Matriz Elemental.docx

Una matriz elemental de orden n es una matriz que se obtiene a partir de la matriz identidad   

aplicando solo una operación elemental de fila o columna, i,e:

Por escalamiento (Intercambio de filas) Producto de fila por un escalar o suma de una fila con una combinación lineal de otras (eliminación) Por permutación

Se puede probar fácilmente que el producto de una matriz cualquiera con una elemental por la izquierda(derecha) equivale a realizar las operaciones elementales entre las filas (columnas)de la matriz A. Es fácil ver que estas matrices tienen inversas (eventualmente, también elementales), y estas pueden ser calculadas de manera simple pensando en ellas como matrices A a las que se debe aplicar la operación "inversa". 

Por ejemplo, para el caso de una matriz obtenida por escalamiento:



1 0 0 100 A=( 0 1 0 ) 𝑄𝑢𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎33 𝑠𝑒 1. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 = ( 0 1 0 ) 0 0 1/𝑎 00𝑎

Para el caso de una matriz obtenida por eliminación:

100 A=( 𝑎 1 0 ) Queremos que el elemento sea 0. Entonces:

00𝑎

1 0 0 𝐴 = (−𝑎 1 0) 0 0 1