Matematika Fisika

Tugas 1 Mata kuliah NASB Kelompok Gina Lailatul M

070811

Puji Astuti

070834

Triana Dewi P

060510

Kelas 7 B Aplikasi Persamaan Legendre

MATEMATIKA FISIKA Persamaan diferensial

(1 − x ) y"−2 xy'+ p( p + 1) y = 0 2

………..(*)

di mana p suatu konstanta, disebut persamaan Legendre,. Penyelesaian (*) sangat penting dalam banyak cabang matematik terapan. Sebagai contoh, persamaan Legebdre muncul dalam kajian persamaan potensial dalam koordinat bola. Jelaslah, persamaan potensial ∂2V ∂2V ∂2V + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

dipetakan ke koordinat bola x = r sin θ cos φ

, y = r sin θ sin φ , z = cos θ

Menjadi ∂ 2V 2 ∂V 1 ∂ 2V cot θ∂V 1 ∂ 2V + + + + =0 r ∂r ∂r 2 r 2 ∂θ 2 r2 r 2 sin 2 θ ∂φ 2

Jika kita tertarik pada penyelesaian yang bebas dari θ berbentuk V = r pθ , dimana θ merupakan fungsi dari θ saja, kita dapatkan d 2Θ dΘ + cot θ + p ( p + 1) Θ = 0 2 dθ dθ

Dengan menggunakan penggantian peubah x = cos θ dan mengganti θ dengan y, kita peroleh persamaan Legendre (*). Jika p bilangan bulat tak negatif, salah satu penyelesaian dari Persamaan (*) di sekitar titik biasa x = 0 berbentuk 0

polinom. Bila dinormalkan secara tepat (seperti yang akan kita jelaskan di bawah in), penyelesaian berbentuk polinom Legendre.