90.03M
SESSION 2009
Filière MP (groupes MP/MPI et groupe 1) Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan
MATHÉMATIQUES MPI 2
Durée: 4 heures
L'usage de calculatrices est interdit.
;::: 2.
i=l
(II)
On note Il.11 norme Si u on note Ui, 1 ::; i ::;
note un le terme note e = (1, ... ,1)
tout le problème, on matrices carrées de taille N 2 à 'vV'~U''vHJUv0
On note A * matrice
On suppose que A
est convexe sur X si et t E [0,1], on a
(II)
+ (1-
<
:X
+ (1 (II)
F
+
IR est strictement convexe sur X si et vE tt :f:: v, et t 1[, on a
t)v) <
en u E
(1
on rappelle que le gradient
est donné par :
(II)
X.
Fest C 2 , on note de , dont le
On
alors que Fest
ct€~mtmt
u), v pour tout u E X, v E X, u
:f:: v.
convexe si :
u) > 0
Fenu
1
Convexité
On pourra admettre les résultats questions des parties suivantes. 1. Soit F : X -t
-t
cette première partie pour tmiter les
R une fonction continue, telle que F(u)
-t
+00 si
+00.
(a) Montrer qu'il existe au moins un élément u dans X tel que F(u) = minvEX F(v). (b) L'élément précédent u est-il en général unique? Si F est supposée de plus strictement convexe sur X, a-t-on unicité pour u? 2. Soit F une fonction différentiable sur X. (a) Montrer que si F est convexe, alors:
F(v) 2:: F(u)
+ (v F(u), v - u)
(1)
pour tout (u, v) dans 4 2 . (b) Réciproquement, mon~rer que si pour tout (u, v) dans X 2 l'inéga (1) est vérifiée, alors F est convexe. Indication: on pourra introduire le point w = u + t(v - u) pour tE [0,1), et appliquer [!inégalité aux couples (w, u) et (w, v). 3. Soit F une fonction différentiable sur X. Montrer que F est strictement convexe si et seulement si : F(v) > F(u) + (v F(u), v - u) pour tout (u, v) dans X 2 avec u 1= v. 4. On suppose F différentiable sur X. On rappelle qu'une condition né cessaire pour que u puisse être un point de minimimum de F est que vF(u) =0. (a) condition nécessaire V F(u) = 0 est-elle en général suffisante pour que u soit un point de minimum de F? (b) Si on suppose de F convexe sur X, la condition nécessaire V F (u) = 0 est-elle suffisante? 5. Soit F une fonction différentiable sur X. (a) Montrer que si F est convexe, alors pour tout (u, v) dans X 2 on a: (v F(u) - v F(v), u - v) 2:: 0 (2) (b) Réciproquement, montrer que si pour tout (u, v) dans X 2 l'inéga lité (2) est vérifiée, alors F est convexe.
Indication : on pourra étudier les variations de la fonction
cf;(t)
= (1 -
t)F(u) 3
+ tF(v) - F((l - t)u + tv)
que F est convexe si et
6,
;:::0
2
Régularisation quadratique À ;:::
0, et
f
1. Montrer que que 2.
EX, On
par:
vVL'i:l!UÇ;;!
est
sur
3. Montrer FA(u>..) =
que par la
f+
u>.
4.
=0 O?
u>. À -->
i E {1, 2}, on note pour
5.
+oo?
h et 2
sur de
note Donner une
3
VA ...'...,....' ...........'''''
é> 0, et f E On X tel que ei = 1 pour tout i. par:
avec
linéaire
note e = (1) ... , 1) G :X
+ et si 1 $ i $
4
If·
-->
R
uC1Jt1UC;
On On
le terme
suite
"VIC":>""",.
= minG(v) vEX
\lG(u).
1.
une unique solution u par la relation :
2.
que cette u
avec
f
A* B(u)
et
=0
N:
et si 1
(AU)i (Ae(U))i
3. X.
un unique élément u n + 1 que , et que l'on a la relation suivante: - - - -un = - un+1
+1
T
4.
X) et on considère la ) = minUEX Gn(u). I: Ilun - u n +1 112 est
suite
5.
que
6. cas
€ =
v .........,'UL'-'
"<JUIlle
est bornée.
suite (un) converge vers u 0, G est-elle différentiable sur X?
de type
> 0 et 1 E X. On rappelle que:
G(u)
par récurrence
1
= '2 111 -
+
5
du pro
avec
On définit: Q(v, u)
avec A( u)
G(u)
"'L"LUv..
+ (v -
u, vG(u))
par
de
= E MN(IR) et si 1
où
+ l(v note
:s i,j :s N
:
x.
suite
que pour tout u et v
1.
matrice
+
note un le terme
On
u, A(u)
on a:
o récurrence
2.
une
= minQ(v, v que la suite (un) ainsi
En
0= 3.
-
u et v deux éléments de
f+
Si 1 :s i
:s N, on pose ai
et bi
(a) Montrer que: 1 -'--'"""? 0 2
Déduire de
ç"c;uÇUvç
que :
< 4. Montrer que
suite
que la suite
5.
notée u.
converge. converge vers la
UU1Ç1UÇ
(3)
5
Régularisation non différentiable on
u E
N
=2: ;=1
et
l
2 on suppose
que
matrice A est sy-
X tel que
K défini par . K = {Av tel que
Ilv
l}
un unique élément w distance euclidienne
w) ::; O. par :
1.
u un élément de X.
en
que.
que l'on a l'égalité:
cette question, on sup
=
que u est
u 2.
si et seulement si
f-w.
'trm,AnlTAr
sup L(u, v) Ilvlloc::;l
IIvliocSl
l'égalité
7
Les différentes fonctions étudiées dans ce problème sont utilisées en trai tement d'images pour obtenir une image de bonne qualité u à partir d'une image bruitée f. La régularisation quadratique présente l'avantage d'être très simple et très rapide, mais a'ussi le défaut de détruire les bords de l'image en donnant une impression de flou. La régularisation à croissance linéaire per met d)obtenir de bien meilleurs résultats de restauration. M alhe'ure'usement, elle impliq'ue aussi de savoir minimiser efficacement des fonctions non diffé rentiables, ce qui augmente considérablement la difficulté du problème.
Fin de l'épreuve.
8