Matematik Jeodezi

GAUSS-KRÜGER PROJEKSİYONUNDA KOMŞU DİLİMLER ARASINDA KOORDİNAT DÖNÜŞÜMÜ Dilim dönüşümü için en genel olarak dolaylı dönüşüm yöntemi ile önce I.sistemde verilen (Yg,Xg) Gauss-Krüger koordinatlardan noktanın elipsoidal coğrafi koordinatları (B,L) hesaplanır. Daha sonra bu coğrafi koordinatlardan noktanın II. Sistemdeki Gauss-Krüger koordinatları yukarıda verilen eşitliklerden yararlanılarak hesaplanır. Örnek: Gauss-Krüger koordinatları Lo =33o sisteminde xg = 4891657.885m yg = -164938.865m olarak verilen noktanın Lo =30o derece dilimindeki Gauss-Krüger koordinatlarını bulunuz. Çözüm : önce yukarıdaki eşitliklerden noktanın coğrafi koordinatları bulunur. BF = 44.1597077 o B = 44 o08’ 27.9929” L = 30 o 56’ 19.6154” Bulunan bu coğrafi koordinatlardan yine yukarıdaki eşitliklerden noktanın 30 derece dilimindeki Gauss-Krüger koordinatları aşağıdaki gibi bulunur. xg = 4890019.857m yg = +75121.031m

DOĞAL KOORDİNATLAR İLE ELİPSOİDAL KOORDİNATLAR ARASINDAKİ İLİŞKİ (Φ , Λ , H) doğal koordinatlarından (B,L,h) elipsoidal koordinatlarının eldesi için, B=Φ -ξ L = Λ - η sec B h=H+N eşitlikleri kullanılır. Burada ξ ve η ilgili noktalardaki çekül sapması bileşenleridir. Φ , Λ : P noktasının astronomik enlem ve boylamı B , L : P noktasının elipsoidal (coğrafi) enlem ve boylamı θ =

ξ2 + η2

: P noktasındaki çekül sapması

ξ

= Φ - B : çekül sapmasının güney-kuzey doğrultusundaki bileşeni

η

= (Λ - L)cosB : çekül sapmasının doğu-batı doğrultusundaki bileşenini

göstermektedir.

Bir Pi noktasındaki θ çekül sapmasının α açıklık açısındaki bir doğrultudaki bileşeni ε

α

= ξ i cos α + η i sin α

şeklinde hesaplanır. Bir noktada bağıl çekül sapması θ , ya da bunun güney-kuzey doğrultusundaki ξ bileşeni ile doğu-batı doğrultusundaki η bileşeni biliniyorsa, i durulan nokta, k bakılan nokta indisi olmak üzere ölçülen doğrultu açısına çekül sapması nedeniyle getirilecek düzeltme (∆ rik)ç = η

i

tan Bi + (ξ i sin α

ik

- η i cos α ik)

hk − hi S ik

eşitliği ile verilmiştir. Burada h, ilgili noktaların denizden yüksekliği, S iki nokta arasındaki uzaklık, α ik doğrultunun azimutu, Bi ise Pi noktasının elipsoidal enlemidir. Bu indirgeme Hedef Noktası Yükseltisi Nedeniyle Uygulanacak İndirgeme

(∆ rik)h =

e 2 hk sin α 2 a

ik

cosBi

eşitliği ile verilmiştir.

Normal Kesit Eğrisinden Jeodezik Eğriye Geçiş İndirgemesi

(∆ rik)j =

e2 s 2 sin 2α 12 a 2

ik

cosBi

eşitliği ile verilmiştir. Ancak kenar uzunluklarının 100km. yi geçmediği hallerde indirgeme değeri , ihmal edilebilecek bir değer olan 0.01'' nin altında kalır. Özet olarak fiziksel yeryüzünde ölçülen yatay doğrultuları elipsoid yüzeyine indirgemek için; Çekül sapması indigemesi, Hedef noktası yüksekliği indirgemesi ve Normal kesit eğrisinden

Ölçülen Uzunlukların Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi

Fiziksel yeryüzünde Pi ve Pk gibi iki nokta arasında EUÖ ile ölçülen ve meteorolojik düzeltme getirilmiş l eğik uzunluğu önce deniz yüzeyideki lo kiriş uzunluğuna ardından da istenen S uzunluğu elde edilir. İndirgeme işlemi aşağıdaki eşitlikle gerçekleştirilir.

l0 =

l 2 − (hk − hi ) 2 h h (1 + i )(1 + k ) R R

l S = 2R arcsin ( 0 ) 2R

burada;

l

Pi

hi = H D + I E hk = H B + TP

Pk Yeryüzü hk

hi

S l0

HD : Durulan noktanın yüksekliği (Pi) IE : Elektronik uzunluk ölçer aletinin yüksekliği HB : Bakılan noktanın yüksekliği (Pk ) TP : Prizma (yansıtıcı, reflektör) yüksekliği l : Meteorolojik düzeltme getirilmiş eğik uzaklık l0 : Elipsoidin kiriş uzunluğu S : Elipsoid yüzeyine indirgenmiş uzaklık R = MN : Çalışma bölgesindeki gauss küresi yarıçapı

Elipsoid R

R

O

bu indirgeme ile bulunan deniz seviyesindeki S kenarının elipsoid yüzünede indirgenmesi gerekir. Bunun için bu bölgede elipsoidin jeoidden yüksekliğinin (N: jeoid yüksekliklerinin) bilinmesi gerekir. Bu yüksekliklerin bilinmesi fiziksel jeodezinin alanına giren oldukça güç bir sorundur. Buna karşılık genel kanıya göre bu indirgeme değerinin büyüklüğü pratikte rahatlıkla gözardı edilebilir miktardadır. Bu nedenle ölçülen kenarların elipsoid yüzündeki değeri yerine jeoid yüzündeki büyüklükleri ile alınır. Böylelikle elipsoid üzerinde normal kesit eğrisinin uzunluğu elde edilir. Normal kesit eğrisi (S) uzunluğundan jeodezik eğri (σ ) uzunluğuna geçiş

η o2 S 5 sin 2 2 A σ =S4 360 N o eşitliğinden yararlanılır. Ancak getirilecek bu düzeltme de son derece küçük olduğu için pratikte rahatlıkla göz ardı edilebilir.

Kenar uzunlukları 10km yi geçmeyen ağlarda ölçülen ( l ) eğik uzaklığın düşey açı (Z) ölçüsüyle ly = l sin Z yataya indirgenmiş uzunluk elde edildikten sonra S = ly (1-

H ) H +R

şeklinde deniz yüzeyine indirgenmiş uzunluk hesaplanır. Bu biçimde hesaplanan S uzaklığı elipsoid yüzeyindeki jeodezik eğrinin uzunluğu olarak alınabilir. Bu bağıntıda H = (Hi + Hk)/2 kenarın deniz düzeyinden ortalama yüksekliğini gösterir.

a−b ; a a 2 − b2 e2 = ; a2 a 2 − b2 2 ′ e = ; b2 f =α=

Dönel elipsoide ilişkin parametreler c = a2 / b Meridyen yönündeki eğrilik yarıçapı: Meridyene dik yöndeki eğrilik yarıçapı:

M = c / V3 N=c/V

V2 = 1+e’2 cos2B Soldner küresi yarıçapı Bo enleminde Soldner küresi yarıçapı Bo enleminde

R 0 = M0N0

Rs = N o

Normal kesit eğrilik yarıçapı

2

Parametreler Hayford Elipsoidi Büyük yarıeksen a 6 378 388m Küçük yarıeksen b 6 356 911.94613m Kutup noktası meridyen 6 399 936.60811m eğrilik yarıçapı c Basıklık f , α 1/297 = 0.00336703367 I.eksentrisite II.eksentrisite

e2 e’2

değeri alınır.

1 M sin A + N cos A = RA MN 2

0.00672 26700 22333 0.00676 81701 97224

Elipsoidde Meridyen Yayı Uzunluğu Hesabı:

WGS84 Elipsoidi 6 378 137.0000m 6 356 752.3141m 6 399 593.6258m 1/298.257223563=0.0033528106 0.00669437999013 0.00673949674227

Ekvatordan B enlemine kadar olan yay uzunluğu G = A' B + B' sin2B + C' sin4B + D' sin6B +... A' = 111 136 .536 655m/° C' = 16.9762m

B' = -16 107.0347m D' = -0.0223m

Meridyen Yayı Uzunluğundan Enlemin Belirlenmesi: Ekvatordan B enlemine kadar olan G yay uzunluğu verilmişse B = σ + B''sin2σ + C''sin4σ + D''sin6σ +... σ = G / A’ A' = 111 136.536 655m/°

B'' = 0.144 930 070°

C'' = 0.000 213 851°

D'' = 0.000 000 432°

Elipsoidde alan hesabı: kuşak alanı 1 3 5 z = 4πb2 (A ′ sin ∆B cos B m − B′ sin ∆B cos 3B m + C′ sin ∆B cos5B m 2 2 2 7 9 − D′ sin ∆B cos 7B m + E ′ sin ∆B cos 9B−...) 2 2

Böylece B1 ve B2 enlemli paralel daireleri arasındaki elipsoid yüzeyinin alanı hesaplanır. İstenen grid alanı F=z

∆L 360 o

B + B2 3 −B 1 ∆B = B B 5= 1 C ′ = 2 e 4 +1 e 6 + m e 8 +2... = 1.713934675 * 10 −6 80 16 64 1 2 3 4 5 6 35 8 A′ = 1 + e + e + e + e + ... = 1.003378378 2 8 16 128 1 3 3 35 8 B′ = e 2 + e 4 + e8 + e + ... = 1.128976273 *10 −3 6 16 16 192

D′ =

1 6 5 8 e + e + ... = 2.75262799 * 10 −9 112 256

E′ =

5 e 8 + ... = 4.432560872 * 10 −12 2304

Elipsoidal coğrafi koordinatlardan Global dik koordinatların hesabı,

(B, L, h) ⇒ (X, Y, Z) X = (N + h)cos B cos L Y = (N + h)cos B sin L

[

]

Z = ( 1− e2 ) N + h sin B

N=

( 1− e

2

a

sin2 B)

0.5

burada ; N meridyene dik doğrultudaki normal kesit eğrilik yarıçapı, a ve b sırasıyla elipsoidin büyük ve küçük yarı eksenleri e2 ise, e2 = (a2-b2) / a2 şeklinde hesaplanan birinci dışmerkezlik(eksantrisite) dir. Örnek : Elipsoidal koordinatları B = 39o , L = 40o ve h = 1200m. olarak verilen noktanın elipsoidal dik koordinatlarını hesaplayınız (Hayford elipsoidine göre).

N=

(1 − e

a

2

sin 2 B )

0.5

= 6386896 .14 m

X = ( N + h) cos B cos L = 3803014 .704 m. Y = ( N + h) cos B sin L = 3191108 .236 m.

[(

)

]

Z = 1 − e 2 N + h sin B = 3993138 .034 m.

Global dik koordinatlar verildiğinde elipsoidal coğrafi koordinatların hesabı, (X, Y, Z) ⇒ (B, L, h)

Y  L = arctan   X    Z Bi +1 = arctan   0 . 5 2 2 2  ( X + Y ) − e N cos B i i    Y h= −N ( sin L cos B )

(i = 0,1,2,....)

eşitlikleri ile gerçekleştirilir (Bektaş,S.,1991). B coğrafi enlemi yukarıdaki ikinci eşitlikten iteratif olarak hesaplanması gerekir. Bo yaklaşık değeri için Bo = arc tan (Z / (X2 + Y2 )0.5 ) değeri alınabileceği gibi her durumda sıfır değeri de alınabilir.

Örnek : Elipsoidal dik koordinatları X= 3803014.704m, Y= 3191108.236m ve Z= 3993138.034m. olarak verilen noktanın elipsoidal coğrafi koordinatlarını hesaplayınız (Hayford elipsoidine göre).

Y  L = arctan   = 40 o X   Bi +1 = arctan  2 2   X +Y

(

)

  − e 2 N i cos Bi  

Z 0.5

(i = 0,1,2,....)

Bo yaklaşık değeri için Bo = 00 değeri alınırsa Bo = 0o→B1 = 39.05443939o→B2 = 38.99985402o→B3 = 39.00000039o→B4 = 39o Elipsoidal boylam L ve elipsoidal enlem B değeri yukarıdaki gibi bulunduktan sonra h elipsoidal yüksekliği h=

Y − N = 1200 m ( sin L cos B )

şeklinde bulunur.

Elipsoidde Enlem Çeşitleri: Elipsoid üzerinde coğrafi enlemin yanında, çeşitli amaçlarla başka enlemler de tanımlanmıştır. Bunlar; coğrafi enlem (B), indirgenmiş enlem (β ), jeosentrik enlem (γ ) ve izometrik enlem (q) dür.

P' P Bir P elipsoid noktasının farklı enlemleri yanda gösterilmektedir. G=OP : Jeosentrik (merkez) yarıçap

a b

G γ

β

O

B a

a cos β

Jeosentrik yarıçap G = W cos γ dir. G nin yaklaşık değeri seri açılımından yaklaşık olarak 1 2

1 2

5 8

G = a (1- e 2 sin 2 B + e 4 sin 2 B − e 4 sin 4 B + ....... ) şeklinde hesaplanır. 1)Coğrafi Enlem (B): Elipsoidin bir P noktasındaki yüzey normalinin ekvator düzlemi ile yaptığı açıdır. 2)İndirgenmiş Enlem (β ): P elipsoid noktası, dönme eksenine paralel bir doğru ile, elipsoid ile aynı merkezli ve a yarıçaplı bir küre üzerine izdüşürülürse P’ noktası elde edilir. P’ noktasını merkeze birleştiren doğrunun ekvator düzlemi ile yaptığı açıdır. 3)Jeosentrik Enlem (γ ): P elipsoid noktasını ile elipsoidin merkezini birleştiren doğrunun ekvator düzlemi ile yaptığı açıdır. Jeosentrik enleme merkezi enlem de denir. 4)İzometrik Enlem (q) : Elipsoid üzerinde, coğrafi boylamın diferansiyel artımı dL ‘ ye eşit metrik diferansiyel artımı olan enleme izometrik enlem denir. Coğrafi enleme ve izometrik enleme göre herhangibir elipsoid eğrisinin yay elemanı dS2 = M2 dB2 + N2 cos2 B dL2 (coğrafi koordinatlara göre) dS2 = N2 cos2 B (dq2 +dL2 )

(izometrik enleme göre)

şeklinde ifade edilir. O halde coğrafi koordinatlar sistemi izometrik değildir. Yani q izometrik enlemi ile L coğrafi boylamı elipsoid üzerinde F = 0 ve E = G = N 2 cos2 B olan ortogonal bir parametre ağı meydana getirirler. Bunun gerçekleşmesi için izometrik enlem B

q=

M

∫ N cos B dB 0

integralinden hesaplanmalıdır. Enlem Çeşitleri Arasındaki Bağıntılar

b β = arc tan( tan B ) = arctan( 1 − e 2 tan B ) a a 1 β = arc tan( tan γ ) = arctan( tan γ ) b 1 − e2 b2 γ = arc tan( 2 tan B ) = arctan((1 − e 2 ) tan B )) a b γ = arc tan( tan β ) = arctan( 1 − e 2 tan β ) a a tan β ) = arctan( b

1

tan β ) 1 − e2 a2 1 B = arc tan( 2 tan γ ) = arctan( tan γ ) b 1−e2 B = arc tan(

İzometrik enlemle coğrafi enlem arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir. q = arc tanh (sin B) – e arc tanh (e sin B) Bi+1 = arc sin { tanh [ q + e arc tanh (e sin Bi )] }

( i = 0,1,2, ...)

Iteratif hesaplama için coğrafi enlemin yaklaşık değeri B 0 = arc sin ( tanh q) alınabilir. q izometrik enleminden B coğrafi enlemini direkt olarak iterasyonsuz biçimde aşağıdaki gibi seri açınımından hesaplanabilir. χ = arc sin ( tanh q ) B = χ + C2 sin 2χ + C4 sin 4χ + C6 sin 6χ + C8 sin 8χ +....... Bu serideki C katsayıları ; C2 = 0.193 131 2717o C4 = 0.000 379 7387o C6 = 0.000 001 0239o C8 = 0.000 000 0031o

Yay elemanı formülü Koordinatları q1, q2, q3, ..... qn olan elemanı formülü; ds2 =

n

n

i =1

j=1

∑ ∑h

ij

n boyutlu bir koordinat sisteminde en genel yay

dq i dq j

1) Gauss Eğrilik Ölçütü (K) : Bir yüzey noktasındaki eğrilik ölçüsü K, Gauss’a göre Rmin ve Rmax anaeğrilik yarıçapı olmak üzere; K=

1 Rmin Rmax

olur.

2)Ortalama Eğrilik Ölçütü (H) : Bir yüzey noktasındaki iki ana eğriliğin ortalamasıdır. H=

1 1 1 ( + ) 2 Rmin Rmax

u, v parametreleri yerine coğrafi koordinatlar kullanıldığında küre ve elipsoid üzerinde değişik yüzey eğrilerinin eğrilikleri aşağıda tablo halinde verilmiştir.