Matiekos Knyga

VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS FUNDAMENTINIŲ MOKSLŲ FAKULTETAS MATEMATINĖS STATISTIKOS KATEDRA

K. Samaitis Analizinė geometrija ir vektorinės algebros elementai

2006 1

Įvadas Šis kursas skaitomas VGTU Fundamentinių mokslų fakulteto inžinierinės informatikos specialybės studentams, prisilaikant modulio programos, pirmą semestrą. Ne visa apimtimi medžiaga gali būti naudinga ir kitų fakultetų stu dentams. Paskaitų konspektą paruošė Matematinės statistikos katedros dėstytojas K. Samaitis.

2

Literatūra 1. Kvedaras, B. Matricų teorija. 1 dalis. Kaunas: VDU, 1999; 2 dalis. Vilnius: MII, 2000. 2. Pekarskas,V.; Pekarskienė, A. Tiesinės algebros ir analizinės geometrijos elementai. Kaunas: Technologija, 2004. 3. Misevičius, G.; Pincevičius, A.; Rakauskas, R.J.; Eidukevičius, R. Aukštoji matematika. Vilnius: TEV, 1999. 4. Čiupaila, R. Eliments of linear and vector algebra. Vilnius: Technika, 1997. 5. Banys, R.; Kryžienė, B. Elementary linear algebra with analytic geometry. Vilnius: Technika, 2000. 6. Barnett, R.A.; Ziegler, M,R. Linear algebra. San Fracisco: Dellen Publishing Company, 1987. 7. Janušauskaitė, S.; Marčiukaitienė, A.; Prašmantienė, D.; Ratkienė, N. Tiesinė algebra ir matematinė analizė. Kaunas: Technologija, 1998. 8. Kubilienė, M.; Stankevičienė, V. Tiesinė ir vektorinė algebra. Vilnius: Technika, 2005.

3

Turinys I Skyrius. Tiesinė algebra.......................................................6 §1. Tiesinių lygčių sistemos.Gauso metodas.......................................7 1.1. Tiesiniai atvaizdavimai................................................................................7 1.2. Tiesinės algebrinės lygtys ir jų sistemos......................................................8 1.3. Nuoseklaus nežinomųjų eliminavimo ( Gauso ) metodas..........................11

§2. Matricos.Veiksmai su matricomis................................................12 §3. Kramerio formulės ( antros eilės lygčių sistemoms )...................16 §4. Determinantai ir jų savybės...........................................................17 §5. Kramerio formulės trečios eilės LS...............................................21 §6. Aukštesnės eilės determinantai......................................................22 §7. Atvirkštinė matrica........................................................................23 §8. LS sprendimas atvirkštinės matricos metodu................................25 §9. Atvirkštinės matricos skaičiavimas Gauso metodu.......................27 §10. Matricos rangas. Bazinio minoro teorema..................................28

II Skyrius. Vektorinė algebra.................................................36 §1. Tiesinės erdvės..............................................................................37 §2. Vektoriaus išreiškimas duotosios bazės vektoriais.......................38 §3. Tiesinis poerdvis. Homogeninės lygčių sistemos fundamentali sprendinių sistema.........................................................................40 §4. Vektorinės bazės transformacija...................................................43 §5. Atkarpos dalijimas duotuoju santykiu...........................................45 §6. Dviejų vektorių skaliarinė sandauga.............................................45 §7. Dviejų vektorių vektorinė sandauga..............................................47 §8. Skaliarinės ir vektorinės sandaugos taikymas geometrijoje ir mechanikoje..................................................................................49 §9. Mišrioji trijų vektorių sandauga....................................................51

III Skyrius. Analizinė geometrija............................................54 §1. Tiesė plokštumoje.........................................................................55 1.1. Kryptinė tiesės lygtis................................................................................55 1.2. Bendroji tiesės lygtis.................................................................................55 1.3 Tiesės, einančios per duotą tašką duotąja kryptimi, lygtis........................56 1.4 Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis...........................................56

4

1,5. Ašinė tiesės lygtis....................................................................................57 1.6, Norrnalinė tiesės lygtis............................................................................58 1.7. Tiesės bendrosios lygties suvedimas į kanoninį pavidalą.......................58 1.8. Taško atstumas iki tiesės.........................................................................59 1.9. Kampas tarp dviejų tiesių. Tiesių statmenumas ir lygiagretumas...........60 §2. Plokštuma erdvėje.......................................................................62 2.1. Bendroji plokštumos lygtis......................................................................62 2.2. Normalinė plokštumos lygtis...................................................................63 2.3. Plokštumos,einančios per tris duotus taškus, lygtis.................................64 2.4. Kampas tarp plokštumų...........................................................................65 2.5. Taško atstumas iki plokštumos................................................................66

§3. Tiesė erdvėje..............................................................................67 3.1. Įvairios tiesės lygtys.................................................................................67 3.2. Bendroji tiesės lygtis................................................................................69 3.3. Atstumas nuo taško iki tiesės erdvėje......................................................69 3.4. Tiesės, einančios per du duotuosius taškus,lygtis....................................70 3.5. Kampas tarp tiesių. Statmenumo ir lygiagretumo sąlygos.......................70 3.6. Atstumas tarp dviejų prasilenkiančių tiesių.............................................70 3.7. Tiesės ir plokštumos bendrieji taškai.......................................................71 3.8. Kampas tarp tiesės ir plokštumos............................................................72

§4. Antros eilės kreivės....................................................................74 4.1. Apskritimas..............................................................................................74 4.2. Elipsė........................................................................................................76 4.3. Hiperbolė..................................................................................................78 4.4. Parabolė....................................................................................................80

§5. Antros eilės paviršiai..................................................................81 5.1. Sfera.........................................................................................................81 5.2. Elipsoidas.................................................................................................82 5.3. Hiperboloidas...........................................................................................83 5.4. Paraboloidas.............................................................................................85

Egzamino klausimai........................................................................87

5

I skyrius Tiesinė algebra

6

§1 Tiesinių lygčių sistemos. Gauso metodas 1.1. Tiesiniai atvaizdavimai Atvaizdavimo pavyzdys: y=f(x)=x x ∈ D( f ) = R1 Apibrėžimo sritis

f ⎯⎯ →

R( f ) = R1 Reikšmių sritis

Apibrėžimas. Atvaizdavimas (atskiru atveju funkcija arba tam tikras operatorius) T vadinamas tiesiniu, jei bet kokiai porai elementų χ1 , χ 2 ∈ D(T ) ir bet kokiems α1 , α 2 ∈ R1 T tenkina lygybę T (α1 χ1 + α 2 χ 2 ) = α1T ( χ1 ) + α 2T ( χ 2 ) .

Pavyzdys 1: T (...) =

d (...) - diferencijavimo veiksmas tiesinis atvaizdavimas ar ne ? dx

d (...) - apibrėžimo sritis yra visos diferencijuojamos funkcijos; dx teguC (1) - vieną kartą diferencijuojamų funkcijų aibė, t.y. ⎛d ⎞ D⎜ ⎟ = C (1) = {f : f – vieną kartą diferencijuojama}. ⎝ dx ⎠ Patikrinimas: tegu f1,f2 ∈ C (1) ; α 1 , α 2 ∈ R 1 ; Δf df ; = f ′( x) = lim x →0 Δx dx d (α 1 f1 + α 2 f 2 ) = (α 1 f1 + α 2 f 2 )′ = (α 1 f 2 )′ + (α 2 f 2 )′ = α 1 ( f1 )′ + α 2 ( f 2 )′ = α 1 d ( f1 ) + α 2 d ( f 2 ) . dx dx dx d - atlieka atvaizdavimo vaidmenį ir, kaip įsitikinome, yra tiesinis atvaizdavimas. dx Pavyzdys 2:

1. y = f ( x) = ax + b , 2. g ( x, y ) = cx + dy . Tikriname, ar funkcija y=f(x) kaip atvaizdavimas yra tiesinė ar ne?

7

•

D(T ) − atvaizdavimo apibrėžimo sritis • 1 R − realiųjų skaičių aibė • α 1 χ 1 + α 2 χ 2 - tiesinė kombinacija • tiesės lygtis y = ax + b •

g ( x, y ) − dviejų kintamųjų funkcija 1. Šiuo atveju T=f ; x1 , x2 , α1 , α 2 ∈ R1 ; reikia patikrinti f tiesiškumą pagal apibrėžimą. f D( f ) = R 1 ⎯ ⎯→ R( f ) = R1

?

f (α 1 x1 + α 2 x 2 ) = α 1 f ( x1 ) + α 2 f ( x 2 ) a) α 1 (ax1 + b) + α 2 (ax 2 + b) = α 1 ax1 + α 1b + α 2 ax 2 + α 2 b = α 1 ax1 + α 2 ax 2 + (α 1 + α 2 )b - dešinė lygybės pusė; b) f (α 1 x1 + α 2 x 2 ) = a (α 1 x1 + α 2 x 2 ) + b = α 1 ax1 + α 2 ax 2 + b - kairė pusė. a) ir b) laisvieji nariai nesutampa, taigi funkcija f(x)=ax+b kaip atvaizdavimas nėra tiesinė; atskiru atveju, kai laisvojo nario nėra (b=0), t.y. funkcija f(x)=ax kaip atvaizdavimas yra tiesinė; tokios funkcijos grafikas (tiesė) eina per koordinačių pradžią. NAMŲ DARBAS

1.Patikrinti, ar funkcija g(x,y)=cx+dy kaip atvaizdavimas yra tiesinė ar ne . D( g ) = R1 × R1 = R 2 =

{( x, y ) | x ∈ R ; y ∈ R } 1

1

2. Nubrėžti funkcijos z= g(x,y)=x+y=2 grafiko eskizą trimatėje erdvėje R 3 . Pastaba. f ( x) = ax + b - yra tiesinė funkcija, kai nėra laisvo nario b. Analogiškai g ( x, y ) = cx + dy ⎫ ⎬ yra tiesinės funkcijos ( svarbu, kad argumentai x,y,z būtų h( x, y, z ) = a1 x + a2 y + a3 z ⎭

pirmame laipsnyje).

1.2. Tiesinės algebrinės lygtys ir jų sistemos

ax = b - paprasčiausios tiesinės algebrinės lygties pavyzdys.

Jei kairioji lygties pusė nežinomųjų atžvilgiu yra tiesinis atvaizdavimas, tai tokia lygtis yra tiesinė.

8

a1 x1 + a2 x2 = b1 - viena tiesinė lygtis su dviem nežinomaisiais.

⎧a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 , ⎪a x + a x + ... + a x = b , ⎪ 2n n 2 (LS) ⎨ 21 1 22 2 - šiuo atveju turime r tiesinių lygčių su n nežinomųjų ... ... ... ... ... ... ... ... ⎪ ⎪⎩ar1 x1 + ar 2 x2 + ... + arn xn = br .

(LS) yra ekvivalėnčios, jei jų sprendinių aibės sutampa, t.y.(LS) gaunamos, vieną tam tikru būdu pertvarkius į kitą taip, kad sprendinių aibės nepakistų. Tam naudosime elementarius (LS) pertvarkius ( žr. toliau ). _________________________________________________ • 1 R xR1 - Dekartinė sandauga, R2 – dvimatė erdvė (plokštuma) • LS - lygčių sistema – tiesinių algebrinių lygčių sistema NAMŲ DARBAS

(LS) eilę apsprendžia nežinomųjų skaičius, įeinantis į (LS). Tegu duota 2-os eilės (LS): ⎧ax + by = c, ( x, y ) ∈ R 2 - taškas, kurio koordinatės tenkina abi lygtis. ⎨ + = dx cy f , ⎩ „Tiesių kalba“ paaiškinti, ką reiškia geometrškai, kad: a) (LS) turi 1-ą sprendinį; b) (LS) neturi sprendinių; c) (LS) turi ∞ sprendinių --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Pratimas: Kurios iš pateiktų lygčių yra tiesinės?

(1) 3x + 2 y = 5

(5) 2 x1 − x2 + 3 x3 + 5 x4 = 0

(2) 2 xy − z = 3

(6) e x − 2 y = 5

(3) x + (4)

3 y −π z = 3 4

2 1 +y= x z

π

(7) (sin ) x1 − 3 x2 = e 3 (8) sin(π x) + y = 0

9

Tiesinės funkcijos yra (1),(3),(5),(7). Jei į lygtį įeina nežinomųjų sandauga, nežinomieji yra netiesinių funkcijų argumentai arba lygtyje nežinomieji yra ne pirmo laipsnio (t.y. laipsnis trupmeninis, neigiamas ar dar kitoks), tai lygtis yra netiesinė. ⎧a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 , ⎪a x + a x + ... + a x = b , ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ LLLLLLLLLLL ⎪ ⎪⎩a r1 x1 + ar 2 x2 + ... + arn xn = br .

(LS)

r Apibrėžimas.Sistemos (LS) sprendiniu vadinsime skaičių rinkinį x = (d1 , d 2 ,..., d r ) , kurį interpretuosime kaip tašką n-matėje aritmetinėje erdvėje R n (vektorių n–matėje vektorinėje erdvėje Vn ), jei, vietoj xi įstatę di , gauname tapatybes. Elementarūs pertvarkymai (pertvarkiai), kurie nekeičia (LS) ekvivalentumo: 1. Bet kurių lygčių sukeitimas vietomis; 2. Bet kurios lygties padauginimas (padalijimas) iš skaičiaus ≠ 0; 3 Bet kurias dvi sistemos lygtis galima sudėti (atimti), vietoj vienos iš jų įrašant jų sumą (skirtumą); ⎧x + y + z = 2 ⎪ 4. Vienodų lygčių arba tapatybių pašalinimas iš (LS): ⎨2 x + 2 y + 2 z = 4 - pirma ir antra ⎪ x + 2 y + 3z = 7 ⎩ lygtys vienodos, taigi vieną jų braukiam, nes, atėmę dvigubą pirmą lygtį iš antros lygties, gausim tapatybę 0=0. Teorema : (Alternatyva apie tiesinių lygčių sistemos sprendinius) Tiesinių algebrinių lygčių sistemos turi: a) ! - vienintelį sprendinį arba b) ¬∃ - sprendinių neturi (neegzistuoja) arba c) ∞ - turi be galo daug sprendinių. < Įrodymas:Tegu S - ( LS) sprendinių aibė. Jei S turi vieną elementą, t.y. atvejis a) , tai nieko įrodinėti nereikia. Jei S = ∅ (t.y. sprendinių aibė yra tuščia), tada atvejis b) - irgi nieko nereikia įrodinėti. Jei S turi bent du elementus, tai parodysime, kad aibė S turi be galo daug elementų. s = ( s1 , s2 , s3 ,...sn ) ∈ S - du skirtingi (LS) sprendiniai. Statome išraišką s + t ( s − s ), t ∈ R1 , į Tegu s = ( s1 , s2 , s3 ,..., sn ) ∈ S

(LS), t.y. skaičių rinkinį ( s1 + t ( s1 − s1 ), s2 + t ( s2 − s2 ),..., sn + t ( sn − sn )) , kur t bet koks realus skaičius (vadinsime jį parametru). ⎧a11 ( s1 + t ( s1 − s1 )) + a12 ( s2 + t ( ss − s2 )) + ... + a1n ( sn + t ( sn − sn )) = b1 ⎪ ⎪a21 ( s1 + t ( s1 − s1 )) + a22 ( s2 + t ( ss − s2 )) + ... + a2 n ( sn + t ( sn − sn )) = b2 ⎨ ⎪... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ⎪a ( s + t ( s − s )) + a ( s + t ( s − s )) + ... + a ( s + t ( s − s )) = b 1 1 r2 2 s 2 rn n n n r ⎩ r1 1 Paimkime vieną iš lygčių ir ją išnagrinėkime:

10

ai1 ( s1 + t ( s1 − s1 )) + ai 2 ( s2 + t ( ss − s2 )) + ... + ain ( sn + t ( sn − sn )) = ai1s1 + t (ai1 s1 − ai1s1 )) + ai 2 s2 + t (ai 2 ss − ai 2 s2 )) + ... + ain sn + t (ain sn − ain sn )) = bi + t (bi − bi ) = bi O tai įrodo, kad jei yra du ar daugiau sprendinių, tai tuomet yra be galo daug sprendinių, nes su skirtingais parametrais t gausime vis skirtingus sprendinius, t.y. turime teoremos c) atvejį. > Apibrėžimas: Sistema (LS) vadinama suderinta, jei turi bent vieną sprendinį. Suderinta sistema su be galo daug sprendinių vadinama neapibriežtąja (priklausoma). Jei sistema sprendinių neturi, tai sakome, kad ji nesuderinta. 1.3. Gauso metodas (nuoseklaus nežinomųjų eliminavimo metodas)

Gauso metodas universalus, leidžiantis greitai ir paprastai surasti bet kokios eilės (LS) sprendinius; jo esmė glūdi elementariuose pertvarkiuose; jų dėka (LS) gali būti suvesta į «trikampį» arba „trapecinį“, arba išryškėti „absurdiška“ lygtis, pvz. 0=0 arba kas nors panašaus. Tuomet, kai gaunamas: a) trikampis pavidalas,(LS) turi vieną sprendinį; b) kai 0 = 1 (ar kitokia nesąmonė) - sprendinių aibė yra tuščia; c) trapecinis pavidalas, (LS) turi be galo daug sprendinių. Pavyzdys 3: L1 ⎧ x1 − 2 x2 + 2 x3 = 5, ⎪ L2 ⎨−3x1 + 8 x2 − 10 x3 = −25, L3 ⎪⎩4 x1 − 3x2 + x3 = 1.

⎛ 1 −2 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −3 8 −10 ⎟ -duotos lygčių sistemos koeficientų matrica; ⎜ 4 −3 1 ⎟ ⎝ ⎠

E1 ⎛ 1 −2 2 5 ⎞ ⎜ ⎟ E2 ⎜ −3 8 10 −25 ⎟ - išplėstoji (LS) matrica. E3 ⎜⎝ 4 −3 1 1 ⎟⎠

Su išplėstosios matricos eilutėmis atliekame tuos pačius elementarius pertvarkius, kaip ir su (LS) lygtimis ( turim omeny, kad tai sutrumpintas lygčių užrašas ): ⎛ 1 −2 2 5 ⎞ E1 ⎛ 1 −2 2 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E2 ⎜ −3 8 10 −25 ⎟ E2 + 3E1 → E2 ~ ⎜ 0 2 −4 −10 ⎟ E2 / 2 ~ E3 ⎜⎝ 4 −3 1 1 ⎟⎠ E3 − 4 E1 → E3 ⎜⎝ 0 5 −7 −19 ⎟⎠ ⎛ 1 −2 2 5 ⎞ ⎜ ⎟ ~ ~ ⎜ 0 1 −2 −5 ⎟ ⎜ 0 5 −7 −19 ⎟ E − 5 E → E 2 3 ⎝ ⎠ 3

⎛ 1 −2 2 5 ⎞ ⎜ ⎟ ~ ⎜ 0 1 − 2 −5 ⎟ ⎜0 0 3 6 ⎟ E /3 ⎝ ⎠ 3

⎛ 1 −2 2 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 −2 −5 ⎟ ⎜0 0 1 2 ⎟ ⎝ ⎠

Grįžtame nuo išplėstosios matricos prie (LS), kuri ekvivalenti pradinei, tačiau yra trikampio pavidalo:

11

⎧ x1 ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

− 2 x2

+ 2 x3

x2

− 2 x3 x3

⎧ x1 = −1 ⎪ = −5 ⇒ ⎨ x2 = −1 , ⎪x = 2 = 2 ⎩ 3

=

5

r t.y. x = ( x1 , x2 , x3 ) = (−1, −1, 2) .

Sprendinio patikrinimas: ? ⎧ − 1 + 2 + 4 = 5 ⎪ ⎧ 5=5 ? ⎪ ⎪ ⎨3 − 8 − 20 =− 25 ⇒ ⎨−25 = −25 . ⎪ ⎪ 1=1 ? ⎩ ⎪−4 + 3 + 2 =1 ⎩

r Ats.: x = ( −1, −1, 2) .

Kitus atvejus išnagrinėsime per pratybas.

§2 Matricos. Veiksmai su matricomis Apibrėžimas: Matrica yra tam tikra tvarka surašytų skaičių, funkcijų ar kitų matematinių objektų, vadinamų matricos elementais, stačiakampė lentelė.

⎛ a11 ⎜ a A = ⎜ 21 ⎜ ... ⎜ ⎝ ar1

a12 a22 ... ar 2

... a1n ⎞ ⎟ ... a2 n ⎟ ; ... ... ⎟ ⎟ ... arn ⎠

aij – matricos elementas i-toje eilutėje ir j-tame stulpelyje;

(ai1ai 2 ai 3 ...ain ) - i-toji eilutė;

⎛ a1 j ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a2 j ⎟ - j-tasis stulpelis. ⎜ ... ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ arj ⎠

Jei r = n (eilučių ir stulpelių kiekis vienodas), tai tokią matricą vadinsime kvadratine. Matricos išmatavimų užrašymas: dim A = r × n•

dim A = n (n-tos eilės matrica (matrica kvadratinė)). Apibrėžimas: Dvi matricos vadinamos vienarūšėmis, jei jos turi tuos pačius išmatavimus (tos pačios dimensijos), t.y. turi tiek pat eilučių ir tiek pat stulpelių. Apibrėžimas: Dvi vienarūšės matricos A ir B vadinamos lygiomis (žymim A=B), jei jų

12

atitinkami elementai yra lygūs, t.y. aij = bij. •

dim - matricos dimensija

⎛0 ⎜ 0 0=⎜ ⎜ ... ⎜ ⎝0

0 0 ... 0

... ... ... ...

0⎞ ⎟ 0⎟ ... ⎟ ⎟ 0⎠

... ... ... ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ... ... ... ⎟ - pagrindinė įištrižainė; - nulinė matrica ; ⎜ ⎜ ... ... ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ... ... ... ⎠

⎛ ... ... ... ⎞ ⎜ ⎟ ... ⎟ ⎜ ... ... - šalutinė įštrižainė. ⎜ ... ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ... ... ... ⎟⎠ ⎝

Matricos ir jos išmatavimų žymėjimas: Arxn

⎛ a11 a12 ⎜ a a22 arba ⎜ 21 ⎜ ... ... ⎜ ⎝ ar1 ar 2

( a ) , i = 1 ÷ r, j = 1 ÷ n * .

... a1n ⎞ ⎟ ... a2 n ⎟ , arba ... ... ⎟ ⎟ ... arn ⎠ r × n

ij

⎛1 ⎜ 0 E =I =⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

Vektorius

r x = ( x1

x2

arba vektorius

0 1 0 0

0 0 1 0

0⎞ ⎟ 0⎟ - vienetinė matrica • . 0⎟ ⎟ 1⎠

x3 L xn )

- matrica – eilutė

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x2 r ⎜ ⎟ x = ⎜ x3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜M ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠

-matrica - stulpelis .

13

⎛ a11 a12 ⎜ a a22 Jei duota matrica A = ⎜ 21 ⎜ ... ... ⎜ ⎝ ar1 ar 2 AT = ( aTji ) j=1÷n .

... a1n ⎞ ⎟ ... a2 n ⎟ , tai žymėsim AT – transpanuotą matricą A, t.y. ⎟ ... ... ⎟ ... arn ⎠

i =1÷r

Transponuota matrica yra tokia matrica, kur aTji = aij (t.y. eilutės ir stulpeliai keičiami vietomis).

⎛2 1⎞ ⎛ 2 3 1⎞ ⎜ ⎟ Pvz.: C = ⎜ 3 2 ⎟ , C T = ⎜ ⎟. ⎝ 1 2 3⎠ ⎜1 3⎟ ⎝ ⎠ ___________________________ tokia, kad aij=1 ir aij=0 (kur i ≠ j) • i = 1 ÷ r , t.y. nuo 1 iki r

•

Apibrėžimas: Dėl vienarūšių matricų apibrėžiama sudėtis sekančiu būdu: tegul duotos matricos

⎛ a11 a12 ⎜ a a22 A = ⎜ 21 ⎜ ... ... ⎜ ⎝ ar1 ar 2

... a1n ⎞ ⎟ ... a2 n ⎟ ir ... ... ⎟ ⎟ ... arn ⎠ r × n

⎛ b11 b12 ⎜ b b B = ⎜ 21 22 ⎜ ... ... ⎜ ⎝ br1 br 2

... b1n ⎞ ⎟ ... b2 n ⎟ , ... ... ⎟ ⎟ ... brn ⎠ r × n

tuomet, C = A + B, C = (cij ) i=1÷r , kur cij = aij + bij . j =1÷n

Sandauga iš skaliaro: α ∈ R1 , α A = (α aij ) i=1÷r

j =1÷n

⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 0 2 ⎞ ⎛ 2 3 ⎞ ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟; ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟; 3 0 2 3 5 3 − − 2 0 0 1 2 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Pvz.:

⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 −4 ⎞ ⎟=⎜ ⎟; ⎝ 2 −3 ⎠ ⎝ −8 12 ⎠

( −4 ) ⎜

⎛ 1017 101⋅105 ⎞ ⎛15 ⋅1022 1515 ⋅1010 ⎞ 1500000 ⎜ ⎟=⎜ ⎟; −5 4 ⋅10−15 ⎠ ⎝ 45 6 ⋅10−9 ⎠ ⎝ 3 ⋅10

Apibrėžimas: Sakysime, kad matricos A ir B suderintos sandaugos AB atžvilgiu, jeigu matricos A stulpelių skaičius lygus (atitinka) matricos B eilučių skaičiui. Sandauga AB=C, kur n

cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ain bnj = ∑ aik bkj • k =1

14

(imama i-oji matricos A eilutė ir panariui dauginama su matricos B j-uoju stulpeliu, o po to sandaugos sudedamos). Ar×n Bn×m = Cr×m ,

⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 ⎜ ... ⎜ ⎝ ar1

a12 a22

... ar 2

... a1n ⎞ ⎛ b11 b12 ⎟ ⎜ ... a2 n ⎟ ⎜ b21 b22 ⎜ ... ... ... ... ⎟ ⎟ ⎜ ... arn ⎠ r × n ⎝ bn1 bn 2

... b1m ⎞ ⎛ c11 c12 ⎟ ⎜ ... b2 m ⎟ c c = ⎜ 21 22 ⎜ ... ... ... ... ⎟ ⎟ ⎜ ... bnm ⎠ n × m ⎝ cr1 cr 2

⎛ 3 −2 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 4 ⎟ ⎜ 6 ⎟ = ⎜ 30 ⎟ ; ⎜ 0 3 −5 ⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠3×3 ⎝ ⎠3×1 ⎝ −17 ⎠3×1

⎛ 3⎞ ⎛ 15 −6 9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟ ( 5 −2 3)1×3 = ⎜ 20 −8 12 ⎟ ; ⎜ 2⎟ ⎜ 10 −4 6 ⎟ ⎝ ⎠3×1 ⎝ ⎠

⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 0 ⎟; B = ⎜ ⎟; ⎝2 0 1⎠ ⎜ −1 2 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 −2 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜6⎟ ⎜1 0 4 ⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜ 0 3 −5 ⎟ ⎝ ⎠3×1 ⎝ ⎠3×3

... c1m ⎞ ⎟ ... c2 m ⎟ ; ... ... ⎟ ⎟ ... crm ⎠ r×m

⎛ 0 −2 −1⎞ ⎜ ⎟ AB = ⎜ 1 −1 0 ⎟ ; ⎜3 1 2 ⎟ ⎝ ⎠

- matricos nesuderintos sandaugos atžvilgiu.

Matricų sumos ir sandaugos savybės. Sumos savybės:

1. 2. 3. 4.

A + B = B + A• A + ( B + C ) = ( A + B) + C A+O = A A + (− A) = O

(sumos komutatyvumas) (sumos asociatyvumas) (O-nulinė matrica) ((-A)- negatyvioji matrica sumos atžvilgiu)

Sandaugos savybės:

1. a) AB ≠ BA b) AB = BA

(bendruoju atveju – nekomutatyvumas) (jei matricos komutuojančios tarpusavyje)

15

2. (AB)T =BT A T 3. A(BC)=(AB)C 4.

( sandaugos asociatyvumas)

A(B+C)=AB+AC ⎫ ⎬ (A+B)C=AC+BC ⎭

( sandaugos distributyvumas )

5. α (AB)=(α A)B=A(α B)

NAMŲ DARBAS

Įrodyti sandaugos savybes :

AB ≠ BA

( AB )T = BT AT

.

Kitas irgi pabandykite įrodyti.

§3. Kramerio formulės (antros eilės lygčių sistemoms) ⎧a11 x1 + a 12 x2 = b1 , Tegu duota antros eilės lygčių sistema: ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 . ⎛a Apibrėžimas: Matricos A = ⎜ 11 ⎝ a21 det A =

a11

(LS)

a12 ⎞ ⎟ determinantu vadinamas skaičius a22 ⎠ a12

a21 a22

= a11a22 − a12 a21 .

Jei detA ≠ 0, tai (LS) 1-ą lygtį padauginę iš a22 , 2-ą iš a12 ir iš 1-os lygties atėmę 2-ąją, gauname x1 : ⎪⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 ⋅ a22 ⎨ ⎪⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 ⋅ a12 b a −b a x1 = 1 22 2 12 a11a22 − a21a12

Analogiškai gauname x2 , padauginę 1-ą lygtį iš a21 , 2-ą iš a11 ir iš 2-os lygties atėmę 1-ąją: ⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 ⋅ a21 ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 ⋅ a11 b a −b a x2 = 2 11 1 21 a11a22 − a21a12

16

b1 a12 b a22 x1 = 2 , det A

a11 b1 a b x2 = 21 2 , det A

(det A ≠ 0).

b1 a12 a11 b1 Dx Dx b a22 a b , D2 = 2 = x2 = 21 2 . Žymėjimas: D1 = 1 = x1 = 2 det A det A3 D D 1444444444 2444444444 Kramerio

formulės

NAMŲ DARBAS

Ką reiškia, kad: a) ∃ vienas sprendinys: det A ≠ 0 b) sprendinių nėra: det A = 0 (bet Dx1 ≠ 0 arba Dx2 ≠ 0 ) c) yra be galo daug sprendinių: D = Dx1 = Dx2 = 0 Susieti su koeficientų proporcingumu (neproporcingumu). Namų darbo dalinis paaiškinimas: x1 =

⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 ; ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 1. Kai D ≠ 0

x2 =

Dx1 D Dx2

,

D

.

a11a22 − a12 a21 ≠ 0 a11a22 ≠ a12 a21 : a21a22 a11 a12 - (LS) koeficientai nėra proporcingi. ≠ a21 a22

2. Kai D = 0; D1 arba D2 ≠ 0 , (LS) koeficientai yra proporcingi, o laisvieji nariai b1, b2 šios proporcijos netenkina.

§4. Determinantai ir jų savybės. Determinantai apibrėžiami tik dėl kvadratinių matricų. Šiame paragrafe determinantų savybes aptarsime ir įrodysime antros ir trečios eilės kvadratinėms matricoms. Bet jos, kaip vėliau pastebėsim, teisingos ir aukštesnės eilės matricom. 17

1 savybė: detA=det AT a12 ⎞ ⎛a A = ⎜ 11 ⎟ ⎝ a21 a22 ⎠ a21 ⎞ ⎛a AT = ⎜ 11 ⎟ ⎝ a12 a22 ⎠

det A = a11a22 − a12 a21 det AT = a11a22 − a21a12

2 savybė: Sukeitus vietomis determinanto eilutes (stulpelius), keičiasi determinanto ženklas. a12 ⎞ ⎛a a) A = ⎜ 11 ⎟; ⎝ a21 a22 ⎠ a22 ⎞ ⎛a A% = ⎜ 21 ⎟; ⎝ a11 a12 ⎠ a12 ⎞ ⎛a b) A = ⎜ 11 ⎟; ⎝ a21 a22 ⎠ ⎛a A%% = ⎜ 12 ⎝ a22

a11 ⎞ ⎟; a21 ⎠

det A = a11a22 − a12 a21 det A% = a a − a a 21 12

22 11

% = − det A Išvada: detA

det A = a11a22 − a12 a21 % det A% = a12 a21 − a11a22 %% Išvada: detA = − det A

3 savybė: Jeigu determinanto dvi eilutės vienodos (arba du stulpeliai vienodi), tai toks determinantas yra lygus nuliui. a ⎞ ⎛a a ) Aˆ = ⎜ 11 12 ⎟ ⎝ a11 a12 ⎠ a11 ⎞ ˆ ⎛a b) Aˆ = ⎜ 11 ⎟ ⎝ a21 a21 ⎠

det Aˆ = a11a12 − a12 a11 = 0.

ˆ det Aˆ = a11a21 − a11a21 = 0

4 savybė:Jeigu mes padauginame bet kurią eilutę (stulpelį) iš skaičiaus, nelygaus nuliui, tai determinanto reikšmė, lyginant su pradine, taip pat dauginama iš to skaičiaus.

⎛a a ⎞ < Matricos A = ⎜ 11 12 ⎟ 1-ą eilutę padauginkime iš skaičiaus k ≠ 0 . ⎝ a21 a22 ⎠ ka12 ⎞ ⎛ ka Pažymėkime A(k ) = ⎜ 11 ⎟ , tuomet det A( k ) = k det A. > ⎝ a21 a22 ⎠ Pastaba: Kai dauginame visą matricą, gauname (kA n )=k

n

detA , kur n – matricos dimensija.

Išvados:1.Jeigu dvi eilutės (stulpeliai) turi bendrą koeficientą, tai jį galima iškelti prieš

18

determinanto ženklą. 2.Jei dvi eilutės proporcingos (stulpeliai proporcingi), tai det = 0 . 5 savybė: Tarkime, kad

det A =

a11

a12

b21 + c21 b22 + c22 Tada det A =

, t.y. kažkuri eilutė (stulpelis) yra tam tikrų elementų suma.

a11

a12

b21 + c21 b22 + c22

=

a11 a12 b21 b22

+

a11 a12 c21 c22

< Išties, a11 (b22 + c22 ) − a12 (b21 + c21 ) = (a11b22 − a12b21 ) + (a11c22 − a12 c21 )

.

, t.y. pirmuose skliaustuose

dešinėj pusėj turim 1-ą dešinės pusės determinantą, antruose – 2-ą. > Išvada : Jei bet kurią eilutę (stulpelį) padauginame iš koeficiento k ≠ 0 ir pridedame prie kitos eilutės (stulpelio), tai determinanto reikšmė nesikeičia.

<

a11

a12

b21 + ka11 b22 + kc12 ketvirta savybėmis. >

=

a11

a12

a21 a22

+

a11

a12

ka11 ka12

=

a11

a12

a21 a22

, nes

a11

a12

ka11 ka12

= 0 , remiantis trečia ir

Trečios eilės determinantas Apibrėžimas: Tegu

⎛ a11 a12 ⎜ A = ⎜ a21 a22 ⎜a ⎝ 31 a32

a13 ⎞ ⎟ a23 ⎟ ; a33 ⎟⎠

a11

a12

det A = a21 a22 a31

a32

a13 a23 = A , tuomet skaičius a33

det A = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − (a13a22 a31 + a12 a21a33 + a11a23 a32 ) vadinamas 3-ios eilės kvadratinės matricos A determinantu.

Skaičiavimo schema:

19

⎛ a11 a12 ⎜ Apibrėžimas: Matricos A = ⎜ a21 a22 ⎜a ⎝ 31 a32

a13 ⎞ ⎟ a23 ⎟ a33 ⎟⎠

elemento aij minoru M ij vadiname determinantą, kurį gauname, išbraukę i-tąją eilutę ir j-tąjį stulpelį. Pvz.: elemento a21 minoru bus M 21 =

a12

a13

a32

a33

.

Apibrėžimas:Matricos A elemento aij adjunktu vadiname sandaugą Aij = ( − 1)

i+ j

M ij .

6 savybė : Matricos determinantas lygus bet kurios eilutės (stulpelio) skleidiniui, t.y. eilutės (stulpelio) elementų ir jų adjunktų sandaugų sumai.

⎛ a11 a12 a13 ⎞ ai1+ Ai1+ ai 2 + Ai 2 + ai 3+ Ai 3 ⎜ ⎟ A = ⎜ a 21 a 22 a 23 ⎟ ; D = a1 j + A1 j + a 2 j + A2 j + a 3 j + Aarba 3j ⎜ a 31 a 32 a 33 ⎟ ⎝ ⎠

{

i = 1÷ 3 → j = 1÷ 3 →

Skleidinys i-taja eilute arba j-ouju stulpeliu

< Patikrinsime 6-ąją savybę dėl i=2, t.y. skleidinį 2-ąja eilute. Paimkime detA išraišką iš apibrėžimo ir joje dėmenis sugrupuokime taip, kad galėtume iškelti −a21 , a22 , −a23 . Tuomet − a21 (a12 a33 − a13a32 ) + a22 (a11a33 − a13 a31 ) − a23 (a11a32 − a12 a 31 ) = = a21 (−1) 2+1

a12 a13 a 32 a 33

+ a22 (−1) 2+2

a11 a13 a 31 a 33

+ a23 (−1) 2+3

a11 a12 a 31 a 32

= a 21 A21 + a 22 A22 + a 23 A23

Dėl kitų i ir j įrodymas analogiškas. > 7 Savybė:Bet kurios eilutės (stulpelio) elementų adjunktus, sudauginę su kitos eilutes (stulpelio) elementais ir sandaugas sudėję, gauname sumą, lygią nuliui, būtent: ⎧⎪ ak 1 Ai1 + ak 2 Ai 2 + ak 3 Ai 3 arba i = 1 ÷ 3 → 0=⎨ ⎪⎩ a1k A1 j + a2 k A2 j + a3k A3 j j = 1 ÷ 3 →

i ≠ k, k ≠ j.

< Įrodymas, kai k=1, i=2. Įveskime pagalbinį determinantą D (2 eilutės vienodos ⇒ D=0; iš kitos pusės determinantas D lygus skleidiniui antrąja eilute): a11

a12

a13

D = a11

a12

a13 = 0,

a31 a32

D = a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 .

>

a33

8 Savybė: Jeigu duotos dvi matricos A ir B, suderintos sandaugos AB atžvilgiu, tai sandaugos 20

determinantas lygus tų matricų determinantų sandaugai: det( AB ) = det A ⋅ det B

§5. Kramerio formulės trečios eilės LS Šiame paragrfe, remdamiesi 6-a ir 7-a savybėmis, išvesime Kramerio formules 3-ios eilės tiesinių algebrinių lygčių sistemai (LS), analogiškas 2-os eilės (LS). ⎧a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ⎪ ⎨a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ⎪a x + a x + a x = b ⎩ 31 1 32 2 33 3 3

⋅ A11 ⋅ A12 ⋅ A13 ⋅ A21 ⋅ A22 ⋅ A23

(LS)

⋅ A31 ⋅ A32 ⋅ A33

Padauginkime (LS) 1-ą lygtį iš adjunkto A11, 2-ą iš A21, 3-ią iš A31 ir sudėkime, sutraukdami panašius narius ir iškeldami x1 , x2 , x3 už skliaustų. Remiantis 6-ąja savybe, prie x1 skliaustuose esantis reiškinys lygus detA, kur A – (LS) koeficientų matrica. Pažymėkime raide D=detA. Jį vadinsime (LS) pagrindiniu determinantu. Determinantą Di , gaunamą iš pagrindinio, pakeitus jame i-ąjį stulpelį duomenų stulpeliu B= (b1 , b2 , b3 )T , vadinsime pagalbiniu. Prie x 2

ir

x 3 reiškiniai

lygūs 0 ( 7-a savybė ). Tokiu būdu x1 ⋅ D = D1 (žr. punktą a) ): a)

x1 (a11 A11 + a 21 A21 + a 31 A31 ) + x2 (a12 A11 + a 22 A21 + a 32 A31 ) + x3 (a13 A11 + a 23 A21 + a 33 A31) = = b1 A11 + b2 A21 + b3 A31 a11 A11 + a 21 A21 + a 31 A31 = D a12 A11 + a 22 A21 + a 32 A31 = 0 ; a13 A11 + a 23 A21 + a 33 A31) = 0

b1

a12

a13

b1

a12

a13

x1 ⋅ D = b2

a22

a23 ;

b2

a22

a23 = Dx1 = D1 ;

b3

a32

a33

b3

a32

a33

Analogiškai, padauginę (LS) lygtis iš matricos A 2-ojo ir atitinkamai 3-iojo stulpelio elementų adjunktų, gauname rezultatus punktuose b) ir c): b)

x1 (a11 A12 + a 21 A22 + a 31 A32 ) + x2 (a12 A12 + a 22 A22 + a 32 A32 ) + x3 (a13 A12 + a 23 A22 + a 33 A32) = = b1 A12 + b2 A22 + b3 A32 a11 A12 + a 21 A22 + a 31 A32 = 0 a12 A12 + a 22 A22 + a 32 A32 = D ; a13 A12 + a 23 A22 + a 33 A32 ) = 0

c)

a11

b1

x2 ⋅ D = a21 b2 a31

b3

a13

a11

a23 ;

a21 b2

a23 = Dx 2 = D2 ;

a33

a31 b3

a33

b1

a13

x1 (a11 A13 + a 21 A23 + a 31 A33 ) + x2 (a12 A13 + a 22 A23 + a 32 A33 ) + x3 (a13 A13 + a 23 A23 + a 33 A33) = = b1 A13 + b2 A23 + b3 A33

21

a11 A13 + a 21 A23 + a 31 A33 = 0 a12 A13 + a 22 A23 + a 32 A33 = 0 ; a13 A13 + a 23 A23 + a 33 A33) = D

a11

a12

b1

a11

x3 ⋅ D = a21

a22

b2 ;

a21 a22

b2 = Dx 3 = D3 .

a31

a32

b3

a31

b3

a12 a32

b1

Di , i=1,2,3. Tai Kramerio formulės trečios eilės D algebrinei tiesinių lygčių sistemai. Bendru atveju, kai sistemos eilė aukštesnė nei trys, Kramerio formulės irgi teisingos.

Iš čia xi ⋅ D = Di , i = 1, 2,3. Jei D ≠ 0 , tai xi =

§6. Aukštesnės eilės determinantai Apibrėžimas: n-tosios eilės determinantu vadinamas skaičius, lygus bet kurios eilutės (stulpelio) elementų ir atitinkamų n − 1 -sios eilės adjunktų sandaugų sumai, t.y.

D=

a11

a12 K a1n

K

a 22 K a 2 n

K

K K K

⎧ ∑ aik Aik ⎪ = ⎨ kn=1 akj Akj ⎪⎩ ∑ k =1 n

a n1 a n 2 K a nn

i = 1÷ n → j = 1÷ n →

skleidinys i-taja eilute; j-uotoju stulpeliu

Jeigu visi matricos elementai po pagrindine įstrižaine yra lygūs nuliui, tai tos matricos determinantas lygus visų pagrindinės įstrižainės elementų sandaugai: ã11

ã12

ã13

ã14

K

ã1n

0

ã 22

ã 23

ã 24

K

ã 2n

0

0

ã 33

ã 34

K

ã 3n

K 0

K 0

K 0

K K

K ã n −1n −1

K ã n −1n

0

0

0

K

0

ã nn

Pastaba: Šiuo atveju à 22 =

n

= ã11Ã11 = ã11ã 22 Ã 22 = K = ∏ ã ii = ã11 ⋅ ã 22 ⋅K ⋅ ã nn i=1

a33

a34

K

a3n

K

K

K

K

0

K

an −1n −1

an −1n

0

K

0

ann

a11

a13

a14

K

a1n

0

a33

a34

K

a3n

, o ne K 0

K

K

K

0

K

an −1n −1

0

0

K

0

K , an −1n ann

kaip turėtų būti pagal visas taisykles. Kiti "adjunktai" irgi. Ã ii - negali būti vadinami adjunktais, nes tai yra tk adjunkto dalis, kuri yra po stulpeliu ir eilute, kuriame yra braukiami ã ii .

Pvz.: Determinanto skaičiavimas, išnaudojant 7 savybę, t.y. skleidžiant i-tąja eilute arba j-ouju stulpeliu:

22

1

0 −2

3

2 −1 0 0 4 0 3 2 1 +0 ⋅ (−1)

3+ 3

3 0 −2 1 0 −2 3 3+1 3+ 2 = 0 ⋅ (−1) ⋅ −1 0 3 + 4 ⋅ (−1) ⋅ 2 0 3 + 0 2 1 5 3 1 5 5

1 3 −2 1 3 0 1 0 −2 3+ 4 ⋅ 2 −1 3 + 0 ⋅ (−1) ⋅ 2 −1 0 = −4 ⋅ 2 0 3 3

2

5

3

2

1

3 1

5

Tęsdami skleidžiame pagal antrą stulpelį, nes ten yra daugiausiai nulių (ir taip bus papraščiausiai): 1 0 −2 ⎛ 1 −2 ⎞ −2 1 −2 2+ 2 1 −4 ⋅ 2 0 3 = −4 ⋅ ⎜ 0 ⋅ (−1)1+ 2 + 1⋅ (−1)3+ 2 ⋅ = ⎟ + 0 ⋅ (−1) ⋅ 3 5 ⎠ 2 5 2 3 ⎝ 3 1 5 = −4 ⋅ (−1) ⋅

1 −2 = 4 ⋅ (1⋅ 3 + 2 ⋅ 2) = 28 2 3

NAMŲ DARBAS

1.Paskaičiuoti 5-os eilės determinantą: 3 −1 2 −1 5 1 −2 1 9 −1 1 3 3 0 6 −1 5 2 3 −2

2. Paskaičiuoti matricos A determinantą visais mums žinomais būdais:

1 2 4; 3 1

⎛ 1 −2 2 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 −3 3 ⎟ . ⎜ 2 2 3⎟ ⎝ ⎠

§7. Atvirkštinė matrica Apibrėžimas: Matrica B vadinama atvirkštine matricai A, jei AB=BA=E ir žymime A−1 . Čia E – vienetinė matrica. b Jei ax = b , tai x = = a −1b ; čia a,b – skaliarai. Analogiškai įvedami pažymėjimai ir dėl matricų, r r a −1 t.y. jei Ax = C , tai x = A C ir det A ≠ 0

Atvirkštinė matrica egzistuoja tada ir tik tada, kai D = det A ≠ 0 . Atvirkštinę matricą skaičiuojame sekančiu būdu:

23

⎛ A11 1 + 1⎜ A = A = ⎜ A12 D D⎜ ⎝ A13 −1

A21 A22 A23

A31 ⎞ ⎟ 1 A32 ⎟ = ( Aij )T . D A33 ⎟⎠

A+ vadinama prijungtine matrica matricai A. Tai adjunktų transponuota matrica. Teiginio, kad AA−1 = A−1 A = E , įrodymas: ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛ A11 A21 A31 ⎞ ⎛D 0 0 ⎞ 1 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ + AA = ⎜ a21 a22 a23 ⎟ ⋅ ⎜ A12 A22 A32 ⎟ = ⎜ 0 D 0 ⎟ = D D⎜ ⎟ ⎜ ⎟ D ⎜ 0 0 D⎟ ⎝ a31 a32 a33 ⎠ ⎝ A13 A23 A33 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0 0⎞ ⎛ A11 A21 A31 ⎞ ⎛ a11 a12 a13 ⎞ 1⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 1 + = ⎜ A12 A22 A32 ⎟ ⋅ ⎜ a21 a22 a23 ⎟ = A A = ⎜ 0 1 0 ⎟ = E3 . D⎜ ⎜0 0 1⎟ ⎟ ⎜ ⎟ D ⎝ ⎠ ⎝ A13 A23 A33 ⎠ ⎝ a31 a32 a33 ⎠

Apibrėžimas: Kai det A = 0 , matricą A vadiname išsigimusia (singuliaria); jei det A ≠ 0 , matricą A vadiname neišsigimusia (reguliaria) . Tik reguliari matrica turi sau atvirkštinę matricą. Pvz: Atvirkštinės matricos skaičiavimas:

3 4 1 ⎛3 4 1⎞ ⎜ ⎟ Duota matrica A = ⎜ 5 7 8 ⎟ ; tikriname, ar ji reguliari: 5 7 8 = 145 ≠ 0 . ⎜8 3 2⎟ 8 3 2 ⎝ ⎠ A11 = −10

A21 = −5

A31 = 25

A12 = 54

A22 = −2

A32 = −19

A13 = −41

A23 = 23

A33 = 1

⎛ −10 −5 25 ⎞ 1 ⎜ ⎟ A−1 = 54 −2 −19 ⎟ ⎜ 145 ⎜ ⎟ ⎝ −41 23 1 ⎠ Patikrinimas, ar teisingai paskaičiuota atvirkštinė matrica A−1 matricai A . 0 ⎞ ⎛ −10 −5 25 ⎞ ⎛ 3 4 1 ⎞ ⎛ 145 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 54 −2 −19 ⎟ ⋅ ⎜ 5 7 8 ⎟ = ⎜ 0 145 0 ⎟ = det A ⋅ E3 ⎜ −41 23 1 ⎟ ⎜ 8 3 2 ⎟ ⎜ 0 0 145 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

0 ⎞ ⎛ 3 4 1 ⎞ ⎛ −10 −5 25 ⎞ ⎛ 145 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 7 8 ⎟ ⋅ ⎜ 54 −2 −19 ⎟ = ⎜ 0 145 0 ⎟ = det A ⋅ E3 ⎜ 8 3 2 ⎟ ⎜ −41 23 1 ⎟ ⎜ 0 0 145 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 24

NAMŲ DARBAS

Paskaičiuoti atvirkštinę matricą matricai A, jei ⎛ 1 5 8⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 9 7 3⎟ ⎜ 2 4 5⎟ ⎝ ⎠

§8. Tiesinių algebrinių lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metodu

Duotą §5 lygčių sistemą (LS) galima užrašyti matricinėj formoj:

(LS)

⎧a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ⎪ ⎨a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ; ⎪a x + a x + a x = b ⎩ 31 1 32 2 33 3 3

⎛x ⎞ r r ⎜ 1⎟ A3 x 3 x = B , kur x = ⎜ x2 ⎟ ; ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠

⎛ a11 a12 ⎜ A = ⎜ a21 a22 ⎜a ⎝ 31 a32

⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ b2 ⎟ ; ⎜b ⎟ ⎝ 3⎠

a13 ⎞ ⎟ a23 ⎟ . a33 ⎟⎠

r Jei det A ≠ 0 , tada egzistuoja atvirkštinė matrica tokia, kad A−1 Ax = A−1B ; kadangi A−1 A = E , r r tai E x = x = A−1B . Pvz: Išspręskime antros eilės lygčių sistemą atvirkštinės matricos metodu.

⎧−3 ⋅ x1 − x2 = 1, ⎨ ⎩ 4 ⋅ x1 + x2 = 2.

r ⎛ x1 ⎞ ⎛1⎞ x = ⎜ ⎟ = A−1 ⎜ ⎟ ; ⎝ 2⎠ ⎝ x2 ⎠ A11 = 1 A12 = −4

1⎛ 1 1 ⎞ A −1 = ⎜ ⎟ ; 1 ⎝ −4 −3 ⎠

;

⎛ −3 −1⎞ A=⎜ ⎟; ⎝4 1⎠

A21 = 1 A22 = −3

det A = ( −3) ⋅1 − ( −1) ⋅ 4 = 1 ;

;

⎛ 1 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 3 ⎞ A −1 B = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ = ⎜ ⎟. ⎝ −4 −3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ −10 ⎠

Patikrinimas būtinas tiek paskaičiuotai atvirkštinei matricai, tiek ir gautam atsakymui:

25

⎛ −3 −1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 AA−1 = ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟=⎜ 4 1 − 4 − 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝0 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ −3 −1⎞ ⎛ 1 A−1 A = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎝ −4 −3 ⎠ ⎝ 4 1 ⎠ ⎝ 0

a)

b)

⎛ −3 − 1 ⎞ r ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⋅ x = ⎜ ⎟ ⎝4 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎛ −3 − 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟ − 4 1 10 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠

0⎞ ⎟=E 1⎠ 0⎞ ⎟=E 1⎠

r ⎛ 3 ⎞ Ats.: x = ⎜ ⎟. ⎝ −10 ⎠

Išvesime Kramerio formules, pasinaudodami atvirkštinės matricos metodu. r Ax = B,

D = det A ≠ 0.

⎛ A11 1⎜ A = ⎜ A12 D⎜ ⎝ A13 −1

⎛ x1 ⎞ ⎛ A11 r ⎜ ⎟ 1⎜ x = ⎜ x2 ⎟ = ⎜ A12 ⎜ ⎟ D⎜A ⎝ x3 ⎠ ⎝ 13

A21 A22 A23

A31 ⎞ ⎟ A32 ⎟ ; A33 ⎟⎠

⎛ Dx1 ⎞ A31 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ b1 A11 + b2 A21 + b3 A31 ⎞ ⎜ ⎟ 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A32 ⎟ ⋅ ⎜ b2 ⎟ = ⎜ b1 A12 + b2 A22 + b3 A32 ⎟ = ⎜ Dx2 ⎟ ; D⎜ ⎟⎟ ⎟ D ⎜⎜ A33 ⎠⎟ ⎝⎜ b3 ⎠⎟ ⎝ b1 A13 + b2 A23 + b3 A33 ⎠ ⎝ Dx3 ⎠

A21 A22 A23

b1

a12

a13

b1 A11 + b2 A21 + b3 A31 = b2

a22

a23 = Dx1 = D1 ;

b3

a32

a33

a11 b1 b1 A12 + b2 A22 + b3 A32 = a21 b2 a31 b3 a11

a12

b1 A13 + b2 A23 + b3 A33 = a21 a22 a31

a32

a13 a23 = Dx 2 = D2 ; a33

b1 b2 = Dx 3 = D3 , b3

t.y. xi =

Di , i = 1, 2,3. . D

Teorema: (Apie atvirkštinę matricą). Tegu duotos dvi reguliarios matricos A ir B, dimA=dimB. Tuomet: 1. ∃A−1 ir ji ! – egzistuoja atvirkštinė matrica A−1 matricai A ir ji vienintelė; 2. ∃( A−1 ) −1 = A - egzistuoja atvirkštinė matrica atvirkštinei A−1 ir ji lygi A ; 3. ( AB) −1 = B −1 A−1 ;

26

4. (α A) −1 =

1

α

A−1 , čia α ≠ 0 skaliaras.

Įrodymai:

1. Tarkime, kad matrica A turi dvi atvirkštines matricas B ir C, t.y. B = BE = B ( AC ) = ( BA)C = EC = C , t.y. B = C . det( AA−1 ) = det E = 1 = det A ⋅ det A−1 ; 1 det A−1 = ≠ 0 , t.y. A−1 reguliari matrica. det A −1 Kadangi A reguliari, tai ∃( A−1 ) −1 tokia, kad ( A−1 ) −1 ⋅ A−1 = E , bet ir AA−1 = E . Pasirėmę teoremos 1. dalimi, gauname, kad A = ( A−1 ) −1 . 2.

3. ( AB) −1 = B −1 A−1 ? Remiantis matricų savybėmis, turime: ( AB)( B −1 A−1 ) = A( BB −1 ) A−1 = AEA−1 = AA−1 = E ; ( B −1 A−1 )( AB ) = B −1 ( A−1 A) B = B −1 EB = E , t.y. matricai AB atvirkštinė matrica išties yra matrica B −1 A − 1 . 4. Įrodymas panašus, kaip ir 3savybės. Teorema:(apie kvadratinių matricų sąryšį su tiesinių lygčių sistemomis).

⎛ x1 ⎞ r r ⎜ x2 ⎟ Tegu Ax = B , kur dim A = n , x = ⎜ ⎟ , ⎜M ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠

⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ b B=⎜ 2⎟. ⎜M⎟ ⎜ ⎟ ⎝ bn ⎠

Tuomet sekantys teiginiai yra ekvivalentūs: 1. A turi atvirkštinę matricą A−1 ;

r 2. Tiesinė lygčių sistema Ax = B turi vienintelį sprendinį bet kokiems duomenų stulpeliams B; ⎛0⎞ r r ⎜0⎟ 3. Homogeninė lygčių sistema Ax = 0 turi tik nulinį sprendinį x = ⎜ ⎟ ; ⎜M⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ 4. Matrica A ekvivalenti vienetinei matricai A ~ En . Pastaba: Jei bent vienas teiginys yra teisingas, tai teisingi yra visi kiti teiginiai.

27

§9. Atvirkštinės matricos skaičiavimas Gauso metodu Jei matrica A elementarių pertvarkymų dėka gali būti suvesta į vienetinę matrica, tai, remiantis teorema (apie kvadratinių matricų saryšį su tiesinių lygčių sistemomis), egzistuoja atvirkštinė matrica A−1 matricai A. Imame matricą ( A E ) ir dauginame iš kairės iš matricos A−1 . Turime A−1 ( A E ) = ( AA−1 A−1 E ) = ( E A−1 ) , t.y. jei A ~ E , tai, atlikdami elementariuosius pertvarkymus

su matricos ( A E ) eilutėmis taip, kad iš A gautume vienetinę matricą E, iš vienetinės matricos E gausime atvirkštinę A−1 . Pavyzdys:

⎛ 3 −1 ⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ −4 2 ⎠ ⎛ ⎞ 11 ⎛ 3 −1 1 0 ⎞ 1 − 0⎟ ⎜ ( A E) = ⎜ E ÷ 4 E1 → E2 ~ 33 ⎟ E1 ÷ 3 → E1 ~ ⎜ ⎟ 2 − 4 2 0 1 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ −4 2 0 1 ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ 1 1 1 1 0⎟ 1 − ⎜1 − ⎜ 1 3 3 3 3 ⎟ E2 ⋅ → E2 ~ ⎜ ~⎜ 2 ⎜0 2 4 1⎟ ⎜0 1 2 ⎜ ⎟ ⎜ 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎝

⎞ ⎛ 0⎟ ⎜1 0 1 ⎟ E1 + E2 → E1 ~ ⎜ 1⎟ ⎜0 1 2 ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝

1⎞; ⎟ 2⎟ 2⎟ ⎟ 3⎠

NAMŲ DARBAS

Paskaičiuoti Gauso metodu atvirkštinę matricą matricai A (patikrinimas būtinas): ⎛ 1 −3 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 3 1⎟ . ⎜ 2 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠

§10. Matricos Rangas. Bazinio minoro teorema Apibrėžimas: Determinantas, sudarytas iš matricos A elementų, kurie yra k-eilučių ir kstulpelių sankirtose, vadinamas tos matricos k-tosios eilės minoru.

28

Mk =

a22

a23

a32

a33

K ak +12

K ak +13

K a2 k +1 K a3k +1 K K K ak +1k +1

M k - k-tosios eilės minoras, kurio elementai yra matricos A pasirinktų eilučių ir stulpelių sankirtų elementai. Akivaizdu, kad žemiausia matricos Am×n minoro eilė k lygi 1, o aukščiausia = min(m,n), t.y. 1 ≤ k ≤ min( m, n) .

⎛1 3 5 1⎞ ⎜ ⎟ Pvz.: ⎜ 7 5 8 2 ⎟ ⎜9 1 3 3⎟ ⎝ ⎠3 x 4 Kaip paskaičiuoti, kiek kokios eilės minorų yra šioje matricoje? Aišku, kad 1-os eilės minorų yra tiek, kiek yra matricoj elementų, t.y. 3x4=12. Antros eilės minorų yra M 2 ↔ C32 ⋅ C42 = 18 . Trečios eilės minorų šioje matricoje yra M 3 ↔ C43 = 4 . Aukštesnės (nei trečios) eilės minorų šioje matricoje nėra, nes didžiausia minoro eilė turi neviršyti min(3,4). Apibrėžimas: Matricos minorų, nelygių 0, aukščiausia eilė vadinama tos matricos rangu. O bet kuris vienas (kai jų yra keletas) iš nelygių nuliui aukščiausios eilės minorų vadinamas baziniu minoru. Pastaba: Sutarta, kad nulinės matricos rangas yra 0.

Matricos rangą žymėsime r(A) arba rang(A), arba tiesiog r, jei aišku, kokia matrica turima omeny. Tokiu būdu 0 ≤ r ( A) ≤ min( m, n). Pvz.:

⎛ 2 0 1 3 0⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3 0 4 3 0 ⎠2 x5

M 2(2) =

2 3 = 6 − 9 = −3 ≠ 0 3 3

M 2(1) =

2 1 = 8−3 = 5 ≠ 0 3 4

M 2(3) =

1 3 = 3 − 12 = −9 ≠ 0 4 3

Šios matricos rangas yra 2. Baziniu minoru galime pasirinkti M 2(1) . Susitarimas: Baziniu minoru skelbsime kairiau ir aukščiau esantį minorą. Apibrėžimas: Matricos eilutes ir stulpelius, kurių sankirtose yra bazinio minoro elementai, vadinsime bazinėmis eilutėmis ir baziniais stulpeliais.

29

Pvz.:

⎛ 0 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 5 6 7 ⎟ šioje matricoje visi trečios eilės minorai yra lygūs 0. ⎜4 3 2 1⎟ ⎝ ⎠3 x 4

1 2 3 0 1 M 3 = 5 6 7 = 0 , nes E2 = E3 + 2 E1 ; M 2 = ≠ 0⇒ r = 2. 4 5 3 2 1 Kai matrica yra didelių išmatavimų, skaičiuoti jos rangą, ieškant aukščiausios eilės minorų, nelygių 0, yra labai sunkus ir laiko atžvilgiu imlus darbas. Remiantis determinantų savybėmis, skaičiuodami rangą, galime (mums visai nesvarbu konkreti determinanto reikšmė – svarbu kuo greičiau „sužvejoti“ aukščiausios eilės minorą, nelygų 0): 1) transponuoti matricą; 2) eilutes (stulpelius) sukeisti vietomis; 3) dauginti eilutes (stulpelius) iš skaičiaus nelygaus nuliui; 4) sudėti (atimti) bet kurias eilutes (stulpelius). Matricos rangas yra invariantiškas (nesikečia) šių veiksmų atžvilgiu. Šie veiksmai leidžia žymiai efektyviau paskaičiuoti matricos rangą. Pvz.: ⎛2 1 0 1⎞ ⎛0 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯ → ⎜ 3 −1 3 6 ⎟ r ⎜ 1 −1 3 5 ⎟ ⎜ 3 2 −1 0 ⎟ s − 2 s → s ⎜ −1 2 −1 −2 ⎟ ⎝ ⎠ s1 − s 2→ s 1 ⎝ ⎠ 4

2

4

⎛0 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎯⎯ →⎜ 3 0 3 6 ⎟ r ⎜ −1 0 −1 −2 ⎟ ⎝ ⎠

E2 / .3→ E2

E2 + E1→ E2

⎯⎯ → r

E3 + E2→ E3

⎛0 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎯⎯ → L ⎯⎯ →⎜ 1 0 0 0⎟ r r ⎜0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠

Tokie pertvarkymai leistini ir akivaizdu, kad aukščiausia eilė minoro, nelygaus 0, yra 2. Apibrėžimas: Matrica, kurios kiekvienoje eilutėje ir stulpelyje yra ne daugiau kaip vienas vienetas (t.y. 0 arba 1), vadinama kanonine matrica.

Egzistuoja glaudus ryšys tarp matricos rango ir matricos bazinių eilučių bei stulpelių. Tegu duota matrica Am xn . Jos eilutes pažymėkime raide E, o stulpelius S ir sunumeruokime:

E1 ,K, Em S1 ,K, Sn

; Ei = (ai1 ;L ; ain ) ;

30

⎛ a1 j ⎞ ⎜ ⎟ a2 j Sj = ⎜ ⎟. ⎜ M ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ amj ⎠

Reiškinį

m

∑c E i =1

i

i

, kur ci - bet kokios realios konstantos, vadinsime eilučių tiesine

kombinacija (tiesiniu dariniu), o

n

∑ c% S j

i =1

j

- stulpelių tiesiniu dariniu.

Apibrėžimas:Matricos eilutes (stulpelius) E1 ,K , Em ( S1 ,K Sn ) vadinsime tiesiškai nepriklausomomis (nepriklausomais), jei tiesinis darinys m ⎛ n ⎞ c E 0 c c c 0 K = ⇔ = = = = ∑ 1 2 i i m ⎜ ∑ c% j S j = 0 ⇔ c%1 = c%2 = K = c%n = 0 ⎟ . i =1 ⎝ i =1 ⎠

Jei bent viena iš konstantų nelygi 0, o darinys vis tik lygus 0, tai nepriklausomybės neturėsim.Tarkime, c1 ≠ 0 . Tuomet c c c E1 = − 2 E2 − 3 E3 − K − m Em (eilutė E1 yra kitų eilučių tiesinė kombinacija). c1 c1 c1 Jeigu taip yra, tai eilutės (stulpeliai) yra tiesiškai priklausomos(-i). Bazinio minoro teorema : Matricos bazinės eilutes (stulpeliai) yra tiesiškai nepriklausomos (-i), o bet kuri nebazinė eilutė (stulpelis) yra tos matricos bazinių eilučių (stulpelių) tiesinė kombinacija. Komentaras:Matricos rangas yra lygus bazinio minoro eilučių (stulpelių) skaičiui (t.y. tiesiškai nepriklausomų eilučių (stulpelių) skaičiui).

< Įrodymas. Įrodysime nebazinių eilučių tiesinę priklausomybę nuo bazinių bazinių eilučių. Tarkime, matricos rangas yra r ir tegul bazinis minoras yra kairėje viršutinėje matricos dalyje. Jeigu taip nėra, atlikdami eilučių (stulpelių) elementarius pertvarkymus, susitvarkome taip, kad bazinis minoras būtų kairėje viršutinėje matricos dalyje. ⎛ a11 ⎜ ⎜ M ⎜ a A = ⎜ 1r ⎜ ar +11 ⎜ K ⎜⎜ ⎝ am1

K

a1r

a1r +1

K

K

M

M

K

K

arr

arr +1

K

K ar +1r K K K

amr

ar +1r +1 K K K amr +1

K

a1n ⎞ ⎟ M ⎟ arn ⎟ ⎟ ; ar +1n ⎟ K ⎟ ⎟ amn ⎟⎠ mxn

Mr ≠ 0 .

〈 Paaiškinimas (ne prie įrodymo): E1 ⎛ E1 ⎞ ⎜ ⎟ Tegu A= ⎜ E2 ⎟ ir E2 = c1 E1 + c3 E3 . Jei taip yra, tai det E2 = 0 . Tai seka iš determinantų ⎜E ⎟ E3 ⎝ 3 ⎠3 x 3

31

E1

E1

E1

savybių: c1 E1 + c3 E3 = c1 E1 + c3 E3 . Iškėlus c1 ir c3 prieš determinantus, gauname po dvi E3 E3 E3

E1 vienodas eilutes, kas reiškia, kad det E2 = 0 . E3 Analogiškas įrodymas yra stulpeliams. 〉

Įsiveskime pagalbinį determinantą sekančiu būdu:

a11 a12 K a1r

a1k

a21 a22 K a2r a2k K K K K K ar1 ar 2 K arr ai1 ai 2 K air

ark aik

.

Prie bazinio minoro pridėjome vieną papildomą stulpelį ir vieną papildomą eilutę. Fiksuokim vieną nebazinę eilutę papildomos eilutės pozicijoj, t.y. r + 1 ≤ i ≤ m . O papildomo stulpelio pozicijoj pradžioje įrašykime pirmą stulpelį. Toks pagalbinis determinantas lygus 0 pagal mūsų prielaidą, kad matricos rangas yra lygus r.. Jei būtų priešingai, t.y. būtų nelygus 0, tai rangas būtų r +1, kas prieštarautų prielaidai. Kadangi determinantas lygus 0, tai, skleisdami jį pagal paskutinį stulpelį, turime:

a11 A1r +1 + a21 A2 r +1 + K + ar1 Arr +1 + ai1 Ar +1r +1 = 0. Po to į papildomo sulpelio poziciją įrašykime 2-ą, 3-ą ir t.t. iki n-ojo stulpelio. Dėl bet kurio stulpelio Sk su numeriu 2 ≤ k ≤ n gausim analogišką lygybę kaip ir dėl 1-o stulpelio:

a1k A1r +1 + a2 k A2 r +1 + K + ark Arr +1 + aik Ar +1r +1 = 0 . Pastebėkime, kad Ar +1r +1 yra bazinis minoras, nes Ar +1r +1 = ( −1) r +1r +1 M r = M r ≠ 0 ; tuomet aik = −

A1r +1 A A a1k − 2 r +1 a2 k − K − rr +1 ark ; ir tegu Mr Mr Mr

c1 = −

A1r +1 A A , c2 = − 2 r +1 , K , cr = − rr +1 . Mr Mr Mr

Pastaba: Koeficientai ci , i = 1 ÷ r , priklauso nuo i-tosios eilutės pirmųjų r elementų ir

visiškai nepriklauso nuo dešiniojo (pagalbinio) stulpelio, nes, skaičiuojant adjunktus Air +1 , i = 1 ÷ r , išbraukiami paskutiniojo (pagalbinio) stulpelio elementai.

32

Tokiu būdu gauname, kad kiekvienas i-osios eilutės elementas aik , k = 1 ÷ n , išreiškiamas tiesine kombinacija per aukščiau tame pačiame stulpelyje stovinčius elementus su tais pačiais koeficientais ci , i = 1 ÷ r , t.y.:

ai1 = c1a11 + c2 a21 + c3 a31 + K + cr ar1 ai 2 = c1a12 + c2 a22 + c3 a32 + K + cr ar 2 KKKKKKKKKKKKKK ain = c1a1n + c2 a2 n + c3 a3n + K + cr arn

Iš čia gauname, kad Ei = c1 E1 + c2 E2 + c3 E3 + K + cr Er , r + 1 ≤ i ≤ m . Taigi parodėme, kad bet kuri nebazinė eilutė yra bazinių eilučių tiesinė kombinacija. > Pastaba. Teoremos įodyme nurodytas būdas, kaip paskaičiuoti tiesinės kombinacijos koeficientus. Pademonstruosime tai pavyzdžiu. Tegu turime matricą A. Paskaičiuokime jos rangą ir pasirinkime bazinį minorą:

⎛ 1 4 1 −2 ⎞ ⎜ ⎟ 2 1 −1 3 ⎟ ⎜ A= ⎜ 1 −3 2 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 −3 10 −13 ⎠ E

4 − E3 → E4

⎛ 1 4 1 −2 ⎞ ⎜ ⎟ 2 1 −1 3 ⎟ ⎜ ⎯⎯ → r ⎜ 1 −3 2 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 8 −12 ⎠

⎛0 ⎛ 0 7 −1 −1 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ 0 7 −5 5 ⎟ 0 ⎜ ⎯⎯ → ⎯⎯ →⎜ r r ⎜1 ⎜ 1 −3 2 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 8 −12 ⎠ ⎝0 ⎛0 ⎜ ⎜0 ⎯⎯ → r ⎜1 ⎜ ⎝0

7 −1 −1 ⎞ ⎛0 ⎟ ⎜ 0 −4 6 ⎟ ⎜0 ⎯⎯ → r ⎜1 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ 0 8 −12 ⎠ ⎝0

⎛0 ⎜ 0 ⎯⎯ →⎜ r ⎜1 ⎜ ⎝0

1 0 0 0

0 0 0 0

E1 − E3 → E1

⎛ 0 7 −1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ 2 1 −1 3 ⎟ ⎜ E − 2 E3 ⎯⎯ → r ⎜ 1 −3 2 −1 ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 8 −12 ⎠

7 −1 −1 ⎞ ⎛0 ⎟ ⎜ 7 −5 5 ⎟ ⎜0 E 2 − E1 → E 2 ⎯⎯ r→ ⎜1 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ 0 8 −12 ⎠ ⎝0 7 0 0 ⎞ ⎛0 ⎟ ⎜ 0 −4 6 ⎟ ⎜0 E 2 ⋅ ( −2) → E 2 ⎯⎯ → r ⎜1 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ 0 8 −12 ⎠ ⎝0

0⎞ ⎟ 1⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠

Taigi matricos rangas yra 3, t.y. r ( A) = 3 .

33

7 −1 − 1 ⎞ ⎟ 0 −5 5 ⎟ ⎯⎯ → 0 0 0 ⎟ r ⎟ 0 8 −12 ⎠ 7 0 0 0

0 0 ⎞ ⎟ 8 −12 ⎟ ⎯⎯ → 0 0 ⎟ r ⎟ 8 −12 ⎠

→ E2

Tegu

1

4

M3 = 2

1

1

−1 = −28 = A44 - bazinis minoras. 1 −3 2

⎛ E1 ⎞ ⎜ ⎟ Tuomet ⎜ E2 ⎟ - bazinės eilutės, o nebazinė eilutė E4 išsireiškia per bazines eilutes sekančiai: ⎜E ⎟ ⎝ 3⎠ E4 = c1 E1 + c2 E2 + c3 E3 . 2 1 −1 1 4 A14 = (−1)1+ 4 ⋅ 1 −3 2 = 56; A24 = (−1) 2+ 4 ⋅ 1 −3 1 −3 10 1

4

1 2 = −56;

1 −3 10

1

A34 = (−1)3+ 4 ⋅ 2 1 −1 = 84; 1 −3 10

Iš čia gauname, kad: c1 = −

A A14 56 A −56 84 =− = 2 ; c2 = − 24 = − = −2 ; c3 = − 34 = − = 3. A44 A44 A44 −28 −28 −28

Taigi E4 = c1 E1 + c2 E2 + c3 E3 = 2 E1 − 2 E2 + 3E3 . Gavome, kad E4 eilutė tiesiškai priklausoma nuo bazinių eilučių.

NAMŲ DARBAS

Paskaičiuoti ketvirto stulpelio tiesinės kombinacijos koeficientus. Išvados: Grįžtant prie tiesinių algebrinių lygčių sistemų, bazines eilutes atitinka bazinės lygtys, o bazinius stulpelius – baziniai nežinomieji. Taigi bet kuri lygčių sistema yra ekvivalenti sistemai, sudarytai iš bazinių lygčių ( nebazines lygtis braukiam iš lygčių sistemos ). Teorema (Kronekerio – Kapeli):Tiesinių lygčių sistema yra suderinta tada ir tik tada, kai lygčių sistemos (LS ) matricos rangas yra lygus išplestosios matricos rangui. NAMŲ DARBAS

1. Remiantis teorema, ištirti, ar duotoji lygčių sistema yra suderinta:

34

⎧ x1 − x2 + x3 = 5 ⎪ ⎨ x1 − 2 x2 + x3 = 2 ⎪ x − 3x + 2 x = 1 2 3 ⎩ 1 2. Remiantis teorema, ištirti, ar lygčių sistemos yra suderintos, ir, jeigu taip, rasti bendruosius sprendinius:

⎧ x1 + 2 x2 + 3x3 − x4 = 0 ⎪ a) ⎨ x1 + x2 + x3 + 2 x4 = 4 ⎪ x + 5 x + 5 x − 4 x = −4 2 3 4 ⎩ 1

⎧ x1 + 2 x2 + 3x3 − x4 = 0 ⎪ ⎪ x1 + x2 + x3 + 2 x4 = 4 b) ⎨ ⎪ x1 + 5 x2 + 5 x3 − 4 x4 = −4 ⎪⎩ x1 + 8 x2 + 7 x3 + 7 x4 = 6

35

II Skyrius Vektorinė algebra

36

§1. Tiesinės erdvės

Apibrėžimas: Tegu X – tam tikra matematinių objektų (taškai tiesėje, plokštumoje, erdvėje, vienarūšių matricų aibė (t.y. M m×n = { Am×n }),...) aibė, kurioje yra apibrėžtos dvi operacijos:

a) vidinė – dviejų elementų sudėtis: x, y ∈ X ; x + y ∈ X b) išorinė – sandaugos iš skaliaro α : x ∈ X , α ∈ R1 ⇒ α x ∈ X . Šios operacijos turi tenkinti papildomus reikalavimus: a):

1. x + y = y + x 2. ( x + y ) + z = x + ( y + z ) 3. 0 + x = x 4. x + ( − x ) = 0

( sudėties komutatyvumo ) ( sumos asociatyvumo ) ( nulinio elemento egzistavimas) ( priešingo elemento sumos atžvilgiu egzistavimas )

1. (α1α 2 ) x = α1 (α 2 x) 2. 1⋅ x = x 3. (α + β )x = α x + β x 4. α ( x + y ) = α x + α y Aibė X, tenkinanti šiuos reikalavimas, vadinama tiesine erdve. b):

NAMŲ DARBAS

Sugalvoti po kelis skirtingus tiesinių erdvių pavyzdžius. Pvz.: 1. Natūraliųjų skaičių aibė nėra tiesinė erdvė. 2. Realiųjų skaičių aibė yra tiesinė erdvė. Apibrėžimas:Tiesinių erdvių bet kurių elementų xi tiesine kombinacija vadinsime reiškinį n

∑c x i =1

i i

.

Tiesinės erdvės elementų tiesinis priklausomumas ir nepriklausomumas apibrėžiamas taip pat, kaip ir matricos eilutėms bei stulpeliams. Pažymėkime X = Vn ( čia Vn - n – mačių vektorių erdvė). Apibrėžimas: Tiesinės erdvės (vektorinės erdvės) baze vadinsime maksimalią tiesiškai nepriklausomų elementų (vektorių) sistemą, jei bet kuris kitas tiesinės erdvės elementas (vektorinės erdvės – vektorius) gali būti išreikštas per bazinius elementus (bazinius vektorius) tiesiniu dariniu (kombinacija).

Bazinių elementų sistema (rinkinys) yra tiesinės erdvės poaibis, t.y.

37

{ x1 , x 2 , ..., x n } ⊂

X ; dim X = n ;

⎛ ur uur uur ⎜ V1 ,V2 ,...,Vn ⊂ Vn ; dim Vn = n dėl n – mačių vektorinių erdvių.) ⎝

{

}

Bazes tiesinėje (vektorinėje) erdvėje galime apibrėžti įvairiai, tačiau elementų (vektorių), įeinančių į bazę, skaičius yra duotai erdvei pastovus – jis apibrėžia erdvės dimensiją (išmatavimą). Prie be kurios sistemos prijungus nulinį elementą, ji tampa tiesiškai priklausoma, todėl 0-nis elementas į bazę įeiti negali. Pvz.: Tegu M 2×2 = { A2×2 } − vienarūšių matricų, kurių dim = 2 × 2 , aibė: ⎧⎪⎛ a a12 ⎞ ⎫⎪ M 2×2 = ⎨⎜ 11 ⎟⎬ . ⎩⎪⎝ a21 a22 ⎠ ⎭⎪ Ši matricų aibė yra tiesinė erdvė, o jos baziniais elementais gali būti:

⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛ 0 0⎞ x1 = ⎜ ⎟ , x2 = ⎜ ⎟ , x3 = ⎜ ⎟ , x4 = ⎜ ⎟. ⎝0 0⎠ ⎝0 0⎠ ⎝1 0⎠ ⎝0 1⎠ Visi kiti šios matricų aibės elementai nėra baziniai, nes juos galima išreikšti per bazinius elementus, ⎛3 1⎞ pvz. elementas x = ⎜ ⎟ nėra bazinis, nes x = 3x1 + x2 + 4 x3 + 2 x4 ir ( 3;1; 4; 2 ) − tos matricos ⎝ 4 2⎠ koordinatės M 2×2 aibėje kaip tiesinėje erdvėje.

§2. Vektoriaus išreiškimas duotosios bazės vektoriais r Tarkime, turime vektorinę erdvę Vn (t.y. dimVn = n ) ir joje vektorių rinkinį a i

{ }

n

: i =1 r a i = ( a1i ; a2i ;...; ani ) . Šie vektoriai n-mačiai. Jei turime tokį vektorių rinkinį, tai kaip patikrinti, ar jis

gali būti Vn baze ar ne. Imkime tiesinį darinį

n

r

∑c a i =1

i i

= 0. Išrašę pakoordinačiui, gauname:

⎧ a11c1 + a12 c2 + ... + a1n cn = 0 ⎪ a c + a c + ... + a c = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⎨ ⎪... ... ... ... ... ... ... ⎪⎩ an1c1 + an 2 c2 + ... + ann cn = 0 uuuur n t.y. gavome homogeninę lygčių sistemą. {ai }i =1 - vektorių sistema tiesiškai nepriklausoma, jei n ur c a ∑ i i = 0 ⇔ c1 = c2 = c3 = ... = cn = 0 (priešingu atveju vektorių sistema bus tiesiškai i =1

38

priklausoma). NAMŲ DARBAS

Išsiaiškinti, kaip, panaudojus 1 skyriaus faktus, parodyti, kad vektorių sistema tiesiškai nepriklausoma/priklausoma (panaudoti bazinio minoro teoremą). Teorema:(apie vektorinės erdvės Vn standartinę bazę) ur ⎧e1 = (1;0;0;...;0) ⎫ ⎪ uur ⎪ ⎪e2 = (0;1;0;...;0) ⎪ ⎪ ur ⎪ ⎨e3 = (0;0;1;...;0) ⎬ ⎪... ... ... ... ...⎪ ⎪ uur ⎪ ⎪en = (0;0;0;...1) ⎪ ⎩ ⎭

Vektorių sistema

yra vektorinės erdvės Vn bazė.

Apibrėžimas: Tokiu būdu parinkta bazė vadinama standartine.

ur < 1) ei

{}

n

i =1

tiesiškai nepriklausoma vektorių sistema?

Imame tiesinį darinį

n

r

∑c e i =1

i i

= 0 . Iš čia (c1 ; c2 ;...; cn ) = 0 ⇔ c1 = c2 = ... = cn = 0 , t.y. sistema tiesiškai

nepriklausoma. r 2) Bet kuris vektorius x ∈Vn išsireiškia per šiuos vektorius? r r r r r Tegu x = ( x1 ; x2 ;...; xn ) . Tuomet x = x1 e1 + x2 e2 + ... + xn e n . > Teorema: (Vektorinės bazės kriterijus) ur n Tegu turime vektorių sistemą ai . Ji yra Vn bazė ⇔ kai determinantas

{ }

i =1

D=

a11

a12

... a1n

a21

a22

... a2 n

...

...

...

an1

an 2 ... ann

...

≠ 0.

ur ur Čia ai = (a1i ; a2i ;...; ani ) , t.y. determinanto D stulpeliai – tai vektoriaus ai koordinatės, i = 1 ÷ n.

< Įrodymas:

ur Būtinumas: Tegu ai

{ }

n

i =1

ur − Vn bazė. Determinanto D stulpeliai – vektorių ai komponentės. Pagal

prielaidą vektoriai (stulpeliai) tiesiškai nepriklausomi. Jų yra n. Taigi matricos ( aij )i =1÷n rangas lygus j =1÷ n

n (žr. Bazinio minoro teoremą), t.y. D ≠ 0 . Pakankamumas: Tegu D ≠ 0 . 39

Sudarome tiesinę kombinaciją

ur

n

∑c a i =1

1)

ur

{a } i

i

i

=0 ⇔:

⎧ a11c1 + a12 c2 + ... + a1n cn = 0 ⎪ a c + a c + ... + a c = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⎨ ⎪... ... ... ... ... ... ... ⎪⎩ an1c1 + an 2c2 + ... + ann cn = 0 n

i =1

- tiesiškai nepriklausomų vektorių sistemą?

Kadangi D ≠ 0 , tai homogeninė lygčių sistema turi vienintelį sprendinį c1 = c2 = c3 = ... = cn = 0 . ur Tai reiškia, kad stulpeliai yra tiesiškai nepriklausomi, o tuo pačiu ir vektoriai ai . ur r 2) Bet kuris vektorius b ∈Vn išsireiškia per vektorių ai tiesinę kombinaciją ? n r ur r ur n Tarkime ∑ ci ai = b . Vektoriaus b = (b1 ; b2 ;...; bn ) koordinatės standartinėje bazėje ei ;

{}

i =1

i =1

ur r b = (c1 ; c2 ;...; cn ) uur n koordinatės vektorių sistemoje ai {ai }i=1

{ }

n

i =1

.

⎧a11c1 + a12 c2 + ... + a1n cn = b1 ⎪a c + a c + ... + a c = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪... ... ... ... ... ... ... ⎪⎩an1c1 + an 2 c2 + ... + ann cn = bn Kadangi D ≠ 0 , tai pastaroji lygčių sistema turi vienintelį sprendinį ci = Di / D (žr. Kramerio ur n formules), i = 1 ÷ n. Iš 1) ir 2) gauname, kad vektorių rinkinys ai yra Vn bazė. >

{ }

i =1

NAMŲ DARBAS

ur ⎧ a1 = (1; 2;0) ⎫ ⎪⎪ uur ⎪⎪ Pasiremiant vektorinės bazės kriterijum, patikrinti, ar vektorių sistema ⎨ a2 = (−1;0;1) ⎬ gali ⎪ uur ⎪ ⎪⎩ a3 = (0;1;1) ⎪⎭ r būti vektorinės erdvės V3 baze. Jei taip, tai rasti vektoriaus b koordinates naujoje bazėje, jei jo r koordinatės standartinėje bazėje yra b = (1; 4; 0) . . r Komentaras : teoremos įrodymo 2) dalyje yra nurodyta, kaip skaičiuoti vektoriaus b koordinates ur uur uur naujoje bazėje a1 ; a2 ; a2 , prieš tai pasitikrinus, ar D ≠ 0 .

{

}

§3. Tiesinis poerdvis. Homogeninės lygčių sistemos fundamentali sprendinių sistema Apibrėžimas: Tegu X – tiesinė erdvė. Poaibis L ⊂ X vadinamas tiesinės erdvės X tiesiniu

40

poerdviu, jei poaibis L tenkina tiesinės erdvės reikalavimus, t.y. pats yra tiesinė erdvė. Pastaba : R1 ⊃ N ; R1 ⊃ Q; R1 ⊃ Z ; R1 ⊃ iracionaliųjų skaičių aibė – bet tai nėra poerdviai, nes N,Q,Z ir iracionaliųjų skaičių aibė – nėra tiesinės erdvės.

Tegu turime nehomogeninę lygčių sistemą

r Ax = B .

(LS)

uur Tarkime , kad kokiu tai būdu suradome šios sistemos atskirą sprendinį ( xan - atskiras nehomogenines lygčių sistemos sprendinys). Ieškosime nehomogeninės lygčių sistemos bendrąjį sprendinį sekančiu pavidalu: uur uur uur xbn = xan + xbh .

r r r r r r Tada Axbh = Ax an + Axbh = B ir Ax an = B , taigi B + Axbh = B . Gauname, kad Axbh = 0 , t.y. jei uur žinome atskirą nehomogeninės (LS) sprendinį X an , tai bendrojo nehomogeninės (LS) sprendinio radimas susiveda į homogeninės (LS) sprendimą. r Apibrėžimas: Tiesinės homogeninės lygčių sistemos Axbh = 0 su n nežinomųjų ir r = rang ( A) < n n-r tiesiškai nepriklausomų sprendinių vadinami fundamentaliąja sprendinių sistema. Pastaba: sąlyga r < n apibrėžime esminė. Jei r = n (t.y. rangas yra lygus nežinomųjų skaičiui), tai tiesiškai nepriklausomų sprendinių nėra ( n − r = 0 ) . Tada yra tik vienas sprendinys vadinamas r r trivialiu (paprasčiausiu), x = 0 . Homogeninė lygčių sistema visada yra suderinta, nes r ( A) = r ( A B)

(žr. Kronekerio – Kapeli teoremą). Teorema: (Apie fundamentaliuosius sprendinius) r r Tiesinės homogeninės lygčių sistemos Ax = 0 su r ( A) < n bet kuris sprendinys x bh gali būti r ur ur ur išreikštas fundamentaliųjų sprendinių tiesiniu dariniu xbh = c1 f 1 + c2 f 2 + ... + cn −r f n −r .

< Įrodymas: Tegu r = r ( A), r < n . Pagal bazinio minoro teoremą turime r bazinių eilučių ir r bazinių stulpelių, arba r bazinių ir n-r nebazinių (laisvų) nežinomųjų. Sudarome matricą FS (fudamentaliujų sprendinių matricą): x2 ⎛ x1 ⎜ (1) α 2(1) ⎜ α1 FS = ⎜ α1(2) α 2(2) ⎜ ... ⎜ ... n r − ( ) ( ⎜α α1 n − r ) ⎝ 1

xr

... ... ...

α α

(1) r (2) r

xr +1 1 0

...

...

...

... α

( n−r ) r

0

xr + 2 ... xn ⎞ ⎟ 0 ... 0 ⎟ 1 ... 0 ⎟ ⎟ ... ... ... ⎟ 0 ... 1 ⎟⎠

Jos rangas lygus n-r ( bazinis minoras M n − r yra dešiniajame apatiniame kampe ir lygus det En − r ,

41

t.y. n-r-osios eilės vienetinės matricos determinantui). Tuomet pirmoji eilutė nebazinė ir yra tiesiškai priklausoma nuo likusių n-r bazinių eilučių (žr. Bazinio minoro teoremą). Pažymėję r xbh = ( x1 ; x2 ;...; xn )T , turime

⎛ α1(1) ⎞ ⎛ α1(2) ⎞ ⎛ α1( n − r ) ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ (1) ⎟ ⎜ (2) ⎟ ⎜ ( n−r ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜α2 ⎟ ⎜α2 ⎟ ⎜α2 ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ (1) ⎟ ⎜ (1) ⎟ ⎜ ( n−r ) ⎟ ⎜ ⎟ r xr ⎟ αr ⎟ αr ⎟ α ⎜ ⎜ ⎜ =c ⋅ +c ⋅ + ... + cn − r ⋅ ⎜⎜ r ⎟⎟ . xbh = ⎜ xr +1 ⎟ 1 ⎜ 1 ⎟ 2 ⎜ 0 ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ xr + 2 ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r ur ur ur Gauname, kad xbh = c1 f 1 + c2 f 2 + ... + cn −r f n −r . Parodėme, kad bet kuris tiesinės homogeninės lygčių sistemos

r Ax = 0

(HLS)

sprendinys išsidėsto tiesiškai per fundamentaliuosius sprendinius. > Išvados iš teoremos:

r 1. Sakėm, kad Ax = B sprendinių ieškome sekančiu būdu: r r r r ur ur ur xbn = x an + xbh = x ah + c1 f 1 + c2 f 2 + ... + cn −r f n − r ( jei r < n). r r Jei r = n , tai xbn = x an .

r 2. Tegu homogeninės lygčių sistemos Ax = 0 visų sprendinių aibė { xbh } , { xbh } = L . L ⊂ Vn , t.y. poaibis vektorinėje n-matėje erdvėje Vn . L tenkina visus tiesinės erdvės reikalavimus. Taigi L yra vektorines erdvės Vn tiesinis poerdvis. L baze galime pasirinkti fundamentalią sprendinių sistemą ur n − r fi , dim L = n − r . Ateity L žymėsim Vnn − r , taip nurodydami, kokioje vektorinėje erdvėje

{ }

i =1

turime n − r -matį tiesinį poerdvį L, sudarytą iš (HLS) sprendinių. NAMŲ DARBAS

1. Parodyti, kad L tenkina visus tiesinės erdvės reikalavimus. 2. Duota lygčių sistema:

42

⎧3x1 − 2 x2 + 2 x3 − 5 x4 = 0, ⎪ x − 2 x + 2 x − x = 0, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ 4 x4 = 0, ⎪2 x1 − x2 − ⎪⎩4 x1 − 3x2 + 4 x3 − 6 x4 = 0. Surasti lygčių sistemos fundamentaliųjų sprendinių sistemą (rinkinį). Aprašyti tiesinį poerdvį ( jeigu r < n) Vn( n − r ) sekančiai: r r ur ur ur ur Vn( n − r ) = x ∈ Vn : x = c1 f 1 + c2 f 2 + ... + cn − r f n − r ; A f i = 0 .

{

}

§4. Vektorinės bazės transformacija r r r (e) : e1 , e2 ,..., en − standartinė (senoji);

{

}

Paimkime bet r′ ⎫ ⎧r′ r′ (e′) : ⎨e 1 , e 2 ,..., e n ⎬ − naujoji. ⎩ ⎭ r r r r r kokį vektorių x ∈Vn , tada jo koordinatės bazėje (e) yra x = x1 e1 + x2 e2 + ... + xn e n , o to paties r n r ur uur uur vektoriaus koordinatės bazėje (e′) yra x{euri ′} = x′ = x1′ e1 ′ + x2′ e2 ′ + ... + xn′ en ′ . Tegu vektorinėje erdvėje Vn yra dvi bazės:

i =1

ur uur uur ⎧ ur′ e = a e + a e + ... + a e 11 1 21 2 n1 n ⎪1 ur uur uur ⎪ uur′ ⎪e2 = a12 e1 + a22 e2 + ... + an 2 en Tegu ⎨ . ⎪... ... ... ... ... ... ... ⎪ uur ur uur uur ⎪⎩en ′ = a1n e1 + a2 n e2 + ... + ann en

r Tada ( į x′ išraišką vietoj naujosios bazės vektorių statom jų išraiškas per senąją bazę (e) ): r′ ur uur uur x = x1′a11 e1 + x1′a21 e2 + ... + x1′an1 en + ur uur uur + x2′ a12 e1 + x2′ a22 e2 + ... + x2′ an 2 en + + ... ... ... ... ... ... ... + ur uur uur + xn′ a1n e1 + xn′ a2 n e2 + ... + xn′ ann en = ur = ( a11 x1′ + a12 x2′ + ... + a1n xn′ ) e1 + uur + ( a21 x1′ + a22 x2′ + ... + a2 n xn′ ) e2 + + ... ... ... ... ... ... ... + uur + ( an1 x1′ + an 2 x2′ + ... + ann xn′ ) en arba

43

⎧ x1 = a11 x1′ + a12 x2′ + ... + a1n xn′ ⎪ ⎪ x2 = a21 x1′ + a22 x2′ + ... + a2 n xn′ . ⎨ ... ... ... ... ... ... ... ⎪ ⎪⎩ x1 = an1 x1′ + an 2 x2′ + ... + ann xn′ ⎛ a11 a21 ⎜ a a22 Matrica A = ⎜ 12 ⎜ ... ... ⎜ ⎝ a1n a2 n su senąja baze matrica).

... an1 ⎞ ⎟ ... an 2 ⎟ vadinama bazių sąryšio matrica (t.y. sąryšio naujosios bazės ... ... ⎟ ⎟ ... ann ⎠

⎛ a11 a12 ⎜ a a22 Matrica B = ⎜ 21 ⎜ ... ... ⎜ ⎝ an1 an 2

... a1n ⎞ ⎟ ... a2 n ⎟ = AT vadinama bazės keitimo matrica. ... ... ⎟ ⎟ ... ann ⎠

r r Bx′ = x

r - to paties vektoriaus x naujųjų ir senųjų koordinačių sąryšis.

NAMŲ DARBAS

ur uur Duota standartinė bazė e1 , e2 vektorinėje erdvėje V2 . Tegu nauja bazė

⎧ ur′ uur′ ⎫ ⎨e1 , e2 ⎬ ⊂ V2 . ⎩ ⎭ Rasti bazių sąryšio matricą ir bazės keitimo matricą, jei naujoji koordinačių sistema gauta, pasukus senąją koordinačių sistemą kampu α prieš laikrodžio rodyklę.

{

}

44

§5. Atkarpos dalijimas duotuoju santykiu

Duoti du taškai

A( x1 , y1 , z1 ) ir B( x2 , y2 , z2 ) . Atkarpoje AB reikia uuuur uuur uuur uuur uuur AC AC = λ CB , nes AC ir CB kolinearūs rasti tašką C ( x, y , z ) taip, kad uuuur = λ , (λ > 0) . CB vektoriai. uuur uuur uuur r r r r r r r r r AC = OC − OA = xi + y j + zk − ( xi i + y1 j + z1 k ) = ( x − x1 )i + ( y − y1 ) j + ( z − z1 ) k ; uuur uuur uuur r r r CB = OB − OC = ( x2 − x)i + ( y2 − y ) j + ( z2 − z )k ; uuur r r r λ CB = λ ( x2 − x)i + λ ( y2 − y ) j + λ ( z2 − z )k .

uuur uuur Du vektoriai AC ir λ CB lygūs, kai lygios jų atitinkamos koordinatės, t.y. x1 + λ x2 ⎧ ⎪ x = 1+ λ , ⎧ x − x1 = λ ( x2 − x), ⎪ y1 + λ y2 ⎪ ⎪ , ⎨ y − y1 = λ ( y2 − y ), ⇒ ⎨ y = + λ 1 ⎪ z − z = λ ( z − z ), ⎪ 1 2 ⎩ z1 + λ z2 ⎪ ⎪ z = 1+ λ . ⎩ Pastaba: Skaičiuojant 2-matėje erdvėje (plokštumoje) z = 0 . Kai z = 0 ir λ = 1 , gauname jau iš mokyklos laikų žinomas formules - atkarpos dalijimą pusiau. NAMŲ DARBAS

Duoti du taškai A(3; −2; 4) ir B (6; 4; −2). Rasti tašką, kuriame atkarpa AB kerta xOy plokštumą.

§6. Dviejų vektorių skaliarinė sandauga r r r Tegu turime vektorinę erdvę Vn ir du vektorius a , b ∈Vn , kur a {a1 , a2 ,..., an } ir

r r r b {b1 , b2 ,..., bn } .; a − vektoriaus ilgis yra skaičiuojamas pagal sekančią formulę: a =

45

n

∑a i =1

2 i

.

r r a , b ∈ Vn skaliarine sandauga vadinamas skaičius, lygus

Apibrėžimas :Dviejų vektorių

r r (žymimas ( a , b )

r r

r r

r r a ⋅b )

arba

r r

( ar , b r) = a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ .

Čia ϕ - kampas tarp vektorių a ir b , be to, imamas mažesnysis kampas (t.y. 0 ≤ ϕ ≤ π ).

Savybės:

r r ur r 1. a, b = b,a (komutatyvumas); r r r r r r r 2.(a, b + c) = a, b + a, c (distributyvumas); r r r r r r 3. λ a, b = a, λ b = λ a, b , čia λ - skaliaras;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r 4. ( a, b ) = 0, jei a = 0 arba

5.

r r

r2

( a, b ) = a

r b = 0, arba ϕ = 90o .

.

r

{ei } - standartinės bazės vektoriai (vienetinio ilgio ir kiekvienas sudaro statų kampą su likusiais vektoriais): ⎧1, i = j , δ vadinamas Kronekerio simboliu. j. ij ⎩

{ei }i =1 ⊂ Vn ; ( ei , e j ) = δ ij = ⎨ 0, i ≠ r

r r

n

Skaliarinė sandauga įgyja itin paprastą pavidalą, kai vektorinėje erdvėje Vn pasirenkame ur standartinę bazę ei . Išties, tegu turime du vektorius

{}

r ur uur uur a = a1 e1 + a2 e2 + ... + an en r ur uur uur , b = b1 e1 + b2 e2 + ... + bn en

tuomet

n r r a, b = ∑ ai bi

( )

i =1

Pitagoro teoremos apibendrinimas trimatės erdvės atvejui.

46

r ur

rr

( a, e ) ( e, i ) a cos α = r ur = r r = ur , 1

a ⋅ e1

1

a⋅i

a1

a cos β = r2 , a a cos γ = r3 , a ⇒ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1.

Paaiškinimas, ką reiškia žymėjimai: figūrinius skliaustus rašome prie vektoriaus koordinačių, r pvz.: a {a1 , a2 , a3 } ; paprastus skliaustus rašome prie taško koordinačių, pvz. : M ( a1 , a2 , a3 ) .

NAMŲ DARBAS

ur Įrodyti analogišką teoremą n-matėje vektorinėje erdvėje Vn . Turime standartinę bazę ei

{}

Parodyti , kad

n

∑ cos i =1

2

n

i =1

.

αi = 1

§7. Dviejų vektorių vektorinė sandauga r r r r r Apibrėžimas: Tegu a, b ∈ V3 . Dviejų vektorių a ir b vektorine sandauga vadinsime vektorių c , r r r r r r kurio modulis c= c = a ⋅ b ⋅ sin ϕ ( ϕ – kampas tarp vektorių a ir b ). Vektorius c statmenas r r r r r vektorių a ir b plokštumai ir nukreiptas taip, kad, žiūrint iš jo galo į vektorius a ir b , vektorių a r r turime pasukti kampu ϕ prieš laikrodžio rodyklę, kad a sutaptų su b .

47

r r r r r r Vektorius c žymimas keliais būdais c = ⎣⎡ a, b ⎦⎤ = a × b. Savybės :

r r r r (antikomutatyvumas); 1. ⎡⎣ a, b ⎤⎦ = − ⎡⎣b, a ⎤⎦ r r r r r r 2. ⎡⎣λ a, b ⎤⎦ = ⎡⎣ a, λ b ⎤⎦ = λ ⎡⎣ a, b ⎤⎦ , čia λ - skaliaras; r r r r r r r a × (b + c) = a × b + a × c ⎫⎪ 3. r r r r r r r ⎬ ( distributyvumas ) ; a + b × c = a × c + b × c⎪ ⎭ r r r r r r 4. ⎡⎣ a, b ⎤⎦ = a × b = 0 , jei a ir b kolinearūs arba bent vienas iš jų lygus 0.

(

)

Pastaba : Skaliarinės ir vektorinės dalybos nėra (neegzistuoja atvirkštinė operacija dėl to, kad tiek skaliarinė, tiek ir vektorinė sandaugos yra nevienareikšmės).

Vektorinė sandauga koordinatinėj formoj. rr r Bazinių vektorių i, j , k vektorinės sandaugos lentelė:

r r r x i j k r r r i 0 k −j r r r j −k 0 i r r r k j −i 0

48

Tegu kad

r r r r a = a1 i + a2 j + a3 k r r r r . Pasiremiant aukščiau nurodytomis savybėmis, lengva parodyti, b = b1 i + b2 j + b3 k

r i r r r r ⎡ a, b ⎤ = a × b = a1 ⎣ ⎦ b1

r j a2 b2

r k a3 . b3

Determinantą formaliai skleidžiame pagal vektorių eilutę: r r r a ⎛ i ⋅ M 11 − j ⋅ M 12 + k ⋅ M 13 ⎜ čia M 11 = 2 b2 ⎝

a3 b3

⎞ ir t.t ⎟ . ⎠

Iš kitos pusės skaičiuojame vektorinę sandaugą:

r r r r r r ⎡ a1i + a2 j + a3 k , b1i + b2 j + b3 k ⎤ . ⎣ ⎦ Po visų šitų veiksmų įsitikiname, kad vektorinę sandaugą išies formaliai galime skaičiuoti, skleisdami minėtą determinantą vektorių eilute.

§8. Skaliarinės ir vektorinės sandaugos taikymas geometrijoje ir mechanikoje

I. Skaliarinės sandaugos dėka galime paskaičiuoti kampą tarp vektorių; patikrinti, ar jie

49

ortogonalūs; rasti vieno vektoriaus projekciją į kitą.

r r Tegul turime du vektorius a, b ∈ Vn : r r

r r

( a, b ) = a ⋅ b ⋅ cos ϕ . r r r Geometrine prasme b ⋅ cos ϕ – tai vektoriaus b projekcija į vektorių a .

Mechanikoje skaliarinė sandauga naudojama, kai skaičiuojamas pvz. darbas A: ur ur ur ur A = ( F , S ) = F ⋅ S ⋅ cos ϕ

ur uuur ur Čia F – jėga, veikianti kažkokį kūną kampu ϕ ir stumianti jį iš taško A į tašką B; S = AB .

NAMŲ DARBAS

uur uur Duotos jėgos F1 {3, −1, 4} ir F2 {5,3, −1} . Apskaičiuoti darbą A, kurį atlieka uur uur jėgų F1 ir F2 atstojamoji, perkeldama materialų tašką iš M 1 (3, 4, -1) į M 2 (5, -3, 2).

I I. Vektorinės sandaugos dėka galime paskaičiuoti kampą tarp vektorių; patikrinti, ar vektoriai r r kolinearūs; rasti lygiagretainio ir trikampio, kurių kraštinės yra vektoriai a ir b , plotus.

r r Tegul turime du vektorius a, b ∈ V3 . r r r c = a ⋅ b sin ϕ = S . 50

r Geometrine prasme c – yra lygus lygiagretainio plotui;

. Q=

1 ⎡r r⎤ a, b – trikampio plotas. 2⎣ ⎦

r Mechanikoje vektorinė sandauga naudojama pvz. jėgos momentui M paskaičiuoti. Jegos F uuur uuur ur uuur ur momentas taško O atžvilgiu iš tiesų yra vektorius M 0 = OA × F = ⎡⎣OA, F ⎤⎦ , taigi uuur ur uuur uuur M 0 = F ⋅ OA ⋅ sin ϕ = F ⋅ h, (čia OA ⋅ sin ϕ = h – aukštinė arba mechanine prasme petys). uuur Jėgos momentas yra vektorius, nukreiptas sukimosi ašies kryptimi, t.y. statmenai vektorių OA ir

r F plokštumai:

NAMŲ DARBAS

ur Duota: Kietas kūnas fiksuotas taške A(2,3, 5) . Taške B (0,3, 7) kūną veikia jėga F {2, −5,1} . uuur uuur ur Rasti jėgos F momentą taško A atžvilgiu M A , jo modulį M A ir nubrėžti eskizą.

§9. Mišrioji trijų vektorių sandauga r r r Tarkime, turime tris vektorius a, b, c ∈ V3

51

r r r Apibrėžimas: Trijų vektorių a, b, c ∈ V3 mišriąja sandauga vadinamas skaičius, lygus vektorinės r r r sandaugos ⎡⎣ a, b ⎤⎦ ir vektoriaus c skaliarinei sandaugai, t.y.

( ⎣⎡a,b⎦⎤ , c ) = ( a × b ) ⋅ c= ( a,b,c) = a ⋅ b ⋅ c rr

r

r r r

rrr

r r r

Mišriosios trijų vektorių sandaugos geometrinė prasmė:

r r r r r r Tegu a, b, c ∈ V3 sudaro dešinį trejetą (tripletą). Tuomet ⎡⎣ a, b ⎤⎦ = u nukreiptas į tą pačią pusę kaip r ir c . rrr

r r

r r

( a,b,c ) = (u, c ) = u ⋅ c ⋅ cos ϕ = S ⋅ h = V r (čia c ⋅ cos ϕ = h – gretasienio aukštinė, V – gretasienio tūris). rrr rrr Jei a,b,c sudaro kairįjį tripletą (reperį), h yra neigiamas ir a,b,c = −V .

(

)

Mišriosios trijų vektorių sandaugos savybės:

1. Mišrioji sandauga lygi nuliui, kai: a) visi vektoriai yra vienoje plokštumoje (t.y. komplanarūs); b) bent du vektoriai yra lygiagretūs (t.y. kolinearus); c) bent vienas iš vektorių yra lygus nuliui.

(

) (

)

r r r r r r r r r r r r 2. a, ⎡⎣b, c ⎤⎦ = ⎡⎣b, c ⎤⎦ , a arba a ⋅ b × c = b × c ⋅ a (leistina, nes skaliarinė sandauga komutatyvi);

(

) (

)

52

(

) (

)

r r r r r r r r r r r r 3. a, ⎡⎣b, c ⎤⎦ = ⎡⎣ a, b ⎤⎦ , c arba a ⋅ b × c = a × b ⋅ c skaliarinę ir vektorinę sandaugas galime keisti vietomis;

(

) (

)

r r r r r r r r r 4. a) a, b, c = b, c, a = c, a, b , t.y. jei vektorius keičiam vietomis cikliškai (pagal schemą

(

) (

) (

)

prieš laikrodžio rodyklę), tai mišrioji sandauga nesikeičia (nekinta trejeto orientacija). b) jei, keičiant vietomis, pažeistas cikliškumas, keičiasi mišriosios sandaugos ženklas:

r r r

r r r

r r r

r r r

( a , b , c ) = − ( b , a , c ) = − ( c , b, a ) = − ( a , c , b ) . Koordinatinė mišriosios sandaugos forma. r r r Kaip skaičiuojama mišrioji sandauga, kai žinome vektorių a, b, c koordinates? Tegu r r r r a = a1 i + a2 j + a3 k r r r r b = b1 i + b2 j + b3 k . r r r r c = c1 i + c2 j + c3 k Mes jau žinome, kad r r r i j k r r r r ⎡b, c ⎤ = b × c = b1 b2 b3 . ⎣ ⎦ c1 c2 c3

Tuomet

(

r i

r k

r j

r r r uur r r r r r a, b, c = a ⋅ b × c = a1 i + a2 j + a3 k ⋅ b1 b2

b3

c1 c2

c3

)

(

) (

)

pagal det savybes

=

a1

a2

a3

b1

b2

c1

c2

b3 . c3

Pastaba: Mišriosios sandaugos išraiška per determinantą leidžia lengviau patikrinti eilę savybių, kurias tikrinti kitais būdais žymiai sudėtingiau (pasinaudojame jau žinomomis determinanto savybėmis) . NAMŲ DARBAS

1. Paskaičiuoti bazinių vektorių mišriąją sandaugą, keičiant vietomis vektorius cikliškai ir ne cikliškai: rr r i, j , k .

(

)

2. Duoti keturi taškai A(2, 1, 0), B(1, − 2, 1), C(− 2, −1, 1), D(5, 0, 0). Patikrinti, ar šie taškai

53

yra vienoje plokštumoje.

III skyrius Analizinės geometrija

54

§1. Tiesė plokštumoje 1.1. Kryptinė tiesės lygtis

Imkime tiesę t, nelygiagrečią koordinatėms ašims. Tiesės padėtis bus nustatyta, jei žinosime kampą ϕ , kurį tiesė sudaro su teigiamąja x ašies kryptimi, ir tašką N(0,n), kuriame tiesė t kerta y ašį. Kampą ϕ atskaitysime nuo teigiamosios x ašies krypties prieš laikrodžio rodyklę, todėl π 0 < ϕ < π ir ϕ ≠ . Kampo ϕ tangentas 2 tgϕ = m vadinamas tiesės t krypties koeficientu. Tiesės t lygčiai išvesti imsime bet kurį jos tašką M ( x, y ) , nesutampantį su N, iš jo nuleisime statmenį MP į x ašį ir nubrėšime atkarpą NC, lygiagrečią x ašiai. Tada y = PM = CM + PC.

Iš stačiojo trikampio CMN, kurio kampas MNC = ϕ gauname, kad CM = NCtgϕ = xtgϕ = mx .

Be to,

PC = ON = n .

Todėl y = mx + n .

(1)

Tą lygtį tenkina kiekvieno taško, esančio tiesėje, koordinatės (taip pat ir taško N koordinatės). Lengva įsitikinti, kad taško, nesančio tiesėje, koordinatės negali tenkinti lygties. Vadinasi, (1) ir yra tiesės t lygtis; ją vadinsime kryptine tiesės lygtimi. Jei tiesė eina per koordinačių pradžią, tai n = 0 ; todėl tiesės lygtis šiuo atveju bus y = mx .

1.2. Bendroji tiesės lygtis

Turėdami lygtį

y = mx + n ,

įsitikinome, kad ši lygtis apibrėžia tiesę, einančią per tašką ( 0 , n) ir turinčią krypties koeficientą m. Lygtys x = k ir y = l apibrėžia tieses, lygiagrečias y ir x ašims atitinkamai. Jei turime lygtį (2) ax + by + c = 0 , 55

kurioje abu koeficientai a ir b kartu nėra lygūs nuliui, tai, padaliję šią lygtį iš b ≠ 0, gauname y=−

a c x− . b b

Ši lygtis ekvivalenti (2) lygčiai, t.y. jas abi tenkina tie patys taškai. Pastroji lygtis apibrėžia tiesę, a c nes tai kryptinė tiesės lygtis y = mx + n , kurioje m = − , n = − , vadinasi, (2) lygtis irgi b b apibrėžia tiesę. Tokiu būdu lygtis ax + by + x = 0

( kur

a ≠ 0 arba b ≠ 0 )

yra tiesės lygtis, kurią ir vadinsime bendrąja tiesės lygtimi plokštumoje. 1.3. Tiesės, einančios per duotą tašką duotąja kryptimi, lygtis

Imkime tiesę t, kuri su teigiamąja x ašimi sudaro kampą ϕ ir eina per tašką A( x1 , y1 ) . Išvesime tos tiesės lygtį prileisdami, kad tiesė t nėra lygiagreti y ašiai. Tokiu atveju tiesės lygtis yra y = mx + n .

(3)

Čia m = tgϕ - žinomas tiesės krypties koeficientas. Kadangi taškas A( x1 , y1 ) yra tiesėje t, tai jo koordinatės turi tenkinti (3) lygtį, t.y. y1 = mx1 + n. Iš (3) lygybės, panariui atėmę paskutinę, gauname y − y1 = m( x − x1 ).

(4) z

Tai ir yra ieškomoji lygtis. Jeigu tiesė, eina per tašką A( x1 , y1 ) ir yra lygiagreti y ašiai, tai jos lygtis, aišku, bus x = x1 . 1.4. Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis

Per du skirtingus taškus galima nubrėžti tiesę ir tiktai vieną. Rasime tiesės t, einančios per taškus A( x1 , y1 ) ir B( x2 , y2 ) , lygtį. Iš pradžių tarkime, kad x ≠ x1 , t.y. kad tiesė nelygiagreti y ašiai. Kadangi tiesė t eina per tašką

56

A( x1 , y1 ) , tai jos lygtis bus y − y1 = m( x − x1 ) ;

(5)

čia m – nežinomas tos tiesės krypties koeficientas. Tačiau taškas B( x2 , y2 ) , irgi yra tiesėje t, todėl jo koordinatės tenkina (5) lygtį : y2 − y1 = m( x2 − x1 ) . Iš čia randame m ( turim omeny, kad x2 − x1 ≠ 0 ): m=

y2 − y1 . x2 − x1

Įstatę surastąją m išraišką į (5) lygtį, gauname y − y1 =

y2 − y1 ( x − x1 ) . x2 − x1

(6)

Tai ir yra ieškomoji tiesės t lygtis. Jeigu y1 ≠ y2 , (6) lygtį galime užrašyti taip, kad lengviau būtų prisiminti: y − y1 x − x1 . = y2 − y1 x2 − x1

(7)

Kai x1 = x2 , tiesė, nubrėžta per taškus A( x1 , y1 ) ir B( x2 , y2 ) , lygiagreti y ašiai, o jos lygtis, aišku, bus x = x1 . Pavyzdys: Rasime lygtį tiesės, einančios per taškus A(−2, −3) ir B (1, 3) . Remdamiesi (7) lygtimi, rašome y+3 x+2 . = 3 + 3 1+ 2 Iš čia

2x − y +1 = 0 .

1.4. Ašinė tiesės lygtis

Tarkime, kad tiesė t, neinanti per koordinačių pradžią kerta abi koordinatines ašis. Tiesės padėtis bus nustatyta, kai žinomi taškai A( a, 0) ir B (0, b) , kuriuose ši tiesė kerta koordinačių ašis. Pasinaudojus (7) lygtimi, nesunku parašyti minimos tiesės lygtį:

57

y−0 x−a = ; b−0 0−a

iš čia y x = − +1 b a

ir galutinai x y + =1 . a b

Gautoji lygtis vadinama ašine tiesės lygtimi; joje parodyti atkarpų, kurias tiesė atkerta koordinatinėse ašyse, ilgiai OA = a ir OB = b .

1.6. Normalinė tiesės lygtis

Tiesės t padėtį nusakysime jos atstumu p > 0 nuo koordinačių pradžios bei normalės vektoriaus r r r r n n ortu n0 = r = (cos α ,sin α ) . Bet koks vektorius n , statmenas tiesei t, vadinamas n r normaliniu vektorium (normale); α - kampas, kurį normalė n sudaro su Ox ašimi. Kintamąjį tiesės uuuur t tašką pažymėkime M(x,y). Tegu OM - taško M spindulys-vektorius. Tuomet

r p rnr 0 r = p > 0

,

r r kadangi kampas ϕ tarp vektorių n ir r neviršija π / 2 . Iš kitos pusės

r r (r , n0 ) r r r r r prnr0 r =| r | cos ϕ = r = (r , n0 ), nes | n0 |= 1 . | n0 | Iš čia gauname normalinę tiesės t lygtį vektorinėj formoj:

r r (r , n0 ) = p . Arba pakoordinačiui: x cos α + y sin α − p = 0 .

1.7. Tiesės bendrosios lygties suvedimas į normalinį pavidalą

Kadangi kiekvieną plokštumos tiesę galima užrašyti normaline lygtimi x cos α + y sin α − p = 0 ,

tai kyla klausimas, iš kokio daugiklio reikia padauginti bendrąją lygtį

58

(8)

ax + by + c = 0 ,

aprašančią tą pačią tiesę, kad gautume (8). Jei toks daugiklis yra M, tai lygties Max + Mby + Mc = 0

koeficientai sutampa su atitinkamais (8) lygties koeficientais: Ma = cos α ,

Mb = sin α ,

Mc = − p .

Pirmųjų dviejų lygybių abi puses pakėlę kvadratu ir sudėję, gauname M 2 (a 2 + b 2 ) = 1. Iš čia, žinodami, kad a 2 + b 2 ≠ 0 (bent vienas iš skaičių a ir b nelygus nuliui), randame taip vadinamą normuojantį daugiklį M :

M=

1 ± a 2 + b2

.

Kaip matome, šioje lygybėje M ženklas liko nenustatytas. Tačiau iš lygybės MC = − p , kurioje p > 0 , matome, kad MC < 0 , kai c ≠ 0 , todėl M ženklą reikia imti priešingą c ženklui. Kai c = 0 , M ženklas lieka nenustatytas: tiesė eina per koordinačių pradžią ir p=0, nes ϕ = π / 2 .

1.8. Taško atstumas iki tiesės

Imkime tiesę t, užduotą normaline lygtimi x cos α + y sin α − p = 0,

(9)

ir tašką M 0 ( x0 , y0 ) , esantį šalia jos. Pradžioje tegu šis taškas ir koordinačių pradžios taškas O yra skirtingose tiesės t pusėse. Rasime taško M 0 atstumą h iki tiesės t. Tegu M 1 ( x1 , y1 ) r uuuuuur bet kuris tiesės t taškas, r = M1M 2 , tuomet

r r r h = prnr0 r = (r , n0 ) = ( x0 − x1 )cos α + ( y0 − y1 )sin α = = x0 cosα + y0 sin α − ( x1 cosα + y1 sinα ) = x0 cosα + y0 sinα − p , kur p = x1 cos α + y1 sin α , nes taškas M 1 ∈ t , t.y. jo koodinatės tenkina (9) lygtį. Jei taškas M 1 ir O r r yra toje pačioje tiesės t pusėje, tada h < 0, nes π / 2 ≤ ϕ ≤ π ( ϕ - kampas tarp vektorių r ir n0 ).

Iš čia

59

h =| x0 cosα + y0 sinα − p | , t.y. taško atstumą nuo tiesės gauname, į tiesės normalinės lygties kairės pusės reiškinį x cos α + y sin α − p

įstatę to taško koordinates. 1.9. Kampas tarp dviejų tiesių. Tiesių lygiagretumas ir statmenumas

Imkime dvi tieses t1 ir t2 , susikertančias taške C . Smailų kampą γ , kuriuo reikia sukti tiesę t1 apie tašką C , kad sutaptų su tiese t2 , vadinsime kampu tarp tų tiesių. Šis kampas laikomas teigiamu, kai nurodytas sukimas vyksta prieš laikrodžio rodyklę; priešingu atveju kampas γ laikomas neigiamu. Tarkime, kad tiesės t1 ir t2 duotos lygtimis y = m1 x + n1 ir y = m2 x + n2 . Rasime kampą γ .

Brėžinyje nurodytu atveju kampas ϕ 2 , yra trikampio ABC priekampis, todėl

ϕ2 = ϕ1 + γ Vadinasi γ = ϕ 2 − ϕ1 , o tgγ = tg (ϕ 2 − ϕ1 ) . Galima įsitikinti, kad paskutinė lygybė tinka ir kitais atvejais. Iš jos gauname tgγ =

tgϕ 2 − tgϕ1 . 1 + tgϕ1 ⋅ tgϕ 2

Nors kampai ϕ1 ir ϕ 2 sąlygoje neduoti, bet iš duotųjų lygčių žinome tgϕ1 = m1 ir tgϕ2 = m2 .

60

Todėl galutinai tgγ =

m2 − m1 . 1 + m1 ⋅ m2

Jei tiesės t1 ir t2 yra lygiagrečios, tai ϕ1 =ϕ2 . Vadinasi, šiuo atveju

(10)

tgϕ1 = tgϕ 2 arba m1 = m2 . Atvirkščiai, jei m1 = m2 , arba tgϕ1 = tgϕ 2 , tai, turėdami omeny, kad ϕ1 ir ϕ 2 yra tarp 0 ir π , gauname ϕ1 =ϕ2 . Vadinasi, tiesės t1 ir t2 yra lygiagrečios. Taigi įrodėme, kad tiesės yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų krypties kooficientai yra lygūs. Jei t1 ir t2 yra statmenos, tai π π ϕ 2 = ϕ1 + arba ϕ1 = ϕ 2 + ; 2 2 abiem atvejais

arba

tgϕ 2 = −ctgϕ1 = −

m2 = −

1 ; tgϕ1

1 . m1

(11)

Lengva įsitikinti ir atvirkščiai: kai patenkinta pastaroji sąlyga, tai tiesės t1 ir t2 yra statmenos. Vadinasi, dvi tiesės yra statmenos viena kitai tada ir tik tada, kai jų krypties koeoficientai yra vienas kitam atvirkštiniai ir priešingų ženklų skaičiai. Dabar tarkime, kad tiesės t1 ir t2 duotos bendrosiomis lygtimis a1 x + b1 y + c1 = 0 ir a2 x + b2 y + c2 = 0 . Kai b1 ir b2 nelygūs nuliui, tų tiesių krypties koeficientai bus tokie: m1 = −

a1 a , m2 = − 2 b1 b2

Šias m1 ir m2 išraiškas įstatę į (10) formulę, gauname a2 a1 + b2 b1 tgγ = a a 1+ 1 ⋅ 2 b1 b2 −

61

arba tgγ =

a1b2 − a2b1 . a1a2 − b1b2

Duotos tiesės bus lygiagrečios, kai m1 = m2 , t.y. a1 b1 = . a2 b2

Vadinasi, tiesės, duotos bendromis lygtimis, bus lygiagrečios tada ir tik tada, kai lygčių koeficientai prie kintamųjų x ir y proporcingi. Tiesių, duotų bendromis lygtimis, statmenumo sąlyga gaunama iš (13) lygybės, imant m1 = − m2 = −

a2 . Tada b2

a1a2 − b1b2 = 0 . Pavyzdys: Parašysime lygtį tiesės, einančios per tašką (1, 2) ir lygiagrečios tiesėi 2x − 3y + 3 = 0 .

Ieškomoji lygtis bus šitokia:

2x − 3y + c = 0 .

Kadangi taškas (1, 2) yra šioje tiesėje, tai

2 ⋅1 − 3 ⋅ 2 + c = 0 . Iš čia c = 4 . Vadinasi, ieškomoji lygtis yra 2x − 3y + 4 = 0 .

§2. Plokštuma erdvėje 2.1. Bendroji plokštumos lygtis r r r r Tegu n = ai + b j + ck . Pasirenkame bet kokį tašką M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ir per tą tašką išvedame r plokštumą p statmenai vektoriui n . Pasirenkame kitą tašką M ( x, y , z ) plokštumoje p:

uuuuuur r r r M 0 M = ( x − x0 )i + ( y − y0 ) j + ( z − z0 )k ;

r uuuuuur r n - vadinamas normaliniu vektorium plokštumai p ⇔ M 0 M ⊥ n .

62

a1 , b1

uuuuuur r

( M M , n ) = a ( x − x ) + b( y − y ) + c ( z − z ) = 0 ,

⇒

0

0

0

0

ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0 . – ax0 − by0 − cz0

Tegu

pažymime

=

d , tuomet

ax + by + cz + d = 0 .

Tai bendroji plokštumos lygtis koordinatinėj formoj.

uuuuuur r ( M 0 M , n) = 0 . Pastaroji lygtis vadinama bendrąją plokštumos lygtimi vektorinėje formoje. 2.1. Normalinė plokštumos lygtis

r uur n r r r r Tegu n0 = r = i ⋅ cos α + j ⋅ cos β + k ⋅ cos℘ , n = a 2 + b 2 + c 2 . n uur Vektorius n0 - vadinamas normuotu normaliniu vektorium (normaliniu ortu).

uuuur r uuuur r Imame OM , n0 -skaliarinę sandaugą, kuri lygi vektoriaus OM projekcijai į normalę n 0 , uuuur r n0 {cos α , cos β , cos γ } , OM { x, y, z} .

(

)

uuuur r

( OM , n ) = p = x ⋅ cos α + y ⋅ cos β + z ⋅ cos γ . 0

63

Iš čia gauname plokštumos p normalinę lygtį: x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0, ( p > 0) .

Lygtys

ax + by + cz + d = 0 ir x ⋅ cos α + y ⋅ cos β + z ⋅ cos γ − p = 0

yra ekvivalenčios, t.y. tie patys taškai tenkina abi lygtis (šiuo atveju plokštumos p taškai). Kaip ir tiesės atveju bendrąją plokštumos lygtį suvesime į normalinę lygtį, daugindami iš normuojančio daugiklio M. Tuomet

Ma = cos α ,

Mb = cos β ,

Mc = cos γ ,

M 2 (a 2 + b 2 + c 2 ) = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 , M2 =

1 , a + b2 + c2 2

1 M =± r . |n|

Md = − p < 0 ir M ženklą renkamės pagal d: kai d<0, tai pasirenkame M>0; kai d>0, tai M<0.

2.3. Plokštumos, einančios per tris duotus taškus, lygtis

Trys taškai pilnai apibrėžia plokštumą. Tegu M ( x, y , z ) bet kuris plokštumos p taškas, o taškai M 1 , M 2 , M 3 fiksuoti plokštumoje p.

Tuomet mišrioji sandauga

64

x − x1 uuuuur uuuuuur uuuuuur ( M 1M , M 1M 2 , M 1M 3 ) = x2 − x1

y − y1

z − z1

y2 − y1

z2 − z1 = 0 .

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1

Tai ir yra ieškomoji lygtis. NAMŲ DARBAS

Išvesti ašinę plokštumos p lygtį:

x y z + + =1. a b c

2.4. Kampas tarp plokštumų

ur r Tegu n1 , n2 -normaliniai vektoriai plokštumoms p1 ir p2 . Kampas tarp plokštumų yra lygus kampui ϕ tarp normalės vektorių. Tegu p1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0, p2 : a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0 .

65

ur uur

(n , n ) cos ϕ = ur uur ; 1

2

n1 ⋅ n2

Tada

ur uur tegu n1 = (a1 , b1 , c1 ), n2 = (a2 , b2 , c2 ) .

cos ϕ =

a1a2 + b1b2 + c1c2 . ur uur n1 ⋅ n2

uur r Kada plokštumos yra lygiagrečios? Kai plokštumų p1 ir p2 normaliniai vektoriai n1 ir n2 kolinearūs, t.y ⎧a1 = λ a2 ur uur a b c ⎪ n1 = λ n2 ⇒ ⎨ b1 = λ b2 ⇒ λ = 1 = 1 = 1 . a2 b2 c2 ⎪ c = λc 2 ⎩ 1 Jei ir

d1 = λ , tai plokštumos sutampa. d2

Kada plokštumos statmenos?

r r r r Kai n1 ⊥ n2 ⇒ (n1 , n2 ) = 0 ⇔ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0 .

NAMŲ DARBAS r r ⎧a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0, d Koks lygčių sistemos rangas, kai n1 = λ n 2 , 1 = λ ? Duota: ⎨ d2 ⎩a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0.

2.5. Taško atstumas iki plokštumos

66

Tegu plokštumos p lygtis ax + by + cz + d = 0 ir tegu taškas Q( x0 , y0 , z0 ) yra šalia plokštumos r p. Imkime bet kurį tašką P ( x1 , y1 , z1 ) plokštumoje p ir išveskime jame normalę n {a, b, c} r uuur plokštumai p. h lygi PQ projekcijai į normalės vektorių n , t.y. uuur uuur h = pr PQ = PQ ⋅ cos α ,

uuur r PQ, n cos α = uuur r PQ ⋅ n

uuur r

( PQr , n ) h=

⇒

n

.

Arba koordinatiniame pavidale: uuur r

( PQr, n ) = a( x h=

0

n

ax0 + by0 + cz0 − ( ax1 + by1 + cz1 ) − x1 ) + b( y0 − y1 ) + c( z0 − z1 ) , = r r n n

bet taškas P priklauso plokštumai p , t.y. ax1 + by1 + cz1 = −d ,

h=

taigi

ax0 + by0 + cz0 + d . r n

Jei plokštuma užduota normaline lygtimi, tuomet: a b c r = cos α ; r = cos β ; r = cos℘ ; n n n

1 r =M n

ir

h = x0 cos α + y0 cos β + z0 cos℘− p . Čia − p = Md

§ 3. Tiesė erdvėje 3.1. Įvairios tiesės lygtys r Tiesę erdvėje pilnai apibrėžia taškas M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ir pasirinkta kryptis s = ( m, n, l ) : per tašką r M 0 lygiagrečiai vektoriui s išveskime tiesę T. Tegu M ( x, y , z ) - bet kuris tiesės T taškas. Įveskime pažymėjimus:

r uuuuur r 0 = OM 0 ;

r uuuur r r r = OM = r 0 + t s .

r r Čia t ∈ R1 vadinamas parametru; s - tiesės krypties vektorium, s = ( m, n, l ) lygiagretus tiesei T . Tiesės T lygties vektorinis – parametrinis pavidalas: T:

r r r r = r 0 + t s , t ∈ R1 .

67

Tiesės T koordinatinė - parametrinė lygtis:

⎧ x = x0 + tm, ⎪ ⎨ y = y0 + tn, ⎪ z = z + tl. 0 ⎩

T:

Elinimavę parametrą t šiose lygtyse, gauname tiesės T kanoninę lygtį : t=

x − x0 y − y0 z − z0 = = m n l

Čia m + n + l ≠ 0 Pvz.: kai

x − x0 y − y0 z − z0 , tiesė eina = = 0 0 l

lygiagrečiai O z ašiai per tašką M ( x0 , y0 , 0) :

NAMŲ DARBAS

Kaip atrodys tiesė, kai l = 0 , o m, n ≠ 0 ? Nubrėžti tiesės T eskizą. ------- o ------Tegu turime kanoninę tiesės lygtį: x − x0 y − y0 z − z0 , = = m n l

r r Padalyję vardiklius iš krypties vektoriaus s ilgio s = m 2 + n 2 + l 2 , gauname: x − x0 y − y0 z − z0 = = . cos α cos β cos℘ Ją vadinsime tiesės normaline lygtimi ( čia α , β ,℘ - kampai tarp tiesės T ( arba krypties vektoriaus r s ) ir ašių Ox,Oy,Oz atitinkamai ).

68

3.2. Bendroji tiesės lygtis

Bendroji tiesės lygtis erdvėje apibrėžiama kaip dviejų plokštumų p1 ir p2 susikirtimo linija, t.y. r r r r n 1 ≠ λ n 2 , ( n 1 ir n 2 nekolinearūs).

p1 : p2 :

⎧a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0, ⎨ ⎩a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0.

⎛a Tuomet lygčių sistemos koeficientų matricos A = ⎜ 1 ⎝ a2 galo daug sprendinių.

b1 b2

c1 ⎞ ⎟ rangas r ( A) = 2 ir sistema turi be c2 ⎠

NAMŲ DARBAS

Duota lygčių sistema

⎧a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0, ⎨ p2 : ⎩a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0. p1 :

Jos rangas r = r ( A) = r ( A / B ) = 2 . Kaip gauti kanoninę tiesės lygtį? Kaip aprašyti tiesės krypties r vektorių s ? T = p1 ∩ p2 ≠ 0 ( ∩ - pjūvis). Paaiškinimas: tegu x, y - baziniai nežinomieji, z - laisvas nežinomasis. Fiksuojam bet kokią reikšmę z = z0 , tuomet vienareikšmiškai surandame x0 , y0 tokius, kad taškas M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ T . ur uur r r r r Kadangi n 1 nekolinearus n 2 , tai n1 × n2 = s ≠ 0 yra tiesės T krypties vektorius, r r r i j k r s = a1 b1 c1 . a2 b2 c2 Lieka į kanoninę tiesės T lygtį surašyti duomenis. 3.3. Atstumas nuo taško iki tiesės erdvėje

Tegu taškas Q( x0 , y0 , z0 ) yra šalia tiesės T ir tegu P ( x1 , y1 , z1 ) - bet kuris tiesės T taškas.

uuur Tada h = PQ ⋅ sin α ,

uuur r PQ × s sin α = uuuur ur , PQ ⋅ s uuur r | PQ × s | ur ⇒ h= . s

69

Taigi, norint rasti atstumą nuo taško Q iki tiesės T, reikia surasti bent vieną tašką P, priklausantį tiesei T. 3.4. Tiesės, einančios per du duotuosius taškus, lygtis Duoti du tiesės taškai A( x1 , y1 , z1 ) ir B( x2 , y2 , z2 ) . Reikia užrašyti tos tiesės lygtį. Šiuo atveju tiesės krypties vektoriumi imame vektorių, kurio koordinates randame taip:

uuur uuur uuur r r r r r r r r r AB = OB − OA = ( x2 i + y2 j + z2 k ) − ( x1i + y1 j + z1k ) = ( x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + ( z2 − z1 )k . r Vadinasi, turime duotos tiesės krypties vektorių s = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) . Žinodami tašką A( x1 , y1 , z1 ) , per kurį eina tiesė, ir tos tiesės krypties vektorių, galime užrašyti jos lygti, remdamiesi kanonine lygtimi: x − x1 y − y1 z − z1 . = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

3.5. Kampas tarp tiesių. Statmenumo ir lygiagretumo sąlygos

Duotos tiesių T1 ir T2 kanoninės lygtys: x − x1 y − y1 z − z1 = = m1 n1 l1

ir

x − x2 y − y2 z − z2 . = = m2 n2 l2

Kampu tarp šių tiesių vadinsime kampą ϕ , kurį sudaro tų tiesių krypčių vektoriai s1 = m1i + n1 j + l1k ir s2 = m2i + n2 j + l2 k . Vadinasi kampo tarp jų kosinusas :

cos ϕ =

m1m2 + n1n2 + l1l2 . s1 ⋅ s2

Čia s1 = m12 + n12 + l12 , s2 = m22 + n22 + l22 .

r r r r Jei tiesės statmenos, tai s1 ⊥ s2 ir ( s1 , s2 ) = 0 , arba m1m2 + n1n2 + l1l2 = 0 . Jei tiesės T1 ir T2 lygiagrečios, vektoriai s1 ir s2 yra kolinearūs ir jų koordinatinės m1 n1 l1 proporcingos: = = . m2 n2 l2

3.6. Atstumas tarp dviejų prasilenkiančių tiesių

Duotos dvi prasilenkiančios ( nesikerta ir nelygiagrečios ) tiesės T1 ir T2

70

T1 :

x − x1 y − y1 z − z1 = = m1 n1 l1

x − x2 y − y2 z − z2 . = = m2 n2 l2

T2 :

;

Reikia rasti trumpiausią atstumą h tarp šių tiesių. Jeigu tiesės prasilenkia (nesikerta ir nėra lygiagrečios), t.y. jos nėra vienoje plokštumoje, tuomet vektoriai

uuuuuur ur uur M 1M 2 = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) , s1 = (m1 , n1 , l1 ) , s2 = (m2 , n2 , l2 ) nekomplanarūs. r ur uur Vektorius n = ⎢⎣ s1 , s2 ⎥⎦ yra statmenas abiem tiesėms. Kadangi taškas M 1 ( x1 , y1 , z1 ) yra pirmoje uuuuuur r tiesėje, o M 2 ( x2 , y2 , z2 ) - antroje, tai vektoriaus M1M 2 projekcija į vektorių n ir yra mūsų ieškomas trumpiausias atstumas tarp dviejų tiesių: uuuuuur r r uuuuuuur r M 1M 2 , s1 , s 2 uuuuuur ( M 1M 2 , n) h = Prnr M 1M 2 = = r . r r ⎡ s1 , s 2 ⎤ n ⎣ ⎦

(

)

Čia išraiškos skaityklyje vektorių mišri sandauga x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

m1

n1

l1

m2

n2

l2

≠ 0,

nes vektoriai nekomplanarūs; vardiklyje – vektorinė sandauga : r i r r ⎡ s1 , s 2 ⎤ = m1 ⎣ ⎦ m2

r j n1 n2

r k l1 . l2

3.7. Tiesės ir plokštumos bendrieji taškai

Tegul duota tiesė, kurios kanoninė lygtis:

71

x − x0 y − y0 z − z0 . = = m n l

Ir plokštuma, kurios lygtis: Ax + By + Cz + D = 0 .

Reikia rasti tiesės ir plokštumos bendruosius taškus. Tam reikia spręsti kartu tiesės ir plokštumos lygtis, kurių nežinomieji yra x,y,z. x − x0 y − y0 z − z0 = = =t. m n l

Tegul

Tada tiesės lygtį galima užrašyti parametriniu pavidalu: ⎧ x = x0 + mt , ⎪ ⎨ y = y0 + nt , ⎪ z = z + lt. 0 ⎩

(1)

Gautas x,y,z reikšmes įstatome į plokštumos lygtį: A ( x0 + mt ) + B ( y0 + nt ) + C ( z0 + lt ) + D = 0,

(2)

Ax0 + By0 + Cz0 + D + t ( Am + Bn + Cl ) = 0.

Galimi trys atvejai: 1) Am + Bn + Cl ≠ 0 , tada t =

Ax0 + By0 + Cz0 + D ; Am + Bn + Cl

įstatę t reikšmę į (1) lygtis, gausime tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką; 2) Am + Bn + Cl = 0 , o Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0 ; r r tada (2) lygtis neturi sprendinių, nes tiesė lygiagreti plokštumai s ⊥ n ;

(

3)

⎧ Am + Bn + Cl = 0, ⎨ ⎩ Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0,

)

(3)

r r tada tiesė yra plokštumoje, nes ši tiesė lygiagreti plokštumai s ⊥ n ir eina per tašką

(

)

M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , kuris yra plokštumoje. Vadinasi, sąlygos (3) yra būtinos ir pakankamos, kad tiesė būtų nagrinėjamoje plokštumoje. 3.8. Kampas tarp tiesės ir plokštumos

Kampas tarp tiesės ir plokštumos lygus kampui tarp tiesės ir jos projekcijos plokštumoje.

72

Tegu tiesės T lygtis : x − x0 y − y0 z − z0 , = = m n l

o plokštuma p užduota lygtimi: Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 .

r r Tada vektoriaus s , lygiagretaus tiesei T , koordinatės s = ( m, n, l ) . Pasinaudojant skaliarinės r r sandaugos savybemis, kampą Θ tarp vektorių n ir s galima paskaičiuoti taip: cos Θ =

Am + Bn + Cl A + B 2 + C 2 ⋅ m2 + n2 + l 2 2

.

Kampas α tarp mūsų nagrinėjamos tiesės ir plokštumos bus papildantis Θ iki

π 2

, o tada

⎛π ⎞ cos Θ = cos ⎜ − α ⎟ = sin α . ⎝2 ⎠

Galutinai, sin α = ±

Am + Bn + Cl A + B2 + C 2 ⋅ m2 + n2 + l 2 2

.

Čia abu ženklus imame dėl to, kad tiesei galima suteikti bet kurią iš dviejų krypčių. Jei tiesė yra lygiagreti plokštumai, tai sin α = 0 , ir tiesės bei plokštumos lygiagretumo sąlyga yra:

Am + Bn + Cl = 0 . r r Jei tiesė statmena plokštumai, tai vektoriai n ir s lygiagretūs ir jų koordinatės yra proporcingos: A B C = = . m n l

73

§4. Antros eilės kreivės Antros eilės kreivės – tai kreivės, kurių lygtys yra antrojo laipsnio. Bendroji antrojo laipsnio lygtis yra

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ,

(1)

kur bent vienas iš kooficientų A,B,C nelygus 0 ( jei A = B = C = 0 , lygtis pirmojo laipsnio ). Imant skirtingas (1) lygties koeficientų reikšmes, gaunamos įvairių antros eilės kreivių lygtys. Antros eilės kreivės vadinamos kūgio pjūviais, nes jos gaunamos, plokštuma kertant (pjaunant) sukimosi kūgį. Bet kuri antrojo laipsnio lygtis Dekarto koordinačių sistemoje gali reikšti tik vieną iš šių kreivių – apskritimą, elipsę, hiperbolę, parabolę. 4.1. Apskritimas Apskritimas – tai geometrinė vieta taškų, lygiai nutolusių nuo vieno ir to paties taško, vadinamo apskritimo centru.

Turime apskritimą, kurio centras yra taškas C (a, b) , o spindulys lygus r (1 pav.).

Normalinė apskritimo lygtis: ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2 .

2

Jei A( a, b) - bet kuris apskritimo taškas, tai CA = r arba CA = r 2 .

(2)

Atstumas tarp dviejų taškų A( x, y ) ir C (a, b) :

CA = ( x − a)2 + ( y − b)2 .

(3)

( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2 .

(4)

Iš (2) ir (3) formulių gauname:

Kiekvienas apskritimo taškas A( x, y ) tenkina (4) lygtį. Lengva įsitikinti, kad taškai, esantys šalia apskritimo, (4) lygties netenkina.Taigi (4) lygtis yra apskritimo, turinčio centrą C (a, b) ir spindulį r , lygtis. Ji vadinama normaline apskritimo lygtimi. Kai apskritimo centras yra koordinačių pradžios taškas, gauname tokią apskritimo lygtį: x2 + y2 = r 2 . (4) lygtyje atskliaudę skliaustus ir pergrupavę narius, gauname 74

x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a 2 + b 2 − r 2 = 0 . Ši lygtis yra atskiras (1) lygties atvejis, kai A = C = 1 , B = 0 , D = −2a , E = −2b , F = a 2 + b 2 − r 2 . Vadinasi, apskritimas tikrai yra antros eilės kreivė. Dabar įsitikinsime, kad bendroji antrojo laipsnio lygtis Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 apibrėžia apskritimą, jei koeficientai prie koordinačių kvadratų yra lygūs ir jei nėra nario su koordinačių sandauga, t.y. jei A = C ir B = 0, tai Ax 2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0

(5)

yra apskritimo lygtis. Tuo tikslu visus (5) lygties narius padaliname iš A ( A ≠ 0) :

x2 + y 2 +

Po to prie abiejų pusių pridedame po

D E F x+ y + = 0. A A A

D2 E2 F ir , o perkeliame į dešinę pusę: 2 2 4A 4A A

2

⎛ 2 D D2 ⎞ ⎛ 2 E E 2 ⎞ D2 E2 F + + + + + = + − . x y ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A 4 A2 ⎠ ⎝ A 4 A 2 ⎠ 4 A 2 4 A2 A ⎝

Dabar kairėje lygties pusėje turime pilnus kvadratus:

D ⎞ ⎛ E ⎞ D 2 + E 2 − 4 AF ⎛ x y + + + . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= 2A ⎠ ⎝ 2A ⎠ 4 A2 ⎝

(6)

Galimi 3 atvejai: 1) atvejis. Jei D 2 + E 2 − 4 AF > 0 , tai ši lygtis sutampa su (4) lygtimi, imant a = −

D E , b=− , 2A 2A

D 2 + E 2 − 4 AF r = . Vadinasi, kai D 2 + E 2 − 4 AF > 0 , (5) lygtis apibrėžia apskritimą, kurio 2 4A 2

E ⎞ ⎛ D centras yra taškas ⎜ − ,− ⎟ , o spindulys lygus ⎝ 2A 2A ⎠

D 2 + E 2 − 4 AF . 2A

2)atvejis. Kai D 2 + E 2 − 4 AF = 0 , (6) lygtį galime rašyti šitaip:

75

2

2

D ⎞ ⎛ E ⎞ ⎛ ⎜x+ ⎟ +⎜ y+ ⎟ =0. 2A ⎠ ⎝ 2A ⎠ ⎝ E ⎞ ⎛ D Ją tenkina tik vienas taškas ⎜ − ,− ⎟ . Šiuo atveju (5) lygtis reiškia apskritimą, kurio spindulys ⎝ 2A 2A ⎠ lygus nuliui.

3) atvejis. Pagaliau, kai D 2 + E 2 − 4 AF < 0 , (6) lygtis visiškai neturi sprendinių, nes, imdami bet kokias x ir y reikšmes, kairėje pusėje gauname teigiamą skaičių (arba 0), kuris negali būti lygus neigiamam skaičiui, esančiam dešinėje pusėje. Šiuo atveju sakome, kad (5) lygtis reiškia menamą apskritimą. Norint rasti apskritimo centrą ir spindulį, kai duota jo lygtis, reikia duotąją lygtį pakeisti normaline.

4.2.Elipsė Elipsė – tai geometrinė vieta taškų, kurių kiekvieno atstumų nuo dviejų pastovių taškų, vadinamų elepsės židiniais, suma yra pastovus dydis.

Židiniai yra žymimi raidėmis F1 , F2 . Atstumai iki bet kurio elipses taško žymimi r1 (nuo F1 ) ir r2 (nuo F2 ) ir vadinami spinduliais vektoriais. Pastovi suma žymima 2a: r1 + r2 = 2a .

(7)

Atstumas tarp židinių F1 , F2 žymimas 2c . Jei c = 0 , tai r1 = r2 ir elipsė tampa apskritimu. Visada c < a . Jeigu c = a , taškas A gali būti tik atkarpos F1 F2 taškas. Kanoninė elipsės lygtis: x2 y 2 + = 1, a 2 b2 kur a 2 − c 2 = b 2 .

Elipsės lygties forma priklauso nuo to, kaip parenkama koordinačių sistema. Lygtis yra papraščiausia, jeigu x eina per taškus F1 , F2 , o koordinačių centras O yra atkarpos F1 F2 vidurio

76

taškas: F1 (−c, 0), F2 (c, 0) . Jei taško A koordinatės yra x,y, tai r1 = F1 A = ( x + c) 2 + y 2 ,

(8)

r2 = F2 A = ( x − c ) 2 + y 2 .

(9)

Įstatę (8) ir (9) į (7) , gauname: ( x + c) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 = 2a

(10)

Panaikinsime radikalus. Tuo tikslu (10) padauginsime iš jungtinės išraiškos:

(x

2

+ 2 xc + c 2 + y 2 − x 2 + 2 xc − c 2 − y 2 ) ⋅

1 4 xc = = ( x + c) 2 + y 2 − ( x − c) 2 + y 2 (11) 2a 2a

Sudėjus (10) ir (11) lygtis, lieka tik viena šaknis: a+

c x = ( x + c)2 + y 2 . a

(12)

Pakėlę abi lygybės (12) puses kvadratu, gauname: a 2 + 2cx +

c2 2 x = x 2 + 2 xc + c 2 + y 2 2 a

arba a2 − c2 =

a2 − c2 2 x + y2 . 2 a

Pažymėję a 2 − c 2 = b 2 ( a 2 − c 2 > 0 , nes a > c ), gauname

b2 2 x + y 2 = b 2 , o padalyję iš b 2 , turime 2 a

x2 y 2 + = 1. a 2 b2

(13)

Ši lygtis vadinama kanonine elepsės lygtimi. Lygybę (12) galime užrašyti ir taip: r1 = a +

c x = a +εx, a

r2 = a −

c x = a −ε x a

c - elipsės ekscentricitetas. Kadangi c < a , tai elipsės atveju ε < 1 . Lengva įsitikinti, kad a elipsė su dideliu ekscentricitetu yra labiau ištęsta, negu su mažu ekscentricitetu.

Čia ε =

77

Elipsės forma. (13) lygties kairėje pusėje yra dviejų dydžių kvadratų suma. Jei taškas M ( x, y ) tenkina šią lygtį, tai ir taškai M 1 (− x, y ) , M 2 (− x, − y ) , M 3 ( x, − y ) , taip pat tenkina lygtį. Taigi koordinačių pradžios

taškas O yra elipsės simetrijos centras, o koordinačių ašys - simitrijos ašys. Tiesės A1 A2 = 2a ir B1 B2 = 2b vadinamos pagrindinėmis ašimis, be to, A1O = OA2 = a ir B1O = OB2 = b ; čia a - didžioji pusašė, b - mažoji pusašė. Pagrindinių ašių sankirtos su elipse taškus vadinsime elepsės viršūnėmis. Atkarpa F1 F2 = 2c vadinama elipsės židinių nuotoliu. Jei c = 0 , židiniai sutampa ( r1 = r2 ) ir elipsė virsta apskritimu. Iš (13) lygties matyti, kad: x2 ≤ 1 , arba x 2 ≤ a 2 , taigi x ≤ a ir − a ≤ x ≤ a ; a2 x2 2. 2 ≤ 1 , arba x 2 ≤ b 2 , taigi x ≤ b ir −b ≤ x ≤ b . b 1.

Elipsės brežimas.

Norint tiksliai nubrėžti elipsę, reikia paimti 2a ilgio siūlą, jo galus pritvirtinti taškuose F1 ir F2 , įtempti pieštuko smaigaliu ir leisti pieštukui judėti taip, kad siūlas visą laiką būtų įtemptas. 4.1. Hiperbolė Hiperbolė – tai geometrinė vieta taškų, kurių kiekvieno atstumų nuo dviejų pastovių taškų, vadinamų hiperbolės židiniais, skirtumas yra pastovus (absoliučiuoju didumu).

Pastovūs taškai – židiniai yra žymimi raidėmis F1 , F2 . Atstumas tarp židinių žymimas 2c , t.y. atkarpa F1 F2 = 2c . Pastovų skirtumą žymime 2a , be to, c > a . Bet kurio kreivės taško A( x, y ) atstumus nuo židinių F1 ir F2 pažymėję F1 A = r1 , F2 A = r2 , pagal apibrėžimą gauname r1 − r2 = ±2a .

78

Kaip ir elipsės atveju, koordinačių pradžios tašku parenkame atkarpos F1 F2 vidurio tašką, o x ašimi – tiesę, einančią per taškus F1 ir F2 ir nukreiptą iš F1 į F2 , y ašimi – tiesę, einančia per O ir statmeną x ašiai.

Hiperbolės kanoninė x2 y 2 lygtis: 2 − 2 = 1 a b

Tokioje koordinačių sistemoje (14) lygybė yra

( x + c ) 2 + y 2 − ( x − c ) 2 + y 2 = ±2 a

Panaikinę radikalus, gausime x2 y2 − =1. a2 c2 − a2 Kadangi c > a , tai galime pažymėti c 2 − a 2 = b 2 , ir užrašyti hiperbolės kanoninę lygtį: x2 y 2 − = 1. a 2 b2

(15)

Hiperbolės forma.

Kaip ir elipsės atveju, koordinačių pradžios taškas O yra hiperbolės simetrijos centras, o koordinačių ašys – hiperbolės simetrijos ašys. Abscisių ašis x kerta hiperbolę dviejuose taškuose, kurie vadinami hiperbolės viršūnėmis. Ordinačių ašies hiperbolė nekerta, todėl ši ašis vadinama c menamąja ašimi. Santykis vadinamas ekscentricitetu. a Kadangi c > a , tai hiperbolės atvėju ε > 1 . Koordinačių ašys yra hiperbolės simetrijos ašys, tad užtenka rasti jos pavidalą viename koordinačių ketvirtyje, pvz., pirmajame. (15) lygtį užrašysime taip: b 2 y= x − a2 . (16) a Kai x = a , tai y = 0 . Tai yra minimali y reikšmė. Didėjant x, neribotai didėja y ir tada (16) lygybę galima suprastinti: b (17) y≅ x. a Tai tiesės, vadinamos hiperbolės asimptote, lygtis. Didėjant x, hiperbolės (16) ir jos asimptotės (17) taškų skirtumas artėja prie nulio:

79

(

)

lim x − x 2 − a 2 = lim x →∞

x →∞

a2 x + x2 − a2

=

a2 = 0. ∞+∞

Hiperbolės brėžimas.

Hiperbolę (15) braižome taip: pažymime viršūnių taškus (0, a ) ir (0, − a ) , nubrėžiame asimptotes, t.y. tieses, einančias per koordinačių pradžios tašką (0, 0) ir taškus (a, b) , ( a, −b) , brėžiame kreives, einančias per atitinkamas viršūnes ir, didėjant x koordinatei, artėjančias prie asimptočių. 4.4.Parabolė Parabolė - tai geometrinė vieta taškų, kurių atstumai nuo pastovaus taško, vadinamo parabolės židiniu, ir pastovios tiesės yra lygūs. Pastovus taškas – židinys yra žymimas F. Pastovi tiesė vadinama parabolės direktrise. Parabolės taško atstumas žymimas r ir vadinamas spinduliu- vektoriumi, o atstumas nuo direktrisės – d. r Santykis = ε vadinamas d ekscentricitetu.

Parabolės kanoninė lygtis: y 2 = 2 px .

Parabolės židinio atstumą nuo direktrisės žymime p, vadiname parabolės parametru ir laikome teigiamu. Parinksime koordinačių sistemą. Tegul koordinačių pradžios taškas yra iš židinio F į direktrisę nuleisto statmens vidurio taškas O, x ašis – tiesė, einanti per taškus O ir F ir nukreipta iš O −p p . Tada bet kurio į F, y ašis statmena x ašiai. Židinio koordinatės F ( , 0) , direktrisės lygtis x = 2 2 parabolės taško spindulio vektoriaus ilgį galima užrašyti 2

p ⎛p ⎞ r = ⎜ − x ⎟ + y2 = x + . 2 ⎝2 ⎠ p . Panaikinę radikalus, gausime kanoninę 2 y 2 = 2 px . (18)

nes pagal parabolės apibrėžimą r = d , o d = x + parabolės lygtį:

80

Parabolės forma.

Abscisių ašis x yra parabolės simetrijos ašis, nes kreivės lygtį tenkina simetriškų jos atžvilgiu taškų A( x1 , y1 ) ir A1 ( x1 , − y1 ) koordinatės. Ji vadinama pagrindine parabolės ašimi. Parabolės viršūnė, t.y. taškas, kuriame ji kerta pagrindinę ašį, yra koordinačių pradžios taškas O (0, 0) . Simetrijos centro parabolė neturi. Kai x didėja, neribotai didėja ir koordinatė y, todėl parabolės šakos tolsta į begalybę. Parabolės brėžimas.

Bet kuris parabolės taškas gali būti randamas, kai žinomas parabolės židinys ir direktrisė. Sujungę tiese bet kurį direktrisės tašką A su židiniu F, iš jo brėžiame statmenį direktrisei. Brėžiame kitą statmenį tiesės atkarpai AF iš jos vidurio taško C iki susikirtimo taške B su pirmuoju statmeniu (5pav.). Kadangi ΔABC = ΔCFB (statūs trikampiai turi po du lygius statmenis), tai AB = d , FB = r ir r = d . Vadinasi, taškas B yra parabolės taškas.

§ 5. Antros eilės paviršiai Plokštuma apibrėžiama pirmojo laipsnio lygtimi. Todėl plokštuma kartais vadinama pirmos eilės paviršiumi. Antros eilės paviršiai – tai paviršiai, kurie apibrėžiami anrojo laipsnio lygtimi

Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Kz + L = 0 ,

(19)

kur bent vienas iš kooficientų A,B,C nelygus 0. Antros eilės paviršiai: sfera, elepsoidas, heperboloidas, paraboloidas. 5.1.Sfera Sfera (rutulio paviršius) – tai paviršius, kurio kiekvienas taškas vienodu atstumu nutolęs nuo vieno ir to paties taško, vadinamo sferos centru. Turime sferą, kurios centras yra taškas C ( x0 , y0 , z0 ) , o spindulys lygus R (6 pav.):

81

Sferos lygtis: ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 = R 2

Jei A( x, y , z ) - bet kuris sferos taškas, tai 2

CA = R arba CA = R 2

(20)

Atstumas tarp dviejų taškų A( x, y , z ) ir C ( x0 , y0 , z0 ) :

CA = ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + ( z − z0 )2

(21)

Iš (20) ir (21) formulių gauname: ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 = R 2

(22)

Kiekvienas sferos taškas A( x, y , z ) tenkina (22) lygtį, taigi (22) lygtis yra sferos, turinčios centrą C ( x0 , y0 , z0 ) ir spindulį R, lygtis. Lengva įsitikinti, kad (22) lygtis yra (19) lygties atskiras atvejis. (22) lygtyje atskliaudę skliaustus ir pergrupavę narius, gauname x 2 + y 2 + z 2 − 2 x0 x − 2 y0 y − 2 z0 z + x02 + y02 + z02 − R 2 = 0

Ši lygtis gaunama iš (19) lygties, kai A = B = C = 1 , D = E = F = 0 , G = −2 x0 , H = −2 y0 , K = −2 z0 , L = x02 + y02 + z02 − R 2 . Vadinasi, sfera tikrai yra antros eilės paviršius. Galima įrodyti ir atvirkštinį teiginį: jei (19) lygtyje A = B = C ≠ 0 , D = E = F = 0 , tai ši lygtis yra kokios nors sferos lygtis.

5.2. Elipsoidas Elipsoidas – tai paviršius, gautas sukant elipsę apie vieną iš pagrindinių jos ašių. Kanoninė elipsės lygtis plokštumoje yra

82

x2 y 2 + = 1, a 2 b2

(23)

kur a 2 − c 2 = b 2 . Esant tokiam lygties pavidalui, elipsės (23) ašis b sutampa su koordinačių y ašimi, o c – su z ašimi. Sukimosi paviršiaus, gauto sukant šią elipsę apie Oz ašį (7 pav.), lygtį galima užrašyti taip: x2 + y 2 z 2 x2 y2 z 2 + = 1 arba + + =1. b2 c2 b2 b2 c2

(24)

Sukant apie Oy ašį, lygtis tampa tokia: y 2 x2 + z 2 x2 y2 z 2 + = 1 arba + + =1. b2 c2 c2 b2 c2 Kiekvieno (24) lygties taško koordinates (x,y,z) pakeitus (X,Y,Z), kai x =

(25)

b X , y = Y , z = Z , (24) a

lygtį galima užrašyti X 2 Y2 Z2 + + =1 . a 2 b2 c2

(26)

Geometriškai tokia deformacija reikštų besisukančio taško papildomą judėjimą lygiagrečiai su Ox ašimi. Jeigu a > b , vyksta tempimo deformacija, jeigu b > a - gniuždimo( suspaudimo) deformacija. Paviršius, aprašytas (26) lygtimi, vadinamas triašiu elipsoidu.

5.3. Hiperboloidas

Hiperbolės, nubrėžtos yOz plokštumoje, lygtis:

83

x2 y2 − = 1. b2 c2

(27)

Sukant šia kreivę apie Oz ašį, gaunamas paviršius, vadinamas vienašakiu sukimosi hiperboloidu. Jo formulė: x2 + y 2 z 2 x2 y2 z 2 − = 1 arba + − =1 (28) b2 c2 b2 b2 c2 b Atlikus deformaciją, analogišką elipsoido atvejui, t.y. pakeitus x = X , y = Y , z = Z , iš (28) a lygties gauname (28) vienašakio hiperboloido (8 pav.) lygtį: X 2 Y2 Z2 + + =1. a 2 b2 c2

(29)

Kertant šį paviršių plokštumomis, lygiagrečiomis xOy plokštumai, gaunama elipsė (vienašakio sukimosi hiperboloido atveju - apskritimas). Sukant hiperbolę apie realiąją ašį Ox, gaunamas sukimosi paviršius, vadinamas dvišakiu hiperboloidu. (9 pav.).

84

Jo lygtis gaunama iš (27) , pakeitus z2 y2 + z2 → . c2 c2 Tada dvišakio hiperboloido lygtis: x2 y 2 z 2 − − =1 a2 c2 c2

(30)

5.4. Parabolaidas

Sukimosi parabolaidas – tai paviršius, gaunamas sukant parabolę y 2 = 2 pz , x = 0 apie Oz ašį (10 pav.).

Sukimosi paraboloido lygtis:

x 2 + y 2 = 2 pz

(31)

Deformavę sukimosi paraboloidą, t.y. jo taškus (x,y,z) pakeitę (X,Y,Z), čia x = X , y = z = Z (p ir q yra vienodo ženklo dydžiai), gausime paviršių

x2 y 2 + = 2z , p q vadinamą elipsiniu paraboloidu:

85

(32)

p Y, q

Kertant šį paviršių plokštumomis Y = h ar X = h , gaunamos parabolės. Kertant elipsinį paraboloidą plokštuma Z = h , pjūvio plokštumoje gaunama elipsė. Kertant sukimosi paraboloidą plokštuma, lygiagrečia su xOy plokštuma ( z = h) , gaunamas apskritimas. Elipsinio paraboloido (32) lygtyje pakeitus ženklą, gaunama lygtis paviršiaus, vadinamo hiperboliniu paraboloidu:

x2 y 2 − = 2 z , čia p ir q vienodo ženklo ( p > 0, q > 0) . p q

Kertant hiperbolinį paraboloidą plokštuma, lygiagrečia xOy plokštumai ( z = h) , gauname hiperbolę.

86

Egzamino klausimai 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47.

Tiesinių lygčių sistemos. Gauso metodas. Teorema ( alternatyva apie tiesinių LS sprendinius ). Tiesinių lygčių sistemos ir matricos. Veiksmai su matricomis. Matricų komutatyvumas. Kramerio formulės antros eilės LS. Detreminantai ir jų savybės. Trečios eilės determinantai. Matricos minorai ir adjunktai. Determinanto skleidinys eilute ( stulpeliu ). Kramerio formulės trečios eilės LS. Aukštesnės eilės determinantai. Atvirkštinė matrica. Tiesinių LS sprendimas atvirkštinės matricos metodu. Teorema ( apie atvirkštinę matricą ). Teorema ( apie kvadratinių matricų sąryšį su tiesinėmis LS ). Atvirkštinės matricos skaičiavimas Gauso metodu. Matricos rangas. Matricos eilučių ( stulpelių ) tiesinė nepriklausomybė. Bazinio minoro teorema. Bazinės lygtys, baziniai nežinomieji. Kronekerio – Kapeli teorema. Tiesinės erdvės. Tiesinės erdvės bazė. Standartinė vektorinės erdvės bazė. Teorema ( vektorinės bazės kriterijus ). Bet kokio vektoriaus reiškimas bazinių vektorių tiesiniu dariniu. Vektorinės bazės transformacija. Atkarpos dalijimas duotuoju santykiu. Dviejų vektorių skaliarinė sandauga ir savybės. Dviejų vektorių vektorinė sandauga ir savybės. Skaliarinės sandaugos taikymai geometrijoje ir mechanikoje. Vektorinės sandaugos taikymai geometrijoje ir mechanikoje. Mišrioji trijų vektorių sandauga ir savybės. Mišriosios sandaugos geometrinė interpretacija. Kanoninė tiesės lygtis plokštumoje. Bendroji tiesės lygtis plokštumoje. Taško atstumas iki tiesės plokštumoje. Kampas tarp tiesų ( plokštumoje ir erdvėje ). Bendroji plokštumos lygtis. Normalinė plokštumos lygtis. Plokštumos, einančios per tris duotus taškus, lygtis. Ašinė plokštumos lygtis. Kampas tarp plokštumų. Taško atstumas iki plokštumos. Tiesės erdvėje vektorinė – parametrinė lygtis. Kanoninė ir normalinė tiesės lygtys erdvėje. Taško atstumas iki tiesės erdvėje.

87

48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.

Bendroji tiesės lygtis erdvėje. Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis ( plokštumoje ir erdvėje ). Atstumas tarp dviejų prasilenkiančių tiesių. Tiesės ir plokštumos bendrieji taškai. Kampas tarp tiesės ir plokštumos. Apskritimas. Elipsė. Hiperbolė. Parabolė. Sfera. Elipsoidas. Hiperboloidas. Paraboloidas.

88