Matrices Y Determinantes

MATRICES Y DETERMINANTES Definición: Una matriz A de mxn es un arreglo rectangular de m.n elementos ordenados o dispuestos en m filas y n columnas.-

 a11 a12 ... a1n   a21 a22 ... a2 n   A= : :   :    am1 am2 ... amn  Una matriz que tiene m filas y n columnas se dice que es una matriz de orden mxn. A la fila, renglón o vector fila (ai1 ai2 ... ain) se la llama fila i, y a la columna o vector  a1j   a2 j  columna   se la llama columna j.  :     amj Al elemento aij, que es la componente ij-ésima, se lo ubica en la i- ésima fila y la j-ésima columna.Si los elementos de una matriz de orden mxn son números reales, decimos que A ∈ ℜmxn , donde ℜmxn es el conjunto de las matrices de orden mxn con coeficientes reales.

Igualdad: Dos matrices son iguales cuando tienen el mismo orden y los términos correspondientes son iguales. Sean A y B matrices de orden mxn. A = (aij) ; B = (bij) A = B ⇔ aij = bij ∀ i, ∀ j ∈ Ν / 1 ≤ i ≤ m ∧ 1≤ j ≤ n

Suma: Sean A y B matrices del mismo orden. La suma A + B es la matriz C que se obtiene al sumar los elementos correspondientes de las dos matrices. Sean A = (aij) ; B = (bij) A + B = C = (cij) ⇔ cij = aij + bij ∀ i, ∀ j ∈ Ν / 1 ≤ i ≤ m MATRICES Y DETERMINANTES

1

∧

1≤ j ≤ n

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Es decir (cij) = (aij + bij) Producto externo Sea A ∈ ℜmxn y k ∈ ℜ.Definimos producto externo a la operación k.A = B donde bij = k.aij ∀ i, ∀ j ∈ Ν / 1 ≤ i ≤ m ∧ 1 ≤ j ≤ n. De esta manera podemos definir A - B = A + (-B) = A + (-1).B

Propiedades de la suma y el producto externo Sean A, B, C matrices de orden mxn; k1 y k2 reales: * La suma es asociativa. (A + B) + C = A + (B + C) * Existencia del neutro en la suma. A + 0 = 0 + A = A 0 es la matriz de orden mxn cuyos coeficientes son todos ceros. * Todos tienen opuestos. A + -A = A + A = 0 El opuesto de A es -A = (-1).A * La suma es conmutativa. A + B = B + A Por lo tanto ( ℜmxn ;+) es grupo conmutativo. (grupo abeliano) * k1.(A + B) = k1.A + k1.B * (k1 + k2).A = k1.A + k2.B * (k1.k2).A = k1.(k2.A) * 1.A = A Como se cumplen estas ocho propiedades, decimos que la cuaterna ( ℜmxn , +, ℜ, .) es un espacio vectorial sobre el cuerpo ℜ. Además se cumplen las siguientes propiedades: * k1.A = A.k1 * k1.(B.C) = (k1.B).C = B.(k1.C) Demostraremos algunas de estas propiedades, dejando para el hábil alumno las restantes. 1) La suma es asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) Demostración: (A + B) + C=(dij)=((aij)+(bij)) + (cij) = (aij + bij) + (cij) = ((aij + bij) + cij) = = (aij + (bij + cij)) = (aij) + (bij + cij) = (aij) +((bij) + (cij)) = A + (B + C) 2) k 1.(A + B) = k 1.A + k 1.B Demostración: k1.(A + B) = k1. ((aij ) +(bij)) = k1.(aij + bij) = (k1.( aij + bij)) = (k1.aij + k1.bij) = = (k1.aij) + (k1.bij) = k1.(aij) + k1.(bij) = k1.A + k1.B

Producto de matrices Sean A ∈ ℜmxr y B ∈ ℜrxn . El producto A.B es la matriz de orden mxn cuyos elementos se determinan de la siguiente manera: Para encontrar el término ij-ésimo de MATRICES Y DETERMINANTES

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A.B, se toma la fila i-ésima de A y la columna j-ésima de B. Se multiplican los términos correspondientes de la fila y la columna y se suman todos los productos. r

A.B = C = (cij) donde cij =

∑a .b ik

∀ i, ∀ j ∈ Ν / 1 ≤ i ≤ m

kj

k= 1

∧

1≤ j ≤ n

Propiedades: a) A.(B.C) = (A.B).C b) A.B ≠ B.A c) A.(B + C) = A.B + A.C d) A.(B - C) = A.B - A.C e) (B + C).A = B.A + C.A f) (B - C).A = B.A - C.A

Matrices cuadradas Sea A ∈ ℜmxn . Si m = n decimos que A es una matriz cuadrada de orden n. Los elementos a11, a22, ... ,ann están en la diagonal principal de la matriz.

Matrices particulares A es una matriz triangular superior ⇔ aij = 0 para i > j A es una matriz triangular inferior ⇔ aij = 0 para i < j A es una matriz diagonal ⇔ A es una matriz triangular superior e inferior. A es una matriz simétrica ⇔ aij = aji para todo i y para todo j.

Matriz traspuesta: Decimos que B = (bij) = At es la matriz traspuesta de A ⇔ bij = aji para todo i y para todo j. Es decir, para encontrar la traspuesta de una matriz dada transformamos filas en columnas y viceversa.

Propiedades de la matriz traspuesta a) (At)t = A b) (A + B)t = At + Bt c) (k.A)t = k.At para todo k real. d) (A.B)t = Bt.At. Nota:

(ℜ

;+,.) es un anillo con identidad no conmutativo. Demostración: Haremos la demostración para ℜ2 x2 , dejando para el hábil alumno la correspondiente para las matrices cuadrada de cualquier orden. Hemos comprobado que ( ℜnxn ;+) es grupo abeliano. Además vimos que el producto es asociativo y es doblemente distributivo con respecto a la suma. Nos resta comprobar la siguiente propiedad: nxn

Existencia del neutro: ∃I ∈ ℜnxn / ∀A ∈ ℜnxn : A. I = I . A = A Calculemos I. Nos planteamos la siguiente ecuación matricial: MATRICES Y DETERMINANTES

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 a11 a12   e11 e12   a11 a12  A.I= .   =   a21 a 22   e21 e22  a21 a22  Aplicando la definición de producto tenemos:

 a11. e11 + a12. e21 a11. e12 + a12. e22   a11 a12   =   a21. e11 + a22. e21 a21. e12 + a22. e22  a21 a22  Por igualdad de matrices tenemos los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

 a11. e11 + a12. e21 = a11 (1)  a21. e11 + a22. e21 = a21

 a11. e12 + a12. e22 = a12 (2)   a21. e12 + a22. e22 = a22 a11 − a11. e11 a12

De la primer ecuación de (1) obtenemos

e21 =

Reemplazando en la segunda ecuación:

a21. e11 + a22.

si

a12 ≠ 0

a11 − a11. e11 = a21 a12

Multiplicando ambos miembros por a12: a21.a12.e11 + a22.a11 - a22.a11.e11 = a21.a12 Operando: e11.(a21.a12 - a22.a11) = a21.a12 - a22.a11 Si a21.a12 - a22.a11 ≠ 0 entonces e 11 = 1 ; e 21 = 0. Si a12 = 0 ; los sistemas de ecuaciones quedan de la siguiente manera:

 a11. e11 = a11   a21. e11 + a22. e21 = a21 Si a11 es distinto de cero: e 11 = 1 ; e 21 = 0. Si a11 = 0, los coeficientes hallados son soluciones del sistema de ecuaciones planteado. Análogamente podemos resolver el sistema de ecuaciones (2), obteniendo los siguientes resultados: e 22 = 1 ; e 12 = 0. Para asegurar que los coeficientes hallados corresponden a la matriz identidad, debemos comprobar que I.A = A

 1 0 Por lo tanto, la matriz identidad de orden 2x2 es I2 =    0 1 Se puede demostrar que la matriz identidad de orden nxn a la matriz In que tiene como coeficientes  1 si i = j aij =   0 si i ≠ j MATRICES Y DETERMINANTES

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Además, algunas matrices admiten inversa:

 a11 a12  Sea A =  . Si A admite inversa entonces existe A-1 / A.A-1 = A-1.A = I.  a21 a22  Planteando las ecuaciones correspondientes, obtenemos   a22 − a12   A-1 =  a11. a22 − a12. a21 a11. a22 − a12. a21  −a21 a11    a11. a22 − a12. a21 a11. a22 − a12. a21  Podemos apreciar que si a11. a 22 − a12. a21 = 0, la matriz no admite inversa. Es decir, existen matrices no nulas que no son inversibles. Luego introduciremos algunos conceptos que nos permitirán definir cuándo una matriz de orden nxn es inversible. Por lo tanto ( ℜnxn ;+,.) es un anillo con unidad no conmutativo. Nota: ( ℜnxn ;+,.) es un anillo que tiene divisores de cero, es decir, existen elementos (matrices) no nulos cuyo producto es nulo.

 0 1  1 0  Ejemplo:   . =0 0 0 0 0  Es decir que la proposición A.B = 0 ⇒ A = 0 o B = 0 no es válida. Consecuencia: La propiedad cancelativa no se cumple en ℜnxn . Es decir, A distinto de cero y A.B = A.C entonces B = C no es válida. Ejemplo:

0 A= 0

1  1 1 2 5  ; B=  ; C=  2 3 4 3 4

3 4 Vemos que A.B = A.C =   y B ≠ C. 6 8 Generalizando: A.B = A.C => A.B - A.C = 0 => A.(B - C) = 0. Como tiene divisores de cero no podemos asegurar que A = 0 o B - C = 0 entonces A = 0 o B = C.

Matriz inversa: A continuación veremos algunas propiedades correspondientes a la matriz inversa.

Teorema: Si A admite inversa, es única. Demostración: Sea A inversible. Suponemos que A’ y A” son inversas de la matriz A. A’ = A’. I = A’. (A . A”) por ser A” inversa de A. MATRICES Y DETERMINANTES

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A’.(A . A”) = (A’.A). A” por ser el producto asociativo. (A’.A).A”= I . A” por ser A’ inversa de A por lo tanto A’ = A” = A-1 significa que la matriz inversa es única.

Teorema: Sean A y B matrices inversibles, entonces A.B es inversible y (A.B)-1 = B-1.A-1. Demostración: Como A y B son inversibles, entonces existen A-1 y B-1 tales que A.A-1 = A-1.A = I y B.B-1 = B-1.B = I Entonces (A.B).(B-1.A-1) = A.(B.B-1).A-1 = A.I.A-1 = A.A-1 = I. y además (B-1.A-1).(A.B) = B-1.(A-1.A).B = B-1.I.B = B-1.B = I Por lo tanto (A.B) es inversible, y como la inversa es única (A.B)-1 = B-1.A-1.

Teorema: Sea A inversible. Entonces son válidas las siguientes proposiciones: 1 a) ∀ k ∈ ℜ / k ≠ 0: k. A es inversible y su inversa es . A −1 k Demostración: (k.A).(1/k .A-1) = (A.k).(1/k .A-1) = (A.k.1/k).A-1 = A.A-1 = I. (1/k. A-1).(k.A) = (A-1.1/k).(k.A) = (A-1.1/k. k). A = A-1.A = I. Por lo tanto k.A es inversible y su inversa es 1/k. A-1. b) A-1 es inversible y (A-1)-1 = A. Demostración: A es inversible, por lo tanto existe A-1 tal que A.A-1 = A-1.A = I. Como A.A-1 = A-1.A = I se desprende que A-1 es inversible, y (A-1)-1 = A

Definición: Si A es una matriz cuadrada y n es natural, definimos la operación potenciación de siguiente manera: a) A0 = I b) A1 = A c) An.A = An+1 = A1+n = A.An 1 d) A-1 = A

la

Teorema: Sea A una matriz cuadrada. Entonces son válidas las siguientes proposiciones: a) An.Am = An+m para todo n y m naturales. b) (An)m = An.m para todo n y m naturales. c) Si A es inversible, (An)-1 = (A-1)n = A-n para todo n natural. d) Si A es inversible, An.Am = An+m y (An)m = An.m para todo n y m enteros.

Operaciones elementales en las filas: Sea A una matriz de orden mxn. Son operaciones elementales en las filas de la matriz A: 1) Multiplicar una fila por una constante distinta de cero. MATRICES Y DETERMINANTES

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2) Intercambiar dos filas. 3) Sumar el múltiplo de una fila a otra.

Definición: Si una matriz B se obtiene a partir de una matriz A mediante una sucesión finita de operaciones elementales en las filas, se dice que B es equivalente por filas a A. (B ~A). Nota de la cátedra: Sea ~ la relación definida como A ~ B ⇔ A es equivalente por filas a B . ~ es una relación de equivalencia, puesto que cumple con las siguientes propiedades: ~ es reflexiva: ∀ A : A ~ A. ~ es simétrica: A ~ B entonces B ~ A. ~ es transitiva: A ~ B y B ~ C entonces A ~ C. La demostración la podrá efectuar el hábil educando una vez que obtenga el valioso y abundante material referido a la equivalencia de matrices, el cual detallaremos a continuación.  1 2 3   Ejemplos: Sea A =  4 5 6    7 8 9  4 5 6   B =  1 2 3    7 8 9

 1 2 3   C=4 5 6   14 16 18 

15 18 21   D= 4 5 6   7 8 9

Podemos apreciar que A ~ B ~ C ~ D.  1 2 3 F1 ↔ F2   A =  4 5 6 ~    7 8 9

 4 5 6    1 2 3 = B  7 8 9

 1 2 3   A =  4 5 6 ~    7 8 9 F'3 = 3F3

 1 2 3   6=C  4 5  14 16 18 

 1 2 3 F'1 = F1 + 2F3   A =  4 5 6 ~    7 8 9

15 18 21    4 5 6  = D 7 8 9

Matriz en forma escalonada Una matriz tiene la forma escalonada reducida cuando tiene las siguientes MATRICES Y DETERMINANTES

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propiedades:

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1)- Si una fila no consta exclusivamente de ceros, entonces el primer elemento de la izquierda distinto de cero es 1. 2)- Si una fila consta exclusivamente de ceros, entonces se encuentra en la parte inferior de la matriz. 3)- Si las filas i e i+1 son dos filas sucesivas cualesquiera que no constan exclusivamente de ceros entonces el primer elemento distinto de cero de la fila aparece a la derecha del primer elemento distinto de cero de la fila i. 4)- Todas las columnas que contienen al primer elemento distinto de cero de alguna tienen ceros en todas las posiciones restantes.

i+1 fila

Si una matriz cumple con las características 1), 2) y 3) se dice que está en la forma escalonada.

Ejemplos: Las siguientes matrices se encuentran en la forma escalonada:  1 2 3    0 1 5  0 0 0

 1 9 0 −1    0 1 3 2  0 0 0 1 

0 1 π  0 0 1 0 0 0  0 0 0

e  2 0  0

 1 −9  0 1 0 0  0 0

2−6 9 −4 0 0

3 0 0

2  2 1  0

Las siguientes matrices se encuentran en la forma escalonada reducida:  1 0 0    0 1 0  0 0 1

 1 2 0 0    0 0 1 0   0 0 0 1

1 0  0  0

4 0 0 0

0 0 1 0  0 1  0 0

0 1 0 3 0 0 0 1 2 0    0 0 0 0 1   0 0 0 0 0

Definición: Se dice que una matriz de nxn es una matriz elemental si es posible obtenerla a partir de la matriz identidad In de mediante una sola operación elemental en las filas.

Ejemplos Son matrices elementales:

(1)

 0 1    1 0

 −3 0     0 1

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 1 0 0    0 0 1  0 1 0

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 1 0 0    1 1 0  0 0 1

1 0  0 0  0

0 0 0 0 1 0 0 0  0 1 0 0 0 0 1 0  4 0 0 1 ING. LUIS A. CARDENAS

Teorema: Sea A una matriz de mxn y B la matriz que resulta de aplicar una sola operación elemental en las filas de A. Si E es la matriz elemental que se obtiene al ejecutar la misma operación en las filas de I; entonces B = E.A

Ejemplo:

 1 2 3 A=   4 5 6

~

10 20 30   = B1 (Multiplicamos la primer fila por 10) 4 5 6

 1 2 3 A=   4 5 6

~

 4 5 6   = B2 (Intercambiamos las dos filas)  1 2 3

 1 2 3 A=   4 5 6

~

1 2 3    = B3 (Sumamos a la fila 2, 3 veces la fila 1)  7 11 15

Las matrices elementales que se obtienen al aplicarle a la matriz identidad las respectivas operaciones elementales antes detalladas son las siguientes:

10 0 E1 =    0 1

 0 1 E2 =    1 0

Se puede comprobar fácilmente que: E1.A = B1 E2.A = B2

 1 0 E3 =    3 1

E3.A = B3

Si se aplica una operación elemental a las filas de I para producir una matriz elemental E, entonces hay una segunda operación en las filas que al aplicársele a E, reproduce a la matriz I. Esta operación recibe el nombre de operación elemental inversa.-

Operación en las filas de I que produce la matriz elemental E Multiplicamos a la i-ésima fila por la constante c distinta de cero Intercambiamos las filas i y j Sumamos a la i-ésima fila c veces la j-ésima fila.

Operación en las filas de E que reproduce a la matriz I Multiplicamos a la i-ésima fila por la constante 1/c. Intercambiamos las filas i y j Sumamos a la i-ésima fila -c veces la j-ésima fila.

Teorema: Toda matriz elemental es inversible, y su inversa también es una matriz elemental. Demostración: Sea E una matriz elemental, entonces I se puede obtener aplicando una sola operación elemental en las filas de E. Sea E0 la matriz elemental que resulta de aplicar la misma operación en las filas de I. Por teorema anterior E0 .E = I (1) MATRICES Y DETERMINANTES

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Como E0 es una matriz elemental, podemos obtener I aplicando a E0 una operación elemental en las filas. Sea E1 la matriz elemental que resulta de aplicarle la misma operación elemental en las filas de I. Por teorema anterior E1.E0 = I (2) Entonces E1 = E1.I = E1.(E0.E) por (1) E1.(E0.E) = (E1.E0).E = I.E = E por (2) por lo tanto E = E1 , y como E0.E = E.E0 = I, E es inversible y su inversa es E-1 = E0 que es una matriz elemental.

Teorema: a)b)c)-

Sea A ∈ ℜnxn ; entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: A es inversible. A.X = 0 tiene solución única que es la trivial. A ~ I.

Demostración: a) => b) A es inversible. Por lo tanto existe A-1 tal que A.A-1 = A-1.A = I. A.X = 0 => A-1.A.X = A-1.0 => X = 0 Solución única. (la trivial) b) => c)

A.X = 0 tiene solución única. Es decir que el sistema de ecuaciones

 a11x1 + a12 x2+...+ a1nxn = 0  a21x1 + a22x2 +...+a2 nxn = 0  : :   an1x1 + an 2 x2+...+ annxn = 0

 x1 =0  x2 =0 es equivalente a    xn = 0

Quiere el decir que el sistema de ecuaciones se llevó a la forma escalonada reducida, lo que equivale a afirmar que la matriz A se redujo a In mediante una sucesión finita de operaciones elementales,. por lo tanto A ~ In. c) => a) A ~ In. Si recordamos que aplicar una operación elemental a una matriz es equivalente a multiplicarla por una matriz elemental, entonces: Ek.Ek-1...E2.E1.A = In. Como las matrices elementales son inversibles, tenemos: A = In.E1-1.E2-2...Ek-1 por lo tanto A es inversible, y A-1 = Ek.Ek-1...E2.E1.In A-1 se puede obtener premultiplicando a In en forma sucesiva por las matrices elementales E1...Ek. Puesto que cada premultiplicación por una de estas matrices elementales equivale a ejecutar una operación en las filas, se sigue que la MATRICES Y DETERMINANTES

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misma sucesión de operaciones en las filas que transforma a A en In transforma a In en A-1, por lo tanto, para encontrar la inversa de una matriz inversible A se debe encontrar una sucesión de operaciones elementales en las filas que transforma a A en In y a In en A-1.

Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz inversible: Puesto que la misma sucesión de operaciones en las filas que transforma a A en In transforma a In en A-1, podemos realizar estas operaciones simultáneamente valiéndonos de una matriz en la cual a la izquierda se encuentra la matriz A y a la derecha la matriz identidad. Luego de transformar a la matriz A en la matriz identidad, a la derecha nos quedará la matriz inversa de A. Es decir (A | I) ~ (I | A-1) Ejemplo:

 1 2 A=  3 4 Nos construimos la siguiente matriz :

 1 2 1 0  1 2 1 0   Sumamos - 3F1 a F2 y obtenemos    3 4 0 1  0 -2 -3 1  1 2 1 0 1 0 -2 1   Sumamos F2 a la F1 y tenemos    0 − 2 − 3 1 0 -2 -3 1  1 0 −2 1  1 0 -2 1    Dividimos F2 por - 2 :    0 −2 −3 1  0 1 3 / 2 -1 / 2  −2 1  Por lo tanto A-1 =    3 / 2 −1 / 2

Función determinante: Todos conocemos f(x) = x + 3; f(x) = sen x; etc., que son funciones reales de variable real. A continuación haremos el estudio de funciones reales de variable matricial, es decir, funciones que a una matriz A le asocian un número real f(A). En nuestro caso particular nos dedicaremos al estudio de la función determinante.

Definición: MATRICES Y DETERMINANTES

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Una permutación del conjunto de naturales {1,2,...,n} es un arreglo de estos n elementos sin repetición.

Ejemplo: Sea el conjunto {1,2,3} Podemos formar los siguientes arreglos: (1,2,3) (2,1,3) (1,3,2) (2,3,1) Tenemos 3! = 6 permutaciones.

(3,1,2) (3,2,1)

Un método conveniente para numerar permutaciones en forma sistemática consiste en emplear un árbol de permutaciones. El siguiente Ejemplo ilustra este método:

Ejemplo: Enumerar todas las permutaciones del conjunto de enteros {1,2,3,4}. Consideramos la siguiente figura: 1

2

3

2

4

1

3

3

4

1

2

4

4

1

2

3

3 4 2 4 2 3 3 4 1 4 1 3 2 4 1 4 1 2 2 3 1 3 1 4

4 3 4 2 3 2 4 3 4 1 3 1 4 2 4 1 2 1 3 2 3 1 2 1 Los cuatro elementos 1, 2, 3, 4 de la parte superior de la figura representan las elecciones posibles para el primer número de la permutación. Las tres ramas que emanan de cada uno de estos elementos representan las elecciones posibles para la segunda posición en la permutación. De esta forma, si la permutación comienza como (2, -, -, -), las tres posibilidades para la segunda posición son 1, 3 y 4. Las dos ramas que emanan de cada elemento de la segunda posición representan las elecciones posibles para la tercera posición. Por lo tanto, si la permutación comienza como (2, 3, - , -), las dos elecciones posibles para la tercera posición son 1 y 4. Finalmente, la única rama que emana de cada elemento de la tercera posición, representa la única elección posible para la cuarta posición. Entonces, si la permutación comienza como (2, 3, 1, -), la única elección posible para la cuarta posición es 4. Ahora es posible hacer una lista con todas las permutaciones diferentes siguiendo todas las trayectorias posibles en el “árbol”, para pasar de la primera posición a la cuarta. Aplicando este procedimiento, se obtiene la siguiente lista: (1,2,3,4) MATRICES Y DETERMINANTES

(2,1,3,4)

(3,1,2,4) 12

(4,1,2,3) ING. LUIS A. CARDENAS

(1,2,4,3) (1,3,2,4) (1,3,4,2) (1,4,2,3) (1,4,3,2)

(2,1,4,3) (2,3,1,4) (2,3,4,1) (2,4,1,3) (2,4,3,1)

(3,1,4,2) (3,2,1,4) (3,2,4,1) (3,4,1,2) (3,4,2,1)

(4,1,3,2) (4,2,1,3) (4,2,3,1) (4,3,1,2) (4,3,2,1)

De este ejemplo se concluye que tenemos 24 permutaciones posibles del conjunto {1,2,3,4}. Este resultado se puede obtener aplicando el siguiente argumento: Puesto que la primer posición se puede llenar de cuatro maneras, y una vez hecho esto, la segunda se puede llenar de 3 maneras, hay 4.3 maneras posibles de llenar las dos primeras posiciones. Dado que la tercera posición se puede llenar de 2 maneras, hay 4.3.2 maneras diferentes de llenar las tres primeras posiciones. Finalmente, como la última posición se puede llenar de una manera posible, hay 4.3.2.1 = 24 maneras posibles de llenar las cuatro posiciones. En general, el conjunto {1,2,...,n} tendrá n.(n-1).(n-2)...3.2.1 = n! permutaciones diferentes. Para denotar una permutación general del conjunto {1,2,3,...,n}, se escribe (j1, j2, ...,jn), donde j1 es el primer natural, j2 el segundo y así sucesivamente. Se dice que ocurre una inversión en la permutación (j1, j2, ...,jn) siempre que un entero se encuentre precedido por un entero mayor. El número total de inversiones que ocurren en una permutación se puede calcular de la siguiente manera: 1) Contamos el número de enteros que aparecen después de j1, y que son menores que j1. 2) Contamos el número de enteros que aparecen después de j2, y que son menores que j2.. Continuamos así hasta jn-1. El número total de inversiones será la suma de estos números.

Ejemplos: (6, 1, 3, 4, 5, 2) tiene 8 inversiones. (2, 4, 1, 3) tiene 3 inversiones. (1, 2, 4, 3) tiene una inversión. Según el número de inversiones será una permutación par o impar.

Producto elemental Un producto elemental se define como cualquier producto de n elementos de A, donde todos los factores pertenecen a columnas y filas diferentes.

Ejemplo: MATRICES Y DETERMINANTES

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Sea A de orden 3x3. Cada producto elemental tiene tres factores, y cada uno pertenece a fila diferente. Es decir, tiene la forma a1-. a2-.a3-. Dado que cada factor pertenece a columna diferente, los números no se repiten, entonces toman la forma de una permutación del conjunto {1,2,3}. Tenemos 3! = 6 permutaciones, por lo tanto una matriz A de orden nxn tiene n! productos elementales. Son productos de la forma a1 j1 . a1 j2 ... a1 jn ; donde (j1, j2, ..., jn) es una permutación del conjunto {1, 2, 3,..., n}. Sea A una matriz de orden nxn. Se define como producto elemental con signo a un producto elemental a1 j1 . a1 j2 ... a1 jn multiplicado por ±1. Se multiplica por 1 si (j1, j2, ..., jn) es una permutación par. Se multiplica por -1 si (j1, j2, ..., jn) es una permutación impar. Definición: Sea A una matriz cuadrada. La función determinante se define como la suma de todos los productos elementales con signo de A

Ejemplo:

 a11 a12 a13    Sea A =  a21 a22 a23     a31 a32 a33  Producto elemental

a11.a22.a33 a11.a23.a32 a12.a21.a33 a12.a23.a31 a13.a21.a32 a13.a22.a31

Permutación asociada

Par o impar

Producto elemental con signo

(1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1)

par impar impar par par impar

a11.a22.a33 -a11.a23.a32 -a12.a21.a33 a12.a23.a31 a13.a21.a32 -a13.a22.a31

det(A) = a11.a22.a33-a11.a23.a32-a12.a21.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32-a13.a22.a31

Desarrollo por cofactores: Definición: Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento aij se denota por Mij y se define como el determinante de la submatriz que se forma al suprimir la fila i y la columna j de A.

MATRICES Y DETERMINANTES

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ING. LUIS A. CARDENAS

El número (-1)i+j .Mij se denota por Cij y se llama el cofactor del elemento aij. Teorema: El determinante de una matriz A de orden nxn se puede calcular multiplicando los elementos de una fila (o columna) por sus cofactores y sumando todos los productos resultantes. n

det(A) = a1j.C1j + a2j.C2j + ...+ anj.Cnj =

∑a .C

det(A) = ai1.Ci1 + ai2.Ci2 + ...+ ain.Cin =

∑a .C

ij

ij

para 1 ≤ j ≤ n

(1)

ij

para 1 ≤ i ≤ n

(2)

i =1 n

ij

j =1

La expresión (1) recibe el nombre de desarrollo por cofactores del determinante de la matriz A a lo largo de la columna j, y la expresión (2) el del desarrollo por cofactores del determinante de la matriz A a lo largo de la fila i.

Propiedades de la función determinante T1: Si A tiene una fila (o columna) compuesta exclusivamente de ceros, entonces det(A)=0. Demostración: Supongamos que la fila i está compuesta exclusivamente de ceros. Entonces el desarrollo por cofactores del determinante a lo largo de la fila i será: det(A) = ai1.Ci1 + ai2.Ci2 + ...+ ain.Cin = 0.Ci1 + 0.Ci2 + ...+ 0.Cin = 0 T2:

Si A es triangular, entonces det(A) = a11.a22...ann. Demostración: Por inducción sobre n.

T3:

Sea A’ la matriz que resulta de multiplicar una fila (o columna) de A por una escalar k, entonces det(A’) = det(A).k Demostración: Sea A una matriz de orden nxn. Sea A’ la matriz que resulta de multiplicar la fila i de A por el escalar k. Entonces el desarrollo por cofactores del determinante de A’ a lo largo de la fila i será: det(A’) = ai1.k.Ci1 + ai2.k.Ci2 + ...+ ain.k.Cin = k.(ai1.Ci1 + ai2.Ci2 + ...+ ain.Cin) = k.det(A)

T4: Sean A, B y C matrices tales que difieren en la fila i, de manera que la fila i de C es la suma de la fila i de A más la de B. det (C) = det(A) + det(B)

igual a

T5:

Si A tiene dos filas o columnas iguales, su determinante es cero.

T6:

Sea A’ la matriz que resulta de intercambiar dos filas (o columnas) de una matriz A, entonces det(A’) = -det(A).

T7:

Si una fila (o columna) de un determinante es un múltiplo escalar de otra, entonces el determinante es cero.

T8:

Si una fila (o columna) de un determinante es combinación lineal de otras dos, entonces el determinante es cero.

MATRICES Y DETERMINANTES

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T9: Sea A’la matriz que resulta cuando un múltiplo escalar de una fila de A se le suma a fila, entonces det(A’) = det(A). T10:

Sea A’ = k.A , entonces det(A’) = kn.det(A).

T11:

det(A) = det(At)

T12:

Sean A y B dos matrices del orden nxn. det(A.B) = det(A).det(B)

otra

A es inversible ⇔ det(A) ≠ 0. Demostración: =>) A es inversible => I = A.A-1 => 1 = det(I) = det(A.A-1) = det(A).det(A-1) por lo tanto det(A) ≠ 0. <=) det(A) ≠ 0 entonces existe A-1 tal que det(A).det(A-1) =1. La demostración la haremos con operaciones elementales en las filas. Demostraremos que A ~ I. Sea R la forma escalonada reducida de A. Dado que R se puede obtener aplicando una sucesión finita de operaciones elementales en las filas de A, por lo tanto es posible encontrar una matriz elemental E1.E2...Ek / Ek...E2.E1.A = R. Por lo tanto A = E1-1.E2-1...Ek-1.R Entonces det(A) = det(E1-1).det(E2-1)...det(Ek-1).det(R) Como det(A) es distinto de cero entonces det(R) es distinto de cero, con lo que R no tiene filas (ni columnas) compuestas exclusivamente de ceros, por lo tanto R = I. T13:

Corolario: Si A es inversible entonces det(A-1) = 1/det(A) Demostración: A es inversible => existe A-1 tal que A.A-1 = i. 1 det(A).det(A-1) = 1 entonces det(A −1 ) = det( A)

Definición:

Si A una matriz de orden nxn, y Cij es el cofactor de aij.

 C11 C12 ... C1n   C21 C22 ... C2 n    Recibe el nombre de matriz de cofactores de A. : :   :    Cn1 Cn 2 ... Cnn  La traspuesta de esta matriz se denomina la adjunta de A, y se denota por Adj(A).

Teorema: A es inversible entonces A −1 =

1 . Adj( A) A

Demostración: MATRICES Y DETERMINANTES

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 a11 a12 ... a1n   C11 C21 ... Cn1   a21 a22 ... a2 n   C12 C22 ... Cn 2   .   = (bij) A. Adj(A) =  : :   : : :   :      am1 am2 ... amn   C1n C2 n ... Cnn  Donde bij = ai1.Cj1 + ai2.Cj2 + ... + ain.Cjn Si i = j entonces bij = A Si i ≠ j entonces bij = 0 A  0 A.Adj(A) =  :  0

0 A : 0

... ... ...

0  0 = A . In :   A

Como A es inversible A es distinto de cero, por lo tanto Adj( A) Adj( A) A. = In => A-1 = A A

MATRICES Y DETERMINANTES

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