Math3as_resumes-a3dad_morakaba_haka.pdf

‫الجمهورية الجزائرية الديمقراطية الشعبية‬ ‫‪ -‬وزارة التربية الوطنية –‬

‫سلسلة ‪ -‬سبل التألل ‪ -‬يف الرياضيات‬ ‫ملخص صامل فَ رحاب األعداد المرمبّ‬ ‫مٌحي إلْ حمٍػ الصغب الغلمٍّ ‪-‬‬‫‪Sin‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪   ‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪I‬‬

‫‪I‬‬ ‫‪I‬‬

‫‪IV‬‬

‫‪II‬‬ ‫‪I‬‬

‫‪2 Cos‬‬

‫‪ Cos ‬‬

‫‪   ‬‬

‫‪3  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2  2‬‬ ‫‪ Sin‬‬

‫إمنــا األعنــال العظّنــٕ يـــْ أعنـال صغّـسٔ نتب‬ ‫هلــــا االستنساز‬ ‫األستاذ ‪ :‬محمد حاقّ‬ ‫خرٍخ المدرسّ الغلٍا لألساتذِ الكبّ الكدٍمّ ‪-‬الحزائر‪- ENS -‬‬ ‫ثاهٌٍّ عبد الغزٍز الصرٍف ‪ -‬الٌادُ ‪-‬‬ ‫مارش ‪2017‬‬

‫‪BAC 2017‬‬

‫دلّل جمنُعٕ األعداد املسنبٕ‬

‫أوال‪ :‬دلــيـل احلساب يف جمنوعة األعداد املركبة‬ ‫‪ ‬كل عدد ‪ z‬يكتب بصورة وحيدة عمى الشكل‪z  x  iy :‬‬

‫حيث ‪ x‬و ‪ y‬عددان حقيقيان و ‪i 2  1‬‬ ‫‪ ‬تسمى الكتابة‪ z  x  iy :‬الشكل الجبرل لمعدد المركب ‪z‬‬

‫‪ ‬يسمى ‪ x‬الجزء الحقيقي ل ـ ‪ z‬ونرمز لو ب ـ‪Re(z )  x :‬‬ ‫‪ ‬يسمى ‪ y‬الجزء التخيمي ل ـ ‪ z‬ونرمز لو ب ـ‪Im(z )  y :‬‬ ‫‪ ‬أ‪ /‬إذا كان ‪ ، Im(z )  0 :‬فان ‪ z  x‬ونقول أن‪ z :‬حقيقي‬ ‫ب‪ /‬إذا كان‪ ، Re(z )  0 :‬فان ‪ z  y‬ونقول أن‪ z :‬تخيليلصبفل(بحت)‬ ‫ج‪ /‬إذا كان‪ ، z  0 :‬فإن العدد ‪ 0‬ىو في آن واحد حقيقي و تخيمي صرف‬

‫ملخُظٕ‪ 0 :‬يُ العدد املسنب الُحّد الرٓ حيكل يرٍ املّزٔ‬

‫‪ ‬مسافل عدد مسنب‪:‬لل‬

‫مرافق العدد المركب‪ z  x  iy :‬ىو العدد المركب‪ z  x  iy :‬ل‬

‫(نغّّس إالّ يف إطازٔ اجلز٘ التدّّلْ)‬

‫‪ ‬خُاص املسافل‪:‬‬ ‫‪z  z /1‬‬ ‫‪z 1 .z 2  z 1 . z 2 /4‬‬

‫‪z 1  z 2  z 1  z 2 /2‬‬

‫‪z 1  z 2  z 1  z 2 /3‬‬

‫‪z  z‬‬ ‫‪k   ، k .z  k .z /6 z 2  0 ،  1   1 /5‬‬ ‫‪ z2  z2‬‬

‫‪k  k‬‬ ‫‪ k   ،   ‬و ‪/8 z  0‬‬ ‫‪/7‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪  z‬‬

‫‪  ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ z‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n  ، z‬‬

‫‪ ‬نتـا‪ٙ‬ج‪ :‬ليكن ‪ z‬عدد مركب حيث‪z  x  iy :‬‬ ‫‪z  z  2x /1‬‬

‫‪ z /4‬حقيقي يكافئ ‪z  z‬‬

‫‪z  z  2yi /2‬‬

‫‪z . z  x 2  y 2 /3‬‬

‫‪ z /5‬تخيمي صرف يكافئ ‪z  z‬‬

‫‪ ‬اجلًد املتُاصل َلّص الرنا٘ أَ الكُٔ يُ مفتاح إطالم قدزاتها الهامهٕ ‪ -‬إعداد األستاذ حمند حاقٕ ‪2 -‬‬

‫‪BAC 2017‬‬

‫دلّل جمنُعٕ األعداد املسنبٕ‬ ‫‪ ‬طُِلٕ َعندٔ عدد مسنب‪:‬‬

‫من أجل كل عدد مركب غير معدوم ‪ z  x  iy‬لدينا‪ r :‬طويمة ‪ z‬و ) ‪ arg(z‬عمدة ‪ z‬حيث‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪cos  ‬‬ ‫‪r    ....  2k  /2 r  z  x 2  y 2 /1‬‬ ‫‪arg(z )    ‬‬ ‫‪sin   y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ ‬الظهل الـنجلجْ ََاآلسْ لـِعدد مسنب ‪: z‬ل‬ ‫الظهل اآلسْل‬ ‫الظهل الـنجلجْل‬ ‫الظهل الـجربٓل‬ ‫) ‪ z  r (cos   i sin ‬ل‬

‫‪ z  x  iy‬ل‬

‫‪ z  rei‬ل‬

‫ما جيب معسفتٌ َعدم نشّانٌ لالنتكال مو الظهل اجلربٓ إىل املجلجْ َاآلسْ‬

‫‪ ‬البخح عو عندٔ عدد مسنب (الدا‪ٙ‬سٔ املجلجّٕ ‪ +‬جدَل الزَاِا الظًرئ)‪:‬ل‬ ‫أَالً‪ :‬مّزٔ نل زبع الدا‪ٙ‬سٔ املجلجّٕ‪:‬‬

‫‪Sin‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫ل‬ ‫ل‬

‫‪   ‬‬

‫‪ ‬‬

‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬

‫‪II‬‬

‫‪I‬‬

‫‪ Cos ‬‬

‫‪0 2 Cos‬‬

‫‪  2  ‬‬

‫‪III‬‬

‫‪IV‬‬

‫‪   ‬‬

‫أٔ‬

‫‪   ‬‬

‫‪3  ‬‬

‫ل‬

‫‪ ‬‬ ‫‪2  2‬‬ ‫‪ Sin‬‬

‫ثانّاً‪ :‬الهشب املجلجّٕ ألقّاض الزَاِا الظًرئ اليت تشتعنلًا حلشاب العندٔ‪:‬‬

‫ل‬

‫‪3   ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2  2‬‬

‫ل‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫ل‬

‫‪0‬‬

‫ل‬

‫‪0‬‬

‫ل‬

‫ل ‪1‬‬

‫ل‬

‫ل‪‬‬

‫ل‬

‫ل‪ 1‬‬

‫ل‬

‫‪0‬‬

‫ل‪1‬‬

‫ل‬

‫‪‬‬ ‫‪4‬‬

‫ل‬

‫‪‬‬ ‫‪6‬‬

‫ل‬

‫ل‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ل‬

‫ل‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ل‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ل ‪1‬‬

‫ل‪Cos‬‬

‫‪0‬‬

‫ل‪Sin‬‬

‫‪‬‬ ‫‪3‬‬

‫ل‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫ل‬

‫‪0‬‬

‫ل ‪‬‬

‫ل‬ ‫ل‬

‫‪ ‬اجلًد املتُاصل َلّص الرنا٘ أَ الكُٔ يُ مفتاح إطالم قدزاتها الهامهٕ ‪ -‬إعداد األستاذ حمند حاقٕ ‪3 -‬‬

‫‪BAC 2017‬‬

‫دلّل جمنُعٕ األعداد املسنبٕ‬

‫‪ ‬الدائــرة املجلجية‬

‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪cos      cos ‬‬ ‫‪sin      sin ‬‬

‫‪ ‬عالقات مجلجية مَنة‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪cos      cos ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪sin     sin ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪cos      sin  cos       sin ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin      cos ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ sin      cos ‬ل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬

‫‪ ‬اجلًد املتُاصل َلّص الرنا٘ أَ الكُٔ يُ مفتاح إطالم قدزاتها الهامهٕ ‪ -‬إعداد األستاذ حمند حاقٕ ‪4 -‬‬

‫‪BAC 2017‬‬

‫دلّل جمنُعٕ األعداد املسنبٕ‬ ‫‪ ‬خُاص العندٔ‪:‬‬ ‫‪arg(z )   arg(z )  2k /1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪arg     arg(z )  2k  /2‬‬ ‫‪z ‬‬

‫‪arg(z )    arg(z ) /3‬‬

‫‪arg(z1.z 2 )  arg(z1 )  arg(z 2 ) /4‬‬

‫‪z ‬‬ ‫‪ arg(z n )  n.arg(z )  2k  /6 arg  1   arg(z 1 )  arg(z 2 ) /5‬حيث ‪ n‬من ‪‬‬ ‫‪ z2 ‬‬

‫‪ ‬خُاص الطُِلٕ‪ z 2 َ z 1 :‬عدداى مسنباى غري معدَمني‬ ‫‪z  z  z /1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪/2‬‬ ‫‪z1‬‬ ‫‪z1‬‬

‫‪/3‬‬

‫‪z1‬‬ ‫‪z2‬‬

‫‪‬‬

‫‪z1‬‬ ‫‪z2‬‬

‫‪/4‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ z1‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪z‬‬

‫ملخُظٕ يامٕ جدا‪ z1  z 2  z1  z 2 :‬وأيضا‪z1  z 2  z1  z 2 :‬‬ ‫والصواب‪ z1  z 2  z1  z 2 :‬و ‪z1  z 2  z 1  z 2‬‬

‫‪ ‬دستُز مُافس )‪:(MOIVER‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫) ‪z n  (re i )n  r ne n i  r n cos(n )  i sin(n‬‬

‫اعدل افبدرليشافئل ازويةل ‪ ‬ليعني‪:‬ل ‪    ‬عددلفبدرلل‬ ‫اعددل ازوليليشافئل ازويةل‪0‬لليعني‪:‬ل ‪    0‬عددلزولي‬ ‫‪ z n  r n , n   r n e in‬لادينا‪:‬ل‬ ‫‪ z n‬لحقيقيل‬

‫‪ z n‬لحقيقيلمولبل‬

‫‪ z n‬لحقيقيلساابل‬

‫‪ n  k‬ل‬

‫‪ n  2k ‬ل‬

‫‪ n  2k  1‬ل‬

‫ل‬

‫‪ z n‬لتخيليلصبفل‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪n  2k  1‬‬

‫ل‬

‫‪ ‬التخُِل مو الظهل اآلسْ إىل الظهل اجلربٓ يف حاالت خاصٕ‪:‬‬ ‫الظهل اآلسْل الظهل اجلربٓل‬ ‫الظهل اآلسْل الظهل اجلربٓل ل‬ ‫‪e 2  i‬ل‬

‫‪1‬ل‬

‫‪e  i‬ل‬

‫‪ 1‬ل‬

‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ل‬

‫‪i‬ل‬

‫‪e‬ل‬

‫‪e‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪e‬ل‬

‫‪ i‬ل‬

‫ل‬

‫ل‬ ‫َمهٌ‬

‫‪ ke 2 i‬ل‬

‫‪k‬ل‬

‫‪ ke  i‬ل‬

‫‪ k‬ل‬

‫‪ ke‬ل‬

‫‪ ki‬ل‬

‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ i‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ke‬ل‬

‫‪ ki‬ل‬

‫‪ ‬اجلًد املتُاصل َلّص الرنا٘ أَ الكُٔ يُ مفتاح إطالم قدزاتها الهامهٕ ‪ -‬إعداد األستاذ حمند حاقٕ ‪5 -‬‬

‫‪BAC 2017‬‬

‫دلّل جمنُعٕ األعداد املسنبٕ‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬يــــام جــــداً‪ n  *  1 :‬لل‬ ‫‪‬‬ ‫‪ /1‬قيس الزاوية‬ ‫‪n‬‬

‫صورتو من الربع األول‬

‫‪ /2‬قيس الزاوية من الشكل‬

‫‪n  1‬‬

‫صورتو تقع في الربع الثاني‬

‫‪n‬‬ ‫‪n  1‬‬ ‫صورتو تقع في الربع الثالث‬ ‫‪ /3‬قيس الزاوية من الشكل‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ /4‬قيس الزاوية من الشكل ‪ ‬صورتو تقع في الربع الرابع‬ ‫‪n‬‬

‫ثاىيا‪:‬دلــيـل ٍــــــــــيــــدســــة األعداد املركبة‬ ‫‪ -1‬دليل التفسريات اهليدسية املختلفة لألعداد املركبة‬ ‫التفسري اهليدسي باألعداد الـنركبة‬

‫الــنفَوو اهليدسي‬

‫(الكتابة املركبة)‬ ‫‪ AB  Z B  Z A‬ل‬

‫اطــولل(مســافة)ل ‪ AB‬ل‬

‫‪ Z AB  Z B  Z A‬ل‬

‫الحقةل الـعـاعل ‪ AB‬ل‬ ‫الحقةل انقطةل ‪ G‬لمبلحل الملةل‪  A, , B,  , C,  ‬ل‬

‫‪ ZG   Z A   Z B   ZC‬ل‬

‫الحقةل انقطةل ‪ H‬لمبشزلثقكل امثلثل ‪ ABC‬ل‬ ‫الحقةل انقطةل ‪ I‬لمنتصفل اقطعةل امستقيمةل‪ AB‬ل‬

‫‪Z A  Z B  ZC‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Z  ZB‬‬ ‫‪ZI  A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Z A  ZB‬‬ ‫‪ ZC ‬ل‬ ‫‪ Z B  2 ZC  Z A‬‬ ‫‪2‬‬

‫الحقةل انقطةل ' ‪ M‬لنظيبةل ‪ M‬لباانسبةلامحوبل افو صكل‬

‫‪ ZM  x  i y  ZM '  Z M  x  i y‬ل‬

‫الحقةل انقطةل ‪ B‬لنظيبةل ‪ A‬لباانسبةلإاىل ‪ C‬ل‬ ‫الحقةل انقطةل ' ‪ M‬لنظيبةل ‪ M‬لباانسبةلامحوبل اتبتيبل‬ ‫الحقةل انقطةل ' ‪ M‬لنظيبةل ‪ M‬لباانسبةلامجدأل امعلمل‬

‫‪‬‬

‫انقاطل ‪ C , B , A‬لعلىل ستقامةلو حدةل ‪   AB  AC  ‬ل‬ ‫لول ‪ AC‬لمتعامد نل‪ AB  AC ‬ل‬ ‫الـعـاعينل ‪َ AB‬‬ ‫طويلةل انسبةل ‪ Z B  Z A‬ل‬ ‫‪ZC  Z A‬‬

‫‪ZH ‬‬

‫‪ ZM  x  i y  ZM '  x  i y‬ل‬ ‫‪ ZM  x  i y  ZM '  x  i y‬ل‬ ‫‪ ZA ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Z A ‬‬

‫قيـاسل اـزويةل اـمولهةلل‪ AB, AC ‬ل‬ ‫‪‬‬

‫‪   ‬‬

‫‪C‬‬

‫‪AB , AC   arg ZZ‬‬

‫‪ B‬‬ ‫‪ZB  Z A‬‬ ‫‪= Z C  Z A‬لعددًالحقيقيلاًال‬ ‫‪Z  ZA‬‬ ‫‪= B‬لعددًالتخيلياًالصبفلاًا‬ ‫‪ZC  Z A‬‬ ‫‪ZB  Z A‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ZC  Z A‬‬ ‫‪AC‬‬

‫‪ ‬اجلًد املتُاصل َلّص الرنا٘ أَ الكُٔ يُ مفتاح إطالم قدزاتها الهامهٕ ‪ -‬إعداد األستاذ حمند حاقٕ ‪6 -‬‬

‫‪BAC 2017‬‬

‫دلّل جمنُعٕ األعداد املسنبٕ‬

‫مالحظات مَنة‬ ‫‪ ‬يعادنت اندائسة انًحٍطت بانًخهج انقائى‪ٌ ،‬كٌٕ انٕتس قطسا نٓرِ اندائسة ٔيُّ يسكصْا ْٕ‬ ‫يُتصف انٕتس َٔصف قطسْا ْٕ طٕل انٕتس عهى ‪2‬‬ ‫‪ ‬يعادنت اندائسة انًحٍطت بانًخهج انًتقاٌط األضالع‪ ،‬يسكص حقم انًخهج ْٕ يسكص اندائسة‬ ‫َٔصف قطسْا ْٕ بعد انًسكص عٍ أحد زؤٔض انًخهج‬ ‫‪ ‬إذا كاٌ ‪ z A  z B  zC  z D  r‬فاٌ انُقط ‪ D ٔ C ، B ، A‬تُتًً إنى َفط اندائسة‬ ‫انتً يسكصْا انًبدأ ‪َٔ O‬صف قطسْا ‪r‬‬

‫‪ ‬إذا كاٌ ‪ ZA  Z  ZB  Z  ZC  Z  Z D  Z  r‬فاٌ انُقط ‪D ٔ C ، B ، A‬‬ ‫تُتًً إنى َفط اندائسة انتً يسكصْا انًبدأ ‪َٔ ‬صف قطسْا ‪r‬‬

‫‪ ‬اجلًد املتُاصل َلّص الرنا٘ أَ الكُٔ يُ مفتاح إطالم قدزاتها الهامهٕ ‪ -‬إعداد األستاذ حمند حاقٕ ‪7 -‬‬

‫‪BAC 2017‬‬

‫دلّل جمنُعٕ األعداد املسنبٕ‬

‫‪ -2‬دليل التعرف على طبيعة رباعي األضالع‬ ‫طسق اإلحباث‬

‫الطريقة (‪ )1‬لإلثبات‬

‫الطريقة (‪ )2‬لإلثبات‬

‫َٕع انسباعً‬ ‫‪ ABCD‬يتٕاشي أضالع‬

‫شعاعاٌ يتقابالٌ فً َفط‬ ‫يتسأٌاٌ‬ ‫االتجاِ‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ AB  DC‬أي ‪  Z ‬‬ ‫‪Z AB‬‬ ‫‪DC‬‬

‫انقطساٌ يتُاصفاٌ‬ ‫‪Z A  ZC Z B  Z D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫يعُاِ‪ZB  ZA  ZC  ZD :‬‬

‫‪ ABCD‬يستطٍم‬

‫شعاعاٌ يتقابالٌ فً َفط‬ ‫االتجاِ يتسأٌاٌ‬ ‫ضهعاٌ يتتابعاٌ يتعايداٌ‬ ‫أي‪:‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪AB  AD ٔ AB  DC‬‬

‫‪ ABCD‬يعٍٍ‬

‫شعاعاٌ يتقابالٌ فً َفط‬ ‫االتجاِ يتسأٌاٌ‬ ‫ضهعاٌ يتتابعاٌ يتسأٌاٌ‬ ‫أي‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪AB  AD ٔ AB  DC‬‬

‫‪ ABCD‬يسبع‬

‫شعاعاٌ يتقابالٌ فً َفط‬ ‫االتجاِ يتسأٌاٌ‬ ‫ضهعاٌ يتتابعاٌ يتسأٌاٌ‬ ‫ٔيتعايداٌ‬ ‫‪‬أي‪  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪AB  AD ٔ AB  DC‬‬ ‫ٔ ‪AB  AD‬‬

‫انقطساٌ يتُاصفاٌ ٔيتسأٌاٌ‬ ‫أي‪:‬‬ ‫‪Z A  ZC Z B  Z D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ AC  BD‬يعُاِ‬ ‫‪ZC  Z A  Z D  Z B‬‬

‫انقطساٌ يتُاصفاٌ ٔيتعايداٌ‬ ‫أي‪:‬‬ ‫‪Z A  ZC Z B  Z D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪ AC  BD‬يعُاِ ‪AC . BD  0‬‬

‫انقطساٌ يتُاصفاٌ ٔيتعايداٌ‬ ‫ٔيتسأٌاٌ أي‬ ‫‪Z A  ZC Z B  Z D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪ AC  BD‬يعُاِ ‪AC . BD  0‬‬

‫ٔ‬

‫ٔ ‪ AC  BD‬يعُاِ‬ ‫‪ZC  Z A  Z D  Z B‬‬

‫‪ ‬اجلًد املتُاصل َلّص الرنا٘ أَ الكُٔ يُ مفتاح إطالم قدزاتها الهامهٕ ‪ -‬إعداد األستاذ حمند حاقٕ ‪8 -‬‬

BAC 2017

ٕ‫دلّل جمنُعٕ األعداد املسنب‬ zB  zA ‫ التفسري اهليدسي لطويلة وعندة اليسبة‬-3 zC  z A

ABC ‫واستيتاج طبيعة املجلح‬

  z B  z A   2  2k  z z z z ٔ B A  1 ٌ‫ فا‬B A  i ٌ‫ إذا كا‬ arg     zC  z A  zC  z A     2k  zC  z A  2 zB  zA zB  zA AB    1  AB  AC (1) :‫التفسري اهليدسي للطويلة‬ zC  z A AC zC  z A

:‫التفسري اهليدسي للعندة‬



       2k   z  zA  AC ; AB   2 (2) ُّ‫ ٔي‬arg  B  AC ; AB  z  z     2k   C A   2







‫ ٌمتساٌُ الساقٍن‬A َ‫ قائن ف‬ABC ‫) أن المثلج‬2(ٌ )1( ‫هستهتخ من‬ zB  zA z  zA  ai ٌ‫ إذا كا‬  a  1 ٌ‫ فا‬a  *  1,1 ‫ حٍج‬B zC  z A zC  z A





  z B  z A   2  2k  , a  0 ٔ arg      z  z  C A    2k  , a  0  2 zB  zA zB  zA AB    a  1  AB  AC (1) :‫التفسري اهليدسي للطويلة‬ zC  z A AC zC  z A

:‫التفسري اهليدسي للعندة‬



       2k  , a  0  z  zA  AC ; AB   2 (2) ُّ‫ ٔي‬arg  B  AC ; AB  z  z     2k  , a  0  C A   2







A َ‫ قائن ف‬ABC ‫) أن المثلج‬2(ٌ )1( ‫هستهتخ من‬   z B  z A   3  2k  z z z z 1 3 ٔ B A  1 ٌ‫ فا‬B A   arg  i ٌ‫ إذا كا‬     z  z z  z z  z 2 2  C A  C A C A   2k  3 zB  zA zB  zA AB    1  AB  AC (1) :‫التفسري اهليدسي للطويلة‬ zC  z A AC zC  z A

9 - ٕ‫ إعداد األستاذ حمند حاق‬- ٕ‫ اجلًد املتُاصل َلّص الرنا٘ أَ الكُٔ يُ مفتاح إطالم قدزاتها الهامه‬

‫‪BAC 2017‬‬

‫دلّل جمنُعٕ األعداد املسنبٕ‬ ‫التفسري اهليدسي للعندة‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  2k ‬‬ ‫‪ z  zA ‬‬ ‫‪AC ; AB   3‬‬ ‫‪ٔ arg  B‬يُّ )‪(2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪; AB‬‬ ‫‪ z  z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  2k ‬‬ ‫‪ C‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪ 3‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫هستهتخ من (‪ )2(ٌ )1‬أن المثلج ‪ ABC‬متكاٍش األضالؼ‬ ‫‪z  zA‬‬ ‫‪zB  zA‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬إذا كاٌ ‪ 1; ‬‬ ‫‪ B‬حٍج‪    ;   :‬فاٌ ‪ 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪zC  z A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ z  zA ‬‬ ‫‪arg  B‬‬ ‫ٔ ‪    2k‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ C‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪zB  zA‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫التفسري اهليدسي للطويلة‪ 1  AB  AC (1) :‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪zC  z A‬‬

‫‪zB  zA‬‬ ‫‪zC  z A‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪ zB  zA ‬‬ ‫‪arg ‬‬ ‫التفسري اهليدسي للعندة‪  AC ; AB :‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ C‬‬ ‫‪A ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ٔيُّ )‪AC ; AB    2k (2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫هستهتخ من (‪ )2(ٌ )1‬أن المثلج ‪ ABC‬متساٌُ الساقٍن‬

‫‪ -4‬دليل جمنوعات اليكط ‪ M‬يف املستوي املركب‬ ‫‪z ٔ zB ، z A‬‬

‫‪ M ٔ B ، A‬حالث َقط يٍ انًستٕي انًسكب نٕاحقٓا عهى انتستٍب‬ ‫حٍج ‪M  B ٔ M  A‬‬ ‫‪ (E ) : MA  k  0 ‬محمٌعّ الهكط ‪ M‬وَ دائرِ مرمزوا ‪ٌ A‬هصف قطروا ‪r  k‬‬ ‫‪ (E ) : z  z A  z  z B ‬محمٌعّ الهكط ‪ M‬وَ المستكٍن المحٌرُ للكطغّ‬ ‫المستكٍمّ ‪AB ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ (E ) : MA .MB  0 ‬محمٌعّ الهكط ‪ M‬وَ دائرِ قطروا ‪AB ‬‬

‫ملحٌظّ ‪z  z A  z  z B  MA  MB :‬‬

‫‪ (E ) : arg(z  zA)    2k ‬محمٌعّ الهكط‬

‫‪ ‬‬

‫‪ M‬وَ هصف مستكٍن مبدؤً‬

‫الهكطّ ‪ A‬باستثهاء ‪ A‬بالترمٍز ‪(E ) : AB  A :‬‬ ‫‪ (E ) : arg(z  z A )    k ‬محمٌعّ الهكط ‪ M‬وَ مستكٍن باستثهاء ‪A‬‬

‫‪  ‬‬

‫بالترمٍز ‪(E ) : AB  A :‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ zB  z ‬‬ ‫‪zB  z‬‬ ‫‪arg ‬‬ ‫‪‬‬ ‫عددا حكٍكٍا‪ :‬مغهاً ‪  MA ; MB  k‬‬ ‫‪zA  z‬‬ ‫‪ zA  z ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬اجلًد املتُاصل َلّص الرنا٘ أَ الكُٔ يُ مفتاح إطالم قدزاتها الهامهٕ ‪ -‬إعداد األستاذ حمند حاقٕ ‪10 -‬‬

‫‪BAC 2017‬‬

‫دلّل جمنُعٕ األعداد املسنبٕ‬

‫‪ ‬‬

‫محمٌعّ الهكط ‪ M‬وَ المستكٍن ‪ AB‬باستثهاء الهكطّ ‪A‬‬

‫‪  ‬‬

‫بالترمٍز ‪(E ) : AB  A‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪z z ‬‬ ‫‪z z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪arg  B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪MA‬‬ ‫‪ B‬عددا حكٍكٍا مٌحبا‪ :‬مغهاً ‪; MB  2k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ A‬‬ ‫‪‬‬ ‫محمٌعّ الهكط ‪ M‬وَ المستكٍن ‪ AB‬باستثهاء الكطغّ المستكٍمّ ‪AB ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ ‬‬

‫بالترمٍز ‪(E ) : AB  AB ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪z z ‬‬ ‫‪z z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪arg  B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪MA‬‬ ‫‪ B‬عددا حكٍكٍا مٌحبا‪ :‬مغهاً ‪; MB    2k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ A‬‬ ‫‪‬‬ ‫محمٌعّ الهكط ‪ M‬وَ الكطغّ المستكٍمّ ‪ AB ‬باستثهاء الهكطّ ‪A‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫بانتسيٍص ‪(E ) : AB   A‬‬ ‫‪zB  z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪zA  z‬‬

‫عددا تخٍلٍا صرف مغهاً‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  2k ‬‬ ‫‪ zB  z ‬‬ ‫‪arg ‬‬ ‫‪  MA ; MB   2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   2k ‬‬ ‫‪ 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫محمٌعّ الهكط ‪ M‬وَ دائرِ قطروا ‪ AB ‬باستثهاء الهكطّ ‪A‬‬ ‫‪z z‬‬ ‫‪ B‬عددا تخٍلٍا صرف ( حزؤً التخٍلَ مٌحب) مغهاً‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪zA  z‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ zB  z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪arg ‬‬ ‫‪  MA ; MB   2k ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ zA  z ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫محمٌعّ الهكط ‪ M‬وَ هصف دائرِ قطروا‬ ‫ٍمٌن ‪ MAB‬فَ االتحاً المباصر‬ ‫‪zB  z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪zA  z‬‬

‫‪ AB ‬باستثهاء الهكطّ ‪ A‬بحٍج‬

‫عددا تخٍلٍا صرف ( حزؤً التخٍلَ سالب) مغهاً‪:‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪ zB  z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪arg ‬‬ ‫‪  MA ; MB    2k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ zA  z ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ AB ‬باستثهاء الهكطّ ‪ A‬بحٍج‬

‫محمٌعّ الهكط ‪ M‬وَ هصف دائرِ قطروا‬ ‫ٍمٌن ‪ MAB‬فَ االتحاً ؽٍر المباصر‬ ‫‪ z  z A  ke i ‬حٍج ‪ k‬عدد حقٍقً يٕجب تًاو ( يعهٕو) ٔ ‪ٌ ‬تغٍس ( ًٌسح ) فً ‪‬‬ ‫ندٌُا ‪ٔ z  z A  kei  z  z A  kei‬يُّ ‪AM  k‬‬

‫محمٌعّ الهكط ‪ M‬وَ دائرِ الحكّ مرمزوا ‪ٌ z A‬هصف قطروا ‪k‬‬

‫‪ z  z A  ke i ‬حٍج ‪ٌ k‬تغٍس ( ًٌسح ) فً ‪  ٔ ‬عدد حقٍقً يعهٕو‬ ‫‪ ‬اجلًد املتُاصل َلّص الرنا٘ أَ الكُٔ يُ مفتاح إطالم قدزاتها الهامهٕ ‪ -‬إعداد األستاذ حمند حاقٕ ‪11 -‬‬

‫‪BAC 2017‬‬

‫دلّل جمنُعٕ األعداد املسنبٕ‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪  ke‬‬ ‫‪ z AM‬أي ‪u ; AM  ‬‬ ‫ندٌُا‪ٔ z  z A  ke i  z  z A  ke i :‬يُّ‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫محمٌعّ الهكط ‪ M‬وَ المستكٍن الذُ ٍصمل الهكطّ ذات الالحكّ‬

‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫تٌحٍىي ‪ٍ v‬حكل ‪u ; v  ‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ z  z A  ke i ‬حٍج ‪ٌ k‬تغٍس ( ًٌسح ) فً ‪  ٔ  ‬عدد حقٍقً يعهٕو‬

‫‪ ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪  ke‬‬ ‫‪ z AM‬أي ‪u ; AM  ‬‬ ‫ندٌُا‪ٔ z  z A  ke i  z  z A  ke i :‬يُّ‬

‫‪‬‬

‫محمٌعّ الهكط‬

‫‪ٌ z A‬صغاؼ‬

‫‪‬‬

‫‪ M‬وَ هصف المستكٍن الذُ مبدؤً الهكطّ ذات الالحكّ‬

‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ٌصغاؼ تٌحٍىي ‪ٍ v‬حكل ‪u ; v  ‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪ -5‬دليل املرجح يف املستوي املركب‬

‫‪ C ٔ B ، A‬حالث َقط يٍ انًستٕي انًسكب نٕاحقٓا عهى انتستٍب ‪zC ٔ z B ، z A‬‬

‫‪z A  z B  zC‬‬

‫‪ ‬الحقت انُقطت ‪ H‬يسكص حقم انًخهج ‪:ًْ ABC‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬الحقت انُقطت ‪ G‬يسجح انجًهت ) ‪(A,  );(B,  );(C , ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ z A   z B   zC‬‬ ‫ًْ‬ ‫‪  ‬‬

‫‪zH ‬‬

‫‪‬‬

‫‪zG ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)°2‬لكيفية حتويل العالقة الشعاعيـ ة مً الشكل‪AM   BM  CM :‬‬

‫علنًا أٌ‪      0 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫المرجح ‪ G‬نجد ‪AM   BM  CM  (     )MG :‬‬ ‫بإدخال نقطة ّ‬

‫‪ ‬التعنيه‬

‫المرجح ‪ (×M‬مجموع المعامالت)‬ ‫ّ‬

‫مرجح لمنقط ‪ B ، A‬و ‪C‬ويكون الشعاع‪:‬‬ ‫‪ ‬مالحظة‪ :‬إذا كان ‪       0‬فال يوجد ّ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ AM   BM  CM‬شعاعا ثابتًا مستقال عن النقطة ‪ M‬ويتم تحويل العبارة بإدخال إحدى‬ ‫النقط المعمومة واستعمال عالقة شال ‪Chasles‬‬ ‫‪)°3‬لكيفية حتويل العالقة العددية مً الشكل ‪MA2  MB 2  MC 2‬‬

‫‪ ‬اجلًد املتُاصل َلّص الرنا٘ أَ الكُٔ يُ مفتاح إطالم قدزاتها الهامهٕ ‪ -‬إعداد األستاذ حمند حاقٕ ‪12 -‬‬

‫‪zA‬‬

‫‪BAC 2017‬‬

‫دلّل جمنُعٕ األعداد املسنبٕ‬ ‫المرجح ‪ G‬نجد‬ ‫بإدخال نقطة ّ‬

‫‪MA2  MB 2  MC 2  (     )MG 2  GA2  GB 2  GC 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫المرجح ‪(× ] M‬مجموع المعامالت )‬ ‫المرجح ‪ّ [ +‬‬ ‫‪ ‬التعنيه‪ :‬اجعل مكان ‪ M‬نقطة ّ‬

‫‪ -6‬دليـل التخويـالت اليكطيـة‬ ‫‪: F‬لتحويل نقطي من المستوي يرفق بكل نقطة ) ‪ M (z‬النقطة )‪M (z ‬‬ ‫‪F :   ‬‬ ‫)‪M (z )  M (z ‬‬

‫مع ‪ a ، z   az  b‬و ‪ b‬عددان مركبان و ‪a  0‬‬

‫‪ )1‬نّفّٕ التعسف علٖ التخُِل الهكطْ َاستدساج عهاصسٍ املنّزٔ‬ ‫‪ ‬إذا كان ‪ a  1‬فان ‪ F‬انسحاب الحقة شعاعو ‪zu  b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ ‬إذا كان ‪ a  1‬و ‪ a  ‬فان ‪ F‬تحاكي نسبتو ‪ a‬والحقة مركزه‬ ‫‪1a‬‬

‫‪z ‬‬

‫‪ ‬إذا كان ‪ a  ‬و ‪ a  1‬فان ‪ F‬دوران زاويتو ) ‪   arg(a‬والحقة مركزه‬

‫‪b‬‬ ‫‪1a‬‬

‫‪z ‬‬

‫‪ ‬إذا كان ‪ a  ‬و ‪ a  1‬فان ‪ F‬تشابو مباشر زاويتو ) ‪  arg(a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫والحقة مركزه‬ ‫‪1a‬‬

‫‪ z ‬ونسبتو ‪a‬‬

‫‪ )2‬يف حالٕ الظهل املسنب ( الصّغٕ املبشطٕ‬

‫) ‪(z   z )  a(z  z  ) :‬‬

‫‪ (z   z )  k(z  z ) ‬تحاكي نسبتو ‪ k‬والحقة مركزه ‪z ‬‬ ‫‪ (z   z  )  e i (z  z  ) ‬دوران زاويتو ‪ ‬والحقة مركزه ‪z ‬‬

‫‪ (z   z  )  ke i (z  z  ) ‬تشابو مباشر زاويتو ‪ ‬والحقة مركزه ‪ z ‬ونسبتو ‪k‬‬ ‫‪ ‬اجلًد املتُاصل َلّص الرنا٘ أَ الكُٔ يُ مفتاح إطالم قدزاتها الهامهٕ ‪ -‬إعداد األستاذ حمند حاقٕ ‪13 -‬‬

‫‪BAC 2017‬‬

‫دلّل جمنُعٕ األعداد املسنبٕ‬

‫‪ )3‬أَجد التخُِل ‪ F‬الرٓ حيُل ‪ A‬إىل ‪َ B‬حيُل ‪ C‬إىل ‪D‬‬ ‫)‪z  az A  b (1‬‬ ‫‪  B‬بضرب الثانية في )‪ (1‬والجمع نجد‬ ‫نحل الجممة ‪:‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪az‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪z A  zC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ D‬‬

‫‪zB  zD‬‬

‫‪a‬‬

‫نعوض بعد ذلك قيمة ‪ a‬في (‪ )1‬أو (‪ )2‬نجد ‪b‬‬

‫‪ )4‬أَجد التخُِل ‪ F‬الرٓ حيُل ‪ A‬إىل ‪َ B‬مسنزٍ ‪C‬‬ ‫)‪z  az A  b (1‬‬ ‫‪  B‬بضرب الثانية في )‪ (1‬والجمع نجد‬ ‫نحل الجممة ‪:‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪az‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪z A  zC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ C‬‬

‫‪z B  zC‬‬

‫‪a‬‬

‫نعوض بعد ذلك قيمة ‪ a‬في (‪ )1‬أو (‪ )2‬نجد ‪b‬‬

‫‪ )5‬استهتاج مو عالقٕ أى نكطٕ يْ صُزٔ نكطٕ أخسٗ بتخُِل‬ ‫‪zB  zA‬‬ ‫إذا كان‪:‬‬ ‫‪zC  z A‬‬

‫‪ a ‬فان ‪ z B  z A  a zC  z A ‬وىذا يعني أن ‪ B‬صورة ‪ C‬بالتحويل‬

‫الذي مركزه ‪ ، A‬نعرف طبيعة التحويل من خالل ‪a‬‬

‫ختاما أقٌل‬ ‫ٌومذا لمل بداٍّ هىاٍّ ‪ٌ ،‬خٍر الغمل ما حسن آخرً ٌخٍر المالن ما قل ٌدل‬ ‫ٌبغد وذا الحىد المتٌاضػ أتمهْ أن أمٌن مٌفكا فَ سردُ للغهاصر‬ ‫السابكّ سردا ال ملل فٍي ٌال تكصٍر مٌضحا ما مان ٍصمل عائكا أمان طلبتَ‬ ‫األعزاء لي ذً الٌحدِ الحدٍدِ علٍمن ٌالممتػِ أمٍد ‪ٌ ،‬فكهَ اللي ٌإٍامن‬ ‫لما فٍي صالحها حمٍغا‬

‫حكنة أعجبتين‬ ‫تعله مً األمس ‪ ،‬عٍش مً أجل اليوو وتطلع إىل الغد األمر املَه ٍو أال تتوقف عً التّساؤل‬

‫مـــــا أروع عكـال يستَــدي ‪ ،‬يســأل ‪ ،‬يتأمــل ‪ ،‬يتفكـر‬ ‫‪ ‬اجلًد املتُاصل َلّص الرنا٘ أَ الكُٔ يُ مفتاح إطالم قدزاتها الهامهٕ ‪ -‬إعداد األستاذ حمند حاقٕ ‪14 -‬‬