Materi Besok

BAB 1 KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR A. Posisi, Kecepatan dan Perpindahan Partikel pada Gerak Lurus 1. Posisi Partikel pada Suatu Bidang Pada umumnya, posisi atau kedudukan suatu titik ditunjukkan dengan sebuah koordinat. Sebuah koordinat memiliki suatu titik acuan (Tanpa kerangka acuan, atau penentuan posisi awal yang dijadikan acuan, maka pengertian perpindahan akan sulit dipahami) , atau suatu kerangka acuan. Berdasarkan kerangka acuan tersebut, akan dapat digambarkan kedudukan suatu titik dalam koordinat tersebut. Data bahwa pesawat berada pada jarak 20 km akan tidak bermakna, jika tidak disertai arah petunjuk dan titik acuannya. Namun angka 20 km akan menjadi informasi penting jika dikatakan, bahwa pesawat berada 20 km sebelah timur dari menara kontrol. Begitu juga dalam koordinat kartesius, yang umumnya menempatkan koordinat (0,0) sebagai pusat acuannya. Misalkan dalam koordinat kartesius titik A berada pada koordinat (2,4), dan titik B pada koordinat (-2,3). Jika digambarkan titik (0,0) yang dijadikan sebagai titik acuan, maka titik A dan B dapat digambarkan sebagai berikut :

Selain menggunakan grafik kartesius, posisi suatu partikel dapat pula ditunjukkan dengan menggunakan grafik koordinat polar (r , θ). Di mana r adalah jarak suatu titik ke pusat koordinat, dan θ adalah sudut dari sumbu x positif dalam koordinat kartesius menuju titik materi dengan arah berlawanan arah jarum jam. Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat polar adalah : x = r . cos θ r=

x2 + y2

y = r . sin θ tan θ =

y x

Misalnya, suatu titik berjarak 10 cm dari titik pusat koordinat dan membentuk sudut 37° terhadap sumbu x positif, maka gambaran posisi titik tersebut dalam koordinat polar adalah seperti berikut ini.

1

Kedudukan dalam koordinat polar dapat diubah dalam koordinat kartesius. Besar nilai x dan y adalah : x = r . cos θ

y = r . sin θ

x = 10 . cos 37°

y = 10 . sin 37°

x = 10 . 0,8

y = 10 . 0,6

x = 8 satuan

y = 6 satuan

Kedudukan atau posisi suatu benda dinyatakan dalam vektor satuan. Adapun persamaan umum vektor posisi dalam dua dimensi adalah : r =xi+yj

di mana besar vektor satuan i = 1 dan besar vektor satuan

j=1

Penulisan suatu vektor satuan dinyatakan dalam huruf miring. Misalnya vektor satuan yang searah sumbu x dinyatakan dengan i. Vektor itu sendiri diwakili dengan huruf tebal, seperti vektor kedudukan atau vektor pisisi suatu titik dalam dua dimensi adalah r. Contoh : 1.

Kedudukan suatu titik D ditunjukkan oleh koordinat kartesius (3,6). Nyatakan koordinat titik tersebut dalam koordinat polar ! Jawab : r=

32 + 6 2 = 3 5

dan tan θ =

6 maka θ = 63,4° 3

Jadi koordinat polarnya (3 5 ; 63,4°) 2.

Titik H mempunyai kedudukan (4, 30°). Tentukan vektor posisi titik tersebut ! Jawab : x = 4 . cos θ

y = r . sin θ

x = 4 . cos 30°

y = 4 . sin 30°

x=4.

1 3 2

y=4.

x=2 3

1 2

y=2

jadi vektor posisinya adalah rH = 2 3 i + 2 j

2

2. Perpindahan Pengertian perpindahan perlu dibedakan dengan jarak. Sebagai sebuah ilustrasi, seandainya ada seorang anak yang berjalan ke timur sejauh10 m, kemudian kembali ke arah barat 4 m, maka dikatakan bahwa perpindahan anak tersebut adalah 6 m, namun jarak yang ditempuhnya sebesar 14 m. Dengan demikian, coba simpulkan perbedaan perpindahan dan jarak itu! Adanya perbedaan pengertian perpindahan dan jarak, akan berimplikasi terhadap pengertian akan kecepatan (velocity) dan kelajuan (speed). Perpindahan yang ditempuh oleh suatu benda tiap satuan waktu akan menunjukkan kecepatan, dan besarnya jarak yang ditempuh oleh suatu benda tiap satuan waktu disebut dengan kelajuan. Suatu benda dikatakan melakukan perpindahan jika posisi dari benda tersebut mengalami perubahan terhadap titik acuan. Dalam sistem koordinat kartesius, misalkan suatu titik N, mula-mula saat t = 0 berada di titik (1,1) m, kemudian saat t = 4 s berada pada titik (4,5) m, maka besaranbesaran yang berkaitan dengan vektor perpindahan adalah : Vektor posisi awal titik N : rN1 = 1 i + 1 j rN2 = 4 i + 5 j Vektor perpindahan titik N : Δ rN = rN2 – rN1 Δ rN = (4 i + 5 j) – (1 i + 1 j) Δ rN = 3 i + 4 j Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu x adalah 3 Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu y adalah 4 Besar vektor perpindahan titik N adalah : Δ rN =

32 + 4 2 = 5 m

Arah perpindahan titik N adalah :

tan θ =

y x

tan θ =

4 3

maka θ = 53,1° terhadap sumbu x positif dengan arah berlawanan arah jarum jam.

3

Suatu vektor posisi dapat pula dinyatakan dalam sebuah persamaan yang mengandung unsur t, seperti vektor posisi T = 5t i + 2 t2 j .

Sehingga misalkan

ditanyakan vektor posisi titik T saat t = 3 s adalah T = 5 (3) i + 2 (3)2 j = 15 i + 18 j. Contoh : 1.

Titik R pada saat t = 1 s berada pada posisi (2,1) m, dan pada t = 4 s pada posisi (6,4) m. Tentukan : a. vektor perpindahannya b. komponen vektor perpindahan pada sumbu x c. komponen vektor perpindahan pada sumbu y d. besar perpindahannya e. arah perpindahannya Jawab : a. ΔrR = (6 i + 4 j) – (2 i + 1 j) = 4 i + 3 j b. rRx = 4 m c. rRy = 3 m d. r =

4 2 + 32 = 5 m

e. tan θ =

3.

rRy rRx

=

3 maka θ = 37° 4

Kecepatan Bila suatu partikel mengalami perubahan kedudukan dalam suatu selang waktu

tertentu maka besar perubahan kedudukan dalam selang waktu tesebut disebut kecepatan. Sebagai misal, jika seorang anak pergi ke arah timur sejauh 8 m dalam 4 sekon, maka dikatakan kecepatan anak tersebut 2 m/s. Hal ini akan memiliki makna yang berbeda, jika dalam 4 sekon berikutnya, anak tersebut kembali ke arah barat 8 m, maka kedudukan anak tersebut berada di titik semula, sehingga dapay dikatakan anak tersebut tidak melakukan perpindahan, sehingga kecepatannya nol. a. Kecepatan rata-rata kecepatan rata-rata dinyatakan sebagai hasil bagi perpindahan terhadap selang waktu dari perpindahan itu dan dirumuskan: v =

r2 − r1 Δr = t 2 − t1 Δt

Dengan memperhatikan uraian sebelumnya tentang vektor posisi dari suatu titik, maka vektor kecepatan rata-rata dapat ditentukan.

4

Contoh: 1.Titik materi D pada detik t = 1 s berada pada posisi (2,0) m dan pada t = 4 s berada pada posisi (8,8) m. Tentukan : a.

vektor kecepatan rata-ratanya

b.

komponen vektor kecepatan rata-rata pada sumbu x

c.

komponen vektor kecepatan rata-rata pada sumbu y

d.

besar vektor kecepatan rata-rata

e.

arah kecepatan rata-ratanya

Jawab : a.

rD1 = 2 i + 0 j rD2 = 8 i + 8 j Δr = rD2 – rD1 = 6 i + 8 j dan Δ t = t2 – t1 = 4 s – 1 s = 3 s v =

6i + 8 j Δr = = ( 2 i + 4/3 j ) m/s Δt 3

b.

v x = 2 m/s

c.

v y = 4/3 m/s 4 2 +  3

d.

v =

e.

tan θ =

2

2

vy vx

=

= 2,4 m/s

( 4 / 3) 2

= 0,666

maka θ = 33,7°

b. Kecepatan Sesaat Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai kecepatan rata-rata untuk selang waktu Δt yang mendekati nol, yang bila dinyatakan dalam persamaan limit dirumuskan :

v=

lim lim ∆x v = ∆t → 0 ∆t → 0 ∆t Jika perpindahan suatu titik dilambangkan dalam sumbu x, dan waktu dalam

sumbu y, maka kecepatan sesaat pada suatu perpindahan ditunjukkan oleh kemiringan garis singgung pada titik tersebut. Perhatikan gambar berikut! Dengan grafik berikut, tentukan kecepatan saat t = 2 s !

5

Untuk menentukan kecepatan sesaat dari suatu grafik x – t, yang menunjukkan hubungan antara perpindahan x terhadap waktu t, maka kecepatan sesaat ditunjukkan dari kemiringan garis singgung pada titik yang dimaksud. Pada contoh soal di atas, kemiringan garis singgung pada t = 2 s digambarkan oleh grafik sebagai berikut :

v = tan θ =

3 = 1 m/s 3

Jika dalam suatu penentuan kecepatan sesaat dari suatu grafik bernilai negatif, berarti arah kecepatan tersebut berlawanan dengan arah gerakan benda atau arah perpindahan benda. Juga jika kecepatan saat itu adalah nol, maka benda dikatakan tidak berpindah. Selain kecepatan sesaat ditentukan dari kemiringan garis singgung di suatu titik, kecepatan sesaat juga dapat diturunkan dari sebuah persamaan perpindahan. Contoh: 1. Titik Y melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan : r = ( 2 t 2 i + 5 t j ) m. Tentukan : a.

vektor kecepatan sesaat

b.

komponen sumbu x vektor kecepatan

c.

komponen sumbu y vektor kecepatan

d.

vektor kecepatan saat t = 2 s

e.

besar kecepatan saat t = 2 s

Jawab : a.

v=

dr dt

v = ( 4 t i + 5 j) m/s b.

vx = 4 t

m/s

c.

vy = 5

d.

Saat t = 2 s , maka vektor kecepatan sesaat adalah : v = ( 4 (2) i + 5 j) m/s

m

v = ( 8 i + 5 j) m/s e.

v=

82 + 52 =

89 m/s

6

Latiahan Soal 1.

Kedudukan suatu titik D ditunjukkan oleh koordinat kartesius (3,6). Nyatakan

koordinat titik tersebut dalam koordinat polar ! Jawab : r=

32 + 6 2 = 3 5

dan tan θ =

6 maka θ = 63,4° 3

Jadi koordinat polarnya (3 5 ; 63,4°) 2.

Kedudukan titik Y ditunjukkan oleh koordinat polar (4, 45°). Nyatakan koordinat tersebut dalam koordinat kartesius ! Jawab : x = r . cos θ

y = r . sin θ

x = 4 . cos 45°

y = 4 . sin 45°

x=4.

1 2 2

x=2 2 3.

y=4.

1 2 2

y=2 2

Suatu titik A mempunyai kedudukan yang ditunjukkan koordinat kartesius (2,4). Tentukan vektor posisi titik tersebut ! Jawab : rA = 2 i + 4 j

4.

Titik H mempunyai kedudukan (4, 30°). Tentukan vektor posisi titik tersebut ! Jawab : x = 4 . cos θ

y = r . sin θ

x = 4 . cos 30°

y = 4 . sin 30°

x=4.

1 3 2

y=4.

x=2 3

1 2

y=2

jadi vektor posisinya adalah rH = 2 3 i + 2 j 1.

Titik R pada saat t = 1 s berada pada posisi (2,1) m, dan pada t = 4 s pada posisi (6,4) m. Tentukan : a. vektor perpindahannya b. komponen vektor perpindahan pada sumbu x c. komponen vektor perpindahan pada sumbu y d. besar perpindahannya e. arah perpindahannya 7

Jawab : a. ΔrR = (6 i + 4 j) – (2 i + 1 j) = 4 i + 3 j b. rRx = 4 m c. rRy = 3 m d. r =

4 2 + 32 = 5 m

e. tan θ = 2.

rRy rRx

=

3 maka θ = 37° 4

Titik I mempunyai vektor posisi r = t 2 i + 2 t j. Tentukan : a. Vektor posisi awal (saat t = 0 s) b. Vektor posisi saat t = 2 s c. Vektor posisi saat t = 4 s d. Vektor perpindahan dari t = 2 s hingga t = 4 s e. Besar vektor perpindahannya Jawab : a. r(t = 0s) = 0 i + 0 j b. r(t =2s) = 22 i + 2.2 j = 4 i + 4 j c. r(t=4s) = 42 i + 2.4 j = 16 i + 8 j d. Δr = (16 i + 8 j) – (4 i + 4 j) = 12 i + 4 j e. Δr = 12 2 + 4 2 = 4 10 m

1.

2.

3.

4.

Gambarkan posisi atau kedudukan dari titik-titik berikut ini: a. H (1,4)

c. Y (5,45°)

b. A (-3,4)

d. D (3, 60°)

Ubahlah koordinat polar berikut menjadi koordinat kartesius: a. W (2, 37°)

c. T (3, 30°)

b. A (6, 53°)

d. I (4, 45°)

Ubahlah koordinat kartesius berikut menjadi koordinat polar: a. K (3,4)

d. T (1,2)

b. E (-6,-8)

e. I (5,-5)

c. N (8,10)

f. K (-4,5)

Titik I melakukan perpindahan dari koordinat (1,4) menuju (1,8). Tentukan vektor perpindahannya!

5.

Titik N berpindah dari (-1,1) ke (2,5). Tentukan: a.

vektor perpindahannya

b.

komponen vektor perpindahan pada sumbu x

c.

komponen vektor perpindahan pada sumbu y

d.

besar vektor perpindahannya

8

e. 6.

arah perpindahannya

Vektor posisi dari titik D dinyatakan dalam vektor posisi yang mengandung unsur waktu, yaitu: r = 2t i + 4t2 j. Tentukan:

7.

a.

vektor posisi awal

b.

vektor posisi saat t = 1 s

c.

vektor posisi saat t = 2 s

d.

vektor perpindahan dari t = 1 s hingga t = 2 s

e.

komponen vektor perpindahan pada sumbu x

f.

vektor perpindahan pada sumbu y

g.

besar vektor perpindahan

Vektor posisi A dinyatakan dalam r = (2 + 3t) i + 2t j. Tentukan besar vektor perpindahannya dari t = 2 s hingga t = 7 s!

8.

Vektor posisi H dinyatakan dalam r = t2 i – 3 j. Tentukan vektor perpindahan dan arah perpindahannya dari t = 1 s hingga t = 5 s!

1.

Titik N pada t = 0 berada pada posisi (2,5) m, kemudian pada t = 2 s berada pada

posisi (2,8) m. Tentukan besar vektor kecepatan rata-ratanya! 2.

Titik A berada dititik (0,0) saat t = 0 s. Jika pada t = 4 s, berada di (3,4) maka

tentukan vektor kecepatan rata-ratanya! 3.

Titik R melakukan gerak dan digambarkan dalam grafik hubungan antara perpindahan (x) dengan waktu (t). Tentukan besar kecepatan saat t = 5 s !

Gambar 8: Grafik hubungan perpindahan terhadap waktu.

4.

Partikel W melakukan perpindahan sesuai vektor perpindahan: r = ( 3 t2 i + 4 t j ) m. Tentukan:

5.

a.

Vektor kecepatan sebagai fungsi waktu,

b.

Besar vektor kecepatan saat t = 2 s.

Titik A melakukan gerakan pada arah mendatar dengan vektor kecepatan v = ( 4 t i + 2 j ) m/s. Jika posisi awal titik berada di posisi 3 m, tentukan vektor posisi titik saat t = 2 s!

9

6.

Jika benda T bergerak pada suatu arah tertentu dengan persamaan kecepatan v = (t2 - 2 ) m/s. Tentukan perpindahan dan jarak dari t = 0 s hingga t = 4 s !

7.

Titik materi P melakukan gerak sesuai grafik berikut.

Gambar 9: Grafik v – t dari gerak titik materi P

Tentukan : a.

Jarak yang ditempuh setelah t = 2 s

b.

Jarak yang ditempuh setelah t = 4 s

c.

Jarak yang ditempuh setelah t = 5 s

d.

Jarak yang ditempuh setelah t = 6 s

e.

Jarak yang ditempuh setelah t = 7 s

10

4.

Percepatan Perubahan kecepatan tiap satuan waktu disebut dengan percepatan. Sebagai

contoh, saat kamu berangkat ke sekolah naik motor, motor yang kamu kendarai tentu tidak berjalan pada kecepatan yang tetap. Motor yang kamu naiki kadang bergerak dengan kecepatan tinggi, kadang lambat, dan kadang harus berhenti karena terhalang lampu pengatur lalu lintas. a. Percepatan rata-rata Adapun pengertian percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan dalam selang waktu tertentu. Semakin besar perubahan kecepatan yang dilakukan, maka tentu percepatan yang dihasilkan semakin besar. Begitu juga jika selang waktu yang digunakan untuk melakukan perubahan semakin sempit, maka besar percepatan yang dilakukan semakin besar. Adapun besar dari percepatan rata-rata dirumuskan :

a =

v 2 − v1 Δv = t 2 − t1 Δt

Penguraian besaran-besaran yang berhubungan dengan percepatan rata-rata diperoleh dengan proses yang analogi dengan memperoleh kecepatan rata-rata seperti diuraikan pada bagian sebelumnya. Contoh : 1. Hafidz menaiki motor dengan persamaan kecepatan v = ( 2t2 i + 8 t j ) m/s. Tentukan: a.

vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

b.

komponen sumbu x percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

c.

komponen sumbu y percepatan rata-rata t = 1 s hingga t = 3 s

d.

besar percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

e.

arah percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

Jawab: a.

b.

a =

v 2 − v1 Δv = t 2 − t1 Δt

a =

[(2.3 2 i + 8.3 j ) − ( 2.12 i + 8.1 j )] = ( 8 i + 8 j ) m/s2 (3 − 1)

a x = 8 m/s2

11

c.

a y = 8 m/s2

d.

a =

e.

tan θ =

82 + 82 = 8

2 m/s2

8 maka θ = 45° 8

b. Percepatan sesaat Percepatan sebagai perubahan kecepatan terhadap waktu dapat ditentukan dengan analogi seperti kecepatan sesaat, maka percepatan sesaat dapat ditentukan dengan menentukan kemiringan garis singgung pada kurva v - t. Selain dengan menentukan kemiringan suatu grafik v - t, vektor percepatan dapat juga ditentukan dengan menurunkan fungsi v terhadap t. Dengan demikian terdapat dua cara yang dapat digunakan dalam menentukan percepatan sesaat, yaitu melalui kemiringan grafik, atau dengan cara menurunkan fungsi dari kecepatan sesaat. Contoh: 1.

Tentukan percepatan saat t = 2 s, berdasar grafik v - t berikut ini:

Gambar 10: Grafik v - t untuk menentukan percepatan rata-rata.

Jawab: Jika dianalisis, saat t = 2 s maka kemiringan garis singgungnya adalah:

Gambar 11: Menganalisis grafik v-t untuk menentukan percepatan rata-rata melalui kemiringan grafik pada suatu titik.

a = tan θ a=

9 = 0,9 m/s2 10

12

2.

Kecepatan mobil Watik digambarkan oleh grafik berikut:

Gambar 12: Grafik hubungan v - t untuk menetukan percepatan sesaat.

Tentukan percepatan mobil saat: a.

t=1s

b.

t=5s

c.

t=7s

Jawab: a.

a = tan θ =

4 = 2 m/s2 2

b.

a = tan θ =

0 = 0 m/s2 4

c.

a = tan θ =

(t = 1 s bagian kemiringan garis t = 0 sampai t =

2 s)

−4 = - 2 m/s2 2

Luqman menaiki motor dengan kecepatan v = (3 t2 -5) m/s

3.

Tentukan percepatan motor Luqman saat t = 3 s! Jawab: dv a = dt a = 6 t m/s2 saat t = 3 s, maka

a = 6 .3 = 18 m/s2

Percepatan motor yang dinaiki Noval adalah a = 2t i + 3 t2 j

4.

Jika kecepatan awal motor Noval adalah nol, tentukan kecepatan motor Noval saat t = 2 s! Jawab : v = vo +

∫

(2t i + 3 t2 j) dt

v = 0 + t2 i + t3 j Saat t = 2 s

maka v = 22 i + 23 j = 4 i + 8 j

3. Suatu titik zat bergerak dengan percepatan fungsi dari waktu yaitu a = 4t –2, dan dengan kecepatan awal vo= 10 m/s. Ternyata pada suatu saat kecepatannya ialah v = 50 m/s. Berapa lama titik zat bergerak ? to = 0 → Vo = 10 m/s 13

t = …? → V = 50 m/s a = 4t –2 2t 2 − 2t − 40 = 0

dv = a dt

∫

v

t 2 − t − 20 = 0 (t − 5) (t + 4) = 0 t −5 = 0 V t + 4 = 0 t = 5det, t = 4det (M) (TM)

t

dv = ∫ dt

Vo

to

t

V − V0 = ∫ (4t − 2)dt to

50 − 10 = 2t 2 − 2t

]

t o

40 = 2t − 2t − 0 − 0 2

4. Suatu titik zat bergerak pada sumbu x secara GLBB dengan percepatan 5m/s2. Pada saat bergerak 2 sekon kecepatannya 20 m/s. Mulai berangkat kedudukannya di x = -15m. Tentukan persamaan posisi titik zat tersebut. dv = adt

∫ dv =∫ adt v = ∫ 5t

v = 5t + c t = 2 → v = 20 m/s 20 = 5.2 + c c = 10 ∴ v = 5t + 10

dx = v dt

∫ dx =∫ v dt x = ∫ (5t + 10) dt 5 2 t + 10 2 t = 2 → v = 20 m/s 20 = 5.2 + c c = 10 ∴ v = 5t + 10 x=

Persamaan posisi : 5 r = ( t 2 + 10t + −15)i 2 5. Sebuah partikel bergerak lurus dengan percepatan a = 12-3s dengan a dalam m/s2 dan s dalam m. Cari hubungan antara kecepatan dan perpindahan jika s = 2 m, v = 4 m/s

14

∫ vdv = ∫ ads 1 2 v = ∫ (12s − 3s)ds 2 1 2 3 v = 12s − s 2 2 2 s=2→v=4 1 2 3 .4 = 12.2 − 2 2 + c 2 2 8 = 24 − 6 + c c = −10 1 2 3 v = 12s − s 2 − 10 2 2 2 v = 24s − 3s − 20 v = 24s − 3s 2 − 20 Jika dalam permasalahan yang ditemui adalah penentuan kecepatan dari grafik a – t atau penentuan kecepatan dari fungsi percepatan, maka kecepatan suatu titik, dapat ditentukan dari integral fungsi dari percepatan tersebut. Secara matematis, fungsi integral tersebut senilai dengan luas daerah di bawah grafik. Dengan demikian, jika kita mengetahui luas daerah dibawah grafik percepatan terhadap waktu maka nilai kecepatan sesaat dapat ditentukan. Persamaan vektor kecepatan dapat ditentukan dengan mengintralkan persamaan vektor percepatan, sehingga persamaan vektor kecepatan

∫

v = vX i + vY j → vX = v0X +

vY = v0Y + Contoh:

aX dt

∫

aY dt

1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan v = ( t2 -5t) m/s Tentukan percepatan mobil saat t = 4 s ! Jawab : a =

dv dt

a = 2t - 5 m/s2 = 2.4 – 5 = 3 m/s2 jadi a = 3 m/s2 2.

Percepatan yang dimiliki mobil eko dalah a = t 3i + 3 t2 j

Jika kecepatan awal adalah 2i, tentukan vektor kecepatan mobil tersebut dan besarnya kecepatan ketika t = 4 s ! Jawab : v = vo + ∫ ( t 3i + 3 t2 j ) dt

15

1 4 1 t i + t3 j→ v = (2 + 44) i + 43 j→ v = 68 i +64 j 4 4 Vektor kecepatan mobil v = 68 i +64 j dan v=2i+

besarnya

v

= 68 2 + 64 2 = 8720 = 93,4 m/s.

Demikian pula penentuan posisi dari grafik v – t atau penentuan posisi dari fungsi kecepatan, maka posisi suatu titik, dapat ditentukan dari integral fungsi dari kecepatan tersebut. Secara matematis, fungsi integral tersebut senilai dengan luas daerah di bawah grafik. Dengan demikian, jika kita mengetahui luas daerah dibawah grafik kecepatan terhadap waktu maka nilai posisi dapat ditentukan. Rumus menentukan posisi dengan mengintegralkan kecepatan sebagai berikut. r=xi+yj

dimana x = x0 +

∫

vx dt

dan y = y0 +

∫

vy dt

atau r = ro + ∫ v dt

Contoh: 1.

Suatu benda dari keadaan diam dan mengalami percepatan seperti grafik berikut ini.

Gambar 13: Grafik a – t untuk menentukan kecepatan sesaat.

Tentukan kecepatan saat: a. t = 1 s b. t = 5 s c. t = 7 s Jawab: a. v = v0 + Luas segi tiga dengan alas 1 v=0+½.1.3 v = 1,5 m/s b. v = v0 + Luas segi tiga + Luas persegi panjang v=0+½.2.3+ 3.3 v = 12 m/s c. v = v0 + Luas segi tiga + Luas persegi panjang + L trapesium

16

Mengingat saat t = 7 s, nilai a belum diketahui, maka langkah yang ditempuh adalah dengan menetukan persamaan garis melalui (6,3) dan (8,0), yaitu: y – y1 = m (x - x1)

sehingga

maka saat t = 7 diperoleh nilai

y = -1,5 x + 12, a = -1,5 . 7 + 12 = 1,5 m/s2

v = 0 + ½ . 2 . 3 + 4 . 3 + (3 + 1,5) . ½ . 1 v = 0 + 3 + 12 + 2,25 = 17,25 m/s 2. Suatu Partikel posisi awalnya berada pada (i + 2 j) bergerak dengan kecepatan v = ( 2 t2 i - t j ) m/s, maka tentukan vektor posisi partikel saat t = 1 s ! Jawab : r = ro + ∫ v a dt 2 r = (i + 2 j) + ∫ (2t i − t j ) dt

r = (i + 2j) + (

2 3 1 t i - t2 j) 3 2

Ketika t = 1 s maka r = (i + 2 j) + ( r=(

2 1 2 1 (1)3 i - (1)2 j) = 1 i - 1 j 3 2 3 2

5 3 i - j ) m/s 3 2

3. Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dengan percepatan 4 ί m/s2 dan kecepatan awal 20 ί m/s2. Jika posisi awal benda itu Xo = 10 ί meter, tentukan persamaan benda untuk setiap saat. a = 4 ί m/s2

Jawab :

x = …?

νo = 20 ί m/s Xo = 10 ί m dv = a.dt V

t

Vp

to

dx = V.dt

∫

∫ dv = ∫ adt

x - xo =

∫ 4dt

tp

V – 20 = 4t ]

V – 20 = 4t – 0

to

∫

t

to

(4t + 20)dt

x – 10 = 2t2 + 20t ]

t o

t o

t

dx = ∫ V.dt

Xo

[ t]

V - Vo =

x

x – 10 = 2t2 + 20t – 0 – 0 ∴ x = (2t2 + 20t +10) ί m

V = (4t + 20) ί m/s 4. Suatu titik zat bergerak pada bidang datar pada sumbu cartesius yang kecepatannya merupakan fungsi dari waktu dengan persamaan sebagai berikut :

17

vx = 4t + 4 (untuk t = 0 → x = 1) vy = 4 (untuk t = 0 → y = 2) Tentukan persamaan posisi titik zat tersebut. Tentukan pula posisi pada t = 1 sekon Jawab : Vx =

dx dt

4t + 4 =

dy dt

Vy =

dy dt

4=

dx dt

dy = 4 dt

dx

= ( 4t + 4) dt

∫dy = ∫ 4t + C

∫ dx

= ∫ (4t + 4) dt

t=0→y=2

x

= 2t2 + 4t + c

2= 4.0 + C

t=0→x=1

C=2

1 = 2.02 + 4 + 1

Maka y = 4t + 2

C=1 Maka x =2t2 + 4t +m 1 ∴ r= x ί + y j r

= (2t2 + 4t + 1) ί + (4t +2)j

Atau dengan integral batas sebagai berikut : to = 0 → xo = 1

∫

x

xo

to = 0 → yo = 2

t

dx = ∫ (4t + 4)dt

∫

to

y

yo

t

t

dy = ∫ 4dt to

x-xo = 2t2 + 4t ] to =0

y – yo = 4t ] to =0

x-1 = 2t2 + 4t – (2.02 + 4.0)

y –2 = 4t – 4.0

t

2

x = 2t + 4t + 1 ∴ r = (2t2 + 4t + 1)ί + (4t + 2) j

y = 4t + 2

Uji Kompetensi Kerjakan soal-soal berikut bersama kelompokmu! 1.

Doni mengendarai motor dengan vektor kecepatan v = 7 t2 i – 3 t j. Tentukan: a. vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s b. besar vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

2.

Witri mengendarai motor dengan kecepatan seperti grafik berikut: Gambar 14 : Grafik v – t untuk menentukan percepatan sesaat, dengan menentukan kemiringan dari grafik pada suatu saat.

18

Tentukan percepatan saat: a. t = 2 s b. t = 8 s c. t = 12 s 3.

Akmal mengendarai mobil dengan vektor kecepatan v = (3 t – 2 ) i + 4 t2 j Tentukan: a. vektor percepatannya b. komponen sumbu x vektor percepatannya c. komponen sumbu y vektor percepatannya d. besar percepatan saat t = 2 s e. arah percepatan saat t = 2 s

4.

Mobil Pak Tomy mula-mula diam, kemudian selama 4 s dipercepat dengan percepatan a = 2 t i + 3 t2 j Tentukan: a. vektor kecepatannya b. komponen sumbu x vektor kecepatannya c. komponen sumbu y vektor kecepatannya d. besar kecepatan mobil Pak Tomy saat t = 2 s

5.

Mobil Ajeng yang mula-mula diam, kemudian bergerak dengan percepatan seperti grafik berikut ini: Gambar 15: Grafik a – t untuk menentukan kecepatan sesaat dengan menghitung luas daerah di bawah kurva

Tentukan kecepatan saat: a. t = 5 s b. t = 15 s c. t = 18 s

19

6.

Sebuah titik D melakukan perpindahan yang ditunjukkan dengan vektor perpindahan sebagai berikut: r = (4 t2 + 6 t) i + (8 + 2 t3) j m Tentukan: a. vektor kecepatannya b. kecepatan saat t = 4 s c. vektor percepatan d. percepatan saat t = 2 s

7.

Jika mobil Husien mula-mula diam dan berada di pusat koordinat, kemudian diberi percepatan selama 3 s, maka tentukan besar perpindahannya, jika vektor percepatannya adalah: a=3ti+2j

8.

Balon gas terbang keatas mula-mula berada pada kecepatan v 0 = i + 2 j. Kemudian selama 2 s dipercepat dengan percepatan a = ( t 3 -2t) i + 3 t2 j Tentukan : a. vektor kecepatannya sebagai fungsi waktu b. besarnya kecepatan ketika t = 4 sekon. c. Vektor posisi sebagai fungsi waktu jika posisi mula-mula. (2,4 ) m. d. Tentukan perpindahan dan jarak yang ditempuh dari t = 0 sampai t = 4 sekon.

9.

Sebuah titik A melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan sebagai berikut : r = (3 t2 + 3 t) i + (2 + 4 t3) j m Tentukan : a. vektor kecepatannya sebagai fungsi waktu b. kecepatan saat t = 2 s c. vektor percepatan sebagai fungsi waktu d. percepatan saat t = 2 s

10.

Suatu benda bergerak dengan persamaan kecepatan v = (3t 2 – 3t-6) m/s.Tentukan perpindahan dan jarak antara t = 0 hingga t = 4 s !

B. Gerak Parabola Gerak parabola merupakan kombinasi dua gerak sekaligus, yaitu gerak mendatar dengan kecepatan tetap, artinya tanpa percepatan, dan gerak vertikal yang merupakan gerak berubah beraturan, yang artinya mempunyai percepatan tetap. Gerak parabola dapat diamati pada pertandingan sepak bola. Saat kiper melakukan tendangan gawang, umumnya kiper akan melakukan tendangan yang jauh ke depan, menuju daerah lawan dengan menggunakan tendangan yang menghasilkan lintasan berupa gerak parabola atau gerak peluru. Pada sudut berapakah tendangan kiper

20

tersebut akan mencapai jarak tendangan yang terjauh? Diskusikanlah bersama teman sebangkumu! Kegiatan Kelompok : Lakukanlah kegiatan kelompok sebagai berikut : 1.

Ambil dua bola ping pong!

2.

Letakkan dua bola ping pong tersebut di tepi sebuah meja yang cukup tinggi!

3.

Jatuhkan secara bersamaan kedua bola tersebut dengan ketentuan sebagai berikut: a. Bola pertama jatuh bebas dari tepi meja b. Bola kedua diberi kecepatan mendatar sejajar meja

4.

Catat waktu yang diperlukan bola pertama dan kedua untuk sampai di tanah!

5.

Buat perbandingan kesimpulan dari kedua waktu tibanya kedua bola di tanah!

6.

Analisislah gerakan kedua bola tersebut!

Beberapa asumsi penyederhanaan yang digunakan dalam membahas gerak parabola dalam kajian ini adalah bahwa hambatan udara dan rotasi bumi tidak mempengaruhi dalam perhitungan, dan nilai pecepatan gravitasi bumi dianggap 10 m/s2, kecuali terdapat penjelasan dalam soal.

Gambar 16: Grafik lintasan parabola.

Beberapa persamaan yang berhubungan dengan gerak parabola adalah : Sumbu X : vox

= vo . cos θ

vx

= vo . cos θ

x

= vx . t = vo . cos θ . t

Sumbu Y : voy

= vo . sin θ

21

vy

= vo . sin θ – g . t

y

= vo . sin θ . t – ½ . g . t 2

Persamaan kecepatan dan arah gerakan partikel : v

v x2 + v 3y

=

tan α =

vy vx

Keterangan : 1.

vo =

kecepatan awal (m/s)

2.

vox =

kecepatan awal pada sumbu x (m/s)

3.

voy =

kecepatan awal pada sumbu y (m/s)

4.

vx =

kecepatan pada sumbu x (m/s)

5.

vy =

kecepatan pada sumbu y (m/s)

6.

v

=

kecepatan pada suatu saat (m/s)

7.

x

=

kedudukan atau posisi pada sumbu x (m)

8.

y

=

kedudukan atau posisi pada sumbu y (m)

9.

α

=

arah gerakan partikel (°)

10.

θ

=

sudut elevasi (°)

11.

g

=

percepatan gravitasi bumi (m/s2)

y

X

Gambar 17: berbagai posisi pada lintasan gerak parabola

Beberapa hal penting berkaitan dengan gerak parabola: 1.

Persamaan yang tersebut pada bagian awal didasarkan pada gerakan benda yang mengarah ke atas, sedang arah percepatan gravitasi bumi ke bawah, sehingga persamaan di atas menggunakan tanda negatif (-) untuk nilai g.

Namun jika

gerakan diawali dengan gerak ke bawah, seperti gerakan bom yang dijatuhkan dari pesawat, maka arah gerak benda searah dengan percepatan gravitasi, sehingga

22

persamaan yang mengandung unsur g yang semula negatif, berubah menjadi positif, karena arah gerak benda searah dengan arah percepatan benda. 2.

Pada titik tertinggi nilai vy = 0 m/s, sehingga nilai v = vox = vx

3.

Pada titik terjauh nilai y = 0. Jika saat mencari t dari y = 0, diperoleh dua nilai t, di mana salah satu nilainya umumnya nol, maka nilai t yang digunakan adalah yang besar.

Diskusi Kelompok Buatlah kelompok maksimum 5 orang untuk berdiskusi secara matematis dan membuktikan persamaan matematis berikut ini : a. Koordinat titik puncak (xMAX , y MAX ) v 0 sin 2α v 0 sin 2 α dimana xMAX = , y MAX = , α = sudut elevasi 2g 2g 2

2

g = percepatan gravitasi bumi (m/s2) vo = kecepatan awal (m/s) b.

Waktu untuk mencapai titik tertinggi atau tinggi maksimum tP =

v 0 sin α g

Waktu untuk mencapai jarak mendatar terjauh atau jatuh kembali ke tanah tJ = 2. tP c.

Jarak mendatar terjauh x Jauh = 2 xMAX Jarak mendatar mencapai maksimum ketika sudut elevasi α = 450

d.

Pasangan sudut elevasi (α1 dan α2 ) akan mencapai jarak mendatar terjauh yang sama jika α1 + α2 = 900

Contoh : 1. Sebuah panah dilepaskan dari busur dengan kecepatan awal 100 m/s dan sudut elevasi 37° Tentukan : a. vektor posisi panah saat t = 1 s b. vektor posisi ketika panah mencapai titik tertinggi. c. vektor posisi di titik mendatar terjauh d. vektor kecepatan dan besarnya saat t = 1 s e. arah kecepatan saat t = 1 s Jawab : a. x = vo . cos θ . t = 100 . cos 37° . 1 = 100 . 0,8 = 80 m 23

y = vo . sin θ . t – ½ g t 2 = 100 . sin 37° . 1 – ½ .10.12 = (100 .0,6– 5) = 55 m Jadi vektor posisi panah setelah 1 s adalah r = (80 i + 55 j) m b. Pada titik tertinggi vy = 0 sehingga : vy = vo sin θ – g . t 0 = 100 . sin 37° – 10 . t

maka diperoleh nilai t

t=6s Nilai t tersebut kemudian dimasukkan pada x = vo . cos θ . t = 100 . cos 37° .6 = 100 . 0,8 . 6 = 480 m y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2 = 100 . sin 37° 6– ½ .10. (6)2 = 360 – 180 =180 m Jadi vektor posisi panah pada titik tertinggi adalah r = (480 i + 180 j) m c. Pada titik mendatar terjauh y = 0, kemudian nilai t tersebut dimasukkan ke x y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2 0 = 100 . sin 37° . t – ½ .10. t2 → 0 = 60 t – 5 t2 - 60 t = - 5 t2 → t = 12 sekon maka x = vo . cos θ . t = 100 . cos 37° .12 = 720 m Jadi vektor posisi panah di titik mendatar terjauh adalah r = (720 i + 0 j) m d. vx = vo . cos θ = 100 . cos 37° = 100 . 0,8 = 80 m/s vy = vo . sin θ – g . t = 100 sin 37° – 10 . 1 = (60 - 10) = 50 m/s jadi vektor kecepatan panah v = vX i + vY j = 80 i + 50 j Besarnya v = v x2 + v 3y = e. tan θ 2.

=

vy vx

=

( 80) 2 + ( 50) 2

=

6400 + 2500 = 94,33 m/s

50 = 0,625 maka θ = 32° 80

Ketika terjadi bencana Tsunami, banyak daerah yang membutuhkan bantuan makanan dan alat-alat kesehatan, akan tetapi lokasi bantuan sulit terjangkau. Untuk mengatasinya bahan makanan dan bantuan alat kesehatan tersebut dijatuhkan dari pesawat militer. Jika bantuan makanan dijatuhkan pada ketinggian 500 dari pesawat pengangkut yang bergerak mendatar dengan kecepatan 50 m/s, maka hitunglah jarak mendatar dari pesawat ke lokasi agar bantuan makanan jatuh tepat pada sasaran ? Jawab : x = ....?

y0 = 500 m y = 0

θ=00

y = y0 + vo . sin θ . t + ½ . g . t 2 0 = 500 + 0 - ½ . 10 . t 2

maka t = 10 s

x = vox . t = vo . cos θ . 10 . = 50 . 1 .10 = 500 m 3.

Sebuah bola ditendang dengan sudut elevasi 45° dan kecepatan awal 20 m/s. Tentukan: a. posisi saat t = 1 s b. koordinat titik tertinggi 24

c. koordinat titik terjauh d. kecepatan saat t = 1 s e. arah kecepatan saat t = 1 s Jawab : a. x y

= vo . cos θ . t = 20 . cos 45° . 1 = 10

2 m/s

= vo . sin θ . t – ½ . g . t 2 = 20 . sin 45° . 1 – ½ .10.12 = (10

Jadi posisi bola setelah 1 s adalah (10

2 ; 10

2 – 5) m/s

2 – 5) m/s

b. Pada titik tertinggi vy = 0 sehingga : vy = vo . sin θ – g . t 0

= 20 . sin 45° – 10 . t

t

=

maka diperoleh nilai t

2 s

Nilai t tersebut kemudian dimasukkan pada: x

= vo . cos θ . t = 20 . cos 45° .

2 = 20 m/s

y

= vo . sin θ . t – ½ . g . t 2 = 20.sin 45° .

2 – ½ .10. ( 2 )2 = 10 m/s

Jadi posisi bola pada titik tertinggi adalah (20, 10) m/s. c. Pada titik terjauh y = 0, kemudian nilai t tersebut dimasukkan ke x y

= vo . sin θ . t – ½ . g . t 2

0

= 20 . sin 45° . t – ½ .10. t2

maka diperoleh nilai t = 0 atau t = 2 x

2 s. Gunakan t = 2

2 s maka

= vo . cos θ . t = 20 . cos 45° . 2. 2 = 40 m

Jadi posisi bola di titik terjauh adalah (40 , 0) m d. vx = vo . cos θ = 20 . cos 45° = 10 2 m/s vy = vo . sin θ – g . t = 20 . sin 45° – 10 . 1 = (10 v

e. tan α 4.

v x2 + v 3y =

= =

vy vx

=

(10 2 ) + (10 2

(10 2 − 10) 10 2

2 − 10

)

2

= 10

2 - 10) m/s 5 − 2 2 m/s

= 0,293 maka α = 16,3°

Dari puncak gedung setinggi 125 m, Arsa melempar bola mendatar dengan kecepatan 10 m/s. Tentukan : a. waktu yang diperlukan bola untuk mencapai tanah b. jarak mendatar yang ditempuh bola Jawab : a. vox

= 10 m/s

dan

y

= vo . sin θ . t + ½ . g . t 2

125

= 0 + ½ . 10 . t 2

b. x

maka t = 5 s

= vox . t = 10 . 5 = 50 m

25

voy

= 0 m/s

Uji Kompetensi 1.

Sebuah anak panah dilepaskan dari busur dengan kecepatan awal 50 m/s dan sudut elevasi 60°. Tentukan vektor posisi ketika anak panah menyentuh tanah.

2.

Jika sebuah rudal kendali dijatuhkan dari pesawat pada ketinggian 1000 m di atas permukaan tanah, dengan kecepatan mendatar 100 m/s, maka tentukan jarak mendatar yang ditempuh rudal kendali.

3.

Sebuah bola ditendang dengan kecepatan awal 50 m/s dengan sudut elevasi 53° membentuk lintasan gerak parabola dengan percepatan gravitasi bumi g =10 m/s. Tentukan : a. vektor posisi bola ketika t = 2 sekon. b. vektor posisi dan kecepatan bola ketika mencapai titik tertinggi. c. vektor kecepatan dan besar kecepatan bola saat t = 4 sekon. d. arah kecepatan bola ketika t = 4 sekon. e. vektor posisi bola ketika mencapai tanah. f. waktu untuk mencapai tanah.

4.

Anggun melemparkan bola basket dengan vektor posisi r = 2 t i + (4 t2 -2) j. Tentukan vektor posisi dan vektor kecepatan ketika bola mencapai tertinggi.

5.

Perhatikan gambar di bawah. Sebuah anak panah dilepaskan dengan vektor kecepatan vektor v = 2 i + 8t j maka tentukan vektor posisi sebagai fungsi waktu dan vektor kecepatan panah ketika tiba ditanah.

1,5 m

Gambar 18: Anak panah dilepaskan membentuk lintasan parabola.

Kegiatan Kelompok •

Bentuklah sebuah kelompok yang beranggotakan 3 – 5 orang!

•

Diskusikan dalam kelompokmu tentang beberapa jenis gerak yang ada di sekitar kita yang termasuk gerak parabola! Apakah gerakan pesawat terbang saat naik termasuk gerak parabola? Apakah gerak bom atom saat dijatuhkan dari pesawat pengebom di Hirosima termasuk gerak parabola? Apakah gerakan roket Eksoset saat diarahkan ke

26

pesawat tempur merupakan gerak parabola? Apakah gerak peluru yang ditembakkan ke atas merupakan gerak parabola?

Pekerjaan Rumah 1.

Yanti memukul shuttle cock dengan kecepatan awal 20 m/s dan sudut elevasi 60°. Tentukan jarak terjauh yang ditempuh shuttle cock tersebut !

2.

Sebuah bom dijatuhkan dari pesawat di ketinggian 2.000 m di atas permukaan tanah, dengan kecepatan mendatar 200 m/s. Tentukan jarak mendatar yang ditempuh bom!

3.

Sebuah bola ditendang dengan kecepatan awal 10 m/s sehingga mengenai dinding setinggi 20 m dan jarak mendatar 40 m. Tentukan sudut elevasinya !

4.

Kopral Jono menembakkan peluru dengan sudut elevasi 45° dan kecepatan awal 100 m/s. Tentukan koordinat titik tertingginya!

5.

Dimas melempar bola dengan vektor posisi r = 5 t i + (2 t2 -1) j, tentukan vektor posisi titik tertinggi yang dicapai bola.

6.

Nouval melempar batu dengan vektor posisi r = 2 t2 i + (4 t2 - 8t) j. Tentukan vektor posisi pada jarak terjauhnya!

C. Posisi Sudut, Kecepatan Sudut, dan Percepatan Sudut pada Gerak Melingkar 1. Posisi Sudut Posisi sudut akan menggambarkan kedudukan dari suatu sudut dalam gerak melingkar beraturan. Tentu saja pusat gerak melingkar tersebut akan dijadikan sebagai pusat titik acuan. Seperti telah disampaikan terdahulu, bahwa semua gerak tetap memerlukan suatu titik acuan. Besarnya sudut yang ditempuh gerak melingkar tersebut tiap satuan waktu disebut dengan kecepatan sudut. Dalam hal ini, satuan dari kecepatan sudut dapat dinyatakan dalam rad/s atau putaran per menit (rpm). Perubahan kedua satuan tersebut didasarkan bahwa satu putaran senilai dengan 2 π radian. Sedangkan percepatan sudut adalah laju perubahan kecepatan sudut yang terjadi tiap satuan waktu. Semakin besar perubahan kecepatan sudut yang terjadi, maka akan semakin besar pula kecepatan sudut yang terjadi pada gerak melingkar tersebut. Demikian juga jika semakin besar pengurangan kecepatan sudut yang dilakukan gerak melingkar maka semakin besar nilai perlambatan sudut dari gerak melingkar itu. 2. Kecepatan Sudut

27

Jika kita memperhatikan seorang pesenam di atas lantai es yang licin saat ia melakukan gerak melingkar, maka gerakan tubuhnya yang semula bergerak melingkar beraturan akan berubah menjadi bergerak melingkar berubah beraturan semakin cepat saat ia mengubah posisi dari tangannya, serta memberikan sejumlah gaya pada dirinya. a. Kecepatan sudut rata-rata Kecepatan sudut rata-rata sebagai hasil bagi perpindahan sudut dengan selang waktu yang ditempuh dapat dirumuskan:

ω =

∆θ ∆t

b. Kecepatan sudut sesaat Sedang kecepatan sudut sesaat adalah turunan pertama dari posisi sudut, atau dapat pula ditentukan dari kemiringan garis singgung grafik posisi sudut terhadap waktu. Kecepatan sudut sesaat dirumuskan:

ω=

dθ dt

3. Percepatan Sudut a. Percepatan sudut rata-rata Percepatan sudut rata-rata adalah hasil bagi kecepatan sudut dengan selang waktu yang ditempuh. Percepatan sudut rata-rata dirumuskan:

α =

∆ω ∆t

b. Percepatan sudut sesaat Percepatan sudut sesaat adalah turunan pertama dari kecepatan sudut, atau dapat pula ditentukan dari kemiringan garis singgung grafik kecepatan sudut terhadap waktu. Percepatan sudut sesaat dirumuskan:

α=

dω dt

Coba kamu amati gerak roda motor dalam perjalanan menuju ke sekolah! Selama perjalanan roda tersebut tidak mungkin memiliki kecepatan sudut yang tetap. Roda itu kadang berputar pelan, karena harus menghindari rintangan, atau kadang harus berputar lebih cepat karena melewati jalan lurus dan sepi tanpa hambatan. Bahkan roda itu kadang harus berhenti karena lampu merah pengatur jalan raya menyala. Adanya perubahan kecepatan sudut dari roda tersebut akan menunjukkan besar dari percepatan sudut yang terjadi pada roda. Contoh : 1.

Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan : 28

θ = (3 t2 + 2) rad, maka tentukan : a.

posisi sudut saat t = 0 s

b.

posisi sudut saat t = 2 s

c.

kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 2 s

d.

kecepatan sudut saat t = 3 s

Jawab :

2.

a.

θ = (3 (0)2 + 2) = 2 rad

b.

θ = (3 (2)2 + 2) = 14 rad

c.

ω =

d.

ω =

(14 − 2) ∆θ = = 6 rad/s (2 − 0) ∆t dθ = (6 t ) = ( 6 . 2 ) = 12 rad/s dt

Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan: θ = (2 t2 + 5) rad, maka tentukan : a. posisi sudut saat t = 0 s b. posisi sudut saat t = 3 s c. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 3 s d. kecepatan sudut saat t = 3 s Jawab :

3.

a. θ

= (2 (0)2 + 5) = 5 rad

b. θ

= (2 (3)2 + 5) = 23 rad

c. ω

=

(23 − 5) ∆θ = = 6 rad/s (3 − 0) ∆t

d. ω

=

dθ = (4 t ) = ( 4 . 3 ) = 12 rad/s dt

Posisi sudut sebuah titik yang bergerak melingkar pada tepi sebuah roda adalah: θ = (4 t3 + 5 t2 + 2 t + 6 ) rad Tentukan : a. Kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 4 s b. Percepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 4 s c. Kecepatan sudut saat t = 2 s d. Percepatan sudut saat t = 2 s Jawab : θ

= (4 t3 + 5 t2 + 2 t + 6 ) rad

ω = (12 t2 + 10 t + 2 ) rad/s α

= (24 t + 10 ) rad/s2

a. θ

= (4 t3 + 5 t2 + 2 t + 6 ) rad

θ1 = (4 .03 + 5 .02 + 2 .0 + 6 ) rad = 6 rad

29

θ2 = (4. 43 + 5 .42 + 2 .4 + 6 ) rad = 350 rad

ω =

(350 − 6) ∆θ = = 86 rad/s (4 − 0) ∆t

b. ω = (12 t2 + 10 t + 2 ) rad/s ω1 = (12.02 + 10.0 + 2 ) rad/s = 2 rad/s ω2 = (12.42 + 10.4 + 2 ) rad/s = 234 rad/s

α =

(234 − 2) ∆ω = = 58 rad/s2 (4 − 0) ∆t

c. ω = (12 .22 + 10 . 2 + 2 ) = 70 rad/s d. α

= (24. 2 + 10 ) = 58 rad/s2

Uji Kompetensi 1. Posisi sudut sebuah titik yang berada pada ujung roda sepeda ditentukan oleh persamaan : θ = (2 t3 + 2t) rad, maka tentukan : a. posisi sudut saat t = 3 s b. posisi sudut saat t = 4 s c. kecepatan sudut rata-rata dari t = 3 s hingga t = 4 s d. kecepatan sudut saat t = 2 s e. persamaan percepatan sudut sebagai fungsi waktu 2.

Posisi sudut sebuah titik yang bergerak melingkar pada terpi sebuah roda adalah: θ = ( t3 + t2 + t + 1 ) rad Tentukan : a. Kecepatan sudut rata-rata dari t = 1 hingga t = 2 s b. Percepatan sudut rata-rata dari t = 1 hingga t = 2 s c. Kecepatan sudut saat t = 1 s d. Percepatan sudut saat t = 1 s

3.

Sebuah roda mobil mula-mula diam, kemudian dalam 3 sekon dipercepat sehingga menempuh sudut 2 putaran. Tentukan besar kecepatan sudut setelah 3 sekon dan kecepatan sudut rata-ratanya ?

4.

Sebuah roda sepeda mula-mula diam, kemudian dalam 2 sekon dipercepat sehingga menempuh sudut 4 putaran. Tentukan besar kecepatan sudut rata-ratanya!

5.

Jika posisi sudut dari suatu gerak melingkar beraturan dirumuskan dalam persamaan θ = (

5 3 t + 5 t2 + 4) rad, maka tentukan kecepatan sudut saat t = 4 6

sekon!

30

Pekerjaan Rumah Lakukan pengamatan terhadap beberapa gerak melingkar sebagai berikut bersama kelompokmu ! 1.

Gerakan roda sepeda yang berjalan mengelilingi lapangan sekolah.

2.

Gerakan kipas angin.

3.

Amati juga tiga gerak melingkar lainnya di sekitarmu

4.

Buatlah analisis dari gerakan-gerakan tersebut dan buatlah kesimpulannya! Apakah gerakan-gerakan tersebut memiliki karakteristik gerakan yang sama?

Pengintegralan Fungsi pada Gerak Melingkar Posisi sudut θ suatu fungsi dapat juga ditentukan dari pengintegralan persamaan kecepatan sudut dengan rumus : θ = θ0 + ∫ ω t dt Persamaan kecepatan sudut dapat ditentukan dengan pengintegral persamaan percepatan sudut.

ω = ω 0 + ∫ α t dt Contoh: 1.

Jika kecepatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan : ω = (3 t2 + t ) rad/s, tentukan: a. kecepatan sudut saat t = 1 s b. kecepatan sudut saat t = 4 s c. percepatan sudut rata-rata dari t = 1 s hingga t = 4 s d. percepatan sudut saat t = 5 s e. posisi sudut saat t = 2 s, jika posisi sudut awal 2 rad Jawab : a. ω = (3 (1)2 + 1 ) = 4 rad/s b. ω = (3 (4)2 + 4 ) = 52 rad/s c. α = d. α =

(52 − 4) ∆ω = = 16 rad/s (4 − 1) ∆t dω = (6 t + 1) maka saat t = 5 s besar dt

2 e. θ = θo + ∫ (3t + t )dt

θ = 2 + t3 + ½ t2 , saat t = 2 s, maka diperoleh θ = 12 rad

31

2. Kecepatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan : ω = (4 t3 + 2t ) rad/s, maka tentukan : a. kecepatan sudut saat t = 1 s b. kecepatan sudut saat t = 2 s c. percepatan sudut rata-rata dari t = 1 s hingga t = 2 s d. percepatan sudut saat t = 2 s e. posisi sudut saat t = 2 s, jika posisi sudut awal 5 rad Jawab : a.

ω = (4 (1)3 + 2.1 ) = 6 rad/s

b.

ω = (4 (2)3 + 2.2 ) = 36 rad/s

c.

α =

d.

α=

(36 − 6) ∆ω = = 30 rad/s2 ( 2 − 1 ) ∆t dω = (12 t 2+ 2) maka saat t = 2 s besar dt

α = (12 2 2+ 2) = 50 rad/s2

e.

3 θ = θo + ∫ (4t + 2t )dt

θ = 5 + t4 + t2 , saat t = 2 s, maka diperoleh θ = 25 rad Uji Kompetensi 1.

Kecepatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan : ω = ( t3 + 2t +3 ) rad/s, maka tentukan :

2.

a.

kecepatan sudut saat t = 0 s

b.

kecepatan sudut saat t = 4 s

c.

percepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 4 s

d.

percepatan sudut saat t = 2 s

e.

posisi sudut saat t = 2 s, jika posisi sudut awal 2 rad

Percepatan sudut sebuah titik yang bergerak melingkar dinyatakan dengan

α = 3t + 2.dan kecepatan sudut awal 3 rad/s sedangkan posisi mula-mula 2 rad Tentukan : a. Persamaan kecepatan sudut sebagai fungsi waktu b. Percepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 3 s c. Persamaan vektor posisi sebagai fungsi waktu. d. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 2 s.

Ulangan BAB 1

32

Soal-soal Uraian Jawablah soal-soal berikut dengan tepat! 1.

Kedudukan suatu titik D ditunjukkan oleh koordinat kartesius (4,6). Nyatakan koordinat titik tersebut dalam koordinat polar!

2.

Kedudukan titik Y ditunjukkan oleh koordinat polar (2, 135°). Nyatakan koordinat tersebut dalam koordinat kartesius!

3.

Suatu titik A mempunyai kedudukan yang ditunjukkan koordinat kartesius (2,-4). Tentukan vektor posisi titik tersebut!

4.

Titik H mempunyai kedudukan (10, 60°). Tentukan vektor posisi titik tersebut!

5.

Titik N pada saat t = 0 s berada pada posisi (2,1) m, dan pada t = 4 s pada posisi (5,5) m. Tentukan: a. vektor perpindahannya b. komponen vektor perpindahan pada sumbu x c. komponen vektor perpindahan pada sumbu y d. besar perpindahannya e. arah perpindahannya

6.

Titik A mempunyai vektor posisi r = t 2 i + 2 t j. Tentukan: a. Vektor posisi awal (saat t = 0 s) b. Vektor perpindahan dari t = 2 s hingga t = 4 s c. Besar vektor perpindahannya

7.

Vektor posisi dari titik R dinyatakan dalam vektor posisi yang mengandung unsur waktu, yaitu: r = 2t i + 4t2 j. Tentukan:

8.

a.

vektor perpindahan dari t = 1 s hingga t = 2 s

b.

besar vektor perpindahan

Vektor posisi W dinyatakan dalam r = (2 + 3t) i + 2t2 j. Tentukan besar vektor perpindahannya dari t = 0 s hingga t = 7 s !

9.

Vektor posisi A dinyatakan dalam r = t2 i – 3 j. Tentukan vektor perpindahan dan arah perpindahannya dari t = 1 s hingga t = 5 s !

10.

Titik materi T pada detik t = 1 s berada pada posisi (2,0) m dan pada t = 4 s berada pada posisi (8,8) m. Tentukan:

11.

a.

vektor kecepatan rata-ratanya

b.

besar vektor kecepatan rata-rata

Titik I melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan: r = ( 2 t 2 i + 5 t j ) m. Tentukan :

12.

a.

vektor kecepatan saat t = 2 s

b.

besar kecepatan saat t = 2 s

Indah melempar benda dengan persamaan kecepatan v = (2t2 – 12) m/s.Tentukan

33

perpindahan dan jarak antara t = 0 hingga t = 4 s ! 13.

Fitri mengendarai sepeda dengan kecepatan seperti grafik berikut :

Grafik hubungan v dan t yang menggambarkan gerakan sepeda yang dilakukan Fitri

Tentukan :

14.

a.

Jarak yang ditempuh setelah sepeda Fitri bergerak 7 s

b.

Jarak total yang ditempuh Fitri selama 8 s

Partikel D melakukan perpindahan sesuai vektor perpindahan : r = ( 2 t2 i + t j ) m. Tentukan :

15.

a.

Vektor kecepatan sebagai fungsi waktu

b.

Besar vektor kecepatan saat t = 2 s

Titik materi I melakukan gerak sesuai grafik berikut.

Grafik v - t

Tentukan :

16.

a.

Jarak yang ditempuh setelah t = 1 s

b.

Jarak yang ditempuh setelah t = 3 s

c.

Jarak yang ditempuh setelah t = 5,5 s

Pak Karta menaiki motor dengan persamaan kecepatan v = ( 2t2 i + 8 t j ) m/s Tentukan:

17.

a.

vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

b.

besar percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

Percepatan yang dimiliki motor Dydy adalah a = t2 i + 3 t2 j Jika kecepatan awal motor Dydy adalah nol, tentukan kecepatan motor Dydy saat t=2s!

34

18.

Suatu benda dari keadaan diam dan mengalami percepatan seperti grafik berikut ini.

Grafik a – t untuk menentukan kecepatan sesaat

Tentukan kecepatan saat 5 s ! 19.

Sebuah titik D melakukan perpindahan yang ditunjukkan dengan vektor perpindahan sebagai berikut: r = (2 t2 + 3 t) i + (1 + 2 t3) j m Tentukan: a. vektor kecepatan saat t = 4 s b. vektor percepatan saat t = 2 s

20.

Sebuah bola ditendang Akmal dengan sudut elevasi 45° dan kecepatan awal 40 m/s. Tentukan: a. koordinat titik tertinggi b. koordinat titik terjauh

21.

Jika bola ditendang dengan kecepatan awal 20 m/s sehingga mengenai dinding setinggi 40 m dan jarak mendatar 40 m, maka tentukan sudut elevasinya!

22.

Jika Nambuhan menembakkan peluru dengan sudut elevasi 45° dan kecepatan awal 200 m/s, maka tentukan koordinat titik terjauhnya!

23.

Jika Hafidz melempar bola dengan vektor posisi r = 8 t i + (2 t2 -2) j, maka tentukan vektor posisi titik tertinggi yang dicapai bola.

24.

Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan: θ = (4 t2 + 5) rad, maka tentukan : a. posisi sudut saat t = 0 s b. posisi sudut saat t = 3 s c. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 3 s d. kecepatan sudut saat t = 3 s

25.

Posisi sudut sebuah titik yang bergerak melingkar dinyatakan: θ = (2 t3 + 3 t2 + 2 t + 2 ) rad Tentukan : a. Kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 4 s b. Percepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 4 s c. Kecepatan sudut saat t = 2 s d. Percepatan sudut saat t = 2 s 35

Soal Pilihan Ganda Pilihlah jawaban yang benar! 1.

Seorang anak mengendarai sepeda sejauh 3 km dengan arah 30° timur laut. Jika arah timur dijadikan sumbu x positif maka notasi vektor perpindahannya adalah.... a. Δ r = (1,5

3 i + 1,5 j)

d. Δ r = (3

3 i + 1,5 3 j)

b. Δ r = (2,5

3 i + 1,5 j)

e. Δ r = (3

3 i + 3 j)

c. Δ r = (3 2.

3 i + 1,5 j)

Posisi dari suatu partikel memenuhi persamaan r = 2t + t2 dengan r dalam meter dan t dalam sekon. Kecepatan partikel saat t = 5 sekon adalah .... a. 3 m/s

d. 12 m/s

b. 5 m/s

e. 15 m/s

c. 8 m/s 3.

Sebuah sepeda bergerak dengan kecepatan 20 m/s dalam arah 210° berlawanan dengan arah jarum jam terhadap sumbu x positif. Komponen vektor kecepatan terhadap sumbu x dan sumbu y adalah .... a. vx = -10 m/s vy = - 5 m/s

d. vx = -10

3 m/s vy = - 8 m/s

b. vx = -10

e. vx = -10

3 m/s vy = - 10 m/s

3 m/s vy = - 5 m/s

c. vx = -12 3 m/s vy = - 6 m/s 4.

Sebuah sepeda motor bergerak dalam sebuah kecepatan yang dilukiskan dengan grafik kecepatan terhadap waktu berikut ini:

Besar perpindahan sepeda motor selama 15 sekon adalah .... a. 40 m

d. 400 m

b. 100 m

e. 500 m

c. 150 m 5.

Posisi ketinggian sebuah balon udara dinyatakan dalam persamaan : y = 20 t – 5t2, dengan y dalam meter dan t dalam sekon. Kecepatan awal balon adalah .... a. 2 m/s

d. 20 m/s

b. 5 m/s

e. 50 m/s

c. 10 m/s

36

6.

Sebuah mobil mainan bergerak dengan persamaan kecepatan v = 3t 2 – 6t – 9, dimana v dalam m/s dan t dalam sekon. Jarak yang ditempuh mobil mainan antara t = 1 s hingga t = 4 sekon adalah .... a. 10 m

d. 45 m

b. 20 m

e. 47,5 m

c. 23 m 7.

Sebuah sepeda motor bergerak dengan kecepatan yang digambarkan seperti grafik di samping. Besar percepatan saat t = 12 sekon adalah .... a. - 2 m/s2 b. - 5 m/s2 c. - 8 m/s2 d. -10 m/s2 e. -12 m/s2

8.

Seekor burung terbang dengan persamaan lintasan y = 27 t – t 3, di mana y dalam meter dan t dalam sekon. Tinggi maksimum burung adalah .... a. 108 m

d. 27 m

b. 81 m

e. 3 m

c. 54 m 9.

Sebuah peluru ditembakkan sehingga mempunyai persamaan perpindahan sebagai berikut : r = 30 t i + (30 3 t – 5 t2) j, dengan r dalam meter, t dalam sekon, tinggi maksimum yang dicapai peluru adalah .... a. 135 m b. 135

d. 180 3 m

3 m

e. 270 m

c. 180 m 10.

Sebuah benda bergerak dengan persamaan kecepatan v = 2t + 5 , di mana v dalam m/s dan t dalam sekon. Bila saat t = 0

benda berada pada x = 4 m, maka posisi

benda saat t = 4 s adalah .... a. 20 m

d. 35 m

b. 25 m

e. 40 m

c. 30 m 11.

Roda sepeda berputar pada porosnya dengan persamaan posisi sudut

θ=3t+

2 t2, di mana θ dalam radian, dan t dalam sekon. Posisi sudut saat t = 2 sekon adalah .... a. 3 rad

d. 14 rad

37

b. 5 rad

e. 18 rad

c. 12 rad 12.

Jika roda mobil berputar dengan persamaan posisi sudut θ = 2 t + 2 t2, di mana θ dalam radian, dan t dalam sekon, maka kecepatan sudut roda mobil saat t = 2 sekon adalah ... a. 4 rad/s

d. 12 rad/s

b. 7 rad/s

e. 15 rad/s

c. 10 rad/s 13.

Jika persamaan kecepatan sudut suatu gerak melingkar dinyatakan dalam ω = 3 t2 + 2 t + 2, di mana ω dalam rad/s dan t dalam sekon, jika posisi sudut awal gerak melingkar 2 rad, maka posisi sudut gerak melingkar saat t = 1 s adalah .... a. 6 rad

d. 3 rad

b. 5 rad

e. 2 rad

c. 4 rad 14.

Sebuah peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal vo dan sudut elevasi α pada saat mencapai tinggi maksimum ... a. tenaga kinetiknya maksimum b. tenaga potensialnya maksimum c. tenaga potensialnya minimum d. tenaga totalnya maksimum e. kecepatannya maksimum

15.

Terhadap koordinat x horisontal dan y vertikal, sebuah benda yang bergerak mengikuti gerak peluru mempunyai komponen-komponen kecepatan yang .... a. besarnya tetap pada arah x dan berubah-ubah pada sumbu y b. besarnya tetap pada arah y dan berubah-ubah pada arah x c. besarnya tetap, baik pada arah x maupun pada arah y d. besarnya berubah-ubah, baik pada arah x maupun pada arah y e. besar dan arah terus-menerus berubah terhadap waktu

16.

Sebuah kapal laut sejauh 10 km dengan arah 53° timur laut. Jika arah timur dijadikan sumbu x positif, maka vektor perpindahannya adalah.... a. Δ r = (0,6 i + 0,8 j)

d. Δ r = (60 i + 80 j)

b. Δ r = (0,8 i + 0,6 j)

e. Δ r = (80 i + 60 j)

c. Δ r = (6 i + 8 j ) 17.

Posisi suatu partikel memenuhi persamaan r = 3t + 2t2 dengan r dalam meter dan t dalam sekon.Kecepatan partikel saat t = 5 sekon adalah .... a. 28 m/s

d. 15 m/s

b. 25 m/s

e. 12 m/s

c. 23 m/s

38

18.

Posisi ketinggian sebuah balon udara dinyatakan dalam persamaan : y = 50 t – 5t2, dengan y dalam meter dan t dalam sekon. Kecepatan awal balon adalah .... a. 2 m/s

d. 20 m/s

b. 5 m/s

e. 50 m/s

c. 10 m/s 19.

Sebuah anak panah meluncur dengan persamaan kecepatan v = 3t2 – 6t – 9, dimana v dalam m/s dan t dalam s. Jarak yang ditempuh mobil mainan antara t = 1 s hingga t = 4 sekon adalah .... a. 10 m

d. 45 m

b. 20 m

e. 47,5 m

c. 23 m 20.

Seekor burung terbang dengan persamaan lintasan y = 20 t – t2, dimana y dalam meter dan t dalam sekon. Tinggi maksimum burung adalah ....

21.

a.

100 m

d. 16 m

b.

20 m

e. 3 m

c.

19 m

Sebuah peluru ditembakkan sehingga mempunyai persamaan perpindahan sebagai berikut : r = 30 t i + (20 t – 5 t2) j, dengan r dalam meter, t dalam sekon, tinggi maksimum yang dicapai peluru adalah ....

22.

a. 13 m

d. 80 m

b.

20 m

e. 200 m

c.

60 m

Sebuah benda bergerak dengan persamaan kecepatan v = 2t + 10 , dimana v dalam m/s dan t dalam sekon. Bila saat t = 0

benda berada pada x = 6 m, maka posisi

benda saat t = 2 s adalah .... a. 20 m

d. 35 m

b. 25 m

e. 40 m

c. 30 m 23.

Roda sepeda berputar pada porosnya dengan persamaan posisi sudut θ = 4 t + 2 t 2, dimana θ dalam radian, dan t dalam sekon. Posisi sudut ketika kecepatan sudut mencapai maksimum adalah adalah .... a. 3 rad

d. 14 rad

b. 6 rad

e. 18 rad

c. 12 rad 24 . Jika persamaan kecepatan sudut suatu gerak melingkar dinyatakan dalam ω = 3 t2 + 2, dimana ω dalam rad/s dan t dalam sekon, jika posisi sudut awal gerak melingkar 3 rad, maka posisi sudut gerak melingkar saat t = 1 s adalah .... a. 6 rad

d. 3 rad

39

b. 5 rad

e. 2 rad

c. 4 rad 25.

Gerak sebuah benda memiliki persamaan posisi r = (8t – 4 ) i + (-3t 2 + 6 t ). Semua besaranmenggunakan satuan dasar SI. Dari pernyataan berikut : 1. benda bergerak lurus berubah beraturan 2. memiliki koordinat awal ( -4, 0)m 3. setelah 1 s perpindahannya 5 m 4. setelah 1 s kecepatannya menjadi 8 m/s. Pernyataan yang benar adalah : a. 1, 2 dan 3

c. 1 dan 4

b. 1 dan 3

d. 2 ,3 dan 4

e. 2 dan 4 26.

Posisi sudut sebuah partikel pada tepi sebuah roda yang sedang berputar dinyatakan oleh θ = 4 t – 3 t2 + t3 , dengan θ dalam radian dan t dalam sekon. Kecepatan sudut ratarata antara t = 0 sampai t = 2 sekon adalah ...rad/s a. 1

27.

b. 2

c.3

d. 4

e. 5

Sebuah peluru ditembakan dengan sudut elevasi 370 dan kecepatan awal 50 m/s. Maka perbandingan tinggi peluru ketika t= 1s dan t = 2s adalah ..... a. 1/5

28.

b. ¼

c. 3/4

d. 3/5 e. 5/8

Sebuah 2 bola kasti menggelinding masing-masing kecepatan v1 dan v2 dengan arah mendatar jatuh dari lantai satu h1 = 2h dan lantai dua h2 =3h. Membentuk lintasan parabola. Maka perbandingan v1/v2 adalah ...... a.

29.

3/ 2 .

b. 2 / 3 .

c. 3 /2

d.2 3 /3

e. 1

Suatu benda dikatakan bergerak melingkar beraturan bila .... 1. perpindahannya konstan 2. kecepatan sudutnya konstan 3. momentum liniernya konstan 4.percepatan sudutnya konsta Pernyataan yang benar adalah ... a. 1, 2 dan 3

30.

b. 1 dan3

c. 2 dan 4

d. 4

e. 1, 2 , 3 dan 4

Sebuah peluru ditembakkan dengan arah horisontal dan dengan kecepatan awal v dari ketinggian awal h dari permukaan tanah. Jarak horisontal yang ditempuh peluru tergantung pada .... 1. kecepatan awal v 2. ketinggian h 3. percepatan gravitasi 4. massa peluru Pernyataan yang benar adalah :

40

a. 1, 2 dan 3

b. 1 dan3

c. 2 dan 4

41

d. 4

e. 1, 2 , 3 dan 4