Definičný obor: p √□ : □ ≥ 0 1/□: □≠0 1 / p√□ : □ > 0 log a □ : □ > 0 aj ln (≥ > V ≤ <) arcsin □, arccos □ : -1 ≤ □ ≤ 1 Množina všetkých xєR, ktorým je prostredníctvom funkcie f priradené nejaké y sa nazýva Definičný obor funkcie. Množina všetkých reálnych čísel yєR, ktoré sú prostredníctvom fukcie f priradené nejakému x z Df sa nazýva Obor funkčných hodnôt funkcie – Hf. Funkcia jednej reálnej premennej Funkciu jednej reálnej premennej nazývame predpis (pravidlo), ktoré každému xєR priradí práve jedno yєR. Funkcia nôže byť zadaná predpisom, grafom a tabuľkou. Graf funkcie y=f(x) rozumieme množinu všetkých bodov zo súradnicami /x,f(x)/ v rovine takých, že xєDf. Vlastnosti funkcií - hovoríme, že funkcia f rastie (klesá, neklesá, nerastie) na intervale (a,b) alebo Df, ak pre každé x1,x2єDf (a,b) také x1<x2 platí f(x1)
f(x2), f(x1)≤f(x2), f(x1)≥f(x2)]. Rast a klesanie funkcie zahŕňame pod monotónnosť funkcie. - hovoríme, že funkcia f je ohraničená zdola [zhora], ak existuje K0 také, že f (xt)=f(x) pre všetky xєDf. Najmenšia kladná hodnota t sa nazýva perióda a označujeme ju T. y=sin x, cos x, tg x, cotg x. - funkcia f nazývame prostou (jednojednoznačnou), ak pre každé x1,x2єDf také, že x1≠x2 platí f(x1)≠f(x2). Ak funkcia rastie, alebo klesá, je prostá. Ale ak je rastúca aj klesajúca, nie je prostá. - inverzná funkcia – nech y=f(x) je prostá s Df a oborom hodnôt Hf. Funkciu, ktorá každému yєHf priradí také xєDf, že y=f(x) nazývame inverznou funkciou k funkcii f a označujeme ju f -1. Elementárne funkcie: - konštantná funkcia – y=C, Df=R, Hf=C - lineárna funkcia – y=ax+b, Df=R, Hf=R, a,bєR a≠0 2 - kvadratická funkcia – y=ax +bx+c, a,b,cєR - exponenciálna funkcia – y=ax, a>0, a≠1 DfєR, HfєR+ špeciálna funkcia – y=ex - logaritmická funkcia – y=loga x, DfєR, DfєR, a>0, a≠1 Limity funkcie: Majme funkciu f, ktorá je definovaná na okolí bodu xo, pričom v samotnom bode xo nemusí byť definovaná. Potom platí: funkcia f má v čísle xo limitu a vtedy a len vtedy, ak ku každému číslu ε>0 existuje také δ-okolie bodu xo, že pre každé číslo x z δ-okolia bodu xo platí: │f(x)-lim a│<ε Typy limít: - 0/0 – delíme polynómom x-α, kde α je číslo, v ktorom limitu počítame lim x→□ alebo použijeme L“Hospitalove pravidlo a delíme čitateľa aj menovateľa zvlášť. - ∞-∞ - upravujeme výraz na ∞+∞/∞+∞ - 1♥ upravujeme výraz na lim (1+1/♥k)♥k=e♥
- ∞/∞ - delíme najväčším n z menovateľa,ak √-√, rozširujeme √+√/√+√ a potom delíme n e∞=je stále ∞ ∞/1=∞ 1/∞ Derivácia funkcie: Deriváciou funkcie y=f(x) v bode xo nazývame číslo fI(xo) = x→xolim (f(x)f(xo))/x-xo. Pri počítaní navychádzame z definície, ale zo vzorcov pre derivovanie elementárnych funkcií, pravidiel pre derivovanie a vzorca pre derivovanie zloženej funkcie. Derivačné vzorce: Pravidlá pre derivovanie: [ f(x) +- g(x) ]I = fI(x) +- gI(x) [ f(x) . g(x) ]I = fI(x) . g(x) + f(x) . gI(x) [ f(x) / g(x) ]I = ( fI(x) . g(x) – f(x) . gI(x) ) / ( g(x)2 ) Derivovanie zloženej funkcie: [ f (g(x))]I = fI(g(x)) . gI(x) Rovnica dotyčnice a normály v bode A: y=... A=/xo,?-yo/ y(xo)=.....=číslo yo do bodu A y“=..... y“(xo)=... číslo → k=... t: y-yo=kx(x-xo) n:y-f(xo)=-1/f(xo) . (x-xo) Monotónnosť funkcie: Hovoríme, že funkcia fx rastie (klesá, neklesá, nerastie) na intervale (a,b) alebo Df, ak pre každé x1,x2єDf (a,b) také x1<x2 platí f(x1) f(x2), f(x1)≤f(x2), f(x1)≥f(x2)]. Vyšetrovanie monotónnosti – ak na (a,b) platí fI(x)>0 [fI(x)<0], tak funkcia f(x) na (a,b) rastie (klesá). Rast yI >0, klesanie yI <0, x1=SB1, x2=SB2 Extrémy funkcie: - lokálne maximum-minimum, ostré lokálne maximum-minimum Hovoríme, že funkcia f(x) nadobúda v bode xo lokálne maximum (minimum), ak existuje také okolie bodu xo, že pre každé x z tohoto okolia patriace do Df platí: f(x)≤f(xo) [f(xo)≥f(xo)]. Vyšetrovanie lokálnych extrémov: Body v ktorých je fI(x)=0 nazývame stacionárnymi bodmi. Nech funkcia f(x) nadobúda v bode xo lokálny extrém a nech existuje fI(xo). Potom fI(xo)=0. (Ak je derivácia v nejakom bode nulová, v tom bode môže ale nemusí byť extrém). Nech fI(xo)=0 a nech fI(xo)= fII(xo)..... f(n-1)(xo)=0 a f(n)(xo)≠0. Ak n je nepárne, tak v xo nenastáva extrém. Ak n je párne, tak v xo nastáva extrém a to: lokálne Max, pre f(n)(xo)<0 lokálne Minimum, pre f(n)(xo)>0 I II Ak f (xo)=0 a f (xo)>0, tak v xo nastáva Lm - minimum. Ak fI(xo)=0 a fII(xo)<0, tak v xo nastáva LM - maximum. yII(SB1)=... lok.Min y(SB2)=□ (SB2,□) Konvexnosť a konkávnosť funkcie: Majme funkciu y=f(x). Nech x1,x2,x3εDf, x1<x2, nech x3 : x1<x3<x2. Ak platí f(x3) je menšia ako hodnota na priamke v bode x3, f(x3)k potom funkcia je konkávna. Majme funkciu f(x) spojitú na , ktorá má druhú deriváciu fII(x) na (a,b). Funkcia f(x) je konvexná (konkávna) na intervale vtedy a len vtedy keď platí: fII(x)>0 (fII(x)<0) pre každé xε(a,b).
U yII>0 x=...číslo Ω yII<0 x=...číslo Inflexný bod: Inflexný bod je bod, v ktorom fukcia prechádza z konvexnej na konkávnu a naopak. fII(x)=0. x=..□(z predch↑) f(x□)=...číslo I.B.(□,číslo) Priebeh funkcie: 1. Definičný obor funkcie 2. Body nespojitosti – podľa Df 3. Nulové body – ak x=0 y=... (0,...) ak y=0 ..=0 (.., 0) 4. Párnosť -x, nepárnosť -1 5. Monotónnosť funkcie - Rast yI >0, klesanie yI <0, x1=SB1, x2=SB2 6. Lokáne extrémy - yII(SB1)=... lok.Min y(SB2)=□ (SB2,□) 7. Konvexnosť, konkávnosť - U yII>0 x=...číslo Ω yII<0 x=...číslo 8. Inflexný bod – x=..□(z predch↑) f(x□)=...číslo I.B.(□,číslo) 9. Graf funkcie Neurčitý integrál: Hovoríme, že funkcia F(x) je primitívnou funkciou ku funkcii f(x) na (a,b), ak pre každé xε(a,b) platí FI(x)=f(x). Ak F(x) je primitívna ku f(x) na (a,b), tak aj G(x) = F(x)+C, kde C je ľubovoľná konštanta, je primitívna ku f(x) na (a,b). Množinu vštkých primitívnych funkcií ku f(x) na (a,b) nazývame neurčitým integrálom ku funkcii f(x) na (a,b). Označujeme: ∫f(x).dx=...+C, kde f(x) –podintegrálna (alebo integrovaná) funkcia alebo funkcia, ktorú integrujeme d – podľa x – integračná premenná (premenná podľa ktorej integrujeme) C – integračná konštanta Platí: ∫ fI(x).dx = f(x) + C Integračné vzorce: Pravidlá pre výpočet integrálov: ∫fI(x)/f(x) .dx= ln Ι f(x)Ι +C ∫k . f(x) . dx= k. ∫ f(x) . dx kεR ∫ [f(x) +- g(x)] dx = ∫ f(x) dx +- ∫ g(x) dx Integrovanie substitučnou metódou: Nech funkcia F(x) je primitívna ku funkcii f(x) na (α,β), nech funkcia φ(x) má deriváciu φI(x) na (a,b), nech pre každé xε(a,b) je φ(x)ε(α,β), označme t= φ(x), potom v intervale (a,b) platí: ∫f(φ(x)) . φI(x) . dx= /subst. t= φ(x) = ∫f(t).dt=F(t) + C= spätná substitúcia t= φ(x) = F(φ(x))+C dt= φI(x).dx/ Metóda Per Partes: ∫ fI(x) . g(x) . dx = f(Xň . g(x) - ∫ f(x) . gI(x) . dx Určitý integrál: Nech funkcia f(x) má primitívnu funkciu F(x), nech f(x) je spojitá na . Potom určitým integrálom funkcie f(x) na intervale rozumieme číslo. b b (Newton-Leibnizova formula) a∫ f(x) . dx = [F(x)]a = F(b) – F(a) Substitučná metóda a metóda Per Partes pre určitý integrál:
Nájsť najprv F(x), t.j. neurčitý integrál pomocou substitučnej metódy alebo metódy per partes a potom použiť Newton-Leibnizovu formulu. Matica: AmXm = maticou k typu mxn nazývame skupinu čísiel rozložených do pravouhlej tabuľky s m-riadkami a n-stĺpcami. Štvorcová matica je matica, pre ktorú platí m=n. Diagonálna matica sa nazýva štvorcová matica, ktorej všetky prvky neležiace na hlavnej diagonále sú rovné nule, t.j. aij=0. Jednotková matica je diagonálna matica, ktorej všetky prvky na hlavnej diagonále sú rovné 1. Trojuholníková matica – rozumieme maticu, ktorej všetky prvky aij=0 pre i<j. Nech A(aij)mn, potom matica AI(aIij)nm, pričom aIij=aji sa nazýva transponovanou maticou. Nulovou maticou nazývame maticu, ktorej všetky prvky sú rovné nule. Determinant je číslo, ktoré priradíme štvorcovej matici an,n. Označujeme ho ΙAΙ, det A. Vypočítame ho: 1. ak n=1, potom ΙAΙ=a11 2. pre n≥2 ΙAΙ=i=1∑n (-1)i+j aij sij, tzv.Laplaceov rozvoj Subdeterminant sij k prvku aij determinantu A je determinant, ktorý vznikne vynechaním z pôvodného determinantu i-teho riadku a j-teho stĺpca. Systém lineárnych rovníc: Systém m lineárnych rovníc o n neznámych má tvar: a11x1+a12x2+...=b1 Am1x1+am2x2+...=b m Čísla aij nazývame koeficientami systému. Čísla bi nazývame absolútnymi členmi. X1,...Xn nazývame neznámymi. Systém lineárnych rovníc nazývame homogénnym, ak všetky jeho absolútne členy sa rovnajú nule. Systém je nehomogénny, ak apoň 1 absolútny člen je rôzny od nuly. Riešením systému nazývame takú n-ticu čísel (c1,c2,...cn), že po dosadení čísel c1 za x1, c2 za x2... do systému dostaneme m-správnych rovnosti. Cramerovo pravidlo: Ak pre systém lineárnych rovníc platí m=n a determinant matice systému je rôzny od nuly (D≠0), potom systém má jediné riešenie v tvare (D1/D, D2/D,...Dn/D) kde determinanty D1,D2,...Dn dostaneme z determinantu matice systému nahradením prvého, druhého alebo n-tého stĺpca, stĺpcom vytvoreným z absolútnych členov. Inverzná matica: Nech A je štvorcová matica. Matica A je regulárna práve vtedy, ak determinant D matice A je rôzny od nuly ΙAΙ≠0. Matica, ktorá nie je regulárna je sngulárna. Maticu A-1 nazývame inverznou k matici A práve vtedy, ak platí: A. A-1 = A-1.A = E (E-jednotková matica). Inverzná matica existuje len k regulárnej matici. Výpočet inverznej matice robíme pomocou adjungovanej matice. Inverznú maticu vypočítame potom podľa vzťahu: A1 = 1/ ΙAΙ . adjA