Materi Trigonometri - Aturan Sinus Cosinus - Carolus-dikonversi.pdf

Materi Trigonometri SUB MATERI

ATURAN SINUS DAN COSINUS

MATERI AJAR Pertemuan 1 Aturan Sinus 

Dalam pembahasan sebelumnya, telah diuraikan aturan perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut pada segitiga siku-siku. Selanjutnya akan dibahas pula aturan perbandingan trigonometri untuk sudut pada segitiga bukan siku-siku. Aturan ini terdiri dari aturan sinus dan aturan cosinus.

Lihat Segitiga



Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = c sisi AC = b sisi BC = a Terdapat garis CD tegak lurus AB sehingga terbentuk dua segitiga siku-siku, yakni ADC dan BDC.



Tinjau segitiga ADC : sin A =



𝐶𝐷 , 𝑏

𝐶𝐷

sin A =𝐴𝐶

sehingga CD = b. sin A ……………… (1)

Tinjau segitiga BDC :

𝐶𝐷

sin B =𝐵𝐶

𝐶𝐷

sin B = 𝑎 , , sehingga CD = a. sin B ……………… (2) 

Dari (1) dan (2) didapat b. sin A = a. sin B



𝑎 𝑆𝑖𝑛 𝐴

𝑏

= 𝑆𝑖𝑛 𝐵

Segitiga Lain



Dengan cara yang sama jika dari titik B ditarik garis BE yang tegak lurus AC 𝑏 𝑐 maka diperoleh 𝑆𝑖𝑛 𝐵 = 𝑆𝑖𝑛 𝐶

ATURAN SINUS

𝒂 𝒃 = 𝑺𝒊𝒏 𝑨 𝑺𝒊𝒏 𝑩

=

𝒄 𝑺𝒊𝒏 𝑪

Contoh Soal 

Soal Aturan Cosinus 1.

Diketahui segitiga ABC, a = 15 cm, b = 20 cm, B = 30. Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan sinus !

2.

Sebuah pohon diamati oleh pengamat A dengan sudut elevasi 53 °. Di lain pihak, pengamat B juga mengamati dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak kedua pengamat 15 m, tentukan tinggi pohon tersebut!

Pertemuan 2 Aturan Cosinus 

Dalam pembahasan sebelumnya, telah diuraikan aturan perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut pada segitiga siku-siku dan salah satu aturan perbandingan trigonometri untuk sudut pada segitiga bukan sikusiku, yaitu aturan sinus. Selanjutnya akan dibahas pula aturan perbandingan trigonometri untuk sudut pada segitiga bukan siku-siku lainya, yaitu aturan cosinus.

Lihat Segitiga



Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = c

sisi AC = b

sisi BC = a

Terdapat garis tinggi CD = h tegak lurus AB sehingga menurut teorema Pythagoras berlaku : BC² = BD² + DC²

a² = BD² + h² ……………………………… (1)



ℎ

Menurut aturan perbandingan sinus, berlaku : sin A = 𝑏

h = b. sin A …………….(2) 

Menurut aturan perbandingan cosinus, berlaku : cos A = =

𝐴𝐷 , 𝑏

AD = b. cos A

Karena BD = AB – AD maka BD = c – b.cos A ………………………….(3) Dari (1), (2) dan (3) diperoleh : a² = BD² + h² a² = (c – b.cosA)² + (b. sin A)²

a² = c² – 2.c.b.cosA + b².cos²A + b2. sin² A a² = c² – 2.c.b.cosA + b².[cos²A + sin² A] a² = c² – 2.c.b.cosA + b².[1] a² = b² + c² – 2.b.c.cosA

ATURAN COSINUS 

Dengan cara yang sama, jika ditarik garis tinggi h dari titik A dan titik B, maka akan didapat bentuk aturan kosinus yang lain, yakni : b² = a² + c² – 2.a.c.cos B c² = a²+ b² – 2.a.b.cos C

a² = b² + c² – 2.b.c.cos A

b² = a² + c² – 2.a.c.cos B c² = a² + b² – 2.a.b.cos C

Contoh Soal 

Diketahui segitiga ABC dengan sisi b = 5 cm, sisi c = 6 cm, dan sudut A = 52 derajat, hitunglah panjang sisi A !



Jawab :

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A = 52 + 62 – 2.5.6 cos 52 = 25 + 36 – 60 . 0,6157 = 61 – 36,9 = 24,1 a

= 24,1 = 4,91 cm

Soal Aturan Cosinus 1.

2.

Sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi AC = 6 cm dan sisi BC = 4 cm serta C = 120° Maka tentukanlah panjang sisi AB!

Sebuah kapal berlayar dengan arah 110° dari suatu pelabuhan dengan kecepatan 12 km/jam. Pada saat yang sama terdapat kapal lain yang berlayar dengan arah 50° dari pelabuhan tersebut dengan kecepatan 8 km/jam. Berapa jarak kedua kapal itu setelah berlayar selama 5 jam ?