Matematika - Revisi 1.pdf

Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

123

Kumpulan Rumus

MATEMATIKA tingkat SMA/MA/SMK 1

Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat PERSAMAAN KUADRAT

1 1 x1 + x 2 + = x1 x 2 x1x 2

Bentuk umum Persamaan Kuadrat:

ax 2 + bx + c = 0

= −

b c

Akar-akar persamaan kuadrat: x1,2

Susunan Persamaan Kuadrat Baru

−b ± b2 − 4ac = 2a

Persamaan kuadrat dengan akar-akarnya meliputi x1 dan x2 memiliki susunan persaman kuadrat seperti berikut.

Nilai Diskriminan: D = b2 − 4ac

x 2 − ( x1 + x 2 ) x + x1 ⋅ x 2 = 0

Kriteria dari nilai diskriminan: mmm 1. D ≥ 0 (Akar Real) • D = 0 → Persamaan kuadrat mempunyai akar kembar • Dua akar berbeda: D > 0 2. D < 0 (Akar Imajiner/tidak real)

TIPS & TRIK IDSCHOOL Rumus cepat persamaan kuadrat baru dengan akar-akar persamaan kuadrat baru

Jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat:

Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:

b x1 + x 2 = − a c x1 ⋅ x 2 = a x1 − x 2 = ±

Akar-akar Baru

D a

Rumus lain terkait akar-akar persamaan kuadrat: x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 2

2

c  b = − a  −2a   2 b c = 2 −2 a a x13 + x 23 = ( x1 + x 2 ) − 3x1x 2 ( x1 + x 2 ) 3

3

c b  b = − a  −3a− a      3 b bc = − 3 +3 2 a a

2

Rumus Cepat Persamaan Kuadrat Baru

1 1 dan x1 x2

cx 2 + bx + a = 0

n ⋅ x 1 dan n ⋅ x 2

ax 2 + nbx + n2 c = 0

x 1 + n dan x 2 + n

a ( x − n) + b ( x − n) + c = 0

x 12 dan x 12

a2 x 2 − b2 − 2ac x + c2 = 0

x1 x dan 2 x2 x1

ac ⋅ x 2 − b2 − 2ac x + ac = 0

x 1 + x 2 dan x 1⋅x 2

a2 x 2 + a ( b − c ) x − bc = 0

2

(

)

(

)

Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat FUNGSI KUADRAT Bentuk umum: ax 2 + bx + c = 0

Kriteria definit: 1. Definit positif: a > 0 dan D < 0 2. Definit negatif: a < 0 dan D < 0.

Cara Menggambar Kurva/Grafik Fungsi Kuadrat:

CONTOH SOAL 1. Persamaan kuadrat (p − 1)x2 + 4x + 2p = 0 mempunyai dua akar real yang berbeda. Maka nilai p yang memenuhi adalah .... A. p < −1 atau m > 2 B. p ≤ −2 atau m > 1 C. 1 < p < 2 D. −2 < p < 1 E. −1 < p < 2

1. Menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y. 2. Menentukan titik puncak melalui titik koordinat yang dinyatakan melalui rumus

 −b D   2a , −4a   

Hubungan nilai a, b, c, dan D dengan Kurva:

1. Nilai a berhubungan dengan bentuk kurva, apakah terbuka ke atas atau ke bawah: a. Untuk a > 0: kurva terbuka ke atas b. Untuk a < 0: kurva terbuka ke bawah

16 − 4 ( p − 1) 2p > 0

16 − 4 ( 2p2 − 2p ) > 0

2. Nilai b berhubungan dengan letak posisi kurva, kriteria nilai b dan kurva ditunjukkan seperti gambar di bawah. b>0



b<0

b=0

b=0

Pembahasan:

Diketahui persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang berbeda maka nilai D > 0, sehingga D>0

16 − 8p2 + 8p > 0 8p2 − 8p − 16 > 0 p2 − p − 2 > 0

(p − 2 )(p + 1) > 0

b<0

Harga nol: (p −2)(p + 1) = 0 Diperoleh nilai p = 2 atau p = −1 Mencari daerah yang memenuhi

b>0

3. Nilai c berhubungan dengan titik potong dengan sumbu y. a. Untuk nilai c > 0, memotong sumbu y positif. b. Untuk nilai c = 0, memotong sumbu y = 0. c. Untuk nilai c < 0, memotong sumbu y negatif.

+++ −1

−−−

+++ 2

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah −1 < p < 2. Jawaban:E:

4. Nilai D menujukkan jumlah titik potong kurva dengan sumbu x. a. Untuk nilai D > 0, kurva akan memotong sumbu x pada dua titik. b. Untuk nilai D = 0, kurva akan menyinggung sumbu x (memotong sumbu x pada dua titik). c. Untuk nilai D < 0, kurva tidak memotong sumbu x.

3

Pertidaksamaan SIFAT-SIFAT PERTIDAKSAMAAN

CONTOH SOAL

Sifat-sifat pertidaksamaan: 1. Jika a > b, maka • a ± p > b ± p • ap > bp, p > 0 • ap < bp, p < 0 • a3 > b3

1. Himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan 2 x − 2 < 5 x − 2 − 6 adalah .... A. x < − 6 B. − 6 < x < 0 C. 0 < x < 6 D. x < 0 atau x > 6 E. x > 6

Pembahasan:

2. Jika a > b > 0, maka • a2 > b2 •

Misalkan: p = |x − 2| maka akan diperoleh pertidaksamaan kuadrat

1 1 < a b

p2 < 5p − 6 p2 − 5p + 6 < 0

3. Jika a > b dan b > c maka a > c 4. Jika a > b dan c > d maka a + c > b + d 5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 maka ac > bd



PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Untuk a > 1 1. Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) > g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0 2. Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) < g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0

(p − 3)(p − 2 ) < 0 Harga nol: (p − 3)(p − 2) = 0 Diperoleh p = 3 atau p = 2 Daerah yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat. −−−

+++

Untuk 0 < a < 1 1. Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) < g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0 2. Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) > g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0



PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK



2 3 Sehingga, diperoleh hasil pertidaksamaan berikut. 2 2 x −2 >2 x − 2 > 2 atau x − 2 < −2 x − 2 > 2 atau x − 2 < −2 x > 4 atau x < 0

1.

 x, x > 0 x = −x, x < 0

2.

x < a → −a < x < a



0

3.

x > a → x > a atau x < −a



Untuk | x − 2 | < 3 x −2 <3

4.

x < y → x2 < y2

4

+++

Syarat I

−3 < x − 2 < 3 −3 + 2 < x < 3 + 2 −1 < x < 5

4

Pertidaksamaan

Syarat II



0





6

Gabungan antara syarat I dan syarat II

4

6

J a d i , h im p un a n penyel esa i a n unt uk 2 pe r t id ak s am a a n x − 2 < 5 x − 2 − 6 adalah 0 < x < 6.

Jawaban C:

5

Relasi dan Fungsi PENGERTIAN FUNGSI

FUNGSI KOMPOSISI

1. Relasi dari A ke B disebut fungsi (pemetaan) jika setiap anggota A dipasangkan satu kali ke anggota B.

1. Simbol untuk komposisi fungsi adalah o (bundaran). 2. Fungsi komposisi h(x) = g o f (x) = g (f(x))

f(x)

B Range

A

Domain

C

B

A

2. Domain, Kodomain, dan Range



g(x)

h(x)

3. Fungsi komposisi h(x) = g o f (x) = g (f(x)) 4. Sifat-sifat fungsi komposisi a. Tidak Komutatif b. Asosiatif c. Memiliki elemen identitas

Kodomain

a. Domain: daerah asal b. Kodomain: daerah kawan c. Range: daerah hasil

FUNGSI INVERS

3. Jenis-jenis fungsi

1. Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi tersebut merupakan fungsi satu-satu.

a. Fungsi Injektif (Fungsi Into)

2. Invers f(x) dinotasikan f −1(x).

b. Fungsi Surjektif (Fungsi Onto) 3. Jika y = f(x) maka x = f −1(y) 4. Fungsi invers untuk komposisi fungsi c. Fungsi Bijektif (Fungsi Korespondensi Satu-Satu)



6

Relasi dan Fungsi B. x − 6 2x − 5 x+6 C. 2x − 5 x−6 D. 2x + 5 2x − 5 E. x+6

5. Beberapa rumus cepat menentukan fungsi invers. Fungsi f(x)

Invers Fungsi f −1(x)

f(x) = ax + b

f(x) =

ax + b ax + b

f(x) =

n

f −1(x) = f −1(x) =

x −b a

Pembahasan:

−dx + b cx − a

1. Mencari komposisi fungsi

(f

xn − b f (x) = a

ax + b

−1

f −1(x) = a log x

f(x) = ax f(x) = apx

−1

f (x) = log x a

1 p

f −1(x) = ax

f(x) =a log x f(x) = ax 2 + bx + c



1 b2 − 4ac  b f −1(x) = ± x + − a 4a  2a

−1

c.

−1

( x ) = (h−1  g−1  f −1 ) ( x )

g  ( g  f ))( x ) ( f  g)  g ) ( x ) ( = (= −1

d. ( = f −1  ( f  g) ) ( x )

−1

(g  f )  f )( x ) (= −1

f(x)



Jawaban: A

g(x)

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Diketahui fungsi f(x) = x + 2 dan g(x) = maka ( f  g) A.

−1

3x + 5 2x + 1 −x + 5 −1 ( f  g) (x) = 2x − 3 −x + 5 −1 = × 2x − 3 −1 x −5 = 3 − 2x

( f  g) (x) =

( f  g) ( x ) = ( g−1  f −1 ) ( x )

b. ( f  g  h)

3 x    2x 1  3 x = + 2x 1 3 x 2 ( 2x 1) = + 2x + 1 2x + 1 3 − x + 4x + 2 2x 1 3x 5 2x 1

2. Mencari invers dari komposisi fungsi yang telah diperoleh di atas (gunakan panduan rumus cepat).

6. Sifat invers fungsi pada komposisi fungsi. a.

g) (x) f ( g ( x ) )

3−x 2x + 1

( x ) adalah ....

x−6 5 − 2x

7

Gradien dan Persamaan Garis GRADIEN

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Gradien merupakan nilai yang digunakan untuk menyatakan kemiringan suatu garis.

1. Garis 2x + 3y = 6 saling tegak lurus dengan garis (1 − p)x − 6y = 7. Maka nilai p adalah .... A. −10 B. −8 C. −6 D. −4 E. −1

2. Kriteria nilai gradien: a. Condong ke kanan = positif b. Condong ke kiri = negatif c. Datar: 0 d. Tegak: ∞



3. Cara menentukan nilai gradien: a. Persamaan garis y = mx + c Nilai gradien = m b. Persamaan garis ax + by + c = 0 a Nilai gradien m = − b c. Melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2)

Nilai gradien m =



d. Sudut antara garis dengan sumbu x positif adalah α maka gradien nya dinyatakan melalui fungsi tangen, m = tan α.



Mencari nilai p: m1 × m2 = −1



2 1− p − × =−1 3 6 2 − 2p =1 18 2 − 2p = 18 2p = −16 16 p= − 2 = −8



Jadi, nilai p adalah −8.

HUBUNGAN GRADIEN DUA GARIS 1. Hubungan gradien garis yang saling sejajar: m1 = m2 2. Hubungan gradien garis yang saling tegak lurus: m1 × m2 = −1

Jawaban: B

m1 − m2 1+ m1 ⋅ m2

4. Jarak titik (x1, y1) ke garis ax + by + c = 0 d=

Mencari nilai gradien garis 2x + 3y = 6: 2 m1 = − 3



4. Persamaan garis dengan gradien m yang melalui titik (x1, y1) adalah y − y1 = m(x − x1).

3. Garis membentuk sudut α: tg α =

Informasi di soal menerangkan bahwa kedua garis saling tegak lurus, maka m1 × m2 = −1.

Mencari nilai gradien garis (1 − p)x − 6y = 7: 1− p m2 = 6



y 2 − y1 x 2 − x1

Pembahasan:

ax1 + by1 + c a2 + b2

8

Program Linear LANGKAH-LANGKAH MENENTUKAN PENYELESAIAN OPTIMUM



Menentukan daerah layak: y

Berikut ini adalah langkah-langkah menyelesaikan soal program linear dengan metode titik sudut. 1. Menggambar garis lurus pada soal yang mewakili fungsi kendala dari soal yang diberikan. 2. Menentukan daerah layak yang memenuhi. 3. Menentukan titik-titik sudut perpotongan dua garis yang memenuhi daerah layak. 4. Menentukan nilai fungsi objektif pada setiap titik sudut. a. Jika fungsi tujuan atau fungsi objektif memaksimalkan maka pilih nilai yang paling besar. b. Jika fungsi tujuan atau fungsi objektif meminimalkan maka pilih nilai yang paling paling kecil.

50

10x + 5y = 200

40 x + y = 30

10 D(0, 0)

0

10

20

C(20, 0)

30

40

50

x

Mencari titik pojok dari daerah layak: a. Titik A (0, 30) b. Titik B (metode eliminasi dan substitusi) Mencari nilai x:



x+y= 30 2x + y = 40 − −x =−10

1. Seorang pedagang besar untuk perabot rumah tangga meja dan kursi akan membeli paling banyak 30 buah barang dagangan. Sebuah meja mempunyai harga senila Rp100.000,00 kemudian akan dijual seharga Rp115.000,00. Sedangkan sebuah harga dibeli dengan harga Rp50.000,00 kemudian akan dijual dengan harga Rp60.000,00. Jika pedagang tersebut mempunyai modal sebesar Rp2.000.000,00 maka keuntungan maksimum yang akan diperoleh pedagang tersebut adalah .... A. Rp500.000,00 B. Rp450.000,00 C. Rp400.000,00 D. Rp350.000,00 E. Rp300.000,00



B

20

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN



30 A(0, 30)



x = 10

Mencari nilai y: x+y= 30 10 + y = 30 = y 30 − 10 y = 20

c. Titik C (20, 0) d. Titik D (0, 0) Mencari nilai fungsi tujuan:

Pembahasan:

Misalkan jumlah meja dan kursi yang akan dibeli diwakilkan oleh dua variabel berikut, Meja = x Kursi = y Fungsi tujuan (fungsi objektif ): memaksimalkan fungsi f(x) = 15.000x + 10.000y Fungsi kendala: x + y < 30 100.000x + 50.000y < 2.000.000 →2x + y = 40



Titik

Nilai fungsi tujuan f(x) = 15.000x + 10.000y

A (0, 30)

f(x) = 15.000(0) + 10.000(30) = 300.000

B (10, 20 )

f(x) = 15.000(10) + 10.000(20) = 350.000

C (20, 0)

f(x) = 15.000(20) + 10.000(0) = 300.000

D (0, 0)

f(x) = 15.000(0) + 10.000(0) = 0

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp350.000,00. Jawaban D

9

Trigonometri SEGITIGA

4. Aturan Sinus

C

1. Pembagian Kuadran y

a

Kuadran II Kuadran I Sin dan All (+) Cosec (+)

b A

x

Kuadran III Kuadran IV Cos dan Tan dan Cotan (+) Sec (+)

B

c

a b C = = sin A sin B sin C





2. Hubungan sisi segitiga dengan sudut α

5. Aturan Cosinus

C r



a b

α

x

sin α =

cos α =

tan α =



y

A 1 r cosec = α = sin α y

y r x r

= α sec

y x

cot= an α

b2 = a2 + c2 − 2ac ⋅ cos B

1 r = cos α x



1 x = tan α y

r

c2 = a2 + b2 − 2ab ⋅ cos C

JUMLAH DAN SELISIH SUDUT 1. Rumus dua sudut trigonometri

sin ( α + β= ) sin α cos β + cos α sinβ

Perhatikan segitiga di bawah!

Mi

sin ( α − β= ) sin α cos β − cos α sinβ

ing

cos ( α + β= ) cos α cos β − sin α sinβ

Sisi Depan

α

sin ( α − β= ) sin α cos β + cos α sinβ

Sisi Samping

Jembatan Keledai: SinDeMi CosSaMi TanDeSa

tan ( α + β ) =

tan α + tanβ 1− tan α tanβ

3. Identitas Trigonometri

tan ( α − β ) =

tan α − tanβ 1+ tan α tanβ





sin x + cos x = 1 2

B

a2 = b2 + c2 − 2bc ⋅ cos A

TIPS & TRIK IDSCHOOL

i Sis

c

2

10

Trigonometri 2. Rumus sudut kembar

1 1− cos α tan α = 2 sin α

sin2= α 2sin α cos α sin2αα = 1− 2sin2 sin2αα = 2cos2 α − 1 cos2α = cos2 α − sin2

2tan α

tan2α = 1− tan2 α



1 1− cos α tan α = ± 2 1+ cos α

LUAS SEGITIGA SEMBARANG JUMLAH DAN SELISIH FUNGSI

C

1. Jumlah dan selisih → perkali

1 1 ( α + β ) cos ( α − β ) 2 2 1 1 sin α–+ = sinβ 2cos ( α + β ) sin ( α − β ) 2 2



a

b

sin α += sinβ 2sin

B c

A

1 bc ⋅ sin A 2 1 L ∆= ac ⋅ sin B ABC 2 1 L ∆= ab ⋅ sin C ABC 2

1 1 ( α + β ) cos ( α − β ) 2 2 1 1 cos α − cos β = −2sin ( α + β ) sin ( α − β ) 2 2

L ∆= ABC

cos α += cos β 2cos

2. Perkalian → jumlah dan selisih

2sin α cos= β sin ( α + β ) + sin ( α − β )



−2sin α sin = β cos ( α + β ) − cos ( α − β )

SUDUT ISTIMEWA TRIGONOMETRI

2cos α sin= β sin ( α + β ) − sin ( α − β )

1. Kuadran I

2cos α cos = β cos ( α + β ) + cos ( α − β )

Sudut 0o 30o 45o



RUMUS SUDUT TENGAHAN 1 1− cos α sin α = ± 2 2 1 1+ cos α cos α = ± 2 2

1 sin α tan α = 2 1+ cos α

11

1 2

60o

1 1 2 3 2 2

sin α

0

cos α

1

1 1 3 2 2 2

tan α

0

1 3 3

1

1 2

3

90o 1 0 ∞

Trigonometri 2. Kuadran II

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

Sudut

120o

135o

150o

180o

sin α

1 3 2

1 2 2

1 2

0

cos α tan α

1 2

1 2 2

−

1 3 2

–1

− 3

–1

−

1 3 3

0

210o

225o

−

−

1. Tentukan besar sudut sin 105o + sin 15o!

Pembahasan:

120 o 90 o ⋅ cos 2 2 o o = 2sin60 ⋅ cos 45 1 1 2⋅ 3⋅ 2 = 2 2 1 6 = 2

o sin105o + sin15= 2sin

3. Kuadran III Sudut sin α cos α tan α

1 2

−

1 2 2

1 3 2

−

1 2 2

− −

240o

270o

1 3 2

–1

1 2

0

−

−

1 3 3

1

3

∞

300o

315o

330o

360o

4. Kuadran IV Sudut

1 3 2

−

cos α

1 2

1 2 2

tan α

− 3

–1

sin α

−

1 2 2

−

1 2

0

1 3 2

1

1 3 3

0

−

12

Limit LIMIT FUNGSI ALJABAR f(x) 1. Hasil akhir substitusi dari lim memiliki x → a g(x) 0 bentuk tak tentu 0 a. Kerjakan dengan pemfaktoran: ( x − a) ⋅ f(x) F(x) lim = lim x → a G(x) x → a ( x − a ) ⋅ g(x)

x →a



1.

f(x) memiliki g(x)

+ x − 2 ) sin ( x − 1) x 2 − 2x + 1

= ...

Pembahasan:

[ f(x) − g(x)] 3. Bentuk lim x →∞

(

x →0

2

C. 0 D. 2 E. 4

∞ ∞

(

(x Nilai dari lim A. −

 0, n < m  a0 x n + a1x n−1 + ... + an  a0 = = lim , n m x →∞ b x m + b x m−1 + ... + b 0 1 m  b0  ∞ , n > m

a. xlim →∞

ax a = tan bx b

1 2 1 B. − 4

F(x) F'(x) = lim x → a G(x) G'(x) F'(a) = G'(a)

2. Hasil akhir substitusi dari lim x →∞ bentuk

tanx =1 x →0 x tan ax a = 5. lim x →0 bx b 4. lim

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

b. Kerjakan dengan L’ Hospital: lim

ax a = x → 0 sin bx b

3. lim

6. lim x →0

f(x) = lim x → a g(x) f(a) = g(a)



sin ax a = x → 0 bx b

2. lim

)

b −p ax + bx + c − ax + px + q = 2 a 2

2

(x lim x →0

+ x − 2 ) sin ( x − 1) x 2 − 2x + 1

( x − 1) ( x + 2 ) sin( x − 1) x →0 ( x − 1) ( x − 1) sin ( x − 1) lim ( x + 2 ) x →0 ( x − 1)

= lim =

= 2 ×1 =2

)

2ab − p ax + b ) − a x + px + q = ( b. lim x →∞ 2a 2 2

2

Jawaban: D

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Persamaan dasar dalam limit fungsi trigonometri: sinx =1 1. lim x →0 x

13

Turunan RUMUS DASAR TURUNAN



1. Persamaan turunan



f ' ( x ) = lim

f ( x + h) − f ( x )

h→ 0

h

2. Tabel fungsi dan turunannya

Funsi f(x)

Turunan f’(x)

f(x) = k

f’(x) = 0

f(x) = xn

f’(x) = n⋅kxn−1

f(x) = u ± v

f(x) = u’ ± v’

f(x) = u ⋅ v f(x) =

u v



u'v − uv' v2

y = f(g(x))

y’ = f’(g(x)) ⋅ g’(x)

y = sin x

y’ = cos x

y = cos x

y’ = −sin x

Pembahasan:

Syarat untuk fungsi turun adalah f’(x)<0, Sehingga perlu dicari turunannya terlebih dahulu x2 + 3 f (x) = x −1 2x ( x − 1) − ( x 2 + 3 )1 f '( x ) = 2 ( x − 1) =

f(x) = u’v + uv’ f '( x ) =

yang memenuhi .... A. x < −1 atau x > 4 B. x < −3 atau x > 1 C. −1 < x < 1 atau 1 < x < 3 D. −3 < x < 1 atau x > 1 E. −3 < x < −1

=

2x 2 − 2x − x 2 − 3

( x − 1)

2

x 2 − 2x − 3

( x − 1) ( x − 3)( x + 1) = 2 ( x − 1) 2

Mencari himpunan penyelesaian yang memenuhi syarat. f '( x ) < 0

PENGGUNAAN TURUNAN



1. Menentukan gradien (m) garis singgung Jika titik (x1, y1) terletak pada y = f(x) maka gradien garis singgung di f(x 1 , y 1 ) dapat diperoleh dengan persamaan m = f ’(x)



2. Menentukan nilia dan kriteria kurva (naik/ turun, minimal/maksimal) a. Turun f’(x) < 0 b. Naik f’(x) > 0 c. Maksimal f’(x) = 0 f’’(x) < 0 d. Minimal f’(x) = 0 f’’(x) > 0 e. Titik belok f’’(x) = 0

( x − 3)( x + 1) < 0 2 ( x − 1) Perhatikan bahwa penyebut akan selalu bernilai positif. Untuk memenuhi nilai kurang dari nol, ma nilai pembilang harus negatif. Pembilang negatif dan penyebut positif +++ −1 +++



+++

−−− 3

+++

1 Gabungan kedua syarat:

−1 3 1 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah −1 < x < 1 atau 1 < x < 3. Jawaban: C

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN x2 + 3 1. Fungsi f ( x ) = akan turun untuk nilai x x −1

14

Integral DEFINISI INTEGRAL

JENIS INTEGRAL

1. Simbol integral: ∫

1. Integral Substitusi

2. Jika turunan fungsi F(x) adalah f(x) maka

= ∫ f(x)dx

F(x) + C



2. Integral Parsial

3. Fungsi integral untuk eksponen dengan n ≠ 1 diberikan melalui persamaan di bawah.



∫ u dv=

INTEGRAL TAK TENTU

1.

− cosx + C ∫ sinx dx =

2.

dx ∫ cosx=

3.

− ln cosx + C ∫ tanx dx =

4.

∫ sec

5.

x dx ∫ cot an=

Tabel rumus dasar pada integral tak tentu: Fungsi f(x)

Hasil Integral 1 n+1 k⋅ x +C n +1

∫ kx dx n

∫x

1 dx = ∫ dx x

−1

ln x + C

∫ ( f ( x ) ± g( x ) )dx ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx ∫ sin x dx

− cos x + C

∫ cos x dx

sin x + C

∫ sin ( ax + b ) dx

1 − cos ( ax + b ) + C a

∫ cos ( ax + b ) dx

1 sin ( ax + b ) + C a

∫ f(x) dx = [F(x)]a

x= dx tanx + C

ln sin x + C

bx dx ∫ a cos=

1 sinn+1 x + C n +1 1 n − cosn+1 x + C 9. ∫ cos x ⋅ sin x dx = n +1 8.

∫ sin

10.

∫ cosec

11.

sec x + C ∫ sinx ⋅ tanx dx =

12.

− cosec x + C ∫ cosec x ⋅ cot anx dx =

13.

∫ sin

14.

∫ cos

b

b

2

sinx + C

a sin bx + C b a 7. ∫ a sin bx dx = − cos bx + C b 6.

INTEGRAL TENTU a

uv − ∫ v du

INTEGRAL TRIGONOMETRI

1 n+1 x dx + C n +1

n = ∫x

∫ f ( g( x ) ) g' ( x ) dx = ∫ f (u) du

= F(b) − F(a)

15

n

x ⋅ cos x dx =

dx 2

dx 2

x

2

x dx = −co tanx + C

dx = − cot x + C

= dx tan x + C x

Integral APLIKASI INTEGRAL

b. Dibatasi dua buah kurva dan diputar pada sumbu x

1. Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva a. Dibatasi Sebuah kurva y

y

y y1 = f(x) y2 = g(x)

y1 = f(x)

y = f(x)

y2 = g(x) a



x

b

a

b

x

x

b

b

L = ∫ f(x) dx



a

b

V = ∫ ( f ( x ) ) dx

b. Dibatasi Dua Buah Kurva y

2

a

g(x) f(x)

a

c. Dibatasi dua buah kurva dan diputar pada sumbu y

x

b

y



y

b

= L

∫{f ( x ) − g ( x )} dx

d

a

y

d



y = f(x) y = f(x) x x

b

x

x

y

b

y = f(x)

c

2. Menghitung Volume a. Dibatasi sebuah kurva dan diputar pada sumbu x

a

y = f(x)

V = π∫ ( f(x) ) dx 2

a

16

V = π∫ ( f(y) ) dy c

2

Integral

Pembahasan:

d. Dibatasi dua buah kurva dan diputar pada sumbu y y

y

y2 = g(x) y1 = f(x)

y2 = g(x)

Bagi luas daerah menjadi beberapa bagian, seperti terlihat pada gambar di bawah. b

∫ ( f(x) − g(x))dx

y1 = f(x)

d

a

c

f(x)

x

x

0 d

(

c

c

2

)

b c d g(x) x

∫ f ( x ) dx

V= π∫ ( f(y) ) − (( g(y) ) dx dy 2

a

{

y



d

∫ g( x ) dx

b

b Sehingga, luas daerah yang dibatasi integral pada soal yang diberikan adalah

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

b



d

c

∫a ( f(x) − g(x)) dx + ∫b g(x) dx − ∫b f(x) dx

1. Perhatikan gambar di bawah!

Jawaban: A

y

TIPS & TRIK IDSCHOOL f(x)

a

0



bc

x

d g(x)

Luas daerah yang diarsir pada gambar di atas dapat dinyatakan dengan rumus .... A.

b

d

a

b

b

d

a

b

∫ ( f(x) − g(x)) dx + ∫

c

g(x) dx − ∫ f(x) dx b

B.

∫ ( f(x) − g(x)) dx + ∫ ( g(x) − f(x)) dx

C.

∫ ( f(x) − g(x)) dx

D. E.

dengan D = b2 − 4ac

d

a

d

d

b

d

Rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva yang memiliki bentuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0:

∫a ( f(x) − g(x)) dx − ∫c g(x) dx ∫a ( f(x) − g(x)) dx + ∫c ( g(x) − f(x)) dx

17

Lingkaran BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN

KEDUDUKAN TITIK TERHADAP LINGKARAN

1. Bentuk umum persamaan lingkaran:

Kedudukan titik (x1, y1) terhadap lingkaran dengan 0 dapat dilihat persamaan x 2 + y 2 + Ax + By + C = dari hasil substitusi titik ke persamaan lingkaran, dengan kriteria seperti berikut ini.



x + y + Ax + By + C = 0 2

2

2. Pusat lingkaran:

1   1 Pusat =  − 2 A, − 2 B   

Kedudukan Titik

Di dalam lingkaran x + y + Ax1 + By1 + C < 0

3. Rumus jari-jari lingkaran:

Kriteria 2 1

Jari-jari(r)=

1 2 1 2 A + B −C 4 4

2 1

Pada lingkaran

x12 + y12 + Ax1 + By1 + C = 0

Di luar lingkaran

x12 + y12 + Ax1 + By1 + C > 0

PERSAMAAN LINGKARAN BERBEDA PUSAT

KEDUDUKAN GARIS TERHADAP LINGKARAN

1. Persamaan Umum Lingkaran Pusat O(0,0) dan jari-jari r

Kedudukan garis y = mx + c terhadap lingkaran 0 dapat dengan persamaan x 2 + y 2 + Ax + By + C = dilihat dari nilai diskriminan pada hasil substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran.

y r

Kriteria kedudukan garis terhadap lingkaran adalah sebagai berikut.

x

O (0,0) r

−r

−r



Kedudukan Garis



x2 + y2 = r2 2. Persamaan Umum Lingkaran Pusat P(a,b) dan jari-jari r y

r P (a,b)

b



x



a

r2 ( x − a) + ( y − b ) = 2

2



18

Kriteria

Memotong lingkaran di dua titik

D<0

Menyinggung lingkaran (hanya ada satu titik potong)

D=0

Tidak memotong lingkaran

D>0

Lingkaran KEDUDUKAN DUA LINGKARAN



Diberikan dua buah lingkaran dengan pusat P1 dan P2 serta masing-masing lingkaran memiliki jari-jari berturut-turut r1 dan r2, dan r1 > r2, Kedudukan

( x − 2 ) + ( y − 3) 2

| P1 P2 | = 0

Bersinggungan di dalam lingkaran

| P1 P2 | = r1 − r2

2

25 =

x 2 − 4x + 4 + y 2 − 6y + 9 = 25 x 2 + y 2 − 4x − 6y + 4 + 9 − 25 = 0

Kriteria

Memiliki pusat sama

Sehingga, persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, 3) dan melalui titik (5, −1) adalah



x 2 + y 2 − 4x − 6y − 12 = 0 Jawaban:A

Lingkaran kecil terletak | P1 P2 | ≤ r1 − r2 di dalam lingkaran besar

Mau kumpulan soal latihan yang lebih banyak lagi dan cara mengerjakannya?

Berpotongan di dua titik r1 − r2 < | P1 P2 | < r1 + r2 Bersinggungan di luar lingkaran

| P1 P2 | = r1 + r2

Tidak bersinggungan (saling lepas)

| P1 P2 | > r1 + r2

Ayo kunjungi idschool.net

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, 3) dan melalui titik (5, −1) adalah .... A. x2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0 B. x2 + y2 − 4x − 6y − 25 = 0 C. x2 + y2 − 4x − 6y − 13 = 0 D. x2 + y2 − 2x − 3y − 10 = 0 E. x2 + y2 + 2x + 3y + 25 = 0

Pembahasan:

Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan jari-jari r memiliki persamaan:

(x − 2)2 + (y − 3)2 = r2

Substitusi titik (5, −1) ke persamaan lingkaran (x − 2)2 + (y − 3)2 = r2 untuk mendapatkan nilai jari-jari. r2 ( x − 2 ) + ( y − 3) = 2 2 ( 5 − 2 ) + ( −1− 3) =r2 2 2 ( 3 ) + ( −4 ) =r2 2



2

9 + 16 = r 2 → r 2 = 25

19

Irisan Kerucut ELIPS 1. Bagian-bagian penyusun elips

y

Loctus Rectum

−a

b

F1(−c,0) O (0,0) Q



F2 (c,0)

Keterangan: Penyusun Elips Pusat elips

x

a

−b

Garis Arah (direktris)

Garis Arah (direktris)

2. Persamaan pada elips horizontal y

Bagian O

Sumbu mayor

−a → a

Sumbu minor

−b → b

Puncak elips

−a, −b, a, b

Fokus elips

F1 dan F2

y

b

−a

a

O (0,0)

a satuan

q

x

P (p, q)

b satuan

−b

p

Pusat O(0, 0)



Keterangan

Pusat P(p, q)

Elips Horizontal Pusat O(0, 0)

Elips Horizontal Pusat P(p, q)

Pusat

O(0,0)

P(p, q)

Fokus

(±c, 0)

(p ± c, q)

Panjang Sumbu Mayor

2a

2a

Panjang Sumbu Minor

2b

2b

Puncak

(±a, 0) dan (0, ±b)

(p ± a, q) dan (p, q ± b)

Bentuk umum persamaan

x2 x2 + = 1 a2 b2

( x − p)

Garis arah (direktris)

a2 x= ± c

a2 x= p ± c

Panjang Loctus Rectum

2b2 LR = a

2b2 LR = a

Eksentrisitas

e=

2

a2

c a

e=

20

c a

+

( y − q) b2

2

= 1

x

Irisan Kerucut 3. Persamaan pada elips vertikal

y

y

a

O (0,0)

−b

b

x

b satuan P (p, q)

b

a satuan

−a

x

a

Pusat O(0, 0)

Pusat P(p, q)

Elips Vertikal Pusat O(0, 0)

Keterangan

Elips Vertikal Pusat P(p, q)

Pusat

O(0,0)

P(p, q)

Fokus

(±c, 0)

(p ± c, q)

Panjang Sumbu Mayor

2a

2a

Panjang Sumbu Minor

2b

2b

Puncak

(±a, 0) dan (0, ±b)

(p ± a, q) dan (p, q ± b)

Bentuk umum persamaan

x2 x2 + = 1 a2 b2

Garis arah (direktris)

y= ±

Panjang Loctus Rectum

LR =

Eksentrisitas

e=

( x − p)

2

b2

a2 c

y= q ±

2b2 a

LR =

c a

e=



21

2b2 a

c a

+

( y − q)

a2 c

a2

2

= 1

Irisan Kerucut PARABOLA 1. Parabola dengan pusat O(0, 0)

y

y

Titik Fokus

Titik Fokus x

F(p, 0)

Titik Puncak

F(0, p)

garis arah (direktris)



Keterangan

Titik Puncak



Parabola Horizontal

Parabola Vertikal

Puncak

O(0,0)

O(0, 0)

Fokus

(p, 0)

(0, p)

Garis arah (direktris)

x = −p

y = −p

Bentuk Umum Persamaan

y 2 = 4px

x 2 = 4py

2. Parabola dengan puncak P(a, b) y x=a

y

Titik Fokus

F(a, b + p)

sumbu b simetri Titik Puncak

garis arah (direktris)

Titik Puncak sumbu simetri Keterangan

F(a+p, b)

a garis arah (direktris)

Parabola Horizontal

Parabola Vertikal

Puncak

P(a, b)

P(a, b)

Fokus

(a+p, b)

(a, b+p)

Garis arah (direktris)

x=a−p

y=b−p

Bentuk Umum Persamaan

( y − b)

2

Titik Fokus y=b

x

x



x

garis arah (direktris)

= 4p ( x − a )

( x − a) = 2

22

4p ( y − b )

Irisan Kerucut HIPERBOLA 1. Bagian-bagian penyusun hiperbola y

garis arah (direktris)

asimtot

asimtot

2 c= a2 + b2

pusat hiperbola C(0, b)

F1(−c, 0)

b A(−a, 0)

c a

B(a, 0)

F2(c, 0)

D(0, −b)

titik puncak



garis arah (direktris)

23

x

Irisan Kerucut 2. Persamaan pada hiperbola denga pusat O(0,0) y

y

F2(c, 0) C(0, b) b

F1(−c, 0)

A(−a, 0)

C(−b, 0)

c a

F2(c, 0) B(a, 0)

c b

x

F1(−c, 0)

Hiperbola Horizontal



Hiperbola Vertikal

Persamaan terkait hiperbola horizontal dan hiperbola vertikal Keterangan

Hiperbola Horizontal

Hiperbola Vertikal

Pusat

O(0,0)

O(0,0)

Fokus

(±c, 0)

(0, ±c)

Puncak

(±a, 0)

(0, ±a)

Garis arah (direktris)

a2 x= ± c

a2 x= ± c

Asimtot Eksentrisitas Loctus Rectum

Bentuk umum persamaan

D(b, 0)

A(−a, 0)

D(0, −b)



B(0, a) a

y= ±

e=

b a

c a

2b2 LR = a

y= ±

e=

b a

c a

2b2 LR = a

2 2 x2 y2 x y 1 − = − = −1 a2 b2 b2 a2

24

x

Irisan Kerucut 3. Persamaan pada hiperbola denga pusat P(p, q)



y

y

F2 B

C F1

A a

b

(p, q)

a

B F2

C

b

(p, q) D

A F1

D

x

x

Hiperbola Horizontal

Hiperbola Vertikal

Hiperbola Horizontal

Keterangan

Hiperbola Vertikal

Pusat Fokus Puncak

P(p, q) (p ± c, q) (p ± a, q)

P (p, q) (p, q ± c) (p, q ± a)

Garis arah (direktris)

a2 y= p q± c

a2 y= q ± c

Asimtot

y − q =±

Loctus Rectum

LR =

Bentuk umum persamaan

2 2 (x − p)2 (y − q)2 x − p ) ( y − q) ( 1 − = − = −1 a2 b2 b2 a2

b ( x − p) a

y − q =±

2b2 a

LR =

25

b ( x − p) a

2b2 a

Dimensi Tiga BAGIAN-BAGIAN PADA DIMENSI

KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG

1. Diagonal Sisi: AF, AH, AC, BE, BG, BD, CF, CH, DG, DE, EG, dan FH

1. Kedudukan Titik a. Kedudukan titik pada garis H G

H

G

E

E D

D C



B

A

2. Diagonal Ruang: AG, EC, BH, dan DF

H E

H



3. Bidang Frontal: ABFE, BCGF, CDHG, DAEH, ABCD, dan EFGH

B

A

Titik C terletak di luar garis AB

H

F D

C



B

B

A

Titik A terletak pada bidang ABCD

H

G

G E

E

A

F

F D



C

d. Kedudukan titik di luar bidang

4. Bidang Diagonal: BDHF dan ACGE

H

G

E

F

A

C

c. Kedudukan titik pada Bidang

G

D

F D

B

E

G

E

C

H

B

A

b. Kedudukan titik di luar garis

F

A

C

Titik A terletak pada garis AB

G

D

F

F

D C



B

26

A

C B

Titik C terletak pada bidang ABCD

Dimensi Tiga 2. Kedudukan Garis a. Garis terletak pada bidang H G

H

G

E

E

F

F D



b. Sejajar

D C

B

A

C B

A

Bidang ABFE sejajar dengan bidang ABFE

Garis AB terletak pada bidang ABFE c. Berpotongan

H

b. Garis memotong bidang H G

E

E



D

B

A

B

A

Bidang ABFE berpotongan bidang ABCD

Garis BC terletak pada bidang ABFE

E

F D

C B

A

Garis GH terletak pada bidang ABFE

H

E

G F

D A

JARAK PADA DIMENSI TIGA 1. Jarak Titik ke Titik a. Jika diketahui letak titik pada gambar kubus (dimensi tiga) dapat menggunakan rumus pada theorema pythagoras. = r a2 + b2 b. Jika diketahui dua titik koordinat A(x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2)

3. Kedudukan Bidang a. Berimpit



C

C

c. Garis sejajar bidang H G



F

F D

G

AB =

( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 + ( z1 − z 2 ) 2

2. Jarak Titik ke Garis Jarak antara titik A ke garis g adalah panjang garis tegak lurus titik A ke garis g (proyeksinya titik A pada garis g).

C

A

B

Bidang ABFE berimpit dengan bidang ABFE

27

A’

g

Dimensi Tiga 3. Jarak Titik ke Bidang Jarak antara titik A ke bidang α adalah panjang garis tegak lurus dari titik A ke bidang α.

6. Jarak Bidang ke Bidang Jarak antara dua bidang atau jarak bidang ke bidang adalah panjang ruas garis yang saling tegak lurus pada kedua bidang tersebut.

A

β

A’

α

A’

α

4. Jarak Garis ke Garis Jarak antara dua garis adalah panjang ruas garis yang menghubungkan antara garis pertama dan garis kedua, di mana ruas garis tersebut tegak lurus dengan garis pertama dan garis kedua.

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Sebuah kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6 cm, maka jarak titik D terhadap bidang ACH adalah .... A. 2 cm B. 2 3 cm C. 3 cm D. 3 3 cm E. 4 3 cm

P g P’

Pembahasan:

h

Perhatikan gambar berikut!

H

5. Jarak Garis ke Bidang Jarak antara garis dan bidang merupakan jarak antara garis dengan garis proyeksinya pada bidang. A

A

G

E

g

F

D A

α



A’

28

D’ 6 cm

H’

C B

Jarak titik D terhadap bidang ACH sama dengan jarak DD’ di mana D’ merupakan titik proyeksi D pada bidang ACH yang terletak pada garis HH’. BD = diagonal bidang = 6 2 cm maka 1 DH' = BD 3 2 cm = 2 DH = 6 cm

Dimensi Tiga sehingga, = HH'

DH2 + DH'2

=

62 + (3 2 )2

=

36 + 18 = 54 = 3 6 cm



Selanjutnya perhatikan segitiga HDH’ (siku-siku di D)!

H 3 6

D

D’

3 2 cm

cm

6 cm

H’

Berdasarkan luas segitiga HDH’ akan diperoleh: 1 1 ·HH'·DD' = ·DH'·DH 2 2 HH'·DD' = DH'·DH DH'·DH DD' = HH' 3 2·6 = 3 6 =

18 2 6 × 3 6 6

18 12 18 = 12 =



= 2 3 cm Jadi jarak D ke bidang ACH adalah DD’ = 2 3 cm Jawaban: B

29

Eksponen & Logaritma EKSPONEN

4. Persamaan Fungsi Eksponen i. af(x) = ag(x) → f(x) = g(x) ii. F(x)f(x) = F(x)g(x) • F(x) = 1 • Untuk F(x) ≠ 0 dan F(x) ≠ 1 maka f(x) = g(x) • F(x) = −1, jika (−1)f(x) = (−1)g(x) • F(x) = 0, jika f(x) > 0 dan g(x) > 0

1. Sifat-sifat Eksponen i. ap ⋅ aq = ap + q ii. ap : aq = ap − q iii. (a ⋅ b)p = ap ⋅ bp vi. (ap)q = apq −p v. a =

1 ap

5. Pertidaksamaan Fungsi Eksponen i. Untuk a > 1 • Jika af(x) > ag(x), maka f(x) > g(x) • Jika af(x) < ag(x), maka f(x) < g(x) ii. Untuk 0 < a < 1 • Jika af(x) > ag(x), maka f(x) < g(x) • Jika af(x) < ag(x), maka f(x) > g(x)

q

vi. a p = p aq p

p

vii. a ⋅ b =

p

a⋅ b

p

a a viii. b = p b p

xi.

p q

x.

p q r

= a

1 apq

pq

= a

a =

LOGARITMA 1

pqr

a =

1. Sifat-Sifat Logaritma a y i. log x =y → a =x , dengan a > 0, a ≠ 1, dan x > 0 ii. a log = xy a log x + a log y

pqr

a

2. Grafik Fungsi Eksponen a. Untuk nilai x > 1

x a = iii. log y

y

a

log x −a log y

a p a iv. log x = p ⋅ log x

y = ax

v.



x

vii. a c

a

log b

c c

log b log a

=b

a d viii. log b =

b. Untuk nilai 0 < x <1

a

d

log b c=

d a ⋅ log b c

2. Persamaan Fungsi Logaritma i. a log f = ( x ) a log g( x ) → f= ( x ) g( x )

y

f(x) ii. f ( x ) log = g( x ) log h ( x ) →= g( x ) h( x ) Syarat: f(x) > 0, g(x) > 0, dan h(x) > 0

y = ax

(0, 1)

log b =

a vi. log a = 1

(0, 1) 0

a

0

x

30

Eksponen & Logaritma

Pembahasan:

3. Grafik Fungsi Logaritma a. Untuk nilai 0 < a < 1 y

(

3

log36 ) − ( 3 log4 ) 2

3

( =

3

log 12

log36 + 3 log4 )( 3 log36 − 3 log4 ) 3

(0, 1)

y = alog x

b. Untuk nilai a > 1 y y = alog x (0, 1)

0

x

4. Pertidaksamaan Logaritma i. Untuk 0 < a < 1 • Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) < g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0 • Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) > g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0 ii. Untuk a > 1 • Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) > g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0 • Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) < g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1.

(

3

log36 ) − ( 3 log4 ) 2

3

log 12

1

log 12 2

36   log36 ⋅ 4 )  3 log  4   = 1 3 ⋅ log 12 2 3 log 144 )( 3 log 9 ) ( = 1 3 ⋅ log 12 2 3 log 122 )( 3 log 32 ) ( = 1 3 ⋅ log 12 2 2 ⋅3 log 12 )( 2 ⋅3 log 3 ) ( = 1 3 ⋅ log 12 2

(

x

0

2

2

= ....

A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 E. 18

31



3

2 ⋅ 3 log 12 × 2 ⋅ 1 = 1 3 ⋅ log 12 2 2 × 2 ⋅1 = 1 2 =8 Jawaban: C

Barisan & Deret DERET ARITMETIKA

barisan geometri baru maka rasio deret/barisan tersebut dapat diketahui melalui rumus berikut.

1. Beda = b = U2 − U1 = U3 − U2 = U4 − U3 = ....

p r = n+1 a

2. Un =a + ( n − 1) b n ( a + Un ) 2 n S= ( 2a + (n − 1)b ) n 2

Sn 3. =

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Jumlah penduduk suatu kota setiap 10 tahun menjadi dua kali lipat. Menurut perhitungan, pada tahun 2069 nanti akan mencapai 3,2 juta orang. Pada tahun 2019, jumlah penduduk kota tersebut mencapai ... orang. A. 100.000 D. 200.000 B. 120.000 E. 400.000 C. 160.000

4. U= Sn − Sn−1 n 5. Ut =

a + Un 2

2Uk +l 6. Uk + Ul = 2

DERET GEOMETRI r 1. Rasio ==

Pembahasan:

Misal: U1 = jumlah penduduk tahun 2019 Un = jumlah penduduk tahun 2069

U2 U3 U4 = = = ... U1 U2 U3

n−1 2. Un = ar



Berdasarkan soal, diperoleh informasi seperti berikut. r = 2 (Jumlah penduduk suatu kota setiap sepuluh tahun menjadi dua kali lipat) n = 6 (Jumlah penduduk suatu kota setiap sepuluh tahun menjadi dua kali lipat) Un = 3,2 juta orang (Menurut perhitungan, pada tahun 2069 nanti akan mencapai 3,2 juta orang)

a ( r − 1) n

3. Sn =

r −1

Sn − Sn−1 4. U= n 5. U= t

a ⋅ Un

  6. Uk ⋅ Ul =  U k +l   2 

2

Sehingga, U= U1 ⋅ r n−1 n 3,2 juta= U1 ⋅ 26 −1

DERET GEOMETRI TAK HINGGA



1. Untuk deret geometri konvergen (mempunyai jumlah) dengan −1< r < 1, maka berlaku rumus jumlah deret geometri tak hingga berikut ini.

S∞ =



a 1− r

3,2 juta= U1 ⋅ 25 = U1

3.200.000 = 100.000 orang 32

Jadi, jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2019 mencapai 100.000 orang. Jawaban:A

TIPS & TRIK IDSCHOOL Jika di antara bilangan a dan p disisipkan n buah bilangan dan membentuk sebuah deret/

32

Logika Matematika KONJUNGSI, DISJUNGSI, IMPLIKASI, DAN EKUIVALENSI

SIFAT-SIFAT EKUVALENSI

1. Konjungsi (atau): ∧ 2. Disjungsi (dan): ∨ 3. Implikasi (jika ... maka ...): → 4. Ekuivalensi ( ... bila dan hanya bila ...): ↔ 5. Nilai kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan ekuiivalensi. p

q

p∧q

p∨q

p→q p↔q

B

B

B

B

B

B

B

S

S

S

S

S

S

B

S

S

B

S

S

S

S

S

B

B

1. p ∧ (q ∨ r) ≡ (q ∧ r) ∨ (q ∧ r) 2. p ∨ (q ∧ r) ≡ (q ∨ r) ∧ (q ∨ r) 3. p → q ≡ ~p ∨ q 4. ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q 5. ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q 6. ~(p → q) ≡ p ∧ ~q 7. p → q ≡ (p → q) ∧ (q → p) 8. p → q ≡ (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)

PENARIKAN KESIMPULAN 1. Modus Ponen P1= p → q (benar)

P2 = p

(benar)

∴= q

(benar)

IMPLIKASI, KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI 2. Modus Tollens

P1= p → q (benar)

p→q

q → p ~p → ~q ~q→~p

p

q ~p ~q

B

B

S

S

B

B

B

B

B

S

S

B

S

B

B

S

S

B

B

S

B

S

S

B

S

S

B

B

B

B

B

B

Implikasi

Konvers

Invers

Kontraposisi



KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI DARI SUATU IMPLIKASI

Invers ~p → ~q

Konvers

Kontraposisi

Konvers

(benar)

∴=~ p

(benar)

3. Silogisme P1= p → q (benar)

p→q

P2 =~ q

q→p

Invers

~q → ~p

Sutau implikasi ekuivalen dengan kontraposisi

33

P2= q → r

(benar)

∴= p → r

(benar)

Matriks KOMPONEN MATRIKS

2. Determinan Matriks Orda 3 × 3  a b c   A = d e f  g h i   

1. Susunan matriks: baris, kolom, diagonal

 x11 x12 ... x1n    x x ... x 22 2n  X =  21         x x ... x mn   m1 m2

Kolom

a b c A=d e f g h i

Baris

=a

Diagonal

+

OPERASI MATRIKS

+ +

− − −

a b ca b A=d e fd e g h ig h

1. Penjumlahan dan Pengurangan a. Am×n + Bm×n = Cm×n b. Berlaku sifat A + B = B + A c. Am×n − Bm×n = Dm×n d. Contoh:



= a ( ei − hf ) − b ( di − gf ) + c ( dh − ge )

TIPS & TRIK IDSCHOOL

2. Ordo matriks: banyak baris × banyak kolom



e f d f d e −b +c h i g i g h

A = aei + bfg + cdh − gec − hfa − idb

a b e f  a + e b + f   + =    c d  g h  c + g d + h a b e f  a − e b − f   − =    c d  g h  c − g d − h

INVERS MATRIKS



a b 1  d −b  −1 A  1. =  → A=   ad − bc  −c a   c d

2. Perkalian a. Dua buah matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks ke dua.

2. AX = B → X = A−1B 3. XA = B → X = BA−1 4. A−1⋅A = I

Am×n × Bn×k = Cm×k

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

sama b. A × B ≠ B × A c. Contoh:  a b   p q r   ap + bs aq + bt ar + bu   × =    c d   s t u   cp + ds cq + dt cr + du 

1 2 1. Diketahui matriks A =   dan matriks AB 3 4  1 0 yang memenuhi persamaan AB =  .  0 1

DETERMINAN MATRIKS

Matriks B yang dapat memenuhi persamaan tersebut adalah ....  −2 −1   A.  3 1  −  2 2

1. Determinan Matriks Orda 2 × 2 a b A=  → A = ad − bc c d 

34

Matriks  −2 −1 B.  3 1    2 2

5 3  C.    9 13   9 5 D.    12 3 

 −2 1  C.  3 1     2 2

3 5  E.    9 23 

 −2 1   D.  3 1  −  2 2  −2  E.  − 3   2

1  1  2

Pembahasan:



 1 0 =  = I AB  → AB  0 1 B = A −1

Pembahasan: 2 AB−1 =  4 2 AB−1 ⋅ B =  4

1  1 2    3  3 5   2 1  1 2  A ⋅ I =    4 3  3 5  2+3 4+5   5 9  = A =     4 + 9 8 + 15   13 23  Jawaban A:

Mencari Invers A: 1 2 A=  3 4 1  4 −2    4 − 6  −3 1  1  4 −2  =   −2  −3 1 

A −1 =



1  3

 −2 1   = 3 1  −  2 2 Jawaban: D

 2 1  1 2 −1 2. Jika B =   dan AB =   maka A = .... 3 5  4 3 5 9 A.    13 23   13 5  B.    9 23 

35

Transformasi Geometri PENCERMINAN

4. Pencerminan terhadap Garis y = − x

y

1. Pencerminan Terhadap Sumbu-x y b

A(a,–b)

0

a

y = –x

x x

A’(a,b)

 a '   1 0  a   a  Sumbu x A ( a, b )  →= A' =   =    b ' 0 − 1     b   −b 

2. Pencerminan Terhadap Sumbu-y

b

–a

0

y A(a,b)

b

A(a,b)

x

a

0

–a

Matriks Transformasi:

 a '   −1 0  a   −a  Sumbu y A ( a, b )  →= A ' =   =     b '   0 1  b   b 

a

x

–b

A(–a, –b)

 a '   −1 0  a   −a  titik O ( 0,0 ) A ( a, b ) →= A' =   =     b '   0 −1 b   −b 

3. Pencerminan Terhadap Garis y = x

y A(a,b)

 a '   0 −1 a   −b  garis y = − x = A ( a, b ) → A ' =   =     b '   −1 0  b   −a 

5. Pencerminan Terhadap Titik Asal O(0, 0)

y A’(–a,b)

a

–a

A(–b, –a)

Matriks Transformasi:

b

–b

0

–b

A(a,b)

b

y=x

6. Pencerminan Terhadap Garis x = h

y x=h

A(b, a)

a 0

a

b

b

x

A(a,b)

A’(2h – a, b)

Matriks Transformasi:

 a '   0 1  a   b  garis y = x →= A ( a, b )  A ' =   =     b '   1 0  b   a 

0 a

2h – a

x

 a '   2h − a  garis x = h →= A ( a, b )  A ' =     b'   b 

36

Transformasi Geometri ROTASI/PERPUTARAN

4. Rotasi dengan Pusat P(m, n) sebesar α kemudian diteruskan sebesar β

1. Rotasi dengan Pusat O(0,0) sebesar α

y A(a,b)

y P(a,b)

α

P(m,n) β

α

x

O(0,0)

A’(a’, b’)

P(a’, b’)  a '   cosα A ' = =    b '   sinα

x A’’(a’’, b’’)

 a ''   cos(α + β) − sin(α + β)  a − m   m  = A '' =    +   b ''   sin(α + β) cos(α + β)  b − n   n 

− sinα  a    cosα  b 

DILATASI 1.

2. Rotasi dengan Pusat P(m, n) sebesar α

y

Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor skala m

y A(a,b)

A’ α

A

P(m,n) c

x A’(a’, b’)  a '   cosα = A ' =    b '   sinα

B

x

B’

 a '   m 0  a   am  = A ' =   =     b '   0 m  b   bm 

− sinα  a − m   m   +  cosα  b − n   n 

3. Rotasi dengan Pusat O(0,0) sebesar α kemudian diteruskan sebesar β

2. Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat P(k, l) dengan faktor skala m

y

A’

y A(a,b)

A

α

O(0,0) β

P(k,l) B

x

x

A’(a’, b’)  a ''  = A '' =   b '' 

B’

A’’(a’’, b’’)  cos (α + β ) − sin (α + β )   a      sin (α + β ) cos (α + β )   b 

 a '   m 0  a − k   k  = A ' =    +   b '   0 m  b − l   l 

37

Vektor PENYAJIAN VEKTOR

2. Vektor Posisi pada Dimensi Tiga

z

1. Bentuk Analitik x= ai + dj



z= ci + fj

 a

2. Bentuk Komponen  x   a   d  x   a + d   y  =b  +  e  →  y  =b + e             z   c   f   z   c + f 



3 sat. ke atas

  −5  w=   −5 

5 sat. ke kanan   −5  3 sat. ke atas v =   3

x

3. Panjang Vektor Vektor Vektor Posisi 5 sat. ke bawah

 5 u=  3

5 sat. ke kiri

5 sat. ke kiri

 p = (x, y)

 a  b

 a = (x1 , y1 )  b = (x 2 , y 2 )

 AB =

 q

 q = (x, y, z)

 q=

 c

 c = (x1 , y1 , z1 )  CD =  d = (x 2 , y 2 , z 2 )

x2 + y2

( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y 1 ) 2

2

x 2 + y 2 + z2

( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) 2

1. Penjumlahan Vektor

 = a x Ai + y A j  = b xB i + yB j   a + b= ( x A + x B )i + ( y A + y B ) j

1. Vektor Posisi pada Dimensi Dua

y

  a + b=

2   2 a + b + 2 a b cos α



   x1  OP= p=    y2  x1

 = p

2

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN VEKTOR

VEKTOR POSISI DAN PANJANG VEKTOR

 p

Panjang Vektor

 p

 d

Keterangan: a. Tanda positif (+): arah vektor ke kanan atau ke atas b. Tanda negatif (−): arah vektor ke kiri atau ke bawah.

y1

y

x1

3. Penyajian Vektor pada bidang kartesius



x     1  OA= a=  y1  z   1

z1

y= bi + ej

2. Pengurangan Vektor

 = a x Ai + y A j  = b xB i + yB j   a − b= ( x A − x B )i + ( y A − y B ) j

x

  a − b=

38

2   2 a + b − 2 a b cos α

2

Vektor PERKALIAN VEKTOR

b. Titik pembagi berada setelah ruas garis

1. Sifat-sifat perkalian   a. ka = ak   b. k −a = −k a

( )

m

()

( )

  AP : BP = m : n  m ⋅ B + ( −n) ⋅ A p=   m−n AP : PB = m : −n

)

2. Sifat-sifat Perkalian Dua Vektor     a. a ⋅ b = b ⋅ a

       b. a ⋅ b + c = a ⋅ b + a ⋅ c

(

P n

  d. ( km ) a = k ma , k , m ∈ R    e. ( k + m ) a = ka + ma , k , m ∈ R     f. k a + b = ka + kb

(

B

A

  c. ka = k a

)

      c. k a ⋅ b = ka ⋅ b = a ⋅ kb

( ) ( )

( )

  2 d. a ⋅ a =a

PEMBAGIAN/PERBANDINGAN VEKTOR 1. Perbandingan Vektor di Dalam

B

n

CONTOH SOAL PEMBAHASAN 1. Titik sudut segitiga PQR adalah P(3, 0, 6), Q(0, −3, −3), dan R(1, 0, −4). Titik A membagi PQ di dalam dengan perbandingan 1 : 2. Titik B merupakan titik yang berada di tengah-tengah ruas garis PR. Sedangkan titik C membagi QR di luar dengan perbandingan 2 : 1. Nilai perbandingan panjang AB : BC adalah .... A. 1 : 3 D. 2 : 1 B. 3 : 1 E. 2 : 3 C. 1 : 2

Pembahasan:

Ilustrasi segItiga pada soal dapat dilihat pada gambar di bawah. Q(0, 3, −3)

m

P

 m ⋅B + n ⋅ A p= m+n

A

2. Perbandingan Vektor di Luar a. Titik pembagi berada sebelum ruas garis m

1

P(3, 0, 6)

A

B

C

A= A= A =

39

R (1, 0, −4)

1 −1

A=

 −m ⋅ B + n ⋅ A p= −m + n

1

Mencari titik koordinat A:

n

  PA : PB = m : n   AP : PB = −m : n

2



B

P

2

A

2 ( 3,0,6 ) + ( 0,3, −3 ) 2 +1 ( 6,0,12 ) + ( 0,3, −3) 3 ( 6 + 0,0 + 3,12 + ( −3)) 6,3,9 ) (= 3

3

( 2,1,3)

Vektor Mencari titik koordinat B: Sehingga, perbandingan AB : BC adalah

( 3,0,6 ) + (1,0, −4 ) B= B= B =

AB 5 = BC 3 5 AB 1 1: 3 = → AB : BC = BC 3

1+ 1 ( 3 + 1,0 + 0,6 + ( −4)) 4,0,2 ) (= 2

2

( 2,0,1)

Jawaban: A

Mencari titik koordinat C: C= C= C=



C=

2 (1,0, −4 ) + ( −1) ( 0,3, −3 ) 2 −1 ( 2,0, −8 ) + ( 0, −3,3) 1 ( 2 + 0,0 − 3, −8 + 3) 1 ( 2, −3, −5 ) 1

=

( 2, −3, −5 )

Panjang AB: AB= B − A

( 2,0,1) − ( 2,1,3) AB = ( 2 − 2,0 − 1,1− 3 ) AB= ( 0, −1, −2 )

= AB

AB =

02 + ( −1)2 + ( −2)2

AB=

0 + 1+ 4=

5 satuan

Panjang BC: BC= C − B BC = BC = BC =

( 2, −3, −5 ) − ( 2,0,1) ( 2 − 2, −3 − 0, −5 − 1) ( 0, −3, −6 )

BC =

02 + ( −3)2 + ( −6)2

BC =

0 + 9 + 36

BC =

45 =

9 × 5 = 3 5 satuan

40

Statistika dan Peluang STATISTIKA

• Desil

1. Mean, Median, dan Modus Data Kelompok a. Mean: rata-rata

= Di data ke −

x f + x f + ... + x n fn x= 11 2 2 f1 + f2 + ... + fn

• Persentil

= Pi data ke −

n

.. + xnfn atau x . + fn

∑x f i =1 n

b. Data Kelompok • Kuartil

i

 i  4 n − fk Q=i Tb +   fi 

b. Median: nilai tengah data setelah diurutkan

1  2 n − fk Me = Q= Tb +  2  fi 

  p  

  p  



c. Modus: nilai yang paling sering muncul (mempunyai frekuensi paling tinggi).



i (n + 1) 100

i i

∑f i =1

i (n + 1) 10

• Desil

 i  10 n − fk D=i Tb +  fi  

 d1  Mo = Tb +  p  d1 + d2 

  p  

• Persentil

 i  100 n − fk = Pi Tb +  fi  

2. Rumus Kuartil, Desil, dan Persentil a. Data Tunggal • Kuartil Jenis Kuartil

Rumus Kuartil Data Tunggal

Kuartil Bawah

Q1 = x 1

Kuartil Tengah

Q2 = x 1

Kuartil Atas

Q3 = x 3

4

2

4

(n+1)

(n+1)

(n+1)

  p  



PELUANG 1. Permutasi a. Rumus Permutasi k unsur dari n unsur

= n Pk

41

n! , k ≤n n − k ! ( )

Statistika dan Peluang b. Rumus Permutasi a dan b unsur dari n unsur

P=

2. Perhatikan tabel di bawah!

n! a!b!

c. Permutasi siklik

P=

(n − 1) !

2. Kombinasi

= n Ck

n! = (n − k ) !k !

P , k ≤n k!

4

55 – 59

6

60 – 64

8

65 – 69

10

70 – 74

8

75 – 79

4

Kuartil atas = Q3 Jumlah data = 4 + 6 + 8 + 10 + 8 + 4 = 40

1. Dalam sebuah kotak ada 4 bola merah dan 3 bola hitam. Dari dalam kotak tersebut diambil satu buah bola pertama dan satu buah bola kedua secara berturut-turut tanpa pengembalian. Peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua putih adalah ....



2 5 3 E. 5

3 Letak kuartil atas (Q3) pada data ke = × 40 =30 4 Perhatikan tabel yang sudah dilengkapi dengan frekuensi komulatif kurang dari (fkk) dan letak kuartil atas.

D.

panjang kelas (p = 5)

Pembahasan:

A : kejadian terambilnya sebuah bola merah pada pengambilan pertama 4 P(A) = 7 B : kejadian terambilnya sebuah bola hitam pada pengambilan kedua 3 1 P (B | A = ) = 6 2 Dengan demikian peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua hitam adalah:

Berat Badan

Frekuensi

fkk

50 – 54

4

4

55 – 59

6

10

60 – 64

8

18

65 – 69

10

28

70 – 74

8

36

75 – 79

4

40

fkk sebelum kelas Q3 Letak Q3 fi = 36

Tb = 70 – 0,5 = 69,5

Sehingga, nilai kuartil atasnya adalah: 3   4 ·40 − 28  Q3 = 69,5 +  ×5 36      30 − 28  Q3 =+ 69,5  ×5  36   2  Q3 =69,5 +   × 5  36  Q3 = 69,5 + 0,28 = 69,78

P (A ∩ B) = P(A)·P (B | A )



50 – 54

Pembahasan:

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

2 7 3 B. 7 5 C. 7

Frekuensi

Kuartil atas dari data pada tabel adalah .... A. 69,50 C. 70,08 E. 71,08 B. 69,78 D. 70,78

n k



A.

Berat Badan

4 1 P ( A ∩ B ) =· 72 2 P (A ∩ B) = 7

Jawaban: B Jawaban: A

42