Matrici Ed Operatori Lineari

Matrici ed Operatori Lineari Viene definita Matrice Complessa m x n un quadrato di numeri complessi formato da m righe ed n colonne del tipo:

A=

Se m=n la matrice si dice Quadrata. Inoltre due matrici A e B che rappresentino la stessa Trasformazione Lineare, si dicono Simili. Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico e quindi, gli stessi Autovalori. Si definisce Matrice Trasposta di una matrice (ad esempio A) la matrice i cui elementi sono così definiti: ( AT )rs = Asr Si definisce Matrice Coniugata Hermitiana (o Aggiunta) della matrice A, la matrice i cui elementi sono così definiti: ( A+ )rs = A*sr Quindi per una matrice A, la trasposta della coniugata è l’ aggiunta e talvolta si indica A* = A T Una matrice quadrata che coincide con la sua coniugata Hermitiana, ovvero: Asr = A*rs si dice Hermitiana, ovvero se A = A*. Una matrice A si dice ortogonale se A AT = I Asr = A*rs

Si osservi che l’ insieme delle matrici quadrate m x n si può strutturare come un’ algebra, definendo le operazioni di moltiplicazione per un numero complesso di somma e di prodotto nel modo seguente: M-1) (c A)rs = cArs M-2) (A + B)rs = Ars + Brs M-3) (AB)rs = ∑ Art Bts

n 1 t

E’ possibile, ora, fare le seguenti considerazioni; l’ operazione M-1) puo’ essere definita anche per matrici non quadrate, l’ operazione M-2) può essere definita anche per matrici simili, infine l’ operazione M-3) puo’ essere definita tutte le volte che il numero di colonne della matrice A risulta uguale il numero di righe della matrice B. Pertanto si può concludere che l’ insieme delle matrici m x n costituisce uno spazio lineare ad “m * n” dimensioni. Esiste un legame assai stretto tra Matrici ed Operatori Lineari. Infatti data una matrice A quadrata m x n, si può definire un operatore lineare tramite la seguente relazione: b=Aa ovvero:

O più esplicitamente:

Con tale definizione una qualsiasi relazione algebrica tra matrici si traduce nella corrispondente relazione tra operatori. L’ operatore definito dalla matrice coniugata Hermitiana A+ è l’ aggiunto dell’ operatore definito dalla matrice A. Si ha: a │A b >Autoaggiunto. = < A+ a │b > Una matrice Hermitiana Definisce un
I=

gode della seguente proprietà AI=IA=A e si chiama Matrice Unità e l’ operatore da essa definito è l’ Operatore Identità. Si definisce, inoltre, Matrice Inversa di A la matrice i cui elementi sono così definiti: (A-1)rs = (1/det A) [(cof A)T]rs

Dove “cof A” rappresenta la Matrice Cofattore. La matrice inversa di A gode, inoltre delle seguenti proprietà: A-1 A = A A-1 = I e l’ operatore corrispondente (alla matrice inversa) è l’ inverso di quello corrispondente ad A. Infine una matrice U Invertibile la cui inversa U-1 coincida con la coniugata Hermitiana U+ definisce un Operatore Unitario e viene chiamata Matrice Unitaria. La corrispondenza sopra stabilita tra matrici m x n ed operatori lineari in uno spazio ad n dimensioni può essere completamente invertita, vediamo di dimostrare quanto qui asserito. Particolarmente interessante, per gli argomenti che si vedranno in seguito, risulta lo spazio ad n dimensioni delle matrici n x 1 (Matrici Colonna) del tipo:

a=

In tale caso la coniugata Hermitiana della matrice “a” sarà una matrice 1 x n (Matrice Riga) data da:

a+ = Si osservi che lo spazio delle matrici n x 1 (ad n dimensioni) può essere strutturato come spazio di Hilbert (Sn) ponendo: n

< a │b > = a+ b = ∑ a*j bj j=1

ed è identificabile con l’ usuale spazio Cn. Se ora si introduce in Sn una base ortonormale {│ej > } si può scrivere:

n

│a > = a+ b = ∑ aj │ej > j=1

dove:

aj = < ej │a >

Si osservi, ora, che il vettore │a > è completamente individuato dall’ insieme dei coefficienti a1, a2, …, an che possono essere disposti in una matrice colonna del tipo:

a=

ed il prodotto interno può sempre essere scritto nella forma: n

< a │b > = a+ b = ∑ a*j bj j=1

Si noti, in particolare l’ identificazione seguente:

e1 =

e2 =

… en =

Inoltre dato in Sn un generico operatore lineare della forma:

│b > = A│a > Si ha: n

M-4) bj = < ej │b > = < ej │A a > = ∑ < ej │A ek > ak k=1

Si osservi che talvolta l’ operatore viene indicato con  e gli elementi dello spazio con, ad esempio, | y> riservando l’ uso della lettera A (senza cappuccio) per individuare la matrice associata all’ operatore Â; ovviamente gli elementi dello spazio saranno indicati semplicemente con, ad esempio, “y”.

posto,

Ajk = < ej │A ek >

e disposti tali numeri in una matrice della forma:

A=

Si può riscrivere la M-4) nella forma: Quindi ad ogni operatore lineare in Sn, fissata una certa base, si può far corrispondere una matrice b=Aa che lo individua completamente. E’ evidente che ogni relazione algebrica tra operatori si traduce nella corrispondente relazione tra matrici.

Segue che all’ aggiunto di un operatore  corrisponde la coniugata Hermitiana della matrice corrispondente all’ operatore stesso. In particolare ad un operatore autoaggiunto corrisponde una matrice Hermitiana. Si consideri ora in Sn la seguente Equazione agli Autovalori:

 │y > = α│y >

Per quanto visto precedentemente, questa si traduce nella equazione matriciale seguente:

Ay = αy ovvero:

n

∑ Ars ys = α yr S=1

o anche:

n

M-5) ∑ (Ars - α δrs)ys = 0 S=1

La M-5) rappresenta un sistema lineare omogeneo nelle incognite y1, y2, …, yn. La condizione perché la M-4) ammetta soluzioni Non Banali è espressa dalla relazione:

det (A - αI) = 0

Particolarmente utile ed interessante è il seguente Teorema: Un Operatore Simmetrico  è essenzialmente autoaggiunto se e soltanto se Â+ non possiede come autovalori “i” né “-i”. •

OPERATORI

Ritorniamo al concetto di Operatore. Un Operatore può esser visto come una “regola” che trasforma una data funzione in un’ altra funzione. Per esempio l’ operatore d/dx trasforma una funzione differenziabile f(x) in un’ altra funzione f’(x). Altri esempi sono l’ integrazione, la radice quadrata

eccetera. In meccanica quantistica le osservabili fisiche come ad esmpio l’ energia o il momento o la posizione eccetera vengono rappresentati, da un punto di vista matematico, per mezzo di operatori. Come esempio l’ operatore corrispondente all’ energia è l’ operatore Hamiltoniano che formalmente si scrive nel modo seguente:

dove “i” è un indice corrispondente a tutte le particelle costituenti il sistema. Il valore medio di un’ osservabile A rappresentata dall’ operatore Aˆ per un sistema nella situazione fisica rappresentata  dalla funzione d’ onda ψ (r ) è dato da:

+∞

  < A >= ∫ψ * ( r ) Aˆ ψ ( r )dx −∞

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PROPRIETA’ DI BASE DEGLI OPERATORI

La somma e la differenza di due operatori Aˆ e Bˆ , sono date da: ( Aˆ + Bˆ ) f = Aˆ f + Bˆ f ( Aˆ - Bˆ ) f = Aˆ f - Bˆ f

Il prodotto di due operatori è definito dalla relazione seguente:

Aˆ Bˆ f ≡ Aˆ [ Bˆ f] Due operatori sono uguali se: Aˆ f ≡ Bˆ f Per tutte le funzioni “f”. L’ operatore identità 1ˆ è un operatore che effettua la moltiplicazione per “1” ovvero: 1ˆ f = f

Per gli operatori vale la legge Associativa ovvero: Aˆ ( Bˆ Cˆ ) = ( Aˆ Bˆ ) Cˆ Tuttavia gli operatori non sempre commutano (legge commutativa) ovvero in generale Aˆ Bˆ ≠ Bˆ Aˆ

È, a tale proposito, conveniente definire la seguente quantità nota sotto il nome di commutatore di Aˆ e di Bˆ , ovvero: ˆ , Bˆ ]≡ Aˆ [A

Bˆ - Bˆ Aˆ

Inoltre si ha: ˆ , Bˆ ]= - [ Bˆ , Aˆ ] [A

inoltre se Aˆ e Bˆ commutano, allora [ Aˆ , Bˆ ]= 0. Particolarmente interessante è l’ espressione di Aˆ elevato alla nma potenza, ovvero Aˆ n , definita come “n” successive applicazioni dell’ operatore Aˆ , ad esempio: Aˆ 3 f = Aˆ Aˆ Aˆ f L’ esponenziale di un operatore Aˆ , ovvero e Aˆ è definito dalla seguente serie di potenze:

e A = 1ˆ + Aˆ + ˆ

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OPERATORI LINEARI

Aˆ 2 Aˆ 3 + + ... 2! 3!

Quasi tutti gli operatori in meccanica quantistica sono Operatori Lineari, ovvero operatori che soddisfano le due seguenti condizioni: Aˆ (f + g) = Aˆ f + Aˆ g Aˆ (cf) = c Aˆ f

dove “c” è una costante ed “f” e “g” sono funzioni. Un operatore è definito Anti-Lineare se: * * Aˆ (λf + µg) = λ Aˆ f + µ Aˆ g

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AUTOFUNZIONI ED AUTOVALORI

L’ autofunzione di un operatore Aˆ è una funzione “f” tale che l’ applicazione di Aˆ su f fornisce f moltiplicata per una costante; in formule: Aˆ f = k f “k” è una costante chiamata autovalore dell’ osservabile A. Se Aˆ è un operatore con una autofunzione “g”, si può dimostrare che ogni multiplo di “g” è ancora autofunzione di Aˆ . Inoltre quando un sistema si trova in un autostato dell’ osservabile Aˆ , ovvero quando la funzione d’ onda è un’ autofunzione dell’ operatore Aˆ , allora il valore di aspettazione di A è l’ autovalore della funzione d’ onda. Inoltre nel caso in cui la funzione d’ onda sia una combinazione di autofunzioni, ad esempio ψ = caψa + cbψb, dove naturalmente Aˆ ψa = a ψa e Aˆ ψb = b ψb l’ aspettazione di A vale: = a ca2 + b cb2

supponendo che ψa e ψb siano funzioni ortonormali. Si noti che per il fatto che gli operatori in meccanica quantistica siano lineari, ci permette di rappresentare tali operatori quantisitici come matrici e le funzioni d’ onda come vettori di uno spazio vettoriale lineare.

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OPERATORI HERMITIANI

Si è visto precedentemente che il valore dell’ aspettazione di un operatore Aˆ è dato dalla relazione

+∞

  < A >= ∫ψ * ( r ) Aˆ ψ ( r )dx −∞

e che tutte le osservabili fisiche sono rappresentate da tale valore.

Viene da se che una tale osservabile (per esempio l’ energia) deve essere reale. Gli operatori Aˆ in grado di soddisfare la precedente condizione sono detti Hermitiani e si può scrivere

∫ψ

*

    ( r ) Aˆψ ( r ) = ∫ ( Aˆ ψ * ( r ))ψ ( r ) . Si può, inoltre, dimostrare facilmente che per tali operatori

(Hermitiani) gli autovalori risultano reali ed inoltre i corrispondenti autovettori sono ortogonali (o possono essere scelti tali) anche nel caso di degenerazione (si veda più avanti).