Matriks

MATRIKS

Pemecahan untuk mencari titik ekuilibrium sebelumnya adalah relative sederhana. Bila semakin banyak barang yang dimasukkan kedalam model, maka penyelesaian dengan rumus tsb menjadi tidak praktis. Metoda yang lebih baik untuk pemecahan persamaan simultan dengan beberapa variable adalah menggunakan aljabar matriks.

2

Aljabar matriks membantu kita : a. Memberikan sistem persamaan yang ringkas. b. Pemecahannya melalui determinan. c. Memberi cara pemecahan jika ada

3

Pengertian : Matriks adalah susunan/daftar/array dari suatu angka2 yang mempunyai ikatan berdasar baris atau kolom dan yang mempunyai kegunaan tertentu. Susunan Baris : angka2 diurutkan secara horizontal (ke arah kanan – kiri ) Susunan Kolom : angka2 diurutkan secara vertikal ( dari atas – bawah ) 4

Pengertian :

Ikatan : menunjukkan hubungan secara berturut. Misal, krn matriks merpkan nilai paramater dari suatu persamaan. Kegunaan : untuk menyederhanakan, memudahkan ataupun mempercepat perhitungan suatu persamaan.

5

Perhatikan matriks A berikut :

a11 a12 a13 A : a21 a22 a23 a31 a32 a33

:

1 0 6

3 2 4

5 7 8

6

Pengertian baris (raw) dan kolom (lajur/coloumn) : a13 : menunjukkan element (unsur) matriks A yg terletak pd baris ke 1 dan kolom ke 3 : 5 a21 : menunjukkan element (unsur) matriks A yg terletak pada baris ke 2 dan kolom ke 1: 0

Analog : bij : menunjukkan element (unsur) matriks B yg terletak pada baris ke i dan kolom ke j 7

I. Matriks dan vektor Secara umum sistem dengan m persamaan linear dan n variabel (x1, x2, …… , xn) dapat disusun dalam bentuk :

a11x1 + a12x2 + ….. + a1nxn = d1 (1.1)

a21x1 + a22x2 + ….. + a2nxn = d2 : : : =: am1x1+ am2x2 + ….. + amnxn = dm 8

Dalam sistem persamaan (1.1) terdapat 3 macam bahan pokok, yaitu : 1. Himpunan koefisien aij, 2. Himpunan variabel x1, …. , xn, 3. Himpunan konstanta d1, …. , dm, disebut vektor.

9

a11 a12 a13 (1.2) A : a21 a22 a23 : : : a31 a32 a33

x1 x : x2 : xn

d:

d1 d2 : dn

Contoh : 6x1 + 3x2 + x3 = 22 (1.3) x1 + 4x2 – 2x3 = 12 4x1 – x2 + 5x3 = 10 10

Dapat ditulis

(1.4)

A:

6 3 1 1 4–2 4 –1 5

x1 x : x2 x3

22 d : 12 10

Setiap susunan dalam (1.2) atau (1.4) merupakan suatu matriks

11

Vektor sebagai matriks khusus Jumlah baris dan kolom dalam suatu matriks menunjukkan dimensi dari matriks. Sebuah matriks yang memiliki banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom, disebut matriks kuadrat (square matrix). 12

Matriks yang berisi satu kolom, disebut vektor kolom. Matriks yang berisi satu baris, disebut vektor baris, vektor baris menggunakan simbol x’ = [ x1 x2 …. Xn ] Dengan menggunakan matriks dalam (4.4) kita dapat me-nyatakan persamaan (4.3) menjadi Ax = d 13

II. Operasi dengan matriks 1. 2. 3. 4.

Persamaan (equality). Penjumlahan dan pengurangan matriks. Perkalian bilangan (scalar multiplication) Perkalian matriks

14

III. Beberapa jenis matriks • Matriks nol • Matriks identitas • Matriks diagonal • Matriks skalar • Matriks simetris • Skalar • Vektor • Matriks non singular • Matriks singular 15

IV. Transpose

Transpose suatu matriks A dapat ditulis AT atau A’. Ditentukan dengan merubah elemen tiap baris matriks A menjadi kolom2 matriks A’ atau sebaliknya.

16

A:

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

a11 a21 a31 A’ : a21 a22 a23 a31 a32 a33

Atau 4 B: 2 –4

6 0 5

B’ : 4 6

2 0

–4 5

17

Sifat-sifat transpose

Sifat – sifat berikut merupakan ciri dari transpose : 1. (A’)’ = A 2. (A + B)’ = A’ + B’ 3. (AB)’ = B’A’

18

V. Determinan

Determinan matriks kuadrat A, ditulis I A I, adalah bilangan skalar/konstan yang didefinisikan secara tunggal yg dihubungkan dengan matriks tsb.

19

Untuk matriks 2x2, A:

a11 a12 a21 a22

maka I A I = a11 a12 = a11 a22 – a21 a12 a21 a22

20

Bila A : 10 4 8 5

dan B : 3 5 0 –1

Maka determinannya adalah : I A I = 10 4 = 10.5 – 8.4 = 18 8 5 IBI =

3 5 0 –1

= 3. ( – 1) – 0.5 = – 3

21

Untuk matriks 3x3 ,

A:

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

Determinannya mempunyai nilai 22

a. Metoda Sarrus a11 a12 a13 I A I = a21 a22 a23 a31 a32 a33

a11 a12 a21 a22 a31 a32

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23a11– a33a21a12

23

a. Metoda Sarrus Contoh : 2 1 3 4 5 6 7 8 9

= 2.5.9 + 1.6.7 + 3.4.8 – 7.5.3 – 8.6.2 – 9.4.1 =–9

–7 0 3 9 1 4 0 6 5

= – 7.1.5 + 0.4.0 + 3.9.6 – 0.1.3 – 6.4.– 7 – 5.9.0 = 295 24

b. Proses Ekspansi (perluasan Laplace) Akan diperoleh sub determinan I A I , yaitu dengan menghilangkan baris pertama kolom pertama, disebut minor matrik dari elemen a11 ditulis IM11I maka :

M11 = a22 a23 a32 a33

M12 = a21 a23 a31 a33

M13 = a21 a22 a31 a32 25

Suatu konsep yg berhubungan dengan minor matriks adalah kofaktor, ditulis :

Kij = (– 1)i + j I AijI , dimana (– 1)i+j ; bila i + j genap , positip dimana (– 1)i+j ; bila i + j ganjil , negatip Kofaktor unsur aij dari determinan matriks A. Jika kofaktor diberi lambang Kij, maka kofaktor dapat ditulis : Kij = (– 1)i + j I AijI Ini berarti bahwa setiap unsur mempunyai kofaktor sendiri. 26

Determinan dari matriks A dapat dicari dengan menggunakan : 1. Unsur – unsur baris ke i. det A = ai1 Ki1 + ai2 Ki2 + ……. + ain Kin atau disingkat n

det A   aij .K ij i  1,2,......, n  j 1

27

Determinan dari matriks A dapat dicari dengan menggunakan : 2. Unsur – unsur kolom ke j. det A = a1j K1j + a2j K2j + ……. + anj Knj atau disingkat n

det A   aij .K ij  j  1,2,......, n  i 1

28

Det A = a11 K11 + a12 K12 + a11 K13 a11

a12

a13

I A I = a21 a31

a22 a32

a23 a33

a11 a22 a23 a12 a21 a23 a32 a33 + a31 a32

=

a13 a21 a22 + a31 a32

29

atau

30

Det A = a11 K11 + a21 K21 + a31 K31 a11

a12

a13

I A I = a21 a31

a22 a32

a23 a33

a11 a22 a23 a22 a12 a13 a32 a33 + a32 a33

=

a31 a12 a13 + a22 a23

31

Contoh : 3 2 1 A: 4 6 2 5 7 8

dengan menggunakan baris ke 1 Det A = a11 K11 + a12 K12 + a13 K13

32

K11 = (– 1)1 + 1

6 7

2 8

= {(6.8) – (7.2)} = 34

K12 = (– 1)1 + 2

4 5

2 8

= – {(4.8) – (5.2)} = – 22

K13 = (– 1)1 + 3

4 5

6 7

= {(4.7) – (5.6)} = – 2

Det A = (3.34) + (2. – 22) + (1.– 2) = 56 33

Sifat-sifat elementer determinan

1. Jika A’ merupakan transpose dari matrik A, maka det A = det A’ 2. Jika semua elemen baris/kolom dari matriks A mempunyai nilai 0, maka det A = 0 3. Jika dua baris/kolom dari matriks A ditukar tempatnya, maka determinannya berubah tanda. 34

Sifat-sifat elementer determinan

4. Jika dua baris/kolom dri matriks A sama unsur-unsurnya maka determinan matriks A = 0. 5. Jika salah satu baris/kolom dari matriks A ditambah dengan baris/kolom lainnya yang telah dikalikan dengan bilangan konstan k, maka determinan matriks A tidak akan berubah nilainya. 35

Kriteria determinan untuk non singular

Diketahui persamaan linear Ax = d, dimana A adalah matriks koefisien nxn, I A I ≠ 0 ↔ A non singular ↔ ada A– 1 ↔ ada satu jawaban unik

x  A

1

.d 36

Contoh : 7x1 – 3x2 – 3x3 = 7 2x1 + 4x2 + x3 = 0 – 2x2 – x3 = 2 memiliki jawaban yang unik karena Determinan A adalah : 7 –3 –3 2 4 1 = –8 ≠0 0 – 2 –1 37

VI. Mencari matriks inverse Jika A merupakan suatu matriks dengan n baris dan n ko-lom, maka inverse dari matriks A adalah A–1.

38

Definisi : misal A merupakan matriks kuadrat dengan n baris dan n kolom dan In suatu matriks identitas. Apabila ada matriks kuadrat A–1 sedemikian rupa sehingga berlaku hubungan sbb : A.A–1 = A–1.A = I, maka A–1 ini inverse dari matriks A.

39

Matriks A–1dapat dicari dengan menggunakan : 1. Matriks Identitas A–1. (subsitusi) 2. Adjoint Matriks. 3. Metode Kounter.

40

Ad 1.

A. A–1 = In atau

Ad 2.

A

1

A–1 . A = In

adj  A  A 41

Ad 3. Cara ini didasarkan atas teori transformasi elementer terhadap baris dari matriks yang inversenya akan dicari.

42

VII. Transformasi elementer Transformasi elementer terhadap matriks adalah sebagai berikut : 1. Dengan penukaran dua buah baris/kolom baik yang berdekatan maupun yang berjauhan letaknya.

43

A:

B :

a11

a12 a13

a21 a31

a22 a23 a32 a33

a21

a22 a23

a11 a31

a12 a13 a32 a33

44

Transformasi elementer

2. Mengalikan semua unsur dari suatu baris/kolom dengan bilangan konstan k.

45

Transformasi elementer A:

B :

a11

a12

a21 a31

a22 a23 a32 a33

a11 a12 ka21 ka22 a31 a32

a13 (k)

a13 ka23 a33 46

3. Menambah unsur-unsur dari suatu baris/kolom dengan hasil kali semua unsur dari baris/kolom lain dengan bilangan konstan k.

47

A:

a11

a12

a13

a21 a31

a22 a23 a32 a33 + kc1

B :

a11 a21 a31

a12 + ka11 a13 a22 + ka21 a23 a32 + ka31 a33

48

Jika persamaan linear terdiri dari n persamaan dan n variabel, maka dapat ditulis : a11 x1 + a12 x2 + ….. + a1j xj + ….. + a1n xn = h1 a21 x1 + a22 x2 + ….. + a2j xj + ….. + a2n xn = h2 : : : : : ai1 x1 + ai2 x2 + ….. + aij xj + ….. + ain xn = hi : : : : : an1 x1 + an2 x2 + ….. + anj xj + ….. + ann xn = hn

49

Persamaan diatas dalam bentuk matriks dapat ditulis : Ax = H

50

a11 a21 : A : ai1 : an1

a12 … a1j … a22 … a2j … : : ai2 … aij … : : an2 … anj …

a1n x1 a2n x2 : : ain x : xi : : a1n xn

H:

h1 h2 : hi : hn

51

VIII. Aturan Cramer

Metoda pembalikan matriks yang baru dibahas, memungkinkan kita untuk memperoleh cara yang praktis dan mudah untuk pemecahan sistem persamaan linear, yang dikenal sebagai peraturan cramer (cramer’s rule)

52

Jika persamaan linear terdiri dari n persamaan dan n variabel, maka dapat ditulis : a11 x1 + a12 x2 + ….. + a1j xj + ….. + a1n xn = h1 a21 x1 + a22 x2 + ….. + a2j xj + ….. + a2n xn = h2 : : : : : ai1 x1 + ai2 x2 + ….. + aij xj + ….. + ain xn = hi : : : : : an1 x1 + an2 x2 + ….. + anj xj + ….. + ann xn = hn

53

Persamaan diatas dalam bentuk matriks dapat ditulis : Ax = H

54

a11 a21 : A : ai1 : an1

a12 … a1j … a22 … a2j … : : ai2 … aij … : : an2 … anj …

a1n x1 a2n x2 : : ain x : xi : : a1n xn

H:

h1 h2 : hi : hn

55

Mencari pemecahan persamaan linear seperti model diatas dapat digunakan : 1. Metoda penghapusan Gauss (Gauss elimination) 2. Metoda Gauss – Jordan 3. Aturan Cramer.

56

Contoh : x1 + 2 x2 + 3 x3 = 14 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 14 3 x1 + x2 + 4 x3 = 17

xj 

det A j  det  A

.... j  1,2,3

57

x1

14...2...3 14...3...2 17...1...4  1 1...2...3 2...3...2 3...1...4

58

x2

1...14...3 2...14...2 3...17...4   2 1...2...3 2...3...2 3...1...4

59

x3

1...2...14 2...3...14 3...1...17  3 1...2...3 2...3...2 3...1...4

60