 & 224 & 240 & 248 & 252 & 254 & 255 \\ y & 128 & 64 & 32 & 16 & 8 & 4 & 2 & 1 & ? \\ \hline \end{tabular}$$ x hodnoty rostou, y hodnoty se sni�uj�. Ob� zm�ny nejsou line�rn�. Nicm�n� pokud hodnoty x jsou nakresl� proti odpov�daj�c�m hodnot�m y, n��rt je line�rn�, viz obr. \ref{Linearizace}. \begin{figure} \caption{Linearizace exponenci�ln� k�ivky. Sni�uj�c� se vzd�lenosti mezi body odpov�daj� konstantn�m �asov�m interval�m} \label{Linearizace} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(280.00,280.00) \put(10.00,138.00){\circle{4.00}} \put(138.00,74.00){\circle{4.00}} \put(202.00,42.00){\circle{4.00}} \put(234.00,26.00){\circle{4.00}} \put(250.00,18.00){\circle{4.00}} \put(258.00,14.00){\circle{4.00}} \put(262.00,12.00){\circle{4.00}} \put(264.00,11.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,138.00)(266.00,10.00) \multiput(10.00,138.00)(0.24,-0.12){1062}{\line(1,0){0.24}} %\end \put(10.00,10.00){\framebox(256.00,256.00)[cc]{}} \put(4.67,237.33){\makebox(0,0)[cc]{y}} \put(260.00,3.33){\makebox(0,0)[cc]{x}} \end{picture} \end{figure} N��rt p�edstavuje exponenci�ln� zm�ny, nap��klad radioaktivn� rozpad nebo monomolekul�rn� chemick� reakce, pokud y je v�choz� substance a x je produkt. Odpov�daj�c� rovnic� je \begin{equation} y = 2^{8-t}\;. \end{equation} ve sv� modern� form� je nyn� transformovan� na ot�zku, kdy se rozpadne posledn� radioaktivn� atom, kdy� v�choz� po�et je $x = 256$. Jsme nyn� v podobn� situaci jako byli �ekov�. Rozpad radioaktivn�ch prvk� se ��d� exponenci�ln�m z�konem. Pom�r rozpadaj�c�ch se atom� ve stejn�ch �asov�ch intervalech \Delta_t$ je konstantn�. Abychom si byli jisti, �e v�echny atomy se rozpadly, pot�ebujeme nekone�n� mnoho takov�ch interval�. Podstatn� nekone�n�

mnoho interval� je pot�eba pouze pro posledn� atom, pokud po�adujeme jistotu jeho rozpadu. Grafov� proces je stejn� jako v p��pad� b�c�, pokud ob� osy, �asu i polohy, se nahrad� polohami (koncentracemi) v n�sledn�ch �asov�ch intervalech $t$ a $(t+1)$, jako kdyby ob� polohy byly na dvou rozd�ln�ch ortogon�ln�ch os�ch. Kdy� se to ud�l�, tyto polohy se pova�uj� za ortogon�ln� a exponenci�ln� pohyb se m�n� do line�rn�, jako kdybychom pou�ili logaritmickou stupnici\footnote{ Line�rn� pohyb je limitou exponenci�ln�ho pohybu, kdy� konstanta je $k=0$}. \section{Markovovy matice} \label{Markovovy matice} Markov bylo rusk� matematik, kter� dostal pon�kud d�tsk� n�pad studovat uspo��d�n�, ve kter�m souhl�sky n�sleduj� samohl�sky v Pu�kinov� b�sni. Po souhl�ska m�e n�sledovat jin� souhl�ska nebo samohl�ska s n�jakou statistickou pravd�podobnost�, kter� je ur�ena strukturou jazyka a jeho pou�it� autorem. Markov studoval pravd�podobnosti p�echod� n�sledn�ch hl�sek, jako souhl�sky c a samohl�sky v v p��klad� \begin{center} A vv A vc M cv A vc R cc K cv O vc V \end{center} Pravd�podobnosti vv, vc, cc a cv se z�skaj� z p��m�ch sou�t� jejich d�len�m v�emi mo�nostmi p�echod� (zde 7 p�echod� 8 p�smen). Kdy� se vz�jemn� uspo��daj� do matice, tvo�� {\em stochastick� matice} ${\bf M}$, jejich� ��dkov� sou�ty jsou 1. Teorie proces� spojen�ch s t�mito maticemi tvo�� ��st teorie {\em stochastick�ch proces�}. Ka�d� hl�ska v textu se pova�uje za stav soustavy, kter� osciluje neust�le mezi sv�mi mo�n�mi stavy a tvo�� tak �et�zec n�sledn�ch jev�. Existuje jin� mo�nost, jak interpretovat jev. Text lze pova�ovat jako celek a v�echny pozorovan� p�echody mohou tvo�it jeden p�echod do p��t�ho stavu. Nebo lze srovn�vat dva odli�n� objekty p�edstavovan� �adami symbol�. Rozd�ly lze tedy vyj�d�it jako orientovan� hranov� graf, nap��klad $$\begin{tabular}{|r|rrrrrrrrr|} \hline & ? & A & A & M & A & R & K & O & V \\ & A & A & M & A & R & K & O & V& ? \\ \hline & & & & & & & & & \\ c & * & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 &-1 & 1 & * \\ v & * & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & * \\ \hline \end{tabular}$$ \begin{figure} \caption{Mo�n� p�echody dvou p�smenn� �ady. P��m� p�echody $cc \leftrightarrow vv$ jsou nemo�n�} \label{Mo�n� p�echody dvou p�smenn� �ady} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(120.00,110.00) \put(30.33,40.00){\framebox(14.67,15.67)[cc]{cc}} \put(49.67,20.00){\framebox(15.33,15.00)[cc]{vc}} \put(49.67,60.00){\framebox(15.33,15.00)[cc]{cv}}

\put(70.00,40.00){\framebox(15.00,15.33)[cc]{vv}} %\bezier{176}(30.33,55.67)(9.67,48.67)(30.33,40.00) \put(30.33,40.00){\vector(2,-1){0.2}} \bezier{176}(30.33,55.67)(9.67,48.67)(30.33,40.00) %\end %\bezier{172}(49.67,75.00)(58.00,95.00)(65.00,75.00) \put(65.00,75.00){\vector(1,-3){0.2}} \bezier{172}(49.67,75.00)(58.00,95.00)(65.00,75.00) %\end %\bezier{172}(85.00,55.33)(105.00,51.00)(85.00,40.00) \put(85.00,40.00){\vector(-3,-2){0.2}} \bezier{172}(85.00,55.33)(105.00,51.00)(85.00,40.00) %\end %\bezier{172}(49.67,20.00)(57.33,0.00)(65.00,20.00) \put(65.00,20.00){\vector(1,3){0.2}} \bezier{172}(49.67,20.00)(57.33,0.00)(65.00,20.00) %\end %\vector(45.00,55.67)(49.67,60.00) \put(49.67,60.00){\vector(1,1){0.2}} \multiput(45.00,55.67)(0.13,0.12){37}{\line(1,0){0.13}} %\end %\vector(65.00,60.00)(70.00,55.33) \put(70.00,55.33){\vector(1,-1){0.2}} \multiput(65.00,60.00)(0.13,-0.12){39}{\line(1,0){0.13}} %\end %\vector(70.00,40.00)(65.00,35.00) \put(65.00,35.00){\vector(-1,-1){0.2}} \multiput(70.00,40.00)(-0.12,-0.12){42}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\vector(49.67,35.00)(45.00,40.00) \put(45.00,40.00){\vector(-1,1){0.2}} \multiput(49.67,35.00)(-0.12,0.13){39}{\line(0,1){0.13}} %\end %\vector(49.67,60.00)(49.67,35.00) \put(49.67,35.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(49.67,60.00){\line(0,-1){25.00}} %\end %\vector(65.00,35.00)(65.00,60.00) \put(65.00,60.00){\vector(0,1){0.2}} \put(65.00,35.00){\line(0,1){25.00}} %\end \end{picture} \end{figure} Dv� ��dky s ��sly tvo�� transponovanou inciden�n� matici ${\bf S}^{\rm T}$ multigrafu se smy�kami, nuly jsou na m�stech smy�ek, orientovan�ch hran za��naj�c�ch a kon��c�ch na stejn�m m�st�, hv�zdi�kou * jsou ozna�eny neur�it� po��te�n� a koncov� stavy. Je mo�n� spojit posledn� p�smeno s prv�m, aby se odstranily tyto voln� konce. �ada je tvo�ena rozd�ly $({\bf e}_i -{\bf e}_j)$ a je jasn�, �e ji m�eme napsat jako inciden�n� matici orientovan�ho multigrafu se smy�kami. Na obr. \ref{Mo�n� p�echody dvou p�smenn� �ady} jsou uk�zan� mo�n� p�echody dvou p�smenn� �ady, na obr. \ref{Mo�n� p�echody dvou p�smenn� �ady} mo�n� p�echody t�� p�smenn� �ady jsou uk�zan�. \begin{figure} \caption{Mo�n� p�echody t�� p�smenn� �ady}

\label{Mo�n� p�echody t�� p�smenn� �ady} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(180.00,80.00) \put(20.00,30.00){\framebox(15.00,10.67)[cc]{ccc}} \put(40.33,10.00){\framebox(14.67,10.00)[cc]{ccv}} %\vector(35.00,30.00)(40.33,20.00) \put(40.33,20.00){\vector(1,-2){0.2}} \multiput(35.00,30.00)(0.12,-0.22){45}{\line(0,-1){0.22}} %\end %\bezier{160}(20.00,40.67)(0.67,36.67)(20.00,30.00) \put(20.00,30.00){\vector(3,-1){0.2}} \bezier{160}(20.00,40.67)(0.67,36.67)(20.00,30.00) %\end \put(40.33,50.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{vcc}} %\vector(40.67,50.00)(35.00,40.67) \put(35.00,40.67){\vector(-2,-3){0.2}} \multiput(40.67,50.00)(-0.12,-0.19){48}{\line(0,-1){0.19}} %\end %\vector(47.00,50.00)(47.00,20.00) \put(47.00,20.00){\vector(0,-1){0.2}} \put(47.00,50.00){\line(0,-1){30.00}} %\end \put(60.00,30.00){\framebox(15.00,10.67)[cc]{cvc}} \put(85.00,30.00){\framebox(15.00,10.67)[cc]{vcv}} %\vector(75.00,40.67)(85.00,40.67) \put(85.00,40.67){\vector(1,0){0.2}} \put(75.00,40.67){\line(1,0){10.00}} %\end %\vector(85.00,30.00)(75.00,30.00) \put(75.00,30.00){\vector(-1,0){0.2}} \put(85.00,30.00){\line(-1,0){10.00}} %\end \put(105.00,50.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{vvc}} \put(105.00,10.00){\framebox(15.00,10.00)[cc]{cvv}} %\vector(112.67,20.00)(112.67,50.00) \put(112.67,50.00){\vector(0,1){0.2}} \put(112.67,20.00){\line(0,1){30.00}} %\end \put(125.00,30.00){\framebox(15.00,10.67)[cc]{vvv}} %\vector(125.00,40.67)(120.00,50.00) \put(120.00,50.00){\vector(-1,2){0.2}} \multiput(125.00,40.67)(-0.12,0.22){42}{\line(0,1){0.22}} %\end %\vector(120.00,20.00)(125.00,30.00) \put(125.00,30.00){\vector(1,2){0.2}} \multiput(120.00,20.00)(0.12,0.24){42}{\line(0,1){0.24}} %\end %\vector(105.00,60.00)(55.33,60.00) \put(55.33,60.00){\vector(-1,0){0.2}} \put(105.00,60.00){\line(-1,0){49.67}} %\end %\vector(55.00,10.00)(105.00,10.00) \put(105.00,10.00){\vector(1,0){0.2}} \put(55.00,10.00){\line(1,0){50.00}} %\end %\bezier{164}(140.00,40.67)(160.00,35.33)(140.00,30.00) \put(140.00,30.00){\vector(-4,-1){0.2}} \bezier{164}(140.00,40.67)(160.00,35.33)(140.00,30.00)

%\end %\vector(55.00,20.00)(60.00,30.00) \put(60.00,30.00){\vector(1,2){0.2}} \multiput(55.00,20.00)(0.12,0.24){42}{\line(0,1){0.24}} %\end %\vector(59.67,40.67)(55.33,50.00) \put(55.33,50.00){\vector(-1,2){0.2}} \multiput(59.67,40.67)(-0.12,0.25){37}{\line(0,1){0.25}} %\end %\vector(105.00,50.00)(100.00,40.67) \put(100.00,40.67){\vector(-1,-2){0.2}} \multiput(105.00,50.00)(-0.12,-0.22){42}{\line(0,-1){0.22}} %\end %\vector(100.00,30.00)(105.00,20.00) \put(105.00,20.00){\vector(1,-2){0.2}} \multiput(100.00,30.00)(0.12,-0.24){42}{\line(0,-1){0.24}} %\end \end{picture} \end{figure} Takov� p�echody nejsou omezeny na jazyk. Pokud sledujeme atomy radioaktivn�ch prvk� po n�jak� �asov� obdob�, potom ka�d� atom bu� z�stal nezm�n�n�, nebo vyz��il kvantum radiace a zm�nil se na atom jin�ho prvku. Zde nezn�me indexov�n� jednotliv�ch atom�, m�eme ur�it pouze jejich mno�stv�. Mno�stv� $\delta x$ atom�, kter� se rozpadly v �asov�m intervalu, je �m�rn� po�tu atom� $x$, konstantou proporcionality k d�lce �asov�ho intervalu $\delta t$ je $k$. Rovnice popisuj�c� tento proces je \begin{equation} \delta x/\delta t = -kx \label{delta} \end{equation} �e�en� t�to rovnice se nalezne odd�len�m prom�nn�ch v diferenci�ln�m tvaru (velmi kr�tk� $\delta t$): \begin{equation} \delta x/x = \delta (logx)= -k\delta t \end{equation} a integrac� obou stran a delogaritmov�n�m v�sledku \begin{equation} x = Aexp(-kt) \end{equation} kde $A$ je po��te�n� hodnota $x$ jako integra�n� konstanta. Toto �e�en� m� shora zm�n�n� h��ek: Nem�eme si nikdy b�t jisti s �asem, kdy se rozpadne posledn� atom v soustav�, existuj� pouze pravd�podobnosti. To je rozd�l mezi diferenci�ln�m a integr�ln�m kalkulem a kone�nou matematikou. Proces lze zobrazit dv�ma rozd�ln�mi n��rty, bu� vyn��me koncentrace vzhledem k uplynul�mu �asu jako na obr. \ref{Exponenci�ln� k�ivka.}, co� je tradi�n� technika, nebo vyn��me koncentrace m�n�c� se substance $x_t$ p��padn� koncentrace produktu $(1 - x)_t$ vzhledem k t�mto koncentrac�m $x_{t+1}$ nebo $(1-x_{t+1})$ v konstantn�ch �asov�ch intervalech $\Delta t$ jako na obr. \ref{Linearizace}. Body koncentrace na tomto grafu tvo�� p��mky, jejich� sklony jsou z�visl� na rychlostn�ch konstant�ch k.

Je�t� jednou: Hodnoty funkce ve dvou rozd�ln�ch �asov�ch intervalech byly pojedn�ny jako ortogon�ln� vektory. T�mto zp�sobem jsme z�skali graf line�rn� funkce z exponenci�ln� funkce, jako kdybychom nalezli logaritmus exponenci�ln� funkce. Ortogon�ln� projekce dala logaritmickou transformac� exponenci�ln� rychlosti transformac� n atom� dvou druh�. \section{Mnohorozm�rn� syst�my} \label{Mnohorozm�rn� syst�my} Podle na�� definice matice orientovan�ch graf� popisuj� pohyby na rovin�ch ortogon�ln�ch k jednotkov�m vektor�m ${\bf I}$. Jsme schopni sledovat pohodln� m�n�c� se koncentrace 3 slo�ek, kter� se mohou nakreslit na rovnostrann� troj�heln�k. Co je snadn� pro dv� slo�ky se st�v� slo�it�m v syst�mech obsahuj�c�ch n rozd�ln�ch slo�ek, z nich� ka�d� se m�e transformovat v jinou s rozd�ln�mi rychlostmi $k_{ij}$. Nicm�n� z�kladn� z�st�v� a takov� syst�my se popisuj� zobecn�nou Markovovou matic� ${\bf M}$, jej� mimodiagon�ln� prvky $k_{ij}$. jsou rychlostn� konstanty soustavy rovnic \ref{delta} a diagon�ln� prvky jsou sou�ty rychlostn�ch konstant se z�porn�mi znam�nky $-\Sigma k_{ij}$. Diagon�ln� prvky jsou bu� sloupcov� sou�ty, pokud matice ${\bf M}$ p�sob� na koncentra�n� vektor sloupec ${\bf c}$ zleva, nebo ��dkov� sou�ty, pokud matice ${\bf P}$ p�sob� na koncentra�n� vektor ��dku ${\bf c}^{\rm T}$ zprava. \section{Matice p�echod�} \label{Matice p�echod�} Matice p�echod� ${\bf P}$ je tvo�ena dv�ma ��stmi, Markovovou matic� ${\bf M}$ a matic� identity ${\bf I}$ \begin{equation} {\bf P}= ({\bf I} + {\bf M})\;. \end{equation} ${\bf M}$ je asymetricky rozd�len� Laplace-Kirchhoffova matice ${\bf S}^{\rm T} {\bf S}$ se z�porn�mi znam�nky na diagon�le, kter� je normalizov�na na jednotkov� koncentrace. Matice p�echod� ${\bf P}$ maj� dv� limity: Bu� matici identity ${\bf I}$, pokud nedoch�z� k ��dn� zm�n� v dan�m �asov�m intervalu, nebo permuta�n� matice ${\bf P}$, pokud se v�echny l�tky transformuj� na jin� b�hem jednoho �asov�ho intervalu. M�eme p�edpokl�dat, �e ka�d� reakce (p�echod), ve kter� se jedna l�tka m�n� v jinou l�tku, �ekn�me $ a \rightarrow b$ v �asov�m intervalu $\delta t$ se registruje v inciden�n� matici ${\bf S}$ jako diference dvou jednotkov�ch vektor� $({\bf e}_i- {\bf e}_j)$. Tyto aditivn� oper�tory se transformuj� v kvadratick� form� ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ do multiplikativn�ch oper�tor�, kter� jsou normalizov�ny, to znamen�, �e oper�tor $k_{ij}$ je pom�r transformovan�ch objekt� ke v�em p��tomn�m objekt�m, a normalizovan� symetrick� kvadratick� forma ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ je �t�p� do ��dkov�ho oper�toru ${\bf P}_r$ a sloupcov�ho oper�toru ${\bf P_c}$ \begin{equation} -{\bf S}^{\rm T}{\bf S}= {\bf P}_r + {\bf P}_c\;. \end{equation} Matice sousedstv� ${\bf A}$, kter� jsme pou��vali doposud, byly symetrick�. Ty se z�skaly jako mimodiagon�ln� prvky kvadratick�ch forem inciden�n�ch matic bu� orientovan�ho grafu ${\bf S}$, nebo neorientovan�ho grafu ${\bf G}$ (viz podkapitolu 12.7).

Pon�vad� asymetrick� matice sousedstv� se pou��vaj� jako oper�tory, je nutn� ur�it, jak se form�ln� vytvo��. Kdy� se vektory-hrany ${\bf c}$ n�sob� zprava, potom $a_{ij} = k$, kdy� k orientovan�ch hran jde z vrcholu j do vrcholu i, kdy� se vektory-sloupce ${\bf c}$ n�sob� zleva, potom $ _{ij} = k$, kdy� k orientovan�ch hran jde z vrcholu i do vrcholu j. Pou�ijeme doln� indexy r a l pro oba druhy matic sousedstv� ${\bf A}$. Orientaci orientovan�ch hran lze vyj�d�it znam�nky, kde $a_{ij} = +k$, kdy� k orientovan�ch hran jde z vrcholu i do vrcholu j, nebo kde $a_{ij} = -k$, kdy� k orientovan�ch hran jde z vrcholu i do vrcholu j, nebo opa�n�. Pokud ka�d� orientovan� hrana p�edstavuje jednu transformaci objektu j na objekt i a po�ty $k_{ij}$ jsou normalizov�ny, $k_{ij}$ se m�n� v rychlostn� konstanty reakc� zn�m�ch v chemii jako monomolekul�rn� reakce, spolu s odpov�daj�c�mi sou�ty $\Sigma k_{ij}$ na diagon�le se z�porn�mi znam�nky. Kdy� se koncentrace (nebo koordin�ta) vektor� ${\bf c}$ n�sob� t�mito oper�tory, z�skaj� se zm�ny koncentrac�, kdy� se koncentrace vektor� ${\bf c}$ n�sob� $({\bf I}- {\bf P})$, z�skaj� se nov� koncentrace vektor�. P�edpokl�d�me, �e koncentrace vektor� jsou hrany a n�soben� je zprava \begin{equation} {\bf c}_{t+1}^{\rm T} = {\bf c}_{t}^{\rm T}{\bf M}\;, \end{equation} tedy sou�ty $\Sigma k_{ij}$ na diagon�le jsou sloupcov� sou�ty. Budi� ${\bf S}$ a ${\bf G}$ inciden�n� matice stejn� orientovan�ho multigrafu, kde $ {\bf S}$ a ${\bf G}$ jsou identick� matice vyjma znam�nek. Neorientovan� hrana odpov�d� ka�d� orientovan� hran�. Hrany ${\bf S}$ a ${\bf G}$ jsou vz�jemn� ortogon�ln� vektory. \begin{figure} \caption{Reak�n� multigraf} \label{Reak�n� multigraf} \linethickness{0.6pt} \begin{picture}(180.00,90.00) \put(10.00,10.00){\circle{4.00}} \put(10.00,30.00){\circle{4.00}} \put(30.00,29.67){\circle{4.00}} \put(30.00,10.00){\circle{4.00}} \put(70.00,30.00){\circle{4.00}} \put(90.00,29.67){\circle{4.00}} \put(110.00,30.00){\circle{4.00}} \put(90.00,10.00){\circle{4.00}} \put(10.00,50.00){\circle{4.00}} \put(10.00,70.00){\circle{4.00}} \put(30.00,69.67){\circle{4.00}} \put(50.00,70.00){\circle{4.00}} \put(30.00,50.00){\circle{4.00}} \put(70.00,50.00){\circle{4.00}} \put(90.00,69.67){\circle{4.00}} \put(110.00,70.00){\circle{4.00}} \put(90.00,50.00){\circle{4.00}} \put(130.00,30.00){\circle{4.00}} \put(150.00,29.67){\circle{4.00}} \put(170.00,30.00){\circle{4.00}} \put(130.00,50.00){\circle{4.00}}

\put(130.00,70.00){\circle{4.00}} \put(170.00,70.00){\circle{4.00}} \put(150.00,50.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,69.67)(50.00,69.67) \put(10.00,69.67){\line(1,0){40.00}} %\end %\emline(10.00,69.67)(10.00,50.00) \put(10.00,69.67){\line(0,-1){19.67}} %\end %\emline(10.00,50.00)(30.00,50.00) \put(10.00,50.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(30.33,69.67)(10.00,50.00) \multiput(30.33,69.67)(-0.12,-0.12){164}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(110.00,70.00)(90.00,70.00) \put(110.00,70.00){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(90.00,70.00)(90.00,50.00) \put(90.00,70.00){\line(0,-1){20.00}} %\end %\emline(90.00,50.00)(70.00,50.00) \put(90.00,50.00){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(70.00,50.00)(90.00,70.00) \multiput(70.00,50.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}} %\end %\emline(130.00,70.00)(130.00,50.00) \put(130.00,70.00){\line(0,-1){20.00}} %\end %\emline(130.00,50.00)(150.00,50.00) \put(130.00,50.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(30.00,30.00)(10.00,30.00) \put(30.00,30.00){\line(-1,0){20.00}} %\end %\emline(10.00,30.00)(10.00,10.00) \put(10.00,30.00){\line(0,-1){20.00}} %\end %\emline(10.00,10.00)(30.00,10.00) \put(10.00,10.00){\line(1,0){20.00}} %\end %\emline(30.00,10.00)(30.00,30.00) \put(30.00,10.00){\line(0,1){20.00}} %\end %\emline(30.00,30.00)(10.00,10.00) \multiput(30.00,30.00)(-0.12,-0.12){167}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(70.00,30.00)(110.00,30.00) \put(70.00,30.00){\line(1,0){40.00}} %\end %\emline(90.00,30.00)(90.00,10.00) \put(90.00,30.00){\line(0,-1){20.00}} %\end \put(10.00,76.00){\makebox(0,0)[cc]{1}} \put(30.00,76.00){\makebox(0,0)[cc]{2}} \put(50.00,76.00){\makebox(0,0)[cc]{3}} \put(10.00,40.33){\makebox(0,0)[cc]{4}}

\put(30.00,40.33){\makebox(0,0)[cc]{5}} %\emline(30.00,69.67)(30.00,50.00) \put(30.00,69.67){\line(0,-1){19.67}} %\end \put(70.00,70.00){\circle{4.00}} \put(150.00,70.00){\circle{4.00}} \put(70.00,10.00){\circle{4.00}} \put(130.00,9.67){\circle{4.00}} \put(150.00,10.00){\circle{4.00}} \put(40.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{A}} \put(100.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_1$}} \put(40.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_3$}} \put(50.00,30.00){\circle{4.00}} \put(99.67,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_4$}} \put(160.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_3$}} \put(160.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$A_5$}} %\emline(130.00,30.00)(170.00,30.00) \put(130.00,30.00){\line(1,0){40.00}} %\end %\emline(150.00,30.00)(130.00,10.33) \multiput(150.00,30.00)(-0.12,-0.12){164}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(130.00,10.33)(130.00,30.00) \put(130.00,10.33){\line(0,1){19.67}} %\end \end{picture} \end{figure} Odpov�daj�c� skal�rn� sou�iny ${\bf S}^{\rm T}{\bf G}$ a ${\bf G}^{\rm T}{\bf S}$ jsou asymetrick� matice ukazuj�c� rozd�ly v orientaci orientovan�ch hran. Jako p��klad pou�ijeme multigraf definovan� transponovanou inciden�n� matic� ${\bf S}^{\rm T}$ (viz obr. \ref{Reak�n� multigraf}) $$\begin{array}{cc} {\bf S}^{\rm T} & \left( \begin{array}{ccccccc} -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Prvky matice ${\bf G}^{\rm T}{\bf S}$ jsou $$\left( \begin{array}{cccc} -3 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & 1 & -1\\ -1 & -1 & 2 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$$ Mohou se interpretovat jako

$v_{ii} =$ (orientovan� hrany do - orientovan� hrany ven) $a_{ij} =$ (orientovan� hrany z i do j - orientovan� hrany z j do i), potom $a_{ij} =$ 0 ��dn� orientovan� hrana. Prvky matice ${\bf S}^{\rm T}{\bf G}$ jsou $$\left( \begin{array}{cccc} 3 &-1 & -1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 0\\ 1 &-1 & 0 & 0 \end{array} \right)$$ lze je interpretovat jako $v_{ii} =$ (orientovan� hrany do - orientovan� hrany ven) $a_{ij} =$ (orientovan� hrany z i do j - orientovan� hrany z j do i), potom $a_{ij} =$ 0 ��dn� orientovan� hrana. Mimodiagon�ln� prvky matice ${\bf S}^{\rm T}{\bf G}$ se li�� od mimodiagon�ln�ch prvk� matice ${\bf G}^{\rm T}{\bf S}$ pouze znam�nky. Skal�rn� sou�iny ${\bf S}^{\rm T}{\bf G}$ a ${\bf G}^{\rm T}{\bf S}$ se mohou kombinovat s kvadratick�mi formami inciden�n�ch matic. Existuj� �ty�i aditivn� kombinace $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf S}^{\rm T}{\bf S}\\ \\ \left( \begin{array}{rrrr} 5 & -3 & -1 & -1\\ -3 & 5 & -1 & -1\\ -1 & -1 & 2 & 0\\ -1 & -1 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf G}^{\rm T}{\bf G}\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} 5 & 3 & 1 & 1\\ 3 & 5 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{cc}

\begin{array}{c} {\bf G}^{\rm T}{\bf S}+{\bf S}^{\rm T}{\bf S}\\ \\ \left( \begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 0 & 0\\ -4 & 6 & 0 & -2\\ -2 & -2 & 4 & 0\\ -2 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf G}^{\rm T}{\bf S}-{\bf S}^{\rm T}{\bf S}\\ \\ \left( \begin{array}{rrrr} -8 & 4 & 2 & 2\\ 2 & -4 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & -2 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ $$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} {\bf G}^{\rm T}{\bf S}+{\bf G}^{\rm T}{\bf G}\\ \\ \left( \begin{array}{rrrr} 2 & 4 & 2 & 2\\ 2 & 6 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf G}^{\rm T}{\bf S}-{\bf G}^{\rm T}{\bf G}\\ \\ \left( \begin{array}{rrrr} -8 & -2 & 0& 0\\ -4 & -4 & 0 & -2\\ -2 & -2 & 0 & 0\\ -2 & 0 & 0 & -2 \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ To d�v� tento vzor $${\bf G}^{\rm T}{\bf S}+ {\bf S}^{\rm T}{\bf S}= 2({\bf V}_{v} - {\bf A}_r)$$ $${\bf G}^{\rm T}{\bf S}- {\bf S}^{\rm T}{\bf S}=

2({\bf A}_l- {\bf V}_{out})$$ $${\bf G}^{\rm T}{\bf S}+ {\bf G}^{\rm T}{\bf G}= 2({\bf V}_{v}+ {\bf A}_l)$$ $${\bf G}^{\rm T}{\bf S}- {\bf G}^{\rm T}{\bf G}= -2({\bf A}_r + {\bf V}_{out})\;.$$ Skal�rn� sou�in $({\bf G}- {\bf S})^{\rm T} {\bf S}$ lze normalizovat do levostrann�ho oper�toru ${\bf M}$. Diagon�ln� matice stup�� vrchol� (orientovan� hrany do a ven), stejn� jako asymetrick� matice sousedstv� se mohou rozd�lit transponov�n�m sou�t� nebo rozd�l� ${\bf G}^{\rm T}{\bf S}$ s ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$ a jejich kombinov�n�m se sou�ty nebo rozd�ly ${\bf G}^{\rm T}{\bf S}$ s ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$: $$4{\bf V}_{v} = ({\bf G}^{\rm T}{\bf S}+ {\bf S}^{\rm T}{\bf S}) + ({\bf G}^{\rm T}{\bf S}+ {\bf G}^{\rm T}{\bf G})^{\rm T} $$ $$-4{\bf V}_{out} = ({\bf G}^{\rm T}{\bf S}{\bf S}^{\rm T}{\bf S}) + ({\bf G}^{\rm T}{\bf S}{\bf G}^{\rm T}{\bf G})^{\rm T}$$ $${\bf -}4{\bf A}_l = ({\bf G}^{\rm T}{\bf S}+ {\bf S}^{\rm T}{\bf S}) - ({\bf G}^{\rm T}{\bf S}+ {\bf G}^{\rm T}{\bf G})^{\rm T} $$ $$4{\bf A}_r = ({\bf G}^{\rm T}{\bf S}{\bf S}^{\rm T}{\bf S}) - ({\bf G}^{\rm T}{\bf S}{\bf G}^{\rm T}{\bf G})^{\rm T}\;.$$ Stejn� operace s ${\bf S}^{\rm T}{\bf G}$ d�v� vzor $${\bf S}^{\rm T}{\bf G}+ {\bf S}^{\rm T}{\bf S}= 2({\bf V}_{v} - {\bf A}_l)$$ $${\bf S}^{\rm T}{\bf G}- {\bf S}^{\rm T}{\bf S}= 2({\bf A}_r - {\bf V}_{out})$$ $${\bf S}^{\rm T}{\bf G}+ {\bf G}^{\rm T}{\bf G}= 2({\bf V}_{v}+ {\bf A}_r)$$ $${\bf S}^{\rm T}{\bf G} - {\bf G}^{\rm T}{\bf G}= -2({\bf A}_l + {\bf V}_{out})\;.$$ Skal�rn� sou�in ${\bf S}^{\rm T}({\bf G}- {\bf S})$ lze normalizovat do pravostrann�ho oper�toru ${\bf M}$. Diagon�ln� matice stup�� vrchol� (orientovan� hrany do a ven), stejn� jako asymetrick� matice sousedstv� se mohou rozd�lit transponov�n�m sou�t� nebo rozd�l� ${\bf S}^{\rm T}{\bf G}$ s ${\bf G}^{\rm T}{\bf G}$ a jejich kombinov�n�m se sou�ty nebo rozd�ly ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ s ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ jako shora. Tyto transponovan� matice jsou identick� se sou�ty nebo rozd�ly ${\bf G}^{\rm T}{\bf S}$, proto�e transponov�n� m�n� po�ad� matice v sou�inu. Inciden�n� matice ${\bf S}$ a ${\bf G}$, nebo jejich transponovan� matice, pou��van� jako multiplikativn� oper�tory, p�en�ej� ka�d� prvek n�soben�ho maticov�ho vektoru dvakr�t, jednou na diagon�le, jednou jako mimodiagon�ln� prvek. Sou�ty nebo rozd�ly t�chto matic ${\bf S}$ a ${\bf G}$, kter� by m�ly b�t transformovan� do kvadratick�ch matic, maj� v ka�d� ��dce p�esn� jeden prvek 2 v kon��c�m nebo v�choz�m sloupci. V�sledky jsou tedy element�rn�. Av�ak tato fakta nejsou vysv�tlena v u�ebnic�ch ani v b�n� literatu�e. Pokud byly studov�ny

d��ve,

byly zapomenuty.

Dvojit� ��etnictv� orientovan�ch hran s pou�it�m ortogon�ln�ch vektorov�ch �ad, jejich sou�t� a rozd�l�, kvadratick�ch forem, skal�rn�ch sou�in� a transponovan�ch matic, d�v� s� p��buzn�ch matic popisuj�c�ch grafy a objekty isomorfn� k jejich transformac�m. Laplace-Kirchhoffova matice, identick� s ${\bf S}^{\rm T}{\bf S}$ a pou�it� pro �e�en� elektrick�ch obvod�, je symetrick�. Ta ve skute�nosti popisuje pouze vlastnosti obvodu, odpory hran (vodi��) spojuj�c�ch vrcholy s�t�. Sm�r proudu je zaveden aplikovan�m nap�t�m. Matice proud� odpov�d� jedn� z matic ${\bf S}^{\rm T} {\bf G}$ nebo ${\bf G}^{\rm T}{\bf S}$, proudy $k$ ve v�tv�ch maj� v�dy opa�n� znam�nka \begin{equation} ({\bf S}^{\rm T}{\bf G})_{ij} = -({\bf S}^{\rm T}{\bf G})_{ij}\;. \end{equation} Mimo to proudy do a ven u v�ech vrchol� mus� b�t vyv�eny, $\Sigma k_{ij} = 0$. Pon�vad� odpory se mohou vyj�d�it jako d�lky vodi��, inverzn� probl�m se objevuje jako odporov� vzd�lenosti. \section{Rovnov�n� koncentrace} \label{Rovnov�n� koncentrace} Nalezen� diagon�ln� matice ${\bf C}$ rovnov�n�ch koncentrac� $c_j*$ pro velk� syst�my nen� jednoduch� �loha. Vy�aduje v�po�ty determinant� v�ech submatic sou�inu matic $\delta_j{\bf MC}$, z�skan�ch vynech�n�m j-t� ��dky a sloupce. Pro tento ��el bylo vypracov�no mnoho variant Kirchhoffovy techniky nap�nac�ch strom�. Dnes jsou technick� pot�e odstran�n� pou�it�m po��ta��, av�ak z�kladn� ot�zka z�st�v� otev�en�: je sou�in ${\bf MC}$ symetrick� matice nebo nen�? Wei a Prater \cite{[14]}, kte�� vypracovali maticovou techniku pro �e�en� soustav exponenci�ln�ch rovnic, argumentovali principem mikroskopick� reversibility, podle kter� by m�la b�t spr�vn� ekvivalence: \begin{equation} c_i^*k_{ij} = c_j^*k_{ji} \end{equation} Vlastnosti podstatn� kladn�ch matic �in� platnost tohoto principu pochybnou. Pou�ijeme vlastnosti vlastn�ch hodnot Markovov�ch matic a budeme studovat oper�tor ${\bf P}= ({\bf I}+ {\bf M})$. Tento oper�tor transformuje koncentra�n� vektor ${\bf c}_t$ v �ase t na koncentra�n� vektor ${\bf c}_{t+1}$ v �ase $(t + \delta)$. \section{Vlastnosti matic sou�t� (I + M)} \label{Vlastnosti matic} Matice $({\bf I}+ {\bf M})$ maj� jednu vlastn� hodnotu p�esn� 1, jin� vlastn� hodnoty jsou v kru�nici $0 < \lambda_j < 1$. Matice ${\bf M}$ m� p�esn� jednu vlastn� hodnotu rovnou nule a zb�vaj�c�ch $(n-1)$ vlastn�ch hodnot v intervalu omezen�m kru�nic� danou sou�ty rychlost� $\Sigma -k_{ij}$. Pon�vad� transformace jak�koliv l�tky nem�e b�t v�t�� ne� jej� koncentrace, sou�et rychlostn�ch konstant mus� b�t men�� ne� 1. Pokud se p�id� jednotkov� matice ${\bf I}$ k ${\bf M}$, v�echny vlastn� hodnoty se zv�t�� rovnom�rn� o 1. To m� d�le�it� d�sledek, kter� z�stal nepov�imnut�: Rovnov�n� stav oper�toru ${\bf P} = {\bf I + M}^\infty$ m� jednu vlastn� hodnotu p�esn� 1, v�echny jin� vlastn� hodnoty jsou 0. Sou�in

jak�hokoliv koncentra�n�ho vektoru ${\bf c}$ s rovnov�n�m {\bf M})^{\infty}$ mus� d�t rovnov�n� koncentra�n� vektor {\bf I}({\bf I}+ {\bf M})^{\infty}$ m� tvar n identick�ch koncentra�n�ch vektor� ${\bf c}^{\rm T}$. Pon�vad� sou�et $\Sigma_{j=1}^n = 1$, tento v�sledek souhlas� s podm�nkou M})^{\infty} = {\bf c}^{*{\rm T}}$.

oper�torem $({\bf I}+ ${\bf c}^*$. Tedy $(1/n) sloupc� rovnov�n�ch koncentrac� je v�dy ${\bf c}({\bf I}+ {\bf

Jinou d�le�itou vlastnost� rovnov�n�ho oper�toru je, �e jeho sou�in s Markovovou matic� ${\bf M}$ mus� d�vat nulovou matici ${\bf 0}$: ${\bf M}({\bf I}+ {\bf M})^{\infty} = {\bf 0}$. Abychom uk�zali n�kter� d�sledky, rozd�l�me rovnov�n� maticov� oper�tor do diagon�ln� matice ${\bf C}$, jej� prvky jsou rovnov�n� koncentrace $c^*_j$, a matici mimodiagon�ln�ch prvk� $[{\bf M}({\bf I}+ {\bf M})^{\infty} - {\bf C}]$. Sou�iny s Markovovou matic� maj� n�sleduj�c� tvar: $$\begin{array}{ccc} {\bf M} & = & \left( \begin{array}{cccc} -c_1^*\Sigma k_{i1} & c_2^* k_{12} & \dots & c_n^* k_{1n} \\ c_1^* k_{21} & -c_2^*\Sigma k_{i2} & \dots & c_n^* k_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_1^* k_{n1} & c_2^* k_{n2} & \dots & -c_n^*\Sigma k_{v} \\ \end{array} \right)\;. \end{array}$$ $$\begin{array}{c} {\bf M}[({\bf I}+ {\bf M})^{\infty} - {\bf C}]\\ \\ \left( \begin{array}{cccc} \Sigma_{i=1}c_ik_{1i} & \Sigma_{i\neq2}(c_i^* k_{i1} -c_1^* k_{i1}) & \dots & \Sigma_{i\neq n}(c_i^* k_{1n} -c_1^* k_{i1})\\ \Sigma_{i\neq1}(c_i^* k_{2i} -c_2^* k_{2i}) & \Sigma_{i=2}c_ik_{2i} & \dots & \Sigma_{i\neq n}(c_i^* k_{2n}-c_1^*k_{i2})\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \Sigma_{i\neq1}(c_i^* k_{ni} -c_n^* k_{ni}) & \Sigma_{i\neq2}(c_i^* k_{ni} -c_n^* k_{ni}) & \dots & \Sigma_{i=n}c_ik_{ni} \end{array} \right)\;. \end{array}$$ Rovnov�n� podm�nka je spln�na pokud \begin{equation} \sum_{j=n}^nc_j^*k_{ji} - \sum_{i=n}^nc_i^*k_{ij} = 0 \end{equation} V�echny proudy do ka�d� polohy v matici mus� b�t vyv�eny v�emi proudy z polohy, aby se udr�ela rovnov�ha. Pro to nen� nutnou podm�nkou princip mikroskopick� reversibility, je to pouze speci�ln� p��pad ze v�ech mo�nost�, jak se m�e dos�hnout rovnov�ha. Pon�vad� jak�koliv rovnov�n� stav oper�toru ${\bf P}$ m� p�esn� jednu vlastn� hodnotu 1, zbyl�ch $(n - 1)$ vlastn�ch hodnot jsou 0, snadno se naleznou odpov�daj�c� vlastn� vektory. Jednotkov�m vlastn�m vektorem je jednotkov� ��dka $ {\bf J}^{\rm T}$ nebo jednotkov� sloupec ${\bf J}$. Nulov� vlastn� vektory lze

vybrat jako jakoukoliv z $(n -1)$ hran nebo sloupc� Markovovy matice. Ka�d� Markovova matice je tedy soustavou vlastn�ch vektor� sv�ho rovnov�n�ho stavu. \section{Klasifikace Markovov�ch matic} \label{Klasifikace Markovov�ch matic} Markovova matice popisuje sv�j vlastn� rovnov�n� stav a v�echny cesty k rovnov�ze z jak�hokoliv bodu n rozm�rn�ho koncentra�n�ho simplexu. Tento simplex je rovina ortogon�ln� k jednotkov�mu vektoru ${\bf I}$, nap��klad pro 3 l�tky je to rovnostrann� troj�heln�k. Ka�d� bod simplexu m�e b�t rovnov�n�m bodem soustavy a ke ka�d�mu rovnov�n�mu bodu vede nekone�n� mnoho cest. Tedy je nutn� klasifikovat Markovovy matice podle charakteru cest, kter� matice vytv���. Pokud vylou��me matice jdouc� ke koncentrac�m mimo simplex, existuj� t�i mo�nosti. Snadno je lze nal�zt pro dvojrozm�rn� p��pad: $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{c} {\bf A} \\ p, q < 0.5 \\ \\ \left( \begin{array}{cc} (1-p) & p \\ q & (1-q) \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf B} \\ p = q = 0.5\\ \\ \left( \begin{array}{cc} 0.5 & 0.5\\ 0.5 & 0.5 \end{array} \right) \end{array} & \begin{array}{c} {\bf C} \\ p, q > 0.5 \\ \\ \left( \begin{array}{cc} (1-p) & p \\ q & (1-q) \end{array} \right) \end{array} \end{array}$$ \begin{itemize} \item ${\bf A}$: Hladk� p�ibl�en�. Transforma�n� linie jsou uvnit� r�mce tvo�en�ho diagon�lou a osou x. Determinant ${\bf P}$ je v�t�� ne� 1. Prvn� krok m�e bezprost�edn� v�st k rovnov�n� koncentraci. \item ${\bf B}$. Osciluj�c� p�ibl�en�. To lze rozeznat jednodu�e podle reak�n� konstanty. Pokud $k_{ij} > c^*_j$, potom soustava osciluje, kdy� reakce za��n� z

vrcholu reak�n�ho simplexu $c^i = 1$. V prv�m kroku koncentrace $c_j$ sko�� nad rovnov�nou koncentraci. Zde by se m�ly studovat �asov� podm�nky, to je vztahy mezi �asov�mi intervaly pot�ebn�mi pro transformaci objektu v jin�. Tyto intervaly jsou jist� rozd�ln� pro n rozd�ln�ch objekt� a cel� reak�n� intervaly. Nem�eme p�edpokl�dat, �e v�echny objekty reaguj� sou�asn� a tedy reak�n� intervaly mohou b�t mnohem del�� ne� transforma�n� intervaly jednotliv�ch objekt�. Av�ak tato diference p�sob� labilitu a m�e vest k oscilac�m jin�ch typ�. \item ${\bf C}$. Nejstrm�j�� p��stup. Reak�n� cesta by m�la b�t p��mka jdouc� od jak�koliv koncentra�n�ho bodu k rovnov�n�mu. To vy�aduje, aby reak�n� konstanta ka�d� l�tky byla �m�rn� rovnov�n� koncentraci c�lov� l�tky. Nap��klad pro 3 l�tky: $c_1k_{12} = ac^*_2$ $c_1k_{13} = ac^*_3$. Z podm�nek mikroskopick� reversibility $c^*_2k_{23} = c^*_3k_{32}$ dostaneme vztah reak�n�ch konstant $k_{23}/k_{13}=k_{23}/k_{12}$. Pro druh� dv� l�tky dostaneme podobn� pro $c_2$: $k_{21}/k_{31}=k_{23}/k_{12}$ a pro $c_3$: $k_{31}/k_{21}=k_{32}/k_{12}$. \end{itemize} P�i srovn�n� v�ech t�� v�sledk� vid�me, �e takov� p��stup je mo�n� pouze pro $c_j^* = 1/3$, to je pro st�ed simplexu. Princip mikroskopick� reversibility zaji��uje nejstrm�j�� p��stup pouze na p��mce spojuj�c� rovnov�n� stav s vrcholy simplexu, jedna �ist� l�tka reaguje nebo jedna l�tka miz� z rovnov�n�ho stavu. To je speci�ln� cesta a je to problematick�. Je mnohem snaz�� p�ipustit existenci cyklick�ch proud�, kter� mus� b�t vyv�eny v rovnov�ze podm�nkou pro l�tky v cyklu \begin{equation} k_{ij} = (k + k')/c^*_i\;,\ {\em kde}\ k' = c^*_j k_{ij}\;. \end{equation} Nejstrm�j�� p��stup k rovnov�ze by mohl b�t optim�ln� cestou v koncentra�n�m simplexu, av�ak nen� mo�n� dok�zat, �e je to pouze jedin� mo�n� cesta pro v�echny reak�n� syst�my a podm�nky. Nen� mo�n� dok�zat, �e sou�in matic ${\bf MC}$ je symetrick� matice. Na druh� stran� je dosti snadn� nal�zt podm�nky pro osciluj�c� reak�n� soustavy. Dosta�uj�c� podm�nkou je, aby $k_{ij}$ byly relativn� velk� ��sla. Ov�em takov� hodnoty poru�uj� podm�nky diferenci�ln�ch reakc�, p�edpokl�d� se, �e p��r�stky $\delta x/\delta t$ jsou nekone�n� mal� av�ak maticov� n�soben� ukazuje, pro� se objevuj� oscilace: v jednom �asov�m intervalu nejsou dostate�n� velk� koncentrace zp�tn�ch produkt� k vyv�en� ztr�ty $c_j \Sigma k_{ij}$, pokud ob� hodnoty $c_j$ a $\Sigma k_{ij}$ jsou velk�. Pon�vad� $({\bf I}+ {\bf M})^b \neq ({\bf I}+ b{\bf M})$, nem�eme vybrat �asov� intervaly $\Delta_t$ voln�. Ty by m�ly b�t srovnateln� s intervaly pot�ebn�mi pro reakce. Pokud n�jak� reakce vy�aduj� podstatn� del�� �asy, oscilace se objev� jako v Lotka-Wolterov� cyklu. \section{\ Jakobiho aproximace} \label{Jakobiho aproximace} Uk�zali jsme p�esn� metody pro �e�en� rovnic ${\bf Mx}= {\bf b}$ v kapitole 16, zalo�en� na invertov�n� matice ${\bf M}$ nebo nalezen� jej�ch vlastn�ch hodnot. V p��pad�, �e nejsme schopni prov�st takov� sofistikovan� matematick� operace, m�eme se pokusit uh�dnout spr�vnou odpov��. Po��tali jsme matice a v�me, �e pokud se omez�me na p�irozen� ��sla, jejich po�et nen� nekone�n�. Proto je s pou�it�m po��ta�e mo�n� naleznout �e�en� metodou zkou�ek a omyl�, zejm�na kdy� se v�sledky porovn�vaj� s c�lov�mi hodnotami a nemo�n� kombinacemi se vylou��. Tuto techniku fluktuac� lze srovn�vat s procesem, jak�m soustava hled� svou rovnov�hu. Za�n�me s vektorem odhadu {\bf y}. Po n�soben� matic� ${\bf M}$ dostaneme vektor odhadu ${\bf g}$. P�i jeho srovn�n� s c�lov�m vektorem ${\bf b}$ dostaneme

diferenci $d({\bf g}-{\bf b})$. Pokud je nulov�, n� odhad je toto�n� s hledan�m vektorem a m�eme na�e hled�n� skon�it. Podobn� pokud diference $d({\bf g}-{\bf b}) $ je zanedbateln�, m�eme na�e hled�n� skon�it. Jinak mus�me opravit vektor odhadu s pou�it�m $d({\bf g}-{\bf b})$. Av�ak nem�eme pou��t celou diferenci, proto�e p��t� odhad by mohl b�t jako kyvadlo na druh� stran� spr�vn� hodnoty. Mus�me fluktuace zmen�ovat. Oprava mus� b�t men�� ne� diference, co� se dos�hne s pou�it�m konstanty c: $0
\put(100.00,45.00){\circle{4.00}} \put(140.00,45.00){\circle{4.00}} \put(40.00,29.33){\circle{4.00}} \put(120.00,30.00){\circle{4.00}} \put(75.00,5.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,60.00)(20.00,45.00) \multiput(10.00,60.00)(0.12,-0.18){84}{\line(0,-1){0.18}} %\end %\emline(20.00,45.00)(40.00,30.00) \multiput(20.00,45.00)(0.16,-0.12){126}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(40.00,30.00)(75.00,5.00) \multiput(40.00,30.00)(0.17,-0.12){209}{\line(1,0){0.17}} %\end %\emline(75.00,5.00)(120.00,30.00) \multiput(75.00,5.00)(0.22,0.12){209}{\line(1,0){0.22}} %\end %\emline(120.00,30.00)(140.00,45.00) \multiput(120.00,30.00)(0.16,0.12){126}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(140.00,45.00)(150.00,60.00) \multiput(140.00,45.00)(0.12,0.18){84}{\line(0,1){0.18}} %\end %\emline(130.00,60.00)(140.00,45.00) \multiput(130.00,60.00)(0.12,-0.18){84}{\line(0,-1){0.18}} %\end %\emline(110.00,60.00)(100.00,45.00) \multiput(110.00,60.00)(-0.12,-0.18){84}{\line(0,-1){0.18}} %\end %\emline(100.00,45.00)(90.00,60.00) \multiput(100.00,45.00)(-0.12,0.18){84}{\line(0,1){0.18}} %\end %\emline(50.00,60.00)(60.00,45.00) \multiput(50.00,60.00)(0.12,-0.18){84}{\line(0,-1){0.18}} %\end %\emline(60.00,45.00)(70.00,60.00) \multiput(60.00,45.00)(0.12,0.18){84}{\line(0,1){0.18}} %\end %\emline(30.00,60.00)(20.00,45.00) \multiput(30.00,60.00)(-0.12,-0.18){84}{\line(0,-1){0.18}} %\end %\emline(40.00,30.00)(60.00,45.00) \multiput(40.00,30.00)(0.16,0.12){126}{\line(1,0){0.16}} %\end %\emline(100.00,45.00)(120.00,30.00) \multiput(100.00,45.00)(0.16,-0.12){126}{\line(1,0){0.16}} %\end \put(10.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{000}} \put(30.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{001}} \put(50.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{010}} \put(70.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{011}} \put(90.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{100}} \put(110.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{101}} \put(130.00,69.33){\makebox(0,0)[cc]{110}} \put(150.00,70.00){\makebox(0,0)[cc]{111}} \end{picture} \end{figure}

Nejmen�� nutn� po�et ��slic pro ka�d� objekt z m objekt� je bl�zk� k $\log_2 m$. Tyto ��slice po��taj� hrany bin�rn�ho rozhodovac�ho grafu, na jeho� listech jsou um�st�ny po��tan� objekty (obr. \label{Bin�rn� rozhodovac� strom je isomorfn� s indexov�n�m m objekt� bin�rn�mi ��slicemi})\footnote{ Uspo��dejte, pros�m, listy na vrcholy krychle a nakreslete si rozhodovac� strom sami. Zkou�el jsem to, av�ak m�j obr�zek byl p��li� o�kliv�. Krychle stejn� jako rozhodovac� strom mus� b�t deformovan�}. Pro v�echny m objekty pot�ebujeme alespo� $m\log_2 m$ ��slic (v uk�zan�m p��klad� 24 ��slic). Tuto limitu lze z�skat pouze pokud $m$ jsou mocniny $2$. Nicm�n� m�eme pou��vat pro element�rn� v�po�ty logaritmy s uspokojuj�c� p�esnost�. Po�et ��slic $m_j$ je vzd�lenost list� j od ko�ene v rozhodovac�m stromu. Tedy logaritmy jsou ve vztahu ke vzd�lenostem. Kdy� v�me, �e $3^5 = 243$, konstruujeme

bin�rn� rozhodovac� strom s 1937 hranami

\begin{itemize} \item 128 * 8 = 1024 \item \ 64 * 8 = \ 512 \item \ 32 * 8 = \ 256 \item \ 16 * 8 = \ 128 Doposud se vyu�ilo pln� 15 v�tv� s 16 listy z 16 kmen� �tvrt�ho stupn� pro indexov�n� 240 list� (objekt�) s 1920 ��slicemi. Krat�� strom ra��c� z posledn�ho kmene se pou�ije pro posledn� t�i listy \item \ \ 2 * 6 = \ \ 12 \item \ \ 1 * 5 = \ \ \ 5 \end{itemize} Sou�et vzd�lenost� list� od ko�ene je 1937. Tedy $ 1937: 243 = 7.971$. V�sledek d�len� je pr�m�rn� vzd�lenost, kter� se rovn� $\log_2 3^4$. Odhad bin�rn�ho logaritmu 3 je $7.971 : 5 = 1.597$. Pon�vad� $\lg_2 3 = 1.585$, p�esnost pro takov� jednoduch� v�po�et je dobr� a mohla by se vylep�it s pou�it�m vy���ch mocnin hledan�ho ��sla, kter� jsou bl�zk� k mocnin� z�kladn�ho ��sla. V�po�ty lze prov�st pro jak�hokoliv p�irozen� po�et v�tv�. Jako p��klad: $5^{10} = 9765625$. Odpov�daj�c� zako�en�n� strom s 10 v�tvemi m� d�lku 7. D�leno 10 dostaneme 0.70000. Tabulkov� hodnota (z�skan� po��ta�kou) je $\log_{10}5 = 0.69897$. Po tomto odbo�en� se vr�t�me k funkci entropie. Pokud m�me n�jak� informace o po��tan�ch objektech, nutn� po�et ��slic lze sn�it. P�edpokl�dejme, �e objekty jsou u� indexov�ny $n$ symboly abecedy. Nov� indexov�n� lze slo�it ze dvou ��st�, symbolu $j$ a bin�rn�ho k�du zvl�tn�ho pro ka�d� zvl�tn� symbol. Nyn� pot�ebujeme pouze $\Sigma m_j \log_2 m_j$ symboly. Diference \begin{equation} H = m\log_2 m - \sum_{j=1}^n m_j \log_2 m_j = \sum m_j\log(m_j/m) \label{H_m} \end{equation} bude m�rou informace o po��tan�ch objektech z�skan� d�len�m mno�iny m objekt� do n ozna�en�ch podmno�in. Zaveden�m $p_j = m_j/m$ a d�len�m v�sledku ��slem $m$, dostaneme entropii $H_m$ vzta�enou na 1 objekt. Nap��klad �ada $aaaabbcd$

a jej� permutace vy�aduj� pouze 10 ��slic:

$$\begin{tabular}{|l|rrrrrrrr|}

\hline Decim�ln� & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline Bin�rn� & a00 & a01 & a10 & a11 & b0 & b1 & c & d \\ \hline \end{tabular}$$ Normalizovan� diference vzhledem k �pln�mu stromu $H=(24-10)/8=1.75$ je informa�n� entropie �ady\footnote{Recenzent presti�n�ho vzd�l�vac�ho �asopisu tomu nev��il a zam�tnul m�j �l�nek.}. Na ne�t�st� tento jednoduch� v�klad nevysv�tluje funkci entropie H. To je pouze aproximace jedn� jej� formy zalo�en� na bin�rn�ch logaritmech. \section{Boltzmannova funkce entropie $H_n$} \label{Boltzmannova funkce entropie $H_n$} Na Boltzmannov� hrobu je vyryt vzorec \begin{equation} S = - k\ln W\;, \end{equation} kde S zastupuje pro termodynamickou entropii, W jako Wahrscheinlichkeit znamen� pravd�podobnost a k je konstanta pojmenovan� na po�est Boltzmanna. Tento vzorec byl p���inou jeho smrti. Zem�el vy�erp�n marn�m �sil�m jej dok�zat. I jeho p��tel� vym�leli aporey, aby znemo�nili Boltzmannovu my�lenku. Jeho tragedi� bylo, �e nikdo nerozum�l jeho d�kazu, kter� se pokou��m vysv�tlit v t�to knize. Entropii definoval Clausius jej� diferenc�. Diference entropie je pom�r mezi specifick�m teplem Q pot�ebn�m pro zv�en� teploty T n�jak� l�tky a T: $dS = dQ/T$. Pokud by specifick� teplo bylo konstantn�, integrovan� forma by byla \begin{equation} S = C\log T + S_0\;. \end{equation} P�edpokl�d� se, �e entropie p�i absolutn� nule je nulov�. Tedy integra�n� konstanta $S_0$ mus� b�t $-C\log 0$. Av�ak entropie je mnohem slo�it�j�� funkce, proto�e specifick� teplo Q z�vis� na teplot� a m� singularity, jako jsou tepla t�n� a odpa�ov�n�. Soust�ed�me se na fakt, �e entropie je logaritmickou funkc� teploty. Co je teplota? To je m�ra tepeln�ho pohybu molekul\footnote{Podle sofistikovan�j�� definice je T integruj�c� faktor.}. V soustav� ide�ln�ho plynu molekuly reprezentovan� body se pohybuj� n�hodn� a pokud se sraz�, vym�n� si svou kinetickou energii, av�ak celkov� mno�stv� energie p�i konstantn� teplot� z�st�v� konstantn�. Mimo to, pokud soustava z�st�v� izolovan�, rozd�len� energi� molekul dosahuje spont�nn� rovnov�n� stav. To je nejv�t�� orbita, na kter� soustava je st�l� pro dlouh� �asov� obdob�. Funkce entropie se pova�uje za tajemnou. Nejen pro svou abstraktn� formu (nec�t�me ji p��mo jako teplotu, tlak a objem), av�ak pro jej� vlastnosti. Zvy�uje se samovoln�. Sn�en� entropie vy�aduje vn�j�� akci. Uk�zali jsme, �e plochy konstantn� energie ve f�zov�m prostoru jsou roviny ortogon�ln� k jednotkov�mu vektoru ${\bf I}$. Soustava ide�ln�ho plynu se pohybuje na t�to rovin� a po v�t�inu �asu z�st�v� na ka�d� orbit� �m�rn� k jej�mu objemu. Tedy soustava existuje na nejv�t�� orbit� nebo orbit�ch k n� nejbli���ch po v�t�inu �asu. U� zn�me vzorec pro vyhodnocen� objem� jednotliv�ch orbit. T�m je

polynomi�ln� koeficient pro n permutace $n!/ \Pi n_k!$. Logaritmus tohoto koeficientu byl navr�en Boltzmannem jako matematick� ekvivalent entropie, H funkce. Pokud n a $n_k$ jsou velk� ��sla, co� v p��pad� ide�ln�ho plynu jist� jsou(Avogadrovo ��slo, ur�uj�c� po�et molekul v 1 molu plynu, je ��du $10^{23}$), m�e pou��t se Stirlingova aproximace n!. V�sledek je \begin{equation} H_n = -\Sigma (n_k/n) \(log n_k/n)\;. \label{H_n} \end{equation} Tento v�sledek se m�e z�skat pouze s p�irozen�mi logaritmy na rozd�l od informa�n� entropie. Boltzmannov�m probl�m bylo, �e se pouze domn�val o existenci kvant energie (byly objeveny v �ase Boltzmannovy smrti Planckem), a �e m�sto aby mluvil o symetrii orbit rozd�len�, zavedl �patn� definovan� pravd�podobnosti $p_k$, kter� nahradily prav� pod�ly $n_k/n$. Jeden paradox vznesen� proti Boltzmannovi byl spojen s �asovou inverz�. Klasick� mechanika p�edpokl�dala, �e �as lze obr�tit. Av�ak takov� inverze �asu by m�la v�st ke sn�en� entropie. To by se mohlo br�t jako d�kaz proti H teor�m�. Uk�zali jsme, �e prostor nen� necitliv� ke zm�n�m znam�nka, z�porn� k�nus m� zcela rozd�ln� vlastnosti ne� kladn�. Nicm�n� zm�ny znam�nka entropie pouze klasifikuj� p�irozen� procesy. M�eme ��ci, �e pokud by �asov� inverze vedla ke sn�en� entropie soustavy, potom tato �asov� inverze nen� spont�nn� jev, pon�vad� jeho p���ina by le�ela mimo soustavu. \section{Maxim�ln� $H_n$ entropie} \label{Maxim�ln� $H_n$ entropie} Hled�n� maxim�ln�ch hodnot funkce \ref{H_n} se zd� b�t snadnou �lohou. Entropie $H_n$ je maxim�ln�, kdy� v�echny hodnoty $n_j = 1$. Tato monot�nn� �e�en� m� chybu: Lze je uskute�nit pouze p�i speci�ln�ch hodnot�ch aritmetick�ho pr�m�ru $m/n$. Sou�et aritmetick� �ady 1 a� n je ${ n+1 \choose 2}$, tedy aritmetick� pr�m�r hodnoty $m_j$ nutn� pro line�rn� rozd�len� je $(n-1)/2$, jedna polovina po�tu objekt�. Tato hodnota je p�ijateln� pouze u mal�ch syst�m�. U rozs�hl�ch syst�m�, jako jsou molekuly plynu, monot�nn� rozd�len� je nedosa�iteln�. Avogadrovo ��slo N je $6.023\times10^{23}$ (jeden mol vod�ku v�� asi dva gramy), Boltzmannova konstanta k ($k=R/N$) je $1.38\times10^{-23}$ Joule/grad a konstanta R je 8.314 Joule/grad. Monot�nn� rozd�len� by vy�adovalo teploty v kelvinech v ��du Avogadrova ��sla. Rozd�len� molekul plynu nem�e b�t monot�nn�.. Nicm�n� to mus� b�t tak ploch�, je to mo�n�. Prozkoum�me nejprve vztahy pr�m�r� n�kter�ch �ikm�ch rozd�len�. P��mkov� sklony $$\begin{tabular}{|l|rrrrrr|c|} \hline $n_k$ & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & $\sum 21={ k+ 1 \choose 2} $ \\ $m_k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \\ \hline $n_k \times m_k$ & 0 &5 & 8 & 9 & 8 & 5 & $\sum 35={ k+ 1 \choose 3}$ \\

jak

\hline \end{tabular}$$ d�vaj� aritmetick� pr�m�r $(k-1)/3$, p�ibli�n� $\sqrt{ 2n}/3$. Exponenci�ln� sklony $$\begin{tabular}{|l|rrrrrr|l|} \hline $n_k$ & 32& 16& 8 & 4 & 2 & 1 & $\sum 63= 2^6-1= 2^{k+1}-1 $ \\ $m_k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \\ \hline $n_k \times m_k$ & 0 &16 & 16 & 12 & 8 & 5 & $\sum 57=2^6-7= 2^{k+1}-2k+1 $ \\ \hline \end{tabular}$$ maj� aritmetick� pr�m�r pro v�echny velikosti pon�kud men�� ne� 1. Kdy� $m_k$ hodnoty vych�zej� od nejni��� hodnoty r, aritmetick� pr�m�r budou v�dy $r+1$, pon�vad� p�id�me k z�kladn�mu rozd�len� $r\times 2^{k+1}-1 $ jednotek. Exponenci�ln� sklony lze nap��mit kombinov�n�m n�kolika takov�ch rozd�len�: $$\begin{tabular}{|l|rrrrrrrr|l|} \hline $n_k$ & 8& 8& 4 & 4 & 2 & 2 & 1 &1 & $\sum 30= 2\times(2^4-1)$ \\ $m_k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \\ \hline $n_k \times m_k$ & 0 & 8 & 8 & 12 & 8 & 10 & 6 & 7 & $\sum 59$ \\ \hline \end{tabular}$$ Aritmetick� pr�m�r roste pomalu a sklony lze nap��mit vyrovn�n�m sousedn�ch hodnot. Rozd�len� m�e b�t symetrick�. P��mkov� rozd�len� ve tvaru sedlov� st�echy d�v� pon�kud lep�� v�sledek ne� monot�nn� rozd�len�: Jeho aritmetick� pr�m�r je v intervalu odmocniny n: $$\begin{tabular}{|l|rrrrrrr|l|} \hline $n_k$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 3 & 2 & 1 & $\sum 16=4^2$ \\ $m_k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \\ \hline $n_k \times m_k$ & 0 &2 & 6 & 12 & 12 & 10 & 6 & $\sum 48=3\times4^2$ \\ \hline \end{tabular}$$ Binomick� rozd�len� d�v� tento v�sledek $$\begin{tabular}{|l|rrrrrrr|l|} \hline $n_k$ & 1 & 6 & 15& 20& 15& 6 & 1 & $\sum 64=2^6$ \\ $m_k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \\ \hline $n_k \times m_k$ & 0 & 6 & 30 & 60 & 60 & 30 & 6 & $\sum 192=3\times2^6$ \\ \hline \end{tabular}$$

Pokud $n=2^k$, potom aritmetick� pr�m�r binomi�ln�ho rozd�len� je $k/2$. Pro Avogadrovo ��slo $k\simeq79$ ($2^{79}=6.045\times10^{23}$). Aritmetick� pr�m�r je velmi n�zk�. To znamen�, �e rozd�len� m�e b�t plo��� a obsahuje v�ce hodnot ne� 80. Plo��� binomick� rozd�len� lze modelovat jako $$\begin{tabular}{|l|rrrrrrrrrr|l|} \hline $n_k$ & 1 & 1 & 4 & 4 & 6 & 6 & 4 & 4 & 1 & 1 & $\sum 32=2\times2^4$ \\ $m_k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & \\ \hline $n_k \times m_k$ & 0 & 1 & 8 & 12 & 24 & 30 & 24 & 28 & 8 & 9 & $\sum 144=9\times2^3$ \\ \hline \end{tabular}$$ Entropii lze op�t zv�it vyrovn�n�m sklonu jako $1,2,3,5,5\dots$. Vzestupn� a sestupn� exponenci�ln� sklony: $$\begin{tabular}{|l|rrrrrrr|l|} \hline $n_k$ & 1 & 2 & 4 & 8 & 4 & 2 & 1 & $\sum 22=2^3-1+2^4-1$ \\ $m_k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \\ \hline $n_k \times m_k$ & 0 & 2 & 8 & 24 & 16 & 10 & 12 & $\sum 72$ \\ \hline \end{tabular}$$ Rozd�len� je slo�en� ze dvou slo�ek. Klesaj�c� exponenci�ln� sklon s $n=2^{k+1}-1$ ��stmi m� pr�m�rnou hodnotu $k+1$. Vzestupn� exponenci�ln� sklon s $n=2^{k}-1$ ��stmi m� sou�et $n_k \times m_k = \sum_{k=0}^{k-1}k2^k$. Jeho pr�m�rn� hodnota je pon�kud v�t�� ne� $(k-2)$, av�ak men�� ne� $k$, pon�vad� posledn� �len v sou�tu je rozhoduj�c�. Aritmetick� pr�m�r je p�ibli�n� k. Exponenci�ln� sklony lze op�t nap��mit jako d��ve. Entropie $H_n$ by byla maxim�ln�, kdyby rozd�len� bylo tak ploch�, jak je to mo�n� a bl�ilo se k monot�nn�mu rozd�len�. Pokud existuje dosti m�sta pro v�echny ��sti, rozd�len� budou symetrick� a jinak mohou b�t �ikm� jeden. \section{Shannonova funkce entropie $H_m$} \label{Shannonova funkce entropie $H_m$} Konstatov�n� z abstraktu v Chemical Abstracts \cite{[15]}: "Boltzmannova entropie je informa�n� entropi�", je typick� pro sou�asn� stav. Obecn� se v���, �e Shannonova funkce entropie $H_{m}$ je dokonaleji a tedy l�pe definov�na ne� Boltzmannova funkce entropie $H_{n}$. Av�ak ob� funkce m��� p��buzn� av�ak nicm�n� rozd�ln� vlastnosti. Ty mohou dokonce b�t aditivn�. M�eme spekulovat, kdo byl tou bludi�kou, kdo zm�nil velk� tajemstv� spojen� s entropi� na je�t� v�t�� chybu. Jej� d�sledky jsou rozset� z matematiky do fyziky, biologie, soci�ln�ch v�d a� k filosofii. J. Von Neumann dal Shannonovi tuto radu \cite{[16]}: \begin{quote} ``M�l byste to nazvat entropi� ze dvou d�vod�. V prvn� �ad� Va�e funkce nejistoty se pou��v� v statistick� mechanice pod t�mto jm�nem, tak�e u� m�

jm�no. V druh� �ad�, co� je d�le�it�j��, nikdo nev�, co entropie opravdu je, a tak v debat� budete v�dy m�t v�hodu.'' \end{quote} Z�kladn� idea Boltzmannova d�kazu (Kac \cite{[17]} " demonstrace").

H teoremu nebyla pochopena a z�stala tajemn�

Uk�zali jsme odvozen� rovnice \ref{H} a co to m���. Shannon vybral funkci H z�m�rn� z pon�kud jin�ho d�vodu. Zaj�maly jej �etnosti symbol� ve zpr�v�ch(nebo pod�ly jednotliv�ch �etnost� $m_j$ jednotliv�ch symbol� j k celkov�mu po�tu m v�ech symbol� $m_j/m$). Funkce H je aditivn�, kdy� se rozhodov�n� �t�p� jako na obr. \ref{Rozhodov�n� ze �ty� mo�nost�} \begin{figure} \caption{Rozhodov�n� ze �ty� mo�nost�} \label{Rozhodov�n� ze �ty� mo�nost�} \linethickness{0.60pt} \begin{picture}(170.00,60.00) \put(10.00,40.00){\circle{4.00}} \put(30.00,40.00){\circle{4.00}} \put(50.00,39.67){\circle{4.00}} \put(70.00,40.00){\circle{4.00}} \put(90.00,40.00){\circle{4.00}} \put(110.00,40.00){\circle{4.00}} \put(130.00,40.00){\circle{4.00}} \put(150.00,40.00){\circle{4.00}} \put(40.00,10.00){\circle{4.00}} \put(120.00,10.00){\circle{4.00}} \put(130.33,25.00){\circle{4.00}} %\emline(10.00,40.00)(40.00,10.00) \multiput(10.00,40.00)(0.12,-0.12){251}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(40.00,10.00)(70.33,40.00) \multiput(40.00,10.00)(0.12,0.12){251}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(30.00,40.33)(40.00,10.00) \multiput(30.00,40.33)(0.12,-0.36){84}{\line(0,-1){0.36}} %\end %\emline(40.00,10.00)(50.33,39.67) \multiput(40.00,10.00)(0.12,0.34){87}{\line(0,1){0.34}} %\end %\emline(90.00,39.67)(120.00,9.67) \multiput(90.00,39.67)(0.12,-0.12){251}{\line(0,-1){0.12}} %\end %\emline(120.00,9.67)(130.67,25.00) \multiput(120.00,9.67)(0.12,0.17){89}{\line(0,1){0.17}} %\end %\emline(130.67,25.00)(150.00,40.33) \multiput(130.67,25.00)(0.15,0.12){128}{\line(1,0){0.15}} %\end %\emline(110.33,39.67)(130.67,25.00) \multiput(110.33,39.67)(0.17,-0.12){123}{\line(1,0){0.17}} %\end %\emline(130.33,40.00)(130.33,25.00) \put(130.33,40.00){\line(0,-1){15.00}} %\end \put(15.33,21.67){\makebox(0,0)[cc]{1/2}} \put(23.33,34.33){\makebox(0,0)[cc]{1/4}}

\put(55.00,34.33){\makebox(0,0)[cc]{1/8}} \put(65.00,21.33){\makebox(0,0)[cc]{1/8}} \put(100.00,21.33){\makebox(0,0)[cc]{1/2}} \put(132.00,15.00){\makebox(0,0)[cc]{1/2}} \put(115.00,28.33){\makebox(0,0)[cc]{1/2}} \put(122.67,37.00){\makebox(0,0)[cc]{1/4}} \put(145.00,28.67){\makebox(0,0)[cc]{1/4}} \end{picture} \end{figure} Nejd�le�it�j�� rozd�lem \ref{H_m} vzhledem \ref{H_n} je maxim�ln� hodnota obou funkc�. ${H_m}$ je maxim�ln�, kdy� v�ech symboly maj� stejnou �etnost, co� se rovn� aritmetick�mu pr�m�ru $\overline{m}=m/n$. Potom $n_{m/n}=n$ (jin� $n_k=0$) a entropie $H_n$ je minim�ln�, nulov�. Entropie $H_m$ m� hromad�c� ��inek na rozd�len�. To sni�uje jeho rozptyl. Fakt existence dvou funkc� entropie vysv�tluje tak zvanou redundanci informace, pon�vad� ${H_m}$ v textech nen� maxim�ln�. Kdy� m entropie je maxim�ln�, n entropie je minim�ln� a jejich sou�et nen� optim�ln�. Pokud by se v�echny symboly objevily v na�� �e�i se stejnou �etnost�, rozd�ly mezi slovy by byly zanedbateln� a nesnadno by se pozn�valy. Existuje 6 permutac� $aabb$ a pouze 4 permutace $aaab$. Av�ak existuj� tak� 4 �ady $abbb$ a stejn� rozd�len� daj� dohromady 8 �ad. Je lep�� to vysv�tlit na slovech jako z�kladn�ch vektorech informace. Mus�me opakovat slova spojen� s p�edm�tem, o kter�m mluv�me. Tato kl��ov� slova, kter� jsou nutn� pro porozum�n�, jsou �etn�j��. Zm�ny �etnosti slov ve zpr�v�ch podle jejich p�edm�t� n�m d�v� mo�nost formulovat v�ce rozd�ln�ch zpr�v ne� pokud by se v�echna slova pou��vala rovnom�rn� a bezprost�edn� pozn�vat, o �em se mluv�. Uk�zali jsme jednoduchou interpretaci informa�n� entropie. Nyn� zavedeme tuto funkci jako analogii Boltzmannovy funkce entropie $H_n$. To je logaritmick� m�ra polynomi�ln�ho koeficientu pro n permutace $n!/Pi\ n_k!$. Existuje polynomi�ln� koeficient pro m permutace $m!/Pi\ m_j!= m!/Pi\ m_k!^{n_k}$. Existuj� tedy dva polynomi�ln� koeficienty, jeden pro n permutace, jin� pro m permutace. Jak� jsou vlastnosti polynomi�ln�ho koeficientu pro n permutace? Tento koeficient ur�uje kolik �ad lze vytvo�it z m symbol� na abeced� n symbol�. Jin�mi slovy, kolik m�st existuje pro rozd�ln� zpr�vy. Koeficient \begin{equation} m!/\prod_{j=1}^n\ n_j =\prod_{k\geq1} n_k!^{m_k} \end{equation} lze modifikovat podobn� jako v p��pad� \ref{H_n} s pou�it�m Stirling aproximace m faktori�l�. V�sledek m� stejnou formu jako \ref{H_n}, vyjma toho, �e $p_k$ jsou relativn� �etnosti jednotliv�ch symbol�. \section{Vzd�lenosti a entropie} \label{Vzd�lenosti a entropie} Odpov�� na ot�zku, tolik and�l� se vejde na �pici jehly, nen� �lohou matematiky, av�ak anal�za pr�ce Maxwellova d�mona je, pon�vad� tato kreatura je je�t� s n�mi nejen ve fyzice ale tak� v teorii informace. D�mon transformoval sm�enou �adu chladn�ch molekul c a hork�ch molekul h

chchchchchchchchchchchchchchchchchchchch do �ady ve tvaru cccccccccccccccccccchhhhhhhhhhhhhhhhhhhh Doposud jsme pova�ovali ob� �ady za ekvivalentn�, pon�vad� ob� �ady jsou na stejn� orbit�. Kdy� si je p�edstav�me v dvourozm�rn�m prostoru, ob� �ady jsou rozli�iteln�. Zapl�me dlouhou �adou dva svazky knihy. Potom pozorujeme ob� �ady jako dva odli�n� stavy, jeden svazek s hork�mi molekulami h m� vy��� teplotu ne� druh� s chladn�mi molekulami c. Sm�en� �ady (stavy jim odpov�daj�c�) maj� mezilehl� teploty a vy��� fyzik�ln� entropii. Probl�mem je naj�t zp�sob, jako zm��it jejich rozd�l. Jedna mo�nost je vyj�d�it jej s pou�it�m vzd�lenosti mezi symboly jednoho druhu. Pro takov� kr�tk� �ady je nutn� uzav��t je smy�kou, abychom zabr�nili probl�m�m kr�cen� spojen�mi s ob�ma konci. Vzd�lenosti mezi symboly c jsou potom 2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2, a 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,20. Vzd�lenosti mezi symboly h jsou zde stejn�. Rozd�len� vzd�lenost� v obou p��padech je zcela rozd�ln� a ��inek m�ch�n� lze m��it p�esn� jako pro p�vodn� �ady polynomi�ln�mi koeficienty. Rozd�len� vzd�lenost� v binomick�m rozd�len� je zn�m� jako z�porn� binomick� rozd�len�. U v�ce symbol� m�eme mluvit o z�porn�m polynomi�ln�m rozd�len�. \section{Logick� funkce} \label{Logick� funkce} Na�e p�emy�len� je ��zeno logick�mi z�kony, jako jsou konjunkce, alternativa, implikace nebo jin� logick� funkce. N�kter� predik�t m�e b�t pravdiv� nebo fale�n�. Spr�vn� predik�t m� hodnotu 1, fale�n� predik�t m� hodnotu 0. Nyn� jsou zn�m� mnoho hodnotov� logika nebo fuzzy logika, kdy� fale�n� predik�t m�e m�t jakoukoliv hodnotu mezi 1 a 0. Dva predik�ty se kombinuj� a v�sledek z�vis� na z�kon�, kter� se mus� pou��t. Logick� rozhodov�n� p lze reprezentovat jako strom se dv�ma v�tvemi. Lev� znamen� spr�vn� a jej� hodnota je 1. Prav� v�tev znamen� nulu. Na odpov�daj�c� v�tvi je naroubov�n strom pro druh� predik�t q. Ke konci jeho v�tv� jsou p�i�azeny nov� logick� hodnoty podle tabulky logick�ch funkc�. \begin{table} \caption{Logick� funkce} \label{Logick� funkce} \begin{tabular}{|lcc|ccc|} \hline konjunkce: & & & pokud p q,& & potom (p a q) \\ alternativa:& & & pokud p q,& & potom (p nebo q) \\ implikace:& & & pokud p q,& & potom (p je q) \\

\hline & p & q &konjunkce & alternativa & implikace\\ \hline & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Konjunkce funkce se z�sk� obvykl�m n�soben�m

$p\times q$.

\begin{figure} \caption{Rozhodovac� strom. Lev� v�tev znamen� 1, prav� v�tev znamen� 0. Ko�en se bere jako desetinn� ��rka} \label{Rozhodovac� strom} \linethickness{0.40pt} \begin{picture}(100.00,80.00) %\emline(40.00,10.00)(20.00,29.67) \multiput(40.00,10.00)(-0.12,0.12){164}{\line(-1,0){0.12}} %\end %\emline(39.67,10.00)(80.00,50.00) \multiput(39.67,10.00)(0.12,0.12){334}{\line(1,0){0.12}} %\end %\emline(59.67,30.00)(40.00,49.67) \multiput(59.67,30.00)(-0.12,0.12){164}{\line(0,1){0.12}} %\end \put(40.00,10.00){\circle{4.00}} \put(20.00,30.00){\circle{4.00}} \put(60.00,30.00){\circle{4.00}} \put(39.67,49.67){\circle{4.00}} \put(80.00,50.00){\circle{4.00}} \put(19.67,40.00){\makebox(0,0)[cc]{1.0}} \put(39.67,60.00){\makebox(0,0)[cc]{0.1}} \put(80.00,60.00){\makebox(0,0)[cc]{0.0}} \end{picture} \end{figure} T�� hodnotovou logiku dovoluj�c� hodnoty 1, 0.5 a 0 lze reprezentovat rozhodovac�m stromem s v�ce v�tvemi, kdy� bin�rn� bod se um�st� po prvn� hodnot� (obr. \ref{Rozhodovac� strom}). Hodnota 0.1 znamen� nulu a 2, to je 0.5, pon�vad� 1 je 2. 0.0 se zaokrouhl� k 0. Prav� v�tev by mohla m�t hodnoty 1.1 a 1.0, av�ak hodnoty v�t�� ne� 1 jsou useknuty. Logick� operace m�eme nahl�et jako operace symetrie, p�i�azuj�c� rozd�ln�m bod�m logick�ho prostoru dan� hodnoty. \chapter{Literatura} \begin{thebibliography}{}{} \bibitem{1} J. Riordan, An Introduction to Combinatorial Analysis, John Wiley, New York, 1958. \bibitem{2} L. Boltzmann, �ber die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der mechanishen W"rmetheorie und die Wahrscheinlichkeitsrechnung, {\it Wiener Berichte} {\bf 1877}, 76, 373.

\bibitem{3} C. E. Shannon, The Mathematical Theory of Communication, {\it Bell System Technical Journal}, {\bf 1948}, 27, 379, 623. \bibitem{4} J. Ha\v{s}ek, The Brave Soldier \v{S}vejk. \bibitem{5} M. Kunz, What is Entropy (in Czech), {\it V\v{e}da a technika ml\'ade\v{z}i}, {\bf 1979}, 33, 552, , 616. \bibitem{6} W. Feller, An Introduction to Probability Theory its Applications, J.Willey, New York, 1970, Chapter 10.4.

and

\bibitem{7} W. Heissenberg in The Physicist's Conception of Nature, Ed. J. Mehra, D. Reidel, Dortrecht, {\bf 1968}, p. 267. \bibitem{8} M. Hall Jr., Combinatorial Waltham, 1967. \bibitem{9}

Theory, Blaisdell Publ. Comp.,

F. Harary, Graph Theory, Addison-Wesley, Reading, 1969.

\bibitem{10} F. Harary, E. Press, New York, 1973

M. Palmer, Graphical Enumeration, Academic

\bibitem{11} D. Cvetkovic, M. Doob, H. Sachs, Spectra of Graphs, Deutcher Verlag der Wissenshaften, Berlin, 1980. \bibitem{12} G. E. Andrews, The Theory of Partitions, Addison-Wesley Publ. Comp., Reading, MA, 1976. \bibitem{13} S. Weinberg, Mathematics, Notices AMS, 1986, 716.

the Unifying Thread in Science,

\bibitem{14} J. Wei, C. D. Prater, Structure and analysis reaction systems. In D.D. Eley, P. W. Selwood, P. B. Weisz Eds., Advances in Catalysis, Vol. XIII, 203-392, Academic Press, New York, 1962.

of complex

\bibitem{15} E. B. Chen, Boltzmann Entropy, Relative Entropy and Related Quantities in Thermodynamic Space, {\it J. Chem. {\bf 1995}, 102, 7169-79; CA 122: 299958.

Phys.\/},

\bibitem{16} M. Tribus, E. C. McIrvine, Energy and Information, {\it Scientific American\/}, {\bf 1971}, 225, 3, 179. \bibitem{17} M. Kac in J. Mehra, Ed. The Physicist's Conception of Nature, Reidel, Dordrecht, 1973, p.560. M. Kunz, A Note about {\bf 1988}, 23, 3. \end{the bibliography} \end{document}

the Negentropy Principle, {\it MATCH\/},