Matematika 1 Seminarski Rad.docx

EVROPSKI UNIVERZITET DISTRIKT BRČKO

SEMINARSKI RAD IZ MATEMATIKE

TEMA : RELACIJA PORETKA

Profesor: Doc. dr. sc. Sead Rešić

Brčko 15.10.2015

Student: Jovic Milenko

SADRŽAJ

Uvod..........................................................................................................3 1. Relacija poretka..................................................................................4 1.1. Podjela.......................................................................................4 1.2. Definicija...................................................................................4 2. Osnovne relacije poretka....................................................................5 2.1. Skupovi relacija.........................................................................5 2.2. Zadatak 1...................................................................................7 2.3. Zadatak 2...................................................................................8 Zaključak...................................................................................................9 Literatura.................................................................................................10

2

UVOD Matematika je širok pojam u kojoj ima bezbroj oblasti, zadataka, formula. U ovom radu ćemo proučavati jednu matematičku oblast-relacija poretka, ispisaćemo njene osnovne formule, principe postavke i postupke rješavanja zadataka. U narednom tekstu cemo vidjeti od čega se sastoji relacija kako se djeli i osobine. Podjsetićemo se na neke pojmove vezano za skupove, koji su nam potrebni za uvođenje pojma relacije. Relacija u matematici je neprazan podskup Descartesovog produkta skupa.

3

1. RELACIJA PORETKA

1.1. Podjela Osnovne 3 osobine relacije poretka su: 1. Refleksivnost: (∀𝑥) 𝑥𝑝𝑥. Drugim riječima, data reakcija je refleksivna ako i samo ako je svaki element u reakciji sa sobom. 2. Antisimetričnost (∀𝑥, 𝑦) 𝑥𝑝𝑦 ˄ 𝑦𝑝𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑦. Drugim riječima, ako u datoj relaciji imamo oba poretka jednog para elemenata , onda ih ne mozemo imati na način da to mora biti samo jedan element ( taj je u relaciji sam sa sobom ). 3. Tranzitivnost : (∀𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑥𝑝𝑦 ˄ 𝑦𝑝𝑧 ⇒ 𝑥𝑝𝑧 . Ako je prvi element u relaciji sa drugim, drugi sa trećim, onda mora biti i prvi sa trećim. Relacija poretka je samo ona koja ima osobine RAT ( Refleksivnost, Antisimetričnost, Tranzitivnost ).

1.2. Definicija Umesto "relacije poretka" često kažemo i parcijalno uređenje ili samo uređenje. Za skup A se kaže da je A uređen relacijom 𝟈, a par (A, 𝟈) se zove parcijalno uređeni skup, ili samo uređeni skup. Za označavanje uređenja na skupovima najčešće koristimo oznaku ≤, koju koristimo i za standardna uređenja brojeva. Relacija poretka su, uz relacije ekvivalencija, najrašireniji tip relacija u matematici. One služe da pomoću njih "upoređujemo" ili "uređujemo"elemente skupa A, tj. da formiramo neki "poredak" u skupu A, odakle potiču i nazivi za te relacije. 4

Prefiks "parcijalno" služi da se ukaže na to da u uređenom skupu mogu da postoje i elementi koji se mogu međusobno uporediti, tj. međusobno su neuporedivi .

2. Osnovne relacije poretka 2.1.Skupovi relacija a) Relacije poretka na skupu prirodnih brojeva N su relacije ≤ ( manje ili jednako ),

| (dijeli).

Analogno definisana, relacija ≤ je relacija poretka i na drugim skupovima brojeva: Z (cijeli broj), q (racionalni brojevi) i R (realni brojevi). Dakle, (n,≤), (n,|), (z,≤), (q,≤) i (r,≤) su uredjeni skupovi. b) I ako je relacija poretka na skupu prirodnih brojeva, analogno definisana relacija na skupu cijelih brojeva nije relacija poretka jer nije antisimetrična. kao što smo već rekli, za svaki cijeli broj 𝑛 ≠ 0 je – 𝑛 | 𝑛 i 𝑛 | – 𝑛, i pri tome je – 𝑛 ≠ 𝑛. c) Na partitivnom skupu P (A) proizvoljnog skupa A, inkluzija ⊆ je relacija poretka . Uređeni skup (P (A), ⊆ ) je primjer uređenog skupa u kome ima neuporedivih elemenata. Na primjer, bilo koja dva disjunktna podskupa od A su međusobno neuporedivi. Lako je naći primjer i skupove koji imaju neprazan presjek, a neuporedivi su, tj., ni jedan od njih nije podskup od ovog drugog. d) Relacija < (strogo manje) nije uređenje ni na jednom od skupova N, Z, Q i R, Jer nije refleksivna. Relacija uređenja 𝜌 u skupu X označavamo sa " ≤ " i umjesto 𝑥𝜌y pišemo x ≤ y. Ako je x ≤ y ˄ x ≠ y tada pišemo x < y . Ako za dva elementa x,y ∈ 𝑋 vrijedi x ≤ y ili x < y za elemente x,y se kaže da su uporedivi. Ako su svaka dva elementa skupa X uporediva, za skup X se kaže da je potpuno 5

ili totalno uređen. Za skup X se kaže da je dobro uređen ako svaki njegov neprazan podskup ima svoj početni element. Neka je A uređen skup i X ⊂ A, X ≠ ∅. Ako za neko a ∈ A vrijedi ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ) a ≤ x tada se za a kaže da je donje ograničenje ili minoranta skupa X. Ako za neko b ∈ 𝐴 vrijedi (∀𝑥 ∈ 𝑋) 𝑏 ≥ x tada se za b kaže da je gornje ograničenje ili majoranta skupa X.

Ako minoranta a ( majoranta b ) skupa X pripada skupu X onda kažemo da je a minimum ( b maksimum) skupa X. To pišemo a = min X ili a = min x, x∈X

odnosno : b = max X ili b = max x. x∈𝑋

Ako skup svih minoranata skupa X ima maksimum a, tada se za a kaže da je infimum skupa X i piše se a = inf X ili a = inf x x∈𝑋

Ako skup svih majoranata skupa X ima minimum b, tada se za b kaže da je supermum X i piše se b = sup X ili b = sup x. x∈𝑋

Za skup X kaže se da je ograničen ako ima majorantu i minorantu.

6

2.2. Zadatak 1

Data je relacija 𝟈 = {(2,2) , (2,3), (5,3)} na skupu A = {1,2,3,4,5} Odrediti najmanju relaciju poretka na A koja sadrži relaciju 𝟈 Rešenje : Relacija 𝟈 se može zadati

sledećim grafom : Relacija 𝟈 je antisimetrična, jer nema parova oblika (x,y) i (y,x) , i tranzitivna, jer nema parova oblika (x,y) i (y,z) pa se najmanja relacija poretka koja sadrži 𝟈 dobija samo refleksivnim zatvaranjem.

Relacija 𝟈

Najmanja relacija poretka koja sadrži 𝟈 7

2.3. Zadatak 2

Odrediti koliko ima relacija poretka nad skupom P = {1,2,3}. Svaki od tih relacija poretka možemo predstaviti Haseovim dijagramom. I ovdje imamo 5 različitih tipova relacije poretka.

Relacija poretka tipa 𝑇1 ima 3! = 6 (jer svakoj permutaciji brojeva 1,2,3 odgovara jedna relacija poretka). Relacija poretka tipa 𝑇2 ima (31) = 3 (jer element b možemo odabrati od 3 broja 1,2,3 na 3 različita načina ; izborom b smo odredili i a i c). Relacija poretka tipa 𝑇3 ima (31) = 3 (jer element b možemo odabrati od 3 broja 1,2,3 na 3 različita načina ; izborom b smo odredili i a i c ). Relacija poretka tipa 𝑇4 ima (31) · 2! = 6 (jer element c možemo odabrati od 3 broja 1,2,3 na 3 različita načina, a zatim elemente a i b možemo urediti na 2 načina ). Relacija poretka tipa 𝑇5 ima (33) = 1. Dakle ukupno ima 19 relacija poretka na skupu {1,2,3}.

8

Zaključak

Kao sto smo vec rekli i u uvodu ,u ovom radu smo se bavili jednom matematičkom oblasti- relacija poretka. Ovdje smo ispitali dva primjera i napisali sve predznake koji su nam bili potrebni za relaciju poretka. Relacija poretka je samo ona koja ima osobine RAT ( Refleksivnost, Antisimetričnost, Tranzitivnost). Relacija poretka su, uz relacije ekvivalencija, najrašireniji tip relacija u matematici,s tim da za relaciju ekvivalencije postoji mnogo vise primera,tj.zadataka za razliku od relacije poretka. Ovim radom smo jos ispitali i gdje se koristi relacija poretka i kada je to moguće a kada ne. Na kraju smo odradili i dva primjera iz relacije poretka koji su pronadjeni na internt stranicama: www.pmf.ni.ac.rs/pmf/predmeti/1001/ML-P06-R-2pdf, math.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/DMS-06-07-08.pdf. U drugom primjeru smo dobili da u skupu {1,2,3 } ima 19 relacija poretka .

9

Literatura 1. Prof. Dr. Sabahet Drpljanin (Matematika) Univerzitet u tuzli 2. www.pmf.ni.ac.rs/pmf/predmeti/1001/ML-P06-R-2pdf 3. math.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/DMS-06-07-08.pdf 4. www.wikipedia.com

10