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Introducción a las estructuras

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Cálculo de Estructuras 1.-Introducción a las estructuras 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 1.1-Estructuras tipo: función, formas generales, elementos...| 1.2.- Normativa sobre estructuras | 1.3.- Actividades | 1.4.- Ejercicios de autoevaluación | 1 .1.- Estructuras tipo: función, formas generales, elementos...

En todas las grandes obras las estructuras son fundamentales 1. FUNCIÓN DE LAS ESTRUCTURAS 2. FORMAS GENERALES DE LAS ESTRUCTURAS

1. FUNCIÓN DE LAS ESTRUCTURAS Las estructuras son elementos constructivos cuya misión fundamental es la de soportar un conjunto de cargas, que podemos clasificar como sigue: 1- Peso propio 2- Cargas de funcionalidad 3- Acciones exteriores varias En el apartado 1 de peso propio incluiremos las cargas de la estructura que son especialmente significativas en las estructuras de hormigón armado y las cargas reológicas, que provienen del proceso de fraguado del hormigón. En el apartado 2 incluiremos las cargas que actúan sobre la construcción de la que forma parte la estructura en cuestión, por ejemplo los objetos y personas que van a estar en la construcción. En el apartado 3 nos referimos a la temperatura (dilatación-contracción), el viento, la nieve, sismos, etc. Vemos que las cargas que pueden actuar sobre una estructura son muy variadas y pueden darse una serie de combinaciones entre ellas, debiendo la estructura soportar la combinación más desfavorable. Hemos utilizado anteriormente la palabra soportar, pero en teoría de estructuras, en el contexto que se ha utilizado en la frase, el sentido de tal palabra hace referencia a tres aspectos: 1- Estabilidad 2- Resistencia 3- Deformación limitada Vamos a comentar, de una forma muy general los aspectos anteriormente enunciados. Así: La estabilidad de una estructura es la que garantiza que dicha estructura, entendida en su conjunto como un sólido rígido, cumple las condiciones de la estática, al ser solicitada por las acciones exteriores que pueden actuar sobre ella. La resistencia es la que obliga a que no se superen las tensiones admisibles del material y a que no se produzca rotura en ninguna sección. La deformación limitada implica el que se mantenga acotada (dentro de unos límites) la deformación que van a producir las cargas al actuar sobre la estructura. Estos límites van marcados por la utilización de la estructura, razones constructivas y otras.

2. FORMAS GENERALES DE LAS ESTRUCTURAS Hablamos de estructuras planas cuando todas las barras que la forman y las cargas que actúan sobre la misma se encuentran en un mismo plano. Hablamos de estructuras superficiales cuando la estructura presenta una forma marcadamente superficial y las cargas que actúan sobre dicha estructura no se encuentran contenidas en dicha superficie. Hablamos de estructuras espaciales cuando las barras que forman la estructura, así como las cargas que actúan sobre la misma, ocupan cualquier posición en el espacio.

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2.1. GRÁFICO ( Pulse sobre la imagen para ampliar)

Comentarios: Los elementos estructurales fundamentales son : 1. Las vigas de directriz recta, que trabajan fundamentalmente a flexión 2. Los pilares, que trabajan fundamentalmente a compresión. Es importante no perder de vista la importancia que tienen otros dos elementos:  

La cimentación El terreno, ya que si fallan por algún motivo no se consigue el objetivo final de una estructura que es fundamentalmente: traspasar las cargas de la construcción, de la que forma parte, al terreno.

Una tipología de viga muy frecuente es : La viga continua. Consta de unos apoyos intermedios. Los espacios entre pilares los denominamos vanos, que pueden ser:  Extremos  Intermedios  Central. Los arcos: Los elementos estructurales que sirven para salvar los vanos frecuentemente son de eje recto, pero también pueden serlo de eje curvo. Una tipología característica es el arco de tres articulaciones. 

Para las denominaciones de las estructuras utilizamos determinados aspectos significativos, como por ejemplo:   

La forma fundamental, por ejemplo: arco Los apoyos, por ejemplo: empotramiento, articulación fija,... El tipo de nudos, por ejemplo: rígido, articulado

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Existen una serie de tipologías estructurales muy comunes: 





Los pórticos, generalmente de nudos rígidos, característicos por ejemplo de las estructuras principales de las naves industriales. Las cerchas, generalmente de nudos articulados, característicos por ejemplo de ciertas estructuras de cubierta, en construcción industrial fundamentalmente. Los marcos, que se utilizan por ejemplo en entramados laterales

En construcción arquitectónica son muy comunes los pórticos múltiples de varios vanos y alturas.

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2.2. GRÁFICO

Otras veces las estructuras presentan formas superficiales o volumétricas. Denominamos estructuras espaciales a aquellas en que las barras, .... y cargas que actúan presentan cualquier posición en el espacio Su cálculo implica la utilización de procedimientos específicos.

2.3. GRÁFICO :

Comentarios: Una de las tipologías estructurales más sencilla es la viga armada. La viga armada se utiliza para pequeñas estructuras y generalmente en la tipología de armadura inferior, para que con el estado de cargas habitual trabajen a tracción los elementos que componen la armadura de la viga. En tales casos es frecuente la utilización de cables.

En la fig.1 podemos ver una viga armada superiormente mediante lo que se denomina como: Péndola: elemento vertical Tornapuntas: formando lo que podemos denominar como cordón superior.

En la fig.2 podemos ver una viga armada inferior, mediante sopanda y jabalcón. Se utiliza como estructura de apoyo para vigas en mal estado, rehabilitación, patología, ...

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En las figs. 3 y 4 podemos ver una viga armada inferiormente, mediante mangueta y tirantes.

En las figs. 5, 6 y 7 podemos ver una tipología de viga armada inferior que se denomina FINK respectivamente simple, doble y múltiple, haciendose cada vez más compleja su forma.

En la fig. 8 una tipología de viga armada inferior que se denomina BOLLMAN, que presenta una forma un tanto compleja, pensada para la utilización de cables, en los tirantes.

En la fig. 9 una tipología de viga armada inferior que se denomina PRATT.

Es una forma estructural que se adapta a mayores luces y solicitaciones que las anteriores, pudiendo utilizarse para pasarelas y pequeños puentes.

2.4. GRÁFICO : ( Pulse sobre la imagen para ampliar)

Comentarios:

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Una de las tipologías estructurales más frecuentes es la viga de celosía Son muy frecuentes especialmente en construcción industrial para resolver luces apreciables y pórticos mixtos. Presentan una buena relación peso-resistencia en relación con las vigas de alma llena, pero ciertos inconvenientes constructivos.

En la fig. 1 podemos ver una tipología muy frecuente que se denomina WARREN.

En las figs. 2, 3 y 4 se mantiene la malla propia de la warren pero se le añaden montantes en nudos inferiores, superiores e inferiores y superiores, respectivamente.

En la fig. 5 podemos ver una viga de celosía de malla tipo PRATT

En las figs.6 y 14 podemos ver una viga de celosía de malla tipo HOWE, de número de tramos par e impar respectivamente.

En las figs. 7, 8 y 9 podemos ver vigas de celosía de mallas más complejas formadas mediante combinación de mallas warren (7,9) y pratt (8). La complejidad de las formas obliga por razones constructivas a un uso más restrictivo.

En la fig. 10 podemos ver una tipología de marcos con cruz de san andrés, adecuada para estructuras de entramados laterales en

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construcción industrial.

En la fig. 11 podemos ver una tipología característica e interesante: la viga en K, adecuada para mejorar el comportamiento de las diagonales a compresión, que suelen ser barras críticas.

En la fig. 12 podemos ver una viga con cordón inferior poligonal. La malla es del tipo Howe, pudiendo ser otra, adecuada a las cargas que van a actuar sobre la viga.

En la fig. 13 podemos ver una tipología que se denomina como viga VIERENDEEL . La viga vierendeel es necesariamente de nudos rígidos, ya que no es una malla triangulada.

2.5. GRÁFICO

: Comentarios:

Estructuras de barras articuladas para cubiertas, en los tipos : a dos aguas, shed y marquesinas. Vamos a describir gráficamente una de las tipologías estructurales más clásicas, debido en gran parte a la sencillez del cálculo de los axiles en barras, mediante los métodos : Método de los nudos (Analítico) Método de Cremona (Gráfico) Para el cálculo de los desplazamientos en sus nudos ó para el caso de vinculación exterior hiperestática, tenemos que utilizar procedimientos más complejos. Actualmente su utilización se está reduciendo por diversas razones : económicas, constructivas y otras.

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En las figs. 1 a 12 se recogen diferentes armaduras propias de cubiertas a dos aguas, con diferentes características y utilizaciones. Para luces más pequeñas se utilizan las siguientes: cercha simple (figs.1 y 2), la cercha española (fig.3) , la cercha suiza (fig. 10) y la cercha alemana (fig.11) Para mayores luces se utilizan diferentes soluciones de malla como son: inglesa (fig.4), americana (fig.5), belga (fig.6) que es una de las más utilizadas, polonceau simple (fig.7), polonceau doble (fig. 8), fink (fig.9) y pratt (fig.12).

En las figs. 13 a 16 se recogen diferentes armaduras propias tanto de cubiertas a un agua como de cubiertas tipo shed. Las cubiertas tipo shed son un clásico de la construcción industrial, ya que con una orientación adecuada, facilitan la recogida de aguas y la iluminación natural de una nave industrial de amplias dimensiones. Actualmente su utilización está decreciendo por razones similares a las antes expuestas.

Las podemos denominar en base a la malla que utilizan y que sería inglesa (fig.13), belga (fig.14), polonceau (fig.15). Cuando tenemos que realizar una cubierta tipo shed múltiple con apoyos en los extremos, una de las posibilidades de diseño estructural más frecuente es la de añadir una barra uniendo los diferentes vértices de cada cuchillo, como vemos en la fig.16.

En las figs. 17,18 y 19 se recogen diferentes armaduras propias de las marquesinas. Las marquesinas son estructuras que se han utilizado frecuentemente como cubiertas auxiliares. Se encuentran soportadas en un extremo y constituyen una estructura con forma general de voladizo.

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Las podemos describir en base a sus características más significativas como el tipo de malla o el cordón inferior. Esta última característica, en las figuras que se refieren es: recto (fig.17) o quebrado (figs.18 y 19). 2.6. GRÁFICO :

Comentarios: Estructuras de barras articuladas para cubiertas de grandes luces. Las formas estructurales anteriores (Apdo. 2.5.) pueden ser utilizadas en pequeñas y moderadas luces. En este apartado nos referimos a las formas más adecuadas para las cubiertas de grandes luces.

En las figs.1, 2, 3, 4 y 5 podemos ver una forma general de armadura simple con peralte (fig.1), con cordón inferior recto (figs. 3, 4 y 5) o quebrado (fig. 2) en la que las barras del cordón superior se han sustituido por vigas de celosía de diferentes tipos de malla.

En las figs. 6, 7 y 8 podemos ver una forma clásica de cubierta a dos aguas con diferentes mallas, generalmente la belga y la inglesa. En las figs. 9, 10, 11 y 12 vemos la utilización del arco en diferentes posiciones:

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en el cordón inferior (figs.9 y 11), en el cordón superior (fig.10) y tanto en el cordón inferior como en el superior (fig. 12) 2.7. GRÁFICO :

Comentarios: Estructuras de cubierta con voladizos En este conjunto de gráficos representamos una serie de soluciones para utilizar los voladizos con las siguientes finalidades: - Aumentar la superficie de cubierta - Disminuir las luces entre pilares

En la fig.1 podemos ver que el cordón inferior se mantiene recto mientras que se produce un cambio de dirección en el cordón superior.

En las figs. 2, 3, 4, 5 y 6 el cordón inferior adopta la forma de una línea quebrada, quedando rectos los tramos correspondientes al voladizo.

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Normativa sobre estructuras

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Cálculo de Estructuras 1.-Introducción a las estructuras 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 1.1.- Estructuras tipo: función, formas generales, elementos... | 1.2-Normativa sobre estructuras | 1.3.Actividades | 1.4.- Ejercicios de autoevaluación | 1 .2.- Normativa sobre estructuras

ÍNDICE 1. CONSIDERACIONES GENERALES 2. NORMATIVA DE APLICACIÓN 2.1 SOBRE ACCIONES 2.2 SOBRE H.A. 2.3 SOBRE ELEMENTOS ESTRUCTURALES 2.3.1 TERRENO 2.3.2 CIMENTACIONES 2.3.3 SOPORTES 2.3.4 VIGAS. JÁCENAS PARED. VIGAS BALCÓN. ZANCAS 2.3.5 PÓRTICOS 2.3.6 FÁBRICA 2.3.7 FORJADOS 2.4 ESTRUCTURAS METÁLICAS 2.5 OTRAS NORMAS 1. CONSIDERACIONES GENERALES La Normativa en el campo de las estructuras tiene como funciones fundamentales las siguientes: 1. Uniformar criterios en determinados aspectos de importancia Por ejemplo en las cargas que actúan sobre una edificación: se deja al criterio del ingeniero ó arquitecto autor del proyecto un determinado margen de libertad, pero se uniforman denominaciones, clasificación de las cargas, etc. 2. Evitar errores estructurales como consecuencia de utilizar inadecuados valores de cargas Es evidente que una estructura resultará tanto más barata cuanto menos carga tenga que soportar. La tendencia a construir lo más barato posible lleva a

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intentar diseñar estructuras partiendo de las menores cargas. La normativa marca valores mínimos de determinadas cargas. 3. Evitar una mala ejecución de las estructuras La complejidad y diversidad de los detalles estructurales que conllevan las estructuras es tal que dificultan una correcta realización de las estructuras, por razones de cualificación del personal, costos, etc. La normativa define un considerable número de detalles estructurales para disminuir ese margen de error y facilitar una correcta ejecución de las estructuras.En lo que sigue, referimos la normativa de aplicación vigente que deben cumplir las estructuras, más significativa, clasificada por materias, para una mejor orientación.Su utilización es prioritariamente, a mi juicio, la realización de trabajos del futuro titulado o por parte del alumno como trabajos de clase, proyecto fin de carrera etc. 2. NORMATIVA DE APLICACIÓN Se plantea una clasificación del conjunto de Normativa existente, en el área de las estructuras, en función a su aplicación. 2.1. ACCIONES EN LA EDIFICACIÓN - NBE-AE88..... R.D. 1370/88 del M.O.P.U. que modifica el D. 195/63 (MV101/62) del M. Vivienda. - NTE-ECG/88 ..... Estructuras. Cargas gravitatorias, que modifica la del mismo nombre de 1976. Las siguientes NTE modifican las del mismo nombre de 1973, adecuandolas a las nuevas disposiciones : 







NTE-ECR/88 ..... Estructuras. Cargas por retracción. NTE-ECS/88 ..... Estructuras. Cargas sísmicas. NTE-ECT/88 ..... Estructuras. Cargas térmicas. NTE-ECV/88 ..... Estructuras. Cargas de viento.

- Norma de Construcción Sismorresistente

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NCSE-94. R.D. 2543/1994 de 29 de Diciembre, B.O.E. 8/02/95, que será obligatoria a partir del 8/02/97, siendo aconsejable sólo hasta esa fecha, en las obras de nueva planta. - UNE 24003. Sobrecargas mínimas para el cálculo de estructuras de edificios y de sus piezas. AENOR. 2.2. CARÁCTER HORMIGÓN ARMADO

GENERAL

SOBRE

- Instrucción de Hormigón Estructural (EHE) Real Decreto 2661/1998 del Ministerio de Fomento , de fecha 11/12/98, que sustituye a las anteriores EH-91 (Instrucción para el Proyecto y Ejecución de obras de Hormigón en Masa o Armado) y EP-93 (Instrucción para el Proyecto y Ejecución de Obras de Hormigón Pretensado) . - Pliego de Prescripciones Técnicas Generales para la Recepción de Cementos RC-97. - Instrucción para la Fabricación y Suministro de Hormigón Preparado. Orden de Presidencia del Gobierno de fecha 10/5/73 (B.O.E. 18/5/73). 2.3. SOBRE ELEMENTOS ESTRUCTURALES 2.3.1 TERRENO - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-ADZ. Acondicionamiento del terreno. Desmontes. Zanjas y pozos M.O.P.U. (B.O.E. 8 y 15/1/77) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CEG. Cimentaciones. Estudios Geotécnicos. M.O.P.U. (B.O.E. 27/12/75) 2.3.2 CIMENTACIONES - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CPI. Cimentaciones. Pilotes. In situ. M.O.P.U. (B.O.E. 17/12/77) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CPP. Cimentaciones. Pilotes. Prefabricados. M.O.P.U. (B.O.E. 5/8/78) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CPE. Cimentaciones. Pilotes. Encepados. M.O.P.U. (B.O.E. 28/11/78) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CCM. Contenciones. Muros M.O.P.U. (B.O.E. 4/7/79) - Norma Tecnológica de la Edificación

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NTE-CCP. Contenciones. Pantallas M.O.P.U. (B.O.E. 16/4/83) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CCT. Contenciones. Taludes M.O.P.U. (B.O.E. 3124/77) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CSZ. Cimentaciones. Superficiales. Zapatas M.O.P.U. (B.O.E. 16/12/86) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CSC. Cimentaciones. Superficiales Corridas. M.O.P.U. (B.O.E. 15/10/84) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CSC. Cimentaciones. Superficiales. Losas. M.O.P.U. (B.O.E. 18/5/84) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CSV. Cimentaciones. Superficiales. Vigas flotantes. M.O.P.U. (B.O.E. 1/9/82) 2.3.3 SOPORTES - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EHS. Estructuras de hormigón armado. Soportes. M.O.P.U. (B.O.E. 28/12/83) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EXS. Estructuras mixtas. Soportes. M.V. (B.O.E. 5/5/73) 2.3.4 VIGAS. JÁCENAS PARED. VIGAS BALCÓN. ZANCAS - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EHV. Estructuras de hormigón armado.Vigas. M.O.P.U. (B.O.E. 23/9/85) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EXV. Estructuras mixtas. VigasM.V. (B.O.E. 9/6/73) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EHB. Estructuras de hormigón armado. Vigas balcón. M.O.P.U. (B.O.E. 21/10/80) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EHJ. Estructuras de hormigón armado. Jácenas pared. M.O.P.U. (B.O.E. 26/1/81) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EHZ. Estructuras de hormigón armado. Zancas. M.O.P.U. (B.O.E. 15/12/80) 2.3.5 PÓRTICOS DE H.A. - Norma Tecnológica de la Edificación

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NTE-EHP. Estructuras de hormigón armado. Pórticos. M.O.P.U. (B.O.E. 1/8/88) 2.3.6 FÁBRICA - Norma NBE FL-90. Muros resistentes de ladrillo Real Decreto 1723/1990 del M.O.P.U., de fecha 20/12/90 (B.O.E. 4/1/91). - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EFL. Estructuras de fábrica de ladrillos. M.V. (B.O.E. 11/7/77) - Pliego de Condiciones para la Recepción de Ladrillos Cerámicos en la Obra de Construcción RL-88. Orden del Ministerio de Relaciones con las Cortes y de la Secretaría del Gobierno, de fecha 27/7/88 (B.O.E. 3/8/88). - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EFB. Estructuras de fábrica de bloques. M.V. (B.O.E. 3 y 10/8/74) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EFP. Estructuras de fábrica de piedra. M.O.P.U. (B.O.E. 21/5/80) 2.3.7 FORJADOS - Instrucción para el Proyecto y Ejecución de Forjados Unidireccionales de Hormigón Armado o Pretensado EF-96 Real Decreto 2608/1996 del Ministerio de Fomento de fecha 20/12/96 - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EHU. Estructuras de hormigón armado. Forjados unidireccionales. M.V. (B.O.E. 14/4/73) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EHR. Estructuras de hormigón armado. Forjados reticulares. M.V. (B.O.E. 1 y 7/12/73) - Fabricación y Empleo de Elementos Resistentes para Pisos y Cubiertas. Real Decreto 1630/1980, de Presidencia del Gobierno, de fecha 18/7/80 (B.O.E. 8/8/80). 2.4. ESTRUCTURAS METÁLICAS - Estructuras de Acero en Edificación NBE EA-95 . R.D. 1829/1995 (B.O.E. 18/1/96). Refunde y ordena en una sola norma las

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MV-102,103,104,105,106,107,108,109,110 y 111 que versan sobre acero laminado, cálculo, ejecución, roblones, tornillos, tornillos de alta resistencia, perfiles huecos, perfiles conformados, piezas de chapa y placas y paneles, respectivamente. - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EAF. Estructuras de acero: forjados - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EAV. Estructuras de acero: vigas - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EAS. Estructuras de acero: soportes - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EAZ. Estructuras de acero: zancas 2.5. OTRAS NORMAS Citamos aquí los Eurocódigos, siendo los publicado por AENOR, los siguientes: - N1 1 Parte 1 Sobre Bases de proyecto:acciones - N1 1 Parte 2.1 Sobre Bases de proyecto:acciones (complementa a la anterior) - N1 2 Parte 1.1 Sobre Estructuras de H.A.Reglas generales y para edificación - N1 2 Parte 1.2 Sobre Est.de H.A. Resistencia al fuego - N1 2 Parte 1.3 Sobre Pretensados de H.A. Elementos prefabricados de H.A. - N1 2 Parte 1.4 Sobre Hormigones de árido ligero - N1 2 Parte 1.5 Sobre Estructuras con tendones de pretensado - N1 2 Parte 1.6 Sobre Estructuras de Hormigón en masa - N1 2 Parte 2 Sobre Proyecto de estructuras de hormigón.Puentes - N13 Parte 1.1 Sobre Estructuras de Acero. Reglas generales y edificación. - N1 3 Parte 1.1.1 Sobre Estructuras de acero. Modificación de la anterior.- N1 4 Parte 1.1 Sobre Estructuras Mixtas. Reglas generales y para edificación - N1 4 Parte 1.2 Sobre Estructuras mixtas. Resistencia al fuego - N1 5 Parte 1.1 Sobre Estructuras de Madera. Reglas generales y edificación - N1 6 Parte 1.1 Sobre Estructuras de fábrica. Reglas generales y edificaciónEurocódigo N1 9 Sobre Estructuras de Aluminio:

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ENV-1999 -1.1 Reglas generales. ENV-1999-1.2 Diseño y dimensionamiento. ENV-1999-2 Estructuras sensibles a la fatiga. Existe toda una serie de normas UNE, que presentan relación con el área de las estructuras metálicas, que se refieren a diferentes aspectos como, por ejemplo: - Designación de aceros. - Control de recepción de materiales. - Metrología de elementos laminados y otros fabricados metálicos. - Designación de elementos de unión. - Soldadura. etc. que sería de muy prolija descripción y que puede encontrarse en el catálogo de la normas UNE, publicado por el IRANOR.Otra normativa a considerar en su relación con las estructuras, desde el punto de vista de la ejecución de las estructuras, es la de la seguridad en la edificación, regulada, entre otras por las siguientes normas: - R.D. 555/21-Feb.-86, sobre el proyecto de seguridad - R.D. 1403/9-Mayo-86 sobre señalización. - R.D. 2291/8-Nov.-85 sobre Ordenanza de seguridad e higiene en el trabajo. - Las normas de ejecución recogidas en las N.T.E. - En general, los dimensionamientos mínimos recomendados en la normativa. subir

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Cálculo de Estructuras 1.-Introducción a las estructuras 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 1.1.- Estructuras tipo: función, formas generales, elementos... | 1.2.- Normativa sobre estructuras | 1.3-Actividades| 1.4.- Ejercicios de autoevaluación | 1 .3.- Actividades

Dentro del apartado de actividades se propone: 1. Estructuras en Internet. La navegación por otras páginas web relacionadas con nuestro tema; éstas han sido ya seleccionadas y clasificadas OTRAS PÁGINAS WEB 2. Animación-1 Un paseo por la historia de las estructuras. Grandes obras. Grandes científicos. 3. Detalles constructivos de interés estructural. 4. El trabajo de curso: Características y organización. Ejemplos DETALLES ESTRUCTURALES Es muy importante la relación de las estructuras con las construcciones de las que forman parte. De ahí la importancia de las NTE, que definen tales detalles. Se indican una serie de detalles de importancia estructural.

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Referimos seguidamente las diferentes NTE que tienen interés desde el punto de vista estructural. INDICE: 1- TERRENO 2- CIMENTACIONES 3- SOPORTES 4- VIGAS. JÁCENAS PARED. ZANCAS. 5- FABRICA 6- FORJADOS 1. TERRENO No debemos olvidar que el terreno recibe las cargas de la construcción a través de la cimentación, que ésta recoge de las estructuras. Por ello consideramos la cimentación y el terreno de interés estructural. - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-ADZ. Acondicionamiento del terreno. Desmontes. Zanjas y pozos M.O.P.U. (B.O.E. 8 y 15/1/77) DETALLES: ADZ-09.DWG ADZ-10.DWG ADZ-11.DWG ADZ-12.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CEG. Cimentaciones. Estudios Geotécnicos. M.O.P.U. (B.O.E. 27/12/75) 2. CIMENTACIONES - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CPI. Cimentaciones. Pilotes. In situ. M.O.P.U. (B.O.E. 17/12/77) DETALLES: CPI-02.DWG CPI-03.DWG CPI-04.DWG CPI-05.DWG CPI-06.DWG CPI-07.DWG CPI-08.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CPP. Cimentaciones. Pilotes. Prefabricados. M.O.P.U. (B.O.E. 5/8/78) DETALLES: CPP-01.DWG CPP-02.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CPE. Cimentaciones. Pilotes.

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Encepados. M.O.P.U. (B.O.E. 28/11/78) DETALLES: CPE-01.DWG CPE-02.DWG CPE-03.DWG CPE-04.DWG CPE-05.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CCM. Contenciones. Muros M.O.P.U. (B.O.E. 4/7/79) DETALLES: CCM-01.DWG CCM-02.DWG CCM-03.DWG CCM-04.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CCP. Contenciones. Pantallas M.O.P.U. (B.O.E. 16/4/83) DETALLES: CCP-01.DWG CCP-03.DWG CCP-05.DWG CCP-07.DWG CCP-08.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CCT. Contenciones. Taludes M.O.P.U. (B.O.E. 3124/77) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CSZ. Cimentaciones. Superficiales. Zapatas M.O.P.U. (B.O.E. 16/12/86) DETALLES: CCZ-01.DWG CCZ-02.DWG CCZ-03.DWG CCZ-04.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CSC. Cimentaciones. Superficiales Corridas. M.O.P.U. (B.O.E. 15/10/84) DETALLES: CSC-01.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CSL. Cimentaciones. Superficiales. Losas. M.O.P.U. (B.O.E. 18/5/84) DETALLES: CSL-01.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-CSV. Cimentaciones. Superficiales.

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Vigas flotantes. M.O.P.U. (B.O.E. 1/9/82) DETALLES: CSV-01.DWG CSV-02.DWG CSV-03.DWG CSV-04.DWG CSV-05.DWG 3 SOPORTES - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EHS. Estructuras de hormigón armado. Soportes. M.O.P.U. (B.O.E. 28/12/83) DETALLES: EHS-01.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EXS. Estructuras mixtas. Soportes. M.V. (B.O.E. 5/5/73) DETALLES: EXS-01.DWG EXS-02.DWG EXS-03.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EAS. Estructuras de Acero. Soportes. M.O.P.U. DETALLES: EAS-01.DWG EAS-02.DWG EAS-03.DWG EAS-04.DWG EAS-05.DWG EAS-06.DWG EAS-07.DWG EAS-08.DWG 4 VIGAS. JÁCENAS PARED. VIGAS BALCÓN. ZANCAS - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EHV. Estructuras de hormigón armado.Vigas. M.O.P.U. (B.O.E. 23/9/85) DETALLES: EHV_01.DWG EHV_02.DWG EHV_03.DWG EHV_04.DWG EHV_05.DWG EHV_06.DWG EHV_07.DWG EHV_08.DWG EHV_09.DWG

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EHV_10.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EAV. Estructuras de Acero.Vigas. M.O.P.U. DETALLES: EAV_01.DWG EAV_02.DWG EAV_03.DWG EAV_04.DWG EAV_05.DWG EAV_06.DWG EAV_07.DWG EAV_08.DWG EAV_09.DWG EAV_10.DWG EAV_11.WG EAV_12.DWG EAV_13.DWG EAV_14.DWG EAV_15.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EXV. Estructuras mixtas. Vigas M.V. (B.O.E. 9/6/73) DETALLES: EXV_01.DWG EXV_02.DWG EXV_03.DWG EXV_04.DWG EXV_05.DWG EXV_06.DWG EXV_07.DWG EXV_08.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EHB. Estructuras de hormigón armado. Vigas balcón. M.O.P.U. (B.O.E. 21/10/80) DETALLES: EHB_01.DWG EHB_02.DWG EHB_03.DWG EHB_04.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EHJ. Estructuras de hormigón armado. Jácenas pared. M.O.P.U. (B.O.E. 26/1/81) DETALLES: EHJ_01.DWG EHJ_02.DWG EHJ_03.DWG EHJ_04.DWG EHJ_05.DWG

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EHJ_06.DWG EHJ_07.DWG EHJ_08.DWG EHJ_09.DWG EHJ_10.DWG EHJ_11.DWG EHJ_12.DWG EHJ_13.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EHZ. Estructuras de hormigón armado. Zancas. M.O.P.U. (B.O.E. 15/12/80) DETALLES: EHZ_01.DWG EHZ_02.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EAZ. Estructuras de Acero. Zancas. M.O.P.U. DETALLES: EAZ_01.DWG EAZ_02.DWG EAZ_03DWG EAZ_04DWG EAZ_05DWG EAZ_06DWG EAZ_07DWG EAZ_08.DWG 5 FÁBRICA - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EFL. Estructuras de fábrica de ladrillos. M.V. (B.O.E. 11/7/77) - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EFB. Estructuras de fábrica de bloques. M.V. (B.O.E. 3 y 10/8/74) DETALLES: Efb_01.DWG Efb_02.DWG Efb_03.DWG Efb_04.DWG Efb_05.DWG Efb_06.DWG Efb_07.DWG Efb_08.DWG Efb_09.DWG Efb_10.DWG Efb_11.DWG Efb_12.DWG Efb_13.DWG Efb_14.DWG Efb_15.DWG

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Efb_16.DWG Efb_17.DWG Efb_18.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EFP. Estructuras de fábrica de piedra. M.O.P.U. (B.O.E. 21/5/80) DETALLES: Efp_01.DWG Efp_02.DWG Efp_03.DWG Efp_04.DWG Efp_05.DWG Efp_06.DWG Efp_07.DWG Efp_08.DWG Efp_09.DWG Efp_10.DWG Efp_11.DWG Efp_12.DWG Efp_13.DWG Efp_14.DWG 6 FORJADOS - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EHU. Estructuras de hormigón armado. Forjados unidireccionales. M.V.(B.O.E. 14/4/73) DETALLES: Ehu_01.DWG Ehu_02.DWG Ehu_03.DWG Ehu_04.DWG Ehu_05.DWG Ehu_06.DWG Ehu_07.DWG Ehu_08.DWG Ehu_09.DWG Ehu_10.DWG Ehu_11.DWG Ehu_12.DWG Ehu_13.DWG Ehu_14.DWG Ehu_15.DWG Ehu_16.DWG Ehu_17.DWG Ehu_18.DWG Ehu_19.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EHR. Estructuras de hormigón armado. Forjados reticulares. M.V. (B.O.E. 1 y 7/12/73) DETALLES:

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Actividades

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Ehr_01.DWG Ehr_02.DWG Ehr_03.DWG Ehr_04.DWG Ehr_05.DWG Ehr_06.DWG Ehr_07.DWG Ehr_08.DWG Ehr_09.DWG Ehr_10.DWG Ehr_11.DWG Ehr_12.DWG - Norma Tecnológica de la Edificación NTE-EAF. Estructuras de acero. Forjados. M.V./73 DETALLES: Eaf_01.DWG Eaf_02.DWG Eaf_03.DWG Eaf_04.DWG Eaf_05.DWG Eaf_06.DWG Eaf_07.DWG Eaf_08.DWG subir

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1.1.- Estructuras tipo: función, formas generales, elementos... | 1.2.- Normativa sobre estructuras | 1.3-Actividades| 1.4.- Ejercicios de autoevaluación |

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Ejercicios de autoevaluación

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Cálculo de Estructuras 1.-Introducción a las estructuras 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 1.1.- Estructuras tipo: función, formas generales, elementos... | 1.2.- Normativa sobre estructuras | 1.3.- Actividades | 1.4-Ejercicios de autoevaluación| 1 .4.- Ejercicios de autoevaluación

Los contenidos de esta página se irán incorporando durante el transcurso de la asignatura

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1.1.- Estructuras tipo: función, formas generales, elementos... | 1.2.- Normativa sobre estructuras | 1.3.- Actividades | 1.4-Ejercicios de autoevaluación|

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.-Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 2.1.- Principios. Teoremas. Métodos | 2.2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados | 2.3.- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos | 2.4.- El cálculo de emparrillados y estructuras especiales | 2.5.- Actividades | 2.6.- Ejercicios de autoevaluación | 2 .- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo

TIPOLOGÍAS ESTRUCTURALES. INTRODUCCIÓN A SU CÁLCULO.     

OBJETIVOS RESUMEN DEL TEMA ÍNDICE DE CONTENIDOS RECORRIDOS BIBLIOGRAFÍA

RESUMEN DEL TEMA Este tema consta fundamentalmente de tres bloques de contenidos : Bloque N◙1 : Exponer en qué consiste el cálculo de una estructura, fases del proceso, factores que inciden, etc. En este aspecto partimos de un concepto de la palabra cálculo muy ligado a la operatoria matemática que no ayuda a comprender en qué consiste el procedimiento de cálculo de una estructura. Como veremos en este tema el cálculo de una estructura, muy resumidamente, consiste en un proceso de diseño-dimensionamiento y comprobación posterior de la validez del diseñodimensionamiento, para aproximarnos sucesivamente a un resultado óptimo. Es importante también comprender toda una serie de factores que inciden en el cálculo de una estructura, de forma que no se puede pretender reducir el cálculo de estructuras a un conjunto de procedimientos matemáticos. Bloque N◙2 : Concreción del cálculo de estructuras aplicado a unas tipologías muy generales. Marcaremos los parámetros de cálculo y especificidades propias del cálculo de estructuras aplicado a unas tipologías muy generales : Estructuras de barras de nudos articulados Estructuras de barras de nudos rígidos

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Emparrillados y estructuras especiales Bloque N◙3 : Aplicación de conceptos mecánicos y de resistencia de materiales al cálculo de estructuras. Hacemos una breve aplicación de conceptos propios de la Mecánica y la Resistencia de Materiales, que deben ser conocidos para poder desarrollar el Cálculo de Estructuras.

ÍNDICE DE CONTENIDOS 1- Principios. Teoremas. Métodos   

Principios: Saint-Venant, Bernouilli, Superposición, Trabajos virtuales Teoremas: Clapeyron, Maxwell, Castigliano, Menabrea, Mohr Métodos: Equilibrio estático, Nudos, Cremona, Ritter, Viga conjugada, Cross, Cálculo Matricial, Condiciones de contorno y F.E.M.

2- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados: planas y espaciales 3- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos planas y espaciales 4- El cálculo de emparrillados y estructuras especiales 5- Actividades Se pueden realizar las siguientes actividades complementarias de los contenidos: 5.1. - Animación N◙2 : Procedimiento de cálculo de una estructura: sus fases Podemos ver en esta animación tanto el procedimiento general que denominamos cálculo de una estructura hiperestática como los factores que inciden. 5.2. - Animación N◙3 : Métodos de cálculo de estructuras. Niveles de aproximación. Idoneidad de su utilización Tratamos de poner de manifiesto en esta animación las diferentes características de los principales métodos de cálculo de estructuras. 5.3. - Repaso de conceptos previos para el cálculo de estructuras: a. Mecánicos: aplicación del equilibrio estático a pórticos de tres articulaciones, cerchas y vigas de celosía. Método de los nudos. Método de Ritter b. De elasticidad y resistencia de materiales: compatibilidad en deformaciones 6- Ejercicios de autoevaluación Realización de un conjunto de problemas sobre cerchas, vigas de celosía, Ritter, etc.

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BIBLIOGRAFÍA PARA ESTE TEMA ARGUELLES ÁLVAREZ, R. (1981) Cálculo de estructuras (3 volúmenes) Madrid, E.T.S.I.Montes. Obra de carácter muy amplio, con un tratamiento muy adecuado para la docencia por su profundidad y su extensión, a mi juicio, especialmente el Tomo I. Permite llegar al nivel de profundidad que desee el alumno y sirve como consulta para la disciplina que tratamos. Se desarrollan los Principios, Teoremas, Métodos y Procedimientos más importantes. CALAVERA, J. (1991) Proyecto y cálculo de estructuras de hormigón armado para edificios (2 vol.) Madrid, INTEMAC. Es un texto adecuado como libro de referencia general, en el cálculo de estructuras de hormigón armado y también para matricial y método de Cross, aunque con algunas matizaciones. En el tomo I se plantea el cálculo de esfuerzos y deformaciones, interacción de losas y forjados con los entramados, placas y pantallas, metodología matricial y cálculo plástico. Se desarrollan los Principios, Teoremas, Métodos y Procedimientos más importantes. NIETO GARCÍA, E. (1998) Estructuras Arquitectónicas e Industriales : su cálculo Madrid, Ed. Tébar Flores En la primera parte del libro se expone la teoría necesaria y se calculan 39 estructuras, incluyendo emparrillados y estructuras espaciales, como aplicación. Se desarrollan los Principios, Teoremas, Métodos y Procedimientos más importantes. RODRÍGUEZ-AVIAL, F. (1978) Resistencia de materiales (2 volúmenes) Madrid, E.T.S.I.Industriales. Libro interesante por la sencillez y claridad expositiva, abundando en planteamientos intuitivos, que ayudan a conceptualizar. En su tomo I se estudian esfuerzos y deformaciones, vigas, pandeo, estructuras articuladas, trabajos virtuales, trabajos de deformación y M. Cross, fundamentalmente. En su tomo II se trata sobre arcos y sobre placas, así como metodología aplicable para el análisis de cargas móviles, percusiones y vibraciones. También sobre método plástico. Se desarrollan los Principios, Teoremas, Métodos y Procedimientos más importantes. ROS CONESA, D. Apuntes de Resistencia de Materiales y Cálculo de Estructuras E.U.Ingeniería Tca. Industrial - CARTAGENA Aunque es una publicación agotada y únicamente se puede disponer de ella por fotocopias, es de interés la sistematización que hace del tema.

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TIMOSHENKO, S.; YOUNG, D.H. (1976) Teoría de las estructuras Bilbao, Urmo. Un texto de referencia en las estructuras de barras, interesante en cuanto a las estructuras planas, especialmente articuladas y por métodos clásicos. Es destacable la exposición del método de cargas ficticias de Mohr, para el cálculo de deformaciones en estructuras de nudos articulados. CREIXELL, JOSÉ (1976) Estabilidad de las construcciones Méjico, Compañía editorial continental ENGEL, H. (1970) Sistemas de estructuras Madrid, Blume. FRANCIS,A.J. (1984) Introducción a las estructuras para arquitectura e ingeniería Méjico, Limusa MELI, R. (1985) Diseño Estructural México, Limusa. ROSENTHAL, H.W. (1975) La estructura Barcelona, Blume. SALVADORI, M. (1978) Estructuras para arquitectos Buenos Aires, La Isla. SCHREYER, RAMM, WAGNER Estática de las estructuras (4 volúmenes) Madrid, Blume TORROJA MIRET, E. (1996) Razón y ser de los tipos estructurales Madrid, I.E.T.C.C. Texto de carácter intuitivo y conceptual acerca de los elementos estructurales en arquitectura e ingeniería civil y su comportamiento frente a los esfuerzos exteriores. Considera también el comportamiento de los materiales utilizados en estructuras. Es un clásico sobre las tipologías estructurales con numerosas ediciones. YUAN-YU HSIEH (1976) Teoría elemental de estructuras Madrid, Prentice-hall international ALARCÓN, E.; ÁLVAREZ, R.; GÓMEZ, M.S. (1986) Cálculo matricial de estructuras Barcelona, Reverte.

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ALBIGES, M.; COIN, A.; JOURNET, H. (1971) Estudio de las estructuras por los métodos matriciales Barcelona, Editores Técnicos Asociados. BRAY, K.H.M.; CROXTON, P.C.L.; MARTÍN, L.H. (1979) Análisis matricial de estructuras Madrid, Paraninfo. GERE, J.M.; WEAVER, W. (1967) Análisis de estructuras reticulares México, Compañia Ed. Continental. KARDENSTUNGER (1975) Introducción al Análisis Estructural con Matrices México, Ed. Mc. Graw-Hill LIVESLEY, R.K. (1970) Métodos matriciales para el cálculo de estructuras Barcelona, Blume. LÓPEZ DE CEBALLOS, G.(1978) Cálculo Matricial de Estructuras y Placas Madrid. Rugarte, S.L. MARGARIT, J.; BUXADÉ, C. (1970) Cálculo matricial de estructuras de barras Barcelona, C.O.A.Cataluña y Baleares. PARIS, F. (1980) Cálculo matricial de estructuras Madrid, E.T.S.I.Industriales. PÉREZ VALCARCEL, J.B.; ESTEVEZ, J. (1984) Emparrillados planos. Matricial: Manual del E.T.S.Arquitectura.

usuario

La

Coruña,

RECUERO, A.; GUTIÉRREZ, J.P. (1979) Consideraciones sobre la formación de la matriz de rigidez de una estructura (Monografía 356 del I.E.T.C.C.) Madrid, I.E.T.C.C. SAEZ-BENITO, J.M. (1975) Cálculo matricial de estructuras Madrid, Fondo Editorial de Ingeniería Naval. VAZQUEZ, M. (1992) Cálculo matricial de estructuras Madrid, C.O.I.T.O.P. WANG, C. (1979) Introducción al análisis estructural con métodos matriciales México, C.E.C.S.A. NOTA: Se puede ver otra Bibliografía de interés sobre Cálculo matricial de estructuras en Recursos de profundización. Bibliografía apartado 4.7

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2.1.- Principios. Teoremas. Métodos | 2.2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados | 2.3.- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos | 2.4.- El cálculo de emparrillados y estructuras especiales | 2.5.- Actividades | 2.6.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.-Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 2.1-Principios. Teoremas. Métodos| 2.2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados | 2.3.- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos | 2.4.- El cálculo de emparrillados y estructuras especiales | 2.5.- Actividades | 2.6.- Ejercicios de autoevaluación | 2 .1.- Principios. Teoremas. Métodos

1. 2. 3. 4.

INTRODUCCIÓN PRINCIPIOS TEOREMAS MÉTODOS

Antigua estación ferroviaria de Plaza de Armas: un singular edificio de Sevilla

1. INTRODUCCIÓN Para resolver los problemas de cálculo estructural necesitamos una serie de herramientas como son los Principios, los Teoremas, los Métodos y los Procedimientos.. La Teoría de estructuras, al igual que la Resistencia de Materiales y la Elasticidad se asienta sobre una serie de Principios. Utilizando los Principios se establece un conjunto de Teoremas que dan soporte a un conjunto de Métodos. A su vez el desarrollo operativo de los Métodos se concreta en una serie de Procedimientos. Pasamos por tanto a establecer una secuencia de mayor generalidad a mayor concreción, que sería: Principio -> Teorema -> Método -> Procedimiento

2. PRINCIPIOS Vamos a referir seguidamente los Principios sobre los que se apoya la materia que nos ocupa: la

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teoría de estructuras 1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El Principio de superposición fue explicitado por Euler (1707-1783). " Si los desplazamientos y las tensiones, en los sistemas elásticos, son proporcionales a las cargas que los producen, entonces, los desplazamientos totales y las tensiones totales, resultantes de la aplicación de varias cargas, serán la suma de los desplazamientos y de las tensiones originadas por cada una de las cargas" Para que podamos aplicar el Principio de Superposición tanto en el campo de los esfuerzos como en el de los desplazamientos es necesario que se cumpla una primera condición: Proporcionalidad, es decir una relación lineal en el comportamiento del material sobre el que actúan las cargas. Lo anterior se cumple en los materiales elásticos como por ejemplo el acero. Pero además ha de cumplirse una segunda condición ya que aunque el sistema de cargas esté actuando sobre un material elástico puede suceder que no sea aplicable el Principio de Superposición, como sucede en el caso de Pandeo, dado que no se produce una relación lineal entre la solicitación y la deformación. 2. PRINCIPIO DE SAINT-VENANT Corresponde a Saint-Venant (1797-1886) el enunciado del principio que lleva su nombre acerca de la actuación de un sistema de fuerzas sobre una sección. " A cierta distancia de la sección donde actúa un sistema de fuerzas, la distribución de tensiones es prácticamente independiente de la distribución del sistema de fuerzas, siempre que su resultante y momento resultante sean iguales " Este principio permite el que podamos calcular las tensiones en fibras y estudiar las secciones en barras, en base a los diagramas de solicitaciones (axiles, cortantes, flectores y torsores). El procedimiento para obtener tales diagramas se basa en el concepto de reducción de un sistema de vectores en un punto desarrollado en la teoría de vectores y que puede verse en cualquier texto de Mecánica general. 3. PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES Fue enunciado por Johann Bernouilli en el año 1717: " Dado un cuerpo rígido mantenido en equilibrio por un sistema de fuerzas, el trabajo virtual efectuado por este sistema, durante un desplazamiento virtual, es nulo" El sentido que se le atribuye en el párrafo anterior al término "virtual" es coincidente con el término matemático "diferencial". El principio de los desplazamiento virtuales sirve de base a la Estática Analítica que como sabemos es un planteamiento para definir posiciones de equilibrio en los sólidos y conjuntos de sólidos rígidos . 4. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES " Si una estructura, estando en equilibrio, sufre una deformación virtual debido a la acción de una carga adicional, el trabajo virtual externo de la carga en cuestión, es igual al trabajo virtual interno, desarrollado por las tensiones causadas por la carga " Este principio es muy importante al establecer una relación entre el trabajo de deformación exterior ( función de las solicitaciones exteriores: axiles, cortantes, flectores, torsores y las deformaciones lineal y angular) con la energía de deformación interior ( función del tensor de tensiones y las deformaciones volumétricas).

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El P.T.V. fue utilizado por Galileo (1564-1642) para el diseño y cálculo de mecanismos y desarrollado teóricamente con un enunciado más matemático y formal por Lagrange (1736-1813), ya que desarrolla la teoría variacional y escribe su " Mecánica Analítica " donde coloca las bases de dicha disciplina. No obstante a lo anterior el núcleo teórico del P.T.V. fue enunciado por Santiago Bernouilli (16541705) y por Daniel Bernouilli (1700-1782). El principio de los trabajos virtuales (P.T.V.) se encuentra en la base del Teorema de Castigliano, que es muy importante para la determinación de deformaciones y resolución de estructuras hiperestáticas, especialmente en el conjunto de las estructuras planas de nudos articulados y mixtas. 5. PRINCIPIO DE BERNOUILLI Es importante este principio para establecer la distribución de tensiones en fibras. Corresponde fundamentalmente a Santiago Bernouilli (1654-1705) y se refiere a que las secciones transversales de una barra que se deforma por flexión permanecen planas y normales a las fibras deformadas. Hemos de citar como científicos que trabajaron sobre en la enunciación, demostración y comprobación de este principio, además del anteriormente referido, a Saint-Venant, a Navier y a Euler.

3. TEOREMAS Vamos a relacionar de forma sucinta los diferentes teoremas en que se fundamenta la teoría de estructuras. 1. TEOREMA DE MAXWELL Aunque se cite únicamente el nombre de Clerk Maxwell (1831-1879) hemos de considerar la aportación de otros científicos como Mohr y Clapeyron . Maxwell en 1864 expone el teorema que denominó " Método de las Distorsiones o Desplazamientos Recíprocos " y que actualmente se conoce como Teorema de Maxwell como sigue: " Si en un sistema elástico actúa una causa en un punto , A , la deformación que se produce en otro punto del sistema , B , es igual a la que se produciría en A si la causa actuase en B " Mohr en 1874 desarrolla por separado el mismo teorema, introduciendo la terminología de " Trabajo virtual " y presentando un conjunto de aplicaciones. Heinrich Muller-Breslau en 1886 hace también aportaciones tomando como base los trabajos de Maxwell y Mohr. 2. TEOREMA DE MAXWELL-BETTI " En un sistema elástico, el trabajo realizado por un sistema de fuerzas (A), al aplicar otro sistema de fuerzas (B), es igual al trabajo realizado por el sistema (B) al aplicar el sistema de fuerzas (A) " También es denominado Teorema de la Reciprocidad y puede enunciarse así: " El trabajo efectuado por las fuerzas correspondientes a un estado de carga (A) durante los desplazamientos originados por un segundo estado de carga (B), es igual si la carga fuera (B) y los desplazamientos los correspondientes al sistema (A). "

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3. TEOREMA DE MENABREA Menabrea en 1858 enunció el Teorema del " Trabajo mínimo " : " En un sistema de cuerpos elásticos, el valor de las reacciones hiperestáticas, correspondientes a los enlaces superabundantes, hacen estacionario el potencial interno del sistema " Aunque puede utilizarse para la determinación de vinculaciones hiperestáticas, ha quedado superado por la operatividad del Teorema de Castigliano. 4. TEOREMAS DE CASTIGLIANO En 1873 Alberto Castigliano elabora una tesis sobre el Método del Trabajo Mínimo. 1er. Teorema : En 1876 presenta su " Método de cálculo de deformaciones " como un primer teorema, que dice: " La derivada parcial del trabajo respecto de una fuerza, nos da el valor de la deformación que produce " 2◙Teorema : En relación al trabajo mínimo, expone su segundo teorema : " Cuando un sistema elástico está sometido a la acción de distintas fuerzas, la distribución del trabajo interno es tal que da lugar a un trabajo mínimo ". La operatividad que introduce Castigliano ha determinado su relevante posición en la Teoría de Estructuras, pues aunque los fundamento teóricos fueran enunciados por Menabrea, fue Castigliano quien los desarrolló e hizo aplicables y operativos para el cálculo de estructuras hiperestáticas. 5. TEOREMAS DE MOHR Los Teoremas de Mohr representan una valiosa herramienta para el cálculo de deformaciones. 1er. Teorema: " El ángulo comprendido entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de la línea elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos flectores, dividido por el módulo de rigidez " . 2◙. Teorema: " La ordenada de un punto (2) de la elástica, respecto a la tangente en otro punto (1) , es igual al momento estático de la superficie de momentos flectores, comprendida entre las ordenadas de ambos puntos, respecto al punto primero, dividido por el módulo de rigidez E.I ".

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En la figura indicamos en la sección 2, mediante una línea vertical (y) el valor calculado mediante el 2◙T. de Mohr, tomando como referencia la sección 1, en donde hemos dibujado la tangente, así como el ángulo ( ) , girado entre las secciones 1 y 2, calculado utilizando el 1er. T. de Mohr. 6. TEOREMA DE BARRÉ Este teorema es utilizado para la determinación de los flectores máximos que se producen en vigas sometidas a cargas móviles: " El momento flector máximo que se origina en una viga sometida a un tren de cargas móviles, se encuentra bajo una rueda cuando esta rueda y la resultante total del tren de cargas equidista del centro de la viga " 7. TEOREMA DE CLAPEYRON Este teorema es utilizado para establecer una relación entre el trabajo exterior de las cargas y la energía interna de deformación de los sólidos elásticos y puede enunciarse como sigue: " La energía de deformación almacenada en un cuerpo elástico es igual a la mitad de la suma de los productos de las fuerzas exteriores por los correspondientes desplazamientos ". El teorema de Clapeyron es muy importante por la posibidad que aporta de calcular las energías de deformación internas de los sólidos elásticos en función de las solicitaciones exteriores (axiles, cortantes, flectores y torsores) y además está en la base del teorema de Maxwell.

4. MÉTODOS Vamos a referir de forma muy resumida un conjunto de métodos que nos van a permitir calcular las estructuras. 1. MÉTODO DE LAS ÁREAS DE MOMENTO El método de las " áreas de momento " se debe a Charles E. Greene - profesor de la

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Universidad de Michigan - quien lo expuso en 1873. 2. MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA El método de la " viga conjugada " se debe a Otto Mohr quien lo presentó en 1868. Es de gran importancia para la determinación de deformaciones, por la operatividad que introduce este método. 3. MÉTODO DE LA ESTRUCTURA CONJUGADA Fundamentado en el método de la " viga conjugada " se aplica a las estructuras planas. 4. MÉTODO DE MULLER-BRESLAU El método de Muller-Breslau presenta utilidad para el análisis de estructuras porticadas de grado de hiperestaticidad máxima 3. Utiliza el concepto de "centro elástico" que expuso Carl Culman en 1866 en sus trabajos sobre estática gráfica. 5. MÉTODO DE RIEGER El método de Rieger consiste en dividir la estructura en pórticos biarticulados y plantear para cada uno de ellos una " ecuación peculiar " expresando la continuidad del entramado mediante las ecuaciones de la estática y otras de deformación que expresen la continuidad de las elásticas. 6. MÉTODOS DE RITTER W. Ritter introduce el concepto de " masa elástica " para el análisis de estructuras de nudos rígidos hiperestáticas. Se establece así un método de cálculo de estructuras hiperestáticas basado en el momento que hay que aplicar en el extremo de una barra para girar un ángulo unidad, estando el otro extremo de la barra en las condiciones que corresponde a la estructura. 7. MÉTODO DE LOS PUNTOS FIJOS Es un método gráfico desarrollado por Suter y Strassner en 1916 y está basado en la determinación de los "puntos fijos" en cada tramo de una viga continua. 8. MÉTODO DE CROSS Es un método desarrollado por Cross y Morgan, profesores de la Universidad de Illinois, que permite el cálculo de estructuras complejas mediante un método muy operativo. Establece un método de aproximaciones sucesivas que permite definir los diagramas de flectores de las estructuras de pórticos múltiples de nudos rígidos y sobre la base de ellos determinar la validez de los dimensionamientos, establecidos en la estructura. La importancia del método de Cross de deriva de que es relativamente sencillo y, además, aporta un cierto sentido físico e intuitivo, lo que permite evaluar incluso el propio proceso de cálculo. Hasta la aparición de este método, publicado en 1932, el estudio de algunas estructuras que se pueden realizar por Cross sólo eran calculables mediante procedimientos empíricos y aproximados. 9. MÉTODO DE ANALOGÍA DE LA COLUMNA Es un método que se denomina también de la Columna Equivalente y que fue desarrollado por Hardy Cross en 1930 y se basa en plantear la analogía que se produce entre el sistema de momentos hiperestáticos en una estructura continua y las tensiones

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en una columna corta y sin peso propio cargada excéntricamente. Se utiliza especialmente para el cálculo de arcos y pórticos sencillos. 10. MÉTODO DE BUTTY Es un método que se emplea para el análisis de estructuras complicadas. El método consiste en reducir la estructura compleja en otras parciales de resolución más sencilla. 11. MÉTODO DEL DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES Es un método gráfico para determinar los desplazamientos virtuales en cualquier sistema coplanario con un grado de libertad. Su trazado se basa en el concepto de centro instantáneo de rotación y en la semejanza geométrica entre el reticulado real y la figura formada por los desplazamientos y las fuerzas, de forma que la ecuación de los trabajos virtuales puede considerarse como una ecuación de equilibrio de momentos. 12. MÉTODO DE LOS TRES MOMENTOS Desarrollado por Clapeyron para el cálculo de las vigas continuas es un método muy operativo e interesante por la forma de aplicación del principio de superposición así como por la introducción de las condiciones de continuidad en la tangente de la elástica. 13. MÉTODO DE LOS NUDOS Es un método analítico para el cálculo de los axiles en barras en las estructuras isostáticas de nudos articulados con cargas en los nudos que es muy utilizado por su claridad conceptual y la facilidad operatoria del mismo. 14. MÉTODO DE CREMONA Es un método gráfico que permite el cálculo de los axiles en barras en las estructuras isostáticas de nudos articulados con cargas en los nudos que es muy popular por su facilidad de desarrollo, así como por lo característico que resulta. Actualmente la introducción del cálculo por ordenador ha potenciado los métodos analíticos y arrinconado los métodos gráficos. 15. MÉTODO DE LAS SECCIONES Para el estudio de estructuras de nudos articulados W. Ritter elaboró otro método que denominamos como Método de las Secciones. El método de las secciones consiste en seccionar una estructura plana isostática de barras articuladas, con cargas puntuales en los nudos, de forma que resulten exclusivamente tres incógnitas (axiles) y plantear las ecuaciones de equilibrio a una parte de la estructura. 16. MÉTODO DE ZIMMERMANN Es un método gráfico para el análisis de reticulados planos. Su aplicación es menos frecuente que los métodos gráficos anteriormente referidos. 17. MÉTODO DE HENNEBERG Es un método para el análisis de estructuras planos de nudos articulados de una cierta complejidad y que no pueden resolverse mediante el método de los Nudos, el método de las Secciones ó el método de Cremona, por la existencia de una hiperestaticidad como puede ser una barra superabundante. Consiste fundamentalmente en sustituir las barras hiperabundantes por sistemas de dos fuerzas unitarias iguales pero de sentido contrario.

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18. MÉTODO DE OSTENFELD Es un método que se puede utilizar para el análisis de estructuras aporticadas con vínculos laterales que fue inicialmente expuesto por Alex Bendixen en 1914 y desarrollado posteriormente por Ostenfeld en 1926. 19. MÉTODO DE CONDICIONES DE CONTORNO Es un método interesante por cuanto relaciona la existencia de vínculos hiperestáticos exteriores con las condiciones de deformación que implican, siendo por tanto un método que ayuda a comprender el comportamiento físico de las estructuras. 20. MÉTODO MATRICIAL La metodología matricial supone el aprovechamiento de la capacidad operativa del ordenador, de forma que el trabajo matemático de resolución de un sistema de ecuaciones, utilizando los planteamientos de finales del siglo XIX, se traslada al ordenador. Así, un procedimiento matemático que inicialmente era prácticamente inabordable se convierte, por el avance de los ordenadores, en metodología útil y de precisión. La metodología matricial es aplicable a la totalidad de las estructuras planas, superficiales y espaciales de nudos articulados, rígidos o mixtos, razón por la cual es prácticamente imprescidible actualmente. 21. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Existe un conjunto de estructuras que matemáticamente no son resolubles mediante una ecuación diferencial integrable ni se puede resolver su integración por métodos numéricos. Es decir que no se puede obtener una ecuación diferencial, bien por que presentan en todas las dimensiones el mismo orden o por la aparición de problemas locales donde se produce un régimen de tensiones totalmente diferente al de una viga apoyada. Para la resolución de estas tipologías estructurales es para lo que es útil el método de los elementos finitos. El método de los elementos finitos (F.E.M.) aparece recientemente y tiene un basamento en la metodología matricial, en el principio de trabajos virtuales y en el método de condiciones de contorno, presentando un método para el análisis del comportamiento de elementos superficiales y volumétricos. Su aplicación intenta plantear procedimientos de cálculo para elementos continuos, de forma que puedan tenerse criterios de análisis en el dimensionamiento de tales elementos estructurales.

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El Método de los Elementos Finitos tiene su origen en las necesidades de la industria aeronáutica, donde los fuselajes y otros elementos resistentes precisan de una optimización de las relaciones resistencia-peso y ello conlleva a formas especiales para cuyo análisis estructural el M.E.F. es fundamental. Así la formulación del M.E.F. puede ser atribuida a los ingenieros de la Boeing : Turner, Clough, Martín y Top en su artículo : " Stiffness and deflection análisis of complex structures " juntamente con Argyris en su publicación: " Energy theorems and structural análisis " Otros autores que destacan en el desarrollo del Método de los Elementos Finitos fueron Melosh, Gallager, Strome y Hurty, aunque será el planteamiento que realiza Zienkiewick-Cheung el que puede considerarse como definitivo por cuanto establece la operatoria del M.E.F. y los fundamentos matemáticos del método.

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2.1-Principios. Teoremas. Métodos| 2.2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados | 2.3.- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos | 2.4.- El cálculo de emparrillados y estructuras especiales | 2.5.- Actividades | 2.6.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.-Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 2.1.- Principios. Teoremas. Métodos | 2.2-El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados| 2.3.- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos | 2.4.El cálculo de emparrillados y estructuras especiales | 2.5.- Actividades | 2.6.- Ejercicios de autoevaluación | 2 .2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados

1. INTRODUCCIÓN 2. EL EQUILIBRIO ESTATICO EN ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS ARTICULADOS 3. ESQUEMA GENERAL DEL CÁLCULO DE LAS ESTRUCTURAS ARTICULADAS

Estructura de barras de nudos articulados próxima a Hipercor Aljarafe (Sevilla)

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

Algunos ejemplos de estructuras planas de nudos articulados

1. INTRODUCCIÓN Las estructuras planas y espaciales están formadas por barras que son sólidos rígidos, desde un punto de vista del análisis de los esfuerzos exteriores que las solicitan, en cuanto a la aplicación del equilibrio estático. No obstante lo anterior sabemos que las barras que forman tales estructuras planas y espaciales no son sólidos rígidos, desde el punto de vista de su solicitación interior, sino que cumplen las leyes de la Elasticidad y de la Resistencia de Materiales. Ello puede suponer una contradicción en cuanto a la naturaleza de las barras que componen una estructura plana o espacial de barras, pero tal contradicción es sólo aparente. Una estructura, conjunto de barras, se deforma y por tanto hemos de analizarla también en sus deformaciones, pero en algunos aspectos podemos considerarla como un sólido rígido y susceptible de aplicársele las leyes del equilibrio estático propias de la Mecánica del sólido rígido. Existen muchas tipologías estructurales y formas de clasificarlas. En nuestro caso, que nos orientamos hacia el cálculo de estructuras, parece lógico comenzar a estudiar las estructuras de barras con nudos articulados y cargas en los nudos por lo que ello supone de simplificación en los cálculos. Posteriormente pasaremos al análisis de las estructuras que exigen un mayor conjunto de conocimientos y metodologías de cálculo.Aquí nos vamos a referir a estructuras de barras rectas, que son la gran mayoría, de manera que quedan excluidas otras formas como los arcos, etc.

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En el caso de la figura anterior hemos representado una estructura espacial para una cubierta, formada por módulos piramidales de base cuadrada, estando dichos módulos constituidos por barras articuladas. En esta tipología estructura es muy importante el diseño de las uniones, para conseguir formar nudos con la adecuadas características, desde el punto de vista del comportamiento estructural y desde el punto de vista del montaje de dichas estructuras.

En el caso de la figura siguiente hemos representado una estructura tipo viga espacial formada por módulos piramidales de base cuadrada, estando dichos módulos constituidos por barras articuladas.

2. EL EQUILIBRIO ESTATICO EN ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS ARTICULADOS En este tema que hace referencia a una introducción al cálculo de estructuras de las diferentes tipologías estructurales vamos a desarrollar las formas de aplicación del equilibrio estático, conectando aspectos de la Estática del sólido rígido, analizados previamente en Mecánica, con el Cálculo de Estructuras de barras planas. Nos vamos a referir en este apartado a estructuras que están contenidas en un plano, lo cual implica que las barras que forman la estructura se encuentran en dicho plano y las fuerzas que actúan sobre los nudos también. Vamos a utilizar el equilibrio estático para el cálculo de las vinculaciones exteriores o reacciones, así como también para la obtención de esfuerzos en barras, mediante equilibrio estático en nudos. Al plantear el equilibrio estático a una estructura plana de nudos articulados la vamos a tratar como un sólido rígido que está sometido a un sistema de fuerzas y de pares de fuerzas en el plano de la estructura.

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Las estructuras que estamos tratando se encuentran por tanto en un plano vertical sometidas a cargas que también se encuentran en dicho plano, como sucede con las cargas gravitatorias y sobrecargas de uso, nieve y viento, es decir son muy frecuentes ya que corresponden a tal tipología los pórticos planos, habitualmente calculados tanto en edificación arquitectónica como industrial. Un aspecto muy importante a resaltar es que las ecuaciones de equilibrio estático se cumplen siempre, tanto si la estructura es isostática como si es hiperestática, tanto si está la estructura contenida en un único plano, como si es una estructura espacial. Lo anterior se produce dado que cualquier sólido ó conjunto de sólidos sea rígido o elástico, que no sufre variación en su sistema inercial es debido a que está sometido a un sistema de fuerzas y momentos, de resultante y momento resultante cero, lo cual no quiere decir que no haya fuerzas y momentos. Es importante resaltar que si la estructura es hiperestática ( presenta un número de vínculos exteriores superior a tres, en el caso de estructura plana que nos ocupa) necesitaremos para calcular sus reacciones en apoyos, además de las ecuaciones de equilibrio estático, otras relativas al comportamiento propio de la estructura, como son las condiciones de deformación Por tanto, sólo en el caso de estructuras isostáticas exteriores, con el equilibrio estático aplicado al conjunto de la estructura podemos calcular las reacciones en su vinculación Podemos decir que en el caso de estructuras hiperestáticas las ecuaciones de equilibrio estático son necesarias para el cálculo de las reacciones, pero no suficientes, tal y como sucede en el caso de estructuras isostáticas. 1. APLICACIÓN AL CONJUNTO DE LA ESTRUCTURA En esta forma de aplicación del equilibrio estático estamos expresando que la estructura plana, entendida en su conjunto, ni se desplaza en las dos direcciones x,y que definen un plano ni gira alrededor de un eje z perpendicular al plano x,y referido anteriormente. Por ello podemos plantear las ecuaciones de equilibrio estático en el plano, que denominaremos xy, donde se encuentra el sistema de barras y el sistema de cargas, entendiendo aquí incluidas las reacciones, que solicitan a la estructura objeto de estudio.

En el caso de la figura anterior nos sirve para la determinación de reacciones, en las vinculaciones exteriores, que son : Dx = 0; Dy = 2500 Gx = 0; Gy = 2500 Denominamos Fi,x , Fi,y a las fuerzas genéricas de acción , en ejes x e y respectivamente y análogamente Ri,x , Ri,y a las fuerzas genéricas de reacción. Siendo MAP el momento respecto a un punto genérico P, de las fuerzas y momentos de acción y MRP el momento respecto a un punto genérico P, de las fuerzas y momentos de reacción, tendremos

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Vemos que se pueden plantear las tres ecuaciones de equilibrio correspondientes a:   

Equilibrio de fuerzas en eje x. Equilibrio de fuerzas en eje y. Equilibrio de momentos en eje z.

2. APLICACIÓN A PARTES DE LA ESTRUCTURA Nos referimos aquí al método de las secciones, desarrollado por Ritter. Aunque basado solamente en las nociones de equilibrio estático, razón por la que podría ser considerado como un simple procedimiento, su utilidad al permitir simplificar el cálculo de axiles en barras de estructuras de nudos articulados, con cargas puntuales en los nudos, hizo popular tanto al método como a su autor. Tiene la virtud de permitir un tratamiento más rápido del análisis de las barras de una estructura, en comparación con los métodos de Cremona y de los nudos, especialmente cuanto más barras tenga la estructura.Aporta Ritter un procedimiento, basado en el Principio de liberación, para obtener los axiles en determinadas barras de una estructura isostática de nudos articulados, de forma que se agiliza el cálculo de las barras que se pueden estimar como críticas en una estructura. Consiste en "seccionar" (de forma imaginaria) la estructura completa a través de tres barras, sustituyendo el resto de la estructura por su acción sobre la misma, que corresponderá a los axiles en dichas tres barras.Resulta así un conjunto parcial de barras que constituye una parte de la estructura a la cual le aplicamos las ecuaciones de equilibrio estático entre fuerzas exteriores y axiles, a un lado de la sección considerada Es de utilidad siempre que se quiera calcular el valor de un axil en una barra de una estructura articulada isostática, exclusivamente, sin tener que calcular el conjunto de las barras de la estructura y siempre que previamente hallamos calculado las reacciones ó vinculaciones exteriores de dicha estructura isostática. Por tanto podemos calcular los valores críticos, en cordones inferiores y superiores, de una estructura de barras articuladas, tales como cerchas y vigas de celosía, de forma más rápida que con Cremona o con el Método de los Nudos y de ahí exclusivamente la popularidad del método Curiosamente Ritter aporta otro método sobre deformaciones en barras por la aplicación de un momento en su extremo, utilizado posteriormente por Cross para su método de propagación de momentos, muy poco referido y utilizado, aunque de mayor mérito científico que el de las secciones La aplicación del equilibrio estático a una parte de la estructura es un método totalmente general y que se corresponde con el planteamiento de que si un conjunto de sólidos está en equilibrio, cualquier subconjunto de sólidos que lo constituyen deberá estar necesariamente en equilibrio también Este método obliga a comprender la aplicación del principio de liberación sustituyendo el resto de las barras, por su acción sobre la parte a la que vamos a aplicar el equilibrio estático Es necesario, para que pueda ser resoluble el sistema de ecuaciones que se derivan de la aplicación del equilibrio estático, el que sólamente haya tres incógnitas, en este caso axiles, para estructuras planas de nudos articulados, con cargas en los nudos. Al aplicarse a estructuras isostáticas planas de nudos articulados es necesario que solamente haya tres reacciones escalares a determinar, para que presente solución el problema de determinación del sistema de reacciones. En el gráfico que sigue puede verse la forma de aplicación del método de Ritter. Las barras en azul se encuentran solicitadas a tracción y las barras en rojo a compresión.

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3. A NUDOS, tal y como lo hace analíticamente el método de los Nudos y gráficamente el método de Cremona. El método de Cremona ha sido muy utilizado, por su sencillez operatoria y conceptual y por ser más prolijo el método analítico de los nudos. Además el método de Cremona permite una cierta revisión acerca de los resultado parciales que se van obteniendo, más compleja de realizar que con el método de los nudos. La utilización de las calculadoras de un cierto nivel ya solucionó considerablemente el problema de la operatoria del método de los nudos y ello supuso un cierto detrimento de los métodos gráficos, en beneficio de los métodos analíticos. En cualquier caso existen una serie de limitaciones de estos métodos derivadas de las posibilidades que permite el planteamiento del equilibrio en un punto y por ello sólo podemos resolver nudos en los que existan únicamente dos incógnitas. Calculamos mediante estos métodos de Cremona y de los Nudos estructuras isostáticas interiores y exteriores, trianguladas y resueltas generalmente mediante mallas belga, americana, inglesa, ... normalmente realizadas utilizando perfiles laminados.

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En la figura anterior puede verse la aplicación del método de Cremona a una cercha de una nave industrial, para el cálculo de los axiles derivados de la acción de las cargas gravitatorias y las cargas de viento. A efectos de los métodos de los Nudos y de Cremona, las barras que forman estas estructuras planas de nudos articulados con cargas en los nudos están sometidas únicamente a axiles, sin solicitaciones por cortantes ni flectores, razón por la que su solicitación es solamente la de tracción o compresión simple. Ello supone una cierta simplificación que es considerada permisible ya que, en realidad, los elementos de unión en nudos son cartelas y no articulaciones y ello supone un cierto grado de empotramiento en las barras, ya que no se permite el giro libre de los extremos de las barras. 4. A BARRAS Ello nos permite pasar del equilibrio en nudos (fuerzas) a las solicitaciones en las barras (axiles de tracción o compresión). Hemos de referir que el planteamiento del equilibrio de las barras nos permite el análisis de las solicitaciones cuando hay cargas en barras, fuera de los nudos No obstante lo anterior, en estructuras articuladas, la solicitación más utilizada es la de cargas puntuales en nudos y habremos de reducir, con suficiente nivel de aproximación, los casos de cargas distribuidas a tal tipo de solicitación. 5. EN VINCULOS INTERIORES Nos referimos aquí al caso que se produce cuando en estructuras articuladas trianguladas hay un vínculo puntual, de forma que entre dos estructuras isostáticas interiores, hay un vínculo interior, que es generalmente una articulación, una rótula, de forma que podríamos decir que el conjunto está formado por dos subconjuntos de barras vinculados entre sí.

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En la figura anterior podemos ver en el nudo B una vinculación interior entre las dos barras, de forma que aparece un conjunto de fuerzas Fb y -Fb de resultante nula, como corresponde a una vinculación interior. Cuando planteamos el equilibrio estático al conjunto de la estructura no podemos obtener el valor de los vínculos interiores, ya que una característica de tales vínculos es el de ser de resultante nula. Por lo anterior, para poder obtener el valor de tales vínculos interiores tenemos que aplicar correctamente el Principio de Liberación para plantear el equilibrio estático a cada subconjunto. También puede existir este vínculo interior, una rótula, en una estructura porticada, de estructura de nudos rígidos, como es el caso de los pórticos de tres articulaciones. En tales articulaciones se produce el hecho de que el momento flector, debido a las solicitaciones exteriores, por las propias características de las rótulas en secciones es nulo. Dichas rótulas permiten el giro entre las secciones, de forma que no se produce continuidad de la tangente de la elástica en tal punto. Finalmente quisiera resaltar la importancia de una aplicación correcta del equilibrio estático a las estructuras planas de nudos articulados, de forma que las ecuaciones matemáticas resultantes no sean una combinación lineal de otras (lo cual haría inútil o redundante a tales ecuaciones) sino ecuaciones independientes entre sí y por tanto válidas para obtener una solución.

3. ESQUEMA GENERAL DEL CÁLCULO DE LAS ESTRUCTURAS ARTICULADAS Nos vamos a referir en este apartado desde un punto de vista general al conjunto de operaciones o de etapas que componen el cálculo de una estructura plana o espacial de barras de nudos articulados. Las fases del cálculo son las siguientes: 1. Determinación del sistema de cargas exteriores En esta fase hemos de definir el sistema de cargas (fuerzas en nudos) que actúan sobre la estructura e identificar las vinculaciones, las condiciones de deformación impuestas, etc. Para ello es necesario un conocimiento no sólo estructural sino constructivo que ayude a definir el sistema de acciones más similar a la forma de trabajo de la estructura, de forma que la simplificación que hemos de introducir cuando definimos un sistema de cargas sea la más idónea. 2. Definición de la estructura En esta fase hemos de definir la forma ( topología de la estructura ), las secciones de las barras que la forman y el material de dichas barras. 3. Obtención de los axiles en barras En esta fase hemos de obtener los axiles (tracción - compresión ) que actúan en las barras que forman la estructura, mediante la aplicación de una serie de principios, teoremas y métodos que iremos viendo a lo largo del desarrollo del programa de la asignatura. La metodología matricial, por ejemplo, constituye un camino para ello. 4. Cálculo de las deformaciones en nudos En esta fase hemos de calcular las deformaciones que se van a producir en los nudos de la estructura, como consecuencia de la actuación del sistema de cargas, por ejemplo mediante la metodología matricial. 5. Comprobaciones y optimización En esta última fase habremos de efectuar las comprobaciones convenientes acerca de:  

Las tensiones que se producen en las barras que deben ser inferiores a la capacidad de resistencia del material. Las deformaciones que han de quedar por debajo de unos límites admisibles.Hemos de ajustar el dimensionamiento de las barras de forma que los valores de las secciones sean suficientes para resistir los esfuerzos pero que no se desperdicie material. Al proceso de ajuste del dimensionamiento es a lo que nos referimos como optimización.

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2.1.- Principios. Teoremas. Métodos | 2.2-El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados| 2.3.- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos | 2.4.El cálculo de emparrillados y estructuras especiales | 2.5.- Actividades | 2.6.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.-Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 2.1.- Principios. Teoremas. Métodos | 2.2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados | 2.3-El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos| 2.4.- El cálculo de emparrillados y estructuras especiales | 2.5.- Actividades | 2.6.- Ejercicios de autoevaluación | 2 .3.- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos

1. INTRODUCCIÓN 2. EL EQUILIBRIO ESTATICO EN ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS RIGIDOS 3. ESQUEMA GENERAL DEL CÁLCULO DE LAS ESTRUCTURAS DE NUDOS RÍGIDOS

Estructura de nudos rígidos en el Polígono El Manchón - Tomares - (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Los conceptos generales desarrollados en el apartado anterior, referentes a la aplicación del equilibrio estático para el cálculo de las estructuras de barras de nudos articulados son válidos en el caso que nos ocupa ahora: estructuras de barras de nudos rígidos. No obstante se producen una serie de peculiaridades que justifican un tratamiento diferenciado de ambas tipologías estructurales, por cuanto en las estructuras de barras de nudos articulados, con cargas en los nudos, solamente se producen en las barras solicitaciones por axiles (tracción o compresión simple) mientras que en las estructuras de nudos rígidos las barras se encuentran sometidas a axiles pero también a cortantes, a flectores y a torsores. Los nudos así como las barras y conjuntos de barras que forman estas estructuras de barras de nudos rígidos deberán cumplir las leyes del equilibrio estático, en cuanto constituyen elementos, sólidos y conjuntos de sólidos sometidos a sistemas de fuerzas y de momentos tales que sus posicionamientos son invariables en el tiempo (lo que implica sistemas inerciales nulos) y ello implica que la resultante y momento resultante de tales sistemas han de ser cero. Como hemos referido en el apartado anterior las barras que forman las estructuras no son sólidos rígidos, desde el punto de vista de su solicitación interior, sino que cumplen las leyes de la Elasticidad y de la Resistencia de Materiales y por ello mientras que en el caso de barras sometidas a axiles las deformaciones que se producen son solamente de alargamiento y acortamiento, en el caso de barras sometidas a flectores y torsores, se producirán también deformaciones de flexión y torsión. Insistimos en que una estructura, conjunto de barras, se deforma y por tanto hemos de analizarla no sólo

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desde el punto de vista de los esfuerzos sino también desde el punto de vista de las deformaciones, ahora bien en algunos aspectos podemos considerarla como un sólido rígido y susceptible de aplicársele las leyes del equilibrio estático propias de la Mecánica del sólido rígido. Vemos que las estructuras de barras de nudos rígidos presentan una mayor complejidad por ser mayor, que en el caso de las estructuras de nudos articulados, tanto el conjunto de solicitaciones en nudos, barras, conjuntos de barras, etc. como el conjunto de desplazamientos, deformaciones y arrastres que definen el comportamiento en deformación de tales estructuras. Aquí nos vamos a referir a estructuras de barras rectas, que son la gran mayoría, de manera que quedan excluidas otras formas como los arcos, etc.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

Algunos ejemplos de estructuras de nudos rígidos 2. EL EQUILIBRIO ESTATICO EN ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS RIGIDOS El equilibrio estático puede aplicarse en forma análoga a como hemos referido en el apartado anterior (estructuras planas de nudos articulados) para el caso que nos ocupa de estructuras planas de nudos rígidos. Lo anterior se produce dado que cualquier sólido ó conjunto de sólidos sea rígido o elástico, que no sufre variación en su sistema inercial es debido a que está sometido a un sistema de fuerzas y momentos, de resultante y momento resultante cero, lo cual no quiere decir que no haya fuerzas y momentos. 1. APLICACIÓN AL CONJUNTO DE LA ESTRUCTURA En una estructura como la que podemos ver en la figura siguiente formada por barras unidas entre sí mediante nudos rígidos y sometida a un conjunto de cargas distribuidas y puntuales en las barras, las vinculaciones exteriores que actúan son A1, A2 y A3 (empotramientos).

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Vamos a utilizar el equilibrio estático, que es en definitiva la expresión matemática de que no hay movimiento, debido a que el conjunto de fuerzas y momentos que actúan sobre la estructura presentan resultante y momento resultante de valor cero. Al plantear el equilibrio estático a esta estructura en su conjunto tendremos que: El número de ecuaciones que podemos plantear es de tres. El número de incógnitas es de nueve, tres en cada uno de los empotramientos (A1x, A1y, MA1, A2x, A2y, MA2, A3x, A3y, MA3 ). En esta forma de aplicación del equilibrio estático estamos expresando que la estructura plana de nudos rígidos, entendida en su conjunto, ni se desplaza en las dos direcciones x , y que definen un plano ni gira alrededor de un eje z perpendicular al plano x , y referido anteriormente. En cada empotramiento tendremos una fuerza de cualquier dirección, en el plano (dos componentes - x , y -) y un momento en el eje z. La estructura que estamos tratando se encuentra en un plano vertical sometida a cargas que también se encuentran en dicho plano, como sucede con las cargas gravitatorias que actúan en los forjados de las edificaciones arquitectónicas. Un aspecto muy importante a resaltar es que la diferencia entre las ecuaciones aplicadas al conjunto de la estructura y el número de incógnitas (en el sistema de fuerzas y momentos de reacción) determina el número de incógnitas hiperestáticas exteriores, que en el caso de la estructura de la figura anterior es de seis. La estructura de la figura anterior es por tanto hiperestática de grado seis y necesitaremos para calcular sus reacciones en apoyos, además de las ecuaciones de equilibrio estático, otras relativas al comportamiento propio de la estructura, como son las condiciones de deformación. Por tanto, sólo en el caso de estructuras isostáticas exteriores (tres incógnitas en las reacciones para el caso de estructuras planas), con el equilibrio estático aplicado al conjunto de la estructura podemos calcular las reacciones en su vinculación y por ello podemos decir que en el caso de estructuras hiperestáticas las ecuaciones de equilibrio estático son necesarias para el cálculo de las reacciones, pero no suficientes, tal y como sucede en el caso de estructuras isostáticas. Denominamos Fi a una fuerza genérica y Ri a una reacción igualmente genérica. Siendo M AP el momento respecto a un punto genérico P, de las fuerzas y momentos de acción y M RP el momento respecto a un punto genérico P, de las fuerzas y momentos de reacción, se cumplirá que:

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Vemos que se pueden plantear las tres ecuaciones de equilibrio correspondientes a:   

Equilibrio de fuerzas en eje x. Equilibrio de fuerzas en eje y. Equilibrio de momentos en eje z.

Vemos que el planteamiento del equilibrio estático al conjunto de la estructura no soluciona en la mayoría de los casos de estructuras de nudos rígidos, la determinación del sistema de vinculaciones exteriores. Por ejemplo en el caso de la estructura de la figura siguiente, tenemos seis incógnitas de vinculación exterior y tres ecuaciones de equilibrio ( el grado de hiperestaticidad exterior es : 3 = 6 - 3 ).

Necesitaremos un método de cálculo de estructuras hiperestáticas para poder determinar las solicitaciones en la estructura de la figura, aparte de las ecuaciones que se derivan de plantear el equilibrio estático al conjunto de la estructura. Determinadas condiciones de deformación impuestas implican la existencia de vinculaciones exteriores, de manera que el grado de hiperestaticidad de esta estructura sería mayor, si por ejemplo consideramos la estructura como intraslacional ya que habría que añadir las condiciones de deformación impuestas al grado de hiperestaticidad que se deduce de la vinculación. En la figura siguiente representamos las solicitaciones de vinculación exterior R1 y R2 que se producen en los nudos D y E, para que la estructura sea intraslacional.

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2. APLICACIÓN A PARTES DE LA ESTRUCTURA La aplicación del equilibrio estático a una parte de la estructura es un método totalmente general y que se corresponde con el planteamiento de que si un conjunto de sólidos está en equilibrio, cualquier subconjunto de sólidos que lo constituyen deberá estar necesariamente en equilibrio también. Este método obliga a comprender la aplicación del principio de liberación sustituyendo el resto de las barras, por su acción sobre la parte a la que vamos a aplicar el equilibrio estático. En el gráfico anterior hemos reflejado una parte de la interacción que se produce entre diferentes barras de la estructura. En concreto se trata de poner de manifiesto la interacción de los pilares sobre las vigas, desde el punto de vista de las solicitaciones horizontales sobre dichas vigas y por ello, en este caso, lo que se estudia en dicho gráfico es el equilibrio horizontal de las vigas de la estructura. Aprender a plantear el equilibrio estático a diferentes elementos o partes de una estructura es muy importante para comprender el comportamiento físico de las vinculaciones que actúan sobre las estructuras. De forma análoga a como se plantea en la figura anterior la interacción, en cuanto a los esfuerzos horizontales, de los pilares sobre las vigas, con vistas a determinar las vinculaciones horizontales, en D y E, podemos plantear la interacción de las vigas sobre los pilares, en B, C, D y E, para obtener los valores de las vinculaciones verticales en A y F. 3. APLICACIÓN A NUDOS DE LA ESTRUCTURA En un nudo de una estructura de nudos rígidos habrá de producirse no solamente el equilibrio de las fuerzas en las dos direcciones que definen el plano ( x , y ) sino que además habrá de producirse equilibrio en momentos (en dirección z perpendicular al plano x,y ).

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Ello es debido a que en los extremos de las barras que confluyen en los nudos existen momentos no nulos, en contraposición al caso de estructuras de nudos articulados con cargas en los nudos en que solamente hay fuerzas derivadas de los axiles. En la figura anterior vemos que la suma de los momentos en los extremos de barras que confluyen en un nudo debe ser cero, como consecuencia del equilibrio en momentos. Sin embargo, pueden existir nudos mixtos como podemos ver en la figura siguiente donde por ejemplo en el nudo H confluyen las barras i , j , g y l . Las barras i , l y g constituyen un nudo de empotramiento elástico (lo que habitualmente denominamos como nudo rígido) mientras que la barra j se articula en el nudo H. Por tanto tenemos una diferente forma de constituir el nudo H por cuanto habrá de producirse:





Equilibrio de momentos entre las barras i , l y g de forma que la suma de los momentos de los extremos de las barras que confluyen en dicho nudo sea cero. Equilibrio de fuerzas entre las barras i , l , j y g de forma que la suma de las fuerzas que confluyen en dicho nudo, como consecuencia de las solicitaciones por axil y cortante en dichas barras, sea cero.

4. APLICACIÓN A BARRAS DE LA ESTRUCTURA

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En la figura anterior estamos representando el equilibrio estático que se produce en la viga CD de una de las estructuras que estamos utilizando como referencia, punto 1, tomando los valores del Diagrama de Flectores. Planteando el equilibrio estático a la barra CD podemos obtener el valor de Vc y de Vd. Realizando el procedimiento en todas las barras de la estructura podemos obtener el Diagrama de Cortantes, que vemos en la figura siguiente, partiendo del Diagrama de Flectores y de las cargas que actúan sobre la estructura. Finalmente quisiera resaltar la importancia de una aplicación correcta del equilibrio estático a las estructuras planas de nudos rígidos, de forma que una vez obtenido el Diagrama de Flectores, la aplicación adecuada del equilibrio estático a parte de la estructura y a las barras nos permitirá obtener tanto los Diagramas de Cortantes como los Diagramas de Axiles. También la aplicación del equilibrio estático a partes de la estructura nos permitirá obtener las Reacciones en los apoyos de la misma y en otras vinculaciones exteriores de la estructura. De ahí la importancia de la aplicación del equilibrio estático en forma adecuada ya que, si sabemos aplicarlo, podemos obtener gran cantidad de información acerca de las solicitaciones sobre las secciones de las barras de la estructura y sobre el sistema de fuerzas y momentos de reacción, mientras que si lo aplicamos mal no podremos sino obtener un conjunto de ecuaciones redundantes.

3. ESQUEMA GENERAL DEL CÁLCULO DE LAS ESTRUCTURAS DE NUDOS RÍGIDOS

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Nos vamos a referir en este apartado desde un punto de vista general al conjunto de operaciones o de etapas que componen el cálculo de una estructura plana o espacial de barras de nudos rígidos. En primer lugar hemos de precisar que los nudos denominados como rígidos no presentan la característica esencial de la rigidez ( que es la ausencia de deformación alguna ) sino que permiten un giro y un desplazamiento, razón por la que hemos de entender que la denominación de tales nudos no es la más adecuada sino la de nudos de empotramiento elástico. Un empotramiento elástico es aquel en que, a diferencia del empotramiento perfecto, se produce un giro proporcional al momento que lo solicita. Sabemos que en el empotramiento perfecto no se produce giro alguno y frente al momento de acción que lo solicite aparece un momento de reacción tal que se produce el equilibrio. No obstante seguiremos utilizando tal denominación ( nudo rígido ) con la salvedad anterior debido a que es una denominación muy extendida. Las fases del cálculo de una estructura de barras de nudos rígidos son las siguientes: 1. Determinación del sistema de cargas exteriores En esta fase hemos de definir el sistema de cargas que a diferencia del caso de estructuras de nudos articulados es más complejo (fuerzas y momentos en barras y en nudos, cargas puntuales y distribuidas ) que actúan sobre la estructura e identificar las vinculaciones, las condiciones de deformación impuestas, etc. Para ello es necesario un conocimiento no sólo estructural sino constructivo, con más razón en esta tipología estructural y especialmente en el caso de estructuras espaciales, que ayude a definir el sistema de acciones más similar a la forma de trabajo de la estructura, de forma que la simplificación que hemos de introducir cuando definimos un sistema de cargas sea la más idónea. 2. Definición de la estructura En esta fase hemos de definir la forma ( topología de la estructura ), las secciones de las barras y además las propiedades de Inercia ( Ix , Iy , Ip ) como veremos en las aplicaciones prácticas. Vemos que la definición de la estructura es más completa que en el caso de estructuras de nudos articulados con cargas en los nudos. 3. Obtención de los axiles, cortantes, flectores y torsores en barras En esta fase hemos de obtener no sólo los axiles (tracción - compresión) que actúan en las barras que forman la estructura, sino que además hemos de obtener los diagramas de cortantes y flectores para el caso de estructuras planas. En el caso de estructuras espaciales tendremos la complejidad añadida de la flexión en dos ejes y la actuación de los torsores. Vemos por tanto que la fase de cálculo de solicitaciones que habremos de resolver mediante los principios, teoremas y métodos que iremos viendo a lo largo del desarrollo del programa de la asignatura es más compleja debido a las características de esta tipología estructural, especialmente cuando nos referimos a estructuras espaciales. 4. Cálculo de las deformaciones en nudos En esta fase hemos de calcular las deformaciones que se van a producir en los nudos de la estructura, como consecuencia de la actuación del sistema de cargas, por ejemplo mediante la metodología matricial. El vector de movimientos que se va a producir en cada uno de los nudos de una estructura, por la acción de las cargas que actúan en dichos nudos, será de dimensiones: 3x1 en el caso de estructuras planas. 6x1 en el caso de estructuras espaciales. 5. Comprobaciones y optimización

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En esta última fase habremos de efectuar las comprobaciones convenientes acerca de: 



Las tensiones que se producen en las barras que deben ser inferiores a la capacidad de resistencia del material. Las deformaciones que han de quedar por debajo de unos límites admisibles.

Hemos de ajustar el dimensionamiento de las barras de forma que los valores de las secciones sean suficientes para resistir los esfuerzos pero que no se desperdicie material. Al proceso de ajuste del dimensionamiento es a lo que nos referimos como optimización. En líneas generales hemos de indicar que la mayor complejidad de esta tipología estructural, frente a la tipología de nudos articulados, hace que el cálculo de estructuras espaciales de nudos rígidos sea bastante más difícil.

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2.1.- Principios. Teoremas. Métodos | 2.2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados | 2.3-El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos| 2.4.- El cálculo de emparrillados y estructuras especiales | 2.5.- Actividades | 2.6.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.-Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 2.1.- Principios. Teoremas. Métodos | 2.2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados | 2.3.- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos | 2.4-El cálculo de emparrillados y estructuras especiales| 2.5.- Actividades | 2.6.Ejercicios de autoevaluación | 2 .4.- El cálculo de emparrillados y estructuras especiales

1. INTRODUCCIÓN 2. EL EQUILIBRIO ESTÁTICO EN EMPARRILLADOS 3. ESQUEMA GENERAL DEL CÁLCULO DE LOS EMPARRILLADOS

Vista general del Puente de la Barqueta - Sevilla -

1. INTRODUCCIÓN Los conceptos generales desarrollados en los apartados anterior, referentes a la aplicación del equilibrio estático para el cálculo de las estructuras de barras de nudos articulados y rígidos son válidos en el caso que nos ocupa ahora: emparrillados. No obstante se producen una serie de peculiaridades que justifican un tratamiento diferenciado de los emparrillados. En las estructuras de barras de nudos articulados, con cargas en los nudos, solamente se producen en las barras solicitaciones por axiles (tracción o compresión simple) mientras que en las estructuras planas de nudos rígidos las barras se encuentran sometidas a axiles pero también a cortantes y a flectores. Los emparrillados presentan todas sus barras contenidas en un mismo plano a semejanza de las estructuras planas de nudos rígidos, pero se producen las siguientes particularizaciones: 1. En cuanto a las cargas que actúan sobre las estructuras de barras de nudos rígidos, éstas se encuentran en un mismo plano mientras que en el caso de las estructuras de emparrillados las cargas que actúan están fuera de dicho plano. 2. En los emparrillados, que son estructuras contenidas en un plano de nudos rígidos si las cargas son perpendiculares al plano del emparrillado, se producen en las barras

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solicitaciones por cortantes, flectores y torsores.

Los nudos así como las barras y conjuntos de barras que forman estas estructuras de emparrillados, que son de nudos rígidos, deberán cumplir las leyes del equilibrio estático, en cuanto constituyen elementos, sólidos y conjuntos de sólidos sometidos a sistemas de fuerzas y de momentos tales que sus posicionamientos son invariables en el tiempo (lo que implica sistemas inerciales nulos) y ello implica que la resultante y momento resultante de tales sistemas han de ser cero. Como hemos indicado en otros apartados las barras que forman las estructuras no son sólidos rígidos, desde el punto de vista de su solicitación interior, sino que cumplen las leyes de la Elasticidad y de la Resistencia de Materiales y se deforman. Por ello en el caso de barras pertenecientes a emparrillados, el sistema de deformación que se produce como consecuencia de los sistemas de cargas perpendiculares al plano del emparrillado se concreta, en cada nudo de dicho emparrillado, en un desplazamiento perpendicular al plano y 2 giros, alrededor de dos ejes perpendiculares, contenidos en el plano del emparrillado. Los emparrillados presentan una complejidad mayor que la tipología de estructura plana de nudos rígidos con cargas contenidas en el plano de la estructura. Los nudos que existen en estas tipologías estructurales son del tipo de nudo rígido (embrochalado), de forma que no podemos confundir un emparrillado con un conjunto de barras en una dirección sobre la que apoya otro conjunto de barras en dirección perpendicular a la anterior y todas ellas coplanares. En este último caso no tendríamos nudos rígidos sino vínculos interiores de apoyo que implicarían solamente un reparto, entre las barras que confluyen en los nudos, de las cargas perpendiculares al plano. Sin embargo en el caso del emparrillado las características de los nudos rígidos del tipo embrochalado, permiten que al producirse un giro en el nudo en una dirección de las barras, se produzca torsión en dichas barras y flexión en las barras perpendiculares y al producirse un giro en la otra dirección perpendicular igualmente aparecerán solicitaciones de flexión y torsión. La característica fundamental de los emparrillados es precisamente el trabajo a cortante, flector y torsor de las barras que lo forman, mientras que en el caso de estructuras planas de nudos rígidos el trabajo es a axil, cortante y flector, no produciéndose torsión.

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La forma de esta tipología estructural y sus aplicaciones son muy diferentes al caso de estructuras planas de nudos rígidos y la diferencia fundamental se produce con el caso de barras que se cruzan, sin que se forme nudo rígido existiendo un vínculo interior de apoyo y en dicho caso las solicitaciones que se producen en las barras son solamente de flexión. Aunque la forma habitual de un emparrillado es la de la figura anterior, de barras en ejes x,z y cargas en y, coincidiendo con los ejes x,z de la estructura en su conjunto. Por diversas razones, referentes normalmente a la optimización de esta tipología estructural, en casos concretos puede diseñarse un emparrillado con barras en diagonal, como el de la figura que sigue donde se producen 45◙ entre los ejes x,z de las barras y los x,z de la estructura en su conjunto.

En la figura que sigue se representa la deformación estimada de los emparrillados anteriores que hemos denominado: 



Barras en x,y : Que se corresponde con la disposición más habitual de barras en un emparrillado, manteniendo las direcciones de la superficie que ocupa el emparrillado Barras en diagonal : Que se corresponde con la disposición de barras en un emparrillado, formando un ángulo (en diagonal), en nuestro caso 45◙, con las direcciones de la superficie que ocupa el emparrillado.

Desplazamiento en los nudos y deformación

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2. EL EQUILIBRIO ESTATICO EN EMPARRILLADOS El equilibrio estático puede aplicarse en forma análoga a como hemos referido en los apartados anteriores (estructuras planas de nudos articulados y de nudos rígidos) para el caso que nos ocupa de emparrillados. Lo anterior se produce dado que cualquier sólido ó conjunto de sólidos sea rígido o elástico, que no sufre variación en su sistema inercial es debido a que está sometido a un sistema de fuerzas y momentos, de resultante y momento resultante cero, lo cual no quiere decir que no haya fuerzas y momentos.

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En el gráfico anterior podemos ver un emparrillado vinculado mediante empotramientos, en la primera figura, y un emparrillado vinculado mediante articulaciones, apoyos libres, en la segunda figura. Las barras están vinculadas entre sí mediante nudos rígidos y el emparrillado está sometido a un conjunto de cargas puntuales en los nudos. Vamos a utilizar el equilibrio estático, que es en definitiva la expresión matemática de que no hay movimiento, debido a que el conjunto de fuerzas y momentos que actúan sobre la estructura presentan resultante y momento resultante de valor cero. Al plantear el equilibrio estático a esta estructura en su conjunto tendremos que: 1. El número de ecuaciones que podemos plantear es de tres. 2. El número de incógnitas será: Para el caso de las vinculaciones exteriores, mediante 8 empotramientos, tendremos: 8 x 3 = 24 incógnitas escalares, del sistema de fuerzas y momentos de reacción. Para el caso de las vinculaciones exteriores, mediante 8 apoyos libres, tendremos: 8 x 1 = 8 incógnitas escalares, del sistema de fuerzas de reacción. En esta forma de aplicación del equilibrio estático estamos expresando que en el emparrillado, entendido en su conjunto, tanto para el caso de vinculación con empotramientos, como para el caso de vinculación con apoyos libres, siempre que el sistema de cargas sea como el de la figura (en dirección y ) no se desplaza en la dirección y , ni gira alrededor del eje x , ni gira alrededor del eje z. En el caso de vinculación mediante empotramiento se impide también el desplazamiento en

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el eje x, el desplazamiento en el eje z y el giro alrededor del eje y, con lo que el sistema inercial será nulo (habrá estabilidad) sea cual sea el sistema de cargas que actúa sobre el emparrillado. La estructura que estamos tratando se encuentra en un plano horizontal sometida a cargas verticales, como sucede con las cargas gravitatorias que actúan, por ejemplo, en los forjados de las edificaciones arquitectónicas. Un aspecto muy importante a resaltar es que la diferencia entre las ecuaciones aplicadas al conjunto de la estructura y el número de incógnitas (en el sistema de fuerzas y momentos de reacción) determina el número de incógnitas hiperestáticas exteriores y por tanto además de las ecuaciones de equilibrio estático, tendremos que utilizar otras relativas al comportamiento propio de la estructura, como son las condiciones de deformación. Denominamos MAP el momento respecto a un punto genérico P, de las fuerzas y momentos de acción y MRP el momento respecto a un punto genérico P, de las fuerzas y momentos de reacción. Denominamos a una fuerza cualquiera Fi y a una reacción genérica Rj. Tendremos que el sistema de ecuaciones más genérico será el siguiente, que se corresponde con el caso de cargas cualesquiera y vinculación mediante empotramientos: Equilibrio en fuerzas:

Equilibrio en momentos:

En cuanto al planteamiento del equilibrio estático en partes de la estructura, nudos, etc. remitimos a apartados anteriores, como por ejemplo en estructuras planas de nudos rígidos. 3. ESQUEMA GENERAL DEL CÁLCULO DE LOS EMPARRILLADOS Nos vamos a referir en este apartado, desde un punto de vista general, al conjunto de operaciones o de etapas que componen el cálculo de un emparrillado. En primer lugar hemos de precisar que los nudos denominados como rígidos no presentan la

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característica esencial de la rigidez ( que es la ausencia de deformación alguna ) sino que permiten un giro y un desplazamiento. Un empotramiento elástico es aquel en que, a diferencia del empotramiento perfecto, se produce un giro proporcional al momento que lo solicita, que es lo que sucede en los nudos denominados como rígidos. Sabemos que en el empotramiento perfecto no se produce giro alguno y frente al momento de acción que lo solicite aparece un momento de reacción tal que se produce el equilibrio. No obstante seguiremos utilizando tal denominación ( nudo rígido ) con la salvedad anterior debido a que es una denominación muy extendida. Las fases del cálculo de una estructura de emparrillado son las siguientes: 1. Determinación del sistema de cargas exteriores En esta fase hemos de definir el sistema de cargas, que actúan sobre el emparrillado. Es conveniente que el sistema de cargas esté formado por cargas puntuales en nudos, perpendiculares al plano del emparrillado, ya que ello facilita considerablemente la operatoria del proceso. Por lo anterior, siempre que sea posible, asimilaremos las cargas que actúan sobre el emparrillado a un conjunto de cargas puntuales en nudos o distribuidas en barras, perpendiculares al plano del emparrillado. A diferencia de otros casos, como por ejemplo las estructuras de nudos articulados, en esta tipología estructural es más complejo el sistema de solicitaciones (axiles, cortantes, momentos flectores y momentos torsores), en barras y en los nudos pueden aparecer cualquier tipo de cargas, así como en barras, donde pueden existir tanto cargas puntuales como distribuidas. Por lo anterior es importante determinar el sistema de cargas que actúan sobre la estructura e identificar las vinculaciones, las condiciones de deformación impuestas, etc. y para ello es necesario un conocimiento no sólo estructural sino constructivo que ayude a definir el sistema de acciones más similar a la forma de trabajo de la estructura, de forma que la simplificación que hemos de introducir cuando definimos un sistema de cargas sea la más idónea. 2. Definición de la estructura En esta fase hemos de definir la forma ( topología de la estructura ), las secciones de las barras y además las propiedades de Inercia ( Ix , Iy , Ip ) como veremos en las aplicaciones prácticas. También tendremos que indicar los valores de E (Módulo de Young) y de G ( Módulo de deformación angular) . Vemos que la definición de la estructura es más compleja que en el caso de estructuras planas. 3. Obtención de los axiles, cortantes, flectores y torsores en barras En esta fase hemos de obtener, para todas las barras de la estructura, los diagramas de cortantes, flectores y torsores, para el caso de emparrillados con cargas perpendiculares al plano del emparrillado. Vemos, por tanto, que la fase de cálculo de solicitaciones que habremos de resolver mediante la aplicación de la metodología de cálculo matricial, tiene un margen de dificultad muy variable en esta tipología estructural, dependiendo de varios factores, como son : El sistema de cargas. La simetría en cargas, formas y dimensionamiento. Las vinculaciones exteriores.

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4. Cálculo de las deformaciones en nudos En esta fase hemos de calcular las deformaciones que se van a producir en los nudos de la estructura, como consecuencia de la actuación del sistema de cargas, mediante la metodología matricial. El vector de movimientos que se va a producir en cada uno de los nudos de un emparrillado, en el caso más sencillo de esta tipología estructural, cuando las cargas son puntuales en nudos, será de dimensiones 3x1. Hemos de resaltar que el emparrillado puede ser considerado como un tipo de estructura espacial de nudos rígidos y que en tal tipología estructural, el vector desplazamiento será de dimensiones 6x1, pero normalmente se intenta que se cumplan una serie de condiciones, como las hemos señalado anteriormente, para poder realizar un cálculo más sencillo de esta tipología estructural. 5. Comprobaciones y optimización En esta última fase habremos de efectuar las comprobaciones convenientes acerca de: - Las tensiones que se producen en las barras que deben ser inferiores a la capacidad de resistencia del material. - Las deformaciones que han de quedar por debajo de unos límites admisibles. Hemos de ajustar el dimensionamiento de las barras de forma que los valores de las secciones sean suficientes para resistir los esfuerzos pero que no se desperdicie material. Al proceso de ajuste del dimensionamiento es a lo que nos referimos como optimización. En líneas generales hemos de indicar que la mayor complejidad de esta tipología estructural, emparrillados, frente a la tipología de estructuras planas tanto de nudos articulados como rígidos, hace que el cálculo de estructuras de los emparrillados sea abordable, en la práctica, casi únicamente mediante el cálculo matricial.

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2.1.- Principios. Teoremas. Métodos | 2.2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados | 2.3.- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos | 2.4-El cálculo de emparrillados y estructuras especiales| 2.5.- Actividades | 2.6.Ejercicios de autoevaluación |

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Actividades

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.-Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 2.1.- Principios. Teoremas. Métodos | 2.2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados | 2.3.- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos | 2.4.- El cálculo de emparrillados y estructuras especiales | 2.5-Actividades| 2.6.- Ejercicios de autoevaluación | 2 .5.- Actividades

Se pueden realizar las siguientes actividades complementarias de los contenidos: 5.1. - Animación N◙2 : Procedimiento de cálculo de una estructura: sus fases Podemos ver en esta animación tanto el procedimiento general que denominamos cálculo de una estructura hiperestática como los factores que inciden. 5.2. - Animación N◙3 : Métodos de cálculo de estructuras. Niveles de aproximación. Idoneidad de su utilización Tratamos de poner de manifiesto en esta animación las diferentes características de los principales métodos de cálculo de estructuras. 5.3. - Repaso de conceptos previos para el cálculo de estructuras: a. Mecánicos: aplicación del equilibrio estático a pórticos de tres articulaciones, cerchas y vigas de celosía. Método de los nudos. Método de Ritter b. De elasticidad y resistencia de materiales: compatibilidad en deformaciones

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2.1.- Principios. Teoremas. Métodos | 2.2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados | 2.3.- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos | 2.4.- El cálculo de emparrillados y estructuras especiales | 2.5-Actividades| 2.6.- Ejercicios de autoevaluación |

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Ejercicios de autoevaluación

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.-Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 2.1.- Principios. Teoremas. Métodos | 2.2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados | 2.3.- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos | 2.4.- El cálculo de emparrillados y estructuras especiales | 2.5.- Actividades | 2.6-Ejercicios de autoevaluación| 2 .6.- Ejercicios de autoevaluación

Los contenidos de esta página se irán incorporando durante el transcurso de la asignatura

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2.1.- Principios. Teoremas. Métodos | 2.2.- El cálculo de estructuras de barras de nudos articulados | 2.3.- El cálculo de estructuras de barras de nudos rígidos | 2.4.- El cálculo de emparrillados y estructuras especiales | 2.5.- Actividades | 2.6-Ejercicios de autoevaluación|

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.-Introducción al cálculo matricial de estructuras 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 3.1.- Metodología: Concepto y ámbito de aplicación | 3.2.- Operatoria con matrices y determinantes, etc. | 3.3.- Matriz de rigidez, vector carga y vector desplazamiento | 3.4.- Aplicación al caso de barra isostática empotrada-libre | 3.5.Actividades | 3.6.- Ejercicios de autoevaluación | 3 .- Introducción al cálculo matricial de estructuras

    

OBJETIVOS RESUMEN DEL TEMA ÍNDICE DE CONTENIDOS RECORRIDOS BIBLIOGRAFÍA

RESUMEN DEL TEMA 3 El Tema N◙3 consta fundamentalmente de tres bloques de contenidos : Bloque N◙1 : Exponer en qué consiste la metodología matricial de cálculo de estructuras: método de la rigidez y método de la flexibilidad. En este bloque tratamos de exponer el concepto matemático que sustenta la metodología matricial, relacionándolo con los conocimientos de elasticidad, resistencia de materiales y teoría de estructuras. Como veremos en este tema para el cálculo de una estructura hiperestática necesitamos establecer una relación entre las cargas que actúan sobre dicha estructura y la deformación elástica que dichas cargas producen. En forma muy general podemos decir que la metodología matricial nos permite obtener para cada estructura su "ley de comportamiento" (relación carga-deformación). Bloque N◙ 2 : Concreción acerca de las matrices de rigidez y flexibilidad, así como acerca de los vectores carga y desplazamiento. Exponemos sus formas en base a diferentes aplicaciones y sus relaciones, de forma general y tratando de aportar una visión de conjunto, sin entrar en muchos detalles. Bloque N◙3 : Aplicación al caso de barra isostática empotrada-

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libre. Hacemos una aplicación de los conceptos anteriores al cálculo de la relación carga-desplazamiento que se produce en el extremo libre de una barra isostática empotrada-libre. Es el caso más sencillo que podemos utilizar para obtener la matriz de rigidez .

INDICE DE CONTENIDOS 1. Metodología: Concepto y ámbito de aplicación Estructuras planas de nudos articulados Estructuras planas de nudos rígidos con cargas en el mismo plano Estructuras espaciales de nudos articulados Emparrillados Estructuras espaciales de nudos rígidos 2. Operatoria con matrices y determinantes a aplicar en la metodología de cálculo matricial de estructuras 3. Matriz de rigidez, vector carga y vector desplazamiento 4. Aplicación al caso de barra isostática empotrada-libre 5. Actividades Se pueden realizar las siguientes actividades complementarias de los contenidos antes referidos. 5.1. Repaso de conceptos previos sobre: a. Álgebra matricial: Operaciones con matrices. Obtención de la matriz inversa. b. Resistencia de materiales: Análisis tipo sobre el comportamiento de las barras de directriz recta, según la resistencia de materiales. 6. Ejercicios de autoevaluación Realización de un conjunto de problemas sobre la obtención de la matriz de rigidez en diferentes barras de la tipología estudiada en este tema.

BIBLIOGRAFÍA PARA ESTE TEMA NIETO GARCÍA, E. (1998) Estructuras Arquitectónicas e Industriales: su cálculo ARGUELLES ÁLVAREZ, R. (1981) Cálculo de estructuras: Volúmen I TRABAJOS DE CURSO Asignatura: Cálculo de Estructuras. - E.U.P. - Sevilla Estudios comparativos de diferentes metodologías con el cálculo matricial. Cualquier texto sobre álgebra matricial

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NOTA: Se puede ver otra Bibliografía de interés sobre Cálculo matricial de estructuras en Recursos de profundización. Bibliografía apartado 4.7

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3.1.- Metodología: Concepto y ámbito de aplicación | 3.2.- Operatoria con matrices y determinantes, etc. | 3.3.- Matriz de rigidez, vector carga y vector desplazamiento | 3.4.- Aplicación al caso de barra isostática empotrada-libre | 3.5.Actividades | 3.6.- Ejercicios de autoevaluación |

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Metodología: Concepto y ámbito de aplicación

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.-Introducción al cálculo matricial de estructuras 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 3.1-Metodología: Concepto y ámbito de aplicación| 3.2.- Operatoria con matrices y determinantes, etc. | 3.3.Matriz de rigidez, vector carga y vector desplazamiento | 3.4.- Aplicación al caso de barra isostática empotrada-libre | 3.5.- Actividades | 3.6.- Ejercicios de autoevaluación | 3 .1.- Metodología: Concepto y ámbito de aplicación

1. INTRODUCCIÓN 2. METODOLOGÍA: CONCEPTO Y ÁMBITO DE APLICACIÓN

Detalle de una estructura espacial de módulos de pirámide de base cuadrada

1. INTRODUCCIÓN En el cálculo de estructuras de barras, nos encontramos con multitud de métodos de cálculo, lo que, a priori, puede generar confusión en aquellos estudiantes que se acercan por primera vez a esta disciplina de la teoría y el cálculo de estructuras, ya que no aciertan a comprender las diferentes características y aplicaciones de los métodos en cuestión. La existencia de los diferentes métodos de cálculo de estructuras de barras, se justifica por la variedad de tipologías estructurales que se pueden presentar, de manera que para una determinada tipología un método determinado será el más adecuado para obtener el resultado que se precisa. Es algo así como la elección de un determinado camino para llegar a

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un destino, en este caso el cálculo de la estructura concreta, de la manera más cómoda y corta, lo que supone una mejor y más eficiente utilización de la Teoría de estructuras. Es decir: la conveniencia del uso de uno u otro método, dependerá, en cada caso, de la estructura concreta que se quiera calcular: su tipología (entendiendo por tal su topología y sus condiciones de vinculación), y el sistema de cargas que la solicita, difiriendo entonces los distintos métodos, en su sencillez de aplicación o en su mayor nivel de aproximación. En este apartado vamos a describir el ámbito y aplicación de la metodología del cálculo matricial de estructuras. Para adquirir una visión general de los diferentes métodos de cálculo de estructuras se recomienda la animación: Métodos de cálculo de estructuras. Niveles de aproximación. Idoneidad de su utilización.

2. METODOLOGÍA: CONCEPTO Y ÁMBITO DE APLICACIÓN Vamos a describir la metodología de cálculo matricial, de forma que podamos comprender, de una forma genérica cual es el ámbito de utilización y cuales son sus características fundamentales. En cuanto a la base de partida de esta metodología hemos de resaltar lo siguiente: Vamos a considerar siempre que la relación solicitacióndeformación es elástica, lo que implica que existe una proporcionalidad lineal entre ambas. Es decir: consideraremos que nos movemos siempre dentro de la zona elástica del diagrama tensión-deformación, por lo que diremos que es una metodología que se encuentra dentro de lo que denominamos globalmente como :método elástico, en contraposición al método plástico, en donde no se cumple dicha proporcionalidad lineal entre la solicitación y la deformación. Consideramos la hipótesis de pequeñas deformaciones, necesaria para poder utilizar las expresiones de la Teoría de la Elasticidad y fundamentalmente de la Resistencia de Materiales. Todo lo que referimos, salvo indicación en contra, es válido para estructuras de barras rectas (barras de directriz recta), que son la mayoría, en las cuales se puede aproximar el diferencial de longitud al diferencial del eje de la barra (basándonos en la hipótesis de pequeñas deformaciones). Asimismo, las condiciones que ha de cumplir una estructura (que

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son las que se comprueban en el cálculo), son: Estabilidad, que se comprueba con las condiciones de equilibrio estático. Es decir: antes de comprobar, calcular, ... el comportamiento de una estructura en solicitaciones y deformación habremos de tener garantizado el equilibrio estático de dicha estructura. Resistencia, comprobando que las solicitaciones en las barras de la estructura no sobrepasan los límites elásticos del material. Es un primer gran apartado de cálculo en toda metodología de cálculo y por tanto también en el cálculo matricial, ya que se trata de calcular las solicitaciones en barras y en base a ello (Diagramas de solicitaciones) obtener las tensiones en las secciones críticas. Deformabilidad, ya que las deformaciones de la estructura han de estar dentro de unos límites que vienen definidos en la norma en función del uso de la estructura o de alguna de sus partes. Por ello habremos de obtener los desplazamientos (lineales y angulares) que sufren tanto los nudos como determinadas secciones de las barras que componen la estructura. Existen dos planteamientos de la metodología de cálculo matricial: Método de la Rigidez y Método de la Flexibilidad. MÉTODO DE LA RIGIDEZ El método de la rigidez tiene como ecuación fundamental que pone de manifiesto la filosofía que encierra la siguiente : donde:

{P}={K}·{d} { K } = Matriz de rigidez { P } = Vector de cargas { d } = Vector de desplazamientos Establece por tanto una relación entre un sistema de cargas, recogido en el vector { P } y el sistema de desplazamientos o movimientos , que se encuentra recogido en el vector { d } . La metodología de cálculo matricial (método de la Rigidez) permite operar mediante el planteamiento de una serie de relaciones o ecuaciones matemáticas que definen el comportamiento de la estructura . { K } es una matriz, denominada de rigidez, que representa lo que podríamos denominar como "ley constitutiva" de una barra ó de una estructura, por cuanto relaciona la causa ( el sistema de cargas ) con

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el efecto que produce tal sistema de cargas, que es un sistema de desplazamientos ó movimientos MÉTODO DE LA FLEXIBILIDAD El método de la flexibilidad tiene como ecuación matricial fundamental que pone de manifiesto la filosofía que encierra la siguiente :

{d}={F}·{P} donde: { F } = Matriz de flexibilidad { P } = Vector de cargas { d } = Vector de desplazamientos Establece por tanto una relación entre un sistema de cargas, recogido en el vector { P } y el sistema de desplazamientos o movimientos , que se encuentra recogido en el vector { d } , al igual que en el método de la rigidez, pero utilizando otra relación que es la matriz de flexibilidad. La metodología de cálculo matricial (método de la Flexibilidad) permite operar mediante el planteamiento de una serie de relaciones o ecuaciones matemáticas que definen el comportamiento de la estructura, al igual que el método de la rigidez, pero con la siguiente diferencia fundamental: En el método de la rigidez, trabajamos, a lo largo de la operatoria del procedimiento, con las matrices de rigidez, mientras que en el método de la flexibilidad utilizamos las matrices de flexibilidad. El concepto genérico que nos puede ayudar a diferenciar los parámetros que componen la matriz de rigidez de los que componen la matriz de flexibilidad es el siguiente: Un parámetro de una matriz de rigidez se corresponde con una determinada carga, necesaria para producir un determinado desplazamiento o movimiento unitario. Un parámetro de una matriz de flexibilidad se corresponde con un determinado desplazamiento o movimiento, producido por una determinada carga unitaria. La matriz de flexibilidad { F } es otra forma de expresar lo que podríamos denominar como "ley constitutiva" de una barra ó de una estructura, por cuanto relaciona la causa ( el sistema de cargas ) con el efecto que produce tal sistema de cargas, que es un sistema de desplazamientos ó movimientos, pero dada la diferenciación expresada anteriormente es más operativo el método de la rigidez que el de la flexibilidad, para poder realizar el paso desde las barras

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Metodología: Concepto y ámbito de aplicación

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que componen una estructura a la propia estructura. Por ello desarrollaremos el procedimiento de aplicación del método de la rigidez, ya que para calcular los valores de los desplazamientos o movimientos en nudos de una estructura precisamos obtener la matriz de rigidez de dicha estructura. Lo hacemos partiendo de las matrices de rigidez de las diferentes barras que componen la estructura, utilizando lo que denominaremos como ensamblaje de la matriz de rigidez. Otros métodos de cálculo utilizados en la Teoría de Estructuras son: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

MÉTODO DE LAS ÁREAS DE MOMENTO MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA MÉTODO DE LA ESTRUCTURA CONJUGADA MÉTODO DE MULLER-BRESLAU MÉTODO DE RIEGER MÉTODOS DE RITTER MÉTODO DE LOS PUNTOS FIJOS MÉTODO DE CROSS MÉTODO DE ANALOGÍA DE LA COLUMNA MÉTODO DE BUTTY MÉTODO DEL DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES MÉTODO DE LOS TRES MOMENTOS MÉTODO DE LOS NUDOS MÉTODO DE CREMONA MÉTODO DE LAS SECCIONES MÉTODO DE ZIMMERMANN MÉTODO DE HENNEBERG MÉTODO DE OSTENFELD MÉTODO DE CONDICIONES DE CONTORNO MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS MÉTODO DE CASTIGLIANO EQUILIBRIO ESTÁTICO

Del conjunto de métodos de cálculo de estructuras referidos utilizaremos únicamente los más importantes desde el punto de vista de sus posibilidades de aplicación, de su generalidad y de su capacidad para poner de manifiesto el comportamiento físico de las estructuras y que son los siguientes: 1. EQUILIBRIO ESTÁTICO  

1. 2. 3. 4.

MÉTODO DE LOS NUDOS MÉTODO DE LAS SECCIONES MÉTODO DE CASTIGLIANO MÉTODO DE CONDICIONES DE CONTORNO MÉTODO DE CROSS METODOLOGÍA DE CÁLCULO MATRICIAL

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Metodología: Concepto y ámbito de aplicación

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3.1-Metodología: Concepto y ámbito de aplicación| 3.2.- Operatoria con matrices y determinantes, etc. | 3.3.Matriz de rigidez, vector carga y vector desplazamiento | 3.4.- Aplicación al caso de barra isostática empotrada-libre | 3.5.- Actividades | 3.6.- Ejercicios de autoevaluación |

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Operatoria con matrices y determinantes, etc.

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.-Introducción al cálculo matricial de estructuras 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 3.1.- Metodología: Concepto y ámbito de aplicación | 3.2-Operatoria con matrices y determinantes, etc.| 3.3.Matriz de rigidez, vector carga y vector desplazamiento | 3.4.- Aplicación al caso de barra isostática empotrada-libre | 3.5.- Actividades | 3.6.- Ejercicios de autoevaluación | 3 .2.- Operatoria con matrices y determinantes, etc.

1. INTRODUCCIÓN 2. OPERATORIA CON MATRICES

Detalle de encofrado y armadura para un muro de contención en Polígono El Torno Chiclana de la Frontera - (Cádiz)

1. INTRODUCCIÓN La metodología matricial, debido a que se trata de un procedimiento matemático, presenta, como ventajas, su rigurosidad y exactitud, y su amplitud de aplicación. En su contra estaba lo engorroso y complicado de su operatoria, que exigía el uso de la metodología matricial, trabajando frecuentemente con matrices de un orden muy grande. Esas dificultades se han solventado con el desarrollo de la informática y los ordenadores personales, ya que la metodología matricial es fácilmente reducible a algoritmos, con lo cual se puede implementar de forma relativamente cómoda en un ordenador personal, con lo que se supera su principal escollo: lo arduo y difícil de su operatoria.

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Operatoria con matrices y determinantes, etc.

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El otro gran inconveniente de la metodología matricial, en el ámbito de la docencia, es la dificultad de transmitir algunos conceptos acerca del comportamiento físico de la estructura. Ello obliga a cuidar especialmente la exposición de la metodología matricial, para que el alumno conceptualice el sentido de las diferentes matrices que intervienen en el procedimiento y no se pierda en la operatoria. De forma muy general y esquemática diremos que el método se basa en el planteamiento de un conjunto de ecuaciones matemáticas, en forma matricial, que expresan la relación entre los esfuerzos aplicados a una estructura y los desplazamientos que se producen en dicha estructura. Por lo anteriormente expuesto deducimos que se hace necesario el conocimiento de la operatoria matricial. Aunque este apartado no pretende convertirse en un tema de álgebra matricial , sí intenta señalar y recordar la operatoria matricial básica y necesaria para la aplicación de la metodología del cálculo matricial de estructuras.

2. OPERATORIA CON MATRICES Vamos a describir la operatoria matricial básica y fundamental para el cálculo matricial de estructuras. Hay un conjunto de conceptos importantes que debemos repasar:   

Matriz Determinante Tipos de matrices: o Matriz fila o Matriz columna o Matriz cuadrada o Matriz triangular superior o Matriz triangular inferior o Matriz unidad o Matriz nula o Matriz simétrica o Matriz antisimétrica o Matriz traspuesta o Matriz banda o Matriz ortogonal

1 - Suma de matrices Siendo:

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Operatoria con matrices y determinantes, etc.

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será:

2 - Producto de escalar por matriz Siendo:

será:

3 - Producto de matrices Siendo:

será:

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Operatoria con matrices y determinantes, etc.

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4 - Matriz Inversa En la ecuación matricial siguiente : donde:

{P}={K}·{d}

{d}={K}-1·{P}

K = Matriz de rigidez de la barra . P = Matriz de cargas en los extremos . d = Matriz de desplazamientos de los extremos . vemos que para obtener el vector desplazamiento necesitamos obtener la matriz inversa de la matriz de rigidez. Siendo la relación matricial anterior fundamental en el cálculo matricial, podemos deducir la importancia de la matriz inversa en esta operatoria. Siendo:

Obtenemos el valor del determinante de dicha matriz, que vamos a denominar como D1 Denominamos menor correspondiente a un elemento, por ejemplo m23 al determinante que resulta de suprimir la fila y la columna, en nuestro caso fila 2 y columna 3, será M23:

Denominamos cofactor (Cfc) al menor correspondiente con su signo, de forma que se relaciona así : Cfc = (-1)(f+c) · Mfc

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Operatoria con matrices y determinantes, etc.

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Siendo {C1} la matriz cofactor de {M1}:

Siendo {A1} la matriz adjunta de {M1}, la definiremos como la matriz traspuesta de la matriz cofactor y será: {A1} = {C1} T tendremos que la matriz inversa, que denominaremos como {I1} será: {I1} = {A1} / D1

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3.1.- Metodología: Concepto y ámbito de aplicación | 3.2-Operatoria con matrices y determinantes, etc.| 3.3.Matriz de rigidez, vector carga y vector desplazamiento | 3.4.- Aplicación al caso de barra isostática empotrada-libre | 3.5.- Actividades | 3.6.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.-Introducción al cálculo matricial de estructuras 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 3.1.- Metodología: Concepto y ámbito de aplicación | 3.2.- Operatoria con matrices y determinantes, etc. | 3.3-Matriz de rigidez, vector carga y vector desplazamiento | 3.4.- Aplicación al caso de barra isostática empotrada-libre | 3.5.- Actividades | 3.6.- Ejercicios de autoevaluación | 3 .3.- Matriz de rigidez, vector carga y vector desplazamiento

1. INTRODUCCIÓN 2. MATRIZ DE RIGIDEZ, VECTOR CARGA Y VECTOR DESPLAZAMIENTO

Estructura de una nave industrial de pórticos rígidos, en fase de montaje.

1. INTRODUCCIÓN En este apartado vamos a tratar acerca de la matriz de rigidez y de los vectores carga y desplazamiento. La ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d} donde: { K } = Matriz de rigidez { P } = Vector de cargas { d } = Vector de desplazamientos es la que define la relación entre un sistema de cargas, recogido en el vector { P } y el sistema de desplazamientos o movimientos , que se encuentra recogido en el vector { d } .

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La metodología de cálculo matricial permite operar mediante el planteamiento de una serie de relaciones o ecuaciones matemáticas que definen el comportamiento de la estructura .{ K } es una matriz, denominada de rigidez, que representa lo que podríamos denominar como "ley constitutiva" de una barra ó de una estructura, por cuanto relaciona la causa ( el sistema de cargas ) con el efecto que produce tal sistema de cargas, que es un sistema de desplazamientos ó movimientos.

2. MATRIZ DE RIGIDEZ, VECTOR CARGA Y VECTOR DESPLAZAMIENTO Utilizando el caso más sencillo, donde podemos aplicar la ecuación

{P}={K}·{d} que sería para una barra plana de nudos articulados, sin entrar en cómo se obtienen los valores, de los componentes de la matriz de rigidez, tendremos que:

El vector carga tiene una dimensión de 4x1, ya que el conjunto de cargas que actuarían sobre esta barra será el formado por: P1x ... Carga (fuerza) en el eje x, en el extremo 1 de la barra. P1y ... Carga (fuerza) en el eje y, en el extremo 1 de la barra. P2x ... Carga (fuerza) en el eje x, en el extremo 2 de la barra. P2y ... Carga (fuerza) en el eje y, en el extremo 2 de la barra. El vector desplazamiento (movimiento) tiene una dimensión de 4x1, ya que el conjunto de movimientos que pueden tener los extremos de la barra de nudos articulados a que nos estamos refiriendo estará formado por: d1x ... Movimiento (desplazamiento) en el eje x, en el extremo 1 de la barra. d1y ... Movimiento (desplazamiento) en el eje y, en el extremo 1 de la barra. d2x ... Movimiento (desplazamiento) en el eje x, en el extremo 2 de la barra.

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d2y ... Movimiento (desplazamiento) en el eje y, en el extremo 2 de la barra. La matriz de rigidez es la que exponemos seguidamente y que lo que hace es relacionar matemáticamente cargas (causa) y desplazamientos (efecto), en el caso que estamos analizando, que es el de una barra de nudos articulados.

Lógicamente el orden de la matriz de rigidez en este caso será de 4x4. Lo mismo que hemos aplicado la ecuación matricial:

{P}={K}·{d} a una barra, en este caso de nudos articulados, la podemos a aplicar a una estructura (conjunto de barras). Para el caso más sencillo que es el de estructura plana de nudos articulados se cumplirá que: El vector carga tendrá una dimensión de 2xN, ya que el conjunto de cargas que actuarían sobre esta estructura será el formado por: P1x ... Carga (fuerza) en el eje x, en el nudo 1, de la estructura. P1y ... Carga (fuerza) en el eje y, en el nudo 1, de la estructura. .... .... Pix ... Carga (fuerza) en el eje x, en el nudo i, de la estructura. Piy ... Carga (fuerza) en el eje y, en el nudo i, de la estructura. .... .... Pnx ... Carga (fuerza) en el eje x, en el nudo n, de la estructura. Pny ... Carga (fuerza) en el eje y, en el nudo n, de la estructura. El vector desplazamiento tendrá una dimensión de 2xN, ya que el

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conjunto de desplazamientos que tendrán los nudos de la estructura será: d1x ... Desplazamiento en el eje x, en el nudo 1, de la estructura. d1y ... Desplazamiento en el eje y, en el nudo 1, de la estructura. .... .... dix ... Desplazamiento en el eje x, en el nudo i, de la estructura. diy ... Desplazamiento en el eje y, en el nudo i, de la estructura. .... .... dnx ... Desplazamiento en el eje x, en el nudo n, de la estructura. dny ... Desplazamiento en el eje y, en el nudo n, de la estructura. De lo que hemos visto anteriormente podemos deducir que la ecuación

{P}={K}·{d} relaciona los vectores carga y desplazamiento con la matriz de rigidez y que dicha ecuación es aplicable tanto a barras como a estructuras, aunque con un sentido específico en cada caso. Dado que la metodología de cálculo matricial tiene unas particularizaciones en base a las diferentes tipologías estructurales, según sea la barra o la estructura tendremos diferentes dimensiones tanto de los vectores carga y desplazamiento como de la matriz de rigidez. En los apartados siguientes iremos concretando las diferentes expresiones de los vectores carga y desplazamiento, así como de las matrices de rigidez, atendiendo a las diferentes tipologías estructurales.

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3.1.- Metodología: Concepto y ámbito de aplicación | 3.2.- Operatoria con matrices y determinantes, etc. | 3.3-Matriz de rigidez, vector carga y vector desplazamiento | 3.4.- Aplicación al caso de barra isostática empotrada-libre | 3.5.- Actividades | 3.6.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.-Introducción al cálculo matricial de estructuras 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 3.1.- Metodología: Concepto y ámbito de aplicación | 3.2.- Operatoria con matrices y determinantes, etc. | 3.3.- Matriz de rigidez, vector carga y vector desplazamiento | 3.4-Aplicación al caso de barra isostática empotrada-libre| 3.5.- Actividades | 3.6.- Ejercicios de autoevaluación | 3 .4.- Aplicación al caso de barra isostática empotrada-libre

1. INTRODUCCIÓN 2. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA ISOSTÁTICA EMPOTRADALIBRE.

Conjunto de estructuras de hormigón armado, planas de barras de nudos rígidos en Mairena del Alcor (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de una barra empotrada-libre y ello supone una serie de aspectos específicos : 1. Una barra empotrada-libre, presenta exclusivamente tres incógnitas, desde el punto de vista del cálculo de las reacciones, dado que una barra está siempre contenida en un plano, razón por la cual es un sólido isostático . 2. Al tener un extremo empotrado, por ejemplo el extremo 1, supone que el vector movimiento ó desplazamiento en el extremo 1 es nulo. 3. El hecho de que el vector desplazamiento 1 sea nulo, implica que el vector desplazamiento ó movimiento del extremo 2 coincide con la deformación de la barra y , por tanto, existe una relación directa entre el vector movimiento del extremo 2 y las solicitaciones que se producen en los extremo 1 y 2 de la barra.

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Por ello la expresión que vamos a obtener de la matriz de rigidez de esta barra constituye el caso más sencillo posible, aplicable a las estructuras planas de barras de nudos rígidos . Podríamos decir que estamos de alguna forma planteando la matriz de rigidez de un nudo, geométricamente un punto, por cuanto establecemos una relación entre el vector carga y el vector desplazamiento en dicho nudo (punto).

2. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA ISOSTÁTICA EMPOTRADA-LIBRE La ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d}

{d}={K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la barra . P = Vector de cargas en los extremos . d = Vector de desplazamientos de los extremos . es la que define la relación entre el sistema de cargas y el sistema de desplazamientos o movimientos, en la metodología matricial, de forma que representa lo que podríamos denominar como "ley constitutiva" de la barra, en nuestro caso, o de una estructura en un caso más genérico. En la ecuación anterior hemos expresado cómo mediante el Método de la Rigidez una vez definida y calculada la matriz de cargas, obteniendo la inversa de la matriz de rigidez, se pueden calcular los desplazamientos o movimientos de los extremos. Seguidamente vamos a expresar más detalladamente tal ecuación matricial, pero planteando ahora la matriz de rigidez de una barra en la que uno de sus extremos, el 1, se encuentra empotrado y el otro extremo, el 2, se encuentra libre y sometido a carga, razón por la que en dicha barra sólo el extremo 2 puede tener movimientos. Seguidamente vamos a expresar la ecuación matricial anterior, donde sabemos que: 1. El vector carga será del tipo Px, Py, Mz, en el extremo 2, por cuanto la modelización que vamos a desarrollar será aplicable a estructuras planas de nudos rígidos 2. El vector desplazamiento será del tipo dx, dx, z , en coherencia con la tipología en estudio.

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En la ecuación matricial siguiente, aunque posteriormente nos ceñiremos al caso de barra plana de extremos empotrado-libre, expresamos la relación entre cargas y movimientos en los extremos de una barra, de forma general.

Denominamos al extremo izquierdo como 1 y al extremo derecho como 2, en la exposición que estamos haciendo, con lo que el caso que vamos a estudiar se corresponde con la submatriz K22. Utilizamos en los dos extremos el mismo convenio de signos en cargas y desplazamientos, correspondientes a los sentidos positivos del primer cuadrante. Si desarrollamos la ecuación matricial anterior tendremos las ecuaciones que siguen : P1 = K11 d1 + K12 d2 P2 = K21 d1 + K22 d2 Donde para d1 = 0 pasaremos a : P1 = K12 d2 P2 = K22 d2 Como vamos a expresar la relación entre la carga P2 y d2 ello implica que será la submatriz K22 la que se obtendrá al desarrollar la ecuación matricial siguiente :

La submatriz K12 corresponde con el caso de carga en el extremo 1 y desplazamiento en el extremo 2, lo que se corresponde, en nuestro caso, con las reacciones en el empotramiento. , en nuestro caso, con las reacciones en el empotramiento. La submatriz K22 vemos que se corresponde por tanto con el caso de carga en el extremo 2 y desplazamiento en el extremo 2, sin movimiento en el extremo 1.

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En este caso por la tipología estructural a que se refiere la modelización de nuestro caso particular en estudio, las barras se encuentran sometidas no solamente a axiles, sino también a cortantes y flectores y por ello el vector de cargas, será :

Donde los valores de P1x, P1y y M1z se corresponden con el sistema de reacciones en el extremo 1 y el resto de valores en el extremo 2 serán el vector carga en el extremo 2. En cuanto al vector desplazamiento o movimiento hemos de considerar que al estar el extremo 1 empotrado, serán nulos los desplazamientos en x e y , así como los giros en z de dicho extremo 1. Estudiamos aquí el caso de una barra con empotramiento en el extremo 1 y libre en el extremo 2, de manera que dicho extremo 2 puede presentar:   

desplazamientos en x desplazamientos en y giros en z

Cada uno de los valores que aparecen en la ecuación matricial siguiente es un escalar, de forma que la ecuación matricial referida, se corresponde con un sistema de ecuaciones tal y como el que sigue :

Px = K11 .dx + K12 .dy + K13 . z Py = K21 .dx + K22 .dy + K23 . z Mz = K31 .dx + K32 .dy + K33 . z El sistema de ecuaciones anterior es, por tanto, la expresión de las cargas, que aparecen en el extremo libre de la barra, 2 , en función de las deformaciones que se producen en dicho extremo. En lo que sigue vamos a calcular el valor de los parámetros escalares Kij que componen la matriz de rigidez referida anteriormente.

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Para ello, vamos a establecer la relación que se produce entre cada una de las cargas que actúan en el extremo libre, con los posibles desplazamientos del mismo extremo de la barra, ya que el desplazamiento del extremo empotrado es nulo, consecuencia de la propia vinculación. En la ecuación : Px = K11 .dx + K12 .dy + K13 .

z

si se cumple que : dy = z = 0 dx = 1 ello implica que : Px = K11 si se cumple que : dx = z = 0 dy = 1 ello implica que : Px = K12 si se cumple que : dx = dy = 0 z=1 ello implica que : Px = K13 En la ecuación que expresamos seguidamente : Py = K21 .dx + K22 .dy + K23 . z si se cumple que : dy = z = 0 dx = 1 ello implica que : Py = K21 si se cumple que : dx = z = 0 dy = 1

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ello implica que : Py = K22 si se cumple que : dx = dy = 0 z=1 ello implica que : Py = K23 En la ecuación que expresamos seguidamente : Mz = K31 .dx + K32 .dy + K33 . z si se cumple que : dy = z = 0 dx = 1 ello implica que : Mz = K31 si se cumple que : dx = z = 0 dy = 1 ello implica que : Mz = K32 si se cumple que : dx = dy = 0 z=1 ello implica que : Mz = K33 Estas relaciones anteriores nos van a servir para determinar el valor de los diferentes componentes de la matriz de rigidez, del caso que nos ocupa. Vemos que los valores se pueden obtener por su relación con los desplazamientos unitarios en el extremo libre , 2 , y por ello pasamos a estudiar tal relación en la barra empotrada-libre. Hemos referido anteriormente que el valor de K11 es el de la carga Px , cuando hay, exclusivamente, un dx = 1.

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Este caso se corresponde, tal y como podemos ver en el gráfico primero de la figura siguiente, con una solicitación axial de tracción-compresión, por tanto, y que viene regida por la expresión conocida como Ley de Young:

=E. siendo:

tendremos que:

K12 = 0, ya que no hay relación directa: Px - dy Ello se produce porque la carga necesaria para que se produzca un desplazamiento unitario en y, no tiene valor alguno en el eje x, tal y como puede verse en la figura. K13 = 0, ya que no hay relación directa: Px -

z

Ello se produce porque la carga necesaria para que se produzca un giro unitario en z, no tiene valor alguno en el eje x , tal y como puede verse en la figura. K21 = 0, ya que no hay relación directa: Py - dx Ello se produce porque la carga necesaria para que se produzca un desplazamiento unitario en x, no tiene valor alguno en el eje y , tal y como puede verse en la figura.

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K31 = 0, ya que no hay relación directa: Mz - dx Ello se produce porque la carga necesaria para que se produzca un desplazamiento unitario en x, no tiene valor alguno en el eje z , tal y como puede verse en la figura anterior. K22 es la Py cuando hay, exclusivamente, un dy = 1 Remitimos a la Teoría del capítulo 8. Apdo. 5: La traslación en los nudos (Estructuras Arquitectónicas e Industriales: Su cálculo) donde relacionamos los desplazamientos relativos, sin giro, en dirección perpendicular a la directriz, entre los extremos de una barra con las solicitaciones. Vemos que resulta que : MA = 6EI D/L2 ; MB = 6EI D/L2 Luego, en nuestro caso, se cumplirá que: Para dy = 1, aplicando equilibrio estático en momentos, tendremos : Py = ( MA + MB ) / L = 12 EI / L3 Py = K22 = 12 EI / L3 K23 es la Py cuando hay, exclusivamente, un

=1

Vemos que se cumple que: para = 1 , aplicando equilibrio estático en momentos , tendremos : Py = ( MA + MB ) / L = - 6 EI / L2 K33 es la M cuando hay, exclusivamente, un

=1.

Si recordamos igualmente el Capítulo 8. Apdo. 2 (Estructuras Arquitectónicas e Industriales: Su cálculo) , será: MA = 4EI

/L

Hemos utilizado como criterio de signos el siguiente : 



Para las fuerzas, serán positivas cuando sus sentidos de actuación sean los correspondientes a los ejes x , y en 1er.cuadrante. Para los momentos, el positivo en el eje z, correspondiente con los ejes anteriores.

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

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El criterio de signos a utilizar lo será con generalidad, para todo el desarrollo que vamos a exponer en Metodología matricial, tanto para cargas como para desplazamientos y para cualquiera de los dos extremos de una barra.

En base a lo anterior, la matriz de rigidez del caso que estamos analizando, como relación entre el vector carga en el extremo 2 y el vector desplazamiento en el extremo 2 será :

CONSIDERACIÓN FINAL : Es importante comprender bien las relaciones que se producen entre la deformación y las cargas en los casos que se estudian en la teoría del Capítulo 8 (Estructuras Arquitectónicas e Industriales: Su cálculo)    

Análisis de la viga apoyada-empotrada (Apdo 2) Análisis de la viga apoyada-apoyada (Apdo. 3) Análisis tipo (Apdo. 4) La traslación en los nudos. (Apdo. 5)

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Actividades

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.-Introducción al cálculo matricial de estructuras 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 3.1.- Metodología: Concepto y ámbito de aplicación | 3.2.- Operatoria con matrices y determinantes, etc. | 3.3.- Matriz de rigidez, vector carga y vector desplazamiento | 3.4.- Aplicación al caso de barra isostática empotrada-libre | 3.5Actividades| 3.6.- Ejercicios de autoevaluación | 3 .5.- Actividades

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3.1.- Metodología: Concepto y ámbito de aplicación | 3.2.- Operatoria con matrices y determinantes, etc. | 3.3.- Matriz de rigidez, vector carga y vector desplazamiento | 3.4.- Aplicación al caso de barra isostática empotrada-libre | 3.5.Actividades | 3.6-Ejercicios de autoevaluación|

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.-Cálculo matricial de barras I 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4.5.- Ecuaciones matriciales de estado | 4.6.- Matriz de flexibilidad de una barra | 4.7.- Actividades | 4.8.- Ejercicios de autoevaluación | 4 .- Cálculo matricial de barras I

CÁLCULO MATRICIAL DE BARRAS I     

OBJETIVOS RESUMEN DEL TEMA ÍNDICE DE CONTENIDOS RECORRIDOS BIBLIOGRAFÍA

RESUMEN DEL TEMA El Tema N◙4 consta fundamentalmente de tres bloques de contenidos : Bloque N◙1 : Obtener la matriz de rigidez de diferentes barras planas. En este bloque exponemos y aplicamos el procedimiento para obtener la matriz de rigidez de una barra plana de nudos articuladoarticulado, empotrado-empotrado y empotrado-articulado. Bloque N◙2 : Ecuaciones de Estado de una barra En este bloque exponemos las ecuaciones de estado y el concepto de las diferentes submatrices, en base al sistema de numeración utilizado. Bloque N◙3 : Matriz de flexibilidad de una barra empotradalibre Hacemos una aplicación de los conceptos anteriores al cálculo de la relación carga-desplazamiento que se produce en el extremo libre de una barra isostática empotrada-libre, pero desde otro punto de vista diferente. En el tema 3 lo hacemos para obtener la matriz de rigidez y en el presente tema para obtener la matriz de flexibilidad. Es el caso más sencillo que podemos utilizar para obtener la matriz de flexibilidad .

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INDICE DE CONTENIDOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos Matriz de rigidez de una barra en el plano, otros casos Sistema de numeración. Submatrices Ecuaciones matriciales de estado Matriz de flexibilidad de una barra Actividades Se pueden realizar las siguientes actividades complementarias de los contenidos antes referidos. 7.1. Casos prácticos de aplicación del cálculo de la matriz de rigidez de diferentes barras: nudos rígidos, nudos articulados y articuladorígido. 7.2. Utilización de software docente Podemos utilizar el software docente desarrollado para comprobar los cálculos de las matrices de rigidez de las barras planas con nudos articulados y rígidos. 7.3. Trabajos sobre matriz de rigidez de barras PVS y otros Pueden consultarse trabajos realizados sobre la obtención de la matriz de rigidez en casos más complicados

8. Ejercicios de autoevaluación Realización de un conjunto de problemas sobre la obtención de la matriz de rigidez en diferentes barras de la tipología estudiada en este tema.

BIBLIOGRAFÍA PARA ESTE TEMA NIETO GARCÍA, E. (1998) Estructuras Arquitectónicas e Industriales: su cálculo En el capítulo 11. ARGUELLES ÁLVAREZ, R. (1981) Cálculo de estructuras: Volúmen I En el capítulo 14. CORCHERO RUBIO, J.A. Cálculo de estructuras - E.T.S.I.C. - MADRID SOFTWARE DIDÁCTICO CÁLCULO MATRICIAL. E.U.P. -SEVILLARealización de ejercicios de definición topológica de estructuras planas TRABAJOS DE CURSO

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asignatura: Cálculo de Estructuras. - E.U.P. - Sevilla Se realizan aplicaciones de cálculo matricial de estructuras con esta tipología. NOTA: Se puede ver otra Bibliografía de interés sobre Cálculo matricial de estructuras en Recursos de profundización. Bibliografía apartado 4.7

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4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4.5.- Ecuaciones matriciales de estado | 4.6.- Matriz de flexibilidad de una barra | 4.7.- Actividades | 4.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.-Cálculo matricial de barras I 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 4.1-Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados| 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4.5.- Ecuaciones matriciales de estado | 4.6.- Matriz de flexibilidad de una barra | 4.7.- Actividades | 4.8.Ejercicios de autoevaluación | 4 .1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados

1. INTRODUCCIÓN 2. ECUACIONES DE ESTADO 3. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA EN EL PLANO CON NUDOS ARTICULADOS

Conjunto de estructuras planas de barras de nudos articulados en Polígono Manchón -Tomares(Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras planas y dentro de esa tipología nos centramos en aquellas cuyas barras se encuentran articuladas. Por ello la expresión que vamos a obtener de la matriz de rigidez de una barra sólo es aplicable a estructuras planas de nudos articulados. Hemos obtenido previamente, en el apartado3-4, la expresión de una matriz de rigidez correspondiente al extremo libre de una barra isostática empotradalibre, de manera que hemos de remitirnos a dicho apartado para recordar la metodología utilizada para su obtención.

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Es necesario resaltar que en el caso analizado anteriormente, se relaciona una carga en un extremo de una barra, con la deformación que se produce en dicho extremo, ya que el otro extremo de la barra presenta desplazamiento y giro nulos, por el hecho de encontrarse empotrada. Ello hace que la deformación que se produce en tal extremo libre, sea igual al desplazamiento y giro de tal sección, es decir coinciden lo que es desplazamiento con lo que es deformación. En la exposición que haremos, desde aquí en adelante, diferenciaremos entre deformación y desplazamiento. Entenderemos como desplazamiento el cambio de posición de una sección, entendiendo como tal su posicionamiento y el ángulo girado y, por tanto, el término tiene un sentido más amplio que el propio de una traslación, razón por la que utilizaremos también el término: movimiento. Tratamos, por tanto, a la rebanada como un sólido de espesor diferencial y área la sección transversal de la barra y definimos su posición en el plano por un punto y un ángulo. En cambio el sentido de deformación, se corresponde con la variación de forma que se produce en las barras, como consecuencia de estar sometidas a un determinado estado de cargas. Por tanto, se corresponde con variaciones longitudinales y de ángulos, por giro entre secciones y como estamos refiriendo en el presente apartado no es lo mismo. La ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d}

{d}={K}-1·{P}

donde: { K } = Matriz de rigidez de la barra . { P } = Vector de cargas en los extremos . { d } = Vector de desplazamientos de los extremos . es la que define la relación entre el sistema de cargas y el sistema de desplazamientos o movimientos, en la metodología matricial, de forma que representa lo que podríamos denominar como "ley constitutiva" de la barra, en nuestro caso, o de una estructura en un caso más genérico. En la ecuación anterior hemos expresado cómo mediante el Método de la Rigidez una vez definida y calculada la matriz de cargas, obteniendo la inversa de la matriz de rigidez, se pueden calcular los desplazamientos o movimientos de los extremos. Seguidamente vamos a expresar más detalladamente tal ecuación matricial, pero planteando ahora la matriz de rigidez de una barra en la que sus dos extremos, que denominamos extremos 1 y 2, se encuentran sometidos a carga y pueden tener movimientos en cada extremo.

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2. ECUACIONES MATRICIALES DE ESTADO En la ecuación matricial siguiente, aunque posteriormente nos ceñiremos al caso de barra plana de nudos articulados, expresamos la relación entre cargas y movimientos en los extremos de una barra, de forma general.

Denominamos al extremo izquierdo como 1 y al extremo derecho como 2, en la exposición que estamos haciendo, con lo que el caso estudiado en el apartado 3-4, se correspondería con la submatriz K22 . Es decir, pasamos a una generalización en donde el caso anteriormente estudiado en el apartado 3-4, se corresponde con un caso particular del que analizaremos ahora. Utilizamos en los dos extremos el mismo convenio de signos en cargas y desplazamientos, correspondientes a los sentidos positivos del primer cuadrante. Denominamos como ecuaciones de estado las que siguen : P1 = K11 d1 + K12 d2 P2 = K21 d1 + K22 d2 Que se obtienen desarrollando la ecuación matricial expuesta, de la que vamos a indicar seguidamente el concepto de los términos en K. La submatriz K11 corresponde con el caso de carga y desplazamiento en el extremo 1, sin movimiento en el extremo 2. La submatriz K12 corresponde con el caso de carga en el extremo 1 y desplazamiento en el extremo 2, sin movimiento en el extremo 1. La submatriz K21, corresponde con el caso de carga en el extremo 2 y desplazamiento en el extremo 1, sin movimiento en el extremo 2. La submatriz K22, corresponde con el caso de carga en el extremo 2 y desplazamiento en el extremo 2, sin movimiento en el extremo 1.

3. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA EN EL PLANO CON NUDOS ARTICULADOS Hemos de tener siempre presente que nos vamos a referir en este apartado a estructuras que están contenidas en un plano, lo cual implica que las barras que forman la estructura se encuentran en dicho plano y las fuerzas que actúan sobre los nudos también.

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Las estructuras que estamos tratando se encuentran según lo anterior , generalmente, en un plano vertical y sometidas a cargas que también se encuentran en dicho plano, como sucede con las cargas gravitatorias y sobrecargas de uso, nieve. Podemos decir según lo anterior que son muy frecuentes ya que corresponden a tal tipología muchas de las estructuras de cubierta habitualmente utilizadas en construcción industrial metálica. En estructuras articuladas, la solicitación más utilizada es la de cargas puntuales en nudos y habremos de reducir, con suficiente nivel de aproximación, los casos de cargas distribuidas a tal tipo de solicitación. El vector de cargas, para el caso de barras pertenecientes a una estructura de nudos articulados, con cargas en los nudos será :

Dado que al presentar las barras sus extremos articulados, por pertenecer a estructuras de nudos articulados, ello implica el que no se produzcan momentos en los extremos de las barras pertenecientes a dicha tipología estructural y por tanto la dimensión del vector cargas será de 4 x 1. Por ello la matriz de rigidez, para una barra perteneciente a una estructura plana de nudos articulados, será de 4 x 4. En cuanto al vector desplazamiento o movimiento hemos de considerar que si las barras están articuladas en sus extremos, tales desplazamientos se corresponderán con los alargamientos-acortamientos, coherentes con las solicitaciones de tracción-compresión, a que se encuentren sometidas las barras, sin que se produzcan giros en los extremos de tales barras y por ello el vector desplazamientos será de dimensión 4 x 1. Un aspecto muy importante a resaltar es que las ecuaciones de relación que se establecerán seguidamente son independientes del hecho de si la estructura es isostática o hiperestática (exterior o interior). Por tanto el desarrollo que sigue se particulariza exclusivamente atendiendo a que las barras formen parte de una estructura plana de nudos articulados, a diferencia por ejemplo de los métodos basados en el equilibrio estático, donde la característica de isostaticidad de una estructura es fundamental. Analicemos el caso de una barra como la que vemos en la figura siguiente, articulada fija en 1 y articulada libre en 2, que presenta un desplazamiento horizontal en 2.

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Para producir un vector desplazamiento en el extremo 2, de acuerdo con las características de vinculación de la barra de la figura, hará falta un vector carga en el extremo 2 y ello origina otro vector carga en el extremo1 que será del tipo de fuerzas de reacción, en el caso que estamos analizando. Cuando: d2x = 1, se produce un valor de: P2x = E A / L , que se corresponderá con la fuerza en x, necesaria en 2, para producir el desplazamiento referido anteriormente. En el otro extremo, 1, se producirá una fuerza de valor : P1x = - EA / L , que se corresponde con la reacción, que se opone a la fuerza P2x .

En la figura representamos un vector carga en un extremo y un vector desplazamiento en otro extremo, así como el criterio de cargas y movimientos ó desplazamientos positivo. Supongamos ahora que se produce un desplazamiento vertical en 2, de valor: d2y = 1. Se producirá un giro en la barra, de longitud L, de valor : = arctg ( 1 / L ) sin que se origine ningún valor en y, de forma que: P1y = P2y = 0 . De forma análoga se comportará la barra cuando efectuamos el análisis de la barra con apoyo libre en el extremo 1 y apoyo fijo en el extremo 2 . Así cuando d1x = 1, se produce un valor de:

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P1x = E A / L , que se corresponderá con la fuerza en x, necesaria en 1, para producir el desplazamiento referido anteriormente en el mismo extremo 1. En el otro extremo, el 2, se producirá una fuerza de valor : P2x = - EA / L , que se corresponde con la reacción, que se opone a la fuerza P1x . Cuando se produce un desplazamiento vertical en 1, de valor: d1y = 1. Se producirá un giro en la barra, de longitud L, de valor : = arctg ( 1 / L ) sin que se origine ningún valor en y, de forma que: P1y = P2y = 0 . Si pasamos los valores obtenidos anteriormente a las ecuaciones de estado y las colocamos matricialmente obtendremos la expresión siguiente:

de donde podemos extraer el valor de la matriz de rigidez de una barra articulada en el plano. Refiriéndonos a las ecuaciones de estado, que hemos expresado anteriormente como : vemos que se producen las siguientes relaciones de definición de las submatrices que la componen y que expresamos seguidamente. Hemos de señalar que a lo largo del apartado que estamos desarrollando, nos ceñimos al caso de barras de sección constante, A, de manera que el valor de la sección de cada una de las barras es el mismo, en toda la longitud (L) de cada barra. Por supuesto que consideramos que el material es homogéneo en sus propiedades, como en el caso de estructuras metálicas, de forma que el valor

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de E (módulo de Elasticidad) es también constante para todas las secciones de las barras.

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4.1-Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados| 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4.5.- Ecuaciones matriciales de estado | 4.6.- Matriz de flexibilidad de una barra | 4.7.- Actividades | 4.8.Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.-Cálculo matricial de barras I 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2-Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos| 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4.5.- Ecuaciones matriciales de estado | 4.6.- Matriz de flexibilidad de una barra | 4.7.Actividades | 4.8.- Ejercicios de autoevaluación | 4 .2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos

1. INTRODUCCIÓN 2. EXPRESIÓN DE LA { K } DE UNA BARRA 3. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA EN EL PLANO CON NUDOS RÍGIDOS

Conjunto de estructuras planas de barras de nudos rígidos en Polígono Manchón Tomares- (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras planas y dentro de esa tipología nos centramos en aquellas cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comunmente denominados como nudos rígidos. Por ello la expresión que vamos a obtener de la matriz de rigidez de una barra sólo es aplicable a estructuras planas de nudos rígidos.

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Hemos obtenido previamente, en el apartado3-4, la expresión de una matriz de rigidez correspondiente al extremo libre de una barra isostática empotrada-libre, de manera que hemos de remitirnos a dicho apartado para recordar la metodología utilizada para su obtención. Es necesario resaltar que en el caso analizado anteriormente, se relaciona una carga en un extremo de una barra, con la deformación que se produce en dicho extremo, ya que el otro extremo de la barra presenta desplazamiento y giro nulos, por el hecho de encontrarse empotrada. Ello hace que la deformación que se produce en tal extremo libre, sea igual al desplazamiento y giro de tal sección, es decir coinciden lo que es desplazamiento con lo que es deformación. En la exposición que haremos, desde aquí en adelante, diferenciaremos entre deformación y desplazamiento. Entenderemos como desplazamiento el cambio de posición de una sección, entendiendo como tal su posicionamiento y el ángulo girado y, por tanto, el término tiene un sentido más amplio que el propio de una traslación, razón por la que utilizaremos también el término: movimiento. Tratamos, por tanto, a la rebanada como un sólido de espesor diferencial y área la sección transversal de la barra y definimos su posición en el plano por un punto y un ángulo. En cambio el sentido de deformación, se corresponde con la variación de forma que se produce en las barras, como consecuencia de estar sometidas a un determinado estado de cargas. Por tanto, se corresponde con variaciones longitudinales y de ángulos, por giro entre secciones y como estamos refiriendo en el presente apartado no es lo mismo. La ecuación matricial siguiente : donde:

{P}={K}·{d}

{d}={K}-1·{P}

K = Matriz de rigidez de la barra . P = Matriz de cargas en los extremos . d = Matriz de desplazamientos de los extremos . es la que define la relación entre el sistema de cargas y el sistema de desplazamientos o movimientos, en la metodología matricial, de forma que representa lo que podríamos denominar como "ley constitutiva" de la barra, en nuestro caso, o de una estructura en un caso más genérico. En la ecuación anterior hemos expresado cómo mediante el Método de la Rigidez una vez definida y calculada la matriz de cargas, obteniendo la inversa de la matriz de rigidez, se pueden calcular los desplazamientos o movimientos de

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los extremos. Seguidamente vamos a expresar más detalladamente tal ecuación matricial, pero planteando ahora la matriz de rigidez de una barra en la que sus dos extremos, que denominamos extremos 1 y 2, se encuentran sometidos a carga y pueden tener movimientos en cada extremo.

2. EXPRESIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA En la ecuación matricial siguiente, aunque posteriormente nos ceñiremos al caso de barra plana de nudos rígidos, expresamos la relación entre cargas y movimientos en los extremos de una barra, de forma general.

Denominamos al extremo izquierdo como 1 y al extremo derecho como 2. Utilizamos en los dos extremos el mismo convenio de signos en cargas y desplazamientos, correspondientes a los sentidos positivos del primer cuadrante. Desarrollando la ecuación matricial anterior obtenemos las siguientes ecuaciones : P1 = K11 d1 + K12 d2 P2 = K21 d1 + K22 d2 de las que vamos a indicar seguidamente el concepto de los términos en K. La submatriz K11 corresponde con el caso de carga y desplazamiento en el extremo 1, sin movimiento en el extremo 2. La submatriz K12 corresponde con el caso de carga en el extremo 1 y desplazamiento en el extremo 2, sin movimiento en el extremo 1. La submatriz K21, corresponde con el caso de carga en el extremo 2 y desplazamiento en el extremo 1, sin movimiento en el extremo 2. La submatriz K22, corresponde con el caso de carga en el extremo 2 y desplazamiento en el extremo 2, sin movimiento en el extremo 1. El vector desplazamiento está formado, en el caso de una barra perteneciente a una estructura plana de nudos rígidos, como sigue:

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3. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA EN EL PLANO CON NUDOS RIGIDOS Hemos de tener siempre presente que nos vamos a referir en este apartado a estructuras que están contenidas en un plano, lo cual implica que las barras que forman la estructura se encuentran en dicho plano y las fuerzas que actúan sobre los nudos y sobre las barras (puntuales y distribuidas) también. Es conveniente resaltar que los momentos flectores, desde el punto de vista vectorial, quedan representados en una dirección perpendicular al plano definido por las barras de la estructura y las fuerzas que actúan sobre la misma. Las estructuras que estamos tratando se encuentran según lo anterior , generalmente, en un plano vertical y sometidas a cargas que también se encuentran en dicho plano, como sucede con las cargas gravitatorias y sobrecargas de uso, nieve. Podemos decir según lo anterior que son muy frecuentes ya que corresponden a tal tipología muchas de las estructuras principales (pórticos) habitualmente utilizadas en construcción industrial metálica. Mientras que en estructuras articuladas, la solicitación más utilizada es la de cargas puntuales en nudos y habremos de reducir, con suficiente nivel de aproximación, los casos de cargas distribuidas a tal tipo de solicitación, en el caso que nos ocupa la solicitación más frecuente es la de cargas distribuidas sobre las barras. En esta tipología estructural, las barras se encuentran sometidas no solamente a axiles, sino también a cortantes y flectores y por ello el vector de cargas, para el caso de barras pertenecientes a una estructura de nudos rígidos será :

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Dado que están vinculados los extremos de las barras mediante empotramiento elástico, por pertenecer a estructuras de nudos rígidos, ello implica el que existan momentos en los extremos de las barras pertenecientes a dicha tipología estructural y por tanto la dimensión del vector cargas será de 6 x 1. En cuanto al vector desplazamiento o movimiento hemos de considerar que si las barras están vinculadas en sus extremos mediante empotramiento elástico, tales desplazamientos o movimientos se corresponderán con los alargamientosacortamientos, coherentes con las solicitaciones de tracción-compresión, junto con los giros derivados de las solicitaciones de flexión a que se encuentran sometidas las barras y por ello el vector desplazamientos será de dimensión 6 x 1. Por ello la matriz de rigidez, para una barra perteneciente a una estructura plana de nudos rígidos, será de 6 x 6. Un aspecto muy importante a resaltar es que las ecuaciones de relación que se establecerán seguidamente son independientes del hecho de si la estructura es isostática o hiperestática (exterior o interior). Por tanto el desarrollo que sigue se particulariza exclusivamente atendiendo a que las barras formen parte de una estructura plana de nudos rígidos, a diferencia por ejemplo de los métodos basados en el equilibrio estático, donde la característica de isostaticidad de una estructura es fundamental. Analicemos el caso de una barra como la que vemos en la figura siguiente, con empotramiento en el extremo 1 y libre en el extremo 2, de manera que dicho extremo 2 puede presentar:   

desplazamientos unitarios en x desplazamientos unitarios en y giros unitarios en z

En la figura representamos en la columna de la izquierda:  

La barra sin deformar La deformación estimada de la barra

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

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La solicitación necesaria para producir tal deformación

En la figura representamos en la columna de la derecha el vector movimiento en el extremo 2. Para producir un vector desplazamiento en el extremo 2, de acuerdo con las características de vinculación de la barra de la figura, hará falta un vector carga en el extremo 2 y ello origina otro vector carga en el extremo1 que será del tipo de reacción, en el caso que estamos analizando.

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Cuando d2x = 1 , en el primer gráfico de la figura anterior, será necesario que se produzca un valor de: P2x = E A / L , que se corresponderá con la fuerza en x, necesaria en 2, para producir el desplazamiento referido anteriormente. En el otro extremo, 1, se producirá una fuerza de valor : P1x = - EA / L , que se corresponde con la reacción, que se opone a la fuerza P2x . No se producirá ningún esfuerzo en la dirección y, es decir la fuerza P2y será de valor cero, como puede verse en el cuarto gráfico de la figura anterior. No se producirá ningún esfuerzo en la dirección z, es decir el momento M2z será de valor cero, como puede verse en el séptimo gráfico de la figura anterior. Cuando d2y = 1 , supongamos ahora que se produce un desplazamiento vertical unitario en 2, como puede verse en el gráfico segundo de la figura anterior y veremos que: No se producirá ningún esfuerzo en la dirección x, es decir la fuerza P2x será de valor cero, como puede verse en el segundo gráfico de la figura. El valor de P2y será de: 12 EI / L3 como puede verse en el quinto gráfico de la figura anterior. El valor de M2z será de: -6 EI /L2 como puede verse en el octavo gráfico de la figura anterior. Cuando 2z = 1 , supongamos ahora que se produce un giro unitario en 2, como puede verse en el gráfico tercero de la figura anterior y veremos que: No se producirá ningún esfuerzo en la dirección x, es decir la fuerza P2x será de valor cero, como puede verse en el tercer gráfico de la figura. El valor de P2y será de: -6 EI / L2 como puede verse en el sexto gráfico de la figura anterior. El valor de M2z será de:

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4 EI / L como puede verse en el noveno gráfico de la figura anterior. Habremos obtenido así la submatriz siguiente:

Aprovecharemos la figura anterior para obtener la submatriz K12 que corresponde con el caso de carga en el extremo 1 y desplazamiento en el extremo 2. Para ello simplemente se trata de plantear el equilibrio estático en los casos correspondientes a los desplazamientos unitarios. Cuando d2x = 1 , en el otro extremo, 1, se producirá una fuerza de valor : P1x = - EA / L , que se corresponde con la reacción, que se opone a la fuerza P2x . No se producirá ningún esfuerzo en la dirección y, es decir la fuerza P1y será de valor cero. No se producirá ningún esfuerzo en la dirección z, es decir el momento M1z será de valor cero. Cuando d2y = 1 , veremos que en el otro extremo, 1, resulta que: No se producirá ningún esfuerzo en la dirección x, es decir la fuerza P1x será de valor cero. El valor de P1y será de: - 12 EI / L3 El valor de M1z será de: 6 EI / L2 Cuando

2z = 1 , veremos que en el otro extremo, 1, resultará que :

No se producirá ningún esfuerzo en la dirección x, es decir la fuerza P2x será de valor cero.

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El valor de P1y será de: - 6 EI / L2 El valor de M1z será de: 2 EI / L Así tendremos la siguiente expresión de la submatriz K12 siguiente :

Las restantes submatrices las podemos obtener planteando análogo proceso pero empotrando en el extremo 2 y dejando el extremo 1 para los desplazamiento y giros unitarios. Hemos de señalar que a lo largo del apartado que estamos desarrollando, nos ceñimos al caso de barras de sección constante, A, de manera que el valor de la sección de cada una de las barras es el mismo, en toda la longitud (L) de cada barra así como el valor del momento de inercia (I). Por supuesto estamos contemplando solamente el caso de material homogéneo, como es normal en las estructuras metálicas, de forma que el valor de E (módulo de Elasticidad) es también constante para todas las secciones de las barras. subir

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4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2-Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos| 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4.5.- Ecuaciones matriciales de estado | 4.6.- Matriz de flexibilidad de una barra | 4.7.Actividades | 4.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.-Cálculo matricial de barras I 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3-Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos| 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4.5.- Ecuaciones matriciales de estado | 4.6.- Matriz de flexibilidad de una barra | 4.7.- Actividades | 4.8.Ejercicios de autoevaluación | 4 .3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos

1. INTRODUCCIÓN 2. BARRA EMPOTRADA-ARTICULADA

Puente Alfonso XIII - Puerto de Sevilla Ya no existe, está desmontado. Su ubicación era próxima al actual Puente de las Delicias.

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras planas y dentro de esa tipología vamos a centrarnos en aquellas barras que forman parte de estructuras cuyas barras no se encuentran unidas entre sí mediante nudos iguales (sea nudos rígidos o sea nudos articulados). Es decir: vamos a estudiar, por ejemplo, el caso de una barra que presente un extremo en un nudo articulado y otro extremo en un nudo de empotramiento elástico o rígido. Este tipo de barra nos permite realizar un primer análisis de un nivel más complejo, como es el caso de estructuras planas con nudos diferentes.

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Hasta ahora hemos visto el caso de las estructuras de nudos articulados y el caso de las estructuras de nudos rígidos, que constituyen una gran parte de las estructuras que se utilizan normalmente. Sin embargo, por diversas razones y en determinadas situaciones concretas se utilizan estructuras con nudos que no son todos iguales sino diferentes. Por ejemplo el caso de estructuras de nudos rígidos que presentan algún nudo articulado, por razones de vinculación interior. Otro ejemplo sería el caso de estructuras de nudos articulados con otros nudos, generalmente en las vinculaciones exteriores, mediante nudos rígidos. En general este apartado nos permite introducirnos en un nivel más complejo de tipología estructural que es el de aquellas estructuras que presentan nudos diversos. Existen muchas posibilidades de nudos, muchas formas de unir diversas barras en un nudo, de manera que se aumenta considerablemente la complejidad del cálculo matricial en estas tipologías estructurales. En este apartado vamos a tratar de los casos más sencillos dentro de esta tipología estructural.

2. BARRA EMPOTRADA-ARTICULADA Hemos obtenido previamente, en el Tema 3, la expresión de una matriz de rigidez correspondiente al extremo libre de una barra isostática empotradalibre, de manera que hemos de remitirnos a dicho apartado para recordar la metodología utilizada para su obtención. Es necesario resaltar que en el caso analizado anteriormente, se relaciona una carga en un extremo de una barra, con la deformación que se produce en dicho extremo, ya que el otro extremo de la barra presenta desplazamiento y giro nulos, por el hecho de encontrarse empotrada. En el Tema 4 hemos obtenido la matriz de rigidez de una barra en la que sus dos extremos, que denominamos extremos 1 y 2, se encuentran sometidos a carga y pueden tener movimientos en cada extremo, en el Apdo. 4-1 para el caso de nudos articulados y en el Apdo. 4-2 para el caso de nudos rígidos. Como hemos referido otras veces la ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d} donde: K = Matriz de rigidez de la barra . P = Vector de cargas en los extremos . d = Vector de desplazamientos de los extremos .

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es la que define la relación entre el sistema de cargas y el sistema de desplazamientos o movimientos, en la metodología matricial, de forma que representa lo que podríamos denominar como "ley constitutiva" de una barra. La ecuación matricial anterior queda explicitada más detalladamente como sigue, para expresar la relación entre cargas y movimientos en los extremos de una barra, de forma general.

Denominamos al extremo izquierdo como 1 y al extremo derecho como 2, en la exposición que estamos haciendo, de manera que el extremo 1 será empotramiento y el nudo 2 será articulación. Utilizamos en los dos extremos el mismo convenio de signos en cargas y desplazamientos, correspondientes a los sentidos positivos del primer cuadrante. Sabemos que: La submatriz { K11 } corresponde con el caso de carga y desplazamiento en el extremo 1, sin movimiento en el extremo 2. La submatriz { K12 } corresponde con el caso de carga en el extremo 1 y desplazamiento en el extremo 2, sin movimiento en el extremo 1. La submatriz { K21 } corresponde con el caso de carga en el extremo 2 y desplazamiento en el extremo 1, sin movimiento en el extremo 2. La submatriz { K22 } corresponde con el caso de carga en el extremo 2 y desplazamiento en el extremo 2, sin movimiento en el extremo 1. Hemos de tener siempre presente que nos vamos a referir en este apartado a estructuras que están contenidas en un plano, lo cual implica que las barras que forman la estructura se encuentran en dicho plano y las fuerzas que actúan sobre los nudos y sobre las barras (puntuales y distribuidas) también. Es conveniente resaltar que los momentos flectores, desde el punto de vista vectorial, quedan representados en una dirección perpendicular al plano definido por las barras de la estructura y las fuerzas que actúan sobre la misma. Las estructuras que estamos tratando se encuentran normalmente en un plano vertical y sometidas a cargas que también se encuentran en dicho plano, como sucede con las cargas gravitatorias y sobrecargas de uso y nieve. En esta tipología estructural, cuando hay al menos un nudo rígido, las barras se encuentran sometidas no solamente a axiles, sino también a cortantes y flectores y por ello el vector de cargas, para el caso de barras

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pertenecientes a una estructura mixta, donde hay nudos articulados y nudos rígidos será :

Se cumplirá la condición, en el caso de barra empotrada-articulada que estamos analizando que M2z será cero, dado que el extremo 2 es una articulación. ( Pulse sobre la imagen para ampliar)

Vemos que la matriz { K11 } será:

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Vemos que la matriz { K21 } será:

Vemos que la matriz { K22 } será:

Pero hemos de incluir la condición de que se cumplirá siempre que : M2z = 0 al ser el extremo 2 una articulación. Ello implica que, para desplazamiento unitario en y, se cumplirá que: -6 EI / L2 + 4 EI

/L=0

luego se produce la relación en deformación siguiente: = 1,5 / L Introduciendo tal relación en la ecuación, tendremos:

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12 EI / L3 - 6 EI

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/ L2 = 3 EI / L3

De forma que la matriz { K22 } pasará a tener la siguiente expresión:

Introduciendo la relación: = 1,5 / L en la ecuación, tendremos: - 6 EI

/ L2 + 2 EI

/ L = - 3 EI / L2

Y consecuentemente a lo anterior, la matriz { K12 } pasará a tener la siguiente expresión:

Hemos visto el procedimiento para obtener la matriz de rigidez de una barra empotrada-articulada. En forma análoga podemos obtener la matriz de rigidez para una barra articulada-empotrada, es decir donde el empotramiento se encuentra en el extremo 2 y la articulación en el extremo 1. Otros casos posibles son :  

Empotramiento-apoyo libre, con desplazamiento en x local. Empotramiento-apoyo libre, con desplazamiento en y local. En la figura siguiente representamos una estructura a la que sería de aplicación en caso estudiado en el presente apartado. Vemos que la barra a tiene un extremo articulado (A) y otro extremo

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formando parte de un nudo rígido (D). Vemos que la barra b tiene un extremo articulado (B) y otro extremo formando parte de un nudo mixto (E). En dicho nudo mixto (E) las barras b, d y g se encuentran vinculadas mediante empotramiento elástico (nudo rígido) mientras que la barra e se encuentra vinculada con el nudo (E) mediante articulación.

En la figura siguiente resumimos la expresión de las matrices de rigidez de las barras que habría que utilizar en la estructura en cuestión: ( Pulse sobre la imagen para ampliar)

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4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3-Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos| 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4.5.- Ecuaciones matriciales de estado | 4.6.- Matriz de flexibilidad de una barra | 4.7.- Actividades | 4.8.Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.-Cálculo matricial de barras I 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4-Sistema de numeración. Submatrices| 4.5.- Ecuaciones matriciales de estado | 4.6.- Matriz de flexibilidad de una barra | 4.7.Actividades | 4.8.- Ejercicios de autoevaluación | 4 .4.- Sistema de numeración. Submatrices

1. INTRODUCCIÓN 2. SISTEMA DE NUMERACIÓN. SUBMATRICES

Detalle estructural (apoyo) del puente de la Barqueta - Sevilla -

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado tanto al caso de estructuras planas como espaciales y tampoco haremos distinción entre aquellas estructuras cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos, y las estructuras de nudos articulados. Es decir: lo que vamos a referir es aplicable a cualquier tipología estructural, por cuanto necesitaremos establecer un sistema de numeración y una determinada notación que permita expresar las diferentes relaciones entre las distintas matrices, a utilizar en el cálculo matricial. Utilizaremos una expresión del vector carga aplicado a una barra como sigue:

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referida a los extremos 1 y 2 de una barra En forma análoga utilizaremos una expresión del vector desplazamiento de los extremos de una barra como sigue:

Para una barra utilizaremos esta expresión matricial:

Los subíndices utilizados hacen mención a los extremos 1 y 2 de una barra, de forma que : P1 será el vector carga en el extremo 1 P2 será el vector carga en el extremo 2 d1 será el vector movimiento en el extremo 1 d2 será el vector movimiento en el extremo 2 La submatriz K11 será la que relaciona la carga P1 con el desplazamiento d1 . La submatriz K12 será la que relaciona la carga P1 con el desplazamiento d2 . La submatriz K21 será la que relaciona la carga P2 con el desplazamiento d1. La submatriz K22 será la que relaciona la carga P2 con el desplazamiento d2 . Es decir: Vamos a expresar tanto el vector carga como el vector desplazamiento incluyendo los dos extremos de la barra y ello implica el que los términos de la matriz de rigidez de la barra sean realmente submatrices referidas a dichos extremos.

2. SISTEMA DE NUMERACIÓN. SUBMATRICES Para exponer el sistema de notación que vamos a seguir y en definitiva cómo vamos a proceder a identificar barras, con sus extremos, nudos, submatrices, etc. vamos a utilizar un ejemplo del cálculo de un pórtico de nudos rígidos. Las pantallas utilizadas provienen del software didáctico de cálculo de estructuras planas de nudos articulados y rígidos.

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( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En la figura anterior podemos ver en Dibujo de la Estructura (abajo a la izquierda) el convenio de notación: Barras ..... Mediante letras minúsculas (a, b y c - en verde - ) Nudos y Vínculos ..... Mediante números (1, 2, 3 y 4 - en azul - ) A los extremos de cada barra los definimos como : Extremo 1 : Nudo inicial Extremo 2 : Nudo final En la figura siguiente nos referimos a la expresión simbólica de la Matriz de rigidez de la estructura: ( Pulse sobre la imagen para ampliar)

Como se justificará más adelante, en otros apartados, serán los nudos 2 y 3 de la estructura los que se incluyen en la matriz de rigidez de la estructura en cuestión y por ello la matriz de rigidez de la estructura definirá la relación entre el vector carga y desplazamiento en los nudos de la estructura, como sigue:

La matriz de rigidez de la estructura, en función de las matrices de rigidez de las barras, la podemos ver en la expresión simbólica de la matriz de rigidez de la estructura. Así: La matriz K11 será : K22a + K11b La matriz K12 será : K12b La matriz K21 será : K21b La matriz K22 será : K22b + K11c Para la barra a, la ecuación de estado, según la notación que se indica será:

Para la barra b, la ecuación de estado, según la notación que se indica será:

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Para la barra c, la ecuación de estado, según la notación que se indica será:

En la figura anterior tendremos también lo siguiente : El vector carga referenciado a los nudos 2 y 3 que lo podemos ver en la ventana: P_Equivalente Nudos. Vemos que definimos cada barra indicando un nudo inicial y un nudo final, abajo, en la ventana de Tabla de cargas en barras (dos últimas columnas en más oscuro). En la figura siguiente tendremos: La matriz de rigidez de la estructura, que la podemos ver referenciada con los nudos 2 y 3 de la estructura, en la ventana Matriz de rigidez (a la izquierda). El vector desplazamiento (movimientos) lo podemos ver en la figura, en la ventana Desplazam. / Giros , a la derecha, referido a los nudos 2 y 3 de la estructura. ( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En la figura siguiente podemos ver las matrices de rigidez en locales, por ejemplo para la barra a de la estructura en cuestión. Hemos de resaltar que: 

La matriz de rigidez de una barra perteneciente a una estructura plana de nudos rígidos será de : 6x6 , por cuanto los vectores carga y desplazamiento en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 3x1.

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En la figura siguiente, por ejemplo para la barra a tendremos que : 







Los tres primeros valores en columnas y filas se corresponderán con la submatriz : K11a Los valores 4, 5 y 6 en columnas y filas 1, 2 y 3 se corresponderán con la submatriz : K12a Los valores 1, 2 y 3 en columnas y filas 4, 5 y 6 se corresponderán con la submatriz : K21a Los valores 4, 5 y 6 en columnas y filas 4, 5 y 6 se corresponderán con la submatriz : K22a

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

Hemos de resaltar que: - La matriz de rigidez de una barra perteneciente a una estructura plana de nudos articulados será de : 4x4 , por cuanto los vectores carga y desplazamiento en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 2x1. - La matriz de rigidez de una barra perteneciente a una estructura plana de nudos rígidos será de : 6x6 , por cuanto los vectores carga y desplazamiento en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 3x1. - La matriz de rigidez de una barra perteneciente a una estructura espacial de nudos articulados será de : 6x6 , por cuanto los vectores carga y desplazamiento en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 3x1. - La matriz de rigidez de una barra perteneciente a una estructura espacial de nudos rígidos será de : 12x12 , por cuanto los vectores carga y desplazamiento en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 6x1.

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4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4-Sistema de numeración. Submatrices| 4.5.- Ecuaciones matriciales de estado | 4.6.- Matriz de flexibilidad de una barra | 4.7.Actividades | 4.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.-Cálculo matricial de barras I 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4.5-Ecuaciones matriciales de estado| 4.6.- Matriz de flexibilidad de una barra | 4.7.- Actividades | 4.8.- Ejercicios de autoevaluación | 4 .5.- Ecuaciones matriciales de estado

1. INTRODUCCIÓN 2. ECUACIONES MATRICIALES DE ESTADO

Detalle estructural del puente de Triana - Sevilla -

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado tanto al caso de estructuras planas como espaciales y tampoco haremos distinción entre aquellas estructuras cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos, y las estructuras de nudos articulados. Es decir: lo que vamos a referir es aplicable a cualquier tipología estructural, por cuanto las Ecuaciones de Estado lo que hacen es exponer la relación que se produce en una barra entre las cargas que actúan en sus extremos y los movimientos que se producen en dichos extremos, como consecuencia de las solicitaciones derivadas de la actuación de las cargas antes citadas.

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La relación entre las cargas y los movimientos se producirá a través de las adecuadas matrices de rigidez, que sí son específicas de cada tipología estructural. En base a lo anterior, podemos decir que el concepto de las Ecuaciones de Estado es general en la metodología matricial, aunque lógicamente las matrices de rigidez y los vectores de carga y de movimiento dependerán de la tipología estructural concreta a la que apliquemos el cálculo matricial. Hemos de resaltar que: 







La matriz de rigidez de una barra perteneciente a una estructura plana de nudos articulados será de : 4x4 , por cuanto los vectores carga y desplazamiento en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 2x1. La matriz de rigidez de una barra perteneciente a una estructura plana de nudos rígidos será de : 6x6 , por cuanto los vectores carga y desplazamiento en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 3x1. La matriz de rigidez de una barra perteneciente a una estructura espacial de nudos articulados será de : 6x6 , por cuanto los vectores carga y desplazamiento en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 3x1. La matriz de rigidez de una barra perteneciente a una estructura espacial de nudos rígidos será de : 12x12 , por cuanto los vectores carga y desplazamiento en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 6x1.

2. ECUACIONES MATRICIALES DE ESTADO Denominamos como tales las ecuaciones que siguen : P1 = K11 d1 + K12 d2 P2 = K21 d1 + K22 d2 Que se obtienen desarrollando la ecuación matricial siguiente :

Los subíndices utilizados hacen mención a los extremos 1 y 2 de una barra, de forma que : P1 será el vector carga en el extremo 1 P2 será el vector carga en el extremo 2 d1 será el vector movimiento en el extremo 1 d2 será el vector movimiento en el extremo 2 La submatriz K11 será:

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la que relaciona la carga P1 con el desplazamiento d1 y su dimensión será: - En el caso de estructuras planas articuladas : 2x2 - En el caso de estructuras espaciales articuladas : 3x3 - En el caso de estructuras planas rígidas: 3x3 - En el caso de estructuras espaciales rígidas : 6x6 La submatriz K12 será: la que relaciona la carga P1 con el desplazamiento d2 y su dimensión será: - En el caso de estructuras planas articuladas : 2x2 - En el caso de estructuras espaciales articuladas : 3x3 - En el caso de estructuras planas rígidas: 3x3 - En el caso de estructuras espaciales rígidas : 6x6 La submatriz K21 será: la que relaciona la carga P2 con el desplazamiento d1 y su dimensión será: - En el caso de estructuras planas articuladas : 2x2 - En el caso de estructuras espaciales articuladas : 3x3 - En el caso de estructuras planas rígidas: 3x3 - En el caso de estructuras espaciales rígidas : 6x6 La submatriz K22 será: la que relaciona la carga P2 con el desplazamiento d2 y su dimensión será: - En el caso de estructuras planas articuladas : 2x2 - En el caso de estructuras espaciales articuladas : 3x3 - En el caso de estructuras planas rígidas: 3x3 - En el caso de estructuras espaciales rígidas : 6x6 Es importante señalar que las deformaciones consideradas, en la expresión de las ecuaciones de estado, se corresponden, en cada caso, con el tipo de barras al que se aplican. Vemos que las Ecuaciones de Estado son una forma de expresión de la ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d}

{d}={K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la barra . P = Vector de cargas en los extremos de la barra. d = Vector de desplazamientos de los extremos de la barra. Tal ecuación es la que define la relación entre el sistema de cargas y el sistema de desplazamientos o movimientos, en la metodología matricial, de forma que representa lo que podríamos denominar como "ley constitutiva" de la barra, en nuestro caso, o de una estructura en un caso más genérico. En la ecuación anterior hemos expresado cómo mediante el Método de la Rigidez una vez definida y calculada la matriz de cargas, obteniendo la inversa

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de la matriz de rigidez, se pueden calcular los desplazamientos o movimientos de los extremos.

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.-Cálculo matricial de barras I 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4.5.- Ecuaciones matriciales de estado | 4.6-Matriz de flexibilidad de una barra| 4.7.- Actividades | 4.8.- Ejercicios de autoevaluación | 4 .6.- Matriz de flexibilidad de una barra

1. INTRODUCCIÓN 2. MATRIZ DE FLEXIBILIDAD DE UNA BARRA

Estructura del Estadio Olímpico en fase de montaje. - Sevilla -

1. INTRODUCCIÓN Hemos referido en otros apartados anteriores cómo obtener diferentes matrices de rigidez, ya que estamos siguiendo el método de la rigidez, de cálculo matricial, pero también se ha referido en el apartado 3-1, por ejemplo, el método de la flexibilidad de cálculo matricial. Vamos a exponer en este apartado un procedimiento para obtener la matriz de flexibilidad de una barra, como un primer aspecto referente al método de la flexibilidad. Vamos a referirnos en este apartado a la matriz de flexibilidad y aplicado al caso de una barra empotrada-libre y ello supone una serie de aspectos específicos :

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1. Una barra empotrada-libre, presenta exclusivamente tres incógnitas, desde el punto de vista del cálculo de las reacciones, dado que una barra está siempre contenida en un plano, razón por la cual es un sólido isostático . 2. Al tener un extremo empotrado, por ejemplo el extremo 1, supone que el vector movimiento ó desplazamiento en el extremo 1 es nulo. 3. El hecho de que el vector desplazamiento 1 sea nulo, implica que el vector desplazamiento ó movimiento del extremo 2 coincide con la deformación de la barra y , por tanto, existe una relación directa entre el vector movimiento del extremo 2 y las solicitaciones que se producen en los extremos 1 y 2 de la barra. Por ello la expresión que vamos a obtener de la matriz de flexibilidad de esta barra constituye el caso más sencillo posible, aplicable a las estructuras planas de barras de nudos rígidos . Podríamos decir que estamos de alguna forma planteando la matriz de flexibilidad de un nudo, geométricamente un punto, por cuanto establecemos una relación entre el vector carga y el vector desplazamiento en dicho nudo (punto). En la ecuación siguiente por el Método de la Rigidez una vez definida y calculada la matriz de cargas, obteniendo la inversa de la matriz de rigidez, se pueden calcular los desplazamientos o movimientos de los extremos.

{P}={K}·{d}

{d}={K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la barra . P = Vector de cargas en los extremos . d = Vector de desplazamientos de los extremos . Esta ecuación matricial, al igual que la siguiente definen la relación entre el sistema de cargas y el sistema de desplazamientos o movimientos, en la metodología matricial, de forma que representa lo que podríamos denominar como "ley constitutiva" de la barra, en nuestro caso, o de una estructura en un caso más genérico. Sin embargo el Método de la Flexibilidad se basa en la ecuación matricial siguiente :

{d}={F}·{P} donde: F = Matriz de flexibilidad de la barra . P = Matriz de cargas en los extremos . d = Matriz de desplazamientos de los extremos .

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En la ecuación anterior hemos expresado cómo mediante el Método de la Flexibilidad una vez definida la matriz de cargas, a través de la matriz de flexibilidad, se pueden calcular los desplazamientos o movimientos de los extremos De lo anterior se deduce la relación entre las matrices de rigidez y de flexibilidad que es la siguiente:

{F}={K}-1 Es decir: la matriz de flexibilidad es la inversa de la matriz de rigidez.

2. MATRIZ DE FLEXIBILIDAD DE UNA BARRA Seguidamente vamos a expresar más detalladamente la ecuación matricial característica del Método de la Flexibilidad: pero planteando ahora la matriz de flexibilidad de una barra en la que uno de sus extremos, el 1, se encuentra empotrado y el otro extremo, el 2, se encuentra libre y sometido a carga, razón por la que en dicha barra sólo el extremo 2 puede tener movimientos. Seguidamente vamos a expresar la ecuación matricial anterior, donde sabemos que:

{d}={F}·{P} 1. El vector carga será del tipo Px, Py, Mz, en el extremo 2, por cuanto la modelización que vamos a desarrollar será aplicable a estructuras planas de nudos rígidos. 2. El vector desplazamiento será del tipo dx, dx, con la tipología en estudio.

z

, en coherencia

En la ecuación matricial siguiente, aunque posteriormente nos ceñiremos al caso de barra plana de extremos empotrado-libre, expresamos la relación entre cargas y movimientos en los extremos de una barra, de forma general. Denominamos al extremo izquierdo como 1 y al extremo derecho como 2, en la exposición que estamos haciendo, con lo que el caso que vamos a estudiar se corresponde con la submatriz F22. Utilizamos en los dos extremos el mismo convenio de signos en cargas y desplazamientos, correspondientes a los sentidos positivos del primer cuadrante. En este caso por la tipología estructural a que se refiere la modelización de nuestro caso particular en estudio, las barras se encuentran sometidas no solamente a axiles, sino también a cortantes

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y flectores y por ello el vector de cargas, será : Donde los valores de P1x, P1y y M1z se corresponden con el sistema de reacciones en el extremo 1 y el resto de valores en el extremo 2 serán el vector carga en el extremo 2. En cuanto al vector desplazamiento o movimiento hemos de considerar que al estar el extremo 1 empotrado, serán nulos los desplazamientos en x e y , así como los giros en z de dicho extremo 1. Estudiamos aquí el caso de una barra como la que vemos en la figura siguiente, con empotramiento en el extremo 1 y libre en el extremo 2, de manera que dicho extremo 2 puede presentar: - desplazamientos en x - desplazamientos en y - giros en z Cada uno de los valores que aparecen en la ecuación matricial siguiente es un escalar, de forma que la ecuación matricial referida, se corresponde con un sistema de ecuaciones tal y como el que sigue :

dx = f11 .Px + f12 .Py + f13 . Mz dy = f21 .Px + f22 .Py + f23 . Mz z=

f31 .Px + f32 .Py + f33 . Mz

El sistema de ecuaciones anterior es, por tanto, la expresión de las deformaciones que aparecen en el extremo libre de la barra, 2 , en función de las cargas que actúan en dicho extremo. En lo que sigue vamos a calcular el valor de los parámetros escalares fij que componen la matriz de flexibilidad referida anteriormente. Para ello, vamos a establecer la relación que se produce entre cada una de las cargas que actúan en el extremo libre, con los posibles desplazamientos del mismo extremo de la barra, ya que el desplazamiento del extremo empotrado es nulo, consecuencia de la propia vinculación. En la ecuación : dx = f11 .Px + f12 .Py + f13 . Mz

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Matriz de flexibilidad de una barra

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Si se cumple que : Py = Mz = 0 Px = 1 ello implica que : dx = f11 Si se cumple que : Px = Mz = 0 Py = 1 ello implica que : dx = f12 Si se cumple que : Px = Py = 0 Mz = 1 ello implica que : dx = f13 En la ecuación que expresamos seguidamente : dy = f21 .Px + f22 .Py + f23 . Mz Si se cumple que : Py = Mz = 0 Px = 1 ello implica que : dy = f21 Si se cumple que : Px = Mz = 0 Py = 1 ello implica que : dy = f22 Si se cumple que : Px = Py = 0 Mz = 1 ello implica que : dy = f23 En la ecuación que expresamos seguidamente : z=

f31 .Px + f32 .Py + f33 . Mz

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Matriz de flexibilidad de una barra

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Si se cumple que : Py = Mz = 0 Px = 1 ello implica que : z=

f31

Si se cumple que : Px = Mz = 0 Py = 1 ello implica que : z=

f32

Si se cumple que : Px = Py = 0 Mz = 1 ello implica que : z=

f33

Estas relaciones anteriores nos van a servir para determinar el valor de los diferentes componentes de la matriz de flexibilidad, del caso que nos ocupa. Vemos que los valores se pueden obtener por su relación con las cargas unitarias en el extremo libre , 2 , y por ello pasamos a estudiar tal relación en la barra empotrada-libre. Hemos referido anteriormente que el valor de f11 es el del desplazamiento dx , cuando hay, exclusivamente, una carga Px = 1. Este caso se corresponde, tal y como podemos ver en la figura siguiente, con una solicitación axial de tracción-compresión, por tanto, y que viene regida por la expresión conocida como Ley de Young: =E. de forma que tendremos que:

luego:

f11 = L/EA f12 = 0,

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Matriz de flexibilidad de una barra

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ya que no hay relación directa: Px - dy Ello se produce porque con una carga unitaria en el eje x, no se produce desplazamiento alguno en el eje y.

f13 = 0, ya que no hay relación directa: Px -

z

Ello se produce porque con una carga unitaria en el eje x, no se produce un giro en z.

f21 = 0, ya que no hay relación directa: Py - dx Ello se produce porque una carga unitaria en el eje y no produce un desplazamiento en x.

f31 = 0, ya que no hay relación directa: Mz - dx Ello se produce porque una carga unitaria de momento en z no produce desplazamiento en x.

En la figura anterior podemos ver:  

 

El desplazamiento y el giro producido por una carga unitaria Py = 1. El desplazamiento y el giro producido por una carga unitaria Mz = 1. para una barra empotrada-libre. El diagrama de flectores. La elástica.

f22 es el dy cuando hay, exclusivamente, un Py = 1

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Matriz de flexibilidad de una barra

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Luego:

f22 = L3 / 3EI f23 es el dy cuando hay, exclusivamente, un Mz = 1 Luego:

f23 = L2 / 2EI f32 es el

z

cuando hay, exclusivamente, un Py = 1

Luego:

f32 = L2/ 2EI f33 es el

z

cuando hay, exclusivamente, un Mz = 1

Luego:

f33 = L / EI Hemos utilizado como criterio de signos el siguiente : 





Para las fuerzas, serán positivas cuando sus sentidos de actuación sean los correspondientes a los ejes x , y en 1er.cuadrante. Para los momentos, el positivo en el eje z, correspondiente con los ejes anteriores. El criterio de signos a utilizar lo será con generalidad, para todo el desarrollo que vamos a exponer en Metodología matricial, tanto para cargas como para desplazamientos y para cualquiera de los dos extremos de una barra. En base a lo anterior, la matriz de rigidez del caso que estamos analizando, como relación entre el vector carga en el extremo 2 y el vector desplazamiento en el extremo 2 será

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Matriz de flexibilidad de una barra

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CONSIDERACIÓN FINAL : Es importante comprender bien las relaciones que se producen entre la deformación y las cargas en los casos que se estudian en la teoría del Capítulo 8 (Estructuras Arquitectónicas e Industriales: Su cálculo) - Análisis de la viga apoyada-empotrada (Apdo 2) - Análisis de la viga apoyada-apoyada (Apdo. 3) - Análisis tipo (Apdo. 4) - La traslación en los nudos. (Apdo. 5)

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4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4.5.- Ecuaciones matriciales de estado | 4.6-Matriz de flexibilidad de una barra| 4.7.- Actividades | 4.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Actividades

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.-Cálculo matricial de barras I 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4.5.- Ecuaciones matriciales de estado | 4.6.- Matriz de flexibilidad de una barra | 4.7-Actividades| 4.8.- Ejercicios de autoevaluación | 4 .7.- Actividades

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4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4.5.- Ecuaciones matriciales de estado | 4.6.- Matriz de flexibilidad de una barra | 4.7-Actividades| 4.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Ejercicios de autoevaluación

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.-Cálculo matricial de barras I 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4.5.- Ecuaciones matriciales de estado | 4.6.- Matriz de flexibilidad de una barra | 4.7.- Actividades | 4.8-Ejercicios de autoevaluación| 4 .8.- Ejercicios de autoevaluación

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4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4.5.- Ecuaciones matriciales de estado | 4.6.- Matriz de flexibilidad de una barra | 4.7.- Actividades | 4.8-Ejercicios de autoevaluación|

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Cálculo matricial de barras II

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.-Cálculo matricial de barras II 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 5.1.- La matriz de equilibrio {H} | 5.2.- Barras planas y espaciales de nudos articulados | 5.3.- Barras planas y espaciales de nudos rígidos | 5.4.- Obtención de las submatrices: {K11}, {K12}, {K21} y {K22} | 5.5.- Actividades | 5.6.- Ejercicios de autoevaluación | 5 .- Cálculo matricial de barras II

CÁLCULO MATRICIAL DE BARRAS II     

OBJETIVOS RESUMEN DEL TEMA ÍNDICE DE CONTENIDOS RECORRIDOS BIBLIOGRAFÍA

RESUMEN DEL TEMA Este tema consta fundamentalmente de tres bloques de contenidos : Bloque N◙1 : Obtener la matriz de equilibrio de diferentes barras planas. En este bloque exponemos y aplicamos el procedimiento para obtener la matriz de equilibrio de una barra plana (directriz recta y directriz cualquiera) de nudos articulado-articulado, empotradoempotrado y empotrado-articulado. Bloque N◙2 : Obtener la matriz de equilibrio de diferentes barras espaciales En este bloque aplicamos el procedimiento expuesto anteriormente al caso de barras pertenecientes a estructuras espaciales, sirviéndonos como introducción. Bloque N◙3 : Obtención de las submatrices que componen la matriz de rigidez de una barra. Sus relaciones con la matriz de equilibrio. En este desarrollo teórico ponemos de manifiesto la relación entre las submatrices de la ecuación de estado y con la matriz de equilibrio, como consecuencia del cumplimento de las ecuaciones de equilibrio estático en todas las barras de la estructura.

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Cálculo matricial de barras II

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INDICE DE CONTENIDOS 1. La matriz de equilibrio. 2. Aplicación al caso de barras, planas y espaciales, de directriz recta con nudos articulados. 3. Aplicación al caso de barras, planas y espaciales, de directriz recta con nudos rígidos. 4. Obtención de las submatrices. Relación con la matriz de equilibrio. 5. Actividades. Se pueden realizar las siguientes actividades complementarias de los contenidos antes referidos. 5.1. - Casos prácticos de aplicación del cálculo de la matriz de equilibrio de diferentes barras: nudos rígidos, nudos articulados y caso de barras planas y espaciales. 5.2. - Realización de ejercicios y cuestiones teóricas. Tratamos de poner de manifiesto la relación entre la tipología estructural y la matriz de equilibrio de barra a utilizar. 6. Ejercicios de autoevaluación. Realización de un conjunto de problemas sobre la obtención de la matriz de rigidez en diferentes barras de la tipología estudiada en este tema.

BIBLIOGRAFÍA PARA ESTE TEMA NIETO GARCÍA, E. (1998) Estructuras Arquitectónicas e Industriales:su cálculo En el capítulo 11. ARGUELLES ÁLVAREZ, R. (1981) Cálculo de estructuras: Volúmen I En su capítulo 14 NOTA: Se puede ver otra Bibliografía de interés sobre Cálculo matricial de estructuras en Recursos de profundización. Bibliografía apartado 4.7

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5.1.- La matriz de equilibrio {H} | 5.2.- Barras planas y espaciales de nudos articulados | 5.3.- Barras planas y espaciales de nudos rígidos | 5.4.- Obtención de las submatrices: {K11}, {K12}, {K21} y {K22} | 5.5.- Actividades | 5.6.- Ejercicios de autoevaluación |

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La matriz de equilibrio {H}

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.-Cálculo matricial de barras II 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 5.1-La matriz de equilibrio {H}| 5.2.- Barras planas y espaciales de nudos articulados | 5.3.- Barras planas y espaciales de nudos rígidos | 5.4.- Obtención de las submatrices: {K11}, {K12}, {K21} y {K22} | 5.5.- Actividades | 5.6.- Ejercicios de autoevaluación | 5 .1.- La matriz de equilibrio {H}

1. INTRODUCCIÓN 2. LA MATRIZ DE EQUILIBRIO { H }

3. Detalle estructural de los apoyos del Puente del Alamillo (Sevilla) 1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al concepto general de matriz de equilibrio de manera que ello puede ser aplicable a la totalidad de las tipologías estructurales, tanto estructuras planas como espaciales, tanto con barras de directriz recta como de directriz cualquiera, de nudos articulados como rígidos, pero siempre con cargas en los extremos 1 y 2 de las barras que componen la estructura. La matriz de equilibrio { H } lo que hace es exponer la relación que se produce en una barra, por razones de equilibrio estático entre las cargas que actúan en sus extremos 1 y 2 , de dicha barra, como se puede ver en la expresión matricial siguiente:

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La matriz de equilibrio {H}

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{P1}+{H}·{P2}=0 Podemos decir, por tanto, que la matriz de equilibrio es la que nos va a permitir expresar las ecuaciones de equilibrio estático que existen entre los vectores carga en los extremos 1 y 2 , de una barra cualquiera. Sabemos que para obtener la matriz de rigidez de una estructura, habremos de utilizar las matrices de rigidez de las barras y que según sea la tipología estructural, tanto los vectores carga y movimiento o desplazamiento, como las matrices de rigidez tendrán expresiones que serán diferentes. En base a lo anterior, podemos decir que el concepto de matriz de equilibrio es general en la metodología matricial. Ahora bien las matrices de rigidez y los vectores de carga y de movimiento dependerán de la tipología estructural concreta a la que apliquemos el cálculo matricial, razón por la que, en cada tipología estructural, la expresión concreta de la matriz { H } será distinta, aunque el concepto general sea el mismo. Así como la matriz de rigidez de una barra depende de los valores de dimensionamiento de la misma, tales como: 



Material, reflejado en valores como, por ejemplo, E (módulo de elasticidad), etc. Sección, reflejado en valores como, por ejemplo, A (área ), etc.

la matriz de equilibrio { H } sólo depende del sistema de cargas ( fuerzas y momentos ) que actúan en los extremos 1 y 2 de dicha barra, razón por la que únicamente las barras intervienen a través de su longitud y dirección, como un elemento geométrico lineal de posicionamiento, como un vector distancia entre los extremos 1 y 2 de la barra. Sabemos que en las estructuras de nudos articulados, cuando actúan cargas puntuales en los nudos, las barras que las forman, se encuentran solicitadas exclusivamente a axiles, mientras que cuando las estructuras son de nudos rígidos las solicitaciones en las barras se producen por axiles, cortantes y flectores. Por lo anterior vemos que los vectores carga en los extremos de las barras serán diferentes, en función de la tipología estructural. Al ser la matriz de equilibrio { H } una matriz que expresa la relación que se produce en una barra, por razones de equilibrio estático, entre las cargas que actúan en sus extremos 1 y 2 , de dicha barra, ello implica el que en apartados posteriores, estudiemos las diferentes expresiones concretas de la matriz de equilibrio, en función de que la estructura sea de nudos articulados o rígidos. 2. LA MATRIZ DE EQUILIBRIO { H } Como hemos referido anteriormente existen una relaciones, entre los vectores de carga P1 y P2 en los extremos 1 y 2 de una barra cualquiera, perteneciente a una estructura cualquiera, derivadas de las ecuaciones del equilibrio estático, que

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La matriz de equilibrio {H}

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podemos aplicar a dicha barra, como si fuera un sólido rígido. Si expresamos tal relación de la forma siguiente :

{P1}+{H}·{P2}=0 Donde : - { P1 } y { P2 } son los vectores carga en los extremos 1 y 2 de la barra. - { H } , matriz de equilibrio, establece la relación de equilibrio estático entre los dos vectores de carga antes indicados. Según sea la estructura de la que forma parte la barra, aparecerá un tipo de solicitación en sus extremos y según sea la forma de la barra, tendremos una determinada topología, lo que hará que la expresión concreta de la matriz de equilibrio sea diferente. Hemos de resaltar que: 

La matriz de equilibrio de una barra perteneciente a una estructura plana de nudos articulados será de : 2x2 , por cuanto los vectores carga en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 2x1.



La matriz de equilibrio de una barra perteneciente a una estructura plana de nudos rígidos será de : 3x3 , por cuanto los vectores carga en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 3x1.



La matriz de equilibrio de una barra perteneciente a una estructura espacial de nudos articulados será de : 3x3 , por cuanto los vectores carga en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 3x1.



La matriz de rigidez de una barra perteneciente a una estructura espacial de nudos rígidos será de : 6x6 , por cuanto los vectores carga y desplazamiento en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 6x1.

Vamos a ir viendo en los apartados siguientes las diferentes expresiones de la matriz de equilibrio.

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5.1-La matriz de equilibrio {H}| 5.2.- Barras planas y espaciales de nudos articulados | 5.3.- Barras planas y espaciales de nudos rígidos | 5.4.- Obtención de las submatrices: {K11}, {K12}, {K21} y {K22} | 5.5.- Actividades | 5.6.- Ejercicios de autoevaluación |

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Barras planas y espaciales de nudos articulados

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.-Cálculo matricial de barras II 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 5.1.- La matriz de equilibrio {H} | 5.2-Barras planas y espaciales de nudos articulados | 5.3.- Barras planas y espaciales de nudos rígidos | 5.4.- Obtención de las submatrices: {K11}, {K12}, {K21} y {K22} | 5.5.- Actividades | 5.6.Ejercicios de autoevaluación | 5 .2.- Barras planas y espaciales de nudos articulados

1. INTRODUCCIÓN 2. APLICACIÓN AL CASO DE BARRAS PLANAS DE DIRECTRIZ RECTA, CON NUDOS ARTICULADOS 3. APLICACIÓN AL CASO DE BARRAS DE DIRECTRIZ RECTA, PERTENECIENTES A ESTRUCTURAS ESPACIALES CON NUDOS ARTICULADOS 4. APLICACIÓN AL CASO DE BARRAS DE DIRECTRIZ CUALQUIERA, PERTENECIENTES A ESTRUCTURAS ESPACIALES, CON NUDOS ARTICULADOS

Detalle estructural de la Estación del AVE - Isla de la Cartuja - (Sevilla) 1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado tanto al caso de estructuras planas como espaciales, tanto de directriz recta como de directriz cualquiera, pero dentro de la tipología que corresponde a aquellas estructuras cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos articulados. Es decir: nos vamos a centrar en las estructuras de nudos articulados, por cuanto la matriz de matriz de equilibrio presenta relación con los vectores de carga en los extremos de las barras de la estructura. Sabemos que en dichas estructuras cuando actúan cargas puntuales en los nudos, las barras que las forman, se encuentran solicitadas exclusivamente a axiles. Ello implica que los vectores correspondientes a las cargas en los extremos de las barras

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Barras planas y espaciales de nudos articulados

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son únicamente fuerzas, en la dirección de la barra, sin que existan cortantes ni momentos flectores como solicitación. La matriz de equilibrio { H } lo que hace es exponer la relación que se produce en una barra, por razones de equilibrio estático entre las cargas que actúan en sus extremos 1 y 2 . Podemos decir, por tanto, que la matriz de equilibrio es la que nos va a permitir manejar las ecuaciones de equilibrio estático, que existen entre los vectores carga en los extremos 1 y 2, de una barra cualquiera, pero en este apartado nos vamos a referir exclusivamente al caso de barras pertenecientes a estructuras de nudos articulados. 2. APLICACIÓN AL CASO DE BARRAS PLANAS DE DIRECTRIZ RECTA, CON NUDOS ARTICULADOS En el caso de las estructuras planas de nudos articulados, los vectores carga en cada extremo de barra presentarán únicamente los componentes Px y Py (fuerzas en direcciones x , y correspondientes al plano), ya que no hay momento por actuar solamente cargas puntuales en los nudos. En el caso de las estructuras planas de nudos articulados, los vectores movimiento en cada extremo de barra presentarán únicamente los componentes dx y dy (desplazamientos en direcciones x , y correspondientes al plano), ya que no hay giro al no existir más solicitaciones que los axiles de tracción y compresión, que provocan exclusivamente movimientos de traslación. En la figura siguiente hemos representado los vectores de carga que existen en una barra que forma parte de una estructura plana de nudos articulados, con cargas puntuales en los nudos

Para una barra de directriz recta en estructura plana de nudos articulados, de longitud L, haciendo coincidir la directriz de la barra con el eje x, tendremos, al plantear el equilibrio en el eje x : Fx = 0

P1x + P2x = 0

En la barra de la figura si planteamos el equilibrio en el eje y tendremos que se cumplirá que :

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Barras planas y espaciales de nudos articulados

Fy = 0

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P1y + P2y = 0

Pasamos a concretar a la tipología estructural que nos ocupa (estructuras planas de nudos articulados), la expresión general de la ecuación matricial siguiente :

{P1}+{H}·{P2}=0 Donde :  

{ P1 } y { P2 } son los vectores carga en los extremos 1 y 2 de la barra. { H } , matriz de equilibrio, establece la relación de equilibrio estático entre los dos vectores de carga antes indicados.

Tendremos:

de donde podemos extraer que el valor de la matriz de equilibrio, { H }, para barras pertenecientes a estructuras planas de nudos articulados, será :

Cuando los ejes x , y que utilizamos como referencia son tales que el eje x coincide con la directriz de la barra, al producirse el hecho de que la solicitación que se produce en ese tipo de estructuras, cuando las cargas actúan en los nudos, son únicamente de axiles, los valores de P1y y de P2y son nulos.

3. APLICACIÓN AL CASO DE BARRAS DE DIRECTRIZ RECTA, PERTENECIENTES A ESTRUCTURAS ESPACIALES CON NUDOS ARTICULADOS En el caso de las estructuras espaciales de nudos articulados, los vectores carga en cada extremo de barra presentarán únicamente los componentes Px , Py y Pz (fuerzas en direcciones x , y , z correspondientes a la actuación del vector carga -fuerza- en cualquier dirección del espacio), ya que no hay momento, por actuar solamente cargas puntuales en los nudos. En el caso de las estructuras espaciales de nudos articulados, los vectores movimiento en cada extremo de barra presentarán únicamente los componentes dx , dy y dz (desplazamientos en direcciones x , y , z correspondiente a cualquier dirección del desplazamiento en el espacio), ya que no hay giro al no existir más solicitaciones que los axiles de tracción y compresión, que provocan exclusivamente movimientos de traslación. En la figura siguiente hemos representado los vectores de carga que existen en una barra que forma parte de una estructura espacial de nudos articulados, con cargas

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Barras planas y espaciales de nudos articulados

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puntuales en los nudos.

Para una barra de directriz recta en estructura plana de nudos articulados, de longitud L, haciendo coincidir la directriz de la barra con el eje x, tendremos, al plantear el equilibrio en el eje x : Fx = 0

P1x + P2x = 0

En la barra de la figura si planteamos el equilibrio en el eje y tendremos que se cumplirá que : Fy = 0

P1y + P2y = 0

En la barra de la figura si planteamos el equilibrio en el eje z tendremos que se cumplirá que : Fz = 0

P1z + P2z = 0

Pasamos a concretar a la tipología estructural que nos ocupa (estructuras espaciales, de barras de directriz recta, de nudos articulados), la expresión general de la ecuación matricial siguiente :

{P1}+{H}·{P2}=0 Donde :  

{ P1 } y { P2 } son los vectores carga en los extremos 1 y 2 de la barra. { H } , matriz de equilibrio, establece la relación de equilibrio estático entre los dos vectores de carga antes indicados.

Tendremos:

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Barras planas y espaciales de nudos articulados

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De donde podemos deducir el valor de la matriz de equilibrio { H } aplicable a esta tipología estructural :

Cuando los ejes x , y que utilizamos como referencia son tales que el eje x coincide con la directriz de la barra, al producirse el hecho de que la solicitación que se produce en ese tipo de estructuras, cuando las cargas actúan en los nudos, son únicamente de axiles, solamente los valores de P1x y de P2x no son nulos.

4. APLICACIÓN AL CASO DE BARRAS DE DIRECTRIZ CUALQUIERA, PERTENECIENTES A ESTRUCTURAS ESPACIALES, CON NUDOS ARTICULADOS En el caso de las estructuras espaciales de nudos articulados, con independencia de cómo sea la directriz de la barra, los vectores carga en cada extremo de barra presentarán únicamente los componentes Px , Py y Pz (fuerzas en direcciones x , y , z correspondientes a la actuación del vector carga -fuerza- en cualquier dirección del espacio), ya que no hay momento por actuar solamente cargas puntuales en los nudos. En el caso de las estructuras espaciales de nudos articulados, con independencia de cómo sea la directriz de la barra, los vectores movimiento en cada extremo de barra presentarán únicamente los componentes dx , dy y dz, desplazamientos en direcciones x , y , z correspondiente a cualquier dirección del desplazamiento en el espacio. En la figura siguiente hemos representado los vectores de carga que existen en una barra de directriz no recta, que forma parte de una estructura espacial de nudos articulados, con cargas puntuales en los nudos.

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El vector que une los extremos 1 y 2 de la barra presenta los componentes Lx, Ly y Lz, como vemos en la figura anterior. Las ecuaciones de equilibrio son las mismas que para una barra de directriz recta, aunque en este caso el sistema de ejes utilizado no presenta relación con la directriz de la barra. Fx = 0

P1x + P2x = 0

Fy = 0

P1y + P2y = 0

Fz = 0

P1z + P2z = 0

Pasamos a concretar a la tipología estructural que nos ocupa (estructuras espaciales, de barras de directriz recta, de nudos articulados), la expresión general de la ecuación matricial siguiente :

{P1}+{H}·{P2}=0 Donde :  

{ P1 } y { P2 } son los vectores carga en los extremos 1 y 2 de la barra. { H } , matriz de equilibrio, establece la relación de equilibrio estático entre los dos vectores de carga antes indicados.

Tendremos:

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De donde podemos deducir el valor de la matriz de equilibrio { H } aplicable a esta tipología estructural :

Esta matriz { H } coincide con la de una barra de directriz recta, debido a que el vector carga en los extremos está formado exclusivamente por fuerzas. Si planteamos el equilibrio en momentos, con respecto al extremo 1, que debe producirse en la barra como sólido que es, tendremos las ecuaciones siguientes: Mx = 0

P2y . Lz + P2z . Ly = 0

My = 0

P2z . Lx + P2x . Lz = 0

Mz = 0

P2x . Ly + P2y . Lx = 0

De forma que quedan de manifiesto unas relaciones entre los valores de P2x , P2y , P2z que componen el vector de carga en el extremo 2, a través de las componentes del vector distancia entre los extremos 1 y 2 de la barra.

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5.1.- La matriz de equilibrio {H} | 5.2-Barras planas y espaciales de nudos articulados | 5.3.- Barras planas y espaciales de nudos rígidos | 5.4.- Obtención de las submatrices: {K11}, {K12}, {K21} y {K22} | 5.5.- Actividades | 5.6.Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.-Cálculo matricial de barras II 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 5.1.- La matriz de equilibrio {H} | 5.2.- Barras planas y espaciales de nudos articulados | 5.3-Barras planas y espaciales de nudos rígidos| 5.4.- Obtención de las submatrices: {K11}, {K12}, {K21} y {K22} | 5.5.- Actividades | 5.6.- Ejercicios de autoevaluación |

5 .3.- Barras planas y espaciales de nudos rígidos

1. INTRODUCCIÓN 2. APLICACIÓN AL CASO DE BARRAS PLANAS DE DIRECTRIZ RECTA, CON NUDOS RIGIDOS 3. APLICACIÓN AL CASO DE BARRAS DE DIRECTRIZ RECTA, PERTENECIENTES A ESTRUCTURAS ESPACIALES CON NUDOS RIGIDOS 4. APLICACIÓN AL CASO DE BARRAS DE DIRECTRIZ CUALQUIERA, PERTENECIENTES A ESTRUCTURAS ESPACIALES, CON NUDOS RIGIDOS

Detalle estructural de la cubierta del Centro Nervión Plaza (Sevilla) 1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado tanto al caso de estructuras planas como espaciales, tanto de directriz recta como de directriz cualquiera, pero dentro de la tipología que corresponde a aquellas estructuras cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico o nudos rígidos. Es decir: nos vamos a centrar en las estructuras de nudos rígido, por cuanto la matriz de matriz de equilibrio presenta relación con los vectores de carga en los extremos de las barras de la estructura. Sabemos que en dichas estructuras, las barras que las forman, se encuentran solicitadas no solamente a axiles sino a cortantes y a flectores. La matriz de equilibrio { H } lo que hace es exponer la relación que se produce en una barra, por razones de equilibrio estático entre las cargas que actúan en sus extremos 1 y 2 . Podemos decir, por tanto, que la matriz de equilibrio es la que nos va a permitir manejar las ecuaciones de equilibrio estático, que existen entre los vectores carga en los extremos 1 y 2, de una barra cualquiera, pero en este apartado nos vamos a referir exclusivamente al caso de barras

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pertenecientes a estructuras de nudos rígidos. 2. APLICACIÓN AL CASO DE BARRAS PLANAS DE DIRECTRIZ RECTA, CON NUDOS RIGIDOS En el caso de las estructuras planas de nudos rígidos, los vectores carga en cada extremo de barra presentarán no solamente los componentes Px y Py (fuerzas en direcciones x , y correspondientes al plano), sino que aparece también Mz , ya que hay un momento cuyo eje está en una dirección perpendicular al plano x , y. En el caso de las estructuras planas de nudos rígidos, los vectores movimiento en cada extremo de barra presentarán no solamente los componentes dx y dy (desplazamientos en direcciones x , y correspondientes al plano), sino que se produce también un giro alrededor de un eje z, perpendicular al plano x , y . En la figura siguiente hemos representado los vectores de carga que existen en una barra que forma parte de una estructura plana de nudos rígidos

Para una barra de directriz recta en estructura plana de nudos rígidos, de longitud L, haciendo coincidir la directriz de la barra con el eje x, tendremos, al plantear el equilibrio en el eje x : Fx = 0

P1x + P2x = 0

En la barra de la figura si planteamos el equilibrio en el eje y tendremos que se cumplirá que : Fy = 0

P1y + P2y = 0

En la barra de la figura si planteamos el equilibrio en el eje z, expresando el equilibrio en momentos respecto al extremo 1, tendremos que se cumplirá que : Mz = 0

M1z + P2y · L + M2z= 0

Pasamos a concretar a la tipología estructural que nos ocupa (estructuras planas de nudos rígidos), la expresión general de la ecuación matricial siguiente :

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{P1}+{H}·{P2}=0 Donde : 

{ P1 } y { P2 } son los vectores carga en los extremos 1 y 2 de la barra.



{ H } , matriz de equilibrio, establece la relación de equilibrio estático entre los dos vectores de carga antes indicados.

Tendremos:

de donde podemos extraer que el valor de la matriz de equilibrio, { H }, para barras pertenecientes a estructuras planas de nudos rígidos, será :

3. APLICACIÓN AL CASO DE BARRAS DE DIRECTRIZ RECTA, PERTENECIENTES A ESTRUCTURAS ESPACIALES CON NUDOS RIGIDOS En el caso de las estructuras espaciales de nudos rígidos, los vectores carga en cada extremo de barra presentarán no solamente los componentes Px , Py , Pz , fuerzas en direcciones x , y , z correspondientes a la actuación del vector carga (fuerza) en cualquier dirección del espacio, sino también los componentes Mx , My y Mz ,momentos en direcciones x, y , z correspondientes a la actuación del vector momento en las direcciones x, y, z. En el caso de las estructuras espaciales de nudos rígidos, los vectores movimiento en cada extremo de barra presentarán no solamente los componentes dx , dy y dz (desplazamientos en direcciones x , y , z correspondiente a cualquier dirección del desplazamiento en el espacio), sino también los componentes x, y y z ya que se puede producir un giro cualquiera como consecuencia de la solicitación por un momento genérico en cada uno de los extremos de barra. En la figura siguiente hemos representado los vectores de carga que existen en una barra que forma parte de una estructura espacial de nudos rígidos.

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Para una barra de directriz recta en estructura espacial de nudos rígidos, de longitud L, haciendo coincidir la directriz de la barra con el eje x, tendremos, al plantear el equilibrio en el eje x : Fx = 0

P1x + P2x = 0

En la barra de la figura si planteamos el equilibrio en el eje y tendremos que se cumplirá que : Fy = 0

P1y + P2y = 0

En la barra de la figura si planteamos el equilibrio en el eje z tendremos que se cumplirá que : Fz = 0

P1z + P2z = 0

Si planteamos el equilibrio en momentos, con respecto al extremo 1, que debe producirse en la barra como sólido que es, tendremos las ecuaciones siguientes: M1x = 0

M1x + M2x = 0

M1y = 0

M1y + M2y - P2z . L = 0

M1z = 0

M1z + M2z + P2y . L = 0

Pasamos a concretar a la tipología estructural que nos ocupa (estructuras espaciales, de barras de directriz recta, de nudos rígidos), la expresión general de la ecuación matricial siguiente :

{P1}+{H}·{P2}=0 Donde : 

{ P1 } y { P2 } son los vectores carga en los extremos 1 y 2 de la barra.



{ H } , matriz de equilibrio, establece la relación de equilibrio estático entre los dos vectores de carga antes indicados.

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Tendremos:

De donde podemos deducir el valor de la matriz de equilibrio { H } aplicable a esta tipología estructural será:

4. APLICACIÓN AL CASO DE BARRAS DE DIRECTRIZ CUALQUIERA, PERTENECIENTES A ESTRUCTURAS ESPACIALES, CON NUDOS RIGIDOS En el caso de las estructuras espaciales de nudos rígidos, los vectores carga en cada extremo de barra presentarán no solamente los componentes Px , Py , Pz , fuerzas en direcciones x , y , z correspondientes a la actuación del vector carga (fuerza) en cualquier dirección del espacio, sino también los componentes Mx , My y Mz ,momentos en direcciones x, y , z correspondientes a la actuación del vector momento en las direcciones x, y, z. En el caso de las estructuras espaciales de nudos rígidos, los vectores movimiento en cada extremo de barra presentarán no solamente los componentes dx , dy y dz (desplazamientos en direcciones x , y , z correspondiente a cualquier dirección del desplazamiento en el espacio), sino también los componentes x , y y z ya que se puede producir un giro cualquiera como consecuencia de la solicitación por un momento genérico en cada uno de los extremos de barra. En la figura siguiente hemos representado los vectores de carga que existen en una barra, de directriz cualquiera, que forma parte de una estructura espacial de nudos rígidos.

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Hemos representado también las componentes del vector que une los extremos 1 y 2 de la barra de la figura. En el caso de barra de directriz no recta y que presenta sus extremos como pertenecientes a una estructura espacial de nudos rígidos, tendremos las siguientes ecuaciones como resultado de aplicar el equilibrio estático en fuerzas, tal como podemos ver en la figura: Fx = 0

P1x + P2x = 0

Fy = 0

P1y + P2y = 0

Fz = 0

P1z + P2z = 0

Siendo Lx, Ly , Lz las componentes en x, y , z del vector distancia entre los extremos 1 y 2 de la barra, el planteamiento de las ecuaciones de equilibrio, tomando momentos con respecto al extremo 1, nos dará las ecuaciones siguientes: M1x = 0

M1x + M2x - P2y . Lz + P2z . Ly = 0

M1y = 0

M1y + M2y + P2x . Lz - P2z . Lx = 0

M1z = 0

M1z + M2z - P2x . Ly + P2y . Lx = 0

Pasamos a concretar a la tipología estructural que nos ocupa (estructuras espaciales, de barras de directriz cualquiera, de nudos rígidos), la expresión general de la ecuación matricial siguiente :

{P1}+{H}·{P2}=0 Donde : 

{ P1 } y { P2 } son los vectores carga en los extremos 1 y 2 de la barra.



{ H } , matriz de equilibrio, establece la relación de equilibrio estático entre los dos vectores de carga antes indicados.

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Tendremos:

De donde podemos deducir el valor de la matriz de equilibrio { H } aplicable a esta tipología estructural :

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5.1.- La matriz de equilibrio {H} | 5.2.- Barras planas y espaciales de nudos articulados | 5.3-Barras planas y espaciales de nudos rígidos| 5.4.- Obtención de las submatrices: {K11}, {K12}, {K21} y {K22} | 5.5.- Actividades | 5.6.- Ejercicios de autoevaluación |

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Obtención de las submatrices: {K11}, {K12}, {K21} y {K22}

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.-Cálculo matricial de barras II 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 5.1.- La matriz de equilibrio {H} | 5.2.- Barras planas y espaciales de nudos articulados | 5.3.- Barras planas y espaciales de nudos rígidos | 5.4-Obtención de las submatrices: {K11}, {K12}, {K21} y {K22}| 5.5.Actividades | 5.6.- Ejercicios de autoevaluación | 5 .4.- Obtención de las submatrices: {K11}, {K12}, {K21} y {K22}

1. INTRODUCCIÓN 2. OBTENCIÓN DE LAS SUBMATRICES {K11 },{K12},{K21} y {K22 }

Detalle estructural de una malla de tetraedros en Hipercor Tomares Sevilla -

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado tanto al caso de estructuras planas como espaciales, tanto de nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos, como de nudos articulados. Es decir: lo que vamos a referir es aplicable a cualquier tipología estructural, por cuanto las Ecuaciones de Estado, que es donde aparecen las matrices K11, K12, K21, K22 (que son submatrices de la matriz de rigidez) , lo que hacen es exponer la relación que se produce en una barra cualquiera entre las cargas que actúan en sus extremos y los movimientos que se producen en dichos extremos, como

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consecuencia de las solicitaciones derivadas de la actuación de las cargas antes citadas. La relación entre las cargas y los movimientos se producirá a través de las adecuadas matrices de rigidez, que sí son específicas de cada barra, según sea la tipología estructural a que dicha barra pertenezca. En base a lo anterior, podemos decir que el concepto de las Ecuaciones de Estado es general en la metodología matricial. Lógicamente las matrices de rigidez y los vectores de carga y de movimiento dependerán de la tipología estructural concreta a la que apliquemos el cálculo matricial y en este apartado lo que vamos es a poner de manifiesto la relación que existe entre las matrices K11, K12, K21, K22 a través de la matriz de equilibrio, { H } , de la que hemos hablado en los apartados anteriores de este tema. Hemos de recordar que la matriz de equilibrio, que vamos utilizar seguidamente, es diferente en su expresión concreta en cada tipología estructural: 

La matriz de equilibrio { H } de una barra perteneciente a una estructura plana de nudos articulados será de : 2x2 , por cuanto los vectores carga en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 2x1.



La matriz de equilibrio { H } de una barra perteneciente a una estructura plana de nudos rígidos será de : 3x3 , por cuanto los vectores carga en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 3x1.



La matriz de equilibrio { H } de una barra perteneciente a una estructura espacial de nudos articulados será de : 3x3 , por cuanto los vectores carga en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 3x1.



La matriz de equilibrio { H } de una barra perteneciente a una estructura espacial de nudos rígidos será de : 6x6 , por cuanto los vectores carga en cada uno de los extremos de dicha barra tendrán de dimensión 6x1.

2. OBTENCIÓN DE LAS SUBMATRICES {K11 },{K12},{K21} y {K22 } Sabemos de apartados anteriores que las ecuaciones de estado presentan la expresión que sigue : P1 = K11 d1 + K12 d2 P2 = K21 d1 + K22 d2 Y se obtienen desarrollando la ecuación matricial siguiente :

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Los subíndices utilizados hacen mención a los extremos 1 y 2 de una barra, de forma que : P1 será el vector carga en el extremo 1 P2 será el vector carga en el extremo 2 d1 será el vector movimiento en el extremo 1 d2 será el vector movimiento en el extremo 2 La submatriz K11 será: la que relaciona la carga P1 con el desplazamiento d1 La submatriz K12 será: la que relaciona la carga P1 con el desplazamiento d2 La submatriz K21 será: la que relaciona la carga P2 con el desplazamiento d1 La submatriz K22 será: la que relaciona la carga P2 con el desplazamiento d2 Sabemos que la dimensión de las matrices anteriores dependerá de la barra, según sea la tipología estructural a que tal barra pertenezca, y será:    

En el caso de estructuras planas articuladas : 2x2 En el caso de estructuras espaciales articuladas : 3x3 En el caso de estructuras planas rígidas: 3x3 En el caso de estructuras espaciales rígidas : 6x6

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En la figura tratamos de poner de manifiesto que una barra (azul) sometida a un sistema de cargas que hemos definido como {P1}, {P2}, en sus extremos 1 y 2 , tiene un sistema de desplazamientos definido por {d1}, {d2} en sus extremos, y que puede ser tratada como superposición de lo siguiente : 

Una barra (roja) empotrada en el extremo 1, sometida a las cargas {P1} y {P2}, que origina lo que denominamos como deformación .



Un movimiento, que denominamos arrastre, hasta igualar los

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desplazamientos {d1} y {d2} de la barra azul. En el caso de barra con empotramiento en 1, dicho extremo no tiene desplazamiento como consecuencia de su vinculación y se cumplirá que: (1) { P2 } = { K } { d'2 } ; al aplicar la ecuación matricial siguiente: {P}={K}·{d} a dicha barra empotrada en el extremo 1 y libre en el extremo 2, donde: K = Matriz de rigidez de la barra . P = Matriz de cargas en los extremos, en este caso: { P2 } . d = Matriz de desplazamientos de los extremos, en este caso: { d'2 } . Lógicamente el sistema de desplazamientos en el extremo 2, que hemos denominado en este caso como { d'2 } se corresponderá con la deformación de la barra, al ser el sistema de desplazamientos, en el extremo 1, nulo. Otra relación que se cumplirá en el caso de barra empotrada en el extremo 1 y libre en el extremo 2, con carga en dicho extremo 2, será : (2) { P1 } + { H } { P2 } = 0 ; como consecuencia de la aplicación en la metodología matricial del equilibrio estático, de forma que { P2 } será el sistema de cargas de acción, en el extremo 2 y { P1 } será el sistema de cargas de reacción, en el extremo 1. Pasamos ahora a considerar el caso del arrastre (barra verde), proceso de movimiento sin deformación, de la barra sometida a un sistema de cargas en equilibrio, razón por la cual el trabajo será nulo. Se cumplirá que: (3) { P1 }T . { d1 } + { P2 }T . { d''2 } = 0 , ya que el extremo 1 tendrá un movimiento { d1 } y el extremo 2 un movimiento { d''2 } , hasta llegar al vector movimiento { d2 } total , que se corresponde con el caso de la barra azul. Utilizando la ecuación (2), anteriormente enunciada, en la ecuación (3), tendremos que se cumplirá que: { P1 }T = - { H }T { P2 } T , luego la ecuación (3) quedará así: (4) - { H }T{ P2 }T . { d1 } + { P2 }T . { d''2 } = 0

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de la ecuación (4) podemos extraer la relación siguiente: (5) { d''2 } = { H }T . { d1 } En el caso de barra sometida a deformación se cumplirá, como hemos referido anteriormente en la ecuación (1) que : { P2 } = { K }.{ d'2 } Hemos de recordar ahora el planteamiento que estamos desarrollando: El desplazamiento se compone de :  

Deformación Arrastre

Por ello se cumplirá que: (6) {d2} = { d'2 } + { d''2 } luego: (7) { P2 } = { K }.( { d2 } - { d''2 } ) = { K }.{ d2 } - { K } { d''2 } Sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (7) tendremos : (8) { P2 } = - { K } { H }T . { d1 } + { K }.{ d2 } Sabemos por la ecuación (2) que: { P1 } = - { H } { P2 } y por tanto se cumplirá que: (9) { P1 } = { H } { K } { H }T . { d1 } - { H } { K } . { d2 } ahora nos hemos de fijar en la analogía que se puede extraer entre las ecuaciones en rojo (8) y (9) y las Ecuaciones de Estado, que recordamos se derivan de la ecuación matricial:

Y que son las siguientes: { P1 } = { K11 }. { d1 } + { K12 }. { d2 }

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{ P2 } = { K21 }. { d1 } + { K22 }. { d2 } Vemos que se producen las siguientes relaciones : { K11 } = { H } { K } { H }T { K12 } = - { H } { K } { K21 } = - { K } { H }T { K22 } = { K } que son las ecuaciones que queríamos obtener y que nos demuestran que: Las submatrices { K11 } , { K12 } y { K21 } presentan una relación con la submatriz { K22 } y la matriz de equilibrio { H }.

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.-Cálculo matricial de barras II 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 5.1.- La matriz de equilibrio {H} | 5.2.- Barras planas y espaciales de nudos articulados | 5.3.- Barras planas y espaciales de nudos rígidos | 5.4.- Obtención de las submatrices: {K11}, {K12}, {K21} y {K22} | 5.5-Actividades| 5.6.- Ejercicios de autoevaluación | 5 .5.- Actividades

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Ejercicios de autoevaluación

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.-Cálculo matricial de barras II 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 5.1.- La matriz de equilibrio {H} | 5.2.- Barras planas y espaciales de nudos articulados | 5.3.- Barras planas y espaciales de nudos rígidos | 5.4.- Obtención de las submatrices: {K11}, {K12}, {K21} y {K22} | 5.5.- Actividades | 5.6-Ejercicios de autoevaluación| 5 .6.- Ejercicios de autoevaluación

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5.1.- La matriz de equilibrio {H} | 5.2.- Barras planas y espaciales de nudos articulados | 5.3.- Barras planas y espaciales de nudos rígidos | 5.4.- Obtención de las submatrices: {K11}, {K12}, {K21} y {K22} | 5.5.- Actividades | 5.6-Ejercicios de autoevaluación|

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 6.1.- Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3.- Definición topológica de una estructura | 6.4.- Matriz de conexión | 6.5.- Transformación de los desplazamientos | 6.6.- Transformación de la matriz de rigidez | 6.7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.- Actividades | 6.9.- Ejercicios de autoevaluación | 6 .- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I

CÁLCULO MATRICIAL ARTICULADOS I     

DE

ESTRUCTURAS

DE

NUDOS

OBJETIVOS RESUMEN DEL TEMA ÍNDICE DE CONTENIDOS RECORRIDOS BIBLIOGRAFÍA

RESUMEN DEL TEMA Este Tema consta fundamentalmente de cuatro bloques de contenidos : Bloque N◙1 : Procedimiento de cambio de sistemas locales-globales. Su aplicación a los vectores carga y desplazamiento y a la matriz de rigidez. En este bloque exponemos el procedimiento para obtener la matriz de transformación y aplicamos el cambio de sistema de ejes locales a globales en los vectores carga y desplazamiento, así como a la matriz de rigidez. Bloque N◙2 : Definición topológica de la estructura En este bloque aplicamos el procedimiento para sistematizar la definición de una estructura de forma que podamos aplicarle el cálculo matricial. Bloque N◙3 : Obtención de la matriz de conexión de una estructura En este desarrollo teórico ponemos de manifiesto la relación entre las cargas que actúan en un nudo y las que aparecen en las barras que forman dicho nudo. Bloque N◙4 : Obtención de la matriz de rigidez de una estructura Exponemos el procedimiento para el ensamblaje de la matriz de rigidez de una estructura y así poder pasar del cálculo de barras al de una estructura, entendida

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como un conjunto de barras.

INDICE DE CONTENIDOS 1- Coordenadas locales y globales. 2- Matriz de transformación. Vector carga. 3- Definición topológica de una estructura. 4- Matriz de conexión de una estructura. 5- Transformación de los desplazamientos. 6- Transformación de la matriz de rigidez de una barra. 7- Ensamblaje de la matriz de rigidez. 8- Actividades. Se pueden realizar las siguientes actividades complementarias de los contenidos antes referidos. 8.1. - Casos prácticos de aplicación del cálculo matricial de estructuras de nudos articulados. 8.2. - Utilización del software docente sobre cálculo de estructuras planas de nudos articulados. Podremos ver mediante dicho software si los cálculos que estamos realizando para resolver una estructura son correctos, ya que dicho software obtiene el conjunto de resultado intermedios que se producen a lo largo del proceso del cálculo matricial de la estructura. 9- Ejercicios de autoevaluación. Realización de un conjunto de problemas de exámenes anteriores sobre la obtención de la matriz de rigidez en diferentes estructuras planas de nudos articulados.

BIBLIOGRAFÍA PARA ESTE TEMA NIETO GARCÍA, E. (1998) Estructuras Arquitectónicas e Industriales:su cálculo En el capítulo 11. ARGUELLES ÁLVAREZ, R. (1981) Cálculo de estructuras: Volúmen I En su capítulo 14

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NIETO GARCÍA, E. Apuntes de clase :Cálculo de estructuras. - E.U.P. - Sevilla Para completar la información anterior podemos utilizar el programa de la figura siguiente sobre cálculo matricial de estructuras planas, tanto de nudos articulados como de nudos de empotramiento elástico (nudos rígidos) y utilizar la Ayuda que se incluye en dicho programa, en lo referente a la Entrada de Datos. (pulse el gráfico para ampliar)

En el cálculo matricial es de especial importancia la definición topológica de una estructura, por cuanto se explicita claramente cómo se forman los nudos y dónde se encuentran, así como los apoyos y vínculos exteriores de la estructura. También se explicitan cuales son los extremos de las barras que forman la estructura. En otras metodologías de cálculo de estructuras dichas relaciones están implícitas y no se ven tan claramente como en la metodología de cálculo matricial. De la misma manera que hemos hecho para el cálculo matricial de estructuras planas de nudos articulados y de nudos rígidos, podemos utilizar el programa de la figura siguiente sobre Emparrillados, con cargas puntuales perpendiculares al plano del emparrillado, en nudos. Utilizando la Ayuda que se incluye en dicho programa tendremos una información complementaria. (pulse el gráfico para ampliar)

NOTA: Se puede ver otra Bibliografía de interés sobre Cálculo matricial de estructuras en Recursos de profundización. Bibliografía apartado 4.

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6.1.- Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3.- Definición topológica de una estructura | 6.4.- Matriz de conexión | 6.5.- Transformación de los desplazamientos | 6.6.- Transformación de la matriz de rigidez | 6.7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.- Actividades | 6.9.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 6.1-Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3.- Definición topológica de una estructura | 6.4.- Matriz de conexión | 6.5.- Transformación de los desplazamientos | 6.6.- Transformación de la matriz de rigidez | 6.7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.Actividades | 6.9.- Ejercicios de autoevaluación | 6 .1.- Coordenadas locales y globales

1. INTRODUCCIÓN 2. COORDENADAS LOCALES 3. COORDENADAS GLOBALES

Detalle estructural de la cubierta metálica de las gradas del Estadio Olímpico - Sevilla 1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado tanto al caso de estructuras planas como espaciales, tanto de nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos, como de nudos articulados. Es decir: lo que vamos a referir es aplicable a cualquier tipología estructural, por cuanto los diferentes sistemas de ejes a utilizar, nos son necesarios para expresar de la manera más adecuada las diferentes magnitudes, vectoriales y matriciales, que se utilizan en el cálculo matricial de estructuras. Nos encontramos con que: 

Para una barra cualquiera de directriz recta, la dirección de dicha directriz es una importante referencia, que vamos a hacer coincidir con el eje x.



Para una estructura formada por un conjunto de barras, la dirección del eje x aunque pueda coincidir con la directriz de una barra de dicha estructura, no coincidirá con la directriz de otras barras de dicha estructura.

Vemos por lo anterior que cuando nos encontramos aplicando el cálculo matricial a una barra hemos de utilizar un sistema de ejes que nos permita expresar el conjunto de matrices y vectores, tomando como referencia la dirección de la directriz de la barra, mientras que cuando estamos aplicando el cálculo matricial a una estructura hemos de utilizar un sistema de ejes, que pueda ser aplicable al conjunto de las barras y nudos que forman dicha estructura. Podemos decir que: 

En el primer caso hablamos de un sistema de ejes referenciales a la barra y que denominamos como coordenadas locales.



En el segundo caso hablamos de un sistema de ejes referenciales a la estructura, en su conjunto, que

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Coordenadas locales y globales

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denominamos como coordenadas globales. Hemos de utilizar el sistema de coordenadas locales para poder expresar magnitudes que hacen referencia a la propia barra, como por ejemplo sus características resistentes expresadas mediante la matriz de rigidez de una barra. Hemos de utilizar el sistema de coordenadas globales para poder expresar magnitudes que sean propias de la estructura, como por ejemplo el sistema de cargas que actúa sobre la estructura. 2. COORDENADAS LOCALES Vamos a referir seguidamente las aplicaciones de los sistemas de coordenadas locales. Cuando expresamos las matrices de rigidez de : 1 - Barra plana de nudos articulados:

donde aparecen las matrices K11, K12, K21, K22 (que son submatrices de la matriz de rigidez) , estamos utilizando un sistema de coordenadas locales. 2 - Barra plana de nudos rígidos, la expresión de las matrices K11, K12, K21, K22 son:

para lo cual estamos utilizando un sistema de coordenadas locales. 3 - Barras de estructuras espaciales: Nos hemos referido anteriormente a las barras de estructuras planas, tanto de nudos articulados como espaciales, pero también es válido para las barras pertenecientes a estructuras espaciales, cuyas matrices K11, K12, K21, K22 se expresan utilizando las coordenadas locales. 4 - Diagramas de solicitaciones:

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Cuando expresamos los diagramas de axiles, cortantes, flectores y torsores de las barras que componen una estructura estamos utilizando los sistemas de coordenadas locales. En la figura hemos representado un Diagrama de Flectores de un pórtico, en el cual se hace referencia a la solicitación, lógicamente de flector, que se produce en cada una de las barras que forman esa estructura.

En el caso de una estructura plana ( contenida en un plano ) el momento flector presentará un eje en z, perpendicular a dicho plano, con lo cual no variará la dirección del flector siempre que las barras estén contenidas en dicho plano. Hemos de considerar que aunque las direcciones x,y sean diferentes en cada barra, al hacer coincidir el eje x con la directriz de la barra, el eje z será siempre de la misma dirección, al estar contenidos los ejes locales x,y de cada barra en el mismo plano. En la figura siguiente hemos representado el Diagrama de Cortantes en el cual se hace referencia a la solicitación, lógicamente de cortante, que se produce en cada una de las barras que forman esa estructura. En este caso de una estructura plana ( contenida en un plano ) el cortante se presentará en un eje y, perpendicular a la directriz de cada barra (eje x), de forma que estamos utilizando el sistema de coordenadas locales, que varían en cada barra en función de la directriz de la misma.

En la figura siguiente hemos representado el Diagrama de Axiles en el cual se hace referencia a la solicitación, lógicamente de axil (en la dirección de la directriz de la barra), que se produce en cada una de las barras que forman esa estructura. En este caso de una estructura plana ( contenida en un plano ) el axil se presentará en un eje x, en la dirección de la directriz de cada barra (eje x), de forma que estamos utilizando el sistema de coordenadas locales, que varían en cada barra en función de la directriz de la misma.

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Resumiendo, podemos decir que la utilidad fundamental del sistema de coordenadas local es: 

La expresión de las matrices de rigidez de las barras que hemos utilizado en las Ecuaciones de Estado, que se derivan de la ecuación matricial:



La expresión de los valores de solicitación en las barras, que podemos denominar como vector esfuerzos en barras.

3. COORDENADAS GLOBALES Vamos a referir a continuación las aplicaciones o utilidad que presenta el sistema de coordenadas globales. En primer lugar, cada vez que hemos de expresar una relación entre barras, como, por ejemplo, que: 

La suma de los vectores esfuerzo en los extremos de las barras que confluyen en un nudo, es igual al vector carga en dicho nudo,hemos de utilizar un sistema de referencia que sea común al conjunto de barras que confluyen en dicho nudo y por tanto utilizaremos las coordenadas globales.

Hemos de utilizar el sistema de coordenadas globales, fundamentalmente, para expresar: 

El vector cargas en nudos de la estructura.



El vector desplazamientos o movimientos en nudos de la estructura.



La matriz de rigidez de la estructura.

De forma que la ecuación matricial siguiente pueda expresarse, aplicada a una estructura, en coordenadas globales:

{P}={K}·{d}

{d}={K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura en coordenadas globales. P = Matriz de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Matriz de desplazamientos en los nudos de la estructura en coordenadas globales. En dicha expresión podemos ver cómo al aplicar el Método de la Rigidez lo que obtenemos es el vector desplazamientos ó movimientos de los nudos, una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y definido el vector cargas en nudos.

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6.1-Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3.- Definición topológica de una estructura | 6.4.- Matriz de conexión | 6.5.- Transformación de los desplazamientos | 6.6.- Transformación de la matriz de rigidez | 6.7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.Actividades | 6.9.- Ejercicios de autoevaluación |

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Matriz de transformación

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 6.1.- Coordenadas locales y globales | 6.2-Matriz de transformación | 6.3.- Definición topológica de una estructura | 6.4.- Matriz de conexión | 6.5.Transformación de los desplazamientos | 6.6.- Transformación de la matriz de rigidez | 6.7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.- Actividades | 6.9.- Ejercicios de autoevaluación | 6 .2.- Matriz de transformación

1. 2. 3. 4.

INTRODUCCIÓN MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN PARA ESTRUCTURAS PLANAS MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN PARA ESTRUCTURAS ESPACIALES VECTOR DE CARGA

Detalle de apoyo de una estructura espacial de módulo tetraédrico en la cubierta metálica del Polideportivo S. Pablo Sevilla 1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado tanto al caso de estructuras planas como espaciales, tanto de nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados nudos rígidos, como de nudos articulados. Es decir: lo que vamos a referir es aplicable a cualquier tipología estructural, por cuanto los diferentes sistemas de ejes a utilizar nos son necesarios para expresar de la manera más adecuada las diferentes magnitudes vectoriales y matriciales que se utilizan en el cálculo matricial de estructuras y lo que vamos a tratar en el presente apartado trata acerca de la relación entre los sistemas de ejes. Vemos que: Para un conjunto de vectores y matrices, generalmente ligados a las barras, utilizamos el sistema de coordenadas locales. Para otro conjunto de vectores y matrices, generalmente ligados a la estructura en su conjunto, utilizamos el sistema de coordenadas globales. El propio procedimiento de cálculo matricial de estructuras se desarrolla partiendo del cálculo de las matrices de rigidez de las barras, expresadas en locales, para llegar a la matriz de rigidez de la estructura que hemos de expresar en coordenadas globales. Es decir: cuando en el procedimiento de cálculo matricial planteamos las relaciones existentes entre las diferentes barras de la estructura, es necesario utilizar un único sistema de coordenadas, que denominamos de coordenadas globales. Por lo anterior se hace necesario el poder expresar las matrices de rigidez de las barras tanto referidas a las coordenadas locales, propias de la barra, como referida a las coordenadas globales, propias de la estructura. La matriz de transformación, que vamos a denominar simbólicamente como { T } , nos va a servir para resolver este proceso de cambio y relación entre los sistemas de coordenadas locales y globales. 2. MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN PARA ESTRUCTURAS PLANAS Denominamos matriz de transformación { T }, en una barra, a aquella matriz que nos permite relacionar el vector carga aplicado a dicha barra, en coordenadas globales { PG }, con el vector carga en coordenadas locales { PL} que actúa en la misma barra. En base a lo anterior la matriz de transformación { T } será aquella que se deriva de la siguiente ecuación matricial :

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{ PG } = { T } . { P L }

En la figura anterior hemos representado una barra perteneciente a una estructura plana de nudos articulados con un sistema de coordenadas locales (azul) y un sistema de coordenadas globales (rojo). Hemos dibujado el vector carga en globales en el extremo 1 (PXG, PYG) y el vector carga en locales en el extremo 2 (PXL, PYL) , aunque lógicamente tanto el sistema de ejes local como el sistema de ejes global, es igual en los dos extremos. Planteamos la ecuación de relación entre cargas, en coordenadas globales y coordenadas locales, utilizando la matriz { T }: { PG } = { T } { PL } y tendremos que para el caso de una barra perteneciente a una estructura de plana de nudos articulados que la ecuación matricial anterior queda así:

De forma que la matriz { T } será:

En la figura siguiente hemos representado una barra perteneciente a una estructura plana de nudos rígidos con un sistema de coordenadas locales (azul) y un sistema de coordenadas globales (rojo).

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Matriz de transformación

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Hemos dibujado el vector carga en globales en el extremo 1 (PXG, PYG, MG) y el vector carga en locales en el extremo 2 (PXl, PYl, Ml) , aunque lógicamente tanto el sistema de ejes local como el sistema de ejes global, es igual en los dos extremos. Como hemos indicado anteriormente el sistema de ejes local se justifica para el cálculo de magnitudes vectoriales y matriciales relativas a la barra y el sistema de ejes global, lo utilizaremos en todo lo que haga referencia a la estructura, así como a lo largo del procedimiento de cálculo matricial para poder establecer la interacción entre las diferentes barras de la estructura, en un sistema de coordenadas común al conjunto de barras. Planteamos la ecuación de relación entre cargas, en coordenadas globales y coordenadas locales, utilizando la matriz { T }: { PG } = { T } { PL } y tendremos que para el caso de una barra perteneciente a una estructura de nudos rígidos que la ecuación matricial anterior queda así:

De forma que la matriz { T } será:

3. MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN PARA ESTRUCTURAS ESPACIALES Veamos seguidamente la matriz de transformación { T } para el caso de las estructuras espaciales. En la figura siguiente hemos representado una barra con los sistemas de coordenadas locales y globales.

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Matriz de transformación

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Planteamos la ecuación de relación entre cargas, en coordenadas globales y coordenadas locales, utilizando la matriz { T }: { PG } = { T } { PL } Hemos representado un vector carga, de fuerza exclusivamente, en el extremo 1, para el caso de estructuras de nudos articulados ya que no hay momentos en los extremos de las barras que pertenecen a tal tipología estructural. Relacionamos los ejes locales con los ejes globales a través de los cosenos directores de los ejes locales, según podemos ver en la figura anterior, para el caso del eje XL. En forma análoga se referencia a través de los cosenos directores de los ejes YL y ZL, con respecto al sistema de ejes globales. Así tendremos que denominaremos: 1x : El ángulo de la barra (eje XL) con el eje XG . 1y : El ángulo de la barra (eje XL) con el eje YG . 1z : El ángulo de la barra (eje XL) con el eje ZG . 1x : El ángulo del eje YL con el eje XG . 1y : El ángulo del eje YL con el eje YG . 1z : El ángulo del eje YL con el eje ZG . 1x : El ángulo del eje ZL con el eje XG . 1y : El ángulo del eje ZL con el eje YG . 1z : El ángulo del eje ZL con el eje ZG . Por tanto se producirá la siguiente ecuación matricial :

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Matriz de transformación

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luego la matriz de transformación { T } será:

Para el caso de barras pertenecientes a estructuras espaciales de nudos rígidos nos encontraremos con que el vector carga, por ejemplo en el extremo 1, será:

Es decir nos encontramos con una fuerza de dirección cualquiera, pero a diferencia del caso de estructuras espaciales de nudos articulados, en el caso de estructuras espaciales de nudos rígidos, tendremos un momento de dirección cualquiera. Por tanto se producirá la siguiente relación matricial:

Siendo la matriz { T } :

Siendo la matriz { 0 } :

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Matriz de transformación

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4. VECTOR CARGA Existe una gran relación en la metodología matricial y la matriz de transformación como hemos visto en los apartados anteriores. El vector carga aparece tanto en los extremos 1 y 2 de cualquier barra, aunque debido a que los sistemas de ejes locales y globales presentan la misma dirección y sentido en los dos extremos, la matriz de transformación se obtiene expresando la relación entre los vectores de carga, expresados en globales y en locales en un solo extremo de la barra, como hemos visto anteriormente. Para el caso de estructura plana de nudos articulados, el vector carga se expresará en coordenadas globales ó locales:

Para el caso de estructura plana de nudos rígidos, el vector carga será en coordenadas globales ó locales:

Para el caso de estructura espacial de nudos articulados, el vector carga será en coordenadas globales ó locales:

Para el caso de estructura espacial de nudos rígidos, el vector carga será en coordenadas globales ó locales:

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Matriz de transformación

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siendo, por ejemplo { P1} :

y análogamente { P2}

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 6.1.- Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3-Definición topológica de una estructura | 6.4.- Matriz de conexión | 6.5.- Transformación de los desplazamientos | 6.6.- Transformación de la matriz de rigidez | 6.7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.- Actividades | 6.9.- Ejercicios de autoevaluación | 6 .3.- Definición topológica de una estructura

1. INTRODUCCIÓN 2. DEFINICIÓN TOPOLÓGICA DE UNA ESTRUCTURA

Detalle estructural de la Estación de Autobuses de Plaza de Armas - Sevilla 1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado a la definición topológica de una estructura y vamos a utilizar para concretar los conceptos necesarios el caso de las estructuras planas. La metodología de cálculo matricial de estructuras se basa en modular las relaciones carga-desplazamiento en las barras que componen la estructura. Dicha relación se refleja en la matriz de rigidez de las barras. Sin embargo, para poder obtener la matriz de rigidez de una estructura, que es la relación entre los vectores carga y desplazamiento, que se produce en la estructura, necesitamos definir dicha estructura. A la definición de la estructura, como un conjunto de barras, de manera que podamos establecer las relaciones entre las barras y la estructura es a lo que

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Definición topológica de una estructura

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denominamos como: definición topológica de la estructura.

Necesitaremos para la definición topológica la estructura: 1 - Definir las barras que forman la estructura y ello implica: 

 

Numerar las barras, para que podamos relacionar la barra con la estructura e identificarla dentro de la misma. Definir las longitudes y dirección de las barras. Definir los extremos inicial y final (extremos 1 y 2 de cada barra)

2 - Definir los nudos de la estructura, estableciendo:  

Las barras que confluyen en dichos nudos. El tipo de nudo (articulado, fijo, ...)

3 - Definir los apoyos de la estructura: apoyo libre, articulación fija, etc. Aparte de lo anterior para completar la definición de la estructura necesitamos un conjunto de datos, referente a las secciones de las barras, es decir: el dimensionamiento de las barras que forman la estructura. El dimensionamiento de las barras es el conjunto de valores propios de la sección y del material con que están realizadas dichas barras, de forma que se puedan obtener las matrices de rigidez de dichas barras en coordenadas locales. Así, por ejemplo para estructuras planas de nudos articulados, con cargas en los nudos, será suficiente con los valores: A .... Sección de la barra. E .... Módulo de Young del material de la barra de cada una de las barras que forman la estructura. Para el caso de estructuras planas de nudos rígidos (nudos de empotramiento elástico) serán necesarios los valores: A .... Sección de la barra. I .... Momento de inercia. E .... Módulo de Young del material de la barra de cada una de las barras que forman la estructura. Para el caso de estructuras espaciales de nudos articulados, con cargas puntuales en los nudos serán suficientes los valores: A .... Sección de la barra. E .... Módulo de Young del material de la barra de cada una de las barras que forman la estructura, al igual que en el caso de estructuras planas de nudos articulados, ya que las solicitaciones en barras son solamente axiles. Para el caso de emparrillados, con cargas puntuales en nudos perpendiculares al plano del emparrillado, serán necesarios los valores: Ip .... Momento polar de inercia de la sección de la barra.

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Definición topológica de una estructura

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Ix .... Momento de inercia en el eje x. G .... Módulo de rigidez transversal de cada una de las barras que forman la estructura. Para el caso de estructuras espaciales de nudos rígidos con cargas cualesquiera, serán necesarios los valores: Ip .... Momento polar de inercia de la sección de la barra. Iz .... Momento de inercia en el eje z. Iy .... Momento de inercia en el eje y. A .... Sección de la barra. E .... Módulo de Young del material de la barra G .... Módulo de rigidez transversal de cada una de las barras que forman la estructura. Hemos de recordar que cuando en el procedimiento de cálculo matricial planteamos las relaciones existentes entre las diferentes barras de la estructura, es necesario utilizar un único sistema de coordenadas, que denominamos de coordenadas globales. Por lo anterior se hace necesario el poder expresar las matrices de rigidez de las barras tanto referidas a las coordenadas locales, propias de la barra, como referida a las coordenadas globales, propias de la estructura y por ello es fundamental el tener claro los sistemas de coordenadas que estamos utilizando, para introducir adecuadamente los datos de definición de las secciones, fundamentalmente en cuanto a los valores de Ix, Iy de las secciones. 2. DEFINICIÓN TOPOLÓGICA DE UNA ESTRUCTURA

Caso 1: Estructura plana de nudos articulados

(pulse el gráfico para ampliar)

En la figura podemos ver (Datos de la Estructura) la definición topológica de una estructura plana de nudos articulados. Vemos arriba a la izquierda (Tipo de nudos) la definición del tipo de nudo: Articulado, en nuestro caso. Vemos arriba en el centro (Coordenadas de los nudos) la definición de los nudos y apoyos, en coordenadas globales lógicamente. En nuestro caso será: Nudos 2, 3 y 4 Apoyos 1 y 5 (Articulado fijo)

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Definición topológica de una estructura

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Vemos arriba a la derecha (Definición de las barras) tanto los extremos (Nudo inicial y Nudo final) de las barras como los datos necesarios de la sección, que en el caso que estamos viendo es la Sección (A) de cada una de dichas barras. En nuestro caso será : Barras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Finalmente, a la izquierda, debajo de tipo de nudos, tenemos el dato referente al material (Módulo de Elasticidad E). Pulsando en el boton Dibujar, podemos ver la definición topológica de la estructura de forma gráfica (Dibujo de la Estructura), de manera que podamos comprobar si es correcta.

Caso 2: Estructura plana de nudos rigidos (pulse el gráfico para ampliar)

En la figura anterior podemos ver cómo se define topológicamente una estructura plana de nudos rígidos. subir

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6.1.- Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3-Definición topológica de una estructura | 6.4.- Matriz de conexión | 6.5.- Transformación de los desplazamientos | 6.6.- Transformación de la matriz de rigidez | 6.7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.- Actividades | 6.9.- Ejercicios de autoevaluación |

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Matriz de conexión

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 6.1.- Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3.- Definición topológica de una estructura | 6.4-Matriz de conexión| 6.5.- Transformación de los desplazamientos | 6.6.- Transformación de la matriz de rigidez | 6.7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.- Actividades | 6.9.- Ejercicios de autoevaluación | 6 .4.- Matriz de conexión

1. INTRODUCCIÓN 2. MATRIZ DE CONEXIÓN

El puente de la Barqueta - Sevilla 1. INTRODUCCIÓN El planteamiento de las ecuaciones de equilibrio en los nudos de una estructura tiene normalmente la función de determinar las solicitaciones que se producen en las barras de una estructura como consecuencia de la actuación de un sistema de cargas sobre dicha estructura. Así en el caso de estructuras de nudos articulados, con isostaticidad interior y exterior, con cargas puntuales en los nudos, mediante la aplicación del método analítico de los nudos o con el método gráfico de Cremona se pueden obtener los axiles de tracción ó compresión en las barras. En otras tipologías estructurales no isostáticas las ecuaciones de equilibrio en nudos son importantes, por cuanto establecen una relación entre las solicitaciones que se producen en los extremos de las barras que confluyen en un nudo y el sistema de cargas que actúa sobre la estructura, aunque no aporten una solución directa al problema de determinación de las solicitaciones en barras. En la metodología de cálculo matricial de estructuras la matriz de conexión, que denominaremos simbólicamente como { C } , establece una relación entre los vectores:  

Cargas en nudos de la estructura, en coordenadas globales Cargas en barras, en coordenadas locales

Según podemos ver por lo anterior la matriz de conexión se refiere a una estructura y no a una barra individual, como puede suceder, por ejemplo, con la matriz de rigidez, que puede ser aplicable tanto a una barra como a una estructura. Así denominamos matriz de conexión de una estructura a { C } , tal que se cumpla la ecuación : { PNG } = { C } . { PbL } siendo :

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{ PNG } = Vector cargas en nudos , en coordenadas globales . { PbL } = Vector cargas en barras , en coordenadas locales . La determinación de la matriz de conexión está basada, como hemos indocado anteriormente, en el equilibrio estático en nudos y, por tanto, una vez determinada tal matriz, en el caso de estructuras isostáticas de nudos articulados, poder obtener los esfuerzos en barras, que en tal caso seran los axiles ya que se utilizan las coordenadas locales para su expresión. 2. MATRIZ DE CONEXIÓN Como hemos referido anteriormente la matriz de conexión se refiere siempre a una estructura y por ello vamos a obtener la matriz de conexión de la estructura de la figura siguiente.

Planteando el equilibrio en los nudos D, E y F y utilizando las relaciones anteriormente definidas : (1) { PG } = { T } . { PL } (2) { P1 } + { H } . { P2 } = 0 obtendremos la ecuación siguiente para el nudo D : (3) { PDG } = {P2aG} + {P1dG} = {Ta}.{P2aL} - {Td}.{Hd}. {P2dL} donde: { PDG } será el vector carga en el nudo D, en coordenadas globales {P2aG} y {P2aL} serán los vectores solicitación (carga) en el extremo 2 de la barra a, en coordenadas globales y locales {P1dG} será el vector solicitación (carga) en el extremo 1 de la barra d, en coordenadas globales {P2aL} será el vector solicitación (carga) en el extremo 2 de la barra d, en coordenadas locales {Ta} y {Td} son las matrices de transformación en las barras a y d. Análogamente obtendremos la ecuación siguiente para el nudo E : (4) {PEG} = {P2dG} + {P1eG} + {P2bG} = {Td}. {P2dL} - {Te}.{He}. {P2eL} + {Tb}. {P2bL} Con igual procedimiento obtendremos la ecuación siguiente para el nudo F : (5) {PFG} = {P2eG} + {P2cG} = {Te}. {P2eL} + {Tc}. {P2cL} En el vínculo A se cumplirá que :

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(6) {PAG} = {P1aG} = - {Ta}.{Ha}.{P2aL} En el vínculo B se cumplirá que : (7) {PBG} = {P1bG} = - {Tb}.{Hb}.{P2bL} En el vínculo C se cumplirá que : (8) {PCG} = {P1cG} = - {Tc}.{Hc}.{P2cL} Hemos indicado anteriormente que denominamos matriz de conexión de una estructura a { C } , tal que se cumpla la ecuación : { PNG } = { C } . { PbL } siendo : { PNG } = Vector cargas en nudos , en coordenadas globales . { PbL } = Vector cargas en barras , en coordenadas locales . luego: Vamos a expresar las ecuaciones anteriores (4), (5), (6), (7) y (8) de la forma matricial adecuada y resultará lo siguiente:

Hemos de recordar: 1- Que hemos expresado la matriz de conexión { C } con los valores de las cargas en nudos en coordenadas globales y las cargas en barras en coordenadas locales. 2- Que hemos introducido los nudos correspondientes a los vínculos en la matriz de conexión { C } . La matriz de conexión { C }, de orden f x c , nos permite clasificar el tipo de estructura, ya que si es rectangular, la estructura será :  

si c > f si c < f

hiperestática . mecanismo .

y si es cuadrada ( c = f ), y es regular,

la estructura será isostática .

La matriz de conexión presenta su utilidad fundamental para obtener, en el caso de estructuras isostáticas de nudos articulados, con cargas en los nudos, el valor de los esfuerzos en barras, en locales, es decir los valores de tracción ó compresión.

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Para ello partiendo de las cargas en nudos, P (fuerzas), en globales y sin necesidad de calcular los desplazamientos en nudos, podemos obtener las solicitaciones en barras más directamente que por el método de la rigidez.

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6.1.- Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3.- Definición topológica de una estructura | 6.4-Matriz de conexión| 6.5.- Transformación de los desplazamientos | 6.6.- Transformación de la matriz de rigidez | 6.7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.- Actividades | 6.9.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 6.1.- Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3.- Definición topológica de una estructura | 6.4.- Matriz de conexión | 6.5-Transformación de los desplazamientos| 6.6.- Transformación de la matriz de rigidez | 6.7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.- Actividades | 6.9.- Ejercicios de autoevaluación | 6 .5.- Transformación de los desplazamientos

1. INTRODUCCIÓN 2. TRANSFORMACIÓN DE LOS DESPLAZAMIENTOS

Detalle de apoyo del Puente del Cachorro - Sevilla 1. INTRODUCCIÓN Cuando aplicamos el método de la rigidez obtenemos

{P}={K}·{d}

{d}={K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura, en coordenadas globales. P = Matriz de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Matriz de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales.

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Es decir: el primer resultado de cálculo de la estructura es el vector desplazamiento (movimiento) de los nudos, en coordenadas globales. Sin embargo para la determinación de los esfuerzos en barras, es necesario utilizar:  

Los desplazamientos de los extremos de barras. La matriz de rigidez de las barras.Las solicitaciones en barras (axiles, cortantes, flectores y torsores) tienen una referencia con los sistemas de ejes locales.

Las matrices de rigidez de las barras se expresan también en los sistemas de coordenadas locales. Por lo anterior se hace necesario establecer la relación entre los vectores desplazamiento de los extremos de las barras, expresados en coordenadas locales y los vectores desplazamiento de los nudos de la estructura, expresados en coordenadas globales, para poder obtener las solicitaciones en las barras. 2. TRANSFORMACIÓN DE LOS DESPLAZAMIENTOS Se trata aquí de obtener una relación, entre los desplazamientos que sufren extremos de las barras y los nudos de una estructura, expresados en coordenadas globales y en coordenadas locales. La expresión del trabajo, referiendo { P } y { d } en coordenadas globales será: { PG }T . { dG } donde: { PG }T es la traspuesta del vector carga en nudos, en coordenadas globales { dG } es el vector desplazamiento de los nudos, en coordenadas globales La expresión del trabajo, expresando { P } y { d } en coordenadas locales será : { PL }T . { dL } Utilizando el concepto de matriz de transformación tendremos: { PG } = { T } { PL } e igualando la expresión del trabajo, dado que la magnitud trabajo es escalar y por ello es independiente del sistema de coordenadas utilizado para su obtención : { PG }T . { dG } = { PL }T . { dL } Sabemos que : { PG }T = { PL }T . { T }T

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Y por tanto se cumplirá que : { PL }T . { T }T . { dG } = { PL }T. { dL } De la ecuación anterior, multiplicando por la matriz inversa de la traspuesta del vector carga en locales, los dos miembros de la igualdad, obtenemos la relación de transformación de desplazamientos de coordenadas globales a locales , que será :

{ dL } = { T }T . { dG } Lo que hemos reseñado en este apartado es aplicable tanto al caso de estructuras planas como espaciales, tanto de nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos, como de nudos articulados, aunque lógicamente los vectores carga y las matrices de transformación tendrán una expresión concreta adecuada a cada tipología estructural. El procedimiento de cálculo matricial de estructuras se desarrolla partiendo del cálculo de las matrices de rigidez de las barras, expresadas en locales, para llegar a la matriz de rigidez de la estructura que hemos de expresar en coordenadas globales. Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura, definimos el vector de cargas en nudos y obtenemos el vector desplazamiento en nudos (en el sistema de coordenadas globales). Necesitaremos utilizar la relación que estamos exponiendo en este apartado, para pasar a obtener los desplazamientos en los extremos de barras, en el sistema de ejes local, para poder calcular las solicitaciones en las barras, que se expresan utilizando el sistema de coordenadas locales. La matriz de transformación, { T } , nos va a servir para resolver este proceso de cambio y relación entre los sistemas de coordenadas locales y globales, en este caso para los desplazamientos.

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6.1.- Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3.- Definición topológica de una estructura | 6.4.- Matriz de conexión | 6.5-Transformación de los desplazamientos| 6.6.- Transformación de la matriz de rigidez | 6.7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.- Actividades | 6.9.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 6.1.- Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3.- Definición topológica de una estructura | 6.4.- Matriz de conexión | 6.5.- Transformación de los desplazamientos | 6.6-Transformación de la matriz de rigidez | 6.7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.- Actividades | 6.9.- Ejercicios de autoevaluación | 6 .6.- Transformación de la matriz de rigidez

1. INTRODUCCIÓN 2. TRANSFORMACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

Detalle estructural de nudo de cumbrera en estructura metálica con vigas Boyd. 1. INTRODUCCIÓN Cuando aplicamos el método de la rigidez obtenemos:

{P}={K}·{d}

{d}={K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura, en coordenadas globales. P = Matriz de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Matriz de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales.

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Transformación de la matriz de rigidez

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Es decir: necesitamos obtener la matriz de rigidez de la estructura expresada en coordenadas globales, mientras que las matrices de rigidez de las barras que forman la estructura, se obtienen en coordenadas locales. Por tanto necesitamos establecer la relación que se produce entre la matriz de rigidez de una barra, expresada en coordenadas locales y la matriz de rigidez de dicha barra, expresada en coordenadas globales. Así podremos, mediante el procedimiento que denominamos como Ensamblaje, obtener la matriz de rigidez de la estructura en coordenadas globales, pero para ello necesitamos expresar las matrices de rigidez de las barras en coordenadas globales. En el presente apartado utilizando el concepto de matriz de transformación que sabemos que es: { PG } = { T } { PL } vamos a obtener la relación, a través de dicha matriz { T } entre la matriz de rigidez de una barra, expresada en coordenadas locales y la matriz de rigidez de dicha barra, expresada en coordenadas globales.

2. TRANSFORMACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Vamos a obtener aquí la relación que hay entre la matriz de rigidez, expresada en coordenadas globales y la misma matriz de rigidez, expresada en coordenadas locales. En una barra cualquiera de una estructura cualquiera, se cumplirá la relación siguiente, en coordenadas locales: (1) { PL } = { KL } . { dL } y multiplicando a izquierda por la matriz de transformación { T }, en ambos términos de la ecuación matricial anterior, obtenemos la siguiente expresión: (2) { T } . { PL } = { T } . { KL} . { dL } En otro apartado de este tema (Transformación de desplazamientos) hemos obtenido la relación entre el vector desplazamiento en locales y en globales: { dL } = { T }T . { dG } Sustituyendo en la ecuación (2) obtendremos la expresión matricial: (3) { PG } = { T } . { KL } . { T }T . { dG } Ahora bien en una barra cualquiera de una estructura cualquiera, se cumplirá la relación siguiente, en coordenadas globales:

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Transformación de la matriz de rigidez

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(4) { PG } = { KG } . { dG } Igualando las ecuaciones (3) y (4), podemos demostrar la relación siguiente: { KG } = { T } { KL } { T }T Lo que hemos reseñado en este apartado es aplicable tanto al caso de estructuras planas como espaciales, tanto de nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos, como de nudos articulados, aunque lógicamente las matrices de rigidez de las barras y las matrices de transformación tendrán una expresión concreta adecuada a cada tipología estructural. El procedimiento de cálculo matricial de estructuras se desarrolla partiendo del cálculo de las matrices de rigidez de las barras, expresadas en locales, para llegar a la matriz de rigidez de la estructura que hemos de expresar en coordenadas globales. El procedimiento para obtener la matriz de rigidez de la estructura, en función de las matrices de rigidez de las barras que forman dicha estructura, se denomina comúnmente como ensamblaje. Tal procedimiento se realiza partiendo de las matrices de rigidez expresadas en coordenadas globales. Una vez obtenidas las matrices de rigidez de las barras en locales, habremos de utilizar las relaciones que hemos obtenido en este apartado, para calcular las matrices de rigidez de las barras en globales. La matriz de transformación, { T } , nos va a servir para resolver este proceso de cambio y relación entre los sistemas de coordenadas locales y globales, en este caso aplicado a las matrices de rigidez de las barras. subir

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6.1.- Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3.- Definición topológica de una estructura | 6.4.- Matriz de conexión | 6.5.- Transformación de los desplazamientos | 6.6-Transformación de la matriz de rigidez | 6.7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.- Actividades | 6.9.- Ejercicios de autoevaluación |

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Ensamblaje de la matriz de rigidez

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 6.1.- Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3.- Definición topológica de una estructura | 6.4.Matriz de conexión | 6.5.- Transformación de los desplazamientos | 6.6.- Transformación de la matriz de rigidez | 6.7Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.- Actividades | 6.9.- Ejercicios de autoevaluación | 6 .7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez

1. INTRODUCCIÓN 2. ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ 3. UTILIZANDO LA MATRIZ DE CONEXIÓN

Una visión del tablero del Puente del Alamillo - Sevilla 1. INTRODUCCIÓN Cuando aplicamos el método de la rigidez obtenemos:

{P}={K}·{d}

{d}={K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura, en coordenadas globales. P = Matriz de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Matriz de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Es decir: necesitamos obtener la matriz de rigidez de la estructura expresada en coordenadas globales. El proceso para obtener la matriz de rigidez de una estructura es lo que vamos a desarrollar en el presente apartado. Para ello vamos a exponer dos procedimientos: 

El denominado como método directo o también conocido como ensamblaje de la

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Ensamblaje de la matriz de rigidez



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matriz de rigidez. El procedimiento basado en la utilización de la matriz de conexión.

El primero de los procedimientos es el más conocido y además es el más interesante por cuanto pone de manifiesto una serie de relaciones que se producen en la estructura, entre diferentes magnitudes vectoriales y matriciales. Por ello vamos a desarrollar con más detalle el procedimiento del Ensamblaje de la matriz de rigidez o Método Directo. Denominaremos a la expresión de la matriz de rigidez de una estructura como Matriz Simbólica, por cuanto se refieren en ella un conjunto de parámetros que:  

Por un lado tienen un valor no numérico (simbólico). Por otro la expresión de dicha matriz no es genérica sino concreta en cuanto a que se refiere a una determinada estructura.

No debemos confundir la matriz de rigidez Simbólica (no numérica) con la matriz de Rigidez de la estructura (numérica). La matriz Simbólica es como una expresión de la matriz de rigidez de una estructura concreta. 2. ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Hemos definido en apartados anteriores los valores de las matrices de rigidez de las barras de una estructura y mediante el procedimiento que denominamos Ensamblaje, se trata de obtener la matriz de rigidez de la estructura. Por tanto, se trata de obtener la relación entre las cargas en los nudos y los desplazamientos de tales nudos, pero de la estructura en su conjunto y ello en función de la matriz de rigidez de las barras que la componen. Vamos a obtener la matriz de rigidez de la estructura, utilizando las matrices de rigidez { K } de las barras que forman la estructura, pero expresadas en coordenadas globales. Dado que el ensamblaje de la matriz de rigidez de una estructura, es un procedimiento para obtener lo que denominaremos como matriz Simbólica de la estructura, vamos a realizar un ejercicio, con la estructura de la figura siguiente, que nos sirva de referencia.

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Ensamblaje de la matriz de rigidez

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Si planteamos el equilibrio en los nudos A y B de la estructura, entre el sistema de cargas en nudos y el sistema de solicitaciones en los extremos de las barras que confluyen en dichos nudos, vemos que se cumplirá : (1) PA = P2a + P1b (2) PB = P2b + P2c Hemos de reseñar que utilizamos únicamente los nudos de la estructura que permiten algún tipo de desplazamiento (movimiento) sin introducir los nudos de vinculación, que en nuestro caso serían los nudos C y D, en los cuales no se produce desplazamiento ó movimiento alguno, ya que son empotramientos perfectos. Utilizando las ecuaciones de estado, en coordenadas globales, que exponemos seguidamente: P1 = K11 d1 + K12 d2 P2 = K21 d1 + K22 d2 Y sustituyéndolas en las ecuaciones (1) y (2) obtenemos las siguientes expresiones de las ecuaciones de equilibrio en los nudos A y B : (3) PA = K21a . d1a + K22a . d2a + K11b . d1b + K12b . d2b (4) PB = K21b . d1b + K22b . d2b + K21c . d1c + K22c . d2c Vamos a introducir ahora un conjunto de ecuaciones que se basan en las condiciones de los movimientos o desplazamientos en los nudos y vínculos exteriores, mientras que las ecuaciones anteriores se derivan:  

Del equilibrio estático aplicado a los nudos De las relaciones entre esfuerzos y desplazamientos en barras que reflejan las ecuaciones de estado.

En base a lo anterior, establecemos las condiciones de vinculación externa en los empotramientos C y D:

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Ensamblaje de la matriz de rigidez

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d1a = 0 , por existir empotramiento en C . d1c = 0 , por existir empotramiento en D . Establecemos las condiciones de compatibilidad en las deformaciones en el nudo A: d1b = d2a = dA , ya que es igual el desplazamiento en los extremos de barras que hay en el nudo A y dicho desplazamiento será el desplazamiento del propio nudo A . Establecemos las condiciones de compatibilidad en las deformaciones en el nudo B: d2b = d2c = dB , por análogas razones a las del nudo A, ya que los nudos como tales son indeformables, aunque se permita su giro y desplazamiento, y mantienen la posición relativa, entre los extremos de las barras que confluyen en el mismo, en posición y ángulo. Sustituyendo las ecuaciones relativas a los desplazamientos que hemos indicado anteriormente, en las ecuaciones (3) y (4) obtendremos las ecuaciones siguientes: (5) PA = K22a . dA + K11b . dA + K12b . dB (6) PB = K21b . dA + K22b . dB + K22c . dB Planteando las ecuaciones (5) y (6) matricialmente resulta :

De donde extraemos la matriz de rigidez de la estructura :

Es importante resaltar que hemos realizado el proceso de ensamblaje de la matriz de rigidez de una estructura partiendo de :  



Las ecuaciones de equilibrio en nudos, en coordenadas globales. Las relaciones entre esfuerzos, en los extremos de las barras y los desplazamientos de tales extremos, a través de las Ecuaciones de Estado, en coordenadas globales. Las relaciones relativas a movimientos de los nudos, también denominadas de compatibilidad en los desplazamientos, que han de producirse entre extremos de barras y vínculos, en virtud de la definición de la estructura.

3. UTILIZANDO LA MATRIZ DE CONEXIÓN Sabemos que, en base al concepto de la matriz de conexión se cumplirá que:

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Ensamblaje de la matriz de rigidez

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(1) { PNG } = { C }.{ PbL } La relación siguiente en coordenadas locales: (2) { PbL } = { KbL }.{ dbL } Si sustituimos la ecuación anterior (2) en la primera ecuación, tendremos que se cumplirá lo siguiente: (3) { PNG } = { C }.{ PbL } = { C }.{ KbL }.{ dbL } Igualando la expresión del trabajo de las cargas en nudos al de deformación de las barras, tendremos que se cumplirá la ecuación siguiente: (4) { PNG }T . { dNG } = { PbL }T . { dbL } y sustituyendo la ecuación matricial (1) en la ecuación (4) tendremos : (5) { C }T { PbL }T { dNG } = { PbL }T . { dbL } vemos que se cumplirá la relación : (6) { C }T { dNG } = { dbL } Luego sustituyendo la relación (6) en la ecuación (3) obtendremos la relación: (7) { PNG } = { C } { KbL } { C }T { dNG } Si efectuamos la analogía con la ecuación de estado en coordenadas globales: { PNG } = { KEG }.{ dNG} Vemos que cumplirá que: { KEG } = { C } { KbL } { C }T subir

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6.1.- Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3.- Definición topológica de una estructura | 6.4.Matriz de conexión | 6.5.- Transformación de los desplazamientos | 6.6.- Transformación de la matriz de rigidez | 6.7Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.- Actividades | 6.9.- Ejercicios de autoevaluación |

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Actividades

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 6.1.- Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3.- Definición topológica de una estructura | 6.4.- Matriz de conexión | 6.5.- Transformación de los desplazamientos | 6.6.- Transformación de la matriz de rigidez | 6.7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8-Actividades| 6.9.- Ejercicios de autoevaluación | 6 .8.- Actividades

Los contenidos de esta página se irán incorporando durante el transcurso de la asignatura

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Ejercicios de autoevaluación

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 6.1.- Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3.- Definición topológica de una estructura | 6.4.- Matriz de conexión | 6.5.- Transformación de los desplazamientos | 6.6.- Transformación de la matriz de rigidez | 6.7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.- Actividades | 6.9-Ejercicios de autoevaluación| 6 .9.- Ejercicios de autoevaluación

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6.1.- Coordenadas locales y globales | 6.2.- Matriz de transformación | 6.3.- Definición topológica de una estructura | 6.4.- Matriz de conexión | 6.5.- Transformación de los desplazamientos | 6.6.- Transformación de la matriz de rigidez | 6.7.- Ensamblaje de la matriz de rigidez | 6.8.- Actividades | 6.9-Ejercicios de autoevaluación|

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 7.1.- Caso de estructura espacial de nudos articulados | 7.2.- Caso de vínculos parciales | 7.3.- Vector carga en nudos | 7.4.- Vector desplazamiento en nudos | 7.5.- Los esfuerzos en barras | 7.6.- Las reacciones en vínculos | 7.7.Actividades | 7.8.- Ejercicios de autoevaluación | 7 .- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II

    

OBJETIVOS RESUMEN DEL TEMA ÍNDICE DE CONTENIDOS RECORRIDOS BIBLIOGRAFÍA

RESUMEN DEL TEMA Este tema consta fundamentalmente de cuatro bloques de contenidos : Bloque N◙1 : Aplicación del cálculo matricial a la determinación de la matriz de rigidez de una estructura espacial articulada Bloque N◙2 : Caso de vínculos parciales En este bloque desarrollamos el procedimiento para el cálculo matricial de estructuras articuladas planas que presentan vínculos parciales. Bloque N◙3 : Resolución del sistema cargas-desplazamientos En este bloque obtenemos el vector carga en nudos de la estructura y el vector desplazamiento en nudos de la estructura. Bloque N◙4 : Obtención del sistema de esfuerzos en barras Exponemos el procedimiento para el cálculo de las solicitaciones en barras.

INDICE DE CONTENIDOS 1- Caso de estructura espacial de nudos articulados . 2- Caso de vínculos parciales.

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3- Vector carga en nudos. 4- Vector desplazamiento en nudos. 5- Los esfuerzos en barras. 6- Las reacciones en vínculos. 7- Actividades. Se pueden realizar las siguientes actividades complementarias de los contenidos antes referidos. 7.1. - Casos prácticos de aplicación del cálculo matricial de estructuras de nudos articulados. 7.2. - Trabajos sobre aplicaciones, diseño y análisis de estructuras espaciales de nudos articulados. Pueden consultarse un conjunto de trabajos realizados sobre el tema. 7.3. - Visualización de un conjunto de estructuras espaciales 8- Ejercicios de Autoevaluación. Realización de un conjunto de problemas de exámenes anteriores sobre los contenidos del tema.

BIBLIOGRAFÍA PARA ESTE TEMA NIETO GARCÍA, E. (1998) Estructuras Arquitectónicas e Industriales:su cálculo En el capítulo 11. ARGUELLES ÁLVAREZ, R. (1981) Cálculo de estructuras: Volúmen I En su capítulo 14 TRABAJOS DE CURSO Asignatura: Cálculo de estructuras E.U.P. - Sevilla VAZQUEZ , M. (1992) Cálculo matricial de estructuras Madrid, C.O.I.T.O.P. NOTA: Se puede ver otra Bibliografía de interés sobre Cálculo matricial de estructuras en Recursos de profundización. Bibliografía apartado 4.

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7.1.- Caso de estructura espacial de nudos articulados | 7.2.- Caso de vínculos parciales | 7.3.- Vector carga en nudos | 7.4.- Vector desplazamiento en nudos | 7.5.- Los esfuerzos en barras | 7.6.- Las reacciones en vínculos | 7.7.Actividades | 7.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 7.1-Caso de estructura espacial de nudos articulados| 7.2.- Caso de vínculos parciales | 7.3.- Vector carga en nudos | 7.4.- Vector desplazamiento en nudos | 7.5.- Los esfuerzos en barras | 7.6.- Las reacciones en vínculos | 7.7.- Actividades | 7.8.- Ejercicios de autoevaluación | 7 .1.- Caso de estructura espacial de nudos articulados

1. 2. 3. 4.

INTRODUCCIÓN COORDENADAS LOCALES COORDENADAS GLOBALES MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN

Estructura espacial de barras con nudos articulados, de módulos piramidales.Gimnasio Cartuja Sport - Sevilla 1. INTRODUCCIÓN La utilización de las cubiertas metálicas espaciales está adquiriendo una importancia creciente en base a una serie de razones como son las que exponemos seguidamente: 1 - En las estructuras de grandes luces es necesario una mejor distribución del acero, en función de las solicitaciones que actúan sobre las estructuras, lo cual redunda en una mayor optimización y un menor peso propio. Cuanto mayor es la superficie a cubrir por una cubierta y mayores las luces a salvar más importante es el optimizar el diseño estructural. 2 - Los procedimientos de cálculo de estructuras espaciales han sido perfeccionados recientemente y se va teniendo una cada vez mayor experiencia en el diseño y cálculo de estructuras espaciales, principalmente en el caso de las estructuras espaciales modulares, basadas en la pirámide de base cuadrada. 3 - Diversas razones de carácter estético por el impacto visual, especialmente en el caso de estructuras metálicas de cubierta espaciales, que permiten una adaptación a formas no sólo rectas sino de superficies esféricas y otras superficies alabeadas diversas. Vamos a referirnos en este apartado a las peculiaridades específicas aplicables en el cálculo matricial de estructuras al caso de estructuras espaciales de barras de directriz recta con nudos articulados, con cargas puntuales en los nudos. Es decir: lo que vamos a referir es aplicable a dicha tipología estructural, por cuanto vamos a describir los diferentes sistemas de ejes a utilizar para expresar de la manera más adecuada las diferentes magnitudes vectoriales y matriciales que se utilizan en el cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos articulados. Nos encontramos con que: 

Para una barra cualquiera de directriz recta, la dirección de dicha directriz es una importante referencia, que vamos a hacer coincidir con el eje x.



Para una estructura formada por un conjunto de barras, la dirección del eje x aunque pueda coincidir con la directriz de una barra de dicha estructura, no coincidirá con la directriz de otras barras de dicha estructura.

Vemos por lo anterior que cuando nos encontramos aplicando el cálculo matricial a una barra hemos de utilizar un sistema de ejes que nos permita expresar el conjunto de matrices y vectores, tomando como referencia la dirección de la directriz de la barra, mientras que cuando estamos aplicando el cálculo matricial a una estructura hemos de utilizar un sistema de ejes, que pueda ser aplicable al conjunto de las barras y nudos que forman dicha estructura. Podemos decir que:

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

En el primer caso hablamos de un sistema de ejes referenciales a la barra y que denominamos como coordenadas locales.



En el segundo caso hablamos de un sistema de ejes referenciales a la estructura, en su conjunto, que denominamos como coordenadas globales.

Hemos de utilizar el sistema de coordenadas locales para poder expresar magnitudes que hacen referencia a la propia barra, como por ejemplo sus características resistentes expresadas mediante la matriz de rigidez de una barra. Hemos de utilizar el sistema de coordenadas globales para poder expresar magnitudes que sean propias de la estructura, como por ejemplo el sistema de cargas que actúa sobre la estructura. 2. COORDENADAS LOCALES Vamos a referir seguidamente las aplicaciones de los sistemas de coordenadas locales en el caso de las estructuras espaciales de nudos articulados. Sabemos que la ecuación matricial siguiente : {P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la barra . P = Vector de cargas en los extremos . d = Vector de desplazamientos de los extremos . es la que define la relación entre el sistema de cargas y el sistema de desplazamientos o movimientos, en la metodología matricial, de forma que representa lo que podríamos denominar como "ley constitutiva" de la barra, en nuestro caso, o de una estructura en un caso más genérico. Vamos a particularizar la ecuación matricial anterior, donde la matriz de rigidez de una barra perteneciente a una estructura espacial de nudos articulados, tiene la expresión siguiente, en coordenadas locales:

Hemos expresado la matriz { K } siguiente :

donde aparecen las matrices K11, K12, K21, K22 (que son submatrices de la matriz de rigidez) , utilizando un sistema de coordenadas locales, cuya expresión será, en base a lo anterior, la siguiente:

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Para el caso de estructura espacial de nudos articulados, el vector carga que actúa sobre la barra será en coordenadas locales:

donde : P1 y P2 serán los vectores carga puntual (en cualquier dirección del espacio) en los extremos 1 y 2 de la barra. Para el caso de estructura espacial de nudos articulados, el vector desplazamiento que resulta en cada barra, será en coordenadas locales:

donde : d1 y d2 serán los vectores desplazamiento lineal (en cualquier dirección del espacio) en los extremos 1 y 2 de la barra. 2 - Diagramas de solicitaciones Cuando expresamos los diagramas de axiles, cortantes, flectores y torsores de las barras que componen una estructura estamos utilizando los sistemas de coordenadas locales. En el caso de estructuras espaciales de nudos articulados con cargas en los nudos, las solicitaciones que se producen en las barras son únicamente de Axiles, por lo cual las barras se encuentran bien a tracción ó a compresión. Podemos decir, por tanto, que la interpretación de las solicitaciones, en el caso que nos ocupa es sencilla por cuanto sólo aparecen esfuerzos que en la dirección XL y que cuando estamos utilizando el sistema de coordenadas local, para la obtención de los esfuerzos los valores en YL y ZL son nulos. 3. COORDENADAS GLOBALES Vamos a referir a continuación las aplicaciones o utilidad que presenta el sistema de coordenadas globales. En primer lugar, cada vez que hemos de expresar una relación entre barras, como, por ejemplo, que: 

La suma de los vectores esfuerzo en los extremos de las barras que confluyen en un nudo, es igual al vector carga en dicho nudo, hemos de utilizar un sistema de referencia que sea común al conjunto de barras que confluyen en dicho

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nudo y por tanto utilizaremos las coordenadas globales. Hemos de utilizar el sistema de coordenadas globales, fundamentalmente, para expresar: 

El vector cargas en nudos de la estructura.



El vector desplazamientos o movimientos en nudos de la estructura.



La matriz de rigidez de la estructura.

De forma que la ecuación matricial siguiente pueda expresarse, aplicada a una estructura, en coordenadas globales: {P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura en coordenadas globales. P = Vector de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Vector de desplazamientos en los nudos de la estructura en coordenadas globales. En dicha expresión podemos ver cómo al aplicar el Método de la Rigidez lo que obtenemos es el vector desplazamientos ó movimientos de los nudos, una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y definido el vector cargas en nudos. La dimensión de los vectores carga y desplazamiento, para el caso de estructuras espaciales de nudos articulados con cargas en los nudos será: 3xN , siendo N el número de nudos (no vinculados) de la estructura. La dimensión de la matriz de rigidez para el caso de estructuras espaciales de nudos articulados con cargas en los nudos será: 3xN , siendo N el número de nudos (no vinculados) de la estructura. 4. MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN PARA ESTRUCTURAS ESPACIALES Veamos seguidamente la matriz de transformación { T } para el caso de las estructuras espaciales. En la figura siguiente hemos representado una barra con los sistemas de coordenadas locales (en azul) y globales (en rojo).

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Planteamos la ecuación de relación entre cargas, en coordenadas globales y coordenadas locales, utilizando la matriz { T }: { PG } = { T } { PL } Hemos representado un vector carga, de fuerza exclusivamente, en el extremo 1, para el caso de estructuras de nudos articulados ya que no hay momentos en los extremos de las barras que pertenecen a tal tipología estructural. Relacionamos los ejes locales con los ejes globales a través de los cosenos directores de los ejes locales, según podemos ver en la figura anterior, para el caso del eje XL. En forma análoga se referencia a través de los cosenos directores de los ejes YL y ZL, con respecto al sistema de ejes globales. Así tendremos que denominaremos: 1x : El ángulo de la barra (eje XL) con el eje XG . 1y : El ángulo de la barra (eje XL) con el eje YG . 1z : El ángulo de la barra (eje XL) con el eje ZG . 1x : El ángulo del eje YL con el eje XG . 1y : El ángulo del eje YL con el eje YG . 1z : El ángulo del eje YL con el eje ZG . 1x : El ángulo del eje ZL con el eje XG . 1y : El ángulo del eje ZL con el eje YG . 1z : El ángulo del eje ZL con el eje ZG . Por tanto se producirá la siguiente ecuación matricial : luego la matriz de transformación { T } será:

Ya que la expresión de los versores de los ejes XL, YL y ZL, respecto al sistema de ejes globales, es como sigue:

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7.1-Caso de estructura espacial de nudos articulados| 7.2.- Caso de vínculos parciales | 7.3.- Vector carga en nudos | 7.4.- Vector desplazamiento en nudos | 7.5.- Los esfuerzos en barras | 7.6.- Las reacciones en vínculos | 7.7.- Actividades | 7.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 7.1.- Caso de estructura espacial de nudos articulados | 7.2-Caso de vínculos parciales | 7.3.- Vector carga en nudos | 7.4.- Vector desplazamiento en nudos | 7.5.- Los esfuerzos en barras | 7.6.- Las reacciones en vínculos | 7.7.- Actividades | 7.8.- Ejercicios de autoevaluación | 7 .2.- Caso de vínculos parciales

1. INTRODUCCIÓN 2. VÍNCULOS PARCIALES: ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

Entramado lateral en una nave metálica - Écija - (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Cuando aplicamos el método de la rigidez utilizamos la ecuación matricial:

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura, en coordenadas globales. P = Vector de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Vector de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Es decir: necesitamos obtener la matriz de rigidez de la estructura expresada en coordenadas globales. El proceso para obtener la matriz de rigidez de una estructura es lo que vamos a desarrollar en el presente apartado, pero aplicado a un caso concreto como es el de la vinculación parcial de la estructura de nudos articulados. Utilizamos generalmente el procedimiento denominado como método directo, también conocido como ensamblaje, para obtener la matriz de rigidez de la estructura, que vamos a desarrollar con más detalle para el caso de vinculación parcial, en estructuras planas de nudos articulados. Para ello vamos a recordar que en la matriz de rigidez de la estructura hemos incluido solamente los nudos susceptibles de desplazamientos, lo cual en el caso de estructuras planas de nudos articulados significa desplazamiento en los ejes x,y, en el sistema de coordenadas globales. Un vínculo total, en el caso que nos ocupa, será una articulación fija donde no es posible el desplazamiento en ninguna dirección del plano. Una vinculación parcial será, por ejemplo, el caso de un apoyo libre, donde es posible un desplazamiento en una dirección, por ejemplo en la dirección x, del sistema de coordenadas global, estando impedido el

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desplazamiento en la dirección y, del sistema de coordenadas global. Nos encontramos, por tanto, con nudos que presentan una vinculación parcial, quedando impedido su desplazamiento, en el caso de las estructuras planas de nudos articulados, en una dirección determinada del plano en que se encuentra la estructura y el sistema de cargas. Denominaremos a la expresión de la matriz de rigidez de una estructura como Matriz Simbólica, por cuanto se refieren en ella un conjunto de parámetros que.  

Por un lado tienen un valor no numérico (simbólico). Por otro la expresión de dicha matriz no es genérica sino concreta en cuanto a que se refiere a una determinada estructura.

No debemos confundir la matriz de rigidez Simbólica (no numérica) con la matriz de Rigidez de la estructura (numérica). La matriz Simbólica es como una expresión de la matriz de rigidez de una estructura concreta. En el caso de vinculación parcial tenemos uno o varios nudos en los que se cumple la doble condición de existir un desplazamiento no nulo y un sistema de reacciones no nulo. Existe, por tanto, un doble carácter:  

De vínculo, con su reacción correspondiente. De nudo de la estructura, con su desplazamiento correspondiente.

A esta tipología estructural se refiere el presente apartado y lo que vamos a desarrollar es el procedimiento para llegar a obtener la expresión de la matriz rigidez, ya que en lo demás el proceso a seguir es el mismo que se ha expuesto anteriormente. 2. VÍNCULOS PARCIALES: ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Hemos definido en apartados anteriores los valores de las matrices de rigidez de las barras de una estructura y mediante el procedimiento que denominamos Ensamblaje, se trata de obtener la matriz de rigidez de la estructura. Por tanto, se trata de obtener la relación entre las cargas en los nudos y los desplazamientos de tales nudos, pero de la estructura en su conjunto y ello en función de la matriz de rigidez de las barras que la componen. Vamos a obtener la matriz de rigidez de la estructura, utilizando las matrices de rigidez { K } de las barras que forman dicha estructura, pero expresadas en coordenadas globales. Dado que el ensamblaje de la matriz de rigidez de una estructura, es un procedimiento para obtener lo que denominaremos como matriz Simbólica de la estructura, vamos a realizar un ejercicio, con la estructura de la figura siguiente, que nos sirva de referencia.

Vemos en la figura que el nudo B presenta una reacción horizontal (Bx) y a la vez puede tener un desplazamiento vertical (dBy). Si planteamos el equilibrio en los nudos B, C y D de la estructura, entre el sistema de cargas en nudos y el sistema de solicitaciones en los extremos de las barras que confluyen en dichos nudos, vemos que se

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cumplirá : (1) PB = P1a + P1d (2) PC = P1b + P2d + P1e (3) PD = P2c + P2e Las ecuaciones anteriores se encuentran expresadas utilizando, lógicamente, un sistema de coordenadas de referencia común para todas las barras, de forma que no puede ser otro que el sistema global. Hemos de reseñar que utilizamos únicamente los nudos de la estructura que permiten algún tipo de desplazamiento (movimiento) sin introducir los nudos de vinculación total, que en nuestro caso sería exclusivamente el nudo A, en el cual no se produce desplazamiento ó movimiento alguno, ya que es una articulación fija. Utilizando las ecuaciones de estado, en coordenadas globales, que exponemos seguidamente: P1 = K11 d1 + K12 d2 P2 = K21 d1 + K22 d2 Y sustituyéndolas en las ecuaciones (1), (2) y (3) obtenemos las siguientes expresiones de las ecuaciones de equilibrio en los nudos B, C y D: (4) PB = K11a . d1a + K12a . d2a + K11d . d1d + K12d . d2d (5) PC = K11b . d1b + K12b . d2b + K21d . d1d + K22d . d2d + K11e . d1e + K12e . d2e (6) PD = K21c . d2c + K22c . d2c + K21e . d1e + K22e . d2e Vamos a introducir ahora un conjunto de ecuaciones que se basan en las condiciones de los movimientos o desplazamientos en los nudos y vínculos exteriores, mientras que las ecuaciones anteriores se derivan:  

Del equilibrio estático aplicado a los nudos De las relaciones entre esfuerzos y desplazamientos en barras que reflejan las ecuaciones de estado.

En base a lo anterior, establecemos las condiciones de vinculación externa en la articulación fija A : d2a = 0 , por existir una articulación fija en A . d2b = 0 , por existir una articulación fija en A . d2c = 0 , por existir una articulación fija en A . Establecemos las condiciones de compatibilidad en las deformaciones en el nudo A: d2a= d2b = d1c = dA = 0 , ya que es igual el desplazamiento en los extremos de barras que hay en el nudo A y dicho desplazamiento será el desplazamiento del propio nudo A, que es nulo. Establecemos las condiciones de compatibilidad en las deformaciones en el nudo B: d1a = d1d = dB , por análogas razones a las del nudo A, ya que los nudos como tales son indeformables, aunque se permita su giro y desplazamiento, y mantienen la posición relativa, entre los extremos de las barras que confluyen en el mismo, en posición y ángulo. Establecemos las condiciones de compatibilidad en las deformaciones en el nudo C: d1b= d2d = d1e = dC , ya que es igual el desplazamiento en los extremos de barras que hay en el nudo C y dicho desplazamiento será el

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desplazamiento del propio nudo C. Establecemos las condiciones de compatibilidad en las deformaciones en el nudo D: d2c= d2e = dD , ya que es igual el desplazamiento en los extremos de barras que hay en el nudo D y dicho desplazamiento será el desplazamiento del propio nudo D. Sustituyendo las ecuaciones relativas a los desplazamientos que hemos indicado anteriormente, en las ecuaciones (4), (5) y (6) obtendremos las ecuaciones siguientes: (7) PB = K11a . dB + K11d . dB + K12d . dC (8) PC = K11b . dC+ K21d . dB + K22d . dC + K11e . dC + K12e . dD (9) PD = K22c . dD + K21e . dC + K22e . dD Planteando las ecuaciones (7), (8) y (9) matricialmente resulta la matriz {K } de la estructura, pero donde hemos introducido el nudo B como un nudo normal y sin considerar todavía la particularidad que presenta :

Como obtenemos al expresar la ecuación matricial siguiente :

{PN}={KE}·{dN} siendo, en nuestro caso, el conjunto de los nudos el constituido por B, C y D. Es decir: la expresión de la matriz de rigidez (matriz simbólica) obtenida no es la de la estructura por cuanto no se ha considerado que el nudo B no puede experimentar desplazamiento horizontal, debido a la vinculación que existe en dicho nudo. No obstante la matriz de rigidez anterior nos servirá de base para obtener la matriz de rigidez de la estructura en cuestión. Considerando que todas las barras son iguales y que la sección de dichas barras es de 44,2 cm2 obtenemos la siguiente matriz de rigidez auxiliar :

Como hemos indicado anteriormente la matriz anterior no se corresponde con la matriz de la estructura en cuestión por cuanto no recoge la acción de la reacción Bx , que impide el desplazamiento dBx . En la ecuación :

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{PN}={KE}·{dN} El vector { PN } se ha expresado en el orden B, C y D, de forma que el primer término de dicho vector será Bx . El término Bx es una reacción y dependerá del valor de las fuerzas de acción, de forma que aunque los nudos de la estructura carecieran de desplazamiento, cual sería el caso de que las barras fueran sólidos rígidos, el valor de tal término no sería nulo, siempre que existieran fuerzas de acción actuando sobre la estructura. En la figura siguiente se ha representado el sistema de fuerzas de acción considerado en este caso ( en rojo ) y el sistema de fuerzas de reacción constituido por Ax, Ay y Bx ( en azul ). En esta estructura el sistema de fuerzas de reacción está formado por los tres valores referidos anteriormente, de forma que es posible su determinación simplemente planteando las ecuaciones de equilibrio estático al conjunto de la estructura, por lo que dicha estructura es isostática exterior. En este caso el sistema de fuerzas de reacción dependerá exclusivamente del sistema de fuerzas de acción.

Por tanto hemos de eliminar la fila correspondiente a Bx y que sería la primera fila, ya que dicha fila se correspondería con la ecuación matemática que relaciona el valor de Bx con los desplazamientos en los nudos B, C y D. Ya hemos referido que en el caso de las reacciones, en las cuales no se produce una relación lineal del tipo: P=K.d ya que siendo el desplazamiento nulo, no se produce un valor nulo de P, sino que se corresponde con una reacción que dependerá, en cualquier caso, de las fuerzas de acción que actúen sobre la estructura. De una forma Intuitiva podemos entender que la rigidez habrá de ser infinita en el nudo B, para que se pueda dar un valor no nulo ( que se corresponderá con la reacción Bx ) aunque exista un desplazamiento nulo en el nudo B, en la dirección x e incluso aunque el conjunto de los desplazamientos de todos los nudos fuera nulo, por ser todas las barras sólidos rígidos, sin deformación alguna. El desplazamiento del nudo B en la dirección x será nulo, por la existencia del vínculo en cuestión y por tanto podemos eliminar, de la matriz de rigidez auxiliar la columna que se corresponde con tal desplazamiento y que , en nuestro caso se corresponderá con la primera columna. En base a lo anterior resulta la matriz de rigidez de la estructura, considerando la acción del vínculo parcial en B, siguiente:

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La matriz de rigidez anterior { KE } será la que establece la relación de la estructura que nos sirve de ejemplo:

{PN}={KE}·{dN}

El procedimiento desarrollado en este caso a estructuras de nudos articulados puede ser aplicado análogamente al caso de estructuras de nudos rígidos.

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1. INTRODUCCIÓN 2. VECTOR CARGA EN NUDOS 3. VECTOR CARGA EQUIVALENTE EN NUDOS

Detalle de estructura espacial de barras y vidrio, de módulos piramidales, utilizada en la fachada del Pabellón de la ONCE - EXPO92 1. INTRODUCCIÓN En la ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura . P = Vector cargas en los nudos de la estructura . d = Vector desplazamientos de los nudos de la estructura. Explicitamos la relación entre el sistema de cargas en los nudos de la estructura y el sistema de desplazamientos o movimientos en los nudos de dicha estructura, en nuestro caso de nudos articulados, de forma que representa lo que podríamos denominar como "ley constitutiva" de la estructura. En la ecuación anterior hemos expresado también cómo mediante el Método de la Rigidez una vez definida y calculada la matriz de cargas, obteniendo la inversa de la matriz de rigidez, se pueden calcular los desplazamientos o movimientos de los nudos de dicha estructura, multiplicando por el vector de cargas en nudos. Seguidamente vamos a referirnos al vector de cargas, necesario para poder obtener una solución de la ecuación matricial anterior, centrándonos en este apartado a las peculiaridades específicas aplicables en el cálculo matricial de estructuras al caso de estructuras, tanto planas como espaciales, de barras de directriz recta con nudos articulados, con cargas puntuales en los nudos.

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Vector carga en nudos

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Es decir: lo que vamos a referir es aplicable a dicha tipología estructural, por cuanto vamos a describir los diferentes sistemas de ejes a utilizar para expresar de la manera más adecuada las diferentes magnitudes vectoriales y matriciales que se utilizan en el cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos articulados. Nos encontramos con que: 

Para una barra cualquiera de directriz recta, la dirección de dicha directriz es una importante referencia, que vamos a hacer coincidir con el eje x.



Para una estructura formada por un conjunto de barras, la dirección del eje x aunque pueda coincidir con la directriz de una barra de dicha estructura, no coincidirá con la directriz de otras barras de dicha estructura.

Vemos por lo anterior que cuando nos encontramos aplicando el cálculo matricial a una barra hemos de utilizar un sistema de ejes que nos permita expresar el conjunto de matrices y vectores, tomando como referencia la dirección de la directriz de la barra, mientras que cuando estamos aplicando el cálculo matricial a una estructura hemos de utilizar un sistema de ejes, que pueda ser aplicable al conjunto de las barras y nudos que forman dicha estructura. Podemos decir que: 1 - En el primer caso hablamos de un sistema de ejes referenciales a la barra y que denominamos como coordenadas locales. Hemos de utilizar el sistema de coordenadas locales para poder expresar magnitudes que hacen referencia a la propia barra, como por ejemplo sus características resistentes expresadas mediante la matriz de rigidez de una barra y también la solicitación por tracción o compresión. En el caso de estructuras de nudos articulados, tanto planas como espaciales, con cargas en los nudos, las solicitaciones que se producen en las barras son únicamente de Axiles, por lo cual las barras se encuentran bien a tracción ó a compresión. Podemos decir, por tanto, que la interpretación de las solicitaciones, en el caso que nos ocupa es sencilla por cuanto sólo aparecen esfuerzos que en la dirección XL y que cuando estamos utilizando el sistema de coordenadas local, para la obtención de los esfuerzos los valores en YL y ZL son nulos. 2 - En el segundo caso hablamos de un sistema de ejes referenciales a la estructura, en su conjunto, que denominamos como coordenadas globales. Hemos de utilizar, por tanto, el sistema de coordenadas globales para poder expresar magnitudes que sean propias de la estructura, como por ejemplo el sistema de cargas que actúa sobre la estructura, que es específicamente a lo que nos vamos a referir seguidamente. 2. VECTOR CARGA EN NUDOS La dimensión de los vectores carga en nudos, para el caso de estructuras de nudos articulados, será : 1 - Para estructuras planas : 2xN , siendo N el número de nudos (no vinculados) de la estructura. 2 - Para estructuras espaciales : 3xN , siendo N el número de nudos (no vinculados) de la estructura. 2.1.CASO DE ESTRUCTURAS CON CARGAS EN LOS NUDOS Para el caso de estructuras planas vamos a basarnos en un caso concreto, como el que puede verse en la figura siguiente:

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Vector carga en nudos

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Los nudos que presentan desplazamientos, que son los que van a considerarse en la ecuación matricial de la estructura, son : 2, 3 y 4. El sistema de cargas que actúa sobre los nudos de la estructura plana de la figura es el siguiente: En el nudo 2 hay :

una carga vertical, hacia abajo, de 1200 Kg.

En el nudo 3 hay :

una carga horizontal, hacia la derecha, de 2000 Kg una carga vertical, hacia abajo, de 1000 Kg.

En el nudo 4 hay :

una carga horizontal, hacia la derecha, de 500 Kg una carga vertical, hacia abajo, de 800 Kg.

Utilizando como sistema de referencia para los ejes globales el del primer cuadrante, tendremos que el sentido positivo será:  

Para el eje x , hacia la derecha. Para el eje y , hacia arriba.

En coherencia con tal criterio hemos colocado los signos correspondientes, como puede verse en la figura anterior. En tal caso el vector carga será el que puede verse señalado en la figura siguiente :

(Pulse sobre la imagen para ampliar)

Vemos que sólo hay que obtener las componentes x, y de la carga puntual total que actúa en cada uno de los nudos, con el signo adecuado y así obtendremos el vector carga en nudos. El orden de los nudos tiene que ser coherente con el de la matriz de rigidez y el vector desplazamientos en nudos, para que la ecuación matricial esté bien expresada. En nuestro caso concreto la secuencia es 2, 3 , 4 y por tanto el vector carga en nudos será:

3. VECTOR CARGA EQUIVALENTE EN NUDOS En la ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura . P = Vector cargas en los nudos de la estructura . d = Vector desplazamientos de los nudos de la estructura.

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Vector carga en nudos

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Vemos que el vector cargas es en nudos y por tanto para el caso de cargas distribuidas en barras tenemos que aplicar el procedimiento que vamos a describir seguidamente. En el gráfico siguiente se puede ver en la fig.1 una estructura plana de nudos articulados con carga distribuida de valor q (Kg/m) en una barra.

En la fig. 3 del gráfico, hemos representado la barra apoyada en dos articulaciones, de forma que las reacciones serán : q.L /2 En la fig. 2 del gráfico, hemos representado la estructura con las cargas puntuales contrarias a las reacciones de la barra, de forma que las cargas puntuales serán : q.L /2 Resolvemos mediante el cálculo matricial el caso de la figura 2, que es una estructura plana de nudos articulados con cargas en los nudos y podemos obtener los axiles en barras. Resolvemos la barra de la fig.3 y podemos obtener el diagrama de cortantes y el diagrama de flectores de dicha barra. La estructura con carga distribuida, que hemos referido en la fig.1 será la superposición de:  

La estructura con las cargas puntuales de la fig.2 La barra de la fig.3 con la carga distribuida.

Es decir: el procedimiento a aplicar para resolver estas estructuras de nudos articulados con cargas distribuidas en barras, se basa en: 1 - Obtener las cargas puntuales de reacción de las barras con cargas distribuidas. 2 - Sumarlas al resto de cargas puntuales en nudos y obtener la resultante de cargas puntuales, en cada uno de los nudos que pueden presentar desplazamiento, obteniendo el vector carga equivalente en nudos. 3 - Obtener los axiles en barras que se producen como consecuencia del vector carga equivalente en nudos y los desplazamientos en nudos, mediante el cálculo matricial. 4 - Obtener los diagramas de cortantes y axiles en las barras con carga distribuida. 5 - Superponer las solicitaciones obtenidas para obtener las solicitaciones totales en las barras.

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Vector carga en nudos

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Es decir: las barras con cargas distribuidas además de los axiles correspondientes por la actuación del vector carga equivalente en nudos, estarán sometidas a cortantes y flectores. Los procedimientos explicitados en este apartado para el caso de estructuras planas de nudos articulados son igualmente válidos para el caso de estructuras espaciales de nudos articulados. subir

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7.1.- Caso de estructura espacial de nudos articulados | 7.2.- Caso de vínculos parciales | 7.3-Vector carga en nudos| 7.4.- Vector desplazamiento en nudos | 7.5.- Los esfuerzos en barras | 7.6.- Las reacciones en vínculos | 7.7.- Actividades | 7.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Vector desplazamiento en nudos

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 7.1.- Caso de estructura espacial de nudos articulados | 7.2.- Caso de vínculos parciales | 7.3.- Vector carga en nudos | 7.4-Vector desplazamiento en nudos| 7.5.- Los esfuerzos en barras | 7.6.- Las reacciones en vínculos | 7.7.Actividades | 7.8.- Ejercicios de autoevaluación | 7 .4.- Vector desplazamiento en nudos

1. INTRODUCCIÓN 2. LOS VECTORES DESPLAZAMIENTO EN NUDOS

El puente Alfonso XIII ( Actualmente desmontado ) - Sevilla 1. INTRODUCCIÓN Cuando aplicamos el método de la rigidez utilizamos la ecuación matricial:

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura, en coordenadas globales. P = Vector de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Vector de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Luego:

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Vector desplazamiento en nudos

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Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y aplicado el vector de cargas que actúa sobre los nudos de dicha estructura, podemos calcular el vector desplazamiento en nudos. En este apartado vamos a referirnos al procedimiento de cálculo del vector desplazamiento en nudos de una estructura de barras de nudos articulados. Es importante recordar que en la matriz de rigidez de la estructura hemos incluido solamente los nudos susceptibles de desplazamientos, lo cual en el caso de estructuras planas de nudos articulados significa desplazamiento en los ejes x,y, en el sistema de coordenadas globales. El vector de cargas a utilizar en la ecuación matricial anterior será lógicamente en el sistema de coordenadas globales, en coherencia con la expresión de la matriz de rigidez de la estructura. Ello implica que lo que obtendremos en cuanto a desplazamientos de los nudos de la estructura estará expresado igualmente en coordenadas globales. Vemos según lo anterior que el proceso para obtener el vector desplazamiento en nudos pasa por obtener la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas que actúa sobre dicha estructura. 2. LOS VECTORES DESPLAZAMIENTO EN NUDOS Para ilustrar el desarrollo del contenido de este apartado nos vamos a referir a una estructura concreta de nudos articulados, que podemos ver definida en la figura siguiente.

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Vemos que solamente los nudos 3 y 4 se pueden desplazar en x,y , dado que los nudos 1 y 2 son articulaciones fijas y constituyen la vinculación exterior de la estructura de barras de nudos articulados. La sección de todas las barras es la misma, de valor: A = 44,2 cm2. El material de todas las barras es acero, de forma que el valor del módulo de elasticidad es: E = 2,1 . 10E6 Kg/cm2 . En la figura siguiente vemos la definición de las barras y nudos de la estructura en cuestión.

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Vector desplazamiento en nudos

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Para la obtención del vector desplazamiento necesitamos la matriz de rigidez de la estructura que es la relación entre las cargas en los nudos y los desplazamientos de tales nudos, de la estructura en su conjunto. La expresión de la matriz simbólica de la estructura es la que vemos en la figura siguiente.

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Las matrices de transformación de las barras de la estructura son las que vemos en la figura siguiente.

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Las matrices de rigidez en locales , para las barras 1(a) y 2(b) son las que vemos en la figura siguiente.

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Las matrices de rigidez en locales , para las barras 3(c) y 4(d) son las que vemos en la figura siguiente.

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La matriz de rigidez en locales , para la barra 5(e) es la que vemos en la figura siguiente.

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Vector desplazamiento en nudos

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Las matrices de rigidez en globales , para las barras 1(a) y 2(b) son las que vemos en la figura siguiente.

(Pulse la imagen para agrandar)

Las matrices de rigidez en globales, para las barras 3(c) y 4(d) son las que vemos en la figura siguiente.

(Pulse la imagen para agrandar)

La matriz de rigidez en globales , para la barra 5(e) es la que vemos en la figura siguiente.

(Pulse la imagen para agrandar)

La matriz de rigidez de la estructura será la que podemos ver en la figura siguiente.

(Pulse la imagen para agrandar)

Necesitamos además de la matriz de rigidez de la estructura el vector de carga en nudos, que en nuestro caso podemos ver en la figura siguiente.

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Sustituyendo los valores calculados anteriormente de la matriz de rigidez (de orden 4x4) y del vector de carga en nudos en la ecuación matricial siguiente

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

podemos obtener el vector desplazamiento en nudos en coordenadas globales.

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Vector desplazamiento en nudos

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El vector desplazamiento será el correspondiente a los dos grados de libertad, de cada uno de los dos nudos deformables, de la estructura en cálculo. Como podemos ver en la figura siguiente el vector desplazamiento en nudos de la estructura, en coordenadas globales, se corresponderá con el desplazamiento horizontal (eje x ) y con el desplazamiento vertical (eje y ) de los nudos C y D.

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El vector desplazamiento que resulta lo podemos ver en la figura siguiente.

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7.1.- Caso de estructura espacial de nudos articulados | 7.2.- Caso de vínculos parciales | 7.3.- Vector carga en nudos | 7.4-Vector desplazamiento en nudos| 7.5.- Los esfuerzos en barras | 7.6.- Las reacciones en vínculos | 7.7.Actividades | 7.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Los esfuerzos en barras

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 7.1.- Caso de estructura espacial de nudos articulados | 7.2.- Caso de vínculos parciales | 7.3.- Vector carga en nudos | 7.4.- Vector desplazamiento en nudos | 7.5-Los esfuerzos en barras| 7.6.- Las reacciones en vínculos | 7.7.- Actividades | 7.8.- Ejercicios de autoevaluación | 7 .5.- Los esfuerzos en barras

1. INTRODUCCIÓN 2. LOS ESFUERZOS EN BARRAS

Detalle de formación de un arco espacial de barras Estación del AVE - Sevilla 1. INTRODUCCIÓN Cuando aplicamos el método de la rigidez utilizamos la ecuación matricial:

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura, en coordenadas globales. P = Vector de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Vector de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Luego una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y aplicado el vector de cargas que actúa sobre los nudos de dicha estructura, podemos calcular el vector desplazamiento en nudos. Es importante recordar que en la matriz de rigidez de la estructura hemos incluido solamente los nudos susceptibles de desplazamientos, lo cual en el caso de estructuras planas de nudos articulados significa desplazamiento en los ejes x,y, en el sistema de coordenadas globales. El vector de cargas a utilizar en la ecuación matricial anterior será lógicamente en el sistema de coordenadas globales, en coherencia con la expresión de la matriz de rigidez de la estructura. Ello implica que lo que obtendremos en cuanto a desplazamientos de los nudos de la estructura estará expresado igualmente en coordenadas globales. En este apartado vamos a referirnos al procedimiento de cálculo de los esfuerzos en barras de una estructura de nudos articulados.

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Los esfuerzos en barras

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Los esfuerzos en barras en el caso de estructuras de nudos articulados con cargas puntuales en nudos se corresponden con los axiles, ya que tienen la dirección de las barras. Por tanto es lógico que expresemos los esfuerzos en barras utilizando el sistema de coordenadas locales, ya que en dicho sistema de coordenadas el eje x se corresponde con la dirección de la barra siendo el sentido positivo el que vá desde el extremo 1 (inicio) al extremo 2 (final). 2. LOS ESFUERZOS EN BARRAS Para ilustrar el desarrollo del contenido de este apartado nos vamos a referir a una estructura concreta de nudos articulados, que podemos ver definida en la figura siguiente.

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Vemos que solamente los nudos 3 y 4 se pueden desplazar en x,y , dado que los nudos 1 y 2 son articulaciones fijas y constituyen la vinculación exterior de la estructura de barras de nudos articulados. La sección de todas las barras es la misma, de valor: A = 44,2 cm2. El material de todas las barras es acero, de forma que el valor del módulo de elasticidad es: E = 2,1 . 10E6 Kg/cm2 . En la figura siguiente vemos la definición de las barras y nudos de la estructura en cuestión.

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La matriz de rigidez de la estructura será la que podemos ver en la figura siguiente.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

Necesitamos además de la matriz de rigidez de la estructura el vector de carga en nudos, que en nuestro caso podemos ver en la figura siguiente.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

Como podemos ver en la figura siguiente el vector desplazamiento en nudos de la estructura, en coordenadas globales, se corresponderá con el desplazamiento horizontal (eje x ) y con el desplazamiento vertical (eje y ) de los nudos C y D. El sistema de cargas lo podemos ver en la figura siguiente (en rojo).

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El vector desplazamiento que resulta lo podemos ver en la figura siguiente.

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Los esfuerzos en barras

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Para la determinación de los esfuerzos en barras, es necesario manejar utilizar:  

Los desplazamientos de los extremos de barras. La matriz de rigidez de las barras.

Las solicitaciones en barras (axiles, cortantes, flectores y torsores) tienen una referencia con los sistemas de ejes locales. En el caso de estructuras de barras articuladas con cargas puntuales en nudos, las solicitaciones en barras serán exclusivamente axiles. Las matrices de rigidez de las barras se expresan también en los sistemas de coordenadas locales. Por lo anterior se hace necesario establecer la relación entre los vectores desplazamiento expresados en coordenadas locales y globales, para poder obtener las solicitaciones en las barras y que es la siguiente: { dL } = { T }T . { dG } Tanto para estructuras planas como espaciales, tanto de nudos rígidos como de nudos articulados, aunque lógicamente los vectores carga y las matrices de transformación tendrán una expresión concreta adecuada a cada tipología estructural. El procedimiento de cálculo matricial de estructuras se desarrolla partiendo del cálculo de las matrices de rigidez de las barras, expresadas en locales, para llegar a la matriz de rigidez de la estructura que hemos de expresar en coordenadas globales. Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura, definimos el vector de cargas en nudos y obtenemos el vector desplazamiento en nudos (en el sistema de coordenadas globales). Necesitaremos utilizar la relación que estamos exponiendo en este apartado, para pasar a obtener los desplazamientos en los extremos de barras, en el sistema de ejes local, para poder calcular las solicitaciones en las barras, que se expresan utilizando el sistema de coordenadas locales. La matriz de transformación, { T } , nos va a servir para resolver este proceso de cambio y relación entre los sistemas de coordenadas locales y globales, en este caso para los desplazamientos. Sabiendo que se cumple la relación: { dL } = { T }T . { dG } en todos los nudos que coinciden con extremos de las barras que forman la estructura. En nuestra estructura concreta se cumple que : {d2a } = {d2b } = {d1c } = 0 por ser la vinculación exterior en A una articulación fija. {d1a } = {d1d } = 0 por ser la vinculación exterior en B una articulación fija. Por las condiciones de vinculación interior entre las barras, que confluyen en los nudos C y D , en nuestra estructura concreta se cumple que: {d2c } = {d2e } = {dD } ya que los extremos 2 de las barras c y e forman el nudo D. {d1b } = {d2d } = {d1e } = {dC }

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Los esfuerzos en barras

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ya que los extremos 1 de las barras b y e y el extremo 2 de la barra d forman el nudo C. Utilizando las ecuaciones matriciales de estado, expresadas en el sistema de coordenadas locales que siguen : P1 = K11 d1 + K12 d2 P2 = K21 d1 + K22 d2 Que se obtienen desarrollando la ecuación matricial siguiente :

pasamos a obtener los esfuerzos en barras en el caso concreto de nuestra estructura de referencia. Para la barra b: En la figura siguiente podemos ver la matriz de rigidez de dicha barra en coordenadas locales

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En la figura siguiente podemos ver la matriz de transformación de las barras

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En la figura siguiente podemos ver los desplazamientos, en coordenadas globales del nudo C (nudo 3) .

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En base a los resultados anteriores lo único que tenemos que hacer es sustituir dichos valores en la expresión del esfuerzo en la barra b, en función de los valores de la matriz de rigidez de la barra (en locales) y los desplazamientos de los extremos de dicha barra (en locales) . Como la solicitación de dicha barra es únicamentepor axil y el valor es el mismo en todas las secciones de la barra calculamos exclusivamente el valor del esfuerzo en un único extremo de barra, en este caso en el extremo 2. El valor del axil en la barra b será:

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Los esfuerzos en barras

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Para la barra c: En la figura siguiente podemos ver la matriz de rigidez de dicha barra en coordenadas locales

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Hemos referido en otras figuras anteriores la matriz de transformación de la barra c y los desplazamientos de los nudos. En base a lo anterior tendremos que aplicar el procedimiento antes referido para obtener el axil de la barra c. El valor del axil en la barra c será:

Para la barra d: En la figura siguiente podemos ver la matriz de rigidez de dicha barra en coordenadas locales

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

Hemos referido en otras figuras anteriores la matriz de transformación de la barra d y los desplazamientos de los nudos. Vamos a calcular la solicitación en la barra d en el extremo 2. Realizando el mismo proceso obtendremos el axil de la barra d :

Para la barra e: En la figura siguiente podemos ver la matriz de rigidez de dicha barra en coordenadas locales

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Los esfuerzos en barras

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Hemos referido en otras figuras anteriores la matriz de transformación de la barra e y los desplazamientos de los nudos. Vamos a calcular la solicitación en la barra e en el extremo 2. Realizando el mismo proceso obtendremos el axil de la barra e :

Para la barra a: Debido a la nulidad del desplazamiento de la barra a en sus dos extremos, {d1a} = { d2a } = 0 dado que los extremos de dicha barra son las articulaciones fijas (A y B) el esfuerzo en tal barra a es nulo ; { P2a } = 0 Utilizando este procedimiento hemos calculado los esfuerzos en barras, en kg, que obtenemos en coordenadas locales, ya que en el caso de las estructuras articuladas con cargas en los nudos, las solicitaciones que se producen son los axiles. Es importante conocer si el axil que actúa en cada barra está solicitándola a tracción o a compresión, dado que las barras sometidas a compresión son susceptibles del fenómeno del pandeo, que no se producirá en las barras a tracción. Dado el criterio de signos utilizado en el procedimiento desarrollado en el presente apartado, el signo positivo, en el extremo 2, se corresponde con la solicitación a tracción y el signo negativo, en el extremo 2, se produce cuando la solicitación es a compresión. En la figura siguiente hemos representado las solicitaciones en las barras y hemos marcado: en rojo las barras a compresión : d y e en azul las barras a tracción : b y c.

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Los esfuerzos en barras

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7.1.- Caso de estructura espacial de nudos articulados | 7.2.- Caso de vínculos parciales | 7.3.- Vector carga en nudos | 7.4.- Vector desplazamiento en nudos | 7.5-Los esfuerzos en barras| 7.6.- Las reacciones en vínculos | 7.7.- Actividades | 7.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Las reacciones en vínculos

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 7.1.- Caso de estructura espacial de nudos articulados | 7.2.- Caso de vínculos parciales | 7.3.- Vector carga en nudos | 7.4.- Vector desplazamiento en nudos | 7.5.- Los esfuerzos en barras | 7.6-Las reacciones en vínculos| 7.7.Actividades | 7.8.- Ejercicios de autoevaluación | 7 .6.- Las reacciones en vínculos

1. INTRODUCCIÓN 2. LAS REACCIONES EN VÍNCULOS

Detalle de formación de un nudo entre arcos espaciales de barras Estación del AVE - Sevilla 1. INTRODUCCIÓN Cuando aplicamos el método de la rigidez utilizamos la ecuación matricial:

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura, en coordenadas globales. P = Vector de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Vector de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Luego una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y aplicado el vector de cargas que actúa sobre los nudos de dicha estructura, podemos calcular el

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Las reacciones en vínculos

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vector desplazamiento en nudos. Con los desplazamientos podemos calcular los esfuerzos en barras. En este apartado vamos a referirnos al procedimiento de cálculo de las reacciones en los vínculos exteriores, en una estructura de nudos articulados. Sabemos que los esfuerzos en barras en el caso de estructuras de nudos articulados con cargas puntuales en nudos se corresponden con los axiles, ya que tienen la dirección de las barras. Por tanto es aplicable el método de los nudos en los vínculos exteriores, dado que una vez conocido el conjunto de las solicitaciones en las barras, tanto en módulo como en dirección y sentido, los vínculos serán los que hagan cumplirse el equilibrio en tales nudos. En las ecuaciones siguientes los valores de F serán los axiles de las barras que confluyen en el vínculo y los valores de R se corresponderán con los valores Rx y Ry , en cada vínculo

2. LAS REACCIONES EN VÍNCULOS Para ilustrar el desarrollo del contenido de este apartado nos vamos a referir a una estructura concreta de nudos articulados, que podemos ver definida en la figura siguiente.

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Vemos que solamente los nudos 3 y 4 se pueden desplazar en x,y , dado que los nudos 1 y 2 son articulaciones fijas y constituyen la vinculación exterior de la estructura de barras de nudos articulados. La sección de todas las barras es la misma, de valor: A = 44,2 cm2. El material de todas las barras es acero, de forma que el valor del módulo de elasticidad es: E = 2,1 . 10E6 Kg/cm2 . En la figura siguiente vemos la definición de las barras y nudos de la estructura

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Las reacciones en vínculos

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en cuestión.

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El sistema de cargas lo podemos ver en la figura siguiente (en rojo), mientras que el sistema de reacciones, en los vínculos exteriores A y B, lo hemos reseñado en azul.

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Utilizando el procedimiento descrito en el apartado 7-5 hemos calculado los esfuerzos en barras, en kg, que obtenemos en coordenadas locales, ya que en el caso de las estructuras articuladas con cargas en los nudos, las solicitaciones que se producen son los axiles. En la figura siguiente hemos representado las solicitaciones en las barras y hemos marcado las reacciones Ax , Ay , Bx y By , en rojo.

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Una vez conocidos los esfuerzos en barras, como hemos descrito en el apartado 7 - 5, podemos calcular las reacciones en A y en B, mediante la aplicación del equilibrio estático en los nudos que constituyen los vínculos exteriores.

Planteando el equilibrio en el nudo A, obtendremos las reacciones en A : Ax = - 7654 - 4504 . Cos. 49,4 = - 10585 kg Ay = 4453 . Sen 49,4 = 3420 kg Ya que en el nudo A confluyen las barras: a (axil nulo ) b (axil a tracción de 4504 kg) c (axil a tracción de 7654 kg) Planteando el equilibrio en el nudo B, obtendremos las reacciones en B : Bx = 13231 . Cos 30,2 = 11429 kg

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Las reacciones en vínculos

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By = 13231 . Sen 30,2 = 6665 kg Ya que en el nudo B confluyen las barras: a (axil nulo ) d (axil a compresión de 13231 kg)

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7.1.- Caso de estructura espacial de nudos articulados | 7.2.- Caso de vínculos parciales | 7.3.- Vector carga en nudos | 7.4.- Vector desplazamiento en nudos | 7.5.- Los esfuerzos en barras | 7.6-Las reacciones en vínculos| 7.7.Actividades | 7.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Actividades

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 7.1.- Caso de estructura espacial de nudos articulados | 7.2.- Caso de vínculos parciales | 7.3.- Vector carga en nudos | 7.4.- Vector desplazamiento en nudos | 7.5.- Los esfuerzos en barras | 7.6.- Las reacciones en vínculos | 7.7Actividades| 7.8.- Ejercicios de autoevaluación | 7 .7.- Actividades

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Ejercicios de autoevaluación

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.-Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 7.1.- Caso de estructura espacial de nudos articulados | 7.2.- Caso de vínculos parciales | 7.3.- Vector carga en nudos | 7.4.- Vector desplazamiento en nudos | 7.5.- Los esfuerzos en barras | 7.6.- Las reacciones en vínculos | 7.7.Actividades | 7.8-Ejercicios de autoevaluación| 7 .8.- Ejercicios de autoevaluación

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7.1.- Caso de estructura espacial de nudos articulados | 7.2.- Caso de vínculos parciales | 7.3.- Vector carga en nudos | 7.4.- Vector desplazamiento en nudos | 7.5.- Los esfuerzos en barras | 7.6.- Las reacciones en vínculos | 7.7.Actividades | 7.8-Ejercicios de autoevaluación|

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.-Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.- Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10.- Ejercicios de autoevaluación | 8 .- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos

    

OBJETIVOS RESUMEN DEL TEMA ÍNDICE DE CONTENIDOS RECORRIDOS BIBLIOGRAFÍA

RESUMEN DEL TEMA El Tema N◙8 consta fundamentalmente de aplicar la sistemática de cálculo matricial a una tipología estructural determinada: Las estructuras planas de nudos rígidos. Podemos considerar, en forma análoga al caso de estructuras de nudos articulados, los siguientes cuatro bloques: Bloque N◙1 : Aplicación del cálculo matricial a la determinación de la matriz de rigidez de una estructura plana de nudos rígidos Bloque N◙2 : Caso de vínculos parciales y estructuras mixtas En este bloque desarrollamos el procedimiento para el cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos que presentan vínculos parciales así como en el caso de estructuras mixtas. Bloque N◙3 : Resolución del sistema cargas-desplazamientos En este bloque obtenemos el vector carga en nudos de la estructura y el vector desplazamiento en nudos de las estructuras planas de nudos rígidos. Bloque N◙4 : Obtención del sistema de esfuerzos en barras Exponemos el procedimiento para el cálculo de las solicitaciones en barras en estructuras planas de nudos rígidos.

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INDICE DE CONTENIDOS 1- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación. 2- Vector carga equivalente. 3- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos. 4- Caso de vinculación parcial. 5- Caso de estructuras mixtas. 6- Determinación de desplazamientos y giros. 7- Determinación de esfuerzos en barras 8- Las reacciones en vínculos. 9- Actividades. 9.1. - Casos prácticos de aplicación. 9.2. - Utilización del software docente sobre cálculo de estructuras planas de nudos articulados. 9.3. - Visualización de un conjunto de estructuras 9.4. - Trabajos de curso 10- Ejercicios de Autoevaluación. Realización de un conjunto de problemas de exámenes anteriores sobre los contenidos del tema.

BIBLIOGRAFÍA PARA ESTE TEMA NIETO GARCÍA, E. (1998) Estructuras Arquitectónicas e Industriales:su cálculo En el capítulo 11. ARGUELLES ÁLVAREZ, R. (1981) Cálculo de estructuras: Volúmen I En su capítulo 14 NOTA: Se puede ver otra Bibliografía de interés sobre Cálculo matricial de estructuras en Recursos de profundización. Bibliografía apartado 4.

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8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.- Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.-Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 8.1-Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.- Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10.Ejercicios de autoevaluación | 8 .1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación

1. INTRODUCCIÓN 2. COORDENADAS LOCALES Y GLOBALES 3. MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN

Estación del AVE ( Expo92 ) - Sevilla 1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras planas de nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos. Es decir: lo que vamos a referir es aplicable a esta tipología estructural, por cuanto los diferentes sistemas de ejes a utilizar nos son necesarios para expresar de la manera más adecuada las diferentes magnitudes vectoriales y matriciales que se utilizan en el cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos. Vemos que: 

Utilizaremos un sistema de coordenadas local para expresar y calcular por ejemplo las cargas que actúan sobre las barras y las matrices de rigidez de dichas barras.



Utilizaremos un sistema de coordenadas globales para expresar y calcular por ejemplo las cargas que actúan sobre la estructura y los movimientos que se producen en los nudos de dicha estructura.

El propio procedimiento de cálculo matricial de estructuras, en nuestro caso de estructuras planas

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Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación

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de nudos rígidos, se desarrolla partiendo del cálculo de las matrices de rigidez de las barras, expresadas en locales, para llegar a la matriz de rigidez de la estructura que hemos de expresar en coordenadas globales. Es decir: cuando en el procedimiento de cálculo matricial planteamos las relaciones existentes entre las diferentes barras de la estructura, es necesario utilizar un único sistema de coordenadas, que denominamos de coordenadas globales. Por lo anterior se hace necesario el poder expresar las matrices de rigidez de las barras tanto referidas a las coordenadas locales, propias de la barra, como referida a las coordenadas globales, propias de la estructura. La matriz de transformación, que vamos a denominar simbólicamente como { T } , nos va a servir para resolver este proceso de cambio y relación entre los sistemas de coordenadas locales y globales. En este apartado vamos a concretar lo anterior para la tipología estructural que nos ocupa: estructuras planas de nudos rígidos. 2. COORDENADAS LOCALES Y GLOBALES En este apartado nos referimos a estructuras de nudos rígidos contenidas en un plano. Sabemos que las coordenadas locales corresponden a cada barra, definiendo un sistema de ejes referenciales, según sea la dirección de la directriz de dichas barras. Definiremos el sistema de ejes locales, para barras pertenecientes a estructuras planas de nudos rígidos de la siguiente forma: 1- En cada barra definiremos un extremo 1 y 2 de dicha barra. Definiremos el eje x del sistema de coordenadas locales de una barra haciéndolo coincidir con la directriz de la barra. Definimos el sentido positivo haciéndolo coincidir con el del vector que va desde el extremo 1 al extremo 2. 2- El eje y del sistema de coordenadas locales será perpendicular al eje x, antes referido, girando 90◙en sentido contrario a las agujas del reloj, como en el caso del sistema de ejes cartesianos del 1er. cuadrante. 3- El eje z se obtendrá (dirección y sentido) al multiplicar vectorialmente los versores (vectores dirección unitarios) de los ejes x e y. En cuanto al sistema de esfuerzos, que obtendremos una vez aplicado el procedimiento de metodología matricial, en barras, en el caso de estructuras planas de nudos rígidos, definido el sistema de coordenadas locales como hemos explicitado anteriormente, tendremos que: 

La componente de la solicitación en el eje x (en coordenadas locales) se corresponderá con el axil



La componente de la solicitación en el eje y (en coordenadas locales) se corresponderá con el cortante.



La componente de la solicitación en el eje z (en coordenadas locales) se corresponderá con el flector.

Definiremos el sistema de ejes globales, para barras pertenecientes a estructuras planas de nudos rígidos de la siguiente forma:

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1 - Definiremos el eje x del sistema de coordenadas globales de una estructura haciéndolo coincidir con la dirección horizontal y el sentido el positivo del eje x del 1er. cuadrante del sistema de ejes cartesianos. 2 - El eje y del sistema de coordenadas globales será perpendicular al eje x, antes referido, girando 90◙en sentido contrario a las agujas del reloj, como en el caso del sistema de ejes cartesianos del 1er. cuadrante. 3 - El eje z se obtendrá (dirección y sentido) al multiplicar vectorialmente los versores (vectores dirección unitarios) de los ejes x e y. Definiendo el sistema de ejes globales de esa manera, que es la recomendable, en general, aunque pueda hacerse de otra forma en un caso concreto, obtenemos la ventaja de que el sistema de cargas que actúan sobre la estructura presenta las direcciones verticales (por ejemplo: las cargas gravitatorias) y horizontales (por ejemplo: las cargas de viento), en la mismas direcciones del sistema de ejes globales. Hemos de recordar que para una barra perteneciente a una estructura plana de nudos rígidos, la expresión de las matrices K11, K12, K21, K22 , para las cuales estamos utilizando un sistema de coordenadas locales, son :

En la figura siguiente hemos representado el Diagrama de Axiles de un pórtico, que entra dentro de la tipología de estructura plana de nudos rígidos, en el cual se hace referencia a la solicitación, lógicamente de axil (en la dirección de la directriz de la barra), que se produce en cada una de las barras que forman esa estructura. En este caso de una estructura plana ( contenida en un plano ) el axil se presentará en un eje x, en la dirección de la directriz de cada barra (eje x), de forma que estamos utilizando el sistema de coordenadas locales, que varían en cada barra en función de la directriz de la misma.

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En la figura siguiente hemos representado el Diagrama de Cortantes en el cual se hace referencia a la solicitación, lógicamente de cortante, que se produce en cada una de las barras que forman esa estructura. En este caso de una estructura plana ( contenida en un plano ) el cortante se presentará en un eje y, perpendicular a la directriz de cada barra (eje x), de forma que estamos utilizando el sistema de coordenadas locales, que varían en cada barra en función de la directriz de la misma.

En la figura hemos representado un Diagrama de Flectores de un pórtico, en el cual se hace referencia a la solicitación, lógicamente de flector, que se produce en cada una de las barras que forman esa estructura. En el caso de una estructura plana ( contenida en un plano ) el momento flector presentará un eje en z, perpendicular a dicho plano, con lo cual no variará la dirección del flector siempre que las barras estén contenidas en dicho plano.

3. MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN Denominamos matriz de transformación { T }, en una barra, a aquella matriz que nos permite relacionar el vector carga aplicado a dicha barra, en coordenadas globales { PG }, con el vector carga en coordenadas locales { PL} que actúa en la misma barra. En base a lo anterior la matriz de transformación { T } será aquella que se deriva de la siguiente ecuación matricial : { PG } = { T } . { P L } En la figura siguiente hemos representado una barra perteneciente a una estructura plana de

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nudos rígidos con un sistema de coordenadas locales (azul) y un sistema de coordenadas globales (rojo).

Hemos dibujado el vector carga en globales en el extremo 1 (PXG, PYG, MG) y el vector carga en locales en el extremo 2 (PXL, PYL, ML) , aunque lógicamente tanto el sistema de ejes local como el sistema de ejes global, es igual en los dos extremos. Como hemos indicado anteriormente el sistema de ejes locales se justifica para el cálculo de magnitudes vectoriales y matriciales relativas a cada una de las barras mientras que el sistema de ejes globales lo utilizaremos en todo lo que haga referencia a la estructura en su conjunto. También utilizaremos el sistema de coordenadas globales a lo largo del procedimiento de cálculo matricial para poder establecer la interacción entre las diferentes barras de la estructura, ya que es un sistema de coordenadas común al conjunto de barras. Planteamos la ecuación de relación entre cargas, en coordenadas globales y coordenadas locales, utilizando la matriz { T }: { PG } = { T } . { P L } y tendremos que para el caso de una barra perteneciente a una estructura de nudos rígidos que la ecuación matricial anterior queda así:

De forma que la matriz { T } será:

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8.1-Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.- Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10.Ejercicios de autoevaluación |

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Vector carga equivalente

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.-Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2-Vector carga equivalente| 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.- Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10.- Ejercicios de autoevaluación | 8 .2.- Vector carga equivalente

1. INTRODUCCIÓN 2. OBTENCIÓN DEL VECTOR CARGA EQUIVALENTE ESTRUCTURA PLANA CON NUDOS RÍGIDOS

EN

UNA

Detalle de la cubierta ligera tensada del Palenque - Expo92 - (Sevilla) 1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras planas y dentro de esa tipología nos centramos en aquellas cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos. Hemos de tener siempre presente que ello implica que las barras que forman la estructura se encuentran en el mismo plano que las cargas que actúan sobre los nudos y sobre las barras (puntuales y distribuidas) . Es conveniente resaltar que los momentos flectores, desde el punto de vista vectorial, quedan representados en una dirección perpendicular al plano definido por las barras de la estructura y las fuerzas que actúan sobre la misma.

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Vector carga equivalente

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Las estructuras que estamos tratando se encuentran según lo anterior , generalmente, en un plano vertical y sometidas a cargas que también se encuentran en dicho plano, como sucede con las cargas gravitatorias y sobrecargas de uso, nieve y viento. Podemos decir según lo anterior que son muy frecuentes ya que corresponden a tal tipología muchas de las estructuras principales (pórticos) habitualmente utilizados en construcción industrial metálica. Mientras que en las estructuras articuladas, la solicitación más utilizada es la de cargas puntuales en los nudos y habremos de reducir, con suficiente nivel de aproximación, los casos de cargas distribuidas a tal tipo de solicitación, en el caso de estructuras planas de nudos rígidos la solicitación más frecuente es la de cargas distribuidas sobre las barras En esta tipología estructural, las barras se encuentran sometidas no solamente a axiles, sino también a cortantes y flectores y por ello el vector de cargas, para el caso de barras pertenecientes a una estructura de nudos rígidos será en coordenadas locales :

En la ecuación matricial siguiente expresamos la relación entre cargas y movimientos en los extremos de una barra, de forma general.

Dado que están vinculados los extremos de las barras mediante empotramiento elástico, por pertenecer a estructuras de nudos rígidos, ello implica el que existan momentos en los extremos de las barras pertenecientes a dicha tipología estructural y por tanto la dimensión del vector cargas será de 6 x 1. En la ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

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Vector carga equivalente

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donde: K = Matriz de rigidez de la estructura . P = Vector cargas en los nudos de la estructura . d = Vector desplazamientos de los nudos de la estructura. Explicitamos la relación entre el sistema de cargas en los nudos de la estructura y el sistema de desplazamientos o movimientos en los nudos de dicha estructura, en nuestro caso de nudos articulados, de forma que representa lo que podríamos denominar como "ley constitutiva" de la estructura. En la ecuación anterior hemos expresado cómo mediante el Método de la Rigidez una vez definida y calculada la matriz de cargas, obteniendo la inversa de la matriz de rigidez, se pueden calcular los desplazamientos o movimientos de los extremos. Seguidamente vamos a concretar la expresión del vector de carga equivalente, en el caso de las estructuras planas de nudos rígidos. 2. OBTENCIÓN DEL VECTOR CARGA ESTRUCTURA PLANA CON NUDOS RÍGIDOS

EQUIVALENTE

EN

UNA

La dimensión de los vectores carga en nudos, para el caso de estructuras de nudos rígidos, será : 1 - Para estructuras planas : 3xN , siendo N el número de nudos (no vinculados) de la estructura. 2 - Para estructuras espaciales : 6xN , siendo N el número de nudos (no vinculados) de la estructura. por cuanto son posibles las siguientes solicitaciones en cualquiera de los nudos: 1 - Para estructuras planas : 



Fuerza en dirección cualquiera del plano x,y . (2 componentes) Momento en el eje z. (1 componente)

2 - Para estructuras espaciales :  

Fuerza en cualquier dirección del espacio.(3 componentes) Momento en cualquier dirección del espacio.(3 componentes)

En la ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura .

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Vector carga equivalente

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P = Vector cargas en los nudos de la estructura . d = Vector desplazamientos de los nudos de la estructura. Vemos que el vector cargas es en nudos y por tanto para el caso de cargas distribuidas en barras tenemos que aplicar el procedimiento que vamos a describir seguidamente. Denominamos vector carga equivalente al vector de cargas en los nudos de la estructura que produce igual vector desplazamiento en nudos que el del sistema de cargas reales (puntuales y distribuidas) que actúan sobre las barras que forman la estructura. Podemos decir que es un vector de cargas instrumental que nos permite utilizar la metodología matricial para obtener el sistema de desplazamientos de los nudos de una estructura sometida a cargas distribuidas en barras. En el gráfico siguiente hemos representado un pórtico con una carga distribuida en la viga BC, de valor q (Kg/m), con una longitud L. En el mismo gráfico, en la fig.2 hemos empotrado los extremos de las barras apareciendo unos momentos de empotramiento y unos cortantes, que constituyen las reacciones ( en rojo ), como consecuencia de las cargas y del empotramiento de los extremos B y C, de valor:

M = qL2/12 V = qL/ 2

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En la figura 3 hemos representado ( en verde ) los valores contrarios a las cargas de empotramiento. Estudiaremos el caso que nos ocupa, pórtico de la figura 1, como la superposición de los casos recogidos en las figuras 2 y 3. Denominaremos como vector carga de empotramiento , { Pe } , a la que hemos señalado en rojo en la figura 2. Vemos que la suma de los estados de carga de la figura 2 y la figura 3 es igual al estado de carga de la figura 1, al anularse la carga de empotramiento { Pe } , de la figura 2, con el valor de -{ Pe } , de la figura 3, quedando solamente la carga distribuida q (Kg/m), que es la misma que la de la figura 1. En la figura 2 resulta un estado de cargas compuesto de la : 

La carga distribuida, en la barra BC.

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Vector carga equivalente



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La carga de empotramiento en los extremos de la barra BC.

Tendremos por tanto en el caso de la figura 2 un pórtico de desplazamiento nulo. El desplazamiento del sistema de la figura 1 será, por superposición, igual al desplazamiento de la figura 2 más el desplazamiento de la figura 3. Es decir: al ser iguales las cargas se debe producir el mismo desplazamiento y al ser el desplazamiento del sistema de la figura 2 nulo, ello implicará que necesariamente el desplazamiento del sistema (estructura+carga) que estamos estudiando (figura 1) será el mismo que el del sistema 3 (figura 3). De aquí podemos deducir el procedimiento para obtener el vector carga equivalente : 1- Obtenemos los valores de empotramiento perfecto en los extremos de las barras sometidas a cargas distribuidas. 2- El sistema de fuerzas y momentos consecuencia de haber introducido el empotramiento en los extremos de barras constituye el vector carga de empotramiento. 3- El vector carga equivalente estará constituido por el vector carga de empotramiento cambiado de signo. 4- Finalmente, aplicaremos la ecuación matricial siguiente, para obtener el vector desplazamiento en nudos de la estructura :

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura . P = Vector cargas equivalente en los nudos de la estructura . d = Vector desplazamientos de los nudos de la estructura. Vamos a realizar un ejercicio de aplicación para concretar más el procedimiento. En la figura siguiente podemos ver un pórtico con tres cargas distribuidas sobre las barras: 1 2 3

300 kg/m hacia la derecha (ángulo 0◙) 600 kg/m hacia abajo (ángulo 270◙) 150 kg/m hacia la derecha (ángulo 0◙)

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Vector carga equivalente

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En la figura siguiente representamos el conjunto de valores correspondiente a las cargas de empotramiento en los extremos de las barras, resaltado en amarillo y el vector carga equivalente en nudos resaltado en rojo.

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8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2-Vector carga equivalente| 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.- Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10.- Ejercicios de autoevaluación |

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Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.-Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3-Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos| 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10.- Ejercicios de autoevaluación | 8 .3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos

1. INTRODUCCIÓN 2. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA PLANA CON NUDOS RÍGIDOS

Entramado de fachada de estructura espacial de barras y vidrio. Pabellón de la ONCE - Expo92 - (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras planas y dentro de esa tipología nos centramos en aquellas cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos. En apartados anteriores hemos obtenido: 



La expresión de una matriz de rigidez correspondiente al extremo libre de una barra isostática empotrada-libre. (Tema 3) La matriz de rigidez de una barra aplicable a estructuras planas de nudos rígidos. ( Tema 4)

Igualmente en otro apartado anterior ( Tema 6 ) hemos descrito el procedimiento general de obtención de la matriz de rigidez de una estructura concreta, que hemos denominado como ensamblaje de la matriz de rigidez. En la exposición que hacemos en este apartado vamos a aplicar esos conocimientos anteriores y concretar el procedimiento de obtención de la matriz de rigidez en el caso de las estructuras planas de nudos rígidos. Entenderemos como desplazamiento el cambio de posición de una sección, entendiendo como tal su posicionamiento y el ángulo girado y, por tanto, el término tiene un sentido más amplio que el propio de una traslación, razón por la que utilizaremos también el término: movimiento. Tratamos, por tanto, a la rebanada como un sólido de espesor diferencial y área la sección transversal de la barra y definimos su posición en el plano por un punto y un ángulo. El término deformación se corresponde con la variación de forma que se produce en las barras, como consecuencia de estar sometidas a un determinado estado de cargas. La ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

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donde: K = Matriz de rigidez de la estructura . P = Vector cargas en los nudos de la estructura . d = Vector desplazamientos de los nudos de la estructura. es la que define la relación entre el sistema de cargas y el sistema de desplazamientos o movimientos en una estructura, en nuestro caso de nudos rígidos, de forma que representa lo que podríamos denominar como "ley constitutiva" de la estructura. En la ecuación anterior hemos expresado cómo mediante el Método de la Rigidez una vez definida y calculada la matriz de cargas, obteniendo la inversa de la matriz de rigidez, se pueden calcular los desplazamientos o movimientos de los extremos. Seguidamente vamos a expresar más detalladamente tal ecuación matricial, pero obteniendo la matriz de rigidez de una estructura plana de nudos rígidos. Hemos de tener siempre presente que nos vamos a referir en este apartado a estructuras que están contenidas en un plano, lo cual implica que las barras que forman la estructura se encuentran en dicho plano y las fuerzas que actúan sobre los nudos y sobre las barras (puntuales y distribuidas) también. Es conveniente resaltar que los momentos flectores, desde el punto de vista vectorial, quedan representados en una dirección perpendicular al plano definido por las barras de la estructura y las fuerzas que actúan sobre la misma. Las estructuras que estamos tratando se encuentran según lo anterior , generalmente, en un plano vertical y sometidas a cargas que también se encuentran en dicho plano, como sucede con las cargas gravitatorias y sobrecargas de uso, nieve y viento. Podemos decir según lo anterior que son muy frecuentes ya que corresponden a tal tipología muchas de las estructuras principales (pórticos) habitualmente utilizados en construcción industrial metálica así como en la construcción arquitectónica, donde la utilización del hormigón armado implica el que las estructuras sean de nudos rígidos. Mientras que en estructuras articuladas, la solicitación más utilizada es la de cargas puntuales en nudos y habremos de reducir, con suficiente nivel de aproximación, los casos de cargas distribuidas a tal tipo de solicitación, en el caso que nos ocupa la solicitación más frecuente es la de cargas distribuidas sobre las barras. En esta tipología estructural, las barras se encuentran sometidas no solamente a axiles, sino también a cortantes y flectores. 2. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA PLANA CON NUDOS RÍGIDOS En la ecuación matricial siguiente expresamos la relación entre cargas y movimientos en los extremos de una barra, de forma general.

Dado que están vinculados los extremos de las barras mediante empotramiento elástico, por pertenecer a estructuras de nudos rígidos, ello implica el que existan momentos en los extremos de las barras pertenecientes a dicha tipología estructural y por tanto la dimensión del vector cargas será de 6 x 1.

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En cuanto al vector desplazamiento o movimiento hemos de considerar que si las barras están vinculadas en sus extremos mediante empotramiento elástico, tales desplazamientos o movimientos se corresponderán con los alargamientos-acortamientos, coherentes con las solicitaciones de tracción-compresión, junto con los giros derivados de las solicitaciones de flexión a que se encuentran sometidas las barras y por ello el vector desplazamientos será de dimensión 6 x 1. Un aspecto muy importante a resaltar es que las ecuaciones de relación que se establecerán seguidamente son independientes del hecho de si la estructura es isostática o hiperestática (exterior o interior). Por tanto el desarrollo que sigue se particulariza exclusivamente atendiendo a que las barras formen parte de una estructura plana de nudos rígidos, a diferencia por ejemplo de los métodos basados en el equilibrio estático, donde la característica de isostaticidad de una estructura es fundamental. Por ello, como hemos demostrado en apartados anteriores, la matriz de rigidez, para una barra perteneciente a una estructura plana de nudos rígidos, será de 6 x 6. Tendremos la siguiente expresión de la submatriz K22 siguiente :

Tendremos la siguiente expresión de la submatriz K12 siguiente :

Tendremos las siguientes expresiones de las submatrices K21 y K11 en el caso de barras pertenecientes a estructuras planas de nudos rígidos :

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Hemos de señalar que a lo largo del apartado que estamos desarrollando , nos ceñimos al caso de barras de sección constante, A, de manera que el valor de la sección de cada una de las barras es el mismo, en toda la longitud (L) de cada barra así como el valor del momento de inercia (I). Por supuesto estamos contemplando solamente el caso de material homogéneo, como es normal en las estructuras metálicas, de forma que el valor de E (módulo de Elasticidad) es también constante para todas las secciones de las barras. En la figura siguiente puede verse una estructura porticada plana de nudos rígidos compuesta por tres barras (a,b y c) , 2 nudos con desplazamiento ( 2 y 3 ) y dos nudos sin desplazamiento ( apoyos de empotramiento perfecto en 1 y 4 ), a la cual vamos a obtener la matriz de rigidez.

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Lo primero que haremos será aplicar el proceso que hemos denominado como ensamblaje de la matriz de rigidez y obtener lo que denominaremos como : Expresión simbólica de la matriz de rigidez de la estructura. Al existir únicamente dos nudos con desplazamiento, el orden de tal matriz simbólica será de 2x2, correspondiéndose con los nudos 2 y 3 de la estructura, de forma que se corresponderá con la expresión siguiente:

En la figura siguiente podemos ver el resultado del proceso de ensamblaje:

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siendo : K11 = K22a + K11b K12 = K12b K21 = K21b K22 = K22b + K11c Si planteamos el equilibrio en los nudos 2 y 3 de la estructura, entre el sistema de cargas en nudos y el sistema de solicitaciones en los extremos de las barras que confluyen en dichos nudos, vemos que se cumplirá : (1) P2 = P2a + P1b

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(2) P3 = P2b + P1c Utilizando las ecuaciones de estado, en coordenadas globales, que exponemos seguidamente: P1 = K11 d1 + K12 d2 P2 = K21 d1 + K22 d2 Y sustituyéndolas en las ecuaciones (1) y (2) obtenemos las siguientes expresiones de las ecuaciones de equilibrio en los nudos A y B : (3) P2 = K21a . d1a + K22a d2a + K11b d1b + K12b d2b (4) P3 = K21b . d1b + K22b . d2b + K11c . d1c + K12c . d2c Establecemos las condiciones de vinculación externa en los empotramientos 1 y 4 : d1 = d1a = 0 , por existir empotramiento en 1 . d4 = d2c = 0 , por existir empotramiento en 4 . Establecemos las condiciones de compatibilidad en las deformaciones en el nudo 2: d1b = d2a = d2 , ya que es igual el desplazamiento en los extremos de barras que hay en el nudo 2 y dicho desplazamiento será el desplazamiento del propio nudo 2 . Establecemos las condiciones de compatibilidad en las deformaciones en el nudo 3: d2b = d1c = d3 , por análogas razones a las del nudo 2, ya que los nudos como tales son indeformables, aunque se permita su giro y desplazamiento, y mantienen la posición relativa, entre los extremos de las barras que confluyen en el mismo, en posición y ángulo. Sustituyendo las ecuaciones relativas a los desplazamientos que hemos indicado anteriormente, en las ecuaciones (3) y (4) obtendremos las ecuaciones siguientes: (5) P2 = K22a . d2 + K11b . d2 + K12b . d3 (6) P3 = K21b . d2 + K22b . d3 + K11c . d3 Planteando las ecuaciones (5) y (6) matricialmente resulta :

De donde extraemos la matriz de rigidez de la estructura :

Para que puedas completar el ejercicio en la figura siguiente se refleja la matriz de rigidez de la estructura,

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después de sustituir los valores de la matriz de rigidez de las barras, en coordenadas globales, en la expresión simbólica de la matriz de rigidez de la estructura.

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8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3-Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos| 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.-Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4-Caso de vinculación parcial| 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.- Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10.Ejercicios de autoevaluación | 8 .4.- Caso de vinculación parcial

1. INTRODUCCIÓN 2. CASO DE VINCULACIÓN PARCIAL: ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

Estructura metálica mediante pórticos de sección variable y entramado de cubierta. Bollullos Par del Condado (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras planas y dentro de esa tipología nos centramos en aquellas cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos. En apartados anteriores hemos descrito el procedimiento general de obtención de la matriz de rigidez de una estructura concreta, que hemos denominado como ensamblaje de la matriz de rigidez. En la exposición que hacemos en este apartado vamos a aplicar esos conocimientos anteriores y concretar el procedimiento dentro de la tipología de las estructuras planas de nudos rígidos al caso de vinculación parcial. Cuando aplicamos el método de la rigidez utilizamos la ecuación matricial: {P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

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donde: K = Matriz de rigidez de la estructura, en coordenadas globales. P = Vector de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Vector de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Es decir: necesitamos obtener la matriz de rigidez de la estructura expresada en coordenadas globales. El proceso para obtener la matriz de rigidez de una estructura es lo que vamos a desarrollar en el presente apartado, pero aplicado a un caso concreto como es el de la vinculación parcial de la estructura. Utilizamos generalmente el procedimiento denominado como método directo, también conocido como ensamblaje, para obtener la matriz de rigidez de la estructura, que vamos a desarrollar con más detalle para el caso de vinculación parcial, en estructuras planas de nudos rígidos. Para ello vamos a recordar que en la matriz de rigidez de la estructura hemos incluido solamente los nudos susceptibles de desplazamientos, lo cual en el caso de estructuras planas de nudos rígidos significa desplazamiento en los ejes x,y, además de giro alrededor de un eje z, en el sistema de coordenadas globales. Es conveniente resaltar que los momentos flectores, desde el punto de vista vectorial, quedan representados en una dirección perpendicular al plano definido por las barras de la estructura y las fuerzas que actúan sobre la misma. Un vínculo total, en el caso que nos ocupa, será un empotramiento donde no es posible el desplazamiento en ninguna dirección del plano ni giro. Una vinculación parcial en el caso que estamos estudiando será, por ejemplo, una articulación fija, donde es posible un giro alrededor de un eje z del sistema de coordenadas global, estando impedido el desplazamiento en las direcciones x, y, del sistema de coordenadas global. Nos encontramos, por tanto, con nudos que presentan una vinculación parcial, quedando impedido su desplazamiento, en el caso de las estructuras planas de nudos rígidos, pero no queda impedido el giro. Hemos de tener siempre presente que nos vamos a referir en este apartado a estructuras que están contenidas en un plano, lo cual implica que las barras que forman la estructura se encuentran en dicho plano y las fuerzas que actúan sobre los nudos y sobre las barras (puntuales y distribuidas) también. Las estructuras que estamos tratando se encuentran según lo anterior , generalmente, en un plano vertical y sometidas a cargas que también se encuentran en dicho plano, como sucede con las cargas gravitatorias y sobrecargas de uso, nieve y viento. Podemos decir según lo anterior que son muy frecuentes ya que corresponden a tal tipología muchas de las estructuras principales (pórticos) habitualmente utilizados en construcción industrial metálica. Mientras que en estructuras articuladas, la solicitación más utilizada es la de cargas puntuales en nudos y habremos de reducir, con suficiente nivel de aproximación, los casos de cargas distribuidas a tal tipo de solicitación, en el caso que nos ocupa la solicitación más frecuente es la de cargas distribuidas sobre las barras. Denominaremos a la expresión de la matriz de rigidez de una estructura como Matriz Simbólica, por cuanto se refieren en ella un conjunto de parámetros que: 

Por un lado tienen un valor no numérico (simbólico).

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

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Por otro la expresión de dicha matriz no es genérica sino concreta en cuanto a que se refiere a una determinada estructura.

No debemos confundir la matriz de rigidez Simbólica (no numérica) con la matriz de Rigidez de la estructura (numérica). La matriz Simbólica es como una expresión de la matriz de rigidez de una estructura concreta. En el caso de vinculación parcial tenemos uno o varios nudos en los que se cumple la doble condición de existir un desplazamiento no nulo y un sistema de reacciones no nulo. Existe, por tanto, un doble carácter:  

De vínculo, con su reacción correspondiente. De nudo de la estructura, con su movimiento correspondiente.

A esta tipología estructural se refiere el presente apartado y lo que vamos a desarrollar es el procedimiento para llegar a obtener la expresión de la matriz de rigidez, ya que en lo demás el proceso a seguir es el mismo que se ha expuesto anteriormente.

2. CASO DE VINCULACIÓN PARCIAL: ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Hemos definido en apartados anteriores los valores de las matrices de rigidez de las barras de una estructura y mediante el procedimiento que denominamos Ensamblaje, se trata de obtener la matriz de rigidez de la estructura. Por tanto, se trata de obtener la relación entre las cargas en los nudos y los desplazamientos de tales nudos, pero de la estructura en su conjunto y ello en función de la matriz de rigidez de las barras que la componen. Vamos a obtener la matriz de rigidez de la estructura, utilizando las matrices de rigidez { K } de las barras que forman la estructura, plana de nudos rígidos, en el caso concreto que estamos estudiando, expresadas en coordenadas globales. En la ecuación matricial siguiente expresamos la relación entre cargas y movimientos en los extremos de una barra, de forma general.

Dado que están vinculados los extremos de las barras mediante empotramiento elástico, por pertenecer a estructuras de nudos rígidos, ello implica el que existan momentos en los extremos de las barras pertenecientes a dicha tipología estructural y por tanto la dimensión del vector cargas será de 6 x 1.

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Un aspecto muy importante a resaltar es que las ecuaciones de relación que se establecerán seguidamente son independientes del hecho de si la estructura es isostática o hiperestática (exterior o interior). Hemos de señalar que a lo largo del apartado que estamos desarrollando , nos ceñimos al caso de barras de sección constante, A, de manera que el valor de la sección de cada una de las barras es el mismo, en toda la longitud (L) de cada barra así como el valor del momento de inercia (I). Por supuesto estamos contemplando solamente el caso de material homogéneo, como es normal en las estructuras metálicas, de forma que el valor de E (módulo de Elasticidad) es también constante para todas las secciones de las barras. En la figura siguiente puede verse una estructura porticada plana de nudos rígidos compuesta por tres barras (a,b y c) , 2 nudos con desplazamiento completo (2 y 3), un nudo sin desplazamiento alguno (4) , que es un empotramiento absoluto, y otro nudo que sería el caso de vinculación parcial, (1) , que es una articulación fija, por cuanto:  

Es posible un giro (como en el caso de un nudo) Existe una fuerza de reacción ( como en el caso de un vínculo)

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En la figura siguiente se define la topología y dimensiones de la estructura.

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Lo primero que haremos será aplicar el proceso que hemos denominado como ensamblaje de la matriz de rigidez y obtener lo que denominaremos como : Expresión simbólica de la matriz de rigidez de la estructura. Al existir tres nudos con desplazamiento, el orden de tal matriz simbólica será de 3x3, correspondiéndose con los nudos 1, 2 y 3 de la estructura, de forma que se corresponderá con la expresión siguiente:

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Siendo: K11 = K11a K12 = K12a K13 = 0 K21 = K21a K22 = K22a + K11b K23 = K12b K31 = 0 K32 = K21b K33 = K22b + K11c Si planteamos el equilibrio en los nudos 1, 2 y 3 de la estructura, entre el sistema de cargas en nudos y el sistema de solicitaciones en los extremos de las barras que confluyen en dichos nudos, vemos que se cumplirá : (1) P1 = P1a (2) P2 = P2a + P1b (3) P3 = P2b + P1c Utilizando las ecuaciones de estado, en coordenadas globales, que exponemos seguidamente: P1 = K11 d1 + K12 d2 P2 = K21 d1 + K22 d2 Y sustituyéndolas en las ecuaciones (1) y (2) obtenemos las siguientes expresiones de las ecuaciones de equilibrio en los nudos A y B : (4) P1 = K11a . d1a + K12a . d2a (5) P2 = K21a . d1a + K22a . d2a + K11b . d1b + K12b . d2b (6) P3 = K21b . d1b + K22b . d2b + K11c . d1c + K12c . d2c Establecemos las condiciones de vinculación externa en el empotramiento del nudo 4 : d4 = d2c = 0 Establecemos las condiciones de compatibilidad en las deformaciones en el nudo 2: d1b = d2a = d2 , ya que es igual el desplazamiento en los extremos de barras que hay en el nudo 2 y dicho desplazamiento será el desplazamiento del propio nudo 2 . Establecemos las condiciones de compatibilidad en las deformaciones en el nudo 3: d2b = d1c = d3 ,

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por análogas razones a las del nudo 2, ya que los nudos como tales son indeformables, aunque se permita su giro y desplazamiento, y mantienen la posición relativa, entre los extremos de las barras que confluyen en el mismo, en posición y ángulo. Sustituyendo las ecuaciones relativas a los desplazamientos que hemos indicado anteriormente, en las ecuaciones (3) y (4) obtendremos las ecuaciones siguientes: (7) P1 = K11a . d1 + K12a . d2 (8) P2 = K21a . d1 + K22a . d2 + K11b . d2 + K12b . d3 (9) P3 = K21b . d2 + K22b . d3 + K11c . d3 Planteando las ecuaciones (7) , (8) y (9) matricialmente resulta :

De donde extraemos la expresión simbólica de la matriz de rigidez de la estructura :

Para que puedas completar el ejercicio, en la figura siguiente se refleja la matriz de rigidez auxiliar de la estructura, después de sustituir los valores de la matriz de rigidez de las barras, en coordenadas globales, en la expresión simbólica anterior de la matriz de rigidez.

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La matriz de rigidez anterior no se corresponde con la de la estructura ya que es de orden 9x9 y por ello la hemos denominado como auxiliar. En la estructura que estamos calculando el nudo 1 es un vínculo parcial (articulación fija) y permite exclusivamente el giro, siendo los desplazamientos x,y del nudo 1 nulos. La matriz de rigidez de dicha estructura será por tanto de orden 7x7. Es decir: la expresión de la matriz de rigidez (matriz simbólica) obtenida no es la de la estructura por cuanto no se ha considerado que el nudo 1 no puede experimentar desplazamiento horizontal, ni vertical, debido a la vinculación que existe en dicho nudo. No obstante la matriz de rigidez anterior, que hemos denominado auxiliar, nos servirá de base para obtener la matriz de rigidez de la estructura en cuestión. Como hemos indicado anteriormente la matriz anterior no se corresponde con la matriz de la estructura, por cuanto no recoge la acción de la reacción horizontal y vertical del nudo 1, que

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impide los desplazamientos en x,y en el citado nudo, como consecuencia de la articulación fija . En la ecuación :

{PN}={KE}· {dN} El vector { PN } se ha expresado en el orden 1, 2 y 3, de forma que los dos primeros términos de dicho vector serán P1x , P1y. Los términos P1x , P1 son reacciones y dependerán del valor de las fuerzas de acción, de forma que aunque los nudos de la estructura carecieran de desplazamiento, cual sería el caso de que las barras fueran sólidos rígidos, el valor de tal término no sería nulo, siempre que existieran fuerzas de acción actuando sobre la estructura. En la figura siguiente se ha representado el sistema de fuerzas de reacción constituido por P1x, P1y (articulación fija en el nudo 1) y P4x, P4y y M4z (empotramiento en el nudo 4), luego la estructura es hiperestática exterior de grado 2.

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Luego en la matriz de rigidez auxiliar hemos de eliminar las dos primeras filas y las dos primeras columnas, para obtener la matriz de rigidez de la estructura, quedando una matriz de rigidez de orden 7x7, en coherencia con el vector desplazamiento que es de orden 7x1, debido a que los desplazamientos de los nudos de la estructura posibles son: 1 en el nudo1 3 en el nudo2 3 en el nudo3. Hemos de eliminar la fila correspondiente a P1x que sería la primera fila, ya que dicha fila se correspondería con la ecuación matemática que relaciona el valor de P1x con los desplazamientos en los nudos 1, 2 y 3. Hemos de eliminar la fila correspondiente a P1y que sería la segunda fila, ya que dicha fila se correspondería con la ecuación matemática que relaciona el valor de P1y con los desplazamientos en los nudos 1, 2 y 3. Ya hemos referido anteriormente que ello no es correcto en el caso de las reacciones, en las cuales no se produce una relación lineal del tipo: P=K.d En los vínculos, siendo el desplazamiento nulo, no se produce un valor nulo de P, sino que se corresponde con una reacción y que ésta dependerá, en cualquier caso, de las fuerzas de acción que actúen sobre la estructura. De una forma Intuitiva podemos entender que la rigidez habrá de ser infinita en el nudo 1, para que se pueda dar un valor no nulo ( que se corresponderán con la reacciones P1x y P1y) aunque exista un desplazamiento nulo en el nudo 1, en las direcciones x,y e incluso aunque el conjunto de los desplazamientos de todos los nudos fuera nulo, por ser todas las barras sólidos rígidos, sin deformación alguna. El desplazamiento del nudo 1 en la dirección x será nulo, por la existencia del vínculo en

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cuestión y por tanto podemos eliminar, de la matriz de rigidez auxiliar la columna que se corresponde con tal desplazamiento y que , en nuestro caso se corresponderá con la primera columna. El desplazamiento del nudo 1 en la dirección y será nulo, por la existencia del vínculo en cuestión y por tanto podemos eliminar, de la matriz de rigidez auxiliar la columna que se corresponde con tal desplazamiento y que , en nuestro caso se corresponderá con la segunda columna. En base a lo anterior resulta la matriz de rigidez de la estructura, considerando la acción del vínculo parcial en el nudo 1, siguiente:

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La matriz de rigidez anterior { KE } será la que establece la relación de la estructura que nos sirve de ejemplo:

{PN}={KE}· {dN}

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8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4-Caso de vinculación parcial| 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.- Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10.Ejercicios de autoevaluación |

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Caso de estructuras mixtas

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.-Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5-Caso de estructuras mixtas| 8.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10.- Ejercicios de autoevaluación | 8 .5.- Caso de estructuras mixtas

1. INTRODUCCIÓN 2. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA PLANA MIXTA

Modelo de estructura de cubierta en madera

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras planas y dentro de esa tipología nos centramos en aquellas estructuras cuyas barras se encuentran en dos situaciones diferentes: 



Unas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos. Otras barras se encuentran vinculadas mediante nudos articulados.

En apartados anteriores hemos obtenido:  

La matriz de rigidez de una barra aplicable a estructuras planas de nudos articulados. La matriz de rigidez de una barra aplicable a estructuras planas de nudos rígidos.

En otro apartado anterior ( Tema 6 ) hemos descrito el procedimiento general de obtención de la matriz de rigidez de una estructura concreta, que hemos denominado como ensamblaje de la matriz de rigidez, lo cual hemos realizado para estructuras formadas por barras de nudos articulados y de nudos rígidos. En la exposición que hacemos en este apartado vamos a aplicar esos conocimientos anteriores y concretar el procedimiento en el caso de que en la estructura planas se dieran simultáneamente los dos casos tanto barras cuyos extremos se encuentran vinculados mediante empotramiento elástico (nudo rígido) como el caso de barras cuyos extremos se encuentran vinculados mediante articulación. Entenderemos en este apartado el término de estructura mixta como el correspondiente a una estructura que tiene dos tipos de barras: 



Uno de ellos corresponde a las barras sometidas a solicitaciones de axil, cortante y flector (derivadas de la vinculación en sus extremos -empotramiento elástico- y del tipo habitual de carga distribuida) El otro tipo se corresponde a las barras habitualmente sometidas a axiles, exclusivamente, como consecuencia del tipo de vinculación -articulación- y del tipo habitual de carga puntual en los nudos.

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Las diferencias en el tratamiento de estas dos tipologías de barras son evidentes por cuanto: 

 

Las expresiones de la matriz de rigidez , en locales y en globales, son diferentes e incluso de distinto orden (2x2 para barras de extremos articulados y 3x3 para barras de extremos empotrados). Las matrices de transformación son de distinto orden. Los vectores carga y movimiento también son diferentes.

En este apartado vamos a describir el procedimiento de obtención de la matriz de rigidez en este tipo de estructura mixta, donde se encuentran ambos tipos de barras. La ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura . P = Vector cargas en los nudos de la estructura . d = Vector desplazamientos de los nudos de la estructura. es la que define la relación entre el sistema de cargas y el sistema de desplazamientos o movimientos en una estructura, en nuestro caso de nudos rígidos, de forma que representa lo que podríamos denominar como "ley constitutiva" de la estructura. En la ecuación anterior hemos expresado cómo mediante el Método de la Rigidez una vez definida y calculada la matriz de cargas, obteniendo la inversa de la matriz de rigidez, se pueden calcular los desplazamientos o movimientos de los extremos. Seguidamente vamos a expresar más detalladamente tal ecuación matricial, pero obteniendo la matriz de rigidez de una estructura mixta donde hay nudos rígidos y nudos articulados. Hemos de tener siempre presente que nos vamos a referir en este apartado a estructuras que están contenidas en un plano, lo cual implica que las barras que forman la estructura se encuentran en dicho plano y las fuerzas que actúan sobre los nudos y sobre las barras (puntuales y distribuidas) también. Es conveniente resaltar que los momentos flectores, desde el punto de vista vectorial, quedan representados en una dirección perpendicular al plano definido por las barras de la estructura y las fuerzas que actúan sobre la misma. Las estructuras que estamos tratando se encuentran según lo anterior , generalmente, en un plano vertical y sometidas a cargas que también se encuentran en dicho plano, como sucede con las cargas gravitatorias y sobrecargas de uso, nieve y viento. Mientras que en estructuras articuladas, la solicitación más utilizada es la de cargas puntuales en nudos y en el caso de estructuras de nudos rígidos la solicitación más frecuente es la de cargas distribuidas sobre las barras, en el caso de estructura mixta que estamos analizando en este apartado nos encontraremos con ambos tipos de solicitaciones.

2. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA PLANA MIXTA En la ecuación matricial siguiente expresamos la relación entre cargas y movimientos en los extremos de una barra, de forma general, para todas las barras, tanto de nudos articulados como de nudos rígidos que pertenecen a la estructura mixta.

En las estructuras mixtas para el caso de barras en que están vinculados los extremos mediante empotramiento elástico ello implica el que existan momentos en los extremos de dichas barras y por tanto la

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dimensión del vector cargas será de 6 x 1.

En cuanto al vector desplazamiento o movimiento hemos de considerar que si las barras están vinculadas en sus extremos mediante empotramiento elástico, tales desplazamientos o movimientos se corresponderán con los alargamientos-acortamientos, coherentes con las solicitaciones de tracción-compresión, junto con los giros derivados de las solicitaciones de flexión a que se encuentran sometidas las barras y por ello el vector desplazamientos será de dimensión 6 x 1. Sin embargo en las estructuras mixtas hay barras cuyos nudos son articulados y ello implica, para el caso de cargas en los extremos de dichas barras -en los nudos- que la dimensión del vector cargas sea de 4x1. El vector de cargas, para el caso de barras pertenecientes a una estructura mixta con extremos articulados, con cargas en los nudos será :

Un aspecto muy importante a resaltar es que las ecuaciones de relación que se establecerán seguidamente son independientes del hecho de si la estructura es isostática o hiperestática (exterior o interior). Por tanto el desarrollo que sigue se particulariza exclusivamente atendiendo a que las barras formen parte de una estructura plana mixta, con barras de extremos empotrados y barras de extremos articulados, a diferencia por ejemplo de los métodos basados en el equilibrio estático, donde la característica de isostaticidad de una estructura es fundamental. Como hemos demostrado en apartados anteriores, la matriz de rigidez, para una barra con sus extremos empotrados perteneciente a una estructura plana mixta, será de 6 x 6. Vemos seguidamente la expresión de las diferentes submatrices:

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Como hemos demostrado en apartados anteriores, la matriz de rigidez, para una barra con sus extremos articulados perteneciente a una estructura plana mixta, será de 4 x 4.

Mediante el procedimiento que denominamos Ensamblaje, se trata de obtener la matriz de rigidez de la estructura, tomando como base las matrices de rigidez de las barras, efectuando las operaciones que determine la expresión de la matriz simbólica de la estructura. Sabemos que se trata de obtener la relación entre las cargas en los nudos y los desplazamientos de tales nudos, pero de la estructura en su conjunto y ello en función de la matriz de rigidez de las barras que la componen, que en el caso de las estructuras mixtas son de dos tipos diferentes. La primera operación a realizar será: Pasar las submatrices de la matriz de rigidez en locales de las barras de extremos articulados del orden 2x2 al orden 3x3, quedando de la siguiente forma:

Con ello hemos homogeneizado el orden de las matrices de rigidez en locales de las dos tipologías de barras

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que hay en las estructuras mixtas que estudiamos en el presente apartado. Para obtener la matriz de rigidez de la estructura, utilizamos las matrices de rigidez { K } de las barras que forman la estructura, pero expresadas en coordenadas globales. Necesitamos por tanto pasar de coordenadas locales a globales y ello lo hacemos utilizando la matriz de transformación { T } que como hemos referido anteriormente es de orden 2x2 para el caso de barras de extremos articulados mientras que es de orden 3x3 para el caso de barras de extremos empotrados. La segunda operación a realizar será: Pasar la matriz de transformación aplicable a las barras de extremos articulados del orden 2x2 al orden 3x3, quedando de la siguiente forma:

El signo * representa los valores que tuviera en esa posición la matriz de transformación de la barra de extremos articulados. Hemos realizado dos operaciones en las barras de extremos articulados que se corresponden con: 

Añadir una ecuación (en la matriz de rigidez) del tipo : M = 0 . dx + 0 . dy + 0 . siendo M = 0 (momento en el extremo de la barra articulada)



Añadir una ecuación (en la matriz de transformación) del tipo : MG = ML Momento en coordenadas globales igual que en coordenadas locales, sabiendo que es cero en cualquier caso, para barras articuladas con cargas puntuales en los extremos.

Hemos de señalar que a lo largo del apartado que estamos desarrollando , nos ceñimos al caso de barras de sección constante, A, de manera que el valor de la sección de cada una de las barras es el mismo, en toda la longitud (L) de cada barra así como el valor del momento de inercia (I). Por supuesto estamos contemplando solamente el caso de material homogéneo, como es normal en las estructuras metálicas, de forma que el valor de E (módulo de Elasticidad) es también constante para todas las secciones de las barras. Lo primero que haremos para calcular la matriz de rigidez de la estructura será obtener lo que hemos denominado en otros apartados anteriores como expresión simbólica de la matriz de rigidez de la estructura. Para ello seguiremos el mismo procedimiento que hemos referido anteriormente en otros apartados: 1 - Planteamos el equilibrio en nudos 2 - Utilizamos las ecuaciones de estado, en coordenadas globales. 3 - Establecemos las condiciones de vinculación externa. 4 - Establecemos las condiciones de compatibilidad en los movimientos en nudos. 5 - Planteando las ecuaciones resultantes matricialmente extraemos la expresión simbólica de la matriz de rigidez de la estructura . Es decir : el procedimiento para la obtención de la expresión simbólica de la matriz de rigidez es el mismo que en el caso de las estructuras de nudos articulados y que en el caso de las de nudos rígidos. subir

continuar en 8.6. Determinación de desplazamientos y giros

8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5-Caso de estructuras mixtas| 8.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.-

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Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.-Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.- Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10.- Ejercicios de autoevaluación | 8 .6.- Determinación de desplazamientos y giros

1. INTRODUCCIÓN 2. DETERMINACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS Y GIROS DE UNA ESTRUCTURA PLANA CON NUDOS RÍGIDOS

Detalle de utilización de vigas Boyd en la estación de telecabinas de la Expo92 (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras planas y dentro de esa tipología nos centramos en aquellas cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos. En apartados anteriores hemos obtenido: 

La expresión de la matriz de rigidez de las estructuras planas de nudos

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

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rígidos, incluyendo los casos de vinculación parcial y de estructuras mixtas. El vector carga en nudos

En la exposición que hacemos en este apartado vamos a aplicar esos conocimientos como cálculos previos necesarios para poder obtener el vector desplazamiento o movimiento de una estructura. Cuando aplicamos el método de la rigidez utilizamos la ecuación matricial: {P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura, en coordenadas globales. P = Vector de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Vector de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Luego: Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y aplicado el vector de cargas que actúa sobre los nudos de dicha estructura, podemos calcular el vector desplazamiento en nudos. En este apartado vamos a referirnos al procedimiento de cálculo del vector desplazamiento en nudos de una estructura de barras de nudos rígidos. Es importante recordar que en la matriz de rigidez de la estructura hemos incluido solamente los nudos susceptibles de desplazamientos, lo cual en el caso de estructuras planas de nudos rígidos significa desplazamiento en los ejes x,y, en el sistema de coordenadas globales y giro alrededor del eje z. El vector de cargas a utilizar en la ecuación matricial anterior será lógicamente en el sistema de coordenadas globales, en coherencia con la expresión de la matriz de rigidez de la estructura. En esta tipología estructural, las barras se encuentran sometidas no solamente a axiles, sino también a cortantes y flectores. Ello implica que lo que obtendremos en cuanto a desplazamientos de los nudos de la estructura estará expresado igualmente en coordenadas globales. Vemos según lo anterior que el proceso para obtener el vector desplazamiento en nudos pasa por obtener la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas que actúa sobre dicha estructura. Entenderemos como desplazamiento el cambio de posición de una sección, entendiendo como tal su posicionamiento y el ángulo girado y, por tanto, el término tiene un sentido más amplio que el propio de una traslación, razón por la que utilizaremos también el término: movimiento. Tratamos, por tanto, a la rebanada como un sólido de espesor diferencial y área la sección transversal de la barra y definimos su posición en el plano por un punto y un ángulo.

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El término deformación se corresponde con la variación de forma que se produce en las barras, como consecuencia de estar sometidas a un determinado estado de cargas. Hemos de tener siempre presente que nos vamos a referir en este apartado a estructuras que están contenidas en un plano, lo cual implica que las barras que forman la estructura se encuentran en dicho plano y las fuerzas que actúan sobre los nudos y sobre las barras (puntuales y distribuidas) también. Es conveniente resaltar que los momentos flectores, desde el punto de vista vectorial, quedan representados en una dirección perpendicular al plano definido por las barras de la estructura y las fuerzas que actúan sobre la misma. Las estructuras que estamos tratando se encuentran según lo anterior , generalmente, en un plano vertical y sometidas a cargas que también se encuentran en dicho plano, como sucede con las cargas gravitatorias y sobrecargas de uso, nieve y viento. Podemos decir según lo anterior que son muy frecuentes ya que corresponden a tal tipología muchas de las estructuras principales (pórticos) habitualmente utilizados en construcción industrial metálica. Vamos a referirnos seguidamente al sistema de cargas equivalente que será el que debemos aplicar en los nudos de la estructura para obtener los desplazamientos de los nudos de dicha estructura. En la figura (1) siguiente vemos una estructura sometida a un sistema de cargas distribuidas que vamos a utilizar para poder concretar más el procedimiento.

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Figura 1 En la figura siguiente (2) podemos ver en azul los valores de empotramiento correspondientes a la barra 1 (a), que tendrán el valor: Cortante : Flector :

V = qL/2 = 300 . 5 /2 = 750 Kg M = qL2/12 = 300 . 25 / 12 = 625 mKg

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Figura 2 Y en rojo los valores de empotramiento correspondientes a la barra 2(b), que tendrán el valor: Cortante : V = qL/2 = 1000 . 5 /2 = 2500 Kg

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Flector : M = qL2/12 = 1000 . 25 / 12 = 2083,3 mKg El sistema de esfuerzos que vemos en la figura anterior (2) es tal que la estructura en cuestión no presenta movimiento alguno en los nudos ya que dicho sistema está constituido por:  

El sistema de cargas que actúa en la estructura. El sistema de cargas de empotramiento que aparece cuando empotramos todos los extremos de barras, al actuar el sistema de cargas.

Ello equivale a empotrar los nudos y por tanto a impedir todo el movimiento de dichos nudos de la estructura. En la figura siguiente (3) se representa el sistema de esfuerzos que corresponde al sistema de cargas de empotramiento cambiado de signo.

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Figura 3 Si superponemos el sistema de esfuerzos de las dos figuras (2 y 3) anteriores vemos se corresponde con el sistema de esfuerzos de la figura 1. Si superponemos el sistema de desplazamientos correspondientes a las estructuras sometidas a los sistemas de carga de las dos figuras anteriores (2 y 3 ) vemos que : 



El sistema de desplazamientos de la figura 2 (cargas + empotramiento) será nulo, ya que se corresponde con la estructura sometida al sistema de cargas que actúa sobre la misma, pero empotrando los nudos. El sistema de desplazamientos de la figura 3 se corresponderá, por tanto necesariamente con el sistema de desplazamientos de la estructura sometida al sistema de cargas de la figura 1.

Al sistema de cargas en nudos, de la figura 3, que presenta igual sistema de desplazamientos (movimientos) que el de la figura 1 ( estructura real sometida al sistema de cargas real que es del tipo distribuida) lo denominamos como: carga equivalente en nudos Hemos de recordar que en la ecuación matricial siguiente: {P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

para obtener el vector desplazamientos en nudos hemos de utilizar un vector P de cargas en nudos, en coordenadas globales y que tal vector será el que hemos denominado anteriormente como vector carga equivalente.

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2. DETERMINACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS ESTRUCTURA PLANA CON NUDOS RÍGIDOS

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Y

GIROS

DE

UNA

Para ilustrar el desarrollo del contenido de este apartado nos vamos a referir a una estructura concreta de nudos rígidos que vemos en la figura siguiente

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Dicha estructura está sometida a un sistema de cargas distribuidas: 300 Kg/m -horizontal- (barra 1) 150 kg/m -horizontal- (barra 3) 600 Kg/m -vertical- (barra 2) En la figura siguiente podemos ver la definición topológica, de conectividad y dimensionamiento de las barras que forman la estructura en cuestión.

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Vamos a ir indicando los resultados parciales referentes al cálculo previo de la matriz de rigidez de la estructura, para que puedas completar el ejercicio, realizando los diferentes cálculos. Las matrices de transformación las podemos ver en la figura siguiente.

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En la figura siguiente tenemos la matriz de rigidez de la barra 1, en coordenadas locales.

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En la figura siguiente tenemos la matriz de rigidez de la barra 2, en coordenadas locales.

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En la figura siguiente tenemos la matriz de rigidez de la barra 3, en coordenadas locales.

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En la figura siguiente tenemos la matriz de rigidez de la barra 1, en coordenadas globales.

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En la figura siguiente tenemos la matriz de rigidez de la barra 2, en coordenadas globales.

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En la figura siguiente tenemos la matriz de rigidez de la barra 3, en coordenadas globales.

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La matriz de rigidez de la estructura será, lógicamente en coordenadas globales:

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Ya hemos obtenido la matriz de rigidez de la estructura y ahora necesitamos obtener el vector de carga equivalente en nudos.

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En la figura siguiente podemos ver el sistema de cargas que actúa sobre las barras de la estructura. ( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En la figura siguiente podemos ver el sistema de cargas de empotramiento que actúa en los extremos de las barras de la estructura. ( Pulse sobre la imagen para ampliar)

siendo (en cada barra) : Mi /Mf : Momento en el extremo inicial / final Vi / Vf : Cortante en el extremo inicial / final Ni / Nf : Axil en el extremo inicial / final Pix / Pfx : Fuerza en eje x (coords. globales) en el extremo inicial / final Piy / Pfy : Fuerza en eje y (coords. globales) en el extremo inicial / final El vector carga equivalente en nudos será:

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El vector de carga en nudos de la ecuación siguiente:

se corresponderá con el vector carga equivalente en nudos que hemos visto anteriormente.

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En cuanto al vector desplazamiento o movimiento hemos de considerar que si las barras están vinculadas en sus extremos mediante empotramiento elástico, tales desplazamientos o movimientos se corresponderán con los alargamientosacortamientos, coherentes con las solicitaciones de tracción-compresión, junto con los giros derivados de las solicitaciones de flexión a que se encuentran sometidas las barras y por ello el vector desplazamientos será de dimensión 6 x 1. Hemos de señalar que a lo largo del apartado que estamos desarrollando , nos ceñimos al caso de barras de sección constante, A, de manera que el valor de la sección de cada una de las barras es el mismo, en toda la longitud (L) de cada barra así como el valor del momento de inercia (I). Por supuesto estamos contemplando solamente el caso de material homogéneo, como es normal en las estructuras metálicas, de forma que el valor de E (módulo de Elasticidad) es también constante para todas las secciones de las barras. Sustituyendo los valores calculados anteriormente de la matriz de rigidez (de orden 6x6) y del vector de carga en nudos en la ecuación matricial siguiente {P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

podemos obtener el vector desplazamiento en nudos en coordenadas globales. El vector desplazamiento será el correspondiente a los tres grados de libertad, de cada uno de los dos nudos deformables, de la estructura en cálculo. Como podemos ver en la figura siguiente el vector desplazamiento (movimientos) en nudos de la estructura, en coordenadas globales, se corresponderá con el desplazamiento horizontal (eje x) , con el desplazamiento vertical (eje y ) y con el giro alrededor del eje z, de los nudos 2 y 3.

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En la figura siguiente se obtiene el valor del vector desplazamiento en nudos de la estructura que estamos calculando.

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8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6-

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Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.- Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.-Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 8.7-Determinación de esfuerzos en barras| 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10.Ejercicios de autoevaluación | 8 .7.- Determinación de esfuerzos en barras

1. INTRODUCCIÓN 2. DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS EN BARRAS DE UNA ESTRUCTURA PLANA CON NUDOS RÍGIDOS

Detalle de utilización de vigas aligeradas en el puente Pasarela de la Expo92 (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras planas y dentro de esa tipología nos centramos en aquellas cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos. Cuando aplicamos el método de la rigidez utilizamos la ecuación matricial:

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura, en coordenadas globales. P = Vector de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Vector de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Luego una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y aplicado el vector de cargas que actúa sobre los nudos de dicha estructura, podemos calcular el vector desplazamiento en nudos. Es importante recordar que en la matriz de rigidez de la estructura hemos incluido solamente los

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nudos susceptibles de desplazamientos, lo cual en el caso de estructuras planas de nudos rígidos significa desplazamiento en los ejes x,y, giro en z ,en el sistema de coordenadas globales. El vector de cargas a utilizar en la ecuación matricial anterior será lógicamente en el sistema de coordenadas globales, en coherencia con la expresión de la matriz de rigidez de la estructura. Ello implica que lo que obtendremos en cuanto a desplazamientos de los nudos de la estructura estará expresado igualmente en coordenadas globales. En este apartado vamos a referirnos al procedimiento de cálculo de los esfuerzos en barras de una estructura de nudos rígidos. Los esfuerzos en barras en el caso de estructuras planas de nudos rígidos con cargas puntuales en nudos o en barras y distribuidas en barras, se corresponden con los axiles, cortantes y flectores. Es por tanto lógico que expresemos los esfuerzos en barras utilizando el sistema de coordenadas locales, ya que en dicho sistema de coordenadas el eje x se corresponde con los axiles, el eje y con los cortantes y el eje z con los flectores. En la figura 1 siguiente vemos una estructura sometida a un sistema de cargas distribuida

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Figura 1 En la figura siguiente (2) podemos ver en azul los valores de empotramiento correspondientes a la barra 1 (a), que tendrán el valor: Cortante : V = qL/2 = 300 . 5 /2 = 750 Kg Flector : M = qL2/12 = 300 . 25 / 12 = 625 mKg

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Figura 2 Y en rojo los valores de empotramiento correspondientes a la barra 2(b), que tendrán el valor: Cortante : V = qL/2 = 1000 . 5 /2 = 2500 Kg Flector : M = qL2/12 = 1000 . 25 / 12 = 2083,3 mKg El sistema de esfuerzos que vemos en la figura anterior (2) es tal que la estructura en cuestión no presenta movimiento alguno en los nudos ya que dicho sistema está constituido por:  

El sistema de cargas que actúa en la estructura. El sistema de cargas de empotramiento que aparece cuando empotramos todos los extremos de barras, al actuar el sistema de cargas.

Ello equivale a empotrar los nudos y por tanto a impedir todo el movimiento de dichos nudos de la estructura. En la figura siguiente (3) se representa el sistema de esfuerzos que corresponde al sistema de

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Determinación de esfuerzos en barras

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cargas de empotramiento cambiado de signo.

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Figura 3 Si superponemos el sistema de esfuerzos de las dos figuras (2 y 3) anteriores vemos se corresponde con el sistema de esfuerzos de la figura 1. Por ello, para la determinación del sistema de esfuerzos que actúa sobre el conjunto de barras que forman la estructura tendremos que superponer:  

El sistema de esfuerzos de la figura 2 (cargas + empotramiento) El sistema de cargas derivado de los desplazamientos (figura 3).

2. DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS EN BARRAS DE UNA ESTRUCTURA PLANA CON NUDOS RÍGIDOS Para ilustrar el desarrollo del contenido de este apartado nos vamos a referir a una estructura concreta de nudos rígidos que vemos en la figura siguiente

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Dicha estructura está sometida a un sistema de cargas distribuidas: 300 Kg/m -horizontal- (barra 1) 1000 Kg/m -vertical- (barra 2) En las figuras siguientes vamos a ir indicando los resultados parciales referentes al cálculo previo de la matriz de rigidez de la estructura, para que puedas completar el ejercicio, realizando los diferentes cálculos. Matriz simbólica :

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Las matrices de transformación las podemos ver en la figura siguiente:

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

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En la figura siguiente tenemos la matriz de rigidez de la barra 1, en coordenadas locales. ( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En la figura siguiente tenemos la matriz de rigidez de la barra 2, en coordenadas locales que coincide con la expresión en globales debido a la matriz de transformación de la barra 2. ( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En la figura siguiente tenemos la matriz de rigidez de la barra 3, en coordenadas locales. ( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En la figura siguiente tenemos la matriz de rigidez de la barra 1, en coordenadas globales. ( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En la figura siguiente tenemos la matriz de rigidez de la barra 3, en coordenadas globales. ( Pulse sobre la imagen para ampliar)

La matriz de rigidez de la estructura será, lógicamente en coordenadas globales, la que reflejamos en la figura siguiente:

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

Ya hemos obtenido la matriz de rigidez de la estructura y ahora necesitamos obtener el vector de carga equivalente en nudos. En la figura siguiente podemos ver el sistema de cargas que actúa sobre las barras de la estructura. ( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En la figura siguiente podemos ver el sistema de cargas de empotramiento que actúa en los extremos de las barras de la estructura. ( Pulse sobre la imagen para ampliar)

siendo (en cada barra) : Mi /Mf : Momento en el extremo inicial / final Vi / Vf : Cortante en el extremo inicial / final Ni / Nf : Axil en el extremo inicial / final

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Determinación de esfuerzos en barras

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Pix / Pfx : Fuerza en eje x (coords. globales) en el extremo inicial / final Piy / Pfy : Fuerza en eje y (coords. globales) en el extremo inicial / final El vector carga equivalente en nudos será en kg / m.Kg:

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

El vector de carga en nudos de la ecuación siguiente se corresponderá con el vector carga equivalente en nudos que hemos visto anteriormente.

En cuanto al vector desplazamiento o movimiento hemos de considerar que si las barras están vinculadas en sus extremos mediante empotramiento elástico, tales desplazamientos o movimientos se corresponderán con los alargamientos-acortamientos, coherentes con las solicitaciones de tracción-compresión, junto con los giros derivados de las solicitaciones de flexión a que se encuentran sometidas las barras y por ello el vector desplazamientos será de dimensión 6 x 1. Hemos de señalar que a lo largo del apartado que estamos desarrollando , nos ceñimos al caso de barras de sección constante, A, de manera que el valor de la sección de cada una de las barras es el mismo, en toda la longitud (L) de cada barra así como el valor del momento de inercia (I). Por supuesto estamos contemplando solamente el caso de material homogéneo, como es normal en las estructuras metálicas, de forma que el valor de E (módulo de Elasticidad) es también constante para todas las secciones de las barras. Sustituyendo los valores calculados anteriormente de la matriz de rigidez (de orden 6x6) y del vector de carga en nudos en la ecuación matricial siguiente

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

podemos obtener el vector desplazamiento en nudos en coordenadas globales. El vector desplazamiento será el correspondiente a los tres grados de libertad, de cada uno de los dos nudos deformables, de la estructura en cálculo. Como podemos ver en la figura siguiente el vector desplazamiento (movimientos) en nudos de la estructura, en coordenadas globales, se corresponderá con el desplazamiento horizontal (eje x) , con el desplazamiento vertical (eje y ) y con el giro alrededor del eje z, de los nudos 3 y 4.

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Determinación de esfuerzos en barras

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En la figura siguiente se obtiene el valor del vector desplazamiento en nudos de la estructura que estamos calculando.

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Hemos obtenido por tanto:   

El vector movimiento en nudos de la estructura, en globales Los valores de las matrices K de las barras en locales Las matrices de transformación

que necesitamos para obtener los esfuerzos en las barras. Las solicitaciones en barras (axiles, cortantes, flectores y torsores) tienen una referencia con los sistemas de ejes locales. Las matrices de rigidez de las barras se expresan también en los sistemas de coordenadas locales. Por lo anterior se hace necesario establecer la relación entre los vectores desplazamiento expresados en coordenadas locales y globales, para poder obtener las solicitaciones en las barras y que es la siguiente:

{ d T } = { T }T . { d G } Tanto para estructuras planas como espaciales, tanto de nudos rígidos como de nudos articulados, aunque lógicamente los vectores carga y las matrices de transformación tendrán una expresión concreta adecuada a cada tipología estructural. Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura, en globales, definimos el vector de cargas en nudos y obtenemos el vector desplazamiento en nudos (en el sistema de coordenadas globales). Necesitaremos utilizar la relación que estamos exponiendo en este apartado, para pasar a obtener los desplazamientos en los extremos de barras, en el sistema de ejes local, para poder calcular las solicitaciones en las barras, que se expresan utilizando el sistema de coordenadas locales. La matriz de transformación, { T } , nos va a servir para resolver este proceso de cambio y relación entre los sistemas de coordenadas locales y globales, en este caso para los desplazamientos. Sabiendo que se cumple la relación:

{ d T } = { T }T . { d G } en todos los nudos que coinciden con extremos de las barras que forman la estructura.

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En nuestra estructura concreta se cumple que :

{d1a } = {d2c } = 0 por ser la vinculación exterior en A y B (nudos 1 y 2) empotramientos. Por las condiciones de vinculación interior entre las barras, que confluyen en los nudos C y D , en nuestra estructura concreta se cumple que:

{d2a } = {d1b } = {dC } ya que el extremo 2 de la barra a y el extremo 1 de la barra b forman el nudo C.

{d2b } = {d1c } = {dD } ya que el extremo 2 de las barra b y el extremo 1 de la barra c forman el nudo D. Utilizando las ecuaciones matriciales de estado, expresadas en el sistema de coordenadas locales que siguen :

P1 = K11 d1 + K12 d2 P2 = K21 d1 + K22 d2 Que se obtienen desarrollando la ecuación matricial siguiente :

pasamos a obtener los esfuerzos en barras en el caso concreto de nuestra estructura de referencia. Barra a En el extremo 1, que coincide con el nudo A (1), vínculo exterior, el vector solicitación en la barra a, por el movimiento del nudo C (3), será:

En el extremo 2, que coincide con el nudo C (3), el vector solicitación en la barra a, por el movimiento del nudo C (3) será:

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En el vector esfuerzo obtenido, el primer valor se corresponde con el axil (kg), el segundo con el cortante (kg) y el tercero con el flector (cm.kg), en el extremo 2 (nudo 3) de la barra a. Barra b En el extremo 1, que coincide con el nudo C (3), el vector solicitación en la barra b, por el movimiento de los nudos C (3) y D (4), será:

En el extremo 2, que coincide con el nudo D (4), el vector solicitación en la barra b, por el movimiento de los nudos C (3) y D (4) será:

En el vector esfuerzo obtenido, el primer valor se corresponde con el axil (kg), el segundo con el cortante (kg) y el tercero con el flector (cm.kg), en el extremo 2 de la barra b. Barra c En el extremo 1, que coincide con el nudo D (4), el vector solicitación en la barra c, por el movimiento del nudo D (4) , será:

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Determinación de esfuerzos en barras

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En el extremo 2, que coincide con el nudo B (2), vínculo exterior de empotramiento, el vector solicitación en la barra c, por el movimiento del nudo D (4) será:

En el vector esfuerzo obtenido, el primer valor se corresponde con el axil, el segundo con el cortante y el tercero con el flector, en el extremo 2 (nudo 2) de la barra c. Hemos obtenido los esfuerzos en los extremos de las barras correspondientes al caso de la figura siguiente (carga equivalente en nudos).

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Para obtener el valor total de los esfuerzos, en las barras de la estructura, hemos de sumar a los valores obtenidos anteriormente los que se ven en la figura siguiente (carga real + carga de empotramiento de nudos).

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En el apartado que sigue (Apdo. 8-8 : Las reacciones en vínculos) se completa el cálculo de esfuerzos en la estructura en cuestión.

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8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 8.7-Determinación de esfuerzos en barras| 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10.Ejercicios de autoevaluación |

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Reacciones en vínculos

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Cálculo de Estructuras 8.1.Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez 1.Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a carga su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial estructuras nudos rígidos | 8.4.Caso de vinculación parcial | 8.5.Caso de estructuras mixtas | 8.6.-de depara estructuras| 4.-planas Cálculodematricial de barras I| 5.Cálculo matricial de barras II| 6.Cálculo matricial de estructuras giros | 8.7.- Determinación de esfuerzos en barrasmatricial | 8.8-Reacciones en nudosDeterminación articulados I| de 7.-desplazamientos Cálculo matricialyde estructuras de nudos articulados II| 8.-Cálculo de estructuras planas de nudos rígidos 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de |estructuras espaciales de nudos vínculos| 8.9.Actividades | 8.10.- Ejercicios de autoevaluación rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 8 .8.- Reacciones en vínculos

1. INTRODUCCIÓN 2. LAS REACCIONES EN LOS VÍNCULOS EXTERIORES DE UNA ESTRUCTURA PLANA CON NUDOS RÍGIDOS

Estructura de cubierta de la antigua estación de ferrocarril de plaza de Armas Sevilla

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras planas y dentro de esa tipología nos centramos en aquellas cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos. Cuando aplicamos el método de la rigidez utilizamos la ecuación matricial:

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura, en coordenadas globales. P = Vector de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Vector de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Luego una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y aplicado el vector de

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Reacciones en vínculos

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cargas que actúa sobre los nudos de dicha estructura, podemos calcular el vector desplazamiento en nudos. Ello implica que lo que obtendremos en cuanto a desplazamientos de los nudos de la estructura estará expresado igualmente en coordenadas globales. En este apartado vamos a referirnos al procedimiento de cálculo de los esfuerzos en barras de una estructura de nudos rígidos, específicamente en los vínculos exteriores. Podemos considerar este apartado como una continuación del apartado 8-7 anterior, donde también nos referimos al cálculo de los esfuerzos en las barras de una estructura plana de nudos rígidos. Hemos visto en el apartado 8-7 que los esfuerzos en barras en el caso de estructuras planas de nudos rígidos con cargas puntuales en nudos o en barras y distribuidas en barras, se corresponden con los axiles, cortantes y flectores y que por ello es lógico que expresemos los esfuerzos en barras utilizando el sistema de coordenadas locales. 2. LAS REACCIONES EN LOS VÍNCULOS EXTERIORES DE UNA ESTRUCTURA PLANA CON NUDOS RÍGIDOS Para una mayor continuidad y concreción en este apartado nos vamos a referir a la estructura que hemos utilizado como ejemplo de aplicación en el apartado anterior (8-7). En la figura 1 siguiente vemos una estructura sometida a un sistema de cargas distribuida

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Figura 1 En la figura siguiente (2) podemos ver en azul los valores de empotramiento correspondientes a la barra 1 (a), que tendrán el valor: Cortante : V = qL/2 = 300 . 5 /2 = 750 Kg Flector : M = qL2/12 = 300 . 25 / 12 = 625 mKg Y en rojo los valores de empotramiento correspondientes a la barra 2(b), que tendrán el valor: Cortante : V = qL/2 = 1000 . 5 /2 = 2500 Kg Flector : M = qL2/12 = 1000 . 25 / 12 = 2083,3 mKg

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Reacciones en vínculos

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Figura 2 El sistema de esfuerzos que vemos en la figura anterior (2) es tal que la estructura en cuestión no presenta movimiento alguno en los nudos ya que dicho sistema está constituido por:  

El sistema de cargas que actúa en la estructura. El sistema de cargas de empotramiento que aparece cuando empotramos todos los extremos de barras, al actuar el sistema de cargas.

Ello equivale a empotrar los nudos y por tanto a impedir todo el movimiento de dichos nudos de la estructura. En la figura siguiente (3) se representa el sistema de esfuerzos que corresponde al sistema de cargas de empotramiento cambiado de signo.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

Figura 3 Si superponemos el sistema de esfuerzos de las dos figuras (2 y 3) anteriores vemos se corresponde con el sistema de esfuerzos de la figura 1. Por ello, para la determinación del sistema de esfuerzos que actúa sobre el conjunto de barras que forman la estructura tendremos que superponer:  

El sistema de esfuerzos de la figura 2 (cargas + empotramiento) El sistema de cargas derivado de los desplazamientos (figura 3).

El sistema de cargas derivado de los desplazamientos, utilizando los resultados obtenidos en el apartado 8-7, será : Barra a

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Hemos expresado el vector esfuerzo obtenido, donde el primer valor se corresponde con el axil (kg), el segundo con el cortante (kg) y el tercero con el flector (cm.kg), en los extremos 1 y 2 de la barra a. Barra b

Hemos expresado el vector esfuerzo obtenido, donde el primer valor se corresponde con el axil (kg), el segundo con el cortante (kg) y el tercero con el flector (cm.kg), en los extremos 1 y 2 de la barra b. Barra c

Hemos expresado el vector esfuerzo obtenido, donde el primer valor se corresponde con el axil (kg), el segundo con el cortante (kg) y el tercero con el flector (cm.kg), en los extremos 1 y 2 de la barra c. Momentos totales

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Hemos indicado anteriormente que para la determinación del sistema de esfuerzos que actúa sobre el conjunto de barras que forman la estructura tendremos que superponer:  

El sistema de esfuerzos correspondiente al estado de cargas + empotramiento El sistema de esfuerzos derivado de los desplazamientos

Cuando sumamos los valores correspondientes a los dos estados referidos anteriormente tendremos que para la barra a, extremo 1 (nudo 1), se cumplirá que el momento total será (en m.kg): -756 + 625 = -131 Cuando sumamos los valores correspondientes a los dos estados referidos anteriormente tendremos que para la barra a, extremo 2 (nudo 3), se cumplirá que el momento total será (en m.kg): -1122 - 625 = -1747 Cuando sumamos los valores correspondientes a los dos estados referidos anteriormente tendremos que para la barra c, extremo 1 (nudo 4), se cumplirá que el momento total será (en m.kg): 418 + 0 = 418 Cuando sumamos los valores correspondientes a los dos estados referidos anteriormente tendremos que para la barra a, extremo 2 (nudo 2), se cumplirá que el momento total será (en m.kg): 31,2 + 0 = 31,2 El valor de los momentos isostáticos será :  

Barra a : q · L2 / 8 = 300 · 25 / 8 = 937,5 mkg Barra b : q · L2 / 8 = 1000 · 25 / 8 = 3125 mkg

Con los valores anteriores podemos obtener el diagrama de flectores. Que podemos ver en la figura siguiente. En los vínculos exteriores, nudos 1 y 2 hay un empotramiento perfecto y aparece un momento de reacción de valor: Nudo 1

131 mKg

Nudo 2

31 mKg

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Reacciones en vínculos

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En forma análoga a como hemos obtenido los flectores habremos de proceder para obtener los cortantes y los axiles.

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8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.- Determinación de esfuerzos en barras | 8.8-Reacciones en vínculos| 8.9.- Actividades | 8.10.- Ejercicios de autoevaluación |

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Actividades

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.-Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.- Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9-Actividades| 8.10.- Ejercicios de autoevaluación | 8 .9.- Actividades

Los contenidos de esta página se irán incorporando durante el transcurso de la asignatura

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8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.- Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9-Actividades| 8.10.- Ejercicios de autoevaluación |

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Ejercicios de autoevaluación

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.-Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.- Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10-Ejercicios de autoevaluación| 8 .10.- Ejercicios de autoevaluación

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8.1.- Coordenadas locales y globales. Matriz de transformación | 8.2.- Vector carga equivalente | 8.3.- Matriz de rigidez para estructuras planas de nudos rígidos | 8.4.- Caso de vinculación parcial | 8.5.- Caso de estructuras mixtas | 8.6.Determinación de desplazamientos y giros | 8.7.- Determinación de esfuerzos en barras | 8.8.- Reacciones en vínculos | 8.9.- Actividades | 8.10-Ejercicios de autoevaluación|

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Cálculo matricial de emparrillados

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.-Cálculo matricial de emparrillados 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 9.1.- Matriz de rigidez de una barra de emparrillado | 9.2.- Vector carga en nudos | 9.3.- Determinación de desplazamientos y giros | 9.4.- Determinación de esfuerzos en barras | 9.5.- Vector carga equivalente | 9.6.Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 9.7.- Actividades | 9.8.- Ejercicios de autoevaluación | 9 .- Cálculo matricial de emparrillados

CÁLCULO MATRICIAL DE EMPARRILLADOS    

OBJETIVOS RESUMEN DEL TEMA ÍNDICE DE CONTENIDOS RECORRIDOS

RESUMEN DEL TEMA El Tema N◙9 consta fundamentalmente de aplicar la sistemática de cálculo matricial a una tipología estructural determinada: los emparrillados. Podemos considerar los siguientes bloques: Bloque N◙1 : Determinación de la matriz de rigidez de una barra de un emparrillado Bloque N◙2 : Aplicación de la metodología a la tipología estructural que nos ocupa: los emparrillados En este bloque desarrollamos el procedimiento para el cálculo matricial de emparrillados en los aspectos operativos y procedimentales específicos de este tipo de estructuras. Bloque N◙3 : Resolución del sistema cargas-desplazamientos En este bloque obtenemos el vector carga en nudos y el vector desplazamiento en nudos de los emparrillados. Bloque N◙4 : Obtención del sistema de esfuerzos en barras y de las reacciones en los vínculos Exponemos el procedimiento para el cálculo de las solicitaciones en barras los emparrillados. INDICE DE CONTENIDOS 1- Matriz de rigidez de una barra de un emparrillado.

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Cálculo matricial de emparrillados

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2- Vector carga en nudos. 3- Determinación de desplazamientos y giros. 4- Determinación de esfuerzos en barras. 5- Las reacciones en vínculos. 6- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones. 7- Actividades. 7.1. - Casos prácticos de aplicación. 7.2. - Utilización del software docente sobre cálculo de emparrillados. 7.3. - Trabajos de curso. Pueden consultarse un conjunto de trabajos de optimización y diseño realizados sobre emparrillados. 8- Ejercicios de Autoevaluación. Realización de un conjunto de problemas de exámenes anteriores sobre los contenidos del tema. subir

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9.1.- Matriz de rigidez de una barra de emparrillado | 9.2.- Vector carga en nudos | 9.3.- Determinación de desplazamientos y giros | 9.4.- Determinación de esfuerzos en barras | 9.5.- Vector carga equivalente | 9.6.Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 9.7.- Actividades | 9.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Matriz de rigidez de una barra de emparrillado

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.-Cálculo matricial de emparrillados 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 9.1-Matriz de rigidez de una barra de emparrillado| 9.2.- Vector carga en nudos | 9.3.- Determinación de desplazamientos y giros | 9.4.- Determinación de esfuerzos en barras | 9.5.- Vector carga equivalente | 9.6.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 9.7.- Actividades | 9.8.- Ejercicios de autoevaluación | 9 .1.- Matriz de rigidez de una barra de emparrillado

1. INTRODUCCIÓN 2. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA DE EMPARRILLADO

Estructura de cubierta del Auditorio de la Cartuja - Expo92 - (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de emparrillados que es una estructura contenida en un plano y con cargas fuera de dicho plano. Nos vamos a ceñir al caso de cargas puntuales en nudos de dirección perpendicular al plano en el que se encuentran las barras del emparrillado ya que dicho caso es el más sencillo. Las barras que forman el emparrillado e encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos. En apartados anteriores hemos obtenido: 

La matriz de rigidez de una barra aplicable a estructuras planas de nudos rígidos. ( Tema 4)

En el presente apartado utilizaremos conocimientos ya desarrollados anteriormente para el caso de estructuras planas de nudos rígidos pero vamos a obtener específicamente la expresión de la matriz de rigidez de una barra para el caso de los emparrillados. Entenderemos como desplazamiento el cambio de posición de una sección, entendiendo como tal su posicionamiento y el ángulo girado y, por tanto, el término tiene un sentido más amplio

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Matriz de rigidez de una barra de emparrillado

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que el propio de una traslación, razón por la que utilizaremos también el término: movimiento. Tratamos, por tanto, a la rebanada como un sólido de espesor diferencial y área la sección transversal de la barra y definimos su posición en el plano por un punto y un ángulo. El término deformación se corresponde con la variación de forma que se produce en las barras, como consecuencia de estar sometidas a un determinado estado de cargas. La ecuación matricial siguiente : {P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura . P = Vector cargas en los nudos del emparrillado. d = Vector desplazamientos de los nudos del emparrillado. es la que define la relación entre el sistema de cargas y el sistema de desplazamientos o movimientos del emparrillado. En la ecuación anterior hemos expresado cómo mediante el Método de la Rigidez una vez definida y calculada la matriz de cargas, obteniendo la inversa de la matriz de rigidez, se pueden calcular los desplazamientos o movimientos de los extremos. Hemos de tener siempre presente que nos vamos a referir en este apartado a emparrillado sometidos a cargas puntuales y perpendiculares al emparrillado. Las estructuras que estamos tratando se encuentran según lo anterior , generalmente, en un plano horizontal y sometidas a cargas que tienen una dirección vertical, como sucede con las cargas gravitatorias. Las solicitaciones que actúan sobre el emparrillado pueden ser no sólo cargas puntuales en nudos sino sistemas de cargas distribuidas que actúan sobre las barras de dicho emparrillado. En tal circunstancia habremos de seguir un procedimiento análogo al desarrollado en apartados anteriores para la obtención del vector de carga equivalente en nudos, como hemos desarrollado en el caso de las estructuras planas de nudos rígidos. Mientras que en estructuras articuladas, la solicitación más utilizada es la de cargas puntuales en nudos y en el caso de estructuras planas de nudos rígidos la solicitación más frecuente es la de cargas distribuidas sobre las barras, en el caso de emparrillados pueden darse con frecuencia ambos tipos de solicitaciones. En esta tipología estructural, de emparrillados sometidos a cargas puntuales en nudos y perpendiculares al plano del emparrillado, las barras se encuentran sometidas cortantes, flectores y torsores.

2. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA DE EMPARRILLADO En la ecuación matricial siguiente expresamos la relación entre cargas y movimientos en los extremos de una barra, de forma general.

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Matriz de rigidez de una barra de emparrillado

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Dado que están vinculados los extremos de las barras mediante empotramiento elástico, por pertenecer a emparrillados, que son estructuras de nudos rígidos, ello implica el que existan cortantes, momentos flectores y momentos torsores en los extremos de las barras pertenecientes a dicha tipología estructural y por tanto la dimensión del vector cargas será de 6 x 1.

La forma de expresión del vector de cargas implica el que las barras que forman el emparrillado se encuentran en el plano xz, mientras que las cargas presentan la dirección y , que es la perpendicular al plano xz. En cuanto al vector desplazamiento o movimiento hemos de considerar que si las barras están vinculadas en sus extremos mediante empotramiento elástico, tales desplazamientos o movimientos se corresponderán con los giros alrededor de los ejes x y z, junto con el desplazamiento en y, de forma que el vector desplazamientos será de dimensión 6 x 1. Un aspecto muy importante a resaltar es que las ecuaciones de relación que se establecerán seguidamente son independientes del hecho de si la estructura es isostática o hiperestática (exterior o interior). Por tanto el desarrollo que sigue se particulariza exclusivamente atendiendo a que las barras formen parte de un emparrillado sometido al sistema de cargas que se especifica, a diferencia por ejemplo de los métodos basados en el equilibrio estático, donde la característica de isostaticidad de una estructura es fundamental. Por ello, como hemos demostrado en apartados anteriores, la matriz de rigidez, para una barra perteneciente a una estructura plana de nudos rígidos, será de 6 x 6. Utilizando el mismo procedimiento que para la determinación de la matriz de rigidez de una barra de nudos rígidos, que hemos desarrollado anteriormente en otro apartado, podemos obtener la matriz de rigidez de una barra perteneciente a un emparrillado, que se expresa en la ecuación matricial siguiente.

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Matriz de rigidez de una barra de emparrillado

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En la figura siguiente hemos representado: 



Un emparrillado, contenido en un plano xz, con un sistema de cargas puntuales en nudos y perpendiculares al plano del emparrillado Una barra de dicho emparrillado con un vector carga en el nudo 2 y empotrado en el nudo 1.

Si desarrollamos la ecuación matricial anterior tendremos el sistema de ecuaciones que sigue:

Y que sirve para expresar la relación entre las solicitaciones y los movimientos en el extremo 2 de la barra del emparrillado.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

Vamos a obtener el valor de los parámetros escalares, Kij, que componen la matriz de rigidez de la barra del emparrillado, en las condiciones del gráfico anterior, con el extremo 1 empotrado. En la ecuación : Mx = K11 .

x + K12 .dy + K13 .

z

si se cumple que : dy = z = 0 x=1 ello implica que : Mx = K11 = G.Ip / L , Ya que en la solicitación por torsión se cumplirá que: M = G . . Ip = /L=1/L

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Matriz de rigidez de una barra de emparrillado

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si se cumple que : x= dy = 1

z=0

ello implica que : Mx = K12 = 0 Ya que no hay relación de la solicitación Mx con el desplazamiento que se pueda producir en el eje y. si se cumple que : dx = dy = 0 z=1 ello implica que : Mx = K13 = 0 Ya que no hay relación de la solicitación Mx con el ángulo ( por flexión ) que se pueda producir en el eje z. En la ecuación : Py = K21 .

x + K22 .dy + K23 .

z

si se cumple que : dy = z = 0 x=1 ello implica que : Py = K21 = 0 , Ya que no hay relación de la solicitación Py con el ángulo ( por torsión ) que se pueda producir en el eje x. si se cumple que : x= dy = 1

z=0

ello implica que : Py = K22 = 12EI / L3 si se cumple que : x = dy = 0 z=1 ello implica que : Py = K23 = -6EI / L2

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Matriz de rigidez de una barra de emparrillado

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En la ecuación : Mz = K31 .

zx + K32 .dy + K33 .

z

si se cumple que : dy = z = 0 x=1 ello implica que : Mz = K31 = 0 , Ya que no hay relación de la solicitación Mz con el ángulo ( por torsión ) que se pueda producir en el eje x. si se cumple que : x= dy = 1

z=0

ello implica que : Mz = K32 = -6EI / L2 si se cumple que : x= dy = 1

z=0

ello implica que : Mz = K33 = 4EI / L La matriz de rigidez de la barra empotrada-libre, de un emparrillado quedará, por tanto, como sigue:

Si estamos estudiando el caso concreto de emparrillados:  

Cargas puntuales en nudos perpendiculares al plano del emparrillado. Barras del emparrillado en el plano xz.

tendremos que la expresión de la matriz de rigidez de tales barras será la que sigue:

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Matriz de rigidez de una barra de emparrillado

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Donde vemos que las expresiones de la matriz de rigidez son análogas al caso de estructuras planas de nudos rígidos, efectuando la analogía siguiente: 1. E G ( Módulo de elasticidad longitudinal 2. A Ip ( Area o Sección 3. Axiles

; Módulo de deformación angular )

; Momento polar de inercia )

Torsores

De ahí el interés de adoptar los sistemas de ejes adecuados y de referirnos a esta tipología de emparrillado ya que ello nos permite una más fácil interpretación y cálculo, utilizando la analogía anteriormente descrita con el caso de estructuras planas de nudos rígidos.

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Matriz de rigidez de una barra de emparrillado

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Hemos de señalar que a lo largo del apartado que estamos desarrollando , nos ceñimos al caso de barras de sección constante, A, de manera que el valor de la sección de cada una de las barras es el mismo, en toda la longitud (L) de cada barra así como el valor del momento de inercia (I) y del momento polar de inercia (Ip). Por supuesto estamos contemplando solamente el caso de material homogéneo, como es normal en las estructuras metálicas, de forma que el valor de E (módulo de Elasticidad) y G (Módulo de elasticidad transversal ó de deformación angular) son también constantes para todas las secciones de las barras. subir

continuar en 9.2. Vector carga en nudos

9.1-Matriz de rigidez de una barra de emparrillado| 9.2.- Vector carga en nudos | 9.3.- Determinación de desplazamientos y giros | 9.4.- Determinación de esfuerzos en barras | 9.5.- Vector carga equivalente | 9.6.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 9.7.- Actividades | 9.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Vector carga en nudos

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.-Cálculo matricial de emparrillados 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 9.1.- Matriz de rigidez de una barra de emparrillado | 9.2-Vector carga en nudos| 9.3.- Determinación de desplazamientos y giros | 9.4.- Determinación de esfuerzos en barras | 9.5.- Vector carga equivalente | 9.6.Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 9.7.- Actividades | 9.8.- Ejercicios de autoevaluación | 9 .2.- Vector carga en nudos

1. INTRODUCCIÓN 2. OBTENCIÓN DEL VECTOR CARGA EN NUDOS 3. OBTENCIÓN DEL VECTOR CARGA EQUIVALENTE EN NUDOS EN UN EMPARRILLADO

Detalle de un arco espacial formado utilizando módulos piramidales . Estación del AVE - Expo92 - (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de emparrillados que es una estructura superficial formada por barras que se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos. Hemos de tener presente que las barras que forman la estructura se encuentran en el mismo plano y que las cargas que actúan sobre los nudos y sobre las barras tanto puntuales como distribuidas tienen la dirección perpendicular al plano. Por tanto si el emparrillado está en un plano horizontal, como es frecuente, las cargas tendrán la dirección vertical, como sucede con las cargas gravitatorias. Es conveniente resaltar que los ejes de los momentos que actúan sobre un

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Vector carga en nudos

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emparrillado, desde el punto de vista vectorial, quedan en una dirección contenida en el plano del emparrillado, cuando se encuentra sometido a las solicitaciones antes referidas. Ello implica que dichos momentos pueden ser, en cada barra del emparrillado, descompuestos en dos direcciones, dentro del plano del emparrillado: 



Axial, en la dirección de la barra, lo que supone un momento torsor en cada barra. Perpendicular al eje de la barra, dentro del plano del emparrillado, lo que supone un momento flector en cada barra.

Podemos decir que los emparrillados son una tipología estructural bastante frecuente, tanto en estructuras de cubierta como en estructuras de cimentación. La ecuación matricial fundamental de relación entre las solicitaciones en los nudos de una estructura y los movimientos que se producen en dichos nudos es la siguiente :

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura . P = Vector cargas en los nudos de la estructura . d = Vector desplazamientos de los nudos de la estructura. En el caso de las estructuras planas y espaciales de nudos articulados, la solicitación más utilizada es la de cargas puntuales en nudos y habremos de reducir, con suficiente nivel de aproximación, los casos de cargas distribuidas a tal tipo de solicitación. En el caso de estructuras planas y espaciales de nudos rígidos la solicitación más frecuente es la de cargas distribuidas sobre las barras y ello nos obliga a obtener un vector de carga equivalente en nudos, para poder aplicar la ecuación matricial antes indicada. En el caso de la tipología estructural que estamos estudiando, los emparrillados, sometidas a las cargas referidas anteriormente, contenidas en un plano perpendicular al del emparrillado, las barras se encuentran sometidas solamente a torsores, a cortantes y a flectores. Por ello el vector de cargas, para el caso de barras pertenecientes a un emparrillado será en coordenadas locales :

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Vector carga en nudos

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En la ecuación matricial siguiente expresamos la relación entre cargas y movimientos en los extremos de una barra, de forma general.

Dado que están vinculados los extremos de las barras mediante empotramiento elástico, por pertenecer a emparrillados, ello implica el que existan cortantes y momentos torsores y flectores, con el tipo de solicitación que estamos considerando, en los extremos de las barras pertenecientes a dicha tipología estructural. Por tanto la dimensión del vector cargas de las barras de un emparrillado, sometido a cargas puntuales en nudos o distribuidas en barras pero siempre perpendiculares al plano del emparrillado será de 6 x 1. En la ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura . P = Vector cargas en los nudos de la estructura . d = Vector desplazamientos de los nudos de la estructura. Explicitamos la relación entre el sistema de cargas en los nudos del emparrillado y el sistema de desplazamientos o movimientos en los nudos de dicho emparrillado, de forma que representa lo que podríamos denominar como "ley constitutiva" de dicho emparrillado. Si el sistema de cargas fuera uno cualquiera, con cargas puntuales y distribuidas de cualquier tipo, sin imponer la condición de perpendicularidad

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Vector carga en nudos

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al plano del emparrillado, tendríamos que la dimensión de cada una de las matrices que intervienen en la ecuación anterior, sería la misma que la de una estructura espacial. Por tanto la dimensión del vector cargas de las barras de un emparrillado, extremos 1 y 2, sometido a cargas puntuales en nudos o distribuidas en barras con cualquier dirección sería entonces de 12 x 1, frente a la dimensión de 6x1 cuando el sistema de cargas es perpendicular al plano del emparrillado. Por otro lado la dimensión de los vectores carga y movimientos en nudos, de una estructura sería de 6N x1, siendo N el número de nudos, frente a la dimensión de 3x1 cuando el sistema de cargas es perpendicular al plano del emparrillado. Dado que la solicitación habitual de los emparrillados es la que estamos considerando, de cargas perpendiculares al plano del emparrillado, estamos estudiando dicha estructura con esa particularidad en el sistema de cargas, lo que nos permite facilitar mucho la operatoria matricial necesaria.

2. OBTENCIÓN DEL VECTOR CARGA EN NUDOS Trataremos aquí sobre el caso de cargas exclusivamente puntuales en los nudos de un emparrillado. En este caso la obtención del vector de carga es prácticamente inmediato ya que el sistema de cargas que se produce en tal caso puede ser utilizado directamente en la ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura . P = Vector cargas en los nudos de la estructura . d = Vector desplazamientos de los nudos de la estructura. Por ejemplo vamos a referirnos al caso del emparrillado que vemos en la figura siguiente, para concretar mejor.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

El sistema de cargas que actúan sobre dicho emparrillado es:  

1300 Kg en vertical hacia abajo en el nudo 4. 800 Kg. en vertical hacia abajo en el nudo 5.

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Vector carga en nudos

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El sistema de cargas en nudos será por tanto:

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

que se corresponde con la expresión siguiente:

3. OBTENCIÓN DEL VECTOR CARGA EQUIVALENTE EN NUDOS EN UN EMPARRILLADO La dimensión de los vectores carga en nudos, para el caso de emparrillados con cargas puntuales o distribuidas perpendiculares al plano del emparrillado, será : 3xN , siendo N el número de nudos (no vinculados) de la estructura. La dimensión de los vectores carga en nudos, para el caso de emparrillados con cargas puntuales o distribuidas con una dirección cualquiera, será : 6xN , siendo N el número de nudos (no vinculados) de la estructura. por cuanto son posibles las siguientes solicitaciones en cualquiera de los nudos: 1. Para emparrillados con cargas perpendiculares al plano del emparrillado :  Momento en dirección cualquiera del plano x,z . (2 componentes)  Fuerza en el eje y. (1 componente) 2. Para emparrillados con cargas puntuales y distribuidas de dirección cualquiera :  Fuerza en cualquier dirección del espacio.(3 componentes)  Momento en cualquier dirección del espacio.(3 componentes) Para el caso de cargas perpendiculares al plano del emparrillado, que es al que nos referimos en este tema, si dichas cargas son exclusivamente puntuales en nudos, la

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Vector carga en nudos

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obtención del vector de cargas en nudos es directa. En la ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez del emparrillado. P = Vector cargas en los nudos del emparrillado. d = Vector desplazamientos de los nudos del emparrillado. Vemos que el vector cargas es en nudos y por tanto para el caso de cargas distribuidas en barras tenemos que aplicar el procedimiento que vamos a describir seguidamente. Denominamos vector carga equivalente al vector de cargas en nudos que presenta igual vector desplazamiento que el de cargas reales (puntuales y distribuidas) que actúan sobre la barra. Podemos decir que es un vector de cargas instrumental que nos permite utilizar la metodología matricial para obtener el sistema de desplazamientos de los nudos de un emparrillado sometido a cargas distribuidas en barras perpendiculares al plano del emparrillado . En el gráfico siguiente hemos representado un emparrillado con una carga distribuida en las barras a, b, c y d.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En el mismo gráfico podemos ver que el emparrillado está empotrado en A, B, C y D, quedando un único nudo al que se le permite el movimiento. En los extremos de las barras hemos representado los momentos y cortantes de reacción, como consecuencia de empotrar los extremos de barra que confluyen en el nudo central. Es decir, estamos siguiendo el mismo procedimiento que hemos expuesto en el apartado 8-2 para la obtención del vector carga equivalente en nudos para el caso de estructuras planas de nudos rígidos, con cargas distribuidas en las barras. Hemos representado los valores de empotramiento en los extremos de las barras que están en A, B, C y D para permitir una mayor claridad en el gráfico, ya que sabemos que el valor de la carga equivalente en nudos será el de la carga de empotramiento cambiada de signo. La carga Py de empotramiento en el nudo central será:

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Vector carga en nudos



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Por pertenecer a la barra a : Py = - Qa.La / 2



Por pertenecer a la barra b : Py = - Qb.Lb / 2



Por pertenecer a la barra c : Py = - Qc.Lc / 2



Por pertenecer a la barra d : Py = - Qd.Ld / 2

Y por tanto la carga Py correspondiente al vector carga equivalente en el nudo central será: Py = ( Qa.La + Qb.Lb + Qc.Lc+ Qd.Ld ) / 2 La carga Mx de empotramiento en el nudo central será: 

Por pertenecer a la barra c : Mx = - Qc.Lc 2 / 12



Por pertenecer a la barra d : Mx = Qd.Ld 2 / 12

Y por tanto la carga Mx correspondiente al vector carga equivalente en el nudo central será: Mx = ( Qc.Lc 2 + Qd.Ld 2 ) / 12 La carga Mz de empotramiento en el nudo central será: 

Por pertenecer a la barra a : Mz = Qa.La 2 / 12



Por pertenecer a la barra b : Mz = - Qb.Lb 2 / 12

Y por tanto la carga Mx correspondiente al vector carga equivalente en el nudo central será: Mx = ( - Qa.La 2 + Qb.Lb 2 ) / 12

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Vector carga en nudos

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Finalmente recordar, como veíamos en el Apdo. 8-2, que una estructura cualquiera de nudos rígidos (como por ejemplo los emparrillados) con carga distribuida en sus barras, presenta unos movimientos en sus nudos igual que cuando actúa la carga equivalente en nudos ( fig.3)

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En la fig. 3 hemos representado (en verde) los valores contrarios a las cargas de empotramiento (fig.2) que denominamos como carga equivalente en nudos. Denominaremos como vector carga de empotramiento , { Pe }, al que resulta de empotrar los extremos de las barras y como consecuencia de las cargas distribuidas que actúan sobre las barras. Se producirá el mismo desplazamiento en el emparrillado con cargas distribuidas en sus barras que el que se produce en el mismo emparrillado en cuestión sometido a la carga equivalente en nudos, que es el vector carga de empotramiento en los extremos de barras, cambiado de signo, como hemos visto anteriormente. De aquí podemos deducir el procedimiento para obtener el vector carga equivalente en un emparrillado con cargas distribuidas en las barras: 1- Obtenemos los valores de empotramiento perfecto en los extremos de las barras sometidas a cargas distribuidas. 2- El sistema de fuerzas y momentos consecuencia de haber introducido el empotramiento en los extremos de barras constituye el vector carga de empotramiento. 3- El vector carga equivalente estará constituido por el vector carga de empotramiento cambiado de signo. 4- Finalmente, aplicaremos la ecuación matricial siguiente, para obtener el vector desplazamiento en nudos del emparrillado.

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez del emparrillado. P = Vector cargas equivalente en los nudos del emparrillado. d = Vector desplazamientos de los nudos del emparrillado. 4. BIBLIOGRAFÍA 4.1. RECOMENDADA

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Vector carga en nudos

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1- NIETO GARCÍA, E. (1998) Estructuras Arquitectónicas e Industriales: su cálculo En el capítulo 11. 2 - ARGUELLES ÁLVAREZ, R. (1981) Cálculo de estructuras: Volúmen I En su capítulo 14, especialmente en su apdo. E, sobre el método de la rigidez y su aplicación a las estructuras de nudos articulados, planas y espaciales. 4.2. OTRA BIBLIOGRAFÍA DE INTERÉS ALARCÓN, E.; ÁLVAREZ, R.; GÓMEZ, M.S. (1986) Cálculo matricial de estructuras Barcelona, Reverte. ALBIGES, M.; COIN, A.; JOURNET, H. (1971) Estudio de las estructuras por los métodos matriciales Barcelona, Editores Técnicos Asociados. BORG Y GENARO. (1963) Análisis estructural avanzado México, Ed. C.E.C.S.A. BRAY, K.H.M.; CROXTON, P.C.L.; MARTÍN, L.H. (1979) Análisis matricial de estructuras Madrid, Paraninfo. COURBON, J. (1972) Calcul des structures París, Dunod.

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Vector carga en nudos

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GERE, J.M.; WEAVER, W. (1967) Análisis de estructuras reticulares México, Compañia Ed. Continental. GHALI, A.; NEVILLE, A.M. (1983) Análisis estructural México, Diana. JENKINS. (1985) Análisis y Mecánica de las Estructuras México, Repr.y Serv. de Ingeniería,S.A. KARDENSTUNGER (1975) Introducción al Análisis Estructural con Matrices México, Ed. Mc. Graw-Hill LIVESLEY, R.K. (1970) Métodos matriciales para el cálculo de estructuras Barcelona, Blume. LÓPEZ DE CEBALLOS, G.(1978) Cálculo Matricial de Estructuras y Placas Madrid. Rugarte, S.L. MARGARIT, J.; BUXADÉ, C. (1970) Cálculo matricial de estructuras de barras Barcelona, C.O.A.Cataluña y Baleares. MARSHALL, W.T.; NELSON, H.M. (1982) Estructuras México, Repres. y Servicios de Ing. PARIS, F. (1980) Cálculo matricial de estructuras Madrid, E.T.S.I.Industriales. PÉREZ VALCARCEL, J.B. (1984) Pórticos planos: Manual de usuario La Coruña, E.T.S.Arquitectura. PÉREZ VALCARCEL, J.B.; ESTEVEZ, J. (1984) Emparrillados planos. Matricial: Manual del usuario La Coruña, E.T.S.Arquitectura.

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Vector carga en nudos

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PÉREZ VALCARCEL, J.B.; ESTEVEZ, J. (1985) Mallas espaciales. Matricial: Manual del usuario La Coruña, E.T.S.Arquitectura. RECUERO, A.; GUTIÉRREZ, J.P. (1979) Consideraciones sobre la formación de la matriz de rigidez de una estructura (Monografía 356 del I.E.T.C.C.) Madrid, I.E.T.C.C. SAEZ-BENITO, J.M. (1975) Cálculo matricial de estructuras Madrid, Fondo Editorial de Ingeniería Naval. TUMA, JAN J. (1974) Análisis estructural avanzado. Teoría y 133 problemas resueltos Cali, McGraw-Hill. Serie Schaum. WANG, C. (1979) Introducción al análisis estructural con métodos matriciales México, C.E.C.S.A. WHITE, R., GERGELY,P. Estructuras estáticamente indeterminadas (2 Vol.) Méjico, Ed. Limusa subir

continuar en 9.3. Determinación de desplazamientos y giros

9.1.- Matriz de rigidez de una barra de emparrillado | 9.2-Vector carga en nudos| 9.3.- Determinación de desplazamientos y giros | 9.4.- Determinación de esfuerzos en barras | 9.5.- Vector carga equivalente | 9.6.Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 9.7.- Actividades | 9.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Determinación de desplazamientos y giros

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.-Cálculo matricial de emparrillados 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 9.1.- Matriz de rigidez de una barra de emparrillado | 9.2.- Vector carga en nudos | 9.3-Determinación de desplazamientos y giros | 9.4.- Determinación de esfuerzos en barras | 9.5.- Vector carga equivalente | 9.6.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 9.7.- Actividades | 9.8.- Ejercicios de autoevaluación | 9 .3.- Determinación de desplazamientos y giros

1. INTRODUCCIÓN 2. DETERMINACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS Y GIROS EN LOS NUDOS DE UN EMPARRILLADO

El puente del Centenario en la SE-30 (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de emparrillados que es una estructura de barras contenida en un plano y con cargas fuera de dicho plano. Nos vamos a ceñir al caso de cargas puntuales en nudos de dirección perpendicular al plano en el que se encuentran las barras del emparrillado ya que dicho caso es el más sencillo. Las barras que forman el emparrillado se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos. En apartados anteriores hemos la expresión de la matriz de rigidez de una barra para el caso de los emparrillados. Entenderemos como desplazamiento el cambio de posición de una sección, entendiendo como tal su posicionamiento y el ángulo girado y, por tanto, el término tiene un sentido más amplio que el propio de una traslación, razón por la que utilizaremos también el término: movimiento. Tratamos, por tanto, a la rebanada como un sólido de espesor diferencial y área la sección transversal de la barra y definimos su posición en el plano por un punto y un ángulo. El término deformación se corresponde con la variación de forma que se produce en las barras, como consecuencia de estar sometidas a un determinado estado de cargas. La ecuación matricial siguiente :

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Determinación de desplazamientos y giros

{P}={K}·{d}

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{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez del emparrillado. P = Vector cargas en los nudos del emparrillado. d = Vector desplazamientos de los nudos del emparrillado. es la que define la relación entre el sistema de cargas y el sistema de desplazamientos o movimientos del emparrillado. En la ecuación anterior hemos expresado cómo mediante el Método de la Rigidez una vez definida y calculada la matriz de cargas, obteniendo la inversa de la matriz de rigidez, se pueden calcular los desplazamientos o movimientos de los extremos. Hemos de tener siempre presente que nos vamos a referir en este apartado a emparrillado sometidos a cargas puntuales y perpendiculares al emparrillado. Las estructuras que estamos tratando se encuentran según lo anterior , generalmente, en un plano horizontal y sometidas a cargas que tienen una dirección vertical, como sucede con las cargas gravitatorias. Las solicitaciones que actúan sobre el emparrillado pueden ser no sólo cargas puntuales en nudos sino sistemas de cargas distribuidas que actúan sobre las barras de dicho emparrillado. En tal circunstancia habremos de seguir un procedimiento análogo al desarrollado en apartados anteriores para la obtención del vector de carga equivalente en nudos, como hemos desarrollado en el caso de las estructuras planas de nudos rígidos. Mientras que en estructuras articuladas, la solicitación más utilizada es la de cargas puntuales en nudos y en el caso de estructuras planas de nudos rígidos la solicitación más frecuente es la de cargas distribuidas sobre las barras, en el caso de emparrillados pueden darse con frecuencia ambos tipos de solicitaciones. En esta tipología estructural, de emparrillados sometidos a cargas puntuales en nudos y perpendiculares al plano del emparrillado, las barras se encuentran sometidas cortantes, flectores y torsores. El procedimiento para la obtención del vector de movimientos que se produce en un emparrillado como consecuencia de la actuación de un vector de cargas en nudos será el mismo que para el caso de una estructura, por ejemplo de nudos rígidos, y habremos de realizar los siguientes cálculos previos:    

Obtención de las matrices { K } barras en locales y globales. Obtención de las matrices { T } de las barras. Ensamblaje de la matriz de rigidez del emparrillado. Obtención del vector de carga en nudos del emparillado.

Para la realización de esos cálculos anteriormente citados solamente necesitamos seguir las consideraciones de los apartados anteriores y utilizar la expresión adecuada para la matriz de rigidez de las barras pertenecientes a dichos emparrillados, razón por la que remitimos al Tema 8 y al apartado 9-1 del Tema 9.

2. DETERMINACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS Y GIROS EN LOS NUDOS DE UN EMPARRILLADO Vamos a ir desarrollando el conjunto de cálculos que hay que llevar a cabo para llegar al sistema de desplazamientos o movimientos de los nudos de un emparrillado utilizando un caso concreto. En la figura siguiente puede verse un emparrillado vinculado exteriormente mediante empotramiento perfecto y vamos obtener la matriz de rigidez de las barras que lo forman, de manera que sustituyendo dicha matriz en la ecuación matricial siguiente podamos obtener el vector movimientos correspondiente.

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

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Determinación de desplazamientos y giros

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La definición topológica y dimensional del emparrillado la podemos ver en la figura siguiente:

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En este apartado nos estamos referiendo a emparrillados con cargas puntuales en nudos y perpendiculares al plano del emparrillado. Sabemos que las coordenadas locales corresponden a cada barra, definiendo un sistema de ejes referenciales en cada una de las barra, según sea la dirección de la directriz de dichas barras. Definiremos el sistema de ejes locales, para barras pertenecientes a tal tipología de emparrillados de la siguiente forma: 1- En cada barra definiremos un extremo 1 y 2 de dicha barra. 



Definiremos el eje x del sistema de coordenadas locales de una barra haciéndolo coincidir con la directriz de la barra. Definimos el sentido positivo haciéndolo coincidir con el del vector que va desde el extremo 1 al extremo 2.

2- El eje z del sistema de coordenadas locales será perpendicular al eje x, antes referido, de forma que el conjunto de barras que forman el emparrillado se encuentre en el plano x,z. 3- El eje z se obtendrá (dirección y sentido) al multiplicar vectorialmente los versores (vectores dirección unitarios) de los ejes x e y. En cuanto al sistema de esfuerzos, que obtendremos una vez aplicado el procedimiento de metodología matricial, en barras, en el caso de estructuras planas de nudos rígidos, definido el sistema de coordenadas locales como hemos explicitado anteriormente, tendremos que: 





La componente de la solicitación en el eje x (en coordenadas locales) se corresponderá con el torsor. La componente de la solicitación en el eje y (en coordenadas locales) se corresponderá con el cortante. La componente de la solicitación en el eje z (en coordenadas locales) se corresponderá con el flector.

Utilizando las expresiones anteriormente indicadas de la matriz de rigidez de una barra de un emparrillado, en locales, obtendremos los resultados que podemos ver en las figuras siguientes.

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Dado que el proceso es el mismo para cada una de las barras y que varias de ellas son iguales sólo hemos calculado las correspondientes a las barras 1(a), 3(c) y 4(d). Para obtener la matriz de rigidez de las barras en coordenadas globales remitimos a los apartados correspondientes en el caso de estructuras planas de nudos rígidos (Tema 8) ya que estamos estudiando el caso de emparrillados al que puede ser aplicable la analogía que hemos indicado anteriormente. Definiremos el sistema de ejes globales, para barras pertenecientes a emparrillados con cargas puntuales en los nudos de la siguiente forma: 1 - Definiremos el eje x del sistema de coordenadas globales de una estructura haciéndolo coincidir con una dirección del plano que forman las barras del emparrillado. Es conveniente hacerlo coincidir con una de las direcciones de las barras que lo forman, dado que normalmente las barras que forman un emparrillado suelen adoptar una posición perpendicular entre ellas. 2 - El eje z del sistema de coordenadas globales será perpendicular al eje x, antes referido, girando 90◙, y perteneciendo al plano en que se encuentran contenidas las barras del emparrillado. 3 - El eje y se obtendrá (dirección y sentido) al multiplicar vectorialmente los versores (vectores dirección unitarios) de los ejes z e x. Definiendo el sistema de ejes globales de esa manera, que es la recomendable, en general, aunque pueda hacerse de otra forma en un caso concreto, obtenemos la ventaja de que las expresiones de la matriz de rigidez en locales de las barras presentan una analogía que hemos referido anteriormente con el caso de estructuras planas de nudos rígidos. Denominamos matriz de transformación { T }, en una barra, a aquella matriz que nos permite relacionar el vector carga aplicado a dicha barra, en coordenadas globales { PG }, con el vector carga en coordenadas locales { PL} que actúa en la misma barra. En base a lo anterior la matriz de transformación { T } será aquella que se deriva de la siguiente ecuación matricial : { PG } = { T } . { PL } Como hemos indicado anteriormente el sistema de ejes local se justifica para el cálculo de magnitudes vectoriales y matriciales relativas a la barra y el sistema de ejes global, lo utilizaremos en todo lo que haga referencia a la estructura, así como a lo largo del procedimiento de cálculo matricial para poder establecer la interacción entre las diferentes barras de la estructura, en un sistema de coordenadas común al conjunto de barras del emparrillado. Tendremos que para el caso de una barra perteneciente a un emparrillado con cargas puntuales en los nudos la ecuación matricial anterior queda así:

De forma que la matriz { T } será:

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Las matrices de transformación serán las que vemos en la figura siguiente.

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Las barras 1(a), 2(b) y 3(c) tienen igual matriz de transformación. Las barras 4(d), 5(e) , 6(f) y 7(g) tienen igual matriz de transformación. En las figuras siguientes vemos las matrices de rigidez en coordenadas globales de las barras 1(a), 3(c) y 4(d).

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Recordamos que para pasar de la expresión de una matriz de rigidez de coordenadas locales a globales utilizamos la ecuación matricial siguiente: { KG } = { T } { KL } { T }T como hemos visto en apartados anteriores. Hemos obtenido todos las matrices necesarias para poder obtener la matriz de rigidez del emparrillado. Para ello habremos de obtener la expresión de la matriz simbólica del emparrillado, mediante el procedimiento que denominamos como ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura, en este caso del emparrillado. Dicho procedimiento es igual en cualquier tipología estructural y por ello remitimos a apartados anteriores, especialmente al apdo. 6-7 y otros en que se han realizado diversas aplicaciones del ensamblaje de la matriz de rigidez de una estructura. La matriz simbólica ( expresión de la matriz de rigidez ) del emparrillado es la que vemos en la figura siguiente:

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Sustituyendo los valores matriciales calculados anteriormente obtendremos la matriz de rigidez de la estructura que vemos en la figura siguiente.

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Para obtener el sistema de movimientos de los nudos del emparrillado habremos de concretar el sistema de cargas que actúan y que es el siguiente.

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Que se corresponde con el siguiente sistema de cargas:  

Una carga puntual de 1300 Kg. vertical y hacia abajo, en el nudo 4. Una carga puntual de 800 Kg. vertical y hacia abajo, en el nudo 5.

El sistema de desplazamientos resultante será:

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obtenido mediante la resolución de la ecuación matricial siguiente:

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez del emparrillado. P = Vector cargas en los nudos del emparrillado. d = Vector desplazamientos de los nudos del emparrillado. subir

continuar en 9.4. Determinación de esfuerzos en barras

9.1.- Matriz de rigidez de una barra de emparrillado | 9.2.- Vector carga en nudos | 9.3-Determinación de desplazamientos y giros | 9.4.- Determinación de esfuerzos en barras | 9.5.- Vector carga equivalente | 9.6.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 9.7.- Actividades | 9.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.-Cálculo matricial de emparrillados 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 9.1.- Matriz de rigidez de una barra de emparrillado | 9.2.- Vector carga en nudos | 9.3.- Determinación de desplazamientos y giros | 9.4Determinación de esfuerzos en barras| 9.5.- Vector carga equivalente | 9.6.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 9.7.Actividades | 9.8.- Ejercicios de autoevaluación | 9 .4.- Determinación de esfuerzos en barras

1. INTRODUCCIÓN 2. DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS EN BARRAS DE UN EMPARRILLADO

Detalle de utilización de una estructura de cubierta para soporte de equipos de sonido e iluminación. Palenque de la Expo92 (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de emparrillados pero sería de interés revisar previamente los apartados que tratan de estructuras planas en el mismo aspecto cual es la determinación de las solicitaciones en barras. Cuando aplicamos el método de la rigidez a los emparrillados, utilizamos la ecuación matricial:

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez del emparrillado, en coordenadas globales. P = Vector de cargas en los nudos del emparrillado, en coordenadas globales. d = Vector de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Luego una vez obtenida la matriz de rigidez del emparrillado y aplicado el vector de cargas que actúa sobre los nudos de dicha estructura, podemos calcular el vector desplazamiento en nudos del emparrillado. Es importante recordar que en la matriz de rigidez del emparrillado hemos incluido solamente los nudos susceptibles de desplazamientos, lo cual en el caso que nos ocupa significa desplazamiento en el eje y, además de giros en x,z , en el sistema de coordenadas globales. El vector de cargas a utilizar en la ecuación matricial anterior será lógicamente en el sistema de coordenadas globales, en coherencia con la expresión de la matriz de rigidez de la estructura. Ello implica que lo que obtendremos en cuanto a desplazamientos de los nudos de la estructura estará expresado igualmente en coordenadas globales.

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Determinación de esfuerzos en barras

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En este apartado vamos a referirnos al procedimiento de cálculo de los esfuerzos en barras de un emparrillado con cargas perpendiculares al plano del emparrillado. Los esfuerzos en barras en el caso de emparrillados con cargas puntuales en nudos o en barras y distribuidas en barras, pero siempre perpendiculares al plano del emparrillado, se corresponden con los torsores, cortantes y flectores. Es por tanto lógico que expresemos los esfuerzos en barras utilizando el sistema de coordenadas locales, ya que en dicho sistema de coordenadas el eje x se corresponde con los torsores, el eje y con los cortantes y el eje z con los flectores. En el caso de que no se cumpliera la condición de que las cargas puntuales y distribuidas que actúan sobre los nudos y barras del emparrillado no fueran perpendiculares al plano del emparrillado entonces las barras se encontrarían sometidas a un sistema de solicitaciones de :      

Momentos Torsores, en eje x Axiles , en eje x Cortantes, en eje y Momentos Flectores, en eje y Cortantes , en eje z Momentos flectores, en eje z

en coordenadas locales, lo cual según vemos incrementaría considerablemente la dificultad operatoria del cálculo de esta tipología estructural. De ahí la importancia del cumplimiento de la condición de perpendicularidad con referencia al plano del emparrillado del sistema de cargas. Por otro lado es frecuente que los emparrillados se encuentren sometidos a tal tipo de solicitación, por lo cual la simplificación que se introduce para el análisis y cálculo de esta tipología estructural es suficiente para el cálculo de gran parte de los emparrillados que nos podemos encontrar en la práctica constructiva.

2. DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS EN BARRAS DE UN EMPARRILLADO Vamos a utilizar como referencia para concretar más el contenido de este apartado el emparrillado de la figura siguiente, que es el mismo del apartado anterior (9-3) sobre determinación de desplazamientos y giros.

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En las figuras siguientes vemos la expresión de las matrices de rigidez de las barras en locales. Barras a y b :

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Barra c :

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Barras d, e, f y g :

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El sistema de cargas que actúa será: Barras a, b y c una carga distribuida de valor 300 Kg/m Barras d y e una carga distribuida de valor 400 kg/m Barras f y g una carga distribuida de valor 600 kg/m Ello implica que: para las barras a y b : V = 300.5 / 2 =750 kg (en dirección y) M = 300. 52 / 12 = 625 mkg (en dirección z) para la barra c : V = 300.10 / 2 = 1500 kg (en dirección y) M = 300. 102 / 12 = 2500 mkg (en dirección z) para las barras d y e : V = 400.3 / 2 = 600 kg (en dirección y) M = 400. 32 / 12 = 300 mkg (en dirección x) para las barras f y g : V = 600.3 / 2 = 900 kg (en dirección y) M = 600. 32 / 12 = 450 mkg (en dirección x) De acuerdo con lo anterior, el valor de la carga equivalente en nudos será: En el nudo 4: Mx = 300 - 300 = 0 Py = 600.2 + 750.2 = 2700 kg Mz = 625 - 625 = 0 En el nudo 5: Mx = 450 - 450 = 0 Py = 900.2 + 750 + 1500 = 4050 kg Mz = 2500 - 625 = 1875 mkg En la figura siguiente vemos el vector carga equivalente, con la unidad de momento flector y momento torsor en cm.kg.

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Ya hemos obtenido la matriz de rigidez de la estructura y el vector de carga equivalente para un sistema de cargas distribuida, perpendicular al plano del emparrillado. El vector de carga equivalente en nudos que hemos calculado anteriormente se corresponderá con la expresión siguiente, utilizando las unidades kg. para la fuerza y cm.kg para los momentos, en coordenadas globales.

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Determinación de esfuerzos en barras

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Hemos de señalar que a lo largo del apartado que estamos desarrollando , nos ceñimos al caso de barras de sección constante, A, de manera que el valor de la sección de cada una de las barras es el mismo, en toda la longitud ( L ) de cada barra así como el valor del momento de inercia ( I ) y del momento polar de inercia ( Ip ). Por supuesto estamos contemplando solamente el caso de material homogéneo, como es normal en las estructuras metálicas, de forma que el valor de E (módulo de Elasticidad) y de G ( módulo de deformación angular ) es también constante para todas las secciones de las barras. Sustituyendo los valores calculados anteriormente de la matriz de rigidez (de orden 6x6) del emparrillado en cuestión y del vector de carga en nudos obtenido anteriormente en la ecuación matricial siguiente

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

podemos obtener el vector desplazamiento en nudos en coordenadas globales. El vector desplazamiento será el correspondiente a los tres grados de libertad, de cada uno de los dos nudos deformables, del emparrillado en cálculo. El vector desplazamiento (movimientos) en nudos del emparrillado, en coordenadas globales, se corresponderá con el giro (eje x) , con el desplazamiento vertical (eje y ) y con el giro alrededor del eje z, de los nudos 4 y 5, referido al sistema de coordenadas globales. En la figura siguiente se obtiene el valor del vector desplazamiento en nudos de la estructura que estamos calculando.

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Hemos obtenido por tanto:   

El vector movimiento en nudos del emparrillado, en globales Los valores de las matrices K de las barras en locales Las matrices de transformación

que necesitamos para obtener los esfuerzos en las barras. Las solicitaciones en barras (torsores, cortantes y flectores) tienen una referencia con los sistemas de ejes locales. Las matrices de rigidez de las barras se expresan también en los sistemas de coordenadas locales. Por lo anterior se hace necesario establecer la relación entre los vectores desplazamiento expresados en coordenadas locales y globales, para poder obtener las solicitaciones en las barras y que es la siguiente: { dL } = { T }T . { dG }

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Determinación de esfuerzos en barras

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Tanto para estructuras planas como espaciales, tanto de nudos rígidos como de nudos articulados, aunque lógicamente los vectores carga y las matrices de transformación tendrán una expresión concreta adecuada a cada tipología estructural, en este caso emparrillados con cargas perpendiculares. Necesitaremos utilizar la relación que estamos exponiendo en este apartado, para pasar a obtener los desplazamientos en los extremos de barras, en el sistema de ejes local, para poder calcular las solicitaciones en las barras, que se expresan utilizando el sistema de coordenadas locales. La matriz de transformación, { T } , nos va a servir para resolver este proceso de cambio y relación entre los sistemas de coordenadas locales y globales, en este caso para los desplazamientos. Sabiendo que se cumple la relación: { dL } = { T }T . { dG } en todos los nudos que coinciden con extremos de las barras que forman la estructura. En nuestro emparrillado concreto se cumple que : {d1a } = {d2c } ={d1d } = {d2e } ={d1f } = {d2q } = 0 por ser la vinculación exterior en A y B (nudos 1 y 2) empotramientos. Por las condiciones de vinculación interior entre las barras, que confluyen en los nudos C y D , en nuestra estructura concreta se cumple que: {d2a } = {d2d } = {d1e } = {d1b } = {dD } ya que los extremos 2 de las barras 1(a), 4(d) y los extremos 1 de las barras 2(b) y 5(e) forman el nudo 4 (D). {d2b } = {d2f } = {d1g } = {d1c } = {dE } ya que los extremos 2 de las barras 2(b), 6(f) y los extremos 1 de las barras 3(c) y 7(g) forman el nudo 5 (E). Utilizando las ecuaciones matriciales de estado, expresadas en el sistema de coordenadas locales que siguen : P1 = K11 d1 + K12 d2 P2 = K21 d1 + K22 d2 Que se obtienen desarrollando la ecuación matricial siguiente :

pasamos a obtener los esfuerzos en barras en el caso concreto de nuestra estructura de referencia. Barra a En el extremo 1, que coincide con el nudo C (3), vínculo exterior, el vector solicitación en la barra a, por el movimiento del nudo D (4), será:

En el extremo 2, que coincide con el nudo D (4), el vector solicitación en la barra a, por el movimiento del nudo D (4) será:

En el vector esfuerzo obtenido, el primer valor se corresponde con el torsor , el segundo con el cortante (kg) y el tercero con el flector, en el extremo 2 (nudo 3) de la barra a.

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Determinación de esfuerzos en barras

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Barra b En el extremo 1, que coincide con el nudo D (4), el vector solicitación en la barra b, por el movimiento de los nudos D (4) y E (5), será:

En el extremo 2, que coincide con el nudo E (5), el vector solicitación en la barra b, por el movimiento de los nudos D (4) y E (5) será:

En el vector esfuerzo obtenido, el primer valor se corresponde con el torsor , el segundo con el cortante (kg) y el tercero con el flector, en el extremo 2 (nudo 3) de la barra a. Barra c En el extremo 1, que coincide con el nudo E (5), el vector solicitación en la barra c, por el movimiento del nudo E (5) , será:

En el extremo 2, que coincide con el nudo F (6), vínculo exterior de empotramiento, el vector solicitación en la barra c, por el movimiento del nudo E (5) será:

Barra d En el extremo 1, que coincide con el nudo A (1), vínculo exterior, el vector solicitación en la barra d, por el movimiento del nudo D (4), será:

En el extremo 2, que coincide con el nudo D (4), el vector solicitación en la barra d, por el movimiento del nudo D (4) será:

Barra e En el extremo 1, que coincide con el nudo D (4), el vector solicitación en la barra d, por el movimiento del nudo D (4), será:

En el extremo 2, que coincide con el nudo exterior G (7), el vector solicitación en la barra d, por el movimiento del nudo D (4) será:

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Vector carga equivalente

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.-Cálculo matricial de emparrillados 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 9.1.- Matriz de rigidez de una barra de emparrillado | 9.2.- Vector carga en nudos | 9.3.- Determinación de desplazamientos y giros | 9.4.- Determinación de esfuerzos en barras | 9.5-Vector carga equivalente| 9.6.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 9.7.- Actividades | 9.8.- Ejercicios de autoevaluación | 9 .5.- Vector carga equivalente

1. INTRODUCCIÓN 2. DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS EN BARRAS DE UN EMPARRILLADO (CONTINUACIÓN) 3. DETERMINACIÓN DE REACCIONES EN VÍNCULOS

Detalle de formación de un nudo en una estructura espacial de barras. Expo92 (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de emparrillados pero sería de interés revisar previamente el apartado anterior, con el que forma una unidad. Cuando aplicamos el método de la rigidez a los emparrillados, utilizamos la ecuación matricial:

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez del emparrillado, en coordenadas globales. P = Vector de cargas en los nudos del emparrillado, en coordenadas globales. d = Vector de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Luego una vez obtenida la matriz de rigidez del emparrillado y aplicado el vector de cargas que actúa sobre los nudos de dicha estructura, podemos calcular el vector desplazamiento en nudos del emparrillado. En este apartado vamos a referirnos al procedimiento de cálculo de los esfuerzos en barras de un emparrillado con cargas perpendiculares al plano del emparrillado completando el apartado anterior y concretando en el caso de los vínculos exteriores. Los esfuerzos en barras en el caso de emparrillados con cargas puntuales en nudos o en

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Vector carga equivalente

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barras y distribuidas en barras, pero siempre perpendiculares al plano del emparrillado, se corresponden con los torsores, cortantes y flectores. En cada uno de los vínculos del emparrillado se producirá una relación, derivada del planteamiento del equilibrio estático, entre la solicitación de la barra y la reacción. Es lógico que expresemos los esfuerzos en barras utilizando el sistema de coordenadas locales, ya que en dicho sistema de coordenadas el eje x se corresponde con los torsores, el eje y con los cortantes y el eje z con los flectores, pero es igualmente lógico que expresemos las reacciones en el sistema de coordenadas globales. Resaltamos nuevamente la particularidad que incluimos acerca de la condición de perpendicularidad con referencia al plano del emparrillado del sistema de cargas. Por otro lado es frecuente que los emparrillados se encuentren sometidos a tal tipo de solicitación, por lo cual la simplificación que se introduce para el análisis y cálculo de esta tipología estructural es suficiente para el cálculo de gran parte de los emparrillados que nos podemos encontrar en la práctica constructiva. En este apartado vamos a realizar lo siguiente:  

Continuar con la obtención de los esfuerzos en los extremos de las barras de un emparrillado. Referir el caso de la determinación de las reacciones, siempre dentro de la particularidad antes indicada acerca del sistema de cargas.

2. DETERMINACIÓN (CONTINUACIÓN)

DE

ESFUERZOS

EN

BARRAS

DE

UN

EMPARRILLADO

Vamos a utilizar como referencia para concretar más el contenido de este apartado el emparrillado de la figura siguiente, que es el mismo del apartado anterior .

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Hemos obtenido en el apartado anterior todo lo necesario para el cálculo de los desplazamientos en los nudos del emparrillado, para el sistema de cargas siguiente: Barras a, b y c una carga distribuida de valor 300 Kg/m Barras d y e una carga distribuida de valor 400 kg/m Barras f y g una carga distribuida de valor 600 kg/m Ello implica que el valor de la carga equivalente en nudos será: En el nudo 4: Mx = 300 - 300 = 0 Py = 600.2 + 750.2 = 2700 kg Mz = 625 - 625 = 0 En el nudo 5: Mx = 450 - 450 = 0 Py = 900.2 + 750 + 1500 = 4050 kg Mz = 2500 - 625 = 1875 mkg En la figura siguiente vemos el vector carga equivalente, con la unidad de momento flector y momento torsor en cm.kg.

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Vector carga equivalente

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El vector desplazamiento será el correspondiente a los tres grados de libertad, de cada uno de los dos nudos deformables, del emparrillado en cálculo. En la figura siguiente vemos el valor del vector desplazamiento en nudos del emparrillado que estamos calculando.

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Hemos obtenido en el apartado anterior :   

El vector movimiento en nudos del emparrillado, en globales Los valores de las matrices K de las barras en locales Las matrices de transformación

que necesitamos para obtener los esfuerzos en las barras. Como hemos indicado se hace necesario establecer la relación entre los vectores desplazamiento expresados en coordenadas locales y globales, para poder obtener las solicitaciones en las barras y que es la siguiente: { dL } = { T } T . { d G } Tanto para estructuras planas como espaciales, tanto de nudos rígidos como de nudos articulados, aunque lógicamente los vectores carga y las matrices de transformación tendrán una expresión concreta adecuada a cada tipología estructural, en este caso emparrillados con cargas perpendiculares. Necesitaremos utilizar la relación que estamos exponiendo en este apartado, para pasar a obtener los desplazamientos en los extremos de barras, en el sistema de ejes local, para poder calcular las solicitaciones en las barras, que se expresan utilizando el sistema de coordenadas locales. Utilizando las relaciones anteriormente expuestas, en la figura siguiente tenemos el vector desplazamiento en locales de las barras del emparrillado.

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En lo referente al sistema de solicitaciones en los extremos de las barras, derivados del vector desplazamientos, en el apartado anterior hemos expresado las relaciones para su obtención. Utilizamos como ejemplo el caso de la barra a y remitimos al apartado anterior para el resto de las barras. Barra a

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En el extremo 1, que coincide con el nudo C (3), vínculo exterior, el vector solicitación en la barra a, por el movimiento del nudo C (3), será:

En el extremo 2, que coincide con el nudo C (3), el vector solicitación en la barra a, por el movimiento del nudo C (3) será:

En el vector esfuerzo obtenido, el primer valor se corresponde con el torsor , el segundo con el cortante (kg) y el tercero con el flector, en el extremo 2 (nudo 3) de la barra a.

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En la figura anterior podemos ver el resultado de efectuar las operaciones antes indicadas, en las 7 barras que forman este emparrillado. Una vez que hemos calculado los esfuerzos derivados de los desplazamientos en los nudos del emparrillado, le sumamos los esfuerzos del empotramiento en los extremos de las barras y obtenemos así los esfuerzos totales en los extremos de las barras, como vamos a desarrollar seguidamente para el caso de las barras a y b, como ejemplo.

Barra 1(a) Extremo 1 Mt (Momento torsor ) = 0 + 0 = 0 cm.kg V (Cortante) = -131 - 750 = - 881 kg Mf (Momento flector) = -30234 - 62500 = - 92734 cm.kg Extremo 2 Mt (Momento torsor ) = 0 + 0 = 0 cm.kg V (Cortante) = 131 - 750 = - 619 kg Mf (Momento flector) = -35234 + 62500 = 27266 cm.kg

Barra 2(b) Extremo 1 Mt (Momento torsor ) = 0 + 0 = 0 cm.kg V (Cortante) = 288 - 750 = - 462 kg Mf (Momento flector) = 35877 - 62500 = - 26623 cm.kg Extremo 2 Mt (Momento torsor ) = 0 + 0 = 0 cm.kg V (Cortante) = -289 - 750 = - 1039 kg Mf (Momento flector) = 108133 + 62500 = 170633 cm.kg Recomendamos realizar los cálculos análogamente a como hemos hecho con las barras a y b, para el resto de las barras, para obtener las solicitaciones totales en los extremos de las barras.

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3. DETERMINACIÓN DE REACCIONES EN VÍNCULOS Las reacciones en los vínculos se producirán en los nudos A (1), B (2), C (3), F (6), G (7) y H (8). Tales vínculos se corresponden con : Apoyo en A (1) ..... Nudo inicial de la barra d Apoyo en B (2) ..... Nudo inicial de la barra f Apoyo en C (3) ..... Nudo inicial de la barra a Apoyo en F (6) ..... Nudo final de la barra c Apoyo en G (7) ..... Nudo final de la barra e Apoyo en H (8) ..... Nudo final de la barra g En base a lo anterior podemos deducir que las reacciones en el empotramiento en C serán:

Empotramiento en C (3) Solicitaciones en el extremo 1 de la barra a Reacciones Mx = 0 + 0 = 0 kg Py = -131 - 750 = - 881 kg Mz = -30234 - 62500 = - 92734 cm.kg En el caso de la barra a coinciden los dos sistemas de coordenadas (local y global) razón por la que es más fácil la determinación de las reacciones.

Empotramiento en F (6) Solicitaciones en el extremo 2 de la barra c Reacciones Mx = 0 + 0 = 0 kg Py = -125 - 1500 = - 1625 kg Mz = 45282 + 250000 = 295282 cm.kg En el caso de la barra c coinciden los dos sistemas de coordenadas (local y global) razón por la que es más fácil la determinación de las reacciones. Veamos ahora el caso en que los sistemas de coordenadas no coincidan. En esa situación hemos de pasar los vectores esfuerzo a coordenadas globales, utilizando la matriz de transformación como vemos seguidamente. Realizaremos seguidamente el cálculo de las reacciones en los empotramientos A(1), B(2), G(7) y H(8).

Empotramiento en A (1) Solicitaciones en el extremo 1 de la barra d Por los movimientos del nudo D, las solicitaciones en A (1) serán, en coordenadas globales:

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Reacciones La reacción en el empotramiento A, se obtiene sumando al vector de solicitación anterior el vector de empotramiento en globales, como vemos:

Empotramiento en B (2) Solicitaciones en el extremo 1 de la barra f: Por los movimientos del nudo E, las solicitaciones en B (2) serán, en coordenadas globales:

Reacciones La reacción en el empotramiento B(2), se obtiene sumando al vector de solicitación anterior el vector de empotramiento en globales, como vemos:

Empotramiento en G (7) Solicitaciones en el extremo 2 de la barra e: Por los movimientos del nudo D, las solicitaciones en G (7) serán, en coordenadas globales:

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Reacciones La reacción en el empotramiento G (7), se obtiene sumando al vector de solicitación anterior el vector de empotramiento en globales, como vemos:

Empotramiento en H (8) Solicitaciones en el extremo 2 de la barra g: Por los movimientos del nudo E, las solicitaciones en H (8) serán, en coordenadas globales:

Reacciones La reacción en el empotramiento H (8), se obtiene sumando al vector de solicitación anterior el vector de empotramiento en globales, como vemos:

Como hemos indicado anteriormente las unidades de los esfuerzos que estamos utilizando son: Py en Kg. Mx y Mz en cm.kg Finalmente, hemos de considerar que en el caso de que en un apoyo confluyeran más de un extremo de barra habremos de reiterar el procedimiento que hemos descrito para cada una de las barras. Posteriormente sumamos los valores de todos los extremos de las barras del apoyo para obtener el valor de las reacciones.

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9.1.- Matriz de rigidez de una barra de emparrillado | 9.2.- Vector carga en nudos | 9.3.- Determinación de desplazamientos y giros | 9.4.- Determinación de esfuerzos en barras | 9.5-Vector carga equivalente| 9.6.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 9.7.- Actividades | 9.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.-Cálculo matricial de emparrillados 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 9.1.- Matriz de rigidez de una barra de emparrillado | 9.2.- Vector carga en nudos | 9.3.- Determinación de desplazamientos y giros | 9.4.- Determinación de esfuerzos en barras | 9.5.- Vector carga equivalente | 9.6Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones| 9.7.- Actividades | 9.8.- Ejercicios de autoevaluación | 9 .6.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones

1. INTRODUCCIÓN 2. INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS: DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

Detalle de formación de un apoyo en una estructura espacial de barras. Expo92 (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de emparrillados pero sería de interés revisar previamente los apartados anteriores, (9-4 y 9-5) con el que presenta relación. Una vez obtenida la matriz de rigidez del emparrillado y aplicado el vector de cargas que actúa sobre los nudos de dicha estructura, podemos calcular el vector desplazamiento en nudos del emparrillado. En este apartado vamos a referirnos a la interpretación de los resultados obtenidos mediante el procedimiento de cálculo matricial de los esfuerzos en barras de un emparrillado sometido a cargas perpendiculares al plano del emparrillado.

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Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones

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Una vez obtenidos los esfuerzos en los extremos de las barras mediante la aplicación del método matricial, habremos de obtener los diagramas de solicitaciones en barras, de forma que nos permita el dimensionamiento de las barras que forman el emparrillado, atendiendo a las solicitaciones críticas que se producen en las barras. Resaltamos nuevamente la particularidad que incluimos acerca de la condición de perpendicularidad con referencia al plano del emparrillado del sistema de cargas. Por otro lado es frecuente que los emparrillados se encuentren sometidos a tal tipo de solicitación, por lo cual la simplificación que se introduce para el análisis y cálculo de esta tipología estructural es suficiente para el cálculo de gran parte de los emparrillados que nos podemos encontrar en la práctica constructiva.

2. INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS: DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES Vamos a utilizar como referencia para concretar más el contenido de este apartado el emparrillado de la figura siguiente, que es el mismo del apartado anterior .

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Hemos obtenido en el apartado anterior todo lo necesario para el cálculo de dicho emparrillado sometido al sistema de cargas siguiente: Barras a, b y c una carga distribuida de valor 300 Kg/m Barras d y e una carga distribuida de valor 400 kg/m Barras f y g una carga distribuida de valor 600 kg/m Hemos obtenido una serie de valores correspondientes a los sistemas de solicitaciones en los extremos de las barras, derivados de los desplazamientos. Hemos calculado también otra serie de valores correspondientes a los sistemas de solicitaciones que aparecen en los extremos de las barras, cuando se empotran dichos extremos. La suma de ambos sistemas de solicitaciones será la solicitación que se produce en los extremos de las barras, pero para el dimensionamiento de las barras de un emparrillado, como en cualquier tipología estructural, necesitamos obtener el diagrama de solicitaciones que se producen en las barras, para obtener los valores de solicitación máxima. En la figura siguiente podemos ver las solicitaciones en los extremos de las barras, derivados de los desplazamientos.

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Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones

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A continuación vamos a exponer los resultados de superponer ambas solicitaciones ( desplazamientos + empotramiento ) en cada una de las barras.

Barra 1(a) Extremo 1 Mt (Momento torsor ) = 0 + 0 = 0 cm.kg V (Cortante) = -131 - 750 = - 881 kg Mf (Momento flector) = -30234 - 62500 = - 92734 cm.kg Extremo 2 Mt (Momento torsor ) = 0 + 0 = 0 cm.kg V (Cortante) = 131 - 750 = - 619 kg Mf (Momento flector) = -35234 + 62500 = 27266 cm.kg

Barra 2(b) Extremo 1 Mt (Momento torsor ) = 0 + 0 = 0 cm.kg = 0 mkg V (Cortante) = 288 - 750 = - 462 kg Mf (Momento flector) = 35877 - 62500 = - 26623 cm.kg = - 266,2 mkg Extremo 2 Mt (Momento torsor ) = 0 + 0 = 0 cm.kg = 0 mkg V (Cortante) = -289 - 750 = - 1039 kg Mf (Momento flector) = 108133 + 62500 = 170633 cm.kg = 1706,3 mkg

Barra 3(c) Extremo 1 Mt (Momento torsor ) = 0 + 0 = 0 cm.kg = 0 mkg V (Cortante) = 124 - 1500 = - 1376 kg Mf (Momento flector) = 78911 - 250000 = - 171089 cm.kg = 1710,9 mkg Extremo 2

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Mt (Momento torsor ) = 0 + 0 = 0 cm.kg = 0 mkg V (Cortante) = -125 - 1500 = - 1625 kg Mf (Momento flector) = 45282 + 250000 = 295282 cm.kg = 2952,8 mkg

Barra 4(d) Extremo 1 Mt (Momento torsor ) = 11 + 0 = 11 cm.kg = 0,11 mkg V (Cortante) = -1141 - 600 = - 1741 kg Mf (Momento flector) = -171033 - 30000 = - 201033 cm.kg= 2010,3 mkg Extremo 2 Mt (Momento torsor ) = -11 + 0 = -11 cm.kg= -0,11 mkg V (Cortante) = 1141 - 600 = 541 kg Mf (Momento flector) = -171033 + 30000 = - 141033 cm.kg= 1410,3 mkg

Barra 5(e) Extremo 1 Mt (Momento torsor ) = -11 + 0 = -12 cm.kg V (Cortante) = 1141 - 600 = 541 kg Mf (Momento flector) = 171033 - 30000 = 141033 cm.kg= 1410,3 mkg Extremo 2 Mt (Momento torsor ) = 11 + 0 = 11 cm.kg = 0,11 mkg V (Cortante) = -1141 - 600 = -1741 kg Mf (Momento flector) = 171033 + 30000 = 201033 cm.kg = 2010,3 mkg

Barra 6(f) Extremo 1 Mt (Momento torsor ) = -155 + 0 = -155 cm.kg = -1,5 mkg V (Cortante) = -2107 - 900 = -3007 kg Mf (Momento flector) = -315953 - 45000 = -360953 cm.kg= 3609,5 mkg Extremo 2

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Mt (Momento torsor ) = 155 + 0 = 155 cm.kg = 1,5 mkg V (Cortante) = 2107 - 900 = 1207 kg Mf (Momento flector) = -315953 + 45000 = -270953 cm.kg= 2709,5 mkg

Barra 7(g) Extremo 1 Mt (Momento torsor ) = 155 + 0 = 155 cm.kg = 1,5 mkg V (Cortante) = 2107 - 900 = 1207 kg Mf (Momento flector) = -315953 - 45000 = -360953 cm.kg= 3609,5 mkg Extremo 2 Mt (Momento torsor ) = 155 + 0 = 155 cm.kg = 1,5 mkg V (Cortante) = 2107 - 900 = 1207 kg Mf (Momento flector) = -315953 + 45000 = -270953 cm.kg= 2709,5 mkg Hemos de recordar que para obtener los diagramas de solicitaciones en las barras habremos de superponer los valores de las solicitaciones en los extremos de las barras, obtenidos anteriormente, con las solicitaciones isostáticas derivadas de las cargas que actúan en las barras. En la figura siguiente vemos el emparrillado en cuestión con el sistema de cargas distribuidas que actúa. La solicitación isostática, en el Momento flector, en cada barra se corresponderá con una parábola de valor máximo, como puede verse en la figura siguiente.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

Los diagramas isostáticos de Momentos Flectores serán, para cada barra, una parábola de valores máximos los siguientes: En las barras a y b : q.L2 / 8 = 937,5 mkg En las barras d y e : q.L2 / 8 = 450 mkg

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Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones

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En las barras f y g : q.L2 / 8 = 675 mkg En la barra c : q.L2 / 8 = 3750 mkg Por tanto el Diagrama de flectores totales se ha obtenido superponiendo: 1- El diagrama de flectores en los extremos, formado por la suma de los momentos derivados del desplazamiento y los momentos de empotramiento. 2- El diagrama de flectores isostático. En cuanto a los diagramas de cortantes, debido al tipo de carga que actúa ( carga distribuida de valor constante ) los diagramas de Cortantes se obtendrán uniendo con una recta los valores de Cortantes obtenidos anteriormente en cada extremo de la barra. En cuanto a los Momentos Torsores, en nuestro caso, son de valor constante en toda la barra, ya que los Momentos torsores que se producen aparecen exclusivamente en los extremos de barras y solamente en algunas barras. subir

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9.1.- Matriz de rigidez de una barra de emparrillado | 9.2.- Vector carga en nudos | 9.3.- Determinación de desplazamientos y giros | 9.4.- Determinación de esfuerzos en barras | 9.5.- Vector carga equivalente | 9.6Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones| 9.7.- Actividades | 9.8.- Ejercicios de autoevaluación |

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Actividades

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.-Cálculo matricial de emparrillados 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 9.1.- Matriz de rigidez de una barra de emparrillado | 9.2.- Vector carga en nudos | 9.3.- Determinación de desplazamientos y giros | 9.4.- Determinación de esfuerzos en barras | 9.5.- Vector carga equivalente | 9.6.Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 9.7-Actividades| 9.8.- Ejercicios de autoevaluación | 9 .7.- Actividades

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.-Cálculo matricial de emparrillados 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 9.1.- Matriz de rigidez de una barra de emparrillado | 9.2.- Vector carga en nudos | 9.3.- Determinación de desplazamientos y giros | 9.4.- Determinación de esfuerzos en barras | 9.5.- Vector carga equivalente | 9.6.Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 9.7.- Actividades | 9.8-Ejercicios de autoevaluación| 9 .8.- Ejercicios de autoevaluación

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9.1.- Matriz de rigidez de una barra de emparrillado | 9.2.- Vector carga en nudos | 9.3.- Determinación de desplazamientos y giros | 9.4.- Determinación de esfuerzos en barras | 9.5.- Vector carga equivalente | 9.6.Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 9.7.- Actividades | 9.8-Ejercicios de autoevaluación|

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.-Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación | 10 .- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ESPACIALES DE NUDOS RÍGIDOS    

OBJETIVOS RESUMEN DEL TEMA ÍNDICE DE CONTENIDOS RECORRIDOS

RESUMEN DEL TEMA Este Tema consta fundamentalmente de aplicar la sistemática de cálculo matricial a las estructuras espaciales de nudos rígidos Podemos considerar los siguientes bloques: Bloque N◙1 : Determinación de la matriz de rigidez de una barra de una estructura espacial de nudos rígidos. Aunque se trata de repetir el procedimiento ya explicitado en temas anteriores, se produce en este caso una mayor complejidad. Bloque N◙2 : Matriz de transformación en estructuras espaciales de nudos rígidos La mayor complejidad de esta tipología estructural hace necesario el desarrollar una sistemática específica para resolver el problema de los sistemas de ejes locales y globales. Bloque N◙3 : Resolución del sistema cargas-desplazamientos En este bloque obtenemos el vector carga en nudos y el vector desplazamiento en nudos de las estructuras espaciales de nudos rígidos. Bloque N◙ 4 : Obtención del sistema de esfuerzos en barras y de las reacciones en los vínculos Exponemos el procedimiento para el cálculo de las solicitaciones en barras de las

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Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos

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estructuras espaciales de nudos rígidos. Es conveniente prestar atención a la interpretación de los diagramas de solicitaciones en barras, por la mayor complejidad que existe en esta tipología estructural. INDICE DE CONTENIDOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Definición topológica y notación. Matrices de transformación. Matriz de rigidez de una barra en globales. Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial. Vector carga equivalente. Determinación de desplazamientos y giros. Vector de esfuerzos de barras en locales. Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones. Actividades. 9.1 Casos prácticos de aplicación. 9.2 Trabajos sobre estructuras espaciales de nudos rígidos. 9.3 Pueden consultarse un conjunto de trabajos de optimización y diseño realizados sobre estructuras espaciales de nudos rígidos. 9.4 Visualización de estructuras espaciales.

10. Ejercicios de Autoevaluación. Realización de un conjunto de problemas sobre los contenidos del tema. subir

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10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación |

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Definición topológica y notación

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.-Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 10.1-Definición topológica y notación| 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación | 10 .1.- Definición topológica y notación

1. INTRODUCCIÓN 2. DEFINICIÓN TOPOLÓGICA Y NOTACIÓN

Detalle de la cúpula del Teatro de la Maestranza (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN La utilización de las estructuras espaciales de nudos rígidos, especialmente metálicas, está adquiriendo una importancia creciente en base a una serie de razones como son las que exponemos seguidamente: 1 - En las grandes estructuras nos encontramos con que es especialmente importante una optimización estructural y ello implica la necesidad de establecer las condiciones reales de carga de la estructura y establecer unos mejores repartos de dichas cargas entre los diferentes elementos que la componen. Es decir, será en función de las solicitaciones que actúan sobre los diferentes elementos resistentes de la estructura como dimensionaremos dichos elementos.

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El procedimiento de reparto conocido como de pórticos virtuales no deja de ser una aproximación, muchas veces excesivamente grosera, acerca de la interrelación entre los diferentes pórticos, entramados, vigas, etc. Un estudio de la estructura definida espacialmente nos aproximará mucho más al comportamiento real de dicha estructura que si la consideramos como un conjunto de pórticos planos arriostrados entre sí. 2 - Los procedimientos de cálculo de estructuras espaciales han sido perfeccionados recientemente y se va teniendo una cada vez mayor experiencia en el diseño y cálculo de estructuras espaciales, principalmente en el caso de las estructuras espaciales modulares, basadas en la pirámide de base cuadrada, pero también comienza a ser posible, desde un punto de vista operativo el estudio de estructuras espaciales de nudos rígidos, gracias al perfeccionamiento y la potencialidad que introducen los ordenadores en el cálculo de estructuras. 3 - Diversas razones de carácter estético por el impacto visual, especialmente en el caso de estructuras metálicas de cubierta espaciales, que permiten una adaptación a formas no sólo rectas sino de superficies esféricas y otras superficies alabeadas diversas. Vamos a referirnos en este apartado a las peculiaridades específicas aplicables en el cálculo matricial de estructuras al caso de estructuras espaciales de barras de directriz recta con nudos rígidos. Es decir: lo que vamos a referir es aplicable a dicha tipología estructural, por cuanto vamos a describir los diferentes sistemas de ejes a utilizar para expresar de la manera más adecuada las diferentes magnitudes vectoriales y matriciales que se utilizan en el cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos. Sabemos que será en este tipo de estructuras más complejo donde habremos de establecer unos procedimientos lo más fiables posibles de forma que nos permitan una potencialidad operatoria con un mínimo de complejidad. Lo que vamos a tratar de exponer en este apartado son una serie de aspectos que nos permitan superar la complejidad que introduce en el procedimiento dado que tendremos que manejar barras en el espacio y por ello las estructuras de las que forman parte, presenten una forma espacial, de manera que no es posible establecer un sistema de ejes de referencia contenido en un plano, en el que se encuentre contenida la estructura. Es decir no tendremos ahora un plano donde se encuentren contenidas la totalidad de las barras de la estructura, como sucede en los casos anteriormente estudiados sobre estructuras planas y también sobre emparrillados. La facilidad del uso del software comercial del cálculo de estructuras, en comparación con la complejidad operatoria que supone el cálculo manual de estructuras, hace que se tienda a la utilización del ordenador y ello es especialmente significativo en el caso de las estructuras espaciales, dado el orden de las matrices a manejar.

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Existe muy poca bibliografía referente a la resolución de estructuras espaciales de nudos rígidos que ponga de manifiesto el conocimiento de los procedimientos operativos aplicables. No obstante las dificultades anteriores hemos de intentar, en coherencia con lo manifestado en otros apartados de este curso de cálculo matricial de estructuras, desarrollar un conjunto de conceptos acerca del comportamiento de las estructuras y aunque las estructuras espaciales de nudos rígidos sean especialmente complejas trataremos de avanzar también en el mismo sentido en esta tipología estructural. Será de la mano del análisis estructural como conseguiremos poder desarrollar ese núcleo conceptual y para ello precisamos también una formación acerca de la interpretación de los resultados obtenidos con el cálculo matricial.

2. DEFINICIÓN TOPOLÓGICA Y NOTACIÓN Vamos a referirnos en este apartado al procedimiento para resolver uno de los aspectos referentes a la operatoria cuando tratamos de aplicar el cálculo matricial a las estructuras espaciales de nudos rígidos como es la definición topológica y la notación. Nos encontramos con que: 



Para una barra cualquiera de directriz recta, la dirección de dicha directriz es una importante referencia, que vamos a hacer coincidir con el eje x. Para una estructura formada por un conjunto de barras, la dirección del eje x aunque pueda coincidir con la directriz de una barra de dicha estructura, no coincidirá con la directriz de otras barras de dicha estructura.

Vemos por lo anterior que cuando nos encontramos aplicando el cálculo matricial a una barra hemos de utilizar un sistema de ejes que nos permita expresar el conjunto de matrices y vectores, tomando como referencia la dirección de la directriz de la barra, mientras que cuando estamos aplicando el cálculo matricial a una estructura hemos de utilizar un sistema de ejes, que pueda ser aplicable al conjunto de las barras y nudos que forman dicha estructura. Podemos decir que: 



En el primer caso hablamos de un sistema de ejes referenciales a la barra y que denominamos como coordenadas locales. En el segundo caso hablamos de un sistema de ejes referenciales a la estructura, en su conjunto, que denominamos como coordenadas globales.

Hemos de utilizar el sistema de coordenadas locales para poder expresar magnitudes que hacen referencia a la propia barra, como por ejemplo sus características resistentes expresadas mediante la matriz de rigidez de una barra. Hemos de utilizar el sistema de coordenadas globales para poder expresar magnitudes que sean propias de la estructura, como por ejemplo el sistema de cargas que actúa sobre la estructura.

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2.1. Elección del sistema de ejes global En lo referente al sistema de coordenadas global dado que la utilidad de dicho sistema de ejes presenta una relación más directa con la estructura en su conjunto, los sistemas de cargas y los sistemas de desplazamientos, es conveniente utilizar un sistema de ejes global con un eje vertical (habitualmente el z ), de forma que los ejes x,y se encuentran en un plano horizontal. Nos queda definir la dirección de uno de los dos ejes del plano horizontal, por ejemplo el x, y para ello lo más adecuado es elegir una dirección donde las relaciones de definición geométrica mediante los cosenos directores de las barras de la estructura sean lo más sencillas posibles. Por tanto si hay barras de la estructura, paralelas y contenidas en dicho plano, la directriz de dichas barras puede ser un buen criterio para elegir el eje x, del sistema de coordenadas globales. La utilización de un eje vertical nos permitirá fundamentalmente una más intuitiva y por ello más fácil determinación de los vectores de carga (carga equivalente en nudos, en el caso de cargas distribuidas en barras), dado que la mayoría de las cargas que actúan sobre las estructuras presentan la dirección vertical como consecuencia de su naturaleza gravitatoria. También es importante el pensar que será en el sistema de ejes globales donde habremos de analizar los resultados referentes a la deformación de la estructura al actuar el sistema de cargas y ello puede hacer que nos interesen unas determinadas direcciones para una más clara interpretación de tales resultados de cálculo. Una vez definidas las direcciones del sistema de ejes global y posicionado el mismo en un origen (0, 0, 0) podremos determinar las coordenadas de los nudos de la estructura y poder así definir la topología de la estructura que queremos calcular. Es interesante normalmente hacer coincidir el origen del sistema de coordenadas con un nudo extremo de la estructura, preferentemente a la izquierda al efecto de manejar el octante espacial más intuitivo. 2.2. Elección del sistema de ejes local En lo referente al sistema de coordenadas locales tenemos una condición ya indicada en otros apartados anteriores, cual es que el eje x se hace coincidir con la directriz de la barra y su sentido positivo el que vá desde el extremo 1 al extremo 2 de dicha barra. Una vez elegido el eje x en coordenadas locales, son posibles todo un haz de ejes contenidos en un plano perpendicular a dicho eje x, que hemos hecho coincidir con la directriz de la barra, para los ejes y,z en locales. Es decir: hay infinitas soluciones de sistemas de ejes ortogonales que cumplen esa condición. Sin embargo la naturaleza gravitatoria de las cargas que actúan sobre las barras

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de la estructura en dirección vertical así como la relación entre el sistema de coordenadas locales y las solicitaciones en barras que sabemos que se expresan en dicho sistema de coordenadas, hacen aconsejable el que uno de los planos del triedro que definen los ejes locales de cada barra sea el plano vertical y si imponemos esa condición ya la solución se hace única. Ello no quiere decir que un eje del sistema de coordenadas locales coincida siempre con la dirección vertical sino que el plano definido por dos ejes del sistema de coordenadas locales ( uno de ellos el eje x ) sea vertical. Sabemos que habremos de calcular los versores en las direcciones de los ejes locales de cada barra y que éstos habrán de referirse al sistema de coordenadas globales. Vamos a exponer seguidamente el procedimiento para poder definir el sistema de ejes locales, partiendo de la base de que hay un sistema de ejes globales con una dirección vertical (Zg), de forma que el vector (0,0,1) es un vector que está contenido en un plano vertical. El primer paso será obtener el versor de la dirección x, calculando los cosenos directores, que al coincidir con la directriz de la barra se obtendrán simplemente mediante las expresiones siguientes:

Siendo el extremo 2 de la barra el punto del coordenadas ( X2, Y2, Z2 ) y el extremo 1 de la barra el punto de coordenadas ( X1, Y1, Z1 ). La barra será de longitud L, que se obtiene lógicamente en función de las coordenadas de sus extremos. El segundo paso será el definir un versor perpendicular al plano vertical que pasa por la directriz de la barra, que será el correspondiente al eje local y . Para ello multiplicamos vectorialmente el versor calculado anteriormente por el versor (0,0,1) y el resultado será un vector perpendicular al plano vertical que pasa por la directriz de la barra. Dividiendo el resultado del producto vectorial anterior obtendremos el versor que estamos buscando y que se corresponde con el de la dirección del eje local y. El tercer paso será obtener el versor correspondiente al eje z local y para ello multiplicamos vectorialmente los versores dirección de los ejes locales x e y así obtendremos el versor dirección del eje local z. 2.3. Conectividad Denominamos con este término a la forma de establecer la relación entre las

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barras y los nudos, de forma que en cada barra habremos de definir un nudo inicial ( extremo 1 ) y un nudo final ( extremo 2). En lo referente a una correcta definición de la conectividad habremos de indicar que el objetivo que se persigue es el de simplificar lo más posible la operatoria ya de por sí prolija del cálculo de las matrices de rigidez de las estructuras espaciales, así como de facilitar la resolución de la ecuación matricial siguiente:

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura . P = Vector cargas en los nudos de la estructura . d = Vector desplazamientos de los nudos de la estructura. Para ello es conveniente una serie de criterios como son: El definir las barras paralelas que puedan existir en la estructura espacial con un mismo sentido en su directriz (extremos 1 y 2), de forma que presenten la misma matriz de transformación y se facilite también la interpretación de los resultados, especialmente en cuanto a las solicitaciones. Numerar de manera que los nudos más próximos a la banda central sean tales que hagan más fácil el proceso de diagonalización de la matriz de rigidez de la estructura. 2.4. Notación Es interesante cuando hay un procedimiento de una operatoria prolija y complicada el introducir criterios que puedan hacer más ordenado el proceso de manera que se pueda superar tal dificultad. Para ello en el presente curso de cálculo matricial y especialmente en el cálculo de estructuras espaciales de nudos rígidos vamos a seguir un conjunto de criterios de notación y que son los siguientes: A los nudos de la estructura se les asignará un número (preferentemente) o una letra mayúscula. A las barras de la estructura se les asignará para su identificación una letra minúscula. Cada barra tendrá un extremo 1 (nudo inicial) y otro extremo 2 (nudo final ), que se corresponderán con los nudos de la estructura, de forma que el extremo inicial de la barra c, por ejemplo, será c1 y el extremo final será c2. Dichos extremos de barras coincidirán con los nudos de la estructura que se corresponda, pero hemos de recordar que hay un conjunto de resultados que vienen ligados a los extremos de barras, como por ejemplo las solicitaciones y otros a los nudos como por ejemplo los desplazamientos y ello hace conveniente

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el mantener dicha sistema de notaciones. Para la obtención de la matriz simbólica de la estructura utilizaremos como referencia la numeración de los nudos de la estructura. Finalmente resaltaremos el que no se hace necesario el establecer ningún otro sistema de coordenadas mas que los anteriormente referidos ya que con ellos se puede realizar cualquier cálculo matricial, por complejo que sea.

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10.1-Definición topológica y notación| 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 10.1.- Definición topológica y notación | 10.2-Matrices de transformación| 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación | 10 .2.- Matrices de transformación

1. INTRODUCCIÓN 2. MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN PARA ESTRUCTURAS ESPACIALES DE NUDOS RÍGIDOS 3. BIBLIOGRAFÍA

Detalle del Puente Alfonso XIII, ya desaparecido, antiguamente ubicado próximo al actual Puente de las Delicias. Era un hermoso puente en consonancia con el ambiente del Puerto de Sevilla.

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras espaciales de nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos. Los diferentes sistemas de ejes a utilizar nos son necesarios para expresar de la manera más adecuada las diferentes magnitudes vectoriales y matriciales que se utilizan en el cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos. Vemos que: 



Para un conjunto de vectores y matrices, generalmente ligados a las barras, utilizamos el sistema de coordenadas locales. Para otro conjunto de vectores y matrices, generalmente ligados a la estructura en su conjunto, utilizamos el sistema de coordenadas globales.

El propio procedimiento de cálculo matricial de estructuras se desarrolla partiendo del cálculo de las matrices de rigidez de las barras, expresadas en locales, para llegas a la matriz de rigidez de la estructura que hemos de expresar en coordenadas globales. Es decir: cuando en el procedimiento de cálculo matricial planteamos las relaciones existentes entre las diferentes barras de la estructura, es necesario utilizar un único sistema de coordenadas, que

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denominamos de coordenadas globales. Por lo anterior se hace necesario el poder expresar las matrices de rigidez de las barras tanto referidas a las coordenadas locales, propias de la barra, como referida a las coordenadas globales, propias de la estructura. La matriz de transformación, que vamos a denominar simbólicamente como { T } , nos va a servir para resolver este proceso de cambio y relación entre los sistemas de coordenadas locales y globales.

2. MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN PARA ESTRUCTURAS ESPACIALES DE NUDOS RÍGIDOS Denominamos matriz de transformación { T }, en una barra, a aquella matriz que nos permite relacionar el vector carga aplicado a dicha barra, en coordenadas globales { PG }, con el vector carga en coordenadas locales { PL} que actúa en la misma barra. En base a lo anterior la matriz de transformación { T } será aquella que se deriva de la siguiente ecuación matricial : { PG} = { T } . { PL} Veamos seguidamente la matriz de transformación { T } para el caso de las estructuras espaciales de nudos rígidos. En la figura siguiente hemos representado una barra con los sistemas de coordenadas locales (en azul) y globales (en rojo).

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

Planteamos la ecuación de relación entre cargas, en coordenadas globales y coordenadas locales, utilizando la matriz { T }: { PG} = { T } . { PL} Hemos representado un único vector carga, por razones de claridad del gráfico, en el extremo 1, pero hemos de recordar que en el caso de estructuras de nudos rígidos hay no sólo fuerzas sino también momentos en los extremos de las barras que pertenecen a tal tipología estructural. Por tanto lo mismo que vemos con el vector fuerza resultante (en una dirección genérica cualquiera) se repite para el momento resultante (en un eje genérico). Relacionamos los ejes locales con los ejes globales a través de los cosenos directores de los ejes locales, según podemos ver en la figura anterior, para el caso del eje XL. En forma análoga se referencia a través de los cosenos directores de los ejes YL y ZL, con respecto al sistema de ejes globales. Así tendremos que denominaremos: 1x : El ángulo de la barra (eje XL) con el eje XG . 1y : El ángulo de la barra (eje XL) con el eje YG . 1z : El ángulo de la barra (eje XL) con el eje ZG . 1x : El ángulo del eje YL con el eje XG . 1y : El ángulo del eje YL con el eje YG .

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1z : El ángulo del eje YL con el eje ZG . 1x : El ángulo del eje ZL con el eje XG . 1y : El ángulo del eje ZL con el eje YG . 1z : El ángulo del eje ZL con el eje ZG . Por tanto se producirá la siguiente ecuación matricial para el vector fuerza:

luego la matriz de transformación { T } será:

Planteamos nuevamente la ecuación de relación entre cargas, en coordenadas globales y coordenadas locales, utilizando la matriz { T }: { PG} = { T } . { PL} en forma análoga a como se hizo para el caso de la carga (fuerza) y se producirá la siguiente ecuación matricial para el vector momento:

luego la matriz de transformación { T } para el caso del vector carga (momento) será la misma que en el caso del vector carga (fuerza):

Para el caso de barras pertenecientes a estructuras espaciales de nudos rígidos nos encontraremos con que el vector carga, por ejemplo en el extremo 1, será:

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Es decir nos encontramos con una fuerza de dirección cualquiera, pero a diferencia del caso de estructuras espaciales de nudos articulados, en el caso de estructuras espaciales de nudos rígidos, tendremos un momento de dirección cualquiera. Por tanto se producirá la siguiente relación matricial:

Siendo la matriz { T } :

Siendo la matriz { 0 } :

Hemos desarrollado en este apartado la relación entre los sistemas de coordenadas locales y globales, pero esto hay que complementarlo con el apartado anterior en lo relativo a la elección de dichos sistemas subir

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10.1.- Definición topológica y notación | 10.2-Matrices de transformación| 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.-Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3-Matriz de rigidez de una barra en globales| 10.4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación | 10 .3.- Matriz de rigidez de una barra en globales

1. INTRODUCCIÓN 2. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA DE UNA ESTRUCTURA ESPACIAL DE NUDOS RÍGIDOS

Detalle de la estructura auxiliar para el encofrado de un muro circular de hormigón armado en el Pabellón de Andalucía. Expo'92 - Sevilla -

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras espaciales y dentro de esa tipología nos centramos en aquellas cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comunmente denominados como nudos rígidos. Por ello la expresión que vamos a obtener de la matriz de rigidez de una barra sólo es aplicable a estructuras espaciales de nudos rígidos. Hemos obtenido previamente, en otros apartados, la expresión de la matriz de rigidez correspondiente a las barras pertenecientes a estructuras planas de nudos articulados, a las estructuras planas de nudos articulados, a los emparrillados con cargas perpendiculares al plano del emparrillado y a las estructuras espaciales de nudos articulados. Con este apartado completamos los anteriores referidos a matrices de rigidez de barras y

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por ello es conveniente tener presente y haber entendido el contenido de tales apartados, especialmente en lo relativo a la metodología utilizada para su obtención. Como hemos referido en otros apartados anteriores no es lo mismo deformación que desplazamiento. Entenderemos como desplazamiento el cambio de posición de una sección, entendiendo como tal su posicionamiento y el ángulo girado y, por tanto, el término tiene un sentido más amplio que el propio de una traslación, razón por la que utilizaremos también el término: movimiento. Tratamos, por tanto, a la rebanada como un sólido de espesor diferencial y área la sección transversal de la barra y definimos su posición en el plano por un punto y un ángulo. En cambio el sentido de deformación, se corresponde con la variación de forma que se produce en las barras, como consecuencia de estar sometidas a un determinado estado de cargas. En la ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la barra . P = Vector de cargas en los extremos . d = Vector de desplazamientos de los extremos . se define la relación entre el vector de cargas y el vector de desplazamientos o movimientos, de forma que representa lo que podríamos denominar como "ley constitutiva" de la barra, en nuestro caso, perteneciente a una estructura espacial de nudos rígidos. Seguidamente vamos a expresar más detalladamente tal ecuación matricial, pero planteando ahora la matriz de rigidez de una barra en la que sus dos extremos, que denominamos extremos 1 y 2, se encuentran sometidos a carga y pueden tener movimientos en cada extremo. En la ecuación matricial siguiente expresamos la aplicación al caso de barras espaciales donde: - La matriz de rigidez de dichas barras es de orden 12x12, lo cual nos lleva a la cantidad de 144 elementos. - El vector carga será de orden 12x1. - El vector desplazamiento o movimiento será de orden 12x1.

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Vemos que los movimientos que se producen en los extremos de cada barra se corresponden con desplazamientos en los ejes x, y, z, además de giros en los ejes x, y, z, dado que dichas barras pertenecen a estructuras espaciales de nudos rígidos. En la ecuación matricial siguiente expresamos la relación entre cargas y movimientos en los extremos de una barra, de forma general.

En cuanto al vector desplazamiento o movimiento hemos de considerar que si las barras están vinculadas en sus extremos mediante empotramiento elástico, tales desplazamientos o movimientos se corresponderán con los alargamientosacortamientos, coherentes con las solicitaciones de tracción-compresión, junto con los giros derivados de las solicitaciones de flexión en dos ejes y torsión en el eje de la barra, a que se encuentran sometidas las barras y por ello el vector desplazamientos será de dimensión 12 x 1. Un aspecto muy importante a resaltar es que las ecuaciones de relación que se establecerán seguidamente son independientes del hecho de si la estructura es isostática o hiperestática (exterior o interior). Por tanto el desarrollo que sigue se particulariza exclusivamente atendiendo a que las barras formen parte de una estructura espacial de nudos rígidos, a diferencia por ejemplo de los métodos basados en el equilibrio estático, donde la característica de isostaticidad de una estructura es fundamental.

2. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA DE UNA ESTRUCTURA ESPACIAL DE NUDOS RÍGIDOS En este apartado, al igual que a lo largo del curso sobre cálculo matricial nos estamos

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refiriendo a barras de sección constante, que se encuentra sometida en cada uno sus extremos a 6 solicitaciones, como hemos indicado en la ecuación matricial anterior y podemos ver en la figura siguiente.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

Vemos que en este tipo de barras, en cada extremo de la barra podemos tener una fuerza y un momento de una dirección cualquiera y ello supone tres componentes de fuerza (en rojo) y momento (en azul), en el sistema de ejes locales, en cada extremo y por ello aparecen los 12 elementos del vector carga. La forma de disponer el vector carga es la adecuada para poder emplear la matriz de transformación que hemos obtenido en el apartado anterior y que tiene la expresión siguiente:

donde:

Siendo la matriz { 0 } :

Remitimos al apartado anterior para lo referente a la matriz de transformación en el caso de estructuras espaciales de nudos rígidos. Vamos a expresar directamente el valor de la matriz de rigidez utilizando una expresión derivada de la ecuación matricial siguiente:

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con el objetivo de expresar de forma más cómoda la matriz de rigidez dado el gran número de elementos que la forman. Denominamos: 





Iy Momento de inercia respecto al eje paralelo al eje y (ver figura anterior) que pasa por el c.d.g. de la sección de la barra. Iz Momento de inercia respecto al eje paralelo al eje z (ver figura anterior) que pasa por el c.d.g. de la sección de la barra. Ip Momento polar de inercia de la sección de la barra.

Tendremos la siguiente expresión de la submatriz K11 siguiente :

Tendremos la siguiente expresión de la submatriz K12 siguiente :

Tendremos la siguiente expresión de la submatriz K21 siguiente :

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Tendremos la siguiente expresión de la submatriz K22 siguiente :

Aunque remitimos a los apartados referentes al cálculo de la matriz de rigidez en el caso de barras pertenecientes a estructuras planas de nudos rígidos vamos a analizar el caso de la submatriz K22 que nos puede servir como una referencia, para el resto de las submatrices. Vemos que el esfuerzo P2x no presenta relación con los desplazamientos que no sean en el eje x, ni con los giros y por ello vemos que en la 1ª fila aparecen ceros en las columnas 2, 3, 4, 5, y 6. Vemos que el esfuerzo P2y presenta relación exclusivamente con los desplazamientos que se produzcan en la dirección y, así como con el giro en z y por ello vemos que en la 2ª fila aparecen ceros en las columnas 1, 3, 4 y 5. Vemos que el esfuerzo P2z presenta relación exclusivamente con los desplazamientos que se produzcan en la dirección z, así como con el giro en y. Por ello vemos que en la 3ª fila aparecen ceros en las columnas 1, 2, 4 y 6. Vemos que el esfuerzo M2x presenta relación exclusivamente con los giros que se produzcan en la dirección x. Por ello vemos que en la 4ª fila aparecen ceros en las columnas 1, 2, 3, 5 y 6. Vemos que el esfuerzo M2y presenta relación exclusivamente con los desplazamientos que se produzcan en la dirección z, así como con el giro en y. Por ello vemos que en la 5ª fila aparecen ceros en las columnas 1, 2, 4 y 6.

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Vemos que el esfuerzo M2z presenta relación exclusivamente con los desplazamientos que se produzcan en la dirección y, así como con el giro en z. Por ello vemos que en la 6ª fila aparecen ceros en las columnas 1, 3, 4 y 5. Todas las relaciones que se producen se han demostrado ya en otros apartados anteriores a los que remitimos, para una mejor compresión de los valores que aparecen en la expresión de la matriz de rigidez de barras pertenecientes a estructuras espaciales de nudos rígidos.

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10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3-Matriz de rigidez de una barra en globales| 10.4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación |

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Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.-Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4-Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial| 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación | 10 .4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial

1. INTRODUCCIÓN 2. ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA ESPACIAL

Detalle de armadura y de encofrado de muro de hormigón armado. Pabellón de Andalucía. Expo'92 - Sevilla -

1. INTRODUCCIÓN Cuando aplicamos el método de la rigidez obtenemos:

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura, en coordenadas globales. P = Vector de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Vector de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Es decir: necesitamos obtener la matriz de rigidez de la estructura expresada en coordenadas globales. El proceso para obtener la matriz de rigidez de una estructura por el método directo es lo que denominamos como ensamblaje de la matriz de rigidez. Existe otro procedimiento basado en la utilización de la matriz de conexión, pero que presenta menor aplicación que el referido antes como método directo, ya que el método directo permite poner de manifiesto un conjunto de relaciones que se producen en la estructura, entre diferentes magnitudes vectoriales y matriciales. El resultado es lo que hemos denominado en otros apartados anteriores como Matriz Simbólica de la estructura, por cuanto se refieren en ella un conjunto de parámetros que:  

Por un lado tienen un valor no numérico (simbólico). Por otro la expresión de dicha matriz no es genérica sino concreta en cuanto a que se refiere a una determinada estructura.

No debemos confundir la matriz de rigidez Simbólica (no numérica) con la matriz de Rigidez de la estructura (numérica). La matriz Simbólica es como una expresión de la matriz de rigidez de una estructura concreta.

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Las estructuras tanto si son planas como espaciales, tanto si son de nudos articulados como rígidos, el procedimiento a aplicar para realizar el ensamblaje de la matriz de rigidez y obtener la expresión de la matriz simbólica de la estructura es el mismo.

2. ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA ESPACIAL En este apartado lo que vamos a hacer es exponer una regla para obtener la matriz simbólica sin necesidad de realizar todas las operaciones que hemos descrito en apartados anteriores relativas a:   

equilibrio en nudos condiciones de compatibilidad en deformaciones en vinculaciones interiores condiciones de contorno en vinculaciones exteriores

La utilidad de la regla que vamos a exponer se deriva de la simplificación que introduce en la operatoria y por el contrario si no completamos con la descripción del proceso de ensamblaje que hemos realizado en los apartados anteriores perderemos la visión y el fundamento del proceso y que es importante comprender. Una vez obtenida la expresión de la matriz simbólica de la estructura, en virtud del proceso de ensamblaje, que se expresa en función de la matriz de rigidez en globales de las barras que la forman, el siguiente paso para obtener la matriz de rigidez de la estructura será sustituir tales matrices en la matriz simbólica. En ese procedimiento será cuando habremos de tener en cuenta el tipo de estructura que estamos calculando ( plana, espacial, tipo de nudo, etc.) para utilizar la expresión adecuada de las matrices de rigidez de las barras en locales y de las matrices de transformación, de manera que las matrices de rigidez de las barras en coordenadas globales sean correctas. Para concretar más el procedimiento vamos a utilizar la estructura espacial que vemos en la figura siguiente como una referencia a la que vamos a aplicar el procedimiento. En primer lugar en la matriz simbólica solamente incluimos los nudos que pueden tener desplazamiento, lo cual implica en la estructura en cuestión el que los nudos serán 2, 4, 6 y 8, razón por la cual la matriz simbólica será de orden 4x4.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En la matriz de 4 x 4 tenemos que: 



Señalar cada fila como vemos en la ecuación anterior con los vectores carga, que serán en la estructura de la figura anterior P2, P4, P6 y P8. Señalar cada fila como vemos en la ecuación anterior con los vectores desplazamiento, que serán en nuestro caso d2, d4, d6 y d8.

En la figura anterior hemos colocado unas flechas en cada barra y que apuntan al extremo 2 de cada una de dichas barras. Veamos en primer lugar las posiciones en las que el número de los nudos es el mismo, que coincidirá lógicamente con la diagonal de la expresión de la matriz simbólica. En tales posiciones el valor a incluir será la suma de los términos (submatrices de las barras en coordenadas globales) K11 y K22 correspondiente a los extremos de barra que forman el nudo. 

Si la barra, en dicho nudo, es el extremo 1, será el término K11.

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

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Si la barra, en dicho nudo, es el extremo 2, será el término K22.

Así tendremos que el primer elemento de la diagonal, correspondiente al nudo 2, será: K11 = k22a + K11e + K11h El segundo elemento de la diagonal, correspondiente al nudo 4, será: K22 = k22d + K22g + K22h El tercer elemento de la diagonal, correspondiente al nudo 6, será: K33 = k22b + K22e + K11f El cuarto elemento de la diagonal, correspondiente al nudo 8, será: K44 = k22c + K22f + K22g Veamos ahora los términos fuera de la diagonal, que se corresponden con nudos diferentes en cuanto a los vectores carga y desplazamiento. El valor de la K se corresponde en cierta forma con el valor de la carga en el nudo, cuando se produce el desplazamiento en el otro nudo. Pueden producirse dos situaciones : 

La primera es que exista una barra que conecte ambos nudos: En tal caso, en tales posiciones sólo hay que incluir el valor correspondiente a las submatrices K12 ó K21 de aquella barra cuyos extremos son los dos nudos. Elegiremos el término K12 si en el nudo correspondiente a la carga, la barra presenta el extremo 1. Elegiremos el término K21 si en el nudo correspondiente a la carga, la barra presenta el extremo 2.



La segunda situación es que no exista ninguna barra que conecte ambos nudos y en tal caso el término a introducir es un cero.

Para concretar más vamos a ver cómo definimos los valores fuera de la diagonal, en la estructura en cuestión y empezamos con la primera fila. El valor k12, por ejemplo, hace referencia a los nudos 2 y 4. Por tanto será la barra (h) la que aparecerá en tal posición, ya que dicha barra conecta los nudos 2 y 4 . El término será k12h, ya que el nudo de la carga es el 2 y el extremo de la barra en dicho nudo es el 1. El valor k13 hace referencia a los nudos 2 y 6. Por tanto será la barra (e) la que aparecerá en tal posición. El término será k12e, ya que el nudo de la carga es el 2 y el extremo de la barra en dicho nudo es el 1. El valor k14 hace referencia a los nudos 2 y 8. No hay ninguna barra que conecte tales nudos y por tanto el valor en tal posición será 0. En forma análoga obtenemos el resto de los valores correspondientes a las filas 2, 3 y 4, de forma que obtendremos la siguiente matriz simbólica.

Vemos que la regla descrita en este apartado para obtener la expresión de la matriz simbólica de la estructura facilita mucho su obtención, pero hemos de resaltar la conveniencia de entender el procedimiento de ensamblaje de la matriz de rigidez de una estructura, descrito en apartados anteriores.

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10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4-Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial| 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.-Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5-Vector carga equivalente| 10.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación | 10 .5.- Vector carga equivalente

1. INTRODUCCIÓN 2. OBTENCIÓN DEL VECTOR CARGA EQUIVALENTE EN UNA ESTRUCTURA ESPACIAL CON NUDOS RÍGIDOS

Detalle de la cubierta del Pabellón de Rusia - Expo92 - (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras espaciales y dentro de esa tipología nos centramos en aquellas cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos rígidos. Las estructuras que estamos tratando se encuentran sometidas en gran parte a sistemas de cargas gravitatorias y por tanto contenidas en un plano vertical. Mientras que en estructuras articuladas, la solicitación más utilizada es la de cargas puntuales en nudos y habremos de reducir, con suficiente nivel de aproximación, los casos de cargas distribuidas a tal tipo de solicitación, en el caso que nos ocupa la solicitación más frecuente es la de cargas distribuidas sobre las barras.

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Vector carga equivalente

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En esta tipología estructural, las barras se encuentran sometidas no solamente a axiles, sino también a cortantes, flectores y torsores y por ello el vector de cargas, para el caso de barras pertenecientes a una estructura de nudos rígidos será en coordenadas locales :

En la ecuación matricial siguiente expresamos la relación entre cargas y movimientos en los extremos de una barra, de forma general.

Dado que están vinculados los extremos de las barras mediante empotramiento elástico, por pertenecer a estructuras de nudos rígidos, ello implica el que existan momentos en los extremos de las barras pertenecientes a dicha tipología estructural y por tanto la dimensión del vector cargas será de 12 x 1. En la ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura . P = Vector cargas en los nudos de la estructura . d = Vector desplazamientos de los nudos de la estructura. Explicitamos la relación entre el sistema de cargas en los nudos de la estructura y el sistema de desplazamientos o movimientos en los nudos de dicha estructura, en nuestro caso de nudos rígidos y podemos ver cómo una vez definido y calculado el vector de cargas, se puede calcular el vector de desplazamientos o movimientos de los extremos.

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Seguidamente vamos a concretar la expresión del vector de carga equivalente, en el caso de las estructuras espaciales de nudos rígidos.

2. OBTENCIÓN DEL VECTOR CARGA EQUIVALENTE EN UNA ESTRUCTURA ESPACIAL CON NUDOS RÍGIDOS La dimensión de los vectores carga en nudos, para el caso de estructuras espaciales de nudos rígidos, será : 6xN , siendo N el número de nudos (no vinculados) de la estructura. por cuanto son posibles las siguientes solicitaciones en cualquiera de los nudos:  

Fuerza en cualquier dirección del espacio.(3 componentes) Momento en cualquier dirección del espacio.(3 componentes)

En la ecuación matricial siguiente :

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura . P = Vector cargas en los nudos de la estructura . d = Vector desplazamientos de los nudos de la estructura. Vemos que el vector cargas es en nudos y por tanto para el caso de cargas distribuidas en barras tenemos que aplicar el procedimiento que vamos a describir seguidamente. Denominamos vector carga equivalente al vector de cargas en nudos que presenta igual vector desplazamiento que el de cargas reales (puntuales y distribuidas) que actúan sobre el conjunto de las barras que forman la estructura espacial. Podemos decir que es un vector de cargas instrumental que nos permite utilizar la metodología matricial para obtener el sistema de desplazamientos de los nudos de una estructura sometida a cargas distribuidas en barras. Recordamos que hablamos de los siguientes sistemas de cargas: 1. Sistema de carga real: Se corresponde con las cargas tal y como actúan sobre la estructura. 2. Sistema de cargas de empotramiento: Será el formado por las reacciones que se generan en los nudos de una estructura cuando se procede a empotrar los extremos de las barras que forman dicha estructura, debido a la actuación del sistema de cargas real. 3. Sistema de cargas equivalente que será el sistema de cargas en

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Vector carga equivalente

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nudos de la estructura que produce el mismo vector desplazamientos de la estructura que el sistema de cargas real. La diferencia está en que el sistema de cargas equivalente es un sistema de cargas en nudos, no de cargas distribuidas en las barras que forman la estructura y ello implica el que se pueda introducir en la ecuación matricial antes indicada. Remitimos al apartado 8-2 para comprender el concepto del vector carga equivalente que hemos desarrollado en el citado apartado. Aunque en el apartado 8-2 está aplicado al caso de estructuras planas de nudos rígidos, con cargas distribuidas en barras, el concepto del vector carga equivalente es el mismo para el caso de estructuras espaciales de nudos rígidos con cargas distribuidas en las barras. Recordamos que el procedimiento para obtener el vector carga equivalente es: 1- Obtenemos los valores de empotramiento perfecto en los extremos de las barras sometidas a cargas distribuidas. 2- El sistema de fuerzas y momentos consecuencia de haber introducido el empotramiento en los extremos de barras constituye el vector carga de empotramiento. 3- El vector carga equivalente estará constituido por el vector carga de empotramiento cambiado de signo. 4- Finalmente, aplicamos la ecuación matricial siguiente, para obtener el vector desplazamiento en nudos de la estructura :

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura . P = Vector cargas equivalente en los nudos de la estructura . d = Vector desplazamientos de los nudos de la estructura. Vamos a concretar la exposición sobre la obtención del vector carga equivalente de una estructura espacial de nudos rígidos con cargas distribuidas en las barras al caso de la estructura de la figura siguiente.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En la figura anterior podemos ver una estructura espacial pórtico con dos cargas distribuidas sobre las barras: b

500 kg/m vertical y hacia abajo

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c

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500 kg/m vertical y hacia abajo

El sistema de ejes locales de cada barra se definirá como sigue:  



El eje XL coincide con la directriz de la barra. El plano XL, YL coincide con el plano en que actúa la carga vertical anteriormente referida ( 500 Kg/m) de las barras. El eje ZL será lógicamente perpendicular al plano definido por XL, YL en cada barra.

Si empotramos los extremos de la barra c, tendremos los siguientes valores de empotramiento en módulo: Pz = 500 . 5 / 2 = 1250 kg M = 500 . 52 / 12 = 1041,7 mkg Pasamos ahora a la barra b y calculamos la longitud de dicha barra : L = 7,35 Calculamos la proyección de la carga distribuida sobre la barra b, en dirección perpendicular a la directriz, en un plano vertical, y será: p = 500 . Cos 35,3 = 408 kg/m Si empotramos los extremos de la barra b, tendremos los siguientes valores de empotramiento en módulo: Pz = 500 . 7,35 / 2 = 1837,5 kg M = 408 . 7,352 / 12 = 1836,8 mkg En el vector carga equivalente de la estructura de la figura solamente habremos de incluir el nudo C, ya que el resto de los nudos son empotramientos y carecen por tanto de desplazamientos, razón por la cual no aparecen en la expresión de la matriz simbólica de la matriz de rigidez. Dado que el sistema a utilizar para expresar el vector carga equivalente en nudos es el de coordenadas globales y que el sistema de cargas es vertical, de dirección la del eje ZG, la componente en fuerza del vector carga equivalente será: - 1250 - 1837 = - 3087,5 kg La componente en momento del vector carga equivalente en nudos será: Por la barra c : - 1041, 7 mkg (dirección XG) Por la barra b : El versor dirección del eje ZL de la barra b es:

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Vector carga equivalente

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μbz = 0,86 i +0,5 j y por tanto tendremos que el momento correspondiente a la barra b será: 0,86 . 1836,8 i + 0,5 . 1836,8 j = 1580 i + 918 j En base a lo anterior tendremos que el valor correspondiente al momento del vector carga equivalente en el nudo C será: Mc = (1580 - 1041,7 ) i + 918 j = 538 i + 918 j Y por tanto el vector carga equivalente valdrá :

Recordamos que tal vector se aplica en el nudo C. Remitimos al apartado 10-2 para completar el contenido de este apartado en lo referente a la determinación del sistema de ejes locales en las estructuras espaciales. subir

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10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5-Vector carga equivalente| 10.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6-Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación | 10 .6.- Determinación de desplazamientos y giros

1. INTRODUCCIÓN 2. DETERMINACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS Y GIROS DE UNA ESTRUCTURA ESPACIAL CON NUDOS RÍGIDOS

Detalle de entramado metálico y de muro cortina en el pabellón de Canarias Expo92 (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras espaciales y dentro de esa tipología nos centramos en aquellas cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos rígidos. En apartados anteriores hemos obtenido:  

La expresión de la matriz de rigidez de las estructuras espaciales de nudos rígidos. El vector carga equivalente en nudos, en el caso de estructuras espaciales.

En la exposición que hacemos en este apartado vamos a aplicar esos conocimientos como cálculos previos necesarios para poder obtener el vector desplazamiento o movimiento de una estructura espacial de nudos rígidos. Cuando aplicamos el método de la rigidez utilizamos la ecuación matricial:

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura, en coordenadas globales. P = Vector de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Vector de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Luego:

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Determinación de desplazamientos y giros

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Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y aplicado el vector de carga equivalente que actúa sobre los nudos de dicha estructura, podemos calcular el vector desplazamiento en nudos. En este apartado vamos a referirnos al procedimiento de cálculo del vector desplazamiento en nudos de una estructura espacial de barras de nudos rígidos. Es importante recordar que en la matriz de rigidez de la estructura hemos incluido solamente los nudos susceptibles de desplazamientos, lo cual en el caso de estructuras espaciales de nudos rígidos significa desplazamiento en los ejes x, y, z en el sistema de coordenadas globales y giro alrededor de los ejes x, y, z. El vector de cargas a utilizar en la ecuación matricial anterior será lógicamente en el sistema de coordenadas globales, en coherencia con la expresión de la matriz de rigidez de la estructura. En esta tipología estructural, las barras se encuentran sometidas a solicitaciones de axiles, cortantes, flectores y torsores. Ello implica que lo que obtendremos en cuanto a desplazamientos de los nudos de la estructura estará expresado igualmente en coordenadas globales. Vemos según lo anterior que el proceso para obtener el vector desplazamiento en nudos pasa por obtener la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas que actúa sobre dicha estructura. Entenderemos como desplazamiento el cambio de posición de una sección, entendiendo como tal su posicionamiento y el ángulo girado y, por tanto, el término tiene un sentido más amplio que el propio de una traslación, razón por la que utilizaremos también el término: movimiento. Tratamos, por tanto, a la rebanada como un sólido de espesor diferencial y área la sección transversal de la barra y definimos su posición en el plano por un punto y un ángulo. El término deformación se corresponde con la variación de forma que se produce en las barras, como consecuencia de estar sometidas a un determinado estado de cargas. Hemos de tener siempre presente que nos vamos a referir en este apartado a estructuras que están contenidas en el espacio, lo cual implica que las barras que forman la estructura no presentan más restricción en su forma que la de ser de directriz recta. En cuanto al sistema de cargas que actúa sobre tal tipología estructural tampoco presenta restricción alguna, dado que puede estar constituida por fuerzas puntuales o distribuidas, así como por momentos de cualquier dirección, tanto en las barras como en los nudos. Las estructuras que estamos tratando se encuentran sometidas, generalmente, a sistemas de cargas contenidos en un plano vertical como sucede con las cargas gravitatorias.

2. DETERMINACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS Y GIROS DE UNA ESTRUCTURA ESPACIAL CON NUDOS RÍGIDOS Para ilustrar el desarrollo del contenido de este apartado nos vamos a referir a una estructura espacial concreta de nudos rígidos que vemos en la figura siguiente

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En el apartado anterior hemos desarrollado el cálculo del vector carga equivalente en nudos que se produce por la actuación del sistema de cargas distribuidas que actúa sobre la estructura de 500 Kg/m vertical, hacia abajo- sobre las barras b y c.

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Determinación de desplazamientos y giros

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Sabemos que dicho vector de carga en nudos será el que nos permitirá obtener el vector desplazamiento en nudos, en coordenadas globales. El vector carga equivalente a aplicar en el nudo C vale :

En cuanto al vector desplazamiento o movimiento de la estructura en cuestión, hemos de considerar que si las barras están vinculadas en sus extremos mediante empotramiento elástico, tales desplazamientos o movimientos se corresponderán con: 1. Los alargamientos-acortamientos, coherentes con las solicitaciones de traccióncompresión. 2. Los giros derivados de las solicitaciones de flexión y torsión a que se encuentran sometidas las barras. El vector desplazamientos en nudos de la estructura será de dimensión 6 x 1, ya que únicamente el nudo C presenta desplazamiento y giro, en los tres ejes globales. El vector desplazamiento será el correspondiente a los seis grados de libertad, del único nudo deformable, de la estructura en cálculo. Hemos de señalar que a lo largo del apartado que estamos desarrollando , nos ceñimos al caso de barras de sección constante, A, de manera que el valor de la sección de cada una de las barras es el mismo, en toda la longitud (L) de cada barra así como el valor de los momentos de inercia ( I, Iz ) y del momento polar de Inercia ( Ip ). Por supuesto estamos contemplando solamente el caso de material homogéneo, como es normal en las estructuras metálicas, de forma que el valor de E (módulo de Elasticidad) y del módulo de deformación angular ( G ) es también constante para todas las secciones de las barras. Sustituyendo los valores de la matriz de rigidez (de orden 6x6) y del vector de carga en nudos en la ecuación matricial siguiente

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

podemos obtener el vector desplazamiento en nudos en coordenadas globales. En la figura siguiente podemos ver la matriz de rigidez de la estructura en cuestión.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

El vector desplazamientos en nudos de la estructura será:

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Determinación de desplazamientos y giros

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Al sustituir en la ecuación matricial anterior el valor de la matriz de rigidez y el del vector carga equivalente, antes referidos, obtendremos el vector correspondiente al desplazamiento de la estructura, cuyos valores vemos en la figura siguiente.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En esta tipología estructural es importante la ayuda que supone el cálculo por ordenador, ya que el sistema de ecuaciones a resolver para la obtención del vector desplazamientos en nudos de una estructura tendrá: 6 x N ecuaciones con 6 x N incógnitas, siendo N el número de nudos con desplazamiento de la estructura.

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10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6-Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación |

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Vector de esfuerzos de barras en locales

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 10.7-Vector de esfuerzos de barras en locales| 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación | 10 .7.- Vector de esfuerzos de barras en locales

1. INTRODUCCIÓN 2. VECTOR DE ESFUERZOS DE BARRAS EN LOCALES EN UNA ESTRUCTURA ESPACIAL CON NUDOS RÍGIDOS

Detalle de la cubierta de madera sobre estructura de hormigón armado. Pabellón de la navegación - Expo92 - (Sevilla)

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras espaciales formadas por barras y dentro de esa tipología nos centramos en aquellas cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos. Cuando aplicamos el método de la rigidez utilizamos la ecuación matricial:

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura, en coordenadas globales. P = Vector de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Vector de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Luego una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y aplicado el vector de cargas que actúa sobre los nudos de dicha estructura, podemos calcular el vector desplazamiento en nudos. Es importante recordar que en la matriz de rigidez de la estructura hemos incluido solamente los nudos susceptibles de desplazamientos, lo cual en el caso de estructuras espaciales de nudos rígidos significa desplazamiento en los ejes x, y, z así como giro en los ejes x, y, z ,en el sistema de coordenadas globales.

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El vector de cargas a utilizar en la ecuación matricial anterior será lógicamente en el sistema de coordenadas globales, en coherencia con la expresión de la matriz de rigidez de la estructura. Ello implica que lo que obtendremos en cuanto a desplazamientos de los nudos de la estructura estará expresado igualmente en coordenadas globales. En este apartado vamos a referirnos al procedimiento de cálculo de los esfuerzos en barras de una estructura espacial de nudos rígidos. Los esfuerzos en barras en el caso de estructuras espaciales de nudos rígidos con cargas puntuales en nudos o en barras y distribuidas en barras, se corresponden con los axiles (en componente x local), cortantes (en componentes y, z local ), flectores (en componentes y, z local ) y torsores (en componente x local). Es por tanto lógico que expresemos los esfuerzos en barras utilizando el sistema de coordenadas locales, ya que en dicho sistema de coordenadas se identifica el tipo de solicitación en referencia al eje en el que actúa. En apartados anteriores hemos obtenido:   

La expresión de la matriz de rigidez de las estructuras espaciales de nudos rígidos. El vector carga equivalente en nudos, en el caso de estructuras espaciales. El vector desplazamientos en nudos, en el caso de estructuras espaciales.

En la exposición que hacemos en este apartado vamos a aplicar esos conocimientos como cálculos previos necesarios para poder obtener el vector de esfuerzos de barras, en coordenadas locales, de una estructura espacial de nudos rígidos. Hemos de tener siempre presente que nos vamos a referir en este apartado a estructuras que están contenidas en el espacio, lo cual implica que las barras que forman la estructura no presentan más restricción en su forma que la de ser de directriz recta. En cuanto al sistema de cargas que actúa sobre tal tipología estructural tampoco presenta restricción alguna, dado que puede estar constituida por fuerzas puntuales o distribuidas, así como por momentos de cualquier dirección, tanto en las barras como en los nudos. Las estructuras que estamos tratando se encuentran sometidas, generalmente, a sistemas de cargas contenidos en un plano vertical como sucede con las cargas gravitatorias.

2. VECTOR DE ESFUERZOS DE BARRAS EN LOCALES EN UNA ESTRUCTURA ESPACIAL CON NUDOS RÍGIDOS Para ilustrar el desarrollo del contenido de este apartado nos vamos a referir a una estructura espacial concreta de nudos rígidos que vemos en la figura siguiente.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En el apartado anterior hemos desarrollado el cálculo del vector carga equivalente en nudos que se produce por la actuación del sistema de cargas distribuidas que actúa sobre la estructura de 500 Kg/m -vertical, hacia abajo- sobre las barras b y c. Sabemos que dicho vector de carga en nudos será el que nos permitirá obtener el vector desplazamiento en nudos, en coordenadas globales. El vector carga equivalente a aplicar en el nudo C vale :

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En cuanto al vector desplazamiento o movimiento de la estructura en cuestión vale :

Hemos obtenido, por tanto, el vector movimiento en nudos de la estructura, en globales y para poder calcular los esfuerzos en barras necesitamos también los valores de las matrices K de las barras en locales y las matrices de transformación. Sabemos que las solicitaciones en barras (axiles, cortantes, flectores y torsores) tienen una referencia con los sistemas de ejes locales. Las matrices de rigidez de las barras se expresan también en los sistemas de coordenadas locales. Por lo anterior se hace necesario establecer la relación entre los vectores desplazamiento expresados en coordenadas locales y globales, para poder obtener las solicitaciones en las barras y que es la siguiente: { dL } = { T }T . { dG } Necesitaremos utilizar esta relación para obtener los desplazamientos en los extremos de barras, en el sistema de ejes local y así calcular las solicitaciones en las barras, expresadas en el sistema de coordenadas locales. La matriz de transformación, { T } , nos va a servir para resolver este proceso de cambio y relación entre los sistemas de coordenadas locales y globales, en este caso para los desplazamientos. En nuestra estructura concreta se cumple que : {d1a } = {d1b } = {d2c} = 0

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por ser la vinculación exterior en los nudos mediante empotramientos. Por las condiciones de vinculación interior entre las barras, que confluyen en el nudos C , en la estructura en estudio se cumple que: {d2a } = {d2b } = {d1c } = {dC } ya que el extremo 2 de la barra a, el extremo 2 de la barra b y el extremo 1 de la barra c, forman el nudo C. Utilizando las ecuaciones matriciales de estado, expresadas en el sistema de coordenadas locales que siguen : P1 = K11 d1 + K12 d2 P2 = K21 d1 + K22 d2 Que se obtienen desarrollando la ecuación matricial siguiente :

pasamos a obtener los esfuerzos en barras en el caso concreto de nuestra estructura de referencia. Barra a En el extremo 1, que coincide con el nudo A (1), vínculo exterior, el vector solicitación en la barra a, por el movimiento del nudo C (3), será:

La submatriz de rigidez vale:

La matriz traspuesta de la de transformación de la barra a vale:

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y el vector desplazamientos será el expuesto anteriormente. En el extremo 2, de la barra a, que coincide con el nudo C (3), el vector solicitación en la barra a, por el movimiento del nudo C (3) será:

En el vector esfuerzo obtenido, el primer valor se corresponde con el axil (kg), el segundo y el tercero con el cortante (kg), el cuarto con el torsor (cm.kg) y los valores quinto y sexto con los flectores, en el extremo 2 - nudo C(3) - de la barra a. El valor de la submatriz de rigidez vale:

Los valores de la matrices correspondientes a la matriz de transformación y al vector desplazamientos son los mismos que en el cálculo anterior correspondiente al extremo 1 de la barra a. Barra b En el extremo 1, que coincide con el nudo B (2), vínculo exterior, el vector solicitación en la barra b, por el movimiento del nudo C (3), será:

La submatriz de rigidez vale:

La matriz traspuesta de la de transformación de la barra b vale:

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y el vector desplazamientos será el expuesto anteriormente. En el extremo 2, de la barra b, que coincide con el nudo C (3), el vector solicitación en la barra b, por el movimiento del nudo C (3) será:

En el vector esfuerzo obtenido, el primer valor se corresponde con el axil (kg), el segundo y el tercero con el cortante (kg), el cuarto con el torsor (cm.kg) y los valores quinto y sexto con los flectores, en el extremo 2 - nudo C(3) - de la barra a. El valor de la submatriz de rigidez vale:

Los valores de la matrices correspondientes a la matriz de transformación y al vector desplazamientos son los mismos que en el cálculo anterior correspondiente al extremo 1 de la barra b. Barra c En el extremo 2, que coincide con el nudo D (4), vínculo exterior, el vector solicitación en la barra c, por el movimiento del nudo C (3), será:

La submatriz de rigidez vale:

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La matriz traspuesta de la de transformación de la barra c vale:

y el vector desplazamientos será el expuesto anteriormente. En el extremo 1, de la barra c, que coincide con el nudo C (3), el vector solicitación en la barra c, por el movimiento del nudo C (3) será:

En el vector esfuerzo obtenido, el primer valor se corresponde con el axil (kg), el segundo y el tercero con el cortante (kg), el cuarto con el torsor (cm.kg) y los valores quinto y sexto con los flectores, en el extremo 2 - nudo C(3) - de la barra a. El valor de la submatriz de rigidez vale:

Los valores de la matrices correspondientes a la matriz de transformación y al vector desplazamientos son los mismos que en el cálculo anterior correspondiente al extremo 1 de la barra c. Para obtener las solicitaciones en las barras habremos de sumar: 

 

Los esfuerzos obtenidos mediante la aplicación de las ecuaciones anteriormente expuestas, derivados de los desplazamientos de los nudos. Los esfuerzos de empotramiento en los extremos de barras. Los esfuerzos derivados de las cargas distribuidas en barras, vinculadas isostáticamente.

Vamos a completar los contenidos sobre solicitaciones en barras, en estructuras espaciales de nudos rígidos aquí iniciados, con los apartados siguientes. subir

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10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 10.7-Vector de esfuerzos de barras en locales| 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.-Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8-Reacciones en vínculos| 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación | 10 .8.- Reacciones en vínculos

1. INTRODUCCIÓN 2. ESFUERZOS EN LOS EXTREMOS DE BARRAS (CONTINUACIÓN) 3. LAS REACCIONES EN LOS VÍNCULOS EXTERIORES DE UNA ESTRUCTURA ESPACIAL CON NUDOS RÍGIDOS

Detalle de la estructura de la cúpula (intradós y extradós) del cine Omnimax - Expo'92 - Sevilla

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras espaciales y dentro de esa tipología nos centramos en aquellas cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos. Cuando aplicamos el método de la rigidez utilizamos la ecuación matricial:

{P}={K}·{d}

{d}= {K}-1·{P}

donde: K = Matriz de rigidez de la estructura, en coordenadas globales. P = Vector de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Vector de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Luego una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y aplicado el vector de carga equivalente, en coordenadas globales, que actúa sobre los nudos de dicha estructura, podemos calcular el vector desplazamiento en nudos, en coordenadas globales.

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En este apartado vamos a referirnos al procedimiento de cálculo de los esfuerzos en barras de una estructura espacial de nudos rígidos, específicamente en los vínculos exteriores. Recomendamos revisar previamente el apartado 10-7, donde también nos referimos al cálculo de los esfuerzos en las barras de una estructura espacial de nudos rígidos. Hemos visto anteriormente que los esfuerzos en barras en el caso de estructuras espaciales de nudos rígidos con cargas puntuales en nudos o en barras y distribuidas en barras, se corresponden con los axiles, cortantes, flectores y torsores y por ello es lógico que expresemos los esfuerzos en barras utilizando el sistema de coordenadas locales. El procedimiento es análogo al caso de estructuras planas de nudos rígidos, salvando las particularidades que suponen la diferente expresión de las matrices de rigidez de las barras, las matrices de transformación y el vector desplazamientos pertenecientes a estructuras espaciales de nudos rígidos. Hemos de tener siempre presente que nos vamos a referir en este apartado a estructuras que están contenidas en el espacio, lo cual implica que las barras que forman la estructura no presentan más restricción en su forma que la de ser de directriz recta y de sección constante. En cuanto al sistema de cargas que actúa sobre tal tipología estructural tampoco presenta restricción alguna, aunque generalmente las estructuras que estamos tratando se encuentran sometidas a sistemas de cargas contenidos en un plano vertical como sucede con las cargas gravitatorias. En este apartado vamos a realizar lo siguiente: 



Continuar con la obtención de los esfuerzos en los extremos de las barras de una estructura espacial de nudos rígidos. Referir el caso de la determinación de las reacciones.

2. ESFUERZOS EN LOS EXTREMOS DE BARRAS (CONTINUACIÓN) Para una mayor continuidad y concreción en este apartado nos vamos a referir a la estructura que hemos utilizado como ejemplo de aplicación en el apartado anterior (10-7), que vemos en la figura siguiente.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En apartados anteriores: 





- Hemos procedido a empotrar los extremos de las barras de la estructura y calculado el vector carga equivalente en nudos. - Hemos sustituido en la ecuación matricial de la estructura y hemos obtenido el vector desplazamientos. - Hemos obtenido los esfuerzos en barras derivados de los desplazamientos. Nota: la operatoria manual puede introducir inexactitudes apreciables debido al margen de error que introducen las aproximaciones, al multiplicar valores muy pequeños desplazamientos y giros - por valores muy grandes -en la matriz de rigidez .

En la barra a, en el extremo 1, tendremos el resultado siguiente :

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El valor de la solicitación en el extremo 1 de la barra a, que se corresponde con el nudo A(1), será (operando lo anterior):

Hemos expresado el vector esfuerzo obtenido, donde el primer valor se corresponde con el axil (kg), el segundo con el cortante en y (kg), el tercero con el cortante en z (kg) , el cuarto con el torsor (cm.kg), el quinto con el flector en y (cm.kg) y el sexto con el flector en z (cm.kg), en el extremo de barra correspondiente. En la barra b, en el extremo 1, que se corresponde con el nudo B (2) de la estructura, tendremos el resultado siguiente :

El valor de la solicitación en el extremo 1 de la barra b, que se corresponde con el nudo B, será (operando lo anterior):

En la barra c, en el extremo 2, que se corresponde con el nudo D(4) de la estructura, tendremos el resultado siguiente :

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El valor de la solicitación en el extremo 2 de la barra c, que se corresponde con el nudo D, será (operando lo anterior):

Hemos expresado los correspondientes vectores solicitación obtenidos, donde el primer valor se corresponde con el axil (kg), el segundo con el cortante en y (kg), el tercero con el cortante en z (kg) , el cuarto con el torsor (cm.kg), el quinto con el flector en y (cm.kg) y el sexto con el flector en z (cm.kg), en el extremo de barra correspondiente. El sistema de esfuerzos que hemos calculado anteriormente, donde la unidad de las fuerzas es en kg y la de los momentos es en cm.kg, es tal que la estructura en cuestión presenta el mismo movimiento en los nudos que la estructura sometida al sistema de cargas real. Hemos de recordar que para el cálculo de los movimientos en los nudos la estructura la hemos sometido al sistema de carga equivalente en nudos, que se corresponde con el sistema de cargas de empotramiento cambiado de signo. El sistema de cargas de empotramiento lo obtenemos cuando actúa el sistema de cargas real y empotramos los extremos de barras. Hemos obtenido por tanto el sistema de esfuerzos que corresponde al sistema de cargas de empotramiento cambiado de signo. Por ello, para la determinación del sistema de esfuerzos que actúa sobre el conjunto de barras que forman la estructura tendremos que superponer:  

El sistema de esfuerzos de la solicitación : cargas + empotramiento El sistema de cargas derivado de los desplazamientos

El sistema de cargas derivado de los desplazamientos es el que hemos obtenido anteriormente y por ello vamos a sumarle los correspondientes a la carga de empotramiento, en los extremos de barras que se ubican en las vinculaciones exteriores. En la barra a, en el extremo 1, nudo A, tendremos el resultado siguiente :

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ya que la barra a no tiene carga alguna. Hemos sumado los vectores ya que ambos están en coordenadas locales. En la barra b, en el extremo 1, nudo B, tendremos el resultado siguiente : En la dirección del eje XL : 500.Sen 35,3. 7,35 / 2 = 1062 kg En la dirección del eje YL : 500.Cos 35,3. 7,35 / 2 = 1499 kg En la dirección del eje ZL : 500.Cos 35,3. 7,352 / 12 = 183680 cmkg

Hemos sumado los vectores ( desplazamiento y de empotramiento ) ya que ambos están en coordenadas locales. En la barra c, en el extremo 2, nudo D, tendremos el resultado siguiente : En la dirección del eje XL : 0 kg En la dirección del eje YL : 500.5 / 2 = 1250 kg En la dirección del eje ZL : -500. 52 / 12 = -104166 cmkg

3. LAS REACCIONES EN LOS VÍNCULOS EXTERIORES DE UNA ESTRUCTURA ESPACIAL CON NUDOS RÍGIDOS Nudo A Reacción en el nudo A: Las reacciones se expresan en el sistema de coordenadas globales y por ello utilizaremos la expresión matricial siguiente, para pasar el vector esfuerzos en el extremo 1 de la barra a, de locales a globales: { RA } = { PaG } = { Ta } . { PaL }

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Nudo B Reacción en el nudo B: Pasamos a coordenadas globales para obtener la reacción en el nudo B, el vector solicitación en el extremo 1 de la barra, mediante la ecuación matricial: { RB } = { PbG } = { Tb } . { PbL }

Nudo D Reacción en el nudo D: Pasamos a coordenadas globales para obtener la reacción en el nudo D: { RD } = { PcG } = { Tc } . { PcL }

Hemos visto que las reacciones en los vínculos se producirán en los nudos A (1), B (2), D (4). Tales vínculos se corresponden con : Empotramiento en A (1) ..... Nudo inicial (1) de la barra a Empotramiento en B (2) ..... Nudo inicial (1) de la barra b Empotramiento en D (4) ..... Nudo final (2) de la barra c Dado que en tales vínculos exteriores solamente hay una barra podemos utilizar el sistema de coordenadas locales ya que no hay que efectuar la suma de las solicitaciones de los extremos de barras que confluyen en tal vínculo. En el caso de que haya varias barras que confluyen en el vínculo habremos de expresar en globales las solicitaciones en los extremos de las barras y sumarlas.

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10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.- Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8-Reacciones en vínculos| 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11.- Ejercicios de autoevaluación |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.-Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9-Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones| 10.10.- Actividades | 10.11.Ejercicios de autoevaluación | 10 .9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones

1. INTRODUCCIÓN 2. INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS: DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES

Maqueta del Palenque - Expo'92 - Sevilla

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado al caso de estructuras espaciales y dentro de esa tipología nos centramos en aquellas estructuras cuyas barras se encuentran unidas entre sí mediante nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos. Sería de interés revisar previamente los apartados anteriores, (10-7 y 10-8) con los que presenta relación ya que en dichos apartados se describe el cálculo de esfuerzos en los extremos de las barras y las reacciones en los vínculos exteriores de la estructura (reacciones). Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura espacial y aplicado el vector de cargas equivalente que actúa sobre los nudos de dicha estructura, podemos calcular el vector desplazamiento en nudos de la estructura.

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Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones

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En este apartado vamos a referirnos a la interpretación de los resultados obtenidos mediante el procedimiento de cálculo matricial de los esfuerzos en barras de una estructura espacial de barras de nudos rígidos. En cuanto al sistema de cargas que actúa sobre tal tipología estructural no presenta restricción alguna, aunque generalmente las estructuras que estamos tratando se encuentran mayoritariamente sometidas a sistemas de cargas contenidos en un plano vertical como sucede con las cargas gravitatorias. La única restricción es que las barras sean de directriz recta y de sección constante. En los apartados anteriores hemos obtenido, para el caso que estamos analizando de estructuras espaciales de nudos rígidos: 





Los vectores esfuerzos en los extremos de las barras, derivados de los desplazamientos de los nudos, a través de las ecuaciones de estado de las barras. Los desplazamientos en las barras se han obtenido sometiendo a la estructura al sistema de cargas equivalente. Los vectores esfuerzos en los extremos de las barras, derivados de empotrar los extremos de las barras y someter dichas barras al sistema de cargas reales que actúa sobre las mismas. Los vectores esfuerzos en los extremos de las barras totales. Los hemos obtenido mediante la superposición de los dos anteriormente citados.

Una vez obtenidos los esfuerzos en los extremos de las barras mediante la aplicación del método matricial, habremos de obtener los diagramas de solicitaciones en barras, de forma que nos permita el dimensionamiento de las barras que forman la estructura espacial, atendiendo a las solicitaciones críticas que se producen en las barras. Es decir: Hemos obtenido a lo largo de los apartados anteriores el valor de los vectores solicitación en los extremos de las barras que forman la estructura espacial pero realmente lo que necesitamos, para dimensionar tales barras, son las solicitaciones máximas en cada barra y ello se producirá en las secciones críticas en cada barra. Dichas secciones críticas no tienen por qué estar siempre en los extremos de las barras y por tanto habremos de obtener los diagramas de solicitación en las barras para poder determinar las secciones críticas. Por otro lado hemos visto anteriormente que los esfuerzos en barras en el caso de estructuras espaciales de nudos rígidos con cargas puntuales en nudos o en barras y distribuidas en barras, se corresponden con los axiles, cortantes, flectores y torsores y por ello es lógico que expresemos los esfuerzos en barras utilizando el sistema de coordenadas locales. En base a lo anterior llegamos a la conclusión de que necesitaremos obtener los Diagramas de solicitaciones de cada barra que forma la estructura espacial, lógicamente en coordenadas locales.

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Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones

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Precisaremos por tanto los diagramas de Axiles, Cortantes en ejes y,z (locales) , Momentos flectores en y,z (locales) y Momentos torsores.

2. INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS: DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES Para una mayor continuidad y concreción en este apartado nos vamos a referir a la estructura que hemos utilizado como ejemplo de aplicación en los apartados anteriores (10-7; 10-8), que vemos en la figura siguiente.

( Pulse sobre la imagen para ampliar)

En apartados anteriores hemos obtenido las solicitaciones en los extremos de las barras y en este apartado vamos a describir el procedimiento para obtener el Diagrama de solicitaciones. El procedimiento general consiste en: 1- Obtener el Diagrama de Solicitación Isostático de cada barra. 2- Superponer dicho Diagrama con los diagramas derivados de las solicitaciones en los extremos que hemos calculado anteriormente. Como ejemplo vamos a calcular los diagramas isostáticos de Momentos Flectores en z local . Estarán constituidos, para cada barra, por una parábola de valores máximos los siguientes: En la barra c : q.L2 / 8 = 500. 25 / 8 = 1562,5 mkg En la barra b : q.L2 / 8 = 500. Cos 35,3. 7,352 / 8 = 2755 mkg En la barra a : No hay cargas distribuidas y por tanto no hay diagrama de momentos isostáticos. Por tanto el Diagrama de flectores totales se obtiene superponiendo: 1- El diagrama de flectores en los extremos, formado por la suma de los momentos derivados del desplazamiento y los momentos de empotramiento. 2- El diagrama de flectores isostático.

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En cuanto a los diagramas de axiles, debido al tipo de carga que actúa (carga distribuida de valor constante) los diagramas de axiles se obtendrán uniendo con una recta los valores de axiles obtenidos anteriormente en cada extremo de la barra. En cuanto a los diagramas de cortantes, en eje y, debido al tipo de carga que actúa ( carga distribuida de valor constante ) los diagramas de Cortantes se obtendrán uniendo con una recta los valores de Cortantes obtenidos anteriormente en cada extremo de la barra. En cuanto a los Momentos Torsores, en nuestro caso, son de valor constante en toda la barra, ya que los Momentos torsores que se producen aparecen exclusivamente en los extremos de barras y solamente en algunas barras. En cuanto a los Momentos Flectores en y, en nuestro caso, son de valor constante en toda la barra, ya que los Momentos torsores que se producen aparecen exclusivamente en los extremos de barras y solamente en algunas barras.

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10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9-Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones| 10.10.- Actividades | 10.11.Ejercicios de autoevaluación |

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Actividades

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.-Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10-Actividades| 10.11.- Ejercicios de autoevaluación | 10 .10.- Actividades

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10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10-Actividades| 10.11.- Ejercicios de autoevaluación |

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Ejercicios de autoevaluación

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.-Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos 11.- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador| 10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11-Ejercicios de autoevaluación| 10 .11.- Ejercicios de autoevaluación

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10.1.- Definición topológica y notación | 10.2.- Matrices de transformación | 10.3.- Matriz de rigidez de una barra en globales | 10.4.- Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura espacial | 10.5.- Vector carga equivalente | 10.6.Determinación de desplazamientos y giros | 10.7.- Vector de esfuerzos de barras en locales | 10.8.- Reacciones en vínculos | 10.9.- Interpretación de resultados: Diagramas de solicitaciones | 10.10.- Actividades | 10.11-Ejercicios de autoevaluación|

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Introducción al cálculo de estructuras por ordenador

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador 11.1.- Generalidades | 11.2.- Definición topológica de estructuras en software | 11.3.- Entrada de datos necesarios: secuenciación | 11.4.- Presentación de pantallas de datos y resultados | 11.5.- Diagramas básicos de flujo para la realización de software | 11.6.- Actividades | 11 .- Introducción al cálculo de estructuras por ordenador

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS POR ORDENADOR    

OBJETIVOS RESUMEN DEL TEMA ÍNDICE DE CONTENIDOS RECORRIDOS

RESUMEN DEL TEMA Este Tema consta fundamentalmente de los siguientes bloques: Bloque N◙1 : Generalidades Se trata de exponer las posibilidades del cálculo de estructuras por ordenador, ventajas e inconvenientes, etc. También se trata de informar sobre las características de los programas comerciales de cálculo de estructuras de que se dispone en la asignatura. Bloque N◙2 : Características generales del software comercial sobre cálculo de estructuras Se trata de desarrollar de forma general e introductoria algunas de las características más reseñables de este tipo de software: definición topológica de una estructura, entrada y salida de datos, pantallas, etc. Bloque N◙3 : Características del software docente sobre cálculo de estructuras En este bloque informamos sobre los objetivos, el interés, las aplicaciones, así como los trabajos realizados y en curso sobre esta línea de trabajo desarrollada en la asignatura de cálculo de estructuras. INDICE DE CONTENIDOS 1. 2. 3. 4.

Generalidades. Definición topológica de estructuras en software. Entrada de datos necesarios: secuenciación. Presentación de pantallas de datos y resultados.

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5. Diagramas básicos de flujo para la realización de software. 6. Actividades. 6.1. - Casos prácticos de aplicación. subir

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11.1.- Generalidades | 11.2.- Definición topológica de estructuras en software | 11.3.- Entrada de datos necesarios: secuenciación | 11.4.- Presentación de pantallas de datos y resultados | 11.5.- Diagramas básicos de flujo para la realización de software | 11.6.- Actividades |

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador 11.1-Generalidades| 11.2.- Definición topológica de estructuras en software | 11.3.- Entrada de datos necesarios: secuenciación | 11.4.- Presentación de pantallas de datos y resultados | 11.5.- Diagramas básicos de flujo para la realización de software | 11.6.- Actividades | 11 .1.- Generalidades

1. INTRODUCCIÓN 2. GENERALIDADES

Detalle de la cúpula del Pabellón de España, en fase de montaje Expo(92) - Sevilla 1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado a la correcta utilización del ordenador en el cálculo de estructuras. Las características del ordenador como herramienta de cálculo numérico y las características del cálculo de estructuras, que precisan de una gran cantidad de operaciones han hecho que la utilización del ordenador para el cálculo de estructuras sea frecuente. Hemos de utilizar el ordenador como una herramienta de cálculo pero siempre bajo el control nuestro, ya que la responsabilidad de los daños que puedan aparecer en las edificaciones, como consecuencia de fallos estructurales no es nunca del ordenador sino del técnico competente autor del proyecto. Por tanto hemos de conocer bien las características del software utilizado, las simplificaciones que utiliza, la metodología del cálculo, etc.

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También es necesario un buen concepto estructural acerca del comportamiento físico de las estructuras y de los procedimientos de análisis estructural, de forma que podamos desarrollar adecuadamente las fases de diseño estructural y de comprobaciones de los resultados de cálculo. En este apartado vamos a tratar de una serie de conceptos de importancia acerca de lo que sería un correcto uso del ordenador en el cálculo de estructuras. 2.GENERALIDADES En primer lugar se trata de utilizar el ordenador adecuadamente y ello implica que el ordenador es una útil herramienta para el cálculo de estructuras. Sin embargo el interés comercial de las empresas de desarrollo de software ha llevado a un desarrollo de programas de cálculo de estructuras tratando de obviar la dificultad intrínseca del proceso. La utilización incorrecta de tales programas ha tenido como consecuencia la aparición de diferentes patologías típicas, cuyo origen ha estado precisamente en el cálculo por ordenador desarrollado por personas poco expertas en el tema estructural. Vamos a desarrollar aquí una serie de premisas importantes para un correcto uso del ordenador en el cálculo de estructuras. 1◙. Tener un concepto claro acerca del comportamiento físico de las estructuras. Sin esto el cálculo de estructuras es una actividad muy peligrosa , en base a la responsabilidad e importancia de los daños que se derivan de una patología estructural. Un buen concepto estructural nos vá a permitir dos cosas fundamentales: 



Un buen planteamiento de la estructura, tanto en cuanto a diseño, dimensiones y formas. Un control de los resultados que salen del ordenador, de forma que se puede establecer una crítica racional, con criterios estructurales, de los mismos.

2◙. Conocer bien el software que se está utilizando, especialmente en cuanto a una serie de factores: 

Forma de presentación de resultados en pantalla y en listados, especialmente en su relación con las hipótesis de cargas.



Criterios utilizados por el software para la representación de los diagramas de solicitaciones.



Criterios de representación de los vínculos interiores y exteriores, especialmente cuando se producen entradas por pantalla de la definición vincular de la estructura.

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

Saber cómo introducir la topología estructural adecuadamente, especialmente cuando hay bastante número de barras y también cuando la estructura es espacial.



Grado de idoneidad del software utilizado para la tipología estructural que queremos calcular. En los programas de cálculo comercial, por su propia naturaleza de "comercial" no se hace referencia a las limitaciones que dichos programas presentan, en base a simplificaciones de cálculo, circunstancias no contempladas en referencia a materiales, tipos de apoyos, elementos constructivos, etc.



Relación entre las entradas de cargas que presenta el programa y la utilización de las mismas para el cálculo que hace el software.

Finalmente: Nada hay más peligroso que un simple trasvase de datos del cálculo de estructuras por ordenador a un proyecto, sin tener conciencia de que dichos resultados son razonables y con una gran probabilidad de ser correctos. subir

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11.1-Generalidades| 11.2.- Definición topológica de estructuras en software | 11.3.- Entrada de datos necesarios: secuenciación | 11.4.- Presentación de pantallas de datos y resultados | 11.5.- Diagramas básicos de flujo para la realización de software | 11.6.- Actividades |

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Definición topológica de estructuras en software

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador 11.1.- Generalidades | 11.2-Definición topológica de estructuras en software| 11.3.- Entrada de datos necesarios: secuenciación | 11.4.- Presentación de pantallas de datos y resultados | 11.5.- Diagramas básicos de flujo para la realización de software | 11.6.- Actividades | 11 .2.- Definición topológica de estructuras en software

1. INTRODUCCIÓN 2. DEFINICIÓN TOPOLÓGICA DE ESTRUCTURAS EN SOFTWARE

Detalle del montaje de la cubierta del Pabellón del Futuro Expo(92) - Sevilla -

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado a la definición de la estructura que el software de cálculo de estructuras precisa para poder plantear el sistema de ecuaciones necesario. La mayoría del software de cálculo de estructuras se apoya en el cálculo matricial como metodología para desarrollar los algoritmos necesarios para establecer el procedimiento matemático. Vamos a tratar en este apartado de la definición de la estructura en cuanto a su forma, tanto de la estructura en su conjunto como de las barras que la forman, de la manera adecuada para que pueda ser utilizada por el software de cálculo de estructuras. Vamos a utilizar como referencia en este tema el software desarrollado en la asignatura y cuya finalidad es de carácter didáctico, de forma que pretende fundamentalmente facilitar el aprendizaje del cálculo matricial de estructuras y

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Definición topológica de estructuras en software

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ello implica ciertas diferencias con el software comercial de cálculo de estructuras.

2. DEFINICIÓN TOPOLÓGICA DE ESTRUCTURAS EN SOFTWARE Vamos a utilizar el programa de cálculo de estructuras planas que puede verse en la figura siguiente como referencia concreta.

Los datos fundamentales que nos van a definir topológicamente a una estructura son:  



  

Posición de los nudos y de los apoyos. Conectividad de las barras, indicando nudo inicial y final, de cada una de las barras. Dimensionamiento de las barras, de forma que se definan los parámetros de cálculo necesarios ( Sección, Momento de inercia, etc. ). Características del material estructural. Vinculación interior entre los nudos. Una pantalla gráfica que sirva de comprobación acerca de los datos introducidos.

En la figura siguiente podemos ver una pantalla de entrada de datos que incluye una parte de definición topológica de la estructura.

Vemos encuadrado en color verde la zona de definición topológica de la estructura:   



coordenadas de los nudos. Definición de nudo ó apoyo (rojo) Definición de las barras :nudo inicial, nudo final, sección y momento de inercia. Tipo de nudo: rígido ó articulado.

También se define la característica del material: Módulo de elasticidad longitudinal Vemos encuadrado en color salmón el dibujo de la estructura, que nos va a servir de comprobación acerca de la correcta definición de la estructura:  

Tipo de apoyo Barras y numeración de las mismas.

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

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Nudos y numeración de los mismos.

Encuadrado en color gris vemos una zona, en la misma pantalla de entrada de datos, para definir el sistema de cargas que va a actuar sobre la estructura, de forma que en una misma pantalla se encuentra todo el conjunto de datos de definición tanto de la estructura como del sistema de cargas, necesarios para el software de cálculo. Este software está desarrollado utilizando la metodología de cálculo matricial y pensado precisamente para aprender a aplicar dicho procedimiento de cálculo en el caso de estructuras planas de nudos rígidos y articulados. Vamos a utilizar el programa de cálculo de emparrillados, con cargas perpendiculares al plano del emparrillado, que puede verse en la figura siguiente como referencia concreta.

En este caso la definición topológica de la estructura ( emparrillado ) necesaria para el software de cálculo la podemos ver en la figura siguiente.

Vemos encuadrado en color salmón la zona de definición topológica de la estructura:   



coordenadas de los nudos. ( En este caso coordenadas x,z ) Definición de nudo (blanco) o apoyo (rojo). Definición de las barras : nudo inicial, nudo final, momento de inercia y momento polar de inercia. Tipo de nudo: rígido.

También se define la característica del material:  

E ( Módulo de elasticidad longitudinal ) G ( Módulo de deformación angular )

Vemos encuadrado en color amarillo el dibujo del emparrillado, que nos vá a servir de comprobación acerca de la correcta definición de la estructura:   

Tipo de apoyo Barras y numeración de las mismas. Nudos y numeración de los mismos.

Encuadrado en color gris vemos una zona, en la misma pantalla de entrada de datos, para definir el sistema de cargas que va a actuar sobre el emparrillado, de forma que en una misma pantalla se encuentra todo el conjunto de datos de

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definición tanto de la estructura como del sistema de cargas, necesarios para el software de cálculo. Este software está desarrollado utilizando la metodología de cálculo matricial y pensado precisamente para aprender a aplicar dicho procedimiento de calculo de estructuras en el caso de emparrillados con cargas perpendiculares al plano del emparrillado. En la figura siguiente vemos la pantalla para la definición topológica de una estructura utilizando una interface gráfica, del programa comercial de cálculo de estructuras de hormigón armado : Cypecad.

Es evidente que existen programas comerciales con buenas características en cuanto a la definición topológica de las estructuras, especialmente en dos aspectos: 

Una definición de la topología de la estructura y de las características de los nudos y apoyos, mediante una interface gráfica.



Una definición topológica de la estructura mediante ficheros de texto, que es interesante cuando la complejidad de la estructura impide una correcta definición mediante la interface gráfica.

Otro aspecto característico de los programas comerciales, en cuanto a la introducción de datos de dimensionamiento de las barras, es la elección mediante un banco de datos de perfiles, sin tener que introducir los datos de las secciones de las barras. Ahora bien desde el punto de vista del control de la estructura que estamos definiendo al software del programa la facilidad en la introducción de datos y en la definición de la estructura puede inducirnos a errores si no tenemos un criterio claro del funcionamiento del programa, de lo que significan cada una de las opciones, de las hipótesis de carga, etc. Ello ha supuesto una serie de errores en estructuras, con las consiguientes patologías, derivados de la utilización de software de cálculo de estructuras. subir

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11.1.- Generalidades | 11.2-Definición topológica de estructuras en software| 11.3.- Entrada de datos necesarios: secuenciación | 11.4.- Presentación de pantallas de datos y resultados | 11.5.- Diagramas básicos de flujo para la realización de software | 11.6.- Actividades |

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1. INTRODUCCIÓN 2. ENTRADA DE DATOS: SECUENCIACIÓN

Detalle de la estructura metálica de la cubierta del Pabellón del Futuro Expo(92) - Sevilla -

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado a la entrada de datos para el software del programa, describiendo el procedimiento de tratamiento de tales datos para su integración en los algoritmos de cálculo. Nos referimos en lo que sigue al lenguaje de programación Visual Basic 6.0 en el que están realizados los programas didácticos de cálculo de estructuras desarrollados en la asignatura de cálculo de estructuras de la E.U.P. de Sevilla. Dicho lenguaje sigue un esquema de programación por objetos, de forma que cada programa está formado por un conjunto de objetos y asociados a dichos objetos existen: 

Un conjunto de propiedades específicas de cada tipo de objeto.

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Entrada de datos necesarios: secuenciación



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Un conjunto de procedimientos o secuencias de operaciones asociadas a un suceso relativo a tal objeto.

Un suceso puede ser , por ejemplo, un Clic del puntero o señalizador del ratón sobre el objeto, lo cual desencadena una serie de instrucciones del programa o permite realizar una determinada función como puede ser, por ejemplo, modificar el ancho de las columnas en una salida de resultados por pantalla. Ello presenta dos ventajas muy significativas: 

Permite el que la generación de pantallas sea bastante sencilla.



Hace que se produzca una fragmentación del programa en varios subprogramas de una forma bastante natural y ello permite mejorar la identificación de errores que se producen cuando se está realizando la labor de programación.

Lo anterior hace que el lenguaje Visual Basic sea muy apropiado para realizar una serie de programas de desarrollo de software de dificultad media. Es también muy adecuado para generar programas de aplicaciones varias y para automatizar procedimientos de cálculo muy frecuentes en cualquier proyecto de carácter técnico, en la realización de problemas para estudiantes de carreras técnicas, etc.

2. ENTRADA DE DATOS NECESARIOS: SECUENCIACIÓN Vamos a utilizar el programa de cálculo de estructuras planas que puede verse en la figura siguiente como referencia concreta.

Los datos necesarios para el cálculo de una estructura son:  



   

Posición de los nudos. Conectividad de las barras, indicando nudo inicial y final, de cada una de las barras. Dimensionamiento de las barras, de forma que se definan los parámetros de cálculo necesarios ( Sección, Momento de inercia, etc. ). Características del material estructural. Vinculación interior entre los nudos. Vinculación exterior de la estructura. Sistema de cargas en nudos y en barras.

Para ello necesitamos establecer un conjunto de variables que recojan datos de las entradas por pantalla. En la figura siguiente podemos ver la pantalla de entrada de datos, donde hemos remarcado ( en rojo) la tabla de coordenadas de los nudos.

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Entrada de datos necesarios: secuenciación

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Dicha tabla sirve para recoger la información de las coordenadas de los nudos de una estructura plana genérica y por tanto desconocemos el número de datos que presentará, ya que ello dependerá del número de nudos de la estructura. Por tanto en cada caso habrá que redimensionar la variable donde se recoge la información de las coordenadas. Por lo anterior habremos de considerar la utilización de una matriz de datos, donde la fila se corresponderá con un nudo y las columnas se corresponderán con las coordenadas y la identificación de nudo (vínculo interior) o apoyo (vínculo exterior) . Dado que su utilización a lo largo del software es muy frecuente a tal variable le damos el carácter de pública. Existen dos tipos de variables (públicas y privadas ) atendiendo a la característica de que sean válidas y utilizables en todo el programa o solamente en el subprograma en que se define. En la figura anterior podemos ver la pantalla de entrada de datos, donde hemos remarcado (en amarillo) la tabla de conectividad y dimensionamiento de las barras que forman la estructura. Dicha tabla sirve para recoger la información de las barras que forman la estructura y por tanto desconocemos el número de datos que presentará, ya que ello dependerá del número de barras de la estructura. Por tanto en cada caso habrá que redimensionar la variable donde se recoge la información de las barras. Por lo anterior habremos de utilizar una matriz de datos, donde la fila se corresponderá con una barra y las columnas se corresponderán con la definición de la conectividad ( nudo inicial y nudo final ) -adecuada a la utilización del programa que es la de facilitar el aprendizaje del cálculo matricial de estructuras planas- y las características resistentes de las secciones de las barras ( momento de inercia y area ) . En el caso de que la estructura sea de nudos articulados habremos de obviar la columna 4 sobre momento de inercia, que no es un dato necesario. Dado que su utilización a lo largo del software es muy frecuente a tal variable le damos el carácter de pública, al igual que en el caso anterior. Se define la característica del material: Módulo de elasticidad longitudinal introduciéndola en una variable numérica normal ( no matricial ) pública, para su utilización en el conjunto del programa. Está señalada mediante una flecha roja de ángulo, en la figura anterior. También se define una variable que representa la característica de vinculación interior entre las diferentes barras de la estructura (nudo articulado o nudo rígido) mediante una variable booleana ( verdadero-falso) , como podemos ver

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Entrada de datos necesarios: secuenciación

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en la figura anterior marcada en azul. En la figura siguiente vemos encuadrado en color salmón el dibujo de la estructura, que nos va a servir de comprobación acerca de la correcta definición de la estructura:   

Tipo de apoyo Barras y numeración de las mismas. Nudos y numeración de los mismos.

y que solamente tiene tal valor de comprobación de una correcta entrada de datos sin que se utilice para la introducción de datos. En programas comerciales de cálculo de estructuras suele ser muy utilizada como entrada de datos debido a la facilidad que presenta siempre una interface gráfica para definir topológicamente una estructura, sin tener que entrar en una definición de coordenadas que resulta siempre más árida. Encuadrado en color gris vemos una zona, en la misma pantalla de entrada de datos, de la figura siguiente, para definir el sistema de cargas que va a actuar sobre la estructura, de forma que en una misma pantalla se encuentra todo el conjunto de datos de definición tanto de la estructura como del sistema de cargas, necesarios para el software de cálculo.

Dicha tabla sirve para recoger la información de las cargas que actúan sobre las barras que forman la estructura y por tanto desconocemos el número de datos que presentará, ya que ello dependerá del número de cargas y tipo de dichas cargas ( puntual y distribuida ). Por tanto en cada caso habrá que redimensionar la variable donde se recoge la información de las cargas, en función del tipo de estructura y del tipo de las cargas que actúan y del número de barras cargadas que hay en la estructura. Por lo anterior habremos de utilizar una matriz de datos donde: 



Para el caso de estructuras de nudos rígidos, la fila se corresponderá con una barra y las columnas se corresponderán con la definición del tipo de carga y el valor que define tal carga, tanto en módulo como en dirección y sentido. Para el caso de estructuras de nudos articulados, la fila se corresponderá con el nudo y las columnas se corresponderán con la definición de la carga puntual en direcciones x (horizontal) , y (vertical) en cuanto a módulo y sentido.

Hemos indicado que este software está desarrollado utilizando la metodología de cálculo matricial y pensado precisamente para aprender a aplicar dicho procedimiento de cálculo en el caso de estructuras planas de nudos rígidos y articulados, mientras que los programas de cálculo de estructuras que denominamos "comerciales" pretenden facilitar la utilización del usuario y por

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Entrada de datos necesarios: secuenciación

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ello suelen introducir los sistemas de cargas utilizando la interface gráfica. En el programa de cálculo de emparrillados, con cargas perpendiculares al plano del emparrillado, que puede verse en la figura siguiente como referencia concreta, podemos identificar de forma análoga a lo anterior la entrada de datos.

En este caso tendremos algunas variaciones que indicamos a continuación: 

Los nudos de dicha estructura no presentan opción ya que habrán ser rígidos necesariamente.



Las barras se definen topológicamente igual pero habremos de introducir los datos de Momento Polar de inercia, en vez del Area de la sección de cada barra.



Habremos de introducir también el valor del módulo de deformación angular además del valor del módulo de elasticidad longitudinal.



El sistema de cargas que podemos introducir es solamente de cargas puntuales en nudos.

Vemos encuadrado en color salmón la zona de definición topológica de la estructura:   



coordenadas de los nudos. ( En este caso coordenadas x,z ) Definición de nudo (blanco) o apoyo (rojo). Definición de las barras : nudo inicial, nudo final, momento de inercia y momento polar de inercia. Tipo de nudo: rígido. No puede ser nudo articulado.

También se definen las características del material:  

E ( Módulo de elasticidad longitudinal ) G ( Módulo de deformación angular )

Vemos encuadrado en color amarillo el dibujo del emparrillado, que nos vá a servir de comprobación acerca de la correcta definición de la estructura:   

Tipo de apoyo Barras y numeración de las mismas. Nudos y numeración de los mismos.

Encuadrado en color gris vemos una zona, en la misma pantalla de entrada de

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datos, para definir el sistema de cargas que va a actuar sobre el emparrillado, de forma que en una misma pantalla se encuentra todo el conjunto de datos de definición tanto de la estructura como del sistema de cargas, necesarios para el software de cálculo. En la figura siguiente podemos ver otra forma de entrada de datos de un programa comercial (Cypecad) utilizando una serie de pantallas para rellenar las casillas correpondientes con los datos de definición de los materiales de la estructura, normativa, perfiles laminados, etc.

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Presentación de pantallas de datos y resultados

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.- Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.Introducción al cálculo de estructuras por ordenador 11.1.- Generalidades | 11.2.- Definición topológica de estructuras en software | 11.3.- Entrada de datos necesarios: secuenciación | 11.4-Presentación de pantallas de datos y resultados| 11.5.- Diagramas básicos de flujo para la realización de software | 11.6.- Actividades | 11 .4.- Presentación de pantallas de datos y resultados

1. INTRODUCCIÓN 2. PRESENTACIÓN DE PANTALLAS DE DATOS Y RESULTADOS

Detalle de la construcción del Pabellón de Cataluña Expo(92) - Sevilla -

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado a la presentación de las pantallas de datos y de resultados de cálculo. En la figura siguiente podemos ver una pantalla de entrada de datos de una estructura de una edificación utilizando una interface gráfica en un programa de software comercial.

Vemos que se produce una gran cantidad de líneas de referencia para la

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ubicación de los pilares, lo cual dificulta mucho la visualización y hace complicado la introducción de los datos mediante tal procedimiento, aunque se utilice un dibujo de autocad a modo de plantilla para la introducción de tales datos. Para más detalle acerca de la presentación de las pantallas de entrada de datos remitimos a los apartados anteriores. Vamos a centrarnos en este apartado a las pantallas de salida de resultados que habrá de ser adecuada a lo que se pretende con el programa en cuestión, buscando unas pantallas de salida lo más claras y completas posibles. Es evidente que este aspecto presenta una indudable importancia en cualquier software de cálculo de estructuras especialmente porque en los programas comerciales de este tipo es un factor que "vende" mucho el programa, por lo que pueda suponer de ahorro de tiempo y energías en elaboración de los planos de estructuras que siempre presentan una dificultad de elaboración muy considerable, especialmente en el caso de estructuras de hormigón armado. Nos vamos a referir en este apartado a los programas de software didáctico de cálculo matricial de estructuras ya que siendo más sencillas que las de los programas comerciales nos permiten realizar una introducción a las características deseables de las pantallas de salida del software de estructuras. Además describimos así la utilidad que podemos encontrar, desde el punto de vista del aprendizaje del cálculo matricial, con dicho software didáctico.

2. PRESENTACIÓN DE PANTALLAS DE DATOS Y RESULTADOS Vamos a utilizar el programa de cálculo de estructuras planas que puede verse en la figura siguiente como referencia concreta, al que nos hemos referido en apartados anteriores.

En la figura siguiente vemos una salida de datos que denominamos como: Resultados intermedios.

En dicha pantalla tenemos un conjunto de resultados intermedios de cálculo que nos van a permitir comprobar si estamos realizando correctamente el procedimiento de cálculo matricial a la estructura plana correspondiente. Tenemos en cuanto a la obtención de la matriz de rigidez de la estructura: 

Expresión simbólica de la matriz de rigidez de la estructura.

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  

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Matrices de transformación de las barras de la estructura. Matrices de rigidez en locales de las barras de la estructura. Matrices de rigidez en globales de las barras de la estructura.

Tenemos en cuanto a la obtención del vector carga equivalente en nudos: matriz de rigidez de la estructura:   

Tabla de cargas en barras de la estructura Tabla de cargas de empotramiento en las barras de la estructura. Vector carga equivalente en nudos de la estructura.

En la figura podemos ver la siguiente pantalla de resultados.

En dicha pantalla de resultados podemos obtener:   



La matriz de rigidez de la estructura. Los desplazamientos en los nudos de la estructura. Los desplazamientos (en coordenadas locales) de los extremos de las barras de la estructura. Los esfuerzos en los extremos de las barras derivados de los desplazamientos en los nudos ( por la acción del vector carga equivalente en nudos).

En la figura siguiente tenemos la última pantalla de resultados que nos va a facilitar un listado con una serie de resultados y cálculos intermedios de la estructura en cuestión.

Una estructura análoga se utiliza para el programa de cálculo de emparrillados con cargas perpendiculares al plano del emparrillado de la figura siguiente.

La pantalla de resultados intermedios la vemos en la figura siguiente.

En este caso tendremos como diferencia el que el sistema de cargas para el que

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el programa calcula la carga equivalente en nudos es solamente el de cargas puntuales en nudos. Sin embargo el programa puede calcular emparrillados con cargas distribuidas en barras si rellenamos manualmente la tabla de carga equivalente en nudos que se produzca por el sistema de cargas que esté actuando sobre el emparrillado. La segunda pantalla de resultados ( resultados intermedios ) es la que vemos en la figura siguiente: matriz de rigidez de la estructura, desplazamientos en nudos en coordenadas globales, desplazamientos en los extremos de las barras en coordenadas locales y esfuerzos debidos al vector carga equivalente en nudos.

La última pantalla de resultados nos va a facilitar un listado con una serie de resultados y cálculos intermedios del emparrillado en cuestión, como podemos ver en la figura siguiente.

Existe la posibilidad de ver el informe en la pantalla, imprimirlo o guardarlo en un archivo, del cálculo del emparrillado de la figura siguiente.

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Cálculo de Estructuras 1.- Introducción a las estructuras| 2.- Tipologías estructurales. Introducción a su cálculo | 3.- Introducción al cálculo matricial de estructuras| 4.- Cálculo matricial de barras I| 5.Cálculo matricial de barras II| 6.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados I| 7.- Cálculo matricial de estructuras de nudos articulados II| 8.- Cálculo matricial de estructuras planas de nudos rígidos| 9.- Cálculo matricial de emparrillados| 10.- Cálculo matricial de estructuras espaciales de nudos rígidos| 11.-Introducción al cálculo de estructuras por ordenador 11.1.- Generalidades | 11.2.- Definición topológica de estructuras en software | 11.3.- Entrada de datos necesarios: secuenciación | 11.4.- Presentación de pantallas de datos y resultados | 11.5-Diagramas básicos de flujo para la realización de software| 11.6.- Actividades | 11 .5.- Diagramas básicos de flujo para la realización de software

1. INTRODUCCIÓN 2. DIAGRAMAS BÁSICOS DE FLUJO PARA LA REALIZACIÓN DE SOFTWARE

Detalle de la construcción del Pabellón de Chile, con la estructura de madera. Expo(92) - Sevilla -

1. INTRODUCCIÓN Vamos a referirnos en este apartado a una serie de aspectos técnicos de realización del software para cálculo de estructuras tomando como referencia práctica los programas desarrollados en Visual Basic sobre aprendizaje de cálculo matricial, desarrollados en la asignatura de cálculo de estructuras de la E.U.P. de Sevilla. Aunque hemos presentado a lo largo de este curso las utilidades de software didáctico para la metodología de cálculo matricial hemos de indicar que las posibilidades dentro del campo de la docencia de las estructuras son importantes. En los programas comerciales de cálculo de estructuras se obtiene una relación directa entre las causas (cargas, ....) y los efectos (esfuerzos, deformaciones, ...) que se producen en una estructura y el usuario no tiene acceso a los resultados intermedios, por lo que no tiene información de cómo se ha calculado la estructura. El software desarrollado para la docencia del cálculo matricial de estructuras, pretende mostrar precisamente "cómo" se calcula matricialmente una estructura y los resultados parciales que se van produciendo. Las asignaturas de cálculo de estructuras, con referencia a un relativamente corto espacio de tiempo, se encuentran con una nueva situación, derivada de la incidencia de la informática. La facilidad del uso del software comercial del cálculo de estructuras, en comparación con la complejidad operatoria que supone el cálculo manual de estructuras, hace que se tienda a la utilización del ordenador. Esta situación tiene una serie de consecuencias, en la docencia de cálculo de estructuras, de las que destacaríamos las siguientes: 1. Poca atención, en la bibliografía y en la docencia, a la resolución de estructuras de una cierta complejidad, en detrimento del conocimiento de los procedimientos operativos de los diferentes métodos de cálculo, con un excesivo desarrollo de la teoría. 2. Pérdida del concepto físico del comportamiento de las estructuras de una cierta complejidad, lo que unido a la utilización del software comercial, incide en la escasa formación acerca de la interpretación de los resultados obtenidos con ordenador. Ello incide en la aparición de patologías estructurales, inducidas por la utilización de programas de cálculo, sin una formación adecuada en estructuras. 3. Los programas de cálculo de estructuras, que se encuentran en el mercado, siguen criterios de normativa, muchas veces empírica, y otros criterios de orden comercial, sin pretender la enseñanza del proceso de cálculo y por ello no cumplen el objetivo docente que se pretende. 4. El coste de los programas comerciales de cálculo de estructuras, junto con el número de licencias necesarias para hacer

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operativa su utilización con un grupo de alumnos, es una dificultad muy importante para su empleo. Las características específicas de este software para la docencia del cálculo matricial de estructuras quedan reflejadas en lo que sigue : 1. Elaboración de pantallas de entrada de datos y salida de resultados acorde con Windows'98 / Windows'2000, de forma que resulten conocidas y de fácil utilización. 2. Entradas de datos no en la forma que se solicitan en los programas comerciales, sino como se hace en la resolución manual de los problemas de cálculo de estructuras. Por ejemplo, se piden los datos necesarios para definir una barra, como son el área, los momentos de inercia, etc. y no si es un perfil IPE, HEB, etc. Otro ejemplo: se pide, como dato de entrada, la conectividad de una barra y nó su dibujo gráfico, como en los programas comerciales, para que el alumno tome conciencia de las topología de la estructura, de las vinculaciones interiores, etc. Una vez definida la conectividad de las barras, se dibujan en una parte de la pantalla, de forma que el alumno pueda visualizar y comprobar la estructura que ha definido. 3. Salida de resultados parciales, para que el alumno siga el proceso de cálculo y tenga una guía acerca de los cálculos a realizar, de forma que pueda corregir sus propios problemas de cálculo matricial de estructuras. 4. Elaboración de una ayuda, referente al propio proceso de cálculo, datos de entrada, etc., para facilitar el autoaprendizaje.

2. DIAGRAMAS BÁSICOS DE FLUJO PARA LA REALIZACIÓN DE SOFTWARE Vamos a utilizar los programas de cálculo de estructuras planas y emparrillados que pueden verse en la figura siguiente como referencia concreta.

Cualquier programa de software presenta un diagrama de flujo básico que sería el siguiente:

1. Entrada de datos La entrada de datos consta de las siguientes fases FASE 1

Por ejemplo:

Remarcado en rojo tenemos un objeto que se denomina: OptionButton1 Remarcado en azul tenemos un objeto MsFlexGrid

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FASE 2

DEFINIR LAS PROPIEDADES DE TALES OBJETOS

Tendremos que indicarle al software las características que presentarán esos objetos, tales como por ejemplo : color del texto, del fondo, número de filas y de columnas, su identificación en el programa, etc. Por ejemplo en la figura siguiente podemos ver el cuadro de propiedades del objeto, señalado en rojo, utilizado para la entrada de las coordenadas de los nudos del programa de cálculo matricial plano.

FASE 3

ALMACENAMIENTO INTERNO DE LOS DATOS DE ENTRADA

Es decir hay que establecer un proceso de manera que los datos introducidos por el usuario del software pasen a ser almacenados adecuadamente en las variables adecuadas. 2. Aplicación de los algoritmos de cálculo La aplicación de los algoritmos de cálculo precisa de las siguientes fases FASE 1

PROCESO EN BASE A LOS ALGORITMOS DE CÁLCULO

Es decir organizar las diferentes tareas de cálculo en diferentes algoritmos relacionados entre sí. Por ejemplo, a continuación vemos el listado correspondiente del subprograma de proceso que se realiza una vez introducidos los datos, al pulsar el botón calcular, en la pantalla de introducción de datos. Private Sub AMnCalculos_Click() Dim frase As String On Error GoTo mensaje Matriz1.Clear 'Quitar proceso de borrar celda a celda Matriz1.Visible = False ASSTab1.MousePointer = ssHourglass Call Calculo_Matricial Call Matriz_Conecta Call Calcula_Kg_Locales Call calcula_KG_Globales Opt_Simbolica_Click Opt_Simbolica.Value = True Call Calcula_Matriz_Estructura GoTo 1000 mensaje: frase = "Los cálculos no han podido llevarse a cabo por error en la introducción de datos" MsgBox frase, , "AVISO" ASSTab1.MousePointer = ssArrow Exit Sub 1000: For i = 1 To 3

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ASSTab1.TabEnabled(i) = True Next i ASSTab1.Tab = 1 Call Rellena_MatrizKT Matriz1.Visible = True ASSTab1.MousePointer = ssArrow FormMatr.MousePointer = 0 End Sub Cada una de las sentencias Call está dirigiendo el flujo del proceso hacia otros subprogramas, donde se encuentran los diferentes algoritmos de cálculo. FASE 2 DESARROLLO DE LOS DIVERSOS ALGORITMOS DE CÁLCULO Esta fase constituye la "esencia" desde el punto de vista de la operatoria a realizar por el ordenador. Por ejemplo, a continuación presentamos el subprograma para el cálculo de la matriz de rigidez en coordenadas globales de una barra de una estructura plana. Sub calcula_KG_Globales() Dim aux() As Single Dim f As Integer Dim c As Integer Dim i As Integer Dim j As Integer If Opt_Artic.Value = True Then ReDim Kg_Glo(1 To Anb, 1 To 4, 1 To 4) ReDim aux(1 To 3, 1 To 3) Else ReDim Kg_Glo(1 To Anb, 1 To 6, 1 To 6) ReDim aux(1 To 3, 1 To 3) End If

Call Calcula_Matriz_Transformacion For i = 1 To Anb '-----------------------------------------' ARTICULADAS '-----------------------------------------If Opt_Artic.Value = True Then 'Matriz Superior Izquierda For f = 1 To 2 For c = 1 To 2 aux(f, c) = 0 For j = 1 To 2 aux(f, c) = aux(f, c) + T_Total(i, f, j) * Kg_Loc(i, j, c) Next j Next c Next f For f = 1 To 2 For c = 1 To 2 For j = 1 To 2 Kg_Glo(i, f, c) = Kg_Glo(i, f, c) + aux(f, j) * T_Total(i, c, j) Next j Next c Next f 'Matriz Superior Derecha For f = 1 To 2 For c = 3 To 4 aux(f, c - 2) = 0 For j = 1 To 2 aux(f, c - 2) = aux(f, c - 2) + T_Total(i, f, j) * Kg_Loc(i, j, c) Next j Next c Next f For f = 1 To 2 For c = 3 To 4 For j = 1 To 2 Kg_Glo(i, f, c) = Kg_Glo(i, f, c) + aux(f, j) * T_Total(i, c - 2, j)

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Next j Next c Next f 'Matriz Inferior Izquierda For f = 3 To 4 For c = 1 To 2 aux(f - 2, c) = 0 For j = 1 To 2 aux(f - 2, c) = aux(f - 2, c) + T_Total(i, f - 2, j) * Kg_Loc(i, j + 2, c) Next j Next c Next f For f = 3 To 4 For c = 1 To 2 For j = 1 To 2 Kg_Glo(i, f, c) = Kg_Glo(i, f, c) + aux(f - 2, j) * T_Total(i, c, j) Next j Next c Next f 'Matriz Inferior Derecha For f = 3 To 4 For c = 3 To 4 aux(f - 2, c - 2) = 0 For j = 1 To 2 aux(f - 2, c - 2) = aux(f - 2, c - 2) + T_Total(i, f - 2, j) * Kg_Loc(i, j + 2, c) Next j Next c Next f For f = 3 To 4 For c = 3 To 4 For j = 1 To 2 Kg_Glo(i, f, c) = Kg_Glo(i, f, c) + aux(f - 2, j) * T_Total(i, c - 2, j) Next j Next c Next f

'-----------------------------------------' RIGIDAS '-----------------------------------------Else 'Matriz Superior Izquierda For f = 1 To 3 For c = 1 To 3 aux(f, c) = 0 For j = 1 To 3 aux(f, c) = aux(f, c) + T_Total(i, f, j) * Kg_Loc(i, j, c) Next j Next c Next f For f = 1 To 3 For c = 1 To 3 For j = 1 To 3 Kg_Glo(i, f, c) = Kg_Glo(i, f, c) + aux(f, j) * T_Total(i, c, j) Next j Next c Next f 'Matriz Superior Derecha For f = 1 To 3 For c = 4 To 6 aux(f, c - 3) = 0 For j = 1 To 3 aux(f, c - 3) = aux(f, c - 3) + T_Total(i, f, j) * Kg_Loc(i, j, c) Next j Next c Next f For f = 1 To 3 For c = 4 To 6 For j = 1 To 3 Kg_Glo(i, f, c) = Kg_Glo(i, f, c) + aux(f, j) * T_Total(i, c - 3, j) Next j Next c Next f 'Matriz Inferior Izquierda For f = 4 To 6 For c = 1 To 3 aux(f - 3, c) = 0 For j = 1 To 3 aux(f - 3, c) = aux(f - 3, c) + T_Total(i, f - 3, j) * Kg_Loc(i, j + 3, c) Next j

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Next c Next f For f = 4 To 6 For c = 1 To 3 For j = 1 To 3 Kg_Glo(i, f, c) = Kg_Glo(i, f, c) + aux(f - 3, j) * T_Total(i, c, j) Next j Next c Next f 'Matriz Inferior Derecha For f = 4 To 6 For c = 4 To 6 aux(f - 3, c - 3) = 0 For j = 1 To 3 aux(f - 3, c - 3) = aux(f - 3, c - 3) + T_Total(i, f - 3, j) * Kg_Loc(i, j + 3, c) Next j Next c Next f For f = 4 To 6 For c = 4 To 6 For j = 1 To 3 Kg_Glo(i, f, c) = Kg_Glo(i, f, c) + aux(f - 3, j) * T_Total(i, c - 3, j) Next j Next c Next f End If Next i End Sub

3. Salida de resultados La salida de resultados consta de las siguientes fases FASE 1

Esta fase es análoga a la explicitada anteriormente sobre la entrada de datos y se trata de elegir el objeto más adecuado a la salida de resultados que queremos obtener. FASE 2

DEFINIR LAS PROPIEDADES DE TALES OBJETOS

Como hemos indicado cuando hemos hablado sobre la introducción de datos, tendremos que indicarle al software las características que presentarán esos objetos, tales como por ejemplo : color del texto, del fondo, número de filas y de columnas, su identificación en el programa, etc. Por ejemplo en la figura siguiente remarcado en rojo podemos ver el objeto donde vamos a dibujar la estructura y el cuadro de definición de sus propiedades.

FASE 3

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Es importante el conseguir claridad en la salida de los resultados para facilitar la utilización del software. En la figura siguiente, resaltado en rojo, vemos como un MSFlexGrid es utilizado para cuatro funciones, que presentan cuatro grupos de datos:    

Matriz simbólica Matrices de transformación Matrices K de barras en locales Matrices K de barras en globales

para unificar la presentación de salida de resultados intermedios.

Resaltado en amarillo podemos ver un objeto Frame utilizado en la salida múltiple referida y su cuadro de propiedades. Es importante elaborar las pantallas de salida de resultados lo más claramente posible de forma que la presentación de las mismas ayude a la operatividad del software, ya que dichas pantallas son las encargadas de presentar los resultados de cálculo que requiere el usuario. FASE 4

Cada vez es más importante el que los resultados se presenten en un formato que pueda ser almacenado, intercambiado, etc. de forma que se puedan utilizar las compatibilidades cada vez mayores, que se producen entre los diferentes productos de software. En los programas comerciales este aspecto puede tener una gran incidencia en su comercialización, por la utilidad que tiene el que se generen salidas sobre todo de carácter gráfico ( formatos tipo dxf, jpg, ...) utilizables por otro software. En la pantalla que sigue puede verse la función de Guardar ( el informe con los cálculos ) en un archivo.

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