Math Book Grade 12.pdf

គណៈកមមករនិពនធ េ

ក កុយ ែកវឡង ុ ្របធនទទួលបនទុករួម

េ

ក េហង េប៉ហ៊ន

េ

ក្រសី ៃខ្វ សុភព

េ

ក អុឹម ចំពង

េ

ក យ៉ង់ ធរី

េ

ក កុយ រិទីធ

េ

ក កុក ឈុន

េ

ក ជ ឈុន

េ

ក

េ ក់

ំ ករីម

កញញ លី ចនធី

យអតថបទ វិចិ្រតករ

េ

ក សុខ េរឿន

េរៀបេរៀង

េ

ក្រសី ទីប៉ ូ លីេរត ៉

េ

ក ែង៉ត យ ូ

រចនទំព័រ

េ

ក ពី សុគនធី

គណៈកមមករពិនិតយ

បណិ្ឌ ត ច័នទ រតន ័ បណិ្ឌ ត

រិត

ក់ ធីេ

បណិ្ឌ ត ឈិត វណ្ណឫទធ អនុបណិ្ឌ ត ឡង ុ សុេផង

បនទទួលករអនុញញតឱយេបះពុមពផ យពី្រកសួងអប់រ ំ យុវជន និងកី េលខៈ ៣៤១៤ អយក.្របក ចុះៃថងទី ៣១ ែខ ធនូ ឆនំ ២០១០ េដើមបីេ្របើ ្របស់េន

© រក

សិទ្រគប់ យ៉ង ិធ

សហគមន៍អនកគណិតវទយកមព ិ ុជ ្រគឹះ

ថ នេបះពុ មពនង ិ ែចកផ យ

ISBN : 9789996353925 េបះពុមឆ ព ន ំ ២០១០

ម្របកស ម

េរៀន។

បញជ ីអតថបទ រមភកថ ែស្វងយល់អំពីករេ្របើ្របស់្រគប់ចុចម៉ សុីន CASIO fx 350 ES និ ង fx 991ES ..................1

ំ ក១ ជពូ

លមត ី ី ........................................................................................................7

េមេរៀនទី១ លីមីតៃនអនុគមន៍ .................................................................................. 7 េមេរៀនទី២ លីមីតៃនស៉ីត ្វ .......................................................................................27

ំ ក២ ជពូ

េដរេវៃនអនុ គមន៍ .........................................................................................37 ី

េមេរៀនទី១ អនុវត្តន៍េដរ ីេវ .......................................................................................37

ំ ក៣ ជពូ

េមេរៀនទី១

ង ំ េត្រកលកំណត់ .............. .....................................................................50 ំងេត្រកលកំណត់ ........................ ....................................................50

េមេរៀនទី២ មឌសូលីត និង្របែវងធនូ ................................ .......................................55

ំ ក ៤ ជពូ

សមករឌេផរ៉ ី ី ងែ់ សយល .................................................................................63

េមេរៀនទី១ សមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយលលំ

ប់ទី ១ ........................................................63

េមេរៀនទី២ សមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយលលំ

ប់ទី ២ .......................................................73

ជំពូក ៥

បំែណងែចក្របូបប ....................................................................................83

េមេរៀនទី១ បំែណងែចក្របូបប .............................................................................83 េមេរៀនទី២ បំែណងែចកេទ្វធ .................................................................................91

ំ ក៦ ជពូ

សថត ិ ិពរី អេថរ ...........................................................................................100

េមេរៀនទី១ សថិតិពីរអេថរ ......................................................................................100 េមេរៀនទី២ សមីករបនទត់តែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ .....................................................105

ំ ក ៧ ជពូ

វុិចទ័រកនង ុ លំហ ........................................................................................118

ិ ទ័រកនុងលំហ ............................................................118 េមេរៀនទី១ ផលគុ ណៃនពីរវុច

ិ ទ័រ .................................................................124 េមេរៀនទី២ អនុវត្តន៍ៃនផលគុណវុច

ំ ក ៨ ជពូ

ភពែចក ច់នងវិ ិ ធែចកអគ្ល ិ ឺ ត ី ......................................................................130

េមេរៀនទី១ ភពែចក

ិ ែចកអឺ គីត ច់ និងវធី ្ល ...........................................................130

េមេរៀនទី២ ចំនួនបឋម ........................................................................................134 េមេរៀនទី៣ តួែចករួម និងពហុគុណរួម .................................................................139

ំ ក ៩ ជពូ

សមករប ៉ ៉ ែម៉្រតនងកូ ី ិ អរេ េនប៉ែូ ល ...........................................................144

េមេរៀនទី១ សមីករប៉ ៉ ែម៉្រតនិងកូអរេ

េនប៉ូែល ................................................144

គណៈកមមករនិពនធ េ

ក កុយ ែកវឡង ុ

េ

ក េហង េប៉ ហ៊ន

េ

ក កុយ រ ិទធី

េ

ក យ៉ង់ ធរ ី

េ

ក ជ ឈុន

យអតថបទ

្របធនទទួលបនទុករួម

េ ក់

េ

ក្រសី ៃខ្វ សុភព

េ

ក អុឹម ចំពង

េ

ក កុក ឈុន

េ

ក

ំ ករ ីម

កញញ លី ចនធី

ចិ្រតករ

េ

ក សុខ េរឿន

េរៀបេរៀង

េ

ក្រសី ទី ប៉ូលីេរ ៉ត

េ

ក ែង៉ត យូ

រចនទំពរ័

េ

ក ពី សុគនធី

គណៈកមមករពិនិតយ

បណិ្ឌ ត

រ ិត

ច័នទ

រ ័តន

បណិ្ឌ ត

ក់ ធីេ

បណិ្ឌ ត

ឈិត វណ្ណ រ ិទធិ

អនុបណិ្ឌ ត

ឡង ុ

សុេផង

បនទទួលករអនុញញតឱយេបះពុមពផ យពី ្រកសួងអប់រ ំ យុវជន និងកី ម្របកសេលខ .................. អយក. ្របក. ចុះៃថងទី ........ ែខ ........... ឆនំ ២០១០ េដើមបីេ្របើ្របស់ជេសៀវេភ

នបែនថមេន

រ

ម

េរៀន ។

រក សទ យ៉ង ិ ្រគប់ ិធ

សហគមន៍អនកគណតវទយកមព ិ ិ ុជ ្រគះ ឹ

ថ នេបះពុ មពនងែចកផ យ ិ

ISBN : 9789996353925 េបះពុមពឆនំ ២០១០

រមភកថ ិ េសៀវេភគណិតវទយបំ េពញបែនថមស្រមប់ថនក់ទី១២ េនះ្រតូវបនេរៀបចំេឡើងេដើ មបី ផ្តល់ជជំនួយកនុងករេ

ះ្រ

ថនក់ទី១២(ក្រមិតមូល ្ឋ ន យុវជននិងកី

)េ

ិ ទពិ បកៗែដលមនេនកនុងេសៀវេភគណិតវទយ

យចំេ

និ ងក្រមិតខពស់ែដល្រសប

ិ សិក របស់្រកសួងអប់រ ំ មកមមវធី

យេ្របើម៉សុីន Casio Scientific Caculator ។

ិ មរយៈេសៀវេភគណិតវទយបំ េពញបែនថមេនះ អនកសិក និ ង ចេម្លើយេ

ចគណនរក

យងយេនេពលែដលបនេ្របើ ម៉ សុីន Casio Scientific Caculator

ជជំនួយ

ែដលមនបង្ហញេនកនុងេសៀវេភេនះ ។ ករេ

ម៉ សុីនCasioScientifiCaculator គឺ ជឧបករណ៍ែដលបេងកើតេឡើងេដើ មបីជជំនួយកនុង ះ្រ

ទែដលមនភពសមុគ ម ញ េហើយពិបកេធ្វើករគណន មរេបៀប ។ េយើងសងឃឹមថ ម៉ សុីន Casio Scientific Caculator នឹងផ្តល់ដល់អនកសិក និង

ធមម

យចំេ

អនកបេ្រង ននូវករសន ំសំៃច េពលេវ

េដើមបីយកេពលេវ

ទំងេនះេទេ្របើ្របស់

ិ កនុងករអភិវឌ ចំេណះដឹងែផនក្រទឹសី្ត ករ្រតិះរ ិះពិចរ កនុងករែស្វងរកវធី ្រស្តេ ះ ិ ្រ យចំេ ទបញ ្ហ ពិបកៗ និ ងេដើមបីេធ្វើឱយករសិក គណិតវទយ មនភពសបបយរ ីក ិ យ និងករទក់ទញសិស នុសិស ឱយចូលចិត្តចង់េរៀនគណិតវទយបែនថ មេទៀត ។ ជករពិត ប៉ុែន្តមុននឹង

ស់អនកនឹង

នេសៀវេភេនះេ

ចេ្របើេសៀវេភេនះបន អនក

យ្របុង្របយ័តន និងយកចិត្តទុក

ក់ ។

ន្រតូវមនករយល់ដឹងខ្លះ ឬមនទម្លប់ កុនង

ករេ្របើ្របស់ម៉សុីន Casio Scientific Caculator ជមុនសិន ។

ិ អនកនិពនធេសៀវេភគណិតវទយបំ េពញបែនថមសងឃឹមថអនកសិក

និ ងអនកបេ្រង ន

មនកររ ីក យកនុងករេ ះ្រ យចំេ ទែដលមនេនកនុងេសៀវេភេនះេហើយអនកសិក និងមនករេរៀបចំខួ្លនបនល្អ េដើមបីេ្រត ម្របឈម នឹងបញ ្ហ ែដលេកើតមនេនកនុ ង ិ យុគសម័យបេចចកវទយព័ ត៌មន និ ង

កលភវូបនីយកមម ។

ិ េសៀវេភគណិតវទយបំ េពញបែនថមស្រមប់ថនក់ទី១២ រួមមន ៩ ជំពូក សិក អំ ពី លីមីត េដរ ីេវៃនអនុគមន៍

ំងេត្រកលកំណត់ សមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល បំែណងែចក្របូបប

ិ ទ័រកនុងលំហ ភពែចក សថិតិពីរអេថរ វុច

កូអរេ

ិ ែចកអុឺគី្លត និងសមី ករប៉ ៉ ែម៉្រត និង ច់ និងវធី

េនប៉ូែល ។

ករេរៀបចំេមេរៀនកនុងេសៀវេភេនះ មនទ្រមង់ដូចខងេ្រកម៖ -

អធិបបយពី ករេ្របើ្របស់្រគប់ចុច ម៉ សុីន Casio Scientific Caculator fx 350 ES និង fx 991 ES ។

-

សេងខបេមេរៀនរបស់ជំពូកនីមួយៗ ។

-

េ

ះ្រ

យលំ

ត់

មមេធយបយពីរយ៉ ង គឺ

មម៉ សុីន Casio Scientific Caculator ។

មករគណនធមម

និង

សំ

មនលំ

ត់្របតិបត្តិស្រមប់ព្រងឹងចំេណះដឹង ។

គណ◌ៈកមមករនិពនធេយើងខញុំរង់ចំទទួល ល់មតិរ ិះគន់ និ ងែកលំអេដើ មបី ក់េ

ថ បនអំពី

ិ ក្រគួអនក្រគូ និង អនកេ្របើ្របស់េសៀវេភគណិតវទយបំ េពញបែនថមស្រមប់

ថនក់ទី១២ េនះ េ

យ ក្តីរ ីក យ ៕

គណៈកមមករនិពនធ

ែស្វងយល ់អំ ពករេ្របី ្របស់្រគប់ចច ុ ី

fx − 350ES ម៉សុី នគតេលខ ិ

េនេលើម៉សុីនគិតេលខនីមួយៗមន្រគប់ ចុចជេ្រចើនែដល្រគប់ចុចខ្លះ ខ្លះេទៀត

ចេ្របើែតឯង

ចេ្របើរម ួ គន :

W េបើក ម៉ សុីនគិតេលខ ឱយដំេណើរករ q េ្របើជមួយអក រពណ៌ទឹកមស ឬ អក រពណ៌េលឿង Q េ្របើជមួយអក រពណ៌្រកហម

w ចូលេទករគណន ដូចជ COMP , STAT , TABLE -COMP គណនទូេទ

ិ -STAT គណនកនុងសថិតិវទយ

-TABLE គណនេ

យេ្របើ

ង

qw( SET UP ) កំណត់តៃម្លេ្រកយេកប ស ដឺេ្រក Math IO ទ្រមង់្របភគ

Line IO ទ្រមង់ទសភគ

e សរេសរ ឬ គណនតៃម្ល D

៉ ដយង់ ទ្រមង់្របភគ និងទសភគ

ច់ខត

សរេសរ x ស្វ័យគុណ៣

QD េ

េលខតគន េពលបញូច លេលខេ្រចើន បនទប់ មកចុ ចសញញp

u គណនច្រមស់ៃនចំនួន qu(x!) គណន i គណនេ

មួយ

្វ ក់តូរ ីែយ៉ល

ករ ីតេគលទូេទ

a សរេសរ ឬ គណន្របភគ qaAគណនចំនួនច្រមុះ s សរេសរ ឬ បញូច លឫសកេរ

qS សរេសរ ឬ បញូច លឫសគូប ( ឫសទី ៣ ) d សរេសរចំនួនែដលមនស្វ័យគុណ២

qd ( D ) សរេសរចំនួនែដលមនស្វ័យគុណ៣ f សរេសរស្វ័យគុណទូេទ qfF សរេសរឫសស្វ័យគុណទូេទ g សរេសរ ឬ គណនេ

ករ ីតេគល ១០

qgGគណន និង សរេសរស្វ័យគុណែដលមនេគល ១០ h គណន និង សរេសរេ

ករ ីតេគល e ឬ េ

ករ ីតេនែព 1

qhHគណន និង សរេសរស្វ័យគុណែដលមនេគល e ិ មន z សរេសរចំនួនអវជជ

Qz [ A] សរេសរអក រ A

ិ េលើរង្វស់មុំ ឬ េម៉ ង x េធ្វើ្របមណវធី c សរេសរនិងគណនេលើអនុគមន៍ អុីែពបូលិក Q c[C] សរេសរអក រ C

j សរេសរនិងគណនអនុ គមន៍ សុីនុស

qj( sin −1 ) សរេសរនិងគណនអនុគមន៍្រចសៃន សុីនុស(arcsin) Qj[D] សរេសរអក រ D k សរេសរនិងគណនអនុ គមន៍ កូសុីនុស

qk( cos −1 ) សរេសរនិងគណនអនុគមន៍្រចសៃន កូសុីនុស(arccos) l សរេសរនិងគណនអនុ គមន៍ តង់ សង់

ql( tan −1 ) សរេសរនិងគណនអនុ គមន៍្រចសៃន តង់សង់ (arctan) J

បំែលងពីទសភគេទ្របភគ

qJ (STO)រក ទុកទិននន័យកនុងម៉ សុីន

b សរេសរេទជស្វ័យគុណដក

qb( ← )សរេសរេទជស្វ័យគុណបូក ( េបើកវង់្រកចក

q((%)សរេសរនិងគណនជភគរយ(%) ) បិទវង់្រកចក q)សរេសរេកប ស

Q)[x]សរេសរអក រ x n កំណត់លទធផលជ្របភគ ឬទសភគ

d⎞ ⎛ b qn ⎜ a ⇔ ⎟ បំែលងពីចំនួនច្រមុះេទ្របភគ ឬ ពី្របភគេទចំ នួនច្រមុះ c⎠ ⎝ c Qn[y]សរេសរអក រ y mទុកទិននន័យបូកេពលេ្រកយ

qm ( M − ) ទុកទិននន័យដកេពលេ្រកយ Qm ( M ) សរេសរអក រM q9(CLR)លុបទិ ននន័យទំងអស់ែដលបនរក ទុ ក o លុបេលខ ឬ អក រែដល្រចឡំ 2

qo(INS)បែនថមស្វ័យគុណ C លុបទិននន័យែដលកំពុងេធ្វើ

qC ( OFF ) បិទម៉ សុីនទំង្រសុង

qO ( nPr ) គណនចម្លស់ៃន r ធតុ យកពី n ធតុ qP ( nCr ) គណនបន ំៃន r ធតុយកពី n ធតុ q1 ( STAT ) គណនេនកនុងសថិតិ

q+ ( POL ) បំែលងពីត្រមុយប៉ូែល េទ ត្រមុយែកង

q- ( REC ) បំែលងពី ត្រមុយែកងេទ ត្រមុយប៉ូែល ិ មន q0 ( Rnd ) រកអេថរៃចដនយវជជ

ិ មន q. ( Rnd #) រកអេថរៃចដនយអវជជ Kសរេសរចំនួន

មួយគុណនឹ ង ១០ស្វ័យគុណ x

qKសរេសរចំនួន π (π = 3.141592654 ) QKសរេសរចំនួន e ( e = 2.178281828 ) M េ

ចេម្លើយមកគណន

qM (DRG >) បំែលងដឺេ្រក ្រកត និង ៉ ដយង់

3

ែស្វងយល ់អំ ពករេ្របី ្របស់្រគប់ចចម ុ ៉ សុី ន ី

fx − 991ES ម៉សុី នគតេលខ ិ

េនេលើម៉សុីនគិតេលខនីមួយៗមន្រគប់ ចុចជេ្រចើនែដល្រគប់ចុចខ្លះ ខ្លះេទៀត

ចេ្របើែតឯង

ចេ្របើរម ួ គន :

W េបើកម៉ សុីនគិតេលខឱយដំេណើរករ q េ្របើជមួយអក រពណ៌ទឹកមស ឬ អក រពណ៌េលឿង Q េ្របើជមួយអក រពណ៌្រកហម

1. COMP 3. STAT 5. EQN 7.TABLE

w ចូលេទករគណន ដូចជ

2. CMPLX 4. BASE − N 6. MATRIX 8.VECTOR

1-COMP គណនទូេទ

2-CMPLX គណនចំនួនកុំផិ្លច

ិ 3-STAT គណនកនុងសថិតិវទយ

4-BASE-N គណន្របព័នធរបប់

5-EQN េ

ះ្រ

យសមីករ

6-MATRIX គណនម៉ ្រទីស

និង ្របព័នធសមីករ 7-TABLE គណនេ

យេ្របើ

ិ ទ័រ 8-VECTOR គណនវុច

ង

qw( SET UP ) កំណត់តៃម្លេ្រកយេកប ស ដឺេ្រក Math IO ទ្រមង់្របភគ

៉ ដយង់ ទ្រមង់្របភគ និងទសភគ

Line IO ទ្រមង់ទសភគ

r គណន

qr េ

ះ្រ

យសមីករ

Qr សរេសរសញញេសមើ y

គណន

ំងេត្រកលកំណត់

qyគណនេដរ ីេវមួយអេថរ

Qyសរេសរសញញចុចពី រ(:)( េ

េលខតគនេពលបញូច លេលខេ្រចើន បនទប់មក

ចុចសញញp ) u គណនច្រមសៃនចំនួន qu(x!) គណន i គណនេ

មួយ

្វ ក់តូរ ីែយ៉ល

ករ ីតទូេទ

qiIគណនផលបូកសុិចម៉ a សរេសរ ឬ គណន្របភគ

4

qaAគណនចំនួនច្រមុះ s សរេសរ ឬ បញូច លឫសកេរ

qS សរេសរ ឬ បញូច លឫសគូប (ឫសទី ៣ ) d សរេសរចំនួនែដលមនស្វ័យគុណ២

qd ( D ) សរេសរចំនួនែដលមនស្វ័យគុណ៣ f សរេសរស្វ័យគុណទូេទ qfF សរេសរឫសស្វ័យគុណទូេទ g សរេសរ ឬ គណនេ

ករ ីតេគល ១០

qgGគណន និង សរេសរស្វ័យគុណែដលមនេគល ១០ h គណន និង សរេសរេ

ករ ីតេគល e ឬ េ

ករ ីតេនែព

qhHគណន និង សរេសរស្វ័យគុណែដលមនេគល e ិ មន z សរេសរចំនួនអវជជ Qz [ A] សរេសរអក រ A

ិ េលើរង្វស់មុំ ឬ េម៉ ង x េធ្វើ្របមណវធី c សរេសរនិងគណនេលើអនុគមន៍អុីែពបូលិក qcសរេសរនិងគណនតៃម្ល Q c[C] សរេសរអក រ C

ច់ខត

j សរេសរនិងគណនអនុ គមន៍សុីនុស

qj( sin −1 ) សរេសរនិងគណនអនុគមន៍្រចសៃនសុីនុស(arcsin) Qj[D] សរេសរអក រ D k សរេសរនិងគណនអនុ គមន៍ កូសុីនុស

qk( cos −1 ) សរេសរនិងគណនអនុគមន៍្រចសៃនកូសុីនុស(arccos) l សរេសរនិងគណនអនុ គមន៍តង់សង់

ql( tan −1 ) សរេសរនិងគណនអនុ គមន៍្រចសៃនតង់សង់ (arctan) J

េ

ទិននន័យែដលរក ទុកមកេ្របើ

qJ (STO)រក ទុកទិននន័យកនុងម៉ សុីន

b សរេសរេទជស្វ័យគុណដក

qb( ← )សរេសរេទជស្វ័យគុណបូក ( េបើកវង់្រកចក

q((%)សរេសរនិងគណនជភគរយ(%) ) បិទវង់្រកចក q)សរេសរេកប ស

5

Q)[x]សរេសរអក រ x n កំណត់លទធផលជ្របភគ ឬទសភគ

d⎞ ⎛ b qn ⎜ a ⇔ ⎟ បំែលងពីចំនួនច្រមុះេទ្របភគ ឬ ពី្របភគេទចំ នួនច្រមុះ c⎠ ⎝ c Qn[y]សរេសរអក រ y mទុកទិននន័យបូកេពលេ្រកយ

qm ( M − ) ទុកទិននន័យដកេពលេ្រកយ Qm ( M ) សរេសរអក រM q7(CONST )បញូច លចំនួនេថរចេន្លះពី ០១ដល់៤០

q8(CONV )បំែលងខនតេទ

ងឱយខនតនីមួយៗ

មតៃម្លេលខពី០១ដល់៤០

q9(CLR)លុបទិ ននន័យទំងអស់ែដលបនរក ទុ ក o លុបេលខ ឬ អក រែដល្រចឡំ qo(INS)បែនថមស្វ័យគុណ

C លុបទិននន័យែដលកំពុងេធ្វើ

qC ( OFF ) បិទម៉ សុីនទំង្រសុង q4(MATRIX )គណនម៉ ្រទីស ិ ទ័រ q5(VECTOR )គណនវុច

qO ( nPr ) គណនចម្លស់ៃន r ធតុ យកពី n ធតុ qP ( nCr ) គណនបន ំៃន r ធតុយកពី n ធតុ q1 ( STAT ) គណនេនកនុងសថិតិ

q2 ( CMPLX ) គណនចំនួនកុំផិច ្ល q3 ( BASE ) គណន្របព័នធរបប់

q+ ( POL ) បំែលងពីត្រមុយប៉ូែល េទ ត្រមុយែកង q- ( REC ) បំែលងពី ត្រមុយែកងេទ ត្រមុយប៉ូែល ិ មន q0 ( Rnd ) រកអេថរៃចដនយវជជ

ិ មន q. ( Rnd #) រកអេថរៃចដនយអវជជ Kសរេសរចំនួនមួយគុណនិង ១០ស្វ័យគុ ណ x qKសរេសរចំនួន π (π = 3.141592654 ) QKសរេសរចំនួន e ( e = 2.178281828 ) M េ

ចេម្លើយមកគណន

qM ( DRG >) បំែលងដឺេ្រក ្រកត និង ៉ ដយង់

6

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

១

ជំព ូក

លីមីត

េមេរៀនទី

១

លីមីតៃនអនុគមន៍

េមេរៀនសេងខប

១. លីមីតៃនអនុគមន៍្រតង់ចំនួនកំណត់ - អនុគមន៍ f មនលីមីត L កល

ែដល 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) − L < ε

x ខិតជិត a េបើ្រគប់ចំនួន ε > 0 មនចំនួន δ > 0

។ េគសរេសរ lim f ( x ) = L x→ a

- អនុគមន៍ f ខិតជិត +∞ ( ឬ −∞ ) កល

x ខិតជិ ត a េបើចំេពះ្រគប់ចំនួន M > 0

មនចំនួន δ > 0 ែដល 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) > M ( ឬ f ( x ) < − M ) ។ េគសរេសរ lim f ( x ) = +∞ ឬ lim f ( x ) = −∞ x→ a

x→ a

២. លីមីតៃនអនុគមន៍្រតង់អនន្ត - អនុគមន៍ f មនលីមីត L កល M > 0 េគ

x ខិតជិ ត +∞ ( ឬ −∞ ) េបើចំេពះ្រគប់ចំនួន

ចរក N > 0 ែដល x > N ឬ x < − N ⇒ f ( x ) − L < ε ។

េគសរេសរ lim f ( x ) = L ឬ lim f ( x ) = L x →+∞

x →−∞

- អនុគមន៍ f មនលីមីត +∞ កល

x ខិតជិ ត +∞ េបើចំេពះ្រគប់ចំនួន

M > 0 មន N > 0 ែដល x > N ⇒ f ( x) > M ។ េគសរេសរ lim f ( x ) = +∞ x →+∞

- អនុគមន៍ f មនលីមីត +∞ កល

x ខិតជិ ត −∞ េបើចំេពះ្រគប់ចំនួន

M > 0 មន N > 0 ែដល x < − N ⇒ f ( x) > M ។ េគសរេសរ lim f ( x ) = +∞ x →−∞

៣. ្របមណវ ិធីេលើលីមីត

េបើ lim f ( x ) = L;lim g ( x) = M និ ង lim h ( x ) = N េហើយ L; M ; N ជចំនួនពិត x→ a

x→ a

x→ a

េគបន :

ក . lim ⎡⎣ f ( x ) ± g ( x ) ⎤⎦ = L ± M ( a x →a

ចជចំនួនកំណត់ ឬ អនន្ត )

ខ . lim ⎡⎣ f ( x) + g ( x) − h ( x) ⎦⎤ = L + M − N x→ a គ . lim kf ( x ) = kL x→ a

ែដល k ជចំនួនេថរ

ឃ . lim ⎣⎡ f ( x) ⋅ g ( x) ⋅ h ( x) ⎦⎤ = L ⋅ M ⋅ N x→ a

ង . lim x→ a

f ( x) L = ែដល M ≠ 0 , g ( x) ≠ 0 g ( x) M 7

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

ច . lim ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ = Ln ែដល n ជចំនួនគត់រុ ឺ x→ a n

ិ មន ទី បវជជ

៤. លីមីតៃនអនុគមន៍អសនិទន •

lim n x = n a ចំេពះ a ≥ 0 , n ∈

•

lim n x = n a ចំេពះ a < 0 , n ជចំនួនគត់េសស

•

lim n f ( x ) = n lim f ( x ) = n L = Ln

x→ a x→ a

1

x →a

x →a

េបើ L > 0 និង n ជចំនួនគត់គូ េបើ L ≤ 0 និង n ជចំនួនគត់េសស

៥. លីមីតៃនអនុគមន៍ប និយមន័យ : ែដល

្ត ក់

f និង g ជអនុគមន៍ពីរ ។អនុគមន៍ប ងេ

យ g o f គឺជអនុគមន៍ែដលកំណត់េ

្ត ក់ៃនអនុ គមន៍ f និង g

យ g o f ( x) = g ( f ( x) ) ។

លីមីត : េបើ f និង g ជអនុគមន៍ ែដលមនលីមីត lim f ( x ) = L និង lim f ( x ) = f ( L) x→ a

x→ L

េនះ lim f ⎡⎣ g ( x) ⎤⎦ = f ( L) x→ a

៦. លីមីតមន ងមិនកំណត់ ក . លីមីតែដលមន ងមិនកំណត់

0 0

0 ិ វធន : េដើមបីគណនលីមីតែដលមន ងមិនកំ ណត់ េគ្រតូវបំែបកភគយកនិង 0 ភគែបងជផលគុណក ្ត េហើយស្រមួលក ្ត រួម រួចគណនលីមីតៃនអនុគមន៍ថីម ។ ខ . លីមីតែដលមន ងមិនកំណត់

∞ ∞

∞ ិ វធន : េដើមបីគណនលីមីតែដលមន ងមិ នកំ ណត់ េគ្រតូវ ក់ស័យ ្វ គុណែដល ∞ មនដឺេ្រកធំជងេគេនភគយកនិងភគែបងជក ្ត រួម េហើយស្រមួលក ្ត រួម រួច គណនលីមីតៃន្របភគថមី ។ គ . លីមីតែដលមន ងមិនកំណត់ +∞ − ∞

ិ វធន : េដើមបីគណនលីមីតែដលមន ងមិនកំណត់ +∞ − ∞ េគ្រតូវ

ក់ស័យ ្វ គុណ

ែដលមនដឺេ្រកធំជងេគជក ្ត រួម េហើយគណនលីមីតៃន្របភគថមី ។

៧. លីមីតៃនអនុគមន៍្រតីេកណម្រត េបើ a ជចំនួនពិតសថិតកនុងែដនកំណត់ៃនអនុ គមន៍្រតីេកណម្រតែដលឱយ េគបន lim sin x = sin a;lim cos x = cos a;lim tan x = tan a x→ a

x→ a

x→ a

ិ វធន : េបើ x ជរង្វស់មុំ ឬ ធនូគិតជ ៉ ដយង់េនះេគបន : ក.

sin x =1 x→0 x

lim

1 − cos x =0 x→0 x

ខ . lim

8

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

៨. លីមីតៃនអនុគមន៍អុិចសប៉ូ ណង់ែសយល lim e x = +∞

x →+∞

x

e = +∞ , x →+∞ x n

េបើ n េនះ lim

៩. លីមីតៃនអនុគមន៍េ lim ln x = +∞ ;

x →+∞

lim x ln x = 0 ;

x → 0+

,

lim e x = 0

,

x →−∞

ex = +∞ x →+∞ x

lim

xn lim =0 x →+∞ e x

ករ ីតេនែព lim ln x = −∞ ;

x → 0+

lim x n ln x = 0 ;

x → 0+

ln x =0 x ln x lim n = 0 េបើ n ≥ 0 x →+∞ x lim

x →+∞

9

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់គំរទ ូ ី ១: f ជអនុគមន៍កំណត់េ យ f ( x) = 2 + 5 x ។េគដឹងថ xlim ( 2 + 5 x ) = −8 →−2

រកចំនួន α > 0 េ

ចេម្លើយ

យ

គ ល់ចំនួន ε = 0.002 ែដល 0 < x − 2 < α ⇒ f ( x ) − ( −8) < ε ។

f ( x ) − ( −8) < 0.002

េគមន

2 + 5 x + 8 < 0.002 10 + 5 x < 0.002 5 2 + x < 0.002 0.002 5 x + 2 < 0.0004 = α

2+ x <

ដូចេនះ α = 0.0004

លំ

ត់គំរទ ូ ី ២: េគឱយអនុគមន៍ f កំណត់េ យ f ( x) = បង្ហញថ lim+ f ( x ) = +∞ ។

2x + 1 ។ x −1

x →1

ចេម្លើយ

2x + 1 3 = 2+ x −1 x −1 កំណត់ចំនួន M > 0 ែដល f ( x ) > M f ( x) =

េគមន

3 >M x −1 3 3 3 > M និង x > 1 នំឱយ 0 < x − 1 < ឬ 1< x < +1 M x −1 M 3 ចំេពះ្រគប់ចំនួនគត់ M > 0 មន α = > 0 ែដល 0 < x − 1 < α M នំឱយ f ( x ) > M េដើមបីឱយ f ( x ) > M េយើង្រគន់ែតឱយ

ដូចេនះ lim+ f ( x ) = +∞ x →1

្របតិបត្តិ : េ យេ្របើនិយមន័យចូរបង្ហញ : 1 = −∞ x →5 x→0 x 4x + 1 ត់គំរទ ូ ី ៣ : េគឱយអនុគមន៍ f កំណត់េ យ f ( x) = ។ 2x + 1 បង្ហញថ lim f ( x ) = 2 និង lim f ( x ) = 2 ក . lim x = 5

លំ

x →+∞

ចេម្លើយ បង្ហញថ

ខ . lim−

x →−∞

lim f ( x ) = 2

x →+∞

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx - 991 ES េដើមបីគណនតៃម្លេលខៃនអនុគមន៍ f ( x ) =

4x + 1 2x + 1

ចំេពះ x េសមើ

10

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

10 , 100 , 1 000 , 10 000 ,100 000 , 1 000 000 , 10 000 000 ,… ចុច w1

4x + 1 2x + 1 anara4a)+1$2a)+1 េយើងគណន r10pn សរេសរអនុគមន៍ y =

េយើងគណន !r100pn េយើងគណន !r1000pn េយើងគណន !r10000pn េយើងគណន !r100000pn េយើងគណន !r1000000p េយើងគណន !r10000000p េយើងគណន !r100000000p េយើងគណន !r1000000000p េគបន

ង:

4x + 1 2x + 1 10 1.952380 100 1.995024 1 000 1.999500 10 000 1.999950 100 000 1.999995 1 000 000 1.9999995 10 000 000 1.99999995 100 000 000 1.999999995 1 000 000 000 2 ម ង េគបន lim f ( x ) = 2 x

x →+∞

បង្ហញថ

lim f ( x ) = 2

x →−∞

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx - 991 ES

4x + 1 ចំេពះ x េសមើ 2x + 1 -10 , -100 , -1 000 , -10 000 ,-100 000 , -1 000 000 , -10 000 000 ,… េ យេ្របើអនុគមន៍ចស់ដែដល គណនតៃម្លេលខៃន

េយើងគណន !r-10pn េយើងគណន !r-100pn េយើងគណន !r-1000pn េយើងគណន !r-10000pn េយើងគណន !r-100000pn េយើងគណន !r-1000000p

11

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

េយើងគណន !r-10000000p េយើងគណន !r-100000000p េយើងគណន !r-1000000000p េយើងគណន !r-10000000000p េគបន

ង:

4x + 1 2x + 1

x

-10 2.052631 -100 2.005025 -1 000 2.000500 -10 000 2.000050 -100 000 2.000005 -1 000 000 2.0000005 -10 000 000 2.00000005 -100 000 000 2.000000005 -1 000 000 000 2.000000001 -10 000 000 000 2 ម ង េគបន lim f ( x ) = 2 x →−∞

្របតិបត្តិ : បង្ហញថ ក . xlim →+∞ លំ

2x + 3 =2 x+3

2 x − x2 = −∞ x →+∞ 3 x + 6

ខ . lim

ត់គំរទ ូ ី ៤: គណនលីមីតខងេ្រកម :

(

2

)

)

2

ក . lim 3x − 4 x + 8 x →−1

ចេម្លើយ

(

x2 − 1 ខ . lim 2 x →1 x − 3 x + 2

ក . lim 3x 2 − 4 x + 8 = 3 ( −1) − 4 ( −1) + 8 x →−1

ចូលករគណនទូេទ

w1

3m(-1)d-4(-1)+8p 15 េគបន lim 3 x 2 − 4 x + 8 = 15 x →−1

ខ . lim x →1

(

)

x2 − 1 x 2 − 3x + 2

x2 − 1 េ យតៃម្ល x = 1 កេន ម 2 មន ងមិនកំណត់ x − 3x + 2 x2 − 1 េយើងគណនតៃម្លេលខៃនកេន ម 2 ចំេពះតៃម្ល x េសមើ x − 3x + 2 0.9 ; 0.99 ; 0.999 ; 0.9999 ; 0.99999 ; 0.999999 ; 0.9999999 ; .... ចុច w1 x2 − 1 េ យចុច x 2 − 3x + 2 anaraa)d-1$ បន្ត a)d-3a)+2

សរេសរអនុគមន៍ y =

12

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

េយើងគណន r0.9pn េយើងគណន !r0.99pn េយើងគណន !r0.999pn េយើងគណន !r0.9999p េយើងគណន !r0.99999p េយើងគណន !r0.999999p េយើងគណន !r0.9999999p េយើងគណន !r0.99999999p េយើងគណន !r0.999999999p េគបន

ង:

x2 − 1 x 2 − 3x + 2 0.9 -1.727272 0.99 -1.970297 0.999 -1.997002 0.9999 -1.999700 0.99999 -1.99997 0.999999 -1.999997 0.9999999 -1.9999999 0.99999999 -2 0.999999999 -2 2 x −1 េគបន lim− 2 = −2 x →1 x − 3 x + 2 x

x2 − 1 ចំេពះតៃម្ល x េសមើ x 2 − 3x + 2 1.1 ; 1.01 ; 1.001 ; 1.0001 ; 1.00001 ; 1.000001 ; 1.0000001 ; .... x2 − 1 េគបន lim+ 2 = −2 x →1 x − 3 x + 2 x2 − 1 ដូចេនះ lim 2 = −2 x →1 x − 3 x + 2

ដូចគនែដរ េយើងគណនតៃម្លេលខៃនកេន ម

្របតិបត្តិ : គណនលីមីតខងេ្រកម : x12 − 5 x 4 + 4 ក . lim x →1 x −1

លំ

x30 + 5 x 7 + 4 ខ . lim x →−1 x +1

ត់គំរទ ូ ី ៥ : គណនលីមីត : ក . lim 3 x→ 4

x+4 −7 x + 1

ខ . lim x→ 2

x3 + 2 x + 3 x2 + 5

13

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

ចេម្លើយ ក . lim 3 x→ 4

x+4 −7 x + 1

យលីមីតខងេលើមន ងកំ ណត់ េនះេយើងជំនួសតៃម្ល x = 4 កនុង f ( x ) =

េ ចុច

3

x+4 −7 x + 1

w1 x+4 េ យចុច −7 x + 1 anarqsaa)+4$

សរេសរអនុគមន៍ y =

3

-7a)+1 2 េយើងគណន r4p − 3 x+4 2 =− ដូចេនះ lim 3 x→ 4 −7 x + 1 3

x3 + 2 x + 3 x2 + 5

ខ . lim x→ 2

យលីមីតខងេលើមន ងកំ ណត់ េនះេយើងជំនួសតៃម្ល x = 2 កនុង f ( x) =

េ ចុច

x3 + 2 x + 3 x2 + 5

w1

x3 + 2 x + 3 េ យចុច x2 + 5 anarsaa)qd+2a)+

សរេសរអនុគមន៍ y =

3$a)d+5 15 េយើងគណន r2p 3 ដូចេនះ

lim x→ 2

x3 + 2 x + 3 15 = 2 3 x +5

្របតិបត្តិ : គណនលីមីតខងេ្រកម : x 2 − 3x + 4 ក . lim x→ 4 2x2 − x − 1

លំ

x2 − 9 ខ . lim x →−3 2 x2 + 7 x + 3

ត់គំរទ ូ ី ៦ : គណនលីមីត : ក . lim

x →+∞

2x − 3 x+2

⎛ x +1⎞ ខ . lim− ⎜ ⎟ x→ 2 ⎝ x − 2 ⎠

ចេម្លើយ ក . lim

x →+∞

2x − 3 x+2

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx - 991 ES

14

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

2x − 3 ចំេពះ x េសមើ x+2 10 , 100 , 1 000 , 10 000 ,100 000 , 1 000 000 , 10 000 000 ,… ចុច w1

េដើមបីគណនតៃម្លេលខៃនអនុគមន៍ f ( x ) =

2x − 3 េ យចុច x+2 anarsa2a)-3$a)+2 េយើងគណន r10pn

សរេសរអនុគមន៍ y =

េយើងគណន !r100p េយើងគណន !r1000p េយើងគណន !r10000p េយើងគណន !r100000p េយើងគណន !r1000000p េយើងគណន !r10000000p េយើងគណន !r100000000p េយើងគណន !r1000000000p េគបន

ង:

2x − 3 x+2 10 1.190238 100 1.389738 1 000 1.411741 10 000 1.413966 100 000 1.414188 1 000 000 1.414211 10 000 000 1.414213 100 000 000 1.414213 1 000 000 000 1.414213 ម ង េគបន lim f ( x ) = 1.414213 ≈ 2 x

x →+∞

⎛ x +1⎞ ខ . lim− ⎜ ⎟ x→ 2 ⎝ x − 2 ⎠ x +1 គមនន័ យ x−2 x +1 េយើងគណនតៃម្លេលខៃនកេន ម ចំេពះតៃម្ល x េសមើ x−2 1.9 ; 1.99 ; 1.999 ; 1.9999 ; 1.99999 ; 1.999999 ; 1.9999999 ; .... េយើងចុច w1 រួច េ

យតៃម្ល x = 2 កេន ម

x +1 េ យចុច x−2 anaraa)+1$a)-2 េយើងគណន r1.9p

សរេសរអនុគមន៍ y =

15

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

េយើងគណន !r1.99p េយើងគណន !r1.999p េយើងគណន !r1.9999p េយើងគណន !r1.99999p េយើងគណន !r1.999999p េយើងគណន !r1.9999999p េយើងគណន !r1.99999999p េយើងគណន !r1.999999999p េគបន

ង:

x +1 x−2

x

1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 1.999999 1.9999999 1.99999999 1.999999999 េគបន ដូចេនះ

-29 -299 -2 999 -29 999 -299 999 -2 999 999 -29 999 999 -299 999 999 -2 999 999 999

េពល x ខិតជិត 2 េនះ

x +1 ខិតជិ ត −∞ x−2

⎛ x +1⎞ lim− ⎜ ⎟ = −∞ x→ 2 ⎝ x − 2 ⎠

្របតិបត្តិ : គណនលីមីតខងេ្រកម : ក . lim 3 3x + 4

1

x2 + 2 x3 − 8 ត់គំរទ ូ ី ៧ : គណនលីមីតខងេ្រកម lim x→ 2 x − 2 x →−4

លំ

ខ . lim

x →5 3

ចេម្លើយ 0 x3 − 8 lim មន ងមិនកំណត់ x→ 2 x − 2 0 x3 − 8 េយើងគណនតៃម្លេលខៃនកេន ម ចំេពះតៃម្ល x េសមើ x−2 1.9 ; 1.99 ; 1.999 ; 1.9999 ; 1.99999 ; 1.999999 ; 1.9999999 ; .... ចុច w1 រួច x3 − 8 េ យចុច x−2 anaraa)qd-8$a)-2 េយើងគណន r1.9p

សរេសរអនុគមន៍ y =

េយើងគណន !r1.99p

16

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

េយើងគណន !r1.999p េយើងគណន !r1.9999p េយើងគណន !r1.99999p េយើងគណន !r1.999999p េយើងគណន !r1.9999999p េយើងគណន !r1.99999999p េយើងគណន !r1.999999999p េគបន

ង:

x3 − 8 x−2

x

1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 1.999999 1.9999999 1.99999999 1.999999999 េគបន ដូចេនះ

11.41 11.9401 11.994001 11.999400 11.99994 11.999994 12 12 12

េពល x ខិតជិត 2 េនះ

lim x→ 2

x3 − 8 ខិតជិ ត 12 x−2

x3 − 8 = 12 x−2

្របតិបត្តិ: គណនលីមីតខងេ្រកម : ក . lim x→ 2

លំ

x −2 x−4

x3 + 3x 2 + 2 x x →−2 x2 − x − 6

ខ . lim

8 x3 − 1 2 1 x→ 6 x − 5 x + 1

គ. lim 2

ត់គំរទ ូ ី ៨ : គណនលីមីតខងេ្រកម : x3 + x x →+∞ x 4 − 3 x 2 + 1

ក . lim

ខ . lim

x →−∞

x2 − 2 x + 3 x+5

ចេម្លើយ x3 + x ∞ ក . lim 4 មន ងមិនកំណត់ x →+∞ x − 3 x 2 + 1 ∞ េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx - 991 ES x3 + x ចំេពះ x េសមើ x 4 − 3x 2 + 1 10 , 100 , 1 000 , 10 000 ,100 000 , 1 000 000 , 10 000 000 ,… ចុច w1 រួច គណនតៃម្លេលខៃន

x3 + x េ យចុច x 4 − 3x 2 + 1 anaraa)qd+ a)$

សរេសរអនុគមន៍ y =

17

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

a)f4$-3a)d+1 េយើងគណន r10pn េយើងគណន !r100p េយើងគណន !r1000p េយើងគណន !r10000p េយើងគណន !r100000p េយើងគណន !r1000000p េយើងគណន !r10000000p េយើងគណន !r100000000p េយើងគណន !r1000000000p េគបន

ង: x

10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000

x3 + x x 4 − 3x 2 + 1 0.104112 0.010004 1.000004 ×10−3 1.00000004 ×10−4 1 ×10−5 1 ×10−6 1 ×10−7 1 ×10−8 1 ×10−9

x3 + x ម ង េគបន េពល x ខិតជិត +∞ េនះ 4 ខិតជិត 0 x − 3x 2 + 1 x3 + x េគបន lim 4 =0 x →+∞ x − 3 x 2 + 1 x2 − 2 x + 3 ∞ មន ងមិនកំ ណត់ x→−∞ x+5 ∞ េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx - 991 ES

ខ . lim

x2 − 2 x + 3 ចំេពះ x េសមើ x+5 -10 , -100 , -1 000 , -10 000 ,-100 000 , -1 000 000 , -10 000 000 ,… ចុច w1 គណនតៃម្លេលខៃន

x2 − 2x + 3 េ យចុច x+5 anarasa)d-2a)+3

សរេសរអនុគមន៍ y =

$$a)+5 េយើងគណន r-10p

18

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

េយើងគណន !r-100p េយើងគណន !r-1000p េយើងគណន !r-10000p េយើងគណន !r-100000p េយើងគណន !r-1000000p េយើងគណន !r-10000000p េយើងគណន !r-100000000p េយើងគណន !r-1000000000p េគបន

ង

x2 − 2 x + 3 x+5 -10 -2.218110 -100 -1.063262 -1 000 -1.006031 -10 000 -1.000600 -100 000 -1.000060 -1 000 000 -1.000006 -10 000 000 -1.0000006 -100 000 000 -1.00000006 -1 000 000 000 -1.000000006 x

ម

ង េគបន េពល x ខិតជិត −∞ េនះ

េគបន lim

x →−∞

x2 − 2x + 3 ខិតជិត −1 x+5

x2 − 2 x + 3 = −1 x+5

្របតិបត្តិ: គណនលីមីតខងេ្រកម : ក.

លំ

x4 − 5x x →+∞ x 2 − 3 x + 1 lim

ខ. lim

x →+∞ 4

x2 + 1 + x x3 + x − x 4

ត់គំរទ ូ ី ៩ : គណនលីមីត : xlim x2 + x − x + 1 →+∞

ចេម្លើយ lim

x→+∞

x 2 + x − x + 1 មន ងមិនកំណត់ +∞ − ∞

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx - 991 ES គណនតៃម្លេលខៃន

x 2 + x − x + 1 ចំេពះ x េសមើ

10 , 100 , 1 000 , 10 000 ,100 000 , 1 000 000 , 10 000 000 ,… ចុច w1 សរេសរអនុគមន៍ y = x 2 + x − x + 1 េ យចុច anarsa)d+a)$-a)+1 េយើងគណន r10pn

19

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

េយើងគណន !r100p េយើងគណន !r1000p េយើងគណន !r10000p េយើងគណន !r100000p េយើងគណន !r1000000p េយើងគណន !r10000000p េយើងគណន !r100000000p េយើងគណន !r1000000000p េគបន

ង: x2 + x − x + 1 1.488088 1.498756 1.499875 1.499987 1.4999987 1.49999987 1.5 1.5 1.5

x

10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 ម

ង េគបន េពល x ខិតជិត +∞ េនះ

េគបន

lim

x→+∞

x2 + x − x + 1 =

x2 − 2x + 3 3 ខិតជិត 1.5 = x+5 2

3 2

្របតិបត្តិ: គណនលីមីតខងេ្រកម : ក.

លំ

lim

x →+∞

(

x+ x − x

)

ខ. lim

x →+∞

(

x3 + x − 3 x 2 + 2

)

ត់គំរទ ូ ី ១០ : គណនលីមីត 1 − cos x x→0 x2

ក . lim

ខ . lim x→

π

2

cos x x−

π

2

ចេម្លើយ

1 − cos x 0 មន ងមិនកំ ណត់ 2 x→0 x 0 េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx - 991 ES ក . lim

1 − cos x ចំេពះ x េសមើ x2 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 ,0.00001 , 0.000001 , 0.0000001 ,… ចូលករគណនទូេទ w1 គណនតៃម្លេលខៃន

សរេសរអនុគមន៍ y =

1 − cos x x2

20

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

anara1-ja))$a)d េយើងគណន r0.1pn េយើងគណន !r0.01p េយើងគណន !r0.001p េយើងគណន !r0.0001p េយើងគណន !r0.00001p េយើងគណន !r0.000001p េយើងគណន !r0.0000001p េយើងគណន !r0.00000001p េយើងគណន !r0.000000001p េយើងគណន !r0.0000000001p េគបន

ង:

1 − cos x x2 0.499583 0.499995 0.499999 0.5 0.5 0.5

x

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 ម

ង េគបន េពល x ខិតជិត 0 េនះ

1 − cos x = 0.5 x→0 x2 cos x 0 ខ . limπ មន ង π 0 x→ 2 x− 2

1 − cos x 1 ខិតជិត 0.5 = 2 x 2

េគបន lim

ង

t = x−

π

េនះ x = t +

2

π

េពល x →

π

2 2 ⎛ π⎞ cos ⎜ t + ⎟ ⎝ 2⎠ cos x sin t = lim = lim =1 េគបន lim π t →0 t → 0 π t t x→ 2 x− 2

េនះ t → 0

្របតិបត្តិ : គណនលីមីតខងេ្រកម : ក . limπ x→

លំ

4

cos x − sin x cos 2 x

ខ . lim x→0

1+ x − 1− x sin 3 x

គ . lim x→0

sin 3x x+2 − 2

ត់គំរទ ូ ី ១១ : គណនលីមីត :

(

)

ក . lim x 3 + x e − x x →+∞

ខ.

⎛ 2e x − 1 ⎞ lim ⎜ 2 ⎟ x →+∞ ⎝ x + x − 3 ⎠

21

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

ចេម្លើយ

(

)

ក . lim x 3 + x e − x x →+∞

េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx - 991 ES

(

)

គណនតៃម្លេលខៃន x 3 + x e − x ចំេពះ x េសមើ

10 , 100 , 1 000 , 10 000 ,100 000 ,… ចុច w1

(

)

សរេសរអនុគមន៍ y = x3 + x e − x េ យចុច anar(a)qd+a))qh-a) េយើងគណន r10p េយើងគណន !r100p េយើងគណន !r1000p េយើងគណន !r10000p េគបន

ង:

(x

x

3

)

+ x e− x

10 0.045853 100 3.720447 ×10−38 1 000 0 10 000 0 ម ង េគបន េពល x ខិតជិត +∞ េនះ x 3 + x e − x ខិតជិត 0

(

)

េគបន lim x + x e x→+∞

ខ.

3

(

−x

)

=0

⎛ 2e x − 1 ⎞ lim ⎜ 2 x→ +∞ ⎝ x + x − 3 ⎟ ⎠

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx - 991 ES

2e x − 1 ចំេពះ x េសើម x2 + x − 3 10 , 100 , 1 000 , 10 000 ,100 000 ,… ចុច w1 គណនតៃម្លេលខៃន

2e x − 1 េ យចុច x2 + x − 3 anara2qha)$-1$

សរេសរអនុគមន៍ y =

a)d+a)-3 េយើងគណន r10p េយើងគណន !r100p េយើងគណន !r1000p េយើងគណន !r10000p េគបន

ង:

22

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

2e x − 1 x2 + x − 3 411.700295 5.324585 ×1039

x

10 100 ម

ង េគបន េពល x ខិតជិត +∞ េនះ

2e x − 1 ខិតជិត +∞ x2 + x − 3

2e x − 1 = +∞ x →+∞ x 2 + x − 3 ្របតិបតិ្ត : គណនលីមីតខងេ្រកម : េគបន lim

1 x x→+∞ e − 1

ក . lim

xe x + 2 x→+∞ x 2 − 1

ខ . lim

ត់គំរទី ូ ១២ : គណនលីមីត : ក . xlim ( x 2 + 3 + ln x) →+∞

លំ

ចេម្លើយ

(

ក . lim x 2 + 3 + ln x x →+∞

(

គ . lim x − 2 + xe x x →+∞

)

ខ . lim+ ( x + 2 − ln x ) x→0

)

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx - 991 ES គណនតៃម្លេលខៃន x 2 + 3 + ln x ចំេពះ x េសមើ

10 , 100 , 1 000 , 10 000 ,100 000 ,… ចុច w1 សរេសរអនុគមន៍ y = x 2 + 3 + ln x េ យចុច anara)d+3+ha)) េយើងគណន r10p េយើងគណន !r100p េយើងគណន !r1000p េយើងគណន !r10000p េគបន

ង: x

10 100 1 000 10 000 100 000 ម

x 2 + 3 + ln x 105.302585 10 007.6051 1 000 009.908 1 000 000 012 1.000 000 001 ×1010

ង េគបន េពល x ខិតជិត +∞ េនះ x 2 + 3 + ln x ខិតជិត +∞

េគបន lim x 2 + 3 + ln x = +∞ x →+∞

ខ . lim+ ( x + 2 − ln x) x→0

េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx - 991 ES គណនតៃម្លេលខៃន x + 2 − ln x ចំេពះ x េសមើ

0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 ,0.00001 ,… ចុច w1 23

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

សរេសរអនុគមន៍ y = x + 2 − ln x េ យចុច anara)+2-ha)) េយើងគណន r0.1p េយើងគណន !r0.01p េយើងគណន !r0.001p េយើងគណន !r0.0001p េយើងគណន !r0.00001p េយើងគណន !r0.000001p េគបន

ង:

x + 2 − ln x 0.1 4.402585 0.01 6.615170 0.001 8.908755 0.0001 11.21044 0.00001 13.51293 0.000001 15.81551 ម ង េគបន េពល x ខិតជិត 0+ េនះ x + 2 − ln x ខិតជិត +∞ x

េគបន lim+ ( x + 2 − ln x ) = +∞ x →0

្របតិបត្តិ : គណនលីមីតខងេ្រកម :

⎛ ln x ⎞ ក . lim ⎜ 2 ⎟ x →+∞ ⎝ x + x ⎠

(

)

(

)

ខ . lim ⎡⎣ x ln 4 − 3x − x 2 ⎤⎦ គ . lim ln e x + 1 x →−∞ x →1

24

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់

១ . គណនលីមីតខងេ្រកម : ⎛ 3 ⎞ ក . lim ⎜ x ⎟ x →−∞ e + 1 ⎝ ⎠

⎛ 3 ⎞ ខ . lim ⎜ x ⎟ x →+∞ e + 1 ⎝ ⎠ 1 ង . lim x x →0 e − 1 ជ . lim ( x 3 + x ) e − x

ឃ . lim ( xe x − 4 + x ) x →+∞

ឆ . lim ( e x − x 2 + 1) x →−∞

គ . lim ( xe x − 2 + x ) x →−∞

1 x →+∞ e − 1 ឈ . lim e − x + 2 ច.

lim

x

x →−∞

x →+∞

២ . គណនលីមីតៃនអនុគមន៍ខងេ្រកម : ⎛1 ⎞ គ . lim ⎜ − 2 ln x ⎟ x →0 x ⎝ ⎠ ⎛ x +1 ⎞ ឃ . lim ( x 2 − x − 1 − ln x ) ង . lim ⎡⎣ln ( ln x − 3) ⎤⎦ ច . lim ⎜ ⎟ x →+∞ ln x x →+∞ x →+∞ ⎝ ⎠ 0 ៣ . គណនលីមីតៃនអនុគមន៍ខងេ្រកមែដលមន ង: 0 2 3 ⎛ x −2 ⎞ ⎛ x −8⎞ x 2 + 3x − 4 ⎟⎟ ⎟⎟ ក . lim ⎜⎜ ; ខ . lim⎜⎜ ; គ . lim x→2 x →1 x→− 2 x + 3x − 3 2⎠ ⎝ x−2 ⎠ ⎝ ក . lim ( x 2 + x + 3 + ln x )

ខ . lim ( x + 2 − ln x )

x →+∞

x →+∞

(2 + x ) − 4 x3 − 2x 2 + 4x − 8 ; ង . lim 2 x→2 x → 0 x x − 5x + 6 3 9 x + 3x − 4 x + 3x 4 − 4 ឆ . lim ; ជ . lim 6 x →1 x →1 x − 2 x + 1 x4 −1 0 ៤ . គណនលីមីតៃនអនុគមន៍ខងេ្រកមែដលមន ង: 0 1− x − 2 x+3 − 3 ក . lim ; ខ . lim x →0 x → −3 3x x+3 2

ឃ . lim

ឃ . lim

x+4 −3

;

2x − 1 − 3 3 3x + 2 − 9 ឆ . lim x →2 x2 − 4 x →5

ញ . lim x →0

x →1

x +1 −1

3

x −1 − 2

; ដ . lim

x 2 + 16 − 4

៥ . គណនលីមីតៃនអនុគមន៍ខងេ្រកមែដលមន ង: 2x − 3 ក . lim x → +∞ x + 5

x5 + 4x + 5 x → +∞ x3 + 5

ឃ . lim

; ខ . xlim → +∞ ;

ង.

lim

x → −∞

1− x x 2 − 3x + 4

x →0

; គ . lim x→2 ; ច . lim x →1

x x

−1 x −1

2008

x −1 −1 4x + 1 − 3 x −1

3

3 x −3 3 x+3 −2 ; ឈ . lim x →5 x − 4 −1

;ឌ . lim x →1

3

7 x + 1 + 3x + 1 − 4 x −1

∞ ∞

x+ x+ x+ x x +1

(2 + x )3 − 8

x →1

8x + 1 − 5x + 4 x+3 −2

1 − 2007 x x →1 x −1

2

ច . lim

; ឈ . lim

5 x − 1 − 3x + 1

ង . lim

; ជ . lim x →5

;

; គ.

4x 2 + 7x + 3 lim x → +∞ 2 x 3 + 7 x − 9

; ច . lim

x → +∞

x+ x+ x x

25

ជំពូក១ េមេរៀនទី ១

៦ . គណនលីមីតៃនអនុគមន៍ខងេ្រកម : ក. lim

x −2 4− x

; ខ. lim

ង. lim

25 − x x − 4 −1

;

ជ . lim

x +1 −1 x

; ឈ. lim

x→4

x →5

x →0

x →3+

x→

π

6

x+3 − 2 x2 − 1

ច. lim+ x →1

2sin x − 1 6x − π

tan π x x →−2 x + 2

x→4

ឆ. lim

;

x →−1

; ខ. lim

sin π x x −1

; គ . lim

; ង. limπ

2sin 2 x − 1 4x − π

; ច. limπ

x →1

ឃ. lim

; គ . lim

x→

4

x+5 −3 x−4 x+3 − 2 x2 − 1

2x − 3 −1 x−2

x →1

៧ . គណនលីមីតៃនអនុគមន៍ខងេ្រកម : ក. lim

x−3 2 − x +1

x →π

x→

4

cos x + 1 x −π sin x − cos x

x−

π

4

៨ . គណនលីមីតៃនអនុគមន៍ខងេ្រកម : ក. lim x sin x →+∞

1 x

;

sin 2 x x →−∞ x

sin ax x →0 sin bx

ខ. lim

; គ . lim

៩ . គណនលីមីតៃនអនុគមន៍ខងេ្រកម : ⎛ 1 ⎞ ក. lim x ⎜⎜ 1 − − 1⎟⎟ x →−∞ x ⎠ ⎝

; ខ.

lim sin x→

π

2

1 + 2 cos x − 1 cos x

;

គ. lim x →0

1 + sin x − 1 x

១០ . គណនលីមីតៃនអនុគមន៍ខងេ្រកម :

x x x + cos x 2 − cos x ; ខ. lim ; គ . lim ; ឃ. lim x →+∞ 2 − cos x x →−∞ 2 − cos x x →+∞ 2 − cos x x →+∞ x2

ក. lim

26

ជំពូក១ េមេរៀនទី ២

េមេរៀនទី

២

លីមីតៃនស្វីត ុ

េមេរៀនសេងខប ិ េលើលម ្របមណវធី ី ីតស្វត ុី

េគមនស៉ីត ្វ ( an ) និង ( bn ) ែដលមនលីមីត lim an = M និង lim bn = N ។ េគបន: n→+∞

n→+∞

ក. lim kan = kM ែដល k ជចំនួនេថរ ។ n→+∞ ខ. nlim ( an + bn ) = M + N →+∞

,

គ. nlim ( anbn ) = MN →+∞

,

lim ( an − bn ) = M − N

n→+∞

េបើ N ≠ 0 េនះ lim

n→+∞

លីមីតស្វត ុី ធរណីម្រតអនន្ត

r n = +∞ េហើយ ក. េបើ r > 1 េនះ nlim →+∞

ខ. េបើ r = 1 េនះ

(r ) (r ) n

គ. េបើ r = 0 េនះ

n

(r ) n

ជស្វុីតេថរេហើយ

an M = bn N

ជស្វុីតរ ីកេទរក

ជស្វុីតេថរេហើយ

+∞

lim r n = 1

n→+∞

lim r n = 0

n→+∞

r n = 0 េហើយ ( r n ) ជស្វុីតរួមេទរក ០ េបើ 0 < r < 1 េនះ nlim →+∞

ឃ. េបើ r ≤ −1 េនះស្វុីត ( r n ) ជស្វុីតឆ្លស់ េហើយកល េគមិន ចកំណត់លីមីតៃន ( r n ) បនេទ ។

n → +∞

ស្វុីតធរណីម្រតអនន្តែដលរួម : ស្វុីត ( r n ) រួម ⇔ −1 < r ≤ 1 ។ េស៊រ ីរួម និងេស៊រ ីរ ីក ∞

ក. េបើេស៊រ ី

∑a

ខ. េបើសុីត ្វ

( an ) មិនរួមរក ០ េនះ ∑ an ជេស៊រ ីរ ីក ។

n

n =1

ជេស៊រ ីរួម េនះ lim an = 0 n→+∞ ∞

n =1

ភពរួម និងរ ីក ៃនេស៊រ ីធរណីម្រតអនន្ត ្រគប់េស៊រ ីធរណីម្រតអនន្ត a + ar + ar 2 + ar 3 + L + ar n −1 + L (ែដល a ≠ 0 ) ជេស៊រ ីរួមឬរ ីកេទ

មករណីដូចខងេ្រកម :

- េបើ r < 1 េនះេស៊រ ីរួមេទរក

a 1− r

- េបើ r ≥ 1 េនះេស៊រ ីរ ីក

27

ជំពូក១ េមេរៀនទី ២

ត់គំរទ ូ ី ១ : បង្ហញថស៉ីត ្វ (U n ) ែដល U n = −3n 2 − 2 ជស្វុីតរ ីក ។

លំ

ចេម្លើយ

(

េយើងគណន lim −3n 2 − 2 n →+∞

)

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES គណនតៃម្លេលខៃន −3n 2 − 2 ចំេពះ n េសមើ

10 , 100 , 1 000 , 10 000 ,100 000 , 1 000 000 , 10 000 000 ,… ចុច w1 សរេសរអនុគមន៍ y = −3x 2 − 2 សនមត់ x = n េ anar-3a)d-2 េយើងគណន r10p

យចុច

េយើងគណន !r100p េយើងគណន !r1000p េយើងគណន !r10000p េយើងគណន !r100000p េយើងគណន !r1000000p េយើងគណន !r10000000p េយើងគណន !r100000000p េយើងគណន !r1000000000p េគបន

ង:

n 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 ម

លំ

−3n 2 − 2 -302 -30 002 -3 000 002 -300 000 002 -3 ×1010 -3 ×1012 -3 ×1014 -3 ×1016 -3 ×1018

ងខងេលើ េគបនស្វុីតេនះ ជស្វុីតរ ីកេទរក −∞ 3n + 1 5 ត់គំរទ ូ ី ២ : គណនលីមីតៃនស៉ីត ្វ (U n ) : U n = + 2 ។ n n

ចេម្លើយ

⎛ 3n + 1 5 ⎞ មនន័យថ គណន lim ⎜ + 2⎟ n →+∞ ⎝ n n ⎠

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES គណនតៃម្លេលខៃន

3n + 1 5 + 2 ចំេពះ n េសមើ n n

28

ជំពូក១ េមេរៀនទី ២

10 , 100 , 1 000 , 10 000 ,100 000 , 1 000 000 , 10 000 000 ,… ចុច w1 3x + 1 5 + 2 សនមត x = n េ យចុច x x anara3a)+1$a)

សរេសរអនុគមន៍ y =

$+a5$a)d េយើងគណន r10pn េយើងគណន !r100pn េយើងគណន !r1000p េយើងគណន !r10000p េយើងគណន !r100000p េយើងគណន !r1000000p េយើងគណន !r10000000p េយើងគណន !r100000000p េយើងគណន !r1000000000p េគបន

ង:

3n + 1 5 + 2 n n 10 3.15 100 3.0105 1 000 3.001005 10 000 3.00010005 100 000 3.000010001 1 000 000 3.000001 10 000 000 3.0000001 100 000 000 3.00000001 1 000 000 000 3.000000001 ⎛ 3n + 1 5 ⎞ ម ង េគបន lim ⎜ + 2⎟ =3 n →+∞ ⎝ n n ⎠

n

្របតិបត្តិ : គណនលីមីតៃនស្វុីតខងេ្រកម : ក.

លំ

2n 2 n →+∞ n + 1 lim

2n + 1 n →+∞ 3n 3

ខ . lim

ត់គំរទ ូ ី ៣ : គណនលីមីត nlim →+∞

គ.

n2 + n + 1 n→+∞ 2n 2 + 1 lim

5n + 1 3n + 2

ចេម្លើយ េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES

5n + 1 ចំេពះ n េសមើ 3n + 2 10 , 100 , 1 000 , 10 000 ,100 000 , 1 000 000 , 10 000 000 ,…

គណនតៃម្លេលខៃន

29

ជំពូក១ េមេរៀនទី ២

ចុច

w1

5x + 1 សនមត x = n េ យចុច 3x + 2 anara5a)+1$

សរេសរអនុគមន៍ y =

3a)+2 េយើងគណន r10pn េយើងគណន !r100pn េយើងគណន !r1000p េយើងគណន !r10000p េយើងគណន !r100000p េយើងគណន !r1000000p េយើងគណន !r10000000p េយើងគណន !r100000000p េយើងគណន !r1000000000p េគបន

ង

5n + 1 3n + 2 10 1.5937 100 1.6589 1 000 1.6658 10 000 1.6665 100 000 1.6666 1 000 000 1.66666 10 000 000 1.666666 100 000 000 1.6666666 1 000 000 000 1.66666666 5n + 1 5 ម ង េគបន lim = 1.666666 ≈ n→+∞ 3n + 2 3

n

្របតិបត្តិ : គណនលីមីតខងេ្រកម : 2n ក . lim 2 n →+∞ n + 1

លំ

2n + 1 ខ . lim n →+∞ 3n 3 1 n

ត់គំរទ ូ ី ៤ : គណនលីមីត nlim sin →+∞

n2 + n + 1 គ. lim n→+∞ 2n 2 + 1

nπ 6

ចេម្លើយ េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES

1 nπ ចំេពះ n េសមើ sin n 6 10 , 100 , 1 000 , 10 000 ,100 000 , 1 000 000 , 10 000 000 ,… ចុច w1 គណនតៃម្លេលខៃន

30

ជំពូក១ េមេរៀនទី ២

1 xπ សនមត x = n េ យចុច sin x 6 anara1$a)$ja

សរេសរអនុគមន៍ y =

a)qz$6$) េយើងគណន r10pn េយើងគណន !r100p េយើងគណន !r1000p េយើងគណន !r10000p េយើងគណន !r100000p េយើងគណន !r1000000p េយើងគណន !r10000000p េយើងគណន !r100000000p េយើងគណន !r1000000000p េគបន

ង:

1 nπ sin n 6 -0.086602 8.6602 ×10−3 8.6602 ×10−4 8.6602 ×10−5 8.6602 ×10−6 8.6602 ×10−7 8.6602 ×10−8 8.6602 ×10−9 8.6602 ×10−10

n 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 ម

ង េពល n → +∞ េគបន

ដូចេនះ

1 nπ =0 sin n→+∞ n 6

1 nπ →0 sin n 6

lim

្របតិបត្តិ : គណនលីមីតខងេ្រកម : n + ( −1) ក . lim n →+∞ 2n

លំ

n

sin n n→+∞ n n +1 3 − 2n ត់គំរទ ូ ី ៥ : គណនលីមីត nlim →+∞ 3n + 2 n +1 ខ . lim

1 cos ( nπ ) n →+∞ n

គ. lim

ចេម្លើយ េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES

3n +1 − 2n ចំេពះ n េសមើ 3n + 2n +1 10 , 100 , 1 000 , 10 000 ,100 000 , 1 000 000 , 10 000 000 ,…

គណនតៃម្លេលខៃន

31

ជំពូក១ េមេរៀនទី ២

ចូលករគណនទូេទ

w1

3x +1 − 2 x សនមត x = n 3x + 2 x +1 anara3fa)+1$-2fa បន្ត )$$3fa)$+2fa)+1 សរេសរអនុគមន៍ y =

េយើងគណន r10p េយើងគណន !r100p េយើងគណន !r200p េគបន

ង:

3n +1 − 2n 3n + 2n +1 2.882678 3 3

n 10 100 1 000

3n +1 − 2n →3 n →+∞ 3n + 2 n +1

ម

ង េពល n → +∞ េគបន lim

3n +1 − 2n =3 n→+∞ 3n + 2 n +1

ដូចេនះ lim

្របតិបត្តិ : គណនលីមីតខងេ្រកម : 3n + 2n +1 n→+∞ 2 n − 3n

3n n→+∞ 4n − 2 n

ក . lim

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៦ : េតើេស៊រ ី

ខ . lim ∞

⎛

n ⎞

∑ ⎜⎝ 2n + 1⎟⎠ ជេស៊រ ីរួម ឬេស៊រ ីរ ីក ? n =1

ចេម្លើយ n េ យេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES n →+∞ 2n +1 n គណនតៃម្លេលខៃន ចំេពះ n េសមើ 2n + 1 10 , 100 , 1 000 , 10 000 ,100 000 , 1 000 000 , 10 000 000 ,… ចុច w1 គណនលីមីត lim

x សនមត់ x = n 2x + 1 anaraa)$2a)+1

សរេសរអនុគមន៍ y =

េយើងគណន r10pn េយើងគណន !r100pn េយើងគណន !r1000pn េយើងគណន !r10000p េយើងគណន !r100000p េយើងគណន !r1000000p

32

ជំពូក១ េមេរៀនទី ២

េយើងគណន !r10000000p េយើងគណន !r100000000p េយើងគណន !r1000000000p េគបន

ង:

n 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 ម

n 2n + 1 0.47619004 0.49751243 0.49975012 0.49997500 0.4999975 0.49999975 0.499999975 0.4999999975 0.5 n 1 → 0.5 = 2n + 1 2

ង េពល n → +∞ េគបន

n = 0.5 ≠ 0 n→+∞ 2n + 1 ∞ ⎛ n ⎞ ដូចេនះ េស៊រ ី ∑ ⎜ ⎟⎠ ជេស៊រ ីរ ីក ⎝ n =1 2n + 1

េគបន lim

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៧ : េតើេស៊រ ី

∞

⎛

1

⎞

∑ ⎜⎝ n ( n + 1) ⎟⎠ ជេស៊រ ីរួម ឬេស៊រ ីរ ីក ? n =1

ចេម្លើយ 1 េ យេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES n ( n + 1) 1 គណនតៃម្លេលខៃន ចំេពះ n េសមើ n ( n + 1) 10 , 100 , 1 000 , 10 000 ,100 000 , 1 000 000 , 10 000 000 ,… ចុច w1

គណនលីមីត lim

n →+∞

1 សនមត់ x = n x ( x + 1) anara1$a)(a)+1)

សរេសរអនុគមន៍ y =

េយើងគណន r10pn េយើងគណន !r100pn េយើងគណន !r1000pn េយើងគណន !r10000p េយើងគណន !r100000p េយើងគណន !r1000000p េយើងគណន !r10000000p

33

ជំពូក១ េមេរៀនទី ២

េយើងគណន !r100000000p េយើងគណន !r1000000000p េគបន

ង: 1 n ( n + 1)

n

9.090909091 ×10−3 9.900990099 ×10−5 9.99000999 ×10−7 9.9990001 ×10−9 9.999900001 ×10−11 9.99999 ×10−13 9.999999 ×10−15 9.9999999 ×10−17 9.99999999 ×10−19 1 ម ង េពល n → +∞ េគបន →0 n ( n + 1) 1 េគបន lim =0 n →+∞ n ( n + 1) 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000

ដូចេនះ េស៊រ ី

∞

⎛

n ⎞

∑ ⎜⎝ 2n + 1⎟⎠ ជេស៊រ ីរួម n =1

្របតិបត្តិ : េតើេស៊រ ីខងេ្រកមេនះជេស៊រ ីរួម ឬេស៊រ ីរ ីក ? ក.

លំ

∞

1 ⎞ ⎛1 ∑ ⎜⎝ − ⎟ n + 1⎠ n =1 n

⎛ sin 2π ⎞ ⎟ 5n ⎠ n =1 ∞

∑ ⎜⎝

ខ.

ត់គំរទ ូ ី ៨ : គណនផលបូកៃនេស៊រ ីអនន្ត

∞

⎛ 3

∑ ⎜⎝ 2 n =1

n

+

2⎞ ⎟ 3n ⎠

ចេម្លើយ ∞

3 1 និ ងមនផលេធៀបរួម 2 2 n =1 ∞ 2 2 1 និង ∑ n ជេស៊រ ីធរណីម្រតអនន្តមនតួទីមួយ េសមើ និងមនផលេធៀបរួម ជេស៊រ ីរួម 3 3 n =1 3

េ

យេស៊រ ី

3

∑2

n

ជេស៊រ ីធរណីម្រតអនន្តមនតួទីមួយ េសមើ

េនះេស៊រ ីធរណីម្រតទំងពីរជេស៊រ ីរួម : 2 3 3 2 ⎛ 3 2⎞ េគបន S = ∑ ⎜ n + n ⎟ = ∑ n + ∑ n = 2 + 3 = 3 + 1 = 4 ⎝ 3 ⎠ n =1 2 n =1 3 1 − 1 1 − 1 n =1 2 2 3 ∞

∞

∞

្របតិបត្តិ : គណនផលបូកៃនេស៊រ ីអនន្ត ក.

∞

1 ⎞ ⎛ 1 ∑ ⎜⎝ n −1 + n −1 ⎟⎠ 3 n =1 2

ខ.

1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + L + ( n − 1) n n3 n =1 ∞

∑

34

ជំពូក១ េមេរៀនទី ២

លំ

ត់

១ . េតើសុីត ្វ ែដលមនតួទូេទដូចខងេ្រកមជស្វុីតរួម ឬ រ ីក ?

n2 + n ខ . Un = 2 2n + 5 n sin n ង . Un = 2 n +1

ក. U n = 3n + 5n + 1 2

ឃ. U n =

2n 3n3 + 2 n+3 n +5

sin 2n 5n 3 4 ច. U n = 2 − + n n គ. U n =

២. គណនលីមីតស្វុីតខងេ្រកម :

n 2 + 3n − 1 ក. lim 2 n→+∞ 8n − n +1

5n3 + n 2 − n ខ. lim 2 n→+∞ n + n − 1

គ. lim

n→+∞

n 2 + sin n ង. lim n 2 − cos 2 π n n→+∞ 5n 2 + cos π x n→+∞ ៣. គណនលីមីតស្វុីតខងេ្រកម :

(

ឃ. lim ក. lim

n→+∞

(

n +1 − n

)

ខ. lim n n→+∞

(

)

)

n3 Un = n 2

2n ; Vn = n!

ក. គណន

n→+∞

ក . a1 = 2; an+1 =

(

)

sin n n→+∞ n

ច. lim

3n + 2n+1 គ. lim n n n→+∞ 2 − 3 មនតួ ទូេទដូចខងេ្រកម:

ែដល n ! = n ( n − 1)( n − 2) ⋅⋅⋅1 ។

Un +1 V +1 និង lim n n→+∞ U n→+∞ V n n

។

lim

2n + n3 n→+∞ n !+ n 3 ៦. គណនលីមីតស្វុីត ( an ) ែដល ខ . គណន

n

គ. lim n n 2 + 1 − 1

⎛ 1 nπ n! 2 ⎞ ឃ. lim ⎜ − + 3⎟ ង. lim sin n→+∞ n n→+∞ ⎝ ( n + 1) !− n ! 6 n ⎠

3n+1 − 2n 3n ក. lim n ខ. lim n n→+∞ 3 + 2 n+1 n→+∞ 4 − 2 n ៥. េគមនស្វុីតែដលកំ ណត់ចំេពះ្រគប់ n ∈

n + ( −1)

n

n ច. lim ⎡ −5n3 + ( −1) n3 ⎤ ⎦ n→+∞ ⎣

n−3 − n

៤. គណនលីមីតស្វុីតខងេ្រកម :

5n3 + ( −1)

lim

1 an + 3 2

គ ល់តួដូចខងេ្រកម :

1 4 គ . a1 = 1; an+1 = an + 3 3

ខ . a1 = 3; an+1 = 2an − 5

៧. ពិនិតយេស៊រ ីខងេ្រកមេនះ េតើ ជេស៊រ ីរួម ឬ រ ីក ? ក.

⎛ ⎛ 3⎞ n ⎞ ∑ ⎜ 3 − ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎟ ⎠ n=0 ⎝ ∞

ឃ. 2 + ច.

∞

ខ.

∞

∑1000 (1.055) n=0

3 9 27 81 + + + + ⋅⋅⋅ 2 8 32 128

1 ⎞ ⎛1 ∑ ⎜⎝ − ⎟ n + 1⎠ n =1 n

គ.

n

ឆ.

∑(

2n + 1 − 2n − 1

⎛

1

∞

ង.

n =1

∞

2n + 1 ∑ n +1 n=0 2 ∞

)

⎞

∑ ⎜⎝ n ( n + 1) ⎟⎠ n =1

35

ជំពូក១ េមេរៀនទី ២

៨. គណនផលបូកៃនេស៊រ ីរួមខងេ្រកម : ក . 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + ⋅⋅⋅ ខ.

∞

∑ 4n n =1

∞ 5 ( −1) ⎛ 3 2⎞ ឃ. ∑ ង . ∑⎜ n + n ⎟ ⎝ 4n 3 ⎠ n=0 n=0 2 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + L + ( n − 1) n ឆ . lim n→+∞ n3

∞

2 2

−1

π⎞ ⎛ 2 ⎜ cos ⎟ ∑ ⎝ 3⎠ n=0 ∞

គ.

n

ច.

∞

⎛ 1

∑ ⎜⎝ 2 n =0

n −1

+

n

1 ⎞ ⎟ 3n−1 ⎠

៩. គណន :

⎛ n n n ⎞ + + ⋅⋅⋅ + ខ . lim ⎜ 4 ⎟ n→+∞ ⎝ n +1 n4 + 2 n4 + n ⎠ n 2 2 2 2 ១០. ចំេពះ្រគប់ n ∈ េគមន S n = + +L + =∑ 1× 3 3 × 5 ( 2n + 1)( 2n + 3) p =0 ( 2 p + 1)( 2 p + 3) a b 2 ក.គណន Sn ជអនុគមន៍ៃន n េ យេ្របើ ជទ្រមង់ + ( 2 p + 1)( 2 p + 3) ( 2 p + 1) ( 2 p + 3) 1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ ក. lim ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ n→+∞ ⎝ 2 ⎠⎝ n ⎠

ខ . គណន

lim Sn ។

n→+∞

36

ជំពូក២ េមេរៀនទី ១

២

ជំព ូក

េដរីេវៃនអនុគមន៍

េមេរៀនទី

១

អនុវត្តនេ៍ ដរីេវ

េមេរៀនសេងខប - េគឱយអនុគមន៍ f កំណត់និងជប់ េហើយមនេដរ ីេវេលើ I ។ េបើមនពីរចំ នួនពិត m

និង M ែដលចំេពះ្រគប់ x ∈ I , m ≤ f ′ ( x ) ≤ M េនះ្រគប់ចំនួនពិ ត a , b ∈ I ែដល a < b េគបន m ( a − b ) ≤ f ( b ) − f ( a ) ≤ M ( a − b ) ។

- េគឱយអនុ គមន៍ f មនេដរ ីេវេលើ [ a, b] ។ េបើមនចំនួនពិត M ែដលចំេពះ្រគប់

x ∈ [ a, b ] , f ′ ( x ) ≤ M េនះេគបន f ( b ) − f ( a ) ≤ M b − a ។

- េបើ f ជអនុគមន៍ជប់េលើចេន្លះ [ a, b] មនេដរ ីេវេលើចេន្លះ ( a, b ) និង f ( a ) = f ( b ) េនះមនចំនួន c ∈ ( a, b ) មួយយ៉ ងតិចែដល f ′ ( c ) = 0 ។

-េបើ f ជអនុគមន៍ជប់េលើចេន្លះ [ a; b ] មនេដរ ីេវេលើចេន្លះ ( a; b ) េនះមនចំនួន c ∈ ( a; b ) មួយយ៉ ងតិច ែដល f ′ ( c ) = - c ( x ) ជអនុគមន៍្របក់ចំ - c′ ( x ) ជ្របក់ចំ

f (b) − f ( a ) ។ b−a យសរុបកនុងករផលិតសមភរៈ x េ្រគ ង ។

យកនុងករផលិត ទី x + 1 គឺ c ( x + 1) − c ( x ) ។ េគសរេសរ c ′ ( x ) = c ( x + 1) − c ( x ) ។

សមភរៈឯក

យបែនថមែដលមនតៃម្ល្របែហលនឹង្របក់ចំ

- ្របក់ចំណូលសរុប = តៃម្លលក់េចញ 1 ឯក េគកំណត់

ងេ

យ

× បរ ិមណសមភរៈលក់បន ។

R ( x ) = P × X ែដល P = D ( x ) ។

- R ′ ( x ) ជ្របក់ចំណូលបែនថមែដលមនតៃម្ល្របែហលនឹង្របក់ ចំណូលែដលបនពីករ លក់សមភរៈឯក

ទី x + 1 គឺ R ( x + 1) − R ( x ) ។ េគសរេសរ R ′ ( x) ≈ c ( x + 1) − R ( x) ។

- ្របក់ចំេណញសរុប = ្របក់ចំណូលសរុប

P ( x) =

R ( x)

−

−

្របក់ចំ

c ( x)

យសរុប ។

- P ′ ( x ) ជ្របក់ចំេណញបែនថមែដលមនតៃម្ល្របែហលនឹង្របក់ ចំេណញ ែដលបនពី ករ លក់សមភរៈឯក - C ( x) =

C ( x) x

ទី x + 1 គឺ P ( x + 1) − P ( x ) ។ េគសរេសរ P ′ ( x ) = P ( x + 1) − P ( x ) ។

ជ្របក់ចំ

យមធយមកនុងករផលិតសមភរៈ 1 េ្រគ ងៗ ។

37

ជំពូក២ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់គំរទ ូ ី ១ : េគមនអនុគមន៍ y = x 2 ។ រក dy េន្រតង់ x = 1 និង dx = 0.01 រួចេ្រប បេធៀប dy និង Δy និង េន្រតង់ x = 1 និង Δx = 0.01 ។

ចេម្លើយ រក dy េន្រតង់ x = 1 និង dx = 0.01 េ

យ y = f ( x) = x 2

េគបន dy = f ′ ( x) dx = f (1) × 0.01 ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចុច w1 បញូច លទិននន័យ qyQ)d$1

1 = 0.02 50 េ្រប បេធៀប dy និង Δy និង េន្រតង់ x = 1 និង Δx = 0.01 m0.01pn

dy =

រក Δy េន្រតង់ x = 1 និង Δx = 0.01

េគបន Δy = f ( x + Δx) − f ( x) = f (1.01) − f (1)

= (1.01) − 1 2

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចុច w1

201 បញូច លទិននន័យ 1.01d-1p n 0.0201 10000 េគបន dy ≈ Δy

លំ

ត់គំរទ ូ ី ២ : េ្របើឌីេផរ ៉ង់ែសយលេដើមបីគណនតៃម្ល្របែហលៃន

15 ។

ចេម្លើយ

ង f ( x) = x

, x = 16 និង dx = Δx = −1

េនះ 15 = 16 + Δx េ

យ

15 ≈ 16 + dy = 16 + f ′ (16)( −1)

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចុច w1 បញូច លទិននន័យ s16$+qysQ)$$16 31 m$(-1)pn 15 ≈ = 3.875 8

្របតិបត្តិ : េ្របើឌីេផរ ៉ង់ែសយលេដើមបីគណនតៃម្ល្របែហលៃន : ក . 5 ( 3.02) − 3 ( 3.02) 3

2

ខ.

3.02

គ . sin 46o

38

ជំពូក២ េមេរៀនទី ១

ត់គំរទ ូ ី ៣ : េគឱយអនុគមន៍ f កំណត់េលើ ]−1 , + ∞[ ែដល f ( x) = 1 + x ។

លំ

⎡ 1⎤ ក . កំណត់តៃម្លអមៃនអនុគមន៍េដរ ីេវ f ′ ( x) ចំេពះ្រគប់ x ∈ ⎢0 , ⎥ ។ ⎣ 2⎦ 1 1 ⎡ 1⎤ x ≤ f ( x) ≤ 1 + x ។ ខ . បញ ជ ក់ថចំេពះ្រគប់ x ∈ ⎢0 , ⎥ េគបន 1 + 2 6 ⎣ 2⎦

ចេម្លើយ ⎡ 1⎤ ក . កំណត់តៃម្លអមៃនអនុគមន៍េដរ ីេវ f ′ ( x) ចំេពះ្រគប់ x ∈ ⎢0 , ⎥ ⎣ 2⎦

េគមនអនុគមន៍ f ( x) = 1 + x

ិ មវសមភពកំ េណើនមនកំណត់

⎛ 1⎞ េគបន f ′ ( 0) ≤ f ′ ( x) ≤ f ′ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ េយើងគណន f ′ ( 0) ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចុច w1 បញូច លទិននន័យ qys1+Q)$$0 1 p = 0.5 2 េយើងគណន f ′ ( 0.5) ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចុច w1 បញូច លទិននន័យ qys1+Q)$$0.5 6 = 0.4082 p 6 6 1 ≤ f ′ ( x) ≤ េគបន 6 2 1 1 ⎡ 1⎤ x ≤ f ( x) ≤ 1 + x ។ ខ . បញ ជ ក់ថចំេពះ្រគប់ x ∈ ⎢0 , ⎥ េគបន 1 + 2 6 ⎣ 2⎦

6 1 ⎡ 1⎤ ≤ f ′ ( x) ≤ េគមន x ∈ ⎢0 , ⎥ និង 6 2 ⎣ 2⎦ ិ អនុវត្តន៍វសមភពកំ េណើនមនកំណត់ 6 1 ( x − 0) ≤ f ( x ) − f ( 0 ) ≤ ( x − 0 ) 6 2 យ f ( 0) = 0

េគបន េ

ដូចេនះ 1 +

1 1 x ≤ f ( x) ≤ 1 + x 2 6

39

ជំពូក២ េមេរៀនទី ១

្របតិបត្តិ : េគឱយអនុគមន៍ f កំណត់េលើ

ែដល f ( x) = sin x ។

⎡ π⎤ ក . កំណត់តៃម្លអមៃនអនុគមន៍េដរ ីេវ f ′ ( x) ចំេពះ្រគប់ x ∈ ⎢0 , ⎥ ។ ⎣ 2⎦ 2 ⎡ π⎤ x ≤ f ( x) ≤ x ។ ខ . បញ ជ ក់ថចំេពះ្រគប់ x ∈ ⎢0 , ⎥ េគបន 2 ⎣ 2⎦

ត់គំរទ ូ ី ៤ : េគឱយអនុគមន៍ f កំណត់េលើ ]1 , 2[ ែដល f ( x) = x3 + 2 x + 1 ។

លំ េ

ិ យអនុវត្តន៍វសមភពកំ េណើនមនកំ ណត់ រកតៃម្ល្របែហលៃន f (1)

ចេម្លើយ

រកតៃម្ល្របែហលៃន f (1.01)

ចំេពះ្រគប់ x ∈[1 , 1.01] និងអនុគមន៍ f ( x) = x3 + 2 x + 1 ិ មវសមភពកំ េណើនមនកំណត់

េគបន f ′ (1) ≤ f ′ ( x) ≤ f ′ (1.01)

េយើងគណន f ′ (1.01)

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចូលករគណនទូេទ w1 បញូច លទិននន័យ qyQ)f3$+2Q) +1$1p f ′ (1) = 5 េយើងគណន f ′ (1.01) ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចុច w1 បញូច លទិននន័យ qyQ)f3$+2Q) +1$1.01p f ′ (1) = 5.0603 េគបន 5 ≤ f ′ ( x) ≤ 5.0603

ដូចេនះ ចំេពះ្រគប់ x ∈[1 , 1.01]

5 × 0.01 ≤ f (1.01) − f (1) ≤ 5.06 × 0.01

េគបន 0.0500 ≤ f (1.01) − 4 ≤ 0.0506

4.0500 ≤ f (1.01) ≤ 4.0506

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៥ : េគឱយអនុគមន៍ f កំណត់ f ( x) = x 2 − 3x + 2 ។

ក . រក

ប់សុីស x1 និ ង x2 ៃនចំណុច្របសព្វរ ង្រកប

ងអនុគមន៍ f និងអ័ក ( x ′ox ) ។

ខ .បង្ហញថមនចំ នួនពិ ត c មួយ េនកនុងចេន្លះ ( x1 , x2 ) ែដល f ( c) = 0 រួចគណន c ។

ចេម្លើយ ក . រក

ប់សុីស x1 និ ង x2

សមីករ

ប់សុីស x 2 − 3x + 2 = 0

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES

40

ជំពូក២ េមេរៀនទី ១

ចុច w1 បញូច លេមគុណ 1p-3p2pp x1 = 2 N x2 = 1 ខ . បង្ហញថមនចំនួនពិត c មួយេនកនុងចេន្លះ ( x1 , x2 ) ែដល f ′ ( c ) = 0 េ

យ f ជអនុគមន៍ ពហុធ េនះ ជប់ចំេពះ្រគប់ x ∈[1 , 2]

េហើយេ

យ f (1) = f ( 2) = 0

ម្រទឹសីប ្ត ទ រល ូ៉ មនចំនួន c ∈(1 , 2) យ៉ ងតិចមួ យែដល f ′ ( c ) = 0

រួចគណន c

េគបន f ′ ( x) = 2 x − 3 និង f ′ ( x) = 0 ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES សនមត អនុគមន៍ y = 2 x − 3 ចូលករគណនទូេទ w1 សរេសរអនុគមន៍ QnQr2Q)-3 qr0pp x = 1.5 =

3 2

ដូចេនះ c = 1.5

្របតិបត្តិ : ក . េគឱយ f ( x) = x 2 − 2 x ។ រក្រគប់ c ∈[ 0 , 2] ែដល f ( c) = 0 ។

ខ . េគឱយ f ( x) = ( x − 3)( x + 1) ។ រក្រគប់ c ∈[ −1 , 3] ែដល f ( c) = 0 ។ 2

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៦ : េគឱយ f ( x) = x 2 ។ រក្រគប់ c ∈( −2 , 1) ែដល f ′ ( c) =

f (1) − f ( −2) 1− 2

ចេម្លើយ

េគមន f ( x) = x 2 ⇒ f ′ ( x) = 2 x េនះ f ′ ( c) = 2c

f (1) − f ( −2) 1− 2 2 f (1) − f ( −2) 12 − ( −2) នំឱយ 2c = ⇒c= 1− 2 2 (1 − 2) េ

យ f ′ ( c) =

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចូលករគណនទូេទ w1 សរេសរអនុគមន៍ a1d-(-2)dN2 (1-2)p c = 1.5 =

្របតិបត្តិ :

3 2

⎛ 1⎞ g ( 2) − g ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ x +1 ⎛1 ⎞ េគឱយ g ( x ) = ។ រក្រគប់ c ∈ ⎜ , 2⎟ ែដល g ′ ( c) = 1 ⎝2 ⎠ x 2− 2

41

ជំពូក២ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៧ : ្រកុមហ៊ុនផលិតសមភរៈេ្របើ្របស់មួយ្របេភទ បនផលិតសមភរៈ x

េ្រគ ងែដលតៃម្លចំ

យសរុបកំណត់េ

យអនុគមន៍ C ( x) = 500 + 3x ( ពន់េរៀល ) ។

ក . គណន C (101) − C (100) ( ្របក់ចំ ខ . គណន C′ (100) ( ្របក់ចំ

ចេម្លើយ

យកនុងករផលិតសមភរៈេ្រគ ងទី 101 )។ យបែនថមកនុ ងករផលិតសមភរៈេ្រគ ងទី 101 )

ក . គណន C (101) − C (100)

C (101) − C (100) = 500 + 3 × 101 − ( 500 + 3 × 100)

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចូលករគណនទូេទ w1 សរេសរអនុគមន៍ 500+3m101(500+3m100) p 3 ដូចេនះ C (101) − C (100) = 3 ខ . គណន C′ (100)

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចូលករគណនទូេទ w1 បញូច លទិននន័យ qy500+3Q)$ 100p C ′ (100) = 3

្របតិបត្តិ : សហ្រគសផលិតសមភរៈេ្របើ្របស់មួយ បនចំ ៃថងស្រមប់ផលិតសមភរៈ x េ្រគ ងែដលតៃម្លចំ

យ្របក់សរុបកនុ ងមួយ

យសរុបកំណត់េ

C ( x) = 300 + 24 x − 0.4 x 2 + 0.1x3 ( គិតជពន់េរៀល ) ។ ក . កំណត់្របក់ចំ

យអនុគមន៍

យសរុបកនុងករផលិតសមភរៈ 2 េ្រគ ង និង 5 េ្រគ ង ។

ខ . គណន C′ ( 2) និង C ′ ( 5)

លំ

ត់គំរទ ូ ី៨:្រកុមហ៊ុនលក់សមភរៈេអឡិច្រតូនិចមួយបនលក់សមភរៈមួយេ្រគ ងតៃម្ល

P ( x ) = 100 − 0.5 x ( ពន់េរៀល ) ។ ែដល x ជបរ ិមណសមភរៈលក់បនកនុងមួយែខ ។

ក . សរេសរអនុគមន៍្របក់ចំណូលសរុប។

ខ . គណន្របក់ចំណូលសរុប េបើកុនងមួ យែខ្រកុមហ៊ុនលក់សមភរៈចំនួន 123 េ្រគ ង។

ចេម្លើយ

ក . សរេសរអនុគមន៍្របក់ចំណូលសរុប

េគមន P = D ( x ) = 100 − 0.5 x (ពន់េរៀល) ែដល x ជបរ ិមណសមភរៈលក់បនកនុងមួយែខ

េគបន R ( x) = P × x = (100 − 0.5 x) x = 100 x − 0.5 x 2 (ពន់េរៀល)

42

ជំពូក២ េមេរៀនទី ១

ខ . គណន្របក់ចំណូលសរុប R (123) េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចូលករគណនទូេទ w1 QnQr100Q)-0.5Q)dr 123pn R (123) = 4735.5 ពន់េរៀល ដូចេនះ ្របក់ចំណូលសរុបែដល្រកុមហ៊ុនលក់សមភរៈចំនួន 123 េ្រគ ង កនុងមួ យែខ គឺ 4 735500 េរៀល

្របតិបត្តិ : េ ងច្រកផលិតសមភរៈេ្របើ្របស់មួយបនលក់សមភរៈេទឱយអតិថិជនកនុង

x ( ពន់េរៀល ) ។ ែដល x ជចំនួនសមភរៈបនផលិត និងលក់ 2 បនកនុងមួយសបហ៍ ។ ្ត តៃម្ល P = D ( x ) = 117 +

ក . សរេសរអនុគមន៍្របក់ចំណូលសរុប្របចំសបហ៍ ។ ្ត

លំ

ខ . គណន្របក់ចំណូលសរុប េបើកុនងមួ យសបហ៍ លក់បនសមភរៈ 16 េ្រគ ង ។ ្ត

ត់គំរទ ូ ី ៩ : អនក្រគប់្រគងេ ងច្រកផលិតសមភរៈេអឡិច្រតូនិចមួយបនឱយដឹងថ

គត់លក់សមភរៈមួយេ្រគ ងកនុងតៃម្ល C ( x) = 46 − 0.25 x ( ពន់េរៀល ) ែដល នឹងបរ ិមណត្រមូវករសមភរៈ x េ្រគ ងរបស់អតិថិជន ។

្រស័យ

ក . សរេសរអនុគមន៍្របក់ចំណូលសរុប។ ខ . គណន្របក់ចំណូលសរុបែដលបនពីករលក់សមភរៈ 31 និង 41 េ្រគ ង។ គ . ប៉ ន់

ម នតៃម្ល្របែហលៃន្របក់ចំណូលែដលបនពីករលក់ សមភរៈេ្រគ ងទី 31

និង 41 ។

ចេម្លើយ ក . សរេសរអនុគមន៍្របក់ចំណូលសរុប

េគមន P = C ( x) = 46 − 0.25 x (ពន់េរៀល) ែដល x ជបរ ិមណសមភរៈបនលក់

េគបន R ( x) = P × x = ( 46 − 0.25 x) x = 46 x − 0.25 x 2 (ពន់េរៀល) ខ . គណន្របក់ចំណូលសរុប R ( 31) និង R ( 41) េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចូលករគណនទូេទ w1 QnQr46Q)-0.25Q)dr 31pn R ( 31) = 1185.75 ពន់េរៀល បន្ត !r41pn R ( 41) = 1465.75 ពន់េរៀល

គ . តៃម្ល្របែហលៃន្របក់ចំណូលែដលបនពីករលក់សមភរៈេ្រគ ទី 31 និង 41 គឺរក R′ ( 30) និង R′ ( 40)

សមភរៈេ្រគ ងទី 31 គឺ R′ ( 30 ) សមភរៈេ្រគ ងទី 41 គឺ R′ ( 40)

43

ជំពូក២ េមេរៀនទី ១

ចុច w1 qy46Q)-0.25Q)d$ 30p R ′ ( 30) = 31 ពន់េរៀល បន្ត !!oo40p R ′ ( 40) = 26 ពន់េរៀល

្របតិបត្តិ : អនក្រគប់្រគងេ ងច្រកផលិតសមភរៈេ្របើ្របស់មួយបនឱយដឹងថតៃម្ល P ៃនករលក់េចញសមភរៈមួយេ្រគ ង

្រស័យនឹងបរ ិមណត្រមូវករសមភរៈ x េ្រគ ង

ខែចកចយនីមួយៗ េហើយ P = D ( x) = 140 − 0.5 x ( មុឺនេរៀល ) ។

របស់

ក . សរេសរអនុគមន៍្របក់ ចំណូលសរុប។ ខ . គណនតៃម្ល្របែហលៃន្របក់ចំណូលែដលបនពីករលក់ សមភរៈទី 31 ទី 36 និងទី 41 ។

លំ

ត់គំរទ ូ ី ១០ :សហ្រគសផលិតសមភរៈេកមងេលងមួយបនចំ ផលិតសមភរៈ x េ្រគ ងែដលឱយ

មអនុ គមន៍្របក់ចំ

យសរុប

យសរុបកនុងករ

ិ C ( x ) = 0.002 x 2 + 0.72 x + 260 ( ពន់េរៀល ) េហើយសហ្រគសបនលក់េចញវញ

សមភរៈមួយេ្រគ ងតៃម្ល P = D ( x) = 3 − 0.001x ( ពន់េរៀល ) ។ ក . សរេសរអនុគមន៍្របក់ ចំណូលសរុប។ ខ . សរេសរអនុគមន៍្របក់ ចំេណញសរុប។ គ . គណន P ( 300) និង P ( 375) ។

ចេម្លើយ ក . សរេសរអនុគមន៍្របក់ចំណូលសរុប

េគមន P = D ( x) = 3 − 0.001x (ពន់េរៀល)

ែដល x ជបរ ិមណសមភរៈបនលក់

េគបន R ( x) = P × x = ( 3 − 0.001x) x = 3x − 0.001x 2 (ពន់េរៀល) ខ . សរេសរអនុគមន៍្របក់ចំេណញសរុប

េគមន C ( x) = 0.002 x 2 + 0.72 x + 260 (ពន់េរៀល)

R ( x) = 3 x − 0.001x 2 (ពន់េរៀល)

េ

យ P ( x) = R ( x) − C ( x)

េគបន P ( x) = 3x − 0.001x 2 − 0.002 x 2 − 0.72 x − 260

= −0.003 x 2 + 2.28 x − 260 (ពន់េរៀល)

គ . គណន P ( 300) និង P ( 375) ។

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចូលករគណនទូេទ w1

សរេសរអនុគមន៍ P ( x) = −0.003x 2 + 2.28 x − 260 QnQr-0.003Q)d+2.

44

ជំពូក២ េមេរៀនទី ១

បន្ត

28Q)-260

គណន r300p R ( 300) = 154 ពន់េរៀល

!r375pn R ( 375) = 173.125 ពន់េរៀល

បន្ត

លំ

ត់គំរទ ូ ី ១១ :េ ងច្រកផលិតសមភរៈេអឡិច្រតូនិចមួយបនចំ ផលិតសមភរៈ x េ្រគ ងែដលឱយ

យសរុបកនុងករ

មអនុ គមន៍ C ( x) = 2070 + 25 x + 0.1x 2 ( ពន់េរៀល )

េហើយេ ងច្រកទទួលបន្របក់ចំណូលសរុបែដលឱយ

R ( x) = 100 x − 0.1x 2 ( ពន់េរៀល ) ។

មអនុគមន៍

ក . សរេសរអនុគមន៍្របក់ចំេណញសរុប

ខ . េ្រប បេធៀប P ( 61) − P ( 60) និង P′ ( 60) គ . ប៉ ន់

ម នតៃម្ល្របែហលៃន្របក់ចំេណញែដលបនពីករលក់ សមភរៈេ្រគ ងទី 81 ។

ចេម្លើយ ក . សរេសរអនុគមន៍្របក់ចំេណញសរុប

េគមន C ( x ) = 2070 + 25 x + 0.1x 2 (ពន់េរៀល)

R ( x) = 100 x − 0.1x 2

េ

យ P ( x) = R ( x) − C ( x)

(ពន់េរៀល)

េគបន P ( x) = 100 x − 0.1x 2 − 2070 − 25 x − 0.1x 2

= −0.2 x 2 + 75 x − 2070 (ពន់េរៀល)

ខ . េ្រប បេធៀប P ( 61) − P ( 60) និង P′ ( 60)

គណន P ( 61) និង P ( 60) ។

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចុច w1

សរេសរអនុគមន៍ P ( x) = −0.2 x 2 + 75 x − 2070 េ យចុច QnQr-0.2Q)d+

បន្ត

75Q)-2070

គណន r61pn P ( 61) = 1760.8 ពន់េរៀល បន្ត

!r60p P ( 60 ) = 1710 ពន់េរៀល

េនះ

P ( 61) − P ( 60) = 1760.8 − 1710 = 50.8 ពន់េរៀល

ចុច

w1 qy-0.2Q)d+

គណន P′ ( 60)

បន្ត

75Q)-2070$60p

េគបន

P ′ ( 60) = 51 ពន់េរៀល

ដូចេនះ P ′ ( 60) > P ( 61) − P ( 60)

45

ជំពូក២ េមេរៀនទី ១

គ . តៃម្ល្របែហលៃន្របក់ចំេណញែដលបនពីករលក់សមភរៈេ្រគ ងទី 81 គឺ P′ ( 80) ចុច

w1 qy-0.2Q)d+

បន្ត

75Q)-2070$80p

េគបន P ′ ( 80) = 43 ពន់េរៀល

ដូចេនះ ្របក់ចំេណញែដលបនពីករលក់ សមភរៈេ្រគ ងទី 81 ្របែហល 43 ពន់េរៀល

លំ

ត់គំរទ ូ ី ១២ : ្របក់ចំ េ្របើ្របស់មួយឱយ

យសរុបកនុងមួយសប្ត ហ៍របស់្រកុមហ៊ុនផលិតសមភរៈ

មអនុគមន៍ C ( x) = 1000 + 20 x + 0.125 x 2 ( ពន់េរៀល )

x ជបរ ិមណសមភរៈផលិតបន ។

ក . គណន C (100) , C (120) និង C (150) ។ ខ . កំណត់អនុគមន៍្របក់ចំ គ . គណន្របក់ចំ

យមធយម ។

យមធយមបែនថមកល

x = 100 , x = 120 និង x = 150 ។

ចេម្លើយ

ក . គណន C (100) , C (120) និង C (150) េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES

ចុច w1

សរេសរអនុគមន៍ C ( x) = 1000 + 20 x + 0.125 x 2 េ យចុច QnQr1000+20Q) +0.125Q)d គណន r100p C (100) = 4250 ពន់េរៀល បន្ត បន្ត

!r120p C (120) = 5200 ពន់េរៀល

!r150pn C (120) = 6812.5 ពន់េរៀល

ខ . កំណត់អនុគមន៍្របក់ចំ

យមធយម

េគមន C ( x) = 1000 + 20 x + 0.125 x 2 ពន់េរៀល

1000 + 20 + 0.125 x ពន់េរៀល x យមធយមបែនថម x = 100 , x = 120 និង x = 150

េគបន C ( x ) = គ . ្របក់ចំ

1000 + 20 + 0.125 x x យមធយមបែនថម x = 100 , x = 120 និង x = 150 គឺ

េគមន C ( x ) = េនះ ្របក់ចំ

C ′ (100) , C ′ (120) និង C ′ (150)

ចូលករគណនទូេទ w1 qya1000$Q)$+

បន្ត

20+0.125Q)$100p

46

ជំពូក២ េមេរៀនទី ១

េគបន C ′ (100) = 0.025 ពន់េរៀល

បន្ត !!ooo120p C ′ (150) = 0.055 ពន់េរៀល បន្ត !!ooo150p R (150) = 0.08 ពន់េរៀល

លំ

ត់

១ . គណន dy , Δy , dy − Δy និង ក . y = x 2 − 3x + 4 ខ . y = 12 − 5 x

dy ៃនអនុគមន៍ខងេ្រកម : Δy

្រតង់ x = 3 ្រតង់ x = 2

និង Δx = 0, 2 និង Δx = 0, 07

២ . េ្របើឌីេផរ ៉ង់ែសយល េដើមបីគណន តៃម្ល្របែហលៃនចំនួនខងេ្រកម : ក.

37

ខ .

65

គ.

ង.

50, 4

ច .

79,5

ឆ.

3

26

3

62,3

ឃ. ជ.

3 3

126 218,3

៣ . ្រកុមហ៊ុនផលិតសមភរៈេ្របើ្របស់មួយបនទទួល្របក់ ចំណូលសរុបពីករលក់ សមភរៈ

x2 គិតជមុឺនេរៀលែដល 0 ≤ x ≤ 600 ។ 30 ម នតៃម្ល្របែហលៃនកំេណើន្របក់ចំណូល េបើសមភរៈែដលបន

មអនុគមន៍ R ( x) = 20 x −

x េ្រគ ងែដលឱយ

េ្របើឌីេផរ ៉ង់ែសយលប៉ ន់

លក់ែ្រប្របួលពី 150 េ្រគ ងេទ 160 េ្រគ ង ។ ៤ . េ ងច្រកផលិតសមភរៈេ្របើ្របស់មួយបនចំ

យ្របក់សរុបកនុ ងករផលិតសមភរៈ

មអនុគមន៍ C ( x ) = 930 + 15 x − 0.2 x 2 គិតជពន់េរៀល។

x េ្រគ ងែដលឱយ

េ្របើឌីេផរ ៉ង់ែសយលប៉ ន់

ម នតៃម្ល្របែហលៃនកំេណើន្របក់ចំ

យ េបើសមភរៈែដល

បនផលិតេកើនពី 60 េ្រគ ងេទ 62 េ្រគ ង ។ ៥ .សហ្រគសផលិតសមភរៈេអឡិច្រតូនិចមួយបនចំ ផលិត x េ្រគ ងែដលឱយ

យ្របក់សរុបកនុងមួយែខស្រមប់

មអនុ គមន៍ C ( x ) = 0.1x 2 + 4 x + 200 គិតជពន់េរៀល។

ិ ឱយ េហើយសហ្រគសបន្របក់ចំណូលមកវញ

មអនុគមន៍ R ( x ) = 54 x − 0.3x 2

គិតជពន់េរៀល។

ក.សរេសរអនុគមន៍្របក់ ចំេណញ P ( x) ខ.េ្របើឌីេផរ ៉ង់ែសយលប៉ ន់

។

ម នតៃម្ល្របែហលៃនកំេណើន្របក់ចំេណញេបើបរ ិមណ

សមភរៈែដលបនលក់ េកើនពី 40 េ្រគ ងេទ 44 េ្រគ ង ។ ៦.

មករសេងកតរបស់អនកសថិតិបនឱយដឹងថ ចំនួន្របជពលរដ្ឋេនកនុងទី្រកុងមួយ

រយៈេពល t ឆនំេទមុខេទៀតមនករេកើនេឡើង ែដលឱយ

P ( t ) = 10 ( 40 + 2t ) − 1600t នក់ ។

មអនុ គមន៍

2

េ្របើឌីេផរ ៉ង់ែសយលប៉ ន់

ម នកំេណើន្របជពលរដ្ឋេនកនុងទី្រកុងេនះេបើ t ពី 6 េទ 6.25 ឆនំ ។

47

ជំពូក២ េមេរៀនទី ១

៧ . បល់ឡុងមួយមន ងជែស៊្វ ។េ្របើឌីេផរ ៉ង់ែសយលេដើមបីគណនតៃម្ល្របែហលៃន កំេណើនមឌបល់ឡុងេបើេពល្រតូវកំេ ពី 2m េទ 2.15m ។

ៃថង បល់ឡុងរ ីកមឌ ែដលកំរបស់ ែ្រប្របួល

]−2 ; + ∞[ ែដល f ( x) = f ( x) ចំេពះ្រគប់ x ∈[ −1 ; 2] ។

៨ . េគឱយអនុគមន៍ f មនេដរ ីេវេលើ ក . រកតៃម្លអមៃន

x+2 ។

1 1 3 x+5≤ x+2 ≤ x+ ។ 4 2 2 ៩ . េគឱយអនុគមន៍ f កំណត់េលើចេន្លះ I ។ េ្របើ្រទឹសីប ្ត ទរល ូ ៉ ( េបើ ច ) រក្រគប់តៃម្ល c ខ . បង្ហញថចំេពះ្រគប់ x ∈[ −1 ; 2] េគបន

កនុងចេន្លះ I ែដល f ( c) = 0 : ក . f ( x) = x 3 − 4 x , c ∈( −2 , 2)

ខ . f ( x) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3) , c ∈(1 , 3)

x2 − 1 , c ∈( −1 , 1) x x πx ង . f ( x) = sin 2 x , c ∈( π6 , π3 ) ច . f ( x) = − sin , c ∈( −1 , 0) 2 6 ១០ . េគឱយអនុគមន៍ f កំណត់េលើចេន្លះ I ។ េ្របើ្រទឹសីប ្ត ទតៃម្លមធយម រក្រគប់តៃម្ល c ∈( a; b) គ . f ( x) =

x2 − 2x − 3 , c ∈( −1 , 3) x+2

f ( b) − f ( a ) : b−a ក . f ( x) = x 2 , c ∈( −2 , 1)

ឃ . f ( x) =

ែដល f ′ ( c) =

(

)

ខ . f ( x ) = x x 2 − x − 2 , c ∈ ( −1 , 1)

x , c ∈ ( − 12 , 2) x +1 x πx ង . f ( x) = sin 2 x , c ∈( π6 , π3 ) ច . f ( x) = − sin , c ∈( −1 , 0) 2 6 ១១ . សហ្រគសផលិតសមភរៈេអឡិច្រតូនិចមួយ បនចំ យ្របក់សរុបកនុងមួយៃថង គ . f ( x) = x3 , c ∈( 0 , 1)

ឃ . f ( x) =

ស្រមប់ផលិតសមភរៈ x េ្រគ ងែដលឱយ

មអនុគមន៍ C ( x ) = 2400 + 28 x + 0.02 x 2

គិតជពន់េរៀល។ ក . កំណត់្របក់ចំ ខ . ប៉ ន់

យសរុបកនុងករផលិតសមភរៈ 10 េ្រគ ង 20 េ្រគ ង 30 េ្រគ ង ។

ម នតៃម្ល្របែហលៃនកំេណើន្របក់ចំ

យកនុងករផលិត សមភរៈ េ្រគ ងទី 11 េ្រគ ងទី 21 េ្រគ ងទី 31 ។

១២ . សហ្រគសផលិតសមភរៈេ្របើ្របស់មួយបនចំ សមភរៈ x េ្រគ ងែដលឱយ

មអនុគមន៍ C ( x ) = 480 + 26 x − 0.1x 2 គិតជពន់េរៀល។

ក . កំណត់អនុគមន៍្របក់ចំ ខ . គណន ្របក់ចំ

យមធយម C ( x) ។

យមធយមបែនថម កល

១៣. សហ្រគសផលិតសមភរៈេអឡិច្រតូនិចមួយបនចំ សមភរៈ x េ្រគ ងែដលឱយ

យ្របក់សរុបកនុងករផលិត

x = 30 ; x = 50 និង x = 70 ។ យ្របក់សរុបស្រមប់ផលិត

មអនុគមន៍ C ( x ) = 1080 + 42 x + 0.3x 2 គិតជពន់េរៀល។

កំណត់បរ ិមណសមភរៈែដលសហ្រគស្រតូវផលិតេដើមបីឱយ្របក់ចំ កំរ ិតអបបបរមេបើ 0 ≤ x ≤ 90

យមធយមមន

។

48

ជំពូក២ េមេរៀនទី ១

១៤ . ្រកុមហ៊ុនផលិតសមភរៈេ្របើ្របស់មួយបនចំ x េ្រគ ងែដលឱយ

យ្របក់សរុបកនុងករផលិតសមភរៈ

មអនុគមន៍ C ( x) = x 2 + 20 x + 1050 គិតជពន់េរៀល េហើយ្រកុមហ៊ុន

ិ លក់េចញវញទទូ លបន្របក់ចំណូលសរុប ឱយ គិតជពន់េរៀល ។

មអនុ គមន៍ R ( x ) = 140 x − 0.5 x 2

កំណត់កំរ ិតបរ ិមណសមភរៈែដល្រកុមហ៊ុន្រតូវផលិត និង លក់

េដើមបីឱយ្រកុមហ៊ុនទទួលបន្របក់ចំេណញជអតិបរម េបើ 0 ≤ x ≤ 70 ១៥. េ ងពុមពេបះពុមពទស នវដ្តីមួយ បនចំ ទស នវដ្តី x ចបប់ែដលឱយ

។

យសរុបកនុងមួយែខ ស្រមប់េបះពុមព

មអនុ គមន៍ C ( x ) = 0.0001x 2 + x + 465 ពន់េរៀល។េហើយ

ិ េ ងពុមពបនលក់េចញវញទស នវដ្តីមួយចបប់ៃថ្ល P = D ( x ) = 4 − 0.0002 x 2 ពន់េរៀល។ ក . សរេសរអនុគមន៍្របក់ចំណូលសរុប R ( x) ។

ខ . សរេសរអនុគមន៍្របក់ចំេណញសរុប P ( x ) ។ គ . គណន្របក់ចំេណញសរុប េបើកុនងមួ យែខេ ងពុ មពលក់អស់ 3000 ចបប់ ។

ឃ . ប៉ ន់

ម នតៃម្ល្របែហលៃន្របក់ចំេណញែដលបនពីករលក់ ទស នវដ្តីចបប់ ទី

3001 ។

១៦ . ្របក់ចំ

យសរុបកនុងករផលិតសមភរៈ x េ្រគ ងរបស់្រកុមហ៊ុនផលិតសមភរៈេ្របើ

្របស់មួយែដលឱយ

ក . គណន C ( 3)

មអនុគមន៍ C ( x) = 300 + 24 x − 0, 4 x 2 + 0,1x3 គិតជពន់េរៀល។

; C ( 5) ។

ខ . គណន C ′ ( 3) ; C ′ ( 5) ។

49

ជំពូក៣ េមេរៀនទី ១

៣

ជំព ូក

ំងេត្រកលកំណត់

េមេរៀនទី

១

ំងេត្រកលកំណត់

សេងខបេមេរៀន

ិ មន ឬ 0 េលើចេន្លះ [ a , b ] f ជអនុគមន៍ជប់ និងវជជ

១ . ៃផទ្រក ៃផទ្រក

យែខ េកង ( C )

ខណ្ឌ េ

x = a និង x = b កំណត់េ

ង f អ័ក

b

b

a

a

= F ( b) − F ( a )

២ . េបើអនុគមន៍ y = f ( x) ជប់េលើចេន្លះ យែខ េកង អ័ក

េបើ f ( x) ≥ 0

S = − ∫ f ( x ) dx

េបើ f ( x) ≤ 0

b

a

a

[ a , b]

េនះៃផទ្រក

៣ . េបើ f និង g ជប់េលើចេន្លះ [ a , b ] េនះៃផទ្រក ពីរ បនទត់ឈរ x = a និង x = b កំណត់េ S=∫

b

a

េបើ្រកប

ៃនែផនកប្លង់ែដលខណ្ឌ

ប់ សុីស បនទត់ឈរ x = a និង x = b កំណត់េ

S = ∫ f ( x ) dx b

ប់សុីស បនទត់ឈរ

យ:

∫ f ( x) dx = ⎡⎣ F ( x) ⎤⎦ េ

។

( f ( x) − g ( x)) dx

េនចេន្លះ្រកប

យ:

ងអនុ គមន៍ ទំង

យ:

ងអនុគមន៍ f និង g ្របសព្វគន្រតង់ x = a និង x = b េនះៃផទ្រក

ចេន្លះ្រកប S=∫

b

a

េន

ងអនុគមន៍ ទំងពីរ គឺ

( f ( x) − g ( x)) dx

50

ជំពូក៣ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់គំរទ ូ ី ១ : េ យេ្របើនិយមន័យ គណន ំងេត្រកលកំណត់ :

∫

1

0

x 2 dx

ចេម្លើយ ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចូលករគណនទូេទ w1

1 3

បញូច លទិននន័យ yQ)d$0$1p

∫

េគបន

លំ

1

0

x 2 dx =

1 3

ត់គំរទ ូ ី ២ : រកៃផទ្រក

ែផនកប្លង់ខណ្ឌេ

យែខ េកង ( C ) : y =

1 អ័ក x

ប់សុីស

បនទត់ឈរ x = 1 និង x = e ។អ័ក

ចេម្លើយ 1 dx 1 x ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES

មបំ ប់ េគបន S = ∫

e

ចុច w1 បញូច លទិននន័យ ya1$Q)$$1 $QKp 1 e1 េគបន S = ∫ dx = 1 ឯក ៃផទ 1 x

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៣ : គណនៃផទ្រក និងអ័ក

ែផនកប្លង់ខណ្ឌេ

ប់សុីស្រតូវនឹងចេន្លះ [ −2; 2]

យែខ េកង ( C ) : y = 4 − x 2 ។

ចេម្លើយ

ចំេពះ ្រគប់ x ∈[ −2; 2] អនុគមន៍ y = f ( x) = 4 − x 2 ≥ 0 េគបន ៃផទ្រក

A=∫

2

−2

( 4 − x ) dx 2

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចុច w1 បញូច លទិននន័យ y(4-Q)d)$ 32 -2$2p 3 2 32 េគបន A = ∫ 4 − x 2 dx = ឯក ៃផទ −2 3

(

លំ

)

ត់គំរទ ូ ី ៤ : គណនៃផទ្រក និងអ័ក

ែផនកប្លង់ខណ្ឌេ

ប់សុីស្រតូវនឹងចេន្លះ [ 2;6]

យ្រកប

ងអនុគមន៍ y = − x − 2

។

51

ជំពូក៣ េមេរៀនទី ១

ចេម្លើយ

ចំេពះ ្រគប់ x ∈[ 2;6] អនុគមន៍ y = f ( x) = − x − 2 ≤ 0

(

)

A = − ∫ − x − 2 dx 6

េគបន ៃផទ្រក

2

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចុច w1 បញូច លទិននន័យ -y(-sQ)-2$) 16 $2$6p = 5.3333 3 6 16 េគបន A = − ∫ − x − 2 dx = = 5.3333 ឯក ៃផទ 2 3

(

លំ

)

ត់គំរទ ូ ី ៥ : គណនៃផទ្រក

ប់សុីស្រតូវនឹងចេន្លះ [ −2;3]

និងអ័ក

ចេម្លើយ

្រកប ( C )

យែខ េកង ( C ) : y = 4 − x 2

ែផនកប្លង់ខណ្ឌេ

។

ងអនុគមន៍ y = f ( x) = 4 − x 2 កត់អ័ក

្រតង់ x = −2 និង x = 2 កំណត់េ S =∫

េគបន ៃផទ្រក

2

−2

ប់សុីស

យ:

( 4 − x ) dx − ∫ ( 4 − x ) dx 3

2

េ្រពះ

2

2

x ∈[ 2 , 3] េគបន f ( x ) ≤ 0

y

4

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចុច w1

−2

បញូច លទិននន័យ y(4-Q)d)$

0

2

x

-2$2$-y(4Q)d)$2$3p 13

េគបន S = 13 ឯក

ៃផទ

្របតិបត្តិ : ក . គណនៃផទ្រក និងអ័ក ខ . គណនៃផទ្រក និងអ័ក

លំ

ែផនកប្លង់ខណ្ឌេ

យ្រកប

ងអនុគមន៍ y = x 2 + 3x + 2

ប់សុីស្រតូវនឹងចេន្លះ [ −3;0]

ែផនកប្លង់ខណ្ឌេ

យ្រកប

ងអនុគមន៍ y =

ប់សុីស្រតូវនឹងចេន្លះ [ −1;3]

ត់គំរទ ូ ី ៦ : គណនៃផទ្រក

( P) : y = f ( x) = x 2 + 2 x

ែផនកប្លង់ខណ្ឌេ

និងបនទត់

។

3 x+2

។ យប៉ ៉ បូល

( D) : y = x + 2

្រតូវនឹងចេន្លះ 0 ≤ x ≤ 2

។

52

ជំពូក៣ េមេរៀនទី ១

ចេម្លើយ សមីករ

ប់សុីស រ ងប៉ ៉ បូល ( P ) និង បនទត់ ( D ) គឺ

x + 2x = x + 2 2

x2 + x − 2 = 0 x = 1 , x = −2

( P) និង ( D) ្របសព្វគន្រតង់ x = 1 , x = −2 បនទត់ ( D ) សថិតេនពីខងេលើ ប៉ ៉ បូល ( P) កំណត់េ យ ∀x ∈[ −2, 1] េគបនៃផទ្រក 1 S = ∫ ⎡⎣( x + 2) − ( x 2 + 2 x ) ⎤⎦ dx −2

េហើយ ចំេពះ

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចុច w1 បញូច លទិននន័យ y((Q)+2)-( Q)d+2Q)))$ -2$1p េគបន S =

លំ

9 ឯក 2

ៃផទ

ត់គំរទ ូ ី ៧ : គណនៃផទ្រក

( P ) : y = f ( x) = x 2 − 3x + 2

ចេម្លើយ សមីករ

9 2

ែផនកប្លង់ខណ្ឌេ

យប៉ ៉ បូល

និងបនទត់ ( D ) : y = x − 1 ្រតូវនឹងចេន្លះ x = 0 , x = 2 ។

ប់សុីស រ ងប៉ ៉ បូ ល ( P) និង បនទត់ ( D ) គឺ

x 2 − 3x + 2 = x − 1 x2 − 4 x + 3 = 0 x =1 , x = 3

េគបនៃផទ្រក

(

កំ ណត់េ

)

(

យ

)

S = ∫ x 2 − 4 x + 3 dx + ∫ − x 2 + 4 x − 3 dx 1

0

2

1

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចូលករគណនទូេទ w1 បញូច លទិននន័យ y(Q)d-4Q) បន្ត +3)$0$1$+ y(-Q)d+4Q) បន្ត -3)$1$2p 2 S = 2 ឯក

ៃផទ

53

ជំពូក៣ េមេរៀនទី ១

្របតិបត្តិ : ក . គណនៃផទ្រក

ែផនកប្លង់ខណ្ឌេ

យ្រកប

ងអនុគមន៍ y = x 3 និងប៉ ៉ បូល

ខ . គណនៃផទ្រក

ែផនកប្លង់ខណ្ឌេ

យ្រកប

ងអនុគមន៍ y = x 3 និងបនទត់ y = 4 x ។

y = x 2 + 1 ្រតូវនឹងចេន្លះ [ −1 , 1] ។

លំ

ត់

១. េ

យេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 991 ES គណន

ក.

∫

2

0

ខ.

3 xdx

២. គណនៃផទ្រក

∫

4

2

4 xdx

ខណ្ឌេ

ចេន្លះែដលឱយ :

ក . f ( x) = x 2 និង

យ្រកប

គ.

x ∈[1 , 3]

ខណ្ឌេ

យ្រកប

0

ំងេត្រកលខងេ្រកម :

x 2 dx

ងអនុគមន៍ និងអ័ក

ឃ.

∫ (x 2

−2

2

)

− 5 x dx

ប់សុីសេលើ

ខ . f ( x ) = x 2 + 2 x − 3 និង x ∈[1 , 3]

3 និង x ∈[ 0 , 2] 2x + 1 ងអនុគមន៍ទំងពីរ :

គ . f ( x ) = 2 − x 3 និង x ∈[ −3 , − 2] ៣. គណនៃផទ្រក

∫

2

ឃ . f ( x) =

ក . f ( x) = x 2 + 2 និង g ( x ) = x , x ∈[1 , 3] ខ . f ( x ) = x 2 និង g ( x ) = x 3 , x ∈[ 0 , 1]

គ . f ( x ) = 2 x + 1 និង g ( x ) = 3 x + 2 , x ∈[ 0 , 2] ឃ . f ( x ) = e x−1 និង g ( x ) = x , x ∈[1 , 4] ៤. គណនៃផទ្រក

ខណ្ឌេ

យ្រកប

ងអនុគមន៍ x = y 2 និង y = x − 2 ។

៥. គណនៃផទ្រក

ខណ្ឌេ

យ្រកប

ងអនុគមន៍:

1 និង g ( x ) = e0.7 x កនុងចេន្លះ x ∈[ 0 , 4] ។ x +1 ខ . f ( x ) = x3 និង g ( x ) = x 2 + 1 កនុងចេន្លះ x ∈[ −1 , 1] ។ ក . f ( x) =

គ . f ( x ) = x3 និងបនទត់ g ( x ) = 4 x ៦. គណនៃផទ្រក x = 0 និង x = 2

៧. គណនៃផទ្រក

ខណ្ឌេ ។ ខណ្ឌេ

។

យប៉ ៉ បូល ( P ) : y = x 2 − 3x + 2 ; ( D ) : y = x − 1 បនទត់ឈរ យប៉ ៉ បូល ( P ) : y = x 2 + 2 x និង ( D ) : y = x + 2 ។

54

ជំពូក៣ េមេរៀនទី ២

េមេរៀនទី

២

មឌស ូលីត និង្របែវងធនូ

សេងខបេមេរៀន

ិ មនេហើយជប់េលើចេន្លះ [ a , b ] េនះមឌៃនសូលីតបរ ិវត្តបនពី ១ . េបើអនុគមន៍ f វជជ ិ អ័ក រង្វិលជុំវញ អ័ក

ប់សុីសៃនៃផទែដលខណ្ឌេ

យ្រកប

ប់សុីស បនទត់ឈរ x = a និង x = b កំណត់េ V = lim

x →+∞

n

∑ π ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ k

k =1

2

ងអនុគមន៍ y = f ( x ) យ:

Δx = π ∫ ⎣⎡ f ( x ) ⎤⎦ dx អ័ក a b

2

ិ អ័ក ២ . មឌៃនសូលីតបរ ិវត្តបនពីរង្វិលជុំវញ

អនុគមន៍ y = f ( x ) និង y = g ( x) េលើចេន្លះ

ប់សុីសៃនៃផទែដលខណ្ឌេ

[ a , b]

យ្រកប

ែដល f ( x ) ≥ g ( x ) កំណត់េ

ង

យ:

V = π ∫ ⎣⎡ f ( x) ⎦⎤ dx − π ∫ ⎣⎡ g ( x) ⎦⎤ dx a a b

b

2

2

៣ . អនុគមន៍ F ែដលកំណត់េលើចេន្លះ [ a , b ] េ អនុគមន៍ កំណត់

ម

យ F ( x ) = ∫ f ( t ) dx េ x

a

ំងេត្រកលកំណត់

d d ⎡ x ⎡⎣ F ( x ) ⎤⎦ = f ( t ) dt ⎤ = f ( x) ⎦⎥ dx dx ⎣⎢ ∫a ៤ . ្របែវងធនូៃន្រកប ងអនុ គមន៍ f ចំេពះ a ≤ x ≤ b កំណត់េ

L=∫

b

a

ថ

យ:

1 + ⎡⎣ f ( x) ⎦⎤ dx 2

៥ . េបើអនុគមន៍ f ជប់េលើចេន្លះ [ a , b ] េនះតៃម្លមធយមៃនអនុគមន៍េធៀប x កំណត់េ

យ:

yav =

1 b f ( x) dx b − a ∫a

55

ជំពូក៣ េមេរៀនទី ២

លំ

ិ អ័ក ត់គំរទ ូ ី ១ : គណនមឌសូលីតបរ ិវត្តបនពីរង្វិលជុំវញ ខណ្ឌេ

យ្រកប

ងអនុគមន៍ y = x 2 និងអ័ក

ប់សុីសៃនៃផទែដល

ប់ សុីស្រតូវនឹងចេន្លះ [ 0 , 1] ។

ចេម្លើយ

y

ិ អ័ក មឌសូលីតបរ ិវត្តបនពីរង្វិលជុំវញ ៃនៃផទែដលខណ្ឌេ

យ្រកប

1

ប់សុីស

y = x2

ងអនុគមន៍ y = x និង អ័ក 2

ប់សុីស្រតូវនឹងចេន្លះ [ 0 , 1] កំណត់េ

O

យ

1

x

5

x

V = π ∫ ⎣⎡ f ( x) ⎤⎦ dx = π ∫ ⎡⎣ x 2 ⎤⎦ dx = π ∫ x 4 dx 0 0 0 1

1

2

1

2

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចូលករគណនទូេទ w1 កំណត់េចញលទធផលជ ៉ ដយង់ qw4 បញូច លទិននន័យ qKyQ)f4 1 $$0$1p π 5 1 េគបន V = π ឯក មឌ 5

លំ

ត់គំរទ ូ ី ២ : បង្ហញថមឌរបស់ែស៊ម ្វ នកំ r = 5 គឺ V =

ចេម្លើយ

5

យកផចិតែស៊្រ្វ តង់គល់ត្រមុយ ។ ែស៊ជ ្វ សូលីត បរ ិវត្តែដលេកើតេឡើងេ ិ ិ អ័ក វលជុ ំ វញ

យរង្វង់ផិចត O កំ R

ប់សុីស ។

4π 3 ×5 ។ 3 y

−5

សមីកររង្វង់ x 2 + y 2 = 52

−5

េគបន y 2 = 25 − x 2 េនះមឌែស៊គ ្វ ឺ V = π ∫ y 2 dx = π ∫ 5

5

−5

−5

( 25 − x ) dx 2

ចូលករគណនទូេទ w1 កំណត់េចញលទធផលជ ៉ ដយង់ qw4 បញូច លទិននន័យ qKy(25-Q)d 500 4 )$-5$5p π = × 53 π 3 3 េគបន V =

500 π 3

ឯក

មឌ

56

ជំពូក៣ េមេរៀនទី ២

្របតិបត្តិ ិ អ័ក ក . គណនមឌសូលីតបរ ិវត្តបនពីរង្វិលជុំវញ ្រកប

ងអនុគមន៍ f ( x ) = x និង អ័ក

លំ

ងអនុគមន៍ y = 4 − x 2 និងអ័ក

យ

ប់សុីសៃនៃផទែដលខណ្ឌេ

យ

ប់សុីស្រតូវនឹងចេន្លះ [ −2 , 1] ។

ិ អ័ក ខ . គណនមឌសូលីតបរ ិវត្តបនពីរង្វិលជុំវញ ្រកប

ប់សុីសៃនៃផទែដលខណ្ឌេ

ប់ សុីស្រតូវនឹងចេន្លះ [ −2 , 2] ។

ិ អ័ក ត់គំរទ ូ ី ៣ : គណនមឌសូលីតបរ ិវត្តបនពីរង្វិលជុំវញ ខណ្ឌេ

ប់សុីសៃនៃផទែដល

ងអនុ គមន៍ f ( x ) = x និង g ( x) = x 2 ្រតូវនឹង 0 ≤ x ≤ 1 ។

យ្រកប

ចេម្លើយ

មរូបេគបន

V = V1 − V2 = π ∫ ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ dx − π ∫ ⎣⎡ g ( x ) ⎤⎦ dx 0 0 1

1

2

2

= π ∫ xdx − π ∫ x 4 dx 1

1

0

0

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចូលករគណនទូេទ w1 កំណត់េចញលទធផលជ ៉ ដយង់ qw4 បញូច លទិននន័យ qKyQ)$0$1$qKyQ)f4$$0 3π $1p 10 3π េគបន V = ឯក មឌ 10

57

ជំពូក៣ េមេរៀនទី ២

លំ

ិ អ័ក ត់គំរទ ូ ី ៤ : គណនមឌសូលីតបរ ិវត្តបនពីរង្វិលជុំវញ ខណ្ឌេ

ចេម្លើយ

យ្រកប

ងអនុគមន៍ f ( x ) = x 2 + 1 និង g ( x ) = − x + 3 ្រតូវនឹង 0 ≤ x ≤ 1 ។

ងអនុ គមន៍ f ( x ) = x 2 + 1 ជប៉ ៉ បូលមនកំ ពូល ( 0 , 1) កត់

្រកប

−2 5

x y ្រកប កត់

ប់សុីសៃនៃផទែដល

1 2

y

ងអនុគមន៍ g ( x ) = − x + 3 ជបនទត់

មចំណុច

x y

0 3

f ( x) = x 2 + 1

3

1 0

3 0

−1

ិ អ័ក េគបនមឌសូលីតបរ ិវត្តបនពីរង្វិលជុំវញ ប់សុីសៃនៃផទែដលខណ្ឌេ

មចំណុច

យ្រកប

3

x

g ( x) = − x + 3

ងអនុគមន៍

f ( x ) = x 2 + 1 និង g ( x ) = − x + 3 ្រតូវនឹង 0 ≤ x ≤ 1

យ V = π ∫ ⎣⎡ f ( x ) ⎦⎤ dx − π ∫ ⎣⎡ g ( x) ⎦⎤ dx a a b

កំណត់េ

2

b

2

2 − x + 3) dx − π ∫ ( x 2 + 1) ( −2 −2

= π∫

1

1

2

dx

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចូលករគណនទូេទ w1 កំណត់េចញលទធផលជ ៉ ដយង់ qw4 បញូច លទិននន័យ qKy(-Q)+3)d $-2$1$-qKy(Q) 117π បន្ត d+1)d$-2$1p 5 117π េគបន V = ឯក មឌ 5

្របតិបត្តិ ិ អ័ក ក . គណនមឌសូលីតបរ ិវត្តបនពីរង្វិលជុំវញ ្រកប

ងអនុគមន៍ f ( x ) = 4 − x 2 និង g ( x ) = 2 − x ្រតូវនឹង −1 ≤ x ≤ 2 ។

ខ . ( C ) ជ្រកប

។

ិ អ័ក ២ .គណនមឌសូលីតបរ ិវត្តបនពីរង្វិលជុំវញ

លំ

យ

ង f ( x ) = e x និង ( l ) ជបនទត់ប៉ះនឹង ( C ) ្រតង់ចំណុច (1 , e) ។

១ . រកសមីករបនទត់ប៉ះ ( l ) េ

ប់សុីសៃនៃផទែដលខណ្ឌេ

យ្រកប ( C ) និង ( l ) ្រតូវនឹង 0 ≤ x ≤ 1 ។

ប់សុីសៃនៃផទែដលខណ្ឌ

ិ អ័ក ត់គំរទ ូ ី ៥ : គណនមឌសូលីតបរ ិវត្តបនពីរង្វិលជុំវញ

ប់សុីសៃនៃផទ

ង

អនុគមន៍ y = 3 − x និង g ( x ) = − x + 3 ្រតូវនឹង 0 ≤ y ≤ 3 ។

58

ជំពូក៣ េមេរៀនទី ២

ចេម្លើយ េគមន y = 3 − x

y2 = 3 − x x =y2 − 3 េនះមឌែដល្រតូវរកគឺ

V = π∫

0

3

(3 − y )

2 2

dy

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES សនមត y ជ x ចូលករគណនទូេទ w1 កំណត់េចញលទធផលជ ៉ ដយង់ qw4 បញូច លទិននន័យ qKy(3-Q)d)d 24π 3 បន្ត $0$s3p = 26.1187 5 24π 3 េគបន V = = 26.1187 ឯក មឌ 5

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៦ : គណនតៃម្លមធយមៃនអនុគមន៍ y = x េនេលើចេន្លះ [ 0 , 4] ។

ចេម្លើយ

តៃម្លមធយមៃនអនុគមន៍ y = x េនេលើចេន្លះ [ 0 , 4] កំណត់េ

យ:

1 b f ( x) dx b − a ∫a 1 4 = xdx 4 − 0 ∫0 ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES yav =

ចូលករគណនទូេទ w1 បញូច លទិននន័យ a1$4-0$ysQ) 4 បន្ត $$0$4p = 1.3333 3 4 េគបន yav = = 1.3333 3

លំ

π ត់គំរទ ូ ី ៧ : គណនតៃម្លមធយមៃនអនុគមន៍ y = sin x េនេលើចេន្លះ ⎡⎢0 , ⎤⎥ ។ ⎣

2⎦

ចេម្លើយ

⎡ π⎤ តៃម្លមធយមៃនអនុគមន៍ y = sin x េនេលើចេន្លះ ⎢0 , ⎥ កំណត់េ 2⎦ ⎣ 1 b yav = f ( x ) dx b − a ∫a π 1 = ∫02 sin xdx π −0 2

យ

59

ជំពូក៣ េមេរៀនទី ២

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចូលករគណនទូេទ w1 កំណត់េចញលទធផលជ ៉ ដយង់ qw4 បញូច លទិននន័យ a1$aqK$2$-0$ បន្ត

yjQ))$0$aqK$2p

េគបន yav =

2

π

2

π

= 0.6366

= 0.6366

្របតិបត្តិ ក . គណនតៃម្លមធយមៃនអនុគមន៍ y =

1 x 1 − ln x 2

េនេលើចេន្លះ ⎡⎣1 , e ⎤⎦ ។

ខ . គណនតៃម្លមធយមៃនអនុគមន៍ y = 2 x + 1 េនេលើចេន្លះ [ 4 , 12] ។

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៨ : គណន្របែវងធនូៃន្រកប ងអនុគមន៍ y = f ( x) =

4 2 32 x −1 3

ែដលេនចេន្លះបនទត់ឈរ x = 0 និង x = 1 ។

ចេម្លើយ

y

4 2 32 េគមន y = f ( x) = x −1 3 4 2 3 32 −1 y′ = × x 3 2

= 2 2x 1 + ( y ′)

2

y = f ( x) =

4 2 32 x −1 3

1 2

1 ⎛ ⎞ = 1+ ⎜ 2 2x 2 ⎟ ⎝ ⎠

0 −1

2

x

= 1 + 8x 4 2 32 x −1 3 ែដលេនចេន្លះបនទត់ឈរ x = 0 និង x = 1 កំណត់េ

្របែវងធនូៃន្រកប

L=∫

b

a

=∫

1

0

ងអនុគមន៍ y = f ( x ) =

យ:

1 + ( y ′ ) dx 2

1 + 8 xdx

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ចូលករគណនទូេទ w1 កំណត់េចញលទធផលជ ៉ ដយង់ qw4 បញូច លទិននន័យ ys1+8Q) 13 បន្ត $$0$1p = 2.1666 6 13 េគបន L = = 2.1666 6

60

ជំពូក៣ េមេរៀនទី ២

្របតិបត្តិ : គណន្របែវងធនូៃន្រកប ងអនុគមន៍ y = f ( x) =

(

1 2 x +2 3

)

3 2

ែដលេនចេន្លះ

បនទត់ឈរ x = 0 និង x = 3 ។

លំ

ត់

១. គណនមឌៃនសូលីតបរ ិវត្តកំណត់បនពី រង្វិលជុំវ ិញអ័ក េ

យ្រកប យ្រកប យ្រកប

ែដលខណ្ឌ

x′ox ៃនៃផទ្រក

ែដលខណ្ឌ

x′ox ៃនៃផទ្រក

ែដលខណ្ឌ

ងអនុគមន៍ f ( x ) = x 2 − 2 x + 3 និង g ( x ) = 9 − x ។

យ្រកប

ិ យប័ ្រតទូទត់ ចំ នួន 1200 េរៀង ល់ៃថង ។ បនទទួលវក័

៦. េគលក់េបះដុំសរក សូកូ សករសូកូ

x′ox ៃនៃផទ្រក

ងអនុគមន៍ f ( x ) = x 2 និង g ( x ) = 4 x − x 2 ។

យ្រកប

ិ អ័ក ៥. គណនមឌៃនសូលីតបរ ិវត្តកំណត់បនពី រង្វិលជុំវញ េ

ែដលខណ្ឌ

ងអនុគមន៍ y = x − 3 អ័ក x′ox បនទត់ឈរ x = 4 និង x = 9 ។

ិ អ័ក ៤. គណនមឌៃនសូលីតបរ ិវត្តកំណត់បនពី រង្វិលជុំវញ េ

x′ox ៃនៃផទ្រក

ងអនុគមន៍ y = x 2 + 1 អ័ក x′ox បនទត់ឈរ x = 0 និង x = 3 ។

ិ អ័ក ៣. គណនមឌៃនសូលីតបរ ិវត្តកំណត់បនពី រង្វិលជុំវញ េ

ែដលខណ្ឌ

ងអនុគមន៍ y = 2 x + 1 អ័ក x′ox បនទត់ឈរ x = 1 និង x = 3 ។

ិ អ័ក ២. គណនមឌៃនសូលីតបរ ិវត្តកំណត់បនពី រង្វិលជុំវញ េ

x′ox ៃនៃផទ្រក

្រតូវបនលក់បន្តឱយអនកលក់ យេ

ប័្រតមកដល់ េហើយបញជីទូទត់ កំណត់េ

យអ្រ

ិ យ េថរ និង x ជៃថងបនទប់ ពីវក័

យ I ( x ) = 1200 − 40 x ។

ក . គណនមធយម្របចំៃថងៃនករទូទត់ ។ ខ . គណនមធយម្របចំៃថងៃនៃថ្លលក់សរក សូកូ

េបើសរក សូកូ

មួយ្រគប់ៃថ្ល 300

េរៀល ។ ៧ . ក. គណន្របែវងធនូៃន្រកប

ងអនុ គមន៍ y =

x3 1 + ពី x = 1 េទ x = 3 ។ 3 4x

e x + e− x ។ បនទត់ជួបអ័ ក អរេ េន្រតង់ចំណុច B េហើយប៉ះនឹង 2 ង f ្រតង់ចំណុច A ( a ; f ( a ) ) ែដល a > 0 ។ េ្រប បេធៀប្របែវងៃនអងកត់

ខ. ឧបមថ f ( x) = ្រកប

AB និង ្របែវងធនូៃន្រកប

៨. គណន ក. ឃ.

ំងេត្រកលខងេ្រកម :

∫ ( 4 − x ) ( 2 + x) 2

2

−2

∫

3

1

ង f ែដលេនចេន្លះបនទត់ឈរ x = 0 និង x = a ។

x −1 dx x

n

dx

x ∫6 x2 − 6 x + 8 dx 1 x dx ង. ∫ 0 1 + 3x 2

ខ.

8

ិ អ័ក ៩. គណនមឌៃនសូលីតបរ ិវត្តកំណត់បនពី រង្វិលជុំវញ ខណ្ឌេ

យ្រកប

x2 ∫0 x2 − x − 2 dx π sin 2 x 2 dx ច. ∫ 0 3 + cos 2 x

គ.

1

x′ox ៃនៃផទ្រក

ែដល

ងអនុគមន៍ f ( x ) = x + 6 និង g ( x) = x 2 េលើចេន្លះ x ∈[ −2;3] ។

១០. គណន

61

ជំពូក៣ េមេរៀនទី ២ π

ក.

∫

ឃ.

∫ (4 − x

2

0

ខ.

x 2 cos 2 xdx

1

2

0

)

∫

e

1

ង.

− 1 − x 2 dx

sin ( π ln x) dx x 1 dx

∫

0

4 − x2

គ.

x

ln 6 − x2

e + ex + 2 1 2x ច. ∫ 2 dx 0 x − x +1

ិ អ័ក ១១. គណនមឌៃនសូលីតបរ ិវត្តកំណត់បនពីរង្វិលជុំវញ ខណ្ឌេ

∫

0

2

x′ox ៃនៃផទ្រក

ងអនុគមន៍ y = 3 − x និងអ័ ក x′ox , ( −1 ≤ x ≤ 2) ។

យ្រកប

dx

ែដល

ិ អ័ក x′ox ៃនៃផទ្រក ១២. គណនមឌៃនសូលីតបរ ិវត្តកំណត់បនពីរង្វិលចំ នួន 360o ជុំវញ ែដលខណ្ឌេ

យ្រកប

ងអនុគមន៍ y = 1 − x 2 និងអ័ ក x′ox , x ∈[ −1 ; 1] ។

ិ អ័ក ១៣. គណនមឌៃនសូលីតបរ ិវត្តកំណត់បនពីរង្វិលជុំវញ ខណ្ឌេ

យ្រកប

x′ox ៃនៃផទ្រក

ងអនុគមន៍ f ( x ) = 2 x 2 និង g ( x ) = 4 x − x 2 ។

ិ អ័ក ១៤. គណនមឌៃនសូលីតបរ ិវត្តកំណត់បនពីរង្វិលចំ នួន 180o ជុំវញ ែដល ខណ្ឌេ

យ្រកប

ែដលខណ្ឌេ

យ្រកប

១៦. គណនៃផទ្រក

ែដលខណ្ឌេ

យ្រកប

π

4 ១៧. គណនៃផទ្រក

x′ox ៃនៃផទ្រក

ងអនុគមន៍ f ( x ) = 8 − x 2 និង g ( x ) = x 2 ។

១៥. គណនៃផទ្រក

ចេន្លះ x =

ែដល

5π ។ 4 ែដលខណ្ឌេ យ្រកប

ងអនុ គមន៍ y = sin

π

x និង y = x 4 ។

2 ងអនុ គមន៍ y = sin x និង y = cos3 x េន 3

និង x =

ងអនុ គមន៍ y = sin x , 0 ≤ x ≤ π និង

y = sin 3x , 0 ≤ x ≤ π ។

62

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ១

ជំព ូក

៤

សមីករឌីេផរង់ ៉ ែសយល

េមេរៀនទី

១

សមីករឌីេផរង់ ៉ ែសយលលំ

ប់ទី ១

េមេរៀនសេងខប សមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយលលំ

ប់ទី 1 មន ងទូេទ:

dy = f ( x ) មនចេម្លើយទូេទ y = ∫ f ( x ) dx + c dx dy 2. g ( y ) = f ( x ) មនចេម្លើយទូេទ G ( y ) = F ( x ) + c ែដល G ( y ) = ∫ g ( y ) dy dx dy 3. y ′ + ay = 0 ឬ + ay = 0 មនចេម្លើយទូេទ y = Ae− ax ( A ជចំនួនេថរ) dx 4. y ′ + ay = p ( x ) , p ( x ) ≠ 0 មនចេម្លើយទូេទ y = ye ែដល y p ជចេម្លើយ

1.

ៃនសមីករ y ′ + ay = 0 និង y p ជចេម្លើយពិេសសមួយៃនសមីករ y ′ + ay = p ( x )

63

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់គំរទ ូ ី ១ : េ ះ្រ

យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល y ′ =

2x x +1 2

ចេម្លើយ េគមន y ′ =

2x dy 2x នំឱយ = 2 x +1 dx x + 1 2x dy = 2 dx x +1 2x ∫ dy = ∫ x 2 + 1 dx d x2 + 1 y=∫ 2 x +1 y = ln x 2 + 1 + c 2

(

(

(

)

)

)

ដូចេនះ y = ln x 2 + 1 + c ជចេម្លើយទូេទៃនសមីករ ែដល c ជចំនួនេថរ ្របតិបត្តិ : េ

ះ្រ

យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល :

ក . y′ = 6 x2 + 4 x + 5

លំ

ខ . y ′ = xe x

2

ត់គំរទ ូ ី ២ : រកអនុគមន៍ចេម្លើយមួយៃនសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល x

ែដលែខ េកងកត់

មចំណុច

( x = 1 , y = e)

ចេម្លើយ េគមន x

មួ យ ។

(

dy − y = 2x2 y dx

)

2 x 2 + 1 dx dy dy = − y = 2 x 2 y នំឱយ y x dx dy 1⎞ ⎛ ∫ y = ∫ ⎜⎝ 2 x + x ⎟⎠ dx ln y = x 2 + ln x + c

ែខ េកងចេម្លើយកត់

មចំណុច

( x = 1 , y = e)

េគបន ln ( e ) = 1 + ln (1) + c 1 = 1+ 0 + c ⇒ C = 0

ដូចេនះ ចេម្លើយមួយៃនសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល គឺ ln y = x 2 + ln x លំ

ត់គំរទ ូ ី ៣ : រកចេម្លើយទូេទៃនសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល y′ + y = 0 ។

រកចេម្លើយពិ េសសៃនសមីករេនះ

មលកខខណ្ឌ y ( 0) = −1 , y ( 0) = 1 , y (1) = 1

ចេម្លើយ រកចេម្លើយទូេទ េគមន

y′ + y = 0 y′ = − y dy = − dx y

64

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ១

dy = − ∫ dx y ln y = − x + c

∫

y = e( − x + c ) y = ± ece− x

ដូចេនះ

y = Ae− x , A = ± ec

ែដល A ជចំនួនេថរ

មួយ ។

រកចេម្លើយពិេសស

មលកខខណ្ឌ y ( 0) = −1 េគបន −1 = Ae0 ⇒ A = −1

+

ដូចេនះ

y = −e− x ជចេម្លើយពិេសស

ដូចេនះ

y = e− x ជចេម្លើយពិេសស

ដូចេនះ

y = e− x +1 ជចេម្លើយពិេសស

មលកខខណ្ឌ y ( 0) = 1 េគបន 1 = Ae0 ⇒ A = 1

+

មលកខខណ្ឌ y (1) = 1 េគបន 1 = Ae −1 ⇒ A = e

+

្របតិបត្តិ : ១ . េ ះ្រ

មលកខខណ្ឌ y ( 3) = −2

យសមីករ − y ′ + 2 y = 0

២ . រកអនុគមន៍ចេម្លើយៃនសមីករ 3 y ′ + 6 y = 0 ែដលែខ េកង ចេម្លើយកត់

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៤ : េ ះ្រ

មចំណុច ( −4 , 2) ។

យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល y ′ − 2 y = 8 x 2 − 8 x

ងអនុ គមន៍

( E)

ចេម្លើយ + េ

ះ្រ

យសមីករ y ′ − 2 y = 0

dy = 2y dx

⇒

dy = 2dx y

ln y = 2 x + c yc = Ae 2 x

, A = ± ec

+ ចេម្លើយពិេសសៃន ( E ) y p = ax 2 + bx + c ⇒ y ′p = 2ax + b

េនះ ( E )

2ax + b − 2ax 2 − 2bx − 2c = 8 x 2 − 8 x −2ax 2 + ( 2a − 2b) x + b − 2c = 8 x 2 − 8 x

⎧ − 2a = 8 ⎪ ⇒ ⎨ 2a − 2b = −8 ⎪ b − 2c = 0 ⎩

េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx- 991 ES េដើមបីេ ចូលករេ

ះ្រ

ះ្រ

យ

យ្របព័នធសមីករដឺេ្រកទី ១មន ៣អញញត w52

បញូច លតៃម្លេមគុណ -2p0p0p8p 2p-2p0p-8p បន្ត 0p1p-2p0pp េគបន a = −4 R b = 0 R

c=0

65

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ១

េគបន y p = −4 x 2 ចេម្លើយទូេទៃនសមីករ គឺ y = yc + y p = Ae 2 x − 4 x 2

្របតិបត្តិ : េ

ះ្រ

ក . y ′ + y = 2e x

យសមីករ ខ . y ′ + 2 y = x 2 , y ( 0) = 2

គ . y ′ + y = cos x + sin x

ចេម្លើយ ក . y ′ + y = 2e x + េ

ះ្រ

(1)

យសមីករ y ′ + y = 0

dy = −y dx

⇒

dy = − dx y

ln y = − x + c yc = Ae − x

, A = ± ec

+ ចេម្លើយពិេសសៃន (1) y p = ae x ⇒ y ′p = ae x

េនះ ( E )

ae x + ae x = 2e x 2 a = 2 , e x > 0 , ∀x a =1

េគបន y p = e x ចេម្លើយទូេទៃនសមីករ គឺ y = yc + y p = Ae − x + e x

ខ . y ′ + 2 y = x 2 , y ( 0) = 2 + េ

ះ្រ

( 2)

យសមីករ y ′ + 2 y = 0

dy dy = −2 y ⇒ = −2dx dx y ln y = −2 x + c yc = Ae −2 x

, A = ± ec

+ ចេម្លើយពិេសសៃន ( 2) y p = ax 2 + bx + c ⇒ y ′p = 2ax + b

េនះ ( 2)

2ax + b + 2ax 2 + 2bx + 2c = x 2 2ax 2 + ( 2a + 2b) x + b + 2c = x 2 2a = 1 ⎧ ⎪ ⎨ 2a + 2b = 0 ⎪ b + 2c = 0 ⎩

េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 991 ES េដើមបីេ ចូលករេ

ះ្រ

ះ្រ

យ

យ្របព័នធសមីករដឺេ្រកទី ១មន ៣អញញត w52

បញូច លតៃម្លេមគុណ 2p0p0p1p 2p2p0p0p បន្ត 0p1p2p0pp

66

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ១

1 1 R b=− R 2 2 1 2 1 1 េគបន y p = x − x + 2 2 4 េគបន a =

c=

1 4

1 2 1 1 x − x+ 2 2 4 1 1 7 មលកខខណ្ឌ y ( 0) = 2 េគបន A + = 2 ⇒ A = 2 − = 4 4 4 7 −2 x 1 2 1 1 ចេម្លើយេ យែឡកៃនសមីករ គឺ y = e + x − x + 4 2 2 4 ចេម្លើយទូេទៃនសមីករ គឺ y = yc + y p = Ae −2 x +

គ . y ′ + y = cos x + sin x + េ

ះ្រ

យសមីករ y ′ + y = 0

dy = −y dx

⇒

dy = − dx y

ln y = − x + c yc = Ae − x + ចេម្លើយពិេសសៃន ( 3)

, A = ± ec

y = a cos x + b sin x ⇒ y ′ = − a sin x + b cos x

េនះ ( 3) − a sin x + b cos x + a cos x + b sin x = cos x + sin x

( a + b) cos x + ( − a + b) sin x = cos x + sin x

⎧ a +b =1 ⇒⎨ ⎩− a + b = 1 េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 991 ES េដើមបីេ ះ្រ ចូលករេ

ះ្រ

យ

យ្របព័នធសមីករដឺេ្រកទី ១មន ២អញញត w51

បញូច លតៃម្លេមគុណ 1p1p1p -1p1p1pp េគបន a = 0 R b = 1 ដូចេនះចេម្លើយទូេទៃនសមីករ គឺ y = yc + y p = Ae − x + sin x

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៥ : នំដុតែដលេគេទើបេលើកេចញពីច្រងកនមនសីតុណ្ហភព 120o C ។

េគយកនំេនះមក

ក់កុនងបនទប់មួយមនសីតុណ្ហភព 28o C ។ េគេឃើញថ 3 នទីេ្រកយ

មកសីតុណ្ហភពរបស់នំធ្លក់ចុះេន 80o C ។

ក . សរេសរសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយលែដលទក់ទង់ នឹងសីតុណ្ហភព T របស់នំកុនង ខណៈេពល t និងលកខខណ្ឌចំេ

ទេដើម ។

ខ . គណន សីតុណ្ហភពរបស់នំកុនងខណៈេពល t ។

គ . គណនរយៈេពលែដលសីតុណ្ហភពរបស់នំថយចុះដល់ 30o C ។

ចេម្លើយ ក . អ្រ

ថយចុះៃនសីតុណ្ហភពគឺ −

dT េ dt

យអ្រ

ថយចុះេនះសមម្រតនឹងផលដក

67

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ១

ិ េនះេគបនសមីករ រ ងសីតុណ្ហភពនំ និងសីតុណ្ហភពបរ ិយកសជុំវញ ឌីេផរ ៉ង់ែសយល

−

dT = k (T − M ) dt

មលកខខណ្ឌេដើម T ( 0) = T0 = 120o C

dT = − k (T − 28) , T ( 0) = 120 dt ខ . គណន សីតុណ្ហភពរបស់នំកុនងខណៈេពល t េ

យសីតុណ្ហភព M = 28o C េនះេគបន

េគមន

dT dT = − k (T − 28) ⇒ = − kdt dt T − 28 ln T − 28 = − kt + c

T − 28 = e− kt + c T ( t ) = Ae − kt + 28 េ

យ T ( 0) = T0 = 120o C េនះ 120 = Ae− k ( 0) + 28 A = 92

T ( t ) = 92e− kt + 28 េ

យ 3 នទីេ្រកយ មកសីតុណ្ហភពរបស់នំធ្លក់ចុះពី 120o C េទ 80o C េនះេគបន 80 = 92e − k ( 3) + 28

92e − k ( 3) = 52 52 92 ⎛ 52 ⎞ − 3k = ln ⎜ ⎟ ⎝ 92 ⎠

e − k ( 3) =

1 ⎛ 52 ⎞ k = − ln ⎜ ⎟ 3 ⎝ 92 ⎠

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES

េ

យកំណត់ t = x

ចូលករគណនទូេទ w1 -a1$3$ha52$92$)p k = 0.19 ដូចេនះ T ( t ) = 92e −0.19t + 28 គ . គណនរយៈេពលែដលសីតុណ្ហភពរបស់នំថយចុះដល់ 30o C េគបន 30 = 92e−0.19t + 28 30 = 92e −0.19t + 28 92e −0.19t = 2 2 92 ⎛ 2⎞ − 0.19t = ln ⎜ ⎟ ⎝ 92 ⎠ e −0.19t =

t=

−1 ⎛ 2 ⎞ ln ⎜ ⎟ 0.19 ⎝ 92 ⎠

68

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ១

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES ចូលករគណនទូេទ w1 -a1$0.19$ha2$92$) ិ pn t = 20.15263158 x 20 នទី 9 វនទី ដូចេនះ

ិ t = 20 នទី 9 វនទី

្របតិបត្តិ : មុនេពលេចញេទេធ្វើករ េ

ក្រគូ

លី្រតូវពិ

ែដលមនសីតុណ្ហភព 28o C ។កេហ្វែដលេទើបចក់

កេហ្វមួយែកវេនកនុងបនទប់

ក់ែកវមនសីតុណ្ហភព 80o C ។

15 នទីេ្រកយមក សីតុណ្ហភពថយចុះេន 48o C ។កេហ្វែដលេ បនមិនេធ្វើឱយរ

ចហូប

កមត់ គត់គឺេន សីតុណ្ហភព 40o C ។

េតើគត់្រតូវរង់ចំប៉ុនមននទីេទៀតេទើបគត់

លំ

ក្រគូ

ចហូបកេហ្វបន ?

ត់គំរទ ូ ី ៦ :េគសិក អំពីកំេណើនៃនករបណុ្ត ះបក់េតរ ីកនុងមជឈ ្ឋ នមួយ ។

ង

N ( t ) ជអនុគមន៍ៃន t ជចំនួនបក់េតរ ីែដលមនេនខណៈេពល t ( t គិតជេម៉ ង ) ។

េគដឹងថចំនួនបក់េតរ ីេកើនេឡើង 10% កនុង 1 េម៉ ង ។ ិ មន N ( t ) េផទ ងផទត់ : ក . បង្ហញថចំេពះ្រគប់ t ជចំនួនពិ តវជជ N ( t + 1) − N ( t ) = 0.1N ( t )

ខ . េគចត់ទុកថ N ( t + 1) − N ( t ) ខិតេទរក N ′ ( t ) ែដលជេដរ ីេវៃន N ។ គណនចំនួនបក់េតរ ីេនខណៈេពល t = 3h េបើេគដឹងថចំនួនបក់េតរ ីេនេពលចប់ េផ្តើមបណុ្ត ះមន N 0 = 104

។

ចេម្លើយ

យចំនួនបក់េតរ ីមន N ( t ) េនេម៉ ង t េហើយេកើនបន10% កនុ ង 1 េម៉ ង 10 េនះមួយេម៉ ងេ្រកយមកចំ នួនបក់េតរ ីមន N ( t + 1) = N ( t ) + N (t) 100 ដូចេនះ N ( t + 1) − N ( t ) = 0.1N ( t )

ក.េ

ខ . គណនចំនួនបក់េតរ ីេនខណៈេពល t = 3h េ

N ( t + 1) − N ( t ) t →0 t +1− t N ′ ( t ) = 0.1N ( t ) ជសមី ករឌីេផរ ៉ង់ែសយល

យ N ′ ( t ) = lim

dN dN = 0.1N ⇒ = 0.1dt dt N ln N = 0.1t + c N = Ae0.1t

េ

យ

N ( 0 ) = N 0 = 10 4

េនះ 104 = Ae0.1( 0) ⇒

A = 104

⇒ N ( t ) = 104 e0.1t

69

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ១

t =3 :

N ( 3) = 10 4 e0.3

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES ចូលករគណនទូេទ w1

10f4$qh0.3$p N ( 3) = 13498 បក់េតរ ី ។

្របតិបត្តិ :េគដឹងថកំេណើនៃនចំនួនបក់េតរ ីសមម្រតនឹងចំនួនបក់េតរ ីែដលកំពុងមន។ ឧបមថ ចំ នួនបក់េតរ ីេកើនេឡើងេទ្វដង ល់12 េម៉ ង ។ គណនរយៈេពលែដល ចំនួនបក់េតរ ីេកើនេឡើង 5 ដង ពីចំនួនែដលមនពីដំបូង ។

70

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ១

លំ ១.េ

ះ្រ

ត់

យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល :

ក . y′ = 2 x2 − x + 1

ះ្រ

2x x +1

2

y′ ⎛π⎞ = cos x ; y ⎜ ⎟ = 0 ⎝ 2⎠ y

ក.

(

ះ្រ

]0 ; + ∞[

ខ . y ′ = e 2 x ; y ( 0) = 5 ឃ.

dy dy + 2y = 0 ខ. 3 +y=0 គ . 2 y′ − 3 y = 0 dx dx ះ្រ យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយលលីេនែអ៊លំ ប់ទី ១ :

ក. ៤.េ

2

y′ = 1 ; y ( 0) = 0 tan x យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយលលីេនែអ៊លំ ប់ទី ១ :

)

គ . 3x 2 − 2 y ′ = 6 x ; y (1) = 4 ៣.េ

គ . y′ =

2x កំណត់េលើ ]−1 ; 1[ ង. xy ′ = 1 កំណត់េលើ x +1 យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល មលកខខណ្ឌែដលឱយ :

ឃ. y ′ = ២.េ

ខ . y ′ = e−2 x

ក . − y ′ + 2 y = 0 ; y ( 3) = −2 គ . 7 y ′ + 4 y = 0 ; y ( 7 ) = e5

ឃ . y′ − y 2 = 0

1 5 ឃ . 2 y ′ − 5 y = 0 ; y (1) = −3 ខ . 2 y ′ + y = 0 ; y ( ln 4) =

៥ . ចូរបង្ហញថអនុគមន៍នីមួយៗខងេ្រកមជចេម្លើយៃនសមីករឌី េផរ ៉ង់ែសយលែដលេន ខង

្ត ំ

:

ក . y = x + e x ; y′ − y = 1 − x

ខ . y = e3 x − x − 1 ; y ′ − 3 y = 3 x + 2

គ . y = sin x + cos x ; y ′ + y = 2cos x

ឃ . y = x + ln x ; xy ′ − y = 1 − ln x

៦ . េគឱយសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល: ( E ) : y ′ + 2 y = x 2

ក . កំណត់ពហុធ g មនដឺេ្រកទី ២ ែដលជចេម្លើយពិេសសៃន ( E ) ។ ខ.

ង h ជអនុគមន៍ែដល h ( x ) = f ( x ) − g ( x )

។ េបើ h ជចេម្លើយៃនសមីករ

y ′ + 2 y = 0 េនះបង្ហញថ f ជចេម្លើយទូេទៃន ( E ) ។

គ.េ

ះ្រ

យសមីករ y ′ + 2 y = 0 រួចទញរកអនុគមន៍ f ជចេម្លើយទូេទៃន ( E ) ។

−2 1 + e2 x យសមីករ y ′ + 2 y = 0 ែដលេផទ ងផទត់ y ( 0) = 1 ។

៧ . េគឱយសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល: ( E ) : y ′ − 2 y = ក.េ ខ.

ះ្រ

ង f ជអនុគមន៍មនេដរ ីេវេលើ

អនុគមន៍ៃន g ( x ) និង g ′ ( x ) ។

ែដល f ( x ) = e 2 x g ( x) គណន f ′ ( x ) ជ

−2e−2 x ។ 1 + e−2 x ឃ . ទញរកអនុគមន៍ g ( x ) ជអនុគមន៍ៃន f ( x ) ែដល f ជចេម្លើយៃន ( E ) ។ គ . បង្ហញថ f ជចេម្លើយទូេទៃន ( E ) លុះ្រ

៨.េ

ះ្រ

ែត g ′ ( x) =

យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល :

71

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ១

ក. ៩.េ

dy − y = e3x dx

ះ្រ

ខ.

dy 1 +y= dx 1 + e2 x

យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល

ក . y ′ − y = 1 ; y ( 0) = 1

១០ . េ

ះ្រ

ក.

ឃ . y ′ + y = sin x

y′ + y = 1

មលកខខណ្ឌ :

ខ . y ′ + 2 y = 1 ; y ( 0) = 0

យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល :

dy = sin 5 x dx

ខ . dy + e3 x dx = 0

គ.

ex

dy = 2x dx

dy − y 2 = −9 ; y ( 0) = 3 dx ក់ទឹក 100 លី្រត កនុងធុងមួយនិងអំ បិល 10kg ែដល្រតូវ

ឃ . ( x + 1) y ′ = x + 6 ១១ . េគ

គ.

ង.

យកនុងធុងេនះ ។ លបយអំបិលគឺ 0.03kg ៃនអំបិលកនុងទឹ កមួយលី្រត្រតូវបង្ហូរចូលកនុងធុ ងមួ យេទៀតេ យ អ្រ

4l / min ។ លបយច្រមុះេនកនុងធុង ្រតូវបង្ហូរេចញេ

យអ្រ

8l / min ។

ទលកខខណ្ឌេដើមេដើមបីគណនអំបិល Q ( t ) េនកនុងធុង ។ ខ . គណនអំបិល Q ( t ) កនុងធុងរហូតធុងេដើ មបង្ហូរអស់ ។ ក . រកចំេ

១២ . េបើ y ជអនុគមន៍តៃម្លទំនិញមួយែដលែ្រប្របួល

មេពលេវ

។ y′ ជអ្រ

បែ្រម

ប្រមួលៃនអនុគមន៍ y កនុងខណៈេពល t ។ េគដឹងថអនុគមន៍ត្រមូវករមុខទំនិញេនះគឺ

D = 3000 − 7 y − 65 y ′ និងអនុគមន៍ផគត់ផគង់មុខទំនិញេនះគឺ S = 1600 + 3 y + 60 y ′ ។

ក . គណន អនុគមន៍តៃម្លទំនិញ កល

អនុ គមន៍ត្រមូវករេសមើនឹងអនុគមន៍ផគត់ផគង់។

ខ . រកអនុគមន៍តៃម្លទំនិញ េបើេនេពល t = 0 ទំនិញមនតៃម្ល y = 100 ។ ១៣ .េ

ក

រ ីបនសេ្រមចចិត្តថនឹងឈប់ជក់បរ ី េដើមបីែថរក សុខភព និងេធ្វើករសន ំ

ិ ។ គត់ជក់ កុងមួ ្របក់េឡើងវញ ន យៃថង ២ កញចប់ េបើគិតជ្របក់គត់្រតូវចំ

យអស់

៣មុឺនេរៀលកនុងមួយសបហ៍ ។ ឧបមថគត់បញូច ល្របក់េនះជេរៀង ល់សបហ៍ ្ត ្ត

កនុងគណនីសន ំៃនធនគរ េនះគត់ទទួ លបនអ្រ ករ្របក់សមស 10% កនុង ១ ឆនំ ។ េតើគត់ទទួលបន្របក់ទំងអស់ ប៉ុនមន េបើគត់ពយយមេផទរ្របក់េនះចូល ធនគរកនុងរយៈេពល ៣០ ឆនំ ។

72

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ២

េមេរៀនទី

២

សមីករឌីេផរង់ ៉ ែសយលលំ

ប់ទី ២

េមេរៀនសេងខប 1. សមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយលលីេនែអ៊លំ

ប់ទី 2 អូម៉ូែហ នមន ងទូ េទ y ′′ + by ′ + c = 0

មនសមីករ λ 2 + bλ + c = 0 ជសមីករសមគល់។ 2. សមី ករឌីេផរ ៉ង់ែសយលលីេនែអ៊លំ

y ′′ + by ′ + c = p ( x )

ប់ទី 2 មិន អូម៉ូែហ នមន ងទូេទ

( E ) ែដល p ( x ) ≠ 0 ។ចេម្លើយទូេទៃនសមីករ ( E ) គឺ

y = yc + y p ែដល yc ជចេម្លើយទូេទៃនសមីករ y ′′ + by ′ + c = 0 និង y p ជ

ចេម្លើយពិេសសៃន ( E ) ។

73

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ២

លំ

ត់គំរទ ូ ី១:េ

ះ្រ

យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល y ′′ + 2 y ′ − 8 y = 0

( E)

ចេម្លើយ

+ សមីករ ( E ) មនសមីករសមគល់ λ 2 + 2λ − 8 = 0

េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 991 ES េដើមបីេ ចូលករេ

ះ្រ

ះ្រ

យ

យសមីករដឺេ្រកទី ២ w53

បញូច លតៃម្លេមគុណ 1p2p-8pp េគបន λ1 = 2 និងR λ 2 = −4 េនះសមីករ ( E )

ចសរេសរ ( y ′ + 4 y ) ′ − 2 ( y ′ + 4 y ) = 0

ង Z = y ′ + 4 y េគបន Z ′ − 2Z = 0 Z ′ = 2Z dZ = 2dx Z ln Z = 2 x + c Z = c1e 2 x

េ

យ Z = y ′ + 4 y េគបន

+ េ េ

ះ្រ

ះ្រ

យសមីករ

; c1 = ± ec

y ′ + 4 y = c1e2 x y ′ + 4 y = c1e2 x

( i)

យសមីករ y ′ + 4 y = 0 េគបន

dy = −4 y dx dy = −4dx y ln y = −4 x + c y = c2 e −4 x េធ្វើបែ្រមប្រមួលចំនួនេថរ c2 មន

( i)

y = c2 ( x) e−4 x

នំឱយ

; c2 = ± ec

y ′ = c2′ ( x) e −4 x − 4c2 ( x) e−4 x

c2′ ( x) e−4 x − 4c2 ( x) e −4 x + 4c2 ( x) e−4 x = c1e2 x

c2′ ( x ) e −4 x = c1e 2 x c2′ ( x ) = c1e6 x c2 ( x ) = ∫ c1e6 x dx c1e6 x = +A 6 e6 x 6 ជចេម្លើយទូ េទៃនសមីករ = Be6 x + A ; B =

(

)

ដូចេនះ y = Be6 x + A e −4 x = Ae −4 x + Be 2 x

( E)

74

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ២

លំ

ត់គំរទ ូ ី២:ក.េ

ះ្រ

( E)

យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល y ′′ + y ′ − 2 y = 0

ខ . រកចេម្លើយពិេសសមួយៃនសមីករ ( E ) េបើែខ េកង

ៃនអនុ គមន៍ ចេម្លើយកត់

មចំណុច

(

ងគន្លង

ង

x = 0, y = 1) េហើយបនទត់ប៉ះនឹងែខ េកង្រតង់

ចំណុចេនះមនេមគុណ្របប់ទិសេសមើនឹង 4 ។

ចេម្លើយ អនុគមន៍

ក . សមីករ ( E ) មនសមីករសមគល់ λ 2 + λ − 2 = 0

េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 991 ES េដើមបីេ ចូលករេ

ះ្រ

ះ្រ

យ

យសមីករដឺេ្រកទី ២ w53

បញូច លតៃម្លេមគុណ 1p1p-2pp េគបន λ1 = 1 និងR λ 2 = −2 ជចំនួនពិតពីរេផ ងគន

ដូចេនះ ចេម្លើយទូេទៃន សមីករ ( E ) y = Ae −2x + Be x ខ . រកចេម្លើយពិេសសមួយៃនសមីករ ( E )

+ េបើ ( C ) ជែខ េកងគន្លង ង អនុគមន៍ចេម្លើយកត់ មចំណុច ( x = 0, y = 1) េនះេគបន A + B = 1

(1)

+ េមគុណ្របប់ទិសៃនបនទត់ប៉ះនឹង ( C ) គឺ y ′ = −2 Ae−2 x + Be x េ

( 2)

យ x = 0 , y ′ = 4 េគបន −2 A + b = 4

⎧⎪ A + B = 1 (1) េគបន្របព័នធសមីករ ⎨ ⎪⎩−2 A + B = 4 ( 2) េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 991 ES េដើមបីេ ះ្រ ចូលករេ

ះ្រ

យ

យសមីករដឺេ្រកទី ១មន ២ អញញត w51

បញូច លតៃម្លេមគុណ 1p1p1p-2p1p4pp េគបន A = −1 និងR B = 2 ដូចេនះ y′ = 2e −2 x + 2e x ជចេម្លើយពិ េសស ៃនសមីករ ( E )

្របតិបត្តិ : ១ . េ ះ្រ

យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល

ក . 3 y ′′ + 10 y ′ − 3 y = 0 ២.េ

ះ្រ

ខ . 3 y ′′ − 2 y ′ = 0

យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល

y ′′ − 2 y ′ − 3 y = 0 , y ( 0) = −1 , y ′ (1) =

លំ

ត់គំរទ ូ ី៣:េ

ះ្រ

មលកខខណ្ឌេដើម

មលកខខណ្ឌ េដើម

1 e

យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 0

( E)

ចេម្លើយ

+ សមីករ ( E ) មនសមីករសមគល់ λ 2 + 4λ + 4 = 0

េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 991 ES េដើមបីេ ចូលករេ

ះ្រ

ះ្រ

យ

យសមីករដឺេ្រកទី ២ w53

75

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ២

បញូច លតៃម្លេមគុណ 1p4p4pp េគបន λ1 = λ 2 = −2 េនះសមីករ ( E )

ចសរេសរ ( y ′ + 2 y ) ′ + 2 ( y ′ + 2 y ) = 0

( i)

ង Z = y ′ + 2 y េគបន Z ′ + 2Z = 0 Z ′ = −2 Z dZ = −2dx Z ln Z = −2 x + c Z = Ae −2 x

េគបន

+ េ េ

ះ្រ

( ii)

y ′ + 2 y = Ae −2 x

ះ្រ

; A = ± ec

យសមីករ

( ii)

y′ + 2 y = c1e−2 x

យសមីករ y ′ + 2 y = 0 េគបន

dy = −2 y dx dy = −2dx y ln y = −2 x + c y = c1e−2 x េធ្វើបែ្រមប្រមួលចំនួនេថរ c1

y = c1 ( x) e−2 x

មន

( i)

នំឱយ

; c1 = ± ec

y ′ = c1′ ( x) e−2 x − 2c1 ( x) e−2 x

c1′ ( x) e −2 x − 2c1 ( x) e −2 x + 2c1 ( x) e−2 x = Ae 2 x c1′ ( x ) e −2 x = Ae 2 x c1′ ( x ) = A

c1 ( x ) = Ax + B

ែដល B ជចំនួនេថរ

ដូចេនះ y = ( Ax + B ) e −2x ជចេម្លើយទូ េទៃនសមីករ

លំ

ត់គំរទ ូ ី៤:ក.េ

ះ្រ

( E ) ែដល A , B ជចំនួនេថរ យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល ( E ) : y ′′ + 2 y′ + y = 0 ម

លកខខណ្ឌេដើម y ( ln 2) =

1 1 និង y ′ ( ln 2) = − 2 2

ចេម្លើយ

+ សមីករ ( E ) : y ′′ + 2 y ′ + y = 0 មនសមីករសមគល់ λ 2 + 2λ + 1 = 0

េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 991 ES េដើមបីេ ចូលករេ

ះ្រ

ះ្រ

យ

យសមីករដឺេ្រកទី ២ w53

បញូច លតៃម្លេមគុណ 1p2p1pp េគបន λ1 = λ 2 = −1

76

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ២

ដូចេនះ ចេម្លើយទូេទៃន សមីករ ( E ) គឺ y = ( Ax + B) e− x +

មលកខខណ្ឌេដើម

y ( ln 2) =

1 េគបន 2

1 = A ln 2e − ln 2 + Be − ln 2 2 1 1 1 = A ln 2 + B 2 2 2 A ln 2 + B = 1 ( i )

យ y = ( Ax + B ) e− x នំឱយ y ′ = Ae − x − Axe− x − Be− x

េ

េគមន y ′ ( ln 2) = −

1 2

1 = Ae − ln 2 − A ln 2e − ln 2 − Be − ln 2 2 1 1 1 1 − = A − A ln 2 − B 2 2 2 2 (1 − ln 2) A − B = −1 ( ii) េគបន −

A ln 2 + B = 1 ⎧⎪ ( i) េគបន្របព័នធសមីករ ⎨ ⎪⎩(1 − ln 2) A − B = −1 ( ii ) យ េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 991 ES េដើមបីេ ះ្រ ចូលករេ

ះ្រ

យសមីករដឺេ្រកទី ១មន ២ អញញត w51

បញូច លតៃម្លេមគុណ h2p1p1p1-h2p1p-1pp េគបន A = 0 និងR B = 1 ដូចេនះ y ′ = e− x ជចេមើយ ្ល ពិ េសស ៃនសមីករ ( E )

្របតិបត្តិ : លំ

េ

ះ្រ

យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល

មលកខខណ្ឌេដើម ។

មលកខខណ្ឌេដើម

4 y ′′ − 4 y ′ + y = 0 , y ( 0) = −3 , y ′ (1) = 2

ត់គំរទ ូ ី៥:េ

ះ្រ

យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល

( E ) : y ′′ + 2 y ′ + 2 y = 0

ចេម្លើយ

+ សមីករ ( E ) : y ′′ + 2 y ′ + 2 y = 0 មនសមីករសមគល់ λ 2 + 2λ + 2 = 0

េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 991 ES Plus េដើមបីេ ចូលករេ

ះ្រ

ះ្រ

យ

យសមីករដឺេ្រកទី ២ w53

បញូច លតៃម្លេមគុណ 1p2p2pp េគបន λ1 = −1 − i និង R λ 2 = −1 + i

ដូចេនះ ចេម្លើយទូេទៃន សមីករ ( E ) y = e − x ( C cos x + D sin x)

លំ

ត់គំរទ ូ ី៦:េ

មលកខខណ្ឌេដើម

ះ្រ

យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល

( E ) : y ′′ + 4 y ′ + 8 y = 0

y ( 0) = −3 , y ′ ( 0) = 2

ចេម្លើយ

+ សមីករ ( E ) : y ′′ + 4 y ′ + 8 y = 0 មនសមីករសមគល់ λ 2 + 4λ + 8 = 0

េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 991 ES Plus េដើមបីេ

ះ្រ

យ

77

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ២

ចូលករេ

ះ្រ

យសមីករដឺេ្រកទី ២ w53

បញូច លតៃម្លេមគុណ 1p4p8pp េគបន λ1 = −2 − 2i និង R λ 2 = −2 + 2i

្ល ទូេទៃន សមីករ ( E ) y = e−2 x ( C cos 2 x + D sin 2 x) េនះចេមើយ +

មលកខខណ្ឌេដើម

y ( 0) = 1 េគបន C = 1

យ y = e −2 x ( C cos 2 x + D sin 2 x ) នំឱយ

េ

y′ = −2Ce −2 x cos 2 x − 2 De −2 x sin 2 x − 2Ce −2 x sin 2 x + 2 De −2 x cos 2 x = ( 2 D − 2C ) e −2 x cos 2 x − ( 2 D + 2C ) e −2 x sin 2 x េគមន y ′ ( 0) = 2

េគបន

2 D − 2C = 2 , C = 1

នំឱយ

ដូចេនះ

D=2

y = e −2 x ( cos 2 x + 2 sin 2 x) ជចេម្លើយពិេសស ៃនសមីករ ( E )

មលកខខណ្ឌ េដើម

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៧ : េគមនសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល y ′′ − 2 y ′ − 3 y = 6 x 2 − x

( E)

ក . កំណត់ចំនួនពិត a , b និង c េដើមបីឱយអនុគមន៍ y p = ax 2 + bx + c ជចេម្លើយពិេសស ៃនសមីករ ( E ) ។

ខ . រកចេម្លើយទូេទ yc ៃនសមីករ

y ′′ − 2 y ′ − 3 y = 0

។

គ . េផទ ងផទត់ថ y = y p + yc ជចេម្លើយទូេទៃនសមីករ ( E ) រួចទញរក ចេម្លើយទូេទៃន សមីករ ( E )

។

ចេម្លើយ ក . កំណត់ចំនួនពិត a , b និង c េ

យ

េនះ េគបន

y p = ax 2 + bx + c េគបន y ′p = 2ax + b , y ′′p = 2a

(

y ′′ − 2 y ′ − 3 y = 2a − 2 ( 2ax + b) − 3 ax 2 + bx + c

)

2a − 4ax − 2b − 3ax 2 − 3bx − 3c = 6 x 2 − x −3ax 2 − ( 4a + 3b) x + 2a − 2b − 3c = 6 x 2 − x

− 3a = 6 ⎧ ⎪ 4a + 3b = 1 នំឱយ ⎨ ⎪ 2a − 2b − 3c = 0 ⎩ េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 991 ES េដើមបីេ ចូលករេ

ះ្រ

ះ្រ

យ

យ្របព័នធសមីករដឺេ្រកទី ១មន ៣អញញ ត w52

បញូច លតៃម្លេមគុណ -3p0p0p6p 4p3p0p1p បន្ត 2p-2p-3p0pp េគបន a = −2 R b = 3 R

c=−

10 3 78

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ២

10 3 y ′′ − 2 y ′ − 3 y = 0

េនះចេម្លើយពិេសសៃន សមីករ ( E ) គឺ y p = −2 x 2 + 3x − ខ . រកចេម្លើយទូេទ yc ៃនសមីករ សមីករ

y ′′ − 2 y ′ − 3 y = 0 មនសមីករសមគល់ λ 2 − 2λ − 3 = 0

េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx- 991 ES Plus េដើមបីេ ចូលករេ

ះ្រ

ះ្រ

យ

យសមីករដឺេ្រកទី ២ w53

បញូច លតៃម្លេមគុណ 1p-2p-3pp េគបន λ1 = −1 និង R λ 2 = −3

េនះចេមើយ ្ល ទូេទៃន សមីករ ( E ) គឺ y = Ae− x + Be3 x

គ . េផទ ងផទត់ថ y = y p + yc ជចេម្លើយទូេទៃនសមីករ ( E ) េ

យ y = Ae − x + Be3 x − 2 x 2 + 3x −

10 េនះេគបន 3

y ′ = − Ae − x + 3Be3 x − 4 x + 3 y ′′ = Ae − x + 9 Be3 x − 4

y ′′ − 2 y ′ − 3 y = Ae− x + 9 Be3 x − 4 + 2 Ae − x − 6 Be3 x + 8 x − 6 − 3 Ae− x − 3Be3 x + 6 x 2 − 9 x + 10 y ′′ − 2 y ′ − 3 y = 6 x 2 − x េផទ ងផទត់ ដូចេនះ ចេម្លើយទូេទៃនសមីករ ( E ) គឺ

y = Ae − x + Be3 x − 2 x 2 + 3x −

្របតិបត្តិ :េគឱយសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល y ′′ + 4 y ′ + 4 y = −4 x

10 3

( E)

ក . រកចេម្លើយពិេសសៃនសមីករ ( E ) ។ ខ.េ

លំ

យសមីករ ( E )

ះ្រ

មលកខខណ្ឌេដើម y ( 0) = 2 , y ′ ( 0) = −2

។

ត់គំរទ ូ ី ៨ : េបើេគពយរួ វតុថមនម៉ ស m = 1kg េនចុងៃនរុសរមួ ឺ យ រុសរ ឺ លូតបន្របែវង

0.20m ។កនុងខណៈ t = 0 េគឱយវតថុឋិតេនខងេ្រកមទី ំងលំនឹងចមងយ 0.40m ។ បនទប់មកេគែលងវតុថឱយរត់េឡើងេលើេ យេលប ន 0.70m / s ។ រកសមីករៃនចលនេសរ ីេនះ ។

ចេម្លើយ េ

ឺ តបន ្របែវង 0.20m យ ម៉ ស m = 1kg េធ្វើឱយរុសរលូ

េនះ

មចបប់ហ៊ុក េគបន

mg 1 × 9.8 = = 49 N / m S 0.20 យចលនេនះគមនកម្លំងកកិត េនះេគបនសមីករ

mg = kS ⇒ k = េ

ឬ

d 2x k + x=0 dt 2 m d 2 x 49 + x=0 dt 2 1 x ′′ + 49 = 0

79

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ២

េគដឹងថកនុងខណៈ t = 0 , x = 0.40m េនះេគបន x ( 0) = 0.4 ខណៈេពល t = 0 គឺ 0.70m / s េនះេគបន x ′ ( 0) = −0.7 េ

ះ្រ

យសមីករ x ′′ + 49 = 0

េហើយេលប នេន

មលកខខណ្ឌេដើម x ( 0) = 0.4 និង x ′ ( 0) = −0.7

សមីករសមគល់ៃន x′′ + 49 = 0 គឺ λ 2 + 49 = 0 េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 991 Plus ES េដើមបីេ ចូលករេ

ះ្រ

ះ្រ

យ

យសមីករដឺេ្រកទី ២ w53

បញូច លតៃម្លេមគុណ 1p0p49pp េគបន λ1 = −7i និង R λ 2 = 7i

េនះចេមើយ ្ល ទូេទៃន សមីករ x ′′ + 49 = 0 គឺ x ( t ) = A cos 7t + sin 7t

x ′ ( t ) = −7 A sin 7t + 7 cos 7t 2 មលកខខណ្ឌេដើម x ( 0) = 0.4 េគបន 0.4 = A ឬ A = 5 1 x ′ ( 0) = −0.7 េគបន −0.7 = 7 B ឬ B = − 10 2 1 ដូចេនះសមី ករៃនចលនេសរ ី គឺ x ( t ) = cos 7t − sin 7t 5 10

្របតិបត្តិ : វតថុមួយមនម៉ ស m = 0.75kg ្រតូវបនេគពយរេនចុ ងៃនរុសរមួ ឺ យ កនុងមជឈ ្ឋ ន ួ

មួយែដលមនសំទុះទំនញែផនដី 9.6m / s 2 េពលេនះរុសរលូ ឺ តបន ្របែវង 0.1m ។ សរេសរសមីករៃនចលនរបស់វតុថ េបើវតុថេនះ្រតូវេគែលងេចញពីទី ខងេលើទី

លំ

ំងមួយេន

ំងលំនឹងចមងយ 0.25m ។

ត់គំរទ ូ ី ៩ : េបើេគពយរវតថ ឺ យ េគេឃើញ រុសរ ឺ ួ ុមនម៉ ស m = 0.25kg េនចុងៃនរុសរមួ

លូតបន ្របែវង 61cm ។កនុង ំងលំនឹងេគេ្របើកម្លំងឱយម៉ សរត់េទេលើេ យ េលប នេដើម 0.9m / s ចមងយ 0.40m ។េគសនមតថ្របព័នធចលនមនកម្លំងកកិ ត ពីរដងៃនេលប នែដលកំពុងមនកនុ ងចលន និង g = 9.76m / s 2 ។ រកសមីករៃនបម្លស់ទី x ( t ) ។

ចេម្លើយ

រកសមីករៃនបម្លស់ទី x ( t )

មចបប់ហ៊ុក េគបន

mg 0.25 × 9.76 = 0.61 S េយើងេ្របើម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីេ mg = kS ⇒ k =

ះ្រ

យ

ចូលករគណនទូេទ w1 បញូច លតៃម្លa0.25O9.76$ 0.61p k = 4 N / m

80

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ២

សមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយលៃនចលនេនះគឺ d 2x dx = −4 x − 2 2 dt dt x ′′ + 8 x ′ + 16 x = 0 ែដលមនលកខខណ្ឌេដើម x ( 0) = 0 ; x ′ ( 0) = −0.9

0.25

េគបនសមី ករសមគល់ៃនសមីករ x ′′ + 8 x ′ + 16 x = 0 គឺ λ 2 + 8λ + 16 = 0 េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 991 ES េដើមបីេ ចូលករេ

ះ្រ

ះ្រ

យ

យសមីករដឺេ្រកទី ២ w53

បញូច លតៃម្លេមគុណ 1p8p16pp េគបន λ1 = λ 2 = −4 េនះចេមើយ ្ល ទូេទៃន សមីករ x ′′ + 8 x ′ + 16 x = 0 គឺ

x ( t ) = Ae−4t + Bte−4t

x′ ( t ) = −4 Ae−4t + Be−4t − 4 Bte −4t មលកខខណ្ឌេដើម x ( 0) = 0 ; x ′ ( 0) = −0.9 េគបន

A = 0 និង −4 A + B = −0.9 ⇒ B = −0.9

ដូចេនះ

x ( t ) = −0.9te−4t

្របតិបត្តិ : េគពយរម៉ ស m = 0.5kg េនចុងៃនរុសរមួ ឺ យមន្របែវង 0.82m ។ ួ

េគរុញម៉ សេទេលើឃ្លតពីទី

ំងលំនឹង 0.2m រួចេគែលងឱយម៉ ស់មនចលន។

ិ ្របព័នធចលនេនះឋតកន ុងមជឈ ្ឋ នមនកម្ល ំងកកិតេសមើនឹងេលប នែដលកំពុងចលនកនុង ( កនុងទឹក ) ។ រកសមីករៃនបម្លស់ទី x ′ ( t ) ។

81

ជំពូក ៤ េមេរៀនទី ២

លំ ១.េ

ះ្រ

ត់

យសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល :

ក . 2 y ′′ − 3 y ′ + y = 0 គ . y ′′ − 2 y ′ = 0

ខ . −4 y ′′ + 7 y ′ + 2 y = 0 ឃ . 2 y ′′ + 3 y ′ − 2 y = 0

ង . y ′′ − 3 y ′ + 3 y = 0 ២.េ

ះ្រ

ច . y ′′ − 3 y ′ + y = 0

យសមីករឌីេផរង ៉ ់ែសយលមនលកខខណ្ឌ េដើម

ក . y ′′ − y = 0 ; y ( 0) = 1 , y ′ ( 0) = −2

ខ . y ′′ − 2 y ′ + 3 y = 0 ; y ( 0) = 2 , y ′ ( 0) = 1

⎛π⎞ ⎛π⎞ គ . y ′′ + y = 0 ; y ⎜ ⎟ = 3 , y ′ ⎜ ⎟ = −2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

ឃ . y ′′ − 3 y ′ + 3 y = 0 ; y (1) = 1 , y ′ (1) = 3

( E) ែដលជចេម្លើយពិ េសសៃន ( E ) ។

៣ . េគមនសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល y ′′ − 4 y ′ + 2 y = 4 ក . រកអនុគមន៍េថរ k ខ.េ

ះ្រ

យសមីករ y ′′ − 4 y ′ + 2 y = 4

គ . រកចេម្លើយពិេសសៃន ( E ) ែដលេផទ ងផទត់លកខខណ្ឌេដើម y ( 0) = 2 2 , y ′ ( 0) = 0

( E) ក . រកឫសៃនសមីករសមគល់ៃនសមីករ ( E ) ខ . រកអនុគមន៍ g ( x) = Ax ែដលជចេម្លើយពិេសសៃន ( E ) ។

៤ . េគមនសមីករឌីេផរ ៉ង់ែសយល y ′′ + 3 y ′ = 5

គ.េ

ះ្រ

យសមីករ y ′′ + 3 y ′ = 5

ឃ . រកចេម្លើយេ

យែឡកៃន ( E ) កល

y ( 0) = e3 , y ′ (1) =

2 3

82

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ១

៥

ជំព ូក

បំែណងែចក្របូបប

េមេរៀនទី

១

បំែណងែចក្របូបប

េមេរៀនសេងខប -េបើ x ជអនុគមន៍េថរៃចដនយ n

∑p i =1

i

ច់និង p1 + p2 + ..... + pn = 1 េនះេគ

ចសរេសរ

n

= 1 ឬ ∑ P ( X = x) = 1។ i =1

-អនុ គមន៍ែដល

ចគណនតៃម្ល P ( X = x ) ចំេពះ្រគប់ x ទំងអស់េ

ដង់សុីេត្របូបបៃនអេថរៃចដនយ -សងឃឹមគណិតៃនអេថរ X ែដល

ថអនុគមន៍

ច់ x ។ ងេ

យ E ( X ) ឱយេ

n

n

i =1

i =1

E ( X ) = ∑ x × P ( X = x ) ឬសរេសរ E ( X ) ∑ xi pi -េបើ f ( x ) ជអនុគមន៍ៃនអេថរៃចដនយ

យរូបមន្ត

។ n

ច់ X េនះ E ⎡⎣ f ( X ) ⎤⎦ = ∑ ⎡⎣ f ( x ) × P ( X = x ) ⎤⎦ i =1

-លកខណៈៃនសងឈឹមគណិត េបើ X ជអេថរៃចដនយ

ច់ េហើយ a និង b ជចំនួនេថរ េនះេគបន :

១. E ( a ) = a

២. E ( aX ) = aE ( X )

៣. E ( aX + b ) = aE ( x ) + b . - ៉ រយង់ៃនអេថរៃចដនយ ែដល μ = E ( X ) δ = Var ( x ) េ

ច់ X

ងេ

យ Var ( X ) កំណត់េ

យ Var ( X ) = E ( X − μ )

2

។ ថគំ

តស្តង់

- លកខណៈៃន ៉ រយង់ េបើ X ជអេថរៃចដនយ ១ . Var ( a ) = 0

ច់េហើយ a និង b ជចំនួនេថរ េនះេគបន :

២ . Var ( X ) = a 2Var ( X )

៣. Var ( aX + b) = a 2Var ( X )

83

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់គំរទ ូ ី ១: េគេបះ្រគប់ឡុក

ក់បី្រគប់្រពមគន។ X ជអេថរៃចដនយែដល ជ

( ចំនួនេលខ 3 ែដលមនេនកនុងលទធផលនីមួយៗ ) គណន្របូបប P ( X = x) រួចេធ្វើ

ងបំែណងែចក្របូបបៃន X ។

ចេម្លើយ ង a ជេលខេផ ងពីេលខ 3 ។ េនះលទធផលៃនករេបះ្រគប់ឡុក

េ

យ្រពឹតិក ្ត រណ៍មិនទក់ទងគន េគបន :

ដូចេនះ

5 5 5 125 P ( X = 0 ) = P ( aaa ) = P ( a ) × P ( a ) × P ( a ) = × × = 6 6 6 216 ⎛ 1 5 5 ⎞ 75 P ( X = 1) = P ( 3aa ) + P ( a3a ) × P ( aa3) = 3 ⎜ × × ⎟ = ⎝ 6 6 6 ⎠ 216 ⎛ 1 5 5 ⎞ 75 P ( X = 2 ) = P ( 33a ) × P ( 3a3) × P ( a33) = 3 ⎜ × × ⎟ = ⎝ 6 6 6 ⎠ 216 1 1 1 1 P ( X = 3) = P ( 333) = P ( 3) × P ( 3) × P ( 3) = × × = 6 6 6 216 ងបំែណងែចក្របូបបៃន X គឺ

x P ( X = x)

លំ

ក់មន : aaa , 3aa , a3a , 33a , 3a3 , a33, 333

0 125 216

1 75 216

2 15 216

3 1 216

ត់គំរទ ូ ី ២ :េគមនបំែណងែចក្របូបបៃនអេថរៃចដនយ X ដូចបង្ហញកនុង

ង

ខងេ្រកម: x P ( X = x)

0 0.1

ក . គណនតៃម្ល c

1 0.3

2

c

ខ . គណន P ( 2 ≤ X ≤ 4)

3 0.2

4 0.1

គ. គណន P ( X < 3)

ចេម្លើយ ក . គណនតៃម្ល c ម

ង េគបន P ( 0 ) + P (1) + P ( 2 ) + P ( 3) + P ( 4 ) = 1 0.1 + 0.3 + c + 0.2 + 0.1 = 1

c = 1 − 0.7 = 0.3 ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES ចុច w1 គណន 1-0.1-0.3-0.2-0.1p c = 0.3

ខ . គណន P ( 2 ≤ X ≤ 4)

84

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ១

P ( 2 ≤ X ≤ 4 ) = P ( 2 ) + P ( 3) + P ( 4 ) = 0.3 + 0.2 + 0.1 = 0.6

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES ចុច w1

គណន 0.3+0.2+0.1p P ( 2 ≤ X ≤ 4 ) = 0.6 គ. គណន P ( X < 3)

P ( X < 3) = P ( 0) + P (1) + P ( 2) = 0.1 + 0.3 + 0.3 = 0.7

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES ចុច w1

គណន 0.1+0.3+0.3p P ( X < 3) = 0.7

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៣: អនុគមន៍ដង់សុីេត្របូបបៃនអេថរ ច់ Y កំណត់េ យ P (Y = y ) = cy 2 ចំេពះ្រគប់ y = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 េហើយ c ជចំនួនេថរ ។

ក . គណន P (Y = y ) ចំេពះតៃម្លនីមួយៗៃន y រួចេធ្វើ ខ . គណន តៃម្ល c

ងបំែណងែចក្របូបបៃន Y ។

។

ចេម្លើយ

ក . គណន P (Y = y )

េបើ y = 0 េនះ P (Y = 0) = 0 េបើ y = 1 េនះ P (Y = 1) = c

េបើ y = 2 េនះ P (Y = 2) = 4c េបើ y = 3 េនះ P (Y = 3) = 9c

េបើ y = 4 េនះ P (Y = 4) = 16c ដូចេនះ

ងបំែណងែចក្របូបបៃន Y គឺ y

0 0

P (Y = y )

1 c

2 4c

3 9c

4 16c

ខ . គណន តៃម្ល c េ

យ Y ជអេថរៃចដនយេនះ្រគប់តៃម្ល y េគបន 4

∑ P (Y = y ) = 1 i =0

c + 4c + 9c + 16c = 1 c=

1 30

85

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ១

្របតិបត្តិ : អេថរៃចដនយ ច់ R មនអនុគមន៍ដង់សុីេត្របូបបកំណត់េ យ P ( R = r) = c (3 − r)

ក . គណន P ( R = r ) រួចេធ្វើ ខ . គណន តៃម្ល c

ងបំែណងែចក្របូបប ។

។

គ . គូស្រកបអងកត់ឈរ

លំ

ចំេពះ្រគប់ r = 0 , 1 , 2 , 3 ។

ងបំែណងែចក្របូបប ។

ត់គំរទ ូ ី ៤ : េនកនុងឆនំេនះ្របូបបែដលតៃម្លផទះនឹងេឡើងៃថ្ល 20% េសមើនឹង 0.3 ្របូបប

ែដលតៃម្លផទះនឹងេឡើងៃថ្ល 10% េសមើនឹង 0.5 េហើយ ្របូបបែដលតៃម្លផទះនឹងចុ ះៃថ្ល 10% េសមើ នឹង 0.1 ។ េតើអនកសងឃឹមថផទះនឹងេឡើងៃថ្លប៉ុនមនភគរយ ?

ចេម្លើយ ង X ជអេថរ “ តៃម្លផទះនឹងេឡើងៃថ្លគិតភគរយ “ េគបន

ងបំែណងែចក្របូបបៃន X គឺ

x P ( X = x)

20% 0.3

10% 0.5

-10% 0.1

មរូបមន្ត E ( X ) = ∑ ⎣⎡ x × P ( X = x) ⎦⎤

= 20% × 0.3 + 10% × 0.5 − 10% × 0.1 ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx- 350 ES ចុច w1 គណន 20q(O0.3+10q(O0.5 -10q(O0.1p E ( X ) = 0.1 = 10%

ដូចេនះ េយើងសងឃឹមទុកថ តៃម្លផទះនឹងេឡើងៃថ្ល 10%

្របតិបត្តិ :

ងបំែណងែចក្របូបបខងេ្រកមបង្ហញពីរង្វន់េលើកទឹក្របក់ៃនេឆនត

េកសេនកែន្លងមួយ ។ េបើអនកទិញេឆនតមួយសន្លឹក គណន្របូបបែដលនឹងឈនះេឆនត : រង្វន់ ( ពន់េរៀល) ្របូបប

0

10

100

500

0.45

0.30

0.20

0.05

ក . 100 ពន់េរៀល ខ . យ៉ ងតិច 10 ពន់េរៀល គ . មិនេលើសពី 100 ពន់េរៀល ឃ . េតើអនកសងឃឹមឈនះេឆនតប៉ុនមនពន់េរៀល ?

86

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៥ : X ជអេថរៃចដនយ ែដលមនអនុគមន៍ដង់សុីេត្របូបប P ( X = x) ចំេពះ

x =1, 2 , 3 ។

x P ( X = x)

1 0.1

2 0.6

( )

គណន ក . E ( 5 X ) ខ . E X 2

3 0.3

គ. E ( 5 X + 3)

ចេម្លើយ

គណន ក . E ( 5 X )

មរូបមន្ត E ( 5 X ) = ∑ ⎣⎡5 x × P ( X = x) ⎦⎤

= 5 × 1 × 0.1 + 5 × 2 × 0.6 + 5 × 3 × 0.3 ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES ចុច w1 គណន 5O1O0.1+5O2O0

.6+5O3O0.3p E ( 5 X ) = 11

( ) E ( X ) = ∑ ⎡⎣ x

ខ . E X2 មរូបមន្ត

2

2

× P ( X = x ) ⎤⎦

= 12 × 0.1 + 22 × 0.6 + 32 × 0.3 ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES ចុច w1 គណន 1dO0.1+2dO0

( )

.6+3dO0.3pn E X 2 =

26 = 5.2 5

គ. E ( 5 X + 3)

មរូបមន្ត E ( 5 X + 3) = ∑ ⎣⎡( 5 x + 3) × P ( X = x) ⎦⎤

= ( 5 × 1 + 3) × 0.1 + ( 5 × 2 + 3) × 0.6 + ( 5 × 3 + 3) × 0.3 ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES ចុច w1 គណន (5O1+3)O0.1+(5O2+3)O

0.6+(5O3+3)O0.3)p E ( 5 X + 3) = 14

87

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៦ : X ជអេថរៃចដនយ ច់ ែដលមនអនុគមន៍ដង់សុីេត្របូបប P ( X = x) ចំេពះ

x =1, 2 , 3 ។

x P ( X = x)

1 0.2

ក . 5E ( X ) + 2

គណន

2 0.3

(

ខ . E X2+4

3 0.5

)

ចេម្លើយ

គណន ក . 5E ( X ) + 2

មរូបមន្ត 5E ( X ) + 2 = 5∑ ⎣⎡ x × P ( X = x) ⎤⎦ + 2

= 5 (1× 0.2 + 2 × 0.3 + 3 × 0.5 ) + 2 ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES ចុច w1 គណន 5O(1O0.2+2O0.3 +3O0.5)+2pn 5E ( X ) + 2 =

(

ខ . E X2+4 មរូបមន្ត

(

)

)

26 = 13.5 2

( )

E X 2 + 4 = E X 2 + E ( 4) = ∑ ⎡⎣ x 2 × P ( X = x) ⎤⎦ + 4 = (12 × 0.2 + 2 2 × 0.3 + 32 × 0.5 ) + 4

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES ចុច w1 គណន (1dO0.2+2dO0

(

)

.3+3dO0.5)+4pn E X 2 + 4 =

99 = 9.9 10

្របតិបត្តិ : X ជអេថរៃចដនយ ច់ ែដលមនអនុគមន៍ដង់សុីេត្របូបប P ( X = 0) = 0.05 P ( X = 1) = 0.45 , P ( X = 2) = 0.5 ។ គណន

( )

ក . μ = E( X )

លំ

(

ខ . E X2

)

គ . E 5X 2 + 2X − 3

ត់គំរទ ូ ី ៧:អេថរៃចដនយ ច់ X ែដលមនបំែណងែចក្របូបបដូច x P ( X = x)

គណន

1 0.1

ក . Var ( X ) េ

ខ . Var ( X ) េ

2 0.3

3 0.2

4 0.3

យេ្របើរប ូ មន្ត Var ( X ) = E ( X − μ )

ងខងេ្រកម

5 0.1 2

( )

យេ្របើរប ូ មន្ត Var ( X ) = E X 2 − E 2 ( X )

88

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ១

ចេម្លើយ

យេ្របើរប ូ មន្ត Var ( X ) = E ( X − μ )

ក . គណន Var ( X ) េ

2

ដំបូង្រតូវរក μ

េគបន μ = E ( X ) = ∑ ⎣⎡ x × P ( X = x) ⎦⎤

= 1( 0.1) + 2 ( 0.3) + 3( 0.2) + 4 ( 0.3) + 5 ( 0.1)

=3 2 េគបន Var ( X ) = E ( X − 3)

2 = ∑ ⎡( x − 3) × P ( X = x) ⎤ ⎣ ⎦ = 4 ( 0.1) + 1( 0.3) + 0 ( 0.2) + 1( 0.3) + 4 ( 0.1)

= 1.4 ដូចេនះ Var ( X ) = 1.4

ខ . គណន Var ( X ) េ

( )

យេ្របើរប ូ មន្ត Var ( X ) = E X 2 − E 2 ( X )

( )

E X 2 = ∑ ⎡⎣ x 2 × P ( X = x ) ⎤⎦ = 1( 0.1) + 4 ( 0.3) + 9 ( 0.2 ) + 16 ( 0.3) + 25 ( 0.1)

= 10.4

( )

េគបន Var ( X ) = E X 2 − μ 2 = 10.4 − 32 = 1.4 ដូចេនះ Var ( X ) = 1.4

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៨ : X ជអេថរៃចដនយែដលមនបំែណងែចក្របូបបដូច x P ( X = x)

10 0.1

20 0.6

ងខងេ្រកម

30 0.3

គណន Var ( 2 X + 3)

ចេម្លើយ

គណន Var ( 2 X + 3)

េគបន Var ( 2 X + 3) = 22Var ( X ) = 4Var ( X )

(1)

( )

Var ( X ) = E X 2 − E 2 ( X )

E ( X ) = ∑ ⎣⎡ x × P ( X = x) ⎦⎤ = 10 ( 0.1) + 20 ( 0.6) + 30 ( 0.3) = 22

( )

E X 2 = ∑ ⎡⎣ x 2 × P ( X = x ) ⎤⎦ = 100 ( 0.1) + 400 ( 0.6) + 900 ( 0.3) = 520 នំឱយ Var ( X ) = 520 − 222 = 36

ម េគបន Var ( 2 X + 3) = 4 × 36 = 144

ដូចេនះ Var ( 2 X + 3) = 144

89

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់

១ . អេថរៃចដនយ

ច់ X មនអនុគមន៍ ដង់សុីេត្របូបប ដូចបង្ហញ

x P ( X = x)

-3 0.1

គណន ក . តៃម្ល d

ែដល កំណត់ដូច x

0

1

0.25

0.3

0.15

d

ខ.

P ( −3 ≤ X < 0) ង . ម៉ូត

គ. P ( X > −1)

។

ងខងេ្រកម :

5 3 11

P ( X = x) គណន ៣ . អេថរៃចដនយ x

6 2 11

8 2 11

9 3 11

ច់ X មនអនុគមន៍ដង់សុីេត្របូបប P ( X = x) ចំេពះ x = 1 , 2 , 3 ងខងេ្រកម :

1 0.1

P ( X = x)

7 1 11

។

μ

ែដល កំណត់ដូច

ដង់សុីេត្របូបបឱយេ

3

0.4

0.5

(

ខ . E X2

គ . E 2X 2 + 2X − 5

)

ឃ . Var ( X )

ច់(ពិនុទែដលេចញេពលេគេបះ្រគប់ឡុក

យ

x

1 1 P ( X = x) 6 គណន ក . y

2

( )

ក . E( X )

៤ . េបើ X ជអេថរៃចដនយ

៥.

-1

ច់ X មនអនុគមន៍ ដង់សុីេត្របូបប P ( X = x ) ចំេពះ x = 5,6,7,8,9

២ . អេថរៃចដនយ

គណន

ងខងេ្រកម :

-2

P ( −1 < X < 1)

ឃ.

ម

ក់)េហើយអនុគមន៍

ងខងេ្រកម :

2 1 6

ខ . E( X )

3 1 5

4 y

( )

គ . E X2

5 6 1 1 5 6 ឃ . Var ( X )

ង . Var ( 4 X )

ងបំែណងែចក្របូបបខងេ្រកមបង្ហញពីចំនួនេ្រគះថនក់ច ចណ៍្របចំៃថង : x P ( X = x)

គណន

1 0,20

2 0,40

3 0,20

4 0,15

5 0,05

ក . ចំនួនេ្រគះថនក់ច ចរណ៍ ែដលសងឃឹមទុកកនុ ងមួយៃថង ។ ខ.

៉ រយង់

។

៦ . គណនចំនួនដងែដលសងឃឹមទុ កថនឹងផងរេឡើងបនខងរូបកបល កល

េគេបះ

កក់ពីរ្រពមគន ។ ៧.

ងបំែណងែចក្របូបបខងេ្រកមបង្ហញពីចំនួនេ្រគះថនក់ច ចរណ៍្របចំែខ : x P ( X = x)

1 0.20

2 0.40

3 0.20

4 0.15

5 0.05

ក . គណនចំនួនេ្រគះថនក់ច ចរណ៍ ែដលសងឃឹមទុ កកនុង ១ ៃថង ។ ខ . គណន ៉ រយង់ ។

90

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ២

េមេរៀនទី

២

បំែណងែចកេទ្វធ

េមេរៀនសេងខប ិ ញ -កនុងករពិេ ធមួយែដលមន n វញ េបើ្របូបបែដលទទួលបនេជគជ័ យ េសមើនឹង p ្របូបបែដលប ជ័យេសមើនឹង q = 1 − p និង X ជអេថរៃចដនយេទ្វធ េនះ អនុគមន៍ដង់សុីេត្របូបបៃនអេថរ X កំណត់េ

យ P ( X = x ) = C ( n, x ) × p x (1 − p )

n− x

ែដល x = 0,1, 2,3,..., n ។

-េបើ X ជអេថរៃចដនយេទ្វធៃនបំែណងែចកេទ្វធ េគកំណត់សរេសរ X Bin ( n, p ) ែដល n ជចំនួនដងៃនករពិេ េជគជ័យកនុងករពិ េ

ធមិនទក់ទងគន េហើយ p ជ្របូបបែដលទទួលបន

ធម្តង ។

-េបើ X ជអេថរៃចដនយៃន Bin ( n, p ) េនះ E ( X ) = np េហើយ Var ( x ) = np (1 − p ) ។ -េដើមបីរកតៃម្លៃន X ែដលេធ្វើឱយមនតៃម្ល្របូបបធំជងេគ េគ្រតូវរកតៃម្លៃន X ែដលេន ិ ជុំវញតៃម្ល មធយម ឬ E ( X )

។

91

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ២

លំ

ិ ត់គំរទ ូ ី ១: េគដឹងថ្របូបបែដលសិស មនក់្របលងជប់ែតសគណិតវទយេសម ើនឹង

0.75 ។គណន្របូបបែដលសិស មួយ្រកុមមនគន 10 នក់្របលងជប់ែតសគណិត-

ិ វទយេលើ សពី 5 នក់ ។

ចេម្លើយ ិ ង S ជ្រពឹតិក ្ត រណ៍ែដលសិស ្របលងជប់ ែតសគណិតវទយ ិ F ជ្រពឹតិក ្ត រណ៍ែដលសិស ្របលងមិនជប់ែតសគណិតវទយ េគបន P(S) =0.75

នំឱយ P( F ) = 1- 0.75 = 0.25

ិ េបើ X ជអេថរៃចដនយ ែដលជ “ ចំនួនសិស ្របលងជប់ ែតសគណិតវទយ “ ិ េគបន្របូបបែដលសិស ្របលងជប់ែតសគណិតវទយេលើ សពី 5 កំណត់េ

P ( X > 5) = P ( X = 6) + P ( X = 7) + P ( X = 8) + P ( X = 9) + P ( X = 9)

យ P( X>5)

មរូបមន្ត អនុគមន៍ដង់សុីេត្របូបបៃនអេថរ X :

P ( X = x) = C ( n, x) × p x q n− x ែដល x = 0,1, 2,3,...10

P ( X = 6) = C (10;6) × ( 0.75) ( 0.25) 6

4

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM6)m(0.75) បន្តf6$m(0.25)f4$p េគបន P ( X = 6) = 0.1460

P ( X = 7) = C (10;7) × ( 0.75) ( 0.25) 7

3

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM7)m(0.75) បន្តf7$m(0.25)f3$p េគបន P ( X = 7) = 0.2503

P ( X = 8) = C (10;8) × ( 0.75) ( 0.25) 8

2

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM8)m(0.75) បន្តf8$m(0.25)f2$p េគបន P ( X = 8) = 0.2816

P ( X = 9) = C (10;9) × ( 0.75) ( 0.25) 9

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM9)m(0.75) បន្តf9$m(0.25)p េគបន P ( X = 9) = 0.1877

P ( X = 10) = C (10;10) × ( 0.75)

10

( 0.25) 0

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM10)m(0.75)

92

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ២

បន្តf10$m(0.25)f0$p េគបន P ( X = 10) = 0.0563

េនះ P ( X > 5) = 0.1460 + 0.2503 + 0.2816 + 0.1877 + 0.0563 ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES 0.1460+0.2503+0.2 បន្ត816+0.1877+0.0563p

P ( X > 5) = 0.9219

ិ ដូចេនះ ្របូបបែដលសិស មួយ្រកុមមនគន 10 នក់្របលងជប់ែតសគណិតវទយេលើ ស ពី 5 នក់េសមើនឹង 0.9119

លំ

ត់គំរទ ូ ី ២: េបើ X ជអេថរៃន C ( n;0.6) េហើយ P ( X < 1) = 0.0256 ។ គណនតៃម្ល n ។

ចេម្លើយ

មសមមតិកមម C ( n;0.6) េហើយ P ( X < 1) = P ( X = 0) = 0.0256

ម៉យងេទៀត P ( X = x) = C ( n , x) p x (1 − p ) នំឱយ

n− x

P ( X = 0) = C ( n , 0)( 0.6) ( 0.4)

ម (1) និង

0

(1)

n−0

= ( 0.4)

n

( 2)

េគបន ( 0.4) = 0.0256

( 2)

n

នំឱយ

n = log 0.4 0.0256

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES i0.4$0.0256p េគបន n = 4

្របតិបត្តិ ្របូបបែដលកី

ករបញ់្រពួញមនក់បញ់ចំេគលេ

គត់បញ់ខុសេគលេ េ

យចំេគលេ

លំ

េសមើនឹង p េហើយ ្របូបបែដល

េសមើនឹង q ។ សរេសរ ្របូបបែដលកី

ករបញ់ចំនួន 10 ដង

6 ដង ។

ត់គំរទ ូ ី ៣ : េនកនុងថង់មួយមនបល់ពណ៌្រកហម 6 បល់ ពណ៌េលឿង 8 និង

បល់ពណ៌េខៀវ 6 ។ េគចប់យកបល់មួយេ ពណ៌របស់បល់ រួច

យៃចដនយេចញពីថង់េនះ េហើយកត់ទុកនូវ

ិ ។ េគចប់េហើយ ក់ចូលកនុងថង់វញ

ិ ក់ចូលវញចំ នួន 10 ដង ។

ក . រកចំនួនបល់ពណ៌្រកហមែដលសងឃឹមទុកនឹ ងចប់ បនទំងអស់ ។ ខ . រក្របូបបែដលបល់ពណ៌េលឿងទំងអស់មិនេលើសពី 4 ។

93

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ២

ចេម្លើយ ក.

ង X ជអេថរៃចដនយ “ ចំនួនបល់ពណ៌្រកហម “

X Bin ( n , p ) ែដល n = 10 , p =

6 3 = 20 10

3 =3 10 ដូចេនះ េគសងឃឹមទុកថ េគនឹងចប់បនបល់ពណ៌្រកហមទំងអស់ចំនួន 3 បល់ ។ េគបន E ( X ) = np = 10 ×

ខ.

ង Y ជអេថរៃចដនយ “ ចំនួនបល់ពណ៌េលឿង “

8 2 2 3 = និង p = 1 − = 20 5 5 5 ្របូបបែដលចប់បនបល់ពណ៌េលឿងមិនេលើសពី 4 គឺ P ( X ≤ 4) េគបន

X Bin ( n , p ) ែដល n = 10 , p =

P ( X ≤ 4) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) + P ( X = 3) + P ( X = 4) 0

⎛ 2 ⎞ ⎛ 3⎞ P ( X = 0) = C (10 , 0) × ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5⎠

10

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM0)m(a2$5$) បន្តf0$m(a3$5$)f10$p េគបន P ( X = 0) = 0.0060

⎛ 2 ⎞ ⎛ 3⎞ P ( X = 1) = C (10 , 1) × ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5⎠

9

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM1)m(a2$5) បន្ត$m(a3$5)f9$p េគបន P ( X = 1) = 0.0403

2

⎛ 2 ⎞ ⎛ 3⎞ P ( X = 2) = C (10 , 2) × ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5⎠

8

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM2)m(a2$5$) បន្តf2$m(a3$5$)f8$p េគបន P ( X = 2) = 0.1209

3

⎛ 2 ⎞ ⎛ 3⎞ P ( X = 3) = C (10 , 3) × ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5⎠

7

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM3)m(a2$5$) បន្តf3$m(a3$5$)f7$p េគបន P ( X = 3) = 0.2150

4

⎛ 2 ⎞ ⎛ 3⎞ P ( X = 4) = C (10 , 4) × ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5⎠

6

94

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ២

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM4)m(a2$5$) បន្តf4$m(a3$5$)f6p េគបន P ( X = 4) = 0.2508

េគបន P ( X ≤ 4 ) = 0.0060 + 0.0403 + 0.1209 + 0.2508 + 0.2150 0.0060+0.0403+ បន្ត 0.1209+0.2508+0.2150p

P ( X ≤ 4) = 0.6330 ដូចេនះ្របូបបែដលចប់បនបល់ពណ៌េលឿងទំងអស់មិនេលើសពី 4 េសមើ 0.6330

្របតិបត្តិ : េបើ X ជអេថរៃចដនយៃន B (10 , p ) េហើយ p < គណន

លំ

ក. p

ខ . E( X )

គ . P ( X = 2)

1 15 , Var ( X ) = ។ 2 8

ត់គំរទ ូ ី ៤ : េបើ X ជអេថរៃចដនយៃន B (10 , 0.45) ។ គណនតៃម្ល X ែដលេកើតញឹកញប់ជងេគ ។

ចេម្លើយ េគមន

X Bin ( n , p ) េគបន P ( X = x) = C ( n , x) × p x (1 − p)

n− x

, x = 0,1,...,10

P ( X = 0) = C (10 , 0) × ( 0.45) ( 0.55) 0

10

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM0)m(0.45) បន្តf0$m(0.55)f10$p េគបន P ( X = 0) = 0.0025

P ( X = 1) = C (10 , 1) × ( 0.45)( 0.55)

9

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM1)m(0.45) បន្តm(0.55)f9$p េគបន P ( X = 1) = 0.0207

P ( X = 2) = C (10 , 2) × ( 0.45) ( 0.55) 2

8

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM2)m(0.45) បន្តf2$m(0.55)f8$p េគបន P ( X = 2) = 0.0763

P ( X = 3) = C (10 , 3) × ( 0.45) ( 0.55) 3

7

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM3)m(0.45) បន្តf3$m(0.55)f7$p េគបន P ( X = 3) = 0.1665

95

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ២

P ( X = 4) = C (10 , 4) × ( 0.45) ( 0.55) 4

6

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM4)m(0.45) បន្តf4$m(0.55)f6p េគបន P ( X = 4) = 0.2384

P ( X = 5) = C (10 , 5) × ( 0.45) ( 0.55) 5

5

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM5)m(0.45) បន្តf5$m(0.55)f5p េគបន P ( X = 5) = 0.2340

P ( X = 6) = C (10 , 6) × ( 0.45) ( 0.55) 6

4

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM6)m(0.45) បន្តf6$m(0.55)f4p េគបន P ( X = 6) = 0.1595

េគេឃើញថតៃម្ល x = 4 ៃន X ្រតូវនឹង្របូបបធំជងេគ ។ ដូចេនះ តៃម្ល X ែដលេកើតញឹកញប់ជងេគ ឬ ម៉ូតេសមើនឹង 4 ។

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៥ : េបើ X ជអេថរៃចដនយេទ្វធៃនបំែណងែចកេទ្វធែដលមនមធយមេសមើ ។

នឹង 2 និង ៉ រយង់េសមើនឹង 1.6

ក . គណនតៃម្ល X ែដលេកើតញឹកញប់ ជងេគ ។ ខ . គណន P ( X < 6)

ចេម្លើយ ក . គណនតៃម្ល X ែដលេកើតញឹកញប់ជងេគ

េបើ X ជអេថរៃន Bin ( n , p ) េគបន E ( X ) = np និង Var ( X ) = npq ង 1− p = q

ែត E ( X ) = 2 និង Var ( X ) = 1.6

េគបន np = 2 និង npq = 1.6 នំឱយ q = 0.8 េ

យ p = 1 − q = 1 − 0.8 = 0.2 េហើយ np = 2 នំឱយ n =

េគ្រតូវយកតៃម្ល x ៃន X

េនែកបរៗតៃម្លមធយម ដូចេនះ

2 2 = = 10 p 0.2

x =1, 2 , 3 ។

X ជអេថរៃចដនយេទ្វធៃនបំែណងែចកេទ្វធ េគបន អនុ គមន៍ ដង់សុីេត្របូបប

P ( X = x) = C ( n , x) × p x (1 − p)

n− x

P ( X = 1) = C (10 , 1) × ( 0.2)( 0.8)

9

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM1)m(0.2) បន្តm(0.8)f9$p

96

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ២

េគបន P ( X = 1) = 0.2684

P ( X = 2) = C (10 , 2) × ( 0.2) ( 0.8) 2

8

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM2)m(0.2) បន្តf2$m(0.8)f8$p េគបន P ( X = 2) = 0.3020

P ( X = 3) = C (10 , 3) × ( 0.2) ( 0.8) 3

7

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM3)m(0.2) បន្តf3$m(0.8)f7$p េគបន P ( X = 3) = 0.2013

េគេឃើញថតៃម្ល x = 2 ៃន X ្រតូវនឹង្របូបបធំជងេគ ខ . គណន P ( X < 6)

P ( X < 6 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3) + P ( X = 4 ) + P ( X = 5 )

ែត P ( X = 0) = C (10 , 0) × ( 0.2) ( 0.8) 0

10

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM0)m(0.2) បន្តf0$m(0.8)f10$p េគបន P ( X = 0) = 0.1074

ែត P ( X = 1) = C (10 , 1) × ( 0.2 )( 0.8 )

9

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM1)m(0.2) បន្ត$m(0.8)f9$p េគបន P ( X = 1) = 0.2684

ែត P ( X = 2 ) = C (10 , 2 ) × ( 0.2 ) ( 0.8 ) 2

8

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM2)m(0.2) បន្តf2$m(0.8)f8$p េគបន P ( X = 3) = 0.3020

ែត P ( X = 3) = C (10 , 3) × ( 0.2 ) ( 0.8 ) 3

7

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM3)m(0.2) បន្តf3$m(0.8)f7$p េគបន P ( X = 3) = 0.2013

P ( X = 4) = C (10 , 4) × ( 0.2) ( 0.8) 4

6

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES

97

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ២

(10qM4)m(0.2) បន្តf4$m(0.8)f6$p េគបន P ( X = 4) = 0.0881

P ( X = 5) = C (10 , 5) × ( 0.2) ( 0.8) 5

5

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (10qM5)m(0.2) បន្តf5$m(0.8)f5$p េគបន P ( X = 5) = 0.0264

P ( X < 6) = 0.1074 + 0.2684 + 0.3020 + 0.2013 + 0.0881 + 0.0264 0.1074+0.2684+0 .3020+0.2013+0. 0881+0.0264p េគបន P ( X < 6) = 0.9936

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៦ : េនកនុងភូមិមួយ េគដឹងថ 80% ៃន្របជជនមនជមងឺែភនក ។

េបើេគេ្រជើសេរ ើសយកមនុស 12 នក់ មកពិ និតយ ។ រកចំនួនអនកមនជមងឺែភនក ។

ចេម្លើយ ង X ជអេថរៃចដនយ “ចំនួនអនកមនជមងឺែភនក “ េនះ X ជអេថរៃន

X Bin ( n , p ) ែដល n = 12 , p = 80% = 0.8

អនុគមន៍ដង់សុីេត្របូបប P ( X = x) = C (12, x) × ( 0.8) ( 0.2) x

េ

យ

12− x

, x = 0,1, 2,...,12

E ( X ) = np = 12 × 0.8 = 9.6 េនះេគ្រតូវយកតៃម្ល x = 9 , 10 ,11

P ( X = 9) = C (12 , 9) × ( 0.8) ( 0.2) 9

3

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (12qM9)m(0.8) បន្តf9$m(0.2)f3$p េគបន P ( X = 9) = 0.2362

P ( X = 10) = C (12 , 10) × ( 0.8)

10

( 0.2) 2

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (12qM10)m(0.8) បន្តf10$m(0.2)f2$p េគបន P ( X = 10) = 0.2834

P ( X = 11) = C (12 , 11) × ( 0.8)

11

( ធំជងេគ )

( 0.2)

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES (12qM11)m(0.8) បន្តf11$m(0.2)$p េគបន P ( X = 11) = 0.2061

ដូចេនះ ចំនួនអនកមនជមងឺែភនកេសមើនឹង 10 នក់

98

ជំពូក៥ េមេរៀនទី ២

្របតិបត្តិ : េនកនុងថង់មួយមនឃ្លីពណ៌ស 5 ្រគប់ ឃ្លីពណ៌េខម 8 និង ឃ្លីពណ៌្រកហម 7 ។ េគចប់យកឃ្លីមួយេ េគចប់េហើយ

យៃចដនយពីថង់េនះ េគកត់្រ

ពណ៌របស់ឃីេ្ល ហើយ

ិ ក់ចូលវញ

ិ ក់ចូលវញចំ នួន 8 ដង ។

ក . រកចំនួនឃ្លីពណ៌្រកហមែដលសងឃឹមទុក ។ ខ . រកចំនួនឃ្លីពណ៌េខម ែដលេកើតេឡើងញឹកញប់ ជងេគ ។ លំ

ត់

១ . េគេបះ្រគប់ឡុក

ក់មួយចំ នួន 7 ដង ។ រក្របូបបែដលេបះ្រគប់ឡុក

ក់េចញ

មុខេលខ 2 ចំនួន 3 ដង ។

២ . ថង់មួយមនបល់ពណ៌្រកហម 3 និងបល់ពណ៌ស 2 ។ េគចប់យកបល់មួយេចញ ពីថង់ េហើយកត់្រ

ពណ៌ៃនបល់ រួច

ិ ។ េបើេគចប់េហើយ ក់ចូលកនុ ងថង់វញ

ក់ចូល

ិ វញចំ នួន5 ដង ។ គណន្របូបបែដលេគចប់បនបល់ពណ៌ ្រកហមចំនួន 2 ដង ។

⎛ 1⎞ ៣ . េបើ X ជអេថរៃន Bin ⎜ 6 ; ⎟ គណន ក . P ( X = 4) ខ . P ( X ≤ 2) 3⎠ ⎝ ៤ . ្របូបបែដលមនុស មនក់គំ្រទគណៈបក A េសមើ 0.6 ។ េគេធ្វើករសទង់មតិេលើសំ

ក

មួយែដលមនមនុស 8 នក់ ។ រក្របូបបែដល : ក . 3 នក់គំ្រទគណៈបក A ។

ខ . េ្រចើនជង 5 នក់គំ្រទគណៈបក A ។

៥ . កនុងែលបងេបះកក់មួយ េគនឹងទទួលបន្របក់ 200 េរៀល េបើកក់ផងរេឡើងខងរូប កបល េហើយទទួលបន្របក់ 100 េរៀល េបើកក់ផងរេឡើងគមនខងរូបកបល ។

េគេបះកក់េនះចំនួន 8 ដង។ គណន្របូបបែដលេគទទួលបប្របក់ទំងអស់ 1500 េរៀល ។ ៦ . េនេលើបនទត់ចំនួន េគេចញដំេណើរពីគល់ 0 េទទិសខង ្រគប់ឡុក

្ត ំមួយ្របេ

ះ េបើេគេបះ

ក់មួយេចញបនេលខ 1 ឬេលខ 2 ។ េគនឹងេទទិ សខងេឆ្វងមួយ្របេ

េបើេគេបះបនេលខេផ ងេទៀត ។ េគេបះ្រគប់ឡុក

ះ

ក់ 6 ដង ។

ិ គណន្របូបបែដលេធ្វើឱយេគ្រតឡប់មកដល់គល់ 0 វញេនេពលេគេបះេលើ កទី 6 ។

៧ . X ជអេថរៃន Bin (10 ; 0.3) គណន ក . E( X )

ខ . គំ

តស្តង់

៨ . X ជអេថរៃន Bin ( 8 ; 0.4 ) គណន

ក . តៃម្ល ែដលេកើតញឹកញប់ ជងេគ

គ . ម៉ូត ខ . P ( X ≤ 4)

គ . P ( X ≥ 4)

99

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ១

៦

ជំព ូក

សថត ិ ិពីរអេថរ

េមេរៀនទី

១

សថត ិ ិមនពីរអេថរ

េមេរៀនសេងខប

- សថិតិៃនពីរអេថរជទំនក់ទំនងរ ងតៃម្ល និង តែម្លៃនទិននន័យមួយ េហើយតៃម្លទិននន័យ េនះេ

ថអេថរ ។

- េដើមបីរកសមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊េគ្រតូវរកចំណុចមធយម ពីរ : + តេ្រម បចំណុចទិននន័យពី

ប់ សុីសតូចេទ

ប់សុីសធំ

+ ែចកចំ ណុចទិននន័យជពីរ្រកុមេសមើគន េបើចំនួនៃនចំ ណុចទិននន័យជចំនួនគូ ែតេបើ ចំណុចទិ ននន័យជចំ នួនេសស េគែចកចំណុចទំងេនះជពីរ្រកុមមិ នេសមើគន ។ + រកចំណុចមធយមៃន្រកុមនី មួយៗ + សរេសរសមីករបនទត់ ែដលកត់

មចំ ណុចមធយមទំងពីរ ។

100

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់គំរទ ូ ី១:

ងខងេ្រកមជ

ងសថិតិពីរអេថរ :

xi

2

4

6

8

9

10

yi

7

10

13

15

20

28

ក . បក្រ

យសថិតិពីរអេថរខងេលើជចំណុច

ខ . រកចំណុចមធយម មចំណុច M និង ចំណុច ( 6 , 13 ) ។

គ . រកសមីករែដលកត់

ចេម្លើយ ក.េ

ចំណុច

( 2 , 7) ; ( 4 , 10) ; ( 6 , 13) ; ( 8 , 15) ; ( 9, 20) ; (10, 28) 28

yi

កនុងតំរយ ុ ែកង



20



16.3 15 13 10 7



0

2







ខ . ចំណុចមធយមកំណត់េ

6 6.5 8 9 10

4

(

យ M x, y

xi

)

2 + 4 + 6 + 8 + 9 + 10 6 ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES

x=

ចុច w1 a2+4+6+8+9+10$6np x = 6.5 7 + 10 + 13 + 15 + 20 + 28 y= 6 ចុច w1 a7+10+13+15+20+28$6np y = 16.33 ដូចេនះ M ( 6.5 ; 16.33) គ . រកសមីករែដលកត់

មចំ ណុច M ( 6.5 ; 16.33) និង ចំណុច ( 6 , 13 )

13 − 16.33 ( x − 6) 6 − 6.5 −3.33 y= ( x − 6) + 13 −0.5 y = 6.6 ( x − 6) + 13

មន ង y − 13 =

y = 6.6 x − 26.6 ដូចេនះ សមីករែដលកត់

មចំណុច M ( 6.5 ; 16.33) និង ( 6 , 13 ) គឺ y = 6.6 x − 26.6 101

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ១

្របតិបត្តិ :ករ្របមូល្របក់ពនធ មកែន្លងលក់ចំនួន 8 កែន្លងកនុងផ មួយ េគទទួលបន ្របក់ចំណូលដូច

ងខងេ្រកម :

សបហ៍ ទី ្ត

1

2

3

4

5

6

7

8

xi ្របក់ចំណូលៃថងចនទ

43

65

56

63

56

56

56

51

72

83

79

84

80

76

74

79

yi ្របក់ចំណូលៃថងេ ក . បក្រ

រ៍

យសថិតិពីរអេថរខងេលើជចំណុច

ខ . រកចំណុចមធយម គ . រកសមីករែដលកត់

លំ

មចំណុច M និង ចំណុច ( 63 , 84 ) ។

ត់គំរទ ូ ី ២ : ទិនន ន ័យកនុង

ងខងេ្រកមជសថិតិពីរអេថរ

xi

2

4

6

8

9

12

14

yi

7

10

11

13

17

19

23

ក.េ

ចំណុចទិននន័យកនុងតំរយ ុ ែកង

ខ . ែចកចំណុចទិននន័យជពីរ្រកុម រួចរកសមីករបនទត់ែដលកត់ ្រកុមទំងពីរ

មចំ ណុចមធយមៃន

។

ចេម្លើយ ក.េ

ចំណុចទិននន័យកនុងតំរយ ុ ែកង

yi

23 19 17



13 11 10 7



0

2



4



6





8 9

12

14

xi

ខ . ែចកចំណុចទិននន័យជពីរ្រកុម ្រកុម 1:

( 2 , 7 ) , ( 4 , 10 ) , ( 6 , 11 ) , ( 8 , 13 )

្រកុម 2:

( 9 , 17 ) , ( 12 , 19 ) , ( 14 , 23 )

(

)

ង M 1 x1 , y1 ជមធយមចំ ណុចៃន្រកុមទី១

2+ 4+6+8 4 ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES

x1 =

ចុច w1

102

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ១

a2+4+6+8$4np x1 = 5 7 + 10 + 11 + 13 y1 = 4 ចុច w1 a7+10+11+13$4np y1 = 10.25 ដូចេនះ M 1 ( 5 ; 10.25)

(

)

ង M 2 x2 , y2 ជមធយមចំណុចៃន្រកុមទី២

9 + 12 + 14 3 ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES

x2 =

ចុច w1 a9+12+14$3np x2 = 11.67 17 + 19 + 23 y2 = 3 ចុច w1 a17+19+23$3np y = 19.67 ដូចេនះ M 2 (11.67 , 19.67 ) ខ . រកសមីករបនទត់ែដលកត់

មចំ ណុចមធយមៃន្រកុមទំងពីរ

10.25 − 19.67 ( x − 5) 5 − 11.67 y = 1.41( x − 5) + 10.25

មន ង y − 10.25 =

y = 1.41x + 3.2 ដូចេនះ សមីករែដលកត់ ្របតិបត្តិ:

ងខងេ្រកមបង្ហញអ្រ

xi ឆនំ yi អ្រ ក.េ

មចំណុច M 1 និង M 2 គឺ y = 1.41x − 3.2 ្របក់េម៉ ងកមមករេនេ ងច្រកមួយ

1950

1952

1954

1956

1958

1960

1962

1964

1.5

1.8

1.9

2.5

2.8

3.2

3.7

4.3

ចំណុចទិននន័យកនុងតំរយ ុ ែកង

ខ . សរេសរសមីករបនទត់ែដលកត់ គ . ប៉ ន់

មឆនំនីមួយៗ

ម នអ្រ

មចំ ណុចមធយមទំងពីរ

្របក់េម៉ ងកមមករេនឆនំ 1966។

103

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ១

លំ ១ . េគឱយ

ត់ ងសថិតិពីរអេថរខងេ្រកម :

xi

2

3.5

2.5

4

4.5

5

6

6.5

7

8

yi

10

15

20

18

30

35

40

38

32

45

ក . បក្រ

យសថិតិៃនពីរអេថរជចំណុច ។

ខ . ផ្តំុចំណុចខងេលើជពីរ្រកុម ។

គ . រកចំណុចមធយម M 1 និង M 2 រួចរកសមីករបនទត់ ែដលកត់ ២ . េនេលើបនទត់ឈរ សំពធបរ ិយកសថយចុះ កល ងខងេ្រកម :

មចំណុច M 1 និង M 2 ។

កមពស់េកើនេឡើង ដូចកនុង

ង xi ជកមពស់គិតជ km េហើយ yi ជសំពធគិតជ cm ៃនបរត ។

xi

0

1

2

4

6

10

yi

10

15

20

18

30

35

ក . បក្រ

យទិននន័យខងេលើជចំណុច ។

ខ . រកសមីករបនទត់ តែ្រមត្រមង់ែដលកត់

មចំណុចមធយមទំងពីរ ។

គ . រកកមពស់ៃនកែន្លងមួយែដលមនសំពធបរ ិយកសេសមើនឹង 40cm ៃនបរត ។ ៣.

ងទិននន័យខងេ្រកមបង្ហញពីចំនួន្របក់ែដលចំ

យេលើករ

ងសង់របស់

្របេទសមួយេនអំឡុងេពល ៦ ែខ :

xi ែខ

េម

yi ចំនួន្របក់គិតជពន់ េបើ x = 0

ងែខេម

នេរៀល

ឧសភ មិថុន កកក

24

19

30

សី

កញញ

49

68

67

9

។

ក . រកសមីករតែ្រមត្រមង់ ។ ខ . ចូរេធ្វើករប៉ ន់ ៤ . េគឱយ

ម នចំនួន្របក់ែដលចំ

យកនុងែខ តុ

ងសថិតិៃនពីរអេថរខងេ្រកម :

។

xi

3

2

3.5

4

5

6

6.5

7

8

yi

11

13

20

25

19

30

35

38

32

ក . បក្រ

40

យសថិតិៃនពីរអេថរជចំណុច ។

ខ . ផ្តំុចំណុចខងេលើជពីរ្រកុម ។

គ . រកចំណុចមធយម M 1 និង M 2 រួចរកសមីករបនទត់ ែដលកត់

មចំណុច M 1 និង M 2 ។

104

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ២

េមេរៀនទី

២

សមីករបនទត់តែ្រមត្រមង់លេី នែអ៊

េមេរៀនសេងខប -

េបើេគមនចំ ណុចទិននន័យ ( x1 , y1 ) ,

( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) ,..., ( xn , yn )

េនះបនទត់តែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊មន ង y = ax + b ែដល a =

n ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ n∑ xi yi − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎜ ∑ yi ⎟ ⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ i =1

⎛ n ⎞ n∑ x − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i=1 ⎠ i =1 n

2

2 i

n ⎞ 1⎛ n និ ង b = ⎜ ∑ yi − a ∑ xi ⎟ ឬ b = y − ax ⎠ n ⎝ i=1 i =1

n

-

េមគុណតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊

ងេ

យr =

n

n

n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi i =1

i =1

2

i =1

⎛ ⎞ ⎛ n ⎞ n∑ x − ⎜ ∑ xi ⎟ × n∑ yi2 − ⎜ ∑ yi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ i =1 i =1 n

n

n

2

2 i

105

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ២

លំ

ត់គំរទ ូ ី ១ : រកសមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ៃនទិននន័យកនុង xi

1

1

2

4

yi

1

2

2

6

ងខងេ្រកម

ចេម្លើយ

េ្របីម៉សុី នគតេលខជួ យ ិ

សមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊មន ង y = ax + b ែដល a និង b ជចំនួន្រតូវកំណត់ េ

យ a=

n ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ n∑ xi yi − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎜ ∑ yi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ i =1

⎛ n ⎞ n∑ x − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ i =1 n

n ⎞ 1⎛ n និ ង b = ⎜ ∑ yi − a ∑ xi ⎟ ⎠ n ⎝ i=1 i =1

2

2 i

េគមន 4 ចំណុចដូចេនះេគបន n = 4 គណនផលបូក

4

ងខងេ្រកម

xi

yi

xi yi

1 1 2 4

1 2 2 6

1 2 4 24

∑ xi = 8 i =1

ម

4

∑ yi = 11 i =1

xi2 1 1 4 16

4

∑ xi yi = 31 i =1

4

∑x

2 i

= 22

i =1

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីជួយគណន ចូលករគណនេលើសិត ថ ិ w2C េ្រជើសេរ ើសអនុគមន៍ លីេនែអ៊ q112 បញូច លទិននន័យ 1p1p2p4pR$ 1p2p2p24pC គណន

4

4

∑ xi

q142p ∑ xi = 8

i =1

i =1

4

4

∑ yi

q144p ∑ yi = 11

i =1

i =1

4

4

∑ xi yi

q145p ∑ xi yi = 31

i =1

i =1

4

4

∑x

2 i

q141p

i =1

∑x

2 i

= 22

i =1

⎛ n ⎞⎛ n ⎞ n∑ xi yi − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎜ ∑ yi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ i =1 n

េគបន

a=

n ⎛ n ⎞ n∑ xi2 − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ i =1

2

=

4 × 31 − 8 × 11 4 × 22 − 82

បញូច លតៃម្ល a4O31-8O11$ 4O22-8dpn a = 1.5

106

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ២

និង b =

n ⎞ 1 1⎛ n y a xi ⎟ = (11 − 1.5 × 8) − ∑ ∑ i ⎜ ⎠ 4 n ⎝ i =1 i =1

បញូច លតៃម្ល a1$4$(11-1.5O8)pn b = −0.25 ដូចេនះ សមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ៃនទិននន័យគឺ y = 1.5 x − 0.25 េ្របីម៉សុី នគតេលខសុ ទធ ិ

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីគណន ចូលករគណនេលើសិត ថ ិ w2C េ្រជើសេរ ើសអនុគមន៍ លីេនែអ៊ q112 បញូច លទិននន័យ 1p1p2p4pR$ 1p2p4p6pC អនុគមន៍លីេនែអ៊ មន ង y = A + Bx ែដល A និង B ជចំនួន្រតូវកំណត់ កំណត់ A q171p A = −0.25 កំណត់ B q172p B = 1.5 ដូចេនះ សមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ៃនទិននន័យគឺ y = 1.5 x − 0.25

លំ

ត់គំរទ ូ ី ២ : កនុង

បឋមសិក មួ យ េគេ្រជើសេរ ើសសិស ចំនួន ១០នក់មកេធ្វើ

ករសិក រកទំនក់ ទំនងរ ងកមពស់ និង

យុ ។ េគទទួលបនលទធផលដូ ច

ងខង

េ្រកម : យុ ( ឆនំ )

6

7

7

7

9

10

11

9

6

11

yi កមពស់ (cm)

95

90

100

98

120

125

132

116

95

145

xi

ក . រកសមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ ៃនទិននន័យខងេលើ ។ ខ . រកកមពស់របស់សិស ែដលមន

យុ 7 ឆនំ ។

ចេម្លើយ ក . រកសមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ េ្របីម៉សុី នគតេលខជួ យ ិ

សមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊មន ង y = ax + b ែដល a និង b ជចំនួន្រតូវកំណត់ េ

យ a=

n ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ n∑ xi yi − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎜ ∑ yi ⎟ ⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ i =1

⎛ n ⎞ n∑ x − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i=1 ⎠ i =1 n

2

2 i

n ⎞ 1⎛ n និង b = ⎜ ∑ yi − a ∑ xi ⎟ ⎠ n ⎝ i=1 i =1

េគមន 10 ចំណុចដូចេនះេគបន n = 10

107

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ២

គណនផលបូក

ម

ងខងេ្រកម

xi

yi

xi yi

6 7 7 7 9 10 11 9 6 11

95 90 100 98 120 125 132 116 95 145

570 630 700 686 1080 1250 1452 1044 504 1595

10

∑ xi = 83 i =1

10

∑ yi = 1105 i =1

10

∑ xi yi = 9511 i =1

xi2 36 49 49 49 81 100 121 81 36 121 10

∑x

2 i

= 723

i =1

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីជួយគណន ចូលករគណនេលើសិត ថ ិ w2C េ្រជើសេរ ើសអនុគមន៍ លីេនែអ៊ q112 បញូច លទិននន័យ 6p7p7p7p9p10p11p 9p6p11pR$95p90p1 បន្ត 00p98p120p125p13 2p116p95p145pC គណន

10

10

∑ xi

q142p ∑ xi = 83

10

q144p ∑ yi = 1105

i =1

i =1 10

∑ yi i =1

i =1

10

10

∑ xi yi

q145p ∑ xi yi = 9511

i =1

i =1

10

10

∑x

2 i

q141p

i =1

∑x

2 i

= 723

i =1

⎛ n ⎞⎛ n ⎞ n∑ xi yi − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎜ ∑ yi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ i =1 n

េគបន

a=

n ⎛ n ⎞ n∑ xi2 − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ i =1

2

=

10 × 9511 − 83 × 1105 10 × 723 − 832

ចូលករគណនទូេទ w1 បញូច លតៃម្ល a10O9511-83O11 05$10O723-83dpn a = 9.96 n 1⎛ n ⎞ 1 និង b = ⎜ ∑ yi − a ∑ xi ⎟ = (1105 − 9.96 × 83) n ⎝ i =1 i =1 ⎠ 10 បញូច លតៃម្ល a1$10$(1105-9.96O 83)pn b = 27.83 ដូចេនះ សមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ៃនទិននន័យគឺ y = 9.96 x + 27.83

108

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ២

េ្របីម៉សុី នគតេលខសុ ទធ ិ

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីគណន ចូលករគណនេលើសិត ថ ិ w2C េ្រជើសេរ ើសអនុគមន៍ លីេនែអ៊ q112 បញូច លទិននន័យ 6p7p7p7p9p10p11p 9p6p11pR$95p90p1 បន្ត 00p98p120p125p13 2p116p95p145pC អនុគមន៍លីេនែអ៊ មន ង y = A + Bx ែដល A និង B ជចំនួន្រតូវកំណត់ កំណត់ A q171p A = 27.83 កំណត់ B q172p B = 9.96 ដូចេនះ សមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ៃនទិននន័យគឺ y = 9.96 x + 27.83 ខ . រកកមពស់របស់សិស ែដលមន

េ្របីម៉សុី នគតេលខជួ យ ិ

យុ 7 ឆនំ

រក y េ

យជំនួស x = 7 កនុ ងសមីករ y = 9.96 x + 27.83 េគបន y = 9.96 × 7 + 27.83 ចូលករគណនទូេទ w1 បញូច លតៃម្ល 9.96O7+27.83p y = 97.55cm

េ្របីម៉សុី នគតេលខសុ ទធ ិ

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីគណន ចូលករគណនេលើសិត ថ ិ w2C េ្រជើសេរ ើសអនុគមន៍ លីេនែអ៊ q112 បញូច លទិននន័យ 6p7p7p7p9p10p11p 9p6p11pR$95p90p1 បន្ត 00p98p120p125p13 2p116p95p145pC គណន y ចំេពះ x = 7 7q175p y = 97.55cm

លំ

ត់គំរទ ូ ី៣:

មរបយកណ៍ពីម្រន្តីមនក់មកពី ្រកសួងេទសចរណ៍របស់្របេទសមួយបនឱយដឹងថ ចំនួនេទសចរណ៍ែដលមកកំ

ន្តេន្របេទសេនះឱយេ

យ

ងខងេ្រកម :

xi ( ឆនំ )

2005

2006

2007

2008

2009

yi មុឺននក់

25.7

26.3

29.7

34.2

38.3

ក . រកសមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ ។ ខ . ចូរេធ្វើករប៉ ន់

ម នចំនួនអនកេទសចរណ៍ ែដលនឹងមកកំ

ន្តេនកនុងឆនំ 2010។

109

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ២

ចេម្លើយ ក . រកសមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ េបើ x = 0

ង ឆនំ2005 េនះេគបនចំណុចទិននន័យ ( 0; 25.7) ; (1; 26.3 ) ; ( 2; 29.7)

; ( 3;34.2) ; ( 4;38.3)

េ្របីម៉សុី នគតេលខជួ យ ិ

សមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊មន ង y = ax + b ែដល a និង b ជចំនួន្រតូវកំណត់ េ

យ a=

n ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ n∑ xi yi − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎜ ∑ yi ⎟ ⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ i =1

⎛ n ⎞ n∑ x − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i=1 ⎠ i =1 n

2

2 i

n ⎞ 1⎛ n និង b = ⎜ ∑ yi − a ∑ xi ⎟ ⎠ n ⎝ i=1 i =1

េគមន 5 ចំណុចដូចេនះេគបន n = 5 គណនផលបូក

5

ម

ងខងេ្រកម

xi

yi

xi yi

xi2

0 1 2 3 4

25.7 26.3 29.7 34.2 38.3

0 26.3 59.4 102.6 153.2

0 1 4 9 16

∑ xi = 10 i =1

5

∑ yi = 154.2 i =1

5

∑ xi yi = 341.5 i =1

5

∑x

2 i

= 30

i =1

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីជួយគណន ចូលករគណនេលើសិត ថ ិ w2C េ្រជើសេរ ើសអនុគមន៍ លីេនែអ៊ q112 បញូច លទិននន័យ 0p1p2p3p4pR$25.7 p26.3p29.7p34. បន្ត 2p38.3pC គណន

5

∑ xi i =1 5

5

q142p ∑ xi = 10 i =1 5

∑ yi

q144p ∑ yi = 154.2

i =1

i =1

5

∑ xi yi i =1

5

q145p ∑ xi yi = 341.5 i =1

5

∑x

2 i

i =1

5

q141p

∑x

2 i

= 30

i =1

110

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ២

េគបន

a=

n ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ n∑ xi yi − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎜ ∑ yi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ i =1 n ⎛ n ⎞ n∑ xi2 − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ i =1

2

=

5 × 341.5 − 10 × 154.2 5 × 30 − 102

ចូលករគណនទូេទ w1 បញូច លតៃម្ល a5O341.5-10O154.2 $5O30-10dpn a = 3.31 n ⎞ 1 1⎛ n និង b = ⎜ ∑ yi − a ∑ xi ⎟ = (154.2 − 3.31 × 10) ⎠ 5 n ⎝ i =1 i =1 បញូច លតៃម្ល a1$5$(154.2-3.31O 10)pn b = 24.22 ដូចេនះ សមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ៃនទិននន័យគឺ y = 3.31x + 24.22 េ្របីម៉សុី នគតេលខសុ ទធ ិ

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីគណន ចូលករគណនេលើសិត ថ ិ w2C េ្រជើសេរ ើសអនុគមន៍ លីេនែអ៊ q112 បញូច លទិននន័យ 0p1p2p3p4pR$25.7p26 បន្ត .3p29.7p34.2p38.3pC អនុគមន៍លីេនែអ៊ មន ង y = A + Bx ែដល A និង B ជចំនួន្រតូវកំណត់ កំណត់ A q171p A = 24.22 កំណត់ B q172p B = 3.31 ដូចេនះ សមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ៃនទិននន័យគឺ y = 3.31x + 24.22 ខ . ចូរេធ្វើករប៉ ន់

ម នចំនួនអនកេទសចរណ៍ ែដលនឹងមកកំ

្រតូវនឹង x = 5

ន្តេនកនុងឆនំ 2010។

េ្របីម៉សុី នគតេលខជួ យ ិ រក y េ

យជំនួស x = 5 កនុ ងសមីករ y = 3.31x + 24.22 េគបន y = 3.31 × 5 + 24.22 ចូលករគណនទូេទ w1 បញូច លតៃម្ល 3.31O5+24.22p y = 40.77 ≈ 41 ដូចេនះ ចំនួនអនកេទសចរណ៍ ែដលនឹងមកកំ ន្តេនកនុងឆនំ 2010 ្របែហល 41 មុឺននក់

េ្របីម៉សុី នគតេលខសុ ទធ ិ

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីគណន ចូលករគណនេលើសិត ថ ិ w2C

111

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ២

េ្រជើសេរ ើសអនុគមន៍ លីេនែអ៊ q112 បញូច លទិននន័យ 0p1p2p3p4pR$25.7p26 បន្ត .3p29.7p34.2p38.3pC គណន y ចំេពះ x = 5

5q175p y = 40.77 ≈ 41

្របតិបត្តិ : ្រកុមហ៊ុនមួ យលក់រថយន្តែដលបនេ្របើ្របស់រច ួ ។ តៃម្លលក់បញុច ះេទ

ចំនួនឆនំែដលបនេ្របើ្របស់ ។

ង xi ជចំនួនឆនំែដលបនេ្របើ្របស់ និង yi

នេរៀល )។េគបន

ម

ងតៃម្លលក់

( ឯក

ជ

ងទិ ននន័យែដលបនលក់កន្លងមក

xi

2

4

5

5

5

5

6

6

6

7

7

yi

169

103

85

82

89

98

66

95

169

70

49

ក . រកសមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ ៃនទិននន័យខងេលើ ។ ខ . រកតៃម្លរថយន្តែដលមនចំ

លំ

ស់ ៣ ឆនំ និង ៥ ឆនំ ។

ត់គំរទ ូ ី ៤: រកេមគុណតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ៃនទិននន័យខងេ្រកម : xi

1

2

3

4

yi

2

4

4

6

ចេម្លើយ រកេមគុណតែ្រមត្រមង់ លីេនែអ៊

េ្របីម៉សុី នគតេលខជួ យ ិ

n

មរូបមន្ត

r=

i =1

4

ម

i =1

i =1

2

n

n

2

n

ែដល n = 4

ងខងេ្រកម:

xi

yi

xi yi

1 2 3 4

2 4 4 6

2 8 12 24

∑ xi = 10 i =1

n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ n∑ xi2 − ⎜ ∑ xi ⎟ × n∑ yi2 − ⎜ ∑ yi ⎟ ⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ i =1 i =1 n

គណនផលបូក

n

n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi

4

∑ yi = 16 i =1

4

∑ xi yi = 46 i =1

xi2 1 4 9 16 4

∑ xi2 = 30 i =1

yi2 4 16 16 36 4

∑y

2 i

= 72

i =1

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីជួយគណន ចូលករគណនេលើសិត ថ ិ w2C េ្រជើសេរ ើសអនុគមន៍ លីេនែអ៊ q112 បញូច លទិននន័យ 1p2p3p4pR$2p4p4p6pC គណន

4

∑ xi i =1

4

q142p ∑ xi = 10 i =1

112

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ២ 4

4

∑ yi

q144p ∑ yi = 16

i =1

i =1

4

4

∑x y i

q145p ∑ xi yi = 46

i

i =1

i =1

4

4

∑ xi2

∑x

2 i

q141p

i =1 4

∑ yi2 q1141p i =1

េគបន r =

= 30

i =1

4

∑y

2 i

= 72

i =1

4 × 46 − 10 × 16 4 × 30 − 102 × 4 × 72 − 162

ចូលករគណនទូេទ w1 បញូច លទិននន័យ a4m46-10m16R$s4m3010d$ms4m72-16dp r = 0.95 េគបន r = 0.95 េគនិយយថ x និង y មនទំនក់ ទំនងនិងគនខ្លំង េ្របីម៉សុី នគតេលខសុ ទធ ិ

ចូលករគណនេលើសិត ថ ិ w2C

េ្រជើសេរ ើសអនុគមន៍ លីេនែអ៊ q112 បញូច លទិននន័យ 1p2p3p4pR$2p4p4p6pC q173 ( r ) p r = 0.9486 ≈ 0.95 រក r

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៥:

ងខងេ្រកមជ

ងទិននន័យទំនក់ទំនងរ ង្របក់ចំណូលសរុប

្របចំសបហ៍ គិតជពន់ដុ ្ត អនកលក់

្ល និងពិនុទែតសរបស់បុគគលិក :

xi ពិនុទែតស

yi ្របក់ចំណូល្របចំសបហ៍ ្ត

4

5

េ

ក A

េ

ក B

7

12

េ

ក C

3

4

េ

ក D

6

8

េ

ក E

10

11

គណនេមគុណតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊

113

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ២

ចេម្លើយ រកេមគុណតែ្រមត្រមង់ លីេនែអ៊

េ្របីម៉សុី នគតេលខជួ យ ិ

n

មរូបមន្ត

r=

i =1

អនកលក់

n

i =1

i =1

2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ n∑ xi2 − ⎜ ∑ xi ⎟ × n∑ yi2 − ⎜ ∑ yi ⎟ ⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ i =1 i =1 n

គណនផលបូក

n

n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi

ម

n

n

n

2

ែដល n = 5

ងខងេ្រកម:

xi

yi

xi yi

xi2

yi2

េ

ក A

4

5

20

16

25

េ

ក B

7

12

84

49

144

េ

ក C

3

4

12

9

16

េ

ក D

6

8

48

36

64

េ

ក E

10

11

110

100

121

5

∑ xi = 30 i =1

5

5

∑ yi = 40

∑ xi yi = 274

i =1

i =1

5

∑ xi2 = 210 i =1

5

∑y

2 i

= 370

i =1

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីជួយគណន ចូលករគណនេលើសិត ថ ិ w2C េ្រជើសេរ ើសអនុគមន៍ លីេនែអ៊ q112 បញូច លទិននន័យ 4p7p3p6p10p R$5p12p4p8p11pC គណន

5

5

∑ xi

q142p ∑ xi = 30

i =1

i =1

5

5

∑y

q144p ∑ yi = 40

i

i =1

i =1

5

∑x y i

i =1

i

5

q145p ∑ xi yi = 274 i =1

5

∑ xi2

5

∑x

2 i

q141p

i =1 5

∑ yi2 q1141p i =1

េគបន r =

= 210

i =1

5

∑y

2 i

= 370

i =1

5 × 274 − 30 × 40 5 × 210 − 302 × 5 × 370 − 402

ចូលករគណនទូេទ w1 បញូច លទិននន័យ a5m274-30m40$s5m21030d$ms5m370-40dp r = 0.88

114

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ២

េគបន r = 0.88 េគនិយយថ x និង y មនទំនក់ ទំនងនឹងគនខ្លំង េ្របីម៉សុី នគតេលខសុ ទធ ិ

ចូលករគណនេលើសិត ថ ិ w2C

េ្រជើសេរ ើសអនុគមន៍ លីេនែអ៊ q112 បញូច លទិននន័យ 4p7p3p6p10pR$ 5p12p4p8p11pC រក r q173 ( r ) p r = 0.877876 ≈ 0.88 េគបន េមគុណតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ r = 0.88 ្របតិបត្តិ : 1 . រកេមគុណតែ្រមត្រមង់ លីេនែអ៊ៃនទិននន័យខងេ្រកម :

xi

5

4

6

5

5

5

6

6

2

7

7

yi

85

103

70

82

89

98

66

95

169

70

48

2 . រកេមគុណតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ៃនទិននន័យខងេ្រកម :

xi

23

25

27

29

30

32

33

35

36

37

40

yi

78

100

70

82

99

95

65

95

155

144

121

េ្របកង់

3

5

4

7

5

6

10

23

18

15

9

115

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ២

លំ ១ . េគមន

ត់

ងទិ ននន័យសថិតិពីរអេថរ :

xi

100

100

500

500

yi

123

340

235

204

ក . រកសមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ៃនទិននន័យខងេលើ ។ ខ . គណនតៃម្ល y ចំេពះ x = 407 និង x = 312 ២ . េគមន

ងទិ ននន័យសថិតិពីរអេថរ :

xi

100

100

500

500

yi

123

340

235

204

ក . រកសមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ៃនទិននន័យខងេលើ ។ ខ . គណនតៃម្ល y ចំេពះ x = 1 , x = 3 និង x = 5 ។ គ . រកេមគុណតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ រួចបក្រ

យទំនក់ទំនងរ ង xi និង yi ។

៣ . កនុងេ ងច្រកកត់េដរមួយេគេ្រជើសេរ ើសយកកមមករចំនួន ១១ នក់ ែដលមន

យុពី

១៨ ឆនំ េទ២៤ ឆនំេដើមបីេធ្វើករសិក ទំនក់ទំនងរ ងកមពស់ និងម៉ ស ។

ង xi ជកមពស់គិតជ cm េហើយ yi ជម៉ សគិតជ kg េគបនលទធផលដូ ច

ង

ខងេ្រកម :

xi

150

152

152

155

155

157

158

158

160

160

165

yi

50

58

48

50

52

60

53

63

54

62

56

ក . រកសមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ៃនទិននន័យខងេលើ ។ ខ . រកម៉ សកមមករ ីនីែដល្រតូវនឹងកមពស់ 152cm ; 155cm និង 160cm ។ គ . រកេមគុណតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ រួចបក្រ ៤.

យទំនក់ទំនងរ ង xi និង yi ។

ងទិននន័យខងេ្រកមបនមកពីករ ិយល័យ ចំ

យេលើករ

ងសង់េនកនុងទី្រកុងមួយ រយៈេពល ៦ ែខចុងេ្រកយ :

ែខ

មក

ចំនួន្របក់ គិតជពន់ េបើ x = 0

ងសង់ ែដលបង្ហញពីចំនួន្របក់

ងែខមក

នេរៀល

42

កុមភៈ មីន េម

19

30

ឧសភ មិថុន

49

68

69

។

ក . រកសមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ ។ ខ . ចូរេធ្វើករប៉ ន់

ម នចំនួន្របក់ែដលចំ

យកនុងែខ កកក

គ . រកេមគុណតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ ។ ៥ . ្របក់ចំណូល្របចំឆនំរបស់

ជីវកមមមួយឱយេ

ែខ ចំនួន្របក់ ចំណូលរយ េបើ x = 0

2005 នេរៀល

66

យ

2006 2007 82

127

។

ងទិ ននន័យខងេ្រកម :

2008

2009

2010

201

310

392

ងឆនំ 2005 ។

116

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ២

ក . រកសមីករតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ ។ ខ . ចូរេធ្វើករប៉ ន់

ម នចំនួន្របក់ចំណូលេនឆនំ 2011 ។

គ . រកេមគុណតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ ។ ៦ . ្រកុមហ៊ុនលក់រថយន្តែដលបនេ្របើ្របស់រច ួ ។ តៃម្លលក់បញុច ះេទ បនេ្របើ្របស់ េគបន

មចំនួនឆនំែដល

ងទិននន័យែដលបនលក់ កន្លងមក ។

ចំនួនឆនំែដលបនេ្របើ្របស់

3

4

5

6

7

តៃម្លលក់ ( គិតជ

66

82

127

201

310

1

1

3

1

2

នេរៀល)

េ្របកង់

ក . រកសមីករបនទត់តែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ ។ ខ . រកតៃម្លរថយន្តែដលមនចំ

ស់ 5 ឆនំនិង 2 ឆនំ ។

គ . រកេមគុណតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ ។ ៧ . េនរយៈេពល 5 ឆនំចុងេ្រកយេនះ អនក្រគប់ ្រគងែផនកេឃសនពណិជជកមមមនក់បន ិ ្របមូលទិននន័យែដលបង្ហញពី ទំនក់ទំនងរ ងថវកេឃសនទំ និញ ( គិតជ ១០០០ នេរៀល ) និងបរ ិមណផលិតែដលលក់ បន ( គិតជពន់ឯក េគបន

ផលិតផល )។

ងទិ ននន័យដូចខងេ្រកម :

ិ xi ចំនួនថវកេឃសន

4.5

6.5

3.5

3.2

2.6

yi បរ ិមណផលិតផលលក់បន

37

46

42

32

29

ក . រកសមីករបនទត់តែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ ។ ខ . ចូរេធ្វើករប៉ ន់ អស់4 ពន់

ម នបរ ិមណឯក

ផលិតផលែដលបនលក់ េបើេគចំ

ិ យថវក

នេរៀល។

គ . រកេមគុណតែ្រមត្រមង់លីេនែអ៊ ។

117

ជំពូក៦ េមេរៀនទី ២

118

ជំពូក៧ េមេរៀនទី ១

៧

ជំព ូក

វុិចទ័រកនងលំ ហ ុ

េមេរៀនទី

១

ផលគុណៃនពីរវុិចទ័រកនងលំ ហ ុ

សេងខបេមេរៀន r r r r r r r r ិ រ -េបើ u = u1 i + u2 j + u3 k និង v = v1 i + v2 j + v3 k ជវុ ិចទ័រកនុងលំហ។ផលគុណៃនវុចទ័ r r r r r r r u និង v គឺជវុ ិចទ័រកំណត់េ យ u × v = ( u2 v3 − u3v2 ) i − ( u1v3 − u3v1 ) j + ( u1v2 − u2 v1 ) k ។ r r ur -េបើ u , v និង w ជវុ ិចទ័រកនុងលំហ និង c ជចំនួនពិត េនះេគបន : r r r r r r ur r r r ur ក. u × v = − v × u ខ. u × v + w = u × v + u × w r r r r r r r r r r r ឃ. u × 0 = 0 × u = 0 គ. c u × v = cu × v = u × cv r r ur r r ur r r r ច. u. v × w = u × v .w ង. u × u = 0 r r r r -េបើ u និង v ជវុ ិចទ័រមិនសូនយេនកនុងលំហ និង ង θ ជមុំរ ង u និង v េនះេគបន r r r r ក. u × v អរតូកូ ល់េទនឹង u ផង និង v ផង ។ r r r r ខ. u × v = u . v sin θ r r r r គ. េបើ u × v = 0 េនះ u និង v ជវុ ិចទ័រកូលីែអ៊នឹងគន។ rr r r ឃ. u.v = ៃផទ្រក របស់្របេលឡូ្រកមែដលសង់េលើវុ ិចទ័រ u និង v ។ r r 1 r r របស់្រតីេកណែដលសង់េលើវុ ិចទ័រ u និង v ។ ង. u × v = ៃផទ្រក 2 r r ur r r ur -េគមនវុ ិចទ័រ u , v និង w េនកនុងលំហ។ ផលគុណច្រមុះៃន u , v និង w មលំ ប់ r r ur គឺជចំនួនពិតែដលកំណត់េ យ u. v × w ។ r r r r r r r r ur r r r -េបើេគមនវុ ិចទ័រ u = u1 i + u2 j + u3 k , v = v1 i + v2 j + v3 k និង w = w1 i + w2 j + w3 k

(

) ) ( )

(

( )

(

u1 r r ur េនះ u. v × w = v1 w1

(

)

u2

u3

v2 w2

v3 w3

(

) (

) (

(

) (

)

)

)

។

r r ur -មឌ V របស់្របេលពីែប៉តែដលសង់េលើវុ ិចទ័រ u , v និង w គឺ : uur r r ur V = u. v × w និង មឌ W របស់េត្រ ែអតគឺ : r r ur uur u. v × w បនន័យថ យកមឌរបស់្របេលពីែប៉តែចកនឹង 6 ។ W= 6

( ) ( )

118

ជំពូក៧ េមេរៀនទី ១

លំ

r r

r

r

r

r r

r

ិ រ: ត់គំរទ ូ ី ១ : េគឱយ u = i − 2 j + k និង v = 3i + j − 2k រកវុចទ័

r r ក . u×v

r r ខ . v×u

r r គ . v×v

ចេម្លើយ ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ វុ ិចទ័រ w8C r កំណត់ VectorA = u q5111 រួចបញូ ច លទិននន័យ 1p-2p1pC r កំណត់ VectorB = v q5121 រួចបញូ ច លទិននន័យ 3p1p-2pC r r ក . u×v r r r r r q53Oq54p u × v = 3i + 5 j + 7 k r r ខ . v×u r r r r r q54Oq53p v × u = −3i − 5 j − 7 k r r គ . v×v r r r r r r q54Oq54p v × v = 0i + 0 j + 0k = 0 r r r r r r r លំ ត់គំរទ ូ ី ២: េគឱយ u = 2 i − 3 j + 2k និង v = −i + j ។ r r r r េ្រប បេធៀប u × v និង v × u

ចេម្លើយ ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ វុ ិចទ័រ w8C r កំណត់ VectorA = u q5111 រួចបញូ ច លទិននន័យ s2p-s3p2pC r កំណត់ VectorB = v q5121 រួចបញូ ច លទិននន័យ -1p1p0pC r r គណន u × v qcq53Oq54)p r r គណន v × u

4, 230718554 qcq54Oq53)p

4, 230718554

លំ

ត់គំរទ ូ ី៣: រកវុ ិចទ័រឯក ែដលអរតូកូ r r r និង v = 2i + 3 j

r r r r ល់េទនឹងវុ ិចទ័រ u = i − 4 j + k

។

ចេម្លើយ ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ វុ ិចទ័រ w8C r កំណត់ VectorA = u q5111 រួចបញូ ច លទិននន័យ 1p-4p1pC

119

ជំពូក៧ េមេរៀនទី ១

r កំណត់ VectorB = v q5121

រួចបញូ ច លទិននន័យ 2p3p0pC r r r r ផលគុណវុ ិចទ័រ u × v អរតូកូ ល់េទនឹងវុ ិចទ័រ u និង v គឺ r r r r r q53Oq54)p u × v = −3i + 2 j + 11k r r r r u×v ិ រឯក ែដល អរតូកូ េនះវុចទ័ ល់េទនឹងវុ ិចទ័រ u និង v គឺ r r u×v (q53Oq54)P qcq53Oq54)p r r u×v 3 r 2 r 11 r i+ j+ k r r =− 134 134 134 u×v េ

3 2 11 = −0, 2591 ; = 0,1727; = 0,9502 134 134 134 r r u×v េ្រពះ r r = 1 u×v យ −

qc(q53Oq54)P qcq53Oq54))p

លំ

1

ត់គំរទ ូ ី ៤ បង្ហញថចតុេកណែដលមនកំពូល A ( 5 , 2 , 0) ; B ( 2 , 6 , 1)

; C ( 2 , 4 , 7) និង D ( 5 , 0 , 6) ជ្របេលឡូ្រកម រួចគណនៃផទ្រក

ចេម្លើយ េ

uuur r r r យ AB = −3i + 4 j + k

។

uuur r r r uuur uuur និង DC = −3i + 4 j + k េនះ AB = DC

េគបន ABCD ជ្របេលឡូ្រកម ។ គណនៃផទ្រក ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ វុ ិចទ័រ w8C uuur កំណត់ VectorA = AB q5111 រួចបញូ ច លទិននន័យ -3p4p1pC uuur r r AD = −2 j + 6k uuur កំណត់ VectorB = AD q5121 រួចបញូ ច លទិននន័យ 0p-2p6pC uuur uuur េនះ S ABCD = AB × AD qcq53Oq54)p

លំ

1036 = 32.19

ត់គំរទ ូ ី ៥ េគឱយបីចំណុច A (1 , 1 , 1) ; B ( 2 , 0 , 3) និង C ( −1 , 2 , 0) េនកនុងលំហ។ រកៃផទ្រក

្រតីេកណ ABC

។

120

ជំពូក៧ េមេរៀនទី ១

ចេម្លើយ រក្រក ៃផទ្រតីេកណ ABC uuur r r r uuur r r r មន AB = i − j + 2k និង AC = −2i + j − k ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ វុ ិចទ័រ w8C uuur កំណត់ VectorA = AB q5111 រួចបញូច លទិននន័យ 1p-1p2pC uuur កំណត់ VectorB = AC q5121 រួចបញូ ច លទិននន័យ -2p1p-1pC 1 uuur uuur េនះ S ΔABC = AB × AC 2 (1P2)qcq53Oq54)p 11 S ΔABC = = 1.6583 2 អនុវត្តន៍ផលគុណៃនពីរវុិចទ័រកនងរ ុ ូបវិទយ ur េបើ Q ជចំណុចចប់ៃនកម្លំង F េនះម៉ូម៉ង់ៃន ur uur uuur ur កម្លំង F ចំេពះចំណុច P គឺ M = PQ × F

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៦: កម្លំងបញឈរ 50 N ( ញូតុន ) បនអនុវត្ត្រតង់

ចុងៃនដងថ្លឹងមួយែដលេជើងៃនដងថ្លឹងេនះភជប់្រតង់ចំណុច P ដូចបង្ហញកនុងរូប ។

រកម៉ូម៉ង់ៃនកម្លំងេនះចំេពះចំណុច P កល

ចេម្លើយ េយើង

ង កម្លំង 50 N េ

60o ur F

P

y

•

x

មុំ θ = 60o

ur r យ F = −50k

r r 1r 3r ដងថ្លឹងេ យ PQ = cos 60o j + sin 60o k = j + k 2 2 uur uuur ur យ M = PQ × F

( )

េ

Q

z

( )

ម ម៉ សុីនគិតេលខ េគបន ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ វុ ិចទ័រ w8C uuur កំណត់ VectorA = PQ q5111 រួចបញូ ច លទិននន័យ 0p1P2ps3$ P2pC ur កំណត់ VectorB = F q5121 រួចបញូ ច លទិននន័យ 0p0p-50pC រកម៉ូម៉ង់ៃនកម្លំងេនះចំេពះចំណុច P

qcq53Oq54)p

uur M = 25

121

ជំពូក៧ េមេរៀនទី ១

លំ

r

r

r

r

r

r

r

ត់គំរទ ូ ី៧: រកមឌរបស់្របេលពីែប៉តែដលមន u = 3i − 5 j + k ; v = 2 j − 2k ur r r r និង w = 3i + j + k ជ្រជុងជប់ ។

ចេម្លើយ

r r ur ម្រទឹសីប ្ត ទ េយើងបនមឌ V របស់ ្របេលពីែប៉តគឺ V = u v × w

(

)

ម ម៉ សុីនគិតេលខ េគបន: ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ វុ ិចទ័រ w8C r កំណត់ VectorA = u q5111 រួចបញូ ច លទិននន័យ 3p-5p1pC r កំណត់ VectorB = v q5121 រួចបញូ ច លទិននន័យ 0p2p-2pC ur កំណត់ VectorC = w q5131 រួចបញូ ច លទិននន័យ 3p1p1pC េគបន

qcq53 q57( q54Oq55))p

V = 36

សមគល់

r r ur r r ur េបើ u v × w = 0 េនះេគថ u ; v និង w ជវុ ិចទ័រសថិតកនុងប្លង់ែតមួយ ។

(

)

r r ur ្របតិបត្តិ: រកមឌរបស់្របេលពីែប៉តែដលមន្រជុងជប់ u ; v និង w ដូចខង េ្រកម : r r r r r r ur r r ក . u = i + j ; v = j + k និង w = i + k ។ r r ur ខ . u = (1 , 3 , 1) ; v = ( 0 , 5 , 5) និង w = ( 4 , 0 , 4) ។

122

ជំពូក៧ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់

១ . គណនផលគុ ណៃនពីរវុ ិចទ័រឯក ខងេ្រកម : r r r r r r r r r r ក . i× j ខ . i×k គ . j×k ឃ. j × i ង. k× j r r r r r r ២ . រក u × v េហើយបង្ហញថ u × v អរតូកូ ល់េទនឹង u ផងនិង v ផងកនុងករណី : r r r r ក . u = ( 2 ; − 3 ; 1) ; v = (1 ; − 2 , 1) ខ . u = ( −1 ; 1 ; 2) ; v = ( 0 ; 1 , 0) r r r r r r r r r r r r r r r គ . u = i + j + k ; v = 2i + j − k ឃ . u = j + 6k ; v = i − 2 j + k r 2 r r 1r r r r r r r 1r 3 r 1 r ង . u = −3i + 2 j − 5k ; v = i − j + k ច . u = k ; v = i + 6 j 2 4 10 3 2 r r ៣ . រកៃផទ្រក ្របេលឡូ្រកមែដលមនវុ ិចទ័រ u និង v ជ្រជុងជប់កុនងករណីខងេ្រកម : r r r r ក . u = ( 3 ; 2 ; − 1) ; v = (1 ; 2 , 3) ខ . u = ( 2 ; − 1 ; 0) ; v = ( −1 ; 2 , 0) r r r r r r r r r r r r គ . u = j ; v= j+k ឃ . u =i+ j+k ; v= j+k ៤ . រកៃផទ្រក

្រតីេកណ ែដលមនកំពូលដូចខងេ្រកម :

ក . ( 0 , 0 , 0) , (1 , 2 , 3) , ( −3 , 0 , 0)

ខ.

( 2 , − 3 , 4) , ( 0 , 1 , 2) , ( −1 , 2 , 0) (1 , 2 , 0) , ( −2 , 1 , 0) , ( 0 , 0 , 0)

គ . (1 , 3 , 5) , ( 3 , 3 , 0) , ( −2 , 0 , 5) ឃ. r r ur ៥ . គណន u ⋅ v × w កនុងករណីខងេ្រកម : r r r r r 1 r 3 r 1 r ur 3 r 7 r 7 r ក . u = −3i + 2 j − 5k ; v = i − j + k ; w = i − j + k 2 4 10 5 4 10 r r r r r r r r u r 5 8 5 5r 2r 5 5r ខ . u = −3 5 i + 2 j − 2 5 k ; v = i− j+ k; w = i− j− k 2 4 10 5 3 10 r ⎛ 2 3 2 4 2⎞ r ⎛3 2 3 2 ⎞ ur ⎛ 2 5 8⎞ គ . u=⎜ , ,− , v = , − , 0⎟ , w = ⎜ − ,0, ⎟ ⎜ 2 5 ⎠ 5 8 ⎟⎠ ⎝ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 r r ur ិ រ u , v និង w ជ្រជុងជប់កុងករណ ៦ . រកមឌ្របេលពីែប៉តែដលមនវុចទ័ ន ី ខងេ្រកម : r r r r r r r r ur r r r ក . u = 2 i + 3 j + 5 k ; v = −3 2 i − 4 3 j − 2 5 k ; w = −7 2 i + 4 3 j − 6 5 k r r ur ⎛ 1 2 3 ⎞ ខ . u = ( ln 2 , ln 3 , ln 5) ; v = ( −2 ln 2 , 3ln 3 , − ln 5) ; w = ⎜ ln 2 , ln 3 , ln 5⎟ ⎝2 ⎠ 3 2

(

)

៧ . រកមឌ្របេលពីែប៉តែដលមនកំពូលដូចខងេ្រកម :

( 0, 0, 0) ; ( 3, 0, 0) ; ( 0,5,1) ; ( 3,5,1) ; ( 2, 0,5) ; ( 5, 0,5) ; ( 2,5, 6) ; ( 5,5, 6) ខ . ( 0, 0, 0) ; (1,1, 0) ; (1, 0, 2) ; ( 0,1,1) ; ( 2,1, 2) ; (1,1,3) ; (1, 2,1) ; ( 2, 2,3) ក.

123

ជំពូក៧ េមេរៀនទី ២

េមេរៀនទី

២

អនុវត្តន៍ៃនផលគុណវុិចទ័រ

េមេរៀនសេងខប -

សមីករប៉ ៉ ែម៉្រតៃនបនទត់ ( L) កត់

ិ ទ័រ មចំ ណុច P ( x0 , y0 , z0 ) ្រសបនឹងវុច

⎧ x = x0 + at r ⎪ v = ( a, b, c) គឺ x = x0 + at ; y = y0 + bt ; z = z0 + ct ឬ ⎨ y = y0 + bt ; t∈ ⎪ z = z + ct 0 ⎩ x − x0 y − y0 z − z0 = = - សមីករឆ្លុះៃនបនទត់ ( L) គឺ a b c ិ ទ័រណរម៉ ល់ - សមីករស្តង់ ៃនប្លង់កត់ មចំណុច P ( x0 , y0 , z0 ) និងមនវុច r n = ( a, b, c) គឺ a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = 0 ។

- សមីករទូេទៃនប្លង់គឺ ax + by + cz + d = 0 ែដល d = − ( ax0 + by0 + cz0 ) ។ ur uur n1 ⋅ n2 ur uur ិ ទ័ រណរម៉ ល់ៃនប្លង់ ។ - មុំរ ងប្លង់ពីរគឺ cos θ = ur uur ែដល n1 និង n2 ជវុច n1 n2

-

ចមងយរ ងចំណុច P ( x1 , y1 , z1 ) និង Q ( x2 , y2 , z2 ) គឺ

-

( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 )2 + ( z1 − z2 )2 សមីករស្តង់ ៃនែស្វ៊ផិត ច C ( x0 , y0 , z0 ) កំ

-

សមីករទូេទៃនែស្វ៊ x 2 + y 2 + z 2 − 2 x0 x − 2 y0 y − 2 z0 z + k = 0 ; k = x02 + y02 + z02 − r 2 ។

d=

-

2

2

2

ចមងយពីចំណុច Q េទប្លង់ (α ) ែដលចំណុច មិនេនកនុងប្លង់ (α ) កំណត់ េ យ uuur r PQ n r ax + by0 + cz0 + d D= r ឬ D= 0 ែដល P ជចំណុចេនកនុងប្លង់និង n n a 2 + b2 + c2 ិ ទ័រណរម៉ ល់ៃនប្លង់។ ជវុច

-

r គឺ ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + ( z1 − z2 ) = r 2

ចមងយពីចំណុច Q េទបនទត់ ( L) កំណត់េ

uuur r PQ × u r ិ ទ័រ្របប់ យD = ែដល u ជវុច r u

ទិសៃនបនទត់ ( L) និង P ជចំណុចេនេលើបនទត់ ( L) ។

124

ជំពូក៧ េមេរៀនទី ២

ត់គំរទ ូ ី ១ : រកមុំរ ងប្លង់ (α1 ) : x − 2 y + z = 0 និង ប្លង់ (α 2 ) : 2 x + 3 y − 2 z = 0 ។

លំ

ចេម្លើយ

ur ិ ទ័រណរម៉ ល់ n1 = (1 , − 2 , 1) ប្លង់ (α1 ) មនវុច uur ិ ទ័រណរម៉ ល់ n2 = ( 2 , 3 , − 2) ប្លង់ (α 2 ) មនវុច ur uur n1 ⋅ n2 មរូបមន្ត cos θ = ur uur n1 n2 ur uur ⎛ n1 ⋅ n2 ⎞ θ = cos −1 ⎜ ur uur ⎟ ⎜⎝ n1 n2 ⎟⎠

ិ ទ័រ w8C ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ វុច កំណត់លទធផលជដឺេ្រក qw3 ur កំណត់ VectorA = n1 q5111 រួចបញូច លទិននន័យ 1p-2p1pC uur កំណត់ VectorB = n2 q5121 រួចបញូច លទិននន័យ 2p3p-2pC

គណនមុំ θ បន្ត

្របតិបត្តិ : លំ

qjqcq53q57q54) P(qcq53)Oqcq54 ))p

θ = 53,5523

x

θ = 53o33′ 8,34′′

កំណត់មុំផុំរគ ងប្លង់ (α1 ) : 2 x − y + 3 z = 4 និង ប្លង់ (α 2 ) : 2 x + y − 4 z = 0 ។

ត់គំរទ ូ ី ២: រកសមីករប្លង់ែដលកំណត់េ យចំណុច A ( 3, 2, 4) ; B ( −3, − 7 , − 8)

និង C ( 0 , 1 , 3) ។

ចេម្លើយ

រកសមីករប្លង់ ( ABC ) uuur uuur េគបន AB = ( −6 , − 9 , − 12) ; AC = ( −3 , − 1 , − 1) r uuur uuur ិ ទ័រណរម៉ ល់ៃន ( ABC ) គឺ n = AB × AC េនះ វុច ិ ទ័រ w8C ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ វុច uuur កំណត់ VectorA = AB q5111 រួចបញូច លទិននន័យ -6p-9p-12pC uuur កំណត់ VectorB = AC q5121 រួចបញូច លទិននន័យ -3p-1p-1pC r េគបន q53Oq54p n = ( −3 , 30 , − 21) េនះសមីករប្លង់គឺ a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( y − y0 ) = 0 −3 ( x − 3) + 30 ( y − 2 ) − 21( z − 4 ) = 0

125

ជំពូក៧ េមេរៀនទី ២

( ABC ) : −3x + 30 y − 21z + 29 = 0 លំ

ត់គំរទ ូ ី ៣ : រកចមងយរ ងពីរចំណុច P ( 2 , − 1 , 3) និង Q (1 , 0 , − 2)

ចេម្លើយ មរូបមន្តចមងយរ ងពីរចំណុច d = េគបន d =

( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 )2 + ( z1 − z2 )2

(1 − 2) 2 + ( 0 + 1) 2 + ( −2 − 3) 2

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES ចូលករគណនទូេទ w1 បញូច លទិននន័យ s(1-2)d+(0 +1)d+(-2-3 )dp 3 3

្របតិបត្តិ : រកចមងយរ ងពីរចំណុចខងេ្រកម : ក.

A ( 2 , − 1 , 3) និង B ( −4 , 7 , 5)

ខ . M (1 , − 2 , 3) និង N ( 2 , 1 , 0) គ . R ( −2 , 3 , 1) និង S ( 0 , − 4 , 4)

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៤ រកចមងយពីចំណុច Q (1 , 5 , −4) េទប្លង់ (α ) : 3x − y + 2 z = 6 ។

ចេម្លើយ

េគមន ប្លង់ (α ) : 3 x − y + 2 z = 6

r ិ ទ័រណរម៉ ល់ n = ( 3 , − 1 , 2) េនះមនវុច

េយើងឱយ y = 0 , z = 0 េនះ x = 2

េយើងកំណត់ចំណុច P ( 2 , 0 , 0) uuur េនះ PQ = (1 − 2, 5 − 0, − 4 − 0) = ( −1 , 5 , − 4) uuur r PQ n មរូបមន្ត ចមងយពី ចំណុចេទប្លង់ D = r n ិ ទ័រ w8C ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ វុច uuur កំណត់ VectorA = PQ q5111 រួចបញូច លទិននន័យ -1p5p-4pC r កំណត់ VectorB = n q5121 រួចបញូច លទិននន័យ 3p-1p2pC

េគបន qcq53q57q54) P(qcq54)p 16 D= = 4.2761 14

126

ជំពូក៧ េមេរៀនទី ២

ត់គំរទ ូ ី ៥ រកចមងយរ ងប្លង់ពីរ្រសបគន ែដលប្លង់ (α1 ) : 3x − y + 2 z − 6 = 0 និង

លំ

(α 2 ) : 6 x − 2 y + 4 z + 4 = 0

។

ចេម្លើយ

(α1 ) : 3 x − y + 2 z − 6 = 0

េដើមបីរកចមងយរ ងប្លង់ពីរេគ្រតូវ

េ្រជើសេរ ើសចំណុច ( x0 , y0 , z0 ) េនកនុងប្លង់ទី១េ y = 0 , z = 0 េនះ x = 2

• យឱយ

D

•

េគបន ( x0 , y0 , z0 ) = ( 2, 0, 0) បនទប់មកេយើងកំណត់

(α 2 ) : 6 x − 2 y + 4 z + 4 = 0

េមគុណ a = 6 , b = −2 , c = 4 , d = 4 េនកនុងប្លង់ទី២ ax + by0 + cz0 + d េគបន D = 0 a 2 + b2 + c2 ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES ចូលករគណនទូេទ w1 បញូច លទិនន័ ន យ aqc6O2-2O0+ 4O0+4$Rs6d+ 4 14 (-2)d+4dp D = 7

្របតិបត្តិ

ក . រកចមងយពីចំណុច A ( 0 , 0 , 0) េទប្លង់ (α ) : 2 x + 3 y + z = 12 ខ . រកចមងយពីចំណុច M (1 , 2 ,3) េទប្លង់ (α ) : 2 x − y + z = 4

។ ។

គ . រកចមងយរ ងប្លង់ពីរ្រសបគន ែដលប្លង់ (α1 ) : 3 x − y + 2 z − 6 = 0 និង

(α 2 ) : 6 x − 2 y + 4 z + 4 = 0

លំ

។

ត់គំរទ ូ ី ៦: រកចមងយពីចំណុច Q (1 , 2 ,3) េទបនទត់ ( L) ែដលមនសមីករ x = −2 + 3t , y = −2t , z = 1 + 4t

។

ចេម្លើយ

យ បនទត់ ( L) មនសមីករ x = −2 + 3t , y = −2t , z = 1 + 4t r ិ ទ័រ្របប់ទិស u = ( 3 , − 2 , 4) េនះ ( L) មនវុច េ

េយើងរកចំណុចេនេលើបនទត់ ( L) េ uuur នំឱយ PQ = ( 3 , 2 , 2 )

យឱយ t = 0 េគបន P ( −2 , 0 , 1)

មរូបមន្ត ចមងយពីចំណុចេទបនទត់ ( L) uuur r PQ × u D= r u

127

ជំពូក៧ េមេរៀនទី ២

ម ម៉ សុីនគិតេលខ fx 991 ES ិ ទ័រ w8C ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ វុច uuur កំណត់ VectorA = PQ q5111 រួចបញូច លទិននន័យ 3p2p2pC r កំណត់ VectorB = u q5121 រួចបញូច លទិននន័យ 3p-2p4pC

េគបន qcq53Oq54) Pqcq54)p D = 3.3425

្របតិបត្តិ

ក . រកចមងយពីចំណុច A (10 , 3 , −2) េទបនទត់ ( L) ែដលមនសមី ករ

x = −2 + 4t , y = 3 , z = 1 − t

។

x −1 y z = និងបនទត់ L2 : = y − 4 = z +1 ។ 2 3 −1 គ . រកចមងយរ ងបនទត់ : L1 : x = 3t , y = −t + 2 , z = t − 1 ខ . រកចមងយរ ងបនទត់ L1 : x =

L2 : x = 4s + 1 , y = s − 2 , z = −3s − 3

128

ជំពូក៧ េមេរៀនទី ២

លំ

ត់

១ . កនុងតំរយ ុ អរតូនេមេគឱយបីចំណុច A ( 2 , 1 , 0 ) , B ( 0 , 2 , 1) , C ( 0 , − 1 , 4 ) ។ uuur uuur uuur uuur AB ⋅ AC និង AB × AC uuur uuur ខ . រកមុំ θ ែដលផគំុរ ង AB និង AC ។

ក . គណន

២ . រកសមីករែស្វ៊ខងេ្រកម : ក . មនផចិត ខ . មនផចិត

។ ( 2 , 0 − 3) និងកំ 6 ( 4 , − 3 , 5 ) េហើយប៉ះេទនឹងប្លង់ ( yz )

។

ិ ទ័រទិសេ ៣ . ក. រកសមីករបនទត់ែដលកត់ មចំណុច ( 2, − 3, 7) និងមនវុច ិ ទ័រទិសេ ខ . រកវុច

ៃនបនទត់ 2 x − 6 = 4 − y = z − 5

(1 , 1 , −4) ។

។

គ . រកមុំផំុរគ ងបនទត់េនសំណួរ ក . និង បនទត់េនសំណួរ ខ . ។

x −1 2 − y = = z + 2 និង (α ) ជប្លង់មនសមីករ 3x − y − 2 z = 12 ។ 2 3 េនចំណុច M ្របសព្វរ ង ( L ) និងប្លង់ (α ) ។

៤ . យក ( L ) ជបនទត់ ក . រកកូអរេ

ខ . រកមុំែដលេកើតេឡើងេ

យ

( L)

ិ ទ័រន័រម៉ ល់ៃនប្លង់ (α ) ។ និងវុច

៥ . ចូររកសមីករៃនប្លង់ខងេ្រកម : ក . ប្លង់កត់

មចំណុច

ខ . ប្លង់កត់

មចំណុច

គ. ប្លង់កត់

មចំ ណុច

ឃ. ប្លង់កត់

មចំ ណុច

( 5 , 3 , 4 ) ្រសបេទនឹងប្លង់ ( yz ) ។ ( 3 , − 2 , 5 ) ែកងេទនឹងវុចិ ទ័រ ( −4 , 2 , − 3) ។ ( 4 , − 2 , 3) ្រសបេទនឹងប្លង់ 3x + 6 y − 4 z = t ។ ( 3 , 0 , 0 ) ; ( 0 , 4 , 0 ) និង ( 0 , 0 , 5 ) ។

ិ ទ័រន័រម៉ ល់ែនប្លង់នីមួយៗ ៦ . េគឱយប្លង់ 3x + z − 1 = 0 និង x − y 5 + 2 z = 0 ។ រកវុច េហើយរករង្វស់មុំែដលផគំុេ

យប្លង់ទំងពីរ ។ r r r ៧ . កនុងតំរយ ុ អរតូន័រម៉ ល់ O ; i ; j ; k េគឱយបីចំណុច A (1,1,3) ; B 1 + 2, 0, 2 និង

(

C 1 + 2, 2, 2

)

(

)

(

)

។

ក . គណន AB ; AC និងរង្វស់មុំ CAB ។ បញ ជ ក់្របេភទៃន្រតីេកណ ABC ។ uuur uuur ខ . គណន AB × AC ។ រួចទញរកៃផទ្រក ៃន្រតីេកណ ABC ។ uur ិ ទ័រន័រម៉ ល់ N ។ គ . សរេសរសមីករប្លង់ ( ABC ) ែដលកត់ ម A និងមនវុច ឃ . គណនមឌេត្រ

ែអត OABC ។

129

ជំពូក៨ េមេរៀនទី ១

៨

ជំព ូក

ភពែចក

ច់និងវិធីែចកអឺគ្លីត

េមេរៀនទី

១

ភពែចក

ច់ និងវិធីែចកអឺគ្លីត

េមេរៀនសេងខប -ចំនួនគត់រុ ឺ រុ ឺ

ទីប a ជពហុគុណៃនចំនួនគត់រុ ឺ

ទីប q មួយែដល a = bq ។កនុងករណីេនះ b េ

ទីប b លុះ្រ

ែតមនចំនួនគត់

ថតួែចកៃន a ។

- a , b , c និង x ជចំនួនគត់រុ ឺ

ទីប ែដល x ≠ o េបើ x a និង x c េនះ x ( a )

-្រគប់ចំនួនគត់រុ ឺ

ច់ខួ្លនឯងជនិចច ។

-េបើ a ែចក

ទីប a ែចក

ច់ b និង b ែចក

ច់ c េនះេគបន a ែចក

-េធ្វើវ ិធីែចកែបបអឺគី្លតៃនចំនួនគត់រុ ឺ គត់រុ ឺ aេ

ទីប a និងចំនួនគត់ធមមជតិ b គឺកំណត់ចំនួន

ទីប q និងចំនួនគត់ធមមជតិ r ែដល a = bq + r េ ថតំ

ងែចក b េ

េបើ a ជចំនួនគត់រុ ឺ

ច់ c ។

ថតួែចក q េ

យ0 ≤ r < b ។

ថផលែចកនិង r េ

ថសំណល់។

ទីប និង b ជចំនួនគត់ធមមជតិ េនះមនចំនួនគត់រុ ឺ

ែតមួយគត់និងចំនួនគត់ធមមជតិ r ែតមួយគត់ែដល a = bq + r េ

ទីប q

យ0 ≤ r < b។

130

ជំពូក៨ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់គំរទ ូ ី ១:បង្ហញថ 122009 − 1 និង 102011 + 1 ែចក ច់នឹង 11

ចេម្លើយ

(

។

)

122009 − 1 = (12 − 1) 122008 + 122007 + 122006 + 122005 + L + 1

(

= 11 12

ដូេនះ 12

2008

+ 12

− 1 ែចក

2009

(

2007

+ 12

2006

+ 12

2005

)

+L+1

ច់នឹង 11

)

102011 + 1 = (10 + 1) 102010 − 122009 + 122008 − 122007 + L − 1

(

)

= 11 102010 − 122009 + 122008 − 122007 + L − 1

ដូេនះ 10

លំ

+ 1 ែចក

2011

ច់នឹង 11

ត់គំរទ ូ ី ២:េ យមិនបច់គណនផលបូក និងផលដកបង្ហញថ 1 097 894 + 17 633 និង 1 097 894 − 17 633 ែចក

ច់នឹង 7

ចេម្លើយ េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ESេ

យយកចំនួននីមួយៗែចកនឹង 7

ចូលករគណនទូេទ w1

1 097 894 ÷ 7 1097894P7p 156 842 17 633 ÷ 7 1097894P7p 2 519 េគបន 1 097 894 + 17 633 = 156 842 × 7 + 2 519 × 7 = 7 (156 842 + 2 519 ) ដូេនះ 1 097 894 + 17 633 ែចក

ច់នឹង 7

ដូេនះ 1 097 894 − 17 633 ែចក

ច់នឹង 7

និង 1 097 894 − 17 633 = 156 842 × 7 − 2 519 × 7 = 7 (156 842 − 2 519 )

្របតិ បត្តិ :ក . េ យមិនបច់គណនផលបូក និងផលដកបង្ហញថ 777 777 + 4 136 និង 777 777 − 4 136 ែចក ខ . 92008 − 1 និង 7 2009 + 1 ែចក

លំ

ច់នឹង 11

។

ច់នឹង 8

ត់គំរទ ូ ី៣: រកផលែចក q និង សំណល់ r កនុងវ ិធីែចកែបបអឺគី្លតៃន a និង b ខងេ្រកម ក.

ចេម្លើយ ក .

a = 194 ; b = 7

ខ . a = −1 317 ; b = 21

a = 194 ; b = 7

ចូលករគណនទូេទ w1 194 ÷ 7 194P7pqn 27

5 7

េគបន 194 = 7 × 27 + 5 ដូចេនះ

q = 27 ; r = 5

−1317 ÷ 21 -1317P21pqn −62

េគបន −317 = 21 × ( −15) − 2

5 15 = −186 7 21

131

ជំពូក៨ េមេរៀនទី ១

ដូចេនះ

q = −15 ; r = −2 ឬ r = 21 − 2 = 19

្របតិ បត្តិ : រកផលែចក q និង សំណល់ r កនុងវ ិធីែចកែបបអឺគីត ្ល ៃន a និង b ខងេ្រកម:

លំ

ក.

a = 569 ; b = 7

ខ . a = − − 671 ; b = 6

គ.

a = −734 ; b = 5

ឃ . a = 849 ; b = 13

ត់គំរទ ូ ី៤:កំណត់សំណល់េរៀងគនកនុងវ ិធីែចកែបបអឺគីត ្ល ៃន 3,32 ,33 ,34 ,35 នឹង 11 ។

ចេម្លើយ

រួចទញរកសំណល់កុងវ ន ិធីែចកែបបអឺគីត ្ល ៃន 337 នឹង 11 ។

េគបន 3 = 11 × 0 + 3 េគបន r = 3

32 = 11 × 0 + 9 េគបន r = 9 33 = 11× 2 + 5 េគបន r = 5 3f4$P11pqn 7

4 11

34 = 11 × 7 + 4 េគបន r = 4 3f5$P11pqn 22

1 11

35 = 11 × 22 + 1 េគបន r = 1 រកសំណល់កុងវ ន ិធីែចកែបបអឺគីត ្ល ៃន 337 នឹង 11 យក 37 ែចកនឹង 5 37P5pqn 7

( )

េនះ 337 = 35× 7 + 2 = 35× 7 × 32 = 35

7

2 5

× 32 ≡ 17 × 9 ( mod11) = 9 ( mod11)

ដូចេនះសំណល់កុនងវ ិធីែចកៃន 337 នឹង 11 គឺ r = 9

្របតិ បត្តិ : ក . រកសំណល់កុនងវ ិធីែចកៃន 23140 នឹង 9 ។ ខ . បង្ហញថ 5 5552 222 + 2 2225 555 ែចក

លំ

ច់នឹង 7

។

ត់គំរទ ូ ី ៥ : រក្រគប់គូចំនួនគត់វ ិជជមន ( x , y ) ែដល 7 x + y = 37

ចេម្លើយ េបើ x = 1 ⇒ y = 37 − 7 = 30 េបើ x = 2 ⇒ y = 37 − 7 × 2 = 37 − 14 = 23 េបើ x = 3 ⇒ y = 37 − 7 × 3 = 37 − 21 = 16 េបើ x = 4 ⇒ y = 37 − 7 × 4 = 37 − 28 = 9 េបើ x = 5 ⇒ y = 37 − 7 × 5 = 37 − 35 = 2 េបើ x = 6 ⇒ y = 37 − 7 × 6 = 37 − 42 = −5 ដូចេនះ គូចំនួនគត់វ ិជជមន ( x , y ) គឺ

(1,30) ; ( 2, 23) ; ( 3,16) ; ( 4,9) ; ( 5, 2 )

្របតិ បត្តិ : រក្រគប់គូចំនួនគត់វ ិជជមន ( x , y ) ែដល ក . 2 x + 3 y = 19 ខ . x + 5 y = 23 132

ជំពូក៨ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់

១. រកសំណល់កុនងវ ិធីែចកនឹង 4 ៃន 437 25 + 21429 ២. ្រ

យបញ ជ ក់ថ 3457 − 1 ែចក

។

ច់នឹង 11 ។

៣. រកសំណល់កុនងវ ិធីែចកែបបអឺគីត ្ល ៃនចំនួន : ក . 3286374 នឹង 10

ខ . 371238 នឹង 5

គ . 76714 នឹង 12

៤. រកផលែចក q និង សំណល់ r កនុងវ ិធីែចកែបបអឺគីត ្ល ៃន a និង b ខងេ្រកម: ក.

a = 194 ; b = 7

ឃ . a = −734 ; b = 5

ខ . a = −371 ; b = 21

គ.

a = 487 ; b = 9

ង . a = 973 ; b = 17

ច.

a = −849 ; b = 13

៥. រក្រគប់គូចំនួនគត់វ ិជជមន ( x , y ) ែដល : ក . 2 x + 3 y = 19

ខ . x + 5 y = 23

133

ជំពូក៨ េមេរៀនទី ២

េមេរៀនទី

២

ចំនួនបឋម

េមេរៀនសេងខប -ចំនួនគត់ធមមជតិ n ជចំនួនបឋមកល ករណីេផ ងពីេនះ េគេ

n មនតួែចកែតពីរគត់គឺ1និង n ខ្លួនឯង។

ថ ចំនួនមិនបឋម ។

-្រគប់ចំនួនគត់ធមមជតិ n ធំជង1 មនតួែចកជចំ នួនបឋមមួ យែដលជតួែចកតូចបំ ផុតេ្រកពី 1 ។ -េបើ n ∈ N េហើយ n មិនែមនជចំនួនបឋម b ែដល b n និ ង b 2 ≤ n ។ - េបើ n ∈ N , n ែចកមិន

ច់នឹងចំ នួនបឋមែដលមនកេរតូចជងឬេសមើ n េនះ n ជ

ចំនួនបឋម ។ -េដើមបី

ិ ែចក គ ល់ចំនួន a ជចំនួនបឋម េគែចក a នឹងចំ នួនបឋមតៗគន។េបើគមនវធី

មួយផ្តល់សំណល់ ០ និងផលែចកតូចជងតួែចកែដលបនយកមកេ្របើេនះ a ជចំនួនបឋម ។ -ស្វុីតៃនចំនួនបឋម ជស្វុីតអនន្តតួ ។ -្រគប់ចំនួនគត់ ធមមជតិមិនបឋម េហើយធំជង 1

ចបំែបកជផលគុ ណៃនក ្ត

បឋមបន េហើយ បនែតមួយែបបគត់ ។

134

ជំពូក៨ េមេរៀនទី ២

លំ

ត់គំរទ ូ ី ១ : ក . បង្ហញថ 173 ជចំនួនបឋម ខ . បង្ហញថ 997 ជចំនួនបឋម

ចេម្លើយ ក . បង្ហញថ 173 ជចំនួនបឋម 173 ែចកមិន

ច់នឹងចំនួនបឋម 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 េទ ។

េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីគណនផលែចក ចូលករគណនទូេទ w1

173 = 86.5 2 173 = 57.6666 173P3pn 3 173 = 34.6 173P5pn 5 173 = 24.7142 173P7pn 7 173 = 15.7272 173P11pn 11 173 = 13.3076 173P13pn 13 13 ជចំនួនបឋមធំបំផុត ែដល 132 = 169 ≤ 173 173P2pn

ដូចេនះ

173 ជចំនួនបឋម

ខ . បង្ហញថ 997 ជចំនួនបឋម 997 ែចកមិន

ច់នឹងចំនួនបឋម 2 ; 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 េទ ។

េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីគណនផលែចក ចូលករគណនទូេទ w1

997 2 997 997P3pn 3 997 997P5pn 5 997 997P7pn 7 997P2pn

= 498.5 = 332.3333 = 199.4 = 142.42

997 11 997 997P13pn 13 997 997P17pn 17 997 997P19pn 19 997P11pn

= 90.6363 = 76.6923 = 58.6470 = 52.4736 135

ជំពូក៨ េមេរៀនទី ២

997 = 43.3478 23 997 997P29pn = 34.3793 29 997 = 32.1612 997P31pn 31 31 ជចំនួនបឋមធំបំផុត ែដល 312 = 961 ≤ 997

997P23pn

ដូចេនះ

997 ជចំនួនបឋម

្របតិបត្តិ : បង្ហញថ 1 999 និង 2 011 ជចំនួនបឋម លំ

។

ត់គំរទ ូ ី ២ : បំែបកចំនួន 231 231 , 515 253 និង 567 ជផលគុណក ្ត ។

ចេម្លើយ េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីគណនផលែចករ ងចំនួនែដល្រតូវ

ក់ជផល

គុណក ្ត នឹងចំ នួនបឋម 2 ; 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31... ក . បំែបកចំនួន 231231ជផលគុណក ្ត ចូលករគណនទូេទ w1 231231P3p 77 077 77077P7p 11 011 11011P11p 7 007 7007P7p 1 001 1001P13p 77 77P7p 11 ដូចេនះ 231 231 = 3 × 7 ×11×13 × 11× 7 × 7 ខ . បំែបកចំនួន 515253ជផលគុណក ្ត ចូលករគណនទូេទ w1 515253P3p 171 751 171751P17p 10 103 ដូចេនះ 515 253 = 3 ×17 ×10 103 គ . បំែបកចំនួន 567 ជផលគុ ណក ្ត ចូលករគណនទូេទ w1 567P3p 189 189P3p 63 63P3p 21 21P3p 7 ដូចេនះ 567 = 3 × 3 × 3 × 3 × 7 ្របតិបត្តិ :

បំែបកចំនួនខងេ្រកមជផលគុ ណក ្ត បឋម :

ក . 925 925

ខ . 717 217

គ . 253 253

136

ជំពូក៨ េមេរៀនទី ២

លំ

ត់គំរទ ូ ី៣:

រកសំណុំតួែចកៃន 150

។

ចេម្លើយ េគបន 150 = 2 × 3 × 52 េគ

ចសរេសរក ្ត ទំងអស់របស់ 150 ជបី្រកុមគឺ ្រកុមទី ១ មនធតុ 1 , 2 ្រកុមទី២

មនធតុ 1 , 3 ្រកុមទី ៣មនធតុ 1 , 5 , 52 ។ េគផ ំធតុ ្រកុមទី ១ ជមួយធតុៃន្រកុមទី ២ រួចជមួយ្រគប់ធតុៃន ្រកុមទី ៣

1

1

1×1×1 = 1

5

1×1× 5 = 5

52

1 × 1 × 52 = 25

1

1×1× 3 = 3

5

1 × 3 × 5 = 15

52

1 × 3 × 52 = 75

1

2 ×1×1 = 2

5

2 × 1 × 5 = 10

52

2 × 1 × 52 = 50

1

2 × 3 ×1 = 6

5

2 × 3 × 5 = 30

1

3

1

2

3

52 2 × 3 × 52 = 150 ដូចេនះ សំណុំតួែចកៃន 150 គឺ {1, 2,3,5, 6,10,15, 25,30,50, 75,150}

លំ

ត់គំរទ ូ ី៤:

រកចំនួនតួែចកៃន 472 500

។

ចេម្លើយ គ . បំែបកចំនួន 472 500 ជផលគុណក ្ត ចូលករគណនទូេទ w1 472500P2p 236250P2p 118125P5p 23625P5p 4725P5p 945P5p 189P3p 63P3p 21P3p

236 250 118 125 23 625 4 725 945 189 63 21 7

137

ជំពូក៨ េមេរៀនទី ២

េគបន 472 500 = 22 × 33 × 54 × 7

មរូបមន្ត េបើ n = aα × bβ × cγ េនះចំនួនតួែចកៃន n គឺ (α + 1)( β + 1)( γ + 1) េនះចំនួនតួែចកៃន 472 500 គឺ

( 2 + 1)( 3 + 1)( 4 + 1)(1 + 1) = 3 × 4 × 5 × 2 = 120

្របតិបត្តិ : ក . រកសំណុំតួែចកៃន 4 258 និង 30 030 ។ ខ . រកចំនួនតួែចកៃន 111 475 និង 694 586 ។ លំ

ត់

១. បញ ជ ក់ថចំនួន 937 និង 1 933 ជចំនួនបឋម

។

២. េតើចំនួន 3 411 ; 2 677 និង 191 ជចំនួនបឋមឬេទ ? ៣. បំែបកចំនួនខងេ្រកមជផលគុណក ្ត បឋម : ក . 126

ខ . 525

ង . 6 045

ច . 925 925

គ . 720

ឃ . 5 042

ឆ . 253 253

ជ . 700 200

៤. បំែបកចំនួនខងេ្រកមជផលគុណក ្ត បឋម រួចរកចំនួនតួែចកៃនចំនួនទំងេនះ : ក . 360

ខ . 1 350

គ . 1 500

ឃ . 2 700

៥. សំរល ួ ្របភគខងេ្រកម : ក.

474 534

ខ .

1005 885

គ.

1020 1260

ឃ.

51300 16650

138

ជំពូក៨ េមេរៀនទី ៣

េមេរៀនទី

៣

តួែចករ ួមនិងពហុគុណរ ួម

េមេរៀនសេងខប - a និង b ជចំនួនគត់ធមមជតិ។ចំនួនគត់ធមមជតិ d ជតួែចករួមៃន a និង b កល d ជតួែចកៃន a ផង និងជតួែចកៃន b ផង ។

-តួែចករួមធំ បំផុតៃនចំ នួនគត់ធមមជតិ a និង b ជចំនួនគត់ធំជងេគប ៃន a និង b ។និ មិត្តសញញ δ = PGCD ( a, b ) ឬ δ = GCD ( a, b ) ។

-ចំនួនគត់ ធមមជតិ a និង b ជចំនួនបឋមរ ងគន កល

្ត តួែចករួម

GCD ( a, b ) = 1 ។

-េបើ a , b ∈ N ែដល a = bq + r , 0 < r < b េនះ GCD ( a, b ) = GCD ( b, r ) ។ -្រគប់ a ∈ N , ្រគប់ n ∈ N និង្រគប់តួែចករួម d ៃន a និង b េគបន :

⎛ a b ⎞ GCD ( a, b ) 2. GCD ⎜ , ⎟ = d ⎝d d ⎠ - a និង b ជចំនួនគត់ធមមជតិបឋមរ ងគន លុះ្រ ែតមនចំនួនគត់រុ ឺ

1. GCD ( na, nb ) = nGCD ( a, b )

ទីប u និង v

ែដល au + bv = 1 ។

- c ab និង GCD ( a, c ) = 1 នំឱយ c b ។

- a n , b n និង GCD ( a, b = 1) នំឱយ ab n

។

-ពហុគុណរួមតូចបំ ផុតៃនពីរចំនួនគត់ a និង b ែដលកំណត់េ μ = LCM ( a, b )

យ μ = PPCM ( a, b ) ឫ

។

-្រគប់ a , b និង n ជចំនួនគត់ ធមមជតិនិង្រគប់តួែចករួម d ៃន a និង b េគបន : 1. LCM ( na, nb ) = nLCM ( a, b )

⎛ a b ⎞ LCM ( a, b ) 2. LCM ⎜ , ⎟ = d ⎝d d ⎠

139

ជំពូក៨ េមេរៀនទី ៣

លំ

ត់គំរទ ូ ី ១ : រកតួែចករួមធំបំផុតៃន 60 និង 90 ។

ចេម្លើយ េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីបំែបក 60 និង 90 ជផលគុណក ្ត បឋម ចូលករគណនទូេទ w1 60P2p 30 30P2p 15 15P3p 5 េគបន 60 = 22 × 3 × 5 90P2p 45 45P3p 15 15P3p 5 េគបន 90 = 2 × 32 × 5

ដូចេនះ GCD ( 60;90) = 2 × 3 × 5 = 30

្របតិបត្តិ : រកតួែចករួមធំបំផុតៃនចំនួនខងេ្រកម : ក . 56 និង 84

លំ

ខ.

60 , 84 និង 96

គ . 96 , 144 និង 180

1581 ។ 306

ត់គំរទ ូ ី ២ : ស្រមួល្របភគ

ចេម្លើយ េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបី ស្រមួល្របភគ

1581 306

ចូលករគណនទូេទ w1 1581P306p ដូចេនះ ឬេយើង

31 6

1581 31 = 306 6

ចចុច a1581$306p

ដូចេនះ

31 6

1581 31 = 306 6

្របតិបត្តិ : ស្រមួល្របភគខងេ្រកម : ក.

លំ

912 12312

ខ.

123456 36

គ.

ត់គំរទ ូ ី ៣ : រក ក . GCD ( 75 , 25)

123412 120

ឃ.

98745 4515

ខ . GCD ( 213 , 63) ។

ចេម្លើយ

រក ក . GCD ( 75 , 25) េយើងេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីគណនផលអុឺគីត ្ល ៃន

75 , 25

ចូលករគណនទូេទ w1 75P25p 3

140

ជំពូក៨ េមេរៀនទី ៣

េគបន 75 = 3 × 25 + 0 ដូចេនះ

GCD ( 75 , 25) = 25

ខ . GCD ( 213 , 63) ចូលករគណនទូេទ w1 213P63pn 3

8 24 =3 21 63

េគបន 213 = 3 × 63 + 24

នំឱយ GCD ( 213 , 63) = GCD ( 63 , 24)

5 15 63P24pn 2 = 2 8 24 េគបន 63 = 2 × 24 + 15

នំឱយ GCD ( 213 , 63) = GCD ( 63 , 24) = GCD ( 24 , 15) 24P15pn 1

9 15

េគបន 24 = 1 × 15 + 9

នំឱយ GCD ( 213 , 63) = GCD ( 63 , 24) = GCD ( 24 , 15) = GCD (15,9) 15P9pn 1

6 9

េគបន 15 = 1 × 9 + 6

នំឱយ GCD ( 213 , 63) = GCD ( 9 , 6)

េគបន 9 = 1 × 6 + 3 និង 6 = 2 × 3 + 0 នំឱយ GCD ( 213 , 63) = GCD ( 6 , 3) = 3

្របតិបត្តិ : រក លំ

ក . GCD ( 90 , 45)

ត់គំរទ ូ ី ៤ : រក

ខ . GCD (125 , 95)

GCD ( 315 , 225 , 525)

ចេម្លើយ

រក GCD ( 315 , 225 ) បំែបក 315 និង 225 ជផលគុណក ្ត បឋម េ

យេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 350 ES

315P5p 63 63P3p 21 21P3p 7 េគបន 315 = 5 × 32 × 7 225P5p 45 45P5p 9 េគបន 225 = 52 × 32

េនះ GCD ( 315 , 225 ) = 32 × 5 = 45 525P5p 105 105P5p 21 21P3p 7 េគបន 525 = 52 × 3 × 7

141

ជំពូក៨ េមេរៀនទី ៣

GCD ( 45 , 525 ) = 3 × 5 = 15

នំឱយ

GCD ( 315 , 225 , 525 ) = 15

ដូចេនះ

្របតិបត្តិ : លំ

រក

GCD ៃន 210 , 115 និង 620 ។

ត់គំរទ ូ ី ៥ :េ ះ្រ

យសមីករ 75 x + 125 y = 5 ែដល x និង y ជចំនួនគត់រុ ឺ

ទីប។

ចេម្លើយ សមីករ 75 x + 125 y = 5

ចសរេសរ 15 x + 25 y = 1

ិ ែចកអុឺគីត មវធី ្ល 25 = 15 × 1 + 10 15 = 10 × 1 + 5 10 = 5 × 2 នំឱយ 5 = 15 − 10 × 1 = 15 − ( 25 − 15 × 1) 1 = 2 × 15 − 25 = 15 × 2 + 25 ( −1)

ឬ 1 = 3 × 2 + 5 ( −1)

ដូចេនះ ចេម្លើយពិេសសៃនសមីករ គឺ x = 2 ; y = −1

្របតិបត្តិ : េ លំ

ះ្រ

យសមីករ 40 x + 80 y = 4 ែដល x និង y ជចំនួនគត់ រុ ឺ

ទីប ។

ត់គំរទ ូ ី ៦ : រក LCM (168 , 180)

ចេម្លើយ បំែបក 168 និង 180 ជផលគុណក ្ត បឋម េ

យេ្របើម៉សុីនគិតេលខ fx 350 ES

168P2p 84 84P2p 42 42P2p 21 21P3p 7 េគបន 315 = 23 × 3 × 7 180P2p 90 90P2p 45 45P3p 15 15P3p 5 េគបន 180 = 22 × 32 × 5 េនះ

LCM ( 315 , 225 ) = 23 × 32 × 5 × 7

2f3$m3dm5m7p 2520 ដូចេនះ LCM ( 315 , 225 ) = 2520

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៧ : គណន

1581 912 − 306 12312

ចេម្លើយ េយើងគណនេ យេ្របើម៉សុីនគិ តេលខ fx 350 ES a1581$306$275 a912$12312p 54

142

ជំពូក៨ េមេរៀនទី ៣

ដូចេនះ

1581 912 275 − = 306 12312 54

្របតិបត្តិ : ក . រក LCM ៃន 120 និង 164 ។ 315 132 − 1176 2079

ខ . គណន

លំ

ត់គំរទ ូ ី៨ : រក LCM ៃនចំនួន 1176 និង 252

។

ចេម្លើយ

រក GCD (1176 , 252)

ម

ល់កូរ ីតអឺ គីត ្ល

252

252

252

1176

252

168

84

168

84

0

ផលែចក សំណល់

េគបន GCD (1176 , 252) = 84

1176 × 252 1176 × 252 = GCD (1176 , 252) 84 a1176m252$84p

េនះ LCM (1176 , 252) =

ដូចេនះ

LCM (1176 , 252) = 3528

្របតិបត្តិ : ក . រក LCM ៃន 2468 និង 442

មរេបៀបខងេលើ ។

ខ . រក LCM ៃន 45 , 65 និង 85

លំ

។

ត់

១ . កំណត់សំណុំតួែចកៃន 375 និង 2 070 រួចទញរកសំណុំតួែចករួមៃនចំនួនទំងេនះ ។ ២ . កំណត់សំណុំតួែចករួមៃន 1 625 និង 825

។

៣ . បំែបកចំនួនខងេ្រកមជក ្ត បឋម រួចរកសំណុំតួែចករួម : ក . 35 770 និង 5 455

ខ . 1 331 និង 4 913

៤ . កំណត់ GCD និង LCM ៃនចំនួន a និង b ខងេ្រកម : ក . a = 90 , b = 105

ខ . a = 3 960 ; b = 819

គ . a = 7 020 ; b = 52 272

៥ . កំណត់ GCD និង LCM ៃនចំនួន a និង b ខងេ្រកមេ យេ្របើ ល់កូរ ីតអឺគី្លត : ក . a = 2 600 , b = 1 925

ខ . a = 3 920 ; b = 2 025

៦ . កំណត់គូចេម្លើយចំនួនគត់ រុ ឺ

ទីបៃនសមីករខងេ្រកម :

ក . 5 x + 16 y = 1

ខ . 44 x − 40 y = 4

គ . a = 168 ; b = 819

គ . 44 x − 20 y = 4

143

ជំពូក៩ េមេរៀនទី ១

៩

ជំព ូក

សមីករប៉ ៉ ែម៉្រត និង កូអរេ

េនប៉ែូ ល

េមេរៀនទី

១

សមីករប៉ ៉ ែម៉្រត និង កូអរេ

េនប៉ែូ ល

េមេរៀនសេងខប ១ .ែខ េកង ប និងសមីករប៉ ៉ ែម៉្រត: និយមន័យ េបើ f និង g ជអនុគមន៍ពីរកំណត់េលើចេន្លះ I ។ - ែខ េកង បគឺជសំណុំ C ៃនគូមនលំ

ប់ ( f ( t ) , g ( t ) ) ។

- សមីករ x = f ( t ) , y = g ( t ) ែដល t េនកនុងចេន្លះ I ជសមីករប៉ ៉ ែម៉្រត ៃនែខ េកង ប C ែដលមនប៉ ៉ ែម៉្រត t ។ P ( r,θ ) ២ . កូអរេ េនប៉ូែល និង ្រកបប៉ូែល - កូអរេ

េនប៉ូែល

r

P (r , θ)

ចមងយ OP

មុំមនទិសេ

- ទំនក់ទំនងរ ងកូអរេ កូអរេ

ពីអ័ក ប៉ូែលេទអងកត់ OP េនប៉ូែលនិងកូអរេ

េនប៉ូែល ( r , θ ) និង កូអរេ

θ O

អក ័ប៉ូែល

េនេដកត

េនេដកត ( x, y ) ៃនចំណុច P ្រតូវមនទំនក់ទំនង

នឹងគនដូចខងេ្រកម : ក . x = r cos θ

, y = r sin θ

ខ . r 2 = x 2 + y 2 , tan θ =

y , x≠0 x

144

ជំពូក៩ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់គំរទ ូ ី ១ : គូសែខ េកងែដលកំណត់េ យសមីករប៉ ៉ ែម៉្រត x = t 2 − 4 និង y=

t 2

, −2≤t ≤3 ។

ចេម្លើយ េដើមបីសង់្រកប សរេសរអនុគមន៍

ងសមីករប៉ ៉ ែម៉្រតេយើងសង់

ងតៃម្លេលខ េ

យឱយ −2 ≤ t ≤ 3

x = t2 − 4

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES

េ

យកំណត់ t = x

ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ ង w3 (Table) Q)d-4p-2p3p1p t សរេសរអនុគមន៍ y = 2 ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ ង w3 (Table) aQ)R2p-2p3p1p េគបន ងតៃម្លេលខខងេ្រកម

t x y េ

យេ

-2 -1 0 1 2 3 0 -3 -3 -3 0 5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 ចំណុចទំងេនះេគ ចសង់ែខ េកង បន

លំ

ត់គំរទ ូ ី ២ : គូសែខ េកងែដលកំណត់េ យសមីករប៉ ៉ ែម៉្រត x =

និង y =

t , t > −1 ។ t +1

1 t +1

ចេម្លើយ េដើមបីសង់្រកប

ងសមីករប៉ ៉ ែម៉្រតេយើងសង់

សរេសរអនុគមន៍ x =

ងតៃម្លេលខ េ

យឱយ t > −1

1 t +1

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES

េ

យកំណត់ t = x

ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ ង w3 (Table) a1RsQ)+1p0p5p1p

145

ជំពូក៩ េមេរៀនទី ១

t t +1 ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ ង w3 (Table) aQ)RQ)+1p0p5p1p េគបន ងតៃម្លេលខខងេ្រកម

សរេសរអនុគមន៍ y =

t x y

0 1 0

1 0.70 0.5

2 0.57 0.66

3 0.5 0.75

4 0.44 0.8

5 0.40 0.83

y

េយើងបំែលងជសមីករេដកត

1o

1 1 ⇒ x2 = t +1 t +1 1 − x2 t= 2 x 1 − x2 t x2 ⇒y= = = 1 − x2 2 t +1 1− x +1 x2 y = 1 − x2

េ

យ x=

•1

x

−1

មសមីករប៉ ៉ ែម៉្រត េគេឃើញថ ែខ េកងកំណត់ចំេពះ t > −1 េនះ សមីករេដកត y = 1 − x 2 កំណត់ចំេពះ x > 0 សរេសរអនុគមន៍ y = 1 − x 2 េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES េដើមបីសង់

ងតៃម្លេលខ េ

យឱយ x > 0

ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ ង w3 (Table) 1-Q)dp0p5p1

x y

0 1

1 0

2 -3

3 -8

4 -15

5 -24

្របតិបត្តិ: គូសែខ េកងែដលកំណត់េ យសមីករប៉ ៉ ែម៉្រតនិងសរេសរសមីករេដកត ែដល្រតូវគន ក . x = 3t − 1 និង y = 2t + 1 , t ∈ ខ . x = 4 + 2 cos θ និង y = −1 + 4sin θ , θ ∈

លំ

។

π ត់គំរទ ូ ី ៣ : រកកូអរេ េនប៉ូែលេផ ងេទៀតៃនចំណុច ⎛⎜ 2 , ⎞⎟

ចេម្លើយ កូអរេ

⎝

⎛ π⎞ េនប៉ូែលេផ ងេទៀតៃនចំណុច ⎜ 2 , ⎟ កំណត់េ ⎝ 6⎠

6⎠

។

យ:

146

ជំពូក៩ េមេរៀនទី ១

⎛ π ⎞ ⎜⎝ 2 , + nπ ⎟⎠ ែដល n ∈ 6

េនះកូអរេ

េនៃនចំណុច

មនេ្រចើន ប់មិនអស់ េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES កំណត់យក n = x េដើមបីសង់

ងតៃម្លេលខ េ

យឱយ x ∈[ −5, 5]

ចូលករគណនេលើអនុគមន៍ ង w3 (Table) aqK$6$+Q)qK p-5p5p1p េគបន

π 6

x

+ nπ

-5

-4

-3

-2

-15.18

-12.04

-8.9

-5.7

-1

0

-2.6 0.5

1

2

3

3.6

6.8

9.9

π ្របតិបត្តិ : រកកូអរេ េនប៉ូែលេផ ងេទៀតៃនចំណុច ⎛⎜ 3 , ⎞⎟ ⎝

លំ

2⎠

4

ចេម្លើយ ក . ចំណុច

(r , θ) = (2 , π )

ខ . ចំណុច

13.08 16.23

។

ត់គំរទ ូ ី ៤ : បំែលងកូអរេ េនប៉ូែលេទកូអរេ េនេដកត : ក . ចំណុច

5

( r , θ ) = ⎛⎜⎝

3,

π⎞ ⎟ 6⎠

(r , θ) = (2 , π )

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES

ចូលករគណនទូេទ w1 ( COMP )

កំណត់េចញលទធផលជ ៉ ដយង់ qw4 q-2q)qK)p េគបន x = −2 , y = 0

ខ . ចំណុច

( r , θ ) = ⎛⎜⎝

3,

π⎞ ⎟ 6⎠

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES

ចូលករគណនទូេទ w1 ( COMP )

កំណត់េចញលទធផលជ ៉ ដយង់ qw4 q-s3$q)aqK$6$)p េគបន x = 1.5 , y = 08660

147

ជំពូក៩ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៥ : រកកូអរេ េនប៉ូែលៃនចំណុច ( −1 , 1) ែដលជកូអរេ េនេដកត ។ ចេម្លើយ

េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES

ចូលករគណនទូេទ w1 ( COMP )

កំណត់េចញលទធផលជដឺ េ្រក qw3 q+-1q)1)p េគបន r = 2 = 1.4142 , θ = 135o

លំ

ត់គំរទ ូ ី ៦ : គូស្រកបៃនសមីករប៉ូែល r = 2 + 4 cos θ

ចេម្លើយ កូអរេ

េនៃនចំណុចខ្លះៗ្រតូវនឹង 0 ≤ θ ≤ π

ចំេពះ θ េសមើ 0 ,

π

,

π

,

π

,

π

,

6 4 3 2 េយើងេ្របើ ម៉ សុីនគិតេលខ fx 350 ES

2π 3π 5π , , ,π 3 4 6

ចូលករគណនទូេទ w1 ( COMP )

កំណត់េចញលទធផលជ ៉ ដយង់ qw4 2+4j0p 6 2+4jaqK$6$)p 2 + 2 3 n 5.4 2+4jaqK$4$)p 2 + 2 2 n 4.8 2+4jaqK$3$)p 4 2+4jaqK$2$)p 2 2+4ja2qK$3$)p 0 2+4ja3qK$4$)p 2 − 2 2 n −0.8 2+4ja5qK$6$)p 2 − 2 3 n −1.4 2+4jqK)p −2 ដូច ងខងេ្រកម

θ

0

π

π

π

π

4 2+2 2

3 4

4.8

4

r

6

6 2+2 3

r តៃម្ល្របែហល

6

5.4

េ

2 2

2π 3 0

3π 4 2−2 2

5π 6 2−2 3

-2

2

0

-0.8

-1.4

-2

យយក θ េនកនុងចេន្លះ π េទ 2π នំឱយេគបន ពក់ក

π

្ត លែផនកខងេ្រកម ។

្របតិបត្តិ : គូស្រកបៃនសមីករប៉ូែល r = 2 cos 3θ ។ 148

ជំពូក៩ េមេរៀនទី ១

លំ

ត់

១ . េគឱយសមីករប៉ ៉ ែម៉្រត x = t និង y = 1 − t ក . ចូរបំេពញ ង t 0 x y ខ.េ

2

ចំណុច ែដលបេងកើតេនកនុង

គ . រកសមីករេដកតេ ២.េ

1

៣ . រកកូអរេ ក.

π⎞ ⎛ ⎜⎝ 3 , ⎟⎠ 4

4

ង េហើយគូស្រកបៃនសមីករប៉ ៉ ែម៉្រត។

យបំបត់ប៉ ៉ ែម៉្រត ។

ចំណុចខងេ្រកម រួចរកកូអរេ ក.

3

ខ.

េនប៉ូែលេផ ងេទៀតៃនចំណុចនីមួយៗ :

(2

, 0)

π⎞ ⎛ គ . ⎜2 , − ⎟ ⎝ 2⎠

េនេដកតៃនចំណុចខងេ្រកម :

π⎞ ⎛ ⎜⎝ 2 , ⎟⎠ 4

ខ.

π⎞ ⎛ ⎜⎝ 0 , ⎟⎠ 2

5π ⎞ ⎛ ⎜⎝ 3 , ⎟ 6⎠

គ.

៤ . បំែលងសមីករេដកតនីមួយៗខងេ្រកមេទជសមីករប៉ូែល :

x2 y 2 + =1 9 4 ៥ . បំែលងសមីករប៉ូែលនី មួយៗខងេ្រកមេទជសមីករេដកត : ក . x− y =3

ក . r cos θ = 5

ក. r=−

π

ខ . r − 6sin θ

6 2 − 3sin θ ងសមីករប៉ូែលនីមួយៗខងេ្រកម:

ឃ . r = 8sin θ − 2 cos θ ៦ . គូស្រកប

ខ . x2 + y2 = 4

6 ឃ . r = 2 + 3sin θ

គ.

គ . r ( sin θ + r cos θ ) = 1

1 cos θ

ង. r=

ច . r = 2 cos 2θ ⋅

ខ . r = 3cos θ

គ . r = 4 − 4sin θ

ង.

r = −6 (1 + cos θ )

ង . r = 8cos 3θ

149