Matice
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Matice as PDF for free.
More details
- Words: 2,480
- Pages: 8
Verze ze dne 3. března 2005
Jiří Kwiecien
Matice
KUCHAŘKA
a12 a22 .. .
am2
a11 a21 A= ...
am1
...
... ... .. .
amn
a1n a2 n .. .
regul´ arn´ı matice je ˇctvercov´ a (Ann ), jej´ı hodnost se rovn´ a poˇctu ˇr´adk˚ u (hA = n), existuje k n´ı inverzn´ı matice A−1 ; jinak se jedn´ a o matici syngul´ arn´ı
A−1 · A = E
A · A−1 = E
inverzn´ı matice A−1 k matici A podm´ınkou pro existenci inverzn´ı matice je regul´ arnost matice je ˇctvercov´ a a plat´ı pro ni
jednotkov´ a matice E ˇctvercov´ a matice, u kter´e jsou na hlavn´ı diagon´ ale 1, na ostatn´ıch pozic´ıch 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
matice transponovan´ a AT vznik´ a otoˇcen´ım matice kolem hlavn´ı diagon´ aly 1 0 −3 1 5 7 −1 0 2 5 A = 0 0 5 −7 AT = 7 5 1 −3 2 1 0 −1 −7 0
matice typu m, n
Matice
1
B = (s, n)
C (m, n)
6 −3 12
2 −1 4
−2 0 = −1 −6 −8 0 = 9 −3 −5
−4 8 −9
podm´ınka pro u ´spˇeˇsn´ y souˇcin matic jsou vyznaˇcen´e rozmˇery v´ ysledn´a matice C se z´ısk´ a souˇctem souˇcin˚ u prvk˚ u m−t´eho ˇr´ adku matice A s s−t´ ym sloupcem matice B
součin matic A · (m, s)
1 3 1 0 0 5 2 −1 + 0 1 1 − 3 · −3 1 1 −1 5 0 2 2 6 2 6 1 0 0 15 = 0 4 −2 + 0 1 1 − −9 −6 4 1 1 −1 5 0
3 0 2· −3
vyn´asoben´ım matice A ˇc´ıslem c vznikne matice, kde kaˇzd´ y ˇclen matice je vyn´asoben ˇc´ıslem c
součin matice a skaláru
A+O=A
pˇriˇcten´ım nulov´e matice O k matici A se z´ısk´ a matice A
A+B=C
vznik´a tak nov´a matice stejn´eho typu jako pˇredchoz´ı a jednotliv´e ˇcleny vznikaj´ı souˇctem p˚ uvodn´ıch ˇclen˚ u na stejn´e pozici
součet matic (obě matice musejí být stejného typu)
Matematické operace s maticemi
2
12 −1 9
1 0 0
0 1 0
1 0 0 × 2 5 1
7 1 3 = 2 8 5 7 3 8
poziˇcn´ı znam´enko se z´ısk´ a umocnˇen´ım minus jedniˇcky souˇctem ˇc´ısla sloupce a ˇr´ adku, na kter´em se prvek amn nach´ az´ı, subdeterminant se skl´ ad´ a ze sloupc˚ u a ˇr´ adk˚ u, na kter´em se prvek amn nevyskytuje
determinant matice 3×3 a vyˇsˇs´ı se poˇc´ıt´ a pomoc´ı Sarusova pravidla – rozvojem podle prvk˚ u 1. ˇr´ adku dle pˇr´ıkladu: 1 −1 2 3 = (−1)1+1 · 1 · 5 0 + (−1)2+1 · (−1) · 3 0 + 5 0 −3 1 −2 1 −2 −3 1 3 5 3+1 = 5 + 3 + 2 · (−9 + 10) = 10 +(−1) ·2· −2 −3
je ˇc´ıslo pˇriˇrazen´e matici determinant matice (a11 )je roven a11 a11 a12 se vypoˇc´ıt´ a determinant matice A = a21 a22 a a12 = a11 a22 − a12 a21 det A = 11 a21 a22
Determinant matice
a11 a12 a13 b11 b12 a21 a22 a23 × b21 b22 = a31 a32 a33 b31 b32 a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 = a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 a21 b12 + a22 b22 + a23 b32 a31 b11 + a32 b21 + a33 b31 a31 b12 + a32 b22 + a33 b32
3
Dx3
−2 8 1 4 −2 12 −9 6
2 1 −1 2 2 −3 0 0
1 2 0 −3 = 0 −3 0 0 −2 −2 12 5 −9 −2 = 1 0 − 3
x1 =
(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (1, 2, 1, 3)
−9 Dx1 = =1 D −9 Dx2 − 18 = =2 x2 = D −9 −9 x3 = =1 −9 x4 = 1 − 1 + 2 + 1 = 3/tˇret´ı rovnice/
0
2 −3 0
·(−1){3, 4}, ·(−2){2}
1 0 = 0 2 · {4} 3 0 ! 1 − = −9 3
−2 1 1 −1 −2 5 −2 1
= 1 · (−3) · (−9) ·
1 2 = 1 1 1 0 = 0 0
12
−2 12 3 6
−2 5 ·(−1){3} = 3 1
x1 + 2x2 + 2x3 − x4 = 4 1 2 −1 −2 ·(−2){2}, ·(−1){3, 4} 1 2 −1 −2 5 1 1 0 −3 3 2 1 = D= = 3 0 −3 0 1 −1 −1 1 0 0 3 1 1 2 2 −1 −3 3 5 −3 3 5 ·(−1){2} −3 3 5 1 · (−1)1+1 −3 0 3 = −3 0 3 = 0 −3 −2 = 0 3 1 0 3 1 0 3 1 −3 −2 = −9 6= 0 = −3 · (−1)2 · 3 1 −2 2 −1 −2 −10 −2 −5 0 1 1 1 3 3 0 8 12 Dx1 = = = 1 1 0 1 −1 −1 1 5 4 2 2 −1 ·(−2){1}, ·1{2, 3} 4 2 2 −1 −10 −2 −5 15 3 0 = −1 · (−1)8 12 3 3 = − −3 0 0 = 5 5 1 1 1 1 ·5{1}, ·(−3){2} 15 3 = −9 = −1 · 1 · (−1)6 −3 0 1 −2 −1 −2 −1 −10 −5 0 1 1 12 3 0 2 8 3 Dx2 = = = 5 1 0 1 1 −1 1 2 1 4 2 −1 ·(−2){1}, ·1{2, 3} 1 4 2 −1 −1 10 −5 9 15 0 8 = −1 · (−1) 3 12 3 = − −3 −3 0 = 2 2 5 1 ·(−3){2}, ·5{1} 5 1 9 15 = −18 = −1 · (−1)6 −3 −3
x1 − x2 − x3 + x4 = 1
a32 a22 a12
a33 a23 a13
1
a13 + ka33 a23 a33
2 1 −2
2 −2 1 Úpravy jsou naznačeny vedle řádku matice a to: ·a - vynásobení řádku matice číslem a, ·a{2} přičtení a−násobku řádku, u kterého je úprava naznačena, k druhému řádku, výměna pořadí řádků by byla vyznačena např. {1 ↔ 3}
Urˇcete inverzn´ı matici A−1
1 k matici A = 2 2
Na zaˇc´atku procesu je matice A a matice jednotkov´ a E. Element´ arn´ımi u ´pravami 1 se snaˇz´ıme vytvoˇrit z matice A matici jednotkovou a pˇritom stejn´e u ´pravy dˇel´ame na matici jednotkov´e. Po z´ısk´ an´ı jednotkov´e matice se st´av´a z p˚ uvodn´ı jednotkov´e matice matice inverzn´ı.
• k dan´emu ˇr ´adku a sobku adku pˇriˇcten´ı k−n´ jin´eho ˇr´ 1 0 k a11 a12 a13 a11 + ka31 a12 + ka32 0 1 0 · a21 a22 a23 = a21 a22 0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32
• ˇ c´ıseln´ y n´asobek adku rovnic) k 6= 0 nˇekter´ehoˇr´ matice (nˇekter´e z k 0 0 a11 a12 a13 ka11 ka12 ka13 0 1 0 · a21 a22 a23 = a21 a22 a23 0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33
• zmˇena poˇrad´ı ˇr´adk˚ u matice (rovnic) zmˇ e na poˇ r ad´ ı ˇ r a ´ dk˚ u v jednotkov´ e matici a11 a12 a13 a31 0 0 1 0 1 0 · a21 a22 a23 = a21 a31 a32 a33 a11 1 0 0
matice elementárních úprav
Jak najít A−1 ?
u ´prava u determinant˚ u – lze pˇriˇc´ıst n´ asobek jin´eho ˇr´ adku, zmˇena poˇrad´ı ˇr´adk˚ u zp˚ usobuje zmˇenu znam´enka determinantu
x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −2
2x1 + x2 + x3 + x4 = 8
4
11
A−1
E 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 −1 1 1 0 0 −2 1 0 0 −1 1 3 0 0 −2 1 0 0 −1 1 −1 2 0 −2 1 0 0 −1 1 −1 2 0 −2 1 0 2 −2 1 3 6 6 9 9 9 6 3 6 − − 9 9 9 2 −2 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 9 9 9 1 2 0 0 1 2 − 9 9 9 2 1 2 − 9 9 9 2 1 1 2 = 2 1 −2 9 2 −2 1
A 1 2 2 · (−1) {3} 2 1 −2 2 −2 1 · (−2) {2} 1 2 2 2 1 −2 0 −3 3 ·3 1 2 2 0 −3 −6 0 −3 3 3 6 6 ·2{1} 0 −3 −6 0 −3 3 3 0 −6 ·(−1){3} 0 −3 −6 0 −3 3 3 0 −6 0 −3 −6 · 69 {1, 2} 0 0 9 1 ·3 3 0 0 · − 13 0 −3 0 · 19 0 0 9
5
5 2
2 1
(x, y, z) = t(2, 4, 1)
t∈<
1 4 y − t = 0 5x + 8t − 18t = 0 5 5 y = 4t x = 2t
soustava:
Cramerovo pravidlo Dx1 D Dx2 x2 = D Dx3 x3 = D .. . x1 =
pozn.: partikul´arnˇe t = 0 ⇒ dost´ av´ ame trivi´ aln´ı ˇreˇsen´ı (x, y, z) = (0, 0, 0)
z=t
ˇreˇsen´ı pomoc´ı parametru t(nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı) :
2x + y − 8z = 0 # " 5 2 −18 0 −18 0 1 4 hr = hs = 2 · − 25 {2} ∼ −8 0 0 − 0 5 5
5x + 2y − 18z = 0
netrivi´aln´ı ˇreˇsen´ı pak napˇr. soustava:
z=0 y=0 x=0
− 12z = 0 2y = 0 2x = 0
10
15 z= 4
1 −1 ∼0 5 0 5 0 3 1 −8 4 15
−8−
(x, y, z) =
y=
13 47 15 ,− , 20 20 4
!
x=3−
x−y =3
15 4 = − 47 5 20
5y + z = −8 47 13 = 20 20
0 3 1 −8 ·(−1){3} ∼ 5 7
hs = hr = 3 ⇒ soustava m´ a ˇreˇsen´ı
0 3 ·(−3){2}, ·2{3} 1 1 5 1 1 −1 ∼0 5 0 0
4z = 15
−1 2 7
1 2 2
2 ∼0 0
1 3 2
2 2 3
1 3 0 2 −2 0 ∼ 1 7 − 0 ·4 2 2 3 0 −2 0 hr = hs = 3 −12 0
3 0 2 −2 0 ·(−1){3} ∼ 0 −14 0 0
1 2 0
3x + 2y + z = 0 2 3 0 ·(−1){2}, · − 32 {3} ∼0 1 0 1 0 0
2x + 3y + z = 0
2x + y + 3z = 0
trivi´ aln´ı ˇreˇsen´ı [(x, y, z) = (0, 0, 0)] poskytuje soustava rovnic:
ˇreˇsen´ı:
1 3 −2
9
= 1 − 4 − 4 − 8 − 8 − 4 = −27
2 1 −2
1 = −2
2 −2 1
a13 a33 a23 a33 a13 a23 a12 a32
2 −2 + 2 · 2 1
2 −2 − 2 · 1 2
2 1 −2 = 1 · −2 1
1 det A = 2 2
2 1 −2
znova: Urˇcete inverzn´ı matici A−1
1 k matici A = 2 2
A33
A13
A22
A31
A11
a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 T A11 A12 A13 1 A−1 = · A21 A22 A23 det A A31 A32 A33 a23 2+1 a12 1+1 a22 A21 = (−1) · = (−1) · a32 a32 a33 a a a13 A12 = (−1)1+2 · 21 = (−1)3+1 · 12 a31 a22 a23 a a a13 A32 = (−1)3+2 · 11 = (−1)2+2 · 11 a21 a31 a33 a a a22 A23 = (−1)2+3 · 11 = (−1)3+1 · 21 a31 a31 a32 a a12 = (−1)3+3 · 11 a21 a22
Inverzní matice získaná pomocí determinantu
6
2 1 −2
cx + dy = v
ax + by = u
se d´ a zapsat maticemi takto:
soustava rovnic
Řešení soustavy rovnic o více neznámých
u sloˇzitˇejˇs´ıch matic se nejdˇr´ıve upravuje determinant nejl´epe do tvaru x1 x2 x3 x4 x5 0 x6 x7 x8 x9 det X = 0 0 x10 x11 x12 = x1 · x6 · x10 · x13 · x15 0 0 x13 x14 0 0 0 0 0 x15
A−1
1 −2 = −3 A21 = − 2 2 = −6 A11 = −2 1 −2 1 2 2 = −6 A12 = − 2 −2 = −6 A31 = 1 −2 2 1 1 2 = −3 A32 = − 1 2 = 6 A22 = 2 1 2 −2 2 1 = −6 A23 = − 1 2 = 6 A13 = 2 −2 2 −2 1 2 = −3 A33 = 2 1 T −3 −6 −6 −3 −6 −6 1 1 1 1 = · −6 −3 6 = − · −6 −3 6 = 2 −27 27 9 −6 6 −3 −6 6 −3 2
7
2 −2 1
×
x u = y v
A·X=B
pˇr´ıkladem je soustava:
−2x + 7y + 5z = 1
3x + 2y + z = 1
x−y =3
hs = hr
Matice rozˇs´ıˇren´a (o prav´e strany rovnic) se uprav´ı na tzv. troj´ uheln´ıkov´ y tvar (pod hlavn´ı diagon´alou se vyskytuj´ı jen nuly) Frobeniova vˇeta: soustava line´ arn´ıch rovnic m´ a ˇreˇsen´ı, pokud hodnost matice hs (poˇcet nenulov´ ych ˇr´ adk˚ u) a matice rozˇs´ıˇren´e hr je totoˇzn´ a
Hodnost matice a Gaussova eliminační metoda
jestliˇze D 6= 0, pak m´a soustava rovnic jedin´e ˇreˇsen´ı a jednotliv´e ˇr´ adky jsou line´arnˇe nez´avisl´e
X = A−1 · B
E · X = A−1 · B
A−1 · [A · X = A−1 · B
A · X = B/ · A−1 zleva
a b c d
se z´ısk´a pˇr´ıpadn´e ˇreˇsen´ı
u ´pravami
zkr´acenˇe:
8
Jiří Kwiecien
Matice
KUCHAŘKA
a12 a22 .. .
am2
a11 a21 A= ...
am1
...
... ... .. .
amn
a1n a2 n .. .
regul´ arn´ı matice je ˇctvercov´ a (Ann ), jej´ı hodnost se rovn´ a poˇctu ˇr´adk˚ u (hA = n), existuje k n´ı inverzn´ı matice A−1 ; jinak se jedn´ a o matici syngul´ arn´ı
A−1 · A = E
A · A−1 = E
inverzn´ı matice A−1 k matici A podm´ınkou pro existenci inverzn´ı matice je regul´ arnost matice je ˇctvercov´ a a plat´ı pro ni
jednotkov´ a matice E ˇctvercov´ a matice, u kter´e jsou na hlavn´ı diagon´ ale 1, na ostatn´ıch pozic´ıch 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
matice transponovan´ a AT vznik´ a otoˇcen´ım matice kolem hlavn´ı diagon´ aly 1 0 −3 1 5 7 −1 0 2 5 A = 0 0 5 −7 AT = 7 5 1 −3 2 1 0 −1 −7 0
matice typu m, n
Matice
1
B = (s, n)
C (m, n)
6 −3 12
2 −1 4
−2 0 = −1 −6 −8 0 = 9 −3 −5
−4 8 −9
podm´ınka pro u ´spˇeˇsn´ y souˇcin matic jsou vyznaˇcen´e rozmˇery v´ ysledn´a matice C se z´ısk´ a souˇctem souˇcin˚ u prvk˚ u m−t´eho ˇr´ adku matice A s s−t´ ym sloupcem matice B
součin matic A · (m, s)
1 3 1 0 0 5 2 −1 + 0 1 1 − 3 · −3 1 1 −1 5 0 2 2 6 2 6 1 0 0 15 = 0 4 −2 + 0 1 1 − −9 −6 4 1 1 −1 5 0
3 0 2· −3
vyn´asoben´ım matice A ˇc´ıslem c vznikne matice, kde kaˇzd´ y ˇclen matice je vyn´asoben ˇc´ıslem c
součin matice a skaláru
A+O=A
pˇriˇcten´ım nulov´e matice O k matici A se z´ısk´ a matice A
A+B=C
vznik´a tak nov´a matice stejn´eho typu jako pˇredchoz´ı a jednotliv´e ˇcleny vznikaj´ı souˇctem p˚ uvodn´ıch ˇclen˚ u na stejn´e pozici
součet matic (obě matice musejí být stejného typu)
Matematické operace s maticemi
2
12 −1 9
1 0 0
0 1 0
1 0 0 × 2 5 1
7 1 3 = 2 8 5 7 3 8
poziˇcn´ı znam´enko se z´ısk´ a umocnˇen´ım minus jedniˇcky souˇctem ˇc´ısla sloupce a ˇr´ adku, na kter´em se prvek amn nach´ az´ı, subdeterminant se skl´ ad´ a ze sloupc˚ u a ˇr´ adk˚ u, na kter´em se prvek amn nevyskytuje
determinant matice 3×3 a vyˇsˇs´ı se poˇc´ıt´ a pomoc´ı Sarusova pravidla – rozvojem podle prvk˚ u 1. ˇr´ adku dle pˇr´ıkladu: 1 −1 2 3 = (−1)1+1 · 1 · 5 0 + (−1)2+1 · (−1) · 3 0 + 5 0 −3 1 −2 1 −2 −3 1 3 5 3+1 = 5 + 3 + 2 · (−9 + 10) = 10 +(−1) ·2· −2 −3
je ˇc´ıslo pˇriˇrazen´e matici determinant matice (a11 )je roven a11 a11 a12 se vypoˇc´ıt´ a determinant matice A = a21 a22 a a12 = a11 a22 − a12 a21 det A = 11 a21 a22
Determinant matice
a11 a12 a13 b11 b12 a21 a22 a23 × b21 b22 = a31 a32 a33 b31 b32 a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 = a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 a21 b12 + a22 b22 + a23 b32 a31 b11 + a32 b21 + a33 b31 a31 b12 + a32 b22 + a33 b32
3
Dx3
−2 8 1 4 −2 12 −9 6
2 1 −1 2 2 −3 0 0
1 2 0 −3 = 0 −3 0 0 −2 −2 12 5 −9 −2 = 1 0 − 3
x1 =
(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (1, 2, 1, 3)
−9 Dx1 = =1 D −9 Dx2 − 18 = =2 x2 = D −9 −9 x3 = =1 −9 x4 = 1 − 1 + 2 + 1 = 3/tˇret´ı rovnice/
0
2 −3 0
·(−1){3, 4}, ·(−2){2}
1 0 = 0 2 · {4} 3 0 ! 1 − = −9 3
−2 1 1 −1 −2 5 −2 1
= 1 · (−3) · (−9) ·
1 2 = 1 1 1 0 = 0 0
12
−2 12 3 6
−2 5 ·(−1){3} = 3 1
x1 + 2x2 + 2x3 − x4 = 4 1 2 −1 −2 ·(−2){2}, ·(−1){3, 4} 1 2 −1 −2 5 1 1 0 −3 3 2 1 = D= = 3 0 −3 0 1 −1 −1 1 0 0 3 1 1 2 2 −1 −3 3 5 −3 3 5 ·(−1){2} −3 3 5 1 · (−1)1+1 −3 0 3 = −3 0 3 = 0 −3 −2 = 0 3 1 0 3 1 0 3 1 −3 −2 = −9 6= 0 = −3 · (−1)2 · 3 1 −2 2 −1 −2 −10 −2 −5 0 1 1 1 3 3 0 8 12 Dx1 = = = 1 1 0 1 −1 −1 1 5 4 2 2 −1 ·(−2){1}, ·1{2, 3} 4 2 2 −1 −10 −2 −5 15 3 0 = −1 · (−1)8 12 3 3 = − −3 0 0 = 5 5 1 1 1 1 ·5{1}, ·(−3){2} 15 3 = −9 = −1 · 1 · (−1)6 −3 0 1 −2 −1 −2 −1 −10 −5 0 1 1 12 3 0 2 8 3 Dx2 = = = 5 1 0 1 1 −1 1 2 1 4 2 −1 ·(−2){1}, ·1{2, 3} 1 4 2 −1 −1 10 −5 9 15 0 8 = −1 · (−1) 3 12 3 = − −3 −3 0 = 2 2 5 1 ·(−3){2}, ·5{1} 5 1 9 15 = −18 = −1 · (−1)6 −3 −3
x1 − x2 − x3 + x4 = 1
a32 a22 a12
a33 a23 a13
1
a13 + ka33 a23 a33
2 1 −2
2 −2 1 Úpravy jsou naznačeny vedle řádku matice a to: ·a - vynásobení řádku matice číslem a, ·a{2} přičtení a−násobku řádku, u kterého je úprava naznačena, k druhému řádku, výměna pořadí řádků by byla vyznačena např. {1 ↔ 3}
Urˇcete inverzn´ı matici A−1
1 k matici A = 2 2
Na zaˇc´atku procesu je matice A a matice jednotkov´ a E. Element´ arn´ımi u ´pravami 1 se snaˇz´ıme vytvoˇrit z matice A matici jednotkovou a pˇritom stejn´e u ´pravy dˇel´ame na matici jednotkov´e. Po z´ısk´ an´ı jednotkov´e matice se st´av´a z p˚ uvodn´ı jednotkov´e matice matice inverzn´ı.
• k dan´emu ˇr ´adku a sobku adku pˇriˇcten´ı k−n´ jin´eho ˇr´ 1 0 k a11 a12 a13 a11 + ka31 a12 + ka32 0 1 0 · a21 a22 a23 = a21 a22 0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32
• ˇ c´ıseln´ y n´asobek adku rovnic) k 6= 0 nˇekter´ehoˇr´ matice (nˇekter´e z k 0 0 a11 a12 a13 ka11 ka12 ka13 0 1 0 · a21 a22 a23 = a21 a22 a23 0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33
• zmˇena poˇrad´ı ˇr´adk˚ u matice (rovnic) zmˇ e na poˇ r ad´ ı ˇ r a ´ dk˚ u v jednotkov´ e matici a11 a12 a13 a31 0 0 1 0 1 0 · a21 a22 a23 = a21 a31 a32 a33 a11 1 0 0
matice elementárních úprav
Jak najít A−1 ?
u ´prava u determinant˚ u – lze pˇriˇc´ıst n´ asobek jin´eho ˇr´ adku, zmˇena poˇrad´ı ˇr´adk˚ u zp˚ usobuje zmˇenu znam´enka determinantu
x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −2
2x1 + x2 + x3 + x4 = 8
4
11
A−1
E 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 −1 1 1 0 0 −2 1 0 0 −1 1 3 0 0 −2 1 0 0 −1 1 −1 2 0 −2 1 0 0 −1 1 −1 2 0 −2 1 0 2 −2 1 3 6 6 9 9 9 6 3 6 − − 9 9 9 2 −2 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 9 9 9 1 2 0 0 1 2 − 9 9 9 2 1 2 − 9 9 9 2 1 1 2 = 2 1 −2 9 2 −2 1
A 1 2 2 · (−1) {3} 2 1 −2 2 −2 1 · (−2) {2} 1 2 2 2 1 −2 0 −3 3 ·3 1 2 2 0 −3 −6 0 −3 3 3 6 6 ·2{1} 0 −3 −6 0 −3 3 3 0 −6 ·(−1){3} 0 −3 −6 0 −3 3 3 0 −6 0 −3 −6 · 69 {1, 2} 0 0 9 1 ·3 3 0 0 · − 13 0 −3 0 · 19 0 0 9
5
5 2
2 1
(x, y, z) = t(2, 4, 1)
t∈<
1 4 y − t = 0 5x + 8t − 18t = 0 5 5 y = 4t x = 2t
soustava:
Cramerovo pravidlo Dx1 D Dx2 x2 = D Dx3 x3 = D .. . x1 =
pozn.: partikul´arnˇe t = 0 ⇒ dost´ av´ ame trivi´ aln´ı ˇreˇsen´ı (x, y, z) = (0, 0, 0)
z=t
ˇreˇsen´ı pomoc´ı parametru t(nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı) :
2x + y − 8z = 0 # " 5 2 −18 0 −18 0 1 4 hr = hs = 2 · − 25 {2} ∼ −8 0 0 − 0 5 5
5x + 2y − 18z = 0
netrivi´aln´ı ˇreˇsen´ı pak napˇr. soustava:
z=0 y=0 x=0
− 12z = 0 2y = 0 2x = 0
10
15 z= 4
1 −1 ∼0 5 0 5 0 3 1 −8 4 15
−8−
(x, y, z) =
y=
13 47 15 ,− , 20 20 4
!
x=3−
x−y =3
15 4 = − 47 5 20
5y + z = −8 47 13 = 20 20
0 3 1 −8 ·(−1){3} ∼ 5 7
hs = hr = 3 ⇒ soustava m´ a ˇreˇsen´ı
0 3 ·(−3){2}, ·2{3} 1 1 5 1 1 −1 ∼0 5 0 0
4z = 15
−1 2 7
1 2 2
2 ∼0 0
1 3 2
2 2 3
1 3 0 2 −2 0 ∼ 1 7 − 0 ·4 2 2 3 0 −2 0 hr = hs = 3 −12 0
3 0 2 −2 0 ·(−1){3} ∼ 0 −14 0 0
1 2 0
3x + 2y + z = 0 2 3 0 ·(−1){2}, · − 32 {3} ∼0 1 0 1 0 0
2x + 3y + z = 0
2x + y + 3z = 0
trivi´ aln´ı ˇreˇsen´ı [(x, y, z) = (0, 0, 0)] poskytuje soustava rovnic:
ˇreˇsen´ı:
1 3 −2
9
= 1 − 4 − 4 − 8 − 8 − 4 = −27
2 1 −2
1 = −2
2 −2 1
a13 a33 a23 a33 a13 a23 a12 a32
2 −2 + 2 · 2 1
2 −2 − 2 · 1 2
2 1 −2 = 1 · −2 1
1 det A = 2 2
2 1 −2
znova: Urˇcete inverzn´ı matici A−1
1 k matici A = 2 2
A33
A13
A22
A31
A11
a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 T A11 A12 A13 1 A−1 = · A21 A22 A23 det A A31 A32 A33 a23 2+1 a12 1+1 a22 A21 = (−1) · = (−1) · a32 a32 a33 a a a13 A12 = (−1)1+2 · 21 = (−1)3+1 · 12 a31 a22 a23 a a a13 A32 = (−1)3+2 · 11 = (−1)2+2 · 11 a21 a31 a33 a a a22 A23 = (−1)2+3 · 11 = (−1)3+1 · 21 a31 a31 a32 a a12 = (−1)3+3 · 11 a21 a22
Inverzní matice získaná pomocí determinantu
6
2 1 −2
cx + dy = v
ax + by = u
se d´ a zapsat maticemi takto:
soustava rovnic
Řešení soustavy rovnic o více neznámých
u sloˇzitˇejˇs´ıch matic se nejdˇr´ıve upravuje determinant nejl´epe do tvaru x1 x2 x3 x4 x5 0 x6 x7 x8 x9 det X = 0 0 x10 x11 x12 = x1 · x6 · x10 · x13 · x15 0 0 x13 x14 0 0 0 0 0 x15
A−1
1 −2 = −3 A21 = − 2 2 = −6 A11 = −2 1 −2 1 2 2 = −6 A12 = − 2 −2 = −6 A31 = 1 −2 2 1 1 2 = −3 A32 = − 1 2 = 6 A22 = 2 1 2 −2 2 1 = −6 A23 = − 1 2 = 6 A13 = 2 −2 2 −2 1 2 = −3 A33 = 2 1 T −3 −6 −6 −3 −6 −6 1 1 1 1 = · −6 −3 6 = − · −6 −3 6 = 2 −27 27 9 −6 6 −3 −6 6 −3 2
7
2 −2 1
×
x u = y v
A·X=B
pˇr´ıkladem je soustava:
−2x + 7y + 5z = 1
3x + 2y + z = 1
x−y =3
hs = hr
Matice rozˇs´ıˇren´a (o prav´e strany rovnic) se uprav´ı na tzv. troj´ uheln´ıkov´ y tvar (pod hlavn´ı diagon´alou se vyskytuj´ı jen nuly) Frobeniova vˇeta: soustava line´ arn´ıch rovnic m´ a ˇreˇsen´ı, pokud hodnost matice hs (poˇcet nenulov´ ych ˇr´ adk˚ u) a matice rozˇs´ıˇren´e hr je totoˇzn´ a
Hodnost matice a Gaussova eliminační metoda
jestliˇze D 6= 0, pak m´a soustava rovnic jedin´e ˇreˇsen´ı a jednotliv´e ˇr´ adky jsou line´arnˇe nez´avisl´e
X = A−1 · B
E · X = A−1 · B
A−1 · [A · X = A−1 · B
A · X = B/ · A−1 zleva
a b c d
se z´ısk´a pˇr´ıpadn´e ˇreˇsen´ı
u ´pravami
zkr´acenˇe:
8
Related Documents
Matice
June 2020 9
