Maths Paper Std 10th Gseb

Ë{Þ :

3

f÷tf f÷tf]

„rý‚ Ëq[™tytu :

[fwfw÷ „wý :

Ätu h ý - 10

(1) (2) (3)

ƒÄt s «&™tu VhrsÞt‚ Au. þõÞ sýtÞ íÞtk ytf]r‚ Œtuhðe. ¼qr{r‚{tk h[™t™e hu¾tytu y™u [t… ÞÚttð‚ ò¤ððt. rð¼t„ − A

→

1Úte15 «&™tu™t ™e[u yt…u÷t sðtƒtu …ife Ët[tu rðfÕ… …ËkŒ fhtu. («íÞuf™tu 1 „wý)

1.

rî[÷ Ëwhu¾ Ë{efhýtu 2x + y = 6 y™u x + y = 3 ™u .......

2.

3. 4. 5. 6. 7.

8.

9.

10.

11.

12. 13.

14.

15.

100

15

(a)y™LÞ Wfu÷ Au (b) ƒu Wõ÷ {¤u (c) Wfu÷ ™ {¤u (d) yËkÏÞ Wfu÷ Au 3x3 × 2x2, 27x 8 ÷ 3x2 y™u (3x3)3 ™tu „w.Ët.y. ....... Au. (a) 6x5 (b) 3x 5 (c) 9x5 (d) 3x 6 +

+

= .......

(a) −3 (b) 0 (c) −1 (d) 1 rî½t‚ Ë{efhý 9x2 + 24x + 16 = 0 ™u R {tk Wfu÷ ....... (a)Ë{t™ Au (b) yË{t™ Au (c) ™ {¤u (d) yËkÏÞ ntuÞ 9 + 19 + 29 + ..... + 99 = ...... (a) 450 (b) 540 (c) 460 (d) 455 Y. 4000 ™wk ...... ÷u¾u 1 {tË™wk ËtŒwk ÔÞts Y. 50 ÚttÞ. (a) 10% (b) 12% (c) 15% (d) 25% yuf …wM‚f™e htufz ðu[tý ®f{‚ Y. 500 yÚtðt ¾heŒ‚e ð¾‚u Y. 250 htufzt y™u ºtý {tË ƒtŒ 16% ÔÞts™t Œhu ƒtfe™e hf{ Y. ...... [qfððt™e ÚttÞ. (a) 260 (b) 250 (c) 10 (d) 290 yuf {trn‚e™tu {æÞf 84 Au. òu Œhuf «tótkf{tk 3 W{uhe 5 ðzu ¼t„ðt{tk ytðu ‚tu ™ðtu {æÞf ....... ÚttÞ. (a) 1.74 (b) 8.4 (c) 87 (d) 17.4 ∆ABC {tk B − P − C, A − Q − C y™u || Au. òu CQ : QA = 1 : 3 y™u CP = 4 ntuÞ, ‚tu BC = ....... (a) 12 (b) 16 (c) 4 (c) 8 yuf þkfw™t …tÞt™e rºtßÞt fh‚tk ‚u™e 𢠟[tE ºtý „ýe Au, ‚tu ‚u þkfw™t ð¢Ë…txe™t ûtuºtV¤ y™u fw÷ Ë…txe™t ûtuºtV¤™tu „wýtu¥th ....... Au. (a) 4 : 3 (b) 3 : 1 (c) 3 : 4 (d) 1 : 3 yuf ™¤tfth™wk ½™V¤ y™u ‚u™e ð¢Ë…txe™t ûtuºtV¤™t {t…™t ykf Ëh¾t Au, ‚tu ™¤tfth™e rºtßÞt ...... yuf{ ntuÞ. (a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8 = ....... (a) cot A (b) cos A (c) tan A (d) sin A yuf {ft™ A ™t ‚r¤ÞuÚte ƒeò {ft™ B ™tu WíËuÄftuý 45 Au y™u B {ft™™t ‚r¤ÞuÚte A {ft™™tu WíËuÄftuý 65 Au, ‚tu ....... (a) A fh‚tk B ™e Ÿ[tE ðÄthu Au. (b) A y™u B ™e Ÿ[tE Ë{t™ Au. (c) B fh‚tk A ™e Ÿ[tE ðÄthu Au. (d) A ‚Útt B ™e Ÿ[tE rðþu ËkƒkÄ {u¤ðe þftÞ ™rn ð‚w¤ o ™t ÔÞtË™wk yuf ykíÞ®ƒŒw (0, 0) y™u ð‚w¤ o ™wk fuLÿ (−1, 2) ntuÞ, ‚tu ÔÞtË™wk ƒeswk ykíÞ®ƒŒw .... Au. (a) (1, −2) (b) (−1, −2) (c) (−2, 4) (d) (2, −4) A (3, 2), B (7, 5) y™u C (2, 2) rþhtu®ƒŒw ðt¤t rºtftuý™wk {æÞfuLÿ ...... Au.

Std –10 / Mathematics

(a) → 16.

(3, 4) (b) (4, 3)

(c)

(d)

rð¼t„ − B 16 Úte 30 «&™tu™t yr‚xqkf{tk sðtƒ yt…tu. («íÞuftu™tu 1 „wý) 15 x ð»to …nu÷tk r…‚t y™u ƒu …wºteytu™e ô{h™tu Ëhðt¤tu y ð»to n‚tu. 2 ð»to …Ae ‚u{™e ô{h™tu Ëhðt¤tu þtuÄtu. ™wk yr‚Ëkrûtó Y… yt…tu.

17. 18.

yuðe Ëk{uÞ …Œtðr÷ ÷¾tu su{tk ykþ™e ƒnw…Œe™t þqLÞtu 4 y™u −3 ‚Útt AuŒ™e ƒnw…Œe™tk þqLÞtu −4 y™u 3 ntuÞ.

19.

kx2 − 7x + 6 = 0 ™wk yuf ƒes

20. 21.

+ 4 = 0 ntuÞ, ‚tu þtuÄtu. x+4 yuf ðM‚w™e htufz ðu[tý®f{‚ Y. 1650 Au. n…‚tÚte ¾heŒt™th™u ¾heŒ‚e ð¾‚u Y. 450 htufzt y™u Y. 1250 ƒu {tË …Ae yt…ðt™t ntuÞ, ‚tu ðu…the fux÷wk ÔÞts ÷uþu ? fhŒt‚t ftu™u fnu Au ? òu yi = xi − 1 y™u = 45 ntuÞ, ‚tu þtuÄtu. 10 «tótkftu™tu {æÞf 15.7 Au. yt {trn‚{tk ™ðwk yð÷tuf™ 19 W{uh‚tk {trn‚e™tu ™ðtu {æÞf þtuÄtu. ∆PQR {tk ∠P ™tu rî¼tsf ™u S {tk AuŒu Au y™u QS:RS = 4 : 5 Au. òu PQ = 4 ntuÞ, ‚tu PR þtuÄtu. Au. òu ≅ ntuÞ, ‚tu ™wk fuLÿÚte ¤ (P, 6) ™e Sðt yk‚h þtuÄtu. yuf ™¤tfth™t …tÞt™tu …rh½ 22 Ëu{e Au. òu ™¤tfth™e Ÿ[tE 10 Ëu{e ntuÞ, ‚tu ‚u™wk ½™V¤ þtuÄtu. òu tan 7θo tan 3θo = 1 ntuÞ, ‚tu θ þtuÄtu. òu secθ = ntuÞ, ‚tu tan2θ + cot2θ ™e ®f{‚ þtuÄtu.

22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.

2 5

™e Œþtkþ{tk ytþhu ®f{‚ fux÷e Au ?

30. → 31. 32. 33.

34.

rð¼t„ − C 31 Úte 42 ËwÄe™t «&™tu™e „ý‚he fhe™u xqkf{tk sðtƒ yt…tu. («íÞuf™t 2 „wý) 24 p(x) = 10x3 + 6x2 − 28x y™u q(x) = 9x3 + 15x2 − 6x ™tu „w.Ët.y. y™u ÷.Ët.y. þtuÄtu. ºtý ËkÏÞtytu Ë{tk‚h ©uýe{tk Au. ‚u{™tu Ëhðt¤tu 45 ‚Útt „wýtfth 3135 Au, ‚tu ‚u ËkÏÞtytu þtuÄtu. ytþtƒnu™™tu ðtŠ»tf …„th Y. 2,25,000 Au. ‚uytu Œh {tËu GPF {tk Y. 6000 ƒ[‚ f…tðu Au ‚Útt LIC ™wk ðtŠ»tf «er{Þ{ Y. 18,000 ¼hu Au. ‚tu ‚u{ýu [t÷w ð»tuo ytðfðuhtu ¼hðtu …zþu ? fux÷tu ? òu {æÞf 21 ntuÞ, ‚tu ™e[u™t ytð]r¥t − rð‚hý{tk ¾qx‚e {trn‚e f þtuÄtu. xi 10 15 20 25 35 fi

34.

36.

6

10

f

yÚtðt ™e[u yt…u÷t ytð]r¥t rð‚hý{tk {æÞf þtuÄtu. xi 37.5 32.5 27.5 fi

35.

Au, ‚tu K ™e ®f{‚ þtuÄtu.

6

54

29

10

8

22.5 17.5 9

2

∆ABC {tk A − D − B, CD = 6, BD = 9 y™u BC = 12 Au. òu m∠CAB = m∠BCD ntuÞ, ‚tu ∆ADC ™e …rhr{r‚ þtuÄtu. ∆PQR {tk PQ = 29 Ëu{e, QR = 40 Ëu{e, PR = 29 Ëu{e ntuÞ

1 ddfd

‚Útt

37.

37. 38. 39. 40. 41. 42. 42.

{æÞ„t Au ‚Útt G {æÞfuLÿ ntuÞ, ‚tu PG þtuÄtu. ð‚wo¤™tu ÔÞtË Au ‚Útt ð‚wo¤™e ÔÞtË ™ ntuÞ ‚uðe Sðt Au. ™t rðhwØ rfhý™u D {tk AuŒu Au. òu m∠BDC C yt„¤™tu M…þof = 60 ntuÞ, ‚tu m∠BAC þtuÄtu. yÚtðt ∠A ™tu rî¼tsf ∆ABC ™t …rhð]¥t™u D AuŒu Au. òu m∠BCD = 40 ntuÞ, ‚tu m∠BAC þtuÄtu. P, Q, R fuLÿtuðt¤t ºtý ð‚wo¤tu y™w¢{u A, B, C yt„¤ ƒnthÚte M…þuo Au. PQ = 18, QR = 13, RP = 15 Au, ‚tu ‚u{™e rºtßÞtytu þtuÄtu. 5 Ëu{e rºtßÞt y™u 41 Ëu{e fw÷ ÷kƒtE™t ƒk™u ƒtswyu 12 Ëu{e Ÿ[tE Ähtð‚t þkfwÚte ƒkÄ Au, ‚tu ƒkÄ ™¤tfth™e fw÷ Ë…txe™wk …]cV¤ þtuÄtu. (π = 3.14 ÷tu ) òu cosθ + sinθ = cosθ, ‚tu Ëtrƒ‚ fhtu fu cosθ − sinθ = sinθ ∆ABC {tk A (3, 4), B (11, a) y™u C (9, 12) ‚Útt ∠B ftxftuý ntuÞ ‚tu a þtuÄtu. ∆ABC ™wk {æÞfuLÿ (3, −1) y™u A (1, 3) ntuÞ, ‚tu ™t {æÞ®ƒŒw™t Þt{ þtuÄtu. yÚtðt ™t rºt¼t„ ®ƒŒwytu™t Þt{ (4, 3) y™u (1, 1) ntuÞ, ‚tu A y™u B ™t Þt{ þtuÄtu.

52.

53. 53.

54.

54.

∆PQR h[tu. su{tk m∠P = 90, QR = 7 Ëu{e y™u P {tkÚte …h™t ðuÄ™e ÷kƒtE 3 Ëu{e ntuÞ. h[™t™t {wÆt ÷¾tu. +

=

(∴ x ≠ −1, −2, −4) ™tu Wfu÷ {u¤ðtu.

yÚtðt yuf ‚¤tð{tk hnu÷ ntÚteytu™e fw÷ ËkÏÞt{tkÚte ‚u ËkÏÞt™t ð„o{q¤™t „ýt rf™thu ytðe „Þt Au. ßÞthu ƒu ntÚte …týe{tk „B{‚ fhu Au y™u rf™thu ytðu÷ ™Úte, ‚tu ntÚteytu™e fw÷ ËkÏÞt fux÷e nþu ? ntÚteytu™e ËkÏÞt Ä™ …qýtOf™t ð„o sux÷e Au. p(x) = x3 + ax2 + bx − 6 y™u q(x) = x3 − x (b − 4) + a ™tu „w.Ët.y. (x − 3) ntuÞ, ‚tu a y™u b ™e ®f{‚ þtuÄtu. yÚtðt p(x) = (x2 − 4x − 21) (x2 − 4x + a) y™u q(x) = (x 2 − 5x + 6) (x2 − 4x + b) ™tu „w.Ët.y. (x + 3) (x − 2) ntuÞ, ‚tu a y™u b ™e ®f{‚ þtuÄtu.

rð¼t„ − D 43 Úte 49 «&™tu™t {tøÞt «{týu „ý‚he fhe sðtƒ yt…tu. («íÞuf™t 3 „wý)

→ 43.

21 ƒu ytkfzt™e yuf ËkÏÞt y™u ‚u™t ykftu™e yŒ÷tƒŒ÷e fh‚tk {¤‚e ËkÏÞt™tu Ëhðt¤tu 110 Au. òu {q¤ ËkÏÞt{tkÚte 10 ƒtŒ fh‚tk {¤‚e ËkÏÞt {q¤ ËkÏÞt™t ykftu™t Ëhðt¤t™t …tk[ „ýtÚte 4 ðÄw Au, ‚tu {q¤ ËkÏÞt þtuÄtu.

44.

ËtŒwkY… yt…tu :

45.

yuf Y{fq÷h™e htufz ®f{‚ Y. 2400 Au y™u ‚u ¾heŒ‚e ð¾‚u Y. 1200 htufzt yt…e ¾heŒe þftÞ Au. ƒtfe™e hf{ ºtý Ëh¾t {trËf n…‚t{tk [qfððt™e Au. òu ÔÞts™tu Œh 12% ntuÞ, ‚tu [qfðu÷ n…‚t™e hf{ þtuÄtu. ™e[u™t Ë{t™ ÷kƒtE™t ð„tuoðt¤t ytð]r¥t − rð‚hý …hÚte {æÞf™e „ý‚he fhtu.

46.

47.

47.

®f{‚ (Úte ðÄw) 0

7

14

ytð]r¥t

334

303 268

360

21

28

35

42 49

226 144 73 19

100 {e Ÿ[tEðt¤e xufhe …hÚte r™heûtý fh‚tk yuf r{™tht™e xtu[™tu yðËuÄftuý 30 y™u ‚u™t ‚r¤Þt™tu yðËuÄftuý 45 {t÷q{ …zu Au, ‚tu r{™tht™e Ÿ[tE þtuÄtu. yÚtðt yuf xtðh …h h ÷kƒtE™tu yuf æðsŒkz ytðu÷tu Au. òu æðsŒkz™e xtu[ y™u ‚r¤Þt™t WíËuÄftuý s{e™ …h™t ftuE ®ƒŒwÚte {t…‚tk y™w¢{u α y™u β {t÷q{ …zu Au, ‚tu xtðh™e Ÿ[tE

48.

÷

×

∆ABC {tk y™u ™u Ë{tk‚h hu¾t m, 4EK.

Au, ‚u{ Ëtrƒ‚ fhtu.

{æÞ„tytu Au y™u G {æÞfuLÿ Au. D {tkÚte ™u K {tk AuŒu Au, Ëtrƒ‚ fhtu fu AC =

yÚtðt ∆PQR {tk ∠Q ftx¾qýtu Au. {æÞ„t Au. Ëtrƒ‚ fhtu fu PR2 = 2 2 PM + 3RM 49. yuf þkfw™e ð¢Ë…txe™wk ûtuºtV¤ 550 [tuËu{e Au. òu ‚u™tu ÔÞtË 14 Ëu{e ntuÞ, ‚tu ‚u™wk ½™V¤ þtuÄtu. yÚtðt 49. 1 Ëu { e ÔÞtËðt¤t [tk Œ e™t 600 {ýft r…„t¤e™u ‚u { tk Ú te 0.4 Ëu { e ÔÞtËðt¤tu ‚th ƒ™tÔÞtu , ‚tu ‚th™e ÷k ƒ tE þtu Ä tu .

48.

→ 50. 51.

rð¼t„ − E 50 Úte 54 «&™tu™t Wfu÷ þtuÄtu. («íÞuf™t 5 „wý) 25 …tEÚtt„tuhË™wk «{uÞ ÷¾tu y™u ‚u™wk «r‚«{uÞ Ëtrƒ‚ fhtu. Ëtrƒ‚ fhtu fu ð‚wo¤™t ÷½w[t…u fuLÿ yt„¤ ytk‚hu÷t ¾qýt™wk {t… ‚u [t…u ð‚wo¤™t ƒtfe™t ¼t„ …h™t ftuE…ý ®ƒŒw yt„¤ ytk‚hu÷t ¾qýt™t {t… fh‚tk ƒ{ýwk ntuÞ Au.

Std –10 / Mathematics

2 ddfd

„rý‚ …u … h Ëtu Õ Þw þ ™

Ätu h ý - 10

rð¼t„ − A 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 14.

= 10 × 15.7 = 157 yuf ™ðwk yð÷tuf™ 19 W{uh‚tk, ™ðtu Σxi = 157 + 19 = 176 y™u n = 10 + 1 = 11

5

(d) yËkÏÞ Wfu÷ Au 2. (c) −1 4. (b) 540 6. (a) 260 8. (b) 16 10. (a) 2 12. (c) B fh‚tk A ™e Qk[tE ðÄthu Au. (c) (−2, 4) 15.

(b) 3x (a) Ë{t™ Au (c) 15% (d) 17.4 (c) 3 : 4 (d) sin A (b) (4, 3)

176 ™ðtu Σxi ∴ ™ðtu {æÞf =  =  = 16 n 11 25.

rð¼t„ − B 16.

3x + y + 6

17.

=

18.

19.

kx − 7x + 6 = 0 ™wk ƒes −7

∴k −

ynª, yi = ∴

24.

26.

=

xi − 1

=

∴

= 18 − 1

∴

= 17

Std –10 / Mathematics

Äthtu fu

⊥

∴ AM =

AB =

×6=3

yt{,

∴ PM = 3 27.

™wk fuLÿÚte yk‚h = 3

ynª, ™¤tfth™t …tÞt™tu …rh½ = 22 Ëu{e ∴ 2πr = 22 ∴2×

× r = 22

∴r= Ëu{e

∴r=

nðu, ™¤tfth™wk ½™V¤ = πr2h = 28.

×

×

× 10

= 385 ½™Ëu{e. ynª, tan 7θo tan 3θo = 1 ∴ tan 7θo =

(45) − 1 (

ynª, n = 10 y™u ∴ Σxi = n.

Au.

nðu, ∆PAM {tk m∠M = 90 ∴ PM2 = PA 2 − AM2 = (6)2 − (3)2 = 36 − 9 ∴ PM2 = 27

−1

∴

ynª, ¤ (P, 6) ™e Sðt ≅ Au. ‚Útt ∴ PA = AB = 6

+6=0

23.

21.

= PR

∴ PR = 5

+6=0

22.

20.

=

∴

Au.

∴ 9k − 42 + 24 = 0 ∴ 9k − 18 = 0 ∴ 9k = 18 ∴k=2 ynª, x + 4 +4=0 + 2)2 = 0 ∴( ∴ +2=0 = −2 ∴ ðM‚w™e htufz ðu[tý ®f{‚ = Y. 1650 ¾heŒ‚e ð¾‚u [qfððt™e ®f{‚ = Y. 450 ∴ [qfððt™e ƒtfe hf{ = Y. (1650 − 450) = Y. 1200 ƒu {tË …Ae [qfððt™e ®f{‚ = Y. 1250 ∴ ðu…theyu ÷eÄu÷wk ÔÞts = Y. (1250 − 1200) = Y. 50 ytðfðuhtu ¼h™th ÔÞÂõ‚™u fhŒt‚t fnu Au.

™u S {tk AuŒu Au.

=

∴

=

2

∴

∴

= −2

Ëk{uÞ …Œtðr÷ {txu : ykþ™e ƒnw…Œe™t þqLÞtu 4 y™u −3 Au. ∴ p(x) = (x − 4) (x + 3) = x2 − x − 12 AuŒ™e ƒnw…Œe™t þqLÞtu −4 y™u 3 Au. ∴ q(x) = (x + 4) (x − 3) = x 2 + x − 12 nðu,

ynª, ∆PQR {tk ∠P ™tu rî¼tsf

∴ tan 7θo = cot 3θ o ∴ tan 7θ o = tan (90 − 3θ)o ∴ 7θo = 90 − 3θo ∴ 10θo = 90 ∴ θ = 9o

= 45)

= 15.7 Au.

29.

ynª, secθ = Au. …hk‚w 1 + tan2θ = sec2θ

3 ddfd

∴ tan2θ = sec2θ − 1 = ( )2 − 1 2 ∴ tan θ = 1 ∴ tanθ = 1 ∴ cotθ = 1 nðu, tan2θ + cot2θ = (1)2 + (1)2 = 2

{æÞ®f{‚

= 0.58

30.

rð¼t„ − C 31.ynª, p(x) = 10x3 + 6x2 − 28x y™u = 2x (5x2 + 3x − 14) = 2x (5x2 + 10x − 7x − 14) = 2x {x (x + 2) − 7 (x + 2)} = 2x (x + 2) (5x − 7) ∴ „w.Ët.y. h (x) = x (x + 2) ÷.Ët.y. m (x) = 6x (x + 2) (3x − 1) (5x − 7)

A = 32.5

37.5 A = 32.5 27.5 22.5 17.5

6 54 29 9 2

1 0 −1 −2 −3

6 0 −29 −18 −6

n = 100

−

Σfidi = −47

{æÞf

=A+

×c

= 32.5 +

×5

= 32.5 − 2.35 = 30.15 yt{, ytð]r¥t − rð‚hý™tu {æÞf 30.15 Au. ynª, D ∈ ∴A−D−B ∴ ∠CAB = ∠CAD ∠CAB ≅ ∠BCD (…ût) ∴ ∠CAD ≅ ∠BCD ∆ABC y™u ∆CBD {tk ∠ABC ≅ ∠CBD (yuf s ¾qýtu) ∠BAC ≅ ∠BCD (…ût) ∴ Ëk„‚‚t ABC ↔ CBD Ë{Y…‚t Au. (¾q¾q) ∴

=

∴

=

= 16 ‚Útt AC =

∴ AB =

ynª, ∆PQR {tk ∴ QM =

× 40 = 20 Ëu{e

fixi

10 15 20 25 35

6 10 f 10 8

60 150 20f 250 280

n = 34 + f

Σfixi = 740 + 20f

PG =

∴ f = 26

yt{, ytð]r¥t rð‚hý{tk ¾qx‚e ytð]r¥t f = 26 Au. yÚtðt yt…u÷ {trn‚e{tk ð„tuo™e {æÞ®f{‚tu yt…u÷e Au. «íÞuf ƒu ¢r{f {æÞ®f{‚tu ðå[u™wk Ë{t™ yk‚h 5 Au. ‚uÚte ð„o÷kƒtE c = 5 Útþu. Äthu÷t {æÞf™e he‚u „ý‚he fh‚tk ytð]r¥t − rð‚hý™wk ftuüf ™e[u «{týu Útþu.

Std –10 / Mathematics

37.

=

=8

{æÞ„t Au.

ytð]r¥t fi

∴ 714 + 21f = 740 + 20f

=

nðu, AB = AD + DB ( A − D − B) ∴ 16 = AD + 9 ∴ AD = 16 − 9 = 7 ∆ ADC ™e …rhr{r‚ = AD + DC + AC = 7 + 6 + 8 = 21.

x = xi

∴ 21 =

34.

fi

∴ ⊥ ∴ ∆PMQ {tk m∠M = 90 ∴ …tEÚtt„tuhË™t rËØtk‚ «{týu, PM2 = PQ2 − QM2 = (29)2 − (20)2 = 841 − 400 ∴ PM2 = 441 ∴ PM = 21 nðu, G {æÞfuLÿ ntuðtÚte,

=

fidi

ynª, A = 32.5, Σfidi = −47, n = 100 y™u c = 5 Au.

Äthtu fu Ë{tk‚h ©uýe{tk ytðu÷e ºtý ËkÏÞtytu y™w¢{u a − d, a ‚Útt a + d Au. ‚u{™tu Ëhðt¤tu = 45 ∴ a − d + a + a + d = 45 35. ∴ 3a = 45 ∴ a = 15 ‚u{™tu „wýtfth = 3135 ∴ (a − d) a (a + d) = 3135 ∴ a (a2 − d2) = 3135 ∴ 15 (225 − d2) = 3135 ∴ 225 − d2 = 209 ∴ d2 = 16 ∴d=±4 d = 4 {txu {tk„÷u ËkÏÞtytu 11, 15, 19 Au. d = −4 {txu {tk„÷u ËkÏÞtytu 19, 15, 11 Au. 33. ∗ytþtƒnu™™e ðtŠ»tf ytðf = Y. 225000 ∗ytþtƒnu™™e ƒ[‚tu : (1) GPF (Y. 6000 × 12) = Y. 72000 (2) LIC ™wk «er{Þ{ = Y. 18000 ytþtƒnu™™e 80 − c nuX¤™e ƒ[‚tu = Y. 90000 ∗ ytþtƒnu™™e fh…tºt ytðf = Y. (2,25,000 − 90,000) = Y. 1,35,000 36. ytþtƒnu™ {rn÷t fhŒt‚t Au. {rn÷t fhŒt‚t {txu Y. 1,35,000 ËwÄe™e ytðf fh{wõ‚ ÚttÞ Au ‚uÚte ytþtƒnu™™u ftuE s ytðfðuhtu ¼hðt™tu Út‚tu ™Úte. = 21 Au. 34. ynª, {æÞf

fw÷

di =

xi

fw÷

q(x) = 9x3 + 15x2 − 6x = 3x (3x2 + 5x − 2) = 3x (3x2 + 6x − x − 2) = 3x {x (x + 2) − 1 (x + 2)} = 3x (x + 2) (3x − 1)

32.

{æÞf

ytð]r¥t

PM =

‚Útt PQ = QR = 29 Ëu{e

× 21 = 2 × 7 = 14

yt{, PG = 14 Ëu{e Äthtu fu m∠BAC = x ∴ m∠BCD = x ( Sðt™t rðhwØ ð]¥t¾kz™tu ¾qýtu) ‚Útt m∠ACB = 90 ( yÄoð‚wo¤{tk y‚„o‚ ¾qýtu) ∴ m∠ACD = x + 90 nðu, ∆ACD {txu, x + x + 90 + 60 = 180 ∴ 2x + 150 = 180 ∴ 2x = 30 ∴ x = 15

4 ddfd

∴ m∠BAC = 15 37.

yÚtðt ynª, m∠BCD = m∠BAD ( …hk‚w m∠BCD = 40 ∴ m∠BAD = 40

yuf s ð]¥t¾kz™t ¾qýt)

yu ∠A ™tu rî¼tsf Au. nðu, ∴ m∠BAC = 2 m∠BAD = 2 (40) ∴ m∠BAC = 80 38. ynª, P, Q, R fuLÿtuðt¤tk ºtý ð‚wo¤tu y™w¢{u A, B, C yt„¤ ƒnthÚte M…þuo Au. Äthtu fu P, Q, R fuLÿtuðt¤t ð‚wo¤™e rºtßÞtytu y™w¢{u r1, r2, r3 Au. ‚Útt PQ = 18 ∴ r1 + r2 = 18 QR = 13 ∴ r2 + r3 = 13 RP = 15 ∴ r3 + r1 = 15 ∴ 2 (r1 + r2 + r3) = 46 ∴ r1 + r2 + r3 = 23 nðu, r1 + r2 + r3 = 23 r1 + r2 + r3 = 23 r1 + r2 + r3 = 23 ∴ 18 + r3 = 23 ∴ r1 + 13 = 23 ∴ r2 + 15 = 23 ∴ r1 = 10 ∴ r2 = 8 ∴ r3 = 5 yt{, r1 = 10, r2 = 8 y™u r3 = 5 39. ynª, rºtßÞt r = 5 Ëu{e ™¤tfth™e Ÿ[tE h = fw÷ Ÿ[tE − 2 × þkfw™tu ðuÄ = 41 − (2 × 12) = 17 Ëu{e þkfw™e r‚Þof Ÿ[tE l =

∴ (a − 8)2 = 0 ∴a−8=0 ∴a=8 42. Äthtu fu B (x2, y2) y™u C (x3, y3) Au.‚Útt ∆ABC {tk A (1, 3) y™u {æÞfuLÿ (3, −1) Au. ∴ (3, −1) =

∴ 9 = 1 + x2 + x3 ∴ x2 + x3 = 8 nðu,

40.

∴ ∴ ∴ ∴

2

42.

∴ ∴

™wk {æÞ®ƒŒw Au.

P ™tu x − Þt{ =

P ™tu y − Þt{ =

∴4=

∴3=

∴ x1 + 1 = 8 ∴ x1 = 7 ®ƒŒw A ™t Þt{ (x1, y1) = (7, 5)

∴ y1 + 1 = 6 ∴ y1 = 5

∴ Q ™tu x − Þt{ =

Q ™tu y − Þt{ =

ƒk™u ƒtsw ð„o ÷u‚tk) ∴1=

cosθ + sinθ =

cosθ)

sinθ = cosθ − sinθ sinθ

41. Äthtufu ftxftuý ∆ABC ™tk rþhtu®ƒŒwytu A (3, 4), B (11, a) y™u C (9, 12) Au. AC2 = (9 − 3)2 + (12 − 4)2 = (6)2 + (8)2 = 36 + 64 = 100 AB2 = (11 − 3)2 + (a − 4)2 BC2 = (11 − 9)2 + (a − 12)2 = (8)2 + a2 − 8a + 16 = (2)2 + a2 − 24a + 144 2 = a2 − 24a + 148 = a − 8a + 80 nðu, ∠B ftxftuý ntuðtÚte …tEÚtt„tuhË™t «{uÞ y™wËth,AB2 + BC2 = AC2 ∴ a2 − 8a + 80 + a2 − 24a + 148 = 100 ∴ 2a2 − 32a + 128 = 0 ∴ a2 − 16a + 64 = 0 Std –10 / Mathematics

= (4, −3) ™wk {æÞ®ƒŒw (4, −3) Au. yÚtðt ™tk rºt¼t„ ®ƒŒwytu P y™u Q ™t Þt{ y™w¢{u (4, 3) y™u (1, 1) Au. Äthtu fu A ™t Þt{ (x1, y1) y™u B ™t Þt{ (x2, y2) Au.

™wk {æÞ®ƒŒw Q (1, 1) Au.

= cosθ − sinθ

∴ cosθ − sinθ =

™wk {æÞ®ƒŒw =

P (4, 3) yu

cos θ + 2 cosθ sinθ + sin θ = 2 cos2θ 2 cosθ sinθ = 2 cos2θ − cos2θ − sin2θ 2 cosθ sinθ = cos2θ − sin2θ 2 cosθ sinθ = (cosθ − sinθ) (cosθ + sinθ) cosθ (

∴ −3 = 3 + y2 + y3 ∴ y2 + y3 = −6

yt{,

2

∴ 2 cosθ sinθ = (cosθ − sinθ) ×

−1 =

=

= = = = 13 Ëu{e fw÷ …]cV¤ = 2πrh + 2πrl = 2πr (h + l) = 2 × 3.14 × 5 × (17 + 13) = 31.4 (30) = 942 [tu Ëu{e ynª, cosθ + sinθ = cosθ 2 ∴ (cosθ + sinθ) = ( cosθ)2 (

y™u

∴3=

43.

∴1=

∴ x2 + 4 = 2 ∴ 3 + y2 = 2 ∴ y2 = −1 ∴ x2 = −2 ®ƒŒw B ™t Þt{ (x2, y2) = (−2, −1) yt{, A ™t Þt{ (7, 5) y™u B ™t Þt{ (−2, −1) Au. rð¼t„ − D Äthtu fu ƒu ykftu™e ËkÏÞt™t yuf{™tu ykf x y™u Œþf™tu ykf y Au. ∴ {q¤ ËkÏÞt = 10y + x ykftu™t MÚtt™ yŒ÷ƒŒ÷ fhðtÚte {¤‚e ™ðe ËkÏÞt = 10x + y …hk‚w {q¤ ËkÏÞt y™u ™ðe ËkÏÞt™tu Ëhðt¤tu 110 Au. ∴ (10y + x) + (10x + y) = 110 ∴ 11x + 11y = 110 ∴ x + y = 10 ........(1) nðu, ƒeS þh‚ «{týu ∴ 10y + x − 10 = 5 (x + y) + 4 ∴ 10y + x − 10 = 5x + 5y + 4 ∴ 10y − 5y + x − 5x = 4 + 10 ∴ 5y − 4x = 14 ∴ 4x − 5y = − 14 ........(2) Ë{efhý (1) ™u 5 ðzu „wýe Ë{efhý (2) ËtÚtu Ëhðt¤tu fh‚tk, 5x + 5y = 50 x + y = 10 {tk x = 4 {qf‚tk, 4x − 5y = − 14 4 + y = 10

5 ddfd

∴ y = 10 − 4

9x = 36 ∴x=4

∴x=

∴y=6

yt{, x = 4, y = 6 ∴ {q¤ ËkÏÞt = 10y + x = 10 (6) + 4 = 60 + 4 = 64 44. =

= 45.

×

×

=1 Y{fq÷h™e htufz ®f{‚ = Y. 2400 ¾heŒ‚e ð¾‚u [qfððt™e ®f{‚ = Y. 1200 ∴ [qfððt™e ƒtfe hnu‚e hf{ = 2400 − 1200 = Y. 1200 ƒtfe hf{ ºtý Ëh¾t {trËf n…‚t îtht [qfðtÞ Au. Äthtu fu Œhuf Ëh¾t {trËf n…‚t™e hf{ = Y. x ∴ ºtý Ëh¾t {trËf n…‚t{tk [qfðtÞu÷ hf{ = Y. 3x n…‚t™e he‚{tk ÔÞts™e hf{ = Y. (3x − 1200) ºtý n…‚t Œhr{Þt™ n…‚t™e ƒtfe hf{ : «Út{ {rn™u (2400 − 1200) = Y. 1200 ƒeò {rn™u (1200 − x) = Y. (1200 − x) ºteò {rn™u (1200 − x − x) = Y. (1200 − 2x)

47.

fw÷ hf{ = Y. (3600 − 3x) ynª, P = Y. (3600 − 3x), R = 12%, N =

∴

= 31.5 − 1.42

∴ = 30.08 ∗ xufhe™e Ÿ[tE (AC) = 100 {e ∗ Äthtu fu r{™tht™e Ÿ[tE (DE) = h {e y™u xufhe y™u r{™tht ðå[u™wk yk‚h (CD) = x {e ∴ BE = x {e ∗ m∠AEB = 30, m∠ADC = 45 ∆ACD {tk m∠C = 90 y™u ∆ABE {tk m∠B = 90

÷

×

= 31.5 −

47.

÷

×

∴

ð»to, I = Y. (3x − 1200)

nðu, I =

36 9

∴ tan 45o =

∴ tan 30o =

∴1=

∴

=

∴ x = 100

∴

=

(

x = 100)

∴ 0.58 × 100 = 100 − h ∴ 58 = 100 − h ∴ h = 100 − 58 ∴ h = 42 {e yt{, r{™tht™e Ÿ[tE = 42 {e. yÚtðt ∗ Äthtu fu xtðh™e Ÿ[tE (BC) = y æðsŒkz™e ÷kƒtE (AB) = h ∴ AC = h + y ∗ Äthtu fu xtðhÚte ®ƒŒw D ËwÄe™wk yk‚h (CD) = x ∗ m∠ADC = α, m∠BDC = β nðu, ∆BCD {tk m∠C = 90 y™u ∆ACD {tk m∠C = 90 ∴ tanβ =

∴ tanα =

∴ tanβ =

∴ tanα =

∴ 3x − 1200 = ∴x=

∴ 100 (3x − 1200) = 3600 − 3x ∴ 300x − 120000 = 3600 − 3x ∴ 300x + 3x = 120000 + 3600 ∴ 303x = 123600

46.

ð„o

ytð]r¥t fi

{æÞ®f{‚ xi

0−7 7 − 14 14 − 21 21 − 28 28 − 35 35 − 42 42 − 49 49 − 57 fw÷

26 31 35 42 82 71 54 19 n = 360

3.5 10.5 17.5 24.5 31.5 A 38.5 45.5 52.5 −

∴ ð„o÷kƒtE (C) = 7 nðu,

=A+ ∴

= ∴ y tanα = h tanβ + y tanβ ∴ y tanα − y tanβ = h tanβ ∴ y (tanα − tanβ) = h tanβ

Std –10 / Mathematics

di =

fidi −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 −

−104 −93 −70 −42 0 71 108 57 Σfidi = −73

∴y= yt{, xtðh™e Ÿ[tE 48.

…ût : ∆ABC {tk

{tkÚte

™u Ë{tk‚h hu¾t m, ËtæÞ : AC = 4 EK Ëtrƒ‚e : ∴

Au.

y™u

{æÞ„tytu Au y™u G {æÞfuLÿ Au. D ™u K {tk AuŒu Au.

ynª, ∆ADK {tk =

||

Au.

........(1)

…hk‚w G {æÞfuLÿ y™u {æÞ„t ntuðtÚte AG = 2 GD

×C

= 31.5 +

.......(2)

…rhýt{ (1) y™u (2) ™u Ëh¾tð‚tk,

∴ x = Y. 407.92 (ytþhu) yt{, n…‚t™e hf{ = Y. 407.92

∴x=

...(1) ∴ x =

×7

∴

=2

6 ddfd

∴

48.

=2

(…rhýt{ (1) …hÚte)

=

×h

∴ 100 × 25 = h

…hk‚w {æÞ„t ntuðtÚte E y™u ™wk {æÞ®ƒŒw Au. ∴ AC = 2 AE ∴ AC = 2 (2 EK) (…rhýt{ (2) …hÚte) ∴ AC = 4 EK yÚtðt

∴ h = 2500 Ëu{e ∴ h = 25 {exh yt{, ‚th™e ÷kƒtE = 25 {exh

{æÞ„t Au.

…ût : ∆PQR {tk ∠Q ftx¾qýtu Au. y™u ËtæÞ : PR2 = PM2 + 3RM2 {æÞ„t Au.

rð¼t„ − E 50. …tEÚtt„tuhË™wk «{uÞ : ftxftuý rºtftuý{tk fýo™e ÷kƒtE™tu ð„o ƒtfe™e ƒtswytu™e ÷kƒtEytu™t ð„tuo™t Ëhðt¤t ƒhtƒh ntuÞ Au. …tEÚtt„tuhË™wk «r‚«{uÞ : òu ∆ABC {tk BC2 = AB2 + AC2, ‚tu ∠ A ftxftuý Au. …ût : ∆ABC {tk BC2 = AB2 + AC2 ËtæÞ : ∠A ftxftuý Au.

™wk {æÞ®ƒŒw Au. ∴ M yu ∴ Q − M − R y™u QM = MR ÷tu. Ëtrƒ‚e : ftuE …ý ∴ QR = 2RM .......(1) ∆PQR {tk ∠Q ftxftuý Au. y™LÞ rfhý «tró „wýÄ{o y™wËth ™u ÷kƒ {¤u. ∴ …tEÚtt„tuhË™t «{uÞ «{týu, …h ON = AB ÚttÞ ‚uðkw ®ƒŒw N y™u …h AC = OM ®ƒŒw «tró „wýÄ{o y™wËth PR2 = PQ2 + QR2 ÚttÞ yuðkw ®ƒŒw M {¤u. = PQ2 + (2RM)2 ( …rhýt{ (1) …hÚte) nðu ∆MON {tk ∠O ftxftuý Au. = PQ2 + 4RM2 ∴ …tEÚtt„tuhË™t «{uÞ «{týu, = PQ2 + RM2 + 3RM2 MN2 = OM2 + ON2 = CA2 + AB2 ∴ PR2 = PQ2 + QM2 + 3RM2 .......(2) ( QM = RM) ∴ MN2 = BC2 (…ût) nðu, ∆PQM {tk m∠Q = 90 ∴ MN = BC nðu ∆CAB y™u ∆MON {tk ≅ , ≅ ∴ PM2 = PQ2 + QM2 ........(3) , ≅ …rhýt{ (2) y™u (3) …hÚte, ∴ Ëk„‚‚t ABC ↔ ONM yufY…‚t Au. (ƒtƒtƒt) PR2 = PM2 + 3RM2 ∴ ∠A ≅ ∠O. ytÚte m∠A = m∠O ÔÞtË = 14 Ëu{e ∴ r = 7 Ëu{e …hk‚w m∠O = 90 ynª, þkfw™e ð¢Ë…txe™wk ûtuºtV¤ = 550 [tuËu{e ∴ πrl = 550 ∴ m∠A = 90. ytÚte ∠A ftx¾qýtu Au. ∴

51. …ût : ÷½w ð‚wo¤™t fuLÿ O yt„¤ ∠AOB ytk‚hu Au ‚Útt ð‚wo¤™t ƒtfe™t ¼t„ yt„¤ ∠APB ytk‚hu Au. ËtæÞ : m∠AOB = 2m∠APB

× 7 × l = 550

∴l= ∴ l = 25 Ëu{e nðu, h2 = l2 − r2

49.

×

∴ AE = 2 EK .........(2)

Ëtrƒ‚e :∆PQR {tk

49.

∴ 600 ×

þkfw™wk ½™V¤ = πr2h

= (25)2 − (7)2

=

= 625 − 49 ∴ h2 = 576 ∴ h = 24 Ëu{e.

=1232 ½™Ëu{e

×

{ýft {txu

yÚtðt ‚th {txu

ÔÞtË = 1 Ëu{e

ÔÞtË = 0.4 Ëu{e

∴r=

Ëu{e

∴ R = 0.2 =

× 7 × 7 × 24

Ëu{e

{ýft™e ËkÏÞt = 600 ‚th™e ÷kƒtE (h) = (?) ynª, 600 {ýft …e„t¤e™u ‚th ƒ™tÔÞtu Au. ∴ 600 {ýft™wk ½™V¤ = ‚th™wk ½™V¤ ∴ 600 × πr3 = πR2h ∴ 600 ×

× r3 = R2h

Std –10 / Mathematics

Ëtrƒ‚e : …h ®ƒŒw C Au, su …h ™Úte. nðu ºtý rðfÕ… Au : (i) O yu ∠APB ™t ykŒh™t ¼t„{tk ntuÞ. (ii) O yu ∠APB ™t ƒnth™t ¼t„{tk ntuÞ. (iii) O yu ∠APB …h ntuÞ. nðu rðfÕ… (i) ‚Útt (ii) ƒk™u {txu rð[th fheyu. nðu, ∆OAP {txu ∠AOC ƒrn»ftuý Au. ∴ m∠AOC = m∠OPA + m∠OAP …hk‚w OA = OP ∴ m∠OPA = m∠OAP ∴ m∠AOC = 2m∠OPA ‚u s he‚u ∆OPB …hÚte m∠BOC = 2m∠OPB nðu rðfÕ… (i) (ytf]r‚ (1)) «{týu O yu ∠APB ™t ykŒh™t ¼t„{tk Au ‚Útt C …ý ∠AOB ™t ykŒh™t ¼t„{tk Au. ∴ m∠AOB = m∠AOC + m∠BOC (C yu ∠AOB ™t ykŒh™t ¼t„{tk Au.) = 2 m∠OPA + 2m∠OPB = 2 (m∠OPA + m∠OPB) = 2 m∠APB (O yu ∠APB ™t ykŒh™t ¼t„{tk Au.) ‚u s he‚u rðfÕ… (ii) (ytf]r‚ (2)) «{týu A yu ∠BOC ‚Útt ∠OPB ™t ykŒh™t ¼t„{tk Au. ∴ m∠BOC = m∠AOB + m∠AOC ∴ m∠AOB = m∠BOC − m∠AOC

7 ddfd

= 2m∠OPB − 2m∠OPA = 2(m∠ΟPB − m∠OPA) .......(1) nðu A yu ∠OPB ™t ykŒh™t ¼t„{tk Au. ∴ m∠OPA + m∠APB = m∠OPB ∴ m∠APB = m∠OPB − m∠OPA ∴ m∠AOB = 2m∠APB ((1) …hÚte) rðfÕ… (iii) (ytf]r‚ − 3) «{týu O yu ∠APB ™t yuf ¼qs …h Au. (∠APB …h Au.) m∠AOB = m∠OPA + m∠OAP = 2 m∠APB (OA = OP) yt{ ‚{t{ rðfÕ…{tk m∠AOB = 2m∠APB h[™t™t {wÆt :

∴x−

−2=0

∴ y2 − y − 2 = 0

(

∴ 2y2 − 7y − 4 = 0 ∴ (2y + 1) (y − 4) = 0 ∴ (2y + 1) = 0 yÚtðt ∴y=−

yÚtðt

= y yux÷u fu x = y2 Au. y > 0)

(y − 4) = 0 y=4

…hk‚w y > 0. ytÚte y = 4 ∴ x = y2 = (4)2 = 16 52. ∴ ntÚteytu™e fw÷ ËkÏÞt 16 nþu. ŒtuÞtuo. (1) 7 Ëu{e™e ÷kƒtE™tu 54. ynª, „w.Ët.y. (x − 3) Au. yux÷u fu (x − 3) ƒk™u ƒnw…Œe™tu yðÞð Au. ™t ÷kƒrî¼tsf™e {ŒŒÚte ‚u™wk (2) ∴ x − 3 ÷u‚tk ƒk™u ƒnw…Œe™wk {qÕÞ 0 {¤u. {æÞ®ƒŒw {u¤ðe, …h yÄoð‚wo¤ ŒtuÞwO. y™uq(x) = x3 − x (b − 4) + ∴ p(x) = x3 + ax2 + bx − 6 (3) Úte 3 Ëu{e Œqh || l hu¾t Œtuhe. a (4) hu¾t l yÄoð‚wo¤™u AuŒu íÞtk y™w¢{u P y™u P' ™t{ ytÃÞt. ∴ p(3) = (3)3 + a (3)2 + b (3) − 6 ∴ q(3) = (3)3 − 3 (b − 4) + a ∴ 0 = 27 + 9a + 3b − 6 ∴ 0 = 27 − 3b + 12 + a (5) ⊥ y™u ⊥ ∴ 0 = 9a + 3b + 21 ∴ 0 = a − 3b + 39 ‚u{s , , y™u ™e h[™t fhe. ∴ 0 = 3a + b + 7 ∴ a − 3b = −39 ........(2) ∴ ∆PQR y™u ∆P'QR {tk„u÷t rºtftuýtu Au. ∴ 3a + b = −7 ........(1) …rhýt{ (1) ™u 3 ðzu „wýe ‚u{tk …rhýt{ (2) W{uh‚tk, + = (x ≠ −1, −2, −4) 53. 9a + 3b = −21 nðu, 3a + b = −7 a − 3b = −39 ∴ 3 (−6) + b = −7 ∴ 10a = −60 ∴ −18 + b = −7 ∴ = ∴ a = −6 ∴ b = 11 yÚtðt ∴ = 54. p(x) = (x2 − 4x − 21) (x2 − 4x + a) = (x − 7) (x + 3) (x2 − 4x + a) ∴ (x + 4) (3x + 4) = 4 (x2 + 3x + 2) q(x) = (x2 − 5x + 6) (x2 − 4x + b) ∴ 3x2 + 16x + 16 = 4x2 + 12x + 8 = (x − 2) (x − 3) (x2 − 4x + b) 2 ∴ −x + 4x + 8 = 0 p(x) y™u q(x) ™tu „w.Ët.y. (x + 3) (x − 2) Au. ∴ x2 − 4x − 8 = 0 ∴ (x + 3) y™u (x − 2) yu p(x) y™u q(x) ™t yðÞð Au. p(x) = (x − 7) (x + 3) (x2 − 4x + a) ™tu yuf yðÞð (x − 2) Au. x2 − 4x − 8 = 0 ™u ax2 + bx + c = 0 ËtÚtu Ëh¾tð‚tk, ∴ p(2) = 0 a = 1, b = −4, c = −8 p(2) = (2 − 7) (2 + 3) [(2)2 − 4 (2) + a]= 0 rððu[f D = b2 − 4ac ∴ (−5) (5) (−4 + a) = 0 = (−4)2 − 4 (1) (−8) = 16 + 32 = 48 > 0 ∴ (−25) (a − 4) = 0 ∴a−4=0 ynª, D > 0 ntuðtÚte yt…u÷ rîÄt‚ Ë{efhý™u ƒu r¼Òt ðtM‚rðf ƒes {¤u. ∴ a = 4 .........(1) y™u β= α= q(x) = (x − 2) (x − 3) (x2 − 4x + b) ™tu yuf yðÞð (x + 3) Au. ∴ q(−3) = 0 = = q(−3) = (−3 − 2) (−3 − 3) [(−3)2 − 4 (−3) + b]= 0 ∴ (−5) (−6) (9 + 12 + b) = 0 = = ∴ (30) (21 + b) = 0 =2−2 = 2+2 ∴ 21 + b = 0 ∴ b = −21 ........(2) = 2 (1 − ) = 2 (1 + ) yt{, a = 4 y™u b = −21 yt{, yt…u÷ rî½t‚ Ë{efhý™tk ƒu ƒes 2 (1 − ) y™u 2 (1 + ) Au. yÚtðt 53. Äthtu fu ntÚteytu™e fw÷ ËkÏÞt x Au. ntÚteytu™e ËkÏÞt Ä™…qýtOf™t ð„o sux÷e Au. ytÚte x = y2 ÷E þftÞ, ßÞtk y ∈ N. ∴ rf™thu ytðe „Þu÷t ntÚteytu™e ËkÏÞt rf™thu ytððt™t ƒtfe Au. ∴x=

ÚttÞ y™u …týe{tkÚte ƒu ntÚte

+2

Std –10 / Mathematics

8 ddfd