Matematika Terapan : Model Matematika

1 MATEMATIKA TERAPAN : Model Matematika (Santosa, Februari 2009)

1. Regresi Linear Pada Santosa (2005) dijelaskan sebagai berikut : Model persamaan matematis regresi linear yang dirancang adalah : Y = a0 + a1 X ................................................................................(1) Penyelesaian nilai a0 dan a1 dalam dua persamaan simultan (2) dan (3) dengan dua nilai yang tidak diketahui, yaitu a0 dan a1. n . a 0 + Σ Xi . a 1

= Σ Yi ............................................................(2)

Σ Xi .a0 + Σ Xi2 . a1 = Σ Xi Yi .......................................................(3) dengan n adalah banyaknya pasangan data (X,Y). Untuk mendapatkan hasil regresi yang paling bagus dari data yang tersedia ialah dengan meminimalkan jumlah kuadrat residual.

Untuk keabsahan

(validasi) model, dilakukan perhitungan koefisien determinasi r2, dengan formula : r2 = (St – Sr) / St ......................................................................................(4) St merupakan jumlah penyebaran pada peubah tak bebas yang terjadi sebelum dilakukan regresi, sedangkan Sr merupakan jumlah kuadrat residual di sekitar garis regresi tersebut. Pada model regresi linear : St = Σ (Yi - YM)2 ..............................................................................(5) dengan YM adalah nilai rata-rata Y. Sr = Σ (Yi – ao – a1 Xi )2 ................................................................(6)

2

2. Regresi Parabolik Pada Santosa (2005) dijelaskan sebagai berikut : Model matematika untuk regresi parabolik adalah : Y = a0 + a1 X + a2 X2 ....................................................................(7) Penyelesaian regresi parabolik ini adalah berupa sekumpulan tiga persamaan simultan dengan tiga nilai yang tidak diketahui, yaitu a0, a1 dan a2, disajikan pada persamaan(8), (9), dan (10). + Σ Xi . a 1

n . a0

+ Σ Xi 2 . a 2

= Σ Yi ..........................................(8)

Σ Xi .a0 + Σ Xi2 . a1 + Σ Xi 3 . a2

= Σ Xi Yi ....................................(9)

Σ Xi 2 .a0 + Σ Xi3 . a1 + Σ Xi 4 . a2

= Σ Xi 2 Yi ................................(10)

dengan n adalah banyaknya pasangan data (X,Y).

3. Fungsi Perpangkatan Pada Santosa (2005) dijelaskan sebagai berikut : Pada fungsi perpangkatan, hubungan antara peubah bebas X dan peubah tak bebas Y adalah : Y = α X β ...............................................................................................(11) dengan α dan β adalah parameter penduga, yang nilainya didasarkan pada data hasil pengukuran. Pada model fungsi perpangkatan ini diasumsikan bahwa nilai X selalu positif.

Untuk mengestimasi nilai α

dan β

persamaan (11) sehingga menjadi persamaan (12).

dilakukan transformasi logaritma

3 .log Y = log α + β log X ...............................................................(12) Dengan memisalkan bahwa log Y = Y’ , log α = α’ , dan log X = X’, maka diperoleh suatu bentuk persamaan garis linear : Y’ = α’ + β X’ ...............................................................................(13) Dengan demikian maka nilai prediksi α didapat melalui antilog α’, sedangkan nilai β pada persamaan (12) tetap merupakan nilai pada fungsi perpangkatannya.

4. Regresi Kubik Pada Santosa (2005) dijelaskan sebagai berikut : Bentuk persamaan matematika yang menggambarkan regresi kubik adalah : Y = a0 + a1 X + a2 X2 + a3 X3 ..................................................................(14) dengan a0, a1, a2 dan a3 koefisien yang diperoleh dari hasil regresi. Penyelesaian regresi kubik ini adalah berupa sekumpulan empat persamaan simultan dengan empat nilai yang tidak diketahui, yaitu a0, a1 , a2 dan a3, disajikan pada persamaan (15), (16), (17) dan (18).

n . a0

+ Σ Xi . a 1

Σ Xi .a0 + Σ Xi2 . a1

+ Σ Xi 2 . a 2

+ Σ Xi 3 . a 3

= Σ Yi .......................(15)

+ Σ Xi 3 . a 2 + Σ Xi 4 . a 3

= Σ Xi Yi .................(16)

Σ Xi 2 .a0 + Σ Xi3 . a1 + Σ Xi 4 . a2 + Σ Xi 5 . a3 = Σ Xi 2 Yi ................(17) Σ Xi 3 .a0 + Σ Xi4 . a1 + Σ Xi 5 . a2 + Σ Xi 6 . a3 dengan n adalah banyaknya pasangan data (X,Y).

= Σ Xi 3 Yi .................(18)

4 5. Regresi Linear Berganda dengan Dua Peubah Bebas Pada Santosa (2005) dijelaskan sebagai berikut : Bentuk persamaan matematika yang menggambarkan regresi linear berganda dengan dua peubah bebas adalah : Y = a0 + a1 X1 + a2 X2 ...........................................................................(19) dengan a0, a1, dan a2 adalah koefisien yang diperoleh dari hasil regresi. Penyelesaian dari persamaan tersebut berupa sekumpulan tiga persamaan simultan dengan tiga nilai yang tidak diketahui yaitu a0, a1 dan a2, disajikan dalam persamaan (20), (21), dan (22). n . a0

+ Σ X1i . a1

Σ X1i .a0 + Σ X12 i .a1

+ Σ X2i . a2

= Σ Yi ................... ......(20)

+ Σ X2i X1i . a2

= Σ X1i Yi ...................(21)

Σ X2i .a0 + Σ X2i X1i .a1 + Σ X22i . a2

= Σ X2i Yi .................(22)

dengan n adalah banyaknya pasangan data (X1, X2, Y).

6.Regresi Linear Berganda dengan Tiga Peubah Bebas Pada Santosa (2005) dijelaskan sebagai berikut : Bentuk persamaan matematika yang menggambarkan regresi linear berganda dengan tiga peubah bebas adalah : Y = a0 + a1 X1 + a2 X2 + a3 X3 ............................................................(23) dengan a0, a1, a2 dan a3 adalah koefisien yang diperoleh dari hasil regresi. Penyelesaian dari persamaan tersebut berupa sekumpulan empat persamaan simultan dengan empat nilai yang tidak diketahui yaitu a0, a1 , a2, dan a3 adisajikan dalam persamaan (24), (25), (26) dan (27). n . a0

+ Σ X1i . a1

+ Σ X2i . a2

+ Σ X3i . a3

= Σ Yi ...........(24)

5

Σ X1i .a0 + Σ X12 i .a1 + Σ X2i X1i . a2 +

Σ X3i X1i . a3 = Σ X1i Yi ....(25)

Σ X2i .a0 + Σ X2i X1i .a1 + Σ X22i . a2 + Σ X3i X2i . a3 = Σ X2i Yi .........(26) Σ X3i .a0 + Σ X3i X1i .a1 + Σ X3i X2i . a2 + Σ X32i . a3 = Σ X3i Yi ..........(27) dengan n adalah banyaknya pasangan data (X1, X2, X3, Y).

7. Persamaan Eksponensial Pada Santosa (2005) dijelaskan sebagai berikut : Persamaan matematis yang menggambarkan model eksponensial adalah :

Y = α e β X ..............................................................................(28) Dengan α dan β adalah parameter yang akan diduga nilainya, sedangkan e adalah bilangan logarithma natural, yaitu 2,7183. Estimasi nilai α dan β dari bentuk fungsi eksponensial tersebut dapat dilakukan dengan mentransformasikan model tersebut ke bentuk linearnya melalui logarithma sebagai berikut : dari Y = α e β X maka : ln Y = ln α + β ln e ⇔ ln Y = ln α + β X .............................................................................(29)

6 Di bawah ini disajikan program persamaan eksponensial dalam bentuk : Y = P e Q X .............................................................................(30) dari sekelompok data pasangan (X,Y).

Setelah dilakukan transformasi logaritma

diperoleh : ln Y = ln P + Q X ...........................................................................(31) Dengan memisalkan : F = ln Y; A = ln P, dan B = Q, maka dapat dibuat persamaan garis regresi linear : F = A + B . X .......................................................................................(32) Dengan demikian diperoleh nilai A dan B. Berarti : P = anti ln A = eA Q=B

8. Fungsi Transformasi Semi-Log Pada Santosa (2005) dijelaskan sebagai berikut : Bentuk fungsi transformasi semi-log adalah : Y = a + b ln X .......................................................................................(33) dengan memisalkan V = ln X, maka diperoleh persamaan regresi linear : Y = A + B . V ........................................................................................(34) maka dapat diperoleh nilai konstanta A dan B.

Rangkuman

7 (1) Model persamaan matematis regresi linear adalah : Y = a0 + a1 X Penyelesaian nilai a0 dan a1 dalam dua persamaan simultan dengan dua nilai yang tidak diketahui, yaitu a0 dan a1 sebagai berikut : n . a 0 + Σ Xi . a 1

= Σ Yi

Σ Xi .a0 + Σ Xi2 . a1 = Σ Xi Yi dengan n adalah banyaknya pasangan data (X,Y). (2) Model matematika untuk regresi parabolik adalah : Y = a0 + a1 X + a2 X2 Penyelesaian regresi parabolik ini adalah berupa sekumpulan tiga persamaan simultan dengan tiga nilai yang tidak diketahui, yaitu a0, a1 dan a2, disajikan pada persamaan berikut : n . a0

+ Σ Xi . a1

+ Σ Xi 2 . a2

Σ Xi .a0 + Σ Xi2 . a1 +

= Σ Yi

Σ Xi 3 . a2

= Σ Xi Yi

Σ Xi 2 .a0 + Σ Xi3 . a1 + Σ Xi 4 . a2

= Σ Xi 2 Yi

dengan n adalah banyaknya pasangan data (X,Y). (3) Pada fungsi perpangkatan, hubungan antara peubah bebas X dan peubah tak bebas Y adalah :

Y = α Xβ

dengan α dan β adalah parameter penduga, yang nilainya didasarkan pada data hasil pengukuran. Pada model fungsi perpangkatan ini diasumsikan bahwa nilai X

8 selalu positif.

Untuk mengestimasi nilai α

dan β

dilakukan transformasi

logaritma sehingga diperoleh persamaan : log Y = log α + β log X

(4) Bentuk persamaan matematika yang menggambarkan regresi kubik adalah : Y = a0 + a1 X + a2 X2 + a3 X3 dengan a0, a1, a2 dan a3 koefisien yang diperoleh dari hasil regresi. (5) Bentuk persamaan matematika yang menggambarkan regresi linear berganda dengan dua peubah bebas adalah : Y = a0 + a1 X1 + a2 X2 Dengan a0, a1, dan a2 adalah koefisien yang diperoleh dari hasil regresi. Penyelesaian dari persamaan tersebut berupa sekumpulan tiga persamaan simultan dengan tiga nilai yang tidak diketahui yaitu a 0, a1 dan a2, sebagai berikut : n . a0 + Σ X1i . a1 Σ X1i .a0 + Σ X12 i .a1

+

+ Σ X2i . a2 Σ X2i X1i . a2

Σ X2i .a0 + Σ X2i X1i .a1 + Σ X22i . a2

= Σ Yi = Σ X1i Yi = Σ X2i

Yi dengan n adalah banyaknya pasangan data (X1, X2, Y). (6) Bentuk persamaan matematika yang menggambarkan regresi linear berganda dengan tiga peubah bebas adalah : Y = a0 + a1 X1 + a2 X2 + a3 X3 dengan a0, a1, a2 dan a3 adalah koefisien yang diperoleh dari hasil regresi.

9

(7) Persamaan matematis yang menggambarkan model eksponensial adalah : Y = α eβX dengan α dan β adalah parameter yang akan diduga nilainya, sedangkan e adalah bilangan logarithma natural, yaitu 2,7183. Estimasi nilai α dan β dari bentuk fungsi eksponensial tersebut dapat dilakukan dengan mentransformasikan model tersebut ke bentuk linearnya melalui transformasi logarithma. (8) Bentuk fungsi transformasi semi-log adalah : Y = a + b ln X dengan memisalkan V = ln X, maka diperoleh persamaan regresi linear : Y=A+B.V maka dapat diperoleh nilai konstanta A dan B.

DAFTAR PUSTAKA Santosa. 1993. “Aplikasi Program BASIC untuk Analisis Data Penelitian dalam Penyajian Model Matematika”, ISBN : 979-533-137-X, Penerbit Andi Offset, Yogyakarta. 133 hal. Santosa. 2005. “Aplikasi Visual Basic 6.0 dan Visual Studio.Net 2003 dalam Bidang Teknik dan Pertanian”, ISBN : 979-731-755-2, Penerbit Andi, Edisi I Cetakan I, Yogyakarta. 304 hal. Santosa. 2008. Buku Adjar Metodologi Penelitian. Edisi 1 (September 2008). Program Studi Teknologi Industri Pertanian, Program Pascasarjana, Universitas Andalas, Padang. Santosa. 2009. Buku Adjar Metodologi Penelitian. Edisi 2 (Februari 2009). Program Studi Teknologi Industri Pertanian, Program Pascasarjana, Universitas Andalas, Padang.