Material Apoio Aula1 Intro

FÍSICA II Material de Apoio ATIVIDADE 1 – Introdução, conceitos, grandezas, unidades OBJETIVOS: Ao final desta unidade, o leitor deverá estar apto a: - Reconhecer as grandezas físicas relacionadas ao estudo dos fluidos, bem como as unidades usuais e do Sistema Internacional – SI; - Reconhecer a importância do estudo da Mecânica dos Fluidos para aplicações diversas, desde a Hidráulica até a Aerodinâmica; - Encontrar valores e outras grandezas a partir dos dados de um problema, com a ajuda do conhecimento técnico adquirido e com conhecimentos de análise dimensional.

TEXTO: Mecânica dos Fluidos é o estudo do comportamento físico dos fluidos e das leis que descrevem esse comportamento. Analogamente à Mecânica Clássica, a Mecânica dos Fluidos se divide em Estática dos Fluidos, ou Hidrostática, relacionada ao equilíbrio dos fluidos, e a Dinâmica dos Fluidos, ou Hidrodinâmica, relacionada ao movimento dos fluidos em geral. Percebe-se que, assim como a Mecânica Clássica, que serve para identificar desde as forças que atuaram na lendária e minúscula maçã madura caindo da macieira na cabeça de Sir Isaac Newton até o estudo do movimento entre astros tão gigantescos que até inibem o tamanho da pequenina Terra, a Mecânica dos Fluidos serve de apoio para inúmeras situações reais, como: - Ação do empuxo dos fluidos (por exemplo, em uma barragem); - Corpos flutuantes, como embarcações; - Aparelhos de medida de pressão e vazão (conceitos que veremos logo adiante); - Deslocamento de corpos, como vento que sustenta o avião ou o sangue que transporta partículas como as hemoglobinas; - Lubrificação (relacionada à viscosidade, outro conceito para se estudar adiante); - Fluxo do trânsito em rodovias e avenidas muito movimentadas. Antes de iniciar esse estudo, porém, devem ser definidos alguns conceitos, grandezas e unidades que servem de base para a Mecânica dos Fluidos. Fluido Substância que não possui forma própria e que, se estiver em repouso, está continuamente sujeita às tensões de cisalhamento do recipiente que o contém. Se não estiver em nenhum recipiente, não resiste à tensão de cisalhamento e se espalha. A grandeza sublinha na oração anterior será vista adiante, mas, de uma maneira simples, o fluido é uma substância que não possui forma própria por si só, toma a forma exata ou similar à do recipiente que o contém. É o caso dos estados líquido e gasoso da matéria. No caso dos líquidos, se o volume deste for menor que o volume do recipiente continente, somente sua parte inferior e lateral toma a forma do recipiente; acima, o líquido apresenta uma superfície livre. Isso indica que os líquidos são, em geral, resistentes à mudança de volume, mesmo com o aumento de pressão, e por isso são considerados incompressíveis. O mesmo se pode dizer quanto à temperatura, desprezivelmente variável com a mudança de pressão, assim também chamados de indilatáveis. Os gases, ao contrário, são altamente compressíveis e dilatáveis. Análise Dimensional 1

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A análise dimensional é uma ferramenta importante no estudo da Física, pois ajuda a identificar grandezas derivadas de definições relacionadas a grandezas primitivas, obter as unidades de medida de uma grandeza derivada, além de prever expressões matemáticas a partir de experimentos físicos. Se você chegou até aqui, no estudo dos fluidos, pressupõe-se que você já teve a experiência, mesmo que não sabendo, com a análise dimensional. Ela pode ser interpretada como uma verificação dos termos em uma fórmula, quando verificamos se as unidades inseridas no meio do cálculo resultarão na unidade desejada, uma espécie de “prova real” dos cálculos realizados. Esse assunto será tratado aqui de forma sucinta e objetiva, servindo de complemento às explanações sobre novas grandezas que surgirão ao longo dos textos. Primeiramente temos que nos situar em que ramo da Física estamos atuando. Nesse curso, estamos lidando com a Mecânica. Você deve ter visto em algum livro, ou ao menos notado que, apesar de inúmeras grandezas derivadas, a Mecânica pode ser explicada a partir de três – e somente 3 – grandezas primitivas. São elas: massa, tempo e espaço. Para simplificar os cálculos, em vez de utilizarmos os nomes dessas grandezas, utilizaremos os símbolos respectivos M (mass), T (time) e L (length). Seja uma grandeza mecânica A qualquer. Sua expressão dimensional é genericamente representada por

[ A] = M a ⋅ Lb ⋅ T c Vejamos alguns exemplos. O volume é a análise do espaço em três dimensões, como altura, largura e espessura. Assim, Volume = altura x largura x espessura. Dimensionalmente:

[ A] = M 0 ⋅ L3 ⋅ T 0 = L3 Sendo, no SI, a unidade de espaço dado em metros (m), a unidade de volume é m 3. Note que o volume é independente da massa e do tempo, e que o expoente zero faz com que a expressão geral da fórmula dimensional de uma grandeza mecânica seja a mesma sem se importar com a realação de dependência entre a grandeza derivada e suas respectivas primitivas. Nesse ponto é importante ressaltar que o leitor tenha destreza e conhecimento consistente quanto à Mecânica Clássica, bem como suas grandezas e unidades. Mesmo assim, ao final deste material de apoio há um formulário com as principais grandezas, unidades do SI, unidades usuais e relações interessantes, porque ninguém é de ferro! Exemplo 1 Conforme a Teoria Gravitacional de Sir Isaac Newton, dois astros de massa M e m respectivamente com centros de massa separados uma distância d atraem-se por uma força F dada pela expressão:

F = G⋅

M ⋅m , d2

sendo G a constante de Gravitação. Qual a equação dimensional de G? Qual sua unidade no SI? Solução: Tanto as grandezas F quanto G são derivadas – pois estamos lidando com a Mecânica, e essas grandezas não são massa, nem espaço e nem tempo; assim essas grandezas não são primitivas. Observando que F = m.a, sendo a a aceleração de um corpo, definida pela relação entre velocidade e tempo, e a velocidade sendo a relação entre espaço e tempo, tem-se que:

s  v  s F = m ⋅ a = m ⋅   = m ⋅  t  = m⋅  2   t  t t    2

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Dimensionalmente:

[ F ] = M ⋅ L ⋅ T −2 Não se esqueça que potência no denominador pode sair “de baixo” da fração, bastando trocar o sinal do expoente. Por isso que o tempo ficou com o expoente negativo. Reescrevendo a expressão da força gravitacional em modo dimensional, obtem-se:

M ⋅ L ⋅ T −2 = [ G ] ⋅ M 2 ⋅ L−2 A constante G está entre colchetes para diferenciar das outras. É ela que queremos “isolar” na expressão acima. Claro que, se você chegou até aqui, deve estar craque em isolar termos em expressões algébricas! Assim, dividindo ambos os termos nos extremos da igualdade por M2.L–2, conclui-se que a equação dimensional de G é

M ⋅ L ⋅ T −2 = [ G ] ⋅ M 2 ⋅ L− 2 ⇔

2 −2 M ⋅ L ⋅ T −2 [ G ] ⋅ M ⋅ L = ⇔ [G ]= M− 1⋅ L3⋅ T− 2 −2 2 −2 M ⋅L M ⋅L

2

,

e sua unidade, no SI, é m3/kg.s2. O valor da constante é calculado a partir de experimentos com diversos valores de M, m e d. Exemplo 2 ♠ A força elástica de uma mola é calculada a partir da deformação linear da mesma. Observe a figura abaixo:

A força F deslocou a mola em um espaço x em relação ao seu estado inicial. Assim, uma expressão simples para a força elástica pode ser dada por F = k.x, sendo k a constante elástica da mola, cujo valor depende do material de que é feita a mola. Indique a expressão dimensional e a unidade, no Si, para k. Qual o valor de k no SI para uma mola que se deforma 15 cm se pendurarmos, na Terra, uma massa de 2 Kg na ponta dessa mola, estando a outra ponta fixa, como na figura acima? Considere gTerra = 10 m/s2. Massa específica (ρ) A massa específica de uma substância é a relação entre a massa e volume maciço da mesma – entenda por volume maciço como sendo a substância como ponto material, natural e sem deformações em relação ao seu formato original. Assim:

ρ= Dimensionalmente falando,

♠

m V

[ ρ] = M ⋅ L−3 ⋅T 0

Resposta: [k] = M.L0.T – 2, medido em N/m ou kg/s2, no SI. Para os valores citados, k = 133,3 N/m

3

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Sua unidade, no SI, é kg/m3. No sistema CGS (para quem não lembra, CGS significa “C de centímetro, G de grama e s de segundo”), sua unidade é g/cm3, ou g/ml. Como 1 kg = 1000 g e 1 m = 100 cm (1 m3 = 1003 cm3), pode-se estabelecer a conversão entre as unidades:

1

kg 10 3 g g = = 10 −3 3 6 3 m 10 m cm 3

Analogamente, 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 (verifique!). Peso específico (γ) Peso específico é o peso de uma unidade de volume de um corpo, no caso um fluido:

γ=

m⋅ g m = ⋅g = ρ⋅g V V

Dimensionalmente falando,

[γ ] = ( M ⋅ L−3 ⋅ T 0 ) ⋅ ( M 0 ⋅ L ⋅ T −2 ) = M ⋅ L−2 ⋅ T −2

Sua unidade, no SI, é kg/m2.s2 ou N/m3. No sistema CGS, sua unidade é dyn/cm3, que equivale a 10 N/m . 3

Densidade (d) A densidade de uma substância e a razão entre sua massa específica e uma massa específica de referência. Geralmente a referência é a água (ρH2O = 1 g/cm3 = 1000 kg/m3). Por ser uma relação entre duas grandezas de mesma dimensão, a densidade é adimensional, ou seja, não possui unidade. Pressão (p) Para falar de pressão e tensão de cisalhamento, primeiramente vamos observar a figura abaixo:

Quando se aplica uma força F em uma placa de área A qualquer, a pressão p é a razão entre a componente normal N da força (aquela componente perpendicular ao plano):

p=

N A

Sua unidade no SI é N/m2, também chamado de pascal (Pa). Outras unidades são a atm, bar, torr ou mmHg e psi. Cada uma tem suas origens e aplicações. Pesquise a respeito. Abaixo há uma tabela de conver~são entre as unidades de pressão mais comuns: Atm

4

Pascal

Bar

mm Hg

kgf/cm²

FÍSICA II Material de Apoio Atm Pascal Bar mm Hg kgf/cm²

1 9,869×10-6 0,9869 1,316×10-3 0,968

1,01325×105 1 100000 133,3 9,810×104

1,01325 10-5 1 1,333×10-3 0,9810

760,0 7,501×10-3 750,1 1 735,8

1,033 1,019×10-5 1,020 13,60 1

Tensão de cisalhamento (τ) Quando se aplica uma força F em uma placa de área A qualquer, a tensão de cisalhamento é a razão entre a componente tangencial T da força (aquela componente paralela ao plano):

τ=

T A

Sua unidade no SI é N/m2, também chamado de pascal (Pa). As propriedades são as mesmas da pressão. Só que, fisicamente, a pressão é uma grandeza relacionada à força Normal, e a tensão de cisalhamento é relacionada a forças tangenciais. Viscosidade (μ) Antes de falar da viscosidade, é preciso enunciar o princípio da aderência: “As partículas fluidas junto às superfícies sólidas adquirem as velocidades dos pontos das superfícies com as quais estão em contato”.

A placa superior se movimento atuada por uma força F que provoca uma velocidade vo no líquido. Essa velocidade decai segundo uma função do 2º grau (note o formato parabólico dos vetores velocidade decrescentes), até que chega a ser nula na placa inferior, fixa e em repouso. Entre as partículas de cima e as de baixo existirá atrito, que por ser uma força tangencial formará tensões de cisalhamento, com sentido contrário ao do movimento, como a força de atrito. As tensões de cisalhamento agirão em todas as camadas fluidas e evidentemente naquela junto à placa superior dando origem a uma força oposta ao movimento da placa superior:

τ=

T ⇔ T = F =τ ⋅ A A

Nesse ponto em que T = F a placa superior atingirá velocidade constante vo e cada gradiente de velocidade dv/dy é proporciona à tensão de cisalhamento oposta, ou seja:

τ =µ

dv dy

A constante μ depende do fluido é é denominada viscosidade dinâmica. Essa expressão também é ocnhecida como Lei de Newton das viscosidades e, sucintamente, diz que tensão de cisalhamento τ é proporcional ao gradiente de velocidade dv/dy. Sua unidade no SI é o Pa.s. No CGS, é dyna.s/cm2, também chamado de poise. Um submúltiplo utilizado é o centipoise, que equivale a 1 mPa.s.

5

FÍSICA II Material de Apoio Considerando ε muito menor que vo, o gradiente de velocidade é praticamente linear, e vale aq proporção direta entre ε e vo, de forma que se pode simplificar a Lei das viscosidades de Newton para uma expressão linear ao invés de diferencial:

τ =µ

vo ε

Viscosidade cinemática (ν) É a razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica de um fluido:

ν=

µ ρ

No Si a unidade é m2/s e no CGS, cm2/s, equivalente a 10–4 m2/s. Também é chamada de stoke (st). Vazão (Q) A vazão não será objeto de estudo imediato, mas aproveitando o capítulo inicial como apresentando grandezas relativas a fluidos, vamos enunciá-la sucintamente. Vazão (Q) é o volume de fluido que passa por uma seção transversal em um duto por unidade de tempo. É a rapidez com que um líquido escoa em uma tubulação. Matematicamente:

dQ =

dV dT

Sua unidade no Si é m3/s. Resolvendo problemas em Mecânica dos Fluidos A resolução de problemas em Mecânica dos Fluidos acaba se tornado bem semelhante à resolução na Mecânica Clássica, pois são vistos sistemas semelhantes com alguns adicionais sobre fluidos. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 3 A viscosidade cinemática de um óleo é 280 st e sua densidade é 0,9. Determine μ. Solução:

ν=

µ ⇔ µ = ν ⋅ ρ . Mas a massa específica do óleo é dada por d.ρH2O = 0,9 g/cm3 (no ρ

sistema CGS para operar diretamente com a viscosidade cinemática também no sistema CGS, em stokes). Assim: µ = ν ⋅ ρ = 280

cm2 g g , ou 252 poise. ⋅ 0,9 3 = 252 s cm cm ⋅ s

Exemplo 4 Qual a viscosidade dinâmica em unidades do SI?

♠

Exemplo 5 Uma placa quadrada de 1m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30º sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é de 2 m/s, constante. Qual é a viscosidade dinâmica do óleo se a espessura da película é 2 mm ?



Resolução a critério do leitor

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Solução: A velocidade é constante, de modo que a componente senoidal do peso G da placa seja igual à força relativa à tensão de cisalhamento. Sendo o peso da placa igual a 20 N, Ft = G.sen(30°) = G/2 = 10 N. como τ = Ft/A, tem-se τ = 10 N/ 1 m2 = 10 Pa. Aplicando a Lei de Newton para viscosidades:    2.10 −3 m   = 0,01 Pa .s τ =µ ⇔µ =τ =10 Pa ⋅  ε Vo  2m    s   Vo

ε

No sistema CGS, a viscosidade mede 10 centipoise. Exemplo 6 Se o centro de gravidade da placa está a 4,5 m do solo, quanto tempo demorará a ponta ♠ inferior da placa a tocar no solo?

Leituras Complementares [1] R. C. C. Vieira, Atlas de Mecânica dos Fluidos: Estática, Ed. Edgard Blücher Ltda., 1971, São Paulo, SP. [2] R. C. C. Vieira, Atlas de Mecânica dos Fluidos: Fluidodinâmica, Ed. Edgard Blücher Ltda., 1971, São Paulo, SP. [3] J. L. Vázquez, Fundamentos Matemáticos de la Mecánica de Fluidos, Depto. De Matemáticas, Universidad Autónoma de Madrid, 2003, Madrid, Espanha.

REFERÊNCIAS [1] D. Schiozer, Mecânica dos Fluidos, Ed. Araguaia, 1990, São Paulo-SP, Brasil. [2] D. Schiozer, Mecânica dos Fluidos: Exercícios Resolvidos, Ed. Araguaia, 1990, São Paulo-SP, Brasil. [3] R. Helou D., Gualter J. B., Newton V. B., Tópicos de Física, 2007, Ed. Saraiva, São Paulo, SP.

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R: 2 segundos

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