Mat_ii_2017_p2_a.pdf

Matemática II

Segundo Parcial de Promoción

Apellido:

Nombre:

Matrícula:

Comisión: 1

2

3

4

5

6

Total

Fac. Cs. Químicas

Nota  SV

LEA ATENTAMENTE ESTAS INSTRUCCIONES: • Toda respuesta debe estar debidamente justificada. • Sólo se responden preguntas sobre enunciados. • No está permitido el uso de calculadoras. • Escriba la respuesta a cada ejercicio en el espacio provisto a continuación del mismo. • El examen consta de un total de 6 (seis) ejercicios, uno por hoja. • El examen se aprueba con un mínimo de 60 puntos sobre un total de 100. • La mínima nota con que se aprueba (correspondiente a 60 puntos) es igual a 6 (seis). Ejercicio 1: (18 puntos) a) (10 puntos) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial 0

Inc. Puntaje 1a 1b Tot.

3

y (x) = y(x)(4x − 1) que satisface y(1) = −3. b) (8 puntos) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial x y 0 − 4 y = x5 e x

con x > 0

Respuesta al Ejercicio 1:

Tema A

(Continúe detrás de esta hoja si es necesario)

Hoja 1 de 6

28 de Noviembre de 2017

Nombre y Apellido:

Ejercicio 2

Ejercicio 2: (18 puntos) a) (10 puntos) Dibuje la región del primer cuadrante limitada por el eje y y las siguientes curvas: y = x2 , y = 2 − x. Calcule el área de dicha región. b) (8 puntos) Calcule el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región de la parte (a) alrededor del eje x. Respuesta al Ejercicio 2:

Tema A

Inc. 2a 2b Tot.

Puntaje

(Continúe detrás de esta hoja si es necesario)

Hoja 2 de 6

28 de Noviembre de 2017

Nombre y Apellido:

Ejercicio 3

Ejercicio 3: (16 puntos) a) (8 puntos) Determine si la siguiente integral impropia converge y, en caso afirmativo, dé su valor: Z ∞

2 −x3

xe

dx

−1

b) (8 puntos) Demuestre, por comparación, que la siguiente integral impropia converge. Justifique su respuesta: Z 2 sen (x) √ dx. x 0 Respuesta al Ejercicio 3:

Tema A

Inc. 3a 3b Tot.

Puntaje

(Continúe detrás de esta hoja si es necesario)

Hoja 3 de 6

28 de Noviembre de 2017

Nombre y Apellido:

Ejercicio 4

Ejercicio 4: (20 puntos) Dada las siguientes funciones: f (x, y) = x3 y − ln(xy 2 )

g(x, y) = y · ex

2 +2y

a) (8 puntos) Calcule fx , fy , gx y gy . b) (6 puntos) Obtenga el gradiente de la función f y valúelo en el punto
p = −1, 23 .

Inc. Puntaje 4a 4b 4c Tot.

c) (6 puntos) Obtenga la derivada direccional de la función f en el punto p del ítem anterior, en la dirección del vector v = (2, 1) Respuesta al Ejercicio 4:

Tema A

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Hoja 4 de 6

28 de Noviembre de 2017

Nombre y Apellido:

Ejercicio 5

Ejercicio 5: (18 puntos) Sean los siguientes vectores: V = (1, −1, 1), W = (2, 0, −1) a) (4 puntos) Obtenga V − W y 2V + 3W. b) (4 puntos) Obtenga ||V||, ||W||

Inc. Puntaje 5a 5b 5c 5d Tot.

c) (5 puntos) Obtenga hV, Wi y V × W d) (5 puntos) Obtenga el ángulo entre los vectores V y W. Respuesta al Ejercicio 5:

Tema A

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Hoja 5 de 6

28 de Noviembre de 2017

Nombre y Apellido:

Ejercicio 6

Ejercicio 6: (13 puntos) Sean a = (a1 , a2 , a3 ) y b = (b1 , b2 , b3 ) vectores en R3 a) (4 puntos) Escriba la expresión que define el producto interno ha, bi b) (4 puntos) Demuestre que ha, bi = hb, ai

Inc. Puntaje 6a 6b 6c Tot.

c) (5 puntos) Demuestre que ha, ai = 0 si y solamente si a = (0, 0, 0). Respuesta al Ejercicio 6:

Tema A

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Hoja 6 de 6

28 de Noviembre de 2017