Matrices-matematica.docx

República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación L.B. “Antonio Lemus Pérez” Cumaná – Edo. Sucre

Matrices MATEMÀTICA

Prof.: Jeans Mago Sección: 5º “C” Estudiantes: Barreto, María V. #01 Rodríguez, Alix #16 Rodríguez, Angélika #19 Ramos, Arolkys #27

Cumaná,

febrero

de

2019

Introducción

Las matrices aparecieron por primera vez en el año 1850, introducidas por el inglés J. J. Sylvester. Su desarrollo se debe a William Hamilton y a Arthur Cayley. Las matrices siendo un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, se han utilizado en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales; estas aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, entre otros. Nuestra cultura está llena de matrices de números: El horario de los trenes de cada una de las estaciones es una matriz de doble entrada, la tabla de cotizaciones de la Bolsa en cada uno de los días de la semana es otra, las tablas de sumar y multiplicar, los puntos de un monitor de ordenador, además de ello también son usadas para codificar información para proteger ciertos datos, como lo son las transacciones electrónicas, las claves de las tarjetas emitidas por la banca nacional, el acceso a los correos online, entre otros. Y es que son tantos ejemplos del uso de matrices en la vida cotidiana, por lo que resulta de suma importancia el conocimiento de este sistema algebraico que se presentará a continuación.

Matrices Una matriz es un arreglo rectangular de números reales dispuestos en m filas y n columnas (m,n ∈ N), lo cual puede denotarse de la siguiente forma:

Donde Aij es un elemento de la matriz situado en la fila i y en la columna j.

El orden de la matriz es el mínimo entre m y n = min(m, n). El número de elementos (dimensión) de una matriz lo obtendremos de multiplicar el número de filas por el de columnas: m x n . Al producto m x n llamamos orden de matriz. Por ejemplo; una matriz de 3x2 es más pequeña que otra matriz de 7x4. Esto quiere decir que el orden, el tamaño, o la dimensión significan lo mismo. Algunos ejemplos son:

Matrices Cuadradas: éstas tienen igual número de las filas que de columnas (m = n). El conjunto de todas las matrices cuadradas con n filas y columnas se denota Mnxn (R) o Mn (R). Por ejemplo, son cuadradas las matrices:

∈ M2x2

∈M3x3

∈ M4x4

En las matrices presentadas se distinguen lo que se conoce como diagonal principal y diagonal secundaria: La diagonal principal consta de los elementos de la forma Aii, es decir, de todos los elementos desde

A11 hasta Ann. La diagonal secundaria abarca los elementos de la forma Aij, donde i + j = n +1, esto es, los elementos en la diagonal desde A1n hasta An1. En los siguientes ejemplos se muestra de color rojo la diagonal principal y de color azul la secundaria:

Matriz Fila: es aquella matriz que está formada únicamente por una fila, su dimensión es 1 x n:

La Matriz Fila también se conoce como vector fila. Algunos ejemplos son: A = (-1 8 10)

A = (2 5 3 1)

A = (2 19)

A = (-5 0 -1 24)

Matriz Columna: es aquella matriz que está formada únicamente por una columna, su dimensión es m x 1. Por ejemplo:

M3X1

Matriz Diagonal: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no estén en la diagonal principal son iguales a 0. Ejemplos:

Matriz Nula (Matriz Cero): es aquella matriz en la que todos sus valores son igual a 0. Por ejemplo:

Matriz Unidad o Matriz Identidad: es una matriz diagonal cuyos elementos en la diagonal principal son todos 1 y el resto son iguales a 0. Se denota como I o Id:

Matriz Identidad de orden 2

Matriz Identidad de orden 4

Matriz Transpuesta: esta matriz tiene por elementos ATij = Aji, donde 1≤ i ≤ n, 1≤ j ≤ m. Esto significa que el elemento Aji de la matriz A es ahora el elemento ATji de la matriz AT, es decir, el intercambio de los correspondientes

valores

Algunos ejemplos:

de

las

filas

por

los

de

las

columnas:

Matriz Ortogonal: es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta. Sea n un número natural y sea A una matriz cuadrada n por n, con entradas reales. Se dice que la matriz es ortogonal si:

A. AT = I

, donde

AT representa la matriz traspuesta de A e I representa la matriz identidad.

Ejemplos:

Matrices Triangulares: éstas poseen dos condiciones, son cuadradas y, además los elementos “bajo” la diagonal principal son nulos, Aij =0 si i > j, en tal caso se dice que es una matriz triangular superior. O bien, los elementos “sobre” la diagonal principal son nulos, Aij = si i < j, en este caso se dice que es una matriz triangular inferior. Ejemplos:

Son triangulares inferiores

son triangulares superiores

Referencias Electrónicas



Laura, (2012). “Aplicaciones de las Matrices”. La guía. Recuperado de: https://matematica.laguia2000.com/general/aplicaciones-de-las-matrices



La matemática y el vivir bien, (2012). “Mensajes cifrados”. Educar + Paz. Recuperado de: https://educarmaspaz.wordpress.com/libros-coleccion-bicentenaria/



Matematicas10.net, (2018). "Ejemplos de Matriz Ortogonal". Recuperado de: https://www.matematicas10.net/2015/12/ejemplos-de-matriz-ortogonal.html



Wikipedia, (2019). “Matriz (matemáticas)”. Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)