Math2 Lecture

Ìàòåìàòèê-2 õè÷ýýëèéí àãóóëãà 1. Åðäèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë 1.1. Äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí òóõàé åðºíõèé îéëãîëò 1.2. Õÿëáàð òýãøèòãýë¿¿ä, õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë, íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë 1.3. Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë, Áåðíóëëèéí òýãøèòãýë 1.4. Ðèêêàòûí òýãøèòãýë, á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë 1.5. Äýýä ýðýìáèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë, ýðýìáèéã áóóðóóëæ áîäîõ òýãøèòãýë¿¿ä 1.6. Õî¸ðäóãààð ýðýìáèéí íýãýí òºðëèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë 1.7. n ýðýìáèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë 1.8. Òîãòìîë êîýôôèöèåíòòîé n ýðýìáèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë 2. Ìàãàäëàëûí îíîë 2.1. ¯çýãäýë, ìàãàäëàëûí òîäîðõîéëîëò, êîìáèíàòîðèêèéí ýëåìåíò¿¿ä 2.2. ͺõöºëò ìàãàäëàë, ¿çýãäë¿¿äèéí ¿ë õàìààðàõ ÷àíàð, á¿òýí ìàãàäëàëûí òîìú¸î, Áàéåñûí òîìú¸î 2.3. ¯ë õàìààðàõ òóðøèëòûí äàðààëàë 2.4. Ñàíàìñàðã¿é õýìæèãäýõ¿¿í, ò¿¿íèé òàðõàëòûí õóóëü 2.5. Ñàíàìñàðã¿é âåêòîð õýìæèãäýõ¿¿í, ò¿¿íèé õàìòûí òàðõàëò 2.6. Ñàíàìñàðã¿é õýìæèãäýõ¿¿íèé òîîí ¿ç¿¿ëýëò¿¿ä 2.7. ¯¿ñãýã÷ áà õàðàêòåðèñòèê ôóíêö 2.8. Õÿçãààðûí òåîðåìóóä

3. Ìàòåìàòèê ñòàòèñòèê 3.1. Ñàíàìñàðã¿é ò¿¿âýð, ò¿¿íèé òàâèëò 3.2. Ò¿¿âðèéí òîîí ¿ç¿¿ëýëò¿¿ä, 3.3. Çàðèì ÷óõàë òàðõàëòóóä 3.4. Òàðõàëòûí ïàðàìåòðèéí ¿íýëýëò 3.5. Òàðõàëòûí õóóëèéí òóõàé òààìàãëàë øàëãàõ 3.6. Òàðõàëòóóä íýãýí òºðëèéí áàéõ òóõàé òààìàãëàë øàëãàõ 3.7. Õî¸ð õýìæýýñò ò¿¿âýð, ò¿¿âðèéí êîððåëÿöûí êîýôôèöèåíò, ðåãðåññ, õàìãèéí áàãà êâàäðàòûí àðãà

1.1. Äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí òóõàé åðºíõèé îéëãîëò Åðºíõèé îéëãîëò. • Äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë: ¯ë õàìààðàõ õóâüñàã÷, ò¿¿íýýñ õàìààðàõ ¿ë ìýäýãäýõ ôóíêö, óã ôóíêöèéí ÿíç á¿ðèéí ýðýìáèéí óëàìæëàëóóäûã àãóóëñàí òýãøèòãýë. ердийн ⎧ нэг ⎫ ⎧ ⎫ áîë • ¯íäñýí àíãèëàë: Õóâüñàã÷èéí òîî ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë. олон тухайн улажлалт ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

• Òýãøèòãýëèéí ýðýìáý: ¿ë ìýäýãäýõ ôóíêöèéí óëàìæëàëûí õàìãèéí äýýä ýðýìáý. • n ýðýìáèéí åðäèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí åðºíõèé õýëáýð:

(

F x, y, y′, y′′, K , y

(n )

)= 0

(1)

⎛ dy d 2 y dny⎞ ýñâýë F ⎜⎜ x, y, , 2 , K , n ⎟⎟ = 0 (2) dx dx dx ⎠ ⎝

• Øèéä áóþó èíòåãðàë: îðëóóëàõàä àäèëòãàë áîëãîõ ôóíêö. • Èíòåãðàë ìóðóé: Øèéäèéí ãðàôèê. • Åðºíõèé øèéä: C1 , C2 , K , Cn òîãòìîëóóäûí õóâüä [1]-èéã õàíãàõ y = ϕ ( x, C1 , C2 , K , Cn ) ôóíêö. • Òóõàéí øèéä: C1 , C2 , K , Cn òîãòìîëóóäûí òîäîðõîé ñîíãîëòîä õàðãàëçàõ øèéä.

111

x

Æèøýý 1. y′ = 2 x , y ( x ) = ∫ 2 xdx + C = x 2 + C , y = x 2 . x0

14 12 10 8 6 4 2 0 -4

-2

-2

0

2

4

-4 -6

• Èíòåãðàë÷ëàõ: òýãøèòãýëèéã áîäîõ áóþó òýãøèòãýëèéí øèéä áîëîõ ôóíêöèéã îëîõ ¿éëäýë. • Êâàäðàòóðààð èíòåãðàë÷ëàãäàõ: Èíòåãðàë÷ëàõ ¿éëäýë íü òºãñãºëºã òîîíû èíòåãðàë áîäîõ ðóó øèëæèõ áàéõ.

112

Êîøèéí áîäëîãî

• Àíõíû íºõöºë: y x = x = y0 (3) ýñâýë y ( x0 ) = y0 . 0

• Êîøèéí áîäëîãî: Àíõíû íºõöëèéã õàíãàõ øèéäèéã îëîõ áîäëîãî. Æèøýý 2.

y′ = 2 x

y (0) = 0

êîøèéí áîäëîãûã áîä.

Áîäîëò: Åðºíõèé øèéä y = x 2 + C áà y (0) = 0 2 + C = 0 ⇒ C = 0 òóë ºãºãäñºí àíõíû íºõöëèéã õàíãàõ òóõàéí øèéä y = x 2 . Çàõûí áîäëîãî ⎧ a1 y′ + b1 y = c1 • Çàõûí íºõöºë: ⎨ ⎩a2 y′ + b2 y = c2

a1 = a2 = 0 I ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ b1 = b2 = 0 II ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ • Çàõûí íºõöë¿¿äèéí àíãèëàë: ⎨ ⎬ ¿åä ⎨ ⎬ çàõûí íºõöºë. = = c c 0 нэгэн төрлийн 1 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ерө нхий тохиолдол ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ III

• Çàõûí áîäëîãî: Çàõûí íºõöëèéã õàíãàõ øèéäèéã îëîõ áîäëîãî.

113

Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë

• Óëàìæëàëûíõàà õóâüä áîäîãäñîí òýãøèòãýë: F ( x, y, y′) = 0 ⇒ y′ = f ( x, y ) (4). • ×èãëýë¿¿äèéí îðîí: f ( x, y ) : D ⊂ R 2 . M ( x, y ) ∈ D : tg (α ) = y′( x) = f ( x, y ) íýãæ âåêòîð.

ͺ㺺 òàëààñ M ( x, y ) : ìóðóéí ø¿ðãýã÷èéí ºíöãèéí êîýôôèöèåíò tg (α ) = f ( x, y ) .

Èéìä M ( x, y ) : ø¿ðãýã÷èéí ÷èãëýë áà îðîíãèéí ÷èãëýë äàâõàöíà. Áóñàä òîõèîëäîëä äàâõöàõã¿é.

• Èçîêëèí: Öýã á¿ðèéí õóâüä äýýðõ ÷èãëýë¿¿ä äàâõöàæ áàéõ ìóðóéã [4]-èéí èçîêëèí ãýíý.

114

Äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëýýð áîäîãäîõ áîäëîãûí æèøýý Æèøýý 3. 200 ìåòð êóá ýçýëõ¿¿íòýé ºðººíèé àãààðûí 0.15 õóâèéã í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèé ( CO2 ) ýçýëæ áàéâ. Àãààð öýâýðø¿¿ëýã÷ ìèíóò òóòàìä 0.04 õóâèéí í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèéí àãóóëàìæòàé 20 ìåòð êóá àãààðûã ºãäºã. ßìàð õóãàöààíû äàðàà ºðººíèé àãààð äàõü í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèéí õýìæýý õî¸ð äàõèí áàãàñàõ âý? Í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèé ºðººíèé àãààðò æèãä òàðõàíà ãýæ ¿ç. x(t ) - ºðººíèé 1 ìåòð êóá àãààðò àãóóëàãäàõ í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèéí õýìæýý.

Δt

õóãàöààíû

äàðààõ

í¿¿ðñõ¿÷ëèéí

õèéí

õýìæýý

x(t + Δt ) = x(t ) − 0.1 ⋅ x(t ) ⋅ Δt + 0.1 ⋅ 0.04 ⋅ Δt .

x(t + Δt ) − x(t ) = −0.1 ⋅ x(t ) + 0.1 ⋅ 0.04 ãýýä Δt -ð¿¿ òýì¿¿ëñýí õÿçãààð øèëæâýë x′(t ) = −0.1 ⋅ x(t ) + 0.1 ⋅ 0.04 . Δt

Åðºíõèé øèéä x(t ) = 0.04 + C ⋅ e

−

t 10 .

Àíõíû íºõöºë x(0) = 0.15 : x(t ) = 0.04 + 0.11 ⋅ e x(t ) =

−

t 10 .

0.15 ãýäãýýñ t ≈ 11 ìèíóò. 2

115

1.2. Õÿëáàð òýãøèòãýë¿¿ä, õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë, íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë Õÿëáàð òýãøèòãýë¿¿ä I.

dy = f (x) (1) dx 1. f (x) íü (a, b) çàâñàðò òàñðàëòã¿é ¿åä • Åðºíõèé øèéä: y =

x

∫ f (t )dt + C (2).

x0

• Àíõíû íºõöºë y ( x0 ) = y0 -èéã õàíãàõ òóõàéí øèéä: y =

x

∫ f (t )dt + y0 (3).

x0

2. f (x) íü c ∈ (a, b) öýãò òàñðàëòòàé áîëîâ÷ ∀x ∈ (a, b) \ {c} öýãò òàñðàëòã¿é ¿åä

• Åðºíõèé øèéä: 1) x ∈ (a, b) \ {c} ¿åä 1 ä¿ãýýð òîõèîëäîë. 2) x = c ¿åä:

dx 1 . x = c øèéä. = dy f ( x)

1. Àíõíû íºõöºë y ( x0 ) = y0 -èéã õàíãàõ òóõàéí øèéä: 121

1) x ∈ (a, b) \ {c} ¿åä 1 ä¿ãýýð òîõèîëäîë. x

2) x → c ± ¿åä y =

∫ f (t )dt + y0 ºðãºòãºñºí èíòåãðàë.

x0

a. Ñàðíèæ áàéâàë êîøèéí áîäëîãî öîð ãàíö øèéäòýé. b. Íèéëæ áàéâàë òºãñãºëã¿é îëîí øèéäòýé. II.

dy = f ( y ) (4) dx

1. f ( y ) íü [a, b] äýýð òàñðàëòã¿é áºãººä f ( y ) ≠ 0 : y

• Åðºíõèé øèéä: x =

∫ f (t )dt + C

(5).

y0

2. Àíõíû íºõöºë x( y0 ) = x0 -èéã õàíãàõ òóõàéí øèéä: x =

y

∫ f (t )dt + x0 (6).

y0

2. f ( y ) íü [a, b] äýýð òàñðàëòã¿é áîëîâ÷ f (c) = 0 áàéã

• Åðºíõèé øèéä: 1) y ≠ c ¿åä 1 òîõèîëäîë. 2) y → c ¿åä y = c øèéä áîëíî. 122

3. Àíõíû íºõöºë y ( x0 ) = y0 -èéã õàíãàõ òóõàéí øèéä: 1) y ≠ c ¿åä 1 òîõèîëäîë. 2) y → c ¿åä [6] íü ºðãºòãºñºí èíòåãðàë áîëîõ áà óã èíòåãðàë ñàðíèæ áàéâàë êîøèéí áîäëîãî öîð ãàíö øèéäòýé.. Õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë

• Õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë: y′ = f ( x) ⋅ g ( y ) (7) áóþó • Øèéä

îðøèí

áàéõ

íºõöºë:

f ( x ) ∈ C ([a, b])

áà

dy = f ( x) ⋅ g ( y ) (8). dx

g ( y ) ∈ C ([c, d ])

ìºí

g(y) ≠ 0

( x0 , y0 ) ∈ [a, b]× [c, d ] öýãèéí õóâü äàõü êîøèéí áîäëîãî öîð ãàíö øèéäòýé. • Åðºíõèé øèéä: Æèøýý 1.

dy dy = f ( x) ⋅ dx ⇒ ∫ = f ( x)dx + C (9). g ( y) g ( y) ∫

xy′ + y = y 2 y (1) = 0.5

dy dx , = 2 x y −y

êîøèéí áîäëîãûã áîä.

dy dx = ∫ y2 − y ∫ x + C ,

⎛ 1 1⎞ dx y −1 C , − = Cx áóþó y (1 − Cx ) = 1. dy = + ⎜ ⎟ ∫ ⎜⎝ y − 1 y ⎟⎠ ∫ x y

0.5(1 − C ⋅ 1) = 1, C = −1. y (1 + x) = 1, y = 0 . 123

áàéâàë

Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë dy ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ • Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãëýë: y′ = f ⎜ ⎟ (10) áóþó = f ⎜ ⎟ (11) dx ⎝ x⎠ ⎝ x⎠

• Øèéäèéã îëîõ: ƒ Îðëóóëãà:

y = z (12) x

ƒ Îðëóóëàõ: y = xz áà y′ = z + xz ′ . z + xz ′ = f ( z ) ƒ Îðëóóëãûí ¿ð ä¿í:

dz f ( z ) − z = õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë. dx x

ƒ Áîäîëò: f ( z ) − z ≠ 0 :

∫

1 dz -èéí ýõ ôóíêö Φ ( z ) ãýå. = ln x + C . f ( z) − z f ( z) − z ⎛ x⎞ ƒ Åðºíõèé øèéä: Φ⎜⎜ ⎟⎟ = ln x + C (13). ⎝ y⎠

ƒ Øèéä îðøèí áàéõ íºõöºë: f (u ) íü a < u < b çàâñàðò òîäîðõîéëîãäñîí áà f ( z ) − z ≠ 0 áàéâàë ax0 < y0 < bx0 ¿åèéí y ( x0 ) = y0 êîøèéí áîäëîãî öîð ãàíö øèéäòýé. 124

ƒ f ( z ) − z = 0 ¿åèéí øèéä: z1 , z 2 ,K íü f ( z ) − z = 0 òýãøèòãýëèéí øèéä¿¿ä ãýå. z → zi :

⎧ нийлж ⎫ ⎧ ганц ⎫ ºðãºòãºñºí èíòåãðàë ⎨ ⎬ áàéâàë êîøèéí áîäëîãî ⎨ ⎬ øèéäòýé. сарниж олон ⎭ ⎭ ⎩ ⎩ ⎛ a x + b1 y + c1 ⎞ dy ⎟⎟ (14) = f ⎜⎜ 1 • Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýëä øèëæäýã òýãøèòãýë¿¿ä: dx ⎝ a2 x + b2 y + c2 ⎠ ⎧ a1 x + b1 y + c1 = 0 (15) ñèñòåì òýãøèòãýë: ⎨ + + = 0 a x b y c ⎩ 2 2 2

1. ( x0 , y0 ) øèéäòýé: ⎧ x − x0 = ξ ƒ Îðëóóëãà: ⎨ . y y η − = ⎩ 0

ƒ Îðëóóëàõ:

dξ = dx dη = dy

ƒ Îðëóóëãûí ¿ð ä¿í: ⎛ a +b η ⎜ 1 1 ξ ⎛ a1ξ + b1η + a1 x0 + b1 y0 + c1 ⎞ ⎛ a1ξ + b1η ⎞ dη ⎟⎟ = f ⎜⎜ ⎟⎟ = f ⎜ = f ⎜⎜ η + + + + + ξ η ξ η a b a x b y c a b dξ ⎝ 2 ⎝ 2 2 2 0 2 0 2⎠ 2 ⎠ ⎜ a2 + b2 ξ ⎝ 125

⎞ ⎟ ⎛η ⎞ ⎟ = ϕ ⎜ ⎟ (16). ⎝ξ ⎠ ⎟ ⎠

dz

∫ f ( z) − z

2. Øèéäã¿é: ƒ Áèåëýõ íºõöºë: øóëóóíóóä ïàðàëëåë º.õ ƒ Ýìõýòãýõ:

a = ka2 a1 b1 = = k áóþó 1 b1 = kb2 a2 b2

⎛ k (a2 x + b2 y ) + c1 ⎞ dy ⎟⎟ = ϕ (a2 x + b2 y ) . = f ⎜⎜ dx + + a x b y c ⎝ 2 2 2 ⎠

ƒ Îðëóóëãà: a2 x + b2 y = z . ƒ Îðëóóëãûí ¿ð ä¿í: z ′ = b2ϕ ( z ) + a2 (17). 2

⎛ y+2 ⎞ Æèøýý 2. y′ = 2⎜ ⎟ òýãøèòãýëèéã áîä. 1 x + y − ⎝ ⎠ 2

⎧ y+2=0 , ⎨ x y 1 0 + − = ⎩

⎛ y+2 ⎞ ⎛ y+2 ⎞ y′ = 2⎜ ⎟, ⎟ = f⎜ + − 1 + − 1 x y x y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

⎛ 1 ⎞ dη = 2⎜⎜ ⎟⎟ , + dξ ξ η 1 ⎝ ⎠

2

dξ ⎛ ξ ⎞ 2 = ⎜1 + ⎟ , dη ⎝ η ⎠

ξ = z, η

⎧ x=3 , ⎨ y 2 = − ⎩

z + η ⋅ z ′ = 0.5(1 + z )2 , x −3

2 arctg ξ dz y+2 2∫ = ln Cη , 2arctg = ln Cη , y + 2 = Ce . 2 η 1+ z

126

2

⎧x −3 = ξ , ⎨ y 2 η + = ⎩

dη ⎛ η ⎞ = 2⎜ ⎟ , dξ ξ η + ⎝ ⎠ dz

∫ 0.5(1 + z )2 − z = lnη + C ,

1.3. Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë, Áåðíóëëûí òýãøèòãýë Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë • Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë: y′ + p( x ) y = q( x ) (1) • Øèéä îðøèí áàéõ íºõöºë: p( x ) , q( x ) íü (a, b ) çàâñàðò òàñðàòã¿é áîë a < x0 < b áà − ∞ < y0 < ∞ íºõöºë äýõ y ( x0 ) = y0 (2) êîøèéí áîäëîãî öîð ãàíö øèéäòýé. • Øèéäèéã îëîõ: 1. Íýãýí òºðëèéí áàéõ ¿åèéí øèéä: y′ + p( x ) y = 0 (3)

dy = − p( x ) y : y ≠ 0 , dx

dy = − p( x )dx , y

x

y = Ce

− ∫ p (t )dt x0

(4). y = 0 øèéä. x

2. Êîøèéí áîäëîãûí øèéä: [1] òýãøèòãýëèéí øèéäèéã y ( x) = z ( x)e x

s

x

∫ p (t )dt

z ( x) = y0 + ∫ q(s )e x0 x0

ds , y ( x) = e

− ∫ p (t )dt x0

s ⎛ ⎞ ∫ p (t )dt x ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ y0 + ∫ q(s )e x0 ds ⎟ (6). x0 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

131

− ∫ p (t )dt x0

(5) õýëáýðýýð õàéÿ.

x

3. Åðºíõèé øèéä: y ( x) = e

− ∫ p (t )dt x0

s ⎛ ⎞ ∫ p (t )dt x ⎜ ⎟ x0 ⋅ ⎜ C + ∫ q(s )e ds ⎟ (7). x0 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Æèøýý 1. x 2 y′ + xy + 1 = 0 òýãøèòãýëèéã áîä. x 2 y′ + xy + 1 = 0 : x 2 ,

y′ +

1 1 y=− 2, x x

p( x) =

1 1 áà q ( x) = − 2 . x x

y ( x) = e

x 1 − ∫ dt x0 t

s 1 ⎞ ⎛ ∫ dt x ⎟ ⎜ t 1 ⋅ ⎜ C − ∫ 2 e x0 ds ⎟ . x0 s ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

x 1 ⎞ 1 1⎛ y ( x) = ⎜⎜ C − ∫ ds ⎟⎟ = (C − ln x ). xy = C − ln x . x⎝ x0 s ⎠ x

Æèøýý 2. y′ = dy y , = dx 3 x − y 2

y òýãøèòãýëèéã áîä. 2 3x − y

3x − y 2 dx = , y dy

3x − y 2 x′ = , y

x′ −

3 3 x = − y . ª.õ x õóâüñàã÷èéí õóâüä p( y ) = − áà y y

q ( y ) = − y áàéõ íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë. y

x( y ) = e

3 dt y0 t ∫

s 3 ⎛ ⎞ − ∫ dt y ⎜ ⎟ t ⋅ ⎜ C − ∫ se y0 ds ⎟ = Cy 3 + y 2 , x = Cy 3 + y 2 . y = 0 . y0 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

132

Áåðíóëëûí òýãøèòãýë

• Áåðíóëëûí òýãøèòãýë: y′ + p ( x) y = q( x) y n (8) • Áîäîõ: 1. n = 0 ¿åä íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë, y′ + p( x) y = q ( x) . 2. n = 1 ¿åä õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë, y′ + p( x) y = q ( x) y . 3. n ≠ 0,1 ¿åä z = y1− n îðëóóëãààð øóãàìàí òýãøèòãýëä, z ′ + (1 − n) p ( x) z = (1 − n)q ( x) . Æèøýý 3. xydy = ( y 2 + x)dx òýãøèòãýëèéã áîä. 1 dy y 1 2 2⎞ ⎛ = + , y′ − y = y −1 , n = −1. z = y 2 , z ′ − z = 2 , z = x 2 ⎜ C − ⎟ , y 2 = Cx 2 − 2 x . ̺í x = 0 x⎠ dx x y x x ⎝

øèéä.

133

1.4. Ðèêêàòûí òýãøèòãýë, á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë Ðèêêàòûí òýãøèòãýë • Ðèêêàòûí òýãøèòãýë: y′ = p ( x) y 2 + q ( x) y + r ( x) (1) • p , q áà r íü [a, b] õýð÷èì äýýð òàñðàëòã¿é ôóíêö¿¿ä áàéã. • Áîäîõ: ƒ p ( x) ≡ 0 áîë øóãàìàí òýãøèòãýë ƒ r ( x) ≡ 0 áîë Áåðíóëëûí òýãøèòãýë ƒ Åðºíõèé òîõèîëäîëä êâàäðàòóðààð áîäîãääîãã¿é. • Áîäîãääîã çàðèì òîõèîëäîëäëóóä: ƒ p , q áà r íü òîãòìîë áîë õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë. 2

y ⎛ y⎞ ƒ y′ = a⎜ ⎟ + b + c áóþó íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë. x ⎝ x⎠

ƒ y1 ( x) øèéä ìýäýãäýæ áàéâàë y = y1 + z îðëóóëãààð Áåðíóëëûí òýãøèòãýëä øèëæèíý. ƒ y1 øèéä ìýäýãäýæ áàéâàë u =

1 îðëóóëãààð øóãàìàí òýãøèòãýëä øèëæèíý. y − y1 141

Æèøýý 1. x 2 y′ + xy + x 2 y 2 = 4 òýãøèòãýëèéã Áåðíóëëûí òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ë. 2 y1 = , x

y=

2 + z, x

x 2 z ′ + 5 xz + x 2 z 2 = 0 .

5 5 z ′ + z = − z 2 áóþó n = 2 , p( x) = , q ( x) = −1 áàéõ Áåðíóëëûí x x

òýãøèòãýë. Á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë • Á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë: M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 (2) òýãøèòãýëèéí ç¿¿í òàë íü F ( x, y ) ∂F ∂F =M, =N. ôóíêöèéí á¿òýí äèôôåðåíöèàë, º.õ M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = dF ( x, y ) , ∂y ∂x ∂M ∂N • Á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë ýñýõèéã øàëãàõ: (3) = ∂y ∂x • Á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýëèéí åðºíõèé øèéäèéã îëîõ: x ∂F 1. = M ( x, y ) ⇒ F ( x, y ) = ∫ M (t , y (t ))dt + ϕ ( y ) (4) ∂x x 0

∂ x ∂F ∂F ∂ x = N ( x, y ) ⇒ = Mdt + ϕ ′( y ) = N ( x, y ) . ϕ ′( y ) = N ( x, y ) − Mdt (5). 2. ∂y x∫ ∂x ∂y ∂y x∫ 0

0

3. [5]-ààñ ϕ ( y ) ôóíêöûã îëæ [4]-ò îðëóóëñíààð F ( x, y ) á¿ðýí îëäîíî. ƒ Òîäðóóëãà: [5] íü x õóâüñàã÷ààñ ¿ë õàìààðäàãã¿é. 142

• y ( x0 ) = y0 (6) íºõöºë äýõ êîøèéí áîäëîãûí øèéä öîð ãàíö îðøèõ íºõöºë: M ( x, y ) , N ( x, y ) íü D = {( x, y ) | a < x < b, c < y < d } ìóæèä

∂M ∂N , íü ÿìàð íýãýí ìóæèä òàñðàëòã¿é, [3] íºõöºë ∂y ∂x

áèåëæ áàéõ. 2 x3 − y 3 2 y 3 − x3 dx + dy = 0 òýãøèòãýëèéã áîä. Æèøýý 2. 2 2 x y xy ∂M 2 y 2x ∂N 2 y 2x = − 2 − 2 áà = − 2 − 2 õî¸ð òýíö¿¿ [3] áèåëæ áàéíà. ∂y ∂x x y x y

2 y2 2x ∂F 2 y2 x2 2 dx ⇒ F = − y ∫ 2 + ∫ xdx + ϕ ( y ) = =− 2 + + + ϕ ( y) , y ∂x y x y x x ∂F 2 y x 2 ∂u 2 y x 2 2 y x2 ⇒ = − = − + ϕ ′( y ) = + ⇒ ϕ ′( y ) = 0 , ∂y ∂x x y2 x y2 x y2

y2 x2 ϕ ( y ) = C , F ( x, y ) = + +C, x y y2 x2 + = C, x y

⎛ x ≠ 0⎞ ⎟⎟ - åðºíõèé øèéä. ̺í x = 0 áà y = 0 øèéä. ⎜⎜ 0 ≠ y ⎝ ⎠

143

• [2] íü òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë áèø áàéõ ¿åä: ƒ Áîäîõ àðãà: Á¿òòýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëýõ. ƒ Á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëýõ: Òîäîðõîé ôóíêöýýð ¿ðæ¿¿ëýõ. ƒ Èíòåãðàë÷ëàã÷

¿ðæèãäýõ¿¿í:

∂M ∂N ≠ ∂x ∂y

áà

μ ( x, y ) ≠ 0 :

∂ ( μM ) ∂ ( μN ) = ∂x ∂y

⎛ ∂N ∂M ⎞ ∂μ ∂μ M− N = ⎜⎜ − ⎟⎟ μ (7). ∂y ∂x ∂ x ∂ y ⎝ ⎠

• Èíòåãðàë÷ëàã÷ ¿ðæèãäýõ¿¿íèéã îëîõ: ƒ Îëîõ çàð÷èì: Òààìãààð õàéõ. ƒ Çàðèì òóõàéí òîõèîëäîëä: Õÿëáàðààð õàéõ áîëîìæòîé: ∂M ∂N − μ ′( x) ∂y ∂x = ≡ α ( x) . 1. μ = μ (x) : μ ( x) N ∂N ∂M − μ ′( y ) ∂x ∂y = ≡ β ( y) . 2. μ = μ ( y ) : μ ( y) M

∫

dμ

μ

= ∫ α ( x)dx , μ ( x) = C ⋅ e ∫ α ( x ) dx .

μ ( y ) = e ∫ β ( y ) dy .

144

áóþó

3. μ = μ (ω ) ,

ω = ω ( x, y ) :

∂N ∂M − μ ′(ω ) ∂x ∂y = ≡ γ (ω ) μ (ω ) M ∂ω − N ∂ω ∂x ∂y

áàéâàë çºâõºí

ω -ýýñ õàìààðñàí

èíòåãðàë÷ëàã÷ ¿ðæèãäýõ¿¿í îëäîíî. μ (ω ) = e ∫ γ (ω ) dω . Æèøýý 3. (2 xy 3 − x 4 )dy − ( y 4 − 2 x 3 y )dx = 0 á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ë. M = 2 x 3 y − y 4 , N = 2 xy 3 − x 4 . ∂N ∂M − 6( y 3 − x 3 ) 6( y 3 − x 3 ) 2 2 μ ′(ω ) 1 1 ∂x ∂y = = ω = xy = = − = − = ⇒ μ (ω ) = 2 = 3 3 2 ∂ω ∂ω xy xy μ ( ω ) 3 4 ∂ω 3 4 ∂ω − 3 xy y − x xy ω ( ) M −N 2x y − y − 2 xy − x ∂x ∂y ∂x ∂y

(

)

(

(

)

)

2 x3 − y 3 2 y 3 − x3 dx + dy = 0 . 2 2 x y xy ∂M 2 y 2x ∂N 2 y 2x = − 2 − 2 áà = − 2 − 2 õî¸ð òýíö¿¿ áàéãàà ó÷ðààñ á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë. ∂y ∂x x y x y

145

1.5. Äýýä ýðýìáèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë, ýðýìáèéã áóóðóóëæ áîäîõ òýãøèòãýë¿¿ä Äýýä ýðýìáèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë

(

)

• Åðºíõèé õýëáýð: F x, y, y′, y′′, K , y (n ) = 0 (1).

(

)

• Àõëàõ ýðýìáèéíõýý óëàìæëàëûí õóâüä áîäîãäñîí òýãøèòãýë: y (n ) = f x, y, y′, K , y (n −1) (2). • Àíõíû íºõöºë: y ( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y0' , . . . , y (n −1) ( x0 ) = y0(n −1) (3). • Êîøèéí áîäëîãûí øèéä:

(

f x, y, y′, K , y (n −1)

{

)

}

íü G = x − x0 ≤ a, y − y0 ≤ b, y ( k ) − y0( k ) ≤ b, k = 1, n

ìóæèéí öýã á¿ðèéí õóâüä

(

)

1) f x, y, y′, K , y (n −1) ≤ M 2)

y, y′, K , y (n −1)

õóâüñàã÷

( f (x, y, μ ) − f (x, y, μ ) ≤ L ⋅ y − y )-èéã {

á¿ðèéíõýý õàíãàäàã

}

õóâüä áîë

Ëèïøèöèéí [2]

[3]

êîøèéí

íºõöºë áîäëîãî

x − x0 ≤ h = min⎛⎜ a, b max M , y′ , K , y (n ) ⎞⎟ ìóæèä öîð ãàíö øèéäòýé áà òýð íü n -ûã äóóñòàë ⎠ ⎝ G

ýðýìáèéí òàñðàëòã¿é óëàìæëàëòàé.

151

• Êâàäðàòóðààð áîäîãäîõ õÿëáàð òîõèîëäëóóä:

(

)

1. F x, y ( n ) = 0 1) y ( n ) = f ( x ): y ( x ) = ∫ dx K ∫ dx ∫ f ( x )dx + Pn −1 ( x ) 14 4244 3 n

2) åðºíõèé òîõèîëäîëä:

(

) 1) y ( ) = f (y ( ) ) : y (

x = ϕ (t ) x = ϕ (t ) ⎫ ⎫ ïàðàìåòð îðóóëíà. ⎬. ⎬ y = Φ(t , C1 , K , Cn )⎭ y ( n ) = ψ (t )⎭

2. F y ( n ) , y ( n −1) = 0 n

n −1

n −1)

= z îðëóóëãààð áîäíî. y (n −1) = φ ( x,C1 )

ψ ′(t ) ⎫ x=∫ dt + C1 ⎪ y ( n ) = ϕ (t ) ⎫ 2) åðºíõèé òîõèîëäîëä: ( n −1) ϕ (t ) ⎬. ⎬ ïàðàìåòð îðóóëáàë y = ψ (t )⎭ y = Φ (t , C1 , K , Cn )⎪⎭

( (n) , y(n−k ) ) = 0 (n ) (n − k ) ): y (n − k ) = z îðëóóëãààð 1.-ä øèëæèíý. 1) y = f (y

3. F y

y ( n ) = ϕ (t ) ⎫ 2) åðºíõèé òîõèîëäîëä: ( n − k ) ⎬ ïàðàìåòð îðóóëæ 1.-ä øèëæ¿¿ëíý. y = ψ (t )⎭ 152

Ýðýìáèéã áóóðóóëæ áîäîõ òýãøèòãýë¿¿ä 1. ¯ë ìýäýãäýõ ôóíêö áîëîí ò¿¿íèé äàðààëñàí ýõíèé óëàìæëàëóóäûã àãóóëààã¿é òýãøèòãýë.

(

)

F x, y ( k ) , K , y ( n ) = 0 y ( k ) = z .

Æèøýý 2: y′′′ = 2 xy′′ òýãøèòãýëèéã áîä. 2 ⎡ x t2 ex ⎤ y′′ = z , z ′ = 2 xz , y = C1 ⎢ x ∫ e dt − ⎥ + C2 x + C3 . x ⎥⎦ ⎣⎢ 0

2. ¯ë õàìààðàõ õóâüñàã÷èéã èë àãóóëààã¿é òýãøèòãýë.

(

)

F y, y′, K , y ( n ) = 0 y′ = p( y ) .

(

)

Æèøýý 3: y′′ 3 + yy′2 = y′4 òýãøèòãýëèéí ýðýìáèéã áóóðóóë.

(

)

y′ = p( y ) , y′′ = p′ , p′ 3 + y ⋅ p 2 = p 4 .

3. ¯ë ìýäýãäýõ ôóíêö áîëîí ò¿¿íèé óëàìæëàëóóäûí õóâüä íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë.

(

)

(

)

(

)

F x, y, y′, K , y ( n ) = 0 . F x, t ⋅ y, t ⋅ y′, K , t ⋅ y ( n ) = t m F x, y, y′, K , y ( n ) . y′ = u ⋅ y .

4. ªðãºòãºñºí íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë.

(

)

(

)

(

)

F x, y, y′, K , y ( n ) = 0 . F t ⋅ x, t k y, t k −1 y′, K , t k −n y ( n ) = t m F x, y, y′, K , y ( n ) . x = et áà y = u ⋅ e k ⋅t .

153

5. Òýãøèòãýëèéí ç¿¿í òàë íü ÿìàð íýãýí ôóíêöèéí á¿òýí óëàìæëàë áàéõ.

(

)

F x, y, y′, K , y ( n ) =

(

)

(

)

d Φ x, y, y′, K , y ( n −1) = 0 áàéõ òýãøèòãýëèéí ýðýìáý Φ x, y, y′, K , y ( n −1) = C ãýæ dx

íýãýýð áóóðíà. 6. Çàâñðûí èíòåãðàë.

Φ ( x, y, C1,K, Cn ) = 0 ⎫ Φ′( x, y, C1,K, Cn ) = 0⎪⎪ Φ ( x, y, C1 , K , Cn ) = 0 (4) ⎬ (5) [1] ãàð÷ áàéâàë åðºíõèé èíòåãðàë áîëíî. M ⎪ г.м - ээр n удаа ⎪⎭ ⎫ ∂φ ∂φ ∂φ + y′ + K + ( k ) y ( k +1) = 0⎪ ∂x ∂y ∂y ⎪⎪ ( k) M φ (x, y, y′, K , y , Ck +1 , K , Cn ) = 0 (6). ⎬ (7) [1] ãàð÷ áàéâàë n−k n−k ⎪ ∂ φ (n) ∂ φ + + = K y 0 ⎪ n−k ∂x n − k ⎪⎭ ∂y ( k ) çàâñðûí èíòåãðàë. 2

Æèøýý 4: y′′ = C1e x íü y′′′ = 2 xy′′ (Æèøýý 2) òýãøèòãýëèéí çàâñðûí èíòåãðàë áîëîõûã øàëãà. 154

1.6. Õî¸ðäóãààð ýðýìáèéí íýãýí òºðëèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë Åðºíõèé îéëãîëò • Òýãøèòãýëèéí õýëáýð: Ly ≡ y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = 0 (1). • Åðºíõèé òîõèîëäîëä êâàäðàòðóðààð áîäîãääîãã¿é. • Áîäîõ àðãà çàìóóä: 1. Îðëóóëãà 2. Çýðãèéí öóâàà. Îðëóóëãûí òóñëàìæòàéãààð õÿëáàð÷ëàõ 1. Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí óëàìæëàëûã àãóóëààã¿é òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëýõ. 2α ′ ⎞ α ′ α ′′ ⎞ ⎛ ⎛ y = α ( x) z ( x) (2) îðëóóëãà õèéâýë z ′′ + ⎜ p ( x) + ⎟ z ′ + ⎜ q ( x) + p ( x) ⋅ + ⎟ z = 0 (3). α ⎠ α α ⎠ ⎝ ⎝

p( x) +

2α ′

α

= 0 íºõö뺺ñ α ( x) = e

−

1 p ( x ) dx 2∫ .

p′ p 2 Óëìààð I ( x) = q − − áàéõ z ′′ + I ( x) z = 0 (4) òýãøèòãýëä øèëæèíý. 2 4

161

Æèøýý 1: x 2 y′′ + xy′ + ( x 2 − n 2 ) y = 0 Áåññåëèéí òýãøèòãýëèéã ÿìàð íýãýí òóõàéí øèéäèéã îë. 1 1 1 1 , α ( x) = exp⎛⎜ − ∫ dx ⎞⎟ = exp⎛⎜ − ln x ⎞⎟ = 2 x 2 x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

z , y= x

n2 1 1 0.25 − n 2 I ( x) = 1 − 2 + 2 − 2 = 1 + , 2 2x 4x x x

⎛ 0.25 − n 2 ⎞ ⎟ z = 0 . n = ±0.5 : z ′′ + z = 0 òýãøèòãýë z1 = cos x áà z 2 = sin x òóõàéí øèéä¿¿äòýé òóë z ′′ + ⎜⎜1 + 2 ⎟ x ⎠ ⎝ y1 =

cos x sin x áà y2 = íü Áåññåëèéí òýãøèòãýëèéí øèéä¿¿ä áîëíî. x x

2. Òóõàéí øèéäèéí òóñëàìæòàéãààð íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí íýãýí òºðëèéí øóãàìàí òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëýõ. y = y1 ∫ u ( x)dx (5).

Æèøýý 2: x 2 y′′ ln x − xy′ + y = 0 íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ë. 1⎛ 1 ⎞ y1 = x , y = x ∫ u ( x)dx , u ′ + ⎜ 2 − ⎟u = 0 . x⎝ ln x ⎠

3. Òóõàéí øèéä ìýäýãäýæ áàéõ ¿åä Îñòðîãðàäñêèé-Ëèóâèëëûí òîìú¸îíû òóñëàìæòàéãààð áîäîõ. y = y1 ,

y1 y1′

y = Ce − ∫ p ( x ) dx . y′ 162

Æèøýý 3: x 2 y′′ ln x − xy′ + y = 0 (Æèøýý 1) òýãøèòãýëèéã áîä. y1 y1′

y1 = x ,

dx

y ∫ = Ce x ln x , y′

′ y1 y′ − y1′ y ⎛ y ⎞ C ln x , = ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 y y12 y ⎝ 1⎠ 1

y ln x ln x + 1 + C2 , = ∫ C 2 dx + C2 = C x x x

y = C (ln x + 1) + C2 x .

4. Îðëóóëãûí òóñëàìæòàéãààð íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí íýãýí òºðëèéí øóãàìàí òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëýõ. y′ = y ⋅ z (6). y′′ = y′z + yz ′ = y ( z ′ + z 2 ) . [1]-ä îðëóóëáàë z ′ = − z 2 − p( x) z − q ( x) Ðèêêàòûí òýãøèòãýë.

Çýðãèéí öóâààíû òóñëàìæòàéãààð èíòåãðàë÷ëàõ 1. [1] òýãøèòãýëèéí êîýôôèöèåíòóóä x0 öýãèéí îð÷èíä ãîëîìîðô áóþó íèéëäýã çýðãèéí öóâààíä çàäàðäàã áàéã.

• p ( x) =

∞

∑ pk ( x − x0 )

k

,

n =0

y ( x) =

q ( x) =

∞

∑ qk ( x − x0 ) k

(7) íèéëýëòèéí ìóæ íü

n =0

x − x0 ≤ ρ

áàéâàë

∞

∑ ak ( x − x0 ) k

(8).

n =0

• [8] öóâààíû ak êîýôôèöèåíòóóäûã óëàìæëàëóóäûã íü [1]-ä îðëóóëæ ( x − x0 ) -ûí èæèë çýðýãò¿¿äèéí ºìíºõ êîýôôèöèåíòóóäûã òýíö¿¿ëýõ çàìààð îëíî. 163

Æèøýý 4: x 2 y′′ + xy′ − 4 y = 0 òýãøèòãýëèéí ÿìàð íýãýí òóõàéí øèéäèéã îë. y=

n

∑ ak x k , y = x n , x n : n 2 − 4 = 0 ⇒ n = 2 , y = x 2 + ax + b , y = x 2 .

k =0

2. Êîýôôèöèåíòóóä ãîëîìîðô áèø º.õ x = x0 öýã íü [1]-èéí îíöãîé øèéä áàéâàë ýíý öýãèéí îð÷èíä øèéä íü ãîëîìîðô áóñ áàéíà. Æèøýý 5: x 2 y′′ + xy′ + ( x 2 − n 2 ) y = 0 (Æèøýý 1). 1

1

− ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ x2 x4 cos x x2 x4 sin x 2 2 ⎟ ⎜ = x ⎜1 − + − K⎟ áà y2 = = x ⎜⎜1 − + − K⎟⎟ . x = 0 îíöãîé öýã. n = ±0.5 ¿åä y1 = 2! 4! 3! 5! x x ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

α

• y ( x) = ( x − x0 )

∞

∑ ak ( x − x0 ) k

n =0

(9) c0 ≠ 0 õýëáýðèéí öóâààã åðºíõèéëñºí çýðãèéí öóâàà ãýäýã.

• [1] íü x = x0 îíöãîé öýãèéí îð÷èíä [9] ìàÿãèéí øèéäòýé áàéõ õ¿ðýëöýýòýé íºõöºë íü

1 p( x) = x − x0

∞

1 ∑ pk ( x − x0 ) , q( x) = x − x n =0 0 k

∞

∑ qk ( x − x0 ) k

n =0

(10) p02 + q02 + q12 ≠ 0 áàéõ ÿâäàë þì.

• Øèéä îðøèí áàéõ ìóæ: [10] öóâààíóóä x − x0 ≤ ρ ìóæèä íèéëäýã áîë [9] ýíý ìóæèä íèéëíý. • Øèéäèéã îëîõ: 1. òîõèîëäëûíõòîé àäèë. α -ûã ( x − x0 )α çýðýãòèéí ºìíºõ êîýôôèöèåíò òýãòýé òýíö¿¿ áóþó c0 (α (α − 1) + p0α + q0 ) = 0 íºõö뺺ñ îëíî. 164

1.7. n ýðýìáèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë Åðºíõèé îéëãîëò • Òýãøèòãýëèéí

õýëáýð:

p0 ( x) y ( n ) + p1 ( x) y ( n −1) + K + pn −1 ( x) y′ + pn ( x) y = f ( x) .

p0 ( x) ≠ 0

áîë

Ly ≡ y ( n ) + p1 ( x) y ( n −1) + K + pn −1 ( x) y′ + pn ( x) y = f ( x) (1).

• Øèéä

îðøèí

áàéõ

íºõöºë:

y x = x = y0 , y′ x = x = y0′ , K, y ( n −1) 0

0

x = x0

p1 ( x), p2 ( x),K, pn ( x), f ( x) ∈ C ([a, b])

áîë

∃ ! y ( x) : x0 ∈ [a, b] ,

= y0( n −1) (2) [1.5 ñýäýâ].

• L îïåðàòîðûí ÷àíàð: Øóãàìàí ÷àíàðòàé. ª.õ 1. ∀y1 , y2 : L( y1 + y2 ) = Ly1 + Ly2 2. ∀α ∈ R : L(α ⋅ y ) = α ⋅ Ly .

• [1] òýãøèòãýëèéí áóñàä ÷àíàðóóä: 1. y = α ( x) z + β ( x) îðëóóëãàä õýëáýðýý õàäãàëíà. Ýíä, z ¿ë ìýäýãäýõ ôóíêö 2. y = α ( x) z îðëóóëãààð n − 1 ä¿ãýýð ýðýìáèéí óëàìæëàëûã àãóóëààã¿é òýãøèòãýëä øèëæèíý [1.6 ñýäýâ].

171

Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýëèéí øèéä

Ly = 0 (3). • [3] òýãøèòãýëèéí ÷àíàðóóä: 1. y ( k −1)

x = x0

= 0 k = 1, n − 1: y ≡ 0

2. y = y1 ( x) + i ⋅ y2 ( x) øèéä ⇒ y1 ( x) áà y2 ( x) øèéä 3. y1 , y2 , K , yn øèéä ⇒ y = C1 y1 + C2 y2 + K + Cn yn øèéä. Åðºíõèé øèéä áîëîõ àëáàã¿é. y = ei⋅ x ⇒ y′′ = −ei⋅x ⎫ y1 = cos x шийд⎫ Æèøýý 1: Ly = y′′ + y = 0 . i⋅x ⎬⇒ ⎬ ⇒ y = C1 cos x + C2 sin x шийд . e = cos x + i sin x ⎭ y2 = sin x шийд ⎭

4. y = C1 y1 + C2 y2 + K + Cn yn åðºíõèé øèéä ⇐ y1 , y2 , K, yn øèéä¿¿äèéí ¿íäñýí ñèñòåì

• Øèéä¿¿äèéí ¿íäñýí ñèñòåì: ƒ [3] òýãøèòãýëèéí øóãàìàí õàìààðàëã¿é n øèðõýã øèéäèéã ýíý òýãøèòãýëèéí øèéä¿¿äèéí ¿íäñýí ñèñòåì ãýíý. ƒ y1 , y2 , K, yn

x ∈ ( a, b)

n

ôóíêö¿¿ä

áà

∑ α i2 > 0 i =1

⎧α1 y1 + α 2 y2 + K + α n yn = 0⎫ ⎨ ⎬ áàéâàë óã ôóíêö¿¿äèéã + + + ≠ 0 α y α y K α y ⎩ 1 1 ⎭ 2 2 n n 172

áàéõ

⎧∀α i ⎫ ⎨ ⎬ -¿¿äèéí ∃ α ⎩ i⎭

⎧шугаман хамааралтай ⎫ ⎬ ãýíý. ⎨ шугаман хамааралг үй ⎭ ⎩

õóâüä

ƒ Ôóíêö¿¿ä øóãàìàí õàìààðàëã¿é áàéõûã øàëãàõ: y1 , y2 , K, yn ôóíêö¿¿ä (a, b) çàâñàð äýýð øóãàìàí õàìààðàëã¿é ⇔ ∀x ∈ (a, b) : Âðîíñêèàí òýãýýñ ÿëãààòàé. y1 y2 yn L y1′ y2′ yn′ L ƒ Âðîíñêèàí: W ( x) = M M O M y1( n −1) y1( n −1) L y1( n −1) Æèøýý 2: y1 = cos x áà y2 = sin x [Æèøýý 1] øóãàìàí õàìààðàëòàé ýñýõèéã òîãòîî.

W ( x) =

cos x sin x = cos 2 x + sin 2 x = 1 ≠ 0 ó÷ðààñ øóãàìàí õàìààðàëã¿é. − sin x cos x ƒ Øèéä¿¿äèéí ¿íäñýí ñèñòåì îðøèí áàéõ íºõöºë: p1 ( x), p2 ( x),K , pn ( x) ∈ C ((a, b) ) . ƒ Øèéä¿¿äèéí ¿íäñýí ñèñòåì ¿¿ñãýõ ôóíêö¿¿äèéí òîî: n -ýýñ èë¿¿ã¿é.

Æèøýý 3: y1 = cos x áà y2 = sin x [Æèøýý 1] øèéä øóãàìàí õàìààðàëã¿é [æèøýý 2] ó÷ðààñ Ly = y′′ + y = 0 òýãøèòãýëèéí øèéä¿¿äèéí ¿íäñýí ñèñòåì áîëîõ áà óëìààð åðºíõèé øèéä íü y = C1 cos x + C2 sin x áîëíî.

173

Íýãýí òºðëèéí áóñ òýãøèòãýëèéí øèéä [1] òýãøèòãýëèéã àâ÷ ¿çüå.

• Åðºíõèé øèéä:

y = y1 + C1 z1 + C2 z 2 + K + Cn z n . Ýíä,

z = C1 z1 + C2 z 2 + K + Cn z n

íü

Lz = 0 -èéí

åðºíõèé øèéä, y1 íü [1]-èéí òóõàéí øèéä.

• Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëýõ: y = y1 + z (4) îðëóóëãààð

Ly1 + Lz = f ( x)⎫ ⎬ ⇒ Lz = 0 (5). Ly1 = f ( x) ⎭

• Òóõàéí øèéäèéã îëîõ Òîãòìîëûã õóâüñãàõ àðãà: y = C1 ( x) z1 + C2 ( x) z 2 + K + Cn ( x) z n (7) õýëáýðýýð

õàéÿ. Òýãâýë

y′ = C1 z1′ + C2 z 2′ + K + Cn zn′ + [C1′z1 + C2′ z 2 + K + Cn′ z n ] y′′ = C1 z1′′ + C2 z 2′′ + K + Cn z n′′ + [C1′z1′ + C2′ z 2′ + K + Cn′ z n′ ] M

áà

y ( n ) = C1 z1( n ) + C2 z 2( n ) + K + Cn z n( n ) + [C1′z1( n −1) + C2′ z 2( n −1) + K + Cn′ z n( n −1) ] C1 z1( n ) + K + Cn z n( n ) + [C1′z1( n −1) + K + Cn′ z n( n −1) ] + p1 ( x)[C1 z1( n −1) + K + Cn z n( n −1) ] + K + pn ( x)[C1 z1 + K + Cn z n ] ≡ f ( x) C1′z1 + K + Cn′ z n = 0 ⎫ ⎪ C1′z1′ + K + Cn′ z ′n = 0 ⎪⎪ M áóþó ⎬ (8) ãýæ Ci (x) -¿¿äèéã ñîíãîñîí ãýå. C1′z1( n − 2) + K + Cn′ z n( n − 2) = 0 ⎪ ⎪ C1′z1( n −1) + K + Cn′ z n( n −1) = f ( x)⎪⎭ 174

ƒ Ci′(x) -¿¿äèéã îëîõ: [8] ñèñòåìýýñ öîð ãàíö óòãàòàéãààð îëäîíî. Ci′( x) =

Wi ( x) , W ( x)

i = 1, n . Ýíä,

W (x) íü [8]-ûí ¿íäñýí ìàòðèöûí òîäîðõîéëîã÷, Wi (x) - àëãåáðèéí ã¿éöýýëò.

ƒ Ci (x) -¿¿äèéã îëîõ: Ci ( x) = ∫

Wi ( x) dx + Ci , i = 1, n W ( x)

n

n

i =1

i =1

ƒ Åðºíõèé øèéä: y = ∑ Ci zi + ∑ zi ∫

Wi ( x) dx . W ( x)

Æèøýý 4: y′′ + y = 4 sin x òýãøèòãýëèéã áîä. Ly = y′′ + y = 0 -èéí åðºíõèé øèéä íü y = C1 cos x + C2 sin x [Æèøýý 3]. y = C1 ( x) cos x + C2 ( x) sin x , C1′ cos x + C2′ sin x = 0 ⎫ C1′ = 2(cos 2 x − 1)⎫ C1 ( x) = sin 2 x − 2 x + C1 ⎫ ⎬, ⎬, ⎬ , y = C1 cos x + C2 sin x − 2 x cos x . C1′ ⋅ (− sin x) + C2′ cos x = 4 sin x ⎭ C2′ = 2 sin 2 x ⎭ C2 ( x) = − cos 2 x + C2 ⎭

175

1.8. Òîãòìîë êîýôôèöèåíòòîé n ýðýìáèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë Åðºíõèé îéëãîëò • Åðºíõèé õýëáýð: Ly = y ( n ) + a1 y ( n −1) + K + an y = f ( x) (1). Ýíä, a1 , K, an - òîãòìîë êîýôôèöèåíòóóä. • Åðºíõèé øèéä: Õàðãàëçàõ íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýëèéí øèéäèéã îëîõ ðóó øèëæèíý [1.7 ñýäýâ]. Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë Ly = 0 (2)

• Òóõàéí øèéä: y = e λx (3) õýëáýðýýð õàéÿ. Ýíä, λ - ¿ë ìýäýãäýõ òîãòìîë. y ( k ) = λk e λx k = 1, n áà L(e λx ) = e λx (λn + a1λn −1 + + an −1λ + an ) = 0 .

• Õàðàêòåðèñòèê áóþó òîäîðõîéëîã÷ òýãøèòãýë: Pn (λ ) = (λn + a1λn −1 + + an −1λ + an ) = 0 (4). • Õàðàêòåðèñòèê òýãøèòãýëèéí ÿçãóóðóóä: 1. n øèðõýã ÿëãààòàé áîäèò ÿçãóóðòàé

λ1 ,K, λn . e λi x i = 1, n òóõàéí øèéä¿¿ä íü øóãàìàí õàìààðàëã¿é. Ó÷èð íü

181

W ( x) =

e λ1x

e λ2 x

λ1e λ1x

λ2e λ2 x

M

M

λ1( n−1) e λ1x λ(2n−1) e λ2 x

1 L e λn x λ1 L λn e λn x = e (λ1 ,K,λn ) x M O M λ1( n−1) L λ(nn −1) e λn x

1

λ2 M

L L O

1

λn M

= Вандермонд ≠ 0

λ(2n−1) L λ(nn−1)

n

y = ∑ Ci e λi x (5) ôóíêö [2]-ûí åðºíõèé øèéä. i =1

2. ßçãóóðóóä íü ÿëãààòàé áîëîâ÷ êîìïëåêñ øèéäòýé

λ = a + ib λ = a − ib . e ( a +ib ) x áà e ( a −ib ) x óëìààð e ax cos bx áà e ax sin bx øèéä áîëíî. Åðºíõèé øèéä y =

n−2

∑ Ci eλi x + Cn−1e ax cos bx + Cn e ax sin bx . i =1

3. Äàâõàðäñàí ÿçãóóðóóäòàé

λ1 ∈ R ÿçãóóð k óäàà äàâõàðäñàí ãýå. x m e λ1x m = 0, k − 1 òóñ á¿ð øèéä áîëíî. Åðºíõèé øèéä y =

n

k

i = k +1

i =1

∑ Ci eλi x + ∑ Ci x i −1eλ1 x .

λ1 = a + i ⋅ b áàéâàë x m e ax cos bx áà x m e ax sin bx m = 0, k − 1 òóñ á¿ðòýý øèéä áîëíî. Æèøýý 1: y′′ + y = 0 òýãøèòãýëèéã áîä. y = e λ ⋅ x , λ2 + 1 = 0 , λ1, 2 = ±i , y = eix = cos x + i sin x , y = C1 cos x + C2 sin x . 182

Íýãýí òºðëèéí áóñ òýãøèòãýë

• Íýãýí òºðëèéí áóñ òýãøèòãýëä õàðãàëçàõ òóõàéí øèéäèéã îëîõ: I. Òîãòìîëûã õóâüñãàõ àðãà [1.7 ñýäýâ]. II. Òîäîðõîéã¿é êîýôôèöèåíòûí àðãà a. f ( x) = eα ⋅ x Pm ( x) (7) Pm ( x) = p0 + p1 x + K + pm x m õàðèí α äóðûí êîìïëåêñ òîî áàéã 1) α õàðàêòåðèñòèê òýãøèòãýëèéí ÿçãóóð áèø áàéâàë y = eα ⋅ xQm ( x) (8) õýëáýðýýð õàéíà. Ýíä, Qm ( x) = q0 + q1 x + K + qm x m .

[8]-ã

[1]-ä

Ly = L(eα ⋅x Qm ( x)) =

îðëóóëáàë

= q0 L(eα ⋅ x ) + q1L(eα ⋅ x x) + K + qm L(eα ⋅ x x m ) . α -ûí çýðýãò¿¿äýýñ òîãòîõ îëîí ãèø¿¿íòèéã p (α )

ãýâýë

x

0

M

x m−1 xm

α ⋅x

Ly = q0e

1

p(α ) + q1 ∑

i =0

C1i p (i ) (α )eα ⋅ x

2

+ q2 ∑

i =0

(α ) = p0 ⎫ ⎪ M ⎪ ⎬ (9) qm−1 p (α ) + qm p′(α ) = pm−1 ⎪ ⎪⎭ qm p (α ) = pm

q0 p (α ) + q1 p′(α ) + K + qm p

(m)

183

C2i p (i ) (α ) x 2 − i eα ⋅ x

m

+ K + qm ∑ Cmi p (i ) (α ) x m − i eα ⋅ x ≡

(

i =0

)

eα ⋅ x p0 + p1 x + K + pm x m .

[9]

øóãàìàí

òýãøèòãýëèéí ñèñòåìýýñ q0 , q1 , K, qm íýã óòãàòàé îëäîíî.

2) α

õàðàêòåðèñòèê

k

òýãøèòãýëèéí

óäàà

äàâõàðäñàí

ÿçãóóð

áàéâàë

y = x k eα ⋅x Qm (x)

õýëáýðòýéãýýð îëäîíî. b. f ( x) = eα ⋅ x (Pm ( x) cos βx + Qm ( x) sin β x ) Pm (x) áà Qm (x) -ûí ÿäàæ íýã íü m çýðãèéí îëîí ãèø¿¿íò. ~ ~ Êîìïëåêñ òîîíû ýêñïîíåíöèàë õýëáýðýýð f ( x) = Pm ( x)e (α +iβ ) x + Qm ( x)e (α −iβ ) x .

1) α + iβ õàðàêòåðèñòèê òýãøèòãýëèéí ÿçãóóð áèø áàéâàë y ( x) = Pˆm ( x)e (α +iβ ) x + Qˆ m ( x)e (α −iβ ) x õýëáýðýýð õàéíà. Ýíä, Pˆm ( x) áà Qˆ m ( x) -ûí ÿäàæ íýã íü m çýðãèéí îëîí ãèø¿¿íò. 2) α + iβ

õàðàêòåðèñòèê

òýãøèòãýëèéí

(

k

óäàà

äàâõàðäñàí

ÿçãóóð

áàéõ

òîõèîëäîëä

)

y ( x) = x k Pˆm ( x)e (α +iβ ) x + Qˆ m ( x)e (α −iβ ) x õýëáýðòýéãýýð îëäîíî.

Æèøýý 2: y′′ + y = 4 sin x òýãøèòãýëèéã áîä. y′′ + y = 0 : y = C1 cos x + C2 sin x [Æèøýý 1], y = C1 cos x + C2 sin x + y1 , y1 = ? ,

f ( x) = 4 sin x : b òîõèîëäîë: α = 0 , β = 1 , m = 0 , Pm ( x) = 0 , Qm ( x) = 4 ,

(

)

α + i ⋅ β = 0 + i ⋅1 = i = λ1 áà k = 1 ⇒ y1 = x1 aeix + be −ix = x((b + a) cos x + i (b − a ) sin x ) [2) òîõèîëäîë], i (b − a ) = 0 ⇒ b = a , y1 = 2ax cos x , a = ? , y1′ = 2a(cos x − x sin x ) , y1′′ = −2a(2 sin x + x cos x ) , y′′ + y = −4a sin x = 4 sin x ⇒ a = −1, y1 = −2 x cos x , y = C1 cos x + C2 sin x − 2 x cos x . 184