Materi Untuk Tampil.docx

2.1 GERAK PARABOLA 2.1.1 Pengertian Gerak Parabola. Gerak parabola merupakan gerak benda dengan lintasan berbentuk parabola (setengah lingkaran). Gerak parabola adalah gabungan dari 2 buah jenis gerakan yaitu Gerak Lurus Beraturan (GLB) yang arahnya mendatar dan Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) yang arahnya vertikal. Gerak vertikal dipengaruhi oleh percepatan gravitasi sehingga kecepatannya akan selalu berubah. Atau lebih singkatnya gerak parabola yaitu gerak yang lintasannya berbentu parabola atau setengah lingkaran. Untuk mempermudah mempelajari gerak parabola dari benda dilempar dengan sudut tertentu maka diperlukan koordinat salib sumbu x dan y yang diletakan pada titik penenbakan sehingga sumbu x membentuk sudut elevasi sebesar 𝛼 titik kecepatan awal.

Gerak sepanjang sumbu x berupa gera lurus beraturan (GLB) karena benda ditembakan dengan sudut elevasi (𝛼) terhadap horizontal dengan kecepatan awal (v0) maka persamaan gerak sepanjang sumbu x menjadi: vx = vox vox = vo cos 𝛼 x = vx . t x = vo cos 𝛼 .t keterangan: vo = kecepatan awal (m/s) vx = kecepatan ke x (m/s) x = jarak (m) 𝛼 = sudut elevasi (°) Gerak sepanjang sumbu y berupa gerak

lurus berubah beraturan diperlambat dengan

perambatan sebesar gravitasi bumi (g). pessaman gerak sepanjang sumbu y menjadi: vt = vo – at vy = voy - gt voy = vo sin 𝛼 vy =vo sin 𝛼 – gt

x = vo.t – ½ at2 y = vo sin 𝛼 . t – ½ g t2 Keterangan: y = jarak (m) a = percepatan (m/s2) g = percepatan gravitasi bumi (m/s2) t = waktu (s)

Kecepatan benda selama dalam lintasna parabola berbentuk kecepatan resultan yang besarnya ditentukan dengan rumus sebagai berikut: VR= √𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2 Untuk mengetahui bentuk persamaan dari lintasan parabola digunakan cara sebagai berikut: x = vo cos 𝛼 .t t=

𝑥 vo cos α

Masukan hanya t kedalam persamaan y maka diperoleh: y = vo sin 𝛼 . t – ½ g t2 y = vo sin 𝛼 . v y = vo sin 𝛼 . v

𝑥 o cos α

– ½ g (v

𝑥 o cos α

𝑥2

𝑥

o

– ½ g (v cos α

y= tan 𝛼 x – ½ g (v

𝑥2 o

2 cos2 α

)2

o

2 cos2 α

)

)

Keterangan: y = tinggi (m) a = percepatan (m/s2) g = percepatan gravitasi bumi (m/s2)

Perumusan tinggi maksimum: Suatu benda yang ditembakan samapi benda yang ditembakan sampai titik tertinggi dari lintasanya maka syaratnya vy

=

0 dengan demikian waktu yang diperlukan untuk mencapai titik

tertinggi dirumuskan sebagai berikut: Vy = 0 Vo sin 𝛼 – g tm = 0 Vo sin 𝛼 = g tm ty max =

Vo sin 𝛼 𝑔

keterangan: ty max = waktu tinggi maksimum

Jika perumusan ty

max

dimasukan keperumusan y = vo sin 𝛼 . t – ½ g t2 maka diperoleh

perumusan tinggi maksimum sebagai beriku: y = vo sin 𝛼 . t – ½ g t2 hmax = vo sin 𝛼 . hmax = hmax =

𝑣𝑜 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼

𝑣𝑜 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼

𝑣𝑜 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼

-

𝑔 𝑣𝑜

2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼

2𝑔

hmax =

– ½ g(

𝑔

-½g(

𝑔

hmax = 2

Vo sin 𝛼 t

𝑔2

Vo sin 𝛼 t 2 ) 𝑔

)

𝑣𝑜 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 2𝑔

-

𝑣𝑜 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 2𝑔

𝑣𝑜 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 2𝑔

Keterangan: hmax = tinggi maksimum (m)

Perumusan jarak tembak maksimum: Supaya benda dapat mencapai jarak tembak sejauh-jauhnya maka syaratnya y = 0 dengan demikian waktu yang diperlukan untuk mencapai jarak tembakan maksimum adalah: y=0 vo sin 𝛼 . t – ½ g t2 = 0 vo sin 𝛼 . t = ½ g t2 vo sin 𝛼 = ½ g t 2vo sin 𝛼 = g t Dimana tx max = 2 ty max tx max =

2 Vo sin 𝛼 𝑔

tx max = waktu untuk mencapai jauh tembakan maksimum atau lamanya benda diudara. Dengan memasukan harga tx

max

kepersamaan x = vo cos 𝛼 .t maka diperoleh persamaan

untuk jarak jauh tembakan maksimum sebesar: x = vo cos 𝛼 .t

xmax = vo cos 𝛼 xmax =

xmax =

𝑣0

2

𝑔 𝑣0 2 𝑔

2 Vo sin 𝛼 𝑔

2 cos 𝛼 sin 𝛼

sin 2𝛼

Keterangan: xmax = jauh tembakan maksimum(m)

2.1.2 Jenis-jenis Gerak Parabola dalam kehidupan sehari-hari Dalam kehidupan sehari-hari terdapat beberapa jenis gerak parabola: a. Pertama, gerakan benda berbentuk parabola ketika diberikan kecepatan awal dengan sudut teta terhadap garis horisontal, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Dalam kehidupan seharihari terdapat banyak gerakan benda yang berbentuk demikian. Beberapa di antaranya adalah gerakan bola yang ditendang oleh pemain sepak bola, gerakan bola basket yang dilemparkan ke ke dalam keranjang, gerakan bola tenis, gerakan bola volly, gerakan lompat jauh dan gerakan peluru atau rudal yang ditembakan dari permukaan bumi.

b. Kedua, gerakan benda berbentuk parabola ketika diberikan kecepatan awal pada ketinggian tertentu dengan arah sejajar horisontal, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Beberapa contoh gerakan jenis ini yang kita temui dalam kehidupan sehari-hari, meliputi gerakan bom yang dijatuhkan dari pesawat atau benda yang dilemparkan ke bawah dari ketinggian tertentu.

c. Ketiga, gerakan benda berbentuk parabola ketika diberikan kecepatan awal dari ketinggian tertentu dengan sudut tetap terhadap garis horisontal, sebagaimana tampak pada gambar di bawah.

2.1.3 Penyelesaian Masalah Tentang Gerak Parabola Permasalahan 1: Sebuah peluru ditembakkan dengan sudut elevasi 30° dan kecepatan awal 60 m/s jika percepatan gravitasi ditempat itu 10 m/s2 maka tentukan : a. Waktu yang digunakan untuk mencapai titik tertinggi? b. Tinggi maksimum yang dapat dicapai? c. Lamanya peluru diudara? d. Jarak terjauh yang dapat di capai peluru? Penyelesaian: Diketahui : 𝛼 = 30° V0= 60 m/s g = 10 m/s2 Ditannya : a. ty max=.... ? b. hmax =.....? c. tx max =.....? d. xmax=......? Jawab : a. ty max = b. hmax =

Vo sin 𝛼 𝑔

𝑣𝑜 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 2𝑔

= =

60 sin 30° 10

=

602 𝑠𝑖𝑛2 30° 2.10

1 2

60

=

10

30

= 10 = 3 sekon 1 2 2

3600( ) 20

=

1 4

3600 20

=

900 20

= 45 m

c. tx max = 2 ty max = 2 . 3 = 6 sekon d. xmax =

𝑣0 2 𝑔

sin 2𝛼 =

602 10

sin 2.30° =

3600 10

sin 60 = 360 . ½ √3 = 180 √3 m

Permasalahan 2: Seorang penembak ingin menembak burung yang bertengger pada pohon yang berjarak 100 m dari penembak tersebut. Burung berada pada ketinggian 80m dari tanah. Bila penembak mengarahkan senapannya membentuk sudut 450 terhadap arah mendatar dan gravitasi bumi yaitu 10 m/s2 maka berapakah kecepatan awal peluru yang diperlukan supaya burung kena tembak?

Penyelesaian : Diketahui : x = 100m y = 80 m 𝛼 = 450 g = 10 m/s2 Ditannya : v0 = …….? Jawab : Y = tan 𝛼 x – ½ g (

vo

𝑥2 2 cos2 α

)

80 = tan 45.100- ½ . 10 (2𝑣

1002

0

80 = 1. 100 80 = 100 80 = 100 100000 𝑣𝑜 2 100000 𝑣𝑜 2

)

2 𝑐𝑜𝑠2 45

100000 1

2

2𝑣0 2 ( √2) 2

100000 1 4

2𝑣0 2 .2 100000 𝑣𝑜 2

= 100 – 80 = 20

100000 = 20. 𝑣𝑜 2 100000 20

= 𝑣𝑜 2

5000 = 𝑣𝑜 2 √5000 = vo 70,71 𝑚/𝑠= vo Jadi kecepatan awal yang dialami adalah 70,71 𝑚/𝑠

2.2 KINEMATIKA GERAK MELINGKAR 2.2.1 Pengertian Gerak Melingkar Gerak melingkar merupakan gerak benda yang lintasannya membentuk lingkaran. Banyak contoh gerak melingkar dalam kehidupan sehari-hari, seperti gerakan komidi putar, gerak bandul yang diayunkan berputar, pelari yang mengelilingi lapangan berbentuk lingkaran, atau gerakan akrobatik di pasar malam "tong stan". Jika anda menggambar sebuah bangun berupa lingkaran, maka gerakan pena anda merupakan gerak melingkar. Pada bab ini kita akan mengenal besaran-besaran yang berlaku dalam gerak melingkar yaitu, frekuensi putaran, periode putaran, kecepatan linier,

kecepatan sudut, dan percepatan sentripetal. Secara khusus kita akan membahas dua gerak melingkar yaitu gerak melingkar beraturan dan gerak melingkar berubah beraturan.

2.2.2 Besaran-Besaran Fisis dalam Gerak Melingkar Dalam gerak lurus kita mengenal tiga besaran utama yaitu perpindahan (linear), kecepatan (linear) dan Percepatan (linear). Gerak melingkar juga memiliki tiga komponen tersebut, yaitu perpindahan sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut. Pada gerak lurus kita juga mengenal Gerak Lurus Beraturan dan Gerak Lurus Berubah Beraturan. Dalam gerak melingkar juga terdapat Gerak Melingkar Beraturan (GMB) dan Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB). Pembahasan dari besaran-besaran fisis gerak melingkar yaitu sebagai berikut: a. Perpindahan Sudut Jika

kita tinjau sebuah contoh gerak melingkar, misalnya gerak roda kendaraan yang

berputar. Ketika roda berputar, tampak bahwa selain poros (pusat roda), bagian lain roda lain selalu berpindah terhadap pusat roda sebagai kerangka acuan. Perpindahan pada gerak melingkar disebut perpindahan sudut. Ada tiga cara menghitung sudut. Cara pertama adalah menghitung sudut dalam derajat (°). Satu lingkaran penuh sama dengan 360°. Cara kedua adalah mengukur sudut dalam putaran. Satu lingkaran penuh sama dengan satu putaran. Dengan demikian, satu putaran = 360°. Cara ketiga adalah dengan radian. Radian adalah satuan Sistem Internasional (SI) untuk perpindahan sudut, sehingga satuan ini akan sering kita gunakan dalam perhitungan.

Nilai radian dalam sudut adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari-jari roda r. Jadi: 𝜃(𝑟𝑎𝑑) =

𝑥 𝑟

Perhatikan bahwa satu putaran sama dengan keliling lingkaran, sehingga dari persamaan di atas, diperoleh : 𝜃(𝑟𝑎𝑑) =

2𝜋𝑟 𝑟

= 2𝜋 𝑟𝑎𝑑

Berikut ini konversi sudut yang perlu di ketahui 1 putaran = 3600 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑

1 rad =

180 𝜋

derajat = 57,30

Derajat, putaran dan radian adalah besaran yang tidak memiliki dimensi. Jadi, jika ketiga satuan ini terlibat dalam suatu perhitungan, ketiganya tidak mengubah satuan yang lain.

b. Kecepatan Sudut Dalam gerak lurus, kecepatan gerak benda umumnya dinyatakan dengan satuan km/jam atau m/s. Telah kita ketahui bahwa tiap bagian yang berbeda pada benda yang melakukan gerak lurus memiliki kecepatan yang sama, misalnya bagian depan mobil mempunyai kecepatan yang sama dengan bagian belakang mobil yang bergerak lurus. Dalam gerak melingkar, bagian yang berbeda memiliki kecepatan yang berbeda. Misalnya gerak roda yang berputar. Bagian roda yang dekat dengan poros bergerak dengan kecepatan linear yang lebih kecil, sedangkan bagian yang jauh dari poros atau pusat roda bergerak dengan kecepatan linear yang lebih besar. Oleh karena itu, bila kita menyatakan roda bergerak melingkar dengan kelajuan 10 m/s maka hal tersebut tidak bermakna, tetapi kita bisa mengatakan tepi roda bergerak dengan kelajuan 10 m/s. Pada gerak melingkar, kelajuan rotasi benda dinyatakan dengan putaran per menit (biasa disingkat rpm – revolution per minute). Kelajuan yang dinyatakan dengan satuan rpm adalah kelajuan sudut. Dalam gerak melingkar, kita juga dapat menyatakan arah putaran. misalnya kita menggunakan arah putaran jarum jam sebagai patokan. Oleh karena itu, kita dapat menyatakan kecepatan sudut, di mana selain menyatakan kelajuan sudut, juga menyatakan arahnya (ingat perbedaan kelajuan dan kecepatan, mengenai hal ini sudah Gurumuda terangkan pada Pokok bahasan Kinematika). Jika kecepatan pada gerak lurus disebut kecepatan linear (benda bergerak pada lintasan lurus), maka kecepatan pada gerak melingkar disebut kecepatan sudut, karena benda bergerak melalui sudut tertentu. Terdapat dua jenis kecepatan pada Gerak Lurus, yakni kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat. Kita dapat mengetahui kecepatan rata-rata pada Gerak Lurus dengan membandingkan besarnya perpindahan yang ditempuh oleh benda dan waktu yang dibutuhkan benda untuk bergerak . Nah, pada gerak melingkar, kita dapat menghitung kecepatan sudut rata-rata dengan membandingkan perpindahan sudut dengan selang waktu yang dibutuhkan ketika benda berputar. Secara matematis kita tulis : a. Kecepatan sudut rata-rata Jika sudut yang ditempuh mengalami perubahan dari 𝜃1 ke 𝜃2 dalam selang waktu t1 ke t2 maka kecepatan sudut rata-rata dari benda dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut.

Kecepatan sudut rata-rata =

𝑝𝑒𝑟𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

Kecepatan sudut rata-rata =

̅̅̅ 𝜔=

∆𝜃

=

∆𝑡

𝜃2 −𝜃1 𝑡2 −𝑡1

Keterangan : 𝜔 ̅ = Kecepatan sudut rata-rata ∆𝜃 = Perpindahan sudut ∆𝑡 = Selang waktu

Contoh soal : 1. Posisi sudut suatu titik pada roda dinyatakan oleh 𝜃 = (2𝑡 2 − 6𝑡 + 10)𝑟𝑎𝑑 dengan t dalam s. Maka tentukanlah kecepatan sudut rata-rata selama 10 s pertama? Diketahui : 𝜃 = (2𝑡 2 − 6𝑡 + 10)𝑟𝑎𝑑 Ditanya: kecepatan sudut rata-rata selama 10 s pertama? Jawab: Untuk menentukan kecepatan sudut rata-rata selama 10s pertama, terlebih dahulu kita tentukan posisi sudut pada saat t = 0 sekon dan t = 10 sekon. t= 0 sekon, maka 𝜃 = (2𝑡 2 − 6𝑡 + 10) 𝜃 = (2(0)2 − 6(0) + 10) 𝜃 = 10 𝑟𝑎𝑑 t = 10 sekon, maka 𝜃 = (2𝑡 2 − 6𝑡 + 10) 𝜃 = (2(10)2 − 6(10) + 10) 𝜃 = (200 − 60 + 10) 𝜃 = 150 𝑟𝑎𝑑 Jadi, untuk selang waktu ∆𝑡 = 10 sekon, kecepatan sudut rata-rata adalah: 𝜔 ̅= 𝜔 ̅=

∆𝜃 ∆𝑡 𝜃2 −𝜃1 𝑡2 −𝑡1

=

150−10 10−0

=

140 10

= 14 rad

b. Kecepatan Sudut Sesaat Kecepatan sudut sesaat dapat ditentukan dengan mengambil selang waktu ∆𝑡 mendekati 0 sehingga kecepatan sudut sesaat dirumuskan sebagai berikut : 𝜔 = lim 𝜔 ̅ ∆𝑥→0

𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝜔 = lim

∆𝜃

∆𝑥→0 ∆𝑡

𝜔 =

𝑑𝜃 𝑑𝑡

Keterangan : 𝜔 = kecepatan sudut sesaat ∆𝜃= perpindahan sudut ∆𝑡= selang waktu

Contoh soal: 1. Sebuah piringan hitam dipasang pada sebuah pemutar, tepat pada bagian sumbu putar. Piringan tersebut berputar dengan posisi sudut dan dinyatakan dengan 𝜃(𝑡)=(0,25t2 + 0,5t -1) rad. Tentukan kecepatan sudut piring saat t = 1 sekon? Diketahui : 𝜃(𝑡)=(0,25t2 + 0,5t -1) rad Ditanya : kecepatan sudut piring saat t = 1 sekon? Jawab : 𝜔 = 𝜔 =

𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑(0,25t2 + 0,5t −1) 𝑑𝑡

𝜔 = 0,5 t + 0,5 𝑡 = 1 sekon, maka 𝜔 = 0,5 t + 0,5 𝜔 = 0,5 (1) + 0,5 𝜔 = 1 rad/s

Sesuai dengan kesepakatan ilmiah, jika ditulis kecepatan sudut maka yang dimaksud adalah kecepatan sudut sesaat. Kecepatan sudut termasuk besaran vektor. Vektor kecepatan sudut hanya memiliki dua arah (searah dengan putaran jarum jam atau berlawanan arah dengan putaran jarum jam), dengan demikian notasi vektor omega dapat ditulis dengan huruf miring dan cukup dengan memberi tanda positif atau negatif. Jika pada Gerak Lurus arah kecepatan sama dengan arah perpindahan, maka pada Gerak Melingkar, arah kecepatan sudut sama dengan arah perpindahan sudut.

c. Percepatan Sudut Dalam gerak melingkar, terdapat percepatan sudut apabila ada perubahan kecepatan sudut. Percepatan sudut terdiri dari percepatan sudut sesaat dan percepatan sudut rata-rata. Percepatan sudut rata-rata diperoleh dengan membandingkan perubahan kecepatan sudut dan selang waktu. Secara matematis ditulis : a. Percepatan Sudut Rata-Rata

Jika kecepatan sudut dari benda yang bergerak rotasi mengalami perubahan maka di katakatakan benda itu mengalami percepatan sudut jadi dengan demikian percepatan sudut rata-rata di rumuskan sebagai berikut :

Percepatan sudut rata-rata =

𝛼̅ =

∆𝜔 ∆𝑡

=

𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

𝜔2 −𝜔1 𝑡2 −𝑡1

keterangan : 𝛼̅ = percepatan sudut rata-rata ∆𝜔 = perubahan kecepatan sudut ∆𝑡 = selang waktu

Contoh soal: 1. Sebuah roda berputar terhadap poros horizontal tetap yang berarah utara-selatan. Komponen komponen kecepatan sudut roda dinyatakan dengan 𝜔(𝑡) = (4t +3) rad/s. Tentukanlah percepatan sudut rata-rata selama 5 sekon pertama? Diketahui : 𝜔(𝑡) = (4t +3) rad/s Ditanya : Tentukanlah percepatan sudut rata-rata selama 5 sekon pertama? Jawab: Untuk menentukan kecepatan sudut rata-rata selama 5 sekon pertama, terlebih dahulu kita tentukan kecepatan sudut pada saat t = 0 sekon dan t = 5 sekon.

t = 0 sekon, maka 𝜔(𝑡) = (4t + 3) rad/s 𝜔(0) = (4(0) +3) rad/s 𝜔(0) = 3 rad/s 𝑡 = 5 sekon, maka 𝜔(𝑡) = (4t +3) rad/s 𝜔(5) = (4(5) +3) rad/s 𝜔(5) = (20+3) rad/s 𝜔(5) = 23 rad/s Jadi, untuk selang waktu ∆𝑡 = 5 sekon, Percepatan sudut rata-rata adalah: 𝛼̅ =

∆𝜔 ∆𝑡

𝛼̅ =

𝜔2 −𝜔1 𝑡2 −𝑡1

23−3

=

5−0

=

20 5

= 10 rad/s2

b. Percepatan Sudut Sesaat Percepatan sudut sesaat diperoleh dengan mengambil selang waktu ∆𝑡 𝑚𝑒𝑛𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡𝑖 0 sehingga kecepatan sudut sesaat dirumuskan sebagai berikut : ∆𝜔 ∆𝑡→0 ∆𝑡

𝛼 = lim

𝛼=

𝑑𝜔 𝑑𝑡

Keterangan: 𝛼 = percepatan sudut sesaat ∆𝜔 = perubahan kecepatan sudut ∆𝑡= selang waktu

Contoh soal: 1. Sebuah roda berputar terhadap poros horizontal tetap yang berarah utara-selatan. Komponen komponen kecepatan sudut roda dinyatakan dengan 𝜔(𝑡) = (4t +3) rad/s, maka tentukanlah percepatan sudut sesaat roda tersebut ? Diketahui : 𝜔(𝑡) = (4t +3) rad/s Ditanya : Tentukanlah percepatan sudut sesaat roda tersebut ? Jawab: 𝛼= 𝛼=

𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝑑(4𝑡+3) 𝑑𝑡

= 4 rad/s2

Satuan percepatan sudut dalam Sistem Internasional (SI) adalah rad/s 2

2.2.3 Hubungan antara Besaran Gerak Lurus dan Gerak Melingkar Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari tentang besaran fisis Gerak Melingkar, meliputi Perpindahan Sudut, Kecepatan Sudut dan Percepatan Sudut. Gerak Melingkar memiliki hubungan dengan besaran fisis gerak lurus (perpindahan linear, kecepatan linear dan percepatan linear). Dalam gerak melingkar, arah kecepatan linear dan percepatan linear selalu menyinggung lingkaran. Karenanya, dalam gerak melingkar, kecepatan linear dikenal juga sebagai kecepatan tangensial dan percepatan linear disebut juga sebagai percepatan tangensial. 1. Hubungan antara Perpindahan Linear dengan Perpindahan sudut

Pada gerak melingkar, apabila sebuah benda berputar terhadap pusat/porosnya maka setiap bagian benda tersebut bergerak dalam suatu lingkaran yang berpusat pada poros tersebut. Misalnya gerakan roda yang berputar atau bumi yang berotasi. Ketika bumi berotasi, kita yang berada di permukaan bumi juga ikut melakukan gerakan melingkar, di mana gerakan kita berpusat pada pusat bumi. Ketika kita berputar terhadap pusat bumi, kita memiliki kecepatan linear, yang arahnya selalu menyinggung lintasan rotasi bumi. Pemahaman konsep ini akan membantu kita dalam melihat hubungan antara perpindahan linear dengan perpindahan sudut. Adapun hubungan antara perpindahan linear dengan perpindahan sudut dapat dilihat pada gambar dibawah ini :

Ketika benda berputar terhadap poros O, titik A memiliki kecepatan linear (v) yang arahnya selalu menyinggung lintasan lingkaran. Hubungan antara perpindahan linear titik A yang menempuh lintasan lingkaran sejauh x dan perpindahan sudut 𝜃 (dalam satuan radian), dinyatakan sebagai berikut :

𝑥

𝜃 = 𝑟 atau x Di mana r merupakan jarak titik A ke pusat lingkaran/jari-jari lingkaran. =r𝜃 2. Hubungan antara Kecepatan Linier dengan Kecepatan sudut

Besarnya kecepatan linear (v) benda yang menempuh lintasan lingkaran sejauh delta x dalam suatu waktu dapat dinyatakan dengan persamaan : v=

∆𝑥 ∆𝑡

→ persamaan 1

Dengan menggunakan persamaan yang menyatakan hubungan antara perpindahan linier dengan perpindahan sudut (𝜃 =

𝑥 𝑟

atau x = r 𝜃), kita dapat menurunkan antara besarnya posisi pada lintasan

dan besarnya perpindahan sudut. ∆𝑥 = r ∆𝜃 → persamaan 2 Dimana ∆𝑥 = perubahan posisi, r = jari- jari lingkaran dan ∆𝜃 = besarnya perpindahan sudut. Sekarang kita subtitusikan ∆𝑥 pada persamaan 2 ke dalam persamaan 1 v=

∆𝑥 ∆𝑡

karena

=

r∆𝜃

∆𝜃 ∆𝑡

∆𝑡

= 𝜔 maka kita dapat menurunkan persamaan yang menghubungkan kecepatan linier (v)

dengan kecepatan sudut (𝜔) keterangan : ∆𝜃

v = 𝑟( ∆𝑡 ) v=𝑟𝜔

Keterangan: v = kecepatan linier r = jari-jari lingkaran (lintasan) 𝜔 = kecepatan sudut Dari persamaan di atas tampak bahwa semakin besar nilai r (semakin jauh suatu titik dari pusat lingkaran), maka semakin besar kecepatan linearnya dan semakin kecil kecepatan sudutnya.

3. Hubungan antara Percepatan Linier dengan Percepatan Sudut Besarnya percepatan tangensial untuk perubahan kecepatan linear selama selang waktu tertentu dapat kita nyatakan dengan persamaan: ∆𝑣

𝑎𝑡 = ∆𝑡 → persamaan 1 Keterangan : 𝑎𝑡 = percepatan tangensial ∆𝑣 = perubahan kecepatan linier ∆𝑡 = perubahan selangwaktu Dengan menggunakan persamaan yang menyatakan hubungan antara kecepatan linier dengan kecepatan sudut (v = 𝑟𝜔), kita dapat menurunkan hubungan anatara besarnya perubahan kecepatan linier (∆𝑣) dan besarnya perubahan kecepatan sudut (∆𝜔), yakni : ∆𝑣 = 𝑟∆𝜔 → persamaan 2 Sekarang kita subtitusikan nilai ∆𝑣 pada persamaan 2 ke persamaan 1 ∆𝑣

𝑎𝑡 = ∆𝑡 → 𝑎𝑡 =

𝑟∆𝜔 ∆𝑡

Karena

∆𝜔 ∆𝑡

= 𝛼, maka kita dapat menurunkan hubungan antara percepatan tangensial (𝑎𝑡 ), dengan

percepatan sudut (𝛼). ∆𝜔

𝑎𝑡 = 𝑟 ( ∆𝑡 ) 𝑎𝑡 = 𝑟 𝛼

Keterangan : 𝑎𝑡 = percepatan tangensial r = jarak ke pusat lingkaran (jari-jari lingkaran) 𝛼 = percepatan sudut

Berdasarkan persamaan ini, tampak bahwa semakin jauh suatu titik dari pusat lingkaran maka semakin besar percepatan tangensialnya dan semakin kecil percepatan sudut. Semua persamaan yang telah diturunkan di atas kita tulis kembali pada tabel di bawah ini: Gerak Lurus Besaran

Satuan

Gerak Melingkar

Hubungan antara

Besaran Satuan SI

Gerak Lurus dan Gerak Melingkar

SI x (jarak)

M

𝜃

rad

x=𝑟𝜃

v (kecepatan )

m/s

𝜔

rad/s

v=𝑟𝜔

𝑎𝑡

m/s2

𝛼

rad/s2

𝑎𝑡 = 𝑟 𝛼

Catatan : Pada gerak melingkar, semua titik pada benda yang melakukan gerak melingkar memiliki perpindahan sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut yang sama, tetapi besar perpindahan linear, kecepatan tangensial dan percepatan tangensial berbeda-beda, bergantung pada besarnya jari-jari (r)

2.3 Gerak Melingkar Beraturan 2.3.1

Definisi Gerak Melingkar Beraturan Ketika sebuah benda bergerak membentuk suatu lingkaran dengan laju tetap maka benda tersebut dikatakan melakukan Gerak Melingkar Beraturan atau GMB. Gerak rotasi bumi (bukan revolusi), putaran jarum jam dan satelit yang bergerak pada orbit yang melingkar merupakan beberapa contoh dari Gerak Melingkar Beraturan. Kita mengatakan bahwa GMB merupakan gerakan yang memiliki kecepatan linear tetap. Misalnya sebuah benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan, seperti yang tampak pada gambar di bawah. Arah putaran benda searah dengan putaran jarum jam. Dan vektor kecepatannya

seperti yang terlihat pada gambar, arah kecepatan

linear/tangensial di titik A, B dan C berbeda. Dengan demikian arah kecepatan pada GMB selalu

berubah (ingat perbedaan antara kelajuan dan kecepatan, kelajuan adalah besaran skalar sedangkan kecepatan adalah besaran vektor yang memiliki besar/nilai dan arah).

Pada gerak melingkar beraturan, besar kecepatan linear (v) tetap, karenanya besar kecepatan sudut juga tetap (kecepatan linear memiliki keterkaitan dengan kecepatan sudut yang dinyatakan dengan persamaan v = r  di mana kecepatan linear v sebanding dengan kecepatan sudut (), yang dikatakan di sini adalah besar, jadi arah tidak termasuk. Jika arah kecepatan linear/kecepatan tangensial selalu berubah, bagaimana dengan arah kecepatan sudut ? arah kecepatan sudut sama dengan arah putaran partikel, untuk contoh di atas arah kecepatan sudut searah dengan arah putaran jarum jam. Karena besar maupun arah kecepatan sudut tetap maka besaran vektor yang tetap pada GMB adalah kecepatan sudut. Dengan demikian, kita bisa menyatakan bahwa GMB merupakan gerak benda yang memiliki kecepatan sudut tetap.

2.3.2

Periode dan Frekuensi pada Gerak Melingkar Beraturan Pada gerak melingkar Periode (T) dari benda yang melakukan gerakan melingkar merupakan waktu yang diperlukan oleh benda tersebut untuk menyelesaikan satu putaran. Sedangkan, Frekuensi (f) adalah jumlah putaran perdetik dalam gerak melingkar tersebut. Periode dan frekuensi pada gerak melingkar memiliki hubungan yang erat, adapun hubungan antara periode dan frekuensi tersebut dinyatakan dengan rumus:

𝑇=

1 𝑓

Atau 𝑓=

1 𝑇

Waktu yang diperlukan benda untuk menyelesaikan satu putaran penuh (T) dinyatakan dalam sekon atau detik, sedangkan jumlah putaran perdetik (f) dinyatakan dengan satuan

1 𝑠

atau 𝑠 −1 dan

lebih sering dinyatakan dengan Hertz (Hz).

2.3.3

Kecepatan Linier dan Kecepatan Sudut Dalam satu putaran, benda menempuh lintasan linear sepanjang satu keliling lingkaran (2𝜋r), di mana r merupakan jarak tepi lingkaran dengan pusat lingkaran. Kecepatan linear (v) merupakan

perbandingan antara panjang lintasan linear yang ditempuh benda dengan selang waktu tempuh yang dinyatakan dengan satuan 𝑚⁄𝑠. Secara matematis dirumuskan sebagai berikut : 𝐾𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝐿𝑖𝑛𝑖𝑒𝑟 =

v=

2𝜋𝑟 𝑇

𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐿𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 𝐿𝑖𝑛𝑖𝑒𝑟 𝑆𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑊𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑢ℎ

1

, karena T = 𝑓 maka kecepatan linier juga dapat dinyatakan dengan rumus v = 2𝜋𝑟𝑓

secara umum kecepatan linier dinyatakan dengan rumus : 𝑠

V=𝑡

dimana s adalah jarak dengan satuan meter (m) dan t adalah waktu dengan satuan sekon (s). Dalam satu putaran, benda menempuh lintasan sepanjang satu keliling lingkaran yang besar sudut dalam satu putaran tersebut adalah 360𝑜 atau sering dinyatakan dengan 2𝜋. Pada saat itu benda mengalami Kecepatan sudut (𝜔) yang merupakan perbandingan antara besar perpindahan sudut yang ditempuh dengan selang waktu. Kecepatan sudut ini dinyatakan dalam satuan 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠, yang secara matematis dapat ditulis:

𝐾𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑆𝑢𝑑𝑢𝑡 =

𝜔=

2𝜋 𝑇

𝐵𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑆𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝐷𝑖𝑡𝑒𝑚𝑝𝑢ℎ 𝑆𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑊𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑢ℎ

1

, karena T = 𝑓 maka kecepatan sudut juga dapat dinyatakan dengan rumus 𝜔 = 2𝜋f.

Secara umum kecepatan sudut dinyatakan dengan rumus: 𝜔=

𝜃 𝑡

Dimana 𝜃 adalah posisi sudut dengan satuan radian (rad) dan t adalah waktu dengan satuan sekon (s).

2.3.4

Percepatan Sentripetal Percepatan Sentripetal (𝑎𝑠𝑝 ) merupakan percepatan yang terjadi pada gerak melingkar beraturan yang arahnya selalu menuju pada pusat lingkaran. Jika suatu benda melakukan gerak dengan kelajuan tetap mengelilingi suatu lingkaran, maka arah dari gerak benda tersebut mempunyai perubahan yang tetap. Dalam hal ini maka benda harus mempunyai percepatan yang merubah arah dari kecepatan tersebut. Arah dari percepatan ini akan selalu tegak lurus dengan arah kecepatan, yakni arah percepatan selalu menuju kearah pusat lingkaran. Percepatan sentripetal disebut juga percepatan radial karena mempunyai arah sepanjang radius atau jari‐jari lingkaran.

Berdasarkan gambar di atas, tampak bahwa O x1 tegak lurus terhadap v1 dan O x2 tegak lurus terhadap v2. Dengan demikian θ yang merupakan sudut antara O x1 dan O x2, juga merupakan sudut antara v1 dan v2. Dengan demikian, vektor v1, v2 dan ∆𝑣 membentuk segitiga yang sama secara geometris dengan segitiga O x1 x2 pada gambar di atas, seperti gambar di bawah ini :

Dengan menganggap ∆𝑡 sangat kecil, sehingga besar ∆𝜃 juga sangat kecil, kita dapat merumuskan : ∆𝑣 ∆𝑥 𝑣

≈

𝑟

Semua kecepatan ditulis dengan v karena pada GMB kecepatan tangensial benda sama (v1 = v2 = v). Karena hendak merumuskan persamaan percepatan sesaat, di mana ∆𝑡 mendekati nol, maka rumusan di atas dinyatakan dalam Δv 𝑣 Δv = . Δx 𝑟 Untuk memperoleh persamaan percepatan sentripetal 𝑎𝑠𝑝 , kita bagi Δv dengan Δt, di mana : 𝑎𝑠𝑝 =

∆𝑣 ∆𝑡

=

𝑣 ∆𝑥 𝑟 ∆𝑡

Karena

∆𝑥 ∆𝑡

= v (kelajuan linear), maka persamaan di atas kita ubah menjadi:

v2 asp = r

Berdasarkan persamaan percepatan sentripetal tersebut, tampak bahwa nilai percepatan sentripetal bergantung pada kecepatan tangensial dan radius/jari‐jari lintasan (lingkaran). Dengan demikian, semakin cepat laju gerakan melingkar, semakin cepat terjadi perubahan arah dan semakin besar radius, semakin lambat terjadi perubahan arah. Arah vektor percepatan sentripetal selalu menuju ke pusat lingkaran, tetapi vektor kecepatan linear menuju arah gerak benda secara alami (lurus), sedangkan arah kecepatan sudut searah dengan putaran benda. Dengan demikian, vektor percepatan sentripetal dan kecepatan tangensial saling tegak lurus atau dengan kata lain pada Gerak Melingkar Beraturan arah percepatan dan kecepatan linear/tangensial tidak sama. Demikian juga arah percepatan sentripetal dan kecepatan sudut tidak sama karena arah percepatan sentripetal selalu menuju ke dalam/pusat lingkaran sedangkan arah kecepatan sudut sesuai dengan arah putaran benda (untuk kasus di atas searah dengan putaran jarum jam). Dapat disimpulkan bahwa dalam Gerak Melingkar Beraturan : 1) Besar kecepatan linear/kecepatan tangensial adalah tetap, tetapi arah kecepatan linear selalu berubah setiap saat 2) Kecepatan sudut (baik besar maupun arah) selalu tetap setiap saat 3) Percepatan sudut maupun percepatan tangensial bernilai nol 4) Dalam GMB hanya ada percepatan sentripetal

2.3.5 Penerapan GMB dalam kehidupan sehari-hari Beberapa masalah yang melibatkan Gerak Melingkar Beraturan (GMB) antara lain : 1. Komedi Putar

Kuda pada komidi putar akan berputar mengelilingi pusat putaran yakni tiang komidi putar. Kudakuda akan bergerak berputar dalam waktu tertentu dengan frekuensi tertentu pula.

2. Jarum jam

Ketiga jarum jam juga termasuk dalam salah satu contoh gerak melingkar. Ketiga jarumnya akan berputar dengan kecepatan yang berbeda karena masing-masing jarum jam menunjukkan waktu yang berbeda (detik, menit dan jam). Poros jarum jam yang berperan sebagai pusat lingkaran sementara jarum jam akan berputar beraturan sesuai dengan fungsi waktu masing-masing jarum. 3. Ban motor

Ban motor tentu saja selalu berputar ketika morot dijalankan. Ban motor akan melakukan gerak melingkar terhadap poros ban. Tak terhitung berapa frekuensi putaran yang dihasilkan ban motor selama melakukan perjalanan. Kecepatannya akan berubah sesuai dengan keinginan pengendara dengan menggunakan bantuan rem dan gas.