Math_base
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Math_base as PDF for free.
More details
- Words: 9,190
- Pages: 32
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ .1االستقشاء (االستنتاج) انشٌاضً )(mathematical induction إْ وٍّخ inductionوٍّخ الر١ٕ١خ األطً ٚرؼٕ ٟاٌٛطٛي ِٓ اٌخبص إٌ ٝاٌؼبَ أ ٚاٌزؼّ٠ ُ١ىزغت ٘زا اٌّجذأ أّ٘١زٗ ِٓ إٌّـك اٌش٠بػٚ ٟثبٌزؾذ٠ذ ِٓ اٌؼجبسح اٌّشٛٙسح ( إرا وبْ Aفئْ ٚ ) Bإرا شئذ اٌذلخ أظش إٌ ٝاٌظف اٌضبٔ ِٓ ٟاٌغذٚي اٌزبٌٟ
1 0 1 1
B A→B 1 0 1 0
A 1 1 0 0
٘ٚزا ٠ؼٕ ٟأْ اٌظٛاة ال ٠ؤد ٞإٌ ٝخـأ أثذا ٌٕفشع أْ اٌؼجبسح ) ٟ٘ P(nاؽذ اٌؼاللبد اٌش٠بػ١خ اٌز ٟرخض اٌؼذد ِ nضال ٛ٘ n(n+3):ػذد صٚعٔٚ ٟؾزبط إٌ ٝإصجبد أْ )P(n ػجبسح طؾ١ؾخ ٌىً األػذاد اٌـج١ؼ١خ .عٛف ٔغزخذَ ٌإلصجبد أعٍٛثب س٠بػ١ب ِشٛٙسا ٠ـٍك ػ ٗ١االعزمشاء اٌش٠بػ٠ٚ ٟزٍخض ٘زا األعٍٛة ف ٟاالرٟ ٔ .1ضجذ طؾخ اٌؼاللخ ػٕذِب n=1 ٔ .2فزشع أْ اٌؼاللخ طؾ١ؾخ ٌىً األػذاد اٌـج١ؼ١خ nأ ٞإٔٔب ٔفزشع أْ ) P(nطؾ١ؾخ أل ٞػذد طؾ١ؼ n ٔ .3غزخذَ اٌؼجبسر ٓ١اٌغبثمزٌٕ ٓ١ضجذ طؾخ ). P(n+1
مثال 1 -1 اصجذ طؾخ اٌؼجبسح اٌزبٌ١خ )(1
1 + 3 + ⋯ + 2𝑛 − 1 = n2
اٌؾً .1ػٕذِب n=1فئْ 1=1اٌؼجبسح طؾ١ؾخ ٔ .2فشع طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ nأٔ ٞفشع طؾخ اٌؼجبسح اٌزبٌ١خ 1 + 3 + ⋯ + 2𝑛 − 1 = n : ٔ .3ضجذ طؾخ اٌؼاللخ ػٕذ اٌؼذد اٌز ٛ٘ٚ n ٍٟ٠ ٞاٌؼذد ()n+1 2
٘ٚىزا فبْ اٌؼجبسح ) (1طؾ١ؾخ دائّب
مثال 2 -1 اصجذ طؾخ اٌؼجبسح اٌزبٌ١خ 1 1 1 1 1 𝑛 + + + + ⋯+ = 1∙2 2∙3 3∙4 4∙5 𝑛(𝑛 + 1) 𝑛 + 1
= 𝑛𝑆
اٌؾً 1 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ 1 1 1 .1ػٕذِب n=1فئْ اٌؼجبسح طؾ١ؾخ ,الؽظ 𝑆1 = 1∗2 = 1+1 = 2 ٔ .2فشع طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ nأ ٞإٔٔب ٔغٍُ ثظؾخ اٌؼجبسح ٚعٕغزخذَ ٘زا اٌفشع ف ٟإصجبد طؾخ اٌؼجبسح ِٓ اعً n+1 .3ثّب أْ
1 1 1 1 1 𝑛 + + + +⋯+ = 1∙2 2∙3 3∙4 4∙5 𝑛(𝑛 + 1) 𝑛 + 1
= 𝑛𝑆
إرْ n 1 n n+2 +1 (n + 1)2 + = = n+1 n+1 n+2 n+1 n+2 n+1 n+2
𝑛+1 𝑛+2
=
1 n+1 n+2
𝑆n+1 = Sn +
=
ِثاي3-1 اصجذ طؾخ اٌؼجبسح اٌزبٌ١خ )𝑛(𝑛 + 1 2
= 𝑛 𝑆𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ +
اٌؾً ٚ .1اػؼ عذا طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ n=1رٌه أْ = 1
1∗ 1+1 2
=1
ٔ .2فزشع طؾخ اٌؼجبسح ٌىً لn ُ١ .3عٕغزخذَ اٌفشع األخ١ش ٌٕضجذ طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ وً لn ُ١
𝑛 𝑛+1 𝑛+2 = 2 2
1+
𝑛 𝑛+1 + 𝑛+1 = 𝑛+1 2
= 𝑆𝑛 +1 = 𝑆𝑛 + 𝑛 + 1
ٚاػؼ أٗ وبْ ثبإلِىبْ اٌؾظٛي ػٍ 𝑆𝑛 +1 ٝثبٌزؼ٠ٛغ ػٓ وً nثبٌمّ١خ n+1 ٘ٚزا ٠ذي ػٍ ٝطؾخ اٌؼجبسح
ِثاي4-1 n
إرا وبْ ٚ 𝑉𝑘 +1= 3𝑉𝑘 − 2𝑉𝑘−1وبْ 𝑉0 = 2, V1 = 3فبصجذ أْ Vn = 2 + 1
2 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ اٌؾً 𝑉0 = 2 = 20 + 1 = 1 + 1 = 2 , 𝑉1 = 21 + 1 = 3, 𝑉2 = 3𝑉1 − 2𝑉0 = 3 × 3 − 2 × 2 = 22 + 1 = 5 .1 .2 .3 =
𝑛 = 0,1,2
ِّب عجك ٔغزـ١غ أْ ٔمٛي اْ اٌؼجبسح طؾ١ؾخ ٌٍمُ١ عٕفشع طؾخ اٌؼجبسح ِٓ اعً وً ػذد ؿج١ؼn ٟ عٕضجذ طؾخ اٌؼجبسح ِٓ اعً n+1 = 3𝑉𝑛 − 2𝑉𝑛 −1 = 3 2𝑛 + 1 − 2 2𝑛−1 + 1 3 × 2𝑛 + 3 − 2𝑛 − 2 = 2 × 2 𝑛 + 1
𝑉𝑛 +1
ِثاي5-1 اصجذ طؾخ اٌؼجبسح ا٢ر١خ 𝑆𝑘 = 1 ∙ 1! + 2 ∙ 2! +∙∙∙ +k ∙ k! = k + 1 ! − 1 اٌؾً 𝑆1 = 1 ∙ 1 = 2! − 1, S2 = 1 ∙ 1! + 2 ∙ 2! = 5 = 3! − 1 𝑆3 1 ∙ 1! + 2 ∙ 2! + 3 ∙ 3! = 23 = 4! − 1 ِّ )1ب عتق اٌؼجبسح طؾ١ؾخ ٌٍم1,2,3 ُ١ ٔ )2فشع طؾخ اٌؼجبسح ِٓ اعً k )3عٕضجذ طؾزٙب ِٓ اعً k+1الؽظ أْ ! = 𝑆𝑘 + 𝑘 + 1 𝑘 + 1 ! = 𝑘 + 1 ! − 1 + 𝑘 + 1 𝑘 + 1
𝑆𝑘 +1
ِثاي 6-1 أصجذ أْ ِغّٛع ِىؼجبد أ 3 ٞأػذاد ؿج١ؼ١خ ِززبٌ١خ ٠مجً اٌمغّخ ػٍ9 ٝ اٌؾً عٕؼغ ط١غخ س٠بػ١خ ٌٍؼجبسح اٌغبثمخ ٟ٘ٚ
ٌ )1ألػذاد اٌـج١ؼ١خ األ ٌٝٚاٌؼاللخ طؾ١ؾخ ,أٔظش 13 + 23 + 33 = 36 ٔ )2فشع طؾخ اٌؼجبسح ِٓ اعً ٚ kعٕغزخذَ ٘زٖ اٌؼجبسح ثشىً أعبع ٟف ٟثشٕ٘خ اٌجٕذ اٌمبدَ )3عٕجش٘ٓ طؾخ اٌؼجبسح ِٓ اعً ٘ٚ k+1زا ٠ؼٕ ٟإٔٔب عٕؼٛع ػٓ ِٓ kاٌؼجبسح اٌغبثمخ ة) (k+1أٔظش + k+3
3
+ k+2
3
𝑘+1
+ 𝑘 3 + 9𝑘 2 + 9𝑘 + 27 = 9𝑛 + 9𝑘 2 + 9𝑘 + 27
3
+ 𝑘+2
3
𝑘+1
=
3
= 9 𝑛 + 𝑘2 + 𝑘 + 3 3 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ ِثاي 7-1 إرا وبْ An = 11n+2 + 122n+1 فبصجذ أْ ٠ 𝐴nمجً اٌمغّخ ػٍ133 ٝ اٌؾً )1ػٕذِب n=0فبْ ٘ٚ 𝐴0= 110+2 + 120+1 = 133زا ٠مجً اٌمغّخ ػٍ133 ٝ ٔ )2فشع طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ nأ ٞأٔٗ ّ٠ىٓ وزبثخ اٌؼذد 𝐴nوّب :ٍٟ٠ 𝑘𝐴𝑛 = 133 )3عٕضجذ طؾخ اٌؼجبسح ٌٍمّ١خ n+1
𝟏= 𝟏𝟏𝐧+𝟑 + 𝟏𝟐𝟐𝐧+𝟑 = 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝐧+𝟐 + 𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟐𝟐𝐧+
𝟏𝐧+𝟏 +
𝟐𝟐𝟏 𝐀 𝐧+𝟏 = 𝟏𝟏𝐧+𝟏+𝟐 +
𝟏= 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝐧+𝟐 + 𝟏𝟒𝟒 ∙ 𝟏𝟐𝟐𝐧+𝟏 = 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝐧+𝟐 + 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟐𝟐𝐧+𝟏 + 𝟏𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟐𝟐𝐧+ = 11 11n+2 + 122n+1 + 133 ∙ 122n+1 = 11 ∙ An + 133 ∙ 122n+1 = 11 ∙ 133k + 133 ∙ 122n+1 = 133 11k + 122n+1
ِثاي8-1 أصجذ طؾخ اٌؼجبسح اٌزبٌ١خ 𝛼 𝑠𝑖𝑛2𝑛+1 𝛼𝑛𝑖𝑠 2𝑛+1
= 𝛼 𝑛𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠4𝛼 ∙∙∙∙∙ 𝑐𝑜𝑠2
اٌؾً 𝛼𝑠𝑖𝑛 2
)1ػٕذِب n=0فبْ 𝛼𝑛𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 2فئْ اٌؼجبسح طؾ١ؾخ ٔ )2فزشع طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ n )3عٕضجذ طؾخ اٌؼاللخ وبٌزبٌٟ 𝛼 𝑠𝑖𝑛2𝑛 +1 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑛+1 =𝛼 𝛼𝑛𝑖𝑠 2𝑛+1
𝑛+1
𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠4𝛼 ∙∙∙∙∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑛 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 2𝑠𝑖𝑛2𝑛 +1 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑛+1 𝛼 𝑠𝑖𝑛2𝑛 +2 = 𝑛 +2 𝛼𝑛𝑖𝑠 2 ∙ 2𝑛+1 𝛼𝑛𝑖𝑠 2
=
ِثاي9-1 اصجذ طؾخ اٌؼجبسح ا٢ر١خ إرا وبْ 𝐴𝑘 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝐴𝑘−1 − 𝐴𝑘 −2
𝐴2 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥,
ِ𝐴1 = 𝑐𝑜𝑠𝑥,
4 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ فأصجذ أْ 𝑥𝑛𝑠𝑜𝑐 = 𝑛𝐴
اٌؾً )1ػٕذِب n=1,2فئْ اٌؼاللخ رزؾمك ِجبششح الْ ٘زٖ اٌمِ ُ١ؼـبح )2عٕفشع اٌؼاللخ ػٕذ ٘ٚ nزا ٠ؼٕ ٟأْ 𝑥 𝐴𝑛 = 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 , 𝐴𝑛−1 = 𝑐𝑜𝑠 𝑛 − 1 )3عزضجذ طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ ٚ n+1رٌه ثبعزخذاَ اٌؼجبسر ٓ١اٌغبثمزٓ١ ٌٚىٓ لجً وً رٌه ٔؾذد ِب اٌزٔ ٞش٠ذ اٌؾظٛي ػٍ ,ٗ١إٕٔب ٔش٠ذ اٌؾظٛي ػٍ ٝاٌؼاللخ 𝑥 𝐴𝑛+1 = 𝑐𝑜𝑠 𝑛 + 1 أٔظش 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑛 − 1 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑛 + 1 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑛 − 1 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑛 − 1 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑛 + 1
𝐴𝑛 +1
ٛ٘ٚاٌّـٍٛة إصجبرٗ ؿجؼب ال ؽظ أْ 𝛽 cos 𝛼 + 𝛽 + cos 𝛼 − 𝛽 = 2 cos 𝛼 cos 𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 −
ِثاي10 -1 أصجذ طؾخ اٌؼجبسح اٌزبٌ١خ 𝑛+1 𝑥𝑛 𝑛𝑖𝑠 𝑥 2 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 2
𝑛𝑖𝑠
= 𝑥𝑛𝑛𝑖𝑠𝑆𝑛 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥 +∙∙∙ +
اٌؾً )1ػٕذِب n=1فئْ 1+1 𝑥𝑛𝑖𝑠 = 𝑥 ∙ 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 1 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 2
𝑛𝑖𝑠
= 𝑥𝑛𝑖𝑠
5 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ )2عٛف ٔفشع طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ nأ ٞإٔٔب عٕؼزجش أْ 𝑛+1 𝑥𝑛 𝑛𝑖𝑠 𝑥 2 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 2
𝑛𝑖𝑠
= 𝑥𝑛𝑛𝑖𝑠𝑆𝑛 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥 +∙∙∙ +
أِش طؾ١ؼ ٚعٕم َٛثئعزخذاِٗ ف ٟخـٛارٕب اٌالؽمخ )3عٕم َٛثئصجبد اٌؼجبسح ِٓ أعً n+1وبٌزبٌٟ الؽظ أْ 𝛽 2𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽 = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛽 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼 −
عٛف ٔغزخذَ اٌؼاللخ اٌغبثمخ ف ٟاٌجش٘بْ وبٌزبٌٟ 𝑛+1 = 𝑥 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝑛 + 1 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 2
𝑛𝑖𝑠
= 𝑥 𝑆n+1= Sn + 𝑠𝑖𝑛 𝑛 + 1
𝑛+1 = 𝑥 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛 𝑛 + 1 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 + 1 𝑥 2 2 2 𝑠𝑖𝑛 2
𝑛𝑖𝑠
=
=
𝑥𝑛 𝑛+1 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 + 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 2 𝑛+1 𝑛𝑖𝑠 = 𝑥 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 2
=
𝑥𝑛 𝑛+2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 + 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 2 𝑛+1 𝑛𝑖𝑠 = 𝑥 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑛+2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑛+1 𝑛𝑖𝑠 = 𝑥 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 2
6 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ .2انمعامالث انخاصت بمفكوك ري انحذٌن binomial coefficient تعشٌف1 𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ 2 ∙ 1 إْ ٘زٖ اٌؼاللخ رمبثً ػذد اٌـشق اٌزٔ ٟؼغ ثٙب 𝑛 ِٓ االش١بء اٌّخزٍفخ ف ِٓ 𝑛 ٟاألِبوٓ ِغ اخز اٌزشر١ت ثؼ ٓ١االػزجبس تعشٌف2 )𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ (𝑛 − 𝑘 + 1 𝑛 = 𝑘 𝑘 𝑘 − 1 (𝑘 − 2) ∙∙∙ 2 ∙ 1 ٚرمشأ رٛاف١ك n ِٓ k إْ ٘زٖ اٌؼاللخ رمبثً ػذد اٌـشق اٌزٔ ٟؼغ ثٙب 𝑘 ِٓ االش١بء اٌّخزٍفخ ف ِٓ 𝑛 ٟاألِبوٓ ِغ عذم اخذ التزتيب بعين االعتبار انعالقت ( 1انعالقت األساسٍت) !𝑛 𝑛 = 𝑘 ! 𝑘 𝑘! 𝑛 − اٌجش٘بْ )𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ (𝑛 − 𝑘 + 1 𝑛 = 𝑘 𝑘 𝑘 − 1 (𝑘 − 2) ∙∙∙ 2 ∙ 1 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ (𝑛 − 𝑘 + 1) 𝑛 − 𝑘 (𝑛 − 𝑘 − 1) ∙∙∙ 2 ∙ 1 = ∙ 𝑘 𝑘 − 1 (𝑘 − 2) ∙∙∙ 2 ∙ 1 𝑛 − 𝑘 (𝑛 − 𝑘 − 1) ∙∙∙ 2 ∙ 1 ال ؽظ أْ !𝑛 = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ 𝑛 − 𝑘 + 1 𝑛 − 𝑘 𝑛 − 𝑘 − 1 ∙∙∙ 2 ∙ 1 ! 𝑘 𝑛 − 𝑘 𝑛 − 𝑘 − 1 ∙∙∙ 2 ∙ 1 = 𝑛 −
𝑘 𝑘 − 1 𝑘 − 2 ∙∙∙ 2 ∙ 1 = 𝑘! ,
∴ فئْ اٌؼاللخ عزظجؼ ػٍ ٝاٌظٛسح اٌزبٌ١خ
𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ (𝑛 − 𝑘 + 1) 𝑛 − 𝑘 (𝑛 − 𝑘 − 1) ∙∙∙ 2 ∙ 1 !𝑛 ∙ = 𝑘 𝑘 − 1 (𝑘 − 2) ∙∙∙ 2 ∙ 1 ! 𝑘 𝑛 − 𝑘 (𝑛 − 𝑘 − 1) ∙∙∙ 2 ∙ 1 𝑘! 𝑛 −
انعالقت ( 2عالقت انتناظش )
𝑛 𝑛 = 𝑘 𝑘𝑛−
7 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ اإلصجبد ػغ ثذي وً kاٌؼجبسح ٚ n-kعزالؽظ أْ اٌـشف األ٠ ٌٓ ّٓ٠زغ١ش ٚرٌه ثبٌشىً اٌزبٌٟ !𝑛 !𝑛 !𝑛 !𝑛 𝑛 = = = = 𝑘𝑛− ! 𝑘𝑛−𝑘 ! 𝑛−𝑛+ ! 𝑘 𝑛 − 𝑘 ! 𝑘 ! 𝑘! 𝑛 − ! 𝑘𝑛−𝑘 ! 𝑛− 𝑛− 𝑛 = 𝑘
انعالقت ( 3عالقت اإلدخال-اإلخشاج ) 𝑛 𝑛−1 𝑛 = 𝑘 𝑘 𝑘−1 اإلصجبد !𝑛 ! 𝑛 𝑛−1 𝑛 ! 𝑛−1 𝑛 𝑛−1 𝑛 = = ∙ = = 𝑘 𝑘! 𝑛 − 𝑘 ! 𝑘 𝑘 − 1 ! 𝑛 − 𝑘 ! 𝑘 𝑘 − 1 ! 𝑛 − 𝑘 ! 𝑘 𝑘 − 1
ٔغزـ١غ ِٓ ٘زٖ اٌؼاللخ أْ ٔغزٕزظ ثغٌٛٙخ اٌؼاللبد اٌزبٌ١خ 𝑛 1 1 𝑛−1 = 𝑘 𝑛 𝑘 𝑘−1
𝑛 𝑛−1 𝑛= , 𝑘 𝑘−1
𝑘
انعالقت 4 𝑛 𝑛 𝑛−1 = 𝑘 𝑘 𝑘𝑛− اإلصجبد 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 = = = 𝑘 𝑘𝑛− 𝑘 𝑛−𝑘 𝑛−𝑘−1 𝑘𝑛− ٘ ِٓٚزٖ اٌؼجبسح ٔغزـ١غ اْ ٔؾظً ػٍ ٝإٌزبئظ اٌزبٌ١خ: 𝑛 𝑛−1 𝑛= 𝑘 𝑘 انعالقت 5
𝑘𝑛−
𝑛 𝑛−1 𝑛−1 = + 𝑘 𝑘 𝑘−1
اإلصجبد
8 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ ِٓ اٌؼاللخ ٌ 4ذٕ٠ب
)(1
𝑛 𝑛−1 𝑛= 𝑘 𝑘
𝑘𝑛−
ِٓ اٌؼاللخ ٌ 3ذٕ٠ب )(2
𝑛 𝑛−1 𝑛= 𝑘 𝑘−1
𝑘
ثغّغ ( )2( ٚ )1عٕؾظً ػٍ ٝاٌؼجبسح اٌزبٌ١خ 𝑛−1 𝑛−1 + 𝑘 𝑘−1
𝑛 𝑛 𝑛 𝑘 + 𝑛= 𝑛= 𝑘 𝑘 𝑘
𝑘𝑛−
ٚثمغّخ اٌـشف ٓ١ػٍٔ n ٝؾظً فٛسا ػٍ ٝاٌؼاللخ اٌّشاد إصجبرٙب 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 = + 𝑘 𝑘 𝑘−1 حاالث خاصت نهتعامم مع انتوافٍق او مع معامالث مفكوك ري انحذٌن 𝑛 )1إرا وبْ 𝑘 < 𝑛 فئْ= 0 𝑘 𝑛 = 1 )2 0 𝑛 = 1 )3 𝑛 𝑛 = 𝑛 )4 1 عٕغزخذَ اٌؼاللخ ٌٕ 5م َٛثئصجبد ػاللز ٓ١أخش ٓ١٠األ ٌٟٚوبٌزبٌ:ٟ 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 𝑛−1 𝑛−2 𝑛−2 = + = + + 𝑘 𝑘−1 𝑘 𝑘−1 𝑘−1 𝑘 𝑛−1 𝑛−2 𝑛−3 𝑛−3 = + + + ∙∙∙= 𝑘−1 𝑘−1 𝑘−1 𝑘 ٚاٌضبٔ١خ ٟ٘ 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 𝑛−1 𝑛−2 𝑛−2 𝑛−1 𝑛−2 𝑛−3 = + = + + = + + + 𝑘 𝑘 𝑘−1 𝑘 𝑘−1 𝑘−2 𝑘 𝑘−1 𝑘−2 𝑛−3 ∙∙∙= 𝑘−3 ثئِىبٕٔب رؼّ ُ١اٌؼاللز ٓ١اٌغبثمز ٓ١وبٌزبٌٟ انعالقت 6 𝑖𝑟+ 𝑟+𝑛+1 = 𝑖 𝑛
𝑛
𝑖=0
9 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ اإلصجبد عٕغزخذَ االعزٕزبط اٌش٠بػ ٟاٌؼاللخ ٚ 6رٌه وبٌزبٌٟ )1ػٕذِب n=1فبْ 𝑖𝑟+ 𝑟+0 𝑟+1 𝑟+2 = + = =1+𝑟+1 𝑖 0 1 1
1
𝑖=0
ٔ )2فشع طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ n )3عٕضجذ طؾزٙب ػٕذ ٚ n+1لجً رٌه الثذ أْ ٔجِ ٓ١ب اٌزٔ ٞش٠ذ اٌؾظٛي ػٍٛ٘ٚ ٗ١ 𝑖𝑟+ 𝑟+𝑛+2 = 𝑖 𝑛+1
n+1
𝑖=0
الؽظ اْ 𝑖𝑟+ 𝑟+𝑛+1 𝑟+𝑛+1 𝑟+𝑛+1 + = + 𝑖 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 𝑟+𝑛+2 𝑛+1
𝑛
𝑖=0
𝑖𝑟+ = 𝑖
n+1
𝑖=0
=
ٚرٌه ؽغت اٌؼاللخ 5 انعالقت 7 أصجذ طؾخ اٌؼجبسح اٌزبٌ١خ 𝑖 𝑛+1 = 𝑟 𝑟+1
𝑛
𝑖=0
اٌجش٘بْ الؽظ ا٢رٟ 𝑖𝑟+ 𝑟 𝑖 ٚرٌه الْ =0 𝑟
𝑟𝑛−
𝑖=0
𝑖 = 𝑟
𝑛
𝑖=0
ػٕذ وً ل i ُ١اٌز ٟرؾمك اٌؼاللخ i
𝑟𝑛 −
𝑖=0
𝑖𝑟+ = 𝑟
𝑟𝑛−
𝑖=0
𝑖 = 𝑟
𝑛
𝑖=0
تطبٍق جمٍم نهعالقت 7 ٌٚ ٛػؼذ r=1ف ٟاٌؼاللخ 7فبْ األِش ٠ظجؼ وبٌزبٌٟ 𝑛 𝑛+1 𝑛 𝑖 0 1 2 𝑛+1 𝑛+1 = + + +∙∙∙ + = 𝑛= 0 + 1 + 2 +∙∙∙ + = = 1 𝑟 𝑟+1 1 1 1 2 2
𝑛
𝑖=0
10 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ ٘ٚزٖ ِب ٘ ٟإال اٌظ١غخ اٌّغزخذِخ ٌؾغبة ِغّٛع األػذاد ِٓ 1إٌn ٝ أظش و١ف عٕغزف١ذ ِٓ ٔفظ اٌؼاللخ ٌؾغبة ِغّٛع ِشثؼبد األػذاد ِٓ 1إٌn ٝ 𝑛 𝑛+1 𝑘 =2 + 2 1 3
𝑛
𝑘 =0
𝑘 + 2
𝑛
=2 𝑘=0
𝑛
𝑘 𝑘 2 + 2 1
= 𝑘2 𝑘 =0
𝑛+1 𝑛 𝑛−1 𝑛 𝑛+1 =2 + 6 2
انعالقت 8 أصجذ طؾخ اٌؼجبسح ا٢ر١خ 𝑛 𝑖 = 𝑚 𝑚
𝑚𝑛− 𝑖𝑛−
𝑛 𝑖
اٌؾً 𝑚𝑛− 𝑖𝑛−
!𝑛 !𝑖 !𝑛 ! 𝑚𝑛− 𝑛 𝑖 = ∙ = ∙ = 𝑚 𝑚 ! 𝑚 𝑖! 𝑛 − 𝑖 ! 𝑚! 𝑖 − 𝑚 ! 𝑚! 𝑛 − 𝑚 ! 𝑛 − 𝑖 ! 𝑖 −
𝑛 𝑖
انعالقت 9مفكوك ري انحذٌن ()Binomial theorem أصجذ طؾخ اٌؼجبسح ا٢ر١خ 𝑟 𝑟𝑛 𝑛− 𝑦 𝑥 𝑟
𝑛 𝑘 =0
= 𝑛)𝑦 (𝑥 +
اٌؾً عٛف ٔغزخذَ االعزمشاء اٌش٠بػٟ )1ػٕذِب n=1فئْ 1 0 1−0 1 1 1−1 𝑦 𝑥 + 𝑦 𝑥 = 0 1 𝑦= 1∙1∙𝑦+1∙𝑥∙1= 𝑦+𝑥 = 𝑥+ ٔ )2فشع طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ ٚ nعٕؾبٚي اعزخذاَ ٔزبئظ اٌفشع ف ٟاٌخـٛح اٌمبدِخ )3عٕضجذ طؾخ اٌؼاللخ ِٓ اعً ٚ n+1رٌه وبٌزبٌٟ
= 𝑦𝑥+
𝑟 𝑟𝑛 𝑛− 𝑦 𝑥 𝑟 𝑛 𝑛−𝑟 𝑟+1 𝑦 𝑥 = 𝑟
𝑛
𝑟=0
𝑟 𝑛 𝑛−𝑟+1 𝑥 𝑦 + 𝑟
𝑛
𝑦= 𝑥+ 𝑘 =0 𝑛
𝑟=0
n
𝑟 𝑟𝑛 𝑛− = 𝑦 𝑥 𝑟
𝑛 𝑛−𝑟 𝑟+1 𝑦 𝑥 = 𝑟
𝑛−1
𝑟=0
𝑦= 𝑥+𝑦 𝑥+ 𝑛
𝑟=0
n+1
𝑟 𝑟𝑛 𝑛− 𝑦𝑥 𝑦 + 𝑟
𝑟 𝑛 𝑛−𝑟+1 𝑥 𝑦 + 𝑦 𝑛+1 + 𝑟
𝑛
𝑦𝑥+ 𝑛
𝑥= 𝑟=0
𝑥 𝑛+1 + 𝑟=1
11 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ 𝑛 𝑟 𝑦 𝑥 𝑛−𝑟+1 𝑟−1
𝑛
𝑟=1
𝑛
𝑟 𝑛 𝑛−𝑟+1 𝑥 𝑦 + 𝑟
𝑥 𝑛+1 + 𝑦 𝑛+1 + 𝑟=1
ؿجؼب ٔغزـ١غ أْ ٔالؽظ 𝑛 + 1 𝑛+1 = 𝑦 0
𝑛 + 1 𝑛+1 = 𝑥 , 0
𝑦 𝑛 +1
𝑥 𝑛+1
ٚعٕىًّ اٌجش٘بْ ثبٌشىً اٌزبٌٟ 𝑛 = 𝑟 𝑦 𝑥 𝑛−𝑟+1 𝑟−1
𝑛
𝑟=1
= 𝑟 𝑦 𝑥 𝑛−𝑟+1 𝑟 𝑟𝑛 + 1 𝑛+1− 𝑥 𝑦 𝑟
𝑛+1
𝑟=0
𝑛
𝑟 𝑛 𝑛−𝑟+1 𝑥 𝑦 + 𝑟
+
𝑛+1
𝑛+1
𝑦+
𝑥
𝑟=1 𝑛
𝑛 𝑛 + 𝑟 𝑟−1
= 𝑥 𝑛+1 + 𝑦 𝑛 +1 + 𝑟=1 𝑛
𝑟 𝑟𝑛 + 1 𝑛+1− 𝑥 = 𝑦 𝑟
+
𝑛 +1
𝑦+
𝑛+1
𝑥=
𝑟=1
رؼزجش اٌؼاللخ 9أُ٘ ػاللخ ف ٟؽغبة ِؼبِالد ِفىٛن ر ٞاٌؾذٓ٠ ٌٚذٙ٠ب اٌؼذ٠ذ ِٓ إٌزبئظ نتٍجت 1 𝑛 𝑛= 2 𝑖
𝑛
𝑖=0
اٌجش٘بْ )(3
𝑖 𝑛 𝑥 𝑖
𝑛 𝑖=0
𝑖 𝑖𝑛 𝑛 − = 𝑥 1 𝑖
𝑛 𝑖=0
=
𝑛
𝑥1+
عٕؼغ x=1ف ٟؿشف ٟاٌّؼبدٌخ 𝑛 𝑖
𝑛
𝑖=0
𝑖 𝑛 = 1 𝑖
𝑛 𝑛
= =2
𝑛
1+1
𝑖=0
نتٍجت 2 =0
𝑖
−1
𝑛 𝑖
𝑛
𝑖=0
اٌثشهاْ تىضع x=-1فً طشفً اٌّعادٌح ()3
12 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ =0
𝑖
𝑛 𝑖
−1
𝑛
=
𝑛
1−1
𝑖=0
نتٍجت 3
𝑛 = 𝑛2𝑛−1 𝑖
𝑛
𝑖 𝑖=0
اٌثشهاْ
𝑛
𝑖 𝑛 𝑥 𝑖
𝑛
= )𝑥 (1 + 𝑖=0
تاشتماق اٌطشفٍٓ ثُ وضع ٔ x=1حصً عٍى اٌعاللح اٌّطٍىتح أظش 𝑥 𝑖−1
𝑛 𝑛 𝑖 𝑖 𝑖=0
=
𝑛−1
𝑥=𝑛 1+
𝑛 ′
𝑥1+
صُ ٚػغ x=1 𝑛 𝑖−1 1 = 𝑛2𝑛−1 𝑖
𝑛
=
𝑖
𝑛−1
𝑛 1+1
𝑖=0
نتٍجت 4
𝑚 𝑟
𝑛 𝑛𝑚+ = 𝑟𝑘− 𝑘
𝑘
𝑟=0
اٌجش٘بْ n+m
𝑥= 1+
n
𝑥1+
m
𝑥1+
ٔغزـ١غ االعزٕزبط أْ ِؼبًِ اٌؾذ ر ٚاٌمٛح kف٠ ٟغبِ ٛ٘ ٞٚغّٛع ِؼبِالد اٌؾذٚد ر ٞٚاألط kإٌبرغخ ِٓ ػشة اٌمٛعٓ١
13 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ 𝑟 𝑚 𝑛 𝑘 𝑛𝑚+ 𝑥 = 𝑟𝑥 𝑘− 𝑥 𝑟 𝑟𝑘− 𝑘
𝑘
𝑟=0
ثٛػغ ٔ x=1ؾظً ػٍ ٝاٌؼاللخ اٌّـٍٛثخ نتٍجت 5
𝑛2 𝑛
=
2
𝑛 𝑘
𝑘
𝑟=0
اٌجش٘بْ ثٛػغ 𝑘=𝑚=𝑛 ف ٟإٌز١غخ ٚ 4عٕؾظً ػٍ ٝاٌّـٍٛة
نتٍجت 6 1 1 𝑛 = 𝑘 𝑘+1 𝑛+1
𝑛 𝑘
−1 𝑘=0
اٌثشهاْ ِٓ اٌّعٍىَ أْ 𝑘 𝑛 𝑥 𝑘
𝑛
=
𝑛
𝑥+1
𝑘=0
تّىاٍِح طشفً اٌعاللح ِٓ 1-اٌى اٌصفش ٔحصً عٍى اٌتاًٌ → 𝑥 𝑘 dx 0
𝑛 𝑘
𝑛 𝑘=0 𝑛
1 𝑛 𝑘+1 𝑥 𝑘 k+1
→ −1
0 −1
= dx
𝑛
𝑥+1
0 −1
=
𝑛+1 0 −1
1 𝑥+1 𝑛+1
𝑘 =0 𝑛
1 = 𝑛+1
1 𝑘 𝑛 𝑥 𝑘 k+1 𝑘 =0
14 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ نتٍجت 7
انعالقت ( 10عالقت انتخهص من اإلشاسة انسانبت)
𝑛− 𝑛+𝑘−1 𝑛+𝑘−1 = (−1)k = (−1)k 𝑘 𝑘 𝑛−1 اإلثثاخ فً اٌحمٍمح ِٓ اٌتعشٌف1
)𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ (𝑛 − 𝑘 + 1 𝑛 = 𝑘 𝑘 𝑘 − 1 (𝑘 − 2) ∙∙∙ 2 ∙ 1 سٕضع –nتذال ِٓ nفً اٌعاللح ؤأخز ( ِٓ )-1وً لىس فً اٌثسط )(−𝑛) −𝑛 − 1 −𝑛 − 2 ∙∙∙ (−𝑛 − 𝑘 + 1 𝑛− = = 𝑘 𝑘 𝑘 − 1 (𝑘 − 2) ∙∙∙ 2 ∙ 1 )−1 𝑛 −1 𝑛 + 1 −1 𝑛 + 2 … −1 (𝑛 + 𝑘 − 1 !𝑘
=
تعذ ِالحظح أْ عذد األلىاس اٌتً أخزٔا ِٕها ) (−1وعاًِ ِشتشن ٌساوي kو ضشب اٌثسط واٌّماَ فً اٌّمذاس ! 𝑛 − 1 فإْ اٌعاللح تتخز اٌشىً اٌتاًٌ 𝑛 + 𝑘 − 1 𝑛 − 𝑘 𝑛 − 𝑘 − 1 ….𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 …2 ∙ 1 ! 𝑘! 𝑛 − 1
𝑘)= (−1
! 𝑛+𝑘−1 𝑛+𝑘−1 𝑛+𝑘−1 𝑘)= (−1 𝑘)= (−1 𝑘 𝑛−1 ! 𝑘! 𝑛 − 1
𝑘)= (−1
نتٍجت ( 8عالقت انقهب )
𝑛 𝑘−𝑛−1 = (−1)k 𝑘 𝑘
اٌثشهاْ فً اٌحمٍمح إْ وضع –nتذال ِٓ nفً اٌعاللح ٌ 10عطٍٕا إٌتٍجح ِ 8ثاششج
15 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ نتٍجت ( 9عالقت انجزوس) 1 1 − 2 … 2 = 2−𝑘+1 !𝑘 1 ∙ 3 ∙ 5 … 2𝑘 − 1 = !𝑘
𝑘
∙
1 1 1 −1 2 =2 2 𝑘
1 ∙ (−1) −3 −5 … −2𝑘 + 1 −1 = !𝑘 2 )− 1
𝑘 𝑖𝑖=1(2
!𝑘
𝑘
𝑘
∙
1 2
−1 = 2
.3دوال انتونٍذ Generating Functions ٌٕفشع أْ ٌذٕ٠ب ِزغٍغٍخ األػذاد 𝑛𝑎 𝑠𝑛 = 𝑎0 , 𝑎1 , … . , تعشٌف 3 ٔمٛي ػٓ اٌذاٌخ 𝑥 اٌذاٌخ . 𝑖
𝑛 𝑖𝑎 𝑖=0
= 𝑥 𝑓 أٔٙب داٌخ ر١ٌٛذ ٌٍّزغٍغٍخ 𝑛𝑠 إرا وبْ ثئِىبٕٔب ؽغبة اٌؾذ 𝑖𝑎 ثٛاعـخ ِؼشفخ عٍٛن ٘زٖ
الؽظ أْ 𝑖𝑎 ِ٘ ٛؼبًِ اٌؾذ اٌز٠ ٞؾز ٞٛػٍ 𝑥 𝑖 ٝاٌز ٞعٕـٍك ػٍ ٗ١دليل الحذ وفً ِعشض حذٌثٕا عٓ دواي اٌتىٌٍذ ٔشٍش إٌى إٔٔا ٔتٕاوي تاٌذساسح دواي اٌتىٌٍذ االعتٍادٌح ( Ordinary Generating ِ)Functionsا ٌُ ٔمً غٍش رٌه مثال 1 -3 ٌٕفشع أْ ٌذٕ٠ب اٌّزٛاٌ١خ إٌٙذع١خ اٌز ٟؽذ٘ب األٚي ٚ 1أعبعٙب , xإْ ِغّٛع ٘زٖ اٌّزٛاٌ١خ إٌٙذع١خ ٠ؼـ ٝثبٌؼاللخ 1 − 𝑥 𝑛+1 𝑥1−
= 𝑛𝑥 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ +
وإرا واْ 𝑥 > 1فإْ 1 − 𝑥 𝑛+1 1 = 𝑥 𝑛 →∞ 1 − 𝑥1− lim
وهىزا فإٕٔا ٔستطٍع أْ ٔمىي أْ )(A
1
𝑥𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 = 1−
الحظ أْ ِعاًِ 𝑖 𝑥 فً اٌعثاسج اٌساتمح ستجذٖ ِساوٌا 1فً وً حذ ِٓ اٌحذود . إرا ِٓ تعشٌف داٌح اٌتىٌٍذ ٔستطٍع أْ ٔمىي
1 𝑥1−
هً داٌح تىٌٍذ ٌٍّتسٍسٍح األعذاد
16 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ 𝑠𝑛 = 1,1,1,1,1,1, … .
مثال 2-3 ٌى إستثذٌٕا ( )x-ب xفاْ اٌعاللح ) (Aعززؾٛي إٌ ٝاٌشىً 1 𝑛 𝑥 𝑛)= 1 − 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3 + ⋯ + (−1 𝑥1+ تّالحظح اٌّعاِالخ ٔستطٍع أْ ٔمىي أْ
1 𝑥1+
= 𝑥 𝑓
هً داٌح تىٌٍذ ٌٍّتسٍسٍح 𝑠𝑛 = 1, −1, 1, −1, … .
مثال 3-3 عٕم َٛوّب لّٕب ف ٟاٌّضبي اٌغبثك ثٛػغ 2xثذال ِٓ xف ٟاٌؼاللخ )ٚ (Aعٕؾظً ػٍ ٝاٌزبٌٟ 1 = 1 + 2𝑥 + 22 𝑥 2 + 23 𝑥 3 𝑥1 − 2 تّالحظح اٌّعاِالخ ٔستطٍع أْ ٔمىي أْ
1 𝑥1−2
= 𝑥 𝑓
هً داٌح تىٌٍذ ٌٍّتسٍسٍح … 𝑠𝑛 = 1, 21 , 22 , 23 ,
ٚثشىً ػبَ فئْ
1 𝑥𝑎1−
٘ ٟداٌخ ر١ٌٛذ ٌٍّزغٍغٍخ … 𝑠𝑛 = 1, 𝑎, 𝑎2 , 𝑎3 ,
مثال 4 -3 ِبرا ع١ؾذس ٌ ٛإٔٔب ٚػؼٕب 𝑥 ِىبْ 𝑥 ف ٟاٌؼاللخ ِٓ xف ٟاٌؼاللخ ) (A؟ 2
ف ٟاٌؾم١مخ عٕؾظً ػٍ ٝا٢رٟ 1 𝑛= 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + ⋯ + 𝑥 2 1 − 𝑥2
= 𝑥 𝑔
الؽظ أْ ِؼبِالد اٌؾذٚد اٌز ٟأدٌزٙب فشد٠خ ٠غب ٞٚاٌظفش ثّٕ١ب ِؼبِالد اٌؾذٚد اٌز ٟأدٌزٙب صٚع١خ ٠غب ٞٚاٌٛاؽذ ٘ٚزا ٠ؼٕ ٟأْ اٌذاٌخ 𝑥 𝑔 ٘ ٟداٌخ ر١ٌٛذ ٌٍّزغٍغٍخ 𝑠𝑛 = 1,0,1,0,1,0, … . فً اٌحمٍمح ٌّىٓ اٌحصىي عٍى داٌح تىٌٍذ ٌٍّتسٍسٍح 𝑑𝑛 = 0,1,0,1,0,1,0, … . واٌتً تمع فٍها األصفاس وّعاِالخ ٌٍحذود روي األدٌح اٌزوجٍح ورٌه عٓ طشٌك ضشب 𝑥 𝑔 فً 𝑥 17 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ وّا ًٌٍ 1 = 𝑥 + 𝑥 3 + 𝑥 5 + ⋯ + 𝑥 2𝑛 +1 1 − 𝑥2 ٘ٚىزا فبْ
𝑥 1−𝑥 2
∙ 𝑥 = 𝑥 𝑔𝑥 = 𝑥
٘ ٟداٌخ ر١ٌٛذ ٌٍّزغٍغٍخ 𝑑𝑛 = 0,1,0,1,0,1,0, … .
مثال 5 -3 و١ف ّ٠ىٓ اٌؾظٛي ػٍ ٝداٌخ ر١ٌٛذ ٌٍّزٛاٌ١خ … 𝑠𝑛 = 1,2,3,4, اٌحً ٔمىَ تاشتماق طشفً اٌعاللح )ٌٕ (Aؾظً ػٍ ٝاٌّزٛاٌ١خ اٌّـٍٛثخ 1 ′ ) = (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 )′ 𝑥1−
( = 𝑥 = (𝑓(𝑥))′
1 = 1 + 2𝑥 + 3𝑥 2 + 4𝑥 3 + ⋯ + 𝑛𝑥 𝑛−1 (1 − 𝑥)2 ٘ٚىزا فئْ اٌذاٌخ
1 (1−𝑥)2
= 𝑥
٘ ٟاٌذاٌخ اٌز١ٌٛذ اٌخبطخ ثبٌّزٛاٌ١خ … 𝑠𝑛 = 1,2,3,4,
مثال 6-3 اٚعذ داٌخ ر١ٌٛذ اٌّزغٍغٍخ 𝑏𝑛 = 12 , 22 , 32 , 42 , … , 𝑛2 اٌؾً أظش إٌ ٝداٌخ ر١ٌٛذ اٌّزغٍغٍخ 𝑛𝑠 ِٓ اٌّضبي (ٚ )5-3اٌز ٟسِضٔب ٌٙب ة 𝑥
1 = 1 + 2𝑥 + 3𝑥 2 + 4𝑥 3 + ⋯ + 𝑛𝑥 𝑛−1 (1 − 𝑥)2
= 𝑥
ثؼشة ؿشف ٟاٌؼاللخ فٔ 𝑥 ٟؾظً ػٍٝ 𝑥 𝑛 𝑥𝑛 = 𝑥 + 2𝑥 2 + 3𝑥 3 + 4𝑥 4 + ⋯ + (1 − 𝑥)2
= 𝑥 𝑥
18 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ ثؼذ اشزمبق ؿشف ٟاٌؼجبسح عٕؾظً ػٍ ٝاٌّزغٍغٍخ اٌّـٍٛثخ 𝑥 𝑥1+ ′ ) = = 1 + 4𝑥 + 9𝑥 2 + 16𝑥 3 + ⋯ + 𝑛2 𝑥 𝑛−1 (1 − 𝑥)2 (1 − 𝑥)3 ِّب عجك ٕ٠زظ أْ
𝑥1+ (1−𝑥)3
( = (𝑥(𝑥))′
٘ ٟاٌذاٌخ اٌّـٍٛثخ ٌز١ٌٛذ اٌّزغٍغٍخ 𝑛𝑏
نتٍجت هامت1 ِٓ اٌّضبي (ٔ )6-3غزخٍض ش١ئب ٘بِب ٛ٘ٚؿش٠مخ إٔزبط ِزغٍغٍخ األػذاد اٌـج١ؼ١خ ِشفٛػخ إٌ ٝاألط m ٠ٚزٍخض ثب٢ر:ٟ .1خز اٌذاٌخ 𝑥 ف ٟاٌّضبي اٌّزوٛس –ٚاٌز ٟرؼـٕ١ب عٍغٍخ األػذاد اٌـج١ؼ١خٔٚ -ؼشة ؿشفٙ١ب فx ٟ ٔ .2شزك ؿشف ٟاٌذاٌخ إٌبرغخ ِٓ اٌؼشة فٚ x ٟثٙزا ٔى ْٛلذ سفؼٕب أط اٌّزغٍغٍخ ثّمذاس ٚاؽذ ٔ .3ىشس ٘زٖ اٌخـٛر ٓ١اٌغبثمز ٓ١ػٍ ٝاٌذٚاي إٌبرغخ (أ ٞإٔٔب ٔغزّش ف ٟاٌشفغ) ؽزٔ ٝظً إٌ ٝاألط اٌّـٍٛة مثال 7 -3 أٚعذ داٌخ ر١ٌٛذ اٌّزغٍغٍخ … 𝑠𝑛 = 0,0,0,1,2,3,4, اٌؾً ٔؼٍُ ِٓ اٌّضبي 5-3أْ
1 (1−𝑥)2
٘ ٟداٌخ ر١ٌٛذ اٌّزغٍغٍخ … , 1,2,3,4,عٕأخز ثؼ ٓ١االػزجبس أْ ػذد األطفبس ف ٟثذا٠خ اٌّزغٍغٍخ
اٌّـٍٛثخ ٘ٚ 3 ٛعٕش ٜو١ف عزٕؼىظ ٘زٖ اٌؾمبئك ػٍ ٝداٌخ اٌز١ٌٛذ اٌّـٍٛثخ 1 = 1 + 2𝑥 + 3𝑥 2 + 4𝑥 3 + ⋯ + 𝑛𝑥 𝑛−1 (1 − 𝑥)2 ثؼشة ؿشف ٟاٌؼاللخ ف 𝑥 3 ٟعٕؾظً ػٍ ٝا٢رٟ 𝑥3 = 𝑥 3 + 2𝑥 4 + 3𝑥 5 + 4𝑥 6 + ⋯ + 𝑛𝑥 𝑛+2 (1 − 𝑥)2 الؽظ غ١بة اٌؾذٚد ٚاٌز ٟرغب ٞٚل ٜٛأدٌزٙب وال ِٓ ٘ٚ 0,1,2زا ٠ذي ػٍ ٝأْ ِؼبِالد ٘زٖ اٌؾذٚد ٠غب ٞٚاٌظفش ٛ٘ٚاٌّـٍٛة ِٓ ٘زا اٌزّشٓ٠ نتٍجت هامت 2 إلصاؽخ اٌّزغٍغٍخ 𝑘 خبٔخ إٌ ٝأٌ ٓ١ّ١ؼشة ؿشفٙ١ب ف ٟاٌمّ١خ 𝑥 𝑘
مثال 8 -3 إرا وبٔذ ٌذٕ٠ب داٌخ اٌز١ٌٛذ 𝑥+1 − 5𝑥 + 6
𝑥2
= 𝑥 𝑓
فبٚعذ اٌّزغٍغٍخ 𝑛𝑠 اٌز ٟرٌٛذ٘ب ٘زٖ اٌذاٌخ 19 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ اٌؾً 𝑥+1 𝑥+1 𝐴 𝐵 = = + 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 )𝑥 − 2 (𝑥 − 3) (𝑥 − 3) (𝑥 − 2
= 𝑥 𝑓
𝐴 𝑥 − 2 + 𝐵 𝑥 − 3 = 𝑥 + 1 ⇒ 𝑥 𝐴 + 𝐵 − 2𝐴 − 3𝐵 = 𝑥 + 1 ثّمبسٔخ اٌّؼبِالد ٔؾظً ػٍ ٝا٢رٟ 𝐴 + 𝐵 = 1 , −2𝐴 − 3𝐵 = 1 ٚثؾً اٌّؼبدٌزِ ٓ١ؼب ٔغذ أْ ٘ٚ 𝐴 = 4, 𝐵 = −3زا ٠ؼٕ ٟأْ 4 −3 4 1 −3 1 + = ∙ + ∙ = 𝑥−3 𝑥−2 𝑥 −3 1 − 𝑥 −2 1 − 3 2 ) +. .
3
1
𝑥 2
+
2
3
3 𝑥 𝑥 +. . + (1 + + 2 2 2 1
ِّب عجك ٔغزـ١غ أْ ٔمٛي ِؼبًِ اٌذٌ٠ 𝑥 𝑖 ً١غب∙ (3)𝑖 + 2 ∙ (2)𝑖 ٞٚ 2
,…..
3 1 ∙ + 2 2
2
4 1 , ∙ −3 3
1
4 −3
3
𝑥 3
+
2
= 𝑥 𝑓
4 𝑥 𝑥 1+ + −3 3 3
=
ٚثٙزا رى ْٛاٌّزغٍغٍخ اٌّـٍٛثخ ٟ٘
3 1 ∙ + 2 2
1
4 1 , ∙ −3 3
0
3 1 ∙ + 2 2
0
4 1 = 𝑛𝑠 ∙ −3 3
ٚثٙزا ٔى ْٛلذ ثٕ١ب ؿش٠مخ اٌؾظٛي ػٍ ٝاٌّزغٍغٍخ ثؼذ ِؼشفخ داٌخ اٌز١ٌٛذ اٌخبطخ ثٙب ثّؼٕ ٝآخش اٌؼاللخ ث ٓ١اٌؾذ اٌؼبَ ٚث ٓ١داٌخ اٌز١ٌٛذ مثال 9 -3 أٚعذ داٌخ ر١ٌٛذ اٌّزغٍغٍخ اٌزبٌ١خ … 𝑠𝑛1 = 0,0,0,2,0,0,0,0,0, , … 𝑠𝑛2 = 0,1,0,0,0,0,0,0,0, ,
اٌؾً 𝑥 = 𝑥 𝑓2
𝑓1 𝑥 = 2𝑥 3 ,
ٚاػؼ أْ وال ِٓ اٌّزغٍغٍز ٓ١األخ١شر٠ ٓ١ؾز ٞٛفمؾ ػٍ ٝؽذ ٚؽ١ذ ٌزٌه ثم١ذ اٌؾذٚد رٚاد األدٌخ إٌّبعجخ (ٌّٛلغ اٌؾذ اٌجبل)ٟ ٚاخزفذ ثم١ذ اٌؾذٚد ٚثبٌّضً ٔغزـ١غ ٚثىً صمخ أْ ٔمٛي أْ داٌخ ر١ٌٛذ اٌّزغٍغٍخ … 𝑠𝑛3 = 5,3,0,0,0,7,0,0,0, , هً اٌذاٌح 20 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ 𝑓3 𝑥 = 5 + 3𝑥 + 7𝑥 5
مثال 10 -3 اٚعذ داٌخ اٌز١ٌٛذ اٌخبطخ ثّزغٍغٍخ ف١جٔٛبرش ٟاٌش١ٙشح صُ أٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ا ٚاٌؾذ إٌ ٟٔٛإْ أِىٓ اٌؾً إْ اٌّزغٍغٍخ اٌّـٍٛثخ ٟ٘ … … 𝑠𝑛 = 0,1,1,2,3,5,8, ٚإرا سِضٔب ٌٍؾذ اٌؼبَ أ ٚاٌؾذ إٌ ٟٔٛثبٌشِض 𝑓nفبْ 𝑓0 = 0, 𝑓1 = 1فئْ اٌّزغٍغٍخ رأخز اٌظٛسح … … 𝑠𝑛 = 𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 ٚرى ْٛداٌخ اٌز١ٌٛذ اٌّـٍٛثخ ٌٙزٖ اٌّزغٍغٍخ ٟ٘ ⋯ 𝐹 𝑥 = 𝑓0 + 𝑓1 𝑥 + 𝑓2 𝑥 2 + 𝑓3 𝑥 3 + 𝑓4 𝑥 4 + ٚإرا أخزٔب ثؼ ٓ١االػزجبس أُ٘ خبط١خ ٌّزغٍغٍخ ف١جٔٛبرش ٟ٘ٚ ٟو ْٛوً ؽذ ٠غبِ ٞٚغّٛع اٌؾذ ٓ٠اٌغبثمٓ١ 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛 −1 + 𝑓𝑛 −2 فئْ اٌّزغٍغٍخ رأخز اٌظٛسح … … 𝑠𝑛 = 𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓0 + 𝑓1 , 𝑓1 + 𝑓2 , 𝑓2 + 𝑓3 , ٚرى ْٛداٌخ اٌز١ٌٛذ اٌخبطخ ثٙب ٟ٘ ⋯ 𝐹 𝑥 = 𝑓0 + 𝑓1 𝑥 + 𝑓0 + 𝑓1 𝑥 2 + 𝑓1 + 𝑓2 𝑥 3 + 𝑓2 + 𝑓3 𝑥 4 + ٌزىٓ ٌذٕ٠ب اٌّزغٍغٍخ … 𝑠1 = 𝑓0 , 𝑓1 , 0,0,0,0, أْ داٌخ اٌز١ٌٛذ ٌٙزٖ اٌّزغٍغٍخ ٟ٘ 𝑥 = 𝑥 𝐹1 𝑥 = 𝑓0 + 𝑓1 ٚإرا لّٕب ثئصاؽخ اٌّزغٍغٍخ 𝑛𝑠 إٌ ٝاٌ ٓ١ّ١خبٔخ ٚاؽذح ٘ٚزا ٠ؼٕ ٟػشة اٌذاٌخ اٌٌّٛذح ٌٙب ف( 𝑥 ٟأظش اٌّضبي ٔٚ )7-3ؾظً ػٍٝ اٌّزغٍغٍخ اٌزبٌ١خ … … 𝑠2 = 0, 𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 … … 𝑜𝑟 𝑠2 = 0, 𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓0 + 𝑓1 , 𝑓1 + 𝑓2 , 𝑓2 + 𝑓3 , ٚرى ْٛاٌذاٌخ اٌز١ٌٛذ اٌخبطخ ثٙب ٟ٘ 21 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ ⋯ 𝑥𝐹 𝑥 = 𝑓0 𝑥 + 𝑓1 𝑥 2 + 𝑓2 𝑥 3 + 𝑓3 𝑥 4 + 𝑓4 𝑥 5 + ٚإرا لّٕب ثئصاؽخ 𝑛𝑠 خبٔز ٓ١فئٕٔب عٕؾظً ػٍ ٝاٌّزغٍغٍخ … … 𝑠3 = 0,0, 𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 … … 𝑜𝑟 𝑠3 = 0,0, 𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓0 + 𝑓1 , 𝑓1 + 𝑓2 , 𝑓2 + 𝑓3 , ٘ٚزا ٠ؼٕ ٟػشة اٌذاٌخ
𝑥 𝐹 فٌ 𝑥 2 ٟزى ْٛداٌخ ر١ٌٛذ اٌّزغٍغٍخ ٟ٘ 𝑠3 ⋯ 𝑥 2 𝐹 𝑥 = 𝑓0 𝑥 2 + 𝑓1 𝑥 3 + 𝑓2 𝑥 4 + 𝑓3 𝑥 5 + 𝑓4 𝑥 6 +
ثغّغ ؽذٚد اٌّزغٍغالد 𝑠1 , 𝑠2, , 𝑠3فئٕٔب عٕؾظً ػٍ ٝاٌّزغٍغٍخ اٌزبٌ١خ (٘ٚزا ٠ؼٕ ٟعّغ دٚاي اٌز١ٌٛذ اٌّشافمخ ٌٍّزغٍغالد ) … 0,
0,
0,
0,
𝑓1 ,
𝑓0 ,
… 𝑓4 , 𝑓5 ,
𝑓3 ,
𝑓2 ,
𝑓1 ,
𝑓0 ,
0,
… … 𝑓3 , 𝑓4
𝑓2 ,
𝑓0 ,
0,
0,
𝑓1 ,
ٚرىٔ ْٛز١غخ اٌغّغ ٘ ٟاٌّزغٍغٍخ 𝑠4 … 𝑓0 , 𝑓0 + 𝑓1 , 𝑓0 + 𝑓1 , 𝑓1 + 𝑓2 , 𝑓2 + 𝑓3 , ٚرى ْٛداٌخ اٌز١ٌٛذ اٌخبطخ ثٙب ٟ٘ )𝑥(𝐹 𝑥 + 𝑥𝐹 𝑥 + 𝑥 2 ثّشاػبح و 𝑓0 = 0 ْٛفبْ اٌؾذ اٌضبٔ ِٓ ٟاٌّزغٍغٍخ 𝑠4ع١أخز اٌمّ١خ 𝑓1رٌه اْ ٚ 𝑓0 + 𝑓1 = 𝑓1رأخز اٌّزغٍغٍخ 𝑠4اٌشىً اٌزبٌٟ … … 𝑠4 = 𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓0 + 𝑓1 , 𝑓1 + 𝑓2 , 𝑓2 + 𝑓3 , ٚاػؼ رغب ٞٚاٌّزغٍغًر٘ٚ 𝑠𝑛 ٚ 𝑠4 ٓ١زا ٠مزؼ ٟرغب ٞٚدٚاي اٌز١ٌٛذ 𝑥 = 𝑥 𝐹 𝐹 𝑥 = 𝑥 + 𝑥𝐹 𝑥 + 𝑥 2 𝐹 𝑥 ⇒ 𝐹 𝑥 − 𝑥𝐹 𝑥 − 𝑥 2 𝑥 1 − 𝑥 − 𝑥2
= 𝑥 𝐹 ⇒ 𝑥 = 𝐹 𝑥 1 − 𝑥 − 𝑥2
ٚثٙزا ٔى ْٛلذ ؽظٍٕب ػٍ ٝداٌخ اٌز١ٌٛذ اٌخبطخ ثّزغٍغٍخ ف١جٔٛبرشٔٚ ٟى ْٛلذ أزٕ١ٙب ِٓ اٌغضء األٚي ِٓ اٌغؤاي ٚعٕجذأ ثخـٛاد إ٠غبد اٌؾذ اٌؼبَ 1∓ 1+4∙1∙1 1∓ 5 = ⇒ 2 2 1+ 5 2
=
𝑥
2 1+ 5
1+
−𝑥 − 1+ 5 2
= 𝑥 ⇒ 1 − 𝑥 − 𝑥2 = 0
1− 5 2
1 − 𝑥 − 𝑥2 = 𝑥 +
𝑥
1− 5 2
−
2 1− 5
1+
22 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ الؽظ أْ 1− 5 1+ 5 ∙ − 2 2
=1 عٕؼغ
1− 5 2
= ٔٚ ∅1ؼغ
1+ 5 2
1
= ِٓ ∅2اٌؼاللخ األخ١شح ٕ٠ٚ ∅1 ∅2 = −1زظ ٌذٕ٠ب أْ ∅ = ِٕٗٚ −∅1فئْ 2
)𝑥 𝑥 = 1 ∙ 1 − ∅1 𝑥 (1 − ∅2
2 1+ 5
1+
1+ 5 2
−
𝑥
2 1− 5
1+
1− 5 2
= 1 − 𝑥 − 𝑥2
ٔغزـ١غ أْ ٔمٛي اْ٢ 𝑥 𝐴 𝐵 = + 𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝐴 1 − ∅2 𝑥 + 𝐵 1 − ∅1 1 − 𝑥 − 𝑥2 𝑥 1 − ∅1 )𝑥 (1 − ∅2
= 𝑥 𝐹
ثّمبسٔخ اٌّؼبِالد فئْ −∅2 𝐴 − ∅1 𝐵 = 1 𝑎𝑛𝑑 𝐴 + 𝐵 = 0 ثؾً اٌّؼبدٌزِ ٓ١ؼب فئٕٔب عٕغذ أْ
1 5
=𝐵ٚ
1 5
𝐴=−
ٚرأخز داٌخ اٌز١ٌٛذ اٌشىً ا٢رٟ ⇒ ) (1 + ∅2 𝑥 + ∅2 2 𝑥 2 + ∅2 3 𝑥 3 +. . 𝑛
1
1 + ∅1 𝑥 + ∅1 2 𝑥 2 + ∅1 3 𝑥 3 +. . +
5 1
1+ 5 + 2 5
𝑛
1
1− 5 =− 2 5
𝑛
∅2
1 5
𝑛
1 5
∅1 +
𝐹 𝑥 =− 1 5
𝑎𝑛 = −
٘ٚىزا ٔى ْٛلذ ؽظٍٕب ػٍ ٝط١غخ ٌؾغبة وً ؽذ ِٓ ؽذٚد اٌّزغٍغٍخ مثال ( 11 -3تطبٍق ٌومً) ثىُ ؿش٠مخ ّ٠ىٓ أْ ٔؼغ 6صّشاد ِٓ اٌفٛاوٗ ِأخٛرح ِٓ أسثؼخ أٔٛاع ِخزٍفخ (رفبػ – ِٛص-ثشرمبي-وّضش )ٜداخً و١ظ ثؾ١ش رزؾمك اٌششٚؽ اٌزبٌ١خ
ػذد اٌزفبؽبد صٚعٟ ػذد صّبس اٌّٛص ِ٘ ِٓ ٛؼبػفبد اٌخّغخ ال ٠ض٠ذ ػذد اٌجشرمبالد ػٍ4 ٝ ٚال ٠ض٠ذ ػذد صّبس اٌىّضش ٜػٍ1 ٝ اٌؾً أْ ِغأٌخ وٙزٖ ٠زؼزس ؽٍٙب ثبعزخذاَ ؿشق اٌؾغبة اٌّؼشٚفخ (اٌزٛاف١ك ِضال) ٌىٓ ؽٍٙب ػّٓ اي ٌٛٙ Generating functionsأِش ف ٟغب٠خ اٌغٌٛٙخ أظش 1
Apples- 𝐴 𝑥 = 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + 𝑥 6 + ⋯ = 1−𝑥 2
1
Bananas-𝐵 𝑥 = 1 + 𝑥 5 + 𝑥 10 + 𝑥 15 + ⋯ = 1−𝑥 5 23 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ 1−𝑥 5 𝑥1−
𝑥5
1
= 𝑥Oranges-𝑂 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 1−𝑥 − 1− 1−𝑥 2 𝑥1−
𝑥2
1
= 𝑥Pears-𝑃 𝑥 = 1 + 𝑥 = 1−𝑥 − 1−
٘ٚىزا ٚؽغت ِجذأ اٌؼذ فئْ ػذد اٌـشق اٌّّىٕخ ٘ٛ 1 1 𝑥1−𝑥 1− 1 2 1 ′ = 𝑥 𝑃 𝑥 𝑂 𝑥 𝐵 𝑥 𝐴 ∙ ∙ ∙ = = 𝑥 1 − 𝑥2 1 − 𝑥5 1 − 𝑥 1 − 𝑥1− 𝑥1− ′ 1 1 ⇒ ⋯ = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + = 1 + 2𝑥 + 3𝑥 2 + 4𝑥 3 + ⋯ + 𝑛𝑥 𝑛 −1 𝑥1− 𝑥1− ٚاػؼ ِٓ اٌؼجبسح األخ١شح أْ ِؼبًِ ٛ٘ٚ 7 ٛ٘ 𝑥 6ػذد اٌـشق اٌّـٍٛة 2
5
. 4انعالقاث انتكشاسٌت )( Recurrence Relations ٔؼشف عّ١ؼب ِزغٍغٍخ ف١جٔٛبرش ٟاٌش١ٙشح ٔٚ 0,1,1,2,3,5,8ؼشف أْ وً ؽذ فٙ١ب ِ٘ ٛغّٛع اٌؾذ ٓ٠اٌغبثمٚ ٌٗ ٓ١اْ اٌؾذٓ٠ األّ٘ ٓ١ٌٚب ٔ 𝑓0 = 0, 𝑓1 = 1ىزت اٌؼجبسح األخ١شح س٠بػ١ب ثبٌشىً اٌزبٌٟ
أْ ٘زا إٌٛع ِٓ اٌؼاللبد اٌش٠بػ١خ ٠ـٍك ػٍ ٗ١ػاللخ رىشاس٠خ .Recurrence Relationsعٕزفك ف٘ ٟزا اٌجبة ػٍ ٝإٔٔب ٔؼٕٟ ثىٍّخ ػاللخ اٌؼاللخ رىشاس٠خ ِب ٌُ ٔزوش غ١ش رٌه ٕ٘.بن اٌؼذ٠ذ ِٓ األِٛس اٌز٠ ٟغت اٌزـشق إٌٙ١ب أصٕبء دساعخ اٌؼاللب د اٌزىشاس٠خ ػٍ ٝعج ً١اٌّضبي : درجة العالقة التكزارية ( :)The Order Of Recurrence Relationإْ دسعخ اٌؼاللخ رخجشٔب ثؼذد اٌؾذٚد اٌز ٟرغجك اٌؾذ إٌٚ 𝑎n ٟٔٛاٌز٠ ٟغت أْ ٔؼٛد إٌٙ١ب ؤ ٟؾغت اٌؾذ إٌ ٟٔٛفّضال ٔمٛي أْ دسعخ اٌؼاللخ اٌز ٟرظف ِزغٍغٍخ ف١جٔٛبرشٟ٘ ِٓ ٟ اٌذسعخ اٌضبٔ١خ وّب ٔمٛي أْ اٌؼاللخ اٌزبٌ١خ ِٓ 𝑎n = 𝑎n−1 + nاٌذسعخ األٌٝٚ خطية العالقة التكزارية ( ٔ :)Linearity of Recurrence Relationؼٕ ٟثخـ١خ اٌؼاللخ أٗ ّ٠ىٓ رّض ً١اٌؾذ إٌ𝑎n ٟٔٛ ثبٌشىً اٌزبٌٟ 𝑎𝑛 = 𝑐1 𝑎1 + 𝑐2 𝑎2 + 𝑐3 𝑎2 + ⋯ + 𝑐𝑛−1 𝑎𝑛−1 ثؾ١ش ٠ى 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 , … , 𝑐n ْٛصٛاثذ أٌٚ 𝐹(𝑛) ٚىٓ ٌ١ظ 𝑖𝑎 ِ ,ضال ٔمٛي أْ اٌؼاللخ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 −2ػاللخ غ١ش خـ١خ وّب أْ اٌؼاللخ 𝑎𝑛 = 𝑛𝑎𝑛−1ػاللخ خـ١خ (ٚ )Linearثشىً ػبَ فبْ غ١بة اٌخـ١خ ٛ٠سس اٌىض١ش ِٓ اٌّشبوً وّب ِ٘ ٛؼشٚف فٟ ػبٌُ اٌش٠بػ١بد . تجانس العالقة التكزارية الخطية (ٌٕ :)Homogeneity of Linear Recurrence Relationفشع ػاللخ خـ١خ رىشاس٠خ ِؼشفخ ثبٌشىً اٌزبٌ:ٟ )𝑛(𝐹 𝑎𝑛 = 𝑐1 𝑎1 + 𝑐2 𝑎2 + 𝑐3 𝑎2 + ⋯ + 𝑐𝑛−1 𝑎𝑛−1 + ٔمٛي ػٓ ٘زٖ اٌؼاللخ أٔٙب ِزغبٔغخ ( )Homogeneousإرا ٚفمؾ إرا وبٔذ .𝐹 𝑛 = 0ثٕبء ػٍِ ٝب عجك ٔغزـ١غ أْ ٔمٛي أْ اٌؼاللخ اٌز ٟرؼـٕ١ب ِزغٍغٍخ ف١جٔٛبرش ٟ٘ ٟػاللخ خـ١خ ِزغبٔغخ ثّٕ١ب اٌؼاللخ ٟ٘ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2𝑛−1ػاللخ غ١ش ِزغبٔغخ.
حم انعالقاث انخطٍت رواث انمعامالث انثابتت ٔؼٕ ٟثؾً اٌؼاللخ ٘ ٛإ٠غبد ط١غخ ػبِخ ٌٍؾذ إٌ 𝑎𝑛 ٟٔٛد ْٚاٌٍغٛء إٌ ٝاٌزىشاس٠خ ٚاٌّضبي اٌزبٌٛ٠ ٟػؼ ِؼٕ ٝإ٠غبد ؽً ٌٍؼاللخ مثال 1 -4 ؽً اٌؼاللخ
:
𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1ػٍّب أْ 𝑎0 = 1
اٌؾً 𝑛ٚ 𝑎𝑛 = 2ف ٟاٌجٕٛد اٌزبٌ١خ عٕج ٓ١و١ف١خ اٌؾظٛي ػٍ ٝاٌغٛاة اٌظؾ١ؼ 24 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ انحانت األونى (انعالقاث انمتجانست ) مثال2-4 اٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍؼاللخ 𝑛𝑎 𝑎𝑛+1 = 2ػٍّب أْ 𝑎0 = 1 اٌؾً :عٕفشع أْ ؽً اٌؼاللخ ٠ؼـ ٝثبٌظٛسح 𝑛 𝑠𝐴 = 𝑛𝑎 عٕم َٛثبٌزؼ٠ٛغ ف ٟاٌؼاللخ اٌّؼـبح
𝑛 𝑠𝐴𝑎𝑛+1 = 2𝑎𝑛 ⇒ 𝐴𝑠 𝑛 +1 = 2 ٚثمغّخ ؿشف ٟاٌّغبٚاح األخ١شح ػٍٔ 𝐴𝑠 𝑛 ٝغذ أْ 𝑠 = 2 ٚثبٌزؼ٠ٛغ ف ٟاٌفشع عٕغذ أْ 𝑛)ٌٚ 𝑎𝑛 = 𝐴(2ىٓ ػٕذِب 𝑛 = 0فئْ 𝑎0 = 1 ∴ ٘ٚ 𝑎0 = 1 = 𝐴(2)0زا ٠ؼٕ ٟأْ ٘ٚ 𝐴 = 1ىزا ٔغذ أْ اٌؾً اٌّـٍٛة ٘𝑎𝑛 = 1 ∙ (2)𝑛 ٛ مثال 3 -4 اٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍؼاللخ 𝑛𝑎 𝑎𝑛+1 = −3ػٍّب أْ 𝑎0 = 2 وّب ف ٟاٌّضبي اٌغبثك عٕفشع أْ ؽً اٌؼاللخ ٠ؼـ ٝثبٌظٛسح 𝑛 𝑠𝐴 = 𝑛𝑎 عٕم َٛثبٌزؼ٠ٛغ ف ٟاٌّؼبدٌخ اٌّؼـبح 𝑎𝑛+1 = −3𝑎𝑛 ⇒ 𝐴𝑠 𝑛 +1 = −3𝐴𝑠 𝑛 ⇒ 𝑠 = −3 ثبٌزؼ٠ٛغ ف ٟاٌفشع ٕ٠زظ ٌذٕ٠ب أْ 𝑛)ٚ 𝑎𝑛 = 𝐴(−3ثّشاػبح أْ 𝑎𝑛 = 2ػٕذِب 𝑛 = 0فبْ األِٛس رزخز اٌّغبس اٌزبٌٟ 𝑎0 = 2 = 𝐴(−3)0 ⇒ 2 = 𝐴 ∙ 1 ⇒ 𝐴 = 2 𝑛)𝑎𝑛 = 𝐴𝑠 𝑛 ⇒ 𝑎𝑛 = 2(−3 مثال 4-4 اٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍؼاللخ 𝑛𝑎 𝑎𝑛+2 = −2𝑎𝑛+1 + 3ػٍّب أْ 𝑎0 = −4, 𝑎1 = 5 اٌؾً عٕزخز ٔفظ اٌّغبس اٌغبثك ٚرٌه ثفشع أْ اٌؾً ٠ؼـ ٟثبٌظٛسح 𝑛 𝑠𝐴 = 𝑛𝑎 ⇒ 𝑎𝑛+2 = −2𝑎𝑛+1 + 3𝑎𝑛 ⇒ 𝑎𝑛+2 + 2𝑎𝑛+1 − 3𝑎𝑛 = 0 ⇒ 𝐴𝑠 𝑛 +2 + 2𝐴𝑠 𝑛 +1 − 3𝐴𝑠 𝑛 = 0 𝑠 2 + 2𝑠 − 3 = 0 ⇒ 𝑠 + 3 𝑠 − 1 = 0 ⇒ 𝑠 = 1, 𝑠 = −3 ّ٠ىٓ أْ ٔمٛي اٌؾً اٌّـٍٛة ٠ؼـ ٝثبٌؼاللخ 𝑛)ّ٠( 𝑎𝑛 = 𝐴(1)𝑛 + 𝐵(−3ىٓ أصجبد رٌه) ٚإل٠غبد لّ١زٔ A,B ٟم َٛثب٢ر:ٟ 𝑎0 = −4 = 𝐴(1)0 + 𝐵(−3)0 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = −4 𝑎1 = 5 = 𝐴(1)1 + 𝐵(−3)1 ⇒ 𝐴 − 3𝐵 = 5 25 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ −7 −9 −7 −9 𝑛). 𝑎𝑛 = 4 (1)𝑛 + 4 (−3 ٚثؾً اٌّؼبدٌزِ ٓ١ؼب ٔغذ أْ ٚ 𝐴 = 4 𝑎𝑛𝑑 𝐵 = 4رى ْٛلّ١خ اٌؾذ اٌؼبَ ٟ٘ مهحوظت هامت :ػٕذِب أٚعذٔب ل s ُ١ؽظٍٕب ػٍ ٝلّ١زٚ ٓ١الثذ أْ وال ِّٕٙب رؾمك اٌؼاللخ اٌّؼـبح أظش )𝐴𝑠1 𝑛 +2 = −2𝐴𝑠1 𝑛 +1 + 3𝐴𝑠1 𝑛 = 𝐴𝑠1 𝑛 (−2𝑠1 + 3) ⇒ 𝐴𝑠1 𝑛 +2 = 𝐴𝑠1 𝑛 (−2𝑠1 + 3 ٌٚ ٛػؼٕب 𝑠1 = 1فغٕؾظً ػٍ ٝأْ 𝐴 = −2 + 3
𝑛
ٚ 𝐴(1)𝑛+2 = 𝐴 1ثبٌّضً
)𝐵𝑠2 𝑛+2 = −2𝐵𝑠2 𝑛 +1 + 3𝐵𝑠2 𝑛 = 𝐵𝑠2 𝑛 (−2𝑠2 + 3) ⇒ 𝐵𝑠2 𝑛 +2 = 𝐵𝑠2 𝑛 (−2𝑠2 + 3 ٌٛٚػؼٕب 1 𝑠2 = −3فغٕؾظً ػٍ ٝأْ
𝑛+2
9 = 𝐵 −3
𝑛
−2 ∙ −3 + 3 = 𝐵 −3
𝑛
𝐵(−3)𝑛+2 = 𝐵 −3
ثغّغ ؿشف ٟاٌؼالقر ٓ١أػالٖ ٔغزـ١غ أْ ٔمٛي أْ 𝑛). 𝑎𝑛 = 𝐴(1)𝑛 + 𝐵(−3 ف ٟاٌؾم١مخ ٔٛد اإلشبسح إٌ ٝأْ اٌؼاللبد اٌخـ١خ اٌّزغبٔغخ ِٓ اٌذسعخ اٌضبٔ١خ رؾزبط إٌِ ٝض٠ذ ِٓ اٌزأًِ ٚرٌه ثغجت ؿج١ؼخ عزٚس Characteristic Equation 𝑛 𝑛 )1إرا وبْ ٌٍّؼبدٌخ عزساْ ِخزٍفبْ فئْ اٌؾذ اٌؼبَ ٠ى ْٛػٍ ٝاٌظٛسح 𝑎𝑛 = 𝐴𝑠1 + 𝐵𝑠2 ٚ )2إرا وبْ ٌٍّؼبدٌخ عزس ِؼبػف ِخزٍفبْ فئْ اٌؾذ اٌؼبَ ٠ى ْٛػٍ ٝاٌظٛسح 𝑛 𝑠𝑛𝐵 𝑎𝑛 = 𝐴𝑠 𝑛 + عٕش ٞو١ف عٕغزخذَ األِٛس اٌز ٟرؼٍّٕب٘ب ف ٟاألِضٍخ اٌمبدِخ
مثال 5 -4 اٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ يِزغٍغٍخ ف١جٔٛبرشٚ ٟاٌز ٟرؼـ ٝثبٌؼاللخ 𝑛𝑓 = 𝑓𝑛 +1 +
𝑓𝑛 +2ػٍّب أْ 𝑓0 = 0, 𝑓1 = 1
اٌؾً ثفشع 𝑛 𝑠𝐴 = 𝑛𝑓 ٚاٌزؼ٠ٛغ ف ٟاٌؼاللخ اٌّؼـبح ٔغذ ا٢رٟ 1+ 5 1− 5 = 𝑠 𝑑𝑛𝑎 2 2
= 𝑠 ⇒ 𝑠2 − 𝑠 − 1 = 0
٠ٚى ْٛاٌؾذ اٌؼبَ أ ٚاٌؾذ إٌ ٟٔٛػٍ ٝاٌظٛسح 𝑛
1− 5 𝐵+ 2
n
1+ 5 𝑓n = A 2
ٔغزخذَ 𝑓0 , 𝑓1إل٠غبد ل ُ١اٌّؼبِالد اٌّغٌٛٙخ 0
= 𝐴+𝐵 = 0 1+ 5 1− 5 𝐵+ =1 2 2
1
𝐴=
1− 5 𝐵+ 2 1− 5 𝐵+ 2
0
1
1+ 5 𝑓0 = A 2 1+ 5 𝑓1 = A 2
26 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ 1 −1 ٚثؾً اٌّؼبدٌزٔ ٓ١غذ أْ ٘ٚ 𝐴 = 5 𝑎𝑛𝑑 𝐵 = 5ىزا ٔغزـ١غ أْ ٔمٛي أْ اٌؾذ اٌؼبَ أ ٚاٌؾذ إٌ ٟٔٛفِ ٟزغٍغٍخ ف١جٔٛبرشٟ 𝑛
٠ؼـ ٝثبٌؼاللخ
1− 5 2
1 5
−
𝑛
1
1+ 5
5
2
مثال 6 -4 أٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍّزغٍغٍخ اٌز ٟرؼـ ٝثبٌؼاللخ اٌزىشاس٠خ 𝑛𝑎= 5𝑎𝑛+1 + 14
= 𝑛𝑓
𝑎𝑛+2ػٍّب أْ 𝑎0 = 𝑎1 = −4
اٌؾً ٔم َٛثئ٠غبد ؽً ًٌ Characteristic Equationالؽمب ()CE 𝑠 2 − 5𝑠 − 14 = 0 ⇒ 𝑠 + 2 𝑠 − 7 = 0 ⇒ 𝑠 = −2 𝑎𝑛𝑑 𝑠 = 7
ِٓ اٌٛاػؼ أْ اٌؾذ اٌؼبَ ٠ى ْٛػٍ ٝاٌظٛسح 𝑛)+ 𝐵(7
𝑛
.𝑎𝑛 = 𝐴 −2ثبعزخذاَ لٔ 𝑎0 , 𝑎1 ُ١ؾظً ػٍ ٝاٌّؼبدالد اٌزبٌ١خ = 𝐴 + 𝐵 = −4
0
+𝐵 7
0
𝑎0 = 𝐴 −2
𝑎1 = 𝐴(−2)1 + 𝐵(7)1 = −2𝐴 + 7𝐵 = −4 ثؾً اٌّؼبدٌزِ ٓ١ؼب ٔغذ أْ
−4 3
= 𝐵 𝑑𝑛𝑎
−8 3
= 𝐴 ٠ٚى ْٛاٌؾذ اٌؼبَ ٘ٛ 𝑛
مثال 7 -4 أٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍّزغٍغٍخ اٌز ٟرؼـ ٝثبٌؼاللخ اٌزىشاس٠خ 𝑛𝑎 = −2𝑎𝑛+1 −
−4 7 3
+
𝑛
−8 −2 3
= 𝑛𝑎
𝑎𝑛+2ػٍّب أْ 𝑎0 = 1 , 𝑎1 = 2
𝑛)𝑠 2 − 2𝑠 + 1 = 0 ⇒ (𝑠 − 1)2 = 0 ⇒ 𝑠 = 1 ⇒ 𝑎𝑛 = 𝐴(1)𝑛 + 𝐵𝑛(1 ثبعزخذاَ اٌششٚؽ االثزذائ١خ (ل ُ١أٚي ؽذ ِٓ ٓ٠اٌّزغٍغٍخ) ٔغذ أْ 𝐴 = 1 𝑎𝑛𝑑 𝐵 = 1 ِٕٗٚأْ 𝑎𝑛 = 𝑛 + 1 انحانت انثانٍت (انعالقاث غٍش انمتجانست) إْ اٌظٛسح اٌؼبِخ ٌٍؼاللخ اٌخـ١خ ِٓ اٌذسعخ األ ٌٝٚغ١ش اٌّزغبٔغخ ٚاٌزِ ٟؼبِالرٙب صبثزخ ٘𝑎n = A𝑎n −1 + F(n) ٟ ٚإل٠غبد اٌؾذ اٌؼبَ ٔزجغ اٌخـٛاد اٌزبٌ١خ: )1 )2 )3 )4
ٔم َٛثئ٠غبد اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍؼاللخ اٌّزغبٔغخ ١ٌٚ 𝑎n = A𝑎n−1ىٓ )𝑠 (0 ٔم َٛثئ٠غبد اٌؾً اٌخبص 𝑛𝑠 ٚاٌز٠ ٞىِ ْٛمشٔٚب ثـج١ؼخ )F(n ٔم َٛثغّغ ) 𝑠𝑛 ٚ 𝑠 (0ف١ى ْٛإٌبرظ ٘ ٛاٌؾذ اٌؼبَ ٌٍؼاللخ وىً أ ٞأْ ٔم َٛثبعزخذاَ ل ُ١اٌؾذٚد األٌٍ ٌٝٚزخٍض ِٓ اٌضٛاثذ ف𝑠 (0) ٟ
𝑛𝑠 𝑎𝑛 = 𝑠 (0) +
مثال 8 -4 أٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍّزغٍغٍخ اٌّؼـبح ثبٌؼاللخ 𝑎n = 6𝑎n−1 + 60ػٍّب أْ 𝑎0 = 3 27 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ اٌؾً ٔم َٛثئ٠غبد ؽً اٌّؼبدٌخ اٌّزغبٔغخ )(0 𝑛 𝑠 − 6 = 0 ⇒ 𝑠 = 6 ⇒ 𝑠 = 𝐴6 ثّب أْ ) F(nػجبسح داٌخ صبثزخ فئْ اٌظٛسح اٌؼبِخ ٌٍذٚاي اٌضبثزخ ٘ٔ 𝑠𝑛 = 𝐵 ٟم َٛثبٌزؼ٠ٛغ ػٕٗ ف ٟاٌؼاللخ األعبع١خ وبٌزبٌ:ٟ 𝐵 = 6𝐵 + 60 ⇒ −5𝐵 = 60 ⇒ 𝐵 = −12 ∴ 𝑎𝑛 = 𝑠 (0) + 𝑠𝑛 = 𝐴6𝑛 − 12. 𝑝𝑢𝑡 𝑛 = 0 𝑡𝑒𝑛 𝑎𝑛 = 𝐴6𝑛 − 12 = 𝐴60 − 12 = 3 ⇒ 𝐴 = 15 𝑎𝑛 = 15 ∙ 6𝑛 − 12 مثال 9 -4 اٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍّزغٍغٍخ 𝑎n = 2𝑎n−1 + 6n + 5ػٍّب أْ 𝑎0 = −2 اٌؾً 𝐴 𝑛𝑠 (0) = 𝐴 ∙ 2𝑛 = 2
⇒𝑠−2=0⇒𝑠=2
إْ ) F(nػجبسح داٌخ وض١شح ؽذٚد ِٓ اٌذسعخ األٌٚ ٌٝٚزا فئْ اٌظٛسح اٌؼبِخ ٌىض١شاد اٌؾذٚد ِٓ اٌذسعخ األ𝑠𝑛 = 𝐵𝑛 + 𝐶 ٟ٘ ٌٝٚ عٕزجذي 𝑛𝑠 ة 𝑛𝑎 ف ٟاٌؼاللخ األعبع١خ ٚعٕغ١ش ِب ٍ٠ضَ : 𝑎n = 2𝑎n−1 + 6n + 5 ⇒ 𝐵𝑛 + 𝐶 = 2𝐵 𝑛 − 1 + 2𝐶 + 6𝑛 + 5 ⇒ −𝐵𝑛 + 2𝐵 − 𝐶 = 6𝑛 + 5 ثّمبسْ اٌّؼبِالد ٔغذ أْ ح 17 2
٘ٚىزا فئْ اٌؾً اٌخبص ٘ٛ
17 2
= 𝐶 𝑑𝑛𝑎 −𝐵 = 6 𝑎𝑛𝑑 2𝐵 − 𝐶 = 5 ⇒ 𝐵 = −6
𝑠𝑛 = −6𝑛 +
17 17 . 𝑝𝑢𝑡 𝑛 = 0 𝑡𝑒𝑛 𝑎𝑛 = 𝑎0 = 𝐴 ∙ 20 + = −2 2 2
∴ 𝑎𝑛 = 𝑠 (0) + 𝑠𝑛 = 𝐴 ∙ 2𝑛 − 6𝑛 + 17 21 −2=− 2 2
𝐴=−
عٕ ٌٟٛشىً ) F(nأّ٘١خ خبطخ ٚرٌه ٌزغ ً١ٙػٍّ١خ اخز١بس اٌؾً اٌخبص ِٓٚأعً ٘زا عٕؼزجش أْ اٌظ١غخ اٌؼبِخ ٟ٘ )(B
𝑡 n cm nm + cm −1 nm −1 + ⋯ + c0
ؽ١ش 𝑡 ػذد ؽم١مٚ .ٟاػؼ أْ ) ٟ٘ F(nؽبطً ػشة داٌخ أع١خ ف ٟوض١شح ؽذٚد .عٕم ُ١ػاللخ ث ٓ١شىً )ٚ F(nعزٚس اٌّؼبدٌخ اٌّشافمخ ٌٍؼاللخ اٌّزغبٔغخ ٚ CEرٌه وّب : ٍٟ٠ )1إرا وبٔذ ) F(nوض١شح ؽذٚد فمؾ فٙزا ٠ؼٕ ٟأْ ِٕٗٚ 𝑡 n = 1أْ ٕ٘ٚ 𝑡 = 1بن ؽبٌزبْ: .Aأْ ٠ى ٛ٘ 1 ْٛاؽذ عزٚس ٘ٚ CEىزا رى ْٛاٌظ١غخ اٌؼبِخ ٌٍؾً اٌخبص ٟ٘ 𝑗 𝑛 sn = 1 𝑛 cm nm + cm −1 nm −1 + ⋯ + c0 = 𝑛 𝑗 cm nm + cm −1 nm −1 + ⋯ + c0 28 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ ؽ١ش ٛ٘ jػذد ِشاد دخٛي 1وغزس ًٌ ٟ٘ m ٚ CEدسعخ وض١شح اٌؾذٚد. .Bأْ ال ٠ى 1 ْٛأؽذ عزٚس ٚ CEثبٌزبٌ٠ ٟى ْٛاٌؾً اٌخبص ػٍ ٝاٌظٛسح m sn = cm n + cm −1 nm−1 + ⋯ + c0 الؽظ إٔٔب ٚػؼٕب وض١شح اٌؾذٚد ف ٟاٌظٛسح اٌؼبِخ ِغ ِشاػبح دسعزٙب. )2إرا وبٔذ ) F(nداٌخ أع١خ فمؾ أ ٞػٍ ٝاٌظٛسح 𝑛 𝑡𝐴 فٕٙبن أ٠ؼب ؽبٌزبْ: .Aأْ ٠ى 𝑡 ْٛأؽذ عزٚس ٚ CEػٍ ٗ١فئْ اٌؾً اٌخبص ٠ى ْٛػٍ ٝاٌظٛسح 𝑛 𝑡 𝑗 𝑛𝐴 = 𝑛𝑠 ؽ١ش ٛ٘ jػذد ِشاد دخٛي tوغزس ًٌCE .Bأْ ال ٠ى t ْٛأؽذ عزٚس ٚ CEثبٌزبٌ٠ ٟى ْٛاٌؾً اٌخبص ػٍ ٝاٌظٛسح 𝑛 sn = At )3إرا وبٔذ ) F(nػجبسح ػٓ ؽبطً ػشة داٌخ أع١خ ٚوض١شح ؽذٚد فغٕم َٛثٕفظ اٌؼًّ ف ٟاٌؾبالد اٌغبثمخ ِغ رغ١١ش ِب ٍ٠ضَ .Aأْ ٠ى 𝑡 ْٛأؽذ عزٚس ٚ CEػٍ ٗ١فئْ اٌؾً اٌخبص ٠ى ْٛػٍ ٝاٌظٛسح 𝑛 𝑗 m ) 𝑠𝑛 = 𝑛 𝑡 (cm n + cm−1 nm−1 + ⋯ + c0 ؽ١ش ٛ٘ jػذد ِشاد دخٛي 1وغزس ًٌ ٟ٘ m ٚ CEدسعخ وض١شح اٌؾذٚد .Bأْ tال ٠ى ْٛأؽذ عزٚس ٚ CEثبٌزبٌ٠ ٟى ْٛاٌؾً اٌخبص ػٍ ٝاٌظٛسح ) 𝑠𝑛 = 𝑡 𝑛 (cm nm + cm −1 nm −1 + ⋯ + c0
مثال 10 -4 اٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍّزغٍغٍخ اٌّؼـبح ثبٌؼاللخ اٌزىشاس٠خ = 𝑎𝑛 + 4𝑛 + 3
𝑎𝑛+1ػٍّب أْ 𝑎0 = 1
اٌؾً ٔ :م َٛثئ٠غبد ؽٍٛي CEوّب :ٍٟ٠ 𝑛)𝑠 − 1 = 0 ⇒ 𝑠 = 1 ⇒ 𝑠 (0) = 𝐴(1 إرا اٌمّ١خ ٟ٘ 1أؽذ عزٚس اي CE ثّب أْ ) ٟ٘ F(nوض١شح ؽذٚد فمؾ إرا ٠ ٛ٘ٚ t=1ذخً ِشح ٚاؽذح وغزس يٚ CEػٍ ٗ١فئْ j=1 الؽظ أْ وض١شح اٌؾذٚد ِٓ 4𝑛 + 3اٌذسعخ األ ٌٝٚإرا ٚ m=1اٌظٛسح اٌؼبِخ ٌىض١شاد اٌؾذٚد ِٓ اٌذسعخ األٟ٘ ٌٝٚ 𝐶 ِّ 𝐵𝑛 +ب عجك ٔغزـ١غ أْ ٔمٛي أْ اٌؾً اٌخبص ٠أخز اٌظٛسح
𝐶 𝑠𝑛 = 1 𝑛 𝑛 𝐵𝑛 + 𝐶 = 𝑛 𝐵𝑛 +
عٕغزجذي 𝑠nة 𝑛𝑎 ٔٚغ١ش ِب إل٠غبد ل ُ١اٌّؼبِالد ف ٟاٌؼاللخ األعبع١خ 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 4𝑛 + 3 ⇒ 𝑛 + 1 𝐵 𝑛 + 1 + 𝐶 = 𝑛 𝐵𝑛 + 𝐶 + 4𝑛 + 3 ⇒ 𝐵(𝑛 + 1)2 + 𝐶 𝑛 + 1 = 𝐵𝑛2 + 𝐶𝑛 + 4𝑛 + 3 𝐵𝑛2 + 2𝐵𝑛 + 𝐵 + 𝐶𝑛 + 𝐶 = 𝐵𝑛2 + 𝐶𝑛 + 4𝑛 + 3 ⇒ 2𝐵𝑛 + 𝐵 + 𝐶 = 4𝑛 + 3 ⇒ 𝐵 = 2, 𝐶 = 1 ٠ٚى ْٛاٌؾً اٌخبص ػٍ ٝاٌظٛسح )𝑠𝑛 = 𝑛(2𝑛 + 1 𝑎𝑛 = 𝐴(1)𝑛 + 𝑛 2𝑛 + 1 , 𝑝𝑢𝑡 𝑛 = 0 𝑡𝑒𝑛 𝑎0 = 𝐴(1)0 = 1 ⇒ 𝐴 = 1 29 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ ٠ٚى ْٛاٌؾذ اٌؼبَ ٘𝑎𝑛 = 𝑛 2𝑛 + 1 + 1 ٛ مثال11 -4 اٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍّزغٍغٍخ اٌز ٟرؼـ ٝثبٌؼاللخ = 5𝑎𝑛+1 − 6𝑎𝑛 + 3 𝑛
𝑎n+2ػٍّب أْ 𝑎0 = 1, 𝑎1 = 1
اٌؾً : ٚاػؼ اْ ٚ 𝑠 2 − 5𝑠 + 6 = 0 ٟ٘ CEثبٌزبٌ ٟفئْ ؽٌٍٙٛب ٘٠ٚ 𝑠 = 3, 𝑠 = 2 ٟى ْٛؽً اٌّؼبدٌخ اٌّشافمخ ٌٍّزغبٔغخ ٘ٛ 𝑛𝑠 (0) = 𝐴2𝑛 + 𝐵3 ٚاػؼ أْ 𝑛ٚ 𝐹 𝑛 = 3ػٍ ٗ١فئْ ٛ٘ٚ t=3أؽذ عزٚس اٌّؼبدٌخ اٌّشافمخ ٌٍّزغبٔغخ ٠ٚذخً وغزس ِشح ٚاؽذح (ِغ أْ اٌّؼبدٌخ ِٓ اٌذسعخ اٌضبٔ١خ إال أْ اٌغزسِ ٓ٠خزٍفبْ) ٚػٍ٠ ٗ١ى ْٛاٌؾً اٌخبص ِٓ اٌظٛسح 𝑛 𝑠𝑛 = 𝐶𝑛3عٕم َٛثبٌزؼ٠ٛغ ف ٟاٌؼاللخ األعبع١خ: 𝐶 𝑛 + 2 3𝑛+2 = 5𝐶 𝑛 + 1 3𝑛+1 − 6𝐶𝑛3𝑛 + 3𝑛 ⇒ 32 𝐶 𝑛 + 2 = 15𝐶 𝑛 + 1 − 6𝑛𝐶 + 1 1 3
= 𝐶 ⇒ 9𝐶𝑛 + 18𝐶 = 15𝐶𝑛 + 15𝐶 − 6𝑛𝐶 + 1
٠ى ْٛاٌؾً اٌخبص ٠ٚ 𝑠𝑛 = 𝑛3𝑛−1ى ْٛاٌؾذ اٌؼبَ وبٌزبٌٟ 𝑎𝑛 = 𝑠 (0) + 𝑠𝑛 = 𝐴2𝑛 + 𝐵3𝑛 + 𝑛3𝑛−1 ّ٠ٚىٓ ثبعزخذاَ ل 𝑎0 , 𝑎1 ُ١إ٠غبد ِ ٛ٘ٚ A,Bب عٕزشوٗ ٌٍمبسا وزّشٓ٠ مثال12 -4 أٚعذ اٌؾً اٌخبص ٌٍّزغٍغًح اٌز ٟاٌّؼـبح ثبٌؼاللخ )𝑛(𝐹 = 6𝑎𝑛+1 − 9𝑎𝑛 +
𝑎𝑛+2
ٚرٌه إرا وبْد .I .II .III
𝑛𝐹 𝑛 = 3 )𝐹 𝑛 = 3𝑛 (5𝑛 + 1 )𝐹 𝑛 = 2𝑛 (4𝑛 + 5
اٌؾً : عٕم َٛثئ٠غبد عزٚس اٌؼاللخ اٌّزغبٔغخ 𝑠 2 − 6𝑠 + 9 = 0 ⇒ (𝑠 − 3)2 = 0 ⇒ 𝑠 = 3 إرا اٌؼذد ٠ 3ذخً ِشر ٓ١وغزس ِؼبدٌخ اٌؼاللخ اٌّزغبٔغخ .I .II .III
ػٕذِب 𝑛 𝐹 𝑛 = 3فئْ اٌؾً اٌخبص ع١ى ْٛػٍ ٝاٌظٛسح sn = A3n n2 ػٕذِب ) 𝐹 𝑛 = 3𝑛 (5𝑛 + 1فئْ اٌؾً اٌخبص ع١ى ْٛػٍ ٝاٌظٛسح )𝐵 𝑠𝑛 = 3𝑛 𝑛2 (𝐴𝑛 + ) 𝐹 𝑛 = 2𝑛 (4𝑛 + 5فئْ اٌؾً اٌخبص ع١ى ْٛػٍ ٝاٌظٛسح )𝐵 𝐹 𝑛 = 2𝑛 (𝐴𝑛 +
ّ٠ٚىٓ اٌزؼ٠ٛغ ف ٟاٌؼاللخ األعبع١خ ٌٍغؤاي ِٓٚصُ إ٠غبد اٌّؼبِالد اٌّغٌٛٙخ صُ عّغ اٌؾً اٌخبص ٔٚبرظ ؽً اٌؼاللخ اٌّزغبٔغخ صُ اعزخذاَ اٌّؼـ١بد ٌٍؾظٛي ػٍ ٝلّ١خ اٌؾذ اٌؼبَ ثؼذ اٌزخٍض ِٓ اٌزىشاس٠خ 30 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________
انمحتوٌاث االستقشاء (االستنتاج) انشٌاضً )(MATHEMATICAL INDUCTION
1.
..... 1
مثال5-1
.................. ................................ 3 ................................................................................................
مثال 6 -1
................. ................................ 3 ................................................................................................
7- 1
................. ................................ 4 ................................................................................................
مثال
𝟏 𝐀𝐧 + 𝟏 = 𝟏𝟏𝐧 + 𝟏 + 𝟐 + 𝟏𝟐𝟐𝐧 + 𝟏 + 𝟏 = 𝟏𝟏𝐧 + 𝟑 + 𝟏𝟐𝟐𝐧 + 𝟑 = 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝐧 + 𝟐 + 𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟐𝟐𝐧 + 𝟏 = 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝐧 + 𝟐 + 𝟏𝟒𝟒 ∙ 𝟏𝟐𝟐𝐧 + 𝟏 = 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝐧 + 𝟐 + 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟐𝟐𝐧 + 𝟏 + 𝟏𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟐𝟐𝐧 +
...................... 4
.............................. ....... 4
مثال8-1
.................. ................................ 4 ................................................................................................
مثال9-1
.................. ................................ 4 ................................................................................................
مثال10 -1
................................ ............... 5 ................................................................................................
انمعامالث انخاصت بمفكوك ري انحذٌن 7. BINOMIAL COEFFICIENT
.2
................................ ................ 7 ................................................................................................ تعشٌف1 ................ ................................ 7 ................................................................................................ تعشٌف2 ...................... ................................ 7 ................................................................ اٌعاللح ( 1اٌعاللح األساسٍح) ...................... ................................ 7 ................................................................ اٌعاللح ( 2عاللح اٌتٕاظش ) ................................ .............. 8 ................................................................ اٌعاللح ( 3عاللح اإلدخاي-اإلخشاج )
................. ................................ 8 ................................................................................................ انعالقت 5 .............................. ........ 9 ................................ حاالخ خاصح ٌٍتعاًِ ِع اٌتىافٍك او ِع ِعاِالخ ِفىىن ري اٌحذٌٓ انعالقت 6
اٌعاللح 7 تطثٍك جًٍّ ٌٍعاللح 7 اٌعاللح 8
.................. ................................ 9 ................................................................................................ ................................ ............. 10 ................................................................................................ ........................ 10 ................................................................................................ ................................ ............. 11 ................................................................................................
................. ................................ 12 ................................................................................................ نتٍجت 1 ................................ .............. 13 ................................................................................................ ٔتٍجح 4 ........................ 15 ................................................................................................ ٔتٍجح ( 8عاللح اٌمٍة ) ................................ ............ 16 ................................................................................................ تعشٌف 3 ................................ ............ 16 ................................................................................................ ِثاي 1-3 ................................ ............ 17 ................................................................................................ ِثاي 2-3 ................................ ............. 17 ................................................................................................ ِثاي 3-3 ................................ ............ 17 ................................................................................................ ِثاي 4-3 ................................ ............ 18 ................................................................................................ ِثاي 5-3 31 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ ................................ ............ 18 ................................................................................................ ِثاي 6- 3 ................................ ......... 19 ................................................................................................ ٔتٍجح هاِح1 ................................ ............ 19 ................................................................................................ ِثاي 7-3 ................................ ........ 19 ................................................................................................ ٔتٍجح هاِح 2 ................................ ............ 19 ................................................................................................ ِثاي 8-3 ................................ .......... 21 ................................................................................................ ِثاي 10 -3 ...................... ................................ 23 ................................................................ ِثاي ( 11-3تطثٍك ٌىًِ)
............................... ...... 24 ................................................................ حم انعالقاث انخطٍت رواث انمعامالث انثابتت ................................ ............ 24 ................................................................................................ ِثاي 1-4 ................................ ............. 25 ................................................................ اٌحاٌح األوٌى (اٌعاللاخ اٌّتجأسح ) ................................ ............. 25 ................................................................................................ ِثاي2-4 ................................ ............ 25 ................................................................................................ ِثاي 3-4 ................................ ............ 25 ................................................................................................ ِثاي 4- 4 ............................... ....... 26 ................................................................................................ ٍِحىظح هاِح ................................ ............ 26 ................................................................................................ ِثاي 5-4 ................................ ............ 27 ................................................................................................ ِثاي 6-4 ................................ ............ 27 ................................................................................................ ِثاي 7-4 ................................ ......... 27 ................................................................ اٌحاٌح اٌثأٍح (اٌعاللاخ غٍش اٌّتجأسح ) ................................ ............ 27 ................................................................................................ ِثاي 8-4 ................................ ............ 28 ................................................................................................ ِثاي 9-4 ................................ .......... 29 ................................................................................................ ِثاي 10 -4 ................................ ........... 30 ................................................................................................ ِثاي11-4 ................................ ........... 30 ................................................................................................ ِثاي12-4
32 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
1 0 1 1
B A→B 1 0 1 0
A 1 1 0 0
٘ٚزا ٠ؼٕ ٟأْ اٌظٛاة ال ٠ؤد ٞإٌ ٝخـأ أثذا ٌٕفشع أْ اٌؼجبسح ) ٟ٘ P(nاؽذ اٌؼاللبد اٌش٠بػ١خ اٌز ٟرخض اٌؼذد ِ nضال ٛ٘ n(n+3):ػذد صٚعٔٚ ٟؾزبط إٌ ٝإصجبد أْ )P(n ػجبسح طؾ١ؾخ ٌىً األػذاد اٌـج١ؼ١خ .عٛف ٔغزخذَ ٌإلصجبد أعٍٛثب س٠بػ١ب ِشٛٙسا ٠ـٍك ػ ٗ١االعزمشاء اٌش٠بػ٠ٚ ٟزٍخض ٘زا األعٍٛة ف ٟاالرٟ ٔ .1ضجذ طؾخ اٌؼاللخ ػٕذِب n=1 ٔ .2فزشع أْ اٌؼاللخ طؾ١ؾخ ٌىً األػذاد اٌـج١ؼ١خ nأ ٞإٔٔب ٔفزشع أْ ) P(nطؾ١ؾخ أل ٞػذد طؾ١ؼ n ٔ .3غزخذَ اٌؼجبسر ٓ١اٌغبثمزٌٕ ٓ١ضجذ طؾخ ). P(n+1
مثال 1 -1 اصجذ طؾخ اٌؼجبسح اٌزبٌ١خ )(1
1 + 3 + ⋯ + 2𝑛 − 1 = n2
اٌؾً .1ػٕذِب n=1فئْ 1=1اٌؼجبسح طؾ١ؾخ ٔ .2فشع طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ nأٔ ٞفشع طؾخ اٌؼجبسح اٌزبٌ١خ 1 + 3 + ⋯ + 2𝑛 − 1 = n : ٔ .3ضجذ طؾخ اٌؼاللخ ػٕذ اٌؼذد اٌز ٛ٘ٚ n ٍٟ٠ ٞاٌؼذد ()n+1 2
٘ٚىزا فبْ اٌؼجبسح ) (1طؾ١ؾخ دائّب
مثال 2 -1 اصجذ طؾخ اٌؼجبسح اٌزبٌ١خ 1 1 1 1 1 𝑛 + + + + ⋯+ = 1∙2 2∙3 3∙4 4∙5 𝑛(𝑛 + 1) 𝑛 + 1
= 𝑛𝑆
اٌؾً 1 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ 1 1 1 .1ػٕذِب n=1فئْ اٌؼجبسح طؾ١ؾخ ,الؽظ 𝑆1 = 1∗2 = 1+1 = 2 ٔ .2فشع طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ nأ ٞإٔٔب ٔغٍُ ثظؾخ اٌؼجبسح ٚعٕغزخذَ ٘زا اٌفشع ف ٟإصجبد طؾخ اٌؼجبسح ِٓ اعً n+1 .3ثّب أْ
1 1 1 1 1 𝑛 + + + +⋯+ = 1∙2 2∙3 3∙4 4∙5 𝑛(𝑛 + 1) 𝑛 + 1
= 𝑛𝑆
إرْ n 1 n n+2 +1 (n + 1)2 + = = n+1 n+1 n+2 n+1 n+2 n+1 n+2
𝑛+1 𝑛+2
=
1 n+1 n+2
𝑆n+1 = Sn +
=
ِثاي3-1 اصجذ طؾخ اٌؼجبسح اٌزبٌ١خ )𝑛(𝑛 + 1 2
= 𝑛 𝑆𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ +
اٌؾً ٚ .1اػؼ عذا طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ n=1رٌه أْ = 1
1∗ 1+1 2
=1
ٔ .2فزشع طؾخ اٌؼجبسح ٌىً لn ُ١ .3عٕغزخذَ اٌفشع األخ١ش ٌٕضجذ طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ وً لn ُ١
𝑛 𝑛+1 𝑛+2 = 2 2
1+
𝑛 𝑛+1 + 𝑛+1 = 𝑛+1 2
= 𝑆𝑛 +1 = 𝑆𝑛 + 𝑛 + 1
ٚاػؼ أٗ وبْ ثبإلِىبْ اٌؾظٛي ػٍ 𝑆𝑛 +1 ٝثبٌزؼ٠ٛغ ػٓ وً nثبٌمّ١خ n+1 ٘ٚزا ٠ذي ػٍ ٝطؾخ اٌؼجبسح
ِثاي4-1 n
إرا وبْ ٚ 𝑉𝑘 +1= 3𝑉𝑘 − 2𝑉𝑘−1وبْ 𝑉0 = 2, V1 = 3فبصجذ أْ Vn = 2 + 1
2 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ اٌؾً 𝑉0 = 2 = 20 + 1 = 1 + 1 = 2 , 𝑉1 = 21 + 1 = 3, 𝑉2 = 3𝑉1 − 2𝑉0 = 3 × 3 − 2 × 2 = 22 + 1 = 5 .1 .2 .3 =
𝑛 = 0,1,2
ِّب عجك ٔغزـ١غ أْ ٔمٛي اْ اٌؼجبسح طؾ١ؾخ ٌٍمُ١ عٕفشع طؾخ اٌؼجبسح ِٓ اعً وً ػذد ؿج١ؼn ٟ عٕضجذ طؾخ اٌؼجبسح ِٓ اعً n+1 = 3𝑉𝑛 − 2𝑉𝑛 −1 = 3 2𝑛 + 1 − 2 2𝑛−1 + 1 3 × 2𝑛 + 3 − 2𝑛 − 2 = 2 × 2 𝑛 + 1
𝑉𝑛 +1
ِثاي5-1 اصجذ طؾخ اٌؼجبسح ا٢ر١خ 𝑆𝑘 = 1 ∙ 1! + 2 ∙ 2! +∙∙∙ +k ∙ k! = k + 1 ! − 1 اٌؾً 𝑆1 = 1 ∙ 1 = 2! − 1, S2 = 1 ∙ 1! + 2 ∙ 2! = 5 = 3! − 1 𝑆3 1 ∙ 1! + 2 ∙ 2! + 3 ∙ 3! = 23 = 4! − 1 ِّ )1ب عتق اٌؼجبسح طؾ١ؾخ ٌٍم1,2,3 ُ١ ٔ )2فشع طؾخ اٌؼجبسح ِٓ اعً k )3عٕضجذ طؾزٙب ِٓ اعً k+1الؽظ أْ ! = 𝑆𝑘 + 𝑘 + 1 𝑘 + 1 ! = 𝑘 + 1 ! − 1 + 𝑘 + 1 𝑘 + 1
𝑆𝑘 +1
ِثاي 6-1 أصجذ أْ ِغّٛع ِىؼجبد أ 3 ٞأػذاد ؿج١ؼ١خ ِززبٌ١خ ٠مجً اٌمغّخ ػٍ9 ٝ اٌؾً عٕؼغ ط١غخ س٠بػ١خ ٌٍؼجبسح اٌغبثمخ ٟ٘ٚ
ٌ )1ألػذاد اٌـج١ؼ١خ األ ٌٝٚاٌؼاللخ طؾ١ؾخ ,أٔظش 13 + 23 + 33 = 36 ٔ )2فشع طؾخ اٌؼجبسح ِٓ اعً ٚ kعٕغزخذَ ٘زٖ اٌؼجبسح ثشىً أعبع ٟف ٟثشٕ٘خ اٌجٕذ اٌمبدَ )3عٕجش٘ٓ طؾخ اٌؼجبسح ِٓ اعً ٘ٚ k+1زا ٠ؼٕ ٟإٔٔب عٕؼٛع ػٓ ِٓ kاٌؼجبسح اٌغبثمخ ة) (k+1أٔظش + k+3
3
+ k+2
3
𝑘+1
+ 𝑘 3 + 9𝑘 2 + 9𝑘 + 27 = 9𝑛 + 9𝑘 2 + 9𝑘 + 27
3
+ 𝑘+2
3
𝑘+1
=
3
= 9 𝑛 + 𝑘2 + 𝑘 + 3 3 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ ِثاي 7-1 إرا وبْ An = 11n+2 + 122n+1 فبصجذ أْ ٠ 𝐴nمجً اٌمغّخ ػٍ133 ٝ اٌؾً )1ػٕذِب n=0فبْ ٘ٚ 𝐴0= 110+2 + 120+1 = 133زا ٠مجً اٌمغّخ ػٍ133 ٝ ٔ )2فشع طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ nأ ٞأٔٗ ّ٠ىٓ وزبثخ اٌؼذد 𝐴nوّب :ٍٟ٠ 𝑘𝐴𝑛 = 133 )3عٕضجذ طؾخ اٌؼجبسح ٌٍمّ١خ n+1
𝟏= 𝟏𝟏𝐧+𝟑 + 𝟏𝟐𝟐𝐧+𝟑 = 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝐧+𝟐 + 𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟐𝟐𝐧+
𝟏𝐧+𝟏 +
𝟐𝟐𝟏 𝐀 𝐧+𝟏 = 𝟏𝟏𝐧+𝟏+𝟐 +
𝟏= 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝐧+𝟐 + 𝟏𝟒𝟒 ∙ 𝟏𝟐𝟐𝐧+𝟏 = 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝐧+𝟐 + 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟐𝟐𝐧+𝟏 + 𝟏𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟐𝟐𝐧+ = 11 11n+2 + 122n+1 + 133 ∙ 122n+1 = 11 ∙ An + 133 ∙ 122n+1 = 11 ∙ 133k + 133 ∙ 122n+1 = 133 11k + 122n+1
ِثاي8-1 أصجذ طؾخ اٌؼجبسح اٌزبٌ١خ 𝛼 𝑠𝑖𝑛2𝑛+1 𝛼𝑛𝑖𝑠 2𝑛+1
= 𝛼 𝑛𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠4𝛼 ∙∙∙∙∙ 𝑐𝑜𝑠2
اٌؾً 𝛼𝑠𝑖𝑛 2
)1ػٕذِب n=0فبْ 𝛼𝑛𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 2فئْ اٌؼجبسح طؾ١ؾخ ٔ )2فزشع طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ n )3عٕضجذ طؾخ اٌؼاللخ وبٌزبٌٟ 𝛼 𝑠𝑖𝑛2𝑛 +1 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑛+1 =𝛼 𝛼𝑛𝑖𝑠 2𝑛+1
𝑛+1
𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠4𝛼 ∙∙∙∙∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑛 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 2𝑠𝑖𝑛2𝑛 +1 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑛+1 𝛼 𝑠𝑖𝑛2𝑛 +2 = 𝑛 +2 𝛼𝑛𝑖𝑠 2 ∙ 2𝑛+1 𝛼𝑛𝑖𝑠 2
=
ِثاي9-1 اصجذ طؾخ اٌؼجبسح ا٢ر١خ إرا وبْ 𝐴𝑘 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝐴𝑘−1 − 𝐴𝑘 −2
𝐴2 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥,
ِ𝐴1 = 𝑐𝑜𝑠𝑥,
4 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ فأصجذ أْ 𝑥𝑛𝑠𝑜𝑐 = 𝑛𝐴
اٌؾً )1ػٕذِب n=1,2فئْ اٌؼاللخ رزؾمك ِجبششح الْ ٘زٖ اٌمِ ُ١ؼـبح )2عٕفشع اٌؼاللخ ػٕذ ٘ٚ nزا ٠ؼٕ ٟأْ 𝑥 𝐴𝑛 = 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 , 𝐴𝑛−1 = 𝑐𝑜𝑠 𝑛 − 1 )3عزضجذ طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ ٚ n+1رٌه ثبعزخذاَ اٌؼجبسر ٓ١اٌغبثمزٓ١ ٌٚىٓ لجً وً رٌه ٔؾذد ِب اٌزٔ ٞش٠ذ اٌؾظٛي ػٍ ,ٗ١إٕٔب ٔش٠ذ اٌؾظٛي ػٍ ٝاٌؼاللخ 𝑥 𝐴𝑛+1 = 𝑐𝑜𝑠 𝑛 + 1 أٔظش 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑛 − 1 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑛 + 1 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑛 − 1 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑛 − 1 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑛 + 1
𝐴𝑛 +1
ٛ٘ٚاٌّـٍٛة إصجبرٗ ؿجؼب ال ؽظ أْ 𝛽 cos 𝛼 + 𝛽 + cos 𝛼 − 𝛽 = 2 cos 𝛼 cos 𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 −
ِثاي10 -1 أصجذ طؾخ اٌؼجبسح اٌزبٌ١خ 𝑛+1 𝑥𝑛 𝑛𝑖𝑠 𝑥 2 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 2
𝑛𝑖𝑠
= 𝑥𝑛𝑛𝑖𝑠𝑆𝑛 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥 +∙∙∙ +
اٌؾً )1ػٕذِب n=1فئْ 1+1 𝑥𝑛𝑖𝑠 = 𝑥 ∙ 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 1 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 2
𝑛𝑖𝑠
= 𝑥𝑛𝑖𝑠
5 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ )2عٛف ٔفشع طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ nأ ٞإٔٔب عٕؼزجش أْ 𝑛+1 𝑥𝑛 𝑛𝑖𝑠 𝑥 2 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 2
𝑛𝑖𝑠
= 𝑥𝑛𝑛𝑖𝑠𝑆𝑛 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥 +∙∙∙ +
أِش طؾ١ؼ ٚعٕم َٛثئعزخذاِٗ ف ٟخـٛارٕب اٌالؽمخ )3عٕم َٛثئصجبد اٌؼجبسح ِٓ أعً n+1وبٌزبٌٟ الؽظ أْ 𝛽 2𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽 = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛽 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼 −
عٛف ٔغزخذَ اٌؼاللخ اٌغبثمخ ف ٟاٌجش٘بْ وبٌزبٌٟ 𝑛+1 = 𝑥 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝑛 + 1 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 2
𝑛𝑖𝑠
= 𝑥 𝑆n+1= Sn + 𝑠𝑖𝑛 𝑛 + 1
𝑛+1 = 𝑥 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛 𝑛 + 1 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 + 1 𝑥 2 2 2 𝑠𝑖𝑛 2
𝑛𝑖𝑠
=
=
𝑥𝑛 𝑛+1 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 + 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 2 𝑛+1 𝑛𝑖𝑠 = 𝑥 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 2
=
𝑥𝑛 𝑛+2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 + 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 2 𝑛+1 𝑛𝑖𝑠 = 𝑥 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑛+2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑛+1 𝑛𝑖𝑠 = 𝑥 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 2
6 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ .2انمعامالث انخاصت بمفكوك ري انحذٌن binomial coefficient تعشٌف1 𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ 2 ∙ 1 إْ ٘زٖ اٌؼاللخ رمبثً ػذد اٌـشق اٌزٔ ٟؼغ ثٙب 𝑛 ِٓ االش١بء اٌّخزٍفخ ف ِٓ 𝑛 ٟاألِبوٓ ِغ اخز اٌزشر١ت ثؼ ٓ١االػزجبس تعشٌف2 )𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ (𝑛 − 𝑘 + 1 𝑛 = 𝑘 𝑘 𝑘 − 1 (𝑘 − 2) ∙∙∙ 2 ∙ 1 ٚرمشأ رٛاف١ك n ِٓ k إْ ٘زٖ اٌؼاللخ رمبثً ػذد اٌـشق اٌزٔ ٟؼغ ثٙب 𝑘 ِٓ االش١بء اٌّخزٍفخ ف ِٓ 𝑛 ٟاألِبوٓ ِغ عذم اخذ التزتيب بعين االعتبار انعالقت ( 1انعالقت األساسٍت) !𝑛 𝑛 = 𝑘 ! 𝑘 𝑘! 𝑛 − اٌجش٘بْ )𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ (𝑛 − 𝑘 + 1 𝑛 = 𝑘 𝑘 𝑘 − 1 (𝑘 − 2) ∙∙∙ 2 ∙ 1 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ (𝑛 − 𝑘 + 1) 𝑛 − 𝑘 (𝑛 − 𝑘 − 1) ∙∙∙ 2 ∙ 1 = ∙ 𝑘 𝑘 − 1 (𝑘 − 2) ∙∙∙ 2 ∙ 1 𝑛 − 𝑘 (𝑛 − 𝑘 − 1) ∙∙∙ 2 ∙ 1 ال ؽظ أْ !𝑛 = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ 𝑛 − 𝑘 + 1 𝑛 − 𝑘 𝑛 − 𝑘 − 1 ∙∙∙ 2 ∙ 1 ! 𝑘 𝑛 − 𝑘 𝑛 − 𝑘 − 1 ∙∙∙ 2 ∙ 1 = 𝑛 −
𝑘 𝑘 − 1 𝑘 − 2 ∙∙∙ 2 ∙ 1 = 𝑘! ,
∴ فئْ اٌؼاللخ عزظجؼ ػٍ ٝاٌظٛسح اٌزبٌ١خ
𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ (𝑛 − 𝑘 + 1) 𝑛 − 𝑘 (𝑛 − 𝑘 − 1) ∙∙∙ 2 ∙ 1 !𝑛 ∙ = 𝑘 𝑘 − 1 (𝑘 − 2) ∙∙∙ 2 ∙ 1 ! 𝑘 𝑛 − 𝑘 (𝑛 − 𝑘 − 1) ∙∙∙ 2 ∙ 1 𝑘! 𝑛 −
انعالقت ( 2عالقت انتناظش )
𝑛 𝑛 = 𝑘 𝑘𝑛−
7 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ اإلصجبد ػغ ثذي وً kاٌؼجبسح ٚ n-kعزالؽظ أْ اٌـشف األ٠ ٌٓ ّٓ٠زغ١ش ٚرٌه ثبٌشىً اٌزبٌٟ !𝑛 !𝑛 !𝑛 !𝑛 𝑛 = = = = 𝑘𝑛− ! 𝑘𝑛−𝑘 ! 𝑛−𝑛+ ! 𝑘 𝑛 − 𝑘 ! 𝑘 ! 𝑘! 𝑛 − ! 𝑘𝑛−𝑘 ! 𝑛− 𝑛− 𝑛 = 𝑘
انعالقت ( 3عالقت اإلدخال-اإلخشاج ) 𝑛 𝑛−1 𝑛 = 𝑘 𝑘 𝑘−1 اإلصجبد !𝑛 ! 𝑛 𝑛−1 𝑛 ! 𝑛−1 𝑛 𝑛−1 𝑛 = = ∙ = = 𝑘 𝑘! 𝑛 − 𝑘 ! 𝑘 𝑘 − 1 ! 𝑛 − 𝑘 ! 𝑘 𝑘 − 1 ! 𝑛 − 𝑘 ! 𝑘 𝑘 − 1
ٔغزـ١غ ِٓ ٘زٖ اٌؼاللخ أْ ٔغزٕزظ ثغٌٛٙخ اٌؼاللبد اٌزبٌ١خ 𝑛 1 1 𝑛−1 = 𝑘 𝑛 𝑘 𝑘−1
𝑛 𝑛−1 𝑛= , 𝑘 𝑘−1
𝑘
انعالقت 4 𝑛 𝑛 𝑛−1 = 𝑘 𝑘 𝑘𝑛− اإلصجبد 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 = = = 𝑘 𝑘𝑛− 𝑘 𝑛−𝑘 𝑛−𝑘−1 𝑘𝑛− ٘ ِٓٚزٖ اٌؼجبسح ٔغزـ١غ اْ ٔؾظً ػٍ ٝإٌزبئظ اٌزبٌ١خ: 𝑛 𝑛−1 𝑛= 𝑘 𝑘 انعالقت 5
𝑘𝑛−
𝑛 𝑛−1 𝑛−1 = + 𝑘 𝑘 𝑘−1
اإلصجبد
8 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ ِٓ اٌؼاللخ ٌ 4ذٕ٠ب
)(1
𝑛 𝑛−1 𝑛= 𝑘 𝑘
𝑘𝑛−
ِٓ اٌؼاللخ ٌ 3ذٕ٠ب )(2
𝑛 𝑛−1 𝑛= 𝑘 𝑘−1
𝑘
ثغّغ ( )2( ٚ )1عٕؾظً ػٍ ٝاٌؼجبسح اٌزبٌ١خ 𝑛−1 𝑛−1 + 𝑘 𝑘−1
𝑛 𝑛 𝑛 𝑘 + 𝑛= 𝑛= 𝑘 𝑘 𝑘
𝑘𝑛−
ٚثمغّخ اٌـشف ٓ١ػٍٔ n ٝؾظً فٛسا ػٍ ٝاٌؼاللخ اٌّشاد إصجبرٙب 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 = + 𝑘 𝑘 𝑘−1 حاالث خاصت نهتعامم مع انتوافٍق او مع معامالث مفكوك ري انحذٌن 𝑛 )1إرا وبْ 𝑘 < 𝑛 فئْ= 0 𝑘 𝑛 = 1 )2 0 𝑛 = 1 )3 𝑛 𝑛 = 𝑛 )4 1 عٕغزخذَ اٌؼاللخ ٌٕ 5م َٛثئصجبد ػاللز ٓ١أخش ٓ١٠األ ٌٟٚوبٌزبٌ:ٟ 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 𝑛−1 𝑛−2 𝑛−2 = + = + + 𝑘 𝑘−1 𝑘 𝑘−1 𝑘−1 𝑘 𝑛−1 𝑛−2 𝑛−3 𝑛−3 = + + + ∙∙∙= 𝑘−1 𝑘−1 𝑘−1 𝑘 ٚاٌضبٔ١خ ٟ٘ 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 𝑛−1 𝑛−2 𝑛−2 𝑛−1 𝑛−2 𝑛−3 = + = + + = + + + 𝑘 𝑘 𝑘−1 𝑘 𝑘−1 𝑘−2 𝑘 𝑘−1 𝑘−2 𝑛−3 ∙∙∙= 𝑘−3 ثئِىبٕٔب رؼّ ُ١اٌؼاللز ٓ١اٌغبثمز ٓ١وبٌزبٌٟ انعالقت 6 𝑖𝑟+ 𝑟+𝑛+1 = 𝑖 𝑛
𝑛
𝑖=0
9 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ اإلصجبد عٕغزخذَ االعزٕزبط اٌش٠بػ ٟاٌؼاللخ ٚ 6رٌه وبٌزبٌٟ )1ػٕذِب n=1فبْ 𝑖𝑟+ 𝑟+0 𝑟+1 𝑟+2 = + = =1+𝑟+1 𝑖 0 1 1
1
𝑖=0
ٔ )2فشع طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ n )3عٕضجذ طؾزٙب ػٕذ ٚ n+1لجً رٌه الثذ أْ ٔجِ ٓ١ب اٌزٔ ٞش٠ذ اٌؾظٛي ػٍٛ٘ٚ ٗ١ 𝑖𝑟+ 𝑟+𝑛+2 = 𝑖 𝑛+1
n+1
𝑖=0
الؽظ اْ 𝑖𝑟+ 𝑟+𝑛+1 𝑟+𝑛+1 𝑟+𝑛+1 + = + 𝑖 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 𝑟+𝑛+2 𝑛+1
𝑛
𝑖=0
𝑖𝑟+ = 𝑖
n+1
𝑖=0
=
ٚرٌه ؽغت اٌؼاللخ 5 انعالقت 7 أصجذ طؾخ اٌؼجبسح اٌزبٌ١خ 𝑖 𝑛+1 = 𝑟 𝑟+1
𝑛
𝑖=0
اٌجش٘بْ الؽظ ا٢رٟ 𝑖𝑟+ 𝑟 𝑖 ٚرٌه الْ =0 𝑟
𝑟𝑛−
𝑖=0
𝑖 = 𝑟
𝑛
𝑖=0
ػٕذ وً ل i ُ١اٌز ٟرؾمك اٌؼاللخ i
𝑟𝑛 −
𝑖=0
𝑖𝑟+ = 𝑟
𝑟𝑛−
𝑖=0
𝑖 = 𝑟
𝑛
𝑖=0
تطبٍق جمٍم نهعالقت 7 ٌٚ ٛػؼذ r=1ف ٟاٌؼاللخ 7فبْ األِش ٠ظجؼ وبٌزبٌٟ 𝑛 𝑛+1 𝑛 𝑖 0 1 2 𝑛+1 𝑛+1 = + + +∙∙∙ + = 𝑛= 0 + 1 + 2 +∙∙∙ + = = 1 𝑟 𝑟+1 1 1 1 2 2
𝑛
𝑖=0
10 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ ٘ٚزٖ ِب ٘ ٟإال اٌظ١غخ اٌّغزخذِخ ٌؾغبة ِغّٛع األػذاد ِٓ 1إٌn ٝ أظش و١ف عٕغزف١ذ ِٓ ٔفظ اٌؼاللخ ٌؾغبة ِغّٛع ِشثؼبد األػذاد ِٓ 1إٌn ٝ 𝑛 𝑛+1 𝑘 =2 + 2 1 3
𝑛
𝑘 =0
𝑘 + 2
𝑛
=2 𝑘=0
𝑛
𝑘 𝑘 2 + 2 1
= 𝑘2 𝑘 =0
𝑛+1 𝑛 𝑛−1 𝑛 𝑛+1 =2 + 6 2
انعالقت 8 أصجذ طؾخ اٌؼجبسح ا٢ر١خ 𝑛 𝑖 = 𝑚 𝑚
𝑚𝑛− 𝑖𝑛−
𝑛 𝑖
اٌؾً 𝑚𝑛− 𝑖𝑛−
!𝑛 !𝑖 !𝑛 ! 𝑚𝑛− 𝑛 𝑖 = ∙ = ∙ = 𝑚 𝑚 ! 𝑚 𝑖! 𝑛 − 𝑖 ! 𝑚! 𝑖 − 𝑚 ! 𝑚! 𝑛 − 𝑚 ! 𝑛 − 𝑖 ! 𝑖 −
𝑛 𝑖
انعالقت 9مفكوك ري انحذٌن ()Binomial theorem أصجذ طؾخ اٌؼجبسح ا٢ر١خ 𝑟 𝑟𝑛 𝑛− 𝑦 𝑥 𝑟
𝑛 𝑘 =0
= 𝑛)𝑦 (𝑥 +
اٌؾً عٛف ٔغزخذَ االعزمشاء اٌش٠بػٟ )1ػٕذِب n=1فئْ 1 0 1−0 1 1 1−1 𝑦 𝑥 + 𝑦 𝑥 = 0 1 𝑦= 1∙1∙𝑦+1∙𝑥∙1= 𝑦+𝑥 = 𝑥+ ٔ )2فشع طؾخ اٌؼجبسح ػٕذ ٚ nعٕؾبٚي اعزخذاَ ٔزبئظ اٌفشع ف ٟاٌخـٛح اٌمبدِخ )3عٕضجذ طؾخ اٌؼاللخ ِٓ اعً ٚ n+1رٌه وبٌزبٌٟ
= 𝑦𝑥+
𝑟 𝑟𝑛 𝑛− 𝑦 𝑥 𝑟 𝑛 𝑛−𝑟 𝑟+1 𝑦 𝑥 = 𝑟
𝑛
𝑟=0
𝑟 𝑛 𝑛−𝑟+1 𝑥 𝑦 + 𝑟
𝑛
𝑦= 𝑥+ 𝑘 =0 𝑛
𝑟=0
n
𝑟 𝑟𝑛 𝑛− = 𝑦 𝑥 𝑟
𝑛 𝑛−𝑟 𝑟+1 𝑦 𝑥 = 𝑟
𝑛−1
𝑟=0
𝑦= 𝑥+𝑦 𝑥+ 𝑛
𝑟=0
n+1
𝑟 𝑟𝑛 𝑛− 𝑦𝑥 𝑦 + 𝑟
𝑟 𝑛 𝑛−𝑟+1 𝑥 𝑦 + 𝑦 𝑛+1 + 𝑟
𝑛
𝑦𝑥+ 𝑛
𝑥= 𝑟=0
𝑥 𝑛+1 + 𝑟=1
11 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ 𝑛 𝑟 𝑦 𝑥 𝑛−𝑟+1 𝑟−1
𝑛
𝑟=1
𝑛
𝑟 𝑛 𝑛−𝑟+1 𝑥 𝑦 + 𝑟
𝑥 𝑛+1 + 𝑦 𝑛+1 + 𝑟=1
ؿجؼب ٔغزـ١غ أْ ٔالؽظ 𝑛 + 1 𝑛+1 = 𝑦 0
𝑛 + 1 𝑛+1 = 𝑥 , 0
𝑦 𝑛 +1
𝑥 𝑛+1
ٚعٕىًّ اٌجش٘بْ ثبٌشىً اٌزبٌٟ 𝑛 = 𝑟 𝑦 𝑥 𝑛−𝑟+1 𝑟−1
𝑛
𝑟=1
= 𝑟 𝑦 𝑥 𝑛−𝑟+1 𝑟 𝑟𝑛 + 1 𝑛+1− 𝑥 𝑦 𝑟
𝑛+1
𝑟=0
𝑛
𝑟 𝑛 𝑛−𝑟+1 𝑥 𝑦 + 𝑟
+
𝑛+1
𝑛+1
𝑦+
𝑥
𝑟=1 𝑛
𝑛 𝑛 + 𝑟 𝑟−1
= 𝑥 𝑛+1 + 𝑦 𝑛 +1 + 𝑟=1 𝑛
𝑟 𝑟𝑛 + 1 𝑛+1− 𝑥 = 𝑦 𝑟
+
𝑛 +1
𝑦+
𝑛+1
𝑥=
𝑟=1
رؼزجش اٌؼاللخ 9أُ٘ ػاللخ ف ٟؽغبة ِؼبِالد ِفىٛن ر ٞاٌؾذٓ٠ ٌٚذٙ٠ب اٌؼذ٠ذ ِٓ إٌزبئظ نتٍجت 1 𝑛 𝑛= 2 𝑖
𝑛
𝑖=0
اٌجش٘بْ )(3
𝑖 𝑛 𝑥 𝑖
𝑛 𝑖=0
𝑖 𝑖𝑛 𝑛 − = 𝑥 1 𝑖
𝑛 𝑖=0
=
𝑛
𝑥1+
عٕؼغ x=1ف ٟؿشف ٟاٌّؼبدٌخ 𝑛 𝑖
𝑛
𝑖=0
𝑖 𝑛 = 1 𝑖
𝑛 𝑛
= =2
𝑛
1+1
𝑖=0
نتٍجت 2 =0
𝑖
−1
𝑛 𝑖
𝑛
𝑖=0
اٌثشهاْ تىضع x=-1فً طشفً اٌّعادٌح ()3
12 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ =0
𝑖
𝑛 𝑖
−1
𝑛
=
𝑛
1−1
𝑖=0
نتٍجت 3
𝑛 = 𝑛2𝑛−1 𝑖
𝑛
𝑖 𝑖=0
اٌثشهاْ
𝑛
𝑖 𝑛 𝑥 𝑖
𝑛
= )𝑥 (1 + 𝑖=0
تاشتماق اٌطشفٍٓ ثُ وضع ٔ x=1حصً عٍى اٌعاللح اٌّطٍىتح أظش 𝑥 𝑖−1
𝑛 𝑛 𝑖 𝑖 𝑖=0
=
𝑛−1
𝑥=𝑛 1+
𝑛 ′
𝑥1+
صُ ٚػغ x=1 𝑛 𝑖−1 1 = 𝑛2𝑛−1 𝑖
𝑛
=
𝑖
𝑛−1
𝑛 1+1
𝑖=0
نتٍجت 4
𝑚 𝑟
𝑛 𝑛𝑚+ = 𝑟𝑘− 𝑘
𝑘
𝑟=0
اٌجش٘بْ n+m
𝑥= 1+
n
𝑥1+
m
𝑥1+
ٔغزـ١غ االعزٕزبط أْ ِؼبًِ اٌؾذ ر ٚاٌمٛح kف٠ ٟغبِ ٛ٘ ٞٚغّٛع ِؼبِالد اٌؾذٚد ر ٞٚاألط kإٌبرغخ ِٓ ػشة اٌمٛعٓ١
13 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ 𝑟 𝑚 𝑛 𝑘 𝑛𝑚+ 𝑥 = 𝑟𝑥 𝑘− 𝑥 𝑟 𝑟𝑘− 𝑘
𝑘
𝑟=0
ثٛػغ ٔ x=1ؾظً ػٍ ٝاٌؼاللخ اٌّـٍٛثخ نتٍجت 5
𝑛2 𝑛
=
2
𝑛 𝑘
𝑘
𝑟=0
اٌجش٘بْ ثٛػغ 𝑘=𝑚=𝑛 ف ٟإٌز١غخ ٚ 4عٕؾظً ػٍ ٝاٌّـٍٛة
نتٍجت 6 1 1 𝑛 = 𝑘 𝑘+1 𝑛+1
𝑛 𝑘
−1 𝑘=0
اٌثشهاْ ِٓ اٌّعٍىَ أْ 𝑘 𝑛 𝑥 𝑘
𝑛
=
𝑛
𝑥+1
𝑘=0
تّىاٍِح طشفً اٌعاللح ِٓ 1-اٌى اٌصفش ٔحصً عٍى اٌتاًٌ → 𝑥 𝑘 dx 0
𝑛 𝑘
𝑛 𝑘=0 𝑛
1 𝑛 𝑘+1 𝑥 𝑘 k+1
→ −1
0 −1
= dx
𝑛
𝑥+1
0 −1
=
𝑛+1 0 −1
1 𝑥+1 𝑛+1
𝑘 =0 𝑛
1 = 𝑛+1
1 𝑘 𝑛 𝑥 𝑘 k+1 𝑘 =0
14 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ نتٍجت 7
انعالقت ( 10عالقت انتخهص من اإلشاسة انسانبت)
𝑛− 𝑛+𝑘−1 𝑛+𝑘−1 = (−1)k = (−1)k 𝑘 𝑘 𝑛−1 اإلثثاخ فً اٌحمٍمح ِٓ اٌتعشٌف1
)𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 ∙∙∙ (𝑛 − 𝑘 + 1 𝑛 = 𝑘 𝑘 𝑘 − 1 (𝑘 − 2) ∙∙∙ 2 ∙ 1 سٕضع –nتذال ِٓ nفً اٌعاللح ؤأخز ( ِٓ )-1وً لىس فً اٌثسط )(−𝑛) −𝑛 − 1 −𝑛 − 2 ∙∙∙ (−𝑛 − 𝑘 + 1 𝑛− = = 𝑘 𝑘 𝑘 − 1 (𝑘 − 2) ∙∙∙ 2 ∙ 1 )−1 𝑛 −1 𝑛 + 1 −1 𝑛 + 2 … −1 (𝑛 + 𝑘 − 1 !𝑘
=
تعذ ِالحظح أْ عذد األلىاس اٌتً أخزٔا ِٕها ) (−1وعاًِ ِشتشن ٌساوي kو ضشب اٌثسط واٌّماَ فً اٌّمذاس ! 𝑛 − 1 فإْ اٌعاللح تتخز اٌشىً اٌتاًٌ 𝑛 + 𝑘 − 1 𝑛 − 𝑘 𝑛 − 𝑘 − 1 ….𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 …2 ∙ 1 ! 𝑘! 𝑛 − 1
𝑘)= (−1
! 𝑛+𝑘−1 𝑛+𝑘−1 𝑛+𝑘−1 𝑘)= (−1 𝑘)= (−1 𝑘 𝑛−1 ! 𝑘! 𝑛 − 1
𝑘)= (−1
نتٍجت ( 8عالقت انقهب )
𝑛 𝑘−𝑛−1 = (−1)k 𝑘 𝑘
اٌثشهاْ فً اٌحمٍمح إْ وضع –nتذال ِٓ nفً اٌعاللح ٌ 10عطٍٕا إٌتٍجح ِ 8ثاششج
15 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ نتٍجت ( 9عالقت انجزوس) 1 1 − 2 … 2 = 2−𝑘+1 !𝑘 1 ∙ 3 ∙ 5 … 2𝑘 − 1 = !𝑘
𝑘
∙
1 1 1 −1 2 =2 2 𝑘
1 ∙ (−1) −3 −5 … −2𝑘 + 1 −1 = !𝑘 2 )− 1
𝑘 𝑖𝑖=1(2
!𝑘
𝑘
𝑘
∙
1 2
−1 = 2
.3دوال انتونٍذ Generating Functions ٌٕفشع أْ ٌذٕ٠ب ِزغٍغٍخ األػذاد 𝑛𝑎 𝑠𝑛 = 𝑎0 , 𝑎1 , … . , تعشٌف 3 ٔمٛي ػٓ اٌذاٌخ 𝑥 اٌذاٌخ . 𝑖
𝑛 𝑖𝑎 𝑖=0
= 𝑥 𝑓 أٔٙب داٌخ ر١ٌٛذ ٌٍّزغٍغٍخ 𝑛𝑠 إرا وبْ ثئِىبٕٔب ؽغبة اٌؾذ 𝑖𝑎 ثٛاعـخ ِؼشفخ عٍٛن ٘زٖ
الؽظ أْ 𝑖𝑎 ِ٘ ٛؼبًِ اٌؾذ اٌز٠ ٞؾز ٞٛػٍ 𝑥 𝑖 ٝاٌز ٞعٕـٍك ػٍ ٗ١دليل الحذ وفً ِعشض حذٌثٕا عٓ دواي اٌتىٌٍذ ٔشٍش إٌى إٔٔا ٔتٕاوي تاٌذساسح دواي اٌتىٌٍذ االعتٍادٌح ( Ordinary Generating ِ)Functionsا ٌُ ٔمً غٍش رٌه مثال 1 -3 ٌٕفشع أْ ٌذٕ٠ب اٌّزٛاٌ١خ إٌٙذع١خ اٌز ٟؽذ٘ب األٚي ٚ 1أعبعٙب , xإْ ِغّٛع ٘زٖ اٌّزٛاٌ١خ إٌٙذع١خ ٠ؼـ ٝثبٌؼاللخ 1 − 𝑥 𝑛+1 𝑥1−
= 𝑛𝑥 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ +
وإرا واْ 𝑥 > 1فإْ 1 − 𝑥 𝑛+1 1 = 𝑥 𝑛 →∞ 1 − 𝑥1− lim
وهىزا فإٕٔا ٔستطٍع أْ ٔمىي أْ )(A
1
𝑥𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 = 1−
الحظ أْ ِعاًِ 𝑖 𝑥 فً اٌعثاسج اٌساتمح ستجذٖ ِساوٌا 1فً وً حذ ِٓ اٌحذود . إرا ِٓ تعشٌف داٌح اٌتىٌٍذ ٔستطٍع أْ ٔمىي
1 𝑥1−
هً داٌح تىٌٍذ ٌٍّتسٍسٍح األعذاد
16 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ 𝑠𝑛 = 1,1,1,1,1,1, … .
مثال 2-3 ٌى إستثذٌٕا ( )x-ب xفاْ اٌعاللح ) (Aعززؾٛي إٌ ٝاٌشىً 1 𝑛 𝑥 𝑛)= 1 − 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3 + ⋯ + (−1 𝑥1+ تّالحظح اٌّعاِالخ ٔستطٍع أْ ٔمىي أْ
1 𝑥1+
= 𝑥 𝑓
هً داٌح تىٌٍذ ٌٍّتسٍسٍح 𝑠𝑛 = 1, −1, 1, −1, … .
مثال 3-3 عٕم َٛوّب لّٕب ف ٟاٌّضبي اٌغبثك ثٛػغ 2xثذال ِٓ xف ٟاٌؼاللخ )ٚ (Aعٕؾظً ػٍ ٝاٌزبٌٟ 1 = 1 + 2𝑥 + 22 𝑥 2 + 23 𝑥 3 𝑥1 − 2 تّالحظح اٌّعاِالخ ٔستطٍع أْ ٔمىي أْ
1 𝑥1−2
= 𝑥 𝑓
هً داٌح تىٌٍذ ٌٍّتسٍسٍح … 𝑠𝑛 = 1, 21 , 22 , 23 ,
ٚثشىً ػبَ فئْ
1 𝑥𝑎1−
٘ ٟداٌخ ر١ٌٛذ ٌٍّزغٍغٍخ … 𝑠𝑛 = 1, 𝑎, 𝑎2 , 𝑎3 ,
مثال 4 -3 ِبرا ع١ؾذس ٌ ٛإٔٔب ٚػؼٕب 𝑥 ِىبْ 𝑥 ف ٟاٌؼاللخ ِٓ xف ٟاٌؼاللخ ) (A؟ 2
ف ٟاٌؾم١مخ عٕؾظً ػٍ ٝا٢رٟ 1 𝑛= 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + ⋯ + 𝑥 2 1 − 𝑥2
= 𝑥 𝑔
الؽظ أْ ِؼبِالد اٌؾذٚد اٌز ٟأدٌزٙب فشد٠خ ٠غب ٞٚاٌظفش ثّٕ١ب ِؼبِالد اٌؾذٚد اٌز ٟأدٌزٙب صٚع١خ ٠غب ٞٚاٌٛاؽذ ٘ٚزا ٠ؼٕ ٟأْ اٌذاٌخ 𝑥 𝑔 ٘ ٟداٌخ ر١ٌٛذ ٌٍّزغٍغٍخ 𝑠𝑛 = 1,0,1,0,1,0, … . فً اٌحمٍمح ٌّىٓ اٌحصىي عٍى داٌح تىٌٍذ ٌٍّتسٍسٍح 𝑑𝑛 = 0,1,0,1,0,1,0, … . واٌتً تمع فٍها األصفاس وّعاِالخ ٌٍحذود روي األدٌح اٌزوجٍح ورٌه عٓ طشٌك ضشب 𝑥 𝑔 فً 𝑥 17 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ وّا ًٌٍ 1 = 𝑥 + 𝑥 3 + 𝑥 5 + ⋯ + 𝑥 2𝑛 +1 1 − 𝑥2 ٘ٚىزا فبْ
𝑥 1−𝑥 2
∙ 𝑥 = 𝑥 𝑔𝑥 = 𝑥
٘ ٟداٌخ ر١ٌٛذ ٌٍّزغٍغٍخ 𝑑𝑛 = 0,1,0,1,0,1,0, … .
مثال 5 -3 و١ف ّ٠ىٓ اٌؾظٛي ػٍ ٝداٌخ ر١ٌٛذ ٌٍّزٛاٌ١خ … 𝑠𝑛 = 1,2,3,4, اٌحً ٔمىَ تاشتماق طشفً اٌعاللح )ٌٕ (Aؾظً ػٍ ٝاٌّزٛاٌ١خ اٌّـٍٛثخ 1 ′ ) = (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 )′ 𝑥1−
( = 𝑥 = (𝑓(𝑥))′
1 = 1 + 2𝑥 + 3𝑥 2 + 4𝑥 3 + ⋯ + 𝑛𝑥 𝑛−1 (1 − 𝑥)2 ٘ٚىزا فئْ اٌذاٌخ
1 (1−𝑥)2
= 𝑥
٘ ٟاٌذاٌخ اٌز١ٌٛذ اٌخبطخ ثبٌّزٛاٌ١خ … 𝑠𝑛 = 1,2,3,4,
مثال 6-3 اٚعذ داٌخ ر١ٌٛذ اٌّزغٍغٍخ 𝑏𝑛 = 12 , 22 , 32 , 42 , … , 𝑛2 اٌؾً أظش إٌ ٝداٌخ ر١ٌٛذ اٌّزغٍغٍخ 𝑛𝑠 ِٓ اٌّضبي (ٚ )5-3اٌز ٟسِضٔب ٌٙب ة 𝑥
1 = 1 + 2𝑥 + 3𝑥 2 + 4𝑥 3 + ⋯ + 𝑛𝑥 𝑛−1 (1 − 𝑥)2
= 𝑥
ثؼشة ؿشف ٟاٌؼاللخ فٔ 𝑥 ٟؾظً ػٍٝ 𝑥 𝑛 𝑥𝑛 = 𝑥 + 2𝑥 2 + 3𝑥 3 + 4𝑥 4 + ⋯ + (1 − 𝑥)2
= 𝑥 𝑥
18 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ ثؼذ اشزمبق ؿشف ٟاٌؼجبسح عٕؾظً ػٍ ٝاٌّزغٍغٍخ اٌّـٍٛثخ 𝑥 𝑥1+ ′ ) = = 1 + 4𝑥 + 9𝑥 2 + 16𝑥 3 + ⋯ + 𝑛2 𝑥 𝑛−1 (1 − 𝑥)2 (1 − 𝑥)3 ِّب عجك ٕ٠زظ أْ
𝑥1+ (1−𝑥)3
( = (𝑥(𝑥))′
٘ ٟاٌذاٌخ اٌّـٍٛثخ ٌز١ٌٛذ اٌّزغٍغٍخ 𝑛𝑏
نتٍجت هامت1 ِٓ اٌّضبي (ٔ )6-3غزخٍض ش١ئب ٘بِب ٛ٘ٚؿش٠مخ إٔزبط ِزغٍغٍخ األػذاد اٌـج١ؼ١خ ِشفٛػخ إٌ ٝاألط m ٠ٚزٍخض ثب٢ر:ٟ .1خز اٌذاٌخ 𝑥 ف ٟاٌّضبي اٌّزوٛس –ٚاٌز ٟرؼـٕ١ب عٍغٍخ األػذاد اٌـج١ؼ١خٔٚ -ؼشة ؿشفٙ١ب فx ٟ ٔ .2شزك ؿشف ٟاٌذاٌخ إٌبرغخ ِٓ اٌؼشة فٚ x ٟثٙزا ٔى ْٛلذ سفؼٕب أط اٌّزغٍغٍخ ثّمذاس ٚاؽذ ٔ .3ىشس ٘زٖ اٌخـٛر ٓ١اٌغبثمز ٓ١ػٍ ٝاٌذٚاي إٌبرغخ (أ ٞإٔٔب ٔغزّش ف ٟاٌشفغ) ؽزٔ ٝظً إٌ ٝاألط اٌّـٍٛة مثال 7 -3 أٚعذ داٌخ ر١ٌٛذ اٌّزغٍغٍخ … 𝑠𝑛 = 0,0,0,1,2,3,4, اٌؾً ٔؼٍُ ِٓ اٌّضبي 5-3أْ
1 (1−𝑥)2
٘ ٟداٌخ ر١ٌٛذ اٌّزغٍغٍخ … , 1,2,3,4,عٕأخز ثؼ ٓ١االػزجبس أْ ػذد األطفبس ف ٟثذا٠خ اٌّزغٍغٍخ
اٌّـٍٛثخ ٘ٚ 3 ٛعٕش ٜو١ف عزٕؼىظ ٘زٖ اٌؾمبئك ػٍ ٝداٌخ اٌز١ٌٛذ اٌّـٍٛثخ 1 = 1 + 2𝑥 + 3𝑥 2 + 4𝑥 3 + ⋯ + 𝑛𝑥 𝑛−1 (1 − 𝑥)2 ثؼشة ؿشف ٟاٌؼاللخ ف 𝑥 3 ٟعٕؾظً ػٍ ٝا٢رٟ 𝑥3 = 𝑥 3 + 2𝑥 4 + 3𝑥 5 + 4𝑥 6 + ⋯ + 𝑛𝑥 𝑛+2 (1 − 𝑥)2 الؽظ غ١بة اٌؾذٚد ٚاٌز ٟرغب ٞٚل ٜٛأدٌزٙب وال ِٓ ٘ٚ 0,1,2زا ٠ذي ػٍ ٝأْ ِؼبِالد ٘زٖ اٌؾذٚد ٠غب ٞٚاٌظفش ٛ٘ٚاٌّـٍٛة ِٓ ٘زا اٌزّشٓ٠ نتٍجت هامت 2 إلصاؽخ اٌّزغٍغٍخ 𝑘 خبٔخ إٌ ٝأٌ ٓ١ّ١ؼشة ؿشفٙ١ب ف ٟاٌمّ١خ 𝑥 𝑘
مثال 8 -3 إرا وبٔذ ٌذٕ٠ب داٌخ اٌز١ٌٛذ 𝑥+1 − 5𝑥 + 6
𝑥2
= 𝑥 𝑓
فبٚعذ اٌّزغٍغٍخ 𝑛𝑠 اٌز ٟرٌٛذ٘ب ٘زٖ اٌذاٌخ 19 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ اٌؾً 𝑥+1 𝑥+1 𝐴 𝐵 = = + 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 )𝑥 − 2 (𝑥 − 3) (𝑥 − 3) (𝑥 − 2
= 𝑥 𝑓
𝐴 𝑥 − 2 + 𝐵 𝑥 − 3 = 𝑥 + 1 ⇒ 𝑥 𝐴 + 𝐵 − 2𝐴 − 3𝐵 = 𝑥 + 1 ثّمبسٔخ اٌّؼبِالد ٔؾظً ػٍ ٝا٢رٟ 𝐴 + 𝐵 = 1 , −2𝐴 − 3𝐵 = 1 ٚثؾً اٌّؼبدٌزِ ٓ١ؼب ٔغذ أْ ٘ٚ 𝐴 = 4, 𝐵 = −3زا ٠ؼٕ ٟأْ 4 −3 4 1 −3 1 + = ∙ + ∙ = 𝑥−3 𝑥−2 𝑥 −3 1 − 𝑥 −2 1 − 3 2 ) +. .
3
1
𝑥 2
+
2
3
3 𝑥 𝑥 +. . + (1 + + 2 2 2 1
ِّب عجك ٔغزـ١غ أْ ٔمٛي ِؼبًِ اٌذٌ٠ 𝑥 𝑖 ً١غب∙ (3)𝑖 + 2 ∙ (2)𝑖 ٞٚ 2
,…..
3 1 ∙ + 2 2
2
4 1 , ∙ −3 3
1
4 −3
3
𝑥 3
+
2
= 𝑥 𝑓
4 𝑥 𝑥 1+ + −3 3 3
=
ٚثٙزا رى ْٛاٌّزغٍغٍخ اٌّـٍٛثخ ٟ٘
3 1 ∙ + 2 2
1
4 1 , ∙ −3 3
0
3 1 ∙ + 2 2
0
4 1 = 𝑛𝑠 ∙ −3 3
ٚثٙزا ٔى ْٛلذ ثٕ١ب ؿش٠مخ اٌؾظٛي ػٍ ٝاٌّزغٍغٍخ ثؼذ ِؼشفخ داٌخ اٌز١ٌٛذ اٌخبطخ ثٙب ثّؼٕ ٝآخش اٌؼاللخ ث ٓ١اٌؾذ اٌؼبَ ٚث ٓ١داٌخ اٌز١ٌٛذ مثال 9 -3 أٚعذ داٌخ ر١ٌٛذ اٌّزغٍغٍخ اٌزبٌ١خ … 𝑠𝑛1 = 0,0,0,2,0,0,0,0,0, , … 𝑠𝑛2 = 0,1,0,0,0,0,0,0,0, ,
اٌؾً 𝑥 = 𝑥 𝑓2
𝑓1 𝑥 = 2𝑥 3 ,
ٚاػؼ أْ وال ِٓ اٌّزغٍغٍز ٓ١األخ١شر٠ ٓ١ؾز ٞٛفمؾ ػٍ ٝؽذ ٚؽ١ذ ٌزٌه ثم١ذ اٌؾذٚد رٚاد األدٌخ إٌّبعجخ (ٌّٛلغ اٌؾذ اٌجبل)ٟ ٚاخزفذ ثم١ذ اٌؾذٚد ٚثبٌّضً ٔغزـ١غ ٚثىً صمخ أْ ٔمٛي أْ داٌخ ر١ٌٛذ اٌّزغٍغٍخ … 𝑠𝑛3 = 5,3,0,0,0,7,0,0,0, , هً اٌذاٌح 20 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ 𝑓3 𝑥 = 5 + 3𝑥 + 7𝑥 5
مثال 10 -3 اٚعذ داٌخ اٌز١ٌٛذ اٌخبطخ ثّزغٍغٍخ ف١جٔٛبرش ٟاٌش١ٙشح صُ أٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ا ٚاٌؾذ إٌ ٟٔٛإْ أِىٓ اٌؾً إْ اٌّزغٍغٍخ اٌّـٍٛثخ ٟ٘ … … 𝑠𝑛 = 0,1,1,2,3,5,8, ٚإرا سِضٔب ٌٍؾذ اٌؼبَ أ ٚاٌؾذ إٌ ٟٔٛثبٌشِض 𝑓nفبْ 𝑓0 = 0, 𝑓1 = 1فئْ اٌّزغٍغٍخ رأخز اٌظٛسح … … 𝑠𝑛 = 𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 ٚرى ْٛداٌخ اٌز١ٌٛذ اٌّـٍٛثخ ٌٙزٖ اٌّزغٍغٍخ ٟ٘ ⋯ 𝐹 𝑥 = 𝑓0 + 𝑓1 𝑥 + 𝑓2 𝑥 2 + 𝑓3 𝑥 3 + 𝑓4 𝑥 4 + ٚإرا أخزٔب ثؼ ٓ١االػزجبس أُ٘ خبط١خ ٌّزغٍغٍخ ف١جٔٛبرش ٟ٘ٚ ٟو ْٛوً ؽذ ٠غبِ ٞٚغّٛع اٌؾذ ٓ٠اٌغبثمٓ١ 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛 −1 + 𝑓𝑛 −2 فئْ اٌّزغٍغٍخ رأخز اٌظٛسح … … 𝑠𝑛 = 𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓0 + 𝑓1 , 𝑓1 + 𝑓2 , 𝑓2 + 𝑓3 , ٚرى ْٛداٌخ اٌز١ٌٛذ اٌخبطخ ثٙب ٟ٘ ⋯ 𝐹 𝑥 = 𝑓0 + 𝑓1 𝑥 + 𝑓0 + 𝑓1 𝑥 2 + 𝑓1 + 𝑓2 𝑥 3 + 𝑓2 + 𝑓3 𝑥 4 + ٌزىٓ ٌذٕ٠ب اٌّزغٍغٍخ … 𝑠1 = 𝑓0 , 𝑓1 , 0,0,0,0, أْ داٌخ اٌز١ٌٛذ ٌٙزٖ اٌّزغٍغٍخ ٟ٘ 𝑥 = 𝑥 𝐹1 𝑥 = 𝑓0 + 𝑓1 ٚإرا لّٕب ثئصاؽخ اٌّزغٍغٍخ 𝑛𝑠 إٌ ٝاٌ ٓ١ّ١خبٔخ ٚاؽذح ٘ٚزا ٠ؼٕ ٟػشة اٌذاٌخ اٌٌّٛذح ٌٙب ف( 𝑥 ٟأظش اٌّضبي ٔٚ )7-3ؾظً ػٍٝ اٌّزغٍغٍخ اٌزبٌ١خ … … 𝑠2 = 0, 𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 … … 𝑜𝑟 𝑠2 = 0, 𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓0 + 𝑓1 , 𝑓1 + 𝑓2 , 𝑓2 + 𝑓3 , ٚرى ْٛاٌذاٌخ اٌز١ٌٛذ اٌخبطخ ثٙب ٟ٘ 21 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ ⋯ 𝑥𝐹 𝑥 = 𝑓0 𝑥 + 𝑓1 𝑥 2 + 𝑓2 𝑥 3 + 𝑓3 𝑥 4 + 𝑓4 𝑥 5 + ٚإرا لّٕب ثئصاؽخ 𝑛𝑠 خبٔز ٓ١فئٕٔب عٕؾظً ػٍ ٝاٌّزغٍغٍخ … … 𝑠3 = 0,0, 𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 … … 𝑜𝑟 𝑠3 = 0,0, 𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓0 + 𝑓1 , 𝑓1 + 𝑓2 , 𝑓2 + 𝑓3 , ٘ٚزا ٠ؼٕ ٟػشة اٌذاٌخ
𝑥 𝐹 فٌ 𝑥 2 ٟزى ْٛداٌخ ر١ٌٛذ اٌّزغٍغٍخ ٟ٘ 𝑠3 ⋯ 𝑥 2 𝐹 𝑥 = 𝑓0 𝑥 2 + 𝑓1 𝑥 3 + 𝑓2 𝑥 4 + 𝑓3 𝑥 5 + 𝑓4 𝑥 6 +
ثغّغ ؽذٚد اٌّزغٍغالد 𝑠1 , 𝑠2, , 𝑠3فئٕٔب عٕؾظً ػٍ ٝاٌّزغٍغٍخ اٌزبٌ١خ (٘ٚزا ٠ؼٕ ٟعّغ دٚاي اٌز١ٌٛذ اٌّشافمخ ٌٍّزغٍغالد ) … 0,
0,
0,
0,
𝑓1 ,
𝑓0 ,
… 𝑓4 , 𝑓5 ,
𝑓3 ,
𝑓2 ,
𝑓1 ,
𝑓0 ,
0,
… … 𝑓3 , 𝑓4
𝑓2 ,
𝑓0 ,
0,
0,
𝑓1 ,
ٚرىٔ ْٛز١غخ اٌغّغ ٘ ٟاٌّزغٍغٍخ 𝑠4 … 𝑓0 , 𝑓0 + 𝑓1 , 𝑓0 + 𝑓1 , 𝑓1 + 𝑓2 , 𝑓2 + 𝑓3 , ٚرى ْٛداٌخ اٌز١ٌٛذ اٌخبطخ ثٙب ٟ٘ )𝑥(𝐹 𝑥 + 𝑥𝐹 𝑥 + 𝑥 2 ثّشاػبح و 𝑓0 = 0 ْٛفبْ اٌؾذ اٌضبٔ ِٓ ٟاٌّزغٍغٍخ 𝑠4ع١أخز اٌمّ١خ 𝑓1رٌه اْ ٚ 𝑓0 + 𝑓1 = 𝑓1رأخز اٌّزغٍغٍخ 𝑠4اٌشىً اٌزبٌٟ … … 𝑠4 = 𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓0 + 𝑓1 , 𝑓1 + 𝑓2 , 𝑓2 + 𝑓3 , ٚاػؼ رغب ٞٚاٌّزغٍغًر٘ٚ 𝑠𝑛 ٚ 𝑠4 ٓ١زا ٠مزؼ ٟرغب ٞٚدٚاي اٌز١ٌٛذ 𝑥 = 𝑥 𝐹 𝐹 𝑥 = 𝑥 + 𝑥𝐹 𝑥 + 𝑥 2 𝐹 𝑥 ⇒ 𝐹 𝑥 − 𝑥𝐹 𝑥 − 𝑥 2 𝑥 1 − 𝑥 − 𝑥2
= 𝑥 𝐹 ⇒ 𝑥 = 𝐹 𝑥 1 − 𝑥 − 𝑥2
ٚثٙزا ٔى ْٛلذ ؽظٍٕب ػٍ ٝداٌخ اٌز١ٌٛذ اٌخبطخ ثّزغٍغٍخ ف١جٔٛبرشٔٚ ٟى ْٛلذ أزٕ١ٙب ِٓ اٌغضء األٚي ِٓ اٌغؤاي ٚعٕجذأ ثخـٛاد إ٠غبد اٌؾذ اٌؼبَ 1∓ 1+4∙1∙1 1∓ 5 = ⇒ 2 2 1+ 5 2
=
𝑥
2 1+ 5
1+
−𝑥 − 1+ 5 2
= 𝑥 ⇒ 1 − 𝑥 − 𝑥2 = 0
1− 5 2
1 − 𝑥 − 𝑥2 = 𝑥 +
𝑥
1− 5 2
−
2 1− 5
1+
22 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ الؽظ أْ 1− 5 1+ 5 ∙ − 2 2
=1 عٕؼغ
1− 5 2
= ٔٚ ∅1ؼغ
1+ 5 2
1
= ِٓ ∅2اٌؼاللخ األخ١شح ٕ٠ٚ ∅1 ∅2 = −1زظ ٌذٕ٠ب أْ ∅ = ِٕٗٚ −∅1فئْ 2
)𝑥 𝑥 = 1 ∙ 1 − ∅1 𝑥 (1 − ∅2
2 1+ 5
1+
1+ 5 2
−
𝑥
2 1− 5
1+
1− 5 2
= 1 − 𝑥 − 𝑥2
ٔغزـ١غ أْ ٔمٛي اْ٢ 𝑥 𝐴 𝐵 = + 𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝐴 1 − ∅2 𝑥 + 𝐵 1 − ∅1 1 − 𝑥 − 𝑥2 𝑥 1 − ∅1 )𝑥 (1 − ∅2
= 𝑥 𝐹
ثّمبسٔخ اٌّؼبِالد فئْ −∅2 𝐴 − ∅1 𝐵 = 1 𝑎𝑛𝑑 𝐴 + 𝐵 = 0 ثؾً اٌّؼبدٌزِ ٓ١ؼب فئٕٔب عٕغذ أْ
1 5
=𝐵ٚ
1 5
𝐴=−
ٚرأخز داٌخ اٌز١ٌٛذ اٌشىً ا٢رٟ ⇒ ) (1 + ∅2 𝑥 + ∅2 2 𝑥 2 + ∅2 3 𝑥 3 +. . 𝑛
1
1 + ∅1 𝑥 + ∅1 2 𝑥 2 + ∅1 3 𝑥 3 +. . +
5 1
1+ 5 + 2 5
𝑛
1
1− 5 =− 2 5
𝑛
∅2
1 5
𝑛
1 5
∅1 +
𝐹 𝑥 =− 1 5
𝑎𝑛 = −
٘ٚىزا ٔى ْٛلذ ؽظٍٕب ػٍ ٝط١غخ ٌؾغبة وً ؽذ ِٓ ؽذٚد اٌّزغٍغٍخ مثال ( 11 -3تطبٍق ٌومً) ثىُ ؿش٠مخ ّ٠ىٓ أْ ٔؼغ 6صّشاد ِٓ اٌفٛاوٗ ِأخٛرح ِٓ أسثؼخ أٔٛاع ِخزٍفخ (رفبػ – ِٛص-ثشرمبي-وّضش )ٜداخً و١ظ ثؾ١ش رزؾمك اٌششٚؽ اٌزبٌ١خ
ػذد اٌزفبؽبد صٚعٟ ػذد صّبس اٌّٛص ِ٘ ِٓ ٛؼبػفبد اٌخّغخ ال ٠ض٠ذ ػذد اٌجشرمبالد ػٍ4 ٝ ٚال ٠ض٠ذ ػذد صّبس اٌىّضش ٜػٍ1 ٝ اٌؾً أْ ِغأٌخ وٙزٖ ٠زؼزس ؽٍٙب ثبعزخذاَ ؿشق اٌؾغبة اٌّؼشٚفخ (اٌزٛاف١ك ِضال) ٌىٓ ؽٍٙب ػّٓ اي ٌٛٙ Generating functionsأِش ف ٟغب٠خ اٌغٌٛٙخ أظش 1
Apples- 𝐴 𝑥 = 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + 𝑥 6 + ⋯ = 1−𝑥 2
1
Bananas-𝐵 𝑥 = 1 + 𝑥 5 + 𝑥 10 + 𝑥 15 + ⋯ = 1−𝑥 5 23 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ 1−𝑥 5 𝑥1−
𝑥5
1
= 𝑥Oranges-𝑂 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 1−𝑥 − 1− 1−𝑥 2 𝑥1−
𝑥2
1
= 𝑥Pears-𝑃 𝑥 = 1 + 𝑥 = 1−𝑥 − 1−
٘ٚىزا ٚؽغت ِجذأ اٌؼذ فئْ ػذد اٌـشق اٌّّىٕخ ٘ٛ 1 1 𝑥1−𝑥 1− 1 2 1 ′ = 𝑥 𝑃 𝑥 𝑂 𝑥 𝐵 𝑥 𝐴 ∙ ∙ ∙ = = 𝑥 1 − 𝑥2 1 − 𝑥5 1 − 𝑥 1 − 𝑥1− 𝑥1− ′ 1 1 ⇒ ⋯ = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + = 1 + 2𝑥 + 3𝑥 2 + 4𝑥 3 + ⋯ + 𝑛𝑥 𝑛 −1 𝑥1− 𝑥1− ٚاػؼ ِٓ اٌؼجبسح األخ١شح أْ ِؼبًِ ٛ٘ٚ 7 ٛ٘ 𝑥 6ػذد اٌـشق اٌّـٍٛة 2
5
. 4انعالقاث انتكشاسٌت )( Recurrence Relations ٔؼشف عّ١ؼب ِزغٍغٍخ ف١جٔٛبرش ٟاٌش١ٙشح ٔٚ 0,1,1,2,3,5,8ؼشف أْ وً ؽذ فٙ١ب ِ٘ ٛغّٛع اٌؾذ ٓ٠اٌغبثمٚ ٌٗ ٓ١اْ اٌؾذٓ٠ األّ٘ ٓ١ٌٚب ٔ 𝑓0 = 0, 𝑓1 = 1ىزت اٌؼجبسح األخ١شح س٠بػ١ب ثبٌشىً اٌزبٌٟ
أْ ٘زا إٌٛع ِٓ اٌؼاللبد اٌش٠بػ١خ ٠ـٍك ػٍ ٗ١ػاللخ رىشاس٠خ .Recurrence Relationsعٕزفك ف٘ ٟزا اٌجبة ػٍ ٝإٔٔب ٔؼٕٟ ثىٍّخ ػاللخ اٌؼاللخ رىشاس٠خ ِب ٌُ ٔزوش غ١ش رٌه ٕ٘.بن اٌؼذ٠ذ ِٓ األِٛس اٌز٠ ٟغت اٌزـشق إٌٙ١ب أصٕبء دساعخ اٌؼاللب د اٌزىشاس٠خ ػٍ ٝعج ً١اٌّضبي : درجة العالقة التكزارية ( :)The Order Of Recurrence Relationإْ دسعخ اٌؼاللخ رخجشٔب ثؼذد اٌؾذٚد اٌز ٟرغجك اٌؾذ إٌٚ 𝑎n ٟٔٛاٌز٠ ٟغت أْ ٔؼٛد إٌٙ١ب ؤ ٟؾغت اٌؾذ إٌ ٟٔٛفّضال ٔمٛي أْ دسعخ اٌؼاللخ اٌز ٟرظف ِزغٍغٍخ ف١جٔٛبرشٟ٘ ِٓ ٟ اٌذسعخ اٌضبٔ١خ وّب ٔمٛي أْ اٌؼاللخ اٌزبٌ١خ ِٓ 𝑎n = 𝑎n−1 + nاٌذسعخ األٌٝٚ خطية العالقة التكزارية ( ٔ :)Linearity of Recurrence Relationؼٕ ٟثخـ١خ اٌؼاللخ أٗ ّ٠ىٓ رّض ً١اٌؾذ إٌ𝑎n ٟٔٛ ثبٌشىً اٌزبٌٟ 𝑎𝑛 = 𝑐1 𝑎1 + 𝑐2 𝑎2 + 𝑐3 𝑎2 + ⋯ + 𝑐𝑛−1 𝑎𝑛−1 ثؾ١ش ٠ى 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 , … , 𝑐n ْٛصٛاثذ أٌٚ 𝐹(𝑛) ٚىٓ ٌ١ظ 𝑖𝑎 ِ ,ضال ٔمٛي أْ اٌؼاللخ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 −2ػاللخ غ١ش خـ١خ وّب أْ اٌؼاللخ 𝑎𝑛 = 𝑛𝑎𝑛−1ػاللخ خـ١خ (ٚ )Linearثشىً ػبَ فبْ غ١بة اٌخـ١خ ٛ٠سس اٌىض١ش ِٓ اٌّشبوً وّب ِ٘ ٛؼشٚف فٟ ػبٌُ اٌش٠بػ١بد . تجانس العالقة التكزارية الخطية (ٌٕ :)Homogeneity of Linear Recurrence Relationفشع ػاللخ خـ١خ رىشاس٠خ ِؼشفخ ثبٌشىً اٌزبٌ:ٟ )𝑛(𝐹 𝑎𝑛 = 𝑐1 𝑎1 + 𝑐2 𝑎2 + 𝑐3 𝑎2 + ⋯ + 𝑐𝑛−1 𝑎𝑛−1 + ٔمٛي ػٓ ٘زٖ اٌؼاللخ أٔٙب ِزغبٔغخ ( )Homogeneousإرا ٚفمؾ إرا وبٔذ .𝐹 𝑛 = 0ثٕبء ػٍِ ٝب عجك ٔغزـ١غ أْ ٔمٛي أْ اٌؼاللخ اٌز ٟرؼـٕ١ب ِزغٍغٍخ ف١جٔٛبرش ٟ٘ ٟػاللخ خـ١خ ِزغبٔغخ ثّٕ١ب اٌؼاللخ ٟ٘ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2𝑛−1ػاللخ غ١ش ِزغبٔغخ.
حم انعالقاث انخطٍت رواث انمعامالث انثابتت ٔؼٕ ٟثؾً اٌؼاللخ ٘ ٛإ٠غبد ط١غخ ػبِخ ٌٍؾذ إٌ 𝑎𝑛 ٟٔٛد ْٚاٌٍغٛء إٌ ٝاٌزىشاس٠خ ٚاٌّضبي اٌزبٌٛ٠ ٟػؼ ِؼٕ ٝإ٠غبد ؽً ٌٍؼاللخ مثال 1 -4 ؽً اٌؼاللخ
:
𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1ػٍّب أْ 𝑎0 = 1
اٌؾً 𝑛ٚ 𝑎𝑛 = 2ف ٟاٌجٕٛد اٌزبٌ١خ عٕج ٓ١و١ف١خ اٌؾظٛي ػٍ ٝاٌغٛاة اٌظؾ١ؼ 24 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ انحانت األونى (انعالقاث انمتجانست ) مثال2-4 اٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍؼاللخ 𝑛𝑎 𝑎𝑛+1 = 2ػٍّب أْ 𝑎0 = 1 اٌؾً :عٕفشع أْ ؽً اٌؼاللخ ٠ؼـ ٝثبٌظٛسح 𝑛 𝑠𝐴 = 𝑛𝑎 عٕم َٛثبٌزؼ٠ٛغ ف ٟاٌؼاللخ اٌّؼـبح
𝑛 𝑠𝐴𝑎𝑛+1 = 2𝑎𝑛 ⇒ 𝐴𝑠 𝑛 +1 = 2 ٚثمغّخ ؿشف ٟاٌّغبٚاح األخ١شح ػٍٔ 𝐴𝑠 𝑛 ٝغذ أْ 𝑠 = 2 ٚثبٌزؼ٠ٛغ ف ٟاٌفشع عٕغذ أْ 𝑛)ٌٚ 𝑎𝑛 = 𝐴(2ىٓ ػٕذِب 𝑛 = 0فئْ 𝑎0 = 1 ∴ ٘ٚ 𝑎0 = 1 = 𝐴(2)0زا ٠ؼٕ ٟأْ ٘ٚ 𝐴 = 1ىزا ٔغذ أْ اٌؾً اٌّـٍٛة ٘𝑎𝑛 = 1 ∙ (2)𝑛 ٛ مثال 3 -4 اٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍؼاللخ 𝑛𝑎 𝑎𝑛+1 = −3ػٍّب أْ 𝑎0 = 2 وّب ف ٟاٌّضبي اٌغبثك عٕفشع أْ ؽً اٌؼاللخ ٠ؼـ ٝثبٌظٛسح 𝑛 𝑠𝐴 = 𝑛𝑎 عٕم َٛثبٌزؼ٠ٛغ ف ٟاٌّؼبدٌخ اٌّؼـبح 𝑎𝑛+1 = −3𝑎𝑛 ⇒ 𝐴𝑠 𝑛 +1 = −3𝐴𝑠 𝑛 ⇒ 𝑠 = −3 ثبٌزؼ٠ٛغ ف ٟاٌفشع ٕ٠زظ ٌذٕ٠ب أْ 𝑛)ٚ 𝑎𝑛 = 𝐴(−3ثّشاػبح أْ 𝑎𝑛 = 2ػٕذِب 𝑛 = 0فبْ األِٛس رزخز اٌّغبس اٌزبٌٟ 𝑎0 = 2 = 𝐴(−3)0 ⇒ 2 = 𝐴 ∙ 1 ⇒ 𝐴 = 2 𝑛)𝑎𝑛 = 𝐴𝑠 𝑛 ⇒ 𝑎𝑛 = 2(−3 مثال 4-4 اٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍؼاللخ 𝑛𝑎 𝑎𝑛+2 = −2𝑎𝑛+1 + 3ػٍّب أْ 𝑎0 = −4, 𝑎1 = 5 اٌؾً عٕزخز ٔفظ اٌّغبس اٌغبثك ٚرٌه ثفشع أْ اٌؾً ٠ؼـ ٟثبٌظٛسح 𝑛 𝑠𝐴 = 𝑛𝑎 ⇒ 𝑎𝑛+2 = −2𝑎𝑛+1 + 3𝑎𝑛 ⇒ 𝑎𝑛+2 + 2𝑎𝑛+1 − 3𝑎𝑛 = 0 ⇒ 𝐴𝑠 𝑛 +2 + 2𝐴𝑠 𝑛 +1 − 3𝐴𝑠 𝑛 = 0 𝑠 2 + 2𝑠 − 3 = 0 ⇒ 𝑠 + 3 𝑠 − 1 = 0 ⇒ 𝑠 = 1, 𝑠 = −3 ّ٠ىٓ أْ ٔمٛي اٌؾً اٌّـٍٛة ٠ؼـ ٝثبٌؼاللخ 𝑛)ّ٠( 𝑎𝑛 = 𝐴(1)𝑛 + 𝐵(−3ىٓ أصجبد رٌه) ٚإل٠غبد لّ١زٔ A,B ٟم َٛثب٢ر:ٟ 𝑎0 = −4 = 𝐴(1)0 + 𝐵(−3)0 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = −4 𝑎1 = 5 = 𝐴(1)1 + 𝐵(−3)1 ⇒ 𝐴 − 3𝐵 = 5 25 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ −7 −9 −7 −9 𝑛). 𝑎𝑛 = 4 (1)𝑛 + 4 (−3 ٚثؾً اٌّؼبدٌزِ ٓ١ؼب ٔغذ أْ ٚ 𝐴 = 4 𝑎𝑛𝑑 𝐵 = 4رى ْٛلّ١خ اٌؾذ اٌؼبَ ٟ٘ مهحوظت هامت :ػٕذِب أٚعذٔب ل s ُ١ؽظٍٕب ػٍ ٝلّ١زٚ ٓ١الثذ أْ وال ِّٕٙب رؾمك اٌؼاللخ اٌّؼـبح أظش )𝐴𝑠1 𝑛 +2 = −2𝐴𝑠1 𝑛 +1 + 3𝐴𝑠1 𝑛 = 𝐴𝑠1 𝑛 (−2𝑠1 + 3) ⇒ 𝐴𝑠1 𝑛 +2 = 𝐴𝑠1 𝑛 (−2𝑠1 + 3 ٌٚ ٛػؼٕب 𝑠1 = 1فغٕؾظً ػٍ ٝأْ 𝐴 = −2 + 3
𝑛
ٚ 𝐴(1)𝑛+2 = 𝐴 1ثبٌّضً
)𝐵𝑠2 𝑛+2 = −2𝐵𝑠2 𝑛 +1 + 3𝐵𝑠2 𝑛 = 𝐵𝑠2 𝑛 (−2𝑠2 + 3) ⇒ 𝐵𝑠2 𝑛 +2 = 𝐵𝑠2 𝑛 (−2𝑠2 + 3 ٌٛٚػؼٕب 1 𝑠2 = −3فغٕؾظً ػٍ ٝأْ
𝑛+2
9 = 𝐵 −3
𝑛
−2 ∙ −3 + 3 = 𝐵 −3
𝑛
𝐵(−3)𝑛+2 = 𝐵 −3
ثغّغ ؿشف ٟاٌؼالقر ٓ١أػالٖ ٔغزـ١غ أْ ٔمٛي أْ 𝑛). 𝑎𝑛 = 𝐴(1)𝑛 + 𝐵(−3 ف ٟاٌؾم١مخ ٔٛد اإلشبسح إٌ ٝأْ اٌؼاللبد اٌخـ١خ اٌّزغبٔغخ ِٓ اٌذسعخ اٌضبٔ١خ رؾزبط إٌِ ٝض٠ذ ِٓ اٌزأًِ ٚرٌه ثغجت ؿج١ؼخ عزٚس Characteristic Equation 𝑛 𝑛 )1إرا وبْ ٌٍّؼبدٌخ عزساْ ِخزٍفبْ فئْ اٌؾذ اٌؼبَ ٠ى ْٛػٍ ٝاٌظٛسح 𝑎𝑛 = 𝐴𝑠1 + 𝐵𝑠2 ٚ )2إرا وبْ ٌٍّؼبدٌخ عزس ِؼبػف ِخزٍفبْ فئْ اٌؾذ اٌؼبَ ٠ى ْٛػٍ ٝاٌظٛسح 𝑛 𝑠𝑛𝐵 𝑎𝑛 = 𝐴𝑠 𝑛 + عٕش ٞو١ف عٕغزخذَ األِٛس اٌز ٟرؼٍّٕب٘ب ف ٟاألِضٍخ اٌمبدِخ
مثال 5 -4 اٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ يِزغٍغٍخ ف١جٔٛبرشٚ ٟاٌز ٟرؼـ ٝثبٌؼاللخ 𝑛𝑓 = 𝑓𝑛 +1 +
𝑓𝑛 +2ػٍّب أْ 𝑓0 = 0, 𝑓1 = 1
اٌؾً ثفشع 𝑛 𝑠𝐴 = 𝑛𝑓 ٚاٌزؼ٠ٛغ ف ٟاٌؼاللخ اٌّؼـبح ٔغذ ا٢رٟ 1+ 5 1− 5 = 𝑠 𝑑𝑛𝑎 2 2
= 𝑠 ⇒ 𝑠2 − 𝑠 − 1 = 0
٠ٚى ْٛاٌؾذ اٌؼبَ أ ٚاٌؾذ إٌ ٟٔٛػٍ ٝاٌظٛسح 𝑛
1− 5 𝐵+ 2
n
1+ 5 𝑓n = A 2
ٔغزخذَ 𝑓0 , 𝑓1إل٠غبد ل ُ١اٌّؼبِالد اٌّغٌٛٙخ 0
= 𝐴+𝐵 = 0 1+ 5 1− 5 𝐵+ =1 2 2
1
𝐴=
1− 5 𝐵+ 2 1− 5 𝐵+ 2
0
1
1+ 5 𝑓0 = A 2 1+ 5 𝑓1 = A 2
26 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ 1 −1 ٚثؾً اٌّؼبدٌزٔ ٓ١غذ أْ ٘ٚ 𝐴 = 5 𝑎𝑛𝑑 𝐵 = 5ىزا ٔغزـ١غ أْ ٔمٛي أْ اٌؾذ اٌؼبَ أ ٚاٌؾذ إٌ ٟٔٛفِ ٟزغٍغٍخ ف١جٔٛبرشٟ 𝑛
٠ؼـ ٝثبٌؼاللخ
1− 5 2
1 5
−
𝑛
1
1+ 5
5
2
مثال 6 -4 أٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍّزغٍغٍخ اٌز ٟرؼـ ٝثبٌؼاللخ اٌزىشاس٠خ 𝑛𝑎= 5𝑎𝑛+1 + 14
= 𝑛𝑓
𝑎𝑛+2ػٍّب أْ 𝑎0 = 𝑎1 = −4
اٌؾً ٔم َٛثئ٠غبد ؽً ًٌ Characteristic Equationالؽمب ()CE 𝑠 2 − 5𝑠 − 14 = 0 ⇒ 𝑠 + 2 𝑠 − 7 = 0 ⇒ 𝑠 = −2 𝑎𝑛𝑑 𝑠 = 7
ِٓ اٌٛاػؼ أْ اٌؾذ اٌؼبَ ٠ى ْٛػٍ ٝاٌظٛسح 𝑛)+ 𝐵(7
𝑛
.𝑎𝑛 = 𝐴 −2ثبعزخذاَ لٔ 𝑎0 , 𝑎1 ُ١ؾظً ػٍ ٝاٌّؼبدالد اٌزبٌ١خ = 𝐴 + 𝐵 = −4
0
+𝐵 7
0
𝑎0 = 𝐴 −2
𝑎1 = 𝐴(−2)1 + 𝐵(7)1 = −2𝐴 + 7𝐵 = −4 ثؾً اٌّؼبدٌزِ ٓ١ؼب ٔغذ أْ
−4 3
= 𝐵 𝑑𝑛𝑎
−8 3
= 𝐴 ٠ٚى ْٛاٌؾذ اٌؼبَ ٘ٛ 𝑛
مثال 7 -4 أٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍّزغٍغٍخ اٌز ٟرؼـ ٝثبٌؼاللخ اٌزىشاس٠خ 𝑛𝑎 = −2𝑎𝑛+1 −
−4 7 3
+
𝑛
−8 −2 3
= 𝑛𝑎
𝑎𝑛+2ػٍّب أْ 𝑎0 = 1 , 𝑎1 = 2
𝑛)𝑠 2 − 2𝑠 + 1 = 0 ⇒ (𝑠 − 1)2 = 0 ⇒ 𝑠 = 1 ⇒ 𝑎𝑛 = 𝐴(1)𝑛 + 𝐵𝑛(1 ثبعزخذاَ اٌششٚؽ االثزذائ١خ (ل ُ١أٚي ؽذ ِٓ ٓ٠اٌّزغٍغٍخ) ٔغذ أْ 𝐴 = 1 𝑎𝑛𝑑 𝐵 = 1 ِٕٗٚأْ 𝑎𝑛 = 𝑛 + 1 انحانت انثانٍت (انعالقاث غٍش انمتجانست) إْ اٌظٛسح اٌؼبِخ ٌٍؼاللخ اٌخـ١خ ِٓ اٌذسعخ األ ٌٝٚغ١ش اٌّزغبٔغخ ٚاٌزِ ٟؼبِالرٙب صبثزخ ٘𝑎n = A𝑎n −1 + F(n) ٟ ٚإل٠غبد اٌؾذ اٌؼبَ ٔزجغ اٌخـٛاد اٌزبٌ١خ: )1 )2 )3 )4
ٔم َٛثئ٠غبد اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍؼاللخ اٌّزغبٔغخ ١ٌٚ 𝑎n = A𝑎n−1ىٓ )𝑠 (0 ٔم َٛثئ٠غبد اٌؾً اٌخبص 𝑛𝑠 ٚاٌز٠ ٞىِ ْٛمشٔٚب ثـج١ؼخ )F(n ٔم َٛثغّغ ) 𝑠𝑛 ٚ 𝑠 (0ف١ى ْٛإٌبرظ ٘ ٛاٌؾذ اٌؼبَ ٌٍؼاللخ وىً أ ٞأْ ٔم َٛثبعزخذاَ ل ُ١اٌؾذٚد األٌٍ ٌٝٚزخٍض ِٓ اٌضٛاثذ ف𝑠 (0) ٟ
𝑛𝑠 𝑎𝑛 = 𝑠 (0) +
مثال 8 -4 أٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍّزغٍغٍخ اٌّؼـبح ثبٌؼاللخ 𝑎n = 6𝑎n−1 + 60ػٍّب أْ 𝑎0 = 3 27 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ اٌؾً ٔم َٛثئ٠غبد ؽً اٌّؼبدٌخ اٌّزغبٔغخ )(0 𝑛 𝑠 − 6 = 0 ⇒ 𝑠 = 6 ⇒ 𝑠 = 𝐴6 ثّب أْ ) F(nػجبسح داٌخ صبثزخ فئْ اٌظٛسح اٌؼبِخ ٌٍذٚاي اٌضبثزخ ٘ٔ 𝑠𝑛 = 𝐵 ٟم َٛثبٌزؼ٠ٛغ ػٕٗ ف ٟاٌؼاللخ األعبع١خ وبٌزبٌ:ٟ 𝐵 = 6𝐵 + 60 ⇒ −5𝐵 = 60 ⇒ 𝐵 = −12 ∴ 𝑎𝑛 = 𝑠 (0) + 𝑠𝑛 = 𝐴6𝑛 − 12. 𝑝𝑢𝑡 𝑛 = 0 𝑡𝑒𝑛 𝑎𝑛 = 𝐴6𝑛 − 12 = 𝐴60 − 12 = 3 ⇒ 𝐴 = 15 𝑎𝑛 = 15 ∙ 6𝑛 − 12 مثال 9 -4 اٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍّزغٍغٍخ 𝑎n = 2𝑎n−1 + 6n + 5ػٍّب أْ 𝑎0 = −2 اٌؾً 𝐴 𝑛𝑠 (0) = 𝐴 ∙ 2𝑛 = 2
⇒𝑠−2=0⇒𝑠=2
إْ ) F(nػجبسح داٌخ وض١شح ؽذٚد ِٓ اٌذسعخ األٌٚ ٌٝٚزا فئْ اٌظٛسح اٌؼبِخ ٌىض١شاد اٌؾذٚد ِٓ اٌذسعخ األ𝑠𝑛 = 𝐵𝑛 + 𝐶 ٟ٘ ٌٝٚ عٕزجذي 𝑛𝑠 ة 𝑛𝑎 ف ٟاٌؼاللخ األعبع١خ ٚعٕغ١ش ِب ٍ٠ضَ : 𝑎n = 2𝑎n−1 + 6n + 5 ⇒ 𝐵𝑛 + 𝐶 = 2𝐵 𝑛 − 1 + 2𝐶 + 6𝑛 + 5 ⇒ −𝐵𝑛 + 2𝐵 − 𝐶 = 6𝑛 + 5 ثّمبسْ اٌّؼبِالد ٔغذ أْ ح 17 2
٘ٚىزا فئْ اٌؾً اٌخبص ٘ٛ
17 2
= 𝐶 𝑑𝑛𝑎 −𝐵 = 6 𝑎𝑛𝑑 2𝐵 − 𝐶 = 5 ⇒ 𝐵 = −6
𝑠𝑛 = −6𝑛 +
17 17 . 𝑝𝑢𝑡 𝑛 = 0 𝑡𝑒𝑛 𝑎𝑛 = 𝑎0 = 𝐴 ∙ 20 + = −2 2 2
∴ 𝑎𝑛 = 𝑠 (0) + 𝑠𝑛 = 𝐴 ∙ 2𝑛 − 6𝑛 + 17 21 −2=− 2 2
𝐴=−
عٕ ٌٟٛشىً ) F(nأّ٘١خ خبطخ ٚرٌه ٌزغ ً١ٙػٍّ١خ اخز١بس اٌؾً اٌخبص ِٓٚأعً ٘زا عٕؼزجش أْ اٌظ١غخ اٌؼبِخ ٟ٘ )(B
𝑡 n cm nm + cm −1 nm −1 + ⋯ + c0
ؽ١ش 𝑡 ػذد ؽم١مٚ .ٟاػؼ أْ ) ٟ٘ F(nؽبطً ػشة داٌخ أع١خ ف ٟوض١شح ؽذٚد .عٕم ُ١ػاللخ ث ٓ١شىً )ٚ F(nعزٚس اٌّؼبدٌخ اٌّشافمخ ٌٍؼاللخ اٌّزغبٔغخ ٚ CEرٌه وّب : ٍٟ٠ )1إرا وبٔذ ) F(nوض١شح ؽذٚد فمؾ فٙزا ٠ؼٕ ٟأْ ِٕٗٚ 𝑡 n = 1أْ ٕ٘ٚ 𝑡 = 1بن ؽبٌزبْ: .Aأْ ٠ى ٛ٘ 1 ْٛاؽذ عزٚس ٘ٚ CEىزا رى ْٛاٌظ١غخ اٌؼبِخ ٌٍؾً اٌخبص ٟ٘ 𝑗 𝑛 sn = 1 𝑛 cm nm + cm −1 nm −1 + ⋯ + c0 = 𝑛 𝑗 cm nm + cm −1 nm −1 + ⋯ + c0 28 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ ؽ١ش ٛ٘ jػذد ِشاد دخٛي 1وغزس ًٌ ٟ٘ m ٚ CEدسعخ وض١شح اٌؾذٚد. .Bأْ ال ٠ى 1 ْٛأؽذ عزٚس ٚ CEثبٌزبٌ٠ ٟى ْٛاٌؾً اٌخبص ػٍ ٝاٌظٛسح m sn = cm n + cm −1 nm−1 + ⋯ + c0 الؽظ إٔٔب ٚػؼٕب وض١شح اٌؾذٚد ف ٟاٌظٛسح اٌؼبِخ ِغ ِشاػبح دسعزٙب. )2إرا وبٔذ ) F(nداٌخ أع١خ فمؾ أ ٞػٍ ٝاٌظٛسح 𝑛 𝑡𝐴 فٕٙبن أ٠ؼب ؽبٌزبْ: .Aأْ ٠ى 𝑡 ْٛأؽذ عزٚس ٚ CEػٍ ٗ١فئْ اٌؾً اٌخبص ٠ى ْٛػٍ ٝاٌظٛسح 𝑛 𝑡 𝑗 𝑛𝐴 = 𝑛𝑠 ؽ١ش ٛ٘ jػذد ِشاد دخٛي tوغزس ًٌCE .Bأْ ال ٠ى t ْٛأؽذ عزٚس ٚ CEثبٌزبٌ٠ ٟى ْٛاٌؾً اٌخبص ػٍ ٝاٌظٛسح 𝑛 sn = At )3إرا وبٔذ ) F(nػجبسح ػٓ ؽبطً ػشة داٌخ أع١خ ٚوض١شح ؽذٚد فغٕم َٛثٕفظ اٌؼًّ ف ٟاٌؾبالد اٌغبثمخ ِغ رغ١١ش ِب ٍ٠ضَ .Aأْ ٠ى 𝑡 ْٛأؽذ عزٚس ٚ CEػٍ ٗ١فئْ اٌؾً اٌخبص ٠ى ْٛػٍ ٝاٌظٛسح 𝑛 𝑗 m ) 𝑠𝑛 = 𝑛 𝑡 (cm n + cm−1 nm−1 + ⋯ + c0 ؽ١ش ٛ٘ jػذد ِشاد دخٛي 1وغزس ًٌ ٟ٘ m ٚ CEدسعخ وض١شح اٌؾذٚد .Bأْ tال ٠ى ْٛأؽذ عزٚس ٚ CEثبٌزبٌ٠ ٟى ْٛاٌؾً اٌخبص ػٍ ٝاٌظٛسح ) 𝑠𝑛 = 𝑡 𝑛 (cm nm + cm −1 nm −1 + ⋯ + c0
مثال 10 -4 اٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍّزغٍغٍخ اٌّؼـبح ثبٌؼاللخ اٌزىشاس٠خ = 𝑎𝑛 + 4𝑛 + 3
𝑎𝑛+1ػٍّب أْ 𝑎0 = 1
اٌؾً ٔ :م َٛثئ٠غبد ؽٍٛي CEوّب :ٍٟ٠ 𝑛)𝑠 − 1 = 0 ⇒ 𝑠 = 1 ⇒ 𝑠 (0) = 𝐴(1 إرا اٌمّ١خ ٟ٘ 1أؽذ عزٚس اي CE ثّب أْ ) ٟ٘ F(nوض١شح ؽذٚد فمؾ إرا ٠ ٛ٘ٚ t=1ذخً ِشح ٚاؽذح وغزس يٚ CEػٍ ٗ١فئْ j=1 الؽظ أْ وض١شح اٌؾذٚد ِٓ 4𝑛 + 3اٌذسعخ األ ٌٝٚإرا ٚ m=1اٌظٛسح اٌؼبِخ ٌىض١شاد اٌؾذٚد ِٓ اٌذسعخ األٟ٘ ٌٝٚ 𝐶 ِّ 𝐵𝑛 +ب عجك ٔغزـ١غ أْ ٔمٛي أْ اٌؾً اٌخبص ٠أخز اٌظٛسح
𝐶 𝑠𝑛 = 1 𝑛 𝑛 𝐵𝑛 + 𝐶 = 𝑛 𝐵𝑛 +
عٕغزجذي 𝑠nة 𝑛𝑎 ٔٚغ١ش ِب إل٠غبد ل ُ١اٌّؼبِالد ف ٟاٌؼاللخ األعبع١خ 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 4𝑛 + 3 ⇒ 𝑛 + 1 𝐵 𝑛 + 1 + 𝐶 = 𝑛 𝐵𝑛 + 𝐶 + 4𝑛 + 3 ⇒ 𝐵(𝑛 + 1)2 + 𝐶 𝑛 + 1 = 𝐵𝑛2 + 𝐶𝑛 + 4𝑛 + 3 𝐵𝑛2 + 2𝐵𝑛 + 𝐵 + 𝐶𝑛 + 𝐶 = 𝐵𝑛2 + 𝐶𝑛 + 4𝑛 + 3 ⇒ 2𝐵𝑛 + 𝐵 + 𝐶 = 4𝑛 + 3 ⇒ 𝐵 = 2, 𝐶 = 1 ٠ٚى ْٛاٌؾً اٌخبص ػٍ ٝاٌظٛسح )𝑠𝑛 = 𝑛(2𝑛 + 1 𝑎𝑛 = 𝐴(1)𝑛 + 𝑛 2𝑛 + 1 , 𝑝𝑢𝑡 𝑛 = 0 𝑡𝑒𝑛 𝑎0 = 𝐴(1)0 = 1 ⇒ 𝐴 = 1 29 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ ٠ٚى ْٛاٌؾذ اٌؼبَ ٘𝑎𝑛 = 𝑛 2𝑛 + 1 + 1 ٛ مثال11 -4 اٚعذ اٌؾذ اٌؼبَ ٌٍّزغٍغٍخ اٌز ٟرؼـ ٝثبٌؼاللخ = 5𝑎𝑛+1 − 6𝑎𝑛 + 3 𝑛
𝑎n+2ػٍّب أْ 𝑎0 = 1, 𝑎1 = 1
اٌؾً : ٚاػؼ اْ ٚ 𝑠 2 − 5𝑠 + 6 = 0 ٟ٘ CEثبٌزبٌ ٟفئْ ؽٌٍٙٛب ٘٠ٚ 𝑠 = 3, 𝑠 = 2 ٟى ْٛؽً اٌّؼبدٌخ اٌّشافمخ ٌٍّزغبٔغخ ٘ٛ 𝑛𝑠 (0) = 𝐴2𝑛 + 𝐵3 ٚاػؼ أْ 𝑛ٚ 𝐹 𝑛 = 3ػٍ ٗ١فئْ ٛ٘ٚ t=3أؽذ عزٚس اٌّؼبدٌخ اٌّشافمخ ٌٍّزغبٔغخ ٠ٚذخً وغزس ِشح ٚاؽذح (ِغ أْ اٌّؼبدٌخ ِٓ اٌذسعخ اٌضبٔ١خ إال أْ اٌغزسِ ٓ٠خزٍفبْ) ٚػٍ٠ ٗ١ى ْٛاٌؾً اٌخبص ِٓ اٌظٛسح 𝑛 𝑠𝑛 = 𝐶𝑛3عٕم َٛثبٌزؼ٠ٛغ ف ٟاٌؼاللخ األعبع١خ: 𝐶 𝑛 + 2 3𝑛+2 = 5𝐶 𝑛 + 1 3𝑛+1 − 6𝐶𝑛3𝑛 + 3𝑛 ⇒ 32 𝐶 𝑛 + 2 = 15𝐶 𝑛 + 1 − 6𝑛𝐶 + 1 1 3
= 𝐶 ⇒ 9𝐶𝑛 + 18𝐶 = 15𝐶𝑛 + 15𝐶 − 6𝑛𝐶 + 1
٠ى ْٛاٌؾً اٌخبص ٠ٚ 𝑠𝑛 = 𝑛3𝑛−1ى ْٛاٌؾذ اٌؼبَ وبٌزبٌٟ 𝑎𝑛 = 𝑠 (0) + 𝑠𝑛 = 𝐴2𝑛 + 𝐵3𝑛 + 𝑛3𝑛−1 ّ٠ٚىٓ ثبعزخذاَ ل 𝑎0 , 𝑎1 ُ١إ٠غبد ِ ٛ٘ٚ A,Bب عٕزشوٗ ٌٍمبسا وزّشٓ٠ مثال12 -4 أٚعذ اٌؾً اٌخبص ٌٍّزغٍغًح اٌز ٟاٌّؼـبح ثبٌؼاللخ )𝑛(𝐹 = 6𝑎𝑛+1 − 9𝑎𝑛 +
𝑎𝑛+2
ٚرٌه إرا وبْد .I .II .III
𝑛𝐹 𝑛 = 3 )𝐹 𝑛 = 3𝑛 (5𝑛 + 1 )𝐹 𝑛 = 2𝑛 (4𝑛 + 5
اٌؾً : عٕم َٛثئ٠غبد عزٚس اٌؼاللخ اٌّزغبٔغخ 𝑠 2 − 6𝑠 + 9 = 0 ⇒ (𝑠 − 3)2 = 0 ⇒ 𝑠 = 3 إرا اٌؼذد ٠ 3ذخً ِشر ٓ١وغزس ِؼبدٌخ اٌؼاللخ اٌّزغبٔغخ .I .II .III
ػٕذِب 𝑛 𝐹 𝑛 = 3فئْ اٌؾً اٌخبص ع١ى ْٛػٍ ٝاٌظٛسح sn = A3n n2 ػٕذِب ) 𝐹 𝑛 = 3𝑛 (5𝑛 + 1فئْ اٌؾً اٌخبص ع١ى ْٛػٍ ٝاٌظٛسح )𝐵 𝑠𝑛 = 3𝑛 𝑛2 (𝐴𝑛 + ) 𝐹 𝑛 = 2𝑛 (4𝑛 + 5فئْ اٌؾً اٌخبص ع١ى ْٛػٍ ٝاٌظٛسح )𝐵 𝐹 𝑛 = 2𝑛 (𝐴𝑛 +
ّ٠ٚىٓ اٌزؼ٠ٛغ ف ٟاٌؼاللخ األعبع١خ ٌٍغؤاي ِٓٚصُ إ٠غبد اٌّؼبِالد اٌّغٌٛٙخ صُ عّغ اٌؾً اٌخبص ٔٚبرظ ؽً اٌؼاللخ اٌّزغبٔغخ صُ اعزخذاَ اٌّؼـ١بد ٌٍؾظٛي ػٍ ٝلّ١خ اٌؾذ اٌؼبَ ثؼذ اٌزخٍض ِٓ اٌزىشاس٠خ 30 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________
انمحتوٌاث االستقشاء (االستنتاج) انشٌاضً )(MATHEMATICAL INDUCTION
1.
..... 1
مثال5-1
.................. ................................ 3 ................................................................................................
مثال 6 -1
................. ................................ 3 ................................................................................................
7- 1
................. ................................ 4 ................................................................................................
مثال
𝟏 𝐀𝐧 + 𝟏 = 𝟏𝟏𝐧 + 𝟏 + 𝟐 + 𝟏𝟐𝟐𝐧 + 𝟏 + 𝟏 = 𝟏𝟏𝐧 + 𝟑 + 𝟏𝟐𝟐𝐧 + 𝟑 = 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝐧 + 𝟐 + 𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟐𝟐𝐧 + 𝟏 = 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝐧 + 𝟐 + 𝟏𝟒𝟒 ∙ 𝟏𝟐𝟐𝐧 + 𝟏 = 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝐧 + 𝟐 + 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟐𝟐𝐧 + 𝟏 + 𝟏𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟐𝟐𝐧 +
...................... 4
.............................. ....... 4
مثال8-1
.................. ................................ 4 ................................................................................................
مثال9-1
.................. ................................ 4 ................................................................................................
مثال10 -1
................................ ............... 5 ................................................................................................
انمعامالث انخاصت بمفكوك ري انحذٌن 7. BINOMIAL COEFFICIENT
.2
................................ ................ 7 ................................................................................................ تعشٌف1 ................ ................................ 7 ................................................................................................ تعشٌف2 ...................... ................................ 7 ................................................................ اٌعاللح ( 1اٌعاللح األساسٍح) ...................... ................................ 7 ................................................................ اٌعاللح ( 2عاللح اٌتٕاظش ) ................................ .............. 8 ................................................................ اٌعاللح ( 3عاللح اإلدخاي-اإلخشاج )
................. ................................ 8 ................................................................................................ انعالقت 5 .............................. ........ 9 ................................ حاالخ خاصح ٌٍتعاًِ ِع اٌتىافٍك او ِع ِعاِالخ ِفىىن ري اٌحذٌٓ انعالقت 6
اٌعاللح 7 تطثٍك جًٍّ ٌٍعاللح 7 اٌعاللح 8
.................. ................................ 9 ................................................................................................ ................................ ............. 10 ................................................................................................ ........................ 10 ................................................................................................ ................................ ............. 11 ................................................................................................
................. ................................ 12 ................................................................................................ نتٍجت 1 ................................ .............. 13 ................................................................................................ ٔتٍجح 4 ........................ 15 ................................................................................................ ٔتٍجح ( 8عاللح اٌمٍة ) ................................ ............ 16 ................................................................................................ تعشٌف 3 ................................ ............ 16 ................................................................................................ ِثاي 1-3 ................................ ............ 17 ................................................................................................ ِثاي 2-3 ................................ ............. 17 ................................................................................................ ِثاي 3-3 ................................ ............ 17 ................................................................................................ ِثاي 4-3 ................................ ............ 18 ................................................................................................ ِثاي 5-3 31 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
ػبدي طبٌؼ ػٍ ٟاٌشّٟ٠ ِذخً س٠بػ ٟإٌ ٝرؾٍ ً١اٌخٛاسصِ١بد ___________________________________________________________________________________ ................................ ............ 18 ................................................................................................ ِثاي 6- 3 ................................ ......... 19 ................................................................................................ ٔتٍجح هاِح1 ................................ ............ 19 ................................................................................................ ِثاي 7-3 ................................ ........ 19 ................................................................................................ ٔتٍجح هاِح 2 ................................ ............ 19 ................................................................................................ ِثاي 8-3 ................................ .......... 21 ................................................................................................ ِثاي 10 -3 ...................... ................................ 23 ................................................................ ِثاي ( 11-3تطثٍك ٌىًِ)
............................... ...... 24 ................................................................ حم انعالقاث انخطٍت رواث انمعامالث انثابتت ................................ ............ 24 ................................................................................................ ِثاي 1-4 ................................ ............. 25 ................................................................ اٌحاٌح األوٌى (اٌعاللاخ اٌّتجأسح ) ................................ ............. 25 ................................................................................................ ِثاي2-4 ................................ ............ 25 ................................................................................................ ِثاي 3-4 ................................ ............ 25 ................................................................................................ ِثاي 4- 4 ............................... ....... 26 ................................................................................................ ٍِحىظح هاِح ................................ ............ 26 ................................................................................................ ِثاي 5-4 ................................ ............ 27 ................................................................................................ ِثاي 6-4 ................................ ............ 27 ................................................................................................ ِثاي 7-4 ................................ ......... 27 ................................................................ اٌحاٌح اٌثأٍح (اٌعاللاخ غٍش اٌّتجأسح ) ................................ ............ 27 ................................................................................................ ِثاي 8-4 ................................ ............ 28 ................................................................................................ ِثاي 9-4 ................................ .......... 29 ................................................................................................ ِثاي 10 -4 ................................ ........... 30 ................................................................................................ ِثاي11-4 ................................ ........... 30 ................................................................................................ ِثاي12-4
32 ___________________________________________________________________________________ ِٕزذ٠بد اٌفش٠ك اٌؼشثٌٍ ٟجشِغخ http://www.arabteam2000-forum.com/
More Documents from "nobil"
Halaweyat_dahabiya _alalya Khlifi
May 2020 3
Millesfeuilles Tartes
June 2020 5
Fancy Cakes
May 2020 9