Matematika + Ukazkove Testy

3  ROVNICE A NEROVNICE Rovnice a nerovnice jsou speciálními případy výrokových forem. Budeme se zabývat výrokovými formami: f(x)  g(x), f(x, y)  g(x, y), f(x, y, z)  g(x, y, z), kde  je jeden ze znaků =, <, >, , . Výraz f(x) se nazývá levá strana rovnice (nerovnice). Výraz g(x) se nazývá pravá strana rovnice (nerovnice). Výrokovou formu f(x )  g(x) nazveme rovnicí (nerovnicí) s jednou neznámou. Množinu všech x  R, pro které je rovnice (nerovnice) definována nazveme definiční obor rovnice (nerovnice). Označujeme ho D. Množinu všech x    D, pro které se rovnice (nerovnice) stává pravdivým výrokem nazveme obor pravdivosti rovnice (nerovnice). Označíme ho P. Nechť f(x)  g(x), f1(x)  g1(x) jsou dvě rovnice (nerovnice) se společným definičním oborem. Úprava rovnice (nerovnice) f(x)  g(x) na rovnici (nerovnici) f1(x)  g1(x) se nazývá ekvivalentní právě tehdy, když P = P1. Úprava rovnice (nerovnice) f(x)  g(x) na rovnici (nerovnici) f1(x)  g1(x) se nazývá důsledková, když P  P1. Poznámka: Ekvivalentní úpravou rovnice získáme rovnici se stejným oborem pravdivosti. Důsledkovou úpravou rovnice získáme rovnici se stejným nebo větším oborem pravdivosti. Ekvivalentní úpravy výrokové formy (označíme je EÚ): 1. Přičtení téhož čísla k oběma stranám výrokové formy. 2. Vynásobení obou stran týmž číslem různým od nuly. Jestliže je f(x)  g(x) nerovnice a číslo je záporné, znak nerovnosti se obrátí. 3. Přičtení libovolného výrazu (se stejným definičním oborem jaký má výroková forma) k oběma stranám výrokové formy. Důsledkové úpravy rovnic (DÚR): 1. Vynásobení obou stran výrazem, který je definován v D. f(x) = g(x)  f(x) · g(x) = g(x) · g(x). 2. Umocnění obou stran rovnice. f(x) = g(x)  f(x)2 = g(x)2. 3. Odmocnění obou stran rovnice. 0  f(x) = g(x)  f(x) = g(x) .

28  MATEMATIKA Důsledkové úpravy nerovnic (DÚN): 1. Vynásobení obou stran výrazem, který je definován v D: f(x) < g(x)  h(x) > 0  f(x) · h(x) < g(x) · h(x) f(x) < g(x)  h(x) < 0  f(x) · h(x) > g(x) · h(x) 2. Umocnění obou stran nerovnice: f(x) > g(x)  0  f2(x) > g2(x) 3. Odmocnění obou stran nerovnice: f(x) > g(x)  0  f(x) > g(x)

3.1  Lineární rovnice a nerovnice s jednou neznámou Lineární rovnicí s neznámou x nazýváme rovnici tvaru ax + b = 0, kde a, b  R, nebo rovnici, kterou lze algebraickými úpravami upravit na daný tvar. b a) jestliže a  0, má v oboru reálných čísel jediný kořen x = − ; a b) jestliže a = 0  b  0, nemá v oboru reálných čísel kořen; c) jestliže a = 0  b = 0, kořenem rovnice je každé reálné číslo. Lineární nerovnicí s neznámou x nazýváme nerovnici tvaru ax + b > 0 ( 0,  0, < 0), kde a, b  R, nebo nerovnici, kterou lze algebraickými úpravami upravit na daný tvar. b a) jestliže a > 0, kořenem v oboru reálných čísel je každé číslo z intervalu  − , ∞ ;  a  b b) jestliže a < 0, kořenem v oboru R je každé číslo z intervalu  −∞, −  ;  a c) jestliže a = 0  b = 0, nerovnice nemá v oboru R kořen; d) jestliže a = 0  b > 0, kořenem je každé reálné číslo.

Příklad  1 V R řešte následující rovnice: x −1 x 7 − 52 x − 2(1 − 4 x ) = −   b)  x + 4 − x = 3 − x 3 4 6 2 2 6 + 25 x 2x 7 − (x − 1) = + c) 15 3 5 a)

3  Rovnice a nerovnice 

  Řešení: a) Rovnici vynásobíme číslem 12 (EÚ): 4(x – 1) – 24(1 – 4x) = 3x – 2(7 – 52x) 100x – 28 = 107x – 14 –7x = 14  x = –2 P = {–2} b) Rovnici vynásobíme číslem 2 (EÚ): x + 4 – 2x = 6 – x 0x = 2 P =  c) Rovnici vynásobíme číslem 15 (EÚ): 6 + 25x – 15(x – 1) = 10x + 2 10x + 21 = 10x + 21 0x = 0  P = R

Příklad  2 Řešte v R následující nerovnice: a) 5 −

2x − 5 3x + 10 x 7 4x + 1 3x − 5 +3< < − > x     c)      b)  1 + 2 3 3 3 2 8 120 − 8 x < 81 − 12 x

1 4 x < −39 / ⋅ (EÚ)   Řešení: 4 a) Nerovnici vynásobíme číslem 24 (EÚ) a upravíme na tvar:39 x<− 120 − 8 x < 81 − 12 x 4 1 39   4 x < −39 / ⋅ (EÚ) P =  −∞, −  4 4   39 x<− 4 3 (EÚ):39  b) Nerovnici vynásobíme číslem P = −∞, − 3 + 3x – 5 > 3x 4  0x > 2 P= c) Nerovnici vynásobíme číslem 6: 6x –15 + 18 < 6x + 20 0x < 17 P=R

29

30  MATEMATIKA

Příklad  3 Řešte v R: |x – 1| = |x+7|   Řešení: Ukážeme si různé způsoby řešení. a) Množinu R rozdělíme čísly 1 a –7, které anulují aspoň jednu z  absolut­ních hodnot na tři podmnožiny (–; –7〉, (–7; 1〉, (1; ). Rovnici upravujeme v každé ze tří podmnožin a najdeme její kořen.

−x + 1 = −x − 7 0 x = −8 P1 = ∅

−x + 1 = x + 7 −2 x = 6 x = −3

x −1 = x + 7 0x = 8 P3 = ∅

− ∈ − 1〉 P

{− }

b) Umocněním x2 – 2x + 1 = x2 + 14x + 49 –48 = 16x   x = –3 Úprava byla ekvivalentní, protože obě strany původní rovnice jsou nezáporné. c) Graficky, využitím grafů funkcí f: y = |x – 1| a g: y = |x + 7|



Pro x = –3 platí f(x) = g(x), tedy P = {–3}.

d) Geometrickou interpretací absolutní hodnoty. Danou rovnicu můžeme chápat jako hledání obrazu takového čísla x na číselné ose, které má stejnou vzdálenost od bodu 1 a –7. Je to vlastně střed úsečky s koncovými body –7 a 1. Tedy x = –3 a P = {–3}.

3  Rovnice a nerovnice 

31

Příklad  4 Řešte v R: x − x − x − 1 =

1 6

  Řešení: Úplný rozklad nelze provést na začátku, protože hraniční body rozkladu nejsou vi­dět bezprostředně. Množinu R rozdělíme nejdřív na dvě části (–; 1), 〈1; ). x − x − x −1 = x ∈〈1 1 x − x − x +1 = 6 1 x −1 = 6 7 x= 6 7 ∈ 1; ∞ 6 7 P1 = 6

{}

1 6 1 x − 2x − 1 = 6

x − x − ( − x + 1) =

)

x∈

1  ; 1 2 

1 6 1 −x + 1 = 6 1 −x + 1 = 6 5 x= 6 5 1  ∈ ; 1 6 2  5 P2 = 6

x − 2x + 1 =

{}

P = P1 ∪ P2 ∪ P3 ∪ P4

{

5 7 5 7 ; ; ; P= 18 18 6 6

}

1 6

1 x ∈  −∞;   2 1 x − x − ( − x + 1) = 6 1 x − 2x − 1 = 6

1 ; 3 1 3x − 1 = 6 7 x= 18 7 1 ∈ ; 18 3 7 P3 = 18 x∈

1 2

1  2

{}

 x ∈  −∞;  1 −3x + 1 = 6 5 x= 18 5  ∈  −∞; 18  P3 =

{} 5 18

1 3

1 3

32  MATEMATIKA

Příklad  5 V R řešte: |x – 3| – |x + 3|  3   Řešení: Množinu R rozdělíme čísly 3 a –3 na tři podmnožiny: (–; –3〉  (–3; 3〉  (3; )

− x + 3 − ( − x − 3) ≥ 3 0x + 6 ≥ 3

− x + 3 − (x + 3) ≥ 3 −2 x ≥ 3

0 x ≥ −3

x≤−

P1 = (−∞; −3〉

x −3− x −3 ≥ 3 0x − 6 ≥ 3 3 2

3  P2 =  −3; −  2

0x ≥ 9 P3 = ∅

3  P = P1 ∪ P2 ∪ P3 =  −∞; −  2

  NEŘEŠENÉ ÚLOHY 1 1 1 1 1 2 3x −  −  4 x −  = (6 x − 5 ) − 2 2 3  3 4 3 6 + 25 x 2x 7 − ( x − 1) = + V R řešte: 15 3 5 V R řešte: x − 4 [ x − 2 ( x + 6 )] = 5 x + 3 2 x − 17 8 − x x − −2≤ x −4+ V R řešte: 4 2 8 2x − 3 x + <1 V N řešte: 4 2 1 1 1 2x − 3 V R řešte: a) ; b) ≥ <1 ≥ 3 ; c) x+3 x −5 2x − 1 x −2 1 Určete D(f), když a) f: y = ; b) f: y = x − x ; c) f: y = | x | −5

1. V R řešte: 2. 3. 4. 5.

*

6. 7.

8. V R řešte: |3x – 2| + 4 = |2x + 3|

1 x −x

3  Rovnice a nerovnice 

33

9. Vysvětlete, proč následující rovnice nemá kořen: |x – 2| + |6 – x| = 0 4 x + 2 3x − 2 10. Určete všechny x  R, pro které výraz nabývá kladných − 4 3 hodnot.   Výsledky: 4 . 2. P = R. 3. P = . 4. P = 〈–50; ). 5. P = {1}. 1. P = 3 9  6. a) P = (–; –3)  (–3; 1〉; b) ; 2  (2; 3〉; c) (–; 0)  (1; ). 5  3 7. a) D(f) = (–; –5)  (5; ); b) R; c) (–; 0). 8. P = ; 1 5 10. Všechny x  R.

{}

{ }

3.2  Soustavy lineárnÍch rovnic a nerovnic Lineární rovnicí se dvěma neznámými x, y nazýváme rovnici tvaru ax + by = c, kde a, b, c  R nebo takovou rovnici, kterou lze algebraickými úpravami upravit do daného tvaru. Daná rovnice má v oboru všech uspořá­daných dvojic reálných čísel nekonečně mnoho řešení. Jejich grafickým znázorněním v kar­tézské soustavě souřadníc je přímka, když [a, b]  [0, 0]. Lineární nerovnicí se dvěma neznámými x, y nazýváme nerovnici tvaru ax + by > c ( c,  c, < c), kde a, b, c  R. Daná nerovnice má v  oboru všech uspořádaných dvojic reálných čísel nekonečně mnoho řešení. Jejich grafickým znázorněním v kartézské soustavě souřadnic je polorovina s hraniční přímkou ax + by = c, když [a, b]  [0, 0]. Body hraniční přímky patří do množiny řešení právě tehdy, když nerovnost není ostrá. V  praxi se však nejčastěji vyskytují soustavy takových rovnic a  nerovnic. Množina všech řešení soustavy je průnikem množin všech řešení jednotlivých rovnic soustavy. Soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými můžeme řešit: a) graficky – znázorníme kartézské grafy obou rovnic, jsou to dvě přímky: – jestliže jsou tyto dvě přímky rovnoběžné různé, soustava nemá řešení, – jestliže jsou tyto dvě přímky rovnoběžné totožné, soustava má nekonečně mnoho řešení, – jestliže jsou přímky různoběžné, má jediné řešení; b) dosazovací metodou – z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámu a dosa­díme do druhé; c) sčítací metodou – vhodným vynásobením rovnic se po sečtení rovnic jedna neznámá vyloučí.

34  MATEMATIKA Lineární rovnicí se třemi neznámými x, y, z nazýváme rovnici tvaru ax + by + cz + d = 0, a, b, c  R. Daná rovnice má v oboru všech uspořádaných trojic reálných čísel nekonečně mnoho řešení. Jejich grafickým znázorněním v kartézské soustavě souřadnic je rovina, když [a, b, c]  [0; 0; 0]. Soustava lineárních rovnic se třemi neznámými je konjunkce takových rovnic. Můžeme ji řešit: a) dosazovací metodou; b) Gaussovou eliminační metodou; c) pomocí determinantů.

Příklad  1 V R  R řešte soustavy: a) 4x + 3y = 6 2x + y = 4

b) x + y = 5 c) x – 2y = 1 3x + 3y = 12 –2x + 4y = –2

  Řešení: I. Výpočtem, použijeme sčítací metodu: a) 4x + 3y = 6 b) x + y = 5 / · (–3) c) x – 2y = 1 / · 2 2x + y = 4 / · (–2) 3x + 3y = 12 –2x + 4y = –2 y = –2 0x + 0y = –3 0x + 0y = 0 x = 3 P= Soustava má nekonečně mnoho řešení. P = {[3; –2]} Jsou to všechny uspořádané dvojice, které leží na přímce x – 2y = 1. P = {[x, y]  R  R; x – 2y = 1} II. Graficky: