Matrices
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MOUNT VERNON SCHOOL 1. Datos de identificaci´ on ´ Area: Matem´aticas Docente: David Rodr´ıguez Periodo: Tercero y Cuarto Alumno:
1.
Fecha: Asignatura: Matem´aticas Grado: s´eptimo y octavo T´ıtulo: Gu´ıa de trabajo de recuperaci´on, matrices
Las matrices, sus operaciones y determinantes
1.1.
matrices
una matriz es un arreglo rectangular de n´ umeros, como por ejemplo: 5 1 0 3 2 −6 A= o B = 2 6 −1 4 3 4 3 −5 7 0
Los arreglos horizontales dentro de una matriz son llamados filas y aquellos verticales, columnas. Si la matrix tiene m filas y n columnas, se dice que ´esta es del tipo (m, n). Si tomamos en cuenta las matrices ejemplo, A es del tipo (2, 2) y la matrix B es del tipo (3, 4). Dos matrices son iguales, cuando son del mismo tipo y adem´as, los n´ umeros que ocupan iguales posiciones, en ambas matrices son iguales. De forma particular, una matriz del tipo (n, n), es decir, igual n´ umero n de filas y columnas, es llamada matrix cuadrada de orden n. Los n´ umeros que forman una matriz, son llamados elementos de la matriz. Para referirnos (denotar) las matrices, utilizaremos letras may´ usculas, como A, B, etc. Ejercicio 1.1. Investigue los diferentes tipos de matrices (transpuestas, escalonadas, diagonales, etc.). Para referirnos a una matriz, podremos utilizar una notaci´on denominada indicial o de ´ındices, de la siguiente manera: Consideremos la matriz: 1 2 3 4 5 6 Esta es una matriz del tipo (2, 3). En ´esta, cada n´ umero ocupa una posici´on espec´ıfica: El n´ umero 1 se halla en la primera fila con primera columna El 2 se encuentra en la primera fila, segunda columna El 3 est´a en la fila 1, columna 3 El 4 est´a en la fila 2, columna 1 El 5 est´a en la fila 2, columna 2 El 6 est´a en la fila 2, columna 3
1
LAS MATRICES, SUS OPERACIONES Y DETERMINANTES
Al tener en cuenta estas posiciones, podremos escribir esta matriz de una manera generalizada, como: a11 a12 a13 A= a21 a22 a23 Donde diremos que el “a2,3 ”, por ejemplo, es aquel ubicado en la fila 2 y la columna 3, que en el caso de nuestra matriz ejemplo, ser´ıa el 6.
1.2.
Suma y resta de matrices
Las matrices son susceptibles de ser operadas, bajo las operaciones usuales de suma, resta y multiplicaci´on. En esta secci´on veremos como sumar o restar dos matrices dadas. Para poder sumar o restar dos matrices, debe darse una condici´on: deben ser del mismo tipo, es decir, deben tener el mismo n´ umero de filas y columnas. Al cumplirse esto, la suma de dos matrices es igual a otra matriz del mismo tipo, cuyos elementos se forman por la adici´on de los elementos correspondientes de ambas; as´ı si: b11 b12 a11 a12 y B= A= a21 a22 b21 b2 2 Se define la suma A + B como la matrix: a11 + b11 a12 + b12 A+B = a21 + b21 a22 + b22 Ejemplo 1.1. Si A=
2 4 6 3 5 7
y
B=
1 0 2 15 −8 −9
Ya que son matrices del mismo tipo, se pueden sumar, de tal manera que: 2+1 4+0 6+2 3 4 8 A+B = = 3 + 15 5 + (−8) 7 + (−9) 18 −3 −2 De forma similar, tenemos la resta de matrices, la cual resulta de la resta de los elementos correspondientes de cada matriz Ejemplo 1.2. Dadas las matrices: c11 c12 C= c21 c22 Se define su resta como: C −D =
Ejemplo 1.3. Si las matrices dadas son: 1 2 C = 3 4 5 6
y
D=
d11 d12 d21 d22
c11 − d11 c12 − d12 c21 − d21 c22 − d22
7 8 D = 13 −10 −11 0
y
2
1
LAS MATRICES, SUS OPERACIONES Y DETERMINANTES
Ya que son del mismo tipo, podemos restarlas, obteniendo la matrix: 1−7 2−8 −6 −6 4 − (−10) = −10 14 C − D = 3 − 13 5 − (−11) 6−0 16 6
Antes de definir la multiplicaci´on de matrices, es importante estudiar una forma de multiplicaci´on sencilla, denominada multiplicaci´ on por escalares, en donde se obtendra el producto 1 de un n´ umero por una matriz. Para esto, si a11 a12 A= a21 a22 es una matriz y k es un n´ umero cualquiera, diferente de cero (k 6= 0), el producto del escalar k por la matriz A es: a a ka11 ka12 kA = k 11 12 = a21 a22 ka21 ka22
Donde ka11 , por ejemplo, significa el n´ umero k multiplicado por el n´ umero en la posici´on de a11 . Ejemplo 1.4. Si 1 2 C = 3 4 5 6
y k = 2, entonces
2·1 2·2 2 4 2 · C = 2 · 3 2 · 4 = 6 8 2·5 2·6 10 12
Las sumas o restas de matrices o multiplicaciones por escalares siguen las mismas reglas de la suma o resta de n´ umeros positivos, negativos, decimales,mixtos o fracciones, seg´ un corresponda Ejercicio 1.2. Si 1 3 5 −13 A= , 7 9 11 −15
B=
2 −4 6 −8 10 −12 14 −16
Resuelva: 1. A + B 2. B + C 3. A + B + C 4. A + 2B 5. B − 3C 6. (−2)A + B 7. 3A − 2B − C 1
El producto es un sin´ onimo de multiplicaci´ on
3
y
C=
1 2 7 6
2 3
5,4 3,6 , −12 9,8 −34
1
1.3.
LAS MATRICES, SUS OPERACIONES Y DETERMINANTES
Multiplicaci´ on de matrices
Dadas dos matrices A y B, se ha de cumplir una condici´on para poder multiplicarlas. Si A es de tipo (m, n) y B es de tipo (p, q), entonces para multiplicarlas n y p deben ser el mismo n´ umero. Esto es, el n´ umero de columnas de la primera matriz debe ser igual al n´ umero de filas de la segunda. De no cumplirse esta condici´on, se asume que no se pueden operar estas matrices. Luego de ser cierta esta condici´on, se operan de la siguiente manera: Si A=
a11 a12 a21 a22
b11 b12 B= b21 b22
y
entonces, ya que el n´ umero de columnas de A es igual al n´ umero de filas de B, podemos multiplicarlas, de la siguiente manera: a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 A·B = a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22 Donde cada fila de la matriz A pareciera “convertirse” en una columna que se multiplica elemento a elemento con cada fila de la matriz B 2 . Ejemplo 1.5. Si A= 1 3 Su producto ser´a:
y
B=
1 −1 2 2 2 3
A · B = 1 · 1 + 3 · 2 1 · (−1) + 3 · 2 1 · 2 + 3 · 3 = 7 5 11
Ejercicio 1.3. Si A=
2 1 , −1 6
B=
1 5 , 2 −3
C=
2 1 4 3 −1 2
y
5 2 −1 D = 3 0 1 2 4 −3
Realice las siguientes operaciones, si es posible. De no serlo, explique por qu´e: 1. A · B 2. B · A 3. A2 4. A2 · B 5. C · D 6. D 2 7. B · D 2
Revise sus apuntes en el cuaderno para revisar tal procedimiento
4
1
1.4.
LAS MATRICES, SUS OPERACIONES Y DETERMINANTES
Determinantes
Las matrices como hemos visto, son arreglos rectangulares de n´ umeros. Esto hace que adquieran una naturaleza diferente a los objetos matem´aticos que hemos trabajado usualmente: n´ umeros enteros, fracciones y n´ umeros mixtos (ya sean positivos o negativos), o ya bien objetos geom´etricos (rectas, segmentos, a´ngulos, etc.), ya que no corresponden a un atributo o propiedad descrita por un s´ olo n´ umero, sino varios. No obstante, a las matrices les podemos asignar un u ´ nico n´ umero que de cierta manera representa a la matriz. Tal n´ umero es llamado el determinante de la matriz. Sin embargo, ´este n´ umero no puede hallarse para cualquier matriz, ´esta debe ser una matriz cuadrada de cualquier orden. En esta secci´on vamos a aprender a hallar el determinante de matrices cuadradas de orden 2 y 3. 1.4.1.
Determinantes de orden 2
Dada una matriz de orden 2 A=
a11 a12 a21 a22
el determinante de esta matriz, denotado como |A|, se halla realizando el siguiente c´alculo: |A| = (a11 · a22 ) − (a21 · a12 ) Es necesario tener en cuenta si alguno de los elementos de la matriz es negativo, porque eso pudiera modificar ciertos c´alculos. Es importante recordar la multiplicaci´on de n´ umeros signados. Ejemplo 1.6. Sea la matriz A=
2 4 3 9
Entonces su determinante es igual a: |A| = (2 · 9) − (3 · 4) = 18 − 12 = 6 Ejemplo 1.7. Consideremos la matrix B=
1 −2 3 4
Su determinante es entonces igual a: |B| = (1 · 4) − (3 · (−2)) = 4 − (−6) = 4 + 6 = 10 Si alguno de los elementos de la matriz es una fracci´on o un decimal, se siguen las normas usuales para producto, suma y resta de fracciones y decimales. Ejercicio 1.4. Halle el determinante de las siguientes matrices cuadradas de orden 2: 3 5 1. 7 9 5
1
2.
−2 5 0 0
3.
−8 1 4 7
− 23
LAS MATRICES, SUS OPERACIONES Y DETERMINANTES
10 4. 7 11 8 2 −3 5. 4 19 2,1 3,2 6. 4 10 1.4.2.
Determinantes de orden 3
Para hallar el determinante de una matriz cuadrada de orden tres, necesitamos dos elementos previos: cofactores y matrices menores. cofactores Cada elemento de la matriz posee una posici´on relativa a filas y columnas. Si cada elemento “anulara” la fila y la columna a la que pertenece, determina una nueva matriz de orden menor. Tal elemento es llamado un cofactor. Potencialmente, cada elemento de la matriz puede ser un cofactor que determina una nueva matriz de orden menor Ejemplo 1.8. Si a11 a12 a1 3 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33
El elemento a11 elimina la primera fila de tal manera que obtenemos: a11 a21 a31
y la primera columna (se˜ nalado en negrilla), a12 a13 a22 a23 a32 a33
Y de esa manera queda determinada o separada la matriz cuadrada de orden menor (de orden 3 pasa a orden 2) cuyos elementos son: a22 a23 a32 a33
La matriz de orden menor que queda determinada por cada cofactor es llamada matriz menor relativa al cofactor anm , siendo anm el cofactor tomado. Para nuestro caso particular, la matriz: a22 a23 a32 a33 6
1
LAS MATRICES, SUS OPERACIONES Y DETERMINANTES
es la matriz menor relativa al cofactor a 11 . Con base en esto, para hallar el determinante de una matriz cuadrada de orden 3, necesitamos hallar los determinantes de las matrices menores relativas a los cofactores de una de las filas. En forma particular podremos hacer los siguiente: Ejemplo 1.9. Si a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33
Tomaremos como cofactores los elementos de la primera fila. Con base en esto, haremos los siguientes c´alculos con respecto a las matrices menores relativas a tales cofactores: a22 a23 a21 a23 − a12 · + a13 · a21 a22 |A| = a11 · a32 a33 a31 a33 a31 a32 El valor final de tales c´alculos es el determinante de la matriz cuadrada de orden 3.
Ejemplo 1.10. Dada la matriz 9 8 7 A = 6 5 4 3 2 1
de orden 3, su determinante es igual a 6 4 6 5 5 4 −8· +7· |A| = 9 · 3 2 2 1 3 1 Ahora:
5 2 6 3 6 3
4 = (5 · 1) − (2 · 4) 1 4 = (6 · 1) − (3 · 4) 1 5 = (6 · 2) − (3 · 5) 2
= −3 = −6 = −3
Por lo que el determinante ser´a igual a:
|A| = 9 · (−3) − 8 · (−6) + 7 · (−3) = −27 + 48 − 21 = 0 Ejercicio 1.5. Halle el determinante de las sigguientes matrices cuadradas de orden 3: 1 3 4 1. 3 −2 1 1 −12 −11 1 1 −1 2. 3 −5 2 2 −14 8 7
1
2 3. 5 4 1 4. 3 0
1.5.
LAS MATRICES, SUS OPERACIONES Y DETERMINANTES
1 −1 3 7 3 17 9 −6 1 −1 1 0
Aplicaciones a las ecuaciones lineales
Las ecuaciones lineales tienen como representaci´on gr´afica una recta geom´etrica. Sin embargo, dadas dos rectas en un plano, ´estas pueden cumplir dos relaciones b´asicas: se interesecan (son rectas secantes) o no se intersecan (son rectas paralelas). Cuando no son rectas paralelas, suele ser conveniente hallar las coordenadas del punto de intersecci´on. a esto se le denomina resolver un sistema de ecuaciones lineales. Tales resoluciones se realizan a trav´es de diversos procedimientos. Aqu´ı estudiaremos el m´etodo de resoluci´on por matrices, comunmente conocido como la Regla de Cramer. Procedimiento Dadas las ecuaciones lineales ( ax + by = c dx + ey = d Tomamos las siguientes matrices: Matriz relativa a la variable x ∆x =
∆y =
c b d e
Matriz relativa a la variable y
Matriz relativa a la ecuaci´ on
a c d d
a b ∆= d e
Con base en esto, tenemos que las coordenadas (x, y) del punto de intersecci´on de las rectas son iguales a los siguientes cocientes: x=
|∆x| |∆|
y=
|∆y| |∆|
Ejemplo 1.11. Dado el sistema de ecuaciones lineales: ( 2x + 3y = 4 x + 4y = 10 8
1
LAS MATRICES, SUS OPERACIONES Y DETERMINANTES
Hallamos las matrices relativas y sus determinantes: 4 3 |∆x| = = (4 · 4) − (10 · 3) = −14 10 4 2 4 |∆y| = = (2 · 10) − (1 · 4) = 16 1 10 2 3 |∆| = = (2 · 4) − (1 · 3) = 5 1 4 y finalmente, hallamos los valores de x y y del punto de intersecci´on de las rectas. x=
−14 = −2,8 5
y=
16 = 3,2 5
Al graficar el sistema obtenemos: 4
3
(−2,8, 3,2) 2
3 2
1
1
0
−4 −3 −2 −1 −1
1
-1
-2
−2
-3
−3
-4 -4
-3
-2
−4 -1
0
1
2
2
3
3
4
Si la matriz denominador tiene determinante cero, el cociente que nos dar´a las coordenadas x y y no podr´a resolverse. De esto, concluiremos que se trata de un sistema de ecuaciones lineales inconsistente, que quiere decir que las rectas del sistema son paralelas o son la misma. Para comprobar esta afirmaci´on, se recurrir´ıa a la graficaci´on. Ejercicio 1.6. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, si alguno es inconsistente, pruebe su afirmaci´on por medio de la graficaci´on de las rectas: ( 4x − 3y = 6 1. −2x + 5y = 4 ( 7x + 4y = 8 2. 7x + 4y = 6 9
REFERENCIAS
3.
(
x+y = 6 x−y = 2
4.
(
2x + y = 1 x − 2y = −7
5.
(
x−y = 4 2x + y = 5
6.
(
3x − y = −3 2x + y = −7
(
4x − 3y = −1 8x + 3y = 4 y = 11 − 3x 2 8. 11 − 4y x = 6 y = 1 − 5x 2 9. 3y + 10 x = 4 7.
Referencias
´ [1] R. GUSTAFSON and P. FRISK. Algebra Intermedia. Thomson, 7a. edici´on edition, 2006. [2] D. MURDOCH. Geometr´ıa Anal´ıtica con Vectores y Matrices. Limusa, 1991.
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Fecha: Asignatura: Matem´aticas Grado: s´eptimo y octavo T´ıtulo: Gu´ıa de trabajo de recuperaci´on, matrices
Las matrices, sus operaciones y determinantes
1.1.
matrices
una matriz es un arreglo rectangular de n´ umeros, como por ejemplo: 5 1 0 3 2 −6 A= o B = 2 6 −1 4 3 4 3 −5 7 0
Los arreglos horizontales dentro de una matriz son llamados filas y aquellos verticales, columnas. Si la matrix tiene m filas y n columnas, se dice que ´esta es del tipo (m, n). Si tomamos en cuenta las matrices ejemplo, A es del tipo (2, 2) y la matrix B es del tipo (3, 4). Dos matrices son iguales, cuando son del mismo tipo y adem´as, los n´ umeros que ocupan iguales posiciones, en ambas matrices son iguales. De forma particular, una matriz del tipo (n, n), es decir, igual n´ umero n de filas y columnas, es llamada matrix cuadrada de orden n. Los n´ umeros que forman una matriz, son llamados elementos de la matriz. Para referirnos (denotar) las matrices, utilizaremos letras may´ usculas, como A, B, etc. Ejercicio 1.1. Investigue los diferentes tipos de matrices (transpuestas, escalonadas, diagonales, etc.). Para referirnos a una matriz, podremos utilizar una notaci´on denominada indicial o de ´ındices, de la siguiente manera: Consideremos la matriz: 1 2 3 4 5 6 Esta es una matriz del tipo (2, 3). En ´esta, cada n´ umero ocupa una posici´on espec´ıfica: El n´ umero 1 se halla en la primera fila con primera columna El 2 se encuentra en la primera fila, segunda columna El 3 est´a en la fila 1, columna 3 El 4 est´a en la fila 2, columna 1 El 5 est´a en la fila 2, columna 2 El 6 est´a en la fila 2, columna 3
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LAS MATRICES, SUS OPERACIONES Y DETERMINANTES
Al tener en cuenta estas posiciones, podremos escribir esta matriz de una manera generalizada, como: a11 a12 a13 A= a21 a22 a23 Donde diremos que el “a2,3 ”, por ejemplo, es aquel ubicado en la fila 2 y la columna 3, que en el caso de nuestra matriz ejemplo, ser´ıa el 6.
1.2.
Suma y resta de matrices
Las matrices son susceptibles de ser operadas, bajo las operaciones usuales de suma, resta y multiplicaci´on. En esta secci´on veremos como sumar o restar dos matrices dadas. Para poder sumar o restar dos matrices, debe darse una condici´on: deben ser del mismo tipo, es decir, deben tener el mismo n´ umero de filas y columnas. Al cumplirse esto, la suma de dos matrices es igual a otra matriz del mismo tipo, cuyos elementos se forman por la adici´on de los elementos correspondientes de ambas; as´ı si: b11 b12 a11 a12 y B= A= a21 a22 b21 b2 2 Se define la suma A + B como la matrix: a11 + b11 a12 + b12 A+B = a21 + b21 a22 + b22 Ejemplo 1.1. Si A=
2 4 6 3 5 7
y
B=
1 0 2 15 −8 −9
Ya que son matrices del mismo tipo, se pueden sumar, de tal manera que: 2+1 4+0 6+2 3 4 8 A+B = = 3 + 15 5 + (−8) 7 + (−9) 18 −3 −2 De forma similar, tenemos la resta de matrices, la cual resulta de la resta de los elementos correspondientes de cada matriz Ejemplo 1.2. Dadas las matrices: c11 c12 C= c21 c22 Se define su resta como: C −D =
Ejemplo 1.3. Si las matrices dadas son: 1 2 C = 3 4 5 6
y
D=
d11 d12 d21 d22
c11 − d11 c12 − d12 c21 − d21 c22 − d22
7 8 D = 13 −10 −11 0
y
2
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LAS MATRICES, SUS OPERACIONES Y DETERMINANTES
Ya que son del mismo tipo, podemos restarlas, obteniendo la matrix: 1−7 2−8 −6 −6 4 − (−10) = −10 14 C − D = 3 − 13 5 − (−11) 6−0 16 6
Antes de definir la multiplicaci´on de matrices, es importante estudiar una forma de multiplicaci´on sencilla, denominada multiplicaci´ on por escalares, en donde se obtendra el producto 1 de un n´ umero por una matriz. Para esto, si a11 a12 A= a21 a22 es una matriz y k es un n´ umero cualquiera, diferente de cero (k 6= 0), el producto del escalar k por la matriz A es: a a ka11 ka12 kA = k 11 12 = a21 a22 ka21 ka22
Donde ka11 , por ejemplo, significa el n´ umero k multiplicado por el n´ umero en la posici´on de a11 . Ejemplo 1.4. Si 1 2 C = 3 4 5 6
y k = 2, entonces
2·1 2·2 2 4 2 · C = 2 · 3 2 · 4 = 6 8 2·5 2·6 10 12
Las sumas o restas de matrices o multiplicaciones por escalares siguen las mismas reglas de la suma o resta de n´ umeros positivos, negativos, decimales,mixtos o fracciones, seg´ un corresponda Ejercicio 1.2. Si 1 3 5 −13 A= , 7 9 11 −15
B=
2 −4 6 −8 10 −12 14 −16
Resuelva: 1. A + B 2. B + C 3. A + B + C 4. A + 2B 5. B − 3C 6. (−2)A + B 7. 3A − 2B − C 1
El producto es un sin´ onimo de multiplicaci´ on
3
y
C=
1 2 7 6
2 3
5,4 3,6 , −12 9,8 −34
1
1.3.
LAS MATRICES, SUS OPERACIONES Y DETERMINANTES
Multiplicaci´ on de matrices
Dadas dos matrices A y B, se ha de cumplir una condici´on para poder multiplicarlas. Si A es de tipo (m, n) y B es de tipo (p, q), entonces para multiplicarlas n y p deben ser el mismo n´ umero. Esto es, el n´ umero de columnas de la primera matriz debe ser igual al n´ umero de filas de la segunda. De no cumplirse esta condici´on, se asume que no se pueden operar estas matrices. Luego de ser cierta esta condici´on, se operan de la siguiente manera: Si A=
a11 a12 a21 a22
b11 b12 B= b21 b22
y
entonces, ya que el n´ umero de columnas de A es igual al n´ umero de filas de B, podemos multiplicarlas, de la siguiente manera: a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 A·B = a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22 Donde cada fila de la matriz A pareciera “convertirse” en una columna que se multiplica elemento a elemento con cada fila de la matriz B 2 . Ejemplo 1.5. Si A= 1 3 Su producto ser´a:
y
B=
1 −1 2 2 2 3
A · B = 1 · 1 + 3 · 2 1 · (−1) + 3 · 2 1 · 2 + 3 · 3 = 7 5 11
Ejercicio 1.3. Si A=
2 1 , −1 6
B=
1 5 , 2 −3
C=
2 1 4 3 −1 2
y
5 2 −1 D = 3 0 1 2 4 −3
Realice las siguientes operaciones, si es posible. De no serlo, explique por qu´e: 1. A · B 2. B · A 3. A2 4. A2 · B 5. C · D 6. D 2 7. B · D 2
Revise sus apuntes en el cuaderno para revisar tal procedimiento
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1
1.4.
LAS MATRICES, SUS OPERACIONES Y DETERMINANTES
Determinantes
Las matrices como hemos visto, son arreglos rectangulares de n´ umeros. Esto hace que adquieran una naturaleza diferente a los objetos matem´aticos que hemos trabajado usualmente: n´ umeros enteros, fracciones y n´ umeros mixtos (ya sean positivos o negativos), o ya bien objetos geom´etricos (rectas, segmentos, a´ngulos, etc.), ya que no corresponden a un atributo o propiedad descrita por un s´ olo n´ umero, sino varios. No obstante, a las matrices les podemos asignar un u ´ nico n´ umero que de cierta manera representa a la matriz. Tal n´ umero es llamado el determinante de la matriz. Sin embargo, ´este n´ umero no puede hallarse para cualquier matriz, ´esta debe ser una matriz cuadrada de cualquier orden. En esta secci´on vamos a aprender a hallar el determinante de matrices cuadradas de orden 2 y 3. 1.4.1.
Determinantes de orden 2
Dada una matriz de orden 2 A=
a11 a12 a21 a22
el determinante de esta matriz, denotado como |A|, se halla realizando el siguiente c´alculo: |A| = (a11 · a22 ) − (a21 · a12 ) Es necesario tener en cuenta si alguno de los elementos de la matriz es negativo, porque eso pudiera modificar ciertos c´alculos. Es importante recordar la multiplicaci´on de n´ umeros signados. Ejemplo 1.6. Sea la matriz A=
2 4 3 9
Entonces su determinante es igual a: |A| = (2 · 9) − (3 · 4) = 18 − 12 = 6 Ejemplo 1.7. Consideremos la matrix B=
1 −2 3 4
Su determinante es entonces igual a: |B| = (1 · 4) − (3 · (−2)) = 4 − (−6) = 4 + 6 = 10 Si alguno de los elementos de la matriz es una fracci´on o un decimal, se siguen las normas usuales para producto, suma y resta de fracciones y decimales. Ejercicio 1.4. Halle el determinante de las siguientes matrices cuadradas de orden 2: 3 5 1. 7 9 5
1
2.
−2 5 0 0
3.
−8 1 4 7
− 23
LAS MATRICES, SUS OPERACIONES Y DETERMINANTES
10 4. 7 11 8 2 −3 5. 4 19 2,1 3,2 6. 4 10 1.4.2.
Determinantes de orden 3
Para hallar el determinante de una matriz cuadrada de orden tres, necesitamos dos elementos previos: cofactores y matrices menores. cofactores Cada elemento de la matriz posee una posici´on relativa a filas y columnas. Si cada elemento “anulara” la fila y la columna a la que pertenece, determina una nueva matriz de orden menor. Tal elemento es llamado un cofactor. Potencialmente, cada elemento de la matriz puede ser un cofactor que determina una nueva matriz de orden menor Ejemplo 1.8. Si a11 a12 a1 3 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33
El elemento a11 elimina la primera fila de tal manera que obtenemos: a11 a21 a31
y la primera columna (se˜ nalado en negrilla), a12 a13 a22 a23 a32 a33
Y de esa manera queda determinada o separada la matriz cuadrada de orden menor (de orden 3 pasa a orden 2) cuyos elementos son: a22 a23 a32 a33
La matriz de orden menor que queda determinada por cada cofactor es llamada matriz menor relativa al cofactor anm , siendo anm el cofactor tomado. Para nuestro caso particular, la matriz: a22 a23 a32 a33 6
1
LAS MATRICES, SUS OPERACIONES Y DETERMINANTES
es la matriz menor relativa al cofactor a 11 . Con base en esto, para hallar el determinante de una matriz cuadrada de orden 3, necesitamos hallar los determinantes de las matrices menores relativas a los cofactores de una de las filas. En forma particular podremos hacer los siguiente: Ejemplo 1.9. Si a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33
Tomaremos como cofactores los elementos de la primera fila. Con base en esto, haremos los siguientes c´alculos con respecto a las matrices menores relativas a tales cofactores: a22 a23 a21 a23 − a12 · + a13 · a21 a22 |A| = a11 · a32 a33 a31 a33 a31 a32 El valor final de tales c´alculos es el determinante de la matriz cuadrada de orden 3.
Ejemplo 1.10. Dada la matriz 9 8 7 A = 6 5 4 3 2 1
de orden 3, su determinante es igual a 6 4 6 5 5 4 −8· +7· |A| = 9 · 3 2 2 1 3 1 Ahora:
5 2 6 3 6 3
4 = (5 · 1) − (2 · 4) 1 4 = (6 · 1) − (3 · 4) 1 5 = (6 · 2) − (3 · 5) 2
= −3 = −6 = −3
Por lo que el determinante ser´a igual a:
|A| = 9 · (−3) − 8 · (−6) + 7 · (−3) = −27 + 48 − 21 = 0 Ejercicio 1.5. Halle el determinante de las sigguientes matrices cuadradas de orden 3: 1 3 4 1. 3 −2 1 1 −12 −11 1 1 −1 2. 3 −5 2 2 −14 8 7
1
2 3. 5 4 1 4. 3 0
1.5.
LAS MATRICES, SUS OPERACIONES Y DETERMINANTES
1 −1 3 7 3 17 9 −6 1 −1 1 0
Aplicaciones a las ecuaciones lineales
Las ecuaciones lineales tienen como representaci´on gr´afica una recta geom´etrica. Sin embargo, dadas dos rectas en un plano, ´estas pueden cumplir dos relaciones b´asicas: se interesecan (son rectas secantes) o no se intersecan (son rectas paralelas). Cuando no son rectas paralelas, suele ser conveniente hallar las coordenadas del punto de intersecci´on. a esto se le denomina resolver un sistema de ecuaciones lineales. Tales resoluciones se realizan a trav´es de diversos procedimientos. Aqu´ı estudiaremos el m´etodo de resoluci´on por matrices, comunmente conocido como la Regla de Cramer. Procedimiento Dadas las ecuaciones lineales ( ax + by = c dx + ey = d Tomamos las siguientes matrices: Matriz relativa a la variable x ∆x =
∆y =
c b d e
Matriz relativa a la variable y
Matriz relativa a la ecuaci´ on
a c d d
a b ∆= d e
Con base en esto, tenemos que las coordenadas (x, y) del punto de intersecci´on de las rectas son iguales a los siguientes cocientes: x=
|∆x| |∆|
y=
|∆y| |∆|
Ejemplo 1.11. Dado el sistema de ecuaciones lineales: ( 2x + 3y = 4 x + 4y = 10 8
1
LAS MATRICES, SUS OPERACIONES Y DETERMINANTES
Hallamos las matrices relativas y sus determinantes: 4 3 |∆x| = = (4 · 4) − (10 · 3) = −14 10 4 2 4 |∆y| = = (2 · 10) − (1 · 4) = 16 1 10 2 3 |∆| = = (2 · 4) − (1 · 3) = 5 1 4 y finalmente, hallamos los valores de x y y del punto de intersecci´on de las rectas. x=
−14 = −2,8 5
y=
16 = 3,2 5
Al graficar el sistema obtenemos: 4
3
(−2,8, 3,2) 2
3 2
1
1
0
−4 −3 −2 −1 −1
1
-1
-2
−2
-3
−3
-4 -4
-3
-2
−4 -1
0
1
2
2
3
3
4
Si la matriz denominador tiene determinante cero, el cociente que nos dar´a las coordenadas x y y no podr´a resolverse. De esto, concluiremos que se trata de un sistema de ecuaciones lineales inconsistente, que quiere decir que las rectas del sistema son paralelas o son la misma. Para comprobar esta afirmaci´on, se recurrir´ıa a la graficaci´on. Ejercicio 1.6. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, si alguno es inconsistente, pruebe su afirmaci´on por medio de la graficaci´on de las rectas: ( 4x − 3y = 6 1. −2x + 5y = 4 ( 7x + 4y = 8 2. 7x + 4y = 6 9
REFERENCIAS
3.
(
x+y = 6 x−y = 2
4.
(
2x + y = 1 x − 2y = −7
5.
(
x−y = 4 2x + y = 5
6.
(
3x − y = −3 2x + y = −7
(
4x − 3y = −1 8x + 3y = 4 y = 11 − 3x 2 8. 11 − 4y x = 6 y = 1 − 5x 2 9. 3y + 10 x = 4 7.
Referencias
´ [1] R. GUSTAFSON and P. FRISK. Algebra Intermedia. Thomson, 7a. edici´on edition, 2006. [2] D. MURDOCH. Geometr´ıa Anal´ıtica con Vectores y Matrices. Limusa, 1991.
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