Material Para El Segundo Parcial

Ecuaciones Definicion de Ecuación: • Es una proposición o relación matemática de igualdad que contiene al menos una variable. variable.. • Una ecuación debe contener un signo igual y una expresión matemática de cada lado del signo igual. Definición • Una ecuación con variable x que se puede reducir a la forma ax = b se le llama ecuación líneal.

Ejemplos de ecuaciones

1. 2 x + 1 = 7

1 VARIABLE

LINEAL

2. x 2 − 4 = 0

1 VARIABLE

NO LINEAL CUADRÁTICA

3. x − 2 y = 3

2 VARIABLES

4. x 2 + y 2 = 4

5. 6 x = 6 x

2 VARIABLES NO LINEAL CUADRÁTICA 1 VARIABLE LINEAL

6. 3 x − 4 y + 2 z = 0

Soluciones o raíces de la ecuación: Son los número o números que hacen cierta a la ecuación se llaman solución o conjunto solución

Ejemplos:

1. 2x + 1 = 7 , x = 3 es una solución 2(3) + 1 = 7

7=7 2

2. x − 4 = 0

Tipos de ecuaciones de primer grado De acuerdo al conjunto solución podemos clasificarlo en:

1. Identidades : Las identidades son ecuaciones ciertas para todo valor posible de la variable (la solución es todos los números reales)

Ejemplo: 1. 3x = 3x 2. 2 x − 3 = 2 x − 3

LINEAL

3 VARIABLES

LINEAL

Conjunto Solución: El conjunto de todas las soluciones de una ecuación se llama conjunto solución. solución

Ejemplo: 2 x + 1 = 7 Conjunto Solución es {3} Ecuaciones Equivalentes: Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Ejemplo:. Ejemplo:

3 x = 6  x + 2 = 4

x = 2 x = 2

2. Ecuaciones Inconsistentes: Inconsistentes Las ecuaciones inconsistentes son ecuaciones falsas para todo valor posible de la variable. (No tiene solución en los reales)

Ejemplos: 1. 2.

3x − 2 = 3x + 5 2x − 3 = 2x + 3

3. 7 = 6

1

3. Ecuaciones Condicionales: Las ecuaciones condicionales son ecuaciones que pueden ser ciertas o falsas dependiendo del valor asignado a la variable.

Ejemplos: 1. 7x = 21 2. 2 x − 3 = 9 3. 3x − 2 = 2 x + 5

CIERTA SI x = 3 CIERTA SI x = 6 CIERTA SI x = 7

Aclaración: Para otros valores de x las ecuaciones son falsas.

Resolución de las ecuaciones de primer grado Para resolver una ecuación de primer grado de una variable se las propiedades de ecuaciones

Propiedades de ecuaciones

Ejemplos: 1. 2 x + 3 = x + 8 − 3 = −3

1. Propiedad Aditiva : Si sumamos o restamos el mismo número o cantidad en ambos lados de una ecuación, obtenemos otra ecuación equivalente a la ecuación original.

Si a = b y c es un número real entonces a+c=b+c Aclaración: las soluciones de ecuación no cambian.

Transposición de términos: Podemos pasar un término (o número) de un lado al otro de una ecuación con el signo opuesto y obtenemos una ecuación equivalente a la original.

2x = x +5 − x = −x x = 5

Conjunto

Solución

es

{5 }

Ejemplos: Resuelve cada ecuación

1.

2 x +3

2 x −x =

2x Aclaración: Las soluciones no cambian.

x=5

= x+5

2x

= x + 7 −3 x + 7

− x = 7

− 3

− 3

x=4 Conjunto Solución es {4}

2

3.

2. 3x + 3 = 2 x + 8

3x − 2x = 8 − 3

Conjunto Solución es { 5 }

Propiedades de ecuaciones: 2. Propiedad multiplicativa: Si multiplicamos o dividimos ambos lados de una ecuación por un número real distinto de cero, obtenemos una ecuación equivalente a la ecuación original.

a =b y

y

ac = bc

c≠0

a b = c c

3x − 6 + 2x = 4x − 3 5x − 6 = 4x − 3 5 x − 4 x = −3 + 6 x=3

x=5

Si

3(x − 2)+ 2x = 4x − 3

entonces

Conjunto solución es {3}

Ejemplos: Resuelve la ecuación.

1. 4 x + 4 = x − 8

4x − x = −8 − 4 3 x = − 12 3 x = −12 3

.

3

x = −4

Aclaración: Las soluciones no cambian. cambian

Conjunto Solución es

2) 0.5 x − 2.6 = 3.2 x − 5.1

0 .5 x − 3 . 2 x = − 5 . 1 + 2 . 6

− 2 .7 x = − 2 .5 − 2.7 x = − 2.5 −2.7

−2.7

x = 0.925 Conjunto Solución es

{ 0.925 }

{

−4

}

2) 4 x − 5 = 4 ( x − 5 ) + 15

4 x − 5 = 4 x − 20 + 15 4 x − 4 x = −20 + 15 + 5 0x = 0

0=0

C ierto

Anotación: La ecuación se reduce a una identidad.

Conjunto Solución es el conjunto de todos los reales. Conjunto Solución es R

3

Ejercicios de practica

2. x + 13 = x + 8

1. 4 x + 10 = x + 8

= x + 8 −13

Soluciones:

x

1. 4x + 10 = x + 8

x −x = − 5

4 x − x = 8 − 10

0 = −5 La ecuación es inconsistente.(falsa)

3x = −2

3

x =

3 Conjunto Solución es

−2 3

{ } =φ

 −2  C o n ju n to S o lu c ió n e s    3 

3 . 4 x + 1 0 = x + 3(3 x + 3 ) + 1

4 x + 10 = x + 9 x + 9 + 1

4 x +

10 = 10 x + 10

4 x − 10 x = 10 −

6 x

= 0

−6

x

− 10

−6

= 0

Conjunto solución es {0}

3 1 x + 10 = x + 8 4 3

5.

Multiplicando por el denominador común se simplifica la ecuación

3 x + 10) = 4 9 x + 120 =

12 (

1 x+8 ) 3 4 x + 96 12 (

9 x − 4 x = 96 − 120 5 x = − 24 5

4. 4 ( 2 x + 10 ) − 1 1 = x + 8 ( x − 4 ) 8x + 40 − 11 = x + 8x − 32

8 x + 29 = 9 x − 32 8x − 9 x = −32 − 29 − x −1

= −61 −1

x = 61

Conjunto Solución es {61}

Ecuaciones Literales: Son aquellas que tienen más de una variable. Ejemplos: 5y = 2x + 3 x + 2y + 3z = 5 Fórmulas: Son ecuaciones literales que sirven para representar un principio científico o de la vida real en términos matemáticos.

5

24 x = − 5

 − 24  Conjunto Solución es    5 

4

2. I = prt

Despeje para la variable indicada.

1. F = ma, para m

I = prt pr

F ma = a a

para P

A = P(1 + i) n

P=

5.

I pr

25

3. A = P(1 + i ) n

n

pr

t=

F = m a F m= a

(1 + i )

para t

(1 + i )

n

A

(1 + i )

4. 5x − 2 y = 4 xy para x

5x − 4xy = 2 y x( 5 − 4 y) = 2 y 5− 4y 5− 4y

n

x=

2y 5− 4y

5x − 2 y 2 xy = para x a+b b

b ( 5 x − 2 y ) = 2 xy ( a + b ) 5bx − 2by = 2axy + 2bxy −2by = 2axy + 2bxy − 5bx x ( 2ay + 2by − 5b ) −2by = 2ay + 2by − 5b 2ay + 2by − 5b

x=

−2by 2ay + 2by − 5b

5

Ecuaciones Cuadrá Cuadráticas Definición Una ecuación cuadrática con variable x es una ecuación que puede expresarse de la forma:

ax 2 + bx + c = 0 donde a, b y c son constantes con a ≠ 0 Es una ecuación polinomial de grado 2 que se conoce como: ecuación de segundo grado o simplemente ecuacion cuadratica cuadrática.

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas: 1) x 2 − 10 x + 9 = 0 2) 2 x = 19 x + 33 2

3) 9 x 2 = 25

(x − 5)2 = 20

4)

5) x 2 + 8 x + 14 = 0 Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver mediante cuatro métodos métodos:: Factorización, raíces cuadradas, Completar el Cuadrado y por la Fórmula Cuadrática Cuadrática. Aunque aprenderemos a resolver usando los métodos de Factorización y el método de la formula cuadrática.

Ejemplos: Resuelve las ecuaciones usando el método de factorización.

C. S.= {9, 1}

x2 −10x + 9 = 0

(x − 9)(x −1) = 0 x−9 = 0

x=9 Dato:

ó

Este método depende del siguiente principio: El producto de dos o más números es cero sí y sólo si, al menos uno de los números es cero. x = 0  xy = 0 ⇒  o′ y = 0  El procedimiento para el Método de Factorización es:

Dato:

1) x2 −10x = −9

1. Método de Factorización

x −1 = 0

x =1

En general, podemos decir que una ecuación cuadrática tiene exactamente dos raíces. Si las dos raíces son iguales, entonces hablamos de una raíz doble.

1. Iguale la ecuación a cero. 2. Factorice el polinomio que forma la ecuación. 3. Use la propiedad del producto nulo para reducir a ecuaciones lineales. 4. Resuelva las ecuaciones lineales.

2) 2 x 2 = 19 x + 33 2 x 2 − 19 x − 33 = 0

(2 x + 3)(x − 11) = 0 2x + 3 = 0 2 x = −3 x=

−3 2

ó

x − 11 = 0 x = 11  −3  C.S.=  , 11 2 

6

4) 9 x 2 = 36 9 x 2 − 36 = 0 9 x 2 36 0 − = 9 9 9

3) 2 x 2 = 18 x 2 x 2 − 18 x = 0 2x ( x − 9) = 0 2x = 0

ó x −9 = 0

0 x= 2 x=0

x = −2

x2 − 4 = 0

C.S.= {0, 9}

x−2=0

x+2=0

2. Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula cuadrática

Ejercicios de practica Usando el método de factorizacion resolver las siguientes ecuaciones

x=2

C. S.= { 2, −2 }

( x + 2 )( x − 2 ) = 0

x=9

ó

Podemos resolver ecuaciones cuadráticas usando la formula cuadrática Sea

ax 2 + bx + c = 0

a≠0

 −b +  x1 = − b ± b − 4ac x= ⇒ 2a x = − b −  2 2

b 2 − 4ac 2a b 2 − 4ac 2a

Donde a es el coeficiente numérico del término cuadrático, b es el coeficiente numérico del término en primer grado y c es la constante.

Ejemplos: Encontrar los valores de a, b, c en las siguientes ecuaciones cuadráticas

Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.

1) 8 x 2 − 24 x + 18 = 0

a = 8, b = −24 y c = 18

x=

−b ± b 2 − 4 ac 2a

7

a = 8, b = −24 y c = 18 x=

−(−24) ± (−24) − 4( 8 2

x=

)(18 )

2( 8 )

x=

24 ±

x=

(− 24)2 − 4(8)(18) 2(8)

24 ± 576 − 576 16

2 3) 2) x = 3 x − 2 x 2 − 3x + 2 = 0

x= =

2

( −3) − 4 (1)( 2 ) 2

2 (1)

− 4 (1)( 2 )

x=

3 +1 3 −1 ó x= 2 2

x=2

3 ±1 2

C.S. = { 2,1 }

x =1

El Discriminante Definición Al número b2 − 4ac se le llama el discriminante de la ecuación.

x=

Aclaración: Para una ecuación cuadrática de la forma

2

2( 3)

2

3± 1 2

x=

a = 3, b = −2 y c = 5 −b ± b 2 − 4 ac 2a −( −2) ± ( −2) −4( 3)( 5)

3 C .S . =   2

( −3 ) 2 (1)

3± 9−8 2

x=

23)) 3x 2 − 2 x + 5 = 0

x=

− ( −3) ±

x=

−b ± b − 4 ac 2a

− ( −3) ±

24 ± 0 16 24 ± 0 x= 16 24 3 = x= 16 2

x=

x=

a = 1, b = −3 y c = 2

24 ± 576 − 576 16

=

2 ± 4 − 60 6

ax 2 + bx + c = 0

a≠0

Como lo que esta dentro de la raíz cuadrada es un valor negativo, resolveremos diciendo que dicha ecuación no tiene solución en los números reales reales..

8

2)

Ejemplos Determine el discriminante de la ecuación y decir cuantas raíces tiene dichas ecuaciones

1)

2x 2 − 4x + 6 = 0

a = 2, b = −4, c = 6

b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4(2)(6) = 16 − 48 = −32 El discriminante es un valor negativo por consiguiente la ecuación no tiene una solución real

x 2 − 5x − 8 = 0

a = 1, b = −5, c = −8

b 2 − 4ac = ( −5) 2 − 4(1)(−8) = 25 + 32 = 57 El discriminante es un valor positivo por consiguiente la ecuación tiene dos soluciones reales.

3)

4x 2 − 12 x + 9 = 0 a = 4, b = −12, c = 9

b 2 − 4ac = ( −12) 2 − 4( 4)(9) = 144 − 144 = 0 El discriminante es cero por consiguiente la ecuación tiene una única solución real

Desigualdades

9

Aclaración: Si se multiplica o divide en ambos lados de una desigualdad por un número negativo el sentido o dirección del signo de la desigualdad cambia. Ejemplo :

7 > 4

( 3) 7

Intervalos 1. Si a y b son dos números reales tal que a < b. Se denota el interval intervalo o cerrado ab por [a, b] y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que a < x < b.

> ( 3) 4

21 > 12

[ Ejemplo :

( −2 )19

>

x

a

19 < 30

] b

[a, b]= { x ∈ R a ≤ x ≤ b }

( −2 ) 30

−38 > − 60

2. Si a y b son dos números reales tal que a < b. Se denota el interval intervalo o abierto ab por (a, b), y se define como el conjunto de todos los reales x tal que

3. Si a y b son dos números reales tal que a < b. Se denota el interval intervalo o semi abierto o semi cerrado ab por (a, b], y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que a < x < b.

a < x < b.

( a ( a

(a, b) =

) b

{ x∈R

a < x
x

] b

(a, b] = { x ∈ R a < x ≤ b}

10

4. Sean a y b dos números reales tal que a < b. Denotamos el interval intervalo o semi abierto o semi cerrado ab por [a, b), y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que a < x < b.

[ a

) b

x

[a, b) = { x ∈ R a ≤ x < b}

6. Si a es un número real. Se denota el interval intervalo o de los números mayores que a por ( a , ∞ ) y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que x > a.

( a

x

[ a

x

[a, ∞) ={ x ∈ R a ≤ x < ∞} = { x ∈ R x ≥ a}

7. Si a es un número real. Se denota el interval intervalo o de los números menores que a por ( −∞ , a ) y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que x < a.

x

(a , ∞) = { x ∈ R x > a}

8. Si a es un número real. Se denota el interval intervalo o de los números menores o iguales que a por ( −∞ , a ] y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que x < a.

x

5. Si a es un número real. Se denota el interval intervalo o de los números mayores o iguales que a por [ a , ∞ ) y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que x > a.

) a

( −∞ , a ) ={ x ∈ R x < a}

9 . (− ∞ , ∞ ) consiste de todos los números reales x tal que − ∞ < x < ∞ (todos los reales, R)

R

] a

( −∞ , a ] = { x ∈ R −∞ < x ≤ a} = { x ∈ R x ≤ a}

11

Ejemplo: Escriba el conjunto de soluciones de la desigualdad -3 < x < 2 usando notación de intervalo y en forma gráfica.

Intervalo = [ − 3,2) [ -3

0

) 2

Pasos para resolver inecuaciones: Para resolver una desigualdad lineal se utiliza el mismo procedimiento que se utilizó para resolver ecuaciones lineales con la excepción de que si multiplicamos o dividimos ambos lados de la desigualdad por un número negativo el signo de la desigualdad cambia de dirección o sentido.

Resuelva las desigualdades: 1) 2 x + 7 < 3 2x < 3 − 7

2 x < −4 2x − 4 < 2 2

Aclaración: Aclaración: El conjunto solución de una desigualdad se puede expresar en tres formas. Estas son: 1. Forma de conjunto 2. Forma gráfica 3. Forma de intervalo En el problema anterior obtuvimos como solución

x < −2 Forma conjunto:

x < −2 Forma gráfica :

Forma de intervalo :

{ x ∈ R x < −2} ) − 3 −2 − 1 0

1

2 3

(− ∞ ,− 2 )

Desigualdades compuestas Definición: Las desigualdades compuestas son dos desigualdades en la misma expresión. Se pueden resolver por separado o de manera simultánea. La recomendación es que se resuelvan simultáneamente siempre que sea posible.

12

Resuelve las siguientes desigualdades compuestas.

− 1 < 3 x < 11

Forma gráfica :

1 − 3 < 2x ≤ 9 − 3

(

]

− 3 − 2 −1 0 1 2 3

−2 < 2 x ≤ 6

Forma de intervalo :

C . S . = ( −1, 3]

− 2 2x 6 < ≤ 2 2 2

Conjunto Solución

− 6 + 5 < 3x < 6 + 5 Forma gráfica :

−1 < x ≤ 3

1) 1 < 2 x + 3 ≤ 9

3) 2) −6 < 3x −5 < 6

− 1 3 x 11 < < 3 3 3

( −

11 3

Forma de intervalo :  −1 11 C.S. =  ,   3 3

−1 11 < x< 3 3

3) 5 < 2 x − 1 < 2 4)

) 1 3

Las desigualdades con valor absoluto Teorema 1:

falso

6 4 74 8

Si a un número positivo entonces, u < a es equivalente a − a < u < a

5 < 2x −1 < 2

C.S . = {

u ≤ a es equivalente a

}=φ

−a ≤ u ≤ a

En otras palabras, |u| < a es equivalente a -a < u y u < a. u

}

-a

E je m p lo 1 : 3x − 1 < 5

R esu elva

2 x − 4 < 12

− 4 < 3x < 6 4 <x<2 3    4 4 C. S. = x ∈ R − < x < 2 =  − , 3    3 ) ( −

4 3

-1

0

1

− 2 + 2 x − 4 < 10 2 x − 4 < 10 + 2

− 5 < 3x − 1 < 5

−

a

E jem pl o 2:

R e s u e lv a

-2

0

2

3

 2 

−12 < 2 x − 4 < 12 −12 + 4 < 2 x < 12 + 4 −8 < 2 x < 16 −8 2 x 16 < < 2 2 2

13

−8 2 x 16 < < 2 2 2

Ejemplo 3:

4 + 2 3x − 6 < 6

−4 < x < 8

2 3 x − 6 < 6 −4

C. S. ={ x ∈ R − 4 < x < 8} = ( −4, 8 )

2 3x − 6 < 2

2 3x − 6 (

)

-4

8

2 2 2 3x − 6 < 1 <

5 7 <x< 3 3

3x − 6 < 1 −1 < 3x − 6 < 1 −1 + 6 < 3 x < 1 + 6 5 < 3x < 7 5 3x 7 < < 3 3 3 5 7 <x< 3 3

5 7 C.S . =  ,  3 3

(

)

5/3

7/3

Ejemplo 1: Teorema 2:

Resuelva:

Si a es un número positivo, entonces

u > a es equivalente a u < −a ó u > a u ≥ a es equivalente a u ≤ −a ó u ≥ a u } -a

u } 0

4 x + 3 ≥ 15

4x + 3 ≤ −15

4 x ≤ −18 9 x≤− 2

ó

4x + 3 ≥ 15

4 x ≥ 12

x≥3

9    −9 ó x ≥ 3 =  −∞,  U[3, ∞) C.S.= x ∈ R / x ≤ − 2 2   

a

] -6

-5 -4 -3 -2 -1

[ 0

1

2

3

4

5

14

Ejemplo 2: Teorema 3:

Resuelva: 4 x + 2 ≥ 10

4 x + 2 ≤ −10

Si -a es un número negativo entonces,

ó 4 x + 2 ≥ 10

4 x ≤ − 12

u < −a y u ≤ − a tien en u n con ju n to d e solu cion es vacío, { }

4x ≥ 8

x≥2

x ≤ −3

Aclaración: Un valor absoluto no puede ser menor que un número negativo, la desigualdad es inconsistente.

C.S.= ( −∞, −3] U [ 2, ∞ )

] -6

-5 -4

[

-3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

2 3x − 6 < 4 − 7

Ejemplos:

1 . 2 x − 6 < −4

+<−

Siempre es falso

2 3 x − 6 < −3 −3 2

C.S . = { } = φ

3x − 6 <

2. 7 + 2 3 x − 6 < 4

+ < − C.S . = { } = φ

2 3 x − 6 < 4 −7

Teorema 4:

Si -a es un número negativo, entonces u > − a y u ≥ − a son ciertas para todos los núm eros reales, esto es C .S.=R .

Siempre es falso

Ejemplos:

1. 2 x − 8 > −4

+ > −

Siempre es cierto

C.S . = R

2. 8 + 5 3x − 6 ≥ 4 5 3 x − 6 ≥ 4 −8 5 3x − 6 ≥ −4

15

5 3x − 6 ≥ −4

Teorema 5:

Si u > 0 entonces u > 0 ó u < 0 . El conjunto

5 3x − 6

solución es todos los números reales excepto el 0.

−4 5 5 −4 3x − 6 ≥ 5 ≥

+≥−

Si u ≥ 0 entonces el conjunto solución es R.

Ejemplo 1: 3x − 6 ≥ 0

C.S . = R

Siempre es Cierto

Ejemplo 2 : 3x − 6 > 0

C.S . = R

C.S . = R − {0}

El procedimiento a seguir es el siguiente: 1. 2. 3.

Considere la ecuación (igualdad) asociada a la desigualdad. Encuentre los ceros o soluciones de la ecuación. Las soluciones de la ecuación dividen a la recta numérica en regiones o intervalos. 4. Divida la recta numérica en intervalos usando las soluciones de la ecuación . Los ceros serán parte de la solución si la desigualdad tiene el igual , o sea es ≤ ó ≥. 5. Alterne signos (+) o ((-) dependiendo el numero de factores que tenga la ecuación. – Si tiene uno solo comenzara con el signo menos ((--). – Si tiene dos comenzara con el signo (+). – Si tiene 3 comenzara nuevamente con el signo ((--), y así sucesivamente 6. Escriba el conjunto de solución teniendo encuentra el signo de la desigualdad. – Si fue ≤ ,< se considera todos los intervalos denotados con el signo (-) – Si fuese ≥ se consideran todos los intervalos denotados con signo (+)

Ejemplo 1: Resuelva la desigualdad.

Como la ecuación tiene dos factores por ser de segundo grado el primer intervalo comienza con el signo (+)

x2 − 3x − 4 < 0

x2 − 3x − 4 = 0

( x + 1 )( x − 4 ) = ( x + 1) = x = −1

0

x = 4 y x = −1

valores críticos :

( − ∞ , − 1)

0

(x − 4 ) = x = 4

− 3 − 2 −1

0

+

( − 1, 4 ) 0

1 2 3 4 5

_

( 4 ,∞ ) 6

+

Como el signo de la desigualdad era “ < “entonces la solución será el intervalo

C.S = ((-1,4)

16

valores críticos: x = −3 y x = 5

Ejemplo 2 Resuelva la desigualdad.

Como la ecuación tiene dos factores por ser de segundo grado el primer intervalo comienza con el signo (+)

x 2 − 2 x − 15 ≥ 0 x 2 − 2 x − 15 = 0 ( x − 5 )( x + 3 ) = 0

(x − 5) =

0

−4 − 3 − 2 −1 0

(x + 3) =

0

x = −3

x = 5

[ −3,5]

( −∞, −3]

[5,∞ )

1 2 3 4 5 6

_

+

+

Como el signo de la desigualdad era “ ≥ “ entonces la solución será el intervalo

]

[ 5

C.S.= ( −∞ , −3] U [5, ∞ )

Ejemplo 3 Resuelva la desigualdad.

valores críticos : x = 1 y x = 3 [1,3] (− ∞, 1] [3, ∞ )

x2 − 4x + 3 ≥ 0 x2 − 4x + 3 = 0

−1 0 1 2 3 4 5

( x − 1)( x − 3 ) =

0

(x

(x

− 1) = 0

x =1

_

+

− 3) = 0

C.S.= ( −∞ ,1] U [3, ∞ )

x = 3

Cuando los factores de la desigualdad se repiten el signo para los intervalos tambien se repiten Ejemplo Resuelva la desigualdad.

x − 4x + 4 ≥ 0 x2 − 4x + 4 = 0

+

]

[

1

3

valores críticos : x = 2

(− ∞, 2]

[2, ∞ )

2

− 3 − 2 −1 0 1 2 3 4 5 6

( x − 2 )( x − 2 ) = 0 (x − 2 ) = (x − 2 ) = 0 x = 2

x = 2

+

0

+

C.S = (− ∞, 2] ∪ [2, ∞ )

C.S.= ( −∞, ∞ ) = R

17

valores críticos : x = 0; x = −2 y x = 2

Ejemplo Resuelva la desigualdad.

Como la ecuación tiene tres factores por ser de tercer grado el primer intervalo comienza con el signo ((-)

x3 − 4 x ≥ 0 x3 − 4 x = 0 x ( x + 2 )( x − 2 ) = 0

(x − 2) =

x = 0 (x + 2 ) = 0 x=0

x = −2

[ 2,∞ )

− 3 − 2 −1 0 1 2 3 4 5 6

0

_

+

_

+

C.S.= [ −2, 0 ] U [ 2, ∞ )

x = 2

Ejemplo Resuelva la desigualdad

valores críticos : x = -2 y x = 3

( x + 2) ≥0 x −3

Los términos del denominador de la inecuación la cota siempre es un intervalo abierto

( x + 2) x −3 = 0 (x+2) = 0

[ −2, 0] [ 0, 2]

( −∞, −2]

(− ∞, − 2)

x=3

[3, ∞ )

− 3 − 2 −1 0 1 2 3 4 5

(x-3) = 0

x = -2

(− 2,3]

+

_

+

(− ∞, − 2) U [3, ∞ )

Ejercicios: Resuelve cada desigualdad. 1. x 2 − 17 x + 16 < 0

Problemas de Aplicación de Ecuaciones e Inecuaciones de Primer Grado

2. x 2 − 16 > 0 3. 2 x 2 ≤ 8 x − 5 4. x 2 − 5 x − 6 ≤ 0 5. − 4 x 2 − 3 x + 1 < 0 6. 8 x 2 − 16 ≥ 0 7. 4 x 2 − 12 x + 16 > 0

La parte más dificil de resolver un problema verbal es transformarlo en una ecuación. Algunos ejemplos o frases representadas como expresiones algebraicas.

8. x 2 − 6 x + 9 < 16 9. 4 x 3 − 12 x 2 ≤ 0

18

Un numero

Expresión Algebraica

Un número incrementado en 4

Frase

x

x+4

Dos veces un número

x

2x

5 menos que un número

x

5-x

Un número restado de 9

x

9-x

6 restado de un número

x

x-6

Un octavo de un número

x

x/8

2 más que 3 veces un número

x

2+3x

4 menos que 6 veces un número

x

4-6x

3 veces la suma de un número mas 5

x

3(x+5)

6 % de un número

x

0.06*x

El costo de un objeto incrementado en un 7 % de impuestos

x

x+0.07*x

25 % menos del costo de un objeto

x

0.25x

Frase La edad de Peter ahora y la edad de Peter en 5 años

Un numero

Segundo numero

x

X+5

• A veces, en un problema hay dos números que se relacionan entre sí. • Con frecuencia representamos uno de ellos con una variable y el otro con una expresión que contiene a esa variable.

Con frecuencia la palabra es en un problema verbal significa “es igual a” y se representa con el signo igual , =.

Un número es 3 veces el otro

3x

x

Un número es 7 menos que el otro

x-7

x

Dos enteros consecutivos

x

x+1

4 menos que tres veces un número es 5

Dos enteros impares (o pares) consecutivos

x

x+2

Un número decrementado en 4 es tres más que dos veces el número

x-4=3+2x

Un número y el número incrementado en su 7 %

x

x+0.07x

El producto de dos enteros consecutivos es 20

x(x+1)=20

Un número y el número decrementado en su 10 %

x

x-0.1x

La suma de dos números es 10

x

x-10

Una tabla de 6 pies cortada en dos tramos

x

$ 10,000 compartidos por dos personas

x

Proposición Verbal

Expresiones Algebraica 4-3x=5

Un número incrementado en su 15 % es 90

X+0.15x=90

Un números decrementado en su 12 % es 38

x-0.12x=38 x+(x+0.04x)=204

x-6

La suma de un número y el número incrementado en su 4 % es 204 El costo por venta de un VCR por x días a $15 por día es $120

15x=120

10000-x

Pasos para resolver un problema verbal 1. Lea el problema con cuidado. 2. Si es posible, trace un esquema que ilustre el problema. 3. Identifique la cantidad o cantidades que le piden encontrar.

Referencia: Presentaciones de W.Ortiz/ E. hernandez Tomás Díaz Berríos

4. Elija una variable para representar una cantidad, y escriba exactamente lo que representa. Represente cualquiera otras cantidades que deban encontrar en términos de esta variable. 5. Escriba el problema verbal como una ecuación. 6. Despeja la cantidad desconocida en la ecuación. 7. Responda la pregunta solicitada. Asegúrese de dar las unidades apropiadas con su respuesta. 8. Verifique la solución en el problema verbal original.

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