Matematika Finansial: Time Value Of Money

CATATAN KULIAH 2009 MATEMATIKA KEUANGAN: TIME VALUE OF MONEY Jose Rizal Joesoef

1. Pendahuluan ................................................................................................................... 2 2. Simple Value ...................................................................................................................... 2 3. Compound Value ............................................................................................................... 2 4. Nominal Rate versus Effective Rate ................................................................................. 3 5. Discounting ....................................................................................................................... 4 6. Annuity ............................................................................................................................. 5 6.1. Future Value of Annuity ............................................................................................ 5 6.2. Present Value of Annuity ........................................................................................... 6 7. Penutup ............................................................................................................................ 7

Abstrak Formula finansial bukan “turun dari langit”, melainkan dari proses matematis yang logis. Artikel ini mengajak mahasiswa untuk tidak berpikir mekanistis dengan berusaha menghafal formula-formula finansial, melainkan mengajarkan mahasiswa bagaimana menderivasi teori time value of money.

1. Pendahuluan Teori time value of money berangkat dari kenyataan bahwa ada pihak yang menunda konsumsi dan ada pihak yang menyegerakan konsumsi. Pihak pertama merasa bahwa hari esok lebih berharga ketimbang hari ini, sementara pihak kedua berpendapat sebaliknya. Ketika kedua pihak melakukan transaksi, maka transaksi itu akan menimbulkan konsekuensi-konsekuensi. Kata orang, there is no free lunch. Artinya, pihak pertama akan membebani kewajiban kepada pihak kedua, sebagai konsekuensi dari penggunaan sumber daya milik pihak pertama. Sehubungan dengan kenyataan di atas, ekonomika telah memasok alat teknis (technical assitance) kepada kedua pihak yang terlibat transaksi di atas. Oleh karena itu, di sini hendak diuraikan beberapa peralatan teknis untuk membantu transaksi finansial. Artikel ini tidak bermaksud mengajak kita untuk berpikir mekanistis dengan berusaha menghafal formula-formula finansial, tapi hendak menonjolkan pemikiran-pemikiran logis tentang teori time value of money. Sebab, pemikiran logis terhadap teori ini di samping berguna untuk menghitung nilai ekonomis “komoditi” finansial, teori ini juga berguna untuk menilai pertumbuhan atau deplesi sumber daya ekonomi lainnya .

2. Simple Value Katakanlah kita memiliki uang sebesar P , yang hendak dipinjamkan atau diinvestasikan dengan tingkat bunga per tahun r selama periode t . Pada akhir periode t = 1, atau akhir tahun, kita memperoleh penghasilan (gain) sebesar I = rP

[1]

Penghasilan ini diperoleh pada akhir periode. Sehingga total value uang kita setelah periode t adalah akumalasi P berikut bunganya, yakni

Ft = P + rPt

[2]

Ft = P(1 + rt )

[3]

atau

3. Compound Value Formula [3] dianggap tidak “modern,” karena bunga hanya dibebankan pada P , sehingga penghasilan setiap periode bersifat konstan (fixed). Kita kembali ke rumus [2], Ft = P + rPt . Jika periodenya 1 tahun, maka F1 = P + rP

[4]

2

Rumus [4] adalah value setelah periode 1. Pada periode 2 (akhir tahun kedua), tidak hanya P saja yang menghasilkan bunga, tapi juga F1 . Mari kita hitung bunga yang harus dibayar oleh F1 . rF1 = r( P + rP )

sehingga rF1 = rP + r 2 P

[5]

Rumus [5] ini hanya menunjukkan penghasilan bunga saja. Setelah periode 2 atau F2 , value uang kita adalah F2 = F1 + rF1 F2 = P + rP + rP + r 2 P F2 = P + 2rP + r 2 P F2 = P(1 + 2r + r 2 ) sehingga F2 = P(1 + r )2

[6]

Bentuk umum rumus [6] adalah

Ft = P(1 + r )t

[7]

Rumus [7] ini disebut dengan compound value, bandingkan dengan rumus [3] di atas.

4. Nominal Rate versus Effective Rate Mari kita sepakati dulu proposisi berikut: Jika i adalah tingkat bunga tahunan nominal (nominal annual rate), dan h adalah jumlah pemajemukan (compounding) dalam satu tahun, maka rate periode terpendek dalam satu tahun adalah i / h . Satuan h ini bisa semester, kuartal, minggu, hari, jam, menit, dsb. Dengan demikian, rate bulanan adalah i / 12 , kuartalan i / 4 , mingguan i / 52 , dst. Di sini hendak dibeberkan bagamana mencari formula tingkat bunga efektif. Misalkan dalam satu tahun, uang kita dimajemukkan 2 kali. Setelah 6 bulan pertama, kita memperoleh

F1/ 2 = P(1 + i 2) Pada akhir tahun, atau setelah 6 bulan kedua, nilai uang kita menjadi

3

F1 = F1/ 2 (1 + i 2) F1 = P(1 + i 2)(1 + i 2) F1 = P(1 + i 2)2

[8]

Jika uang kita dimajemukkan h kali dalam setahun, maka rumus [8] menjadi F1 = P(1 + i h)h

[9]

Selama uang kita berlipat h kali dalam setahun ( t = 1 ) sehingga menjadi F1 , maka kita memperoleh rumus umum berikut Ft = P(1 + i h)th

[10]

Dari rumus [10] nampak bahwa bunga nominal menjadi tidak relevan lagi. Itulah sebabnya diperlukan pembedaan antara actual atau effective rate dengan nominal rate. Bagaimana menemukan formula tingkat bunga efektif, ketika uang kita tumbuh lebih dari sekali dalam setahun? Upaya ini mudah dilakukan dengan “menubrukkan” rumus [7] dengan rumus [10], yakni

P(1 + r )t = P(1 + i h)th (1 + r )t = (1 + i h)th Jika t = 1 , maka (1 + r ) = (1 + i h)h sehingga r = (1 + i h)h − 1

[11]

Rumus [11] menunjukkan tingkat bunga aktual atau efektif, jika uang kita berlipat lebih dari sekali dalam setahun.

5. Discounting Pendiskontoan adalah prosedur untuk menemukan nilai sekarang (present value) suatu pembayaran yang hendak diterima di masa datang. Proses ini kerap disebut discounting to the present. Formula present value merupakan kebalikan dari rumus [7], yakni: P=

Ft (1 + r )t

[12]

4

6. Annuity Anuitas merupakan suatu deretan pembayaran (cicilan, setoran, atau pendapatan) yang dilakukan pada akhir periode (tahunan, bulanan, mingguan, dsb), dengan jumlah tetap, untuk selama periode tertentu. Anuitas mempunyai beberapa karakteristik yang sering dijadikan sebagai asumsi, yakni: Jumlah pembayaran ( A ) bersifat konstan Suku bunga ( r ) juga konstan Ada interval waktu tertentu Pembayaran dilakukan pada setiap periode tertentu ( n ) Pembayaran dilakukan pada tiap akhir periode, sehingga cicilan atau setoran di akhir periode n tidak dibebani bunga.

6.1. Future Value of Annuity Misalkan kita hendak menganalisis nilai majemuk di masa akan datang ( F ). Simbol t kita hilangkan, sejauh yang dibidik hanya satu future valuesuatu waktu pada akhir periode sepanjang n . Pembayaran atau cicilan yang terakhir tidak menghasilkan bunga, namun perolehan atau cicilan sebelum itu, menghasilkan bunga 1 periode, 2 periode, 3 periode, dst. Jadi, F = A(1 + r )n−1 + A(1 + r )n− 2 + ... + A(1 + r ) + A

[13]

Untuk menemukan jumlah future value, kalikan rumus [13] dengan (1 + r ) F(1 + r ) = A(1 + r )n + A(1 + r )n−1 + ... + A(1 + r )2 + A(1 + r )

[14]

Kemudian, rumus [14] dikurangi rumus [13] F(1 + r ) - F = A(1 + r )n - A Hasilnya,

 (1 + r )n − 1  F=A   r  

[15]

Jika pembayaran atau cicilan lebih dari sekali dalam setahun, dengan merujuk pada rumus [10], maka bentuk umum dari rumus [15] adalah:

5

 (1 + i / h)th − 1  F=A   i/h  

[16]

6.2. Present Value of Annuity Ini merupakan kebalikan dari nilai majemuk. Konsep present value pada dasarnya menghitung berapa besar nilai suatu jumlah uang saat sekarang atas sejumlah uang yang akan kita terima pada waktu yang akan datang, dengan rate tertentu (lihat rumus [12]). Jadi ketika kita membeli suatu anuitas atau investasi yang menjanjikan cash flow tertentu ( A ), selama periode ( n ), maka present value anuitas/investasi hanyalah merupakan jumlah deretan pembayaran yang didiskonto pada tingkat bunga tertentu ( r ), yaitu: P=

A A A + + ... + 2 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r )n

[17]

Kalikan rumus [17] dengan (1 + r ) A A + + ... (1 + r ) (1 + r )2 A + [18] (1 + r )n-1

P(1 + r ) = A +

Jika rumus [18] dikurangi rumus [17], maka pasti akan menjadi

A (1 + r )n A Pr = A − (1 + r )n

P(1 + r ) − P = A −

 1  Pr = A 1 − n  (1 + r )  Sehingga

 1 − 1 (1 + r )n  P=A   r  

[19]

Sedangkan bentuk umum rumus [19] adalah

 1 − 1 (1 + i / h)th  P=A   i/h  

[20]

6

7. Penutup Hampir semua formula-formula finansial diturunkan melalui proses logika-matematika. Kita menjadi tahu bahwa formula tersebut bukan “turun dari langit”, melainkan dari proses derivasi yang logis. Logika ini penting untuk diketahui, mengingat formula-formula tersebut tidak hanya bermanfaat bagi perhitungan pertumbuhan atau penyusutan suatu instrumen finansial, tetapi juga bagi perhitungan sumber daya ekonomi seperti kehutanan, pertambangan, perikanan, dll. Semoga artikel ini bermanfaat.

7