Material Del Curso

Fundamentos de Álgebra EGMA 1200 Prof. Tomás Díaz Berríos

Teoría de Conjuntos Definición: Conjunto: Es una colección de objetos.
A los objetos de un conjunto se denominan elementos del conjunto.
Los conjuntos se indican mediante llaves { } y sus nombres con frecuencia son letras mayúsculas. Ejemplos:

1) El conjunto de las vocales.

V = {a,e,i,o,u}

2) El conjunto de los colores primarios. C = {rojo, azul, amarillo}


Cuando los elementos de un conjunto están listados decimos que el conjunto está en forma de lista. Ejemplo:

L = {a,b,c,d,…}

Símbolos: ∈

Indica que un elemento “pertenece a” o “es elemento de” un conjunto.

∉

Indica que un elemento no “pertenece a” o no “es elemento de” un conjunto.

Ejemplos:

V = {a,e,i,o,u}

• Si el elemento a está en el interior del conjunto V, decimos que a ∈ V. • Si el elemento b no está en el interior del conjunto V, decimos que b ∉ V.

• En algunos conjuntos son difíciles enumerar elementos. Estos son conjuntos infinitos. Ejemplo: El conjunto de los números naturales.

Definición: El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto nulo o vacío. Símbolos: ∅, { } Ejemplo:

El conjunto de los estudiantes del curso EGMA 1200 de L a M de 6:45 a 8:15 p.m. mayores de 100 años.

Definir Conjuntos ……

Definición: Sub-conjunto

• Decimos que A es un subconjunto de B, si y solo sí cada elemento de A es también elemento de B. Escribimos en enste caso A ⊆ B.

• Decimos que A no es un subconjunto de B, si y solo sí cada elemento de A no es también elemento de B. Escribimos en enste caso A ⊆ B.

Diagrama de Venn Representación gráfica de un conjunto. Escribimos en este caso A ⊆ B.

U A B

Repaso: Símbolos de Desigualdades >

Se lee “es mayor que”

>

Se lee “es mayor o igual que”

<

Se lee “es menor que”

<

Se lee “es menor o igual que”

=

Se lee “es igual a”

=

Se lee “no es igual a”

Asignar Ejercicios de Ejemplos ……..

Notación de Conjuntos Los conjuntos se pueden escribir de dos formas: 1) Enumeración o Forma de Lista:

A = {1,2,3…}

{

}

2) Comprensión o Notación Constructiva: A = x / x 2 − 4 x + 3 = 0

A es el conjunto de todas las x tal que {1,3} Ejemplos:

E = {x / x es un número natural mayor que 6 } E = E =

{x {x

/ x > 6 y x ∈ IN / x ≥ 7 y x ∈ IN

A = {x / − 3 < x ≤ 4 y x ∈ ZI

}

} }

ó

Definición:

Unión de Conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado al combinar todos los elementos que pertenecen a A con todos los elementos que pertenecen a B en un solo conjunto. Escribimos en este caso A ∪ B Intersección de Conjuntos La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Escribimos en este caso A ∩ B

Ejemplos:

A = {1, 2, 3, 4, 5} y

Forma de Lista Forma Constructiva

A∪ B

Forma de Lista

A∩ B A∩ B

B = {2, 4, 6}

A∪ B

Forma Constructiva Ejercicios de Práctica

Págs. 14 – 15 1 – 63 Impares

Inverso Aditivo u opuesto: Dos números que están a la misma distancia de cero en la recta numérica pero en direcciones opuestas. Ejemplos:

El inverso aditivo de 5 es –5 El inverso aditivo de –5 es 5

Definición:

Inverso Aditivo

Para cualquier número real a su inverso aditivo es –a. Ejemplo:

Considere –10 Su inverso aditivo es – (-10) = 10

Propiedad del doble negativo: Para cualquier número real a, - (-a) = a Ejemplo: Definición:

- (- 4.8) = 4.8

Valor absoluto de un número real

Es la distancia que existe de un número real a cero en la recta numérica. Ejemplos:

Valor absoluto de 3, -6, -2, 0

Valor absoluto de a ∈ IR

a, si a ≥ 0  a =  − < a , si a 0  

Ejemplos:

4

−3

0

Determine el opuesto del valor absoluto de un número IR − 7

− − 11

Desigualdades de Valor Absoluto de un número real Inserte >, <, ó = para hacer verdadero el enunciado. −3

− 8

3

9

− 4

− −8

Suma de Números Reales Signos Iguales: La suma de dos números positivos, será un número positivo. 4+3=7 La suma de dos números negativos, será un número negativo -2 + -6 = -8 Signos Diferentes: La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa, o cero. Ejemplos: -2 + 4 = 2,

-6 + 3 = -3,

-7 + 7 = 0

Resta de Números Reales Esta regla dice que para restar b de a , sume el opuesto (o inverso aditivo) de b a a. a – b = a + -b Ejemplos:

1) 5 − 7

2)

−

8−4

3)

−

10 − −11

Multiplicación de los Números Reales Signos Iguales: El producto de dos números con signos iguales es positivo. Ejemplos:

5(2) = 10

-4(-3) = 12

Signos Diferentes: El producto de dos números con signos diferentes es negativo. Ejemplos:

5(-7) = -35

− 3 1  − 3  = 4 2 8

Propiedad Multiplicativa de Cero Para cualquier número a, a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0 Ejemplos: ……..

División de los Números Reales Signos Iguales:

El cociente de dos números con signos iguales es un número positivo.

Ejemplos: …………

Signos Diferentes:

El cociente de dos números con signos diferentes es un número negativo.

Ejemplos: ……….. Ejercicios de Práctica: (1-23)

(35-61)

Págs. 26 – 27 (63-81)

(101-123)

Propiedades de los Números Reales Para números IR a, b, y c

Suma

Multiplicación

Propiedad Conmutativa

a+b=b+a

a*b = b*a

Propiedad Asociativa

(a + b) + c = a + (b + c)

(a*b) c = a (b*c)

Propiedad Identidad

a+0=0+a=a (0 es el elemento identidad en la suma)

a*1 = 1*a = a ( 1 es el elemento identidad en la multiplicación) a*1/a = 1/a*a = 1 (1/a es el inverso multiplicativo o recíproco de a donde a≠0

Propiedad de los Inversos

Propiedad Distributiva

a + (-a) = (-a) + a = 0 (-a es el inverso aditivo u opuesto de a)

a (b + c)

ab+ac

Expresiones Algebraicas Definición: Es una combinación de números, variables, exponentes, símbolos matemáticos y operaciones matemáticas. Ejemplos: ……….. Evaluar Expresiones Exponenciales n

b = b ⋅b ⋅b ⋅⋅⋅ b n factores de b

En general la base b a la n-ésima potencia, escrita b n, donde n es un número natural.

Orden de las Operaciones 1. Evaluar expresiones algebraicas que estén dentro de los símbolos de agrupación, incluyendo paréntesis ( ), corchetes [ ], o llaves { }. 2. Evaluar todos los términos que tienen exponentes y raíces. 3. Evaluar todas las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen de izquierda a derecha. 4. Evaluar todas las sumas y las restas en el orden en que aparecen de izquierda a derecha.

Ejemplos: Simplifica las expresiones algebraicas 1) 4 + 3 ⋅ 5 2 − 4 + 1 1  2) − 2 + − 3 (12 ÷ −4 + 3 ⋅ 2 ) ÷  2 

3) 5 + {8 − [ 3 (5 − 7 )]}3 10 ÷ 5 + − 5 3 − 7 4) 2 + (4 − 2 ) ÷ 2

5) 16 ÷ 8 ⋅ 4 −

6 2 ÷ 2 2 + − 12 − 30 + 33

Evaluar Expresiones con Variables 1. Evalúe 5 x 2 − 8 cuando : a) x = 3 b) x = − 2 2. Evalúe 12 − (3x + 6 ) + 3x 2 cuando : a) x = 2

3. − x 4 − xy + xy − y 2

Ejercicios de Práctica:

donde :

x = −1

y

y=−2

Págs. 39 – 41 (1 – 103) Impares

Leyes de los Exponentes

Expresión

bn

Exponencia l

base a la n − ésima potencia

b − base n ∈ IN

bn = b ⋅ b ⋅ b ⋅ ⋅ ⋅ b n factores de b Regla del Producto para exponentes Si a es cualquier número real y m y n son números naturales, entonces am ⋅ an = am + n Ejemplos: ……..

Regla del cociente para exponentes Si a es cualquier número real distinto de cero y m y n son enteros distintos de cero, entonces m a m−n = a an Ejemplos: …….. Regla del exponente negativo Para cualquier número real a distinto de cero y cualquier número entero no negativo m.

a

−m

=

1 am

Ejemplos: Escriba las siguientes expresiones sin exponentes negativos. a) 4

−2

b) z

−3

c)

1 y

d)

−2

Ejemplos: Simplifique a ) − 2 3 x −2 y 3

b) (− z ) 2 a −3bc −2

c) z −4 m −2 n 3 d)

4 pq 2 r −3

2p z −3

Regla del Exponente Nulo 0 Si a es cualquier número distinto de cero, entonces a = 1 Ejemplos: Simplifique: a) x

0

b) 4 x

0

c)

(5x )0

d ) − (a + b )0

A- Utilice las reglas de los exponentes para simplificar las siguientes expresiones. 2

a) 3 ⋅ 2

−3

2

4 b) −3 2

z −4 c) −5 z

d ) a −3 ⋅ a 5

B- Simplifique: a) 2

−1

− 3⋅ 2

−2

C- Simplifique:

b) − 4

−1

− 2⋅3

−1

(

6

x −5

D- Simplifique:

E- Simplifique:

 4x3 y − 2   6x 4 y 3      3 xy 5   4 x − 2 y 2    

(6 x

−3 5

y

)(5x

− 7 −2

20 x − 4 y 5

y

)

− 4 ⋅3

(x )(2 x ) −3

2

)

0

5) Regla de la potencia para exponente A- Si a es un número real y m y n son enteros entonces m n a = a m⋅n

( )

Ejemplos:

( )

( )

a) a

3 2

b) y

3 −5

( )

c) 3

−2 3

B- Si a y b son números reales y m es un entero entonces

(ab )

m

( b) a

m m

=a b

m

m a =

bm

Ejemplos:

(

)

2 −1 2

1) 2 x y

(

2) 4ab

)

− 2 −3

 5  3)  − 3  m 

2

6) Regla del exponente negativo para fracciones Para cualquier a y b, a ≠ 0, b ≠ 0

Ejemplos: 6 1)   8

Ejercicios de Práctica:

−2

a   b 6 −4

−m

 4x y   2)  4 −2   8 xy z 

Págs. 281-282 Págs. 289

−2

b =   a

m

Notación Científica - La notación científica se utiliza para escribir cantidades muy pequeñas o muy grandes. - Una cantidad expresada en notación científica consiste de un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10. Ejemplos de números en notación científica

3.2 × 10

6

4.176 × 10

3

2.64 × 10 −2

Pasos para escribir un número en notación científica 1. Mueva el punto decimal hasta que solo un dígito aparezca a la izquierda del punto decimal. Con esto se obtiene un número mayor o igual a 1 y menor que 10. 2. Cuente el número de lugares que movió el punto decimal en el paso 1. Si el número original fue 10 o mayor que 10, la cuenta se considera positiva. Si el número original fue menor que 1, la cuenta se considera negativa. 3. Multiplique el número obtenido en el paso 1 por 10 elevado al número (potencia) determinado en el paso 2.

Ejemplo: Escriba los siguientes números en notación científica. 1) 5,800

2) 0.000405

3) 302,000,000

4) 0.0036

Pasos para convertir un número en notación científica a forma decimal 1. Observe el exponente de la base 10. 2. a) Si el exponente es positivo, mueva el punto decimal hacia la derecha el mismo número de lugares del exponente. Tal vez sea necesario agregar ceros al número. Con esto se obtiene un número mayor o igual que cero.

b) Si el exponente es 0, el punto decimal en el número no se mueve de su posición actual. Elimine el factor 10°. Con esto se obtendrá un número mayor o igual a 1 pero menor que 10. c) Si el exponente es negativo, mueva el punto decimal hacia la izquierda el mismo número de lugares que el exponente. Tal vez sea necesario agregar ceros. Esto produce un número menor que 1.

Ejemplos: Escriba cada número sin exponentes a ) 2.1 × 10 4

Ejemplo: Divida

b) 8.73 × 10 −3

c ) 1.43 × 10 8

0.0000144 0.003

Ejemplo: Escriba la respuesta sin exponentes.

(0.000012)(400,000) 0.000006 Ejercicios de Prácita:

Pág. 282

Exponentes Racionales Índice

n

Radical

a

Radicando

Cambio de la forma radical a la exponencial Una expresión radical de la forma n a se puede escribir como una expresión exponencial mediante la siguiente regla. Regla: Para cualquier número a no negativo y cualquier entero positivo n ≥ 1. n

a =a

1

n

Ejemplos:

1)

2)

b

8

3)

4

4)

9

5

m

Regla: Para cualquier número positivo a y enteros m y n, n ≥ 2. n

a

m

=

( a) n

m

=

Potencia

m an

Índice

Ejemplos: 1)

b5

2)

( y)

3

3)

5

z3

Cambio de la forma exponencial a la forma radical Las expresiones exponenciales con exponentes racionales se pueden convertir en expresiones radicales. El numerador del exponente racional es la potencia, y el denominador del exponente racional es el índice o raíz de la expresión radical. Ejemplos: 1) c

1

2

2) 4

2

5

3) 6

2

3

4) z

3

4

Ejemplos: Escribir en forma exponencial y simplifique después. 1)

12

4

6

2)

( x)

8

3)

16

m4

4)

20

p10

Regla- Para cualquier número no negativo a. n

n

a =

Ejemplos: 1)

7

x

( a)

n

n

=a

n

n

=a

( ) 3

2) y

7

3

Aplicación de las reglas de exponentes 1) 16

2

3) (− 32)

3

4) (− 36 )

1

2) 16

2

Ejercicios de Práctica:

3

(

5) 4

5

1

2

) 25

6) 0

3

1

2

4

Págs. 458-459

( 25)

7) 4

−1

2

Introducción a los polinomios Definiciones: Enunciado: Oración matemática o aseveración entre dos numerales. Término: Es una expresión algebraica que es un numeral o el producto o cociente de un numeral y una o más variables. Numeral: Símbolo escrito que se usa para representar un número.

Definición: Polinomio: • Es un término o la suma de términos en los cuales todas las variables tienen exponentes enteros no negativos y ninguna variable aparece en el denominador. • Toda expresión de la forma

an an − 1 an − 2 a1

a n x n + a n − 1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 + ... a1 x 1 + a 0 x 0 Se llama polinomio en x en orden descendent e Son Coeficientes Numéricos

Definición: Cada uno de los factores de un término.

Coeficiente:

Coeficiente Numérico: Factor numérico de un término. Ejemplos de Polinomios en x

No son Polinomios 1

2

1) 3 x

1) x

2) 3 x 2

2) 2 x −1

1 3) 6 x − x + 4 2 2

1 3) x

Ejemplos de polinomios x y y

1) − 2 xy 2 2)

1 2 x y 2

3) 3 xy + 6 x 2 y 4) 4 x 2 y − 3 xy 2 + 5

Determina los coeficientes numéricos de los siguientes polinomios. 2

1) 3 x + 2 x − 3

1 2) 5 x 6 + 3x 5 − x 3 + x − 8 2

Los polinomios se pueden clasificar por el número de términos. Monomio: Polinomio que tiene un solo término. Ejemplos:

3, 2 x,

1 2 x , 2

3 2 3  5 xy  x y z,   4  2 

Binomio: Polinomio que tiene dos términos. Ejemplos: Trinomio: Polinomio que tiene tres términos. Ejemplos:

1) x 2 + 2 x + 3

2) a 2 − 2ab + b 2

3) 5 x 2 + 10 xy − 2 y 2

Si el polinomio tiene más de tres términos no tiene un nombre especial. “Poli”es un prefijo que significa muchos. Simplemente se llama polinomio.

El grado de un término Es la suma de los exponentes de las variables que hay en el término. Ejemplo:

2 x 2 y 3 z 2 → Grado 7

El grado de un polinomio Es igual al grado de su término que tiene el grado mayor. Ejemplos:

1) 8 x 3 − 2 x 2 + x − 3 → Grado 3 2) 5 x 2 − 3 x 2 y 3 − 6 → Grado 5

Dato: Los polinomios por lo general se escriben en orden descendente de la variable x. 1 3 4 2 x − x + 2x2 + x + 2 2 Polinomio Cuadrático Un polinomio de grado 2 en una variable. Ejemplo:

x 2 + 3x + 4

Polinomio Lineal Un polinomio de grado 1 en una variable. Ejemplos:

1) x − 2

2) 5 y

Escriba cada uno de los siguientes polinomios en orden descendentes.

1) 3 + x 4 + 2 x 2 − x 3 + 5 x 2) ab + 3a 2 − 5b 2

Suma de Polinomios Definición:

Términos Semejantes

Términos que tienen los mismos exponentes en las mismas variables.

Dato: Para sumar dos polinomios se suman los términos semejantes.

Ejemplos:

1) Simplifiqu e :

(− 2 x (

2

) (

+ 3x − 1 + 5 x 2 − 4 x + 3

) (

2) Simplifiqu e : 3 x 3 − 2 x + 6 x 3 − 2 x 2 + 8 3) Simplifiqu e : 4)

(2a b

3 2

) (

)

)

− 4a2b2 + b2 + a3b2 + 2a2b2 + 3b2 − 2

1 −2 2 3 1 2 2 a + a+  a − a+ + 5 2  3 5 3

3  2

)

Resta de Polinomios 1) Elimine los paréntesis y sumamos el opuesto del sustraendo. 2) Sume los términos semejantes. Ejemplos:

Forma Vertical

Forma Horizontal

(

) (

1) x 2 − 6 x − 3 − x 2 + 8 x − 5

(

) (

)

2) − a 3 + 3a 2 + 2 − a 4 + 3a 2 + 5

(

)

)

3) m 2 n − 3mn 2 + 5 − 3m 2 n − 4n 2 + 1

Multiplicación de Polinomios A – Multiplicación de dos monomios Ejemplos:

( )( )

1) m 3 m11

( )(

2) 2 x 3 − 3 x 2

(

)(

)

3) 4 x 3 y 2 x 6 y 4

)

( )( ) 5) (− 3a b c )(− a bc ) 4) (− ab ) a 2 b − b 2 3 4

2

2

B – Multiplicación de un monomio por un polinomio

Propiedad Distributiva: Supongamos que a, b y c ∈ IR, entonces a ( b + c ) = ab + ac. Ejemplos:

1 4  1) 4 y  y − 6 y 3  2  2

(

2) 3mn 4m 2 n + 5mn 2 + 3

)

C – Multiplicación de dos binomios Horizontal

(a + b )(c + d )

Vertical ×

(a + b ) (c + d )

Ejemplos: 1) ( x + 3)( x + 5 )

(

3) (2 x − 5)2

)

1   2) 2 x + 4  2 x − y  3   2

4) (3a + 2c )2

Cuadrado de un Binomio

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b2

(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2 Ejemplos:

(

2

(

3

1) 3x − 4

)

3) [m + (n − 2 )]2

2

2) 5 x − 2 y

)

2 2

Diferencia de Cuadrados

(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2 Ejemplos:

1) (3 x − 4 )(3 x + 4 ) 2 2  2)  5 y −   5 y +  5 5 

Ejercicios de Práctica:

Págs. 297 - 298

División de Polinomios A – División de un polinomio entre un monomio. Ejemplos:

6a 3 + 4a 2 − 8a 1) 2a

3.6ab 2 + .12a 2b − 24a 2b 2 2) − .6ab

3)

4 y − 6 x 4 y 3 − 3x 5 y 2 + 5 x 2 xy 2

B – División de un polinomio entre un binomio. Ejemplos:

2

1)

y + 7 y + 10 y+2 2

a + 5a + 3 2) a +1

Ejercicios de Práctica:

6a 3 − 4a + 11a 2 − 4 3) − 2 + 3a

4)

x3 − 6 x2 − 2x + 1

Págs. 303 - 304

Técnicas de factorización de Expresiones Algebraicas A - Para factorizar un monomio en un polinomio debemos determinar el máximo factor común (MFC) de cada término del polinomio.

El Máximo Factor Común El (MFC) de dos o más expresiones es el máximo factor que divide ( sin residuo) a cada expresión. Ejemplos:

Tres Números 1) 12, 18, 24

Tres Términos

2) x5 , x4 , x3, x2

Ejemplos: 3) Determine el MFC de los siguientes términos.

a) z 4 , z 6 , z 3 b) a 3b 4 + a 5b 2 + a 4b c ) 16 a 4 + 8a 3b 2 + 12 a 2 Ejemplo: 4) Determine el MFC de los siguientes términos.

4( y − 2 )3 , 3( y − 2 ), 10( y − 2 )4

Factorización – Un número se puede expresar como el producto de dos o más números. Ejemplo: 36

Dato: Recuerde que si a*b = c, entonces a y b son factores. Una expresión puede tener muchos factores. ¿Cuáles son los factores de 12? ¿Cuáles son los factores de 6x 3? La propiedad distributiva establece que:

1) a(b + c ) = ab + ac

2) ab + ac = a(b + c )

B – Para factorizar un monomio en un polinomio. 1. Determine el Máximo Factor Común de todos los términos del polinomio. 2. Escriba cada término como el producto del MFC y otro factor. 3. Utilice la propiedad distributiva para factorizar el MFC.

Dato: Factorizar es lo opuesto a multiplicar.

Ejemplos: Determina el MFC de los siguientes polinomios y simplifica.

1) 8a 5 − 4a 3 + 12a 2 2) 18 x 3 y 4 − 24 x 2 y 5 + 12 xy 6

3) − 45c8d 5 + 15c 4 d 7 − 60c 2 d 12 4) 7 x (2 x − 5 ) + 3 (2 x − 5 )

5) 3 x 2 (2 x + 7 ) − 6 x (2 x + 7 ) 6) 15 (3a − 2 )2 + 10 (3a − 2 )3 7) (4 p − 3)(5q − 2 ) − (4 p − 3)(q + 4 )

C – Factorización Mediante Agrupación Cuando un polinomio tiene cuatro términos se podría factorizar los polinomios por agrupación.

Para factorizar cuatro términos por agrupación 1. Ordene los cuatro términos en dos grupos de dos términos cada uno. 2. Factorice el MFC de cada grupo de dos términos. 3. Si los dos términos formados en el paso 2 tienen un MFC, factoricelo.

a 2 + ab + ac + cb =

Ejemplos:

1) 2 xy + x 2 + 2 y + x 2) 3xy − 3 y + 5 x − 5 3) bx − ax − ab + x 2

4) 3a 3 − 2ab − 9a 2b + 6b 2

5) a 3 − 10 + 5a − 2a 2

Ejercicios de Práctica:

Págs. 337 - 338

D – Factorización de Trinomios Cuadráticos 1. Para factorizar trinomios de la forma

ax 2 + bx + c, cuando a = 1 a) Determine dos números (o factores) cuyo producto sea c y cuya suma sea b. b) Los factores del trinomio serán de la forma

(x + __ )(x + __ ) Factor Determinante

Factor Determinante

Ejemplos:

1) x + 8 x + 15

3) y 2 − 2 y − 48

2) x 2 + 5 x − 14

4) x 2 + 2 xy − 15 y 2

2

Dato: Si cada término de un trinomio tiene un factor común, utilice la propiedad distributiva para remover el factor común antes de seguir el procedimiento anterior.

5) 3 x 2 − 6 x − 72

2. Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, donde a ≠ 1, utilizando prueba y error.

a) Escriba todas las parejas de factores del coeficiente del término cuadrático, a. b) Escriba todas las parejas de factores de la constante, c. c) Intente diversas combinaciones de estos factores hasta encontrar el término medio correcto, bx. Ejemplos:

1) 6 x 2 + 23 x + 20

2) 3 x 2 − 13 x + 10

3) 6a 2 + 7 a − 24

4) 8 x 2 − 51x + 18 5) 6 x 2 − 11xy − 10 y 2

Ejercicios de Prática:

Págs. 349

E – Factorizar la diferencia de dos cuadrados Diferencia de cuadrados

a 2 − b 2 = (a + b )(a − b )

Definición: Cuadrado Perfecto: Es un número que se obtiene al multiplicar otro número por si mismo. Ejemplos:

1) x 2 − 9

2) 4 x 2 − 25 y 2 3) 8a 2 − 18 4) (a + b )2 − 16a 2

* 5) 3 x 2 − 3 xy + x 2 − y 2

F – Factorizar trinomios cuadrados perfectos

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2

(a − b )2 = a 2 − 2ab + b2 Trinomios cuadrados perfectos

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b )2 a 2 − 2ab + b2 = (a − b )2 Ejemplos:

1) z 2 + 6 z + 9

2) 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2

3) ( x + 3)2 + 4( x + 3) + 4

* 4) a 2 − 6 a + 9 − b 2

* 5) 4 y 2 + 12 yx + 9 x 2 − 25 G – Factorizar sumas o diferencias de cubos La factorización de la suma o diferencia de dos cubos es el producto de un binomio por un trinomio. Suma de dos cubos:

(a + b ) = (a + b) (a (a − b ) = (a − b) (a

) + ab + b )

3

3

2

− ab + b 2

3

3

2

2

Para que un polinomio sea la suma o diferencia de dos cubos, cada término tiene que ser un cubo perfecto. Definición: Cubo Perfecto: Es un número que se obtiene al multiplicar tres factores idénticos. Ejemplos:

3

1) z + 27

* 4) 8 y 3 − 64 x 6

2) p 3 − 8

* 5) ( x − 2 )3 + 64

3) 3 y 3 + 24

* 6) a 5 − a 3b 2 − a 2b3 + b5

Ejercicios de Práctica:

Pág. 356

Resolución de Ecuaciones e Inecuaciones de Primer Grado A – Ecuaciones de Primer Grado Definiciones: Ecuación: • Es una proposición matemática de igualdad. • Una ecuación debe contener un signo igual y una expresión matemática de cada lado del signo igual. Soluciones o raíces de la ecuación: Son los números que hacen una proposición verdadera.

Conjunto Solución: Es el conjunto de números reales que hacen verdadero a la ecuación. Ecuaciones Equivalentes: Son dos o más ecuaciones con el mismo conjunto solución. Ecuación Lineal o Ecuaciones de Primer Grado: • Es aquella que puede escribirse en la forma ax + by = c, a ≠ 0. • El grado del término con grado mayor en la ecuación lineal es 1.

Propiedades de la Igualdad Para todos los números reales a, b y c: a=a

Propiedad Reflexiva

Si a = b, entonces b = a.

Propiedad Simétrica

Si a = b y b = c, entonces a = c

Propiedad Transitiva

Dato: Para resolver ecuaciones, aplicamos las propiedades de suma y multiplicación para aislar la variable en un lado del signo igual.

Propiedad de la suma para la igualdad Si a = b, entonces a + c = b + c para cualquier a, b y c.

Pasos para resolver ecuaciones lineales 1. Si la ecuación contiene fracciones, elimínelas multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador de las fracciones. 2. Aplique la propiedad distributiva para eliminar cualquier paréntesis. 3. Combine los términos semejantes a cada lado del signo igual.

4. Aplique la propiedad de la suma para la igualdad para rescribir la ecuación con todos los términos que contienen a la variable a un lado del signo igual y todos los términos que no la contienen al otro lado del signo igual. Para hacer esto puede que sea necesario aplicar varias veces la propiedad de la suma. El uso repetido de esta propiedad conducirá en algún momento a una ecuación de la forma ax = b. 5. Aplique la propiedad de la multiplicación para la igualdad para aislar la variable. Esto le dará una respuesta de la forma x = algún número. 6. Verifique la solución en la ecuación original mediante sustitución.

Ejemplos: Resuelva cada ecuación.

1) 2 x + 3 = 7

2) 3(b + 3) + 2(b + 1) = − 31

3) 2 x + 7 − x = 2[− (3 x + 4 ) − 3] 3 4) x − 2 = 4 4

5)

2 (x + 1) + 3 (x + 1) = 6 5 5

Definiciones: Ecuaciones Condicionales:

Son verdaderas en condiciones específicas.

Ejemplo: 2x + 3 = 7

Identidad:

Es una ecuación que es verdadera para todos los números reales.

Ejemplo:

2x + 1 = 5x + 1 – 3x

Ecuación Inconsistente: Ejemplo:

Es una ecuación sin solución.

2(3x + 1) = 9x + 3 – 3x

Tipo de Ecuación Lineal

Solución

Ecuación Condicional

Tiene exactamente una solución real.

Identidad

Es verdadera par todo número IR; tiene infinidad de soluciones.

Ecuación Inconsistente

No tiene solución.

Ejercicios de Práctica

Págs. 58 - 59

Definición: Ecuaciones Literales: Son aquellas que tienen más de una letra. Ejemplos:

5y = 2x + 3,

x + 2y + 3z = 5

Fórmulas: Son ecuaciones literales que sirven para representar un principio científico o de la vida real en términos matemáticos. Ejemplos:

A = P(1 + rt )

1 2 V = at 2

d V= t

Ejemplos: A –

Despeje las siguientes ecuaciones en términos de la variable indicada.

1) 2a + 3b = 0, en tér min os de 2) 2 x − 3 y = 6, en tér min os de

b y

4x − 3y 3) = 5, en tér min os de w w 2 5 4) (2 x − y ) = ( x − 3 y ) + 4, en tér min os de 3 7

3 5) = 5b − r , en tér min os de x

b

y

B –

Despeje las siguientes formulas en términos de la variable indicada. 1) d = vt , en tér min os de v

1 en tér min os de h 2) A = bh, 2  b1 + b2  3) A =  en tér min os de b2 h,  2  x−µ 4) Z = , en tér min os de x

σ

n

fl 5) d = en tér min os de f +w Ejercicios de Práctica: Páginas 68 - 69

f

Resolución de Ecuaciones con Valor Absoluto Resolución de ecuaciones de la forma | x | = a Si | x | = a y a > 0, entonces x = a ó x = -a. Ejemplos: Resuelva las ecuaciones, determine el conjunto solución y grafique la solución. 1) x = 6

2) x = 0

3) 4 y − 4 = 12

2 4) x −7 +3=8 5

Resolución de Ecuaciones de la forma | x | = | y | Si | x | = | y |, entonces x = y ó x = -y Ejemplo: Resuelva las ecuaciones.

1) z + 6 = 3 z − 8 2) 2 x − 5 = 10 − 6 x

Ejercicios de Práctica:

Págs. 121 - 122

B – Inecuaciones de Primer Grado Definición:

Inecuación o Desigualdad

Es una expresión matemática con uno o más símbolos de desigualdades >, <, ≥, ≤ Ejemplos:

1) x + 2 > 5 2) 2 x − 6 ≤ 4

Propiedades utilizadas para resolver desigualdades 1. Si a > b, entonces a + c > b + c 2. Si a > b, entonces a - c > b - c 3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc 4. Si a > b y c > 0, entonces a /c > b /c 5. Si a > b y c < 0, entonces ac < bc 6. Si a > b y c < 0, entonces a /c < b /c

La solución de una desigualdad puede indicarse de tres formas: Solución de Desigualdades

x>a

( a, ∞ )

a

x≥a

[ a, ∞ )

a

x
( - ∞, a )

a

x≤a a< x
Solución representada en notación de intérvalos

Solución Indicada sobre la recta numérica

( - ∞, a ]

a

( a, b ) a

b

a≤ x≤b a< x≤b

[ a, b ] a

b ( a, b ]

a

a≤ x
b [ a, b )

a

b

Ejemplo: Resuelva la siguiente desigualdad y de la solución tanto en la recta numécica como en notación de intervalo.

1) 4x + 8 < 14 2) 2x < 4x + 10

3) 2 (m + 14 ) rel="nofollow"> − 3 (2m − 8 ) 4) 2 (2 x + 5 ) + 1 ≤ 5 − 2 (3 − x )

x x x 5) + > x + 2 3 5 6)

3 (2 x − 2 ) 6 x − 5 x + > 2 3 10

1 − x 3x − 7 7) < 2 3 Ejercicios de Práctica:

Pág. 110 libro antiguo Pág 125

libro nuevo

Desigualdades simultáneas

Resolución de Inecuaciones con Valor Absoluto Rsolución de desigualdades de la forma | x | < a Si | x | < a y a > 0, entonces –a < x < a Ejemplos: Resuelva las siguientes desigualdades, determine el conjunto solución por el método constructivo y grafíquelo. 1) 3 x − 4 ≤ 5 2) 2 x − 3 < 5

Resolución de desigualdades de la forma | x | > a Si | x | > a y a > 0, entonces x < -a ó x > a Ejemplos: Resuelva las desigualdades.

1) 2 x − 1 ≥ 7 3x − 4 5 2) ≥ 2 12

Problemas de Aplicación de Ecuaciones e Inecuaciones de Primer Grado -La parte más dificil de resolver un problema verbal es transformarlo en una ecuación. - Algunos ejemplos o frases representadas como expresiones algebraicas.

Expresión Algebraica

Frase Un número incrementado en 4 -----------

__________________

Dos veces un número

------------

__________________

5 menos que un número

------------

__________________

Un número restado de 9

------------

_________________

6 restado de un número

-----------

_________________

Un octavo de un número

------------

_________________

2 más que 3 veces un número ------------

_________________

4 menos que 6 veces un número ----------

_________________

3 veces la suma de un número y 5 --------

_________________

6 % de un número

_________________

--------------

El costo de un objeto incrementado en un 7 % de impuestos

-------------

_________________

25 % menos del costo de un objeto -----

_________________

A veces, en un problema hay dos números que se relacionan entre sí. Con frecuencia representamos uno de ellos con una variable y el otro con una expresión que contiene a esa variable.

Frase

Un Número

Segundo Número

________

________

---- ________

________

La edad de Peter ahora y la edad de Peter en 5 años ------------Un número en 3 veces el otro Un número es 7 menos que el otro ----------------

_________

________

Frase

Un Número

Segundo Número

________

________

------------

________

________

------------

________

________

decrementado en su 10 % ------------

________

_________

Dos enteros consecutivos -----------Dos enteros impares (o pares) consecutivos Un número y el número incrementado en su 7 % Un número y el número

La suma de dos números es 10

----------

_____________

___________

cortada en dos tramos -----

_____________

___________

____________

__________

Una tabla de 6 pies

$ 10,000 compartidos por dos personas ----------

Con frecuencia la palabra es en un problema verbal significa “es igual a” y se representa con el signo igual , =.

Proposición Verbal

Ecuación Algebraica

4 menos que tres veces un número es 5

--------------------

_________________

Un número decrementado en 4 es tres más que dos veces el número

--------------------

_________________

El producto de dos enteros consecutivos es 20

-------------------

_________________

Un número es dos más que 5 veces el otro número; la suma de los dos números es 62 -----------

__________________

Un número incrementado en su 15 % es 90 --------------------------------

___________________

Un números decrementado en su 12 % es 38

-----------------------

____________________

La suma de un número y el número incrementado en su 4 % es 204 ---------------------------

________________

El costo por venta de un VCR por x días a $15 por día es $120

--------------------------------- _________________

Pasos para resolver un problema verbal 1. Lea el problema con cuidado. 2. Si es posible, trace un esquema que ilustre el problema.

3. Identifique la cantidad o cantidades que le piden encontrar. 4. Elija una variable para representar una cantidad, y escriba exactamente lo que representa. Represente cualquiera otras cantidades que deban encontrar en términos de esta variable. 5. Escriba el problema verbal como una ecuación. 6. Despeja la cantidad desconocida en la ecuación. 7. Responda la pregunta solicitada. Asegúrese de dar las unidades apropiadas con su respuesta . 8. Verifique la solución en el problema verbal original.

Aplicaciones de Ecuaciones Ejemplos: Aplicaciones con Números 1. Tres veces un número es 36 más que el número. Halla el número. 2. Cinco restado de dos veces un número es 41. Encuentre el número.

Aplicaciones con Edades 1. Ana tiene la mitad de la edad de su mamá. Dentro de dos años, la suma de sus edades será 61. ¿Qué edad tiene cada una ahora?.

2) Roberto es 4 años mayor que su harmano Juan. Dentro de tres años, Roberto tendrá cinco veces la edad que Juan tenía hace 5 años. Halle sus edades actuales. 3) Pedro tiene 10 años y José 6. ¿Dentro de cuántos años, dos veces la edad de Pedro será tres veces la edad de José?

Aplicaciones con Figuras Geométricas 1) El largo de un rectángulo es 2 pulgadas menos que el doble del ancho. Si el perímetro es 56 pulgadas, halla el largo y el ancho.

2) Halla la medida de un ángulo cuyo complemento es el doble del ángulo. 3) La medida de un ángulo de un triángulo es el doble de la del segundo ángulo y el tercer ángulo mide 20º más que el segundo ángulo. Halla la medida de cada ángulo.

Aplicaciones de Mezcla 1) Un comerciante desea obtener 10 libras de una mezcla de dulces y venderla a $ 0.88 libra. Él mezcla dulces de $ 0.90 libras con dulces de $ 0.70 libra. ¿Cuántas libras de cada clase debe usar?

2) ¿Cuántas libras de café de $ 0.75 libra se deben mezclar con 40 libras de café de $ 0.80 libra para hacer una mezcla y venderla a $ 0.77 libra? 3) Hay 25 monedas repartidas en monedas de 10 ¢ y monedas de 25 ¢, cuyo valor total es $ 4.30. ¿Cuántas monedas hay de cada clase?.

Aplicaciones de Por - Ciento 1) La oficina estadounidense de estadísticas laborales reportó un 65% de incremento en el número de madres empleadas desde enero de 1970 hasta enero de 1990. Si el número de madres empleadas reportadas en 1990 fue de 16.8 millones, ¿Cuántas madres fueron empleadas en 1970?.

2) El 1 de mayo de 1994, un letrero fuera del Reino Mágico de Disneyworld estableció que la admición es de $ 36.00 más un cargo extra para los adultos. Cuando usted compra su boleto, el costo real es de $38.00. Determine la tasa del cargo extra.

Ejercicios de Práctica:

Págs. 78 – 79 Págs. 111

Aplicaciones de Inecuaciones Números 1) Tres enteros consecutivos son tales que la suma del primero y el tercero es menor que 18 más que la mitad del segundo. Halla los valores máximos posibles para los enteros. 2) La tarifa de un Táxi es de $ 2.50 por la primera media milla y $ 1.75 por cada media milla adicional. Una parte adicional de una mitad de milla será redondeada a la siguiente media milla. a) Escriba una desigualdad que pueda utilizarse para determinar la distancia máxima que Karen puede viajar si tiene solo $ 30.35. b) Encuentre la distancia máxima que Karen puede viajar.

Ecuaciones Cuadráticas Definición : Ecuación Cuadrática - Una ecuación cuadrática con la variable x es una ecuación que puede expresarse de la forma: ax 2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son cons tan tes arbitraria s y a ≠ 0.

- Es una ecuación polinomial de grado 2. Ejemplos:

a) x 2 = 5

b) x 2 − 8 x = 0 c) 3 x 2 − 6 x + 4 = 0

Dato: Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver mediante tres métodos: Factorización, Completar el Cuadrado y por la Fórmula Cuadrática. A–

Resolución de Ecuaciones Cuadráticas mediante Factorización Este método depende del siguiente principio: El producto de dos o más números es cero sí y sólo si, al menos uno de los números es cero. Ejemplo: Resuelve

a ) 2 x 2 = 12 − 5 x

Dato: En general, podemos decir que una ecuación cuadrática tiene exactamente dos raíces. - Si las dos raíces son iguales, entonces hablamos de una raíz doble.

b) 4 x 2 − 9 = 0

c) x 2 − 7 x + 12 = 0

Ejercicios de Práctica:

1) x 2 − 9 = 0

6) 2b 2 = 98

2

7 ) c 2 = 6c

2

8) 2 x 2 − 5 x = 3

2) x + x = 12 3) x = 8 x 2

4) 3 x = 6 + 7 x 2

5) 12b − 8b = 15

9) 40 = 6a 2 + a 10) 12a 2 − 12 = − 7 a

La raíz cuadrada positiva de 25: La raíz cuadrada negativa de 25:

25 = 5

− 25 = − 5

La ecuación x 2 = 25 tiene dos soluciones : Propiedad de la raíz cuadrada

Si x 2 = a, donde a es un número real , entonces x = Ejemplo: Resuelva la ecuación

x2 − 9 = 0

+ −

a

B–

Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante el método de compleción del cuadrado.

Pasos para resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado 1. Utilice si es necesario, la propiedad de la multiplicación (o división) de la igualdad para que el coeficiente numérico del termino cuadrático sea 1. 2. Rescriba la ecuación de modo que la constante quede aislada, del lado derecho de ésta. 3. Considere la mitad del coeficiente numérico del término de primer grado, calcule su cuadrado y sume esta cantidad en ambos lados de la ecuación.

4. Remplace el trinomio con el cuadrado de un binomio. 5. Utilice la propiedad de la raíz cuadrada para calcular la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. 6. Despeje la variable. 7. Verifique sus soluciones en la ecuación original. Ejemplo: Resuelva la ecuación completando el cuadrado.

1) x 2 + 6 x + 5 = 0

2) x 2 + 8 x − 20 = 0

3) x 2 + 5 = 5 x 4) 2 x 2 − 11x + 15 = 0

5) x 2 − 6 x + 17 = 0 Ejercicios de Práctica:

518 - 519

Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula cuadrática

ax 2 + bx + c = 0

Donde a es el coeficiente numérico del término cuadrático, b es el coeficiente numérico del término en primer grado y c es la constante.

Despeja la ecuación ax 2 + bx + c = 0 , para la fórmula cuadrática.

Pasos para resolver una ecuación cuadrática mediante la Fórmula Cuadrática 1. Rescriba la ecuación cuadrática en forma canónica, ax 2 + bx + c = 0 , y determine los valores numéricos de a, b y c . 2. Sustituya los valores de a, b y c en la fórmula cuadrática y después evalúe la fórmula para obtener la solución.

Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas mediante la Fórmula Cuadrática.

1) x 2 + 2 x − 8 = 0 2) x 2 + 7 x + 1 = 0

3) 2 x 2 + 5 x = 1 4) 4 x 2 − 8 x − 1 = 0 5) x 2 + 8 x + 10 = 0

* 6) − 2 p 2 − 5 p = 6

El Discriminante

b 2 − 4ac

El discriminante proporciona el número y naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadrática.

Soluciones de una ecuación cuadrática

Para una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0,

a ≠ 0:

− Si b 2 − 4ac > 0, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales distintas.

− Si b 2 − 4ac = 0, la ecuación cuadrática tiene una única solución real.

− Si b 2 − 4ac < 0, la ecuación cuadrática no tiene una solución real. Ejemplo: 1) a – Determine el discriminante de la ecuación

x 2 − 8 x + 16 = 0 b - ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación? c – Utilice la Fórmula Cuadrática para determinar la solución ( o soluciones).

2) Sin calcular explicitamente las soluciones, determine si las siguientes ecuaciones tienen dos soluciones reales distintas, una única solución o no tiene soluciones reales.

a) 2 x 2 − 4 x + 6 = 0

b) x 2 − 5 x − 8 = 0

c) 4 x 2 − 12 x = − 9 Ejercicios de Práctica:

Pág. 532

Inecuaciones o Desigualdades Cuadráticas Ejemplos:

x 2 + x − 12 > 0

2x2 − 9x − 5 ≤ 0 Solución de una desigualdad cuadrática: Es el conjunto de valores que hacen verdadera la desigualdad. Para determinar las soluciones de las desigualdades cuadráticas se pueden utilizar varios métodos.

A – Gráfica de signos Considere la desigualdad

x 2 + x − 12 > 0 La solución de la desigualdad es: Constructiva Intervalos

B–

Otro método haciendo de la Propiedad Factor Nulo

x 2 + x − 12 > 0

La solución de la desigualdad es: Constructiva Intervalos

Ejercicios de Práctica:

1) x 2 + 9 x ≤ − 18

3) x 2 − 10 x + 25 ≥ 0

2) x 2 − 12 < x Ejemplo: Resuelva la desigualdad y grafique la solución. x+3 ≤0 x−4 Las soluciones de la desigualdad son: Notación:

Constructiva Intervalos

Ejercicios de Práctica:

553 - 554

Expresiones Racionales Definición: Expresión Racional o Fracción Algebraica Es una expresión de la forma p/q, donde p y q son polinomios y q ≠ 0. Ejemplos:

1 , 5

x−4 , x

x2 − 2x , x−5

x x 2 − 16

Dato: Al escribir una expresión racional con una variable en el denominador, siempre suponemos que el valor o valores de la variable que anulan al denominador quedan excluidas.

Ejemplos: Determine los valores de la variable que deben excluirse de la expresión racional.

x−2 1) 3x − 8

2)

3 y 2 − 2 y − 15

3) Determine el dominio de las siguientes funciones:

2 a) y = x b) f ( x ) =

c) f ( x) = x2 x2 − 4

x 2 x 2 − 7 x − 15

Para reducir o simplificar expresiones racionales 1. Factorice el numerador y el denominador de la forma más completa posible. 2. Divida el numerador y el denominador entre algún factor común. Ejemplos: Simplifica

3a + 9b 1) 3 2)

3x + 6 3x 2 + 3x − 6

3)

a 2 − 4a + 4 4 − a2

4) Reduzca:

5) Reduzca:

5 x 2 y + 10 xy 2 − 25 x 2 y 3 5x 2 y x 2 − x − 12 (x + 2 )( x − 4 ) + x (x − 4 )

Multiplicación de Expresiones Racionales

a c a⋅c ⋅ = , donde b ≠ 0 y d ≠ 0 b d b⋅d

Ejemplos: Multiplique

3x 2 2 z 5 ⋅ 2 9x z

Pasos para multiplicar expresiones racionales 1. Factorice lo más posible todos los numeradores y denominadores. 2. Cancele los factores comunes. 3. Multiplique los numeradores y los denominadores. 4. Reduzca lo más posible la respuesta.

Ejemplos:

x− y x+ y 1) ⋅ x+ y x 6 x − 12 y2 −1 2) ⋅ 2 4 xy + 4 x x − 3 x + 2

2 x − 5 x 2 − 8 x + 16 3) ⋅ x−4 5 − 2x x2 − y2 x + 2y 4) ⋅ 2 x + y 2 x − xy − y 2

ab − ac + bd − cd b 2 + bc + bd + cd ∗ 5) ⋅ 2 ab + ac + bd + cd b + bd − bc − cd

División de Expresiones Racionales

a c a d ÷ = ⋅ , donde b ≠ 0, c ≠ 0 y d ≠ 0. b d b c Para dividir expresiones racionales Invertimos el divisor ( la segunda fracción, o inferior) y después multiplicamos las expresiones racionales resultantes. Ejemplos: Divida

3x 2

9x3 ÷ 1) 2 5a 5a

2)

x 3 − xy 2 y2

x2 − y2 ÷ xy

12 x 2 − 22 x + 8 3 x 2 + 2 x − 8 3) ÷ 3x 2x2 + 4x

x4 − y 4 x 2 + xy 4) ÷ 2 x− y x − 2 xy + y 2

x4 − y4 x 2 + xy x2 5) ÷ 2 ⋅ 2 2 x− y x − 2 xy + y x − 2 xy + y 2 Ejercicios de Práctica:

Págs. 388 - 389

Suma y Resta de Expresiones Racionales

Dato: Al sumar (o restar) dos expresiones racionales con un común denominador, sumamos (o restamos) los numeradores conservando el común denominador.

a b a+b Suma : + = , c≠0 c c c a b a−b Re sta : − = , c≠0 c c c

Pasos para sumar o restar expresiones racionales con un común denominador 1. Sume o reste los numeradores. 2. Coloque la suma o la resta de los numeradores determinados en el paso 1 sobre el común denominador. 3. Reduzca la expresión, si es posible. Ejemplos:

5 3 1) + x+3 x+3

3 x−4 2) + x+2 x+2 x 2 + 3x − 2 4 x + 12 3) + (x + 5)(x − 2 ) ( x + 5)(x − 2 )

x2 9 4) − x−3 x−3

6x +3 2x −7 5) − 2x +5 2x +5 3x x2 − 4 x + 6 6) − x−6 x−6

Pasos para determinar el mínimo común denominador de expresiones racionales 1. Factorice completamente cada denominador. Cualquier factor que aparezca más de una vez debe ser expresado como una potencia. Por ejemplo, (x + 5)(x + 5) debe ser expresado como (x + 5)² . 2. Enumere todos los factores diferentes (distintos de 1) que aparecen en cualquiera de los denominadores. Cuando aparezca el mismo factor en más de un denominador, escriba el factor que aparezca con mayor potencia. 3. El mínimo común denominador es el producto de todos los factores encontrados en el paso 2.

Ejemplos: Determine el MCD

5 7 1) + 12 18

3 x2 5) + 2 2 2x − 4x x − 4x + 4

3 2 − 2 2) 5x x

5x 6 x2 6) 2 − 2 x − x − 12 x − 7 x + 12

1 5 3) + 3 18x y 27x2 y3

3 5 7) Sume + x y

3 2y 4) − x x+5

Pasos para sumar o restar expresiones racionales con denominadores distintos 1. Determine el MCD. 2. Rescriba cada fracción como una fracción equivalente con el MCD. Esto se hace multiplicando el numerador y el denominador de cada fracción por los factores necesarios para obtener el MCD. 3. Conserve el denominador en forma factorizada, pero desarrolle el numerador. 4. Sume o reste los numeradores, conservando el MCD. 5. De ser posible factorice el numerador y reduzca las fracciones.

Ejemplos:

5 3 1) + 2 4 x y 14 xy 3

2a + b ax − bx − 2) 2 12 x a 9 x 3a x+2 x+3 3) − x−4 x+4

3x + 4 2x − 3 − 2 4) 2 2 x − 5 x − 12 5 x − 18 x − 8

x −1 x +1 x − 6 − + 2 5) x−2 x+2 x −4 Ejercicios de Práctica:

Págs. 399 - 401

Fracciones Complejas Definición:

Fracción Compleja

Es aquella que tiene una expresión fraccionaria en su numerador, en su denominador, o en ambos. Ejemplos:

2 3, 5

x +1 x , 3x

x y , x +1

a+b a , a−b b

1 3+ x 1 3 + 2 x x

Fración Compleja

Fracción Secundaria

Fracción Secundaria

a+b a a−b a

Numerador de la Fracción Compleja

Línea principal de la fracción Denominador de la Fracción Compleja

Métodos para simplificar las fracciones complejas Método 1 : Pasos para simplificar una fracción compleja multiplicando por un común denominador. 1. Determine el mínimo común denominador de cada una de las dos fracciones secundarias. 2. A continuación determine el MCD de la fracción compleja. El MCD de la fracción compleja será el MCD de las dos expresiones determinado en el paso 1. 3. Multiplique ambas fracciones secundarias por el MCD de la fracción compleja determinado en el paso 2. 4. Simplifique lo más posible.

Ejemplos:

2 3 + 1) 3 4 3 1 − 4 2

2 3 − 2 x 4) x x 5

1 1 + 2) a b 1 1 − a b

a −1 + ab −2 5) ab − 2 − a − 2b −1

a−2 3) a+4 a− a +1

Método 2: Pasos para simplificar una fracción compleja simplificando el numerador y el denominador. 1. Sume o reste cada fracción secundaria como se indica. 2. Invierta y multiplique el denominador por el numerador de la fracción compleja. 3. Simplifique cuando sea posible. Ejemplo: Simplifique

x −1 + xy −2 1) xy − 2 − x − 2 y −1 Ejercicios de Práctica: Págs. 406 - 407

1 a+ b 2) 1 b+ a

Resolución de Ecuaciones con Expresiones Racionales Pasos para resolver ecuaciones racionales 1. Determine el MCD de todas las expresiones racionales en la ecuación. 2. Multiplique ambos lados de la ecuación por el MCD. Con esto hará que todos los términos de la ecuación queden multiplicados por el MCD. 3. Elimine los paréntesis existentes y sume los términos semejantes de cada lado de la ecuación. 4. Resuelva la ecuación utilizando las propiedades analizadas en secciones anteriores. 5. Verifique la solución en la ecuación original.

Ejemplos: Resuelva 1)

x x 1 − = 5 3 2

4 x x 2 + 16 4) − = 2 x + 4 x − 4 x − 16

x 1 x −1 2) + = 4 2 2

4 1 5) 2 − = x 3

x x+4 = 3) x−4 6

22 3 2 6) − = 2 2p − 9p − 5 2p +1 p − 5

Ejercicios de Práctica:

Pág. 417

Aplicaciones de Ecuaciones con Expresiones Racionales Ejemplos: 1) La suma de un número y su recíproco es 5 / 2. Halla el número. 2) El numerador de una fracción es 2 menos que el denominador. Si a ambos se les suma 5, el valor de la fracción es 3 / 4. Halla la fracción original. 3) ¿Qué número multiplicado por el numerador y sumado al denominador de la fracción 4 / 7 da como resultado la fracción igual a 5 / 3.

4) Laura puede cortar el cesped del señor Martínez en 3 horas. Damaris lo puede hacer en 4 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán las dos en cortar el césped si trabajan juntas? 5) José viaja 4 km/h más rápido que Juan. Si José recorre 120 km en el mismo tiempo que Juan hace 80 km. ¿A qué velocidad viaja cada uno?.

Radicales Índice

El índice indica la raíz de la expresión

Radical Radicando

x

Expresión Radical

Dato: Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una raíz cuadrada positiva o principal y una raíz cuadrada negativa. Ejemplo:

Número

Raíz Cuadrada

Raíz Cuadrada

Principal o

Negativa

Positiva

25

25

− 25

Definición:

Raíz Cudrada Principal o Positiva

La raíz cuadrada principal o positiva de un número real positivo x, escrita como x , es un número positivo cuyo cuadrado es igual a x. Ejemplos:

49 =

64 =

16 = 25

Otros tipos de expresiones radicales que tienen diferentes índices 3

x

5

pq

Definición:

Raíces Pares

Las expresiones radicales que tienen índices 2, 4, 6, 8, …ó cualquier entero par. Ejemplos: Definición:

25 ,

4

p2 ,

14 z 5 y 7

Raíces Impares Las expresiones radicales que tienen índices

3, 5, 7, 9, …ó cualquier entero impar. Ejemplos:

3

27,

5

32 x10 ,

17 3q 4

Definición: La raíz n-ésima de x, n x , donde n es un índice par y x es un número real positivo, es el número real positivo c tal que c n = x . Ejemplos:

Raíces Pares

4=

Definición:

La raíz n-ésima de x, n x , donde n es un índice impar y x es cualquier número real, es el número real c tal que cn = x . Ejemplo:

3

− 27 =

n es par

n es impar

X>0

n

x es un núm . IR +

n

x es un núm . IR +

X<0

n

x no es un núm . IR

n

x es un núm . IR −

X=0

n

x =0

n

x =0

Indique si la expresión radical es o no un número real. Si el número es un número real, determine su valor.

1)

4

− 16

2) − 4 16

3)

3

8 27

4)

−3

8 27

Evaluación de radicales utilizando Valor Absoluto Para cualquier número real a,

a2 = a

Ejemplos:

4

2

Utilice el valor absoluto para evaluar:

6

2

(− 91)2

( y + 1)2

(− 4 )

2

Regla del producto para radicales Para a y b, números reales no negativos, n

a ⋅ n b = n ab

Para simplificar radicales cuyos radicandos son números naturales 1. Escriba el radicando como el producto de dos números, uno de los cuales sea el mayor número que es potencia perfecta para el índice dado. 2. Utilice la regla del producto para escribir la expresión como producto de raíces. 3. Determine las raíces de los números que son potencias perfectas.

Ejemplos:

60

18 72

3

3

375

54

Para simplificar radicales cuyos radicandos son variables 1. Escriba cada variable como el producto de dos factores, uno de los cuales sea la máxima potencia perfecta de la variable para el índice dado. 2. Utilice la regla del producto para escribir la expresión radical como un producto de radicales. Coloque todas las potencias perfectas bajo el mismo radical. 3. Determine las raíces de todas las potencias perfectas.

Ejemplos:

y7

3

z14

5

p 22

Para simplificar radicales 1. Si el radicando contiene un factor numérico, escríbalo como el producto de los números, uno de los cuales es la máxima potencia prefecta para el índice. 2. Escriba cada factor variable como el producto de dos factores, donde uno de los cuales sea la máxima potencia perfecta para el índice.

3. Utilice la regla del producto para escribir la expresión radical como un producto de radicales. Coloque todas las potencias prefectas (números y variables) bajo el mismo radical. 4. Simplifique el radical que contiene las potencias perfectas. Ejemplo:

80 x5 y12 z 3 3

54 x 17 y 25

Multiplicación de Radicales

1) 2)

3

3⋅ 6

5)

3x ⋅ 3 9 x 2

6)

2x 3

(

( 18x + 8 )

3x 2 y

(

3

)

9 xy 5 + 3 18 x8 y10 2

3)

4

5 x y ⋅ 4 125 x y

7) 3 + 2

4)

3

7 xy 4 ⋅ 3 49 x 2 y18

8) 2 3 − 3 5

3

6 2

Ejercicios de Práctica :

(

)( 3

3+4 5

Págs. 466 – 467

)

)

Regla del cociente para radicales n

a = b

n

Ejemplos:

1)

3 5

n

a ,b ≠ 0 b

3

2)

24 3 3

3)

3

8 27

4)

4

15 x y 5 3x9 y

Una expresión radical está simplificada si cumple lo siguiente: 1. No existe potencias perfectas que sean factores del radicando. 2. Ningún radicando contiene una fracción. 3. Ningún denominador contiene una radical.

Ejemplos: 5 4) 2+ 3

1 1) 6

2)

3)

3

2 7

3− 2 5) 3+ 2

x

2 6 +5 6) 3− 2

3 2

Ejercicios de Práctica:

x− y 7) x+ y

Págs. 474- 475

Suma y Resta de Radicales Definición: Radicales Semejantes - Son los radicales que tienen el mismo radicando e índice. Radicales no Semejantes - Son los radicales que no tienen el mismo radicando e índice.

Pasos para sumar o restar radicales 1. Simplifique cada expresión radical. 2. Sume los radicales semejantes (si existen).

Ejemplos:

1) 6 3 + 2 5 − 4 3 + 5

5)

2) 6 3 2 + 3 3 + 2 3 2 + 5 3 3

6) 4

3) 2 18 − 5 50 + 3 98 4)

7)

3

(

3

x 10 y 2 − 2 −

3

x4 y8

1 + 8

x − 3 2 y2

)(

x2 − x2 y + x y

Ejercicios de Práctica:

Págs. 480 – 481

32 3

x2 − 3 8 y

)

Ecuaciones con Expresiones Radicales Definición:

Ecuación Radical

Es una ecuación que contiene una variable en un radicando. Ejemplos: x = 4,

3

y + 4 = 10,

x−2 =4+ x+8

Pasos para resolver ecuaciones radicales 1. Rescriba la ecuación de modo que el radical que contiene a la variable quede solo en un lado de la ecuación. 2. Eleve cada lado de la ecuación a una potencia igual al índice del radical.

3. Agrupe o sume los términos semejantes. 4. Si la ecuación aún contiene un término con una variable en un radicando, repita los pasos 1 a 3. 5. Despeje la variable en la ecuación resultante. 6. Verifique todas las soluciones en las ecuaciones originales, para evitar la presencia de soluciones extrañas. Ejemplos:

1)

y =8

2)

x−3 =5

3)

3

y =4

4)

2x − 3 = x − 3

5) 2 x − 5 x − 3 = 0 6)

4 x 2 + 16 = 2 x 2 + 3 x − 2

x − 2 = 3 17 x − 14

7) 3

3

8)

5 x − 1 − 3x − 2 = 1

Aplicaciones de Ecuaciones con Expresiones Radicales 1. Halla un número tal que dos veces su raíz cuadrada sea 10. 2. Halla el largo de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 8 cm. 3. Halla la diagonal de un rectángulo si el largo es 8 cm y el ancho es 6 cm. 4. Un cateto de un triángulo rectángulo tiene 8 pulgadas de longitud y la hipotenusa mide 4 pulgadas menos que la suma de los catetos. Determina el otro cateto.

Ecuaciones y sus Gráficas Sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares ………Explicar Localice cada uno de los siguientes puntos en el sistema de coordenadas cartesianas A (2,1)

B (3,-2)

C (-2,-1)

D (-2,3)

E (3,0)

F (0,-3)

Fórmula de la distancia La distancia d, entre cualquiera dos puntos (x1, y1 ) y (x2, y2 ) puede determinarse mediante la fórmula de distancia.

d=

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

Ejemplo: Determine la distancia entre los puntos (-1, 5) y (-4, 1). Fórmula del Punto Medio Dados cualesquiera dos puntos ( x1, y1 ) y ( x2 , y2 ) podemos determinar el punto a la mitad del camino entre los puntos dados mediante la fórmula del punto medio.

 x1 + x 2 y1 + y , Punto Medio =  2 2 

2

  

Ejemplo: Determine el punto medio del segmento de la recta entre los puntos (-3, 6) y (4, 1).

Ejercicios de Práctica:

Pág. 137

Graficación de Ecuaciones Lineales Definición:

Ecuación Lineal

• Es una ecuación cuya gráfica es una línea recta. • Es una ecuación de la forma ax + by = c, donde a, b y c son números reales; a y b no son ambos 0. Ejemplos:

3x + 4y = 10

-2x + 7y = 9

Dato:

La gráfica de una ecuación es una ilustración del conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

Ejemplos: Grafique las ecuaciónes 1. y = 2x + 4 2. x + y = 4 3. 2x – 3y – 6 = 0 4. 5 (x - 2) + 3 (y - 2) = 0 5.

5 1 3 x− y= 6 3 2

Graficación de ecuaciones utilizando las intersecciones con los ejes Intersecciones con los ejes x y y - Para determinar la intersección con el eje y, se hace x = 0 y se despeja y. - Para determinar la intersección con el eje x, se hace y = 0 y se despeja x. Ejemplo: Grafique la ecuación, localizando las intersecciones con los ejes x y y.

2 y = 4x + 8

Graficación de ecuaciones de la forma x = a ó y = b Ejemplos:

1. Grafique la ecuación y = 4

Dato: La gráfica de cualquier ecuación de la forma y = b siempre será una recta horizontal para cualquier número real a. 2. Grafique la ecuación x = -3 Dato: La gráfica de cualquier ecuación de la forma x = a siempre será una recta vertical para cualquier número real a.

Ejercicios de Práctica: 150 – 151

Pendiente de una Recta Definición: Pendiente de una recta La pendiente de una recta es la razón del cambio vertical al cambio horizontal entre cualesquiera dos puntos de la recta. Ejemplo:

Considere los puntos (2, 1) y (4, 5) …………..

Pendiente La pendiente de una recta que pasa por los puntos distintos ( x1, y1 ) y ( x2 , y2 ) es:

Cambio en y (Cambio vertical ) ∆y y2 − y1 = Pendiente = Cambio en x (Cambio horizontal ) ∆x x2 − x1

∆y y2 − y1 M= = ∆x x2 − x1 Ejemplo: Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-5, 3) y (2, -6).

Pendiente Positiva

Una recta que se eleva yendo de izquierda a derecha.

Pendiente Negativa

Una recta que baja al ir de izquierda a derecha.

Pendiente Cero Una recta que no se eleva ni baja al ir de izquierda a derecha.

Pendiente Indefinida

La pendiente de cualquier recta vertical no está definida.

Forma Pendiente – Ordenada al Origen Forma pendiente – ordenada al origen de una ecuación lineal y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen de la recta. Ejemplo:

y = 2x + 3

Dato: Para escribir una ecuación en forma pendiente ordenada al origen, despejamos y en la ecuación.

Ejemplo: Escriba la ecuación – 5x + 6y = 10 en forma pendiente ordenada al origen. Establezca la pendiente y la ordenada al origen. Ejemplo: Grafique 3y + 6x = 12 utilizando la ordenada al origen y la pendiente.

Rectas Paralelas y Perpendiculares Definición: Rectas Paralelas • Son dos rectas coplanarias que no se intersecan. • Dos rectas distintas son paralelas si sus pendientes son iguales.

-Si la recta

l1

pendiente

m2

l1 y l2

tiene pendiente y si

m1

m1 = m2

deben ser paralelas.

y la recta

l2

tiene

entonces la rectas

Ejemplo: Dos puntos en l1 son (1, 6) y (-1, 2). Dos puntos en

l2

Determine si

l1 y l2

son (2, 3) y (-1, -3). son rectas paralelas.

Definición: Rectas Perpendiculares Son dos rectas coplanarias que se intersecan formando ángulos de 90°. • Dos rectas serán perpendiculares entre sí cuando sus pendientes sean recíprocas negativas.

• Para cualquier pendiente a, el recíproco negativo es -1/a. - Si la recta l1 tiene pendiente m1 y la recta l2 tiene pendiente m2 y si m1 ⋅ m2 = − 1 , entonces l1 y l2 deben ser rectas perpendiculares. Ejemplo: Dos puntos en l1 son (6, 3) y (2, -3). Dos puntos en l2 son (0, 2) y (6, -2). Determine si l1

y l2

son rectas perpendiculares.

Ejemplo: Determine si las gráficas de las siguientes ecuaciones son rectas paralelas o perpendiculares. Grafique las ecuaciones. −

1) 2 x − y = 4 2 y = 4x − 2 −

2) 6 x − 3 y = 9 1 y + x = 12 2

Forma Punto – Pendiente de una ecuación lineal

y − y1 = m ( x − x1 ), donde m es la pendiente de la recta y (x1, y1 ) es un punto de la recta.

Ejemplo: Escriba la ecuación de la recta que pasa por (4, 6) y tiene pendiente 6 en forma pendiente – ordenada al origen. Ejemplo: Determine, en forma pendiente – ordenada al origen, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1, -3) y (4, 2).

Ejemplo: Considere la ecuación de la recta l1 5 y = −10 x + 7. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 1/3) y es perpendicular a la recta dada. Escriba la ecuación en forma canónica ax + by = c.

Ejercicios de Práctica: Págs. 166 - 168

Resolución de Ecuaciones de Sistemas Lineales Sistemas de Ecuaciones Lineales o Simultaneas Ejemplo:

y= x+5   Sistema de ecuaciones lineales y = 2x + 4 

Definición: Solución de un Sistema de Ecuaciones Es un par ordenado (o pares) que satisface todas las ecuaciones del sistema. Ejemplo: Solución del sistema anterior (1, 6).

Dato: Un sistema de ecuaciones puede tener más de dos ecuaciones. Si un sistema consta de tres ecuaciones con tres variables, como x, y, z, la solución será un tercia ordenada de la forma (x, y, z). Existen tres métodos para resolver ecuaciones lineales 1- Método Gráfico La solución del sistema será el par o pares ordenados comunes a todas las rectas, o el punto de intersección de todas las rectas del sistema.

Cuando graficamos dos rectas existen tres situaciones posibles Exactamente una solución

No tienen solución

(Rectas que se intersecan)

(Rectas Paralelas)

Consistente

Inconsistente

Infinitas Soluciones

Dependiente

Ejemplos: Grafique los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

1) 2 x + y = 3 4 x + 2 y = 12

2) y = x + 2 y = −x + 4

2- Método de Sustitución Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales por sustitución 1. Despeje una variable en cualquier ecuación. (Si es posible, despeje una variable con el coeficiente numérico igual a 1 para no trabajar con fracciones.

2. Sustituya la expresión hallada para la variable del paso 1en la otra ecuación. Con esto obtendrá una ecuación con una sola variable. 3. Resuelva la ecuación obtenida en el paso 2 para determinar el valor de esta variable. 4. Sustituya el valor encontrado en el paso 3 en la ecuación del paso 1. Resuelva la ecuación para determinar la variable restante. 5. Compruebe su solución en todas las ecuaciones del sistema.

Ejemplos:

1) y = 2 x + 5 y = −4 x + 2

2) 2 x + y = 11 x + 3 y = 18

3 - Método de Suma o Eliminación Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de suma (o eliminación) 1. En cada caso necesario, rescriba cada ecuación en forma canónica, es decir, de modo que los términos con variables queden del lado izquierdo del signo igual y la constante del lado derecho del signo igual.

ax + by = c

2. Si es necesario, multiplique una o ambas ecuaciones por una constante (o constantes) para que al sumar las ecuaciones, la suma contenga sólo una variable. 3. Sume los lados respectivos de las ecuaciones. Con esto se obtiene una sola ecuación con una variable. 4. Despeje la variable en la ecuación obtenida en el paso 3. 5. Sustituya el valor determinado en el paso 4 en cualquiera de las ecuaciones originales. Resuelva esa ecuación para determinar el valor de la variable restante. 6. Compruebe su solución en todas las ecuaciones en el sistema.

Ejemplos: 1) 2 x + y = 11 x + 3 y = 18

2) 2 x + 3 y = 6 5 x − 4 y = −8

Ejercicios de Práctica:

3) 2 x + 3 y = 7 5 x − 7 y = −3 4 4) x + y = 2 3 5 −2 y= x+ 3 2

Págs. 216 - 217