Matematika 2.docx

nPr, P(n,r),

𝑛!

P(n,r), Pnr , atau (𝑛−𝑟)! Pn

3!

P23 = (3−2)! 3!

= 1! =

3𝑋2𝑋1 1

= 6 buah (𝑟 ≤ 𝑛) 𝑛! 𝑛1 ! 𝑛2 ! 𝑛3 ! 𝑃= =

𝑛! 𝑘!

PERMUTASI Nama Kelompok 1. Arsa Almera Adzani 2. M. Bintang 3. Udin Prabowo 4. Yashinta Affandi

Permutasi merupakan pengembangan dari aturan perkalian. Untuk menentukan nilai suatu permutasi dapat dilihat beberapa kondisi berikut

A. Kondisi 1 Suatu permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan adalah penempatan r unsur itu dalam suatu urutan (𝑟

≤ 𝑛) dan dinyatakan dalam notasi nPr, P(n,r), P(n,r), Pnr , atau nPr. Nilai Pnr

dditentukan oleh formula berikut

𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2). . . (𝑛 − 𝑟 + 1)

𝑃𝑟𝑛 = 𝑛! (𝑛−𝑟)!

Hal khusus:

𝑛

Untuk r = n maka: 𝑃𝑟

= n(n-1)(n-2) . . . 3 . 2 . 1 = n!

𝑃𝑟𝑛 sering ditulis 𝑃𝑛 dan dibaca: permutasi n unsur •

Contoh 1: Banyaknya permutasi huruf abjad: a, b, dan c yang diambil 2 unsur adalah:

3 P2 =

3! (3−2)! 3!

=

1! 3𝑋2𝑋1

=

1

= 6 buah

Contoh 2: Berapa kendaraan yang dapat diberikan plat nomor polisi dari angka 1, 2, 3, 4, 5 tanpa ada angka yang berulang, apabila tiap nomor terdiri dari 5 angka? Diketahui :𝑛 = 5, yaitu 1, 2, 3, 4, dan 𝑟 = 5

𝑃55 = 5! = 5x4x3x2x1 = 120

B. KONDISI 2 1. Jika diketahui n unsur, diantaranya ada k unsur yang sama (𝑘

≤ 𝑛), maka banyaknya

permutasi yanga berlainan dari n unsur tersebut ditentukan oleh formula:

𝑛! 𝑃= 𝑘! 2. Jika dari n unsur yang tersedia terdapat 𝑛1 unsur yang sama, 𝑛2 unsur yang sama, dan 𝑛3 unsur yang sama, maka banyaknya permutasi yang berlainan dari 𝑛 unsur itu ditentukan oleh formula:

𝑛! 𝑛1 ! 𝑛2 ! 𝑛3 !

•

dengan 𝑛1

+ 𝑛2 + 𝑛3 ≤ 𝑛

Contoh 1: Perkataan “ADA” terdiri atas tiga huruf dengan 2 huruf yang sama, yaitu:

A1DA2

DA2A1

A1A2D

A2DA1

DA1A2

A2A1D

Jika indeks 1 dan 2 dihapus, mka terdapat 3 permutasi yang berlainan yang sesuai dengan

𝑃=

3! 3 . 2 . 1 = =3 2! 2. 1

Contoh 2: Dari kata “MATEMATIKA” dapat disusun permutasi sebanyak

𝑃= =

10! 3! 2! 1! 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 3. 2. 1. 2. 1. 2. 1

𝑃 = 151.200 susunan

C. KONDISI 3 1. Permutasi Siklis Bila tersedia unsur 𝑛 berbeda, maka banyak permutasi siklis dari 𝑛 unsur itu ditentukan oleh formula:

𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (n − 1) 2. Permutasi Berulang Bila tersedia unsur 𝑛 unsur berbeda, maka banyak permutasi berulang

𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛

unsur yang tersedia ditentukan oleh formula:

𝑃𝑏𝑒𝑟𝑢𝑙𝑎𝑛𝑔 = 𝑛𝑟

•

, dengan 𝑟

≤𝑛

Contoh 1: Diketahui ada 5 orang akan menempati 5 kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Unsur Berapa

banyak susunan yang dapat terjadi?

Banyak unsur = 5, maka permutasi siklis dari 5 unsur itu adalah:

𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (5 − 1)! = 4! 𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = 24.

•

Contoh 2: Diketahui angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 akan dibentuk bilangan-bilangan yang terdiri dari 3 angka

dengan angka-angka boleh berulang. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk? Unsur yang tersedia 𝑛 = 6, unsur yang dipilih 𝑟 = 3, maka

𝑃𝑏𝑒𝑟𝑢𝑙𝑎𝑛𝑔 = 63 =6𝑥6𝑥6 = 216