Matrices Especiales.docx

MATRICES ESPECIALES 1. MATRIZ FILA: Se llama así a toda matriz formada por una sola fila. Como el número de filas es uno (m = 1). Luego la matriz fila es de orden 1xn.

2. MATRIZ COLUMNA: Se llama así a toda matriz formada por una sola columna. Como el número de columnas es uno, (n = 1). Luego la matriz columna es de orden mx1.

3. MATRIZ CUADRADA: Se llama así a toda matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. Como m = n, Solo se dice que la matriz es de orden n.

Diagonal principal. A aquellos elementos aij en los cuales i = j (mira, son los que en el ejemplo están en rojo). También se puede mencionar, que aquellos elementos aij que cumplen la condición i + j = n + 1, forman la diagonal secundaria.

4. MATRIZ NULA: Se llama así a toda matriz que todos sus elementos son 0. Se simboliza con N.

5. MATRICES TRASPUESTAS: Dada una matriz A= [aij] de orden mxn, A∈Mmxn, su traspuesta es otra matriz que se representa Por At ∈Mnxm, y se obtiene intercambiando ordenadamente las filas por columnas: aji t= aij ∀i = 1, 2, …, m; ∀j = 1, 2, …, n. Ejemplo: 1

5

23 A=( 8

5 1

AT =

2

−3 ) 0

4𝑖 1

23

8

5

1

4𝑖 2

5

− 0 ( 7 )

6. MATRIZ IDENTIDAD: Se llama así a toda matriz cuadrada en la cual todos los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto es 0. Se simboliza con I

7. MATRIZ DIAGONAL: Se llama así a toda matriz cuadrada en la cual todos los elementos de la diagonal principal son distintos de 0, y el resto es 0. (La matriz identidad es un caso especial de matriz diagonal).

8. MATRIZ ESCALAR: Se llama así a toda matriz cuadrada en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales pero distintos de 0, y el resto es 0. (La matriz identidad, también, es un caso especial de matriz escalar).

9. MATRIZ TRIANGULAR: Se llama así a toda matriz cuadrada en la cual todos los elementos que están de un mismo lado de la diagonal principal son 0. Por lo tanto podemos tener dos tipos de matrices triangulares: Triangular superior (los ceros están abajo) y triangular inferior (los ceros están arriba).

10. AMATRIZ SIMETRICA: Es una matriz cuadrada, donde los elementos alternos tienen el mismo valor. −8 −1 3 (−1 7 4) 3 4 9 11. MATRIZ ANTISIMETRICA: Se denomina matriz antisimétrica a aquella matriz cuadrada cuya traspuesta coincide con su Matriz opuesta. Teniendo en cuenta cuando dos matrices son iguales o idénticas, se tiene que: 𝐴𝑇 = -A  aij = -aij ∀i,j=1,2,......,n

0 1 0 0 A=(−1 0 −3) ; −𝐴 = (1 0 3 0 0

−1 0 0 3) −3 0

12. MATRIZ COMPLEJA: Es toda matriz cuadrada, cuyos elementos son números complejos. 2+𝑖 (8 − 4𝑖 1+𝑖

3 − 4𝑖 4 − 8𝑖 2 + 9𝑖

6 + 5𝑖 7 + 2𝑖 ) 5 − 5𝑖

13. MATRIZ CONJUGADA: Sea A una matriz rectangular o cuadrada compleja. Si se forma otra matriz tomando los complejos de cada elemento de A se obtiene la matriz conjugada de A. 3+𝑖 A = ( −3 −𝑖

3/4𝑖 8+𝑖 3/5 + 𝑖

0 6 ) −2𝑖

3−𝑖 A = ( −3 𝑖

−3/4𝑖 8−𝑖 3/5 − 𝑖

0 6) 2𝑖

14. MATRIZ ADJUNTA: Si se tiene una matriz cuadrada A, su matriz adjunta o adj(A) es la resultante de sustituir cada término de A por sus respectivos adjuntos. El adjunto de un término aij de la matriz A resulta del determinante de la matriz que se obtiene de quitar a A la fila y la columna a la que pertenece el término aij multiplicado por (−1) (i+j). 1. Ejemplo. Sea A ∈ Mm,n(C). La matriz adjunta de A denotada por A∗ se define como la matriz transpuesta conjugada de A. Por ejemplo, si A=(

7 − 3𝑖 2

7 + 3𝑖 A*=( −4 −5

−4 −2𝑖

5𝑖 ) 3 + 4𝑖

2 2𝑖 ) 3 − 4𝑖

15. MATRIZ HERMÉTICA: Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j: Por ejemplo, 𝟑 𝟐−𝐢

A=(

𝟐+𝐢 ) 𝟏

16. MATRIZ ORTOGONAL: Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta. El conjunto de matrices ortogonales constituyen una representación lineal del grupo ortogonal Sea un número natural y sea una matriz cuadrada por , con entradas reales. Se dice que la matriz es ortogonal si: A.AT=I Donde AT representa la matriz traspuesta de A e I representa la matriz identidad. Ejemplo: Supongamos que la matriz de números reales. 𝑎 𝑏 ) 𝑐 𝑑 Es ortogonal y su determinante es +1 o -1 1 0 𝑎 𝑏 𝑎 𝑐 ( )( )=( ), 𝑏 𝑑 0 1 𝑐 𝑑 Por lo que a2+b2 = 1, (ac + bd)= 0, c2+d2=1 M=(

17. MATRIZ NILPOTENTE: Si A es una matriz nilpotente entonces su determinante es cero. Que el determinante sea cero es una condición necesaria para ser una matriz nilpotente, aunque no es una condición suficiente. Demostración: Si A es una matriz nilpotente de orden K, Ak=0 Por lo tanto (A)k = 0 por lo que determinante de (A) = 0 Ejemplo: La matriz: 0 1 M=( ) 0 0 Es nilpotente, ya que M2 = 0. En términos más generales, cualquier matriz triangular con ceros a lo largo de la diagonal principal es nilpotente.

18. MATRIZ IDEMPOTENTE: Una vez definido el producto de matrices, se puede definir el concepto de matriz idempotente Como aquella matriz cuadrada cuyo producto por sí misma es igual a sí misma: A2 = A ⋅ A = A Ejemplo: La matriz identidad es una matriz idempotente.

A=(

2 −1 )es idempotente. 2 −1