Matematiques I

UNIVERSITAT POMPEU FABRA

ESTUDIS EMPRESARIALS

` MATEMATIQUES I

Curs 2008-09

Professorat: Adam Mahdi Joan Miralles de I. Jaume Parad´ıs Ramon Villanova

´Index 1 Successions i l´ımits 1.1 Concepte de successi´o i terme general . . 1.2 Progressions aritm`etiques i geom`etriques 1.3 Suma en una progressi´o aritm`etica . . . 1.4 Suma en una progressi´o geom`etrica . . . 1.5 C`alcul de l´ımits . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

4 4 5 6 7 11

2 Funcions d’una variable real 2.1 Concepte de funci´o . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Expressi´o algebraica de les funcions . . . . . 2.3 Representaci´o gr`afica de les funcions . . . . 2.4 Domini i recorregut . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Resoluci´o d’inequacions . . . . . . . . . . . . 2.6 Composici´o de funcions . . . . . . . . . . . . 2.7 Funci´o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Algunes funcions importants . . . . . . . . . 2.9 L´ımits de funcions . . . . . . . . . . . . . . 2.10 As´ımptotes d’una funci´o . . . . . . . . . . . 2.10.1 C`alcul de les as´ımptotes horitzontals 2.10.2 C`alcul de les as´ımptotes obliq¨ ues . . 2.10.3 C`alcul de les as´ımptotes verticals . . 2.11 Continu¨ıtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Algunes funcions de la microeconomia . . . 2.12.1 Corbes de demanda . . . . . . . . . . 2.12.2 Corbes d’ingr´es brut . . . . . . . . . 2.12.3 Corbes de Cost . . . . . . . . . . . . 2.12.4 Corbes de cost mitj`a . . . . . . . . . 2.12.5 Corba de beneficis . . . . . . . . . . 2.13 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 18 18 19 21 23 24 25 27 29 29 30 31 32 32 32 33 34 35 36 36

2

. . . . .

´INDEX

3

3 La derivada d’una funci´ o 3.1 Derivada d’una funci´o en un punt . . . . . . . . . 3.1.1 Funci´o derivada . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Regles de derivaci´o . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Derivades successives . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Recta tangent a una funci´o en un punt . . 3.2 Desenvolupament d’una funci´o en s`erie de Taylor 3.3 Creixement i decreixement d’una funci´o . . . . . . 3.4 Concavitat i convexitat d’una funci´o . . . . . . . 3.5 M`axims i m´ınims . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 M`axims i m´ınims relatius . . . . . . . . . . 3.5.2 M`axims i m´ınims absoluts . . . . . . . . . 3.6 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Aplicacions a l’economia 4.1 La derivada en economia . . . . . . . . . . . 4.1.1 Relaci´o entre la funci´o de cost mitj`a i 4.1.2 El concepte d’elasticitat . . . . . . . 4.2 Duopoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 El problema del duopoli . . . . . . . 4.2.2 Fals duopoli . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

39 39 41 41 42 43 44 48 49 51 51 53 56

. . . . . . . . cost marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

58 58 59 60 65 65 67 69

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

5 Recapitulaci´ o de funcions d’una variable

72

6 Problemes d’ex` amens i solucions 6.1 Funcions d’una variable . . . . . 6.2 Ex`amens complets . . . . . . . 6.2.1 Desembre 06 . . . . . . . 6.2.2 Setembre 07 . . . . . . . 6.2.3 Desembre 07 . . . . . . . 6.2.4 Setembre 08 . . . . . . .

83 83 87 87 91 94 98

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Cap´ıtol 1 Successions i l´ımits 1.1

Concepte de successi´ o i terme general

El concepte matem`atic de successi´o ´es equivalent, amb matisacions, al que es fa servir en el llenguatge del carrer. Es tracta de posar “coses” una darrere de l’altra. Aix`o significa posar una cosa al primer lloc, una altra al segon, i aix´ı successivament. L’´ unica difer`encia ´es que, en matem`atiques, el que posem un darrere l’altre s´on nombres reals i, a m´es, n’ordenem sempre infinits. Aquestes consideracions ens porten a la definici´o de successi´ o de nombres reals: Una successi´ o de nombres reals ´es una assignaci´o que a cada nombre natural (1, 2, 3, . . .) li fa correspondre un nombre real. Exemples de successions: 1.

2, 4, 6, 8, 10, . . .

2.

1, -1, 1, -1, . . .

3.

1, 2, 1, 2, 1, 2, . . .

4.

2, 4, 8, 16, 32, . . .

5.

1 2 3 4 , , , , ... 2 3 4 5

6.

1 1 1 1 , , , ,. . . 2 5 8 11

Un altre problema ´es, donada una successi´o, saber quin nombre real es trobar`a en cada lloc. Anomenarem n al lloc corresponent. El terme que ´es al 4

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS

5

lloc n l’anomenarem an . Si trobem l’expressi´o de an tindrem una f´ormula que ens permet saber quin nombre real hi ha a cada lloc. Aquesta f´ormula rep el nom de terme general de la successi´ o. Els terme generals corresponents a les successions de l’exemple anterior serien: 1.

an = 2n.

2.

an = (−1)n+1 .

3.

an = 1 si n ´es senar, an = 2 si n ´es parell. O b´e an =

4.

an = 2n . n an = . n+1

5. 6.

an =

(−1)n + 3 . 2

1 . 3n − 1

Exercici 1. Determineu el cinqu`e i el vuit`e terme de la successi´o de terme √ n−1 . general an = 2 n +2 n2 Exercici 2: Donada la successi´o de terme general an = , determineu 2n − 1 25 16 si els nombres: i pertanyen o no a la successi´o. 11 7

1.2

Progressions aritm` etiques i geom` etriques

Com hem vist m´es amunt, hi ha successions creixents –cada terme ´es m´es gran que l’anterior–, successions decreixents –cada terme ´es m´es petit que l’anterior– i d’altres que no s´on ni creixents ni decreixents. Tamb´e hi ha successions fitades, ´es a dir, que tots els seus termes s´on menors –o m´es grans– que un valor donat. En altres paraules, podem fixar-nos en diverses caracter´ıstiques de les successions. Per exemple, hi ha successions, com la n´ umero 1 de la p`agina 4, en la que cada terme ´es 2 unitats m´es gran que l’anterior. Les successions que verifiquen aquesta propietat s’anomenen progressions aritm`etiques. D’altres, com per exemple la n´ umero 4 de la p`agina 4, verifiquen que cada terme ´es el doble de l’anterior. Les successions que verifiquen aquesta propietat s’anomenen progressions geom`etriques.

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS

6

• Si en una successi´o ´es verifica que, per a tot valor n de la successi´o, an − an−1 = d, on d ´es una quantitat constant, aleshores la successi´o rep el nom de progressi´ o aritm` etica. • d rep el nom de difer` encia de la progressi´o aritm`etica. • La f´ormula del terme general d’una progressi´o aritm`etica de difer`encia d ´es an = a1 + d · (n − 1).

• Si en una successi´o ´es verifica que, per a tot valor n de la an = r, on r ´es una quantitat constant, aleshores successi´o, an−1 la successi´o rep el nom de progressi´ o geom` etrica. • r rep el nom de ra´ o de la progressi´o geom`etrica. • La f´ormula del terme general d’una progressi´o geom`etrica de ra´o r ´es an = a1 · r n−1 . Vegem-ne alguns exemples: 1. La successi´o 1, 4, 7, 10, 13, . . . ´es una progressi´o aritm`etica de difer`encia d = 3. 1 1 1 1 , . . . ´es una progressi´o geom`etrica de ra´o 2. La successi´o 1, , , , 2 4 8 16 1 r= . 2 1 1 1 1 3. La successi´o 1, , , , , . . . no ´es una progressi´o aritm`etica ni geo2 4 6 8 m`etrica. 4. La successi´o 2, 6, 18, 54, 162, . . . ´es una progressi´o geom`etrica de ra´o r = 3.

1.3

Suma en una progressi´ o aritm` etica

Una manera f`acil de caracteritzar una progressi´o aritm`etica ´es la seg¨ uent: per a avan¸car en la progressi´o cal anar sumant la difer`encia d, i per a anar retrocedint cal restar la difer`encia. Per exemple, si 8 ´es un terme d’una

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS

7

progressi´o aritm`etica de difer`encia 3, els termes seg¨ uents de la progressi´o s´on: 8, 11, 14, 17, . . . i els termes anteriors s´on: −4, −1, 2, 5, 8 . . . Observem que, prenguem el tros que prenguem de la progressi´o, la suma del primer m´es l’´ ultim val el mateixa que la del segon i el pen´ ultim, . . . i aix´ı successivament. Per exemple, si prenem: −4, −1, 2, 5, 8, 11, 14, . . . tenim que −4 + 14 = −1 + 11 = 2 + 8 = 10 que ´es el doble de 5, el terme central. Considerem ara amb m´es detall la propietat que acabem d’assenyalar: la suma dels termes sim`etrics d’una progressi´o aritm`etica finita ´es constant. Aix`o vol dir que, si coneixem el primer i el darrer dels termes de la progressi´o, en podem con`eixer la suma. Dit d’una altra manera: si considerem la progressi´o aritm`etica finita: a1 , a2 , a3 , . . . , an , n la suma dels seus termes ´es S = (a1 + an ) · . 2 Exemple: La suma, S, dels 100 primers nombres naturals: 1, 2, 3, . . . , 100 100 = 101 · 50 = 5050. val: S = (1 + 100) · 2 Exercici 3: Calculeu la suma dels cent primers nombres senars.

1.4

Suma en una progressi´ o geom` etrica

Una manera f`acil de caracteritzar una progressi´o geom`etrica ´es la seg¨ uent: per a avan¸car en la progressi´o cal anar multiplicant per la ra´o r i per a anar retrocedint cal dividir per la ra´o. Aix`o significa que, donat un terme a qualsevol d’una progressi´o geom`etrica, podem escriure els termes seg¨ uents aix´ı: a, a · r, a · r 2 , a · r 3 , a · r 4 , . . . . Tamb´e podrem escriure els termes anteriors a a aix´ı: a a a a , , , , a, . . . . r4 r3 r2 r

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS

8

En resum: els termes de la progressi´o geom`etrica que es troben al voltant de a es poden escriure com: ...

a a a a , , , , a, a · r, a · r 2 , a · r 3 , a · r 4 , . . . r4 r3 r2 r

(1.1)

Aquesta forma d’expressar els termes d’una progressi´o geom`etrica ens serviria per a aconseguir una f´ormula per al producte dels termes an`aloga a la de la suma dels termes d’una progressi´o aritm`etica. Nom´es cal fixar-nos en qu`e en una progressi´o geom`etrica finita, el producte de dos termes sim`etrics respecte al terme central ´es constant. Tanmateix, ´es molt m´es important aconseguir una f´ormula per a la suma de termes d’una progressi´o geom`etrica. Es demostra f`acilment que la suma dels n primers termes d’una progressi´o geom`etrica de ra´o r ´es: Sn =

an · r − a1 . r−1

(1.2)

En efecte, nom´es cal escriure Sn = a1 + a2 + · · · + an r · Sn = r · a1 + r · a2 + · · · + r · an = a2 + a3 + · · · + an + r · an i restar la u ´ ltima igualtat de la primera: r · Sn − Sn = r · an − a1 . A¨ıllant Sn de la igualtat anterior es troba la f´ormula (1.2). Exercici 4: Trobeu la suma dels termes de la progressi´o 3 3 3 3 , 2, 3,..., 8. 10 10 10 10 Creieu que us calia la f´ormula per calcular-ne la suma? Suposem ara una progressi´o geom`etrica decreixent, ´es a dir, una progressi´o geom`etrica de ra´o m´es petita que 1. Per exemple, r = 1/2 i a1 = 1/2: 1 1 1 1 1 , , , , , ... 2 4 8 16 32 Gr`aficament, si considerem un quadrat de costat 1, podem representar els termes de la successi´o de la manera seg¨ uent: A la figura 1.1 es veu que cada

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS

9

Figura 1.1: Suma de termes de la pr. geom`etrica

vegada afegim la meitat del que falta per arribar a completar el quadrat d’`area 1, de forma que, tot afegint cada vegades m´es termes a la suma: 1 1 1 1 1 + + + + + ··· , 2 4 8 16 32 ens aproparem tant com vulguem a completar el quadrat de costat 1. En altres paraules, direm que la suma de tots els termes d’aquesta progressi´ o geom` etrica val 1. Observem que a mesura que avancem en qualsevol progressi´o geom`etrica de ra´o m´es petita que 1, els termes es fan cada vegada m´es petits, “tendeixen a zero”. Per tant, per a progressions geom`etriques de ra´o m´es petita que 1 podem adaptar la f´ormula (1.2) per a sumar “tots” els termes de la progressi´o: −a1 a1 0 · r − a1 = = . S= r−1 r−1 1−r Exercici 5: Calculeu la suma de tots els termes de la progressi´o geom`etrica de primer terme a1 = 1/2 i de ra´o r = 2/3. Exercici 6: Calculeu la suma de tots els termes de la progressi´o geom`etrica de primer terme a1 = 3/10 i de ra´o r = 1/10. Com a l’exercici 4, creieu que calia la f´ormula per trobar-ne la suma?

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS

10

L´ımit d’una successi´ o Considerem la successi´o: 1 1 1 1 1 1, , , , , , ... 2 4 8 16 32 de terme general

1 2n−1

(1.3)

. Dibuixant aquests valors sobre la recta (figura 1.2)

Figura 1.2: Els termes de la successi´o (1.3) veiem que els successius termes s’apropen a zero tant com vulguem; en altres paraules, si volem algun terme de la successi´o que li falti menys d’una milion`esima –o menys que qualsevol altra quantitat, per petita que sigui– per a arribar a zero, en trobarem i no nom´es un, sin´o que a partir d’un cert lloc tots els termes estaran a menys de la milion`esima. Aix`o es resumir`a dient que el l´ımit de la successi´o ´es zero, i ho escriurem aix´ı: lim

n→∞

1 2n−1

= 0.

An`alogament, considerem la successi´o: 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . . ´ clar que qualsevol nombre, per gran que sigui, ´es superat per termes Es d’aquesta successi´o: direm que el l´ımit d’aquesta successi´o ´es infinit, i ho escriurem aix´ı: lim 2n−1 = ∞ . n→∞

Suposem ara la successi´o: −1, −2, −4, −8, −16, −32, . . . De manera similar al cas anterior, est`a clar que qualsevol nombre, per petit – negatiu– que sigui, ´es superat per baix per termes d’aquesta successi´o: direm que el l´ımit d’aquesta successi´o ´es menys infinit, i ho escriurem aix´ı: lim (−2n−1 ) = −∞ .

n→∞

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS

11

No totes les successions tenen l´ımit. Per exemple, la successi´o de terme general an = (−1)n , ´es a dir, −1, 1, −1, 1, −1, 1, . . . , no t´e l´ımit.

1.5

C` alcul de l´ımits

Considerem ara el l´ımit de la successi´o (1.3). Des d’un punt de vista formal podr´ıem “calcular-lo” aix´ı: 1 1 = = 0. n→∞ n ∞ lim

La u ´ ltima igualtat s’ha de llegir en el sentit de l´ımits d’una successi´o, NO com una operaci´o num`erica v`alida (∞ no ´es CAP nombre real). Aix´ı, des del punt de vista de l´ımits de successions podem plantejar la seg¨ uent llista d’“operacions”amb l´ımits: 1.

1 1 = 0, = ∞. ∞ 0

2. ∞ + a = ∞, on a ´es un nombre qualsevol.  ∞ si a > 0 3. ∞ · a = . El cas ∞ · 0 ´es indeterminat, ´es a dir, el −∞ si a < 0 seu valor dep`en de les successions concretes involucrades. 4. ∞ · ∞ = ∞. ∞ ´es indeterminat. 5. ∞ 6.

0 ´es indeterminat. 0

7. ∞ − ∞ ´es indeterminat. 8. Si a > 1, a∞ = ∞, a−∞ = 0. 9. 1∞ ´es indeterminat. Aquestes seran les regles que haurem d’aplicar per al c`alcul de l´ımits, juntament amb el coneixement d’alguns l´ımits de successions com les definides

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS

12

per polinomis: si P (x) ´es un polinomi, aleshores lim P (n) = ∞. M´es conn→∞ cretament: lim an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 = +∞ si an > 0

n→+∞

lim an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 = −∞ si an < 0

n→+∞

lim an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 = −∞ si an > 0

n→−∞

lim an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 = +∞ si an < 0

n→−∞

n2 − 1 . El resoldrem pas per pas: n→∞ 2n2 − 3n + 4

Exemple: lim

Pas 1. Com que el numerador i el denominador s´on polinomis, ambd´os tenn2 − 1 ∞ deixen a infinit: lim = , que ´es indeterminat. 2 n→∞ 2n − 3n + 4 ∞

Pas 2. Dividim numerador i denominador per n elevat a la m`axima pot`encia que hi aparegui; en aquest cas, 2: 2

lim

n→∞

n −1 = lim − 3n + 4 n→∞

2n2

1−

1 n2

4 3 2− + 2 n n

=

1−0 1 = . 2−0+0 2

√ √ Exemple: lim ( n + 1 − n − 1). n→∞

√

Pas 1. lim ( n + 1 − n→∞

√

n − 1) = ∞ − ∞, que ´es indeterminat.

√ √ Pas 2. Multipliquem numerador i denominador per n + 1 + n − 1. Tindrem √ √ √ √ √ √ ( n + 1 − n − 1)( n + 1 + n − 1) √ √ lim ( n + 1− n − 1) = lim = n→∞ n→∞ n+1+ n−1 2 2 √ lim √ = = 0. n→∞ ∞ n+1+ n−1 −n2 Exemple: lim e n + 2 . n→∞

Pas 1. L’exponent ´es, igual que en el cas anterior, una indeterminaci´o del tipus ∞ . Resolguem-la. ∞

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS

13

Pas 2. Dividint numerador i denominador per n2 tindrem: −n2 −1 −1 lim = lim = −∞. = 2 n→∞ n + 2 n→∞ 1 0 + n n2 Pas 3. Tornant al nostre problema inicial tindrem: −n2 lim e n + 2 = e−∞ = 0.

n→∞

Considerem ara la successi´o de terme general an = alguns dels seus primers termes: • a1 = 11 = 1. 2  1 • a2 = 1 + 2  3 1 • a3 = 1 + 3  4 1 • a4 = 1 + 4  5 1 • a5 = 1 + 5 6  1 • a6 = 1 + 6

 2 3 = 2  3 4 = 3  4 5 = 4  5 6 = 5  6 7 = 6



1 1+ n

=

9 = 2,25. 4

=

64 = 2,37. 27

=

625 = 2,44140. 256

=

7776 = 2,48832. 3125

=

117649 = 2,521626371. 46656

n

, i calculem

Pretenem con`eixer el l´ımit d’aquesta successi´o. Si substitu¨ım n per ∞, com hem fet abans, tindrem:  n 1 = (1 + 0)∞ = 1∞ , (1.4) lim 1 + n→∞ n que ´es indeterminat. A partir dels termes que hem calculat, queda clar que el resultat no ´es 1, sin´o un nombre entre 2 i 3. Aquest nombre s’anomena e, i el seu valor aproximat ´es: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 09 .

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS

14

Aquest nombre ´es irracional, ´es a dir, t´e infinits decimals, sense cap per´ıode. Un resultat important, a l’hora de trobar l´ımits, ´es que si el l´ımit de l’expressi´o (1.4) ´es e, tamb´e ho ´es el de qualsevol expressi´o del tipus: 1

lim (1 + kn ) kn = e si

n→∞

lim kn = 0 .

n→∞

En conseq¨ u`encia, quan tinguem una expressi´o del tipus 1∞ podrem utilitzar aquest fet per a resoldre la indeterminaci´o. Per exemple, volem calcular el l´ımit seg¨ uent: n+1  1 lim 1 + n→∞ 2n − 1

i, com abans, procedirem per passos:  Pas 1. lim 1 + n→∞

1 2n − 1

n+1

" = lim 1+ n→∞

1 2n − 1

2n−1 #

n+1 2n − 1

Pas 2. Calculem el l´ımit de l’exponent. Per tot el que s’ha explicat m´es amunt n+1 1 tindrem: lim = . n→∞ 2n − 1 2

Pas 3. El l´ımit incl`os dins del claud`ator, per tot l’anterior, ´es e. Acabem de 1 calcular el l´ımit de l’exponent, i ens ha sortit . Per tant, 2 n+1 "  n+1 2n−1 #  2n − 1 1 1 1 lim 1 + = e2. = lim 1+ n→∞ n→∞ 2n − 1 2n − 1 ´ f`acil comprovar que, per a calcular lim (an )bn on lim an = 1 i lim bn = Es n→∞ n→∞ n→∞ ∞, aleshores podem determinar-lo fent servir la f´ormula seg¨ uent: lim (an )bn = e

n→∞

lim (an − 1) · bn

n→∞

Exercicis: Calculeu els l´ımits seg¨ uents: 3n3 − 2n + 4 . n→∞ n2 + 5n − 6

Ex. 1. lim

3n2 − 2n + 4 . n→∞ n3 + 5n − 6

Ex. 2. lim

.

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS

15

3n2 − 2n + 4 . n→∞ n2 + 5n − 6

Ex. 3. lim

P (n) , on P (n) ´es un n→∞ Q(n) polinomi de grau k i Q(n) ´es un polinomi de grau k 0 . √ n √ . Ex. 5. lim √ n→∞ n+1− n−1 2n−3  n+1 . Ex. 6. lim n→∞ n Ex. 4. Utilitzeu els exercicis anteriors per a calcular lim



Ex. 7. lim e n→∞

√  n n+1

.

Exercicis de recapitulaci´ o Rec. 1. En una progressi´o geom`etrica tenim: a1 + a2 + a3 = 7 a4 + a5 + a6 = 56 . Quant val a1 + a4 ? Rec. 2. Si sabem que els tres nombres x, x + 9 i x + 45 estan en progressi´o geom`etrica, determineu el valor de x. Rec. 3. El tercer terme d’una progressi´o geom`etrica ´es 10 i el sis`e ´es 80. Quant val la seva ra´o? Rec. 4. Calculeu la suma dels 100 primers nombres parells estrictament positius. Rec. 5. Quants elements t´e la progressi´o aritm`etica 100, 98, 96, . . . , 22? Rec. 6. En una progressi´o aritm`etica, quant val a50 si a5 = 30 i a10 = 50? Rec. 7. Calculeu els l´ımits seg¨ uents: −5n4 + 4n2 . n→∞ 3n3 −5n4 + 4n−2 . (b) lim n→∞ 3n3 (a) lim

CAP´ITOL 1. SUCCESSIONS I L´IMITS −5n3 + 4n2 . n→∞ 3n3 −5n3 + 4n−2 . lim n→∞ 3n3 −5n−3 + 4n−2 . lim n→∞ 3n3 √ lim n2 + n − n. n→∞ √ √ lim n2 + 3n + 1 − n2 + 4. n→∞ √ √ n2 + 3n + 1 − n2 + 4 . lim n→∞ n n2 /3  1 . lim 1 + 2 n→∞ n  2 n2 +2n−1 n +3 lim . n→∞ n2 − 3

(c) lim (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)

16

Cap´ıtol 2 Funcions d’una variable real 2.1

Concepte de funci´ o

Donat un conjunt de nombres, podem establir una relaci´o o correspond`encia entre els seus elements. Per exemple, si suposem el conjunt dels nombres enters, podem establir la relaci´o que a cada nombre enter li fa correspondre el seu oposat, ´es a dir, al 7 li fa correspondre el −7, al 4 li fa correspondre el −4, al 0 li fa correspondre el 0, al −3 li fa correspondre el 3, i aix´ı successivament. Nosaltres estem interessats en un tipus molt espec´ıfic de correspond`encies o relacions: les funcions d’una variable real, que s´on les m´es b`asiques i importants del m´on de la Matem`atica. Anomenem funci´ o d’una variable real a tota relaci´o entre nombres reals que a cada element n’hi faci correspondre un i nom´es un. Ara caldr`a que fem un petit esfor¸c de definici´o del llenguatge de les funcions i de la seva expressi´o algebraica. Per a comen¸car, aquells nombres reals que s´on els subjectes de la nostra funci´o, ´es a dir, aquells a qui en fem correspondre un altre, formen l’anomenat conjunt de sortida, conjunt d’originals o conjunt de les antiimatges. Els destinataris, aquells que corresponen a algun original, formen el conjunt d’arribada o conjunt de les imatges. La recepta que ens permet saber qui correspon a qui s’anomena regla o f´ ormula de la funci´o. Vegem-ho amb un exemple. Considerem la funci´o que a cada nombre real li fa correspondre el seu doble: aquesta ´es la regla de la funci´o. El conjunt original ´es ara el de tots els nombres reals, el mateix que el conjunt de les 17

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

18

imatges. Per tant, en aquest cas tenim que el conjunt original ´es R, el mateix que el conjunt imatge. Podem dir que la imatge √ √ de 4 ´es 8, que 6,5 ´es una antiimatge de 13, que a − 3 li correspon −2 3, i aix´ı successivament.

2.2

Expressi´ o algebraica de les funcions

Per tal de seguir amb efici`encia qualsevol curs de matem`atiques ´ es fonamental ser capa¸c de llegir correctament el llenguatge de les funcions. En l’exemple anterior no ens hem preocupat gaire de quins eren els conjunts de sortida i d’arribada; ara definirem en concret que es tracta del conjunt dels nombres reals. A m´es, la nostra funci´o ha de tenir un nom: per exemple, li donarem el nom m´es habitual, que ´es f . Tamb´e de manera habitual, els elements del conjunt original acostumen a indicar-se amb la lletra x, que no s’ha de confondre amb la inc`ognita d’una equaci´o: de moment, s´on dues coses que no tenen res a veure. Esquematitzem tot aquest llenguatge de funcions: seguint amb el nostre exemple tindrem: Llenguatge habitual f ´es una funci´o de R en R

Llenguatge algebraic f: R

−→

A cada nombre real li fa correspondre el seu doble

f (x) = 2x

La imatge de 4 ´es 8

f (4) = 8

2,5 ´es una antimatge de 5

f (2,5) = 5

R

Fem notar que en una funci´o la imatge d’un nombre ´es u ´ nica, per`o la antiimatge no t´e perqu`e ser-ho. En la funci´o f (x) = x2 , el nombre 4 t´e dues antiimatges: 2 i −2.

2.3

Representaci´ o gr` afica de les funcions

En el m`odul de SIREMA dedicat a les funcions polin`omiques hi trobareu un rep`as exhaustiu de la representaci´o gr`afica de les funcions. Aqu´ı nom´es recordarem que, per a representar gr`aficament una funci´o d’una variable f :

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

19

• Les representarem en un sistema de dos eixos perpendiculars, que s’anomenen eixos de coordenades. • Posarem els elements del conjunt de sortida a l’eix horitzontal, que s’anomena eix d’abscisses. Aquests elements s’acostumen a indicar amb la lletra x. • Posarem els elements del conjunt d’arribada a l’eix vertical, que s’anomena eix d’ordenades. Aquests elements s’acostumen a indicar amb la lletra y o, tamb´e, f (x). • Si la imatge de x ´es y, indicarem que el punt (x, y) pertany a la gr`afica de la funci´o f .

Figura 2.1: Representaci´o gr`afica de funcions

2.4

Domini i recorregut

Habitualment n’hi ha prou amb donar la regla de la funci´o, sense que calgui explicitar quins nombres reals tenen imatge i quins s´on imatge d’algun nombre real. Tanmateix, moltes vegades ens ser`a d’utilitat con`eixer aquests conjunts, i ´es per aquest motiu que tenen nom espec´ıfic:

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

20

Donada una funci´o f d’una variable: • Anomenem domini de la funci´ o f al conjunt de tots els nombres reals que tenen imatge, i l’indicarem com a Dom f . • Anomenem recorregut de la funci´ o f al conjunt de tots aquells nombres reals que s´on imatge d’algun altre, i l’indicarem com a Im f . La cerca del domini d’una funci´o ´es habitualment senzilla: nom´es cal con`eixer les operacions que hi apareixen. Per`o per a determinar el recorregut d’una funci´o de vegades cal comen¸car per con`eixer-la completament. Vegem alguns exemples de c`alcul de dominis de funcions: Ex. 1. f (x) = x2 − 5x + 6. ´ evident que a tot nombre real se li poden aplicar les operacions Es indicades: elevar-lo al quadrat, restar-li ell mateix quintuplicat, . . . . Per tant, Dom f = R. 2x . x−2 Com que no es pot dividir per zero, nom´es quedaran exclosos del domini de f aquells valors que facin zero el denominador; es tracta de resoldre la senzill´ıssima equaci´o x − 2 = 0, que t´e com a u ´ nica soluci´o x = 2. Per tant, Dom g = R − {2} = (−∞, 2) ∪ (2, ∞).

Ex. 2. g(x) =

x−2 . − 5x + 6 Amb el mateix criteri de l’exemple anterior, nom´es quedaran exclosos del domini aquells valors que facin zero el denominador. Les solucions de l’equaci´o x2 − 5x + 6 = 0 s´on x = 2 i x = 3. En conseq¨ u`encia, Dom h = R − {2, 3} = (−∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, ∞).

Ex. 3. h(x) =

x2

x−1 . + 2x + 2 Fent servir els mateixos criteris dels darrers exemples comprovem que l’equaci´o x2 + 2x + 2 = 0 no t´e cap soluci´o real. Per tant, com que el denominador no s’anul·la mai, tindrem que Dom j = R. √ Ex. 5. k(x) = x − 3. Aquest ´es un cas diferent dels anteriors: com que nom´es existeix l’arrel quadrada dels nombres no negatius, ara no ens preocupa si algun polinomi val zero o no, sin´o que volem saber per a quins valors ´es positiu i per a quins no. En altres paraules, hem de resoldre la inequaci´ o

Ex. 4. j(x) =

x2

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

21

x − 3 ≥ 0 que, `obviament, t´e com a soluci´o x ≥ 3. Per tant, tindrem que Dom k = [3, +∞). Per`o, en cas que la inequaci´o sigui m´es dif´ıcil, com podrem resoldre-la?

2.5

Resoluci´ o d’inequacions

A l’hora de determinar el valors que verifiquen una inequaci´o cal anar en compte amb les situacions seg¨ uents: • Si a < b, aleshores −a > −b. • Si 0 < a < b, aleshores • Si a < b, aleshores



1 1 > . a b

a · c < b · c si c > 0 . a · c > b · c si c < 0

Tenint en compte aquestes possibilitats, les inequacions de primer grau es resolen simplement transposant termes. Per exemple: 3x − 4 ≥ 5x − 6 → 3x − 5x ≥ 4 − 6 → −2x ≥ −2 → 2x ≤ 2 → x ≤ 1 . Quan tenim una inequaci´o polin`omica de grau m´es gran que 1, el problema canvia: cal que descomponem el polinomi en producte de polinomis de grau el m´es petit possible. El cas dels polinomis de grau 2 ´es f`acil. Nom´es hem de trobar les arrels del polinomi a trav´es de la f´ormula habitual. Per exemple, el polinomi 3x2 − 3x − 6 es descompon 3x2 − 3x − 6 = 3(x − 2)(x + 1) perqu`e 3x2 − 3x − 6 = 0 t´e com arrels −1 i 2. Ara, saber per quins valors de x es compleix que 3x2 + 3x − 6 < 0, ´es f`acil. Els signes dels factors x − 2 i x + 1 ens permeten saber el signe del producte: x+1 x−2 3(x − 2)(x + 1)

x < −1 − − +

x = −1 0 − 0

−1 < x < 2 x = 2 2 < x + 0 + − 0 + − 0 +

En conseq¨ u`encia, 3x2 − 3x − 6 < 0 quan −1 < x < 2. En el cas de grau m´es elevat, el procediment ´es el mateix per`o no tenim la f´ormula per trobar les arrels del polinomi. Per exemple, si volem calcular per a quins valors de x es verifica x3 − 4x2 + 3x < 0 ,

(2.1)

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

22

ens caldr`a descompondre en factors el polinomi, tal com hem fet en el cas anterior, apel·lant a les t`ecniques que permeten trobar les arrels d’un polinomi de grau superior a 2. Per recordar-les, mireu el m`odul de SIREMA “divisibilitat de polinomis”. En aquest cas el resultat ´es: x3 − 4x2 + 3x = x(x − 1)(x − 3) .

(2.2)

Vegem ara la manera d’esbrinar quins valors de x verifica la inequaci´o x3 − 4x2 + 3x < 0. El polinomi (2.2) val zero quan x pren els valors x = 0, x = 1, x = 3 i, per tant, el polinomi nom´es pot canviar de signe quan x prengui aquests valors. Vegem ara de manera esquem`atica els signes que pren el polinomi (2.2) en cadascuna d’aquestes zones: x<0 x=0 0<x<1 x=1 1<x<3 x=3 x − 0 + + + + x−1 − − − 0 + + x−3 − − − − − 0

x>3 + + +

Com que el nostre polinomi ´es producte d’aquests factors, podem completar la taula de signes del polinomi simplement per producte dels factors corresponents: x<0 − − − Producte − x x−1 x−3

x=0 0<x<1 x=1 1<x<3 x=3 x>3 0 + + + + + − − 0 + + + − − − − 0 + 0 + 0 − 0 +

Per tant, els valors de x que verifiquen la inequaci´o (2.1) s´on (−∞, 0) ∪ (1, 3). En cas de tenir un producte o quocient de diversos factors polin`omics farem servir exactament els mateixos criteris. Vegem-ho amb uent exemple: r el seg¨ 2 x −1 Exemple: Calculeu el domini de la funci´o f (x) = . 3 x + 2x2 + x + 2 Procedirem per passos: Pas 1. Ens interessa saber quin signe pren l’expressi´o del radicand: x2 − 1 , pels diversos valors de x. x3 + 2x2 + x + 2 Pas 2. Descomposem en factors el numerador: x2 − 1 = (x + 1)(x − 1). Aquests factors valen zero quan x = −1 i x = 1 respectivament.

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

23

Pas 3. Descomposem en factors el denominador: x3 + 2x2 + x + 2 = (x + 2)(x2 + 1). El primer factor val zero quan x = −2, i el factor x2 + 1 ´es positiu per a qualsevol valor de x; per tant, no afecta al signe del resultat. Pas 4. En resum, els diversos factors valen zero quan x = −2, x = −1 i x = 1 respectivament: aquests s´on els valors on canviar`a el signe del radicand. Pas 5. Plantegem el quadre de signes com hem fet a l’exemple anterior: x+2 x+1 x−1

x < −2 − − − −

x = −2 0 − −

−2 < x < −1 + − − +

x = −1 + 0 − 0

−1 < x < 1 + + − −

x=1 + + 0 0

x>1 + + + +

Pas 6. Si tenim en compte que el valor x = −2 fa que el denominador valgui zero i, per tant, no pertany al domini, tindrem que: Dom f = (−2, −1] ∪ [1, +∞) .

2.6

Composici´ o de funcions

En l’`ambit de les funcions, a banda de les operacions de suma, producte, etc., que estem acostumats a fer servir ´es important considerar un altre tipus d’operaci´o que es podria descriure com posar una funci´o darrera d’una altra o tamb´e aplicar dues funcions consecutivament. Aqu´ı ser`a important, una vegada m´es, dominar el llenguatge de les funcions. En tot cas, comen¸carem per una definici´o: Donades dues funcions f i g anomenarem funci´ o composici´ o de f i g, i l’escriurem com f ◦ g, a: (f ◦ g)(x) = f (g(x)) .

(2.3)

Vegem ara el significat d’aquesta definici´o: considerem dues funcions concretes, f (x) = 2x i g(x) = x + 1. Aqu´ı ser`a especialment important el saber “llegir” les funcions: la funci´o f ´es tal que a cada nombre real li fa correspondre el seu doble, mentre que la funci´o g, a cada real li fa correspondre el que ´es una unitat m´es gran. Apliquem la definici´o (2.3) pas a pas: Pas 1. Primer aplicarem la funci´o g, ja que observem que la definici´o (2.3) parla de g(x), per`o no de f (x): (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x + 1).

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

24

Pas 2. Com que f ´es una funci´o que a cada real li fa correspondre el seu doble, al nombre real x + 1 li fa correspondre 2(x + 1): (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x + 1) = 2(x + 1). Pas 3. En cas que sigui convenient, aquesta expressi´o pot simplificar-se al m`axim: (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2. En resum: (f ◦ g)(x) = 2x + 2. MOLT IMPORTANT: La composici´o de funcions ´es una operaci´o no conmutativa, ´es a dir, no sempre es verifica que f ◦ g sigui igual a g ◦ f . Per exemple, en el cas de les funcions anteriors tindrem que: (g ◦ f )(x) = g (f (x)) = g(2x) = 2x + 1 6= 2x + 2 . 1 Exercici: Donades les funcions f (x) = x2 + x + 1 i g(x) = , calculeu f ◦ g x i g ◦ f , simplificant les expressions corresponents tot el que sigui possible.

2.7

Funci´ o inversa

Donada una funci´o real d’una variable, la seva funci´ o inversa ´es aquella en la que originals i imatges inverteixen els seus papers. En altres paraules, si la funci´o f ´es la que consisteix en multiplicar per 2 cada nombre real, la seva inversa consistir`a en dividir per 2 cada nombre real. La q¨ uesti´o ´es: si existeix la funci´o inversa de f , com es calcula? Per a simplificar, posem la f´ormula de la funci´o f aix´ı: y = 2x. Sabem que la x correspon als originals i la y a les imatges. Amb el concepte de funci´o inversa que acabem de presentar queda clar que la inversa d’aquesta funci´o ser`a aquella en la que les x fan de y i viceversa, ´es a dir, x = 2y. Si ara x a¨ıllem la y tindrem l’expressi´o de la inversa de la nostra funci´o: y = , com 2 ja sab´ıem. La funci´o inversa de la funci´o f , si existeix, s’escriu aix´ı: f −1 (x). ´ aquesta expressi´o no t´e res a veure amb una pot`encia. ATENCIO: El darrer dels passos que acabem d’escriure, el d’a¨ıllar la y, no sempre ser`a possible: aleshores direm que la funci´o no t´e inversa per a tots els valors reals. Exemple: Demostreu que la funci´o f (x) = x2 no t´e inversa per a tots els valors reals. Procedirem com en el primer exemple: Pas 1. Escriurem la funci´o que ens donen com y = x2 .

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

25

Pas 2. Intercanviarem els noms –i els papers– de les variables: x = y 2 . √ Pas 3. En intentar a¨ıllar la y ens trobem que haur´ıem de posar y = ± x, on hi hauria valors de x que no tindrien imatge i d’altres que en tindrien dues. Per tant, no ´es funci´o.

2.8

Algunes funcions importants

Descriurem aqu´ı algunes funcions senzilles per`o de gran import`ancia en el m´on de la Matem`atica, juntament amb les seves gr`afiques. 1. La funci´ o valor absolut. S’escriu habitualment com a f (x) = |x|. La seva definici´o rigorosa ´es:  x si x ≥ 0 |x| = −x si x < 0 Per exemple, |5| = 5, | − 4| = 4. La seva gr`afica ´es representada a la figura 2.2.

Figura 2.2: La funci´o valor absolut

2. La funci´ o part entera. S’escriu habitualment com a E(x). A cada nombre real x li fa correspondre el m´es gran nombre enter que sigui m´es petit o igual que x. 3. La funci´ o part fraccion` aria. La part fraccion`aria d’un nombre es defineix que el valor del nombre menys la seva part entera, ´es a dir, D(x) = x − E(x). La seva gr`afica ´es a la figura 2.4. 4. Les funcions polin` omiques. Les seves propietats s´on prou sabudes. Podeu repassar-les al m`odul corresponent de SIREMA.

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

26

Figura 2.3: La funci´o part entera

Figura 2.4: La funci´o part fraccion`aria

5. Les funcions racionals. S’anomenen aix´ı les funcions que s´on quocient de dues funcions polin`omiques. Per exemple, les funcions: f (x) =

x2 x2 + 1

o g(x) =

1 x

s´on funcions racionals. 6. Les funcions irracionals. S´on aquelles en qu`e les variables es troben sota arrels. Per exemple, les funcions: f (x) =

√

x2 + 1 o g(x) = √

1 x2 − 2

s´on funcions irracionals. 7. Les funcions exponencials. S´on funcions de la forma f (x) = ax on a > 0 i a 6= 1, que podeu repassar en el m`odul correponent de SIREMA. La m´es habitual i senzilla ´es f (x) = ex , que t´e com a gr`afica la figura 2.5.

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

27

Figura 2.5: La funci´o ex

8. Les funcions logar´ıtmiques. S´on les funcions inverses de la corresponent funci´o exponencial, que podeu repassar en el m`odul correponent de SIREMA. La m´es habitual i senzilla ´es f (x) = ln x, que ´es la inversa de ex i t´e com a gr`afica la figura 2.6.

Figura 2.6: La funci´o ln x

2.9

L´ımits de funcions

Tot el que sabem sobre l´ımits de successions es trasllada de manera similar a les funcions. Tanmateix, a difer`encia de les successions, amb les funcions no cal que la x tendeixi a infinit: pot tendir a −∞, o a un valor donat qualsevol, a. En una primera aproximaci´o podem parlar de lim f (x), lim f (x), x→−∞

x→a

lim f (x). Aix`o significar`a analitzar el comportament de la funci´o quan x x→∞ s’acosta cada vegada m´es a aquests valors: Com calcular l´ımits? N’hi ha prou amb substituir la x pel seu valor i, en cas que resulti indeterminat, aplicar els m`etodes que ja coneixem. Vegem-ne alguns exemples:

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

28

Figura 2.7: Els l´ımits d’una funci´o

1 1 = = ∞. x→8 x − 8 0 1/(x−3)2  ∞  2 x−1 = 0. = Ex. 2. lim x→3 x 3

Ex. 1. lim

x2 − 3x + 2 0 = que ´es indeterminat. El resoldrem per passos: 2 x→1 x −1 0

Ex. 3. lim

Pas 1. Descomposarem en factors el numerador i el denominador: x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) ,

x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) .

Pas 2. Simplificarem abans de calcular el l´ımit: 1 x2 − 3x + 2 (x − 1)(x − 2) (x − 2) = lim = lim =− . 2 x→1 (x + 1)(x − 1) x→1 (x + 1) x→1 x −1 2 lim

En alguns casos, ens interessar`a con`eixer el comportament de la funci´o en un punt a per`o nom´es per l’esquerra d’aquest valor, ´es a dir per a x < a. Direm que calculem el l´ımit lateral per l’esquerra. Es simbolitza de la seg¨ uent manera: lim− f (x). x→a

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

29

De la mateixa manera es defineix el l´ımit lateral per la dreta: lim f (x).

x→a+

El c`alcul de l´ımits laterals tamb´e es fa substituint x per a per`o tenint en compte que x < a o x > a segons el cas. Aquesta restricci´o pot provocar comportaments diferents. Per exemple, lim e1/x = e−∞ = 0,

x→0−

i, en canvi: lim e1/x = e+∞ = +∞.

x→0+

2.10

As´ımptotes d’una funci´ o

Les diferents as´ımptotes que pot tenir una funci´o corresponen a les diferents rectes que serien tangents a la funci´o a l’infinit. Vegem les diferents classes d’as´ımptotes i la forma de calcular-les.

2.10.1

C` alcul de les as´ımptotes horitzontals

Les as´ımptotes horitzontals s´on rectes paral·leles al eix OX que per valors molt grans de la variable x el valor que pren la funci´o f (x) s’apropa indefinidament als valors que pren la recta (segona coordenada dels punts de la recta). Per procedir al seu c`alcul cal veure si existeixen els l´ımits de la funci´o f (x) quan x tendeix a +∞, o b´e a −∞. Si existeix el l´ımit: lim f (x) = b

x→+∞

aleshores direm que la recta y = b ´es una as´ımptota horitzontal per la dreta de la funci´o f (x). Si existeix el l´ımit: lim f (x) = c ,

x→−∞

aleshores direm que la recta y = c ´es una as´ımptota horitzontal per l’esquerra de la funci´o f (x). Com a molt poden haver-hi dues as´ımptotes horitzontals diferents –una per

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

30

la dreta i l’altra per l’esquerra– i en alguns √ casos no n’hi ha cap, √ com es pot comprovar f`acilment amb la funci´o y = x − 4, on limx→+∞ x − 4 = ∞, i per tant no existeix as´ımptota horitzontal per la dreta. Per l’esquerra ni tan sols t´e sentit plantejar-se l’exist`encia del l´ımit ja que el domini de la funci´o es restringeix a nombres ≥ 4. 2x + 5 . Exercici 2.1 C`alcul de les as´ımptotes de la funci´o f (x) = |x − 4| Resoluci´ o

2x + 5 2x + 5 = lim = 2. x→+∞ |x − 4| x→+∞ x − 4 Per tant, la recta y = 2 ´es as´ımptota horitzontal per la dreta. lim

2x + 5 2x + 5 = lim = −2. x→−∞ |x − 4| x→−∞ −x + 4 lim

I, en conseq¨ u`encia, y = −2 ´es l’as´ımptota horitzontal per l’esquerra.

2.10.2

C` alcul de les as´ımptotes obliq¨ ues

As´ımptotes obliq¨ ues s´on rectes amb pendent diferent de zero, tals que per valors molt grans de la x la difer`encia entre el valor que pren la funci´o i el valor que pren la recta s´on gaireb´e el mateix. Per tant, donada la funci´o f (x) direm que la recta y = mx + n ´es as´ımptota obliqua per la dreta si limx→+∞ [f (x) − (mx + n)] = 0. Tamb´e ho ´es per l’esquerra si es verifica limx→−∞ [f (x) − (mx + n)] = 0.

Exercici 2.2 Calculeu les as´ımptotes obliq¨ ues de la funci´o f (x) =

2x2 − 7 . x+1

Resoluci´ o En primer lloc, perqu`e pugui haver-hi as´ımptota obliqua cal que, quan x tendeix a ∞, el l´ımit de la funci´o f (x) sigui infinit, la qual cosa es verifica en l’exemple anterior. Suposem que l’as´ımptota que cerquem ´es y = mx + n. Intentem trobar els valors de m i n, perqu`e es verifiqui: 2x2 − 7 − (mx + n) = 0. n→∞ x + 1 El l´ımit anterior ´es igual a: lim

2x2 − 7 − mx2 − nx − mx − n = n→∞ x+1 (2 − m)x2 − (n + m)x − (7 + n) = 0. = lim n→∞ x+1 lim

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

31

Per`o perqu`e l’anterior l´ımit pugui ser igual a zero cal que es verifiqui:  2−m= 0 n+m=0 sistema que admet la soluci´o m = 2 i n = −2, i per tant existeix as´ımptota obliqua i aquesta ´es la recta y = 2x − 2. Si a l’hora de resoldre l’anterior sistema no hi hagu´es hagut soluci´o, haur´ıem concl`os que no hi hauria as´ımptota obliqua.

2.10.3

C` alcul de les as´ımptotes verticals

As´ımptotes verticals d’una funci´o f (x) s´on rectes paral·leles a l’eix OY , ´es a dir d’equaci´o x = a, tals que prop del valor a la funci´o pren valors indefinidament grans o indefinidament petits. Per procedir al seu c`alcul ´es necesari calcular el l´ımit de la funci´o quan la variable x tendeix al punt a, tant per la dreta com per l’esquerra. Naturalment, perqu`e pugui haver-hi una as´ımptota vertical a x = a ´es imprescindible que el punt x = a no formi part del domini, per`o que qualsevol punt pr`oxim a x = a sigui del domini. Exercici 2.3 Calculem les as´ımptotes verticals de la funci´o f (x) =

x−3 . x2 − 4

Resoluci´ o Els dos u ´ nics punts que no s´on del domini s´on el 2 i el −2. Aix´ı doncs, calculem els seg¨ uents dos l´ımits laterals: lim+

x→2

2+ε−3 −1 + ε −1 + ε x−3 − = lim = lim = lim = = −∞. 2 2 2 ε→0 ε(4 + ε) x − 4 ε→0 (2 + ε) − 4 ε→0 4ε + ε +

Aix`o vol dir que quan x tendeix a 2 per la dreta, llavors la funci´o tendeix a −∞. lim−

x→2

x−3 − 2−ε−3 −1 − ε −1 − ε = lim = lim = = +∞. = lim 2 2 2 ε→0 ε(ε − 4) x − 4 ε→0 (2 − ε) − 4 ε→0 −4ε + ε −

´es a dir, quan x tendeix a 2 per l’esquerra, llavors la funci´o tendeix a +∞. Per tant, podem afirmar que la recta x = 2 ´es una as´ımptota vertical de la funci´o anterior. Demostreu que la recta x = −2 tamb´e ´es as´ımptota, calculant els dos l´ımits laterals de la funci´o en el punt x = −2.

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

2.11

32

Continu¨ıtat

Direm que una funci´o ´es cont´ınua en un punt x = a si aquest punt ´es del domini, i a m´es quan ens apropem al punt a, el valor que pren la funci´o s’apropa a f (a). Definici´ o 1 La funci´o f (x) ´es cont´ınua en el punt x = a si es compleix la igualtat seg¨ uent: lim f (x) = lim− f (x) = f (a).

x→a+

2.12

x→a

Algunes funcions de la microeconomia

En aquesta secci´o analitzarem algunes de les funcions m´es usuals en l’estudi de la microeconomia, com la funci´o demanda, funci´o d’ingr´es brut, funcions de costos, funci´o de cost mitj`a, etc. ´ convenient tenir present que aquestes funcions que operen sobre variables Es amb significat econ`omic, s’han de restringir a certs valors del seu domini que siguin raonables des del punt de vista econ`omic. Aix`o vol dir que, tant les variables com els valors que pugui prendre la funci´o, hauran de ser, pel cap baix, positius. A continuaci´o analitzarem algunes de les funcions m´es usuals.

2.12.1

Corbes de demanda

La corba de demanda d’un determinat producte ´es una funci´o que d´ona per a cada preu la quantitat de producte que absorbiria un determinat mercat. Simb`olicament l’expressarem com q = q(p), on la variable p representa el preu i q la demanda. L`ogicament, la corba de demanda sempre ´es decreixent, ´es a dir, a m´es preu menys demanda. El model m´es senzill de corba de demanda vindria determinat per una recta de pendent negatiu, ´es a dir, una funci´o del tipus q = −mp+n, amb m, n > 0. El domini de possibles preus per tal que la funci´o demanda tingui sentit no coincideix amb el domini matem`atic, tal com ja hem comentat abans. Les restriccions que haur´ıem d’imposar s´on p > 0 i q > 0, la qual cosa voldria dir n ´ que −mp + n > 0, d’on es dedueix p < . Es a dir, l’interval de preus ha m  n . de ser 0, m

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

33

Algunes de les funcions de demanda que utilitzarem al llarg del curs s´on, amb a, b, c ≥ 0: Par` aboles:

a − p2 q= ; b

q=

r

q=

a − b, p+c

Hip` erboles:

a−p ; b

√ a− p q= , b

Exponencials: q = a · e−bp ;

2.12.2

q = b · p−a + c ;

q = pa · e−b(p+c) .

Corbes d’ingr´ es brut

Representen les funcions d’ingressos bruts I(q) que t´e un fabricant en funci´o de la producci´o que ven al mercat. Si el mercat ´es de lliure compet`encia (´es a dir, que hi ha molts fabricants que subministren el mateix producte), aleshores el preu ´es una variable independent de la producci´o d’un fabricant concret i, en conseq¨ u`encia, el preu es pot considerar com una constant. En aquest cas, la funci´o d’ingr´es brut ´es una recta: I = p · q. Si el mercat ´es monopolista (un sol fabricant subministra tot el producte), aleshores el productor t´e dues opcions: pot fixar el nivell de producci´o i deixar fluctuar el preu, que trobar`a el seu punt d’equilibri segons la funci´o de demanda, o b´e pot fixar el preu i deixar que la pr`opia demanda determini el nivell de producci´o. En tots dos casos queda determinada una funci´o d’ingressos bruts per part del fabricant, que es pot expressar indistintament a partir de la variable producci´o q o de la variable preu p: I = p · q,

(2.4)

I(p) = p · q = p · f (p),

(2.5)

I(q) = p · q = f −1 (q) · q, on q = f (p) ´es la funci´o demanda.

(2.6)

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

2.12.3

34

Corbes de Cost

S´on les corbes C(q) que expressen el cost total de la producci´o en funci´o d’aquesta producci´o. Al valor C(0) s’anomena cost fix (o en plural, costos fixos) i representa el total de diners que costa mantenir les instal·lacions de la f`abrica, pagar els impostos fixos, etc. El terme C(q) − C(0) s’anomena el cost variable, que s´on els costos relacionats directament amb les despeses derivades de la producci´o (consums el`ectric, cost de les mat`eries primes, salaris, etc.) Dues condicions necess`aries per qu`e una funci´o pugui considerar-se funci´o de cost s´on que sigui creixent en el seu domini econ`omic (a m´es producci´o, m´es cost total) i que pel valor q = 0 prengui un valor no negatiu. Per exemple, la funci´o C(q) = q 2 + 4 verifica aquests requisits. En aquest cas, direm que els costos fixos s´on de 4 unitats monet`aries, i que a mesura que augmentem la producci´o tamb´e augmenten els costos segons la par`abola anterior. Exercici 2.4 Per a la fabricaci´o d’un article un fabricant pot optar per escollir dos models de producci´o A i B, tals que cada un d’ells comporta la seg¨ uent funci´o de cost: CA (q) = 4 + q 2 ,

CB (q) = 35 + 30q,

Es demana quin dels dos tipus de fabricaci´o escollir`a l’empresari en funci´o de la producci´o que hagi de realitzar. Resoluci´ o Es tracta de veure per quins valors de la variable q es verifica CA (q) ≥ CB (q). Plantegem la inequaci´o que hem de resoldre, tot canviant la variable q per x, per familiaritat: 4 + x2 ≥ 35 + 30x;

x2 − 30x − 31 ≥ 0.

En aquesta inequaci´o el primer membre es descompon en factors de la forma x2 − 30x − 31 = (x + 1)(x − 31). Estudiem els signes dels factors: x < −1 x+1 − x − 31 − (x + 1)(x − 31) +

x = −1 −1 < x < 31 x = 31 0 + 0 − − 0 0 − 0

31 < x + + +

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

35

En conseq¨ u`encia, la soluci´o matem`atica de la inequaci´o vindr`a donada pels dos intervals: (−∞, −1] ∪ [31, +∞). Com que nom´es ens interessen les solucions amb sentit econ`omic, el primer dels intervals no s’ha de considerar i conclourem que el fabricant optar`a per la funci´o de cost CB (q) per produccions superiors a les 31 unitats, ja que en aquest cas sempre es verifica la desigualtat CB (q) < CA (q). Per produccions inferiors triar`a el model CA (q), i per produir 31 unitats li seria indiferent treballar amb una funci´o de cost o l’altra.

2.12.4

Corbes de cost mitj` a

Sovint, no interessa tant el cost total de producci´o, sin´o el cost per unitat de producci´o, la qual cosa ens condueix al concepte de cost mitj`a. El cost mitj`a de producci´o ve donat per la funci´o CM (q) =

C(q) , q

i expressa el cost per unitat de producci´o. Exercici 2.5 Donada la funci´o de cost C(q) = 3q 2 + q + 48 es pregunta: 1. Quin ´es el cost de fabricaci´o de 20 articles? 2. Quin ´es el cost de fabricaci´o del vint`e article? 3. Quin ´es el cost mitj`a quan fabriquem 24 articles? I quan en fabriquem 48? Resoluci´ o 1. C(20) = 3 · 400 + 20 + 48 = 1268. 2. C(20) − C(19) = 3(202 − 192 ) + 20 − 19 = 118. 48 C(q) = 3q + 1 + , i per tant tindrem: CM (24) = 75, i q q CM (48) = 146.

3. CM (q) =

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

2.12.5

36

Corba de beneficis

Els beneficis d’un fabricant venen donats per la difer`encia entre els seus in´ a dir la funci´o adopta l’expressi´o gressos bruts i les despeses de producci´o. Es seg¨ uent: Π(q) = I(q) − C(q). (2.7) En un mercat de lliure compet`encia la funci´o beneficis es pot determinar nom´es amb la variable q. En efecte, si la corba de demanda ve donada per q = f (p), aleshores tindrem p = f −1 (q), i en definitiva obtindrem: Π(q) = p · q − C(q) = f −1 (q) · q − C(q).

(2.8)

En un mercat monopolista, a m´es de (2.8) tamb´e es pot expressar el benefici en funci´o del preu: Π(p) = p · q − C(q) = p · f (p) − C(f (p)).

(2.9)

Exercici 2.6 En un mercat monopolista se sap que la demanda ve donada per la funci´o: q = 9 · e−p/10 i que la funci´o de costos del fabricant ´es: C(q) = √ 5 + 10 q. Calculeu el benefici en funci´o de la producci´o i del preu. Resoluci´ o De la corba de demanda a¨ıllem la variable preu: e−p/10 =

q ; 9

−p q p q = ln ; = − ln ; 10 9 10 9

p 9 = ln ; 10 q

p = 10 ln

9 . q

D’aquesta forma tindrem: Π(q) = p · q − C(q) = 10q ln

9 √ − 5 − 10 q. q

Tamb´e tindr´ıem els beneficis en funci´o del preu: Π(p) = p · q − C(q) = 9p · e−p/10 − 5 − 30e−p/20 .

2.13

Problemes

Problema 1. Calculeu el domini, recorregut, zeros i as´ımptotes de les seg¨ uents funcions: √ x+3 x2 − 4 x2 + x + 1 f (x) = 2 , g(x) = , h(x) = . 2x − 18 x−1 x−1

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

37

Problema 2. Estudieu la continu¨ıtat de les funcions seg¨ uents: f (x) =

1 , 1 − e1/x

g(x) =

x2 , x2 − 4

h(x) = x · E(x + 1),

on E(x) vol dir part entera del n´ umero x.

Problema 3. Estudieu la continu¨ıtat de les funcions definides a trossos:   −2x si x < 0 x si 0 ≤ x < 1 f (x) =  2 x si x ≥ 6.   −x2 si x ≤ 0 ex si 0 < x < 1 f (x) =  e · x si x ≥ 1.  |x| si x < 0     2 x f (x) = − 1 si 0 ≤ x < 6   6   x − 1 si x ≥ 6.

Problema 4. Trobeu l’interval de preus raonable per a les seg¨ uents funcions de demanda: q=

169 − p2 , 4

q=

100 − 4, p+2

q = −2 + 100 e−p/10 .

Problema 5. 1. En una situaci´o de monopoli, trobeu les funcions d’ingr´es brut del fabricant, en funci´o del preu i en funci´o de la producci´o, en els casos en que la funci´o de demanda venen donades per les corbes: q=

169 − p2 , 4

q=

100 − 4, p+2

q = −2 + 100 e−p/10 .

2. Determineu en cada cas quins s´on els intervals de les variables preu (p) i producci´o (q) que tenen sentit econ`omic. Problema 6. Per a la fabricaci´o d’un article un fabricant pot optar per escollir dos models de producci´o A i B, tals que cada un d’ells comporta la seg¨ uent funci´o de cost: √ CA (q) = 200 + q, CB (q) = 44 + 10q, Es demana quin dels dos tipus de fabricaci´o escollir`a l’empresari en funci´o de la producci´o que hagi de realitzar.

CAP´ITOL 2. FUNCIONS D’UNA VARIABLE REAL

38

Problema 7. Donada la funci´o de cost C(x) = x2 + 3x + 96 es pregunta: 1. Quin ´es el cost de fabricaci´o de 20 articles? 2. Quin ´es el cost de fabricaci´o del vint`e article? 3. Quin ´es el cost mitj`a quan fabriquem 24 articles? I quan en fabriquem 48? Problema 8. En un mercat monopolista la demanda ve donada per la funci´o √ q = 10 − p i que la funci´o de costos del fabricant ´es: C(q) = 5 + 10q 2 . 1. Determineu l’interval de preus, i de producci´o perqu`e tingui sentit la funci´o demanda. 2. Calculeu el benefici en funci´o de la producci´o i del preu.

Cap´ıtol 3 La derivada d’una funci´ o F M´ oduls de SIREMA relacionats amb aquest cap´ıtol: X Derivaci´o en una variable. X Aplicacions de la derivada. X Derivaci´o impl´ıcita. X Desenvolupament en s`erie de Taylor. En aquest cap´ıtol estudiarem les t`ecniques matem`atiques que determinen la variaci´o local d’una funci´o en un punt. L’aplicaci´o d’aquestes t`ecniques ens permetr`a calcular els m`axims, m´ınims i punts d’inflexi´o de les funcions m´es usuals que apareixen a l’economia i poder resoldre problemes d’optimitzaci´o. Tamb´e introduirem els desenvolupaments en s`erie de Taylor d’una funci´o en un punt, i com a aplicaci´o extreurem criteris per a determinar els intervals on la funci´o ´es c`oncava o convexa. Finalment introduirem el concepte d’elasticitat d’una funci´o i tractarem un ventall de problemes concrets en el camp de la microeconomia.

3.1

Derivada d’una funci´ o en un punt

La derivada d’una funci´o en un punt ´es una mesura del creixement o decreixement de la funci´o en aquest punt. Per tal que existeixi la derivada en un punt la funci´o ha de ser cont´ınua en aquest punt i a m´es no ha d’experimentar un canvi brusc de direcci´o. Geom`etricament ´es equivalent a que existeixi una recta tangent –no vertical– a la funci´o en aquell punt. Vegem l’expressi´o 39

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

40

que ens permet fer el c`alcul efectiu de la derivada d’una funci´o en un punt.

Definici´ o 2 Direm que f (x) ´es derivable en el punt x0 si existeix el seg¨ uent l´ımit: f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆y = lim . ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x lim

(3.1)

Figura 3.1: Derivada d’una funci´o en un punt on ∆x representa l’increment de la variable i ∆y representa l’increment corresponent de la funci´o. Si el l´ımit (3.1) existeix, aleshores direm que f (x) ´es derivable en elpunt x0 . Aquesta derivada la simbolitzarem com f 0 (x0 ), o dy . tamb´e com dx x=x0 Exercici 3.1 C`alcul de la derivada de f (x) = 3x2 + 2x + 3 en el punt x = 4. Resoluci´ o Apliquem (3.1) fent, per comoditat, ∆x = h: [3(4 + h)2 + 2(4 + h) + 3] − [3 · 42 + 2 · 4 + 3] = h→0 h 24h + 3h2 + 2h = lim (26 + 3h) = 26. = lim h→0 h→0 h lim

En aquest cas dir´ıem que la funci´o f (x) = 3x2 + 2x + 3 creix en el punt x = 4 un valor de 26. Aix`o es pot interpretar en el sentit que si ens desplacem cap a la dreta del punt x = 4 una dist`ancia molt petita, ∆x, llavors la funci´o creix aproximadament 26 vegades aquella dist`ancia, 26 · ∆x.

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

3.1.1

41

Funci´ o derivada

Definici´ o 3 Donada una funci´o f (x), direm que la funci´o f 0 (x) ´es la seva funci´ o derivada si a cada punt x li fa correspondre el valor ´ a dir, la funci´o f 0 (x) de la derivada de la funci´o f en el punt x. Es es defineix de la seg¨ uent forma: f (x + h) − f (x) . h→0 h

f 0 (x) = lim

(3.2)

Mitjan¸cant aquesta definici´o es dedueixen les funcions derivades de les funcions m´es senzilles: f (x) = xa , f (x) = ax , f (x) = ln x,

3.1.2

f 0 (x) = axa−1 . f 0 (x) = ln(a) · ax . 1 . f 0 (x) = x

(3.3) (3.4) (3.5)

Regles de derivaci´ o

A partir de la definici´o de funci´o derivada tamb´e es dedueixen algunes regles de derivaci´o, que ens faciliten el c`alcul de derivades a partir de les m´es elementals. Si f (x) i g(x) s´on derivables, aleshores es verifica: • f ± g ´es derivable i (f ± g)0(x) = f 0 (x) ± g 0(x). • f · g ´es derivable i (f · g)0(x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0(x). • f /g ´es derivable en els punts on g(x) 6= 0 i  0 f f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x) . (x) = g (g(x))2 • Regla de la cadena, que permet derivar una funci´o en la qual la variable no ´es x, sin´o una altra funci´o: Si h(x) = f (g(x)) llavors h0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x).

(3.6)

Aquest conjunt de regles ens permet calcular les derivades de les funcions m´es usuals partint del coneixement de les derivades elementals. Vegem alguns exemples:

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

42

Exercici 3.2 C`alcul de les derivades de les funcions: f (x) = (3x − 4)(5 − x2 ),

g(x) = (ln(5x2 − 2))2 .

Resoluci´ o f 0 (x) = 3(5 − x2 ) + (3x − 4)(−2x) = −9x2 + 8x + 15. g 0(x) = 2 ln(5x2 − 2)

10x 20x · ln(5x2 − 2) = . 5x2 − 2 5x2 − 2

Exercici 3.3 Calculeu la derivada de la funci´o h(x) = ln(x2 +

√

x.)

Resoluci´ o Si repassem la regla de la cadena (3.6), i fem h(x) = f (g(x)), amb la seva notaci´o tindrem: √ f (x) = ln x , g(x) = x2 + x . 1 Com que f 0 (x) = tindrem que x f 0 (g(x)) =

x2

1 √ + x

1 i, com que g 0(x) = 2x + √ , 2 x   1 1 . h (x) = 2 √ · 2x + √ x + x 2 x 0

3.1.3

Derivades successives

La funci´o derivada f 0 (x), al seu torn, pot ser derivable. En aquest cas es diu que f ´es derivable dues vegades i (f 0 )0 s’anomena la derivada segona de f . S’acostuma a escriure f 00 . La derivada de f 00 ´es la derivada tercera de f i s’escriu f 000 , i aix´ı successivament. La derivada quarta, cinquena, etc. s’escriuen amb super´ındex en nombres romans: f iv , f v , etc. Quan l’ordre de la derivada ´es elevat, el super´ındex s’escriu en nombres ar`abics corrents per`o entre par`entesi. Per exemple la derivada d’ordre 23 de f s’escriu f (23) . Una funci´o pot ser derivable infinites vegades. Per exemple, f (x) = ex adment infinites derivades successives, totes elles id`entiques a la funci´o original: f (n) (x) = ex per a tot n. Exercici 3.4 Trobeu totes les derivades successives de la funci´o f (x) = 1/(1 − x).

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

43

Resoluci´ o Calculem unes quantes derivades: f (x)

=

f 0 (x)

=

f 00 (x)

=

1 = (1 − x)−1 1−x

(´es m´es f`acil derivar aquesta expressi´o)

1 (1 − x)2 2·1 (−2) · (1 − x)−3 · (−1) = (1 − x)3 (−1) · (1 − x)−2 · (−1) =

3·2·1 (1 − x)4 4·3·2·1 f iv (x) = (−4) · (3 · 2 · 1) · (1 − x)−5 · (−1) = (1 − x)5 ··· ··· ··· f 000 (x)

=

(−3) · (2 · 1) · (1 − x)−4 · (−1) =

Podem continuar una mica m´es, per`o ja es veu clar el patr´o que segueixen les diferents derivades: f (n) (x) =

3.1.4

n! n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1 = . n+1 (1 − x) (1 − x)n+1

Recta tangent a una funci´ o en un punt

El valor de la derivada d’una funci´o f (x) en un punt x = a ´es igual al pendent de la recta tangent a la funci´o en aquest punt. Aix`o ´es f`acil de veure en la figura 3.1, on tenim que el pendent de la recta tangent coincideix amb la tangent de l’angle que forma la recta tangent amb l’eix OX. Si aquest angle el simbolitzem per θ, tenim, doncs, que: ∆y = f 0 (a). ∆x→0 ∆x

m = tan θ = lim

D’aquesta manera tindrem que l’equaci´o vectorial de la recta tangent a f (x) en el punt de coordenades (a, f (a)) ser`a (x, y) = (a, f (a)) + λ(1, f 0 (a)) ,

(3.7)

que tamb´e podem expressar en forma expl´ıcita: y − f (a) = f 0 (a)(x − a).

(3.8)

1 Exercici 3.5 Calculeu les rectes tangents a la funci´o f (x) = que s´on x paral·leles a la recta y = −2x.

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

44

Resoluci´ o La recta y = −2x t´e pendent −2. Totes les seves paral·leles tamb´e. Fem la derivada de la funci´o i imposem que el seu pendent sigui −2: √ −1 2 0 f (x) = 2 = −2; x = ± . x 2 ! √ 2 √ Aix`o vol dir que les coordenades dels punts de tang`encia seran , 2 2 ! √ 2 √ , − 2 . D’aquesta forma les equacions de les dues rectes tangents i − 2 seran: √ ! √ ! √ √ 2 2 , y + 2 = −2 x + y − 2 = −2 x − 2 2

3.2

Desenvolupament d’una funci´ o en s` erie de Taylor

Quan tenim una funci´o cont´ınua i infinitament derivable en un punt x = p, aleshores la funci´o queda determinada als voltants del punt x = p a partir dels valors: f (p), f 0(p), f 00 (p), · · · , f n)(p), · · ·

on f n) (p) expressa la derivada n-`essima de f (x) en el punt x = p.

Tenim diverses formes d’aproximar una funci´o en un entorn d’un punt mitjan¸cant un polinomi. Una d’elles consisteix en prendre n punts molt pr`oxims a p i trobar el polinomi de grau n que passa per aquests n punts. Per`o en certa forma el coneixement del conjunt de derivades successives de la funci´o f (x) en el punt x = p supleix la necessitat de prendre n punts pr`oxims a p, com aviat posarem de manifest. Direm que dues funcions f i g tenen un contacte d’ordre n en el punt p, si en aquest punt coincideixen la funci´o i les seves n primeres derivades, ´es a dir: f (p) = g(p),

f 0 (p) = g 0 (p), . . . , f n) (p) = g n) (p).

(3.9)

Si volem calcular el polinomi de grau n que millor aproxima la funci´o f (x) en el punt x = p, a partir de l’expressi´o (3.9) veiem que en tindrem prou

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

45

amb fer les successives derivades en el punt x = p. Expressarem el polinomi que cerquem en la forma: Pn (x) = a0 + a1 (x − p) + a2 (x − p)2 + · · · + an (x − p)n . Si aquest polinomi ha de tenir un contacte d’ordre n amb la funci´o f en el punt p s’haur`a de verificar: f (p) = a0 f 0 (p) = a1 f 00 (p) = 2a2 ······ n) f (p) = n! · an , on n! es llegeix “n factorial” i simbolitza el producte 1 · 2 · · · (n − 1) · n. Aix´ı, el polinomi de grau n que m´es s’aproxima a la funci´o f (x) en el punt p ´es f 00 (p) f n) (p) 2 Pn (x) = f (p) + f (p)(x − p) + (x − p) + · · · + (x − p)n . (3.10) 2! n! 0

Naturalment, si posem n = 1 obtenim novament l’expressi´o de la recta tangent que hav´ıem trobat abans. Si denotem per Rn (x) –se li diu residu de Lagrange– la difer`encia que hi ha entre la funci´o i el polinomi, es demostra que: Rn (x) =

f n+1) (p + θ(x − p)) (x − p)n+1 , (n + 1)!

on 0 ≤ θ ≤ 1.

Per punts molt pr`oxims a p tindrem : f (p + ε) − Pn (p + ε) = Rn (p + ε) =

f n+1) (p + θε) n+1 ε , (n + 1)!

la qual cosa indica que la difer`encia ser`a m´ınima per valors de ε petits. Si la funci´o f (x) ´es infinitament derivable, llavors s’anomena s` erie de Taylor ´ al l´ımit dels polinomis Pn (x) quan n tendeix a infinit. Es a dir, es t´e: f (x) = f (p) + f 0 (p)(x − p) +

f 00 (p) f n) (p) (x − p)2 + · · · + (x − p)n + · · · (3.11) 2! n!

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

46

Exercici 3.6 Trobeu el polinomi de grau 3 que millor s’aproxima a la funci´o y = ex en el punt x = 0. Calculeu aproximadament la difer`encia que hi ha entre el valor de la funci´o i el polinomi calculat en el punt x = 0,1. Resoluci´ o P3 (x) = 1 + 1(x − 0) +

1 1 1 1 (x − 0)2 + (x − 0)3 = 1 + x + x2 + x3 . 2! 3! 2 6

El valor que pren el polinomi anterior en el punt x = 0,1 ´es: P3 (0,1) = 1 +

1 1 1 + + ≈ 1,10516666, 10 200 6000

i per altra banda tenim e0,1 ≈ 1,105170918; ´es a dir, la difer`encia entre tots dos valors ´es aproximadament de 0,000495. √ 2 a partir del desenvolupament Exercici 3.7 Calculeu aproximacions de √ de Taylor de la funci´o f (x) = x + 1 en el punt x = 0. Resoluci´ o • Comencem per calcular les derivades successives de f (x): 1 1 f 0 (x) = (x + 1)−1/2 , f 00 (x) = − (x + 1)−3/2 2 4 15 3 f 000 (x) = (x + 1)−5/2 , f iv (x) = − (x + 1)−7/2 8 16 105 945 f v (x) = (x + 1)−9/2 , f vi (x) = − (x + 1)−11/2 . 32 64 • Els seus valors en el punt x = 0 s´on: f (0) = 1 , f 0 (0) = f iv(0) = −

1 00 1 3 , f (0) = − , f 000 (0) = 2 4 8

105 vi 945 15 v , f (0) = , f (0) = − . 16 32 64

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

47

• Els polinomis de Taylor successius (vegeu-ne la representaci´o fins al de grau 3 a la figura 3.2) s´on, per tant: 1 P1 (x) = 1 + x 2 1 P2 (x) = 1 + x − 2 1 P3 (x) = 1 + x − 2 1 P4 (x) = 1 + x − 2 1 P5 (x) = 1 + x − 2 1 P6 (x) = 1 + x − 2

(= P 1) , 1 2 x 8 1 2 x + 8 1 2 x + 8 1 2 x + 8 1 2 x + 8

(= P 2) , 1 3 x 16 1 3 x − 16 1 3 x − 16 1 3 x − 16

(= P 3) , 5 4 x , 128 5 4 x + 128 5 4 x + 128

3

P3

2.5

P1

7 5 x , 256 7 5 21 6 x − x . 256 1024

y=f(x)

2 y 1.5

P2

1 0.5

–1

0

1

Figura 3.2: Aproximacions a

x

√

2

3

x + 1 en el punt x = 0

√ • Les aproximacions successives de 2 ser`an els valors dels polinomis de Taylor successius en el punt x = 1: P1 (1) = 1,5;

P2 (1) = 1,375;

P3 (1) = 1,4375;

P4 (1) = 1,3984; P5 (1) = 1,4257; P6 (1) = 1,4052. √ El valor de 2 calculat amb calculadora ´es 1,4142 . . .. Com es pot veure, les aproximacions successives que hem obtingut amb els polinomis de Taylor no s’acosten al valor real de manera massa r`apida. Aix`o, en part, ´es degut a que el punt x = 1 ´es “lluny”del punt x = 0 on es fa el desenvolupament. A

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

48

la figura 3.2 es veu clarament que els diferents polinomis de Taylor s’ajusten molt b´e a la funci´o al voltant del punt x = 0, per`o no tant b´e a mida que ens allunyem.

3.3

Creixement i decreixement d’una funci´ o

Definici´ o 4 Direm que la funci´o f (x) ´es creixent en un interval [a, b] si es compleix que per a tot x1 , x2 de l’interval tals que x1 ≤ x2 tenim que f (x1 ) ≤ f (x2 ).

Definici´ o 5 Direm que la funci´o f (x) ´es decreixent en un interval [a, b] si es compleix que per a tot x1 , x2 de l’interval tals que x1 ≤ x2 tenim que f (x1 ) ≥ f (x2 ). Gr`aficament una funci´o creixent en un interval t´e una gr`afica que, mirada d’esquerra a dreta, mai “baixa”dintre l’interval. (Alerta! pot tenir algun tros constant, ´es a dir, amb gr`afica horitzontal). Les funcions f (x), P1 i P3 de la figura 3.2 s´on creixents a l’interval [−1, 3]. De la mateixa manera un funci´o decreixent mai “puja”dintre l’interval, ´es a dir, baixa o es mant´e horitzontal. La funci´o de la figura 3.4 ´es creixent a l’interval (−∞, 0], decreixent a l’interval [0, 2] i torna a ser creixent a l’interval [2, ∞). Si una funci´o f (x) ´es derivable en un interval (a, b), ´es f`acil de veure les seg¨ uents equival`encies: f ´es creixent a (a, b) ⇔ f 0 (x) ≥ 0 per a tot x ∈ (a, b); f ´es decreixent a (a, b) ⇔ f 0 (x) ≤ 0 per a tot x ∈ (a, b). Amb l’ajut d’aquestes equival`encies, ´es f`acil determinar els intervals on una funci´o es mant´e creixent o decreixent. N’hi ha prou amb estudiar el signe de la derivada. Exercici 3.8 Trobeu els intervals de creixement i decreixement de la funci´o x4 x2 − . f (x) = 4 2

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

49

Resoluci´ o. Hem d’estudiar els signes de la funci´o f 0 (x) = x3 − x. Una funci´o cont´ınua g(x) nom´es pot canviar de signe en un punt x = a si g(a) = 0. (Si la funci´o t´e punts de discontinu¨ıtat, el signe de g tamb´e pot canviar en cada un d’ells.) Trobem doncs el zeros de f 0 (x):   x=0 x=1 x3 − x = 0 ⇔ x(x2 − 1) = 0; ⇔ x(x − 1)(x + 1) = 0 ⇒  x = −1.

Aix´ı, el signe de f 0 (x) nom´es pot canviar en els punts −1, 0, +1. Aix`o vol dir que es mant´e constant en els intervals oberts (−∞, −1), (−1, 1), (1, +∞). Per saber quin signe t´e a cada interval, n’hi ha prou amb calcular un valor de f 0 qualsevol dintre de cada un d’ells i mirar el seu signe: f 0 (−10) f 0 (−1/2) f 0 (1/2) f 0 (10)

= = = =

−1010 < 0 a l’interval (−∞, −1); 3/8 > 0 a l’interval (−1, 0); −3/8 < 0 a l’interval (0, 1); 900 > 0 a l’interval (+1, +∞).

´ a dir, com a conclusi´o, f ´es creixent a (−1, 0) ∪ (+1, +∞), i decreixent a Es (−∞, −1) ∪ (0, 1).

3.4

Concavitat i convexitat d’una funci´ o

Definici´ o 6 Direm que la funci´o derivable f (x) ´es c` oncava en el punt p si la recta tangent en el punt p queda damunt de la funci´o en un entorn del punt p. Direm que ´es convexa en el punt p si en un entorn de p la recta tangent queda per sota de la funci´o. Trobem a continuaci´o un criteri per calcular la convexitat o concavitat en funcions derivables. Suposem que en el punt p la funci´o f (x) ´es desenvolupable en s`erie de Taylor: f (x) = f (p) + f 0 (p)(x − p) +

f 00 (p) (x − p)2 + · · · 2

(3.12)

Com que el terme y = f (p) + f 0 (p)(x − p) del segon membre de l’expressi´o

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

50

Figura 3.3: Concavitat i convexitat

(3.12) correspon a l’equaci´o de la recta tangent, passant-lo al primer membre tenim: f 00 (p) (x − p)2 + · · · (3.13) f (x) − (f (p) + f 0 (p)(x − p)) = 2 De totes les pot`encies (x − p)n que apareixen en el segon membre de (3.13), en un entorn petit de p, la que m´es compta ´es la d’exponent m´es petit i el valor de les altres es pot menysprear. En el cas que f 00 (x) > 0, com que (x − p)2 sempre ´es positiu tindrem: f (x) > f (p) + f 0 (p)(x − p), i per tant f (x) seria convexa en el punt p. Si en canvi es verifica f 00 (p) < 0, llavors pel mateix raonament es t´e que: f (x) < f (p) + f 0 (p)(x − p), i per tant observem que la funci´o seria c`oncava en el punt p. En el cas que f 00 (p) = 0, l’expressi´o (3.13) adoptaria la forma: f (x) − (f (p) + f 0 (p)(x − p)) =

f 000 (p) (x − p)3 + · · · 3!

(3.14)

Si f 000 (p) > 0, pels valors de x a la dreta del punt p es t´e que (x − p)3 > 0, i en conseq¨ u`encia es verifica: per x > p,

f (x) > f (p) + f 0 (p)(x − p).

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

51

Pels x a l’esquerra del punt p es t´e que (x − p)3 < 0, i per tant es verifica: per x < p,

f (x) < f (p) + f 0 (p)(x − p)

Resumint, a la dreta de p la funci´o f (x) seria convexa i a l’esquerra seria c`oncava. A aquests punts se’ls denomina punts d’inflexi´ o, i separen les zones de concavitat de les de convexitat. Si la tercera derivada f 000 (p) hagu´es estat negativa, a l’esquerra de p hi hauria hagut convexitat, i a la dreta concavitat. Si tenim f 000 (p) = 0 i f IV 6= 0, raonarem exactament igual que ho hem fet pel cas f 00 (p) 6= 0. Aix´ı, podem resumir tots els casos en els seg¨ uents criteris: • La funci´o ´es convexa en el punt x = p si la primera derivada no nul.la de la funci´o en el punt x = p (a partit de l’ordre segon) ´es d’ordre parell i positiva. • La funci´o ´es c` oncava en el punt x = p si la primera derivada no nul.la de la funci´o en el punt x = p –a partir de l’ordre segon– ´es d’ordre parell i negativa. • La funci´o presenta un punt d’inflexi´ o en x = p si la primera derivada no nul.la de la funci´o en el punt x = p (a partit de l’ordre segon) ´es d’ordre senar.

3.5 3.5.1

M` axims i m´ınims M` axims i m´ınims relatius

Definici´ o 7 Direm que la funci´o f (x) t´e un m` axim relatiu en el punt x = a si existeix un entorn de a en el qual totes les imatges s´on m´es petites o iguals que f (a). Direm que la funci´o f (x) t´e un m´ınim relatiu en el punt x = a si existeix un entorn de a en el qual totes les imatges s´on m´es grans o iguals que f (a). ´ f`acil veure que tant en un m`axim com en un m´ınim relatiu la derivada de Es la funci´o (si existeix) s’ha d’anul·lar, ja que en tots dos casos la recta tangent ´es paral·lela a l’eix OX, i en conseq¨ u`encia el seu pendent ´es zero. Per`o la 0 condici´o f (x) = 0 no ´es suficient, com aviat veurem.

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

52

Condicions per a un m´ınim En primer lloc s’ha de verificar f 0 (x)=0. Per`o, a m´es, cal que en un entorn del punt on hi ha un m´ınim la funci´o quedi per damunt de la recta tangent, la qual cosa ´es equivalent a dir que en aquell punt la funci´o ´es convexa, tal com hem vist en la secci´o precedent. Aix´ı, perqu`e hi hagi m´ınim ´es suficient que la primera derivada no nul·la sigui d’ordre parell i a m´es prengui un valor positiu. Condicions per a un m` axim La primera derivada s’ha d’anul·lar en el punt i a m´es la funci´o ha de ser ´ a dir, per trobar els m`axims primer cal resoldre c`oncava en el punt. Es f 0 (x) = 0, i despr´es d’entre les diferents solucions s’han d’escollir aquelles tals que la seva primera derivada no nul·la sigui d’ordre parell i prengui un valor negatiu. Exercici 3.9 Determineu els m`axims, m´ınims, punts d’inflexi´o, intervals de concavitat i de convexitat, de creixement i decreixement de la funci´o f (x) = (x − 2)2 (x + 1). Resoluci´ o f 0 (x) = 2(x − 2)(x + 1) + (x − 2)2 = (x − 2)(2x + 2 + x − 2) = (x − 2)3x = 0. Els valors que anul·len la primera derivada s´on x = 2 i x = 0. Calculem el valor de la segona derivada per aquests punts: f 00 (x) = 6x − 6,

f 00 (0) = −6,

f 00 (2) = 6.

Aix´ı, doncs, hi ha un m`axim a x = 0, i un m´ınim a x = 2. Entremig hi ha el punt d’inflexi´o x = 1, que anul·la la segona derivada de la funci´o. Convexitat: 6x − 6 > 0, → x > 1. Per tant la zona de convexitat correspon ´ c`oncava a l’interval (−∞, 1). a l’interval (1, +∞). Es Per trobar els intervals de creixement cal resoldre la inequaci´o f 0 (x) > 0, ´es a dir, en el nostre cas 3x(x − 2) > 0, que t´e per solucions x < 0 i x > 2. La funci´o ser`a creixent a (−∞, 0) ∪ (2, +∞) i, per tant, la zona de decreixement es redueix a l’interval (0, 2).

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

3.5.2

53

M` axims i m´ınims absoluts

Els m`axims i m´ınims de la secci´o anterior eren relatius (o locals), en el sentit que el valor m`axim (m´ınim) ho era entre els punts d’un interval centrat en el punt on s’assolia el m`axim (m´ınim). Podia passar, per`o, que en un punt lluny`a, el valor de la funci´o super´es el m`axim (m´ınim). Aix´ı, a la figura 3.3, el punt m´es a la dreta de la gr`afica t´e un valor m´es gran que el valor del m`axim relatiu i el punt m´es a l’esquerra t´e un valor m´es petit que el m´ınim relatiu. Definici´ o 8 Una funci´o f amb domini S t´e un m` axim absolut (o global) en el punt a quan f (a) ´es el valor m´es gran de f en tot ´ a dir, una funci´o t´e un m`axim absolut en un el seu domini, S. Es punt quan el valor de la funci´o en el punt ´es el m´es gran de tots els valors que agafa la funci´o. La definici´o de m´ınim absolut ´es la mateixa canviant m´es gran per m´es petit. Teorema de Weierstrass. Una funci´o cont´ınua definida en un interval [a, b] t´e un m`axim i un m´ınim absoluts. Aquest resultat assegura l’exist`encia de m`axims i m´ınims absoluts per les funcions cont´ınues definides en un interval tancat. Com que les funcions derivables s´on totes cont´ınues, el teorema es pot aplicar a les funcions derivables. Si f : [a, b] −→ R ´es derivable en (a, b), el m`axim i m´ınim absoluts de f en [a, b] es troben de la seg¨ uent manera: Pas 1. Es calculen els punts cr´ıtics de f , ´es a dir els punts que fan f 0 (x) = 0. Ens quedem amb els que siguin dins de l’interval [a, b]: x1 , x2 , . . . , xn . Pas 2. Fem una llista amb els valors de f en els punts anteriors i els valors de f en els extrems de l’interval: f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn ), f (a), f (b). Pas 3. El m`axim absolut de f en [a, b] ´es el valor m´es gran de la llista anterior. El m´ınim absolut ´es el valor m´es petit.

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

54

Exercici 3.10 Determineu els m`axims i m´ınims absoluts de la funci´o de l’exercici 3.9 a l’interval tancat [1, 3]. Resoluci´ o Seguim pas a pas el protocol de 3 passes de m´es amunt. Pas 1. f 0 (x) = 0 t´e per soluci´o x = 0 i x = 2. D’aquesta punts, nom´es x1 = 2 cau dintre l’interval [1, 3]. Pas 2. La llista de valors ´es: f (2) = 0 f (1) = 2 f (3) = 4. Pas 3. El m` axim absolut de f a [1, 3] es troba al punt x = 3 i val 4. El m´ınim absolut de f a [1, 3] es troba al punt x = 2 i val 0, tal i com podem comprovar al gr`afic de la figura 3.4. 6 5 4 3 2 1 –1

0

1

x

2

3

–1

Figura 3.4: La funci´o f (x) = (x − 2)2 (x + 1)

Exercici 3.11 Una ag`encia de viatges proposa un viatge conjunt per 60 persones, essent el preu per persona de 100 C . Per obtenir m´es clients, redueix en 1 C el preu del viatge per persona per cada viatger que excedeix dels 60 inicialment proposats. Calculeu el n´ umero de viatgers que proporcionaran a l’agencia un ingr´es m`axim.

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

55

Resoluci´ o Sigui x la quantitat de viatgers. Per qualsevol valor enter de la x compr`es a l’interval [0, 60] la funci´o d’ingr´es brut ´es I(x) = 100x, que a l’interval considerat t´e un m`axim per x = 60. Considerem a continuaci´o l’interval (60, +∞). Llavors l’exc´es de viatgers que passen de 60 ser`a x − 60 i la funci´o d’ingr´es: I(x) = (100 − (x − 60)) · x = 160x − x2 ,

funci´o que representa una par`abola. Per trobar el m`axim derivem i igualem a zero: I 0 (x) = 160 − 2x, d’on x = 80. Podem assegurar que ´es un m`axim ja que la segona derivada val −2 i ´es negativa. De fet, per estar segurs que el m`axim d’ingr´es s’obt´e per 80 viatgers haur´ıem de comparar el valor I(60) (m`axim a l’interval (0, 60]), amb I(80) (m`axim de l’interval (60, +∞). Exercici 3.12 Un estudi d’efici`encia realitzat en certa f`abrica indica que si un treballador qualsevol arriba al treball a les 8h del mat´ı construir`a −x3 + 6x2 + 15x xips durant les x hores seg¨ uents (0 ≤ x ≤ 4). Un segon estudi d’efici`encia indica que despr´es d’una interrupci´o de 15 minuts per prendre caf`e, el treballador pot construir (1/3)y 3+y 2 +21y xips en y hores (0 ≤ y ≤ 4). Determineu el moment entre les 8h. i les 12h. del dia en el qual hem de programar un descans de 15 minuts per tal que el treballador mitj`a produeixi el m`axim de xips abans de les 12h 15m, que ´es l’hora d’esmorzar. Resoluci´ o Suposem que x ´es la quantitat d’hores seguides que treballa despr´es de les 8 del mat´ı. Fins a les 12.15, despr´es de prendre el caf`e, treballar`a 4 − x hores. La quantitat de xips que produir`a fins l’hora d’esmorzar ser`a: 1 N(x) = −x3 + 6x2 + 15x + (4 − x)3 + (4 − x)2 + 21(4 − x). 3 N ´es una funci´o real amb domini l’interval tancat [0, 4]. Ens demanen el m`axim global de N. Si seguim les passes indicades a la secci´o 3.5.2: Derivem l’expressi´o anterior per calcular els punts estacionaris que cauen dins l’interval: N 0 (x) = −3x2 + 12x + 15 − (4 − x)2 − 2(4 − x) − 21 = −4x2 + 22x − 30. Igualant a zero N 0 (x) = 0, obtenim la doble soluci´o x = 3, x = 2.5. Els dos valors cauen dintre l’interval (0, 4). Ara, fem la llista de les imatges de la funci´o en aquests punts junt amb les imatges dels extrems de l’interval: N(2,5) = 94,25;

N(3) = 94,33;

N(0) = 121,33;

N(4) = 92.

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

56

´ a dir, s’hauria de suprimir l’hora El m`axim clarament es troba a x = 0. Es del caf´e i endarrerir l’hora d’entrada a la feina fins a les 8.15 per tal de maximitzar la producci´o.

3.6

Problemes

2 Problema 9. Calculeu el valor de la derivada de la funci´o f (x) = en el x punt x = 2. Problema 10. Calculeu la derivada de les funcions seg¨ uents: a) y =

1 ln(x) − , x x

b) y = ex · (x2 + 3x),

c) y = ln

x+1 . x−1

Problema 11. Calculeu les derivades successives de les funcions seg¨ uents: a) y =

1 , 1+x

b) y =

√

1 + x,

c) y = sin(x),

Problema 12. Trobeu la recta tangent a la funci´o y = dels punts x = 5 i x = 12.

d) y = √

1 . x

x + 4 en cada un

Problema 13. Trobeu el polinomi de grau 3 que aproxima millor la funci´o 1 f (x) = en el punt x = 1. Calculeu aproximadament la difer`encia que hi x ha entre el valor de la funci´o en el punt x = 1,1 i el valor del polinomi que heu calculat en el punt x = 1,1. Problema 14. Trobeu el polinomi de grau 3 que aproxima millor la funci´o 1 f (x) = en el punt x = 0. Calculeu aproximadament la difer`encia que 1+x hi ha entre el valor de la funci´o en el punt x = 0,1 i el valor del polinomi que heu calculat en el punt x = 0,1. Compareu els resultats amb els del problema 13. Problema 15. Calculeu aproximacions de ln 2 a partir del desenvolupament de Taylor f (x) = ln(x + 1) en el punt x = 0. (Arribeu, com a m´ınim, al grau 4). Compareu els valors obtinguts amb el valor real calculat amb calculadora: ln 2 = 0,693147 . . .. Problema 16. Determineu els m`axims, m´ınims, punts d’inflexi´o, zones de concavitat i de convexitat, zones de creixement i decreixement de la funci´o f (x) = (x − 3)2 (x + 2).

´ CAP´ITOL 3. LA DERIVADA D’UNA FUNCIO

57

Problema 17. 1. Determineu per quins valors del par`ametre k la funci´o f (x) = ln(kx2 + 1) ´es creixent en x = 1. 2. Calculeu la fam´ılia de rectes tangents en el punt x = 1 en funci´o del par`ametre k. Problema 18. Calculeu els m`axims i m´ınims de les funcions: f (x) =

x2 − 4 , x+1

g(x) = x · ln x,

h(x) = x · ex

2 −2x

,

r(x) = x · ex−2 .

Problema 19. El cost per hora del combustible d’un avi´o en vol ´es aproximadament proporcional al cub de la seva velocitat. Sabem que el cost per hora del combustible gastat a la velocitat de 300 km/h ´es de 1600 C . La resta dels costos de manteniment de l’avi´o en vol pugen a 7600 C per hora. Els ingressos mitjans per quil`ometre recorregut s´on de 250 C . Determineu la velocitat de vol `optima (Indicaci´o: maximitzeu el benefici per hora)

Cap´ıtol 4 Aplicacions a l’economia F M´ oduls de SIREMA relacionats amb aquest cap´ıtol: X Derivaci´o en una variable. X Aplicacions de la derivada. X Elasticitat.

4.1

La derivada en economia

En economia, per referir-nos a la variaci´o d’una funci´o en un punt de vegades s’utilitza l’expressi´o el marginal de la funci´ o en un punt en lloc d’utilitzar la paraula “derivada”. Vegem a continuaci´o algunes relacions entre la mitjana d’una funci´o i el seu marginal. Recordem que en el cap´ıtol de funcions ja hem vist la mitjana d’una funci´o: el cost mitj`a, CM com a funci´o mitjana de la funci´o de cost, C. En general, f (x) la funci´o mitjana de f (x) es defineix com la funci´o fM (x) = . x Propietat: L’ingr´es mitj`a IM coincideix amb el preu. En efecte, com que I(q) = p · q, tindrem que: IM (q) =

I(q) = p. q

58

(4.1)

CAP´ITOL 4. APLICACIONS A L’ECONOMIA

59

Si estem en un mercat de lliure compet` encia, llavors el preu ´es una constant donada pel mercat1 independentment de la producci´o d’un fabricant concret, i per tant l’ingr´es mitj`a ´es constant per qualsevol nivell de producci´o. Si el mercat ´es de tipus monopolista i la funci´o de demanda ´es q = f (p), llavors l’ingr´es mitj`a ´es igual a p = f −1 (q), que ´es una corba decreixent. Vegem la relaci´o entre l’ingr´es marginal i l’ingr´es mitj`a: I(q) = p · q = f −1 (q) · q I 0 (q) = p + q · (f −1 (q))0 = IM (q) + q · (f −1 (q))0 . Aquesta darrera expressi´o d´ona la relaci´o entre l’ingr´es marginal i l’ingr´es mitja. Com que en un mercat monopolista p = f −1 (q) ´es decreixent, llavors es verifica que I 0 (q) < IM (q) per tot nivell de fabricaci´o.

4.1.1

Relaci´ o entre la funci´ o de cost mitj` a i cost marginal

Sigui C(q) la funci´o de cost i CM (q) = cost mitj`a ser`a:

C(q) el cost mitj`a. La variaci´o del q

dCM C 0 (q) · q − C(q) 1 = = 2 dq q q

  C(q) 0 C (q) − . q

(4.2)

De l’equaci´o (4.2) dedu¨ım: CM ´es creixent ⇐⇒ C 0 (q) > CM , CM ´es estacionari ⇐⇒ C 0 (q) = CM , CM ´es decreixent ⇐⇒ C 0 (q) < CM . Com que el marginal de la funci´o en un punt podem identificar-lo amb el pendent de la recta tangent a la funci´o en aquest punt i el cost mitj`a amb el pendent del radi vector, tal com es veu en el dibuix 4.1, ´es f`acil donar una interpretaci´o geom`etrica als resultats anteriors. 1

De fet, el preu de mercat ´es la resultant d’igualar la corba de demanda del mercat amb la suma de totes les produccions dels fabricants que subministren aquest mercat. La variaci´ o de producci´ o d’un fabricant ´es insignificant comparat amb la producci´o total.

CAP´ITOL 4. APLICACIONS A L’ECONOMIA

60

Figura 4.1: Cost mitj`a i cost marginal

Exercici 4.1 La demanda en un mercat monopolista ´es p = β − αq, i l’empresa que subministra aquest mercat t´e una funci´o de cost C(q) = aq 3 − bq 2 + cq + α . Demostreu que la producci´o necess`aria per obtenir un benefici m`axim ´es igual a l’arrel positiva de l’equaci´o: 3aq 2 − 2(b − α)q − (β − c) = 0. Resoluci´ o Escrivim la funci´o benefici: Π(q) = I(q) − C(q) = (β − αq)q − (aq 3 − bq 2 + cq + α) = = −aq 3 + q 2 (b − α) + q(β − c) − α. Si derivem aquesta u ´ ltima expressi´o ens quedar`a: Π0 (q) = −3aq 2 + 2q(b − α) + (β − c). L’anul·laci´o de l’equaci´o de segon grau coincideix amb la que d´ona l’enunciat, i com que la funci´o Π0 (q) representa una par`abola invertida (coeficient de q 2 negatiu) podem estar segurs que la soluci´o positiva de l’equaci´o ´es un valor on Π00 (q) adquireix un valor negatiu i per tant que es tracta d’un m`axim.

4.1.2

El concepte d’elasticitat

El concepte d’elasticitat s’introdueix com una mesura del creixement d’una funci´o en relaci´o al valor que pren la funci´o.

CAP´ITOL 4. APLICACIONS A L’ECONOMIA

61

Definici´ o 9 Donada una funci´o f (x) definim l’elasticitat de f en un punt x com la ra´o entre la derivada f 0 (x) en aquest punt i el valor relatiu d’aquesta funci´o en el mateix punt f (x)/x. En llenguatge econ`omic, ´es el quocient entre el marginal i la mitjana de la funci´o. Denominarem l’elasticitat de f aix´ı: Ef,x . Ef,x =

f 0 (x) x · f 0 (x) = . f (x) f (x) x

(4.3)

Com que el concepte d’elasticitat nom´es l’aplicarem a funcions amb significaci´o econ`omica (funcions de variable positiva i valor de la funci´o tamb´e positiu), tindrem que si la funci´o ´es decreixent (f 0 (x) < 0) llavors l’elasticitat ´es negativa, i si ´es creixent l’elasticitat ´es positiva. Exercici 4.2 Calculeu l’elasticitat de f (x) = 1/x en el punt x = 3. Resoluci´ o. Apliquem la definici´o (4.3): Ef,x

x · (−1/x2 ) x · f 0 (x) = = −1 per x 6= 0. = f (x) (1/x)

La funci´o 1/x t´e, doncs, elasticitat constant igual a −1. O sigui: Ef,3 = −1. Definici´ o 10 Es diu que la funci´o y = f (x) ´es el` astica en el punt x0 si es verifica |Ey,x (x0 )| > 1 . Es diu que ´es inel` astica si |Ey,x (x0 )| < 1. ´ d’elasticitat unit` Es aria si |Ey,x (x0 )| = 1. Des del punt de vista de l’economia podr´ıem dir que si una funci´o creixent ´es el`astica en un punt aleshores aquest creixement ´es prou significatiu en aquest punt. Per exemple, si tenim les funcions de benefici ΠA (q) = 1000 + q 2 i ΠB (q) = q 2 , ´es clar que en tots dos casos el creixement dels beneficis en el punt x = 1 ´es 2, ´es a dir Π0A (1) = Π0B (1) = 2, per`o les elasticitats en el punt q = 1 valen respectivament: EΠA ,q (1) =

1·2 < 1, 1001

EΠB ,q (1) =

1·2 > 1. 1

CAP´ITOL 4. APLICACIONS A L’ECONOMIA

62

´ a dir, en el primer cas l’elasticitat ´es molt petita i per tant el creixement Es relatiu ´es poc significatiu, per`o en el segon cas l’elasticitat val 2 i el creixement relatiu ´es fortament significatiu. Vegem a continuaci´o una interpretaci´o geom`etrica de l’elasticitat d’una funci´o en un punt. Suposem en primer lloc que f (x) ´es creixent. Tal com es pot

Figura 4.2: Elasticitat d’una funci´o creixent apreciar en la figura 4.2, la derivada la podem interpretar com la tangent de l’angle θ2 i la mitjana de la funci´o en el mateix punt com la tangent que forma el radi vector amb l’eix OX, ´es a dir com la tangent de l’angle θ1 .    f 0 (x0 ) = tan θ2  tan θ2 f (x0 ) =⇒ Ef,x (x0 ) = . = tan θ1   tan θ1 x0 ´ clar que es verifiquen les seg¨ Es uents relacions:

si θ2 < θ1 =⇒ tan θ2 < tan θ1 =⇒ Ef,x (x0 ) < 1, si θ2 > θ1 =⇒ tan θ2 > tan θ1 =⇒ Ef,x (x0 ) > 1. La funci´o ´es d’elasticitat unit`aria quan els dos angles θ1 i θ2 s´on iguals. De fet podr´ıem dir que la funci´o ´es el`astica en un punt quan la recta tangent en aquest punt talla a l’eix OX en una abscissa positiva, i ´es inel`astica quan ho fa en una abscissa negativa. Quan la recta tangent passa per l’origen de coordenades podem dir que l’elasticitat ´es unit`aria. La interpretaci´o geom`etrica ens permet determinar a cop d’ull els intervals on una funci´o ´es el`astica. En efecte, si tenim una funci´o creixent com la de la

CAP´ITOL 4. APLICACIONS A L’ECONOMIA

63

figura 4.1, aleshores podem dibuixar les dues rectes tangents a la funci´o des de l’origen de coordenades. Els dos punts de tang`encia P (p1, p2 ) i Q(q1 , q2 ) s´on tals que podem afirmar que pels valors de les seves abscisses p1 i q1 la funci´o presenta elasticitat unit`aria. Fet aix`o ´es f`acil veure que l’´ unic interval on la funci´o ´es el`astica ´es (p1 , q1 ), ja que les rectes tangents en aquest interval tallen a l’eix OX en una abscissa positiva (a la dreta de l’origen de coordenades). Un estudi semblant es fa quan la funci´o ´es decreixent. Geom`etricament

Figura 4.3: Elasticitat d’una funci´o decreixent s’estableixen les seg¨ uents relacions: TP OP tan θ2 PQ = . =− Ef,x (x0 ) = T P tan θ1 PQ OP −

A partir de les relacions en el triangle OT Q tindrem: OP < P Q =⇒ inel`astica OP = P Q =⇒ elasticitat unit`aria. OP > P Q =⇒ el`astica. Exercici 4.3 Determineu els punts pels quals ´es el`astica la funci´o demanda seg¨ uent: q = a · e−bp , on a i b s´on constants positives. Resoluci´ o

CAP´ITOL 4. APLICACIONS A L’ECONOMIA

64

Calculem, en primer lloc, la funci´o elasticitat: Eq,p =

p · q0 −ab · e−bp = = −bp. q a · e−bp

Com podem veure l’elasticitat ens d´ona negativa en tot l’interval de preus positius, la qual cosa est`a d’acord amb el fet que la funci´o demanda ´es decreixent. Ara ´es f`acil determinar els punts on la funci´o ´es d’elasticitat unit`aria: | − bp| = 1,

1 p= . b

bp = 1,

L’interval on la funci´o ´es el`astica vindr`a donat per la soluci´o de la seg¨ uent inequaci´o:   1 | − bp| > 1, bp > 1, p ∈ ,∞ . b La funci´o ´es inel`astica a l’interval (0, 1/b). Vegem alguns resultat vinculats al concepte d’elasticitat: 1. Si y = f (x) ´es una funci´o que t´e inversa x = f −1 (y) , aleshores es verifica la seg¨ uent relaci´o entre les elasticitats: Ey,x (x0 ) =

1 , Ex,y (y0 )

on y0 = f (x0 ). En efecte, aplicant la definici´o d’elasticitat: Ey,x (x0 ) =

x0 · y 0(x0 ) dy x0 = (x0 ) · , y0 dx y0

i, si tenim present la regla de la cadena per la funci´o identitat x(y(x)) = x, equivalent a dx/dy(y0) · dy/dx(x0 ) = 1, podem afirmar que: Ey,x (x0 ) =

1 dx (y0 ) dy

·

1 y0 x0

=

1 . Ex,y (y0 )

2. En un mercat monopolista, el m`axim d’ingressos bruts s’assoleix per un preu on l’elasticitat de la demanda ´es unit`aria.

CAP´ITOL 4. APLICACIONS A L’ECONOMIA

65

En efecte, sigui q = f (p) la funci´o demanda i trobem la funci´o d’ingressos bruts. Despr´es derivem per trobar el m`axim: I = p · q = p · f (p), 

p · f 0 (p) I (p) = f (p) + p · f (p) = f (p) 1 + f (p)   p · q 0 (p) =q 1+ = q(1 + Eq,p ). q(p) 0

0



=

Ara tindrem la seg¨ uent equival`encia: I 0 (p) = 0

⇐⇒

Eq,p = −1

=⇒

|Eq,p | = 1,

que ´es el resultat de la proposici´o enunciada. Tamb´e ´es f`acil veure que els m`axims i m´ınims de la funci´o de cost mitj`a s’assoleixen en els punts on la funci´o de cost presenta elasticitat unit`aria. Es deixa al lector, com exercici, la demostraci´o d’aquest resultat.

4.2 4.2.1

Duopoli El problema del duopoli

´ interessant l’an`alisi matem`atica d’una situaci´o de mercat on hi ha dos Es fabricants que subministren un mateix producte. Suposem que aquest mercat t´e una demanda donada per la funci´o q = f (p) i suposem tamb´e que les funcions de cost d’aquests fabricants s´on C1 (q) i C2 (q). En la situaci´o anterior ´es evident que cada fabricant pot determinar el seu nivell de producci´o, per`o no el volum de fabricaci´o de l’altre fabricant (a no ser que es posin d’acord, per`o aquest fet donaria lloc a una nova situaci´o que analitzarem m´es endavant). El preu del producte vindr`a donat en funci´o de les produccions q1 i q2 que cada fabricant posi al mercat. Naturalment, la premisa de partida ´es que cada fabricant voldr`a maximitzar els seus beneficis i que les variables q1 , q2 s´on, d’entrada, independents (no hi ha acord previ entre els productors i aquests competeixen entre ells). La producci´o total que hi haur`a disponible al mercat ´es q1 + q2 i el preu de mercat corresponent ser`a: p = f −1 (q1 + q2 ).

CAP´ITOL 4. APLICACIONS A L’ECONOMIA

66

Les funcions de benefici respectives seran:  Π1 (q1 , q2 ) = q1 · f −1 (q1 + q2 ) − C1 (q1 ) Π2 (q1 , q2 ) = q2 · f −1 (q1 + q2 ) − C2 (q2 ) Els beneficis del primer fabricant venen donats per una fam´ılia de corbes que depenen del par`ametre q2 . El m`axim de beneficis l’assolir`a per un valor de q1 tal que anul·li la primera derivada: ∂Π1 = 0, ∂q1

q1 = D1 (q2 ).

(4.4)

La soluci´o q1 = D1 (q2 ) ve donada per una funci´o de q2 que s’anomena corba ´ a dir, d´ona el de reacci´ o del primer fabricant respecte del segon. Es nivell de producci´o `optim del primer fabricant en funci´o de la quantitat de producci´o que posa al mercat el segon fabricant. Per`o el segon fabricant far`a un plantejament semblant a l’hora de maximitzar els seus beneficis: ∂Π2 = 0, q2 = D2 (q1 ). (4.5) ∂q2 La corba (4.5) ´es la corba de reacci´ o del segon fabricant respecte del primer. La soluci´o del sistema



q1 = D1 (q2 ) q2 = D2 (q1 )

proporciona el punt d’equilibri (q¯1 , q¯2 ) que fa que els dos fabricants optimitzin els seus beneficis sense un acord previ. Vegem un exemple senzill que clarifiqui les idees. Exercici 4.4 En un mercat duopolista la funci´o demanda ´es q = 100 − p i les corbes de cost dels dos fabricants s´on C1 (q) = 2 + q ,

C2 (q) = 1 + 2q .

Trobeu el preu del producte, les produccions de cada fabricant i els seus beneficis respectius. Resoluci´ o Si q1 i q2 s´on les produccions respectives de cada fabricant, llavors el preu ser`a p = 100 − (q1 + q2 ). Les funcions de benefici correspondran a les expressions:  Π1 (q1 , q2 ) = (100 − q1 − q2 )q1 − 2 − q1 Π2 (q1 , q2 ) = (100 − q1 − q2 )q2 − 1 − 2q2

CAP´ITOL 4. APLICACIONS A L’ECONOMIA

67

Si fem les derivades corresponents i les anul.lem obtindrem les corbes de reacci´o:  ∂Π1 99 − q2   = 100 − q1 − q2 − q1 − 1 = 0, q1 =   ∂q1 2   ∂Π2   = 100 − q1 − q2 − q2 − 2 = 0, ∂q2

q2 =

98 − q1 2

Per trobar el punt d’equilibri ens cal resoldre el sistema format per les dues corbes de reacci´o:   100 97 2q1 + q2 = 99 =⇒ q1 = , q2 = . q1 + 2q2 = 98 3 3 Constatem que aquests valors donen, efectivament, m`axims per totes dues funcions de benefici: ∂ 2 Π1 = −2q1 < 0 , ∂q12

∂ 2 Π2 = −2q2 < 0. ∂q22

El preu del mercat ser`a: p = 100 −

100 97 103 − = ≈ 34,3 3 3 3

i els beneficis per a cada fabricant:   103 100 100 100 97 , = −2− ≈ 1109,1 Π1 3 3 3 3 3   103 97 97 100 97 Π2 = , − 1 − 2 ≈ 1054,4. 3 3 3 3 3

4.2.2

Fals duopoli

A l’apartat anterior hem analitzat una situaci´o de duopoli i hem dedu¨ıt les quotes de producci´o pels dos fabricants, el preu de mercat i els beneficis. Ara ens plantajarem si no hi ha cap altra nivell de fabricaci´o (q1 , q2 ) possible que faci que els dos fabricants puguin augmentar simult`aniament els seus beneficis. La resposta a aquesta q¨ uesti´o ´es afirmativa, per`o per donar-se cal l’acord previ dels dos fabricants: ´es a dir, cal vulnerar el principi de competitivitat entre els dos fabricants. Imaginem que a l’exemple 4.4 anterior els dos fabricants s’asseuen al voltant d’una taula i que el primer fabricant li diu a l’altre el seg¨ uent:

CAP´ITOL 4. APLICACIONS A L’ECONOMIA

68

“Fixa’t que jo produeixo una mica m´es que t´ u, 100/3 en front de la teva producci´o que ´es de 97/3. Aix`o, com b´e saps, es fruit de la resoluci´o de les equacions que ens porten a tots dos a maximitzar els nostres beneficis. Et proposo el seg¨ uent tracte: cerquem unes produccions proporcionals a les que far´ıem si no ens hagu´essim parat a parlar en aquesta taula, per tal de millorar els nostres beneficis”. L’altre fabricant es rumia la proposta i al cap d’una estona argumenta aix´ı: “no perdem res tornant a refer els c`alculs anteriors i si ens perjudiquen ja tenim temps de tornar a les produccions originals. Aix´ı, doncs, comencem de nou a calcular”. Partim de l’acord: q1 =

100 x, 3

q2 =

97 x. 3

197 El nou preu de mercat ser`a: p = 100 − x. I la funci´o benefici del primer 3 fabricant adoptar`a la forma:     100 197 100 100 197 x x−2− x = 99 − x x − 2. Π1 (x) = 100 − 3 3 3 3 3 Derivant i igualant a zero, obtenim:   197 100 197 100 0 Π1 (x) = 99 − x − x = 0, 3 3 3 3

x=

297 . 394

Aix´ı trobem les noves quotes de producci´o per tots dos: q1 =

100 297 9900 · = ≈ 25,127 3 394 394

97 297 9603 · = ≈ 24,373. 3 394 394 Amb aquestes produccions el preu de mercat i els beneficis seran: q2 =

p = 100 −

197 297 101 = = 50,5 3 394 2

949909 244631 ≈ 1241, 78 Π2 = ≈ 1205,46. 197 788 Despr´es d’aquests c`alculs el primer fabricant conclou que ell augmenta el seu guany en 132,68 unitats monet`aries i que el segon fabricant tamb´e augmenta els seus beneficis en 160,06 unitats. Si us entreteniu en refer els c`alculs, Π1 =

CAP´ITOL 4. APLICACIONS A L’ECONOMIA

69

prenent com a refer`encia la funci´o de benefici del segon fabricant, veureu que el valor que trobem per la variable x ´es el mateix. La conseq¨ u`encia primera d’aquest acord que permet augmentar el merge de benefici ´es una pujada considerable del preu de mercat que ha passat de 34,3 a 50,5. La situaci´o que acabem de descriure no correspondria a un duopoli real, sin´o a una mena de cartel, o de monopoli encobert.

4.3

Problemes

Problema 20. Una empresa t´e una funci´o de costos C(x) = 4x, on x ´es el nombre d’unitats produ¨ıdes. La funci´o d’ingressos ´es:  6x + 1, 0 ≤ x ≤ 1 I(x) = x2 + 6, 1 < x ≤ 3. 1. Representeu gr`aficament la funci´o d’ingressos. 2. Estudieu el nivell de producci´o que fa m`axim l’ingr´es en l’interval [0, 3]. 3. Representeu la funci´o benefici i estudieu la seva continu¨ıtat i derivabilitat en l’interval [0, 3]. 4. A quin punt ´es m`axim el benefici en l’interval [0, 3]? Es un m`axim absolut? Problema 21. Una revista es ven a p C . Se sap que la demanda ´es en milers: QD =

1800 − 6. p + 12

1. Feu un gr`afic de la corba de demanda. 2. Per quin preu no hi ha demanda? 3. Feu un gr`afic de l’ingr´es total en funci´o del preu. 4. Feu un gr`afic de l’ingr´es total en funci´o de la producci´o. 5. Quina ´es la producci´o i el preu que fan m`axims els ingressos? 6. Dibuixeu les corbes de la demanda marginal i de l’ingr´es marginal. 7. Comproveu que l’ingr´es marginal ´es nul quan l’ingr´es total ´es m`axim.

CAP´ITOL 4. APLICACIONS A L’ECONOMIA

70

Problema 22. Una empresa t´e les seg¨ uents funcions de cost total i de demanda: 1 3 q − 7q 2 + 111q + 50 3 q = 100 − p.

C(q) =

1. Analitzeu la funci´o de cost i trobeu el valor de q pel qual el cost marginal ´es m´ınim. 2. Expresseu la funci´o d’ingr´es total I en termes de q. 3. Formuleu la funci´o de benefici en termes de q. 4. Trobeu el nivell de producci´o q que maximitza el benefici. 5. Quin ´es el benefici m`axim? Problema 23. Un fabricant de bol´ıgrafs produeix q unitats per hora amb un 1 cost total de C(q) = q 2 − 3q + 100 C . Si t´e el monopoli sobre un mercat 25 on la demanda per hora ´es: q = 75 − 3p, essent p el preu de cada bol´ıgraf: 1. Demostreu que l’ingr´es net m`axim s’assoleix quan es produeixen quasi 40 bol´ıgrafs/hora. 2. Quin ser`a el preu de monopoli en aquest cas? 3. Si el mercat ´es subministrat per 2 fabricants que es reparteixen la producci´o (amb id`entica funci´o de cost per cada un), per quina producci´o de cada un s’estabilitzar`a el mercat? 4. En aquest u ´ ltim cas, esbrineu el preu del producte i els beneficis nets per a cada fabricant. Comenteu en aquesta situaci´o de fals duopoli si l’usuari de bol´ıgrafs hi guanya o hi perd. I pels fabricants, quina difer`encia hi ha entre una situaci´o de monopoli i aquesta altra? Problema 24. Determineu els punts pels quals ´es el`astica la funci´o demanda seg¨ uent: q = a − b · p,

on a i b s´on constants positives.

Problema 25. Trobeu la funci´o elasticitat de la funci´o demanda donada per l’expressi´o k q = n , on k, n s´on constants positives. p

CAP´ITOL 4. APLICACIONS A L’ECONOMIA

71

1. En les funcions anteriors, dep`en l’elasticitat del preu? 2. Sota r`egim monopolista, estudieu pels diferents valors de n la funci´o d’ingr´es brut. 3. En el cas particular n = 1, quina ´es la forma de la demanda? Comproveu que l’elasticitat ´es unit`aria en tot el domini. Problema 26. En un mercat se sap que hi ha una demanda donada per la funci´o q = 100 − p. Aquest mercat est`a subministrat per un u ´ nic fabricant que t´e una funci´o de cost C1 (q) = 1 + 2q. Esbrineu: 1. Quin ser`a el preu de mercat i la producci´o del fabricant. 2. Quins seran els beneficis de l’empresa. 3. Si el govern grava el producte amb un impost k per unitat de producci´o, calculeu el benefici m`axim en funci´o del par`ametre k. 4. Si en aquest mercat s’instal·la un nou fabricant amb la mateixa funci´o de costos, recalculeu els tres apartats anteriors. Problema 27. Reprodu¨ıu la situaci´o descrita al problema 26 apartat 4 en el cas que els dos fabricants estableixin un acord de producci´o. Determineu la pujada de preus que aix`o representaria, aix´ı com l’increment de beneficis pels dos fabricants. Problema 28. Si tenim la funci´o de costos C(q) = 4q 2 + 8q + 3: 1. Determineu els intervals on la funci´o ´es el`astica. 2. Trobeu el m´ınim de la funci´o de cost mitj`a.

Cap´ıtol 5 Recapitulaci´ o de funcions d’una variable Exercici 5.1 Donada la corba d’ingressos bruts en funci´o del preu: I(p) =

−4p2 + 60p . p+1

Calculeu: 1. L’interval de preus pels quals l’ingr´es brut ´es positiu. 2. El preu pel qual l’ingr´es brut ´es m`axim. 3. La corba de demanda en funci´o del preu del producte (es suposa un r`egim monopolista). 4. El preu pel qual la demanda marginal ´es −1. 5. L’expressi´o de la corba d’ingr´es brut en funci´o de la producci´o. Resoluci´ o 1. Plantegem la inequaci´o i resolem-la: I=

−4p2 + 60p > 0. p+1

Com que p ha de ser positiu, el denominador p + 1 sempre ´es positiu i per tant tot es redueix a resoldre la inequaci´o de segon grau: −4p2 + 60p > 0,

p(−4p + 60) > 0,

p > 0, p < 15.

L’interval de preus que fa que els ingressos siguin positius ´es p ∈ (0, 15). 72

´ DE FUNCIONS D’UNA VARIABLE 73 CAP´ITOL 5. RECAPITULACIO 2. Derivem per trobar el m`axim: (−8p + 60)(p + 1) − (−4p2 + 60p) = 0, (p + 1)2 −8p2 − 8p + 60p + 60 + 4p2 − 60p = 0; −4p2 − 8p + 60 = 0, √ −2 ± 4 + 60 2 = −1 ± 4. p + 2p − 15 = 0, p = 2 I 0 (p) =

L’´ unica soluci´o v`alida ´es la positiva p = 3. Comprovem que efectivament ´es un m`axim. Fem la segona derivada de la funci´o I(p): I 00 (p) =

(−8p − 8)(p + 1)2 − 2(p + 1)(−4p2 − 8p + 60) . (p + 1)4

En el punt p = 3 sabem que el par`entesi (−4p2 −8p+60) pren el valor 0. Com que els factors (p + 1) apareixen al quadrat i a la quarta, sempre s´on positius. Llavors el signe d’ I 00 (3) coincideix amb el signe del factor (−8p − 8) que, evidentment, ´es negatiu. 3. Trobem la funci´o demanda: I = p·q =

−4p2 + 60p , p+1

q=

−4p + 60 . p+1

4. Calculem el preu pel qual la demanda marginal ´es −1. q 0 (p) =

−4(p + 1) − (−4p + 60) −64 = = −1, (p + 1)2 (p + 1)2 (p + 1)2 = 64, p = 7.

5. Calculem l’ingr´es en funci´o de la producci´o. Per fer-ho a¨ıllem p a l’equaci´o que ens d´ona la demanda: q=

−4p + 60 , p+1

q(p + 1) = −4p + 60,

pq + 4p = 60 − q,

p=

60 − q . 4+q

Ara podem trobar l’ingr´es brut en funci´o de q: I =p·q =

60 − q −q 2 + 60q ·q = . 4+q 4+q

Exercici 5.2 Considerem la funci´o y = 100/(x + 5). 1. Desenvolupeu-la en s`erie de Taylor fins al polinomi de grau 3 en el punt x = 5.

´ DE FUNCIONS D’UNA VARIABLE 74 CAP´ITOL 5. RECAPITULACIO 2. Trobeu la difer`encia entre el valor de la funci´o i el del polinomi trobat al punt x = 5,1. Resoluci´ o 1. Trobem les tres primeres derivades de la funci´o i el valor que prenen en el punt x = 5: 100 , x+5 100 , y0 = − (x + 5)2 2 · 100 y 00 = , (x + 5)3 −3! · 100 , y 000 = (x + 5)4 y=

y(5) = 10, y 0 (5) = −1, y 00 (5) = 0,1 , 2! y 000 (5) = −0,01. 3!

El polinomi de Taylor de tercer grau ser`a: P3 (x) = 10 − (x − 5) + 0,1(x − 5)2 − 0,01(x − 5)3 . 2. El valor que pren aquest polinomi en el punt x = 5,1 ´es: P3 (5,1) = 10 − 0,1 + 0,13 − 0,15 = 9,90099. d la difer`encia que ens demanen ´es Com que tenim y(5,1) = 9, 9009, d y(5,1) − P3 (5,1) = 0,000000099.

Exercici 5.3

1. Dibuixeu un gr`afic de la funci´o: y = x · e−x/5 ,

indicant les coordenades dels m`axims i m´ınims en el cas que n’hi hagin. 2. Trobeu els punts d’inflexi´o i indiqueu els intervals de x que corresponen a punts de concavitat o de convexitat de la corba. Resoluci´ o 1. Efectuem una an`alisi de la funci´o y = x · e−x/5 . La seva derivada ´es:   1 1 0 −x/5 −x/5 y =e − x·e = 1 − x e−x/5 . 5 5

´ DE FUNCIONS D’UNA VARIABLE 75 CAP´ITOL 5. RECAPITULACIO

Figura 5.1:

´ clar que y 0 = 0 implica que x = 5, ja que la part exponencial mai Es no t´e cap zero. Tamb´e dedu¨ım que per x < 5 la funci´o creix, i que per x > 5 la funci´o decreix. Aix`o ens fa pensar que en el punt x = 5 for¸cosament ha d’haver-hi un m`axim. Nogensmenys, fem la segona derivada per trobar els punts de concavitat i convexitat. I vegem que per x = 5 hi ha m`axim:      1 −x/5 1 1 1 −x/5 1 −x/5 00 y =− e 2− x . + 1− x − e =− e 5 5 5 5 5 Per x = 5 es t´e y 00(5) = 5/e > 0: hi ha m`axim. 2. Per x > 10 es t´e y 00 > 0: hi ha concavitat. Per x < 10 es t´e y 00 < 0: hi ha convexitat. L’´ unic punt d’inflexi´o ´es x = 10 que anul·la la segona derivada. Exercici 5.4 En un mercat monopolista se sap que la corba de demanda ´es: q = −4 +

300 , p+5

on q es mesura en milers de tones i p en C /Kg. Se sap tamb´e que la funci´o de cost ´es C(q) = 60 + 10q, on C(q) ve donat en milions de C si q s’expressa en tones. Trobeu: 1. Per quin interval de preus hi ha demanda efectiva? 2. Calculeu la funci´o d’ingr´es brut en funci´o del preu i en funci´o de la producci´o. 3. Per quin preu els beneficis s´on m`axims?

´ DE FUNCIONS D’UNA VARIABLE 76 CAP´ITOL 5. RECAPITULACIO 4. Calculeu la funci´o polin`omica de segon grau que m´es s’aproxima a la corba de demanda en el punt p = 5. Exercici 5.5 Donada la seg¨ uent corba de beneficis en funci´o del preu del producte: −4p2 + 260p − 3100 Π(p) = , p+5 es pregunta: 1. Per quin interval de preus el benefici ´es positiu? 2. Representeu gr`aficament la corba per aquella part del domini que tingui sentit econ`omic. 3. Calculeu el valor m`axim de beneficis. La funci´o de beneficis ve donada en milions de C . si p s’expressa en C /kg. 4. Calculeu quin ´es l’interval de producci´o pel qual els beneficis marginals s´on positius. 15 Exercici 5.6 La corba de demanda d’un determinat producte ´es qd = 6 + 2p p i la seva corba d’oferta ´es qs = −1 + . Calculeu: 2 1. Per quin preu s’equilibrar`a la demanda i l’oferta? 2. Per quin interval de preus la demanda supera l’oferta, tenint present que l’oferta no pot ser negativa? 3. Quines s´on la demanda i l’oferta marginals quan el preu ´es de 10 unitats? Exercici 5.7 En un mercat monopolista la demanda d’un producte ve donada per la funci´o q = 100 − p. Un fabricant pot optar per una de les dues funcions de cost seg¨ uents: C1 (q) = 200 + 10q,

o C2 (q) = 10 + 20q.

1. Calculeu quina de les dues funcions de cost ser`a m´es beneficiosa pel fabricant per tal d’obtenir els m`axims beneficis. Justifiqueu la resposta. 2. Quina de les dues funcions de cost ser`a m´es beneficiosa pels consumidors del producte des del punt de vista d’obtenir-lo a un preu m´es favorable? Justifiqueu la resposta.

´ DE FUNCIONS D’UNA VARIABLE 77 CAP´ITOL 5. RECAPITULACIO 3. Calculeu α perqu`e la funci´o de cost C3 (q) = α + 10q sigui exactament igual a C2 (q) = 10 + 20q pel que fa al benefici m`axim obtingut pel fabricant. En aquest cas, pel consumidor del producte li ´es indiferent una o altra corba de cost? Justifiqueu la resposta. Exercici 5.8 En un mercat monopolista ens donen la corba de demanda: r 10 q= − 3, p i la corba de cost: c(q) = 4 −

10 . +3

q2

1. Calculeu la funci´o d’ingr´es brut en funci´o del preu i en funci´o de la producci´o. 2. Per quin interval de preus s´on positius els ingressos bruts? 3. Per quin preu es maximitzen els beneficis? 4. Trobeu la funci´o polin`omica de segon grau que m´es s’aproxima a la corba de beneficis en el punt q = 0. Exercici 5.9 Donada la seg¨ uent corba de beneficis: Π(q) = 10

q+1 − 4. q2 + 3

1. Representeu gr`aficament la corba per tot el domini de q, incloent els valors negatius. 2. Trobeu les coordenades dels m`axims i m´ınims; els punts de discontinu¨ıtat, si n’hi ha; les as´ımptotes horitzontals i verticals si n’hi ha. 3. Quin ´es l’interval de producci´o pel qual els beneficis s´ on positius? 4. Hi ha algun nivell de producci´o pel qual els beneficis marginals s´on exactament iguals a 1? Exercici 5.10 La llei de demanda d’un producte ´es: q=

p + 26 − 2, p+2

on q es d´ona en milions i p en euros. Els costos de producci´o del monopoli que subministra el producte al mercat s´on C(q) = (1 + q)2 .

´ DE FUNCIONS D’UNA VARIABLE 78 CAP´ITOL 5. RECAPITULACIO 1. Calculeu el cost fix. 2. Per quins casos els ingressos del monopoli s´on positius? 3. Calculeu la producci´o per la qual el benefici de l’empresa ´es m`axim. 4. Per quins valors del preu l’elasticitat de la demanda ´es unit`aria? 5. Trobeu els intervals del preu que fan la corba de demanda el`astica. Exercici 5.11 Donada la corba de demanda Q(p) = B · e−Ap , on A, B s´on par`ametres reals, es demana: 1. Quin signe han de tenir els par`ametres A i B per tal que Q tingui sentit com a funci´o de demanda? 2. Representeu gr`aficament la funci´o per p ≥ 0. 3. Calculeu l’elasticitat i determineu el valor d’ A per tal que la demanda sigui unit`aria a p = 1. Exercici 5.12 Una empresa subministra un mercat, en r`egim de compet`encia perfecta, amb una corba de cost C(q) = q + 5. 1. Quines condicions han de satisfer les produccions, en funci´o del preu del mercat p, per tal que el benefici sigui positiu? 2. Si l’empresa es trob´es en un r`egim monopolista, amb una demanda donada per: 2 Q(p) = 10 · e−(p/10) , quina seria la funci´o benefici? 3. Determineu els intervals de producci´o que fan els beneficis positius. 4. Calculeu el preu pel qual el benefici ´es m`axim. 5. Trobeu la funci´o polin`omica de segon grau que m´es s’aproxima a la corba de demanda per un preu de 10 unitats monet`aries. Exercici 5.13 Una empresa, en r`egim de compet`encia perfecta, subministra el mercat amb un producte. Els costos de producci´o per aquesta empresa venen donats per la llei C(q) = 10q 2 + 1000q + 2000. 1. Dedu¨ıu quina ser`a la llei d’oferta de l’empresa a partir de la maximitzaci´o del benefici.

´ DE FUNCIONS D’UNA VARIABLE 79 CAP´ITOL 5. RECAPITULACIO 2. Determineu a partir de quin preu la producci´o ´es viable (positiva). 3. Determineu a partir de quina producci´o i de quin preu els beneficis seran positius. 4. Calculeu el nivell de producci´o que iguala el cost marginal i el cost mitj`a. Comproveu que ´es el mateix que d´ona un benefici nul. Exercici 5.14 Un fabricant d’un producte produeix q unitats setmanals amb un cost total de 12 q 2 + 3q + 2 C . Si t´e el monopoli sobre un mercat en el qual la demanda ´es q = 10 − 2p: 1. Calculeu el nivell de producci´o i el preu per obtenir un m` axim de benefici. 2. Suposant que el govern estableix un impost de k C per unitat, el fabricant haur`a d’afegir aquest impost al cost. Dedu¨ıu el nou preu i la nova producci´o que maximitzaran el benefici. 3. Trobeu la disminuci´o que experimentar`a la producci´o i l’augment del preu en funci´o de k. Exercici 5.15 Donades les funcions: √ f (x) = 3 x,

g(x) = ln x ,

trobeu els intervals on ´es c`oncava i on ´es convexa. Alguna d’elles t´e punts d’inflexi´o? Trobeu la fam´ılia de rectes tangents a cadascuna de les funcions. 2x t´e 3 punts d’inflexi´o +1 separats per un m`axim i un m´ınim. Feu una representaci´o gr`afica de la funci´o.

Exercici 5.16 Demostreu que la corba f (x) =

x2

Exercici 5.17 La concentraci´o en mg/cm3 de la droga A a la sang d’una persona despr´es de t hores ve donada per la funci´o C(t) =

t2

0, 18t . + 3t + 25

Dibuixeu la gr`afica de C(t) i trobeu el valor de t necessari per aconseguir una concentraci´o m`axima. Exercici 5.18 Una mutua sanit`aria vol augmentar les seves tarifes. T´e 2000 membres que paguen 150 C l’any i un estudi de mercat indica que per cada 25 C d’increment l’organitzaci´o perd 200 membres. Quina tarifa ha d’aplicar per maximitzar els seus ingressos?

´ DE FUNCIONS D’UNA VARIABLE 80 CAP´ITOL 5. RECAPITULACIO 1 3 Exercici 5.19 Donada la funci´o de cost total C(q) = q 2 + q+8 per produir 2 2 q tones de fertilitzant, trobeu: 1. El cost mitj`a de producci´o entre q = 4 tones i q = 6 tones. 2. El cost marginal per q = 4 tones. 3. Trobeu el m´ınim del cost mitj`a i comproveu que coincideix amb aquell nivell de producci´o que fa que l’elasticitat del cost sigui unit`aria. Exercici 5.20 Una refineria de sucre t´e la funci´o de cost:   1 2 q + 5q + 200 C C(q) = 100 10 per q tones de producci´o setmanals. El preu de mercat ´es de p C /kg. Es pregunta: 1. Quina ser`a la corba d’oferta d’aquesta empresa? 2. Quin ser`a el preu que correspondr`a a una producci´o de 150 tones de sucre? 3. Quin ser`a el preu m´ınim que cobreixi tots els costos? Exercici 5.21 Un fabricant de xupa-xups, que t´e el monopoli sobre un mercat, produeix x centenars de caramels per minut amb un cost total de C(x) = 1 2 x + 3x + 100 C . La demanda per hora ´es de x = 60(75 − 3p), si el preu 25 del centenar ´es de p C . Trobeu la producci´o aproximada de xupa-xups per dia que maximitza el benefici empresarial. Quin ser`a el preu de monopoli del xupa-xup? Exercici 5.22 Si l’anterior fabricant, tenint el mateix cost, produeix d’acord √ amb una demanda de x = 100 − 20 p xupa-xups per minut, calculeu la nova producci´o per maximitzar els beneficis i doneu el nou preu de venda del xupaxup. Exercici 5.23 Suposant que, en el cas de l’exercici 5.21, el govern decid´ıs gravar el preu del caramel amb un impost al fabricant de k C . per centenar, el fabricant afegiria aquest impost als costos. A partir d’aquests nous costos determinaria el nou nivell de producci´o i el nou preu de monopoli. Demostreu que, si es fa aix`o, el preu de venda augmentar`a molt poc respecte l’impost. Trobeu en funci´o de k la disminuci´o que experimentar`a la producci´o i l’ingr´es

´ DE FUNCIONS D’UNA VARIABLE 81 CAP´ITOL 5. RECAPITULACIO del monopoli i determineu quin ha de ser el valor de l’impost per tal que el govern aconsegueixi una recaptaci´o m`axima. Interpreteu els resultats des del punt de vista de l’empresa, dels consumidors i del govern. Discutiu, tamb´e, els diferents resultats, si l’impost es grava directament sobre el preu de venda (com ´es el cas de l’IVA). Exercici 5.24 Generalitzeu el problema d’imposici´o fiscal de l’exercici anterior tot trobant els efectes i repercussions d’un impost de k unitats monet`aries per unitat de producci´o quan el cost total del monopolista ´es C(q) = aq 2 +bq+c i la llei de demanda ´es p = β − α · q. Demostreu que l’impost condueix a una recaptaci´o m`axima quan k = 21 (β − b) i que l’augment del preu del monopoli ´es sempre menor que el de l’impost que s’aplica. Exercici 5.25 Una f`abrica produeix un article que es ven a 800 u.m. per unitat Els costos s´on funci´o de la producci´o, x, i venen donats per C(x) = kx2 + 2k 2 x + 15. Trobeu el valor de k per tal que el benefici sigui m`axim amb un ingr´es igual a 158.400 u.m. Exercici 5.26 En una situaci´o de monopoli se sap que la corba de demanda √ ´es q = 100 − p i que la corba de cost del fabricant ´es C(q) = 10 + 1000q. 1. Trobeu el preu que maximitza els beneficis i la quantia d’aquests beneficis m`axims. 2. Si el mercat es duplica, ´es a dir, la demanda es multiplica per dos, trobeu el nou preu del producte i comproveu si el benefici tamb´e ha quedat multiplicat per dos.

´ DE FUNCIONS D’UNA VARIABLE 82 CAP´ITOL 5. RECAPITULACIO Exercici 5.27 En un r`egim de lliure compet`encia: 1. Determineu, en funci´o del preu p del mercat, quina de les dues funcions de costos ´es preferible pel fabricant: √ q C1 (q) = 400 + q , C2 (q) = 20 + q 2 . 10 2. Trobeu els valors de la producci´o pels quals la funci´o C2 (q) ´es el`astica. 3. Trobeu el polinomi de segon grau que m´es s’aproxima a la funci´o C1 (q) en el punt q = 10. Exercici 5.28 Si una empresa produeix amb una funci´o de cost total C(q) = aq 2 + bq , trobeu l’elasticitat del cost total per a cada nivell de producci´o. Demostreu que l’elasticitat ´es sempre m´es gran que 1 i que creix a mesura que creix la producci´o. Per una producci´o molt gran, quin seria aproximadament el valor de l’elasticitat? Exercici 5.29 Trobeu l’elasticitat de la demanda en funci´o de x per a cada una de les seg¨ uents lleis de demanda: √ p = a − bx; p = (a − bx)2 ; p = a − bx2 . Demostreu que l’elasticitat decreix quan creix x i trobeu, en cada cas, en quin punt l’elasticitat ´es unit`aria.

Cap´ıtol 6 Problemes d’ex` amens i solucions 6.1

Funcions d’una variable

1. [mar 01] En un mercat monopolista se sap que la demanda ´es q = √ 10 − p, i la funci´o de costos del fabricant ´es C(q) = 35 + q + q 2 . Es demana: (a) Trobeu el domini econ`omic del preu i de la demanda. √ p > 0, q > 0. Per tant, 10 − p > 0 d’on obtenim p < 100. A √ m´es, q = 10 − p < 10. En resum, 0 < p < 100, 0 < q < 10

(b) Trobeu la producci´o i el preu que maximitzen els beneficis, aix´ı com el benefici m`axim assolit. √ Si p = 10 − q, aleshores p = 100 − 20q + q 2. La funci´o de benefici ser`a, per tant: Π(q) = (100 − 20q + q 2 ) · q − (35 + q + q 2 ) = q 3 − 21q 2 + 99q − 35 Les seves derivades seran: Π0 (q) = 3q 2 −42q+99 i Π00 (q) = 6q−42. Si trobem els valors que anul·len la primera derivada obtindrem: q = 11 i q = 3. Π00 (11) = 24 > 0. Π00 (3) = −24 < 0. Si q = 3, aleshores p = 49 i Π(3) = 100. La soluci´o ´es, per tant, q = 3, p = 49, Π(3) = 100 (c) Calculeu el polinomi de Taylor de grau 2 de la funci´o demanda en el punt p = 1. 83

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

84 1

Calculem les dues primeres derivades de la funci´o q: q 0 = − 21 p− 2 , 3 q 00 = 14 p− 2 . El polinomi de Taylor de grau 2 ser`a, per tant: q(1) + 00 q 0 (1) (p − 1) + q 2!(1) (p − 1)2 . Com que q(1) = 9, q 0 (1) = − 21 i 1! q 00 (1) = 41 tindrem que el polinomi demanat ´es: 18 p2 − 34 p + 77 8 Si √ 2 p = 10 − q, aleshores p = 100 − 20q + q . La funci´o de benefici ser`a, per tant:

Π(q) = (100 − 20q + q 2 ) · q − (35 + q + q 2 ) = q 3 − 21q 2 + 99q − 35

Les seves derivades ser`an: Π0 (q) = 3q 2 −42q+99 i Π00 (q) = 6q−42. Si trobem els valors que anul·len la primera derivada obtindrem: q = 11 i q = 3. Π00 (11) = 24 > 0. Π00 (3) = −24 < 0. Si q = 3, aleshores p = 49 i Π(3) = 100. La soluci´o ´es, per tant, q = 3, p = 49, Π(3) = 100 . (d) Calculeu el valor de q pel qual es t´e que la funci´o de costos presenta elasticitat unit`aria. Com que la funci´o de costos ´es creixent, la seva elasticitat ´es positiva. Hem de determinar el valor de q tal que es verifiqui: q · C 0 (q) = 1. Com que C 0 (q) = 1 + 2q es tracta de resoldre l’eC(q) q + 2q 2 quaci´o = 1 que es converteix en q 2 = 35. La soluci´o 35 + q + q 2 √ ´es, per tant, q = 35 . 2. [set 02] En un mercat monopolista la funci´o de demanda ve donada √ per q = 50 − 12 p. La funci´o de costos del fabricant ´es: C(q) = 4q 3 . Es demana: (a) El domini del preu i de la demanda. Com que la demanda ha de ser positiva tindrem 50 − que, a¨ıllant, ens d´ona p < 10.000. Per tant:

1√ p 2

> 0

0 < p < 10.000, 0 < q < 50. (b) El preu i la producci´o que maximitzen el benefici. Si a¨ıllem p a la corba de demanda obtindrem p = (100 − 2q)2 = 10000−400q +4q 2. La funci´o de benefici ser`a Π(q) = p·q −C(q) = 10000q − 400q 2 . Tindrem Π0 (q) = 10000 − 800q, Π00 (q) = −800. L’´ unic valor que anul·la Π0 ´es q = 25/2 que substitu¨ıt a la funci´o de demanda ens d´ona p = 752 = 5625 .

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

85

(c) Calculeu la funci´o d’elasticitat de la funci´o de costos.

EC(q) =

12q 3 C 0 (q) · q = =3 . C(q) 4q 3

(d) Desenvolupeu per Taylor fins a grau 2 la funci´o de demanda en el punt p = 1. q 0 = − 41 p−1/2 , q 00 = 18 p−3/2 . Per tant, q(1) = q 00 (1) = 1/8 i el polinomi demanat ´es P (p) =

99 1 − 14 (p−1)+ 16 (p−1)2 2

99 , 2

q 0 (1) = −1/4,

.

3. [set 02] En un mercat de compet`encia perfecta un producte es ven a 40 euros la unitat. Un fabricant t´e per funci´o de costos la seg¨ uent: 1 2 C(q) = 100 + 2 q . Es demana: (a) Trobeu la quota de producci´o que fa m`axim el benefici. Π(q) = 40q − 21 q 2 − 100, Π0 (q) = 40 − q, Π00 (q) = −1 < 0. Per tant, la quota de producci´o que maximitza el benefici ´es q = 40 . (b) Trobeu el valor del cost mitj`a m´ınim. C(q) 1 100 1 100 200 = q+ , CM 0 = q − 2 , CM 00 = 3 . Per q 2 q 2 q q √ 0 tant, si fem CM (q) = 0 obtenim q = 200 ∼ 14 que fa positiva CM 00 i, per tant, ´es un m´ınim de la funci´o. CM =

(c) 4. [mar 03] En un mercat monopolista se sap que la demanda ´es q = 100 − p , i la funci´o de costos del fabricant ´es C(q) = 4 + 4q. Es p demana: (a) El domini del preu i de la demanda. Com que la demanda ha de ser positiva tindrem 100 − p > 0 que, a¨ıllant, ens d´ona p < 100. Per tant: 0 < p < 100, q > 0. (b) Trobeu la producci´o i el preu que maximitzen els beneficis, aix´ı com el benefici m`axim assolit.

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

Si a¨ıllem p a la corba de demanda obtindrem p =

86 100 . La q+1

100q − 4 − 4q. Tindrem Π0 (q) = q+1 1 200 00 100 −4, Π (q) = − . L’´ unic valor que anul·la Π0 ´es (q + 1)2 (q + 1)3 q = 4 que substitu¨ıt a la funci´o de demanda ens d´ona p = 20 .

funci´o de benefici ser`a Π(q) =

El benefici m`axim assolit ´es, doncs, Π(4) = 60 . (c) Si el govern grava la producci´o amb un impost de 21 unitats monet`aries per unitat produ¨ıda, calculeu en aquest cas la nova producci´o i el preu per tal d’aconseguir un m`axim benefici. Caldr`a que imputem en els costos un sumand 21q, i obtindrem la 100q − 4 − 25q. Tindrem ara nova funci´o de benefici: Π(q) = q+1 200 1 − 25, Π00 (q) = − . L’´ unic valor que Π0 (q) = 100 2 (q + 1) (q + 1)3 anul·la Π0 ´es q = 1 que substitu¨ıt a la funci´o de demanda ens d´ona p = 50 . (d) Calculeu el polinomi de Taylor de grau 2 de la funci´o demanda en el punt p = 1 200 −100 00 , q = 3 . 2 p p Per tant, q(1) = 99, q 0 (1) = −100, q 00 (1) = 200, i el polinomi de Taylor ser`a:

Les derivades de la funci´o demanda s´on q 0 =

P (p) = 99−100(p−1)+100(p−1)2 = 100p2 −300p+299 . (e) Calculeu els intervals del preu pels quals la funci´o de demanda ´es el`astica. La funci´o d’elasticitat de la demanda ser`a: −100/p2 −100 . = 2 (100 − p)/p 100 − p La demanda ser`a el`astica quan

−100 < −1, ´es a dir quan 100 − p

100 > 1, que es verifica en tot el domini econ`omic. Per tant, 100 − p la funci´o de demanda ´es sempre el`astica .

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

87

5. [set 03] En un mercat monopolista se sap que la demanda ve donada 20 per la funci´o q = p+1 − 2, i la funci´o de costos del fabricant ´es: C(q) = 1 5 + 9 q. Es demana: (a) Quin ´es el domini econ`omic de la demanda i del preu. 20 −2 > 0 p+1 que, a¨ıllant, ens d´ona p < 9. Per a p = 0 obtenim q = 18. Per tant: 0 < p < 9, 0 < q < 18. Com que la demanda ha de ser positiva tindrem

(b) Trobeu la producci´o i el preu que fan m`axim el benefici. Si a¨ıllem p a la corba de demanda obtindrem p =

20 − 1. q+2

10 20q − q − 5. Tindrem q+2 9 40 10 −4 Π0 (q) = − , Π00 (q) = . L’´ unic valor del domini 2 (q + 2) 9 (q + 2)3 que anul·la Π0 ´es q = 4 que substitu¨ıt a la funci´o de demanda 7 ens d´ona p = . 3 (c) Trobeu el valor del preu pel qual l’elasticitat de la demanda ´es unit`aria. La funci´o de benefici ser`a Π(q) =

q0 −10p = = −1 −→ p2 + 2p − 9 = 0. L’´ unica q/p −p2 + 8p + 9 √ soluci´o positiva de aquesta equaci´o ´es p = 10 − 1 .

Eq =

(d) Desenvolupeu la funci´o de demanda per Taylor fins el grau segon en el punt p = 0. −20 40 , q 00 = . Per tant, q(0) = 18, q 0 (0) = −20, 2 (p + 1) (p + 1)3 q 00 (0) = 40 i el polinomi demanat ´es P (p) = 18−20p+20p2 . q0 =

6.2 6.2.1

Ex` amens complets Desembre 06

Problemes 1. En un mercat monopolista tenim la corba de demanda q = 10 − corba de costos del productor ´es C(q) = q 3 + 1.

√

p. La

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

88

(a) Si es fabriquen 5 unitats, quant costa, en promig, cadascuna d’elles? C(q) 1 La corba de cost mitj`a ser`a CM (q) = = q 2 + . Per tant, el cost q q 1 mitj` a de produir cada unitat en produir-ne 5 ´es CM (5) = 25 + = 25, 2 . 5 (b) Quant hem de produir per tal d’obtenir el m`axim benefici? Quin ´es aquest benefici? A¨ıllant p a la corba de demanda obtenim p = (10−q)2 = 100−20q +q 2 . La funci´ o de beneficis ser`a: Π(q) = 100q − 20q 2 + q 3 − q 3 − 1 = 100q − 20q 2 − 1 . Derivant obtenim: Π0 (q) = 100 − 40q

Π00 (q) = −40

La segona derivada ´es sempre negativa. Per tant, qualsevol valor que anul·li la primera derivada correspon a un m`axim relatiu. Busquem aquest valor: 5 Π0 (q) = 0 → 100 − 40q = 0 → q = = 2, 5 . 2   5 A m´es, Π = 124. Per tant, el m`axim es d´ona quan q = 2, 5 , i 2 ´es de Π(2, 5) = 124 . (c) Quant cal produ¨ır per tal que el cost mitj`a sigui m´ınim? C(q) 1 0 (q) = Ja hem calculat que CM (q) = = q 2 + . Tindrem: CM q q 1 00 (q) = 2 + 2 , que ´ es positiu per a tot valor de q. El valor 2q − 2 i CM q q3 1 positiu que fa zero la primera derivada ´es 2q − 2 = 0 que, a¨ıllant, ens q r 1 d´ona q = 3 = 0, 79 . 2 (d) Determineu per a quin valor del preu ´es unit`aria l’elasticitat de la corba de demanda. −1 Comencem per calcular la derivada de la corba de demanda: q 0 = √ . 2 p −1 √ 2 p −p √ = √ La funci´ o d’elasticitat ser`a Eq (p) = √ , que ha 10 − p 2 p(10 − p) p de valer −1 per tal que l’elasticitat de la demanda sigui unit`aria: −p √ √ = −1 2 p(10 − p)

→

√ p = 20 p − 2p

→

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

89

400 20 → p= = 44, 4 . 3 9 √ 2. Considerem la funci´ o f (x) = x2 + x. √

p=

(a) Determineu el domini i els zeros de la funci´o f . x2 + x = x(x + 1), que haur`a de ser positiu o zero per tal que x sigui del domini. Per tant, domf = (−∞, −1] ∪ [0, +∞) . Els zeros de la funci´ o s´on x = −1 i x = 0

.

(b) Indiqueu en quins intervals del seu domini f ´es creixent i en quins ´es decreixent. 2x + 1 . El denominador ´es positiu per a tot valor de x que f 0 (x) = √ 2 x2 + x 1 sigui del domini. El numerador ´es positiu quan x > − . Per tant, 2 f decreix a (−∞, −1] i f creix a [0, +∞) . (c) Indiqueu el recorregut de la funci´o f . La funci´ o ´es sempre positiva. Per tant, Rec f = [0, +∞) . (d) Calculeu, si existeixen, les as´ımptotes horitzontals i obliq¨ ues de la funci´ o quan x tendeix a +∞. p lim x2 + x = +∞. Per tant, no hi ha as´ımptotes horitzontals. x→+∞

Vegem si n’hi ha d’obliq¨ ues: r r √ 1 x2 + x x2 + x m = lim 1 + = 1. = lim = lim x→+∞ x→+∞ x→+∞ x x2 x √ √ p ( x2 + x − x)( x2 + x + x) 2 √ = n = lim ( x + x − x) = lim x→+∞ x→+∞ x2 + x + x 1 x 1 lim √ = lim r = . 2 x→+∞ x→+∞ 2 x +x+x 1 1+ +1 x Per tant, y = x +

1 ´es l’as´ımptota obliqua de f per +∞ 2

.

Q¨ uestions (1 p. cadascuna) 1. Calculeu la suma de tots els termes d’una progressi´o geom`etrica de ra´o r = 1/3 i que el seu tercer terme ´es a3 = 2. a3 a1 = 2 = 2 · 9 = 18. Per tant, la suma de tots els termes de la r 18 progressi´o geom`etrica ´es S = = 27. 1 1− 3

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

90 



n2   1−n . 2. Calculeu el l´ ımit de la successi´ o de terme general a = e n   n2   1 − n lim e = e−∞ = 0. n→∞

√ 3. Determineu l’equaci´o de la recta tangent a f (x) = x que t´e pendent 1.   √ 1 1 1 1 1 0 f (x) = √ = 1 quan x = , ´es a dir, x = . Com que f = , 2 4 4 2 2 x 1 1 1 o b´e, y = x + . l’equaci´o de la recta tangent ser`a: y − = x − 2 4 4 4. Determineu el polinomi de Taylor de grau 2 de la funci´o f (x) = e−x en els voltants del punt P (0, 1). Comen¸carem per calcular les derivades: f 0 (x) = −e−x . f 00 (x) = e−x . Per tant, f (0) = 1, f 0 (0) = −1, f 00 (0) = 1. Per tant, el polinomi de 1 Taylor que ens demanen ´es P2 (x) = 1 − x + x2 . 2 5. Determineu els valors m`axim i m´ınim absoluts de la funci´o f (x) =

x ln x

en l’interval [2, 10]. Caldr`a que comencem per veure si f t´e algun extrem relatiu a l’interval ln x − 1 donat: f 0 (x) = , que s’anul·la quan x = e. ln x − 1 < 0 si x < e (ln x)2 i ln x−1 > 0 si x > e. Per tant, x = e ´es un m´ınim relatiu. Busquem les 10 2 = 2, 8. f (e) = e. f (10) = = imatges corresponents: f (2) = ln 2 ln 10 10 4, 3. Per tant, el valor m`axim de f a l’interval donat ´es , a x = 10 , ln 10 i el valor m´ınim de f a l’interval donat ´es e, a x = e . 6. Estudieu la concavitat i la convexitat de la funci´o f (x) = e−1/x . Comencem per calcular les derivades: f 0 (x) =

1 −1/x e x2

;

f 00 (x) = −

2 −1/x 1 1 1 − 2x e + 2 · 2 e−1/x = . 3 x x x x4

Tant e−1/x com x4 s´on sempre positius. Per tant, f ´es convexa quan x < 1/2 –excl`os el zero, que no ´es del domini– i f ´es c`oncava quan x > 1/2 .

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

6.2.2

91

Setembre 07

Problemes 1. En un mercat en compet`encia perfecta la corba de corba de costos del productor ´es C(q) = 2q 2 + 8. (a) Si es fabriquen 4 unitats, quant costa, en promig, cadascuna d’elles? 8 C(q) = 2q + . D’aqu´ı, CM (4) = 10. La funci´ o cost mitj` a ´es CM (q) = q q El cost mitj` a de produir 4 unitats ´es de 10 unitats monet`aries .

(b) Si el preu unitari del producte ´es de 60 unitats monet`aries, quant hem de produir per tal d’obtenir el m`axim benefici? Quin ´es aquest benefici? La corba de benefici ser`a Π(q) = 60q − 2q 2 − 8. Les seves derivades s´on Π0 (q) = 60 − 4q, Π00 (q) = −4. L’´ unic valor que anul·la la primera derivada ´es q = 15. A m´es, Π00 (15) < 0 i Π(15) = 442.

(c) Quant cal produir per tal que el cost mitj`a sigui m´ınim? 8 0 (q) = Al primer apartat hem calculat CM (q) = 2q + . Derivant, CM q 8 00 (q) = 16 . L’´ 2 − 2 , CM unic valor que anul·la la primera derivada ´es q q3 00 q = 2. A m´es, CM (2) > 0. Per tant, el cost mitj` a m´ınim s’obt´e produint 2 unitats .

(d) Determineu per a quin valor de la producci´o l’elasticitat de la corba de costos ´es unit`aria. 2q 2 C 0 (q) = 2 . Si volem que l’elasticitat sigui unit`aria EC(q) = C(q)/q q +4 2q 2 caldr`a que es verifiqui 2 = 1, d’on obtenim q = 2 q +4 2. Considerem la funci´ o f (x) =

2x2 − 4 . x2 − 4

(a) Determineu el domini i els zeros de la funci´o f . dom f = R − {−2, 2} . Si resolem f (x) = 0, ´es a dir, 2x2 − 4 = 0, √ √ √ √ obtenim x = − 2, x = 2. Per tant, els zeros de f s´on (− 2, 0) i ( 2, 0) .

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

92

(b) Indiqueu en quins intervals del seu domini f ´es creixent i en quins ´es decreixent. −8x . El denominador no Calculant la derivada obtenim f 0 (x) = 2 (x − 4)2 ´es mai negatiu, i el numerador canvia de signe a x = 0. Per tant, f ´es creixent a (−∞, −2) ∪ (−2, 0) i f ´es decreixent a (0, 2) ∪ (2, +∞)

.

(c) Calculeu, si existeixen, les as´ımptotes horitzontals i verticals de la funci´ o f. lim f (x) = 2; per tant, y = 2 ´es as´ımptota horitzontal . lim f (x) = x→∞

x→±2

∞; per tant, x = −2 i x = 2 s´on as´ımptotes verticals

.

(d) Indiqueu el recorregut de la funci´o f . A partir de les dades que hem obtingut en els apartats anteriors sabem que la gr`afica de la funci´o f ´es aproximadament aix´ı: 4

y 0 -4

0

4

x

-4

Com que f (0) = 1 i, am´es, y = 2 ´es l’as´ımptota horitzontal, tindrem que rec f = (−∞, 1] ∪ (2, +∞) .

Q¨ uestions (1 p. cadascuna) 1. Calculeu la suma de tots els termes de una progressi´o geom`etrica de primer terme 3 i ra´o r = 2/3. S=

3 1−

2 3

= 9.

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

93

2. Calculeu justificadament el l´ımit de la successi´o de terme general an = 1 + n + n2 . 1 + 2n − 3n2 Com que es tracta de dos polinomis del mateix grau, dividint numerador i denominador per n2 obtindrem: lim an = −

1 3

3. Determineu l’equaci´o de la recta tangent a f (x) = ln x en el punt x = 1. 1 f 0 (x) = . Per tant, f 0 (1) = 1 i f (1) = 0. La recta tangent, que x passar`a per (1, 0) i t´e pendent 1 ´es y = x − 1 . 4. Determineu el polinomi de Taylor de grau 2 de la funci´o f (x) = x · ex en els voltants del punt x = 0. f (x) = x · ex → f (0) = 0 f 0 (x) = ex (1 + x) → f 0 (0) = 1 f 00 (x) = ex (2 + x) → f 00 (0) = 2 Per tant, el polinomi de Taylor ´es P (x) = x + x2 . 5. Determineu els valors m`axim i m´ınim absoluts de la funci´o f (x) = 2x3 − 3x2 + 2 en l’interval [−1, 1]. Si calculem les derivades tindrem f 0 (x) = 6x2 − 6x i f 00 (x) = 12x − 6. Per tant, f t´e un m`axim relatiu a x = 0 (dins de l’interval) i un m´ınim relatiu a x = 1 (en un extrem de l’interval). A m´es, f (−1) = −3, f (0) = 2 i f (1) = 1: els valors m`axims de f en aquest interval seran: valor m`axim: 2 per a x = 0 . valor m´ınim: −3 per a x = −1 . 6. Estudieu la concavitat i la convexitat de la funci´o f (x) = 2x3 − 3x2 + 2. 1 Ja sab´ıem que f 00 (x) = 12x − 6, que s’anul·la per a x = . Per tant, 2 1 1 i f ´es convexa a ( , +∞) . f ´es c`oncava a (−∞, ) 2 2

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

6.2.3

94

Desembre 07

Problemes (2 p. cadascun) 1. Donada la funci´o f (x) =

2x2 − 8 : x−1

(a) Determineu-ne el domini. El denominador nom´es s’anul·la quan x = 1. Per tant, domf = R − {1}.

(b) Trobeu totes les antimatges de 8. Es tracta de resoldre l’equaci´o f (x) = 8:

2x2 − 8 = 8 → 2x2 −8 = 8x−8 → 2x2 −8x = 0 → 2x(x−4) = 0 , x−1 d’on obtenim x = 0 i x = 4. (c) Calculeu totes les as´ımptotes de f . • As´ımptotes horitzontals: lim f (x) = ∞ perqu`e el numerador x→∞ ´es un polinomi de grau m´es gran que el del denominador. Per tant, f no t´e as´ımptotes horitzontals. • As´ımptotes verticals: L’´ unic valor que anul·la el denominador ´es x = 1, i, a m´es, lim f (x) = ∞. Per tant, x = 1 ´es una x→1 as´ımptota vertical de f . 2x2 − 8 f (x) = lim 2 = 2; • As´ımptotes obliq¨ ues: m = lim x→∞ x − x x→∞ x 2x − 8 n = lim (f (x) − 2x) = lim = 2. Per tant, la recta x→∞ x→∞ x − 1 y = 2x + 2 ´es as´ımptota obliqua de f . (d) Determineu els punts de tall amb els eixos de coordenades. D’una banda, f (0) = 8. Per tant, f talla l’eix d’ordenades en el punt (0, 8). D’altra banda, 2x2 − 8 = 0 → 2x2 −8 = 0 → 2(x2 −4) = 0 → x2 = 4 → x = ±2 . x−1 Per tant, f talla l’eix d’abscisses en els punts (−2, 0) i (2, 0). En resum, la gr`afica de la funci´o podria ser com es mostra a la figura 6.1. 2. Considerem la funci´o f (x) = x · ex .

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

95

10

5

y -10

-5

0 0

5

10

x

-5

-10

Figura 6.1: La funci´o del probl. 1. (a) Determineu els intervals de creixement i de decreixement de f . f 0 (x) = ex +x·ex = (1+x)·ex. Per tant, si x < −1 f ´es decreixent (f 0 < 0) i, si x > −1, f ´es creixent (f 0 > 0).

(b) Determineu els m`axims i els m´ınims relatius de la funci´o. Com que f ´es decreixent per a valors de x menors que −1 i ´es creixent per a valors de x m´es grans que −1, f t´e un m´ınim relatiu 1 en el punt x = −1. Com que f (−1) = − , ens referim al punt e 1 (−1, − ). Tamb´e es pot comprovar que es tracta d’un m´ınim e veient que f 00 (−1) > 0 (vegeu l’apartat (d) ). (c) Escriviu l’equaci´o de la recta tangent a la corba en el punt x = 0. Com que f (0) = 0 i f 0 (0) = 1, l’equaci´o de la recta que passa per l’origen i t´e pendent 1 ´es y = x. T S (d) Determineu els intervals de concavitat ( ) i convexitat ( ) deTf . f 00 (x) = ex + (1 + x) · ex = (2S+ x) · ex . Per tant, f ´es c`oncava ( ) quan x < −2 i ´es convexa ( ) quan x > −2. Per tant, a x = −2 hi tenim un punt d’inflexi´o. En resum, la gr`afica de la funci´o f ´es aproximadament com mostra la figura 6.2.

Q¨ uestions (1 p. cadascuna) 1. En una progressi´o aritm`etica sabem que a10 = 20 i a20 = 80. Trobeu-ne la difer`encia (o ra´o) i la suma dels termes compresos entre a10 i a20 , ells inclosos. Com que es tracta d’una progressi´o aritm`etica tenim a20 = a10 + 10 d 20 + 80 ·11 = 550. d’on obtenim d = 6. La suma dels 11 termes ´es S11 = 2 2. Calculeu el polinomi de Taylor de grau 2 de la funci´o f (x) =

x2 − 2 x−1

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

96

6

4

y 2

0 -4

-2

0

2

4

x

-2

Figura 6.2: La funci´o del probl. 2.

en el punt x = 0. Comencem per calcular les dues primeres derivades de f : f 0 (x) =

2x(x − 1) − (x2 − 2) x2 − 2x + 2 = . (x − 1)2 (x − 1)2

−2 (2x − 2)(x − 1)2 − (x2 − 2x + 2) · 2(x − 1) = . f (x) = 4 (x − 1) (x − 1)3 00

Donat que busquem el polinomi de Taylor en el punt x = 0 tindrem f (0) = 2, f 0 (0) = 2, f 00 (0) = 2. Per tant, el polinomi de Taylor de f en 2 el punt x = 0 ´es: P2 (x) = 2 + 2x + x2 = 2 + 2x + x2 . Les gr`afiques 2! de la funci´o i el polinomi corresponen a la figura 6.3. 4

3

2 y 1

0 -2

-1

0

1

2

x -1

Figura 6.3: q¨ uesti´o 2.

3. Donada la corba de cost C(q) = 2q 2 + 50, trobeu el valor de q pel qual obtenim el cost mitj`a m´ınim.

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

CM (q) =

C(q) 50 = 2q + . q q

0 Les derivades de la funci´o cost mitj`a s´on CM (q) = 2−

97

100 50 00 , CM (q) = 3 . 2 q q

50 = 0 → 2q 2 = 50 → q 2 = q2 00 25 → q = ±5. Com que nom´es t´e sentit q = 5 i CM (q) > 0 per a tot q positiu, q = 5 correspon a un m´ınim.

0 Vegem quins valors anul·len CM (q): 2 −

4. En un mercat monopolista sabem que la corba de demanda ´es q = p 100 e− 2 , i la corba de cost del fabricant ´es C(q) = 1 + 8q. Trobeu el preu de venda que fa m`axim el benefici. Resoldrem el problema de dues maneres diferents: (a) A¨ıllant p a la corba de demanda tindrem: p

e− 2 =

p q q q → − = ln → p = −2 ln . 100 2 100 100

Aleshores, la funci´o de beneficis i les seves derivades s´on: Π(q) = −2q · ln

q − 1 − 8q , 100

q 1 q − 2q · − 8 = −2 ln − 10 , 100 q 100 2 Π00 (q) = − . q Vegem quin valor anul·la la primera derivada: Π0 (q) = −2 ln

−2 ln

q q − 10 = 0 → ln = −5 → q = 100 e−5 , 100 100

que, com que Π00 (100 e−5) < 0, correspon a un m`axim. Si ara substitu¨ım aquest valor de q a la corba de demanda obtindrem: p

100 e−5 = 100 e− 2 → −5 = −

p → p = 10 . 2

(b) Si plantegem la funci´o de benefici amb p com a variable tindrem: p

p

Π(p) = p · 100 e− 2 − 1 − 8 · 100 e− 2 . Les seves derivades s´on: 0

− p2

Π (q) = 100 e

− 2p

+100 p·e

    p 1 1 − p2 = e− 2 (500−50p) . · − −800 e · − 2 2

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

00

− p2

Π (q) = e

98

  p p 1 · − + e− 2 · (−50) = e− 2 (−300 + 25p) . 2 p

Els valors que anul·len la primera derivada s´on: e− 2 (500−50p) → p = 10 que, com que Π00 (p) < 0, ens diu que p = 10 correspon a un m`axim. 5. Calculeu l’elasticitat de la corba de cost C(q) = q 3 + 25q. El cost marginal ´es C 0 (q) = 3q 2 + 25, i el cost mitj`a ´es CM (q) = q 2 + 25. 3q 2 + 25 . Per tant, l’elasticitat ´es E = 2 q + 25 6. Determineu els valors m`axim i m´ınim absoluts de f (x) = terval [1, 3].

ln x en l’inx

1 − ln x Comencem per calcular la derivada: f 0 (x) = . La derivada x2 ser`a positiva –i, per tant, f ser`a creixent– quan x < e; la derivada ser`a negativa –i, per tant, f ser`a decreixent– quan x > e. Per tant el m`axim 1 absolut de f en l’interval demanat correspon a x = e, i val f (e) = . e ln 3 > 0. Per tant, el m´ınim absolut D’altra banda, f (1) = 0 i f (3) = 3 de f a l’interval donat correspon a x = 1, i val 0. La gr`afica ´es aix´ı:

Figura 6.4: q¨ uesti´o 6.

6.2.4

Setembre 08

Problemes 100 − p , i la p funci´o de costos del fabricant ´es C(q) = 2 + 9q. Es demana:

1. En un mercat monopolista se sap que la demanda ´es q =

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

99

(a) (0,5 p.) Trobeu l’interval de preus que fan que la demanda sigui inferior a 19 unitats. 100 − p < 19 → 100 − p < 19p → 100 < 20p p 5. Per tant, la soluci´o ´es l’interval (5, 100).

→

p>

(b) (0,5 p.) Trobeu el domini econ`omic del preu i de la demanda. Com que p i q ha de ser positius, ha de ser p < 100. Per tant, el domini econ`omic del preu ´es 0 < p < 100. A¨ıllant p a la corba de 100 demanda obtenim p = . Per tant, p ser`a positiu sempre que q+1 ho sigui q: q > 0. (c) (1 p.) Trobeu la producci´o i el preu que maximitzen els beneficis, aix´ı com el benefici m`axim assolit. 100 . La funci´o de benefici De l’apartat anterior sabem que p = q+1 i les seves derivades valdran: Π(q) = 100

q − 2 − 9q . q+1

Π0 (q) = 100

1 − 9. (q + 1)2

Π00 (q) = −200

1 . (q + 1)3

Ara mirarem per a quins valors Π0 (q) = 0: 100 =9 (q + 1)2

→

(q+1)2 =

100 9

→

q+1 =

10 3

→

q=

7 . 3

  7 < 0, el valor de q que hem trobat correspon a Com que Π00 3   7 un m`axim. Per tant, p = 30. El benefici m`axim ser`a Π = 47. 3 2. Donada la funci´o y =

x2 + 4 , trobeu: x

(a) (1 p.) Totes les rectes as´ımptotes. • lim x→∞ tals.

x2 + 4 = ∞. Per tant, no hi ha as´ımptotes horitzonx

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

100

x2 + 4 • lim = ∞. Per tant, la recta x = 0 ´es una as´ımptota x→0 x vertical. x2 + 4 y = lim = 1. Per tant, existeix una as´ımptota • lim x→∞ x→∞ x x2 obliqua de pendent m = 1. A m´es, n = lim (y − mx) = x→∞  2  4 x +4 lim − x = lim = 0. Per tant, y = x ´es as´ımptota x→∞ x→∞ x x obliqua. (b) (0,5 p.) Intervals de creixement i decreixement. x2 − 4 2x2 − (x2 + 4) = = Comencem per calcular la derivada: y 0 = x2 x2 (x + 2)(x − 2) . Per tant: x2 • La funci´o ´es creixent a (−∞, −2) ∪ (2, +∞). • La funci´o ´es decreixent a (−2, 0) ∪ (0, 2). (c) (0,5 p.) Trobeu l’equaci´o de la recta tangent a la funci´o en el punt P(1,5). y 0(1) = −3. Per tant, l’equaci´o de la recta tangent ´es y − 5 = −3(x−1) que, una vegada arreglada, es converteix en y = −3x+8. La gr`afica de la funci´o amb les seves as´ımptotes i la recta tangent en el punt P(1,5) ´es la que es mostra a la figura 6.5.

10

5

y -10

0 0

10

x

-5

-10

Figura 6.5: La funci´o del probl. 2.

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

101

Q¨ uestions (1 p. cadascuna) 1. Calculeu el polinomi de Taylor de grau 2 de la funci´o f (x) = x2 + ln(x) en el punt x = 1. • f (x) = x2 + ln x. Per tant, f (1) = 1 + 0 = 1. 1 • f 0 (x) = 2x + . Per tant, f 0 (1) = 3. x 1 • f 00 (x) = 2 − 2 . Per tant, f 00 (1) = 1. x Per tant, el polinomi de Taylor d’ordre 2 ´es: 1 3 1 P (x) = 1 + 3(x − 1) + (x − 1)2 = x2 + 2x − . 2 2 2 2. Calculeu l’interval pel qual la funci´o de costos C(q) = 2eq ´es el`astica. 2eq Com que C 0 (q) = 2eq , la funci´o d’elasticitat ´es (q) = q = q. Per 2e /q tant, la funci´o ser`a el`astica per a q > 1. 3. En una progressi´o geom`etrica se sap que el segon terme ´es 18, i que el quart terme val 2. Trobeu la ra´o i la suma dels infinits termes de la progressi´o. De a2 a a4 hi ha dos passos. Per tant, tenim que 18 · r 2 = 2 que equival 1 a r = ± . Vegem els dos casos per separat: 3 a2 18 54 1 = 81. → a1 = = = 54 → S = • r= 1 3 r 1/3 1− 3 1 a2 18 −54 • r = − → a1 = =− = −54 → S = = 1 3 r 1/3 1+ 3 81 − . 2 4. Donada la funci´o y = x2 − 2x − 3, trobeu els m`axims i m´ınims absoluts en l’interval [−5, 2]. Comencem pel c`alcul de la derivada: y 0 = 2x − 2, que s’anul·la quan x = 1. Aleshores, com que: f (−5) = 32, f (1) = −4, f (2) = −3, el m`axim absolut de la funci´o a l’interval donat ´es 32, quan x = −5, i el m´ınim absolut ´es -4, quan x = 1. 5. Trobeu el cost mitj`a m´ınim de la funci´o de cost C(q) = q 4 + 48. C(q) 48 La funci´o de cost mitj`a ´es CM(q) = = q3 + . Per tant, q q

` CAP´ITOL 6. PROBLEMES D’EXAMENS I SOLUCIONS

102

48 96 i CM 00 (q) = 6q + 3 . Vegem per a quin valor 2 q q s’anul·la la primera derivada: 48 48 3q 2 − 2 = 0 → 3q 2 = 2 → q 4 = 16 → q = 2. Com que q q aquest valor fa positiva la derivada segona, correspon a un m´ınim, que val CM(2) = 32, CM 0 (q) = 3q 2 −

uents l´ımits: 6. Calculeu els seg¨   2x+1 x−1 2x + 1 =22 = 4. lim x→∞ x−1 lim

x→∞



x+1 x−1

2x+1

   = lim  1 + x→∞

2(2x + 1)  x − 1 x−1  2 2  = e4 .  x−1