Material Para El Primer Parcial

1

2

Los conjuntos numéricos fundamentales

1) El conjunto de Números Naturales N = { 1, 2, 3, 4, .... }

Numeros Reales

2) El conjunto de Números Cardinales W = { 0, 1, 2, 3, ... } 3) El conjunto de Números Enteros Z = { ... , − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, ... }

3

4

Ejemplos de números racionales

4) Conjunto de Números Racionales  a  Q =  / a ∈ Z , b ∈ Z ; b ≠ 0 b  

0

2 3

El conjunto de números racionales es el conjunto de los números que se pueden expresar como una fracción.

−

34.56

Aclaración: Los números que se pueden expresar como Aclaración: una fracción son los enteros enteros,, decimales terminantes y los decimales no terminantes repetitivos (periódicos).

____

2. 67

7 5

8

5

5) Conjunto de Números Irracionales Es el conjunto de todos los números que no pueden ser expresados como una fracción.

I={ x

x∉Q

}

Aclaración: Los números irracionales en su forma decimal son los decimales no terminantes no periódicos. Las raíces cuadradas que no son exactas (no (no son un número entero) entero) son números irracionales.

6

Ejemplos de números irracionales:

π

e ≈ 2.71828... 1.756932174...

2 10

1

7

a) 6 ∈ Q

e)

b) 1.89731... ∈ I

c) 2

9

∈Q

El conjunto de los números reales es el conjunto formado por la unión de los números racionales y los números irracionales.. irracionales

7 ∈I

f ) 4.56 __

g ) 1. 3

8

6. El conjunto de los numeros reales

Determine si el número pertenece al conjunto de los números racionales o irracionales.

∈Q

R =Q∪I

∈Q

d) π ∈ I

Organigrama de los conjuntos numéricos

9

Propiedades de los nú números reales Si a, b y c son números reales entonces:

Conjunto de Números Reales

1. Propiedad de la cerradura o clausura Conjunto de Números Racionales

Conjunto de Números Irracionales

Conjunto de Números Enteros

Operación

Definición

Que dice

Ejemplo

Suma

a+b = c

Al sumar o multiplicar dos números reales el resultado será otro numero real

2+5 = 7

Multiplicación

ab = c

4(-3) = -12

Conjunto de Números Cardinales

Conjunto de Números Naturales

2. Propiedad conmutativa Operación

Definición

4. Propiedad de la identidad o elemento neutro

Que dice

Suma

Ejemplo

a+b = b+a El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el Multiplicación ab = ba resultado.

Operación

2+5 = 5+2

Operación

Definición a+(b+c)=(a+b)+c

Multiplicación

a(bc) = (ab)c

a+0=a

Multiplicación

a x 1= a

Que dice

Ejemplo

Todo real sumado a 0 se queda -11 + 0 = -11 igual; el 0 es la identidad aditiva.

4(-3) = ( -3)4

3. Propiedad Asociativa Suma

Definición

Suma

Que dice

Ejemplo

Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

17 x 1 = 17

Puedes hacer diferentes 7+(6+1)=(7+6)+1 asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado. -2(4x7)= (-2x4)7

2

Operación

Definición

Suma

a + ( -a) = 0

Multiplicación

1 a×  =1 a

Que dice

Ejemplo

El valor absoluto de un número real x se define y se denota como:

La suma de opuestos 15+ (-15) = 0 es cero.

 x si x ≥ 0 x = − x si x < 0

1 5×   = 1 5

El producto de recíprocos es 1.

6. Propiedad Distributiva Operación Suma respecto a

Definición a(b+c) = ab + ac

Multiplicación

14

Valor Absoluto

5. Propiedad del inverso

Ejemplos: Que dice

8= 8

Ejemplo

El factor se distribuye a cada sumando.

2(x+8) =2(x) + 2(8)

0= 0

−5 = − ( −5 ) = 5

El valor absoluto de un número real x representa la distancia a que el número x se encuentra del cero en la recta numérica. x 6444 474444 8

0

El valor absoluto a − b ó b − a representa la distancia a que se encuentran los números a y b en la recta numérica.

15

b

3)

Ejemplos: Escriba cada expresión sin usar el símbolo de valor absoluto.

1)

x−5 ,

4)

si x < 5

16

x2 + 1 = x2 + 1

a − b , si b > a

Solución:

si x > 5

5)

a − b = − (a − b) = b − a

π −5 +3 =

Solución:

Solución: x − 5 = x − 5

Orden de operación y signos de agrupación

x −5 ,

Solución: x − 5 = − ( x − 5) = − x + 5 = 5 − x

a −b 6444 474444 8

a

2)

x

π − 5 + 3 = − (π − 5 ) + 3 = 5 − π + 3 = 8 − π

Ejemplo:

17

1.

El orden de operaciones son reglas que determinan que operación matemática se lleva a cabo primero. 1. Evaluar expresiones algebraicas que estén dentro de los símbolos de agrupación, incluyendo paréntesis ( ), corchetes [ ], o llaves {}. Si hay símbolos que agrupan dentro de otros, primero haz la que está más adentro. 2. Evaluar todos los términos que tienen exponentes, valor absoluto y raíces. 3. Realiza las operaciones de multiplicación y división de izquierda a derecha. 4. Realiza las operaciones de suma y resta de izquierda a derecha.

2.

18

4 { 5 – [ 6 + ( 2 + -4)2 / 2 + 8] } 4 { 5 – [ 6 + ( -2)2 / 2 + 8] } 4 { 5 – [ 6 + 4 / 2 + 8] } 4 { 5 – [ 6 + 2 + 8] } 4 { 5 – [ 8 + 8]} 4 { 5 – 16} 4 { -11} = -44 3 { 6 – [ 9 + 2 ( 1 + 3 )2 – 20 ] } 3 { 6 – [ 9 + 2 ( 4 )2 – 20 ] } 3 { 6 – [ 9 + 2 ( 16 ) – 20 ] } 3 { 6 – [ 9 + 32 – 20 ] } 3 { 6 – [ 41– 20 ] } 3 { 6 – 21} 3 {-15} -45

3

3.

19

2+3*(4+(6*3-8))*2

Resuelva las siguientes operaciones

20

2+3*(4+(18-8))*2 2+3*(4+10)*2 2+3*14*2 2+42*2 2+84 86

Teoría de exponentes enteros

21

22

x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅⋅⋅⋅ x xn = 1 44244 3

Definición

n veces

Un exponente natural es un número que se escribe en la parte superior derecha de otro número o expresión, llamado la base e indica el número de veces que se va a multiplicar la base por ella misma. Exponente Ilustración:

53 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 =

En general:

Ejemplos:

1) 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81

2)

( −5 )

2

= ( −5 )( −5 ) = 25

3) − 7 2 = −7 ⋅ 7 = −49

125

Aclaración: El exponente se aplica sobre la expresión que está inmediatamente a la izquierda.

Base

23

Propiedades de los exponentes Producto con bases iguales: se suman los exponentes.

1) a ⋅ a = a n

m

Se recomienda restar donde está el exponente mayor.

n+m

Ejemplos:

2)

1) 42 ⋅ 43 = 45 = 1024

2) x 20 ⋅ x 5 = x 25 3) ( x + 3) ⋅ ( x + 3) = ( x + 3) 11

24

División con bases iguales: se restan los exponentes.

12

an = an−m ; si n > m am an 1 = m − n ; si m > n m a a

4

25

Ejemplos:

26

Todo número distinto de cero elevado a la cero es igual a 1.

1)

w8 = w8−3 = w5 3 w

2)

3 3 18 x 5 = 9 −5 = 4 9 2x 2x 12 x

3) a 0 = 1, 00 es una forma indeterminada an n−n = a0 1= n = a a Ejemplos:

1) 60 = 1

24n 3 p 2 q 4n 3) = 2 2 5 30n p q 5q 4

2) 5 x 0 = 5 (1) = 5

si x ≠ 0

3) ( −3 x ) + 8 y 0 = 1 + 8(1) = 1 + 8 = 9 0

El negativo del exponente representa el recíproco del número con exponente positivo.

a−n =

4)

Ejemplos:

1) 3−2 =

1 an

n m

= a n ⋅m

( )

2

10

( ( ) ) =( x x9

1 = x2 y −1 x y −2

50

Productos de potencias de potencias: se aplica el exponente a cada factor de la expresión mediante la regla de potencias.

6)

(a

n

30

⋅ b k ) = a n⋅ m ⋅ b k ⋅ m m

3 2

27

(

)

(

)

1) x 4 y 3

= 26 = 64

2) ( x 25 ) = x 250 3)

x7 40 y 6

Ejemplos:

Ejemplos:

1) 23

4 3

y4 y4 = 25 x 52 x

29

(a )

−5

x7 2 x y x x = = 4) = 8 ⋅ 5 y6 23 ⋅ 5 yy 5 5 x −3 y

5)

Potencias de potencias: se multiplican los exponentes

5)

28

−3 4

1 = an −n a

2 = 2(52 ) = 2(25) = 5−2

3)

27

1 1 = 2 3 9

2) 5−2 x −1 y 4 =

si x, y ≠ 0

2) 3pr 7

)

2

= x 54

(

7

28 21 = x y

2

3) −5w3c 2

)

= 9 p 2 r14 2

= 25w6c 4

5

31

32

Potencias de una división : el exponente se aplica sobre el numerador y el denominador. n

n

a a 7)   = n b b

5)

36 x 4 3x 4 3x 2 36 x 4 y −6 = = = 2 5 6 x2 y5 y6 y11 12 x 2 y 5 12 x y y

Ejemplos: 2

25 5 1)   = 36 6 3

8x9 y 3  2 x3 y  2)  4  = 27 z 12  3z 

2

25 p 4 q 6  −5 p 2 q 3  3)  =  5 49m10  7m  4)

a   b

−n

n

n

b b =  = n a a

Ejemplos propuestos:

( 3x y )( 4 x 2

6)

2 x7 y 5

4

y −3

) = 12 x

6 y −2 12 x 6 = = 7 5 2 7 5 xy 7 2x y y 2x y 6

33

Notación científica

−2

 3 1)   = 5

• La notación científica se utiliza para escribir cantidades muy pequeñas o muy grandes. • Una cantidad expresada en notación científica consiste de un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10. Ejemplos de números en notación científica

−2

 5x3  2)  4  =  y  −2

 − 2 p 5q 2   = 3)  3  3m  −3  3 x −2 y 5 z  4)  −3 7  =  5x y z 

3.2 ×10 −6

−2

 n 6 m −8  5)  − 4 − 7  =  7n m 

Pasos para escribir un número en notación científica 1. Mueva el punto decimal hasta que solo un dígito aparezca a la izquierda del punto decimal. Con esto se obtiene un número mayor o igual a 1 y menor que 10. 2. Cuente el número de lugares que movió el punto decimal en el paso 1. Si el número original fue 10 o mayor que 10, la cuenta se considera positiva. Si el número original fue menor que 1, la cuenta se considera negativa. 3. Multiplique el número obtenido en el paso 1 por 10 elevado al número (potencia) determinado en el paso 2. Ejemplo: Escriba los siguientes números en notación científica.

1) 5700 3) 502,000,000

2) 0.000410 4) 0.0036

4.8 × 108

2.1×10 −3

Pasos para convertir un número en notación científica a forma decimal 1. Observe el exponente de la base 10. a) Si el exponente es positivo, mueva el punto decimal hacia la derecha el mismo número de lugares del exponente. Tal vez sea necesario agregar ceros al número. Con esto se obtiene un número mayor o igual que cero. b) Si el exponente es 0, el punto decimal en el número no se mueve de su posición actual. Elimine el factor 10°. Con esto se obtendrá un número mayor o igual a 1 pero menor que 10. c) Si el exponente es negativo, mueva el punto decimal hacia la izquierda el mismo número de lugares que el exponente. Tal vez sea necesario agregar ceros. Esto produce un número menor que 1.

6

Polinomios

37

38

Definiciones Una constante es un símbolo que representa una cantidad (número) específica. Una variable es un símbolo o letra que se usa para representar diferentes números. Una expresión algebraica es una combinación de constantes y variables relacionadas mediante operaciones matemáticas de suma, resta, multiplicación, división, exponentes y raíces.

39

Ejemplos de expresiones algebraicas.

40

Definición Un polinomio que tiene como variable a x es una expresión algebraica que tiene la forma:

1) 3x 2 y − 2 x + 4 y

4 y 2 3x y − 2 x + 4 y 3) 3x − 2 2) − x 3 y 3 − 2 x +

Donde:

an, an-1,… a1, a0

se llaman coeficientes del polinomio y

normalmente son números reales

Decimos que el grado de un polinomio con una variable es la potencia mayor de la variable. Los polinomios pueden tener más de una variable.

41

Ejemplos:

1) x 2 − 3 x + 1

2) 5 y 3 + y 2 + 6 y 3)

2 x−5 3

4) 7 x

Algunos polinomios se clasifican de acuerdo al el número de términos que contienen:

42

1. Un Monomio es un polinomio con un solo término. 2. Un Binomio es un polinomio con dos términos. 3. Un Trinomio es un polinomio con tres términos. 4. Cuando los polinomios tienen más de tres términos se les denominan polinomios (poli (poli significa muchos).

7

43

Clasifique los polinomios como monomio, binomio, trinomio o polinomio.

1) 3 x + 5

Binomio

2) 4 x 3

Monomio

3) xy 3 − 4 x 2 y + 5 x

Definición Si un monomio tiene más de una variable, el grado está dado por la suma de los exponentes de las variables. Ejemplos: Determina el grado de cada monomio.

Trinomio

5) 4 x − 6 x + 5 x − 1 3

El grado de un monomio con dos o más variables

Trinomio

4) x 2 + 2 x + 1 2

44

1) 4x5

grado 5

2) − xy 3

grado 4

Polinomio

45

3) 5x 4 y 3 z 2

grado 9

4) x 2 y 3

grado 5

Ejemplos: Determine el grado de cada polinomio.

1) 3 x + 5

grado 1

2) x 2 + 2 x + 1

grado 0

5) 7

46 Definición: El grado de un polinomio de varias variables es el grado mayor de los términos del polinomio.

grado 2

3) xy 3 − 4 x 2 y + 5 x

grado 4

4) 4 x 3 y 3 − 6 x 2 + 5 xy − 1

Definición: Evaluar un polinomio consiste en sustituír números reales en la variable o las variables. Evalúe cada polinomio

1) x 2 − 3 x + 2 Solución:

para x = −2

( −2 )

2

− 3 ( −2 ) +2= 4 + 6 + 2 = 12

2) − x 4 + 2 x3 y 2 − y 3 Solución:

para x = −1, y = 3

− ( −1) + 2 ( −1) ( 3) − ( 3) 4

3

2

grado 6

47

48

Definición Dos términos de un polinómio son términos semejantes si tienen las mismas variables con los mismos exponentes exponentes.. Ejemplos:

1) 3x2 y5

y

2) ab y

2ba

− 4x2 y5

3

= −1 + 2 ( −1)( 9 ) − 27

= −1 + ( −18 ) + ( −27 ) = −46

8

49

La suma y la resta de polinomios

50

Efectúe la operación indicada.

Definición

Para sumar polinomios, se suman los coeficientes de los términos semejantes de los dos polinomios. polinomios.

1)

Aclaración:

2)

(3x

) ( ) + x ) + ( −4 x + 5x ) + ( 5 − 2)

− 5x2 − 4x + 5 + x2 + 5x − 2 =

3

(

= 3x + −5x 3

2

2

= 3x3 − 4 x 2 + x + 3

Lo que nos permite definir la suma y la resta de términos semejantes es la propiedad distributiva de los números reales.

(x

4

) (

− x2 + 3x − 7 + 8x4 − 3x2 + 3x − 6

(

) (

)

)

= x + 8x + −x − 3x + ( 3x + 3x) + ( −7 − 6) 4

4

2

2

= 9 x 4 − 4 x 2 + 6 x − 13

51

52

La resta de polinomios

Efectúe la operación indicada.

Definición La resta de dos polinómios se define como la suma del opuesto del polinomio sustraendo.. sustraendo

1)

(3x − 5x − 4x + 5) − ( x + 5x − 2) = ( 3x − 5x − 4x + 5) + ( −x − 5x + 2) 3

2

3

2

2

2

= 3x3 − 6 x 2 − 9 x + 7 2)

( x − x + 3x − 7) − (8x − 3x + 3x − 6) = ( x − x + 3x − 7) + ( −8x + 3x − 3x + 6) = ( x − 8x ) + ( −x + 3x ) + ( 3x − 3x) + ( −7 + 6) 4

2

4

4

4

2

4

2

4

2

2

2

= −7 x 4 + 2 x 2 − 1

3)

( 2x +5) −( 3x −7) −5( 2x −3) = = ( 2x − 3x −10x) + ( 5 + 7 + 15) = −11x + 27

4) 2 x − {6 x − (4 x − 7 )}+ 5 =

53

54

La multiplicación de polinomios Aclaración: Para multiplicar polinomios, se necesita conocer las reglas de los exponentes enteros y la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

= 2 x − {6 x − 4 x + 7}+ 5 = 2 x − {2 x + 7}+ 5 = 2x − 2x − 7 + 5 = −2

9

55

La multiplicación de monomios La multiplicación de dos monomios se lleva a cabo usando las leyes de exponentes y las propiedades de los números reales.

( 4x )( 5 x ) = 3

1)

(

5

2) 5y x

20 x8

4 2 3

4 6

(

)

1) 3x2 6x4 + 5x − 7 = 18x6+15x−3 21x 2

12 6

(

)(

)

2) −4w3 z 7w10 − 2z5 = −28w13 z +8w3 z 6

16 12 = −200 y x

La multiplicación de un polinomio por otro polinomio

56

La multiplicación de un monomio por un polinomio se lleva a cabo multiplicando el monomio por cada término del polinomio mediante la propiedad distributiva de los números reales.

) ( −2y x ) = ( 25y x ) ( −8y x )

2 3 2

La multiplicación de un monomio por un polinomio

57

58

1)

La multiplicación de un polinomio por otro polinomio se lleva a cabo multiplicando el cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio mediante la propiedad distributiva de los números reales.

( 2 x − 1)( 4 x − 3) =

8x −6x −4x +3 2

= 8x 2 −10x +3 2)

( −4 x

2

+ 6y + 2

)( x

2

)

− xy + y 2 =

= −4x 4+4 x3 y −4 x 2 y 2 +6 x 2 y −6 xy 2+6 y 3+2 x2 − 2 xy + 2 y 2 3)

(2x

2

+ y+4

)( − x

2

)

− xy + 2 y 2 =

= −2 x 4−2 x3 y +4 x 2 y 2 −x 2 y −xy 2 +2 y 3−4 x 2 − 4 xy + 8 y 2

59

4)

( 3x − 2 )( 4 x − 1) = 12x 2 −3x −8x +2 = 12 x 2−11x +2

5)

(− x

2

)(

)

6)

(2x

2

+ 3y + 4

)( x

2

(a + b )(a − b ) =

a2 + ab − ba − b2

= a2 − b2 Ejemplos: Ejemplos

1)

(3 x + 5 )(3 x − 5 ) = 9x2 − 25

2)

(7 x − 4 )(7 x + 4 ) =

)

− 2 xy + 2 y 2 =

= 2 x −4 x 3 y +4 x 2 y 2 +3 x 2 y −6 xy 2+6 y 3 +4 x 2 − 8 xy + 8 y 2 4

1. Diferencia de Cuadrados

+ 2 y + 4 3 x 2 − 2 xy + y 2 =

= −3 x 4+2 x3 y − x 2 y 2 +6 x 2 y −4 xy 2+2 y 3+12 x 2 − 8 xy + 4 y 2

60

Productos especiales

49x 2 −16

10

61

(2 x + 3 y )(2 x − 3 y ) =

3)

4)

(3a

3

)(

4x − 9 y 2

62

2. La expansión de un binomio al cuadrado.

2

(a + b)2 = ( a + b )( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 (a − b )2 = ( a − b )( a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b

)

6 4 − 4b 2 3a 3 + 4b 2 = 9a − 16b

Ejemplos: 1)

(x + 5 )2

2 = x + 10 x + 25

63

64

3. La expansión de un binomio al cubo

2)

(8x + 3)2 = 64x 2 + 48 x + 9

3)

(5 − 8 y )2 =

4)

(4x

3

25 − 80 y

(a + b )3 = a 3+ 3a 2b + 3ab 2 + b 3

+ 64y2

(a − b )3 = a 3− 3a 2b + 3ab 2− b 3

)

− 3 = 16x 6 − 24x 3 + 9 2

65

Ejemplos: 1)

(2x + 5)3 = 8x 3 + 3(2 x )2 (5) +3(2 x )(5 )2+ 125 = 8x 3 + 3(4 x 2 )(5) + 3(2 x )(25) + 125

=

8x 3 + 60x 2 + 150 x + 125

2)

(3x − 4)3 =

27x 3− 108x 2+ 144 x− 64

3)

(x − y )

x 3−

2 3

=

6 3 x 2 y 2 + 3xy 4 − y

División de Polinómios

66

División de un polinomio por un monomio 1. Para dividir polinomios éstos deben estar expresados en forma decendente. Esto es; las potencias deben aparecer en orden de mayor a menor. 2. Exprese el polinomio como numerador de una fracción y como denominador ponga al monomio 3. Separe cada termino del polinomio a dividir, poniendo como denominador de cada termino al monomio. 4. Use propiedades de exponentes para simplificar cada expresión a dividir.

11

Factorizacion

Ejemplos : Dividir

a) 4xy 2 + 3x 2 − y 3 ÷ 2 xy 4xy + 3x − y  4xy =  2xy  2xy 2

2

3

2

  3x   − y  3x y  +   +   = 2 y + − 2 xy 2 xy 2 y 2x      2

2

Aclaración: La factorización es el proceso que se utiliza para expresar un polinomio como una multiplicación. Ejemplos:

36 = (9)(4) x − 9 = (x + 3)(x − 3)

b) 4x 3 − 6x 2 − 2 x ÷ −2 x

2

4x3 − 6x2 − 2x  4x3   − 6x2   − 2x  2  +   +  =   = −2x + 3x +1 − 2x − 2 x − 2 x − 2 x      

(

x 3 + 8 = (x + 2) x 2 − 2 x + 4

) 68

Factores del polinomio

El Máximo Factor Común Para factorizar un polinomio se usa varias tecnicas entre ellas tenemos . 1. 2. 3. 4. 5.

El (MFC) de dos o más expresiones es el máximo factor que divide ( sin residuo) a cada expresión.

Factor Común Agrupación Diferencia o Adición de Cubos Diferencia de Cuadrados Tanteo

69

70

Factores Comunes Un factor se dice que es factor común si es un factor de todos los términos de un polinómio. Esta técnica consiste en encontrar el factor común mayor (MFC) entre todos los términos del polinomio.

Ejemplos:

Factorice cada polinomio : 1. 71

4 x 3 y 2 − 10 x 2 y + 18 xy 3 = 2 = 2 xy ( 2 x y

− 5x +

9 y 2) 72

12

Ejemplo:: Ejemplo

2. 4 x − 36 xy = 4 x ( 1

−

9 y)

Simplifique mediante factorización: factorización:

7 ( 3 x − 5 ) ( x + 3) + 5 ( 3 x − 5 ) ( x + 3) = 4

3. 2 x 3 − 6 x = 2 x ( x 2− 3 )

2

5

= ( 3x − 5 ) ( x + 3) 7 ( x + 3) + 5 ( 3x − 5 )  4

4. 3x( x + 2) − 4( x + 2) = (x + 2 ) (3x − 4 )

= ( 3x − 5) ( x + 3) [ 7 x + 21 + 15 x − 25] 4

= ( 3x − 5 ) ( x + 3) ( 22 x − 4 ) 4

73

Factorice

74

El método de agrupación Generalmente esta técnica se aplica cuando el polinomio tiene cuatro términos o más. Se utiliza en combinación con las otras técnicas especialmente con la de factores comunes.

75

76

Ejemplo: Factorice completamente

1. 3x 3 + 2 x 2 − 12 x − 8 =

2. 12 x 2 z + 8 y 2 z − 15 x 2 w − 10 y 2 w

= (12 x 2 z + 8 y 2 z) +(− 15 x 2 w − 10 y 2 w )

) + (− 12 x − 8 ) = x (3x + 2 ) − 4 ( 3x + 2 ) = (3x + 2 )( x − 4 ) = ( 3x

3

+ 2x2

= 4 z (3x + 2 y ) − 5w (3x + 2 y )

2

2

2

=

(3x + 2 )(x − 4 )

=

2

= (3x + 2 )( x + 2)( x −2) 77

(3x

2

2

+ 2y2

2

2

) (4 z − 5w ) 78

13

Diferencias de cuadrados

3. 6ax − 3ay + 2bx − by

Una diferencia de cuadrados es un binomio de la forma a 2 – b 2. La factorización de una diferencia de cuadrados es a 2 – b 2 =(a + b)(a –b).

= (6ax − 3ay ) + (2bx − by )

= 3a (2 x − y) +b (2 x − y) = (2 x − y )(3a +b ) 79

Ejemplos: Factorice completamente:

1. x2 − 36 =

(x

Esta técnica se aplica a polinomios que cumplan con los siguientes requisitos: a) El polinomio es un binomio. b) La operación es resta. c) Los términos se pueden escribir como cuadrados.

4.

+ 6) (x − 6 )

49 2 y − 64 = 25

(

( + 3) (4 y − 3 )

1 = 9

( 75 y + 8 )( 75 y − 8 )

)(

)

5. 16 − ( z + 5) 2 = 4 + (z + 5) 4− ( z + 5)

2. 16 y 2 − 9 = 4 y

3. 25 x 2 −

80

=

(4 + z + 5)(4 − z − 5 )

= ( z + 9 )(− z − 1)

(5x + 13) (5x − 13 )

= − ( z + 9 ) ( z + 1) 81

82

La suma y la diferencia de cubos Ejemplos: Factorice completamente

Una diferencia de cubos es un binomio de la forma a3 – b3 . La factorización de una diferencia de cubos es; a3 – b3 =(a – b)(a2 +ab + b2) Una suma de cubos es un binomio de la forma a3 + b3 . La factorización de una suma de cubos es; a3 + b3 =(a + b)(a2 – ab + b2)

1. x3 + 8 = (x + 2) ( x 2 − 2 x + 4 ) 2. y 3 − 27 = ( y − 3 ) ( y 2 + 3y + 9 ) 3. 64 x 3 + y 3 = 4 x + y 16 x 2− 4 xy + y 2

)( − 4 x = 4 x ( x − 1) (

4. 4 x

7

3 3 = 4 x(x + 1) ( x −1)

Para aplicar esta técnica el polinomio debe: debe Ser un binomio con términos cúbicos La operación puede ser suma o resta 83

)

6

= 4 x ( x + 1)( x 2− x + 1)( x− 1)( x2+ x

+ 1) 84

14

El método de Tanteo para trinomios cuadráticos Para poder aplicar esta técnica el polinomio debe; 1. Ser un trinomio de forma cuadrática y estar en forma descendente o ascendente de acuerdo a los exponentes. 2. No ser un polinomio primo. La técnica consiste en encontrar factores del primer término y el último término que combinados bajo suma o resta produzcan el término del medio. Si el primer y el último término tienen signos iguales la combinación de los factores se suma, si son diferentes se resta.

85

Ejemplo: Factorice completamente

1. x2 + 3x + 2 = (x + 2 ) ( x + 1 ) 2. x2 − x −12 = (x − 4 )( x + 3 ) 3. 6 x 2 − 5 x + 1 = ( 3x − 1)(2 x − 1 )

4. 20 x 4 + 7 x 2 y 2 − 6 y 4

=

(5x − 2 y ) (4 x +3y ) 2

2

2

2

86

15