Maths T Paper 2 2009 Johor

CONFIDENTIAL*

2

1.

Find the angle between vectors a and b if a = 5, b = 3 and a - b = 7. [4 marks]

2.

Express 3 sin x + 4 cos x in the form r sin(x + a ) where r is positive and a is an

acute angle, giving the value of a to the nearest 0.1 0.

[4 marks]

Hence, find the minimum and maximum values of 6 sin x + 8 cos x + 5. [2 marks]

3. A ship P moves due east towards a target with a speed of 30 km h -1. A ship Q moves with a speed of 60 km h-1 along the course 2100. a) Find the magnitude and direction of the velocity of Q relative to P.

[5 marks]

b) If initially ship P is at 20 km to the west of ship Q, find the shortest distance between ship P and ship Q. [2 marks]

4.

Write an expression for 2sin2 x in terms of cos 2x.

[1 marks]

Show that sin 3x = 3 sin x - 4 sin 3 x.

[2 marks]

Based on the two expressions above, express 8 sin 5 x in the form of a sin x + b sin 3x + c sin 5x, where a, b and c are constants which must be evaluated. [4 marks] 5.

C

B D

A In the diagram above, BC and BA are tangents to the circle. a) Prove that i) BA = BC. ii) Ð BAC = Ð ADC.

[4 marks] [4 marks]

b) If AC = AD, prove that triangle ACD and triangle BCA are similar triangles. [4 marks]

954/2 *This question paper is CONFIDENT IAL until the examination is over. CONFIDENTIAL*

CONFIDENTIAL*

3

1.

Cari sudut di antara vektor a dan b jika a = 5, b = 3 dan a - b = 7. [4 markah]

2.

Ungkapkan 3 sin x + 4 cos x dalam bentuk r sin(x + a ) dengan r adalah positif

dan a

adalah sudut tirus, dengan memberikan nilai a sehingga 0.10 yang paling

hampir

[4 markah] Dengan

demikian,

carikan

nilai

minimum

dan

nilai

maksimum

6 sin x + 8 cos x + 5.

bagi

[2 markah]

3. Sebuah kapal P bergerak tepat ke timur menuju ke satu sasaran dengan laju 30 km j-1. Sebuah kapal Q bergerak dengan laju 60 km j -1 mengikut haluan 2100. a) Carikan magnitud dan arah halaju kapal Q relatif kepada kapal P. [5 markah] b) Jika pada mulanya kapal P berada 20 km tepat ke barat kapal Q, carikan jarak terdekat di antara kapal P dan kapal Q. [2 markah] 4.

Tuliskan satu ungkapan bagi 2sin 2 x dalam sebutan cos 2x.

[1markah]

Tunjukkan bahawa sin 3x = 3 sin x - 4 sin 3 x.

[2 markah]

Berdasarkan dua ungkapan di atas, ungkapkan 8 sin 5 x dalam bentuk a sin x + b sin 3x + c sin 5x, di mana a, b dan c adalah pemalar yang perlu ditentukan [4 markah]

nilainya. 5.

C

B D

A Dalam rajah di atas, BC dan BA adalah tangen kepada bulatan. a) Buktikan, bahawa i) BA = BC. ii) Ð BAC = Ð ADC.

[4 markah] [4 markah]

b) Jika AC = AD, buktikan bahawa segitiga ACD dan segitiga BCA adalah segitiga serupa. [4 markah]

954/2 *This question paper is CONFIDENT IAL until the examination is over. CONFIDENTIAL*

CONFIDENTIAL* 6.

4

a) Find the solution of the differential equation

t = 0.

dp 3 + p = 12, for which p = 0 when dt 2 [5 marks]

Sketch a graph to show the relationship between p and t if t ³ 0.

[2 marks]

b) The acceleration of a moving particle is given by g – gk 2v2, where g and k are positive constants and v is the speed of the particle. Write down a differential equation relating v and time t. Hence, express v explicitly in terms of t if the particle moves from rest. [7 marks] 7. The random variable X has a Poisson distribution with mean l. Given that 2P( X = 1) = P( X = 2 ).

8.

a) Find the value of l.

[2 marks]

b) Find P( X > 3 ).

[3 marks]

Given that X and Y are two events with the following probabilities P(X) =

P(X|Y’) =

2 , 7

3 1 and P(X Ç Y) = . 7 21

a) Find P(X U Y).

[4 marks]

b) Determine whether X and Y are independent eve nts.

[2 marks]

æ5ö

The probability distribution function of random variable X is P(X = x) = m çç ÷÷ for è xø x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 where m is a constant. 9.

a) Determine the value of m.

[2 marks]

b) Tabulate P(X = x).

[2 marks]

c) Find E(5X – 3)

[3 marks]

954/2 *This question paper is CONFIDENT IAL until the examination is over. CONFIDENTIAL*

CONFIDENTIAL* 6.

5

a) Cari penyelesaian bagi persamaan pembezaan

p = 0 bila t = 0.

dp 3 + p = 12, diberi bahawa dt 2 [5 markah]

Lakarkan graf untuk menunjukkan hubungan antara p dan t jika t ³ 0. [2 markah] b) Pecutan sebutir zarah yang bergerak diberikan oleh g – gk 2v2, di mana g dan k adalah pemalar positif dan v adalah laju zarah itu. Tuliskan satu persamaan pembezaan yang menghubungkan v dengan masa,t. Dengan demikian, Ungkapan v secara explisit dalam sebutan t jika zarah itu bermula dari keadaan rehat. . [7 markah] 7. Pembolehubah rawak X mempunyai taburan Poisson dengan min l. Diberi bahawa 2P( X = 1) = P( X = 2 ).

8.

a) Carikan nilai l.

[2 markah]

b) Cari P( X > 3 ).

[3 markah]

Diberi X dan Y adalah dua peristiwa dengan keadaan P(X) =

P(X Ç Y) =

9.

2 3 , P(X/Y’) = dan 7 7

1 . 21

a) Cari P(X U Y).

[4 markah]

b) Tentukan sama ada peristiwa X dan Y adalah merdeka.

[2 markah]

Fungsi taburan kebarangkalian pembolehubah rawak X diberikan sebagai

æ5ö è xø

P(X = x) = m çç ÷÷ dengan x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 di mana m adalah pemalar. a) Tentukan nilai m.

[2 markah]

b) Jadualkan nilai P(X = x).

[2 markah]

c) Carikan E(5X – 3)

[3 markah]

954/2 *This question paper is CONFIDENT IAL until the examination is over. CONFIDENTIAL*

CONFIDENTIAL*

6

10. The continuous random variable X has probability density function, f(x) as shown in the diagram below. f(x) ⅔

1

2

x

3

a) Find f(x).

[3 marks]

b) Find the cumulative distribution function of X and sketch its graph.

[4 marks]

c) Find P(0.9 < X £ 2.1).

[3 marks]

11. Mineral water is sold in bottles of two sizes, standard and large. For ea ch size, the content, in litres, of a randomly chosen bottle is normally distributed with mean and standard deviation as given in the table below: Size of the bottle Standard bottle Large bottle

Mean 0.760 1.010

Standard deviation 0.008 0.009

a) Find the pro bability that a randomly chosen standard bottle contains less than 0.750 litres of mineral water. [2 marks] b) Find the pro bability that a box of 10 randomly chosen standard bottles contains at least three bottles whose contents are each less than 0.750 litres. [3 marks] c) Find the probability that there is more mineral water in four randomly chosen standard bottles than in three randomly chosen large bottles. [5 marks]

12. The following table shows the range of marks for chemistry test obtained by 120 students. Marks Number of students 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100

2 5 11 23 47 20 9 3

a) Calculate the mean and standard deviation for the marks obtained by the students, giving your answer correct to one decimal place. [5 marks] b) Plot the cumulative frequency graph, hence, estimate the i) median.

[4 marks]

ii) percentage of s tudents whose marks are within the range of one standard deviation from mean. [3 marks] 954/2 *This question paper is CONFIDENT IAL until the examination is over. CONFIDENTIAL*

CONFIDENTIAL*

7

10. Pembolehubah ra wak selanjar X mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian, f(x) seperti ditunjukkan dalam gambarajah di bawah. f(x) ⅔

a) Carikan f(x).

1

2

3

x [3 markah]

b) Carikan fungsi taburan longgokan bagi X dan lakarkan grafnya.

[4 markah]

c) Carikan P(0.9 < X £ 2.1).

[3 markah]

11. Air mineral dijual dalam dua botol yang bersaiz, sedang dan besar. Kandungan dalam liter setiap botol yang dipilih secara rawak itu mempunyai taburan normal dengan min dan sisihan piawai seperti ditunjukkan dalam jadual di bawah. Saiz Botol Sedang Besar

Min 0.760 1.010

Sisihan Piawai 0.008 0.009

a) Carikan kebarangkalian bahawa sebuah botol sedang yang dipilih secara rawak mempunyai kandungan kurang daripada 0.750 liter air mineral. [2 markah] b) Carikan kebarangkalian bahawa dalam sebuah kotak yang mengandungi 10 botol sedang air mineral yang dipilih secara rawak, mempunyai sekurang-kurangnya tiga botol yang mempunyai kandungan kurang daripada 0.750 liter. [3 markah] c) Carikan kebarangkalian bahawa jumlah kanduangan air mineral dalam empat botol sedang yang dipilih secara rawak adalah melebihi jumlah kandungan air mineral dalam tiga botol besar yang dipilih secara rawak. [5 markah] 12. Jadual di bawah menunjukkan julat markah satu ujian kimia yang diperolehi oleh 120 orang pelajar. Markah Bilangan pelajar 21 – 30 2 31 – 40 5 41 – 50 11 51 – 60 23 61 – 70 47 71 – 80 20 81 – 90 9 91 – 100 3 a) Hitungkan min dan sisihan piawai bagi markah yang diperolehi oleh pelajarpelajar itu, dengan memberikan jawapan anda betul sehingga satu tempat perpuluhan. [5 markah] b) Plotkan graf kekerapan longgokan. Dengan demikian anggarkan i) median. [4 markah] ii) peratusan pelajar yang memperolehi markah dalam lingkungan satu sisihan piawai dari min. [3 markah] 954/2 *This question paper is CONFIDENT IAL until the examination is over. CONFIDENTIAL*