Materi Baris Dan Deret Kelas Xii_sem.2

BARISAN dan DERET, NOTASI SIGMA SERTA INDUKSI MATEMATIKA A. BARISAN DAN DERET 1) PENGERTIAN BARIS DAN DERET BILANGAN Pada pembahasan kali ini anda akan mengetahui perbedaan antara barisan bilangan dan deret bilangan. a. Barisan Bilangan Sebelum mempelajari barisan bilangan, pelajarilah ilustrasi berikut. Andi dan Sandi adalah dua orang yang berprofesi sebagai salesman di sebuah perusahaan produk alat-alat rumah tangga. Keduanya biasa menjual atau menawarkan barang dagangannya secara door to door langsung mendatangi rumah calon konsumennya. Suatu hari pada rumah-rumah yang terletak di Jalan Delima, mereka berdua berbagi tugas. Andi memasarkan produk di sisi Utara, sedangkan Sandi memasarkan di sisi Selatan.

Secara kebetulan Andi mendatangi rumah-rumah bernomor 1, 3, 5,...dan seterusnya. Adapun Sandi mendatangi rumah- rumah bernomor 2,

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 1

4, 6,...dan seterusnya. Nomor-nomor rumah yang didatangi Andi dan Sandi dapat dituliskan dalam urutan bilangan berikut. Nomor rumah yang didatangi Andi :1, 3, 5,... Nomor rumah yang didatangi Sandi : 2, 4, 6,... Selanjutnya, nomor-nomor rumah yang didatangi Andi disebut urutan bilangan (1) dan nomor-nomor rumah yang didatangi Sandi disebut urutan bilangan (2). Oleh karena itu, dapat dituliskan: Urutan bilangan (1) : 1, 3, 5,... Urutan bilangan (2) : 2, 4, 6,... Coba Anda perhatikan. Jika Andi telah mendatangi rumah nomor 5 dan kemudian ia melanjutkan ke rumah di sebelahnya, dapatkah Anda menyebutkan nomor rumah bernomor yang didatangi Andi? Untuk menjawabnya, Anda harus menemukan pola atau aturan dari urutan bilangan (1). Dapatkah Anda menemukan polanya? Secara intuitif Anda dapat melihat polanya, yaitu "ditambah 2" Perhatikanlah pola urutan bilangan berikut.

Bilangan 1, 3, dan 5 terletak pada urutan ke-1, 2, dan 3. Bilangan yang terletak pada urutan ke-2 merupakan hasil penjumlahan dari bilangan yang terletak pada urutan ke-1 dengan 2, demikian juga bilangan yang terletak pada urutan ke-3 merupakan hasil penjumlahan dari bilangan yang terletak pada urutan ke-2 dengan 2. Setelah Anda menemukan pola urutan bilangan

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 2

(1) maka rumah yang didatangi Andi setelah ia mendatangi rumah nomor 5 adalah rumah bernomor 5 + 2 = 7. Dalam matematika, urutan bilangan yang memiliki pola disebut barisan bilangan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah pengertian barisan bilangan berikut. Barisan bilangan didefinisikan sebagai susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. (sumber:www.lombokgilis.com). Barisan bilangan adalah susunan bilangan – bilangan yang memiliki aturan tertentu dan dipisahkan dengan koma. (sumber:LKS Hayati Tumbuh Subur). Dalam pembahasan mengenai barisan bilangan, dikenal istilah suku. Istilah suku di sini tidak sama dengan istilah suku dalam ilmu-ilmu sosial atau budaya yang merujuk pada pengertian etnis atau ras. Untuk memahami istilah suku dalam konsep barisan bilangan, coba Anda perhatikan kembali urutan bilangan (1). Pada urutan bilangan (1), angka 1, 3, dan 5 masing-masing terletak pada urutan ke-1, 2, dan 3. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa 1 merupakan suku ke-1, 3 merupakan suku ke-2, dan 5 merupakan suku ke-3 dari urutan bilangan (1). Dalam konsep barisan bilangan, suku ke-n disimbolkan dengan Un. Dengan demikian, pada barisan bilangan 1, 3, 5,... dapat dituliskan U1= 1, U2= 3, dan U3= 5.

Un = U1 , U2, U3,…

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 3

 CONTOH 1 :

Ana seorang Manajer di sebuah perusahaan elektronika. Ia mendapat tugas dari atasannya untuk menjadi panitia dalam acara seminar mengenai "Strategi Pemasaran Barang-Barang Elektronika". Dalam ruang seminar itu, kursi-kursi para peserta disusun seperti pada gambar berikut.

Berdasarkan ilustrasi tersebut tentukan: a. Jika pada barisan terakhir terdiri atas 15 kursi, tentukan jumlah barisan yang disusun dalam ruangan tersebut. b. Jika untuk tamu undangan diperlukan tambahan 2 baris kursi maka tentukan jumlah tamu undangan tersebut. Jawab: a. Jumlah kursi yang disusun pada masing-masing barisan dalam ruang seminar adalah sebagai berikut. baris ke-1 = 3 kursi baris ke-2 = 5 kursi baris ke-3 = 7 kursi Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 4

Jika Anda cermati, ternyata untuk setiap barisnya jumlah kursi bertambah dengan pola "ditambah 2", berarti jumlah kursi pada setiap barisnya, dapat disusun menggunakan barisan bilangan berikut. 3, 5, 7, 9, 11, 13,15 Pada barisan tersebut, angka 15 terdapat pada suku ke-7, berarti jumlah barisan yang disusun pada ruangan tersebut terdapat 7 baris. b. Jumlah tamu undangan dapat dihitung dari jumlah kursi dari 2 baris terakhir, yaitu baris ke-8 dan ke-9. Dengan melihat pola barisan bilangan yang menyatakan jumlah kursi pada setiap baris pada soal a dan kemudian ditambah 2 suku maka diperoleh barisan bilangan berikut.

Berdasarkan barisan bilangan di atas, diperoleh jumlah suku ke-8 dan ke-9 besarnya adalah U8 + U9 = 17 + 19 = 36. Jadi, jumlah tamu undangan adalah 36 orang.

 CONTOH 2: 4

7

10

13, ……..

Keterangan : 4 : disebut suku ke-1

+3

+3

+3

7 : diesbut suku ke-2

Dari suku ke-1, menuju suku ke-2 bertambah 3 dan seterusnya. Maka dari kedua contoh di atas dapat disimpulkan bagaimana bentuk umun dari penyelesaian di atas : Un = U1, U2, U3, …………. (Un : suku ke-n)

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 5

b.

Deret Bilangan Coba Anda cermati kembali Contoh Soal 1. Jumlah kursi pada setiap barisnya dalam ruang seminar tersebut dapat dinyatakan dengan barisan bilangan 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, .... Urutan tersebut merupakan barisan bilangan karena memiliki pola, yaitu "ditambah 2". Pada pembahasan kali ini, Anda akan diperkenalkan dengan konsep deret bilangan. Deret bilangan merupakan jumlah beruntun dari suku-suku suatu barisan bilangan. (sumber:www.lombokgilis.com). Deret bilangan adalah operasi bilangan pada susunan bilangan – bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu. (sumber: LKS Hayati Tumbuh Subur). Berarti, deret bilangan dari barisan 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,... adalah 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + .... Jika dalam ruang seminar pada Contoh Soal 1, terdapat 7 baris kursi maka jumlah seluruh kursi dalam ruang seminar tersebut dapat dihitung dengan cara: 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 63 Selanjutnya, diperoleh jumlah seluruh kursi dalam ruang seminar tersebut adalah 63 buah. Hasil penjumlahan 7 suku pada suatu deret disimbolkan dengan S7 maka pada deret 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +.... diperoleh S7 = 63. Uraian tersebut memperjelas definisi deret berikut. Jika U1, U2, U3, …, Un merupakan suku-suku suatu barisan maka U1 + U2 + U3 + … + Un dinamakan deret. Disimbolkan dengan Sn. Jadi, U1+ U2 + U3 + …+ Un = Sn.

Sn = U1 + U2 + U3 + ….

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 6

 CONTOH 3: Biro Pusat Statistik memperkirakan bahwa angka kelahiran bayi di desa Suka Senang setiap bulannya, dari bulan Januari hingga Desember, selama tahun 2008 dapat dinyatakan dengan barisan bilangan 2, 6, 18,…. Nilai suku ke-1, ke-2, sampai ke-12 menyatakan jumlah bayi yang lahir pada bulan Januari, Februari, sampai Desember. Berdasarkan ilustrasi tersebut, a.

Temukan pola barisan bilangan 2, 6, 18,…dan tentukan pula nilai suku ke-4 sampai suku ke-6,

b. Tentukan jumlah seluruh kelahiran hingga bulan Juni. Jawab: a.

Perhatikan barisan bilangan 2, 6, 18, … Nilai suku ke-2 barisan bilangan tersebut sama dengan hasil perkalian nilai suku ke-1 dengan 3. Demikian juga nilai suku ke-3 adalah hasil perkalian nilai suku ke-2 dengan 3. U1 = 2 U2 = 2 × 3 = 6 U3 = 6 × 3 = 18 Berdasarkan uraian tersebut, nilai U4, U5, dan U6 barisan bilangan tersebut dapat diperoleh dengan perhitungan berikut. U4 = 18 × 3 = 54 U5 = 54 × 3 = 162 U6 = 162 × 3 = 486

b.

Kelahiran bayi pada bulan Januari sampai dengan Juni membentuk barisan bilangan 2, 6, 18, 54, 162, 486. Jadi, jumlah seluruh kelahi-

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 7

ran dari bulan Januari hingga Juni besarnya adalah 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728 kelahiran.

2) BARISAN DAN DERET ARITMETIKA Secara umum, Anda telah mempelajari perbedaan antara barisan dan deret bilangan pada pembahasan di atas. Pada pembahasan selanjutnya, Anda akan mempelajari barisan dan deret yang khusus, yaitu barisan dan deret aritmetika. a. Barisan Aritmetika Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah suatu bilangan tetap (konstanta). (sumber: Persepektif Mat. SMA 3 IPA). Ciri barisan aritmetika adalah antara bilangan pada suku- suku yang berdampingan memiliki selisih atau beda yang tetap. Perhatikan barisan berikut. (i)

0, 2, 4, 6,…

(ii)

8, 5, 2, –1, –4,… Jika Anda cermati, setiap suku-suku yang berdampingan pada barisan

bilangan (i) selalu memiliki beda yang tetap, yaitu 2. 2 – 0 = 4 – 2 = 6 – 4 = 2. Secara umum, dapat ditulis sebagai berikut. U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = Un – Un-1 = b Pada barisan aritmetika, beda disimbolkan dengan b, dan suku ke-1 yaitu U1 disimbolkan dengan a. Berdasarkan uraian tersebut, ciri barisan aritmetika adalah sebagai berikut

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 8

Un – Un-1 = b

b. Rumus Suku Ke-n Barisan Aritmetika Jika suku pertama suatu barisan aritmetika (U1) dilambangkan dengan a dan beda dilambangkan dengan b maka rumus suku ke-n barisan itu dapat diturunkan seperti berikut. U1 = a U2 = U1 + b

=a+b

U3 = U2 + b = (a + b) + b

= a + 2b

U4 = U3 + b = (a + 2b) + b

= a + 3b

U5 = U4 + b = (a + 3b) + b

= a + 4b

. . Un = a + (n - 1) b Maka rumus suku ke-n dinyatakan dengan persamaan:

Un = a + (n – 1)b

Keterangan : Un : suku ke-n a

: suku pertama

b

: beda

n

: banyak suku

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 9

 CONTOH 4: Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan -3, 2, 7, 12 …. Jawab : -3, 2, 7, 12 … Suku pertama adalah a = -3 dan bedanya b = 2 – (−3) = 5. dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh Un = −3 + (n – 1) 5. Suku ke-8 : U8 = −3 + (8 – 1) 5 = 32 Suku ke-20 : U20 = −3 + (20 – 1) 5 = 92

 CONTOH 5: Misal barisan (i) memiliki a = 0, dan b = 2. Suku-suku pada barisan itu dapat dinyatakan sebagai berikut. U1 = 0 + (1 – 1) . 2 = 0 U2 = 0 + (2 – 1) . 2 = 2 U3 = 0 + (3 – 1) . 2 = 4 U4 = 0 + (4 – 1) . 2 = 6 Maka diperoleh rumus suku ke-n pada barisan (i) adalah sebagai berikut. Un = a + (n – 1)b = 0 + (n – 1) . 2 = 0 + 2n – 2 = 2n – 2

c. Suku Tengah Barisan Aritmetika (Uk) Sedangkan untuk mengetahui suku tengah barisan aritmatika (U k), misal: Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 10

Barisan U1 , U2 , U3 , …., Un untuk n ganjil a, U2 , U3 , …, Un Suku tengah

𝐔𝐧 + 𝐚

Uk =

𝟐

 CONTOH 6:  Diketahui barisan 2, 7, 12, …, 152. Tentukan suku tengahnya! Jawab :

Uk = Uk =

𝐔𝐧 + 𝐚 𝟐 𝟏𝟓𝟐+𝟐 𝟐

=

𝟏𝟓𝟒 𝟐

= 77

 CONTOH 7:  Diketahui barisan 3, 6, 9, …, 39. Tentukan suku tengahnya! Jawab:

Uk =

𝟑𝟗+𝟑 𝟐

=

𝟒𝟐 𝟐

= 21

d. Sisipan Pada Barisan Aritmetika Sedangkan untuk mengetahui sisipan pada barisan aritmatika, misal: Jika di antara dua bilangan a dan Un disisipkan k bilangan a, …., …., …., Un. Maka setelah disisipi k bilangan, banyaknya suku pada barisan ada (k + 2) = n Un = a + (n - 1) b Pada barisan baru Un = a + (k+2-1)b Un = a + (k+1)b

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 11

b=

⇔

𝐔𝐧 − 𝐚 𝐤+𝟏

 CONTOH 8:  Diantara bilangan 2 dan 38 disisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika. Tentukan bedanya! Jawab: Diketahui: a = 2, Un = 38, dan k = 8 beda baru b =

b= b=

Un − a k+1

38− 2 8+1 36 9

=4

Jadi, bedanya adalah 4. e.

Deret Aritmetika Andi ingin membeli sepeda motor seharga Rp. 500.000,-, ia berusaha menabung di celengan dengan perincian sebagai berikut : Minggu ke-1 = Rp. 5.000,- ⇒ U1 Minggu ke-2 = Rp. 5.000,- + Rp. 1.000,- = Rp. 6.000,- ⇒ U2 Minggu ke-3 = Rp. 5.000,- + Rp. 1.000,- + Rp. 1.000,- = Rp. 7.000,- ⇒ U3 Minggu ke-3 = Rp. 5.000,- + Rp. 1.000,- + Rp. 1.000,- Rp. 1.000,- = Rp. 8.000,- ⇒ U3 . . dan seterusnya

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 12

Apabila kita buat menjadi suatu barisan maka diperoleh sebagai berikut. 5.000, 6.000, 7.000, 8.000 ….. Barisan tersebut mempunyai beda atau selisih 1.000 dan merupakan barisan aritmetika, sedangkan jumlah uang yang ada dalam celengan itu sampai dengan minggu berikutnya adalah sebagai berikut : Sampai dengan minggu ke-1 : 5.000 Sampai dengan minggu ke-2 : 6.000 Sampai dengan minggu ke-3 : 7.000 Sampai dengan minggu ke-4 : 8.000 . . . dan seterusnya Kita anggap jumlah uang sampai dengan minggu pertama sebagai S1, jumlah uang sampai dengan minggu ke-2 sebagai S2, jumlah uang sampai dengan minggu ke-3 sebagai S3, jumlah uang sampai dengan minggu ke-4 sebagai S4 dan seterusnya sehingga diperoleh.

S1 = U1 S2 = U1 + U2 S3 = U1 + U2 + U3 S4 = U1 + U2 + U3 + U4 . . Sn = U1 + U2 + U3 + U4 …. + Un

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 13

Jumlah seluruhnya uang yang diperoleh dari tiap minggu tersebut merupakan deret matematika. Dari ilustrasi di atas, terlihat bahwa jika suku – suku barisan aritmetika dijumlahkan, akan diperoleh deret matematika. Secara umum, deret matematika didefinisikan sebagai berikut.

Misalkan U1, U2, U3, U4, …Un, merupakan suku – suku dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U3 + U4 …+ Un disebut Deret Matematika, dengan Un = a + (n-1)b

Deret matematika dari n suku barisan aritmetika ditulis dengan notasi Sn. dengan demikian rumus umum untuk Sn dapat ditentukan dengan langkah sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah : Un = a + (n – 1)b, maka U1 = a U2 = a + b U3 = a + 2b U4 = a + 3b . . Un = a + (n – 1)b Dengan demikian diperolah Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + … + (a + (n – 1)b) …………(1)

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 14

Dapat pula dinyatakan bahwa nilai setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya. Un-1 = Un – b Un-2 = Un – b = Un – 2b Un-3 = Un – b = Un – 3b demikian seterusnya sehingga Sn dapat dituliskan Sn = a + (a + b) + …. + (Un – 2b) + (Un – b) + Un ………………… (2) dari persamaan (1) dan (2) jika kita jumlahkan, diperoleh Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … +(Un – b) + Un Sn = Un + (Un – b) + (Un – 2b) + … + (a + b) + a

+

2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) + … + (a + Un)

n suku

dengan demikian , 2Sn = n (a + Un) ⟺

Sn =

⟺

Sn =

⟺

Sn =

1 2 1 2 1 2

𝑛 (𝑎 + 𝑈𝑛 ) 𝑛 (𝑎 + 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 ) 𝑛 (2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏)

jadi rumus umum jumlah 𝑛 suku pertama deret aritmetika adalah

Sn = Sn =

𝟏 𝟐

𝟏 𝟐

𝒏 (𝒂 + 𝑼𝒏 )

𝒏 (𝟐𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃)

keterangan : Sn : jumlah 𝑛 suku pertama

𝑈𝑛 : suku ke-n

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 15

𝑎 : suku pertama

𝑛 : banyak suku

𝑏 : beda  CONTOH 9:  Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 + …. Jawab : diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100 Sn =

1 2

S100 =

𝑛 (2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏) 1 2

100 (22 + 100 − 1 2)

= 50 (4 + 198) = 50 × 202 = 10. 100 Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100  CONTOH 10:  Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100. Jawab : Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, …, 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan Un = 99. Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut : Un = a + (n – 1) b ⇔ 99 = 3 + (n – 1)3 ⇔ 3n = 99

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 16

⇔ n = 33 Jumlah dari deret tersebut adalah Sn = ⇔ 𝑆33 =

1 2

1 2

𝑛 𝑎 + 𝑈𝑛

× 33 3 + 99

= 1.683 jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683. Sedangkan untuk menentukan suku ke-n barisan arimetika jika diketahui rumus jumlah n suku pertamanya. suku ke-n dapat ditentukan dengan rumus :

Un = Sn – Sn-1

Namun selain dengan rumus itu dapat juga ditentukan dengan cara lain. misalkan jumlah n suku pertama Sn = an2 + bn.

Un = 2an + (b – a); beda = 2a

 CONTOH 11:  Jumlah n suku pertama dari deret aritmetika adalah Sn = 2n2 – 4 n. Tentukan suku ke-n dan bedanya dari deret tersebut. Jawab : Sn = 2n2 – 4n → a = 2, b = −4 Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 17

Un = 2an + (𝑏 – 𝑎) = 2 . 2 . n + (−4 − 2 ) = 4n – 6 beda = 2a =2.2=4

3) BARISAN dan DERET GOMETRI a.

Pengertian Barisan Geometri Baris geometri adalah suatu barisan yang perbandingan atau rasio dua suku

yang berurutan selalu tetap. Perbandingan yang selalu tetap disebut rasio (dilambangkan r). Coba kalian perhatikan barisan berikut. 1

2

4

×2

×2

×2

8

Barisan tersebut mempunyai pembanding yang sama, yaitu 2. barisan seperti contoh di atas disebut barisan geometri. Coba kalian amati barisan 1, 2, 4, 8, …. Terlihat, suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan 2 pada suku sebelumnya. Barisan ini termasuk barisan geometri. Jadi, secara umum barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebleumnya dikalikan dengan suatu bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut dinamakan rasio (pembanding) dan dinotasikan dengan r. Perhatikan contoh – contoh barisan – barisan berikut : 1) 3, 6, 12, 24, ….. Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 18

1 1

2) 2, 1, 2, 4 , … 3) 2, -4, 8, - 16, …. Barisan di atas merupakan contoh barisan geometri. untuk barisan di atas, dapat dihitung rasionya, yaitu. 1)

2) 3)

6 3 1 2

=

−4 2

12

=

6 1 2

1

=

=

= 8 −4

1 4 1 2

24 12

= ⋯ = 2. jadi, r = 2 1

= ⋯ =. jadi, r = 2

= −2. jadi, r = -2

Dengan demikian dapat disimpulkan jika U1, U2, U3, …. Un barisan geometri dengan Un adalah rumus ke-n, dan rasio r, berlaku

r=

b.

𝑼𝒏 𝑼𝒏−𝟏

Suku ke-n Barisan Geometri (Un) Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama (U1) dinyatakan a dan rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut. U1 = a U2 = U1 × r = ar U3 = U2 × r = ar2 U4 = U3 × r = ar3 . . Un = Un-1 × r = ar n-2 × r = ar n-1 Dengan demikian diperoleh barisan geometri a, ar, ar2, …., ar n-1

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 19

Jadi, rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah .

Un = ar n-1

Keterangan : Un : Suku ke-n a :suku pertama r : rasio n : banyak suku.

 CONTOH 12:  Carilah suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari barisan geometri berikut. a. 2, 6, 18, 54. 1

b. 9, -3, 1, − . 3

Jawab : a. 2, 6, 18, 54 Dari barisan geometri di atas, diperoleh 1) Suku pertama ; a : 2 2) Rasio ; r =

𝑈2 𝑈1

6

= =3 2

Karena rumus suku ke-n barisan geometri adalah Un = ar n-1 maka U7 = 2 (37-1) = 2 × 729 = 1.458 1

b. 9, -3, 1, − 3. Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 20

Dari barisan ini, diperoleh 1) Suku pertama ; a =9 2) Rasio ; r =

𝑈2 𝑈1

=

−3 9

=−

1 3

1

1

9

3

3

(−3)6

3) suku ke-7; U7 = 9(− )7−1 = 9(− )6 = c.

=

1 81

Rumus Suku Tengah (Uk) Barisan Geometri Sedangkan untuk mengetahui rumus suku tengah (Uk)barisan geometri, misal: Suatu barisan geometri dengan n suku, n bilangan ganjil, maka suku tengah (Uk) dinyatakan:

Uk2 = U1. Un = a. Un

𝐔𝐤 = 𝐔𝟏 . 𝐔𝐧

atau

 CONTOH 13:  Barisan geometri 1, 2, 4, …., 64. Tentukan suku tengahnya! Jawab: Un = arn

– 1

⇔

64

=

1 . 2n –

⇔

64

=

2n –

1

⇔

26

=

2n –

1

⇔

n

=

6+1

n

=

7

Jadi, suku tengah Uk

Uk

=

𝑎. 𝑈𝑛

=

1 (64)

=

1

8

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 21

 Tentukan x jika (x-3), (x+1), dan (4x-2) tiga bentuk suku membentuk barisan geometri. Barisan geometri (x-3), (x+1), dan (4x-2) Berlaku

Uk2 = a. Un

(x+1)2 = (x-3)(4x-2) x2+2x+1 = 4x2 – 2x – 12x + 6 ⇔ 3x2 – 16x + 5 = 0 (3x - 1) = 0 atau x – 5 = 0 x=

1

x=5

3 1

Jadi, x = 3 atau x = 5. d.

Sisipan Pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a, ……., ……., ……., Un, disisipkan k suku.

k suku Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah (k+2) Jadi, Un = arn-1 ⇔ Un = ar(k + 2 - 1) Un = ark + 1 𝑈𝑛 𝑎

= rk + 1

𝒓=

𝒌+𝟏

𝑼𝒏 𝒂

Keterangan : r : rasio Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 22

a : suku ke-1 k : banyaknya bilangan yang disisipkan Un : suku terakhir  CONTOH 14: 1

 Diantara bilangan 4 dan 64 disisipkan 7 bilangan, sehingga menjadi barisan geometri. Tentukan : a. Rasio b. Suku tengahnya Jawab : 1

a. Diketahui a=4, Un = 64, dan k = 7

𝑟=

𝑘+1

𝑈𝑛 𝑎

7+1

⟹𝑟=

64 1 4

𝑟=

8

64(4)

𝑟=

8

256 = 2

Jadi rasionya adalah 2. b. 𝑈𝑘 = 𝑈𝑘 =

𝑎 × 𝑈𝑛 1 4

× (64)

𝑈𝑘 = 16 = 4 

Catatan : Hubungan rasio (r) dan banyaknya suku (n) pada barisan geometri lama dan barisan geometri baru adalah:

𝑟1 =

𝑘+1

𝑟

𝑛1 = 𝑛 + (𝑛 − 1)𝑘 Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 23

Keterangan : r : rasio barisan lama r1 : rasio barisan baru n : banyaknya suku barisan lama n1 : banyaknya suku barisan baru k : banyaknya suku yang disisipkan  CONTOH 15: 1

 Diketahui tiga buah suku membentuk barisan geometri 4 , 4, 6. diantara tiap dua saku disisipkan 3 buah suku, sehingga membentuk barisan gometri baru. Tentukan : a. Rasio barisan geometri baru b. Banyaknya suku barisan geometri baru c.

Suku ke-10 barisan geometri

Jawab : 1

a. Barisan geometri 4 , 4, 6 𝑟1 =

𝑘 +1

𝑈𝑛 ⟹ 𝑟1 = 𝑎

3+1

64 ⟹ 𝑟1 = 4

4

16 = 2

Jadi, rasio baru adalah 2. b. 𝑛1 = 𝑛 + 𝑛 − 1 𝑘 ⟹ 𝑛1 = 3+ 3−1 3 =9 c. 𝑈𝑛 1 = 𝑎𝑟1 𝑛1 − 1 1

𝑈10 1 = 4 × 2

10−1

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 24

1

𝑈10 1 = 4 × 29 = 128 Jadi, suku ke-10 adalah 128 e.

Deret Geometri Jika U1, U2, U3, ….. Un merupakan bagian geometri maka U1 + U2 + U3 + … + Un adalah deret geometri dengan Un = ar

n-1

.

Rumus umum untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat diturunkan sebagai berikut. Misalkan Sn notasi dari jumlah n suku pertama. Sn = U1 + U2 + …. + Un =

𝑛 𝑖=1 𝑈𝑖

Sn = a + ar + … + ar n-2 + ar n-1 ………………………………………… 1) Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh rSn = ar + ar2 + ar3 + …. + ar n-1 + arn ……………………………….. 2) Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh rSn = ar + ar2 + ar3 + …. + ar n-1 + arn Sn = a + ar + … + ar n-2 + ar n-1

-

rSn – Sn = - a + arn ⇔ (r – 1) Sn = a (rn – 1) ⇔ Sn =

𝑎 (𝑟 𝑛 −1) 𝑟−1

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.

𝑎(𝑟 𝑛 − 1) 𝑆𝑛 = , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 > 1 𝑟−1 𝑆𝑛 =

𝑎(1 − 𝑟 𝑛 ) , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 < 1 𝑟−1

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 25

Keterangan : Sn : Jumlah n suku pertama a :suku pertama r : rasio n : banyak suku

CONTOH 16 : 

Tentukan jumlah dari deret geometri berikut a. 2 + 4 + 8 + 16 +… (8 suku) 3

b. 12 + 6 + 3 + 2 +… (6 suku) Jawab: a. 2 + 4 + 8 + 16 + …. 4

Dari deret tersebut, di peroleh a = 2 dan r = 2 = 2 (r > 1). Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8

𝑆𝑛 =

𝑎 𝑟𝑛 − 1 𝑟−1

⇔ 𝑆8 =

2(28 −1) 2−1

= 2(256 - 1) = 510 Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510. 3

b. 12 + 6 + 3 + 2 +… 6

1

Dari deret itu, di peroleh a = 12 dan r = 12 = 2 (r < 1) Jumlah deret sampai 6 suku pertama, berarti n = 6

𝑆𝑛 =

𝑎(1 − 𝑟 𝑛 ) 1− 𝑟

1

⇔ 𝑆6 =

12 (1− (2 )6 ) 1−

1 2

1

= 24 (1 - 64 ) Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 26

63

5

= 24 × 64 = 23 8 f.

Deret Geometri Tak Berhingga Deret geometri yang tidak dapat dicacah banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak berhingga. Perhatikan deret geometri berikut. 1) 1 + 2 + 4 + 8 + … 2) 5 – 10 + 20 – 40 + … 1

1

1

3) 1 + 2 + 4 + 8 + … 1

4) 9 – 3 + 1 - 3 + ….. Deret – deret di atas merupakan contoh deret geometri tak berhingga. Perhatikan contoh 1) dan 2). Deret tersebut tidak menuju ke satu nilai tertentu. Deret demikian disebut deret divergen. Deret divergen memiliki rasio r dengan 𝑟 > 1. Selanjutnya, deret pada contoh 3 dan 4 menuju ke suatu nilai tertentu sehingga disebut deret konvergen. Deret konvergen rasionya r dengan 𝑟 < 1. Pada deret konvergen, jumlah suku – sukunya tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapi akan mendekati harga tertentu. Harga tertentu ini disebut jumlah tak berhingga suku yang dinotasikan dengan 𝑆∞ Nilai 𝑆∞ merupakan nilai pendekatan (limit) jumlah seluruh suku (Sn) dengan n menekati tak berhingga. Oleh karena itu, rumus deret tak berhingga dapat diturunkan dari deret geometri dengan suku pertama a, rasio r, dan n → ∞.

𝑆∞ = lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 = lim

𝑛→∞

𝑎(1−𝑟 𝑛 ) 1−𝑟

= lim

𝑎−𝑎𝑟 𝑛

𝑛→∞ 1−𝑟

Karena deret konvergen ( 𝑟 < 1), untuk n → ∞ maka 𝑎𝑟 𝑛 → 0 sehingga

𝑆∞ =

𝑎−0 1−𝑟

=

𝑎 1−𝑟

.

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 27

Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhingga adalah

𝑎 , dengan r < 1 1−𝑟

𝑆∞ =

CONTOH 17 : 

Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut 1

1

1

2

4

8

a. 1 + + + + ⋯ b. 21+0,5+0,25+0,125+⋯ Jawab: 1

1

1

a. 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1

Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = sehingga 2

𝑆∞ =

𝑎 1−𝑟

=

1 1

1− 2

=

1 1 2

=2

b. 21+0,5+0,25+0,125+⋯ Perhatikan deret 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + ⋯ 1

Dari deret tersebut, diperoleh a= 1dan r = 2. 𝑆∞ =

𝑎 1−𝑟

=

1 1−

1 2

=2

Jadi, 21+0,5+0,25+0,125+⋯ = 22 = 4.

B. SUKU ke-n dan JUMLAH n SUKU PERTAMA BEBERAPA DERET KHUSUS 1. Deret Bilangan Asli Deret bilangan asli 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) + n Suku ke-n → Un = n 𝟏

Jumlah n suku pertama Sn = n(n+1) 𝟐

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 28

CONTOH 18 :  Diketahui deret bilangan asli 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …. Tentukan: a. Suku ke – 780, b. Jumlah 50 suku pertama! Jawab: a. Un = n ⟹ U780 = 780 1

b. Sn =

2

n(n+1)

1

S50 = 2 (50)(50+1) S50 = 25(51) S50 = 1275 Jadi, jumlah 50 suku pertama adalah 1275 2. Deret Kuadrat Bilangan Asli Deret kuadrat bilangan asli 12 + 22 + 32 + … + (n – 1)2 + n2 Suku ke-n → Un = n2 Jumlah n suku pertama Sn =

𝟏 𝟔

n(n + 1)(n + 2)

CONTOH 19 :  Diketahui deret kuadrat bilangan asli 12 + 22 + 32 +… +n2 Tentukan: a. Suku ke -27, b. Jumlah 10 suku pertama! Jawab: a. Un = n2 ⟹ U27 = 272 = 729

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 29

b. Sn =

1

n(n + 1)(2n + 1)

6 1

S10 = 6 10(10 + 1)(2(10)+1) S10 =

10 6

(11)(21)

S10 = 385 3. Deret Kubik n Bilangan Asli Deret kubik bilangan asli 13 + 23 + 33 + … + (n – 1)3 + n3 Suku ke-n → Un = n3 Jumlah n suku pertama Sn =

𝟏 𝟐

𝒏 𝒏+𝟏

𝟐

CONTOH 20 :  Diketahui deret pangkat tiga (kubik) bilangan asli 13 + 23+ 33 +… Tentukan: a. Suku ke -10, b. Jumlah 5 suku pertama! Jawab: a. Un = n3 ⟹ U10 = 103 = 1000 b. Sn =

1

2

S5 =

1

2

𝑛 𝑛+1 2 .5 5+1 2

= 152 = 225 4. Deret n Bilangan Persegi Panjang Deret bilangan persegi panjang 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + … + n(n + 1) Suku ke-n → Un = n(n + 1) Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 30

Jumlah n suku pertama, Sn =

𝟏 𝟑

n(n + 1)(n + 2)

CONTOH 21 :  Deret bilangan persegi panjang 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + … Tentukan: a. Suku ke -6, b. Jumlah 6 suku pertama! Jawab: a. Un = n(n + 1) → U6 = 6(6 + 1) = 42 1

b. Sn = 3 6(6 + 1)(6 + 2) = 2(7)(8) = 112 5. Deret Bilangan Balok Deret bilangan balok 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Suku ke-n, Un = n(n + 1)(n + 2) 𝟏

Jumlah n suku pertama, Sn = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 𝟒

CONTOH 22 :  Deret bilangan balok .2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … Tentukan: a. Suku ke -10, b. Jumlah 15 suku pertama! Jawab: a. Un = n(n + 1)(n + 2) U10= 10(10 + 1)(10 + 2) Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 31

= 1320 1

b. Sn =4 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 1

S15 = 4 15(15 + 1)(15 + 2)(15 + 3) 15

=

4

(16)(17)(18) = 18360

6. Deret Bilangan Segitiga 1

Deret bilangan segitiga 1 + 3 + 6 + … + 2 n(n + 1)(n + 2) 𝟏

Suku ke-n, Un = (n + 1) 𝟐

Jumlah n suku pertama, Sn =

𝟏

n(n + 1)(n + 2)

𝟔

CONTOH 23 :  Deret bilangan balok 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + … Tentukan: a. Suku ke -6, b. Jumlah 6 suku pertama! Jawab: 1

a. Un = 2 n (n + 1) 1

42

2

2

U6 = 6(7) = = 21 1

b. Sn = 6 n(n + 1)(n + 2) 1

S6 = 6 6(6 + 1)(6 + 2) = 1(7)(8) = 56

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 32

C. PENERAPAN KONSEP BARISAN DAN DERET Kidah barisan dan deret dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian perhitungan, misalnya bunga bank, keanikan produksi, dan laba/rugi suatu usaha. Untuk menyelesaikan saol tersebut, kita hrus dapat membedakan apakah persoalan tersebut termasuk barisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika ataupun deret geometri. Kemudian, selanjutnya kita dapat menyelesaikan persoalan tersebut menggunakan rumus – rumus yang belaku. CONTOH 24:  Setiap minggu, Agnes memasukkan uang ke celengan. Akhir minggu pertama, ia memasukkan Rp. 1.000,00. Akhir minggu kedua, ia meamsukkan Rp. 1.500,00. Akhir minggu ketiga, ia memasukkan Rp. 2.000,00, demikian seterusnya. Berapa besar uang yang dimasukkan Agnes pada akhir bulan ke-20? Jawab: Kasus di atas adalah kasus baris aritmetika dengan suku awal, a = 1.000 dan beda b = 500 Untuk n = 20 maka 1

𝑆𝑛 = 2 𝑛(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) 1

𝑆20 = 2 (20)(2(1.000) + (20 − 1)500) = 115.000

D. NOTASI SIGMA Salah satu karaktristik matematika adalah digunakannya lambang untuk mengungkapkan suatu pernyataan secara singkat, jelas, dan konsisten yang jika diungkapkan dengan kalimat biasa cukup panjang. Salah satu lambang yang penting Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 33

adalah “ ∑ ” (dibaca sigma). Lambang ini digunakan untuk menulis secara singkat penjumlahan n suku. 1. Pengertian Notasi Sigma Perhatikan penjumlahan bilangan – bilangan di bawah ini. 1 + 2 + 3 + 4 + …. + 50 Jika semua suku – sukunya ditulis, cara penulisan penjumlahan tersebut jeas tidak efektif. Apalagi jika banyak bilangan yang dijumlahkan semakin besar. Dengan menggunakan notasi sigma, penulisan tersebut dapat dipersingkat menjadi

50 𝑘=1 𝑘

(dibaca: sigma k yang bergerak mulai dari k = 1 sampai

dengan k = 50 ). Huruf k digunakan sebagai variabel penjumlahan yang akan bergerak mulai 1 dan bertambah 1 sampai mencapai 50. Bilangan 1 disebut batas bawah (nilai awal) dan 50 disebut batas atas (nilai akhir) penjumlahan. Secara umum, notasi sigma dinyatakan sebagai berikut. 𝒏

𝑼𝒌 = 𝑼𝟏 + 𝑼𝟐 + ⋯ + 𝑼𝒏 𝒌=𝟏

Keterangan : 1 : batas bawah n : batas atas k : indeks Uk : suku umum

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 34

CONTOH 25 :  Nyatakan dalam bentuk penjumlahan

5 𝑘=1 𝑘(𝑘

+ 1)

Jawab : 5

𝑘 𝑘+1 = 1 1+1 +2 2+1 +3 3+1 +4 4+1 +5 5+1 𝑘=1

= 1×2+2×3+3×4+4×5+5×6 = 2 + 6 + 12 + 20 + 30

2. Menentukan Nilai Penjumlahan yang Dinyatakan dengan Notasi Sigma Untuk menentukan nilai penjumlahan notasi sigma, nyatakan notasi sigma itu ke dalam bentuk lengkapnya terlebih dahulu, kemudian jumlahkan. Agar lebih jelas, perhatikan contoh – contoh berikut. CONTOH 26 : 

Tentukan nilai dari

a.

10 𝑝 =1

𝑝;

b.

6 𝑛 =3

2𝑛 2

Jawab :

a.

10 𝑝 =1 𝑝

= 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 10 = 55

b.

6 𝑛 =3 2𝑛 2

= 2(3)2 + 2(4)2 + 2(5)2 + 2(6)2 = 18 + 32 + 50 + 72 = 172

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 35

3. Sifat – Sifat Notasi Sigma Coba kalian perhatikan contoh berikut CONTOH 27 :  Nyatakan notasi sigma berikut dalam bentuk penjumlahan biasa.

a.

6 𝑘=1 𝑈𝑘

b.

6 𝑖=1 𝑈𝑖

c.

Bandingkan hasil antara a dan b. apa kesimpulanmu?

Jawab :

a.

6 𝑘=1 𝑈𝑘

b.

6 𝑖=1 𝑈𝑖

c.

= 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 + 𝑈5 + 𝑈6 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 + 𝑈5 + 𝑈6

Dari hasil a dan b terlihat bahwa

6 𝑘=1 𝑈𝑘

=

6 𝑖=1 𝑈𝑖

CONTOH 28 :  Tentukan nilai penjumlahan yang dinyatakan dalam notasii sigma berikut.

a.

7 𝑘=3 5, 𝑎𝑝𝑎𝑘𝑎ℎ

b.

5 𝑘=2 3𝑘

c. 3

ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 (7 − 3 + 1) × 5

5 𝑘=2 𝑘

d. Bandingkan hasil antara c dan d. Apa kesimpulanmu? Jawab : a.

(i)

7 𝑘 =3 5

= 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25

U 3 U4 U5 U 6 U7 (ii) 7 − 3 + 1 × 5 = 5 × 5 = 25 Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 36

7 𝑘=3 5

Jadi,

5 𝑘=2 3𝑘

b.

= (7 − 3 + 1) × 5 =3×2+3×3+3×4+3×5 = 6 + 9 + 12 + 15 = 42

5 𝑘=2 𝑘

c. 3

= 3(2 + 3 + 4 + 5) = 3 × 14 = 42

Terlihat dari hasil b dan c bahwa

5 𝑘=2 3𝑘

5 𝑘=2 𝑘

=3

Dari beberapa contoh di atas, kita dapat memperoleh sifat notasi sigma. Secara umum, sifat – sifat itu adalah sebagai berikut. Jika Uk dan Vk adalah rumus umum suku ke-k dan p, q ∈ B maka berlaku sifat berikut.

a.

𝑞 𝑘=𝑝

𝑈𝑘 =

b.

𝑞 𝑘=𝑝

𝑐 = 𝑞 − 𝑝 + 1 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑐 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎

c.

𝑞 𝑘=𝑝

𝑐𝑈𝑘 = 𝑐

d.

𝑞 𝑘=𝑝

e.

𝑛 𝑘=𝑝

f.

1)

𝑞 𝑖=𝑝

𝑈𝑖

𝑞 𝑘=𝑝

𝑈𝑘 ± 𝑉𝑘 = 𝑈𝑘 +

𝑞 𝑘=𝑝

𝑝 𝑘=𝑝

h.

𝑞 𝑘=𝑝 (𝑈𝑘

𝑞 𝑘=𝑝

𝑞 𝑘=𝑛+1 𝑈𝑛

𝑈𝑘 =

g.

𝑈𝑘

𝑞+𝑎 𝑘=𝑝+𝑎

𝑈𝑘 ±

=

𝑞 𝑘=𝑝

𝑈𝑘−𝑎

𝑞 𝑘=𝑝

𝑉𝑘

𝑈𝑘 2)

𝑞 𝑘=𝑝

𝑈𝑘 =

𝑞−𝑎 𝑘=𝑝−𝑎

𝑈𝑘 𝑉𝑘 +

𝑞 𝑘=𝑝

𝑈𝑘+𝑎

𝑈𝑘 = 𝑈𝑝 ± 𝑉𝑘 )2 =

𝑞 𝑘=𝑝

𝑈𝑘2 ± 2

𝑞 𝑘=𝑝

𝑉𝑘2

Dengan memahami sifat – sifat notasi sigma di atas secara baik, kita akan dapat menyelesaikan permasalahan notasi sigma secara lebih mudah.

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 37

CONTOH 29 : 4 𝑘=1

 Hitunglah nilai dari

𝑘 2 − 4𝑘

Jawab : Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Cara 1 : 4 𝑘 =1

𝑘 2 − 4𝑘 = 12 − 4 1

+ 22 − 4 2

+ 32 − 4 3

+ 42 − 4 4

= 1 − 4 + 4 − 8 + 9 − 12 + 16 − 16 = −3 − 4 − 3 + 0

Cara 2 : 4 𝑘=1

𝑘 2 − 4𝑘 = =

4 2 𝑘=1 𝑘

4 2 𝑘=1 𝑘

−

−4

4 𝑘=1 4𝑘 4 𝑘=1 𝑘

= 12 + 22 + 32 + 42 − 4(1 + 2 + 3 + 4) = (1 + 4 + 9 + 16) − 4(10) = 30 − 40 = −10

4. Menyatakan Suatu Deret dalam Notasi Sigma Notasi sigma dapat mepermudah kita dalam menuliskan jumlah bilangan – bilangan yang terpola, misalnya 2+4+6+8+…. Seperti kalian ketahui, deret aritmetika dan geometri merupakan deret dengan suku – sukunya terpola tetap. Deret – deret seperti ini dapat kita sajian dalam notasi sigma. Agar kalian lebih paham, perhatikan contoh berikut.

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 38

CONTOH 30 :  Suatu deret dinyatakan dengan notasi sigma berikut.

a.

10 𝑛=1(2𝑛

b.

6 𝑛 𝑛=1 2

+ 1)

Jawab : a.

10 𝑛 =1

2𝑛 + 1 = 2 1 + 1 + 2 2 + 1 2 3 + 1 + ⋯ + (2 10 + 1) = 2 + 1 + 4 + 1 + 6 + 1 + ⋯ + (20 + 1) = 3 + 5 + 7 + ⋯ + 21

Tampak bahwa deret itu memiliki suku – suku yang selisihnya tetap, yaitu 2. Jadi, deret itu adalah deret aritmetika dengan suku awal a = 3, beda b = 2, dan U2 = 21. Nilai

10 𝑛=1(2𝑛

+ 1) sama

dengan nilai jumlah 10 suku pertama, yaitu S10. Dengan menggunakan rumus jumlah 10 suku pertama deret aritmetika, diperoleh. 𝑆𝑛 =

1 2

𝑛(𝑎 + 𝑈𝑛 ) 1

⟺ 𝑆10 = 2 10 (3 + 𝑈10 ) 1

= 2 10 (3 + 21) = 5 24 = 120 Jadi,

b.

10 𝑛=1

6 𝑛 𝑛=1 2

2𝑛 + 1 = 120

= 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64

Tampak bahwa deret itu memiliki rasio tetap, yaitu r=2. Jadi, deret ini termasuk deret geometri dengan suku awal a=2 dan rasio r=2. Oleh karena itu,

6 𝑛 𝑛 =1 2

= 𝑆6

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 39

Karena 𝑟 = 2 > 1, 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑔𝑢𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑟𝑢𝑚𝑢𝑠

𝑆𝑛 =

𝑎(𝑟 𝑛 −1) 𝑟−1

⟺ 𝑆6 = ⟺ 𝑆6 =

2(26 −1) 2−1 2(64−1) 1

⟺ 𝑆6 = 2(63) ⟺ 𝑆6 = 126 Jadi,

6 𝑛 𝑛=1 2

= 126

E. INDUKSI MATEMATIKA Misalkan Sn merupakan jumlah n suku barisan bilangan berikut. S1 = 1 S2 = 1+3=4 S3 = 1+3+5=9 S4 = 1+3+5+7=16 Perhatika pola di atas baik – baik. Amatilah, apakah S1 = 12, S2 = 22, S3 = 32, dan S4 = 42? Jawabnya adalah ya. Selanjutnya, dapatkah kalian simpulkan bahwa Sn = n2, yaitu 1+3+5+7+….(2n – 1) = n2? Di dalam matematika, pembuktian yang digunakan adalah dengan metode deduksi, yaitu berangkat dari hal – hal umum untuk membuktikan hal – hal yang khusus. Namun, tidak seluruhnya dapat dilakukan demikian. Bahkan sebaliknya, pembuktian yang digunakan berangkat dari hal – hal khusus untuk mencoba menyimpulkan hal yang umum. Di dalam matematika, cara pembuktian semacam ini merupakan suatu hal yang sangat khusus dan dikenal dengan induksi matematika.

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 40

Induksi matematika merupakan suatu cara pembuktian untuk membuktikan rumus yang memuat variabel n dan berlaku untuk setiap n bilangan asli. Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut. Misalkan P(n) suatu rumus, untuk bilangan asli n. 1. Misalkan P(n) benar untuk n=1 2. Jika diasumsikan P(n) benar, untuk n=k dan dapat ditunjukkan bahwa P(n) benar untuk n=k+1 maka P(n) benar untuk bilangan asli n. Misalkan P(n) merupakan suatu rumus untuk bilangan asli n yang akan dibuktikan, langkah – langkah dalam induksi matematika sebagai berikut.

1. Dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n=1 2. P(n) diasumsikan benar untuk n=k 3. Dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n=k+1 Jika setiap langkah tersebut sudah dilakukan dan diuji

kebenarannya

maka dapat ditarik kesimpulan bahwa P(n) berlaku untuk setiap n bilangan asli.

CONTOH 31 :  Buktikan bahwa 1 + 3 +5 + 7 + … + (2n - 1)= n2 berlaku untuk setiap 𝑛 ∈ 𝐴. Jawab : Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + …. + (2n - 1)= n2. Langkah – langkah induksi matematika adalah sebagai berikut. 1) Dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n=1 1 = 12 ⟺ 1 = 1 Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 41

Jadi, P(n) benar untuk n = 1 2) P(n) diasumsikan benar untuk n = k sehingga. 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1)=k2 (benar) 3) Dibuktikan P(n) benar untuk n = k+1, berarti harus dibuktikan bahwa 1+ 3 + 5 + 7 + …. + (2k – 1)+ (2(k + 1) – 1)= (k + 1)2 (benar). Dari langkah kedua, diperoleh 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1)= k2. Jika kedua ruas ditambah (2(k + 1) – 1), diperoleh 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1)+ (2(k + 1) – 1)= k2 + (2(k + 1) – 1) = k2 + (2k + 1) – 1) = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 Jadi, P(n) benar untuk n = k + 1 Karena langkah 1, 2, dan 3 benar, berarti P(n) berlaku untuk setiap 𝑛 ∈ 𝐴.

Kemampuan Dasar Mengajar Matematika_BARISAN dan DERET (ASMONI_06.02031.616)

Page_ 42