Matma Sciaga - Cala

1. Pochodne cząstkowe. Niech f będzie określona Q (po)

2. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów.

3. Tw. Schwarza o pochodnych mieszanych. Jeżeli f(x,y) posiada w obszarze D pochodne i ciągłe to jedno równa się drugiemu. x,yE D 4. Pochodne cząstkowe funkcji złożonej Niech u=fi(x,y) v=psi(x,y) określone w D o wart w D’ Wówczas w zbiorze D określona jest funkcja złożona w postaci z=f(fi(x,y), psi(x,y)) Jeżeli 1. fi, psi mają pochodną cząstkową w punkcie P 2. f(u,v) posiada pochodne cząstkowe ciągłe w otoczeniu punktu Q((u,v)) to funkcja złożona z- f(fi(x,y), psi(x,y)) posiada w P pochodne cząstkowe określone wzorami Dz/Dx=Df/Du*Du/Dx+Df/Dv*Dv/Dx; Dz/Dy=Df/Du*Du/Dy+Df/Dv*Dv/Dy. 5. Pochodna kierunkowa. Niech f będzie określona w Q(Po) i niech PEQ(Po) P=/Po Lim (f(P)- f(Po))/ |PoP|=(df/ds)|Po 6. Gradient. Wektor Df/Dx|Po*i + Df/Dy|Po *j nazywamy gradientem funkcji f w Po grad f(Po). grad f(Po)= Df/Dx|Po *i + Df/Dy|Po *j 7. Różniczka. Funkcja f(x,y) nazywamy różniczkowalną w Po(xo,yo) jeżeli przyrost Δf można przedstawić w postaci. Δf= Df/Dx|Po Δx + Df/Dy|Po Δy + κρ gdzie κ-> 0 gdy ρ=0 8. Różniczkowalność. Jeżeli f(x,y) jest różniczkowalna w Po, to wyrażenie Df/Dx|Po Δx + Df/Dy|Po Δy to nazywamy różniczką zupełną funkcji f w Po. dz|Po= df|Po= Df/Dx|Po Δx + Df/Dy|Po Δy 9. Ekstremum funkcji dwóch zmiennych. Niech f będzie określona w Q(Po). Def. Funkcja f ma w Po max (min) jeżeli istnieje S(Po,δ), że dla każdego punktu p E S(Po,δ) F(Po)>=f(P) (f(Po)<=f(P)) Jeżeli tylko < > to nazywamy to ekstremum właściwym funkcji. 10. Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych. Tw. Jeżeli I f ma w Po ekstremum II ma w Po pochodne Df/Dx i Df/Dy To Df/Dx|Po i Df/Dy|Po =0 11. Warunek wystarczający istnienia ekstremum. Niech f(x,y) ma Q(Po) pochodne drugiego rzędu ciągłe. W(x,y)= | Wypisac je 4 | Jeżeli: Df/Dx|Po=0 i Df/Dy|Po =0 to f ma w Po ekstremum gdy W(Po) jest dodatnie i to max gdy |Po < 0

|Po>0

Oraz minimum gdy Jeżeli W(Po) jest ujemne to ekstremum brak. 12. Funkcja uwikłana Def. Niech F będzie określona w D zawartym R^2. Jeżeli istnieje funkcja y=f(x) spełniająca w każdym puncie xEX warunek F(x,f(x))=0 to nazywamy ją funkcją uwikłaną określoną w zbiorze X za pomocą arównania f(x,y)=0 13. Liczby zespolone Z={(a,b):a,BeR} Własności I.[(a,b)=(c,d)](a=c i b=d) II. (a,b)+(c,d)= (a+c, b+d) III. (a,b)(c,d)= (ac-bd,ad+bc) 14. Każdą parę (a,b) można przedstawić w postaci a+ib tzn (a,b)= a+ib zwanej postacią kartezjańską w sposób jednoznaczny. Z=a+ ib a= część rzeczywista Rez b część urojona Imz 15. Interpretacja geometryczna- u1=[a,b]=z1 u2=[c,d]=z2 u1+u2= [a+c,b+d]=z1+z2 16. Moduł lub wartość bezwzględną liczby zespolonej a+Ib nazywamy liczbe rzeczywistą nieujemną Syrt a^2+b^2 i oznaczamy symbolem |a+ib|=sort a^2+b Sprzężenie liczby z=a-ib - liczba sprzężona z liczbą z. z=2+3i=2-3i=-2-3i=-2+3i. 17. Postać trygonometryczna liczby zespolonej. Argumentem liczby zespolonej z=a+Ib =/0 nazywamy każda liczbę rzeczywistą φ określoną równaniami Cosφ=a/|z| sinφ=b/|z| Do tego rysunek prostej w 1 ćwiartce 18. Mnożenie dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Tw. Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej tworzymy mnożąc moduły i dodając argumenty. Dzielimy- dzieląc modyły i odejmując argumenty np. z1=|z1|(cosφ1+isinφ1) z2 takie samo. Z1*z2= (cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)). 19. Wzór Moivre’a Tw. Dla każdej liczby rzeczywistej φ i liczby całkowitej n (cosφ+isinφ)n= cosnφ+isinnφ 20. Pierwiastkowanie liczb zespolonych. Def. Każda liczbę zespoloną W spełniającą równianie Wn=z (nEN) nazywamy pierwiastkiem stonia n z liczby zespolonej z i oznaczamy symbolem sort Z stopnia n. Tw. Istnieje dokladnie n różnych pierwiastków n-tego stopnia Wk z liczby zespolonej z=/0 Jeżeli z=|z|(cosφ+isinφ) W Wk= sqrt Z stopnia n(cos(φ+2kπ)/n +isin(φ+2kπ)/n) gdzie sqrt Z stopnia n to pierwiastek rytm k=0,1,2,n-1. 21. Równanie kwadratowe. Tw. Pierwiastkami równania ax2+bx+c=0 a=/0 są liczby x1=(-b-sqrtΔ)/2a, x2 inny znak. Jeżeli współczynniki równania kwadratowego są rzeczywiste i Δ>0 to pierw równania są rzeczywiste. Gdy Δ<0 to przyjmujemy sort=isqrt-Δ x1=(-b- isqrt-Δ)/2a, x2 inne znaki. 22. Równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu będziemy nazywali związek postaci gdzie x- zmienna niezależna y- f.szukana y’=Dy/dx F-ΩCR3 F(x,y,y’)=0 (2) dy/dx=f(x,y)- postać normalna równania różniczkowego wyższego rzędu.

23. Rozwiązaniem (całka) równania (2) nazywamy każdą funkcję zmiennej x z przedziału J- nieredukującego się do punktu o następujących własnościach I. φ E C1(J) II. Wykres f φ tzn zbiór {(x,y):y= φ(x)} zawarty jest w obszarze określoności funkcji f rówaniem dy/dx=f(x,y) III. [d φ (x)]/dx=f(x, φ(x)) i xEJ 24. Rozwiązanie ogólne. Funkcje φ zależną od zmiennej niezależnej x należącą do J i dowolnej stałej C przy własności, przy każdym c funkcja spełnia równanie dy/dx=f(x,y) nazywamy równaniem ogólnym danego równania (otrzymana postać daje się rozwikłać ze względu na stałą C) 25. Tw. Peawo o istnieniu zagadnienia Couchiego. Jeżeli fE c(R) gdzie R={ |x-xo|<=a,, |y-yo|<=b. to zagadnienie Couchiego Dy/dx=f(x,y),y(xo)=yo posiada rozwiązanie określone w <xo-α,xo+ α> gdzie α=min (a,b/M), |f(x,y)| <=MwD 26. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Jeżeli I. fE C(a,b) II. nE C(c,d) III. H=/0 (c,d) IV. Ω=(a,b)x(c,d) Dy/dx=f(x)/h(x) to całka ogólna równania jest w postaci. Sh(y)dy= Sf(x)dx+c S{od-xo-x)f(t)dt=S(od-yo-y)h(z)dz, (xo,yo) E Ω 27. Tw. Jeżeli I. fE C (a,b) II. f(t)=/t to równanie dy/dx=f(y/x) [rówanienie jednorodne] daje się sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych. 28. Twierdzenie. Jeżeli I. p,q E C (α,β) II. Ω=(α,β)x(niesk,skon) to równanie dy/dx+p(x)y=q(x) Równanie liniowe niejednorodne ma całkę ogólną w postaci y=φ-Sp(x)dx [Sq(x)eSp(x)dxdx+c] 29. Równanie Bernoulliego. Jeżeli I. p,q E C(a,b) II. n E W\{0,1} to równanie Dy/dx+p(x)y=q(x)yn Daje się sprowadzić do równania liniowego. Uwaga. Dla n>0 y=0 jest rozwiązaniem Bernoulliego. n<=0 nie jest rozw. 30. Równanie różniczkowe zupełne. Jeżeli I. Ω=(a,b)x(c,d) II. P,Q E C1(Ω) III. Q(x,y)=/0 w Ω IV. DP/Dy=DQ/Dx w Ω Teza- to całka ogólna równania Dy/dx= -P(x,y)/Q(x,y) jest w postaci f(x,y)=C gdzie f- funkcja pierwotna różniczki zupełnej P(x,y)dx+Q(x,y)Dy. 31. Równania różniczkowe zwyczajne rzedu wyższego. F(x,y,y’,y’’)=0 x-zm. niezalezna F-f. znana y- f. szukana y’dy/dx y’’=d2y/dx2 dla wyższych rzędów podstawiamy za 2 n. 32. równanie liniowe jednorodne ay’’+by’+cy=0 y=eλx, y’=λeλx, y’’=λ2eλx czyli a λ2 +b λ +c=0 Gdy Δ>0 y1=eλ1x y2=eλ2x yo=C 1eλ1x +C2 eλ2x Δ=0 y1=eλx y2=(Ax+B)eλx y2=xeλ2x yo= C1eλx +C2 xeλx Δ<0 λ1=α+iβ λ2=α-iβ y1=e(α+iβ)x=eαx(cos+isinβx) y2= e(α-iβ)x=eαx(cos-isinβx) y0=C1 eαx cosβx+C2 eαx sinβx 33. Równania liniowe jednorodne wyższego rzędu. any(n)+a n-1y(n-1)+…+aoy=0 y= eλx anxn+a n-1λ n-1+…+ao=o 33. Metoda wariacji i stałych Jeżeli a,b,c E R a=/0 fE C(α,β), oraz y1,y2 całki równania ay’’+by’+cy=0 także, że W(x)=/0 w (α,β) to całka ogólna równania ay’’+by’+cy=f(x) jest postaci y=φ1(x)y1(x)+ φ2(x)y2(x) gdzie φ1, φ2 całki ogólne układu.

34Przeksztalcenie calkowe.K(s,x) – s – zmienna zespolona, tzn s = б + iω,б, ωER, xER, ,(б-signa) A-zbior funkcji (-∞,∞)Зx --> F(x) EA takich ze ∫(∞,∞) k(s,x)f(x)dx istnieje dla sE f(s)=∫( -∞;∞) k(s,x),F(x)dx <– Przeksztalcenie calkowe. 35Przeksztalcenie calkowe – funcja transformowalna.f(s) = τ [f(x)] ; τ A-> F(x) -> f(s), fEA dla ktorej mozna wykonac τ przeksztalcenie , nazywamy funkcja transformowalna; A – zbior funkcji transformowalnej,f(s) – tetrasformata funkcji f(x),Do funkcji transformowalenej:((Przeksztalcenie Laplace’a :Jezeli K(s,x) = 0 dla x<0 oraz e-sx dla x>0 to: ₤[f(x)]= ∫ (0, ∞) e-sx f(x)dx; Przeksztalcenie Laplace’a- Carsona: Jezeli K(s,x) = 0 dla x<0 or5az se-sx dla x>0 to: e[f(x)]= ∫(0, ∞) se-sx f(x)dx))36Definicja. Funkcja Heavisde’a (skoku jednostkowego η – eta):η(x) ={0 dla x<0},{1/2 dla x=0},{1 dlax>0}.37Klasa oryginałow ( K0). K0 = { f:R->R} takich ze 1) funkcja przedzialami ciagla w R. 2) dla kazdego x<0 f(x) =0, 3)dla kazdego xER f(x) = (f(x-x0) + f(x + x0))/2 ,4) Istnieje ά>0, istnieje m>0 , dla kazdego xER |f(x)| =< Meάx (ά- wykladnik wzrostu funkcji f), -Meάx= K, Dla kazdego fEK0, ₤[f(x)] = ∫(0, ∞) e-sx f(x)dx = F(s)E KT – klasa transformat. 39Twierdzenie podstawowe dotyczace klasy transformat,oryginalow: 1) przeksztalcenie funkcji Laplace’a ₤[0]=0, 2) Re(s)>0 ₤[ η(x)]=1/s ,3) nEN0 i Re(s)>0 : ₤[xn]= n!/ sn+1, np. ₤[x5]=5!/s6 nEN0, Re(s) > 0 , 4) Jezeli fEK0 i gEK0 -> f+g EK0; ₤[f(x) + g(x)] = ₤[f(x)] + ₤[g(x)], 5) Jezeli fEK0 i c=const , to c f(x)EK0 i ₤[cf(x)]= c₤[f(x)], 6) ₤ [eax]= 1/s-a gdy Re(s)>Re(a). 40Twiedzenie o podobienstwie. Jezeli fEK0 i a>0 to ₤[f(ax)]=1/a F(s/a) gdzie F(s) = ₤[f(x)], np. ₤[cosh3x]=1/3F(s/3)= 1/3 * [(s/3)]/[(s/3)2-1] = 1/3 [(s/3) *9]/[s2-9] = s/s2-9. 41Twierdzenie o Tlumieniu. Jezeli ₤[f(x)] = F(s) to dowolonego a=const mamy ₤[e-axf(x)] = F(s+a), np ₤[e-ax * coshbx] = (s+a)/(s+a)2-b2.42Twierdzenie odwrotne do przeksztalcenia Laplace’a. ₤ : K0 --> KT , ₤[f(x)]= F(s), Niech ₤ : K0 -->KT , Jezeli ₤-1 : KT --> K0 , Dla kazdego FEK0 ₤-1[F(s)]=F(x),np ₤-1[1/s]=1, ₤-1[1/(sa)]=eax. 43Twierdzenie podstawowe dla Twierdzenia odwrotnego. 1) ₤-1[0]=0, 2) ₤-1[1/s]=1, 3) ₤-1[1/(s-a)]= eax , 4) FEKT i G EKT , F+GEKT, ₤-1 [F(s) + G(s)] = ₤-1[F(s)] + ₤-1[G(s)].

44Twierdzenie o rozniczkowaniu oryginalow.Jezeli fEK0, ά – wykladnij wzrostu funkcji f, Dla kazdego nEN f(n)EK0 oraz Re(s)>ά to Dla kazdego kEN ₤[f(k)(x)] = sk₤[f(x)] - ∑( υ=0,k-1) sk-1-υ f(8) (0+).45Calka podwojna,definicja, Niech f(x,y) bedzie okreslone w obszarze D , бn=∑(k=1,n) f(ζk,ηn)∆yk – suma calkowa.def. Jezeli ciag { бn} jest zbiezny do tej samej granicy wlasciwej przy б>0 gdy n->∞ , niezaleznej od wyborku pkt (ζk,ηn) i od podzialy obszaru D to granice te nazwiemy calka podwojna funkcji (x,y) w obszarze i oznaczamy symbolem: lim(δh->0) бn = ∫∫D f(x,y)dy,dx, 46Wlasnsci calki podwojnej: 1) ∫∫f(x,y) +- g(x,y)dxdy = ∫∫fdxdy +- ∫∫Dgdxdy, 2) ∫∫DCf(x,y)= C∫∫Df(x,y),3) D= D1UD2(bez pkt wew. wspolnych).47Zamiana calki podwojnej na Iterowana.Twierdzenie. Jezeli dla funkcji f okreslonej w obszarze D : = {a=<x= istnieje ∫(C,D) f(x,y)dy to istnieje calka ∫(a,b) ∫(c,d) f(x,y)dydx i zachodzi wzor ∫∫D f(x,y) dydx = ∫(a,b)[ ∫(c,d) f(x,y)dy]dx.48Twierdzenie,wzor na pole powierzchni. Jezelif(x,y)EC^(D) to ∫=∫∫sqrt(1+(Әf/Әx)2 +(Әf/Әy)2) dxdy, 49Twierdzenieo zamianie zmiennych w calce podwojnej. Jezeli 1)φ(u,y) i Ψ(u,v) EC^( Ω), Ω>∆, 2) φ, Ψ odwzorowuja wzajemnie jednoznacznie wnetrze obszaru ∆ na wnetrze obszaru D. 3) f(x.y) ciagla w obszarze D domknietym i ograniczonym , 4) J(u.v) ≠ 0 w ∆ to ∫∫Df(x.y)dxdy = ∫∫∆ f(φ(u,v),Ψ(u,v)) | J(u,v) | dudv. Całka krzywoliniowa nieskierowana (I rodzaju). A^B =k, x=x(t), y=y(t), t E <α,β> ρ=ρ(x,y) – gęstość krzywej limn->ooΣ nk=1 ρ(Ck)Δlk = m(A^B) – całkowita masa łuku krzywej AB, gdzie Ck(ξk, ηk) i Δlk =IAk-1 AkI -dł. łamanej Niech funkcja będzie określona na łuku A^B: σn =Σnk=1 f(Ck) Δlk – suma całkowa Def. Jeżeli istnieje granica właściwa ciągu {σn} przy δn-> 0 gdy n->oo, niezależna od wyboru punktów Ck i od podziału łuku A^B, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną funkcji f(x,y) na krzywej K=A^B i oznaczamy symbolem: SA^Bf(x,y)dl (limδn-> 0 σn= SA^B f(x,y)dl) Interpretacja fizyczna sumy całkowej: Jeżeli f(x,y)= ρ(x,y)- gęstość liniowa, to m(A^B)=SA^Bρ(x,y)dl Interpretacja geometryczna: Z=f(x,y) f E C (A^B) Λ f>o S= σn limδn-> 0 σn=S= SA^B f(x,y)dl Jeżeli f(x,y)=1 , to l łuku A^B: l(A^B)= SA^Bdl Własności całki krzywoliniowe nieskierowanej:

1. 2. 3.

f(x,y)=g(x,y) + h(x,y) = SA^B gdl +SA^B h dl

SA^B(g+h)dl

SA^B c*g dl = cSA^B g dl

Niech A^B =A^C U C^B SA^B=SA^C+SC^B Niech A^B :x=x(t), y=y(t), t E <α,β>, A^B – łuk gładki zwykły, to : l=Sab sqrt([x'(t)]2 + [y'(t)]2)dt – dł. łuku, dl= sqrt([x'(t)]2 + [y'(t)]2)dt – różniczka łuku Tw. o zamianie całki krzywolinowej nieskierowanej na całkę oznaczoną: Jeżeli f(x,y) jest ciągła na łuku A^B o przedstawieniu parametrycznym x=x(t), y=y(t), t E <α,β> (A^B- łuk zwykły gładki otwarty ), to S A^Bf(x,y)dl istnieje i zachodzi wzór : SA^B f(x,y)dl= Sα βf(x(t), y(t))* sqrt([x'(t)]2 + [y'(t)]2)dt Całka krzywoliniowa skierowana (II rodzaju). Niech na krzywej K=A^B (łuk otwarty) określona będzie para para funkcji [P(x,y) , Q(x,y)] A^B: x=x(t), y=y(t), t E <α,β> σn =Σnk=1 f(Ck) Δxk + Q(Ck) Δyk, gdzie Ck(x(τk), y(τk)) Def. Jeżeliciąg {σn} (sum całkowitych) przy δn-> 0 gdy n->oo ma granicę właściwą niezależną od wyboru punktu τk i od podzialu przedziału <α,β>, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną pary funkcji [P,Q] wzdłuż krzywej A^B i oznaczamy: SA^BP(x,y)dx + Q(x,y)dy (limδn-> 0 σn= SA^BP(x,y)dx + Q(x,y)dy) Własności całki krzywoliniowej skierowanej:

1. 2. 3.

SA^B= -SB^A Jeżeli A^B= A^C+C^B, to SA^B=SA^C+SC^B SA^Bf(P1(x,y) + P2(x,y))dx=SA^BP1dx + SA^BP2dx

(A) Σoon=0 an(x-xo)n=a0(x-xo)0+a1(x-xo)1+... gdzie anznane współczynnikizezbioru liczb R, x-zmienna (B) Σoon=0an xn

Tw. o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na oznaczoną: Niech dany będzie łuk zwykły gładki otwarty o przedstawieniu parametrycznym x=x(t), y=y(t), t E <α,β> zgodnym z kierunkiem łuku A^B. Niech na łuku A^B okreslona będzie para funckji ciągłych [P(x,y) , Q(x,y)] wówczas SA^BPdx + Qdy istnieje i zachodzi wzór: SA^BP(x,y)dx + Q(x,y)dy=SAB P(x(t)+y(t))x'(t)dt+ Q(x(t)+y(t))y'(t)dt Uwaga ! B^A : x=x(-t), y=y(-t), -β=
∮ PdyQdy ∮

(pod znakiem

musi być K - wszędzie). Wnioski:

1.

dQ/dx – dP\dy w D1 (Pdx+Qdyróżniczka zupełna pewnej funkcji u=u(x,y)dx du/dx=P, du/dy=Q)

∮ PdyQdy 2.

=0

Niech P(x,y)=-y , Q(x,y)=x w D dP/dy=-1 , dQ/dx=1 SSD (1+1)dxdy=

∮  xdy− ydx  SSDdxdy=1/2

∮ xdy− ydx ∮ xdy− ydx

P(d)=1/2 - wzór na pole obszaru

Szeregi liczbowe: Sn=Σnk=1 ak – suma częsciowa szeregu Dane są szeregi: (A) Σook=1 an=a1+a2+...+an+an+1+...(B) Σook=n+1ak=an+1+an+2+...=Rn - „n”ta reszta szeregu (A) Tw. Szeregi (A) i (B) sa jednocześnie zbieżne lub rozbieżne. Uwaga! Σoon=1an=Σook=1 ak + Σook=n+1ak=Sn +Rn Niech szereg (A) będzie zbieżny i niech S będzie jego sumą. Def. Jeżeli ciąg {Sn} jest zbieżny do S( właściwe, czyli skończone)to element S nazywamy sumą szeregu (A) i oznaczamy: Σoon=1an=S. O szeregu (A) mówimy, że jest szeregiem zbieżnym. W przeciwnym razie, szereg jest rozbieżny, tzn. S=+-oo lub nie istnieje. Z równości Σoon=1an=Sn + Rn otrzymujemy S=Sn+Rn, przechodząc do granicy limn->ooS= limn->ooSn+limn>ooRn , stąd S=S+ limn->ooRn => limn->ooRn=0 Uwaga! S= Sn + Rn S-Sn=Rn (Rn->0)

1. 2. 3.

4.

Σoon=1an + Σoon=1bn= Σoon=1(an+bn) Σoon=1Can=C Σoon=1an z równości szeregó zbieżnych wynika równość ich sum, ale nie odwrotnie oo

oo n=1 n

Σ n=1an= Σ b <=>Λn (an=bn)szeregi są równe, gdy odpowiednie wyrazy są równe

Tw. Warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego: Jeżeli szereg (A) jest zbieżny, to limnp=>q ~q=>~p >ooan=0 Szereg geometryczny – szereg postaci: Σoon=1aqn1 =a+aq+aq2+... 1. gdy a=o -szereg zbieżny (suma wynosi 0)

2.

a=/= 0 a) Σoon=1aqn-1=a/1-q b) IqI>=1 an=Iaqn1 I=IaI Iqn-1I= {q=1, an-/->0 lub IqI>1 -rozbieżny Kryteria (warunki dostateczne) zbieżności szeregów liczbowych: 1.kryterium całkowe Tw. Jeżeli f(x) jest nierosnąca i nieujemna na , n E N, to Snooof(x)dx i Σoon=noan , gdzie an=f(n) są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne Dodatek: Σoon=11/n- szereg harmoniczny, rozbieżny, bo S1oo1/x dx =limT->00 S1oo1/x dx=limT->00 lnIxIT1=oo

Niech w D dane będzie pole wektorowe (w każdym pkt. obszaru określony jest wektor), F->=P(x,y)i->+ Q(x,y)j-> gdzie P,Q E C1(D). Jeżeli istnieje funckja skalarna u=u(x,y) klasy C1(D) dU/dx=P , dU/dy=Q w D to funkcję u nazywamy potencjałem pola, a pole wektorowepotencjalnym.

1/1/n+1=1/2(1/1/n+1/1/n+2)-średnia harmoniczna 2. Dla α>1 szereg zbieżny , dla α=< 1 szereg rozbieżny

Tw. Niech P,Q E C1(Ω) wówczas następujące warunki są równoważne:

1. 2. 3.

4.

dla dowolnego zamkniętego konturu γ c Ω: S γ Pdx+Qdy=o dla dowlonych punktów A,B E Ω SABPdx+Qdy niezależy od łuku A^B wyrażenie Pdx+Qdy jest różniczką zupełną w Ω, tj . istnieje funkcja u=u(x,y) , (x,y) E R,że du= P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Jeżeli A, B E Ω, A^B c R, to SABPdx+Qdy=U(B)U(A) dla dowolnej krzywej A^B c R dPdy=dQ/dx w Ω

Promień zbieżności szeregu potęgowego: X-zbiór x,dla których szereg potęgowy (B) jest zbieżny. Z-zbiór IxI, dla których szereg (B) jest zbieżny infZ=0 0=<supZ=<+oo Def. Promieniem zbieżności szeregu (B) nazywamy kres górny zbioru Z, tzn. sup Z i oznaczamy R=sup Z. Jeżeli : 1. R=0 to szereg (B) jest zbieżny dla x=0 2. 0ooIan+1/anI=λ lub limn->oo pierw. n stopnia z IanI=λ , to promień zbieżności szeregu (B) jest równy : R=0 dla λ =oo, R=1/λ dla 0<λ
Własności szeregów zbieżnych:

Interpretacja fizyczna całki krzywoliniowej skierowanej: [P(x,y), Q(x,y)], F->=[P,Q], P,Q E C1 (D) D ‫ כ‬A^B A^B : x=x(t), y=y(t), t E <α,β> Δxi=x(ti)- x(ti-1) Δyi=y(ti)- y (ti-1) Ci (x(τI),y(x(τI)) Ri[P(Ci),Q(Ci)] Δli->=[ Δxi , Δyi] Ri-> Δli->= [P(Ci), Q(Ci)] [Δxi , Δyi]=P(Ci))Δxi + Q(Ci))Δyi Σni=1Ri-> Δli->= Σni=1P(Ci))Δxi + Q(Ci))Δyi L=limn->oo Σni=1Ri-> Δli->=SA^BPdx+Qdy – prca siły F wzdłuż łuku A^B

Jeśli pole wektorowe F-> jest potencjalne to praca siły: L= SA^BPdx+Qdy=U(B)-U(A), A^B E D różnica potencjałów. Jeśli P,Q E C1(D) i dP/dx=dQ/dy w D, to SA^BPdx+Qdy, A^B E D- nie zależy od drogi całkowania. du/dx=P, du/dy=Q d2u/dxdy=dP/dy, d2u/dxdy=dQ/dx dP/dy=dQ/dx w D x y u(x,y)=Sxo P9x,y)dt+Syo Q(x,y)dt +c

Lemat- o zbieżności szeregu potęgowego. Jeżeli szereg (B) jest zbieżny dla x=x0=/=0, to jest zbieżny dla każdego X E (- ρ, ρ), gdzie ρ=IxoI

Tw. limn->ooan/bn=q (b=/=0 dla n>=no , n E N) 0=no E N oraz liman->ooan+1/an=q, to szereg Σoon=1an jest zbieżny, gdy q<1, rozbieżny , gdy q>1. Tw. Kryterium Leibnitz'a:Jeżeli: 1. a1>=a2>=a3>=... 2. limn->ooan=0 to szereg przemienny jest zbieżny. Uwaga! Dla szeregów zbieżnych: Σoon=1an=S , limnIsn-sI < ε. Dla szeregów przemiennych: >ooSn=S Isn-sI < an+1 Ciągi i szeregi funkcyjne: f:N->F (n->fn(x))-ciąg funkcyjny {fn(x)}=f1(x), f2(x),... Def. Ciąg {fn(x)}nazywamy zbieżny do funkcji f(x) dla x=x0, jeżeli limn->oofn(x0)=f(x0) w pkt. x0. Jeśli powyższa własność zachodzi dla Λx E X, to mówimy, że ciąg {fn(x)}jest zbieżny dla f(x) w X. Sn(x) =f1(x) Sn(x) =f1(x) +f2(x) Sn(x)= Σnn=1fk(x) Σ : {f1(x), f2(x),...}>{S1(x), S2(x), ...} Σoon=1fn(x)-szereg funkcyjny Def. Szereg Σoon=1fn(x) nazywamy zbieznym w X, jeżeli ciąg sum częściowych {Sn(x)}jest zbieżny w tym zbiorze, tzn. limn->ooSn(x)=S(x) wówczas Σoon=1fn(x)=S(x)- suma szeregu funkcyjnego Szereg potęgowy:

Tw. Szereg potęgowy (B) można całkować i różniczkować wyraz po wyrazie wew przedziału zbieżności. ( Σoon=0an xn)'= Σoon=0an (xn)' =(a0x0+a1x1+a2x2+...)'=a1+2a2x+3a3x2+... Szereg Taylor'a. Niech f E cOO (Q(x0)): f(x)~Σoon=0 f(n) (x0)/n!*(x-x0)n , Rn(x)=f(n)(C)/n!*(x-x0)n , C E (x0,x) Sn(x)=Σoon=0 f(n) (x0)/n!*(x-x0)n Tw. Jeżeli limn->ooRn(x)=0 dla każdego x E Q(x0,δ) to szereg Σoon=0 f(n) (x0)/n!*(x-x0)n zwany szeregiem Taylor'a ma sumę równą f(x) , tzn. f(x)=Σoon=0 f(n) (x0)/n!*(x-x0)n. Uwaga! Jeżeli x0=0, to f(x)=Σoon=0 f(n) (0)/n! * xn -szereg Maclaurin'a f(x)=1(0)/0!*x0 + 1(1)(0)/1!*x + 1(2)/2!*x 2 + ... Szereg trygonometryczny Fouriera. Dany jest ciąg funckji {φ1(x)}=1, cosπ x/l, sinπ x/l, cos2π x/l, sin2π x/l,... l>0 an/2+Σoon=1 (an cos n 2π x/l + bn sin n 2π x/l) a0=1/l S-ll f(x)dx, an =1/l S-ll f(x)cos2π x/2dl, bn= 1/l S-ll f(x)sin2π x/2dl przy założeniu, że f całkowalna w <-1,1> f(x)~ a0/2+Σoon=1 (an cos n 2π x/l + bn sin n 2π x/l) Warunki Dirichlet'a. Mówimy, że funkcja f spełnia w przedziale warunki Dirichleta: 1. f(x) przedziałami monotoniczna w (a,b) 2. f(x) ciągła w (a,b) z wyjątkiem conajwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości I rodzaju (istnieją granice jednostronne, ale nie są równe) przy czym w pkt. Nieciągłości x0 , f(x0)=[f(x0-x) + f(x0+x)]/2 3. f(a)=f(b)=[f(a-0)+f(a+0)]/2 Tw. Dirichleta. Jeżeli f(x) spełnia w <-l,l> warunki Dirichleta to jest rozwijalna w tym przedziale w szereg trygonometryczny Fouriera. f(x)= a0/2+Σoon=1 (an cos n 2π x/l + bn sin n 2π x/l) Λx E <-1,1> Jeżeli f(x) jest okresowa o okresie 2 l to f(x)= a0/2+Σoon=1 (an cos n 2π x/l + bn sin n 2π x/l) dla każdego x. Uwaga! f(x)= a0/2+Σoon=1 (an cos n 2π x/l + bn sin n 2π x/l) zachodzi dla punktów nieciągłości f(x) w (-l, l), w punktach nieciągłości oraz na końcach przedziału f(x) określamy wg punktów 2 i 3 warunków Dirichlet'a. Uwaga! : 1. l =π 2. f okresowa o okresie 2π , to Sαα+2π=S02π=S-ππ 3. f spełnia w <-l,l> warunki Dirichlet'a i jest parzysta a0=2/l S0l f(x) dx, an=2/lS0l f(x)cos nπx/l dx, bn=0 4. f spełnia w warunki Dirichlet'a i jest parzysta a0=an=0, bn=2/lS0l f(x)sin nπx/l dx